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La matemática para un pensamiento reflexivo Aprender matemáticas no solo significa memorizar conocimientos, también es necesario practicarlos y ser más reflexivo ante los desafíos de la vida cotidiana. Por ejemplo, son importantes para resolver planteamientos con el fin de explicar nuestro entorno, como crear modelos del comportamiento de la población en una ciudad. ¿Podríamos llegar a una solución sin matemáticas? Es probable que sí, pero estas nos permiten agilizar procedimientos y usar técnicas más eficientes para dar certeza a nuestros resultados, aunque, recuerda que usar un algoritmo o método apropiadamente es solo una parte de la solución; la otra es saber darle un sentido y tomar buenas decisiones. En este bloque estudiarás monomios y polinomios, y fórmulas y pasos para calcular volúmenes de cubos, prismas y pirámides, además de situaciones de proporcionalidad inversa, probabilidad frecuencial y teórica.

Bloque 2 72

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Aprendizajes esperados 1. Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios. 2. Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.

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Lección 13 Adición y sustracción de monomios I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos

En el taller de carpintería

Contenido

Leobardo diseñó un librero armable. Cada pieza cuadrada se ensambla con otra y se pueden crear diferentes diseños de ese mismo librero.

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios

1. Observa las secuencias de figuras. El perímetro exterior de cada una se muestra con color diferente. Contesta las preguntas en tu cuaderno.

Figura 1

Figura 2

Figura 3 Secuencia 1

Figura 4

Figura 5

a) Considera que la medida de un lado del cuadrado de la figura 1 es una unidad. ¿Cuál es el perímetro

de las figuras 1 a 5? Ahora considera que la medida es a. ¿Cuáles son los perímetros?

4, 8, 12, 16, 20; 4a, 8a, 12a, 16a, 20a

b) Compara, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados y digan cómo los obtuvieron.

R. P.

c) Vuelve a trabajar individialmente. Considera que un cliente pidió a Leobardo que elaborara

piezas cuadradas del doble de tamaño. Fíjate en la figura, a es el valor original de la pieza.

2a

d) Al fabricar las piezas al doble de su tamaño, ¿cuál sería el perímetro del cuadrado que corresponde

Oriéntate En las expresiones algebraicas, las literales representan números.

a la figura 1 de la secuencia nueva?

8a e) Determina el perímetro exterior de la figura 2 de la nueva secuencia; considera que las piezas están

al doble de su tamaño.

16a f) El perímetro de una figura es de 48a. ¿A qué número de figura corresponde?

A la figura 6. g) Otro cliente le pidió a Leobardo fabricar piezas a la mitad de su tamaño original. ¿Cuánto medirá

el perímetro exterior de la figura 5 de la secuencia de estas nuevas figuras?

10a h) Leobardo diseño otro estilo de librero, con cuadrados de 5a por lado. Escribe, en tu cuaderno, el

perímetro de las siguientes tres figuras de la secuencia 2.

30a,

60a, Figura 1

90a Figura 2 Secuencia 2

Figura 3

i) Valida, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados anteriores. Escriban una conclusión sobre

los procedimientos usados para obtener el perímetro.

2. Reúnete con un compañero. Analicen la figura y respondan en sus cuadernos. Usen lo trabajado en la actividad anterior. 4a 2a

a) Determinen el perímetro de la figura anterior. Si en el rectángulo anterior se disminuyera a la mitad

cada uno de sus lados, ¿cuál sería el valor del perímetro del nuevo rectángulo?

74

12a; 6a

Bloque 2 Lección 13

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Lección 13 b) Describan, ante el grupo y con ayuda de su profesor, el procedimiento que usaron para obtener

el valor del perímetro. Anoten una conclusión en sus cuadernos.

Un paso adelante 3. Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno.

Lupe fue al mercado a comprar verdura para preparar una sopa. a) Las zanahorias cuestan $12.00 el kilogramo. Si x representa los kilogramos que compró, elige

la expresión que se emplea para saber cuánto pagará. 12 _ x

12x

12x

x _ 12

12 + x

b) Los chícharos cuestan $16.00 el __12 kg. Si y representa los kilogramos que compró, ¿qué expresión

es útil para saber cuánto pagará? 16y 32y

16 + y

32y

16y + 8

c) El kilogramo de garbanzos cuesta tres cuartos de lo que vale un kilogramo de zanahorias. Anota

Oriéntate Con una literal se puede representar el precio de un producto. Se puede escribir como una cantidad x.

una expresión donde z represente los kilogramos que compró para saber cuánto pagará.

9z d) Escribe una expresión para determinar cuánto pagará Lupe en total por toda la verdura.

12x + 32y + 9z

4. Reúnete con un compañero. Analicen el siguiente planteamiento y respondan. a) Doña Leonor vende verduras en el mercado. Ella utiliza la expresión 30m para determinar cuánto

debe cobrar al vender m kilogramos de manzanas, y la expresión 12n para determinar cuánto debe cobrar al vender n kilogramos de naranjas.

i) ¿Es posible escribir una única fórmula para cobrar ambos productos?

Sí: 30m + 12n.

ii) En la siguiente semana, Doña Leonor venderá el mismo tipo de manzanas pero ahora

empaquetadas en bolsas con 2 kg. De acuerdo con este planteamiento, ¿qué significado tiene la expresión 30m + 30m = 60m? R. T. Que ahora utilizará la fórmula 60m ya que las bolsas tienen el doble de kilogramos que la situación anterior (30m).

b) Compartan su respuestas del inciso anterior con sus compañeros de grupo y concluyan

acerca de la suma de dos expresiones semejantes.

Lee, en grupo, la siguiente información y propongan algunos ejemplos con lo visto anteriormente. Un monomio es una expresión algebraica que consta de un coeficiente, positivo o negativo, y una o más literales elevadas a un exponente, que puede ser distinto para cada una. Cuando una expresión algebraica se forma al sumar o restar varios monomios, a cada uno se le llama término de la expresión. Dos términos son semejantes si la literal es la misma y están elevadas al mismo exponente. Al sumar o restar términos semejantes queda solamente un término. 5. Simplifica las siguientes expresiones. a) 10m + 21m =

1 b + 3b = c) _ 2

31m 7 _ b 2

b) 3a + 5a + 8a =

Cuando la literal no tiene ningún exponente indicado, significa que está elevada a la potencia 1, por ejemplo: 4m = 4m1.

Oriéntate Componentes de un monomio literal signo

exponente

–5xy2

16a

d) 40c2 – 22c2 – 10c2 =

Oriéntate

8c2

coeficiente Lección 13 Bloque 2

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Lección 13 Adición y sustracción de monomios I Lee, en grupo, la siguiente información. Propongan algunos ejemplos. Para reducir o simplificar términos semejantes se suman los coeficientes y su parte literal se pasa igual; por ejemplo: – 6x3 + 8x3 = (– 6 + 8)x3 = 2 x3

Profundiza 6. Lee cada planteamiento y responde. Usa la información del recuadro anterior. a) La fórmula para obtener el área de un cuadrado es A = l2, donde la literal l representa la medida

del lado del cuadrado.

i) El valor del lado de un cuadrado es 4 cm. Sustitúyelo en la fórmula y obtén el área. A = (4 cm)2 = 16 cm2 ii) Usa expresiones algebraicas para representar lo siguiente: la suma del área de dos figuras iguales

es igual a dos veces el área de la primera.

R. T. A + A = 2A

b) Observa el diagrama del tangram. Supón que el área del cuadrado pequeño es x unidades cuadradas.

Responde en tu cuaderno: ¿cuál es el área del...

x _ ii) triángulo grande? 2x 2 v) cuadrado formado por todas las piezas? 8x i) triángulo pequeño?

iii) triángulo mediano? x

iv) romboide? x

c) De forma grupal, valida tus resultados anteriores. Describan el procedimiento que usaron para

responder las preguntas.

7. Responde con un compañero. a) Observen los siguientes trazos.

4x

x i) ¿Cómo es el primer trazo respecto al segundo? ii) ¿Cómo es el segundo trazo respecto al primero? iii) ¿Cuánto suman ambos segmentos? iv) ¿Cuánto mide el segmento mayor menos el menor?

4 veces mayor. 4 veces menor. 5x 3x

v) Escribe la longitud del segmento mayor como la suma de varios segmentos pequeños.

4x = x + x + x + x 76

Bloque 2 Lección 13

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Lección 13 8. Lee los siguientes planteamientos y escribe, en tu cuaderno, la expresión algebraica correspondiente. En los incisos c) y d) encuentra además la solución. a) En un triángulo isósceles, uno de los lados iguales mide lo doble que el lado desigual. Determina

su perímetro. R. T. P = a + 2a + 2a = 5a

3

b) En una cancha de futbol, la medida del ancho es _ la medida del largo. Halla su perímetro. 4 3a 3a 7a R. T. P = a + __ + a + __ = __ 2 4 4 c) Dos números iguales suman 32. ¿Qué número es? R. T. a + a = 32 = 2a; a = 16 d) Un número más su doble suman 21. ¿Qué número es? R. T.

b + 2b = 3b = 21; b = 7

9. Lee la situación y responde en tu cuaderno. Usa la información analizada anteriormente.

Rodrigo trabaja en un laboratorio y efectuará un experimento con dos vasos de precipitado. a) Escribe con expresiones algebraicas la siguiente relación: la capacidad de un vaso grande es el

doble de un vaso pequeño.

La capacidad del vaso grande es 2x y la capacidad del vaso pequeño es x. b) El manual menciona que un vaso de precipitado debe tener una capacidad de 2x mililitros y el otro,

el doble de capacidad que el primero. ¿Qué capacidad tiene el segundo vaso?

4x ml

c) Si repitió el experimento varias veces y utilizó tres vasos pequeños y cuatro grandes, ¿cuál fue el

total de capacidad que usó para su experimento?

22x ml

10. Completa, a partir de lo trabajado en la lección, la siguiente tabla. Expresión

Valor de la literal

Simplificación

Valor numérico de la expresión

2x + 7x

x=3

9x

27

5x + 10x

x=2

15x

__1 b + 3b

b=1

13b ___ 4

4

4g + 2g+ 5g

g=3

11g

33

6y + __12 y – 2y

y=1

9y __

__9

2

2

2

2

4

2

60 13 __

11. Verifica, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de la tabla anterior, analicen las dudas y dificultades. Corrijan lo que sea necesario.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-077a. Practica las operaciones con monomios. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-077b. Comenta con un compañero lo que aprendiste y las dudas que tengas de las actividades. Si lo consideran necesario, revisen los resultados de las actividades 4 y 5 de esta lección.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 13 en la bitácora de la página 110.

