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• Ramon Osvaldo Donoso Gonzalez

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Ayudantía n°1: Ondas Planas Escuela de ingeniería Eléctrica, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Campos en medios y condiciones de frontera. En un material dieléctrico, un campo eléctrico 𝐸⃗ aplicado causa la polarización de los átomos o moléculas del material para crear momentos de dipolo eléctrico, eso aumenta el flujo de ⃗. desplazamiento total 𝐷 Polarización eléctrica: ⃗ = 𝜖0 𝐸⃗ + ⃗⃗⃗ 𝐷 𝑃𝑒 ⃗⃗⃗ 𝑃𝑒 = 𝜖0 𝜒𝑒 𝐸⃗

(1) (2)

La permitividad 𝜖 ahora puede ser un numero complejo, esto para representar las perdidas en el medio (calor), producidas por la amortiguación de la vibración de los momentos de dipolo eléctrico, entonces la permitividad es escrita como: 𝜖 = 𝜖 ′ − 𝑗𝜖 ′′ = 𝜖0 (1 + 𝜒𝑒 )

(3)

Donde: ⃗ e : Vector de polarizacion P 𝜒𝑒 : suceptibilidad electrica Para materiales con una conductividad 𝜎, una densidad de “corriente de conducción” 𝐽 existirá 𝐽 = 𝜎𝐸⃗

(4)

La ecuación (4) corresponde a la ley de ohm desde un punto de vista de ondas electromagnéticas. Se define la tangente de perdidas, la que corresponde a una relación de la parte real a la imaginaria de la corriente de desplazamiento total. tan 𝛿 =

𝜔𝜖 ′′ + 𝜎 𝜔𝜖 ′

(5)

Estas ecuaciones son validas para materiales isotrópicos, aquellos cuyo vector de polarización ⃗⃗⃗ 𝑃𝑒 van en la misma dirección que el campo eléctrico 𝐸⃗ . De manera análoga, un campo magnético puede alinear momentos dipolo magnético en un material magnético para producir un vector de polarización magnética ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑚 Polarización magnética: ⃗ = 𝜇0 (𝐻 ⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝑝𝑚 ) ⃗ 𝑝𝑚 = 𝜒𝑚 𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗ La permeabilidad al igual que la permitividad ahora puede ser un numero complejo

(6) (7)

𝜇 = 𝜇′ + 𝑗𝜇′′

(8)

⃗ y𝐵 ⃗ Finalmente se definen los vectores 𝐷 ⃗ = 𝜖𝐸⃗ 𝐷 ⃗ = 𝜇𝐻 ⃗ 𝐵

(9) (10)

Donde 𝜖 y 𝜇 pueden ser complejos y pueden ser tensores, esto último en el caso de un material anisotrópico. Condiciones de frontera. Campos en una interfaz dieléctrica: Para el caso donde la interfaz es un dieléctrico, no existirá ni carga, ni corrientes de superficies. ⃗⃗⃗⃗2 𝑛̂ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝐷1 = 𝑛̂ ∙ 𝐷 𝑛̂ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝐵1 = 𝑛̂ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝐵2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛̂ × 𝐸1 = 𝑛̂ × ⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛̂ × 𝐻1 = 𝑛̂ × ⃗⃗⃗⃗ 𝐻2 ⃗ y𝐵 ⃗ se mantienen continuas a través de la interfaz, lo mismo para Las componentes normales de 𝐷 ⃗. las componentes tangenciales de 𝐸⃗ y 𝐻 Campos en interfaz con un conductor eléctrico perfecto (PEC): ⃗ tienen que ser cero en la región de Para el caso donde la interfaz corresponde a un PEC, 𝐸⃗ y 𝐻 conducción. El efecto piel 𝛿𝑠 se vuelve cero ya que 𝜎 → ∞. ⃗ = 𝜌𝑠 𝑛̂ ∙ 𝐷 ⃗ =0 𝑛̂ ∙ 𝐵 𝑛̂ × 𝐸⃗ = 0 ⃗ = ⃗⃗𝐽𝑠 𝑛̂ × 𝐻 Ecuación de onda y soluciones básicas de onda plana. Ecuación de Helmholtz. 𝛻 2 𝐸⃗ + 𝜔2 𝜇𝜖𝐸⃗ = 0 ⃗ + 𝜔2 𝜇𝜖𝐻 ⃗ =0 𝛻2𝐻

(11) (12)

Se define la constante 𝑘 = 𝜔√𝜇𝜖 conocida como el número de onda, constante de fase o constante de propagación. Ondas planas en un medio sin perdidas. Para el caso sin perdidas, 𝜖 y 𝜇 son reales, si el campo eléctrico solo tiene componentes en 𝑥̂, 𝜕 𝜕 tenemos que 𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 = 0 entonces:

𝐸⃗𝑥(𝑧) = 𝐸 + 𝑒 −𝑗𝑘𝑧 + 𝐸 − 𝑒 𝑗𝑘𝑧

(13)

Corresponde a la solución en el dominio armónico. La velocidad de la onda en determinada dirección se denomina velocidad de fase 𝑣𝑝 𝑣𝑝 =

𝜔 1 = 𝑘 √𝜇𝜖

(14)

También se define la longitud de onda 𝜆 correspondiente a la distancia entre dos máximos, dos mínimos o cualquier otro punto de referencia de la onda. 𝜆=

2𝜋 2𝜋𝑣𝑝 𝑣𝑝 = = 𝑘 𝜔 𝑓

(15)

⃗. Utilizando las ecuaciones de Maxwell y sabiendo 𝐸⃗ se puede saber 𝐻 1 𝐻𝑦 = (𝐸 + 𝑒 −𝑗𝑘𝑧 + 𝐸 − 𝑒 𝑗𝑘𝑧 ) 𝜂

(16) 𝜇

Donde 𝜂 corresponde a la impedancia del medio o impedancia intrínseca y se define como √ 𝜖 . Onda plana en un medio con pérdidas. Estos materiales poseen una conductividad 𝜎. Se define la constate de propagación compleja 𝛾. 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔√𝜇𝜖√1 − 𝑗

𝜎 𝜔𝜖

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Donde: 𝛼: constante de atenuación. 𝛽: constante de propagación (k). El campo eléctrico y magnético queda ahora definido en términos de 𝛾. 𝐸⃗𝑥(𝑧) = 𝐸 + 𝑒 −𝛾𝑧 + 𝐸 − 𝑒 𝛾𝑧 (18) 1 𝐻𝑦 = (𝐸 + 𝑒 −𝛾𝑧 + 𝐸 − 𝑒 𝛾𝑧 ) (19) 𝜂 El efecto piel, el que define cuanto avanza la onda en el medio con pérdidas, queda definido como:

𝛿𝑠 =

1 2 =√ 𝛼 𝜔𝜇𝜎

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Ejemplo: 1. Una onda plana propagándose en un medio dieléctrico sin perdidas tiene un campo eléctrico dado por 𝐸⃗𝑥 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) con una frecuencia de 5GHz y una longitud de onda en el

material de 3 cm. Determine la constante de propagación, la velocidad de fase, la permitividad relativa del medio y la impedancia de onda. 2. Calcule el efecto piel el cobre, aluminio, oro, cobre y plata a una frecuencia de 10 GHz.

Reflexión de onda plana en una interfaz.

Se puede asumir que la onda plana incidente tiene un vector de campo eléctrico orientado en el eje x, y se esta propagando en una dirección z+. Los campos para z