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• Jonathan Garcia Gomez

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Importancia de la Estadística en la Ingeniería Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de formular y dar solución a un problema se en encuentra ligado a un conjunto de pasos en los cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede resumirse como: 1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar. 2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un papel en la solución. 3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la situación de interés. 4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad. 5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son coherentes con la realidad estudiada. 6. Teoría científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la simulación procurando la solución del problema. En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una simulación y obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes áreas. La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y complejidades, una de estas herramientas es la Estadística. La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del diseño de una estructura para captación de agua La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo de esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de un rio con el objetivo del suministro del liquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una zona Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander

alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que transitan y carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar. Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres. Estadística descriptiva Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las características de este. La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama. Estadística Descriptiva

Grafica

Numérica

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen puede observarse tal situación.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso. Estadística descriptiva numérica 1. Media o promedio aritmético También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide con el de la moda y mediana. Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander

La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado. Definición La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como como:

se define

∑ Donde “n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra. 2. Moda. Valor que más se repite en la muestra analizada por lo tanto la moda podría interpretarse como el dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el conjunto de datos puede contar con una o mas modas pero también puede suceder el caso en que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda. 3. Mediana. Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el cual su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor inferior a la mediana y el 50% un valor superior. La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2) 4. Rango

5. Varianza ∑( (

( )

) )

6. Desviación Estándar √ √

( ) ∑( (

√ ) )

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7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría ∑

(

)

Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos

9. Coeficiente de curtosis Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una distribución, comparada con la distribución normal Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana

∑

(

)

Ejemplo 1.1 Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes: 1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65 1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83 Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística.

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1. Media o promedio aritmético Aplicando la fórmula 1.1. se tiene: ̅ ̅ Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de probabilidad. 2. Moda Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra

3. Mediana Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene: 1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83 Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la mitad es:

4. Rango

5. Varianza ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

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6. Desviación Estándar √

( )

√

7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría (

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

9. Coeficiente de curtosis (

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Análisis de frecuencias Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos según la necesidad del estudio realizado Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones. -

Para muestras de gran cantidad de datos √

-

Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges) ( )

Se debe recordar que el numero de intervalos será una valor entero por tanto este deberá aproximarse según reglas de aproximación. Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis Ejemplo: Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el mas significativo es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente: 2.08 1.73 1.26 1.1 2.28

1.81 2.35 2.17 1.65 2.04

2.14 2.28 1.58 2.33 2.45

2.09 1.26 2.45 1.56 2.17

2.14 1.42 2.29 1.24 1.87

1.67 2.39 1.45 1.68 2.46

2 1.16 2.08 2.38 2.27

Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso del huracán Sandy Solución: Para comenzar se calcula el numero de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso se utiliza el radical del numero de datos en la muestra

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√

√

Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:

El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de análisis de frecuencia que se muestra Intervalo de clase 1 2 3 4 5 6

Intervalo Inicio Fin 1.100 1.327 1.553 1.780 2.007 2.233

1.327 1.553 1.780 2.007 2.233 2.460 Suma

Frecuencia Frecuencia Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada 5 5 0.143 0.143 2 7 0.057 0.200 6 13 0.171 0.371 3 16 0.086 0.457 8 24 0.229 0.686 11 35 0.314 1.000 35 1.000

La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error. La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno. Los histogramas del análisis se observan a continuación,

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Histograma de Frecuencia Absoluta Frecuencia Aboluta

12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa Acumulada Frecuencia Aboluta

1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

Frecuencia Aboluta

Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada 35 30 25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

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Frecuencia Aboluta

Histograma Frecuencia Relativa 0.350 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.000 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

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2. Probabilidad El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado. En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en ingles y francés riesgo o peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera cruzada. En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas ramas del conocimiento. De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades. El término de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso aprueben la asignatura”, entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores. Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo está orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sería erróneo dado que la teoría de la probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura. 2.1 Espacio Muestral Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los resultados obtenidos, Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander

Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento cualquier acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre. Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeración }, puede deducirse que la obtenida, los posibles resultados para este experimento serán { variabilidad del parámetro de interés se encontrara sujeta a los posibles resultados que puedan presentarse en este caso seis. __________________________________________________________________________ Definición El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento. La notación del conjunto se realiza con la letra , que se adopta de la traducción en idioma ingles “Space” __________________________________________________________________________