En un código de barras, el valor de cada una depende de su grosor. Supón la equivalencia siguiente:

x

2x

3x

¿Cuánto suman todas las barras? 41x Lección 13 Bloque 2

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Lección 14 Adición y sustracción de monomios II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos

Contenido Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios

Cajas de cartón Una empresa de empaques está elaborando un pedido de cajas de cartón. Cada caja tiene una forma cúbica y a su vez, dentro de cada caja se acomodarán otras cajas cúbicas de menor tamaño. Al gerente le interesa saber el área de las caras porque hay que pintarlas. 1. Responde lo siguiente. a) En la figura de la izquierda (figura 1) se muestra un esquema de cómo se acomodan ocho cajas

cúbicas de menor tamaño.

i) Para obtener el área de una de las caras de un cubo se emplea la fórmula A = l 2, donde l es la

medida de la arista de cada cubo pequeño; entonces, para dos caras se usa: A = l2 + l2 = 2l2. ¿Cuál es la fórmula para obtener el área total (área de todas las caras) de un cubo pequeño?

A = 6l 2 Figura​1

ii) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área total de dos cubos pequeños?

A = 12l 2

iii) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de todos los cubos pequeños que conforman la figura 1?

A = 48l 2 iv) El gerente decidió emplear dos tonalidades de color; pintará las caras exteriores del cubo grande

de un tono oscuro y las interiores de uno claro. Considera la figura 1; escribe una fórmula para obtener el área de las caras que dan al exterior y otra para las que dan al interior.

A = 24l 2 Figura​2

A = 48l 2 – 24l 2 = 24l 2

v) El gerente quiere repetir la combinación de tonalidades con el cubo de la figura 2. Anota una

fórmula para obtener el área de las caras que dan al exterior y otra para las que dan al interior.

A = 96l 2

A = 288l 2 7.5r

b) Revisa, en pareja y con ayuda del profesor los resulta-

dos. Escriban una conclusión sobre el procedimiento para obtener el área de varias caras de los cubos.

5​_13​​r

2r

2. Reúnete con un compañero. Analicen el siguiente planteamiento y respondan.

5r

1.2

6r

a) Mauricio quiere cercar un terreno con malla metálica. La cantidad de

rollos que requiere para cada lado del terreno se muestra en la imagen de arriba.

i) Calculen la cantidad total de malla que requerirá. 22

1 _ r 12

ii) Mauricio tiene 2__14 r para cercar el terreno. ¿Cuánto le falta? 19 iii) Si r = 8 m de largo, ¿cuántos metros tiene? iv) ¿Cuántos metros le faltan para cercar el terreno?

10 _ r 12

18 m 2 158 _ m 3

v) Compartan sus respuestas con sus compañeros de grupo, analícenlas y escriban una conclusión.

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Bloque 2 Lección 14

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Lección 14 Un paso adelante 3. La siguiente tabla presenta expresiones algebraicas. Para cada caso simplifica la expresión y obtén el valor numérico de la expresión. Practica para desarrollar habilidad en el manejo de técnicas. Expresión simplificada

Primer caso

Segundo caso

Valor de la literal

Valor numérico de la expresión

Valor de la literal

Valor numérico de la expresión

4x + 3.4x – 2x

5.4x

x=2

10.8

x = __12

2.7

4ab – ab

3ab

a = –1 b=3

–9

a = –2 b=5

–30

__1 b + 4b

9b _ 2

b=6

27

b = 10

45

5ax + 3ax – 2 ax

6ax

a=2 x=2

24

a = –3 x=5

–1 458

–8kx + 4kx – kx

–5kx

k = –1 x = –2

–10

k = –3 x = –3__12

–105 _ 2

2

Oriéntate Recuerda que 5 – (–4) es lo mismo que 5 + 4. En general, la expresión a – (–b) puede escribirse como a + b.

4. Valida, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados obtenidos en la actividad anterior. Discutan sobre el procedimiento para simplificar una expresión. 5. Trabaja en pareja. Efectúen la siguiente actividad en sus cuadernos. En un rompecabezas se utilizan las siguientes piezas; el valor de cada una depende de su forma, no de su tamaño.

3x

2x

6x

4x

5x

a) Determinen el puntaje que obtuvo María con el siguiente arreglo.

3x

3x

3x

88x

b) Una variante del juego es que la pieza de la derecha tiene una penalización de –6x. ¿Cuántos

puntos obtendrá María con esta regla? 16x

c) Posteriormente, Fernando jugó una partida con los valores originales para cada pieza. ¿Cuántos

puntos consiguió? 102x

–6x

d) ¿Quién obtuvo más puntos? Encuentren la diferencia entre los puntos que obtuvo inicialmente

María y los de Fernando. Fernando, la diferencia es 14x.

e) Ratifiquen, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados. Escriban un conclusión sobre el

procedimiento para sumar las piezas.

Lección 14 Bloque 2

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Lección 14 Adición y sustracción de monomios II Lee, en grupo, la siguiente información. Propongan algunos ejemplos. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos de aquellas expresiones algebraicas con las literales que tienen el mismo exponente, como se muestra a continuación. 4x2 + 5x + 5x2 – x = 9x2 + 4x

Profundiza 6. Reduce los siguientes términos semejantes. Usa la información anterior. a) 12e + 3e – 16e – (–20e) = b) __14 z – __18 z + __15 z =

19e

13z _ 40

c) 0.6g – 3.4g – (–4.4g) + 1.1g = d) __12 x – 6x + __14 x – (– __16 x) =

2.7g –61x _ 12

7. Reúnete con un compañero. Respondan en sus cuadernos con la información del recuadro anterior.

N O

E

3.5

a) Manuel quería medir una superficie, pero no tenía consigo ningún instrumento de medida. Sin x 1.5

2.5x

embargo, usó una vara que encontró tirada y dibujó, de acuerdo con las medidas que tomó, el trazo de la izquierda.

3x

3.

x

5.

5x

S

i) ¿Cuántas varas (x) mide el perímetro del terreno?

4.5x

34.05x

2x

colindante con la laguna?

4.

5

4x

2​__34​​x

ii) La parte sur colinda con una laguna. ¿Cuál es la medida del perímetro exceptuando la parte

x

20.8x

b) Miguel es agricultor y tiene tres parcelas del mismo tamaño. Cada una es de forma cuadrangular

con un valor de 3n por lado.

i) ¿Cuánto mide el contorno de una de las parcelas?

12n

ii) ¿Cuánto suma el contorno de las tres parcelas, considerando lados comunes? (Las parcelas están

Parcelas

ubicadas como se muestra en el dibujo de la izquierda).

30n

iii) Miguel quiere cercar las tres parcelas. Planteen esta situación mediante una expresión algebraica

en que se indique la sustracción del total obtenido en el inciso anterior y los contornos internos.

30n – 6n = 24n

c) Miriam juega con piezas geométricas armables. Cada pieza está diseñada a partir de cuadros que

miden 3m de lado.

30m

30m 36m

24m

36m

18m 36m

36m

36m

i) Determinen el perímetro de todas las piezas de la figura de la izquierda.

36m

ii) ¿Qué pieza tiene el menor perímetro? Dibújenla.

36m 36m

36m

iii) Describan el procedimiento que usaron para encontrar la medida del contorno. d) Validen, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados anteriores. Escriban una conclusión.

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Bloque 2 Lección 14

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3/13/13 4:38 PM

Lección 14 8. Reúnete con un compañero y resuelve. a) Completen la secuencia de expresiones algebraicas. Observen que existe una relación entre un

renglón y otro.

8a

a

7a

a a

28a 56a 70a 56a 28a 8a a 21a 35a 35a 21a 7a a a 6a 15a 20a 15a 6a

a

5a

10a 4a

a

10a 6a

3a

a

5a 4a

3a 2a

a

a a

a a

a

a a

i) ¿Qué regularidades observan en el triángulo? Respondan en sus cuadernos. R. P. 9. Determina los monomios que hacen falta. Observa que en cada caso se tiene el resultado pero hacen falta algunos términos para poder hacer verdadera la igualdad. a) 8x2 + 5y +

y

b) –3x3y – 2y + x2 + c) 3a2–

9a2

d) –xy –

z2

– +

–

9y 4c2 5xy

4x2

= 4x2 + 6y

– –7x3y3 = 4x3y + 7y + x2 +b3 = –6a2 – 4c2 +

b3

= 4xy – z2 Tiempo video original (min:seg)

Velocidad

0:00 – 0:30

1x

0:30 – 0:45

3x

300 _ x. a) ¿Cuál es el promedio de velocidad de imagen del video? 1.25x; 240

0:45 – 1:00

1x

1:00 – 1:50

2x

b) Si no hubiese adelantado la velocidad en ninguna parte de su video, ¿cuánto duraría?

1:50 – 3:40

1x

3:40 – 4:30

2x

4:30 – 5:00

1x

10. Felipe hizo un video sobre la historia de su escuela. Cuando estaba editando el video en su computadora, observó que podía aumentar el número de cuadros por segundo. El programa de edición tiene varias velocidades: 1x, velocidad normal; 2x, doble de velocidad; 3x, triple de velocidad; etc. La tabla de la derecha muestra cómo quedaron los tiempos del video. Contesta en tu cuaderno.

5 minutos.

11. Haz un debate grupal, de acuerdo con lo estudiado en esta lección, sobre los diferentes contextos o situaciones donde se utilicen los monomios. Elaboren una tabla y escriban sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-081a. Haz las actividades y contesta las preguntas. Comenta con un compañero las dificultades que tuvieron. Si tienes dudas revisa las actividades 3 y 9 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-081b. Resuelve las operaciones con expresiones algebraicas. Si tienes errores, revisa de nuevo los recuadros informativos de las lecciones 13 y 14.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 14 en la bitácora de la página 110.

El plano de una casa muestra tres habitaciones cuadradas del mismo tamaño. Cada lado de la habitación mide 7x. ¿Cuánto mide el contorno de las tres habitaciones?84x Lección 14 Bloque 2

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3/13/13 4:38 PM

Lección 15 Adición y sustracción de polinomios Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos

Contenido Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios

Juego con piezas de madera Verónica es profesora de matemáticas; ha comprado un juego didáctico, para el estudio del álgebra, que consiste en piezas de madera con diferente color y valor específico (como se muestra en la imagen de la izquierda). La profesora dio las piezas a Natalia y Néstor para que construyeran estructuras. Después de terminar, deben sumar y obtener el valor final de la estructura. 1. Responde los siguientes planteamientos. a) Una construcción que hizo Natalia tenía solo dos piezas rojas. ¿Qué valor se obtuvo?

4x x 2x 3x 4x 5x 6x Juego didáctico de piezas de madera.

Figura 1

Figura 2

b) Nestor formó la figura 1. ¿Cuánto obtuvo?

Figura 3

12x

c) Por su parte, Natalia elaboró la figura 2. ¿Cuánto obtuvo?

40x

d) Ambos hicieron la figura 3. ¿Qué valor se obtiene?

64x

e) Describe el procedimiento que usaste para responder las preguntas anteriores.

R. T. Calculé el número de piezas de cada tipo y lo multipliqué por el valor correspondiente; al final sumé todos los resultados para obtener la puntación total. f) Compara, con el grupo y ayuda del profesor, tus respuestas. Lleguen a una conclusión.

Oriéntate Si dos términos no son semejantes, no es posible reducirlos; por ello, solo se indica la operación. Por ejemplo: 4x y 5x2 no son semejantes, por lo que su suma queda como:

g) En la siguiente ronda, Natalia obtuvo 12x + 8x + 5x. Dibuja, en tu cuaderno, las piezas que repre-

sentan este valor y una estructura en la que se acomoden.

h) En una variante del juego, la pieza rosa tiene un valor de –4x. Con esta variante, ¿qué valor tiene

la siguiente estructura?

