Apuntes mecanica teorica
MECANICA TEORICA Grupo A Miercoles y Viernes de 15:00 a 16:30 en Aula 3 Cembranos Martes tutorías Hector • Jueves
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- Daniel Diego Horcajuelo
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MECANICA TEORICA Grupo A Miercoles y Viernes de 15:00 a 16:30 en Aula 3 Cembranos
Martes
tutorías
Hector
•
Jueves
y
se
Python
10:00
En
( difere
linux
( python
de
lo
es
viene
Windows
ya
,
Linux
facil
más
instalado
Python
.
Linux
Mac
,
etc
,
sudo
→
)
-
Sympy
Windows
En
es
módulo de
un
Python para
•
Evaluación
final (
Examen
→
-
6 de
febrero
.
Es
I
mundo
la
usar
científico
interfaz
.
Jupyter
acopla al
se
.
Late
de
lenguaje
( pip
como
es
paquetes para Python )
de
administrador
un
( para cálculo
sympy
Intentar
.
simbólico
instalaciones
evitar
El
.
simbólico
comando
display
)
Anaconda
del
,
paquete
3
Python
o
Ipython
,
bueno
El
.
2.7
Python
es
permite representar celdas
nos
output
sin
.
formularios
Sin
µ
Teórica
jupyter
install
cálulo
Física
,
upgrade pip
-
-
install
Virtual Box
instalamos
→
el
en
-
pip
planta
tercera
,
)
apt get pip
pip
n°-17
Despacho
.
)
.
install
pip
suele
se
pero
,
estandar
un
evalúa
que
[email protected]
es
correo
es
email
el
es
y
antes
enviar
Su
.
shell de
la
(
13:30
-
Mathematical
desde
[email protected]
es
correo
de
y
usar
puede
Instalación
-
Su
.
problemas principalmente
→
Utilizaremos
Python
teoría
→
55 %
)
tipo test
Evaluación
y en
su
mayor
(
Problemas
15%
parte
)
→
( 45% )
continua
1
IMPORTANTE
formaran parte del
charlas
Las
.
I MUY
.
ejercicio por
tema
grande ( 3
exámen en
LA
.
Teoría
.
total
EV
)
CONTÍNUA ! !
clásica
de
( medios
campos
continuos
)
perturbaciones
www.#m=tu:ama..peiat:ii:i:.:..::b:::m:mar:s.4s::!a4::mi.a.rai.sSubtema Después
•
Bibliografía
de
tema
y de
navidades
→
El
especialización se
más
entregan
los temas
exponen
útil
se
"
es
classical
-
enero
en
.
(
15-20
N
pag
)
Gauge Teorías
por grupos
Dynamics
Relatividad
"
,
de Jorge
.
El
Arnold también Introducción
.
Svbtema Tema
FECHA
TOPE
→
Dinámica
1.3
→
4.
PARA
TODO
relativista
Dinámica de fluidos :
VIERNES
19
DE
Principio
.
día ENERO
la
de
Enero
}
Paso
.
del
Viscosidad
.
.
Mecánica
es
mlásiuo
presentando variación
discreto Hablar de Bohm
al al
(
versión
las para
como
el
como
,
clásicas de
ecuaciones
la
ec
.
de
Goldstein
Narier
Nauier
l Foimeauü
continuo
del régimen
( partículas )
General
inglesa )
obtener
Abelianas
no
.
"
.
Stokes
latransianatdam )
turbulento
aplicación
a
la
mecánica
Stokes
cuántica
MECÁNICA LAGRANGIANA DINÁMICA
1.1
LAGRANGIANA
Espacio de configuración
•
tenemos
•
Podemos
Entonces
El
q
TQD
(
.
:
TQD
l
IR
=
Entonces
el
Podemos
En
•
los
puntos
Tyg ( qi ) e
la
=
qa
,
a
,
vectores
1-
=
.
serán
n
.
tangentes
qo
coordenadas generalizadas
sus
todas las posibles
a
curvas
.
que pasan
es
de
conjunto
Hamiltoniano
del
todos
tendremos
es
la
imágenes
=
velocidades
en
de
están
no
parametizaúón
una
no
→
longitud
con
,
tendría
,
son
de las
el trayectoria igualmente para
una
oqa
Tygloq )
el
es
partir
a
y
otro
definimos el espacio tangente
mismo
los
puntos
de
espacio
del
q
fases
de configuración
espacio
)
de velocidades
será
no
que
velocidad
la
,
sino
D
,
junto
A este
.
como
lo
de
las posiciones
están
(
dimensiones
pero
no
dimensión
1
espacio tangente
su
denomina
le
circulo
un
,
se
en
un
punto
dado
•
Ambas
.
de
libertad
de
TD
espacio
topología
grado
y
,
)
ángulo y velocidad) y
globalmente
1
/
D= 51
sería
configuraciones
la
presenta
espacios tangentes
sus
con
limitadas ¡
Su espacio
iguales
qg
=
yg (
una
tal
q)
TD
seria
s
=
variedades de
son
l Es) ycicq )) =
tangente
la
a
exigiremos que dependan
el vector
en
el
espacio
tangente
en
de
el
espacio
o
una
{ yg
de
de configuración
espacio
fibrad tangente (
de transformaciones
transformación
que
del
coordenadas
vector
un
familia diferenciaba
TQED
[
2
.
.
'
IR
x
dimensión
1.
infinitesimal
Variación
TQD
punto q
un
y la circunferencia
recta
transformación induce
Esta
TD
moverse
a
de fases
considerar
Podemos
del
las velocidades
espacio
definir
principio
mismo
S
trayectoria
Una
dentro del
y
,
está generado todos los por
que
,
.
pues
Trayectoria y
definimos
velocidades
en
hablemos
localmente
*
•
fases
péndulo obligado
un
dimensiones
n
TQD
tangente
las coordenadas
cuando
fibrado tangente
Ej
de
.
de
espacio
D
configuración
el espacio
dadas
,
de
espacio
construir
el punto
por
•
un
E
fases
punto
de
fases
un
parámetro
velocidades )
en
→
qa
→
{ qals )
,
(
s
qoals )
s
=
parámetro
(
a
menudo
est
)
}
.
D
:
D
→
forma
,
que
parámetro del cual dependen
µ ,
E
IR
E
diferenciables
velocidades
en
E
de
con
µ )
es
TD
el
(
de
resultado
}
,
tomando
yo
para poder aplicar
la siguiente
de
forma
aplicar
la
=
el
identidad
cálculo
diferencial
)
:
transformación
T sobre
yglqi )
:
Principio
Llamamos
•
de
acción
de
trata
se
y
al
variación
función escalar
una
de
Principio
acción
no
cambia
al
ftp.L (
=
hacer
t
qa
,
)
la función
a
y
coordenadas
de
cambio
m
qoa
,
dt
{q
Eso
.
j } (
le
L
generalizadas
,
Lagrangian
denominamos
no
)
det
además
quiere decir que
,
cambie
no
estacionaria
Las trayectorias físicas
Esto
•
valor
]
el fibra de tangente
sobre
forma )
Su
•
( su
Slqa
funcional
dinámico
sistema
un
definida
y
impone
nos
Slqa I
Una
Ss
ecuaciones
mas
ffte
=
variación
L
t
(
,
qa
la
en
aquellas
son
,
qia
acción
cuya
llamadas
,
) dt
de
ecuaciones
realizar
Al
.
estacionaria
es
Lagrange
variación
una
ftittasqatooqasii ).tt#q.pfqtpafepEa
=
-
-
qatt )
dñofqa )
qalt )
→
velocidades
las
en
el
respeten
que
inicial
estado
final
el
y
.
:
infinitesimal
variación
una
trayectoria también implica
Euler
infinitesimales
variaciones
ante
Sqalt )
t
:
sqatfaqfiafÍ
.
O
Al
final
Podemos
.
como
2
•
Sin
Ej
y
:
en
que
L
Sea
no
es
=
ei
misma
.
t
otro
de
cartesianas
como
derivada
misma
las
ser
EL
Camión
ei
al
luego
ddt
-
2
a
inicial =
L
.
(
'
q a.
esféricas
→
de las velocidades
mismas
de la
'
¥
para
partida
antes
no
Lagrangian os
qla
)
t
=
)
Como
hay dependencia
se
[ qa
(q
a
'
,
t
)
de
qoa ( q
,
'
posiciones
,
a
de
que
,
pero
t
,
)
,
T
]
derivar
al
los
para
estados
cambiar
deben
no
ifta
,
estacionaria
acción
es
,
reparametizaúón
una
las velocidades
( antiguas )
tienen
.
L
las posiciones dependen
Lagrangian os
Lagrangian os
2
libre
no
,
principio
final
y
O
funcional
igual que
los
t.la
Lagrangian
las posiciones
la
ji
+
téi
la
trayectorias rectas
paso
trayectorias pueden
ir
=
de
3¥
=
mediante
el
tengan
las
,
L
Sea
Ssqqa
sistema
tanto
general
embargo
a
por ejemplo
ser
acciones
funcional
el
describir
podría
dependen
llegamos
el
por
el
en
diferencian
que
no
que
posiciones
en
una
diferencian
diferencian
se
lagrangian
se
.
no
→
derivada
depende
¥ total
=
.
en
una
de la
-
Sin
te
en
derivada
=
embargo
-
,
total
ein
ambos
,
y
viceversa
.
.
Sgi
posición
ei
total
derivada
una
=
=
-
o
tienen
tq (
2
i
)
=
-
ix.
La derivada
como
soluciones
O
Ecuaciones
de
como
•
vemos
velocidades
y
trata
se
,
Doblamos
En
cualquier
ecuaciones
la
a
inestables
sistemas
,
de
ordinarias
decir
es
-
orden
leer
el Lagrangian
,
iniciales
obtener
para
solución
una
única
Euler
-
o
a
fbrado
al
pertenece
.
como
solo de posiciones que dependa
tangente )
variable
nueva
una
data
cja
=
como
-
Otqáa
cjb
g.2qtgh.mg
.
I
2
aqiaoqb
Lagrange
Lagrangian
las velocidades
definiendo
,
al
variables
de
ne
condiciones
2h
de
e.
lugar
( porque obligarnos
de segundo orden
ordinarias
diferenciales
el
y
necesitamos
caso
dan
que
-
ecuaciones
2h
ne de
diferenciales
ecuaciones
n
como
desarrollar
Podemos
•
el
así
de
aceleraciones
de
no
,
Lagrange
-
Podemos escribirlo
.
