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• jhezabel belmonte

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C

A

P

Í

T

Esf u u a a ebraz  jz o un os pri  pr i ncipales

U

L

O

8

Debido a las fuerzas de gravedad y del viento, el poste que soporta el anuncio que se muestra está sometido en forma simultánea a compresión, flexión y torsión. En este capítulo usted aprenderá a determinar el esfuerzo que crean tales cargas combinadas en las estructuras y elementos de máquinas.

496

Esfuerzos principales bajo una carga

dada

rm  áx o

o ' 

m

a) Figura 8.1

b)

rm 

o ' 

o '  a)

Figura 8.2

b)

*8.1 INTRODUCCIÓN

La primera parte de este capítulo se dedicará a la aplicación de los conoci- mientos sobre la transformación de esfuerzos (adquiridos en el capítulo 7) al diseño de vigas y ejes. La segunda parte del capítulo tratará de cómo deter- minar los esfuerzos principales en elementos estructurales y de maquinaria sujetos a condiciones dadas de carga. En el capítulo 5 se aprenderá a calcular el esfuerzo normal máximo sm que ocurre en una viga sometida a una carga transversal (figura 8.1 a) y a verificar si dicho valor excede el esfuerzo permisible s perm para el material dado. Si fuera así, el diseño de la viga no sería aceptable. Si bien el peli- gro para un material frágil en realidad es fallar a la tensión, para un mate- rial dúctil es fallar a cortante (figura 8.1b). El hecho de que sm > s perm in- dica que ƒ M ƒ máx es demasiado grande para la sección transversal seleccionada,  pero no proporciona ninguna información acerca del mecanismo real de fa- lla. En forma similar, el hecho de que tm > t perm simplemente indica que ƒ V ƒ máx es demasiado grande para la sección transversal seleccionada. Mien- tras que el peligro para un material dúctil estriba en fallar ante un esfuerzo cortante (figura 8.2a), el peligro para un material frágil es fallar a la tensión  bajo los esfuerzos principales (figura 8.2b). La distribución de los esfuerzos  principales en una viga se analizará en la sección 8.2. En función de la forma de la sección transversal de la viga y el valor de la cortante V en la sección crítica, donde ƒ M ƒ = ƒ M ƒ máx, podría ocurrir que el mayor valor del esfuerzo normal no se diera en los extremos superior o inferior de la sección, sino en algún otro punto dentro de ésta. Como se verá en la sección 8.2, una combinación de valores grandes de s  x y t  xy cerca de la unión de la estructura y de los bordes de una viga en W o en S puede oca- sionar que el valor del esfuerzo principal smáx (figura 8.3) sea mayor que el valor sm en la superficie de la viga.

omáx

Figura 8.3

La sección 8.3 se dedicará al diseño de ejes de transmisión sometidos a cargas transversales y a pares de torsión. Se tomará en cuenta el efecto con junto de los esfuerzos normales debidos a la flexión y a los esfuerzos cor- tantes debidos a la torsión.

n secc ión 8.4 se apre nder á dete rmi Esfuerzos principales nar 496 bajo una carga dada los esfu erzo s rm  áx un o m o '  punt o dad a) b) o Figura 8.1 un cuer po de for ma cual rm  quie ra suje o '  to carg o '  as a) com Figura 8.2 bina das. En primer luga r, redu cirá la carg a dad a fuer zas y pare s la secc ión que contien

e a K.  Enseguida, se calcularán los esfuerzos normal y cortante en K  . Por último, con el uso de uno de los métodos aprendidos en el capítulo 7 para transformar esfuerzos, se determinará los planos y esfuerzos principales, y el esfuerzo cortante máximo en K  . *8.1 INTRODUCCIÓN

La primera parte de este capítulo se dedicará a la aplicación de los conocimientos sobre la transformación de esfuerzos (adquiridos en el capítulo 7) al diseño de vigas y ejes. La segunda parte del capítulo tratará de cómo deter- minar los esfuerzos principales en elementos estructurales y de maquinaria sujetos a condiciones dadas de carga. En el capítulo 5 se aprenderá a calcular el esfuerzo normal máximo sm que ocurre en una viga sometida a una carga transversal (figura 8.1 a) y a verificar si dicho valor excede el esfuerzo permisible s perm para el material dado. Si fuera así, el diseño de la viga no sería aceptable. Si bien el peli- gro para un material frágil en realidad es fallar a la tensión, para un mate- rial dúctil es fallar a cortante (figura 8.1b). El hecho de que sm > s perm in- dica que ƒ M ƒ máx es demasiado grande para la sección transversal seleccionada,  pero no proporciona ninguna información acerca del mecanismo real de fa- lla. En forma similar, el hecho de que tm > t perm simplemente indica que ƒ V ƒ máx es demasiado grande para la sección transversal seleccionada. Mien- tras que el peligro para un material dúctil estriba en fallar ante un esfuerzo cortante (figura 8.2a), el peligro para un material frágil es fallar a la tensión  bajo los esfuerzos principales (figura 8.2b). La distribución de los esfuerzos  principales en una viga se analizará en la sección 8.2. En función de la forma de la sección transversal de la viga y el valor de la cortante V en la sección crítica, donde ƒ M ƒ = ƒ M ƒ máx, podría ocurrir que el mayor valor del esfuerzo normal no se diera en los extremos superior o inferior de la sección, sino en algún otro punto dentro de ésta. Como se verá en la sección 8.2, una combinación de valores grandes de s  x y t  xy cerca de la unión de la estructura y de los bordes de una viga en W o en S puede ocasionar que el valor del esfuerzo principal smáx

(figura 8.3) sea

mayor que el valor sm en la superficie de la viga.

F i g u r a 8 . 3

om

o x

om

a secc ión 8.3 se dedi cará al dise ño de ejes de tran smis ión som etid os carg as om tran svero x r  xy sale s arm  pare s om torsi ón.

Se tomará en cuenta el efecto con junto de los esfuerzos normales debidos a la flexión y a los esfuerzos cor- tantes debidos a la torsión. En la sección 8.4 se aprenderá a determinar los omáx esfuerzos en un punto  K dado de un cuerpo de forma cualquiera sujeto a cargas combinadas. En pri- mer lugar, se reducirá la carga dada a fuerzas y pares en la sección que con- tiene a K.  Enseguida, se calcularán los esfuerzos normal y cortante en K  . Por último, con el uso de uno de los métodos aprendidos en el capítulo 7 para transformar esfuerzos, se determinará los planos y esfuerzos principales, y el esfuerzo cortante máximo en K  . *8.2 ESFUERZOS PRINCIPALES EN 8.2 Esfuerzos principales UNA VIGA en una viga Considere una viga prismática  AB sometida a alguna carga arbitraria trans- versal (figura 8.4). Se denotarán con V y  M al momento cortante y de fle- xión, respectivamente, en una sección que pase por un punto dado C  . Se re- cordará, de los capítulos 5 y 6, que, dentro de un límite elástico, los esfuerzos que se ejercen sobre un pequeño elemento con caras perpendiculares a los ejes  x y  y, respectivamente, se reducen a los esfuerzos normales sm =  Mc/ I si el elemento se encuentra en la superficie libre de la viga, y a los esfuer- zos cortantes tm = VQ/ It si el elemento está en la superficie neutral (figura 8.5).

P w C   B

 A  D

Figura 8.4

 y

 y c

4

om

om

omín

omáx

c

omáx  y

 y x

O

omín

om

O

 x

om —

c

—

c

Figura 8.5 8.6

nto de material está sujeto simultáneamente a los esfuerzos normales  My

E n c u a l q u i e r p u n t o d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l ,

en donde y es la distancia a la superficie neutral e   I el momento de inercia centroidal de la sección, y a los esfuerzos cortantes VQ

( 8 . 2 ) donde Q es el primer momento sobre el eje neutral de la porción del área de la sección transversal localizada sobre el punto donde se calculan los esfuerzos, y t es el ancho de la sección transversal en ese punto. Con el uso de cualquiera de los métodos de análisis que se presentaron en el capítulo 7, es  posible obtener los esfuerzos principales en cualquier punto de la sección transversal (figura 8.6). Ahora procede formular la siguiente pregunta: ¿el esfuerzo normal má- ximo smáx en algún punto dentro de la sección transversal podría ser mayor que el valor sm = Mc/ I calculado en la superficie de la viga? Si es así, en- tonces la determinación del mayor esfuerzo normal en la viga implicará una dificultad más grande que el cálculo de ƒ  M ƒ t  xy = —  It 

máx

e l e m e

y el uso de la ecuación (8.1).