19x

4x + 5x2. i) Validen, con ayuda del profesor, las respuestas anteriores. Escriban una conclusión en sus cuadernos.

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Bloque 2 Lección 15

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Lección 15 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero y respondan, en sus cuadernos, los siguientes planteamientos.

Arista: x

Arista: 3y

Volumen: 81y 3

a) Determinen, a partir de la información anterior, el volumen de la siguiente figura. Usen expresiones

algebraicas.

x3 – 135y3 Oriéntate En la expresión: 3s2 + 5s2+ 2, b) En un triángulo isósceles uno de los lados iguales mide 2x; el desigual, 4y. Determinen su perímetro.

4x + 4y c) El lado mayor de un rectángulo mide 3x; el menor, 3x – 2. ¿Cuál es su perímetro?

al 2 se le denomina término independiente, ya que no tiene la literal s como el resto de los términos.

12x – 4 d) Ratifiquen, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas anteriores y escriban una conclusión.

Lee, en grupo, la siguiente información. Expongan sus dudas y respóndanlas con ayuda de su profesor. Un polinomio es una expresión algebraica con más de un término (monomio) y cada uno se une por un signo de suma o resta. Un polinomio se puede simplificar si tiene términos semejantes entre sí. A esto se le llama reducción de términos semejantes. 3. Trabaja en pareja. Resuelvan el siguiente arreglo; la suma horizontal, vertical y diagonal debe ser 15x2 + 3x. Utilicen lo trabajado en la lección. 4x2 – x

9x2 + 2x

2x2 + 2x

3x2 + 4x

5x2 + x

7x2 – 2x

8x2

x2

6x2 + 3x

Profundiza 4. Responde los siguientes planteamientos. Escribe cada respuesta usando un polinomio. a) La hortaliza escolar tiene forma rectangular. Este año se aumentó en 2 m el ancho y 4 m el largo.

Oriéntate Dos números son simétricos si están a la misma distancia de 0; por ejemplo, –5 es el simétrico de 5 y viceversa.

¿Cuál es su nuevo perímetro? R. T. x + 4 + x + 4 + y + 2 + y + 2 = 2x + 2y + 12 Lección 15 Bloque 2

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3/11/13 3:44 PM

Lección 15 Adición y sustracción de polinomios b) Noemí compró dos ejemplares de una novela con un descuento de $50.00, después regresó a la

librería para comprar otros dos ejemplares pero no obtuvo descuento. ¿Cuánto gastó? 4n – 50 c) Una varilla es cortada en tres trozos; el segundo es el doble del primero y el tercero es el doble del

segundo, más 5 m. ¿Cuánto mide cada trozo?

x

2x

4x + 5

Lee, en grupo, la siguiente información. Aplíquenla en las actividades siguientes. Al restar dos polinomios, usualmente el sustraendo (lo que se resta) se indica entre paréntesis precedido por un signo negativo; esto significa que dicho signo afecta los términos dentro del paréntesis. Para quitar el paréntesis y el signo negativo, se puede multiplicar cada término del polinomio por –1; es decir, cambiar cada término por su simétrico y posteriormente sumar los términos semejantes. Por ejemplo: 5m – 4n – (2n – 8m) = 5m – 4n – 2n + 8m. 5. Reduce los siguientes polinomios. Usa la información del recuadro anterior. a) 4b + 6b + x2 – 4bx + 5x2

6x2 – 4bx + 10b 17x _ b) 11x + 5y – __12 x – 2x + 4y – 1 + 9y – 1 2 2 63x x c) __12 x2 – __14 x + 3 – __34 x2 + 16x –_ + _ + 3 4 4 d) 4m – 4n – __14 m + 0.25m – m + 5 3m – 4n + 5 e) (5ab + 4ab2) – (6ab + 6a2b2 + 5ab2 – 5) –ab –

ab2 – 6a2b2 + 5

6. Reúnete con un compañero. Efectúen las operaciones indicadas.

Polinomio 1: 4y2 – 5x2 + 4x2 – 2 Polinomio 2: 3y3 + 6x2 – 5x3 – 3x Polinomio 3: 4y3 – 5y2 + 3x2 – __12 x2 + 12

15 7y3 – y2 – 5x3 + _x2 – 3x + 10 2 –4y2 + 3y3 + 7x2 – 5x3 – 3x + 2 3x2 –4y3 + y2 – _ – 10 2

a) polinomio 1 + polinomio 2 + polinomio 3 = b) –polinomio 1 + polinomio 2 = c) –polinomio 1 + (–polinomio 3) = d) polinomio 3 + (–polinomio 3) =

0

e) (__1 ) polinomio 1 + (__1 ) polinomio 3 – polinomio 1 = 2

2

7 9 2y3 – _y2 + _x2 + 7 2 4

f) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo. Escriban, en sus cuadernos, una

conclusión sobre el procedimiento que usaron para responder las operaciones.

7. Validen, en grupo y con ayuda de su profesor, los resultados de las actividades 5 y 6. 8. Analiza, con el grupo y tu profesor, el siguiente planteamiento. Respondan en sus cuadernos. a) Nayeli infirió que 4x2 + 3y2 = 7x2y2 ¿Es correcta su respuesta? Anoten una conclusión.

84

R. T. No, pues solo se puede simplificar una suma de términos semejantes. Bloque 2 Lección 15

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3/11/13 3:44 PM

Lección 15 9. Escribe la expresión que hace falta en los siguientes ejercicios de tal forma que la igualdad sea cierta. a) 4x2 +

+

8x2

b) 3ab – 2ab + 7ab – c) 6y2 –

3y2

d) 8xy – 12xy + e) __12 xy + __34 xy +

+

15 1 _xy 4

–

4y2 +

4x2

2ab

+ 4x +

y2

+ 34xy – –

3 _ xy 4

= 12x2 + 4y2 – 16

16

+

= 5y2 + 4x

y2

14xy +

= 16ab – 4x2

6ab

= 16xy + 15

1 _ xy 4

= xy

10. Reduce los términos semejantes de los siguientes polinomios y posteriormente obtén el valor numérico del polinomio. a) 5x2 + 3x 3 – 4 – (2x 2 – x + x 3) =

2x3 + 3x2 + x – 4 = – 4; para x = 1

para x = –1

b) 3x 2 – 2x + 1 – (2x 2 – 2) =

x2 – 2x + 3 = 3; para x = 2

para x = 2

c) 6y 2 – 4y 3 + 5y 5 – (–4y 2 – 6y 5– 8x 3) = 11y5 – 4y3 + 10y2 + 8x3 = 11y5 – 4y3 + 10y2 – 512; para

x = -4

para x = –4

11. Corrobora, con el grupo y con ayuda del profesor, los resultados de las actividades 9 y 10. 12. Trabaja en pareja. Obtengan el área de la siguiente figura y posteriormente presenten sus resultados al grupo. Usa lo visto en la lección.

4

(x + 4)2 = x2+ 8x +16

x

13. Lleva a cabo un debate grupal sobre la conveniencia de usar el arreglo vertical para sumar y restar polinomios. Propongan algunos ejemplos y escriban sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-085a. Resuelve las operaciones de la sección "Polinomios, sumar y restar". Compara tus respuestas con las de un compañero. Si tienes dudas, revisa las actividades 3 y 8 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-085b. Elabora, en tu cuaderno, una explicación de los procedimientos que utilizas para sumar y restar polinomios. Comparte tu explicación con un compañero.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 15 en la bitácora de la página 110.

Esta figura tiene todos los lados iguales; cada lado mide 4x + 6y. ¿Cuál es su perímetro? 64x +96y Lección 15 Bloque 2

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85

3/11/13 3:44 PM

Lección 16 Expresiones algebraicas equivalentes Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos

Modelos de área En la comunidad donde vive Omar, el gobierno municipal prestará a cada familia una parcela para que cultive alguna hortaliza. El ingeniero encargado del proyecto aun no ha determinado los valores de las medidas, pero ha usado literales para denotarlas. El esquema se muestra en la figura 1. 1. Responde con un compañero. a) En la parcela de la izquierda, ¿qué expresión corresponde al área del cuadrado? b) Anoten la expresión algebraica del área del rectángulo.

x

x2

x

c) Escriban, como se indica, la expresión algebraica del área de la parcela.

x Figura 1

1

i) Como suma de áreas del cuadrado y rectángulo: ii) Como producto de sus lados:

x2 + 2

(x2 + 1) x

d) Elaboren, con el grupo, una conclusión relacionada con el procedimiento que siguieron para ob-

tener el área total de la parcela, además de los diferentes procedimientos que usaron. Anótenla en sus cuadernos.

2. Trabaja en pareja. Contesten los siguientes planteamientos en sus cuadernos.

El gobierno municipal entregará parcelas que miden 5 m de largo; el ancho se determinará en función de la disponibilidad del terreno. a) Dibujen, en sus cuadernos, la parcela que le entregarán a la familia de Omar. Anoten las dimensiones

x

de la hortaliza y determinen la expresión algebraica para el perímetro de la hortaliza.

5

2x + 10 b) Recientemente se ha informado que a las familias que tengan niños se les otorgarán 3 m adicionales

al ancho de la parcela. ¿Cuál será la nueva expresión algebraica del perímetro de la parcela de la familia de Omar, suponiendo que haya niños en ella?

10 + 2(x + 3) = 2x +16 c) La mamá de Omar decidió sembrar lechugas en la mitad de la parcela (la línea que divide a la

mitad es perpendicular al largo de la parcela). ¿Qué expresión algebraica corresponde al perímetro dedicado al cultivo de lechugas?

2x + 11 d) Los vecinos de Omar les entregaron en préstamo una parcela como la que se muestra a la izquierda.

x2

2x

Escriban la expresión algebraica correspondiente.

i) Lado del cuadrado:

x

ii) Lados del rectángulo: iii) Área total:

2yx

(x + 2)x = x2 + 2x

iv) Perímetro total: 2(x + 2) + 2x = 4x + 4

x

e) Después de la repartición de parcelas, el gobierno municipal se quedó una parcela donde sembrará

4x – 2

una nueva variedad de maíz (figura de la izquierda). Anoten la expresión algebraica del perímetro.

2x + 2 (4x – 2) = 10x – 4

f) Concluyan, de manera grupal, sobre el procedimiento que siguieron para responder los plantea-

86

mientos anteriores. Escríbanlo en sus cuadernos.

Bloque 2 Lección 16

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3/11/13 3:44 PM

Lección 16 Un paso adelante 3. Responde las preguntas.

Orlando y su hermana juegan con bloques armables. El juego consiste en hacer diferentes formas con tres tipos de piezas; a cada una se le asignó un valor, como se muestra en la tabla. Pieza

Largo

Ancho

Área

2x

x

2x 2

2x

2x

4x 2

4x

2x

8x 2

Las figuras que armaron fueron las siguientes.

Figura 1

Figura 2

a) Determina el perímetro de la figura 1. b) Halla el área de la figura 1. c) Encuentra el perímetro de la figura 2.

