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Semana 11 Aritmética

 

Anual Virtual ADUNI

semana

Aritmética

11

Magnitudes proporcionales III SISTEMAS DE ENGRANAJES Ruedas engranadas DA

VA

DB

n.º de dientes

A B VB

Ruedas unidas mediante un mismo eje

A VA VB

n.º de vueltas

B n.º de vueltas

Se cumple que Se cumple que (N.º de vueltas) IP (N.º de dientes) VA=VB →

VA×DA=VB×DB

(*) No depende del número de dientes que tengan las ruedas.

Aplicación En el siguiente sistema de engranaje, la rueda A da 120 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la rueda C? C A 20 dientes

B

30 dientes

¡Tenga en cuenta que...! Cuando tenemos dos ruedas engranadas, también podemos relacionar el número de vueltas con la longitud del radio de las ruedas. Se cumple que

(N.º de vueltas) IP (longitud del radio) 80 dientes

Resolución Tenemos vA · 20 = vB · 30 ↓ 120 × 20 = vB · 30 → vB = 80 Sabemos que la rueda B y C están unidas mediante un eje, y se cumple que vB = vC → vC = 80 ∴ La rueda C dará 80 vueltas.

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Material Didáctico

REGLA DE TRES (PROBLEMA DE OBRAS) Se debe tomar una magnitud referencial y se analiza con las demás magnitudes de 2 en 2 asumiendo que las otras magnitudes permanecen constantes. Veamos (n.o de días) IP

(obra)

DP IP

o

(n. de obreros)

IP DP

(eficiencia) (dificultad)

Se cumple que

Observación Un sistema de engranaje permite transmitir movimiento a objetos pesados (permite el giro), de modo que modifica las características de velocidad y sentido de giro. sentido antihorario

(n.o de h/d)

sentido horario

(n.º de obreros )(n.º de días) (n.º h/d) (eficiencia ) =cte. (obra ) (dificultad )

Aplicación En 48 días, quince obreros han hecho

(II)

1 de una obra. ¿Cuántos días 5

emplearán 24 obreros triplemente hábiles en terminar esa obra? Resolución



Ef: 1 15 obreros

Ef: 3 24 obreros

1

4

48 días

x días

5

obra

Reemplazando en (II) tenemos

15 × 48 × 1 24 × x × 3 → x = 40 = 1 4

∴ La obra es terminada por 24 obreros en 40 días.

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Problemas resueltos 1. El número de dientes de las ruedas M, N y P son 160; 400 y 130, respectivamente; además M se engrana con N, quien a su vez se encuentra unida mediante un eje con P. Si la rueda P en 10 min da 680 vueltas, ¿cuál es el número de vueltas que da la rueda M en 3 min?

Resolución Realizamos el esquema del sistema de engranajes M

N

2. Diez obreros pueden realizar una obra en 24 días a razón de 8 h/d. Al cabo de 10 días de iniciado el trabajo se contrató a cierto número de obreros para terminar la obra 7 días antes de lo planificado trabajando a razón de 10 h/d. ¿A cuántos obreros se contrató?

Resolución De los datos tenemos 10 obreros 24 días 8 h/d

P

Obra N.º de dientes

160

400

130

N.º de vueltas en 10 min

x

680

680

Al estar unidos, la cantidad de vueltas es la misma.



x obreros son contratados

De las ruedas M y N se cumple que (N.º de vueltas)(N.º de dientes) = cte.



160 · x = 400 · 680 x = 1700

Como M da 1700 vueltas en 10 min, en 1 min dará 170 vueltas y en 3 min, 510 vueltas.

10 obreros (10+x) obreros 7 días 10 días 8 h/d 10 h/d

∴ M da 510 vueltas en 3 minutos.





Como la obra se debe terminar 7 días antes, el tiempo total que se necesita es 17 días.

De la relación que conocemos (N.º de obreros)(N.º de días)(h/d) = cte.

Reemplazamos 10 · 24 · 8 = 10 · 10 · 8 + (10 + x)7 · 10  6 = x

∴ Se contrató a 6 obreros.

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Material Didáctico

6. Dieciocho obreros se comprometieron a reali-

Práctica dirigida

zar una obra en 16 días y cuando habían hecho la mitad, abandonaron el trabajo 2 de ellos. ¿En cuántos días más se acabó la obra?

1. Una rueda A de 40 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes, fijo al eje de B hay otra rueda C de 24 dientes. Si C da 72 vueltas en 5 min, determine cuántas vueltas dará A en 2 min. A) 27

B) 90

C) 50

A) 1 día B) 1,5 día C) 0,5 día D) 2 días

D) 36

Práctica domiciliaria

2. Se tiene tres ruedas engranadas A, B y C de 72; 54 y 90 dientes, respectivamente. Si la rueda B da 120 RPM, determine la diferencia del número de vueltas que dan las ruedas A y C en 3 min. A) 30

B) 54

C) 48

1. Andreí, al desarmar su juguete de Ben 10, se da cuenta de que hay tres ruedas engranadas como se muestra en el gráfico. Si la rueda B da 300 RPM, ¿cuál será la diferencia del número de vueltas que dan las ruedas A y C en 4 minutos?

