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• Carlos Orley Gil Amaya

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Novena edición

CAPÍTULO

18

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS:

DINÁMICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Notas: J. Walt Oler Texas Tech University

Cinética de cuerpos rígidos en tres dimensiones

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Contenido Introducción Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en tres dimensiones Principio del impulso y la cantidad de movimiento Energía cinética Problema resuelto 18.1 Problema resuelto 18.2

Movimiento alrededor de un punto fijo o de un eje fijo Problema resuelto 18.3

Movimiento de un giroscopio. Ángulos de Euler Precesión estable de un giroscopio Movimiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza

Movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones Ecuaciones de movimiento de Euler y principio de d’Alembert © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Introducción

  F  m a     M G  HG

• Las relaciones fundamentales desarrolladas para el movimiento plano de cuerpos rígidos también pueden aplicarse al movimiento general de tres cuerpos tridimensionales.   H  I  • La relación G que se utilizó para determinar el momento angular de una placa rígida no es válida para cuerpos tridimensionales en general y para el movimiento. • El presente capítulo se refiere a la evaluación de la cantidad de movimiento angular y su razón de cambio para el movimiento tridimensional y la aplicación efectiva de las fuerzas, el impulso-cantidad de movimiento y los principios de trabajo-energía.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en tres dimensiones • Cantidad de movimiento angular de un cuerpo alrededor de su centro de masa, n   n     H G   ri vi mi    ri   riΔmi  i 1

i 1

• Componente x de la cantidad de movimiento angular, n     H x   yi   ri z  zi   ri y Δmi







i 1 n

 yi  x yi   y xi   zi  z xi   x zi Δmi

i 1

n

 x 

i 1



yi2



 zi2

Δmi   y  xi yi Δmi   z  zi xi Δmi



n

n

i 1

i 1

H x   x  y 2  z 2 dm   y  xy dm   z  zx dm

  I x x  I xy y  I xz z

H y   I yx x  I y y  I yz z H   I   I zy y  I z z

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en tres dimensiones

   • La transformación de en H G está caracterizada por el tensor de inercia para el cuerpo,   I x  I xy  I xz      I yx  I y  I yz   I   I  I zx zy z   • Con respecto a los ejes principales de inercia,

H x   I x x  I xy y  I xz z H y   I yx x  I y y  I yz z H z   I zx x  I zy y  I z z

 I x   0  0 

0 I y 0

0   0  I z  H y  I y y

H x  I x x H z  I z z  • La cantidad de movimiento angular H G de un  cuerpo rígido y su velocidad angular  tienen  la misma dirección si, y sólo si,  se dirige a lo largo de un eje principal de inercia.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en tres dimensiones • Las cantidades de movimiento de las partículas de un cuerpo rígido pueden reducirse a:  L  cantidad de movimiento lineal   mv  H G  cantidad de movimiento angular alrededor de G H x   I x x  I xy y  I xz z H y   I yx x  I y y  I yz z H z   I zx x  I zy y  I z z

• La cantidad de movimiento angular alrededor de cualquier otro punto O dado es     H O  r  mv  H G

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en tres dimensiones • El momento angular de un cuerpo forzado a girar alrededor de un punto fijo puede ser calculado a partir de     H O  r  mv  H G • O bien, el momento angular se puede calcular directamente de los momentos y productos de inercia con respecto al sistema de referencia Oxyz. n    H O   ri  vi Δm  

i 1 n

     r    ri Δmi   i

i 1

H x   I x x  I xy y  I xz z H y   I yx x  I y y  I yz z H z   I zx x  I zy y  I z z © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Principio del impulso y la cantidad de movimiento

• El principio del impulso y la cantidad de movimiento se puede aplicar directamente al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido, Cant. Mov. Sist.1 + Imp. Ext. Sist.1-2 = Cant. Mov. Sist.2

• La ecuación de diagrama de cuerpo libre se utiliza para desarrollar las componentes y las ecuaciones de momento. • Para cuerpos que giran alrededor de un punto fijo, eliminar el impulso de las reacciones en O escribiendo la ecuación para momentos de cantidades de movimiento e impulsos respecto a O. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Energía cinética • Energía cinética de las partículas que forman el cuerpo rígido, T

