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Código: CT-FO-02-05

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Revisión: 1 INFORME TÉCNICO

Página:

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INGENIERIA EN MECATRONICA

INVESTIGACIÓN DE DIAGRAMA DE BODE Y NYQUIST INTEGRANTES:

BRISSI GIOVANNA ANCHEVIDA CANUL SANTIAGO ADRIAN GONZALEZ COUOH CÉSAR ALBERTO HAU CANUL JESUS ALBERTO MENDICUTI PAAT JORGE ALBERTO RODRIGUEZ CHE DOCENTE. JOSUE

ABRAHAM MANRIQUE EK

CICLO ESCOLAR: 20182019N

FECHA: 12 DE NOVIEMBRE DE 2018, CALKINI, CAMPECHE

Contenido INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................3 DIAGRAMA DE NYQUIST.........................................................................................................4 ¿QUE ES?.............................................................................................................................4 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST..............................................................................4 EJEMPLO..............................................................................................................................6 DIAGRAMA DE BODE.............................................................................................................10 ¿QUÉ ES?...............................................................................................................................10 MAGNITUD Y FASE DIAGRAMA DE BODE..........................................................................11 COMO INTERPRETAR DIAGRAMAS DE BODE.....................................................................14 DIAGRAMAS DE BODE PASO A PASO DE SISTEMAS ELEMENTALES...................................17 EJEMPLO............................................................................................................................21 CONCLUSION.........................................................................................................................23 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................24

INTRODUCCIÓN En este primer trabajo de segundo parcial del séptimo semestre se hablará a cerca de dos temas de diagrama de bode y diagrama de Nyquist, que como sabemos estos dos temas son muy parecidas, ya que hablan acerca de las estabilidades de las funciones de transferencia y a la misma son graficas donde debemos de interpretar, los diagramas de Bode trabajan en decibeles (dB). y sabemos que es muy importante observar que su utilidad se relaciona sobre las mediciones senoidales.

DIAGRAMA DE NYQUIST ¿QUE ES? El diagrama de Nyquist es una representación paramétrica de una función de transferencia, se utiliza en control automático y procesamiento de señales. El uso más común de los diagramas de Nyquist es para la evaluación de la estabilidad de un sistema con realimentación. La representación se realiza en los ejes cardinales, esto es, la parte real de la función de transferencia se representa en el eje X y la parte imaginaria se traza en el eje Y.

El diagrama de Nyquist se debe a Harry Nyquist, un exingeniero de los Laboratorios Bell.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Este criterio de estabilidad nos permite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas lineales en lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de frecuencia en lazo abierto. Una ventaja del enfoque de la respuesta en frecuencia es que las pruebas de la respuesta en frecuencia son, general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de generadores de señales senoidales que se obtienen con facilidad y un equipo de medición sencillo. La funcion de lazo cerrado es:

C (s) G (s ) = R ( s ) 1+G ( s ) H ( s )

ILUSTRACIÓN 1 SISTEMA DE LAZO CERRADO

La estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica: 1+G ( s ) H ( s )=0 Deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. el criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia de lazo abierto G(jw)H(jw) con el numero de polos y ceros de 1+g(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s. El criterio de estabilidad de Nyquist se basa en un teorema de la teoría de la variable compleja. Para comprenderlo, se analiza primero la transformación de los contornos en el plano complejo. Se supone que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se representa como un cociente de polinomios en s. Para un sistema que puede materializarse físicamente, el grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del denominador. Esto significa que el límite de G(s)H(s), cuando s tiende a infinito, es cero o una constante para cualquier sistema que pueda materializarse físicamente.

EJEMPLO

DIAGRAMA DE BODE ¿QUÉ ES? Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode. Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores. El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal A sin (ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

MAGNITUD Y FASE DIAGRAMA DE BODE Se debe recordar que cuando hablamos de diagramas de bode, este se encuentra constituido por dos gráficas debido a que para este análisis usamos números complejos, es decir que contaremos con un número real y un número imaginario.

La representación gráfica en vectores de un numero complejo podemos verla a continuación: Si consideramos el siguiente número complejo:

Donde

= parte real de W, y

= parte imaginaria de W.

A partir de este triangulo podemos encontrar la magnitud (que es la hipotenusa o lado C) y la fase ( , de la siguiente forma: Magnitud:

Fase: De la figura también podemos inferir que:

entonces sustituyendo en el número complejo tenemos que:

Pero por propiedades de cálculo sabemos que el seno y coseno pueden expresarse como:

Entonces con eso:

Ahora si tomamos el hermano gemelo de W, o sea:

Note que ahora la parte imaginaria es negativa, es fácil demostrar que: y que Por eso las dos gráficas del diagrama de bode corresponderán a la gráfica de la magnitud y a la gráfica de la fase. Por lo tanto, la interpretación del diagrama de bode físicamente nos va a decir cuál es la amplitud de la señal aplicada al sistema y su desfase.

