CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE Calcular el gradiente del campo de
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CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE Calcular el gradiente del campo de funciones en dos y tres dimensiones. Determinar si un campo vectorial es o no conservativo. Graficar campos escalares y vectoriales en dos y tres dimensiones. Calcular ecuaciones de planos tangentes y ecuaciones de rectas a superficies suaves. 1. En el texto que se te proporciona Zill, D. G., et al. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México, D. F.: McGraw-Hill; se realizan una serie de ejercicios y/o problemas para calcular el gradiente de una función, tanto en dos como en tres dimensiones. Al mismo tiempo, se llevan a acabo algunos ejemplos para encontrar la ecuación de un plano tangente y recta normal a la gráfica de una función de dos variables. Revisa cada caso/problema cuidadosamente, siguiendo el análisis realizado ahí para resolverlos; deberás identificar claramente en todos los casos los siguientes aspectos: a) Identificar claramente entre cantidades: b) Escalares c) Vectoriales d) Operaciones vectoriales involucradas, tales como: e) Producto vectorial y producto escalar f) Derivadas parciales de una función g) Realizar un esquema o gráfica de cada problema resuelto o estudiado. h) Identificar las variables que se involucran y el número de dimensiones empleadas. NOTA: Considera que tu docente podría enviarte un artículo científico con características similares al mencionado en esta actividad. De todo lo anterior tú llevarás tu propio registro del análisis y soluciones, y no deberás hacer o entregar ningún archivo, sino que harás lo que se pide
REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Graficar el gradiente a partir de los problemas 15, 16 de la sección 4.7 de la página 170 de la fuente mencionada.
PROBLEMA 15 Encontrar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto que se indica. 𝒙𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟗 Solución:
(−𝟐, 𝟐, 𝟏)
CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE Se realizara el ejercicio de manera ordenada. Grafico de la ecuación para observar cómo es la esfera dada. La función gradiente, después de evaluar las derivadas parciales, es: ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 Y por ello, en el punto dado (-2, 2, 1). ∇𝐹(−2, 2, 1) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 = 2(−2)𝑖 + 2(2)𝑗 + 2(1)𝑘 = −𝟒𝒊 + 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 Este es el gradiente de la función. 𝛁𝑭(−𝟐, 𝟐, 𝟏) Encontraremos la Ecuación del Plano Tangente: 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 −4(𝑥 + 2) + 4(𝑦 − 2) + 2(𝑧 − 1) = 0 Divido entre 2 para reducir la expresión: −4(𝑥 + 2) + 4(𝑦 − 2) + 2(𝑧 − 1) = 0 2 −𝟐(𝒙 + 𝟐) + 𝟐(𝒚 − 𝟐) + (𝒛 − 𝟏) = 𝟎 Y al operar: −2𝑥 − 4 + 2𝑦 − 4 + 𝑧 − 1 = 0 −2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 9 = 0 Finalmente:
−𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟗
Mostrando el plano y el vector gradiente de la función:
Grafica del plano tangente a la superficie 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐=𝟗 En el punto P (-2 ,2 ,1)
CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE PROBLEMA 16 Encontrar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto que se indica. 𝟓𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟒𝒛𝟐 = 𝟖
(𝟐, 𝟒, 𝟏)
Solución: Graficamos la ecuación dada: Al evaluar las derivadas parciales: 10𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 Se obtiene la función gradiente: ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 10𝑥𝑖 − 2𝑦𝑗 + 8𝑧𝑘 Y por ello, en el punto dado (2, 4, 1) ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 10(2)𝑖 − 2(4)𝑗 + 8(1)𝑘 = 𝟐𝟎𝒊 − 𝟖𝒋 + 𝟖𝒌 Encontraremos la ecuación del plano tangente: 𝐹𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )(𝑧 − 𝑧0 ) = 0 20(𝑥 − 2) − 8(𝑦 − 4) + 8(𝑧 − 1) = 0 20(𝑥 − 2) − 8(𝑦 − 4) + 8(𝑧 − 1) = 0 4 5(𝑥 − 2) − 4(𝑦 − 4) + 4(𝑧 − 1) = 0 Al operar: 5𝑥 − 10 − 4𝑦 + 16 + 4𝑧 − 4 = 0 Finalmente:
𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒𝒛 = −𝟐 Mostrando el plano y el vector gradiente de la función…
En el punto P (5 ,4 ,-1)
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RESOLVER LOS PROBLEMAS 5, 23 DE LA SECCIÓN 4.8 DE LA PÁGINA 176.
