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• Jesus Medina

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5.1.- Definición de Amortización o Préstamos de Capitales Llamamos así a toda operación financiera compuesta de prestación única y contraprestación múltiple con vencimiento posterior (aunque existen otras variantes que enumeraremos más tarde). La operación de amortización de capital tiene por objeto a amortización de una deuda mediante la entrega de una sucesión de pagos escalonados en el tiempo. Generalmente se conciertan entre personas físicas o jurídicas y las Entidades de Crédito. Es la operación contraria a la constitución.

En esta operación intervienen los siguientes elementos: C0: Capital prestado o a amortizar. as: Términos amortizativos que entrega el prestatario para amortizar la deuda. i: Tipo de interés de la operación. Cn: Capital prestado valorado al final de la operación. n: Duración de la operación. 5.1.1.- Cálculo de los términos amortizativos Si suponemos que los tipos de interés son constantes y que los términos amortizativos son constantes, el cálculo de los términos se podrá hallar por medio de la igualdad entre prestación y contraprestación: C0= a (1+i)-1+a(1+i)-2+...+a(1+i)-n De tal forma que si despejamos "a": a=C0/[(1+i)-1+a(1+i)-2+...+a(1+i)-n] = C0 [(1+i)1+a(1+i)2+...+a(1+i)n] Si ahora supones que el préstamo se devuelve en con una sola contraprestación al final de la operación obtendremos (a esta operación también se le llama descuento compuesto racional): C0= a(1+i)-n = Cn (1+i)-n En este caso el término amortizativo sería igual a la totalidad a devolver, es decir al capital final: a = Cn = C0 (1+i)n

Ejemplo: Si quisiéramos calcular el valor de la cancelación de un préstamo a 15 años de 500.000 Euros que tenemos concedido a un tipo de interés compuesto del 5 por ciento anual ( teniendo en cuenta que la cancelación de la operación que vence dentro de cinco años será por el nominal más los intereses acumulados hasta el momento ) deberíamos hacer lo siguiente. Cn = 500.000 (1 + 5%)10 = 814.447.3134 5.1.2.- Cálculo de los intereses Los siguientes cálculos los realizaremos en el caso de que la contraprestación sea única, es decir se devolverá el capital prestado mediante una entrega al final de la operación. Cn = C0 +I ;

I = Cn- C0= Cn - Cn (1+i)-n = Cn (1- (1+i)-n) o bien

I= Cn- C0= C0 (1+i)n- C0= C0 ((1+i)n-1) 5.1.3.- Cálculo del tipo de interés Seguiremos el mismo procedimiento que en los apartados anteriores, es decir despejando de la igualdad principal:

5.2.- Descuento compuesto comercial Para sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente utilizaremos la ley financiera del descuento compuesto que no es sino la operación inversa a la capitalización compuesta. Los elementos que debemos considerar para estas operaciones son los siguientes: Cn = Flujo Nominal o cantidad al vencimiento. Co = Efectivo o cantidad presente. D = Descuento total, la diferencia entre el nominal y el efectivo. Los intereses I. n = El periodo de tiempo transcurrido entre el momento de efectivo y el vencimiento. d = Tipo de descuento, es el tipo de interés anual que se aplica sobre el valor nominal, en función del plazo de la operación, para obtener el efectivo de la compra.

i = Tipo de interés anual. Si quisiéramos por ejemplo cobrar anticipadamente un capital cuyo vencimiento se fuera a producir dentro de un número determinado de años, la cantidad que recibiríamos sería el valor actual o valor presente del mismo, ya se obtenga éste por aplicación del tipo de interés i o ya por el descuento d. En el caso de que aplicáramos el tipo de interés i el descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Matemático Real o Racional y si aplicáramos el tanto de descuento del descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Comercial. Llamamos descuento comercial a los intereses que genera el capital nominal desde el momento deliquidación de efectivo hasta su propio vencimiento. Por tanto, el cálculo de los intereses se hace sobre el nominal. 5.2.1.- Cálculo del valor actual Tenemos un capital nominal Cn al que se le aplica un tipo de descuento d. El valor actual Co será por lo tanto:

