• Author / Uploaded
• ALONSO

Citation preview

Instituto Politécnico Nacional ESIQIE Examen a Título de Suficiencia de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 17-Enero-2017 de 16:00 a 18:00 hs Academia de Matemáticas Instrucciones: Tolerancia 15 minutos. Duración del examen 2 horas. DESACTIVAR CELULAR. Se permite utilizar el formulario autorizado por el profesor y calculadora científica no graficadora. CONTESTAR PARA 10 PUNTOS. Indicar los resultados con los procedimientos correspondientes en forma clara y ordenada. Al finalizar el examen entregue esta hoja con el cuadernillo.

Examen tipo A Nombre:_____________________________________________________________Grupo_______________ Problema 1.- (2 puntos) Resuelva la siguiente E.D.O. de primer orden reducible a exacta. +

2 Respuesta:

+

+ 2

+3

=0

=

Problema 2.- (2 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial reducible a lineal + Solución: LIRZ

1 3 +

= ;

−3

=

1 1−2 3

1 3

=

=

1 1−2 3

; →

−

=2 −1

= =

2 −1 1

= −2

−

+

= −1 − 2 +

Problema 3.- (2 puntos) Examen a título de suficiencia E.D.A. Tema: series de potencia. Examen “A” Halle la solución general de la ecuación diferencial −2 = 0 utilizando la serie de potencias de Maclaurin. Solo hasta . __________________________________________________________________________________________ ________ Respuesta. " ; ′=∑ " # ; ′′ = ∑ # #−1 Si = ∑

∑ Sustituyendo # #−1 ∑ # #−1 − 2∑ " # 2 +∑ # #−1 − 2∑ Si $ = # − 2 # =$+2

−2 ∑ " =0 ; $ =0 $=# #=$

"

#

"

=0 ;

% 2 + ∑%& − 2 ∑% " % $ % = 0 . %& $ + 2 $ + 1 2 + ∑% " %& $ + 2 $ + 1 % − 2 ∑% " % $ % = 0 2 + ∑% "[ %& $ + 2 $ + 1 − % 2$ ] % = 0 ) % = 0 relación de recurrencia %& = %&* %&" .

$=1 ;

$=2 ;

$=3 ;

$=4 ;

$=5 ;

$=6 ;

"

=

"

= =

+ -

=

=

0

=0

;

=

+

;

+ - + + ""

0

=0

=

+

-

=

+

=0

1 = + " + + Sustituyendo las constantes 1

1

=

=

+ +

"2 "2

"

+ +

!

+

"

+

-

"

+

+ +

+ 6 "∗ +!

"

"

+ " +

+

+ +

8

+

+

"∗ ∗+ !

+ +

-

4

-

+

+

+ "

0

0

+⋯4

Propuesto y resuelto por: Aurelio Luciano Espíritu Saldaña

Problema 4.- Resuelva la ecuación en derivadas parciales, por el método de separación de variables, considerando una 9 = 25 y una 9 = 0.

; < ; < + =0 ; ;

Solución: Para λ = 25

Para λ = 0

=

G B, E

? = = >; = ?

@A B

@C ; ?

@A B

> @D E

@C ∗ @D E

@F

@F

EDA—ETS—Tanques—GPL Examen A Problema 5 (4 puntos) En el diagrama se ilustra una batería de dos tanques interconectados, los tanques operan perfectamente mezclados y contienen una sustancia disuelta en agua. Inicialmente, el tanque (1) de 100L contiene 5g/L de sustancia y el tanque (2) de 100L contiene 10g/L de sustancia. Se ilustran los flujos de las corrientes de salida y alimentación para cada tanque. Determinar: a) La expresión del sistema de ecuaciones diferenciales del balance en cada tanque b) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales c) La concentración y masa de sustancia en cada tanque a los 5.2 min de operación.

Respuestas: a)

b)

c) t=

5.2 min

x 1=

5.06 g/L

x 2=

7.77 g/L

w1=

506.13 g

w2=

777.21 g

.