PROBLEMA 5 Encontrar los extremos relativos de la función indicada de: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 + 𝟒𝟎 Solución: Calculamos las derivadas parciales: 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 10𝑥 + 20
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 10𝑦 − 10
Resolvemos cada ecuación: 10𝑥 = −20 𝑥=
−20 10
𝒙 = −𝟐
10𝑦 = 10 𝑦=
10 10
𝒚=𝟏
Por lo que existe un Punto Crítico en (-2, 1) Evalúamos los valores del Punto Crítico en la función dada: 𝑓(−2,1) = 5𝑥 2 + 5𝑦 2 + 20𝑥 − 10𝑦 + 40 𝑓(−2,1) = 5(−2)2 + 5(1)2 + 20(−2) − 10(1) + 40 = ⋯ 𝑓(−2,1) = 5(4) + 5(1) − 40 − 10 + 40 = ⋯ 𝑓(−2,1) = 20 + 5 − 40 − 10 + 40 = ⋯
𝒇(−𝟐, 𝟏) = 𝟏𝟓 Debido a que 𝒇𝒙 (-2, 1) > 0 se deduce que 𝒇(−𝟐, 𝟏) es un mínimo relativo
CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE PROBLEMA 23 Encontrar el punto sobre el plano 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 más cercano al origen [Sugerencia: considere el cuadrado de la distancia] Solución: Establecemos la siguiente igualdad: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝜆(𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 1) =.. … = (2𝑥 − 𝜆, 2𝑦 − 2𝜆 + 2𝑧 − 𝜆, (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 1)) = (0,0,0,0)
Resolvemos: 2𝑥 − 𝜆 = 0 2𝑦 − 2𝜆 = 0 2𝑧 − 𝜆 = 0 Y como 𝑥 = 𝑧 = 𝜆; entonces 𝑦 es igual a: 2𝑦 − 2𝜆 = 0 2𝑦 = 2𝜆 𝑦=
2𝜆 =𝝀 2
Entonces: 2𝜆 + 2𝜆 + 2𝜆 − 1 = 0 6𝜆 = 1 𝜆=
1 6
Y como 𝑥 = 𝑧 = 𝜆; entonces: 𝑥=𝑧=
𝟏 𝟔
Sustituyendo en la ecuación original para obtener y… 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 1 1 + 2𝑦 + = 1 6 6 1 + 2𝑦 = 1 3 2𝑦 = 1 −
1 3
CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE 2𝑦 =
2 3
2 2 𝟏 𝑦= 3= = 2 6 𝟑 1
Por lo que: 𝟏 𝟏 𝟏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = ( , , ) 𝟔 𝟑 𝟔
A manera de contextualizar tus conocimientos adquiridos se te recomienda revisar la ecuación de Fourier para conducción de calor en el texto de Del Barrio, M. et al. (2006). Termodinámica básica. Ejercicios. Universidad Politécnica de Catalunya. Ediciones UPC. Página 75. Lleva a cabo una síntesis de media cuartilla sobre la ecuación de Fourier. Fourier, a principios del siglo XIX, propuso la Ecuación del Calor, pero ¿qué es esta ecuación? Sin duda es un modelo matemático que permite conocer la evolución de la temperatura a través de un cuerpo sólido. El modelo propuesto por Fourier podría sintetizarse de la siguiente manera: 1.- La energía calórica necesaria para llevar un trozo de alguna barra (de metal, podría ser cualquiera) de longitud ∆𝑙 de temperatura cero a temperatura T es proporcional a ∆𝑙 × 𝑇. 2.- La energía fluye de las zonas de mayor temperatura a las de menor temperatura 3.- La energía se conserva. Si se toma un trozo de barra (de metal, podría ser cualquiera), ∆𝑙, la energía contenida en ∆𝑙 en el instante 𝑡2 es igual a la energía que había en ∆𝑙 en el instante 𝑡1 más el “flujo de energía” que penetró en los extremos 𝑥1 , 𝑥2 en el intervalo de tiempo de 𝑡1 a 𝑡2 . Mediante: ∇2 𝑇(𝑟⃗, 𝑡) =
1 𝜕𝑇(𝑟⃗, 𝑡) 𝛼 𝜕𝑡
CALCULO MULTIVARIADO. UNIDAD 2. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL. ACTIVIDAD 2. GRADIENTE Se pueden encontrar variables de estado que son relevantes para el fenómeno del calor que se requiera describir y encontrar sus leyes constitutivas y cómo se conservan para definir el flujo del calor. Cabe mencionar que la difusividad térmica del medio, sus unidades en el Sistema Internacional son 𝑚2 ∙ 𝑠 −1 .
Fuentes de consulta Del Barrio, M. et al. (2006). Termodinámica básica. Ejercicios. Universidad Politécnica de Catalunya. Ediciones UPC. Página 75 Ángel franco García (2002) fenómenos de trasporte conducción de calor (sc.ehu.es/) fecha de consulta 23-10-14 URL: Genaro González (1997) series de Fourier, trasformadas de Fourier ya plicadas (emis.de/) fecha de consulta 23-10-14 URL: http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf Zill, D. G., et al. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México, D. F.: McGraw-Hill