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Apuntes de Ecuaciones diferenciales Badajoz, 8 de abril de 2014

D=

∂ ∂x1

Dpto. de Matem´aticas. Univ. de Extremadura

´Indice general I

Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial 1.1. Conceptos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El haz de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . 1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente . . . . . . . . . 1.4. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Campos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Campo tangente a soporte. . . . . . . . . . . 1.4.3. Campo a soporte universal. . . . . . . . . . . 1.5. Espacio cotangente. La diferencial . . . . . . . . . . 1.5.1. Interpretaci´ on geom´etrica de la diferencial. . 1.5.2. Fibrado cotangente. . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Uno formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Campos gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Cambio de coordenadas. . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Ecuaciones diferenciales no aut´onomas. . . . 1.8.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. . 1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . 1.9.1. Problemas Geom´etricos . . . . . . . . . . . . 1.9.2. Problemas Qu´ımicos. Desintegraci´on. . . . . . 1.9.3. Problemas Biol´ ogicos. . . . . . . . . . . . . . 1.9.4. Problemas F´ısicos. . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.5. Problemas Arquitect´ onicos. La catenaria. . . 1.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 6 12 17 17 22 24 25 26 27 28 31 32 36 37 38 39 40 40 41 44 45 53 61 69

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´ INDICE GENERAL

2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales 2.1. Grupo uniparam´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Existencia de soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Aplicaciones Lipchicianas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Unicidad de soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Grupo Uniparam´etrico de un campo . . . . . . . . . . 2.6. Grupo Unip. de campos subidos . . . . . . . . . . . . . 2.7. Diferenciabilidad del grupo unip. . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Clasificaci´ on local de campos no singulares. . . 2.8. Campos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Corchete de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . 2.10. Derivada de Lie de campos tangentes . . . . . . . . . . 2.11. M´etodo de Lie para resolver ED . . . . . . . . . . . . . 2.12. Ap´endice. La tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . .

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71 71 75 78 82 84 89 92 96 98 102 104 109 116 125 138

3. Campos tensoriales en un espacio vectorial 3.1. Tensores en un m´ odulo libre . . . . . . . . . . . 3.2. Campos tensoriales en Rn . . . . . . . . . . . . 3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial . . . . . 3.4. Campos tensoriales Covariantes . . . . . . . . . 3.5. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . 3.6. El Lema de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Aplicaci´ on. Factores de integraci´ on . . . . . . . 3.8. Ejemplos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Tensor m´etrico del espacio eucl´ıdeo. . . 3.8.2. Divergencia, rotacional y gradiente. . . . 3.8.3. Interpretaci´ on geom´etrica del rotacional. 3.8.4. Tensores de torsi´ on y de curvatura. . . . 3.8.5. Tensores de una variedad Riemanniana. 3.8.6. El tensor de inercia. . . . . . . . . . . . 3.8.7. Movimiento de un s´ olido r´ıgido. . . . . . 3.8.8. La fuerza de coriolis. . . . . . . . . . . . 3.8.9. El tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . 3.8.10. El tensor de deformaci´ on. . . . . . . . . 3.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . .

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143 143 147 148 152 159 163 166 170 170 172 174 177 178 181 183 189 190 191 195 203

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´ INDICE GENERAL

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4. Campos tangentes lineales 4.1. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . 4.2. Existencia y unicidad de soluci´ on . . . . . . . . 4.3. Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . 4.3.1. El sistema homog´eneo. . . . . . . . . . . 4.3.2. El sistema no homog´eneo. . . . . . . . . 4.4. Reducci´ on de una EDL . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . 4.6. EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . 4.7. Clasificaci´ on de campos lineales . . . . . . . . . 4.8. EDL con coeficientes peri´ odicos . . . . . . . . . 4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes . . 4.9.1. Caso homog´eneo. . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Caso no homog´eneo. . . . . . . . . . . . 4.10. EDL de orden n. Wronskiano . . . . . . . . . . 4.10.1. Ecuaci´ on de Euler. . . . . . . . . . . . . 4.11. EDL de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1. Ecuaci´ on de Riccati. . . . . . . . . . . . 4.12. Otros m´etodos para resolver EDL . . . . . . . . 4.12.1. M´etodo de las potencias. . . . . . . . . . 4.12.2. M´etodo de Frobenius de las potencias. . 4.12.3. M´etodo de la transformada de Laplace. 4.13. La Ecuaci´ on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Algunas EDL de la F´ısica . . . . . . . . . . . . 4.14.1. Problemas de mezclas. . . . . . . . . . . 4.14.2. Problemas de muelles. . . . . . . . . . . 4.14.3. Problemas de circuitos el´ectricos. . . . . 4.14.4. Las leyes de Kepler. . . . . . . . . . . . 4.15. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . .

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205 205 209 213 214 219 220 222 225 229 231 233 234 236 237 239 240 242 245 245 246 247 248 252 253 253 262 265 270 274

5. Estabilidad 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Linealizaci´ on en un punto singular . . . . 5.3. Estabilidad de puntos singulares . . . . . 5.4. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . 5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Sistemas tipo “depredador–presa”. 5.5.2. Especies en competencia. . . . . . 5.5.3. Aplicaci´ on en Mec´ anica cl´ asica. . .

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277 277 278 280 288 291 291 294 294

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´ INDICE GENERAL 5.6. Clasificaci´ on topol. de las ED lineales 5.7. Teorema de resonancia de Poincar´e . . 5.8. Cuenca de un sumidero . . . . . . . . 5.9. La aplicaci´ on de Poincar´e . . . . . . . 5.10. Estabilidad de ´ orbitas c´ıclicas . . . . . 5.11. El Teorema de Poincar´e–Bendixson . . 5.12. Estabilidad de ´ orbitas en el plano . . . 5.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . 5.14. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . .

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Ecuaciones en derivadas parciales

6. Sistemas de Pfaff 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones . . . . . . . . . . 6.2.1. Sistemas de Pfaff. . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. El sistema caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. El Teorema de la Proyecci´ on . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Campos tangentes verticales . . . . . . . . . . 6.4.2. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . . . . 6.5. El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. M´etodo de Natani. . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. 1–formas homog´eneas. . . . . . . . . . . . . . 6.6. Aplicaci´ on: Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Funciones especiales del fibrado tangente. . . 6.6.2. Variedad con conexi´ on. Distribuci´on asociada. 6.7. Aplicaci´ on: Termodin´ amica . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Aplicaci´ on: Clasificaci´ on de formas . . . . . . . . . . 6.8.1. Clasificaci´ on de 1–formas . . . . . . . . . . . 6.8.2. Clasificaci´ on de 2–formas. . . . . . . . . . . . 6.9. Variedades simpl´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1. Campos Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . 6.9.2. El Fibrado Cotangente. . . . . . . . . . . . . 6.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 . . . 6.9.4. Fibrado tangente de una var.Riemanniana. . 6.9.5. Mec´ anica Hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . 6.10. Ap´endice: Variedades diferenciables . . . . . . . . . . 6.10.1. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . .

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297 303 308 311 316 320 324 327 332

335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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337 337 341 341 342 345 349 349 349 357 366 367 369 369 370 374 382 382 389 391 391 396 397 398 399 422 425

´ INDICE GENERAL

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6.10.2. Inmersiones locales, subvariedades . . . . . . 6.10.3. Variedades integrales m´ aximas . . . . . . . . 6.10.4. Otra demostraci´ on del Teorema de Frobenius 6.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . .

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428 429 433 436 444

7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 7.1. Definici´ on cl´ asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. El cono de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. EDP cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Ejemplo: Tr´ afico en una autopista. . . . . . . 7.3.2. Ejemplo: Central telef´ onica. . . . . . . . . . . 7.3.3. Ejemplo: El Proceso de Poisson. . . . . . . . 7.3.4. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. . 7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP . . . . . . . . . 7.4.1. Campo caracter´ıstico. . . . . . . . . . . . . . 7.5. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . 7.5.1. Dimensi´ on de una subvariedad soluci´on. . . . 7.5.2. Existencia de soluci´ on. . . . . . . . . . . . . . 7.5.3. El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . 7.6. M´etodos para resolver una EDP . . . . . . . . . . . 7.6.1. M´etodo de las caracter´ısticas de Cauchy . . . 7.6.2. M´etodo de la Proyecci´ on. Integral completa . 7.6.3. M´etodo de Lagrange–Charpit. . . . . . . . . . 7.7. M´etodo de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Envolvente de una familia de superficies. . . . 7.7.2. Envolvente de una familia de hipersuperficies. 7.7.3. M´etodo de la envolvente. . . . . . . . . . . . 7.7.4. Soluci´ on singular. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Definici´ on intr´ınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1. M´etodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.2. Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi. . . . . . . . . 7.9.3. Geod´esicas de una variedad Riemanniana. . . 7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones . . . . . . . . . 7.10.1. Ecuaciones de Euler–Lagrange. . . . . . . . . 7.10.2. Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton. . 7.10.3. Ap´endice. La ecuaci´ on de Schr¨odinger . . . . 7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ether . . . . . . . . . . 7.11.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . .

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447 447 449 453 454 455 457 458 461 461 464 465 467 469 472 472 474 477 478 478 482 484 486 489 491 492 495 498 507 508 519 522 524 524

vi

´ INDICE GENERAL 7.11.2. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud . . . . . . . 7.11.3. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . 7.11.4. Curvas de m´ınima acci´ on y geod´esicas . . . . . . 7.11.5. El Teorema de No¨ether. . . . . . . . . . . . . . . 7.12. C´ alculo de variaciones en Jets . . . . . . . . . . . . . . . 7.12.1. Jets de aplicaciones diferenciables . . . . . . . . 7.12.2. Distribuci´ on can´ onica . . . . . . . . . . . . . . . 7.13. Ap´endice. El Campo geod´esico . . . . . . . . . . . . . . 7.13.1. Subidas can´ onicas de un campo tangente. . . . . 7.13.2. Variedad con conexi´ on. Campo geod´esico. . . . . 7.13.3. Campo geod´esico en una variedad Riemanniana. 7.13.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.14. Ap´endice. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . ´ 7.15. Ap´endice. Optica geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 7.15.1. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15.2. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 7.15.3. Ovalo de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15.4. Propiedad de refracci´ on de las elipses . . . . . . 7.15.5. Propiedades de reflexi´ on de las elipses . . . . . . 7.15.6. Trayectoria en un medio de ´ındice variable . . . . 7.16. Ap´endice. Envolventes y c´ austicas . . . . . . . . . . . . 7.17. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.18. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on 8.1. Definici´ on cl´ asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . 8.2.1. Corchete de Lie de operadores lineales. . . . . 8.2.2. Restricci´ on de un ODL. . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Expresi´ on en coordenadas de un ODL. . . . . 8.2.4. Caracterizaci´ on del Operador de LaPlace . . 8.2.5. Derivada de Lie de un ODL . . . . . . . . . . 8.3. El s´ımbolo de un ODL . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on . . . . . . . . . 8.4.1. Operadores diferenciales lineales hiperb´olicos. 8.4.2. Operadores diferenciales lineales parab´olicos. 8.4.3. Campos y 1–formas complejas. . . . . . . . . 8.4.4. Operadores diferenciales lineales el´ıpticos. . . 8.5. ODL de orden 2 en Rn . Clasificaci´ on . . . . . . . . . 8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on . . . . . . . . .

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530 533 534 536 543 543 544 552 552 555 557 559 562 564 564 564 566 567 570 570 572 576 604

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609 609 613 613 615 616 621 623 624 627 628 629 631 634 639 642

´ INDICE GENERAL

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8.6.1. ODL asociado a una soluci´ on de una EDP. . . . . 8.6.2. Reducci´ on a forma can´ onica. Caso hiperb´olico de una EDP cuasi–lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3. Reducci´ on a forma can´ onica. Caso hiperb´olico de una EDP de tipo general. . . . . . . . . . . . . . . 8.6.4. Reducci´ on a forma can´ onica. Caso el´ıptico. . . . . 8.7. Clasificaci´ on de sistemas de EDP . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1. Reducci´ on a forma diagonal de sistemas lineales hiperb´ olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2. Reducci´ on a forma diagonal de sistemas cuasi– lineales hiperb´ olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Ap´endice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1. Transformada de Legendre. . . . . . . . . . . . . . 8.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. El problema de Cauchy 9.1. Sistemas de EDP de primer orden . . . . . . . . 9.2. Curvas caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Propagaci´ on de singularidades. . . . . . . 9.3. Funciones anal´ıticas reales . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Series m´ ultiples. . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Series m´ ultiples de funciones. . . . . . . . 9.4. Funciones anal´ıticas complejas . . . . . . . . . . 9.4.1. Las ecuaciones de Cauchy–Riemann. . . . 9.4.2. F´ ormula integral de Cauchy. . . . . . . . . 9.4.3. Funciones anal´ıticas n–dimensionales. . . 9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski . . . . . . . . 9.6. EDP de tipo hiperb´ olico . . . . . . . . . . . . . . 9.7. M´etodo de las aprox. sucesivas . . . . . . . . . . 9.7.1. Existencia de soluci´ on. . . . . . . . . . . . 9.7.2. Unicidad de soluci´ on. . . . . . . . . . . . 9.7.3. Dependencia de las condiciones iniciales. . 9.7.4. El problema de Goursat. . . . . . . . . . . 9.7.5. El problema de valor inicial caracter´ıstico. 9.8. Sistemas hiperb´ olicos . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9. La funci´ on de Riemann–Green . . . . . . . . . . 9.9.1. Operador diferencial lineal adjunto. . . . 9.9.2. ODL adjuntos en el plano. . . . . . . . . .

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642 645 650 656 660 663 663 665 665 669 677 679 679 684 685 688 688 689 690 698 698 701 704 704 709 713 714 718 720 723 724 725 732 732 735

viii

´ INDICE GENERAL 9.9.3. El m´etodo de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . 736 9.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 9.11. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

10.La Ecuaci´ on de Laplace 10.1. Funciones arm´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Funciones arm´ onicas en el plano . . . . . . . . . . 10.2.1. Funciones arm´ onicas en variables separadas. 10.2.2. Funciones arm´ onicas y funciones anal´ıticas. 10.2.3. Transformaciones conformes. . . . . . . . . 10.3. Transformaciones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1. Traslaciones, giros y homotecias. . . . . . . 10.3.2. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . 10.3.3. Inversiones respecto de esferas. . . . . . . . 10.3.4. Transformaciones en general. . . . . . . . . 10.4. Potenciales gravitatorio y el´ectrico. . . . . . . . . . 10.4.1. Potencial Newtoniano. . . . . . . . . . . . . 10.4.2. Potencial electrost´ atico. . . . . . . . . . . . 10.4.3. Potencial superficial simple. . . . . . . . . . 10.4.4. Potencial superficial de doble capa. . . . . . 10.4.5. Ecuaci´ on de Poisson. . . . . . . . . . . . . . 10.4.6. Otros posibles potenciales. . . . . . . . . . . 10.5. Los 3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Principio del m´ aximo. Unicidad. . . . . . . 10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos . . . . . . . . . . 10.6.1. Problema Dirichlet en un rect´ angulo . . . . 10.6.2. Problema de Dirichlet en un disco . . . . . 10.6.3. F´ ormula integral de Poisson. . . . . . . . . 10.6.4. Polinomios de Tchebycheff. . . . . . . . . . 10.6.5. Problema de Dirichlet en la esfera . . . . . 10.6.6. La Ecuaci´ on de Legendre. . . . . . . . . . . 10.7. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1. Identidades de Green. . . . . . . . . . . . . 10.7.2. Unicidad de soluci´ on en PVF . . . . . . . . 10.7.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 10.7.4. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . 10.7.5. Rec´ıproco del Teorema del valor medio . . . 10.7.6. Regularidad de las funciones arm´onicas . . 10.7.7. Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Arm´ onicos esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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753 753 755 755 757 759 763 763 764 765 769 774 775 776 783 786 787 796 797 798 801 801 804 806 809 812 813 817 818 819 820 822 824 827 829 831

´ INDICE GENERAL

ix

10.9. Principio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 10.10.Introducci´ on a las distribuciones . . . . . . . . . 10.10.1.M´etodo de la funci´ on de Green . . . . . . 10.11.El m´etodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11.1.Funciones subarm´ onicas . . . . . . . . . . 10.11.2.Sucesiones de funciones arm´ onicas . . . . 10.11.3.Problema Dirichlet. Existencia de soluci´on 10.11.4.Funciones barrera . . . . . . . . . . . . . 10.12.Teorema de la aplicaci´ on de Riemann . . . . . . 10.13.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14.Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . .

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833 835 838 849 849 855 856 858 862 867 875

11.La Ecuaci´ on de ondas 11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional . . . . . . . . 11.1.1. Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Soluci´ on de D’Alembert. . . . . . . . . . . . . 11.1.3. Energ´ıa de la cuerda. . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Unicidad de soluci´ on de la ecuaci´on de ondas. 11.1.5. Aplicaciones a la m´ usica. . . . . . . . . . . . 11.2. La Ecuaci´ on de ondas bidimensional. . . . . . . . . . 11.2.1. Soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas. . . . . . . . 11.3. La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional. . . . . . . . . 11.3.1. La desigualdad del dominio de dependencia. . 11.3.2. Unicidad de soluci´ on. . . . . . . . . . . . . . 11.3.3. Ecuaci´ on de ondas en regiones con frontera. . 11.3.4. El m´etodo de separaci´ on de variables. . . . . 11.4. El m´etodo del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1. La F´ ormula de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . 11.4.2. El m´etodo del descenso. . . . . . . . . . . . . 11.4.3. El principio de Huygens. . . . . . . . . . . . . 11.5. Ecuaci´ on de Poisson Dalambertiana . . . . . . . . . 11.6. La Ecuaci´ on de Schr¨ odinger. . . . . . . . . . . . . . .

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879 879 881 884 888 890 890 892 895 898 898 902 904 905 908 908 913 916 917 920

12.Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo 12.1. Espacio Euclideo . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Espacio de Minkowski. Relatividad especial 12.3. D’Alembertiano . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1. Gradiente y divergencia . . . . . . . 12.3.2. D’Alembertiano y codiferencial . . . 12.4. Campo electromagn´etico . . . . . . . . . . .

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925 925 927 929 929 930 933

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x

´ INDICE GENERAL 12.4.1. Vector impulso . . . . . 12.4.2. Forma de carga . . . . . 12.4.3. Ecuaciones de Maxwell . 12.5. Ecuaci´ on de ondas . . . . . . . 12.5.1. Energ´ıa de una onda . . 12.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . 12.7. Bibliograf´ıa y comentarios . . .

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935 937 938 942 942 944 946

13.La Ecuaci´ on del calor 13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional . . . . . . . . 13.1.1. El principio del m´ aximo. . . . . . . . . . . . 13.1.2. Soluci´ on general. . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3. Soluciones con condiciones inicial y frontera 13.1.4. El problema de valor inicial. . . . . . . . . . 13.2. La Ecuaci´ on del calor n–dimensional. . . . . . . . . 13.2.1. Caso bidimensional. Planteamiento. . . . . 13.2.2. El m´etodo de separaci´ on de variables. . . . 13.2.3. Caso bidimensional. Algunas soluciones. . . 13.2.4. Caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Bibliograf´ıa y comentarios . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . dadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

949 949 952 955 955 968 974 974 975 976 978 979 981

14.Integraci´ on en variedades 14.1. Orientaci´ on sobre una variedad . . . . . . . . . . . 14.2. Integraci´ on en una variedad orientada . . . . . . . 14.3. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Integraci´ on en var. Riemannianas . . . . . . . . . . 14.6. Aplicaciones a la F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . 14.6.1. Interpretaci´ on f´ısica de la integral compleja 14.7. La definici´ on de Gauss de la curvatura . . . . . . . 14.8. El operador de Laplace–Beltrami . . . . . . . . . . 14.8.1. El operador ∗ de Hodge. . . . . . . . . . . . 14.8.2. El operador de Laplace–Beltrami . . . . . .

. . . . . . . . . . .

983 983 986 990 994 999 1001 1004 1006 1007 1007 1011

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

15.Variedades complejas 1021 15.1. Estructuras casi–complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 15.1.1. Campos y 1–formas complejas . . . . . . . . . . . 1025 15.1.2. Integrabilidad de una estructura casi–compleja . . 1028

´Indice de figuras 1.1. Gr´ afica de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Campo de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. F lleva el campo D al campo E . . . . . . . . . . . 1.5. Gr´ aficas de f y dx f en R . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Gr´ aficas de f y dx f en R2 . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Plano tangente a una superficie . . . . . . . . . . . 1.8. Gradiente de x2 + y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Parciales de las coordenadas cartesianas y polares. 1.10. Curva integral de D . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Desintegraci´ on del C 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. P´endulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. Curvas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16. Catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17. Fuerzas horizontal y vertical en la catenaria. . . . . 1.18. Arco de catenaria dado la vuelta. . . . . . . . . . . 1.19. Fuerzas que act´ uan en el arco AB . . . . . . . . . 1.20. Arco de catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.21. Tractriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.23. Columpio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 16 17 21 26 26 27 31 34 36 40 42 47 49 50 54 54 57 57 58 65 67 68

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

. . . . .

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97 98 116 118 119

Teorema del flujo . . . . . . ´ Orbitas de D y de f D . . . Tractriz . . . . . . . . . . . La tractriz y la exponencial Cicloide . . . . . . . . . . .

xi

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´ INDICE DE FIGURAS

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2.6. Campo para λ = 1 y λ ≈ ∞ . . . . . . . . . . . 2.7. Campos Dλ y curva sen x. . . . . . . . . . . . . 2.8. Gr´ afica de f y plano z = 0. . . . . . . . . . . . 2.9. El campo apunta hacia el interior de la regi´on. 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Curvas σλ para λ = 00 1, 1, 2 y 10000 . . . . . . 2.12. Cisterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Caso n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Caso cte = λ = 1, por tanto α = π/4. . . . . . . 2.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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120 120 121 122 123 123 132 134 136 137

3.1. ds en el plano (ver la Fig.1.9, p´ ag.34). . . . 3.2. Incrementos de x, y, ρ, θ y s en una curva. . 3.3. Traslaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Giro G y dilataci´ on de ejes ui , Lui = µi ui . 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Recta de velocidad m´ınima . . . . . . . . . 3.7. Rueda cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. a12 = a21 , a31 = a13 y a23 = a32 . . . . . . . 3.11. Curvas para las que OA = OB . . . . . . . 3.12. Par´ abola y elipse. . . . . . . . . . . . . . . .

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171 172 176 176 186 186 187 187 190 191 196 198

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Muelle . . . . . . . . . . Pulsaci´ on . . . . . . . . Resonancia . . . . . . . Circuito el´ectrico . . . . Part´ıcula en movimiento Segunda Ley de Kepler . 1 a Ley de Kepler . . . .

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253 258 259 263 265 266 267

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

Casos a > 0 y b < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Secci´ on local . . . . . . . . . . . . . La ´ orbita de p se aproxima a γ en x Aplicaci´ on de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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284 295 300 312 312 316 318 321

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´ INDICE DE FIGURAS 5.9.

xiii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

6.1. Sistema de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 6.2. Distribuci´ on < D1p , D2p >= {ωp = 0} . . . . . . . . . . . 338 6.3. Superficie {z = f (x, y)} tangente a los planos. . . . . . . . 339 6.4. Interpretaci´ on geom´etrica de DL ∆ ⊂ ∆ . . . . . . . . . . 348 6.5. Interpretaci´ on geom´etrica de D ∈ ∆ y DL ∆ ⊂ ∆ . . . . . 348 6.6. Sistema de Pfaff proyectable . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 6.7. < D >= Dπ ⊂ D[P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 6.9. Distribuciones asociadas a P, P 0 y P 00 . . . . . . . . . . . 353 6.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 6.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 6.12. Transformaci´ on simpl´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 6.13. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 6.14. Plano del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.15. Vector de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 6.16. Haz de c´ onicas con foco el origen: Izqda. ρ = ex+p. Dcha. ρ = −ex + p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 6.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 6.18. Velocidades en trayectorias el´ıptica, parab´olica e hiperb´olica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 6.19. Hod´ ografas correspondientes a elipse, par´abola e hip´erbola.410 6.20. Propiedad de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 6.21. Posiciones de las masas M y m. . . . . . . . . . . . . . . . 412 6.22. Puntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 6.23. Curvas de nivel de v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 6.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 6.25. Helicoide, z = θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 7.1. Cono de Monge . . . . . . . 7.2. Conos de Monge . . . . . . 7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Construcci´ on de Sk . . . . . 7.5. Curva de datos iniciales . . 7.6. Envolvente de las esferas . . 7.7. trayectorias bala ca˜ n´ on . . . 7.8. ruido de un avi´ on . . . . . . 7.9. Envolvente de las esferas . . 7.10. Envolvente pasando por Sk

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450 451 452 467 471 479 479 480 481 484

xiv

´ INDICE DE FIGURAS 7.11. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 7.12. Curva de m´ınimo tiempo de A a B. . . . . . . . . . . . . . 512 7.13. La braquist´ ocrona (dcha.) es la cicloide invertida. . . . . . 515 7.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 7.15. La evolvente de la cicloide es la cicloide . . . . . . . . . . 517 7.16. P´endulo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 7.17. Refracci´ on y reflexi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 7.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 7.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 ´ 7.20. Ovalo de Descartes. Refracci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 566 7.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 7.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 7.23. Refracci´ on Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 7.24. Refracci´ on Elipse Metacrilato (n = 1, 49, e = 1/n = 0, 671).569 7.25. Refracci´ on Elipsoide de revoluci´ on . . . . . . . . . . . . . 570 7.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 7.27. C´ austica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 7.28. La caustica es la epicicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 7.29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 7.30. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 7.31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 7.32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 7.33. Envolvente de los segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . 590 7.34. Catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 7.35. Catenarias que pasan por (1, 0) . . . . . . . . . . . . . . . 599 7.36. La catenoide de la derecha es la de m´ınima area . . . . . . 600 7.37. La catenoide tiene curvatura media nula en todo punto . . 600 8.1. Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 9.1. Dominio de dependencia 9.2. . . . . . . . . . . . . . . 9.3. . . . . . . . . . . . . . . 9.4. . . . . . . . . . . . . . . 9.5. . . . . . . . . . . . . . .

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710 715 727 728 740

10.1. log ρ, ρ2 , ρ−2 , cos(log ρ). 10.2. θ, sen θ, eθ , e−θ . . . . . . 10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Inversi´ on . . . . . . . . . . . . . .

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756 756 762 765

´ INDICE DE FIGURAS

xv

10.5. Fuerza gravitacional producida por una masa M . . . . . 775 10.6. Fuerza electrost´ atica producida por una carga q . . . . . . 777 10.7. Flujo a trav´es de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 10.8. Flujo a trav´es de una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . 780 10.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 10.10.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 10.11.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 10.12.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 10.13.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823 b = cd b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868 ´ 10.14.Angulos ab 10.15.La proy. ester. conserva ´ angulos. . . . . . . . . . . . . . . 868 10.16.La proy. ester. lleva circunferencias pasando por P en rectas.868 10.17.La proy. ester. lleva circunferencias en circunferencias. . . 869 10.18.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 10.19.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 10.20.Esfera hueca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870 11.1. cuerda vibrante . . . . . . . . 11.2. Posici´ on inicial . . . . . . . . 11.3. Ondas viajeras . . . . . . . . 11.4. Fuerzas sobre una membrana 11.5. Membrana vibrante . . . . . . 11.6. cono caracter´ıstico . . . . . . 11.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8. Frentes delantero y trasero . .

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880 885 886 892 893 899 916 917

13.1. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Calor que entra en I . . . . . . . . . . . 13.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Dominio del problema (hacia el pasado) 13.5. Difusi´ on del calor en una placa . . . . .

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950 951 952 960 974

14.1. flujo de D a trav´es de S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 14.2. Plan´ımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016

xvi

´ INDICE DE FIGURAS

Parte I

Ecuaciones diferenciales ordinarias

xvii

Tema 1

La estructura diferenciable de un espacio vectorial

1.1.

Conceptos b´ asicos

Por E entenderemos un R–espacio vectorial de dimensi´on finita n, dotado de la estructura topol´ ogica usual. A veces tambi´en consideraremos en E una norma, siendo indiferente en la mayor´ıa de los resultados cual es la que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en E. Por Rn n entenderemos el espacio vectorial real R × · · · × R. Dados dos espacios vectoriales E1 y E2 denotaremos con L(E1 , E2 ) el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E1 en E2 . Con E ∗ denotaremos el espacio vectorial dual de E, es decir L(E, R). Con C(E) denotaremos la R–´ algebra de las funciones continuas en E y con C(U ) las continuas en el abierto U de E. Con P(E) denotaremos la R–´ algebra de los polinomios en E, es decir la sub–R–´algebra de C(E) generada por E ∗ .

1

2

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Elegir una base ei en E equivale a elegir una base xi ∈ E ∗ . En cuyo caso tenemos la identificaci´ on n

E −−→ R ,

n X

ai ei −→ (a1 , . . . , an ),

i=1

y las xi forman un sistema de coordenadas lineales asociado a las ei de la forma X
xi : E −−→ R , xi aj ej = ai . A menudo consideraremos sistemas de coordenadas lineales xi y sobrentenderemos su base dual ei correspondiente. Diremos que el espacio vectorial E es euclideo si tiene definido un producto interior < , >, en cuyo caso consideraremos la norma k x k2 =

√

< x, x >,

y eligiendo una base ei ortonormal, es decir tal que < ei , ej >= δij , y su sistema xi de coordenadas lineales asociado, tendremos que dados a, b ∈ E tales que xi (a) = ai y xi (b) = bi < a, b >= a1 b1 + · · · + an bn . Definici´ on. Sean E1 y E2 espacios vectoriales reales, U un abierto de E1 y V uno de E2 . Diremos que F : U −→ V es diferenciable en x ∈ U si existe una aplicaci´ on lineal Fx0 ∈ L(E1 , E2 ), tal que k F (x + h) − F (x) − Fx0 (h) k = 0. khk khk→0 l´ım

Diremos que F es diferenciable si lo es en todo punto; que F es de clase 1 si es diferenciable y la aplicaci´ on F 0 : U −−→ L(E1 , E2 ) ,

x

Fx0 ,

es continua ; y por inducci´ on que es de clase k si F 0 es de clase k − 1. Diremos que es de clase infinita si es de clase k para toda k. A partir de ahora siempre que hablemos de clase k, entenderemos que k es indistintamente, a menos que se especifique lo contrario, un n´ umero natural 0, 1, . . . ´ o bien ∞, donde para k = 0 entenderemos que las aplicaciones son continuas.

1.1. Conceptos b´ asicos

3

Definici´ on. Dada f : U ⊂ R −→ R diferenciable en x, llamamos derivada de f en x al n´ umero real f 0 (x) = l´ım

t→0

f (x + t) − f (x) . t

Observemos que este n´ umero est´ a relacionado con la aplicaci´on lineal fx0 ∈ L(R, R) por la igualdad fx0 (h) = f 0 (x) · h. Regla de la cadena 1.1 a) Sean F : U ⊂ E1 −−→ V ⊂ E2 ,

G : V −−→ W ⊂ E3 ,

diferenciables en x ∈ U y F (x) = y, respectivamente. Entonces H = G ◦ F es diferenciable en x y se tiene que Hx0 = G0y ◦ Fx0 . b) La composici´ on de aplicaciones de clase k es de clase k. Definici´ on. Para cada abierto U del espacio vectorial E, denotaremos C k (U ) = {f : U −−→ R, de clase k}, los cuales tienen una estructura natural de R–´algebra y como veremos en (1.11), tambi´en de espacio topol´ ogico. Proposici´ on 1.2 Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 una aplicaci´ on. Entonces son equivalentes: a) F es de clase k. b) Para un sistema de coordenadas lineales yi en E2 , fi = yi ◦ F ∈ C k (U ). c) Para cada f ∈ C k (V ), f ◦F ∈ C k (U ), es decir tenemos el morfismo de R-´ algebras. F ∗ : C k (V ) −−→ C k (U ),

F ∗ (f ) = f ◦ F.

4

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Definici´ on. Dada una funci´ on f ∈ C 1 (U ), un v ∈ E y p ∈ U , llamaremos derivada direccional de f relativa a v en p al valor f (p + tv) − f (p) . t→0 t

vp (f ) = l´ım

En particular si en E hemos elegido un sistema de coordenadas lineales xi con base dual ei , llamaremos derivada parcial i–´esima de f , a la derivada direccional de f relativa a ei y escribiremos ∂f f (p + tei ) − f (p) . (p) = l´ım t→0 ∂xi t Si E es de dimensi´ on 1, y x es la coordenada lineal correspondiente al vector no nulo e ∈ E escribiremos df ∂f = . dx ∂x Proposici´ on 1.3 f ∈ C k (U ) si y s´ olo si para alg´ un sistema de coordenadas lineales xi —y por tanto para cualquiera—, existen y son continuas en todo U las funciones Da f , para a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn , y Da =

∂ |a| , ∂ a1 x1 · · · ∂ an xn

|a| = a1 + · · · + an ≤ k.

Nota 1.4 Si E1 es de dimensi´ on n y E2 de m y U y V son sendos abiertos de E1 y E2 , entonces si F : U −→ V es diferenciable, biyectiva y F −1 es diferenciable, tendremos que n = m. Esto se sigue f´ acilmente de la regla de la cadena, pues si A es la matriz jacobiana de F , en un punto x, y B la de F −1 , en el punto y = F (x), entonces A·B es la identidad en Rm y B·A la identidad en Rn , de donde se sigue que A y B son cuadradas —e inversas—, por tanto n = m. Definici´ on. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 es un difeomorfismo de clase k , si F es biyectiva, de clase k y su inversa es de clase k. Diremos que n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas de clase k en U si para F = (ui ) : U −−→ Rn , se tiene que F (U ) = V es un abierto de Rn y F : U −→ V es un difeomorfismo de clase k. Por difeomorfismo a secas entenderemos de clase ∞. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ E2 es un difeomorfismo local de clase k

1.1. Conceptos b´ asicos

5

en x ∈ U si existe un entorno abierto Ux de x en U tal que F (Ux ) = V es abierto y F : Ux −→ V es un difeomorfismo de clase k. Diremos que n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas locales de clase k en x ∈ U si F = (ui ) : U −→ Rn es un difeomorfismo local de clase k en x. Nota 1.5 Observemos que si u1 , . . . , un ∈ C k (U ) son un sistema de coordenadas, entonces para F = (ui ) : U −→ Rn y F (U ) = V abierto de Rn tenemos que, para cada g ∈ C k (V ), g ◦ F = g(u1 , . . . , un ) = f ∈ C k (U ), y rec´ıprocamente toda funci´ on f ∈ C k (U ) es de esta forma. Si E es de dimensi´ on 1, x es la coordenada lineal correspondiente al vector e ∈ E y escribimos f en t´erminos de la coordenada lineal x, f = g(x), entonces df f (p + te) − f (p) g[x(p) + t] − g[x(p)] (p) = l´ım = l´ım = g 0 [x(p)], t→0 t→0 dx t t es decir que si f = g(x) entonces df /dx = g 0 (x). El siguiente resultado fundamental caracteriza los difeomorfismos locales en t´erminos del Jacobiano. Teorema de la funci´ on inversa 1.6 Sea F : U ⊂ E1 −→ E2 de clase k en U . Entonces F es un difeomorfismo local de clase k en x ∈ U si y s´ olo si existen sistemas de coordenadas lineales xi en E1 e yi en E2 , tales que para Fi = yi ◦ F   ∂Fi det (x) 6= 0. ∂xj Y este otro, tambi´en fundamental, nos da una condici´on para la que en un sistema de ecuaciones f1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = a1 ··· fn (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = an podamos despejar las xi en funci´ on de las yj , la cual viene P a decir P en el caso mas sencillo en el que las fi son lineales, fi (x, y) = aij xj + bik yk y por tanto F = (fi ) = A · x + B · y, que si det A 6= 0, podemos despejar x como funci´ on de y, siendo x = A−1 [a − B · y], para a = (ai ).

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Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Teorema de la funci´ on impl´ıcita 1.7 Sean F : U ⊂ E1 × E2 −→ E1 de clase k, (x0 , y0 ) ∈ U tal que F (x0 , y0 ) = 0 y para un sistema de coordenadas lineales xi en E1 , el determinante de orden n   ∂Fi det (x0 , y0 ) 6= 0, ∂xj entonces existe un entorno V de y0 en E2 y una u ´nica aplicaci´ on x : V −→ E1 de clase k, tal que x(y0 ) = x0 y para todo y ∈ V F [x(y), y] = 0.

1.2.

El haz de funciones diferenciables

Hemos dicho que los C k (U ) tiene una estructura natural de R-´algebra, es decir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma de las funciones constantes. Pero adem´ as, si consideramos la familia de todos los C k (U ) cuando U recorre todos los abiertos de E, se tiene que la aplicaci´ on U

(abierto)

−−→

C k (U )

(R − ´ algebra),

es un haz de R–´ algebras, es decir satisface las propiedades: a) Si U ⊂ V son abiertos de E, entonces f ∈ C k (V )

⇒

f (= f|U ) ∈ C k (U ).

b) Dado un abierto U de E y un recubrimiento suyo por abiertos Ui , se tiene que si f : U −→ R es tal que f ∈ C k (Ui ) para cada i, entonces f ∈ C k (U ). Otra importante propiedad, que veremos en esta lecci´on, nos dice que cada funci´ on de C k (U ) coincide, en un entorno de cada uno de los puntos de U , con una funci´ on de clase k en todo E, que adem´as se anula fuera de U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones de clase k en un abierto de E, nos basta con conocer las funciones de clase k en E. Esto podr´ıa parecer obvio en una ingenua primera observaci´on,

1.2. El haz de funciones diferenciables

7

pues cabr´ıa pensar que las funciones de clase k en un abierto U son simplemente las restricciones a ese abierto de las de clase k en E. Pero esto no es cierto —consid´erese la funci´ on 1/x en el abierto (0, ∞) ⊂ R—. Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidas por restricci´ on, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremos que son los cocientes de funciones de clase k de E, cuyos denominadores no se anulen en U . Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma. Veamos antes la existencia de funciones “bad´en” en Rn . Proposici´ on 1.8 Sean C un cerrado y K un compacto de E disjuntos. Entonces existe ϕ ∈ C ∞ (E) tal que =(ϕ) = [0, 1], ϕ(K) = 1, ϕ(C) = 0 y sop ϕ = {ϕ 6= 0} ⊂ U = C c . Demostraci´ on. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en E, basta hacer la demostraci´ on en Rn , donde P consideraremos la norma inducida por el producto escalar < a, b >= ai bi , para a = (ai ) y b = (bi ). Consideremos la funci´ on de C ∞ (R) ( e−1/t si t ≥ 0, e(t) = 0 si t < 0. En primer lugar que dado r > 0 y a ∈ Rn existe una g ∈ C ∞ (Rn ), Figura 1.1. Gr´ afica de e

g(x) =

e(r2 − k x − a k2 ) , 2 e(r − k x − a k2 ) + e(k x − a k2 −(r/2)2 )

que es positiva en B(a, r) = {x : k x − a k< r}, vale 1 en B[a, r/2] = {x : k x − a k≤ r/2}, y 0 fuera de B(a, r). Ahora para d(C, K) = (1/2)´ınf{k x − y k: x ∈ C, y ∈ K}, 2 existen, por la compacidad de K, a1 , . . . , ak ∈ K tales que r=

K⊂

k [

B(ai , r/2) ,

B(ai , r) ⊂ B[ai , r] ⊂ B(ai , 2r) ⊂ U = Rn − C.

i=1

Ahora para cada ai , construimos las funciones gi del principio, y definimos k Y ϕ(x) = 1 − [1 − gi (x)], i=1

tal funci´ on es la buscada.

8

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Corolario 1.9 Sea f ∈ C k (U ), con U abierto de E. Entonces para todo x ∈ U existe una funci´ on F ∈ C k (E), tal que F = f en un entorno abierto V ⊂ U de x y sop(F ) = {F 6= 0} ⊂ U. Demostraci´ on. Elijamos V y W abiertos tales que x ∈ V ⊂ K = Adh(V ) ⊂ W ⊂ Adh(W ) ⊂ U, con K compacto. Apliquemos ahora (1.8) a K y C = E − W y definamos F = f h. Es f´ acil ver que todo abierto U de E es uni´ on expansiva numerable de compactos con interiores no vac´ıos (Kn ↑ U ), pues eligiendo una norma cualquiera podemos considerar la sucesi´ on expansiva de compactos (pues son cerrados y acotados) Cn = {x ∈ E : kxk ≤ n, d(x, U c ) ≥ 1/n}, y a partir de un n sus interiores son no vac´ıos, ya que dado x ∈ U , por ser abierto existe una bola abierta B(x, 2r) ⊂ U , por lo que d(B(x, r), U c ) ≥ r y B(x, r) ⊂ Cn , para n ≥ kxk + r, n ≥ 1/r. En estos t´erminos damos las siguientes definiciones. Definici´ on. Para cada m ∈ N definimos la seminorma pm en C ∞ (U ) de la forma, pm (f ) = sup{| Da f (x) |: x ∈ Km , | a |≤ m}, y en C r (U ), para r ≥ 0, pm (f ) = sup{| Da f (x) |: x ∈ Km , | a |≤ r}. Decimos que una sucesi´ on fn ∈ C k (U ), donde k = 0, 1, . . . , ∞, es de Cauchy respecto de pm si para cada  > 0 existe N ∈ N tal que pm (fN +n − fN ) < , para todo n ∈ N.

1.2. El haz de funciones diferenciables

9

Decimos que una sucesi´ on fn ∈ C k (U ) tiene l´ımite si existe f ∈ C k (U ) tal que para toda m ∈ N l´ım pm (fn − f ) = 0.

n→∞

Obviamente si el l´ımite existe es u ´nico, pues para m = 0 vemos que tiene que ser el l´ımite puntual de las fn . Observemos que las pm est´ an ordenadas, pm ≤ pm+1 , y que podemos definir el sistema fundamental de entornos convexos del 0 ∈ C k (U ) Bm = {f ∈ C k (U ) : pm (f ) ≤ 1/m} y que estos definen una topolog´ıa en C k (U ) independiente de los Kn elegidos!. Teorema 1.10 Si la sucesi´ on fn ∈ C k (U ) es de Cauchy para toda pm , entonces tiene l´ımite, f = l´ım fn ∈ C k (U ), que para cualquier base {ei } de E y cada a ∈ Nn , con | a |≤ k, verifica Da (l´ım fn ) = l´ım(Da fn ). Adem´ as dada f ∈ C k (U ) existe una sucesi´ on de polinomios gn de E tales que restringidos a U, l´ım gn = f . Demostraci´ on. Veremos el caso k = ∞ para E = Rn , los dem´as se siguen haciendo las oportunas modificaciones. En primer lugar veamos que para todo a ∈ Nn , existe el l´ımite puntual ga (x) = l´ım(Da fk (x)), y que ga es una funci´ on continua en Rn . Sea m ≥ |a|, entonces en el compacto Km se tiene (1.1)

| Da fN +k − Da fN |≤ pm [fN +k − fN ]

de donde se sigue que Da fk converge uniformemente en cada compacto Km , para m ≥ |a|, a una funci´ on continua ga . En particular para a = (0, . . . , 0), tendremos que f (x) = l´ım fk (x), es una funci´ on continua.

10

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Veamos por inducci´ on en |a|, que Da f = ga . Para |a| = 0 es obvio. Supongamos entonces que |a| ≥ 1 y que a1 ≥ 1, donde a = (a1 , . . . , an ). Entonces, por la hip´ otesis de inducci´on, tendremos que Db f = gb para b = (a1 − 1, a2 , . . . , an ). Y como Da =

∂ ◦ Db , ∂x1

bastar´ a demostrar que ∂gb = ga . ∂x1 Sean (t1 , . . . , tn ) ∈ U , t ∈ R y m ∈ N, tal que para λ ∈ [0, 1] se tenga (λt1 + (1 − λ)t, t2 , . . . , tn ) ∈ Km , entonces Z

t

t1

Da fk (x, t2 , . . . , tn )dx →

Z

t

ga (x, t2 , . . . , tn )dx. t1

Ahora bien Z t Da fk (x, t2 , . . . , tn )dx = Db fk (t, t2 , . . . , tn ) − Db fk (t1 , . . . , tn ), t1

por tanto haciendo k → ∞, tendremos que Z t ga (x, t2 , . . . , tn )dx = gb (t, t2 , . . . , tn ) − gb (t1 , . . . , tn ), t1

lo cual implica que ∂gb /∂x1 = ga . Tenemos entonces que para cada a ∈ Nn , Da fk → Da f, uniformemente en cada compacto Km , para m ≥| a |. De aqu´ı se sigue que pm (fk − f ) → 0, y f = l´ım fk . Pero adem´ as pm (Da fk − Da f ) → 0 por tanto Da f = l´ım(Da fk ). Veamos ahora que los polinomios son densos.

11

1.2. El haz de funciones diferenciables

Dada f ∈ C ∞ (U ) y N ∈ N tendremos, por el Teorema de Weierstrass, que para a = (N, . . . , N ) ∈ Nn existe una sucesi´on de polinomios que convergen uniformemente a Da f en KN . Integrando —y aplicando de nuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva— tendremos que existe una sucesi´ on de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi ) ∈ Nn , con bi ≤ N , las sucesiones Db rN,n convergen uniformemente en KN a Db f . Ahora elegimos gN como cualquier polinomio rN,n , tal que para toda b, con bi ≤ N 1 | Db rN,n − Db f |≤ , N en KN . Esta sucesi´ on de polinomios gN satisface l´ım gN = f , pues para j ≤ N , Kj ⊂ KN y como bi ≤ Σbi =| b |, se tiene (1.2) pj (gN − f ) ≤ sup{| Db gN − Db f |: x ∈ Kj , | b |≤ j} ≤ sup{| Db gN − Db f |: x ∈ KN , bi ≤ N } ≤

1 . N

Ejercicio 1.2.1 Demostrar que con esta topolog´ıa la suma y el producto de C k (U ) son operaciones continuas.

El teorema anterior se expresa diciendo: Teorema 1.11 Las pm definen en C k (U ) una topolog´ıa localmente convexa, respecto de la que dicho espacio es completo y los polinomios son densos. Teorema 1.12 Para cada abierto U de E y para k = 0, 1, . . . , ∞, se tiene que g : g, h ∈ C k (E), h 6= 0 en U }. C k (U ) = { h |U Demostraci´ on. Sea {Bn : n ∈ N} un recubrimiento de U formado por bolas abiertas cuyas adherencias est´en en U . Y consideremos para cada n ∈ N una funci´ on gn ∈ C ∞ (E) —como la definida en (1.8)—, positiva en Bn y nula en su complementario. Sea f ∈ C k (U ), entonces f gn ∈ C k (E) y g=

X

2−n

f gn ∈ C k (E), 1 + rn + sn

h=

X

2−n

gn ∈ C ∞ (E), 1 + rn + sn

donde rn = pn (f gn ) y sn = pn (gn ). Para verlo basta observar, por el teorema anterior, que ambas series son de Cauchy para toda pm . Por

12

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

u ´ltimo es obvio que h 6= 0 en U y que para cada x ∈ U , g(x) = h(x)f (x), es decir que g = hf . Nota 1.13 Observemos que en el resultado anterior h 6= 0 en U y h = 0 en U c , por lo que todo cerrado de E es de la forma {x ∈ E : h(x) = 0}, para una h ∈ C ∞ (E). Definici´ on. Podemos decir en base a estos resultados que la estructura C k –diferenciable de E, que est´ a definida por todas las R–´algebras C k (U ), cuando U recorre los abiertos de E, queda determinada exclusivamente por C k (E) y los abiertos de E. Y podemos entender la variedad C k – diferenciable E, como el par formado por el espacio topol´ogico E y por C k (E).

1.3.

Espacio Tangente. Fibrado Tangente

A lo largo de la lecci´ on E ´ o E1 ser´ an espacios vectoriales reales de dimensi´ on n y E2 de dimensi´ on m. En la lecci´ on 1 hemos visto que cada vector v ∈ E define en cada punto p ∈ E una derivada direccional vp de la forma siguiente vp : C ∞ (E) −−→ R,

vp (f ) = l´ım

t→0

f (p + tv) − f (p) , t

Es f´ acil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satisface la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguiente definici´ on. Definici´ on. Llamaremos vector tangente en un punto p ∈ E, a toda derivaci´ on Dp : C ∞ (E) −−→ R, es decir a toda funci´ on que verifique las siguientes propiedades:

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente

13

a) Linealidad.- Dp (tf + sg) = tDp f + sDp g. b) Anulaci´ on constantes.- Dp t = 0. c) Regla de Leibnitz en p.- Dp (f g) = f (p)Dp g + g(p)Dp f , para cualesquiera t, s ∈ R y f, g ∈ C ∞ (E). Este concepto nos permite definir, en cada punto p ∈ E, un espacio vectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferenciable de E. Definici´ on. Llamaremos espacio tangente a E en p, al espacio vectorial real Tp (E) de las derivaciones en p, con las operaciones (Dp + Ep )f (tDp )f

= Dp f + Ep f = t(Dp f ),

para Dp , Ep ∈ Tp (E), f ∈ C ∞ (E) y t ∈ R. Definici´ on. Dado un sistema de coordenadas lineales xi , correspondiente a una base {ei } en E, consideramos para cada p ∈ E e i = 1, . . . , n, los elementos de Tp (E) 

∂ ∂xi



: C ∞ (E) −−→ R,



p

∂ ∂xi



f (p + tei ) − f (p) . t→0 t

f = l´ım p

Si no hay confusi´ on usaremos la notaci´ on ∂ip = (∂/∂xi )p . F´ ormula de Taylor 1.14 Sea U ⊂ E un abierto convexo, a ∈ U y xi ∈ C ∞ (U ) un sistema de coordenadas lineales. Entonces: a) ma = {f ∈ C ∞ (U ) : f (a) = 0} es un ideal maximal real generado por x1 − a1 , . . . , xn − an , donde ai = xi (a). b) Dada f ∈ C ∞ (U ), existen h1 , . . . , hn ∈ C ∞ (U ) tales que f = f (a) +

n X

hi (xi − ai ).

i=1

Demostraci´ on. (a) Consideremos el morfismo de R–´algebras H : C ∞ (U ) −−→ R ,

H(f ) = f (a),

para el que ker H = ma e Im H = R, por tanto C ∞ (U )/ma ' R.

14

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

P Dadas f1 , . . . , fn ∈ C ∞ (U ) es obvio que fi (xi −ai ) ∈ ma y tenemos una inclusi´ on, veamos la otra, que ma ⊂ (x1 − a1 , . . . , xn − an ). Para ello sea f (x1 , . . . , xn ) ∈ ma , x ∈ U y definamos la funci´on diferenciable g : [0, 1] −−→ R ,

g(t) = f [tx + (1 − t)a].

Ahora por la regla de la cadena Z 1 f (x) = g(1) − g(0) = g 0 (t)dt 0 #  Z 1 "X n  ∂f [tx + (1 − t)a] (xi − ai ) dt = ∂xi 0 i=1 =

n X

hi (x)(xi − ai ),

i=1

donde Z hi (x) = 0

1



 ∂f [tx + (1 − t)a] dt ∈ C ∞ (U ). ∂xi

Proposici´ on 1.15 Las derivaciones (∂/∂xi )a definidas anteriormente son base de Ta (E). Demostraci´ on. Que son independientes es una simple consecuencia de que ∂xi /∂xj = δij . Veamos que son generadores, para ello sea Da ∈ Ta (E) y f ∈ C ∞ (E), entonces f − f (a) ∈ ma y por (1.14) f = f (a) +

n X

hi (xi − ai ),

i=1

donde a = (ai ). Se sigue que  ∂  f ∂xj a Da f

=

n X i=1

=

n X i=1

es decir Da =

P [Da xi ]∂ia .

hi (a)

∂Xi (a) = hj (a), ∂xj

hi (a)Da xi =

n X [Da xi ]∂ia f, i=1

1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente

15

Nota 1.16 Observemos que al ser E un espacio vectorial tenemos una identificaci´ on can´ onica entre todos los espacios tangentes, pues todos son isomorfos a E de la siguiente forma, para cada a ∈ E E −−→ Ta (E) ,

v

va ,

siendo va f la derivada direccional de f relativa a v en a. Adem´ as si elegimos un sistema de coordenadas lineales xi en E, correspondientes a la base ei , tendremos que en t´erminos de las bases ei y ∂ia la aplicaci´ on anterior se representa por la matriz identidad, pues para cada i, E −−→ Ta (E) , ei ∂ia . Nota 1.17 El espacio vectorial Ta (E) pod´ıamos haberlo definido como el espacio vectorial de las derivaciones (1.3)

Da : C ∞ (U ) −−→ R,

con la regla de Leibnitz en a, siendo U un abierto entorno de a. Pues dada una derivaci´ on del tipo (1.3), tendremos por restricci´on a U una derivaci´ on de Ta (E).P Y rec´ıprocamente dada una derivaci´on de Ta (E), como es de la forma ti ∂ia —fijado un sistema de coordenadas lineales xi —, define una u ´nica derivaci´ on del tipo (1.3). Es f´ acil probar que ambas transformaciones son lineales e inversas, es decir que es un isomorfismo. Para verlo basta usar (1.9) y que Da f no cambia si cambiamos F fuera de un entorno de a. Por otra parte, para r ≥ 1, toda derivaci´ on con la regla de Leibnitz en a (1.4)

Da : C r (U ) −−→ R,

define una derivaci´ on de Ta (E), pues C ∞ (U ) ⊂ C r (U ). Y rec´ıprocamente, toda derivaci´ on (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede P hacerse pues seg´ un vimos antes, toda derivaci´ on (1.3) es de la forma ti ∂ia que est´ a definido en las funciones de clase 1. Sin embargo estas dos transformaciones no son inversas, pues en el segundo caso no extendemos de modo u ´nico. Es decir que las derivaciones de C r (U ) en el punto a forman un espacio vectorial con demasiados elementos. Pero si s´ olo consideramos las continuas respecto de la topolog´ıa definida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo a Ta (E). Para r = ∞ tenemos la suerte de que toda derivaci´on es autom´aticamente continua respecto de la topolog´ıa de (1.10), pues es de la forma

16

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

ti ∂ia y estas se extienden a una derivaci´ on Da en C r (E) de forma P continua de un u ´nico modo, a saber t ∂ i ia , pues los polinomios son P densos y sobre ellos Da = ti ∂ia .

P

Finalicemos analizando si existir´ an derivaciones en a ∈ E sobre las funciones continuas Da : C(E) −−→ R. La contestaci´ on es que no, pues si f ∈ C(E) y f (a) = 0 —en caso contrario pondr´ıamos f − f (a)—, tendremos que existen funciones continuas p p g = m´ ax(f, 0), h = m´ ax(−f, 0) ∈ C(E), tales que f = g 2 − h2 y g(a) = h(a) = 0. Por tanto Da f = 2[g(a)Da g − h(a)Da h] = 0. Definici´ on. Sean U ⊂ E1 , V ⊂ E2 abiertos y F : U −→ V de clase 1. Llamaremos aplicaci´ on lineal tangente de F en x ∈ U a la aplicaci´ on F∗ : Tx (E1 ) −−→ TF (x) (E2 ),

F(C ) x

tal que para cada Dx ∈ Tx (E1 ), F∗ (Dx ) = Dx ◦ F ∗ , es decir que para cada f ∈ C ∞ (V ) se satisface

Dx

F(x)

F (Dx) *

F(C )

Figura 1.2.

[F∗ Dx ]f = Dx (f ◦ F ). Ejercicio 1.3.1 Demostrar las siguientes propiedades de la aplicaci´ on lineal tangente: a) Si V = U y F = id, entonces para cada x ∈ E, F∗ = id. b) Regla de la cadena.- Si F : U −→ V y G : V −→ W son diferenciables, siendo U ⊂ E1 , V ⊂ E2 y W ⊂ E3 abiertos, entonces (G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗ . c) Elegir sistemas de coordenadas lineales en cada espacio vectorial Ei y escribir la igualdad anterior en la forma matricial asociada.

Teorema de la funci´ on inversa 1.18 Una aplicaci´ on F : U ⊂ E1 −→ E2 , de clase k es un difeomorfismo local de clase k en un punto x ∈ U si y s´ olo si F∗ : Tx (E1 ) −→ TF (x) (E2 ) es un isomorfismo en x.

17

1.4. Campos tangentes

Demostraci´ on. Es consecuencia de (1.6) y de la expresi´on matricial de F∗ . Definici´ on. Llamaremos fibrado tangente del abierto U de E, a la uni´on T (U ) de todos los espacios Ta (E), para a ∈ U , con la estructura topol´ogica y diferenciable definida por la siguiente biyecci´on can´onica T (U ) −−→ U × E,

va

(a, v),

donde va ∈ Ta (E) es la derivada direccional en a relativa al vector v ∈ E. Llamaremos aplicaci´ on proyecci´ on can´ onica en U a la aplicaci´on π : T (U ) −−→ U ,

π(vp ) = p,

si vp ∈ Tp (E).

1.4. 1.4.1.

Campos tangentes Campos tangentes

Definici´ on. Por un campo de vectores en un abierto U de un espacio vectorial E entenderemos una aplicaci´ on F : U −−→ E. Diremos que el campo es de clase k si F es de clase k. La interpretaci´ on de una aplicaci´ on F como un campo de vectores queda patente en la figura (1.3), donde hemos representado en cada punto (x, y) del plano real el vector F (x, y) = (cos xy, sen (x − y)). Aunque esta definici´ on es muy visual y sugerente, tiene el problema de no ser muy manejable y la desventaja de necesitar la estructura vectorial de E

Figura 1.3. Campo de vectores

18

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

para que tenga sentido. Por ello recordando que un vector v = F (p) ∈ E en un punto p ∈ U define una derivaci´ on vp ∈ Tp (E), damos la siguiente definici´ on equivalente, aunque s´ olo como justificaci´on para una posterior definici´ on mejor. Definici´ on. Llamaremos campo de vectores tangentes, de clase k, en U , a un conjunto de vectores {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U }, que satisfacen la siguiente condici´ on: Para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´ on p ∈ U −−→ Dp f ∈ R, est´ a en C k (U ). Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp }p∈U es equivalente a dar una secci´ on de π : T (U ) −→ U σ : U −−→ T (U ),

σ(p) = Dp .

Ejercicio 1.4.1 (a) Demostrar que existe una biyecci´ on entre campos de vectores F : U −→ E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U } de clase k, que verifica: (i) Si a F le corresponde {Dp } y a G {Ep }, entonces a F +G le corresponde {Dp + Ep }. (ii) Si a F le corresponde {Dp } y f ∈ C k (U ), entonces a f F le corresponde {f (p)Dp }. (b) Demostrar que {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U } es un campo de vectores tangentes de clase k si y s´ olo si la aplicaci´ on σ : U −→ T (U ), σ(p) = Dp es una secci´ on de π, de clase k. (Sol.)

Definici´ on. Llamaremos campo tangente de clase k en el abierto U de E a toda derivaci´ on D : C ∞ (U ) −−→ C k (U ), es decir toda aplicaci´ on que verifique las siguientes condiciones: 1.- D(tf + rg) = tDf + rDg, 2.- Dt = 0, 3.- Regla de Leibnitz: D(f g) = f (Dg) + g(Df ), para f, g ∈ C ∞ (U ) y t, r ∈ R.

1.4. Campos tangentes

19

Definici´ on. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integral primera de D a toda funci´ on f ∈ C k+1 (U ) tal que Df = 0. Nota 1.19 Denotaremos con Dk (U ) el conjunto de los campos tangentes a U de clase k, y por comodidad para k = ∞ escribiremos D(U ) = D∞ (U ). Observemos que tenemos las inclusiones D(U ) ⊂ Dk (U ) ⊂ D0 (U ), por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los mas generales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los campos localmente lipchicianos, que denotaremos con DL (U ) y que est´an entre los de clase 1 y los continuos y que ser´ an los que consideremos para estudiar el problema de unicidad de soluci´ on de una ecuaci´on diferencial. En Dk (U ) definimos la suma de dos campos D, E ∈ Dk (U ) y el producto de una funci´ on g ∈ C k (U ) por un campo D, de la forma, (D + E)f (gD)f

= =

Df + Ef, g(Df ),

para toda f ∈ C ∞ (U ). Tales operaciones dotan a Dk (U ) de una estructura de m´ odulo sobre la R–´ algebra C k (U ), pues se tienen las siguientes propiedades, f (D + E)

= f D + f E,

(f + g)D

= f D + gD,

(f g)D 1D

= f (gD), = D.

y para cada k, Dk (U ) forman un haz de m´ odulos. A continuaci´ on veremos que dar un campo tangente de clase k en U consiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangente en cada punto de U . Proposici´ on 1.20 Existe una biyecci´ on entre campos tangentes de clase k y campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene: a) Si D, E ∈ Dk (U ) y p ∈ U , entonces (D + E)p = Dp + Ep . b) Si f ∈ C k (U ), entonces (f D)p = f (p)Dp .

20

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Demostraci´ on. Dada la D definimos los Dp de la forma. Dp f = Df (p). Rec´ıprocamente dado un vector Dp ∈ Tp (E), en cada p ∈ U , definimos el campo tangente D ∈ Dk (U ) de la forma Df (p) = Dp f. Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E, es f´acil demostrar que los operadores diferenciales ∂ : C ∞ (U ) −−→ C ∞ (U ), ∂xi f (p + tei ) − f (p) ∂f (p) = l´ım , t→0 ∂xi t para cada p ∈ U y cada f ∈ C ∞ (U ), son derivaciones ∂/∂xi ∈ D(U ). Si no hay confusi´ on usaremos la notaci´ on ∂i = ∂/∂xi . A continuaci´ on veremos que Dk (U ) es un m´odulo libre sobre C k (U ) con base las ∂i . Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y D ∈ Dk (U ), existen u ´nicas funciones fi ∈ C k (U ) tales que D=

n X i=1

fi

∂ , ∂xi

Demostraci´ on.- Que la expresi´ on es u ´nica es inmediato P aplic´andosela a las xi . Para ver que existe basta demostrar que D = (Dxi )∂i , pues Dxi ∈ C k (U ). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y (1.20). Definici´ on. Dados U ⊂ W abiertos de E y D ∈ Dk (W ), definimos la restricci´ on del campoD a U , como el campo de D(U ), correspondiente por (1.20) a {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U }, o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restricci´on a U de la aplicaci´ on de clase k, F : W → E, correspondiente a D.

1.4. Campos tangentes

21

Es f´ acil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales en E, entonces la restricci´ on del campo D=

n X

Dxi

i=1

a U es la derivaci´ on

n X i=1

fi

∂ , ∂xi

∂ , ∂xi

para fi = Dxi|U , la restricci´ on a U de Dxi . Nota 1.22 Obs´ervese que toda derivaci´ on de Dk (U ) es autom´aticamente continua, por (1.21), respecto de la topolog´ıa definida en (1.10). Obs´ervese tambi´en que toda derivaci´ on (1.5)

D : C k+1 (U ) −−→ C k (U ),

definePuna derivaci´ on de Dk (U ), pues C ∞ (U ) ⊂ C k+1 (U ), es decir del tipo fi ∂i —dado un sistema de coordenadas Plineales xi —, con las fi de clase k. Rec´ıprocamente toda derivaci´ on fi ∂i ∈ Dk (U ), con las fi ∈ C ∞ (U ), se extiende —no de un u ´nico modo—, a una derivaci´on del tipo (1.5). Ahora bien si exigimos que la extensi´on sea continua — respecto ´nica P de la topolog´ıa definida en (1.10)—, tendremos que s´ı es u y es fi ∂i . Demu´estrese eso como ejercicio. Definici´ on. Dada F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 de clase k + 1, y dos campos tangentes D ∈ Dk (V ) y E ∈ Dk (U ) diremos que F lleva D a E, si para cada x ∈ V F∗ Dx = EF (x) .

Figura 1.4. F lleva el campo D al campo E

22

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Si E1 = E2 , U ∪ V ⊂ W abierto y D ∈ Dk (W ) diremos que F deja invariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x ∈ V F∗ Dx = DF (x) . Proposici´ on 1.23 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase k + 1, D ∈ Dk (U ) y E ∈ Dk (V ). Entonces son equivalentes: i) F lleva D en E. ii) F∗ D = F ∗ E. iii) D ◦ F ∗ = F ∗ ◦ E. Demostraci´ on. H´ agase como ejercicio.

1.4.2.

Campo tangente a soporte.

Consideremos una aplicaci´ on diferenciable (de clase ∞) F : V ⊂ E2 −−→ U ⊂ E1 . Definici´ on. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativo a F , de clase k, a las derivaciones DF : C ∞ (U ) −−→ C k (V ), con la regla de Leibnitz DF (f g) = DF f · F ∗ g + F ∗ f · DF g. odulo de estos campos con las Denotaremos con DkF (U ) el C k (V )–m´ operaciones (DF + E F )f = DF f + E F f,

(g · DF )f = g · DF f.

Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte de clase k ≤ r como las derivaciones DF : C ∞ (U ) → C k (V ). Definici´ on. Dada la aplicaci´ on F de clase ∞, definimos los morfismos de m´ odulos F∗ : D(V ) −−→ DF (U ) , F ∗ : D(U ) −−→ DF (U ) ,

(F∗ D)f = D(F ∗ f ), (F ∗ D)f = F ∗ (Df ),

1.4. Campos tangentes

23

Nota 1.25 Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los campos de clase r ≤ k. Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores {DpF ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, con la propiedad de que para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´ on p ∈ V −−→ DpF f ∈ R, est´ a en C ∞ (V ) y el espacio DF (U ), existe una biyecci´ on verificando las siguientes condiciones: i) Si DF , E F ∈ DF (U ), entonces para cada p ∈ V (DF + E F )p = DpF + EpF . ii) Si f ∈ C ∞ (V ), entonces para cada p ∈ V (f · DF )p = f (p) · DpF (Sol.) Ejercicio 1.4.3 Sea F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 , diferenciable. Demostrar que (i) Para cada D ∈ D(V ) y p ∈ V (F∗ D)p = F∗ Dp . (ii) Para cada campo D ∈ D(U ) y p ∈ V [F ∗ D]p = DF (p) , y que DF (U ) es un m´ odulo libre con base F

∗



∂ ∂xi

 ,

para cada sistema de coordenadas lineales xi en U . (iii) Que {DpF ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, satisface las condiciones de (a) —y por tanto define un campo a soporte DF ∈ DF (U )— si y s´ olo si σ : V −−→ T (U ) ,

σ(p) = DpF ,

es una aplicaci´ on de clase ∞, tal que π ◦ σ = F . (Sol.)

24

1.4.3.

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Campo a soporte universal.

Consideremos en E un sistema de coordenadas lineales xi y en U × E las coordenadas (xi , zi ) naturales, es decir xi (p, v) = xi (p) ,

zi (p, v) = xi (v),

ahora pas´emoslas a T (U ) por la biyecci´ on T (U ) → U × E,

xi (vp ) = xi (p),

vp → (p, v),

zi (vp ) = xi (v) = vp xi ,

Es decir que vp ∈ T (U ) tiene coordenadas (p1 , . . . , pn , v1 , . . . , vn ) si y s´ olo si p = π(vp ) tiene coordenadas (p1 , . . . , pn ) y vp =

n X

 vi

i=1

∂ ∂xi

 p

Definici´ on. Llamaremos campo a soporte universal en U al campo tangente a U con soporte en T (U ), E ∈ Dπ (U ), que por el ejercicio (1.4.3) queda determinado por la aplicaci´ on identidad σ : T (U ) −−→ T (U ) ,

σ(Dp ) = Dp ,

es decir que para cada v ∈ T (U ) verifica Ev = v. Adem´ as en las coordenadas (xi , zi ) de T (U ), vemos por el ejercicio (1.4.3), que n X ∂ , E= zi · π ∗ ∂xi i=1 pues para cada Dp ∈ T (U ) Exi (Dp ) = Dp (xi ) = zi (Dp ).

1.5. Espacio cotangente. La diferencial

1.5.

25

Espacio cotangente. La diferencial

Definici´ on. Para cada x ∈ E denotaremos con Tx∗ (E) el espacio vectorial dual de Tx (E), es decir el espacio vectorial real de las formas R–lineales (´ o 1–formas) ωx : Tx (E) −−→ R, al que llamaremos espacio cotangente de E en x y vectores cotangentes a sus elementos. Definici´ on. Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 de clase 1 y dados x ∈ U e y = F (x), llamaremos aplicaci´ on lineal cotangente de F en x a F ∗ : Ty (E2 ) −−→ Tx (E1 ), la aplicaci´ on dual de F∗ : Tx (E1 ) → Ty (E2 ). Es decir tal que F ∗ (ωy ) = ωy ◦ F∗ . Definici´ on. Dado un punto x ∈ E, llamaremos diferencial en x, a la aplicaci´ on dx : C 1 (E) −−→ Tx∗ (E), tal que para cada f ∈ C 1 (E) y para cada Dx ∈ Tx (E) dx f : Tx (E) −−→ R,

dx f (Dx ) = Dx f.

A la 1–forma dx f la llamamos diferencial de f en x. Ejercicio 1.5.1 Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase 1, demostrar las siguientes propiedades de F ∗ : (a) Si U = V y F = id, entonces F ∗ = id. (b) Si F : U → V y G : V → W , son de clase 1, con U ⊂ E1 , V ⊂ E2 y W ⊂ E3 abiertos, entonces (G ◦ F )∗ = F ∗ ◦ G∗ . (c) Si F es un difeomorfismo, entonces F ∗ es un isomorfismo. (d) Para x ∈ U e y = F (x), F ∗ ◦ dy = dx ◦ F ∗ . Ejercicio 1.5.2 Demostrar que dx es una derivaci´ on en x.

Hemos visto en (1.15), que para cada sistema de coordenadas lineales xi de E,Tema las derivaciones (∂ix ) son base de Tde siguevectorial por tanto de 26 1. La estructura diferenciable un Se espacio x (E). la definici´ on de diferencial, que las dx x1 , . . . , dx xn son la base dual en Tx∗ (E), puesto que  ∂  = δij , dx xi ∂xj x adem´ as el isomorfismo can´ onico E −→ Tx (E), induce otro que es la restricci´ on de dx a E ∗ E ∗ −−→ Tx∗ (E) ,

1.5.1.

xi

dx xi .

Interpretaci´ on geom´ etrica de la diferencial.

Veamos ahora el significado geom´etrico de dx f , para cada x ∈ E y cada f ∈ C 1 (E). Se tiene que por el isomorfismo anterior (1.6)

n  X ∂f i=1

∂xi

 (x) xi −−→ dx f =

n  X ∂f i=1

∂xi

 (x) dx xi .

cuya gr´ afica es el hiperplano tangente a la gr´ afica de f en el punto x. En particular en R tenemos que para f : R → R, dx f : Tx (R) → R y en R2 , f : R2 → R, dx f : Tx (R2 ) → R,

Figura 1.5. Gr´ aficas de f y dx f en R

Figura 1.6. Gr´ aficas de f y dx f en R2

1.5. Espacio cotangente. La diferencial

27

Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para p ∈ U y dp f 6= 0, el hiperplano (ver Fig.1.7) H = {Dp ∈ Tp (E) : dp f (Dp ) = 0}, es tangente a la hipersuperficie S = {x : f (x) = f (p)}, en el sentido de que coincide con el conjunto de vectores Dp ∈ Tp (E), para los que existe una curva X : I → U tal que   ∂ X(0) = p, X(t) ∈ S, X∗ = Dp . (Sol.) ∂t 0 Ejercicio 1.5.4 Dar la ecuaci´ on del plano tangente al elipsoide 4x2 + y 2 + 5z 2 = 10, en el punto (1, 1, 1).

Figura 1.7. Plano tangente a una superficie

1.5.2.

Fibrado cotangente.

Igual que todos los espacios tangentes eran can´onicamente isomorfos al espacio vectorial inicial E, tambi´en todos los espacios cotangentes son can´ onicamente isomorfos al dual E ∗ de E. Esto nos permite definir una biyecci´ on can´ onica T ∗ (U ) −−→ U × E ∗ ,

ωp

(p, w),

donde T ∗ (U ) es la uni´ on disjunta de los espacios cotangentes de puntos de U . Definici´ on. Sea U un abierto de E. Llamaremos fibrado cotangente de U , al conjunto T ∗ (U ) uni´ on de todos los espacios cotangentes Tx∗ (E), para x ∈ U , dotado de la estructura diferenciable natural, correspondiente por la biyecci´ on anterior, a la de U × E ∗ , que es un abierto del espacio vectorial de dimensi´ on 2n, E × E ∗ . Para cada ω ∈ T ∗ (U ) existir´ a un u ´nico x ∈ U tal que ω ∈ Tx∗ (E), podemos as´ı definir la aplicaci´ on proyecci´ on π : T ∗ (U ) −−→ U,

28

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

tal que π(ω) = x. De tal modo que las fibras de cada x ∈ U son π −1 (x) = Tx∗ (E).

1.6.

Uno formas

Definici´ on. Para cada abierto U ⊂ E, denotaremos con Ω(U ) el dual de D(U ) respecto de C ∞ (U ), y en general con Ωk (U ) el dual del m´odulo de los campos tangentes Dk (U ) respecto de C k (U ), es decir de las aplicaciones C k (U )–lineales ω : Dk (U ) −−→ C k (U ), que llamaremos 1–formas en U , dotadas de las operaciones de C k (U )– m´ odulo, (ω1 + ω2 )D = ω1 D + ω2 D,

(f ω)D = f (ωD),

y para cada k, Ωk (U ) forman un haz de m´ odulos. Definici´ on. Llamaremos diferencial a la aplicaci´on d : C k+1 (U ) −−→ Ωk (U ) ,

df (D) = Df,

para cada f ∈ C k+1 (U ) y D ∈ Dk (U ) (ver (1.22).) Definici´ on. Diremos que una 1–forma ω ∈ Ωk (U ) es exacta si existe f ∈ C k+1 (U ) tal que ω = df. Nota 1.26 Observemos que si ω ∈ Ω(U ) es incidente con un campo D ∈ D(U ), i.e. ωD = 0 y es exacta ω = df , entonces f es una integral primera de D, pues Df = df (D) = ωD = 0. Ejercicio 1.6.1 Demostrar que la diferencial es una derivaci´ on.

1.6. Uno formas

29

Ejercicio 1.6.2 Demostrar que Ωk (U ) es un C k (U )–m´ odulo libre con base dxi , para cada sistema de coordenadas lineales xi , y que para toda f ∈ C k+1 (U ) df =

X ∂f dxi . ∂xi

Nota 1.27 Observemos que para una variable, la f´ormula anterior dice df =

df dx. dx

Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelaci´on de diferenciales. Nota 1.28 Debemos observar que en Rn aunque la noci´on de dx1 tiene sentido, pues x1 es una funci´ on diferenciable, la de ∂/∂x1 no lo tiene, pues para estar definida necesitamos dar a la vez todas las funciones coordenadas x1 , . . . , xn . Para verlo consideremos en R2 las coordenadas (x, y) y otras coordenadas (x, x + y). En cada caso la ∂/∂x tiene un significado distinto, pues mientras en el primero ∂(x + y)/∂x = 1, en el segundo ∂(x + y)/∂x = 0. Definici´ on. Llamaremos campo de vectores cotangentes de clase k en U a toda colecci´ on {ωx ∈ Tx∗ (E) : x ∈ U }, para la que, dado D ∈ Dk (U ) y sus vectores correspondientes Dx , la aplicaci´ on x ∈ U −−→ ωx Dx ∈ R, es de clase k. Ejercicio 1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorial E, el concepto campo de vectores cotangentes de clase k en el abierto U es equivalente al de aplicaci´ on de clase k, F : U → E ∗ . 2.- Demostrar que existe una biyecci´ on entre las 1–formas ω ∈ Ωk (U ) y los campos de vectores cotangentes en U de clase k, para la que se tiene: (ω1 + ω2 )x = ω1x + ω2x , (f ω)x = f (x)ωx , (df )x = dx f para ω, ω1 , ω2 ∈ Ωk (U ), x ∈ U y f ∈ C k (U ).

30

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Ejercicio 1.6.4 Demostrar que ω ∈ Ω(U ) si y s´ olo si σ : p ∈ U → ωp ∈ T ∗ (U ) es una secci´ on de π.

Teorema 1.29 El fibrado cotangente tiene una 1–forma can´ onica λ llamada uno–forma de Liouville. Demostraci´ on. Para cada p ∈ U y ω ∈ Tp∗ (E) definimos λw = π ∗ ω, es decir que para cada Dw ∈ Tw [T ∗ (U )], λw Dw = ω[π∗ Dw ]. Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y sus duales zi en E ∗ , consideremos el sistema de coordenadas (xi , zi ) en T ∗ (U ) ' U ×E ∗ , para las que, si ωp se corresponde con (p, ω), entonces xi (ωp ) = xi (p),

zi (ωp ) = zi (ω) = ωp (∂ip ),

y en este sistema de coordenadas se tiene que λ=

n X

zi dxi ,

i=1

lo que prueba su diferenciabilidad. Ahora veremos una propiedad caracter´ıstica de las funciones y de las 1–formas, pero de la que los campos tangentes carecen. Teorema 1.30 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase k + 1. Entonces para cada γ ∈ Ωk (V ) existe ω = F ∗ (γ) ∈ Ωk (U ), definida en cada x ∈ U de la forma ωx = F ∗ γF (x) . Adem´ as F ∗ : Ωk (V ) → Ωk (U ) es un morfismo de m´ odulos, que conserva la diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, para g ∈ C k (V ) y γi ∈ Ωk (V ): F ∗ (γ1 + γ2 ) = F ∗ γ1 + F ∗ γ2 , F ∗ [gγ] = [F ∗ g][F ∗ γ], F ∗ (dg) = d(F ∗ g).

31

1.6. Uno formas

Demostraci´ on. Dado un sistema de coordenadas lineales yi en E2 , existen gi ∈ C k (V ) tales que X γ= gj dyj , entonces si llamamos Fj = yj ◦ F , tendremos que para cada x ∈ U X ωx = F ∗ [γF (x) ] = gj [F (x)]F ∗ (dF (x) yj ) X = gj [F (x)]dx Fj , y si consideramos un campo de vectores tangentes Dx , correspondientes a un campo D ∈ D(U ), la funci´ on que a cada x ∈ U le hace corresponder X ωx Dx = gj [F (x)]DFj (x), es diferenciable. El resto lo dejamos como ejercicio para el lector.

1.6.1.

Campos gradiente.

Por u ´ltimo si en un espacio vectorial E tenemos un producto interior < ·, · >, entonces E y E ∗ se identifican can´ onicamente por el isomorfismo E −−→ E ∗ ,

v

< v, · > .

y en todos los espacios tangentes Tp (E) tenemos definido un producFigura 1.8. Gradiente de x2 + y 2 to interior, pues todos son can´ onicamente isomorfos a E. Esto nos permite identificar Tp (E) y Tp∗ (E), para cada p ∈ E, mediante el isomorfismo (1.7)

Tp (E) −−→ Tp∗ (E),

Dp

< Dp , · >,

y tambi´en nos permite definir para cada dos campos D, E ∈ Dk (U ), la funci´ on < D, E >= D · E, que en cada x vale < Dx , Ex >= Dx · Ex , la cual es de clase k, pues si en E elegimos una base ortonormal ei , entonces la base dual xi tambi´en es ortonormal y por tanto tambi´en lo son las bases   ∂ ∈ Tx (E), dx xi ∈ Tx∗ (E)), ∂xi x

32

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

y se tiene que para D =

P

fi ∂xi , E =

P

< D, E >= D · E =

gi ∂xi , n X

fi gi .

i=1

Por tanto podemos definir el isomorfismo de m´odulos γ : Dk (U ) → Ωk (U ), D

γD ,

γD (E) = D · E.

Definici´ on. Dado en E un producto interior, llamaremos gradiente de una funci´ on f ∈ C k+1 (U ), al campo grad f = D ∈ Dk (U ) tal que γD = df, es decir el campo D que en cada punto p ∈ U define el vector Dp correspondiente por (1.7) a dp f . Ejercicio 1.6.5 Consideremos un producto interior en E, una base ortonormal ei y el sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a esta base. Demostrar que: 1.- Para toda f ∈ C k+1 (U ) grad f =

X ∂f ∂ ∈ Dk (U ). ∂xi ∂xi

2.- Demostrar que el campo D = grad f , es un campo perpendicular a las superficies de nivel de f . (Ver Fig.1.8) 3.- Demostrar que si U ⊂ R2 , entonces el campo grad f define en cada punto x el vector Dx el cual indica la direcci´ on y sentido de m´ axima pendiente de la gr´ afica de f en el punto (x, f (x)). (Sol.)

1.7.

Sistemas de coordenadas

Proposici´ on 1.31 Las funciones v1 , . . . , vn ∈ C k (U ) son un sistema de coordenadas locales de clase k en x ∈ U si y s´ olo si las dx vi son base de Tx∗ (E).

1.7. Sistemas de coordenadas

33

Demostraci´ on. Por el teorema de la funci´on inversa sabemos que (vi ) es un sistema de coordenadas locales en x ∈ U si y s´olo si, dado un sistema de coordenadas lineales xi , se tiene que  ∂v  i 6= 0, det ∂xj y esto equivale a que los vectores cotangentes dx vi =

n  X ∂vi  j=1

∂xj

(x)dx xj ,

sean base. Nota 1.32 Observemos que de este resultado se sigue que si las diferenciales de un n´ umero finito de funciones diferenciables, son independientes en un punto, tambi´en lo son en un entorno del punto, pues pueden extenderse a una base. Consideremos un difeomorfismo de clase k + 1 F = (v1 , . . . , vn ) : U ⊂ E → F (U ) = V ⊂ Rn , entonces las 1–formas dv1 , . . . , dvn , son base de Ωk (U ), pues dado un sistema de coordenadas lineales xi en E, tendremos que n  X ∂vi  dvi = dxj . ∂xj j=1 Definici´ on. En los t´erminos anteriores denotaremos con ∂ ∂ ,..., ∈ Dk (U ), ∂v1 ∂vn la base dual de las dvi . Si E es de dimensi´ on 1 y v es una coordenada de U ⊂ E, escribiremos df ∂f = . dv ∂v

34

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Ejemplo 1.7.1 Coordenadas Polares. Consideremos el difeomorfismo (ρ, θ) ∈ (0, ∞) × (0, 2π) → (x, y) ∈ R2 \{(x, 0) : x ≥ 0}, para las funciones

ρ=

p x2 + y 2 ,

x = ρ cos θ, y = ρ sen θ,  p 2 2  arc cos x/px + y ∈ (0, π) θ = arc cos x/ x2 + y 2 ∈ (π, 2π) p   arcsin y/ x2 + y 2 ∈ (π/2, 3π/2)

si y > 0, si y < 0, si x < 0.

A las correspondientes funciones (ρ, θ) definidas en el abierto R2 \{(x, 0) : x ≥ 0} las llamamos coordenadas polares, para las que se tiene x y ∂x + ∂y , ρ ρ ∂θ = (∂θ x)∂x + (∂θ y)∂y = −ρ sen θ∂x + ρ cos θ∂y = −y∂x + x∂y .

∂ρ = (∂ρ x)∂x + (∂ρ y)∂y = cos θ∂x + sen θ∂y =

dq=1

Tp(R2) dx=0

dx=1 q

dy=1 y x

y

p

dq=0 r

dy=0

p

Tp(R2)

dr=1

(cos q,sen q)

1

r

dr=0

q 0

1

0

x

Figura 1.9. Parciales de las coordenadas cartesianas y polares.

Ejercicio 1.7.1 Demostrar que: 1) Para y1 , . . . , yn las proyecciones de Rn , y para cada p ∈ U , se tiene que     ∂ ∂ = . F∗ ∂vi p ∂yi F (p) 2) Si f = g(v1 , . . . , vn ), entonces ∂f ∂g = (v1 , . . . , vn ). ∂vi ∂yi

1.7. Sistemas de coordenadas

35

3) Para cada f ∈ C 1 (U ), df =

 n  X ∂f ∂vi

i=1

dvi .

4) Para cada ω ∈ Ωk (U ), ω=

n X

 ω

i=1

∂ ∂vi

 dvi .

5) Para cada campo D ∈ Dk (U ) D=

n X

Dvi

i=1

∂ . ∂vi

Ejercicio 1.7.2 Demostrar que si (u1 , . . . , un ) y (v1 , . . . , vm ) son sistemas de coordenadas de clase k en abiertos U ⊂ E1 y V ⊂ E2 respectivamente, entonces (w1 , . . . , wn+m ) tales que para (p, q) ∈ U × V wi (p, q) = ui (p) ,

para i = 1, . . . , n,

wn+j (p, q) = vj (q) ,

para j = 1, . . . , m,

son un sistema de coordenadas de clase k en U × V . Ejercicio 1.7.3 Demostrar que las funciones ρ y θ definidas en el ejemplo (1.7.1), forman un sistema de coordenadas de clase ∞. Ejercicio 1.7.4 i) En los t´erminos del ejercicio anterior calcular: ∂x2 , ∂ρ

∂θ , ∂x

∂[log (θ) · y] , ∂θ

∂xy . ∂θ

ii) Escribir en las coordenadas polares los campos x

∂ ∂ +y , ∂x ∂y

−y

∂ ∂ +x , ∂x ∂y

y dar una integral primera de cada uno. iii) Escribir en coordenadas (x, y) los campos: ∂ , ∂θ

∂ , ∂ρ

ρ

∂ , ∂θ

ρ

∂ ∂ +θ . ∂ρ ∂θ

iv) Escribir en coordenadas polares las 1–formas dx,

dy,

xdx + ydy,

1 x dx − 2 dy. y y

36

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

v) Escribir en coordenadas (x, y) las 1–formas dθ,

dρ,

ρdρ + θdθ.

Ejercicio 1.7.5 Dados a, c ∈ R, encontrar la soluci´ on de yzx = xzy que satisface cz = (x − y)2 cuando x + y = a. (Sol.)

Ejercicio 1.7.6 a) Encontrar dos integrales primeras del campo de R3 D = −y

∂ ∂ ∂ +x + (1 + z 2 ) . ∂x ∂y ∂z

b) Encontrar una integral primera com´ un a los campos de R3 D = −y

1.8.

∂ ∂ +x , ∂x ∂y

E = 2xz

∂ ∂ ∂ + 2yz + (x2 + y 2 − 1 − z 2 ) .(Sol.) ∂x ∂y ∂z

Ecuaciones diferenciales

Definici´ on. Llamaremos curva parametrizada en el abierto U de E a toda aplicaci´ on de clase 1, definida en un intervalo real X : I ⊂ R −−→ U. Definici´ on. Dado D ∈ Dk (U ) y p ∈ U , diremos que una curva parametrizada X : I −→ U es una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial ordinaria (EDO) aut´ onoma definida por D, o una curva integral de D, si para cada t∈I ∂ X∗ = DX(t) . ∂t t

Figura 1.10. Curva integral de D

37

1.8. Ecuaciones diferenciales

Sea xi un sistema de coordenadas en E y D = denotamos con Xi (t) = xi [X(t)],

P

fi (x1 , . . . , xn )∂i . Si

para X una curva integral de D, tendremos que Xi0 (t) = fi [X1 (t), . . . , Xn (t)]. Ejercicio 1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de un campo D es constante en cada curva integral X de D, es decir que f ◦ X = cte. Ejercicio 1.8.2 Encontrar la curva integral —en forma impl´ıcita—, del campo de R3 ∂ ∂ ∂ +x + (1 + z 2 ) , D = −y ∂x ∂y ∂z que pasa por (1, 0, 0). (Sol.)

1.8.1.

Cambio de coordenadas.

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coordenadas xi Xi0 (t) = fi [X1 (t), . . . , Xn (t)], y dado otro sistema de coordenadas v1 , . . . , vn , podemos escribir el sistema de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que si n X

n

X ∂ ∂ = (Dvi ) ∂xi ∂vi i=1 i=1     n n X X ∂vi  ∂  = fj (x1 , . . . , xn ) ∂xj ∂vi i=1 j=1   n n X X ∂  = hij (v1 , . . . , vn ) , ∂vi i=1 j=1

D=

fi (x1 , . . . , xn )

entonces las componentes de X en el sistema de coordenadas vi , Yi = vi ◦ X, satisfacen el sistema de ecuaciones Yi0 (t) =

n X j=1

hij [Y1 (t), . . . , Yn (t)].

38

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Ejercicio 1.8.3 Obtener la expresi´ on anterior aplicando la regla de la cadena a Yi0 = (vi ◦ X)0 . Ejercicio 1.8.4 Escribir los sistemas de ecuaciones diferenciales  0 x ( 0   x = y2 x = −y y0 = x

  y0 = 1 y

en el sistema de coordenadas polares.

1.8.2.

Ecuaciones diferenciales no aut´ onomas.

Si I es un intervalo abierto de R y U es un abierto de E, en I × U tenemos una derivada parcial especial, aunque no hayamos elegido un sistema de coordenadas en E. Definici´ on. Llamaremos ∂/∂t al campo tangente de D(I × U ) tal que para cada f ∈ C ∞ (I × U ) ∂f f (t + r, p) − f (t, p) (t, p) = l´ım , r→0 ∂t r el cual verifica ∂t/∂t = 1 para la funci´ on de I × U , t(r, p) = r. Definici´ on. Llamaremos soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria no aut´ onoma definida en I × U por un campo D ∈ D(I × U ), tal que Dt = 1, a la proyecci´ on en U de las curvas integrales X de D, tales que t ◦ X = id. Si en U consideramos un sistema de coordenadas xi y en I × U consideramos el sistema de coordenadas (t, x1 , . . . , xn ), entonces los campos D ∈ D(I × U ) tales que Dt = 1, son de la forma D=

∂ ∂ ∂ + f1 (t, x1 , . . . , xn ) + · · · + fn (t, x1 , . . . , xn ) , ∂t ∂x1 ∂xn

y si X es una curva integral suya y llamamos X0 = t ◦ X, Xi = xi ◦ X, tendremos que X00 (r) = 1, es decir que existe una constante k, tal que para todo r, t[X(r)] = X0 (r) = r + k,

1.8. Ecuaciones diferenciales

39

y nuestras soluciones (t ◦ X = id) son las que corresponden a k = 0. Por tanto en coordenadas la soluci´ on X1 , . . . , Xn de una ecuaci´on diferencial ordinaria no aut´ onoma satisface el sistema de ecuaciones diferenciales X10 (t) = f1 [t, X1 (t), . . . , Xn (t)] .. . Xn0 (t) = fn [t, X1 (t), . . . , Xn (t)].

1.8.3.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Consideremos ahora la aplicaci´ on proyecci´ on can´onica π : T (U ) −−→ U,

π(Dp ) = p,

la cual es de clase ∞. Definici´ on. Llamaremos ecuaci´ on diferencial de segundo orden en un abierto U de E a todo campo tangente en el fibrado tangente de U , D ∈ D[T (U )], tal que su proyecci´ on por π sea el campo a soporte universal, es decir π∗ D = E, o lo que es lo mismo tal que para todo Tp ∈ T (U ) π∗ DTp = Tp . Veamos c´ omo es un campo de estos en las coordenadas (xi , zi ) —ver lecci´ on 4—. Por el ejercicio (1.4.3) tenemos que π∗ D = E

⇒

(π∗ D)xi = Exi = zi ,

por tanto son los campos de la forma D=

X

zi

X ∂ ∂ + Dzi , ∂xi ∂zi

y si X es una curva integral suya, tendremos que llamando Dzi = fi (x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ), Xi (t) = xi [X(t)],

Zi (t) = zi [X(t)],

40

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

entonces Xi0 (t) = Zi (t) Zi0 (t) = fi [X1 (t), . . . , Xn (t), Z1 (t), . . . , Zn (t)], o lo que es lo mismo Xi00 (t) = fi [X1 (t), . . . , Xn (t), X10 (t), . . . , Xn0 (t)].

1.9. 1.9.1.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales Problemas Geom´ etricos

Vamos a estudiar las curvas del plano que en cada punto su tangente determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es el dado.

Figura 1.11.

Soluci´ on. Sea y = y(x) una de esas curvas, entonces para cada x0 , su tangente y = xy 0 (x0 ) + b, en el punto (x0 , y(x0 )) verifica y(x0 ) = x0 y 0 (x0 ) + b,

2y(x0 ) = b,

0 = 2x0 y 0 (x0 ) + b,

por tanto para cada x0 , y(x0 ) = x0 y 0 (x0 ) + 2y(x0 ) y nuestra ecuaci´on es xy 0 + y = 0, es decir y0 1 + =0 y x

⇔

(log y + log x)0 = 0

⇔

xy = cte.

y las soluciones son las hip´erbolas con as´ıntotas los ejes.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

41

Ve´ amoslo de otro modo: Sea h = 0 una tal curva, entonces la recta tangente en cada punto suyo p = (x0 , y0 ), h(p) = 0 es de la forma hx (p)(x − x0 ) + hy (p)(y − y0 ) = 0, y pasa por (0, 2y0 ), por tanto hx (p)(−x0 ) + hy (p)(y0 ) = 0, en definitiva h es soluci´on de −xhx + yhy = 0

⇔

Dh = 0,

D = −x∂x + y∂y ,

y el campo D tiene 1–forma incidente xdy + ydx = d(xy), por tanto las soluciones son xy = cte. Ejercicio 1.9.1 Encontrar la curva1 cuya tangente en cada punto P corta al eje y en un punto Q tal que P Q = L y pasa por (L, 0). (Sol.)

Ejercicio 1.9.2 Encontrar la ecuaci´ on de las curvas que en cada punto la normal determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es el dado. (Sol.) Ejercicio 1.9.3 Encontrar la ecuaci´ on de las curvas que en cada punto P la normal corta al eje x en un punto A tal que OP = P A. (Sol.) Ejercicio 1.9.4 Encontrar las curvas del semiplano x > 0, que para cada punto suyo P , el a ´rea del tri´ angulo que forman la tangente, el eje y y la paralela al eje x por P , es proporcional al a ´rea de la regi´ on limitada por la curva, la tangente y el eje y (contando area positiva si la curva est´ a por debajo de la tangente y negativa en caso contrario). (Sol.) par Ejercicio 1.9.5 Encontrar las curvas en el semiplano y > 0, tales que para cada punto P su proyecci´ on A en el eje x se proyecta en el punto B de la normal en P a la curva, de modo que P B sea de longitud constante. (Sol.)

1.9.2.

Problemas Qu´ımicos. Desintegraci´ on.

Los qu´ımicos suelen afirmar como verdad experimental que una sustancia radioactiva se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad de materia que se desintegra, la raz´ on que subyace es que si en cada instante la materia que hay es x(t), despu´es de un tiempo ∆t, habr´a menos, x(t + ∆t) y la diferencia ser´ a peque˜ na si hab´ıa poca materia ´o el tiempo transcurrido ∆t era peque˜ no y grande en caso de ser grande la materia ´ o el tiempo, en definitiva la diferencia parece proporcional al 1 Tal

curva se denomina tractriz .

42

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

producto de esas dos cantidades, la cantidad de materia y el tiempo transcurrido, x(t) − x(t + ∆t) = k∆t · x(t). En tal caso la cantidad de materia en cada instante viene dada por la ecuaci´ on diferencial x0 (t) = −kx(t), donde k > 0, por tanto (1.8)

x0 (t) = −k x(t)

⇔

log x(t) = −kt + cte

x(t) = x(0) e−kt .

⇔

Observemos que el campo tangente asociado est´a en R y en la coordenada x se escribe ∂ D = −kx . ∂x Ejercicio 1.9.6 Si el 20 % de una sustancia radioactiva se desintegra en 10 d´ıas, en cu´ anto tiempo desaparecer´ a el 50 %?. x(t)/x(0)

1 1/2

e-kt 5730 años

t

Figura 1.12. Desintegraci´ on del C 14 .

Nota 1.33 Sobre el Carbono 14. Existen en la naturaleza tres is´otopos del carbono cuyos n´ ucleos contienen diferente n´ umero de neutrones (6, 7 y 8) pero el mismo de protones (6): el C 12 (el 98 % del CO2 del aire es de este), el C 13 (el 1 % del CO2 es de este) y el C 14 (en menor proporci´on que el anterior en el CO2 , pero tambi´en existente). Este u ´ltimo es inestable y radioactivo, por tanto el que queda despu´es de un tiempo t es por (1.8) x(t) = x(0) e−kt ,

k=

log 2 5730 a˜ nos

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

43

(ver la figura (1.12)), donde la constante k es la que corresponde a este material radioactivo (y equivale a decir que la masa de C 14 se reduce a la mitad despu´es de 5730 a˜ nos). Es admitido com´ unmente que C 12 y C 14 , est´an presentes en toda la materia org´ anica viviente en proporci´ on constante. La raz´on que para ello se da es que aunque el is´ otopo C 14 es inestable y lentamente, por la f´ ormula anterior, se transforma en nitr´ ogeno2 y otras part´ıculas, esta p´erdida queda compensada por la constante actividad de neutrones c´ osmicos, que atravesando nuestro Sistema Solar, llegan a la atm´osfera terrestre, donde chocan, a unos 15 km de la superficie terrestre, con el N , cre´ andose C 14 e hidr´ ogeno. Parte de los a´tomos de C 14 y de C 12 en la atm´osfera se oxidan, es decir forman con el ´ oxigeno mol´eculas de CO2 . Todos estos procesos son mas o menos constantes y como consecuencia lo es la proporci´on en el aire del CO2 con C 12 y con C 14 . Las plantas vivas adquieren el carbono del CO2 del ambiente produciendo glucosa (C6 H12 O6 ) durante la fotos´ıntesis. De este modo plantas y animales vivos (que se alimentan de plantas) tienen una proporci´ on constante de ambos carbonos en sus tejidos, que no es otro que el del ambiente. Sin embargo cuando un ser vivo muere el C 12 no se altera y podemos analizar cuanto tiene ahora (un tiempo t despu´es de su muerte) que, al ser constante, es el que ten´ıa cuando muri´o. Por lo que podemos saber la cantidad x(0) de C 14 que ten´ıa entonces (admitiendo que la proporci´ on de ambos en el ambiente de entonces y de ahora es la misma). Ahora bien como este es radioactivo se desintegra (tras la muerte no hay aporte nuevo de este is´ otopo) y como conocemos la constante k en la f´ ormula de su desintegraci´ on, podemos aplicarla para saber la fecha de su muerte, para lo cual basta analizar la cantidad, x(t), de C 14 que hay en la actualidad y despejar t en la f´ ormula. Este m´etodo de dataci´ on por el carbono es usado habitualmente por paleont´ ologos, egipt´ ologos, arque´ ologos, bi´ologos, ge´ologos, qu´ımicos ´ o f´ısicos, quienes est´ an interesados en determinar la edad de huesos, pinturas ´ o cualquier tipo de resto org´ anico. Y como lo habitual es considerarlo un buen m´etodo, es preciso recordar sus limitaciones, es decir todas las hip´ otesis que hay detr´ as de la conclusi´on. Entre ellas, una aproximaci´ on matem´ atica continua y sencilla de una realidad discreta y compleja; constancia de bombardeo c´ osmico; constancia de ´atomos y mol´eculas en la atm´ osfera y en la superficie de la tierra, durante miles 2 El

N tiene 7 protones y 7 neutrones

44

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

de a˜ nos, etc. El m´etodo no tiene en cuenta cat´astrofes a nivel mundial: explosiones de supernovas que hayan afectado a la Tierra, emisiones solares extra˜ nas, meteoritos, volcanes o grandes tormentas. Siendo casi cotidianos algunos de estos fen´ omenos. Debemos recordar pues, que todas estas hip´ otesis, son tan s´olo hip´otesis, es decir algo simple de lo que partir, pero no demostrado en el ´ambito cient´ıfico. No obstante s´ı es verdad que pueden hacerse dataciones por otros m´etodos y cotejarlas permitiendo una verosimilitud mayor en la dataci´ on.

Ejercicio 1.9.7 Si es cierto3 que en una econom´ıa la velocidad de disminuci´ on del n´ umero de personas y(x), con un salario de por lo menos x euros, es directamente proporcional al n´ umero de personas e inversamente proporcional a su salario m´ınimo, obt´engase la expresi´ on de y en t´erminos de x llamada ley de Pareto. (Sol.) Ejercicio 1.9.8 La ley experimental de Lambert4 establece que las l´ aminas delgadas de un material transparente absorben la luz que incide en ellas de forma proporcional a la intensidad de la luz incidente y al ancho de la l´ amina que atraviesa. Expr´esese esta ley dando la f´ ormula que da la intensidad de luz que sale de un medio de ancho L. (Sol.)

1.9.3.

Problemas Biol´ ogicos.

1.- Consumo de bacterias. Admitiendo que las bacterias que se suministran como alimento a una poblaci´ on de protozoos (a raz´on constante), son consumidas a una velocidad proporcional al cuadrado de su cantidad, se pide encontrar: (a) El n´ umero de bacterias b(t) en el instante t, en t´erminos de b(0). b) ¿Cu´ antas bacterias hay cuando la poblaci´on est´a en equilibrio?. Soluci´ on.- Sea y(t) el n´ umero de bacterias que hay en el instante t y x(t) el n´ umero de bacterias consumidas en el per´ıodo (0, t), entonces y(t) = y(0) + kt − x(t),

x0 (t) = ay 2 (t),

x(0) = 0,

3 Como pensaba Vilfredo Pareto, (1848–1923), economista, soci´ ologo y fil´ osofo franc´ es. 4 Lambert, Johann Heinrich (1728–1777), fue un matem´ atico, f´ısico, astr´ onomo y fil´ osofo alem´ an de origen franc´ es.

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

45

por tanto y 0 (t) = k − ay 2 , que corresponde al campo ∂ ∂ + (k − ay 2 ) , ∂t ∂y p que tiene uno forma incidente, para λ = k/a   dy 1 λ+y −adt + 2 = d log − at , λ − y2 2λ λ−y y la soluci´ on es λ+y = c eλat , λ−y

c=

λ + y(0) . λ − y(0)

2.- Reproducci´ on de bacterias. Se sabe que la velocidad de reproducci´ on de las bacterias es, cuando no hay demasiadas, casi proporcional al n´ umero de bacterias, y cuando hay demasiadas estas influyen negativamente y la velocidad de reproducci´ on se hace negativa. Se plantea as´ı la siguiente ecuaci´ on x0 (t) = k1 x(t) − k2 x2 (t), con k1 , k2 > 0, y k2 peque˜ no. El campo tangente asociado est´a en R y en la coordenada x se escribe D = (k1 x − k2 x2 )

∂ . ∂x

Ejercicio 1.9.9 Demu´estrese que la velocidad de reproducci´ on es m´ axima cuando la poblaci´ on de bacterias tiene la mitad de su tama˜ no de equilibrio.

1.9.4.

Problemas F´ısicos.

Ley de Galileo. Consideremos un cuerpo de masa 1. La ley de Galileo nos asegura que en ca´ıda libre su aceleraci´ on x00 (t) es constante e igual a g. Es una ecuaci´ on diferencial de segundo orden en la recta, la cual define una ecuaci´ on diferencial en el fibrado tangente de la recta, que en coordenadas (x, z) se plantea de la forma  ) z(t) = gt + z(0)  x0 (t) = z(t) ⇒ 1 z 0 (t) = g x(t) = gt2 + x0 (0)t + x(0) 2

46

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

y cuyo campo asociado es D=z

∂ ∂ +g . ∂x ∂z

´ n Universal de NewLeyes de Newton. La Ley de la atraccio ton asegura que dados dos cuerpos con masas M y m a distancia R, se produce una fuerza de atracci´ on F de m hacia M —y otra (−F ) de M hacia m—, de m´ odulo GM |F | = m 2 , R Si consideramos un sistema de coordenadas centrado en5 M y denotamos σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) la posici´ on en el instante t de m, tendremos que su velocidad es σ˙ y su aceleraci´ on σ ¨ y por la Segunda Ley de Newton, la aceleraci´ on de m vale, para el vector unitario u = σ/|σ| = σ/R m¨ σ=F =−

GM m u, R2

3

2

m 0 −11 N m donde G = 6, 6742·10−11 kg·seg 2 (= 6 6742·10 kg2 ) es una “constante Universal”. Ahora bien esto nos dice por una parte, que si M = 5, 9736×1024 kg es la masa de la Tierra, en las proximidades de su superficie, la masa m sufre una aceleraci´ on constante

|¨ σ| = g =

GM m = 90 8 R2 seg2

independiente del valor de su masa, donde R es el radio de la tierra. Con lo cual obtenemos la Ley de Galileo. Adem´ as σ ¨ = −gu y u (que apunta al centro de la tierra) localmente es casi constante (0, 0, 1), por lo tanto x ¨ = y¨ = 0 y z¨ = −g, de donde x(t) = ut + a,

y(t) = vt + b,

z(t) = −

gt2 + wt + c, 2

para σ(0) = (a, b, c) y σ(0) ˙ = (u, v, w), y la trayectoria es una par´abola. 5 Suponemos que la masa M es mucho m´ as grande que la de m y que est´ a quieto, aunque no lo est´ a, ambos giran en torno al centro de masa de los dos, que s´ı podemos considerar quieto (ver la p´ ag404). En el caso de la tierra y el sol tal centro de masas est´ a en el interior del sol.

47

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales (u,v,w) (x(t),y(t),z(t))

(a,b,c)

Figura 1.13.

Por ejemplo, para σ(0) = 0 y σ(0) ˙ = (1, 0, 0), la soluci´on es x(t) = t,

y(t) = 0,

z(t) = −

gt2 2

⇒

z=−

gx2 . 2

Nota 1.34 Por otra parte tambi´en tenemos una explicaci´on de esa constante G. Acabamos de decir que un cuerpo con masa M acelera a todos los cuerpos que est´en a distancia d con la misma aceleraci´on a y que esta aceleraci´ on determina la masa M , pues ma = G

Mm d2

(⇔ GM = ad2 ).

Esto nos permite definir a partir de unidades de longitud y tiempo (como metro y segundo) una unidad de masa can´ onica. Llamemos kg Natural a la masa de un cuerpo que a 1 metro acelera a cualquier cuerpo 1 m/seg 2 . Naturalmente como el kg es una unidad cuyo origen hist´orico es independiente del metro y del segundo, (es la masa de 1 cubo de agua de 1 dec´ımetro de lado —es decir de 1 litro—), pues no coincide con el kg Natural y la proporci´ on entre ambos es esta constante Universal G. Es decir que la naturaleza m´ agica de ese misterioso n´ umero universal est´a en la elecci´ on arbitraria del kg que, tambi´en es cierto, puede ser mas operativo que el del kg Natural. Debemos observar tambi´en que los valores de G y de M se estiman peor que lo que puede estimarse su producto GM , pues GM = ad2 podemos estimarlo con cualquier objeto del que conozcamos su distancia d al centro de M y su aceleraci´ on a, por ejemplo en el caso de la Tierra se estima (1.9)

GM = 398 600, 4418

km3 , seg2

48

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

mientras que el producto de G y M , estimados por separado, es km3 kg · seg2 kg

G = 6, 6742 · 10−20 M = 5, 9736×1024

⇒

GM = 398 690, 0112

km3 . seg2

Por otra parte en La Teor´ıa de la Relatividad la constancia de la velocidad de la luz nos permite relacionar las unidades de tiempo y de longitud y hablar de a˜ nos-luz como unidad de longitud. Es decir que las unidades de longitud y tiempo se determinan mutuamente y con ellas se determina una unidad de masa. Pero ¿habr´a alguna unidad de longitud can´ onica?. Es posible que sea as´ı puesto que en el Universo hay protones. Y es posible que alguna de las constantes universales de la f´ısica (de Planck, etc.), sea la confirmaci´on de esto (en cuyo caso el n´ umero que define esa constante en unas unidades ser´ıa consecuencia, una vez mas, de la elecci´ on arbitraria de dichas unidades. Pero esto es hablar por no callar... El p´endulo. Consideremos un p´endulo de masa m suspendido, en el origen de coordenadas de R2 , por una barra r´ıgida de masa despreciable y de longitud L. Su posici´ on, en cada instante t (ver figura (1.14), viene determinada por el ´ angulo θ(t) que forma la barra en el instante t con el semieje negativo de las ordenadas, medido en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj. Tal posici´ on es σ(t) = L(sen θ(t), − cos θ(t)) = Le1 (t), y como e01 = θ0 (t)(cos θ(t), sen θ(t)) = θ0 (t)e2 (t), e02 = θ0 (− sen θ, cos θ) = −θ0 e1 , tendremos que la velocidad del p´endulo en cada instante t vendr´a dada por v(t) = σ 0 (t) = Lθ0 (t)e2 (t), y la aceleraci´ on por a(t) = σ 00 (t) = Lθ00 (t)e2 (t) − Lθ0 (t)2 e1 (t)

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

49

Figura 1.14. P´ endulo

Por otra parte sobre la masa act´ uan dos fuerzas por unidad de masa, la de la gravedad que es (0, −g) y otra con la direcci´on de la barra F e1 (t), que impide que la masa deje la circunferencia y que unas veces apuntar´ a en la direcci´ on del centro de la circunferencia (F < 0) y otras en direcci´ on contraria (F > 0). La de la gravedad se descompone en t´erminos de la base e1 , e2 de la forma (0, −g) = ((0, −g) · e1 )e1 + ((0, −g) · e2 )e2 = mg cos θe1 − mg sen θe2 , y por la segunda Ley de Newton ma(t) = (0, −mg) + mF e1 , es decir Lθ00 (t)e2 − Lθ0 (t)2 e1 = g cos θe1 − g sen θe2 + F e1 , lo cual equivale al par de ecuaciones Lθ00 (t) = −g sen θ,

−Lθ0 (t)2 = g cos θ + F,

y el movimiento del p´endulo queda descrito por la ecuaci´on (1.10)

θ00 (t) = −

g sen θ(t). L

Puesta en coordenadas es una ecuaci´ on diferencial de segundo orden en la recta real. Aunque realmente es una ecuaci´on diferencial de segundo orden en la circunferencia y corresponde a un campo tangente en el fibrado tangente a la circunferencia, que es el cilindro. Para resolver esta ecuaci´ on introducimos una nueva variable z (la velocidad de la masa, que es k v k), y consideramos el sistema z(t) , L z 0 (t) = −g sen θ(t), θ0 (t) =

50

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

que corresponde al campo tangente z ∂ ∂ − g sen θ . L ∂θ ∂z

D=

Observemos que ωD = 0 para la 1–forma exacta ω = Lg sen θdθ + zdz = d[

z2 − gL cos θ], 2

por lo que la funci´ on z2 − gL cos θ, 2 que verifica h ≥ −gL, es una integral primera de D y por tanto es constante en las curvas integrales de D (ver dibujo (1.15). Esto demuestra la Ley de conservaci´ on de la energ´ıa en el p´endulo, pues la suma de la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial de m es h=

Ec + Ep = m

-p

z 2 (t) − mgL cos θ(t) = mh. 2

0

p

2p

3p

Figura 1.15. Curvas integrales

Nota 1.35 Observemos (ver figura (1.15)), que hay cuatro tipos de curvas integrales y que est´ an sobre las curvas {h = cte}: Las constantes, que corresponden a los puntos en los que D = 0, que son (0, 0) y (π, 0) —en la franja [0, 2π) × R—. El primero est´ a sobre la curva {h = h(0, 0) = −gL}, que s´ olo contiene al punto (0, 0), pues z 2 = 2gL(cos θ − 1) ≤ 0, mientras que el segundo est´ a sobre la curva especial {h = h(π, 0) = gL} = C ∪ {(π, 0)}, que est´ a formada por dos curvas integrales: la constante (π, 0) y el resto C que representa el movimiento del p´endulo que se aproxima, cuando t → ∞, al punto m´ as alto de la circunferencia, con velocidad tendiendo a cero, sin alcanzarlo nunca salvo en el l´ımite. Esta curva integral es la u ´nica no peri´ odica. La curva integral de D, τp (t) = (θ(t), z(t)), con las condiciones iniciales p = (π, z0 ), con z0 6= 0, esta sobre la curva h(θ, z) = h(π, z0 ) > gL,

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

51

y se demuestra que esta curva es la trayectoria de τp y que esta es peri´ odica de per´ıodo 2π. Por u ´ltimo la curva integral de D, τp (t) = (θ(t), z(t)), con las condiciones iniciales p = (θ0 , 0), con π 6= θ0 6= 0, satisface la ecuaci´ on h(θ, z) = h(θ0 , 0) < gL que son los ´ ovalos en la figura 1.15. Se sigue de (2.28), p´ag.100, que τp es completa es decir definida en todo R y como el campo no se anula en esta curva, se sigue de (5.37), p´ ag.322, que la trayectoria de τp es el ´ovalo y que τp es una curva peri´ odica, es decir existe el m´ınimo valor T > 0 —al que llamamos per´ıodo de la curva—, tal que τp (0) = τp (T ) = p. Y para θ0 > 0 tenemos que ( p − 2gL(cos θ(t) − cos θ0 ), si t ∈ [0, T /2]; z(t) = p 2gL(cos θ(t) − cos θ0 ), si t ∈ [T /2, T ]. Si se quiere encontrar θ(t) es necesario resolver una integral el´ıptica de primera especie, pues integrando entre 0 y t θ0 (t) dt, dt = L z(t) s Z Z t L θ(t) dθ θ0 (t) √ dt = − , t= L z(t) 2g θ(0) cos θ − cos θ0 0 y por tanto s

Z L θ0 dθ √ , 2g −θ0 cos θ − cos θ0 s Z L θ0 dθ √ T =4 , 2g 0 cos θ − cos θ0

T = 2

y utilizando la igualdad θ cos θ = 1 − 2 sen2 , 2 se tiene que s T =2

L g

Z 0

θ0

dθ q

sen2 θ20

− sen2

, θ 2

52

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

y con el cambio de variable sen tendremos

θ0 θ = sen sen ϕ = a sen ϕ, 2 2 s

T =4

L g

Z 0

π/2

dϕ p

1 − a2 sen2 ϕ

,

y como para |x| < 1 se tiene √

1 1·3 2 1·3·5 3 1 x + x + ··· =1+ x+ 2 2·4 2·4·6 1−x

se demuestra (para x = a2 sen2 ϕ) que s " #  2  2  2 1 1·3 1·3·5 L 2 4 6 1+ T = 2π a + a + a + ··· , g 2 2·4 2·4·6 y se tiene que si θ0 → 0 entonces a → 0 y el per´ıodo converge a s L . (1.11) T = 2π g Ejercicio 1.9.10 Una masa se desplaza infinitesimalmente del punto mas alto de una esfera lisa de radio L y empieza a resbalar sin rozamiento ni rotaci´ on. ¿En que punto y con que velocidad se separa de la esfera?. (Sol.)

A menudo (1.10) se transforma por g θ00 (t) = − θ(t), L que es una buena aproximaci´ on para peque˜ nas oscilaciones del p´endulo, pues para θ peque˜ no θ ≈ sen θ, y tiene la ventaja de ser mas sencilla de resolver. Sin embargo la raz´ on de esta aproximaci´ on la veremos en la lecci´on 5.2, p´ ag.278, donde probaremos que una ecuaci´ on diferencial en un punto singular tiene asociada, can´ onicamente, otra ecuaci´on diferencial en su espacio tangente, a la que llamamos su linealizaci´ on. En el tema de los sistemas lineales veremos que x00 = −k 2 x,

53

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

—con k > 0—, tiene soluci´ on peri´ odica x(t) = A · cos(kt) + B · sen(kt) = C · cos(kt + α), para α ∈ [0, 2π) y C= y que para k = (1.12)

p A2 + B 2 ,

cos α =

A , C

sen α = −

B , C

p g/L) el per´ıodo es 2π T = = 2π k

s

L = R2π g

r

L , MG

que es el valor l´ımite (1.11), donde recordemos que R es la distancia de la masa al centro de la Tierra. Con esto tenemos una justificaci´ on de por qu´e un reloj de p´endulo atrasa si lo llevamos del polo al ecuador, en el que la distancia al centro de la tierra es mayor. Ejercicio 1.9.11 Justif´ıquese por qu´e un reloj de p´endulo atrasa si lo llevamos del polo al ecuador y est´ımese la proporci´ on de abultamiento de la Tierra en esos puntos, si el mismo tiempo (medido en ambos puntos con otro reloj) en uno de los puntos el reloj de p´endulo lo mide de 1h, 100 y 5200 y en el otro de 1h, 100 y 3800 . (Sol.) Ejercicio 1.9.12 Nos movemos en un columpio de longitud L, con el asiento a distancia r del suelo (que est´ a horizontal). Salimos con velocidad nula y a ´ngulo α con la vertical, pasamos el punto m´ as bajo un a ´ngulo β y nos tiramos en marcha dej´ andonos caer por la gravedad hasta llegar al suelo. Calcular el tiempo que pasamos en el aire y la distancia en el suelo desde el pie del columpio al lugar de llegada; demostrar que esta distancia es independiente de la gravedad y que la velocidad con que llegamos al suelo es independiente de β. Dar su valor. (Sol.)

1.9.5.

Problemas Arquitect´ onicos. La catenaria.

Planteamos el problema de encontrar la curva que hace una cadena6 fina cuando la sujetamos en dos puntos. 6 Jakob Bernoulli (1655–1705) fue el primer matem´ atico de una familia de excelentes cient´ıficos suizos. En 1691 estudi´ o esta curva, llamada catenaria.

54

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Figura 1.16. Catenaria.

En cada punto B (ver la Fig.1.17) la cadena est´a en equilibrio por las dos fuerzas de tensi´ on (contrarias) que act´ uan sobre ella.

B

0

Figura 1.17. Fuerzas horizontal y vertical en la catenaria.

Una la realiza la parte de la cadena que est´a a la derecha de B (suponiendo que este est´ a a su vez a la derecha del punto m´as bajo de la cadena), tirando de la cadena hacia arriba, y otra la que realiza la parte izquierda de la cadena tirando hacia abajo. Descompongamos estas fuerzas en sus componentes horizontal y vertical. Son iguales y de sentido contrario pues el punto est´ a en equilibrio, pero adem´as las componentes horizontales no dependen del punto B que hayamos considerado, es constante. Para justificarlo mantengamos la cadena inm´ovil y sujet´emosla por el punto B y por el punto m´ as bajo 0. La fuerza en B no ha cambiado y la fuerza en 0 es horizontal, igual y de sentido contrario que la componente horizontal de la fuerza en B, pues en caso contrario cambiando la cadena por otro objeto id´entico en forma y masa, pero r´ıgido, se desplazar´ıa horizontalmente en el sentido de la de mayor fuerza. Como esto no ocurre, pues la cadena est´ a quieta, concluimos. Por otra parte la fuerza vertical que act´ ua sobre el punto B es el peso de la cuerda desde el punto m´ as bajo O, hasta el punto B. Consideremos la curva que define la cadena [x(t), y(t)] y sea s el par´ ametro longitud de arco, Z tp (x(t) ˙ 2 + y(t) ˙ 2 )dt, s(t) = 0

tomando como s = 0 el punto m´ as bajo 0 = (x(0), y(0)) —en el que la tangente es horizontal—, (donde usamos la notaci´on h˙ = dh/dt y h0 = dh/dx) y sea w la densidad lineal de la cadena, de modo que el

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

55

peso de la cuerda entre a y b es Z

b

w(s)ds, a

en estos t´erminos se tiene que s(t)

Z x(t) ˙ = c = 1/k (cte) > 0,

y(t) ˙ =

w(s)ds, 0

y al ser k 6= 0, tendremos que dt = kdx, por lo tanto y 0 [x(t)] =

y(t) ˙ =k x(t) ˙

Z

s(t)

Z w(s)ds = k

0

t

w[s(t)]s(t)dt, ˙ 0

y derivando respecto de t y aplicando la regla de la cadena p y 00 [x(t)]x(t) ˙ = kw[s(t)]s(t) ˙ ⇒ y 00 = kw[s(t)] 1 + y 02 . Ahora consideremos el caso particular en que la densidad es constante w = 1, en cuyo caso la masa de un trozo es proporcional a su longitud y la pendiente y 0 (x) de la curva en todo punto B = (x, y(x)) es proporcional a la longitud OB de la curva, para 0 el punto mas bajo. Y se tiene que 00

y =k

p

1+

y 02

⇒

y 0 = z, p z0 = k 1 + z2,

que corresponde al campo, en el plano zy, z

p ∂ ∂ + k 1 + z2 , ∂y ∂z

del que podemos calcular una integral primera f´acilmente, mediante su 1–forma incidente p z dy − √ dz = d[y − c 1 + z 2 ], k 1 + z2 √ cuya soluci´ on es para cada constante a, y = c 1 + z 2 + a. Ahora despejando y 0 = z, tenemos la nueva ecuaci´ on p (1.13) y 0 = k (y − a)2 − c2 ,

56

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

de la que consideramos la 1–forma que define   p c p dy − dx = d c log[y − a + (y − a)2 − c2 ] − x , (y − a)2 − c2 por tanto la soluci´ on es para cada constante b p x = c log[y − a + (y − a)2 − c2 ] + b p ek(x−b) = y − a + (y − a)2 − c2 ⇒  2 (y − a)2 = ek(x−b) −y + a + c2 ⇒

⇒

2 ek(x−b) (y − a) = e2k(x−b) +c2 c2 e−k(x−b) ek(x−b) + = 2 2
1 kx−r =a+ e + er−kx = 2k cosh(kx − r) =a+ k

y =a+

para7 er = c ekb . Que es la ecuaci´ on de la catenaria (observemos que es una traslaci´ on y una homotecia de raz´ on 1/k de y = cosh x, por lo tanto toda catenaria es y = cosh x, vista mas cerca o mas lejos). p 1 + y 02 , si Otra forma de resolverlo es la siguiente: como y 00 = k p 0 0 on se convierte en f = k 1 + f 2 y consideramos f = y , nuestra ecuaci´ por tanto elevando al cuadrado y derivando (y como f 0 = y 00 > 0) f 02 = k 2 (1 + f 2 )

⇒

f 0 f 00 = k 2 f f 0

⇒

f 00 = k 2 f,

siendo ekx y e−kx soluciones triviales de esas ecuaciones, que estudiaremos en la p´ ag.233, del Tema de las EDO lineales, y base de soluciones pues podemos elegir constantes adecuadas para obtener la que queramos con unas condiciones iniciales dadas, y(0), y 0 (0). f = c1 ekx +c2 e−kx 7 El

⇔

y =a+

c1 kx c2 −kx e + e . k −k

seno hiperb´ olico y el coseno hiperb´ olico se definen como

ex − e−x , 2 y tienen las propiedades elementales senh(x) =

cosh0 = senh,

senh0 = cosh,

cosh(x) =

ex + e−x . 2

cosh2 − senh2 = 1,

cosh0 =

p

cosh2 x − 1.

57

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

La catenaria en arquitectura.- Ante todo observemos que la catenaria, tiene la propiedad de que en cada punto B (ver la Fig.1.17), la pendiente de su tangente es, salvo un factor constante, el peso de la cadena desde el punto mas bajo O hasta el punto considerado, ´o equivalentemente –pues es de densidad constante–, la longitud de dicho trozo.

Figura 1.18. Arco de catenaria dado la vuelta.

Esta peculiaridad de la catenaria tiene una aplicaci´on extraordinaria en construcci´ on8 pues dada la vuelta tiene la propiedad de autosoportarse, por lo que un arco con forma de catenaria formado por bloques, no necesitar´ a de argamasa para sujetarse, la fuerza de la gravedad los mantendr´ a unidos (ver la fig. 1.20). 0

FB

P0B P0A FA

A

FA FB P

B

Figura 1.19. Fuerzas que act´ uan en el arco AB

Para verlo consideremos un trozo de la catenaria invertida (ver Fig.1.19), de extremos A y B y veamos que fuerzas act´ uan sobre ´el. Denotemos con O el punto mas alto de la curva en el que la tangente es horizontal. Las fuerzas que act´ uan sobre AB son tres: El peso P , que es vertical hacia abajo y su intensidad es (salvo un factor constante) la longitud de la curva AB, la fuerza FA en A que produce OA y es tangente a la curva, siendo su componente horizontal constante y su componente vertical la longitud OA y va de arriba a abajo y la fuerza FB en B que es tangente a la curva y la produce por reacci´ on el trozo que est´a bajo B y que va de abajo a arriba, su componente horizontal es constante y la vertical 8 Recomendamos la obra del genial arquitecto espa˜ nol Antonio Gaud´ı (1852–1926), que la utiliz´ o profusamente.

58

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

es la longitud OB. Estas tres fuerzas son exactamente las que actuaban sobre el trozo de catenaria, pero giradas, se sigue de forma inmediata que FA + FB + P = 0, pero adem´ as tambi´en es nulo el momento externo total (ver la lecci´ on 3.8.6, p´ ag. 181), pues lo era para la catenaria ya que estaba en equilibrio. Por tanto el trozo tambi´en est´a en equilibrio.

Figura 1.20. Arco de catenaria

Veamos expl´ıcitamente que para el trozo AB del arco de catenaria invertida y = − cosh x, el momento o torque (ver la lecci´ on 3.8.6, p´ ag. 181), de las tres fuerzas FA , FB y P es nulo A = (x0 , y(x0 )),

FA = (1, y 0 (x0 )),

B = (x1 , y(x1 )), FB = −(1, y 0 (x1 )), Z x1 p P = (0, − 1 + y 02 dx), x0

estando aplicado P en el centro de gravedad de AB p ! Rx R x1 p x 1 + y 02 dx x01 y(x) 1 + y 02 dx x0 C = R x1 p , R x1 p , 1 + y 02 dx 1 + y 02 dx x0 x0 p ahora bien y 0 = − senh x, por tanto y 00 = y = − 1 + y 02 y tenemos que el torque es Λ = A × FA + B × FB + C × P = (x0 y 0 (x0 ) − y(x0 ) − x1 y 0 (x1 ) + y(x1 ) −

Z

x1

x x0

p

1 + y 02 dx)e3 = 0,

59

1.9. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

pues (xy 0 )0 = y 0 + xy 00 e integrando x1 y 0 (x1 ) − x0 y 0 (x0 ) = y(x1 ) − y(x0 ) +

Z

x1

xy 00 dx.

x0

La catenaria y el electromagnetismo.- En presencia de un campo gravitatorio F constante, la trayectoria de una masa puntual m, que sigue la ley de Newton (mv)0 = ma = F , es una par´abola (ver la p´ag.46). Veamos qu´e ocurre en presencia de un campo el´ectrico constante. En el marco de la Teor´ıa de la Relatividad, la Ley de Lorentz (ver p´ ag.933) establece que en presencia de un campo electromagn´etico (E, B), una part´ıcula de carga q y masa en reposo p m se mueve con una velocidad σ, ˙ de modo que para v = |σ|, ˙ M = m/ 1 − v 2 /c2 la masa aparente y c la velocidad de la luz, el momento p = M σ˙ verifica p˙ = q(E +

σ˙ × B). c

En el caso particular de un campo el´ectrico E constante y B = 0 (que son soluciones de la Ecuaci´ on de Maxwell, ver p´ag.938), la part´ıcula se mueve en un plano y podemos simplificar el problema. Para E = (0, 1) y B = 0, buscamos la soluci´ on σ(t) = (x(t), y(t)) de esa ecuaci´on p˙ = qE, en el plano xy, que en t = 0 pasa por el origen con velocidad (x(0), ˙ y(0)) ˙ = (u, 0). Es decir para las componentes del momento p1 = M x˙ y p2 = M y˙ p˙1 = 0,

p˙2 = q,

x(0) = y(0) = y(0) ˙ = 0,

x(0) ˙ = u,

por tanto tendremos que p1 = M x˙ es constante y vale k = M (0)u = p mu/ 1 − u2 /c2 y p2 = M y˙ = qt, por tanto como v 2 = x˙ 2 + y˙ 2 , M 2 v 2 = k 2 + q 2 t2 y por la definici´ on de M y esto (y una simple cuenta para la segunda igualdad) M2 =

v2 m2 = M 2 2 + m2 v2 c 1 − c2

c2 m2 + k 2 + q 2 t2 k 2 + q 2 t2 2 + m = c2 c2 √ y por lo tanto para L = k 2 + c2 m2 =

x˙ =

k ck =p 2 M L + q 2 t2

y˙ =

qt cqt =p , 2 M L + q 2 t2

60

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

e integrando, teniendo en cuenta que x(0) = y(0) = 0, obtenemos p p ck qt + L2 + q 2 t2 ck 2 (log(q t + q L2 + q 2 t2 ) − log(qL) = log , x(t) = q q L c p y(t) = ( L2 + q 2 t2 − L) q p y para K = q/kc, (Kky+L)2 = L2 +q 2 t2 , por tanto qt = (Kky + L)2 − L2 y la curva en t´erminos de xy es p (Kky + L)2 − L2 + kKy + L Kx = log , L y aplicando la exponencial p eKx L = (Kky + L)2 − L2 + kKy + L ⇒ (e

Kx

⇒ (e

2Kx

2

2

⇒ 2

L − (kKy + L)) = (Kky + L) − L 2

2

L + L = 2e

Kx

L(kKy + L)

⇒ kKy = L(cosh(Kx) − 1)

⇒

⇒

⇒ y=

L (cosh(Kx) − 1) kK

que es una catenaria dilatada en el eje y por L/k = c/u. Veamos a que curva converge cuando la velocidad de la luz c → ∞, para ello observemos que el desarrollo en serie de   1 X (Kx)n X (−Kx)n 1 + cosh(Kx) = (eKx + e−Kx ) = 2 2 n! n! 2 2 4 4 K x K x =1+ + + ··· , 2 4! por tanto como L/k = c/u y cK = q/k L c K 2 x2 K 4 x4 (cosh(Kx) − 1) = ( + + ···) kK uK 2 4! 2 2 4 2 2 4 cK x K x q x K x = ( + + ···) = ( + + ···) u 2 4! uk 2 4!

y=

y como k → mu y K → 0, el resultado es la par´abola y=

qx2 , 2mu2

que es la que corresponde a la ecuaci´ on x ¨ = 0 y m¨ y = q con las mismas condiciones iniciales.

1.10. Ejercicios resueltos

1.10.

61

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.4.1.- (a) Demostrar que existe una biyecci´ on entre campos de vectores F : U −→ E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U } de clase k, que verifica: (i) Si a F le corresponde {Dp } y a G {Ep }, entonces a F +G le corresponde {Dp + Ep }. (ii) Si a F le corresponde {Dp } y f ∈ C k (U ), entonces a f F le corresponde {f (p)Dp }. (b) Demostrar que {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U } es un campo de vectores tangentes de clase k si y s´ olo si la aplicaci´ on σ : U −→ T (U ), σ(p) = Dp es una secci´ on de π, de clase k. Demostraci´ on. (a) Consideremos un sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a una base ei de E. Para cada F : U −→ E consideramos las funciones fi = xi ◦ F , entonces para cada p ∈ U tenemos el vector de E F (p) = f1 (p)e1 + · · · + fn (p)en , el cual corresponde por el isomorfismo can´ onico E −→ Tp (E), al vector de Tp (E)  ∂   ∂  . Dp = f1 (p) + · · · + fn (p) ∂x1 p ∂xn p Ahora F es de clase k si y s´ olo si las fi ∈ C k (U ) y es f´ acil comprobar que los Dp satisfacen la condici´ on de la definici´ on (1.4.1). Rec´ıprocamente si para cada p ∈ U tenemos un vector  ∂   ∂  Dp = f1 (p) + · · · + fn (p) ∈ Tp (E), ∂x1 p ∂xn p verificando la condici´ on de (1.4.1), entonces como Dp xi = fi (p) tendremos que fi ∈ C k (U ) y la aplicaci´ on F : U −→ E, F (p) = f1 (p)e1 + · · · + fn (p)en , es de clase k. Que esta correspondencia tiene las propiedades (i) y (ii) es evidente. (b) Es f´ acil comprobar que si a los {Dp } les corresponde F por la parte (a), entonces σ U T (U p → σ(p) = Dp  −−→  )      idy y y y U −−→ U × E p → (p, F (p)) y σ es de clase k si y s´ olo si F es de clase k.

Ejercicio 1.4.2.- Demostrar que entre los conjuntos de vectores {DpF ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, con la propiedad de que para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´ on p ∈ V −−→ DpF f ∈ R, est´ a en C ∞ (V ) y el espacio DF (U ), existe una biyecci´ on verificando las siguientes condiciones:

62

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

(i) Si DF , E F ∈ DF (U ), entonces para cada p ∈ V (DF + E F )p = DpF + EpF . (ii) Si f ∈ C ∞ (V ), entonces para cada p ∈ V (f · DF )p = f (p) · DpF . Indicaci´ on.- Consideremos DpF f = DF f (p).