•
Eber
-
Í
stqal
o
=
-
-
detffualq)
si
el
⇒
o
=
todas las
no
si
detffqaglqub
La
.
La
•
depende de
.
Si
la
.
es
la
si
Para
local
acción
grupos
:
unidades
avión
acción
son
.
(
término
este
independientes
TD
en
trayectorias
un
es
de
.
bajo
dice
nos
el
ne
de
ec
independientes
.
.
el espacio de fases
en
de
TD
S
ser
podría
Planck
de
velocidades
en
)
cortan
se
no
.
las
→
=
)
de
depende
→
fdtdt
'
la
de
aparentemente dependen
He
aceleración
.
puede
como
( qa
L
animes
HOY
q
q y
,
oqa ,
trayectorias que define
t.tt
a
fxi
ser
,
que integrando por partes
n
f-
)
través
la
de
ecuación
de
también
L
E-
presentan
.
→
al
aplicar
forma típica del Lagrangian
la
,
cierto
rotación
una
la
como
simetrías
de
es
no
en
local
no
grupo
un
bajo
definido
.
acción
inverso
invariante
conservatives
sistemas
ej
El
.
angular (
momento
Lagrangian
un
→
simetrías
acción
de
invariante
es
de
Las
⇒
ec
ligadas
acción
tiene
La
Ej
¥0
avión
•
esos
la
de
Propiedades
)
tendrá
sistema
o
la
notación
es
L
de
libertad
=
a
T
trayectoria
una
-
solución
,
el
resultado
será solución
también
V
Ligaduras
•
A
veces
-
-
estamos
ligaduras
Ligaduras
como
empleando
holónomus
no
→
holónomas
desigualdad
más
coordenadas
de
dependen
0k ( qa
,
oqa
t ,
los grados
las coordenadas
dependen
→
que
) I
de
de configuración y
las coord del .
o
tiene
que
fibra de tangente
se
el
sistema
establecen
( posiciones
y
:
mediante igualdades
)
velocidades
.
Se
→ .
pueden
k
¢ ( qa escribir
o
,
t
)
como
=
o
igualdad
o
ir
Las ligaduras holónomas
ligadas
Las
} Se
Eta 0k
pueden
despejar
Ej
en
:
se
,
(
O
=
en
un
ese
Tratar las
•
Al
define
su
cantidad
ec
están
definidas
como
ej
el
fdt (
=
igualdad , las
una
libertad
de
grados
ligadas
de
ec
L
resolver
a
.
)
k
bklt ) y
t
son
:
Otqka nrik
→
variables
como
sustituimos
lo
,
ÍEÍ
µ
,
-
veces
a
más complejos
son
tdthtqta
-
t
-
Ofk
forma aparte
⇒
o
=
y por
pasa que
que
story
de
xty
y
=
-
y
x
e
no
son
luego
x
por
X
-
la
en
resoluble
reducimos
y
de
=
Lagrange
2
=
llama
de
cual
en
libertad
=
O
=
tbk
Ojo
O
=
O
.
canónico
al
,
explícitamente el Lagrangian
depende
existe
luego
TDN
por
no
o
momento
que tenemos
grados
la
de
ddq
→
le
Se
variables
reducimos
aquella
como
rfgqta
2in
realmente
en
:
py
RZ tengamos
foto
=
1 variable
a
podemos
no
y
t.la
función
una
.
pa
=
que
qq.fm,
es
del
constante
una
movimiento
conjugado
la
integrar
cada coordenada
ecuación
cíclica
pa
1
→
sfrqt (
=
q óf t ,
la
para
,
)
de
=
posición y
quedan
nos
,
otro
-
variables
1
velocidad
su
para
2h
2
→
( Ej
acción
.
ligadas
k
y
Lagrange
ligada
:
µ
del sistema
variables
de
ne
los multiplicadores
a
cíclica
.
.
pa
las
Entonces de
pero
Si
.
S
CONSERVADAS
coord
una
plantear
la
a
así
multiplicadores de Lagrange
con
cíclicas
Coordenadas
Se
tratar
pueden
recluir
desigualdades deben tratarse
con
CANTIDADES
•
n
con
acción
ligada)
verifique la
acudimos
sistema
la
de
riff
.
se
caso
Las ligaduras
.
que
se
no
emplear las ligadas para
pueden
1.2
=
general
en
dentro
escribir
pueden
auholóuomas
atea
.
se
rró
=
=
el
Lagrangian
de
o
en
las condiciones
luego
L
polares
=
te
iniciales
del
ir
tzrrojrtkr
t
sistema
)
fijan
nos
este
pop
,
01
cíclica
y
su
pudiendo expresarse entonces
oj
en
caso
es
,
momento
=
l
n
T D
-
n
1) variables -
1
)
conjugado
PÍ p
-
2
Poi
y
el
Lagrangian
o
final
es
si
como
fuese
de
una
variable
L
Transformaciones
•
Si
tenemos
Esto
induce
x
de
ej
tzirt IZRYPOÍY
=
SÍ coord
una
de traslación
simetría
forma natural
una
,
podemos escribirlo
transformación
en
en
coordenadas
el fibrado tangente
qlagrangiano
Si
L
permanece
invariante
ante
tal
transformación
⇒
LE lq
,
qo
,
T
)
traslación
transformadas
.
p
'
=
q
o
Llq
,
E.
de Krouecker
forma
cualquier t
)
=)
o
solo
es
.
en
una
determinada
generalizada
fijado segun ,
que quemamos
.
la
cambia es
igual
invariante
coordenada
la
qo
a
.
) coord
.
transformar
.
Qo
otra
Lagrangian
este
(1)
.
de esta
transformado =
E
delta
ifd
=
µ
.
y t
coord
de
parámetro
la transform
Qd
como
Ó
→
)
tvlr
Qd ,
.
i continuas
( dependen
Teorema
de
Q
de modo que
E)
E
si
O
=
las coordenadas
recuperamos
originales
.
Noether
qlqt )
=
del parámetro
induce
→
Llq
Escribiremos
,
qe
,
Ó
→
T)
=
L (z
como
qo
(
t
)
,
)
E. t
el
en
donde
tangente
espacio
.
ETD
}
Lagrangian transformado
las
en
coordenadas transformadas
el
Entonces
transformado
z
la
según
transformación
también
lo
escribir
podemos
LE ( y
como
,
Vamos
tenemos
que
el
varía
cómo
ver
a
(
Ogqtá
=
Lagrangian
T)
=L
las
coord
(
)
-
.
t
,
ofudtfhq)
0411
trayectorias
gqx
)
donde
TY
(
LE
que
.
Tylz )
t
,
)
÷
24¥
=L ( z , t )
( Tylz ) )
TY
→
}
=
-
inversa
por
definición
de
aplicación
inversa
la transformación
Ylq )
)
IE
Ty
.
de
parámetro
ddqffgqta
t
ZE
de
inversa
Transformada
respecto al
con
la
es
originales
Transformado
.
de modo
,
,
.
Lagrangian transfer
Tylz )
=
Yelq ) srtuelq )
=
Esto
ZE
es
E
'
la
es
transformación
coord
las
de
generalizadas
.
YTCZ las
sobre
L
si
Ej
L
tengamos
familia
esta
notaciones
bajo
invarianuiu
:
bajo
invariante
es
transf
37=0
→
queda
Nos
.
11
→
t.gl
que
Sqa
es
del
ute
una
del
versión
teorema de
movimiento
Noether
.
IRZ
en
tzmlxrtyr
=
de
bqo
)
Vlr )
-
bajo noticiones
invariante
)
=
{ SGXYÍ YEEÍZÍÍ ¡
⇒
luego
p
la
construimos
2 E
M
como
mi
=
fy )
-
mj
t
Gx
2L
Pero
2L
que tengamos
para
total
derivada
simetría
una
LE lze
→
el
Aplicando
mljx
=
x.
-
y
)
esto
el
es
momento
ay
axo
•
T
⇒
xguy
-
-
,
t)
,
t
)
OÍ (
t
LE ( zf
que
z.tt
t)
,
(z t)
=L
madre
tendremos
también
⇒
.
que además
sino
,
,
1122
en
de
nov
.
le
podemos
asociada
si
:
fqtttasfq) afectan
#
qq.atfqotltdfqqIu.tt
=
+
-
.
-
Ej
:
del
constante
nueva
consideramos
Podemos
L
Emir
comprobar que
mgx
-
invariante
es
t
será
movimiento
=
término
del
proviene
La
y por
SL
(3×1
=
-
Llz
,
del
t)
Ogtqsqo
=
K
.
Gauge (
nos
etapa ) -1
mgx
.
→
P
=
arrojará
my
mi
de
SL
SOI
-
→
una
derivada total
)
transformaciones
mgt
para
ver
que
es
.tn) de
de
nov
=
,
-
la
mg
+
escribir
9 =
como
Yclx )
derivada
ddqfmgt)
integrarnos
→
la
puede de
escribir
de
como
SOÍ
será
movimiento
Gauge
la familia
ante
se
término
nuevo
( acelera hacia abajo )
tffsl
Sx
un
movimiento
término
t.q.qsqo.se
-
lo podemos tanto
un
.
entonces
3¥
sumar
↳
procedimiento
mismo
Llz
=
necesario
es
no
angular
=
t
×
=
E
.
Tenemos
Sx
=
Zyttm
total
es
=te
1 invariante
µ
luego
tm
=
-
,
como
gt
se
puede
escribir
luego acelera
así
,
hay
hacia abajo
una
ola
Gauge
de
DE GEOMETRÍA
REPASO
1.3
Campos vectoriales
tenemos
•
total
Su derivada
esto
puede
se
espacio
será
ver
A
:
f
función
una
como
qo
=
definida
de fases
espacio
de la cadena por regla
,
aplicación A
una
¥
'
el
en
ija
+
F-
tqf
q.tt
:
Cqiq )
actua
que
,
velocidades
en
=
sobre
2
A
↳
q
qo
,
ZF
o .
ct ( q
en
) a
q
ja
definida
A ( qaiqa )
:
srqor
fe (
E
SÍ
=
función
una
F
→
,
qo
) para darnos
otra
función definida
el
en
mismo
A lqa qa )
→
,
iqolqo qi ) ,
Escrito
Un
vector
×
A
,
devuelve
nos
•
así
La
genérico
(f
w
Las
+
1-
dct (¥3)
dqo
.
