Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Diseño en Acero Pandeo Flexo Torsional B4.-PAND
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Diseño en Acero Pandeo Flexo Torsional
B4.-PANDEO FLEXO-TORSIONAL El pandeo por flexión ocurre en secciones simétricas, en secciones asimétricas el Centro de Corte no coincide con el Centro de Gravedad, lo que genera una deformación de torsión que no considerada hasta ahora, la cual, dependiendo del tipo de asimetría puede conducir a una situación de pandeo con deformaciones de flexión y torsión simultáneamente. P
P v P Fig. B4.1 – Viga Deformada
y
H M(z) =Pv C
dM dv Q(z)= =P ≠ 0 (B4.1) dz dz El esfuerzo de corte derivado de la flexión tiene una resultante no colineal con la carga aplicada, lo que origina un desequilibrio de momentos, que induce un giro torsional. Esto se comprueba al plantear las ecuaciones de equilibrio en la sección:
ΣV = 0 ΣH = 0 ΣM G ≠ 0:
G x
x
δ
h
Η y
V Fig. B4.2.- Sección Asimétrica
Hh + Qδ ≠ 0
Hay una posición del plano de carga que no produce giro de la sección, la cual queda determinada por el Centro de Corte (C). En el caso de la sección canal de la figura, resulta la expresión aproximada (B4.2) para la distancia δ que define la ubicación del Centro de Corte. δ=
b Ao 21 + BA1
(B4.2)
en la cual:
Ao= Area Nervio A1=Area Ala B = Ancho de Ala Secciones T, L, S, etc presentan asimetrías, lo cual puede condicionar el diseño al inducir un modo de pandeo con deformaciones de flexión y torsión acopladas. En el punto 3.1, se revisa brevemente las ecuaciones que rigen la torsión de secciones de pared delgada.
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4.1.-Torsión En Secciones De Pared Delgada Con excepción de las secciones circulares en las cuales es válida la hipótesis de Navier, las restantes secciones experimentan alabeo. Se revisará en cierto detalle el caso de la sección I, en la cual el efecto primario de giro, introduce tensiones axiales de flexión en las alas y asociadas a ellas tensiones de corte. Esto se muestra en la figura 3.2.
a) Elevación
b) Planta
Fig. B4.3.- Viga Empotrada Libre Sometida a un Momento de Torsión La figura (B4.3a) muestra en elevación una viga empotrada en su parte posterior y libre en su frente, la figura (B4.3b), muestra la deformada en planta. En el empotramiento la sección se mantiene plana debido a la restricción impuesta por el vínculo, pero en el borde libre, el giro impone a las alas una deformada de flexión, con deformaciones de alargamiento a un lado de la línea neutra y acortamiento en el otro lado. Asociadas a las tensiones de flexión se producen tensiones de corte variables en las alas, el giro a su vez origina tensiones de corte que se distribuyen en toda la sección. Si bien ambos efectos ocurren simultáneamente, se acostumbra a denominarlos:
¾ Torsión Uniforme: para referirse al efecto del giro (ocasiona tensiones de corte en toda la sección), y ¾ Torsión No Uniforme para referirse efecto del alabéo (origina tensiones de corte sólo en las alas).
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En el caso de una sección I, lo anterior se puede graficar como se muestra en la Figura B4.3
H
h H (a) Torsión Uniforme
(b) Torsión No Uniforme
Fig. B4.3.- Distribución de las Tensiones de Corte en una Sección Doble T en Torsión TORSION UNIFORME
M TU = GK
dφ dz
TORSION NO UNIFORME
(B4.3)
M TNU = Va h
(B4.4)
donde: J: Constante de Torsión de Saint Venant
J1 =
J2 =
1 n 3 bi ei Secciones Abiertas (bi = ancho elemento plano i, ei = espesor) ∑ 3 i =1
(B4.5)
4Ω 2 ds ∫ e( s )
(B4.6)
Secciones Cerradas ( Ω =Área encerrada por la curva centroidal)
La Torsión No Uniforme debe calcularse a partir de la flexión que ocurre en las alas. (Fig. B4.4)
Fig. B4.4.- Ala en Flexión c/r al Eje y-y
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En general J2 J1
>> 1.0 (100 a 400)
Para el cálculo del momento de torsión no uniforme se recurrirá a la figura (B4.4).