Ejercicio 1.4.3.- Sea F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 , diferenciable. (a) Demostrar que para cada D ∈ D(V ) y p ∈ V (F∗ D)p = F∗ Dp . (b) Demostrar que para cada campo D ∈ D(U ) y p ∈ V [F ∗ D]p = DF (p) , y que DF (U ) es un m´ odulo libre con base   ∂ F∗ , ∂xi para cada sistema de coordenadas lineales xi en U . (c) Demostrar que {DpF ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, satisface las condiciones de (a) —y por tanto define un campo a soporte DF ∈ DF (U )— si y s´ olo si σ : V −−→ T (U ) , σ(p) = DpF , es una aplicaci´ on de clase ∞, tal que π ◦ σ = F . Soluci´ on. (b) Basta demostrar punto a punto la igualdad   n X ∂ DF = (DF xi )F ∗ . ∂xi i=1 (c) Consideremos la aplicaci´ on H : V → E1 , definida para cada p ∈ V como el vector H(p) ∈ E1 , correspondiente por el isomorfismo can´ onico TF (p) (E1 ) → E1 , a P P DpF . Es decir que si DpF = hi (p)[∂/∂xi ]F (p) , entonces H(p) = hi (p)ei —para ei la base dual de xi —. En estos t´ erminos tenemos que {DpF ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, satisface las condiciones de (a) si y s´ olo si las hi ∈ C ∞ (V ), es decir si y s´ olo si H es de clase ∞, ahora bien esto equivale a que la aplicaci´ on σ(p) = DpF sea de clase ∞, pues σ V T (U p → σ(p)  = DpF  −−→  )      Fy y y y U −−→ U × E1 F (p) → (F (p), H(p))

63

1.10. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.5.3.- Demostrar que para p ∈ U y dp f 6= 0, el hiperplano H = {Dp ∈ Tp (E) : dp f (Dp ) = 0}, es tangente a la hipersuperficie S = {x : f (x) = f (p)}, en el sentido de que coincide con el conjunto de vectores   ∂ = Dp }. {Dp ∈ Tp (E) : ∃X : I → U, X(0) = p, X(t) ∈ S, X∗ ∂t 0 Soluci´ on. Es f´ acil demostrar que este conjunto est´ a en el hiperplano. Rec´ıprocamente supongamos que p = (pi ) ∈ U y supongamos que ∂f (p)/∂xn 6= 0, entonces por el teorema de la funci´ on impl´ıcita existe una funci´ on g definida en un entorno V de (p1 , . . . , pn−1 ), tal que g(p1 , . . . , pn−1 ) = pn y f (x1 , . . . , xn−1 , g(x1 , . . . , xn−1 )) = f (p), P

para cada (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ V . Consideremos cualquier Dp =

ai ∂ip ∈ H y la curva

x1 (t) = p1 + ta1 , . . . , xn−1 (t) = pn−1 + tan−1 , xn (t) = g[x1 (t), . . . , xn−1 (t)], para la que X(0) = p y f [X(t)] = f (p) y derivando esta ecuaci´ on en t = 0 y teniendo en cuenta que Dp f = 0 y x0i (0) = ai para i = 1, . . . , n − 1 n n X X ∂f ∂f (p)x0i (0) = 0 = (p)ai ∂x ∂x i i i=1 i=1

⇒

x0n (0) = an ,

lo cual implica que  X∗

∂ ∂t

 = Dp . 0

Ejercicio 1.6.5.- Consideremos un producto interior < ·, · > en E, una base ortonormal ei y el sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a esta base. Demostrar que: (i) Para toda f ∈ C k+1 (U ) X ∂f ∂ grad f = ∈ Dk (U ). ∂xi ∂xi (ii) Que el campo D = grad f , es un campo perpendicular a las superficies de nivel de f . (iii) Que si U ⊂ R2 , entonces el campo grad f define en cada punto x el vector Dx el cual indica la direcci´ on y sentido de m´ axima pendiente de la gr´ afica de f en el punto (x, f (x)). Demostraci´ on. (b) Por el Ejercicio (1.5.3), Ex ∈ Tx (E) es tangente a la superficie de nivel {f = f (p)} si y s´ olo si, para D = grad f , se tiene que < Dx , Ex > = dx f (Ex ) = 0. (c) La pendiente de la gr´ afica de f en el punto x, relativa a la direcci´ on vx es vx f = dx f (vx ) =< Dx , vx >, la cual es m´ axima, entre vectores vx de igual m´ odulo, cuando vx tiene la misma direcci´ on y sentido que Dx .

64

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Ejercicio 1.7.5.- Dados a, c ∈ R, encontrar la soluci´ on de yzx = xzy que satisface cz = (x − y)2 cuando x + y = a. Indicaci´ on. Buscamos una funci´ on f tal que Df = 0, para p D = y∂x − x∂y que es el campo de los giros, por tanto como Dρ = 0, para ρ = x2 + y 2 se tiene que D = (Dθ)∂θ , por lo tanto Df = 0 sii fθ = 0, es decir f = f (ρ). Ahora queremos que su gr´ afica z = f (ρ) contenga a la curva del enunciado, para ello observemos que en x + y = a, ρ2 = x2 + y 2 = a2 − 2xy, por tanto −2xy = ρ2 − a2 y (x − y)2 = ρ2 − 2xy = 2ρ2 − a2 , por lo tanto la soluci´ on es 2ρ2 − a2 z= . c

Ejercicio 1.7.6.- (a) Encontrar dos integrales primeras del campo de R3 D = −y

∂ ∂ ∂ +x + (1 + z 2 ) . ∂x ∂y ∂z

(b) Encontrar una integral primera com´ un a los campos de R3 D = −y

∂ ∂ +x , ∂x ∂y

E = 2xz

∂ ∂ ∂ + 2yz + (x2 + y 2 − 1 − z 2 ) . ∂x ∂y ∂z

Soluci´ on. (a) Consideremos la 1–forma incidente xdx + ydy = ρdρ, p para ρ = x2 + y 2 . Ahora consideremos otra 1–forma incidente 1 1 1 1 dy − dz = p dy − dz, x (1 + z 2 ) 1 + z2 ρ2 − y 2 y como Dρ = 0, tambi´ en es incidente con D la 1–forma   y d arc sen − arctan z = d(θ − arctan z), ρ por tanto la funci´ on en coordenadas cil´ındricas (ρ, θ, z), θ − arctan z es otra integral primera. (b) Considerar el sistema de coordenadas (ρ, θ, z).

Ejercicio 1.8.2.- Encontrar la curva integral —en forma impl´ıcita—, del campo de R3 ∂ ∂ ∂ D = −y +x + (1 + z 2 ) , ∂x ∂y ∂z que pasa por (1, 0, 0). Soluci´ on. En el ejercicio (1.7.6) encontramos dos integrales primeras de este campo en las coordenadas cil´ındricas (ρ, θ, z), x2 + y 2 , θ − arctan z, por tanto nuestra curva soluci´ on en forma impl´ıcita satisface x2 + y 2 = 1, z = tan θ = y/x.

Ejercicio 1.9.1.- Encontrar la curva9 cuya tangente en cada punto P corta al eje y en un punto Q tal que P Q = L y pasa por (L, 0). Indicaci´ on. 9 Tal

curva se denomina tractriz .

65

1.10. Ejercicios resueltos

Supondremos que L = 1, el caso arbitrario se obtiene haciendo una homotecia de raz´ on L. Del enunciado se sigue que y(1) = 0, como adem´ as √ 1 − x2 , y0 = − x

L

la soluci´ on se obtiene integrando √ Z 1√ 1 − x2 1 + 1 − x2 p y(x) = dx = log − 1 − x2 . x x x

L

Figura 1.21. Tractriz

Ejercicio 1.9.2.- Encontrar la ecuaci´ on de las curvas que en cada punto la normal determina un segmento con los ejes coordenados, cuyo punto medio es el dado. Indicaci´ on. El ejemplo de la p´ ag.40 es igual pero para la tangente y se llega a la ecuaci´ on y 0 = −y/x. En nuestro caso la pendiente es la perpendicular, por tanto y 0 = x/y, es decir (y 2 )0 = 2x = (x2 )0 y la soluci´ on son las hip´ erbolas y 2 − x2 = cte.

Ejercicio 1.9.3.- Encontrar la ecuaci´ on de las curvas que en cada punto P la normal corta al eje x en un punto A tal que OP = P A. Indicaci´ on. Como OAP es un tri´ angulo isosceles, tendremos que si OP = (x, y), AP = (−x, y) y es la direcci´ on de la normal, por tanto la de la tangente (y, x), es decir que y 0 = x/y que es la del ejercicio anterior 1.9.2 y sus soluciones son las hip´ erbolas y 2 − x2 = cte.

Ejercicio 1.9.4.- Encontrar las curvas del semiplano x > 0, que para cada punto suyo P , el a ´rea del tri´ angulo que forman la tangente, el eje y y la paralela al eje x por P , es proporcional al a ´rea de la regi´ on limitada por la curva, la tangente y el eje y (contando area positiva si la curva est´ a por debajo de la tangente y negativa en caso contrario). Demostraci´ on. Como la tangente corta al eje y, no es vertical y la curva vamos a poder expresarla como funci´ on de x, y = y(x). Si la pendiente de la tangente en x es y 0 = b/x, tendremos que b = xy 0 es uno de los lados del tri´ ´rea Rangulo que tiene a A = xb/2 = x2 y 0 /2. Ahora si llamamos B al otro a ´rea y C = 0x y(x)dx, tendremos que A + B + C = xy y si existe k > 0, tal que B = kA, tendremos para r = (k + 1)/2 (y derivando) Z x xy = (k + 1)A + C = rx2 y 0 + y(x)dx ⇒ 0

y + xy 0 = 2rxy 0 + rx2 y 00 + y

⇒

y 0 (1 − 2r) = rxy 00 ,

y si llamamos R = (1 − 2r)/r = −2k/(k + 1), (log y 0 − R log x)0 = 0, por tanto y 0 x−R es constante y la soluci´ on es cte · log x,

si

R = −1

⇔

cte · xp ,

si

R 6= −1, p = R + 1 =

k=1 1−k 1+k

⇔

k=

1−p . 1+p

66

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Ejercicio 1.9.5.- Encontrar las curvas en el semiplano y > 0, tales que para cada punto P su proyecci´ on A en el eje x se proyecta en el punto B de la normal en P a la curva, de modo que P B sea de longitud constante. Indicaci´ on. Si encontramos las curvas soluci´ on para la constante 1, la homotecia de raz´ on k nos dar´ a la soluci´ on para P B = k. Por otra parte en cada punto P = (x, y) no hay ninguna normal que cumpla el enunciado si y < 1, pues P AB forman un tri´ angulo rect´ angulo con hipotenusa P A = y. Para y > 1 hay dos normales (sim´ etricas respecto de la vertical porpP ) que cumplen el enunciado, que corresponden a las pendientes y 0 = ±AB = ± y 2 − 1, por tanto tenemos dos posibles ecuaciones dy dx + p = 0, y2 − 1

dy = 0, y2 − 1 p las cuales son exactas, diferenciales de x ± log(y + y 2 − 1), por lo tanto las dos soluciones son para cada constante a dx − p

1 e±x+a + , 2 2 e±x+a que es una u ´nica familia de curvas traslaci´ on en la direcci´ on del eje x de y = (ex + e−x )/2 = cosh x (ver la catenaria en la p´ ag.53). y+

p y 2 − 1 = e±x+a

⇔

y 2 − 1 = (e±x+a −y)2

⇔

y=

Ejercicio 1.9.7.- Si es cierto10 que en una econom´ıa la velocidad de disminuci´ on del n´ umero de personas y(x), con un salario de por lo menos x euros, es directamente proporcional al n´ umero de personas e inversamente proporcional a su salario m´ınimo, obt´engase la expresi´ on de y en t´erminos de x llamada ley de Pareto. Soluci´ on.- Sea y(x) el n´ umero de personas con salario ≥ x, entonces y 0 (x) = ky(x)/x, por tanto y(x) = axk .

Ejercicio 1.9.8.- La ley experimental de Lambert11 establece que las l´ aminas delgadas de un material transparente absorben la luz que incide en ellas de forma proporcional a la intensidad de la luz incidente y al ancho de la l´ amina que atraviesa. Expr´esese esta ley dando la f´ ormula que da la intensidad de luz que sale de un medio de ancho L. Soluci´ on.- Sea y(x) la intensidad de luz en el ancho x, contando desde la superficie del material. Entonces y(x) = y(x + ) + A(x, x + ), donde A(x, x + ) = ky(x) es la intensidad absorbida por la parte del material entre los anchos x y x + , por tanto y 0 (x) = −ky(x) y la soluci´ on es y(L) = y(0) e−Lx .

Ejercicio 1.9.10.- Una masa se desplaza infinitesimalmente del punto mas alto de una esfera lisa de radio L y empieza a resbalar sin rozamiento ni rotaci´ on. ¿En que punto y con que velocidad se separa de la esfera? Soluci´ on.- Las ecuaciones del movimiento de la masa son las mismas que las del p´ endulo mientras la masa se mantenga sobre la esfera, es decir 10 Como

pensaba el economista Vilfredo Pareto Johann Heinrich (1728–1777), fue un matem´ atico, f´ısico, astr´ onomo y fil´ osofo alem´ an de origen franc´ es. 11 Lambert,

1.10. Ejercicios resueltos

Lθ00 (t) = −g sen θ,

67

−Lθ0 (t)2 = g cos θ + F,

y buscamos el punto en el que F = 0, es decir L2 θ0 (t)2 /2 = −gL cos θ/2, de la curva integral de condiciones iniciales (π, ) con  ∼ 0 —observemos que la soluci´ on correspondiente a  = 0 es constante, la masa se queda sobre la esfera sin moverse y se mueve si la desplazamos infinitesimalmente con velocidad  ∼ 0—. Por tanto nuestra curva est´ a en h = h(π, ), es decir L2 θ02 − gL cos θ = L2 2 /2 + gL, 2

Figura 1.22. por tanto −3gL cos θ/2 = L2 2 /2 + gL, y haciendo  → 0, tenemos cos θ = −2/3. La velocidad en ese punto est´ a dada por p z = 2gL/3.

Ejercicio 1.9.11.- Justif´ıquese por qu´e un reloj de p´endulo atrasa si lo llevamos del polo al ecuador y est´ımese la proporci´ on de abultamiento de la Tierra en esos puntos, si un mismo intervalo temporal (medido en ambos puntos con otro reloj) en uno de los puntos el reloj de p´endulo lo mide de 1h, 100 y 5200 y en el otro de 1h, 100 y 3800 . Soluci´ on.- Si Ri es la distancia desde cada punto (uno en el polo y el otro en el ecuador), al centro de la Tierra y los per´ıodos del p´ endulo son respectivamente Ti , tendremos por la f´ ormula (1.12), que T1 1h + 100 + 3800 2119 R1 = = = , R2 T2 1h + 100 + 5200 2126 pues si el reloj despu´ es de m ciclos de p´ endulo marca 1h + 100 + 3800 y despu´ es de n marca 1h + 100 + 5200 , tendremos que (1h + 100 + 3800 )/m = (1h + 100 + 5200 )/n, pues la aguja del reloj se mueve proporcionalmente al movimiento del p´ endulo; y como tardan el mismo tiempo real en hacer esos ciclos (de periodos T1 y T2 ), tendremos la segunda igualdad.

Ejercicio 1.9.12.- Nos movemos en un columpio de longitud L, con el asiento a distancia r del suelo (que est´ a horizontal). Salimos con velocidad nula y a ´ngulo α con la vertical, pasamos el punto m´ as bajo un a ´ngulo β y nos tiramos en marcha dej´ andonos caer por la gravedad hasta llegar al suelo. Calcular el tiempo que pasamos en el aire y la distancia en el suelo desde el pie del

68

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

columpio al lugar de llegada; demostrar que esta distancia es independiente de la gravedad y que la velocidad con que llegamos al suelo es independiente de β. Dar su valor.

a

b

L

(a,b) p r

Figura 1.23. Columpio Soluci´ on.- Del ejemplo del p´ endulo p´ ag.48, sabemos que nuestra velocidad v(θ), mientras estamos en el columpio satisface v(θ)2 v 2 (α) − gL cos θ = cte = − gL cos α = −gL cos α, 2 2 por tanto la velocidad con la que salimos del columpio es p (a, b) = v(β)(cos β, sen β) = 2gL(cos β − cos α)(cos β, sen β), y el punto del que salimos es p = (p1 , p2 ) = (L sen β, L + r − L cos β), a partir del cual seguimos una par´ abola, de ecuaciones parametrizadas por el tiempo, x(t) = p1 + ta,

y(t) = p2 + tb −

t2 g, 2

ahora poniendo y = 0, despejamos el tiempo pedido t en la segunda ecuaci´ on y puesto este valor en la primera encontramos la distancia pedida. Observemos que √ p1 no depende de g, que a es proporcional a g mientras que t es inversamente √ proporcional a g. En cuanto a la velocidad tenemos por la segunda ecuaci´ on anterior que 2yg = 2p2 g + 2tbg − t2 g 2 , por tanto x02 + y 02 = a2 + (b − tg)2 = a2 + b2 − 2tgb + t2 g 2 = a2 + b2 + 2p2 g − 2yg, y para y = 0 la velocidad pedida es independiente de β y vale p p a2 + b2 + 2p2 g = 2g(L + r) − 2gL cos α.

1.11. Bibliograf´ıa y comentarios

1.11.

69

Bibliograf´ıa y comentarios

Los libros consultados en la elaboraci´ on de este tema han sido: Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”. Ac. Press, 1975. Collatz, L.: “Differential Equations. An introduction with applications”. John Wiley and Sons, 1986. Crampin, M. and Pirani, F.A.E.: “Applicable Differential Geometry”. Cambridge University Press, 1988. Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacional, 1983.

Los creadores del c´ alculo diferencial fueron Isaac Newton y Leibnitz, para los que la derivada de una funci´ on era el cociente de la diferencial de la funci´ on y la diferencial de su argumento —el nombre de diferencial de una funci´ on f , as´ı como su notaci´on df es de Leibnitz, Isaac Newton la llamaba momento de la funci´on—. El tratamiento que da Leibnitz del tema nos ha llegado a trav´es de unas lecciones de An´ alisis de L’Hopital, en las cuales se encuentra un tratamiento de las ecuaciones diferenciales en curvas muy superior al que tratan los libros en la actualidad, hasta el punto que introduce conceptos como el de la diferencial covariante, que los libros de an´ alisis han perdido y s´olo se encuentra en libros de Geometr´ıa.

Fin del Tema 1

70

Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial

Tema 2

Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

2.1.

Grupo uniparam´ etrico

A lo largo del tema, denotaremos con E un espacio vectorial real de dimensi´ on n, en el que consideraremos un sistema de coordenadas lineales xi , correspondientes a una base ei . Definici´ on. Sea U un abierto de E, diremos que una aplicaci´on X : R × U −−→ U, es un flujo ´ o un grupo uniparam´etrico si se tienen las siguientes propiedades: a) Para todo p ∈ U , X(0, p) = p. b) Para todo p ∈ U y t, s ∈ R, X(t, X(s, p)) = X(t + s, p).

71

72

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Definici´ on. Diremos que un grupo uniparam´etrico X es de clase k si X es de clase k y las ∂Xi /∂t son de clase k en R × U , para Xi = xi ◦ X y xi un sistema de coordenadas lineales en E. Si X es un grupo uniparam´etrico en U de clase k, podemos definir las siguientes aplicaciones de clase k asociadas a ´el: Para cada t ∈ R y cada p ∈ U Xt : U −−→ U,

Xp : R −−→ U,

tales que Xt (p) = X(t, p) para todo p ∈ U y Xp (t) = X(t, p) para todo t ∈ R. Nota 2.1 Observemos que cada Xt : U −→ U es realmente un difeomorfismo de clase k, para cada t ∈ R, pues tiene inversa que es de clase k, ya que es X−t . Adem´ as observemos que en t´erminos de las aplicaciones Xt , las propiedades (a) y (b) de grupo uniparam´etrico se expresan de la forma X0 = id, Xt+s = Xt ◦ Xs , por lo que que el conjunto {Xt , t ∈ R}, es un grupo de difeomorfismos de clase k que opera sobre U , y que esta forma de operar tiene una simple interpretaci´ on. Para cada t ∈ R y para cada p ∈ U , Xt (p) es el punto de U al que llega p en el tiempo t. Entenderemos por grupo uniparam´etrico indistintamente a X, al grupo de difeomorfismos Xt con t ∈ R, o a la familia de curvas Xp con p ∈ U . Veamos unos ejemplos simples de flujos de clase ∞ en Rn : Ejemplo 2.1.1 Las traslaciones.- Sea a ∈ Rn fijo, definimos para cada t ∈ R, Xt : Rn −→ Rn , Xt (x) = x + ta. Ejemplo 2.1.2 Las homotecias.- Para cada t ∈ R definimos Xt : Rn −→ Rn ,

Xt (x) = et x.

Ejemplo 2.1.3 Los giros en R2 .- Para cada t ∈ R, sea Xt : R2 −→ R2 ,

Xt (x, y) = (x cos t − y sen t, x sen t + y cos t).

Veamos ahora el concepto localmente.

73

2.1. Grupo uniparam´ etrico

Definici´ on. Sea U un abierto de E y sea W un abierto de R × U conteniendo a {0} × U , tal que para cada p ∈ U , el conjunto I(p) = {t ∈ R : (t, p) ∈ W}, es un intervalo abierto de R conteniendo al origen. Diremos que una aplicaci´ on X : W −−→ U, es un grupo uniparam´etrico local si se verifica que: a) Para cada p ∈ U , X(0, p) = p. b) Si t ∈ I(p) y q = X(t, p), entonces I(p) = I(q) + t, es decir s ∈ I(q) ⇔ t + s ∈ I(p), y se tiene que X(s + t, p) = X(s, X(t, p)). Diremos que el grupo uniparam´etrico local X es de clase k si X es de clase k y las ∂Xi /∂t son de clase k en W, para Xi = xi ◦ X. Si denotamos I = ∪{I(p) : p ∈ U } = π1 (W), para π1 (t, x) = t, y para cada t ∈ I consideramos los abiertos de U y las aplicaciones Ut = {p ∈ U : (t, p) ∈ W},

Xt : Ut −−→ U−t ,

Xt (p) = X(t, p),

entonces (a) y (b) se transforman respectivamente en a) X0 = id : U −→ U . b) Ut+s = Xs (Ut ) y en ese dominio Xt+s = Xt ◦ Xs . Veremos a continuaci´ on que todo grupo uniparam´etrico en U define un campo tangente en U . Tal campo nos da en cada punto un vector del espacio tangente que representa la velocidad del movimiento en ese punto. Por otra parte veremos mas adelante que estos vectores juntos, es decir el campo tangente, producen un movimiento en el abierto U , es decir definen un grupo uniparam´etrico. Teorema del generador infinitesimal de un grupo unip. 2.2 Sea X un grupo uniparam´etrico local de clase k. Para cada f ∈ C ∞ (U ) y p ∈ U definimos f [X(t, p)] − f (p) , t→0 t entonces D ∈ Dk (U ) y lo llamaremos el generador infinitesimal de X. (Df )(p) = l´ım

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Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Demostraci´ on.- Considerando un sistema de coordenadas lineales xi en E y aplicando la regla de la cadena, se tiene que Df ∈ C k (U ), pues n

Df (p) =

X ∂f ∂Xi ∂f ◦ X (0, p) = (0, p), (p) ∂t ∂x ∂t i i=1

y que D es una derivaci´ on se sigue de serlo la ∂/∂t. Nota 2.3 i) Observemos que para cada p ∈ U Xp : I(p) −−→ U ,

Xp (t) = X(t, p),

es la curva integral de D pasando por p en el instante 0, es decir  Xp (0) = p ,

Xp∗

∂ ∂t

 = DXp (t) . t

ii) Observemos que para cada x ∈ U y cada t ∈ R, Df ◦ Xp = (f ◦ Xp )0 . Proposici´ on 2.4 Todo flujo local Xt , deja invariante a su generador infinitesimal D, es decir, para todo t ∈ I y p ∈ Ut , Xt∗ Dp = DX(t,p) . Demostraci´ on.- Sea p ∈ Ut , q = Xt (p) y g ∈ C ∞ (U ), entonces [Xt∗ Dp ]g = Dp (g ◦ Xt ) [g ◦ Xt ◦ Xs ](p) − [g ◦ Xt ](p)] s = (Dg)(q) = Dq g.

= l´ım

s→0

Ejercicio 2.1.1 Encontrar los generadores infinitesimales de las traslaciones, homotecias y giros en R2 .

2.2. Existencia de soluci´ on

2.2.

75

Existencia de soluci´ on

A lo largo de la lecci´ on U ser´ a un abierto de un espacio vectorial E de dimensi´ on n, en el que hemos elegido una base ei y su sistema de coordenadas lineales correspondiente xi . Con esta elecci´on E se identifica con Rn . Sea D ∈ D0 (U ) un campo tangente continuo, K un compacto de ◦

U , p ∈ K y t0 ∈ R. Queremos saber si existe alguna curva integral de D pasando por p en el instante t0 , es decir si existe alg´ un intervalo real I = (t0 − a0 , t0 + a0 ), y una curva X : I −→ U de clase 1, tal que X(t0 ) = p y para todo t ∈ I  X∗

∂ ∂t

 = DX(t) , t

´ equivalentemente o para p = (p1 , . . . , pn ), X = (Xi ) y el campo tangente P D= fi ∂/∂xi , si existen funciones X1 , . . . , Xn : I −→ R, satisfaciendo el sistema de ecuaciones diferenciales Xi (t0 ) = pi ,

Xi0 (t) = fi [X1 (t), . . . , Xn (t)],

para i = 1, . . . , n, ´ o en forma vectorial para X 0 = (X10 , . . . , Xn0 ),

F = (f1 , . . . , fn ) , si existe X : I −→ U , tal que X(t0 ) = p ,

X 0 (t) = F [X(t)],

o en forma integral ´ Z

t

F [X(s)]ds,

X(t) = p + t0

entendiendo que la integral de una funci´ on vectorial es el vector de las integrales. A lo largo de la lecci´ on consideraremos en Rn una norma cualquiera.

76

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales ◦

Lema 2.5 Sea K un compacto en un abierto U de Rn , p ∈ K , t0 ∈ R y F : U −→ Rn continua. Entonces existe I = (t0 − a0 , t0 + a0 ), con a0 > 0, tal que para todo  > 0 existe Z : I −→ U , diferenciable salvo en un n´ umero finito de puntos, tal que Z(I) ⊂ K, Z(t0 ) = p y salvo en el n´ umero finito de puntos k Z 0 (t) − F [Z(t)] k≤ . Demostraci´ on. Como F : U −→ Rn es continua es uniformemente continua en K. Dado  > 0 consideremos un δ > 0 tal que si x, y ∈ K y k x − y k≤ δ entonces k F (x) − F (y) k≤ . Sean r > 0 tal que B(p, r) ⊂ K, M = sup{k F (x) k: x ∈ K}, a0 = r/M , I = (t0 − a0 , t0 + a0 ) y sea m ∈ N tal que r/m ≤ δ. Ahora para cada i ∈ Z,, con −m ≤ i ≤ m, definimos ti = t0 +(i/m)a0 y partiendo de Z(t0 ) = p, definimos para t ∈ [ti , ti+1 ] ( Z(ti ) + (t − ti )F [Z(ti )] si i ≥ 0 Z(t) = Z(ti+1 ) + (t − ti+1 )F [Z(ti+1 )] si i ≤ −1, para lo cual basta demostrar que Z(ti ) ∈ B(p, r), y esto es as´ı porque k Z(t1 ) − p k =k Z(t1 ) − Z(t0 ) k r a0 = < r, ≤M m m a0 k Z(t−1 ) − p k ≤ M < r, m y por inducci´ on k Z(ti ) − p k≤ r

|i| < r. m

Para esta Z se tiene (2.1)

k Z(t) − Z(s) k≤ M | t − s |,

para t, s ∈ I. De donde se sigue, tomando s = t0 , que k Z(t) − p k≤ M a0 = r y por tanto que Z(I) ⊂ K. Adem´ as si t ∈ I y t 6= ti entonces t est´ a en alg´ un (ti , ti+1 ) y por tanto k Z 0 (t) − F [Z(t)] k=k F [Z(ti )] − F [Z(t)] k≤ , pues k Z(ti ) − Z(t) k≤ M (a0 /m) ≤ r/m ≤ δ.

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2.2. Existencia de soluci´ on

Como consecuencia podemos asegurar la existencia de curvas integrales de campos continuos. Teorema de Existencia de Cauchy–Peano 2.6 Sea D ∈ D0 (U ) un campo continuo, p ∈ U y t0 ∈ R, entonces existe a0 > 0 y X : I = (t0 − a0 , t0 + a0 ) −−→ U, de clase 1, soluci´ on de D pasando por p en el instante t0 . Demostraci´ on. Para cada n ∈ N apliquemos el lema anterior para  = 1/n. Tendremos as´ı que existe una sucesi´ on de curvas Zn : I −−→ U, tales que Zn (t0 ) = p, Zn (I) ⊂ K y salvo para un n´ umero finito de puntos, 1 k Zn0 (t) − F [Zn (t)] k≤ . n Ahora de la desigualdad (2.1) se sigue que {Zn } es una familia equicontinua y uniformemente acotada. Aplicando el Teorema de Ascoli, existe una subsucesi´ on de Zn , que llamaremos igual, que converge uniformemente en I a una X, la cual es continua por serlo las Zn . Consideremos la sucesi´ on de aplicaciones ( Zn0 (t) − F [Zn (t)] si Zn es diferenciable en t, Hn (t) = 0 si no lo es. Se sigue que Hn → 0 uniformemente en I. Como Zn → X uniformemente y F es uniformemente continua, tendremos que F ◦ Zn → F ◦ X uniformemente, y por tanto (F ◦ Zn + Hn ) → F ◦ X uniformemente. Se sigue as´ı que Z t Z t Gn (t) = [F [Zn (s)] + Hn (s)]ds → G(t) = F [X(s)]ds, t0

t0

siendo as´ı que por continuidad Zn (t) = p + Gn (t), por tanto X(t) = p + G(t), es decir Z t X(t) = p + F [X(s)]ds. t0

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2.3.

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Aplicaciones Lipchicianas

Definici´ on. Sean (E1 , d1 ) y (E2 , d2 ) espacios m´etricos. Diremos que una aplicaci´ on φ : E1 −→ E2 es Lipchiciana si existe k > 0 tal que d2 [φ(x), φ(y)] ≤ kd1 (x, y), para cualesquiera x, y ∈ E1 . Si k < 1, entonces diremos que φ es contractiva. Se sigue que si φ : (E1 , d1 ) −−→ (E2 , d2 ), es lipchiciana entonces no s´ olo es continua sino uniformemente continua. Definici´ on. Diremos que φ : (E1 , d1 ) −→ (E2 , d2 ) es localmente lipchiciana si para cada p ∈ E1 existe un entorno suyo en el que φ es lipchiciana. Nota 2.7 Obs´ervese que si los Ei son espacios normados, entonces la desigualdad de la definici´ on dice, k φ(x) − φ(y) k1 ≤ k k x − y k2 . Ahora bien, si los espacios normados son de dimensi´on finita, entonces no es necesario especificar de que normas se est´a hablando, pues al ser equivalentes todas las normas en un espacio vectorial finito–dimensional, si la desigualdad es cierta con una elecci´ on de normas lo ser´a para cualquier otra, modificando la constante k como corresponda. Esto permite definir la noci´ on de aplicaci´ on lipchiciana entre espacios vectoriales de dimensi´ on finita. Ejercicio 2.3.1 Sean E, E1 y E2 espacios vectoriales de dimensi´ on finita. Demostrar que f = (f1 , f2 ) : E −−→ E1 × E2 , es localmente lipchiciana si y s´ olo si lo son f1 y f2 .

Teorema de las aplicaciones contractivas 2.8 Sea (E, d) un espacio m´etrico completo. Si φ : E −→ E es contractiva, entonces existe un u ´nico x ∈ E tal que φ(x) = x.

2.3. Aplicaciones Lipchicianas

79

Demostraci´ on. La unicidad es obvia. Veamos la existencia. Sea x0 ∈ E cualquiera y definamos la sucesi´on xn = φ(xn−1 ), para n ≥ 1. Entonces se tiene d(xn+1 , xn ) ≤ kd(xn , xn−1 ) ≤ . . . ≤ k n d(x1 , x0 ) d(xn+m , xn ) ≤ d(xn+m , xn+m−1 ) + · · · + d(xn+1 , xn ) ≤ (k n+m−1 + · · · + k n+1 + k n )d(x1 , x0 ) kn d(x1 , x0 ), ≤ 1−k de donde se sigue que {xn } es de Cauchy, y por ser E completo, {xn } → x ∈ E. Ahora como φ es continua tendremos que φ(x) = φ(l´ım xn ) = l´ım φ(xn ) = l´ım xn+1 = x. Lema 2.9 Si E1 y E2 son espacios normados y φ : E1 −→ E2 es localmente lipchiciana, entonces φ es lipchiciana en cada compacto de E1 . Demostraci´ on. Ve´ amoslo primero para un compacto K convexo. En este caso basta recubrir el compacto con un n´ umero finito de bolas abiertas en las que φ sea lipchiciana. Entonces si las constantes de lipchicianidad en las bolas son k1 , . . . , kn , tendremos que k1 + · · · + kn es la constante de lipchicianidad en el compacto. Ahora bien todo compacto K est´ a dentro de un compacto convexo, por ejemplo su envolvente convexa, pues ´esta es la imagen continua de K × K × [0, 1] por la aplicaci´ on F (x, y, λ) = λx + (1 − λ)y. Sea E un espacio vectorial real de dimensi´ on finita. Para cada abierto U ⊂ E denotaremos con L(U ) = {f : U −−→ R, localmente lipchicianas.} Proposici´ on 2.10 a) L(U ) es una R–´ algebra. b) C 1 (U ) ⊂ L(U ) ⊂ C(U ). c) Si f ∈ L(U ) entonces f es lipchiciana en cada compacto de U . d) Si f ∈ L(U ) es de soporte compacto, entonces f es lipchiciana. Demostraci´ on. (a) H´ agase como ejercicio.

80

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

(b) Es consecuencia del teorema del valor medio, pues nos asegura que n X ∂f f (x) − f (y) = (z)(xi − yi ), ∂x i i=1 para x, y ∈ E y z entre x e y. (c) Sea K ⊂ U compacto y sea V un abierto tal que K ⊂ V ⊂ Adh (V ) ⊂ U —basta tomar para cada x ∈ K una B(x, r) ⊂ U y considerar un subrecubrimiento finito de las B(x, r/2)). Ahora tomamos h ∈ C ∞ (E) tal que h(K) = 1 y h(E − V ) = 0, entonces hf ∈ L(E) y hf = f es lipchiciana en K. (d) Basta ver la desigualdad, para x ∈ sop f e y ∈ (sop f )c . Como existe un t ∈ (0, 1], tal que z = tx + (1 − t)y ∈ ∂sop (f ), tendremos por el lema anterior que | f (x) − f (y) |=| f (x) |=| f (x) − f (z) |≤ k k x − z k≤ k k x − y k . Definici´ on. Llamaremos campo tangente localmente lipchiciano a las derivaciones D : C ∞ (U ) −−→ L(U ), y denotaremos con DL (U ) el m´ odulo libre sobre L(U ) de estos campos con las operaciones naturales. P En cualquier sistema de coordenadas ui de clase ∞ en U , D = Dui ∂/∂ui , con las Dui ∈ L(U ). Definici´ on. Sean E1 , E2 y E3 espacios vectoriales de dimensi´on finita y U ⊂ E1 , V ⊂ E2 abiertos. Diremos que f : U × V −→ E3 es lipchiciana en V uniformemente en U , si para una elecci´ on de normas, existe k > 0 tal que k f (x, v1 ) − f (x, v2 ) k≤ k k v1 − v2 k, para todo x ∈ U y v1 , v2 ∈ V . Diremos que f es localmente lipchiciana en V uniformemente en U si para cada (p, q) ∈ U × V existen Up entorno de p en U , Vq entorno de q en V y k > 0 tales que k f (x, v1 ) − f (x, v2 ) k≤ k k v1 − v2 k, para todo x ∈ Up , y v1 , v2 ∈ Vq . Con LU (U ×V ) denotaremos las funciones f : U ×V −→ R, continuas y localmente lipchicianas en V uniformemente en U .

2.3. Aplicaciones Lipchicianas

81

Definici´ on. Llamaremos campo tangente localmente lipchiciano en V ⊂ E2 , uniformemente en U ⊂ E1 a las derivaciones D : C ∞ (U × V ) −−→ LU (U × V ), las cuales forman un m´ odulo libre DU (U ×V ) respecto de la R–´algebra LU (U × V ), para el que se tiene D(U × V ) ⊂ . . . ⊂ D1 (U × V ) ⊂ DL (U × V ) ⊂ DU (U × V ) ⊂ D0 (U × V ).

Ejercicio 2.3.2 a) Demostrar que si f : U × V −→ E3 es localmente lipchiciana entonces es localmente lipchiciana en V uniformemente en U y que L(U ×V ) ⊂ LU (U × V ) b) Demostrar que f = (fi ) : U × V −→ Rk es localmente lipchiciana en V uniformemente en U si y s´ olo si lo son las fi . c) Si f ∈ LU (U × V ), entonces f es lipchiciana en cualquier compacto K2 ⊂ V , uniformemente en cualquier compacto K1 ⊂ U . (Sol.) Ejercicio 2.3.3 Sean E, E1 y E2 espacios vectoriales reales de dimensi´ on finita, U ⊂ E abierto y A : U −→ L(E1 , E2 ) continua. Demostrar que f : U × E1 −−→ E2 ,

f (x, v) = A(x)(v),

es localmente lipchiciana en E1 uniformemente en U . Ejercicio 2.3.4 Demostrar que: a) LU (U × V ) es una R–´ algebra. b) L(U × V ) ⊂ LU (U × V ) ⊂ C(U × V ).

Ejercicio 2.3.5 Demostrar que si σ : I ⊂ R → Rn es una curva diferenciable, entonces en σ 6= 0, |σ|0 = |σ 0 | cos(σσ 0 ). (Sol.)

Ejercicio 2.3.6 Demostrar que si en [a, b], y 0 ≤ ky + r con k > 0 y r ∈ R, entonces r y(x) ≤ y(a) ek(x−a) + (ek(x−a) −1). (Sol.) k

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Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Ejercicio 2.3.7 Demostrar que si F : U ⊂ Rn → Rn es Lipschiciana en el abierto U , con constante k y σi : I = (a, b) ⊂ R → U , i = 1, 2, son dos curvas diferenciables para las que 0 ∈ I y |σi0 − F (σi )| ≤ /2, entonces para t ≥ 0 e y(t) = |σ1 (t) − σ2 (t)|  y(t) ≤ y(0) ekt + (ekt −1). (Sol.) k

2.4.

Unicidad de soluci´ on

Nuestra intenci´ on ahora es analizar bajo que condiciones la soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales, para i = 1, . . . , n, Xi0 (t) = fi [X1 (t), . . . , Xn (t)], que ya sabemos que existe cuando las fi son continuas, es u ´nica cuando fijamos las condiciones iniciales, Xi (t0 ) = pi , para un t0 ∈ R y un punto p ∈ U de coordenadas (pi ). La continuidad de las fi no bastan para asegurar la unicidad de soluci´ on, como pone de manifiesto el siguiente ejemplo en R: p x0 (t) = | x(t) |, en el que para p = 0 tenemos mas de una soluci´on. Por un lado la aplicaci´ on constante x(t) = 0, y por otro para cada c ≥ 0 ( 0 para t ≤ c, xc (t) = 1 2 (t − c) para t ≥ c. 4 Ahora bien si les pedimos a las fi que sean localmente lipchicianas, la unicidad de soluci´ on estar´ a asegurada. Nota 2.11 No obstante debemos observar que en R se tiene que toda ecuaci´ on diferencial x0 = f (x), para f continua y no nula, tiene soluci´ on u ´nica, satisfaciendo la condici´on R inicial x(t0 ) = p0 . Pues considerando g = dx/f (x), tal que g(p0 ) = t0 , tendremos que de existir tal soluci´ on x(t), debe verificar x0 (t) = 1, f [x(t)]

2.4. Unicidad de soluci´ on

83

e integrando Z

x(t)

g[x(t)] − t0 = x(t0 )

dx = f (x)

Z

t

t0

x0 (t) dt = t − t0 , f [x(t)]

por lo que g[x(t)] = t, es decir que x debe ser la inversa de g, que existe y es u ´nica pues g es estrictamente mon´ otona, ya que tiene derivada no nula. Recordemos que si existe una soluci´ on de la ecuaci´on diferencial —en notaci´ on vectorial— X 0 (t) = f [X(t)], que satisfaga la condici´ on inicial X(t0 ) = p, entonces tal soluci´on satisface la ecuaci´ on integral Z

t

X(t) = p +

f [X(s)]ds, t0

y rec´ıprocamente cualquier soluci´ on de esta ecuaci´on integral es soluci´on de la ecuaci´ on diferencial satisfaciendo la condici´on inicial fijada. Teorema de Unicidad de soluci´ on 2.12 Dados D ∈ DL (U ), p ∈ U y t0 ∈ R. Existe un intervalo abierto I ⊂ R, con t0 ∈ I y una curva integral X : I −→ U , de D satisfaciendo X(t0 ) = p, u ´nica y m´ axima en el siguiente sentido: Si Y : J −→ U es otra curva integral de D tal que t0 ∈ J e Y (t0 ) = p, entonces J ⊂ I y X = Y en J. Demostraci´ on. Basta demostrar que si U es abierto de Rn , F : U → R es localmente lipchiciana y existen Y : I −→ U y Z : J −→ U soluciones de X 0 = F ◦ X que verifican n

Y (t0 ) = Z(t0 ) = p ∈ U, para un t0 ∈ I ∩ J, entonces Y = Z en I ∩ J. Consideremos el conjunto A = {t ∈ I ∩ J : Y (t) = Z(t)}, entonces t0 ∈ A, A es cerrado —pues Y y Z son continuas— y es abierto como veremos a continuaci´ on. De esto se seguir´a, por la conexi´on de I ∩ J, que A = I ∩ J.

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Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Veamos que A es abierto. Sean a ∈ A y q = Y (a) = Z(a), entonces Z t Y (t) = q + F [Y (s)]ds, a Z t Z(t) = q + F [Z(s)]ds, a

por tanto en el entorno de a, (a−, a+), tal que [a−, a+] = I1 ⊂ I∩J y el compacto K = Y (I1 ) ∪ Z(I1 ), en el que F es lipchiciana con constante k, tendremos —considerando la norma del m´ aximo en Rn — que, k Y (t) − Z(t) k≤ k | t − a | sup{k Y (s) − Z(s) k: a ≤ s ≤ t}, y si k | t − a |< 1, tendremos que en un entorno de a, Y (t) = Z(t). Basta definir entonces X, de la forma obvia, en la uni´on de todos los posibles intervalos I que sean soluci´ on del problema. Definici´ on. Para cada p ∈ U llamaremos curva integral m´ axima de D pasando por p a la aplicaci´ on Xp : I(p) −−→ U, dada por el teorema anterior, para t0 = 0. Diremos que D es un campo completo si I(p) = R, para cada p ∈ U .

2.5.

Grupo Uniparam´ etrico de un campo

P Sea D = fi ∂i ∈ DL (U ) con curvas integrales m´aximas Xp para cada p ∈ U . Si denotamos con I(p) el intervalo abierto m´aximo en el que est´ a definida cada Xp , podremos considerar el conjunto WD = {(t, p) ∈ R × U : t ∈ I(p)}, y la aplicaci´ on (2.2)

X : WD −−→ U ,

X(t, p) = Xp (t).

En esta lecci´ on veremos que WD es abierto, que X es continua y que es grupo uniparam´etrico local. Empecemos por lo u ´ltimo. Como es habitual denotaremos F = (fi ).

2.5. Grupo Uniparam´ etrico de un campo

85

Proposici´ on 2.13 En las condiciones anteriores, X satisface las propiedades de grupo uniparam´etrico local: a) Para cada p ∈ U , X(0, p) = p. b) Si s ∈ I(p) y q = X(s, p), entonces I(p) = I(q) + s, es decir t ∈ I(q) si y s´ olo si t + s ∈ I(p) y X(t + s, p) = X(t, X(s, p)). Demostraci´ on Veamos la propiedad (b): Sean s ∈ I(p) y q = Xp (s), y definamos para cada t ∈ I(p) − s Y (t) = Xp (t + s), entonces como Y (0) = q y Y 0 (t) = Xp0 (t + s) = F [Xp (t + s)] = F [Y (t)], tenemos que Y es una curva integral de D pasando por q, y por el Teorema de unicidad, I(p) − s ⊂ I(q) e Y (t) = Xq (t). Por razones an´ alogas ser´ a I(q) + s ⊂ I(p), por tanto I(p) = I(q) + s.

Ejercicio 2.5.1 Encontrar el grupo uniparam´etrico de los campos ∂x /x en (0, ∞) y x2 ∂x en R. (Sol.)

Veamos ahora que X : WD −→ U es continua en alg´ un entorno de (0, p) para cada p ∈ U . Consideraremos en Rn la norma del m´ aximo y elijamos un  > 0 y un punto p ∈ U . Ahora sea r > 0 tal que K = B[p, r] ⊂ U, y denotemos I = [−, ] ,

K1 = B[p, r/2] ,

M = m´ ax{k F (x) k: x ∈ K}.

Consideremos el espacio de Banach B de las aplicaciones continuas Y : I × K1 −−→ Rn , con la norma del m´ aximo k Y k= m´ ax{k Y (t, λ) k: (t, λ) ∈ I × K1 }.

86

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Consideremos ahora la bola cerrada, en este espacio, centrada en la aplicaci´ on constante igual a p y de radio r, Br = {Y ∈ B : k Y − p k≤ r} = {Y : I × K1 −→ K, continuas}. En estos t´erminos Br es un espacio m´etrico completo. Ahora definimos la aplicaci´ on φ que a cada Y : I × K1 −→ U le hace corresponder la aplicaci´ on φ(Y ) = Z definida por Z

n

Z : I × K1 −−→ R ,

Z(t, λ) = λ +

t

F [Y (s, λ)]ds. 0

Proposici´ on 2.14 a) Para cada Y ∈ Br , φ(Y ) ∈ B, es decir φ : Br −→ B. b) Si 0 <  < r/2M , entonces para cada Y ∈ Br , φ(Y ) ∈ Br , por tanto φ : Br −−→ Br . c) Si k > 0 es una constante de lipchicianidad de las fi en K, entonces φ es contractiva para  < 1/k. Demostraci´ on.- (a) Veamos que Z es continua en cada punto (t, λ). Para cada (a, µ) ∈ I × K1 , pr´ oximo a (t, λ), tendremos que k Z(t, λ) − Z(a, µ) k ≤k Z(t, λ) − Z(t, µ) k + k Z(t, µ) − Z(a, µ) k≤ Z t ≤k λ − µ k + m´ ax |fi [Y (s, λ)] − fi [Y (s, µ)]|ds+ i 0 Z a + m´ ax |fi [Y (s, µ)]|ds. i

t

Ahora el segundo sumando es peque˜ no por la uniforme continuidad de fi ◦ Y y porque | t | es acotado, y el tercero porque est´a acotado por | t − a | m´ ax{| fi ◦ Y |: I × K1 , i = 1, . . . , n}. (b) Ahora si 0 <  < r/2M , entonces k φ(Y ) − Q k≤ r.

2.5. Grupo Uniparam´ etrico de un campo

87

(c) Si X, Y ∈ Br y k es la constante de lipchicianidad de las fi en K, entonces Z t k φ(X)(t, λ) − φ(Y )(t, λ) k ≤ m´ ax | fi [X(s, λ)] − fi [Y (s, λ)] | ds i 0 Z t ≤k k X − Y k ds ≤ k k X − Y k, 0

por tanto k φ(X) − φ(Y ) k≤ k k X − Y k . Teorema de Continuidad local del grupo uniparam´ etrico 2.15 Sea D ∈ DL (U ) y p ∈ U , entonces existe un abierto entorno de p, V ⊆ U y un intervalo I = (−, ) tales que I × V ⊂ WD y la aplicaci´ on X : I × V −→ U , es continua. Demostraci´ on.- Basta tomar V = B(p, r/2) y aplicar el resultado anterior —y el Teorema de punto fijo—, tomando 0 <  < 1/k. Nota 2.16 Observemos que adem´ as X : I × V −→ U podemos construirla por el Teorema de punto fijo (2.8), sin mas que partir de una X 0 ∈ Br arbitraria y luego considerando la sucesi´on X m+1 = φ(X m ), es decir Z t

X m+1 (t, λ) = λ +

F [X m (s, λ)]ds.

0

En estas condiciones sabemos que X m converge uniformemente a X. Por u ´ltimo observemos que el abierto V , entorno de p, podemos tomarlo de tal forma que contenga al compacto que queramos de U . Para ello basta recubrir el compacto por abiertos en las condiciones anteriores y tomar un subrecubrimiento finito, y el m´ınimo de los . Teorema de Continuidad del grupo uniparam´ etrico 2.17 La aplicaci´ on X de (2.2), es un grupo uniparam´etrico local en U , que es de clase k si lo es en alg´ un entorno de (0, p), para cada p ∈ U . Adem´ as su generador infinitesimal es D. Demostraci´ on.- Supongamos que para cada p ∈ U , X es de clase k en alg´ un entorno de (0, p) —esto es cierto, por el Teorema de continuidad local, para k = 0—, y veamos que WD es abierto y X es de clase k en ´el.

88

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Sea (t0 , p0 ) ∈ WD y demostremos la existencia de un δ > 0 y de un entorno abierto V , de p0 en U , tales que (t0 − δ, t0 + δ) × V = I × V ⊂ WD , y X : I × V −→ U es de clase k. Para t0 = 0 es nuestra hip´ otesis. Supongamos que existe un z ∈ U para el que el teorema no es v´alido. Como para (0, z) lo es, tendremos que existe un t0 ∈ I(z) que es el m´ınimo de todos los t ∈ I(z), con t > 0, para los que no es cierto que existan δt > 0 y Vt entorno abierto de z tales que (t − δt , t + δt ) × Vt ⊂ WD , y en ´el X es de clase k. Veamos que de esto se sigue una contradicci´on. Sea p = X(t0 , z), entonces existe δ1 > 0 y Vp ⊂ U , entorno abierto de p, tales que (−δ1 , δ1 ) × Vp ⊂ WD y X : (−δ1 , δ1 ) × Vp ⊂ WD −−→ U, es de clase k. Como p = Xz (t0 ) ∈ Vp y Xz es continua, existir´a t1 ∈ (t0 − δ1 , t0 ) tal que X(t1 , z) ∈ Vp . Pero entonces por nuestra hip´otesis existir´ a un δ > 0 y Vz entorno abierto de z en U tales que (t1 − δ, t1 + δ) × Vz ⊂ WD y X : (t1 − δ, t1 + δ) × Vz ⊂ WD −−→ U, es de clase k. Ahora bien podemos tomar δ > 0 y Vz m´as peque˜ nos verificando X(t, y) ∈ Vp , para cada (t, y) ∈ (t1 − δ, t1 + δ) × Vz pues X(t1 , z) ∈ Vp y X es continua. As´ı para cada q ∈ Vz tenemos que q1 = X(t1 , q) ∈ Vp , por tanto como (−δ1 , δ1 ) × Vp ⊂ WD , ser´ a (−δ1 , δ1 ) ⊂ I(q1 ), lo cual equivale —ver la propiedad (b) de grupo uniparam´etrico local— a que (−δ1 , δ1 ) ⊂ I(q1 ) = I(q) − t1 , es decir (t1 − δ1 , t1 + δ1 ) ⊂ I(q), y esto para todo q ∈ Vz . Es decir que (t1 − δ1 , t1 + δ1 ) × Vz ⊂ WD ,

2.6. Grupo Unip. de campos subidos

89

y en ´el X es de clase k, pues es composici´ on de H : (t1 − δ1 , t1 + δ1 ) × Vz −−→ (−δ1 , δ1 ) × Vp , H(t1 + s, q) = (s, X(t1 , q)), y de X : (−δ1 , δ1 ) × Vp −−→ U, ya que X(t1 + s, q) = X(s, X(t1 , q)). Pero como t0 ∈ (t1 − δ1 , t1 + δ1 ) llegamos a un absurdo. Por u ´ltimo es f´ acil ver que D es el generador infinitesimal de X.

2.6.

Grupo Unip. de campos subidos

Definici´ on. Sean U ⊂ Rn y V ⊂ Rm abiertos. Diremos que E ∈ D0 (U × V ) es una subida de D ∈ D0 (U ), si para π : U × V −→ U , π(x, y) = x, π lleva E en D, es decir si para cada (x, y) ∈ U × V se tiene que π∗ E(x,y) = Dx . Si en U tenemos un sistema de coordenadas (xi ) y en V otro (yj ) y en U × V consideramos el sistema de coordenadas (xi , yj ), tendremos que para una subida E=

n X i=1

m

gi

X ∂ ∂ + gn+j , ∂xi j=1 ∂yj

de un campo D=

n X i=1

fi

∂ , ∂xi

se tiene que para i = 1, . . . , n y (x, y) ∈ U × V gi (x, y) = fi (x). Sea E ∈ DU (U ×V ) localmente lipchiciano en V uniformemente en U , que sea una subida de un campo D ∈ DL (U ) localmente lipchiciano en U .

90

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Veremos que entonces el campo E tambi´en tiene grupo uniparam´etrico local y es continuo. Con X : WD −→ U denotaremos el grupo uniparam´etrico local de D. Teorema 2.18 Para cada λ = (p, q) ∈ U × V y cada t0 ∈ R, existe una u ´nica curva integral Z : I −→ U × V de E pasando por λ en el instante t0 , m´ axima en el sentido de que si Y : J −→ U × V es otra, con t0 ∈ J, entonces J ⊂ I y en J, Z = Y . Demostraci´ on.- Basta ver que si Y1 : J1 −−→ U × V ,

Y2 : J2 −−→ U × V,

est´ an en estas condiciones entonces Y1 = Y2 en J1 ∩ J2 . En tales condiciones se tiene que π ◦ Y1 y π ◦ Y2 son soluciones de D pasando por p en t0 , por tanto coinciden en J1 ∩ J2 . Se concluye con un argumento similar al del Teorema de unicidad (2.12) . Podemos entonces considerar para cada λ ∈ U × V , la curva integral m´ axima de E pasando por λ en el instante 0 Z(., λ) : I(λ) −−→ U × V, el conjunto WE = {(t, λ) ∈ R × U × V : t ∈ I(λ)}, y la aplicaci´ on Z : WE −−→ U × V. Ejercicio 2.6.1 a) Demostrar que Z es grupo uniparam´etrico local. b) Que para cada λ = (p, q) ∈ U ×V , I(λ) ⊂ I(p), y que para cada t ∈ I(λ) π[Z(t, λ)] = X(t, p).

Teorema 2.19 Para cada (p, q) ∈ U × V existen abiertos Up y Vq , entornos de p y q en U y V respectivamente y un intervalo I = (−, ) para los que es continua la aplicaci´ on Z : I × Up × Vq −−→ U × V. Demostraci´ on.- B´ asicamente se hace como en el Teorema de continuidad local. Consideremos en Rn , Rm y Rn × Rm la norma del m´ aximo.

91

2.6. Grupo Unip. de campos subidos

Sea λ = (p, q), r > 0 tal que K = B[λ, r] ⊂ U × V y consideremos los compactos Kp = B[p, r/2] , Kq = B[q, r/2]. Sea k > 0 unaPconstante de lipchicianidad uniforme para todas las gi en K, para E = gi ∂i , y M = m´ ax{| gi (µ) |: µ ∈ K, i = 1, . . . , n + m}. Consideremos ahora un  > 0, el intervalo I = [−, ] y el espacio de Banach de las aplicaciones continuas Z : I × Kp × Kq −−→ Rn+m , con la norma del supremo. Consideremos ahora en ´el, el espacio m´etrico completo BX , de las Z : I × Kp × Kq −−→ K, continuas, tales que πZ(t, x, y) = X(t, x). En estas condiciones si para cada Z ∈ BX definimos Z t n+m φ(Z) : I × Kp × Kq −−→ R , φ(Z)(t, µ) = µ + G[Z(s, µ)]ds, 0

para G = (gi ), tendremos que φ : BX −→ BX si tomamos el  < r/2M . Adem´ as para  < 1/k, φ es contractiva y existe Z ∈ BX , tal que φZ = Z, que es lo que quer´ıamos. Nota 2.20 Observemos que podemos construir Z a partir de las funciones Fi del campo E, como l´ımite de una sucesi´on de la forma Z t n+1 Z (t, λ) = λ + G[Z n (s, λ)]ds. 0

Teorema 2.21 En las condiciones anteriores WE ⊂ WD × V es abierto, Z es un grupo uniparam´etrico local continuo, que es de clase k si lo es en alg´ un entorno de (0, λ) para cada λ ∈ U ×V , que verifica π ◦Z(t, λ) = X(t, πλ), y cuyo generador infinitesimal es E. Demostraci´ on.- B´ asicamente se hace como en el Teorema de continuidad (2.17).

92

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

2.7.

Diferenciabilidad del grupo unip.

Sea D ∈ Dk (U ) un campo tangente en un abierto U de Rn . Y sea X : WD −→ U su grupo uniparam´etrico local. Veremos en esta lecci´on que X = (Xi ) y la ∂X/∂t P son de clase k. Para ello basta demostrar que X lo es, pues si D = fi ∂/∂xi , tendremos que para F = (fi ) ∂X (t, p) = Xp0 (t) = F [Xp (t)] = F [X(t, p)], ∂t y por tanto la ∂X/∂t es de clase k si lo son F y X. Sabemos que Z Xi (t, p) = pi +

t

fi [X(s, p)]ds, 0

y se sigue que de existir las ∂Xi /∂xj , y llam´andolas Xij , para i, j = 1, . . . , n, tendr´ıan que verificar t

Z Xij (t, p) = δij +

[

n X

fik [X(s, p)]Xkj (s, p)]ds,

0 k=1

donde fik = ∂fi /∂xk , y por tanto n

(2.3)

X ∂Xij (t, p) = fik [X(t, p)]Xkj (t, p) ∂t

Xij (0, p) = δij ,

k=1

o en forma vectorial, definiendo ´  ∂X  1

∂x

 .j  ∂X j  = X =  ..  , ∂xj ∂X n

 A(x) =

∂fi (x) ∂xj

∂xj

X j (0, p) = ej ,

∂X j = A(X) · X j . ∂t



2.7. Diferenciabilidad del grupo unip.

93

Esto nos sugiere que definamos el sistema de 2n ecuaciones diferenciales en el abierto U × Rn ⊂ R2n

(2.4)

Z10 = g1 [Z1 , . . . , Zn , Zn+1 , . . . , Z2n ], .. .. . . 0 Z2n = g2n [Z1 , . . . , Zn , Zn+1 , . . . , Z2n ],

donde gi : U × Rn −→ R est´ an definidas de la forma gi (x, y) = fi (x), para i = 1, . . . , n y   gn+1 (x, y)   ..   = A(x) · y, . g2n (x, y) —donde estamos entendiendo y como vector columna— y considerar el campo 2n X ∂ ∈ DU (U × Rn ), E= gi ∂z i i=1 que es una subida de D ∈ DL (U ). Es obvio que si existe X j = (∂Xi /∂xj ) y es continua en t, entonces (Xp , X j ) es una soluci´ on particular de (2.4), la que pasa por los puntos de la forma (p, ej ), para ej = (δji ). Teorema de diferenciabilidad del grupo uniparam´ etrico 2.22 Si D ∈ D1 (U ) entonces su grupo uniparam´etrico local X : WD −→ U es de clase C 1 . Demostraci´ on.- El Teorema de continuidad del grupo uniparam´etrico de campos subidos, nos asegura que el grupo uniparam´etrico local del campo subido E Z : WE −−→ U × Rn , es continuo y verifica para i = 1, . . . , 2n, Z t Z(t, λ) = λ + G[Z(s, λ)]ds, 0

siendo, para cada λ = (p, v), I(λ) ⊂ I(p) y en ´el, para i = 1, . . . , n Zi (t, p, v) = Xi (t, p).

94

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Por (2.17) basta comprobar que existen y son continuas las ∂Xi /∂xj en un entorno de los puntos de la forma (0, p) ∈ WD . Ahora bien X podemos construirla localmente como vimos en la nota (2.16), de la siguiente forma. Para cada p ∈ U existe un  > 0 y dos entornos compactos de p en U , Kp ⊂ K ⊂ U , tales que X : [−, ] × Kp −−→ K,

(2.5)

es l´ımite uniforme de la sucesi´ on X m : [−, ] × Kp −−→ K, definida recurrentemente, para F = (fi ), por Z t X m (t, q) = q + F [X m−1 (s, q)]ds, 0

partiendo de una aplicaci´ on continua X 0 : [−, ] × Kp −−→ K, arbitraria. Si tomamos X 0 (t, q) = p, tendremos que todas las X m son ◦

diferenciables en (−, ) × Kp . Tomando ahora un  mas peque˜ no y cual◦

quier compacto entorno de p en Kp , y llam´ andolos igual, podemos entonces definir la sucesi´ on Y m : [−, ] × Kp −−→ Rn , de la forma Yim (t, q)

∂Xim (t, q) = δij + = ∂xj

Z

t

[

n X

0 k=1

fik [X m−1 (s, q)] · Ykm−1 (s, q)]ds,

o en forma vectorial ´ m

Z

Y (t, q) = ej +

t

A[X m−1 (s, q)] · Y m−1 (s, q)ds.

0

Consideremos ahora la aplicaci´ on Y : [−, ] × Kp −−→ Rn , Y (t, q) = [Zn+1 (t, q, ej ), . . . , Z2n (t, q, ej )] Z t = ej + [A[X(s, q)] · Y (s, q)]ds. 0

2.7. Diferenciabilidad del grupo unip.

95

En estas condiciones se tiene que (X m , Y m ) converge uniformemente a (X, Y ) en el compacto [−, ] × Kp . Para verlo basta demostrar que Y m → Y uniformemente. k Y m (t, q) − Y (t, q) k≤ Z t ≤ k A[X m−1 (s, q)] · Y m−1 (s, q) − A[X(s, q)] · Y (s, q) k ds 0 Z t ≤ k A[X m−1 (s, q)] k · k Y m−1 − Y k ds+ 0 Z t + k A[X m−1 (s, q)] − A[X(s, q)] k · k Y k ds 0 Z t ≤k k Y m−1 − Y k ds + am−1 , 0

donde k = sup{k A(x) k: x ∈ K}, y an → 0, pues X m → X uniformemente y A es continua por tanto uniformemente continua en K. Modifiquemos ahora el  en (2.5) para que se tenga k ·  < 1/2, y definamos bm =k Y m − Y k, entonces

bm−1 , 2 y tomando l´ımites superiores se sigue que bm → 0. Tenemos entonces que para i = 1, . . . , n 0 ≤ bm ≤ am−1 +

Xim → Xi ,

∂Xim = Yim → Yi , ∂xj

uniformemente. De esto se sigue que existe la ∂Xi /∂xj = Yi que es continua pues Z lo es y (2.6)

Z(t, q, ej ) = [X(t, q), Y (t, q)].

As´ı X es de C 1 en un entorno de (0, p), para cada p ∈ U , y el resultado se sigue. P Ahora si D = fi ∂i ∈ D2 (U ), es decir es de clase 2, entonces E=

X

gi

∂ ∈ D1 (U × Rn ), ∂zi

96

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

y podemos aplicar el resultado anterior, es decir que Z : WE −→ U × Rn es de clase 1. Ahora se sigue de (2.6), p´ ag.95, que X es de clase 2 en alg´ un entorno de (0, p) para cada p ∈ U , y de (2.17), p´ag.87, que X es de clase 2. Repitiendo el argumento anterior tenemos el siguiente resultado. Corolario 2.23 Si D ∈ Dk (U ) entonces su grupo uniparam´etrico local es de clase k. Corolario 2.24 Si D ∈ D(U ) entonces su grupo uniparam´etrico local es de clase infinito. Definici´ on. Diremos que un punto p ∈ U es un punto singular de un campo D ∈ D(U ) si Dp = 0.

2.7.1.

Clasificaci´ on local de campos no singulares.

Terminamos esta lecci´ on viendo que todos los campos no singulares en un punto, son localmente el mismo: el campo de las traslaciones. Teorema del flujo 2.25 Sea D ∈ Dk (U ), y Dp 6= 0, para un p ∈ U . Entonces existe un abierto coordenado Up , entorno de p en U , con coordenadas u = (u1 , . . . , un ), de clase k, tal que en Up D=

∂ . ∂u1

Demostraci´ on.- Podemos considerar un sistema de coordenadas lineales xi en E, tales que Dp = (∂/∂x1 )p , para ello basta considerar la identificaci´ on can´ onica Tp (E) −→ E y el vector e1 ∈ E correspondiente a Dp , extenderlo a una base ei y considerar su base dual xi . Sea X : WD −→ U el grupo uniparam´etrico local de D y consideremos un  > 0 y un entorno abierto V de 0 tal que Vp = p + V ⊆ U y (−, ) × Vp ⊂ WD . Consideremos ahora el abierto de Rn−1 A = {(y2 , . . . , yn ) ∈ Rn−1 : (0, y2 , . . . , yn ) ∈ V }, y la aplicaci´ on diferenciable F : (−, ) × A → U F (y1 , . . . , yn ) = X(y1 , (p1 , p2 + y2 , . . . , pn + yn )),

2.7. Diferenciabilidad del grupo unip.

97

donde p = (p1 , . . . , pn ). Para esta funci´ on se tiene que F (0) = p, F (t, 0, . . . , 0) = X(t, p), F (y1 , . . . , yn ) = q

⇔

F (t + y1 , y2 , . . . , yn ) = X(t, q),

y para i ≥ 2 (2.7)

F (0, . . . , 0, yi , 0, . . . , 0) = (p1 , . . . , pi + yi , . . . , pn ).

Veamos que F es un difeomorfismo local en 0 y llamemos por comodidad (yi ) a las coordenadas en (−, ) × A. Entonces para Fi = xi ◦ F tendremos ∂Fi xi [F (t, 0, . . . , 0)] − xi [F (0)] = Dxi (p) = δi1 , (0) = l´ım t→0 ∂y1 t y por (2.7), ∂Fi (0) = δij . ∂yj Entonces existen abiertos A0 de 0 en (−, ) × A y Up de p en U tales que F : A0 −→ Up es un difeomorfismo de clase k. Si llamamos (u1 , . . . , un ) a la inversa de F en Up , es decir ui = yi ◦ F −1 , tendremos que en estas coordenadas D=

∂ , ∂u1

pues en todo punto q = F (a1 , . . . , an ) ∈ Up , tenemos que yi [F −1 (X(t, q))] − yi [F −1 (q)] t→0 t yi (t + a1 , a2 , . . . , an ) − yi (a1 , . . . , an ) = δ1i . = l´ım t→0 t

Dui (q) = l´ım

Figura 2.1. Teorema del flujo

98

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Corolario 2.26 Sea D ∈ Dk (U ) y X : WD −→ U su grupo uniparam´etrico local. Si p ∈ U y Dp 6= 0, entonces existe un entorno de p, Up ⊂ U , con coordenadas (ui ), tal que si q ∈ Up tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), (t, q) ∈ WD y X(t, q) ∈ Up , entonces X(t, q) tiene coordenadas (t + x1 , x2 , . . . , xn ). Demostraci´ on. Basta observar que al ser D = ∂/∂u1 , entonces (u1 ◦ Xq )0 (t) = 1 ,

2.8.

(ui ◦ Xq )0 (t) = 0.

Campos completos

Sean D ∈ D(U ) y f ∈ L(U ), con f 6= 0, ¿qu´e relaci´on existe entre las ´ orbitas de D y las de f D?. Parece natural pensar que deben ser iguales, pues en cada punto p ∈ U , no modificamos la direcci´on del vector tangente, s´ olo su tama˜ no Dp por f (p)Dp .

´ Figura 2.2. Orbitas de D y de f D

No obstante aunque las trayectorias son iguales hay una diferencia, el tiempo que se tarda en llegar a cada punto de la trayectoria, pues si la recorremos con velocidad D tardamos el doble que si la recorremos con velocidad 2D, es decir que las curvas integrales m´aximas de D y f D tienen parametrizaciones distintas. En el siguiente resultado justificaremos esta afirmaci´ on y lo que es mas importante, daremos la relaci´on que hay entre las dos parametrizaciones.

2.8. Campos completos

99

Teorema 2.27 Sean D ∈ Dk (U ) y f ∈ C k (U ), (para k = 0 localmente lipchicianos), con f 6= 0 en todo U . Si σ1 : I1 −→ U y σ2 : I2 −→ U son las curvas integrales m´ aximas de D y f D respectivamente, pasando por un p ∈ U , entonces existe un difeomorfismo h : I2 −−→ I1 , de clase k + 1 tal que σ2 = σ1 ◦ h. Demostraci´ on. Si tal difeomorfismo existiera ıa que satisfacer Ptendr´ n que para cada t ∈ I2 , x = σ2 (t) = σ1 [h(t)], D = i=1 fi ∂i y F = (fi ), h0 (t)F (x) = h0 (t)σ10 [h(t)] = [σ1 ◦ h]0 (t) = σ20 (t) = f [σ2 (t)] · F [σ2 (t)] = f [σ2 (t)] · F (x). Definamos entonces h : I2 −→ R de la forma Z t h(t) = f [σ2 (s)]ds. 0

Entonces h es de clase k y creciente (´ o decreciente), pues h0 6= 0, 0 y h es por tanto positiva en todo punto (´ o negativa). Se sigue que h es difeomorfismo local —por tanto h(I2 ) = J1 es abierto— y que es inyectiva, por tanto tiene inversa y h es un difeomorfismo de clase k. Ahora se demuestra f´ acilmente que σ2 ◦ h−1 : J1 −−→ U, es una curva integral de D que pasa por p, por tanto J1 ⊂ I1 y en J1 , σ2 ◦ h−1 = σ1 , por tanto en I2 , σ2 = σ1 ◦ h. Falta ver que J1 = I1 . Por la misma raz´ on si definimos g : I1 −→ R Z g(t) = 0

t

1 ds, f [σ1 (s)]

tendremos que g es un difeomorfismo de I1 en un intervalo abierto J2 ⊂ I2 y en ´el σ1 ◦ g −1 = σ2 , por tanto en I2 , (g ◦ h)0 = 1 y en I1 , (h ◦ g)0 = 1, y como en el origen g y h se anulan, son inversas, por lo que J2 = I2 y J1 = I1 .

100

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Lema 2.28 Sean D ∈ Dk (U ), p ∈ U y Xp : I(p) −→ U la curva integral m´ axima de D pasando por p. Si existe una sucesi´ on tn ∈ I(p) = (a, b), para la que tn → b, siendo −∞ < b < ∞, entonces no existe compacto en U que contenga a la sucesi´ on Xp (tn ). En particular tal sucesi´ on no tiene punto l´ımite en U . Simil´ armente para a. Demostraci´ on.- Supongamos que existe un compacto K en U tal que pn = Xp (tn ) ∈ K. Consideremos para cada q ∈ K un entorno Vq , de q en U y un q > 0 tal que (−q , q ) × Vq ⊂ WD , donde X : WD −→ U es el grupo uniparam´etrico local de D. Por ser K compacto existe un subrecubrimiento finito V1 , . . . , Vn de K, y un  > 0 tales que (−, ) × Vi ⊂ WD . Tomemos un N ∈ N tal que para n ≥ N , tn > b − . Como pn = X(tn , p) ∈ K y por tanto a alg´ un Vi , tendremos que (−, ) ⊂ I(pn ) = I(p) − tn , y por tanto (tn − , tn + ) ⊂ I(p), lo cual contradice que tn > b − . Que los pn no tienen punto l´ımite en U se sigue de que todo punto de U tiene un entorno compacto y basta aplicar lo anterior. Corolario 2.29 Si I(p) = (a, b) es un intervalo acotado, entonces la trayectoria de p, Im Xp , es un cerrado de U. Demostraci´ on.- Tenemos que demostrar que si Op = Xp (I(p)) y qn ∈ Op , tiene l´ımite q ∈ U , entonces q ∈ Op . Como qn = Xp (tn ) con tn ∈ I(p) y tn tiene un punto l´ımite t ∈ [a, b], tendremos que si t ∈ I(p), por ser Xp continua, Xp (t) = q, y si t = b —´o t = a—, entonces del resultado anterior se sigue que q no existe. Veamos ahora algunas condiciones suficientes para que un campo sea completo. Teorema 2.30 Todo campo lipchiciano D definido en todo E es completo. Demostraci´ on.- Recordando la demostraci´on de (2.14), para este caso particular, tenemos que el grupo uniparam´etrico X est´a definido en [−, ] × Kq , para un compacto Kq —cualquiera en nuestro caso— que contenga al q elegido y un  > 0, que s´ olo depende de la constante de lipchicianidad k del campo D —recordemos que k < 1—.

2.8. Campos completos

101

Poniendo E como uni´ on expansiva de compactos, vemos que X est´a definida en [−, ] × E, y por tanto para todo p ∈ E, [−, ] ⊂ I(p). Para ver que X est´ a definida en [−2, 2]×E, basta coger un r ∈ [−, ] arbitrario y q = X(r, p). Como [−, ] ⊂ I(q) = I(p) − r, tendremos que [r − , r + ] ⊂ I(p) y por tanto [−2, 2] ⊂ I(p), y esto para todo p. El argumento se sigue inductivamente. Corolario 2.31 Si D ∈ D1 (E) y es de soporte compacto, es decir Dx = 0 fuera de un compacto, entonces D es completo. Definici´ on. Dados D, E ∈ Dk+1 (U ), definimos la derivada covariante de E respecto de D como el campo D∇ E ∈ Dk (U ), tal que para cada p∈U EX(t,p) − Ep (D∇ E)p = l´ım , t→0 t donde X es el grupo uniparam´etrico de D. (Sobrentendemos la identificaci´ on can´ onica que existe entre los espacios tangentes). Observemos que P si consideramos un sistema de coordenadas lineales (xi ) en E y E = hi ∂i , entonces D∇ E(xi ) = Dhi , por tanto D∇ E =

X

(Dhi )

∂ . ∂xi

Teorema 2.32 Condici´ on suficiente para que D ∈ Dk (E) sea completo es que D ´ o D∇ D ´ o,. . ., D∇ . k. .∇ D, tenga componentes acotadas respecto de alg´ un sistema de coordenadas lineales. Demostraci´ on.- Hay que demostrar que para cada p ∈ E, I(p) = R. Sea I(p) = (a, b) y supongamos que b < ∞. Si consideramos un sistema de coordenadas lineales (xi ) en E y denotamos Xp = (X1 , . . . , Xn ), tendremos que Z t Xi (t) = pi + gi (s)ds, 0

P

para gi (s) = fi [Xp (s)] y D = fi ∂i . Ahora bien la condici´on del enunciado es equivalente a que todas las gi ´ o todas las gi0 ,. . ., ´o las derivadas de orden k de todas las gi , est´en acotadas. En cualquier caso si tn → b, Xi (tn ) es una sucesi´ on de Cauchy —para todo i— y por tanto lo es Xp (tn ) que tiene un punto l´ımite en E, lo cual contradice a (2.28).

102

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Corolario 2.33 Sea D ∈ DL (E), (resp. de clase k). Entonces existe una funci´ on f ∈ L(E), (resp. f ∈ C k (E)), f 6= 0, tal que f D es completo. Adem´ as f puede elegirse para que tome el valor 1 en un compacto K dado de E. Demostraci´ on.- Consideremos un sistema de coordenadas lineales P (xi ) en E, y sean D = fi ∂i y g=p

1 P , 1 + fi2

entonces gD tiene las componentes acotadas. Ahora consideremos una funci´ on h ∈ C ∞ (E) —ver el tema I—, tal que h[E] = [0, 1], h[K] = 0 y h[C] = 1, para C cerrado disjunto de K y de complementario acotado. Entonces 1 f=p P , 1 + h fi2 satisface el enunciado, pues en K, f D = D, y en C, f D = gD. Corolario 2.34 Sea U ⊂ E abierto y D ∈ DL (U ), (resp. de clase k). Entonces existe una funci´ on f ∈ L(U ), (resp. f ∈ C k (U )), f 6= 0, tal que f D es completo. Adem´ as f puede elegirse para que tome el valor 1 en un compacto K ⊂ U . Demostraci´ on.- Consideremos un sistema de coordenadas lineales P (xi ) en E, y sea D = fi ∂i con las fi ∈ L(U ), (resp. fi ∈ C k (U )), entonces por (1.12), p´ ag.11, fi = di /hi , para di ∈ L(E), (resp. ∈ C k (E)) y ∞ c hi ∈ C (E), Q siendo hi 6= 0 en U y hi = 0 en U . AhoraPpara h = h1 · · · hn y gi = di j6=i hj , fi = gi /h; y el campo en E, E = gi ∂i , coincide en U con hD y se anula fuera. Ahora aplicando el resultado anterior (2.33), existe f > 0 tal que f E = f hD es completo, y se sigue el resultado. Corolario 2.35 Las ´ orbitas de cualquier D ∈ DL (U ) son siempre las ´ orbitas de un campo completo.

2.9.

Corchete de Lie de campos tangentes

2.9. Corchete de Lie de campos tangentes

103

En el tema I hemos visto que para cada abierto U de E, Dk (U ) era un m´ odulo sobre C k (U ). Ahora veremos que en D(U ) tenemos otra operaci´ on natural. Definici´ on. Sea k ≥ 0 y D, E ∈ Dk+1 (U ), es f´ acil ver que la composici´on D ◦ E : C ∞ (U ) −−→ C k (U ), es R–lineal y se anula en las constantes, aunque no es una derivaci´on pues no verifica la regla de Leibnitz. Sin embargo [D, E] = D ◦ E − E ◦ D, verifica las tres condiciones y es por tanto un campo tangente de Dk (U ), al que llamaremos corchete de Lie de D y E. Proposici´ on 2.36 Dados D1 , D2 , D3 ∈ Dk+1 (U ), f ∈ C k+1 (U ), y a, b ∈ R, se tienen las siguientes propiedades: a) [D1 , D2 ] ∈ Dk (U ). b) [D1 , D2 ] = −[D2 , D1 ]. c) [aD1 + bD2 , D3 ] = a[D1 , D3 ] + b[D2 , D3 ]. d) Identidad de Jacobi: [D1 , [D2 , D3 ]] + [D2 , [D3 , D1 ]] + [D3 , [D1 , D2 ]] = 0. e) [D1 , f D2 ] = (D1 f )D2 + f [D1 , D2 ]. Demostraci´ on.- H´ agase como ejercicio. Definici´ on. Se llama ´ algebra de Lie en U , a D(U ) con el corchete de Lie [ , ] como producto. Veamos que el corchete de Lie se conserva por aplicaciones diferenciables. Proposici´ on 2.37 Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 , de clase k + 1, y para i = 1, 2, sean Di ∈ Dk (U ) y Ei ∈ Dk (V ), tales que F lleva Di en Ei , entonces F lleva [D1 , D2 ] en [E1 , E2 ]. Demostraci´ on.- Basta demostrar —ver Tema I—, que [D1 , D2 ] ◦ F ∗ = F ∗ ◦ [E1 , E2 ], lo cual es obvio, pues por hip´ otesis Di ◦ F ∗ = F ∗ ◦ Ei .

104

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Ejercicio 2.9.1 Demostrar que para cualquier sistema de coordenadas (ui ),   ∂ ∂ , = 0, ∂ui ∂uj P P y si D1 = fi ∂i y D2 = gi ∂i entonces [D1 , D2 ] =

 n X n  X ∂gk ∂fj ∂ fi − gi . ∂u ∂u ∂u i i k i=1

k=1

Ejercicio 2.9.2 Sean D1 , D2 ∈ D1 (U ) y f, g ∈ C 1 (U ). Demostrar que [f D1 , gD2 ] = f g[D1 , D2 ] + f (D1 g)D2 − g(D2 f )D1 . Ejercicio 2.9.3 Calcular los tres corchetes de Lie de los campos de R3 , y

2.10.

∂ ∂ −x , ∂x ∂y

z

∂ ∂ −y , ∂y ∂z

∂ ∂ ∂ + + . ∂x ∂y ∂z

Derivada de Lie de campos tangentes

Sean D, E ∈ D(U ), con grupos uniparam´etricos locales X e Y respectivamente. Para cada f ∈ C ∞ (U ) y p ∈ U podemos definir la funci´on de clase ∞ G : A ⊂ R2 −−→ R ,

G(t, r) = f [X(−t, Y (r, X(t, p)))],

donde A es un entorno abierto del (0, 0) en R2 . Es f´ acil demostrar que para X(t, p) = x ∂G (t, 0) = E(f ◦ X−t )[X(t, p)] = [(X−t )∗ Ex ]f. ∂r Definici´ on. Llamaremos derivada de Lie de E respecto de D al campo DL E ∈ D(U ) que para cada f ∈ C ∞ (U ) y p ∈ U vale (DL E)f (p) = l´ım [ t→0

(X−t )∗ EX(t,p) − Ep ∂2G ]f = (0, 0). t ∂r∂t

2.10. Derivada de Lie de campos tangentes

105

Hay otra forma de escribir la derivada de Lie que puede resultar mas sugestiva pues nos da un modelo que ya hemos utilizado y volveremos a utilizar. Dado el campo D ∈ D(U ) y su grupo uniparam´etrico local X : WD −−→ U, tendremos que para t ∈ I = ∪p∈U I(p), podemos definir los abiertos de U , Ut = {p ∈ U : (t, p) ∈ WD }, y los difeomorfismos Xt : Ut −→ U−t , tales que Xt (p) = X(t, p). Por tanto para cada E ∈ D(U−t ) tendremos que Xt (E) ∈ D(Ut ), para [Xt∗ (E)]p = (X−t )∗ EX(t,p) y la derivada de Lie se puede expresar de la forma Xt∗ (E) − E . t→0 t

DL E = l´ım Observemos el paralelismo con

Xt∗ f − f . t→0 t

Df = l´ım

Volveremos sobre esta forma de derivar respecto de un campo en el tema III. Teorema 2.38 DL E = [D, E]. Demostraci´ on.- Consideremos la funci´ on diferenciable H : B ⊂ R3 −−→ R ,

H(t, r, s) = f [X(s, Y (r, X(t, p)))],

donde B es un entorno abierto de (0, 0, 0) en R3 . Aplicando la regla de la cadena tendremos que ∂2G ∂2H ∂2H (0, 0) = (0, 0, 0) − (0, 0, 0), ∂r∂t ∂r∂t ∂r∂s siendo el primer miembro de la expresi´ on de la derecha D(Ef )(p) y el segundo E(Df )(p). El resultado se sigue de la expresi´on dada en la definici´ on. Teorema 2.39 Sean D, E ∈ D(U ). Entonces si X es el grupo uniparam´etrico de D se tiene que DL E = 0 si y s´ olo si para todo t ∈ I = ∪p∈U I(p), Xt deja a E invariante.

106

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Demostraci´ on.- Sea p ∈ U y t ∈ I(p). Como el difeomorfismo X−t : U−t −→ Ut lleva D en D tendremos que X−t lleva [D, E] en [D, F ], para el campo definido en Ut , FX(−t,z) = X−t∗ Ez . Ahora como DL E = 0, se sigue que para toda f ∈ C ∞ (U ), X−r∗ FX(r,p) − Fp ]f r X−r∗ [X−t∗ EX(t+r,p) ] − X−t∗ EX(t,p) ]f, = l´ım [ r→0 r

0 = [DL F ]f (p) = l´ım [ r→0

lo cual implica que la funci´ on h(t) = X−t∗ EX(t,p) f, es diferenciable en I(p) y que h0 (t) = 0. Por tanto tendremos que h(t) = h(0) = Ep f . De donde se sigue que Xt lleva E en E. Para caracterizar los campos que se anulan al hacerles la derivada de Lie respecto de uno dado necesitamos el siguiente resultado. Proposici´ on 2.40 Sea F : U ⊂ E −→ V ⊂ E1 diferenciable. Si X e Y son los grupos uniparam´etricos locales de sendos campos D ∈ D(U ) y E ∈ D(V ) respectivamente, entonces F lleva D en E si y s´ olo si F ◦ Xt = Yt ◦ F , en el sentido de que si la expresi´ on de la izquierda est´ a definida tambi´en lo est´ a la de la derecha y son iguales. Demostraci´ on.- “⇒” Para cada p ∈ U y q = F (p) sea Z = F ◦ Xp , donde Xp es la curva integral m´ axima de D pasando por p. Entonces Z(0) = q y     ∂ ∂ = [F∗ ◦ Xp∗ ] = F∗ DXp (t) = EZ(t) , Z∗ ∂t t ∂t t por lo tanto Z es una curva integral de E pasando por q y por la unicidad F [X(t, p)] = Y (t, F (p)). “⇐” Sea p ∈ U y q = F (p), entonces     ∂ ∂ F∗ Dp = F∗ [Xp∗ ] = Yq∗ = Eq . ∂t 0 ∂t 0

2.10. Derivada de Lie de campos tangentes

107

Proposici´ on 2.41 Sean D, E ∈ D(U ). Entonces si X e Y son respectivamente sus grupos uniparam´etricos locales, tendremos que [D, E] = 0 si y s´ olo si localmente Xt ◦ Ys = Ys ◦ Xt , es decir para todo p ∈ U existe un abierto Up entorno de p y un δ > 0, tal que para |t|, |s| < δ, Xt ◦ Ys = Ys ◦ Xt en Up . Si los campos son completos la igualdad es en todo punto y para t, s ∈ R. Demostraci´ on. Sea p ∈ U , entonces como WD ∩ WE es un abierto de R × U , entorno de (0, p), existe un entorno abierto Vp , de p en U y un  > 0, tales que (−, ) × Vp ⊂ WD ∩ WE , ahora consideremos el abierto X −1 (Vp ) ∩ Y −1 (Vp ), tambi´en entorno de (0, p), para el que existe un entorno abierto Up , de p en U y un 0 < δ ≤ , tales que (−δ, δ) × Up ⊂ X −1 (Vp ) ∩ Y −1 (Vp ) y por tanto en el que est´an definidas X, Y : (−δ, δ) × Up → Vp , entonces se tiene que para todo q ∈ Up y |t|, |s| ≤ δ (Xt ◦ Yq )(s) es una curva integral de E que en 0 pasa por Xt (q), por tanto coincide con Ys ◦ Xt (q). Hemos visto en este u ´ltimo resultado que dos campos conmutan si y s´ olo si conmutan sus grupos uniparam´etricos. Pong´amonos otra vez en los t´erminos del enunciado. Podemos definir para cada p ∈ U la curva γ : (−δ, δ) −−→ U ,

γ(t) = [Y−t ◦ X−t ◦ Yt ◦ Xt ](p),

que es constante si [D, E] = 0. Esta curva nos mide, en cierto modo, la obstrucci´ on que impide que dos campos D y E se comporten como los campos ∂/∂ui , en el sentido de que su corchete de Lie se anule. Teorema 2.42 En los t´erminos anteriores f [γ(t)] − f [γ(0)] . t→0 t2

[DL E]f (p) = l´ım

Demostraci´ on. Si consideramos las funciones H(a, b, c, d) = f [Y (a, X(b, Y (c, X(d, p)))] h(t) = f [γ(t)] = H(−t, −t, t, t),

108

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

entonces tendremos que calcular el h00 (0) h(t) − h(0) = 2 t→0 t 2 l´ım

Ahora bien h0 (t) = [−

∂H ∂H ∂H ∂H − + + ](−t, −t, t, t), ∂a ∂b ∂c ∂d

y por tanto ∂2H ∂2H ∂2H ∂2H ∂2H ∂2H + + + + 2 − 2 − ∂a2 ∂b2 ∂c2 ∂d2 ∂a∂b ∂a∂c ∂2H ∂2H ∂2H ∂2H −2 −2 −2 +2 ](0, 0, 0, 0) = ∂a∂d ∂b∂c ∂b∂d ∂c∂d = E(Ef )(p) + D(Df )(p) + E(Ef )(p) + D(Df )(p)+

h00 (0) = [

+ 2D(Ef )(p) − 2E(Ef )(p) − 2D(Ef )(p)− − 2E(Df )(p) − 2D(Df )(p) + 2D(Ef )(p) = = 2[DL E]f (p). Definici´ on. Sea Yt un grupo uniparam´etrico en U y E su generador infinitesimal. Diremos que un campo D ∈ D(U ) es invariante por el grupo Yt si [E, D] = 0, es decir si Yt lleva D en D, ´o en otras palabras cuando Yt transforma curvas integrales de D en curvas integrales de D —sin alterar su parametrizaci´ on—. Definici´ on. Diremos que la ecuaci´ on diferencial definida por D es invariante por el grupo Yt , si existe una funci´on f ∈ C ∞ (U ) tal que [E, D] = f D, para E el generador infinitesimal de Yt . La importancia de este concepto queda de manifiesto en el siguiente resultado. Teorema 2.43 Sean D, E ∈ D(U ) y p ∈ U . Si Ep 6= 0, existe un entorno V de p en U en el que las siguientes condiciones son equivalentes: 1.- Existe f ∈ C ∞ (V ) tal que [E, D] = f D. 2.- Existe h ∈ C ∞ (V ), invertible tal que [E, hD] = 0. Demostraci´ on.- “⇒” [E, hD] = (Eh)D + h[E, D] = (Eh)D + hf D = (Eh + hf )D,

2.11. M´ etodo de Lie para resolver ED

109

Bastar´ a pues tomar h tal que −f = Eh/h = E(log h), es decir si E = ∂/∂v1 en un sistema de coordenadas v1 , . . . , vn , h = e−

R

gdx1

(v1 , . . . , vn ),

donde g(v1 , . . . , vn ) = f , para tener [E, hD] = 0. “⇐” 0 = [E, hD] = (Eh)D + h[E, D], y para f = −Eh/h, ser´ a [E, D] = f D.

2.11.

M´ etodo de Lie para resolver ED

Si en un punto p ∈ U es Ep 6= 0, entonces existe un entorno de p en U , (coordenado por funciones (u1 , . . . , un ), en el que E = ∂/∂un . En tal caso la condici´ on [E, D] = 0, implica, para D=

n X i=1

fi

∂ , ∂ui

que ∂fi /∂un = 0, es decir que las funciones fi no dependen de un y por tanto no est´ an valoradas en Rn , sino en Rn−1 , con lo cual hemos logrado rebajar el orden de la ecuaci´ on diferencial definida por D. Esta simple idea, debida a Sophus Lie, es fundamental para la b´ usqueda de soluciones de una ecuaci´ on diferencial definida por un campo D en el plano, pues si encontramos un campo E que nos lo deje invariante, podemos reducirlo — con un cambio de coordenadas — a una ecuaci´ on en la recta que autom´ aticamente queda resuelta. A continuaci´ on vamos a desarrollar este m´etodo fijando un campo E=h

∂ ∂ +k , ∂x ∂y

del plano —consideraremos el de las homotecias, el de los giros y el campo k(x)[∂/∂y]— para encontrar a continuaci´on todas las ecuaciones

110

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

diferenciales del plano definidas gen´ericamente por un campo D=f

∂ ∂ +g , ∂x ∂y

que son invariantes por el grupo uniparam´etrico de E, es decir para las que [E, D] = 0. Veamos en tal caso como tienen que ser f y g  ∂h  ∂h ) +g  Ef = Dh = f  E(Dx) = D(Ex) ∂x ∂y . ⇒ ∂k ∂k  E(Dy) = D(Ey)  Eg = Dk = f +g  ∂x ∂y

1.- ED invariantes por el campo de las Homotecias. E=x

∂ ∂ +y . ∂x ∂y

En este caso tenemos que h = x y k = y, por lo que f y g deben satisfacer Ef = f , Eg = g. Busquemos un sistema de coordenadas (u, v) en el que E = ∂/∂u, por ejemplo y u = log x, v = . x Entonces tendremos que   y  ∂f )     =f f =x·ψ log f = u + φ1 (v) ∂u  yx  . ⇒ ⇒ ∂g   log g = u + φ2 (v)  g =x·ϕ = g x ∂u En consecuencia toda ecuaci´ on diferencial del tipo y –Ecuaciones Diferenciales Homogeneas– y0 = H x se resuelven poniendo el campo D en las coordenadas (u, v).

2.- ED invariantes por el campo de los Giros. E = −y

∂ ∂ +x . ∂x ∂y

2.11. M´ etodo de Lie para resolver ED

111

En este caso tendremos que f y g deben satisfacer, Ef = −g y Eg = f , por tanto E(Ef ) = −f . En el sistema de coordenadas polares  x   θ = arc cos p , 2 x + y2   ρ = px2 + y 2 , E = ∂/∂θ. Para encontrarlo observemos que Eρ = 0, por lo que basta encontrar una funci´ on θ tal que Eθ = 1. Tal funci´on en coordenadas (x, ρ) debe satisfacer ∂θ −1 −1 = =p , ∂x y ρ2 − x2 es decir θ = arc cos(x/ρ). Tenemos ahora que encontrar f y g satisfaciendo ∂2f = −f , ∂θ2

∂f = −g. ∂θ

Y como veremos en el tema de sistemas lineales, estas ecuaciones tienen una soluci´ on general de la forma f = c1 (ρ) · cos θ + c2 (ρ) · sen θ ,

g = c1 (ρ) · sen θ − c2 (ρ) · cos θ.

En definitiva en coordenadas (x, y), las ecuaciones diferenciales del tipo y0 =

y − xr , x + yr

p para r(x, y) = h[ x2 + y 2 ], se resuelven haciendo el cambio a coordenadas polares.

3.- ED invariantes por el campo E = k(x)

∂ . ∂y

En este caso tendremos que f y g deben satisfacer Ef = 0 ,

Eg = f k 0 (x).

112

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Busquemos u tal que Eu = 1, por ejemplo u = y/k(x). Ahora en el sistema de coordenadas (x, u) tendremos que E = ∂/∂u y nuestras funciones son tales que  ∂f (   =0 f = f (x) ∂u ⇒ ⇒ ∂g  g = f (x)k 0 (x)u + r(x) = f k 0 (x) ∂u  f = f (x) ⇒ k 0 (x)  g = f (x) y + r(x) k(x) En definitiva con las coordenadas x,

u=

y , k(x)

resolvemos las ecuaciones diferenciales del tipo y 0 = a(x) · y + b(x),

–Ecuaciones Diferenciales Lineales–

donde dada la funci´ on a(x), tendremos que la coordenada u vale u=

y y = R a(x)dx , k(x) e

en cuyo caso las trayectorias del campo D=

∂ ∂ + [a(x)y + b(x)] , ∂x ∂y

que en coordenadas (x, u) se escribe D=

∂ b(x) ∂ + , ∂x k(x) ∂u

se encuentran f´ acilmente pues tiene una 1–forma incidente exacta Z b(x) b(x) du − dx = d[u − ], k(x) k(x) por lo que la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial lineal es Z  R b(x)dx R y(x) = e a(x)dx · + A , e a(x)dx

113

2.11. M´ etodo de Lie para resolver ED

cosa que podemos ver tambi´en directamente haciendo [y e−

R

a(x)dx 0

] = y 0 e−

R

a(x)dx

−ya(x) e−

R

a(x)dx

= e−

R

a(x)dx

b(x).

Por u ´ltimo observemos que las ecuaciones diferenciales del tipo y 0 = a(x) · y + b(x) · y n ,

–Ecuaciones de Bernoulli–

se resuelven haciendo el cambio z = y 1−n , pues se obtiene una lineal en z. Ejercicio 2.11.1 Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:    x −y  0  1 x0 = p 0   x = x = 2 x2 + y 2  x2 + xy  x (Sol.) y y  1   0 0    y0 = p y = y =   x3 x2 + y 2 x+y Ejercicio 2.11.2 Resolver las ecuaciones diferenciales: xy + 2x , x2 + y 2 + 4y + 4 y − (x + 1)3 − (x + 1)y 2 , (4) y 0 = x + 1 + y 3 + y(x + 1)2

2xy , x2 + y 2 y−x (3) y 0 = x+y

(2) y 0 =

(5) y 0 = x2 y + x,

(6) y 0 = x2 y + xy 3 .

(1) y 0 =

(Sol.)

Ejercicio 2.11.3 Encontrar las curvas integrales del campo D = (x + cy − bz)∂x + (y + az − cx)∂y + (z + bx − ay)∂z .

(Sol.)

Ejercicio 2.11.4 Resolver la ecuaci´ on en derivadas parciales: x

∂f ∂f +y = y · log x. ∂x ∂y

(Sol.)

Ejercicio 2.11.5 Determinar las trayectorias del campo: D = xy

∂ ∂ ∂ + (y 2 + x3 ) + (yz + y 2 z + x2 y) , ∂x ∂y ∂z

sabiendo que su ecuaci´ on diferencial es invariante por el grupo definido por el campo: ∂ y ∂ z ∂ D1 = + + . (Sol.) ∂x x ∂y x ∂z

114

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Ejercicio 2.11.6 Encontrar la curva que describe un perro que persigue a un conejo que se mueve en l´ınea recta, yendo ambos a velocidad constante. (Sol.)

Ejercicio 2.11.7 Resolver la ecuaci´ on en derivadas parciales X ∂f ∂f (x, t) = fi (x) (x, t), ∂t ∂xi con la condici´ on inicial f (x, 0) = g(x). (Sol.)

Ejercicio 2.11.8 Demostrar que si f (x, y) = f (−x, y) y g(x, y) = −g(−x, y) en R2 , entonces toda curva integral σ(t) = (x(t), y(t)) del campo D = f ∂x + g∂y , tal que x(0) = 0 = x(T ), para un T > 0, es 2T –peri´ odica. (Sol.)

Ejercicio 2.11.9 En una localidad comenz´ o a nevar a cierta hora de la ma˜ nana y continu´ o nevando a raz´ on constante. La velocidad con que el cami´ on limpianieves limpiaba una calle de la localidad era inversamente proporcional a la altura de la nieve acumulada hasta ese instante. El limpianieves comenz´ oa las 11h y a las 14h hab´ıa limpiado 4 km. A las 17h hab´ıa limpiado otros 2 km. ¿A qu´e hora empez´ o a nevar?. (Sol.)

Ejercicio 2.11.10 Dos personas A y B piden caf´e. A le pone una cucharada de leche fr´ıa pero no se lo toma. Al cabo de 10 minutos B —que tampoco se lo ha tomado— le pone una cucharada de leche fr´ıa (que no ha cambiado de temperatura) y A y B beben el caf´e. ¿Qui´en lo bebe mas caliente?. (Sol.)

Ejercicio 2.11.11 Un recipiente abierto, lleno de agua, tiene la forma de una semiesfera de R metros de radio. En el fondo tiene un agujero circular de r metros de radio. ¿Cu´ anto tardar´ a1 en salir todo el agua del recipiente?. (Sol.)

Ejercicio 2.11.12 Calcula la forma que debe tener el recipiente del ejercicio anterior para que el nivel de la superficie del agua baje a una raz´ on constante. (Sol.) 1 Se admite la ley de Torricelli que dice que el agua sale por el agujero con la misma √ velocidad ( 2gy) que obtendr´ıa un objeto al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero, a altura y.

2.11. M´ etodo de Lie para resolver ED

115

Ejercicio 2.11.13 Hallar las curvas y = f (x), del plano, que pasan por el origen y tienen la propiedad de que para todo a ∈ R, el a ´rea limitada por la tangente a la curva en (a, b = f (a)), el eje y y la recta y = b, es proporcional al a ´rea limitada por la curva, el eje y y la recta y = b. (Sol.)

Ejercicio 2.11.14 Encontrar todas las curvas planas de curvatura constante. (Sol.)

Ejercicio 2.11.15 Hay n moscas ordenadas en los v´ertices de un n–´ agono regular, que se ponen a andar a la misma velocidad y dirigi´endose cada una hacia la siguiente. Dar la trayectoria de la mosca que pasa por un punto cualquiera y calcular la longitud del trayecto recorrido hasta que se encuentra con las dem´ as, en funci´ on de su distancia al centro del pol´ıgono, en el instante 0. (Sol.) Ejercicio 2.11.16 Demostrar que el campo de Rn+1 , D=

∂ ∂ ∂ ∂ + x2 + · · · + xn +F , ∂x ∂x1 ∂xn−1 ∂xn

en las coordenadas (x, x1 , . . . , xn ), asociado a las ecuaciones diferenciales de la forma y (n = F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1 ), para el que F (x, tx1 , tx2 , . . . , txn ) = tF (x, x1 , . . . , xn ), es invariante por el campo de las homotecias x1

∂ ∂ + · · · + xn . ∂x1 ∂xn

(Sol.)

Ejercicio 2.11.17 Resolver la ecuaci´ on x2 yy 00 = (y − xy 0 )2 , con las condiciones y(1) = 5, y 0 (1) = 2. (Sol.)

Ejercicio 2.11.18 Encontrar la forma de unas tijeras, con cuchillas sim´etricas, tal que el a ´ngulo de corte sea siempre el mismo. (Sol.)

Ejercicio 2.11.19 Encontrar las curvas del plano que en cada punto la distancia de su tangente al origen es la abscisa del punto. (Sol.)

116

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

2.12.

Ap´ endice. La tractriz

La tractriz. En 1693 Leibnitz escribe: “El distinguido m´edico Parisino Claude Perrault, igualmente famoso por su trabajo en mec´ anica y en arquitectura, bien conocido por su edici´ on de Vitruvio, e importante miembro de la Real Academia Francesa de las Ciencias, me propuso este problema a mi y a otros muchos antes de mi, admitiendo r´ apidamente que el no hab´ıa sido capaz de resolverlo...” Claude Perrault2 , plante´ o dicho problema con su reloj de cadena; lo coloc´ o sobre una mesa rectangular, con la cadena estirada perpendicular al borde de la mesa y desplaz´ o el extremo de la cadena con velocidad constante por el borde de la mesa. El reloj describi´o un arco de curva. La pregunta fue: ¿qu´e curva sigue el reloj?.

1 s(x)=(x+cos[q(x)],sen[q(x)]) q(x) 1 x Figura 2.3. Tractriz

La respuesta habitual a este problema, estudiado entre otros por Leibnitz, Huygens y Bernouilli, se basa en suponer que la cadena es tangente a la trayectoria del reloj en cada instante, lo cual no es cierto3 . Veremos que lo ser´ıa si la velocidad de la mano fuese extremadamente peque˜ na ´o, equivalentemente, la fuerza de rozamiento entre la mesa y el reloj extremadamente alta (realmente la tractriz aparecer´ıa en la situaci´on l´ımite en cuyo caso parad´ ojicamente el reloj no se mover´ıa). 2 M´ edico, f´ısico y arquitecto (dise˜ n´ o la columnata doble de la fachada oriental del Louvre) y hermano mayor de Charles Perrault (escritor de los cuentos de Caperucita roja y la Cenicienta). 3 Pues en ese caso la fuerza mσ 00 y la velocidad σ 0 tendr´ ıan la misma direcci´ on y reparametrizando la curva con la longitud de arco, tendr´ıamos esa misma propiedad por lo que podemos suponer 1 = σ 0 · σ 0 , ahora derivando tendr´ıamos 0 = σ 0 · σ 00 , lo cual implica σ 00 = 0 y la trayectoria es recta.

117

2.12. Ap´ endice. La tractriz

Analicemos en primer lugar este nuevo problema geom´etrico, es decir el de la curva del plano cuya tangente en cada punto define un segmento con el eje x de longitud constante; y a continuaci´on estudiaremos el problema original del reloj. La soluci´ on de este, que ya vimos en (1.9.1), es la tractriz 4 , pero lo veremos ahora de otra forma. Suponemos que la longitud del segmento es 1 y que la curva empieza en (0, 1). Para cada x denotamos con θ(x) el ´ angulo que forma la semirrecta [x, ∞) × {0} con el segmento tangente a nuestra curva, unitario y con un extremo en x, en tal caso tendremos que la curva que tiene esa propiedad es σ(x) = (x + cos[θ(x)], sen[θ(x)]), siendo σ 0 proporcional a (cos[θ], sen[θ]), es decir 1 − θ0 sen[θ] cos[θ] = θ0 cos[θ] sen[θ]

( ⇔

θ0 = sen[θ]

),

ecuaci´ on que resolvemos integrando, sabiendo que θ(0) = π/2 (y por tanto θ0 (0) = sen[θ(0)] = 1) Z x= 0

x

θ0 (x) dx = sen[θ(x)]

Z

θ(x)

θ(0)

dθ θ = log tan sen(θ) 2

θ(x) , θ(0)

y la soluci´ on es (2.8)

ex = tan

θ(x) 2

( ⇔

θ(x) = 2 arctan[ex ]

)

que corresponde a la tractriz (ver la Fig.2.3) σ(x) = (x + cos[2 arctan[ex ]], sen[2 arctan[ex ]])   e−x − ex 2 1 , = (x + −x , ) = x − tanh[x], e + ex e−x + ex cosh[x] para la que σ(0) = (0, 1) y σ 0 (0) = (0, 0). 4 Del lat´ ın tractum (arrastrar) llamada as´ı por Huygens. Tambi´ en es conocida como curva del perro, pues se ha considerado err´ oneamente que tambi´ en es la trayectoria que sigue un perro que quiere ir hacia un hueso cuando el due˜ no va en linea recta, o incluso que el perro quiere ir en direcci´ on este cuando el due˜ no va en direcci´ on norte–sur.

118

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Observemos que con la propiedad definida por la ecuaci´on (2.8), es inmediato construir con regla y comp´ as el punto σ(x) si tenemos dibujada la exponencial.

ex

q(x) 2 1

x

1

Figura 2.4. La tractriz y la exponencial

Veamos ahora el problema original del reloj. Para hacer un estudio detallado de este problema (aunque simplificado), consideremos en primer lugar que la cadena no tiene masa, que hay un coeficiente de rozamiento constante k, entre el reloj y la mesa; y una velocidad constante v con la que movemos la mano por el borde de la mesa (el eje x), partiendo en el instante inicial de x = 0. En cuyo caso en cada instante de tiempo t, la mano est´ a en (vt, 0) y si, como antes, suponemos que la longitud de la cadena es 1, el reloj estar´ a en σ[t] = (vt, 0) + (cos[θ], sen[θ]), y denotando β = (cos[θ], sen[θ]) y α = (− sen[θ], cos[θ]) (vector unitario ortogonal a β), tendremos que σ = (vt, 0) + β,

˙ σ˙ = (v, 0) + θα,

¨ − θ˙2 β. σ ¨ = θα

Ahora bien la aceleraci´ on σ ¨ del reloj (considerado de masa unidad) es la fuerza total que act´ ua sobre el reloj, que es suma por una parte de la fuerza con la que tira la cadena F = f β (aunque desconocemos con qu´e intensidad f ), y por otra de la resistencia R debida al rozamiento con la mesa. Aqu´ı consideraremos dos posibles hip´otesis: (1) que R = −k σ/| ˙ σ| ˙ es independiente de la velocidad del reloj, aunque dependiente de su direcci´ on (y no est´ a definida si σ˙ = 0) y (2) que R = −k σ˙ s´ı depende de la velocidad (y es nula si la velocidad es nula). En cualquier caso ¨ − θ˙2 β = σ θα ¨ = F + R = f β + (R · α)α + (R · β)β,

119

2.12. Ap´ endice. La tractriz

e igualando componentes, θ¨ = R · α y −θ˙2 = f + R · β.

Figura 2.5. Cicloide

Sin rozamiento. En este caso R = 0 y por tanto θ¨ = 0, de donde θ = at + b y la trayectoria es σ[t] = (cos[at + b] + vt, sen[at + b]), y en nuestras condiciones σ(0) = (0, 1), σ 0 (0) = 0, (i.e. a = v y b = π/2) la soluci´ on es la cicloide Fig.(2.5). Con rozamiento Caso (1). En este caso R = −k σ/| ˙ σ| ˙ y σ˙ = (v − θ˙ sen[θ], θ˙ cos[θ]), σ˙ · α = kq θ¨ = R · α = −k |σ| ˙

v sen[θ] − θ˙

.

v 2 − 2v θ˙ sen[θ] + θ˙2

y cambiando de variable x = tv, y considerando la nueva derivada dθ/dx = θ0 , tendremos que θ˙ = vθ0 y θ¨ = v 2 θ00 , por tanto la ecuaci´on anterior en t´erminos de x es (2.9) θ00 =

0

k sen[θ] − θ p v 2 1 − 2θ0 sen[θ] + θ02

⇔

 0  θ = z 0  z = λ p

sen[θ] − z 1 − 2z sen[θ] + z 2

y tenemos que mientras λ = k/v 2 sea constante las trayectorias no cambian, en particular aumentar el rozamiento k es lo mismo que disminuir adecuadamente la velocidad v. Por ello podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que v = 1 y analizaremos qu´e ocurre cuando aumentamos el rozamiento λ. En la Fig.2.6, vemos representado este campo tangente Dλ , para dos valores de λ.

120

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Figura 2.6. Campo para λ = 1 y λ ≈ ∞

z q

Figura 2.7. Campos Dλ y curva sen x.

Nota 2.44 Observemos (ver Fig.2.7) que este campo tangente sen[θ] − z Dλ = z∂θ + λ p ∂z , 1 − 2z sen[θ] + z 2 es 2π–peri´ odico en θ y sim´etrico respecto del giro de ´angulo π en torno al punto singular (π, 0), es decir que Dλ(π+θ,z) = −Dλ(π−θ,−z) , lo cual implica que la curva integral pasando por (π + θ, z) es la que pasa por (π − θ, −z) girada un ´ angulo π. Adem´ as, en la curva z = sen x, el campo es independiente de λ y horizontal (z∂θ ) (direcci´on E en z > 0 y O en z < 0). Es vertical en la recta z = 0 (direcci´ on N en θ ∈ (0, π) y S en θ ∈ (π, 2π)). Tiene direcci´ on SE en la regi´ on {z > sen θ} ∩ {z > 0}, SO en {z > sen θ} ∩ {z < 0}, NO en {z < sen θ} ∩ {z < 0} y NE en {z < sen θ} ∩ {z > 0}. Ahora la curva que describe el reloj parametrizada por t = x es (para θλ soluci´ on de (2.9)) (2.10)

σλ (t) = (t + cos[θλ (t)], sen[θλ (t)])

y nos interesa la que satisface las condiciones σλ (0) = (0, 1) y σλ0 (0) = 0, lo cual equivale a que θλ satisfaga θλ (0) = π/2 y θλ0 (0) = 1, pero este es el u ´nico punto —en 0 ≤ θ ≤ π—, en el que Dλ no est´a definido, pues

2.12. Ap´ endice. La tractriz

121

aunque la segunda componente del campo est´a acotada en m´odulo por λ, pues 0 ≤ (sen[θ] − z)2 = sen2 [θ] − 2z sen[θ] + z 2 ≤ 1 − 2z sen[θ] + z 2 , p el denominador 1 − 2z sen[θ] + z 2 se anula sii se anula el numerador sen[θ] − z y sen2 [θ] = 1 (lo cual ocurre en los p puntos θ = π/2 + nπ, z = (−1)n )); y la funci´ on f = (sen[θ] − z)/ 1 − 2z sen[θ] + z 2 no est´ a definida en estos puntos, en particular en el punto que nos interesa (θ, z) = (π/2, 1), pues f (π/2, z) = ±1, mientras que f (θ, sen[θ]) = 0. En la Fig.2.8, vemos la gr´ afica de f . -2 -1 0 1 2 1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0 6

4

2

0

Figura 2.8. Gr´ afica de f y plano z = 0.

Por tanto optaremos por coger un punto pr´oximo a (π/2, 1) y demostraremos que si θλ es la soluci´ on de (2.9) pasando por ´el, es decir satisfaciendo θλ (0) = π/2 y θλ0 (0) ≈ 1, la curva correspondiente σλ (t) = (t + cos θλ (t), sen θλ (t)), que pasa por σλ (0) = (0, 1), con velocidad casi nula, σλ0 (0) ≈ (0, 0) es para λ ≈ ∞, σλ ≈ σ (es decir pr´ oxima a la tractriz). Observemos que el caso λ = ∞ (es decir, velocidad nula ´o rozamiento ∞), induce a considerar la ecuaci´ on θ0 = sen[θ], que define la tractriz seg´ un vimos al principio. Proposici´ on 2.45 Dado  > 0, existe un λ a partir del cual, |θλ0 (x) − sen[θλ (x)]| ≤ , para la curva integral τλ = (θλ , θλ0 ) de Dλ satisfaciendo θλ (0) = π/2 y θλ0 (0) = 1 + , y existe un primer tiempo Tλ , tal que θλ (Tλ ) = π, a partir del cual |θλ (t) − π| ≤ . Adem´ as para λ < µ < λ, la curva τλ [0, Tλ ] se encuentra entre z = sen x y τµ [0, Tµ ]. Demostraci´ on. Se sigue de la nota (2.44), que la curva integral τλ del campo tangente Dλ va por encima de z = sen θ, descendiendo en

122

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

direcci´ on SE, hasta que llega a la recta z = 0 a la que corta perpendicularmente en un π + α (con α > 0) y sigue descendiendo direcci´on SO hasta que corta horizontalmente la curva hacia el E y sigue en direcci´on ascendente NO hasta cortar de nuevo perpendicularmente z = 0 en un punto π − β, (con β < α, pues en caso contrario la curva integral pasando por (π − α, 0) que por la nota (2.44) ser´ıa la τλ girada, se cortar´ıa con τλ ) y seguir subiendo direcci´ on NE hasta cortar de nuevo la curva horizontalmente y continuar este proceso en espiral indefinidamente en torno al punto singular (π, 0). En particular a partir del momento en el que θλ (t) ≥ π − α, |θλ − π| ≤ α. Ahora, a medida que λ crece el campo se hace m´as vertical en los puntos z 6= sen θ y a partir de un λ apunta hacia el interior de la regi´on |z − sen(θ)| ≤  y π/2 ≤ θ ≤ π + δ = arc sen(−) (ver Fig.2.9), por tanto todas las curvas satisfacen |θλ0 (x) − sen[θλ (x)]| ≤ . (Observemos que δ es del orden de , pues la derivada en π del seno es −1). z=q'

e

q p/2

z=sen q

tm [0,Tm ] tl [0,Tl ]

p

Figura 2.9. El campo apunta hacia el interior de la regi´ on.

Lo u ´ltimo se sigue de que Dλ apunta hacia el interior de la regi´on limitada por τµ [0, Tµ ], θ ∈ [π/2, π] y z = sen θ, en los puntos de las dos curvas (ver Fig.(2.9)). Proposici´ on 2.46 En los t´erminos del resultado anterior (2.45), para cada λ > λ , θλ : [0, Tλ ] → R tiene inversa tλ : [π/2, π] → R, es creciente, convexa y si µ < λ, tµ < tλ < t, para t la inversa de θ (de la tractriz), siendo sus diferencias crecientes. Demostraci´ on. De (2.45) se sigue que en [0, Tλ ], θλ0 > 0 y θλ00 < 0, por tanto θλ es creciente (y tiene inversa tλ ) y c´oncava, por tanto tλ es creciente y convexa. Adem´ as si µ < λ, para α ∈ [π/2, π], tµ (α) < tλ (α) < t(α), pues por la u ´ltima afirmaci´ on de (2.45) α = θ[t(α)] = θλ [tλ (α)] = θµ [tµ (α)], θ0 [t(α)] = sen[α] < θλ0 [tλ (α)] < θµ0 [tµ (α)],

2.12. Ap´ endice. La tractriz

123

por tanto t0µ (α) < t0λ (α) < t0 (α) de donde tλ − tµ y t − tλ tienen derivadas > 0 y por tanto son crecientes y como en π/2 valen 0, se sigue el resultado. Teorema 2.47 Dado  > 0 consideremos la soluci´ on θλ de (2.9) satisfaciendo θλ (0) = π/2 y θλ0 (0) = 1 + , entonces existe un λ0 a partir del cual, |θλ (t) − θ(t)| ≤ .

p q

p/2

ql

Tl Figura 2.10.

Demostraci´ on. Basta considerar un λ tal que t[π −]−tλ [π −] < , pues en tal caso t[α] − tλ [α] < , para todo α ∈ [π/2, π − ] y como θ0 = sen θ ≤ 1, se sigue del teorema del valor medio que 0 < θλ − θ ≤ , para t ∈ [0, T ], siendo θ(T ) = π − ; pues si en alg´ un t fuese θλ (t) − θ(t) > , tendr´ıamos que existe un r ∈ [t, t[θλ (t)]], para el que θ0 (r)(t[θλ (t)] − t) = θλ (t) − θ(t), siendo t[θλ (t)]−t = t[θλ (t)]−tλ [θλ (t)] <  y esto implicar´ıa que θ0 (r) > 1. Ahora para t ∈ [T , ∞), θ(t), θλ (t) ∈ [π − , π + ] y el resultado se sigue. Teorema 2.48 Cuando λ → ∞ y  → 0, σλ → σ.

sl

Figura 2.11. Curvas σλ para λ = 00 1, 1, 2 y 10000

124

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Con rozamiento Caso (2). En este caso R = −kσ˙ σ˙ = (v − θ˙ sen[θ], θ˙ cos[θ]), ˙ θ¨ = R · α = −k σ˙ · α = k(v sen[θ] − θ), y cambiando de variable x = tv, y considerando la nueva derivada dθ/dx = θ0 , tendremos que θ˙ = vθ0 y θ¨ = v 2 θ00 , por tanto la ecuaci´on anterior en t´erminos de x es θ00 =

k (sen[θ] − θ0 ). v

y en este caso tenemos que mientras λ = k/v sea constante las trayectorias no cambian. El an´ alisis es mas sencillo que en el caso (1) pues el campo que antes no estaba definido en el punto (π/2, 1) ahora si lo est´a y podemos considerar la soluci´ on σλ que parte de (0, 1) con velocidad nula. B´asicamente se repiten los argumentos, siendo la conclusi´on la misma, las curvas tienden a la tractriz cuando λ → ∞.

2.13. Ejercicios resueltos

2.13.

125

Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.3.2.- a) Demostrar que si f : U ×V −→ E3 es localmente lipchiciana entonces es localmente lipchiciana en V uniformemente en U y que L(U ×V ) ⊂ LU (U × V ). b) Demostrar que f = (fi ) : U × V −→ Rk es localmente lipchiciana en V uniformemente en U si y s´ olo si lo son las fi . c) Si f ∈ LU (U × V ), entonces f es lipchiciana en cualquier compacto K2 ⊂ V , uniformemente en cualquier compacto K1 ⊂ U . Soluci´ on.- (c) Demu´ estrese primero en un compacto K1 × K2 convexo.

Ejercicio 2.3.5.- Demostrar que si σ : I ⊂ R → Rn es una curva diferenciable, entonces en σ 6= 0, |σ|0 = |σ 0 | cos(σσ 0 ). Indicaci´ on. Derivando σ · σ = |σ|2 , tenemos |σ| · |σ 0 | · cos(σσ 0 ) = σ · σ 0 = |σ| · |σ|0 .

Ejercicio 2.3.6.- Demostrar que si y 0 ≤ ky + r, con k > 0 y r ∈ R, en [a, b], entonces r y(x) ≤ y(a) ek(x−a) + (ek(x−a) −1). k Indicaci´ on. Integrando (y e−kx )0 = e−kx (y 0 − ky) ≤ r e−kx , tenemos Z x y(x) e−kx ≤ y(a) e−ka +r e−kx dx a

r = y(a) e−ka + (e−ka − e−kx ) ⇒ k r y(x) ≤ y(a) ek(x−a) + (ek(x−a) −1). k

Ejercicio 2.3.7.- Demostrar que si F : U ⊂ Rn → Rn es Lipschiciana en el abierto U , con constante k y σi : I = (a, b) ⊂ R → U , i = 1, 2, son dos curvas diferenciables para las que 0 ∈ I y |σi0 − F (σi )| ≤ /2, entonces para t ≥ 0 e y(t) = |σ1 (t) − σ2 (t)|  y(t) ≤ y(0) ekt + (ekt −1). k Indicaci´ on. Por (2.3.5) y 0 ≤ |σ10 (t) − σ20 (t)| = |σ10 (t) − σ20 (t) + F [σ1 (t)] − F [σ1 (t)] + F [σ2 (t)] − F [σ2 (t)]| ≤  + |F [σ1 (t)] − F [σ2 (t)]| ≤  + k|σ1 (t) − σ2 (t)| = ky + , y el resultado se sigue aplicando (2.3.6).

126

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Ejercicio 2.5.1.- Encontrar el grupo uniparam´etrico de los campos (1/x)∂x en (0, ∞) y x2 ∂x en R. Indicaci´ on. p Para el primero tenemos la ecuaci´ on x0 = 1/x, por tanto (x2 /2)0 = x0 x = 1 y x(t) = 2(t + c) y el grupo uniparam´ etrico es   p p2 σ(t, p) = σp (t) = 2t + p2 , I(p) = − , ∞ 2 Para el segundo tenemos que x0 = x2 , por tanto σp (t) = 0 para p = 0 y para p 6= 0, como (1/x)0 = −1, es x = 1/(c − t), para c constante y las curvas integrales son   1 p 1 (para p > 0), σp (t) = 1 = , I(p) = −∞, 1 − pt p −t p   1 1 p , I(p) = ,∞ . (para p < 0), σp (t) = 1 = 1 − pt p − t p

Ejercicio 2.11.1.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:    x −y   1 x0 = p 0   x0 = 2   2 2 x = x +y x + xy  x2 y y  1     y0 = p y0 = 3  y0 =   x x2 + y 2 x+y Ind.- La primera ecuaci´ on corresponde al campo f D para 1 f = p x2 + y 2

y

D=x

∂ ∂ +y . ∂x ∂y

La segunda es m´ ultiplo del mismo campo y la tercera corresponde a f =

1 x2 + xy

y

D = −y

∂ ∂ +x , ∂x ∂y

y se resuelven haciendo uso del resultado (2.27).

Ejercicio 2.11.2.- Resolver las ecuaciones diferenciales 2xy , + y2 y−x (3) y 0 = x+y

xy + 2x , x2 + y 2 + 4y + 4 y − (x + 1)3 − (x + 1)y 2 (4) y 0 = , x + 1 + y 3 + y(x + 1)2

(5) y 0 = x2 y + x,

(6) y 0 = x2 y + xy 3 .

(1) y 0 =

x2

(2) y 0 =

Indicaci´ on.- (1) y (3) son homog´ eneas, (2) tambi´ en considerando el cambio u = x, v = y + 2. (4) es invariante por los giros considerando el cambio u = x + 1, v = y. (5) es lineal y (6) de Bernoulli.

2.13. Ejercicios resueltos

127

Ejercicio 2.11.3.- Encontrar las curvas integrales del campo D = (x + cy − bz)∂x + (y + az − cx)∂y + (z + bx − ay)∂z . Indicaci´ on.- D = H + G, para H el campo de las homotecias y G el de los giros en torno al eje√definido por (a, b, c), pues sus componentes son (x, y, z) × (a, b, c). Denotemos R = a2 + b2 + c2 . Ahora podemos simplificar el problema si consideramos un giro en el espacio que nos lleve el vector unitario e3 = (a, b, c)/R, al (0, 0, 1). Para ello basta considerar un giro como  ac bc r −R rR rR a  −b 0  r a R

r b R

c R

cuya tercera fila es e3 , la segunda el vector unitario e2 = (−b, a, 0)/r, para r = √ a2 + b2 , perpendicular a e3 y la primera e1 = e2 × e3 de modo que los tres son ortonormales y bien orientados (observemos que su inversa, que es su traspuesta, lleva la estandar en ellos). Esta transformaci´ on nos define las nuevas coordenadas lineales acx + bcy − r2 z −bx + ay ax + by + cz , v= , w= , rR r R en las que el campo es D = (u + Rv)∂u + (v − Ru)∂v + w∂w , pues u=

ac(x + cy − bz) + bc(y + az − cx) − r2 (z + bx − ay) = u + Rv, rR Dv = v − Ru,

Du =

a(x + cy − bz) + b(y + az − cx) + c(z + bx − ay) = w, R p √ por tanto como Dw = w y Dρ0 = ρ0 , para ρ0 = x2 + y 2 + z 2 = u2 + v 2 + w2 , 0 0 0 pues Hρ = ρ y Gρ = 0, tendremos una integral primera de D, f = w/ρ0 , que para ϕ el ´ angulo que forman (a, b, c) y (x, y, z) es Dw =

f =

w ax + by + cz = cos ϕ, = p ρ0 R x2 + y 2 + z 2

que nos dice que las curvas est´ an en un cono de eje e3 . Ahora buscamos otra integral primera g, que no dependa de w, por tanto del campo E = (u + Rv)∂u + (v − Ru)∂v , que hemos visto en la p´ ag. 110, √ es invariante por el campo de los giros y se resuelve en coordenadas polares ρ = u2 + v 2 , θ = arc cos u/ρ, para las que u , ρ v ρv = , ρ

ρu =

−v ρ2 u θv = 2 ρ θu =

y en estas coordenadas E = ρ∂ρ − R∂θ , que tiene integral primera ρ eθ/R que donde es constante es una espiral. Por lo tanto nuestras curvas son espirales ascendentes en conos de eje e.

Ejercicio 2.11.4.- Resolver la ecuaci´ on en derivadas parciales: x

∂f ∂f +y = y · log x. ∂x ∂y

128

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Indicaci´ on.- Buscar coordenadas (u, v) en las que x∂x + y∂y = ∂u .

Ejercicio 2.11.5.- Determinar las trayectorias del campo: D = xy

∂ ∂ ∂ + (y 2 + x3 ) + (yz + y 2 z + x2 y) , ∂x ∂y ∂z

sabiendo que su ecuaci´ on diferencial es invariante por el grupo definido por el campo: ∂ y ∂ z ∂ D1 = + + . ∂x x ∂y x ∂z Soluci´ on.- Sabemos que existe una funci´ on g, tal que [D1 , gD] = 0. Por otra parte como   1 ∂ ∂ ∂ D1 = x +y +z , x ∂x ∂y ∂z tendremos que D1 x = 1, D1 (y/x) = 0 y D1 (z/x) = 0, por lo que, D1 = ∂x en las coordenadas (x, u = y/x, v = z/x). Escribamos pues D en estas coordenadas,   1 ∂ ∂ ∂ + + (uv + 1) , D = ux2 ∂x u ∂u ∂v y podemos olvidarnos del t´ ermino ux2 , pues solo nos interesan las trayectorias de D. En definitiva tendremos que resolver el sistema de ecuaciones diferenciales u0 (x) =

1 , u

v 0 (x) = uv + 1,

´ o lo que es lo mismo queremos encontrar las curvas integrales del campo bidimensional E=

1 ∂ ∂ + (uv + 1) . u ∂u ∂v

Como este campo es del tipo lineal podemos encontrar sus trayectorias en las coordenadas 3 u, w = v · e−u /3 , en las que se tiene que 3 1 ∂ ∂ + e−u /3 , u ∂u ∂w y sus trayectorias vienen dadas por

E=

3

w0 (u) = ue−u

/3

,

3

es decir si f (u) es una primitiva de ue−u /3 , las trayectorias de E vienen dadas por h1 = constante, para h1 = w − f (u), pues Eh1 = 0. Por tanto Dh1 = 0. Ahora bien nosotros queremos las trayectorias de D, para ello basta ver que a lo largo de ellas u0 (x) = 1/u, es decir u2 /2 = x + cte, es decir Dh2 = 0 para h2 =

u2 − x. 2

129

2.13. Ejercicios resueltos

Se sigue que las curvas integrales de D son h1 = cte ,

h2 = cte.

Ejercicio 2.11.6.- Encontrar la curva que describe un perro que persigue a un conejo que se mueve en l´ınea recta, yendo ambos a velocidad constante. Soluci´ on.- Suponemos que el conejo en el instante 0 estaba en el origen y el perro en el punto (a0 , b0 ), y que el conejo corre con velocidad constante a por el eje y. En estas condiciones se tiene que si el perro —que corre con velocidad constante b— en el instante t se encuentra en el punto [x(t), y(t)], entonces x0 = − p

xb x2 + (ta − y)2

,

y0 = p

b(ta − y) x2 + (ta − y)2

.

Consideremos entonces el campo tangente —del cual s´ olo nos interesa la trayectoria pasando por el punto de coordenadas (x = a0 , y = b0 , t = 0), proyectadas en el plano xy— q ∂ ∂ ∂ −bx + b(ta − y) + x2 + (ta − y)2 , ∂x ∂y ∂t que en las coordenadas (x, y, z = ta − y), se escribe −bx

p ∂ ∂ ∂ + bz + [a x2 + z 2 − bz] . ∂x ∂y ∂z

Si ahora dividimos este campo por bz, y llamamos k = −a/b, tendremos que sus trayectorias —que es lo que nos interesa— no se modifican. As´ı pues consideremos el campo  s  E=−

x ∂ + k z ∂x

∂ ∂ x2 + 1 − 1 + , z2 ∂z ∂y

del que s´ olo nos interesa la trayectoria σ(t) = (x1 (t), y1 (t), z1 (t)), que pasa por el punto (x = a0 , y = b0 , z = −b0 ) y de esta trayectoria s´ olo nos interesa la relaci´ on entre x1 (t) e y1 (t) = t + b0 . Proyectemos el campo E al plano xz  s  2 x ∂ x ∂ D=− + k + 1 − 1 , z ∂x z2 ∂z y sea σ1 (t) = (x1 (t), z1 (t)), su curva integral pasando por el punto de coordenadas (x = a0 , z = −b0 ). Ahora como D es homog´ eneo sabemos que en las coordenadas (u = z/x, v = Log x) se simplifica   1 p 2 ∂ ∂ D= k u +1 − . z ∂u ∂v Ahora podemos encontrar las trayectorias de D considerando su 1–forma incidente, du ω= √ + dv = dh, k u2 + 1

130

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

donde

Z

p du 1 √ = v + · log[u + u2 + 1]. k k u2 + 1 Entonces h es una integral primera de D y por tanto de E. Se sigue que las trayectorias de D son h=v+

v=−

1 log[u + (u2 + 1)1/2 ] + cte, k

y en t´ erminos de (x, z), las trayectorias son (2.11)

z=

A 1−k 1 1+k x − x , 2 2A

y la nuestra es la que pasa por el punto p de coordenadas x = a0 , z = −b0 . Ahora bien con (2.11) podemos construir la curva integral de f D, con f = −u = −z/x, que pasa por p, en las coordenadas (x, z), de la forma σ2 (r) = (r + a0 ,

1 A (r + a0 )1−k − (r + a0 )1+k ), 2 2A

y nosotros queremos la de D. Sabemos que si σ2 es la curva integral de f F pasando por el punto p y σ1 la de F , entonces σ2 = σ1 ◦ h1 , donde Z t h1 (t) = f [σ2 (s)]ds 0

Z

t



=− Z

0 t+a0

= a0

 1 A (s + a0 )−k − (s + a0 )k ds 2 2A   1 k A −k s − s ds. 2A 2

Ahora bien nosotros queremos la relaci´ on entre x1 (t) e y1 (t) = t + b0 , y sabemos que para cada r y cada t = h1 (r) se tiene que (x1 (t), z1 (t)) = σ1 (t) = σ1 [h1 (r)] = σ2 (r), por lo que

x1 (t) = r + a0 = h−1 1 (t) + a0 ,

y1 (t) = t + b0 ,

es decir que h1 [x1 (t) − a0 ] = t = y1 (t) − b0 , por lo que la curva (x1 (t), y1 (t)) est´ a definida por  Z x 1 k A s − s−k ds y = b0 + h1 (x − a0 ) = b0 + 2 a0 2A  x2 −a2 A A  0  b + 4A − 2 log x + 2 log a0 , para k = 1   0 (x2 −a2 1 1 0 )A = b0 − + log x − log a , para k = −1 0 4 2A 2A  1−k   ak+1 Aa0 xk+1 Ax1−k  0 b0 + 2A(k+1) + 2(k−1) − 2A(k+1) − 2(k−1) , para cualquier otro k.

Ejercicio 2.11.7.- Resolver la ecuaci´ on en derivadas parciales X ∂f ∂f (x, t) = fi (x) (x, t), ∂t ∂xi

131

2.13. Ejercicios resueltos

con la condici´ on inicial f (x, 0) = g(x). Ind.: Sea D = soluci´ on.

P

fi ∂i con grupo uniparam´ etrico Xt . Entonces f = g ◦ Xt es una

Ejercicio 2.11.8.- Demostrar que si f (x, y) = f (−x, y) y g(x, y) = −g(−x, y) en R2 , entonces toda curva integral σ(t) = (x(t), y(t)) del campo D = f ∂x + g∂y , tal que x(0) = 0 = x(T ), para un T > 0, es 2T –peri´ odica. Soluci´ on. Observemos que D es horizontal en el eje y, pues g(0, y) = −g(0, y) por tanto g(0, y) = 0. La curva integral σ tiene una continuaci´ on u ´ nica en [−T, 0] (que es su reflexi´ on sobre el eje y), considerando para t ∈ [−T, 0], x(t) = −x(−t) e y(t) = y(−t), que obviamente en 0 es σ(0) y en todo punto es tangente a D, pues x0 (t) = x0 (−t) = f (x(−t), y(−t)) = f (x(t), y(t)), y 0 (t) = −y 0 (−t) = −g(x(−t), y(−t))) = g(x(t), y(t)). Adem´ as en −T coincide con σ(T ), pues x(−T ) = 0 = x(T ), y(−T ) = y(T ).