Ahora
E
=
( qio ij
son
,
9) y
base
cuya
( aIgo
es
7¥)
,
cuando
.
A
sobre
actia
función
una
.
perteneciente
los vectores
a
X ( qo eqo )
:
el
sobre
fases (
de
espacio
que
también
Xd ,
tgwlv
)
les
se
la
)
TI
el espacio dial de los
en
llama
forma
1-
vectores
w
como
de
forma
que
wc
dqoafqtp )
=
escribir
+
entonces
qq.t.io
÷ W 2A
=
Xoz
:#
=
=
derivada total
son
vectores
,
velocidades )
en
la
wóxo
de F
¡ auvación
.
+
como
campos
nos
,
lineales
a
y
definen
los
twodq
wódqo
o
la
Y
,
covariantes
%
=
podemos
qtqo
viven
#
aplicaciones
son
,
5%
=
( aq )
fwl
=
A ( qo qia )
→
,
escribiremos
( É)
la
total
GY )
formas
Típicamente
"
W
formas,
1-
las
a
#
componentes
cuyas
,
se
escribir
puede
×
como
xo
=
,
Igq
Xaz Izqq
+
.
qo )
,
forma
1-
vector
un
derivada
su
Xlqo
E
es
de la
=
campos
,
funciones
W
(
)
¥
=
centraran
vectores
campo
=
woi
(q
vectorial
,
qo
)
e
(A)
=
Cdf
,
A >
#
,
antes
s
.
imponemos que
cualquiera
, por e. eaeiaay
df
LW
,
Wó
un
son
para darnos funciones
vectoriales
campos
interior
vectoriales
donde
.
f y
.
producto
forma sobre
wroxaa
É
vectoriales
un
sobre
actuar
que
( diferencial
de
vendrá dada por
II
b
=
"
¥
Fadvando sobre
+
A)
×
"
:
Éo
Derivada de Lie
#
derivada de
ludien
tengamos
•
Alf )
f.
=
Para
Lsf
=
vector
un
general
en
y
=
ojo
qq.IO
de
↳ forma
la derivada
,
F
→
1-
una
X ( F
=
la
→
Lie
de
A ( f )
función
una
=
f-
=
es
una
la
forma
1-
sobre
advando
(F
)
1-
una
función
Derivada
se
{
[
×
,
=
]
[ Y, Z )
Con
•
esto
Euler
la
Definimos
Y
×
↳ Ly
=
Y Cz XI ,
,
.
escribimos
forma
como
L
→
w
×
el
diferencial
W
=
L
Lxcw
→
-
LYL
Y
,
luego
×
Lxw
=L
>
el
Y
,
s
Cw
t
vectorial
campo
,
]
Q
de
[
t
Z
[
,
x. Y
t.to dqo
=
Euler
.
]
]
=
(
nula
componente
escriben
se
Lagrange
el
en
La
•
dominio
L
E
pero
,
una
,
oq
)
no
que aparece
↳ Y
>
[
=
una
,
F)
( d
×
( Lxwa ) dz
=
a
d ( Lx
=
t
wo
F
)
( Lxdzo )
base
Y
donde
×
L
→
Y ]
el
es
el
[ ]
siendo
vectorial
campo
de Lie
corchete
,
que
verifica
como
la
en
Ls
:
O
base
dl
=
,
de
así
es
dl
que
-
cálculos
diferencial Lagrangian
Lie
=
=
o
q.to/dqota?qdoqo ¥
fgqtgdq.at?Iq.dqd
depende de las coordenadas
no
forma global
deja )
el
Es
.
equivalente
cuantitativos
debemos
a
utilicemos
que
escribir
la
ley
emplear algún
se
vemos
como
y
de
sistema
Unas
.
Newton
cumple
la
igualdad
coordenadas
F
como
de coordenadas
=
describir
pueden
moi
,
.
pues
no
el
sistema
en
depende de
las
un
.
geométricamente
función
con
en
F
función
:
tenemos
hacer
para
Noether
es
Xlq
escribirlo
pero
,
Teorema de
X
de
ventaja
coordenadas
Si
la ecuación
otro lado de
cierto
•
derivada de Lie
( Lsootqddqotfqdllsqo)
=
una
identidad de Jacobi
o
derivada
↳ Q
de
formas
mediante
Lagrange
ecuaciones
la
t
( wadmzf)
×
w
↳ Y
.
Calculemos
en
antisinético
)
forma
1-
las
,
X
,
[
t
Ecuaciones de
•
L
[ Y
-
vectorial
campo
un
escribir
puede
x. YJ
[
de Lie de
de
"
F
)
escribiendo •
"
de
asÍ cjd
+
X
genérico
Derivada de Lie
•
sobre
actuando
vector
un
"
Lie
en
X
el
# A
espacio
.
de
Entonces
fases
si
X
de
velocidades
define
una
→
LE
Flq
transformación
'
,
q)
continua
y
tenemos
ante
la
un
que
campo
L
es
vectorial
invariante
definido
,
o
sea
,
en
mismo
ese
Lyle
derivada de Lie
=
en
O
=
espacio ,
8L
dirección
x
:
entonces
ahora
Si
•
de
LALQ
que
el
cambiamos
variables
las
y
demostrar
puede
se
de
tiempo
configuración
3=0
X
,
T
'
t
→
cual
implica que COL
'
t
donde
mantienen
se
lo
,
T
=
constantes
Stlqo
t
qo
(
)
t
,
constante
es
( Sqo
qo
→
xs
,
o
=
'
t
=
)
T
)
E
t
Las
velocidades
al
del tiempo
depender
aqq.ae#=daqtaatf.aqq=qeqoff+x.tj.ejsinII.qIYstFtsi .
,
"
"
cerradas
verán
se
soio
:
Ino
transformada
Entonces
calcular
también
Necesitamos
S
SS
escribir
podemos
÷
=
(
)
dt
dt
=
fttdt [ (
=
trmsf
'
dt
.
It )
L
que
SL
t
)
debida
explícitamente del tiempo
depende
no
SI)
(
dt
La
.
la
a
del
variación de
variación
SL
→
1
dtfdft
=
=
coutnbin asumiendo
-
si
,
t
debida
será
.
al
cambio
las velocidades
en
,
.
2.q.tn sqoa
=
Lagrangian
Ss
luego
,
[ ( set) Ltsoq
FÍÍDT
=
-
qio (
SI) ]
55=0
Ss
FÍÍDT
=
l St )
ddqfl
ffqáqoft [ ( L
-
÷
t.at?qiito En
este
E
→
En
valor
p.jo
=
Partícula
•
el
caso
en
este
el
,
-
=
Lagrangian
lineal
tasaciones
P
energía
Ñ
⇒
=
luego
.
L
luego
o
=
anda
se
3¥ aqo
-
-
pisxi
ni
=
ñ
=
.
cartesianas
en
pi (
se
asociado
→
del
la
SÍ
que
)
ñ
IZMÍZ
=
tales
vector
conserva
-
proyección
V
( II )
Ñ SE
=
Entonces la
.
E
del
función
en
y
,
tales
sobre
dirección
la
SI
def
por
,
ñ
=
×
de
ISI
conservadas
Sxi
del
.
la
ni SE
=
teorema
simetría
,
o
M
=
=
pi
EÜK
Sxi
pi
=
VSO
njxksi EÜK
(
=
xñ
I
njxkso
)
.
ÑV
energía
→
asociado
.
bajo
invmianúas
a
SO
O
-
entonces
este
caso
T
=
(L
-
piii )
SE
=
iuvañanúa
de
Noether
Sxi
=
bajo
es
,
) CÍLKNJXKSO tensor completamente
rotación
anlisinémio :
ñ SO
mom
angular)
.
traslación
temporales
es
SV
⇒
E
en
:
) LIXPI
=
T (
-
.
:
(
espacial
bien
Angulo infinitesimal de SV
Noether
canónico
momento
cantidades
otro modo
de
conservada
que
las
Analicemos
.
dicho
o
cantidad
del momento
bajo rotaciones
invarianúas
a
L
es
iuvaiancias
a
dirección
la
en
pi
angular
o
asociado
→
espaciales
momento
si
de
teorema
trayectorias
sobre
=
el
demostrado
queda
potencial
momento
-
la
es
) stftp
eqo
ftp.qq/.qd.?qoqe
-
un
L
-
un
caso
conservado
i.
.
.
[ 21mi
ms 2
t
VLI )
]
SE
=
-
E
SE
=
ttv
SE
=
O
es
decir
,
St
=
SE
o
bien
t
' =
tt
SE
Hay
•
Invaianúa
•
En
En
•
importante
simetría
otra
la
,
repurametizaciones temporales
bajo
invaíanúa
bajo reparametrizaciones temporales
este
caso
este
caso
,
,
lo
la
que
hacemos
es
cambia
acción
SS
como
t
te
de
pasar
=
' =
Tt
fftndtf ( SI) L
St
St
pero
+
SL
)
=
=
( puede depender del tiempo )
SECH
fttt [ (
L
-
3qt.jo) (
set)
tgtq
÷
o
no
depende del tiempo
luego
esta
es
la
L
condición
-
rfgqtg
ojo
=
para que haya
O
( energía
invasion
cia
sobre trayectorias
bajo
)
reparametizaúoues
temporales
)
St
si
L
=
y LLH
si
el
Lagrangian
.
DINÁMICA
la
*
RELATIVISTA
pavo fdt1.TT la
acción
del
coordenado
tiempo
xt
es
escribiremos
Tendremos
.
wadívedor
un
S
como
XN
⇒
=
-
mcrf ir
que
(
=
et
I
,
DÍ
=
)
yµ
=
puede escribirse
DÍ
,
siendo
de
métrica
la
es
ypv
y
exp
y
DOFEÍIÑ
también
que
S
como
o
=
mi
-
en
parámetro afín (
un
dada
los
Emplearemos
simplificando
todos
En
Al
•
En
la
caso
MCZ
hemos
acción
qq.to
=
.
t
esto
E
nuestro
,
yuv
por
=
potenciales
con
o
dada
S
por
lo
s
S
→
Los
.
fdo {
=
•
relacionan
2 Au
-
.
de
las
Lagrange
.
ftp.go ¡ )
=
fdtf
=
TFEE
mi
-
( %
=
las
de
B.