Figura 3

54x 114x2 36x

d) Determina el área de la figura 2.

76x2

e) Halla el perímetro de la figura 3.

48x

f) Encuentra el área de la figura 3.

42x2

g) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias, compartan sus dudas

para resolver posibles dificultades y escriban una conclusión en sus cuadernos.

h) Deduzcan el procedimiento para obtener el área de las piezas de la tabla que se encuentra al inicio

de la página.

Lección 16 Bloque 2

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87

3/11/13 3:44 PM

Lección 16 Expresiones algebraicas equivalentes Profundiza Lean la siguiente información y propongan algunos ejemplos al respecto. Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes y las literales. En caso de ser literales iguales, se suman los exponentes. 5x · 4y2

8x2y4 · 5x6

5 · 4 · x · y2

8 · 5 · x2 + 6 · y4

20xy2

40x8y4

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio respetando el signo de operación (suma o resta) y posteriormente se aplica el criterio anterior. 5x ( 5y2 + 3x) = 5x(5y2) + 5x (3x) = 5 · 5 · x · y2 + 5 · 3 · x · x = 25xy2 + 15x2 4. Trabaja en pareja. Resuelvan el siguiente planteamiento a partir de lo analizado anteriormente. a) Osvaldo trabaja en una fábrica que empaca leche en cajas de cartón. i) La caja de cartón tiene una base cuadrada de 2x de lado; la altura es de 4y. ¿Cuál es la medida

de la superficie total de la caja?

8x2 + 32xy

El jefe de Osvaldo le pidió almacenar las cajas de leche sobre una base de madera, tal como se muestra en la siguiente figura esquemática.

ii) De acuerdo con la imagen anterior, ¿cuál es la medida de la superficie total de la figura formada

por todas las cajas de leche?

672xy + 360 x2

5. Reúnete con dos compañeros. Respondan en sus cuadernos.

1.5m

1.5m

x

El gobierno municipal entregó a Ofelia una pequeña parcela con las dimensiones indicadas en la figura de la izquierda. Ofelia dejará un pasillo de 1.5 m de ancho alrededor de su parcela para guardar los instrumentos de labranza. a) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo interior?

4x – 2

10x – 16

b) ¿Cuánto suman los perímetros exterior e interior del pasillo?

10x – 16 + 10x – 4 = 20x – 20

c) ¿Qué área utilizará para cultivar hortalizas?

(x – 3) (4x – 5) = 4x2 – 17x + 15

d) Determinen el área que destinó para guardar sus instrumentos.

88

Bloque 2 Lección 16

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15x – 15

3/11/13 3:45 PM

Lección 16 6. En la tabla aparecen varias figuras geométricas y sus magnitudes. Complétala con un compañero. Posteriormente tracen, en sus cuadernos, lo que se indica. Figura

Largo

Ancho

Perímetro

Área

a

a

4a

a2

b

a

b

2a + 2b

ab

1

a

1

2a + 2

a

b

b

4b

b2

b

1

2b + 2

b

1

1

4

1

a a

a a b b 1

b 1 1

a) Una figura de área a2 + 2ab + b2.

R. P.

b) Una figura de área 2a2 + 2b2 + ab. R. P. c) Una figura de área 6a + 4b + 3. R. P. 7. Efectúa, con el grupo y con ayuda del profesor, un debate analizando las ventajas de la representación de expresiones algebraicas mediante figuras geométricas. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-089a. Elabora, en tu cuaderno, una explicación de lo que observas al cambiar los valores del ejercicio. Comenta con un compañero tus procedimientos para hacer operaciones con polinomios. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-089b. Escribe el polinomio y, en tu cuaderno, explica a qué elementos de la figura corresponde cada término del polinomio. Si tienes dudas, revisa la actividad 4 de esta lección.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 16 en la bitácora de la página 110.

1.5 cm A un cuadrado de lado x se le quitan cuatro cuadritos de 1.5 cm de lado en sus extremos, y con el papel restante se elabora una caja. ¿Cuál es su volumen?

1.5x2 - 9x + 13.5 Lección 16 Bloque 2

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3/11/13 3:45 PM

Lección 17 Fórmulas de cubos, prismas y pirámides Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos

Los cubos El papá de Emilio es ingeniero. Un día Emilio escucho a su papá decirle a un contratista de obra que alculara cuántas unidades cúbicas se necesitaban rellenar con concreto para terminar los pilares de un puente. 1. Contesta las preguntas.

Emilio sacó sus cubos y consideró que cada uno era una unidad cúbica. Armó las siguientes figuras.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 1?

6

b) ¿Cuántas unidades cúbicas hay en la base de la figura 2?

4

c) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene de alto la figura 2?

3

d) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 2?

12

e) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la base de la figura 3? f) ¿Cuántas unidades cúbicas forman la altura de la figura 3? g) ¿Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 3?

9 3

27

h) Si cada cubo que forma la figura 3 tiene un volumen de 1 cm3, ¿cuál es el volumen total de la

figura?

27 cm3

i) Verifica, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de la actividad 1. Comenten el significado

de volumen de un cuerpo y escriban una conclusión.

R. T. El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.

Lee, en grupo, la siguiente información. Expresen sus dudas y resuélvanlas con ayuda de su profesor. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Cuando se habla de medir el volumen se entiende que se hace una comparación del espacio que ocupa el cuerpo respecto a un espacio conocido, es decir, se calcula el número de unidades cúbicas que caben en su interior.

90

Bloque 2 Lección 17

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3/13/13 10:12 AM

Lección 17 Un paso adelante 2. Contesta con un compañero. a) Observen el siguiente prisma.

2 cm

5 cm 4 cm b) ¿Qué forma tiene la base?

Rectangular.

Si se rellena el prisma con cubos de 1 cm de arista, se obtiene lo siguiente. Oriéntate

altura

Recuerda:

profundidad

Observen la imagen de la derecha y contesten. c) ¿Cuántos cubos tiene de longitud?

4

d) ¿Cuántos cubos hay de profundidad? e) ¿Cuántos cubos forman la altura? f) ¿Cuántos cubos tiene el prisma en total?

itud

long

5 2 40

g) ¿El número de cubos equivale al volumen del prisma?

Sí.

Justifiquen su respuesta.

R. P.

h) Comenten la respuesta anterior con el grupo y redacten, en sus cuadernos, una conclusión. 3. Discute, con el grupo y con ayuda del profesor, la siguiente afirmación.

Un prisma recto es aquel cuyas caras laterales son rectangulares. El volumen de todo prisma recto se calcula multiplicando el área de su base por la altura. V = AB · h

Oriéntate Un prisma recto es un sólido con dos bases paralelas del mismo tamaño y forma; puede ser cualquier polígono.

a) ¿La afirmación anterior es verdadera sin importar la forma de la base? Justifiquen la respuesta en

sus cuadernos.

Sí. R. P. b) Propongan varios casos en los que usen la información del recuadro anterior. Con la ayuda del

profesor, escriban una conclusión en sus cuadernos.

Lección 17 Bloque 2

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91

3/13/13 10:12 AM

Lección 17 Fórmulas de cubos, prismas y pirámides Profundiza 4. Lee la situación y contesta las preguntas en tu cuaderno.

Julieta estaba estudiando el tema de cuerpos geométricos y analizó la siguiente imagen.

8 cm

12 cm

12

8 cm

cm

12

12 cm

cm

a) Observa ambos cuerpos geométricos y escribe las características comunes que encuentres.

Ambos cuerpos tienen bases cuadradas de lado (12 cm) e igual altura (8 cm).

b) ¿Los cuerpos geométricos tienen el mismo volumen? Explica.

No, el volumen de la pirámide es menor. c) Compara, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de los incisos anteriores a) y b). Escriban

una conclusión.

5. Reúnete con dos compañeros. Desarrollen la siguiente actividad a partir de lo analizado anteriormente; respondan en sus cuadernos. a) Reproduzcan los siguientes trazos en cartulina y ármenlos, pero no peguen una de las bases a las

10

cm

12 cm

caras. Observarán la relación entre los volúmenes de ambas figuras. 12 cm

12 cm

8 cm

12 cm

b) Si cambian la longitud de la altura de las caras de la pirámide, ¿cambiará su altura?

Sí. c) Llenen de arena o azúcar la pirámide y viertan el contenido en el prisma. Repitan este procedimiento

cuantas veces se requiera para llenarlo.

d) ¿Cuántas veces cabe el contenido de una pirámide en un prisma con la misma base y altura?

92

Bloque 2 Lección 17

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Tres veces.

3/13/13 10:12 AM

Lección 17 e) Ratifiquen, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas anteriores. Escriban en sus cuadernos

una conclusión respecto a la relación entre los volúmenes de ambas figuras.

6. Analiza la siguiente afirmación.

El volumen de toda pirámide se calcula con el cociente del producto del área de su base por la altura entre tres. AB · h V=_ 3 a) ¿Qué relación hay entre la actividad efectuada y la afirmación anterior?

R. T. El volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma correspondiente equivale a decir que el prisma tienen el triple de volumen. b) Comenta grupalmente tu respuesta. Escriban una conclusión en sus cuadernos. 7. Responde con base en las figuras; analízalas y usa lo trabajado en la lección. 8.6 m

50 m

x

10 m a) ¿Cuál es el volumen del prisma hexagonal?

10 m

8.6 m

12 900 m3

b) Si la pirámide tuviera la misma altura que el prisma, ¿cuál sería su volumen? c) ¿Qué altura debe tener la pirámide para que su volumen sea igual al volumen del prisma?

150 m d) Debate, con el grupo y con ayuda del profesor, la respuesta anterior. Concluyan al respecto.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-093a. Por si tienes dudas o consideras que necesitas explorar más las características de los cuerpos geométricos. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-093b. Resuelve los ejercicios y, si tienes dudas, revisa las actividades 1 y 2 de esta lección.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 17 en la bitácora de la página 111.

Las Torres de Satélite son un conjunto escultórico de cinco prismas triangulares. Calcula el volumen aproximado de un prisma triangular de 30 m de altura y cuya base es un triángulo equilátero de 10 m de lado. 1 299.04 m3 Lección 17 Bloque 2

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93

3/13/13 10:12 AM

Lección 18 Volumen de cubos, prismas y pirámides I Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

La alberca: cálculo de volumen Hay diferentes tipos de albercas, pero para una competencia se necesitan ciertas condiciones y una de ellas son sus medidas. Una alberca olímpica mide 50 m de largo, 21 m de ancho y 2 m de profundidad. 1. Responde con un compañero. a) ¿Qué volumen tiene una alberca olímpica?

2 100 m3

b) Si se duplican las medidas de la alberca, ¿qué cantidad de agua le cabría?

16 800 m3

c) ¿La cantidad de agua también se duplicó? Expliquen en sus cuadernos. No, aumentó ocho veces. 2. La siguiente tabla muestra medidas de varias cisternas cúbicas. Complétenla y respondan en sus cuadernos. Medida de arista Volumen

1m 3

1m

2m

4m 3

8m

8m 3

64 m 512 m3

a) ¿Cómo cambia el volumen en función del cambio de longitud de la arista? Expliquen en sus cuadernos.

