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• Luis Alberto Bedriñana

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Por I.C. Luis Gonzalo Mejía C. de Luis Gonzalo Mejía C. y Cía. Ltda. [email protected] Medellín – Colombia Septiembre 2006

1. Introducción Con el diseño de estructuras cada vez más esbeltas y con mayores luces, pueden presentarse vibraciones incómodas para los usuarios y dañinas para la estructura. El cuerpo humano es sumamente sensible a las vibraciones y puede representarse, como cualquier estructura mecánica, como una serie de masas interconectadas por resortes y amortiguadores (figura 1). De forma muy acertada, el Instituto de Desarrollo Urbano de Bogotá IDU, ha comenzado a medir la frecuencia de los puentes peatonales, con el fin de determinar su cumplimiento con los requerimientos de las “Guide specifications for design of pedestrian bridges”2. Como consideramos que esta guía y sus comentarios son relativamente escuetos, preparamos éste artículo con el fin de aclarar la razón por la cual se requiere que la frecuencia de los puentes no este por debajo de 3.0 Hz. 2. Normatividad El Código Colombiano de Puentes3, no da ninguna indicación acerca de las frecuencias mínimas que puede presentar un punte peatonal, por lo cual debe tomarse como criterio la norma AASHTO para puentes peatonales, la cual en su numeral 1.3.2 especifica lo siguiente: “La frecuencia fundamental de un puente peatonal sin carga viva, debe ser mayor de 3.0 Hz para evitar el primer armónico”. A su vez, en los comentarios aclara lo siguiente: “El rango del primer al tercer armónico que pueden ser excitados por personas que caminan o trotan en el puente peatonal, está entre 2 y 8 Hz, con una frecuencia fundamental entre 1.6 y 2.4 Hz. Por ésta razón, los puentes con frecuencias fundamentales menores de 3 Hz, se deben evitar”. Cabeza

Parte superior del torso

Brazos

Abdomen Columna Fuerza ejercida al sujeto sentado

Caderas

Piernas

Pies

Fuerza ejercida al sujeto parado

FIGURA 11 Una representación simplificada del cuerpo humano como una serie de sistemas vibratorios acoplados 1

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3. Breve Reseña Histórica Como seguramente algunos de los lectores no son especialistas en estructuras, consideramos conveniente hacer una breve referencia histórica sobre el tema de las vibraciones y acerca de los modos de vibración explicados con base en una cuerda tensa que se pone a vibrar. El problema de la cuerda vibrante era conocido desde la antigüedad. El matemático y filósofo griego Pitágoras (582-507 A.C.) efectuó experimentos (figura 2), encontrando entre otras cosas que “si dos cuerdas iguales se sujetan a igual tensión y una de ellas tiene la mitad de la longitud de la otra, los tonos que ellos producen se diferencian en una octava”4. La figura 35 nos muestra la serie de ensayos efectuados por Pitágoras, que representan quizás la primera formulación matemática de una ley física. En palabras de hoy, Pitágoras descubrió que la frecuencia de una cuerda, sujeta a una tensión T, es inversamente proporcional a su longitud  .

FIGURA 24 El monocordio inventado por Pitágoras para sus estudios de una cuerda vibrante. Los apoyos a y c son fijos y el apoyo b es móvil. El peso garantiza una tensión uniforme en la cuerda.

Relación de luces 1:1

240 vibraciones por segundo

a

480 vibraciones por segundo 2:1

b

Una octava

360 vibraciones por segundo 3:2

c

Una Quinta

320 vibraciones por segundo 4:3

d

Una Cuarta

FIGURA 35

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Con el monocordio (figura 2) Pitágoras encontró que los sonidos armónicos se producen cuando las longitudes de las cuerdas están en relaciones numéricas sencillas: esta es la llamada Ley Pitagórica de cuerdas.

FIGURA 46 Esta figura muestra parte de los estudios efectuados por Daniel Bernoulli, publicados en “Reflexions et Eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes”6, acerca de los modos de vibrar de una cuerda tensa.

La investigación sistemática de las propiedades físicas de la cuerda vibrante, comenzó realmente hace unos 350 años, luego de que el descubrimiento del cálculo diferencial e integral efectuado por Leibniz y Newton y desarrollado por Jacob y Johann Bernoulli, dio nuevas posibilidades no solo para el estudio de la geometría de cuerdas, superficies y volúmenes, sino también para la mecánica. En 1636 Marin Mersenne (1588 - 1648) llegó a la conclusión de que la frecuencia era inversamente proporcional a la longitud de la cuerda y a su diámetro y directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión. Joseph Saveur (1653 - 1716) fue quien en 1701 llamó “fundamental” a la frecuencia menor y “armónicas”a a las frecuencias superiores. Posteriormente el filósofo y matemático ingles Brook Taylor (1685 - 1731) fue el primero que trato de formular una teoría matemática de la cuerda vibrante en su libro De Motu Nervi Tensi publicado en 1713 y tras él vinieron los trabajos de Johann Bernoulli (1710 - 1790), Jean Baptiste Le Rond D´Alembertb (1717 - 1783) y Leonhard Euler (1707 - 1783), pero fue el pensamiento revolucionario de Daniel Bernoulli (1700 - 1782) quien planteó la solución general del problema por medio de la superposición de soluciones parciales. En su trabajo “Reflexions et Eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes”, presentado a la academia de