=
-
Fij
como
=
de
movimiento
SÍ
implican
TXÁ
Í )
,
componentes
del
campo
Podemos
dividir
el
las
aquí
la
de
E
caso
2
=
M
C
qq.fr#q )
=
,
bien
o
pt
my
=
DIN dt
.
interacción
qddtfm Au
t
tqctotqvi }
parte utilizamos
-
=
pt
como
O
O
Índica
-
tiempo propio
ecuaciones
en
,
↳
EM
podemos r
una
É
;
de
,
Eijk una
(
-
escribir
de
,
-
]
carga
QÁ
j
K
,
=
relativista
donde
por ejemplo
relacionan
i.
partirla
parte
que
se
BK
detsl
-50
=
manera
temporales
-
Si
)
Ai
como
Al
.
ec
no
Tixtqxrtr }
mi
.
potencial
planteamos
ei
FE
mi
componentes espaciales
Nos
Las
waói
qu Av
=
las
y
se
potenciales
llamamos
tu
fdt f-
=
pa
nuestro
mismo
parte
↳ →
o
.
electromagnético
viene
En
.
wadrimoment
buscarnos
,
L
-
definimos el
,
tenemos
caso
(
parámetro afín
como
trabajamos
En
.
antes
vimos
Visto
.
empleado
clásica
campo
un
en
p
como
¥22
:
renta
conjugado
relativista
=
mecánica
en
relativista
este
E
cálculos
estos
igual que
Partícula
•
tenemos
clásica
mecánica
en
que
momento
definir la energía
podemos
-
del
hablar
podemos
-
conceptos
mismos
tiempo
eqt-tmc21.IT Minkowski
O
•
el
ser
puede
función
1.
Foi
como
2,3
el
,
tio
sometida
a
un
En
.
nuestro
caso
⇒
-
matar
partícula libre
mi
parte temporal y
=
otra
=
se
de lo
componentes
puede
escribir
que
como
:
Eiz
-
campo electromagnético
tqxvtvlxd
O
las
)
tdz =
-
son
de Maxwell
Tensor
=
I
0 y
qivfvlxd
parte espacial
)
.
en
Si
este
nos
caso
el
:
.im
punto
quedarnos
con
)
indica
la
.
donde
parte espacial
aquí
( indicado ) dr
,
=
el punto
1.tt#dt
entonces
:
qdq
y
en
mtv
(
la
también
)
=
q
(É
t
JXÑ
tenemos parte temporal
se
puede
escribir
esta
)
(respecto ddq (
última
ruta
como
)
=
ddq
tiempo coordenado
al
QT É
que
.
(
m
8D
t
q0
dice
nos
)
=
q
t
)
que
( agofn
Esto
.
É
-
no
más
es
ejerce trabajo
i.
offs
)
que
la
sobre
ecuación
de
las partículas
Lorentz
,
pero
no
BT
MECANICA HAMILTONIANA SISTEMAS
el
En
•
HAMILTONIANOS
tema
Euler
de adq
como
{ dqa
invertir
el
reescribir
podemos
que
relación
esta
escribir
para
Lagrangian
velocidades
las
función
en
.
.
.
9-
=
pó ddttf
bjqtá
pa
los
momentos
generalizadas
las coordenadas
de
variables de
nuevas
mas
como
conjugados
" l
7¥
=
introducir
en
manera
las
que
así
este
,
Lagrangian
nuevo
Derivamos (2) respecto
.
de
(
qa
.
ya
Notar
que
al
pertenece
no
g
}
lo
es
no
fibrado
mismo
de
depender
los
de
función
los
y
Podría
en
momentos
el Q
tangente
I
en
( qo
momentos
Í
→
(
oqo
qa pa ,
L
en
que
I ( qo po.tt
en
pues
,
fibra de
al
sino
,
ffqt
qq.tt?.qIpqftqtI
2¥
to (
=
I ( qa pat ,
notemos
*
0¥ tppsftq
=
)
los índices
que
de los
.
los
momentos
mov
simétricas
sean
.
t
,
qo
,
despejamos para
ifqt
:
)
ya
son
no
qo
,
ecuaciones
general
en
t
,
)
forma
de
=L ( qa ojo ( qo pa ,
,
mantienen
pa
ÍQ
) y
t
oqo ( pa
=
|
tangente
espacio
nuevo
qo
.
,
las
,
F
fijas
las
,
de
espacio
,
{
qo p ,
apto
Lo
qq.to Egipto
escribimos
así
ppshftpt
=
poniendo
estamos
por
y
para llegar
a
ftp.filqo.po.tt
tanto
H ( qo
que
,
pa
)
t
,
abajo
,
realmente
son
pues
formas y
no
,
independientes
vectores
ppqop
=
-
ppoqelqo
-
( qqpa
,
)
t
-
,
Ilqo
(4)
patlf .
pa
t
,
)
=
-
(5)
qeo
viene
*
de
qyp
son
qydet
.
oopióopdppqs)
(3) y aplicando
2 H
⇒
de
(4)
ajo
{PI Para
→
en
se
⇒ =
Sop
=
2ft
Entonces las
.
de
ecuaciones
Lagrange (1)
escribir
pueden
se
en
función del
qq.PT
E
.
srqa
(5)
Hamiltoniano
como
:
como
conocen
de
ecuaciones
Hamilton
Son
.
ecuaciones
de
primer orden
respecto
con
al
tiempo
.
01
-
srqo
estas
Uno
qoo
→
7Pa
de
,
de
forma local
)
=
los
relación
p
pasos
→
,
,
para
el
más
que
pqt )
,
sea
=L
t)
,
,
invertible
es
,
,
pp
que
la
Hamiltoniano
una
velocidades
Í ( qp
-
importante
a
las
I ( qo pa
oqdlqf
.
Lagrangian
y despejamos
variables
nuevas
pa t
formulación
una
la
invertimos
,
que
.
21
=
pasar
Hlqo
•
sacarnos
=
-
srqo
Hamiltoniano
y
l "
}
.
=
=
)
,
ahora dependen de
independientes,
t
,
llqo qiqt ) las qid )
en
variables
)
t
,
fases
( TTXQ )
y
)
)
"
ppqiplqo.po.tl )
-
Si
( las
no
se
,
En el
=
de
.
ellos
de
función
en
y
°
visto
ec
mismas
canónicamente
dt podemos
consiste
respecto de las
momentos
ftp.od
.
go.q.to
Hamiltoniano
primer orden
los
escribían
se
formulación de
y
definamos
anterior
Lagrange
.
La
{
( qo
,
t
)
las
matriz
en
funcion
,
→
con
ecuaciones
Hessiuna
el
los
de
iqolqp ppt )
,
calculamos
→
,
t
)
debe
calculamos
→
,
relacionan
tener
momentos
cjf (
momentos
Hamiltoniano
que
los
podemos
determinante
qo po ,
el
,
t
( QP q.PT ) empleando pa ,
.
)
Calculamos
→
Hamiltoniano
escribir
momentos
p
con
distinto
las
de
ecuaciones
velocidades
de
mediante
O
→
sea
el
su
Hamilton
invertible
,
al
detfgfqlqpf
=
GO.f.no
Lagrangian o
definición
.
menos
IO
de
)
Ej
tengamos
:
los
calculamos
ahora
H
momentos
el
escribimos
ahora
de
las
qp
majo
=
tu
Llq
Ao
te
los
momentos
ddtfo
Hamilton
[
SOP
p
EAALQT )
-
.
=
-
jit )
,
tzmqtseqp
=
debemos
ahora
etplqittfteylqit
-
de
=
relativista
no
función de
en
.
ecuaciones
forma
esta
3¥
=
etalqtlflpp
-
escribimos
encontramos
pa
Lagrangian
f pa
SOP
ztm
=
y
Lagrangian electromagnético
un
ojo
.
Patean
=
Nos
queda
:
Ogtqta
]
ddttfo
;
Soporto [ pp
emn
=
y
ftp.
.
¿
etplqit ) )
-
momentos
2
-
,
2g¥
*
y
=
de Legendre
relación
La
•
teq.PAplq.tl
)
t
)
dinámica de los
Transformada
,
⇒
Hamiltoniano
el
calculamos
y
ojo
despejar
eylq
-
Hamiltoniano
el
entre
y
el
Lagrangian
realiza
se
o
través
a
transformada
la
de
de
Legendre
.
L
Si
•
tenemos
-
curva
una
definida
en
Llv )
dimensión
una
Podemos
.
calcular
dónde
corta
el
en
eje y
V
tangente
la
a
Hamiltoniano
consiste
Pero
.
Legendre
Coordenadas
•
Debemos
.
la
transformando
estamos
de
función
pasar
calcular
Hamiltoniano
al
Lagrangian
es
dal
su
por
al
¥ Iv
→
tangente
velocidad
coordenada
el
su
tangente
Lagrangian
,
el
en
¥
no
-
punto
también
luego
con
esta
lo
es
eso
podemos
hacemos
que
del
partir
al
Hamiltoniano
en
entre
distinguir
no
coordenadas
generalizadas
momentos
y
unificar
Sino
,
ambas
#
mas
•
Podemos
,
las
Hamilton
de
ec
escriben
se
en
k
1.
=
.
.
al
Lagrangian
mediante
transformada
una
/zj
ziQI
j
=
pj
=
-
coordenadas
el
de todo
fibrado
notan
gente
=
escribirlo
se
todo
en
una
escribir
puede
misma
Ea
⇒
→
j.nu
n
la
empleando
inversa
WJK
de
concepto
nuevo
preguntarnos
→
→
por
Sil wlj
Wki
wij
=
=
-
wji
propiedades del
las
(
.
Skj
anlisimetía
del
;
.
de
.
de
Hamilton
Hamilton
)
;
igual
wkiwlj
modo
para
la
inversa
¿
J
=
WJK 2k H
WJK
H
de
la
wij
tensor
mismo
:
w_ijigI.si
=)
sie wij
en
.
.
_
zn
.
en
coordenadas
respecto de coordenadas
Ea
un
.
unificadas
.
introduciendo
ecuación
1
n
como
inversa
Nos
ddutfv
-
.
si
WJK
los
µ
Tambien
•
Llvo )
=
.tn?emftsn respeta tjáoo idgaf
notación
=
momentos
son
y
coordenadas
-
zi
del
pasar
I
por
unificadas
~
•
dado
vendrá
corte
.
zk
•
Pues
.
el
recta
una
=
=
SKJ
.
-
wii
anterior
→
WJK
wke
=
Sil
=
(
-
O
11
y,
o
)
son
:
llamamos
si
.