R.T. Si la arista se multiplica por n, el volumen se multiplica por n3.

b) Comparen, en grupo y con ayuda del profesor, su respuesta del inciso anterior. Anoten una con-

clusión al respecto.

3. Trabaja con un compañero. Supongan que una alberca tiene la forma mostrada en la figura. El área de la base es de 43 m2 y el volumen, de 86 m3. Contesten las preguntas y escriban sus procedimientos en sus cuadernos.

Área de la base 43 m2

a) ¿Qué altura tiene la alberca?

2m

b) ¿Qué volumen de agua contendría si esta llegara a una altura de 1.5 m?

64.5 m3

c) Si el área de la base aumenta al doble, ¿el volumen de la alberca también aumenta al doble?

Expliquen; hagan los cálculos necesarios en sus cuadernos. Sí. R. P.

d) Corroboren, en grupo y con ayuda de su profesor, los resultados anteriores. Escriban en sus cua-

dernos una conclusión sobre el cálculo de volumen.

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Bloque 2 Lección 18

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3/13/13 10:12 AM

Lección 18 Un paso adelante 4. Resuelve con un compañero. Usen lo visto anteriormente. a) Un albañil cobra por metro cúbico de construcción $300.00. Si edificó una columna en forma de

prisma rectangular con medidas de 60 cm de largo, 40 cm de ancho y 1.80 m de alto, ¿cuánto deberá cobrar por la columna?

$129.60

b) Redacten el procedimiento que siguieron para encontrar la respuesta anterior. R. T. Calculé el volu-

men del prisma en metros cúbicos y multipliqué el resultado por el precio por metro cúbico. c) En una granja desean construir almacenes para guardar sus granos. Los planos propuestos por un

arquitecto son los siguientes.

10 m

10 m

8m

3m

i) Si hacen dos pirámides, ¿tendrán la misma capacidad que con un prisma?

Justifiquen su respuesta.

No.

R. P.

d) Observa la figura. ¿Qué volumen tiene el cubo? 125 000 cm3 ¿Y la pirámide? i) Si se duplica cada medida, ¿el volumen también aumentará al doble?

Expliquen su respuesta.

6m

125 000 cm3 __ 3 No.

50 cm

4m

R. T. El volumen aumentaría ocho veces (23). 50 cm

ii) Si la altura se reduce a 25 cm, ¿el volumen se reducirá a la mitad?

Justifiquen su respuesta.

m

50 c

Sí.

R. T. Como el área de la base no cambia y la altura

se reduce a la mitad, el volumen se reduce a la mitad. iii) Si la altura se aumenta a 100 cm, ¿el volumen aumentará al doble?

Sí.

Justifiquen su respuesta. R. T. Como el área de la base no se modifica y la altura se duplica, el volumen se duplica. 5. Cambien de compañero de trabajo y comparen sus respuestas; lleguen a una conclusión en cada planteamiento. Lección 18 Bloque 2

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3/13/13 10:12 AM

Lección 18 Volumen de cubos, prismas y pirámides I Profundiza 6. Reúnete en equipo. Lean los planteamientos y respondan en sus cuadernos. a) Un ortoedro tiene de volumen 1 080 cm3. Las dimensiones de su base son 12 cm y 6 cm. ¿Cuál es

el área de su base? ¿Cuál es la altura del ortoedro?

72 cm2; 15 cm b) Considerando las figuras de abajo, ¿cuántas cajas pequeñas se pueden guardar en la grande?

1 000 1m 10 cm 2m 20 cm 3m

30 cm

i) Describan, en sus cuadernos, el procedimiento que desarrollaron para encontrar la respuesta. R. T. Cada medida de la caja grande es 10 veces mayor que la correspondiente en la pequeña; lo que significa que su volumen es 103 veces mayor, es decir 1 000 veces mayor.

c) Una empresa empaca productos frágiles. Las cajas deben permanecer como se indica en la figura

de la izquierda, es decir, no se pueden voltear. ¿Cuál es el volumen de la caja? 60 000 cm3 50 cm

30 cm

40 cm

i) ¿Cuántas cajas se pueden acomodar en la base de en un contenedor con dimensiones de 3.20 m

de largo y 3.90 m de ancho? 104 cajas.

ii) Si el contenedor mide 1.60 m de altura, ¿Cuál es el número máximo de cajas que pueden

acomodarse dentro de él? 312 cajas.

d) El área total de un cubo es de 294 cm2. ¿Cuál es el área de cada cara? ¿Cuánto mide de arista?

¿Cuál es el volumen? 49 cm2; 7 cm; 343 cm3

e) ¿Cuál es el volumen de una pirámide cuadrangular de 12 cm de apotema y 28 cm de altura?

5 376 cm3

f) Una pirámide hexagonal mide 18 m de altura y tiene un volumen de 389.7 m3. i) Si la base mide 5 cm de lado, ¿cuánto mide su apotema?

4.33 cm

ii) Si el lado de la base, la apotema y la altura midieran el doble, ¿cuál sería el volumen?

3 117.6 cm3

g) Calculen el volumen del siguiente cuerpo geométrico. 4 cm

310 cm3

10

1.5 cm

3 cm

3.5 cm

2 cm

96

cm

2.5 cm

Bloque 2 Lección 18

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3/13/13 10:12 AM

Lección 18 7. Expongan sus resultados de la actividad anterior ante sus compañeros. Con ayuda de su profesor, analicen las dificultades. 8. Reúnete con dos compañeros. Completen la tabla y respondan. R. T. Prisma

Largo

Ancho

Alto

Volumen

Cuadrangular

3

3

3

27 m3

Rectangular

4

2

8

64 cm3

a) Intercambien respuestas con otros equipos. b) ¿Todos los equipos obtuvieron las mismas respuestas?

R. T. No necesariamente.

c) Discutan grupalmente el porqué de la respuesta anterior. Con ayuda de su profesor escriban una

conclusión al respecto, considerando el número de datos mínimos que se requieren para obtener siempre el mismo resultado. R. T. Dos longitudes y el volumen final en caso del prisma rectangular, o un lado de la base y el volumen para el prisma cuadrangular. 9. Resuelve los siguientes planteamientos.

a) ¿Qué cantidad de agua cabe en una alberca de 20 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de profundidad?

300 m3 i) Si se desea modificar la profundidad de la alberca para que contenga 230 m3 de agua, ¿cuánto

debe medir?

2.3 m

ii) Si se desea modificar el ancho para contener 168 m3 de agua, ¿cuánto debe medir?

2.8 m iii) Si se desea modificar el largo para tener un volumen de 262.5 m3, ¿cuánto debe medir?

~ 17.47 m 10. En grupo, y con ayuda de su profesor, debate acerca del uso y la utilidad del cálculo de volúmenes en la vida cotidiana. Redacten una conclusión en sus cuadernos.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-097a. Observa las animaciones. Contesta las preguntas y explica, en tu cuaderno, cómo calcular el volumen de un prisma recto. Comenta tu respuesta con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-097b. Contesta las preguntas. Manipula el recurso y explica, en tu cuaderno, cómo calcular el volumen de una pirámide. Compara tus respuestas y tu explicación con las de un compañero.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 18 en la bitácora de la página 111. Lección 18 Bloque 2

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97

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Lección 19 Volumen de cubos, prismas y pirámides II Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides

Las comparaciones 1. Reúnete con un compañero. Respondan los siguientes planteamientos y sin usar calculadora ni hacer operaciones en papel, escriban, en su cuaderno, las respuestas lo más aproximado que puedan. a) Si el volumen de un cubo de 10 cm de arista es 1 000 cm3, ¿cuál es el volumen de un cubo cuyas

aristas miden 12 cm?

1 728 cm3

12 cm

10 cm

b) Estimen el volumen de un prisma hexagonal que tiene 240 cm2 de base y 10 cm de altura.

8 cm

10 cm

R. T. 2 400 cm3, pues al multiplicar por 10 se agrega un cero  a la cantidad original.

10 cm

c) Estimen el volumen de una pirámide hexagonal que tiene 801 cm2 de base y 6 cm de altura.

R.T. 1 602 cm3, pues multiplicar  por seis y dividir entre tres   equivale a multiplicar por 2. d) Estimen el volumen de un cuerpo formado por 24 cubos de 5 cm de arista cada uno.

R. P.

e) Compartan sus respuestas con el grupo. Comprueben sus resultados utilizando calculadora. Con

apoyo del profesor resuelvan sus dudas y redacten una conclusión sobre la estimación de resultados.

2. Lee y responde.

Un granjero quiere construir un granero para almacenar sorgo. Las figuras son esquemas de las posibles construcciones. El quiere saber cuál tiene más volumen para almacenar más sorgo. Contesta las preguntas en tu cuaderno. 2.4 m

15 m 15 m 4.8 m 4m

2m

a) Sin hacer operaciones, ¿qué cuerpo geométrico tiene mayor volumen? Explica tu respuesta. R. T. La pirámide; como la apotema y el lado miden el doble, el área de su base es cuatro veces mayor que  la del prisma. b) Calcula el volumen del prisma y de la pirámide. ¿Qué construcción debe elegir el granjero?

Prisma: 72 m3 y pirámide: 96 m3; pirámide.

c) Compara tus respuestas con las del grupo. Concluyan respecto a la siguiente pregunta: ¿qué pro-

porción existe entre el volumen del prisma y el de la pirámide? Tres a uno.

98

Bloque 2 Lección 19

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3/13/13 5:09 PM

Lección 19 3. Contesta con un compañero. a) Se desea construir una pirámide rectangular y un prisma rectangular con la misma altura y el

mismo volumen.

i) ¿A qué proporción deben estar las bases? La base de la pirámide debe ser tres veces mayor. ii) Den un ejemplo de las medidas que pueden tener el prisma y la pirámide. Hagan los cálculos en

sus   cuadernos   para justificar su respuesta.     R. T. Área de la base de la pirámide: 12 

cm2; área de la base del prisma: 4 cm2; altura de ambos: 10 cm2.

b) ¿Cuánto deberá medir la altura de una pirámide triangular para que tenga el mismo volumen que

el de un prisma triangular con 20 m de altura y 120 cm2 de área de la base? (Las bases de ambos cuerpos geométricos son iguales.)

60 m

Un paso adelante Lee, en grupo, la siguiente información. Expongan sus dudas y resuélvanlas con ayuda de su profesor. El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura. 4. Resuelve los siguientes planteamientos. Usa la información anterior. a) Se desean almacenar 27 m3 de agua. i) Si el contenedor es un cubo, ¿cuánto debe medir de arista?

3 m

  el contenedor     ¿qué medidas        R. T. profundidad: 1 m;  ii) Si es  un prisma  rectangular, tiene? longitud: 9 m; altura: 3 m.   el contenedor     rectangular,       ser sus   medidas?     R. T. base  iii) Si es una pirámide ¿cuáles pueden rectangular: 3 m × 9 m; altura: 3 m. b) Se tiene un espacio de 10 m de largo por 6 m de ancho y se desea construir un cuerpo geométrico

sobre él con un altura de 3 m. ¿De qué forma debe ser para que ocupe todo el espacio y tenga el mayor volumen posible?