Se puede obtener una respuesta a dicha pregunta con la investigación de la 498

u n

( 8 . 1 )

s  x = —  I 

Esfuerzos principales

bajo una carga dada

distribución de los esfuerzos principales en una viga rectangular a voladizo sometida a una carga P concentrada en su extremo libre (figura 8.7). Se re- cordará, de la sección 6.5, que los esfuerzos normal y cortante a una distan- cia x de la carga P y a una distancia sobre la superficie neutral, están dados, respectivamente, por las ecuaciones (6.13) y (6.12). Toda vez que el momen- to de

inercia de la

sección transversal es

P

 I o x

=

bh

= 1b

r x  y

  A c

12h2  y 1

2c

22 =

b

método de la sección 7.3 o el de la 7.4, puede determinarse el valor de smáx en cualquier punto de la viga. La figura 8.8 muestra los

2

c

resultados del cálculo de las razones smáx/sm y smín/sm en las dos sec-

c

13 2

 x

ciones de la viga, correspondientes respectivamente a  x = 2c y a  x = 8c. En

en don de A

el área omín/om   y/cP de la 0 secc  =y 1.0 ión + 0.010 tran c 0.8 sver  y = 0  x = 2c 0.040 sal y = —c 0.6 y 0.4 0.090 la mita 0.2 0.160 d del 0 0.250 pera lte 0.2 0.360 de la 0.4 0.490 viga ; se 0.6 0.640 tien e que 0.8 0.810

 x = 2

omáx/om

1.000 0.810

—

x

—

0.360

—

0.250

—

 Pxy Pxy P Fi g u r a 8. 7

—

—

—

—

—

—

—

1.0

—

8c 0.640

0.490

—

—

=

0.160 0.090 0.040 0.010 0

1.000

—

omín/om

 x = 8c

omáx/o

m

0

1.000

0.001

0.801

0.003

0.603

0.007

0.407

0.017

0.217

0.063

0.063

0.217

0.017

0.407

0.007

0.603

0.003

0.801

0.001

1.000

0

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

(8.3) Figura 8.8 Distribución de esfuerzos principales en dos secciones transversales de una viga en voladizo rectangular que soporta una carga concentrada única.  x

3

 A c

y que 3  y2 t xy =

P 

ac2 1 2  A

—

b

= cada sección, estas razones se determinaron en 11 puntos diferentes, y se in- dica la orientación de los ejes principales en cada punto.† Queda claro que smáx no excede sm en ninguna de las dos secciones con- sideradas en la figura 8.8 y que, si excede a sm en algún caso, será en las secciones cercanas a la carga P, donde sm es pequeña en comparación con tm.‡ Pero, para secciones cercanas a la carga P, el principio de SaintVenant no se aplica, y las ecuaciones (8.3) y (8.4) dejan de ser válidas, excepto en el caso muy improbable de una carga distribuida en on forma parabólica sobre el extremo libre de la el sección (cf.  sección 6.5), y se requiere usar uso métodos más avanzados de análisis que del

tomen en cuenta el efecto de las concentra- ciones de esfuerzo. Por tanto, se concluye que, para vigas de sección transversal rectangular, y dentro del marco de la teoría presentada en este texto, el esfuerzo normal máximo puede obtenerse de la ecuación (8.1). En la figura 8.8 se determinaron las direcciones de los ejes principales en 11 puntos en cada una de

las dos secciones consideradas. Si este análisis se extendiera a un número mayor de secciones y a un número más grande de  puntos en cada sección, sería posible dibujar dos sistemas ortogonales de curvas en el flanco de la viga (figura 8.9). Un sistema consistiría en curvas tan- gentes al eje principal que corresponde a smáx y el otro en curvas tangentes al eje principal que es el de smín. Las curvas así obtenidas se conocen como trayectorias de esfuerzo. Una trayectoria del primer tipo (líneas continuas) define en cada uno de sus puntos la dirección del esfuerzo mayor de tensión, mientras que una trayectoria del segundo tipo (líneas punteadas) define la di- rección del mayor esfuerzo de compresión.§ La conclusión a la que se ha llegado para las vigas de sección transversal rectangular, acerca de que el esfuerzo normal máximo en la viga puede obtenerse a partir de la ecuación (8.1), sigue siendo válida para muchas de las vigas de sección transversal no rectangular. Sin embargo, cuando el an- cho de la sección transversal varía en forma tal que los esfuerzos cortantes mayores t  xy ocurrirán en los puntos cercanos a la superficie de la viga, en donde s x

también es grande, y en dichos puntos puede que resulte un valor del esfuerzo principal smáx mayor que sm. Se debe prestar especial atención sobre esta posibilida d cuando se seleccione n vigas W o vigas S, y se calculen los esfuerzos principales smáx en las juntas b y d del alma con las alas de la viga (figura 8.10). Esto se hace determina ndo s x y t  xy en ese punto con las ecuaciones (8.1) y (8.2), respectiva mente, y con el uso de cualquiera de los métodos de análisis del capítulo 7 para obtener smáx (véase problema mo- delo 8.1). Un procedimi ento

alternativo consiste en asignar a t  xy el valor del esfuerzo cortante máximo en la sección, tmáx = V/ Amalla, dado por la ecua- ción (6.11) de la sección 6.4. Esto lleva a un valor ligeramente mayor, y por tanto conservador, del esfuerzo principal smáx en la unión de la malla con las  pestañas de la viga (véase problema modelo 8.2).

8.2

Esfuerzos princi

en una viga

PTensión

Compresión

Figura 8.9. de esfuerzo.

Trayectorias

a b

c

d  e

Figura 8.10

† Véase el problema 8.C2, que alude al programa utilizado para obtener los resultados que se muestran en la figura 8.8. ‡ Como se comprobará en el problema 8.C2, smáx excede a sm si  x Š 0.544c.

§ Un material frágil, tal como el concreto, fallará a la tensión a lo largo de planos perpendiculares a las trayectorias del esfuerzo de tensión. Así, para ser efectivas, las barras de acero de refuerzo deben colocarse en forma tal que intersequen a dichos planos. Por otro lado, las varillas adheridas a la malla de una viga serán eficaces en la resistencia si intersecan planos perpendiculares a las trayectorias del esfuerzo de compresión.

4

500

Esfuerzos principales bajo una carga dada

*8.3 DISEÑO DE EJES DE TRANSMISIÓN

Cuando se analizó el diseño de ejes de transmisión en la sección 3.7, sólo se consideraron los esfuerzos debidos a los pares de torsión que se ejercían so bre los ejes. Sin embargo, si la fuerza se transfiere hacia el eje y desde él por medio de engranes o ruedas dentadas (figura 8.11a), las fuerzas ejercidas so bre los dientes de los engranes son equivalentes a sistemas de pares de fuer- zas aplicados en los centros de las secciones transversales correspondientes (figura 8.11b). Esto significa que el eje está sometido a una carga transver- sal y a una carga de torsión.

 A

P3 C 

a)

 B P1C  P2

 y P1 T1 T2

 A z  z

T3  A y

C

P3

b)

B z 

C

P2

x B y

Figura 8.11

Los esfuerzos cortantes producidos en el eje por las cargas transversales  por lo general son mucho más pequeños que los provocados por los pares de torsión, por lo cual no se incluirán en este análisis.† Sin embargo, los es- fuerzos normales debidos a las cargas transversales, pueden ser muy grandes y, como verá, debiera tomarse en cuenta su contribución al esfuerzo cortante máximo tmáx.

Para una aplicación en la que deban considerarse los esfuerzos cortantes producidos por las car- gas transversales, véanse los problemas 8.21 y 8.22. †

Considere la sección transversal del eje en algún punto C  . Se represen- ta el par de torsión T y los pares de flexión M  y y M  z que actúan, respectiva- mente, en un plano horizontal y en otro vertical por

medio de los vectores que se muestran (figura 8.12a). Dado que cualquier diámetro de la sección es un eje

principal de inercia para la sección, puede reemplazarse M  y y M  z   por su resultante M (figura 8.12b) con el objeto de calcular los esfuerzos nor- males s  x ejercidos sobre la sección. Se encuentra así que s  x es máximo al final del diámetro perpendicular al vector que representa a M (figura 8.13). Al recordar que los valores de los esfuerzos normales en ese punto son, res-

8.3Diseño de ejes de transmisión 501

M

 pectivamente, sm =  Mc/I y cero, mientras que el esfuerzo cortante es tm = Tc/J  , se grafican los puntos correspondientes  X y Y en un diagrama de

M y M z 

círcu- lo de Mohr (figura 8.14) y se determina el valor del esfuerzo cortante má- ximo:

C

C  T

T

a)

b)

Figura 8.12

t máx

=  R =

sm b 2

a

B

1tm22

+

 Mc 2 b

=

a

2

B

+

a

Tc

om

2

b

r  m

 J

2 I

M

m

o

T

Y, como se vio, para una sección transversal circular o anular, 2I =  J,  queda Figura 8.13

c

tmáx

=

 J

2

2 M +

2

(8.5)

T 

r 

 D

Se deduce que la razón mínima permisible  J/c para la sección transver- sal de la viga es

12 M 2 + T

 J 22 c

=

 X 

r m rmáx  BO

máx

C

(8.6)

t perm

Y 

om

en donde el numerador del miembro del lado derecho de la expresión obte- nida representa el valor máximo de 2 M2  + T 2 en el eje, y t perm es el es- fuerzo cortante permisible. Al expresar el momento flexionante M en térmi- nos de sus componentes en los dos planos coordenados, se puede escribir 

 J c

12 M y  + M z  + T  2máx =

2

2

2

(8.7)

t  perm

Las ecuaciones (8.6) y (8.7) pueden usarse para diseñar ejes circulares tanto sólidos como huecos y debieran compararse con la ecuación (3.22) de la sec- ción 3.7, la cual se obtuvo con la suposición de tener únicamente una carga de toLrsai ódne.terminación del máximo valor de 2 M   y + M z  + T  se facilitará si 2

2

2

se dibujan los diagramas del momento flexionante que corresponden a M  y  y a  M    z,  así como un tercer diagrama que represente los valores de T a lo largo del eje (véase problema modelo 8.3).

Figura 8.14

A

o

160 kN

PROBLEMA MODELO 8.1

  A' 

=

Se aplica una fuerza de 160 kN, como se muestra en la figura, en el extremo de una viga de acero laminada W200 × 52. Ignore el efecto de los fileteados y concentra- ciones de esfuerzos y determine si los esfuerzos normales en la viga satisfacen una especificación de diseño menor o igual que 150 MPa en la sección  A-A'.

mm

 A

1 6 0 k N

SOLUCIÓN 0.3 75 m

Momento cortante y flexionante. sección A-A' se tiene

 M   A = 1160 kN 210.375 m 2 = 60 kN m V    A = 160 kN

M

  A

En la

•

V

 A

Esfuerzos normales en el plano transversal. en la tabla de  Pro piedades de las formas de acero laminado en el

204 mm

apéndice C, se obtienen los datos que se muestran y con ellos se determinan los esfuerzos sa y sb.

