• Author / Uploaded
• Luis Vidarte

Citation preview

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

COORDENADAS POLARES, ESFÉRICAS, CILÍNDRICAS 𝜋 1. 𝐸𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 (6, ) 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑠 6 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠. 2. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑥 2 + 𝑦 2 = 8𝑥 3. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑥 2 − 12𝑦 − 36 = 0 4. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑟 2 = 9 cos 2𝜃 5. 𝐸𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 = 9 cos 2𝜃 r=2sec 𝜃 r=2

1 cos 𝜃

rcos 𝜃=2 x=2

6. 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. 𝑎) (10,

3𝜋 4

, 5)

𝑏) (4,

7𝜋 4

, 0)

7. 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 25 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠. 8. 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑧 = 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

9. 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠, 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠. 2 𝜋 𝜋

𝜋 3𝜋

𝑎) ( , , )

𝑏) (8, ,

3 2 6

4

4

)

𝑐) (4,

3𝜋 4

, 0)

𝜋 3𝜋 𝑏) (8, , ) 4 4 X=8Cos X=8.−

3𝜋 4

√2 √2 . 2 2

X=8

R=𝜌 sin ∅ R=𝜌 sin R=8 sin R=8.

Sen

√2 2

R=4√2

𝜋 4 𝜋 4

𝜋 4

3𝜋

𝜋

4

4

y=8 Sen . Sen √2 √2 2 2

y=8. . y=8

R=𝜌 cos ∅ z= 𝜌 cos z=8 cos z=8.

𝜋 4

𝜋 4

√2 2

z=4√2

Recta=(x,y,z)→(-8,8, 4√2) Cilindricos(r,𝜃, 𝑧) →( 4√2,

3𝜋 4

, 4√2)

10. 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠, 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑎) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 64 𝑏) 𝑧 2 = 3𝑥 2 + 3𝑦 2

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

INTEGRACIÓN PARCIAL 1. 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠, 𝑒𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑑𝑎: 𝑎) ∫ 𝑑𝑦 𝑏) ∫(6𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 √𝑦)𝑑𝑥 1

𝑐) ∫

𝑥(𝑦+1)

𝑑𝑦

1

∫ 𝑥(𝑦+1)dy ln(|𝑦+1|) 𝑥

+cx

𝑑) ∫(12𝑦 cos 4𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛𝑦) 𝑑𝑥 3

𝑒) ∫ (6𝑥𝑦 − 5𝑒 𝑦 ) 𝑑𝑥 −1 3𝑥

𝑓) ∫1 𝑥 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦 2𝑥

𝑔) ∫ 0

𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2

CALCULO DE VARIAS 𝑑𝑎𝑑𝑎. VARIABLES 2. 𝐸𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠, 𝑒𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 CICLO: 2019-II

𝑥2

2

𝑎) ∫ ∫ (8𝑥 − 10𝑦 + 2)𝑑𝑦𝑑𝑥 1

𝑥

1

𝑦

𝑏) ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑥𝑑𝑦 −1 0 1

𝑦

∫−1 ∫0 𝑢2 du dy 1 𝑢3 𝑦 ∫−1 3 |0 dy 1 (𝑥+𝑦)3 𝑦 ∫−1 3 |0 dy 1 8𝑦 3 ∫−1( 3

𝑦3

−

3

)dy

1 7𝑦 3 ∫−1( 3 )dy 7 𝑦4 1 7 1 )|−1 =( . 3 4 3 4

( . √2

√2−𝑦 2

𝜋

3𝑦

7 1

7

3 4

6

+ . )=

𝑐) ∫0 ∫−√2−𝑦2 (2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑) ∫ ∫ cos(2𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 0

𝑦 2

√𝑥

𝑒) ∫ ∫ 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 1

0 1

2𝑦

2

𝑓) ∫ ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0

0 9

𝑥

𝑔) ∫ ∫ 1

0

𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

INTEGRAL DOBLE En los siguientes problemas, evalué la integral doble sobre la región que está acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Elija el orden de integración más conveniente.

1) ∬ 𝑥 3 𝑦 2 𝑑𝐴; 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 𝑅

1

𝑋

∫0 ∫0 𝑋 3 𝑌 2 dydx 1 3 𝑦3 𝑥 ∫1 𝑥 . 3 |0 1 3 𝑥3 ∫1 𝑥 . 3 1 𝑥6 ∫1 3

dx

dx

dx

𝑥7 𝑥 | =1/21=0.05 3 0

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

2) ∬(𝑥 + 1)𝑑𝐴; 𝑦 = 𝑥; 𝑥 + 𝑦 = 4; 𝑥 = 0 𝑅

3) ∬(2𝑥 + 4𝑦 + 1)𝑑𝐴; 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 3 𝑅

4) ∬ 𝑥𝑒 𝑦 𝑑𝐴; 𝑅 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 1 𝑅

5) ∬ 2𝑥𝑦 𝑑𝐴; 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 8, 𝑥 = 0 𝑅

6) ∬ 𝑅

𝑥 √𝑦

𝑑𝐴; 𝑦 = 𝑥 2 + 1, 𝑦 = 3 − 𝑥 2

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II En los siguientes problemas, evalúe la integral iterada que se indica cambiando a coordenadas polares. √9−𝑥 2