MT
NU
= Va h , donde: Va : Corte en el ala
(B4.7)
de la ecuación de la elástica por flexión del ala c/r al eje y-y:
M a = − EI ya
d 2 va h d 2φ EI = − ya 2 dz 2 dz 2
(B4.8)
en la ecuación anterior: M a : Momento de flexión en el ala , I ya : Mto. de inercia del ala c/r y-y
va = φ
h , 2
Si Va es el Esfuerzo de Corte en el ala, aproximando: I ya ≈ I y
1 2
M a = −E
I y h d 2φ 4 dz 2
dM a h d 3φ = − EI y Va = dz 4 dz 3
(B4.9)
(B4.10)
luego: M TNU = − E
I y h 2 d 3φ 4 dz 3
M TNU = − EC w
d 3φ dz 3
(B4.11)
donde: Cw=Constante de Alabeo
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Si se iguala el momento aplicado al momento resistente formado por la suma de la contribución de la Torsión Uniforme (B4.3) y de la Torsión No-Uniforme (B4.11), resulta: M T = M TU + M TNU = GJ Si se define λ2 =
dφ d 3φ − EC w 3 dz dz
(B4.12)
GJ EC w
(B4.13)
resulta la ecuación de la Elástica por Torsión
M T dφ 1 d 3φ = − GJ dz λ2 dz 3
(B4.14)
La solución de ésta ecuación es:
φ ( z ) = Asenhλz + B cosh λz + C +
MT z GJ
(B4.15)
Las constantes A, B y C dependen de las condiciones de borde
φ (z = 0 ) = 0 θ ( z = 0) = dv a = a dz z =0 En éste caso EI y h M e ( z = L ) = − EI 4
h dφ 2 dz
=0 z =0
d φ
(B4.16)
2
dz 2
=0 z=L
Estas ecuaciones permiten calcular φ(z) y con ello las tensiones en la viga. Si hay momentos de torsión distribuidos la ecuación resulta de 4to orden.
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4.2.- Ecuaciones de Pandeo Flexo-Torsional El problema ha sido tratado por diversos autores (Timoshenko1 , F. Bleich y H. Bleich2). La solución de F. Bleich para secciones de pared delgada puede obtenerse del teorema de la Energía potencial estacionaria, y conduce en el caso general a un sistema acoplado de tres ecuaciones deferenciales. y IV II II EIx v + Pv − Pxoφ = 0 (B4.17) EIx u IV + Pu II − Py oφ II = 0
(B4.18)
ECa φ IV − (GK − PRo )φ II + Pyo u II − Pxo v II = 0
(B4.19)
2
u = v =φ = 0
en Z=0,L
i) Col. Emport. ii) Col.Rotulada
u = v =φ = 0 u II = v II = φ II = 0
en Z=0,L en Z=0,L
I
I
u G
Cond. Borde
I
x
x
C v G C
y
φ Las ecuaciones se simplifican refiriendo los desplazamientos al centro de corte. La solución ha sido presentada por Wei Wen Yu 3 . Una revisión mas detallada puede encontrarse en los trabajos de Chajes y Winter 4 o en Pekoz y Winter5. Los términos corresponden a: Ix, Iy : Momentos de inercia, E, G: Ctes. Elásticas (u,v,φ) : desplazamiento referidos a C; (xo, yo) : coordenadas de C referidas a G 1 J= ∑ be 3 : Constante de Torsión de Saint Venant; Cw : Constante de Alabeo 3 r0 = rx 2 + 2 y 2 + x0 + y0 2 : radio de giro polar respecto al centro de corte
(rx, ry) : radio de giros de la sección c/r a los ejes x-x e y-y
1
Timoshenko, S., “Theory of Elastic Stability”, Engineering Society Monographs, Mc Graw Hill Book Companies, 1936.
2
Bleich, F., “Buckling Strength of Metal Structures”, Engineering Society Monographs, Mc Graw Hill Book Companies, 1952.
3 4
Wei Wen Yu; “Cold Formed Steel Structures,” Mc. Graw Hill, 1973 Chajes and G. Winter, “Torsional Flexural Buckling of Thin Walled Sections, Journal ASCE Vol. 91 Aug. 1965.
5
Pekoz T.B. and G. Winter, “Torsional Flexional Buckling of Thin Walled Sections under Excentric Loads,” Journal ASCE Vol. 95 May 1965.
