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• Pedro Cárdenas

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ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de 5 términos de la forma general:

P  x   Ax 4n  Bx3n  Cx 2n  Dxn  E; A  0 o de expresiones enteras reducible a él. Procedimiento general: Para descomponer en factores el polinomio P(x), se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general. 2. De faltar algún término, se sustituirá con un cero, el espacio correspondiente del término que faltase en la ordenación mencionada. 3. Se descomponen los términos extremos (1º y 5º) en dos factores cada uno. Seguidamente, se calcula la suma de los productos de dichos factores en aspa, obteniéndose un resultado. 4. Para hallar el término que sustituye al central (TSC), se resta del término central, el resultado obtenido anteriormente. 5. Se descompone convenientemente el TSC, tratando que verifiquen simultáneamente dos aspas simples: ASPA (I)  a los términos 1º, 2º y TSC. ASPA (II)  a los términos TSC, 4º y 5º Según el esquema explicito mostrado: P  x   Ax 4n  Bx 3n  Cx 2n  Dx n  E

a1x 2n a2 x 2n

f1xn

I

II

f2 xn

e1 e2

TSC: Cx 2n – a2e1  a1e2  x 2n  Fx 2n Luego: se descompone Fx 2n en el recuadro, del modo siguiente: Fx 2n  f1x n f 2 x n







Tratando de verificar por medio de las aspas, los términos Bx 3n y Dx n . Tal como se muestra: ASPA(I): ASPA(II):

a2 f1x 3n    3n a1 f 2 x  

f 2 e1x n    n f1e2 x   Dx n

Bx 3n

6. Los términos de los factores obtenidos se toman horizontalmente. Tal como se indica: P  x   a1x 2n  f1x n  e1 a2 x 2n  f 2 x n  e2







Nota: Si en la forma general n = 1 y P(x) = 0, es decir: Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E  0 Se genera la ecuación general de cuarto grado, cuya resolución se le debe a SCIPIÓ FERRARI. En el caso de que esta ecuación acepte raíces racionales, se podrá aplicar el aspa doble especial y llevarlo a la forma equivalente: a1x 2  m1x  e1 a2 x 2  m2 x n  e2  0







Ejemplo: Factorizar: x 4  3x 3  8x 2  8x  8 Solución:

x 4 + 3x 3 x2

8x 2

+

2x

I

x2

+

8x II

x

+

8

4 2

TSC: 8x 2 – 4  2  x 2  2x 2 (el 2x2 se descompone en 2x y x)





Finalmente: x 2  2x  4 x 2  x  2



EJERCICIOS Factorizar: 1. x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6 2. x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18 3. 6x4 - 13x3 + 7x2 + 6x –8 4. 2x4 – 4x3 + 3x2 + 5x + 4 5. x4 + 2x3 + 5x +2 6. x4 + 2x3 – x – 6 7. 5x4 – 11x2 – 4x + 1 8. 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6 9. 18x4 + 27x3 + 28x2 + 13x + 4 10. 16x4 + 31x2 + 25