12.6 mm a

oa c = 103 mm c

En el punto a:  M  A 

  yb = 90.4 mm

6

ob

206 mm

sa =

7.9

En el punt o b:

mm  I = 52.7 × 10 –6  m4  –  S= 512 × 10 m

63

60 kN • m

=

= 117.2 MPa

3 —

S

10

512 ×

m

90.4 mm

 yb

sb = sa = 1117.2 MPa2 c = 103 mm 102.9 MPa

20 4 m m

12 .6 m m

Al buscar

Se observa que todos los esfuerzos normales sobre el plano transversal son menores que 150 MPa.

a

Esfuerzos cortantes sobre el plano transversal

103 mm

En el punto a:

b

Q

=

0

ta

=

0

96.7 mm c

En el punto b: 12.62196.72 = 248.6 × 103 mm3 = 248.6 × 10—6 m3

Q = 1204 r

V  Q

6

b

×

kN21 248.6 × 10— m32

 A t

=

1160

=

=

95.5 MPa ob

Y

 

1pu =zo mn co 9o 1rt b 0an

b

máx

I 1

o

  A O C

o R

E s f u e r z o s p r i n c i p a l e s e n e l

c 2te o .t y ns 4= is 95 s te M .5 e e PM n aPa e el . n es ySe c fu di u er ebu e z l ja n o eel t n scí r or frc a m uul al eo q s rde u e

máx

rb

p u n t o b  

.

E l e s t a d o d e l o s e s f u e r z o s e n e l

M o h r

P

 L = 874 mm a

5W2 00 0× 52 2 b c

ee n t a ri o .

P a r a e s t a v i g a y c a r g a 1, e 1l e 1s f 2 u e 2 r o s b z 2 2 R + o = 2 p X sb + r a sB 2 i sb b n o1 102.9c 2+ 0+195 i = 2 .522 p a . aB l 9 e b 22 n se MPa l p au esp n eci t fic o aci b ón e s s Š 3 15 06 % M Pa, no m se a sati y sfa o ce €r

q

Cu o me

b

PROBLEMA MODELO 8.2

20 kips

9 ft

La viga colgante  AB soporta una carga de 3.2 kips/ft uniformemente distribuida y una carga concentrada de 20 kips en C.  Si se sabe que para el grado de acero que se usará s perm = 24 ksi y t perm = 14.5 ksi seleccione la forma del perfil de alas anchas  B que debe usarse.

3.2 kips/ft

 A C

20 ft

D

5 ft 20 kips

SOLUCIÓN

3. 2 k i p s/ ft  A

C 

 D

41 kip s 9 ft

Reacciones en A y en D  . Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga. De las ecuaciones de equilibrio \ M    D = 0 y \ M    A = 0 se encuentran los valores de R  A y R  D que se muestran en el diagrama.

Diagramas de momento cortante y flexionante.

59 kips

Usando los métodos de las secciones 5.2 y 5.3, se dibujan los diagramas y se observa que

11 ft V

5

41 kips

( 239.4)

ƒ M ƒ máx

ft

12.2 kips

.8 ki p s

239.4 kips

•

ft

=

2 873 kips

•

ƒ V ƒ máx

in.

=

43 kips

Para ƒ  M ƒ máx = 2 873 kips • in. y s perm = 24 ksi, el módulo de la sección mínima aceptable de la forma de  x acero laminado es Módulo de la sección.

16  –   7

=

kips ( –   279. ( 4) 4 0 )

 ƒ M ƒ

=

 –  43 kips

 M 

s perm

2 4 ks i

máx

2 873 kips • in.

=

3

119.7 in.

Selección de la forma del perfil de alas anchas. De tabla   Propiedades de las formas de acero laminado

la del apéndice D, se obtiene la lista de formas que tie- nen un módulo de sección más grande que Sm  ín y que también son la forma más li- gera en un grupo de profundidad dada.

 x 239.4 kips · ft

 –   40 kips · ft

S (in.3)

Forma

W24

×

154 127 146 134 123 131

68

tw  = 0.400 in. W21 × 62 W21 × 62 d= 21 in.

 A

W18 × 76 77in.2 =W16 t  d = × 8.40 W14 × 82 malla w W12 × 96

S = 127 in.3

Y se selecciona la forma más ligera disponible, que es

W2 t    f = 0.615 in. a

10.5 in. 9.88

Esfuerzo cortante. Se supone que el esfuerzo cortante máximo está unifor- memente distribuido sobre la malla del área de una forma W21 × 62 y se escribe V  43 kips

oa = 22.6 ksi

in .

o b

máx

= 21 .3 ksi

tm =

malla

= =

5 . 1 2 k s i 6 1 4 . 5 k s i

8. 4 0 in .2

( O K )

E Se

que revi Y 21.3 sa ksi que 21.3 el b esfu s= m1 + erzo oá prin x+1 5 cipa ksi l = máx imo+ crítica a 2 excede b escribe r b = 1.45  ksi 2 2 ob= M 873 r  m B   kip s• 2 á in. s x=

s a

s R

 

m

3á

S  

127 in.

x

=

22.6 = ksi

b= a

c

9.88 2 in.

1 . 1 0 21. 4

o= =

1. 3 250 ksi k 2 s i . in 6.

Š

k s i 2

2 4 k s i

V

   =

1.4 Conserva 5 1ksi O tivamente K , t2   . 2 2

>

k i p s=

5 0 3

8.4 0 in. r

C

1.45 ksi O  A o

 

Se dibuja el círcul o de Mohr y se encue ntra

s

s

200

200

200  H

G

r  E  =

160

=

r   

60

D

rC 

El eje sólido   AB gira a 480 rpm y transmite 30 kW del motor  M a los elementos de máquina conectados a los engranes G y H;  se extraen 20 kW en el engrane G y 10

 

 D E 

C 

 A

PROBLEMA MODELO 8.3

200

 B

80

=

kW en H . Sabiendo que t perm = 50 MPa, determine el diámetro más pequeño permisible para el eje AB.

 M 

Dimensiones en mm

SOLUCIÓN Se observa que  f = 480

Pares de torsión ejercidos sobre los engranes.

rpm = 8 Hz y se determina el par de torsión ejercido sobre el engrane E: 

C  

r  E  = 0.160 m  A

C

T  =

 y

F  E = 3.73

 E

kN

T 

F  E =

=

 D

 E   B

T    D

 x

T  E  = 597 N · m

2p18 Hz2

199 N • m

=

kN

2.49 kN

 

  y TC = 398 N · m T  D = 199 N · m

2.90

 B  x

0.932

=

= 6.63

F  D 

6.22 kN 0.2 m kN

 x C

 z kN

 FC 

10 kW =

F  E = 3.73 kN

E

398 N • m

Diagramas de momento flector y de par de torsión

FC = 6.63 kN

 A

=

Ahora, se reemplazan las fuerzas en los engranes por sistemas equivalentes de pares de fuerzas.

  z 

 y

597 N • m

 E

2p18 Hz2

C

3.73 kN

kN

=

2p18

0.16 m Se efectúan análisis similares para los engranes C y D, y quedan 20 kW

T  D = 199 N · m

F  D = 2.49

=

=

TC = 398 N · m C

2p  f

 E

Hz2 La fuerza tangencial que actúa sobre el engrane es T  E  597 N • =   F  = 3.73 kN m r  

 B

rC  = 0.060 m r    D = 0.080 m

30 kW

 P

  E 

 D

2.80 kN

D

 A

B

F  D =

 z

C

 D

 z

E

 x  B

T  E = 597 N · m

2.49 kN

0.6 m

FC = 6.63

0.2 m

373 N · m   M  z  m 186 N · m

kN

C

D

E

B 1160 N · m

C

D

 B

E

 A

C D 580 N · m

C

D

E

 B

1 244 N · m

Sección transversal crítica.

 y

todas las sec-

M y

·m

·m

560 N ·

 A  A

T 

Al calcular 2 M  2 + M2  + T 2 en  y

z 

ciones potencialmente críticas, se encuentra que su valor máximo ocurre justo a la derecha de D: 12 M2  + M2  + T 2 2 = 21 1 1602 2 + 1 373 2 2 + 1 597 2 2 = 1 357 N •

 y

m z

máx

Diámetro del eje.

Para t perm = 50 MPa, la ecuación (7.32) conduce

a  

J 1 T y z

1— 6 •

= =

c

2 7 . 50 = M1 4

Pa

×

1 0 m M z

5

un eje sóli do circ ular de radi o c, se tien e   p 6

=

c c c 2

Diámetro

=

2c

=

51.7 mm  €

505

PROBLEMAS P

P  A

8.1 Una viga de acero laminado W10 × 39 soporta una carga P, como se mues B tra en la figura. Si se sabe que  P = 45 kips, a = 10 in. y o perm = 18 ksi, a) determine el máximo valor del esfuerzo normal om en la viga, b) calcule el máximo 10 ft a va- lor del esfuerzo principal omáx en la unión del alma con el patín, c) diga si la Figura P8.1 forma especificada es aceptable en lo que concierne a estos dos esfuerzos.

 D

C  a

8.2 Resuelva el problema 8.1 si P = 22.5 kips y a = 20 in. P

8.3 Una viga en voladizo W920 × 446 de acero laminado soporta una carga P como se muestra en la figura. Si se sabe que  P = 700 kN, a = 2.5 m y o perm =   A 100 MPa, a) determine el valor máximo del esfuerzo normal om en la viga, b) calcule el valor máximo del esfuerzo principal omáx en la unión del alma con el patín,  B c) diga si la forma especificada es aceptable en lo referente a los dos esfuerzos mena cionados. Figura P8.3 8.4 Retome el problema 8.4, y ahora suponga que P = 850 kN y a = 2.0 m.

8.5y 8.6 a) Si se sabe que o perm = 24 ksi y r  perm = 14.5, seleccione el per- fil de patín ancho más económico que debe usarse para sostener la carga que se mues- tra en la figura. b) Determine los valores que se esperan de om, r m y el esfuerzo prin- cipal omáx en la junta del alma con el patín de la viga seleccionada.