8 cm

Prisma rectangular.

c) Carlos compró una pirámide como la que se muestra. cm

96 cm3

ii) Carlos quiere comprar una caja de regalo (en forma de prisma) para transportar la pirámide

6 cm

6

i) ¿Qué volumen tiene la pirámide?

pero desea que quede justa para evitar que se mueva y rompa. ¿Qué dimensiones debe tener la caja?

Profundidad: 6 cm; longitud: 6 cm; altura: 8 cm.

iii) ¿Cuál es el volumen de la caja de regalo?

288 cm3

iv) Si la pirámide tuviera una altura de 6 cm, ¿de qué forma debería ser la caja de regalo?

Forma de cubo.

¿Cuál sería su volumen?

216 cm3

d) Comparte y compara, en grupo y con ayuda del profesor, tus respuestas. Ratifiquen sus procedi-

mientos y corrijan lo que sea necesario.

Lección 19 Bloque 2

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99

3/13/13 5:09 PM

Lección 19 Volumen de cubos, prismas y pirámides II Profundiza 5. Reúnete con un compañero. Resuelvan los siguientes planteamientos. a) Ramiro estudia arquitectura; hizó el siguiente boceto para un edificio y quiere calcular el volumen.

5.39 cm

2.92 cm 1.29 cm 1.58 cm i) ¿Cuál es su volumen?

1.53 cm

m

7c

2.2

29.05 cm3

ii) ¿Qué volumen tendrá el prisma faltante para que la figura anterior sea un prisma rectangular?

6.68 cm3 b) El siguiente boceto forma parte de los diseños que efectuó Ramiro. Reúnete con dos compañeros:

analícenlo y contesten.

3.84 m

1.36

m

5.39 m

i) Si el prisma y la pirámide tienen la misma altura, ¿cuál es el volumen del cuerpo geométrico?

18.77 m3 ii) Redacten, en sus cuadernos, el procedimiento que desarrollaron para encontrar la respuesta anterior. iii) Se desea duplicar el volumen del cuerpo geométrico sin modificar la altura. ¿Cuáles pueden ser  las dimensiones   de la base?  R. T. Cualquier pareja de números cuyo producto sea el  doble de 7.33 es decir, 14.66; por ejemplo, 1.36 m y 10.78 m o 2.72 m y 5.39 m. iv) Expliquen, en sus cuadernos, si el planteamiento anterior tiene una sola respuesta. R. T. No, cualquier pareja de números cuyo producto sea 14.66 m2 pueden ser las dimensiones de la base. 

v) Al duplicarse las medidas de la base, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

18.77 m3

vi) Si el cuerpo geométrico fuera hueco, ¿qué cantidad de agua cabría en él?

18 770 L

c) Validen, en grupo y con ayuda de su profesor, los resultados anteriores. Discutan sus respuestas de

 los incisos  iv) y v), y  anoten una   conclusión.  

R. P.

100 Bloque 2 Lección 19

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3/13/13 5:09 PM

Lección 19 6. Resuelve el siguiente planteamiento. Usa lo analizado previamente. a) Se tiene una caja de 1.8 m de largo, 1.2 m de ancho y 0.70 m de altura en la cual se desea aco-

modar cajas de 20 cm de largo por 15 cm de ancho y 10 cm de altura. i) ¿Cuántas cajas pequeñas caben en la caja grande?

504 cajas.

ii) Escribe   el  procedimiento   que desarrollaste         para  encontrar la respuesta.      R. P.

iii) ¿Cómo caben más cajas pequeñas: horizontal o verticalmente?

Horizontalmente.

20 cm 10 cm

20

cm horizontal

1

m 5c

15

cm

10

cm

vertical

  respuesta.     R. T. Si se colocan verticalmente, sobran 10 cm de altuiv)  Justifica tu ra. En cambio, horizontalmente caben exactamente 7 pisos de 72 cajas. v)  ¿Existe otra   forma de   acomodar   las cajas?       Sí. R. T. Por ejemplo 9 cajas de largo, 8 de 

ancho y 7 de altura, o bien, 6 cajas de largo, 12 de ancho y 7 de altura. vi) En caso de que sí, dibuja, en tu cuaderno, la caja en la posición con las medidas correspondientes. 7. Analiza, de forma grupal, cuál es la información mínima que se necesita para calcular el volumen de una pirámide. Redacten, en sus cuadernos, una conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-101a. Escribe, en tu cuaderno, una expresión que permita calcular el volumen de una pirámide. Si tienes dudas revisa las actividades 1 y 2 de esta lección. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-101b. Resuelve las actividades y manipula los valores que se presentan. Elabora una explicación de cómo se relacionan las fórmulas para obtener el volumen de los prismas y las pirámides.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 19 en la bitácora de la página 111.

La pirámide cuadrangular en la entrada del Museo de Louvre en París tiene aproximadamente 35 m de lado y de altura 20.6 m (http://en.structurae.de/ Fecha y hora de consulta: 07-10-2012, 18:18). Calcula su volumen.

V = 8 411.66 m3

Lección 19 Bloque 2 101

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3/13/13 5:09 PM

Lección 20 Situaciones de proporcionalidad inversa Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos

Problemas con el perímetro Pilar elaboró una tarjeta para felicitar a su amiga Ana. Por ello, cortó un rectángulo de 7 cm × 4 cm; después buscó calcomanías para cubrir toda la superficie de la tarjeta y le escribió un mensaje por el otro lado. 1. Responde las preguntas. a) ¿Cuánto mide el perímetro de la tarjeta?

22 cm

b) ¿Cuánto mide el área de la tarjeta?

28 cm2

c) Pilar pensó que podría modificar las dimensiones de la tarjeta manteniendo la misma área, para poder

usar las calcomanías que tenía. Completa la siguiente tabla: coloca las dimensiones (con números enteros) de todos los rectángulos posibles que tengan la misma área que la indicada en el inciso b). Tarjeta 1 Alto Ancho

Perímetro Área

28

1 58 28

Tarjeta 2

14 2 32 28

Tarjeta 3 7 4

22 28

Tarjeta 4

Tarjeta 5

Tarjeta 6

4 7 22 28

2 14 32 28

28 58 28

1

  entre los valores   de la fila   “Alto”. ¿Qué valores   obtienes?       El ancho  d)  Divide el  valor del área de la tarjeta correspondiente.   entre los valores           "Ancho".   ¿Qué  valores obtienes?   El ancho  e)  Divide el  valor del área de la fila de la tarjeta correspondiente. f) Observa los valores de las filas “Alto” y “Ancho”. ¿Encuentras algún patrón? Explica en tu cuaderno.

R. T. Su producto es constante, lo que implica que si una aumenta, la otra disminuye.

g) Corrobora, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de los incisos d) y e). Escriban, en sus

cuadernos, una conclusión de los incisos d), e) y f).

2. Contesta, en tu cuaderno, el planteamiento. Usa lo visto en la actividad anterior. a) Pablo es transportista; llevará una carga de jitomates de Guadalajara a Aguascalientes. La distancia

que recorrerá es de 250 km e irá con una rapidez promedio de 100 km/hora ¿Qué tiempo le tomará el viaje? Si en promedio viajara a 80 km/h, ¿cuánto tiempo le tomaría?  81   h 2.5 h                 3 __ b) Completa la tabla con las respuestas anteriores. km/h

100

80

83.33

50

tiempo (h)

2.5

3.125

3

5

c) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Validen sus procedimientos.

102 Bloque 2 Lección 20

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3/13/13 5:09 PM

Lección 20 Un paso adelante 3. Responde y haz lo que se indica en tu cuaderno.

Un grupo de amigos, que vive en el Distrito Federal, ha organizado una excursión para visitar la zona arqueológica de Xochicalco, en el Estado de Morelos. El precio de la renta del autobús, que tiene 40 asientos, es de $12 000.00 a) Si a la excursión fueran 40 personas, ¿cuánto pagaría cada una? Completa la tabla para saber el

costo por persona, dependiendo del número de personas que vayan a la excursión. Personas que asistirían a la excursión

40

Costo por persona ($)

30

300.00 400.00

20 600.00

10

5

1 200.00 2 400.00

b) Explica qué ocurre con el precio individual cuando más personas asisten a la excursión. ¿Qué

sucede cuando van menos?

R. T. El precio individual disminuye cuando van más pero aumenta cuando van menos.

c) Elige una columna y multiplica el valor de la primera fila por el de la segunda; repite el mismo

procedimiento con otra columna. ¿Cómo son los valores que obtienes?

Iguales.

d) Escribe una expresión que te permita determinar cuánto pagaría cada persona si únicamente fueran 12 000  once. Explica   tu procedimiento.      x =  _____   11     .   R. T. Dividí el costo total de la renta del  autobús entre el número de personas que irán.

e) ¿Es posible formar fracciones equivalentes con los datos de dos columnas de la tabla anterior, por

ejemplo, que el denominador sea el número de personas de una columna, y el numerador, el costo por persona de la otra columna? Explica.

R. P.

f) Usa la tabla anterior. Escribe las fracciones que resulten con los datos y verifica que sean equiva-

lentes. ¿Qué regularidad observas?

R. P.

g) Comparte tu respuesta con tus compañeros de grupo. Analicen las respuestas de todos y corrijan

lo que sea necesario.

Lee, en grupo, la siguiente información. Con ayuda de su profesor, señalen si los planteamientos de las actividades anteriores corresponden a lo que se menciona. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Por ejemplo, en la siguiente relación inversamente proporcional, mientras una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad. Se repartirán 20 libros entre los asistentes a una reunión. Asistentes (personas)

Libros que les corresponden

4

20

8

10

16

4. El valor faltante de la relación en el cuadro de información anterior se puede determinar con una regla de tres inversa:

8 16

10 x

}

8 =_ 8 × 10 x _ ;x=_ 16 10 16 Lección 20 Bloque 2 103

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3/13/13 5:09 PM

Lección 20 Situaciones de proporcionalidad inversa a) Comprueba que el valor encontrado es el que corresponde a la relación.

x = 5

b) ¿La regla de tres inversa te permite determinar los valores faltantes en una relación inversamente

proporcional? Explica, en tu cuaderno, y describe el procedimiento para este caso. R. P.

Profundiza 5. Contesta los siguientes planteamientos usando regla de tres inversa. a) Si tres pintores demoran doce días en hacer un trabajo, ¿cuántos pintores se necesitan para hacer el

mismo trabajo en tres días? Considera que los pintores trabajan al mismo ritmo. 12 pintores. b) Con el trabajo de diez máquinas se hace un tramo de carretera en 200 h. ¿Cuánto se tardarán 25

máquinas en el mismo tramo de carretera?

80 horas.

c) En una bodega, diez obreros descargan un tráiler en 2 h. ¿Cuántos obreros se necesitan para des-

cargar el tráiler en 30 min? Considera que los obreros trabajan al mismo ritmo. 40 obreros. d) En una empacadora de yogurt, una máquina envasa 200 botes de yogurt en 1 h. ¿En cuánto tiempo

lo harán seis máquinas?