Ejercicio 2.11.9.- En una localidad comenz´ o a nevar a cierta hora de la ma˜ nana y continu´ o nevando a raz´ on constante. La velocidad con que el cami´ on limpianieves limpiaba una calle de la localidad era inversamente proporcional a la altura de la nieve acumulada hasta ese instante. El limpianieves comenz´ oa las 11h y a las 14h hab´ıa limpiado 4 km. A las 17h hab´ıa limpiado otros 2 km. ¿A qu´e hora empez´ o a nevar?. Indicaci´ on.- Sea T el instante en el que empez´ o a nevar y a la raz´ on de nevada, por tanto la altura de la nieve en el instante t > T era a(t − T ) y si para t ≥ 11, x(t) es el espacio recorrido por el limpianieves entre las 11 y las t horas, tendremos que x0 (t) = b/a(t − T ), para b una constante. Por tanto como x(11) = 0 x(t) = t−T (b/a) log 11−T y por los dos datos, si llamamos y = 14 − T > 3: y 4 = x(14) = ab log y−3 y+3 6 = x(17) = (b/a) log y−3

⇔

y 4 = x(14) = ab log y−3 2 = x(17) − x(14) = (b/a) log

y+3 y

de donde y/(y − 3) = (y + 3)2 /y 2 , es decir y 3 = (y 2 − 9)(y + 3) = y 3 + 3y 2 − 9y − 27 y por tanto y 2 − 3y − 9 = 0, y como la soluci´ on es y > 3, √ 3+3 5 y= ≈ 4, 85 ⇒ T = 14 − y ≈ 9, 14h ≈ 9h80 . 2

Ejercicio 2.11.10.- Dos personas A y B piden caf´e. A le pone una cucharada de leche fr´ıa pero no se lo toma. Al cabo de 10 minutos B —que tampoco se lo ha tomado— le pone una cucharada de leche fr´ıa (que no ha cambiado de temperatura) y A y B beben el caf´e. ¿Qui´en lo bebe mas caliente? Indicaci´ on.- H´ agase uso de la ley de enfriamiento de Newton : Si T (t) es la diferencia de temperatura entre un objeto y su medio ambiente, entonces T 0 es proporcional a T . Y que si mezclamos dos cantidades m1 y m2 con temperaturas T1 y T2 la temperatura de la mezcla es m1 T1 + m2 T2 . m1 + m2

132

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Ejercicio 2.11.11.- Un recipiente abierto, lleno de agua, tiene la forma de una semiesfera de R metros de radio. En el fondo tiene un agujero circular de r metros de radio. ¿Cu´ anto tardar´ a en salir todo el agua del recipiente?. 5 . Soluci´ on. Denotemos con y(t) la altura del nivel del agua, respecto del fondo del recipiente, en el instante t; y sea A(y) el ´ area de la secci´ on del recipiente a una altura y, por tanto el volumen del agua de la cisterna en el instante t es

Figura 2.12. Cisterna

y(t)

Z V (t) =

A(y)dy

⇒

V 0 (t) = A[y(t)]y 0 (t),

0

(siendo y 0 < 0, pues y es decreciente) ahora bien para un  > 0 muy peque˜ no, el volumen que ha salido por el orificio entre los instantes t y t +  es p V (t) − V (t + ) ≈ πr2  2gy(t), p y tomando l´ımites A[y(t)]y 0 (t) = V 0 (t) = −πr2 2gy(t). Ahora como la secci´ on por p √ y(t) es un c´ırculo de radio r(t) = R2 − (R − y(t))2 , tendremos que para k = r2 2g −2Ry + y 2 dy = kdt ⇒ √ y   4R 3/2 2 2Ry 1/2 dy − y 3/2 dy + kdt = 0 ⇒ d y − y 5/2 + kt = 0 3 5

r2 (t)y 0 = −r2 ⇒

p 2gy

⇒

y si T es el instante en el que se vac´ıa la cisterna, como en el instante t = 0, y = R, tendremos que la soluci´ on es 4R 3/2 2 4R 3/2 2 14 y − y 5/2 + kt = cte = R − R5/2 = R5/2 , 3 5 3 5 15 y como para t = T , y = 0, tendremos que T =

14 · R5/2 √ . 15 · r2 · 2g

En particular para R = 25cm y r = 2cm, T ≈ 16, 4700 . 5 Se admite la ley de Torricelli que dice que el agua sale por el agujero con la misma √ velocidad ( 2gy) que obtendr´ıa un objeto al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero, a altura y

133

2.13. Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.11.12.- Calcula la forma que debe tener el recipiente del ejercicio anterior para que el nivel de la superficie del agua baje a una raz´ on constante. Soluci´ on. Con la misma notaci´ on tendremos que sea como sea p la forma del recipiente y el agujero de a ´rea A, tendremos que A[y(t)]y 0 (t) = −A 2gy(t). Ahora bien como pedimos que y 0 sea constante tendremos que existe una constante k > 0, tal que para toda altura y, A2 (y) = ky. Ahora si pedimos que el recipiente sea una superficie de revoluci´ on generada por una curva y = y(x), tendremos que A(y(x)) = πx2 es el a ´rea de un c´ırculo de radio x, por tanto la curva es y = ax4 .

Ejercicio 2.11.13.- Hallar las curvas y = f (x), del plano, que pasan por el origen y tienen la propiedad de que para todo a ∈ R, el a ´rea limitada por la tangente a la curva en (a, b = f (a)), el eje y y la recta y = b, es proporcional al a ´rea limitada por la curva, el eje y y la recta y = b. Soluci´ on. Si una tal curva es y = y(x), tenemos ´rea del R que para cada x el a tri´ angulo es x2 y 0 /2, mientras que el otro ´ area es xy− 0x y(x)dx y si son proporcionales existe k > 0, tal que Z x kx2 y 0 = xy − y(x)dx ⇒ k2xy 0 + kx2 y 00 = y + xy 0 − y = xy 0 , 0

y llamando z = y 0 tendremos que kxz 0 = (1 − 2k)z y por tanto k(log z)0 = (1 − 2k)(log x)0

⇒

z = (cte)x

1−2k k

⇒

y = qxp ,

para q ∈ R y como y(0) = 0, debe ser p > 0.

Ejercicio 2.11.14.- Encontrar todas las curvas planas de curvatura constante. Soluci´ on. Sea (x(t), y(t)) una tal curva parametrizada por la longitud de arco. Entonces x02 + y 02 = 1 , x002 + y 002 = a2 . Derivando la primera ecuaci´ on x0 =

(2.12) obtenemos

p 1 − y 02 ,

y 0 y 00 x00 = − p , 1 − y 02

y despejando en la segunda q y 00 = a (1 − y 02 )

⇔

p z0 = a 1 − z2

para z = y 0 , por tanto tenemos que resolver el campo p ∂ ∂ + a 1 − z2 , ∂t ∂z que tiene una integral primera, ta − arc sen z, por tanto y 0 (t) = z(t) = sen(at + k), y por (2.12) las soluciones son las circunferencias de radio 1/a, y(t) = −

1 cos(ta + k) + B , a

x(t) =

1 sen(ta + k) + C. a

134

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

Ejercicio 2.11.15.- Hay n moscas ordenadas en los v´ertices de un n–´ agono regular, que se ponen a andar a la misma velocidad y dirigi´endose cada una hacia la siguiente. Dar la trayectoria de la mosca que pasa por un punto cualquiera y calcular la longitud del trayecto recorrido hasta que se encuentra con las dem´ as, en funci´ on de su distancia al centro del pol´ıgono, en el instante 0. Soluci´ on. Pongamos el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el centro del pol´ıgono, ordenemos los vertices en sentido antihorario y sea θn =

(n + 2)π π π = + , 2n 2 n

el a ´ngulo que forman la semirrecta que une 0 con uno de los v´ ertices y el segmento paralelo por 0 al lado que lo une con el siguiente. Sean a = cos θn ,

b = sen θn

(observemos que a < 0 y b > 0).

Entonces nuestro campo es proporcional a

D(x,y) q5

∂ ∂ D = (ax − by) + (bx + ay) , ∂x ∂y

r

(x,y) c

puesto que en cada punto (x, y), la mosca se mueve en la direcci´ on dada por el giro de ´ angulo θn , del propio (x, y). En coordenadas polares tenemos que

Figura 2.13. Caso n = 5

∂ ∂ D = aρ +b , ∂ρ ∂θ y por tanto para k = a/b < 0, tenemos la 1–forma incidente dρ − kdθ = d[log ρ − kθ], ρ por lo que la funci´ on ρ e−kθ , es una integral primera de D y las trayectorias de las moscas vienen dadas por ρ = λ ekθ , para cada constante λ. En nuestro caso tenemos que para θ = 0, ρ = c, por tanto nuestra soluci´ on es ρ(θ) = c · ekθ , y en coordenadas (x, y), x(θ) = c ekθ cos θ,

y(θ) = c ekθ sen θ,

por tanto la longitud de la curva integral de D pasando por (x = c, y = 0), desde este punto es Z ∞q Z ∞ p x0 (θ)2 + y 0 (θ)2 dθ = c k2 + 1 ekθ dθ 0

0

c c c =− =− = (n+2)π a sen cos 2n

π n

.

2.13. Ejercicios resueltos

135

Ejercicio 2.11.16.- Demostrar que el campo de Rn+1 , D=

∂ ∂ ∂ + x2 ∂∂x1 + · · · + xn +F , ∂x ∂xn−1 ∂xn

en las coordenadas (x, x1 , . . . , xn ), asociado a las ecuaciones diferenciales de la forma y (n = F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1 ), para el que F (x, tx1 , tx2 , . . . , txn ) = tF (x, x1 , . . . , xn ), es invariante por el campo de las homotecias x1

∂ ∂ + · · · + xn . ∂x1 ∂xn

Indicaci´ on. Basta demostrar que t = 1 la propiedad de F .

P

xi Fxi = F , lo cual se sigue derivando en

Ejercicio 2.11.17.- Resolver la ecuaci´ on x2 yy 00 = (y − xy 0 )2 con las condiciones y(1) = 5, y 0 (1) = 2. Soluci´ on.- Como y 00 = F (x, y, y 0 ) y F satisface la propiedad del ejercicio anterior, sabemos que el campo asociado D=

∂ ∂ (y − xz)2 ∂ +z + , ∂x ∂y x2 y ∂z

se escribe con dos coordenadas en el sistema u1 = x, u2 = z/y, u3 = log y.   ∂ 1 2u2 ∂ + − + u2 ∂∂u3 . D= 2 ∂u1 u1 u1 ∂u2 Ahora bien el campo ∂ + ∂u1



1 2u2 − u21 u1



∂ , ∂u2

es lineal y podemos resolverlo f´ acilmente, no obstante observemos que tiene una 1– forma incidente (1 − 2u2 u1 )du1 − u21 du2 = d[u1 − u21 u2 ] = dv. Poniendo D en el sistema de coordenadas (u1 , v, u3 ), obtenemos D=

∂ u1 − v ∂ + , ∂u1 u21 ∂u3

que tiene la 1–forma incidente u1 − v du1 − du3 , u21

136

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

y como v podemos considerarla como una constante pues Dv = 0, tenemos la 1–forma incidente   v − u3 = dg, d log u1 + u1 y por tanto las soluciones son v = a, g = b, para cada elecci´ on de constantes a, b ∈ R. Y en las coordenadas (x, y, z) log x +

a − log y = b x

⇒

y = kx ea/x ,

ahora basta elegir convenientemente a y k.

Figura 2.14. Caso cte = λ = 1, por tanto α = π/4.

Ejercicio 2.11.18.- Encontrar la forma de unas tijeras, con cuchillas sim´etricas, tal que el a ´ngulo de corte sea siempre el mismo. Soluci´ on.- Consideremos el origen de coordenadas cartesianas en el centro de giro de las tijeras. Que el ´ angulo de las dos hojas sea constante equivale a que lo es (y vale la mitad), el ´ angulo α que forma una de las dos cuchillas con el eje de simetr´ıa es decir con la recta que pasa por el origen y el punto que estemos considerando. Esto nos induce a considerar en cada punto p = (x, y) = ρ(cos θ, sen θ) del plano, la recta de direcci´ on (cos(α + β), sen(α + β)). Por lo tanto consideramos el campo tangente que da esa direcci´ on que, para (a, b) = (cos α, sen α), es D = (ax − by)∂x + (bx + ay)∂y , (y sus m´ ultiplos). Ahora bien como es homog´ eneo, para resolverlo consideramos el sistema de coordenadas (u = log x, v = y/x), en el que Du = a − bv,

Dv = bv 2 + b

⇒

D = (a − bv)∂u + b(v 2 + 1)∂v ,

y tiene 1–forma incidente para λ = a/b du +

v−λ dv, v2 + 1

que es exacta y es la diferencial de Z Z p vdv dv u+ − λ = u + log 1 + v 2 − λ arctan v, 1 + v2 v2 + 1

137

2.13. Ejercicios resueltos

y sus curvas integrales son (ver figura) s y2 log x + log 1 + 2 = λθ + cte x

⇔

ρ = cte · eλθ .

Ejercicio 2.11.19.- Encontrar las curvas del plano que en cada punto la distancia de su tangente al origen es la abscisa del punto.

Figura 2.15.

Indicaci´ on. Sea h = 0 una tal curva, entonces la recta tangente en cada punto suyo p = (x0 , y0 ), h(p) = 0 es de la forma hx (p)(x − x0 ) + hy (p)(y − y0 ) = 0, cuya distancia al origen es x0 , por tanto hx (p)x0 + hy (p)y0 q = x0 h2x + h2y

⇔

2x0 y0 hx + y02 hy = x20 hy

y h es integral primera de D = 2xy∂x + (y 2 − x2 )∂y , ahora como el campo es homog´ eneo consideramos las coordenadas u = y/x, v = log x Du = −

y2 − x = −x(u2 + 1), x

Dv = 2y = x2u

⇒

D = −x(u2 + 1)∂u + 2xu∂v 2

y 2 y tiene 1–forma incidente u2udu 2 +1 + dv = d(v + log(u + 1)) y las soluciones son x( x2 + 1) =cte, es decir las circunferencias de radio r centradas en (r, 0)

(x − r)2 + y 2 = r2 .

138

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

2.14.

Bibliograf´ıa y comentarios

Los libros consultados en la elaboraci´ on de este tema han sido: Arnold, V.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, 1974, Moscou. Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”. Ac. Press, 1975. Coddington and Levinson: “Theory of ordinary Differential Equations”. McGraw –Hill, 1955. Hartman, Ph.: “Ordinary differential equations”. Ed. Birkhauser. 1982. Hurewicz, W.: “Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias”. Ediciones RIALP, 1966. ˜oz Diaz, Jesus: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982. Mun

Ya hemos comentado en el primer tema que los primeros en proponer problemas planteados matem´ aticamente en t´erminos de ecuaciones diferenciales fueron Isaac Newton y G.W. Leibnitz, los cuales dieron t´ecnicas para encontrar la soluci´ on de ecuaciones diferenciales particulares —de Isaac Newton (1692), es el m´etodo de las series de potencias, del que hablaremos en el Tema de campos tangentes lineales—. Durante el siglo XVIII siguieron d´ andose soluciones a problemas particulares y no fue hasta 1820 que A.L. Cauchy trat´o de demostrar un teorema general de existencia de soluciones de una ecuaci´on diferencial, pero s´ olo public´ o un breve resumen de su m´etodo, en la introducci´on de un trabajo de 1840. Sin embargo su tratamiento del tema nos ha llegado por una parte a trav´es de un trabajo de G.G. de Coriolis, publicado en 1837 (el cual en palabras de Flett: “...parecen un intento de reproducir de memoria una demostraci´ on que no se ha entendido..., ver p´ag.148 y ss.), y por otra a trav´es de unas lecciones de Moigno (1844), de c´alculo diferencial. Cauchy estudia el caso escalar y 0 = f (t, y), y usa la acotaci´on de fy para probar que f es Lipchiciana en y y utiliza esta propiedad en su argumentaci´ on. Por su parte la condici´ on de lipchicianidad de una funci´on fue introducida expl´ıcitamente por Rudolf O.S. Lipschitz en un trabajo publicado en 1868, en el que prueba la existencia de soluci´on en un entorno suficientemente peque˜ no, para una ecuaci´on diferencial de Rn , y donde hace uso —como Cauchy— de la uniforme continuidad de f sin justificarla —la distinci´ on entre continuidad y uniforme continuidad se

2.14. Bibliograf´ıa y comentarios

139

aclar´ o entre 1868 y 1876—. Reconoce la necesidad de probar la unicidad de soluci´ on pero su argumentaci´ on en esta direcci´on es insuficiente. El siguiente paso lo dio Emile Picard en 1890, donde usando una primera versi´ on del teorema de la aplicaci´ on contractiva construye una sucesi´ on de aproximaciones sucesivas de la soluci´on, aunque el dominio de la soluci´ on era m´ as peque˜ no que el de existencia de Cauchy. Este defecto fue remediado en (1893) por Ivar O. Bendixson y en (1894) por Ernst L. Lindelof . En 1882, Vito Volterra plante´ o la cuesti´on de si bastaba con la continuidad de f para asegurar la existencia de soluci´on y Giuseppe Peano en 1886 (para el caso escalar) y en 1890 (para el caso vectorial, y para otra versi´ on del caso escalar), dio una contestaci´on afirmativa a la conjetura. En el primer trabajo hace uso de cierta desigualdad diferenciable, mientras que en el segundo trabajo —que es largo y tedioso— mezcla en la propia demostraci´ on la esencia del Teorema de Ascoli– Arzela. Por u ´ltimo Charles de la Vallee–Pousin en 1893 y Cesare Ar` en 1895, dieron simplificaciones del teorema de Peano. El primero zela bas´ andose en un caso particular del Teorema de Ascoli–Arzela y el segundo haciendo un uso expl´ıcito de ´el. El lector interesado en el teorema de existencia y unicidad de soluci´ on de ecuaciones diferenciales en espacios de dimensi´on infinita puede consultar los libros Bourbaki, N.: “Elements de mathematique, Vol.4”. Hermann Paris, 1951. Cap. 4-7. Flett, T.M.: “Differential analysis”. Cambridge Univ.Press., 1980.

En un entorno de un punto no singular hemos visto en el Teorema del flujo (2.25), p´ ag.96, que todos los campos tangentes son ∂x y por tanto tienen la misma estructura, pero no hemos dicho nada sobre los campos singulares. En este caso el problema es mucho mas dif´ıcil: En el trabajo de Sternberg, S.: “On the structure of local homeomorphisms of euclidean n-space, II”, Amer. Journal of Math., Vol. 80, pp.623–631, 1958.

encontramos que los campos con un punto singular son “casi siempre” difeomorfos, en un entorno del punto, a su linealizaci´ on, es decir a su aproximaci´ on lineal en el punto —esto lo definiremos con rigor en la lecci´ on 5.2, p´ ag.278, del tema de estabilidad—. En la lecci´on 4.7 (p´ag.229)

140

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

del tema de Sistemas lineales clasificaremos los campos tangentes lineales desde un punto de vista lineal y diferenciable —y veremos que ambas clasificaciones son la misma— y en la lecci´on 5.6 (p´ag.297) del tema de Estabilidad haremos la clasificaci´ on topol´ogica. Por otra parte para realizar un estudio “fino” de un objeto matem´ atico, cerca de un punto singular se ha elaborado una t´ecnica, llamada resoluci´ on de singularidades, que consiste en elegir un sistema de coordenadas cerca de un punto singular, para el que a un peque˜ no desplazamiento cerca de la singularidad, corresponde un gran cambio en las coordenadas. El sistema de coordenadas polares tiene esta propiedad, sin embargo el paso a ellas requiere funciones trascendentes, por ello a veces es preferible otro procedimiento, el llamado σ–proceso, que consiste en subir un campo de R2 con un punto singular, a un campo en el helicoide recto, que es la superficie definida por una h´elice circular, con el eje pasando por el punto singular. Remitimos al lector interesado al libro Arnold, V.I.: “Geometric Methods in the theory of ordinary differential equations”. Springer–Verlag, 1983.

El m´etodo estudiado en la lecci´ on 2.11, p´ag.109, que consist´ıa en encontrar todas las ecuaciones diferenciales que quedan invariantes por un grupo de difeomorfismos y el sistema de coordenadas en el que se resuelven es de Sophus Lie . Remitimos al lector a los libros Bluman, G.W. and Cole, J.D.: “Similarity Methods for differential equations”. AMS, Vol.13, Springer–Verlag, 1974. Ince, E.L.: “Ordinary differential equations”. Dover, 1956. Reedici´ on ´ıntegra de la original publicada en 1926. Olver, P.J.: “Applications of Lie groups to differential equations”. GTM, N.107, Springer–Verlag, 1986.

Sobre este tema han trabajado tambi´en Joseph Liouville, —que tiene un teorema sobre la imposibilidad de resolver ciertas ecuaciones diferenciales por cuadraturas—, Ritt y Kolchin. Que las ecuaciones diferenciales del tipo y (n = F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1 )

2.14. Bibliograf´ıa y comentarios

141

tienen soluci´ on expresable por cuadraturas si y s´olo si cierto grupo que se le asocia es resoluble, se encuentra en la p´ ag.135 del libro Bluman,G.W. and Kumei,S.: “Symmetries and differential equations”. Springer– Verlag, 1989.

Por u ´ltimo, el estudio de la tractriz6 probablemente lo desencaden´o la pregunta de Perrault sobre la trayectoria de su reloj de bolsillo, que comentamos en la lecci´ on 2.12, p´ ag.116. No se sabe cuando plante´o esta cuesti´ on pero en esas fechas distintos autores estudiaron esta curva y problemas an´ alogos. Lo que s´ı se sabe es que Leibnitz escribi´o una carta en 1684 diciendo que ten´ıa los m´etodos para estudiar esta curva, pero no publica nada hasta 1693 Leibnitz, W.: “Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditione”.7 Acta Eruditorum, 1693.

art´ıculo en el que cita el problema de Perrault. En este art´ıculo usa la construcci´ on mec´ anica de la tractriz para desarrollar te´oricamente un dispositivo que integraba ecuaciones gr´ aficamente (y tambi´en est´a el Teorema fundamental del c´ alculo). No obstante, Huygens ese mismo a˜ no de 1693, public´ o antes que Leibnitz sus estudios y en el a˜ no anterior, 1692, Jean Bernoulli estudia la tractriz planteada desde el punto de vista geom´etrico y Pierre Varignon le escribe en enero de 1693, “. . . acabo de encontrar la curva que describe un barco arrastrado por una cuerda a lo largo del borde del r´ıo: Se trata de una nueva especie de logar´ıtmica”. El inter´es sobre estas cuestiones fue abrumador durante mucho tiempo y fruto de esas investigaciones han sido las m´ ultiples construcciones de m´ aquinas que te´ oricamente permit´ıan dibujar las soluciones de ecuaciones diferenciales. Remitimos al lector interesado en la historia de la tractriz y de estos artilugios llamados “int´egrafos universales”, a la Tesis Doctoral de Tourn` es, Dominique: “Histoire de la construction tractionnelle des ´ equations diff´ erentielles.”2004.

que se encuentra en la p´ agina web 6 Este nombre proviene del t´ ermino que acu˜ n´ o Huygens en 1692, tractoria, por estar generada mediante una tracci´ on. Mas adelante Leibnitz la llam´ o tractrix , que es el empleado actualmente. 7 Suplemento sobre medidas geom´ etricas, o mas generalmente de todas las cuadraturas a trav´ es del movimiento: y similarmente distintas formas de construir una curva a partir de condiciones sobre sus tangentes.

142

Tema 2. Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales

http://www.reunion.iufm.fr/dep/mathematiques/calculsavant/ Textes/vincenzo_riccati.html y en la que el autor traduce en las p´ aginas 290–354, la memoria de Vincenzo Riccati con el mismo t´ıtulo. As´ı mismo remitimos al trabajo de Bos, H.J.M.: “Tractional Motion and the Legitimation of Transcendental Curves”. Centaurus, Vol.31, Issue 1, Abril 1988.

que se encuentra en la p´ agina web http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.1988. tb00714.x/abstract

Fin del Tema 2

Tema 3

Campos tensoriales en un espacio vectorial

3.1.

Tensores en un m´ odulo libre

Definici´ on. Sea (A, +, ·) un anillo conmutativo y con unidad , es decir que: (1) (A, +) es grupo conmutativo —lo cual significa que para cualesquiera a, b, c ∈ A se tiene, a + (b + c) = (a + b) + c, que existe un 0 ∈ A tal que a + 0 = 0 + a = a y que existe −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 y que a + b = b + a—, (2) (Propiedad asociativa): a · (b · c) = (a · b) · c; (3) (Propiedad distributiva): a·(b+c) = a·b+a·c y (b+c)·a = b·a+c·a; (4) existe 1 ∈ A tal que a · 1 = 1 · a = a y (5) a · b = b · a. Sea V un A–m´ odulo, es decir un conjunto con dos operaciones V ×V

+

− → V,

A×V

tales que: (1) (V, +) es grupo conmutativo;

143

+

− → V,

144

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

(2) a · (v1 + v2 ) = a · v1 + a · v2 ; (3) (a + b) · v = a · v + b · v; (4) (ab) · v = a · (b · v) y (5) 1 · v = v. Sea V ∗ su m´ odulo dual, es decir el conjunto de las aplicaciones A– lineales de V en A. Sean p, q ∈ N ∪ {0}, no ambos nulos. Llamaremos tensor de tipo (p, q) en V a toda aplicaci´ on (p + q)–lineal T : V p × V ∗q −−→ A, entendiendo para p = 0, T : V ∗q −→ A y para q = 0, T : V p −→ A. Llamaremos tensores de tipo (0, 0) a los elementos de A. As´ı mismo odulo de los tensores de tipo (p, q) en V . denotaremos con Tpq (V ) el A–m´ 0

Definici´ on. Si T ∈ Tpq (V ) y T 0 ∈ Tpq0 (V ), definimos el producto tensorial de T y T 0 , como el tensor T ⊗ T 0 de tipo (p + p0 , q + q 0 ), en V , que para e1 , . . . , ep+p0 ∈ V y f1 , . . . , fq+q0 ∈ V ∗ satisface T ⊗ T 0 (e1 , . . . , ep+p0 , f1 , . . . , fq+q0 ) = = T (e1 , . . . , ep , f1 , . . . , fq )T 0 (ep+1 , . . . , ep+p0 , fq+1 , . . . , fq+q0 ). Ejercicio 3.1.1 Demostrar que la aplicaci´ on producto tensorial 0

⊗

0

q+q Tpq (V ) × Tpq0 (V )−−→Tp+p 0 (V ) ,

(T, T 0 )

T ⊗ T 0,

es A–bilineal. Y que el producto tensorial es asociativo.

Definici´ on. Sean W, V1 , . . . , Vn m´ odulos sobre un anillo A, y sea T : V1 × · · · × Vn −−→ W, una aplicaci´ on n–lineal. Definimos la contracci´ on interior de T por un elemento e ∈ V1 como la aplicaci´ on (n − 1)–lineal ie T : V2 × · · · × Vn −−→ W ,

ie T (e2 , . . . , en ) = T (e, e2 , . . . , en ),

para n = 1 definimos ie T = T (e). Si denotamos con M = M(V1 × . . . × Vn ; W ), el m´ odulo sobre A de las aplicaciones n–lineales de V1 × · · · × Vn en W , tendremos un isomorfismo entre este m´ odulo y Hom[V1 , M(V2 × . . . × Vn ; W )],

3.1. Tensores en un m´ odulo libre

145

que hace corresponder a cada T ∈ M la aplicaci´on lineal e ∈ V1 −−→ ie T ∈ M(V2 × · · · × Vn ; W ). Teorema 3.1 i) Si W, V1 , . . . , Vn son m´ odulos libres, entonces rang M(V1 × . . . × Vn ; W ) = (rang V1 ) · · · (rang Vn )(rang W ). ii) Si V es m´ odulo libre, su dual V ∗ y Tpq (V ) tambi´en son libres y rang[Tpq (V )] = [rang(V )]p+q . iii) Si V es libre, la aplicaci´ on F : V −→ V ∗∗ , F (v)(ω) = ω(v), es un isomorfismo. iv) Si V es libre, con base v1 , . . . , vn y base dual ω1 , . . . , ωn , entonces los np+q productos tensoriales ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ vj1 ⊗ · · · ⊗ vjq , forman una base de Tp (V ), entendiendo —por (iii)—, que para cada v ∈ V y cada ω ∈ V ∗ , v(ω) = ω(v). Demostraci´ on. (Indicaci´ on) i) Se hace por inducci´on teniendo en cuenta la contracci´ on interior. ii) Es consecuencia de (i). iii) F es lineal y lleva base en base. iv) Por (ii) y (iii). Hay una operaci´ on de relevante importancia, que nos convierte un tensor de tipo (p, q) en otro de tipo (p − 1, q − 1). Tal operaci´on se llama contracci´ on y para definirla necesitamos el siguiente resultado previo. Teorema 3.2 Sean V y V 0 m´ odulos libres, entonces existe un isomorfismo entre los m´ odulos libres H = Hom (Tpq (V ), V 0 ) ∼ M = M(V ∗p × V q ; V 0 ). Demostraci´ on. Consideremos la aplicaci´ on producto tensorial ⊗ : V ∗p × V q −−→ Tpq (V ), y demostremos que la aplicaci´ on F : H −−→ M,

F (f ) = f ◦ ⊗,

146

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

es un isomorfismo: 1. Est´ a bien definida pues la composici´ on de una multilineal con una lineal es multilineal. 2. Es lineal. 3. Es inyectiva pues si F (f ) = 0, tendremos que para todos los elementos de la base de Tpq (V ), f (ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ vj1 ⊗ · · · ⊗ vjq ) = 0, por tanto f = 0. 4. rang(H) = rang(M) = np+q dim(V 0 ). q−1 Definici´ on. Como consecuencia tenemos que si por V 0 tomamos Tp−1 (V ), entonces para un 1 ≤ i ≤ p y un 1 ≤ j ≤ q, la aplicaci´on (p + q)–lineal q−1 V ∗p × V q −−→ Tp−1 (V ),

que hace corresponder a (ω1 , . . . , ωp , v1 , . . . , vq ) ωi (vj )ω1 ⊗ · · · ω bi · · · ⊗ ωp ⊗ v1 ⊗ · · · vbj · · · ⊗ vq , —donde con ω b indicamos que ω no aparece en la expresi´on—, define una u ´nica aplicaci´ on lineal que llamaremos contracci´ on (i, j) q−1 Cij : Tpq (V ) −−→ Tp−1 (V ),

que sobre los elementos de la forma ωk ⊗ vl = ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp ⊗ v1 ⊗ · · · ⊗ vq , act´ ua de la forma, Cij (ωk ⊗ vl ) = ωi (vj )ω1 ⊗ · · · ⊗ ω bi · · · ⊗ ωp ⊗ v1 ⊗ · · · vbj · · · ⊗ vq . Para p = q = 1, ser´ a C11 (ω ⊗ v) = ω(v) = iv ω.

3.2. Campos tensoriales en Rn

3.2.

147

Campos tensoriales en Rn

Sea U un abierto de un espacio vectorial real E de dimensi´on n. Sea D = D(U ) el C ∞ (U )–m´ odulo de los campos tangentes a U de clase ∞, y Ω = Ω(U ) su dual, es decir el C ∞ (U )–m´ odulo de las 1–formas sobre U de clase ∞. Definici´ on. Llamaremos campo tensorial de tipo (p, q) sobre U —p veces covariante y q veces contravariante—, a toda aplicaci´on (p + q)– lineal sobre C ∞ (U ) Tpq : Dp × Ωq −−→ C ∞ (U ), es decir a todo tensor sobre el C ∞ (U )–m´ odulo D. Y denotaremos con on, el conjunto de los campos tensoriales o Tpq si no hay confusi´ Tpq (D) ´ de tipo (p, q) sobre U , los cuales forman un haz de C ∞ (U )–m´odulo. En particular tendremos que T10 = Ω. Por (3.1) tenemos que T01 = D, y convenimos en llamar T00 = C ∞ (U ). Nota 3.3 Si p y q se sobrentienden escribiremos T en vez de Tpq y T (Di , ωj ) en vez de Tpq (D1 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq ). Nota 3.4 Definimos el producto tensorial de campos tensoriales, la contracci´ on interior por un campo tangente D y la contracci´ on (i, j) T ⊗Q q−1 , iD : −−→ Tp−1 iD T (D2 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq ) = T (D, D2 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq ), q−1 , Cij : Tpq −−→ Tp−1 Tpq

como hicimos en la lecci´ on anterior, para el caso particular en el que el anillo A es C ∞ (U ) y el C ∞ (U )–m´ odulo libre es D. Tanto iD como Cij son C ∞ (U )–lineales, y verifican: a) iD T = C11 (D ⊗ T ). b) Para ω ∈ Ω, iD ω = C11 (D ⊗ ω) = ωD. c) Si T ∈ Tpq , Di ∈ D, y ωj ∈ Ω, entonces T (Di , ωj ) = C11 (p+q) . . . C11 (D1 ⊗ . . . ⊗ Dp ⊗ T ⊗ ω1 ⊗ . . . ⊗ ωq ),

148

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Nota 3.5 Como consecuencia de (3.1) tenemos que dado en U un sistema de coordenadas (u1 , . . . , un ), como las ∂/∂ui son base de D y las dui son su base dual, tendremos que dui1 ⊗ . . . ⊗ duip ⊗

∂ ∂ ⊗ ... ⊗ , ∂uj1 ∂ujq

es una base del m´ odulo de los tensores de tipo (p, q). Definici´ on. Llamaremos campo diferenciable de tensores de tipo (p, q), en U , a toda colecci´ on {Tx ∈ Tpq [Tx (E)] : x ∈ U }, tal que para cada D1 , . . . , Dp ∈ D y ω1 , . . . , ωq ∈ Ω y los vectores Dix ∈ Tx (E) y las 1–formas ωjx ∈ Tx (E)∗ , que respectivamente definen para cada x ∈ U , se verifica que la aplicaci´ on x ∈ U −−→ Tx (D1x , . . . , Dpx , ω1x , . . . , ωqx ), es de C ∞ (U ). Ejercicio 3.2.1 Demostrar que existe una biyecci´ on entre los campos tensoriales de tipo (p, q) en U y los campos diferenciables de tensores —de tipo (p, q)—, en U , para la que se tiene que si T, T1 , T2 ∈ Tpq , f ∈ C ∞ (U ) y x ∈ U , entonces: a) (T1 + T2 )x = T1x + T2x . b) (f T )x = f (x)Tx . c) (T1 ⊗ T2 )x = T1x ⊗ T2x . d) (iD T )x = iDx Tx . e) (Cij T )x = Cij Tx .

3.3.

Derivada de Lie de un campo tensorial

Definici´ on. Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 un difeomorfismo. Definimos el isomorfismo F∗ : Tpq (U ) −−→ Tpq (V ), F∗ T (Di , ωj )[F (x)] = T (F ∗ Di , F ∗ ωj )(x). Denotaremos con F ∗ = F∗−1 .

3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial

149

Ejercicio 3.3.1 Demostrar que para cada campo tensorial T , F∗ (Cij T ) = Cij (F∗ T ).

Definici´ on. Sea D ∈ D(U ) y X : W −→ U su grupo uniparam´etrico local. Entonces para cada t ∈ R suficientemente peque˜ no, el abierto de U, Ut = {x ∈ U : (t, x) ∈ W}, es no vac´ıo y Xt : Ut −−→ U−t , es un difeomorfismo. Por tanto para cada T ∈ Tpq (U ), podemos restringir T al abierto U−t y considerar el campo tensorial Xt∗ T ∈ Tpq (Ut ). Llamaremos derivada de Lie del campo tensorial T al campo tensorial de Tpq (U ) X ∗T − T DL T = l´ım t , t→0 t es decir tal que para cualesquiera Di ∈ D(U ), ωj ∈ Ω(U ) y x ∈ U , verifica (Xt∗ T )(Di , ωj )(x) − T (Di , ωj )(x) t→0 t TXt (x) (Xt∗ Dix , Xt∗ ωjx ) − Tx (Dix , ωjx ) = l´ım . t→0 t

DL T (Di , ωj )(x) = l´ım

Nota 3.6 Observemos que para T = f ∈ T00 (U ) = C ∞ (U ), DL T = Df y para T = E ∈ T01 (U ) = D(U ), DL T coincide con la derivada de Lie para campos tangentes definida en la lecci´ on (2.10), p´ag.104. Por tanto ya tenemos que al menos para dos clases de campos tensoriales la derivada de lie existe y es un campo tensorial. Es curioso observar que si lo logramos demostrar para las 1–formas lo tendremos demostrado para cualquier campo tensorial. Proposici´ on 3.7 a) Para cada f ∈ C ∞ (U ), DL (df ) = d(Df ) ∈ Ω. b) Si f, g ∈ C ∞ (U ), entonces DL (gdf ) = (Dg)df + gDL (df ). c) Dada ω ∈ Ω, existe la DL ω y est´ a en Ω.

150

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Demostraci´ on. (a) Sea f ∈ C ∞ (U ) y ω = df . Para cada E ∈ D(U ) y cada x ∈ U tendremos —ver tema II— que dXt (x) f (Xt∗ Ex ) − dx f (Ex ) t E(f ◦ Xt )(x) − Ef (x) = l´ım t→0 t ∂2H = (0, 0, 0) = E(Df )(x) = [d(Df )E](x). ∂r∂s

[DL (df )E](x) = l´ım

t→0

Se sigue por tanto que DL (df ) ∈ Ω(U ) = T10 (U P). (c) Es consecuencia de (a), (b) y de que ω = gi dui . Para demostrar ahora que la derivada de lie de cualquier campo tensorial existe y es un campo tensorial necesitamos el siguiente resultado. Teorema 3.8 Sea D ∈ D y sean T y T 0 dos campos tensoriales para los que existen las derivadas DL T y DL T 0 y son campos tensoriales. Entonces DL (T ⊗ T 0 ) existe y vale DL T ⊗ T 0 + T ⊗ DL T 0 . Demostraci´ on. Consideremos Di , Dj ∈ D y ωk , ωl ∈ Ω y definamos las aplicaciones A : W −−→ R, A(t, x) = TXt (x) (Xt∗ Dix , Xt∗ ωkx ), 0 A0 : W −−→ R, A0 (t, x) = TX (Xt∗ Djx , Xt∗ ωlx ). t (x) Entonces se tiene que, A(t, x)A0 (t, x) − A(x)A0 (x) t→0 t = [T ⊗ DL T 0 + DL T ⊗ T 0 ](Di , Dj , ωk , ωl )(x).

DL (T ⊗ T 0 )(Di , Dj , ωk , ωl )(x) = l´ım

Corolario 3.9 Todo campo tensorial de tipo (p, q) tiene derivada de Lie respecto de cualquier campo tangente y es un campo tensorial de tipo (p, q). Demostraci´ on. Como los campos tensoriales de tipo (0, 0), (1, 0) y (0, 1) satisfacen las condiciones del resultado anterior y todo campo tensorial T de tipo (p, q) puede escribirse, en un sistema de coordenadas, como X ∂ ∂ Tα dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxip ⊗ ⊗ ··· ⊗ , ∂xj1 ∂xjq α=(i1 ,...,jq )

tendremos que DL T existe y es un campo tensorial de tipo (p, q).

3.3. Derivada de Lie de un campo tensorial

151

Teorema 3.10 La derivada de Lie tiene las siguientes propiedades: i) DL T = Df , para cada T = f ∈ C ∞ (U ). ii) DL T = [D, E], para cada T = E ∈ D. iii) DL (df ) = d(Df ), para cada f ∈ C ∞ (U ). iv) DL (T ⊗ T 0 ) = DL T ⊗ T 0 + T ⊗ DL T 0 , para T y T 0 campos tensoriales. v) DL (Cij T ) = Cij (DL T ), para cada campo tensorial T . vi) DL ω(E) = D(ωE) − ω(DL E), para cada ω ∈ Ω y E ∈ D. vii) Para cada campo tensorial T , Di ∈ D y ωj ∈ Ω DL T (Di , ωj ) = D[T (Di , ωj )]− − T (DL D1 , D2 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq ) − . . . − − T (D1 , . . . , DL Dp , ω1 , . . . , ωq )− − T (D1 , . . . , Dp , DL ω1 , ω2 , . . . , ωq ) − . . . − − T (D1 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq−1 , DL ωq ). viii) DL T = 0 si y s´ olo si Xt∗ T = T , para cada campo tensorial T y restringiendo T a los entornos en los que Xt es difeomorfismo. ix) (D1 +D2 )L = D1L +D2L , para cada par de campos D1 , D2 ∈ D(U ). x) [D1 , D2 ]L = D1L ◦ D2L − D2L ◦ D1L . Demostraci´ on. (v) Es consecuencia de que F∗ (Cij T ) = Cij (F∗ T ). (vi) y (vii) son consecuencia de (iv), (v), de que C11 (D ⊗ ω) = ωD y de la linealidad de C11 . (viii) En las funciones A(t, x) de (3.8) se tiene que ∂A(t, x)/∂t = 0, por tanto A(t, x) = A(0, x), para todo (t, x) ∈ W. (ix) Es consecuencia de (vii). (x) Para T = f es la definici´ on. Para T = D es consecuencia de la igualdad de Jacobi. Para T = df es consecuencia de (iii). Para T = gdf es un simple c´ alculo. Para T = ω es consecuencia de (i) y el caso anterior. Y para T arbitrario es consecuencia de los casos anteriores y de (vii).

152

3.4.

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Campos tensoriales Covariantes

Definici´ on. Llamaremos campos tensoriales covariantes de orden p en U , a los campos tensoriales de Tp0 (U ). Proposici´ on 3.11 Toda aplicaci´ on diferenciable, F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 , define un morfismo de m´ odulos F ∗ : Tp0 (V ) −−→ Tp0 (U ), tal que para cada T ∈ Tp0 (V ) y para cada D1 , . . . , Dp ∈ D(U ), x ∈ U e y = F (x) F ∗ T (D1 , . . . , Dp )(x) = Ty (F∗ D1x , . . . , F∗ Dpx ). Adem´ as F ∗ verifica las propiedades: a) F ∗ (T1 + T2 ) = F ∗ (T1 ) + F ∗ (T2 ), para cada T1 , T2 ∈ Tp0 (V ). b) F ∗ (f T ) = F ∗ (f )F ∗ (T ), para cada T ∈ Tp0 (V ) y f ∈ C ∞ (U ). c) F ∗ (T1 ⊗ T2 ) = F ∗ (T1 ) ⊗ F ∗ (T2 ), para T1 ⊗ T2 ∈ Tp0 (V ). por tanto es un morfismo de m´ odulos que conserva el producto tensorial. Demostraci´ on. Para cada x ∈ U e y = F (x), tenemos que Ty ∈ Tp0 [Ty (E2 )] por tanto para (F ∗ T )x (D1x , . . . , Dpx ) = Ty (F∗ D1x , . . . , F∗ Dpx ), tendremos que (F ∗ T )x ∈ Tp0 [Tx (E1 )], Basta ver que F ∗ T (D1 , . . . , Dp ) ∈ C ∞ (U ). P Si T = Tα dvi1 ⊗ . . . ⊗ dvip , para α = (i1 , . . . , ip ) y siendo Tα ∈ C ∞ (V ), entonces para cada x ∈ U , F ∗ T (D1 , . . . , Dp )(x) =

X

Tα (F (x))D1 (vi1 ◦ F )(x) · · · Dp (vip ◦ F )(x),

α

y como vij ◦ F ∈ C ∞ (U ), el resultado se sigue. El resto de apartados queda como ejercicio.

3.4. Campos tensoriales Covariantes

153

Definici´ on. Diremos que un tensor covariante , T ∈ Tp0 (U ) es sim´etrico si dados cualesquiera D1 , . . . , Dp ∈ D(U ) y 1 ≤ i, j ≤ p, se tiene T (D1 , . . . , Di , . . . , Dj , . . . , Dp ) = T (D1 , . . . , Dj , . . . , Di , . . . , Dp ). Denotaremos con Σp (U ) ´ o Σp si no hay confusi´on, el conjunto de los campos tensoriales de Tp0 (U ) que son sim´etricos, y con Σ1 a T10 (U ) = Ω. Definici´ on. Diremos que T es hemisim´etrico ´o alterno si en las condiciones de antes se tiene que T (D1 , . . . , Di , . . . , Dj , . . . , Dp ) = −T (D1 , . . . , Dj , . . . , Di , . . . , Dp ). Denotaremos con Λp (U ) ´ o Λp si no hay confusi´on, el conjunto de los campos tensoriales de Tp0 (U ) que son hemisim´etricos. Entenderemos por Λ0 = C ∞ (U ) y por Λ1 = T10 (U ) = Ω. Ejercicio 3.4.1 Demostrar que si F : U −→ V es diferenciable, entonces F ∗ conserva la simetr´ıa y la hemisimetr´ıa de los tensores sim´etricos y hemisim´etricos respectivamente.

Nota 3.12 Recordemos que dada una permutaci´on σ ∈ Sp , el sig(σ) est´ a definido de la forma siguiente: Se considera el polinomio Y P (x1 , . . . , xn ) = (xi − xj ), I

donde I = {(i, j) : 1 ≤ i < j ≤ n}. Ahora se define sig(σ) como el valor ±1 tal que P (x1 , . . . , xn ) = sig(σ)P (xσ(1) , . . . , xσ(n) ), y se demuestra que sig(σ1 ) sig(σ2 ) = sig(σ1 ◦ σ2 ), que si σ es una trasposici´ on, es decir intercambia s´olo dos elementos, entonces sig(σ) = −1, y que toda permutaci´ on es composici´on finita de trasposiciones. Definici´ on. Dada una permutaci´ on σ ∈ Sp , definimos la aplicaci´on C ∞ (U )–lineal σ : Tp0 (U ) −−→ Tp0 (U ), que para T ∈ Tp0 y D1 , . . . , Dp ∈ D, vale σ(T )[D1 , . . . , Dp ] = T (Dσ(1) , . . . , Dσ(p) ).

154

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Nota 3.13 Esta aplicaci´ on tiene las propiedades: (τ ◦ σ)[T ] = τ [σ(T )]. id[T ] = T . σ −1 [ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp ] = ωσ(1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(p) . Ejercicio 3.4.2 Demostrar que son equivalentes: (i) T ∈ Tp0 (U ) es hemisim´etrico. (ii) Dados D1 , . . . , Dp ∈ D(U ) tales que existen i, j ∈ {1, . . . , p} distintos para los que Di = Dj , entonces T (D1 , . . . , Dp ) = 0. (iii) Dada σ ∈ Sp , σ(T ) = sig(σ)T .

Definici´ on. Llamaremos aplicaciones de simetrizaci´ on y hemisimetrizaci´ on a las aplicaciones C ∞ (U )–lineales S : Tp0 (U ) −−→ Tp0 (U ) ,

H : Tp0 (U ) −−→ Tp0 (U ),

definidas por S(T ) =

X

σ(T ),

H(T ) =

σ∈Sp

X

sig(σ)σ(T ),

σ∈Sp

para cada T ∈ Tp0 . Estas operaciones tienen las siguientes propiedades: Proposici´ on 3.14 a) S 2 = p!S y H2 = p!H. b) Si H(T ) = 0, para T ∈ Tp0 , entonces H(T ⊗ Q) = H(Q ⊗ T ) = 0, para cada Q ∈ Tq0 . c) S(Tp0 ) = Σp y H(Tp0 ) = Λp . d) T ∈ Tp0 es sim´etrico si y s´ olo si S(T ) = p!T , y es hemisim´etrico si y s´ olo si H(T ) = p!T . e) X H(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp ) = (sig σ)ωσ(1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(p) . σ∈Sp

f) Si F : U −→ V es diferenciable entonces S y H conmutan con F ∗ : Tp0 (V ) −→ Tp0 (U ). Demostraci´ on. Veamos (b): Sea σ ∈ Sp considerada como elemento de Sp+q , donde los q u ´ltimos quedan fijos. Entonces X (sig σ)σ(Tp ⊗ Tq ) = H(Tp ) ⊗ H(Tq ) = 0, σ∈Sp

3.4. Campos tensoriales Covariantes

155

y aplicando τ ∈ Sp+q , tendremos que X

[sig(τ ◦ σ)](τ ◦ σ)(Tp ⊗ Tq ) = 0,

σ∈Sp

para toda τ ∈ Sp+q . Por tanto H(Tp ⊗ Tq ) = 0, pues podemos hacer una partici´ on en Sp+q mediante Sp , siendo nulo cada sumando como el de la expresi´ on anterior, correspondiente a esta partici´on. Ejercicio 3.4.3 Demostrar que si T ∈ Λn (U ), D1 , . . . , Dn ∈ D(U ) y Ei = P aij Dj ∈ D(U ) entonces T (E1 , . . . , En ) = det(aij )T (D1 , . . . , Dn ).

Nota 3.15 Para cada (p, q) ∈ I = [N ∪ {0}]2 hemos definido el C ∞ (U )– m´ odulo de los campos tensoriales de tipo (p, q). En este m´odulo hay suma y producto por funciones de C ∞ (U ) y nada m´as. Sin embargo hemos definido un producto entre campos tensoriales sin que hayamos dicho en donde es operaci´ on. Procediendo como sigue podremos considerar las tres operaciones anteriores en un contexto com´ un: Consideremos el conjunto T (U ) = ⊕(i,j)∈I Tij (U ) Y j = {T = (Tij ) ∈ Ti (U ) : ∃N ∈ N, i, j ≥ N ⇒ Tij = 0}. I

Cada elemento de este conjunto lo escribiremos de la forma X j Ti = T00 + T01 + T10 + T02 + · · · + Tpq , y en ´el podemos definir la suma (sumando componente a componente) y el producto tensorial (remiti´endonos al producto tensorial ya definido), de tal forma que el que damos en T = T (U ) sea distributivo respecto de la suma y asociativo (observemos que hay un u ´nico modo de hacer esto). Por otro lado todo campo tensorial T ∈ Tpq se identifica de forma natural con un u ´nico elemento de T , que tiene todas la componentes nulas excepto la (p, q) que es T . De esta forma tenemos que T tiene una estructura de ´algebra sobre C ∞ (U ), a la que llamaremos ´ algebra tensorial sobre U .

156

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Del mismo modo podemos proceder con los campos tensoriales hemisim´etricos Λp . Definimos Λ = ⊕Λp , con la suma habitual. Sin embargo tenemos un problema al definir el producto tensorial, pues si ω y ω 0 son hemisim´etricos ω ⊗ ω 0 no tiene por qu´e serlo. Por tanto aunque Λ es un subm´odulo de T respecto de C ∞ (U ), no es una sub´ algebra. Observamos de todas formas que ω ⊗ ω 0 define un campo tensorial hemisim´etrico, a saber H(ω ⊗ ω 0 ). Este hecho nos permitir´a definir otra multiplicaci´ on para tensores hemisim´etricos extremadamente u ´til. Ejercicio 3.4.4 Demostrar que si H(Tr ) = H(Qr ) ∈ Λr y H(Ts ) = H(Qs ) ∈ Λs , entonces H(Tr ⊗ Ts ) = H(Qr ⊗ Qs ).

Definici´ on. Sean ωr = H(Tr ) ∈ Λr y ωs = H(Ts ) ∈ Λs . Llamaremos producto exterior de estos campos tensoriales al campo tensorial ωr ∧ ωs = H(Tr ⊗ Ts ), el cual est´ a bien definido en virtud del ejercicio anterior. Ejercicio 3.4.5 Demostrar que para ω1 = H(T1 ) ∈ Λi1 , . . . , ωr = H(Tr ) ∈ Λir ω1 ∧ · · · ∧ ωr = H(T1 ⊗ · · · ⊗ Tr ).

Podemos definir ahora en Λ una estructura de ´algebra asociativa sobre C ∞ (U ), donde el producto ∧ : Λ × Λ −−→ Λ, se define extendiendo el producto exterior, de tal forma que siga siendo bilineal y por tanto que sea distributivo respecto de la suma. Observemos que, al igual que para el producto tensorial, hay una u ´nica forma de hacer esto y es que si ϕ = ϕ1 + · · · + ϕmPyP ψ = ψ1 + · · · + ψn , con los ϕi ∈ Λki y los ψj ∈ Λrj entonces ϕ ∧ ψ = ϕi ∧ ψj . Definici´ on. A la C ∞ (U )–´ algebra (Λ, +, ∧) sobre U la llamaremos ´ algebra exterior ´ o´ algebra de Grassman de las formas diferenciales de U .

3.4. Campos tensoriales Covariantes

157

Ejercicio 3.4.6 Demostrar que H : (T , +, ⊗) −−→ (Λ, +, ∧), es un homomorfismo de C ∞ (U )–´ algebras.

Nota 3.16 Se demuestra f´ acilmente que (T ∧ Q)x = Tx ∧ Qx . Por tanto en virtud de las propiedades del producto exterior de tensores hemisim´etricos en un espacio vectorial se siguen las siguientes propiedades para cualesquiera ωr ∈ Λr , ωs ∈ Λs y D ∈ D: ωr ∧ ωs = (−1)rs ωs ∧ ωr , iD (ωr ∧ ωs ) = (iD ωr ) ∧ ωs + (−1)r ωr ∧ (iD ωs ), si r es impar

⇒

ωr ∧ ωr = 0.

Ejercicio 3.4.7 Demostrar que si D ∈ D, entonces DL (ωr ∧ ωs ) = DL ωr ∧ ωs + ωr ∧ DL ωs . por tanto la derivada de Lie es una derivaci´ on del a ´lgebra exterior.

Teorema 3.17 Para cada sistema de coordenadas (u1 , . . . , un ) en U , se tiene: a) du1 , . . . , dun son una base de Λ1 (U ). b) Para r ≤ n, son una base de Λr (U ), los campos tensoriales dui1 ∧ · · · ∧ duir ,

1 ≤ i1 < . . . < ir ≤ n.

c) Para n < r, Λr (U ) = 0. Por tanto Λ(U ) tiene una base formada por 2n elementos, es decir rang Λ(U ) = 2n . Demostraci´ on. Para r ∈ N, los nr campos tensoriales dui1 ⊗ · · · ⊗ duir , son base de Tr0 (U ) y H(Tr0 (U )) = Λr (U ). Por tanto los campos tensoriales del enunciado al menos generan Λr (U ). Como por P otra parte son independientes, pues si existe una combinaci´on ω = fi ωi = 0, donde i recorre los elementos de la forma (i1 , . . . , ir ) con 1 ≤ i1 < . . . < ir ≤ n y ωi = dui1 ∧ · · · ∧ duir ,

158

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

entonces

 fi = ω

∂ ∂ ,..., ∂ui1 ∂uir

 = 0.

Se sigue que son base de Λr (U ). Si n < r y ω ∈ Λr (U ), entonces como para cualquier colecci´on de ∂ ∂ ,..., , ∂ui1 ∂uir alguna debe repetirse, tendremos que   ∂ ∂ ω ,..., = 0, ∂ui1 ∂uir por ser ω hemisim´etrica, y por tanto ω = 0. Nota 3.18 Observemos que Λn (U ) tiene una base formada por un u ´nico elemento, que en los t´erminos anteriores es ωn = du1 ∧· · ·∧dun . Cualquier otra base por tanto ser´ a de la forma f ωn , donde f > 0 (´o f < 0) en todo U . Esto permite clasificar las bases de Λn (U ) en dos tipos, las que tienen la misma orientaci´ on que ωn —es decir con la f > 0—, y las que tienen orientaci´ on contraria —es decir con la f < 0—. Ejercicio 3.4.8 Demostrar que si Di =

P

aij ∂j ∈ D(U ), entonces

du1 ∧ · · · ∧ dun (D1 , D2 , . . . , Dn ) = det(aij ). Ejercicio 3.4.9 Demostrar que si F : U −→ V es diferenciable, entonces la aplicaci´ on X X ∗ F ∗ : Λ(V ) −→ Λ(U ), F ∗( ωi ) = (F ωi ), donde ωi ∈ Λi , es un homomorfismo de a ´lgebras sobre C ∞ (U ).

3.5. La diferencial exterior

3.5.

159

La diferencial exterior

Teorema 3.19 Existe una u ´nica aplicaci´ on R–lineal d : Λ −→ Λ, a la que llamamos diferencial exterior, tal que para cada p ≥ 0, d(Λp ) ⊂ Λp+1 y para todo D ∈ D verifica DL = iD ◦ d + d ◦ iD . Demostraci´ on. Unicidad.- Para p = 0, sea d1 una que satisfaga el enunciado y sea f ∈ Λ0 = C ∞ (U ). Como df ∈ Λ1 e iD f = 0, tendremos que (df )D = Df = DL f = iD (d1 f ) + d1 (iD f ) = iD (d1 f ) = (d1 f )D, para todo D ∈ D, por tanto d1 f = df . Supong´ amoslo cierto para p ≤ k − 1 y demostr´emoslo para p = k. Sea ω ∈ Λk , entonces si d y d0 satisfacen el enunciado, tendremos que para cualesquiera D, D1 , . . . , Dk ∈ D dω(D, D1 , . . . , Dk ) = iD dω(Di ) = DL ω(Di ) − d(iD ω)(Di ) = DL ω(Di ) − d0 (iD ω)(Di ) = d0 ω(D, D1 , . . . , Dk ) pues iD ω ∈ Λk−1 . Existencia.- Vamos a definir d : Λp −→ Λp+1 recurrentemente. Para p = 0 ya la conocemos. Supong´ amoslas definidas para p ≤ k − 1 y defin´ amosla para p = k: Para cada ω ∈ Λk , definimos dω ∈ Λk+1 , tal que para Di ∈ D y D∈D (dω)(D, D1 , . . . , Dk ) = (DL ω)(D1 , . . . , Dk ) − d(iD ω)(D1 , . . . , Dk ). Que es lineal en cada componente respecto de la suma, as´ı como respecto del producto por funciones diferenciables en las k u ´ltimas componentes, es evidente. Antes de ver la linealidad en la primera componente veamos que es hemisim´etrico.

160

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Si D = D1 —para D = Di se hace an´ alogamente—, entonces d(iD ω)(D, D2 , . . . , Dk ) = = iD d(iD ω)(D2 , . . . , Dk ) = DL (iD ω)(D2 , . . . , Dk ) − d(iD iD ω)(D2 , . . . , Dk ) = DL (iD ω)(D2 , . . . , Dk ) = D[(iD ω)(D2 , . . . , Dk )]+ +

k X (iD ω)(D2 , . . . , [D, Di ], . . . , Dk ) i=2

L

= (D ω)(D, D2 , . . . , Dk ). Si Di = Dj , con 1 ≤ i, j ≤ k, i 6= j, es evidente pues DL ω y d(iD ω) son hemisim´etricos. Ahora (dω)(f D, D1 , . . . , Dk ) = −(dω)(D1 , f D, . . . , Dk ) = −f (dω)(D1 , D, . . . , Dk ) = f (dω)(D, D1 , . . . , Dk ). Teorema 3.20 La diferencial exterior tiene las propiedades siguientes: i) Es antiderivaci´ on, es decir d(ωp ∧ ωq ) = dωp ∧ ωq + (−1)p ωp ∧ dωq , para ωp ∈ Λp y ωq ∈ Λq . ii) d2 = 0. iii) DL ◦ d = d ◦ DL , para cada D ∈ D. iv) Si F : U −→ V es diferenciable, entonces F ∗ (dω) = d(F ∗ ω), para cada ω ∈ Λ. v) Para D1 , D2 ∈ D y ω ∈ Ω se tiene dω(D1 , D2 ) = D1 (ωD2 ) − D2 (ωD1 ) − ω[D1 , D2 ]. vi) Para ω ∈ Λp y Di ∈ D se tiene dω(D0 , . . . , Dp ) = (−1)i Di [ω(D0 , . . . , Di−1 , Di+1 , . . . , Dp )]+ X + (−1)i+j ω([Di , Dj ], D0 , . . . , Di−1 , Di+1 , . . . , i=

n X

xi yi ,

i=1

para x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ), el cual es un tensor en el espacio vectorial Rn . Si lo llevamos a cada espacio tangente Tp (Rn ) por el isomorfismo can´ onico Rn −−→ Tp (Rn ), que a cada vector le hace corresponder su derivada direccional correspondiente, tendremos un campo de tensores que nos define un campo tensorial en la variedad diferenciable Rn ,P llamado tensorP m´etrico y que para cada par de campos tangentes D = fi ∂xi y E = gi ∂xi , vale g(D, E) ≡ D · E =

n X

fi gi ,

i=1

el cual en t´erminos de coordenadas se expresa como g = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn . Asociado a este tensor tenemos el tensor de volumen, que es la n– forma en Rn ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , que para cada colecci´ on de campos tangentes D1 , . . . , Dn ω(D1 , . . . , Dn ),

171

3.8. Ejemplos de tensores

es el volumen del paralelep´ıpedo generado por los Di . Definici´ on. Denotamos la forma cuadr´ atica correspondiente a esta forma bilineal g, con ds2 =

X

dx2i ,

ds(Dp )2 = g(Dp , Dp ) =

X

dxi (Dp )2

donde debe entenderse que en cada punto p, la dp x2 es el cuadrado de la funci´ on lineal dp x. La longitud de un vector Dp ∈ Tp (Rn ) se define como |Dp | ≡ ds(Dp ) =

p Dp · Dp .

\ El ´ angulo D es p Ep , entre dos vectores no nulos Dp , Ep se define a trav´ del coseno mediante la f´ ormula \ Dp · Ep = |Dp | · |Ep | cos(D p Ep ) y decimos que dos vectores Dp , Ep son perpendiculares si Dp · Ep = 0 Ejercicio 3.8.1 Demostrar que en coordenadas cartesianas (x, y) y polares (ρ, θ) en el plano dx2 + dy 2 = ds2 = dρ2 + ρ2 dθ2 .

(Sol.) Tp(R2)

Tp(R2)

dy

ds

ds rdq

a y

p

dx q

0

x

b p

dr

r

0

Figura 3.1. ds en el plano (ver la Fig.1.9, p´ ag.34).

Nota 3.25 No debe entenderse que ds es una 1–forma exacta, aunque la raz´ on de esta notaci´ on es que s´ı lo es sobre cada curva, donde es la diferencial de la funci´ on s longitud de arco. En la Fig.3.2 vemos la relaci´on de las diferenciales de las funciones consideradas, con sus incrementos, sobre una curva del plano, AP QB, donde Q est´ a infinitesim´almente pr´oximo a P , de modo que P Q es aproximadamente tangente a la curva.

172

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

recta tangente en P

B

B

Q

Q

Dr Ds

Ds Dy

Dy

y

b

rDq

a y

P

P

Dx Dq q

A 0

0

x

r

1

A x

Dx

Figura 3.2. Incrementos de x, y, ρ, θ y s en una curva.

3.8.2.

Divergencia, rotacional y gradiente.

En la p´ ag.32 del Tema I vimos la definici´on del gradiente de una funci´ on f en un abierto del espacio eucl´ıdeo Rn con la m´etrica g = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn , que era el campo D = grad f , para el que iD g = df , y que su expresi´on en coordenadas, respecto de una base ortonormal, era X ∂f ∂ grad f = . ∂xi ∂xi Definici´ on. Llamamos divergencia de un campo D a la funci´on div D, que satisface DL ω = (div D)ω, para la forma de volumen ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Ejercicio 3.8.2 i) Demostrar P que si en t´erminos de coordenadas, respecto de una base ortonormal, D = fi ∂xi , entonces div D =

n X ∂fi , ∂x i i=1

ii) Demostrar que div(f D) = grad f · D + f div D.

Las siguientes definiciones son particulares de R3 . Definici´ on. Dado D ∈ D(U ), con U abierto de R3 , definimos el rotacional de D, R = rot D, como el u ´nico campo tal que iR ω3 = d(iD g),

3.8. Ejemplos de tensores

173

donde ω3 = dx ∧ dy ∧ dz ,

g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz,

son la forma de volumen y la m´etrica habitual en R3 . Definici´ on. Un campo tangente se llama solenoidal si su divergencia es nula e irrotacional si su rotacional es nulo. Por ejemplo un campo rotacional es solenoidal pues div rot D = 0 y un campo gradiente es irrotacional (ver el Ejercicio (3.8.3)). Definici´ on. Llamamos producto vectorial de dos vectores tangentes D1 , D2 en un punto de R3 , al vector D1 × D2 definido por la propiedad iD2 iD1 ω3 = iD1 ×D2 g, es decir tal que para cualquier vector D3 ω(D1 , D2 , D3 ) = (D1 × D2 ) · D3 . Se sigue f´ acilmente que D = D1 × D2 6= 0 sii D1 y D2 son independientes, en cuyo caso D es un vector perpendicular al plano que definen D1 y D2 , de m´ odulo el ´ area del paralelogramo definido por D1 y D2 , pues ω(D1 , D2 , D/kDk) = kDk y con el sentido tal que la terna de vectores D1 , D2 y D est´ a bien orientada. Ejercicio 3.8.3 (1) Demostrar que el rotacional de un campo D existe y encontrar sus componentes en funci´ on de las de D. (2) Demostrar que para cada funci´ on f y cada campo D rot grad f = 0 ,

div rot D = 0,

rot(f D) = grad f × D + f rot D.

(3) Demostrar que si R es un campo tal que div R = 0, entonces localmente existe un campo D tal que R = rot D. (Sol.) Ejercicio 3.8.4 Demostrar las siguientes propiedades: (1) D1 × D2 = −D2 × D1 . (2) D1 × (D2 + D3 ) = D1 × D2 + D1 × D3 . (3) (D1 × D2 ) · D3 = (D2 × D3 ) · D1 = (D3 × D1 ) · D2 . (4) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ × = × = × = 0, ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ × = , × = , × = . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

174

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

(5) (6) (7) (8) (9)

iD1 ×D2 ω = iD1 g ∧ iD2 g. D1 × (D2 × D3 ) = (D1 · D3 )D2 − (D1 · D2 )D3 . (D1 × D2 ) × D3 + (D2 × D3 ) × D1 + (D3 × D1 ) × D2 = 0. div(D1 × D2 ) = D2 · rot D1 − D1 · rot D2 . (D1 × D2 ) · (D3 × D4 ) = (D1 · D3 )(D2 · D4 ) − (D1 · D4 )(D2 · D3 ). (Sol.)

Ejercicio 3.8.5 Demostrar el siguiente Teorema de Caratheodory : Dado un tri´ angulo ABC y un punto interior suyo O, demostrar que ~ + area(OAC) · OB ~ + area(OBC) · OA ~ = 0. area(OAB) · OC

3.8.3.

(Sol.)

Interpretaci´ on geom´ etrica del rotacional.

Sea D un campo tangente en Rn , con Dxi = fi , y grupo uniparam´etrico τ : W → Rn , entonces como Z t τ (t, x) = x + f [τ (s, x)] ds, 0

para f = (fi ), tendremos que Z tX ∂τi ∂τk ∂fi (t, x) = δij + [τ (s, x)] (s, x) ds ∂xj ∂x ∂x k j 0 X ∂fi ∂τk ∂ 2 τi (t, x) = [τ (t, x)] (t, x) ∂t∂xj ∂xk ∂xj ∂ 2 τi ∂fi (0, x) = (x), ∂t∂xj ∂xj y desarrollando por Taylor en un punto (0, p), con p ∈ Rn , tendremos que para todo (t, x) ∈ W τ (t, x) =τ (0, p) + t

+

n X

n X ∂τ ∂τ (0, p) + (xj − pj ) (0, p)+ ∂t ∂x j j=1

t(xj − pj )

j=1

+ t2 h +

n X i,j=1

∂2τ (0, p)+ ∂t∂xj

(xi − pi )(xj − pj ) hij ,

3.8. Ejemplos de tensores

175

para ciertas funciones h y hij ; y llamando y = x − p, yj = xj − pj y haciendo cociente por el ideal generado por yi yj = (xi − pi )(xj − pj ) y t2 , por tanto en un entorno infinitesimal de (0, p), τ (t, x) = p + tDp + (I + tA)y, para el Jacobiano A = (∂fi (p)/∂xj ), de f . Ahora bien existen u ´nicas matrices S sim´etrica y H hemisim´etrica, tales que A = S + H, que son S=

1 (A + At ), 2

H=

1 (A − At ) 2

y m´ odulo t2 se tiene que I+tA = (I+tS)(I+tH) = LG y como la matriz S es1 sim´etrica, sus autovalores λi son reales y es diagonalizable en una base ui ortonormal, por tanto en esa base I + tS = L es diagonalizable con autovalores µi = 1 + tλi , pr´ oximos a 1 (recordemos que t2 = 0), por tanto positivos; y transforma un entorno esf´erico en uno elipsoidal; por otra parte (siempre m´ odulo t2 ), G = I + tH es una matriz ortogonal, t pues G G = (I − tH)(I + tH) = I, con det G = 1, pues siempre es ±1, pero por continuidad es 1, ya que l´ımt→0 det(I + tH) = 1. En R3 , G es un giro alrededor de un eje de vector el rot D = R = (r1 , r2 , r3 ), pues las filas de H son ortogonales a R, ya que   ∂f1 ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f3 2 ∂x + + ∂x ∂x ∂x ∂x 2 1 3 1 1 1  ∂f2 1∂f1 ∂f2 ∂f2 ∂f3  + ∂x2 2 ∂x + ∂x S = (A + At ) =  ∂x , ∂x 1 2 3 2 2 2 ∂f3 ∂f3 ∂f1 ∂f2 ∂f3 + + 2 ∂x ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x3  1  ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f3 0 ∂x2 − ∂x1 ∂x3 − ∂x1 1 1  ∂f2 ∂f1 ∂f2 ∂f3  − ∂x 0 H = (A − At ) =  ∂x ∂x3 − ∂x2  2 2 2 ∂f31 ∂f3 ∂f1 ∂f2 0 ∂x1 − ∂x3 ∂x2 − ∂x3   0 −r3 r2 1 0 −r1  , =  r3 2 −r2 r1 0 1 Observemos que S y el tensor D L g est´ an relacionados, (ver tambi´ en el tensor de deformaci´ on 3.8.10), pues   ∂ ∂ DL g , = D[g(∂i , ∂j )] − g(DL ∂i , ∂j ) − g(∂i , DL ∂j ) ∂xi ∂xj ∂fj ∂fi + . = ∂j · ∂iL D + ∂i · ∂jL D = ∂xi ∂xj

176

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

por tanto (I + tH)(R) = R. Por tanto, todo grupo uniparam´etrico τt , en el espacio eucl´ıdeo tridimensional, infinitesimalmente en un punto p y para t peque˜ no, es una traslaci´ on en la direcci´ on del campo, un giro G (de eje el rotacional de ese campo) y una dilataci´ on L que deja invariantes los tres ejes perpendiculares definidos por ui , y dilatando cada vector la cantidad µi τ (t, p + y) = tDp + p + LGy.

Rp Dp

u3 u2

u1 p

Dp

x p

p+tDp

Figura 3.3. Traslaci´ on

G Dp p

L

m3u3

p

p+tDp

p+tDp

m2u2

m1u1

Figura 3.4. Giro G y dilataci´ on de ejes ui , Lui = µi ui .

Por u ´ltimo en el plano tenemos que si D = f ∂x + g∂y , 1 S = (A + At ) = 2 1 H = (A − At ) = 2

fx fy +gx 2

0 gx −fy 2

!

fy +gx 2

,

gy fy −gx 2

!

y como τ (t, x) = p + tDp + (I + tA)(x − p), cada recta r = p + λv que pase por p, con direcci´ on v = (cos α, sen α), en el tiempo t va a la recta

177

3.8. Ejemplos de tensores

rt = τ (t, r), que pasa por p + tDp , con direcci´ on    1 + tfx tfy cos α v(t) = (I + tA)v = tgx 1 + tgy sen α   (1 + tfx ) cos α + tfy sen α = tgx cos α + (1 + tgy ) sen α y la velocidad angular con la que se mueve esta recta rt en el instante 0 es la componente tangencial, en el punto v = v(0) de la circunferencia unidad, de (v/ | v |)0 (0) = v 0 (0) − v | v |0 (0), es decir para u = (− sen α, cos α) u · v 0 (0) = u · A · v = (gy − fx ) sen α cos α − fy sen2 α + gx cos2 α, por ejemplo si tomamos la recta horizontal (α = 0), su velocidad angular es gx , mientras que si tomamos la vertical (α = π/2), su velocidad es −fy y su semisuma (gx − fy )/2, es el valor que nos sali´o en H (a menudo se llama rotacional de D a la funci´ on gx − fy ) y se tiene el siguiente resultado: Teorema 3.26 El valor medio de las velocidades angulares es (gx −fy )/2 y es el mismo que la semisuma de las velocidades angulares de una recta cualquiera pasando por p y su perpendicular. Demostraci´ on. El valor medio es Z 2π gx − fy 1 ((gy − fx ) sen α cos α − fy sen2 α + gx cos2 α ) dα = , 2π 0 2 Las velocidades angulares correspondientes a v = (v1 , v2 ) = (cos α, sen α) y su ortogonal u = (u1 , u2 ) = (−v2 , v1 ), son v1 v2 (gy − fx ) − v22 fy + v12 gx ,

−v1 v2 (gy − fx ) − v12 fy + v22 gx

y su semisuma es el mismo valor.

3.8.4.

Tensores de torsi´ on y de curvatura.

Dada una variedad diferenciable V (ver el Ap´endice 6.10, p´ag.422), se define una conexi´ on lineal sobre ella como una aplicaci´on ∇ : D(V) × D(V) −→ D(V),

(D1 , D2 )

D1∇ D2 ,

178

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

que satisface las siguientes propiedades: i) D∇ (f D1 + gD2 ) = (Df )D1 + f D∇ D1 + (Dg)D2 + gD∇ D2 , ii) (f D1 + gD2 )∇ D = f D1∇ D + gD2∇ D. La conexi´ on se extiende de modo u ´nico a todas las capas tensoriales ∇ : D(V) × Tpq (V) −→ Tpq (V),

(D, T )

D∇ T,

de tal forma que para las funciones D∇ f = Df , para las 1–formas ω se tiene despejando en “la regla de Leibnitz” (como en la derivada de Lie) D(ωE) = D∇ ω(E) + ω(D∇ E), y para los tensores la regla de Leibnitz generalizada que despejando es D∇ T (Di , ωj ) = D[T (Di , ωj )]− − T (D∇ D1 , D2 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq ) − . . . − − T (D1 , . . . , D∇ Dp , ω1 , . . . , ωq )− − T (D1 , . . . , Dp , D∇ ω1 , ω2 , . . . , ωq ) − . . . − − T (D1 , . . . , Dp , ω1 , . . . , ωq−1 , D∇ ωq ). En una variedad con conexi´ on (V, ∇), se definen los tensores de torsi´ on y de curvatura respectivamente como g 1 (D1 , D2 , ω) = ω(D1∇ D2 − D2∇ D1 − [D1 , D2 ]), 1 R2,1 (D1 , D2 , D3 , ω) = ω(D1∇ (D2∇ D3 ) − D2∇ (D1∇ D3 ) − [D1 , D2 ]∇ D3 ).

3.8.5.

Tensores de una variedad Riemanniana.

Una variedad Riemanniana se define como una variedad diferenciable V con un tensor g ∈ T20 (V),

g(D, E) = D · E,

que en cada punto p ∈ V define un producto interior en Tp (V), es decir una forma bilineal, sim´etrica y definida positiva. En un abierto coordenado se expresa de la forma g=

n X i,j=1

gij dxi ⊗ dxj ,

3.8. Ejemplos de tensores

179

donde la matriz gij es sim´etrica y definida positiva. Se demuestra en los cursos de geometr´ıa diferencial que toda variedad Riemanniana tiene una u ´nica conexi´ on lineal llamada conexi´ on de Levi– Civitta con torsi´ on nula es decir (3.1)

[D1 , D2 ] = D1∇ D2 − D2∇ D1 ,

y tal que para tres campos D, E, F D(E · F ) = D∇ E · F + E · D∇ F. Dicha demostraci´ on se basa en que estas dos propiedades implican que si [D, E] = [D, F ] = [E, F ] = 0 (por ejemplo si son parciales de coordenadas), entonces D∇ E = E ∇ D, F ∇ E = E ∇ F y D∇ F = F ∇ D, por lo tanto  D(E · F ) = D∇ E · F + E · D∇ F  F (D · E) = F ∇ D · E + D · F ∇ E ⇒  E(F · D) = E ∇ F · D + F · E ∇ D 1 ⇒ D∇ E · F = [D(E · F ) + E(F · D) − F (D · E)] 2 lo cual da la construcci´ on de la conexi´ on a partir de la m´etrica. Ejemplo 3.8.1 En particular si consideramos Rn y su m´etrica Eucl´ıdea est´ andar gij = δij , tendremos que la conexi´ on correspondiente satisface D∇ ∂xj = 0, pues ∂x∇i ∂xj = 0, ya que ∂x∇i ∂xj · ∂xk =

 1 ∂xi (∂xj · ∂xk ) + ∂xj (∂xi · ∂xk ) − ∂xk (∂xi · ∂xj ) = 0, 2

En t´erminos de la conexi´ on de Levi–Civitta, se tiene un nuevo tensor que b´ asicamente es el Tensor de curvatura y que se llama Tensor de Riemann–Christoffel R2,2 (D1 , D2 , D3 , D4 ) = D3 · (D1∇ (D2∇ D4 ) − D2∇ (D1∇ D4 ) − [D1 , D2 ]∇ D4 ), el cual tiene las propiedades R(D1 , D2 , D3 , D4 ) = −R(D2 , D1 , D3 , D4 ) = R(D2 , D1 , D4 , D3 ) = R(D3 , D4 , D1 , D2 ),

180

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

y si consideramos un plano E ⊂ Tp (V) en el espacio tangente en un punto p y dos vectores ortonormales D1 , D2 que lo generen, se tiene que la llamada curvatura seccional KE = R(D1 , D2 , D1 , D2 ), no depende de la base elegida, s´ olo del subespacio E. Por u ´ltimo si nuestra variedad Riemanniana es de dimensi´ on n = 2, s´olo hay un plano que es el propio espacio tangente y a esta funci´ on se la llama curvatura de Gauss de la superficie, K = R(D1 , D2 , D1 , D2 ). Ejercicio 3.8.6 Demostrar que la m´etrica en el disco unidad (1 − x2 − y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) (1 − x2 − y 2 )2 tiene curvatura constante negativa K = −1. (Sol.)

Ejercicio 3.8.7 Demostrar que la m´etrica en el plano (1 + x2 + y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) − (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) (1 + x2 + y 2 )2 tiene curvatura constante positiva K = 1. (Sol.)

Una hipersuperficie en una variedad Riemanniana S ⊂ V, hereda la estructura Riemanniana (S, g), siendo para cada D, E ∈ D(S), g(D, E) = g(D, E) = D · E, y esta define la correspondiente conexi´ on de Levi–Civitta ∇, que podemos dar tambi´en considerando un campo NS , normal a la superficie y de modulo 1, del siguiente modo: Para cada dos campos de la hipersuperficie D, E ∈ D(S), descomponemos D∇ E en su parte tangencial a la superficie y su parte normal, D∇ E = DO E + φ2 (D, E)NS . Ahora se demuestra f´ acilmente que con esta definici´on ∇ es una conexi´on y que satisface las dos propiedades que caracterizan la de Levi–Civitta, pues para F ∈ D(S), D(E · F ) = D∇ E · F + E · D∇ F = DO E · F + E · DO F,

3.8. Ejemplos de tensores

181

ya que D · NS = E · NS = 0 y como D∇ E − E ∇ D − [D, E] = 0, siendo [D, E] ∈ D(S), tambi´en son nulas su parte tangencial y su parte normal 0 = DO E − E O D − [D, E], 0 = φ2 (D, E) − φ2 (E, D). Por tanto φ2 es sim´etrico y se verifica f´ acilmente que es un tensor en la hipersuperficie, llamado segunda2 forma fundamental , de S, para el que se tiene φ2 (D, E) = D∇ E · NS = D(E · NS ) − E · D∇ NS = φ(D) · E, para el llamado endomorfismo o operador de Weingarten φ : D(S) → D(S),

φ(D) = −D∇ NS ,

siendo −D∇ NS ∈ D(S), pues 0 = D(1) = D(NS · NS ) = 2D∇ NS · NS . Ahora si T = σ∗ (∂t ) es el vector tangente a una curva de la hipersuperficie, tendremos que T ∇ T = T O T + φ2 (T, T )NS , y para κ = |T ∇ T |, κg = |T O T | y κS = φ2 (T, T ), (a las que respectivamente llamamos curvatura, curvatura geod´esica y curvatura normal de la curva; tendremos que κ2 = κ2g + κ2S , y la curva es una geod´esica por definici´ on si T O T = 0, es decir κg = 0, ∇ en cuyo caso T T es normal a la hipersuperficie.

3.8.6.

El tensor de inercia.

En este ep´ıgrafe seguiremos la descripci´ on que ofrece un libro t´ıpico de F´ısica como el Feynman, pag.18-1 y siguientes, el Goldstein o el Spiegel. Para un tratamiento lagrangiano remitimos al lector al ´ Arnold. Consideremos en el espacio af´ın tridimensional A3 un sistema de masas puntuales mi , que se desplazan a lo largo del tiempo. Consideremos 2 la

primera forma fundamental es g

182

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

un sistema de coordenadas inercial1 fijo en un punto 0, respecto del cual cada masa mi est´ a en el instante t en ri (t), entonces bajo la segunda ley de Newton (F = ma) y la ley de acci´ on–reacci´on se tiene que el centro de masa del sistema P mi ri (t) 1 X r(t) = P mi ri (t), = mi M P se mueve como si la masa total M = mi y la fuerza externa resultante estuvieran aplicadas en ´el, pues si denotamos con Fi la fuerza externa que act´ ua sobre la masa mi y con Fij la interna que mi ejerce sobre mj , tendremos que X Fj + Fij = mj r00j , i

y sumando en j y considerando que Fii = 0 y que Fij = −Fji (Ley de acci´ on–reacci´ on d´ ebil), X X X X F = Fj = Fj + Fij = mj r00j = M r00 . j

j

ij

j

Como consecuencia se tiene que si la fuerza externa resultante es nula F = 0, entonces el centro de masa r(t) se mueve en l´ınea recta con velocidad uniforme ´ o dicho de otro modo se tiene el Principio de conservaci´ on del momento lineal 3.27 Si la fuerza externa total es F = particular si no hay fuerzas P 0 (en externas), el momento total P = mi r0i = M r0 es constante. Definici´ on. Llamamos momento angular del sistema de masas, respecto del punto fijo 0 tomado como origen, al vector X Ω= mi ri × r0i , i

Y si como antes la fuerza exterior que act´ ua sobre la masa mi es Fi , llamamos momento ´ o torque de Fi sobre mi , respecto del origen, a ri ×Fi y momento externo total del cuerpo a X Λ= ri × Fi , i 1 es

decir uno en el que son v´ alidas las leyes del movimiento de Newton

183

3.8. Ejemplos de tensores

P el cual es independiente del punto considerado como origen si Fi = 0, pues en ese caso, para todo r ∈ R3 , X X X X (ri + r) × Fi = ri × Fi + r × ( Fi ) = ri × Fi . i

i

i

i

Si ahora consideramos la Ley de acci´ on–reacci´ on fuerte : las fuerzas internas Fij son centrales, es decir tienen la direcci´on del eje que une las masas mi y mj , por tanto la direcci´ on de ri − rj , se tiene el siguiente resultado X X X X Ω0 = mi r0i × r0i + mi ri × r00i = ri × (Fi + Fji ) i

=

X

i

ri × Fi +

i

=

X i

X

i

j

ri × Fji

i,j

ri × Fi +

X

(ri − rj ) × Fji =

i 0, y > 0). Giremos el cuadrado sobre la hipot´etica curva y en un instante t sea P el punto del cuadrado en el lado AB en el que el

188

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

segmento AB es tangente a la curva en un punto (x, y(x)) = P , instante en el que P que est´ a fijo en el cuadrado tiene velocidad nula, siendo el centro instant´ aneo de rotaci´ on del cuadrado; eso implica que en ese instante el centro E del cuadrado se mueve3 en direcci´on perpendicular a r = EP , por tanto como E se mueve horizontalmente, EP es vertical, es decir que en cada instante el centro del cuadrado est´a sobre el punto de contacto del cuadrado y la curva sobre la que gira. Adem´as como se mueve sin deslizarse, el arco de curva entre el origen y P es igual a AP = AQ − P Q = 1 − y 0 , para Q el punto medio de AB ya que la tangente del ´ angulo QEP√es y 0 . Por otra parte la altura del centro E del cuadrado es constante = 2, es decir se tiene que Z xp p √ 1 + y 02 dx = 1 − y 0 , y + 1 + y 02 = 2, 0

de donde se sigue que Z x √ 0 1−y = ( 2 − y) dx

⇒

−y 00 =

√

2 − y,

0

y la soluci´ on general es √ y = c1 ex +c2 e−x + 2, y como y(0) = 0 y por la primera ecuaci´ on y 0 (0) = 1, tendremos que  √ 1− 2  ( √   c1 = y(0) = c1 + c2 + 2 = 0, 2 √ ⇒  y 0 (0) = c1 − c2 = 1 1   c2 = − + 2 2 y c1 c2 = 1/4 y si llamamos ec = −2c1 = −

√ 1 = 2 − 1, 2c2

tendremos que la soluci´ on a nuestro problema es la catenaria invertida y=

√

2−

√ ec+x + e−(c+x) = 2 − cosh(c + x). 2

3 Observemos que r = EP es de m´ odulo constante, pues E y P son puntos del cuadrado, por tanto r · r0 = 0 y como P = r + E y P 0 = 0 en el instante en el que P est´ a en contacto con la curva, tendremos que en ese instante 0 = P 0 = r0 + E 0 y multiplicando por r, 0 = r · r0 + r · E 0 = r · E 0 .

3.8. Ejemplos de tensores

3.8.8.

189

La fuerza de coriolis.

Para algunos problemas sobre movimientos en la tierra, por ejemplo para estudiar la trayectoria de una bala, etc, podemos considerar un sistema de coordenadas ligado a la tierra como el proporcionado por una esquina de una habitaci´ on y considerarlo como un sistema inercial, aunque no lo es pues la tierra gira. En otros problemas en el que se necesita m´ as precisi´ on debemos considerar otro tipo de sistemas de referencia que se aproximen al ideal de sistema inercial, como por ejemplo el que nos proporcionan las estrellas. Consideremos un sistema de coordenadas inercial centrado en la tierra y otro sistema centrado en la tierra y ligado a ella —de modo que gire con ella— y estudiemos el movimiento de una part´ıcula que est´a sobre la tierra. Para ello consideremos una base ortonormal e1 (t), e2 (t), e3 ligada a la tierra, con e3 el eje de giro de la tierra, por tanto constante en el tiempo. Sean (x, y, z) las coordenadas de la part´ıcula r(t) en esta base, que dependen del tiempo r(t) = xe1 + ye2 + ze3 , por lo que su velocidad ser´ a, para v = x0 e1 + y 0 e2 + z 0 e3 la velocidad aparente de la part´ıcula para un observador de la tierra r0 = x0 e1 + y 0 e2 + z 0 e3 + xe01 + ye02 = v + e3 × r, pues e01 = e2 , e02 = −e1 , e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2 ; y su aceleraci´ on es r00 = x00 e1 + y 00 e2 + z 00 e3 + 2(x0 e01 + y 0 e02 ) + xe001 + ye002 = a + 2e3 × v + e3 × (e3 × r), y si su masa es m la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula es F = mr00 , pero para un observador en la tierra es como si la part´ıcula se moviera con una aceleraci´ on a, siguiendo las leyes de Newton bajo el influjo de una fuerza Fe = ma = F + 2mv × e3 + m(e3 × r) × e3 , en la que el ultimo vector es perpendicular a e3 y hacia fuera, es la fuerza centr´ıfuga, mientras que el segundo es la Fuerza de Coriolis, que es nula si la part´ıcula no se mueve respecto de la tierra.

190

3.8.9.

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

El tensor de esfuerzos.

Consideremos un fluido en una regi´ on del espacio af´ın tridimensional. Para cada punto p y cada plano pasando por p, con vector unitario normal N , la parte de fluido que est´ a en el semiespacio limitado por el plano y que no contiene a N , ejerce sobre el plano una fuerza por unidad de superficie F = φ(N ). Y si el fluido est´ a en equilibrio, la correspondiente a −N (es decir considerando la parte del fluido del otro semiespacio) es −F . Si extendemos esta aplicaci´ on de forma φ(λN ) = λF , resulta que esta aplicaci´ on es lineal. N

N2 c

-f(N1 )

q a

N3

f(N) N1

p b

-f(N2 )

Figura 3.9.

Para verlo consideramos en p tres vectores unitarios Ni , ortogonales y bien orientados y un peque˜ no prisma triangular que sea la mitad del paralelep´ıpedo recto de lados a, b, c, es decir con dos caras √ paralelas a distancia c y forma de tri´ angulo rect´ angulo de lados a, b y a2 + b2 y vector normal N3 , dos caras ortogonales rectangulares de lados respectivos a, c y b, c y vectores normales N1 y N2 , y la u ´ltima √ cara con vector normal 2 2 unitario N = cos θ N1 + sen θ N y lados c y 2 √a + b , como indica la √ 2 2 2 figura 3.9, para cos θ = a/ a + b y sen θ = b/ a + b2 . En estos t´erminos tendremos que las fuerzas que act´ uan sobre las caras paralelas son iguales y de sentido contrario y la suma de las que act´ u√ an sobre las otras tres caras, que tienen respectivamente a ´ reas ca, cb y c a2 + b2 , es nula √ 2 2 si est´ a en equilibrio, por lo que c a + b φ(N ) − caφ(N1 ) − cbφ(N2 ) = 0, lo cual implica φ(aN1 + bN2 ) = aφ(N1 ) + bφ(N2 ) y de esto se deduce que para cualesquiera par de vectores E1 = a11 N1 + a12 N2 y E2 = a21 N1 + a22 N2 , φ(E1 + E2 ) = φ((a11 + a21 )N1 + (a12 + a22 )N2 ) = (a11 + a21 )φ(N1 ) + (a12 + a22 )φ(N2 ) = a11 φ(N1 ) + a12 φ(N2 ) + a21 φ(N1 ) + a22 φ(N2 ) = φ(E1 ) + φ(E2 ).

3.8. Ejemplos de tensores

191

Por otra parte la matriz que representa a φ es sim´etrica ´o lo que es lo mismo Ni · φ(Nj ) = Nj · φ(Ni ), pues en caso contrario un peque˜ no cubo de lado  y lados paralelos a los Ni tendr´ıa un giro respecto del eje definido por Nk (para k 6= i, j) y en definitiva un momento externo total respecto del centro del cubo no nulo, P siendo as´ı que est´a en equilibrio, pues el momento es (para φ(Ni ) = aij Nj ) X 0= Ni × φ(Ni ) = (a23 − a32 )N1 + (a31 − a13 )N2 + (a12 − a21 )N3 .

f(N3 ) a

a

32

31

a

23

a

13

a f(N1 )

f(N2 )

a

21

12

Figura 3.10. a12 = a21 , a31 = a13 y a23 = a32

Ahora por ser sim´etrico tiene tres autovectores ortonormales Ni con autovalores λi y una peque˜ na esfera centrada en p se transforma por φ en un elipsoide de ejes Ni y semiejes λi .

3.8.10.

El tensor de deformaci´ on.

Consideremos un s´ olido, que ocupa una regi´on K ⊂ R3 , sometido a unas fuerzas que lo deforman. Denotemos con F la aplicaci´on del espacio que corresponde a la transformaci´ on de K, es decir que F (x) es la posici´ on que ocupa, tras la deformaci´ on, el punto x ∈ K. Consideramos que F = (fi ) es diferenciable, por lo que su Jacobiano4   ∂fi J= (x) , ∂xj en un punto x ∈ K satisface por definici´ on l´ım

ky−xk→0 4 La

kF (y) − F (x) − J(y − x)k = 0, ky − xk

matriz asociada a su aplicaci´ on lineal tangente F∗ en x.

192

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

por lo que tomando y pr´ oximo a x y considerando el vector unitario u = (y − x)/ky − xk, tendremos que √ kF (y) − F (x)k ' kJuk = ut J t Ju, F (y) − F (x) ' J(y − x), ky − xk lo cual nos permite dar una estimaci´ on del cambio de longitudes en el s´ olido. Podemos simplificar esta estimaci´ on si suponemos que la deformaci´ on es peque˜ na, en el sentido de que J ' I sea casi la identidad es decir que si F (x) = x + G(x), siendo G(x) = (gi (x)) el desplazamiento del punto x, para el que     ∂fi ∂gi (x) = I + (x) = I + A, ∂xj ∂xj las componentes del Jacobiano A de G, sean tan peque˜ nas que sus productos los podemos considerar nulos y para la simetrizaci´on de A   ∂g1 ∂g1 ∂g1 1 ∂g2 1 ∂g3 t ∂x1 2 ( ∂x1 + ∂x2 ) 2 ( ∂x1 + ∂x3 ) A+A  ∂g2 ∂g1 ∂g2 ∂g2  1 ∂g3 + ∂x ) S= =  12 ( ∂x ∂x2 2 ( ∂x2 + ∂x3 ) 1 2 2 ∂g1 ∂g2 ∂g3 1 ∂g3 1 ∂g3 2 ( ∂x1 + ∂x3 ) 2 ( ∂x2 + ∂x3 ) ∂x3 como hemos supuesto que At A ' 0, tendremos que J t J = (I + At )(I + A) = I + A + At + At A ' I + 2S, por lo tanto para un punto y pr´ oximo a x, la proporci´on de distancias entre estos puntos, despu´es y antes de la deformaci´on es p √ kF (y) − F (x)k √ t t ' u J Ju ' ut (I + 2S)u = 1 + 2ut Su ' 1+ut Su, ky − xk √ donde lo u ´ltimo se sigue del desarrollo por Taylor 1 + 2x = 1+x+o(x). Esto nos induce a definir el Tensor de P deformaci´ Pon como el que para cada x y los campos tangentes D = di ∂i , E = ei ∂i , vale Tx (Dx , Ex ) = dt S e, el cual podemos obtener intrinsecamente, considerando la aplicaci´on desP plazamiento G como campo tangente G = gi ∂xi , derivando la m´etrica eucl´ıdea, pues X X GL g = GL ( dxi ⊗ dxi ) = (dgi ⊗ dxi + dxi ⊗ dgi ) X X ∂gi X X ∂gi = dxj ⊗ dxi + dxi ⊗ dxj = 2T. ∂xj ∂xj

3.8. Ejemplos de tensores

193

Observemos por otro lado que F ∗g − g = =

=

n X i=1 n X

(dfi ⊗ dfi − dxi ⊗ dxi ) (

n n X X ∂fi ∂fi dxj ⊗ dxk ) − dxi ⊗ dxi ∂xj ∂xk i=1

i=1 j,k=1 n n X X

(

j,k=1 i=1

∂fi ∂fi − δjk )dxj ⊗ dxk , ∂xj ∂xk

cuyos coeficientes son los de la matriz J t J − I ' 2S, por lo que tenemos F ∗ g − g ' 2T. Con este tensor tenemos, como acabamos de ver, una estimaci´on del cambio de una longitud L entre dos puntos x, y = x + Lu de K (para u un vector unitario), que es por la f´ ormula anterior L(1 + T (u, u)). Del mismo modo podemos estimar el cambio de un ´ angulo α formado por los vectores e1 y e2 en x, pues si denotamos yi = x + ei , e0i = F (yi ) − F (x) ' Jei , y α0 el ´ angulo que forman estos, tendremos que para u1 = e1 /|e1 | y u2 = e2 /|e2 | unitarios e0 · e0 et J t Je2 |e01 | |e02 | cos α0 = 1 2 ' 1 ' ut1 (I + 2S)u2 = |e1 | |e2 | |e1 ||e2 | |e1 ||e2 | = ut1 u2 + 2ut1 Su2 = cos α + 2T (u1 , u2 ) ⇒ cos α0 '

cos α + 2T (u1 , u2 ) . (1 + T (u1 , u1 ))(1 + T (u2 , u2 ))

En particular si e1 y e2 son perpendiculares —en cuyo caso cos α = 0— y si consideramos (al ser la deformaci´ on peque˜ na) que la diferencia de angulos α − α0 = π/2 − α0 es peque˜ ´ na (y x ' sen x para x peque˜ no), tendremos que π/2 − α0 ' sen(π/2 − α0 ) = cos α0 '

2T (u1 , u2 ) , (1 + T (u1 , u1 ))(1 + T (u2 , u2 ))

(siendo u1 , u2 ortonormales), es decir α0 ' π/2 −

2T (u1 , u2 ) . (1 + T (u1 , u1 ))(1 + T (u2 , u2 ))

194

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

Por u ´ltimo podemos estimar el cambio en el volumen de una regi´on peque˜ na en torno a un punto x, pues el volumen del paralelep´ıpedo que definen tres vectores orientados ei en el punto x es V = det[e1 , e2 , e3 ] = det[B], para B la matriz de columnas ei . Ahora para yi = x + ei tenemos que e0i = F (yi ) − F (x) ' Jei , por lo que la matriz B 0 con columnas e0i vale aproximadamente J · B, por lo que el nuevo volumen es5 V 0 = det[B 0 ] ' det[J] det[B] = det[I + A] det[B] ∂g1 ∂g2 ∂g3 + + )V = (1 + div G)V, ' (1 + traz A)V = (1 + ∂x1 ∂x2 ∂x3 c´ alculo que podemos hacer a trav´es de la forma de volumen ω, pues F ∗ ω = det[J]ω = det[I + A]ω ' (1 + traz A)ω.

5 Teniendo en cuenta que det[I + A] ' 1 + traz A, lo cual se sigue de forma obvia desarrollando el determinate, llamando de forma gen´ erica S a cualquier suma de productos de componentes aij de A que es S ' 0, pues suponemos que At A ' 0

det[I + A] = (1 + a11 )(1 + a22 )(1 + a33 ) + S = 1 + a11 + a22 + a33 + S = 1 + traz A + S.

3.9. Ejercicios resueltos

3.9.

195

Ejercicios resueltos

Ejercicio 3.6.1.- Demostrar que la 1–forma del plano (y 2 + h)dx + (x2 + h)dy es exacta sii h = 2xy + f (x + y). Demostraci´ on. “⇒” si es exacta existe z, tal que zx = y 2 + h y zy = x2 + h, por tanto (y 2 + h)y = zxy = (x2 + h)x , por tanto 2y + hy = 2x + hx y Dh = 2(y − x), para ∂ ∂ ∂ D= − =2 ∂x ∂y ∂v en las coordenadas u = x + y, v = x − y, pues Du = 0 y Dv = 2, por tanto Dh = −2v es hv = −v es decir v2 x2 − 2xy + y 2 + ϕ(u) = − + ϕ(x + y) 2 2 x2 + y 2 (x + y)2 = xy − + + f (x + y) = 2xy + f (x + y). 2 2

h=−

Ejercicio 3.7.1.- Demostrar que si D1 , . . . , Dn ∈ D son independientes en un abierto U de Rn , entonces la condici´ on necesaria y suficiente para que exista un sistema de coordenadas (u1 , . . . , un ), tal que en U , Di = ∂/∂ui , es que [Di , Dj ] = 0, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n. Ind. Util´ıcese el Lema de Poincar´ e (3.22), p´ ag.165 y (3.20–v).

Ejercicio 3.7.2.- Encontrar la ecuaci´ on de las curvas que verifican que en cada punto la tangente y la normal cortan respectivamente al eje y y al eje x, en dos puntos que equidistan del origen (ver Fig.3.11). Indicaci´ on. En cada punto (x0 , y0 ) consideramos las dos rectas perpendiculares y = y 0 (x0 )(x − x0 ) + y0 ,

y=−

1 (x − x0 ) + y0 , y 0 (x0 )

y la propiedad del enunciado es −y 0 (x0 )x0 + y0 = y 0 (x0 )y0 + x0 , por lo tanto la ecuaci´ on diferencial es (y + x)y 0 = y − x, que corresponde al campo D = (x + y)∂x + (y − x)∂y , el cual hemos resuelto en la p´ ag.127, siendo sus soluciones las espirales ρ eθ = cte. Como es homog´ eneo tambi´ en podemos resolverlo considerando las coordenadas (u = y/x, v = log x), y xDy − yDx x(y − x) − y(x + y) Du = D = = = −1 − u2 x x2 x2 Dx Dv = D(log x) = = 1 + u, por tanto x D = −(1 + u2 )∂u + (1 + u)∂v .

196

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial p

x2 + y 2 y θ = arctan(y/x), tiene 1–forma incidente p 1+u 1 du + dv = d[arctan u + log(1 + u2 ) + v] = d[θ + log(x 1 + u2 )] = d[θ + log ρ], 2 1+u 2

Y para ρ =

y las curvas soluci´ on son ρ eθ = cte. A

B

O

Figura 3.11. Curvas para las que OA = OB

Ejercicio 3.7.3.- Una cuerda flexible de 4 metros est´ a perfectamente enrollada —en el sentido de que al tirar del extremo s´ olo se mueve la parte de la cuerda que sale del rollo—, en el borde de una mesa. Si en un instante dado, en el que cuelga un metro de cuerda, la soltamos y empieza a desenrollarse toda la cuerda por su peso, ¿cuanto tiempo tardar´ a la cuerda en desenrollarse? ¿Y si la cuerda est´ a estirada sobre la mesa de forma perpendicular al borde? Soluci´ on.- Si y(t) es la longitud de la cuerda suelta en el instante t, entonces suponemos que y(0) = 1 e y(0) ˙ = 0. Adem´ as la masa de la cuerda m(t), que cuelga en el instante t, es proporcional a y(t). Cuando una colecci´ on de masas mi se mueven con velocidades vi se ven sometidas a una fuerza que es la variaci´ on de su cantidad de movimiento, es decir P d( n i=1 mi vi ) , dt pues sobre cada part´ıcula act´ ua la fuerza que es, por la segunda ley de Newton, d(mi vi ) mi v˙ i = , dt ya que su masa es constante. Ahora bien si en la colecci´ on de part´ıculas —la cuerda en nuestro caso— hay unas con velocidad nula —las que est´ an sobre la mesa—, y otras —todas las que cuelgan—, con velocidad v, tendremos que la fuerza actuando sobre la cuerda debido a su movimiento es F =

d(mv) = mv ˙ + mv, ˙ dt

siendo la gravitacional, mg, la u ´ nica fuerza que act´ ua sobre la parte de cuerda que cuelga, por lo tanto igualando ambas v 2 + y v˙ = yg, y como v˙ = dv/dt = (dv/dy)(dy/dt) = v 0 v, tendremos que dv yg − v 2 = , dy yv

197

3.9. Ejercicios resueltos

que corresponde a la 1–forma ω = yvdv + (v 2 − yg)dy = −gdv + f dy, la cual tiene un factor integrante, pues por el m´ etodo 3.7, p´ ag.166 −v + 2v 1 g y + fv = = − = r(y), g −yv y y si definimos h(y) = e−

R

r(y)

= y, se tiene que hω es exacta

y 2 vdv + y(v 2 − yg)dy = d(

y2 v2 y3 − g ), 2 3

por tanto la soluci´ on es para y(0) = 1, v(0) = 0, y3 y2 v2 =g + k, 2 3 para k tal que 0 =

g 3

+ k, es decir

y3 − 1 y v = 2g 3 2 2

⇔

dy y = dt

s

2g(y 3 − 1) 3

por lo tanto el tiempo que tarda en salir de la mesa es s Z 4 3 y dy p = 0,978095seg. 2g 1 y3 − 1 En el segundo caso la ecuaci´ on es 4y 00 = yg.

Ejercicio 3.7.5.- a) Encontrar la forma de un espejo curvo en R2 , tal que la luz de una fuente en el origen se refleje en un haz de rayos paralelos. b) Encontrar la forma de una curva plana que tenga la propiedad de que el sonido emitido desde un punto A pase, despu´es de reflejarse en la curva, por otro punto fijo B. Soluci´ on.-Supongamos que los rayos reflejados son paralelos al eje y, en cuyo p caso para ρ = x2 + y 2 , el vector (x, y)−(0, ρ) es normal a la curva, en el punto suyo (x, y) (pues la suma y la resta de dos vectores del mismo m´ odulo dan las direcciones de sus bisectrices). Entonces en cada punto p = (x, y) la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva viene dada por la anulaci´ on de la 1–forma  2 ρ xdx + (y − ρ)dy = d − ρdy = ρ dρ − ρ dy 2 y un factor integrante obvio es 1/ρ, por tanto nuestras curvas son para cada constante k las parabolas ρ = y + k ⇔ x2 = 2yk + k2 . Adem´ as de obtener de forma natural un sistema de coordenadas (y, ρ), en el que la par´ abola se escribe con una ecuaci´ on lineal ρ = y + k (para la que adem´ as ρ = y + k es la homotecia de raz´ on k de ρ = y + 1); tenemos otra importante propiedad de ella, pues la par´ abola se corta con el eje y en el v´ ertice v = (0, −k/2), por tanto k = 2ρ(v), y si consideramos la recta paralela al eje x, y = −k, tendremos que los punto de la par´ abola son los que equidistan del foco (que es el origen) y la recta.

198

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

b) Hag´ amoslo tomando A = (0, 0), B = (1, 0) y el vector normal en cada P = (x, y), que es suma de los vectores normalizados de las direcciones AP = (x, y) y BP = (x − 1, y) ! ! x−1 y y x p dx + p dy = +p +p (x − 1)2 + y 2 (x − 1)2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 p  q =d x2 + y 2 + (x − 1)2 + y 2 , por lo tanto las curvas soluci´ on son las elipses con focos en A y B.

q q q q

Figura 3.12. Par´ abola y elipse.

Ejercicio 3.7.6.- Encontrar la curva que describe una canoa que sale de una orilla en un r´ıo y se dirige a un punto de la otra orilla a velocidad constante, siendo arrastrada por el r´ıo que baja tambi´en a velocidad constante. Soluci´ on.- Sea b la velocidad de la canoa, a la del rio y supongamos que la canoa se dirige al origen de coordenadas y que el rio fluye en el sentido contrario del eje y. Tendremos que en cada instante t, sobre la canoa —que est´ a en la posici´ on (x(t), y(t))— act´ uan dos velocidades por una parte la del remero y por otra la del rio que son respectivamente −p

b x2 + y 2

(x, y) ,

(0, −a),

tendremos que resolver el sistema x0 (t) = − p

bx x2 + y 2

,

y 0 (t) = −a − p

by x2 + y 2

,

´ o en t´ erminos de x e y p dy a x2 + y 2 + by = , dx bx que siendo homog´ enea sabemos resolverla y da para k = a/b p c[y + x2 + y 2 ] = xk+1 .

Ejercicio 3.7.7.- Un pescador en una barca ve salir un pez en un lugar del mar. Si suponemos que el pez sale del lugar en l´ınea recta a un tercio de la velocidad del pescador, ¿qu´e trayecto debe realizar el pescador para pasar con seguridad por encima del pez, sea cual sea la direcci´ on que este tome? Soluci´ on.- Pongamos el origen de coordenadas en el punto donde sale el pez, y pongamos al pescador en el punto (4, 0), cuando eso ocurre.

199

3.9. Ejercicios resueltos

El pescador puede considerar la siguiente ruta: Primero se va, en l´ınea recta, al punto (1, 0), por lo que el pez estar´ a en alg´ un punto de la circunferencia de radio 1 y centro el origen. Desde aqu´ı describe el pescador una curva que en coordenadas polares denotamos con r(θ). Se tiene que el espacio recorrido por ´ el entre 0 y t es, para x(θ) = r(θ) cos θ, y(θ) = r(θ) sen θ, Z tq Z tq x0 (θ)2 + y 0 (θ)2 dθ = r0 (θ)2 + r(θ)2 dθ. a= 0

0

Tendremos entonces que t

Z 3(r(t) − 1) =

q

r0 (θ)2 + r(θ)2 dθ,

0

y por tanto 3r0 (t) =

q

r0 (t)2 + r(t)2

√

⇔

8r0 = r

⇔

et r(t) = √ , 8

pues r(0) = 1.

Ejercicio 3.8.1.- Demostrar que para (x, y) las coordenadas cartesianas y (ρ, θ) las coordenadas polares en el plano dx2 + dy 2 = ds2 = dρ2 + ρ2 dθ2 . Ind. dx = cos θdρ − ρ sen θ dθ y dy = sen θ dρ + ρ cos θ dθ, por tanto 2

dx + dy 2 = cos2 θ dρ2 + ρ2 sen2 θ dθ2 + sen2 θ dρ2 + ρ2 cos2 θ dθ2 = dρ2 + ρ2 dθ2 .

Ejercicio 3.8.3.- (1) Demostrar que el rotacional de un campo D existe y encontrar sus componentes en funci´ on de las de D. (2) Demostrar que para cada funci´ on f y cada campo D rot grad f = 0 ,

div rot D = 0,

rot(f D) = grad f × D + f rot D.

(3) Demostrar que si R es un campo tal que div R = 0, entonces localmente existe un campo D tal que R = rot D. Soluci´ on.- (1) Sea R = rot D =

P

ri ∂i y D = f ∂1 + g∂2 + h∂3 , entonces

iR ω3 = r1 dy ∧ dz − r2 dx ∧ dz + r3 dy ∧ dz = d(f dx + gdy + hdz) = (hy − gz )dy ∧ dz + (hx − fz )dx ∧ dz + (hy − gz )dy ∧ dz, por lo tanto si D = f ∂x + g∂y + h∂z R = (hy − gz )∂x + (fz − hx )∂y + (hy − gz )∂z . (3) (div R)ω = RL ω = iR dω + d(iR ω) = d(iR ω),

200

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

por tanto div R = 0

⇔

d(iR ω) = 0

⇔

localmente

iR ω = dγ

⇔

localmente

iR ω = d(iD g)

⇔

localmente

R = rot D.

(por el Lema de Poincar´ e (3.22))

Ejercicio 3.8.4.- Demostrar las siguientes propiedades: (1) D1 × D2 = −D2 × D1 . (2) D1 × (D2 + D3 ) = D1 × D2 + D1 × D3 . (3) (D1 × D2 ) · D3 = (D2 × D3 ) · D1 = (D3 × D1 ) · D2 . (4) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ × = × = × = 0, ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ × = , × = , × = . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y (5) (6) (7) (8) (9)

iD1 ×D2 ω = iD1 g ∧ iD2 g. D1 × (D2 × D3 ) = (D1 · D3 )D2 − (D1 · D2 )D3 . (D1 × D2 ) × D3 + (D2 × D3 ) × D1 + (D3 × D1 ) × D2 = 0. div(D1 × D2 ) = D2 · rot D1 − D1 · rot D2 . (D1 × D2 ) · (D3 × D4 ) = (D1 · D3 )(D2 · D4 ) − (D1 · D4 )(D2 · D3 ).

Ind.- (6) Veamos como conjeturar esta igualdad: Por una parte D1 × (D2 × D3 ) est´ a en el plano ortogonal a D2 × D3 que esta generado por D2 y D3 , por tanto D1 × (D2 × D3 ) = λD2 + µD3 , ahora bien tambi´ en es ortogonal a D1 , por lo que λ(D1 · D2 ) + µ(D1 · D3 ) = 0, por tanto (λ, µ) es proporcional a (D1 · D3 , −D1 · D2 ) y D1 × (D2 × D3 ) = k[(D1 · D3 )D2 − (D1 · D2 )D3 ], ahora veamos que k es constante y vale 1. Como T (D1 , D2 , D3 ) = D1 × (D2 × D3 ) y Q(D1 , D2 , D3 ) = (D1 · D3 )D2 − (D1 · D2 )D3 son tensores (ambos hemisim´ etricos en las dos u ´ltimas), basta observar que coinciden en cualesquiera ∂xi , ∂xj , ∂xk . (8) Sean D = (D1 ×D2 ), iR1 ω = d(iD1 g), iR2 ω = d(iD2 g), ω1 = iD1 g, ω2 = iD2 g e iD ω = ω1 ∧ ω2 , entonces tenemos que div(D)ω = DL ω = d(iD ω) = d(ω1 ∧ ω2 ) = d(ω1 ) ∧ ω2 − ω1 ∧ d(ω2 ) = iR1 ω ∧ ω2 − ω1 ∧ iR2 ω = ω ∧ iR1 ω2 − iR2 ω1 ∧ ω = (D2 · R1 − D1 · R2 )ω.

Ejercicio 3.8.5.- Demostrar el siguiente Teorema de Caratheodory : Dado un tri´ angulo ABC y un punto interior suyo O, demostrar que ~ + area(OAC) · OB ~ + area(OBC) · OA ~ = 0. area(OAB) · OC Indicaci´ on.- Apl´ıquese el apartado (7) del ejercicio anterior a D1 = OA, D2 = OB y D3 = OC.

201

3.9. Ejercicios resueltos

Ejercicio 3.8.6.- Demostrar que la m´etrica en el disco unidad (1 − x2 − y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) (1 − x2 − y 2 )2 tiene curvatura constante negativa K = −1. Indicaci´ on. Para x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, tendremos que dx = cos θdρ − ρ sen θdθ,

dy = sen θdρ + ρ cos θdθ,

y viendo simult´ aneamente este ejercicio y el siguiente (3.8.7), las m´ etricas, en coordenadas polares, son (1 − ρ2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) = (1 − ρ2 )2 =

(1 − ρ2 )(dρ ⊗ dρ + ρ2 dθ ⊗ dθ) + (ρdρ) ⊗ (ρdρ) = (1 − ρ2 )2

=

dρ ⊗ dρ + (1 − ρ2 )ρ2 dθ ⊗ dθ 1 ρ2 = 2 dρ ⊗ dρ + dθ ⊗ dθ, 2 2 (1 − ρ ) g g (1 + ρ2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) − (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) = (1 + ρ2 )2

=

(1 + ρ2 )(dρ ⊗ dρ + ρ2 dθ ⊗ dθ) − (ρdρ) ⊗ (ρdρ) = (1 + ρ2 )2

=

dρ ⊗ dρ + (1 + ρ2 )ρ2 dθ ⊗ dθ 1 ρ2 = 2 dρ ⊗ dρ + dθ ⊗ dθ, 2 2 (1 + ρ ) g g

donde en el primer caso g = 1 − ρ2 y en el segundo g = 1 + ρ2 , por tanto en cualquier caso 1 ρ2 E = 2 , F = 0, G = , g g √ olo dependen y D1 = g∂ρ , D2 = h∂θ , para h = g/ρ, son ortonormales y como g, h s´ de ρ, DiL ∂θ = −∂θL Di = 0, por tanto como en cualquiera de los dos casos gh0 /h = −1/ρ D1∇ D2 − D2∇ D1 = [D1 , D2 ] = D1L (h∂θ ) = (D1 h)∂θ = gh0 ∂θ = −

D2 , ρ2

adem´ as 0 = Di (Dj · Dj ) = 2Di∇ Dj · Dj , por tanto D1∇ D1 = αD2 , D2∇ D2 = βD1 , D1∇ D2 = λD1 , D2∇ D1 = µD2 , y comparando con lo anterior λD1 − µD2 = D1∇ D2 − D2∇ D1 = −

D2 , ρ

y sabiendo que Di∇ Di · Dj = −Di · Di∇ Dj , pues Di (Di · Dj ) = 0, tendremos que 1 α = −λ = 0, β = −µ = − , ρ

por tanto

D1∇ D2 = D1∇ D1 = 0, D2∇ D2 = −

D1 D2 , [D1 , D2 ] = − , ρ ρ

202

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

y podemos calcular la curvatura K = R(D1 , D2 , D1 , D2 ) = D1 · (D1∇ (D2∇ D2 ) − D2∇ (D1∇ D2 ) − [D1 , D2 ]∇ D2 ) D1 1 ∇ D D2 ) = D1 · ((D1 β)D1 − 2 ) ρ 2 ρ D1 ρ 1 g−1 = 2 − 2 = = ±1. ρ ρ ρ2 = D1 · (D1∇ (βD1 ) +

Ejercicio 3.8.7.- Demostrar que la m´etrica en el plano (1 + x2 + y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) − (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) (1 + x2 + y 2 )2 tiene curvatura constante positiva K = 1. Indicaci´ on. Ver el ejercicio anterior (3.8.6).

3.10. Bibliograf´ıa y comentarios

3.10.

203

Bibliograf´ıa y comentarios

En la composici´ on del tema hemos utilizado los siguientes libros: Abraham, Ralph and Mardsen, Jerrold E.: “Foundations of Mechanics”. Ed. Addison–Wesley, 1978. Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”. Ac Press, 1975. Crampin,M. and Pirani,F.A.E.: “Applicable Differential Geometry”. Cambridge University Press, 1988. Choquet–Bruhat, Y.: “Geometrie differentielle et systemes exterieurs”. Edit. Dunod, 1968. Feynmann, R., Leigthton, R.B. and Sands, M.: “Phisica”. Vol.I y III, Addison– Wesley Iberoamericana, 1987. Goldstein, H.: “Classical Mechanics”. Addison–Wesley Pub. Co., 1980. ˜oz Diaz, Jesus: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982. Mun ´ , L.A.: “Vectores y tensores con sus aplicaciones”. Ed. Universitaria de Santalo Buenos Aires, 1977. Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´ oricas”. Ed. McGraw–Hill, 1977. Spiegel, M.R.: “Mec´ anica te´ orica”. McGraw–Hill, 1967. Spivak, M.: “A comprehensive introduction to differential geometry”. 5 vols., Publish or Perish, Inc., 1979.

El an´ alisis tensorial naci´ o con J.L. Lagrange (1736–1813), que fue el primero en hacer un tratamiento general de un sistema din´amico y con Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), que fue el primero en pensar en una geometr´ıa en un n´ umero arbitrario de dimensiones. Sin embargo el c´ alculo de tensores no empezar´a a desarrollarse realmente hasta el a˜ no 1884 en el que se public´ o la obra fundamental del italiano G. Ricci (1853–1925) Ricci–Curbastro, G.: “Principii di una theoria delle forme differenziale quadratiche”. Milan, 1884.

204

Tema 3. Campos tensoriales en un espacio vectorial

en la que define los tensores —´el los llama sistemas—, covariantes y contravariantes de todos los ´ ordenes. El mismo Ricci sigui´ o haciendo desarrollos posteriores del c´alculo tensorial junto con su disc´ıpulo Tullio Levi–Civita (1873–1941). Y lo continu´ o Elie Cartan (1869–1951) entre otros. El t´ermino vector fue introducido por W.R.Hamilton (1805–1865) y H.G.Grasmann (1809–1877). Por su parte el t´ermino tensor —en vez de sistema de Ricci , como era conocido—, fue propuesto por Albert Einstein (1879–1955), extendiendo el t´ermino de “tensor el´ astico”, que es un tensor que surge de forma natural en el estudio de la elasticidad .

Fin del Tema 3

Tema 4

Campos tangentes lineales

4.1.

Ecuaciones diferenciales lineales

Definici´ on. Sea E un espacio vectorial real de dimensi´on finita n. Llamaremos funci´ on af´ın f en E a la suma f = g + a de una funci´on lineal g ∈ E ∗ y una funci´ on constante a ∈ R. Llamaremos campo tangente lineal —respectivamente af´ın— en E a las derivaciones D : C ∞ (E) → C ∞ (E), tales que Df es lineal (af´ın) para cada f lineal (af´ın). Sea D un campo af´ın y veamos como se expresa en un sistema de coordenadas lineales xi de E. P Como Dxi es af´ın, existen aij , bi ∈ R, tales que Dxi = aij xj + bi , por tanto " n # " n # X X ∂ ∂ D= a1i xi + b1 + ··· + ani xi + bn , ∂x ∂x 1 n i=1 i=1

205

206

Tema 4. Campos tangentes lineales

y sus curvas integrales satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales lineales —o, como a menudo la llamaremos ED lineal— x01 =

n X

a1i xi + b1 ,

i=1

.. . x0n =

n X

ani xi + bn ,

i=1

o en forma vectorial para X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), A = (aij ) y b = (bi ) X 0 (t) = A · X(t) + b.

(4.1)

Todo campo af´ın n–dimensional, puede considerarse como la restricci´ on a un hiperplano (xn+1 = 1) de un campo lineal D, " n " n # # X X ∂ ∂ D= a1i xi + b1 xn+1 + ··· + ani xi + bn xn+1 , ∂x ∂x 1 n i=1 i=1 (n+1)–dimensional, tangente a los hiperplanos {xn+1 = cte}. Todo campo tangente lineal D define por restricci´on, una aplicaci´on lineal D : E ∗ → E ∗, pues la imagen de una funci´ on lineal es una funci´on lineal. Definici´ on. Dado un campo tangente lineal D, llamaremos endomorfismo asociado a D a la aplicaci´ on lineal dual de D : E ∗ → E ∗ , A : E → E. P

Si Dxi = aij xj , en un sistema de coordenadas lineales xi , entonces la matriz asociada a la aplicaci´ on lineal A es A = (aij ) y la de D es At . Definici´ on. Llamaremos autovalores de un campo tangente lineal D a los autovalores de su endomorfismo asociado A. Consideremos ahora un intervalo abierto real I y la funci´on x0 : I × E → I ,

x0 (t, p) = t.

4.1. Ecuaciones diferenciales lineales

207

Definici´ on. Diremos que una funci´ on f ∈ C ∞ (I × E) es lineal relativa a x0 —respectivamente af´ın relativa a x0 —, si para cada t ∈ I, la funci´on f (t, ·) : E → R, es lineal (af´ın). Diremos que un campo E ∈ D(I × E) es lineal (af´ın) relativo a x0 si: a) Ex0 = 1, es decir es un campo subido de ∂/∂t ∈ D(I), a I × E mediante x0 . b) Para cada funci´ on f lineal (af´ın) relativa a x0 , Ef es lineal (af´ın) relativa a x0 . Consideremos un sistema de coordenadas lineales x1 , . . . , xn en E y sub´ amoslas, junto con x0 , a I × E para definir el sistema de coordenadas (x0 , x1 , . . . , xn ). Una funci´ on f es af´ın relativa a x0 si y s´ olo si para cada t ∈ I, f (t, ·) =

n X

ai (t)xi + bi (t),

i=1

por tanto quitando la t f=

n X

ai [x0 ]xi + bi [x0 ].

i=1

En estos t´erminos tenemos que si E ∈ D(I × E) es af´ın relativo a x0 , existen funciones aij , bi : I → R tales que   n n X X ∂ ∂  + aij (x0 )xj + bi (x0 ) , E= ∂x0 i=1 j=1 ∂xi y si X : J → I × E X(t) = (x0 (t), x1 (t), . . . , xn (t)), es una curva integral de E, entonces satisface el sistema de ecuaciones diferenciales en I × E x00 = 1 X x01 = aij (x0 )xj + b1 (x0 ) (4.2)

.. . x0n =

.. . X

anj (x0 )xj + bn (x0 ).

208

Tema 4. Campos tangentes lineales

Adem´ as se tiene que si esta soluci´ on satisface las condiciones iniciales X(t0 ) = (t0 , p) ∈ I × E, entonces x0 (t) = t, J ⊂ I y la aplicaci´ on φ : J → E,

φ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)),

satisface el sistema de ecuaciones diferenciales lineales1 no aut´ onomo x01 =

n X

aij (t)xj + b1 (t),

i=1

.. . x0n =

.. . n X

anj (t)xj + bn (t),

i=1

o en forma matricial para A(t) = (aij (t)) y b(t) = (bi (t)) (4.3)

φ0 (t) = A(t)φ(t) + b(t).

Rec´ıprocamente si J ⊂ I y φ : J → E es una soluci´on de (4.3) satisfaciendo φ(t0 ) = p, entonces X : J → I × E, definida por X(t) = (t, φ(t)) es soluci´ on de (4.2) satisfaciendo X(t0 ) = (t0 , p). En este tema estudiaremos las ecuaciones diferenciales no aut´onomas del tipo (4.3) y las del tipo (4.1), que consideraremos como un caso particular en el que A y b son constantes. Si las aij y las bi son continuas entonces E es localmente lipchiciano en E uniformemente en I, por tanto como consecuencia del teorema de continuidad del grupo uniparam´etrico de E —ver el tema II—, tendremos que el grupo uniparam´etrico local asociado τ , es continuo. Se sigue entonces que para cada λ = (t0 , p) ∈ I ×E, existe una u ´nica curva integral m´ axima de E X(t) = τ (t − t0 , λ), que verifica X(t0 ) = λ = (t0 , p), 1 Con absoluto rigor aqu´ ı deber´ıa decir af´ın y no lineal, pero es habitual encontrar este abuso del lenguaje en los textos. En general llamaremos ecuaci´ on diferencial lineal (EDL), a cualquier sistema de este tipo aut´ onomo o no.

4.2. Existencia y unicidad de soluci´ on

209

y cuyo dominio de definici´ on es J = I(τ (t0 , λ) = I(λ) − t0 . Por lo tanto hay una u ´nica soluci´ on φ : J → E, de (4.3) satisfaciendo φ(t0 ) = p, y viene dada por las n u ´ltimas componentes de (t, φ(t)) = X(t) = τ (t, τ (t0 , λ)). Adem´ as si las aij y las bi son de clase k, entonces φ es de clase k+1 en J. No obstante vamos a dar una demostraci´ on alternativa, que aunque b´ asicamente repite los mismos argumentos que vimos en el tema II, nos permitir´ a ofrecer una interpretaci´ on mas general del resultado, al mismo tiempo que demostramos que J = I, cosa que hasta ahora no se ha justificado.

4.2.

Existencia y unicidad de soluci´ on

Hagamos antes un inciso para dar algunas definiciones y resultados relativos a la derivaci´ on e integraci´ on de curvas en un espacio de Banach. Definici´ on. Sea B un espacio de Banach sobre el cuerpo K = R ´o C. Llamaremos curva en B a toda aplicaci´ on φ : I → B, donde I es un intervalo abierto real. Diremos que una curva φ es diferenciable en t ∈ I si existe el l´ım

h→0

φ(t + h) − φ(t) , h

que denotaremos φ0 (t) ∈ B. Es f´ acil ver que si φ es diferenciable en t, entonces es continua en t. Diremos que una curva φ tiene primitiva si existe otra ψ : I → B tal que ψ 0 = φ. Proposici´ on 4.1 Toda curva continua tiene primitiva y dos primitivas de la misma curva difieren en un elemento de B.

210

Tema 4. Campos tangentes lineales

Definici´ on. Sea φ continua y ψ una primitiva suya. Definimos la integral de φ, entre los extremos c, d ∈ I, como Z d φ(t)dt = ψ(d) − ψ(c). c

Las propiedades b´ asicas de la integraci´ on son las siguientes. Proposici´ on 4.2 Dados α1 , α2 ∈ K, c, d ∈ I y φn , φ curvas continuas en I, se tiene: a) linealidad, Z d Z d Z d [α1 φ1 (s) + α2 φ2 (s)]ds = α1 φ1 (s)ds + α2 φ2 (s)ds. c

c

c

b) Para c < d, d

Z k

Z

d

φ(t)dt k ≤ c

k φ(t) k dt. c

c) Si φn → φ uniformemente en [c, d], entonces Z d Z d φn (t)dt → φ(t)dt. c

c

Sea A una ´ algebra de Banach sobre K = R ´o C, y consideremos los K–espacios vectoriales An y Mn (A) —anillo de las matrices de orden n, con t´erminos en A—. Cada A ∈ Mn (A) define un endomorfismo A : An → An ,

x → A · x,

con el producto habitual entendiendo x como vector columna. Podemos definir las normas en An y Mn (A) k (x1 , . . . , xn ) k=

n X

k xi k

k A k= sup{k Ax k : k x k= 1},

i=1

para las que se tiene, si A ∈ Mn (A) y x ∈ An , que k A · x k≤k A k · k x k . De esta forma y sabiendo que tanto A como An como Mn (A) son espacios de Banach sobre K, tenemos el siguiente resultado.

4.2. Existencia y unicidad de soluci´ on

211

Teorema 4.3 Sea I un intervalo abierto de R, y sean A : I → Mn (A) y b : I → An continuas. Entonces para cada t0 ∈ I y a ∈ An , existe una u ´nica curva φ : I → An , verificando φ0 (t) = A(t)φ(t) + b(t).

φ(t0 ) = a,

Demostraci´ on. Definamos la sucesi´ on φm : I → An recurrentemente, de la forma siguiente. Tomamos φ0 (t) = a y Z (4.4)

t

[A(s) · φm (s) + b(s)]ds.

φm+1 (t) = a + t0

Consideremos ahora un intervalo compacto J ⊂ I, con t0 ∈ J. Entonces existe k > 0 tal que en J, k A(s) k≤ k. Por tanto en J (para t ≥ t0 ) Z

t

k φm+1 (t) − φm (t) k ≤ k

k φm (s) − φm−1 (s) k ds, t0

y si llamamos b = m´ ax{kt − t0 k : t ∈ J},

c = m´ ax{k φ1 (t) − a k: t ∈ J},

tendremos que en J k φ1 (t) − φ0 (t) k ≤ c, k φ2 (t) − φ1 (t) k ≤ kc|t − t0 | ≤ c(kb), k φ3 (t) − φ2 (t) k ≤ k 2 c .. .

|t − t0 |2 (kb)2 ≤c , 2 2

k φm+1 (t) − φm (t) k ≤ k m c

|t − t0 |m (kb)m ≤c . m! m!

Por tanto existe el l´ım φm = φ, uniforme en cada compacto, por tanto φ es continua. Adem´ as de (4.4) se sigue que φ es la soluci´on buscada, pues Z t φ(t) = a + [A(s) · φ(s) + b(s)]ds. t0

212

Tema 4. Campos tangentes lineales

Veamos ahora la unicidad. Si existiese otra soluci´on ψ, tendr´ıamos que para Z = φ − ψ, Z t Z(t) = [A(s) · Z(s)]ds, t0

y para f (t) = k Z(t) k, se tendr´ıa que en cada compacto J de I, con t0 ∈ J, Z t f (t) ≤ k f (s)ds, t0

y tomando t tal que (t−t0 )k < 1 y t1 ∈ [t0 , t], tal que f (t1 ) = m´ax{f (s) : s ∈ [t0 , t]}, tendr´ıamos que Z t1 f (t1 ) ≤ k f (s)ds ≤ k(t1 − t0 )f (t1 ). t0

De esta forma, demostrando que la frontera del conjunto {t ∈ I : f (t) = 0} es vac´ıa, se concluye que Z = 0. Un caso particular importante, que utilizaremos en las pr´oximas lecciones, lo tenemos cuando A = C. Otro caso particular interesante es A = C r (K), para K compacto de m R , con la norma de la convergencia uniforme de la funci´on y todas sus derivadas k f k = 2r sup{|Da f (x)| : x ∈ K, |a| ≤ r}. En estos t´erminos tenemos el siguiente resultado. Corolario 4.4 Sea K un compacto de Rm e I un intervalo abierto real. Sean t0 ∈ I, fi ∈ C r (K) y hij , gi : I × K → R, funciones de clase r. Entonces existe una u ´nica aplicaci´ on X = (x1 , . . . , xn ) : I × K → Rn , soluci´ on de (4.5)

x0i (t, p) =

n X

hij (t, p)xj (t, p) + gi (t, p),

j=1

para i = 1, . . . , n, satisfaciendo xi (t0 , ·) = fi . Adem´ as X ∈ C r (I × K).

4.3. Estructura de las soluciones

213

Demostraci´ on. Basta considerar aij , bi : I → C r (K), definidas por bi (t) = gi (t, ·),

aij (t) = hij (t, ·),

y aplicar (4.3) para A = (aij ) y b = (bi ). Que X es de C r (I × K) es consecuencia de que φ : t ∈ I → F (t, ·) ∈ C(K), es continua si y s´ olo si F : I × K → R, es continua. Observemos que si las funciones son de C ∞ , entonces son de C r para todo r, por tanto X es de C r para todo r y consecuentemente de C ∞ . Por u ´ltimo observemos que si las fi ∈ C r (U ) con U abierto de Rn y las hij , gi : I × U → R, son de C r , entonces existe una u ´nica X : I × U → Rn , soluci´ on de (4.5) satisfaciendo xi (t0 , ·) = fi . Para ello basta considerar un recubrimiento por compactos de U y en cada compacto considerar la soluci´ on de (4.4). Tales soluciones definen, por la unicidad, una en I × U.

4.3.

Estructura de las soluciones

A lo largo de esta lecci´ on I es un intervalo abierto de R, por K entenderemos R o´ C indistintamente y A : I → Mn (K) y b : I → Kn son continuas.

214

4.3.1.

Tema 4. Campos tangentes lineales

El sistema homog´ eneo.

Consideremos ahora el caso particular de sistema lineal de ecuaciones diferenciales —que llamaremos homog´eneo— para el que b = 0. Es decir vamos a analizar las soluciones φ : I → Kn que verifican (4.6)

φ0 (t) = A(t)φ(t).

Denotemos con E[A] el conjunto de las soluciones φ de (4.6). Se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 4.5 E[A] es un K–espacio vectorial n–dimensional. Demostraci´ on. Que es un espacio vectorial es obvio. Veamos entonces que es de dimensi´ on n. Consideremos α1 , . . . , αn ∈ Kn independientes. Entonces para cada t0 ∈ I existen φ1 , . . . , φn soluciones de (4.6) tales que φi (t0 ) = αi . Veamos que las φi son base de E[A]. P Si ci φi = 0, entonces en t0 tendremos Pc1 , . . . , cn ∈ K son tales que que ci αi = 0 de donde se sigue que los ci = 0. Por tanto las soluciones φi son independientes. Consideremos φ una soluci´ ). Como existen Pon de (4.6) y sea α = φ(t0P c1 , . . . , cn ∈ K tales que α = ci αi , tendremos que φ y P ci φi coinciden en t0 , pero por la unicidad de soluci´ on se tendr´a que φ = ci φi . Definici´ on. Llamaremos sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´ on (4.6), a cualquier base de E[A], como la φ1 , . . . , φn del teorema anterior. Llamaremos matriz fundamental de (4.6) a cualquier matriz de funciones en I, cuyas columnas sean una base de E[A]. La denotaremos con Φ = (φ1 , . . . , φn ). Ejercicio 4.3.1 Supongamos que A(t) es real. Demostrar que: a) φ = X + iY es una soluci´ on compleja de (4.6) si y s´ olo si X = Re[φ] e Y = Im[φ] son soluciones reales. b) Si φ1 , . . . , φn es un sistema fundamental complejo para (4.6), entonces en Re[φ1 ], Im[φ1 ], . . . , Re[φn ], Im[φn ], hay un sistema fundamental real. Ejercicio 4.3.2 Sean Φ y Ψ matrices de funciones continuas en I. Demostrar:

4.3. Estructura de las soluciones

215

a) Φ = (ϕij ) es diferenciable en t ∈ I si y s´ olo si cada ϕij lo es, y

Φ0 (t) = (ϕ0ij (t)). b) Si Φ y Ψ son diferenciables en t ∈ I, entonces

(Φ · Ψ)0 (t) = Φ0 (t) · Ψ(t) + Φ(t) · Ψ0 (t). c) Si Φ es diferenciable en t y Φ(t) es no singular, entonces Φ−1 es diferenciable en t y su derivada es

(Φ−1 )0 (t) = −Φ−1 (t) · Φ0 (t) · Φ−1 (t).

Definici´ on. Llamaremos ecuaci´ on diferencial matricial asociada a (4.6) a (4.7)

Φ0 (t) = A(t) · Φ(t).