1 mv 2 2



 12 mv 2   12 mv 2 

n 1 2 Δ m v  i i 2 i 1 n   1 i 2 Δmi   r  2 i 1 1 (I  2  I  2  I  2 y y z z 2 x x

 2 I xy x y

 2 I yz y z  2 I zx z x )

• Si los ejes se corresponden de manera instantánea con los ejes principales,

T  12 mv 2  12 ( I x x2  I y 2y  I z z2 ) • Con estos resultados, los principios del trabajo y la energía y de la conservación de la energía pueden ser aplicados al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Energía cinética • Energía cinética de un cuerpo rígido con un punto fijo, T  12 ( I x x2  I y 2y  I z z2  2 I xy x y  2 I yz y z  2 I zx z x )

• Si los ejes Oxyz corresponden de forma instantánea con el principio de los ejes Ox’y’z’,

T  12 ( I x x2  I y 2y  I z z2 )

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.1 SOLUCIÓN: • Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Dado que las cantidades de movimiemto inicial son cero, el sistema de impulsos debe ser equivalente al sistema final de cantidades de movimiento. • Suponer que los cables de apoyo se mantienen tensos, de modo que la velocidad vertical y la rotación alrededor de un eje normal a la placa es cero. Una placa rectangular de masa m • El principio del impulso y la cantidad de suspendida de dos alambres se movimiento rinde para dos ecuaciones de golpea en D en una dirección cantidad de movimiento lineal y dos perpendicular a la placa. ecuaciones de cantidad de movimiento Inmediatamente después del angular. impacto, determinar a) la velocidad • Determine las dos componentes horizontales del centro de masa G, y b) la de los vectores de velocidad lineal y angular. velocidad angular de la placa. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.1

SOLUCIÓN:

• Aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Dado que las cantidades de movimiemto inicial son cero, el sistema de impulsos debe ser equivalente al sistema final de cantidades de movimiento.  v



v

x

 i



v

z

 k

 





x

 i





y

 j

• Suponer que los cables de apoyo se mantienen tensos, de modo que la velocidad vertical y la rotación alrededor de un eje normal a la placa es cero. Ya que los ejes x, y y z son los principales ejes de inercia,    1  2  2 1 H G  I x xi  I y y j  12 mb  xi  12 ma  y j © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.1

• El principio del impulso y la cantidad de movimiento rinde para dos ecuaciones de cantidad de movimiento lineal y dos ecuaciones de cantidad de movimiento angular. • Determine las dos componentes horizontales de los vectores de velocidad lineal y angular. 1 0  mv x

vx  0

 FΔt  mvz

1 bFΔt 2

vz   FΔt m   v   FΔt m k

 2 aFΔt  H y

 Hx

1 mb 2  12 x

 x  6FΔt mb

1 ma 2  12 y

 y  6 FΔt ma 

 6 FΔt  ai  b j   mab 

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.1

  v  FΔt m k

 6 FΔt  ai  b j  mab    1 mb 2 i  1 ma 2 j H G  12 x y 12 



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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.2 SOLUCIÓN:

Un disco homogéneo de masa m se monta sobre una flecha OG de masa despreciable. El disco gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a la velocidad 1 alrededor de la flecha OG.

Determinar a) la velocidad angular del disco, b) su cantidad de movimiento angular alrededor de O, c) su energía cinética, y d) el vector y el par en G equivalente a las cantidades de movimiento de las partículas del disco.

• El disco gira alrededor del eje vertical que pasa por O, así como alrededor de la flecha OG. Combinar los componentes de rotación para la velocidad angular del disco. • Calcular la cantidad de movimiento angular del disco utilizando ejes principales de inercia y tomando nota de que O es un punto fijo. • La energía cinética se calcula a partir de la velocidad angular y de los momentos de inercia. • El vector y el par en G también se calculan a partir de la velocidad angular y de los momentos de inercia.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.2 SOLUTION:

• El disco gira alrededor del eje vertical que pasa por O, así como alrededor de la flecha OG. Combinar los componentes de rotación para la velocidad angular del disco.     1i   2 j 

Nótese que la velocidad en C es cero,    vC    rC  0     0  1i   2 j   Li  rj    L 2  r1 k

 2  r1 L     1i  r1 L  j 

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.2 • Calcular la cantidad de movimiento angular del disco utilizando ejes principales de inercia y tomando nota de que O es un punto fijo.     HO  I x xi  I y y j  I z z k

12 mr 2 1 H y  I y y  mL2  14 mr 2  r1 L  H z  I z z  mL2  14 mr 2 0  0    H O  12 mr 21i  mL2  14 r 2 r1 L  j H x  I x x 







  1i  r1 L  j

• La energía cinética se calcula a partir de la velocidad angular y de los momentos de inercia.