1.5 kips/ft

1.5 kips/ft

C 

a

9 kips

 A

C   B

 A

C 

15 ft

 B

12 ft

9 ft

Figura P8.6

6 ft

Figura P8.5

8.7 y 8.8 a) Si se sabe que o perm = 160 MPa y que r p erm = 100 Mpa, selec- cione la forma métrica de patín ancho más económica que debe emplearse para so portar la carga que se indica en la figura. b) Determine los valores esperados para om, rm  y el esfuerzo principal omáx en la unión del alma con el patín de la viga se- leccionada. 250 kN 250 kN 250 kN

 A

B

C

D

 B

E 

 D

3

Figura P8.8

506

0.9 m

0.9 m

C 

 A

m

0.9 m 0.9 m Figura P8.7

45 kN

22 kN/m

1m

1m

506

8.9 a 8.14 Cada uno de los siguientes problemas se refiere al perfil de acero laminado seleccionado en un problema del capítulo 5 para sostener una carga dada a costo mínimo a fin de satisfacer el requerimiento de que om ≤ o perm. Para el diseño seleccionado, determine a) el valor real de om en la viga, b) el máximo valor del es- fuerzo principal omáx en la unión del alma con el patín.

Esfuerzos principales bajo una carga

dada

8.9 La carga del problema 5.74 y el perfil seleccionado W530 × 66. 8.10 La carga del problema 5.73 y el perfil seleccionado W250 × 28.4. 8.11 La carga del problema 5.78 y el perfil seleccionado S310 × 47.3. 8.12 La carga del problema 5.75 y el perfil seleccionado S20 × 66. 8.13 La carga del problema 5.77 y el perfil seleccionado S510 × 98.3. 8.14 La carga del problema 5.76 y el perfil seleccionado S20 × 66.

200 mm

5 0 0

180 mm 160 mm

N

Determine los diámetros mínimos permisibles para las varillas sólidas BC y CD que se muestran en la figura. Utilice r  perm = 60 MPa y desprecie el efecto de los filetes y de las concentraciones de esfuerzo. 8.15

1 25 0 N  D

 A

Si se sabe que las varillas  BC y CD de la figura tienen diámetros de 24 mm y 36 mm respectivamente, determine el esfuerzo cortante máximo en cada vari- lla. Desprecie el efecto de los filetes y de las concentraciones de esfuerzo. 8.16

  B

Figura P8.15 y P8.16

8.17 Determine el diámetro mínimo permisible del eje sólido  ABCD, si se sabe que r  perm = 60 MPa y que el radio del disco B es r = 80 mm. 8.18 La fuerza de 4 kN es paralela al eje  x, y la fuerza Q es paralela al eje z.  El eje AD es hueco. Si se sabe que el diámetro interior es la mitad del diámetro ex- terior y que r  perm = 60 MPa, determine el diámetro exterior mínimo permisible para el eje.

 A r   B P

150 mm C  150 mm  D T = 600 N · m

 y

Figura P8.17 60 mm

 A

Q

 B

90 mm

100 mm C 

4 kN

80 mm

 D

 y

140 mm

 z 

7 in. 7 in.

 x

7 in. 4 in.

Figura P8.18

7 in.

P

 A  B

4 in. C 

 z

 B

 E 

6 in. 500 lb

Figura P8.19

 D  x

8.19

L a s d o s f u e r z a s d e 5 0 0 l b s o n v e r ti c a l e s y l a f u

erz aP es par alel a al eje  z . Si r p  erm = 8 ksi, determine el diámetro mínimo permisible del eje sólido AE. 

8.20 P ara el sistema de eje y engranes y las cargas del problema 8.19, determine el diámetro mínimo permisible del eje AE,  si se sabe que el eje es hueco y tiene un diámetro interior que es 2 del diámetro exterior. 8.21 Ut ilice la notación de la sección 8.3 y desprecie el efecto que tienen los esfuerzos cortantes ocasionados por las cargas transversales, para demostrar que el esfuerzo normal máximo en un eje cilíndrico puede expresarse como

507

Problemas

smáx

90°

1    M  y M

2

 J 3 1  M  y

 M  z 2

 z

T

M

máx

2

 H 

2 4

O

En la sección 8.3 se estableció que generalmente los esfuerzos cortantes  producidos en un eje por cargas transversales son mucho más pequeños que los producidos por los pares de torsión. En los problemas precedentes se ignoró su efecto y se supuso que el esfuerzo cortante máximo en una sección dada ocurría en un punto 3  H (figura P8.22a) y era igual a la expresión obtenida para la ecuación (8.5), a saber

8.22

c

2

2

t  H

= 2 M +

T

V

M

Demuestre que el esfuerzo cortante máximo en el punto K (figura P8.22b), donde el esfuerzo cortante V es mayor, puede expresarse como

þ O 90°  K 

c 3

t K =

2

  J 21 M cos b 2

2

+ 1

cV + T 22 T

donde  þ es el ángulo entre los vectores V y M. Es evidente que el efecto del es- fuerzo cortante V no puede ignorarse cuando r  K  Š r  H    . (Sugerencia: Considere que sólo la componente M a lo largo de V contribuye al esfuerzo cortante en K.)

b)

‚

Figura P8.22

Los ejes sólidos ABC y DEF,  así como los engranes que se muestran en la figura, se utilizan para transmitir 20 hp del motor  M a un elemento de máquina conectado al eje DEF.  8 in. Si se sabe que el motor gira a 240 rpm y que 4 in. r p  erm = 7.5 ksi, determine el diámetro  M  mínimo 3.5 in.  D permisible a) del eje ABC,  b) del eje DEF.  8.23

 A

 B

 E   F  C 

c 2

2 1

e los 20 kW se extraen en el engrane G. Esfuerzos principales

508

150 mm

El eje sólido ABC y los engranes que se muestran en la figura se utilizan  para transmitir 10 kW del motor M a un elemento de máquina conectado al engrane  D. Si el motor gira a 240 rpm y r p erm = 60 MPa, determine el diámetro mínimo per- misible del eje ABC.  8.27

bajo una carga dada

 F

225 mm

 A

225 mm 150 mm

60 mm  M 

 D

Suponga que el eje  ABC del problema 8.27 es hueco y tiene un diáme- tro exterior de 50 mm, determine su diámetro interior máximo permisible. 8.28

100 mm60 mm

 E  100 mm

 M 

G

El eje sólido  AE gira a 600 rpm y transmite 60 hp desde el motor  M a los elementos de máquina conectados a los engranes G y  H.  Si r  perm = 8 ksi y se sabe que se extraen 40 hp en el engrane G y 20 hp en el engrane H,  determine el diá- metro mínimo permisible para el eje AE.  8.29

B

C   B

Figura P8.25  AC 

90 mm 8.26

R e t o m e

 D

4 in.

 M

 E 

Figura P8.27

6 in.  F 

e l

8 in.

 A  BC 

p r o b l e m a

C

3 in.

 D

G

4 in.  E 

4 in.

8 . 2 5 ,

Fi gu ra P8 .2 9

y

Retome el problema 8.29, y ahora suponga que se extraen 30 hp en el engrane G y 30 hp en el engrane H. 

a h o r a

8.30

s u p o n g a q u

6 in.

 H 

 A F5

F K F F

F1

2

  B  

  E 

F6

 D

* 8 . 4 E S F U E R Z O S B A J O C A R G A S C O M B I N A D A S

E n lo s c a pí tu lo s 1 y 2 s e a p re n di ó a d et er

minar los esfuerzos causados por una carga axial centrada. En el capítulo 3 se analizó la distribución de es- fuerzos en un elemento cilíndrico sometido a un par giratorio. En el capítulo 4 se determinaron los esfuerzos ocasionados por pares flectores y, en los ca pítulos 5 y 6, los esfuerzos que producen cargas transversales. Como se verá en seguida, es posible combinar los conocimientos adquiridos para determi- nar los esfuerzos en miembros estructurales esbeltos o en elementos de máquina sometidos a casi cualquier condición de carga. Por ejemplo, considere un miembro curvado ABDE de sección transversal circular sujeto a varias fuerzas (figura 8.15). Con el objeto de calcular los esfuerzos que producen en los puntos  H o   K las cargas dadas, primero se traza una sección en dichos puntos y, en el centroide C de la sección, se de- termina el sistema de par de fuerzas requeridas

para F i g u r a 8 . 1 5

c

onservar el equilibrio de la porción  ABC.  † Este sistema representa las fuerzas internas en la sec-

El sistema de par de fuerzas determinado en C también puede definirse como equivalente a las †

  fuerzas que actúan sobre la porción del elemento localizado a la derecha de la sección (vea el ejem-

 plo 8.01).

509

8.4 Esfuerzos bajo cargas combinadas

M y  B

V y

F1

M z 

 y  A

V

F3

V y

M y

C  P T

F2 C

C  P

M z

 z 

b)

a)

 x

Figura 8.16

Figura 8.17

ción y, en general, consta de tres componentes de fuerza y tres pares de vec- tores que se supone se dirigen según se ilustra en la figura 8.16.  H  La fuerza P es axial centrada y produce esfuerzos normales en la sección. El par de vectores M  y y M  z provocan que el elemento se tuerza y tam K   bién producen esfuerzos normales en la sección. Por tanto, se agrupan  K C  con o x la fuerza P en la parte a de la figura 8.17 y las sumas s  x de los esfuerzos normales que producen en los puntos H y K se muestran en la parte a a) de la figura 8.18. Es posible determinar estos esfuerzos, como se vio en Figura 8.18 la sección 4.14. Por otro lado, el par giratorio T y los esfuerzos cortantes V  y y V  z pro- ducen esfuerzos cortantes en la sección. Las sumas t  xy y t  xz de las compo- nentes de los esfuerzos cortantes que producen en los puntos H y  K se mues- tran en la parte b de la figura 8.18 y se determinan como se indica en las secciones 3.4 y 6.3.† Los esfuerzos normales y cortantes que se muestran en las partes a y b de la figura 8.18 pueden combinarse ahora y manifestarse en los puntos H y K en la superficie del elemento (figura 8.19).  H  Los esfuerzos principales y la orientación de los planos principales en los puntos  H y  K  pueden determinarse a partir de los valores s  x, t  xy y t  xz en cada uno de dichos puntos con alguno de los métodos que se presentaron en el capítulo 7 (figura 8.20). Los valores del esfuerzo cortante máximo en cada uno de estos puntos y los planos correspondientes se pueden encontrar en una forma similar.