Obviamente toda matriz fundamental de (4.6) es soluci´on de (4.7) y como a nosotros nos interesan las matrices fundamentales, pues dada una tendremos todas las soluciones de (4.6), nos interesar´a caracterizar las soluciones de (4.7) que sean fundamentales. Proposici´ on 4.6 Sean φ1 , . . . , φn soluciones de (4.6). Entonces son equivalentes: 1. φ1 , . . . , φn es una base de E[A]. 2. Para cada t ∈ I, φ1 (t), . . . , φn (t) es una base de Kn . 3. Existe un t ∈ I, para el que φ1 (t), . . . , φn (t) es una base de Kn . Demostraci´ on. i) ⇒ ii) Basta demostrar que para cada t ∈ I, φ1 (t), . . . , φn (t), son independientes. P Sea t ∈ IPy supongamos que existen ci ∈ K tales que ci φi (t) = 0, entonces ci φi y la curva constante 0 son soluciones de (4.6) que P coinciden en t, se sigue de la unicidad de soluci´on que ci φi = 0. Pero como las φi son independientes se sigue que las ci = 0. iii) ⇒ i) Basta demostrar que φ1 , . . . , φn son independientes. P ci φi = 0, entonces P Supongamos que existen ci ∈ K tales que ci φi (t) = 0. Pero como las φi (t) son independientes se sigue que las ci = 0.

216

Tema 4. Campos tangentes lineales

Corolario 4.7 Una soluci´ on Φ de (4.7) es una matriz fundamental de (4.6) si y s´ olo si para cada t ∈ I, det Φ(t) 6= 0 y si y s´ olo si existe un t ∈ I para el que det Φ(t) 6= 0. Observemos que si Φ = (φ1 , . . . , φn ) es fundamental, y B es una matriz de orden n, constante y no singular, entonces Ψ = Φ · B, P tambi´en es fundamental, pues Ψ = (ψ1 , . . . , ψn ), siendo las ψi = bij φj base de E[A]. Adem´ as toda matriz fundamental es de esta forma para alguna B constante no singular —la matriz cambio de base—. Se tiene entonces el siguiente resultado. Proposici´ on 4.8 Si Φ es una matriz fundamental y B es constante y no singular, entonces Φ · B tambi´en es fundamental. Adem´ as fijada una matriz fundamental Φ, cualquier otra es de la forma Φ · B, para alguna B constante no singular. La soluci´ on de (4.6) que satisface φ(t0 ) = p, para un t0 ∈ I y p ∈ Kn es φ(t) = Φ(t) · Φ−1 (t0 ) · p, entendiendo p como vector columna. Ejercicio 4.3.3 Demostrar que si K = R y Φ es una matriz fundamental real de (4.6), entonces el grupo uniparam´etrico del campo E asociado a (4.6) es X[t, (r, p)] = (t + r, Φ(t + r) · Φ−1 (r) · p).

Proposici´ on 4.9 Si Φ es una soluci´ on de (4.7) y t ∈ I [det Φ(t)]0 = traz A(t) · det Φ(t). Demostraci´ on. que 0 ϕ11 ϕ21 0 [det Φ] = . .. ϕn1

Si Φ = (ϕij ), entonces se demuestra por inducci´on ϕ012 ϕ22 .. .

··· ··· .. .

ϕn2

···

ϕ11 ϕ01n ϕ21 ϕ2n .. + · · · + .. . . ϕ0 ϕnn

n1

ϕ12 ϕ22 .. .

··· ··· .. .

ϕ0n2

···

ϕ1n ϕ2n .. . 0 ϕ nn

217

4.3. Estructura de las soluciones

ahora bien se sigue de (4.7) que ϕ0ij =

n X

aik ϕkj ,

k=1

y por tanto para cada i n X

(ϕ01 , . . . , ϕ0n ) =

aik (ϕk1 , . . . , ϕkn ),

k=1

por lo que tendremos que a11 ϕ11 a11 ϕ12 ϕ21 ϕ22 0 [det Φ] = . .. . . . ϕn1 ϕn2

··· ··· .. .

a11 ϕ1n ϕ2n .. + · · · + . ϕnn

··· ϕ11 ϕ21 + . .. ann ϕn1

ϕ12 ϕ22 .. .

··· ··· .. .

ann ϕn2

···

ann ϕnn ϕ1n ϕ2n .. .

= traz A · det Φ. Corolario 4.10 Si A es real y Φ es una soluci´ on de (4.6), tal que para t0 ∈ I, el det[Φ(t0 )] = a + bi, entonces Rt

det[Φ(t)] = e

t0

traz A(s)ds

(a + bi).

Nota 4.11 Una demostraci´ on alternativa de (4.8) es: Si Φ es fundamental, entonces en I, Φ0 = A · Φ, por tanto (Φ · B)0 = A · Φ · B, es decir que Φ · B es soluci´ on de (4.7). Adem´ as como en I, det(Φ · B) = det Φ · det B 6= 0, tenemos que Φ · B es fundamental. Sean ahora Φ y Ψ fundamentales y definamos en I, B = Φ−1 · Ψ. Entonces Φ · B = Ψ y A · Ψ = Ψ0 = (Φ · B)0 = Φ0 · B + Φ · B0 = A · Φ · B + Φ · B0 = A · Ψ + Φ · B0 ,

218

Tema 4. Campos tangentes lineales

por tanto Φ · B0 = 0, y como las columnas de Φ son independientes para cada t, tendremos que las columnas de B0 son nulas para cada t, y por tanto B es constante. Nota 4.12 Observemos que: a) Si Φ es fundamental y B es constante, B · Φ no es fundamental en general. b) Dos sistemas homog´eneos distintos no pueden tener una matriz fundamental com´ un, pues esta lo determina ya que, A = Φ0 · Φ−1 . Recordemos que si Φ es fundamental para (4.6), entonces (Φ−1 )0 = −Φ−1 · Φ0 · Φ−1 = −Φ−1 · A, por tanto si llamamos Ψ = (Φ−1 )∗ , tendremos que (4.8)

Ψ0 = −A∗ · Ψ.

Definici´ on. Esto nos sugiere definir el nuevo sistema lineal, que llamaremos adjunto del sistema (4.6) al sistema (4.9)

φ0 (t) = −A(t)∗ · φ(t).

Obviamente el adjunto del adjunto de (4.6) es (4.6). Adem´as de (4.8) se sigue que si Φ es fundamental para (4.6), entonces (Φ−1 )∗ es fundamental para (4.9). Veremos qu´e campo tangente hay detr´as de esta ecuaci´ on en la lecci´ on (4.6). Proposici´ on 4.13 Si Φ es una matriz fundamental para (4.6), entonces Ψ lo es para (4.9) si y s´ olo si Φ∗ · Ψ es constante y no singular. Demostraci´ on. Como Φ∗−1 es fundamental para (4.9), se sigue de (4.7) que Ψ = Φ∗−1 · B, es fundamental para (4.9) si y s´olo si B es constante no singular. Corolario 4.14 Si A = −A∗ , entonces para cada matriz fundamental Φ de (4.6) se tiene que Φ∗ · Φ es constante, por tanto para cada soluci´ on φ de (4.6), k φ(t) k2 es constante.

4.3. Estructura de las soluciones

219

Ejemplo 4.3.1 Por ejemplo consideremos el sistema de R2  0     x (t) 0 1 x(t) = y 0 (t) −1 0 y(t) el cual corresponde al campo de los giros y

∂ ∂ −x , ∂x ∂y

que tiene a x2 + y 2 como integral primera, por lo que para cualquier soluci´ on (x(t), y(t)) x2 (t) + y 2 (t) = cte Ejemplo 4.3.2 Consideremos el sistema de R3    0   0 1 1 x(t) x (t) y 0 (t) = −1 0 −1 y(t) , −1 1 0 z(t) z 0 (t) que corresponde al campo (y + z)

∂ ∂ ∂ − (x + z) + (y − x) , ∂x ∂y ∂z

que tiene a x2 + y 2 + z 2 como integral primera.

4.3.2.

El sistema no homog´ eneo.

Consideremos ahora el caso no homog´eneo, es decir buscamos las soluciones de (4.10)

φ0 (t) = A(t) · φ(t) + b(t).

Si Φ es una matriz fundamental para (4.6), nos preguntamos si habr´ a alguna soluci´ on de (4.10) de la forma φ = Φ · Z, en cuyo caso tendr´ıa que verificarse  A·φ+b=A·Φ·Z +b φ0 = Φ0 · Z + Φ · Z 0 = A · Φ · Z + Φ · Z 0

220

Tema 4. Campos tangentes lineales

de donde se sigue que, b = Φ · Z 0, por tanto fijado un r ∈ I y definiendo Z t Z(t) = Φ−1 (s) · b(s)ds, r

tendremos que φ = Φ · Z, es la soluci´ on de (4.10) que verifica φ(r) = 0. Y si lo que queremos es la soluci´ on que satisface la condici´ on φ(r) = α ∈ Kn , entonces basta considerar la soluci´ on ψ de (4.6), que satisface ψ(r) = α y definir Z t φ(t) = ψ(t) + Φ(t) Φ−1 (s) · b(s)ds. r

Ejemplo 4.3.3 Vamos a resolver la ecuaci´ on y 0 + 2y = 2x, con la condici´ on y(0) = b Primero resolvemos ϕ0 +2ϕ = 0, es decir (log ϕ)0 = −2, que da ϕ = e−2x . La soluci´ on por tanto es y = zϕ, para z 0 ϕ = 2x; es decir Z z = 2x e2x = x e2x −(1/2) e2x +a, pues (x e2x )0 = e2x +2x e2x ; y en definitiva la soluci´on es y = zϕ = (x e2x −(1/2) e2x +a) e−2x = x + a e−2x −(1/2), siendo b = y(0) = a − 1/2.

4.4.

Reducci´ on de una EDL

Supongamos ahora que conocemos m soluciones de (4.6), φ1 , . . . , φm ∈ E[A], independientes, con 1 ≤ m < n. En tal caso podr´ıamos reducir nuestro sistema lineal a uno de orden n − m de la siguiente forma:

221

4.4. Reducci´ on de una EDL

Pongamos φi = (ϕji ) como vectores columna. Entonces como para cada t ∈ I, tenemos que rang(ϕji (t)) = m —pues podemos extender φ1 , . . . , φm a una base de E[A] y aplicar (4.7)—, entonces existe un menor de orden m en la matriz (ϕji (t)) —que por comodidad podemos suponer que es el formado por las m primeras filas— con determinante no nulo. Por continuidad se sigue que existe un entorno J ⊂ I, de t, para el que el mismo menor —que llamaremos Φ1 —, tiene determinante no nulo. Ahora nos olvidamos de I y nos quedamos con J. Consideremos la matriz —por columnas—, ∆ = (φ1 , φ2 , . . . , φm , em+1 , . . . , en )  φ11 φ12 ··· φ1m  φ21 φ · · · φ2m 22   .. .. .. . ..  . . . = φm+1,1 φm+1,2 · · · φm+1,m   . .. .. ..  .. . . . φn1 φn2 ··· φnm

0 0 .. .

··· ···

1 .. .

··· .. . ···

0

 0 0  ..  .  0  ..  . 1

donde las columnas ei son constantes, con todo 0 salvo en el lugar i que tienen un 1. Consideremos X(t) = ∆(t) · Y (t), entonces X es soluci´ on de (4.6) si y s´ olo si A · ∆ · Y = A · X = X 0, = ∆0 · Y + ∆ · Y 0 . Llamemos por comodidad    Φ1 0 A1 ∆= , A= Φ2 E A3

     A2 Φ1 Y1 , φ= , Y = , A4 Φ2 Y2

entonces  A · ∆ · Y = A · φ · Y1 +

A2 · Y2 A4 · Y2

∆0 · Y = φ0 · Y1 = A · φ · Y1 ,

 ∆·Y0 =



Φ1 · Y10 Φ2 · Y10 + Y20



222

Tema 4. Campos tangentes lineales

por tanto X = ∆ · Y es soluci´ on de (4.6) si y s´olo si     A2 · Y2 Φ1 · Y10 = A4 · Y2 Φ2 · Y10 + Y20 es decir Y satisface el sistema de ecuaciones Y10 = Φ−1 1 · A2 · Y2 , Y20 = A4 · Y2 − Φ2 · Y10 = = [A4 − Φ2 · Φ−1 1 · A2 ] · Y2 . Es decir el primer sistema de ecuaciones nos permite despejar las yj0 —para j = 1, . . . , m— en funci´ on de las ϕij las aij y las yk —para k = m+1, . . . , n—. Por tanto el segundo sistema queda como un sistema lineal de la forma n X

0 ym+1 =

bm+1,k yk ,

k=m+1

.. . n X

yn0 =

bnk yk ,

k=m+1

que es un sistema lineal de orden n − m.

4.5.

Exponencial de matrices

Para n = 1 y K = R, la soluci´ on de x0 = λx, verificando x(a) = b, es x(t) = be

Rt a

λ(s)ds

,

en particular para λ constante es x(t) = b e(t−a)λ . Nos preguntamos ahora si para n ∈ N y K = C esto tambi´en es cierto. Pero antes necesitamos saber como definir la exponencial de una matriz compleja.

4.5. Exponencial de matrices

223

Por E entenderemos la matriz unidad. Y por una serie de matrices entenderemos el l´ımite de sus sumas parciales, con la norma k A k = sup{k Ax k2 : k x k2 = 1}. Para esta norma se tiene que k A · B k ≤ k A k · k B k, y Mn (K) es un ´ algebra de Banach —cualquier otra norma matricial vale para lo que estamos viendo—. Recordando ahora que para cada x ∈ R, ex = 1 +

∞ X xm , m! m=1

podemos dar la siguiente definici´ on. Definici´ on. Para cada n ∈ N y para cada matriz A ∈ Mn (K), definimos la exponencial de A como eA = exp[A] = E +

∞ X Am . m! m=1

Se sigue que exp[A] est´ a bien definida pues las sumas parciales forman una sucesi´ on de Cauchy, ya que p+q p+q X X Am k A km k k≤ . m! m! m=p+1 m=p+1

Ejercicio 4.5.1 Demostrar que k eA k ≤ ekAk . Ejercicio 4.5.2 Demostrar que si A y B son matrices que conmutan, entonces eA+B = eA · eB , aunque en general eso no es cierto. Y que l´ım

t→0

etA −E = A. t

224

Tema 4. Campos tangentes lineales

Ejercicio 4.5.3 Dada una matriz A, demostrar que: a) exp[A] es no singular. b) (exp[A])−1 = e−A . c) Si P es no singular, entonces −1

= P · eA ·P−1 .

eP·A·P

En el siguiente resultado veremos que para ciertos sistemas lineales podemos dar una matriz fundamental a trav´es de la exponencial. Teorema 4.15 Sea A : I → Mn (K), continua y t0 ∈ I. Si la primitiva B de A para la que B(t0 ) = 0, satisface que AB = BA en todo I, entonces exp[B(t)] es diferenciable y satisface exp[B(t)]0 = A(t) · exp[B(t)] ,

exp[B(t0 )] = E.

Demostraci´ on. Consideremos la siguiente sucesi´on de curvas Φ0 (t) = E, y para m ≥ 1 Z

t

A(s) · Φm−1 (s)ds.

Φm (t) = E + t0

Como vimos en (4.3), se sigue que Φm converge uniformemente en cada compacto a una Φ, para la que se tiene Z t Φ(t) = E + A(s) · Φ(s)ds. t0

Ahora como A · B = B · A, se sigue f´ acilmente que que para m ∈ N [B(t)m ]0 = mA(t) · B(t)m−1 , o en forma integral que ´ B(t)m = m

Z

t

t0

Se sigue entonces que Φ0 (t) = E, Φ1 (t) = E + B(t),

A(s) · B(s)m−1 ds.

4.6. EDL con coeficientes constantes

225

.. . Φm (t) = E + B(t) +

B(t)2 B(t)m + ··· + , 2 m!

por lo tanto Φ(t) = exp[B(t)]. Ejercicio 4.5.4 Si Φ es una soluci´ on de (4.7), demostrar que para cada r, t ∈ I t

Z det[Φ(t)] = det[Φ(r)] · exp[

traz A(s)ds]. r

4.6.

EDL con coeficientes constantes

En esta lecci´ on estudiaremos el grupo uniparam´etrico de un campo lineal D ∈ D(E). En un sistema de coordenadas lineales xi tendremos que " n # " n # X X ∂ ∂ D= a1i xi + ··· + ani xi , ∂x ∂x 1 n i=1 i=1 y sus curvas integrales satisfacen la ecuaci´ on diferencial lineal φ0 = A · φ, que es (4.6) con A = (aij ) una matriz constante. Teorema 4.16 Dada una matriz constante A, se tiene que Φ(t) = etA es una matriz fundamental para el sistema lineal φ0 = A · φ. Demostraci´ on. Es una consecuencia inmediata de (4.15), pero en este caso la demostraci´ on se sigue sin dificultad del ejercicio (4.5.2), pues e(t+r)A = erA · etA y por tanto, cuando r → 0 Φ(t + r) − Φ(t) erA −E tA = · e → A · etA = Φ0 (t), r r

226

Tema 4. Campos tangentes lineales

y como det Φ(0) = 1 6= 0, tenemos por (4.7) que Φ es fundamental. Como consecuencia tenemos que el grupo uniparam´etrico de D es X : R × E → E,

X(t, p) = Φ(t) · p = etA ·p,

y es tal que los difeomorfismos Xt = etA : E → E, son isomorfismos lineales. Ejercicio 4.6.1 Rec´ıprocamente demostrar que si Xt : E → E es un grupo uniparam´etrico de isomorfismos lineales, entonces su generador infinitesimal es un campo tangente lineal.

Nota 4.17 Todo campo tangente lineal D, con grupo uniparam´etrico Xt , define un campo tangente lineal can´ onico E en E ∗ —realmente un campo lineal en cada espacio vectorial de tensores p, q, Tpq (E)—, cuyo grupo uniparam´etrico Yt est´ a definido de la forma siguiente para cada ω ∈ E∗ Yt : E ∗ → E ∗ ,

Yt [ω] : E → R ,

Yt [ω](x) = ω[X−t (x)],

para cada ω ∈ E ∗ . Si consideramos una base ei de E y su base dual xi y escribimos D y E en los correspondientes sistemas de coordenadas xi y vi —para ei ∈ E → vi ∈ E ∗∗ el isomorfismo can´ onico—, tendremos que     n n X X X X ∂ ∂   , E= bij vj  , D= aij xj  ∂xi ∂vi j=1 j=1 y para A = (aij ) y B = (bij ) se tiene que el coeficiente i, j de exp[tB] es Yt [xi ](ej ) = xi (X−t [ej ]), que es el coeficiente j, i de e−tA , de donde se sigue derivando y tomando el valor en 1 que B = −A∗ , es decir que la ecuaci´ on diferencial definida por E es la adjunta —ver (4.9)—, de la definida por D.

4.6. EDL con coeficientes constantes

227

Ejercicio 4.6.2 a) Demostrar que det[etA ] = et(traz A) . b) Calcular el volumen en el que se transforma el cubo definido por 0 y los vectores de la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), por el flujo del sistema lineal  0 φ0 = 1 8

3 a 0

 1 10  · φ, −a

en el instante t = 2. P c) La divergencia de un campo D = fi ∂i es div D =

n X ∂fi . ∂x i i=1

Demostrar el Teorema de Liouville para campos lineales: “La velocidad de dilataci´ on de un volumen B por el flujo Xt de un campo D en el instante 0, es la integral de la divergencia de D en el volumen”. Y demostrar que si la div D = 0 entonces el flujo conserva vol´ umenes. (Sol.) Ejercicio 4.6.3 Demostrar que si λ es un autovalor de A con autovector asociado v, entonces φ(t) = etλ v, es soluci´ on de φ0 = A · φ.

Nota 4.18 Debemos observar que, en el ejercicio anterior, aunque A sea real λ puede ser compleja, por tanto φ es una soluci´on compleja en general, pero su parte real y su parte imaginaria son soluciones reales. Nota 4.19 Si J es la matriz can´ onica de Jordan (ver 5.1 de la p´ag.281) asociada a A, entonces existe P no singular tal que A = P · J · P−1 , en tal caso tendremos que una matriz fundamental real Φ de φ0 = A · φ es −1 Φ(t) = etA = etP·J·P = P · etJ ·P−1 ,

228

Tema 4. Campos tangentes lineales

y por tanto tambi´en es fundamental —aunque en general compleja— Ψ(t) = P · etJ . Ahora bien J es una matriz diagonal por cajas Ji = λi E + D, para i = 1, . . . , r, de orden mi menor o igual que la multiplicidad de λi , donde D = (cij ) es de la forma ci,i−1 = 1 y cij = 0 en el resto. Y si mi = 1, entonces Ji = λi . Se sigue que etJ es diagonal por cajas   1 0 0 ··· 0  t 1 0 ··· 0     t2 t 1 · · · 0 tJi tλi tD tλi   e =e e =e  2  . . .. .. ..  .. . . . . .   tmi −1 t2 · · · t 1, (mi −1)! 2 y como consecuencia se tienen f´ acilmente los siguientes resultados. Proposici´ on 4.20 X es soluci´ on de φ0 = A · φ si y s´ olo si es de la forma X = PZ con Z de la forma   (m −1 etλ1 p1 1 (t)   ..   .    etλ1 p0 (t)     tλ1 1   e p1 (t)    ..  Z(t) =  .    tλ (mr −1  e r pr  (t)     ..    tλ . 0   e r pr (t)  etλr pr (t) donde los pi (t), para i = 1, . . . , r, son polinomios en t de grado menor o igual que mi − 1. Proposici´ on 4.21 La matriz fundamental Ψ(t) = P · exp{tJ} = (ψij ) de φ0 = Aφ, es de la forma ψij (t) = pij (t) etλk , si m0 + · · · + mk−1 < j ≤ m0 + · · · + mk para k = 1, . . . , r, m0 = 0 y donde los pij son polinomios de grado ≤ mk − 1.

4.7. Clasificaci´ on de campos lineales

229

A continuaci´ on daremos una importante aplicaci´on de la proposici´on (4.20). Corolario 4.22 Si los autovalores de A tienen parte real negativa (positiva), entonces para toda soluci´ on X de φ0 = Aφ se tiene l´ım X(t) = 0

t→∞

( l´ım k X(t) k= ∞). t→∞

Demostraci´ on. Las soluciones de φ0 = Aφ son de la forma X = PZ, con Z dada en (4.20), por tanto como P es invertible k P−1 k−1 · k Z(t) k ≤ k X(t) k ≤ k P k · k Z(t) k . Ahora bien si los autovalores de A tienen parte real negativa entonces Z(t) → 0 como consecuencia de (4.20) y de que tk eat → 0, para todo k y a < 0. Y si la tienen positiva k Z(t) k→ ∞, cuando t → ∞, porque eat → ∞ para a > 0. Rec´ıprocamente se tiene. Proposici´ on 4.23 Si las soluciones de φ0 = Aφ, satisfacen X(t) → 0 cuando t → ∞, entonces los autovalores de A tienen parte real negativa. Y si para toda soluci´ on X se tiene que k X(t) k→ ∞, cuando t → ∞, entonces las partes reales de todos los autovalores son positivas. Demostraci´ on. Supongamos que un autovalor de A, λi = a + ib, es tal que a ≥ 0 (a ≤ 0). Entonces la soluci´ on X = PZ de X 0 = AX, encontrada en (4.20), para pi = 1, pj = 0 si j 6= i, es tal que k Z(t) k = k eta k ≥ 1

(≤ 1),

para t > 0.

4.7.

Clasificaci´ on de campos lineales

Definici´ on. Diremos que dos campos lineales D, E ∈ D(E) son equivalentes, si existe una biyecci´ on h : E → E,

230

Tema 4. Campos tangentes lineales

que lleva el flujo de uno en el del otro, es decir para Xt e Yt sus respectivos grupos uniparam´etricos, si h ◦ Xt = Yt ◦ h. Diremos que son linealmente, diferenciablemente ´o topol´ ogicamente equivalentes si h es respectivamente un isomorfismo lineal, diferenciable o topol´ ogico. Consideremos dos campos lineales D, E ∈ D(E), con ecuaciones diferenciales asociadas en t´erminos de un sistema de coordenadas lineales xi X 0 = AX, Y 0 = BY, es decir que para A = (aij ) y B = (bij ) D=

n n X X ∂ aij xj ] [ ∂xi i=1 j=1

E=

n n X X ∂ bij xj ] [ ∂x i i=1 j=1

en estos t´erminos se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 4.24 a) D y E son linealmente equivalentes por h si y s´ olo si A y B son semejantes. Adem´ as la matriz de semejanza la define h. b) D y E son diferenciablemente equivalentes si y s´ olo si lo son linealmente. Demostraci´ on. Sabemos que D y E son diferenciablemente equivalentes si y s´ olo si h lleva D en E, es decir que para cada x h∗ Dx = Eh(x) . a) Si h es lineal y tiene matriz asociada H, entonces h∗ tambi´en tiene matriz asociada H. Entonces como las componentes de Dx son Ax y las de Eh(x) , BHx, tendremos que para cada x ∈ Rn h∗ (Dx ) = Eh(x)

⇒

HAx = BHx,

lo cual equivale a que HA = BH. b) Sea h difeomorfismo y consideremos que h∗ en 0 tiene matriz asociada H. Entonces como Xt (0) = 0, h∗ ◦ Xt∗ = Yt∗ ◦ h∗ , etA es la matriz asociada a Xt y a Xt∗ y etB la de Yt e Yt∗ , tendremos que H etA = etB H,

4.8. EDL con coeficientes peri´ odicos

231

y derivando en 0 obtenemos HA = BH. La clasificaci´ on topol´ ogica se sale del marco de lo explicado hasta ahora y no es elemental como las anteriores. Remitimos al lector al teorema (5.17), p´ ag.301, donde demostraremos el siguiente resultado. Proposici´ on 4.25 Si A y B no tienen autovalores imaginarios puros, entonces D y E son topol´ ogicamente equivalentes si y s´ olo si el n´ umero de autovalores con parte real positiva (negativa) es el mismo en A que en B.

4.8.

EDL con coeficientes peri´ odicos

Consideremos ahora el caso en que la matriz A es peri´odica, es decir que existe w ∈ R tal que para todo t ∈ R A(t + w) = A(t). Veremos que en este caso la matriz fundamental, aunque no es peri´odica, se puede poner como el producto de una matriz P de per´ıodo w, con una de la forma etD , con D constante. Para ello necesitamos probar la existencia de logaritmos de matrices no singulares. Lema 4.26 Dada una matriz B, constante y no singular, existe otra A tal que B = eA . Demostraci´ on. Basta probar que si B = PJP−1 , con J la matriz can´ onica de Jordan de B, entonces existe A tal que J = eA . J es una matriz diagonal por cajas J1 , . . . , Jr , siendo Ji = λi si λi es de multiplicidad 1 y en general Ji = λi E + Z, de orden mi menor o igual que la multiplicidad de λi , donde Z = (zij ) es de la forma zi,i+1 = 1 y en el resto zij = 0, y siendo los λi los autovalores de A. Basta entonces encontrar A diagonal por cajas A1 , . . . , Ar , de tal forma que eAi = Ji . Tomamos Ai = log λi , si mi = 1. Y para las Ji de la forma λE + Z = λ(E + µZ), con µ = 1/λ, basta encontrar Q tal que eQ = E + µZ, pues

232

Tema 4. Campos tangentes lineales

en ese caso podemos definir Ai = (log λ)E + Q y habr´ıamos terminado. Veamos que existe entonces Q = log(E + µZ). Por analog´ıa con (4.11)

log(1 + x) =

∞ X

(−1)n+1

n=1

xn , n

definimos ∞ X

Q=

(−1)n+1

n=1

k X (µZ)n = an (µZ)n , n n=1

y como la suma es finita, pues por las caracter´ısticas de Z, Zn = 0 para n ≥ mi tendremos que est´ a bien definida, siendo an = (−1)n+1 /n. Hay que demostrar ahora que eQ = E + µZ. Q2 Qk + ··· + 2 k! k k X X =E+ an (µZ)n +

eQ = E + Q +

n=1

+ ··· +

k X n=1

=E+

k X

n1

(µZ)n an1 an2 2 n=1 n1 +n2 =n ! X (µZ)n an1 · · · ank n! +···+n =n X

! +

k

dn (µZ)n ,

n=1

siendo d1 = 1 y di = 0 para i ≥ 2 pues 1 + x = elog(1+x) = 1 + [log(1 + x)] + =1+

∞ X

[log(1 + x)]2 + ··· 2

dn xn ,

n=1

como se ve teniendo en cuenta (4.11) y reordenando la serie para ponerla en t´erminos de las potencias de x —ver Apostol p.396—. Nota 4.27 Debemos observar que aunque B sea real A puede ser compleja. Sin embargo se puede probar que existe A real tal que eA = B2 . (ver Coddington–Levinson, p.107).

4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes

233

Teorema 4.28 Si A tiene per´ıodo w y Φ es fundamental, entonces: i) Ψ(t) = Φ(t + w) es fundamental. ii) Si X es una soluci´ on de (4.6), entonces Y (t) = X(t + w) tambi´en. iii Existe P no singular con per´ıodo w y D constante tales que Φ(t) = P (t) etD . Demostraci´ on. i) Ψ0 (t) = Φ0 (t + w) = A(t + w)Φ(t + w) = A(t)Ψ(t), y es fundamental pues det Ψ(t) = det Φ(t + w) 6= 0. iii) De (4.7) se sigue que existe Q constante no singular, tal que Ψ = ΦQ. Y de (4.26), que existe D constante tal que Q = ewD . Basta definir P (t) = Φ(t) e−tD . Nota 4.29 Para K = R se sigue —ver la nota (4.27)—, que si Φ es fundamental existe P real de per´ıodo 2w y D real constante, tales que Φ(t) = P(t) etD .

4.9.

EDL de orden n con coeficientes constantes

En esta lecci´ on consideraremos la ecuaci´ on diferencial (4.12)

f (n (t) + an−1 f (n−1 (t) + · · · + a1 f 0 (t) + a0 f (t) = g(t),

con los t´erminos a0 , . . . , an−1 constantes. Observemos que para la matriz y el vector  0 1 0 ··· 0  0 0 1 · · · 0   0 0 0 · · · 0  A= . . . .. . .. .. ..  .. .   0 0 0 ··· 1 −a0 −a1 −a2 · · · −an−1

        

  0  ..    b = . 0 g

234

Tema 4. Campos tangentes lineales

se tiene que 

 ϕ1 (t)   φ(t) =  ...  ϕn (t) es soluci´ on de φ0 (t) = A · φ(t) + b, si y s´ olo si f = ϕ1 es soluci´ on de (4.12)

4.9.1.

Caso homog´ eneo.

Estudiemos en primer lugar las soluciones del caso g = 0, es decir f (n (t) + an−1 f (n−1 (t) + · · · + a1 f 0 (t) + a0 f (t) = 0.

(4.13)

Consideremos el polinomio p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , entonces si por D entendemos el operador d/dt, tendremos que p(D)f = f (n (t) + an−1 f (n−1 (t) + · · · + a1 f 0 (t) + a0 f (t), ahora bien si la descomposici´ on de p en factores primos de C[x] es p(x) = (x − λ1 )m1 · · · (x − λr )mr , con los λi distintos, est´ a demostrado en los cursos de ´algebra que ker[p(D)] = ker[(D − λ1 )m1 ] ⊕ · · · ⊕ ker[(D − λr )mr ], por tanto si tenemos para cada i, una base de ker[(D−λi )mi ], tendremos una base de ker[p(D)] y por tanto de las soluciones de f (n (t) + an−1 f (n−1 (t) + · · · + a1 f 0 (t) + a0 f (t) = 0.

Por inducci´ on se demuestra f´ acilmente que (D − λ)m [eλt h] = eλt Dm h, por tanto (D − λ)m f = 0

⇔

Dm [e−λt f ] = 0

⇔

f = eλt q(t),

4.9. EDL de orden n con coeficientes constantes

235

para q polinomio de grado menor que m. Entonces una base para cada ker[(D − λi )mi ], viene dada por eλi t , t eλi t , . . . , tmi −1 eλi t , y por tanto una base de soluciones de (4.13) es eλ1 t , t eλ1 t , . . . , tm1 −1 eλ1 t , (4.14)

eλ2 t , t eλ2 t , . . . , tm2 −1 eλ2 t , ··· e

λr t

, te

λr t

, . . . , tmr −1 eλr t ,

donde λ1 , λ2 , . . . , λr , son las ra´ıces de p con multiplicidades m1 , . . . , mr . Para K = R, basta tomar la parte real y la imaginaria de estas funciones. (Observemos que aunque aparentemente se duplica el n´ umero de funciones, no es as´ı pues si λ es una ra´ız de p con parte imaginaria, su conjugada tambi´en es ra´ız de p. Nota 4.30 Observemos que si las ra´ıces λi de p son distintas, entonces toda soluci´ on de (4.13) es de la forma f = c1 etλ1 + · · · + cn etλn . Ejercicio 4.9.1 Resolver la ecuaci´ on y 00 + by = 0, para b ∈ R. ¿ Para qu´e valores de b existe una soluci´ on no trivial f satisfaciendo f (0) = f (L) = 0, con L > 0? Ejercicio 4.9.2 Resolver la ecuaci´ on y 000 + 3y 00 − 4y 0 = 0, que satisface y(1) = y 0 (1) = y 00 (1) = 1.

236

4.9.2.

Tema 4. Campos tangentes lineales

Caso no homog´ eneo.

Si ahora lo que queremos es encontrar las soluciones de (4.12), tomamos las n funciones f1 , . . . , fn de (4.14) y llamando     φ1 =   

f1 f10 f100 .. . (n−1





       , . . . , φn =     

f1

fn fn0 f100 .. . (n−1

      

fn

entonces como para i = 1, . . . , n las fi son independientes, tambi´en lo son las φi , por lo que la matriz con columnas Φ = (φ1 , . . . , φn ) es fundamental para φ0 = A · φ. En la lecci´ on 3 vimos que φ = ΦZ con   0  ..    Z 0 = Φ−1 · b = Φ−1  .  0 g es soluci´ on de φ0 = Aφ + b, por tanto si   z1 (t)   Z(t) =  ...  zn (t) tendremos que f (t) = f1 (t)z1 (t) + . . . + fn (t)zn (t), es soluci´ on de (4.12). Este m´etodo general precisa el c´ alculo de Ψ = Φ−1 e integrar Ψb, lo cual no es f´ acil en general. Sin embargo si la funci´on g es sencilla, en el sentido de que sus derivadas son del “mismo tipo” que ella, hay una forma alternativa para resolver el problema. Buscamos en primer lugar una soluci´ on general f1 del sistema homog´eneo (4.13), que satisfaga las condiciones iniciales que queramos, y una soluci´ on cualquiera f2 del no homog´eneo (4.12). Nuestra soluci´ on ser´ a f = f1 + f2 .

4.10. EDL de orden n. Wronskiano

237

Por ejemplo si g(t) es un polinomio, es natural buscar una f2 entre los polinomios del mismo grado que g. Si es g(t) = a sen(kt) + b cos(kt) es natural buscar f2 entre las funciones del mismo tipo, etc. Ejercicio 4.9.3 a) Encontrar la soluci´ on de la ecuaci´ on y 00 + 3y 0 − 4y = 3x + 2, que satisface las condiciones y(1) = y 0 (1) = 1. b) Resolver la ecuaci´ on y 00 − 4y = 2 e3x , que satisface las condiciones iniciales y(0) = y 0 (0) = 1. c) Resolver la ecuaci´ on y 00 + y = 2 cos (3x), que satisface las condiciones iniciales y(0) = y 0 (0) = 1.

4.10.

EDL de orden n. Wronskiano

Dadas a0 , . . . , an : I → K y g : I → K continuas, nos planteamos el problema de encontrar f : I → K tal que (4.15)

an (t)f (n (t) + · · · + a1 (t)f 0 (t) + a0 (t)f (t) = g(t).

Si en un subintervalo J de I, an (t) 6= 0, podemos considerar la matriz A(t) y el vector b(t) definidos de la forma   0 1 0 ··· 0   0 0 1 ··· 0     0 0 0 · · · 0   A(t) =  , .. .. .. . . . .   . . . . .    0  0 0 ··· 1 −a0 /an −a1 /an −a2 /an · · · −an−1 /an

238

Tema 4. Campos tangentes lineales

···

b(t) = 0

0

g/an


t

y tendremos que si φ(t) = ϕ1 (t) · · ·

ϕn (t)


t

es soluci´ on de φ0 (t) = A(t) · φ(t) + b(t), entonces f = ϕ1 es soluci´ on de (4.15) y rec´ıprocamente si f es soluci´on de (4.15), entonces     ϕ1 (t) f (t)  ϕ2 (t)      .. φ(t) =  .  =   .  ..  f (n−1 (t) ϕn (t) es soluci´ on de φ0 (t) = A(t) · φ(t) + b(t). Definici´ on. Llamaremos Wronskiano de f1 , . . . , fn : I → K, a la funci´ on    W[f1 , . . . , fn ](t) = det  

f1 f10 .. . (n−1

f1

f2 f20 .. .

··· ··· .. .

(n−1

···

f2

fn fn0 .. . (n−1

    

fn

Ejercicio 4.10.1 Demostrar que el conjunto de las soluciones de la ecuaci´ on diferencial an (t)f (n (t) + · · · + a1 (t)f 0 (t) + a0 (t)f (t) = 0, —que denotaremos Λf = 0—, forman un espacio vectorial de dimensi´ on n. Ejercicio 4.10.2 Dadas f1 , . . . , fn : I → K, demostrar que son equivalentes: a) Las fi son una base de soluciones de Λf = 0. b) Las     fn f1  f10   fn0      φ1 =  ..  , . . . , φn =  ..   .   .  (n−1 (n−1 f1 fn son una base de soluciones de φ0 = Aφ. c) Λfi = 0 y W[f1 , . . . , fn ](t) 6= 0 para alg´ un t ∈ I.

4.10. EDL de orden n. Wronskiano

239

Ejercicio 4.10.3 Consideremos la ecuaci´ on diferencial x3 y 000 − x2 y 00 + 2xy 0 − 2y = 0. a) Demuestra que f = x, g = x log x y h = x2 son soluciones en x > 0, independientes. b) Encuentra la soluci´ on que satisface las condiciones y(1) = 3, y 0 (1) = 2, 00 y (1) = 1.

Nota 4.31 Por otra parte dadas f1 , . . . , fn : I → K, con derivadas continuas hasta el orden n, verificando W[f1 , . . . , fn ](t) 6= 0, en I, existe una u ´nica ecuaci´ on lineal (4.15), con an = 1, (−1)n

W[f, f1 , . . . , fn ](t) = 0, W[f1 , . . . , fn ](t)

que tiene a las fi por soluci´ on.

4.10.1.

Ecuaci´ on de Euler.

La ecuaci´ on diferencial de Euler es a0 xn y (n + a1 xn−1 y (n−1 + · · · + an−1 xy 0 + an y = F (x), La cual puede ser reducida —en x > 0—, a una lineal con coeficientes constantes, haciendo el cambio x = et , pues se demuestra f´ acilmente que dx = x, dt

dy (j−1 = y (j x, dt

as´ı como dy dy dx = = y 0 x, dt dx dt d2 y dy 0 = x + y 0 x = y 00 x2 + y 0 x, 2 dt dt d3 y = y 000 x3 + 3y 00 x2 + y 0 x, dt3

240

Tema 4. Campos tangentes lineales

y por inducci´ on se tiene que para cada m ∈ N existen n1 , . . . , nm ∈ N tales que n1 = nm = 1 y dm y = y (m xm + nm−1 y (m−1 xm−1 + · · · + n2 y 00 x2 + y 0 x. dtm Ejercicio 4.10.4 Resolver las ecuaciones x3 y 000 + 3x2 y 00 + 6xy 0 = 0, (2x + 3)2 y 00 + (2x + 3)y 0 + 4y = 1.

4.11.

EDL de orden 2

Ejercicio 4.11.1 Consideremos la ecuaci´ on diferencial y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0. a) Demostrar que si f y g son soluciones suyas, la funci´ on Wronskiano W(x) = W[f, g](x) = f g 0 − gf 0 , satisface la ecuaci´ on W0 (x) + p(x)W(x) = 0, y por tanto vale W(x) = W(a) · e−

Rx a

p(t)dt

.

b) Demostrar que si f es una soluci´ on suya —que no se anula en un subintervalo J de I—, podemos encontrar otra soluci´ on g de la ecuaci´ on en J, resolviendo la ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden Rx

g 0 (x) =

f 0 (x) e− a p(t)dt g(x) + W(a) · . f (x) f (x)

Resolver esta ecuaci´ on y dar la expresi´ on general de las soluciones de la ecuaci´ on inicial. (Sol.) Ejercicio 4.11.2 Dada la ecuaci´ on diferencial x2 y 00 + xy 0 − y = 0, demostrar que f (x) = x es una soluci´ on, encontrar otra soluci´ on g independiente de f y la soluci´ on general.

4.11. EDL de orden 2

241

Ejercicio 4.11.3 Sean f y g soluciones independientes de y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0, demostrar que f tiene un cero entre cada dos ceros de g. (Sol.)

Teorema de comparaci´ on de Sturm 4.32 Sean f y g soluciones no triviales respectivamente de y 00 + p(x)y = 0 ,

y 00 + q(x)y = 0,

donde p(x) ≥ q(x), entonces: a) f tiene un cero entre cada dos ceros de g, a menos que p(x) = q(x) y f sea un m´ ultiplo constante de g. b) Si q ≤ 0, entonces ninguna soluci´ on g de la segunda ecuaci´ on puede tener mas de un cero. Demostraci´ on. a) Sea g(x1 ) = g(x2 ) = 0 y supongamos que f y g son positivas en (x1 , x2 ) —si no es as´ı las cambiamos de signo, pues −f y −g tambi´en son soluci´ on—, entonces W[f, g](x1 ) = f (x1 )g 0 (x1 ) ≥ 0,

W[f, g](x2 ) = f (x2 )g 0 (x2 ) ≤ 0,

pero esto es contradictorio con la hip´ otesis, ya que W[f, g]0 (x) = f (x)g 00 (x) − g(x)f 00 (x) = (p(x) − q(x))g(x)f (x) ≥ 0, en (x1 , x2 ), a menos que en este intervalo p = q y W[f, g](x) = 0, lo cual implica que f y g son soluciones de la misma ecuaci´on y son dependientes, es decir que existe una constante k tal que f = kg. b) Basta tomar p = 0 en (a) y observar que f = 1 es soluci´on de la primera ecuaci´ on. Definici´ on. Diremos que las funciones r, p y q definen una ecuaci´ on diferencial (4.16)

r(x)y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0,

exacta si existen funciones a(x) y b(x) tales que para cualquier funci´on f se verifica que rf 00 + pf 0 + qf = [af 0 + bf ]0 , y diremos que admiten un factor integrante v(x) si vr, vp y vq definen una ecuaci´ on diferencial exacta. A menudo diremos, abusando del lenguaje, que es la ecuaci´ on la que es exacta o admite un factor integrante.

242

Tema 4. Campos tangentes lineales

Nota 4.33 Observemos que si encontramos un factor integrante para (4.16), entonces resolverla se reduce a encontrar las soluciones de la ecuaci´ on lineal de primer orden a(x)f 0 + b(x)f = cte, por otra parte (4.16) es exacta si y s´ olo si rf 00 + pf 0 + qf = [af 0 + bf ]0 = af 00 + (a0 + b)f 0 + b0 f p = a0 + b,

⇔

r = a,

⇔

r00 − p0 + q = 0,

q = b0

de donde se sigue que v es un factor integrante de (4.16) si y s´olo si (4.17)

(vr)00 − (vp)0 + (vq) = 0 00

0

0

00

⇔

0

rv + (2r − p)v + (r − p + q)v = 0,

ecuaci´ on a la que llamaremos adjunta de (4.16). Obs´ervese que una ecuaci´ on y la adjunta de su adjunta coinciden. As´ı vemos que si encontramos una soluci´on v de (4.17) podemos encontrar una soluci´ on de r(x)y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = g(x), procediendo del siguiente modo: Primero buscamos a(x) y b(x) tales que vry 00 + vpy 0 + vqy = (ay 0 + by)0 , y despu´es resolvemos la ecuaci´ on lineal Z x a(x)y 0 + b(x)y = v(t)g(t)dt + A, x0

para cada constante A.

4.11.1.

Ecuaci´ on de Riccati.

La ecuaci´ on diferencial de Riccati es (4.18)

y 0 + R(x)y 2 + P (x)y + Q(x) = 0.

4.11. EDL de orden 2

243

Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales y 0 (x) = a1 (x)y + b1 (x)z, z 0 (x) = a2 (x)y + b2 (x)z, correspondiente al campo tangente D=

∂ ∂ ∂ + (a1 (x)y + b1 (x)z) + (a2 (x)y + b2 (x)z) , ∂x ∂y ∂z

el cual es invariante por el campo y

∂ ∂ +z , ∂y ∂z

y por tanto se simplifica en el sistema de coordenadas (x, u = z/y, v = log y) ∂ ∂ ∂ + (a1 + b1 u) − (−b2 u2 + (b1 − a2 )u + a1 ) , D= ∂x ∂v ∂u con lo cual nuestra sistema lineal de ecuaciones diferenciales se transforma en el sistema formado por v 0 = (a1 + b1 u), u0 = −b2 u2 + (b1 − a2 )u + a1 , si ahora encontramos una soluci´ on u de la segunda, que es de Riccati, entonces podemos resolver la primera con una simple integraci´on y por tanto habremos resuelto nuestra ecuaci´ on lineal inicial, pues su soluci´on ser´ıa y(x) = ev(x) , z(x) = u(x) ev(x) . Ejercicio 4.11.4 Consideremos la ecuaci´ on de Riccati (4.18). Demu´estrese que: a) Si y1 es una soluci´ on, entonces y es cualquier otra soluci´ on si y s´ olo si y − y1 = 1/u donde u es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial lineal u0 = (2Ry1 + P )u + R. b) Si y1 e y2 son soluciones, entonces cualquier otra soluci´ on y satisface, para una constante c R y − y2 = e R(y1 −y2 ) ·c. y − y1

244

Tema 4. Campos tangentes lineales

c) Si y1 , y2 , y3 son soluciones, entonces cualquier otra soluci´ on y est´ a definida para cada constante k por y − y2 y3 − y1 · = k. y − y1 y3 − y2

(Sol.)

Nota 4.34 Observemos que el resultado anterior nos dice que las soluciones de la ecuaci´ on de Riccati no son un espacio vectorial, como ocurre con las ecuaciones diferenciales lineales, sino que forman una recta proyectiva. Adem´ as el grupo uniparam´etrico τt asociado al campo D=

∂ ∂ − (R(x)y 2 + P (x)y + Q(x)) , ∂x ∂y

que lleva la recta x = x0 en la recta x = t + x0 —pues Dx = 1 lo cual implica que para cada p ∈ R2 , 1 = Dx[τp (t)] = (x ◦ τp )0 (t) y por tanto x[τt (p)] = t + x0 , para x0 = x(p)— define una proyectividad entre esas dos rectas, pues el apartado (c) del ejercicio anterior nos dice que las gr´ aficas (x, y(x)), de las soluciones de la ecuaci´on de Riccati, se intersecan con cualquier par de rectas x = x0 y x = t + x0 en pares de puntos correspondientes por una proyectividad y si y es la soluci´on de la ecuaci´ on de Riccati que satisface y(x0 ) = y0 , entonces para p = (x0 , y0 ) se tiene que τt [x0 , y(x0 )] = τp (t) = (t + x0 , y(t + x0 )). Por u ´ltimo vamos a dar la caracterizaci´ on de la ecuaci´on de Riccati en t´erminos de su campo tangente asociado D=

∂ ∂ + (R(x)y 2 + P (x)y + Q(x)) . ∂x ∂y

Es el u ´nico campo en D(I ×R) que verifica las siguientes propiedades: a) Dx = 1 para x : I × R → I, x(t, y) = t. b) D lleva funciones polin´ omicas en fibras de x en funciones polin´omicas en fibras de x, es decir conserva las funciones de la forma fn (x)y n + · · · + f1 (x)y + f0 (x), donde las fi son funciones arbitrarias de x. c) D se extiende a un campo tangente de D(I × P1 ), donde P1 es la recta proyectiva (es decir, el espacio de las rectas del plano que pasan por el origen, R ∪ {∞} ).

4.12. Otros m´ etodos para resolver EDL

245

Sea D=

∂ ∂ + [fn (x)y n + · · · + f1 (x)y + f0 (x)] , ∂x ∂y

un campo satisfaciendo esas propiedades y consideremos la coordenada z en P1 − {0}, que coincide con z = 1/y en el abierto P1 − {0, ∞} = R − {0}. Entonces Dz est´ a definida en (x, ∞) y podemos calcularla pues en I × (P1 − {0, ∞})   1 Dy Dz = D =− 2 y y n fn (x)y + · · · + f1 (x)y + f0 (x) =− y2 fn (x) f3 (x) = − n−2 − · · · − − f2 (x) − f1 (x)z − f0 (x)z 2 , z z y por continuidad tenemos que en el punto (x, ∞), en el que z = 0, podemos extender nuestro campo D si y s´ olo si f3 = · · · = fn = 0.

4.12.

Otros m´ etodos para resolver EDL

4.12.1.

M´ etodo de las potencias.

Dada una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n con coeficientes polinomios o funciones anal´ıticas an (x)f (n + · · · + a1 (x)f 0 + a0 (x)f = g(x),

246

Tema 4. Campos tangentes lineales

donde g es polin´ omica o anal´ıtica, buscamos una posible soluci´on anal´ıtica en un cierto intervalo que contiene al origen f (x) = f 0 (x) = f 00 (x) =

∞ X n=0 ∞ X n=1 ∞ X

cn xn ncn xn−1 , n(n − 1)cn xn−2 , . . .

n=2

y se sigue que de ser f soluci´ on, sus coeficientes quedar´ıan determinados al igualar los coeficientes de los dos desarrollos a los que da lugar la ecuaci´ on. Ejercicio 4.12.1 Determinar las soluciones en series de potencias de las siguientes ecuaciones diferenciales: y 00 + xy 0 = −y ,

4.12.2.

(x2 + 1)y 00 + xy 0 + xy = 0 ,

y 00 + 8xy 0 − 4y = 0.

(Sol.)

M´ etodo de Frobenius de las potencias.

Hay ecuaciones como y 00 +

2 0 y − y = 0, x

que no se pueden resolver por el m´etodo anterior, pues sus coeficientes no son funciones anal´ıticas en el origen, sin embargo observamos que tiene la soluci´ on 1 x2 x3 ex = (1 + x + + + · · · ), x x 2! 3! ´todo de Frobenius, que traesto nos sugiere, y en esto consiste el me temos de buscar soluciones de la forma f (x) = xr

∞ X n=0

cn xn =

∞ X

cn xn+r ,

n=0

con r < 0. Para un estudio mas detallado, remitimos al lector a la p.213 del Derrick–Grossman.

4.12. Otros m´ etodos para resolver EDL

4.12.3.

247

M´ etodo de la transformada de Laplace.

Definici´ on. Llamamos transformada de Laplace de una funci´on f continua de variable real a la funci´ on de variable compleja Z ∞ L(f )(z) = e−tz f (t)dt. 0

Se demuestra que si existen c, a ≥ 0 tales que, |f (t)| < c eat , para t ≥ 0, entonces L(f ) existe para todo z ∈ C, con Re z > a. Adem´as en este caso recuperamos la funci´ on f mediante la F´ ormula de inversi´ on, para F = L(f ) Z ∞ 1 f (t) = F (u + iv) e(u+iv)t dv, 2πi −∞ siendo u > a arbitrario. (Ver Kolmogorov–Fomin, p.492 ´o Apostol, p.476). Las propiedades m´ as importantes para nosotros de esta transformada son, la linealidad: L(af + bg) = aL(f ) + bL(g), y que transforma la derivaci´ on en una relaci´ on algebraica, es decir integrando por partes Z ∞ L(f 0 )(z) = e−tz f 0 (t)dt 0

= zL(f )(z) − f (0),

(4.19)

L(f 00 )(z) = zL(f 0 )(z) − f 0 (0) = z 2 L(f )(z) − zf (0) − f 0 (0). y por inducci´ on L(f (n )(z) = z n L(f )(z) − z n−1 f (0) − · · · − zf (n−2 (0) − f (n−1 (0). Esto nos permite utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes, an f (n + · · · + a1 f 0 + a0 f = g, pues aplicando la transformada a ambos miembros, an L(f (n ) + · · · + a1 L(f 0 ) + a0 L(f ) = L(g),

248

Tema 4. Campos tangentes lineales

se obtienen polinomios en z, p de grado n y q de grado ≤ n − 1, donde p(z) = an z n + · · · + a1 z + a0 , tales que q(z) + p(z)L(f ) = L(g), por tanto basta con buscar la funci´ on f cuya transformada es (4.20)

L(f ) =

L(g) − q . p

Las propiedades de la transformada de Laplace permiten, mediante c´ alculos directos, encontrar la transformada de ciertas funciones elementales como las trigonom´etricas, exponenciales, potenciales y sus combinaciones lineales. Esto permite resolver nuestro problema si nuestra expresi´ on (4.20), es alguna de ellas. Remitimos al lector interesado al Derrick–Grossman, p.251 y ss. No obstante veamos un ejemplo. Ejercicio 4.12.2 Resolver la ecuaci´ on diferencial y 00 − 4y = 0, con las condiciones iniciales y(0) = 1 e y 0 (0) = 2, por el m´etodo de la transformada de Laplace. (Sol.)

4.13.

La Ecuaci´ on de Bessel

La Ecuaci´ on de Bessel de orden p es (4.21)

x2 y 00 (x) + xy 0 (x) + (x2 − p2 )y(x) = 0.

´todo de Frobenius para resolverla. Vamos a utilizar el Me Supongamos que hay una soluci´ on del tipo r

y(x) = x

∞ X n=0

n

cn x =

∞ X n=0

cn xr+n ,

249

4.13. La Ecuaci´ on de Bessel

entonces como y 0 (x) = y 00 (x) =

∞ X

(r + n)cn xr+n−1 ,

n=0 ∞ X

(r + n)(r + n − 1)cn xr+n−2 ,

n=0

tendremos que sustituyendo en la ecuaci´ on y definiendo c−2 = c−1 = 0 ∞ X

(r + n)(r + n − 1)cn xr+n +

n=0

(r + n)cn xr+n +

n=0

+

∞ X

cn xr+n+2 −

∞ X

∞ X

p2 cn xr+n =

n=0

n=0

=

∞ X

[(r + n)(r + n − 1)cn + (r + n)cn + cn−2 − p2 cn ]xr+n = 0,

n=0

lo cual implica que para cada n = 0, 1, . . . (r + n)2 cn + cn−2 − p2 cn = 0, y para n = 0 (r2 − p2 )c0 = −c−2 = 0, por tanto r = ±p. Vamos a analizar el caso r = p. En este caso tenemos que (r2 + 2rn + n2 )cn + cn−2 = p2 cn

⇒

n(2p + n)cn = −cn−2 ⇒ −cn−2 , cn = n(2p + n) de donde, al ser c−1 = 0, se sigue que todos los coeficientes impares son nulos y los coeficientes pares n

c2n =

Y −c2n−2 = k2n c2(n−1) = k2i c0 , 2n(2p + 2n) i=1

para k2i =

(−1) (−1) = , 2i(2p + 2i) 4i(p + i)

250

Tema 4. Campos tangentes lineales

por tanto c2n =

n Y

k2i c0 =

i=1

4n n!(p

(−1)n c0 . + 1) · · · (p + n)

Ahora introduciendo la funci´ on Factorial Z Π : (−1, ∞) → R, Π(t) =

1

e−x xt dm,

(0,∞)

√ que es de clase infinito y verifica: Π(0) = 1, Π(−1/2) = π y que Π(t) = t · Π(t − 1) para t > −1; por tanto Π(n) = n!, para n ∈ N (ver Apuntes de Teor´ıa de la medida), tenemos que c2n =

(−1)n Π(p) c0 , 4n n!Π(p + n)

y nuestra funci´ on es y(x) =

∞ X

c2n xp+2n = c0

n=0

∞ X (−1)n Π(p) p+2n x , 4n n!Π(p + n) n=0

y para el caso en que p = m ∈ N y tomando c0 = 1/2m m!, tenemos la Funci´ on de Bessel de orden p = m Jm (x) = =

∞ 1 X (−1)n m! xm+2n 2m m! n=0 22n n!(m + n)! ∞  x m X

2

(−1)n  x 2n , n!(m + n)! 2 n=0

que est´ an definidas para todo x ∈ R, como se puede demostrar utilizando el criterio del cociente. Las funciones de Bessel verifican la siguiente f´ormula de recursi´on xJn+1 = 2nJn − xJn−1 , 1 Parece ser (ver Ivorra, p´ ag.283) que el descubridor de esta funci´ on fue Euler, siendo de Gauss la notaci´ on Π para ella y que es de Legendre la funci´ on Gamma, Γ(t) = Π(t − 1), Z Γ : (0, ∞) → (0, ∞), Γ(t) = e−x xt−1 dm, (0,∞)

que es la mas habitual.

4.13. La Ecuaci´ on de Bessel

251

y las siguientes igualdades (xn Jn )0 = xn Jn−1 , (x−n Jn )0 = −x−n Jn+1 . √ Haciendo el cambio u = y x, tenemos que y es soluci´on de la ecuaci´ on de Bessel (4.21) si y s´ olo si u es soluci´ on de   1 − 4p2 y(x) = 0, y 00 (x) + 1 + 4x2 y compar´ andola con y 00 + y = 0, tenemos por el Teorema de comparaci´ on de Sturm (4.32), p´ ag.241, que en el caso 1 1 = xf gdx, 0

pues, para n 6= m, yn e ym satisfacen Z 1 Z 1 Z 2 2 (αn2 − αm ) xyn ym dx = − xyn αm ym dx + 0

0 00 0 yn (xym + ym )dx −

=

Z

0 0 0 yn (xym ) dx

=

(xyn0 )0 ym dx

− 0

1 0 0 yn (xym ) dx +

=

1

Z

0

0 yn0 xym dx−

0

Z −

1 0 xyn0 ym dx −

Z

0

Z = =

(xyn00 + yn0 )ym dx

1

Z

0

Z

1

0 1

Z

xαn2 yn ym dx

0

1

Z

1

(xyn0 )0 ym dx =

0

1 0 (xym yn )0 dx −

0 0 ym (1)yn (1)

1

Z

1

(xyn0 ym )0 dx

0

− yn0 (1)ym (1) = 0,

para mas propiedades de estas funciones remitimos al lector interesado al libro de Watson.

4.14.

Algunas EDL de la F´ısica

En esta lecci´ on proponemos algunos problemas extra´ıdos del mundo cotidiano, que se plantean en t´erminos de ecuaciones diferenciales

253

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

lineales. Para ello usaremos los conceptos que habitualmente aparecen en los libros elementales de f´ısica, y los aplicaremos para resolver problemas “reales”. En particular estudiaremos problemas relacionados con la electricidad, y es por ello que hacemos una breve introducci´on sobre los fen´ omenos el´ectricos antes de meternos en el problema de los circuitos el´ectricos. Volveremos sobre el tema de la electricidad en la lecci´on 10.4.2, p´ ag.776 y siguientes en las que estudiaremos la Electrost´atica, en el contexto de la Ecuaci´ on de LaPlace y en el Tema 12, sobre Electromagnetismo, p´ ag.925, en el contexto de la Ecuaci´on de ondas.

4.14.1.

Problemas de mezclas.

Sean A y B dos tanques interconectados, en los que tenemos siempre 100 litros de una mezcla de agua con sal (salmuera), en el proceso que describimos a continuaci´ on: En el tanque A introducimos regularmente 6 litros de agua por minuto. De A extraemos regularmente 8 litros de salmuera por minuto que introducimos en B. De B extraemos regularmente 2 litros de salmuera por minuto que enviamos a A y extraemos tambi´en regularmente 6 litros de salmuera por minuto, que se env´ıan a un embalse. Si llamamos x1 (t), x2 (t) y x3 (t) respectivamente, a la cantidad de sal que hay en A, en B y en el embalse en el instante t, entonces se tiene el sistema x01 (t) =

2x2 (t) − 8x1 (t) , 100

x02 (t) =

8x1 (t) − 8x2 (t) , 100

x03 (t) =

6x2 (t) , 100

lo cual se sigue considerando que la cantidad de sal en el instante t + , para un  > 0 peque˜ no, en cualquiera de los tres lugares es la que hab´ıa en el instante t m´ as la que entr´ o durante el tiempo  y menos la que sali´ o durante ese tiempo y se hace tender  → 0.

4.14.2.

Problemas de muelles.

Consideremos una masa m unida a un muelle que se resiste tanto al estiramiento como a la compresi´ on, sobre una superficie horizontal que no produce fricci´ on en la masa cuando Figura 4.1. Muelle esta se desliza por ella y supongamos que la masa se mueve en los dos sentidos de una u ´nica direcci´on sobre

254

Tema 4. Campos tangentes lineales

un eje —que llamaremos x— y que en la posici´on de equilibrio la masa est´ a en la posici´ on x = 0. Denotaremos con x(t) la posici´on de la masa sobre este eje, en el instante t. De acuerdo con la Ley de Hooke si la masa se desplaza una distancia x de su posici´ on de equilibrio, entonces el muelle ejerce sobre ella una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, es decir que existe una constante k > 0, tal que Fr = −kx. Si suponemos que la masa est´ a sujeta a un amortiguador, el cual produce una fuerza sobre la masa que es proporcional (c > 0) a la velocidad de esta, tendremos que sobre la masa act´ ua tambi´en una fuerza Fa = −cx0 . Y si adem´ as tenemos un fuerza externa F que act´ ua sobre la masa tendremos que la fuerza total que act´ ua sobre ella es F + Fr + Fa , y que si denotamos con x(t) la posici´ on de la masa en el eje x, en el instante t, tendremos por la Ley de Newton que mx00 = F + Fr + Fa , es decir mx00 + cx0 + kx = F. Una situaci´ on aparentemente distinta surge cuando consideramos el muelle colgando de un techo, en ese caso habr´ıa que considerar tambi´en otra fuerza, la de gravedad y la ecuaci´ on ser´ıa mx00 + cx0 + kx − mg = F. Ahora bien el muelle se estirar´ a una cantidad s > 0 por la acci´on de la gravedad sobre la masa y como en esa posici´on el muelle est´a en equilibrio se sigue que mg = −Fr = ks, y por tanto para x = s + f , se tiene que f es soluci´on de mx00 + cx0 + kx = F.

255

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

Observemos que adem´ as f = 0 sigue siendo la posici´on de equilibrio de la masa. a) Movimiento libre sin amortiguaci´ on. Es el caso en que m, k > 0,

y

c = F = 0,

por tanto x satisface la ecuaci´ on r 00

x +

ω02 x

= 0,

para

ω0 =

k , m

en cuyo caso las soluciones son de la forma x(t) = A · cos[ω0 t] + B sen[ω0 t], y tomando α ∈ [0, 2π) tal que cos(α) = √

A A , = 2 C +B

sen(α) =

A2

−B , C

entonces x(t) = C[cos(α) cos(ω0 t) − sen(α) sen(ω0 t)] = C · cos(ω0 t + α), el cual es un movimiento peri´ odico, con amplitud = C,

periodo =

2π , ω0

frecuencia =

ω0 . 2π

b) Movimiento libre amortiguado. Es el correspondiente a m, c, k > 0

y

F = 0,

es decir

mx00 + cx0 + kx = 0.

En este caso tenemos que las ra´ıces del polinomio λ2 + 2pλ + ω02 , para p = c/2m son λ1 = −p +

q p2 − ω02 ,

λ2 = −p −

q

p2 − ω02 ,

256

Tema 4. Campos tangentes lineales

y las soluciones dependen del signo de p2 − ω02 =

k c2 − 4km c2 − = , 4m2 m 4m2

es decir de c2 − 4km. Primer Caso: c2 > 4km, es decir p > ω0 . En este caso λ1 y λ2 son

reales distintas y negativas, por tanto la soluci´on es de la forma x(t) = Aeλ1 t + Beλ2 t , para la que x(t) → 0 cuando t → ∞, presentando a lo sumo una oscilaci´ on. Segundo caso: c2 = 4km es decir, p = ω0 . Ahora λ1 = λ2 = −p y las

soluciones son x(t) = (A + Bt)e−pt , que como antes tiende a la posici´ on de equilibrio cuando t → ∞ con a lo sumo una oscilaci´ on. Tercer caso: c2 < 4km es decir, p < ω0 . En este caso λ1 y λ2 son

complejas conjugadas λ1 = −p + iω1 ,

λ2 = −p − iω1 ,

para ω1 =

q

ω02 − p2 ,

y las soluciones son x(t) = A Re (etλ1 ) + B Im (etλ1 ), = e−pt [A cos(tω1 ) + B sen(tω1 )], = C e−pt cos(tω1 + α), √ para A, B ∈ R, C = A2 + B 2 , α ∈ [0, 2π) y sen α =

−B , C

cos α =

A , C

las cuales representan oscilaciones, amortiguadas exponencialmente, en torno al punto de equilibrio. Aunque no es un movimiento peri´odico tiene frecuencia —n´ umero de oscilaciones por segundo—, que vale p ω02 − (c/2m)2 ω1 = , 2π 2π

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

257

que es menor que la frecuencia del mismo muelle sin el amortiguador ω0 , 2π y tiende a la posici´ on de equilibrio cuando t → ∞. c) Movimiento forzado sin amortiguaci´ on. Es el correspondiente a m, k > 0,

F 6= 0,

c = 0.

Nosotros estudiaremos el caso particular en que F (t) = F0 cos(ωt), por tanto nuestra ecuaci´ on es de la forma mx00 + kx = F0 cos(ωt), cuyas soluciones son suma de una soluci´ on particular de esta ecuaci´on y una de la ecuaci´ on homog´enea, que ya sabemos es de la forma y(t) = A · cos(ω0 t) + B · sen(ω0 t) = C · cos(ω0 t + α), para r ω0 =

k . m

Para encontrar una soluci´ on particular distinguiremos dos casos: Primer caso: Que ω 6= ω0 . Buscamos a ∈ R, para el que

z(t) = a · cos(ωt), sea soluci´ on de nuestra ecuaci´ on. Entonces z 0 = −a · ω sen(ωt), z 00 = −a · ω 2 cos(ωt), por tanto −maω 2 cos(ωt) + ka cos(ωt) = F0 cos(ωt),

258

Tema 4. Campos tangentes lineales

por lo tanto −maω 2 + ka = F0

⇒

a = a(ω) =

F0 F0 = , k − mω 2 m(ω02 − ω 2 )

y nuestra soluci´ on general es x(t) = y(t) + z(t), = A · cos(ω0 t) + B · sen(ω0 t) + a(ω) · cos(ωt), = C · cos(ω0 t + α) + a(ω) · cos(ωt). Antes de analizar el otro caso abrimos un par´entesis para comentar dos curiosos fen´ omenos.

El fen´ omeno de la pulsaci´ on. Consideremos la soluci´on particular x(0) = 2a(ω), x0 (0) = 0. En este caso tenemos que A = a(ω) y B = 0 y aplicando que 2 cos β cos γ = cos(β − γ) + cos(β + γ), la soluci´ on es x(t) = a(ω)[cos(ωt) + cos(ω0 t)], (ω0 + ω)t (ω0 − ω)t · cos , 2 2 (ω0 + ω)t , = A(t) cos 2 = 2a(ω) cos

donde

2F0 (ω0 − ω)t cos , m(ω02 − ω 2 ) 2 y si ω0 ' ω y por tanto ω0 −ω es peque˜ no en comparaci´ on con ω0 + ω, tendremos que en x(t), A(t) var´ıa lentamente en comparaci´ on con Figura 4.2. Pulsaci´ on (ω0 + ω)t , cos 2 que var´ıa r´ apidamente. Una oscilaci´ on como esta con una amplitud peri´ odica que var´ıa lentamente, presenta el fen´ omeno de la pulsaci´ on, que consiste en que el movimiento oscilatorio aparece y desaparece con una frecuencia de ω0 − ω . 2π A(t) =

259

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

Nota 4.35 Cuando una onda sonora alcanza un o´ıdo, produce en el t´ımpano una variaci´ on de la presi´ on del aire. Si y1 (t) = A · cos(ω1 t) ,

y2 (t) = A · cos(ω2 t),

son las contribuciones respectivas a la presi´ on que se produce en el t´ımpano por dos diapasones, entonces la presi´on total que el t´ımpano recibe viene dada por la superposici´ on de ambas y(t) = y1 (t) + y2 (t) = A · [cos(ω1 t) + cos(ω2 t)]. Si las frecuencias f1 = ω1 /2π y f2 = ω2 /2π de los diapasones difieren en mas de un 6 % de su valor promedio, entonces el o´ıdo distingue las dos notas con una peque˜ na diferencia de tono y “prefiere” la ecuaci´on anterior. Sin embargo si la diferencia es mas peque˜ na, entonces el o´ıdo no reconoce las dos notas y oye un sonido con una frecuencia media f = (f1 +f2 )/2 cuya amplitud var´ıa, no distinguiendo valores positivos de negativos en y(t) (los f´ısicos dicen que el o´ıdo act´ ua como un detector de ley cuadr´ atica), aunque oye c´ omo el sonido desaparece y vuelve a aparecer a intervalos regulares de frecuencia (ω1 − ω2 )/2π, llamada la frecuencia de pulsaci´ on. En este caso el o´ıdo “prefiere” la ecuaci´on (aunque sea la misma)   (ω1 − ω2 )t (ω1 + ω2 )t y(t) = 2A cos · cos . 2 2 Remitimos al lector interesado en esto a la p´agina 31 del tomo 3 del Berkeley Phisics Course. Ed.Reverte.

El fen´ omeno de la resonancia. Nuestra soluci´on general es para ω 6= ω0 x(t) = y(t) + z(t) = C · cos(ω0 t + α) + a(ω) · cos(ωt), para la cual se tiene otro curioso fen´ omeno. Cuanto mas pr´ oxima sea la frecuencia de la fuerza externa a la frecuencia natural del muelle, es decir ω de ω0 , mayores ser´ an las oscilaciones de nuestra soluci´on, pues estar´ an dominadas por a(ω) que se aproxima a ∞. En el caso en que ω = ω0 , decimos que la fuerza externa entra en resonancia con nuestro oscilador. A continuaci´ on analizamos este caso.

Figura 4.3. Resonancia

260

Tema 4. Campos tangentes lineales

Segundo caso: Que ω = ω0 . En este caso nuestra ecuaci´ on es

F0 cos(ω0 t), m y para encontrar una soluci´ on particular, como sabemos que no puede ser de la forma a cos(ω0 t), tendremos que buscar entre las de otro tipo mas general. Lo intentamos con z(t) = at sen(ω0 t) y hay soluci´on para a = F0 /2mω0 , por lo que las soluciones son de la forma x00 + ω02 x =

x(t) = y(t) + z(t) = C cos(ω0 t + α) +

F0 t sen(ω0 t), 2mω0

y las oscilaciones se hacen cada vez mayores debido a que z(t) tiene oscilaciones que crecen linealmente con el tiempo. Este es el caso por ejemplo de un coche parado al que empujamos hacia abajo y arriba en un vaiv´en que va al mismo ritmo que el coche, en ese caso el coche sube y baja cada vez mas. Tambi´en es el caso de un ni˜ no que est´ a columpi´ andose y se ayuda a s´ı mismo —u otro le empuja— para balancearse mas. Para que sea efectivo el empuj´on debe estar en resonancia con la frecuencia natural del columpio (con el ni˜ no sentado). En la pr´ actica cualquier sistema mec´ anico con poca amortiguaci´on puede ser destruido debido a vibraciones externas, si estas est´an en resonancia con el sistema. Por ejemplo hay cantantes de opera que han roto una copa de cristal al cantar, porque el sonido ten´ıa la frecuencia natural de la copa. En 1831 en Broughton (Inglaterra), una columna de soldados que pasaba por un puente marcando el paso, hizo que este se desplomara, probablemente porque el ritmo de sus pisadas entr´o en resonancia con alguna de las frecuencias naturales de la estructura del puente. Por eso actualmente se tiene la costumbre de romper el ritmo cuando se cruza un puente. Por esta raz´ on una de las cosas mas importantes en el dise˜ no de estructuras, es encontrar sus frecuencias naturales y eliminarlas o cambiarlas en funci´ on del uso que vaya a tener esa estructura, para que sea dif´ıcil entrar en resonancia con ellas. d) Movimiento forzado con amortiguaci´ on. Corresponde a m, k, c > 0,

F 6= 0,

nosotros estudiaremos el caso particular en que F (t) = F0 cos(ωt) por tanto nuestra ecuaci´ on es de la forma mx00 + cx0 + kx = F0 cos(ωt),

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

261

la cual tiene una soluci´ on general x = y + z, donde y es la soluci´on general de la homog´enea,√que hemos estudiado en b), y que depend´ıa de la relaci´ on entre c y 4km. En cualquier caso y(t) → 0, cuando t → ∞ y por tanto el comportamiento de x con el tiempo, depende del de la soluci´ on particular z. Busquemos entonces esta soluci´on particular intent´ andolo con z(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt), haciendo cuentas vemos que la soluci´ on es de la forma ω02 F0 z(t) = p 2 cos(ωt + α), k (ω0 − ω 2 )2 + 4p2 ω 2 por tanto si nuestro muelle tiene amortiguaci´ on c > 0, las oscilaciones est´ an acotadas por ω02 F0 g(ω) = p 2 , k (ω0 − ω 2 )2 + 4p2 ω 2 y la fuerza externa entra en resonancia con el sistema, cuando ω hace m´ axima a g(ω). Es f´ acil demostrar que este valor se alcanza en q ω1 = ω02 − 2p2 , siempre que ω02 ≥ 2p2 , en cuyo caso la frecuencia de resonancia es p (k/m) − (c2 /2m2 ω1 = , 2π 2π en caso contrario (ω02 < 2p2 ), no existe frecuencia de resonancia. Para un an´ alisis de esta frecuencia de resonancia, que no siempre existe, remitimos al lector interesado a la p´ agina 207 del libro de Ross, S.L. e) Movimiento de dos muelles. Por u ´ltimo vamos a considerar el problema del movimiento de dos muelles unidos: Sobre una superficie horizontal y lisa tenemos dos masas m1 y m2 unidas con sendos muelles —de un punto fijo P a m1 y de m1 a m2 —, de tal forma que los centros de gravedad de las masas y P est´an en l´ınea recta horizontal. Sean k1 y k2 , respectivamente, las constantes de los muelles.

262

Tema 4. Campos tangentes lineales

Representemos con x1 (t) el desplazamiento de m1 , respecto de su posici´ on de equilibrio, en el instante t, y con x2 (t) lo mismo pero de m2 . En estas condiciones se plantea el sistema de ecuaciones diferenciales lineales m1 x001 = −k1 x1 + k2 (x2 − x1 ), m2 x002 = −k2 (x2 − x1 ).

4.14.3.

Problemas de circuitos el´ ectricos.

Una propiedad fundamental de la carga el´ectrica es su existencia en dos variedades que por tradici´ on se llaman positiva y negativa y que est´ an caracterizadas por el hecho de atraerse las de distinta clase y repelerse las de la misma. Otra propiedad fundamental de la carga el´ectrica es que se puede medir y sorprendentemente aparece u ´nicamente en cantidades m´ ultiplos de una determinada carga, a la que se llama electr´on (e), el cual tiene carga negativa. Otras part´ıculas elementales como el prot´ on ´ o el positr´ on son positivas pero tienen la misma carga que el electr´ on. La unidad habitual para la carga el´ectrica es el culombio que es aproximadamente 6, 3 × 1018 e. Nuestro universo parece una mezcla equilibrada de cargas el´ectricas positivas y negativas y esto nos lleva a otra propiedad fundamental de la carga el´ectrica, que suele enunciarse ´ n de la carga: como Ley de la conservacio “la carga total —suma de la positiva y la negativa—, de un sistema aislado —en el que la materia no puede atravesar sus l´ımites—, es constante”. Cuando un alambre de cobre se mantiene aislado, sus electrones libres se desplazan por entre los ´ atomos, sin salirse del material, pero si conectamos ese alambre a los polos de una bater´ıa, los electrones libres se desplazan hacia el polo positivo, “atra´ıdos por una fuerza” que depende de la bater´ıa, que se llama fuerza electromotriz , que se mide en voltios (V) que denotaremos por E y que representa la cantidad de energ´ıa el´ectrica por unidad de carga. Esta fuerza provoca el desplazamiento de los electrones, los cuales llevan una carga que denotaremos con Q, que se mide en coulombios (C). A la variaci´ on de carga por unidad de tiempo, I = Q0 , en este desplazamiento, se llama corriente el´ectrica y se mide en amperios (A). Por un dipolo entenderemos un mecanismo el´ectrico con dos polos (a) y (b). Por uno de los cuales llega la corriente y por el otro sale. En general

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

263

denotaremos un dipolo con (ab). Los dipolos que aqu´ı consideramos son: bater´ıas, resistencias, inductancias y condensadores. Por un circuito el´ectrico entenderemos una serie de dipolos unidos por sus polos, a los que llamaremos nuR dos del circuito. Puede ser simple si F C en cada nudo concurren dos dipolos, o compuesto en caso contrario. Durante el funcionamiento del L circuito el´ectrico circula una corrienFigura 4.4. Circuito el´ ectrico te el´ectrica que pasa por todos los dipolos, producida por una fuerza electromotriz. El estado el´ectrico de cada dipolo (ab) queda caracterizado en cada instante t por dos cantidades: i.- La intensidad de corriente Iab = Q0ab que va del polo a al b. ii.- La ca´ıda de tensi´ on (´ o de voltaje) Eab . Si la corriente va de a hacia b, entonces Iab es positiva, en caso contrario es negativa. Por su parte la ca´ıda de tensi´on est´a dada por Va (t) − Vb (t), la diferencia de los potenciales correspondientes a los polos a y b. Por tanto se tiene que Iab = −Iba ,

Eab = −Eba .

Ca´ıdas de tensi´ on e intensidad de corriente est´an relacionadas dependiendo del tipo de dipolo del que se trate: Bater´ıas.- Son dipolos que generan la fuerza electromotriz E y por tanto la corriente el´ectrica que circula. Su ca´ıda de tensi´on es −E. Resistencias.- Son dipolos que se oponen a la corriente y disipan energ´ıa en forma de calor. Existe una constante R, que se mide en Ohmios (Ω), de tal manera que la ca´ıda de tensi´ on verifica la llamada Ley de Ohm E(t) = RI(t). Inductancias.- Son dipolos que se oponen a cualquier cambio en la corriente. Para ellos existe una constante L, que se mide en Henris (H), de tal manera que E(t) = LI 0 (t). En el caso de que dos inductancias 1 = (ab) y 2 = (cd) est´en pr´oximas, aunque no formen parte del mismo circuito, existe un coeficiente de

264

Tema 4. Campos tangentes lineales

inducci´ on M , tal que en vez de la ecuaci´ on anterior se tiene el siguiente sistema E1 (t) = L1 I10 (t) + M I20 (t), E2 (t) = M I10 + L2 I20 (t). Condensadores.- Son dipolos que acumulan carga, al hacerlo se resisten al flujo de carga produciendo una ca´ıda de tensi´on proporcional a la carga Q(t) = cE(t), donde c es una constante que se mide en Faradays (F). A parte de estas relaciones se tiene que en un circuito el´ectrico son v´ alidas las dos leyes siguientes, llamadas: Primera Ley de Kirchhoff.- La suma de ca´ıdas de voltaje alrededor de cada circuito cerrado es cero. Es decir si en un circuito tenemos dipolos (ai , ai+1 ), para i = 1, . . . , n, y an = a1 , entonces E12 + E23 + · · · + En1 = 0, lo cual es una consecuencia de ser la ca´ıda de tensi´on una diferencia de potencial. Segunda Ley de Kirchhoff.- La suma de las corrientes que entran en cualquier nodo del circuito es cero. Es decir que si en un circuito tenemos dipolos (ai , a0 ), para i = 1, . . . , n, es decir con un nudo a0 com´ un, entonces I10 = I02 + · · · + I0n , lo cual significa que la corriente que llega a un nudo es igual a la que sale. Ejercicio 4.14.1 Consideremos un circuito con una fuente de alimentaci´ on que genera una fuerza electromotriz constante de E = 1000 voltios, una resistencia de R = 100Ω, una inductancia de L = 1H y un condensador de C = 10−4 F. Suponiendo que en el condensador la carga y la intensidad de corriente fuesen nulas en el instante 0, hallar la intensidad de corriente en todo momento.

265

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

4.14.4.

Las leyes de Kepler.

Consideremos una part´ıcula de masa m en el plano con coordenadas (x, y), cuya posici´ on viene determinada por

X(t) e2(t)

e1(t)

q(t)

Figura 4.5. Part´ıcula en movimiento

X(t) = r(t)e1 (t),

donde e1 (t) = (cos θ(t), sen θ(t)) y θ(t) es el ´ angulo (respecto del semieje x > 0), en el que se encuentra la part´ıcula. Si definimos e2 (t) = (− sen θ(t), cos θ(t)), tendremos que e1 y e2 son ortogonales en todo instante y satisfacen las relaciones e01 = θ0 e2 , e02 = −θ0 e1 . La velocidad de la part´ıcula m en cada instante t vendr´a dada por V (t) = X 0 (t) = r0 (t)e1 (t) + r(t)θ0 (t)e2 (t), y su aceleraci´ on por A(t) = V 0 (t) = X 00 (t), = [r00 − r(θ0 )2 ]e1 + [2r0 θ0 + rθ00 ]e2 . Sea ahora F = f1 e1 + f2 e2 la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula m, entonces por la segunda ley de Newton tendremos que F = mA, es decir (4.22)

m[r00 − r(θ0 )2 ] = f1 , m[2r0 θ0 + rθ00 ] = f2 .

Supongamos ahora que en el origen del plano hay otra part´ıcula, que esta es la u ´nica que ejerce una fuerza sobre m y que esta fuerza tiene la direcci´ on del segmento que las une. En tal caso tendremos que f2 = 0 y por tanto 2r0 θ0 + rθ00 = 0, (4.23)

⇒

2rr0 θ0 + r2 θ00 = 0,

⇒

[r2 θ0 ]0 = 0

⇒

r2 θ0 = w, (=cte.)

266

Tema 4. Campos tangentes lineales

Supongamos que w > 0, en tal caso θ es creciente y establece un difeomorfismo entre el tiempo y el ´ angulo que forma la part´ıcula con el eje x en ese tiempo. Sea a(t) el ´ area recorrida por m desde X(0) hasta X(t), vista desde el origen, es decir 1 a(t) = 2

(4.24)

Z

θ(t)

ρ2 (θ)dθ,

0

donde ρ ◦ θ = r, entonces se tiene por (4.23) que a0 (t) =

1 2 0 w r θ = , 2 2

y se sigue que a(t1 ) − a(t0 ) =

(4.25)

w (t1 − t0 ), 2

Segunda ley de Kepler.- “El radio vector del sol a un planeta recorre ´ areas iguales en tiempos iguales”. X(t') X(t+r) X(t) X(t'+r)

Figura 4.6. Segunda Ley de Kepler

Si ahora suponemos de acuerdo con la ley de la gravedad de Newton, que GM m F =− e1 , r2 tendremos por (4.22) que para k = GM r00 − rθ02 = −

(4.26)

k , r2

Definamos ahora z = 1/r, entonces por (4.23) dr dz 1 dz dθ 1 dz =− =− = −w , dt dt z 2 dθ dt z 2 dθ 0 2 2 dr dθ d z d z r00 = = −w 2 θ0 = −w2 z 2 2 , dθ dt dθ dθ r0 =

267

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

por lo que (4.26) queda de la forma k d2 z + z = 2, dθ2 w que es lineal y cuya soluci´ on es z = B1 sen θ + B2 cos θ + = B cos(θ + α) +

k , w2

k , w2

p donde B = B12 + B22 , B1 /B = − sen α y B2 /B = cos α. Ahora si giramos el plano para que α = 0, tendremos que para A = b w2 /k y e = Bw2 /k d

r = ρ(θ) =

A , 1 + e cos θ

a a

que es la ecuaci´ on polar de una c´ oniFigura 4.7. 1 a Ley de Kepler ca, la cual es una elipse una hip´erbola o una par´ ´ abola seg´ un sea e < 1, e > 1 o e = 1. As´ı, como los planetas se mantienen en el sistema solar —basta ´ observar que el planeta vuelve a una posici´ on dada despu´es de un tiempo, que es el a˜ no del planeta—, se tiene la: Primera ley de Kepler.- “Las ´ orbitas de los planetas son elipses y el sol est´ a en uno de sus focos”. Se puede ver sin dificultad (ver la pag.131 del Simmons y nosotros lo veremos m´ as adelante en la p´ ag.406), que la excentricidad vale r 2w2 e = 1 + 2 E, k donde E es la energ´ıa total del sistema, que es constante a lo largo de la ´ orbita (ver la p´ ag.404 y siguientes) —esto es el principio de la conservaci´ on de la energ´ıa—, y por tanto la ´ orbita de m es una elipse una par´ abola ´ o una hip´erbola, seg´ un sea la energ´ıa negativa, nula ´o positiva. Consideremos ahora el caso en que la ´ orbita es una elipse de la forma y2 x2 + = 1, a2 b2

(ver Fig.4.7)

268

Tema 4. Campos tangentes lineales

En tal caso como ρ(0) =

A , 1+e

ρ(π) =

A , 1−e

tendremos que ρ(π) + ρ(0) A = , 2 1 − e2 Ae ρ(π) − ρ(0) = = ae, d= 2 1 − e2

a=

por lo que 1 − e2 = 1 −

d2 b2 = , a2 a2

y por tanto Aa2 ⇒ b2 = Aa. b2 De aqu´ı se sigue que si T es el tiempo que m tarda en dar una vuelta a lo largo de su ´ orbita, entonces como el ´ area de la elipse es πab se sigue de (4.25) que a=

πab =

wT 2

⇒

T2 =

4π 2 Aa3 4π 2 3 a , = 2 w k

y puesto que k = GM , tendremos la Tercera ley de Kepler.- “Los cuadrados de los per´ıodos de revoluci´ on de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias”. Ejercicio 4.14.2 Demostrar que las tres leyes de Kepler, implican que m es atra´ıda hacia el sol con una fuerza cuya magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre m y el sol. 2 Ejercicio 4.14.3 Demostrar que la velocidad V de un planeta en cualquier punto de su o ´rbita est´ a dada, en m´ odulo, por   1 2 − . v2 = k r a 2 Este fue el descubrimiento fundamental de Newton, porque a partir de ´ el propuso su ley de la gravedad e investig´ o sus consecuencias.

4.14. Algunas EDL de la F´ısica

269

Ejercicio 4.14.4 Supongamos que la tierra explota en fragmentos que salen disparados a la misma velocidad (con respecto al sol) en diferentes direcciones y en o ´rbitas propias. Demostrar que todos los fragmentos —sin contar los fragmentos que van hacia el sol— se reunir´ an posteriormente en el mismo punto si la velocidad no es muy alta. Calcular esa velocidad a partir de la cual todos los fragmentos se van para siempre...

270

Tema 4. Campos tangentes lineales

4.15.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 4.6.2.- a) Demostrar que det[etA ] = et(traz A) . b) Calcular el volumen en el que se transforma el cubo definido por 0 y los vectores de la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), por el flujo del sistema lineal  0 φ0 = 1 8

3 a 0

 1 10  · φ, −a

en el instante t = 2. P c) La divergencia de un campo D = fi ∂i es div D =

n X ∂fi . ∂x i i=1

Demostrar el Teorema de Liouville para campos lineales: “La velocidad de dilataci´ on de un volumen B por el flujo Xt de un campo D en el instante 0, es la integral de la divergencia de D en el volumen”. Y demostrar que si la div D = 0 entonces el flujo conserva vol´ umenes. Indicaci´ on.- c) La medida de Lebesgue m es la u ´nica medida definida en los borelianos del espacio, que es invariante por traslaciones, en el sentido de que cualquier otra es de la forma µ = cm, para c ≥ 0. Si nosotros tenemos una transformaci´ on lineal F : R3 → R3 , entonces podemos definir la medida en los borelianos de este espacio µ(B) = m[F (B)], la cual es invariante por traslaciones, por tanto existe c ≥ 0 tal que para todo boreliano B, m[F (B)] = cm(B). En particular para Q el cubo unidad tendremos que m(Q) = 1 y m[F (Q)] = det(F ) = c, por lo que para todo B m[F (B)] = det(F )m(B), y si la ecuaci´ on que define D es φ0 = Aφ, entonces div(D) = traz(A), y cada boreliano B se transforma —por la acci´ on del grupo— en un boreliano con volumen V (t) = m[Xt (B)] = det(Xt ) · m(B) = det(etA ) · m(B) = et traz A ·m(B) y V 0 (0) = traz(A)m(B).

271

4.15. Ejercicios resueltos

Nota 4.36 En general el teorema de Liouville se sigue de que Z Z V (t) = ω= Xt∗ ω Xt (B) B Z Z Xt ω − ω V 0 (0) = l´ım = DL ω t B B Z = div(D)ω. B

Ejercicio 4.11.1.- Consideremos la ecuaci´ on diferencial y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0. a) Demostrar que si f y g son soluciones suyas, la funci´ on Wronskiano W(x) = W[f, g](x) = f g 0 − gf 0 , satisface la ecuaci´ on W0 (x) + p(x)W(x) = 0, y por tanto vale W(x) = W(a) · e−

Rx a

p(t)dt

.

b) Demostrar que si f es una soluci´ on suya —que no se anula en un subintervalo J de I—, podemos encontrar otra soluci´ on g de la ecuaci´ on en J, resolviendo la ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden Rx

g 0 (x) =

f 0 (x) e− a p(t)dt g(x) + W(a) · . f (x) f (x)

Resolver esta ecuaci´ on y dar la expresi´ on general de las soluciones de la ecuaci´ on inicial. Indicaci´ on.- La soluci´ on general es Z x dt Af (x) + Bf (x) . Rt 2 a f (t) exp( a p(s)ds)

Ejercicio 4.11.3.- Sean f y g soluciones independientes de y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0, demostrar que f tiene un cero entre cada dos ceros de g. Indicaci´ on.- Util´ıcese que W[f, g] no se anula en ning´ un punto y por tanto es constante en signo.

272

Tema 4. Campos tangentes lineales

Ejercicio 4.11.4.- Consideremos la ecuaci´ on de Riccati y 0 + R(x)y 2 + P (x)y + Q(x) = 0. Demu´estrese que: a) Si y1 es una soluci´ on, entonces y es cualquier otra soluci´ on si y s´ olo si y − y1 = 1/u donde u es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial lineal u0 = (2Ry1 + P )u + R. b) Si y1 e y2 son soluciones, entonces cualquier otra soluci´ on y satisface, para una constante c R y − y2 = e R(y1 −y2 ) ·c. y − y1 c) Si y1 , y2 , y3 son soluciones, entonces cualquier otra soluci´ on y est´ a definida para cada constante k por y − y2 y3 − y1 · = k. y − y1 y3 − y2 Soluci´ on.- b) Si y1 e y2 son soluciones, entonces por (a) cualquier otra soluci´ on y define u1 = 1/(y − y1 ) y u2 = 1/(y − y2 ) soluciones respectivamente de, u01 = (2Ry1 + P )u1 + R ,

u02 = (2Ry2 + P )u2 + R,

de donde se sigue que  0 u0 u2 − u1 u02 u1 = 1 u2 u22 (2Ry1 + P )u1 u2 + Ru2 − (2Ry2 + P )u1 u2 − Ru1 u22 u1 u1 u1 − u2 = 2R(y1 − y2 ) +R = R(y1 − y2 ) , u2 u22 u2

=

lo cual implica que

R y − y2 u1 = =e y − y1 u2

R(y1 −y2 )

·A.

Ejercicio 4.12.1.- Determinar las soluciones en series de potencias de las siguientes ecuaciones diferenciales: y 00 + xy 0 = −y ,

(x2 + 1)y 00 + xy 0 + xy = 0 ,

y 00 + 8xy 0 − 4y = 0.

Soluci´ on.- Ver las p´ aginas 208 − 210 del Derrick–Grossman.

Ejercicio 4.12.2.- Resolver la ecuaci´ on diferencial y 00 − 4y = 0, con las con0 diciones iniciales y(0) = 1 e y (0) = 2, por el m´etodo de la transformada de Laplace. Soluci´ on.- Como en general se tiene que Z ∞ L(f 0 )(z) = e−tz f 0 (t)dt = zL(f )(z) − f (0) 0

L(f 00 )(z) = zL(f 0 )(z) − f 0 (0) = z 2 L(f )(z) − zf (0) − f 0 (0)

4.15. Ejercicios resueltos

273

en este caso tendremos que 4L(y)(z) = [z 2 L(y)(z) − zy(0) − y 0 (0)] L(y)(z) =

1 z+2 = , z2 − 4 z−2

siendo esta la transformada de e2t . Ahora se comprueba que esta es soluci´ on de nuestra ecuaci´ on.

274

4.16.

Tema 4. Campos tangentes lineales

Bibliograf´ıa y comentarios

Los libros consultados en la elaboraci´ on de este tema han sido: Apostol, T.M.: “An´ alisis matem´ atico”. Ed. Revert´ e, 1972. Arnold, V.I.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, Moscou, 1974. Birkhoff, Garret and Rota, Gian–Carlo: “Ordinary differential equations”. John Wiley and Sons, 1978. Coddington and Levinson: “Theory of ordinary Differential Equations”. McGraw–Hill, 1955. Crawford, F.S.Jr.: “Ondas. Berkeley Phisics course. Vol.3 ”. Ed. Revert´ e. 1979. Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Fondo Educativo Interamericano, 1984. Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986. Flett: “Differential analysis”, Cambridge Univ. Press, 1980. Hartman, Ph.: “Ordinary differential equations”. Ed. Birkhauser. 1982. Hurewicz, W.: “Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias”. Ediciones RIALP, 1966. ˜oz Diaz, J.: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982. Mun Ross, S.L.: “Ecuaciones diferenciales”. Ed. Interamericana. 1982. Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´ oricas”. Ed. McGraw–Hill, 1977. Smale, S. and Hirsch, M.W.: “Ecuaciones diferenciales, sistemas din´ amicos y a ´lgebra lineal”. Alianza Univ., 1983. Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacional, 1983. Watson,G.N.: “A treatise on the Theory of Bessel Functions”. Cambridge Univ. Press, 1944.

La Ecuaci´ on de Bessel (ver la p´ ag.248) es una de las mas importantes de la f´ısica matem´ atica. Daniel Bernoulli (1700–1782) —el mas distinguido matem´ atico de la segunda generaci´on de la c´elebre familia suiza—, fue el primero en estudiar funciones de Bessel particulares, en relaci´ on con el movimiento oscilatorio de una cadena colgante. El f´ısico– matem´ atico suizo, Leonhard Euler tambi´en se encontr´o con ellas estudiando el movimiento de una membrana tensa (nosotros la estudiaremos en este contexto en la p´ ag.892). Mas tarde en 1817, las us´o el astr´onomo alem´ an Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), en el estudio del movimiento de tres cuerpos que se mueven por mutua atracci´on. Desde

4.16. Bibliograf´ıa y comentarios

275

entonces las funciones de Bessel se han encontrado al estudiar problemas de elasticidad, del movimiento de fluidos, de la teor´ıa del potencial, de la difusi´ on y propagaci´ on de ondas, etc. Remitimos al lector a la lecci´ on de la Ecuaci´ on de ondas bidimensional 11.2, p´ag.892. El siguiente comentario est´ a extra´ıdo de la p´agina 292 del libro de Edwards–Penney: “ Las transformadas de Laplace tienen una interesante historia. La integral que define la transformada de Laplace probablemente haya aparecido primero en un trabajo de Euler. Se acostumbra en Matem´ aticas dar a una t´ecnica o teorema el nombre de la siguiente persona despu´es de Euler que lo haya descubierto (de no ser as´ı, habr´ıa varios centenares de ejemplos diferentes que se llamar´ıan “Teorema de Euler”). En este caso la siguiente persona fue el matem´ atico franc´es Pierre Simon de Laplace (1749–1827) que empleo tales integrales en sus trabajos sobre Teor´ıa de la probabilidad. La t´ecnica operacional que lleva su nombre para la resoluci´ on de ecuaciones diferenciales y que se basa en la transformada de Laplace no fue explotada por el matem´ atico franc´es. De hecho, esta fue descubierta y popularizada por ingenieros pr´ acticos (en particular por el ingeniero electricista ingl´es Oliver Heaviside (1850–1925)). Estas t´ecnicas fueron exitosa y ampliamente aplicadas antes de que fueran justificadas rigurosamente y alrededor del comienzo del presente siglo su validez fue objeto de considerables controversias”.

El siguiente comentario est´ a extra´ıdo de la p´agina 128 del F. Simmons: “ Cuando el astr´ onomo dan´es Tycho Brahe muri´ o en 1601, su ayudante Johannes Kepler hered´ o numerosos datos en bruto sobre las posiciones de los planetas en diferentes ´epocas. Kepler trabaj´ o incansablemente con ese material durante 20 a˜ nos y, al fin, logr´ o extraer sus tres leyes, hermosas y simples, de los movimientos planetarios, que eran el cl´ımax de miles de a˜ nos de astronom´ıa observacional pura”.

Fin del Tema 4

276

Tema 4. Campos tangentes lineales

Tema 5

Estabilidad

5.1.

Introducci´ on

Dado un campo tangente completo D ∈ Dk (U ), en un abierto U de E, sabemos que su flujo X : R × U → U es de clase k, lo cual implica que la soluci´ on Xp , pasando por un punto p ∈ U , dista poco de Xq —la que pasa por q—, siempre que p y q est´en pr´ oximos y para valores del tiempo pr´ oximos a 0. La cuesti´ on que ahora nos ocupa es: ¿Bajo qu´e condiciones dos soluciones que en un instante determinado estuvieron “pr´oximas”, se mantienen “pr´ oximas” a lo largo del tiempo?. En este tema estudiaremos este problema ci˜ n´endonos particularmente a dos aspectos del mismo: El primero corresponde al estudio de las soluciones que pasan cerca de una soluci´ on constante en el tiempo, es decir de un punto singular del campo tangente. Es el caso del p´endulo —estudiado en la p´ ag.48—, en la posici´ on θ = 0, z = 0. El segundo corresponde al estudio de las soluciones que pasan cerca de una soluci´on peri´ odica, como ocurre con el p´endulo para casi todos los puntos (θ, z).

277

278

5.2.

Tema 5. Estabilidad

Linealizaci´ on en un punto singular

Sea U abierto de E en el que consideramos una base ei y su sistema de coordenadas lineales asociado xi . Consideremos un campo tangente D ∈ D(U ), D=

X

fi

∂ , ∂xi

y sea X : WD → U el grupo uniparam´etrico de D. En estos t´erminos se tiene que para cada p ∈ E = Rn y t ∈ I(p) Z Xi (t, p) = pi +

t

fi [X(s, p)]ds, 0

y por tanto

(5.1)

∂Xi (t, p) = δij + ∂xj

Z tX n ∂fi ∂Xk [X(s, p)] (s, p)ds. ∂xk ∂xj 0 k=1

Definici´ on. Diremos que p ∈ U es un punto singular, cr´ıtico o de equilibrio del campo D si Dp = 0. Si p ∈ U es singular para D, tendremos que Xt (p) = p para todo t ∈ R, por tanto podemos definir los automorfismos lineales Yt = Xt∗ : Tp (E) → Tp (E). Pero adem´ as Yt es un grupo uniparam´etrico de isomorfismos lineales lo cual nos permite dar la siguiente definici´ on, recordando que todos los espacios tangentes est´ an can´ onicamente identificados con E. Definici´ on. Llamaremos linealizaci´ on del campo D en el punto singular p al campo tangente lineal can´ onico que denotaremos L ∈ D(E), que tiene como grupo uniparam´etrico a Yt .

5.2. Linealizaci´ on en un punto singular

279

Veamos c´ omo est´ an definidos los automorfismos Yt : E → E, en t´erminos de las componentes del campo D. Para cada vector ei ∈ E de la base, tendremos que las componentes cij (t) del vector  ∂  Yt (ej ) = Xt∗ , ∂xj son  ∂  ∂xi ◦ Xt xi = (p) cij (t) = Xt∗ ∂xj p ∂xj ∂Xi = (t, p), ∂xj y por tanto se sigue de la ecuaci´ on (5.1) que para la matriz  ∂f  i A = (aij ) = (p) , ∂xj se tiene que c0ij (t) =

n X

aik ckj (t),

k=1

lo cual implica que la matriz Φ(t) = (cij (t)) asociada a Yt satisface Φ0 (t) = A · Φ(t), y por tanto Yt = Φ(t) = etA . Como consecuencia el campo linealizaci´ on de D en p vale   n n X X ∂  . L= aij xj  ∂x i i=1 j=1 Definici´ on. Sea p un punto singular de D, llamaremos exponentes caracter´ısticos de D en p, a los autovalores de la aplicaci´on lineal asociada a la linealizaci´ on de D en p (ver el tema de sistemas lineales), es decir en t´erminos de un sistema de coordenadas lineales xi , a los autovalores de la matriz  ∂f  i A= (p) . ∂xj Y diremos que p es hiperb´ olico si los exponentes caracter´ısticos de D en p no tienen parte real nula.

280

Tema 5. Estabilidad

Ejercicio 5.2.1 Calcular la linealizaci´ on y los exponentes caracter´ısticos del campo que define la ecuaci´ on del p´endulo θ0 (t) = z(t), g z 0 (t) = − sen θ(t), L en el (0,0). Ejercicio 5.2.2 Soltamos una bola en un cuenco con superficie dada por z = (ax2 + by 2 )/2. Encontrar la EDO que rige su movimiento (suponemos que la gravedad es el vector g = (0, 0, −1), demostrar que el origen con velocidad nula es un punto singular de la ecuaci´ on y encontrar su linealizaci´ on en ese punto. (Sol.)

5.3.

Estabilidad de puntos singulares

Definici´ on. Sea D ∈ D(U ) con grupo uniparam´etrico X y p ∈ U un punto singular de D. Diremos que p es estable —en el sentido de Liapunov—, si para cada entorno Up de p en U , existe otro Vp ⊂ Up , tal que para todo q ∈ Vp se tiene a) [0, ∞) ⊂ I(q), b) Xq (t) ∈ Up para todo t ≥ 0. en caso contrario diremos que p es inestable. Diremos que p es asint´ oticamente estable si es estable y Xq (t) → p, cuando t → ∞, para todo q ∈ Vp . Ejercicio 5.3.1 Demostrar que si p es un punto estable, entonces para todo entorno Up de p en U , existe otro Wp ⊂ Up , tal que para todo q ∈ Wp se tiene [0, ∞) ⊂ I(q) y Xq (t) ∈ Wp para todo t ≥ 0. (Sol.) Ejercicio 5.3.2 ¿En cual de los siguientes campos el origen es estable? −x2 ∂x1 + x1 ∂x2 + x4 ∂x3 − x3 ∂x4 , −x2 ∂x1 + x1 ∂x2 + (x2 + x4 )∂x3 − x3 ∂x4 , (x1 + 2x2 )∂x1 + (2x1 − 2x2 )∂x2 .

5.3. Estabilidad de puntos singulares

281

Ejercicio 5.3.3 Demostrar que el origen es un punto estable del campo en coordenadas polares ∂ 1 ∂ + ρ sen . (Sol.) ∂θ ρ ∂ρ

En esta lecci´ on vamos a dar un primer criterio, debido a Liapunov y que ya hemos demostrado para campos tangentes lineales, para encontrar puntos singulares asint´ oticamente estables de campos tangentes. Pero antes necesitamos dar una definici´ on y unos resultados previos. Definici´ on. Dada una aplicaci´ on lineal A : E → E en un espacio vectorial real E, de dimensi´ on finita, llamaremos radio espectral de A al m´ aximo de los m´ odulos de los autovalores de A, es decir al n´ umero positivo ρ(A) = m´ ax{|λ| : ∃x ∈ E − {0}, A(x) = λx}. En el resultado que enunciamos a continuaci´on —que se demuestra en los cursos de ´ algebra lineal—, se da la forma can´onica de una matriz real. Teorema de Jordan 5.1 Sea A : E → E una aplicaci´ on lineal en un espacio vectorial real E, de dimensi´ on n. Entonces existe una base respecto de la que la matriz de A es diagonal por cajas Ai , para i = 1, . . . , r, de orden mi , que son de una de las formas     λ 0 ··· 0 0 D 0 ··· 0 0 1 λ · · · 0 0  I D ··· 0 0     (1)  . . , (2)  . .  . . .. ..  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ··· I D 0 0 ··· 1 λ donde λ es un autovalor real y α + iβ complejo de A y     α −β 1 0 D= , I= . β α 0 1 Ejercicio 5.3.4 Sea A una matriz, de orden n, con todos los autovalores con parte real nula. Demostrar que el origen de Rn es un punto estable del campo definido por la ecuaci´ on X 0 = AX si y s´ olo si A es semisimple —es decir las cajas en su forma can´ onica de Jordan son de orden 1 para los autovalores reales y de orden 2 para los complejos.

282

Tema 5. Estabilidad

Ejercicio 5.3.5 Demostrar que el origen de Rn es un punto estable del campo definido por la ecuaci´ on X 0 = AX si y s´ olo si los autovalores λ de A, tienen Re λ ≤ 0 y A se expresa en una base como una matriz de la forma   A1 0 , 0 A2 donde los autovalores de A1 tienen parte real negativa y A2 es semisimple.

Lema 5.2 Sea A : E → E una aplicaci´ on lineal en un espacio vectorial real E, de dimensi´ on n. Entonces para cada  > 0 existe una base respecto de la que la matriz de A es diagonal por cajas Ai (), para i = 1, . . . , r, de orden mi , que son de una de las formas     D 0 ··· 0 0 λ 0 ··· 0 0 I D · · · 0 0    λ · · · 0 0     (1)  . . , (2)  . .  ..  . . . . . . . . ... . . .. ..  ..  ..  .. . 0 0 · · · I D 0 0 ···  λ donde λ es un autovalor real y α + iβ complejo de A y     α −β 1 0 D= , I= . β α 0 1 Demostraci´ on.- Aplicando el Teorema de Jordan existe una base e1 , . . . , en en E, en la que A se representa por una matriz diagonal por cajas Ai , para i = 1, . . . , r, de orden mi , que son de una de las formas descritas en dicho teorema. Obviamente el subespacio E1 de E, generado por e1 , . . . , en1 , correspondiente a la caja A1 , es invariante por A, ´ıdem para los Ei para i = 1, . . . , m. Basta demostrar el resultado para cada Ei , es decir podemos suponer que A consta de una sola caja. Supongamos que A es del tipo (1), es decir λI + Z es la matriz de A en la base e1 , . . . , en , para λ autovalor real de A. Ahora para cada  > 0 consideremos la base en e2 v1 = e1 , v2 = , . . . , vn = n−1 .   en la que A es λI + Z. Supongamos ahora que A es de la forma (2) en la base e1 , . . . , en , con n = 2r. Entonces basta considerar la nueva base para k = 1, . . . , r e2k−1 e2k v2k−1 = k−1 , v2k = k−1 ,   y el resultado se sigue.

5.3. Estabilidad de puntos singulares

283

Lema 5.3 Sea A : E → E una aplicaci´ on lineal en un espacio vectorial real E, de dimensi´ on n. a) Si para todo autovalor λ de A es a < Re λ < b, entonces existe un producto interior en E, tal que para todo x ∈ E − {0} a < < b . b) Para cada r > ρ(A), existe un producto interior con una norma asociada k · k, tal que k A k= m´ ax{k A(x) k: k x k= 1} < r. Demostraci´ on. a) En los t´erminos anteriores A(Ei ) ⊂ Ei , por tanto si para cada Ei encontramos una base cuyo producto interior asociado —para el que la base es ortonormal—, satisface el resultado, todas las bases juntas formar´ an una base en E que define un producto interior que satisface el resultado. P Pues en tal caso todo x ∈ E se puede expresar de modo u ´nico como xi , con los xi ∈ Ei y por tanto siendo ortogonales y verificando m X . = i=1

y el resultado se seguir´ıa sin dificultad. En definitiva podemos suponer que A consta de una sola caja. Supongamos que A es del tipo (1), entonces se sigue del resultado anterior que para cada  > 0 existe una la base vi en la que la matriz de A es λI + Z, donde Z es la matriz con 1’s debajo de la diagonal principal y el resto 0’s. Si consideramos el producto interior correspondiente, < vi , vj >= δij , tendremos que para cada x ∈ E y x() el vector columna de Rn de componentes las de x en la base vi , se tiene = x()t x(), = x()t (λI + Z)t x(), y por tanto

=λ+

y el resultado se sigue tomando  suficientemente peque˜ no pues por la desigualdad de Cauchy–Schwarz < Z(x), x > k Z(x) k2 < x, x > ≤ k x k2 ≤ k Z k2 = 1.

284

Tema 5. Estabilidad

Si A es de la forma (2) el resultado se sigue de forma similar al anterior. b) Como en el caso anterior basta hacer la demostraci´on para el caso de que A est´e formada por una u ´nica caja. Si es del tipo (1), entonces = [λ2i + f (, x)] , donde |f (, x)| ≤ k, para un k > 0. Y si es del tipo (2), entonces = x()t [Λ + Z2 ]t [Λ + Z2 ]x() = = [α2 + β 2 + F (, x)] , donde tenemos que |F (, x)| ≤ k, para un k > 0 y Λ = αI + βZ − βZt ,

Z2 = Zt2 = 0,

I = Zt Z + ZZt ,

y el resultado se sigue sin dificultad. Nota 5.4 La utilidad del resultado anterior queda de manifiesto en la siguiente interpretaci´ on geom´etrica del mismo: Consideremos un campo lineal   n n X X ∂  aij xj  L= , ∂x i i=1 j=1 es decir tal que en cada punto x ∈ E, las componentes de Lx son Ax, para A = (aij ).

Figura 5.1. Casos a > 0 y b < 0

El resultado nos dice que existe una norma eucl´ıdea en E, para la que si los autovalores de A tienen parte real positiva, es decir si a > 0, entonces el vector Lx (ver la Fig.5.1) apunta hacia fuera de la esfera S = {p ∈ E : k p k=k x k},

5.3. Estabilidad de puntos singulares

285

y si b < 0 entonces apunta hacia dentro de S, pues

0 tal que Xz (t) = Xq (t + T ) ∈ Bp para 0 ≤ t ≤ , en contra de la definici´ on de T . Por tanto T = β y por ser Bp compacto β = ∞. Esto prueba la primera afirmaci´ on. Ahora como h(t) 6= 0, tenemos como consecuencia de la ecuaci´on (5.2) y (5.3) que h0 (t) ≤ c· h(t)

(log h)0 (t) ≤ c,

⇔

e integrando entre 0 y t log h(t) ≤ tc + log h(0)

⇔

h(t) ≤ etc h(0).

5.3. Estabilidad de puntos singulares

287

Corolario 5.6 Sea D ∈ D(U ) con un punto singular p ∈ U . Si sus exponentes caracter´ısticos λ, verifican que Reλ < 0, entonces p es asint´ oticamente estable. Ejercicio 5.3.6 Considerar la ecuaci´ on del p´endulo con rozamiento (a > 0) x0 = v, v 0 = −av −

g sen x, L

demostrar que el (0, 0) es un punto de equilibrio asint´ oticamente estable. Ejercicio 5.3.7 Demostrar que el 0 ∈ R2 es un punto de equilibrio asint´ oticamente estable del campo (y + f1 )

∂ ∂ − (x + y + f2 ) , ∂x ∂y

para F = (f1 , f2 ) : R2 → R2 , tal que F (0) = 0 y su derivada en 0 es 0.

Tambi´en se tiene el siguiente resultado que no demostraremos (ver la p´ agina 266 del Hirsch–Smale, aunque la demostraci´on que aparece en el libro creo que es incorrecta). Teorema 5.7 Si p ∈ U es un punto de equilibrio estable de D ∈ D(U ), entonces ning´ un exponente caracter´ıstico de D en p, tiene parte real positiva. Como consecuencia se tiene el siguiente resultado. Corolario 5.8 Un punto singular hiperb´ olico es asint´ oticamente estable o inestable.

288

Tema 5. Estabilidad

5.4.

Funciones de Liapunov

Hay otro medio ideado por Liapunov (en su tesis doctoral de 1892), para saber si un punto singular es estable. PP Si tenemos un campo lineal L = ( aij xj )∂i , es decir Lx = Ax, para A = (aij ) y consideramos la norma eucl´ıdea que definimos en (5.3) de la p´ ag.283, entonces la funci´ on `(x) = , tiene las siguientes propiedades: a) `(0) = 0, y `(x) > 0, para x 6= 0, y si Re λ < b < 0, para todo autovalor λ de A, entonces b) L` < 0, pues como Xt (q) = etA q, tendremos que − = 2 ≤ 2b , t→0 t

L`(q) = l´ım

cosa que tambi´en podemos demostrar considerando una base ortonormal y su sistemaPde coordenadas lineales yi correspondiente, pues en este sistema ` = yi2 y L`(q) = 2

n X

yi (q)Lq yi = 2 = 2 .

i=1

Liapunov observ´ o que para saber si un punto de equilibrio de un campo tangente era estable, bastaba con encontrar una funci´on ` con esas propiedades. Definici´ on. Sea p ∈ U un punto singular de D ∈ D(U ). Llamaremos funci´ on de Liapunov de D en p, a cualquier funci´on ` ∈ C(U ), tal que ` ∈ C 1 (U − {p}), verificando las siguientes condiciones: a) `(p) = 0 y `(x) > 0, para x 6= p. b) D` ≤ 0 en U − {p}. Diremos que la funci´ on es estricta si en (b) es D` < 0.

289

5.4. Funciones de Liapunov

Teorema 5.9 Si existe una funci´ on de Liapunov de D en p, entonces p es estable y si es estricta entonces es asint´ oticamente estable. Demostraci´ on. Consideremos un entorno Up de p en U y un  > 0 tal que B[p, ] ⊂ Up y sean r = m´ın{`(x) : kx − pk = }, Vp = {x ∈ B(p, ) : `(x) < r}. Por (a) tenemos que p ∈ Vp , por tanto Vp es un abierto no vac´ıo. Y por (b) tenemos que (` ◦ Xq )0 (t) = D`[Xq (t)] ≤ 0, para cada q ∈ U − {p}, es decir que ` ◦ Xq es decreciente. Esto implica que si q ∈ Vp e I(q) = (α, β), entonces para t ∈ [0, β), `[Xq (t)] ≤ `[Xq (0)] = `(q) < r ≤ `(x),

para kx − pk = ,

por lo tanto Xq (t) ∈ Vp , pues Xq (t) ∈ B(p, ) ya que Xq [0, β) es conexo, tiene puntos en la bola B(p, ) y no puede atravesar la esfera de esta bola por la desigualdad anterior. Ahora por ser B[p, ] compacta tendremos que β = ∞ y p es estable. Supongamos ahora que D` < 0 en U − {p}, es decir ` ◦ Xq es estrictamente decreciente. Por la compacidad de B[p, ], basta demostrar que si tn → ∞ y Xq (tn ) → p0 , entonces p0 = p. Supongamos que p0 6= p y consideremos la curva integral de p0 —que no es constante pues Dp0 6= 0, ya que D` < 0—. Tendremos que para s>0 `(p0 ) = `[Xp0 (0)] > `[Xp0 (s)] = `[Xs (p0 )], ahora bien ` ◦ Xs es continua y existe un entorno de p0 , V , tal que para x ∈ V se tiene `(p0 ) > `[Xs (x)] = `[X(s, x)], y en particular para n grande, x = Xq (tn ) ∈ V y (5.4)

`(p0 ) > `[X(s, X(tn , q))] = `[X(s + tn , q)] = `[Xq (s + tn )].

siendo as´ı por otra parte, que para todo t ∈ (0, ∞) `[Xq (t)] > `[Xq (tn )],

290

Tema 5. Estabilidad

para los tn > t, y por la continuidad de `, `[Xq (t)] > `(p0 ), para todo t > 0 lo cual contradice la ecuaci´ on (5.4). Ejercicio 5.4.1 Estudiar la estabilidad en el origen del campo D = (−y − x5 )

∂ ∂ + (x − 2y 3 ) . ∂x ∂y

Ejercicio 5.4.2 Consideremos en E un producto interior y sea D un campo gradiente, D = grad f . Demostrar: a) Un punto x ∈ E es singular para D si y s´ olo si dx f = 0. b) Si f tiene en x un m´ aximo aislado, entonces x es un punto singular estable de D y si adem´ as es un punto singular aislado de D, es asint´ oticamente estable.

Por u ´ltimo podemos utilizar este tipo de funciones para detectar puntos de equilibrio inestables. Teorema 5.10 Sea p ∈ U un punto singular de D ∈ D(U ), y sea ` ∈ C(U ), ` ∈ C 1 (U − {p}), tal que `(p) = 0 y D` > 0. Si existe una sucesi´ on pn → p, tal que `(pn ) > 0, entonces p es inestable. Demostraci´ on. Tenemos que encontrar un entorno Up de p, tal que para todo entorno V de p, hay un q ∈ V para el que Xq deja en alg´ un instante a Up . Sea r > 0, tal que B[p, r] ⊂ U y sea Up = {x ∈ B(p, r) : `(x) < 1}, por la hip´ otesis sabemos que para cada entorno V de p existe un q = pn ∈ V tal que `(q) > 0. Vamos a ver que Xq (t) sale de Up para alg´ un t. Podemos suponer que Xq (t) ∈ B[p, r] para todo t ∈ (0, β), con I(q) = (α, β), pues en caso contrario Xq (t) deja a Up en alg´ un instante y ya habr´ıamos terminado. Entonces β = ∞. Ahora tenemos dos posibilidades: Existe un 0 < δ < r, tal que para 0 ≤ t < ∞ Xq (t) ∈ K = {x ∈ U : δ ≤ kx − pk ≤ r},

291

5.5. Aplicaciones

entonces como p ∈ / K, tendremos que λ = m´ın{D`(x) : x ∈ K} > 0, y para t ∈ [0, ∞) λ ≤ D`[Xq (t)] = (` ◦ Xq )0 (t)

⇒

tλ ≤ `[Xq (t)] − `(q),

y para t ≥ 1/λ, `[Xq (t)] > 1, por tanto Xq (t) ∈ / Up . Si no existe tal δ, existir´ a una sucesi´ on tn → ∞, tal que Xq (tn ) → p, pero como `[Xq (tn )] ≥ `[Xq (0)] = `(q), y `[Xq (tn )] → `(p) = 0, llegamos a un absurdo pues `(q) > 0. Ejercicio 5.4.3 Estudiar la estabilidad en el origen del campo D = (−y + x5 )

5.5. 5.5.1.

∂ ∂ + (x + 2y 3 ) . ∂x ∂y

Aplicaciones Sistemas tipo “depredador–presa”.

El modelo matem´ atico cl´ asico para un problema tipo depredador– presa fue planteado inicialmente por Volterra (1860–1940), en los a˜ nos 20 para analizar las variaciones c´ıclicas que se observaban en las poblaciones de tiburones y los peces de los que se alimentaban en el mar Adri´ atico. En los modelos que a continuaci´ on consideramos denotaremos con x(t) el n´ umero de presas y con y(t) el de depredadores que hay en el instante de tiempo t. Primer modelo.- Supongamos que el alimento de las presas es inagotable y que se reproducen regularmente en funci´on del n´ umero de individuos. Por tanto en ausencia de depredadores las presas crecer´ıan a una tasa natural x0 (t) = ax(t),

292

Tema 5. Estabilidad

y en ausencia de presas, los depredadores decrecer´ıan a una tasa natural y 0 (t) = −cy(t), sin embargo cuando ambas especies conviven, la poblaci´on de presas decrece y la de depredadores aumenta en una proporci´on que depende del n´ umero de encuentros entre ambas especies. Supongamos que esta frecuencia de encuentros es proporcional a xy —si duplicamos una poblaci´ on se duplican los encuentros—, en estos t´erminos tendr´ıamos que las tasas de crecimiento (y de decrecimiento) de ambas poblaciones hay que modificarlas, obteniendo el sistema x0 = ax − bxy, y 0 = −cy + exy, para a, b, c, e > 0. Ahora de estas ecuaciones s´ olo nos interesan las soluciones que est´ an en el primer cuadrante C = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}, pues son las u ´nicas que tiene sentido interpretar en nuestro problema. Los puntos de equilibrio de estas ecuaciones en C, son c a p1 = 0 , p2 = , , e b de las cuales p1 representa la desaparici´ on de ambas especies, mientras que p2 representa la coexistencia de ambas especies sin modificarse el n´ umero de sus individuos. Estudiemos la estabilidad de p1 y de p2 . Las linealizaciones del sistema en p1 y p2 son respectivamente     a 0 0 −bc/e 0 0 X = X, X = X, 0 −c ea/b 0 por tanto los exponentes caracter´ısticos del sistema en p1 son a y −c, por lo que se sigue que p1 no es estable. Los de p2 son imaginarios puros por lo que los resultados estudiados no nos dan informaci´on sobre su estabilidad. Sin embargo es f´ acil encontrar una integral primera del campo ∂ ∂ + (−cy + exy) = ∂x ∂y ∂ ∂ = x(a − by) + y(−c + ex) , ∂x ∂y

D = (ax − bxy)

5.5. Aplicaciones

293

pues tiene una 1–forma incidente exacta y(c − ex) a c x(a − by) dy + dx = dy − bdy + dx − edx xy xy y x = d[a log y − by + c log x − ex] = dh. Por tanto Dh = 0 y como h(z) < h(p2 ), para z 6= p2 , la funci´on ` = h(p2 ) − h es de Liapunov, por lo que p2 es estable. Veamos la desigualdad h(z)−h(p2 ) = a a c c − b + c log − e ] b b e e a c = a[log y − log ] − by + a + c[log x − log ] − ex + c b e xe xe yb yb − + 1] + c[log − + 1] < 0, = a[log a a c c

= a log y − by + c log x − ex − [a log

pues log x < x − 1 para x 6= 1. Segundo modelo.- Supongamos ahora que ambas poblaciones decrecen si hay demasiados individuos, por falta de alimento o por otros motivos. Por tanto en ausencia de depredadores las presas crecen a una tasa x0 = ax − µx2 , y en ausencia de presas los depredadores crecen a una tasa y 0 = cy − λy 2 , y con presas y depredadores las tasas de crecimientos son x0 = ax − µx2 − bxy, y 0 = cy − λy 2 + exy, para a, b, c, e, µ, λ > 0. En este caso hay cuatro puntos de equilibrio, en los que tres representan la situaci´ on de que una de las poblaciones no tiene individuos y la cuarta es la correspondiente al punto p intersecci´on de las rectas a − µx − by = 0, c − λy + ex = 0, que est´ a en C y es distinto de los otros tres si y s´olo si c/λ < a/b.

294

Tema 5. Estabilidad

Ejercicio 5.5.1 Demostrar que el punto de equilibrio p del sistema anterior es asint´ oticamente estable.

5.5.2.

Especies en competencia.

Consideremos el problema de dos poblaciones que compiten por la misma comida. x0 = ax − µx2 − bxy, y 0 = cy − λy 2 − exy, para a, b, c, e, λ, µ > 0. En este caso hay tambi´en cuatro puntos de equilibrio de los cuales a lo sumo uno es de inter´es. La intersecci´ on p de las rectas a − µx − by = 0, c − λy − ex = 0. Ejercicio 5.5.2 Demostrar que p ∈ C si y s´ olo si a/c est´ a entre µ/e y b/λ. Demostrar que si µλ > be, entonces p es asint´ oticamente estable y que si µλ < be, entonces p es inestable.

5.5.3.

Aplicaci´ on en Mec´ anica cl´ asica.

Consideremos en E un producto interior y sea U ⊂ E un abierto. Definici´ on. Dado un campo tangente D ∈ D(U ), llamaremos 1–forma del trabajo de D, a la 1–forma correspondiente por el isomorfismo can´onico a D entre los m´ odulos D(U ) → Ω(U ),

D → ω =< D, · > .

y llamaremos trabajo de D a lo largo de una curva γ ⊂ U , que une dos puntos a, b ∈ U , a la integral a lo largo de la curva, de ω, es decir si parametrizamos la curva con el par´ ametro longitud de arco, σ : [0, L] → U ,

σ[0, L] = γ ,

σ(0) = a , σ(L) = b,

y denotamos con T = σ∗ (∂/∂t), el vector tangente a la curva —que es unitario—, a la integral Z Z L Z L ω= σ ∗ (ω) = ds, γ

0

0

5.5. Aplicaciones

295

de la componente tangencial del campo D. Llamaremos campo conservativo a todo campo D ∈ D(U ) con la propiedad de que el trabajo realizado a lo largo de una curva que une dos puntos, no depende de la curva. Ejercicio 5.5.3 Demostrar que un campo es conservativo si y s´ olo si es un campo gradiente. (Observemos que f est´ a determinada salvo una constante). (Sol.)

Definici´ on. En mec´ anica cl´ asica la expresi´ on “una part´ıcula que se mueve en R3 bajo la influencia de un potencial U ”, significa que sobre ella act´ ua una fuerza definida por el campo tangente F = − grad U = −

∂U ∂ ∂U ∂ ∂U ∂ − − . ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3

El potencial en la mec´ anica celeste de dos cuerpos es1 U = −mM G/r, 0 −11 donde G = 6 673 · 10 (N m2 /kg 2 ) es la constante gravitacional (ver la nota (1.9.4), p´ ag.46) y r es la distancia de la masa m a la M —que est´ a en el origen de coordenadas—. El m´ odulo de la fuerza F es mM G , r2 y F es la fuerza de atracci´ on que ejerce la masa M sobre la masa m, definida por la Ley de la Gravitaci´ on universal de Newton. m ˆ = mgh el potencial en la superficie de Para U h s la tierra, donde g = M G/R2 , M la masa de la R tierra, R el radio y h la altura a la que est´ a m z y sobre la superficie de la tierra, el m´ odulo de F es x constante ∂ ˆ = −mg . F = − grad U Figura 5.2. ∂z La relaci´ on entre estos dos potenciales es que su diferencia de potencial es aproximadamente la misma, es decir si q es un punto en la superficie de la tierra y p un punto en la vertical de q a distancia h U (p) − U (q) = U (R + h) − U (R) = − =

mM G mM G + R+h R

mM Gh mghR ˆ (h) − U ˆ (0) = U ˆ (p) − U ˆ (q). = ∼ mgh = U R(R + h) R+h

1 Algunos autores ponen U = mM G/r y F = grad U , pero nosotros aqu´ ı preferimos tomarlo as´ı pues la energ´ıa potencial es U que sumada a la cin´ etica T veremos a continuaci´ on que es constante en las trayectorias que satisfacen la ley de Newton F = mx00 .

296

Tema 5. Estabilidad

Si X(t) es la posici´ on de la part´ıcula en el instante t, la segunda Ley de Newton nos dice que mX 00 = F, e introduciendo la velocidad tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales en R3 × R3 X 0 = Z, F Z0 = , m correspondiente al campo D = z1

F1 ∂ F2 ∂ F3 ∂ ∂ ∂ ∂ + z2 + z3 + + + . ∂x1 ∂x2 ∂x3 m ∂z1 m ∂z2 m ∂z3

Ahora es f´ acil encontrar una integral primera de D, pues tenemos la 1–forma incidente exacta    3  X ∂U mv 2 , dxi + mzi dzi = d U + ∂xi 2 i=1 p para v = z12 + z22 + z32 , y por lo tanto “la energ´ıa total del sistema” e=U +T =U +

mv 2 , 2

satisface De = 0. Vamos a utilizar esta funci´ on e para definir una funci´on de Liapunov en un punto de equilibrio p = (x0 , z0 ) de D. Si Dp = 0 tendremos que z0 = 0 ,

∂U (x0 ) = 0, ∂xi

ahora como `(p) = `(x0 , 0) debe ser 0, definimos ` = e − e(x0 , 0) =

1 mv 2 + U − U (x0 ), 2

en tal caso D` = 0 y si U (x) > U (x0 ) en un entorno de x0 , entonces ` es de Liapunov y se tiene el siguiente resultado.

5.6. Clasificaci´ on topol. de las ED lineales

297

Teorema de estabilidad de Lagrange 5.11 Un punto de equilibrio (x0 , 0) de las ecuaciones de Newton para una part´ıcula que se mueve bajo la influencia de un potencial que tiene un m´ınimo absoluto local en x0 , es estable.

5.6.

Clasificaci´ on topol. de las ED lineales

Consideremos un campo tangente lineal   n n X X ∂  D= aij xj  ∈ D(E), ∂x i i=1 j=1 con grupo uniparam´etrico X. En esta lecci´ on veremos que si los autovalores de A = (aij ) tienen parte real positiva, entonces D es topol´ogicamente equivalente —ver el tema IV—, al campo de las homotecias H = x1

∂ ∂ + · · · + xn , ∂x1 ∂xn

y si la tienen negativa a −H, es decir que existe un homeomorfismo h : E → E, que transforma las soluciones (parametrizadas) de la ecuaci´on diferencial X 0 = AX en las de X 0 = X, en el primer caso y en las de X 0 = −X en el segundo. Supongamos que para todo autovalor λ de A = (aij ), a ≤ Re λ ≤ b, y consideremos en E el producto interior que satisface a < < b , y elijamos un sistema de coordenadas lineales correspondiente a una base ortonormal. Denotaremos la esfera unidad correspondiente con S = {kxk = 1}.

298

Tema 5. Estabilidad

Lema 5.12 Para cada q ∈ E − {0}, se tiene que kqk eta ≤ kXq (t)k ≤ kqk etb , tb

ta

kqk e ≤ kXq (t)k ≤ kqk e ,

para t ≥ 0, para t ≤ 0.

adem´ as si a > 0 o b < 0, la aplicaci´ on t ∈ R →k Xq (t) k∈ (0, ∞), es un difeomorfismo. Demostraci´ on. Consideremos la funci´ on g(t) = log ), entonces 2a ≤ g 0 (t) = 2

) ) =2 ≤ 2b, ) )

por tanto para t ≥ 0 y t ≤ 0 respectivamente tendremos que 2ta + g(0) ≤ g(t) ≤ 2tb + g(0), 2tb + g(0) ≤ g(t) ≤ 2ta + g(0), y el enunciado se sigue pues k Xq (t) k= eg(t)/2 . Proposici´ on 5.13 Si a > 0 ´ o b < 0, entonces F :R×S (t, p)

→ →

E − {0}, X(t, p)

es un homeomorfismo. Demostraci´ on. F es obviamente continua. Tiene inversa como consecuencia del lema anterior, pues para cada q ∈ E − {0}, la aplicaci´on t ∈ R → kXq (t)k ∈ (0, ∞), es un difeomorfismo, por tanto existe un u ´nico t = t(q) ∈ R tal que Xq (t) ∈ S y F −1 (q) = (−t, Xq (t)).

5.6. Clasificaci´ on topol. de las ED lineales

299

Para ver que F −1 es continua, basta demostrar que la aplicaci´on t(q) es continua, es decir que si qn → q entonces t(qn ) = tn → t(q) = t, es decir que si qn → q y X(tn , qn ), X(t, q) ∈ S, entonces tn → t. Que tn est´ a acotada se sigue del lema, y si r es un punto l´ımite de tn , entonces por la continuidad de X, X(r, q) ∈ S y r = t. Nota 5.14 Realmente F es un difeomorfismo, como puede comprobar el lector que haya estudiado variedades diferenciables, pues F es diferenciable, biyectiva y F∗ es isomorfismo en todo punto, para lo cual basta ver que lo es en los puntos de la forma (0, p), pues al ser Ft (r, p) = (t + r, p) un difeomorfismo y tener el diagrama conmutativo F

R× S  Ft y

−−→  E X y t

R×S

−−→

F

E

tendremos que F es difeomorfismo local en (t, p) si y s´olo si lo es en (0, p) y en estos puntos lo es pues F∗ es inyectiva, ya que lleva base en base. Ve´ amoslo:   ∂ F∗ = Dp , ∂t (0,p) y para una base E2 , . . . , En ∈ Tp (S), tendremos que para i : S ,→ E los n − 1 vectores Dip = i∗ Ei ∈ Tp (E), son independientes y como X∗ (∂xi )(0,p) = (∂xi )p , tendremos que F∗ (Ei ) = X∗ (Di ) = Di , y Dp es independiente de los Di , pues < Di , p >= 0, por ser los Di tangentes a S, mientras que < Dp , p > es positivo si a > 0 y negativo si b < 0. Teorema 5.15 Si a > 0 entonces D es topol´ ogicamente equivalente a H y si b < 0 a −H. Demostraci´ on. Haremos el caso a > 0, en cuyo caso el grupo uniparam´etrico de H es Y (t, x) = et x. Supongamos que existe tal homeomorfismo h tal que para todo s ∈ R h ◦ Xs = Ys ◦ h,

300

Tema 5. Estabilidad

entonces h(0) = es h(0), lo cual implica h(0) = 0. Sea q ∈ E − {0} y q = X(t, p), con p ∈ S, entonces h ◦ Xs (q) = h ◦ Xs ◦ Xt (p) = h ◦ Xs+t (p) = h ◦ F (s + t, p), Ys ◦ h(q) = Y (s, h[F (t, p)]), lo cual sugiere que Y = h ◦ F , por lo que definimos ( 0, si q = 0, h : E → E, h(q) = −1 Y [F (q)], si q = 6 0. Dq q=Xp(t)

etp p

p 0

0

Figura 5.3.