3

1. ∫ ∫

√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥

−3 0 3≤ 𝑥 ≤ 3 ; 0≤ 𝑦 ≤ √9 − 𝑥 2 X=-3; x=3

y=0;y=+√9 − 𝑥 2 𝑦 2 =9 − 𝑥 2 𝑥 2 +𝑦 2 =32 0≤ 𝜽 ≤ 𝝅 −𝟑 ≤ 𝒓 ≤ 𝟑

𝝅

𝟑

∫ ∫ 𝒓𝟐 𝒅𝒓. 𝒅𝜽 𝟎

−𝟑 𝝅

𝒓𝟑 𝟑 ∫ |−𝟑 𝒅𝜽 𝟑 𝟎 𝝅

∫ 𝟏𝟖 𝒅𝜽 𝟎

18𝜽|𝝅𝟎 =56.55

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

2. ∫

√2 2

√1−𝑦 2

𝑦2

∫

0

√𝑥 2

𝑦 √1−𝑦 2

1

𝑒𝑥

3. ∫ ∫ 0

0

1

√4−𝑥 2

4. ∫ ∫ √1−𝑥 2

0

5. ∫ ∫ 1

0

2 +𝑦2

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑦2

√4−𝑥 2

2

+

𝑦2

𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑦2

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE 1. En los siguientes problemas emplee la integral doble para calcular el área de la región R que está acotada por las gráficas de las ecuaciones que se indican: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2

𝑎)

𝑦 = −𝑥,

𝑏)

𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 4

𝑐)

𝑦 = −2𝑥 + 3 , 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑥 = −2

2. Considere el sólido acotado por las gráficas de 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, 𝑧 = 4 − 𝑦 y 𝑧 = 0

que se muestra en la siguiente figura. Elija y evalúe la integral correcta que representa el volumen 𝑉 del solido 2

√4−𝑥 2

(4 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑎) 4 ∫ ∫ 0

0 √4−𝑥 2

2

𝑏) 2 ∫ ∫

(4 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥

−2 0 2

√4−𝑦2

𝑐) 2 ∫ ∫

(4 − 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦

−2 0

3. En los siguientes problemas, determine el volumen del solido acotado por las gráficas de las ecuaciones indicadas. 𝑎) 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑏) 𝑍 = 4 − 𝑦 2 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑍 = 0, 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑐) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 4, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

4. En los siguientes ejercicios, hallar la masa y el centro de masas de la lámina de densidad especificada 𝑎) 𝑅: 𝑅𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 (0,0), (𝑎, 0), (0, 𝑏), (𝑎, 𝑏)𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜌 = 𝑘 𝑦 𝜌 = 𝑘𝑦 . 𝑏) 𝑅: 𝑅𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 (0,0), (𝑎, 0), (0, 𝑏), (𝑎, 𝑏)𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜌 = 𝑘𝑥𝑦 𝑦 𝜌 = 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 ) . 𝑐) 𝑅: 𝑅𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 (0,0), (0, 𝑎), (𝑎, 0)𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜌 = 𝑘 𝑦 𝜌 = 𝑥 2 + 𝑦 2 .

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II

INTEGRAL TRIPLE En los siguientes problemas evalúe la integral iterada que se indica. 4

2

1

1) ∫ ∫ ∫ (x + y + z) dx dy dz 2

−2 −1

3

x

xy

2) ∫ ∫ ∫ 24 xy dz dy dx 1

1

2

𝟑

𝒙

𝒙𝒚

∫𝟏 ∫𝟏 𝟐𝟒𝒙𝒚𝒛 |𝟐 dydx 𝟑

𝒙

∫𝟏 ∫𝟏 𝟐𝟒𝒙𝒚𝒛 (𝒙𝒚 − 𝟐)dydx 𝟑

𝒙

∫𝟏 ∫𝟏 (𝟐𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟐 − 𝟒𝟖𝒙𝒚)dydx 𝟑

∫𝟏 (𝟖𝒙𝟐 𝒚𝟑 − 𝟐𝟒𝒙𝒚𝟐 )|𝒙𝟏 dx 𝟑

∫ ((𝟖𝒙𝟓 − 𝟐𝟒𝒙𝟑 )(𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙)) 𝒅𝒙 𝟏 𝟑

∫𝟏 (𝟖𝒙𝟓 − 𝟐𝟒𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙)𝒅𝒙=1552/3

6

6−x

3) ∫ ∫

6−x−z

∫

0

0

0

1

1−x

√𝑦

∫ 4x 2 z 3 dz dy dx

4) ∫ ∫ 0

dy dz dx

0 π 2

0 y2

y

𝑥 5) ∫ ∫ ∫ cos ( ) dz dx dy 𝑦 0 0 0 3

1 x

3

6) ∫ ∫ ∫ dy dz dx 1

0

0

CALCULO DE VARIAS VARIABLES CICLO: 2019-II En los siguientes ejercicios calcular las integrales pasando a coordenadas cilíndricas o esféricas.

7) ∭ 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑑𝑉 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛, 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙, 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 1 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠. √1−𝑥2

1

8) ∫ ∫ 0

−√1−𝑥 2 0

√1−𝑥2

1

9) ∫ ∫ 0

a

∫ dz dy dx

0

√1−𝑥 2 −𝑦 2

∫

√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 dz dy dx

0

10) 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ∭ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