10 minutos.

e) Valida, en grupo y con la ayuda del profesor, los resultados. Discutan acerca de la eficiencia de

resolver los problemas anteriores por medio de una tabla y por regla de tres inversa.

6. Reúnete con un compañero. Determinen si los siguientes enunciados corresponden a conjuntos de cantidades inversamente proporcionales. a) La cantidad de tortillas en kilogramos y su precio en pesos. No b) La velocidad de un tren y el tiempo que dura el viaje. Sí c) La cantidad de albañiles y el tiempo que demoran en construir una casa. Sí d) La cantidad de azúcar que contiene cierta cantidad de refresco. No e) Argumenta, en grupo y con ayuda del profesor, la respuesta. 7. Trabaja en pareja. Redacten, en sus cuadernos, un planteamiento para cada colección de datos de las siguientes tablas. x

y

x

y

25

3

30

2

50

1.5

20

3

75

1

15

4

a) Compartan los planteamientos que redactaron con sus compañeros de grupo.

104 Bloque 2 Lección 20

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3/13/13 5:09 PM

Lección 20 8. Reparte, en grupo y con ayuda del profesor, los planteamientos entre todos. Decidan quién resolverá por medio de una tabla o de regla de tres inversa. a) Una llave de agua arroja 10 L de agua por minuto; tarda 1 h en llenar un tinaco. ¿Cuánto tardará

una llave que arroja 18 L de agua por minuto?

33.3 minutos.

b) Un autobús va a 85 km/h en promedio; tarda 8 h en llegar a su destino. ¿A cuántos kilómetros por

hora en promedio debe ir para hacer su recorrido en 6 h?

113.3 km/h

c) Una expedición de cuatro personas al polo sur tiene alimento asegurado para un mes. ¿Para cuántos 1

 días les alcanzaría    si la expedición    3   días (suponiendo que un  es  de nueve  personas?  13  __ mes tiene 30 días). d) Una familia de cuatro integrantes cubre sus necesidades por 18 días con 1 000 L de agua. Si la familia

invita a dos amigos a vivir con ellos, ¿para cuántos días les alcanzarán esos litros?

12 días.

9. Comparen, con ayuda del profesor, resultados y corrijan lo que sea necesario. Discutan acerca de los procedimientos que emplearon. 10. Contesta lo siguiente en tu cuaderno. a) La tabla muestra la relación de dos conjuntos de cantidades inversamente proporcionales. Observa

los datos, escribe una situación que se ajuste al comportamiento de los mismos y asigna a las literales x y y un significado. Completa la tabla. ¿Hay alguna constante de proporcionalidad? x

y

12

2

8

3

6

4

5

4.8

11. Lleva a cabo, con el grupo, un debate de acuerdo con lo estudiado en esta lección sobre la diferencia entre proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa. Escriban, en sus cuadernos, una conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-105a. Haz las actividades y, en tu cuaderno, elabora dos problemas que se resuelvan usando proporcionalidad inversa. Pide a un compañero que los resuelva. Comenten cómo aplicaron la proporcionalidad inversa.

Se acomodan cubos en forma piramidal, como lo indica la imagen. Número de capa

Número de piezas en la capa

1

36

2

25

3

16 9 4 1

4

Explora www.e-sm.com.mx/matret2-105b. Resuelve los problemas. Si tienes errores, revisa los recuadros informativos y la actividad 5 de esta lección.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 20 en la bitácora de la página 111.

5 6

Completa, en tu cuaderno, la tabla. ¿Cuántos cubos forman la pirámide? 91 Lección 20 Bloque 2 105

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3/13/13 5:09 PM

Lección 21 Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad

Contenido Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de esta con la probabilidad teórica

Juegos de azar Emanuel y Raúl viajan con sus papás en su automóvil. Mientras llegan a ver a sus tíos deciden juegar volados para pasar el tiempo. 1. Responde los siguientes planteamientos en tu cuaderno. a) ¿Cuántos resultados posibles tienen al lanzar una moneda (casos posibles)? ¿Cuáles son?

Dos; águila y sol.

b) Emanuel elige águila en un volado. ¿Cuántas posibilidades tiene (casos favorables)?

1 posibilidad de 2 

c) Escribe la probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga águila. Esto es el cociente del 1 número de casos favorables entre el número de casos posibles. __  2  

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga sol?  __1   2

e) Efectúa la operación: la probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga sol más la probabi-

lidad de que al lanzar una moneda se obtenga águila. ¿Qué significa el resultado?

 __21   + __ 21   = 1; R. T. Qué seguro se obtiene alguno de los dos. 

f) Discute, en grupo y con ayuda del profesor, los conceptos casos favorables y casos posibles, y cómo

se calculó la probabilidad en la actividad anterior.

2. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se pide y contesten. a) Completa el diagrama de todas las posibilidades en el lanzamiento de diez volados.

Águila

Águila Sol

Sol

Águila Sol

Águila Sol Águila Sol

b) Consigan una moneda y hagan diez volados (casos totales). Anoten cuántas veces cayó águila

(casos favorables).

R. P. i) Escriban la probabilidad de obtener águila. Esto es el cociente del número de casos favorables

entre el número de casos totales.

R. P.

c) Efectúen otros diez volados (casos totales) y anoten cuántas veces cayó sol (casos favorables).

R. P. i) Escriban la probabilidad de obtener sol.

R. P. d) Lleven a cabo 18 volados y anoten cuántas veces se obtiene águila y cuántas, sol. Escriban la

probabilidad de que se obtenga águila y la de que se obtenga sol.

R. P.

e) Comparen lo que obtuvieron en los incisos a) y b) con lo del inciso c). ¿Cómo son esos valores?

¿Se parecen? Escriban sus conclusiones y compartan su respuestas con el grupo.

3. Analiza, en grupo y con ayuda del profesor, la forma de calcular la probabilidad en las actividades 1 y 2. Escriban en sus cuadernos una conclusión acerca de qué las distingue. Luego lean la siguiente información.

106 Bloque 2 Lección 21

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3/13/13 5:09 PM

Lección 21 La probabilidad teórica se refiere a las posibilidades matemáticas de que un evento ocurra y es la razón entre el número de casos favorables entre el total de casos posibles. La probabilidad frecuencial se obtiene al experimentar un evento y es la razón del número de veces que aparece un resultado favorable entre el número de veces que se efectúa un experimento o casos totales.

Un paso adelante 4. Trabaja en pareja. Consigan un dado y resuelvan los siguientes planteamientos. a) ¿Cuántos resultados distintos hay al lanzar un dado?

6 1 _       6

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga 1?

c) ¿Qué probabilidad hay de que al lanzar un dado salga un número par?

1  _   2

1  _   2 e) Comparen de  los dos incisos ¿Qué    las respuestas     anteriores.     pueden   concluir?     R. T.  Son igualmente probables. f) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 7? 0 (es imposible que ocurra) d) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar?

g) Completen la siguiente tabla. Posibles resultados Probabilidad

1

2

3

4

5

6

1  _    6

1  _    6

1  _    6

1  _    6

1 _       6

1  _    6

h) ¿Qué concluyen de la tabla anterior?, ¿hay alguna regularidad? Analícenla y compartan sus

 reflexiones   con sus compañeros              R. T. Que todos los números tienen la misma  de grupo. probabilidad de salir al lanzar un dado.

i) Efectúen, con el dado, las siguientes tiradas. i) Láncenlo seis veces y escriban cuántas veces cayó 1, 2, 3, 4, 5 y 6. R. P.  ii) Tírenlo once veces y anoten cuántas veces salió 1, 2, 3, 4, 5 y 6. R. P.  iii) Aviéntenlo 20 veces y escriban cuántas veces cayó 1, 2, 3, 4, 5 y 6. R. P. iv) Completen la siguiente tabla con la información del apartado i). R. P. ¿Cuántas veces cayó el número?

Probabilidad

1

2

3

4

5

6

_ 6

_ 6

_ 6

_ 6

_ 6

R. P. _ 6

v) Simplifiquen cada fracción que se obtuvo. Comparen el valor obtenido con los valores en la tabla

del inciso h). ¿Se parecen? Si no es así, ¿consideran que se parecerán al hacer más lanzamientos? Respondan y expliquen en sus cuadernos. R. P.

Lección 21 Bloque 2 107

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3/13/13 5:09 PM

Lección 21 Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica 5. Trabaja en pareja. Consigan una moneda y resuelvan los siguientes planteamientos. a) Lancen 30 veces una moneda y registren los resultados en la siguiente tabla. Tiradas

1

Águila

R. P.

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Total

Sol

b) ¿Cuántas águilas cayeron?

R. P.

c) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que caigan águilas?

R. P.

1 _      2

d) ¿Cuál es la probabilidad teórica?

e) ¿Qué observan entre la probabilidad teórica y la frecuencial?

R. T. Se parecen.

f) Reúnan, en grupo y con la ayuda del profesor, todos los datos de las parejas y registren los totales

en la siguiente tabla.

Tiradas Águila

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Total

R. P.

Sol

g) ¿Cuántas águilas cayeron en total?

R. P.

h) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener águila?

R. P.

i) ¿Qué observan entre la probabilidad frecuencial que obtuvieron en el inciso c) y en el h) respecto

    a  la probabilidad teórica?

R. P.

j) Discutan, en grupo y con ayuda del profesor, qué ocurriría si lanzaran la moneda 1 000 veces.

   veces se obtendría          R. T. aprox. la mitad,     R. P. ¿Cuántas águila? Expliquen.

Profundiza 6. Reúnete con un compañero. Respondan en sus cuadernos.

Raquel y Daniel juegan con unas pelotas numeradas y una caja opaca que tiene una abertura cubierta con tela negra, por donde pueden meter su mano.

108 Bloque 2 Lección 21

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Lección 21 a) Raquel mete las pelotas numeradas del 1 al 6 y le pide a Daniel sacar una.

6 _ 6 1 _ ii) ¿Cuál es la probabilidad de sacar la pelota con el número 2 y cuál, con el número 5?       6 3 _ iii) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota con un número mayor o igual a 4?      6 i) ¿Cuál es la probabilidad de que Daniel saque una pelota con cualquier número? 1 =      

1  _    6

b) Daniel mete a la caja las pelotas del 1 al 6 y le pide a Raquel sacar dos pelotas, una después de

otra. Completen la tabla y respondan. Pelota 1

1

2

1

(1,1)

2

(1,2)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

Pelota 2

3 (3,1)

4

5

6

(5,1) (4,1) (4,2) (5,2) 3 (1,3) (3,3) (5,3) (4,3) 4 (1,4) (3,4) (4,4) (5,4) 5 (1,5) (3,5) (4,5) (5,5) 6 (1,6) (3,6) (4,6) (5,6) 1 i) ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos pelotas con número par?  _    4

(3,2)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 1 _ 2

ii) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota con un número par y la otra con uno impar?      7. Observa la ruleta de la derecha y responde en tu cuaderno. Usa los datos siguientes para hacer una tabla y calcular la probabilidad frecuencial.