Que es biyectiva y continua es evidente, falta demostrar la continuidad de h y la de h−1 en el 0, es decir que xn → 0 si y s´olo si h(xn ) → 0. Como h(xn ) = etn pn , con pn = X(−tn , xn ) ∈ S, tendremos que k h(xn ) k= etn , y por el lema —para q = pn y t = tn —, k h(xn ) k< 1

⇔

tn < 0

⇔

k xn k< 1

por lo que en cualquier caso los tn < 0 y tenemos la desigualdad etn b ≤k xn k≤ etn a , y xn → 0 si y s´ olo si tn → −∞ si y s´ olo si h(xn ) → 0. Nota 5.16 La h anterior es realmente de C ∞ (E −{0}), pero en el 0 s´olo es continua. Es decir que conserva la incidencia de dos curvas que pasen por el origen, pero no su grado de tangencia, por ello puede llevar dos curvas tangentes en 0, en dos que se corten transversalmente y rec´ıprocamente.

5.6. Clasificaci´ on topol. de las ED lineales

301

Sea D ∈ D(E) un campo lineal, con matriz asociada A en un sistema de coordenadas lineales xi . Supongamos que A no tiene autovalores imaginarios puros, que m es el n´ umero de autovalores con parte real positiva y que hemos elegido una base ei en E tal que A se pone en forma de cajas   A1 0 A= . 0 A2 donde los autovalores de A1 tienen parte real positiva y los de A2 tienen parte real negativa. Consideremos los subespacios de E, E1 =< e1 , . . . , em >,

E2 =< em+1 , . . . , en >,

de dimensiones m y n − m, para los que E = E1 ⊕ E2 ,

A : E1 → E1 ,

A : E2 → E2 ,

y la ecuaci´ on diferencial X 0 = AX, en E, es equivalente a las ecuaciones diferenciales X10 = A1 X1 en E1 y X20 = A2 X2 en E2 , siendo X = (X1 , X2 ). Adem´ as como  tA  e 1 0 Xt = etA = 0 etA2 entonces Xt (E1 ) ⊂ E1 y Xt (E2 ) ⊂ E2 . Ejercicio 5.6.1 Demostrar que p ∈ E1 si y s´ olo si kXt (p)k → 0, cuando t → −∞ y p ∈ E2 si y s´ olo si kXt (p)k → 0, cuando t → ∞.

Definici´ on. Al subespacio E1 lo llamamos subespacio saliente y a E2 subespacio entrante de D relativos al 0. A la dimensi´on n − m de E2 la llamaremos ´ındice de estabilidad en 0, del campo D. Teorema 5.17 Sean D, E ∈ D(E) lineales, con ecuaciones X 0 = AX e Y 0 = BY , tales que ni A ni B tienen autovalores imaginarios puros. Entonces D es topol´ ogicamente equivalente a E si y s´ olo si tienen el mismo ´ındice de estabilidad en 0, es decir si y s´ olo si A y B tienen el mismo n´ umero de autovalores con parte real negativa (y por tanto tambi´en positiva).

302

Tema 5. Estabilidad

Demostraci´ on.- “⇒” Tenemos que h ◦ etA = h ◦ Xt = Yt ◦ h = etB ◦h, por tanto h(0) = 0 pues h(0) = etB h(0) y derivando en 0, 0 = Bh(0), y 0 no es autovalor de B. Si E2 y F2 son los subespacios entrantes de X 0 = AX y X 0 = BX respectivamente, basta demostrar que dim(E2 ) = dim(F2 ). Ahora bien h(E2 ) = F2 , pues p ∈ E2

⇔

l´ım kXt (p)k = 0

t→∞

⇔

l´ım kh[Xt (p)]k = 0

t→∞

⇔

l´ım kYt [h(p)]k = 0

t→∞

⇔

h(p) ∈ F2 ,

y el resultado se sigue por el teorema de invariancia de dominios ya que un homeomorfismo conserva la dimensi´ on de un espacio vectorial. “⇐” Basta demostrar que X 0 = AX es topol´ogicamente equivalente a X 0 = JX, para J = (cij ) diagonal tal que c1,1 = · · · = cm,m = 1 ,

cm+1,m+1 = · · · = cn,n = −1.

Eligiendo adecuadamente el sistema de coordenadas xi , tenemos que para X = (X1 , X2 ) X 0 = AX

⇔

X10 = A1 X1 , X20 = A2 X2 ,

para A1 de orden m con autovalores con parte real positiva y A2 de orden n − m con autovalores con parte real negativa. Ahora por el teorema anterior X10 = A1 X1 es topol´ogicamente equivalente por un homeomorfismo h1 : E1 → E1 , a X10 = X1 y X20 = A2 X2 , por un homeomorfismo h2 : E2 → E2 , a X20 = −X2 . Por tanto X 0 = AX es topol´ ogicamente equivalente por h(x + y) = h1 (x) + h2 (y), con x ∈ E1 e y ∈ E2 , a X 0 = JX.

5.7. Teorema de resonancia de Poincar´ e

5.7.

303

Teorema de resonancia de Poincar´ e

En (2.25) de la p´ agina 96 clasificamos los campos tangentes en un entorno de un punto no singular —es decir en el que no se anulan—, viendo que todos eran diferenciablemente equivalentes al campo de las traslaciones ∂ . ∂x Nos falta dar una clasificaci´ on en un entorno de un punto singular, es decir en el que se anulen. Para campos lineales —que siempre se anulan en el origen— hemos visto en la Proposici´ on (4.24), p´ ag.230, que la clasificaci´on lineal y la diferenciable eran la misma y consist´ıa en que dos campos eran equivalentes si y s´ olo si las matrices que definen sus ecuaciones en un sistema de coordenadas lineales eran semejantes. En la lecci´ on anterior acabamos de hacer la clasificaci´on desde un punto de vista topol´ ogico, de los campos lineales para los que el origen es un punto singular de tipo hiperb´ olico —los autovalores de la aplicaci´on lineal que define el campo tienen parte real no nula—. La cuesti´ on es ¿qu´e podemos decir para un campo general en un punto singular hiperb´ olico?. ´, de las formas normales de un campo, nos La teor´ıa de Poincare da —en el caso de autovalores que no est´ an en “resonancia”, un sistema de coordenadas en un entorno de un punto singular, en las que nuestro campo se hace tan “pr´ oximo” a su linealizaci´on en el punto como queramos, en el sentido de que las componentes del campo y las de su linealizaci´ on difieren en una funci´ on cuyo desarrollo de Taylor es nulo hasta el orden que queramos. Sea L ∈ D(E) lineal, tal que la aplicaci´ on lineal que define es diagonalizable, por tanto existe un sistema de coordenadas xi en el que Lxi = λi xi ,

L=

n X i=1

λi xi

∂ , ∂xi

—supondremos que los λi son reales, aunque el resultado es igualmente v´ alido si son complejos—.

304

Tema 5. Estabilidad

Consideremos ahora el subespacio Pm de C ∞ (E) de los polinomios homog´eneos de grado m ≥ 2, es decir el subespacio vectorial generado por las funciones mn 1 xm 1 · · · xn , P con mi ≥ 0 y mi = m. Ejercicio 5.7.1 Demostrar que en los t´erminos anteriores paraPcada f ∈ Pm , Lf ∈ Pm , que L : Pm → Pm es diagonal y tiene autovalores mi λi , corresmn 1 pondientes a los autovectores xm 1 · · · xn .

Definici´ on. Diremos que un campo H ∈ D(E) es polin´ omico de grado m, si para cada funci´ on lineal f , Hf ∈ Pm . Denotaremos el conjunto de estos campos por D(Pm ), el cual es un subespacio vectorial de D(E), de dimensi´ on finita generado por (5.5)

mn 1 xm 1 · · · xn

∂ , ∂xi

para m1 , . . . , mn ≥ 0, m1 + · · · + mn = m e i = 1, . . . , n. Lema 5.18 Para el campo lineal L del principio se tiene que LL : D(Pm ) → D(Pm ) ,

LL H = [L, H],

es una aplicaci´ on lineal con autovectores los campos de (5.5) y autovalores asociados respectivamente n X

mj λj − λi .

j=1

Demostraci´ on. Es f´ acil demostrar que para cada H ∈ D(Pm ), mn 1 LL H ∈ D(Pm ) y que para cada monomio xm 1 · · · xn ∈ Pm n X m1 mn mn 1 L(xm · · · x ) = x · · · x ( mj λj ), n n 1 1 j=1

se sigue entonces que para cada mn 1 H = xm 1 · · · xn

∂ ∈ D(Pm ), ∂xi

5.7. Teorema de resonancia de Poincar´ e

305

se tiene que mn 1 LL H = L(xm 1 · · · xn )

∂ mn ∂ 1 − xm , L] 1 · · · xn [ ∂xi ∂xi

n X mn ∂ mn ∂ 1 1 =( mj λj )xm − λi xm 1 · · · xn 1 · · · xn ∂xi ∂xi j=1 n X =( mj λj − λi )H. j=1

Definici´ on. Diremos que λ1 , . . . , λn ∈ C est´ an en resonancia si existen i ∈ {1, . . . , n},

m1 , . . . , mn ∈ N,

para los que n X

mj ≥ 2 ,

λi =

n X

mj λj .

j=1

j=1

Corolario 5.19 Si los autovalores λi de nuestro campo lineal L no est´ an en resonancia entonces LL : D(Pm ) → D(Pm ), es un isomorfismo, para cada m ≥ 2. Demostraci´ on. Es una simple consecuencia del resultado anterior pues los campos de (5.5) son base de D(Pm ) y en esta base la aplicaci´on lineal LL es diagonal y todos sus autovalores son no nulos. Consideremos ahora un campo cualquiera D ∈ D(E) con un punto singular p ∈ E, cuyos exponentes caracter´ısticos no est´en en resonancia. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que p = 0. Si consideramos la linealizaci´ on L de D en p y un sistema de coordenadas lineales xi ,   n n n X X X ∂ ∂  aij xj  fi , L= , D= ∂x ∂x i i i=1 i=1 j=1 y nuestra hip´ otesis significa que la matriz A = (aij ), con aij = ∂fi (p)/∂xj , tiene autovalores λ1 , . . . , λn (supondremos que reales) sin resonancia. En estos t´erminos se tiene el siguiente resultado.

306

Tema 5. Estabilidad

Teorema 5.20 Para cada k ∈ N existe un sistema de coordenadas polin´ omico ui en un entorno de p tal que (para gi = o(kukk )) Dui =

n X

aij uj + gi .

j=1

Demostraci´ on. La demostraci´ on se hace recurrentemente eliminando en cada paso los t´erminos del desarrollo de Taylor de menor orden, mayor que uno, de las componentes del campo D en p. Consideremos la descomposici´ on D = L + G2 + G, donde G2 ∈ D(P2 ) y G ∈ D es tal que Gxi = o(kxk2 ) —observemos que lo u ´nico que hemos hecho es desarrollar por Taylor cada funci´ on Dxi hasta el orden 3, Lxi es la parte lineal G2 xi es la cuadr´ atica y Gxi es el resto que es de orden inferior a kxk2 —. Veamos c´ omo podemos hacer que la parte cuadr´atica desaparezca. Por el corolario anterior (5.19) existe H ∈ D(P2 ), tal que [L, H] = G2 , consideremos hi = Hxi ∈ P2 y el sistema de coordenadas en un entorno de 0, ui = xi − hi . Entonces Dui = Lui + G2 ui + Gui = Lxi − Lhi + [L, H]xi − [L, H]hi + Gui n X = aij xj − Lhi + L(Hxi ) − H(Lxi ) − [L, H]hi + Gui j=1

=

=

n X j=1 n X

n X aij xj − H( aij xj ) − [L, H]hj + Gui j=1

aij uj − [L, H]hi + Gui ,

j=1

siendo [L, H]hi y Gui de orden inferior a kuk2 . Ahora considerando las coordenadas ui como lineales volvemos a repetir el razonamiento para eliminar los t´erminos de grado 3 y as´ı sucesivamente. La cuesti´ on de si un campo con un punto singular hiperb´olico es equivalente a su linealizado es bastante dif´ıcil. No obstante se sabe lo siguiente: Cuando todos los autovalores tienen parte real con el mismo signo ´ demostr´o en 1879 que si D = y no est´ an en resonancia, Poincare

5.7. Teorema de resonancia de Poincar´ e

307

P

fi ∂xi , con las fi anal´ıticas, el campo es anal´ıticamente equivalente (localmente) a su linealizado. Cuando tiene autovalores de los dos signos, la equivalencia anal´ıtica depende de que los autovalores satisfagan condiciones diof´anticas y fue resuelto por Siegel en 1952. La equivalencia diferenciable (de clase ∞) fue resuelta por Sternberg en 1958, tambi´en bajo condiciones de no resonancia de los autovalores. Por otra parte Hartman y Grobman probaron, independientemente en 1959, que el campo siempre es topol´ogicamente equivalente (localmente) a su linealizaci´ on. Y si las fi son de clase 2, Hartman prob´ o en 1960 que el campo siempre es diferenciablemente equivalente (de clase 1) a su linealizaci´ on, y aunque las fi sean polin´omicas no podemos asegurar que sea diferenciablemente equivalente de clase 2, a menos que los autovalores no est´en en resonancia, como pone de manifiesto el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.7.1 Consideremos la EDO x0 = 2x,

y 0 = x2 + 4y,

cuya linealizada en el origen es x0 = 2x, y 0 = 4y, y sus autovalores λ1 = 2 y λ2 = 4 est´ an en resonancia. Para ella no hay un difeomorfismo H = (u, v) : R2 → R2 , de clase 2 que lleve el grupo uniparam´etrico Xt de nuestra ecuaci´ on en el de la linealizada exp tA, pues en caso contrario exp tA ◦ H = H ◦ Xt , es decir  2t    2t  e 0 u(x, y) u(e x, e4t (y + tx2 )) = , 0 e4t v(x, y) v(e2t x, e4t (y + tx2 )) y tendr´ıamos que en t = 1 e2 u(x, y) = u(e2 x, e4 (y + x2 )), e4 v(x, y) = v(e2 x, e4 (y + x2 )), y derivando la primera ecuaci´ on respecto de y en (0, 0), tendr´ıamos que uy = 0 y derivando la segunda respecto de x dos veces (la segunda en el origen) e4 vx (x, y) = e2 vx (e2 x, e4 (y + x2 )) + 2x e4 vy (e2 x, e4 (y + x2 )), e4 vxx = e4 vxx + 2 e4 vy , lo cual implicar´ıa que vy = 0 y H = (u, v) tendr´ıa jacobiano nulo en el origen y no ser´ıa difeomorfismo.

308

5.8.

Tema 5. Estabilidad

Cuenca de un sumidero

Definici´ on. Sea p ∈ U un punto singular de un campo D ∈ D(U ), llamaremos cuenca de p al conjunto C(p) de todos los puntos cuyas trayectorias tienden a p cuando t → ∞. A menudo llamaremos sumidero a un punto singular asint´oticamente estable de D. Proposici´ on 5.21 Cuencas correspondientes a puntos singulares distintos son disjuntas y la cuenca de un sumidero es un abierto. Demostraci´ on. La primera afirmaci´ on es obvia, veamos la segunda. En primer lugar recordemos que si p ∈ U es un punto asint´oticamente estable de D ∈ D(U ), entonces existe un abierto Up , entorno de p, tal que toda trayectoria pasando por un punto de Up , converge a p cuando t → ∞, por tanto C(p) es el conjunto de todos los puntos cuyas trayectorias entran en Up , por tanto si consideramos el flujo de D, X : WD → U y la proyecci´ on π : (t, x) ∈ WD → x ∈ U , tendremos que C(p) = π[X −1 (Up )].

La importancia de una cuenca estriba en que por una parte podemos identificar todos los estados de la cuenca de p, con el propio punto p, ya que cualquiera de ellos llegar´ a, despu´es de un tiempo, a estar tan cerca de este que no ser´ a posible distinguirlos. Por otra parte para ciertos campos, por ejemplo los gradientes de funciones acotadas superiormente, casi todo punto se encuentra en la cuenca de un sumidero, siendo los dem´as puntos “improbables”. Para tales campos los sumideros representan, en definitiva, los distintos tipos de comportamiento del flujo a largo plazo. El conocimiento del “tama˜ no”de una cuenca tambi´en es importante, pues nos da una estimaci´ on de la “perturbaci´on” que puede sufrir el punto de equilibrio, con la seguridad de que el sistema regrese al (mismo) punto de equilibrio. Durante mucho tiempo se pens´ o que si la cuenca de un punto singular era un entorno del punto, entonces el punto era estable y por tanto asint´ oticamente estable, sin embargo esto es falso.

5.8. Cuenca de un sumidero

309

Ejemplo 5.8.1 El siguiente campo tangente construido por Vinograd (x2

y 2 (y − 2x) ∂ ∂ x2 (y − x) + y 5 + 2 , 2 2 2 2 2 + y )(1 + (x + y ) ) ∂x (x + y )(1 + (x2 + y 2 )2 ) ∂y

tiene el origen como un punto singular inestable, siendo su cuenca todo el plano. Remitimos al lector a la p.191 del libro de Hahn, donde lo estudia. A continuaci´ on veremos como se pueden utilizar las funciones de Liapunov para estimar el tama˜ no de la cuenca de un sumidero. Definici´ on. Sea D ∈ D(U ) con grupo uniparam´etrico X : WD → U . Diremos que P ⊂ U es invariante si R × P ⊂ WD y para todo t ∈ R Xt (P ) ⊂ P. Diremos que es positivamente invariante (resp. negativamente invariante) si Xt (P ) ⊂ P es cierto para los t ≥ 0, (resp. para los t ≤ 0). Diremos que P es minimal si es cerrado, no vac´ıo, invariante y no contiene subconjuntos propios con estas propiedades. Definici´ on. Sea D ∈ D(U ) con grupo uniparam´etrico X. Diremos que x ∈ U es un punto l´ımite positivo (resp. negativo) de q ∈ U si (0, ∞) ⊂ I(q) (resp. (−∞, 0) ⊂ I(q)) y existe una sucesi´on tn → ∞ (resp. tn → −∞), tal que X(tn , q) → x. Denotaremos con αq y Ωq respectivamente los conjuntos de puntos l´ımite negativo y positivo de q. Proposici´ on 5.22 Sea D ∈ D(U ), q ∈ U e I(q) = (α, β). Entonces: a) Los conjuntos αq y Ωq son cerrados y verifican que dado x ∈ Ωq (x ∈ αq ) y t ∈ I(x) entonces X(t, x) ∈ Ωq (∈ αq ). b) Si Xq [0, β) est´ a en un compacto, entonces β = ∞, Ωq es no vac´ıo, invariante, compacto, conexo y l´ım d[Xq (t), Ωq ] = 0,

t→∞

para d[A, B] = ´ınf{kz − xk : z ∈ A, x ∈ B}. c) Y si Xq (α, 0] est´ a en un compacto, entonces α = −∞ y αq es no vac´ıo, invariante, compacto, conexo y l´ım d[Xq (t), αq ] = 0.

t→−∞

310

Tema 5. Estabilidad

Demostraci´ on. Haremos la demostraci´ on para Ωq . a) Si xn → x, con xn = l´ım X(tnm , q), entonces existe una subsucesi´ on rn , de tnm , para la que X(rn , q) → x. Sea x ∈ Ωq y tn → ∞ tales que Xq (tn ) → x, entonces para t ∈ I(x), t + tn ∈ (0, ∞) ⊂ I(q) para n suficientemente grande y X(t + tn , q) = Xt [Xq (tn )] → Xt (x), por tanto Xt (x) ∈ Ωq . b) Que Ωq es no vac´ıo es obvio y es compacto pues Ωq ⊂ K. Que es invariante se sigue de (a) y de estar en un compacto, pues si z ∈ Ωq , como Xt (z) est´ a en un compacto, ser´ a I(x) = R. Veamos que es conexo. Supongamos que existen compactos disjuntos K1 y K2 tales que Ωq = K1 ∪ K2 y sea 0 < δ = d(K1 , K2 ) = m´ın{kx − yk : x ∈ K1 , y ∈ K2 }. Si tn ↑ ∞ es tal que para n impar y par respectivamente d[Xq (tn ), K1 ]
0), es decir: θ0 (t) = z(t), z 0 (t) = az − sen θ(t), y demostrar que para cada k < 2 y `(θ, z) = z 2 /2 + 1 − cos θ, el compacto K = {(θ, z) : −π ≤ θ ≤ π, `(θ, z) ≤ k}, est´ a en la cuenca del punto p = (0, 0). (Sol.)

5.9.

La aplicaci´ on de Poincar´ e

Consideremos el campo D = [y + x(1 − x2 − y 2 )]

∂ ∂ + [−x + y(1 − x2 − y 2 )] , ∂x ∂y

en coordenadas polares (ρ, θ) tenemos que D=−

∂ ∂ + ρ(1 − ρ2 ) , ∂θ ∂ρ

cuyas soluciones son (haciendo el cambio z = ρ−2 , y tomando θ(0) = 0) θ(t) = −t ρ(t) = √

 

1  1 + k e−2t

 cos t    1 + k e−2t sen t   y(t) = − √  −2t 1+ke

x(t) = √ ⇒

312

Tema 5. Estabilidad

Para k = 0, la soluci´ on es peri´ odica, y su ´ orbita es la circunferencia unidad. Para k > 0, la soluci´ on se aproxima por fuera en espiral al origen, cuando t → −∞, y a la circunferencia en espiral por dentro, cuando t → ∞. Para k 0 tal que para todo t ∈ R, Xp (t) = Xp (t + T ). Llamaremos per´ıodo de γ al m´ınimo de los T > 0 verificando lo anterior. Ejercicio 5.9.1 Demostrar que si O es la o ´rbita de un punto no singular p de un campo D ∈ D(U ), son equivalentes: (a) O es c´ıclica. (b) Existen r ∈ I(p) y T > 0 tales que Xp (r) = Xp (r + T ). (c) Con la topolog´ıa inducida por U , O es homeomorfa a la circunferencia unidad S1 . (Sol.)

Definici´ on. Sea D ∈ D(U ) y x ∈ U . Una secci´ on local de D en x, es un conexo cerrado S, entorno de x en un hiperplano af´ın que contiene a x, H = {z ∈ E : h(z) = h(x)}, para h lineal, tal que para cada p ∈ S, Dp h 6= 0.

Figura 5.5. Secci´ on local

Nota 5.24 Observemos que en particular Dx 6= 0, para cada x ∈ S. Ejercicio 5.9.2 Demostrar que por todo punto no singular de D pasa una secci´ on local y que esta secci´ on es cortada por cada o ´rbita de un lado al

5.9. La aplicaci´ on de Poincar´ e

313

otro del hiperplano y que todas las o ´rbitas lo hacen en “el mismo sentido”, entendiendo que un hiperplano divide el espacio en dos regiones A y B, de este modo hay dos posibles sentidos de atravesarlo, de A a B o ´ de B a A. (Sol.)

Proposici´ on 5.25 Sea D ∈ D(U ), p ∈ U , r ∈ I(p) y S una secci´ on local de D pasando por x = Xp (r). Entonces existe un abierto Up ⊂ U , entorno de p, y una funci´ on t : Up → R diferenciable tal que t(p) = r y X[t(z), z] ∈ S para cada z ∈ Up . Demostraci´ on. Sea h : E → R, lineal tal que S ⊂ {h = h(x)} y Dh 6= 0 en S y sea G = h ◦ X, entonces ∂G (r, p) = Dh(x) 6= 0, ∂t y por el teorema de la funci´ on impl´ıcita existe un abierto V , entorno de p y una u ´nica t : V → R diferenciable, tal que t(p) = r y para todo z ∈ V , G[t(z), z] = G(r, p) = h(x), es decir tal que para cada z ∈ V , X[t(z), z] ∈ H. Ahora por continuidad, existe Up entorno de p, tal que X[t(z), z] ∈ S, para cada z ∈ Up . Lema 5.26 a) Sea D ∈ D(U ), p ∈ U , [a, b] ⊂ I(p) y S una secci´ on local de D. Entonces existen a lo sumo un n´ umero finito de t ∈ [a, b], tales que Xp (t) ∈ S. b) Sea D ∈ D(U ), q ∈ U , p ∈ Ωq un punto no singular de D y S una secci´ on local de D en p. Entonces existe una sucesi´ on creciente sn → ∞, tal que {Xq (sn ) : n ∈ N} = S ∩ Xq [0, ∞). Adem´ as p es un punto l´ımite de xn = Xq (sn ). Demostraci´ on. a) Supongamos que exista una sucesi´on de tn ∈ [a, b], tales que Xp (tn ) ∈ S. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que tn → t ∈ [a, b]. Por ser S cerrado x = Xp (t) ∈ S, y si S ⊂ {z : h(z) = h(x)}, entonces h[Xp (tn )] = h(x), por tanto Dx h = l´ım

tn →t

en contra de la definici´ on.

h[Xp (tn )] − h(x) = 0, tn − t

314

Tema 5. Estabilidad

b) Aplicando (5.25) a r = 0 y x = p, tenemos que existe V entorno de p y t : V → R diferenciable tales que t(p) = 0 y X[t(z), z] ∈ S para todo z ∈ V . Ahora como p ∈ Ωq , existe rn → ∞, tal que pn = Xq (rn ) → p, y por tanto salvo para un n´ umero finito de n’s, pn ∈ V y X[t(pn ), pn ] = Xq [t(pn ) + rn ] ∈ S. Adem´ as Xq [t(pn ) + rn ] → p. Por u ´ltimo se sigue de (a) que S ∩ Xq [0, ∞) = S ∩ Xq [0, 1] ∪ S ∩ Xq [1, 2] ∪ . . . es a lo sumo numerable. Definici´ on. Dado un campo D ∈ D(U ), una o´rbita c´ıclica suya γ y una secci´ on S de D en x ∈ γ, llamaremos aplicaci´ on de Poincar´e en x a un difeomorfismo θ : S1x → S2x , donde S1x y S2x son entornos abiertos de x en S, para la que existe una aplicaci´ on diferenciable t : S1x → R tal que t(x) = T —el per´ıodo de x— y para todo z ∈ S1x θ(z) = X[t(z), z]. Teorema 5.27 Dado un campo D ∈ D(U ), una ´ orbita c´ıclica suya γ y una secci´ on local S de D en x ∈ γ, entonces: a) Existe una aplicaci´ on de Poincar´e, θ : S1x → S2x en x. b) Los n autovalores de XT ∗ : Tx (E) → Tx (E), son el 1 y los n − 1 autovalores de θ∗ : Tx (H) → Tx (H). Demostraci´ on. Con una traslaci´ on podemos considerar que x = 0. Ahora consideremos un sistema de coordenadas lineales xi correspondientes a una base ei de E donde e1 , . . . , en−1 son una base del hiperplano H que contiene a S y en es el vector cuya derivada direccional es Dx , es decir correspondiente a Dx por la identificaci´on can´onica entre E y Tx (E). Entonces Dx = (∂xn )x y x1 , . . . , xn−1 son coordenadas en H, que por evitar confusiones denotaremos z1 , . . . , zn−1 . Por (5.25) sabemos que existe Ux entorno de x en U , y t : Ux → R diferenciable tal que t(x) = T (el per´ıodo de γ) y X[t(z), z] ∈ S, para ◦

cada z ∈ Ux . Definimos Sx = Ux ∩ S y la aplicaci´on θ : Sx → S ,

θ(z) = X[t(z), z].

5.9. La aplicaci´ on de Poincar´ e

315

Calculemos la matriz de θ∗ : Tx (H) → Tx (H) en t´erminos de las coordenadas zi . Para i, j = 1, . . . , n − 1 n

X ∂Xi ∂t ∂θi ∂Xi ∂zk (T, x) (x) = (x) + (T, x) (x) ∂zj ∂t ∂zj ∂xk ∂zj k=1

∂Xi ∂t (x) + (T, x) = Dxi (x) ∂zj ∂xj ∂(XT )i ∂Xi (T, x) = (x). = ∂xj ∂xj pues zn = 0. Ahora bien XT es un difeomorfismo y XT ∗ : Tx (E) → Tx (E) es un isomorfismo, que tiene un autovalor λ = 1, pues XT ∗ Dx = DX(T,x) = Dx , y tiene una matriz asociada para i, j = 1, . . . , n − 1  !  ∂(XT )i (x) 0 ∂xj a 1 por tanto θ es un difeomorfismo local en x y se sigue (a) y (b). Nota 5.28 Observemos que los autovalores de XT ∗ : Tx (E) → Tx (E) y los de XT ∗ : Ty (E) → Ty (E) son los mismos para x, y ∈ γ. Pues existe r ∈ R tal que X(r, x) = y y (XT ∗ )y ◦ Xr∗ = Xr∗ ◦ (XT ∗ )x . Definici´ on. Llamaremos multiplicadores caracter´ısticos de la ´orbita c´ıclica γ a los n − 1 autovalores de XT ∗ —en cualquier punto x ∈ γ—, que quedan cuando quitamos el 1 que corresponde a XT ∗ Dx = Dx . Es decir a los autovalores de θ∗ . Ejercicio 5.9.3 Sea D ∈ D(R2 ) con una curva integral γ c´ıclica con per´ıodo T . Sea E un campo independiente de D en los puntos de γ. Demostrar que: (a) Si [D, E] = 0, entonces el multiplicador caracter´ıstico de γ es 1. (b) Si [D, E] = gD, entonces el multiplicador caracter´ıstico de γ es e

RT 0

g[γ(s)] ds

.

(Sol.)

316

5.10.

Tema 5. Estabilidad

Estabilidad de o ´rbitas c´ıclicas

Definici´ on. Sea D ∈ D(U ) y p ∈ U . Diremos que la ´ orbita de p se aproxima a una o ´rbita c´ıclica γ en x ∈ γ, si [0, ∞) ⊂ I(p) y para cada S secci´ on local de D en x existe Ux entorno abierto de x en U , una aplicaci´ on diferenciable t : Ux → R, un t0 > 0 y un entorno abierto Sx de x en S tales que: i.- t(x) = T , el per´ıodo de γ. ii.- p1 = X[t0 , p] ∈ Sx . iii.- pn+1 = X[t(pn ), pn ] ∈ Sx . iv.- pn → x.

Figura 5.6. La ´ orbita de p se aproxima a γ en x

Diremos que la ´ orbita de p se aproxima a γ si lo hace en todo punto x ∈ γ. Diremos que la ´ orbita c´ıclica γ es asint´ oticamente estable si existe un entorno U (γ) de γ, tal que para todo p ∈ U (γ), la ´orbita de p se aproxima a γ. Ejemplo 5.10.1 Consideremos de nuevo el campo con el que comenzamos la lecci´ on anterior D = [y + x(1 − x2 − y 2 )]

∂ ∂ + [−x + y(1 − x2 − y 2 )] , ∂x ∂y

cuyas soluciones son para cada k σ(t) = √

1 (cos t, − sen t), 1 + k e−2t

consideremos la secci´ on local S = {(x, 0) : x > 0}, que corta a la circunferencia unidad —que es una ´ orbita c´ıclica—, en el punto (1, 0), y observemos que para todo p ∈ S, X(2π, p) ∈ S, por lo que la aplicaci´on de Poincar´e correspondiente θ : (0, ∞) → (0, ∞),

5.10. Estabilidad de ´ orbitas c´ıclicas

317

es tal que σ(0) = (x, 0),

σ(2π) = (θ(x), 0),

de donde se sigue que x= √

1 1+k

θ(x) = q

⇒

k=

1 −1 x2

1 1+

1 x2


− 1 e−4π

por lo tanto θ0 (1) = e−4π es el multiplicador caracter´ıstico de la ´orbita c´ıclica, el cual es menor que 1. En esta lecci´ on veremos que esto implica que todas las trayectorias se aproximen a la circunferencia. Lema 5.29 Sea θ : V ⊂ Rm → Rm , diferenciable tal que θ(0) = 0 y A=

 ∂θ

i

∂zj

 (0) ,

tiene todos sus autovalores en el disco unidad {λ : |λ| < 1}. Entonces existe V0 entorno de 0 en V , tal que para todo q ∈ V0 , θ(q) ∈ V0 y θn (q) → 0. Demostraci´ on. Como ρ(A) < 1 podemos tomar r ∈ R tal que ρ(A) < r < 1. Y por (5.3) existe una norma inducida por un producto interior en Rm , para la que kAk < r. Ahora para cada  > 0 existe una bola V0 ⊂ V , centrada en 0, tal que si q ∈ V0 kθ(q) − Aqk ≤ kqk, y eligiendo  tal que k = r +  < 1 kθ(q)k ≤ kqk + kAqk ≤ kqk + kAk · kqk ≤ kkqk, de donde se sigue el resultado, pues kθn (q)k ≤ k n kqk. Proposici´ on 5.30 Si los multiplicadores caracter´ısticos de γ est´ an en {λ ∈ C : |λ| < 1}, entonces para cada x ∈ γ y cada secci´ on local S de x, existe un abierto Ux entorno de x en U , t : Ux → R diferenciable y Sx entorno abierto de x en S, tales que: i. t(x) = T , el per´ıodo de γ.

318

Tema 5. Estabilidad

ii. Para cada z ∈ Ux , t(z) > 0, [0, ∞) ⊂ I(z) y X[t(z), z] ∈ Sx . iii. Para cada z1 ∈ Sx y zn+1 = X[t(zn ), zn ], se tiene zn → x. iv. Para todo p ∈ Ux , x ∈ Ωp . Demostraci´ on. En los t´erminos de (5.27) podemos tomar, como consecuencia de (5.29), Sx = S1x , tal que θ(Sx ) ⊂ Sx , para cada z ∈ Sx , θn (z) → x y para cada z ∈ Ux , X[t(z), z] ∈ Sx . Que [0, ∞) ⊂ I(z) se sigue de que para z1 = X[t(z), z], zn+1 = X[t(zn ), zn ] = X(sn , z), siendo

Figura 5.7. Aplicaci´ on de Poincar´ e

sn = t(z) + t(z1 ) + · · · + t(zn ), y sn → ∞, pues t(zn ) → T . Teorema de Liapunov de Estabilidad de Orbitas C´ıclicas 5.31 Si γ es una ´ orbita c´ıclica de D ∈ D(U ), con multiplicadores caracter´ısticos en el disco unidad {λ ∈ C : |λ| < 1}, entonces γ es asint´ oticamente estable. Demostraci´ on. Para cada x ∈ γ consideremos una secci´on cualquiera, pasando por x y el abierto Ux del resultado anterior. Veamos que U (γ) = ∪Ux satisface el resultado, es decir que la ´orbita de cada p ∈ U (γ) se aproxima a γ. En primer lugar existe un x ∈ γ, tal que p ∈ Ux y por tanto existe sn → ∞ tal que xn = X(sn , p) → x. Consideremos un r ∈ (0, T ], z = X(r, x) ∈ γ y S una secci´on local por z. Apliquemos (5.30) a z y S y (5.25) a x, r y S. Entonces existen sendos abiertos Vz , Vx ⊂ U , entornos de z y x respectivamente, y aplicaciones diferenciables tz : Vz → R , tx : Vx → R, tales que tz (z) = T , tx (x) = r y para cada z 0 ∈ Vz y cada x0 ∈ Vx se verifica X[tz (z 0 ), z 0 ] ∈ Sz , X[tx (x0 ), x0 ] ∈ Sz .

319

5.10. Estabilidad de ´ orbitas c´ıclicas

Ahora como xn = X(sn , p) → x, X(sn , p) ∈ Vx a partir de un m ∈ N en adelante y para t0 = sm + tx (xm ), tendremos que p1 = X(t0 , p) = X(tx (xm ), X(sm , p)) = X(tx (xm ), xm ) ∈ Sz , y por (5.30), la sucesi´ on pn+1 = X[tz (pn ), pn ] ∈ Sz , converge a z y puesto que el z era arbitrario, hemos demostrado que la ´orbita de p se aproxima a γ. Teorema 5.32 Si γ ⊂ U es una ´ orbita c´ıclica asint´ oticamente estable, de D ∈ D(U ), con entorno U (γ), entonces para todo entorno V de γ y todo p ∈ U (γ), existe un tp > 0 tal que para t ≥ tp se tiene X(t, p) ∈ V . Demostraci´ on. Sea p ∈ U (γ) y consideremos un z ∈ γ y una secci´on local S pasando por z. Sabemos que existe Uz , entorno abierto de z en U y t : Uz → R diferenciable tal que t ≥ 0, t(z) = T , p1 = X(t0 , p) ∈ S ∩Uz , para un t0 > 0 y pn+1 = X[t(pn ), pn ] = X[sn , p] ∈ S ∩ Uz ,

l´ım pn = z,

por tanto t(pn ) → T y M = sup{|t(pn )| : n ∈ N} < ∞. Ahora por ser X diferenciable es lipchiciana en cada compacto y X(r, pn ) → X(r, z) ∈ γ, uniformemente en |r| ≤ M , pues existe un  > 0, tal que [−M, M ] × B[z, ] ⊂ WD . Ahora dado un entorno V de γ, tendremos que d(γ, V c ) = δ > 0, y existe m ∈ N tal que para n ≥ m y todo |r| ≤ M , X(r, pn ) = X(r + sn , p) ∈ V, siendo t0 + t(p1 ) + · · · + t(pn ) = sn → ∞, 0 < sn+1 − sn = t(pn+1 ) ≤ M, y basta tomar tp = sm , pues si t ≥ sm , existe n ≥ m tal que sn ≤ t ≤ sn+1 y r = t − sn ≤ sn+1 − sn = t(pn+1 ) ≤ M , por tanto X(t, p) = X(r + sn , p) = X(r, pn ) ∈ V.

320

5.11.

Tema 5. Estabilidad

El Teorema de Poincar´ e–Bendixson

El resultado central de esta lecci´ on es v´ alido cuando E tiene dimensi´on 2. En ´el haremos uso del siguiente teorema peculiar del plano real. Teorema de la Curva de Jordan 5.33 Sea h : [a, b] → R2 continua, tal que h(a) = h(b) y h(x) 6= h(y), para x, y ∈ [a, b) distintos y sea C = h[a, b]. Entonces R2 − C = A ∪ B donde A y B son abiertos conexos disjuntos, con A acotado —llamado el interior de la curva—, y B no acotado —llamado el exterior de la curva—, adem´ as Adh (A) = A ∪ C y Adh (B) = B ∪ C. Definici´ on. Sea U un abierto de R2 , D ∈ D(U ) y γ una ´orbita c´ıclica con per´ıodo T . Diremos que la ´ orbita de q ∈ U se aproxima en espiral a γ, si para cada x ∈ γ y cada secci´ on local S de D en x, el conjunto Xq [(0, ∞)] ∩ S es numerable, de la forma {Xq (tn ) = xn }, con tn una sucesi´ on tal que: a) tn es creciente y tn → ∞. b) xn est´ a entre xn−1 y xn+1 . c) xn → x. Ejercicio 5.11.1 En las condiciones de la definici´ on anterior, demostrar que tn+1 − tn → T.

(Sol.)

Lema 5.34 Sea U un abierto de R2 . En las condiciones de (5.26): D ∈ D(U ), q ∈ U , p ∈ Ωq no singular y S secci´ on local de D por p, se tiene que para {xn = Xq (tn )} = Xq [0, ∞) ∩ S. c) Si x1 = x2 , entonces xn = p para todo n y la ´ orbita de q es c´ıclica. d) Si x1 6= x2 , entonces todos los xn son distintos, xn est´ a entre xn−1 y xn+1 y xn → p. Demostraci´ on. (c) Si x1 = x2 , entonces Xq es c´ıclica y Xq (t) = Xq (t + nT ) para todo t ∈ R, n ∈ Z y T = t2 − t1 . Ahora bien existe n ∈ Z tal que t = t3 + nT ∈ [t1 , t2 ],

5.11. El Teorema de Poincar´ e–Bendixson

321

y por tanto Xq (t) = Xq (t3 ) ∈ S, entonces t = t1 ´o t = t2 . Se sigue as´ı que todos los xn coinciden y coinciden con p, pues p es un punto de acumulaci´ on de los xn . d) Supongamos que x1 6= x2 , entonces la curva C formada por el segmento x1 x2 y por Xq (t), para t ∈ (t1 , t2 ), divide al plano en dos abiertos conexos A y B, por (5.33). Tenemos ahora tres casos: 1) Si existe r ∈ (t2 , t3 ), tal que Xq (r) ∈ A, entonces para que Xq (t) entre en B, debe cortar a C, pero por una parte no puede atravesar a Xq [(t1 , t2 )], ya que si Xq (a) = Xq (b) con a > r y b ∈ (t1 , t2 ), entonces podemos considerar el m´ınimo a que lo verifica, y para ´el Xq (a − ) = Xq (b − ), para un  > 0 suficientemente peque˜ no, siendo as´ı que Figura 5.8. Xq (a−) ∈ A y Xq (b−) ∈ C. Y tampoco puede atravesar C por el segmento x1 x2 , pues en ese punto, D tendr´ıa un sentido distinto que en x1 y x2 . Se sigue as´ı que Xq (t) debe estar en A para todo t ≥ r y si S − x1 x2 = S1 ∪ S2 , donde S1 y S2 son segmentos cerrados disjuntos, S1 ⊂ B y con extremo x1 y S2 ⊂ A con extremo x2 , entonces x3 ∈ S2 y x2 est´ a entre x1 y x3 . El resultado se sigue por inducci´ on. Adem´ as los xn tienen a lo sumo un punto de acumulaci´on y p lo es. 2) Si existe r ∈ (t2 , t3 ) tal que Xq (r) ∈ B, por la misma raz´on de antes debe mantenerse en B y el resultado se concluye de una forma similar. 3) Si Xq (t2 , t3 ) ⊂ C ⊂ S ∪ Xq (t1 , t2 ), como Xq (t2 , t3 ) ∩ S es finito, tendremos que Xq (t2 , t3 ) ∩ Xq (t1 , t2 ) es no vac´ıo, por tanto existen a ∈ (t1 , t2 ) y a + T ∈ (t2 , t3 ), tales que Xq (a) = Xq (a + T ) y por tanto Xq (t1 + T ) = Xq (t1 ) ∈ S, para t1 + T ∈ (t1 , t3 ), por tanto t1 + T = t2 y x1 = x2 , lo cual es absurdo. Corolario 5.35 Sea U abierto de R2 , q ∈ U y S una secci´ on local de D ∈ D(U ), entonces S ∩ Ωq tiene a lo sumo un punto. Lema 5.36 Sea U abierto de R2 , q ∈ U y D ∈ D(U ). Si Xq (0, ∞) est´ a en un compacto y Ωq contiene una ´ orbita c´ıclica γ, entonces Ωq = γ. Adem´ as o bien la ´ orbita de q es γ o bien se aproxima a ella en espiral. Demostraci´ on. Supongamos que Ωq − γ es no vac´ıo, como cerrado no puede ser porque Ωq es conexo, tendremos que existe xn ∈ Ωq − γ,

322

Tema 5. Estabilidad

tal que xn → x ∈ γ. Ahora como Dx 6= 0, podemos considerar una secci´on local S de D pasando por x y existe V entorno de x y t : V → R diferenciable tales que t(x) = 0 y X[t(z), z] ∈ S para cada z ∈ V . Como a partir de un n es xn ∈ V , tendremos que X[t(xn ), xn ] ∈ S. Adem´as como xn ∈ Ωq , tendremos por (5.22) que X[t(xn ), xn ] ∈ Ωq , y por (5.35) que x = X[t(xn ), xn ], es decir que xn = X[−t(xn ), x] ∈ γ, en contra de lo supuesto. La u ´ltima parte es consecuencia de (5.34), pues si la ´ orbita de q es c´ıclica, coincide con Ωq = γ y si la ´orbita de q no es c´ıclica, entonces est´ a en el interior de γ o´ en el exterior. Adem´as si z ∈ γ y S es una secci´ on local de D pasando por z, entonces existe una sucesi´ on creciente tn → ∞, tal que Xq (tn ) → z en forma ordenada por el segmento S y {Xq (tn )} = S ∩ Xq [0, ∞), y el resultado se sigue, la aproximaci´ on de Xq a γ es en espiral. Teorema De Poincare–Bendixson 5.37 Sea U abierto de R2 , q ∈ U y D ∈ D(U ), tales que Xq (0, ∞) est´ a en un compacto K. Si existen p ∈ Ωq y x ∈ Ωp tales que Dx 6= 0 (en particular si K no contiene singularidades de D), entonces Ωq es una o ´rbita c´ıclica de D en K. Adem´ as o la ´ orbita de q es c´ıclica, siendo Ωq , o bien Xq se aproxima en espiral por dentro o por fuera a Ωq . Demostraci´ on. Como Ωq es invariante, tendremos que Xp (R) ⊂ Ωq y por ser cerrado Ωp ⊂ Ωq . Sea S una secci´ on local de D pasando por x ∈ Ωp , que existe pues por hip´ otesis Dx 6= 0. Entonces S ∩ Ωq = {x}, pues por (5.35) a lo sumo tiene un punto y x ∈ S ∩ Ωp ⊂ S ∩ Ωq , y como Xp (t) ∈ Ωq , tendremos que {x1 , x2 , . . .} = Xp [0, ∞) ∩ S ⊂ Ωq ∩ S = {x}, por tanto x1 = x2 = x y se sigue de (5.34) que la ´orbita γ de p, es la ´ orbita de x y es c´ıclica. Ahora el resultado es consecuencia del lema anterior (5.36) y Ωq = γ.

5.11. El Teorema de Poincar´ e–Bendixson

323

Ejemplo 5.38 Como una aplicaci´ on de este resultado consideremos el siguiente campo D = [−2y + x(2 − x2 − 2y 2 )]

∂ ∂ + [x + y(2 − x2 − 2y 2 )] , ∂x ∂y

para el que hay ´ orbitas que entran en el compacto K = {(x, y) : 1 ≤ x2 + 2y 2 ≤ 4}, y en ´el se quedan, pues para H = 2(x∂x + 2y∂y) = grad(x2 + 2y 2 ), tenemos que < D, H > = [−2y + x(2 − x2 − 2y 2 )]2x + [x + y(2 − x2 − 2y 2 )]4y = 2(x2 + 2y 2 )(2 − x2 − 2y 2 ), es positivo en los puntos x2 +2y 2 = 1 lo cual significa que D sale de esa elipse, mientras que es negativo en x2 + 2y 2 = 4, lo cual significa que entra en la elipse. Adem´ as es f´ acil verificar que D no se anula en K, por tanto el teorema de Poincar´e–Bendixson nos Figura 5.9. asegura que D tiene en K una ´ orbita c´ıclica, 2 2 que es x + 2y = 2 —aunque esto no lo dice el teorema—. Teorema 5.39 Sea U abierto de R2 , D ∈ D(U ) con singularidades aisladas y q ∈ U tal que Xq (0, ∞) est´ a en un compacto K. Si existe p ∈ Ωq tal que Dp = 0, entonces: a) Si para todo x ∈ Ωq es Dx = 0, entonces Ωq = {p} y Xq (t) → p, cuando t → ∞. b) Si existe a ∈ Ωq tal que Da 6= 0, entonces Ωq = P ∪ C, con P = {p1 , . . . , pm } un conjunto finito de singularidades de D y C = ∪γa una uni´ on de ´ orbitas de puntos a ∈ U no singulares. Tales que para cada a existen pi , pj ∈ P , Xa (t) → pi , cuando t → ∞ y Xa (t) → pj cuando t → −∞. Demostraci´ on. Como Ωq es compacto a lo sumo contiene un conjunto finito P = {p1 , . . . , pm } de singularidades de D, pues en caso contrario

324

Tema 5. Estabilidad

tendr´ıamos un punto l´ımite —que tambi´en ser´ıa singular por la continuidad de D— y no ser´ıa aislado. Por tanto Ωq = P ∪ C, con C uni´on de ´ orbitas γa de puntos no singulares. a) En este caso Ωq = P y por ser Ωq conexo, tendr´ıamos que Ωq = {p}. Que Xq (t) → p es consecuencia de (5.22). b) Supongamos que para alguna γa de C existe x ∈ Ωa con Dx 6= 0, entonces por (5.36), Ωq es c´ıclica, en contra de la hip´otesis, pues existe p ∈ Ωq , con Dp = 0. Por tanto para toda γa de C y todo x ∈ Ωa es Dx = 0. Se sigue de (a) que Ωa es un punto de P al que converge Xa (t) cuando t → ∞. Por simetr´ıa (consid´erese el campo −D), se obtiene que Xa (t) tiende a un punto de P (que es αa ), cuando t → −∞. Remitimos al lector al Teorema de Stokes (14.12), p´ag.994, del que una consecuencia es el siguiente resultado sobre la no existencia de orbitas c´ıclicas. ´ Criterio De Bendixson 5.40 Sea D ∈ D(R2 ). Si div (D) > 0 (resp. < 0), entonces D no tiene o ´rbitas c´ıclicas. Demostraci´ on. Supongamos que S es una ´orbita c´ıclica del campo D = f ∂x + g∂y y sea C = S ∪ S 0 —por el teorema de Jordan C es compacto no vac´ıo—. Entonces ωD = 0 para ω = f dy − gdx y por el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 llegamos a un absurdo, pues  Z Z Z  ∂f ∂g 0= ω= dω = + dx ∧ dy > 0, ∂x ∂y S C C ya que C tiene interior no vac´ıo.

5.12.

Estabilidad de o ´rbitas en el plano

Definici´ on. Diremos que una ´ orbita c´ıclica γ de D ∈ D(R2 ) es estable si para cada  > 0 existe δ > 0, tal que si p ∈ R2 verifica d(p, γ) < δ, entonces (0, ∞) ⊂ I(p) y d[Xp (t), γ] < ,

5.12. Estabilidad de ´ orbitas en el plano

325

para t ≥ 0. Utilizaremos el siguiente resultado, aunque no daremos su demostraci´ on. Lema 5.41 Todo campo D ∈ D(R2 ) se anula en el interior de sus ´ orbitas c´ıclicas. Teorema 5.42 Sea D ∈ D(R2 ) y q ∈ R2 tal que Xq (0, ∞) est´e en un compacto sin singularidades de D. Si q est´ a en el interior A de la ´ orbita c´ıclica Ωq (resp. en el exterior B), entonces para cada  > 0, existe δ > 0 tal que si p ∈ A (resp. p ∈ B) y d(p, Ωq ) < δ, entonces d[Xp (t), Ωq ] < , para todo t > 0 y Xp se aproxima en espiral a Ωq . Demostraci´ on. Sea η > 0 tal que para toda singularidad z de D, d(z, Ωq ) > η. Supongamos que q ∈ A y sean x ∈ Ωq , S una secci´on local de D pasando por x y tn la sucesi´ on creciente de (5.26) tal que {Xq (tn )} = Xq [0, ∞) ∩ S. Entonces dado 0 <  < η existe n ∈ N tal que para t ≥ tn , d[Xq (t), Ωq ] < , y adem´ as si denotamos con Kn el compacto limitado por las curvas cerradas Ωq y Cn , definida por el segmento Xq (tn )Xq (tn+1 ) y el arco Xq [(tn , tn+1 )], entonces para todo z ∈ Kn d(z, Ωq ) < . Si ahora consideramos δ = d[Cn , Ωq ], se tiene que {z ∈ A : d(z, Ωq ) < δ} ⊂ K ⊂ {z ∈ A : d(z, Ωq ) < }, y si p ∈ A y d(p, Ωq ) < δ, tendremos que p ∈ K y Xp (t) se mantiene en K pues no puede cortar a otra curva ni salir por el segmento, por lo que d[Xp (t), Ωq ] < ,

326

Tema 5. Estabilidad

para t ≥ 0. Se sigue de (5.27) que Ωp es una ´orbita c´ıclica y del Lema anterior que en su interior hay un punto singular de D, por lo que su interior no est´ a en R, es decir contiene al interior de Cn y por tanto a q. Ahora si Ωp 6= Ωq , llegamos a un absurdo, pues Xq tendr´ıa que cortar a Ωp para aproximarse a Ωq . Por tanto Ωp = Ωq . Adem´as Xq y Xp se cortan con cualquier secci´ on local alternadamente. Teorema 5.43 Condici´ on necesaria y suficiente para que una ´ orbita c´ıclica γ de D ∈ D(R2 ) sea estable es que tanto para su interior A como para su exterior B se cumpla una de las situaciones: a) Existe q ∈ A (resp. q ∈ B), tal que Xq (t) → γ, cuando t → ∞. b) Existen ´ orbitas c´ıclicas en A (resp. en B), tan pr´ oximas a γ como queramos. Demostraci´ on. “⇐” Si lo que tenemos es (a) es consecuencia del resultado anterior. Si lo que tenemos es (b) observamos que si p est´a entre dos ´ orbitas c´ıclicas, entonces Xp (t) se mantiene entre ellas y por tanto pr´ oxima a γ. “⇒” Si γ es estable y para un  > 0 no existen puntos singulares de D, ni ´ orbitas c´ıclicas que disten de γ menos de , entonces como existe un δ > 0 tal que para p verificando d(p, γ) < δ, se tiene d[Xp (t), γ] < /2, tendr´ıamos por el Teorema de Poincare–Bendixson que Ωp es una ´orbita c´ıclica de D que dista de γ menos de , por tanto Ωp = γ, y tenemos (a).

5.13. Ejercicios resueltos

5.13.

327

Ejercicios resueltos

Ejercicio 5.2.2.- Soltamos una bola en un cuenco con superficie dada por z = (ax2 + by 2 )/2. Encontrar la EDO que rige su movimiento (suponemos que la gravedad es el vector g = (0, 0, −1), demostrar que el origen con velocidad nula es un punto singular de la ecuaci´ on y encontrar su linealizaci´ on en ese punto. Indicaci´ on.- Sea σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una trayectoria de la bola y consideremos los vectores independientes en el punto σ(t) e1 = (1, 0, ax),

e2 = (0, 1, by),

e3 = (ax, by, −1),

donde e1 y e2 son tangentes a la superficie y e3 es perpendicular, para los que g = (0, 0, −1) = −

by 1 ax e1 − e2 + e3 1 + a2 x2 + b2 y 2 1 + a2 x2 + b2 y 2 1 + a2 x2 + b2 y 2

Entonces la velocidad de la bola es σ 0 (t) = (x0 , y 0 , axx0 + byy 0 ) = x0 e1 + y 0 e2 , y su aceleraci´ on σ 00 (t) = x00 e1 + y 00 e2 + x0 e01 + y 0 e02 = x00 e1 + y 00 e2 + x0 (0, 0, ax0 ) + y 0 (0, 0, by 0 ) = x00 e1 + y 00 e2 − (ax02 + by 02 )e = (x00 +

(ax02 + by 02 )by ax02 + by 02 (ax02 + by 02 )ax )e1 + (y 00 + )e2 − e3 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1+a x +b y 1+a x +b y 1 + a2 x2 + b2 y 2

por tanto como las fuerzas que act´ ua en su movimiento son la gravedad, g, y la que la mantiene en la superficie, tendremos que si la masa de la bola es m, las ecuaciones de Newton aseguran que mσ 00 = me + F, para F un vector perpendicular a la superficie, es decir m´ ultiplo de e3 , por tanto como las ei son independientes, tendremos que ambos vectores deben tener las dos primeras componentes (en la base ei ) iguales x00 +

(ax02 + by 02 )ax ax =− 1 + a2 x2 + b2 y 2 1 + a2 x2 + b2 y 2

y 00 +

(ax02 + by 02 )by by =− 1 + a2 x2 + b2 y 2 1 + a2 x2 + b2 y 2

o lo que es lo mismo x00 +

(1 + ax02 + by 02 )ax = 0, 1 + a2 x2 + b2 y 2

y 00 +

(1 + ax02 + by 02 )by = 0. 1 + a2 x2 + b2 y 2

y la linealizaci´ on en el origen con velocidad 0 es x00 + ax = 0, y 00 + by = 0.

328

Tema 5. Estabilidad

Ejercicio 5.3.1.- Demostrar que si p es un punto estable, entonces para todo entorno Up de p en U , existe otro Wp ⊂ Up , tal que para todo q ∈ Wp se tiene [0, ∞) ⊂ I(q) y Xq (t) ∈ Wp para todo t ≥ 0. Indicaci´ on.- Consid´ erese el conjunto, en los t´ erminos de la definici´ on, Wp = {q ∈ Up : ∃r > 0/ Xq (t) ∈ Vp , ∀t ≥ r}.

Ejercicio 5.3.3.- Demostrar que el origen es un punto estable del campo en coordenadas polares ∂ 1 ∂ + ρ sen . ∂θ ρ ∂ρ Indicaci´ on.- Demostrar que el campo tiene o ´rbitas circulares de radio tan peque˜ no como queramos.

Ejercicio 5.5.3.- Demostrar que un campo es conservativo si y s´ olo si es un campo gradiente. (Observemos que f est´ a determinada salvo una constante). Soluci´ on.- Si es un campo gradiente D = grad f , entonces tomando un sistema de coordenadas lineales xi correspondiente a una base ortonormal, tendremos que D=

n X ∂f ∂ , ∂x i ∂xi i=1

por tanto por la regla de la cadena Z Z L Z ω= < Dσ(s) , Tσ(s) > ds = γ

0

L

(f ◦ σ)0 (s)ds = f (b) − f (a).

0

Supongamos ahora que D es conservativo, entonces para cada x ∈ U podemos definir la funci´ on f (x) como el trabajo de D, a lo largo de cualquier curva que una un punto a ∈ U prefijado, con x. Entonces si las componentes de D son fi , tendremos que f (x1 + t, x2 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn ) ∂f (x) = l´ım t→0 ∂x1 t R x1 +t < D, ∂x > ds 1 x = l´ım 1 t→0 t R x1 +t f1 (s, x2 , . . . , xn )ds x = l´ım 1 = f1 (x), t→0 t y lo mismo para el resto de componentes.

Ejercicio 5.8.1.- Consideremos las ecuaciones del p´endulo con rozamiento (a > 0), es decir θ0 (t) = z(t), z 0 (t) = az − sen θ(t), y demostrar que para cada k < 2 y `(θ, z) = z 2 /2 + 1 − cos θ, el compacto K = {(θ, z) : −π ≤ θ ≤ π, `(θ, z) ≤ k}, est´ a en la cuenca del punto p = (0, 0).

5.13. Ejercicios resueltos

329

Soluci´ on.- Nuestro campo es D=z

∂ ∂ − (az + sen θ) , ∂θ ∂z

si consideramos la energ´ıa `(θ, z) = z 2 /2 + 1 − cos θ (donde la energ´ıa potencial la tomamos nula en el punto mas bajo del p´ endulo), entonces ` es de Liapunov para D en p, pues por una parte `(0, 0) = 0 y `(θ, z) > 0, en el resto de puntos. Y por otra parte D` ≤ 0 pues D` = z sen θ − (az + sen θ)v = −az 2 ≤ 0. Ahora nuestro compacto K = {(θ, z) : |θ| ≤ π, `(θ, z) ≤ k} = {(θ, z) : |θ| < π, `(θ, z) ≤ k}, y si q ∈ K y (α, β) = I(q), entonces β = ∞ y Xq (t) ∈ K para todo t ≥ 0. Ve´ amoslo. Sea R = sup{r < β : Xq (t) ∈ K, 0 ≤ t ≤ r}, entonces si R < β, Xq (R) ∈ K y como [` ◦ Xq ]0 = D` ◦ Xq ≤ 0, tenemos dos casos: a) Existe t ∈ (0, R) tal que [` ◦ Xq ]0 (t) < 0, entonces `[Xq (R)] < `(q) ≤ k, y R no es m´ aximo, pues Xq (R) est´ a en el interior de K. b) Para cada t ∈ [0, R] 0 = [` ◦ Xq ]0 (t) = D`[Xq (t)] = −az(t)2 , para Xq (t) = (θ(t), z(t)). Por tanto z(t) = 0 en [0, R] y por tanto θ(t) es constante y sen θ = 0, pues z 0 = −az − sen θ, lo cual implica |θ(t)| = π en [0, R], en contra de la definici´ on de K. Por tanto R = β = ∞ y por (b) K no contiene ninguna o ´rbita de D en la que ` sea constante. As´ı nuestro anterior resultado implica que K ⊂ C(0, 0).

Ejercicio 5.9.1.- Demostrar que si O es la o ´rbita de un punto no singular p de un campo D ∈ D(U ), son equivalentes: (a) O es c´ıclica. (b) Existen r ∈ I(p) y T > 0 tales que Xp (r) = Xp (r + T ). (c) Con la topolog´ıa inducida por U , O es homeomorfa a la circunferencia unidad S1 . Soluci´ on.- (a)⇔(b) se deja al lector. (a)⇒(c) Si Xp (T ) = p, tenemos la biyecci´ on continua Xp : [0, T ) → O y podemos definir la biyecci´ on continua φ : [0, T ) → S1 , φ(t) = (cos(2πt/T ), sen(2πt/T )). Ahora F = φ ◦ Xp−1 : O → S1 es una biyecci´ on y es homeomorfismo. (a)⇐(c) Si existe un homeomorfismo G : O → S1 , la ´ orbita es compacta y se sigue de (2.28), p´ ag.100, que I(p) = R, por tanto tenemos una aplicaci´ on continua

330

Tema 5. Estabilidad

y sobre Xp : R → O que si no es inyectiva, por (b) O es c´ıclica. En caso contrario tenemos que G ◦ Xp : R → S1 es biyectiva y continua y lo mismo si quitamos el 0 y su imagen G(p) y si consideramos la proyecci´ on estereogr´ afica en S1 , desde G(p), tendremos un homeomorfismo S1 \{G(p)} → R y en definitiva una aplicaci´ on biyectiva y continua φ : R\{0} → R lo cual es absurdo pues φ(0, ∞) y φ(−∞, 0) son conexos y complementarios, por tanto de la forma (−∞, a) y [a, ∞) (´ o (−∞, a] y (a, ∞)) y por ser biyecci´ on existe t > 0 (´ o t < 0) tal que φ(t) = a —esto da cuatro casos de los que analizamos uno—. Entonces en (0, ∞), φ alcanza el m´ınimo a en t y por continuidad en (t/2, t) toma todos los valores entre a y φ(t/2) > a y en (t, 2t) tambi´ en toma todos los valores entre a y φ(2t) > a, por tanto no es inyectiva y llegamos a un absurdo.

Ejercicio 5.9.2.- Demostrar que por todo punto no singular de D pasa una secci´ on local y que esta secci´ on es cortada por cada o ´rbita de un lado al otro del hiperplano y que todas las o ´rbitas lo hacen en “el mismo sentido” —entendiendo que un hiperplano divide el espacio en dos regiones A y B, de este modo hay dos posibles sentidos de atravesarlo, de A a B o ´ de B a A—. Soluci´ on.- Sea Dp = plano

P

ai ∂ix 6= 0 entonces basta tomar h =

P

ai xi y el hiper-

H = {z : h(z) = h(x)}. P 2 Como Dh(x) = ai > 0, Dh > 0 en todo un entorno de x —que podemos tomar cerrado— y S esP la intersecci´ on de este entorno con H. Por u ´ltimo si D = fi ∂xi , y en z ∈ S es fi (z) = bi , tendremos que X 0 < Dh(z) = ai bi , lo cual significa que todos los vectores Dz , atraviesan H en el mismo sentido, que es el del vector de componentes (a1 , . . . , an ).

Ejercicio 5.9.3.- Sea D ∈ D(R2 ) con una curva integral γ c´ıclica con per´ıodo T . Sea E un campo independiente de D en los puntos de γ. Demostrar que: (a) Si [D, E] = 0, entonces el multiplicador caracter´ıstico de γ es 1. (b) Si [E, D] = gE, entonces el multiplicador caracter´ıstico de γ es RT

e

0

g[γ(s)] ds

.

Indicaci´ on. (a) Como [D, E] = 0, el grupo uniparam´ etrico τt de D conserva las curvas integrales σp de E, pues como se tiene la igualdad (para t, r ∈ R y p ∈ R2 en los que los t´ erminos est´ en definidos) (ver 2.41, p´ ag.107) τt [σp (r)] = σr [τt (p)] = στt (p) (r), y como τT (p) = p, para p en la ´ orbita c´ıclica, tendremos que τT ∗ (Dp ) = DτT (p) = Dp , τT ∗ (Ep ) = τT ∗ [σp∗ (∂t )0 ] = σp∗ (∂t )0 = Ep , (b) Consideremos un punto p = γ(0) de la ´ orbita y un entorno de p en el que exista una funci´ on f tal que [D, f E] = 0, es decir Df = f g, por tanto restringi´ endonos a γ(t), f 0 = f g, que tiene soluci´ on u ´nica verificando f (0) = 1 f (t) ≡ f [γ(t)] = e

Rt 0

g[γ(s)] ds

,

5.13. Ejercicios resueltos

331

ahora si consideramos el grupo uniparam´ etrico σt de H = f E, como [D, H] = 0, tendremos como antes que τt ◦ σp = στt (p) , por lo tanto τt∗ (Dp ) = Dτt (p) , τt∗ (Ep ) = τt∗ Hp = Hγ(t) = f (t)Eγ(t) , y el resultado se sigue repitiendo este argumento y continuando la funci´ on f y el campo H a lo largo de la ´ orbita (observemos que la f no es global pues al dar la vuelta f (γ(T )) en general no vale f (γ(0)), siendo γ(T ) = γ(0) = p). En definitiva se tiene que τT ∗ tiene dos autovalores 1 y f (T ).

Ejercicio 5.11.1.- En las condiciones de la definici´ on de o ´rbita que se aproxima en espiral a una o ´rbita c´ıclica γ con per´ıodo T , demostrar que tn+1 − tn → T. Soluci´ on.- Para 0 <  < T existe un entorno V de x y una aplicaci´ on diferenciable t : V → R, tal que t(x) = T , y para v ∈ V , X[t(v), v] ∈ S y |t(v) − T | ≤ . Como xn = Xq (tn ) → x, tendremos que, salvo para un n´ umero finito, los xn ∈ V , por tanto X[t(xn ) + tn , q] = X[t(xn ), xn ] ∈ S , |t(xn ) − T | ≤ , de donde se sigue que existe k ≥ 1, tal que tn+k = t(xn ) + tn y 0 < sn = tn+1 − tn ≤ tn+k − tn = t(xn ) ≤ T + . Tenemos as´ı que sn est´ a acotada y si r ∈ [0, T + ] es un punto l´ımite suyo, entonces x = X(r, x), pues xn+1 = X(tn+1 , q) = X[sn , X(tn , q)] = X[sn , xn ]. por tanto r es un m´ ultiplo de T , y r = 0 ´ o r = T. Veamos que r = 0 no puede ser. Sea h la funci´ on lineal que define S. Entonces la f´ ormula de Taylor asegura que existe H continua tal que h[X(t, z)] − h(z) = F (t, z) = tH(t, z), pues para g(s) = F (ts, z), tendremos que Z 1 Z F (t, z) = g(1) − g(0) = g 0 (s)ds = t 0

0

1

∂F (st, z)ds = tH(t, z), ∂t

y llegamos a un absurdo, pues xn = X(tn , q) ∈ S,

X(sn , xn ) = xn+1 ∈ S,

h[X(sn , xn )] − h(xn ) 0= = H(sn , xn ) → H(0, x) = Dx h. sn

332

5.14.

Tema 5. Estabilidad

Bibliograf´ıa y comentarios

Los libros consultados en la elaboraci´ on de este tema han sido: Abraham, Ralph and Mardsen, Jerrold E.: “Foundations of Mechanics”. Ed. Addison–Wesley, 1978. Arnold, V.I.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, Moscou, 1974. Coddington and Levinson: “Theory of ordinary Differential Equations”. McGraw–Hill, 1955. Hurewicz, W.: “Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias”. Ediciones RIALP, 1966. Lefschetz, S.: “Differential equations: Geometric Theory”. Dover Pub., 1977. Rouche, N. and Mahwin, J.: “Ordinary Differential Equations. Stability and periodic solutions”. Pitman Adv.Pub.Prog., 1980. Smale, S. and Hirsch, M.W.: “Ecuaciones diferenciales, sistemas din´ amicos y a ´lgebra lineal”. Alianza Univ., 1983.

El italiano Vito Volterra expone en el pr´ologo de su libro Volterra, Vito: “Lessons sur la Theorie Mathematique de la lutte pour la vie”. Ed. Jacques Gabay, 1990.

que inici´ o sus investigaciones en 1925, como consecuencia de las conversaciones mantenidas con M. D’ancona, el cual quer´ıa saber si se pod´ıan estudiar las variaciones en la composici´ on de asociaciones biol´ogicas desde un punto de vista matem´ atico. Fruto de estas investigaciones es la Teor´ıa matem´ atica de las fluctuaciones biol´ ogicas que este autor desarrolla en el libro anterior y nosotros hemos estudiado someramente en la lecci´ on de aplicaciones. Se dice que el italo–franc´es J.L. Lagrange se interes´o por las matem´ aticas tras una lectura temprana de una memoria del astr´onomo ingl´es, que ha dado nombre al famoso cometa, Edmond Halley. Sus mayores contribuciones matem´ aticas las hizo en teor´ıa de n´ umeros, en mec´ anica anal´ıtica y en mec´ anica celeste y parece ser que fue el primero en estudiar problemas de estabilidad en conexi´on con los puntos de equilibrio de los sistemas conservativos. El Teorema de estabilidad de Lagrange (5.11), p´ ag.297, fue enunciado en 1788 por ´el y apareci´o en su obra Lagrange, J.L.: “Traite de Mecanique”. 3rd. Ed. Mallet–Bachelier, Paris, 1853.

sin embargo, aunque la prueba que dio era correcta en el caso en que el potencial fuera cuadr´ atico, supuso err´ oneamente que para potenciales

5.14. Bibliograf´ıa y comentarios

333

anal´ıticos, los t´erminos (de la serie) de orden mayor que 2, eran despreciables. En 1838 Poisson trat´ o en vano de corregir este error suponiendo que cada t´ermino de segundo orden era mayor que la suma de los t´erminos de orden mas alto. Estos dos hechos hist´ oricos los menciona Lejeune–Dirichlet, G.: “Uber die stabilitat des Gleichgewichts”. 1846.

quien da la primera prueba rigurosa del teorema, razonando directamente de la noci´ on de m´ınimo del potencial, mas que considerando su desarrollo en serie. En su tesis de 1892, el matem´ atico ruso Liapunov, A.M.: “The general problem of the stability of motion”. 1892.

dice que fue precisamente la demostraci´ on de Dirichlet la que le inspir´ o sus teoremas de estabilidad, usando funciones auxiliares. Es esta memoria de Liapunov, b´ asicamente, la fundadora de la teor´ıa moderna de la estabilidad. ´ fue entre 1881–1886 y 1892–1899, el primero en estudiar Poincare sistem´ aticamente las soluciones peri´ odicas de ecuaciones diferenciales. La noci´ on de punto l´ımite es de Birkhoff (1927). Para resultados relativos al teorema de Hartman–Grobman remitimos al lector a los libros Hartman, Ph.: “Ordinary differential equations”. Ed. Birkhauser. 1982. Nelson, E.: “Topics in dynamics I, flows”. Princeton Univ. Press, 1969. Palis, Jacob Jr. and de Melo, Welington: “Geometric Theory of Dynamical Systems”. Princeton Univ. Press, 1969. Perco, Lawrence: “Differential Equations and Dynamical Systems”. Springer– Verlag, TAM, 7; 1991.

As´ı mismo remitimos al lector interesado en el teorema de linealizaci´ on diferenciable, de un campo en un punto hiperb´olico, al trabajo de Sternberg, S.: “On the structure of local homeomorphisms of euclidean n–space, II ”, Amer. Journal of Math., Vol. 80, pp.623–631, 1958.

Por u ´ltimo el ejemplo que dimos de un campo en el plano con el origen un punto singular inestable, pero cuya cuenca era todo el plano, apareci´ o en el art´ıculo

334

Tema 5. Estabilidad

Vinograd, R.E.: “The inadequacy of the method of the characteristic exponents for the study of nonlinear differential equations”. Mat. Sbornik, 41 (83), 431–438 (1957) (R).

y puede estudiarse en detalle en la p.191 del libro de Hahn, W.: “Stability of motion”. Springer–Verlag, 1967.

Fin del Tema 5

Parte II

Ecuaciones en derivadas parciales

335

Tema 6

Sistemas de Pfaff

6.1.

Introducci´ on

Nuestro inter´es en este tema se centra en analizar la siguiente cuesti´on de naturaleza geom´etrica: Campo de rectas.- Consideremos en cada punto x ∈ R3 una recta ∆x “diferenciablemente colocadas”. ¿Bajo qu´e condiciones existen curvas C, que recubran el espacio y tales que para cada curva C y para cada x∈C Tx (C) = ∆x ? Las rectas ∆x podemos definirlas a trav´es de un vector en el punto x y todos sus proporcionales (distribuci´ on) considerando por ejemplo un campo tangente D ∈ D(R3 ), tal que ∆x =< Dx >, ´ de sus ecuaciones (sistema de Pfaff), considerando dos 1–formas ω1 , ω2 ∈ o Ω(R3 ), tales que para cada x ∆x = {Dx ∈ Tx (R3 ) : ω1x Dx = ω2x Dx = 0},

337

338

Tema 6. Sistemas de Pfaff

en cuyos t´erminos nos preguntamos por la existencia de una familia de curvas tal que por cada punto x pase una curva de la familia, cuya recta tangente en x tenga la direcci´ on del vector Dx . La contestaci´ on a este problema ha sido dada ya en el tema II, pues las curvas integrales de un campo tangente, en t´erminos de coordenadas satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por otro lado si u, v son funciones con diferenciales independientes, integrales primeras de D, las curvas soluci´ on ser´ an {u = cte, v = cte}.

Campo de planos.- Consideremos ahora que en cada punto p ∈ R3 colocamos (“diferenciablemente”) un plano ∆p . ¿Bajo qu´e condiciones existen superficies S, que recubran el espacio y tales que para cada superficie S y para cada p ∈ S Tp (S) = ∆p ? Figura 6.1. Sistema de Pfaff

Como antes, los planos ∆p podemos definirlos a trav´es de sus ecuaciones (sistema de Pfaff), considerando una 1–forma ω ∈ Ω(R3 ), tal que para cada p ∆p = {Dp ∈ Tp (R3 ) : ωp Dp = 0}, o a trav´es de sus elementos (distribuci´ on) considerando por ejemplo dos campos tangentes independientes D1 , D2 ∈ D(R3 ), tales que ∆p =< D1p , D2p > . D2p D1p

p

wp= 0

(-F(p),-G(p),1) (0,1,G(p)) (1,0,F(p))

Figura 6.2. Distribuci´ on < D1p , D2p >= {ωp = 0}

339

6.1. Introducci´ on

Hemos dicho que el caso de las rectas se plantea en coordenadas como una ecuaci´ on diferencial, veamos ahora que el de los planos se plantea como un sistema de ecuaciones en derivadas parciales: Sean F, G ∈ C ∞ (R3 ) y consideremos la 1–forma ω = dz − F dx − Gdy, o equivalentemente sus campos incidentes independientes (ver Fig.6.2) ´ D1 =

∂ ∂ +F , ∂x ∂z

D2 =

∂ ∂ +G , ∂y ∂z

Queremos saber si existe una familia de superficies S, tangentes a D1 y D2 , es decir en las que i∗ ω = 0. Si f ∈ C ∞ (R2 ) es tal que su gr´ afica S = {z = f (x, y)} es tangente en cada punto suyo p al plano ∆p = {ωp = 0}, entonces f es soluci´on del sistema de ecuaciones en derivadas parciales

(6.1)

∂f (x, y) = F (x, y, f (x, y)), ∂x ∂f (x, y) = G(x, y, f (x, y)), ∂y

pues el vector tangente a S en p de componentes (1, 0, fx ), es de la forma a1 D1p + a2 D2p ≡ a1 (1, 0, F ) + a2 (0, 1, G), por lo que a2 = 0, a1 = 1 y fx = F , y por razones an´alogas fy = G. Dicho de otro modo, en Tp (S) = ∆p , ω = dz − F dx − Gdy

y

dp (z − f (x, y)) = dz − fx dx − fy dy,

se anulan; por lo tanto en p las 1–formas dz − F dx − Gdy y dz − fx dx − fy dy son proporcionales, pues tienen el mismo n´ ucleo Tp (S), y como adem´ as tienen la misma componente en dz, son iguales y por ser x, y, z coordenadas, fx = F y fy = G. p

(0,1,fy)

(1,0,fx) z=f(x,y)

Figura 6.3. Superficie {z = f (x, y)} tangente a los planos.

340

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Rec´ıprocamente si f es soluci´ on del sistema, su gr´afica S = {z = f (x, y)} es tangente a la distribuci´ on, pues para la inclusi´on i : S ,→ R3 , se tiene en S ω = dz − F dx − Gdy = dz − fx dx − fy dy = d(z − f (x, y)), por lo que i∗ ω = i∗ (d(z − f (x, y))) = 0. As´ı nuestro problema es equivalente a encontrar una familia de funciones f , tal que para cada (x, y, z) ∈ R3 , exista f de la familia que satisfaga (6.1) y f (x, y) = z. En las siguientes lecciones demostraremos que existe una familia de superficies tangentes si y s´ olo si existen funciones f1 , f2 tales que [D1 , D2 ] = f1 D1 + f2 D2 , ´ equivalentemente ω∧dω = 0. Veamos en nuestro caso en que se traduce o esta u ´ltima condici´ on:    ∂F ∂G ∂F ∂G ω ∧ dω = ω ∧ − dx ∧ dy + dx ∧ dz + dy ∧ dz ∂y ∂x ∂z ∂z   ∂F ∂G ∂G ∂F = − −F +G dx ∧ dy ∧ dz = 0 ⇔ ∂y ∂x ∂z ∂z ∂F ∂F ∂G ∂G +G = +F . ⇔ ∂y ∂z ∂x ∂z Observemos que si existe f satisfaciendo (6.1), entonces esos dos t´erminos, restringidos a S, no son otra cosa que ∂2f . ∂x∂y

6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones

6.2. 6.2.1.

341

Sistemas de Pfaff y Distribuciones Sistemas de Pfaff.

Definici´ on. Sea V una variedad diferenciable (ver el ap´endice 6.10, p´ ag.422). Llamaremos sistema de Pfaff en V a una aplicaci´on x ∈ V → Px , tal que Px es un subespacio de Tx∗ (V), verificando la siguiente condici´on: Para cada p ∈ V existe un entorno abierto Up , y ω1 , . . . , ωr ∈ Ω(Up ), tales que ω1x , . . . , ωrx es una base de Px , para todo x ∈ Up . Si Px es un sistema de Pfaff en V, entonces la propiedad anterior implica que dim(Px ) es localmente constante, por tanto si V es conexa —como siempre supondremos—, la dim(Px ) es una constante. A este valor lo llamaremos rango del sistema de Pfaff . Definici´ on. Dado un sistema de Pfaff Px en V, definimos para cada abierto V ⊂ V el sub–m´ odulo P(V ) de Ω(V ) P(V ) = {ω ∈ Ω(V ) : ωx ∈ Px , ∀x ∈ V }. Ejercicio 6.2.1 Sean P(V ) los m´ odulos que define un sistema de Pfaff Px en V. Demostrar: a) Los P(V ) son haz de m´ odulos. b) Para cada x ∈ V y cada abierto V tal que x ∈ V , Px = {ωx ∈ Tx∗ (V) : ω ∈ P(V )}.

(Sol.)

Un sistema de Pfaff {Px : x ∈ V} define por tanto un m´odulo P(V), en el que impl´ıcitamente est´ a el sistema de Pfaff, pues los Px los reconstruimos evaluando en cada x ∈ V las formas del m´odulo P(V). Es por ello por lo que habitualmente denotaremos el sistema de Pfaff por los m´ odulos P(U ), o´ simplemente por P, m´ as que por los subespacios Px que define. A continuaci´ on demostramos que en el abierto de la definici´on de sistema de Pfaff, el m´ odulo es libre.

342

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Teorema 6.1 Sea {Px }x∈V un sistema de Pfaff de rango r, U un abierto y ω1 , . . . , ωr ∈ Ω(U ), tales que en cada punto x ∈ U , ω1x , . . . , ωrx es una base de Px , entonces P(U ) =< ω1 , . . . , ωr >, es decir ω ∈ P(U )

⇔

ω = f1 ω1 + · · · + fr ωr ,

∞

con f1 , . . . , fr ∈ C (U ). Adem´ as para cada x ∈ V existe un abierto Ux entorno de x en V en el que P(Ux ) es sumando directo de Ω(Ux ). Demostraci´ on. La inclusi´ on“⊃” es obvia, Pr veamos “⊂”. Sea ω ∈ P(U ), entonces para cada x ∈ U , ωx = i=1 fi (x)ωix , y basta demostrar que las fi son localmente diferenciables. Como ω1x , . . . , ωrx son independientes, podemos extenderlas a una base ω1x , . . . , ωnx de Tx∗ (V). Consideremos ωr+1 , . . . , ωn ∈ Ω(V), tales que en x definan respectivamente las ωix , para i = r + 1, . . . , n y consideremos un entorno Ux de x en U en el que ω1 , . . . , ωn sigan siendo independientes. Consideremos ahora sus campos tensoriales Ti ∈ T01 (Ux ) duales, es decir tales que Ti (ωj ) = δij . Entonces fi = Ti (ω) ∈ C ∞ (Ux ). Por u ´ltimo observemos que P(Ux )⊕ < ωr+1 , . . . , ωn >= Ω(Ux ). Nota 6.2 Las dos propiedades del resultado anterior son las que caracterizan el que un haz de subm´ odulos de las 1–formas sea el haz asociado a un sistema de Pfaff. Lo cual a su vez equivale a que el haz de m´odulos cociente, Ω/P sea localmente libre.

6.2.2.

Distribuciones.

Definici´ on. Llamaremos distribuci´ on en V a una aplicaci´on x ∈ V → ∆x , donde ∆x es un subespacio de Tx (V), verificando la siguiente condici´on: Para cada p ∈ V existe un abierto U y campos D1 , . . . , Dk ∈ D(U ), tales que para todo x ∈ U , D1x , . . . , Dkx son base de ∆x .

6.2. Sistemas de Pfaff y Distribuciones

343

Como para los sistemas de Pfaff se sigue de esta propiedad que dim(∆x ) es localmente constante, por tanto constante pues V es conexo. A este valor k lo llamaremos rango de la distribuci´ on. Ejercicio 6.2.2 Para cada punto p ∈ R2 − {0} consideremos la recta ∆p que pasa por p y su direcci´ on es la de la bisectriz del a ´ngulo formado por el semieje positivo de x y la semirrecta que une p con el origen. Demostrar que ∆p es una distribuci´ on. (Sol.)

Definici´ on. Diremos que un subm´ odulo ∆ de D(V) es involutivo si para D1 , D2 ∈ ∆ se tiene que [D1 , D2 ] ∈ ∆. Definici´ on. Dada una distribuci´ on ∆x en V, definimos para cada abierto V el subm´ odulo de D(V ) ∆(V ) = {D ∈ D(V ) : Dx ∈ ∆x ∀x ∈ V }. Ejercicio 6.2.3 Sea ∆x una distribuci´ on en V de rango k, con subm´ odulos asociados ∆(V ) para cada abierto V . Demostrar: a) Los ∆(V ) son haz de m´ odulos. b) Para cada x ∈ V y cada abierto V tal que x ∈ V , ∆x = {Dx ∈ Tx (V) : D ∈ ∆(V )}. c) Si U es un abierto y D1 , . . . , Dk ∈ D(U ), son como en la definici´ on tales que para todo x ∈ U , D1x , . . . , Dkx son base de ∆x , entonces ∆(U ) =< D1 , . . . , Dk >, y para cada x ∈ V existe un entorno abierto Ux de x en V tal que ∆(Ux ) es sumando directo de D(Ux ). d) Si ∆(V ) es involutivo y U ⊂ V , entonces ∆(U ) tambi´en es involutivo.

Hemos visto que una distribuci´ on ∆x en V define un m´odulo ∆(V), a partir del cual podemos reconstruir la distribuci´on evaluando en cada x ∈ U los campos del m´ odulo ∆(U ). Es por ello por lo que habitualmente denotaremos la distribuci´ on por ∆ = ∆(U ), m´ as que por los subespacios ∆x . Definici´ on. Dado un subm´ odulo S de un m´ odulo M, llamamos incidente de S al subm´ odulo del dual de M S 0 = {ω ∈ M∗ : ω(S) = 0}.

344

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Nota 6.3 Por definici´ on el m´ odulo dual de los campos son las 1–formas D∗ = Ω y se tiene que el dual de estas son los campos pues tenemos el isomorfismo can´ onico D → Ω∗ ,

ˆ D → D,

ˆ D(ω) = ωD,

pues tiene inversa que hace corresponder a cada T ∈ Ω∗ el u ´nico campo D tal que para toda ω, ωD = T (ω). Observemos que tal campo existe y est´ a definido de forma u ´nica por el campo de vectores Dx , tales que para toda ωx , ωx Dx = Tx (ωx ) y es diferenciable pues para toda funci´on diferenciable f Dx f = dx f (Dx ) = T (df )(x), es diferenciable en x. Nota 6.4 Aunque el incidente de un sistema de Pfaff es una distribuci´on y el incidente de una distribuci´ on es un sistema de Pfaff, en general no es cierto que el incidente de un sistema de Pfaff libre sea una distribuci´on libre o que el incidente de una distribuci´ on libre sea un sistema de Pfaff libre. Sin embargo localmente s´ı es cierto. Proposici´ on 6.5 Se verifican los siguientes apartados: 1) ∆x es una distribuci´ on de rango k en V si y s´ olo si Px = ∆0x es un sistema de Pfaff de rango n − k en V. 2) Si para cada abierto V los m´ odulos que definen ∆x y Px = ∆0x son ∆(V ) y P(V ), entonces ∆(V )0 = P(V ) y P(V )0 = ∆(V ). 3) En los t´erminos anteriores, P(V )00 = P(V ) y ∆(V )00 = ∆(V ). Demostraci´ on. (2) ω ∈ ∆(V )0 ⇔ ω ∈ Ω(V )

y

∀D ∈ ∆(V ),

⇔ ω ∈ Ω(V )

y

∀x ∈ V, ∀Dx ∈ ∆x ,

⇔ ω ∈ Ω(V )

y

∀x ∈ V,

ωD = 0

ωx ∈

∆0x

ωx Dx = 0

= Px

⇔ ω ∈ P(V ), para lo que basta saber (ver el ejercicio 6.2.3), que para todo Dx ∈ ∆x existe D ∈ ∆(V ) que en x define Dx .

6.3. El sistema caracter´ıstico

6.3.

345

El sistema caracter´ıstico

Teorema 6.6 Si P es un subm´ odulo de Ω, entonces D[P] = {D ∈ D : ∀ω ∈ P, DL ω ∈ P, ωD = 0} = {D ∈ P 0 : DL P ⊂ P}. es un subm´ odulo de D involutivo. Demostraci´ on. Por el ejercicio siguiente se sigue f´acilmente que es m´ odulo. Para ver que es involutivo sean D1 , D2 ∈ D[P] y sea ω ∈ P, entonces [D1 , D2 ]L ω = D1L (D2L ω) − D2L (D1L ω) ∈ P ω[D1 , D2 ] = D1 (ωD2 ) − D1L ω(D2 ) = 0, pues D1L ω ∈ P, por lo tanto [D1 , D2 ] ∈ D[P]. Ejercicio 6.3.1 Demostrar que para D ∈ D(V), ω ∈ Ω(V) y f ∈ C ∞ (V), (f D)L ω = f (DL ω) + (ωD)df.

Definici´ on. Llamaremos sistema caracter´ıstico de un sistema de Pfaff P —que es subm´ odulo de Ω—, al subm´ odulo involutivo D[P] de D del resultado anterior. Ejercicio 6.3.2 Hallar el sistema caracter´ıstico del sistema de Pfaff P =< ω >, para las 1–formas de R3 ω = zdx + dy,

ω = xdx + ydy + zdz.

Nota 6.7 En general D[P] no es una distribuci´on, aunque P sea un sistema de Pfaff. Por ejemplo consideremos el sistema de Pfaff generado por la 1–forma de R3 ω = h(y)dx + dz, donde h es una funci´ on que se anula en C = {y < 0} y ella y su derivada son no nulas en A = {y > 0}. Se ve sin dificultad que el caracter´ıstico en R × A × R es nulo y sin embargo no lo es en R × C × R, que est´a generado por ∂x y ∂y. Sin embargo se tiene el siguiente resultado.

346

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Proposici´ on 6.8 Sea P un sistema de Pfaff y ∆ = P 0 su distribuci´ on asociada, entonces: i) Para cada campo D ∈ D, DL P ⊂ P

⇔

DL ∆ ⊂ ∆

ii) ∆ es involutiva si y s´ olo si ∆ = D[P]. Demostraci´ on. i) Consideremos E ∈ ∆ y ω ∈ P, entonces DL (ω)E = D(ωE) − ω(DL E) = −ω(DL E). ii) “⇐” por ser involutivo todo sistema caracter´ıstico. “⇒” Por (i) ya que D[P] = {D ∈ ∆ : DL ∆ ⊂ ∆}. A continuaci´ on caracterizamos el primer apartado del resultado anterior en t´erminos del grupo uniparam´etrico de D y los subespacios Px . Pero antes veamos un resultado previo. Lema 6.9 Sea E un espacio vectorial, E ∗ su dual y S, S 0 ⊂ E ∗ subespacios r–dimensionales. Entonces S = S0

⇔

Λr [S] = Λr [S 0 ].

Demostraci´ on. “⇐” Sea ω1 , . . . , ωr una base de S y extend´amosla a una base ω1 , . . . , ωn de E ∗ , entonces Λr [S] =< ω1 ∧ · · · ∧ ωr > y ω∈S

⇔

ω ∧ ω1 ∧ · · · ∧ ωr = 0

⇔

ω ∧ T = 0 ∀T ∈ Λr [S] = Λr [S 0 ]

⇔

ω ∈ S0.

Teorema 6.10 Sea D ∈ D(V) un campo no singular con grupo uniparam´etrico τ : WD → V y sea P un sistema de Pfaff en V. Entonces DL P ⊂ P, es decir DL ω ∈ P para toda ω ∈ P, si y s´ olo si para cada (t, x) ∈ WD se tiene τt∗ [Pτ (t,x) ] = Px . Demostraci´ on. “⇐” Hay que demostrar que para cada ω ∈ P y x ∈ V, (DL ω)x ∈ Px . Lo cual se sigue de la hip´otesis, pues τt∗ ωτ (t,x) − ωx ∈ Px , t→0 t

(DL ω)x = l´ım

6.3. El sistema caracter´ıstico

347

ya que es un l´ımite, que existe, de puntos de un subespacio vectorial, Px , el cual es un cerrado del espacio vectorial. “⇒” Lo haremos en dos partes: (a) Supongamos que el rango de P es 1. Entonces para cada x ∈ V existe un entorno en el que P es libre generado por una ω1 ∈ Ω. Ahora en ese entorno tendremos por la hip´ otesis que DL ω1 = gω1 , y de esto se sigue que para cada x ∈ V existe un entorno Ux y una ω ∈ Ω(Ux ) tal que para cada p ∈ Ux ωp genera Pp y en Ux DL ω = 0. Para ello basta encontrar una f 6= 0 tal que para ω = f ω1 0 = DL ω = (Df )ω1 + f (DL ω1 ) = [Df + f g]ω1 , y tal f debe satisfacer Df = −f g, la cual existe en un entorno Ux de x y es f 6= 0, aplicando el teorema de clasificaci´on local de campos no singulares. Ahora bien DL ω = 0 en Ux implica que para cada t ∈ I(x) tal que τ (t, x) = p ∈ Ux , τt∗ (ωp ) = ωx . De donde se sigue que para estos t se tiene que τt∗ [Pp ] = Px , pues P es de rango 1 y τt∗ es un isomorfismo. En definitiva para cada x ∈ V existe un  > 0, tal que para cada t ∈ (−, ), τt∗ [Pτ (t,x) ] = Px . De esto se sigue que A = {t ∈ I(x) : τt∗ [Pτ (t,x) ] = Px } es abierto y cerrado, pues si t ∈ I(x) e y = τ (t, x), existe un  > 0, tal que para r ∈ (−, ) τr∗ [Pτ (r,y) ] = Py

⇒

∗ τt+r [Pτ (t+r,x) ] = τt∗ [Pτ (t,x) ],

y si t ∈ A, τt∗ [Pτ (t,x) ] = Px , por tanto t + r ∈ A y A es abierto y si t ∈ Ac , τt∗ [Pτ (t,x) ] 6= Px , por tanto t + r ∈ Ac y Ac es abierto. Ahora por conexi´ on I(x) = A. (b) Supongamos ahora que el rango es r. Consideremos el subm´odulo de Λr [Ω] X Λr [P] = { λ1 ∧ · · · ∧ λr : λi ∈ P}, el cual satisface, por la hip´ otesis y las propiedades de la derivada de Lie, que DL (Λr [P]) ⊂ Λr [P]. Consideremos ahora para cada x ∈ V un entorno U en el que P(U ) sea libre generado por ω1 , . . . , ωr , por tanto en el que Λr [P(U )] est´a generado por ω1 ∧· · ·∧ωr . Entonces encogiendo el entorno U si es necesario encontramos —como en (a)— un m´ ultiplo γ = f ω1 ∧ · · · ∧ ωr ∈ Λr [P(U )],

348

Tema 6. Sistemas de Pfaff

y por tanto tal que para todo z ∈ U , < γz >= Λr (Pz ), para el que DL γ = 0 en U . Se concluye como en el caso anterior que para cada (t, x) ∈ WD y p = τ (t, x), τt∗ [Λr (Pp )] = Λr (Px ). Ahora bien de las propiedades del producto exterior se sigue que esa igualdad es la misma que Λr [τt∗ (Pp )] = Λr [Px ], y por (6.9), τt∗ (Pτ (t,x) ) = Px , que es lo que quer´ıamos. Ejercicio 6.3.3 Demostrar que para cada campo tangente D, con grupo uniparam´etrico τ y ∆ una distribuci´ on (ver Fig.6.4) DL ∆ ⊂ ∆

⇔

τt∗ ∆x = ∆τ (t,x) ,

∀(t, x) ∈ WD .

Definici´ on. Diremos que una subvariedad S ⊂ V es tangente a una distribuci´ on ∆ si para cada x ∈ S, Tx (S) ⊂ ∆x 1 ´o equivalentemente (demu´estrelo el lector), para la inclusi´ on i : S ,→ V i∗ ω = 0,

∀ω ∈ P = ∆0 .

Figura 6.4. Interpretaci´ on geom´ etrica de DL ∆ ⊂ ∆

Figura 6.5. Interpretaci´ on geom´ etrica de D ∈ ∆ y DL ∆ ⊂ ∆

1 Realmente

hay que entender i∗ [Tx (S)] ⊂ ∆x , para la inclusi´ on i : S ,→ V.

6.4. El Teorema de la Proyecci´ on

6.4. 6.4.1.

349

El Teorema de la Proyecci´ on Campos tangentes verticales

Definici´ on. Dada una aplicaci´ on diferenciable F : V → U, diremos que D ∈ D(V) es un campo vertical por F , si F∗ Dx = 0, para todo x ∈ V . Denotaremos con DF el m´ odulo de los campos verticales por F , es decir para cada abierto V ⊂ V, DF (V ) = {D ∈ D(V ) : F∗ Dx = 0, ∀x ∈ V }, los cuales tienen la propiedad de ser un haz de m´odulos, al que llamaremos el haz de campos verticales por F . Proposici´ on 6.11 Sean V y U variedades diferenciables, F : V → U diferenciable y D ∈ D(V) con grupo uniparam´etrico local X : WD → V. Entonces las siguientes dos propiedades son equivalentes a que el campo D sea vertical: (i) Df = 0, para cada f ∈ F ∗ [C ∞ (U)]. (ii) F [X(t, x)] = F (x), para cada (t, x) ∈ WD . Adem´ as se tiene que si D ∈ DF y γ ∈ Ω(U), entonces DL (F ∗ γ) = 0. Demostraci´ on. La equivalencia se deja de ejercicio. Lo u ´ltimo se sigue del segundo apartado, pues localmente toda uno–forma γ P P es en un abierto coordenado (U ; ui ), de la forma gi dui y F ∗ γ = fi dvi , para fi , vi ∈ F ∗ [C ∞ (U )], que son integrales primeras de D, por tanto X DL (F ∗ γ) = DL ( fi dvi ) = 0.

6.4.2.

Proyecciones regulares

Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on diferenciable π : V → U es una proyecci´ on regular en x ∈ V si se verifican cualquiera de las condiciones equivalentes: (i) π∗ : Tx (V) → Tπ(x) (U), es sobre ∗ (ii) π ∗ : Tπ(x) (U) → Tx∗ (V) es inyectiva.

350

Tema 6. Sistemas de Pfaff

(iii) Existen entornos coordenados (Vx , vj ) de x y (Uy , ui ) de y = π(x), tales que si p ∈ Vx tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), π(p) tiene coordenadas (x1 , . . . , xm ), es decir π ∗ ui = vi , para i = 1, . . . , m. (iv) Existe una secci´ on local σ : Uy → V, π ◦σ = Id, tal que σ(y) = x. Diremos que π es proyecci´ on regular si lo es en todo punto y es sobre. Corolario 6.12 Si π : V → U es una proyecci´ on regular, entonces para cada x ∈ V existe un abierto coordenado de x, Vx , (v1 , . . . , vn ) tal que Dπ (Vx ) =
∂vm+1 ∂vn

Demostraci´ on. Se sigue del apartado (iii) anterior. Lema 6.13 Sea π : V → U una proyecci´ on regular y P 0 un sistema de 0 Pfaff de rango r en U, entonces Px = π ∗ [Pπ(x) ], para cada x ∈ V es un sistema de Pfaff de rango r en V. Adem´ as dado un abierto V ⊂ V, π(V ) = U y γ ∈ Ω(U ), se tiene que π ∗ γ ∈ P(V ) si y s´ olo si γ ∈ P 0 (U ). Demostraci´ on. Sea x ∈ V, y = π(x) y Uy ⊂ U un entorno abierto de y para el que existen γ1 , . . . , γr ∈ Ω(Uy ) base de P 0 (Uy ). Entonces para Vx = π −1 (Uy ) y ωi = π ∗ (γi ) ∈ Ω(Vx ) se tiene que para cada z ∈ Vx los ∗ (U) → Tz∗ (V) es inyectiva. ωiz son base de Pz , pues la aplicaci´ on π ∗ : Tπ(z) Sea γ ∈ Ω(U ), entonces π ∗ γ ∈ P(V )

⇔

∀x ∈ V, (π ∗ γ)x ∈ Px

⇔

0 ∀x ∈ V, π ∗ γπ(x) ∈ π ∗ Pπ(x)

⇔

0 ∀x ∈ V, γπ(x) ∈ Pπ(x)

⇔

γ ∈ P 0 (U ),

donde la tercera equivalencia se sigue de la inyectividad de π ∗ . Definici´ on. Diremos que el sistema de Pfaff del resultado anterior es proyectable por π y lo denotaremos P = π ∗ (P 0 ). A continuaci´ on caracterizaremos los sistemas de Pfaff que son proyectables. Teorema de la proyecci´ on (Necesidad) 6.14 Si el sistema P es proyectable por π, entonces en todo abierto, Dπ ⊂ D[P].

6.4. El Teorema de la Proyecci´ on

351

Figura 6.6. Sistema de Pfaff proyectable

Demostraci´ on. Si D ∈ Dπ y ω ∈ P, queremos demostrar que ωD = L 0 y D ω ∈ P. Sea x ∈ V, y = π(x), γ1 , . . . , γr una base de P 0 (Uy ), para Uy entorno abierto de y y ωi = π ∗ γi la base P correspondiente de P(Vx ), para Vx = π −1 (Uy ), entonces como ω = fi ωi y π∗ Dx = 0, tendremos por el Lema anterior que DL ωi = DL π ∗ γi = 0 y que D ∈ D[P], pues ωx Dx = DL ω =

r X

fi (x)ωix (Dx ) =

i=1 r X

r X

i=1

i=1

r X

fi (x)γiy (π∗ Dx ) = 0,

i=1

(Dfi )ωi +

fi DL ωi =

r X (Dfi )ωi ∈ P. i=1

Figura 6.7. < D >= Dπ ⊂ D[P]

El rec´ıproco de (6.14) s´ olo es cierto localmente pues basta considerar el campo vertical D = ∂z para la proyecci´ on (x, y, z) → (x, y), de una distribuci´ on de planos < D, E >, que sea constante en cada fibra conexa, en un abierto de R3 que tenga dos componentes conexas en alguna fibra (ver Fig.(6.7)). Si la distribuci´ on no se proyecta en la misma recta en cada componente, el sistema de Pfaff no es proyectable, sin embargo los campos verticales est´ an en el caracter´ıstico. Lo demostraremos en un entorno abierto coordenado V de un punto x —que por comodidad tomaremos como el origen— c´ ubico, es decir difeomorfo al cubo unidad (v1 , . . . , vn ) : V −→ (−1, 1) × · · · × (−1, 1) ⊂ Rn ,

352

Tema 6. Sistemas de Pfaff

y por tanto tal que si un punto de V tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), entonces los puntos de coordenadas (x1 , . . . , txi , 0, . . . , 0), para i ≥ m y t ∈ [0, 1], tambi´en est´ an en V . Adem´ as supondremos que en ese entorno, nuestro sistema de Pfaff es libre. Pero antes consideremos la proyecci´on π = (v1 , . . . , vm ) : V −→ U = (−1, 1)m ⊂ Rm , y la secci´ on suya τ : U −→ V, q = (x1 , . . . , xm ) −→ τ (q) = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0), es decir que para i = 1, . . . , m, vi [τ (q)] = xi y para i = m + 1, . . . , n, vi [τ (q)] = 0, en estos t´erminos se tiene el siguiente resultado. Lema 6.15 Si Px = ∆0x es un sistema de Pfaff libre en V , tal que para cada z ∈ τ (U ), ∂ ∂ ,..., ∈ ∆z , ∂vm+1 ∂vn entonces Pq0 = τ ∗ [Pτ (q) ], para q ∈ U define un sistema de Pfaff libre en U.

Figura 6.8.

Demostraci´ on. Consideremos que P =< ω1 , . . . , ωr > y veamos que γi = τ ∗ ωi son independientes en todo punto q ∈ U y por tanto que definen un sistema de Pfaff P 0 =< γ1 , . . . , γr > en U . Supongamos que existe un q ∈ U tal que para z = τ (q) fuese " r # r r X X X ∗ ∗ 0= ai γiq = ai τ ωiz = τ ai ωiz , i=1

i=1

i=1

ahora bien como ∂vj ∈ ∆z , para j = m + 1, . . . , n, tendremos que ωiz (∂vj ) = 0, por lo que existen constantes λj para las que (6.2)

r X i=1

ai ωiz =

m X j=1

λj dz vj ,

6.4. El Teorema de la Proyecci´ on

353

por tanto   m m X X 0 = τ∗  λ j d z vj  = λj dq xj j=1

⇒

λ1 = · · · = λm = 0,

j=1

y se sigue de (6.2) y de la independencia de las ωiz que las ai = 0, por tanto las γiq son independientes. Teorema de la Proyecci´ on (Suficiencia) 6.16 Si Dπ ⊂ D[P] en todo abierto, entonces localmente P es proyectable por π. Demostraci´ on. Si P =< ω1 , . . . , ωr >, como por hip´otesis tenemos que para ∆ = P 0 (6.3)


= Dπ ⊂ D[P] ⊂ ∆ ∂vn

se sigue del lema anterior que P 0 =< τ ∗ ω1 , . . . , τ ∗ ωr > es un sistema de Pfaff en U .

Figura 6.9. Distribuciones asociadas a P, P 0 y P 00

Y por (6.13) tenemos dos sistemas de Pfaff en V , P =< ω1 , . . . , ωr >, P 00 = π ∗ (P 0 ) =< π ∗ [τ ∗ ω1 ], . . . , π ∗ [τ ∗ ωr ] >, adem´ as por construcci´ on P 00 es proyectable por π y por la parte del teorema demostrada (necesidad), Dπ ⊂ D[P 00 ], por tanto (6.4)

∂ ∂ ,..., ∈ D[P 00 ]. ∂vm+1 ∂vn

Basta entonces demostrar que P = P 00 , o lo que es lo mismo que para cada x ∈ V , Px = Px00 . Sea x ∈ V con coordenadas (x1 , . . . , xn ) y sea z = τ [π(x)], entonces z tiene coordenadas (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0).

354

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Por una parte tenemos que las ωi son base de P y por otra las (τ ◦ π)∗ ωi lo son de P 00 . Ahora bien para cada Ez ∈ Tz (V), como π ◦ τ = id Dz = τ∗ (π∗ Ez ) − Ez (por la inclusi´ on (6.3))

⇒

π∗ (Dz ) = 0

⇒

∀i = 1, . . . , m, Dz vi = π∗ (Dz )xi = 0

⇒

Dz ∈ ∆z

⇒

ω1z Dz = · · · = ωrz Dz = 0

⇒

[π ∗ (τ ∗ ωiz )]Ez = ωiz [τ∗ (π∗ Ez )] = ωiz Ez ,

por tanto π ∗ (τ ∗ ωiz ) = ωiz y Pz00 = Pz . Ahora concluimos, pues si P y P 00 coinciden en un punto q coinciden en todos los puntos de las curvas integrales de las ∂vi (para m + 1 ≤ i ≤ n) pasando por q, pues (por (6.3) y (6.4))

∂ L [P] ⊂ P , ∂vi

∂ L 00 [P ] ⊂ P 00 ∂vi

y por (6.10), si τt es el grupo uniparam´etrico de uno de esos campos, τt∗ [Pτ (t,q) ] = Pq = Pq00 = τt∗ [Pτ00(t,q) ] y Pτ (t,q) = Pτ00(t,q) ya que τt∗ es isomorfismo. Por lo tanto como P y P 00 coinciden en z, coinciden en x pues si partimos de z, mediante el grupo uniparam´etrico de ∂vm+1 llegamos en un tiempo xm+1 al punto de coordenadas (x1 , . . . , xm , xm+1 , 0, . . . , 0) y repitiendo el proceso con la ∂vm+2 , etc., llegar´ıamos en definitiva al punto x. Nota 6.17 Sin duda el lector tendr´ a la impresi´on de que para aplicar el teorema de la proyecci´ on sea necesario conocer de antemano la proyecci´ on. Pero esto no es as´ı, en el ejercicio siguiente veremos c´omo se puede utilizar este resultado y c´ omo “puede construirse” de hecho la proyecci´ on, conociendo exclusivamente el sistema de Pfaff. Ejemplo 6.4.1 Consid´erese el sistema de Pfaff P, en R4 , generado por la uno–forma ω = dx+ydy+xdz+zdu y proy´ectese a la m´ınima dimensi´ on. Caractericemos en primer lugar los campos D = f1

∂ ∂ ∂ ∂ + f2 + f3 + f4 , ∂x ∂y ∂z ∂u

355

6.4. El Teorema de la Proyecci´ on

que est´ an en su sistema caracter´ıstico D[P].

ωD = 0

) ⇔

DL ω = f ω

 0 = f1 + yf2 + xf3 + zf4        ∂  L  f = D ω   ∂x        ∂  f y = DL ω ∂y      ∂  L   f x = D ω   ∂z        ∂   f z = DL ω ∂u

lo cual implica −f3 = f,

0 = f y,

f1 − f4 = f x,

f3 = f z.

y por tanto D[P] es una distribuci´ on generada por D=

∂ z+1 ∂ ∂ − + . ∂x y ∂y ∂u

Consideremos ahora integrales primeras diferenciablemente independientes de D, Du1 = Du2 = Du3 = 0, como por ejemplo u1 = x − u ,

u2 = z ,

u3 = x(1 + z) +

y2 , 2

y por tanto du1 = dx − du ,

du2 = dz ,

du3 = (1 + z)dx + xdz + ydy.

Si ahora consideramos la proyecci´ on regular π = (u1 , u2 , u3 ), tendremos que Dπ =< D >⊂ D[P], y por tanto el teorema de la proyecci´ on nos asegura que P es proyectable por π, es decir que ω se expresa como combinaci´on de du1 , du2 y du3 y si es ω = g1 du1 + g2 du2 + g3 du3 = [g1 + g3 (1 + z)]dx + g3 ydy + (g2 + g3 x)dz − g1 du,

356

Tema 6. Sistemas de Pfaff

tendremos que g3 = 1, g1 = −z = −u2 y g2 = 0 y por tanto ω = −u2 du1 + du3 . Las subvariedades bidimensionales {u1 = cte, u3 = cte} son tangentes al sistema de Pfaff. Mas adelante veremos que no las tiene tridimensionales. Proposici´ on 6.18 Sean π1 : V → U y π2 : U → W proyecciones regulares, π = π2 ◦ π1 y P 0 un sistema de Pfaff en U. Entonces para P = π1∗ P 0 se tiene que Dπ ⊂ D[P] ⇒ Dπ2 ⊂ D[P 0 ]. Demostraci´ on. Sea E ∈ Dπ2 y D ∈ D(V ) tal que π1 lleve D en E, entonces π∗ D = π2∗ [π1∗ D] = 0, por tanto D ∈ Dπ

⇒

D ∈ D[P]

⇒

∀ω ∈ P 0 , (π1∗ ω)D = 0 ,

⇒

∀ω ∈ P 0 , ωE = 0 ,

π1∗ (E L ω) ∈ P

⇒

∀ω ∈ P 0 , ωE = 0 ,

ELω ∈ P 0

⇒

E ∈ D[P 0 ],

DL (π1∗ ω) ∈ P

lo cual se sigue de la proposici´ on (6.11) y de (6.13). Ejercicio 6.4.1 Sea F : V → U diferenciable, D ∈ D(V) y E ∈ D(U) tales que F∗ Dx = EF (x) para cada x ∈ V. Entonces para cada T ∈ Tp0 (U) DL (F ∗ T ) = F ∗ (E L T )

y

D ∈ DF

⇒

DL (F ∗ T ) = 0.

(Sol.)

Ejercicio 6.4.2 Demostrar que si P = π ∗ P 0 es proyectable y < D >= D[P], D[P 0 ] = {0}. Ejercicio 6.4.3 Demostrar si son proyectables los sistemas de Pfaff del espacio generados por: (1) xdx + x2 dy + x3 dz. (2) xydx + y 2 dy + yzdz.

6.5. El Teorema de Frobenius

6.5.

357

El Teorema de Frobenius

En esta lecci´ on caracterizaremos el hecho de que una distribuci´on de rango r tenga subvariedades r–dimensionales tangentes pasando por cualquier punto. Daremos la demostraci´ on como consecuencia directa del Teorema de la Proyecci´ on, con lo que se pone de manifiesto que este u ´ltimo es el resultado m´ as b´ asico y fundamental de la Teor´ıa de los sistemas de Pfaff. Completaremos la lecci´ on dando la versi´on del mismo teorema en t´erminos del sistema de Pfaff y dando una tercera versi´on en t´erminos de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. En un ap´endice, al final del Tema daremos una demostraci´on directa del Teorema de Frobenius, sin utilizar el Teorema de la Proyecci´ on, que aunque es sencilla de entender no queda claro el papel que juegan los ingredientes que en ella aparecen. Definici´ on. Diremos que una distribuci´ on ∆ en V de rango r es totalmente integrable si para cada x ∈ V existe un entorno abierto c´ ubico Vx de x en V, y un sistema de coordenadas (v1 , . . . , vn ) en Vx , tales que ∆(Vx ) =
, ∂v1 ∂vr

en cuyo caso las subvariedades de Vx (a las que llamaremos franjas del entorno) S = {x ∈ V : vr+1 = cte, . . . , vn = cte}, son tangentes a la distribuci´ on, es decir para cada z ∈ S Tz (S) = ∆z . Definici´ on. Diremos que un sistema de Pfaff P, de rango k, es totalmente integrable si para cada x ∈ V existe un entorno Vx de x y v1 , . . . , vk ∈ C ∞ (Vx ), con diferenciales independientes en todo Vx , tales que P(Vx ) =< dv1 , . . . , dvk > . Como antes observemos que si P es totalmente integrable, la soluci´ on a nuestro problema inicial de encontrar subvariedades n − k– dimensionales tangentes al sistema, vienen definidas localmente por {v1 = cte, . . . , vk = cte}.

358

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Proposici´ on 6.19 Un sistema de Pfaff es totalmente integrable si y s´ olo si ∆ = P 0 es totalmente integrable. Demostraci´ on. H´ agase como ejercicio. Lema 6.20 Sea P = π ∗ (P 0 ) un sistema de Pfaff proyectable, entonces: P

es tot. integrable

∆=P

0

es involutivo

⇐

P0

⇒

0

es tot. integrable

∆ = P 00

es involutivo.

Demostraci´ on. La primera implicaci´ on es trivial. Veamos la segunda, en primer lugar si E ∈ ∆0 , localmente existe D ∈ D tal que π∗ D = E y se tiene que D ∈ ∆, pues si γi generan P 0 , π ∗ γi = ωi generan P y ωi D = π ∗ γi D = γi E = 0. Por tanto si E1 , E2 ∈ ∆0 y D1 , D2 ∈ D, son tales que π∗ Di = Ei , entonces D1 , D2 ∈ ∆ y [D1 , D2 ] ∈ ∆

⇒

ωi [D1 , D2 ] = 0

⇒

γi [E1 , E2 ] = 0

⇒

[E1 , E2 ] ∈ ∆0 .

Teorema de Frobenius I 6.21 Una distribuci´ on ∆ es totalmente integrable si y s´ olo si es involutiva. Demostraci´ on. “⇒” Es un simple ejercicio. “⇐” Lo haremos por inducci´ on sobre r. Para r = 1 es el Teorema del flujo (2.25), p´ ag.96. Sea r > 1 y supongamos el resultado cierto para los rangos 1, . . . , r − 1. Sea x ∈ V y consideremos un campo D ∈ ∆, no singular en un entorno de x. Consideremos un sistema de coordenadas locales v = (vi ) en un entorno abierto Vx de x en V, tales que D = ∂vn ∈ ∆, y consideremos la proyecci´ on π = (v1 , . . . , vn−1 ) y U = π(Vx ), para la que se tiene por (6.8), p´ ag.346, y ser ∆ involutiva Dπ =
⊂ ∆ = D[P], ∂vn

donde P = ∆0 es un sistema de Pfaff de rango k = n − r. Se sigue del teorema de la proyecci´ on —encogiendo Vx y U = π(Vx ) si es necesario—, que existe un sistema de Pfaff P 0 de rango k en U tal que P = π ∗ (P 0 ) y se sigue del Lema anterior que ∆0 = P 00 es una distribuci´on involutiva

359

6.5. El Teorema de Frobenius

de rango (n − 1) − k = (n − 1) − (n − r) = r − 1 y por nuestra hip´otesis de inducci´ on ∆0 es totalmente integrable, ahora por el Lema P0

es tot. int.

⇒

P

es tot. int.

⇔

∆

es tot. int.

Teorema 6.22 Una distribuci´ on ∆ en V es totalmente integrable si y s´ olo si para cada x ∈ V existe una subvariedad conexa S tal que x ∈ S y ω|S = 0, para toda ω ∈ P = ∆0 , ´ o equivalentemente, Tz (S) = ∆z , para cada z ∈ S. Adem´ as S es localmente u ´nica en el sentido de que existe un entorno abierto de x, Vx ⊂ V, tal que si S 0 ⊂ Vx es otra, es conexa y S ∩ S 0 6= ∅, entonces S 0 ⊂ S. Demostraci´ on. Si ∆ es totalmente integrable, entonces para cada x ∈ V la franja que lo contiene {z ∈ Vx : vr+1 (z) = vr+1 (x), . . . , vn (z) = vn (x)}, satisface el enunciado. Rec´ıprocamente, tenemos que demostrar que ∆ es totalmente integrable ´ o por el teorema de Frobenius que es involutiva. Es decir que si D1 , D2 ∈ ∆, entonces [D1 , D2 ] ∈ ∆, para lo cual basta demostrar que para cada x ∈ V, [D1 , D2 ]x ∈ ∆x . Por hip´ otesis existe una subvariedad S tal que x ∈ S y para la inclusi´ on i : S ,→ V, i∗ [Tz (S)] = ∆z , para cada z ∈ S. Pero entonces existen u ´nicos E1z , E2z ∈ Tz (S), tales que i∗ E1z = D1z e i∗ E2z = D2z y se demuestra f´ acilmente que E1 , E2 ∈ D(S), pues cada funci´on g ∈ Cz∞ (S) localmente es g = i∗ f , para f ∈ Cz∞ (V) y Eiz g = Eiz (i∗ f ) = Diz f, por lo que Ei g = i∗ (Di f ) y es diferenciable. Se sigue que [E1 , E2 ] ∈ D(S) y por tanto [D1 , D2 ]x = i∗ [E1 , E2 ]x ∈ i∗ [Tx (S)] = ∆x . Por u ´ltimo consideremos que ∆ es totalmente integrable y para cada x ∈ V el abierto Vx de la definici´ on. Veamos que la subvariedad S = {z ∈ Vx : vr+1 (z) = vr+1 (x), . . . , vn (z) = vn (x)}, satisface el resultado, para lo cual basta observar que para cada z ∈ S 0 Tz (S 0 ) = ∆z =
, ∂v1 z ∂vr z

360

Tema 6. Sistemas de Pfaff

y por tanto para la inmersi´ on i : S 0 ,→ V, d(i∗ vr+1 ) = · · · = d(i∗ vn ) = 0, por tanto en S 0 las funciones vi , para i = r + 1, . . . , n, son constantes y como existe un p ∈ S ∩ S 0 , tendremos que S 0 ⊂ S. Definici´ on. Llamaremos variedad integral de una distribuci´on ∆ de V, a toda subvariedad inmersa conexa S ⊂ V, por tanto tal que i : S ,→ V, es una inmersi´ on, tal que para cada x ∈ S Tx (S) = ∆x , si no es conexa diremos que es una variedad tangente. Nota 6.23 Observemos que en el teorema de Frobenius las franjas del entorno son variedades integrales y por lo tanto si una distribuci´on es involutiva, por todo punto pasa una variedad integral. Definici´ on. Llamaremos variedad integral m´ axima de una distribuci´on a una subvariedad inmersa tangente a la distribuci´on que sea conexa y que contenga cualquier otra subvariedad inmersa tangente conexa que tenga alg´ un punto com´ un con ella. La raz´ on de considerar variedades integrales como subvariedades inmersas y no como subvariedades regulares se entiende con el siguiente resultado que demostramos en (6.80) del Ap´endice de variedades diferenciables y en el que se ve que la variedad integral m´axima pasando por un punto en general es inmersa. Teorema 6.24 Sea ∆ una distribuci´ on involutiva, entonces por cada punto de la variedad pasa una u ´nica variedad integral m´ axima. Teorema de Frobenius II 6.25 Sea P un sistema de Pfaff de rango r en V. Entonces son equivalentes: i) P es totalmente integrable. ii) Para todo x ∈ V existe un entorno Vx y generadores ω1 , . . . , ωr de P(Vx ) para los que dωi ∧ ω1 ∧ · · · ∧ ωr = 0,

i = 1, . . . , r.

361

6.5. El Teorema de Frobenius

iii) Para todo x ∈ V existe un entorno Vx tal que para toda ω ∈ P(Vx ) existen ωi ∈ P(Vx ) y ηi ∈ Ω(Vx ) tales que X dω = ωi ∧ η i . Demostraci´ on. (i) ⇒ (ii).- Sea (vi ) un sistema de coordenadas locales en Vx , entorno de x, tales que P(Vx ) =< dv1 , . . . , dvr >, entonces d(dvi ) = 0 y el resultado se sigue. (ii) ⇒ (iii).- Reduzcamos el entorno Vx si es necesario para que ω1 , . . . , ωr pueda extenderse a una base ω1 , . . . , ωn de Ω(Vx ). Si ω ∈ P(Vx ), entonces existen funciones f1 , . . . , fr en Vx tales que ω=

r X

fi ωi

⇒

dω =

i=1

r X

(dfi ∧ ωi + fi dωi ).

i=1

Ahora bien como dωi =

n−1 X

fijk ωj ∧ ωk =

r X

fijk ωj ∧ ωk +

j=1

j=1

j, para las 1–formas incidentes (6.5)

ωk =

n X n X ( zj Γkij )dxi + dzk . i=1 j=1

373

6.6. Aplicaci´ on: Tensor de curvatura

Definici´ on. Diremos que un campo tangente D es paralelo si para cualquier otro E, E ∇ D = 0. Diremos que una conexi´ on es plana si todo punto x ∈ V tiene un entorno abierto U con una base D1 , . . . , Dn ∈ D(U ), de campos paralelos. Lo cual equivale a que para todo punto x ∈ V y todo Dx ∈ Tx (V) existe un campo paralelo D ∈ D(Ux ), definido en un entorno abierto de x, que en x define Dx . Proposici´ on 6.31 Dado un abierto U ⊂ V, un campo tangente D ∈ D(U ) es paralelo sii la subvariedad del fibrado tangente sD (U ) = {sD (x) = Dx : x ∈ U } es tangente a ∆. Demostraci´ on. Para cada x ∈ U consideremos un entorno abierto P coordenado (Ux ; xi ), entonces si en ´el D = fi ∂xi , tendremos que para el abierto coordenado (T (Ux ); (xi , zi )) del fibrado tangente sD (U ) ∩ T (Ux ) = {zi = fi (x1 , . . . , xn )}, ahora que D sea paralelo equivale a que para todo i = 1, . . . , n 0 = ∂x∇ i D =

n X

fkxi ∂xk +

=

fkxi ∂xk +

fj ∂x∇ i ∂xj

j=1

k=1 n X

n X

n X

n X

(

fj Γkij )∂xk =

k=1 j=1

k=1

n X

(fkxi +

k=1

n X

fj Γkij )∂xk ,

j=1

Pn

es decir que para i, k = 1, . . . , n, fkxi + j=1 fj Γkij = 0, y esto equivale a que la subvariedad sea tangente a ∆, pues en ella zk = fk (x) y por (6.5), p´ ag.372, n n X X i ωk = (fkxi + fj Γkij )dxi = 0. ∗

i=1

j=1

Teorema 6.32 Para una conexi´ on ∇ en V son equivalentes: i) La conexi´ on es plana. ii) El tensor de curvatura R = 0. iii) La distribuci´ on ∆ en el fibrado tangente es totalmente integrable. Demostraci´ on. (i)⇒(ii) Si la conexi´ on es plana todo punto tiene un entorno abierto U con una base D1 , . . . , Dn ∈ D(U ), de campos paralelos, por tanto ∀i, j, k, R(Di , Dj , Dk ) = 0 ⇒ R = 0.

374

Tema 6. Sistemas de Pfaff

(ii)⇒(iii) Por (6.30) tenemos que para cualesquiera campos D, E ∈ D(V), [D∇ , E ∇ ] = [D, E]∇ , por tanto ∆ es involutiva y por el Teorema de Frobenius (6.21) ∆ es totalmente integrable. (iii)⇒(i) Veamos que para todo x ∈ V y todo Dx ∈ Tx (V) existe un campo paralelo D ∈ D(Ux ) definido en un entorno abierto de x que en x define Dx . Si la distribuci´ on es totalmente integrable, existe una subvariedad soluci´ on S pasando por el punto del fibrado y = Dx y en ella π : S → V es difeomorfismo local, pues π∗ : Ty (S) = ∆y → Tx (V) es isomorfismo pues es sobre ya que π∗ E ∇ = E y ambos son de dimensi´on n. Por tanto existe un abierto V de y en S, un entorno abierto U de x y un difeomorfismo σ : U → V ⊂ T (V) que es una secci´on local de π, tal que σ(x) = y = Dx , la cual define un campo tangente D ∈ D(U ), Dp = σ(p) ∈ S, que en x define Dx y σ(U ) es una subvariedad tangente y por la proposici´ on (6.31), D es paralelo.

6.7.

Aplicaci´ on: Termodin´ amica

Definici´ on. Dada una variedad diferenciable V, llamaremos curva diferenciable a trozos, a toda aplicaci´ on continua X: I ⊂ R → V para I = [a, b] ´ o I = R, diferenciable salvo en un n´ umero finito de puntos a ≤ t1 < · · · < tn ≤ b, tal que en cada (ti , ti+1 ) es la restricci´on de una aplicaci´ on diferenciable definida en un
intervalo (ai , bi ), con ai < ti < ∂ ti+1 < bi . Denotaremos con T = X∗ ∂t . En el caso de que X(a) = X(b) diremos que la curva es un ciclo. Observemos que por ser la variedad conexa, dos puntos cualesquiera de ella p, q ∈ V pueden unirse mediante una curva X, es decir existe X : I → V y r, s ∈ I, tales que X(r) = q y X(s) = p. Definici´ on. Dada una curva X y dos puntos de ella q = X(r), p = X(s) y dada una 1–forma ω ∈ Ω, entenderemos por integral a lo largo de X

6.7. Aplicaci´ on: Termodin´ amica

375

de ω, entre los instantes r y s, a Z s Z s Z s ω= X ∗ω = [ωT ◦ X] dt, r

r

r

Si X es un ciclo de extremos a y b, llamaremos al valor anterior, para r = a y s = b, integral de ω a lo largo del ciclo, y lo denotaremos si no hay confusi´ on por Z ω. Ejercicio 6.7.1 Demostrar que la integral a lo largo de cualquier ciclo de una 1–forma exacta es cero.

Definici´ on. Diremos que una variedad diferenciable V de dimensi´on n, con dos 1–formas ωQ y ωW y un sistema de Pfaff P, de rango 1 totalmente integrable, forman un sistema termodin´ amico si se verifican los tres principios de la termodin´amica que a continuaci´on expondremos. Nota 6.33 Pero antes de esto daremos algunos t´erminos que utilizaremos en la exposici´ on: A los puntos de V los llamamos estados del sistema. A ωQ la llamamos 1–forma de calor . A ωW la llamamos 1–forma de trabajo. A P lo llamamos sistema de Pfaff de la temperatura. A las subvariedades n−1–dimensionales tangentes al P, las llamamos haz de isotermas. A cualquier θ ∈ C ∞ (U ), con U abierto de V, tal que P(U ) =< dθ >, la llamamos funci´ on temperatura. A cada curva en V la llamamos transformaci´ on termodin´ amica. En 1843 el f´ısico brit´ anico J.Joule (1818–1889) determin´o que el trabajo y el calor eran equivalentes, en el sentido de que siempre se necesitan 4, 18J de trabajo para elevar 1 grado cent´ıgrado 1 gramo de agua, es decir para obtener 1cal de energ´ıa t´ermica. El experimento que realiz´ o consist´ıa en dejar caer un peso atado a una cuerda enrollada en un eje fijo que al girar mov´ıa unas paletas que a su vez agitaban el agua de un recipiente, que debido a esa fricci´ on se calentaba. El trabajo realizado por el cuerpo en su descenso se convert´ıa en calor absorbido por el agua. De este modo trabajo y calor son formas distintas, pero equivalentes y comparables, en las que se puede transformar la energ´ıa de un sistema.

376

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Definici´ on. Dada una transformaci´ on termodin´amica X en V, y dos estados suyos X(r) y X(s), llamamos calor y trabajo intercambiado a lo largo de la transformaci´ on entre los instantes r y s, respectivamente a Z s Z s ωQ , ωW . r

r

Si X es un ciclo, llamaremos R R calor y trabajo realizado a lo largo del ciclo, respectivamente a ωQ e ωW . R En un ciclo diremos que se produce trabajo si ωW < 0. Definici´ on. Dada una transformaci´ on termodin´amica X, diremos que en un instante t ∈ I, se gana calor si ωQ TX(t) > 0, y que se pierde calor si ωQ TX(t) < 0. Denotaremos las colecciones de estos instantes + − respectivamente por IQ e IQ . Primer principio de la termodin´amica “Dados dos puntos p, q ∈ V en un sistema termodin´amico, la suma del calor y el trabajo intercambiado entre ellos no depende de la transformaci´ on termodin´ amica que los une”. Denotaremos tal valor por Z

q

ωQ + ωW . p

Esto es equivalente a decir que a lo largo de un ciclo la suma del calor y el trabajo es nula. Definici´ on. En virtud de este primer principio podemos definir —fijado un punto p ∈ V—, la funci´ on Z x Up (x) = ωQ + ωW . p

Observemos que si consideramos otro punto q ∈ V, y la funci´on Uq que define, tendremos que Up − Uq es una constante en virtud del primer principio. Por tanto si estas funciones U son diferenciables, como veremos a continuaci´ on, entonces sus diferenciales coinciden —como veremos— , con ωQ + ωW . A esta funci´ on U determinada salvo una constante la llamaremos energ´ıa interna del sistema. Lema 6.34 La funci´ on U ∈ C ∞ (V).

6.7. Aplicaci´ on: Termodin´ amica

377

Demostraci´ on. Por la observaci´ on anterior basta demostrar que si U se anula en p ∈ V, existe un entorno de p en el que U es diferenciable. Consideremos un entorno coordenado de p, (Vp ; u), tal que u(p) = 0, y sea q ∈ Vp con coordenadas u(q) = x. Entonces para la transformaci´on termodin´ P amica —en coordenadas—, X(t) = tx, tendremos que si ωQ + ωW = fi dui , Z U (q) =

1

Z 1X X X ∗[ fi dui ] = [ fi (tx)xi ]dt,

0 ∂ pues X∗ ( ∂t )=

P

0

∂ ). La diferenciabilidad de U se sigue. xi ( ∂u i

Lema 6.35 dU = ωQ + ωW . Demostraci´ on. Llamemos por comodidad γ = ωQ + ωW . Por la observaci´ on basta demostrar que para cada p ∈ V, dp U = γp , donde U es la funci´ on energ´ıa que se anula en p. Sea Dp ∈ Tp (V), bastar´a demostrar que Dp U = γp Dp , ∂ Tomemos P un entorno coordenado de p, en el que Dp = ∂u1 y u(p) = 0. Si γ = fi (u1 , · · · , un )dui , entonces γp Dp = f1 (0) y por (6.34)

U (r, 0, . . . , 0) r Z 1 1 = l´ım f1 (tr, 0, . . . , 0)r dt r 0 Z 1 r = l´ım f1 (s, 0, . . . , 0)ds = f1 (0). r 0

Dp U = l´ım

Un gas definido por su presi´ on p = F/s y su volumen v es el ejemplo m´ as simple de sistema termodin´ amico. Si el gas se expande y su volumen pasa a ser v + dv = v + sdx, entonces el trabajo hecho por ´el es ωW = −F dx = −pdv y si (p, v) son sistema de coordenadas, el calor es ωQ = dU − ωW = Up dp + (Uv + p)dv.

378

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Segundo principio de la termodin´amica o de Kelvin–Planck “Si X es un ciclo en el que se produce trabajo, entonces hay puntos en los que se pierde calor”. Z − ωW < 0 ⇒ I Q 6= ∅. Teorema 6.36 Si ωQp 6= 0, para un p ∈ V, entonces condici´ on necesaria y suficiente para que el segundo principio sea v´ alido localmente, es decir en los ciclos de un entorno de p, es que el germen en p, del sistema de Pfaff < ωQ > sea totalmente integrable. Demostraci´ on. “⇐” Sabemos que para cada p ∈ V, existe un entorno coordenado Up , en el que ωQ = f du, siendo f 6= 0 en todo Up , por lo que podemos suponer que f > 0, pues en caso contrario bastar´ıa tomar laR coordenada −u. Supongamos ahora que R en un ciclo X de Up se tiene ωW < 0, y por el primer principio que ωQ > 0. Esto implica que en algunos puntos ωQ T = f du(T ) = f · (T u) > 0 y por tanto que T u > 0, pero como Z Z b 0 = du = Tu ◦ X a

tendremos que T u toma valores positivos y negativos, y por tanto ωQ T . “⇒” Veremos que hay un entorno de p en el que el incidente ∆ de ωQ es involutivo. Tomemos un entorno coordenado Up , de p, en el que se verifique el segundo principio y sean D1 , D2 ∈ ∆, es decir tales que ωQ Di = 0 y veamos si ωQ [D1 , D2 ] = 0. Supongamos que existe un z ∈ Up para el que ωQ [D1 , D2 ]z < 0. Para θ y τ los grupos uniparam´etricos de D1 y D2 en Up , sea γ(t) = τ−t ◦ θ−t ◦ τt ◦ θt (z), tomemos un r de su dominio y sean z1 = θ(r, z),

z2 = τ (r, z1 ),

z3 = θ(−r, z2 ),

z4 = τ (−r, z3 ),

Definamos entonces el ciclo X : [0, 5r] → V, tal que para cada t ∈ [0, r] X(t) = θ(t, z), X(r + t) = τ (t, z1 ), X(2r + t) = θ(−t, z2 ), X(3r + t) = τ (−t, z3 ),

√ X(4r + t) = G(r − t) = γ( r − t),

6.7. Aplicaci´ on: Termodin´ amica

379

Sabemos por (2.42), p´ ag.107, que     ∂ ∂ = l´ım G∗ = − l´ım TX(t) , [D1 , D2 ]z = G∗ t→5r− ∂t 0 s→0 ∂t s por tanto l´ım ωQ TX(t) = −ωQ [D1 , D2 ]z > 0,

t→5r−

y haciendo r > 0 suficientemente peque˜ no, tendremos que ωQ T > 0, ∂ para T = X∗ ( ∂t ), en el quinto tramo del ciclo. Como por otra parte T = Di en los cuatro primeros tramos del ciclo, tendremos que en ellos ωQ T = 0, y por tanto ωQ T ≥ 0 y Z Z z Z ωQ = ωQ > 0 ⇒ ωW < 0, z4

y por el segundo principio existe t, tal que ωQ TX(t) < 0, lo cual es contradictorio. Tercer principio de la Termodin´amica o de Clausius “Si X es un ciclo en un abierto U , θ ∈ C ∞ (U ) una funci´on temperatu+ − ra para la que hay puntos t ∈ IQ , r ∈ IQ , en los que θ(X(t)) < θ(X(r)), entonces el trabajo realizado a lo largo del ciclo es positivo”. Es decir Z [ωQ TX(r) < 0 < ωQ TX(t) , θ(X(t)) < θ(X(r))] ⇒ ωW > 0. En estas condiciones se tiene el Teorema 6.37 Para cada p ∈ V en el que ωQp 6= 0 y dp ωQ 6= 0, y cada funci´ on temperatura θ, definida en un entorno de p, existe un entorno coordenado U de p en el que ωQ = f (θ, u)du. Demostraci´ on. Por (6.36) sabemos que existe un entorno coordenado de p en el que ωQ = f du, por tanto dωQ = df ∧ du y por ser dωQ 6= 0 tendremos que df y du son independientes. Consideremos ahora una funci´ on temperatura θ y supongamos que dθ, df y du son independientes. Extend´ amoslas a una base y consideremos el sistema de coordenadas correspondiente (θ, f, u, u4 , . . . , un ) en un cierto entorno U de p. Tomando k > 0 suficientemente peque˜ no, podemos considerar en U el ciclo que en coordenadas es X(t) = k(sen t, 1, cos t, 0, . . . , 0), para el que θ[X(t)] = k sen t y T = X∗ (

∂ ∂ ∂ ) = (k cos t) − k sen t , ∂t ∂θ ∂u

ωQ T = −k 2 sen t,

380

Tema 6. Sistemas de Pfaff

+ − por tanto 3π/2 ∈ IQ , π/2 ∈ IQ , y si X(3π/2) = p y X(π/2) = q, Rentonces θ(p) = −k < θ(q) R= k. Se sigue as´ı del tercer principio que ωW > 0 y del primero que ωQ < 0, siendo as´ı que Z Z 2π 2 ωQ = −k sen t dt = 0 0

por tanto df = λ1 dθ + λ2 du y ∂f /∂ui = 0. El resultado se sigue. Definici´ on. Consideremos ahora un sistema termodin´amico (V, ωQ , ωW , P), de dimensi´ on n y U un entorno coordenado de un punto p ∈ V, con coordenadas (θ, u2 , . . . , un ), donde θ es una funci´on temperatura de V. Consideremos en U × U las coordenadas habituales (α, v2 , . . . , vn , β, w2 , . . . , wn ), para α = π1∗ θ, vi = π1∗ ui , β = π2∗ θ, wi = π2∗ ui , —donde π1 y π2 son las proyecciones en U × U —, y la subvariedad 2n − 1–dimensional Vs = {α = β}. Ahora consideremos en Vs la 1–forma σQ —restricci´on a Vs de π1∗ ωQ + π2∗ ωQ —, la 1–forma σW —restricci´ on a Vs de π1∗ ωW + π2∗ ωW —, s y el sistema de Pfaff P , generado por dα = dβ. A (Vs , σQ , σW , P s ) la llamaremos suma del sistema V consigo mismo. Cuarto principio de la Termodin´amica o de la suma de sistemas termodin´amicos “La suma de un sistema termodin´ amico consigo mismo es un nuevo sistema termodin´ amico”. La idea de este principio viene a ser la siguiente: Si tenemos dos aparatos iguales, representando cada uno de ellos un sistema termodin´amico, y los ponemos en contacto de tal manera que en cada instante de tiempo tienen la misma temperatura, entonces el bloque formado por ambos vuelve a ser un sistema termodin´ amico. Como consecuencia de este simple hecho se tiene el siguiente asombroso resultado: Teorema 6.38 Para cada punto p ∈ V, en el que ωQp 6= 0 y dp ωQ 6= 0, existe un entorno coordenado en el que ωQ = T dS, siendo T una funci´ on temperatura. Adem´ as T es u ´nica salvo un factor multiplicativo y S es u ´nica salvo un factor multiplicativo y otro aditivo.