Ejercicio 2.1: Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado Solución: El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son: {

}

Gráficamente,

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Ejercicio 2.2: Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos los elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento Solución El diagrama que se muestra a continuación se conoce como diagrama de árbol, este tipo de diagrama resulta de gran utilidad en el análisis de problemas complejos de probabilidad

Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto el número de ramas de salen son dos que corresponden al número de posibles resultados, para el caso del lanzamiento del dado el número de ramas son seis, por tanto el número de ramas que salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya. { }

2.2 Evento En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se está interesado en un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales cumplen ciertas características. __________________________________________________________________________ Definición

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Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral clases de eventos:

, existen dos

Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único elemento es decir un evento de un único resultado. Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de un elemento es decir un evento con varios resultados posibles. __________________________________________________________________________ Ejemplo Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto correspondiente. Solución {

}

2.3 Relaciones de la teoría de conjuntos 2.3.1 Intersección: Sean dos eventos “A” y “B”, La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en “B” en la gráfica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”

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2.3.2 Unión: Sean dos eventos “A” y “B”, La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la unión incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para los cuales ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:

2.3.3 Complemento: Sea “A” un evento El complemento de “A” se lee “A complemento” y se denota como da como resultado un evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepción de los que se encuentran contenidos en el evento “A”

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Ejercicio 2.3 Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos

Calcular

,

,

Solución Los elementos de los eventos son: {

} { } El diagrama de Venn que representa la situación planteada es como se muestra:

Del diagrama se puede observar que: { } { {

} }

2.4 Definición de probabilidad __________________________________________________________________________ Definición de probabilidad Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los resultados contenidos en el espacio muestral , sea un evento con ( ) resultados posibles la probabilidad de ocurrencia de se define como:

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( )

( ) La probabilidad de A un número decimal

( ) , puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o como

__________________________________________________________________________

Ejercicio 2.4 Considere el experimento de lanzar un dado y el evento dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento .

de obtener un número múltiplo de

Solución:

{ ( )

}

( )

( )

Ejercicio 2.5 Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea { }, para ( ) ( ) y suponga que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Calcular: a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. ( ) Solución: Para la resolución del problema planteado es necesario hacer uso del conocido Diagrama de Venn que para el caso analizado se observa en la siguiente figura.

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Las letras corresponden a variables con las cuales se plantearan las ecuaciones que permitan dar solución al problema propuesto, las ecuaciones son formuladas de acuerdo a las condiciones suministradas por el enunciado. (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

( ) Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: Solución a) (

)

Solución b) (

)

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Solución c) ( )

EJERCICIOS CONJUNTOS Y PROBABILIDAD 1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un número menor que 5. Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667% 2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se saca 1 bola al azar, determine: a) b) c) d) e)

La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8 La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8 La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8 La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%. Se sacan 2 bolas simultáneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y una bola roja. Respuesta: 2/7

3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar el orden de obtención. Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556%

4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en el que una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado durante Agosto, y sea B el evento análogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la misma familia). Supóngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(A∩B) . Respuesta: 0.5 = 50%. 5. Se elige al azar un alumno de cierto curso de estadística sea A el evento en el que el estudiante utiliza una tarjeta de crédito VISA y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A B)=0.25 a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas Respuesta: 0.65

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas tarjetas? Respuesta: 0.35 c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no una Mastercad? Respuesta: 0.25 6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no radio, el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio. Determine la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrónicos. Respuesta: 0.85 = 85%. 7. Según el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio. Respuesta: 0.15 = 15%. 8. Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea { }, para ( ) ( y suponga que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Calcular: a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. Respuesta: 0.360 b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. Respuesta: 0.110 c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Respuesta: 0.640 d) La probabilidad de que no se le otorgue ningún proyecto a la consultoría. Respuesta: 0.470

)

9. Se realiza una encuesta entre 250 estudiantes de una reconocida universidad para analizar el medio de transporte que estos utilizan para llegar al claustro universitario los resultados fueron los siguientes: Medio Automóvil Motocicleta Bus Automóvil y Motocicleta Motocicleta y Bus Automóvil y Bus Automóvil, Bus y Motocicleta

No. Estudiantes 58 68 83 27 16 23 12

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Calcular: a) b) c) d) e)

El número de estudiantes que utilizan únicamente Bus. El número de estudiantes que no utilizan ninguno de los medios de transporte descritos. El porcentaje de estudiantes que utilizan únicamente Motocicleta. El porcentaje de estudiantes que utilizan Automóvil y Motocicleta pero no Bus. El número de estudiantes que utilizan Automóvil o Motocicleta pero no Bus.