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λz
El sistema de ecuaciones homogéneas puede resolverse buscando soluciones del tipo e para los desplazamientos, lo cual conduce al problema de valores propios en λ , cuya ecuación característica es:
(
)
r02 (Pe − Pex )(Pe − Pey )(Pe − Pez ) − Pe2 y02 Pe − Pex − Pe2 (Pe − Pey )x02 = 0 Donde:
Pex = Pey =
π 2 EI x L2 π 2 EI y L2
(B4.20)
Carga Crítica de Pandeo por flexión en torno a x-x (B4.21) Carga Crítica de Pandeo por flexión en torno a y-y (B4.22)
π 2 EC w 1 Carga Crítica de Pandeo por torsión en torno a z-z (B4.23) Pz = GJ + 2 2 L r0 Si la columna no está rotulada en sus extremos debe usarse Le=KL, según sean las condiciones de borde.K=1,0 ⇒ Rótulas K=0,5 ⇒ Empotramientos La ecuación (3.19) tiene en el caso general 3 raíces, Pcr es el menor valor de las 3. 4.2.1.- Secciones con doble simetría. El centro de gravedad coincide con el de corte, de modo que: x 0 = y 0 = 0 , lo cual reduce la ecuación a:
(Pe − Pex )(Pe − Pey )(Pe − Pez ) = 0
(B4.24)
Cuyas soluciones son:
Pe1 = Pex Pe2 = Pey P = Pez
(B4.25)
3 e
Es decir, la columna falla en flexión pura o en torsión pura. Sin embargo, en la mayoría de los casos, las proporciones de la sección son tales que la falla por torsión no se produce. Además, la tensión crítica de pandeo por torsión es similar a la de pandeo local, de modo que si el diseño o pandeo local es adecuado la falla por torsión pura normalmente no ocurre.
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Sin embargo, si se desea puede verificar la tensión crítica de torsión de acuerdo a (B4.26). El último término de la ecuación (B4.27) sugiere definir un radio de giro por torsión y asimilar la ecuación a la expresión de Euler. Fez =
1 Ar02
π 2 EC w + GJ ( K z L) 2
(B4.26)
π 2E
GJ ( K z L) 2 1 π 2E Fez = C = + w ( K z L) 2 π 2 E Ar0 2 K z L 2 rz
(B4.27)
4.2.2.- Secciones Con Un Eje De Simetría. Si se elije convencionalmente y-y como eje de simetría, resulta x 0 = 0 .
C
G
C
G
C
G y
y
La ecuación característica, al desacoplarse uno de los modos, resulta la ecuación (B4.28) de segundo grado.
(Pe − Pex ){r02 (Pe − Pey )(Pe − Pez ) − (Pe y0 )2 }= 0
(B4.28)
Una solución es:
Pe = Pex =
π 2 EI x
(B4.29)
(K x L )2
Las otras dos soluciones resultan de resolver la ecuación (B4.30)
r02 (Pe − Pey )(Pe − Pez ) − (Pe y0 ) = 0 2
(B4.30)
Las raíces de (B4.30) son:
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Pe 2 =
1 (Pey + Pez ) − 2 H
(P
+ Pez ) − 4 HPey Pez
(B4.31)
Pe3 =
1 (Pey + Pez ) + 2 H
(P
+ Pez ) − 4 HPey Pez
(B4.32)
y H = 1 − 0 r0
Con:
ey
ey
2
2
2
(B4.33)
Dado que Pc 2 ≤ Pc 3 , la carga crítica resulta de comparar Pc1 y Pc3, es decir, en términos de tensiones, deben compararse (B4.29) y (B4.32). En términos de tensiones resultan las siguientes ecuaciones:
Fe1 =
π 2E = Fex λ2x
Fe 2 =
Pe 3 1 Fey + Fez − = A 2 H
Con:
(B4.34)
(F
ey
π 2 ECw 1 Fez = GJ − Ar02 ( K z L) 2
+ Ft ) − 4 HFey Fez 2
Fey =
y
π 2E λ2y
(B4.35)
(B4.36)
Lo anterior es válido en el rango elástico (F< Fp) . En forma análoga al caso de pandeo anelástico por flexión, se supone una ley parabólica para el módulo de elasticidad tangente en el rango anelástico:
σ e = Fe =
Con:
π 2 Et λ2
f Et = C E Fy
(B4.37)
1 − f F y
(B4.38)
En la expresión (B4.38) propuesta fue por F. Bleich, adoptada por el AISI, el coeficiente C varía entre 3,7 y 5,1, dependiendo del límite de proporcionalidad. El valor 4, adoptado corresponde a Fp =Fy /2
E Fa2 = t Fe 2 E
para
f ≥ Fp =
Fy 2
(B4.39)
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Luego:
Fy Fea2 = Fy 1 − 4 Fe 2
(B4.40)
Las especificaciones de la AISC adoptadas por la norma NCh 427, elijen los ejes a 90º, respecto de estas ecuaciones, exigiendo para secciones con un eje de simetría la verificación del pandeo por flexión en torno al eje y-y y pandeo por flexo- torsión en torno al eje x-x (convencionalmente adoptado como eje de simetría).