1
la
a
matiz
miI
las
son
cuyas componentes
R
entonces
→
nil potente
es
{ Rgfq 11g
⇒
=
.
.
WÜ
•
La
matiz
•
Si
tenemos
define
nos
F ( TTXQ )
FE
dinámica
función
una
simpática
geometría
una
que
,
la
es
asociada
f ( qo pa
→
,
-
,
t
)
los
a
coordenadas
en
o
fibrado cotangent Nos
•
el
preguntamos por
valor
la derivada de
de
dinámica
función
una
DDFÍ
Hamiltoniano
sistemas
(3.Es f)
=
zi
(
t
,
)
def
por
µ
( f)
=
f
unificadas
.
¿
J
Atf
t
coord
en
unificadas
.
.
derivada esto
Nos
•
escribirlo
podemos
escribir
las
como
e.
de
.
w
ddfz
→
como
algún principio
existe
si
preguntamos
las
con
de
Lagrange
al
variación
funcional
un
2jfwiksr.tl
=
asociado
funcional
El
.
tstf
Hamiltoniano
formalismo
al
de Le
[
de hecho
es
y
(
ec
,
,
)
t
,
introducimos
el
S
f
=
I ( za ja ,
fijas
↳
L
estas
t
,
)
dt
los
definida
así
acción
tdfqi
pueden
los
en
la
a
⇒
estas
estan en
al
variación
principio
qo
,
puede
se
dependen de
no
H ( QP pp t
-
,
,
)
dependencias
:
fría
.
estas
las
a
paja
=
-
Aplicando
Hamilton
de
.
velocidad asociada
qea qo pa
,
las
si
→
o
=
condice
esto
y
a
las
Hamilton
de
ecuaciones
variar
fijos
extremos
las
→
independientes
son
ps
formalismo
este
en
extremos
de Poisson
Corchetes
distinguiendo
y
•
•
•
.
•
Tenemos
si
Definen
El
Verifica
la
Podemos
escribir
en
En
{ zi zk }
=
total
te
{ GJ ff ,
lo
H
}
wikskf
=
,
wik
,
cual
t
,
y
=
tdjf ) wiklakg )
componentes
}
-
=
qq.tt?gf.apIa7pfz7aIqo
wik
2¥ ,
)
{ g. f }
derivadas
función
=
.
ff
→
respecto al
con
}
gh
,
=
{ f. h }
y
tiempo
ddft
como
{f y} h
t
,
ff
=
,
H
}
corchete de
el
luego
rfgfz
t
.
coordenadas
{H
=
las
cierta
una
dinámica
para las
,
de
de sus
{ f
como
,
{ f. gf
⇒
no
→
del producto
la
con
particular
general
,
derivada
la
cada
en
autisimetico
es
Leibniz
de
particular
en
→
Poisson
regla
FLTTXQ )
c
bilineal l lineal
relacionado
está
→
.
de
f. g
funciones
estructura
una
corchete
Poisson
•
2
coord
entre
momentos
unificadas
Irt
H
=
2¥
¿
→
I
{ zi
=
luego
si
H
,
H
no
}
depende
particularizar do para posiciones y
significa que
{
qa pp } ,
=
-
fpp qof ,
no
dependen
explícitamente
momentos
=
Sap
explícitamente
→
y
de
{ qof } que
{
t
=
,
será
2¥
qo QP } ,
del tiempo
{ pa f }
;
{ pa
,
,
pp
}
=
formalismo
conservada
cantidad
una
.
=
este
en
O
=
-
qq.to
.
nada
Geometría
simpática
Primero
•
O,
•
la
remáramos
2¥
=
diferencia
dqo
( qa qio ) ,
TQ
en
fibrado
el
entre
Este
.
objeto
mismo
*
T
cotangent
el
en
Q
el
y
fibrado tangente TQ
fibrad cotangent
*
T
Oo
será
Q
el cual
en
=
deteníamos
.
Hamiltoniano
componentes Las
A
ea
wij
=
A
Sobre
la
forma
wlx
,
)
y
La
contracción
si
w
es
2-
una
w
como
interior
forma
ixw
(
.
wjk
si
es
a
(
w
=
X
.
,
)
(2J
nos
abajo
M(
→
2k )
,
forma
1-
una
forma
ilo
=)
de
da
vector
*
=
un
Jj
→
son
(
a
H
)
:
posiciones
Wjk ¿
=
2-
una
QI
wtdk
-
=
T
I
¿ 2J
=
función
en
las métricas
XLÍQ )
w
=
evolución
vector
=
queremos
una
todas
x
A
los índices
con
No
=
lo
Si
.
sobre
definirse
XLÍÓ )
:
.
→
⇒
forma
1-
una
( Au
:
actuando
suele
que
anlisimétnia
→
producto
o
µ ,
son
forma
)
en
momentos
y
tendremos
,
:
K
wjk
wjk
.
es
la
es
inversa
forma
2-
una
de
,
podemos
Hamilton
de
ecuaciones
expresar
w
=
-
se
do
escribir
pueden
donde
.
O
.
,
x
2J
)
) La
=
,
×
>
Q
=
.
Xi
wijxi
=
isw
como
es
.
la
que
WIK
DH
dqon Las
•
definir
wjkxixk
=
métrica
da
nos
puede
se
la
Q
unificadas
coordenadas
las
son
*
T
cotangent
wij
con
vector
un
fibrado
¥
relacionada
actuando
el
2J
.
Por
+
aqo
estará
2.
sobre
HOJ
Oi
2
ojo
=
WÜ
•
Hamilton
de
.
1-
=
Oo
forma
siendo
=
padqo
w
dpa
=
luego
w
=
-
dpo xdqo
=
dqordpo •
y
Todo
no
En
.
fibra
de
degenerada
general
,
dado
•
•
Si
Se
tenemos
pasaremos
de
vector
un
×
forma simplechica
de geometría
podemos
definir
Cualquier variedad que tenga
.
simpática
ixfw
↳
asociada
2-
una
forma
cerrada
*
.
df
=
⇒
campo
campo
vectorial
vectorial
asociado
a
Hamiltoniano
la
forma
df
respecto
a
(
Hamiltoniano
transformaciones
qo
,
p
→
.
en
variables
mas
canónicas
aquellas
a
Qa ( q.pt )
,
,
a
veces
resulta
que respetan
Pa ( q.pt )
y
conveniente
la
queremos
estructura
que
se
realizar
un
f.
.
cambio
de
variable
.
Hamiltoniano
conserve
la
estructura
d
vector
canónicas
m
denominan
su
estructura
tendra
,
Transformaciones
•
tiene
cotangent
.
cuestión
un
.
fnúoues
independientes del
qqdqo componentes
-
componentes
nuestras
simpléclica
200=0
=
⇒
campo
duro
)
vectorial
H
•
el
será
( 99Pa 't
H
(
K
Qo
,
Po
asociado
Hamiltoniano
,
t
E
FLT
E
F (
)
*
}
)
T
pa
,
K
y
el
será
asociado
Qo
a
Pa
,
)
Q
*
qa
a
las
entonces
reunieron
de
ecuaciones
en
las
variables
nueras
Óí
será
)
Q
pi
•
Como
•
No
siempre
Minkowski
ama
y queremos
Ej el
Ej
el
:
Ej
Las
→
→
=
un
gjudzixdzk
wjkfg2.IE 2-
foma
tiene
verter
-
transformada
=
la
es
una
definido
inversa
µ
tz [
para
no
(
27g .
wjkrjk
H
de
{
f.
sea
Po
Po
Lorentz
deben
que
invariante
dejar
todos
son
tomas
métrica
la
=
( se
Zgkymj
de
=
te
(
grupo
prt q 2)
Si
.
el
es
no
transformación
(
K
2
( unificadas )
{Q
de
ec
{ f. y }
2
.
fy
)
canónica
)
Hamilton
de
y
en
.
las
ftp.wkJJI
=
.
→
,
P
}
=
{q
,
fp
rqf
-
{ qrp }
=
=
zt
f- 1
luego
respeta
no
la
canónica
hacer
el
transformación
una
al
espacio tangente
con
2
canónica
las
cunonoide
transf
una
funciones
canónica
seguida
de
otra
es
también
fibrad
notan
gente
V
→
Xkgtq
=
=
yi
¥
da
igual
,
Sjksfjstkm oiedyindyl rie ,
es
no
de
nos
que
de Poisson para
variables
nuevas
QEIRZ
transformación
una
ningún
corchete
las
en
y
eso
*
Hamilton
de
.
simpática )
estructura
→
definir
podemos
no
la
conserva
T
ec
( por
.
construimos
Osei
construimos
,
general
)
definir
respeta las
esto
y
unificadas
transf
canónica
.
.
sobre
t corchete
los
.
gfl
transformación
=
Lyi ylj
#
.
e-
coordenadas
en
podemos
Hamiltoniano
WKI
7¥
a
QZJZ
simpática
=
tzpr
=
Pt
un
armónico
libre
estructura
su
libre
=
estructura
partida
tienen
canónica
.
pero
{ f. g } ?
no
que
canónicas
tenemos
o
así
Qoy
las
a
transformaciones
=
mantenga
se
K
? { f. g }
que
la
wjkrjk
que
partícula
forma
,
⇒
de
dicen
nos
oscilador
un
y
1
ejemplo
la
respete
que
entonces
simpática
transf
Si
•
el
transf
Toda
es
las
en
que
refieren
se
que
pQEctp.TO
concreto
para
igual
coordenadas
la
de
adopta
unificadas
wnpeirse
estructura
•
Hamiltoniano
queremos
para
:
de
al
,
)
t
,
=
a
.
que
cambiar
Hamiltoniano
coordenadas
deberá
al
Hamiltoniano
este
Lo que
•
el
Hamilton
de
.
canónica
posibles
son
Hamiltoniano
nuevo
para
ec
que
para
:
todas
no
las
tenemos
•
será
cualquier transformación
yklz
unificadas
coordenadas
introducir
podemos
ftp.t
.
→
para
=
coordenadas
hace
especificar en
Lagrange ( aplicación
que
inversa
al
se
corchete
de
.