Nótese que armónicos significa que las frecuencias superiores están relacionadas por números enteros sencillos con la frecuencia fundamental. En el estudio de barras o placas se encuentra que las frecuencias de los modos no están relacionadas con la frecuencia fundamental por números enteros y se llaman entonces discordantes ó disonantes. El estudio de placas y membranas llegó mas tarde y fue realizado por Gustav Robert Kirchhoff (1824 - 1887), Simeon - Denis Poisson (1781 - 1840) y a Aurel Stodola (1859 - 1942). a

D’Alembert en 1747 publicó el libro “Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration” siendo el primero que planteo la “ecuación diferencial de la onda” como 2y / t 2  c 22y / s2 con c 2  s / m , s= tensión en la cuerda y m = masa b

por unidad de longitud. Es interesante mencionar que D’Alembert, no utilizó el símbolo  para derivadas parciales, pues solo fue introducido en 1768 por Adrien Marie Legendre en su "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations". Finalmente fue Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851) quien en 1841 lo adoptó definitivamente en su obra "De determinantibus Functionalibus".

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historia de Berlin en 1753, demostró que una cuerda podría vibrar de muchas maneras, dependiendo del número de “vientres” que se formaran en la cuerda durante la vibración, como se desprende de la figura 4. Así, para igual tensión y masa, si solo hay un vientre, las vibraciones son más lentas y la cuerda da el tono fundamental. Si la cuerda exhibe dos vientres con un nodo en la mitad, se duplica la frecuencia, la cual corresponde a una octava del tono fundamental. Para terminar debemos mencionar que Jean Louis Lagrange (1736 - 1813) se opuso a la teoría de Daniel Bernoulli en dos escritos publicados en 1759 y 1762 y que entre 1807 y 1811 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) publicó en la academia de París su Theorie de la Chaleur, en la cual expresó que cualquier función se puede expresar como una serie de funciones trigonométricas, con lo cual se confirmó la idea genial de Daniel Bernoulli. Luego de esta reseña histórica y basándonos en la excelente y sencilla discusión que sobre el tema hace Zetlin7, con ayuda de la figura 5 podemos resumir lo más importante sobre este tema: Si tomamos una cuerda en reposo sujeta a una tensión T (figura 5a) luego la halamos sacándola de su posición de equilibrio (figura 5b) y la soltamos, ella empieza a vibrar asumiendo varias configuraciones. En un instante cualquiera, la cuerda puede tener la forma indicada en la figura 5c, la cual obviamente varía en cada instante dependiendo de las propiedades del cable, la tensión inicial y la amplitud inicial con la que la hayamos excitado. Por la descripción de los aspectos históricos de este tema, ya conocemos que cada configuración, en cada instante, puede ser obtenido por la suma de un infinito número de curvas armónicas de las cuales se indican las tres primeras en las figuras 5d, 5e y 5f.

FIGURA 57 Determinación de la configuración de una cuerda que vibra en un instante cualquiera como sumatoria de tres de sus curvas armónicas (modos de vibrar).

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Cada curva armónica es llamada un modo de vibración y su amplitud varía al vibrar el cable, por lo cual un cable puede tener un número infinito de frecuencias naturales. Debe notarse que mientras mayor número de ondas tenga un modo de vibrar, menor es su amplitud y mayor es su frecuencia y por lo tanto, usualmente, solo se requieren los primeros modos para representar el cable vibrando. El primer armónico se llama el modo fundamental de vibración y su frecuencia la frecuencia natural. La frecuencia W de cualquier modo esta dada por la siguiente expresión: (7)

n T Wn   q/ g

En la cual: n = 1, 2, 3........   = Distancia horizontal entre apoyos T = Tensión en el cable q = Peso del cable por unidad de longitud, supuesto uniforme g = Aceleración de la gravedad Wn =Frecuencia de vibración de un armónico.