6.7. Aplicaci´ on: Termodin´ amica

381

Demostraci´ on. Sea p ∈ V. Por (6.37) existe un entorno coordenado Up , tal que ωQ = f (θ, u)du, con θ una funci´ on temperatura. Consideremos la suma del sistema V consigo mismo, con U ⊂ Up , de tal forma que para x = i∗ π1∗ u e y = i∗ π2∗ u, (α, x, y, . . .) formen un sistema de coordenadas en Vs . Consideremos ahora el campo D = ∂/∂α en este sistema de coordenadas. Ahora por (6.37) tenemos que en un entorno con coordenadas (α, z, . . .) σQ = F (α, z)dz, pero por otra parte tenemos que σQ = i∗ π1∗ ωQ + i∗ π2∗ ωQ = f (α, x)dx + f (α, y)dy = gdx + hdy, por tanto 0 = Dz = dz(D) =

gdx + hdy (∂/∂α), F

de donde que 0 = d(Dz) = DL dz = DL [

g h g h dx + dy] = D( )dx + D( )dy, F F F F

y D(g/F ) = D(h/F ) = 0, por tanto Dg Dh DF = = = r(α), F g h R pues g = f (α, x) y h = f (α, y). Se sigue que f (α, x) = k(x) exp{ r(α)dα} y por tanto Z ωQ = f (θ, u)du = k(u) exp{ r(θ) dθ}du = T dS, R R para T = exp{ r(θ)dθ} y S = k(u) du. Ahora si dωQ = dT ∧dS 6= 0 en todo V, tendremos que si ωQ = T 0 dS 0 , con T 0 otra funci´on temperatura —y por tanto T 0 = λ(T )—, entonces extendiendo S, T a un sistema de coordenadas, tendremos que T dS = T 0 dS 0 = T 0 [(∂S 0 /∂T )dT + (∂S 0 /∂S)dS + (∂S 0 /∂u3 )du3 + · · · ], y por tanto ∂S 0 /∂T = ∂S 0 /∂ui = 0,

T = λ(T )(∂S 0 /∂S) = λ(T )µ(S),

de donde se sigue que µ(S) es una constante y el resultado se sigue. Definici´ on. Se llama entrop´ıa a la funci´ on S del resultado anterior.

382

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Nota 6.39 Observemos que seg´ un esto, en un entorno de cada punto hay una funci´ on temperatura can´ onica T , determinada salvo un factor, y por tanto un cero absoluto de temperatura.

6.8. 6.8.1.

Aplicaci´ on: Clasificaci´ on de formas Clasificaci´ on de 1–formas

En esta lecci´ on daremos el Teorema de Darboux, que clasifica localmente las 1–formas regulares, entendiendo que una 1–forma ω es regular si es no singular, es decir ωx 6= 0 en cada punto x, y la dimensi´on de la intersecci´ on del hiperplano H = {Dx ∈ Tx (V) : ωx Dx = 0}, con el subespacio R = rad dx ω = {Dx ∈ Tx (V) : iDx dx ω = 0}, es constante en x (a la codimensi´ on de este subespacio la llamaremos clase de ω). Definici´ on. Llamaremos sistema caracter´ıstico de una 1–forma ω ∈ Ω(V) en un punto p ∈ V al subespacio vectorial de Tp (V) ∆p (ω) = {Dp ∈ Tp (V) : ωp Dp = 0, iDp dp ω = 0}. Diremos que ω es regular si la dimensi´ on de su sistema caracter´ıstico es constante en p y llamaremos clase de ω en p a la codimensi´on de su sistema caracter´ıstico, es decir a dim V − dim ∆p (ω). Veremos que la clase de una 1–forma regular ω es el m´ınimo n´ umero de funciones diferenciablemente independientes en el que se puede expresar ω y que en dimensi´ on n hay exactamente n 1–formas regulares, que

383

6.8. Aplicaci´ on: Clasificaci´ on de formas

para n = 3 son: dx, ydx y dz + ydx, y para las que los correspondientes subespacios son respectivamente H

ω dx ydx dz + ydx







1 2 3

Lema 6.40 Consideremos m × n funciones diferenciables fij de una variedad V, tales que la matriz A(x) = (fij (x)) sea de rango constante r < n. Sea x ∈ V, entonces todo valor a ∈ Rn del n´ ucleo –que es n − r–dimensional–, A(x) · a = 0, se puede extender a una soluci´ on funcional en un entorno de x, es decir que existe un entorno U y funciones P x hi ∈ C ∞ (Ux ), tales que hi (x) = ai y para todo p ∈ Ux , fij (p)hj (p) = 0, para todo 1 ≤ i ≤ m. Demostraci´ on. En todo punto x la matriz tiene rango constante r, por tanto hay r filas independientes y el resto son combinaciones lineales suyas. Entre las r hay un menor no nulo B de orden r, es decir con determinante no nulo en x y por tanto en un entorno Ux de x, por lo que en ese entorno las filas de antes siguen siendo combinaci´on lineal de las r de B. Ahora basta considerar el sistema correspondiente a estas filas y columnas que, sin falta de generalidad podemos considerar, multiplicando adecuadamente por las matrices que intercambian filas (o columnas), que son las r primeras    B C f 0 = A(p) · h(p) = D E g para f = (h1 , . . . , hr )t y g = (hr+1 , . . . , hn )t . Ahora para cualquier valor de g existe un u ´nico valor f = −B−1 Cg, tal que h es soluci´on y el c´alculo es v´ alido en Ux . Observemos que Bf + Cg = 0 implica Df + Eg = 0, pues las filas de (D E) son combinaci´ on lineal de las de (B C). Proposici´ on 6.41 Sea ω ∈ Ω(V) regular de clase m. Entonces {∆p (ω) : p ∈ V} es una distribuci´ on involutiva de rango n − m, cuyo m´ odulo asociado es ∆ = {D ∈ D, ωD = 0, DL ω = 0}.

384

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Demostraci´ on. Si en un entorno coordenado de un p, ω = P entonces Dp = hi (p)∂xip ∈ ∆p = ∆p (ω) si y s´olo si X

X

gi (p)hi (p) = 0 ,

P

gi dxi ,

gij (p)hj (p) = 0,

para gij = ∂gi /∂xj − ∂gj /∂xi , lo cual equivale a que las hi (p) satisfagan el sistema      0 g1 (p) · · · gn (p) h1 (p)  g11 (p) · · · g1n (p)   h2 (p)  0       .. ..   ..  =  ..  ..  . . .   .  . gn1 (p) · · ·

gnn (p)

hn (p)

0

Ahora bien dim ∆p (ω) = n − m = r por tanto la matriz A(p) de este sistema es de P rango constante y se sigue del Lema anterior (6.40), que dado Dp = hi (p)∂xip ∈ ∆p = ∆p (ω), existe un entorno Up de p y un campo D ∈ D(Up ), que satisface ωD = 0 ,

iD dω = 0,

por tanto Dx ∈ ∆x para todo x ∈ Up . Si ahora cogemos una base D1p , . . . , Drp de ∆p , la misma construcci´ on nos dar´a campos independientes D1 , . . . , Dr en un entorno Up de p, tales que para cada x ∈ Up , D1x , . . . , Drx ∈ ∆x y por tanto base de ∆x . Que la distribuci´ on es involutiva se sigue de que D∈∆

⇔

D ∈ D, ∀x ∈ V, Dx ∈ ∆x

⇔

D ∈ D, ωD = 0, iD dω = 0

⇔

D ∈ D, ωD = 0, DL ω = 0,

y la comprobaci´ on se deja al lector. Proposici´ on 6.42 Sea ω ∈ Ω(V) regular de clase m. Entonces para todo p existe un entorno coordenado U de p, con coordenadas (vi ) y γ ∈ Ω(V ) regular de clase m, tales que ω = π ∗ γ, para π = (v1 , . . . , vm ) y V = π(Up ) abierto de Rm . Demostraci´ on. Consideremos la distribuci´on {∆p (ω) : p ∈ V} y ∆ su m´ odulo asociado. Por ser involutivo se sigue del Teorema de Frobenius I (6.21), que es totalmente integrable y por tanto existe un

6.8. Aplicaci´ on: Clasificaci´ on de formas

385

sistema de coordenadas (vi ) en un entorno de p tal que ∆ est´a generado por ∂ ∂ ,..., . ∂vm+1 ∂vn P Si en este sistema de coordenadas es ω = gi dvi , entonces gi = ω(∂vi ) = 0 para i = m + 1, . . . , n y las funciones g1 , . . . , gm dependen s´ olo de v1 , . . . , vm , pues m

0=

X ∂gj ∂ L ω= dvj . ∂vi ∂vi j=1

Se sigue que existe γ ∈ Ω(V ) con V abierto de Rm tal que ω = π ∗ γ para π = (v1 , . . . , vm ), con γy 6= 0 para y ∈ V . Veamos que γ es regular de clase m, es decir que para todo y ∈ V , ∆y (γ) = {0}. Sea x ∈ U tal que π(x) = y, Ey ∈ ∆y (γ) y consideremos cualquier Dx tal que π∗ Dx = Ey . Entonces ωx Dx = π ∗ γy (Dx ) = γy Ey = 0 iDx dx ω = iDx dx (π ∗ γ) = iDx π ∗ (dy γ) = 0, por tanto Dx ∈ ∆x (ω) y Ey = π∗ (Dx ) = 0. Ejercicio 6.8.1 Sea E un R–espacio vectorial finito dimensional y G : E ×E → R bilineal y hemisim´etrica. Demostrar que: (i) Si E tiene dimensi´ on impar entonces el rad G = {x ∈ E : G(x, y) = 0, ∀y ∈ E} 6= {0}. (ii) El radical de G tiene dimensi´ on par (o impar) si y s´ olo si la tiene E. (iii) El rango de toda matriz hemisim´etrica es par. ¯ es la restricci´ (iv) Si H es un hiperplano de E y G on de G a H × H, entonces rad G = {0} rad G =< e >

¯ es unidimensional rad G ¯ es bidimensional (Sol.) ⇒ rad G

⇒

Veamos ahora una consecuencia del teorema de la proyecci´on que dice que en dimensi´ on par, toda uno–forma no singular con diferencial sin radical define un sistema de Pfaff proyectable.

386

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Lema 6.43 Sea V una variedad de dimensi´ on par n, ω una 1–forma que no se anula y con rad dx ω = {0} en todo punto, entonces: i) Para cada x, localmente existe D ∈ D[P], para el sistema de Pfaff de rango 1, P =< ω >. ii) Si un vector Tx verifica ωx Tx = 0,

iTx dx ω = aωx ,

para a ∈ R, entonces Tx es proporcional a Dx . iii) Para todo p ∈ V existe una proyecci´ on regular π : Up → U , con Up entorno abierto de p y U ⊂ Rn−1 abierto, tales que ω = f π ∗ γ, para γ una 1–forma regular de clase n − 1. Demostraci´ oP n. i) Consideremos un entorno coordenado del punto P x, (Vx ; xi ), ω = gi dxi y veamos si existe D = hi ∂xi ∈ D[P], por tanto si existe alguna funci´ on h tal que ( ( ( ωD = 0 ωD = 0 ωD = 0 ⇔ ⇔ DL ω = hω iD dω = hω iD dω(∂xi ) = hgi (P hj gj = 0 ⇔ P hj dω(∂xj , ∂xi ) = hgi , lo cual equivale a encontrar, para gij = dω(∂xj , ∂xi ) = una soluci´ on no nula al sistema  0 g1  −g1 g11  A·h= . ..  .. . −gn

gn1

∂gj ∂gi − , ∂xj ∂xi

··· ··· .. .

    gn h 0  h1  0 g1n      ..   ..  =  ..  .   .  .

···

gnn

hn

0

ahora bien este sistema tiene soluci´ on funcional no nula, por (6.40), pues A es hemisim´etrica y de orden n + 1 que es impar, por tanto det A = 0, pues det A = det At = det −A = − det A y es de rango constante n, pues det(gij ) 6= 0. Adem´ as hi 6= 0 para alg´ un i, pues en caso contrario las gi = 0. ii) Se sigue porque el n´ ucleo de esta ecuaci´ on es 1–dimensional.

6.8. Aplicaci´ on: Clasificaci´ on de formas

387

iii) Basta considerar el campo D del resultado anterior y un entorno coordenado (Up ; ui ) en el que D = ∂un y aplicar el teorema de la ´ n a P =< ω >. Entonces para π = (u1 , . . . , un−1 ) y U = Proyeccio π(Up ), P = π ∗ P 0 y por tanto existe una funci´on f invertible tal que ω = f (π ∗ γ), para una γ ∈ Ω(U ). Veamos que γ es regular de clase n − 1, es decir que para cada y ∈ U , ∆y (γ) = {0}. Sea x ∈ Up tal que π(x) = y, Ey ∈ ∆y (γ) y consideremos cualquier Tx ∈ Tx (V) tal que π∗ Tx = Ey . Entonces ωx Tx = f (x)[π ∗ γy (Tx )] = f (x)(γy Ey ) = 0, iTx dx ω = iTx dx (f π ∗ γ) = iTx [dx f ∧ π ∗ γy + f (x)π ∗ dy γ] = (Tx f )π ∗ γy =

(Tx f ) ωx , f (x)

por tanto el par Tx y a = Tx f /f (x) satisfacen la ecuaci´on de (ii) y Tx es m´ ultiplo de Dx y como π∗ Dx = 0, tendremos que Ey = 0. Ejercicio 6.8.2 Sea ω ∈ Ω(V), x ∈ V y ω 6= 0. Demostrar que si existe un entorno de x en V y un campo tangente D con D 6= 0, tal que ωD = 0 y DL ω = 0, entonces existe un entorno Ux de x, con coordenadas u1 , . . . , un , en el que ω = f1 (u1 , . . . , un−1 )du1 + · · · + fn−1 (u1 , . . . , un−1 )dun−1 .

Teorema de Darboux 6.44 Sea ω ∈ Ω(V) regular de clase m. Entonces para todo p ∈ V existe un abierto Up , entorno de p en V y m funciones z 0 s, x0 s ∈ C ∞ (Up ) diferenciablemente independientes tales que en ese abierto:  z1 dx1 + · · · + zk dxk , si m = 2k; ω= dz + z1 dx1 + · · · + zk dxk , si m = 2k + 1. Demostraci´ on. Por (6.42) podemos suponer que m = n, por tanto para todo p ∈ V rad dp ω ∩ {ωp = 0} = ∆p (ω) = {0}, y la dimensi´ on del rad dp ω es 0 ´ o 1 y por el ejercicio (6.8.1) es 0 si n es par y 1 si n es impar. Haremos la demostraci´ on por inducci´ on en n. Para n = 1 Z ω = f dx = dz, para z = f (x)dx.

388

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Supongamos entonces que el resultado es cierto para 2k − 1 y veamos que tambi´en lo es para 2k y 2k + 1. i) Sea n = 2k, entonces rad dp ω = {0}. Se sigue del lema (6.43(iii)) que dado p existe U un entorno coordenado suyo, con coordenadas ui , tales que para π = (u1 , . . . , un−1 ) y V = π(U ), ω = z1 (π ∗ γ), para una γ ∈ Ω(V ) regular de clase n − 1 = 2k − 1 en V , por tanto podemos aplicar la hip´ otesis de inducci´ on y asegurar que existe un sistema de coordenadas (x1 , . . . , xk , v2 , . . . , vk ) en V —reduci´endolo si es necesario—, tal que γ = dx1 + v2 dx2 + · · · + vk dxk , y por tanto para zi = z1 (π ∗ vi ) y xi = π ∗ xi ω = z1 dx1 + · · · + zk dxk , y las funciones (xi , zi ) forman un sistema de coordenadas, pues si existiese un punto q ∈ Up en el que dq z1 , . . . , dq zk , dq x1 , . . . , dq xk , fuesen dependientes, entonces existir´ıa un Eq ∈ Tq (V) incidente con todas ellas y por tanto tal que dq zi (Eq ) = dq xi (Eq ) = 0

⇒

iEq dω = iEq

k X

dzi ∧ dxi = 0,

i=1

y Eq estar´ıa en el radical de dq ω, siendo as´ı que su radical es nulo. ii) Supongamos que n = 2k + 1, entonces el rad dp ω tiene dimensi´on 1 y por tanto la matriz de t´erminos   ∂ ∂ gij = dp ω , , (para i, j = 1, . . . , n) ∂xj ∂xi es de rango constante n − 1 y por (6.40) existe un abierto Up , entorno de p en U y un campo D ∈ D(Up ) no nulo en Up , tal que iD dω = 0 y por tanto tal que para q ∈ Up , rad dq ω =< Dq >, lo cual implica que en todo Up ωD 6= 0 y podemos tomar D tal que ωD = 1 pues basta multiplicarlo por 1/ωD. Consideremos ahora un sistema de coordenadas u1 , . . . , u2k , z ∈ C ∞ (Up ),

6.8. Aplicaci´ on: Clasificaci´ on de formas

389

reduciendo Up si es necesario, tal que D = ∂z y ωx 6= dx z (para esto u ´ltimo bastar´ıa sumarle a z una integral primera ui de D). Ahora como ωD = 1

y iD dω = 0,

tendremos que ω(∂z) = 1 y DL ω = 0, por tanto ω = dz +

2k X

fi (u1 , . . . , u2k )dui = dz + π ∗ γ,

i=1

P para π = (u1 , . . . , u2k ) y γ = fi dxi , la cual es regular de clase 2k en un abierto de R2k , pues si Ey es tal que iEy dy γ = 0 y consideramos x tal que π(x) = y y un Tx tal que π∗ Tx = Ey , entonces iTx dx ω = iTx dx π ∗ γ = π ∗ iEy dy γ = 0, por tanto Tx es proporcional a Dx y Ey = 0, por tanto ∆y (γ) = {0} y el resultado se sigue del caso anterior.

6.8.2.

Clasificaci´ on de 2–formas.

Veamos una consecuencia inmediata del Teorema de Darboux, para dos–formas. Corolario 6.45 Si una variedad tiene una dos–forma ω2 cerrada y sin radical, entonces la variedad tiene dimensi´ on par 2m y localmente existe un sistema de coordenadas (xi ; zi ) que llamaremos simpl´eticas, tal que ω2 =

m X

dzi ∧ dxi .

i=1

Demostraci´ on. Por el ejercicio (6.8.1), p´ ag.385 k = 2m es par y por el Lema de Poincare (3.22), p´ ag.165, localmente es ω2 = dγ, y podemos tomar γ no singular (basta sumarle una dz), por tanto γ es una uno– forma regular de clase k y por el Teorema de Darboux γ=

m X i=1

zi dxi

⇒

ω2 =

m X

dzi ∧ dxi .

i=1

Lema 6.46 Sea ω2 una dos–forma cerrada tal que ∆x = rad ω2x tiene dimensi´ on constante, entonces ∆x es una distribuci´ on involutiva.

390

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Demostraci´ on. Por (6.40) se tiene que para cada Dx tal que iDx ω2 = 0, existe un entorno de x, Vx y un campo D ∈ D(Vx ), tal que Dp ∈ ∆p para todo p ∈ Vx y si cogemos una base Dix , tendremos campos Di que en un entorno de x siguen siendo independientes y de la distribuci´ on que es de dimensi´ on constante r, por tanto base. Se sigue que ∆ =< D1 , . . . , Dr > y para ellos se tiene que iDi ω2 = 0. Veamos que es involutiva, para ello veamos que [Di , Dj ] ∈ ∆ es decir i[Di ,Dj ] ω2 = 0. Sea D ∈ D, entonces ω2 ([Di , Dj ], D) = Di (ω2 (Dj , D)) − DiL ω2 (Dj , D) − ω2 (Dj , [Di , D]) = 0, pues DiL ω2 = iDi dω2 + d(iDi ω2 ) = 0. Teorema 6.47 Toda dos–forma cerrada cuyo radical en cada punto tiene dimensi´ on constante localmente es de la forma m X

dzi ∧ dxi ,

i=1

con las xi , zi diferenciablemente independientes. Demostraci´ on. Por el lema anterior ∆x = rad ω2x es una distribuci´ on involutiva, por tanto totalmente integrable por el Teorema de Frobenius, por lo tanto todo x tiene un entorno abierto coordenado (Vx ; vi ) en el que ∆ =< ∂vk+1 , . . . , ∂vn >. Ahora si en este sistema de coordenadas tenemos que X ω2 = fij dvi ∧ dvj ⇒ fij = ω2 (∂vi , ∂vj ) = 0, 1≤i 0 que es la que hemos cogido y en general hay otra soluci´on √ con v1 < 0); adem´ as u1 = y ± a2 − x2 que no es diferenciable en x = a —que corresponde a la posici´ on perpendicular de a a la barra y para la p que v1 = 0, v2 = 1—, y u2 = y ± b2 − (1 − x)2 , no es diferenciable en 1 − x = b —que corresponde a la posici´ on perpendicular de b a la barra y para la que v2 = 0, v1 = 1—, sin embargo hay una biyecci´on de (u1 , v1 ) → (u2 , v2 ), que es diferenciable en v1 distinto de 1 y de 0 y ah´ı es simpl´etica. En el dibujo de la derecha de la figura (6.12) se aprecia la falta de diferenciabilidad cuando el v1 es 1, que se corresponde con un v2 = 0. Por u ´ltimo en la figura se observa lo que dice el resultado, que figuras correspondientes tienen mismo ´ area. Nota 6.49 La estructura simpl´etica Λ define el isomorfismo de haces de m´ odulos en V D −→ Ω ,

(6.6)

D −→ iD Λ,

que en coordenadas es (6.7)

iD Λ = iD (

n X

dzi ∧ dxi ) =

i=1

n X

Dzi dxi −

i=1

n X

Dxi dzi ,

i=1

y por tanto se tiene la correspondencia ∂ −→ −dzi , ∂xi

∂ −→ dxi . ∂zi

De igual modo, para cada x ∈ V, Λx define un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales Tx (V) −→ Tx∗ (V) ,

Dx −→ iDx Λx .

Definici´ on. Diremos que D ∈ D(V) es un campo localmente Hamiltoniano si iD Λ es cerrada y diremos que es Hamiltoniano si iD Λ es exacta, es decir si existe h ∈ C ∞ (V), tal que iD Λ = −dh,

394

Tema 6. Sistemas de Pfaff

a esta funci´ on h la llamaremos Hamiltoniano asociado al campo D (que en general denotaremos con Dh ). Si D es hamiltoniano, es decir iD Λ = −dh, entonces se sigue de (6.7) que en coordenadas D=

n n X X ∂h ∂ ∂h ∂ − , ∂z ∂x ∂x i i i ∂zi i=1 i=1

y sus curvas integrales satisfacen las llamadas ecuaciones de Hamilton x0i =

∂h (x, z) , ∂zi

zi0 = −

∂h (x, z). ∂xi

Nota 6.50 La raz´ on de considerar −dh en vez de dh no es importante simplemente es que se arrastran menos signos aunque parezca lo contrario (comp´ arese adem´ as con el campo caracter´ıstico asociado a una EDP de primer orden que no depende de la z, F (xi , zxi ) = 0, —ver la p´ ag.463—). Proposici´ on 6.51 a) Para todo campo D, DL Λ = diD Λ. b) D es localmente hamiltoniano ⇔ DL Λ = 0 ⇔ el grupo uniparam´etrico τt de D es de transformaciones simpl´eticas. c) El hamiltoniano h de un campo hamiltoniano Dh es constante a lo largo de las curvas integrales de Dh . d) Para todo campo D y todo campo hamiltoniano Df , Λ(D, Df ) = Df . Demostraci´ on. a) Por ser dΛ = 0, tenemos para todo campo D DL Λ = diD Λ + iD dΛ = diD Λ. b) Lo primero es obvio. Lo u ´ltimo se sigue de (3.10), p´ag.151. c) Si iD Λ = −dh, entonces Dh = Λ(D, D) = 0. d) Λ(D, Df ) = −iDf Λ(D) = df (D) = Df . Teorema de Liouville 6.52 El flujo de un campo localmente hamiltoniano D conserva el volumen. Demostraci´ on. Por el resultado anterior, τt∗ Λ = Λ, por tanto τt∗ Ωn = Ωn , para τt el grupo uniparam´etrico de D, y Z Z Z ∗ vol(τt (B)) = Ωn = τt Ωn = Ωn = vol(B). τt (B)

B

B

6.9. Variedades simpl´ eticas

395

Nota 6.53 Hemos dicho que la aplicaci´ on (6.6), D −→ iD Λ, es isomorfismo de m´ odulos. Por una parte, esto nos dice que toda funci´on es hamiltoniana para alg´ un campo y por tanto que hay muchos campos que dejan invariante la 2–forma Λ. Y por otra parte, este isomorfismo nos permite definir de forma natural, un producto de 1–formas. Definici´ on. Definimos el corchete de Poisson de ω1 , ω2 ∈ Ω(V), correspondientes por (6.6) a los campos D1 , D2 ∈ D(V), como la 1–forma correspondiente por (6.6) a [D1 , D2 ], es decir [ω1 , ω2 ] = i[D1 ,D2 ] Λ. Dadas f, g ∈ C ∞ (V) definimos su par´entesis de Poisson como la funci´ on (f, g) = Λ(Df , Dg ) = Df g = −Dg f, donde Df y Dg son los campos hamiltonianos de f y g respectivamente. Proposici´ on 6.54 Se tienen las siguientes propiedades para a, b ∈ R y f, g, h ∈ C ∞ (V): i) (f, g) = −(g, f ), (f, a) = 0, (f, ag + bh) = a(f, g) + b(f, h) y (f, gh) = g · (f, h) + h · (f, g). ii) [df, dg] = −d(f, g). iii) [Df , Dg ] = D(f,g) . iv) (f, (g, h)) + (g, (h, f )) + (h, (f, g)) = 0. Demostraci´ on. (i) se sigue de que (f, g) = Df g = Λ(Df , Dg ). (ii) Sean Df , Dg ∈ D(V) tales que iDf Λ = −df e iDg Λ = −dg, entonces para cada D ∈ D(V) se tiene por (b) y (d) de (6.51) d(f, g)D = D(f, g) = D(Df g) = [D, Df ](g) + Df (Dg) = Λ([D, Df ], Dg ) + Df (Λ(D, Dg )) (por ser DfL Λ = 0) = Λ(D, [Df , Dg ]) = −i[Df ,Dg ] Λ(D) = −[df, dg](D). (iv) (f, (g, h)) = Df (g, h) = Df (Dg (h)), (g, (h, f )) = −Dg (Df (h)), (h, (f, g)) = −D(f,g) (h) = −[Df , Dg ](h).

396

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Ejercicio 6.9.1 Demostrar que: (f, g) =

n n X X ∂f ∂g ∂f ∂g − . ∂z ∂x i ∂xi i ∂zi i=1 i=1

Ejercicio 6.9.2 Demostrar que si D es localmente hamiltoniano, entonces D(f, g) = (Df, g) + (f, Dg).

6.9.2.

El Fibrado Cotangente.

Sea U una variedad diferenciable n–dimensional y consideremos su fibrado cotangente, es decir el conjunto T ∗ U = {ωp ∈ Tp∗ (U) : p ∈ U}, de todas las uno–formas de todos los espacios cotangentes Tp∗ (U), con la aplicaci´ on π : T ∗ U → U, π(ωp ) = p. Ahora para cada abierto coordenado (U ; xi ) de U consideremos el abierto π −1 (U ) con las funciones (coordenadas), que en ωp ∈ π −1 (U ) valen xi (ωp ) = xi (p), zi (ωp ) = ωp (∂xi ), las cuales establecen una biyecci´ on con un abierto Un × Rn de R2n . Se demuestra que estas cartas definen una estructura diferenciable y que para ella π es una proyecci´ on regular . Teorema 6.55 V = T ∗ U tiene una uno–forma can´ onica, llamada forma de Liouville, que para la proyecci´ on π est´ a definida en cada punto ωp ∈ T ∗ U de la forma λωp = π ∗ ωp . Adem´ as Λ = dλ es cerrada y sin radical, por tanto (V, Λ) es una variedad simpl´etica. Demostraci´ on. Basta demostrar que el campo de 1–formas λωp es diferenciable. Para ello consideremos un entorno coordenado (U ; xi ) y las correspondientes coordenadas (xi , zi ) en T ∗ (U ) = π −1 (U ), entonces λ=

n X i=1

zi dxi .

6.9. Variedades simpl´ eticas

397

Pn Nota 6.56 Observemos que la 1–forma intr´ınseca λ = i=1 zi dxi es regular de clase 2n (ver el Teorema de Darboux, p´ag.387), y que en las coordenadas naturales (xi , zi ) tiene la forma can´onica, y adem´as esas coordenadas son simpl´eticas.

Ejercicio 6.9.3 Demostrar que el campo H que le corresponde a la forma de Liouville λ ∈ Ω[T ∗ U], por el isomorfismo D ∈ D → iD Λ ∈ Ω, es el de las homotecias en fibras (ver la p´ ag.552).

6.9.3.

Fibrado de Jets de funciones de orden 1

Definici´ on. Sea U una variedad diferenciable n–dimensional. Consideremos en cada punto p ∈ U el conjunto de las funciones diferenciables definidas en alg´ un entorno abierto de p y en ´el la relaci´on de equivalencia f ∼g

⇔

f (p) = g(p),

dp f = dp g.

Llamamos jet de orden 1, de funciones en p ∈ U al conjunto cociente por esa relaci´ on de equivalencia, el cual denotamos Jp1 , y tiene estructura natural de espacio vectorial (realmente de ´ algebra) pues si denotamos la clase de equivalencia de f con Jp1 (f ), podemos definir Jp1 (f ) + Jp1 (g) = Jp1 (f + g), aJp1 (f ) = Jp1 (af ) y se tiene el isomorfismo can´onico3 Jp1 −→ Jp1 (f ) →

R × Tp∗ (U) (f (p), dp f )

Definici´ on. Llamamos fibrado de jets de orden 1 al conjunto J 1 (U) = ∪p∈U Jp1 , con la proyecci´ on can´ onica π : J 1 (U) → U,

π(Jp1 (f )) = p.

3 Tambi´ en se tiene el isomorfismo, para Cp∞ el a ´lgebra de g´ ermenes de funciones en p y mp el ideal de g´ ermenes de funciones que se anulan en p,

Jp1 Jp1 (f )

−→ −→

Cp∞ /m2p [f ]

398

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Este conjunto tiene una biyecci´ on can´ onica ϕ

J 1 (U) − → R × T ∗ (U),

ϕ(Jp1 (f )) = (f (p), dp f )

que nos define una u ´nica estructura diferenciable para la que ϕ es difeomorfismo y π proyecci´ on regular. Adem´ as tiene una funci´on can´onica z : J 1 (U) → R,

z(Jp1 (f )) = f (p).

Ahora para cada abierto coordenado (U ; xi ) de U consideremos el abierto coordenado π −1 (U ) con las funciones ϕ∗ xi y ϕ∗ zi , es decir xi (Jp1 (f )) = xi (p),

zi (Jp1 (f )) = fxi (p),

las cuales junto con z establecen un sistema de coordenadas (xi , z, zi ) : π −1 (U ) −→ Un × R × Rn ⊂ R2n+1 . Nota 6.57 Por u ´ltimo J 1 (U) tiene una 1–forma intr´ınseca ω = dz − ϕ∗ π2∗ λ, para λ la forma de Liouville, que es regular de clase 2n + 1 (ver el Teorema de Darboux, p´ ag.387), y que en las coordenadas naturales (xi , z, zi ) tiene la forma can´ onica X ω = dz − zi dxi .

6.9.4.

Fibrado tangente de una var.Riemanniana.

Sea U una variedad diferenciable n–dimensional y consideremos su fibrado tangente (ver la p´ ag.369), es decir el conjunto T U = {Dp ∈ Tp (U) : p ∈ U}, de todas los vectores de todos los espacios tangentes Tp (U) y la aplicaci´on (proyecci´ on regular) π : T V → V,

π(Dp ) = p.

Recordemos que para cada abierto coordenado (U ; xi ) de U, consideramos el abierto π −1 (U ) con las funciones (coordenadas) xi (Dp ) = xi (p),

zi (Dp ) = Dp xi ,

399

6.9. Variedades simpl´ eticas

para cada Dp ∈ π −1 (U ). Las cuales establecen una biyecci´on con un abierto Un × Rn de R2n . Se demuestra que estas cartas definen una estructura diferenciable y que para ella π es una proyecci´on regular. Ahora bien si (U, g) es una variedad Riemanniana (ver la p´ag.178), entonces el fibrado tangente T U y el cotangente T ∗ U, se identifican can´ onicamente por el difeomorfismo ϕ : T U → T ∗ U,

Dp → ωp = ϕ(Dp ) = iDp g,

ωp (Ep ) = Dp · Ep ,

mediante el cual el fibrado tangente adquiere por una parte la 1–forma ¯ = ϕ∗ λ y una estructura natural de vade Liouville correspondiente λ ∗ riedad simpl´etica, Λ¯ = ϕ Λ. Veamos su expresi´on en coordenadas: Tomemos un sistema de coordenadas (xi ) en U, en las que la m´etrica vale gij = g(∂xi , ∂xj ) y consideremos las coordenadas simpl´eticas (x0i , zi0 ) correspondientes del fibrado cotangente (las denotamos as´ı para no confundirlas con las del tangente). Entonces en el fibrado tangente tenemos P las coordenadas (simpl´eticas) xi = ϕ∗ x0i y pi = ϕ∗ zi0 = gij zj , pues ϕ∗ x0i (Dp ) = x0i (ωp ) = xi (p) = xi (Dp ), pi (Dp ) = zi0 (ωp ) = ωp (∂xi ) = Dp · ∂xi P ¯ = P pi dxi . en las que Λ¯ = dpi ∧ dxi y λ Observemos que si la m´etrica es la Eucl´ıdea gij = δij , entonces pi = zi , (por lo que podemos quitar la barra en las formas diferenciales). En los Psiguientes ejemplos f´ısicos consideramos esta estructura simpl´etica Λ = dzi ∧ dxi , del fibrado tangente de los espacios Eucl´ıdeos, para los cuales campos Hamiltonianos y localmente Hamiltonianos son los mismos por el Lema de Poincar´e (3.22), p´ ag.165, ya que como variedad diferenciable T (R3 ) = R6 .

6.9.5.

Mec´ anica Hamiltoniana.

Consideremos en el espacio Eucl´ıdeo tridimensional (ver p´ag.295) una part´ıcula de masa m cuya trayectoria σ(t) = (xi (t)) satisface la ley de P Newton mσ 00 (t) = F [σ(t)], para una fuerza F = (fi ) = fi ∂xi ∈ D(R3 ). Esta ecuaci´ on de segundo orden en el espacio (ver la p´ag.39), define un campo tangente D ∈ D(T (R3 )) en el fibrado tangente del espacio, pues introduciendo las componentes de la velocidad zi = x0i , tenemos que (xi (t), zi (t)) es una curva integral del campo X X fi ∂z . D= zi ∂xi + m i

400

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Veamos que las u ´nicas fuerzas F que definen campos D que dejan invariante la estructura simpl´etica del fibrado tangente son los conservativos (ver la p´ ag.295), F = − grad u. Proposici´ on 6.58 Condici´ on necesaria y suficiente para que la fuerza F sea conservativa, es decir que derive de un potencial u(x), F = − grad u, es que el campo D sea Hamiltoniano4 , DL Λ = 0. P 2 Demostraci´ on. En primer lugar si denotamos con ec = zi /2 (la energ´ıa cin´etica), la cual es una funci´ on can´ onica en el fibrado tangente (pues es ec (Dp ) = Dp · Dp /2), entonces X X fi X Dzi dxi − Dxi dzi = dxi − zi dzi m 1 X fi dxi − dec , = m

iD Λ =

X

es cerrada (´ o exacta —por el Lema de Poincar´e (3.22), p´ag.165—) sii lo P es fi dxi , es decir DP es Hamiltoniano de una funci´on h (salvo adici´on de una constante) sii fi dxi = −du sii F = − grad u para u tal que h = ec + u/m. Casos particulares de estas fuerzas son (ver la p´ag.295): la de la mec´anica celeste con u(ρ) = −GM m/ρ (que estudiaremos a continuaci´ on en el problema de dos cuerpos ´ o problema de Kepler) ´o la de la mec´anica terrestre con u(z) = mgz, para z la altura sobre el plano xy de la superficie de la tierra (que se considera plana) y g = GM/R2 la aceleraci´ on constante terrestre, (ver la p´ ag.295). En cualquier caso acabamos de ver que estos campos D = z1 ∂x1 + z2 ∂x2 + z3 ∂x3 −

ux ux ux1 ∂z − 2 ∂z2 − 3 ∂z3 , m 1 m m

son Hamiltonianos de la funci´ on energ´ıa (por unidad de masa) h = ec + u/m, pues iD Λ = −

1 X uxi dxi − dec = −d(ec + u/m) = −dh. m

Ahora, como Dh = 0 tendremos que a lo largo de cada curva integral γ(t) de D, h es constante y por tanto γ est´ a en una hipersuperficie E = 4 Que en este caso equivale a localmente Hamiltoniano seg´ un hemos observado anteriormente.

6.9. Variedades simpl´ eticas

401

{h = E} en la que consideramos las restricciones de la forma de Liouville λE y la de su diferencial ΛE que ya no es simpl´etica pues tiene radical, que es nuestro campo D, pues es tangente a E y iD ΛE = −dh|E = 0. Por otra parte en esta hipersuperficie la energ´ıa cin´etica es una funci´on f (x), pues ec = E − u(x)/m = f (x). Consideremos ahora en nuestro espacio R3 la nueva m´etrica g˜ = f (x)g, proporcional a la Euc´ıdea original es decir con componentes g˜ij (x) = P f (x)δij , las nuevas coordenadas simpl´ e ticas x , p = g ˜ z = f (x)zi , i i ij j P la nueva forma de Liouville γ = pi dxi = f (x)λ, la nueva forma simpl´etica Γ = dγ y la correspondiente energ´ıa cin´etica en el fibrado tan˜ x ) = g˜(Dx , Dx )/2 = f (x)|Dx |2 /2, cuyo campo Hamiltoniano gente h(D ˜ es el geod´esico Z (ver (7.64), p´ iZ Γ = −dh ag.558). En estos t´erminos se tiene que: ˜ = 1} del fibrado tanProposici´ on 6.59 Para la hipersuperficie Ee = {h gente, e γ e, Γ e) → (E, λE , ΛE ), Dx → f (x)Dx , ϕ : (E, E E es un difeomorfismo, que conserva ambas formas diferenciales y ϕ∗ Z es proporcional a D. ˜ x ) = f (x)|Dx |2 /2 sii f (x) = |f (x)Dx |2 /2 = Demostraci´ on. 1 = h(D 2 |ϕ(Dx )| /2 = ec (ϕ(Dx )). Extendamos la aplicaci´ on a todo el fibrado tangente entonces en coordenadas la aplicaci´ on es ϕ(x, z) = (x, f (x)z), por tanto ϕ∗ xi = xi y ϕ∗ zi = f (x)zi , de donde ϕ∗ λ = ϕ∗ ∗

X

zi dxi = f (x)λ = γ,

∗

ϕ Λ = ϕ dλ = dϕ∗ λ = dγ = Γ, Por u ´ltimo Z es tangente a la hipersuperficie (de dimensi´on impar 2n−1), Ee y es el u ´nico que est´ a en el radical de ΓEe (salvo m´ ultiplos, por el ejercicio (6.8.1), p´ ag.385). Del mismo modo D es tangente a E y tambi´en es el u ´nico que est´ a en el radical de ΛE , pero para E = ϕ∗ Z, y cualquier campo B = ϕ∗ A iE ΛE (B) = ΛE (ϕ∗ Z, ϕ∗ A) = iZ ΓEe = 0, por tanto E es m´ ultiplo de D. Como consecuencia se tiene el siguiente resultado de Jacobi.

402

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Corolario 6.60 En el espacio Eucl´ıdeo tridimensional toda trayectoria de una part´ıcula de masa m que se mueve siguiendo la ley de Newton mσ 00 (t) = F [σ(t)], para una fuerza F = − grad u, que derive de un potencial u, tiene energ´ıa constante E = h(σ, σ 0 ) y es una geod´esica reparametrizada para la nueva m´etrica   u(x) g˜(Dx , Ex ) = E − Dx · Ex . m Volveremos sobre este resultado, en t´erminos Lagrangianos, en las p´ ag.536 y 561. Proposici´ on 6.61 Si F es central, es decir para cada p ∈ R3 , Fp es proporcional a p, entonces las funciones x2 z3 − z2 x3 ,

z1 x3 − x1 z3 ,

x1 z2 − z1 x2 ,

son integrales primeras de D. La trayectoria σ(t) est´ a en un plano que pasa por el origen y satisface la Segunda Ley de Kepler : El segmento OP que une el origen con la masa, barre ´ areas iguales en tiempos iguales. Demostraci´ on. Consideremos una curva soluci´on σ, entonces σ 00 es proporcional a F que es proporcional a σ por ser central, por tanto σ ×σ 00 = 0 y es constante el vector W = σ ×σ 0 (proporcional al momento angular (ver la p´ ag.182) Ω = mσ×σ 0 ), pues W 0 = (σ×σ 0 )0 = σ 0 ×σ 0 +σ× 00 σ = 0, por lo tanto la trayectoria se mueve en un plano constante que es perpendicular a W y pasa por el origen, pues contiene al vector σ. Esto nos da las 3 integrales primeras del enunciado (que son las componentes de W ) (el resultado tambi´en es obvio aplicando D, pues por ejemplo D(x2 z3 − z2 x3 ) = z3 Dx2 + x2 Dz3 − x3 Dz2 − z2 Dx3 = 0, ya que Dxi = zi y Dzi = λxi ).

W F D A=s(t)

B=s(t+r)

Figura 6.13. Segunda Ley de Kepler

6.9. Variedades simpl´ eticas

403

Ahora haciendo un giro en el espacio podemos suponer que W es perpendicular al plano xy y por tanto que x3 (t) = z(t) = 0 y llamando x = x1 e y = x2 , tendremos que xy 0 − x0 y = w = |W | es constante. Si consideramos dos instantes t y t + r, y los puntos correspondientes A = σ(t), B = σ(t + r), D la regi´ on interior a la curva S del tri´angulo curvo formado por los segmentos 0A, 0B y la curva entre A y B, tendremos, parametrizando como sea la curva en las partes rectas, en las que y/x = y 0 /x0 (por tanto xy 0 − x0 y = 0), por el Teorema de Stokes (14.12)(ver la p´ ag.994) que Z t+r Z (6.8) wr = (xy 0 − x0 y) dt = xdy − ydx t S Z =2 dx ∧ dy = 2m[D]), D

por tanto el ´ area m[D], que barre el segmento OP , s´olo depende de r.

Nota 6.62 Hemos visto que para una fuerza conservativa F = − grad u, h = ec + u/m es una de las 5 leyes de conservaci´on que tiene D. Ahora bien en el caso de que el potencial s´ olo dependa de la distancia al origen, pP u = u(ρ), para ρ = x2i , tendremos que adem´as la fuerza F es central, ya que uxi = u0 (ρ)xi /ρ = k(ρ)xi y podemos continuar en los t´erminos del resultado anterior (6.61) y considerar coordenadas polares en el plano de σ, x = ρ cos θ, y = ρ sen θ. A lo largo de nuestra trayectoria, x0 = ρ0 cos θ − ρθ0 sen θ,

y 0 = ρ0 sen θ + ρθ0 cos θ,

y si en ella |Ω|/m = w y h = E, tendremos las dos ecuaciones w = xy 0 − x0 y = ρ2 θ0 ,

E=

u(ρ) ρ02 + ρ2 θ02 u(ρ) x02 + y 02 + = + 2 m 2 m

lo cual da, 2E = ρ02 + w2 /ρ2 + 2u(ρ)/m y s dρ ρ0 ρ2 2u(ρ) w2 (6.9) = 0 =± 2E − − 2, dθ θ w m ρ que a su vez nos da la trayectoria —y la correspondiente constante de integraci´ on la tercera (quinta) integral primera de la ecuaci´on—.

404

Tema 6. Sistemas de Pfaff

El problema de los dos cuerpos. Consideremos dos cuerpos de masas mi que se mueven en el espacio tridimensional, con la m´etrica Eucl´ıdea gij = δij , atray´endose mutuamente siguiendo la ley del inverso del cuadrado de la distancia de Newton. En (3.27), p´ ag.182, hemos demostrado que su centro de gravedad m1 r1 + m2 r2 , m1 + m2 sigue una linea recta con velocidad constante, por lo tanto podemos considerar un sistema de referencia en el que el centro de masa est´e en el origen, por tanto Figura 6.14. Plano del movimiento m1 r1 + m2 r2 = 0 y r1 y r2 son proporcionales, as´ı como sus derivadas, y el momento angular de los dos cuerpos respecto de su centro de masa vale m1 Ω = m1 r1 × r10 + m2 r2 × r20 = (m1 + m2 )r1 × r10 , m2 y como la fuerza F21 = m1 r100 que act´ ua sobre m1 es central y es proporcional a r2 − r1 , por tanto a r1 , tendremos que Ω0 =

m1 (m1 + m2 )r1 × r100 = 0, m2

por tanto Ω es constante —que es el Principio de la conservaci´ on del momento angular —. y las ´ orbitas de ambas masas est´an en el plano perpendicular a Ω. Ahora bien si uno de los cuerpos tiene masa m2 = M muy grande, entonces el centro de masa de ambos cuerpos estar´a pr´oximo a M . Esto justifica el que en una primera aproximaci´ on podamos considerar que M est´ a en el origen5 , en cuyo caso r2 = 0 y para m = m1 y r(t) = r1 (t) = (xi (t)) Ω = m r × r0 , es decir el momento angular es el del cuerpo m = m1 que se mueve describiendo una curva r(t) = (xi (t)) ∈ R3 , siendo las funciones que definen las componentes de W = Ω/m = r × r0 w1 = x2 z3 − x3 z2 ,

w2 = x3 z1 − x1 z3 ,

w3 = x1 z2 − x2 z1 ,

5 Este problema lo hemos estudiado en la p´ ag.265. Para un an´ alisis m´ as profundo, sin la simplificaci´ on de que m2 sea el centro de masas, remitimos al lector al Garabedian, p´ag.51.

6.9. Variedades simpl´ eticas

405

integrales primeras del campo Hamiltoniano (ver (6.58)) X X X X xi ∂zi = hzi ∂xi − hxi ∂zi D= zi ∂xi − k 3 ρ pP asociado a la ecuaci´ on de Newton (para ρ = |r| = x2i , u = −GM m/ρ y k = GM ) mM r m r00 = F = − grad u = −G 2 , ρ ρ que es el Hamiltoniano de la funci´ on energ´ıa (por unidad de masa) P 2 zi k h= − , 2 ρ y por tanto (r, r0 ) = (xi , zi = x0i ) es soluci´ on del sistema de ecuaciones diferenciales de Hamilton, x0i = zi = hzi ,

zi0 = −

kxi = −hxi , ρ3

y como tenemos que Dh = 0, h es constante en las curvas integrales de D, que es el Principio de conservaci´ on de la energ´ıa. Como adem´as la fuerza F es central, se sigue de (6.61), la Segunda Ley de Kepler: El radio vector posici´ on de m barre areas iguales en tiempos iguales. Veamos ahora que existe otro vector R, constante a lo largo de la trayectoria de r, llamado vector de LaPlace–Runge–Lenz : Sabemos que W = r ×r0 es constante (denotaremos |W | = w) y como r00 = −kr/ρ3 , entonces r00 es proporcional a r, R de donde r × r00 = 0, y como en general u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w (ver la p´ ag.173), tendremos que Figura 6.15. Vector de Laplace

k k W × r = 3 r × (r × r0 ) ρ3 ρ (r · r0 )r − (r · r)r0 ρ0 r − ρr0 =k =k 3 ρ ρ2  0  0 r r = −k ⇒ W × r0 + k = 0, ρ ρ

(W × r0 )0 = W × r00 = −

pues r · r0 =

1 1 (r · r)0 = (ρ2 )0 = ρρ0 , 2 2

406

Tema 6. Sistemas de Pfaff

de donde se sigue que a lo largo de las ´ orbitas es constante el vector de LaPlace–Runge–Lenz, (6.10)

R = W × r0 + k

r ρ

(= (r × r0 ) × r0 − ρ2 r00 ),

que es perpendicular a W pues lo son r y W × r0 ; y sus componentes r1 = w2 z3 −w3 z2 +

kx1 , ρ

r2 = w3 z1 −w1 z3 +

kx2 , ρ

r3 = w1 z2 −w2 z1 +

kx3 , ρ

son otras 3 integrales primeras de D. Adem´ as k k r) · (W × r0 + r) ρ ρ 2k = |W × r0 |2 + (W × r0 ) · r + k 2 (por ser W ⊥r0 ) ρ 2k 0 = |W |2 |r0 |2 + (r × r) · W + k 2 ρ   w2 2k 2 2 2 2 2 2 0 2 w + k = w 2h + k = k 1 + 2h 2 , = w |r | − ρ k

|R|2 = (W × r0 +

por tanto su m´ odulo es |R| = ke, para la tambi´en integral primera de D r w2 (6.11) e = 1 + 2h 2 . k Estas 6 funciones que definen los vectores ortogonales W y R, junto con la energ´ıa P 2 k zi − (6.12) wi , ri , h = 2 ρ definen suficientes integrales primeras de D (necesitamos 5) para integrar este campo. Consideremos un nuevo sistema de referencia girando el anterior de modo que las direcciones positivas de los ejes x y z las definan respectivamente R y W . En este nuevo sistema de coordenadas (en el que la ρ no ha cambiado, R = (ke, 0, 0) y W = (0, 0, w) y nuestra curva r(t) est´ a en el plano x, y y tiene componentes r(t) = (x(t), y(t)), por tanto x(t) = e1 · r = (R · r)/|R| y   1 r 1 ρ0 1 R · r0 = W × r0 + k · r0 = r · r0 = x0 = ke ke ρ eρ e

407

6.9. Variedades simpl´ eticas

pues por (6.13), ρρ0 = r · r0 y se tiene que nuestra curva satisface, (ρ − ex)0 = 0 y para nuestra curva existe una constante p tal que ρ = e x + p, que es la ecuaci´ on de una c´ onica6 con foco el origen y eje x, pues ρ = e(x + p/e) y desde sus puntos es constante el cociente de distancias e = ρ/(x + p/e), a un punto (el origen) y a la recta vertical de ecuaci´on x = −p/e, siendo e la excentricidad y p el latus rectum. Observemos que la curva ρ = p − ex es ρ = p + ex girada un ´angulo π y adem´ as es su reflexi´ on respecto del eje y; pues si (x, y) satisface ρ = p + ex, (−x, −y) y (−x, y) satisfacen ρ = p − ex.

p

p

0

0

Figura 6.16. Haz de c´ onicas con foco el origen: Izqda. ρ = ex + p. Dcha. ρ = −ex + p

Tenemos as´ı la Primera Ley de Kepler (ver la p´ag.265): La trayectoria de la masa es una c´ onica y M est´ a en un foco. Esta c´ onica es: 2k elipse ⇔ e < 1 ⇔ h < 0 ⇔ z12 + z22 < ρ 2k par´ abola ⇔ e = 1 ⇔ h = 0 ⇔ z12 + z22 = ρ 2k hip´erbola ⇔ e > 1 ⇔ h > 0 ⇔ z12 + z22 > ρ p y la cantidad 2k/ρ es la velocidad de escape a distancia ρ, es decir la velocidad a partir de la cual la masa que est´ a a distancia ρ seguir´ıa una orbita no el´ıptica y por tanto no regresar´ıa m´ ´ as. 6 Una c´ onica es el corte de un cono con un plano y tambi´ en el lugar geom´ etrico de puntos del plano para los que es constante la relaci´ on de distancias a un punto fijo, llamado foco, y a una recta fija, llamada directriz ; y a esa relaci´ on constante, que denotamos e se llama excentricidad. Remitimos al lector a la p´ agina web http: //matematicas.unex.es/~ricarfr/ElipseDemo.pdf para una demostraci´ on visual de las propiedades anteriores y a la p´ ag. 567, donde tambi´ en se llega de forma natural, estudiando la refracci´ on, a la expresi´ on ¡lineal! ρ = ex + p, en las coordenadas (x, ρ), de las c´ onicas con un foco en el origen y eje x.

408

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Observemos que adem´ as esta c´ onica corta al eje y (x = 0) a distancia del origen–foco, ρ = p, y por (6.13), en nuestras coordenadas, w = w3 = xy 0 − yx0 es constante, y para x = 0, ρ = p = y = −w/x0 , por otro lado por (6.13), tambi´en es constante r2 = w3 z1 − w1 z3 + (kx2 )/ρ y en nuestras coordenadas r2 = 0, w2 = 0, w3 = w, ρ = p = y = x2 , por tanto 0 = wx0 + k, y por tanto el latus rectum vale p = w2 /k.

(6.13)

Estas c´ onicas (ρ = p + ex) de ecuaciones cartesianas x2 + y 2 = (ex + p) , son sim´etricas respecto del eje x y se cortan con ´el en los puntos (xi , 0), con x2i = (exi + p)2 , es decir 2

xi = ±(exi + p)

⇔

x1 =

p (si e 6= 1), 1−e

x2 = −

p . 1+e

Observemos que en el caso parab´ olico x1 est´a en el infinito y en los otros dos casos (hiperb´ olico ´ o el´ıptico, e 6= 1), tendremos que para x = x1 , ρ1 = ex1 + p = x1 y para x = x2 < 0, ρ2 = ex2 + p = −x2 ; por lo tanto la c´ onica tiene centro (veremos mas adelante que es centro de simetr´ıa), que est´ a en el eje x y es negativo si es una hip´erbola (e > 1) y positivo si es una elipse (e < 1), (6.14)

c=

x1 + x2 pe = , 2 1 − e2

y tiene semieje mayor (en el caso de elipse, e < 1) (6.15)

a=

x1 − x2 p c = = 2 1 − e2 e

Observemos tambi´en que R apunta (si es elipse) hacia el punto m´as alejado del foco en el que hemos localizado el origen (es decir el afelio7 ). p

a

b a

x2

c

x1

Figura 6.17. 7 Del

griego, apo=lejos de, y helios=sol, que es el punto (x2 , 0). Su sim´ etrico respecto del centro de la elipse es el perihelio, de peri=alrededor y helios, y es el (x1 , 0). La Tierra pasa por su perihelio sobre el 3 de enero y por su afelio sobre el 3 de julio.

6.9. Variedades simpl´ eticas

409

Adem´ as si es una elipse (Fig.6.17), para el centro x = c el valor correspondiente de ρ es ce + p = a, pues ρ = ex + p =

p pe2 +p= = a, 1 − e2 1 − e2

que es el semieje mayor de la elipse8 . Si ahora definimos b por a2 = b2 +c2 (que ser´ a el semieje menor), entonces por la igualdad (6.15), c = ea, y a2 = b2 + c2 = b2 + e2 a2

⇔

b2 = a2 (1 − e2 ) = ap,

y la ecuaci´ on de la curva en coordenadas cartesianas es x2 + y 2 = (ex + p)2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(1 − e2 )x2 − 2exp − p2 + y 2 = 0 p 2 x − 2exp − p2 + y 2 = 0 a x2 − 2xea − ap + a2 y2 + =1 2 a ap (x − c)2 y2 + 2 = 1. 2 a b

Si ahora consideramos el tiempo T , en el que la masa da una vuelta alrededor de M , por la elipse correspondiente, tendremos por la segunda Ley de Kepler (6.8), considerando que el ´ area que encierra la elipse es πab, que 2πab = wT

⇔

T2 =

4π 2 a2 b2 4π 2 a3 p 4π 2 3 a , = = 2 2 w w k

pues b2 = ap; que es la tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los per´ıodos de revoluci´ on de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias. Observemos que por (6.13), (6.15) y (6.11), 2hw2 2hp p = 1 − e2 = − 2 = − , a k k por lo que la energ´ıa h determina el semieje mayor pues a = −k/2h; el momento (dividido por m), w, determina el latus rectum p = w2 /k y los dos valores determinan la excentricidad e. Esas dos leyes de conservaci´on, 8 Llamado

ma

distancia media, pues es la semisuma de la distancia m´ axima y la m´ıni-

410

Tema 6. Sistemas de Pfaff

por tanto, determinan la forma de la trayectoria c´onica, aunque no su direcci´ on, que nos la da el vector de LaPlace–Runge–Lenz. Por otra parte la velocidad v de la masa a una distancia dada ρ, determina la energ´ıa E = v 2 /2 − k/ρ, la cual determina el semieje a, que a su vez determina el per´ıodo T . De esto se sigue que si en un punto estalla una masa dirigi´endose los trozos en direcciones distintas pero con la misma velocidad v, al cabo de un mismo tiempo T , en el que han seguido distintas elipses, se re´ unen en el punto original. Completemos estos resultados con uno enunciado por Hamilton que afirma que la hod´ ografa9 de toda masa es una circunferencia, llamando hod´ ografa a la curva definida por su vector velocidad. Teorema 6.63 La curva definida por r0 es una circunferencia. Demostraci´ on. Basta demostrar que existe un vector constante B tal que B + r0 tiene m´ odulo constante d. Ahora bien tenemos que para los vectores constantes W = r × r0 = (0, 0, w) y R = (ke, 0, 0) k r ρ

⇒

R k × e3 = r0 + r × e3 w wρ

⇒

R = W × r0 +

R k = e3 × r 0 + r ⇒ w wρ ke k r r0 + e2 = e3 × , w w |r|

siendo B = (ke/w)e2 un vector constante (perpendicular a R y W , r k adem´ as B × W = R) y w e3 × |r| de m´ odulo constante d = k/w.

r'

Figura 6.18. Velocidades en trayectorias el´ıptica, parab´ olica e hiperb´ olica.

r' B d

9 Hod´ ografa

del griego odos camino y grafein dibujar (una linea).

6.9. Variedades simpl´ eticas

411

Figura 6.19. Hod´ ografas correspondientes a elipse, par´ abola e hip´ erbola.

Nota 6.64 Por u ´ltimo observemos que en el caso de elipse, el vector de LaPlace–Runge–Lenz, que tiene m´ odulo ke y direcci´on el semieje mayor r R = W × r0 + k , ρ es suma de W × r0 , que es perpendicular a r0 , y el vector en la direcci´on de r de m´ odulo k. Se sigue por semejanza de tri´angulos que si P es el punto de la elipse (definido por r) y Q el punto en el que la normal a la elipse en P corta al eje mayor de la elipse, entonces 0Q/0P = e es la excentricidad. P k

C R

0

Q

ke

Figura 6.20. Propiedad de la elipse

Ejercicio 6.9.4 Demostrar que las c´ onicas ρ = ex + 1 y ρ = ex + p son homot´eticas de raz´ on p. (Sol.) Ejercicio 6.9.5 Demostrar que en una elipse la suma de distancias de cada punto a los focos es constante. (Sol.) Ejercicio 6.9.6 Cortamos un cono de base circular con un plano y proyectamos la curva intersecci´ on al plano de la base. Demostrar que la curva es una c´ onica con foco en el eje del cono. (Sol.) Ejercicio 6.9.7 Dado un punto P de una elipse, consideremos el punto Q corte del semieje mayor y la normal a la elipse por P . Demostrar que para F un foco, F Q/F P es constante y es la excentricidad. (Sol.) Ejercicio 6.9.8 Sea n ∈ N, consideremos en cada punto P de R2 la recta cuya perpendicular por P corta al eje x en un punto Q, tales que es constante |Q|/|P |n = e. Encontrar las curvas tangentes. ¿Qu´e interpretaci´ on tiene e para n = 1?. (Sol.)

412

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Ejercicio 6.9.9 Suponiendo que una masa M est´e en reposo, demostrar que la velocidad inicial que debe tener unpsat´elite que est´ a a una distancia r de M , para que su o ´rbita sea circular es, GM/r. (Sol.) 3

km Ejercicio 6.9.10 Sabiendo que para la Tierra, GM = 398 600, 4418 seg 2 (ver la p´ ag.47), calcular a que altura debemos poner un sat´elite para que sea geoestacionario, es decir se mueva como si estuviera unido r´ıgidamente a la Tierra. (Sol.)

Ejercicio 6.9.11 Demostrar el rec´ıproco del Teorema de la Hodografa (6.63), es decir que si una trayectoria r (de una masa que se mueve debido a una fuerza central, es decir r00 ∼ r) tiene hod´ ografa que es una circunferencia, entonces r es una c´ onica con la fuente de atracci´ on en el foco. (Sol.)

Los 5 puntos de Lagrange El problema de los 3 cuerpos no tiene soluci´on conocida, sin embargo para casos particulares se tiene alg´ un resultado, como por ejemplo cuando tenemos dos masas M y m que giran sobre su centro de masas en trayectorias circulares del plano perpendicular a su momento angular (que consideramos en el eje z). En tal caso hay 5 puntos, en el plano xy de su movimiento, en los que masas despreciables siguen un movimiento unido r´ıgidamente a las dos. Tres de esos puntos (ver la Fig.6.22), llamados L1 , L2 y L3 , est´ an en la recta que une las dos masas, y los otros dos L4 y L5 forman cada uno con M y m tri´ angulos equil´ateros. Lo veremos de dos formas: r(t) d2(t)

M r2(t)

d1(t)

r2 0

r1 d

m r1(t)

Figura 6.21. Posiciones de las masas M y m.

Primera forma.- Sean r1 y r2 las posiciones de m y M , respecto de su centro de masas, por lo tanto mr1 +M r2 = 0. Denotemos sus m´odulos respectivamente con ρ1 y ρ2 = (m/M )ρ1 , los cuales estamos suponiendo que son constantes y con d = ρ1 + ρ2 la distancia entre las dos masas.

413

6.9. Variedades simpl´ eticas

Se sigue que r100 = −

r1 GM r1 = −GM1 3 , d2 ρ1 ρ1

para M1 = M

ρ21 d2

y la aceleraci´ on es la misma que si hubiera una masa M1 en el centro de masas. Para este tipo de ecuaci´ on hemos visto que si la ´orbita de m es circular y su velocidad es v1 , entonces (ver el ejercicio 6.9.9) v12 =

(6.16)

GM1 ρ1 = GM 2 . ρ1 d

Consideremos ahora una nueva masa en el punto r del plano, insignificante a efectos gravitatorios sobre m y M . Las fuerzas que act´ uan sobre ella son debidas a las dos masas, por tanto (6.17)

r00 = GM

r2 − r r1 − r + Gm 3 , 3 d2 d1

di = |ri − r|

y si su movimiento es circular con centro en el centro de masas y velocidad angular constante ω, la misma de las masas, entonces r00 es proporcional a r (que tiene m´ odulo constante ρ = |r|) r00 = −GM0

r , ρ3

para

r M (r − r2 ) m(r − r1 ) + = M0 3 3 3 d2 d1 ρ

y por tener la misma velocidad angular que r1 , a distancia ρ su velocidad es v = (ρ/ρ1 )v1 ; como por otra parte (ver el ejercicio 6.9.9), v 2 = GM0 /ρ, tendremos por (6.16) que v2 ρ2 v12 ρ2 M M0 = = = 2 ρ G Gρ1 ρ1 d 2

⇔

M0 = M

ρ3 . ρ1 d2

En definitiva tendremos que r satisface (6.18)

(6.19)

M (r − r2 ) m(r − r1 ) M0 r Mr + = 3 = d32 d31 ρ ρ1 d 2 −M r2 mr1 Mr M r mr − 3 = − 3 − 3 3 2 d d ρ1 d d2 d1  2  1   m m M M m − r = − − r 1 d32 d31 ρ1 d 2 d32 d31

414

Tema 6. Sistemas de Pfaff

y si r no es proporcional a r1 , ambos coeficientes son nulos, por tanto por la anulaci´ on del primero, d2 = d1 y por la del segundo M +m M = 2 ρ1 d d31

⇔

d31 = ρ1 d2

ρ1 + ρ2 M +m = ρ1 d2 = d3 , M ρ1

por lo tanto d1 = d2 = d y r forma con las dos masas un tri´angulo equil´ atero. Estos dos puntos se llaman puntos triangulares de Lagrange y se denotan L4 y L5 . Si por el contrario r es proporcional a r1 , r = xr1 +(1−x)r2 , entonces r − r1 = (r1 − r2 )(x − 1), r − r2 = (r1 − r2 )x, r = (x + (ρ1 /d))(r1 − r2 ), d1 = |r − r1 | = d|x − 1| y d2 = |r − r2 | = d|x|; y por (6.18), tenemos que ρ1 M (r1 − r2 )x ρ1 m(r1 − r2 )(x − 1) M (dx + ρ1 ))(r1 − r2 ) + = d3 |x|3 d3 |x − 1|3 d3 ρ1 x ρ2 (x − 1) + = dx + ρ1 |x|3 |x − 1|3 y distinguimos tres casos: que x ∈ (0, 1), que x > 1 y que x < 0. En el primer caso x ∈ (0, 1), f1 (x) =

ρ1 ρ2 − − dx − ρ1 = 0 2 x (1 − x)2

tiene una u ´nica soluci´ on x1 (llamada10 L1 = x1 r1 ), pues f1 (0+ ) = ∞, − f1 (1 ) = −∞ y en (0, 1), f10 = −

ρ1 2x ρ2 2(1 − x) − − d < 0. x4 (1 − x)4 L4

d

d L3

L1

L2

d

L5 10 En

este punto del sistema Sol–Tierra est´ a localizado el sat´ elite Soho de observaci´ on solar y muy cerca en ´ orbitas en forma de 8 el ACE.

415

6.9. Variedades simpl´ eticas

Figura 6.22. Puntos de Lagrange

En el segundo caso x > 1, f2 (x) =

ρ1 ρ2 + − dx − ρ1 = 0 2 x (x − 1)2

tiene una u ´nica soluci´ on (llamada11 L2 ), pues f2 (1+ ) = ∞, f2 (∞) = −∞ y en x > 1. f20 = −

ρ1 2x ρ2 2(x − 1) − − d < 0, x4 (x − 1)4

Y en el tercero caso x < 0 f3 (x) = −

ρ1 ρ2 − − dx − ρ1 = 0, 2 x (1 − x)2

tambi´en tiene una u ´nica soluci´ on (llamada L3 ), pues f3 (−∞) = ∞, f3 (0− ) = −∞ y en x < 0, f30 < 0. Segunda forma.- consideremos una base unida a las masas que giran a velocidad angular constante ω, e1 (t) = (cos ωt, sin ωt), e01

= ωe2 ,

e02

= −ωe1 ,

e2 (t) = (− sen ωt, cos ωt), e001 = −ω 2 e1 ,

r1 (t) = ρ1 e1 (t),

e002 = −ω 2 e2 ,

r2 (t) = −ρ2 e1 (t).

y como ωρ1 = |r10 | = v1 , tendremos por (6.16), que ω2 =

GM . ρ1 d 2

Consideremos la curva r, en el sistema de referencia relativo a esta base12 , 11 En este punto del sistema Sol–Tierra est´ a localizado el sat´ elite WMAP y el Observatorio Espacial Herschel 12 El cual no es inercial.

416

Tema 6. Sistemas de Pfaff

por tanto se sigue de lo anterior y de (6.17), que r(t) = x(t)e1 (t) + y(t)e2 (t), r0 (t) = x0 e1 + xe01 + y 0 e2 + ye02 , r00 (t) = x00 e1 + 2x0 e01 + xe001 + y 00 e2 + 2y 0 e02 + ye002 = (x00 − ω 2 x − 2y 0 ω)e1 + (y 00 + 2ωx0 − ω 2 y)e2 r1 − r r2 − r + Gm 3 = GM d32 d1 (ρ2 + x)e1 + ye2 (ρ1 − x)e1 − ye2 = −GM + Gm d32 d31 para di = |ri −r|, pues r1 −r = (ρ1 −x)e1 −ye2 y r2 −r = −(ρ2 +x)e1 −ye2 , por tanto p p d2 = (ρ2 + x)2 + y 2 , d1 = (ρ1 − x)2 + y 2 , y se sigue que para un observador ligado a las masas ρ2 + x ρ1 − x + Gm = ux 3 d2 d31 y y y 00 + 2ωx0 − ω 2 y = −GM 3 − Gm 3 = uy d2 d1

x00 − ω 2 x − 2y 0 ω = −GM

para la funci´ on  u(x, y) = G

m M + d1 d2

 ,

y nuestra ecuaci´ on de segundo orden en coordenadas (no inerciales) es (6.20)

x00 = ω 2 x + 2y 0 ω + ux

y 00 = −2ωx0 + ω 2 y + uy .

Observemos que esta aceleraci´ on (x00 , y 00 ) es suma de las tres fuerzas por unidad de masa (ver la p´ ag.189): ω 2 (x, y) (llamada fuerza centr´ıfu0 0 ga), 2ω(y , −x ) (llamada fuerza de Coriolis); y (ux , uy ) (la fuerza de la gravedad). Esta ecuaci´ on corresponde al campo tangente D = z1 ∂x + z2 ∂y + (ω 2 x + 2z2 ω + ux )∂z1 + (ω 2 y − 2ωz1 + uy )∂z2 . Si consideramos la energ´ıa cin´etica ec = (z12 + z22 )/2, y la distancia al

417

6.9. Variedades simpl´ eticas

origen ρ, tendremos Dec = z1 Dz1 + z2 Dz2 = z1 (ω 2 x + 2z2 ω + ux ) + z2 (ω 2 y − 2ωz1 + uy ) = ω 2 (z1 x + z2 y) + z1 ux + z2 uy = ω 2 (xDx + yDy) + ux Dx + uy Dy = ω 2 D  2 2  ω ρ =D + u = −Dv, 2



ρ2 2

 + Du

para la funci´ on de (x, y), que llamaremos funci´ on potencial   ω 2 ρ2 ω 2 ρ2 m M (6.21) v=− −u=− −G + , 2 2 d1 d2 pues tenemos la integral primera de D, que llamamos energ´ıa   ω 2 ρ2 m z 2 + z22 M − −G h = ec + v = 1 + . 2 2 d1 d2 Busquemos los puntos singulares p del campo, es decir Dp = 0. En ellos z1 = z2 = 0,

ω 2 x + ux = 0,

ω 2 y + uy = 0,

es decir la velocidad es nula y como ω 2 x = −ux ρ1 − x ρ2 + x − Gm ⇒ 3 d2 d31 ρ2 + x m(ρ1 − x) x = − ⇒ ρ1 d2 d32 M d31 x ρ1 (ρ2 + x) ρ2 (ρ1 − x) − , = d2 d32 d31

ω 2 x = GM

de modo similar desarrollando ω 2 y = −uy , ω 2 y = GM

y y + Gm 3 d32 d1

⇒

y yρ1 yρ2 = 3 + 3 d2 d2 d1

y si y 6= 0, tendremos por la u ´ltima igualdad (6.22)

1 ρ1 ρ2 = 3 + 3, d2 d2 d1

418

Tema 6. Sistemas de Pfaff

y por tanto xρ2 x ρ1 (ρ2 + x) ρ2 (ρ1 − x) xρ1 + 3 = 2 = − d32 d1 d d32 d31 ρ1 ρ2 ρ2 ρ1 0= 3 − 3 ⇒ d1 = d2 d2 d1

⇒

y como ρ1 + ρ2 = d, tendremos por (6.22), que d1 = d2 = d y hay dos puntos con esta propiedad p4 = (x4 , y4 , 0, 0) y p5 = (x5 , y5 , 0, 0). Como dijimos antes denotamos L4 = (x4 , y4 ) y L5 = (x5 , y5 ). Si por el contrario y = 0 el punto est´ a en el eje x y satisface x ρ1 (ρ2 + x) ρ2 (ρ1 − x) = − , 2 d d32 d31 y llegamos a lo mismo que en (6.19), para r = xr1 /ρ1 . Denotamos estos puntos respectivamente pi = (xi , 0, 0, 0) y en el plano Li = (xi , 0), para i = 1, 2, 3. Estabilidad de los puntos L4 y L5 Ahora queremos estudiar la estabilidad de los puntos L4 , L5 = (x, ±y) ∈ R2 . El estudio no ser´ a completo, pues es muy complejo y como veremos no siempre es cierto. Estos puntos forman un tri´ angulo equil´ atero con las masas y corresponden a los puntos p = (x, ±y, 0, 0) con velocidad nula (en reposo respecto de las masas), y satisfacen d1 = d2 = d = ρ1 + ρ2 , por tanto √ d ρ1 − ρ2 3 (6.23) ρ1 − x = ρ2 + x = , x = , y= d. 2 2 2 L4

L3

M

L2

m L1

L5

Figura 6.23. Curvas de nivel de v

419

6.9. Variedades simpl´ eticas

Teorema 6.65 La funci´ on potencial v (6.21), tiene en los puntos L4 , L5 un m´ aximo local absoluto. Demostraci´ on. En primer lugar las derivadas primeras se anulan, (para z = L4 ) x − ρ1 ρ2 + x + Gm vx (z) = −ω 2 x + GM d32 d31   M (ρ2 + x) ρ2 M (x − ρ1 ) = −ω 2 x + G + d3 ρ1 d3   ρ1 (ρ2 + x) + ρ2 (x − ρ1 ) = −ω 2 x + GM = 0, ρ1 d 3 la otra derivada es similar. Ahora basta analizar el Hessiano de v: vxx = −ω 2 − uxx ,

vxy = −uxy ,

vyy = −ω 2 − uyy ,

y comprobar que el primer menor principal es negativo y el segundo positivo. Ahora bien como ω 2 = GM/(ρ1 d2 ), y m = M ρ2 /ρ1 ,     M ρ1 GM ρ2 m + + = = ω2 u ¯, para u=G d1 d2 ρ1 d1 d2   ρ1 ρ2 + . u ¯ = d2 d1 d2 calculemos las derivadas de u ¯   d1x d2x 2 u ¯x = −d ρ2 2 + ρ1 2 , d1 d2

u ¯y = −d

2



d1y d2y ρ2 2 + ρ1 2 d1 d2



y sus segundas derivadas en z, sabiendo que d1 (z) = d2 (z) = d   d1xx d2 − 2d21x d d2xx d2 − 2d22x d u ¯xx (z) = − ρ2 + ρ 1 d2 d2 2(ρ2 d21x + ρ1 d22x ) = − (ρ2 d1xx + ρ1 d2xx ) d   d1xy d2 − 2d1x d1y d d2xy d2 − 2d2x d2y d u ¯xy (z) = − ρ2 + ρ1 d2 d2 2(ρ2 d1x d1y + ρ1 d2x d2y ) = − (ρ2 d1xy + ρ1 d2xy ) d

,

420

Tema 6. Sistemas de Pfaff

d2yy d2 − d22y 2d d1yy d2 − d21y 2d u ¯yy (z) = − ρ2 + ρ1 2 d d2 =

!

2(ρ2 d21y + ρ1 d22y ) − (ρ2 d1yy + ρ1 d2yy ) d

para terminar este c´ alculo necesitamos las derivadas de d1 =

p (x − ρ1 )2 + y 2 ,

d2 =

p (ρ2 + x)2 + y 2 ,

sabiendo que en z, ρ2 + x = ρ1 − x = d/2 y que d2 /4 + y 2 = d2 ,

d1x =

x − ρ1 , d1 d1y =

ρ2 + x , d2 y d2y = , d2

d2x = y , d1

1 d2x (z) = 2 √ 3 d1y (z) = d2y (z) = 2 1 d1x (z) = − , 2

y de las segundas d − d4 d − (x − ρ1 )d1x 3 = = , 2 2 d d √ 4d −yd1x y 3 d1xy (z) = d1yx = = 2 = , d2 2d 4d d − yd1y 1 d1yy (z) = = , d2 4d d − (ρ2 + x)d2x 3 d2xx (z) = = , 2 d 4d √ −yd2x 3 d2xy (z) = d2yx = =− , d2 4d d − yd2y 1 d2yy (z) = = . d2 4d

d1xx (z) =

de donde que, para 0 < k = (ρ1 − ρ2 )/d < 1 1 u ¯xx (z) = − , 4

√ 3 3 u ¯xy (z) = k 4

u ¯yy (z) =

5 , 4

6.9. Variedades simpl´ eticas

421

y podemos calcular el Hessiano de v teniendo en cuenta que u = ω 2 u ¯ 3 vxx (z) = −ω 2 − uxx = −ω 2 (1 + u ¯xx ) = −ω 2 , 4 √ ! 3k 3 vxy (z) = −uxy = −ω 2 u ¯xy = −ω 2 , 4 9 vyy (z) = −ω 2 − uyy = −ω 2 (1 + u ¯yy ) = −ω 2 , 4 y los menores principales de este Hessiano, que son 3 H1 = −ω 2 < 0, 4   27 27 2 27 4 H2 = ω − k = ω 4 (1 − k 2 ) > 0. 16 16 16 Como Dpi = 0, podemos considerar la linealizaci´on (ver la p´ag.278), del campo D = z1 ∂x + z2 ∂y + (ω 2 x + 2z2 ω + ux )∂z1 + (ω 2 y − 2ωz1 + uy )∂z2 = z1 ∂x + z2 ∂y + f ∂z1 + g∂z2 . en p4 (´ o p5 ). La matriz de la linealizada en esos puntos es el Jacobiano de (z1 , z2 , f, g),   0 0 1 0  0 0 0 1   A=  −vxx −vxy 0 2ω  −vxy −vyy −2ω 0 y sus autovalores son las soluciones de | det A − λI| = 0, es decir λ 0 1 0 0 λ 0 1 4 2 2 2 0 = = λ + λ (vxx + vyy + 4ω ) + vxx vyy − vxy v v −λ 2ω xy xx vxy vyy −2ω −λ 27 √ λ = ± µ, 0 = µ2 + µω 2 + ω 4 (1 − k 2 ), 16 y si un λ tiene parte real no nula, ´el o su contrario la tiene positiva, en cuyo caso se tiene que el punto es inestable por (5.7). Por lo tanto para

422

Tema 6. Sistemas de Pfaff

que sea estable debe ser imaginario puro, es decir µ < 0, en particular debe ser real y el discriminante debe ser positivo 1−

27(1 − k 2 ) >0 4

⇔

4 > 1 − k2 27

⇔

k2 >

23 27

y para que nuestro punto sea estable debe ser r M −m ρ1 − ρ2 23 = > (≈ 0, 92). k= d M +m 27 lo cual es necesario aunque desconozco si es suficiente. Las masas del Sol, Tierra, Jupiter y Luna son respectivamente en kg MS = 1989·1027 ,

MT = 5972·1021 ,

MJ = 1898·1024 ,

ML = 7349·1019 ,

y los valores de k para la Tierra–Luna (kT L ), Sol–Tierra (kST ) y Sol– Jupiter (kSJ ) son kT L = 0, 97 . . . ,

kST = 0, 99 . . . ,

kSJ = 0, 99 . . .

lo cual indica la posible estabilidad de L4 y L5 en esos sistemas binarios, en cualquier caso se han observado en el sistema Sol–Jupiter, sat´elites llamados troyanos, en esos puntos.

6.10.

Ap´ endice: Variedades diferenciables

Definici´ on. Llamamos estructura diferenciable en un espacio topol´ogico Hausdorff y de base numerable X , a una colecci´on {C ∞ (U ) ⊂ C(U ), con U abierto de X }, de subconjuntos de las funciones continuas de cada abierto U de X , cada una de las cuales es una R-´ algebra, que llamaremos de funciones diferenciables, que satisfacen las siguientes propiedades:

423

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

i.- La restricci´ on de una funci´ on diferenciable es diferenciable, es decir dados dos abiertos U ⊂ V , f ∈ C ∞ (V )

⇒

f|U ∈ C ∞ (U ).

ii.- Dada una colecci´ on Ui de abiertos, U = ∪Ui y fi ∈ C ∞ (Ui ), ´nica f ∈ C ∞ (U ) cuya tales que fi|Ui ∩Uj = fj|Ui ∩Uj , entonces existe una u restricci´ on a cada Ui es fi . iii.- Para cada punto x ∈ X existe un abierto Ux , (en la foto, la olla) que lo contiene y al que llamaremos entorno coordenado de x, un abierto V de un Rn (en la foto, el mantel) y un homeomorfismo H : Ux → V (que lleva el punto rojo de la olla en el del mantel), tal que para cada abierto U ⊂ Ux f ∈ C ∞ (H(U ))

⇔

f ◦ H ∈ C ∞ (U ).

Figura 6.24.

Llamaremos variedad diferenciable a un espacio topol´ogico dotado de una estructura diferenciable. Proposici´ on 6.66 Toda variedad es uni´ on disjunta numerable de sus componentes conexas, que son abiertos y cerrados de la variedad. Demostraci´ on. Consideremos, para cada x de la variedad, la uni´on Ux de todos los conjuntos conexos de la variedad que contienen a x. Se demuestra f´ acilmente que cada Ux es conexo, que es abierto (por la propiedad iii) y es un cerrado pues su complementario es abierto. Por tanto a lo sumo la colecci´ on de estas componentes conexas es numerable si el espacio tiene una base numerable de abiertos. Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on continua entre variedades diferenciables F : X −→ Y, es diferenciable si para cada abierto V ⊂ Y f ∈ C ∞ (V )

⇒

F ∗ (f ) = f ◦ F ∈ C ∞ (f −1 (V )).

Definici´ on. Llamamos germen en un punto x, de una funci´on continua (diferenciable) f definida en un entorno abierto de x, a la clase de equivalencia de todas las funciones de su tipo, definidas en entornos abiertos

424

Tema 6. Sistemas de Pfaff

de x, que coincidan con f en alg´ un entorno de x. Denotaremos con Cx (X ) (´ o Cx si no hay confusi´ on) y Cx∞ las R–´ algebras de g´ermenes de funciones continuas y diferenciables respectivamente en x. Llamamos espacio tangente de una variedad X en un punto x al R–espacio vectorial Tx (X ), de las derivaciones Dx : Cx∞ −→ R, en el punto x, es decir aplicaciones verificando: a) Linealidad.- Dp (tf + sg) = tDp f + sDp g. b) Anulaci´ on constantes.- Dp t = 0. c) Regla de Leibnitz en p.- Dp (f g) = f (p)Dp g + g(p)Dp f , para cualesquiera t, s ∈ R y f, g ∈ Cx∞ . el cual —si X es Hausdorff y de base numerable como suponemos—, se demuestra que coincide con las derivaciones en x de todo el ´ algebra C ∞ (X ) en R. Llamamos espacio cotangente a su dual, que denotamos Tx∗ (X ). Llamamos campos tangentes en un abierto U a las derivaciones D : C ∞ (U ) −→ C ∞ (U ), es decir aplicaciones verificando: 1.- D(tf + rg) = tDf + rDg, 2.- Dt = 0, 3.- Regla de Leibnitz: D(f g) = f (Dg) + g(Df ), para f, g ∈ C ∞ (U ) y t, r ∈ R, las cuales forman un C ∞ (X )–m´odulo, que denotamos D(X ), y un ´ algebra con el producto definido por el corchete de Lie [D1 , D2 ] = D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 . Llamamos 1–formas a los elementos de su m´odulo dual, Ω(X ). Dada una funci´ on f ∈ C ∞ (X ) llamamos diferencial de f a la 1–forma df : D(X ) −→ C ∞ (X ),

df (D) = Df.

Definici´ on. Dada una aplicaci´ on diferenciable F : X −→ Y, llamamos aplicaci´ on lineal tangente en x ∈ X a F∗ : Tx (X ) −→ TF (x) (Y),

F∗ (Dx ) = Dx ◦ F ∗ ,

a la aplicaci´ on dual entre espacios cotangentes la denotamos F ∗ . Llamamos rango de F en x al rango de F∗ .

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

6.10.1.

425

Particiones de la unidad

Lema 6.67 Sea (V, C ∞ ) una variedad diferenciable, U un abierto y K ⊂ U un compacto. Entonces existe ϕ ∈ C ∞ (V) tal que ϕ(V) ⊂ [0, 1], ϕ = 1 en K y sop(ϕ) ⊂ U . Demostraci´ on. El resultado lo hemos visto para U abierto coordenado en (1.8), p´ ag.7). Para cada x ∈ K sea ϕ ∈ C ∞ (V) tal que ϕ(x) = 1 y sop(ϕ) ⊂ U . Por compacidad de K existir´ an, ϕ1 , . . . , ϕn ∈ C ∞ (V) y abiertos U = {ϕ > 0}, . . . , U = {ϕ > 0}, tales que K ⊂ ∪Ui y en K, 1 n n P 1 f = ϕi > 0. Adem´ as sop(f ) ⊂ ∪ sop(ϕi ) ⊂ U . Ahora bien por ser f continua existe m´ın{f (x) : x ∈ K} =  > 0; y como existe h ∈ C ∞ (R), tal que h(R) = [0, 1], h(x) = 1 para x ≥  y h(x) = 0, para x ≤ 0 (ver p´ ag.7), podemos definir la funci´ on ϕ = h ◦ f que es la buscada, pues sop(ϕ) ⊂ U y en K, ϕ = 1. Corolario 6.68 Sea (V, C ∞ ) una variedad, K un compacto y f ∈ C ∞ (V) no negativa, tal que f > 0 en K. Entonces existe h ∈ C ∞ (V), tal que h > 0 en V y h = f en K. Demostraci´ on. Sea U = {f > 0}, entonces por (6.67) existe ϕ ∈ C ∞ (V), tal que ϕ = 1 en K y sop(ϕ) ⊂ U . La funci´on h = f + (1 − ϕ) es la buscada. Teorema 6.69 Sea (V, C ∞ ) una variedad, K un compacto de V y Vj un ∞ recubrimiento P de K. Entonces existen ϕ1 , . . . , ϕn ∈ C (V) no negativas, tales que vi = 1 en K y sop(ϕi ) ⊂ Vj , para alg´ un j. Demostraci´ on. Si x ∈ K, entonces x ∈ Vj para alg´ un j. Consideremos para este x una ϕ ∈ C ∞ (V) no negativa, tal que ϕ(x) = 1 y sop(ϕ) ⊂ Vj y sea Ux = {ϕ > 0}, entonces por ser K compacto existir´ an ϕ1 , . . . , ϕnP∈ C ∞ (V) y U1 = {ϕ1 > 0}, . . . , Un = ϕn > 0 tales que K ⊂ ∪Ui , f = gi > 0 en K y sop(ϕi ) ⊂ Vji . Ahora por (6.68), existe h ∈ C ∞ (V) positiva, tal que h = f en K. Las funciones buscadas son ϕi = gi /h. Definici´ on. Diremos que una familia de subconjuntos Vj , de un espacio topol´ ogico X es localmente finita si cada punto de X tiene un entorno que corta a lo sumo a un n´ umero finito de conjuntos Vj . Ejercicio 6.10.1 Demostrar que la adherencia de conjuntos de una familia localmente finita, tambi´en lo es.

426

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Definici´ on. Diremos que una familia ϕj de funciones diferenciables, en una variedad V, constituyen una partici´ on de la unidad en V, si se verifican las propiedades: (a) P ϕj ≥ 0 para todo j. (b) sop(ϕj ) es una familia localmente finita. (c) vj = 1 en V. Una partici´ on de la unidad ϕj est´ a subordinada a un recubrimiento por abiertos Vi de V si: (d) para cada jexiste un i tal que sop(ϕj ) ⊂ Vi . Recordemos que el espacio topol´ ogico subyacente a una variedad diferenciable es Hausdorff, localmente compacto y tiene una base numerable de abiertos. Por ello se tiene el, Lema 6.70 Toda variedad V es uni´ on numerable de compactos Kn , tales ◦

que Kn−1 ⊂ ( Kn ). Demostraci´ on. En primer lugar como V tiene una base numerable de abiertos Vn , y cada punto x ∈ V tiene un entorno compacto Vx , existir´ a n ∈ N tal que x ∈ Vn ⊂ Vx , y Cn = V¯n ser´a compacto. Por tanto V es uni´ on numerable de los compactos Cn . Tomemos ahora K1 = C1 . Para construir K2 tomamos para cada x ∈ K1 un abierto Ux relativamente compacto (es decir con adherencia compacta). Por ser K1 compacto podemos extraer un subrecubrimiento finito U1 , . . . , Un , ◦

y definimos K2 = ∪i Ui ∪ C2 , entonces K1 ⊂ ∪Ui ⊂ ( K2 ). Ahora por inducci´ on construimos Kn en funci´ on de Kn−1 y el resultado se sigue.

Teorema 6.71 Dado un recubrimiento abierto Vi de una variedad V, existe una partici´ on de la unidad subordinada a ´el. Demostraci´ on. En los t´erminos del lema anterior para Kn consideremos los compactos ◦

C1 = K1 ,

Cn = Kn \ ( Kn−1 )(n ≥ 2),

c Los abiertos Vi recubren a C1 y a C2 y los Vni = Vi ∩ Kn−2 para n ≥ 3 recubren a Cn . Aplicando (6.69), existen para cada n ∈ N, ∞ Φn1 , . . . , Φnm P ∈ C (V), no negativas, con m dependiendo de n, tales que en Cn , Fni = 1, y para n = 1, 2 y cada Φnj existe un abierto Vi , que podemos llamar Vnj tal que sop(Φn j) ⊂ Vnj , y para n ≥ 3 y cada Φnj existe un Vni , que podemos llamar Vnj , tal que sop(Φnj ) ⊂ Vnj . Para

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

427

cada n ∈ N y cada i = 1, . . . , mn , Φni ≥ 0. Veamos ahora que sop(Φni ) es localmente finita. ◦

Para cada x ∈ V existe n ≥ 3 tal que x ∈ ( Kn ). Ahora bien para j ≥ n − 2 tenemos que Kn ⊂ Kj−2 , por tanto c c Vji = Vi ∩ Kj−2 ⊂ Kj−2 ⊂ Knc ,

es decir que para j ≥ n − 2 tenemos ◦

c c K ⊂ Kn ⊂ Vji ⊂ sop(Φji ) , n

de donde se sigue que sop(Φni )es localmente finita. Por u ´ltimo y como P consecuencia de lo anterior Φ = Fni ∈ C ∞ (V), adem´as para cada x ∈ V existe n ∈ N tal que x ∈ Cn y para alg´ un i ∈ {1, . . . , m}, Φni (x) > 0, pues Φn1 (x) + · · · + Φnm (x) = 1. Por tanto Φ(x) > 0 y basta considerar las funciones ϕni = (Φni /Φ) ∈ C ∞ (V). Corolario 6.72 Dados C1 y C2 cerrados disjuntos de V, existe h ∈ C ∞ (V) tal que h(V) ⊂ [0, 1], h(C1 ) = 0 y h(C2 ) = 1, adem´ as sop(h) ⊂ C1 . Demostraci´ on. Consideremos una partici´ on de la unidad ϕi subordinada a U = V − C1 y V = P V − C2 , y consideremos los ϕj tales que sop(ϕj ) ⊂ U y su suma h = vj , y por otra parte el resto de los ϕi para los que se tendr´ a sop(ϕk ) ⊂ V , y sea g su suma. Entonces por ser ϕi una familia localmente finita se tiene que ∪ sop(ϕj ) y ∪ sop(ϕk ) son cerrados, por tanto sop(h) ⊂ U y sop(g) ⊂ V . Como adem´as se tiene que h + g = 1, el resultado se sigue. Corolario 6.73 Sean C un cerrado y U un abierto de V, tales que C ⊂ U . Entonces existe h ∈ C ∞ (V), tal que h(V) ⊂ [0, 1], h(C) = 1 y sop(h) ⊂ U. Ejercicio 6.10.2 Sea X una subvariedad cerrada de V. Demostrar que toda funci´ on f ∈ C ∞ (X ) puede extenderse a una f ∈ C ∞ (V) (ver Helgason, p.92).

428

6.10.2.

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Inmersiones locales, subvariedades

Definici´ on. Decimos que F es una inmersi´ on local en x si la aplicaci´on F ∗ : CF∞(x) −→ Cx∞ ,

F ∗ (f ) = f ◦ F,

definida entre ´ algebras de g´ermenes de funciones diferenciables, es sobre. Lo cual equivale a que F∗ : Tx (X ) −→ TF (x) (Y), sea inyectiva. Diremos que F es inmersi´ on si es inyectiva e inmersi´on local en todo punto, en cuyo caso diremos que F (X ) es una subvariedad inmersa en Y. Si adem´ as, con la topolog´ıa inducida por Y, resulta que F : X −→ F (X ), es un homeomorfismo, diremos que F (X ) es una subvariedad (´o subvariedad regular como la llaman algunos autores), de Y. Teorema del rango 6.74 Si F : X → Y es diferenciable de rango constante k, entonces para cada p ∈ X y q = F (p) existen entornos coordenados Vp y Vq , con coordenadas (u1 , . . . , un ) y (v1 , . . . , vm ), tales que si x ∈ Vp tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), F (x) tiene coordenadas (x1 , . . . , xk , 0 . . . , 0). Corolario 6.75 En las condiciones anteriores, si F es localmente inyectiva k = n y F es inmersi´ on local. Teorema de caracterizaci´ on de subvariedades 6.76 S es una subvariedad de una variedad X si y s´ olo si para cada p ∈ S, existe un abierto coordenado Vp de p en X , con coordenadas ui , tal que S ∩ Vp = {x ∈ Vp : uj (x) = 0,

j = 1, . . . , k}.

Proposici´ on 6.77 Sea F : X → Y diferenciable de rango constante k. 1.- Para cada q ∈ Y, F −1 (q) es vac´ıo ´ o una subvariedad cerrada de X , de dimensi´ on dim X − k. 2.- Cada p ∈ X tiene un entorno abierto Vp tal que F (Vp ) es una subvariedad de Y de dimensi´ on k. 3.- Si F es sobre, dim Y = k.

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

429

Demostraci´ on. 1.- Sea p ∈ F −1 (q), y consideremos los entornos del teorema del rango, entonces F −1 (q) ∩ Vp = {x ∈ Vp : F (x) = q} = {x ∈ Vp : vj (F (x)) = vj (q), j ≤ k} = {x ∈ Vp : uj (x) = vj (q), j ≤ k}. 2.- Localmente F es composici´ on de una proyecci´on (que lleva abiertos en abiertos) y una inmersi´ on, por tanto existe un abierto V ⊂ Vq tal que F (Vp ) = {y ∈ V : vk+1 = · · · = vn = 0}. 3.- Como X es de base numerable, por el apartado anterior Y se puede poner como uni´ on numerable de subvariedades de dimensi´on k y si k < dim Y es absurdo porque las subvariedades son de medida nula y la uni´ on numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula. Tambi´en porque las subvariedades son densas en ning´ un lado y por el Teorema de Baire su uni´ on numerable tambi´en es densa en ning´ un lado.

6.10.3.

Variedades integrales m´ aximas

Veremos que si ∆ es una distribuci´ on involutiva, entonces por cada punto de la variedad pasa una u ´nica variedad integral m´axima. Pero para ello necesitamos unos resultados previos. Teorema 6.78 Sean U, V y W variedades diferenciables, y consideremos el diagrama conmutativo F

U H

− → &

V .G

W donde G es inmersi´ on y H es diferenciable, entonces cada afirmaci´ on implica la siguiente: i) G(V) es una subvariedad de W. ii) F es continua. iii) F es diferenciable. Demostraci´ on. (i)⇒(ii) Para cada abierto V ⊂ V se tiene por ser G inyectiva F −1 (V ) = F −1 [G−1 [G(V )]] = H −1 [G(V )],

430

Tema 6. Sistemas de Pfaff

y F es continua por serlo H y G(V) tener la topolog´ıa inducida por W, por lo que G(V ) = A ∩ G(V), con A abierto de W y F −1 (V ) = H −1 (A). (ii)⇒(iii) Si F : U −→ V es continua, entonces podemos definir para cada x ∈ U F ∗ : CF (x) (V) −→ Cx (U), tal que F ∗ [f ] = [F ∗ f ], para cualquier representante f . Ahora que F es diferenciable se demuestra f´ acilmente en germen, pues si f es el germen de una funci´ on diferenciable en y = F (x) ∈ V, para un punto x ∈ U, entonces f = G∗ (g) (por ser G inmersi´ on local), para g el germen de una funci´ on diferenciable de W, por lo tanto F ∗ (f ) = F ∗ [G∗ (g)] = H ∗ (g), es el germen de una funci´ on diferenciable. Teorema 6.79 Sean U, V y W variedades diferenciables, y consideremos el diagrama conmutativo de teorema anterior, con G inmersi´ on, H diferenciable y adem´ as para cada y ∈ V, G∗ [Ty (V)] = ∆G(y) , para ∆ una distribuci´ on involutiva de W. Entonces F es continua y por el resultado anterior diferenciable. Demostraci´ on. Sea V ⊂ V un abierto y x ∈ F −1 (V ), basta encontrar un entorno abierto de x cuya imagen por F est´e en V . Para ello consideremos y = F (x) y un (Wz ; wi ), entorno coordenado de z = H(x) = G(y), con coordenadas (w1 , . . . , wm ), tal que wi (z) = 0 y para cada p ∈ Wz ∆p =
, ∂w1 ∂wn

y consideremos el abierto G−1 (Wz ), el cual tiene por (6.66) una colecci´on numerable de componentes conexas Vk que son abiertos. Llamemos V0 a la que contiene a y y Vy = V ∩ V0 . Ahora consideremos las funciones de G−1 (Wz ), vi = G∗ (wi ) = wi ◦G, las cuales son constantes, para i = n + 1, . . . , m, en cada componente conexa Vk , pues para cada q ∈ Vk y Dq ∈ Tq (V) Dq vi = Dq (wi ◦ G) = G∗ (Dq )wi = 0,

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

431

ya que G∗ (Dq ) ∈ ∆G(q) . Por lo tanto existen n´ umeros aik ∈ R, con i = n + 1, . . . , m y k = 0, 1, 2, . . . , tales que vi [Vk ] = aik ,

vi [V0 ] = 0.

Por otra parte, las funciones vi = wi ◦G, para i = 1, . . . , n, son un sistema de coordenadas en V0 , ya que si q ∈ V0 y Eiq es la base de Tq (V0 ) tal que G∗ (Eiq ) =

∂ G(q) , ∂wi

i = 1, . . . , n,

tendremos que dq vj ∈ Tq∗ (V) es su base dual, pues dq vi (Ejq ) = Ejq (wi ◦ G) = G∗ [Ejq ]wi = δij , y en estas coordenadas G : V0 → Wz se expresa de la forma (y1 , . . . , yn ) −→ (y1 , . . . , yn , 0, . . . , 0), por tanto podemos considerar un abierto W ⊂ Wz , entorno de z tal que G(Vy ) = {p ∈ W : wn+1 (p) = · · · = wm (p) = 0}. Si ahora llamamos U a la componente conexa del abierto H −1 (W ) que contiene a x, basta demostrar que F (U ) ⊂ Vy ⊂ V ´o equivalentemente por ser G inyectiva H(U ) = G[F (U )] ⊂ G(Vy ). Ahora por una parte tenemos que F (U ) ⊂ G−1 (Wz ) = ∪Vk , pues G[F (U )] = H(U ) ⊂ W ⊂ Wz y por tanto para i = n + 1, . . . , m wi [H(U )] = vi [F (U )] ⊂ {aik ∈ R : k = 0, 1, . . .}, pero por otra parte wi [H(U )] es conexo, por ser imagen continua de un conexo, por lo que debe ser constante y como x ∈ U , wi [H(U )] = 0, es decir que H(U ) ⊂ {p ∈ W : wn+1 (p) = · · · = wm (p) = 0} = G(Vy ). Teorema 6.80 Sea ∆ una distribuci´ on involutiva en una variedad X , entonces por cada punto de la variedad pasa una u ´nica variedad integral m´ axima.

432

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Demostraci´ on. Sea p ∈ X y K el conjunto de puntos que se unen a p por una curva continua, diferenciable —salvo en un n´ umero finito de puntos—, y en los puntos en los que es diferenciable es tangente a la distribuci´ on. Veamos que: (i) K es una variedad diferenciable, conexa con base numerable. (ii) La inclusi´ on i : K ,→ X es inmersi´ on local. (iii) K es variedad integral m´ axima; y que es u ´nica. Por el Teorema de Frobenius ∆ es totalmente integrable, por tanto cada punto x ∈ X , tiene un entorno abierto coordenado c´ ubico (Ux ; ui ), cuyas franjas son tangentes a la distribuci´ on, ahora bien como X tiene base numerable Vm , existe un m tal que x ∈ Vm ⊂ Ux , ahora elegimos para cada uno de estos m –que es una colecci´ on numerable–, un Um = Ux cualquiera que contenga a Vm . De este modo tendremos un recubrimiento numerable de X , por abiertos coordenados c´ ubicos (Um ; umi ), cuyas franjas son tangentes a la distribuci´ on y por comodidad pondremos p ∈ U0 . Sea q ∈ K, sea Um(q) el abierto del recubrimiento que lo contiene y Vq = {x ∈ Um(q) : um(q)r+1 (x) = um(q)r+1 (q), . . . , um(q)n (x) = um(q)n (q)}, la franja del abierto que lo contiene, la cual est´a en K, pues de q se llega a todos esos puntos por curvas tangentes a la distribuci´on. Ahora consideramos en cada Vq la topolog´ıa para la que φ = (um(q)1 , . . . , um(q)r ) : Vq → φ(Vq ) ⊂ Rr , es un homeomorfismo y definimos un abierto A ⊂ K sii A ∩ Vq es abierto de Vq , para cada q. Ahora consideramos la estructura diferencial en K que definen las aplicaciones φ. Con esta estructura diferenciable K es una variedad de dimensi´ on r, conexa —pues es conexa por arcos por definici´ on— y veamos que tiene una base numerable de abiertos. Basta ver que para cada m, Um ∩ K es una colecci´on numerable de franjas, para ello observamos que cada punto x ∈ Um ∩ K, se une a p por una curva, que se recubre con una colecci´on finita de abiertos U0 , Ui1 , . . . , Uim —este recubrimiento puede hacerse de muchas formas, pero a lo sumo hay una colecci´ on numerable de ellos, pues es numerable la colecci´ on de subconjuntos finitos de un conjunto numerable—. Ahora en cada uno de los Uij , la curva por ser continua y tangente a la distribuci´on va por una u ´nica franja, por tanto sale de la franja de U0 que contiene a p y pasa a una franja de Ui1 de esta a una del siguiente abierto y as´ı hasta el u ´ltimo. Basta entonces ver que cada franja S se interseca con cada

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

433

abierto Ui en una colecci´ on a lo sumo numerable de franjas. S ∩ Ui es un abierto de la subvariedad S, que como tiene base numerable tiene (por (6.66)) una colecci´ on numerable de componentes conexas, que como son tangentes a la distribuci´ on y son conexas est´ an cada una de ellas en una franja. Por tanto K tiene base numerable y es una variedad diferenciable conexa, para la que la inclusi´ on es inmersi´ on local y es tangente a ∆. Por tanto es variedad integral pero adem´ as es maximal, pues si hubiera otra N pasando por p, cada punto suyo x puede unirse a p (pues es arco conexa) por una curva diferenciable tangente a la distribuci´on, por tanto de K. Veamos ahora que es u ´nica. Por lo anterior si hubiera otra N pasando por p, ser´ıa N ⊂ K y por ser maximal, se dar´ıa la igualdad conjuntista. Ahora bien las dos inclusiones ser´ıan aplicaciones diferenciables por (6.79), por tanto son variedades diferenciables iguales.

6.10.4.

Otra demostraci´ on del Teorema de Frobenius

Terminamos dando una demostraci´ on alternativa del Teorema de Frobenius I sin utilizar el Teorema de la Proyecci´ on. Lema 6.81 Sea ∆ una distribuci´ on involutiva de rango r, entonces para cada x ∈ U existe un abierto V ⊂ U , entorno de x, y r generadores independientes Xi de ∆(V ), tales que [Xi , Xj ] = 0. Demostraci´ on. Sean D1 , . . . , Dr ∈ D generadores independientes de ∆ en todo punto de un entorno abierto Ux de x, y consideremos la matriz de orden r × n, (fij = Di xj ). Entonces la independencia de los Di implica que en (fij (x)) hay un menor de orden r con determinante no nulo, supongamos que corresponde a   f11 · · · f1r  ..  .. A =  ... . .  fr1

···

frr

Consideremos A−1 = (gij ), la cual estar´ a definida en un nuevo entorno Ux de x y definamos en este entorno los r campos, que generan ∆(Ux ) y en todo punto de Ux son independientes, Xi = gi1 D1 + · · · + gir Dr =

∂ ∂ ∂ + ci,r+1 + · · · + ci,n . ∂xi ∂xr+1 ∂xn

434

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Para ellos se tiene por hip´ otesis que [Xi , Xj ] = λ1 X1 + · · · + λr Xr ∂ ∂ ∂ ∂ + · · · + λr + λr+1 + · · · + λn , = λ1 ∂x1 ∂xr ∂xr+1 ∂xn donde las λ, para i = r + 1, . . . , n est´ an definidas por las cij y las λ1 , . . . , λr . Se sigue entonces que para m = 1, . . . , r λm = [Xi , Xj ]xm = Xi (Xj xm ) − Xj (Xi xm ) = 0, y por tanto [Xi , Xj ] = 0 para todo i, j = 1, . . . , r. Teorema de Frobenius I 6.82 Una distribuci´ on es totalmente integrable si y s´ olo si es involutiva. Demostraci´ on. “⇒” Basta demostrar que si D, E ∈ ∆, entonces para cada x ∈ U , [D, E]x ∈ ∆x y esto es obvio en el entorno Ux de la definici´ on, pues ∆(Ux ) es involutivo. “⇐” Lo haremos por inducci´ on sobre r. Para r = 1 es el teorema de clasificaci´ on local de campos no singulares. Sea r > 1 y supongamos el resultado cierto para los rangos s ≤ r − 1. Por el Lema anterior sabemos que para cada x ∈ U existe un abierto Ux ⊂ U , entorno de x, y r generadores independientes Xi de ∆(Ux ), tales que [Xi , Xj ] = 0. Se sigue que X1 , . . . , Xr−1 generan una distribuci´on involutiva de rango r − 1 y por inducci´ on existe un entorno coordenado —que seguimos llamando Ux —, con coordenadas v1 , . . . , vn , tales que < X1 , . . . , Xr−1 >=
, ∂v1 ∂vr−1

y se sigue f´ acilmente que para i = 1, . . . , r − 1   ∂ , Xr ∈< X1 , . . . , Xr−1 >, ∂vi P y si Xr = fj ∂vj , 

 X n ∂ ∂fj ∂ ∂ ∂ , Xr = ∈< ,..., >, ∂vi ∂vi ∂vj ∂v1 ∂vr−1 j=1

6.10. Ap´ endice: Variedades diferenciables

435

de donde se sigue que para i = 1, . . . , r − 1 y j = r, . . . , n, ∂fj = 0, ∂vi por tanto fj = fj (vr , vr+1 , . . . , vn ) y para Xr = f1

∂ ∂ + · · · + fr−1 + Y, ∂v1 ∂vr−1

tendremos que ∆(Ux ) =< X1 , . . . , Xr >=
, ∂v1 ∂vr−1

y como Y solo depende de las coordenadas vr , . . . , vn y es no singular, podemos encontrar, por el teorema de clasificaci´on de campos no singulares, un sistema de coordenadas u1 = v1 , . . . , ur−1 = vr−1 , ur , . . . , un , en un entorno de x, que seguimos llamando Ux , en el que ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = , ..., = , Y = ∂u1 ∂v1 ∂ur−1 ∂vr−1 ∂ur de donde se sigue el resultado puesto que ∆(Ux ) =
=< ,..., >. ∂v1 ∂vr−1 ∂u1 ∂ur

436

6.11.

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Ejercicios resueltos

Ejercicio 6.2.1.- Sean P(V ) los m´ odulos que define un sistema de Pfaff Px en V. Demostrar: 1. Los P(V ) son haz de m´ odulos. 2. Para cada x ∈ V y cada abierto V tal que x ∈ V ⊂ U , Px = {ωx ∈ Tx∗ (V) : ω ∈ P(V )}. Indicaci´ on. b) Esto se demuestra f´ acilmente en el entorno Ux de x de la definici´ on, luego extendemos la 1–forma a todo V multiplic´ andola por una funci´ on que en x valga 1 y 0 fuera de Ux .

Ejercicio 6.2.2.- Para cada punto p ∈ R2 − {0} consideremos la recta ∆p que pasa por p y su direcci´ on es la de la bisectriz del a ´ngulo formado por el semieje positivo de x y la semirrecta que une p con el origen. Demostrar que ∆p es una distribuci´ on. Demostraci´ on. La distribuci´ p on podemos definirla de dos formas: una por la “suma” de los vectores (x, y) y ( x2 + y 2 , 0) y otra por la perpendicular a su resta. Por tanto por el campo D=(

p ∂ ∂ +y , x2 + y 2 + x) ∂x ∂y

en el abierto A complementario de la semirrecta S− = {x < 0, y = 0}, en la que D se anula y por el campo D0 = y

p ∂ ∂ + ( x2 + y 2 − x) , ∂x ∂y

en el abierto B complementario de la semirrecta S+ = {x > 0, y = 0}, en la que D0 se anula. Observemos que en Sp on est´ a generada por el campo ∂y y como − la distribuci´ la funci´ on f (x, y) = x + x2 + y 2 se anula en S− , existe una funci´ on diferenciable h(x, y) en V = {x < 0}, tal que f = yh, pues para g(t) = f (x, ty), Z 1 Z 1 f (x, y) = g(1) − g(0) = g 0 (t)dt = yfy (x, ty)dt 0

Z =y

0

1

fy (x, ty)dt = yh(x, y), 0

p pero adem´ as como fy (x, y) = y/ x2 + y 2 , tendremos que fy (x, 0) = 0, por tanto h(x, 0) = 0. Por tanto en {x < 0, y 6= 0}, D, D0 y el campo E = h(x, y)

∂ ∂ + , ∂x ∂y

son proporcionales y en {x < 0, y = 0}, E = ∂y.

437

6.11. Ejercicios resueltos

Ejercicio 6.4.1.- Sea F : V → U diferenciable, D ∈ D(V) y E ∈ D(U) tales que F∗ Dx = EF (x) para cada x ∈ V. Entonces para cada T ∈ Tp0 (U) DL (F ∗ T ) = F ∗ (E L T )

y

D ∈ DF

⇒

DL (F ∗ T ) = 0.

Ind. F∗ Dx = EF (x) equivale a que si τt es el grupo uniparam´ etrico de D y σt el de E, entonces F ◦ τt = σt ◦ F en el abierto Ut = {p : (t, p) ∈ WD }. Por tanto para cada campo tensorial T ∈ Tp0 (U ) τt∗ [F ∗ T ] − F ∗ T t→0 t F ∗ [σt∗ T ] − F ∗ T = l´ım = F ∗ [E L T ]. t→0 t

DL (F ∗ T ) = l´ım

Ejercicio 6.5.3.- Dada la forma de volumen y la m´etrica habitual en R3 ω3 = dx ∧ dy ∧ dz ,

g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz,

definimos el rotacional de D ∈ D(R3 ), R = rot D, como el u ´nico campo tal que iR ω3 = d(iD g). a) Demostrar que R ∈ D(R3 ) y dar sus componentes en funci´ on de las de D. b) Demuestra que existe una familia de superficies a las que D atraviesa perpendicularmente si y s´ olo si D y R son perpendiculares. P P Ind. Sea D = fi ∂xi , entonces ω = iD g = fi dxi y como ω3 ∧ ω = 0 pues es 3 una cuatro forma en R dω ∧ ω = (iR ω3 ) ∧ ω = ω3 ∧ (iR ω) = (d · R)ω3 , y por el teorema de Frobenius < ω > es totalmente integrable (lo cual significa que tiene superficies integrales, a las que D atraviesa perpendicularmente) sii D · R = 0.

Ejercicio 6.5.4.- Demostrar que tienen soluci´ on y encontrarla, los sistema de ecuaciones en derivadas parciales )  2x3 zx = 3z + x+y , zx = x2 y, x 2x3 zy = yz , zy = x+y , Ind. Para el primero: Consideremos ω = dz − x2 ydx − (z/y)dy, entonces dω ∧ ω = 0, por lo que P =< ω > es totalmente integrable, lo cual implica que existe una funci´ on u tal que P =< du > y por tanto que ω es proporcional a una exacta. Dividiendo ω por y tenemos que   z 1 x3 dz − x2 dx − (z/y 2 )dy = d − , y y 3 por tanto las soluciones son para cada constante a ∈ R yx3 + ay. 3 Para el segundo la soluci´ on es z = x3 log(x + y)2 + c. f (x, y) =

Ejercicio 6.5.7.- Dados dos puntos a y b fijos en el espacio, para cada p ∈ Tema 6. Sistemas de Pfaff R − {a, b} consideremos el plano ∆p que lo contiene y es bisectriz de los segmentos pa y pb, es decir es perpendicular a su plano y lo corta en la bisectriz. Demostrar que ∆p es una distribuci´ on totalmente integrable e integrarla.

438 3

Soluci´ on. Consideremos un sistema de coordenadas en los que el origen es el punto medio de ab y a = (1, 0, 0) y b = (−1, 0, 0), entonces la diferencia de los vectores (p − a)/kp − ak y (p − b)/kp − bk es normal al plano que pasa p por p = (x, y, z), por tanto el plano est´ a definido (llamando r = kp − ak = (x − 1)2 + y 2 + z 2 y p s = (x + 1)2 + y 2 + z 2 ) por la 1–forma   y z x−1 x+1 y z − dx + − − dy + dz, r s r s r s la cual es exacta y es la diferencial de la funci´ on diferencia de distancias de p a a y b, q q r − s = (x − 1)2 + y 2 + z 2 − (x + 1)2 + y 2 + z 2 . por tanto las superficies soluci´ on son los hiperboloides de revoluci´ on, con focos en a y b.

(a,b,c)

Figura 6.25. Helicoide, z = θ.

Ejercicio 6.5.8.- Para cada p = (x, y, z) ∈ R3 − {x = 0, y = 0}, consideremos el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente de su normal es una funci´ on f (ρ), siendo ρ la distancia de p al eje z. ¿Para que funciones f la distribuci´ on es totalmente integrable?. Para esas funciones encontrar las superficies soluci´ on. Soluci´ on. El sistema de Pfaff est´ a generado por ω = −ydx + xdy + g(ρ)dz, para p ρ = x2 + y 2 y g(ρ) = ρf (ρ), pues el vector normal N = (a, b, c) es √ ortogonal a (x, y, 0) por tanto podemos tomar a = −y y b = x; y tiene pendiente c/ a2 + b2 = f (ρ), por tanto c = ρf (ρ). Se tiene que dω = 2dx ∧ dy + g 0 (ρ)dρ ∧ dz, y como xρx + yρy = ρ, se demuestra que dω ∧ ω = 0 sii 2g(ρ) = ρg 0 (ρ), es decir g = kρ2 y f = kρ. En tal caso ω es proporcional a −ydx + xdy + kdz = d(θ + kz), ρ2 pues derivando x = ρ cos θ respecto de y e y = ρ sen θ respecto de x y sabiendo que ρx = x/ρ, ρy = y/ρ, obtenemos f´ acilmente que θy = x/ρ2 , θx = −y/ρ2 ; y las soluciones son los helicoides z = aθ + b, para a, b ∈ R.

Ejercicio 6.5.9.- Consideremos en el espacio (sin los planos coordenados), la familia de curvas y = ax, z = by 2 , parametrizadas por a y b; y en cada

6.11. Ejercicios resueltos

439

punto p el plano perpendicular a la curva que pasa por p. Demostrar que esta distribuci´ on es involutiva e integrarla. Ind. El campo D tangente a las curvas verifica D(y/x) = D(y 2 /z) = 0, por tanto es proporcional a x∂x + y∂y + 2z∂z y la distribuci´ on es xdx + ydy + 2zdz.

Ejercicio 6.5.10.- Demostrar que un sistema de Pfaff de rango 1 en R3 , P =< ω >, cuyo sistema caracter´ıstico D[P] tiene un campo D, es totalmente integrable. Demostraci´ on. dω∧ω es una tres forma en dimensi´ on 3 y la contracci´ on iD (dω∧ ω) = 0, por tanto dω ∧ ω = 0. Otra forma: ∆ = P 0 es de rango 2 y es involutiva pues DL ∆ ⊂ ∆.

Ejercicio 6.5.12.- Demostrar que la uno–forma ω = z(z + y 2 )dx + z(z + x2 )dy − xy(x + y)dz, es totalmente integrable e integrarla por el m´etodo de Natani. Demostraci´ on. Consideremos y = cte y resolvamos la ecuaci´ on en el plano z(z + y 2 )dx − xy(x + y)dz = 0

⇒ ⇒

y2 y2 dx − dz = 0 xy(x + y) z(z + y 2 )     1 1 1 1 − dx − − dz = 0, x x+y z z + y2

y para cada superficie soluci´ on S existe una constante k(y, S) tal que la superficie viene definida por la ecuaci´ on x(z + y 2 ) = k(y, S), z(x + y) que en x = 1 es la curva z + y2 = k(y, S). z(1 + y) Ahora consideramos x = 1 y resolvemos la ecuaci´ on z(z + 1)dy − y(1 + y)dz = 0

⇔

dy dz − = 0, y(1 + y) z(z + 1)

la cual tiene soluci´ on log

y z − log = cte y+1 z+1

⇔

y(z + 1) = as , z(y + 1)

ahora esta curva debe coincidir con z + y2 = k(y, S). z(1 + y) y despejando en la primera la z = y/(as (y + 1) − y) se obtiene que k(y, S) = 1 + y(as − 1) = 1 + ybs ,

440

Tema 6. Sistemas de Pfaff

luego las superficies soluci´ on son para cada constante b ∈ R x(z + y 2 ) = 1 + yb. z(x + y)

Ejercicio 6.5.13.- Demostrar que la uno–forma ω = yz(z + y)dx + zx(z + x)dy + xy(x + y)dz, es totalmente integrable e integrarla. Soluci´ on. Como P = yz(z + y), Q = zx(z + x), R = xy(x + y), tenemos para u1 = x/z y u2 = y/z P (u1 , u2 , 1) 1 + u2 = u1 P (u1 , u2 , 1) + u2 Q(u1 , u2 , 1) + R(u1 , u2 , 1) 2u1 (1 + u1 + u2 )   1 1 1 = − 2 u1 1 + u2 + u1 1 + u1 Q(u1 , u2 , 1) = g= u1 P (u1 , u2 , 1) + u2 Q(u1 , u2 , 1) + R(u1 , u2 , 1) 2u2 (1 + u1 + u2 )   1 1 1 = − 2 u2 1 + u2 + u1

f =

y se tiene que es totalmente integrable pues gu1 = fu2 , adem´ as para u3 = log z 2(f du1 + gdu2 + du3 ) = d(log

xyz u1 u2 z 2 ), ) = d(log 1 + u1 + u2 x+y+z

por tanto las soluciones son xyz = (x + y + z) · cte.

P Ejercicio 6.5.14.- Demostrar que si ω = fi dxi ∈ Ω(R3 ) es homog´enea y P fi xi = 0, entonces < ω > es totalmente integrable. Ind. ωH = 0 y H L ω = kω, por tanto dω ∧ ω = 0, ya que es una tres forma con radical (H), pues iH (dω ∧ ω) = iH dω ∧ ω = H L ω ∧ ω = 0, en dimensi´ on 3.

Ejercicio 6.8.1.- Sea E un R–espacio vectorial finito dimensional y G : E × E → R bilineal y hemisim´etrica. Demostrar que: i) Si E tiene dimensi´ on impar entonces el rad G = {x ∈ E : G(x, y) = 0, ∀y ∈ E} 6= {0}. ii) El radical de G tiene dimensi´ on par (o impar) si y s´ olo si la tiene E. iii) El rango de toda matriz hemisim´etrica es par. ¯ es la restricci´ iv) Si H es un hiperplano de E y G on de G a H × H, entonces rad G = {0} rad G =< e >

¯ es unidimensional rad G ¯ es nulo ´ ⇒ rad G o bidimensional

⇒

Soluci´ on. ii) G pasa al cociente G0 : E/ rad G × E/ rad G → R

G0 ([x], [y]) = G(x, y),

6.11. Ejercicios resueltos

441

siendo hemisim´ etrica y sin radical y por (i) E/ rad G tiene dimensi´ on par. (iii) Una matriz hemisim´ etrica A de orden n, define una aplicaci´ on bilineal y hemisim´ etrica en Rn , G(x, y) = xt Ay, siendo el rango de A = (G(ei , ej )), dim E − ker A = dim E − dim rad G. ¯ (iv) Si rad G = {0} entonces por (ii) E es de dimensi´ on par, H impar y rad G impar y no tiene 2 vectores independientes e1 , e2 , pues considerando cualquier v ∈ / H, el hiperplano S = {G(v, −) = 0} se cortar´ a en al menos un vector e con el plano < e1 , e2 >, y estar´ a en rad G, pues por ser e ∈< e1 , e2 >, G(e, H) = 0 y por otra ¯ es par y no tiene 3 parte G(e, v) = 0, lo cual es absurdo. En el segundo caso rad G vectores independientes e1 , e2 , e3 , pues considerando cualquier v ∈ / H, el hiperplano S = {G(v, −) = 0} se cortar´ a en al menos un vector con el plano < e1 , e2 >, y como antes estar´ a en rad G =< e > por tanto e ∈< e1 , e2 >, pero el mismo razonamiento prueba que e ∈< e1 , e3 >, lo cual es absurdo.

Ejercicio 6.9.4.- Demostrar que las c´ onicas ρ = ex + 1 y ρ = ex + p son homot´eticas de raz´ on p. Indicaci´ on. Un punto (x, y) satisface la primera ecuaci´ on sii (px, py) satisface la segunda.

Ejercicio 6.9.5.- Demostrar que en una elipse la suma de distancias de cada punto a los focos es constante. Indicaci´ on. Consideremos la ecuaci´ on de la elipse ρ = ex + p para la que el origen es un foco y recordemos que la curva ρ = p − ex es ρ = p + ex girada un ´ angulo π y adem´ as es su reflexi´ on respecto del eje y. Se sigue que las distancias de un punto (x, y) a cada uno de los focos son ρ1 = ex + p,

ρ2 = −e(x − 2c) + p,

y su suma es ρ1 + ρ2 = 2(p + ec) = 2a.

Ejercicio 6.9.6.- Cortamos un cono de base circular con un plano y proyectamos la curva intersecci´ on al plano de la base. Demostrar que la curva es una c´ onica con foco en el eje del cono. Indicaci´ on. Ve´ amoslo para un cono recto con eje el eje z y para el plano que pasa por el v´ ertice. Sea el cono x2 + y 2 = z 2 , es decir ρ = z y elijamos los otros dos ejes para que el plano de corte sea z = ex + p, la proyecci´ on satisface ρ = ex + p.

Ejercicio 6.9.7.- Dado un punto P de una elipse, consideremos el punto Q corte del semieje mayor y la normal a la elipse por P . Demostrar que para F un foco, F Q/F P es constante y es la excentricidad. Indicaci´ on. Consideremos la ecuaci´ on de la elipse ρ = ex + p para la que el origen es un foco. Las componentes del vector normal N = (ρx − e, ρy ), en P = (x, y) las obtenemos diferenciando ρ − ex − p. Ahora buscamos λ tal que P + λN = (a, 0), es decir y + λρy = 0, por tanto y + λy/ρ = 0, por tanto λ = −ρ y a = x + λ(ρx − e) = eρ, por lo tanto F Q/F P = a/ρ = e.

Ejercicio 6.9.8.- Consideremos en cada punto P de R2 la recta cuya perpendicular por P corta al eje x en un punto Q, tales que es constante |Q|/|P | = e. Encontrar las curvas tangentes. ¿Qu´e interpretaci´ on tiene e?.

442

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Indicaci´ on. Sea f dx + gdy = 0 la ecuaci´ on de las rectas, por tanto la recta normal por P = (x, y) es (x, y) + λ(f, g) y Q es el correspondiente a y + λg = 0, es decir λ = −y/g, por tanto Q = (a, 0) para a = x + λf = x − yf /g y por tanto la propiedad del enunciado es x−y

f = eρ g

⇔

f x − eρ = , g y

y la 1–forma es proporcional a x − eρ y dx + dy = d(ρ − ex), ρ ρ y las curvas soluci´ on son ρ = ex + p, que son las c´ onicas con foco en el origen y excentricidad e.

Ejercicio 6.9.9.- Suponiendo que una masa M est´e en reposo, demostrar que la velocidad inicial que debe tener unp sat´elite que est´ a a una distancia r de M , para que su o ´rbita sea circular es, GM/r. Indicaci´ on. La p ´ orbita de cualquier p masa sigue una c´ onica ρ = ex+p, de excentricidad constante e = 1 + 2E(w/k)2 = 1 + 2Ep/k, siendo k = GM , E = v 2 /2−k/ρ la energ´ıa y p = w2 /k, con w = −y 0 x + x0 y constante (dada por el momento angular). Ahora esta ´ orbita es una circunferencia sii la excentricidad e = 0, lo cual implica que ρ = p es constante y vale r, y que 1 + 2Er/k = 0, por tanto E = −k/2r = v 2 /2 − k/r y despejando r r k GM v= = . r r 3

km Ejercicio 6.9.10.- Sabiendo que para la Tierra, GM = 398 600, 4418 seg 2 (ver la p´ ag.47), calcular a que altura debemos poner un sat´elite para que sea geoestacionario, es decir se mueva como si estuviera unido r´ıgidamente a la Tierra.

Indicaci´ on. Una masa unida r´ıgidamente a la Tierra girar´ a en c´ırculos con centro en su proyecci´ on en el eje de la Tierra, por lo tanto la u ´nica posibilidad de esta trayectoria, con centro en el centro de la Tierra, se da sobre el Ecuador13 . Por otra parte si sigue una o ´rbita circular, se sigue del ejercicio (6.9.9) que su velocidad v es tal que rv 2 = GM . Por otra parte la tierra en 24 horas gira un poco mas de 2π, pues despu´ es de 365 dias da 366 vueltas completas14 (una m´ as porque ha dado una vuelta alrededor del sol), por lo que el tiempo que tarda en dar una vuelta es t=

365 24 h = 23, 9344h = 23h 56m 4s , 366

13 Esto es un problema para pa´ ıses que no est´ an sobre el Ecuador. Por ejemplo Rusia utiliza sat´ elites que siguen la llamada o ´rbita Molniya, un tipo de ´ orbita muy el´ıptica con una inclinaci´ on de 63, 4◦ que giran en elipses que tienen el apogeo (en el que el sat´ elite va muy lento) en una zona de la tierra y el perigeo (en el que va r´ apido) en sus ant´ıpodas. Los Estados Unidos tambi´ en usan este tipo de o ´rbitas por ejemplo con los Satellite Data System (SDS) que son sat´ elites de comunicaci´ on militares, que tienen el apogeo a unos 39 000 km sobre el polo norte y el perigeo a 300 km, lo que les permite comunicarse durante largo tiempo con estaciones polares con las que los sat´ elites geoestacionarios no pueden contactar. 14 En el que la Osa mayor, por ejemplo, vuelve a estar en el mismo lugar del cielo.

443

6.11. Ejercicios resueltos y a distancia r su velocidad es v = r 2π , en definitiva t rv 2 = r

4π 2 r2 = GM t2

 ⇒

r=

G · M · (23, 9344 · 3 600 seg)2 4π 2

1

3

≈ 42 164 km.

Ahora teniendo en cuenta que el radio de la tierra en el ecuador es de 6 378 km, tendremos que la altura buscada es aproximadamente 35 786 km.

Ejercicio 6.9.11.- Demostrar el rec´ıproco del Teorema de la Hod´ ografa (6.63), es decir que si una trayectoria r (de una masa que se mueve debido a una fuerza central, es decir r00 ∼ r) tiene hod´ ografa que es una circunferencia, entonces r es una c´ onica con la fuente de atracci´ on en el foco. Indicaci´ on. Consideremos que la circunferencia es de radio R y est´ a centrada en (0, −c). Ahora si denotamos r(t) = (x(t), y(t)), como la recta tangente a la circunferencia en r0 (t) = (0, −c) + R(cos θ, sen θ), tiene la direcci´ on de r(t), pues r00 ∼ r, y como esa direcci´ on es (sen θ, − cos θ), tendremos que x(t) = ρ sen θ, y(t) = −ρ cos θ y por tanto y x x0 (t) = −R , y 0 (t) = −c + R , ρ ρ que define la ecuaci´ on diferencial y x (−c + R )dx + R dy = 0 ⇔ d(Rρ − cx) = 0, ρ ρ la cual tiene soluci´ on ρ = (c/R)x + p, que es la ecuaci´ on de una c´ onica con foco en el origen.

444

6.12.

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Bibliograf´ıa y comentarios

En la composici´ on del tema hemos utilizado los siguientes libros: Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”. Ac Press, 1975. ˜oz Diaz, J.: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982. Mun Warner, Frank W.: “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups”. Scott, Foresman and Company, 1971.

El u ´ltimo para demostrar (6.80), p´ ag.431. Para ver el m´etodo de Natani as´ı como una gran colecci´ on de ejemplos y ejercicios remitimos al lector al libro Sneddon, I.: “Elements of partial differential equations”. McGraw–Hill, 1981.

en ´el que tambi´en se encuentra (ver la p´ ag.39) una aplicaci´on de los sistemas de Pfaff a la Termodin´ amica, en la que sigue la formulaci´on de Constantin Caratheodory (1873–1950), el cual demuestra que un sistema de Pfaff de rango 1 es totalmente integrable sii en cada entorno de cada punto x hay puntos que no son accesibles por curvas que partan de x tangentes al sistema, lo que le permite enunciar el segundo principio de la termodin´amica de la siguiente forma: “Arbitrariamente cerca de cada estado inicial prescrito, hay estados que no pueden ser alcanzados desde el inicial, como resultado de un proceso adiab´ atico”. donde adiab´ atico significa que ni se gana ni se pierde calor, es decir tangente a < ωQ >. Nosotros hemos elaborado esa lecci´on siguiendo el trabajo de Garcia, P. y Cid, L.: “Termodin´ amica y formas diferenciales”. Anales de la Real Soc.Esp. de Fis. y Quim., Tomo LXIV, p.325, N´ ums.11 y 12, Nov–Dic, 1968.

Otro libro que hemos utilizado en el ejemplo de la transformaci´on simpl´etica, (ver la p´ ag.391), y que recomendamos al lector es Levi, Mark: “The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems”. Princeton Univ. Press, 2009.

