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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA AV. TÚPAC AMARU 210 - RIMAC / LIMA 25 – PERÚ TELEFONO: 481 - 1070

Informe N 03 : Elementos Finitos

ELEMENTOS FINITOS ARMADURA PLANA CURSO:

Elementos Finitos (MC-516)

TEMA:

Armadura Plana

SECCION :

E

ESTUDIANTES:

Lazo Huaynates Francis Nicols

DOCENTE:

20114127D

: CUEVA PACHECO RONALD Lima, 10 de mayo del 2017

Contenido

ARMADURA PLANA ................................................................................................................................. 1 PROBLEMA: ............................................................................................................................................... 1 1)

TABLA DE CONECTIVIDAD: ................................................................................................................ 2

1)

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ARMADURA: ........................................................................................... 3

2)

RESULTADOS. .................................................................................................................................... 4

DIAGRAMA DE FLUJO: ............................................................................................................................ 5 CODIGO EN MATLAB: ............................................................................................................................. 9 EJECUCIÓN DEL PROGRAMA: ........................................................................................................... 11 Resultados ................................................................................................................................................ 13 CONCLUSIONES: ................................................................................................................................... 14

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ARMADURA PLANA PROBLEMA: Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es sometida a cargas en ciertos nodos, despreciándose los efectos de temperatura y de peso de cada viga de la armadura plana. Se tiene que el Módulo de Elasticidad del material de cada viga 19 × 106 𝑝𝑠𝑖, así como el área de la sección se considera constante de cada viga. DATOS DEL PROBLEMA: Módulo de Elasticidad:

19 × 106 𝑝𝑠𝑖

Área de la sección constante de cada viga:

8 𝑖𝑛2

Carga P4:

500 𝑙𝑏

Carga P5:

500 𝑙𝑏

Informe N 03 : Elementos Finitos

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1) TABLA DE CONECTIVIDAD:

Elemento 1 2 3 4 5 6

Nodo

X (in)

y (in)

1 2 3 4 5

0 3 0 3 6

0 0 3 3 3

Nodos 1 2 3 2 2 4

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GDL 2 3 4 4 5 5

1 3 5 3 3 7

2 4 6 4 4 8

3 5 7 7 9 9

4 6 8 8 10 10

Le (in)

Ae (mm2)

Ee(psi)

3 4.2426 3 3 4.2426 3

8 8 8 8 8 8

19×106 19×106 19×106 19×106 19×106 19×106

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1) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ARMADURA

𝐾𝑟𝑠

𝑒

𝑙2 𝑙𝑚 2 𝐸𝐴 𝑙𝑚 𝑚 = [ 2 𝐿 −𝑙 −𝑙𝑚 −𝑙𝑚 −𝑚2

−𝑙 2 −𝑙𝑚 𝑙2 𝑙𝑚

−𝑙𝑚 −𝑚2 ] 𝑙𝑚 𝑚2

Reemplazando los valores de "𝑙 " 𝑦" 𝑚” para cada elemento finito y sumando cada matriz de rigidez local obtenida, tenemos que:

1.4347  4.0579 0 0 0  5.4296  1.4347 1.4347 0 0 0 0   4.0579 0 8.1158 0  4.0579 0  0 0 4.0579 0 0  0  0 0  4.0579 0 5.4296  1.4347 K ij   0 0 0  1.4347 1.4347  0  1.4347  1.4347 0 0  1.4347 1.4347  0  4.0579 1.4347  1.4347  1.4347  1.4347  0 0 0 0 0   0 0 0 0 0

 1.4347

 1.4347

0  1.4347  1.4347 0 0 0 0 0 0  0  4.0579 0 0  1.4347 1.4347 0 0 N  10 5 1.4347 1.4347 0 0 mm 6.9273 0  4.0579 0  0 6.9273 0 0  4.0579 0 4.0579 0  0 0 0 0 0

2.1623 0 0 0  0.4478  0.4478 𝑄3 0 0 2.1623 0  1.2667  0.4478  0.4478 𝑄4 −3000 0 0 2.5333 0  1.2667 0 𝑄7 0 107 ∙ ∙ = 𝑄8 −2000 0  1.2667 0 1.2667 0 0 𝑄9 5000  0.4478  0.4478  1.2667 0 1.7245 0.4478 [𝑄10] [ 0 ] 0 0 0.4478 0.4478 ] [  0.4478  0.4478

𝑄3 0.02286 𝑄4 0.0508 𝑄7 −0.0127 = 𝑄8 0.05588 𝑄9 −0.0254 [𝑄10] [−0.13716]

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2) RESULTADOS. 𝑄1 0 𝑄2 0 𝑄3 0.02286 𝑄4 0.0508 𝑄5 0 = 𝑄6 0 𝑄7 −0.0127 𝑄8 0.05588 𝑄9 −0.0254 [𝑄10] [ 0.13716 ]

𝜎1 664.8023 𝜎2 −417.8549 𝜎3 −369.3342 = 𝜎4 147.7349 𝜎5 522.3184 [𝜎6] [−369.3342]

𝑅1 9000 𝑅2 0 [ ]=[ ] 𝑅5 9000 𝑅6 4000

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DIAGRAMA DE FLUJO: INICIO

Leer datos de entrada. Para i=1 hasta Nº de nodos

Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Para i=1 hasta 2veces Nº de nodos

Cont=0

Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)

1

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3

2

5

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1

SI

3

2

Si i=CC(i,1)

Cont=1, C2=CC1(i,2) C1=CC1(i,1)

Si

SI

NO

CC(i,1)=C1;

CC(i,1)=0;

CC(i,2)=C2

CC(i,2)=0

Para i=1 hasta Nº elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.