4.2.3.- Secciones sin Ejes De Simetría. Debe resolverse la ecuación de tercer grado para obtener las cargas críticas de sus raíces. (Fe − Fex )(Fe − Fey )(Fe − Fez ) − F (Fe − Fey ) x0 r0 2 e
2
y − Fe2 (Fe − Fex ) 0 r0
2
= 0
(B4.41)
4.2.4.- Resistencia Nominal AISC-2005. Como se vio anteriormente las secciones simétricas se rigen por las ecuaciones de diseño B3-35 y B3-36. En el caso de las secciones asimétricas debe verificarse además torsión y flexotorsión, dependiendo del tipo de asimetría de la sección. La expresión de la resistencia nominal es la misma usada anteriormente para elementos comprimidos (B4.42) y las expresiones para la tensión crítica son las mismas usadas para secciones con dos ejes de simetría dependiendo si la sección trabaja en el rango elástico o anelástico (ecuaciones (B3.35) y (B3.36)), ambas escritas en términos de la tensión crítica de pandeo elástico (Fe).
Pn = Ag Fcr
(B4.42)
En la cual: Ag: Área Bruta Fcr: Tensión Crítica calculada según (B3.35) y (B3.36) La tensión crítica de pandeo elástico, depende de los ejes de simetría de la sección.
CASO 1.- SECCCION CON DOS EJES DE SIMETRIA
Tiene tres tensiones de pandeo elástico, dos de flexión y una de torsión (ecuaciones B4.34 y B4.36), la menor de ellas define Fe a usar en (B3.35) y (B.3.36)
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CASO 2.- SECCION CON UN EJE DE SIMETRIA (y-y)
a) Flexión Eje de Asimetría (x-x). Con
Fe = Fex =
π 2E λ2x
(B4.43)
b) Flexo Torsión Eje de Simetría (y-y). Con
Fey + Fez Fe = 2H
H = 1−
4 Fey Fez H ⋅ 1 − 1 − (Fey + Fez )2
x02 + y 02 r02
(B4.44)
(B4.45)
CASO 3.- SECCIONES ASIMETRICAS. Debe resolverse la ecuación cúbica (B4.41). Es un caso poco frecuente, por lo cual debe obtenerse las tres raíces, en las cuales se presenta acoplamiento de flexión y torsión, la carga crítica resultará el menor valor. En el caso de secciones T o TL , AISC 2005 propone aplicar directamente la expresión (B4-44) para el cálculo de la tensión crítica por flexotorsión pero usando para Fcry, las tensiones críticas dadas por B3-35 y B3-36 en lugar de los valores elásticos y para Fcrz la expresión (B4-46)
Fcrz =
GJ Ag r02
(B4-46)
En el caso de ángulos simples AISC 2005 se use una esbeltez modificada (ecuaciones E5-1 a E5-4 de la especificación) con las ecuaciones para perfiles simétricos.
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4.3.-Ejemplos 4.3.1.- Ejemplo 6.- Determinar la resistencia de diseño, en compresión pura de un perfil plegado C250x75x6 (e=2), de 2.50m de largo. Las conexiones extremas se suponen rotuladas, es decir: Kx = Ky = 1,0 Î Lx = Ly = 2500 cm. a) Datos :
¾ Calidad de Acero: A42-27ES ; Fy = 265 MPa ¾ Propiedades Sección:
A = 785 mm2 rx= 94,3 mm ry = 22,2 mm
b) Pandeo local b.1)
Ala b = B-t-1.5xt = 75-2-3 = 70 mm t = 2 mm b = 35,0 t E 200.000 λ r = 0,42 = 0,42 x = 11,54 Fy 265
b / t > λ r ⇒ Pandeo local en el ala : se debe calcular el valor de Qs. 25 < b / t = 35 < 60 ⇒ Qr = b.2)
228 − 2,98(b / t ) = 0,467 Fy
Alma h = H-2x(t+1,5xt) h = 240 mm t = 2 mm
h = 120 t
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E = 35,2 Fy
λ r = 1,28 x
h / t > λ r ⇒ Puede haber pandeo local en el alma : debe calcularse Qa. E 0,42 E 1 − f λ f
be = 1,91 x t
f = tensión de comprensión. Debe ser tal que no exceda φ c Fcr , con φ c = 0,85 y Q = Qs.
Fcr : λ cy =
2500 x 1,0 265 = 1,305 22,2π 200.000
Qs x λ cy = 0,892 < 1,5
⇒
2
Fcr Q x (0,658 Q x λc ) x Fy
Fcr = 88,715 Mpa φc xFcr = 0,85x88,715 = 75,407 MPa ⇒ Con f = 75,407 MPa b e = 1,91 x 2
200.000 0,42 200.000 1 − 75,407 120 75,407
be = 161,27 mm Area no efectiva = (240 – 161,27)x2 = 157,46 mm2 Qa =
A TOTAL − A NO A TOTAL
EFECT.