Arqu´ımedes naci´ o en Siracusa (colonia griega de la costa de la isla de Sicilia) en el a˜ no 287 AC, y muri´ o en ella en el 212 AC, tras un largo asedio al que fue sometida por las tropas del general romano Marcelo. Est´ a hist´ oricamente documentado que Arqu´ımedes ayud´o en la defensa de su ciudad con inventos como la catapulta, lo que no lo est´a y forma

6.12. Bibliograf´ıa y comentarios

445

parte de la leyenda de este extraordinario hombre, fue la utilizaci´on, en dicha defensa, de un sistema de espejos que reflejaban la luz del sol sobre un barco enemigo, provocando su incendio. Es sorprendente, pero se han hecho diversos experimentos para comprobar la verosimilitud de este fen´ omeno y es posible. Lo interesante para nosotros es que la colocaci´on de estos espejos lo podemos entender como un ejemplo pr´actico de distribuci´ on (ver el ejercicio (6.5.6), p´ ag.365), que adem´as es integrable y las superficies tangentes son paraboloides, con el barco en el foco y el eje en la direcci´ on barco–sol. Las antenas parab´ olicas emplean esta propiedad (con el sat´elite emisor en vez del sol), como tambi´en la empleaban los faros de los coches del pasado siglo XX, pero utilizada al rev´es, la luz de una bombilla, situada en el foco de un espejo parab´olico, se reflejaba en un haz de rayos paralelos que iluminaba el exterior. Los faros de ahora parece que tienen muchos peque˜ nos espejos. En cuanto al t´ermino sistema de Pfaff , se acu˜ n´o en honor al matem´ atico alem´ an Johann Friedrich Pfaff (1765–1825), qui´en propuso el primer m´etodo general de integraci´ on de una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden (del T.9, p´ ag.350 de la Enciclopaedia Britannica). En su trabajo mas importante sobre formas de Pfaff, que public´o en la Academia de Berl´ın en 1815, Pfaff asociaba a una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden una ecuaci´ on diferencial (remitimos al lector al tema siguiente en el que estudiaremos esta cuesti´on). Esta ecuaci´ on diferencial es fundamental para la resoluci´on de las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden y es posiblemente la mayor contribuci´ on de Pfaff a las matem´ aticas, sin embargo y aunque Gauss escribi´ o una rese˜ na muy positiva del trabajo poco despu´es de su publicaci´ on, su importancia no fue reconocida hasta 1827 cuando Jacobi public´ o un trabajo sobre el m´etodo de Pfaff. La demostraci´ on del Teorema de la Proyecci´ on, as´ı como el de Frobenius como consecuencia del de la proyecci´on, la hemos recibido ´ de forma indirecta a trav´es de del Profesor Juan Sancho Guimera sus disc´ıpulos Juan Sancho de Salas y Juan Antonio Navarro ´ lez, a los que agradecemos su inestimable ayuda en la confecci´on Gonza de este tema en particular y de todos en general. Por u ´ltimo, siguiendo el Goldstein, H.: “Classical Mechanics”. Addison–Wesley Pub. Co., 1980.

el vector que hemos llamado de LaPlace–Runge–Lenz, aparece por primera vez en la obra de 1799

446

Tema 6. Sistemas de Pfaff

Laplace, P.S.: “Celestial mechanics”. Paris, 1799.

En 1845 Hamilton lo redescubre. En 1900 Gibbs lo describe en lenguaje vectorial. En 1920 Runge hace lo mismo en un texto en alem´an sobre an´ alisis vectorial y en 1924 Lenz lo utiliza en un trabajo sobre el atomo de Hidr´ ´ ogeno en el contexto de mec´ anica cu´antica.

Fin del Tema 6

Tema 7

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.1.

Definici´ on cl´ asica

En este tema seguimos estudiando cuestiones de naturaleza local por ello aunque en general los dominios de definici´on de funciones, campos tangentes, 1–formas, etc., cambien a medida que construyamos la teor´ıa, nosotros mantendremos la notaci´ on de tales dominios. Notaci´ on. Usaremos la siguiente notaci´ on: Um es un abierto conexo de Rm . En R2n+1 consideramos las coordenadas (x1 , . . . , xn , z, z1 , . . . , zn ), y las proyecciones y abiertos correspondientes πn+1 = (x1 , . . . , xn , z) : U2n+1 −→ Un+1 = πn+1 (U2n+1 ), πn = (x1 , . . . , xn ) : U2n+1 −→ Un = πn (U2n+1 ).

447

448

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Definici´ on. Desde un punto de vista cl´ asico entenderemos por ecuaci´ on en derivadas parciales (EDP) de primer orden, una “expresi´ on del tipo” (7.1)

F (x1 , . . . , xn , z,

∂z ∂z ,..., ) = 0, ∂x1 ∂xn

donde F ∈ C ∞ (U2n+1 ) es tal que la dF 6= 0. Por una soluci´ on cl´ asica de la ecuaci´ on, entenderemos en general una funci´ on f ∈ C ∞ (U ) tal que para cada x ∈ U , con coordenadas x1 , . . . , xn , verifique ∂f ∂f F (x, f (x), (x), . . . , (x)) = 0. ∂x1 ∂xn Sin embargo tal soluci´ on f define con su gr´afica la subvariedad n– dimensional de Rn+1 {z = f (x)} = {(x1 , . . . , xn , z) ∈ Un+1 : z = f (x1 , . . . , xn )}, lo cual nos induce a ampliar la definici´ on de soluci´on de la siguiente manera. Definici´ on. Diremos que una subvariedad n–dimensional S ⊂ Un+1 es una soluci´ on de la EDP de primer orden definida por una funci´on F , si toda funci´ on f , en un abierto de U , cuya gr´ afica est´e en S, es soluci´on de (7.1). Ejercicio 7.1.1 Demostrar que las esferas x2 + y 2 + z 2 = r2 son subvariedades soluci´ on de la EDP yzzx + xzzy + 2xy = 0. Ejercicio 7.1.2 Demostrar que si {z = z(x, y)} es una superficie de revoluci´ on con eje pasando por el origen del espacio, entonces u v w u x v x w x = 0 uy vy wy para u = −y − zzy , v = x + zzx , w = xzy − yzx . (Sol.) Ejercicio 7.1.3 Sean P , Q y R funciones de (x, y) y P dx2 + Qdxdy + Rdy 2 = 0 la ecuaci´ on1 de la proyecci´ on al plano z = 0, de una red de curvas de una superficie u = 0 de R3 . Demostrar que las curvas son perpendiculares sii P (u2y + u2z ) − Qux uy + R(u2x + u2z ) = 0. 1 Esta

(Sol.)

notaci´ on debe entenderse del siguiente modo: dx y dy son en cada punto funciones lineales del espacio tangente y dx2 es el cuadrado de la funci´ on lineal, por tanto la expresi´ on de la izquierda en cada punto es un polinomio.

7.2. El cono de Monge

449

Ejercicio 7.1.4 Encontrar las superficies formadas por rectas paralelas al plano z = 0 que se apoyan en la hip´erbola del plano y = 0, xz = 1, tales que a lo largo de cada recta el plano tangente es constante. (Sol.)

Proposici´ on 7.1 Sea S una subvariedad n–dimensional de Un+1 tal que para cada p ∈ S existe una soluci´ on Sp de la EDP definida por una funci´ on F , que verifica p ∈ Sp y Tp (S) = Tp (Sp ), entonces S tambi´en es soluci´ on. Demostraci´ on. Sea S(f ) = {z = f (x)} ⊆ S, sea x0 ∈ U , z0 = f (x0 ), p = (x0 , z0 ) ∈ S(f ) y Sp = {h = 0} una soluci´on para la que p ∈ Sp y Tp (S) = Tp (Sp ). Entonces como Tp [S(f )] = Tp (S) = Tp (Sp ), tendremos que dp h es proporcional a dp (z − f (x)), pues ambas 1–formas tienen el mismo n´ ucleo. Se sigue que hz (p) 6= 0 y por el Teorema de la funci´ on impl´ıcita (1.7), p´ ag.6, existe una funci´on g en un entorno abierto de x0 en U tal que g(x0 ) = z0 = f (x0 ), y {z = g(x)} ⊆ {h = 0} = Sp , ahora se sigue de la hip´ otesis que g es soluci´ on de (7.1), y por tanto f , pues dp (z − f (x)) y dp (z − g(x)) son proporcionales, por tanto iguales y f (x0 ) = g(x0 )

7.2.

y fxi (x0 ) = gxi (x0 ).

El cono de Monge

En esta lecci´ on consideraremos el caso bidimensional (n = 2): Sea F (x, y, z, p, q) una funci´ on en un abierto U5 ⊂ R5 y consideremos la EDP F (x, y, z, zx , zy ) = 0.

450

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

En primer lugar observemos que para cada funci´on f y para cada punto (x0 , y0 ) los valores fx (x0 , y0 )

y

fy (x0 , y0 ),

determinan el plano tangente a la gr´ afica de f en el punto (x0 , y0 , z0 ), con z0 = f (x0 , y0 ), cuya ecuaci´ on es (x − x0 )fx (x0 , y0 ) + (y − y0 )fy (x0 , y0 ) = z − z0 . En estos t´erminos podemos considerar que una EDP define en cada punto (x0 , y0 , z0 ) del espacio, una familia de planos (x − x0 )p + (y − y0 )q = z − z0 , donde los (p, q) satisfacen la ecuaci´ on F (x0 , y0 , z0 , p, q) = 0, y la cuesti´ on consiste en encontrar gr´ aficas de funciones cuyos planos tangentes est´en en esas familias. Ahora bien para cada punto (x0 , y0 , z0 ) F (x0 , y0 , z0 , p, q) = 0, es una curva en el plano (p, q) que podemos parametrizar —si Fp ´o Fq son no nulas—, y representarla mediante dos funciones de variable real p(t), q(t), tales que F (x0 , y0 , z0 , p(t), q(t)) = 0. Por tanto en cada punto (x0 , y0 , z0 ) tenemos una familia uniparam´etrica de planos π(t) ≡ {π(t) = 0} (x − x0 )p(t) + (y − y0 )q(t) = z − z0 , que en buenas condiciones genera una nueva superficie —la envolvente2 de esta familia— que es un cono formado por las rectas en las que cada plano se corta con el “infinitesimalmente pr´ oximo” l´ım π(t) ∩ π(t + ) = π(t) ∩ π 0 (t),

→0 2 Ver

la lecci´ on 7.7, p´ ag.478.

Figura 7.1. Cono de Monge

451

7.2. El cono de Monge

es decir que esta superficie, a la que llamamos cono de Monge, est´a formada por la familia de rectas (x − x0 )p(t) + (y − y0 )q(t) = z − z0 , (x − x0 )p0 (t) + (y − y0 )q 0 (t) = 0. Es f´ acil ver que para cada t, la recta correspondiente tiene vector director con componentes (7.2)

(Fp , Fq , p(t)Fp + q(t)Fq ),

pues es perpendicular a (p(t), q(t), −1) y a (p0 (t), q 0 (t), 0) como se demuestra derivando F (x0 , y0 , z0 , p(t), q(t)) = 0. Hemos visto por tanto que una EDP define en cada punto de R3 un cono con v´ertice el punto y que una funci´ on f es soluci´ on de la EDP si y s´ olo si para cada (x0 , y0 ) de su dominio, z0 = f (x0 , y0 ), p0 = fx (x0 , y0 ) y q0 = fy (x0 , y0 ), el plano (x − x0 )p0 + (y − y0 )q0 = z − z0 ,

Figura 7.2. Conos de Monge

que es el tangente a la gr´ afica de f en (x0 , y0 , z0 ), es uno de la familia y por tanto (como vemos en el siguiente ejercicio) tangente al cono de Monge. Ejercicio 7.2.1 Demostrar que cada plano de la familia es tangente al cono.

Consideremos ahora una soluci´ on f de la EDP, entonces la subvariedad bidimensional S(f ) de R5 definida por las ecuaciones z = f (x, y),

p = fx (x, y),

q = fy (x, y),

est´ a en {F = 0}. Veremos que esta soluci´ on arbitraria f nos va a permitir definir un campo D ∈ D(U5 ), que no depende de f , sino u ´nicamente de la EDP, es decir de F , y que no obstante es tangente a la subvariedad S(f ): Consideremos un punto (x0 , y0 , z0 , p0 , q0 ) de S(f ), por tanto z0 = f (x0 , y0 ),

p0 = fx (x0 , y0 ),

q0 = fy (x0 , y0 ).

¿Hay alg´ un vector tangente privilegiado de R5 , en ese punto?. Consideremos en primer lugar su proyecci´ on (x0 , y0 , z0 ) en R3 , ¿hay 3 alg´ un vector en R privilegiado en ese punto?.

452

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

La contestaci´ on es que s´ı, el vector director3 de la recta com´ un al plano tangente y al cono de Monge, el cual vimos en (7.2) que tiene componentes Dx = Fp ,

Dy = Fq ,

(-fx,-fy,1) z=f(x,y) (Fp,Fq,pFp+qFq)

Dz = p0 Fp +q0 Fq , x

y

Figura 7.3. y es tangente a {z = f (x, y)}. Esta construcci´ on nos define un vector tangente a esta superficie en cada punto de la superficie, es decir un campo tangente a la superficie. Sus curvas integrales se llaman curvas caracter´ısticas, las cuales dependen de la soluci´on f considerada. Ahora este vector define el vector tangente a S(f )

Dx = Fp , Dy = Fq , Dz = p0 Fp + q0 Fq , Dp = D(fx ) = fxx Dx + fxy Dy = fxx Fp + fxy Fq = −(Fx + p0 Fz ), Dq = D(fy ) = fyx Dx + fyy Dy = fyx Fp + fyy Fq = −(Fy + q0 Fz ), como se demuestra derivando respecto de x y respecto de y en F (x, y, f (x, y), fx (x, y), fy (x, y)) = 0, y este vector est´ a definido por el llamado campo caracter´ıstico D = Fp

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + Fq + (pFp + qFq ) − (Fx + pFz ) − (Fy + qFz ) , ∂x ∂y ∂z ∂p ∂q

el cual, aunque es tangente a S(f ), no depende de la soluci´on particular f , sino u ´nicamente de F . Por lo que S(f ) es una superficie formada por curvas integrales de D y cada soluci´ on f se puede construir eligiendo convenientemente unas curvas integrales de D y proyect´andolas a R3 . Observemos por u ´ltimo que D es tangente a la hipersuperficie {F = 0}, pues DF = 0.

3 Realmente

no hay un vector sino una recta.

7.3. EDP cuasilineales

7.3.

453

EDP cuasilineales

Definici´ on. Llamaremos EDP cuasilineal, a toda ecuaci´on en derivadas parciales ∂z ∂z F (x1 , . . . , xn , z, ,..., ) = 0, ∂x1 ∂xn para una funci´ on F af´ın en las zi , es decir de la forma n X

fi zxi = fn+1 ,

i=1

para las fi , diferenciables en un abierto de Rn+1 . Nota 7.2 En el caso n = 2, es de la forma f1 zx + f2 zy = f3 , con f1 , f2 y f3 funciones de (x, y, z). En cuyo caso los planos que definen el cono de Monge pasando por un punto (x, y, z) tienen una recta en com´ un con vector director con componentes (f1 , f2 , f3 ), por lo que el cono de Monge es degenerado y se reduce a una recta. En este caso el campo caracter´ıstico ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Fp + Fq + (pFp + qFq ) − (Fx + pFz ) − (Fy + qFz ) , ∂x ∂y ∂z ∂p ∂q en {F = 0} se proyecta en el campo de R3 D = f1

∂ ∂ ∂ + f2 + f3 . ∂x ∂y ∂z

Para resolver una EDP cuasilineal consideramos el campo tangente D=

n+1 X 1=1

fi

∂ , ∂xi

donde por comodidad llamamos xn+1 = z, y buscamos una integral primera g suya, Dg = 0. En cuyo caso D es tangente a cada subvariedad n–dimensional S = {g = cte}, las cuales son subvariedades soluci´on, pues si {z = f (x1 , . . . , xn )} ⊂ S, entonces en sus puntos n X

fi fxi = Df = Dz = fn+1 ,

i=1

y por tanto f es soluci´ on.

454

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

A continuaci´ on analizamos algunos ejemplos extra´ıdos del libro de Zachmanoglou and Thoe.

7.3.1.

Ejemplo: Tr´ afico en una autopista.

Consideremos una autopista que modelamos como una recta, cada uno de sus puntos como un x ∈ R y el flujo de coches no como algo discreto sino como el de un fluido continuo, que fluye en la direcci´on positiva. Denotemos con 0 ≤ ρ(x, t) ≤ 1 la densidad de coches —es decir los coches que hay por unidad de longitud, donde por unidad de longitud tomamos la longitud media de los coches—, en el punto x e instante t y con 0 ≤ g(x, t) el flujo de coches —el n´ umero de coches por segundo—, que pasan por x en el instante t. En tal caso en un tramo [a, b] de la autopista el n´ umero de coches que hay en un instante t +  es, los que hab´ıa en ese tramo en el instante t mas los que entran durante el intervalo [t, t + ], menos los que salen durante ese intervalo Z b Z b ρ(x, t + ) dx = ρ(x, t) dx + g(a, t) − g(b, t), a

a

y tomando l´ımites cuando  → 0 Z

b

(ρt (x, t) + gx (x, t)) dx = 0, a

y como esto es v´ alido para cualquier intervalo [a, b], tendremos ρt (x, t) + gx (x, t) = 0, ahora simplificamos el problema considerando que g es funci´on de ρ, lo cual no es de extra˜ nar, pues si ρ = 0 ´ o ρ = 1 —los casos extremos de densidad de coches—, en el primer caso no hay coches y en el segundo la autopista est´ a llena, en cuyo caso no se mueve ninguno y en ambos casos g = 0. La funci´ on m´ as simple de dependencia de este tipo es g = ρ(1 − ρ), en cuyo caso nuestra ecuaci´ on se convierte en ρt + (1 − 2ρ)ρx = 0,

7.3. EDP cuasilineales

455

cuyo campo asociado en las coordenadas (t, x, ρ) es D=

∂ ∂ + (1 − 2ρ) , ∂t ∂x

y tiene integrales primeras u1 = ρ y u2 = t(2ρ − 1) + x y si buscamos la soluci´ on que en t = 0 valga ρ = f (x) (cuya existencia y unicidad se ver´ a en la p´ ag.472, ejercicio (7.5.1) ´ o (7.5.2)), es decir u1 = f (u2 ), basta considerar la integral primera de D, h = u1 − f (u2 ). Ahora h = 0 sii ρ = f (x+t(2ρ−1)) —la cual es una superficie reglada, pues para f (x0 ) = ρ0 , contiene a los puntos de la recta (x, t, ρ0 ), para x + t(2ρ0 − 1) = x0 —. Adem´ as ρ se puede despejar como funci´ on de (x, t) si hρ 6= 0, es decir si 1 − 2tf 0 (x + t(2ρ − 1)) > 0, lo cual es v´ alido en general en un entorno de t = 0. Observemos que la desigualdad es v´ alida en todo t si por ejemplo f es decreciente, es decir en el instante inicial decrece a lo largo de la carretera el flujo de coches, en cuyo caso es obvio que debe haber soluci´on ρ diferenciable en todo instante y todo x, es decir los coches fluyen con normalidad. Sin embargo si la densidad en el instante inicial es creciente en un punto x = x0 de la carretera, f 0 (x0 ) > 0, entonces en el punto p de la recta (x, t, ρ0 = f (x0 )), para x + t(2ρ0 − 1) = x0 y el instante t = t0 tal que 1 − 2tf 0 (x0 ) = 0, es decir t0 = 1/2f 0 (x0 ), hay colapso pues hρ (p) = 0, lo cual significa que la presunta soluci´ on densidad ρ tendr´ıa derivadas parciales infinitas respecto de x y t en la proyecci´on de p.

7.3.2.

Ejemplo: Central telef´ onica.

Consideremos una central telef´ onica con una colecci´on infinita (numerable) de l´ıneas telef´ onicas, cada una de las cuales en cada instante de tiempo t ∈ [0, ∞) puede estar ocupada o no. Denotaremos con Pn (t) la probabilidad de que en el instante t haya exactamente n l´ıneas ocupadas, suponemos conocidas las probabilidades Pn (0), en un instante inicial y lo que queremos es saber el valor de las Pn (t) admitiendo que se satisfacen las siguientes hip´ otesis: i) La probabilidad de que una l´ınea se ocupe en un instante de [t, t + ], con  peque˜ no, es λ + o(), para λ > 0 constante. ii) Si una l´ınea est´ a ocupada en el instante t, la probabilidad de que se desocupe en un instante de [t, t+], es µ+o(), para µ > 0 constante. iii) La probabilidad de que haya dos o mas cambios en las l´ıneas (que se ocupen ´ o desocupen) es o().

456

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

En estas condiciones en el instante t +  hay n l´ıneas ocupadas en los siguientes casos disjuntos: a) Durante el intervalo [t, t + ] hubo m´ as de un cambio. La probabilidad de esto es o(). b) Durante el intervalo [t, t + ] hubo un s´ olo cambio (se ocup´o una l´ınea) y en el instante t hab´ıa n − 1 l´ıneas ocupadas. La probabilidad de esto es Pn−1 (t)(λ + o()) = Pn−1 (t)λ + o(). c) Durante el intervalo [t, t + ] hubo un s´ olo cambio (se desocup´o una l´ınea) y en el instante t hab´ıa n + 1 l´ıneas ocupadas. La probabilidad de esto es Pn+1 (t)(n + 1)(µ + o())(1 − µ + o())n = Pn+1 (t)(n + 1)µ + o() d) Durante el intervalo [t, t + ] no hubo cambios y en el instante t hab´ıa n l´ıneas ocupadas. La probabilidad de esto es Pn (t)(1 − λ − nµ − o()). En definitiva la suma de estas cuatro cantidades es Pn (t + ) y tomando l´ımites cuando  → 0, tendremos que Pn0 = λPn−1 − (λ + nµ)Pn + (n + 1)µPn+1 , (esto para n ≥ 1, para n = 0 la f´ ormula es igual tomando P−1 = 0). Ahora para resolver este sistema infinito de ecuaciones diferenciales, se introduce la llamada funci´ on generatriz de las probabilidades Pn z(t, x) =

∞ X

Pn (t) xn ,

n=0

para la que se tiene zt =

∞ X n=0

Pn0 (t) xn ,

zx =

∞ X n=1

nPn (t) xn−1 =

∞ X

(n + 1)Pn+1 (t) xn ,

n=0

y considerando las ecuaciones diferenciales anteriores se tiene que z satisface la ecuaci´ on cuasi–lineal zt + µ(x − 1)zx = λ(x − 1)z,

457

7.3. EDP cuasilineales

P y si buscamos la soluci´ on que satisface z(0, x) = Pn (0)xn = g(x), (cuya existencia y unicidad se ver´ a en la p´ ag.472, ejercicio (7.5.1) ´o (7.5.2)) consideramos el campo en las coordenadas (t, x, z) D=

∂ ∂ ∂ + µ(x − 1) + (x − 1)λz , ∂t ∂x ∂z

y dos integrales primeras u1 = (x − 1) e−µt ,

u2 = z e−(λ/µ)x ,

y como en t = 0 x = 1 + u1 ,

z = u2 e(λ/µ)(1+u1 ) ,

tendremos que la soluci´ on es u2 e(λ/µ)(1+u1 ) = g(1 + u1 )

⇔

z = exp{(λ/µ)(−1 − u1 + x)}g[1 + (x − 1) e−µt ] z = exp{(λ/µ)(x − 1)(1 − e

−µt

⇔ −µt

)}g[1 + (x − 1) e

].

Ahora podemos calcular la esperanza, en cada instante t, del n´ umero de l´ıneas ocupadas E(t) =

∞ X n=0

nPn (t) = zx (t, 1) =

λ (1 − e−µt ) + E(0) e−µt , µ

pues g(1) = n Pn (0) = 1 y g 0 (1) = E(0), y sea cual sea la distribuci´on del n´ umero de llamadas en el instante inicial y por tanto de su valor medio E(0), se tiene que cuando t → ∞, E(t) tiende a λ/µ. P

7.3.3.

Ejemplo: El Proceso de Poisson.

En el ejemplo anterior, la ocurrencia o no de un suceso no depend´ıa del instante de tiempo t en el que ocurre pero s´ı depend´ıa de cu´antos sucesos del mismo tipo hab´ıan ocurrido hasta ese instante. Hay procesos en los que la ocurrencia o no del suceso no depende de ninguna de estas dos cosas, por ejemplo en los accidentes de coches en un pais, en la desintegraci´ on (´ o partici´ on) de ´ atomos en una sustancia radiactiva, etc. Sea X(t) el n´ umero de sucesos que han ocurrido en el intervalo de tiempo [0, t], en un proceso del tipo de los considerados anteriormente,

458

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y sea Pn (t) la probabilidad de que X(t) = n. Diremos que X(t) es un Proceso de Poisson si se verifican las siguientes propiedades: i) La probabilidad de que un suceso ocurra durante un peque˜ no intervalo [t, t + ] no depende del valor de X(t) y es λ + o(), con λ > 0. ii) La probabilidad de que dos ´ o m´ as sucesos ocurran durante el intervalo [t, t + ] no depende del valor de X(t) y es o(). En tal caso se tiene que Pn (t + ) = (1 − λ − o())Pn (t) + (λ + o())Pn−1 (t) + o(), y se verifica el sistema de ecuaciones diferenciales Pn0 = −λPn + λPn−1 , P por tanto la funci´ on generatriz z = Pn (t)xn , satisface zt = −λz + λxz = λ(x − 1)z, y si consideramos, como es l´ ogico, las condiciones iniciales Pn (0) = 0, P0 (0) = 1, que corresponde a z(0, x) = 1, tendremos que la soluci´on es z(t, x) = e−λt(1−x) = e−λt

X (λtx)n n!

,

y por tanto (λt)n , n! que es la distribuci´ on de Poisson de par´ ametro λt. Adem´as el valor medio de X(t) es Pn (t) = e−λt

E(t) =

∞ X n=0

7.3.4.

nPn (t) = e−λt

∞ ∞ X X (λt)n (λt)n n = λt e−λt = λt. n! n! n=1 n=0

Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte.

Consideremos una poblaci´ on —de bacterias, por ejemplo—, cuyos individuos pueden dividirse o morir, de tal modo que durante un peque˜ no intervalo de tiempo [t, t + ], la probabilidad de que haya un cambio, debido a que hay un u ´nico individuo que se divide es λ + o(), con λ > 0; la probabilidad de que haya un cambio, debido a que hay un u ´nico individuo que se muere es µ + o(), con µ > 0; y la probabilidad de que

459

7.3. EDP cuasilineales

haya dos ´ o m´ as cambios es o(). En tal caso si Pn (t) es la probabilidad de que en el instante t haya n individuos en la poblaci´on, tendremos que Pn (t + ) = Pn−1 (t)(n − 1)(λ + o())+ + Pn (t)(1 − nλ − nµ − o())+ + Pn+1 (n + 1)(µ + o()), por tanto Pn0 = λ(n − 1)Pn−1 − (λ + µ)nPn + µ(n + 1)Pn+1 , P y para z = Pn xn la funci´ on generatriz se tiene la ecuaci´on cuasi–lineal zt = λx2 zx − (λ + µ)xzx + µzx , cuyo campo asociado ∂ ∂ − (λx − µ)(x − 1) , ∂t ∂x

D=

tiene integral primera u1 = z y 1–forma incidente h i ( 1 1 λ dt + µ−λ − dx λx−µ x−1 dx, si λ 6= µ, dt + = dx (λx − µ)(x − 1) si λ = µ, dt + λ(x−1)2 , por tanto con la integral primera si λ 6= µ u2 = e(µ−λ)t

λx − µ , x−1

en cuyo caso si la poblaci´ on tiene m individuos en el instante inicial, por tanto Pm (0) = 1 y z(0, x) = xm , como para t = 0 es u2 (x − 1) = λx − µ

⇒

x=

u2 − µ , u2 − λ

la soluci´ on es,  m  (µ−λ)t m u2 − µ e (λx − µ) + µ(1 − x) z= = , u2 − λ e(µ−λ)t (λx − µ) + λ(1 − x) (cuya existencia y unicidad se ver´ a en la p´ ag.472, ejercicio (7.5.1) ´o (7.5.2)) y podemos calcular la esperanza en cada instante de tiempo t E(t) =

∞ X n=0

nPn (t) = zx (t, 1) = m e(λ−µ)t .

460

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Si λ = µ el campo tiene la integral primera u2 = λt + y para t = 0, x = 1 −  z=

1 u2 ,

1 , 1−x

por tanto la soluci´ on es

u2 − 1 u2

m

 =

λt(1 − x) + x λt(1 − x) + 1

m ,

y la esperanza E(t) = m. Ejercicio 7.3.1 Encontrar la funci´ on v(t, x) del plano, tal que v(0, x) = f (x) y T ∇ T = 0, para la conexi´ on est´ andar del plano y T = ∂t + v(t, x)∂x . Adem´ as, dado x0 ∈ R y v0 = f (x0 ), demostrar que dicha soluci´ on v existe en un entorno de (0, x0 ) y es constante a lo largo de la recta (t, x0 + v0 t) (y vale v0 ) y que T es constante y tangente a la recta. (Sol.) Ejercicio 7.3.2 En los siguientes problemas encontrar la soluci´ on de la EDP que contiene a la curva correspondiente (Sol.) yzzx + zy = 0, yzzx + xzzy + 2xy = 0,

que en y = 0 pasa por z 2 = 2x, que en z = 0, pasa por x2 + y 2 = 1,

2y(z − 3)zx + (2x − z)zy = y(2x − 3),

que en z = 0 pasa por x2 + y 2 = 2x.

Ejercicio 7.3.3 Demostrar que las soluciones de la EDP (z + 3y)zx + 3(z − x)zy + (x + 3y) = 0, son superficies de revoluci´ on de un cierto eje. ¿Qu´e eje?. (Sol.) Ejercicio 7.3.4 Caracterizar las EDP cuasilineales f1 zx + f2 zy = f3 , cuyas soluciones sean superficies de revoluci´ on de un cierto eje. (Sol.) Ejercicio 7.3.5 Dada una recta en el espacio encontrar la EDP de las superficies cuya recta normal en cada punto corte a la dada. Resolver la EDP. (Sol.) Ejercicio 7.3.6 Dado k ∈ R encontrar la EDP de las superficies cuya recta normal en cada punto P corte a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, en tres puntos A, B, C para los que sea constante la raz´ on doble (P, A, B, C) = k. Resolver la ecuaci´ on y encontrar las cu´ adricas en forma normal ax2 + by 2 + cz 2 = 1, que sean soluci´ on. (Sol.)

7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP

7.4. 7.4.1.

461

Sistema de Pfaff asociado a una EDP Campo caracter´ıstico.

En esta lecci´ on daremos una definici´ on can´onica del campo D asociado a una EDP y construido en la lecci´ on anterior para el caso bidimensional. En la primera lecci´ on d´ abamos una definici´ on mas general de soluci´on de la EDP definida por F , en t´erminos de subvariedades n–dimensionales de Rn+1 . Ahora ampliamos de nuevo esta definici´on, observando que para cada f ∈ C ∞ (U ), las n + 1 funciones vi ∈ C ∞ (U2n+1 ) definidas por

(7.3)

v0 = z − f (x1 , . . . , xn ), ∂f v1 = z1 − (x1 , . . . , xn ), ∂x1 .. . vn = zn −

∂f (x1 , . . . , xn ), ∂xn

forman, junto con x1 , . . . , xn , un sistemas de coordenadas en U2n+1 , por tanto f define la subvariedad n–dimensional de U2n+1 Sn (f ) = {v0 = 0, v1 = 0 . . . , vn = 0} ∂f ∂f (x), . . . , zn = (x)}. = {z = f (x), z1 = ∂x1 ∂xn que es difeomorfa, por πn+1 , a la subvariedad {z = f (x)} de Rn+1 , pues ambas tienen coordenadas (x1 , . . . , xn ). Esta subvariedad n–dimensional tiene las siguientes propiedades: i) Tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ). ii) Restringi´endonos a ella tenemos que (como z = f (x1 , . . . , xn )) dz =

n X

fxi dxi =

i=1

n X

zi dxi ,

i=1

es decir que en ella se anula la uno–forma de R2n+1 ω = dz −

n X i=1

zi dxi ,

462

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

—que es la forma can´ onica (ver el Teorema de Darboux, p´ag.387), de las 1–formas regulares de clase 2n+1—. Ahora bien estas dos propiedades la caracterizan como vemos a continuaci´ on. Proposici´ on 7.3 Sea S una subvariedad de U2n+1 de dimensi´ on n con coordenadas (x1 , . . . , xn ) y tal que πn (S) = U . Entonces existe una funci´ on f en U tal que S = Sn (f ) si y s´ olo si, para i : S ,→ U2n+1 , i∗ ω = 0. Demostraci´ on. ⇐.- Por ser S una variedad diferenciable tendremos que si x1 , . . . , xn es un sistema de coordenadas en S, existe f ∈ C ∞ (U ), tal que z = f (x1 , . . . , xn ). Ahora bien como 0 = i∗ ω tendremos que en S n n X X ∂f zi dxi , dxi = dz = ∂xi i=1 i=1 y por ser las dxi independientes zi = ∂f /∂xi y por tanto S ⊂ Sn (f ). Ahora dado q ∈ Sn (f ) con coordenadas (xi , z, zi ), tendremos que existe p ∈ S con coordenadas (x1 , . . . , xn ). Se sigue entonces que p y q tienen las mismas coordenadas en U2n+1 , por tanto p = q y S = Sn (f ). Por otra parte f es una soluci´ on de la EDP (7.1) si y s´olo si F [Sn (f )] = 0, lo cual equivale a decir (para Sn (f ) conexa) que i∗ dF = 0 y que al menos existe un punto x ∈ Sn (f ) tal que F (x) = 0, pues si 0 = i∗ dF = d(i∗ F ), entonces la funci´ on i∗ F de Sn (f ) es constante y como existe x ∈ Sn (f ) tal que F (x) = 0, tendremos que i∗ F = 0 y por tanto que f es soluci´on de (7.1). Nota 7.4 Supondremos que dF y ω son independientes, pues en caso contrario las Fzi = 0. Por lo tanto se sigue de los resultados anteriores que dada una EDP definida por una funci´ on F ∈ C ∞ (U2n+1 ), lo que nos interesa es: Encontrar las subvariedades Sn ⊂ U2n+1 , de dimensi´on n, tangentes al sistema de Pfaff P =< dF, ω >, que tengan al menos un punto en la hipersuperficie F = {F = 0}.

7.4. Sistema de Pfaff asociado a una EDP

463

O dicho de otro modo. Encontrar las subvariedades Sn ⊂ F, de dimensi´ on n, en las que ω se restrinja a cero, es decir tangentes al sistema de Pfaff P =< ω >, donde ω es la restricci´ on de ω a F. Definici´ on. A tales subvariedades las llamaremos subvariedades soluci´ on (en el sentido de Lie) de la EDP en U2n+1 . En general aunque la subvariedad no tenga dimensi´ on n diremos que es soluci´on si cumple las dos condiciones anteriores. Si existe una subvariedad soluci´ on Sn y en un entorno tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), la funci´ on z en ese entorno de Sn ser´a de la forma z = f (x1 , . . . , xn ), y la funci´ on f es una soluci´ on cl´ asica, es decir soluci´on de (7.1). Es por esto que lo que tenemos que buscar son las subvariedades tangentes a nuestro sistema de Pfaff y para ello lo primero que tenemos que analizar es el sistema caracter´ıstico del sistema de Pfaff < dF, ω >, en U2n+1 ´o el de < ω > en F, el cual ya sabemos, por el Lema (6.43) de la p´ag.386, que tiene un campo pues dim F = 2n y P =< ω > es de rango 1. Proposici´ on 7.5 (i) El sistema caracter´ıstico de < dF, ω > est´ a generado por el campo ! n n n X X X ∂ ∂ ∂ D= Fzi + zi Fzi − (zi Fz + Fxi ) . ∂xi ∂z i=1 ∂zi i=1 i=1 (ii) El campo D es tangente a las subvariedades {F = cte} y el sistema caracter´ıstico de < ω > est´ a generado por el campo D = D|F . Demostraci´ on. (i) D ∈ ∆[P] sii D ∈ P 0 y DL P ⊂ P, es decir ω(D) = Dz −

n X

zi Dxi = 0

i=1 n X DL ω = iD dω = iD ( dxi ∧ dzi )

=

n X i=1

i=1 n X

Dxi dzi −

i=1

Dzi dxi = gdF + f ω,

464

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y las otras dos condiciones son autom´ aticas pues tomando en la segunda ecuaci´ on la componente de dz tendremos que gFz + f = 0, por tanto DL ω = g(dF − Fz ω) y como DL ω(D) = 0, tendremos que 0 = dF (D) − Fz ω(D) = dF (D), y el campo D del enunciado es el u ´nico salvo proporcionales que lo cumple. (ii) Como DF = 0, tendremos que Dp ∈ Tp (F), para cada p ∈ F, y este campo de vectores tangentes define un campo D ∈ D(F). Ahora sea E ∈ ∆[P], por tanto ωE = 0,

E L ω = hω

⇒

ωE = 0,

iE dω = hω,

y para cada p ∈ F, ωp Ep = 0 y las 1–formas iEp dp ω − h(p)ωp y dp F tienen el mismo n´ ucleo, Tp (F), por tanto son proporcionales y por un c´ alculo de componentes, como el anterior, se sigue que Ep ∈< Dp >. Nota 7.6 Observemos que el cono de Monge es la proyecci´on del campo D en los puntos de F, en las n + 1 primeras coordenadas. Ejercicio 7.4.1 Demostrar que si f es soluci´ on de (7.1), entonces D es tangente a Sn (f ). (Sol.)

7.5.

Teoremas de existencia y unicidad

En esta lecci´ on probaremos que en ciertas condiciones existe una u ´nica subvariedad n–dimensional soluci´ on de la EDP definida por {F = 0} en R2n+1 , que contiene a una subvariedad n − 1–dimensional dada. Nosotros demostraremos este resultado s´ olo localmente, aunque lo enunciaremos en su generalidad.

7.5. Teoremas de existencia y unicidad

7.5.1.

465

Dimensi´ on de una subvariedad soluci´ on.

Nuestra 1–forma ω = dz −

n X

zi dxi ,

i=1

satisface que en todo punto p rad dp ω ∩ {ωp = 0} = {0}, pues es de clase 2n + 1 (ver el teorema de Darboux (6.44), p´ag.387), por lo tanto en todo punto el rad dp ω es unidimensional, por el ejercicio (6.8.1), p´ ag.385, pues es de dimensi´ on impar ya que nuestro espacio lo es y no puede contener un plano. Por otra parte una cuenta inmediata nos dice que ∂ rad dp ω =< >. ∂z Por el mismo ejercicio sabemos que dim(rad dp ω) es par, pero hay dos posibilidades pues para cada p ∈ F tenemos que o bien ∂z ∈ / Tp (F), o bien ∂z ∈ Tp (F). Analicemos ambos casos. Proposici´ on 7.7 Sea p ∈ F, entonces (1)

Fz (p) 6= 0

⇔

(2)

Fz (p) = 0

⇔

∂ ∈ / Tp (F) ∂z ∂ ∈ Tp (F) ∂z

⇔

rad dp ω = {0},

⇔

dim(rad dp ω) = 2.

Demostraci´ on. Basta demostrar las dos implicaciones rad dp ω 6= {0}

⇒

∂ ∈ Tp (F) ∂z

⇒

dim(rad dp ω) = 2,

pues como la u ´ltima implica la primera ser´ an equivalentes. Veamos la primera: Si el radical tiene un elemento T ∈ Tp (F), entonces dp ω(T, E) = dp ω(T, E) = 0,

∀E ∈ Tp (F)

dp ω(T, ∂z ) = 0, y ∂z ∈ Tp (F), pues en caso contrario T ∈ rad dp ω =< ∂z >, lo cual es absurdo. Veamos ahora la segunda: Por lo dicho antes de la proposici´on el rad dp ω es de dimensi´ on par y por hip´ otesis contiene a ∂z . Si tuviera otros

466

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

dos vectores D1 , D2 independientes e independientes de ∂z , podr´ıamos considerar cualquier vector T ∈ / Tp (F), y el hiperplano dp ω(T, ·) = 0, se cortar´ıa con el plano < D1 , D2 > en un vector D del radical de dp ω e independiente de ∂z , lo cual es imposible. (Ver el ejercicio (6.8.1), p´ ag.385). Lema 7.8 Sea E un espacio vectorial de dimensi´ on par 2n, G : E ×E → R bilineal y hemisim´etrica y S ⊂ E un subespacio totalmente is´ otropo para G, es decir tal que G(x, y) = 0 para x, y ∈ S. Entonces dim S ≥ n + k

⇒

dim rad G ≥ 2k,

y por tanto como rad G es de dimensi´ on par (ver el ejercicio (6.8.1)) dim rad G = 2m

⇒

dim S ≤ n + m.

Demostraci´ on. En primer lugar aplicando la f´ormula dim(S1 + S2 ) + dim(S1 ∩ S2 ) = dim S1 + dim S2 , para Si ⊂ E subespacios, tenemos que dim(S1 ∩ S2 ) ≥ dim S1 + dim S2 − 2n y por inducci´ on dim(S1 ∩ · · · ∩ Sk ) ≥ dim S1 + · · · + dim Sk − 2n(k − 1). Ahora supongamos que dim S = r ≥ n + k, consideremos una base suya e1 , . . . , er y extend´ amosla a una e1 , . . . , e2n de E. Consideremos para 1 ≤ i ≤ m = 2n − r los subespacios Si = {x ∈ E : G(er+i , x) = 0}, los cuales tienen dim Si ≥ 2n − 1, por tanto como S ∩ S1 ∩ · · · ∩ Sm ⊂ rad G, tendremos por la f´ ormula anterior que dim rad G ≥ dim S +

m X

dim Si − 2nm ≥ r + m(2n − 1) − 2nm

i=1

= r − m = r − (2n − r) ≥ 2k.

7.5. Teoremas de existencia y unicidad

467

Teorema 7.9 Toda subvariedad soluci´ on tiene dimensi´ on k ≤ n. Demostraci´ on. Si S es una subvariedad soluci´on, entonces ω se anula en S y por tanto la dω, por tanto para cada p ∈ S, Tp (S) es totalmente is´ otropo de dp ω y tenemos dos casos, que analizamos teniendo en cuenta la proposici´ on anterior y el lema: (1) (2)

∂ ∈ / Tp (F) ∂z ∂ ∈ Tp (F) ∂z

⇒

rad dp ω = {0}

⇒

dim Tp (S) ≤ n,

⇒

dim rad dp ω = 2

⇒

dim (Tp (S)⊕) ≤ n + 1

⇒

dim Tp (S) ≤ n.

pues en el caso (2) Tp (S)⊕ es un subespacio totalmente is´otropo pues ∂z est´ a en el radical de dp ω y ∂z ∈ / Tp (S), ya que ω(∂z ) = 1.

7.5.2.

Existencia de soluci´ on.

Teorema de Existencia 7.10 Sea Sk−1 ⊂ F una subvariedad soluci´ on (i.e. en la que ω se anula), de dimensi´ on k − 1 con 1 ≤ k − 1 ≤ n, y tal que Dp ∈ / Tp (Sk−1 ) en todo punto suyo. Entonces existe una subvariedad soluci´ on k–dimensional, Sk tal que Sk−1 ⊂ Sk ⊂ F. Demostraci´ on. Por (2.34), p´ ag.102, podemos considerar un representante completo D del sistema caracter´ıstico. Consideremos su grupo uniparam´etrico τ : R × U2n+1 −→ U2n+1 , la variedad k–dimensional V = R × Sk−1 y la aplicaci´ on diferenciable τ = τ|V . on local Veamos que τ es una inmersi´ cuya imagen contiene a Sk−1 , est´ a en F y en ella ω se restringe a cero. Para ello consideremos un punto p ∈ Sk−1 , un t ∈ R y un sistema de coordenadas (t2 , . . . , tk ) en un entorno de p en Sk−1 , que si completamos con la coordenada t1

Figura 7.4. Construcci´ on de Sk

468

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

de R nos define un sistema de coordenadas (t1 . . . , tk ) en un entorno de x = (t, p) ∈ V. Ahora     ∂ ∂ τ∗ = Dτ (t,p) = τt∗ Dp , = τp∗ ∂t1 x ∂t t     ∂ ∂ τ∗ = τt∗ , ∂ti x ∂ti p lo cual se sigue de los diagramas conmutativos, para it (p) = ip (t) = (t, p), ip

R   iy

−−→ R ×Sk−1  yτ

Sk−1   iy

R

−−→

U2n+1

τp

U2n+1

i

t −−→ R ×Sk−1  yτ

τ

t −−→

U2n+1

y como en p, D y las ∂ti para i = 2, . . . , k son independientes, tendremos que τ es inmersi´ on local en todo x ∈ V y Sk = τ (V) es una subvariedad inmersa. Por u ´ltimo se tiene que para Di = τ ∗ (∂ti ) y q = τ (t, p) F (τ (t, p)) = F (τ (t, p)) = F (p) = 0, ωq D1q = ωD(q) = 0, "   #   ∂ ∂ ωq Diq = ωq τt∗ = τt∗ ωq = 0, ∂ti p ∂ti p pues τt∗ (ωq ) ∈ Pp y P restringido a Sk−1 se anula. Corolario 7.11 D es tangente a toda subvariedad soluci´ on n–dimensional. Demostraci´ on. Si no lo fuera, por (7.10) obtendr´ıamos una subvariedad soluci´ on de dimensi´ on n + 1, lo cual es absurdo por (7.9). Teorema de Unicidad 7.12 Sea Sn−1 ⊂ F una subvariedad soluci´ on de dimensi´ on n − 1 y tal que en todo punto suyo Dp ∈ / Tp (Sn−1 ). Entonces existe una subvariedad (inmersa) soluci´ on n–dimensional Sn , que la contiene y es u ´nica en el siguiente sentido: dadas dos subvariedades soluci´ on S y S 0 que contengan a Sn−1 y dado un punto x ∈ Sn−1 , existe un entorno abierto Ux ⊂ R2n+1 de x, para el que S ∩ Ux = S 0 ∩ Ux ⊂ Sn . Demostraci´ on. La existencia de Sn = τ [R × Sn−1 ] ya ha sido vista (recordemos que localmente la imagen por una inmersi´on local es una subvariedad).

7.5. Teoremas de existencia y unicidad

469

La unicidad es consecuencia del corolario anterior, pues dada otra subvariedad soluci´ on S, tendremos que D ∈ D(S) y su grupo uniparam´etrico en S, σ : W −→ S, es la restricci´ on de τ al abierto W de R × S. Ahora bien, se tiene el diagrama conmutativo σ

W ∩ (R× Sn−1 ) −−→  iy R × Sn−1

S   yi

τ

−−→ R2n+1

donde σ = τ ◦ i y las flechas descendentes son inclusiones y vimos en el teorema de existencia que τ era inmersi´ on local, lo cual implica que tambi´en lo es σ y como lo es entre variedades de igual dimensi´on es un difeomorfismo local, por tanto dado un x ∈ Sn−1 existe un entorno abierto Vx de x en Sn−1 y un  > 0 tales que σ[(−, ) × Vx ] es un abierto de S, ahora bien σ[(−, ) × Vx ] = τ [(−, ) × Vx ] ⊂ Sn , por tanto el mismo razonamiento con otra soluci´on S 0 nos da, encogiendo el  y el Vx si es necesario que τ [(−, ) × Vx ] es abierto de S y abierto de S 0 , por tanto de la forma Ux ∩ S = Ux ∩ S 0 , para un abierto Ux ⊂ R2n+1 .

7.5.3.

El problema de Cauchy.

Como consecuencia del resultado anterior daremos respuesta al llamado problema de Cauchy, el cual consiste, de forma muy gen´erica, en encontrar la soluci´ on cl´ asica u ´nica, de una EDP F (x1 , . . . , xn , z, zx1 , . . . , zxn ) = 0, satisfaciendo unas adecuadas condiciones. Teorema 7.13 Sea F ∈ C ∞ (V ), con V ⊂ R2n+1 abierto, sea I un abierto del hiperplano {xn = 0} ⊂ Rn y en ´el consideremos dos funciones ϕ, φ ∈ C ∞ (I), tales que para todo x0 = (x1 , . . . , xn−1 ) ≡ (x1 , . . . , xn−1 , 0) ∈ I F (x0 , ϕ(x0 ), ϕx1 (x0 ), . . . , ϕxn−1 (x0 ), φ(x0 )) = 0, Fzn (x0 , ϕ(x0 ), ϕx1 (x0 ), . . . , ϕxn−1 (x0 ), φ(x0 )) 6= 0,

470

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

entonces para cada t0 = (t1 , . . . , tn−1 ) ∈ I existe un abierto U ⊂ Rn entorno de t0 y una soluci´ on f ∈ C ∞ (U ), de la EDP definida por F y satisfaciendo las condiciones para x ∈ U0 ,

F (x, f (x), fx1 (x), . . . , fxn (x)) = 0, f (x0 ) = ϕ(x0 ),

fxn (x0 ) = φ(x0 ),

para x0 ∈ I ∩ U

u ´nica en el sentido de que si g ∈ C ∞ (V ) es otra, coinciden localmente en t0 . Demostraci´ on. Si existe tal soluci´ on f tendremos que la subvariedad n-dimensional {z = f (x), zi = fxi (x)} contiene a la subvariedad Sn−1 = {xn = 0, z = ϕ(x1 , · · · , xn−1 ), z1 = ϕx1 , . . . , zn−1 = ϕxn−1 , zn = φ, } que tiene las siguientes propiedades: — Es una subvariedad n − 1 dimensional de F que tiene coordenadas (ui = i∗ xi ), para i = 1, . . . , n − 1. — Es tal que si p ∈ Sn−1 , Dp ∈ / Tp (Sn−1 ), pues Dp xn = Fzn (p) 6= 0 y Sn−1 ⊂ {xn = 0}. — Es soluci´ on, ω Sn−1 = 0. Esto nos induce a considerar la u ´nica subvariedad soluci´on Sn , n– dimensional, que la contiene. Adem´ as tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ) en un entorno de cada p ∈ Sn−1 , pues por un lado i∗ ∂u1 , . . . , i∗ ∂un−1 , D son base en p de Tp (Sn ), para la inclusi´ on i : Sn−1 → Sn , y por otra parte la proyecci´ on π = (x1 , . . . , xn ) : Sn ⊂ R2n+1 → Rn , los lleva a vectores independientes, por tanto es inmersi´on local y difeomorfismo local. Ahora basta considerar z = f (x1 , . . . , xn ) en esta subvariedad. En el caso particular de tener una EDP en el plano (es decir para n = 2) (7.4)

F (x, y, z, zx , zy ) = 0.

tenemos el siguiente resultado.

7.5. Teoremas de existencia y unicidad

471

Corolario 7.14 Sea F ∈ C ∞ (V ), con V ⊂ R5 abierto, I ⊂ R un intervalo abierto y σ : I −→ V ⊂ R5 una curva C ∞ σ(t) = (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) satisfaciendo las condiciones para todo t ∈ I (ver la Fig.7.5): 1.- F [σ(t)] = 0. 2.- z 0 (t) = p(t)x0 (t) + q(t)y 0 (t). 3.- Fq x0 6= Fp y 0 . Entonces para cada s ∈ I existe un abierto U ⊂ R2 , entorno de p = (x(s), y(s)) y una funci´ on f ∈ C ∞ (U ) soluci´ on de la EDP (7.4) y tal que para los t ∈ I con (x(t), y(t)) ∈ U z(t) = f [x(t), y(t)],

p(t) = fx [x(t), y(t)],

q(t) = fy [x(t), y(t)].

Adem´ as f es u ´nica en el sentido de que dada otra soluci´ on g satisfaciendo lo mismo en un entorno de s, coincide con f en un entorno de p del plano.

(p(t),q(t),-1)

(x(t),y(t),z(t))

(x'(t),y'(t),z'(t)) (Fp,Fq) (x'(t),y'(t))

Figura 7.5. Curva de datos iniciales

Demostraci´ on. La tercera condici´ on nos dice que σ es inmersi´on local, por tanto localmente la imagen de σ es subvariedad S1 = {x = x(t), y = y(t), z = z(t), p = p(t), q = q(t)}. La segunda condici´on nos dice que ω = dz − pdx − qdy, se restringe a cero en S1 . Por la tercera el campo D es transversal a S1 , por tanto el teorema (7.12) nos asegura que localmente existe una u ´nica superficie soluci´ on S2 , conteniendo a la curva. Ahora bien la tercera condici´ on dice que esta superficie tiene, en cada punto de la curva,

472

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

coordenadas locales (x, y), pues la proyecci´ on al plano xy es un difeomorfismo local, por tanto en ella z = f (x, y) y f es la soluci´on pues como ω se anula, en ella p = fx y q = fy . Ahora si g es otra soluci´on, entonces S 0 = {z = g(x, y), p = gx (x, y), q = gy (x, y)} es otra subvariedad soluci´ on que contiene a Sn−1 y como es u ´nica f = g. Ejercicio 7.5.1 Sea U3 ⊂ R3 un abierto y f1 , f2 , f3 ∈ C ∞ (U3 ). Demostrar que si σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) : (a, b) ⊂ R −→ U3 , es una curva diferenciable tal que para todo t x0 (t)f2 [σ(t)] 6= y 0 (t)f1 [σ(t)], entonces para todo t0 ∈ (a, b) existe una funci´ on f : U −→ R con U ⊂ R2 abierto entorno de (x(t0 ), y(t0 )), soluci´ on de la EDP f 1 zx + f 2 zy = f 3 , satisfaciendo z(t) = f [x(t), y(t)], donde est´e definida y es u ´nica en el sentido de que si hay otra coinciden en un entorno de (x(t0 ), y(t0 )). Ejercicio 7.5.2 Sea V ⊂ R4 un abierto entorno de (x0 , y0 , z0 , p0 ), h ∈ C ∞ (V ) y g ∈ C ∞ (I), para I = (x0 − , x0 + ) ⊂ R, tal que g(x0 ) = z0 y g 0 (x0 ) = p0 . Demostrar que existe un abierto U ⊂ R2 entorno de (x0 , y0 ) y una funci´ on f : U −→ R soluci´ on de la EDP zy = h(x, y, z, zx ), satisfaciendo f (x, y0 ) = g(x), que es u ´nica en el sentido de que si hay otra coinciden en un entorno de (x0 , y0 ).

7.6. 7.6.1.

M´ etodos para resolver una EDP M´ etodo de las caracter´ısticas de Cauchy

Consideremos una ecuaci´ on en derivadas parciales de primer orden en el plano F (x, y, z, zx , zy ) = 0,

473

7.6. M´ etodos para resolver una EDP

y sea D su campo caracter´ıstico. Dada una curva (x(t), y(t), z(t)) en R3 , queremos encontrar una soluci´ on de la ecuaci´on cuya gr´afica contenga a la curva. El m´etodo de Cauchy consiste en construir a partir de los datos, dos funciones p(t), q(t), de modo que la curva S1 σ(t) = (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)), est´e en las condiciones del Corolario (7.14), p´ag.471, es decir que sea soluci´ on. Lo cual significa despejar p(t) y q(t) en el sistema z 0 (t) = p(t)x0 (t) + q(t)y 0 (t),

F [x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)] = 0,

que puede tener m´ as de una soluci´ on. Una vez definidas y si para ellas Fq x0 6= Fp y 0 , tendremos que existe una u ´nica soluci´on S2 que la contiene y por (7.14) sabemos que est´ a formada por las curvas integrales de D que pasan por los puntos de S1 , las cuales a su vez podemos construir con u1 , u2 , u3 , integrales primeras de D, tales que con u4 = F sean diferenciablemente independientes. La curva integral de D que pasa por σ(t), para cada t, es u1 = u1 [σ(t)],

u2 = u2 [σ(t)],

u3 = u3 [σ(t)],

u4 = 0,

y la soluci´ on es la proyecci´ on a R3 , por las coordenadas (x, y, z), de la superficie definida por esta familia de curvas, que consiste en eliminar de esas ecuaciones p, q y t. Nota 7.15 Observemos algunos casos particulares de F en los que podemos dar una integral primera de D autom´ aticamente: (a) F = F (x, p, q) ⇒ Dq = 0, pues Dq = −Fy − qFz = 0. (b) F = F (y, p, q) ⇒ Dp = 0. (c) F = F (z, p, q) ⇒ D(p/q) = 0, pues Dp = −pFz

y

Dq = −qFz

⇒

(d) F = u + v, u = u(x, p), v = v(y, q)

(Dp)q − q(Dp) = 0. ⇒

Du = Dv = 0, pues

Du = Fp ux − (Fx + pFz )up = up ux − ux up = 0 = Dv. (e) F = xp + yq + f (p, q) − z ⇒ define se llama de Clairaut), pues Dp = −Fx − pFz = 0,

Dp = Dq = 0 (la EDP que

Dq = −Fy − qFz = 0.

474

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.6.1 Encontrar con el m´etodo de Cauchy la soluci´ on de la EDP z=

1 2 (zx + zy2 ) + (zx − x)(zy − y). 2

que pasa por el eje x. (Sol.) Ejercicio 7.6.2 Encontrar con el m´etodo de Cauchy la soluci´ on de la EDP z = zx zy que pasa por la curva x = 0, z = y 2 . (Sol.)

7.6.2.

M´ etodo de la Proyecci´ on. Integral completa

Consideremos una ecuaci´ on en derivadas parciales de primer orden F (x1 , . . . , xn , z,

∂z ∂z ,..., ) = 0, ∂x1 ∂xn

definida por una funci´ on F de U2n+1 y sea D el generador del sistema caracter´ıstico del sistema de Pfaff definido en F por < ω >. Siguiendo el Teorema de la Proyecci´ on (6.16), p´ag.353, podemos proyectar nuestro sistema de Pfaff mediante D, para ello supongamos que Dxn 6= 0 en F —lo cual significa que Fzn 6= 0, en los puntos de F— y consideremos u1 , . . . , u2n−1 integrales primeras de D en F —las cuales podemos calcular con cualquier campo que coincida con D en F—, de tal forma que junto con u2n = xn y u2n+1 = F , formen un sistema de coordenadas locales en R2n+1 , en los puntos de F. Esto implica que en un entorno de estos puntos podamos despejar xi = ϕi (u1 , . . . , u2n−1 , xn , F ),

para i = 1, . . . , n − 1,

z = ϕ(u1 , . . . , u2n−1 , xn , F ), zi = φi (u1 , . . . , u2n−1 , xn , F ),

para i = 1, . . . , n.

De este modo la restricci´ on de (u1 , . . . , u2n ) a F es sistema de coordenadas locales en un abierto U de F, en el que < D >=< ∂u2n >= ∆[P] y si consideremos la proyecci´ on π = (u1 , . . . , u2n−1 ), el abierto V = π(U ) de R2n−1 y la secci´ on τ : V −→ U,

7.6. M´ etodos para resolver una EDP

475

que en coordenadas lleva un punto q con coordenadas (u1 , . . . , u2n−1 ) en el punto p = τ (q) de coordenadas4 (u1 , . . . , u2n−1 , 0), entonces el Teorema de la proyecci´ on (6.16), p´ ag.353, nos asegura que en el abierto U de F < ω >= π ∗ τ ∗ < ω >=< θ >, para θ = π ∗ τ ∗ ω = d¯ z−

n−1 X

z¯i d¯ xi ,

i=1

pues τ ∗ xn = 0, por tanto x ¯n = π ∗ τ ∗ xn = 0; y donde x ¯i = ϕi (u1 , . . . , u2n−1 , 0, 0),

para i = 1, . . . , n − 1,

z¯ = ϕ(u1 , . . . , u2n−1 , 0, 0), z¯i = φi (u1 , . . . , u2n−1 , 0, 0),

para i = 1, . . . , n.

son las integrales primeras de D que en xn = 0 y F = 0 coinciden respectivamente con x1 , . . . , xn−1 , z, z1 , . . . , zn . En definitiva, si tenemos que d¯ x1 , . . . , d¯ xn−1 , d¯ z , dF, son independientes en F, entonces para cada a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn Sa = {¯ x1 = a 1 , . . . , x ¯n−1 = an−1 , z¯ = an , F = 0} ⊂ F, es una subvariedad n–dimensional soluci´ on5 , pues θ|Sa = 0

⇒

ω |Sa = 0,

y llamamos integral completa a esta familia de soluciones, parametrizada por a ∈ Rn , de nuestra ecuaci´ on. Si adem´as Sa tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), se sigue que en ella z = fa (x1 , . . . , xn ), y cada funci´ on fa es una soluci´ on6 cl´ asica de la EDP. 4 Si

estamos en un entorno de un punto de coordenada xn = 0. tambi´ en lo son las del tipo {¯ z = an−1 , x ¯1 = a1 , . . . , x ¯n−2 = an−2 , z¯n−1 = 0, F = 0}, aunque esta familia de soluciones es n − 1–dimensional. 6 A esta familia de soluciones tambi´ en la llamamos integral completa de la EDP. 5 Como

476

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.6.3 Encontrar con el m´etodo de la proyecci´ on una integral completa de la EDP z = xzx + yzy + zx zy . (Sol.) Ejercicio 7.6.4 Encontrar con este m´etodo una integral completa de la ecuaci´ on zx2 + zy2 = 1. (Sol.)

Soluci´ on pasando por una subvariedad. Si lo que queremos es encontrar la soluci´ on en Rn+1 que contenga a una subvariedad plana de la forma xn = 0,

z = g(x1 , . . . , xn−1 ),

basta tomar en R2n+1 la subvariedad soluci´ on en el sentido de Lie Sn = {H = 0, H1 = 0, . . . , Hn−1 = 0, F = 0}, para las funciones (si son diferenciablemente independientes) H = z¯ − g(¯ x1 , . . . , x ¯n−1 )

Hi = z¯i −

∂g (¯ x1 , . . . , x ¯n−1 ), ∂xi

pues en ella θ|Sn = 0

⇒

ω |Sn = 0,

ahora basta proyectar Sn a Rn+1 , por la proyecci´on (x1 , . . . , xn , z). Si adem´ as esta subvariedad ´ o Sn tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), basta expresar z en ellas para encontrar la soluci´ on cl´ asica. Ejercicio 7.6.5 Encontrar la soluci´ on, que en x = 0 pasa por z = y 3 , de la EDP yzzx + zy = 0. (Sol.) Ejercicio 7.6.6 Encontrar la soluci´ on, que en x = 0 pasa por z = y 2 , de la ecuaci´ on z + zx2 = y. (Sol.)

7.6. M´ etodos para resolver una EDP

7.6.3.

477

M´ etodo de Lagrange–Charpit.

En el caso del plano, en el que nuestra EDP es del tipo F (x, y, z, zx , zy ) = 0, podemos reducir considerablemente las cuentas con el llamado m´etodo de Lagrange–Charpit, el cual se basa en el hecho de que en las subvariedades tridimensionales, para cada constante a ∈ R, Sa = {F = 0, g = a}, para g integral primera del campo caracter´ıstico D de P =< ω >, nuestra 1–forma ω = dz − pdx − qdy es proporcional a una exacta dh, y por tanto las superficies Sa,b = {F = 0, g = a, h = b} ⊂ R5 , son soluci´ on, pues en ellas ω se anula dh|Sa,b = 0

⇒

ω |Sa,b = 0.

A continuaci´ on justificamos esto: Consideremos el campo D ∈ ∆[P], el cual es tangente a cada subvariedad tridimensional Sa , pues DF = Dg = 0, en la que el sistema de Pfaff generado por ω es totalmente integrable pues dω ∧ ω = 0, ya que es una tres–forma en una variedad Sa tridimensional, en la que D ∈ D(Sa ) y como iD (dω) es proporcional a ω y ωD = 0, iD (dω ∧ ω) = (iD dω) ∧ ω + dω ∧ (iD ω) = 0, por tanto en Sa , < ω >=< dh >. Si adem´ as en esta subvariedad (x, y, z) son coordenadas, tendremos que h = h(x, y, z; a) y la soluci´on es {F = 0, g = a, h = b} ⊂ {h(x, y, z; a) = b}, que es una superficie de R3 . Ejercicio 7.6.7 Encontrar con el m´etodo de Lagrange–Charpit una integral completa de la EDP: x[zx2 + zy2 ] − zzx = 0. (Sol.) Ejercicio 7.6.8 Encontrar con el m´etodo de Lagrange–Charpit una integral completa de la EDP: xzx2 + yzy2 = z. (Sol.)

478

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.6.9 Encontrar con el m´etodo de Lagrange–Charpit una integral completa de la EDP z = xzx + yzy + zx zy . (Sol.) Ejercicio 7.6.10 La normal en un punto de una superficie del espacio interseca a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 en un par de puntos cuyo punto medio est´ a en z = 0. (a) Demostrar que la superficie satisface la EDP z(zx2 + zy2 ) + xzx + yzy = 0. (b) Encontrar una integral completa de esta EDP. (Sol.) Ejercicio 7.6.11 La recta normal a una superficie en cada uno de sus puntos corta a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, respectivamente en A, B y C. Demostrar que si B es el punto medio de A y C entonces la superficie es soluci´ on de la EDP x 2y z= − . zx zy Encontrar una integral completa. (Sol.)

7.7. 7.7.1.

M´ etodo de la envolvente Envolvente de una familia de superficies.

Consideremos una familia uniparam´etrica de superficies en el espacio S λ = {h(x, y, z; λ) = 0} ⊂ R3 , y cortemos cada una de ellas (ver Fig.7.6) con una muy pr´oxima S λ+ , lo cual ser´ a en general una curva de ecuaciones h(x, y, z; λ) = 0, h(x, y, z; λ) − h(x, y, z; λ + ) = 0,  y cuando  → 0 la curva tiende a una posici´ on l´ımite de ecuaci´on h(x, y, z; λ) = 0 ,

∂h (x, y, z; λ) = 0, ∂λ

7.7. M´ etodo de la envolvente

479

y esta curva que est´ a en la superficie S λ y se llama curva caracter´ıstica de S λ , genera una superficie al variar el λ, cuya ecuaci´on g(x, y, z) = 0 se obtiene eliminando λ en las ecuaciones anteriores. A esta superficie la llamamos envolvente de las superficies S λ = {hλ = 0}.

Figura 7.6. Envolvente de las esferas

Ejemplo 7.7.1 Consideremos la familia de esferas x2 + (y − λ)2 + z 2 = 1, cuya envolvente se obtiene eliminando la λ entre la ecuaci´on anterior y la ecuaci´ on 2(y − λ) = 0, lo cual nos da x2 + z 2 = 1, que es (ver la Fig.7.6) un cilindro formado por las curvas intersecci´on de dos esferas infinitesimalmente pr´ oximas en la direcci´ on definida por λ. Ejemplo 7.7.2 Del mismo modo la familia biparam´etrica de esferas unitarias centradas en el plano xy (x − λ1 )2 + (y − λ2 )2 + z 2 = 1, tiene por envolvente el par de planos z = ±1. Ejemplo 7.7.3 La bala de un ca˜ n´ on. Consideremos un ca˜ n´on que dispara en una direcci´ on cualquiera con una velocidad determinada, ¿qu´e superficie l´ımite pueden alcanzar las balas? Consideremos el problema bidimensional en el plano xz y sea v la velocidad con la que sale la bala. Si (x(t), z(t)) es la trayectoria, tendremos que para (a, b) = (x0 (0), z 0 (0)), a2 + b2 = v 2 y como (x00 (t), z 00 (t)) = −(0, g), con g la Figura 7.7. trayectorias bala ca˜n´on constante de la gravedad en la tierra, tendremos poniendo el ca˜ n´on en el origen de coordenadas que x00 (t) = 0 z 00 (t) = −g

⇒ ⇒

x(t) = at, 1 z(t) = − gt2 + bt, 2

480

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

por tanto la trayectoria parametrizada por x es 1 x2 bx z=− g 2 + . 2 a a Consideremos ahora distintos ´ angulos de disparo, lo cual corresponde a distintos valores de la pendiente λ = b/a, en cuyo caso a2 + (aλ)2 = v 2

⇒

a2 =

v2 , 1 + λ2

y la trayectoria parametrizada por x es z+kx2 (1+λ2 )−λx = 0, para k = g/2v 2 . Si ahora consideramos la envolvente de esta familia de curvas obtenemos λ = 1/2kx y z + kx2 = 1/4k. Ahora la envolvente del problema tridimensional es 1 z + k(x2 + y 2 ) = . 4k Ejemplo 7.7.4 El ruido de un avi´ on. Consideremos un avi´on deplaz´andose en l´ınea recta paralelo al suelo. Si la velocidad del avi´ on va es superior a la del sonido vs , tendremos que en un instante dado las ondas sonoras forman una familia de esferas centradas en la recta trayectoria del avi´ on — pongamos el eje y— y si el avi´ on est´ a en el origen de coordenadas las esferas tienen ecuaciones  2 avs 2 2 2 x + (y − a) + z = va

Figura 7.8. ruido de un avi´ on

y la envolvente de las ondas sonoras es un cono circular de ecuaci´on x2 + y 2

vs2 + z 2 = 0, vs2 − va2

de eje la recta del avi´ on, que separa la zona donde hay ruido de la que no lo hay. Esta zona divide el plano del suelo en dos regiones limitadas por la hip´erbola (para h la altura del avi´ on) x2 + y 2

vs2

vs2 + h2 = 0, − va2

7.7. M´ etodo de la envolvente

481

corte del cono con el plano del suelo z = −h. Podemos estimar la proporci´ on vs /va , entre las velocidades del sonido y del avi´on mediante el a´ngulo α formado por la direcci´ on en la que pase m´as cerca de nosotros, es decir la perpendicular por nosotros a su trayectoria y la direcci´on en la que est´e el avi´ on en el instante en el que oigamos el ruido, en cuyo caso cos α = vs /va . Si el avi´ on va a una velocidad igual o inferior a la del sonido las ondas sonoras que va produciendo no se cortan y no hay envolvente. No obstante podemos tener informaci´ on de la proporci´on vs /va , entre las velocidades, si podemos estimar por una parte el ´angulo β entre la direcci´ on en la que nos llega el sonido y la direcci´on en la que en ese instante est´ a el avi´ on (que era π/2 en el caso anterior) y por otra el angulo α entre esta direcci´ ´ on del avi´ on y la que tenga cuando m´as cerca pase de nosotros. Pues en tal caso se demuestra por el Teorema de los senos que vs sen(α + π/2) cos α = = . va sen β sen β

Ejercicio 7.7.1 Demostrar que cada plano de una familia uniparam´etrica de planos del espacio es tangente a su envolvente. En particular el cono de Monge es tangente a cada uno de los planos que lo definen. (Sol.)

Figura 7.9. Envolvente de las esferas

Ejercicio 7.7.2 Hallar la envolvente de la familia de esferas de radio 1, con centro en los puntos de la circunferencia x2 + y 2 = 4, z = 0 (figura (7.9)). (Sol.) Ejercicio 7.7.3 Hallar la envolvente de la familia de los segmentos de longitud 1, en el primer cuadrante, con extremos en los ejes coordenados). (Sol.)

Remitimos al lector interesado en las envolventes de curvas al ap´endice (7.16), p´ ag.572.

482

7.7.2.

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Envolvente de una familia de hipersuperficies.

Definici´ on. Dada en Rn una familia k–param´etrica de hipersuperficies λ S de ecuaciones h(x1 , . . . , xn ; λ1 , . . . , λk ) = 0, llamamos envolvente de la familia a la hipersuperficie S —si es que la define— obtenida al eliminar las λi en las ecuaciones h = 0,

∂h ∂h = 0, . . . , = 0. ∂λ1 ∂λk

Si las ecuaciones anteriores son diferenciablemente independientes en un abierto de Rn+k , entonces definen una subvariedad H ⊂ Rn+k , n − 1– dimensional, y su proyecci´ on por π = (x1 , . . . , xn ) es la envolvente. Normalmente tendremos que las k ecuaciones hλi = 0 nos permiten despejar las k funciones7 λi = λi (x1 , . . . , xn ), con lo cual nuestra envolvente tiene por ecuaci´ on h(x1 , . . . , xn ; λ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , λk (x1 , . . . , xn )) = 0. Aunque de forma general s´ olo podremos decir que existe un sistema de coordenadas (u1 , . . . un−1 ) en un entorno de cada punto de nuestra subvariedad H ⊂ Rn+k , con el que la podremos parametrizar mediante ciertas funciones x1 = x1 (u1 , . . . , un−1 ),

xn = xn (u1 , . . . , un−1 ),

λ1 = λ1 (u1 , . . . , un−1 ),

λk = λk (u1 , . . . , un−1 ),

y la envolvente S, difeomorfa a H por la proyecci´on π = (x1 , . . . , xn ), tendr´ a estas mismas coordenadas (que llamamos tambi´en ui aunque en rigor hay que pasarlas por el difeomorfismo π), con lo que est´a definida param´etricamente por las primeras ecuaciones x1 = x1 (u1 , . . . , un−1 ),

xn = xn (u1 , . . . , un−1 ).

7 por

ejemplo si |hλi λj | 6= 0, pues entonces (x1 , . . . , xn , hλ1 , . . . , hλk ) localmente son coordenadas y por tanto λi = λi (x1 , . . . , xn , hλ1 , . . . , hλk ) λi|H = λi (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0).

⇒

7.7. M´ etodo de la envolvente

483

Teorema 7.16 En todo punto, la envolvente es tangente a una hipersuperficie de la familia. Demostraci´ on. Sea p ∈ S y (p, λ) ∈ H el punto que le corresponde por el difeomorfismo π. Como S y S λ son de la misma Pdimensi´on, basta demostrar que Tp (S) ⊂ Tp (S λ ), para ello sea Dp = fi ∂xi ∈ Tp (S) y P P b D(p,λ) = fi ∂xi + gj ∂λj ∈ T(p,λ) (H), el vector tangente correspondiente por π. Entonces como h = hλj = 0 en H, tendremos que X X b (p,λ) h = 0=D fi (p)hxi (p, λ) + gj (p, λ)hλj (p, λ) X = fi (p)hxi (p, λ) = Dp (hλ ). Corolario 7.17 La envolvente de una familia de hipersuperficies de Rn+1 soluci´ on de una EDP, tambi´en es soluci´ on. Demostraci´ on. Por el resultado anterior para cada p ∈ S, existe λ tal que p ∈ S λ y Tp (S) = Tp (S λ ), lo cual implica por (7.1), p´ag.449, que S es soluci´ on. Nota 7.18 Veamos el mismo resultado sin hacer uso de los teoremas (7.16) y (7.1), en condiciones menos generales. Tenemos que para cada λ = (λ1 , . . . , λk ) la funci´ on g λ (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λk ), es soluci´ on, ahora supongamos que en las k u ´ltimas ecuaciones del sistema z = g(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λk ), 0 = gλi (x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λk ),

para i = 1, . . . , k

podemos despejar, las k inc´ ognitas λi = λi (x1 , . . . , xn ), como funciones de las x, por lo tanto la envolvente es, z = f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn , λ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , λk (x1 , . . . , xn )), y f tambi´en es soluci´ on, pues para cada punto x0 = (x10 , . . . , xn0 ) y λ0 = (λ1 (x0 ), . . . , λk (x0 )), se tiene que g λ0 es soluci´on y f (x0 ) = g(x0 ; λ0 ), fxi (x0 ) = gxi (x0 ; λ0 ) +

X

gλj (x0 ; λ0 )

∂λj (x0 ) = gxi (x0 ; λ0 ). ∂xi

484

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Proposici´ on 7.19 Sea ϕ : U ⊂ Rk → Rn una inmersi´ on con ϕ(U ) = Sk una subvariedad k–dimensional y para cada λ ∈ U y p = ϕ(λ) sea S λ = {x : hλ (x) = 0} una hipersuperficie tal que p ∈ S λ,

Tp (Sk ) ⊂ Tp (S λ ),

si adem´ as hλ (x) es funci´ on diferenciable de (x, λ) y existe la envolvente S de las hipersuperficies S λ , entonces Sk ⊂ S.

Sl Sk

Tp(Sk) p

Tp(S l)

S Sk

Figura 7.10. Envolvente pasando por Sk

Demostraci´ on. Denotemos con Dj = ϕ∗ (∂λj ) la base de campos tangentes de Sk . Para cada λ ∈ U tenemos por la primera propiedad que h(ϕ(λ), λ) = 0 y por la segunda que Djp ∈ Tp (S λ ). Tomemos ahora un punto arbitrario, p0 = ϕ(λ0 ) ∈ Sk , de la subvariedad. Entonces por la segunda en p0 y derivando en la primera, respecto de λj , en λ0 , tendremos que X 0 = Djp0 hλ0 = (∂λj )λ0 (hλ0 (ϕ)) = hxi (p0 , λ0 )ϕiλj (λ0 ), X 0= hxi (p0 , λ0 )ϕiλj (λ0 ) + hλj (p0 , λ0 ), y como adem´ as h(p0 , λ0 ) = 0, tendremos que (p0 , λ0 ) ∈ H y p0 ∈ S.

7.7.3.

M´ etodo de la envolvente.

El m´etodo de las caracter´ısticas de Cauchy, visto en la lecci´on anterior, nos permite resolver el Problema de Cauchy que consiste en encontrar una soluci´ on de la EDP que pasa por una subvariedad dada de dimensi´ on n − 1. Para ello es necesario encontrar 2n − 1 integrales primeras del campo caracter´ıstico, que en el caso del plano son 3. Sin embargo el c´ alculo de 1 integral primera nos permite, con el M´etodo de Lagrange–Charpit, encontrar una integral completa. Veremos ahora que el conocimiento de una integral completa, es decir de una familia de subvariedades soluci´ on de Rn+1 , parametrizadas por (a1 . . . , an ) ∈ Rn , g(x1 . . . , xn , z; a1 , . . . , an ) = 0,

7.7. M´ etodo de la envolvente

485

y por tanto tales que en ellas la funci´ on z = f (x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an ), donde pueda despejarse, es una soluci´ on cl´ asica; unido a la noci´on de envolvente, nos permite resolver el Problema de Cauchy en su generalidad, el cual consiste en encontrar una soluci´on de la ecuaci´on, que en Rn+1 pase por una subvariedad n − 1–dimensional dada Sn−1 . Nota 7.20 No obstante no debemos esperar que con una integral completa obtengamos todas las soluciones de una EDP, pues por ejemplo si nuestra ecuaci´ on est´ a definida por una F = GH y tenemos una integral completa de G = 0, tambi´en la tenemos de F = 0, pero no es esperable que las soluciones de F = 0, que lo sean de H = 0, las podamos obtener mediante esa integral completa. Paso 1.- Obtenemos con los m´etodos conocidos una integral completa de nuestra EDP g(x1 , . . . , xn , z; a1 , . . . , an ) = g a (xi , z), por tanto tenemos una familia S a = {g a = 0} de soluciones de la EDP. Paso 2.- Buscamos coordenadas φ = (λi ) de Sn−1 y para cada p ∈ Sn−1 con coordenadas λ = φ(p), buscamos una soluci´on entre las {S a }a∈Rn , que denotaremos S λ , que verifique (ver figura (7.10)) p ∈ Sa ,

Tp (Sn−1 ) ⊂ Tp (S a ).

Es decir buscamos a = (a1 , . . . , an ) tal que si en Sn−1 xi = xi (λ), z = z(λ) ) a g a [x1 (λ), . . . , xn (λ), z(λ)] = 0, =0  g (p) ⇒ ∂g a [x1 (λ),...,xn (λ),z(λ)] ∂ dg a i∗ ∂λi p = 0 = 0. ∂λi Si estas n ecuaciones nos permiten despejar las n inc´ognitas ai en funci´ on de λ = (λ1 , . . . , λn−1 ), tendremos una subfamilia n − 1–param´etrica de nuestra familia original de hipersuperficies S λ = {hλ = 0}, hλ (x, z) = g(x, z; a1 (λ), . . . , an (λ)),

486

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

que son soluciones de nuestra EDP y satisfacen que para cada p ∈ Sn−1 , con coordenadas λ = λ(p), p ∈ S λ y Tp (Sn−1 ) ⊂ Tp (S λ ). Paso 3.- De los resultados anteriores se sigue que si existe la envolvente S de S λ , es una soluci´ on de la EDP que contiene a Sn−1 , por tanto obtenemos la envolvente, es decir consideramos el sistema de n ecuaciones ∂h ∂h h = 0, = 0, . . . , = 0, ∂λ1 ∂λn−1 y eliminamos las λi . Ejercicio 7.7.4 Encontrar con este m´etodo la soluci´ on de zx2 +zy2 = 1, que pasa 2 2 por la curva z = 0, x + y = 1. (Sol.) Ejercicio 7.7.5 Encontrar con este m´etodo las soluciones de x[zx2 + zy2 ] − zzx = 0, que pasan respectivamente por las curvas: ( ( ( x = z2, x2 = y = z 2 x=0 (Sol.) (3) (2) (1) 2 y = 0. x > 0, z > 0, z = 4y, Ejercicio 7.7.6 Encontrar con este m´etodo la soluci´ on de zx zy = 1, que pasa por la curva z = 0, xy = 1. (Sol.)

7.7.4.

Soluci´ on singular.

Hemos visto que el conocimiento de una integral completa z − f (x1 , . . . , xn , a1 , . . . , an ). nos permite construir la llamada soluci´ on “general” mediante el proceso de la envolvente, pero este proceso, en el que primero seleccion´abamos de nuestra familia n–param´etrica de soluciones, una subfamilia n − 1– param´etrica, hay veces que podemos hacerlo con la familia original, es decir que la envolvente obtenida eliminando las ai en z = f (x1 , . . . , xn , a1 , . . . , an ),

fa1 = 0, . . . , fan = 0,

nos da una soluci´ on que no se obtiene por envolventes de familias n − 1– param´etricas, en tal caso a esta se la llama “soluci´ on singular”. Ahora bien derivando F (x1 , . . . , xn , f (x; a), fx1 (x; a), . . . , fxn (x; a)) = 0,

487

7.7. M´ etodo de la envolvente

respecto de ai tenemos Fz fai +

n X

Fzj fxj ai = 0,

para i = 1, . . . , n

j=1

y si (x0 , z0 = f (x0 ; a0 )) es un punto de la envolvente, tendremos de la igualdad anterior que n X

Fzj (x0 , z0 , fxi (x0 ; a0 ))fxj ai (x0 ; a0 ) = 0,

para i = 1, . . . , n

j=1

y si suponemos que |fai xj | 6= 0 8 entonces se verifica que en el punto (x0 , z0 , fxi (x0 ; a0 )) Fz1 = 0, . . . , Fzn = 0, por lo que la soluci´ on singular est´ a en la proyecci´on de S = {F = 0, Fz1 = 0, . . . , Fzn = 0}, sin hacer alusi´ on a la integral completa. Para estas ecuaciones se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 7.21 Si F, Fz1 , . . . , Fzn , x1 , . . . , xn son diferenciablemente independientes en S, entonces la subvariedad S es soluci´ on en el sentido de Lie, de la EDP definida por F si y s´ olo si Dp = 0 para todo p ∈ S. Demostraci´ on. En primer lugar en los puntos p ∈ S, Fz (p) 6= 0, pues en caso contrario dp F =

n X

Fxi (p)dxi + Fz (p)dz +

i=1

n X i=1

Fzi (p)dzi =

n X

Fxi (p)dxi ,

i=1

8 lo cual implica que los par´ ametros ai son independientes, en el sentido de que no existen n − 1 funciones αi (a1 , . . . , an ) y una funci´ on g para las que

f (x1 , . . . , xn ,a1 , . . . , an ) = = g(x1 , . . . , xn , α1 (a1 , . . . , an ), . . . , αn−1 (a1 , . . . , an )), pues en caso contrario los n vectores (fai x1 , . . . , fai xn ) son dependientes pues cada uno se puede poner como combinaci´ on de los mismos n − 1 vectores (fai x1 , . . . , fai xn ) =

n−1 X j=1

(gαj x1 , . . . , gαj xn )αjai .

488

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

en contra de la hip´ otesis, por otra parte ω|S = 0

n X ⇔ 0 = dF|S = [ Fxi dxi + Fz dz]|S = i=1 n X = [ (Fxi + zi Fz )dxi ]|S i=1

⇔ [Fxi + zi Fz ]|S = 0, ⇔ Dp = 0,

para i = 1, . . . , n

para p ∈ S.

Nota 7.22 Debemos observar que puede ocurrir que S sea subvariedad n–dimensional, se proyecte en una soluci´ on de la EDP definida por F , y sin embargo no sea soluci´ on en el sentido de Lie, pues ω|S 6= 0, como por ejemplo para z = x + zx zy , S = {F = 0, Fp = 0, Fq = 0} = {z = x + pq, q = 0, p = 0} = {z = x, p = 0, q = 0}, la cual se proyecta en la soluci´ on z = x. Ejemplo 7.7.5 Consideremos la familia de esferas de radio 1 centradas en el plano xy (x − a)2 + (y − b)2 + z 2 = 1 la cual es una integral completa de la EDP z 2 (1 + zx2 + zy2 ) = 1, su envolvente se obtiene eliminando a y b en (x − a)2 + (y − b)2 + z 2 = 1,

x − a = 0,

y − b = 0,

es decir z = ±1, a la cual llegamos tambi´en, como puede demostrar el lector, eliminando p y q en F = 0,

Fp = 0,

Fq = 0.

Ejemplo 7.7.6 Otro ejemplo lo tenemos con las EDP de Clairaut, (ver la Nota (7.15), p´ ag.473, que son z = xzx + yzy + f (zx , zy ), con f una funci´ on del plano, las cuales tienen obviamente las integrales completas definidas por la familia de planos z = ax + by + f (a, b),

489

7.8. Definici´ on intr´ınseca

y su soluci´ on singular se obtiene eliminando a y b en z = ax + by + f (a, b),

x + fa = 0,

y + fb = 0,

la cual coincide con la proyecci´ on de F = 0,

7.8.

Fp = 0,

Fq = 0.

Definici´ on intr´ınseca

Podemos dar la definici´ on intr´ınseca de ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden: En primer lugar si en nuestra ecuaci´on no interviene la “z”, es decir es de la forma F (x1 , . . . , xn ,

∂z ∂z ,..., ) = 0, ∂x1 ∂xn

entonces F ∈ C ∞ (V) y {F = 0} es una subvariedad 2n − 1–dimensional de V = T ∗ (U ). Y una soluci´ on es una funci´ on f (x1 , . . . , xn ) para la que S = {zi =

∂f , i = 1, . . . , n} ⊂ {F = 0}, ∂xi

es decir S es una subvariedad n–dimensional de {F = 0}, que tiene coordenadas (xi ) y en la que (ver p´ ag.396 y siguientes) λ=

n X

zi dxi = df,

i=1

es decir en la que λ es exacta y por tanto Λ = 0. Definici´ on. Llamaremos ecuaci´ on en derivadas parciales de primer orden en una variedad diferenciable U, a una hipersuperficie F de su fibrado cotangente T ∗ (U), es decir una subvariedad de dimensi´on 2n − 1. Llamaremos soluci´ on de esta ecuaci´ on a toda subvariedad S de F, de dimensi´ on n, en la que Λ = 0. En primer lugar localmente F = {F = 0}, y se sigue del Lema de Poincare (3.22), p´ ag.165, que si una subvariedad soluci´ on S existe, como en ella dλ = Λ = 0, λ es localmente

490

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

exacta en ella y si adem´ as tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), entonces en ella λ = df , para f una funci´ on de (x1 , . . . , xn ), que es soluci´on de la EDP definida por F . Si por el contrario, nuestra ecuaci´ on contiene la “z”, es decir es de la forma ∂z ∂z G(x1 , . . . , xn , z, ,..., ) = 0, ∂x1 ∂xn entonces podemos reducirla a una del tipo anterior del siguiente modo: Definimos la funci´ on F (x1 , . . . , xn+1 ,z1 , . . . , zn+1 ) = = G(x1 , . . . , xn , xn+1 , −

z1 zn+1

,...,−

zn zn+1

).

Si f (x1 , . . . , xn+1 ) es soluci´ on de {F = 0}, entonces para cada constante c ∈ R las subvariedades f (x1 , . . . , xn+1 ) = c, son soluci´ on de {G = 0}, pues si despejamos xn+1 en ellas, xn+1 = g(x1 , . . . , xn ), entonces la funci´ on g es soluci´ on de {G = 0}, pues derivando respecto de xi en f (x1 , . . . , xn , g(x1 , . . . , xn )) = c, tendremos que fxi + fxn+1 gxi = 0, y por tanto para x = (x1 , . . . , xn ) G(x, g(x),gx1 (x), . . . , gxn (x)) = G(x, g(x), −

fx1 fx ,...,− n ) fxn+1 fxn+1

= F (x, g(x), fx1 (x, g(x)), . . . , fxn+1 (x, g(x))) = 0. No obstante la definici´ on intr´ınseca de estas EDP est´a en el Fibrado de Jets de funciones de orden 1, (ver p´ ag.397). Definici´ on. Llamaremos ecuaci´ on en derivadas parciales de primer orden en una variedad diferenciable U, a una hipersuperficie F de su fibrado de jets de orden 1. Llamaremos soluci´ on de esta ecuaci´ on a toda subvariedad S de F, de dimensi´ on n, con coordenadas (xi ), en la que ω = 0.

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

491

En primer lugar localmente existe F ∈ C ∞ (J 1 (U)), con diferencial no nula, tal que F = {F = 0}. Y si S es una soluci´on, z = f (xP i ) y f es una n funci´ on soluci´ on de la EDP definida por F , pues ω|S = dz− i=1 zi dxi = 0, por tanto S = {z = f (x1 , . . . , xn ), zi =

7.9.

∂f , i = 1, . . . , n} ⊂ {F = 0}. ∂xi

Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

Definici´ on. Recordemos (ver la p´ ag.391 y ss.) que llamamos coordenadas simpl´eticas en un abierto de V = T ∗ (U) a cualesquiera 2n funciones suyas ui , vi , tales que n X dvi ∧ dui , Λ= i=

en cuyo caso autom´ aticamente son sistema de coordenadas pues si sus diferenciales fuesen dependientes en un punto tendr´ıan un vector incidente, que estar´ıa en el radical de Λ, que no tiene. Nota 7.23 La importancia de las coordenadas simpl´eticas radican en que resuelven simult´ aneamente dos problemas: 1. Hallar una integral completa para una familia parametrizada por a1 de EDP definidas por una funci´ on h = v1 , h(x1 , . . . , xn , zx1 , . . . , zxn ) = a1 , que es S a = {vi = ai }, ya que S a es n–dimensional, en ella Λ|S a =  y S a ⊂ {h = a1 }. 2. Hallar las soluciones de la EDO de Hamilton D = Dh , definida por h = v1 , (7.5)

x0i (t) = hzi (x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ), zi0 (t) = −hxi (x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ),

492

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

pues Du1 = 1 y el resto Dvi = Duj = 0, ya que dv1 = −iD Λ =

n n X X (Dvi )dui , (Dui )dvi − i=1

i=1

(Realmente esta propiedad la tienen obviamente todas los campos Hamiltonianos correspondientes a las funciones ui y vi , es decir en esas coordenadas tienen expresi´ on can´ onica). A continuaci´ on explicamos dos m´etodos de construcci´on de tales coordenadas.

7.9.1.

M´ etodo de Jacobi.

Este m´etodo se utiliza para resolver EDP de primer orden en las que no interviene la variable “z”. Consideremos la ecuaci´ on en derivadas parciales h(x1 , . . . , xn , zx1 , . . . , zxn ) = a1 , definida por {h = a1 } en V = T ∗ (U ). Consideremos D = D1 el campo hamiltoniano correspondiente a v1 = h. Del teorema de clasificaci´on local de campos se sigue que localmente D tiene 2n − 1 integrales primeras con diferenciales independientes y por tanto 2(n − 1) integrales primeras con diferenciales independientes de dv1 . Sea v2 una de ellas y sea D2 su campo hamiltoniano correspondiente, entonces por (6.54), p´ag.395 (v1 , v2 ) = D1 v2 = 0

⇒

[D1 , D2 ] = D(v1 ,v2 ) = 0.

Entonces como D1 y D2 son independientes D1 y D2 generan una distribuci´ on involutiva y se sigue del teorema de Frobenius que localmente D1 y D2 tienen 2n − 2 integrales primeras comunes con diferenciales independientes. Como v1 y v2 lo son, tendremos 2(n − 2) integrales primeras comunes diferenciablemente independientes entre s´ı y de v1 y v2 . Sea v3 una de ellas y sea D3 su campo hamiltoniano correspondiente. Como antes se tiene que [D1 , D3 ] = [D2 , D3 ] = 0, y D1 , D2 , D3 generan una distribuci´ on involutiva. Por tanto localmente tienen 2(n−3) integrales primeras distintas de v1 , v2 y v3 . Siguiendo este proceso podemos construir n funciones, v1 , . . . , vn , diferenciablemente independientes, con campos hamiltonianos correspondientes D1 , . . . , Dn , tales que [Di , Dj ] = 0 para i, j = 1, . . . , n.

493

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

Teorema 7.24 Para cada (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , Λ = 0 en la subvariedad n–dimensional S a = {v1 = a1 , . . . , vn = an }. Demostraci´ on. Como D1 , . . . , Dn ∈ D(S a ), es una base de campos, se tiene que Λ(Di , Dj ) = iDi Λ(Dj ) = −Dj vi = 0

⇔

Λ = 0.

Nota 7.25 Ahora tenemos que S a = {v1 = a1 , v2 = a2 , . . . , vn = an } ⊂ {h = a1 }, y en ella Λ = dλ = 0, por tanto se sigue del Lema de Poincare (3.22), p´ ag.165, que en S a , λ = dφa . Ahora bien si x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vn son coordenadas, x1 , . . . , xn lo son en S a y tendremos que φa = φa (x1 , . . . , xn ), y para cada elecci´ on de b ∈ R y (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , con a1 fijo f (x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an , b) = φa (x1 , . . . , xn ) + b, es soluci´ on de nuestra EDP h(x, zx ) = a1 , por tanto es una integral completa de la ecuaci´ on. Ejercicio 7.9.1 Resolver la ecuaci´ on xzx2 + yzy2 = z, utilizando el m´etodo de Jacobi, reduci´endola antes a las de este tipo. (Sol.) Ejercicio 7.9.2 Aplicar el m´etodo de Jacobi a una EDP del tipo F (ux , uy , uz ) = 0 y encontrar una integral completa de ux + uy + uz = ux uy uz . (Sol.) Ejercicio 7.9.3 Aplicar el m´etodo de Jacobi a una EDP del tipo F (x, ux , uz ) = G(y, uy , uz ) y encontrar una integral completa de 2x2 yu2x uz = x2 uy + 2yu2x .

(Sol.)

Ejercicio 7.9.4 Aplicar el m´etodo de Jacobi a una EDP de Clairaut xux + yuy + zuz = G(ux , uy , uz ), y encontrar una integral completa de (ux + uy + uz )(xux + yuy + zuz ) = 1.

(Sol.)

494

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Nota 7.26 En los t´erminos de la Nota (7.25), veamos que tenemos coordenadas simpl´eticas, para ello consideremos las integrales primeras, v1 = h, v2 , . . . , vn , de D y supongamos que las (xi , vi ) forman un sistema de coordenadas, en cuyo caso las xi ser´ an un sistema de coordenadas en cada subvariedad n–dimensional Sa = {v1 = a1 , . . . , vn = an }, para cada (a1 , . . . , an ) ∈ Rn y hemos visto que en estas subvariedades Λ = 0 y por el Lema de Poincare (3.22), p´ ag.165, λ|Sa = dφa . Supona gamos que φ (x) = φ(x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an ) es funci´on diferenciable de las x y las a, entonces

n X

⇒

φxi (x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an )dxi

⇒

zi|Sa = φxi (x1 , . . . , xn ; v1 , . . . , vn )|Sa

⇒

zi dxi|Sa =

i=1

n X

φxi (x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an )dxi

λ|Sa =

i=1 n X i=1

zi = φxi (x1 , . . . , xn ; v1 , . . . , vn ). Teorema 7.27 Si x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vn son diferenciablemente independientes y φ es funci´ on diferenciable de ellas, entonces las funciones (ui = φvi , vj ) son un sistema de coordenadas simpl´eticas. (Adem´ as |φxi vj | 6= 0). Demostraci´ on. En el sistema de coordenadas (xi , vi ) λ=

n X

φxi dxi = dφ −

i=1

⇒

n X

φvi dvi = dφ −

i=1

Λ = dλ =

n X

n X

ui dvi

⇒

i=1

dvi ∧ dui .

i=1

Corolario 7.28 En las coordenadas simpl´eticas (ui , vj ) del resultado anterior ∂ , Di = ∂ui para los campos Di tales que iDi Λ = −dvi , construidos en el m´etodo de Jacobi. En particular las uj , para j 6= i son integrales primeras de Di .

495

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

Nota 7.29 Se sigue que, en las coordenadas (ui , vi ), la curva integral del campo D = Dh (h = v1 ) por ejemplo, pasando en t = 0 por el punto de coordenadas (bi , ai ) es para j, k = 1, . . . , n, y k 6= 1 u1 (t) = t + b1 ,

uk (t) = bk ,

vj (t) = aj ,

y en t´erminos de las coordenadas (xi , zi ) la trayectoria de esta curva es zi = φxi (x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an ), bk = φvk (x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an ),

para k 6= 1.

y si la queremos parametrizada consideramos tambi´en t + b1 = φv1 (x, a). Esto explica la Teor´ıa de Hamilton–Jacobi que estudiaremos en el pr´oximo ep´ıgrafe. Ejercicio 7.9.5 Resolver la ecuaci´ on diferencial definida por el campo 2x1 z1

7.9.2.

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + 2x2 z2 − 2x3 z3 − z12 − z22 + z32 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂z1 ∂z2 ∂z3

(Sol.)

Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi.

En el an´ alisis del m´etodo de Jacobi para resolver una EDP part´ıamos del conocimiento de las funciones vi —que se obtienen b´asicamente integrando una ecuaci´ on diferencial de Hamilton—, y obten´ıamos una integral completa φ de la EDP. A continuaci´on veremos que este proceso es reversible, en el sentido de que el conocimiento de una integral completa de la EDP de Hamilton–Jacobi h(x1 , . . . , xn , zx1 , . . . , zxn ) = a1 , que en ocasiones podemos encontrar por otros medios —variables separadas por ejemplo—, nos permite resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de Hamilton (7.6)

x0i (t) = hzi (x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ), zi0 (t) = −hxi (x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ),

Este u ´til m´etodo, descubierto por Hamilton y Jacobi da lugar a la teor´ıa que lleva su nombre.

496

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Teorema 7.30 Sea φ = φ(x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an ) una integral completa de la familia de EDP parametrizada por a1 ∈ R h(x1 , . . . , xn , zx1 , . . . , zxn ) = a1 . Si el determinante |φai xj | = 6 0, podemos despejar las ai en el sistema zi = φxi (x, a), vi = ai (x, z) y definir ui = φai (x, v), entonces las funciones (ui , vi ) son coordenadas simpl´eticas, siendo v1 = h. Demostraci´ on. Como |φai xj | = 6 0, podemos despejar las ai en zi = φxi (x, a), como vi = ai (x, z) y h(x, z) = h(x, φx (x, v)) = v1 . Adem´as las (xi , vi ) son coordenadas, pues zi = φxi (x, v) y en ellas X X X dφ = φxi dxi + φvi dvi = λ + ui dvi , y basta aplicar la diferencial. Corolario 7.31 Sea φ = φ(x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , an ) una integral completa de la familia de EDP parametrizada por a1 ∈ R h(x1 , . . . , xn , zx1 , . . . , zxn ) = a1 . Si el determinante |φai xj | = 6 0, para cada elecci´ on ai , bi ∈ R, las 2n − 1 ecuaciones ∂φ (x, a) = bi , ∂ai

(i 6= 1),

zi =

∂φ (x, a), ∂xi

definen una soluci´ on de la EDO (7.6), del campo hamiltoniano D de h, para la que φa1 es el tiempo. Demostraci´ on. Por (7.23) y porque en los t´erminos anteriores las curvas son ui = bi , para i 6= 1 y vi = ai . Para estudiar las curvas integrales de una ecuaci´on de Hamilton que dependa del tiempo, remitimos al lector al ap´endice (7.14), de la p´agina 562. Ejemplo 7.9.1 El problema de los dos cuerpos. Consideremos de nuevo este problema que vimos en la p´ ag.404, cuya curva es soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales, para k = GM x0 = z1 = hz1 ,

z10 = −kx/(x2 + y 2 )3/2 = −hx ,

y 0 = z2 = hz2 ,

z20 = −ky/(x2 + y 2 )3/2 = −hy ,

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

497

que es un sistema Hamiltoniano y corresponde a la funci´on energ´ıa h=

k z12 + z22 −p , 2 2 x + y2

Ahora para resolverla consideramos la EDP de Hamilton–Jacobi asociada φ2x + φ2y k =p + a, 2 2 x + y2 o en coordenadas polares 1 2

  φ2θ k 2 φρ + 2 = + a, ρ ρ

pues se tiene x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, lo cual implica ∂ ∂ ∂ = cos θ + sen θ ∂ρ ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ = −ρ sen θ + ρ cos θ ∂θ ∂x ∂y

⇒

∂ ∂ sen θ ∂ = cos θ − ∂x ∂ρ ρ ∂θ ∂ ∂ cos θ ∂ = sen θ + ∂y ∂ρ ρ ∂θ

y considerando variables separadas tiene la integral completa Z ρr 2k b2 φ = bθ + + 2a − 2 dr, r r ρ0 ahora por el teorema, las constantes a y b son funciones, la a ya sabemos que es la energ´ıa h, pero ¿qui´en es la constante b?, para saberlo tenemos que despejarla (junto con la a) en el sistema de ecuaciones ( ( z1 = φx φρ = cos θφx + sen θφy = z1 cos θ + z2 sen θ ⇒ z2 = φy φθ = −ρ sen θφx + ρ cos θφy = −yz1 + xz2 s   2k + 2a − b2 = z cos θ + z sen θ 1 2 ⇒ ρ ρ2   b = −yz1 + xz2  2k b2 (z1 x + z2 y)2    2a = − +   ρ2 ρ ρ2  2c (7.7) ⇒ = z12 + z22 −   ρ     b = −z1 y + z2 x

498

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

de donde se sigue que nuestras constantes son: a = h, la energ´ıa de m1 (dividida por m1 , es decir la energ´ıa por unidad de masa) y el m´odulo del momento angular (por unidad de masa), (0, 0, b) pues b = −x0 y + y 0 x = ρ2 θ 0 . Ahora el Teorema nos asegura que nuestra curva la despejamos de las ecuaciones  Z ρr  2c b2   φ = bθ + + 2a − 2 dr,   r r  ρ0    ∂φ  ∂φ Z ρ   dr  =t  q , = ∂a siendo ∂a b2 2k ρ 0 + 2a − ∂φ   r r2   = θ0   Z ρ  ∂φ ∂b  dr   q =θ−b    ∂b 2k b2 2 ρ0 r r + 2a − r 2

7.9.3.

Geod´ esicas de una variedad Riemanniana.

Consideremos una variedad Riemanniana (V, g), con la conexi´on de Levi–Civitta asociada (ver la p´ ag.179). Como en el caso anterior los fibrados tangente y cotangente son can´ onicamente difeomorfos φ : Dp ∈ T (V) → iDp g ∈ T ∗ (V), por lo que tenemos una 2–forma can´ onica en T (V) (y por tanto campos Hamiltonianos), que en coordenadas (xi ) de V y las correspondientes (xi , zi ) en T ∗ (V) vale X X φ∗ Λ = φ∗ ( dzi ∧ dxi ) = dpi ∧ dxi . pues la coordenada xi del fibrado tangente es xi = φ∗ xi y definimos pi = φ∗ zi , la cual Pnen t´erminos de las coordenadas (xi , zi ) del fibrado tangente es pi = j=1 gij zj ; donde estamos considerando n

gij =

X ∂ ∂ ∇ ∂ ∂ ∂ · , G = (gij ) = (g ij )−1 , = Γkij , ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xk k=1

siendo (xi , pi ) sistema de coordenadas pues |pizj | = |gij | = 6 0. Recordemos que el campo de las geod´esicas est´a en el fibrado tangente y que en el sistema de coordenadas (xi , zi ) es   n n n X X X ∂  Γkij zi zj  Z= zi ∂i − , ∂zk i=1 i,j=1 k=1

499

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

y cuyas curvas integrales proyectadas son las geod´esicas de nuestra variedad. Definici´ on. En el fibrado tangente tenemos una funci´on can´onica que llamamos energ´ıa cin´etica, (7.8)

h(Dp ) =

Dp · Dp . 2

En coordenadas (xi , zi ) y (xi , pi ) se tienen las expresiones n n 1 X 1 t 1 t 1 X ij −1 h= zi zj gij = z Gz = z GG Gz = g pi pj . 2 i,j=1 2 2 2 i,j=1

En (7.64), p´ ag.558, se demuestra que el campo geod´esico es el Hamiltoniano de h, para φ∗ Λ, por tanto en las coordenadas (xi , pi ) se expresa (7.9)

Z=

n X i=1

n

hpi

X ∂ ∂ − hx , ∂xi i=1 i ∂pi

y sus curvas integrales satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales en las coordenadas (xi , pi ) x0i = hpi (x1 , . . . , xn , p1 , . . . , pn ), p0i = −hxi (x1 , . . . , xn , p1 , . . . , pn ),

i = 1, . . . , n i = 1, . . . , n,

por lo que, para resolverlo, consideramos la Ecuaci´ on de Hamilton– Jacobi asociada a este problema h(x1 , . . . , xn , φx1 , . . . , φxn ) =

n 1 X ij g φxi φxj = a1 . 2 i,j=1

En el caso particular de que la variedad sea bidimensional con coordenadas (u, v) y llamemos E=

∂ ∂ · , ∂u ∂u

F =

∂ ∂ · , ∂u ∂v

G=

∂ ∂ · , ∂v ∂v

la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi asociada es 1 Gφ2u − 2F φu φv + Eφ2v = a1 . 2 EG − F 2

500

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejemplo 7.9.2 Geod´esicas de un elipsoide. Consideremos ahora el caso particular de que nuestra superficie sea un elipsoide (ver Courant– Hilbert, Tomo II, p´ ag.112) x2 y2 z2 + + = 1, a b c el cual admite la parametrizaci´ on —si a, b, c > 0— s a(u − a)(v − a) x= , (b − a)(c − a) s b(u − b)(v − b) , y= (a − b)(c − b) s c(u − c)(v − c) , z= (b − c)(a − c) por lo tanto, en este caso tendremos que ∂ ∂ ∂ ∂ = xu + yu + zu , ∂u ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ = xv + yv + zv , ∂v ∂x ∂y ∂z para g(s) =

E = x2u + yu2 + zu2 = (u − v)g(u), F = xu xv + yu yv + zu zv = 0,

⇒

G = x2v + yv2 + zv2 = (v − u)g(v),

s . 4(a − s)(b − s)(c − s)

y tendremos que resolver la EDP   1 φ2u φ2 + v = a1 , 2 E G y si consideramos φ = ϕ(u) + γ(v), entonces ϕ y γ deben satisfacer ϕ0 (u)2 γ 0 (v)2 + = 2a1 (u − v)g(u) (v − u)g(v)

⇒

ϕ0 (u)2 γ 0 (v)2 − = 2a1 (u − v), g(u) g(v)

que podemos resolver en variables separadas, obteniendo Z up Z vp φ(u, v, a1 , a2 ) = 2a1 g(s)(s + a2 )ds + 2a1 g(s)(s + a2 )ds, u0

v0

501

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

de donde obtenemos, derivando respecto de a2 y puesto que a1 es una constante, que las geod´esicas sobre un elipsoide satisfacen la ecuaci´on Z us Z vs g(s) g(s) ds + ds = cte. s + a s + a2 2 u0 v0 Ejemplo 7.9.3 Geod´esicas de una esfera. Si nuestra superficie es una esfera z 2

2

2

x + y + z = 1,

q

r y

y consideramos las coordenadas esf´ericas x1 = ϕ, x2 = θ, para las que

x

j

x = cos ϕ sen θ, y = sen ϕ sen θ,

Figura 7.11. Coordenadas esf´ ericas

z = cos θ, tendremos que E = sen2 θ,

F = 0,

G = 1,

pues se tiene ∂ ∂ ∂ = − sen ϕ sen θ + cos ϕ sen θ , ∂ϕ ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ = cos ϕ cos θ + sen ϕ cos θ − sen θ , ∂θ ∂x ∂y ∂z y la funci´ on energ´ıa es h=

1 2 1 p21 + p22 sen2 θ (z1 sen2 θ + z22 ) = , 2 2 sen2 θ

y el campo geod´esico Z = hp1 ∂ϕ + hp2 ∂θ − hϕ ∂p1 − hθ ∂p2 , y como hϕ = 0, tendremos que p1 = z1 E + z2 F = z1 E = ϕ0 sen2 θ es una integral primera de Z. Ahora la ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi correspondiente es φ2ϕ + sen2 θφ2θ = 2a, sen2 θ

502

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

la cual tiene una integral completa en variables separadas Z θr b2 2a − φ(ϕ, θ, a, b) = bϕ + ds, sen2 s θ0 y la geod´esica la obtenemos haciendo φb = ϕ0 , lo cual implica (tomando k = 2a/b2 ) Z (7.10)

θ

ϕ − ϕ0 = θ0

b/ sen2 s q ds = 2 2a − senb 2 s

Z

θ

θ0

ds √ , sen s k sen2 s − 1

y esta integral podemos resolverla considerando que Z Bx − 2C dx 1 √ = √ arc sen √ , x Ax2 + Bx − C |x| B 2 + 4AC C pues haciendo el cambio sen2 s = x tendremos que Z

sen2 θ

dx √ 2x 1 − x kx − 1 √

ϕ − ϕ0 = sen2 θ0

1 (k + 1)x − 2 = arc sen p 2 x (k + 1)2 − 4k =

(k + 1)x − 2 1 arc sen 2 (k − 1)x

#sen2 θ sen2 θ0

sen2 θ sen2 θ0

2

=

1 (k + 1) sen θ − 2 arc sen − α0 , 2 (k − 1) sen2 θ

y girando la esfera para que α0 − ϕ0 = π/4, tendremos (k − 1 + 2) sen2 θ − 2 (k − 1) sen2 θ 2 sen2 θ − 2 sen2 θ − 2 sen2 θ sen2 ϕ = sen2 θ + k−1 (k − 1)y 2 = z 2

1 − 2 sen2 ϕ = cos 2ϕ = sen(2ϕ + π/2) =

√ y esto tiene dos soluciones, para c = ± k − 1 z = cy,

⇔

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

503

es decir que nuestra geod´esica est´ a sobre un plano que pasa por el origen y por tanto sobre un c´ırculo m´ aximo de la esfera. Podemos demostrar esto tambi´en observando que a y b las despejamos de las ecuaciones p1 = φϕ = b, p2 = φθ , y ya sab´ıamos que p1 era constante en las trayectorias. Adem´as como vimos antes p1 = ϕ0 sen2 θ = b y a lo largo de una trayectoria geod´esica r(t) = (x(t), y(t), z(t)), las componentes del momento angular r(t)×r0 (t) yz 0 − zy 0 = −ϕ0 cos ϕ cos θ sen θ − θ0 sen ϕ, zx0 − xz 0 = −ϕ0 sen ϕ cos θ sen θ + θ0 cos ϕ, xy 0 − yx0 = ϕ0 sen2 θ, son constantes A, B y C = b, lo cual es obvio para la tercera (y por lo tanto para las dos primeras por la simetr´ıa del problema en las coordenadas x, y, z). No obstante para las otras dos se demuestra que tienen derivada nula, utilizando que b = ϕ0 sen2 θ y que ϕ0 =

θ0 , sen θ k sen2 θ − 1 √

que se obtiene derivando respecto de t en la ecuaci´on (7.10). En definitiva nuestra geod´esica est´ a en el plano perpendicular al momento angular, Ax + By + Cz = 0, pues Ax + By + Cz = (yz 0 − zy 0 )x + (zx0 − xz 0 )y + (xy 0 − yx0 )z = 0, por tanto nuestra geod´esica, que est´ a en la esfera y en el plano, est´a en un c´ırculo m´ aximo. (Veremos de nuevo esto, bajo otro punto de vista en la p´ ag.541). Ve´ amoslo ahora con las coordenadas x1 = x, x2 = y. En este caso tendremos que ∂x1 = ∂x −

x ∂z , z

y ∂x2 = ∂y − ∂z , z

y por tanto E = 1+

1 − y2 x2 = , z2 z2

F =

xy , z2

G = 1+

y2 1 − x2 = , z2 z2

EG−F 2 =

1 , z2

504

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi es (1 − x2 )φ2x − 2φx φy xy + (1 − y 2 )φ2y = 2a1 , y la resolvemos por Jacobi, considerando que el campo Hamiltoniano de F = (1 − x2 )p21 − 2xyp1 p2 + (1 − y 2 )p22 tiene u ´ltimas componentes, −Fx = 2xp21 + 2yp1 p2 = p1 (2xp1 + 2yp2 ) y −Fy = p2 (2xp1 + 2yp2 ) por tanto tenemos la integral primera p2 /p1 y en p2 = a2 p1 , F = 2a1 , llamando L2 = 1 + a22 y t = x + a2 y (1 − x2 )p21 − 2a2 p21 xy + (1 − y 2 )a22 p21 = 2a1 ⇒ s r 2a1 2a1 = , p1 = 1 + a22 − (x + a2 y)2 L2 − t2 de donde r p1 dx + p2 dy =

  √ 2a1 t dt = d 2a1 arc sen , L2 − t2 L

y tenemos una integral completa de la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi, √ t = 2a1 arc sen u, L p p donde denotaremos u = t/L = (x+a2 y)/ 1 + a22 , v = (y−xa2 )/ 1 + a22 , que representa un giro en el plano x, y. Ahora consideramos la integral primera φa2 del campo geod´esico y las curvas geod´esicas φa2 = cte, ! yL − (x+aL2 y)a2 1 ua2 =√ cte = φa2 = √ L2 1 − u2 1 − u2 φ=

√

2a1 arc sen

y − xb 1 v 1 =√ 3 2 2 1−u L 1 − u L2 2 v cte = ⇔ 1 = k v 2 + u2 , 1 − u2 =√

que es la ecuaci´ on de una elipse y sobre la esfera un c´ırculo m´aximo pues p p √ z = 1 − x2 − y 2 = 1 − u2 − v 2 = k − 1 v. Ejemplo 7.9.4 Geod´esicas de un cono. Si nuestra superficie es un cono x2 + y 2 = z 2 ,

7.9. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

505

el cual admite la parametrizaci´ on x = ρ cos θ,

y = ρ sen θ,

z = ρ,

tendremos que ∂ ∂ ∂ ∂ = cos θ + sen θ + , ∂ρ ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ = −ρ sen θ + ρ cos θ , ∂θ ∂x ∂y y por tanto E = 2,

F = 0,

G = ρ2 ,

y la ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi correspondiente es ! 1 φ2ρ φ2θ + 2 = a, 2 2 ρ la cual tiene una integral completa en variables separadas Z s b2 bθ 4a − 2 dρ, φ(ρ, θ, a, b) = √ + ρ 2 y la geod´esica la obtenemos haciendo φb = θ0 , Z θ dρ √ − θ0 = b p 2 ρ 4aρ2 − b2 √ 2ρ a , = arcsec b pues

R

√ dx/x x2 − k = (1/k) arcsec |x/k|, y se sigue que   θ ρ cos √ − θ0 = cte, 2

y sabiendo que la ecuaci´ on de las rectas en coordenadas polares del plano (ρ0 , θ0 ) es ρ0 cos(θ0 − α) = cte, se sigue que cortando el cono por una generatriz y desarroll´andolo para hacerlo plano, las geod´esicas se transforman en rectas.

506

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejemplo 7.9.5 Geod´esicas de un toro. Si nuestra superficie es un toro que parametrizamos x = (r + cos θ) cos ϕ,

y = (r + cos θ) sen ϕ,

z = sen θ,

entonces ∂ ∂ ∂ ∂ = − sen θ cos ϕ − sen θ sen ϕ + cos θ , ∂θ ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ = −(r + cos θ) sen ϕ + (r + cos θ) cos ϕ , ∂ϕ ∂x ∂y lo cual implica que E = 1,

F = 0,

G = (r + cos θ)2 ,

y la ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi correspondiente es ! 2 φ 1 ϕ φ2θ + = a, 2 (r + cos θ)2 la cual tiene la integral completa Z s φ(θ, ϕ, a, b) = bϕ +

2a −

b2 dθ, (r + cos θ)2

y la geod´esica la obtenemos haciendo φb = ϕ0 , lo cual implica Z bdθ p ϕ − ϕ0 = . (r + cos θ) 2a(r + cos θ)2 − b2 Ejercicio 7.9.6 Encontrar las geod´esicas del plano mediante el m´etodo de Hamilton–Jacobi. Idem del cilindro.

Ejercicio 7.9.7 Encontrar mediante el m´etodo de Hamilton–Jacobi las geod´esicas de la m´etrica de curvatura constante negativa K = −1 en el disco unidad (1 − x2 − y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) . (1 − x2 − y 2 )2

(Sol.)

Ejercicio 7.9.8 Encontrar mediante el m´etodo de Hamilton–Jacobi las geod´esicas de la m´etrica de curvatura constante positiva K = 1 en el plano (1 + x2 + y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) − (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) . (1 + x2 + y 2 )2

(Sol.)

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

7.10.

507

Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

El c´ alculo de variaciones es una u ´til herramienta que nos permite resolver problemas en los que se pregunta qu´e curva, entre todas las que unen dos puntos, minimiza (maximiza ´ o da un valor estacionario) a un cierto funcional; qu´e superficie, entre todas las que contienen un borde dado, minimiza (maximiza ´ o da un valor estacionario) a un cierto funcional, etc. Muchos fen´ omenos de la F´ısica est´an ´ıntimamente relacionados con el c´ alculo de variaciones, por ejemplo un rayo de luz sigue, atravesando distintos medios, la trayectoria m´ as r´apida; la forma de un cable que cuelga es la que minimiza la energ´ıa potencial; las pompas de jab´ on maximizan el volumen con una superficie dada, etc. Estos hechos conocidos antes de Euler, suger´ıan que la Naturaleza en alg´ un sentido “minimiza los gastos” y esta idea lo llev´ o a crear el c´ alculo de variaciones que ha influido de forma notable en el desarrollo de la F´ısica, dando una visi´ on unificadora, al ofrecer un punto de vista bajo el que interpretar de forma com´ un distintos fen´ omenos f´ısicos, que siguen un principio fundamental: el de la m´ınima acci´ on. Pongamos algunos ejemplos (ver Courant–Hilbert, tomo I, p.170 y Simmons, p.403): Entre todas las curvas σ : [t0 , t1 ] → Rn , σ(t) = (xi (t)), que pasan por dos puntos p y q en los instantes t0 y t1 respectivamente, σ(t0 ) = p y σ(t1 ) = q, ¿qu´e curva tiene longitud m´ınima? En este caso el funcional a minimizar es Z t1 qX (7.11) I(σ) = x02 i dt. t0

Entre las funciones f definidas en un abierto que contenga a R ⊂ R2 y que coinciden con una funci´ on dada h en los puntos del borde ∂R, ¿Qu´e superficie z = f (x, y), encierra m´ınima ´area? En este caso el funcional a minimizar es Z q Z Z p EG − F 2 dx ∧ dy = 1 + fx2 + fy2 dxdy, I(f ) = ω= R

R

R

donde ω es la 2–forma de superficie de la variedad Riemanniana bidimensional {z = f (x, y)}.

508

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.10.1.

Ecuaciones de Euler–Lagrange.

Aunque muchos problemas del tipo al que nos referimos fueron planteados en la antig¨ uedad y hasta algunos resueltos por los griegos, no se tuvo una herramienta adecuada para plantearlos hasta que Newton y Leibnitz introdujeron el c´ alculo infinitesimal. Y aunque esto le dio un impulso fundamental, resolvi´endose muchos problemas, no fue hasta 1744 que Euler descubri´ o la ecuaci´ on diferencial que debe satisfacer la curva buscada, con la que naci´ o el c´ alculo de variaciones, que posteriormente Lagrange desarroll´ o. En el primero de los dos casos anteriores el funcional es una expresi´on del tipo Z

t1

I(σ) = t0 Z t1

=

L[t, σ(t), σ 0 (t)]dt L[t, x1 (t), . . . , xn (t), x01 (t), . . . , x0n (t)]dt,

t0

para σ(t) = (xi (t)) y una cierta funci´ on L de R2n+1 , a la que se llama Lagrangiana,y que en el caso (7.11) vale qX L(t, xi , zi ) = zi2 . Veamos qu´e propiedad tiene tal curva σ que da un valor estacionario a I(σ), si es que existe, entre las curvas que satisfacen la propiedad de pasar por dos puntos fijos p y q en los instantes t0 y t1 respectivamente, es decir σ(t0 ) = p y σ(t1 ) = q. Teorema 7.32 Si σ(t) = (xi (t)) da un valor estacionario a Z

t1

I(σ) =

L[t, σ(t), σ 0 (t)] dt,

t0

entonces satisface las Ecuaciones de Euler–Lagrange d Lz [t, σ(t), σ 0 (t)] = 0, dt 1 ... ... d Lxn [t, σ(t), σ 0 (t)] − Lzn [t, σ(t), σ 0 (t)] = 0, dt Lx1 [t, σ(t), σ 0 (t)] −

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

509

Demostraci´ on. Dadas dos funciones diferenciables g, h : [t0 , t1 ] → R, con g tal que g(t0 ) = g(t1 ) = 0, se tiene Z

t1

Z

0

t1

(7.12)

t1

(h(t)g(t)) dt −

h(t)g (t)dt = t0

Z

0

t0

h0 (t)g(t)dt =

t0

Z

t1

=−

h0 (t)g(t)dt.

t0

Consideremos γ = (gi ) una curva cualquiera tal que γ(t0 ) = γ(t1 ) = 0. Entonces para Z t1 G(λ) = I(σ + λγ) = L[t, σ(t) + λγ(t), σ 0 (t) + λγ 0 (t)]dt, t0

G0 (0) = 0, y tendremos por (7.12) que Z

t1

0= =

n X

Lxi gi +

t0 i=1 n X Z t1 

Lxi −

i=1

t0

n X

 Lzi gi0 dt

i=1

 d Lzi gi (t)dt, dt

lo cual implica, al ser γ arbitraria, y sobrentendiendo la notaci´on, las Ecuaciones de Euler–Lagrange Lx1 −

d d Lz = 0, . . . , Lxn − Lzn = 0, dt 1 dt

Ejemplo 7.10.1 Observemos que para n = 1 es la ecuaci´on de segundo orden Lx −

d Lz = 0 dt

⇔

Lx − Ltz − Lxz x0 − Lzz x00 = 0,

y que en el caso (7.11) se convierte en d x0i (t) pP =0 dt x02 i para f 0 (t) =

pP

⇒

x0i (t) pP = ai x02 i

⇒

xi (t) = bi + f (t)ai ,

x02 i y por tanto σ(t) = b + f (t)a, es una recta.

510

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.10.1 Demostrar que si una lagrangiana en el plano no depende de x, L(x, y, y 0 ) = L(y, y 0 ), la soluci´ on de la ecuaci´ on de Euler-Lagrange satisface L − y 0 Ly0 = cte.

(Sol.)

El segundo es un caso particular de un funcional del tipo   Z ∂f ∂f I[f ] = L x1 , . . . , xn , f, ,..., dx1 · · · dxn , ∂x1 ∂xn R para una cierta Lagrangiana L de R2n+1 , definida en un abierto cuya proyecci´ on en las n primeras coordenadas contiene una variedad R con borde ∂R = C. En nuestro caso p L(x, y, z, p, q) = 1 + p2 + q 2 . Veamos, como antes, qu´e propiedad tiene tal funci´on f que da un valor estacionario a I(f ), si es que existe, entre las funciones f : R → R que valen lo mismo, pongamos h, en C = ∂R. Teorema 7.33 Si la funci´ on f da un valor estacionario a   Z ∂f ∂f I[f ] = L x1 , . . . , xn , f, ,..., dx1 · · · dxn , ∂x1 ∂xn R entonces f satisface la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange Lz (x, f (x), fxi (x)) −

n X ∂ Lzi (x, f (x), fxi (x)) = 0. ∂x i i=1

Demostraci´ on. Consideremos una funci´ on g cualquiera tal que g = 0 en el borde C de R, entonces para ella se tiene, por el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994, que para cualquier funci´on h Z Z hgx1 dx1 · · · dxn = hdg ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn R R Z Z = d (hgdx2 ∧ · · · ∧ dxn ) − gdh ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn R R Z Z = hgdx2 ∧ · · · ∧ dxn − ghx1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn (7.13) C R Z =− ghx1 dx1 · · · dxn , R Z Z hgxi dx1 · · · dxn = − ghxi dx1 · · · dxn , R

R

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

511

y como antes, la funci´ on Z G(λ) = I(f + λg) =

L [xi , f + λg, fxi + λgxi ] dx, R

debe tener un valor estacionario en λ = 0, lo cual implica que G0 (0) = 0, y tendremos por (7.13) que ! Z n X Lz g + Lzi gxi dx1 · · · dxn 0= R

Z g Lz −

= R

i=1 n X i=1

∂ Lz ∂xi i

! dx1 · · · dxn ,

lo cual implica, al ser g arbitraria, y sobrentendiendo la notaci´on, la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange Lz −

n X ∂ Lz = 0. ∂xi i i=1

Ejemplo 7.10.2 En el segundo de los dos casos expuestos la Lagrangiana p on de Euler–Lagrange es la ecuaci´ on vale L = 1 + p2 + q 2 y su Ecuaci´ de las superficies m´ınimas     ∂  zx z ∂ y + q  = 0, q ∂x ∂y 1 + z2 + z2 1 + z2 + z2 x

y

x

y

que podemos simplificar9 zxx (1 + zy2 ) − 2zx zy zxy + zyy (1 + zx2 ) = 0. Ejercicio 7.10.2 Para cada p = (x, y, z) ∈ R3 − {x = 0, y = 0}, consideremos el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente de su normal es la distancia de p al eje z. Demostrar que (a) La distribuci´ on es totalmente integrable. (b) Cada funci´ on en el plano cuya gr´ afica sea soluci´ on es una funci´ on arm´ onica (i.e. zxx + zyy = 0, ver la p´ ag.753). (c) Dicha gr´ afica es una superficie m´ınima. (Sol.) 9 aunque no siempre es preferible, ver por ejemplo el ejercicio (8.8.7) y su soluci´ on en la p´ ag.676.

512

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.10.3 (a) Demostrar que si una curva plana, cerrada o ´ no, gira alrededor de un eje del plano que no la corta, el a ´rea de la superficie que genera es igual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia que recorre el centro de masa de la curva. En el caso de que la curva sea de la forma y = y(x) en [a, b], es b

Z 2π

x

p 1 + y 02 dx.

a

(b) Entre todas las curvas y = y(x) que unen dos puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), encontrar la que genera una superficie de revoluci´ on en torno al eje y de m´ınima a ´rea. (c) ¿Es una superficie m´ınima?. (Sol.)

Ejemplo 7.10.3 La braquist´ ocrona. Consideremos el siguiente problema: Dejamos caer por un alambre una bola sin fricci´on, desde un punto A hasta otro B. ¿Cu´ al es la curva por la que se tarda m´ınimo tiempo?10 Si consideremos una curva σ : [0, 1] → R3 que une A = σ(0) con B = σ(1), el tiempo T que tarda en ir de A a B es 1

Z 0

|σ 0 (r)| dr, v[σ(r)]

para v la velocidad en el punto para esa trayectoria, pues si la reparametrizamos con su tiempo γ(t) = σ[r(t)], de tal forma que r(0) = 0 y r(T ) = 1, tendremos que v[γ(t)] = |γ 0 (t)| y Z T = 0

T

|γ 0 (t)| dt = v(γ(t))

Z

T

0

|σ 0 (r(t))r0 (t)| dt = v(σ(r(t)))

Z 0

1

|σ 0 (r)| dr, v[σ(r)]

A

B

Figura 7.12. Curva de m´ınimo tiempo de A a B.

10 Tal curva se llama braquist´ ocrona, del griego brachistos breve, corto y chronos tiempo.

513

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

Ahora necesitamos conocer la velocidad, la cual no depende de la trayectoria llevada, pues no hay fricci´ on, sino s´olo de la altura y, que ha √ bajado; y vale (partiendo con velocidad nula) v(x, y) = 2gy. Para ver esto observemos que dada cualquier trayectoria γ, parametrizada por el tiempo, como la u ´nica fuerza que act´ ua sobre la bola es la de la gravedad F = (0, −mg) y la que la mantiene en la curva (una fuerza N que es normal a la curva), tendremos que F + N = mγ 00 , por lo tanto la componente tangencial de F coincide con la componente tangencial de la aceleraci´ on, es decir −gy 0 =

F x02 + y 02 0 · γ 0 = γ 00 · γ 0 = x0 x00 + y 0 y 00 = ( ), m 2

y de esto se sigue que (x02 + y 02 )/2 = −gy + a, para una constante11 a, la cual es nula si la soltamos con velocidad nula desde y = 0. Por lo tanto el m´ odulo de la velocidad, es (observemos que y < 0) v[σ(t)] = |σ 0 (t)| =

p

−2gy.

Esto nos lleva a considerar el problema variacional Z

1

L(σ(s), σ 0 (s))ds,

0

correspondiente a la Lagrangiana que da el tiempo, que esencialmente es (la constante 2g no es necesaria y cambiamos el sistema de coordenadas poniendo la y positiva hacia abajo) p L(x, y, z1 , z2 ) =

z12 + z22 , √ y

para la que

p Lx = 0,

Ly = −

z12 + z22 , √ 2y y

Lzi = p

zi y(z12 + z22 )

,

y las Ecuaciones de Euler–Lagrange correspondientes son para h˙ = dh/dt 11 Que

es la energ´ıa total, pues

x02 +y 02 2

es la energ´ıa cin´ etica y −gy es la potencial.

514

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y h0 = dh/dx, para las que h˙ = h0 x˙ ! x˙ d p 0= dt y(x˙ 2 + y˙ 2 ) ! p x˙ 2 + y˙ 2 d y˙ p 0=− + √ 2y y dt y(x˙ 2 + y˙ 2 ) y por la primera es constante x˙ p

y(x˙ 2 + y˙ 2 )

=c

y si c = 0, x es constante en todo punto (que es una soluci´on si A y B tienen la misma abscisa), en caso contrario x˙ 6= 0 y podemos dividir por ´el, obteniendo ! !0 d 1 1 p 0= = p x˙ ⇔ dt y(1 + y 02 ) y(1 + y 02 ) !0 1 (7.14) 0= p ⇔ y(1 + y 02 ) = cte, y(1 + y 02 ) y adem´ as en este caso (c 6= 0) se sigue de la segunda que   x˙ d 1 d y˙ = c y0 ⇔ =c = y 2 y 00 2 2cy dt x˙ dt 2c2 que es consecuencia directa de (7.14), derivando respecto de x, pues 0 = (y + yy 02 )0 = y 0 + y 03 + 2yy 0 y 00

⇒

0 = 1 + y 02 + 2yy 00 ,

(pues y 0 6= 0 en alg´ un punto, ya que en caso contrario y = cte = 0) y el resultado se sigue multiplicando por y. Por lo tanto tenemos que resolver la familia de ecuaciones y(1 + y 02 ) = k, es decir s r k y dy = − 1 dx ⇔ dy − dx = 0, y k−y la cual tiene la soluci´ on r p − (k − y)y + k arctan

y − x = cte, k−y

515

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

que podemos resolver tambi´en llamando ( r dx = tan φ dy, y tan φ = ⇒ k−y y = (k − y) tan2 φ

⇒

y = k sen2 φ

por tanto como cos 2φ = 1 − 2 sen2 φ dy = 2k sen φ cos θ dφ

⇒

2

dx = tan φ dy = 2k sen φ dφ = k(1 − cos(2φ)) dφ, + cte y si le pedimos que A = (0, 0), cuya soluci´ on es x = kφ − k sen(2φ) 2 tendremos que la constante es 0, pues la y = k sen2 φ vale 0, para φ = 0. Por tanto tendremos que nuestra soluci´ on podemos escribirla, para θ = 2φ y r = k/2 x = r(θ − sen θ)

y = r(1 − cos θ),

lo cual significa que nuestra curva es una homotecia de raz´on r de la curva de puntos (Fig.7.13) (θ, 1) − (sen θ, cos θ), 2 1 q q

Figura 7.13. La braquist´ ocrona (dcha.) es la cicloide invertida.

que es la cicloide, es decir la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una recta. El p´endulo de Huygens.- Tiene la cicloide invertida una notable propiedad descubierta por Huygens (1629–1695) y es que dejada una bola deslizarse sin rozamiento sobre ella llega al punto mas bajo en un tiempo que no depende del punto desde la que la soltamos. Por tanto si la dejamos que vaya y vuelva en un movimiento pendular su per´ıodo es constante. Ve´ amoslo.

516

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Si consideramos la parametrizaci´ on (Fig.7.14, para r = 1) σ(θ) = r(θ − sen θ, 1 + cos θ), (hemos invertido la cicloide y le hemos sumado 2r, para que se anule en el punto m´ as bajo y valga 2r en el m´ as alto); y soltamos la bola en un punto A = (x0 , y0 ) = σ(θ0 ), el tiempo que tarda en llegar al punto m´as bajo, que es el correspondiente a θ = π, es 2 1

p

q0

Figura 7.14.