Si
la
Poisson )
trans
.
es
canónica
con
yi
=
XK Ogtfgin
Si
la
la
métrica
transformación
minkowski
Podemos
•
Funciones
trangf
•
Vimos
que
calcular
Podemos
en
,
d ( Oo
)
Oe
-
función
una
→
dlpodqo
=
podq
=
DF
=
cumplirá que
la
definimos
primero
pa
=
fgfq.no
matriz
(
=
( Jap )
padqo
entonces
OÍ
calcular
Para
•
Las
ec
tener
jl Así
fzl
=
,
rtf debe
las
cuenta
en
,
H
}
tkezl
-
-
=
H
estar
Como
vemos
variables
)
en
,
K
t
en
(3)
de
la
+
qq.eu
-
a
=
la
OZOFÍ Pa
de
las
con
condición
nuevas
las transformaciones
,
la
la
dar
debe
=
-
DO
:
rfgopt Pp
-
df
entonces
tener
ser
=
2-forma
wlj
escribir
brju
-
en
*
coordenadas
(q
°
,
)
.
unificadas
( lo
"
-
o
-
8kg ( yldyk
-
)
ello
Para
.
¢f)
1
=
=
,
-
,
( wap )
top
8pA
zldzk )
y por
tanto
tenemos
función
de
:
.
(3)
cuenta
=
podqo
=
generatriz
conviene
tkj
.
(1) y (2)
en
il
.
wjn
que
O.
con
.
misma
función
I
deben
:
2ft
escribir
podemos
yl
las
en
las
zi
y
wiiszf ,
8 :L
=
la
conociendo
Canónicas
W
pod Qa
=
será
F
ecuaciones
debemos
II
variables
exterior
nos
pues
manera
2
igualdad
SÍ tal
luego
las
a
=
unificadas
.
coordenadas
evolución
Oe
con
,
donde
de
entonces
ngimponenos
?
coord
equivale
que
nuevas
condiciones
función
si
las
en
final llegamos
al
⇒
Hamiltoniano
nuevo
Hamilton
de
.
el
zldyk
fue
-
trilogia yl
=
,
=
derivada
o
=
2Gt
y
ÍN )
oo
DQO xdp
=
.
(2)
Ogqqtmpp
-
do
-
PODQO)
-
la
como
(1) se
de Lorentz
transf
las
en
que
generadora
w
Podar
-
dqoxdp
=
escribir
coordenadas
nueras
entonces
escribir
podremos
las
( al igual
invariante
queda
mil
canónicas
podía
se
w
como
por
simplifica
forma
definiremos
entonces
.
la
dada
vendrá
canónica
.
entonces
w
transformaciones
las
simplédica
)
µ
forma
2-
generadoras de
toda
•
la
escribir
y
una
métrica
la
entonces
canónica
es
y
no
.
srfqiyl
función
dependen
-
H
t
K
.
En
generatriz podemos
explícitamente
del
coordenadas
hallar
tiempo
el
entonces
de
nuevo
qs
y
tendremos
ps
Hamiltoniano
simplemente
H
=
K
K
.
(
:
Ojo
cada
,
wal
K
en
sus
df
tenemos
•
forman
más
teoría
de
Vamos
:
Analizar
ver
si
de los
Todo esto
Bueno
es
suponiendo
,
función
integrarlo
trans
tipo
.
I
}
( además
las
F
"
(q
Q
,
)
i
=
=
i
(
originales
si
,
-
)
3,04
,
y
las variables
mwq
FMW
Q
}
p
QQ
Q
{ P Pts-0 )
así
,
tipo
I
I
Tipo
)
y
el
momento
P
y
=
escribir
todas
esto
=
nos
las funciones
lineal
ser
(
Gcu
Q
,
q
se
Hamiltoniano
K
obtiene
Tendremos
Qlt )
qlt )
→
=
-
Ó
=
Qoéiwt
=
=
II
Re
al
,
ser
IWQP
.
;
{
QIH
iw
Q
=
que
Este
.
Plt ) =P
}
transf
una
;
.
Á
eiwt
no
Hamiltoniano
iwp
=
y
qocoslwt )
la
conociendo
t
explícitamente del tiempo
depende
En
tiene
ec
esto
senlwt
la
para
.
P
podemos
)
;
de
ventaja
es
condice
calcular
=
los
G
valores
Im
{
ecuación
de
Qlt )
}
=
H
las
=
-
para
(q
Q
.
q
p
y
,
coordenadas
como
ellas
de
)
H
→
) de
Q , P)
(
.
,
p(Q
,
P)
)
Al
salvo
una
haciendo
acopladas
soluciones
coordenadas originales
mwqosenlwt )
.
ztm ttzmutqt
=
no
Las
ecuaciones
determinadas
están
dinámicas
Q
Q
Queremos
.
.
sistema
un
original
ecuaciones
a
la
conjugada de
la
plt )
que
K
tendremos
,
en
y
fnciin
q
generating
Hamiltoniano
.
q
da
Poisson
.
de
:
canónica
/ El
en
algebraicas
propiedades
es
en
coordenadas
P
transformado
al
,
escribirse
función
en
tfffn
-
transformados
corchetes de
utilizaremos
,
deben poder
de
las
y
,
transformación
decir
es
,
combinaciones
pueden
la
esto
transformación
La
.
más
posibles
Q
y
importantes
;
los
wenlh
en
cuenta
en
que
también
se
teniendo
hacer
transformados
muftí )
t
=
q
mw9.tl#P=imw9-iPT2mw Tzmw
=
Teniendo
1
=
considerarnos
rfgttq
=
p}
dinámicas
Fu
-
,
p
~
P
,
si
)
Q
:
Se puede
.
canónica
pero
aparecen
no
cumplirá
I
(¥
2
todas
p
tipo
.
1,2
tipo
,
1
=
{q
;
{Q
de
}
Transformación
una
momentos
que
como
trans
de
Ser
o
=
,
P
,
P
p,
Í)
(
Q)
,
originales
q
.
base
como
(q
como
coordenadas
esas
emplea (
I
tipo
empleamos
fibrado cotangent
{Q
{p p }
;
de
TI
tipo
IV
el
sobre
Poisson
o
=
-1
dimensión
asumimos
,
podrá escribirse
obtenemos
aditiva
cte
( puede
de
cotangent
generatriz para
,
}
P
,
q
,
tipo
de
canónica
términos
en
canónicas
el
y
de coordenadas
el fibrado cotangent ( los
original
momento
{Q
a
considerar
)
Q
,
función generatriz , asumiendo
mfibrad
para
{q
→
llegamos
tipo
que
todo
de
independientes
,
(p
el corchete de
si
vemos
originales
la
es
da igual
realmente
La
coordenadas
cuál
ahora
El
→
F
transformaciones
emplea
Tt
Tipo
transformación
una
función generadora
las
en
siguiente transformación
corchetes de Poisson
saber
la
Definimos
.
El
.
canónica
es
las
a
Q
hacer
podemos
.
Por ejemplo
.
la
Pod Qd
-
*
T
perturbaciones
a
asociados
de
posibilidades
Ejemplo
•
base
una
Hay
podqo
=
.
son
.
:
Obtenemos
tpocoslwt )
esto
así
:
Es
Q
p
ifmwq
pueden
allá
más
ir
p
Necesitamos
FGIQ
y
calcular
K
=
para
tendremos
Qéiwt )
5
.
igualando
qlt
)
Vamos
.
al
final
Esta
la
es
=
3¥
-
el
valor
transformado
K
del
idea
P
(
i
=
la
de
iwt
e-
qéiwt
este
q
O
=
será
En
.
método
K
este
Jacobi
H
=
las
caso
t
,
plt )
H
donde
coordenadas
encontrar
:
Q
en
y
2¥
t
,
originales
p
y
Qéiwt
-
Flq
caso
)
)
.
=
las
de
imzwmf
IWQP
-
canónicas
la
en
Mmu
que
comprueba fácil
el
I
En
.
calculamos
,
este
la
caso
función
tendremos
:
generatriz
muff )
transformadas
ti
de
canónica
Qéiwtt
q
{ Qlttéiwt ( se
siendo
tipo
coordenadas
constantes
son
sigue
transf
.
.
:
trans f.
asumiendo
función
=
la
que
Hamiltoniano
este
transformación
( Qzéiwt
i
=
transformación
una
ver
de
partir
a
siguiente
podemos
.
Fu
en
y
la
estudiar
a
-
sabe
nos
P
y
Lagrangian
sistema
m
215 f Qltléiwt ipltteiwtf
=
Hamiltoniano
el
y
construir
podemos
no
mw9.tl#eiwt.,p=iMw9-iP_ a ñ
=
=
que
transformaciones
Las
•
notar
interesante
Plteiwt } )
ZÍ
y
movimiento
Hamiltoniano
del
!
waéiwttiw wqéiwt
=
.
PQ
!
sistema
escriba
se
trivial
forma
de
.
INVARIANTES
Vamos
•
Noether
de
Teorema
a
Hamiltoniano
lo
recordar
el
es
que
flujo
de
concepto
fibrado
Ej
•
Si
teniendo
:
tenemos
el
flujo
Podemos
tiene
la
Hamiltoniano
tener
otra
por que
ser
Si
tenemos
2
curva
sobre
•
S:
en
del fibrad
punto
un
el
particular
dinámica
función
el
T
T
distinta
*
alguna
ze
⇒
f
funciones
f
asociadas
a
parámetro
un
.
gente *
Q
gente podemos
dinámica
tiempo)
es
notan
canónicas
-
f (
E
transformaciones
y
)
tenemos
,
definir
la
asociado
grupo
un
aplicación
la
de
evolución
la
a
evolución temporal
temporal
.
qltl
como
yjz
=
y
así
deteníamos
.
función
espacio
H
votan
Hamiltoniano
,
Q
de
g
E
YÍZ
=
F (
que genera
GE
T
*
Q
)
# Q )
Esta
.
,
Al
la
derivada
transformación puede
de
Lie
f
de
cual
estudiar
y podemos
con
dada
estar
respecto
g
a
el punto
es
ofrece la
las coordenadas
En
del
términos
fibrad
de
de
corchetes
cotangent
-
Lie
escribir
podemos
=
{ ZI
,
y
=
{
f
f. g }
} wiisig-ddq.in =
no
.
de
variación
( que
parámetro
un
a
función por cualquier
Xg.ly/f)=Xg glof Lozi
g.
asociado
vedvres
lo
a
=
w
largo
de
la
(
flujo
que
generan
y y
f
El
•
de
teorema
Noether
Hamiltoniano
versión
en
dice
nos
que
i
g (z )
si
H
Que
de
H
dq
dqtft
ddttt
XÍ
.
vector
X
sea
Xs
qalt
)
lugar
en
O
siempre
,
tomar
de
forma que
g
qb
X
t
ddt
poco )
=
la
tomaremos
qo
tendremos
Podemos
Teorema
En
=
•
En
ec
Para
.
en
o
que
Hamiltoniano
{ te
,
implicación
}
g
o
=
inversa
esto
,
.
consecuencia
es
}
qo p , .