El valor del capital disponible al final del año n: Cn El valor del capital disponible al final del año n- 1: Cn-1 = Cn - Cn· d = Cn (1 – d) El valor del capital disponible al final del año n-2: Cn-2 = Cn-1- Cn-1· d = Cn-1 (1 – d); Cn-2 = Cn (1 -d) (1 -d) = Cn-1 ( 1 - d )2 El valor del capital disponible al final del año n-3: Cn-3 = Cn-2 - Cn-2· d = Cn-2 (1 – d); Cn-3 = Cn ( 1 – d )2 ( 1 – d )= Cn ( 1 - d )3 Y así, el valor del capital en el origen Co será: Co = Cn ( 1 - d )n 5.2.2.- Cálculo del descuento Se trata de los intereses calculados sobre el nominal en función del tiempo que falta hasta su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo D = Cn–Co. Como ya conocemos el valor de Co: Co = Cn ( 1 – d )n sustituyendo: D = Cn - Cn ( 1 – d )n = Cn [ 1 - ( 1 – d )n ]

5.2.3.- Cálculo del valor nominal También en este caso partimos de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejando el nominal Cn tenemos que: Cn = Co / ( 1 - d )n 5.2.4.- Cálculo del tipo de descuento Una vez más partiremos de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejamos d:

5.2.5.- Cálculo del tiempo En esta ocasión partiremos de la fórmula Co = Cn (1 - d)n y despejamos n: n= [log Co - log Cn]/ log (1-d)z 5.3.- Enumeración de los distintos Métodos de Amortizar Capitales Método de Amortización del Sistema Americano: En este tipo de amortización el prestatario entrega al prestamista en cada ejercicio tan solo los intereses generados por el Capital prestado, y en el último periodo entrega los intereses generados en ese periodo y el Capital prestado.

Método de Amortización Francés: En este tipo de amortización el prestatario entrega al prestamista en cada ejercicio una cantidad constante con la que se cubren los intereses generados y parte del principal a amortizar.

Método de Amortización de cuota de amortización constante: En este tipo de amortización el prestatario amortiza todos los periodos la misma cantidad de principal y los intereses generados.

Método de Amortización con Fondos de Amortización: En este tipo de amortización el prestatario paga al prestamista los intereses generados por el principal y constituye al mismo tiempo un fondo con el que devolverá el principal prestado al final de la operación.

Método de Amortización de Términos variables en Progresión Geométrica: En este tipo de amortización el prestatario paga el principal por medio de términos en progresión geométrica creciente o decreciente, de tal forma que la suma financiera de todos los términos en el momento inicial de la operación es igual al capital prestado.

Método de Amortización de Términos variables en Progresión Aritmética: Este tipo de amortización es igual al anterior con la única variedad de que los términos varían en progresión aritmética creciente o decreciente.

Problemas de Amortización Formulas para anualidades diferidas F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro

i P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presente i F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses. (1+0,08)1/12 = (1+ e.m)12/12 i = 6,43 *10-3 20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ] 0,0064 A = 1.737,19 Respuesta Fecha Periodo

Cuota

Interés

Amortización Saldo

0

0

1.737,19

0

0

20.000

0

1

1.737,19

128,68

1.608,50

18.391,49

0

2

1.737,19

118,33

1.618,85

16.772,63

0

3

1.737,19

107,91

1.629,27

15.143,36

0

4

1.737,19

97,43

1.639,75

13.503,60

0

5

1.737,19

86,88

1.650,30

11.853,30

0

6

1.737,19

76,26

1.660,92

10.192,37

0

7

1.737,19

65,57

1.671,61

8.520,26

0

8

1.737,19

54,82

1.982,36

6.838,40

0

9

1.737,19

43,99

1.693,18

5.145,21

0

10

1.737,19

33,10

1.704,08

3.441,13

0

11

1.737,19

22,14

1.715,04

1.726,08

0

12

1.737,19

11,10

1.726,08

0

Una deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, con interés del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago. (1+0,12)2/4 = (1 +et)4/4 100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18 ] 0,029 A = 7.244,03 Anualidad Para encontrar el valor del noveno pago F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ] 0,029 F = 73.462,00 M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95 73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respuesta Saldo insoluto al noveno pago. Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago 300.000 – 100.000 = 200.000 200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8 ] 0,05 A = 30.944,36 F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ] 0,05 F = 170.987,13 M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31 Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17 D. comprador + 84.269,17 = 300.000 D comprador = 215.730.83

¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensualmente?