4. Excitación vertical y resonancia En este punto tal vez nos preguntamos y no tengamos completa claridad acerca de cual es la real importancia de la frecuencia fundamental y sus armónicos. Lo que sí sabemos es que normalmente una estructura, vibra de una forma que es la sumatoria de sus formas modales y que cada una de estas formas modales tiene una frecuencia normal de vibración que puede ser excitada y que dependiendo de la frecuencia de excitación puede causar daños en la estructura como lo veremos a continuaciónc. Para aclarar este aspecto, examinemos la figura 610 en la cual se indica el modelo simplificado del sistema vibratorio “persona - estructura”. Dado que no se presenta una reacción de la estructura hacía las personas, debe modelarse la persona que camina ó corre como una fuerza actuante sobre la estructura y no como un sistema de resorte-masa acoplado a ésta. De ésta forma la excitación rítmica producida por las personas en la estructura al caminar puede expresarse por una función armónica con un perfil de onda simple:

Como ya se dijo fue Daniel Bernoulli el primero que logro comprender que la cuerda, por así decirlo, se puede considerar separada en dos, tres o mas partes iguales y que esas partes vibran, como si cada parte fuera una cuerda completa. Es tal la importancia de éste concepto, que consideramos pertinente transcribir a Bishop12: ”Las formas modales de un sistema, a las cuales les corresponde una frecuencia propia tienen propiedades sumamente importantes. Ellas constituyen, en cierta forma, los elementos a partir de los cuales, por superposición, se puede determinar cualquier deformación del sistema. Sí de alguna forma sacamos de su posición de reposo un sistema y lo liberamos, comienza a vibrar libremente, de tal forma que estas vibraciones corresponden a las formas modales que por superposición dan la forma de vibrar que hemos excitado. Las formas modales son independientes entre sí y transcurren a un ritmo que corresponde a su frecuencia propia”. Dicho de otra forma, cualquier movimiento aparentemente caótico y complicado puede obtenerse como una combinación de las formas modales, es decir, hay un orden en ese aparente caos. En palabras de Mandelbrot13 es: “La simple complejidad de la naturaleza”. c

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F  f ( t )  K o  K 1 sin t .

Cuando las personas en vez de caminar corren, la excitación es impulsiva y periódica, por lo cual es conveniente utilizar la expresión para la fuerza en forma compleja:

F  f ( t )  K o   K()e it 

Hombre Estructura Terreno

FIGURA 610 Modelo simplificado del sistema vibratoriohombre - estructura (con r = amortiguación y c = constante de resorte)

La ecuación diferencial que describe el movimiento de la estructura causado por esta fuerza F esta dada por: Mz+rz+cz=F cuya solución particular corresponde a:

z( t )  z cos(t  ) con : z



F

c 1  ( / e ) 2



2

 (r / c ) 2

Es ampliamente conocido que la amortiguación viscosa es sumamente baja11, por lo cual z(t), la amplitud de la vibración, depende prácticamente de la relación  / e (frecuencia de la fuerza excitatriz/frecuencia propia), siendo evidente que para valores cercanos a 1 ó de 1 la amplitud de la vibración se vuelve excesivamente grande o infinita produciendo severos daños en la estructura o inclusive su colapso.

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5. Frecuencias de la fuerza excitatriz debidas al tránsito peatonal Introducción De la discusión anterior es claro que en el diseño de estructuras debe evitarse que su frecuencia fundamental y la de sus armónicos sean del mismo orden que la frecuencia de la fuerza aplicada. En puentes peatonales, la frecuencia de la fuerza excitatriz varía en un rango relativamente amplio, dependiendo, de si las personas caminan a paso normal, a paso rápido, brincan o corren, lo cual es especialmente importante en la consideración de las vibraciones verticales. Seguidamente hacemos un breve análisis de los rangos de frecuencia que deben evitarse, no solo para las vibraciones verticales, sino para las horizontales, ya sean transversales o longitudinales.

Los estudios de Matsumoto y Schulze, citado en la referencia 9, coinciden en que la frecuencia de las personas que caminan normalmente esta entre 1.6 y 2.4 Hz, con una media de 2.0 Hz como se indica en la figura 79. Estas frecuencias están entre 2.4 y 2.7 Hz para trote normal y pueden llegar a 5.0 Hz para personas corriendo.

Frecuencia observada

Distribución según mediciones Distribución Normal

FIGURA 79 Distribución de frecuencias para el caso de caminado normal

En la figura 89 se indica el desarrollo en el tiempo de la carga dinámica debida a ambos pies. Es importante notar que las solicitaciones de ambos pies se traslapan y que se pueden tener igualmente contribuciones en el segundo y tercer armónico.

