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• Kushal Miglani

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Introduction to real analysis R. G. Bartle

Edición impresa: John Wiley & Sons, Inc

TALLERES ESTUDIANTILES CIENCIAS UNAM

Edición digital: Educación

para todos

Second Edition 1992

Educación

para todos Educación para todos no es un proyecto lucrativo, sino un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la educación de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien porque ya no se consiguen en bibliotecas y librerías, no son accesibles para todos. Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a sugerir títulos, a prestarnos los textos para su digitalización y a ayudarnos en toda la labor técnica que implica su reproducción. El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participación de cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas. Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente dirección de correo electrónico: [email protected] http://eduktodos.org.mx

CONTENTS

CHAPTER ONE Preliminaries 1.1 1.2 1.3

1

The Algebra of Sets 1 Functions 9 Mathematical Induction 17

22

CHAPTER TWO The Real Numbers 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

The Algebraic Properties of R 23 The Order Properties of R 29 Absolute Value 38 The Completeness Property of R 42 Applications of the Supremum Property Intervals and Decimals 53 Infinite Sets 59

46

CHAPTER THREE Sequences 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

67

Sequences and Their Limits 67 Limit Theorems 78 Monotone Sequences 87 Subsequences and the Bolzano-Weierstrass Theorem The Cauchy Criterion 100 Properly Divergent Sequences 107

CHAPTER FOUR Limits 4.1 4.2 4.3

Limits of Functions 110 Limit Theorems 120 Some Extensions of the Limit Concept

94

110

129

ix

X

CONTENTS

CHAPTER FIVE Continuous Functions 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

140

Continuous Functions 140 Combinations of Continuous Functions 146 Continuous Functions on Intervals 152 Uniform Continuity 160 Monotone and Inverse Functions 172

CHAPTER SIX Differentiation 6.1 6.2 6.3 6.4

The Derivative 184 The Mean Value Theorem L’Hospital’s Rules 206 Taylor’s Theorem 215

183 195

CHAPTER SEVEN The Riemann Integral 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

229

Riemann Integrability 230 Properties of the Riemann Integral 242 The Fundamental Theorem of Calculus 251 The Integral as a Limit 262 Approximate Integration 271

CHAPTER EIGHT Sequences of Functions 8.1 8.2 8.3 8.4

Pointwise and Uniform Convergence 283 Interchange of Limits 291 The Exponential and Logarithmic Functions The Trigonometric Functions 308

CHAPTER NINE Infinite Series 9.1 9.2 9.3 9.4

298

316

Convergence of Infinite Series 316 Tests for Absolute Convergence 324 Tests for Nonabsolute Convergence 333 Series of Functions 337

CHAPTER TEN The Topology of R 10.1 10.2

283

Open and Closed Sets in R Compact Sets 355

347

346

CONTENTS

10.3 10.4

Continuous Functions Metric Spaces 364

References 371 Appendix. Logic and Proofs Hints for Selected Exercises Index 399

359

372 384

Xi