D) 72

3. Una obra puede ser realizada por 10 varones en 8 días o por 8 mujeres en 5 días. Determine la relación de las eficiencias de un varón y de una mujer. A) de 1 a 2 C) de 1 a 3

B) de 2 a 3 D) de 3 a 5

4. Un grupo de andinistas llevan cuerdas, clavijas y víveres para 12 días, que es lo que durará su viaje. Pasado tres días se encuentran con 2 personas perdidas que requieren de su ayuda (alimentos), por lo que el grupo decide que los acompañen en su viaje, motivo por el cual los alimentos durarán 3 días menos. ¿Cuántas personas tenían el grupo al iniciar la travesía? A) 4 B) 3 C) 2 D) 5

5. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 3 m de lado en 4 días. ¿Cuántos jardineros de doble eficiencia que el anterior podrán sembrar otro terreno cuadrado de lado igual a tres veces que el anterior en 9 días? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

A

20 dientes



B C

30 dientes

10 dientes

A) 700 vueltas B) 6000 vueltas C) 1000 vueltas D) 1800 vueltas

2. En un sistema de engranajes, la rueda A de 40 dientes engrana con B de 60 dientes, la cual está unida mediante un eje a la rueda C de 50 dientes, que a su vez engrana con D de 40 dientes. Si en t minutos las cuatro ruedas dieron 570 vueltas, halle el número de vueltas de C en 2t minutos. A) 102 vueltas B) 96 vueltas C) 192 vueltas D) 120 vueltas

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3. En el siguiente sistema de engranajes, la can-

8. Se pensó terminar una obra en 45 días si 30

tidad de vueltas que da la rueda A y C en un determinado momento está en la relación de 1 a 2, y las de B y C de 3 a 5. Si la cantidad de dientes de A excede en 30 a la cantidad de dientes de C, halle cuántos dientes tiene B.

obreros laboran 8 h/d; luego de 24 días de trabajo se pidió terminar la obra 12 días antes del plazo fijado y así se hizo. ¿Cuántos obreros más se necesitaron si se aumentó en 2 horas la jornada de trabajo?

A

B

C

A) 26

D

B) 24

C) 22

D) 20

9. Dieciocho obreros cavan una zanja de 12 m de profundidad y 9 m de ancho cuando trabajan 6 h diarias. ¿Cuántos obreros se necesitan para cavar una zanja de 9 m de profundidad y 4 m de ancho si trabajan 4 h diarias?

A) 50 dientes C) 30 dientes

B) 60 dientes D) 20 dientes

A) 6

4. Se tienen tres ruedas (A, B y C) dispuestas de modo que A engrana con B y esta a su vez engrana con C. Se sabe que A y B tienen 30 y 50 dientes, respectivamente, y que A y C dan 80 y 120 RPM, respectivamente. Calcule cuántas vueltas por minuto da B. A) 72

B) 48

C) 36

C) 16

D) 9

10. Una obra puede ser realizada por 20 obreros durante 12 días a 6 h/d. ¿Después de cuántos días de haber empezado la obra se deben incorporar 7 obreros para que, desde ese momento, todos trabajen a 8 h/d y se termine la obra con 4 días de anticipación?

D) 21 A) 5 días C) 2 días

5. Si un trabajador de un taller de ebanistería trabaja 8 horas diarias, podrá entregar un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para entregar el pedido en 4 días?

B) 6 días D) 3 días

11. Si 20 peones se demoraran 21 días de 5 horas diarias de trabajo en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo se demorarán en sembrar un terreno de 40 m de lado y de una dureza 3 veces más que el terreno anterior 30 peones doblemente hábiles?

A) 18 h/d B) 16 h/d C) 12 h/d D) 14 h/d

6. Un grupo de 20 obreros ha hecho 2/5 de una obra en 24 días. Se retiran 4 obreros. ¿En cuántos días se terminará la obra? A) 30 días C) 45 días

B) 12

A) 40 días C) 70 días

B) 40 días D) 48 días

7. El entrenador más experimentado del circo

B) 60 días D) 80 días

12. Un grupo de 35 obreros puede terminar una

necesita 40 min para lavar un elefante. Su hijo lleva acabo la misma tarea en 2 h. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en lavar 3 elefantes si trabajan juntos?

obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan lo que falta de la obra. ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo?

A) 30 min B) 45 min C) 60 min D) 90 min

A) 12

01 - D 02 - D

03 - A 04 - B

05 - C 06 - C

07 - D 08 - A

B) 13 09 - D 10 - D

11 - C 12 - C

C) 14

D) 15