  12 mr 212  mL2  14 r 2  r1 L 2 

T  12 I x x2  I y y2  I z z2

T © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



1 mr 2  6  8 



r 2  2  2 1 L  18 - 17

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.2 • El vector y el par en G también se calculan a partir de la velocidad angular y de los momentos de inercia.   mv  mr 1k







    H G  I x x i  I y  y j  I z  z k  2  1 2 1  2 mr 1i  4 mr  r L  j

  1i  r1 L  j

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 r  2  1 H G  2 mr 1 i  j 2 L  

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones • La cantidad de movimiento angular y su razón de cambio se toman con respecto a los ejes centroidales GX’Y’Z’ de orientación fija.   • La transformación de  en H G es independiente del sistema de ejes de coordenadas.

  F  m a     M  HG

• Conviene usar los ejes de cuerpo fijo Gxyz donde los momentos y los productos de la inercia no dependen del tiempo.  • Definir la razón de cambio del vector H G con respecto al sistema de referencia en rotación,        H H i H jH k

 G Gxyz

Entonces,   H  H G

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x

 G Gxyz

y



    HG

z





 

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Ecuaciones de movimiento de Euler y principio de d’Alembert 

 • Se eligen    y Gxyz para corresponder con los ejes principales de inercia,     M  H  H



G

 G Gxyz

G

Ecuaciones de Euler:

 M x  I x x  I y  I z  y z  M y  I y y  I z  I x  z x  M z  I z z  I x  I y  x y • El sistema de las fuerzas externas y el sistema de las fuerzas efectivas son equivalentes para el movimiento general tridimensional. • El sistema de fuerzas externas es equivalente   al vector y al par, ma y H G .

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento alrededor de un punto fijo o de un eje fijo • Para un cuerpo rígido girando alrededor de un punto fijo,    M O  HO     H  H

 O Oxyz

O

• Para un cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo, H x   I xz H y   I yz H z   I z      M O  H O Oxyz    H O      I xz i  I yz j  I z k       k   I xz i  I yz j  I z k       2   I xz i  I yz j  I z k    I xz j  I yz i 

 

 M x   I xz  I yz 2  M y   I yz  I xz 2  M z  I z © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento alrededor de un eje fijo • Para un cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo,  M x   I xz  I yz 2

 M y   I yz  I xz 2  M z  I z • Si es simétrico respecto al plano xy,  M x  0  M y  0  M z  I z • Si no es simétrico, la suma de momentos externos no será cero, incluso si  = 0,

 M x  I yz 2  M y  I xz 2  M z  0 • Una flecha de rotación requiere un balanceo tanto estático   0  como dinámico   0  para evitar vibración excesiva y reacciones en los cojinetes. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.3 SOLUCIÓN: • Evaluar el sistema de fuerzas efectivas  reduciéndolas  a un vector ma adjunto en G y el par H G . • Expresando que el sistema de fuerzas externas es equivalente al sistema de fuerzas efectivas, escribir expresiones vectoriales de la suma de momentos respecto a A y la suma de fuerzas. Una barra AB con peso W = 40 lb se conecta en A a un eje vertical que gira con una velocidad angular constante de  = 15 rad/s. La barra mantiene su posición mediante un alambre horizontal BC.

• Resolver para la tensión del alambre y las reacciones en A.

Determinar la tensión en el alambre y la©reacción en A. Companies, Inc. All rights reserved. 2010 The McGraw-Hill

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.3 SOLUCIÓN: • Evaluar el sistema de fuerzas efectivasreduciéndolas  a un vector ma adjunto en G y el par H G .