=
785 − 157,46 = 0,799 < 1,0 ⇒ Q = Qa x Qs = 0,373 785
c) Resistencia a la compresión por pandeo de flexión Análisis eje x: Lx = 2500 mm Rx = 94,3 mm Q = 0,373 Kx = 1,0
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Fy
λ cx =
Lx x K x rx π
λ cx =
2500 x 1,0 265 = 0,307 94,3π 200.000
E
( = (0,658
2
)
Q x λ cx = 0,187 < 1,5 ⇒ Fcrx = 0,658Q x λc x x Fy x Q Fcrx
0.373 x 0.307 2
)x 265 x 0,373 =
Fcrx = 97,40 MPa Análisis eje y: Ly = 2500 Ky = 1,0 Ry = 22,2 Q = 0,373
λ cx = λ cx =
Ly xKy
Fy
ry x π
E
2500 x 1,0 22,2 x π
265 = 1,305 200.000
(
Q x λ cx = 0,80 < 1,5 ⇒ Fcrx = 0,658
(
Q xλ 2cy
)x F
Fcrx = 0,658 0.373 x 0.305
y
2
xQ
)x
265 x 0,373
Fcrx = 75,77 MPa
c) Resistencia a compresión por pandeo flexo-torsional y torsional El perfil C250x75x6,16 tiene el eje de simetría. Se usará convención de la norma, es decir el eje de simetría se denomina “y”. Fe =
Fey + Fex 2H
4 x Fey x H x 1 − 1 − (Fey + Fez )2
x 2 + y2 37,7 2 + 0 = 0,8686 H = 1 − ο 2 ο = 1 − 2 104 r0
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π2 x E π2 x 200.000 Fey = = = 2808,49MPa (K y x L / ry )2 (1,0 x 2500 / 94,3)2
π 2 x ECω +G x Fez = 2 (K z x L )
1 J −2 A x rο
π 2 x 200.000 x 4,31 x 10 9 1 = 169,84 Mpa Fez = 77200 x 1047 + 2 2 (1 x 2500) 785 x 104 Fe =
λe =
4 x 2808,49 x 169,84 x 0,8686 2808,4 + 169,84 1 − 1 − = 168,428 Mpa 2 x 0,8686 (2808,49 + 169,84)2
Fy Fe
=
265 = 1,254 168,428
(
2
)
λ e x Q = 1,254 x 0,373 = 0,76 < 1,5 ⇒ Fcr = Q x 0,658Q x λc x Fy
(
2
)
Fcr = 0,373 x 0,6580,373 x 1, 254 x 265 = 73,32 MPa d) Resistencia de diseño Fcr = menor valor de los calculados en b) y c) Pn = A x Fcr ; Fcr = Fcry = 73,32 MPa Pn = FcrxA = 73,32 MPa x 785 mm2 = 57.556N
Re sistencia de diseño = φc xPn = 0,85x57.556 = 48.923N = 4,99T
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4.3.2.- Ejemplo 7.- Determine la capacidad resistente de los 4 perfiles que se dan a continuación, para L=3.00 m. y acero A37-24ES. Las propiedades de los perfiles han sido tomadas del Manual ICHA. PROPIEDADES DE LAS SECCIONES LA 10x7.54 CA 12.5x7.49
S 15x7.49
ZA 12.5x749
B
10.0 cm
5.0
10.0
5.0
c
3.0 cm
2.0
4.5
2.0
e
0.4 cm
0.4
0.2
0.4
2
9.55
9.54
9.55
Ix
4
122 cm
217
306
217
Iy
122 cm4
30.9
247
51.9
Wx
18.2 cm3
34.7
39.9
34.7
Wy
18.2 cm3
9.32
26.6
10.80
ix
3.57 cm
4.77
5.66
4.77
iy
3.57 cm
1.80
5.09
2.33
iv
4.38 cm
-
-
5.11
iu
2.50 cm
-
-
1.44
x
3.30 cm
1.68
-
1.68
x0
-5.02 cm
-4.00
-13.4
-
r0
7.12 cm
6.47
15.4
-
β
0.502 cm
0.619
0.245
-
K=J
0.513 cm4
0.509
0.127
-
1120
4540
-
A
Cw
9.61 cm
6
421 cm
En la sección Z, el centro de gravedad y el de corte coinciden, en ese caso las ecuaciones son desacopladas, es decir no hay pandéo flexo-torsional (perfiles con simetría puntual en apéndice B del Manual ICHA). Se verificará flexión en torno al eje de asimetría y flexo-torsión en torno al eje de simetría.