=
g
Hamiltoniano
flujo
So
-
las
preguntamos por
nos
.
este
qt
entonces
qoco )
=
M
2N
ello
que
estamos
calcular
debemos
,
esto
es
escribiendo
el
componentes
asociada
Eso
+
g
a
osea
,
Ps
=
lo
que
En
.
este
hace
que
caso
el
Será
las
un
el
p
que
qb
coordenada
la
trasladar
es
corchete
palo )
=
segundo
por
caso
pa
conserva
se
Para
.
luego
,
qd
=
Soy
transformación
(E)
{
=
a
el
esta
a
ejemplo
como
,
Lo
→
sabemos
ya
H
{
=
H
,
p.
es
lo
de
ver
É2¥
}
que .
acabamos
traslación
Una
.
=
-
,
p
qb
en
luego
,
H
si
,
dimensión
,
para
es
3
un
Dimensional
canónica
w
dqondpa
=
coordenadas
existen
,
( es
.
decir
como
,
locales
canónicas
matriz
una
qo
(
,
pa
términos
en
→
espacio
V
(
Vi
,
vectorial
espacio
un
a
vr
vectorial
,
por ejemplo
si
este
tiene
dimensión
,
Vs
)
de
=
Vr
.
( Vr
dimensión
1
Ves
)
arbitraria
Eijk
=
N
,
el
→
2
Alva
uña
{ ,
vr
)
=
Vztvzk Vi
volúmen
asociado
a
N
la
¥0 )
)
determinante
un
cuales
las
de
producto
asociado
que
-
liouville
medida
(
forma
la
adopta
Volumen de
volumen
general
significa
g
el
entonces
la
ample
esto
Hamilton
de
.
tasaciones
las
simplifica
para
se
o
Darbdux
de
Eig vi Vrf
y
las
bajo
Teorema de
El
También
.
,
=
dt
de t
fijo )
es
,
cualquier variedad simplifica
forma
•
dado
está
utilizar
invariante
es
•
b
supone que
X.
=
y
E
-
Pact )
( se
g
asociado
calcularemos
el que
con
#)
ya
Hamiltoniano
flujo
lado
otro
por
PALE )
=
el
parámetro
¥)
(
y
de
el
y
Xog
=
calcular
a
ser
a
o
=
qolo )
=
Vamos
.
va
}
qd
,
como
tenemos
Ahora
donde E
{ qo
=
,
qd
coordenada
la
derivada
la
explícitamente
transformaciones infinitesimales generado por
de
movimiento
depende
esa
µ
{ g. H }
=
Sea
:
transformaciones infinitesimales generado por
de
bajo el grupo
invariante
sea
que
Ej
.
bajo el grupo
invariante
es
no
DA
)
de
constante
es
↳
# Q
Al
E
~
vectores
será
,
en
función del
tensor
Vr
14
Podemos
•
V
definir
t.lu
=
^
"
tnq
=
•
•
.
2
=
elemento
El
teorema
cotangent
-1
n
T
.
.
Vie
in
acudiendo
,
.
.
Vii
.
métrica
la
a
tiene
fibra de cotangent
=)
dimensión
la
es
que
,
2k
la
es
Ahora
o
lugar
2
V
⇒
diferencial
forma
2-
w
,
de
manera
del
integral
igualdad
el
luego
propio
llamados
,
]
forma
el
resto
ultimo
Poincaré
de
de
.
,
el
de
espacio
tenemos
O
la
la
forma
continuidad
de
ecuación
Hamiltoniano
estadísticas
distribuciones
las
en
simphédica
simétrica
anti
es
JK
=)
wnp
calculamos
,
Poincaré
de
invariantes
A
veces
de
orden
ser
frontera
variables
momento
la
emplea
escribir
de
Ir
Si
.
con
gwkisj
=
=
p
pan
H
.
Así podemos
.
el
obtenemos
n
para
configuración
asociado
no
=
1-
0
forma
-
Hdt
de
O
Poincaré
o
bien
en
la
es
que
hablar
como
variable
la
a
,
fgydyqoolt ) ndpolt )
=
,
fygpodqd
=
utiliza
se
I
=)
otros
construir
volúmen
del
espacio
temporal
el
es
,
1
=
,
.
.
y
de fases
1-
invariantes
invariante
el
p
y
,
espacio
de
fases
en
TE
qo
(
con
el
cuenta
en
canónica
el
→
Hamiltoniano
propio
tiempo
"
se
signo
-
trata
pote
hay
y
vimos
que
de
Teorema
en
en
los
pie
momentos
Stokes
de
términos
extendido
O
=
esta
forma
pndqm
,
en
donde
el
de
,
)
M
=
0,1
fases
de
espacio
.
.in
no
lo
formalismos
en
DQÍHDT
=
forma
extendido
9-9
entonces
teniendo
y
de la
integral
parámetro
a
Se
evolución
dqhdpendqrrdpz
Linville
de
del
de
w
como
,
la
particular bajo
en
y
,
=
v
términos
en
canónicas
dqzndpztdqzndpa
+
,
el local
no
Hamiltoniano
y
con
el nohimen
µde
integral
una
Lagrangian
Poisson
volúmen
de
fglzi )
=
otra
es
de
wkisjtl
canónicas
vn
que
o
teorema
calcular
de
=
del corchete
.
2kg
=
que
dqrdp
=
Poincaré
de
a
bajo transformaciones
invariante
es
It
t
def
¡
}
H
local
invariante
pasamos
canónico
{ f. H }
transformaciones
El
donde
,
versión
en
,
=
{f
=
tdqndpzndqtndp
,
=
Í
.
Invariantes
•
.
,
veces
aplica para cualquier integral
Lsf
Jk
bajo
•
Si
.
Ei
=
rdqhdpr Izfdofndp
=
volúmen
de
se
Entonces
t
V
s
=
El
Esta
•
fibrad
)
.vn
.
.
tdqtndperdqtndpr n
¥ .
.
.
fui
V
→
el
en
wWw n
si
espacio
diferencial
volúmen
un
dicho
de
antisiméhiw
completamente
extendido
,
HAMILTON-JACOBI ECUACIÓN
Tenemos
•
de
toma
( qo
Lógicamente
Ft ( qo
Qa
,
Vimos
Si
)
función
La
evolución
por
sistema
definición
(q
,
Jacobi ,
Es
Las
ctes
,
zilt )
Qait
)
Lt )
pueden
cte
=
de
Hamilton
tipo
Pr
cumplía
introducir
pa
en
Queremos
.
llegar
a
Hamiltoniano
un
=
Q
de
tipo
I
(
K
Qo
Pa t ) ,
,
.
coordenadas
con
3¥ WJK
=)
tiempo
Llamaremos
.
de
0¥
Entonces
.
que
de
qo
aquí podemos
p
y
QP
sacar
evolución
la
=
el
llena
nos
dinámica
obtener
para
función
esta
a
de
( qo
H
-
sistema
=
QP
pp
=
(
Qo
pp
(
,
de
Pat
,
)
t
)
y
Qo Pa .tl ,
trivial
,
en
Jacobi
-
derivadas
donde
:
.
esto
y
,
.
S
como
parciales
ctes
estas
ec
una
forma
una
a
función
en
.
3¥
,
es
Fe
Hamilton
de
e.
Ogqfno
la
O
=
.
del
depender
O
=
tiempo
trabajamos
⇒
JI
tener
del
dependen
no
H
-
=
luego
qq.to
que
µ
obtener
Ojos .
-
=
función generatriz
una
=
deberá
I
pa
como
poner
*
debemos
¥
luego podíamos
y
podemos
una
cumplirse
encontrado
habremos
,
también
las
debe
y
ET
función generatriz
por
.
yi
otras
a
función generatriz
la
se
ec
Q
*
T
E
duda
viene
)
Pat
,
)
Psnit
ni
( qo
H
nos
da
su
tendriamos
así
.
relaciones
invertible
sean
025
debe
,
Izq
cumplirse
|
FO
pero
una
función
generatriz
I
de tipo
satisface
esto
.
partícula
:
Qa
que
facil
ello
las
Ejemplo
Sa
Pa
;
el
Para que
,
solución
una
Con
de
minisula
generatriz
.
resuelto
( qo
momentos
de
=
sea
K
Hamiltoniano
un
apliquemos las
Cuando
.
S
=
encontramos
Qoltt
•
t
,
Qs
transformación
para que
los
que
Q
por
coordenadas
dicha
#
E
definido
depende de
no
las
de
que
Qo )
,
(
ute
=
pasar
Suponemos
•
•
K
que
JACOBI
-
dinámico
sistema
un
Debemos
•
HAMILTON
DE
,
en
t
) este
comprobar
Qa
y
de
masa
1
en
una
tt-z.tt#
=
caso
que
Qb
¥
es
Sa
tienen
y
Sb
dimensión
Sb
;
=
-
=
H
→
(
q
Qb
,
f- ( fgsqu }
cumplen
significado físico
esto
con
→
tzp
=
,
t
)
( donde
2 .
Tenemos
QVTQB
=
momento
veamos
varias
Qyt
-
,
lo
.
soluciones
Ambas
sustituimos
por
:
soluciones
son
una
parcial
de
la
ec
.
de
Hamilton
la coord respecto de
de S
.
Qb
es
la
energía
del
sistema
y
Qa
es
la
posición
inicial
de
la
partícula
.
.
)
Hamiltoniano
En
•
este
muchas
dependencia explícita
sin
la
veces
utilizar
podemos
caso
ecuación
el
en
lineal
no
variables
de
separación
es
tiempo
Podemos
•
la
Aplicando
ambas
→
la
parte
→
la
parte
Esto
•
eu
Jacobi
-
J
-
Q
,
t
,
igual
de
la
izquierda
de
la
derecha
puede
hacer
la
acción
y
)
Hamilton
de
(
=
q
ote
tiene
(
)
21
,
q
variable
cualquier
La
Q
adelante
en
H
eq
=
-
J
)
Sin
.
embargo
Qtt
(
el
esta
con
Hamiltoniano
ecuación
parte
derecha
no
Entonces
.
energía )
la
con
la
obtuvimos
así
)
suma
tiempo pero la
poder identificarla
-
la
mediante
del
depende
trabajaremos
y
en
izqda
para
-
Tlt )
"
cíclica
parte
signo
con
trivial
=
de variables
( separación
)
.