COMO INTERPRETAR DIAGRAMAS DE BODE Aplicando el diagrama de Bode en la teoría de control, por ejemplo, hacer un diagrama de bode de una función de transferencia, lo que queremos es determinar la respuesta en frecuencia (salida) de nuestro sistema en estado estable cuando perturbamos o estimulamos nuestro proceso con una entrada senoidal. Supongamos que tenemos un proceso, G(s), cualquiera (un tanque, un motor, un reactor, una turbina, etc) y le aplicamos a la entrada una señal en forma de seno o coseno.

Como se observa en la figura anterior, la idea básica del diagrama de bode, es que si yo aplico una entrada sinusoidal cualquiera representado por

a mi sistema, el cual es

, donde A es la amplitud de la señal seno y

es

el rango de frecuencia de interés, En la salida de mi sistema voy a tener una señal sinusoidal, la cual dependiendo de mi función de transferencia, puede salir con otra amplitud y desfasada con relación a la señal que le aplique a la entrada, esta señal de salida la podremos representar como Angulo de desfase y B la amplitud del seno de salida.

, donde

es el

El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida transformados a decibelios a través de la siguiente ecuación.

Donde

es mi función de transferencia llevada al dominio de la frecuencia.

El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados. ¿Pero cómo hacer el diagrama de bode de una función de transferencia o el diagrama de bode de polos y ceros? Es sencillo, simplemente sustituyes en tu función de trasferencia la variable compleja “s” por

.

DIAGRAMAS DE BODE PASO A PASO DE SISTEMAS ELEMENTALES Para poder dibujar el diagrama de Bode de una función de transferencia cualquiera, es necesario conocer la forma que adopta dicho diagrama es el caso de las funciones de transferencia más elementales. Como por ejemplo en el caso en que tengamos una ganancia, un retraso en el tiempo, un integrador, un derivador, un polo, un cero, un polo doble y un cero doble. A continuación, vas a aprender a dibujar el diagrama de bode paso a paso y con un método muy sencillo, conocido como el diagrama de bode asintótico que nos permitirá hacer diagrama de bode a mano fácilmente y lo más importante es que vas a fijar el concepto en tu mente y entenderás por fin que es el diagrama de bode. Para poder trabajar con esa función en octave, necesitamos multiplicar los factores

en

el

G(s)=10(s2+0.4s+1)s(s2+0.8s+9)

numerador

y

el

denominador.

G(s)=10s2+4s+10s3+0.8s2+9s

En Octave podemos escribir los coeficientes del numerador y denominador como vectores,

y

después

usarlos

en

la

función bode.

octave:1> num = [0 10 4 10]; octave:2> den = [1 0.8 9 0]; Necesitamos pasar el numerador y denominador a una función de transferencia.

octave:3> sys = tf(num, den) Utilizando

la

orden bode(sys),

octave:4> bode(sys)

obtendremos

los

diagramas

de

Bode.

Como podemos observar en la gráfica generada, tenemos dos trazos diferentes, el primero es el diagrama logarítmico del módulo de una función de transferencia, y el

segundo

es

un

diagrama

del

ángulo

de

fase.

Ambos diagramas en la gráfica están representados en función de la frecuencia dada

en

radianes

y

esta

en

escala

logarítmica.

En el primer diagrama podemos observar que la magnitud esta también en una escala logarítmica, debido a que la medición se hace en decibeles, y se sabe que los

decibeles

ya

están

en

una

Programa completo: octave:1> num = [0 10 4 10]; octave:2> den = [1 0.8 9 0]; octave:3> sys = tf(num, den)

Transfer function 'sys' from input 'u1' to output ...

10 s^2 + 4 s + 10 y1: ------------------s^3 + 0.8 s^2 + 9 s

Continuous-time model. octave:4> bode(sys)

escala

a

logarítmica.

octave:5>

Podemos cambiar el rango de frecuencia para el diagrama de Bode.

octave:5> w = logspace(-2, 4); octave:6> bode(sys, w)

Como vemos en la imagen, podemos notar que el rango de la frecuencia dada en radianes fue cambiada de [10−1:102] a [10−2:104], y nos permite analizar de otra forma la función de transferencia.

EJEMPLO

C ONCLUSION El criterio de estabilidad por Nyquist es muy útil en la ingeniería de control, debido a que permite determinar gráficamente la estabilidad absoluta del sistema cerrado a partir de las curvas de respuestas en frecuencia en lazo abierto, sin que sea necesario determinar los polos en lazo cerrado.

Los diagramas de bode son de amplia aplicación en la ingeniería de control, pues esta igual nos permiten representar la magnitud y la fase de la funcion de transferencia de un sistema, sea este eléctrico, mecánico, etc. Su uso se justifica en la simplicidad con que lo permiten.

BIBLIOGRAFÍA Balachandran, B., & Magrab, E. B. (2006). Vibraciones. México: Pearson. Inman, D. J. (2014). Engineering Vibration. Estados Unidos de America: Pearson Education. Katsuhiko, O. (2010). Ingenieria de control moderna. Madrid: PERARSON EDUCACION, S.A. Ogata,

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de

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https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Nyquist

Obtenido

de