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x
x
(1)
(2)
(3)
4)
a) Flexión en torno al eje x-x (Eje de Asimetría) N°
Ix
KL/ix 4
1 2 3 4
(cm ) 2,50 1,80 5,66 1,44
Fex
Kg/cm2
Flim=0,44Fy=
1056
b/e
Q
Fcx
1,00 1,00 0,65 1,00
(kg/cm2) 1170,03 635,67 1424,16 λx>200
2
120,00 166,67 53,00 208,33
(kg/cm ) 1398,19 724,82 7166,72 463,89
21,0 27,3 71/46 27,3
1) En el caso (3) es necesario calcualr el área efectiva según el ancho reducido del alma. 2) No es recomendable usar secciones con Q < 0,80 b) Flexotorsión en torno al eje y-y (Eje de Simetría) Se calculará para los tres primeros casos la ecuación de Flexotorsión B4.44 N° 1 2 3
ry (cm) 4,38 4,77 5,09
KL/iy
(y0/r0)2
Fez
Fey 2
68,49 62,89 58,94
0,50 0,38 0,76
(kg/cm ) 1052,58 1665,70 494,71
H 2
(kg/cm ) 4291,76 5090,07 5795,93
0,50 0,62 0,24
continuación N°
(Fey+Fez)/2H
Fe
Fcz
Fcx
Fc
Rn
1 2 3
(kg/cm2) 5313,57 5467,77 12950,41
(kg/cm2) 443,60 839,81 111,18
(kg/cm2) 389,04 736,52 97,50
(kg/cm2) 1170,03 635,67 1424,16
(kg/cm2) 350,13 572,10 87,75
(ton) 3,36 5,46 0,84
Notas: a) b) c)
La sección (1) debiera verificarse con las ecuaciones aproximadas del AISC En (3) no se calculó el factor Q, pues la tensión de crítica es muy baja, lo que hace im probable que ocurra pandeo local. Si la sección Z hubiese sido admisible debería haberse evaluado separadamente el pa deo por flexión según ambos ejes. 83
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4.3.3.- Ejemplo 8. Diseñar una columna armada con alas esbeltas mediante ambas metodologías de diseño LRFD y ASD según la normativa AISC 2005.
Determine si una columna armada con PL 3/8” X 10 ½” para las alas y PL ¼” X 7/4” de alma es adecuada para soportar una carga axial que consiste en una carga muerta de 40 kips y una carga viva de 120 kips. Asuma que la longitud de la columna es 15 pies y los extremos se encuentran rotulados tanto para el eje X X y el eje Y Y. Propiedades del material: Acero ASTM A572 Grado 50 Fy = 50 ksi Fu = 65 ksi Propiedades geométricas: d = 8.0 [in], bf = 10.5 [in], tf = 0.375 [in], h = 7.25 [in], tw = 0.25 [in] LRFD Pu = 1.2*40 + 1.6*120 = 240 kips
ASD Pa = 40 +120 = 160 kips
Calculo de las propiedades de la sección:
[ ]
A = 2 ⋅ 10.5 ⋅ 0.375 + 7.25 ⋅ 0.25 = 9.69 in 2
Como la longitud efectiva es la misma en ambos ejes el eje débil es el que gobierna.
0.375 ⋅ 10.5 3 7.25 ⋅ 0.25 3 I y = 2 = 72.3 in 4 + 12 12
[ ]
ry =
Iy A
=
72.3 = 2.73 [in ] 9.69
I x = 2 ⋅ 3.812 ⋅ 3.94 +
[ ]
1 1 ⋅ 7.25 3 ⋅ 0.25 + 2 ⋅ ⋅ 0.375 3 ⋅ 10.5 = 122.4 in 4 12 12
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Chequeo de la esbeltez de los elementos: i) Para elementos atiesados (alma) en secciones I de doble simetría, bajo compresión uniforme: E 29000 h 7.25 λ r = 1.49 = 1.49 = 35.9 = = 29 < 35.9 ⇒ Alma no esbelta Fy 50 t w 0.25 Note que la soldadura de filete es omitida en el cálculo de h en secciones armadas. ii) Para alas de secciones I armadas bajo compresión uniforme:
4 = h tw
kc =
4 7.25
= 0.742 ; En donde 0.35 ≤ k c ≤ 0.76 ok.