(
)
Irgtuq
,
t
)
srq
Qt
-
l
T
t
resolución
una
H
=)
Q
,
(q
H
-
misma
para
L
Jacobi
-
Hamilton
de
característica
W
=
la
a
.
-
ddt
⇒
ser
se
mismo
Hamilton
te
.
deben
cosas
Slq
que
suponer
ec
.
función •
la
para
Qb
el
en
)
anterior
ejemplo
.
.
TCE )
( TCC
5 ( q
•
función del
AS
AS
=
=
TLE ) )
"
FÍE
'
+
f
a)
cj
-
,
t
)
dt
¥ -
ec
=
FÍ
.
AS
de
H
-
"
J
dt
)
T
el
libre
dejamos
superior
extremo
,
forma
de esta
esa
define
nos
una
.
OÍ
=
2¥ Sqo
Att
,
,
AT
De
.
2¥
+
la
donde
Aqo
expresion
de la
la
variación
Aqo
también
tenemos
acción
=
ojo
que
AT
t
Sqo
:
"
f IE
Llq
,
tllqo
qeittfdt
,
qoo
TLE
,
:o)
)
ddtz
tasaqfsqadtt ftp.adf?q.sqoJdt
0L
ACCIÓN
=
pa
y
ti
=L
paja
-
=
-
H
ÁNGULO
Inteyrabilidad
de
visto
Hamiltoniano
,
qq.to
=
q
expresarlas
qe
"
Llq
las
de
implicará
avión
qi ( t ;E ) Llqlti
El To
solución
qq.to
OS
Teoremas
f
=
es
que
de la
FÍÍ
dqz
que
Hemos
,
( SÍ
=
VARIABLES
•
)
,
variación
luego
así
E
tiempo
Una
•
) ;
que
en
.
resolviendo
función
de
las
Integrar por
la
ec
.
de
HJ
coordenadas
wadratras
podemos
del
significa
resolver
sistema
que
(
ya
dinámico
sistema
un
sea
en
Q
podemos expresar
o
la
en
TQ
Esto quiere
.
)
solución
lo
que
del
decir
que
implica
sistema
al
la
si
existen
n
ctes
integra bilidad
menos
como
de
por
una
movimiento
wadrahvus
integral
de
,
del
podemos
sistema
funciones
Ejemplo
en
:
de
dg
:
las
variedad
Hamiltoniano
una
•
[
Xga
para
uno
el
tenemos
Xgbf
movimiento
es
una
de los
ftp.EFVTxf
=)
)
=
Sa
del
1dg
.
=
dimensional
dl
Supongamos que
dinámica
cuya
conocemos
en
de
constantes
m
variables
ciertas
mas
movimiento
ya
canónicas
,
y
las que
entre
n
f-
Ug
las
{z
=
EU
/ galz )
condiciones
siguientes
=
gq }
CU
→
es
un
subconjunto de nivel
:
O
O
:
de las
variables
las
-
para
ates
originales
ug q
sub variedad
una
de
la
se
de
la
que
dentro
de
movimiento
pueden
N
contiene
a
dimensión
(
ga
particular
en
cuadratura
integrar por
invariantes
temporal
evolución
bajo
el
por
,
.
lo
a
están
en
canónicas
de
punto
los
z y
Ug
fa
{
flujos
que
ya
,
podemos
en
Tendremos
Xga
ga
involución
subvañedad
largo
ese
n
función dinámica
de la
coordenadas
las
variedad
que
a
variables
2
definimos
a
asociados
movemos
dimensional "
es
vectoriales
Poisson
z
punto
n
ug
campos
mitad
otra
#
.
-
conjunto
cumplen ga
bajo los flujos
en
=)
luego
O
variedad p
.
2h
función implícita
de
corchete
la
construir
paramétrica
N
-
}
gb
invariante
independientes
tomamos
,
.
el
sea
,
constantes
n
,
"
IR
E
p
variables
Si
ga
del tiempo
siguientes propiedades
Teorema
Si
Vcx
)
de
ecuaciones
ya
dgzn
1
,
{
:
verificarán
se
flujo
•
tzmfhdhjt
=
se
.
las
que
involución
en
es
n
E
→
Simplédica
independiente
números
n
supongamos
,
a) Uy
•
se
variedad
una
H
Hamiltoniano
propio
independientes
Entonces
b) Las
conserva
energía
por
Hamiltoniano
un
conjunto
Están
descrito
sistema
un
el
Finalmente
2-
la
)
analítica
×
por
cada
Son
de
fdt fdx.t.x.EE
encuentra
1-
cual
forma
pueda resolverse
=
descrita
Para
el
en
no
'
Consideremos
está
integral
sistema
un
+
de donde
•
la
( aunque
conocidas
un
gb
}
=
lo
o
emplear
intersect
a
las
todas
que
los
punto genérico
que originan
Xgagb
( ga
z
del
variables
las
nos
)
.
{ ga
=
permite
decir
Esto
la
es
espacio de
dinámicas
variedades
de
nivel
gb
que
mitad
fases
ya
,
como
} la
de
las
yga
→
Uy
=
o
derivada
las
de
variables
distancias
Lie
,
.
hemos
como
•
Podemos
•
{ fa
→
En
•
elegido
el
escribir
}
gb
,
vector
(
fa
,
)
por
luego
el
definición
{ fa fbf
Iga
lo cual
Xga
como
Sab
=
ga
entonces
,
ya
a
OÍ
=
coordenadas
estas
canónicas
asociado
Xggfa
=
fa
las
a
=
Hamiltoniano
sistema
da
nos
fn
utilizar
podemos
descrito
como
Í
ultimo
El
diciendo
está
nos
Hamiltoniano
será
H
que
únicamente °
fa
fttga ) t
=
"
d
i
"
foto
+
los
de
función
las
de
depende
no
fa
coordenadas
momentos
Son
.
generalizados
coord
La
.
solución
gb
y
21
a
=
o
=
a
.
las
a
ec
Hamilton
de
.
Para
( qa
pa )
,
ga
;
( fa
calcular
(
fz
entonces
coordenadas
→
podemos
que
las
de
pasar
q
el
,
f
=
gao
=
(
se
conserva
valor
el
luego
,
Fr
=
.
Si
de
[ padqa
g.)
fadgafq
nuevas
inicial
pa
como
OÍ
=
la
de
diferencial
el
que
considerar
conviene
,
inicial
fa
Y
aqa
la
tfadga ]
integral
9)
(
t
padqalg
( 90 g )
.
subunidad
la
del
depende
no
determina
q
que
µ n
dimensional
.
,
(
nos
de
puede
que
podemos
forma
entonces
se
así
se
la
( da
en
de
punto
(
cumplirá que
deformar
un
toro
un
es
llamadas
tales
acción
ángulo y
En
términos
•
Si
estamos
Ejemplo
lo
p
IR
en
=
variables
estas
"
,
Tengamos
:
resolver
esto
de
comparto
sistema
un
un
con
escribir
-
ángulo
grado
J
/
%
=
y
9-
La
función generatriz
luego para
calcular
E (q
,
J
)
0 podemos
=
±
son
ec
Hamilton
de
.
cerrado
podemos
cualquier instante )
momentos
y decir
Transformados
:
tfadga
de
manera
suavemente
a
escriben
se
como
Oja
:
,
cualquiera
toro
un
manteniendo
otro
a
aunque tenga
ctes las
var
la variedad
de
agujero )
un
recorrer
=
wa
variedad
involucra
2T
1
,
la
vuelta
.
frecuencias generalizadas
µ =
cerrada
curva
la
vez
una
( Jk )
ja
;
O
=
Ptm
=
Vlq )
t
variable
la
encontrar
.
Nos
restringimos
acción
Ji
a
potenciales
t § upgdq
Vlq )
a
E
Entonces
.
( utilizando
la
podemos
función generatriz)
q + El
2mfE.kz#dq q
.
(E)
,
y emplear
para
la
de
una
regla
.
)
µ
fdóe
que
tramos
2
acotado
y
H
:
los phos de retroceso
fq9opdq.ly
derivar
las
libertad
de
Entonces
como
,
decir
como
es
2mlE.FI
±
podemos
decir
avión
es
,
en
:
UJ •
I
conexo
al
)
Ja
,
originales .
padqa
=
hacemos
mover
continua
M
m
canónicas
toro
un
a
compacta y
conexa
.
tipo
acción
anglo variables
sea
DE
→
ftt ,
g)
,
canónica
valor
su
srga camino
fqqoyypadqa
=
Ug
difeomorfa
es
Ug
nivel
de
:
OI
=
)
subunidad
existen
transformación
una
función generatriz
,
la
→
las
a
manera
momento
'
imponernos que
→
)
g )
,
fqqo ,
antiguas
g)
( qo.ge
( qo
ya
,
será
itial
"
coord
•
momentos
como
{2qa.gg#a
:
cíclicas
.
o
=
de configuración
g.
lo
}
gb
,
normalización
de
condición
una
coordenadas
como
vendrá
{ ya
hipótesis y por
o
=
,
construcción
por
.
órbita
la
Jue
de
,
que
en
la cadena
este
0
caso
=
es
Ogtt
como
SÍ
decir
=
para
una
FÍÉ /
energía
OÍT
.
ute
.
pero
p
=
tfgfqá ;
0
=
tfgf
ofqdq.hn#i tl
=
2Mt
vi. devueltas quedamos
Fz
J
=
+
µ
foto pdql
Fz
⇒
3¥ de
En
y
o
.
donde
al
Sabemos
=
2
posibles signos
para
p
q
,
(
E
)
fqt
on
.
(e)
l
E
-
vlctljlhdq
fitujtcuqtjthdq de
caso
invertir
el
y
01
,
tenemos
# ftp.qnlE.ua#dq=orEfq9IfqivutIkdqyEt=fIfq9Ile,hmlE.raFdq=FEfqaIffftrqII y
el
pues
)
=
-
.
-1
o
un
oscilador
sistema
evoluciona
armónico
nos
de
Vcq
encontramos
manera
)
=
con
lineal
Mufti que
q
0
tendremos
¥1
=
.
pot
wt
que
costo
J
y
=
p
En =
y
D=
25mF
of arcsenfflqo ) serio
.
J
es
cte
t
en
TYZ
la
] evolución
como
"