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14.10

Área entre curvas

Problemas 14.10 Páginas 673-675. Ejercicios: 9, 10, 13, 14, 21, 24, 29

En los problemas 9 a 32, encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Considere si el uso de franjas horizontales hace más sencilla la integral que el uso de franjas verticales 𝒚 = 𝒙𝟐

9.

𝒚 = 𝟐𝒙



Calculamos los puntos de intersección:



𝑥 2 = 2𝑥 ⟹ 𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2) = 0 ⟺ Realizamos un bosquejo de la gráfica y calculamos el área

2

2

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (2𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = (x 2 − 0

x3 8 4 )| = (4 − ) – 0 = 3 0 3 3

𝒚 = 𝒙, 𝒚 = −𝒙 + 𝟑, 𝒚 = 𝟎

10. 

Graficamos las ecuaciones:



Calculamos la intersección de las dos rectas 𝑥 = −𝑥 + 3, 2𝑥 = 3



⟹

𝑥=

𝑥 = 0, 𝑥 = 2

3 2

Calculamos el área mediante franjas verticales:

3 2

3

Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 3) 𝑑𝑥 3 2

0

3 𝑥 2 3/2 𝑥2 = | + (− + 3𝑥) | 2 2 3/2 0 9 9 9 9 9 = [ − 0] + [(− + 9) — + ) = 8 2 8 2 4 𝒚 = 𝟏𝟎 − 𝒙𝟐 ,

13.

𝒚=𝟒



Calculamos las intersecciones:



10 − 𝑥 2 = 4 ⟹ 𝑥 2 = 6 ⟹ 𝑥 = ±√6 Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área:

Área = ∫ √6 [(10 − 𝑥 2 ) − 4]𝑑𝑥 = ∫ √6 (6 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 −√6 −√6 = (6𝑥 −

𝑥³ √6 6√6 6√6 )| = (6√6 − ) − (−6√6 + ) = 8√6 3 −√6 3 3

𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝟏, 𝒙 = 𝟏

14. 

Graficamos las ecuaciones



Calculamos las intersecciones Si 𝑦 2 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 1 entonces 𝑦 2 = 2



Luego: 𝑦 = −√2 Calculamos el área

𝑦 = √2

√2

√2

[1 −

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫

(𝑦 2

−√2

𝑦3 − 1)] 𝑑𝑦 = (2𝑦 − )| 3 −

√2

= (2√2 −

2√2 2√2 8√2 ) − (−2√2 − )= 3 3 3

𝟐𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 , 𝟐𝒚 = 𝒙 − 𝟒

21. 

Calculamos las intersecciones: 𝑥 − 4 = 4𝑥 − 𝑥 2 ⟹ ⟹ (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0



𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 ⟺

𝑥 = −1 , 𝑥 = 4

Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área

𝑦= 𝑦=

4

Area = ∫ [( −1

4𝑥−𝑥 2 2 𝑥−4 2

4𝑥 − 𝑥 2 𝑥−4 )−( )] 𝑑𝑥 2 2

4

3 𝑥2 3𝑥 2 𝑥 3 4 = ∫ ( 𝑥 − + 2) 𝑑𝑥 = ( − + 2𝑥) | −1 2 2 4 6 −1 =(

3𝑥 2 𝑥 3 4 − + 2𝑥) | −1 4 6

= (12 − =

64 3 1 + 8) − ( − + 2) 6 4 6

125 12

𝒚 = 𝟐 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙

24. 

Graficamos las funciones 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥

Parábola Recta



Calculamos las intersecciones igualando las dos funciones, así: 𝑦 = 2 − 𝑥2 𝑥 = 2 − 𝑥2 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0



Calculamos el Área mediante la fórmula: 𝐴 = 1

𝑦=𝑥

⇒

𝑥 = −2

𝑥2 ∫𝑥1 [𝑓(𝑥) −

1

∨

𝑥=1

𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

Área ∫−2[(2 − 𝑥 2 ) − 𝑥] 𝑑𝑥 = ∫−2[(2 − 𝑥 2 ) − 𝑥] 𝑑𝑥 = (2𝑥 −

𝑥3 3

−

𝑥2 )| 2

1 1 8 9 = (2 − − ) — 4 + − 2 = 3 2 3 2 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟏,

29.

𝒚 =𝒙−𝟏



Calculamos los puntos de intersección:



𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 ⟹ 𝑥3 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 Realizamos un bosquejo de las gráficas y

⟹

planteamos la integral definida que permite calcular el área:

Se observan dos regiones en las cuales se intercambian posiciones de superior a inferior y viceversa.

Así, si: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟏 𝒚 = 𝐠(𝐱) = 𝒙 − 𝟏 Entonces el área total se calcularía mediante la fórmula.

𝑥(𝑥 2 − 1) = 0

1 2

b

c

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [f(x) − g(x)]𝑑𝑥 + ∫ [g(x) − f(x))]𝑑𝑥 a

b

0

1

𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [𝑥 3 − 1 − (𝑥 − 1)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − 1 − (𝑥 3 − 1)]𝑑𝑥 −1



0

Calculamos las integrales planteadas 0

1

Área = ∫ [(𝑥 3 − 𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − 𝑥 3 ]𝑑𝑥 −1

0 0

=(

1

𝑥4 𝑥2 𝑥2 𝑥4 − )| + ( − )| 4 2 −1 2 4 0 1

1

1

1

1

4

2

2

4

2

= [0 − ( − )] + [( − ) − 0] =