4

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4

Para i=1 hasta 2veces Nº elementos.

SI

Si i=CC(i,1)

NO

Q(i,1)=CC(i,2) Acumulamos fuerzas (FC=[FC;F(i)])

Para j=1;2*Nºnodos

SI Si jCC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)] acumula filas

acuv=[acuv;acuh];

acumula columnas

Calcula los desplazamientos generales Q1=acuv\FC;

5 Informe N 03 : Elementos Finitos

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5 Para i=1; 2Nº nodos

Si i==CC(i,1)

Calcula las reacciones r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos

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CODIGO EN MATLAB: %TEMA = ARMADURAS PLANAS %NOMBRE = GOMEZ REYES CARLOS ALBERTO (20122065D) format long nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS='); ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS='); D=input('INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES='); E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD='); tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)='); %EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] disp('=============================================='); ni=[]; for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= '); end disp('=============================================='); F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS='); CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]='); lm=[]; A=pi/4*D^2; krs=zeros(2*nd); Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i);

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krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd); end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[]; end Q1=acuv\FC; for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; end end ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)]; end format short disp('=============================================='); disp('RESULTADOS'); disp('=============================================='); disp('LOS DESPLAZAMIENTOS'); disp(Q); disp('LAS REACIONES'); disp('REACCIÓN POSICIÓN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS'); disp(ESF');

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EJECUCIÓN DEL PROGRAMA: ELEMENTOS INGRESE EL NUMERO DE NODOS=5 INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=6 INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES=50 INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD=3.1*10^5 INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD (solo nodos)= [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ============================================== INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 1 N(X)= 0 N(Y)= 0 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 2 N(X)= 1500 N(Y)= 0 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 3 N(X)= 0 N(Y)= 1500 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 4 N(X)= 1500 N(Y)= 1500 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 5 N(X)= 3000 N(Y)= 1500

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============================================== INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=[0 0 0 -3000 0 0 0 -2000 0 5000]' INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=[1 0; 2 0; 5 0; 6 0]

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Resultados 



Los desplazamientos son: Grados de Libertad Globales

Desplazamiento (mm)

Q1

0

Q2

0

Q3 Q4

0.02286 0.0508

Q5

0

Q6

0

Q7 Q8

-0.0127 0.05588

Q9

-0.02540

Q10

0.13716

Las reacciones son REACCIÓN (N) -9000.09 0 9000.09 -4000



POSICIÓN 1 2 5 6

Los esfuerzos σ(PSI) 664.8023 -417.8549 -369.3342 147.7349 522.3184 -369.3342

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CONCLUSIONES:  El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el plano tiene una tiene una aproximación casi exacta, sólo se comete error por las cifras significativas que trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analítica con la de elementos finitos el error del cálculo es cero.  El método de elementos finitos es aplicable a cualquier estructura en el plano, para ello tenemos que ingresar la tabla de conectividad, que resultaría tedioso si la estructura consta de muchos elementos. La ventaja de este método es la facilidad de cálculo por medio del MATLAB, en nuestro caso, ya que se sigue una rutina y es de fácil cálculo para un número de elementos muy grade, que resultaría casi imposible de resolverlo analíticamente.  COMO Vemos en los resultados los desplazamientos de Q7 y Q9 son negativos es decir se contraen a la acción de la fuerza a pesar de que hay una fuerza en el nodo 5 que alarga ( dirección del x positivos ) la fuerza que predomina es la fuerzas restantes las cuales causan este efecto y el efecto positivos en los demás desplazamientos .  Como vemos en los resultados los nodos 1 y 3 soportan grandes fuerzas el nodo tres en la dirección y y el 1 en la dirección x un diseñador debe fijarse muy bien en estos resultados para cuando se construya se deba poner refuerzo tornillos pernos o soldaduras de tal manera que soporte esas fuerzas la conclusión seria que si alguien quisiera construir esta armadura se debe fijar en donde actúan la mayores fuerzas.  El mayor esfuerzo como es de esperarse se da en el nodo 6 entonces los pernos deben soportar estos esfuerzos y deben soportar el esfuerzo cortante que exististe mediante las teoría de elasticidad podemos saber que estos resultados obtenidos mediante esta teoría junto con el método de los elementos finitos son indispensables para poder construir adecuadamente alguna estructura (armadura) sin que esta colapse.  El programa antes realizado puede resolver cualquier viga que no se considere su peso y que tenga área transversal constante y que este la deformación dentro de la ley de hooke como hemos hecho algunos supuestos es importante ver que en la realidad estos supuestos son bastantes coherentes ya que la mayoría de las vigas son tratadas dentro de estos rangos para poder así determinar el coste de material poder ver y saber donde se fisurara la armaduras , etc. .  la vida 3 y 4 como podemos ver en los esfuerzos tienen el mismo valor , y como son de ares transversal constante quiero decir que ambas vigas soportan la misma fuerza en dirección a su coseno director de cada una .  Cabe señalar que la articulación no transmite flexión.  Para el cálculo del vector de carga se tomó en cuenta las cargas en cada nodo.

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