Los resultados obtenidos en esta sección son válidos sólo hasta donde lo  permiten las condiciones de aplicación del principio de superposición (sección 2.12) y el principio de Saint-Venant (sección 2.17). Esto significa que los esfuerzos involucrados no deben exceder el límite proporcional del ma- terial, que las deformaciones debidas a alguna de las cargas no afectan la de- terminación de los esfuerzos debidas a las demás, y que la sección utilizada en el análisis no debe estar demasiado cerca de los puntos de aplicación de las fuerzas dadas. Es evidente, del primero de estos requerimientos, que el método aquí presentado no es aplicable a deformaciones plásticas.

Observe que con el conocimiento que en este momento posee el lector, puede calcular el efecto del par giratorio T sólo en los casos de ejes circulares, de elementos con sección transversal rectan- gular (véase sección 3.12), o de elementos huecos de pared delgada (véase sección 3.13). †

T

V z 

 H 

r xz 

o x

 KC 

r xy b)

r xz  o x

 K 

r xy

o x

Figura 8.19

 H  0  p

 K 

0 p

Figura 8.20

EJEMPLO 8.01 Se aplican dos fuerzas P1 y P2 de magnitudes  P1  = 15 kN y  P2  = 18 kN, al extremo  A de la barra  AB, la cual está soldada a un elemento cilíndrico BD de radio c = 20 mm (figura 8.21). Si se sabe que la distancia de  A al eje del elemento  BD es a = 50 mm, suponga que todos los esfuerzos permanecen por abajo del límite proporcional del material, y determine a) los esfuerzos nor- mal y cortante en el punto  K de la sección transversal del elemento BD localizado a una distancia b = 60 mm del extremo  B, b) los ejes y esfuerzos principales en K,  c) el esfuerzo cortante máximo en K  .

b = 60 mm

2.

P1 = 15 kN

 B P2 = 18 kN

Figura 8.21

M y  D

T

 H C 

 K 

F M z 

V

Figura 8.22

15

Una fuerza cortante V igual a la fuerza P2, de magnitud V = P2 

3.

=

 A

 K 

Una fuerza axial F centrada igual a la fuerza P1, de magnitud  F = P1  kN

 H 

 D

Fuerzas internas en una sección dada. Primero se reemplazan las fuerzas P1 y P2 por un sistema equivalente de fuer- zas y pares aplicados en el centro C de la sección que contiene al punto K (figura 8.22). Este sistema, que representa las fuerzas internas en la sección, consiste en las siguientes fuerzas y pares: 1.

a = 50 mm

=

18 kN

 y

Un par giratorio T de par de torsión T igual al momento de P2 respecto al eje del miembro BD:

M y = 750 N · m  y = 4c

3u

T = 900 N · m

T =   P  2a = 118 kN2150 mm2 = 900 N m •

4.

Un par flector M  y, de momento M  y  igual al momento de

 K

P1

r  xy

respecto a un eje vertical que pasa a través de C:    M    y =   P  1a

5.

=

115 kN2150 mm2 m

=

750 N

F = 15 kN

ox 

x

M z 

 z •

V = 18 kN

Figura 8.23

Un par flector M  z,  de momento M  z  igual al momento de respecto a un eje horizontal y transversal que pasa por  M    z =   P  2b = 118 kN2160 mm2 = 1080 N m

C 

P2 C: 

•

1

4c

2

2

2

3

3

Los resultados que se obtienen se muestran en la figura 8.23. a) Esfuerzos normal y cortante en el punto K. Cada una de las fuerzas y pares que se aprecian en la figura 8.23 pueden producir un esfuerzo normal o cortante en el punto K  . El pro pósito es calcular por separado cada uno de estos esfuerzos, y luego sumar los esfuerzos normales y los cortantes. Pero primero

Q =  A¿ y =  pc b a b a 2 3p c =

y se deben determinar las propiedades geométricas de la sección. Propiedades geométricas de la sección. Se tiene: —3   A =  pc2 =  p10.020 m2 2 = 1.257 × 10 m2 1

4

1

4

9

—

4

5.33

×

10

—6

=

=

310.020 m2

3

3

m

t = 2c = 210.020 m2

=

0.040 m

Esfuerzos normales. Se observa que los esfuerzos normales se producen en  K debido a la fuerza centrada F y el par  flector M y, pero que el par M z no produce ningún esfuerzo en  K, 

  I    y

=  I z  = 4 pc = 4 p10.020 1

4

= 2 pc = 2 p10.020

m2

dicho   J  C

1

4

m2

=

=

125.7 9

251.3

×

×

m ya que   K se ubica sobre el eje neutral que corresponde a

10

4

10m

 par. Para determinar cada signo en la figura 8.23, se tiene

También se determinan el primer momento Q y el ancho t del área de la sección transversal localizada arriba del eje z.  Teniendo presente que para un semicírculo de radio c se cumple y

4c/3p

s  x

=

 A

=

s  x

queda

  M   y  c

 F = —

+

I  y 

=

1 750 N

m21 0.020 m2 —11.9 MPa + 125.7 × 10—9 m4 •

—11.9 MPa + 119.3 MPa

= +107.4

MPa

510 Esfuerzos cortantes. Éstos consisten en el esfuerzo cor- tante (t  xy)V debido a la cortante V y en el esfuerzo cortante (t  xy)giro ocasionado por el par de torsión T. Al tener en cuenta los valo- res obtenidos para Q, t,  I  z  y Jc  , queda 1t  xy2V = +

V Q

8.4 Esfuerzos bajo cargas combinadas

6

= +

118 × 103 N21 5.33 × 10— m32 9

1125.7 × 10— m421 0.040 m2

 I  z  t  = +19.1 MPa

 D  A

15 kN

 B

1t xy 2

1900 N m 2 10.020 m — = 2 =— Tc 251.3 × 10—9 m4  JC 

o x = +107.4 MPa

•

giro

511

=

—71.6 MPa

18 kN

 

Al sumar estas dos expresiones, se obtiene t  xy en el punto K.  t  xy = 1t  xy2V + 1t  xy2giro t xy = —52.5 MPa

=

+19.1 MPa — 71.6 MPa

r   xy= —52.5 MPa

Figura 8.24

En la figura 8.24, se muestran el esfuerzo normal s  x y los esfuerzos cortantes actuando sobre un elemento cuadrado que se t  xy localiza en K sobre la superficie del miembro cilíndrico.

r (MPa)

107.4 53.753.7

Observe que se incluyen los esfuerzos cortantes que actúan sobre los la- dos longitudinales del elemento. b) Planos y esfuerzos principales en el punto K. Puede usarse cualquiera de los dos métodos del

20 s 20  B O

capítulo 7 para determinar los planos y esfuerzos principales en K . Se selecciona el círculo de Mohr para graficar el punto X de las coordenadas s  x = +107.4 MPa y —t  xy = +52.5 MPa y el punto Y de las coordenadas s  y = 0 y +t  xy = —52.5 MPa, y se dibuja el círculo de diámetro XY (figura 8.25). Se observa que 1

OC = CD = 1107.42 2

=

53.7 MPa

 DX = 52.5 MPa

 X 

 E 

 p

C 

52.5 o (MPa)

 D A Y   F 

Figura 8.25

se determina la orientación de los planos principales: 52.5

 DX tan 2u  p =

CD

=

= 0.97765 53.7 u  p = 22.2° i

2u  p = 44.4° i  D

0 p= 22.2°  A

Ahora se determina el radio del círculo,

 R = 2153.722

+

y los esfuerzos principales, smáx

=

smín

=

OC + R

53.7 + 75.1 = 128.8 MPa OC — R = 53.7 — 75.1 = —21.4 MPa =

15 kN

 B

152.522 = 75.1 MPa

omáx = 128.8 MPa

18 kN

omín = —21.4 MPa

Los resultados que se obtienen se muestran en la

figura 8.26. c) Esfuerzo cortante máximo

en el punto K. Este esfuerzo corresponde a los puntos  E y  F que aparecen en la fi- gura 8.25. Se tiene tmáx

=

CE = R

=

Figura 8.26

75.1 MPa

Se observa que 2u  s = 90° — 2u  p = 90° — 44.4° = 45.6°, y se

concluye que los planos de esfuerzo cortante máximo forman un ángulo u  p = 22.8° g con la horizontal. En la figura 8.27 se presenta el incremento correspondiente. Observe que los esfuerzos normales que actúan sobre este elemento están representados por OC en la figura 8.25 y son iguales a +53.7 MPa.

r máx = 75.1 MPa  D

0 s = 22.8°  A

15 kN

 B

o = 53.7 MPa

Figura 8.27

18 kN

4.5 in.  A

0.90 in.

2.5 in.  E

 H

 D

500 lb

  T

B

1.8 in.

PROBLEMA MODELO 8.4

4.5 in.

 J   K  G

Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un cigüeñal AB, que se man- tiene en equilibrio gracias a un par giratorio T y a las reacciones  A y  B. Sabiendo que los cojinetes se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje, deter- mine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H,  J,  K y L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y horizontal de una sección transversal localiza- da a 2.5 in. a la izquierda del cojinete B.

SOLUCIÓN

4.5 in.   y

4.5 in.

  A

Cuerpo libre. Cigüeñal completo.  A = B

 B A=

25 0 lb

=

250 lb

2. 5 in . T

1500 lb211.8 in.2

+

g ©  M    x

=

—

T

+

=

0

T

=

900 lb

in.