Respuesta: a)

b)

c)

d)

e)

10. Suponga que cierto ingeniero civil residente de obra en el proyecto de la construcción de un colegio estudia los eventos A, B, C acerca del daño en una de las grúas empleadas en el proyecto, suponga los siguientes eventos. { } { } { } Con probabilidades de ocurrencia. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario y mala calidad del equipo. b) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o mala calidad del equipo. c) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o mala calidad del equipo pero no porque el equipo excede el tiempo de vida útil. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado por una causa diferente a A, B y c? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado únicamente por mala calidad del equipo?

EJERCICIOS TÉCNICAS DE CONTEO 1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en línea. Respuesta: 5040 2. Cuantos resultados posibles pueden obtenerse al lanzar tres dados (uno después del otro).

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Respuesta: 216 3. Cierto Ingeniero Civil encargado de la venta de apartamentos ofrece siete tipos de apartamentos, el cliente podrá elegir dos tipos de adicciones en acabados entre los que se encuentran: puertas de cedro, guardarropas de cedro, cielo raso drywall, piso en porcelanato para las habitaciones, bañera, estuco veneciano en la cocina y mesón en mármol de alta calidad. El ingeniero desea crear un aviso bastante llamativo el cual lleva como frase principal “Venga y escoja entre “n” apartamentos diferentes”. ¿Cuál es el valor “n”? Respuesta: 294 4. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea formar una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes ¿Cuántas cuadrillas diferentes podrá formar? Respuesta: 330 5. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a sus clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en una sopa, un plato principal y una bebida ¿Cuántos almuerzos diferentes puede el restaurante ofrecer a su clientela? Respuesta: 18 6. Dos reconocidas firmas consultoras “A” y “B” encargadas del diseño de viviendas unifamiliares ofrecen a sus clientes la opción de elegir el conjunto de profesionales que actuaran en el diseño de la vivienda deseada, la consultoría A cuenta con 7 arquitectos, 5 ingenieros estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultoría “B” cuenta con 8 arquitectos, 4 ingenieros estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los encargados del diseño de una vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero estructural y un ingeniero de suelos ¿Cuántos grupos diferentes de profesionales una familia podrá elegir teniendo en cuenta que todos los profesionales deben pertenecer a la misma firma consultora? Respuesta: 166 7. Cierto comité de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comité se premia la puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas quedando dos de los integrantes de pie los cuales son los últimos en llegar a) ¿De cuántas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comité?

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b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres ¿De cuantas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre – mujer y las mujeres deben ir en los lugares pares? Respuesta: a) 2520 b) 144 8. Una mano de póker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52 cartas. a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la probabilidad de sacar los 4 aces Respuestas: 1/6350135559600.

9. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas sucesivamente calcular la probabilidad de obtener: a) Dos balotas negras. b) Una balota roja y una azul. c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro. d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada color. Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143 10. A un ingeniero encargado del diseño de los parqueaderos de un edificio de oficinas el cliente le indica que requiere de 8 parqueaderos para los automóviles de la empresa. Los automóviles dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet. a) Suponga que por cuestiones de estética los autos de la misma marca deberán quedar juntos ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles? b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos más altos de la empresa los cuales deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas pueden quedar en cualquier orden ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones? c) Por capricho del cliente la posición de los Mercedes Benz deberán ser { } las } y los Chevrolet { } ¿Cuántas formas posibles posiciones de los BMW serán { existen para parquear estos automóviles en tales condiciones? Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72 11. Una mano de póker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de 52 cartas. Determine la probabilidad de obtener. a) Full: Tres cartas con la misma numeración y otros dos con misma numeración.