  2 2 1 a  an  r I   2 L cos   I 2    450 ft s I   40 ma   450   559 lbI g     HG  I x xi  I y y j  I z z k



I x  12 mL2



Iy  0

I z  12 mL2

 x   cos   y  sen  z  0

  1 mL2 cos  i H G   12

 

  H G  H G

     HG Gxyz     0    cos  i  sen j  121 mL2 cos  i   2 2 1  12 mL  sen cos  k  645 lb  ft k

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



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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Problema resuelto 18.3 • Expresando que el sistema de fuerzas externas es equivalente al sistema de fuerzas efectivas, escribir expresiones vectoriales de la suma de momentos respecto a A y la suma de fuerzas.    M A   M A ef        6.93 J   TI   2 I   40 J   3.46 J   559 I   645 K   6.93T  80K  1934  645K

T  384 lb    F   F ef

      AX I  AY J  AZ K  384 I  40 J  559 I    A  175 lbI  40 lbJ

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento de un giroscopio. Ángulos de Euler • Un giroscopio consiste en un rotor cuyo centro de masa debe estar fijo en el espacio, pero que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico y asumir cualquier orientación. • Desde una posición de referencia con balancines y un diámetro de referencia del rotor alineado, el giroscopio puede ser llevado a cualquier orientación a través de una sucesión de tres pasos: a) rotación del balancín externo a través de j alrededor de AA’, b) rotación del balancín interno a través de q,

c) rotación del rotor a través de y alrededor de CC’. • j, q y y reciben el nombre de ángulos de Euler, y   velocidad de precesión q  velocidad de nutación   velocidad de giro  © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento de un giroscopio. Ángulos de Euler • La velocidad angular del giroscopio,          K  q j  k    con K  senq i  cosq j        cosq k   senq i  q j   • Ecuación de movimiento,      M O  H O Oxyz    H O           H O   I senq i  I q j  I    cosq k       K  q j

 

M M

x

   cosq    I senq  2q cosq   Iq

y

   cosq   I  q   2senq cosq  Isenq 

Mz  I





d      cosq  dt

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Precesión estable de un giroscopio

Precesión estable, q , ,y son constantes       senq i   z k    H O   I  senq i  I z k         senq i   cos q k

Cuando la precesión y eje de    giro se encuentran en un  M O    HO  ángulo recto,  I z  I  cosq  senq j q  90   El par se aplica alrededor de   M  I   j  O un eje perpendicular a la El giroscopio precederá precesión y a los ejes de alrededor de un eje giro. perpendicular tanto al eje de giro como al eje del par.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza • Considerar el movimiento alrededor del centro de masa de un cuerpo simétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza sino por su propio peso, por ejemplo, proyectiles, satélites y naves espaciales.   H G  0 H G  constante  • Definir el eje Z alineado con H G y z en un sistema de ejes giratorios a lo largo del eje de simetría. El eje x es elegido para estar en el plano Zz. H G senq    H x   H G senq  I  x x I H y  0  I  y y  0 H cos q H z  H G cos q  I z z  G I • q = constante y cuerpo en precesión permanente. • Nota:  © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

x I  tan   tan q z I

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza Dos casos de movimiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza que no implica precesión: • Cuerpo creado para girar alrededor de su eje de simetría, x  H x  0    y H G están alineados y el cuerpo sigue girando alrededor de su eje de simetría. • Cuerpo creado para girar alrededor de su eje transversal, z  H z  0    y H G están alineados

y el cuerpo sigue girando alrededor del eje transversal determinado. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica Movimiento de un cuerpo simétrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza El movimiento de un cuerpo alrededor de un punto fijo (o su centro de masa) puede representarse mediante el movimiento de un cono corporal que rueda sobre un cono espacial. En el caso de precesión estable, los dos conos son circulares. • I < I’. Caso de un cuerpo elongado.  < q, y el vector  se encuentra dentro del ángulo ZGz. El cono espacial y el cono corporal son tangentes externamente; el giro y la precesión se observan en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje z positivo. Se dice que la precesión es directa. • I > I’. Caso de un cuerpo achatado.  > q, y el vector  debe estar fuera del ángulo ZGz. El cono espacial se encuentra dentro del cono corporal; el giro y la precesión tienen sentidos opuestos. Se afirma que la precesión es retrógrada. © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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