0.25
Usando k c = 0.742
λ r = 0.64
kc ⋅ E 0.742 ⋅ 29000 b 10.5 = 0.64 = 13.3 = = 14 > 13.3 ⇒ Alas esbeltas 50 Fy t f 0.375
Chequeo de la resistencia por pandeo por flexión:
kL 1.0 ⋅ 15 ⋅ 12 = = 65.9 r 2.73 Calculo de Fe: Usando la expresión E3-4 Fe =
π 2E k⋅L r
2
=
π 2 ⋅ 29000 65.9 2
= 65.9 [ksi ]
Sin embargo, debido a que ésta columna posee elementos esbeltos, Fe podría necesitar ser reducida según la ecuación E4-4. A continuación se muestran los valores adoptados para el cálculo de las constantes Cw y J.
Cw =
Iy ⋅d2
J =∑
4
=
[ ]
72.3 ⋅ 7.625 2 = 1050.9 in 6 4
[
]
[ ]
b ⋅t3 1 = 2 ⋅ 0.375 3 ⋅ 10.5 + 0.25 3 7.25 = 0.407 in 4 3 3
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π 2 ⋅ E ⋅ C w π 2 ⋅ 29000 ⋅ 1050.9 1 1 Fe = G J + 11200 ⋅ 0.407 + ⋅ ⋅ = 2 2 122.4 + 72.3 (k z ⋅ L ) I x + I y (1.0 ⋅ 15 ⋅ 12) = 71.1[ksi ] > 65.9 [ksi ] Por lo tanto usar Fe = 65.9 [ksi ] Calculo de Qs:
0.64
E ⋅ kc E ⋅ kc b ≤ ≤ 1.17 Fy tf Fy
13.3 ≤ 14 ≤ 24.2
b Fy Por lo tanto Qs = 1.415 − 0.65 t E ⋅ kc 50 (10.5 / 2 ) = 0.976 Qs = 1.415 − 0.65 0.375 29000 ⋅ 0.742 Como el alma era compacta Qa = 1.0 Por lo tanto Q = Q a ⋅ Q s = 0.976 Calculo de la resistencia nominal a compresión:
4.71
E 29000 = 4.71 = 114.8 > 65.9 Q ⋅ Fy 0.976 ⋅ 50
Entonces aplica la ecuación E7-2 (Rango anelástico) Q ⋅ Fy 0.976⋅50 Fe ⋅ Fy = 0.976 0.658 65.9 ⋅ 50 = 35.8 [ksi ] Fcr = Q ⋅ 0.658
Pn = Fcr ⋅ Ag = 35.8 ⋅ 9.69 = 346.9 [kips ] LRFD Por la especificación φ c = 0.9
ASD Por la especificación Ω c = 1.67
φ c Pn = 0.9 ⋅ 346.9
Pn / Ω c = 346.9 / 1.67 = 208 [kips ]> 160 [kips ] OK.
= 312 [kips ]> 240 [kips ] OK.
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Sobredimensionamiento: LRFD 312 - 240 ⋅ 100 = 23% 312
ASD 208 - 160 ⋅ 100 = 23% 208
Recuerde que la especificación LRFD fue calibrada para una relación de carga viva – carga muerta de 3 (L/D=3) para que entregara la misma resistencia que el método ASD en la combinación de carga dada por: 1.2D + 1.6L, he ahí que en éste ejemplo los sobredimencionamientos den iguales, pues se cumple la condición para la cual fue calibrada la norma. 4.3.4.- Ejemplo 9. Determinar la resistencia en compresión, tanto por LRFD y ASD, para un perfil laminado MC 310x15.8 (Pág. 224 Manual ICHA) de 2.5 [m] de longitud. Las conexiones extremas se suponen empotradas, es decir: kx = ky =0.65.