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b) Escalera: Cinco cartas con numeración consecutiva (El as puede ir al comienzo o al final). c) Póker. Cuatro cartas con la misma numeración. d) Obtener los cuatro ases presentes en la baraja. e) Obtener cinco cartas de corazones. Respuesta: a)

b)

c)

d)

e)

12. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres japoneses cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comité de cuatro calcule la probabilidad de que: a) Todas las nacionalidades estén representadas. b) Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos. c) Todos los miembros del comité son italianos. d) A lo más dos miembros del comité son italianos. e) A lo sumo dos miembros sean japoneses. f) A lo menos un miembro del comité sea alemán. Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33 13. Un estudiante de ingeniería desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son de matemáticas 5 de física y 2 de química calcular a) El número de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros. b) El número de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben quedar seguidos. c) El número de ubicaciones posibles si únicamente los libros de matemáticas deben quedar seguidos. d) El número de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemáticas jamás deben quedar seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos). Respuesta: a) 39916800 b) 34560 c) 967680 d) 38949120 14. Un ingeniero residente en la construcción de un reconocido intercambiador cuenta con 11 ayudantes la tarea del día consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundición de un muro de contención ¿De cuantas formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas? Respuesta: 462

15. En una urna se dispone de 8 balotas blancas, 5 negras, 6 azules y 7 Rojas. Si se extraen cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular

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a) La probabilidad de obtener 2 blancas y 2 Negras. b) La probabilidad de obtener cuatro balotas del mismo color. Respuesta: a)

b)

Ejercicio 2.6. La urna A contiene 8 bolas rojas 5 azules en tanto que la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 azules. a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor o igual que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se saco y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color. c) Teniendo en cuenta el numeral a y b, ¿Cuál es la probabilidad de extraer en el orden una bola roja y luego una bola azul? Solución: Para la solución se emplea el diagrama de árbol que se observa en la figura, en donde debe tenerse en cuenta que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un nodo dede ser uno. Efectuando las opresiones necesarias se tiene que: a) ( ) b) ( ) c) ( )

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Figura: Diagrama de árbol para la solución del ejercicio 2.6

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EJERCICIOS PROBABILIDAD CONDICIONAL 1. En una encuesta que tiene por objeto estudiar el número de estudiantes de cierta universidad que ejercitan su cuerpo teniendo en cuenta si es hombre o mujer, se entrevistan a 145 mujeres y a 163 hombres donde se obtienen los siguientes resultados. Ejercitan su cuerpo Si No Hombres 11 152 Mujeres 25 120

Si se elige a un estudiante al azar calcule: a) b) c) d) e)

La probabilidad de que sea mujer. La probabilidad de que no ejercite su cuerpo. Si el estudiante resulta ser hombre calcule la probabilidad de que ejercite su cuerpo. Si se sabe que el estudiante ejercita su cuerpo calcule la probabilidad de que sea mujer. Se entrevista nuevamente al estudiante elegido resultando que no ejercita su cuerpo ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

Respuesta: a)

b)

c)

d)

e)

.

2. Cierto estudiante de ingeniería realiza un trayecto todos los días desde su casa hasta la universidad donde recibe clases. Suponga los eventos { } { } Con probabilidades de ocurrencia ( ) ( ) ( ) a) Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo. b) Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo y llegue a tiempo. c) Calcule la probabilidad de que el estudiante no salga a tiempo ni tampoco llegue a tiempo. d) Cierto día el estudiante llega a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante haya salido a tiempo. e) Cierto día el estudiante sale de su casa tarde. Calcule la probabilidad de que llegue a tiempo. f) Cierto día el estudiante sale a tiempo. Calcule la probabilidad de que llegue tarde. Respuesta: a)

b)

c)

d)

e)

f)

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3. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de obtención. Calcular la probabilidad de: a) Obtener tres caras. b) Obtener una cara y dos sellos. c) Obtener tres caras o tres sellos. d) Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4. 4. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U 2 contiene 7 blancas, 6 negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de una urna, la probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de elegir la urna U2 es del 1/4. Calcular la probabilidad de. a) Obtener dos balotas blancas. b) Una balota blanca y una balota azul. c) Obtener dos balotas del mismo color. d) Obtener una balota de un color y otra de otro color. Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) . 5. En un experimento estadístico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento consiste en lanzar el dado si el numero obtenido es par se lanza dos veces la moneda, si el número es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de: a) Obtener únicamente caras como resultado en la moneda. b) Obtener a lo menos dos caras. c) Obtener únicamente caras o sellos como resultado en la moneda. d) Obtener un número impar en el dado y dos sellos en la moneda. Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16. 6. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y ocho azules. d) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. e) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sacó y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer en esta ocasión una bola azul Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485. 7. A un examen de estadística se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes. Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres. Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres. Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander

Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones. Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones. Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13. a) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C? b) Si se selecciona un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un varón? c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varón ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo C? Respuesta: a) b) 3/4 c) 16/75. 8. Una red de energía eléctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la historia muestra que la probabilidad de apagón es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y de 2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga en dos o más subestaciones de manera simultánea origina apagones en 5% de los casos, durante una onda cálida hay 60% de posibilidades que solo la subestación A experimente una sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%, respectivamente. Si en una onda cálida especifica tuvo lugar un apagón debido a sobrecarga. a) Calcule la probabilidad de que haya habido sobrecarga en A o en C b) Encuentre la probabilidad de que haya habido sobrecarga en dos o más subestaciones al mismo tiempo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra apagón? Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017. 9. En una estación de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35% usan gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50% llenan sus tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus tanques. El 53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el tanque? b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina? c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra ¿cuál es la probabilidad llene el tanque? Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000. 10. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8% de los individuos aptos quedan erróneamente descalificados por haber reprobado, mientras que el 12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por equivocación. Suponga que todos los que pasan son contratados.

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a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que lo son. b) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es el porcentaje de aspirantes aptos que no aprueban el examen? c) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen psicológico arroje un resultado erróneo? Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030. 11. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y la probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1. a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione? Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220. 12. La contaminación de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo humano: { } {

}

{

}

Donde, ( )

( | ) ( |

)

( | ) ( |

)

( | ( |

) )

a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, un análisis en la muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. b) Calcule la probabilidad de que un análisis de una muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua para el consumo humano c) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, pero no se permite el suministro de agua potable para la población. d) Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminación, dado que un análisis de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. e) Cuál es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación. Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565.

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13. Una urna U1 contiene 3 bolas azules y 4 rojas, una urna U2 6 bolas azules y 8 rojas. Se lanza un par de dados si el numero obtenido de la suma de los dos puntajes es múltiplo de tres se extraen dos bolas de la urna U1, si es múltiplo de cinco se extraen dos bolas de la urna U2 y en cualquier otro caso se extrae una bola de la urna U1 y luego una bola de la urna U2, las dos bolas extraídas según las condiciones anteriores son depositadas en la urna U1. Finalmente se extrae una bola de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas). a) Calcular la probabilidad de obtener bolas producto de las tres extracciones en el orden: roja, azul, roja. b) Calcular la probabilidad de obtener una bola roja en la extracción de la urna U 1 (cuando ya han sido depositadas los dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas). Respuesta: a)

b)

14. En la urna U1 hay 9 bolas blancas y 7 negras, en la urna U2 hay 7 bolas blancas 5 negras y 8 rojas, en la urna U3 hay 4 bolas blancas y 12 negras. Se extrae una bola de la urna U 1 luego una bola de la urna U2 y finalmente una bola de la urna U3 obteniendo así 3 bolas que se depositan en una urna U4 y se extrae una bola de la urna U4. a) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca cuando se extrae la bola de la urna U4. b) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca en la urna U 1, una bola roja en la urna U2, una bola negra en la urna U3 y una bola blanca en la urna U4 c) Calcule la probabilidad de que las bolas extraídas de las urnas U 1, U2 y U3 sean del mismo color. Respuesta: a)

b)

c)

15. Cierto organismo gubernamental emplea a tres empresas consultoras (A,B y C) con probabilidades de 0.110, 0.350 y 0.250, respectivamente. De la experiencia pasada se sabe que las probabilidades de excesos en costos de las empresas son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente y de otras empresas es de 0.12. En cierto ajuste de cuentas el organismo gubernamental experimenta un exceso en los costos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la compañía C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada no sea la empresa B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el organismo gubernamental no experimente sobrecostos? Respuesta: a)

b)

c)

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