0:

  x  z

B = 250 lb

5 0 0 1.8 in.

reemplaza la

l b

Fuerzas internas en la sección transversal. Se reacción B y el  par giratorio T por un sistema de par de fuerzas equivalente en el centro C de la sec- ción transversal que contiene a H,  J,  K y L.

M  y = 625 lb · in.

 H 

V=

 250 E lb  J =

V = B

  L

C 900 lb · in.

T

0.9  K in. de diámetro

=

250 lb

T

=

900 lb • in.

 M    y = 1250 lb212.5 in.2 = 625 lb in. •

Las propiedades geométricas de la sección de 0.9 in. de diámetro son 1

 A = p 1 0.45 in.2 2 = 0.636 in.2  I =  p 1 0.45 in.2 4 = 32.2 4 —3 4 × 10 in.

 J

1

=2

 p10.45 in.24

=

64.4 × 10 —3 in.4

G r =

Esfuerzos producidos por el par giratorio T.

6 290

Usando la ecuación (3.8) se determinan los esfuerzos cortantes en los puntos  H,    J,   K y  L, y se ilustran en la figura a).

psi   H  

Tc

r =

1900 lb in.210.45 in.2 •

—

6 2 9 0 p s i

 J  a)

  L t

= =

=

6 2 9 0 p s

•

3

r

ro  duce esfuerz os cortant es los puntos

in.4

r

290 K   r H=  J 

5 2 4 p si

  L r =

5 2 4 p si

E s f u e r z o s

l a

Primer o calcula

o = r =

0 K  

4

2

=

0  M    y 0 c

8 730 psi  

6 810 psi  K o = 8 730 psi

s =

512

—

3

b a =

=

10 .4 5 in. 2 =

60. 7× 10

2

3

3 p   H

o   = L

8 7 3 0 p s i

VQ 1 t 2 5 =  0 lb 2 1 6 0. 7 ×

1 0 — 3

in .3 2

132 .2 ×1 0— 3

in. 4 21 0 .9 in.2

•

=

8 730 psi

32.2 × 10

3

in.4

Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los esfuer- zos totales normal y cortante en los puntos H,  J,  K y L. Resumen.

3

o

1625 lb in.21 0.45 in.2

 I

2

  p c

y

—

3

L a

p

  H  

2

V .

n o

y 

en un plano horizontal, no produce esfuerzos en  H y K.  Con el uso de la ecuación (4.15) se determinan los esfuerzos normales en los puntos  J y  L y se ilustran en la figura c).

c

f u e r z a

V

6 290 psi r=

l a

c o r t a n t e

=

6 290 psi

 J L

r

1

f u e r z a

o

5 77 0 psi r=

actúa

Esfuerzos producidos por el par flector M . Como el par flector M

r=

) .

los puntos

psi

8 730 psi  K 0

p o r

c o r t a n t e

=

b

Q

p r o d u c i d o s

o

f i g u r a

J

524

=

c)

c

50 kN

 y

130 mm 75 kN

 B

 A

25 mm  H

 E

Se aplican tres fuerzas en los puntos A, B y D de un pequeño poste de acero, como se muestra en la figura. Si se sabe que la sección transversal horizontal del poste es un rectángulo de 40 × 140 mm, determine los esfuerzos y planos principales y el es- fuerzo cortante máximo en el punto H. 

100 mm 30 kN

 D

200 mm

PROBLEMA MODELO 8.5

G

 F   z 

 x

40 mm

SOLUCIÓN

70 mm 140 mm

20 mm

Se reemplaza a las tres fuerzas que se aplican por un sistema de par de fuerzas equivalente en el centro C de la sección rec- tangular EFG. Queda Fuerzas internas en la sección EF G  .

 y

P = 50

V = 30

 x

kN

V  z = 75

 x

M  x =

V  = —30 kN  P = 50 kN V  = —75 kN

kN

 M    x = 150 kN210.130 m2

kN

8.5 kN · m  E  F

 z

M  z =

 M    y

G

C 

 H 

=

—

 175 kN21 0.200 m2

 M    z = 130 kN210.100 m2

0

 A

=

10.040 m21 0.140 m2

=

1

 I  H

M=   z

8.5 kN · m

3 kN m •

1

= 12 10.140

3

=

9.15 × 10—6 m4

m210.040 m23 = 0.747 × 10—6 m4

Esfuerzo normal en H  . Se observa que los esfuerzos normales s  y son produ-

b = 0.025 m

0.140

m M=   z

  z 

=

G

C 

 E

•

5.6 × 10 — m2

  xI = 1210.040 m210.140 m23 a = 0.020 m

8.5 kN m

—

=

Se observa que no existe un par giratorio respecto del eje  y. Las propiedades geométricas de la sección rectangular son

 x

3 kN · m

 z

cidos por la fuerza centrada P y los pares flectores Mx y Mz.  Se determina el signo de cada esfuerzo por medio del examen cuidadoso del esquema del sistema de par de fuerzas en C. 

3 kN · m

 F 

 P 

0.040 m

s  = + + y  A

0 M  z  0a

0 M  x  0 b —

 I  x 

 I  z   

50 k—N3

=

5.6

t = 0.040 m

×

10

2

m4 2 m+

1 3 kN

•

0.747

m21 0.—026 0 ×

—

1 8.5 kN

10

•

m21 —0.60254 m2

9.15 × 10

m

m

0.045 m 0.025 m

  A1

r   yz 

s  y

  y1 = 0.0475

m

C 

o y

r  yz 

o y = 66.0 MPa

O  B

C 

=

66.0 MPa Œ

6 Q = 3 1 0.040 m 21 0.045 m 2 4 1 0.0475 m 2 = 85.5 × 10— m3 = A1 y1 6 V z   Q 175 kN21 85.5 × 10— m32 t

33.0

 R

s  y

primera fuerza cortante V  x, se obdebido a que  H se encuentra sobre la arista de la sección transversal. Entonces, V  x no produce esfuerzo cortante en H.  La fuerza cortante V  z sí produce un esfuerzo cortante en  H,  y se escribe

r (MPa)

rmáx

8.93 MPa + 80.3 MPa — 23.2 MPa

Esfuerzo cortante en H  . Al considerar la serva que Q = 0 con respecto al eje  z, 

 z 

33.0

=

 y z

Y  rMPa =

  I  x t

19.15 × 10 m4210.040 m2 6 —

t  yz

=

17.52 MPa Œ

Esfuerzos principales, planos principales y esfuerzo cortante máximo en H  .

17.52

  Z

=

=

omáx

  yz 

20  p

 D  A

o (MPa)

13.98°

Se dibuja el círculo de Mohr para los esfuerzos en el punto H  omín

2133.022 + 117.5222 = 37.4 MPa

t

2u   R

tan

33.0

u  p = 13.98°  €

=

=

omáx

máx

omín

smáx = OA 37.4 smín = OB 37.4

=

=

OC

+ R =

OC — R

=

33.0

+

37.4 MPa >

smáx

=

70.4 MPa >

smín

=

—7.4 MPa >

33.0 —

513

PROBLEMAS a

100

c

mm 150 mm

mm

0.75 m

8.31 La viga en voladizo AB tiene una sección transversal rectangular de 150 × 200 mm. Si se sabe que la tensión en el cable  BD es de 10.4 kN y se desprecia el  peso de la viga, determine los esfuerzos normal y cortante en los tres puntos indica- dos.

b

100

 D

a c

 A b

200

 

 E B

mm 14 kN

8.32 Se aplican dos fuerzas de 1.2 kip a un elemento de máquina AB en forma de L, como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto a, b) el punto b, c) el punto c.

0.9 m

0.3 m 0.6 m Figura P8.31

12 in.  A

1.8 in.

b

1.2 kips c

a

d

0.5 in.

1.2 kips

6 in. 1.0 i

e  f 

0.5 in.

 B

3.5 in.

1.0 in.

Figura P8.32 y P8.33

8.33 Se aplican dos fuerzas de 1.2 kip a un elemento de máquina AB en forma de L, como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto d,  b) el punto e, c) el punto f.  8.34 a 8.36 El elemento  AB tiene una sección transversal uniforme de 10 24 mm. Para la carga que se muestra en la figura, determine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto H,  b) el punto K.  ×

 A 60 mm

 A

60 mm  H 

12 mm

40 mm Figura P8.34

514

9 kN

9 kN

30° G

30° G

12 mm 12 mm  B

40 mm Figura P8.35

G

60 mm  H 

 K 

60 mm 9 kN

60 mm

 A

 K 

12 mm

 B

30°  H 

12 mm

40 mm Figura P8.36

60 mm  K 

12 mm

 B

8.37 Sobre el eje de un camión pequeño actúan las fuerzas y el par que se ilus- tran. Si se sabe que el diámetro del eje es de 1.42 in., determine los esfuerzos nor- mal y cortante en el punto  H que se localiza encima del eje.

515

Problemas

10 in. 8 in. 750 lb

 H 

l  3 500 lb · in.  H 

750 lb Figura P8.37

 K 

c

8.38 Una tira delgada se enrolla alrededor de una varilla sólida con radio c = 20 mm, como se muestra en la figura. Si se sabe que l = 100 mm y  F = 5 kN, de- termine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto H,  b) el punto K.  8.39 Sobre el ensamble de tubos que se muestra en la figura actúan varias fuer- zas. Si cada sección de tubo tiene diámetros interior y exterior de 1.61 y 1.90 in., respectivamente, determine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto  H,  b) el  punto K. 

F

Figura P8.38

 y

200 lb

 y

45 mm 150 lb

 D

 z

1 500 N

10 in.

4 in. 4 in.

45 mm

 A

 H   K 

1 200 N

150 lb 6 in.