Datos:
Calidad del acero: Propiedades de la sección:
A 42 - 27 ES: Fy = 265 [MPa] Fu = 415 [MPa] A = 1990 [mm2] = 107 [mm] rx = 8.9 [mm] ry
Pandeo local: Ala:
λ r = 0.56 ⋅ bf tf
E 200000 = 0.56 ⋅ = 15.38 Fy 265
< λ r ⇒ Ala compacta
Alma: λ r = 1.49 ⋅
tf
=
38 − 4.8 = 4.25 7.8
⇒ Qs = 1.0
E 200000 = 1.49 ⋅ = 40.9 Fy 265
h > λr ⇒ Alma esbelta tw
bf
h 270 = = 56.25 t w 4.8
⇒ Qa < 1.0
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Cálculo Qa :
be = 1.92 ⋅ t ⋅
E 0.34 E ⋅ 1 − ≤b f (b t ) f
Donde f es tomado como Qs ⋅ Fcr calculado con Qs = 1.0
kL 0.65 ⋅ 2500 = = 182.58 r 8.9 4.71
200000 E = 4.71 = 129.4 < 182.58 Q ⋅ Fy 1.0 ⋅ 265
π 2E
π 2 ⋅ 200000
= 59.21[MPa ] 2 182.58 2 k⋅L r Sin embargo, debido a que ésta columna posee elementos esbeltos, Fe podría necesitar ser reducida según la ecuación E4-4. A continuación se muestran los valores adoptados para las constantes Cw y J. Usando la expresión E3-4 Fe =
[
C w = 3.10 × 10 9 mm 6
[
J = 24.7 × 10 3 mm 4
]
]
=
[
I x = 22.9 × 10 6 mm 4
[
]
I y = 0.156 × 10 6 mm 4
]
π 2 ⋅ E ⋅ C w 1 Fe = +G⋅ J⋅ 2 (k z ⋅ L ) Ix + Iy π 2 ⋅ 200000 ⋅ 3.1 × 10 9 1 + 77200 ⋅ 24.7 × 10 3 = 2 6 (1.0 ⋅ 2500) (22.9 + 0.156 ) × 10 = 125.16 [MPa ] > 59.21[MPa ] Por lo tanto usar Fe = 59.21[MPa ] Entonces aplica la ecuación E7-3 (Rango elástico)
Fcr = 0.877 ⋅ Fe = 51.92 [MPa ] f = Qs ⋅ Fcr = 1.0 ⋅ 51.92 = 51.92 [MPa ]
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E 0.34 E ⋅ 1 − ≤b f (b t ) f 200000 0.34 200000 = 1.92 ⋅ 4.8 ⋅ ⋅ 1 − ⋅ = 357.4 ≤ 270 51.92 (270 4.8) 51.92 ⇒ be = 270 [mm]
be = 1.92 ⋅ t ⋅
Área no efectiva = (b-be) x tw = 0
Qa =
A − Ano efectiva A
= 1.0
Q = Q s Q a = 1 .0 Pandeo por flexión (eje asimetría): Análisis en eje y-y:
Fe = Fey =
π 2E π 2 ⋅ 200000 = = 59.21[MPa ] 2 λ2y 0.65 ⋅ 2500
Como
8.9
k⋅L E > 4.71 ⋅ ⇒ Fcr = 0.877 ⋅ Fe = 51.92 [MPa ] (Rango elástico) ry Fy
Pandeo por flexo-torsión (eje simetría): Análisis en eje x-x:
4 ⋅ Fex ⋅ Fez ⋅ H F + Fez Fe = ex ⋅ 1 − 1 − (Fex + Fez )2 2 ⋅ H
ro2 = xo2 + y o2 +
Ix + Iy Ag
= 13.38 2 + 0 2 +
(22.9 + 0.156) × 10 6 1990
[
= 11764.95 mm 2
]
xo2 + y o2 13.38 2 + 0 2 = 1− = 0.984 H = 1− 11764.95 ro2
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Fe = Fex =
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π 2E π 2 ⋅ 200000 = = 8558.36 [MPa ] 2 λ2x 0.65 ⋅ 2500
107 2 π ⋅ E ⋅ Cw ⋅ 1 2 + ⋅ Fez = G J 2 A ⋅r (k z ⋅ L ) g o 2 π ⋅ 200000 ⋅ 3.10 × 10 9 1 3 ⋅ = 77200 24 . 7 10 + ⋅ × 2 (1.0 ⋅ 2500) 1990 ∗ 11764.95 = 123.26 [MPa ]
4 ⋅ 8558.36 ⋅ 123.26 ⋅ 0.984 8558.36 + 123.26 Fe = ⋅ 1 − 1 − = 123.23 [MPa] 2 ⋅ 0.984 (8558.36 + 123.26)2 Fy k⋅L E Como < 4.71 ⋅ ⇒ Fcr = 0.658 Fe Fy = 107.73 [MPa ] (Rango anelástico) rx Fy
Por lo tanto controla la falla por pandeo por flexión en rango elástico y la resistencia nominal viene dada por: Pn = Ag ⋅ Fcr , con el valor de Fcr obtenido en el análisis en la falla que controla.
Pn = 1990 ⋅ 51.92 = 103320.8 [N ]
LRFD Por la especificación φ c = 0.9
ASD Por la especificación Ω c = 1.67
φ c Pn = 0.9 ⋅ 103320.8
Pn / Ω c = 130320.8 / 1.67 = 61868.74 [N ]= 6.3 [t ]
= 92988.72 [N ]= 9.48 [t ]
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