Conversión de la tasa (1 +0,34)6 = (1 +i.s.) 12 Interés semestral = 0,1825 29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825)-n ] 0,1825 ln 0,4325 = - n ln(1,1825) -0,838 = -n (0,1676) n = 5 pagos semestrales Respuesta Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta $48.000 y se vende con un enganche de 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $1.254,75 con interés al 39% convertible mensualmente. Enganche 21.600 Quedan 26.400

i = 0,39 12 i = 0,0325

26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n ] 0,0325 n = 36 mensualidades Respuesta Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito?

499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3] i 2,69 = 1 – (1 + i)-3 i Interpolación

0,06 – 0,05 = 0,06 – i 2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69 0,00017 = 0.06 – i 0,0502 i = 0,05661 i = 5,66 % Respuesta 10. Problemas de Fondo de Amortización Formulas para anualidades diferidas F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente

i F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo. 0,06 = 0,03 2 F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] =57.319,39 0,03 Fecha

Periodo

Cuota

Interés

Saldo Valor agregado al fondo

0

0

0

0

0

0

0

1

5.000

0

5.000

5.000

0

2

5.000

150

5.150

10.150

0

3

5.000

304,5

5.304,5

15.454,5

0

4

5.000

463,63

5.463,63

20.918,13

0

5

5.000

627,54

5.627,54

26.545,67

0

6

5.000

796,37

5.796,37

32.342,04

0

7

5.000

970,26

5.970,26

38.312,31

0

8

5.000

1.149,36

6.149,36

44.461,68

0

9

5.000

1.333,85

6.333,85

50.795,53

0

10

5.000

1.523,86

6.523,86

57.319,39

Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor es de $10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8%, capitalizable trimestralmente?

(1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/12 4 Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-3 10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1] 6,622 * 10-3 A = 136,28 Respuesta Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1] 0,06 A = 14.191,71 Primeros dos años F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92 0,06 M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04 44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1] 0,07 A = 13.744,11 Los 3 últimos años. Fecha

Periodo

Cuota

Interés

Saldo Valor agregado al fondo

0

0

0

0

0

0

0

1

14.191,71

0

14.191,71

14.191,71

0

2

14.191,71

851,502

15.043,21

29.234.92

0

3

13.744,11

2.046,44

15.790,56

45.025,48

0

4

13.744,11

3.151,78

16.895,89

61.921,38

0

5

13.744,11

4.334,49

18.078,61

80.000

Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el 8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda? 2.000.000 * 0,08 = 160.000 2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1] 0,06 A = 151.735,92 depósitos anuales 151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso anual Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés, para cancelar en 25 años una deuda de $100.000. 100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1] 0,07 A = 1.518,05 depósitos anuales Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente?

(1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/6 12 i = 0,04380 29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1]

0,04380 A = 4330,4922 Respuesta. Para pagar una deuda de $5.400 que vence dentro de 5 meses se va a construir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual convertible mensualmente, hallar su importe.

i = 0,32 12 i = 0,0266 5.400= A [¨ (1 + 0,0266)6 -1 - 1] 0,0266 A = 997,32 Respuesta. Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo. (1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/24 Efectiva quincenal = 0,0134 16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1] 0,0134 A = 2719,34677 Respuesta. Fecha

Periodo

Cuota

Interés

Saldo Valor agregado al fondo

0

0

0

0

0

0

0

1

2.719,34

0

2.719,34

2.719,34

0

2

2.719,34

36,46

2.755,81

5.475.16

0

3

2.719,34

73,42

2.792,76

8267,92

0

4

2.719,34

110,87

2.830,22

11.098,14

0

5

2.719,34

148,82

2.868,17

13.966,32

0

6

2.719,34

187,28

2.906,63

16.872,96

¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses? 8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1] 0,02375 A = 998,29 Respuesta