Instituto Politécnico Nacional ESIQIE-IPN Examen a Título de Suficiencia de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 17-Enero-2017 de 16:00 a 18:00 hs Academia de Matemáticas Instrucciones: Tolerancia 15 minutos. Duración del examen 2 horas. DESACTIVAR CELULAR. Se permite utilizar el formulario autorizado por el profesor y calculadora científica no graficadora. CONTESTAR PARA 10 PUNTOS. Indicar los resultados con los procedimientos correspondientes en forma clara y ordenada. Al finalizar el examen entregue esta hoja con el cuadernillo.

Examen tipo B Nombre:_____________________________________________________________Grupo_______________ Problema 1.- (2 puntos) Resuelva la siguiente E.D.O. de primer orden reducible a exacta. 3

4 Respuesta:

3

I

2

I

0

I

Problema 2.- (2 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial reducible a lineal JKL

LM#

Solución: LIRZ "

"

;

JKL

→

LM#

JKL 1

LM# LM#

JKL

LM#

LM#

Problema 3.- (2 puntos) Examen a título de suficiencia de E.D.A. Tema: series de potencia. Examen “B” Halle la solución general de la ecuación diferencial 3 0 utilizando la serie de potencias de Maclaurin. Solo hasta . Respuesta. " ∑ ; ′ ∑ " # ; ′′ ∑ # # 1 Si

∑ Sustituyendo # # 1 ∑ # #−1 + 3∑ " # 2 +∑ # #−1 + 3∑ Si $ = # − 2 # =$+2

+3 ∑ " =0 ; $ =0 $=# #=$

"

#

"

=0 ;

% 2 + ∑%& + 3 ∑% " % $ % = 0 . %& $ + 2 $ + 1 2 + ∑% " %& $ + 2 $ + 1 % + 3 ∑% " % $ % = 0 2 + ∑% "[ %& $ + 2 $ + 1 + % 3$ ] % = 0 ) % = 0 relación de recurrencia %& = %& * %&" .

$=1 ;

$=2 ;

$=3 ;

$=4 ;

"

=

"

= =

+ -

$=5 ;

$=6 ;

=

=

0

=0

;

- + +

=

+

;

+

""

; +

0

=

-;

-

+

=

=0

0

1 = + " + + Sustituyendo las constantes 1

1

=

=

+ +

"2 "2

"

+ +

!

"

+

+

-

"

+

=0 +

+

+ 6 "∗ +!

"

"

+ " +

+

+ +

8

+

+

"∗ ∗+ !

+ +

-

4

-

+

+

+ "

0

0

4

Propuesto y resuelto por: Aurelio Luciano Espíritu Saldaña Problema 4.- (2 puntos) Resuelva la ecuación en derivadas parciales, por el método de separación de variables, considerando una 9 = −16 y una 9 = 0. ; < ; < − =0 ; ;

Solución: Para λ = -16

Para λ = 0

=

G B, E

= =

@A B

>;

? ?

@C ; ?

@A B

> @D E

@C ∗ @D E

@F

@F

EDA—ETS—Tanques—GPL Examen B Problema 5.- (4 puntos) En el diagrama se ilustra una batería de dos tanques interconectados, los tanques operan perfectamente mezclados y contienen una sustancia disuelta en agua. Inicialmente, el tanque (1) de 100L contiene 10g/L de sustancia y el tanque (2) de 100L contiene 5g/L de sustancia. Se ilustran los flujos de las corrientes de salida y alimentación para cada tanque. Determinar: a) La expresión del sistema de ecuaciones diferenciales del balance en cada tanque b) La solución del sistema de ecuaciones diferenciales c) La concentración y masa de sustancia en cada tanque a los 7.5 min de operación.

5 L/min

3 L/min

4 L/min 0 g/L

1 4 L/min 0 g/L V1 = X1(0) =

2 2 L/min

100 L 10 g/L

V2 = X2(0) =

Respuestas: a)

b)

c) t=

7.5 min

x 1=

6.71 g/L

x 2=

4.17 g/L

w1=

671.32 g

w2=

416.74 g

3 L/min 100 L 5 g/L