1

6

1

3

4

5

a) ¿Cuál es la probabilidad (teórica y frecuencial) de que al girar la ruleta pare en amarillo? 3 Teórica: _  81   ; frecuencial: __  40       b) ¿Qué probabilidad (teórica y frecuencial) hay de que al girar la ruleta pare en azul? 5 Teórica: __  41   ; frecuencial: __  40       c) ¿Cuál es la probabilidad (teórica y frecuencial) de que al girar la ruleta pare en azul o morado? 20 1 __ __ Teórica:  2   ; frecuencial:  40       8. Analiza, con ayuda del profesor y en grupo, la diferencia entre la probabilidad teórica y la frecuencial. Discutan la siguente información: "La probabilidad que se basa en los datos obtenidos mediante una experiencia o un experimento se llama probabilidad frecuencial o empírica".

2

2

40 giros de ruleta: 1, 6, 1, 6, 2, 2, 6, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 2, 6, 1, 3, 1, 4, 3, 3, 3, 1, 1, 4, 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2,1,1.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret2-109a. Compara los resultados que obtengas en el simulador de este sitio con tus respuestas de la actividad 4. Comenta tu experiencia con un compañero. Explora www.e-sm.com.mx/matret2-109b. Utiliza los recursos para hacer experimentos aleatorios. Explica cuáles son los procedimientos para expresar la probabilidad frecuencial y la teórica de cada caso.

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 21 en la bitácora de la página 111.

En una lotería numérica se sortean seis números entre 1 y 56. ¿La probabilidad de acertar a los seis números está más cerca de 1 o de 0?

Más cerca de 0

Lección 21 Bloque 2 109

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3/13/13 5:09 PM

Bitácora Lecciones 13, 14 y 15 3x 2x

x x

Una escuela construirá un nuevo edificio para reubicar los laboratorios. La forma se muestra en la figura de la izquierda. a) ¿Qué perímetro tendrá el edificio?

x

12x

b) ¿Cuál es la superficie de las paredes exteriores del edificio?

x

c) ¿Cuál es la superficie de la azotea del edificio?

Expresa el perímetro de la figura coloreada.

12x2

5x2 15x

x

Lección 16 El cuadro de la izquierda está formado por las figuras geométricas que se muestran en la figura de abajo. El lado de un cuadro de la superficie cuadriculada mide 2x – 2. a) Determina el perímetro y el área del cuadro.

P​=​16x​–​16;​A​=​256x2​–​512x​+​256

b) ¿Qué figuras del cuadro tienen mayor y menor perímetro?

La​verde​y​la​turquesa​

¿Cuánto miden esos perímetros? son​las​de​mayor​perímetro:​24x​–​24;​la​morada​

es​la​de​menor​perímetro:​8x​–​8. La​verde​y​la​azul​turquesa.

c) ¿Qué figura del cuadro tiene perímetro de 24x – 24?

110

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Bitácora Lección 17 A partir de un cubo se pueden formar seis pirámides como se muestra en la siguiente imagen.

a) Escribe una fórmula que te permita determinar el volumen de tres pirámides anteriores si se sabe

que cada lado del cubo mide r.

r3 ​_​​​ 2

b) Si r = 5, ¿cuál es el volumen de una de las pirámides?

20.83

Lección 18 a) Considera la imagen de la derecha. Calcula el espacio vacío dentro del cubo. Las pirámides están

dentro del cubo; cada una tiene una altura de 4 cm y una base cuadrada que mide 4 cm de lado. El cubo mide 8 cm de arista. 469.3​cm3

Lección 19 El gobierno municipal quiere construir una oficina de información como se muestra en la imagen.

Es un prisma hexagonal con 4 m de lado, apotema de 3.46 m y altura de 2.3 m. El techo es una pirámide de base hexagonal de 6 m de lado, apotema de 5.19 m y altura de 4 m. a) ¿Cuál es el volumen total del edificio?

220.06​m3

b) ¿Qué dato hace falta para conocer el área de todas las caras laterales?. La​altura​de​los​triángulos.

Lección 20 a) Cinco pasteleros elaboran 20 pasteles en un turno de 8 horas. Al siguiente día faltaron dos personas.

¿En cuánto tiempo elaborarán los 20 pasteles si todos trabajan al mismo ritmo? 13.3​h

Lección 21 a) Al lanzar dos dados, ¿qué probabilidad hay de que en ambos salga un número primo?

1 _ ​ ​​ 4

b) Haz 20 veces el experimento anterior y compara tus resultados con la respuesta del inciso anterior.

R.​P. 111

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3/11/13 12:52 PM

Laboratorio de matemáticas Un cubo de pirámides (caleidociclo tridimensional) 1. Este es un cubo formado por 24 pirámides, que puedes trazar a partir de las siguientes instrucciones. a) Construye un cuadrado de

medida x. Traza sus diagonales, nombra O al punto donde se cortan las diagonales y ubica el punto medio de su base (M). D

X

Diagonales

Y

C

c) Traza los triángulos ABO,

b) Marca una circunferencia

YOB y XAO.

de centro O y radio OM. Localiza X y Y, las intersecciones superiores de las diagonales y la circunferencia. D

X

Diagonales

Y

D

C

X

M

d) Marca una paralela al segmento YO pasando

por B. Luego traza una circunferencia de centro en B y radio BA. Localiza Z en la intersección de la circunferencia y la paralela. D

X

Diagonales

Y

e) Traza el triángulo YBZ; este es la plantilla de

las 24 pirámides. D

X

Diagonales

Y

C

O

Z

Z

A

B

M X

M

B

M

B

C

O

A

C

O

A A

B

M

Y

O

O

A

Diagonales

Y

B O

A

Z

B

2. Sigue las instrucciones para armar el cubo. Junta cuatro pirámides.

Pega sus bases con cinta. Une dos pirámides con Une el resto como se cinta. indica.

3. Arma las siguientes formas: cubo y pirámide truncada.

4. Explica, en tu cuaderno, cómo usaste tu juego de geometría para trazar lo que se pide en las instrucciones y compara la información con la de tus compañeros. Comenta con ellos si tuviste dificultades en la actividad y cómo las resolviste.

112

Bloque 2

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3/11/13 12:52 PM

En el tintero Un iceberg en el océano 1. ¿Cómo se calcula el volumen de un objeto dentro del agua? a) Busca un recipiente en forma de prisma en el que puedas verter agua. Llena aproximadamente __34

partes de agua y calcula el volumen del recipiente tomando como altura el nivel del agua. Fíjate en el ejemplo.

Alto

Ancho Largo

b) Busca una piedra que pueda ser cubierta en su totalidad por el agua que se encuentra en el reci-

piente y colócala dentro de este.

Alto Ancho Largo

c) ¿Qué sucede con el nivel del agua? Explícalo en tu cuaderno. Ahora calcula el volumen del recipiente

con la nueva medida de la altura. Sube​el​nivel​del​agua.

d) Resta los volúmenes.

​ ​ por qué​el resultado ​ del inciso ​ d) es​el volumen ​ de la piedra. ​​​​​​R.​T.​Porque,​al​hundirse,​la​ e) Argumenta piedra​ocupa​un​espacio​dentro​del​recipiente​y​desplaza​un​volumen​igual​de​agua.​

2. Responde con un compañero.

a) Si colocan, en lugar de la piedra, un hielo totalmente cubierto por el agua, ¿podrán obtener el

volumen del hielo?

Sí.

Justifiquen su respuesta en sus cuadernos.

b) Si​ dejan derretir el hielo, ​ ​ ¿qué​ ocurrirá ​con el nivel ​ del agua? ​

El​nivel​baja.

c) Si el hielo no fuera totalmente cubierto por el nivel del agua, ¿podrían calcular el volumen del hielo?

No.

Expliquen su respuesta en sus cuadernos.

d) Si dejan derretir el hielo que no fue cubierto en su totalidad por el nivel del agua, ¿qué sucederá

​ el nivel​ del agua? ​​​​El​nivel​del​agua​baja. con

e) Comparen y discutan, en grupo, sus respuestas. Argumenten sus resultados. Bloque 2

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113

3/11/13 12:52 PM

Bloque 2 Evaluación Lee con atención los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1. ¿Qué resulta de simplificar la expresión 5x2 + 3x – 6x2 + 8x? A) 8x3

B) –11x2 + 11x

C) –x2 + 11x

D) x2 + 11x

2. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura? A) 33.03x7

4.92x

x

3.82x

1x

3.3

3.

58

B) 33.03 + 7x

3.74x

C) 33.03(7x)

6.5

D) 33.03x

6x

7.1x

3. Si el perímetro de la siguiente figura es 7x + 24y, ¿cuánto mide el lado rojo?

6y + 2x

2x +

3y

A) 8y – 5x + 8

5

B) 5x + 8y + 8

3 2x +

C) 5x – 8y – 8

2x +

D) 8y – 5x – 8

y

y 3x + 3

3y +

x

4. ¿Qué área tiene la siguiente figura? A) 2a2 + 3b2 + 6a + 4 B) 2a4 + 3b6 + 6a + 4

b2 a2

1

C) a2 + b2 + a + 1

a

D) a4 + b6 + a + 1 5. ¿Qué se obtiene si a la figura del inciso anterior se le resta la figura de abajo? A) b2 + a + 1 B) 3b2 + 4a + 4 C) 2a2 + 2a

b2 1

a

D) a2 + a

114 Bloque 2 Evaluación

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3/11/13 12:52 PM

Evaluación 6. A una pirámide cuadrangular de 10 cm de lado y 15 cm de altura se le quitó en la parte superior una pirámide de 4 cm de lado y 6 cm de altura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo resultante (parte sombreada)?

4

4 cm

cm

6 cm

A) 468 cm3

10 cm

10

cm

9 cm

B) 500 cm3 C) 900 cm3 D) 1 404 cm3 7. Un prisma y una pirámide tienen bases iguales, pero la pirámide tiene el triple de volumen. Si la altura del prisma mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura de la pirámide?

5 cm A) _

B) 5 cm

3

C) 15 cm

D) 45 cm

8. Un contenedor cúbico a __34 de su capacidad contiene 48 m3 de agua. ¿Cuánto mide la arista del cubo? A) 4 m

B) 40 m

C) 3.64 m

D) 36.4 m

9. Si quince trabajadores tardan 20 h en pintar una fachada, ¿cuánto tardarán doce trabajadores trabajando al mismo ritmo? A) 16 h

B) 23 h

C) 25 h

D) 28 h

10. En una bolsa hay tres canicas rojas, dos blancas y cinco azules. ¿Qué probabilidad hay de tomar al azar (sin ver dentro de la bolsa) una canica roja?

3 10

1 A) _

3 7

B) _

10

7 D) _

C) _

10

Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 2 1. A

B

C ✘

D

5. A

2. A

B

C

D ✘

3. A

B

C

✘

B

C

4. A

B

C ✘

D

9. A

B

C ✘

D

6. A

B

C

D

10. A

B ✘

C

D

D ✘

7. A

B

C

D ✘

D

8. A

B

C

D

✘

✘

Compara y valida, en grupo y con la ayuda de tu profesor, las respuestas de la evaluación. Evaluación Bloque 2 115

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3/11/13 12:52 PM