50 lb  x

Figura P8.39

ab

75 mm  B

 z 

8.40 Se aplican dos fuerzas al tubo  AB como se muestra en la figura. Si se sabe que el tubo tiene un diámetro interior de 35 mm y un diámetro exterior de 42 mm, determine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto a, b) el punto b. 516

Esfuerzos principales bajo una carga dada

1.4 kN · m C 

20 mm  x

Figura P8.40

10 kN

 H

 K

8.41 Se aplica una fuerza de 10 kN y un par de 1.4 kN · m en la parte supe- rior del poste de hierro fundido de 65 mm de diámetro que se muestra en la figura. Determine los esfuerzos principales y el cortante máximo en a) el punto  H,  b) el  punto K. 

240

mm

8.42 Se aplican tres fuerzas a y una placa de 4 in. de diámetro unida al eje só- lido AB de 1.8 in. de diámetro, determine a) los esfuerzos y planos 2 in. 6 kips principales, b) el esfuerzo cortante máximo.

Figura P8.41

2 in. 6 kips 2.5 kips

 A

8 in.  H 

 y

 B

1 in.  z 

x

Figura P8.42   H    K 

 x

2 500 lb  

 z B

2.5 in.

Figura P8.43

 A

600 lb

3.5 in.

8.43 Se aplican fuerzas en los puntos  A y  B del soporte de hierro que se ob- serva en la figura. Si el soporte tiene un diámetro de 0.8 in., determine los esfuerzos  principales y el esfuerzo cortante máximo en a) el punto H,  b) en el punto K.  8.44 El tubo de acero AB tiene 72 mm de diámetro exterior y 5 mm de espe- sor de pared. Si se sabe que el brazo CDE está unido rígidamente al tubo, determine los esfuerzos y planos principales, y el esfuerzo cortante máximo en el punto H. 

 y

3 kN

 B

C

120 mm

H 

 D

x

9 kN  A

150 mm  z 

120 mm

 E 

Figura P8.44

8.45 Se aplican tres fuerzas a la barra mostrada en la figura. Determine los es- fuerzos normal y cortante en a) el punto a, b) el punto b, c) el punto c. 8.46 Retome el problema 8.45, y ahora suponga que h = 12 in. 8.47 Se aplican tres fuerzas a la barra que se muestra en la figura. Determine los esfuerzos normal y cortante en a) el punto a, b) el punto b, c) el

punto c. 50 kips 0.9 in. 0.9 in.

2 kips C 

Problemas

.4 in

517 2

. 2 in.

6 kips h = 10.5 in.

60 mm

1.2 in. 1.2 in.

24 mm c a

a

b

15 mm

bc

180 mm

32 mm

40 mm

750 N

4.8 in. 1.8 in. 16 mm

30 mm 500 N C 

10 kN Figura P8.47

8.48 Retome el problema 8.47, y ahora suponga que la fuerza de 750 N se di- rige verticalmente hacia arriba. 8.49 Se aplican tres fuerzas al elemento de máquina ABD como se muestra en la figura. Si se sabe que la sección transversal que contiene al punto  H es un rectán- gulo de 20 × 40 mm, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante má- ximo en el punto H. 

  y 50 mm

150 mm  A  H 

40 mm kN

0.5

  z 

20 mm

 D

 B

160 mm

3 kN x

2.5 kN Figura P8.49

8.50 Retome el problema 8.49, y ahora suponga que la magnitud de la fuerza de 2.5 kN se incrementa a 10 kN.

Figura P8.45

518

Esfuerzos principales bajo una carga dada

figura.

8.51 Se aplican tres fuerzas sobre la viga en voladizo mostrada en la Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H. 

4 in.  H 

3 kips 4 in. 3 in.

 K

2 kips

5 in.

6 in.

7 in.

C 

24 kips

15 in.

2 in. Figura P8.51

8.52 Para la viga y las cargas del problema 8.51, determine los esfuerzos prin- cipales y el esfuerzo cortante máximo en el punto K.  8.53 Tres placas, cada una de 13 mm de espesor, se sueldan para formar una viga en voladizo. Para las cargas que se muestran en la figura, determine los esfuer- zos normal y cortante en los puntos a y b.

 y

e a

b d 

60 mm400 mm 30 mm

x

C 

60

75 mm

mm

9 kN

150 mm t = 13 mm

C 

13 kN Figura P8.53 y P8.54

8.54 Tres placas de acero, cada una de 13 mm de espesor, se sueldan para for- mar una viga en voladizo. Para las cargas que se muestran en la figura, determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos d y e. 8.55 Se aplican dos fuerzas P1 y P2 en direcciones perpendiculares al eje

lon- gitudinal de

una viga W12 × 40, como se muestra en la figura. Si se sabe que P1 = 5 kips y P2 = 3 kips, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto a.

Problemas

 y

3 in. a

a  x

P2b

4 ft

b

W12

×

40

2 ft P1

Figura P8.55 y P8.56

8.56 Se aplican dos fuerzas P1 y P2 en direcciones perpendiculares al eje lon- gitudinal de una viga W12 × 40, como se muestra en la figura. Si se sabe que P1 = 5 kips y P2 = 3 kips, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante má- ximo en el punto b. 8.57 Se aplican cuatro fuerzas a una viga de acero laminado W200 × 41.7, como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor- tante en el punto a.

100 kN 100 mm kN

8

W200 × 41.7  y

8 kN

25 b

x

kN 500 a

mm

75 mm b a

 B

Figura P8.57 y P8.58

a b

 A

8.58 Se aplican cuatro fuerzas a una viga de acero laminado W200 × 41.7, C como se muestra en la figura. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto b. 8.59 Una fuerza P se aplica a una viga en voladizo por medio de un cable unido a un perno ubicado en el centro de su extremo libre. Si se sabe que P actúa en una dirección perpendicular al eje longitudinal de la viga, determine a) el esfuerzo normal en el punto a en términos de P, b, h, l y þ, b) los valores de  þ para los cuales el esfuerzo normal en a es cero.

h l 

þ P

Figura P8.59

519

520

Esfuerzos principales bajo una carga dada

viga

8.60 Se aplica una fuerza vertical P en el centro del extremo libre de una en voladizo AB. a) Si la viga se instala con el alma vertical ( þ = 0) y con su eje longitudinal  AB en posición horizontal, determine la magnitud de la fuerza P para la cual el esfuerzo normal en el punto a es igual a +120 MPa. b) Retome el inciso a), y ahora suponga que la viga se encuentra instalada con  þ = 3°.

 B

a

l = 1.25 m

 B

d 

a

d 

2

 A

 A

W250× 44.8 P

þ

P

Figura P8.60

Figura P8.61

3 in.  H 

6 in.  K 

4 in. 2 in. 10 in.

0.15 in. 9 kips

Figura P8.62

*8.61 Se aplica una fuerza P de 5 kN a un alambre enrollado alrededor de la  barra  AB, como se muestra en la figura. Si se sabe que la sección transversal de la barra es un cuadrado cuyos lados miden d = 40 mm, determine los esfuerzos prin- cipales y el esfuerzo cortante máximo en el punto a. *8.62 Si el tubo estructural que se muestra en la figura tiene una pared con es pesor uniforme de 0.3 in., determine los esfuerzos y planos principales, y el esfuerzo cortante máximo en a) el punto H,  b) el punto K.  *8.63 El tubo estructural que se muestra en la figura tiene un espesor de pa- red uniforme de 0.3 in. Si se sabe que la carga de 15 kips se aplica 0.15 in. por encima de la base del tubo, determine el esfuerzo cortante en a) el punto a, b) el  punto b. 3 in.

a

1.5 in. 2 in.

 A

15 kips

b

4 in.

10 in.

Figura P8.63

*8.64 Para el tubo y la carga del problema 8.63, determine los esfuerzos prin- cipales y el esfuerzo cortante máximo en el punto b.

REPASO Y RESUMEN DEL CAPÍTULO 8

viargas combinadas. ntales deducidas en los capítulos 5 y 6 para el esfuerzo normal s x y el esfuerzo cortante t xy en cualquier punto dado de la sección transv

 My

s=—

 x

VQ t= —

 xy

 I

(8.1, 8.2)

 It 

ante en la sección donde V = mento flector en la sección  M = ncia del punto a la superficie y=neutral  I= de la sección transversal mento de inercia centroidal Q = mer momento respecto del eje neutral de la parte de la sección transversal que se localiza arriba del punto dado

o de la sección cruzada en el punto dado t=

Planos y esfuerzos principales en una 8.6). uier sección transversal, excepto en la vecindad del punto de aplicación de la carga, el viga máximo esfuerzo princi-

d del perfil con las alas de la viga (figura 8.10) puede exceder el valor de sm que ocurre en los puntos a y e. Por lo anterior, el diseño de un c

om omín

om omáx omáx  y

O

omín

—

c

om

 x

om

Figura 8.6 a b

c

e

Figura 8.10

521

522

Esfuerzos principales bajo una carga dada

n cuenta el efecto tanto de los esfuerzos normales debidos al momento flec- tor M como de los esfuerzos cortantes debidos al par de tor Diseño de ejes de transmisión bajo cargas transversales  J1 2 M 2 + T 22máx =

(8.6)

Ct perm

onados por cargas axiales (capítulos 1 y 2), torsión (capítulo 3), flexión (capítulo 4), y cargas transversales (capítulos 5 y 6). En la segunda

Esfuerzos bajo condiciones generales de carga

F5  E   B

F1

 H

M y

F6

 B

V y

F1

 A F3

 K  F

F2

M z 

 y

 D

C 

4

 A

V

F3

Figura 8.15

P T

F2

 z   x

Figura 8.16

emplazó a las cargas aplicadas por un sistema equivalente de par de fuerzas en el centroide C de la sección (figura 8.16). Los esfuerzos normal y cortante que y y r  xz. 

PROBLEMAS DE REPASO

8.65 a) Si se sabe que o perm = 24 ksi y r  perm = 14.5 ksi, seleccione el perfil de patín ancho más económico que debe usarse para sostener la carga que se muestra en la figura. b) Determine los valores que se esperan de om, rm  y el esfuerzo principal omáx en la junta del alma con el patín de la viga seleccionada.