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Carga/peso

Ambos pies

Pie derecho

Pie Izquierdo

FIGURA 89 Historia de la carga dinámica producida por ambos pies al caminar

Frecuencias verticales De acuerdo con la distribución de frecuencias indicada en la figura 7, en un puente peatonal pueden presentarse excesivas vibraciones verticales si su frecuencia fundamental está entre 1.6 y 2.4 Hz y por esto debe evitarse que la frecuencia fundamental del puente y sus armónicos estén en este rango. Ésta condición puede expresarse como: fi

 1.6 H z  2.4 H z

Es importante anotar que tal como se desprende en la figura 8, puentes sometidos a vibraciones con una frecuencia dominante de 2 Hz, pueden tener contribuciones en el segundo armónico y por esto, especialmente en puentes metálicos, debe evitarse el rango entre 3.5 y 4.5 Hz, condición que podemos expresar de la siguiente manera: fi

 3.5 H z  4.5 H z

Si se respetan los rangos indicados para la frecuencia del puente ya que la frecuencia excitatriz no puede modificarse, puede descartarse que se presenten problemas de vibraciones molestas para los usuarios y dañinos para la estructura.

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Frecuencias horizontales transversales Rara vez y solo en puentes muy flexibles transversalmente, debe evitarse el rango de frecuencias entre 0.8 y 1.2 Hz y en estos puentes ocasionalmente es conveniente evitar también el rango de frecuencias entre 2.6 y 3.4 Hz. Frecuencias horizontales longitudinales Igualmente, pueden encontrarse excepcionalmente puentes muy flexibles longitudinalmente en los cuales debe evitarse el mismo rango de frecuencias entre 0.8 y 1.2 Hz. En estos puentes ocasionalmente es conveniente evitar también el rango de frecuencia entre 1.6 y 2.4 Hz. 6. Conclusión En la tabla 19 se resume el rango de frecuencias producidas por las personas al caminar, o correr. TABLA 19 Frecuencias (fs), velocidades (vs) y longitudes del paso (ls) al caminar y correr

Caminar despacio Caminar normal Caminar rápido Trotar Correr

fs Hz ~ 1.7 ~ 2.0 ~ 2.3 ~ 2.5 > 3.2

v s m / s 1.1 1.5 2.2 3.3 5.5

l s m 0.60 0.75 1.00 1.30 1.75

Es claro por lo tanto que la frecuencia inferior limitante de 3.0Hz fijada por la AASHTO2 busca evitar vibraciones molestas para los peatones y dañinos para la estructura en su modo fundamental. Sin embargo, para puentes metálicos con poca rigidez y amortiguamiento pueden presentarse cargas que exciten el segundo armónico, por lo cual en general, salvo casos excepcionales, parece conveniente que la estructura tenga una frecuencia fundamental superior a 5.0 Hz, para evitar problemas de vibraciones en el segundo y tercer armónico.

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REFERENCIAS 1. Hussey Matthew, “Fundamentals of Mechanical Vibrations”, Macmillan Publishing Company, 1983, New York 2. “Guide Specifications For Design of Pedestrian Bridges”, Prepared by Subcommittee on Bridges and Structures of the Standing Committee on Highways, Published by the American Association of State Highway and Transportation Officials, August 1997, Washington Dc 3. Ministerio de Transporte - Instituto Nacional de Vías, “Código Colombiano de diseño Sísmico de Puentes”, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, 2005, Tercera Edición, Bogotá 4. Burton Ralph, “Vibration and Impact”, Dover Publication Inc., 1968, Primera Edicion, New York. 5. Gamow George; “Biografía de la Física”; Salvat Editores S.A. - Alianza Editorial S.A. 1971; España. 6. Szabó István, “Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhäuser Verlag Basel Boston Stuttgart, 1987, Germany 7. Section 22; Zetlin Lev; “Suspension Roofs”, P.P. 22-1 – 22-16; Gaylord, Edwin H; Gaylord Charles N; ”Structural Engineering Handbook“; Edit. McGrae Hill Inc, USA 1968. 8. Gimsing; Niels J., “Cable Supported Bridges Concept and Design“; Second Edition; Edit. John Wiley & Sons; USA 1998. 9. Bachmann Hugo, Ammann Walter, “Schwingungsprobleme bei Bauwerken“, Edit. Internationale Vereinigung für Brückenbau und Hochbau; Tercera Edición 1987, Switzerland. 10. Kramer H., Kebe, H-W.; “Durch Menschen erzwungene Bauwerksschwingungen“; Bauingenieur, Zeitschrift für das gesamte Bauwesen; Pag.195 - 199 (1979). 11. Müller, F.P., “Baudynamik”; Verlag Von Wilhelm Ernst & Sohn; 1978 Germany. 12. Bishop Richard E. D.; „Schwingungen in Natur und Technik“; Ed. B.G. Teubner Stuttgart, Germany 1985. 13. Mandelbrot Benoit; “Los objetos fractales“; Tusquets Editores S.A., España 2006.

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