15 kips10 kips  B

C   D

 A

6 ft 6 ft Figura P8.65

12 ft 150 mm P2

8.66 La fuerza vertical P1 y la fuerza horizontal P2 se aplican a los discos sol- dados al eje sólido AD, según se ilustra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje es de 40 mm y que  perm = 55 MPa, determine la magnitud máxima permisible τ de la fuerza P2.

8.67 El eje sólido AB gira a 360 rpm y transmite 20 kW desde el motor M a los elementos de máquina conectados a los engranes E y F.  Si τ perm = 45 MPa y se supone que se extraen 10 kW en cada engrane, determine el diámetro mínimo per- misible para el eje AB.

 A

200 mm  B C 

P1

 D

75 mm 250 mm 250 mm Figura P8.66

0.2 m  M

0.2 m 0.2 m

 A  F  C   D  E  120 mm

 B

120 mm Figura P8.67

523

524

8.68 Para la ménsula y la carga que se muestran en la figura, determine

Esfuerzos principales bajo una carga dada

los

esfuerzos normal y cortante en a) el punto a, b) el punto b. 8.69 El anuncio que se muestra en la figura pesa 8 000 lb y lo sostiene un tubo estructural de 15 in. de diámetro exterior y 0.5 in. de espesor de pared. En un momento en que la presión resultante del viento es de 3 kips, localizada en el cen- tro C del anuncio, determine los esfuerzos normal y cortante en el punto H. 

0.75 in. 0.8 in.

6 ft

ab

 y

3 ft 9 ft 8 kips

4 in. 60° 1000 lb

Figura P8.68

C 

3 kips

 y

3 ft 3

 H 

175

ft

300 250

 H

 z 

150 N  H 

2 ft

 x

225

8 ft

 z 

x

 x

Figura P8.69

100 N

225

 z 

150 N

Figura P8.70

100 N

8.70 Sobre el ensamble de tubos que se muestra en la figura actúan varias fuer- zas. Si se sabe que cada sección de tubo tiene diámetros interior y exterior de 36 y 42 mm, respectivamente, determine los esfuerzos normal y cortante en el punto  H que se localiza sobre la superficie exterior del tubo.

Dimensiones en mm

P

8.71 Un resorte en espiral cerrada está hecho con un alambre circular de ra- dio r que a su vez forma una hélice de radio  R. Determine el esfuerzo cortante má- ximo producido por las dos fuerzas iguales y opuestas P y P'. (Sugerencia: Primero determine el cortante V y el par de torsión T en una

 R

P  R

sección transversal cruzada.)

Se aplica una fuerza vertical P de 250 N de magnitud sobre el punto  A de la manivela. Si se sabe que el eje  BDE tiene un diámetro de 18 mm, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H,  localizado en la parte superior del eje, 50 mm a la derecha del apoyo  D. 8.72

r 

T

V

P' 

 y

Figura P8.71

25 mm 50 mm

P

 A

60°

 D  E

 H 

200 mm

 z   B

125 mm

x

Figura P8.72 8.73 Se aplica una fuerza de 2.8 kips al poste de hierro fundido  ABD de 2.4 in. de diámetro que se muestra en la figura. Determine, para el punto  H,  a) los es- fuerzos y planos principales, b) el esfuerzo cortante máximo.

Problemas de repaso

 y  B

 y

 D

120 kN 75 mm 75 mm

50 mm 50 mm 2.8 kips 12 in.

C50 kN 30°

 H 

4 in.  z

375 mm

 E 

 A

5 in.

6 in.

 x

Figura P8.73

 H 

Para el poste y las cargas que se muestran en la figura, determine los esfuerzos principales, los planos principales, y el esfuerzo cortante máximo en el  punto H.  8.74

 z 

x

Figura P8.74

Si se sabe que el tubo estructural mostrado en la figura tiene una pared de espesor uniforme de 0.25 in., determine los esfuerzos normal y cortante en los tres  puntos indicados. 8.75

6 in.

3 in. 600 lb

1 500 lb

600 lb

5 in.

1 500 lb 2.75 in.

3 in.

20 in.

0.25 in. a

bc  B a

300 mm Figura P8.75 40 mm  A

8.76 La viga en voladizo  AB se instalará de manera que el lado de 60 mm forme un ángulo þ entre 0 y 90° con la vertical. Si se sabe que la fuerza

C 

60 mm

vertical de 600 kN se aplica en el centro del extremo libre de la viga, determine el esfuerzo nor- mal en el punto a cuando a) þ = 0, b) þ = 90°. c) þ 600 N También determine el valor de  þ  para el cual el esfuerzo en el punto a es máximo y encuentre el valor correspondiente Figura P8.76 de dicho esfuerzo.

b

525

PROBLEMAS PARA COMPUTADORA

Los siguientes problemas fueron diseñados para resolverse con ayuda de una computadora.

8.C1 Suponga que el cortante V y el momento flector M han sido determinados en cierta sección de una viga de acero laminado. Escriba un programa para compu- tadora que calcule en dicha sección, a partir de los datos disponibles en el apéndice C, a) el esfuerzo normal máximo om, b) el esfuerzo principal omáx en la unión del  patín con el alma. Use el programa para resolver los incisos a y b de los siguientes  problemas: 1) 2) 3) 4)

Problema 8.1 (utilice V = 45 kips y M = 450 kip • in.) Problema 8.2 (utilice V = 22.5 kips y M = 450 kip • in.) Problema 8.3 (utilice V = 700 kN y M = 1 750 kN • m Problema 8.4 (utilice V = 850 kN y M = 1 700 kN • m)

Una viga en voladizo AB con sección transversal rectangular de ancho b y profundidad 2c soporta una sola carga concentrada P en su extremo  A. Escriba un  programa para computadora que calcule, para cualesquiera valores de x/c y y/c, 8.C2

a) las razones smáx/sm y smín/sm, donde smáx y smín son los esfuerzos principales en el punto  K (  x,  y) y sm es el esfuerzo normal máximo en la misma sección transver- sal, b) el ángulo u  p que forman, en  K , los planos principales con un plano trans- versal y otro horizontal que pasan por K  . Use el programa para verificar los valores mostrados en la figura 8.8 y confirmar que smáx excede sm si  x Š 0.544c, como se indica en la segunda nota al pie de la página 499.

P  B  A  K 

 y

omín

c

omáx 0 p c

 x b

Figura P8.C2

8.C3 Los discos D1, D2, , Dn están unidos, tal como se muestra en la figura 8.C3, al eje sólido AB de longitud L, diámetro uniforme d y esfuerzo cortante per- misible r p erm. Las fuerzas P1, P2, . . . , Pn son de magnitud conocida (excepto una de ellas) y se aplican a los discos, ya sea arriba o debajo de su diámetro vertical, o a la izquierda o derecha de su diámetro horizontal. Si ri  denota el radio del disco Di y ci su distancia al apoyo situado en  A, escriba un programa para computadora que per- mita calcular a) la magnitud de la fuerza desconocida Pi , b) el valor mínimo permi- sible del diámetro d del eje AB. Utilice el programa para resolver el problema 8.18.

526

 y

Problemas para computadora

ci

 L

P1

 A Pn ri 

 z   D1  B  D2

 Di

x

P2   Dn

Pi

Figura P8.C3

8.C4 El eje sólido  AB de longitud L, diámetro uniforme d y esfuerzo cortante  permisible t perm, gira a una velocidad dada que se mide en rpm (figura P8.C4). Los engranes G1, G2, , Gn están unidos al eje y cada uno de ellos embona con otro engrane (que no se ilustra en la figura), ya sea arriba o debajo de su diámetro vertical, o a la izquierda o derecha de su diámetro horizontal. Uno de estos otros engranes se conecta a un motor y el resto a distintos elementos de máquinas. Si ri  denota el ra- dio del engrane Gi, ci su distancia al apoyo  A y Pi  la potencia transmitida a (signo +) o extraída (signo —) de dicho engrane, escriba un programa para computadora que calcule el valor más pequeño permisible del diámetro d del eje  AB. Utilice el  programa para resolver los problemas 8.25 y 8.27.

 y

 L ci  A r  i  z  G1 G2

 B Gi  x Gn

Figura P8.C4

527

528

Esfuerzos principales bajo una carga dada

8.C5 Escriba un programa para computadora que se pueda usar para calcular los esfuerzos normal y cortante en los puntos con coordenadas y y z dadas, localizados en la superficie de una parte de máquina con sección transversal rectangular. Con- sidere que las fuerzas internas son equivalentes al sistema de par de fuerzas que se ilustra. Escriba el programa de manera tal que las cargas y dimensiones puedan ex presarse tanto en unidades del SI como unidades estadounidenses habituales. Use el  programa para resolver a) el problema 8.45b, b) el problema 8.47a.

 y

M  y

b

V y

h C  P V  z 

 x

M z 

 z 

Figura P8.C5

8.C6 El elemento  AB tiene sección transversal rectangular de 10 × 24 mm. Para la carga que se muestra en la figura, escriba un programa de cómputo que pueda utilizarse para calcular los esfuerzos normal y cortante en los puntos H y K para valo- res de d entre 0 y 120 mm, con incrementos de 15 mm. Emplee el programa para re- solver el problema 8.35.

 y  x  A 9 kN d 

 H

120 mm

10 in. d3 in. 3 in. 4 in.

30°  H 

12 mm 40 mm Figura P8.C6

 K 

 z 

12 mm  B

9 kips

c

Figura P8.C7

*8.C7 El tubo estructural que se muestra en la figura tiene una pared de es pesor uniforme de 0.3 in. Se aplica una fuerza de 9 kips a una barra (que no se ilus- tra) soldada al extremo del tubo. Escriba un programa para computadora que pueda usarse para determinar, para cualquier valor dado de c, los esfuerzos principales, pla- nos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H para valores de d entre —3 y 3 in., utilizando incrementos de 1 in. Use el programa para resolver el pro blema 8.62a.