Z

π

θ0

π

p (1 − cos θ)2 + sen2 θ p dθ 2gr(cos θ0 − cos θ) θ0 r Z π √ r 1 − cos θ √ = dθ, g θ0 cos θ0 − cos θ

|σ 0 (θ)| dθ = v[σ(θ)]

Z

r

y para 2α = θ, cos θ = cos 2α = cos2 α − sen2 α = 2 cos2 α − 1, y para 2α0 = θ0 , tendremos que el tiempo es √ r Z π/2 r Z π/2 r 2 − 2 cos2 α r sen α q dα = 2p 2 dα, 2 g α0 g α0 2(cos2 α0 − cos2 α) cos α0 1 − cos2 α cos α0

r r Z π/2 r sen ϕ r dϕ = π . =2 g 0 sen ϕ g donde la u ´ltima igualdad se sigue considerando el cambio de variable α ∈ [α0 , π/2] → ϕ ∈ [0, π/2] cos ϕ =

cos α cos α0

⇒

sen ϕ dϕ =

sen α dα. cos α0

Observemos que r tiene unidades de longitud y g, que es una aceleraci´ on, unidades de longitud/tiempo2 , por lo que r/g tiene unidades de tiempo2 y su ra´ız de tiempo.

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

517

En segundo lugar tambi´en tiene la siguiente propiedad: Su evolvente es ella misma. Definici´ on. Para verlo recordemos que llamamos evolvente a cada curva ortogonal a las tangentes de una dada. Por tanto dada una curva σ(s) parametrizada por la longitud de arco —de tal modo que |σ 0 (s)| = 1 y s es la longitud del trozo de curva entre dos puntos σ(r) y σ(r + s)—, sus evolventes son las curvas γ(s) = σ(s) + λ(s)σ 0 (s), tales que γ 0 es ortogonal a σ 0 , lo cual equivale a que 0 = γ 0 · σ 0 = 1 + λ0 (s) + λ(s)σ 00 · σ 0 = 1 + λ0 (s), pues 0 = (σ 0 · σ 0 )0 = 2σ 00 · σ 0 , por tanto λ(s) = c − s, para c constante y las evolventes son γ(s) = σ(s) + (c − s)σ 0 (s), siendo γ(c) = σ(c) = P el punto com´ un de ambas curvas, que tiene la propiedad de que el arco de curva que une σ(s) y P = σ(c), tiene la misma distancia, c − s, que el segmento tangente de extremos σ(s) y γ(s). Por lo tanto la evolvente es la curva que describe una cuerda que despegamos de la curva original manteni´endola tensa. 4 g(q) 2 s(q)

1 q 0

q

p

Figura 7.15. La evolvente de la cicloide es la cicloide

Veamos que la cicloide tiene esta propiedad (Fig.7.15), para ello consideremos la parametrizaci´ on en [0, π] σ(θ) = (θ + sen θ, 1 + cos θ),

518

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

que va desde (0, 2) hasta (π, 0) y veamos que la tambi´en cicloide que asciende desde (0, 2) hasta (π, 4) y que tiene por ecuaci´on γ(θ) = (θ − sen θ, 3 − cos θ), corta perpendicularmente a las tangentes de la primera, lo cual es obvio pues la recta que une σ(θ) y γ(θ) es tangente a la curva y σ 0 = (1 + cos θ, − sen θ),

γ 0 = (1 − cos θ, sen θ)

Estas dos excepcionales propiedades las utiliz´o genialmente Huygens para construir un p´endulo que se apoyaba en dos superficies curvas sim´etricas (Fig.7.16), con forma de cicloide, de modo que el extremo del p´endulo describ´ıa una cicloide y la frecuencia de su oscilaci´on no depend´ıa del lugar desde el que empezaba el descenso.

Figura 7.16. P´ endulo de Huygens

Ejercicio 7.10.4 Demostrar que si v(x, y) es la velocidad de una part´ıcula en un punto del plano (x, y), el tiempo que la part´ıcula tarda en ir de un punto (x0 , y0 ) del plano a otro (x1 , y1 ) a trav´es de una curva y = y(x) es Z x1 p 1 + y 0 (x)2 dx. (Sol.) v(x, y(x)) x0 Ejercicio 7.10.5 Consideremos en el semiplano y ≥ 0, el problema variacional de la curva de m´ınimo tiempo cuando la velocidad en cada punto v(x, y) = y. (Sol.) Ejercicio 7.10.6 Demostrar que la velocidad de un abalorio que cae sin rozamiento por un alambre de un plano x, y p perpendicular a la superficie de la tierra, es en cada punto (x, y), v(x, y) = 2g(y0 − y) (para y0 la altura a la que lo soltamos con velocidad nula, que podemos suponer como y0 = 0). (Sol.) Ejercicio 7.10.7 Demostrar que la evolvente de la catenaria es la tractriz. (Sol.)

519

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

7.10.2.

Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton.

Veremos ahora que las ecuaciones de Euler–Lagrange est´an ´ıntimamente relacionadas con las de Hamilton. Consideremos una Lagrangiana L y supongamos que σ(t) = (xi (t)) es una curva que satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange L x1 −

d d Lz1 = 0, . . . , Lxn − Lzn = 0, dt dt

por ejemplo si es extremal para el problema variacional definido por L y supongamos adem´ as que nuestra Lagrangiana satisface |Lzi zj | = 6 0, en estas condiciones se tiene: Teorema 7.34 Si σ(t) = (xi (t)) es una curva que satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange, para una Lagrangiana que satisface |Lzi zj | = 6 0, entonces la curva en coordenadas (t, xi , zi ) γ(t) = (t, x1 (t), . . . , xn (t), z1 (t) = x01 (t), . . . , zn (t) = x0n (t)), satisface en las coordenadas (t, xi , pi = Lzi ) una ecuaci´ on diferencial de Hamilton, correspondiente a la funci´ on (energ´ıa), (7.15)

h=

n X

Lzi zi − L.

i=1

Demostraci´ on. Como |Lzi zj | = 6 0, podemos considerar el sistema de coordenadas (t, ui = xi , pi = Lzi ), en el que se tiene la primera igualdad dh = ht dt +

n X

hui dui +

i=1

dh = d(

n X

n X

hpi dpi

i=1

pi zi ) − dL

i=1

= =

n X i=1 n X i=1

pi dzi +

n X

zi dpi − Lt dt −

i=1

zi dpi − Lt dt −

n X i=1

n X

Lxi dxi −

n X

Lzi dzi

i=1

Lxi dxi ,

i=1

donde la dL la hemos desarrollado en las coordenadas (t, xi , zi ). Por tanto como la curva satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange y llamando ui (t) = ui [γ(t)], pi (t) = pi [γ(t)], tendremos que (recordemos que

520

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

las derivadas de la h es en las coordenadas (t, ui , pi ) y las de L en las (t, xi , zi )) Lt = −ht , u0i (t) = x0i (t) = zi (t) = hpi [γ(t)], p0i (t) = Lxi [γ(t)] = −hui [γ(t)]. Como consecuencia se tiene que si |Lzi zj | = 6 0, entonces X X (h ◦ γ)0 (t) = ht + hui u0i + hpi p0i = ht , y por tanto si L no depende de t, tampoco h, ht = −Lt = 0 y h es constante en las curvas que satisfacen la Ecuaci´on de Euler–Lagrange12 . A continuaci´ on vemos que, para Lagrangianas que no dependen de t, esto es siempre as´ı aunque no se verifique que |Lzi zj | = 6 0. Proposici´ on 7.35 Si σ(t) = (xi (t)) es una curva parametrizada que satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange para una lagrangiana L que no depende de t, es decir que para σ(t) = (xi (t), x0i (t)) d Lz (σ) = Lxi (σ), dt i entonces h es constante en σ. Demostraci´ on. Como Lt = 0 se tiene que  d X 0 d h(σ) = xi Lzi (σ) − L(σ) dt dt X X d = x00i Lzi (σ) + x0i Lzi (σ)− X X dt − Lxi (σ)x0i − Lzi (σ)x00i = 0 Ejemplo 7.10.4 El Principio de Hamilton. En el caso particular de tener una masa m que se desplaza en el espacio bajo la influencia de una fuerza conservativa F = − grad V , tendremos que la energ´ıa cin´etica vale  m 0 2 T = x1 (t) + x02 (t)2 + x03 (t)2 , 2 12 Adem´ as en tal caso podemos considerar la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi correspondiente a h (en las coordenadas (xi , pi )) y aplicar la teor´ıa estudiada en la lecci´ on anterior, para encontrar la curva extremal del problema variacional definido por la Lagrangiana L.

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

521

y para

 m 2 z1 + z22 + z32 − V, 2 definimos la acci´ on a lo largo de una curva σ(t), que une dos puntos del espacio entre los instantes a y b, como Z b Z b Ldt = (T − V )dt, L=T −V =

a

a

la cual toma un valor estacionario, para la curva que satisfaga las ecuaciones de Euler–Lagrange  d Lz1 − Lx1 = 0     dt mx001 + Vx1 = 0    d mx002 + Vx2 = 0 ⇔ ⇔ mx00 = F, Lz2 − Lx2 = 0   dt    mx003 + Vx3 = 0   d Lz3 − Lx3 = 0 dt que es la Ecuaci´ on del movimiento de Newton. Esto justifica en parte el siguiente resultado conocido como Principio de m´ınima acci´ on de Hamilton. Principio de Hamilton 7.36 La trayectoria que sigue una masa en el espacio que se mueve bajo la acci´ on de una fuerza conservativa, es entre todas las trayectorias posibles que unan dos puntos en dos instantes dados, la que realiza la m´ınima acci´ on. Observemos que en este caso |Lzi zj | = 6 0, pues p1 = Lz1 = mz1 ,

p2 = Lz2 = mz2 ,

p3 = Lz3 = mz3 ,

y la funci´ on Hamiltoniana vale h = p1 z1 + p2 z2 + p3 z3 − L  m 2 z1 + z22 + z32 + V = m(z12 + z22 + z32 ) − 2 = T + V, que es la energ´ıa (cin´etica mas potencial) de la masa y es constante a lo largo de la trayectoria. Adem´ as en las nuevas coordenadas (xi , pi ) h=

  m 2 1  2 z1 + z22 + z32 + V = p1 + p22 + p23 + V, 2 2m

522

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

por lo tanto la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi asociada a este problema es para cada constante E (que es la energ´ıa)  1  2 φ + φ2x2 + φ2x3 + V = E. 2m x1 Ejemplo 7.10.5 Veamos que el movimiento del p´endulo (ver la p´ag.49) θ00 (t) = −

g sen θ(t). L

da un valor estacionario a la acci´ on, es decir satisface la ecuaci´on de Euler–Lagrange para la lagrangiana L = T − V en el fibrado tangente de la circunferencia, donde T = (m/2)|σ 0 (t)|2 = (mL2 /2)θ˙2 (t) es la energ´ıa cin´etica y V = −mgL cos θ es la energ´ıa potencial13 L=T −V =m

L2 θ˙2 (t) + mgL cos θ(t), 2

pues en tal caso la ecuaci´ on de Euler–Lagrange es d L ˙ = Lθ dt θ

⇔

¨ = −mgL sen θ(t). mL2 θ(t)

Ejercicio 7.10.8 Demostrar que si una masa se mueve sobre una superficie en ausencia de fuerzas, las geod´esicas dan un valor estacionario a la acci´ on. (Sol.)

7.10.3.

Ap´ endice. La ecuaci´ on de Schr¨ odinger

Siguiendo con lo anterior consideremos una integral completa φ para cada E constante, de la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi  1  ∗2 ∗2 φ + φ∗2 x2 + φx3 + V − E = 0, 2m x1 y recordemos que la constante E = h(xi ; φ∗xi ), representa la energ´ıa total de la part´ıcula a lo largo de su trayectoria. ¨ dinger consider´o esta ecuaEn uno de sus primeros trabajos Schro ci´ on y el cambio de variable φ = K log ψ, con K una constante. En t´erminos de esta nueva funci´ on la Ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi es  K2  2 ψ + ψx22 + ψx23 + (V − E)ψ 2 = 0, 2m x1 13 Observemos que la componente tangencial D = −mg sen θe de la fuerza F = 2 (0, −mg), es D = − grad V , pues ∂θ = Le2 y D · ∂θ = ∂θ V

7.10. Introducci´ on al c´ alculo de variaciones

523

y en vez de resolverla considera el problema variacional, en todo el espacio  Z  2  K  2 ψx1 + ψx22 + ψx23 + (V − E)ψ 2 dx1 dx2 dx3 , I(ψ) = 2m y lo restringe a las funciones ψ que se anulan en el infinito (pues en caso contrario la integral no ser´ıa finita) y se pregunta por la existencia de una funci´ on extremal, en cuyo caso de existir debe satisfacer la ecuaci´ on de Euler–Lagrange, que en este caso es −

K2 (ψx1 x1 + ψx2 x2 + ψx3 x3 ) + (V − E)ψ = 0, 2m

que es la ecuaci´ on de Schr¨ odinger para una part´ıcula, y en la que K = ~. (Yo tampoco lo entiendo). Volveremos a ver esta EDP en la p´ag.920, donde la resolvemos.

524

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.11.

Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

7.11.1.

Transformada de Legendre.

En esta lecci´ on veremos de forma intr´ınseca algunos de los conceptos desarrollados en la lecci´ on anterior, cuando las lagrangianas no dependen del tiempo y los veremos en general en la pr´oxima lecci´on. Para ello consideremos una variedad diferenciable V y sea T (V) su Fibrado tangente. Definici´ on. Llamaremos Lagrangiana en V a una funci´on L ∈ C ∞ [T (V)]. Definici´ on. Dada una Lagrangiana L, podemos definir la aplicaci´on, llamada transformada de Legendre, entre los fibrados tangente y cotangente (7.16)

L : T (V) → T ∗ (V),

Dx → L(Dx ) = ωx ,

donde ωx es la composici´ on i

dL

∗ Tx (V) ' TDx [Tx (V)] −→ TDx [T (V)] −→ R.

considerando la inclusi´ on natural i : Tx (V) ,→ T (V) y la identificaci´on natural —a trav´es de la derivada direccional— entre un espacio vectorial y sus espacios tangentes (ver (1.16), p´ ag.15), que en nuestro caso si consideramos un sistema de coordenadas (xi ) en V y el correspondiente (xi , zi ) en T (V),     ∂ ∂ −→ , Tx (V) ' TDx [Tx (V)], ∂xi x ∂zi Dx y tendremos que la expresi´ on en coordenadas de L es (entendiendo las correspondientes coordenadas (xi , zi ) en T ∗ (V))   ∂L ∂L L(x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ) = x1 , . . . , xn , . ,..., ∂z1 ∂zn Definici´ on. Llamaremos campo de las homotecias en el fibrado tangente al u ´nico campo que anula las funciones constantes en fibras Hπ ∗ f = 0,

525

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

equivalentemente π∗ H = 0 y que deja invariantes las funciones lineales en fibras, es decir que para las 1–formas ω entendidas como funciones en el fibrado tangente Hω = ω. En coordenadas vale H=

n X

zi

i=1

∂ , ∂zi

y su grupo uniparam´etrico es τt (Dx ) = et Dx . Definici´ on. Llamaremos funci´ on energ´ıa de una Lagrangiana L, a la funci´ on de T (V) h = HL − L, que en coordenadas vale h=

n X

zi Lzi − L.

i=1

Consideremos ahora la 1–forma de Liouville λ del fibrado cotangente y llev´emosla al fibrado tangente ωL = L∗ λ, cuya expresi´ on en coordenadas es ωL =

n X ∂L dxi ∂z i i=1

⇒

dωL =

n X

dLzi ∧ dxi ,

i=1

y definamos la aplicaci´ on entre los m´ odulos D[T (V)] → Ω[T (V)], (7.17)

D → iD dωL =

n X i=1

D(Lzi )dxi −

n X

Dxi dLzi .

i=1

Definici´ on. Diremos que un campo Z ∈ D[T (V)] es lagrangiano si iZ dωL = −dh. No tiene por qu´e existir tal campo y si existe siempre tiene a h como una integral primera. No obstante existe y es u ´nico si L es difeomorfismo, ´o equivalentemente |Lzi zj | = 6 0

⇔

(xi , pi = Lzi ) es sistema de coordenadas

526

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

en cuyo caso dωL es una estructura simpl´etica del Fibrado tangente y (7.17) es un isomorfismo, por tanto existe el campo lagrangiano y es u ´nico. Nota 7.37 Recordemos que por definici´ on un campo Z ∈ D[T (V)] define una ecuaci´ on de segundo orden en V si para la proyecci´on π : T (V) −→ V (7.18)

π∗ ZDp = Dp ,

para cada Dp ∈ T (V),

y esto equivale a que en coordenadas (xi , zi ), Zxi = zi como puede comprobar f´ acilmente el lector. Teorema 7.38 Si Z es un campo que define una ecuaci´ on de segundo orden en V, entonces Z

⇔

es Lagrangiano

Z(Lzi ) = Lxi ,

en cuyo caso sus curvas integrales satisfacen las ecuaciones de Euler– Lagrange. Si L es difeomorfismo, entonces existe un u ´nico campo Z Lagrangiano, autom´ aticamente es de segundo orden y una curva en coordenadas (xi , zi ), σ(t) = (xi (t), x0i (t)) satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange sii es una curva integral de Z. Demostraci´ on. En coordenadas tenemos que iZ dωL =

n X

Z(Lzi )dxi −

i=1

n X

Zxi dLzi

i=1

−dh = dL − d(HL) n n n n X X X X = Lxi dxi + Lzi dzi − Lzi dzi − zi dLzi , =

i=1

i=1

n X

n X

i=1

Lxi dxi −

i=1

i=1

zi dLzi ,

i=1

lo cual implica (en ambos casos, pues o bien Zxi = zi ´o (xi , pi = Lzi ) son coordenadas) que Zxi = zi ,

Z(Lzi ) = Lxi ,

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

527

y en tal caso tenemos que si σ(t) = (xi (t), zi (t)) es una curva integral de Z, entonces satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange, pues       ∂ ∂ ∂ = Z ⇒ σ∗ xi = Zxi = zi , σ ∗ pi = Zpi = Lxi σ∗ ∂t ∂t ∂t ⇒

x0i (t) = zi (t),

(Lzi ◦ σ)0 (t) = Lxi [σ(t)],

y si adem´ as L es difeomorfismo se tiene la equivalencia, pues (xi , pi ) son coordenadas. Ejercicio 7.11.1 1.- Consideremos la Lagrangiana correspondiente al problema de minimizar la energ´ıa cin´etica de una part´ıcula en el plano L(x, y, z1 , z2 ) = z12 + z22 , y calc´ ulense, L, | det Lzi zj |, ωL , h y Z. 2.- Idem considerando la Lagrangiana correspondiente al problema de minimizar la longitud de una curva en el plano q L(x, y, z1 , z2 ) = z12 + z22 , demu´estrese que existen campos lagrangianos y que para cualquiera de ellos sus curvas integrales se proyectan en rectas.

Ejemplo 7.11.1 Curva de energ´ıa cin´etica m´ınima. Sea (V, g) una variedad Riemanniana. Consideremos un sistema de coordenadas (xi ), los coeficientes de la primera forma fundamental ∂i · ∂j = gij , y consideremos como lagrangiana la energ´ıa cin´etica n 1 X zi zj gij , L[x1 , · · · , xn , z1 , · · · , zn ] = 2 i,j=1

que corresponde al problema de encontrar la curva σ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), pasando por dos puntos de la variedad, que hace m´ınima la energ´ıa cin´etica Z b Z b 1 1 D · Ddt = kDk2 dt, 2 2 a a

528

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

para D = σ 0 (t) el vector tangente a la curva. En cuyo caso pi = Lzi =

n X

zj gij

⇒

h=

j=1

n X

pi zi − L = L,

i=1

es decir que la funci´ on h de (7.15) es de nuevo la energ´ıa cin´etica. Adem´as |Lzi zj | = |gij | 6= 0, por lo tanto L es un difeomorfismo y la curva que minimiza la integral —si existe— es una curva integral delPcampo hamiltoniano correspondiente a h, para la dos–forma dωL = dpi ∧ dxi , que seg´ un hemos visto en 7.9 es el campo Z de las geod´esicas, pues para ´el hemos demostrado que en las coordenadas (ui = xi , pi = Lzi ) Zui = hpi ,

Zpi = −hui ,

lo cual equivale a que iZ dωL = −dh. Por lo tanto las geod´esicas son las curvas extremales para la energ´ıa cin´etica. Pero adem´as en este caso el difeomorfismo L es conocido: Proposici´ on 7.39 L = φ para el difeomorfismo φ : T V → T ∗ V,

φ(Dp ) = iDp g.

Demostraci´ on. Lo haremos de dos formas. La primera observando que en la definici´ on (7.16) identificamos los espacios (ver (1.16), p´ag.15) Tx (V) ' TDx [Tx (V)],

Tx → DTx ,

siendo DTx la derivada direccional en T V relativa al vector Tx , por tanto para ωx = L(Dx ) L(Dx + tTx ) − L(Dx ) = t→0 t (1/2)Dx · Dx + tDx · Tx + (1/2)t2 Tx · Tx − (1/2)Dx · Dx = l´ım t→0 t = Dx · Tx .

ωx Tx = dDx L(DTx ) = DTx L(Dx ) = l´ım

La segunda forma la vemos en las coordenadas xi , pi = Lzi = pues φ∗ (xi ) = xi y φ∗ (zi ) = pi (ver (7.25), p´ ag.557), por tanto φ = (xi , pi ) = L.

P

gij zj ,

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

529

Proposici´ on 7.40 En los t´erminos anteriores se tiene que ∂gij =0 ∂xk

⇒

ZLzk = 0.

Demostraci´ on. Se sigue de que en las coordenadas (xi , zi ) ∂gij =0 ∂xk

⇒

ZLzk = Lxk = 0.

Aplicaci´ on: Superficies de revoluci´ on. Es decir que en este caso no s´ olo tenemos la integral primera L = h de nuestro campo geod´esico Z, sino Lzk , esto tiene una aplicaci´ on directa en el caso particular de tener una superficie de revoluci´ on, alrededor del eje z por ejemplo, de una curva que localmente parametrizamos r = r(z), en cuyo caso la superficie viene dada en coordenadas (ξ, η) por ∂ ∂ ∂ = −r(η) sen ξ + r(η) cos ξ , ∂ξ ∂x ∂y y = r(η) sen ξ, ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ = r0 (η) cos ξ + r0 (η) sen ξ + , z = η, ∂η ∂x ∂y ∂z E = r(η)2 , F = 0, G = r0 (η)2 + 1,

x = r(η) cos ξ,

por lo tanto para este problema la lagrangiana vale Ez12 + Gz22 , 2 y como Eξ = Gξ = Fξ = 0, tendremos dos integrales primeras de Z, L=

L

y

Lz1 = Ez1 ,

y si consideramos una geod´esica con vector tangente T = z1 (T )

∂ ∂ + z2 (T ) , ∂ξ ∂η

que forme un ´ angulo θ con la circunferencia paralelo, de vector tangente ∂ , se tiene el siguiente resultado. ∂ξ Teorema de Clairaut 7.41 La funci´ on r cos θ es constante a lo largo de cada geod´esica. Demostraci´ on. Es una simple consecuencia de que r cos θ = |∂ξ |

T · ∂ξ T · ∂ξ z1 (T )E Lz = =p = √ 1 (T ). |T | · |∂ξ | |T | 2L 2L(T )

530

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.11.2.

Ejemplo. Lagrangiana de la longitud

Si ahora consideramos la nueva Lagrangiana (que es diferenciable fuera del cerrado {zi = · · · = zn = 0}) v uX u n zi zj gij , L[x1 , · · · , xn , z1 , · · · , zn ] = t i,j=1

que corresponde al problema de minimizar la longitud de la curva que une dos puntos de la variedad, tendremos que L no define un difeomorfismo, Pn pues |Lzi zj | = 0Pya que para laPanterior lagrangiana L = (1/2) i,j=1 zi zj gij , Lzi = gij zj y HL = zi Lzi = 2L, ahora bien 2

L = 2L = HL

⇒

HL = L

⇒

2

LH(L) = HL = L n X zi Lzi = L ⇒

⇒

i

Lzj +

n X

zi Lzi zj = Lzj

i

⇒

n X

zi Lzi zj = 0,

i

adem´ as se sigue tambi´en que la funci´ on energ´ıa en este caso es nula, pues HL = L. Sin embargo, por (7.38), p´ ag.526, se tiene que el campo geod´esico Z tambi´en es un campo lagrangiano para L, pues en t´erminos de la anterior lagrangiana 2L = L

2

⇒

Lzi = L · Lzi ,

Lxi = L · Lxi

⇒

L · Lxi = Lxi = ZLzi = L · ZLzi ,

por lo que Z es Lagrangiano ya que es de segundo orden y ZLzi = Lxi , adem´ as (7.38) nos asegura que las geod´esicas satisfacen las ecuaciones de pP Euler–Lagrange para la lagrangiana L = zi zj gij , pero la cuesti´on que nos importa es si tambi´en se tiene el rec´ıproco, en particular si las curvas extremales en el problema de minimizar la longitud de las curvas de la variedad que pasan por dos puntos fijos, son geod´esicas. Observemos que el problema que tenemos con esta lagrangiana es que el campo lagrangiano existe pero no es u ´nico. No obstante se tiene el siguiente resultado que se basa en que la longitud de una curva no depende de la parametrizaci´ on de la curva.

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

531

Teorema 7.42 Si una curva pPsatisface las ecuaciones de Euler–Lagrange zi zj gij , es una geod´esica reparametrizada. para la lagrangiana L = Demostraci´ on. Sea la curva σ(t) = (xi (t)) soluci´on de las ecuaciones de Euler–Lagrange, entonces   P P ∂gkj 0 0 gij x0j d  ∂xi xk xj  qP = qP , dt g x0 x0 2 g x0 x0 kj k j

kj k j

y si consideramos el par´ ametro longitud de arco Z t qX s(t) = gkj x0k x0j dt, a

y la reparametrizaci´ on de nuestra curva (yi (s)), tal que yi [s(t)] = xi (t), en cuyos t´erminos la ecuaci´ on anterior se expresa P ∂gkj 0 0 0 d X ∂xi yk [s(t)]yj [s(t)]s (t) 0 gij yj [s(t)] = , dt 2 es decir

d X 1 X ∂gkj 0 0 gij yj0 = y y , ds 2 ∂xi k j lo cual significa que (yi (s)) satisfacePlas ecuaciones de Euler–Lagrann ge, para la lagrangiana L = (1/2) i,j=1 zi zj gij y por tanto es una geod´esica. La lagrangiana anterior es un caso particular en la que h = 0. A continuaci´ on caracterizamos estas Lagrangianas. Proposici´ on 7.43 h = 0 para una Lagrangiana L si y s´ olo si L(λDx ) = λL(Dx ), para todo λ > 0. Adem´ as para estas lagrangianas la acci´ on Z b I(σ) = L(σ, σ 0 )dt, a

no depende de la parametrizaci´ on, es decir que si consideramos una reparametrizaci´ on suya γ[s(t)] = σ(t), con s0 (t) > 0, s(a) = a0 y s(b) = b0 , entonces Z Z 0 b

b

L(σ, σ 0 )dt =

a

L(γ, γ 0 )ds,

a0

y si una curva σ(t) = (xi (t)) satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange, cualquier reparametrizaci´ on suya, con s0 (t) > 0, tambi´en.

532

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Demostraci´ on. Como el grupo uniparam´etrico de H es τt (Dx ) = et Dx , tendremos que HL(et Dx ) = (L ◦ τDx )0 (t), y si L(λDx ) = λL(Dx ) entonces L[τDx (t)] = L(et Dx ) = et L(Dx ), y para t = 0 HL(Dx ) = L(Dx ), es decir h = 0. Rec´ıprocamente si h = 0 L(et Dx ) = HL(et Dx ) = (L ◦ τDx )0 (t), es decir que para f (t) = L ◦ τDx , f 0 (t) = f (t) y por tanto f (t) = f (0) et . Para ver la segunda parte lo haremos en coordenadas en las que la condici´ on anterior se expresa de la forma L(x, λz) = λL(x, z), en cuyo caso se tiene como f´ acilmente puede demostrar el lector que Lxi (x, λz) = λLxi (x, z),

Lzi (x, λz) = Lzi (x, z),

y por una parte se tiene que para γ[s(t)] = σ(t), con s0 (t) > 0, s(a) = a0 y s(b) = b0 , Z

b

L(σ, σ 0 )dt =

a

Z

b

L(γ[s(t)], γ 0 [s(t)]s0 (t))dt

a

Z

b

L(γ[s(t)], γ 0 [s(t)])s0 (t)dt

= a

Z

b0

=

L(γ, γ 0 )ds,

a0

y si σ(t) = (xi (t)) es una curva que satisface d Lz (σ, σ 0 ) = Lxi (σ, σ 0 ), dt i y γ[s(t)] = σ(t), con s0 > 0, entonces d Lz (γ, γ 0 s0 ) = Lxi (γ, γ 0 s0 ), dt i y por tanto d Lz (γ, γ 0 ) = Lxi (γ, γ 0 ). ds i

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

7.11.3.

533

Principio de Maupertuis

Principio de Maupertuis 7.44 Si (σ(t), σ 0 (t)) es una curva que da un Rb valor extremo a a L dt, entonces h(σ, σ 0 ) = E es constante y σ tambi´en da un valor extremo a la nueva acci´ on “truncada” Z b HL dt, a

si nos restringimos a las curvas γ en las que h(γ, γ 0 ) = E (y por supuesto que γ(a) = p, γ(b) = q, para nuestros puntos fijos p y q). Pero es m´ as: σ da un valor extremal a Z t2 HL dt, t1

si nos restringimos a las curvas γ para las que h(γ, γ 0 ) = E y γ(t1 ) = p, γ(t2 ) = q, con t1 < t2 en el dominio de γ, sin condiciones. Demostraci´ on. (σ(t)) satisface las ecuaciones de Lagrange y por (7.35) h(σ, σ 0 ) = E es constante, por lo tanto la misma curva dar´a un valor extremo a la acci´ on Z b Z b (L + h)dt = HLdt, a

a

si nos restringimos a las curvas γ en las que h(γ, γ 0 ) = E. Veamos la segunda parte, para ello consideremos un desplazamiento infinitesimal de σ en las condiciones del enunciado, que podemos dar con una familia de curvas, parametrizada por un par´ametro λ, tales que σλ : [t1 (λ), t2 (λ)] → V, σλ (t1 (λ)) = p,

h(σλ (t), σλ0 (t)) = E,

σλ (t2 (λ)) = q,

t1 (0) = a,

t2 (0) = b,

σ0 (t) = σ(t),

de modo que tanto las funciones ti (λ) como σ(t, λ) = σλ (t), sean diferenciables. Ahora sea Z t2 (λ) HL[σλ (t), σλ0 (t)]dt G(λ) = t1 (λ)

Z

t2 (λ)

= t1 (λ)

L[σλ (t), σλ0 (t)]dt

Z

t2 (λ)

+

h[σλ (t), σλ0 (t)]dt

t1 (λ)

= F [t2 (λ), λ] − F [t1 (λ), λ] + E[t2 (λ) − t1 (λ)],

534

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

para la funci´ on Z

t

F (t, λ) =

L[σλ (t), σλ0 (t)]dt,

c

siendo por ejemplo c = (a + b)/2, (que por la continuidad de las ti , para λ suficientemente peque˜ no c ∈ [t1 (λ), t2 (λ)]) y se tiene que G0 (0) = Ft [b, 0]t02 (0) + Fλ [b, 0] − Ft [a, 0]t01 (0) − Fλ [a, 0]+ + E[t02 (0) − t01 (0)] = Z b ∂ L[σλ (t), σλ0 (t)]|λ=0 dt− = L[σ(b), σ 0 (b)]t02 (0) + ∂λ a − L[σ(a), σ 0 (a)]t01 (0) + E[t02 (0) − t01 (0)], y se sigue que G0 (0) = 0 pues σ satisface las ecuaciones de Euler– Lagrange, por tanto Z b ∂ L[σλ (t), σλ0 (t)]|λ=0 dt = ∂λ a  XZ b  ∂σi ∂ 2 σi 0 0 = Lxi [σ(t), σ (t)] (t, 0) + Lzi [σ(t), σ (t)] (t, 0) dt ∂λ ∂t∂λ a b ! X Z b ∂σi ∂σi ∂ 0 = (t, 0)dt + Lzi [σ(t), σ (t)] (t, 0) [Lxi − Lzi ] ∂t ∂λ ∂λ a a X X ∂σ ∂σ i i Lzi [σ(b), σ 0 (b)] = (b, 0) − Lzi [σ(a), σ 0 (a)] (a, 0) ∂λ ∂λ = HL[σ(a), σ 0 (a)]t01 (0) − HL[σ(b), σ 0 (b)]t02 (0) pues σ(t(λ), λ) = cte, por tanto derivando en λ = 0 ∂σi (a, 0) = −σi0 (a)t01 (0), ∂λ

7.11.4.

∂σi (b, 0) = −σi0 (b)t02 (0). ∂λ

Curvas de m´ınima acci´ on y geod´ esicas

Consideremos una variedad Riemanniana V, en ella una funci´on, que llamaremos energ´ıa potencial U ∈ C ∞ (V) y la Lagrangiana L(Dx ) = (1/2)Dx · Dx − U (x) = T − U, es decir en coordenadas   n 1X L[x1 , · · · , xn , z1 , · · · , zn ] = zi zj gij  − U (x), 2 i,j=1

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

535

entonces si σ da un valor extremal a la acci´ on Z b Z b Ldt = (T − U )dt, a

a

0

y σ 6= 0, entonces satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange y por tanto la energ´ıa, que en este caso es suma de las energ´ıas cin´etica y potencial h = HL − L = 2T − L = T + U es constante en ella h(σ, σ 0 ) = E y por el principio de Maupertuis tambi´en es extremal de la nueva acci´ on “truncada” Z b Z b Z b√ √ 2T 2T dt (HL)dt = 2T dt = a a a v Z buX p u n t = zi zj gij 2(h − U )dt a

Z = a

Z = a

i,j=1

v n bu p uX t zi zj gij 2(E − U )dt i,j=1

v n bu uX t zi zj gij dt, i,j=1

si nos restringimos a las curvas φ tales que φ(a) = p, φ(b) = q y h(φ, φ0 ) = E (por tanto T + U = E y U < E), para la m´etrica gij = 2(E − U )gij , en el abierto {x ∈ V : U (x) < E}. Ahora como la nueva acci´on es una longitud de una curva que pasa por p y q —que por (7.43) no cambia su valor si reparametrizamos la curva— y como dada una curva φ, que pase por p y q siempre podemos conseguir una reparametrizaci´on suya χ[t] = φ[s(t)], para la que h[χ, χ0 ] = E, —pues basta considerar h[χ, χ0 ] = (T + U )[φ[s(t)], φ0 [s(t)]s0 (t)] = T [φ[s(t)], φ0 [s(t)]s0 (t)] + U (φ[s(t)]) = s0 (t)2 T [φ[s(t)], φ0 [s(t)]] + U (φ[s(t)]) = E, que define una ecuaci´ on diferencial s0 (t) = F [s(t)] (y basta considerar la soluci´ on que pasa por s(0) = a)—, tendremos que la restricci´on a las

536

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

curvas en las que h = E es constante es superflua, por lo que nuestra curva inicial σ da un valor extremal a la acci´ on v Z buX u n t zi zj gij dt, a

i,j=1

sin restricciones, y por (7.42) es una geod´esica reparametrizada de la m´etrica gij . En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado (veremos desde otro punto de vista este resultado en el ap´endice). Teorema 7.45 En una variedad Riemanniana, si una curva σ da un valor extremal a la acci´ on definida por la lagrangiana L(Dx ) = (1/2)Dx · Dx − U (x), tiene energ´ıa constante E = h(σ, σ 0 ) y es una geod´esica reparametrizada para la nueva m´etrica g(Dx , Ex ) = 2[E − U (x)]Dx · Ex . Corolario 7.46 La trayectoria de una part´ıcula que en R3 satisface la ley de Newton F = ma, para una fuerza F que deriva de un potencial U (x), tiene energ´ıa (cin´etica mas potencial) constante E y es una curva geod´esica reparametrizada, de la m´etrica gij = 2m[E − U (x)]δij .

7.11.5.

El Teorema de No¨ ether.

Consideremos un campo tangente D ∈ PD(V) con grupo uniparam´etrico Xs , entonces si en coordenadas D = fi ∂xi y F = (fi ) Xs (p) = p + sF (p) + o(s2 ). Consideremos ahora una Lagrangiana L y supongamos que D la deje invariante, en el sentido de que para cada s y cada Bp ∈ T (V) L(Bp ) = L(Xs∗ Bp ), lo cual implica que para cada curva σ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)),

537

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

y la nueva curva transformada por el grupo γs (t) = Xs [σ(t)], se tiene, en t´erminos de coordenadas, L(σ(t), σ 0 (t)) = L(γs (t), γs0 (t)), y por tanto para cualesquiera t0 , t1 de su dominio, es constante la funci´on en s Z t1 Z t1 L(γs (t), γs0 (t))dt = L(σ + sF + o(s2 ), σ 0 + sF 0 + o(s2 ))dt t0

t0

y si denotamos fi (t) = fi [σ(t)] y derivamos esta expresi´on en s = 0, tendremos que Z t1 X X 0= ( Lxi (σ, σ 0 )fi + Lzi (σ, σ 0 )fi0 )dt t0

= =

XZ

t1

t0 X Z t1 t0

(Lxi (Lxi

X Z t1 d d ( Lzi fi + Lzi fi0 )dt − Lzi )fi dt + dt dt t0 Z t 1 X d − Lzi )fi dt + (Lzi fi )0 dt, dt t0

y si σ es una curva que satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange, tendremos que X Lzi (σ(t), σ 0 (t))fi (σ(t)), es constante en t. Este resultado constituye el Teorema de No¨ether que a continuaci´ on demostramos de forma rigurosa e intr´ınseca. Pero antes veamos el siguiente Lema. Lema 7.47 Si D ∈ D(T V) y Z es Lagrangiano entonces L

Z(ωL D) = DL − ωL (D Z). Demostraci´ on. En coordenadas se tiene que ωL Z = HL, por lo tanto

P

Lzi Zxi =

Z(ωL D) = Z L ωL (D) + ωL (Z L D) L

= (iZ dωL + diZ ωL )(D) − ωL (D Z) L

L

= (−dh + d(HL))(D) − ωL (D Z) = DL − ωL (D Z).

538

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Corolario 7.48 Si Z es un campo Lagrangiano de segundo orden y D ∈ D(V) es un campo con subida D ∈ D(T V), entonces Z(ωL D) = DL. Demostraci´ on. Es consecuencia del resultado anterior y de que (D Z)xi = 0 (ver (7.61), p´ ag.553), pues X L L ωL (D Z) = Lzi (D Z)xi = 0. L

Teorema de No¨ ether 7.49 Si Z es un campo Lagrangiano de segundo orden y D ∈ D(V) es un campo cuya subida deja invariante la lagrangiana, es decir D(L) = 0, entonces la funci´ on ωL D, es una integral primera de Z. Demostraci´ on. Por el resultado anterior. Nota 7.50 Observemos que en t´erminos de coordenadas la integral primera del Teorema de No¨ether es ωL D =

n X

fi Lzi ,

i=1

y por tanto no es necesario calcular D, sino que basta con conocer D. El teorema pide no obstante que DL = 0 y esto puede precisar el c´alculo de D, sin embargo si D es una simetr´ıa del problema en cuesti´on y la lagrangiana es can´ onica, esa condici´ on se satisface autom´aticamente. Nota 7.51 Observemos que el Teorema de No¨ ether es una simple consecuencia de la definici´ on de campo Lagrangiano (cuando es de segundo orden que es de los que habla el Teorema), o con mas precisi´on, de su caracterizaci´ on (7.38), pues el campo Z es Lagrangiano si y s´olo si Z(Lzi ) = Lxi , ahora bien en nuestra variedad V elegimos el sistema de coordenadas xi que queramos, a partir de ´el construimos las (xi , zi ) correspondientes en el fibrado tangente y para esas coordenadas es para las que se satisface la igualdad anterior (recordemos que el que Z sea de segundo orden es intr´ınseco, no depende de coordenadas). Pues bien, si nosotros tenemos un campo D tal que D(L) = 0, lo u ´nico que hay que hacer es elegir un

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

539

sistema de coordenadas xi , en el que D = ∂xj , en cuyo caso D = ∂xj y lo u ´nico que decimos es que si Lxj = 0, entonces Lzj es una integral primera de Z y esa es la funci´ on de la que habla el Teorema, pues en este sistema de coordenadas X ωL D = Lzi dxi (∂xj ) = Lzj . Por u ´ltimo el Lema (7.47) nos da un Teorema de No¨ether m´as general en el siguiente sentido: si D es un campo del fibrado tangente T (V), tal que DL = 0 y ωL [D, Z] = 0 ⇒ Z(ωL D) = 0. Ejemplo 7.11.2 El Problema de los dos cuerpos El problema de los dos cuerpos, visto en la secci´ on 6.13, p´ ag.404, tiene asociada la lagrangiana L=

z12 + z22 c +p , 2 2 x + y2

pues en este caso H(L) = z12 + z22 , por tanto h=

z12 + z22 c , −p 2 2 x + y2

ωL = Lz1 dx + Lz2 dy = z1 dx + z2 dy, y como el campo Hamiltoniano correspondiente a h Z = z1

∂ xc ∂ yc ∂ ∂ + z2 −p 3 ∂z − p 3 ∂z , ∂x ∂y 1 2 x2 + y 2 x2 + y 2

satisface ZLz1 = Zz1 = Lx , ZLz2 = Zz2 = Ly , es el campo lagrangiano. Es natural pensar que el campo de los giros D = −y

∂ ∂ +x , ∂x ∂y

deje invariante nuestra Lagrangiana, pues es una simetr´ıa de nuestro problema, y es cierto pues su subida es D = −y

∂ ∂ ∂ ∂ +x − z2 + z1 , ∂x ∂y ∂z1 ∂z2

por lo tanto el teorema anterior nos asegura que u2 = ωL (D) = −z1 y + z2 x,

540

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

es integral primera de Z (ver (6.12), p´ ag.406). Es decir que para cualquier trayectoria −x0 y + y 0 x = cte, lo cual significa en coordenadas polares ρ2 θ0 = cte, que seg´ un vimos en la secci´ on 4.14.4, p´ ag.265, es la segunda ley de Kepler. Recordemos que ρθ0 es la componente de la velocidad de la masa m en la direcci´ on perpendicular a la l´ınea que une ambas masas, por lo que este resultado se conoce como la ley de conservaci´ on del momento angular (ver p´ ag.404). Ahora bien en (6.12), p´ ag. 406, encontramos tres integrales primeras de nuestro campo hamiltoniano Z z12 + z22 k kx − , u2 = w3 = −z1 y + z2 x, u3 = r1 = − z2 u2 , 2 ρ ρ p para ρ = x2 + y 2 , siendo la tercera una de las componentes del vector de Runge–Lenz (ver (6.10, en la p´ ag. 406) . La cuesti´on es si u3 se obtiene tambi´en por un invariante No¨ether y la respuesta es que s´ı, aunque la demostraci´ on la hagamos al rev´es (con lo cual queda por entender) pues ya conocemos la funci´ on, para ello hacemos uso de la generalizaci´on del Teorema de No¨ether (7.51), pues lo que no hay es un campo subido que nos la d´e, sin embargo podemos encontrar un campo D verificando

u1 = h =

DL = 0,

ωL [D, Z] = 0

y ωL D = z1 (Dx) + z2 (Dy) =

kx − z2 u2 . ρ

para el que tomamos por la tercera ecuaci´ on Dx =

kx , ρz1

Dy = −u2 ,

y para que se verifique la segunda, [D, Z]xi = 0 lo cual equivale a que Dzi = Z(Dxi ), es decir,   kx k kx2 kxyz2 k 2 x2 Dz1 = Z(Dx) = Z = − 3 − + , ρz1 ρ ρ z1 ρ3 z12 ρ4 Dz2 = Z(−u2 ) = 0, y para este campo tenemos (la suerte de que)   kx kx ky k kx2 kxyz2 k 2 x2 DL = − + (xz − yz ) + − − + z1 = 0. 2 1 ρz1 ρ3 ρ3 ρ ρ3 z1 ρ3 z12 ρ4

7.11. Lagrangianas. Teorema de No¨ ether

541

A continuaci´ on vamos a aplicar el resultado anterior a distintas variedades Riemannianas bidimensionales, en las que consideraremos un sistema de coordenadas (u, v) y la lagrangiana de la energ´ıa cin´etica L=

n Ez12 + 2F z1 z2 + Gz22 1X zi zj gij = . 2 i,j=1 2

En cuyo caso hemos visto que la energ´ıa es h = L y el campo lagrangiano es el campo geod´esico Z. Adem´ as para cada simetr´ıa de la superficie D = f ∂u + g∂v ωL (D) = f Lz1 + gLz2 , es una integral primera de Z por el Teorema de No¨ether. Ejemplo 7.11.3 La esfera. Consideremos la esfera y las coordenadas esf´ericas (ϕ, θ), x = cos ϕ sen θ, y = sen ϕ sen θ,

⇒

z = cos θ, ⇒

∂ ∂ ∂ = − sen ϕ sen θ + cos ϕ sen θ , ∂ϕ ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ = cos ϕ cos θ + sen ϕ cos θ − sen θ , ∂θ ∂x ∂y ∂z E = sen2 θ, F = 0, G = 1,

por lo tanto para este problema la lagrangiana vale sen2 θz12 + z22 ⇒ Lz1 = sen2 θz1 , Lz2 = z2 . 2 Ahora bien la esfera tiene tres campos tangentes cuyos grupos uniparam´etricos la dejan invariante: los tres giros espaciales L=

∂ cos ϕ cos θ ∂ ∂ ∂ −z =− − sen ϕ , ∂z ∂y sen θ ∂ϕ ∂θ ∂ sen ϕ cos θ ∂ ∂ ∂ −x =− + cos ϕ , z ∂x ∂z sen θ ∂ϕ ∂θ ∂ ∂ ∂ x −y = , ∂y ∂x ∂ϕ y

(compru´ebese que para ellos DL = 0), lo cual implica que las tres funciones −z1 cos ϕ cos θ sen θ − z2 sen ϕ, −z1 sen ϕ cos θ sen θ + z2 cos ϕ, z1 sen2 θ,

542

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

son integrales primeras del campo geod´esico. Ahora bien esto significa que a lo largo de una trayectoria geod´esica r(t) = (x(t), y(t), z(t)), las componentes del momento angular r(t) × r0 (t) yz 0 − zy 0 = −ϕ0 cos ϕ cos θ sen θ − θ0 sen ϕ, zx0 − xz 0 = −ϕ0 sen ϕ cos θ sen θ + θ0 cos ϕ, xy 0 − yx0 = ϕ0 sen2 θ, son constantes y si su valor es respectivamente a, b y c, entonces nuestra geod´esica est´ a en el plano perpendicular al momento angular, ax + by + cz = 0, pues ax + by + cz = (yz 0 − zy 0 )x + (zx0 − xz 0 )y + (xy 0 − yx0 )z = 0, por tanto nuestra geod´esica, que est´ a en la esfera y en el plano, est´a en un c´ırculo m´ aximo. Por u ´ltimo observemos que la energ´ıa, que tambi´en es integral primera de Z, deber´ıamos de poder ponerla en funci´on de ellas y as´ı es, pues es a2 + b2 + c2 . 2 Ejemplo 7.11.4 El cono. Si nuestra superficie es el cono, x2 + y 2 = z 2 y consideramos coordenadas polares x = ρ cos θ, y = ρ sen θ,

⇒

z = ρ, ⇒

∂ ∂ ∂ ∂ = cos θ + sen θ + , ∂ρ ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ = −ρ sen θ + ρ cos θ , ∂θ ∂x ∂y E = 2, F = 0, G = ρ2 ,

la lagrangiana vale L = z12 +

ρ2 z22 2

⇒

Lz1 = 2z1 ,

Lz2 = z2 ρ2 ,

y podemos considerar el campo de los giros ∂θ que nos deja el cono invariante, (compru´ebese que para este campo DL = 0), esto implica que z2 ρ2 , es una integral primera del campo geod´esico. √ Compru´ebese que es el m´ odulo del momento angular dividido por 2.

543

7.12. C´ alculo de variaciones en Jets

Ejercicio 7.11.2 Aplicar el teorema de No¨ether, como en los ejemplos anteriores, para el plano, para el cilindro, para el toro y en general para una superficie de revoluci´ on.

7.12.

C´ alculo de variaciones en Jets

7.12.1.

Jets de aplicaciones diferenciables

En (6.9.3), p´ ag.397 estudiamos el jet 1 de funciones, el cual es un caso particular de jets de aplicaciones. Dados dos variedades diferenciables U de dimensi´on n y V de dimensi´ on m, consideremos para cada x ∈ U e y ∈ V el conjunto 1 Jxy = Hom(Tx (U), Ty (V)) = {φxy : Tx (U) → Ty (V), lineales} ' Fxy / ∼,

para Fxy el espacio de las aplicaciones diferenciables F : Ux → Vy , para Ux un entorno abierto de x y Vy un entorno abierto de y, tales que F (x) = y, en el que definimos la relaci´ on de equivalencia F ∼G

⇔

F (x) = G(x) = y,

F∗ = G∗ : Tx (U) → Ty (V).

Definici´ on. Definimos el jet 1 de aplicaciones entre U y V como la uni´on de todos estos conjuntos [ 1 J 1 (U, V) = Jxy , x∈U ,y∈V

ahora consideramos las proyecciones π1 : J 1 (U, V) → U

π1 (φxy ) = x,

π2 : J 1 (U, V) → V

π2 (φxy ) = y.

Para cada punto φxy del jet, consideremos un entorno coordenado (U, xj ) de x ∈ U y otro (V, yi ) de y ∈ V y el conjunto (entorno abierto coordenado de φxy ) π1−1 (U ) ∩ π2−1 (V ) con las funciones (coordenadas) xi (φpq ) = xi (p),

yj (φpq ) = yj (q),

zij (φpq ) = φpq (∂xj )yi ,

544

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

las cuales establecen una biyecci´ on (homeomorfismo) entre π1−1 (U ) ∩ −1 π2 (V ) y un abierto Un × Vm × Rnm de Rn+m+nm . Se demuestra que estas cartas definen una estructura diferenciable y que para ella π1 y π2 son proyecciones regulares.

7.12.2.

Distribuci´ on can´ onica

En el jet podemos definir una distribuci´ on can´onica, considerando en cada punto φ, el n´ ucleo ∆φ , de la aplicaci´ on lineal entre los espacios tangentes (para y = π2 (φ)) Tφ (J 1 (U, V)) → Ty (V), Dφ → π2∗ (Dφ ) − φ(π1∗ Dφ ), es decir los vectores tales que π2∗ (Dφ ) = φ(π1∗ Dφ ), cuyas ecuaciones en t´erminos de coordenadas son θi = dyi −

n X

zij dxj = 0,

i=1

por tanto el sistema de Pfaff asociado es P = ∆0 =< θ1 , . . . , θn >. A veces —como veremos a continuaci´ on—, es preferible ver los elementos del jet, no como aplicaciones lineales φ : Tx (U) → Ty (V), sino como su gr´ afica en Tx (U)×Ty (V) ∼ T(x,y) (U ×V), es decir como el subespacio de dimensi´ on n = dim U, Hφ = {(Tx , φ(Tx )) : Tx ∈ Tx (U)} (observemos que no son todos los subespacios de dimensi´on n de T(x,y) (U × V), sino s´ olo los que se proyectan en Tx (U)). En estos t´erminos la distribuci´ on ∆ se expresa de forma mas sencilla; en cada punto del jet, entendido como subespacio H, (7.19)

DH ∈ ∆H

⇔

π∗ DH ∈ H,

para π : J 1 (U, V) → U × V, π(H) = (x, y). Proposici´ on 7.52 Dado un campo E ∈ D(U × V) existe un u ´nico cam¯ ∈ D(J 1 (U, V)), que llamaremos subida de E al jet, tal que para po E ¯=E yE ¯ L ∆ ⊂ ∆. π(φxy ) = (x, y), π∗ E

545

7.12. C´ alculo de variaciones en Jets

Demostraci´ on. Como dec´ıamos anteriormente en este caso es preferible ver los elementos del jet, no como aplicaciones lineales sino como subespacios H ⊂ T(x,y) (U × V), de dimensi´ on n = dim U. En estos t´ermi¯ es τt (Hφ ) = σt∗ (Hφ ), nos si σt es el grupo uniparam´etrico de E el de E ¯= para los t para los que este subespacio no es vertical. Obviamente π∗ E ¯ L ∆ ⊂ ∆, pues si DH ∈ ∆H , E, pues π ◦ τt = σt ◦ π y por (7.19) E τt∗ DH ∈ ∆τt H , ya que π∗ τt∗ DH = σt∗ π∗ DH ∈ σt∗ H = τt (H). ¯ verificar´ıa Unicidad: Si hubiese dos campos, su diferencia E X ¯ = 0, E ¯ L θi = π∗ E fik θk , para todo i ¯ j = Ey ¯ i = 0, por tanto E ¯ L θi = − P Ez ¯ ij dxj de la primera se sigue que Ex ¯ L θi (∂y ) = 0, lo cual implica Ez ¯ ij = 0 y y por la segunda y esto fik = E k ¯ = 014 . por tanto E Nota 7.53 El jet 1 de funciones estudiado en (6.9.3), p´ag.397, corresponP de al caso en que V = R en cuyo caso tenemos una u ´nica θ = dy− zi dxi , que es la que vimos en la Nota (6.57), p´ ag.398 y que aparece de forma natural en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Por otro lado las lagrangianas sobre curvas estudiadas en el Teorema (7.32), p´ ag.508, corresponden intrinsecamente al caso en que U = R —y por tanto son lagrangianas definidas en el jet 1 de curvas—. En este caso tenemos n 1–formas que son dy1 − z1 dt, . . . , dyn − zn dt. Mientras que las lagrangianas estudiadas en el Teorema (7.33), p´ag.510, corresponden intr´ınsecamente de nuevo al caso en que V = R y por tanto son lagrangianas definidas en el jet 1 de funciones. 14 Una

an´ aloga nos muestra c´ omo es en coordenadas la subida de un campo P cuenta P ¯ j = fj y Ey ¯ i = gi y por otra tenemos que E= fj ∂xj + gi ∂yi . Por una parte Ex ¯ L θi = P fik θk ; ahora igualando coeficientes en esta ecuaci´ E on tenemos X X X ¯ ij − giyk − zij fjyk = fik , gixj − Ez zik fkxj = − fik zkj , j

¯ ij = gix − que nos da el valor de Ez j

k

P

k zik fkxj

+

P

k k (giyk

−

P

s zis fsyk )zkj .

546

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Proposici´ on 7.54 Dada una aplicaci´ on diferenciable F : U → V , con U ⊂ U y V ⊂ V abiertos, S = {F∗ : Tx (U) → TF (x) (V) : x ∈ U }, es una subvariedad n–dimensional del jet J 1 (U, V), difeomorfa a U por π1 y tangente a la distribuci´ on ∆. Adem´ as podemos definir la aplicaci´ on F¯ : U → J 1 , F¯ (x) = F∗ , tal que F¯ ∗ θi = 0 y π2 ◦ F¯ = F . Rec´ıprocamente si φ : U → J 1 es una aplicaci´ on diferenciable tal que φ∗ θi = 0, entonces existe una u ´nica F : U → V, tal que F¯ = φ. Demostraci´ on. En coordenadas se tiene que S = {yi (F∗ ) = yi (F (x)) = fi (x), zij (F∗ ) =

∂fi (x)}, ∂xj

por tanto es subvariedad, tiene coordenadas (xj ) y X θi|S = (dyi − zij dxj )|S = 0. Para el rec´ıproco, como π2 ◦ F¯ = F , basta definir F (x) = π2 [φ(x)] y se tiene que xj [F¯ (x)] = xj (x) = xj [φ(x)], yi [F¯ (x)] = yi [φ(x)], zij [F¯ (x)] = zij [φ(x)], pues para la u ´ltima tenemos X X F ∗ zij dxj = F ∗ dyi = φ∗ dyi = φ∗ zij dxj . Definici´ on. Llamamos Lagrangiana a cualquier funci´on L en el jet. Consideramos que U tiene una orientaci´ on definida por una n–forma ωU ∈ Ωn (U), que llevamos al jet por π1 , definiendo Ω = π1∗ ωU . Definici´ on. Dada una Lagrangiana L, diremos que una aplicaci´on diferenciable F : U → V da un valor extremal al problema variacional definido por la n–forma LΩ si para15 S = {F∗ : Tx (U) → TF (x) (V) : x ∈ U }, y todo campo D ∈ D, que deje invariante el sistema de Pfaff, DL P ⊂ P —a los que se llama transformaciones infinitesimales de contacto—, y con soporte compacto, se tiene Z DL (LΩ) = 0. S 15 A

veces tambi´ en llamaremos extremal a la subvariedad S.

547

7.12. C´ alculo de variaciones en Jets

Nota 7.55 Obviamente los extremales no cambian si cambiamos la n– P forma por LΩ + θi ∧ Ωi , para cualesquiera n − 1–formas Ωi , pues DL (LΩ +

X

θi ∧ Ωi )|S = DL (LΩ)|S +

X (DL θi ∧ Ωi + θi ∧ DL Ωi )|S

= DL (LΩ)|S , ya que DL θi ∈ P y P|S = 0. Lema Fundamental 7.56 Dada una Lagrangiana L, existe una u ´nica P Θ = LΩ + θi ∧ Ωi , con dΘ = 0 m´ odulo las θi . Demostraci´ on. Se tiene que dΩ = 0, por tanto d(LΩ) = dL ∧ Ω es una n + 1–forma m´ ultiplo de Ω, por lo tanto combinaci´on u ´nica de dzij ∧ Ω = (i∂xj dθi ) ∧ Ω,

dyi ∧ Ω = θi ∧ Ω,

P ahora bien dθi = dxj ∧ dzij y Ω = f (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn , por tanto dθi ∧ Ω = 0 y se sigue que16 d(LΩ) = dL ∧ Ω ≡

X

fij dzij ∧ Ω =

i,j

=

X

fij (i∂xj dθi ) ∧ Ω

i,j

X X (iP fij ∂xj dθi ) ∧ Ω = (iEi dθi ) ∧ Ω i

=−

i

X

X dθi ∧ iEi Ω ≡ −d( θi ∧ iEi Ω),

i

i

y el resultado se sigue para Θ = LΩ + P Ei = fij ∂xj y fij = Lzij .

P

θi ∧ Ωi , siendo Ωi = iEi Ω,

Definici´ on. A la n–forma del resultado anterior la llamamos n–forma de Poincare–Cartan y se expresa Θ = LΩ +

X

θi ∧ Ωi = LΩ +

X

θi ∧ iEi Ω,

Ei =

n X j=1

16 Escribiremos

≡ cuando las igualdades sean m´ odulo las θi .

Lzij ∂xj .

548

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Nota 7.57 Se sigue de (7.56) que existen n–formas γi tales que dΘ = P θi ∧ γi , veamos quienes son X X dΘ = dL ∧ Ω + dθi ∧ Ωi − θi ∧ dΩi = X X = Lyi dyi ∧ Ω + Lzij dzij ∧ Ω XX X + ( dxj ∧ dzij ) ∧ Ωi − θi ∧ dΩi = X X = Lyi θi ∧ Ω − θi ∧ dΩi = X = θi ∧ (Lyi Ω − dΩi ) ⇒ γi = Lyi Ω − EiL Ω, pues se tiene que iEi (dxj ∧ dzij ∧ Ω) = 0 lo cual implica 0 = iEi (dxj ∧dzij )∧Ω+(dxj ∧dzij )∧iEi Ω = Lzij dzij ∧Ω+(dxj ∧dzij )∧iEi Ω. Lema 7.58 Dada una variedad Rorientada y γ ∈ Λn tal que para toda funci´ on de soporte compacto ρ, ργ = 0, entonces γ = 0. Demostraci´ on. Sea x un punto y consideremos un entorno coordenado orientado (U ; xi ), entonces en ´el γ = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn y γx = 0 pues f (x) = 0 ya que en caso contrario, si f (x) = a > 0, existe un entorno de x, V ⊂ U , en el que f ≥ a/2 y tomando una ρ ≥ 0 con soporte en U y ρ = 1 en un compacto K ⊂ V , entorno de x Z

Z ρf dx1 · · · dxn ≥

0= U

ρf dx1 · · · dxn ≥ (a/2)m[K] > 0, K

lo cual es absurdo.

Teorema 7.59 En los t´erminos de la aplicaci´ on diferenciable F y la subvariedad S de (7.54), p´ ag.546, los enunciados siguientes son equivalentes: (i) F es un extremal del problema variacional. (ii) Para todo campo D ∈ D, con soporte compacto y tal que DL P ⊂ P, se tiene Z DL Θ = 0. S

7.12. C´ alculo de variaciones en Jets

549

(iii) S satisface las Ecuaciones de Euler–Lagrange17 : γi|S = (Lyi Ω − EiL Ω)|S = 0. (iv) Para todo campo tangente E ∈ D, iE dΘ|S = 0. Demostraci´ on. (i)⇔(ii) por (7.56) y la Nota (7.55). (ii)⇒(iii): Si E ∈ D es de soporte compacto, podemos aplicar el corolario (14.14) del Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994, pues S es orientada e iE Θ|S es de soporte compacto, ya que S ∩ sop E es un compacto de S pues es cerrado y su imagen por el homeomorfismo π1 es un cerrado del compacto π1 (sop E). Por tanto si adem´ as E L P ⊂ P, se tiene por (ii) que Z Z XZ 0= ELΘ = iE dΘ = θk (E)γk , S

S

S

y si tomamos ρ(x)∂yi ∈ D(U × V), Pn con ρ ≥ 0 de soporte compacto arbitraria y su subida E = ρ∂yi + j=1 ρxj ∂zij (ver el Lema (7.52) y la nota a pie de la p´ ag.545), para la que E L θk = Exj = 0, tendremos que θk (E) = Eyk = ρδik y Z 0=

ργi , S

por tanto se sigue del Lema (7.58), P que γi|S = 0 (iii)⇒(iv) Por (7.57) dΘ = θi ∧ γi , por tanto para todo campo D, P P iD dΘ = θi (D)γi − θi ∧ iD γi y θi|S = γi|S = 0. (iv)⇒(ii) Sea D ∈ D, entonces por (iv) (iD dΘ)|S = 0, por tanto si DL P ⊂ P y es de soporte compacto, se tiene por el Teorema de Stokes, (ver (ii)⇒(iii)) Z Z Z Z L diD Θ = 0 ⇒ D Θ= iD dΘ + diD Θ = 0. S

17 En

S

S

S

coordenadas estas ecuaciones son  n  X ∂Lzij Lzij (log f )xj + Lyi = , ∂xj j=1

que se reducen en el caso particular de Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , es decir f = 1, a (7.20)

Ly i =

n X ∂Lzij j=1

∂xj

,

550

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Corolario (Invariantes Noether) 7.60 Sea S extremal del problema variacional y D ∈ D tal que DL Θ = 0, entonces diD Θ|S = 0. Ejemplo 7.12.1 Consideremos el caso de una lagrangiana L, definida en el jet 1 de curvas, y por tanto en el que U = R. En este caso tenemos en coordenadas θ1 = dy1 − z1 dt, . . . , θn = dyn − zn dt,

Ω = dt,

Ei = Lzi ∂t ,

Ωi = iEi dt = Lzi , X Θ = Ldt + Lzi θi ,

dΘ =

X

θ i ∧ γi ,

γi = Lyi dt − dLzi ,

y por el resultado anterior una curva σ es extremal si en la subvariedad S = {(t, σ(t), σ 0 (t))} que define en J1 , γi|S = 0, es decir se satisfacen las ecuaciones de Euler–Lagrange d Lz = Lyi . dt i Por u ´ltimo si L no depende de t, ∂tL Θ = 0 y por el corolario tenemos un invariante Noether que es la funci´ on energ´ıa Θ(∂t ) = L −

X

Lzi zi = −h.

Ejemplo 7.12.2 Consideremos ahora el otro caso extremo: el de una lagrangiana L, definida en el jet 1 de funciones, y por tanto en el que V = R. En este caso tenemos en coordenadas X Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , θ = dy − zj dxj , X E= Lzj ∂xj , Θ = LΩ + θ ∧ iE Ω, dΘ = θ ∧ γ,

γ = Ly Ω − E L Ω,

y una funci´ on g es extremal si en la subvariedad S = {(x, g(x), gxj (x))} que define en J1 , γ|S = 0, es decir se satisfacen las ecuaciones de Euler– Lagrange X ∂ Ly − Lz = 0. ∂xj j

551

7.12. C´ alculo de variaciones en Jets

Ejemplo 7.12.3 Consideremos el problema de la cuerda vibrante y la lagrangiana de la energ´ıa cin´etica menos la potencial (ver la lecci´on 11.1.3, p´ ag.888) T ρ L(t, x, y, z1 , z2 ) = z12 − z22 , 2 2 en este caso Ω = dt ∧ dx, θ = dy − z1 dt − z2 dx, E = Lz1 ∂t + Lz2 ∂x y la forma de Poincar´e–Cartan es Θ = LΩ + θ ∧ iE Ω = −LΩ + Lz1 dy ∧ dx + Lz2 dt ∧ dy   ρ 2 T 2 z1 − z2 dt ∧ dx + ρz1 dy ∧ dx + T z2 dy ∧ dt, =− 2 2 y dΘ = θ ∧ γ, para γ = Ly Ω−E L Ω = E L (dx∧dt) = d(Ex)∧dt+dx∧d(Et) = T dt∧dz2 +ρdx∧dz1 , por tanto una funci´ on y = y(t, x) es soluci´ on de la ecuaci´on de Euler– Lagrange si para la subvariedad S = {(t, x, y(t, x), yt (t, x), yx (t, x))} que define 0 = (T dt∧dz2 +ρdx∧dz1 )|S = (T yxx −ρytt )(dt∧dx)

⇔

T yxx −ρytt = 0,

que es la ecuaci´ on de ondas. Ahora bien ∂tL Θ = 0, y   ρ 2 T 2 yt − yx dx + T yx (yt dt + yx dx) i−∂t Θ|S = Ldx + T z2 dy |S = 2 2   ρ 2 T 2 = y + yx dx + T yx yt dt, 2 t 2 por tanto tenemos un invariante Noether que es la energ´ıa pues    ρ 2 T 2 0 = di−∂t Θ|S = y + yx − (T yx yt )x dt ∧ dx ⇒ 2 t 2 t   ρ 2 T 2 ⇒ y + yx = (T yx yt )x 2 t 2 t e integrando y suponiendo que la soluci´ on y(t, x) en cada instante es de soporte compacto —para lo cual basta que lo sean la posici´on y velocidad en el instante inicial (ver el ejercicio (8.4.2), p´ag.629 ´o la soluci´on de la

552

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ecuaci´ on de ondas de la p´ ag.884)—, tendremos llamando  Z  ρ 2 T yt (t, x) + yx2 (t, x) dx, E(t) = 2 2 R  Z Z  ρ 2 T E 0 (t) = yt (t, x) + yx2 (t, x) dx = (T yx yt )x dx = 0. 2 2 R R t es decir la energ´ıa es constante.

7.13.

Ap´ endice. El Campo geod´ esico

7.13.1.

Subidas can´ onicas de un campo tangente.

Como en todo fibrado vectorial, el fibrado tangente T (V) (ver la lecci´ on 6.6.1, p´ ag.369), tiene un campo tangente especial H ∈ D[T (V)], que llamamos campo de las homotecias, tal que para cada funci´on f de V, Hf = 0 y para cada 1–forma ω, Hω = ω, en coordenadas se expresa H=

X

zi

∂ ∂zi

(campo de las homotecias).

ConsideremosP un campo tangente D ∈ D(V). Si en un entorno coordenado es D = fi ∂xi , tendremos que sus curvas integrales σ(t) = (xi (t)), satisfacen el sistema de ED x0i (t) = fi [σ(t)], en cuyo caso la curva (xi (t), zi (t) = x0i (t)) satisface x0i = fi , zi0 = x00i =

n n X X ∂fi 0 ∂fi xj = zj . ∂x ∂x j j j=1 j=1

A continuaci´ on definimos este sistema intr´ınsecamente.

7.13. Ap´ endice. El Campo geod´ esico

553

Definici´ on. Llamaremos primera subida can´ onica al fibrado tangente, de un campo tangente D ∈ D(V), con grupo uniparam´etrico Xt , al campo D ∈ D[T (V)], con grupo uniparam´etrico Yt = Xt∗ . Ejercicio 7.13.1 Demostrar que si D es la subida can´ onica de un campo D ∈ D(V) al fibrado tangente, entonces: i) π ◦ Yt = Xt ◦ π, lo cual equivale por (2.40), p´ ag.106 a que π∗ D = D. ii) [H, D] = 0, para H el campo de las homotecias. (Sol.)

Proposici´ on 7.61 Sea D =

P

fi ∂xi ∈ D(V). Entonces:

i) En coordenadas   n n X X ∂ ∂f i ∂  fi D= zj + . ∂xi i=1 j=1 ∂xj ∂zi i=1 n X

ii) Si Z es un campo en el fibrado tangente, que define una ecuaci´ on de segundo orden en V, entonces para la proyecci´ on π : T (V) −→ V y L una lagrangiana π∗ [Z, D] = 0 y ωL [Z, D] = 0. iii) Si para cada f ∈ C ∞ (V) definimos f ∈ C ∞ [T (V)], tal que f (Bp ) = Bp f , entonces D f = Df . iv) Si para cada ω ∈ Ω(V) definimos la funci´ on ω ∈ C ∞ [T (V)], tal que ω(Bp ) = ωp Bp , entonces df = f y D ω = DL ω. v) Si E : C ∞ (V) −→ C ∞ [T V] es el campo universal, tangente a V con soporte en T (V), entonces f = Ef . Demostraci´ on. Lo veremos de dos formas. P i) Sea Ep = zi (∂xi )p un punto del fibrado tangente, entonces xi [Yt (Ep )] − xi (Ep ) t xi [Xt (p)] − xi (p) = l´ım = Dp xi = fi (p), t→0 t zi [Yt (Ep )] − zi (Ep ) DEp zi = l´ım t→0 t   Pn ∂ zi [Xt∗ j=1 zj ∂x ] − zi j p = l´ım t→0 t

DEp xi = l´ım

t→0

554

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

=

n X

zj

j=1

l´ım

∂xi ◦Xt ∂xj (p)

− δij

t

t→0

! =

n X

zj

j=1

∂fi (p), ∂xj

ya que se tiene Z Xi (t, x) = xi +

t

fi [X(s, x)]ds 0

Z tX n ∂fi ∂Xk ∂Xi (t, x) = δij + (s, x)ds ∂xj ∂xk ∂xj 0 k=1

n X ∂fi ∂Xk ∂fi ∂ ∂Xi (0, x) = (x) (0, x) = (x). ∂t ∂xj ∂xk ∂xj ∂xj k=1

ii) Como ωL no tiene componentes en dzi , lo segundo es consecuencia de lo primero. Basta entonces demostrar que [Z, D]xi = 0, y por (i) tenemos que [Z, D]xi = Z(Dxi ) − D(Zxi ) n n X ∂fi X ∂fi = Zfi − Dzi = zj zj − = 0. ∂xj j=1 ∂xj j=1 iii) Basta aplicar (ii) sabiendo que f = Z(π ∗ f ). iv) Basta considerar que EBp = Bp . Veamos otra forma de demostrarlo. Primero demostramos (ii). Sea Tp un punto del fibrado tangente y f ∈ C ∞ (V), entonces aplicando (7.18) L

π∗ (Y−t )∗ ZYt (Tp ) − π∗ ZTp f t→0 t X−t∗ π∗ ZYt (Tp ) − Tp = l´ım f t→0 t X−t∗ Xt∗ (Tp ) − Tp = l´ım f = 0, t→0 t

π∗ (D Z)Tp f = l´ım

por tanto [Z, D]xi = 0 y de aqu´ı se sigue (i) pues por un lado como π∗ D = D tendremos (sobreentendiendo que xi tiene dos significados: como coordenada en V y en el fibrado en el que realmente es π ∗ xi ) Dxi = Dπ ∗ xi = π∗ (D)xi = Dxi = fi , y por otra parte se sigue de [Z, D]xi = 0 que Dzi = D(Zxi ) = Z(Dxi ) = Zfi =

n X j=1

zj

∂fi . ∂xj

7.13. Ap´ endice. El Campo geod´ esico

555

Definici´ on. Llamaremos segunda subida can´ onica al fibrado tangente, ˜ ∈ D[T (V)], con grupo de un campo tangente D ∈ D(V), al campo D uniparam´etrico Zt (Ep ) = Ep + tDp . Es f´ acil demostrar que en coordenadas xi , D=

n X

fi

i=1

7.13.2.

∂ ∂xi

⇒

˜ = D

n X

fi

i=1

∂ . ∂zi

Variedad con conexi´ on. Campo geod´ esico.

Consideremos que nuestra variedad V tiene una conexi´on ∇, (ver la lecci´ on 3.8.4, p´ ag.177), entonces hemos visto en la lecci´on 6.6.2, p´ag.370 que cada campo D ∈ D(U ) con U ⊂ V abierto, define can´onicamente un campo D∇ ∈ D(T (U )), en el abierto T (U ) del fibrado tangente, que para las funciones f ∈ C ∞ (U ), D∇ f = Df, y para cada 1–forma entendida como funci´ on en el fibrado D∇ (ω) = D∇ ω, es decir la funci´ on correspondiente a la 1–forma D∇ ω que es D∇ ω(E) = D(ωE) − ω(D∇ E). Se verifica trivialmente X D= fi Di

⇒

D∇ =

X

fi Di∇ ,

X

fi

por tanto en un entorno coordenado (U ; xi ) D=

X

fi

∂ ∂xi

⇒

D∇ =

∂ ∇ , ∂xi

ahora bien en coordenadas (∂xi )∇ xk = δik y (∂xi )∇ zk es la funci´on lineal en fibras correspondiente a la 1–forma (∂xi )∇ dxk cuya componente j– esima es k (∂xi )∇ dxk (∂xj ) = ∂xi [dxk (∂xj )] − dxk (∂x∇ i ∂xj ) = −Γij ,

556

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

por tanto  (7.21)

(7.22)

∂ ∂xi

∇ =

n X ∂ ∂ − zj Γkij ∂xi ∂zk

⇒

j,k=1

D∇ =

X

fi

n X ∂ ∂ fi zj Γkij − . ∂xi ∂zk i,j,k=1

Lema 7.62 Si H ∈ D(T V) es el campo de las homotecias, para cada D ∈ D(V), [H, D∇ ] = 0. Demostraci´ on. Consideremos un sistema de coordenadas (xi ) en V y el correspondiente (xi , zi ) en T V, entonces [H, D∇ ]xi = H(D∇ xi ) − D∇ (Hxi ) = 0, [H, D∇ ]zi = H(D∇ zi ) − D∇ (Hzi ) = 0, pues D∇ zi es una funci´ on lineal en fibras, la correspondiente a la 1–forma D∇ dxi , Hzi = zi y en general H(f ) = f para toda funci´on f lineal en fibras (es decir las correspondientes a 1–formas). Las geod´esicas en una variedad con una conexi´on son las curvas integrales de los campos tangentes D, para los que D∇ D = 0, en coordenadas xi una geod´esica satisface la ecuaci´ on diferencial de segundo orden x00k +

n X

Γkij x0i x0j = 0,

i,j=1

para Γkij los s´ımbolos de Christoffel de la conexi´on n

(7.23)

X ∂ ∇ ∂ ∂ = Γkij . ∂xi ∂xj ∂xk k=1

Las geod´esicas definen realmente una ecuaci´on de primer orden en el fibrado tangente, en el que tenemos un campo tangente can´onico Z ∈ D(T [V]), al que llamamos campo de las geod´esicas de la conexi´ on , que en coordenadas es   n n n X X X X ∂ ∂  (7.24) Z= zi − Γkij zi zj  = zi (∂xi )∇ , ∂x ∂z i k i=1 i,j=1 k=1

(lo u ´ltimo por (7.22), p´ ag.556) y cuyas curvas integrales proyectadas son las geod´esicas de nuestra variedad.

557

7.13. Ap´ endice. El Campo geod´ esico

Proposici´ on 7.63 Si H ∈ D(T V) es el campo de las homotecias y Z es el campo geod´esico de una conexi´ on cualquiera en V entonces [H, Z] = Z. En particular la distribuci´ on ∆ =< H, Z >, definida fuera de la secci´ on cero, es totalmente integrable. Demostraci´ on. En coordenadas se sigue de (7.24), pues [H, Z] = [H,

X

zi (∂xi )∇ ] =

X

zi (∂xi )∇ = Z,

y ∆ es totalmente integrable por el Teorema de Frobenius.

7.13.3.

Campo geod´ esico en una variedad Riemanniana.

Consideremos ahora una variedad Riemanniana (V, g), con la conexi´ on de Levi–Civitta ∇ asociada (ver la p´ag.179). Entonces en su fibrado tangente T (V) tenemos una funci´ on can´onica h(Dp ) =

1 Dp · Dp , 2

que en coordenadas (xi , zi ) se expresa h=

1X zi zj gij , 2

y un difeomorfismo can´ onico entre los fibrados tangente y cotangente φ : T (V) → T ∗ (V),

(7.25)

φ(Dp ) = iDp g,

para el que ∗

φ (xi ) = xi ,

∗

φ (zi ) =

n X

gij zj = hzi = pi ,

j=1

siendo (xi , pi ) sistema de coordenadas pues |pizj | = |gij | 6= 0, por tanto en el fibrado tangente tenemos una 1–forma y una estructura simpl´etica can´ onicas dadas por γ = φ∗ (λ) = φ∗ (

X

zi dxi ) =

X

pi dxi ,

Γ = dγ =

X

dpi ∧ dxi .

558

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Teorema 7.64 El fibrado tangente de una variedad Riemanniana es una variedad simpl´etica y el campo geod´esico es el hamiltoniano de la energ´ıa h, es decir iZ Γ = −dh, adem´ as γZ = 2h. P P Demostraci´ on. γZ = i pi zi = i,j gij zi zj = 2h. Ahora como L Z γ = iZ dγ + diZ γ, tendremos que iZ dγ = Z L γ − d(γZ) = Z L γ − 2dh, y basta demostrar que Z L γ = dh, es decir que X X X Z L( pi dxi ) = (Zpi )dxi + pi dzi i

=

i

i

X

X

(Zpi )dxi +

i

hzi dzi = dh,

i

lo cual equivale a demostrar que Zpi = hxi para ello recordemos (ver 3.1, p´ ag.179), que ∂i∇ ∂j = ∂j∇ ∂i , pues la torsi´ on es nula y que ∂i (∂k · ∂r ) = ∂i∇ ∂k · ∂r + ∂k · ∂i∇ ∂r . Ahora se tiene que (ver tambi´en 7.23 en la p´ ag.556) hxi = =

n n ∂gkr 1 X 1 X zk zr = zk zr ∂i (∂k · ∂r ) 2 ∂xi 2

1 2

k,r=1 n X

k,r=1

zk zr (∂i∇ ∂k · ∂r + ∂k · ∂i∇ ∂r ) =

k,r=1

n X

zk zr ∂i∇ ∂k · ∂r

k,r=1

n n X X X Zpi = Z( zr gir ) = zr (Zgir ) + gij (Zzj ) r=1

=

n X

X zr ( zk (gir )xk ) −

r=1

=

n X k,r=1

k

n X

j=1 n X

zk zr Γjkr gij

j=1 k,r=1

zk zr ((gir )xk − ∂i · ∂k∇ ∂r ) =

n X k,r=1

zk zr ∂i∇ ∂k · ∂r .

7.13. Ap´ endice. El Campo geod´ esico

559

Corolario 7.65 En el sistema de coordenadas simpl´eticas (qi = xi , pi ) el campo geod´esico se expresa Z=

n X

n

hpi

i=1

Demostraci´ on. Por ser iZ (

X ∂ ∂ − hqi . ∂qi i=1 ∂pi

P

dpi ∧ dqi ) = −dh.

Observemos que la funci´ on energ´ıa en las coordenadas simpl´eticas se expresa h=

n n 1 X 1 1 1 X ij zi zj gij = zt Gz = zt GG−1 Gz = g pi pj , 2 i,j=1 2 2 2 i,j=1

para G = (gij ) y G−1 = (g ij ). Proposici´ on 7.66 En las coordenadas (qi = xi , pi ) el campo H de las P homotecias se expresa H = pi ∂pi . P P Demostraci´ on. Hpi = zj hzi zj = zj gij = pi .

7.13.4.

Ejemplo

Consideremos de nuevo una variedad Riemanniana con una funci´ on potencial U ∈ C ∞ (V) y la Lagrangiana L(Dx ) = (1/2)Dx · Dx − U (x) = T − U, es decir en coordenadas   n 1X L[x1 , · · · , xn , z1 , · · · , zn ] = zi zj gij  − U (x), 2 i,j=1 y si una curva σ da un valor extremal a la acci´on Z

b

Z Ldt =

a

b

(T − U )dt, a

y σ 0 6= 0, entonces satisface las ecuaciones de Euler–Lagrange y por tanto la energ´ıa h = HL − L = 2T − L = T + U

560

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

es constante en ella (h(σ, σ 0 ) = E, por tanto T + U = E y U < E) y a continuaci´ on demostramos de otra forma, que σ es una geod´esica reparametrizada de la nueva m´etrica gij = 2(E − U )gij , cuyo campo geod´esico ZG es el campo lagrangiano de la nueva lagrangiana   n X 1X zi zj gij  = (E − U ) L= zi zj gij = 2(E − U )(L + U ), 2 i,j=1 para lo cual necesitamos unos resultados previos. Lema 7.67 En las coordenadas (xi , pi = Lzi ) el campo H de las homoP tecias se expresa H = pi ∂pi . P P Demostraci´ on. Hpi = zj Lzi zj = zj gij = pi . ZG U Lema 7.68 En la hipersuperficie {h = E}, ZG = Z + E−U H, para ZG el campo geod´esico de gij , H el campo de las homotecias y Z el campo lagrangiano de L.

Demostraci´ on. Sea D = ZG − Z y expres´emoslo en el sistema de P coordenadas (xi , pi = Lzi ), en el que por el lema anterior H = pi ∂pi . Por una parte Dxi = zi − zi = 0, por tanto basta demostrar que Dpi =

ZG U pi , E−U

es decir que (E − U )(ZG pi − Zpi ) = (ZG U )pi , ´o dicho de otro modo, pues Zpi = ZLzi = Lxi , basta demostrar que (E − U )ZG Lzi − (E − U )Lxi = (ZG U )Lzi , y como se tiene que Lxi = −2Uxi (L + U ) + 2(E − U )(Lxi + Uxi ), Lzi = 2(E − U )Lzi ,

7.13. Ap´ endice. El Campo geod´ esico

561

tendremos que al ser L + U = T = h − U y ZG Lzi = Lxi Lxi = −2Uxi (h − U ) + 2(E − U )(Lxi + Uxi ) = ZG Lzi = 2Lzi ZG (E − U ) + 2(E − U )ZG Lzi = −2Lzi ZG U + 2(E − U )ZG Lzi , y el resultado se sigue en h = E. Como consecuencia tenemos otra forma de demostrar el siguiente resultado que ya vimos como consecuencia del Principio de Maupertuis. Teorema 7.69 Si una curva σ : (a, b) → V en una variedad Riemanniana con una funci´ on potencial da un valor extremal a la acci´ on definida por la lagrangiana L(Dx ) = (1/2)Dx · Dx − U (x), tiene energ´ıa constante E = h(σ, σ 0 ) y es una geod´esica reparametrizada para la nueva m´etrica g(Dx , Ex ) = 2[E − U (x)]Dx · Ex . Demostraci´ on. Consideremos la curva integral de Z, γ(t) = σ∗ (∂t)t ∈ T (V), subida de σ —con componentes (σ(t), σ 0 (t))—. Como la distribuci´ on < H, ZG > es totalmente integrable y por el resultado anterior Z ∈< H, ZG > en los puntos de la hipersuperficie {h = E}, que contiene a la curva γ(t), tendremos que esta curva es tangente a la distribuci´ on as´ı como la familia de curvas integrales de H, es γ(t) pasando por cada punto de la curva y transversales a ella, pues Z y H no son proporcionales en la curva. Por tanto tenemos la superficie tangente a la distribuci´ on, S = {rγ(t) : r > 0, t ∈ (a, b)}, que contiene a la curva y se proyecta en nuestra curva original. Ahora como esta superficie tiene al campo geod´esico ZG tangente, dado un punto cualquiera t0 ∈ (a, b), tenemos una u ´nica curva integral de ZG , φ(s) = r(s)γ(t(s)) ∈ S, tal que φ(0) = γ(t0 )/kγ(t0 )k y por ser geod´esica debe tener m´odulo constante kφ(s)k = kφ(0)k = 1, por tanto φ(s) = γ(t(s))/kγ(t(s))k, es decir su trayectoria es la de γ(t)/kγ(t)k (aunque tienen parametrizaciones distintas) y su proyecci´ on es la geod´esica σ(t(s)).

562

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.14.

Ap´ endice. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

En (7.31), p´ ag.496 hemos resuelto la EDO de Hamilton (7.5), p´ag.491, en el caso aut´ onomo. Si ahora queremos resolver una ecuaci´on diferencial de Hamilton no aut´ onoma 0 xi (t) = hzi (x1 , . . . , xn , t, z1 , . . . , zn ), (7.26) zi0 (t) = −hxi (x1 , . . . , xn , t, z1 , . . . , zn ), lo primero que hacemos es hacerla aut´ onoma ampliando el sistema con una nueva componente x(t), x0 (t) = 1, x0i (t) = hzi (x1 , . . . , xn , x, z1 , . . . , zn ), zi0 (t) = −hxi (x1 , . . . , xn , x, z1 , . . . , zn ), y basta encontrar las curvas integrales del campo ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − hx1 + · · · + hzn + − · · · − hxn , ∂x1 ∂xn ∂x ∂z1 ∂zn que en el instante t = 0 pasan por un punto de coordenada x = 0, en cuyo caso x(t) = t y el resto de coordenadas xi (t), zi (t) satisfacen el sistema original (7.26). Ahora bien el campo D sugiere el campo Hamiltoniano de una funci´ on F = F (x1 , . . . , xn+1 , z1 , . . . , zn+1 ) para la que xn+1 = x y D = hz1

Fz1 = hz1 , . . . , Fzn = hzn , Fzn+1 = 1,

Fx1 = hx1 , . . . , Fxn = hxn ,

es decir F (x1 , . . . , xn , x, z1 , . . . , zn+1 ) = zn+1 + h(x1 , . . . , xn , x, z1 , . . . , zn ), la cual nos define la EDP (7.27)

zx + h(x1 , . . . , xn , x, zx1 , . . . , zxn ) = 0,

que llamaremos ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi asociada a nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. A continuaci´ on veremos que el conocimiento de una integral completa φ de esta EDP nos permite resolver, en ciertas condiciones, param´etricamente el sistema de ecuaciones diferenciales no aut´onomo (7.26). Este u ´til m´etodo, descubierto por Hamilton y Jacobi da lugar a la teor´ıa que lleva su nombre.

7.14. Ap´ endice. Teor´ıa de Hamilton–Jacobi

563

Teorema 7.70 Si existe una funci´ on diferenciable φ = φ(x1 , . . . , xn , t; a1 , . . . , an ), tal que el determinante |φai xj | 6= 0 y es soluci´ on de la EDP definida por F , en el sentido de que fijados los valores de a1 , . . . , an la funci´ on n + 1–dimensional correspondiente satisface ∂φ ∂φ φt + h(x1 , . . . , xn , t, ,..., ) = 0, ∂x1 ∂xn entonces las 2n ecuaciones ∂φ ∂φ = bi , zi = , ∂ai ∂xi definen impl´ıcitamente las soluciones —dependiendo de los 2n par´ ametros ai , bi —, del sistema de ecuaciones x0i (t) = hzi (x1 , . . . , xn , t, z1 , . . . , zn ), zi0 (t) = −hxi (x1 , . . . , xn , t, z1 , . . . , zn ). Demostraci´ on. Por una parte derivando respecto de ai la expresi´on φt + h(xi , t, φxi ) = 0, tenemos que n

X ∂2φ ∂2φ + hz = 0, ∂t∂ai j=1 ∂ai ∂xj j y por otra parte como |φai xj | 6= 0, el teorema de las funciones impl´ıcitas nos asegura que para cada elecci´ on de ai , bi podemos encontrar n funciones xj (t) = xj (t, ai , bi ), que satisfacen ∂φ (x1 , . . . , xn , t, a1 , . . . , an ) = bi , ∂ai y derivando esta expresi´ on respecto de t tendremos que n X ∂2φ ∂2φ 0 xj (t) + = 0, ∂xj ∂ai ∂t∂ai j=1

de donde se sigue que x0j (t) = hzj , pues ambas son soluciones del mismo sistema lineal con determinante no nulo. Para obtener la segunda relaci´on basta derivar respecto de t en zi (t) = φxi [x(t), t, a] y respecto de xi en φt (x, t, a) + h(x, t, φxi (x, t, a)) = 0, obteniendo zi0 (t) =

n X j=1

φxi xj x0j (t) + φxi t =

n X j=1

φxi xj hzj + φxi t = −hxi .

564

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.15.

´ Ap´ endice. Optica geom´ etrica

7.15.1.

Ley de Snell

Leyes b´ asicas (a un nivel corpuscular, no ondulatorio) de la luz: 1.- Trayectoria recta. La luz va, de un punto a otro de un mismo medio, en linea recta. rayo incidente a' a

rayo reflejado

b b'

rayo refractado

Figura 7.17. Refracci´ on y reflexi´ on

2.- Ley de incidencia. La luz que incide en un punto de un plano se refleja de modo que las dos trayectorias tienen por bisectriz la perpendicular al plano por el punto de incidencia, por tanto ambas trayectorias est´ an en un plano perpendicular al dado y forman ´angulos iguales con este. 3.- Ley de Snell. Si un rayo de luz incide en un plano que separa dos medios y lo atraviesa, se refracta, cambiando el ´angulo α que trae, por otro β, de modo que es constante la raz´ on de sus cosenos,   sen α0 cos α = cte = . cos β sen β 0

7.15.2.

Principio de Fermat

Estas Leyes se pueden obtener como consecuencia del Principio de m´ınimo tiempo de Fermat que dice que la luz pasa de un punto a otro por la trayectoria en la que tarde menos tiempo (realmente por una en la que el tiempo, en funci´ on de la trayectoria, es estacionario).

´ 7.15. Ap´ endice. Optica geom´ etrica

565

Si un rayo de luz va de un punto A a otro B sin obst´aculos y en un mismo medio en el que su velocidad no cambia, la trayectoria de m´ınimo tiempo es el segmento de recta AB (que es la primera Ley). Si sale de A, rebota en un plano y luego pasa por B, el punto del plano que hace m´ınimo el tiempo es el que dice la segunda ley, como f´ acilmente se comprueba. a Si por el contrario los puntos A y B est´ an en lados distintos de un plano que separa dos medios en a los que la velocidad de la luz es respectivamente v1 0 x (donde est´ a A) y v2 (donde est´ a B), tendremos que b el punto P del plano que hace m´ınimo el tiempo es b —considerando un sistema de coordenadas como en c la Fig.7.18, en el que el plano es z = 0 y los puntos son A = (0, 0, a) y B = (0, b, c)—, el que corresponde al m´ınimo de la funci´ on para cada (x, y, 0) del Figura 7.18. plano p p x2 + (y − b)2 + c2 y 2 + a2 t(x, y) = t1 + t2 = + , v1 v2 el cual se obtiene, haciendo tx = 0 y ty = 0, en x = 0 e y tal que y−b y p = 0, + p 2 2 v2 (y − b)2 + c2 v1 y + a lo cual equivale a que cos α cos β = , v1 v2 que no s´ olo da la constancia de la Ley de Snell sino que nos dice que esa constante es la relaci´ on v1 /v2 , de velocidades en los dos medios. Esta relaci´ on tambi´en podemos expresarla como n2 /n1 , para n = c/v el ´ındice de refracci´ on de la luz en un medio en el que tiene velocidad v, siendo c la velocidad de la luz en el vac´ıo. Este ´ındice tiene la ventaja de no tener unidades. y

r

a

A b

P

b

B x (f,g)

Figura 7.19.

566

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

7.15.3.

´ Ovalo de Descartes

Consideremos la siguiente cuesti´ on. Dados dos puntos A y B (ver Fig. 7.19), encontrar la curva de puntos P del plano eucl´ıdeo para la que es constante la relaci´ on de cosenos, cos α/ cos β, de los segmentos AP y P B, respecto de la recta tangente a la curva en P . Consideremos un sistema de coordenadas con eje x la recta AB y eje y su perpendicular por A; sea B = (b, 0). En cada punto P = (x, y), consideramos lap recta ∆p =< f ∂x + g∂y >, con f 2 + g 2 = 1, por tanto, para ρ = |P | = x2 + y 2 −P xf + yg · (−f, −g) = , |P | ρ B−P (b − x)f − yg cos β = · (f, g) = p , |B − P | (x − b)2 + y 2

cos α =

por lo tanto, si la relaci´ on de cosenos es la constante k = cos α/ cos β, tendremos que (b − x)f − yg xf + yg kp = ⇔ ρ (x − b)2 + y 2 ! ! x k(x − b) y ky +p f+ +p g = 0, ρ ρ (x − b)2 + y 2 (x − b)2 + y 2 y la recta es para ρ0 = 

p

(x − b)2 + y 2 , la distancia de P a B

x k(x − b) + ρ ρ0



 dx +

y ky + 0 ρ ρ

 dy = 0,

por lo tanto d(ρ + kρ0 ) = 0 y las soluciones son ρ + kρ0 = cte,

B

A r

A

r

´ Figura 7.20. Ovalo de Descartes. Refracci´ on

B

´ 7.15. Ap´ endice. Optica geom´ etrica

567

que son curvas de grado 4 llamadas ´ ovalos de Descartes, con focos A y B. Son sim´etricas respecto de la recta AB y generan una superficie de revoluci´ on con forma de huevo, de ah´ı su nombre, y tienen la propiedad de que dada una figura limitada por ella, de un material con ´ındice de refracci´ on n = 1/k, los rayos de luz emitidos desde un foco se refractan en el otro. Obviamente si consideramos una esfera centrada en A y se la quitamos al ´ ovalo (ver la figura 7.20–derecha), la propiedad permanece, pues los rayos que salen del foco entran en la figura sin cambiar su direcci´ on dado que la superficie esf´erica es ortogonal a la trayectoria y esta contin´ ua en linea recta igual que en la figura original. Consideremos, para cada b el ´ ovalo que pasa por un punto fijo del eje x, por ejemplo por (1, 0), en el que ρ = 1 y ρ0 = b − 1, por tanto son para cada b > 1 p ρ + k (x − b)2 + y 2 = 1 + k(b − 1), y ahora veamos que curva l´ımite se obtiene cuando b → ∞. Para ello veamos esta ecuaci´ on en t´erminos de c = 1/b (denotemos T = 1−ρ−k ), k por tanto (x − b)2 + y 2 = (T + b)2 ρ2 − T 2 = 2b(T + x)

x2 − 2bx + b2 + y 2 = T 2 + 2T b + b2 c 2 ⇔ (ρ − T 2 ) = T + x 2

⇔

⇔

y para c = 0 la ecuaci´ on es T +x=0

⇔

ρ = kx + 1 − k,

que es una elipse con foco en el origen y que pasa por (1, 0). Veamos a continuaci´ on el problema en su generalidad.

7.15.4.

Propiedad de refracci´ on de las elipses

Consideremos la situaci´ on extrema del pro(1,0) blema anterior en la que el punto B est´ a en el y a b r infinito, es decir que P B es una recta paralela (f,g) a una dada que pasa por A. Consideremos como eje x la recta, y eje y x la perpendicular pasando por A, que tomamos Figura 7.21. como origen del sistema de coordenadas. Dada e ≥ 0 constante consideremos las curvas para las que cos α/ cos β = e.

568

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Consideremos en cada punto (x, y) del plano la recta, < f ∂x + g∂y >, tangente a la curva que tiene la propiedad del enunciado. Como antes consideremos (f, g) unitario, entonces tendremos que α es el ´angulo que forman p (f, g) y (x, y) y β el que forman (f, g) y (1, 0), por tanto para ρ = x2 + y 2   x y f x + gy cos α = (f, g) · , = , cos β = f, ρ ρ ρ de donde se sigue que e=

cos α f x + gy = cos β fρ

⇔

f (x − ρe) + gy = 0,

y por tanto nuestra recta es (x − ρe)dx + ydy = 0

⇔

xdx + ydy − edx = 0, ρ

que es exacta d(ρ − ex), por lo tanto las curvas soluci´on son (7.28)

ρ = ex + p,

para cada constante p, que son las ecuaciones de las c´onicas del plano con eje x y un foco en el origen (ver la p´ ag.407). Pues en las coordenadas (x, y) son x2 + y 2 = (ex + p)2 = e2 x2 + 2epx + p2 ⇔

(1 − e2 )x2 + y 2 − 2epx − p2 = 0,

adem´ as la e es la excentricidad y ρ = ex+1 y ρ = ex+p son homot´eticas de raz´ on p, pues (x, y) satisface la primera ecuaci´on sii (px, py) satisface la segunda. Observemos que las coordenadas (x, ρ) tienen la ventaja de que en ellas las soluciones son l´ıneas rectas de pendiente e. Lo cual nos da una interpretaci´ on geom´etrica obvia de la excentricidad como la relaci´ on constante ∆ρ/∆x, que a su vez es, cos α/ cos β, como se ve en el dibujo tomando Q en la curva infinitesim´ almente pr´ oximo a P .

Q b Dx

a

P

Dr

Figura 7.22.

b

´ 7.15. Ap´ endice. Optica geom´ etrica

569

Como consecuencia de lo anterior, dado un material con ´ındice de refracci´ on n, si consideramos la c´ onica de excentricidad e = 1/n y el elipsoide de revoluci´ on que define en torno a su eje, tendremos que la figura de ese material limitada por esta cu´ adrica (ver la Fig.7.25), tendr´a la propiedad de que un rayo de luz emitido desde el foco se refracta en el exterior en haces de l´ıneas rectas paralelas al eje; y rec´ıprocamente un rayo de luz que incida en la figura y traiga la direcci´on del eje se refracta en el interior en un rayo que pasa por el foco “mas lejano”.

Figura 7.23. Refracci´ on Elipse

Figura 7.24. Refracci´ on Elipse Metacrilato (n = 1, 49, e = 1/n = 0, 671).

Obviamente si a la figura con forma de elipsoide le quitamos, como antes, una parte con forma de esfera centrada en el foco, la propiedad

570

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

permanece, pues los rayos que salen del foco entran en la figura sin cambiar su direcci´ on ya que la superficie esf´erica es ortogonal a la trayectoria de los rayos, que continuan en l´ınea recta igual que en la figura original.

A

Figura 7.25. Refracci´ on Elipsoide de revoluci´ on

7.15.5.

Propiedades de reflexi´ on de las elipses

Por u ´ltimo observemos que de las propiedades de refracci´on de las c´ onicas se tienen las de reflexi´ on, pues por ejemplo para la elipse se tiene (ver figura 7.26) que por simetr´ıa vertical se tiene la igualdad cos α cos α0 = , cos β cos β 0 y esto implica que α = α0 , pues β = β 0 .

b a

b a

Figura 7.26.

7.15.6.

Trayectoria en un medio de ´ındice variable

Consideremos ahora un medio con ´ındice de refracci´on una funci´on diferenciable n(x). Determinemos la trayectoria σ(t) que debe llevar un rayo de luz que pasa en unos instantes determinados por sendos puntos σ(0) = A, σ(1) = B. Para ello seguimos asumiendo el Principio de Fermat seg´ un el cual la luz viajar´ a por la trayectoria para la que el tiempo es estacionario.

´ 7.15. Ap´ endice. Optica geom´ etrica

571

Ahora bien si consideremos una curva σ : [0, 1] → R3 que une A = σ(0) con B = σ(1), el tiempo T que tarda en ir de A a B es Z 1 1 n[σ(r)]|σ 0 (r)|dr, c 0 pues si la reparametrizamos con su tiempo γ(t) = σ[r(t)], de tal forma que r(0) = 0 y r(T ) = 1, tendremos que la integral anterior es Z T 0 Z T |σ (r(t))r0 (t)| |γ 0 (t)| dt = dt = T. v(σ(r(t))) 0 0 v(γ(t)) Esto nos lleva a considerar el problema variacional Z 1 L(σ(s), σ 0 (s))ds, 0

correspondiente a la Lagrangiana que da el tiempo, que esencialmente es (la constante c no es necesaria) qX L(x, z) = n[x] zi2 , siendo x = (x1 , x2 , x3 ) y (z = (z1 , z2 , z3 ) y para ella es qX zi Lxi = nxi zi2 , Lzi = n qP , zj2 y las Ecuaciones de Euler–Lagrange correspondientes son para i = 1, 2, 3  0 qX 0 x n q i  nxi x02 j = P 02 xj de aqu´ı se sigue que para s(t) =

R t qP 0

x02 ametro longitud j dt el par´

de arco de la curva, para su reparametrizaci´ on γ(s(t)) = σ(t) y para T = σ 0 (t)/|σ 0 (t)| = γ 0 (s), el vector tangente unitario a la curva soluci´on, se tiene (grad n)s0 (t) =

d(nT ) ds ds dt

⇔

grad n =

d(nT ) dn = T + nκN, ds ds

para N el vector normal a la curva y κ la curvatura, por lo que el grad n est´ a en el plano osculador a la curva es decir que las superficies {n = cte} son ortogonales al plano osculador de la curva en cada punto.

572

7.16.

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ap´ endice. Envolventes y c´ austicas

Cuando una superficie (o una curva plana) recibe un haz de luz emitido desde una fuente puntual, los rayos reflejados se concentran en puntos de una superficie (o curva) que se observan con mas luminosidad que otros; a dicha superficie o curva se la llama c´ austica (del griego kaysticos, quemar) —matem´atiFigura 7.27. C´ austica camente es la envolvente de los rayos reflejados—. El corte de esta superficie con un plano se observa por ejemplo en la superficie de leche de un cazo de acero iluminado por la luz del sol. t

R 2q

a a 0

2q

q

a 0

B

q

t

Q

2q

P

a

2q

R

t

Q

A'

A

a 0

q

B

P

a

2q A' A

Figura 7.28. La caustica es la epicicloide.

Ejemplo 7.16.1 La c´ austica de una circunferencia de radio r, iluminada por rayos paralelos al eje y, es la epicicloide definida por una circunferencia de radio r/4 que rueda sin deslizarse sobre otra de radio r/2. Veamos geom´etricamente (ver figura 7.28) que la epicicloide es la envolvente de los reflejos de los rayos verticales que inciden interiormente en una circunferencia S. Para ello consideremos una circunferencia base, de radio la mitad de la de S y sobre esta, otra de radio la mitad de la de la base, que rueda sobre ella, sin deslizarse. La trayectoria de un punto fijo de esta u ´ltima es la epicicloide. Sea Q el punto fijo cuando la que rueda ha abarcado un arco AB, de ´ angulo θ en la base, y de arco A0 B en la peque˜ na, igual en longitud, por tanto de ´ angulo 2θ en esta, pues es de radio la mitad. Ahora si BP es la diagonal de la peque˜ na por B, tendremos en el tri´angulo isosceles formado por P , Q y el centro de la peque˜ na, que 2θ + 2τ = π = 2θ + 2α

⇒

τ = α,

573

7.16. Ap´ endice. Envolventes y c´ austicas

por lo tanto P Q es el reflejo en P del rayo vertical por P . Adem´as es tangente a la epicicloide en Q, pues el tramo infinitesimal que describe Q si rodamos la circunferencia infinitesimalmente en B es un arco de circunferencia de radio BQ y centro en B, por tanto BQ es perpendicular a la tangente a la epicicloide por Q, pero BQ es perpendicular a BP , pues BP es un di´ ametro. Se sigue que la epicicloide es la envolvente. Ejemplo 7.16.2 Demostrar que la c´ austica de la exponencial con la fuente luminosa en el infinito (positivo) del eje y, es la catenaria. Si la recta reflejada en el punto (t, et ), tiene√direcci´ on (a, b), con a2 + b2 = 1 y a = 2 − 1 − b < 0, tendremos que (a, b) + (0, 1) tiene direcci´ on normal a la curva y por tanto proporcional a (− et , 1), de donde r √ −a 1 − b2 1−b t e = = = b+1 b+1 1+b 1−b 2t 2t e = ⇒ b(e +1) = 1 − e2t , 1+b

Figura 7.29.

y despejando −t

b=

t

e −e senh t =− , et + e−t cosh t

s a=− 1−

1 senh2 t =− , cosh t cosh2 t

para senh t = (et − e−t )/2 y cosh t = (et + e−t )/2, y para la pendiente p(t) = b/a = senh t, tendremos que la ecuaci´ on de la recta reflejada es y = p(t)x + b(t),

p(t) = senh t,

b(t) = et −tp(t)

y su envolvente la obtenemos eliminando t en y = xp(t) + b(t),

0 = xp0 (t) + b0 (t) = x cosh t + et − senh t − t cosh t = (x + 1 − t) cosh t,

de donde se sigue que t = x + 1 y la ecuaci´ on es y = x senh(x + 1) + ex+1 −(x + 1) senh(x + 1) = cosh(x + 1).

574

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

La cicloide es la curva descrita por un punto de una circunferencia de centro C que rueda sin deslizarse sobre una recta.

Figura 7.30. Cicloide

Ejemplo 7.16.3 Demostrar que la c´ austica de la cicloide con la fuente luminosa en el −∞ del eje y es la cicloide duplicada, de radio la mitad.

R

C q

P

2q q

B Figura 7.31.

Lo vemos primero geom´etricamente. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas en el que la recta es el eje x y el punto est´a inicialmente en el origen. Por tanto si la circunferencia es de radio 1, despu´es de rodar un arco de longitud θ, la circunferencia se apoya en la recta en el punto B = (θ, 0) y el ´ angulo central (desde C = (θ, 1)), correspondiente a este arco es tambi´en θ, por lo tanto el punto de la circunferencia est´ a en σ(θ) = (θ − sen θ, 1 − cos θ) = P . Observemos que la normal a la cicloide en P pasa por la base B, pues geom´etricamente: si giramos infinitesimalmente la circunferencia con base en B el arco infinitesimal que describe P es el de una circunferencia con centro B y radio BP . Esto mismo se sigue anal´ıticamente considerando que P B = (sen θ, cos θ − 1) es perpendicular a σ 0 = (1 − cos θ, sen θ). Ahora consideremos otra circunferencia, de radio la mitad, que gira al mismo tiempo que la de radio 1 y pasa por C y B, por tanto es tangente interior a la circunferencia de radio 1 y en el mismo punto B a la recta. Entonces el radio P C corta a la circunferencia peque˜ na en un punto R, de modo que el arco BR de esta tiene longitud θ, pues el ´angulo de este arco desde C es θ y por tanto desde el centro de la peque˜ na es 2θ y tiene radio la mitad. Por tanto R describe una cicloide de radio la mitad y

7.16. Ap´ endice. Envolventes y c´ austicas

575

CR es perpendicular a RB, por tanto tangente a la cicloide peque˜ na en R. Adem´ as P R es el reflejo en P (sobre la cicloide original) de un rayo vertical por P , por tanto la cicloide peque˜ na es la envolvente de los rayos reflejados. Demostraci´ on anal´ıtica: (para √ θ < π). Si el reflejo en P tiene direcci´on (a, b), con a2 + b2 = 1 y a = 1 − b2 > 0, tendremos que (a, b) − (0, 1) tiene direcci´ on normal a la curva y por tanto proporcional a (sen θ, cos θ − 1), se sigue que cos θ − 1 b−1 b−1 = = −√ =− sen θ a 1 − b2

r

1−b , 1+b

por tanto sen2 θ(1 − b) = (1 + b)(1 − cos θ)2 y sen2 θ − 1 + 2 cos θ − cos2 θ sen2 θ − (1 − cos θ)2 = sen2 θ + (1 − cos θ)2 2 − 2 cos θ cos θ − cos2 θ = = cos θ, 1 − cos θ a = sen θ, b=

y como la recta reflejada en el punto (θ − sen θ, 1 − cos θ) tiene pendiente p = b/a = cos θ/ sen θ, tendremos que tiene ecuaci´on y=

cos θ cos θ cos θ x+1−θ = (x − θ) + 1, sen θ sen θ sen θ

(por tanto pasa por el punto (θ, 1) y la envolvente se obtiene eliminando θ entre esta ecuaci´ on y su derivada 0=

cos θ −1 (x − θ) − , sen2 θ sen θ

lo cual implica para 2θ = α x = θ − sen θ cos θ = y=

α sen α − , 2 2

cos θ 1 + sen2 θ − cos2 θ 1 cos α (− sen θ cos θ) + 1 = sen2 θ = = − , sen θ 2 2 2

que es la homotecia de raz´ on 1/2 de la cicloide original.

576

7.17.

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicios resueltos

Ejercicio 7.1.2.- Demostrar que si {z = z(x, y)} es una superficie de revoluci´ on con eje pasando por el origen del espacio, entonces u v w ux vx wx = 0 uy vy wy para u = −y − zzy , v = x + zzx , w = xzy − yzx . Soluci´ on.- En cada punto p = (x, y, z) de la superficie tenemos una recta tangente a ella (tangente al paralelo correspondiente de la superficie de revoluci´ on), que tambi´ en es tangente a la esfera pasando por p, por tanto la recta es perpendicular a (x, y, z) y a (zx , zy , −1), por tanto con vector director su producto vectorial que tiene componentes u = −y − zzy , v = x + zzx , w = xzy − yzx , y si el eje de la superficie tiene vector director (a, b, c), tendremos que ua+vb+wc = 0 y derivando respecto de x y respecto de y tendremos que ua + vb + wc = 0 u v w ux a + vx b + wx c = 0 ⇒ ux vx wx = 0. uy vy wy uy a + vy b + wy c = 0

Ejercicio 7.1.3.- Sean P , Q y R funciones de (x, y) y P dx2 +Qdxdy +Rdy 2 = 0 la ecuaci´ on18 de la proyecci´ on al plano z = 0, de una red de curvas de una superficie u = 0. Demostrar que las curvas son perpendiculares sii P (u2y + u2z ) − Qux uy + R(u2x + u2z ) = 0. Soluci´ on.- Supongamos que P 6= 0. La proyecci´ on de un campo tangente a la superficie, D = f ∂x + ∂y + g∂z , satisface la ecuaci´ on del enunciado sii P f 2 + Qf + R = 0, por tanto en general hay dos soluciones f1 , f2 y son tales que P f1 f2 = R y P (f1 + f2 ) = −Q. Adem´ as como Du = 0 tendremos que las funciones gi correspondientes satisfacen fi ux + uy + gi uz = 0 y para los campos Di correspondientes R ux uy ux uy + 1 + (f1 + )(f2 + ) P uz uz uz uz 2 2 f1 f2 ux + (f1 + f2 )ux uy + uy

D1 · D2 = f1 f2 + 1 + g1 g2 = = =

R+P + P

u2z

u2z (R + P ) + Ru2x − Qux uy + P u2y P u2z

).

18 Esta notaci´ on debe entenderse del siguiente modo: dx y dy son en cada punto funciones lineales del espacio tangente y dx2 es el cuadrado de la funci´ on lineal, por tanto la expresi´ on de la izquierda en cada punto es un polinomio.

7.17. Ejercicios resueltos

577

Ejercicio 7.1.4.- Encontrar las superficies formadas por rectas paralelas al plano z = 0 que se apoyan en la hip´erbola del plano y = 0, xz = 1, tales que a lo largo de cada recta el plano tangente es constante Soluci´ on. Para cada z la superficie contiene una recta de ecuaci´ on a(z)x+b(z)y = p(z) (donde uno de los dos coeficientes a ´ o b es no nulo), siendo para y = 0 zx = 1, es decir a(z) = zp(z), por tanto la superficie y su vector normal son zp(z)x + b(z)y = p(z),

N = (zp(z), b(z), x(p(z) + zp0 (z)) + b0 (z)y − p0 (z))

y a lo largo de la recta z = c, cp(c)x + b(c)y = p(c), N tiene direcci´ on constante y como sus dos primeras componentes son constantes, tambi´ en lo es la tercera (si una de las dos primeras es no nula como es el caso). Ahora hay dos posibilidades: p(c) 6= 0, en cuyo caso x = (p(c) − b(c)y)/cp(c) y es constante en y p(c) − b(c)y p(c) + cp0 (c) b(c)(p(c) + cp0 (c)) (p(c) + cp0 (c)) + b0 (c)y = + y(b0 (c) − , cp(c) c cp(c) es decir b0 (c)cp(c) = b(c)(p(c) + cp0 (c), lo cual implica (b(c)/cp(c))0 = 0, es decir b(c) = kcp(c), por tanto las superficies son los cilindros zx + kzy = 1.

Figura 7.32. Y si p(c) = 0, la recta correspondiente es z = c, yb(c) = 0, es decir z = c, y = 0 y es constante x(p(c) + cp0 (c)) = xcp0 (c), lo cual implica p0 (c) = 0 y como ninguna de las superficies anteriores en k contiene esta recta, tendremos que en todo punto p(z) = 0, lo cual implica que nuestra superficie es b(z)y = 0, es decir y = 0, la cual satisface la propiedad, con la familia de rectas pasando por la hiperbola y paralelas al eje x.

Ejercicio 7.3.1.- Encontrar la funci´ on v(t, x) del plano, tal que v(0, x) = f (x) y T ∇ T = 0, para la conexi´ on est´ andar del plano y T = ∂t + v(t, x)∂x . Adem´ as, dado x0 ∈ R y v0 = f (x0 ), demostrar que dicha soluci´ on v existe en un entorno de (0, x0 ) y es constante a lo largo de la recta (t, x0 + v0 t) (y vale v0 ) y que T es constante y tangente a la recta. Indicaci´ on. 0 = T ∇ T = T ∇ (∂t + v(t, x)∂x ) = (T v)∂x , por tanto v es soluci´ on de la EDP cuasilineal 0 = T v = vt + vvx , con la condici´ on inicial v(0, x) = f (x). El campo caracter´ıstico correspondiente en las coordenadas (t, x, v), es D = ∂t + v∂x y tiene 1–forma incidente dx − vdt y como v es una integral primera, tambi´ en es incidente d(x − vt) y u = x − vt es integral primera. La soluci´ on general es v = h(u), para cualquier funci´ on h y como en t = 0, u = x, la que satisface la condici´ on se obtiene despejando v en la ecuaci´ on, v = f (x − vt), cosa que podemos hacer si

578

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

hv 6= 0, para h = v − f (x − vt), es decir 1 + f 0 (x − vt)t 6= 0, lo cual es cierto en (0, x0 , v0 ). Por tanto existe un entorno de (0, x0 ) en el que podemos despejar v de forma u ´nica, siendo v(0, x0 ) = v0 . Ahora bien la superficie h = 0 es reglada y contiene a la recta (t, x0 + tv0 , v0 ), por lo tanto v = v0 y T = ∂t + v0 ∂x , en un entorno de (0, x0 ) sobre la recta (t, x0 + tv0 ).

Ejercicio 7.3.2.- En los siguientes problemas encontrar la soluci´ on de la EDP que contiene a la curva correspondiente que en y = 0 pasa por z 2 = 2x,

yzzx + zy = 0, yzzx + xzzy + 2xy = 0,

que en z = 0, pasa por x2 + y 2 = 1,

2y(z − 3)zx + (2x − z)zy = y(2x − 3),

que en z = 0 pasa por x2 + y 2 = 2x.

Soluci´ on. Para el primero. Consideremos el campo caracter´ıstico yz

∂ ∂ + , ∂x ∂y

el cual tiene integrales primeras u = z y v = x − y 2 z/2. Ahora expresamos x y z en t´ erminos de y, u y v, y2 z = u, x=v+u , 2 y consideramos las integrales primeras que coinciden con z y x en y = 0, z,

v,

por tanto la soluci´ on es z 2 = 2v

⇒

z 2 = 2x − y 2 z.

Para la u ´ltima. Consideremos el campo en R3 D = 2y(z − 3)

∂ ∂ ∂ + (2x − z) + y(2x − 3) , ∂x ∂y ∂z

que en el sistema de coordenadas v1 = 2x − 3, v2 = y, v3 = z − 3 se escribe D = 4v2 v3

∂ ∂ ∂ + (v1 − v3 ) + v1 v2 , ∂v1 ∂v2 ∂v3

y tiene integrales primeras v12 , u2 = v1 + 2v22 − 4v3 . 2 Ahora tenemos que encontrar una integral primera de D, es decir una funci´ on g de (u1 , u2 ), tal que la superficie {g = 0} se interseque con {z = 0} en u1 = 2v32 −

{z = 0, x2 + y 2 = 2x} = {z = 0, (x − 1)2 + y 2 = 1}. Escribamos x e y en t´ erminos de (u1 , u2 , z) p 4(z − 3)2 − 2u1 + 3 x= , 2 s p u2 − 4(z − 3)2 − 2u1 + 4(z − 3) y= . 2

7.17. Ejercicios resueltos

579

Y consideremos las integrales primeras p 4(−3)2 − 2u1 + 3 , X= 2 s p u2 − 4(−3)2 − 2u1 + 4(−3) Y = , 2 que en z = 0 coinciden con x e y y para las que (X − 1)2 + Y 2 − 1 = 2 +

1 u1 u2 − + , 4 2 2

por tanto basta considerar la funci´ on g = 2u1 − 2u2 − 9 = 4v32 − v12 − 2v1 − 4v22 + 8v3 − 9 = 4(z − 3)2 − (2x − 3)2 − 2(2x − 3) − 4y 2 + 8(z − 3) − 9 = [2(z − 3) + 2]2 − 4 − [2x − 3 + 1]2 + 1 − 4y 2 − 9 = (2z − 4)2 − (2x − 2)2 − 4y 2 − 12. Por tanto la soluci´ on es el hiperboloide de dos hojas (z − 2)2 − (x − 1)2 − y 2 = 3. Ahora bien como a nosotros nos piden la soluci´ on que pasa por la circunferencia, la contestaci´ on es q z = 2 − (x − 1)2 + y 2 + 3.

Ejercicio 7.3.3.- Demostrar que las soluciones de la EDP (z + 3y)zx + 3(z − x)zy + (x + 3y) = 0, son superficies de revoluci´ on de un cierto eje. ¿Qu´e eje?. Soluci´ on.- Como es cuasilineal define el campo (proyecci´ on del caracter´ıstico) D = (z + 3y)

∂ ∂ ∂ + 3(z − x) − (x + 3y) , ∂x ∂y ∂z

y las soluciones est´ an formadas por curvas integrales suyas. Ahora si existe un eje (a, b, c) tal que las superficies soluci´ on son de revoluci´ on en torno a ´ el, tendremos que D y el campo E de los giros en torno a ese eje son proporcionales, pues toda integral primera de D lo ser´ıa de E, por tanto D ser´ıa tangente a los planos definidos por la funci´ on lineal u = ax + by + cz, por tanto Du = 0, lo cual equivale a que 0 = a(z + 3y) + b3(z − x) − c(x + 3y) = −(3b + c)x + 3(a − c)y + (a + 3b)z, y esto a que 3b + c = 0 y a = c, que tiene una u ´nica soluci´ on proporcional a e = (3, −1, 3). Ahora el resultado se sigue pues Du = D(x2 + y 2 + z 2 ) = 0, por tanto las curvas integrales de D son las circunferencias de planos perpendiculares a la recta < e > centradas en ese eje y una superficie que est´ e formada por ellas es de revoluci´ on.

580

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.3.4.- Caracterizar las EDP cuasilineales f 1 zx + f 2 zy = f 3 , cuyas soluciones sean superficies de revoluci´ on de un cierto eje. Soluci´ on.- Sea < (a, b, c) > el eje de revoluci´ on de las superficies soluci´ on y E el campo de los giros alrededor de este eje, por tanto E(x2 + y 2 + z 2 ) = 0 y aEx + bEy + cEz = 0, es decir xEx + yEy + zEz = 0,

aEx + bEy + cEz = 0,

lo cual implica que E es perpendicular a (x, y, z) y a (a, b, c), es decir es proporcional al producto vectorial de (a, b, c) y (x, y, z), que tiene componentes bz − yc,

cx − az,

ay − bx.

Ahora el campo asociado a nuestra EDP es D = f1

∂ ∂ ∂ + f2 + f3 , ∂x ∂y ∂z

y sabemos que para toda integral primera suya, Dh = 0, {h = cte} es una superficie de revoluci´ on del eje dado, pero entonces Eh = 0, pues h es constante en las curvas integrales de E (que son circunferencias, centradas en el eje, de los planos perpendiculares al eje). Por tanto D y E son proporcionales ya que toda integral primera de D lo es de E, por lo que nuestra EDP es (simplificada) (bz − yc)zx + (cx − az)zy = ay − bx.

Ejercicio 7.3.5.- Dada una recta en el espacio encontrar la EDP de las superficies cuya recta normal en cada punto corte a la dada. Resolver la EDP. Soluci´ on.- Sin p´ erdida de generalidad podemos considerar el sistema de coordenadas en el que la recta dada sea el eje z. Ahora la normal n = (−zx , −zy , 1) en cada punto P = (x, y, z) de nuestra superficie define la recta p + λn que si corta al eje z, hay un valor λ para el las dos primeras coordenadas valen 0, es decir x = λzx , y = λzy , lo cual equivale a que yzx = xzy , que es una EDP cuasilineal con campo asociado el campo de los giros y∂x − x∂y , con integrales primeras z y x2 + y 2 y las soluciones son para cualquier funci´ on g del plano, g(x2 + y 2 , z) = cte, que son superficies de revoluci´ on en torno al eje z.

Ejercicio 7.3.6.- Dado k ∈ R encontrar la EDP de las superficies cuya recta normal en cada punto P corte a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, en tres puntos A, B, C para los que sea constante la raz´ on doble (P, A, B, C) = k. Resolver la ecuaci´ on y encontrar las cu´ adricas en forma normal ax2 + by 2 + cz 2 = 1, que sean soluci´ on. Soluci´ on.- La normal n = (−zx , −zy , 1) en cada punto P = (x, y, z) de nuestra superficie define la recta p + λn que se corta con los planos en los puntos A = p + λ1 n = (x − λ1 zx , y − λ1 zy , z + λ1 )

⇒

λ1 = x/zx ,

B = p + λ2 n = (x − λ2 zx , y − λ2 zy , z + λ2 )

⇒

λ2 = y/zy ,

C = p + λ3 n = (x − λ3 zx , y − λ3 zy , z + λ3 )

⇒

λ3 = −z,

581

7.17. Ejercicios resueltos

y la raz´ on doble es P B AC · AB P C k(λ2 − λ1 )λ3 = λ2 (λ3 − λ1 ) yz xz xy +k =− (1 − k) zy zx zx zy k = (P ABC) =

⇔

k · AB · P C = P B · AC

⇔

⇔

(k − 1)λ2 λ3 − kλ1 λ3 = −λ2 λ1

⇒

(1 − k)yzzx + kxzzy = −xy,

⇔

que es una EDP cuasilineal con campo asociado D = (1 − k)yz∂x + kxz∂y − xy∂z que tiene dos 1–formas incidentes exactas obvias xdx + (1 − k) + zdz,

ydy + kzdz,

y por tanto las integrales primeras u = x2 + (1 − k)z 2 , v = y 2 + kz 2 , por tanto las superficies g(u, v) = cte son soluci´ on (las que a nosotros nos interesan adem´ as deben cumplir zx , zy 6= 0, que no lo cumplen ninguno de los dos casos particulares —u = cte, o ´ v = cte—, pero en general s´ı). En particular tenemos la soluci´ on, para a, b ∈ R 1 = au + bv = a(x2 + (1 − k)z 2 ) + b(y 2 + kz 2 )

⇔

ax2 + by 2 + (a(1 − k) + bk)z 2 = 1,

tenemos las cu´ adricas del enunciado con c = a(1 − k) + bk. Observemos que para ellas el resultado es obvio pues tomando el gradiente n ∼ (ax, by, cz), de donde se sigue que las λi no dependen del punto P = (x, y, z) ni por tanto las razones simples de cualesquiera 3 de los 4 puntos ni la raz´ on doble. Por otra parte hay que quitar el caso singular en el que a = b, pues en ese caso es una esfera, ya que a = b = c y λ1 = λ2 = λ3 y A = B = C, por lo que la raz´ on doble no existe.

Ejercicio 7.4.1.- Demostrar que para cada soluci´ on f de (7.1), D es tangente a ∂f ∂f Sn (f ) = {z = f (x), z1 = (x), . . . , zn = (x)}. ∂x1 ∂xn Soluci´ on.- En Sn (f ) se tiene que Dvi = 0.

Ejercicio 7.6.1.- Encontrar con el m´etodo de Cauchy la soluci´ on de la EDP z=

1 2 (zx + zy2 ) + (zx − x)(zy − y). 2

que pasa por el eje x. Soluci´ on. F = D = (p+q−y)

1 2 (p 2

+ q 2 ) + (p − x)(q − y) − z y su campo caracter´ıstico es

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +(p+q−x) +(p(p+q−y)+q(p+q−x)) +(p+q−y) +(p+q−x) , ∂x ∂y ∂z ∂p ∂q

el cual tiene integrales primeras las funciones diferenciablemente independientes u1 = p − x,

u2 = q − y,

u3 =

p+q−y , p+q−x

u4 = F,

pues p + q − y = u1 + u2 + x y p + q − x = u1 + u2 + y, siendo u1 y u2 integrales primeras por tanto constantes para D.

582

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ahora el eje x es la curva (x(t) = t, y(t) = 0, z(t) = 0) y hay dos soluciones en z 0 (t) = p(t)x0 (t) + q(t)y 0 (t),

F [x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)] = 0,

que corresponden a dos valores de q, pues por la segunda 0 = p(t) y por la primera q2 2

− xq = 0. Por tanto tenemos dos posibles curvas σ(t) en R5 ( x(t) = t,

y(t) = 0,

z(t) = 0,

p(t) = 0,

q(t) =

0. 2t.

Ahora para cada t consideramos la curva integral de D pasando por σ(t) (lo haremos para las dos curvas a la vez), que es {ui = ui [σ(t)] : i = 1, 2, 3, u4 = 0} y es respectivamente ( ( 0 0 u1 = −t, u2 = , u4 = 0, , u3 = 2t =2 2t t ´ o en t´ erminos de las coordenadas primitivas ( ( y y p = x − t, q = , p+q = 2t + y 2x − y

,

z=

1 2 (p + q 2 ) + (p − x)(q − y), 2

lo cual da para la primera curva σ(t), como q = y = p + q, que p = 0 y por tanto z=

y2 , 2

que es una soluci´ on pasando por el eje x. La correspondiente a la segunda σ(t) da p = x − t,

q = 2t + y,

p + q = 2x − y,

z=

1 2 (p + q 2 ) + (p − x)(q − y), 2

y de las tres primeras t = x − 2y,

p = 2y,

q = 2x − 3y,

y haciendo cuentas en la cuarta tenemos la otra soluci´ on z=

1 (4xy − 3y 2 ). 2

Ejercicio 7.6.2.- Encontrar con el m´etodo de Cauchy la soluci´ on de la EDP z = zx zy que pasa por la curva x = 0, z = y 2 . Soluci´ on. F = pq − z y su campo caracter´ıstico es D=q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +p + 2pq +p +q , ∂x ∂y ∂z ∂p ∂q

el cual tiene integrales primeras las funciones diferenciablemente independientes q u1 = x − q, u2 = y − p, u3 = , u4 = F, p

583

7.17. Ejercicios resueltos Ahora la curva es x(t) = 0, y(t) = t, z(t) = t2 ; y hay una soluci´ on en 2t = z 0 (t) = p(t)x0 (t) + q(t)y 0 (t) = q(t),

p(t)q(t) = z(t) = t2 , que define la curva σ(t) en x(t) = 0,

R5

y(t) = t,

z(t) = t2 ,

p(t) = t/2,

q(t) = 2t.

Ahora para cada t consideramos la curva integral de D pasando por σ(t) x − q = −2t,

y − p = t − t/2 = t/2,

q/p = 4,

z = pq,

lo cual implica eliminando t, p y q  x 2 . z= y+ 4

Ejercicio 7.6.3.- Encontrar con el m´etodo de la proyecci´ on una integral completa de la EDP z = xzx + yzy + zx zy . Soluci´ on. F = −z + xp + yq + pq y el campo caracter´ıstico es D = (x + q)

∂ ∂ ∂ + (y + p) + (p(x + q) + q(y + p)) , ∂x ∂y ∂z

el cual tiene la 1–forma incidente (y + p)dx − (x + q)dy, por tanto tiene por integrales primeras las funciones u1 = p,

u2 = q,

u3 =

x+q . y+p

Ahora escribimos y, z en t´ erminos de las ui , x y F y=

x + u2 − u1 , u3

z = u1 x + u2 (

x + u2 − u1 ) + u1 u2 − F, u3

y haciendo x = 0 y F = 0 consideramos las integrales primeras Y =

u2 − u1 , u3

Z=

u22 , u3

que igualadas a constantes, junto con F = 0, nos determinan una integral completa de la ecuaci´ on.

Ejercicio 7.6.4.- Encontrar con el m´etodo de la proyecci´ on una integral completa de la ecuaci´ on zx2 + zy2 = 1. Soluci´ on. En este caso F = p2 + q 2 − 1, por lo que el campo caracter´ıstico es D = 2p

∂ ∂ ∂ + 2q +2 , ∂x ∂y ∂z

y tiene integrales primeras u1 = p,

u2 = zp − x,

u3 = py − qx,

u5 = F,

584

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

ahora despejamos y y z en funci´ on de las ui y u4 = x y consideramos las integrales primeras que coinciden con ellas en x = 0 u3 + qx u1 x + u2 z= u1

y=

u3 py − qx , = u1 p u4 zp − x Z= , = u1 p

Y =

y tenemos una integral completa para cada a, b ∈ R, eliminando p y q entre las ecuaciones  qx − py  = a   p   2 2 2 x − zp = b  ⇒ (z + b) = x + (y + a) .  p     p2 + q 2 = 1

Ejercicio 7.6.5.- Encontrar con el m´etodo de la proyecci´ on la soluci´ on, que en x = 0 pasa por z = y 3 , de la EDP: yzzx + zy = 0. Soluci´ on. Como F (x, y, z, p, q) = yzp + q entonces el campo del sistema caracter´ıstico es ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ yz + − yp2 − (zp + ypq) +F , ∂x ∂y ∂p ∂q ∂z y dadas sus caracter´ısticas —F es una de sus componentes—, consideramos el campo D = yz

∂ ∂ ∂ ∂ + − yp2 − (zp + ypq) , ∂x ∂y ∂p ∂q

que coincide con ´ el en F y tiene por integrales primeras las funciones u1 = z ,

u2 = zy 2 − 2x ,

u3 =

y2 1 − . 2 p

Pongamos ahora y, z, p y q en t´ erminos de las ui , x y F s u2 + 2x z = u1 , y = , u1 s 2u21 2u1 u2 + 2x p= , q = F − yzp = F − , u2 + 2x − 2u1 u3 u1 u2 + 2x − 2u1 u3 y consideremos las integrales primeras de D que en x = 0 y F = 0 coinciden con z, y, p, q r r 2u21 u2 2u1 u2 , P = , Q=− , Z = u1 , Y = u1 u2 − 2u1 u3 u1 u2 − 2u1 u3 la soluci´ on la encontramos despejando z en la superficie de R5 S2 = {Z = Y 3 , Q = 3Y 2 , F = 0}, en cualquier abierto en el que x, y sean coordenadas. Ahora bien, en S2 tenemos que hu i3 h zy 2 − 2x i 3 2 2 2 Z =Y3 ⇔ z = = ⇔ z 5 = (zy 2 − 2x)3 , u1 z

585

7.17. Ejercicios resueltos

y p y q son funci´ on de x, y, z, por tanto la soluci´ on es cualquier funci´ on cuya gr´ afica est´ a en la superficie de R3 z 5 = (zy 2 − 2x)3 .

Ejercicio 7.6.6.- Encontrar la soluci´ on, que en x = 0 pasa por z = y 2 , de la ecuaci´ on: z + zx2 = y. Soluci´ on. F (x, y, z, p, q) = z +p2 −y entonces el campo del sistema caracter´ıstico es

∂ ∂ ∂ ∂ + 2p2 −p + (1 − q) , ∂x ∂z ∂p ∂q y tiene por integrales primeras las funciones 2p

u1 = y ,

u2 =

x +p , 2

u3 =

q−1 . p

y las integrales primeras que coinciden con y, z, p y q en x = 0 y F = 0 son y¯ = u1 , Ahora la

soluci´ on19

z¯ = u1 − u22 ,

p¯ = u2 ,

q¯ = 1 + u2 u3 .

la encontramos despejando z en la superficie de R5

S2 = {¯ z = y¯2 , q¯ = 2¯ y , F = 0} = {u1 − u22 = u21 , 1 + u2 u3 = 2u1 , z = y − p2 }, en cualquier abierto en el que x, y sean coordenadas. Ahora bien, en la primera ecuaci´ on x 2 p x y− + p = y2 ⇒ p = y − y2 − 2 2 y por la tercera ecuaci´ on p p x 2 x2 z=y− y − y2 − = y2 − + x y − y2 . 2 4

Ejercicio 7.6.7.- Encontrar con el m´etodo de Lagrange–Charpit una integral completa de la EDP x[zx2 + zy2 ] − zzx = 0. Soluci´ on. Tenemos que F = x(p2 + q 2 ) − zp. Consideremos el campo correspondiente —en {F = 0}— D = (2xp − z)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + 2xq + zp − q2 + qp , ∂x ∂y ∂z ∂p ∂q

el cual tiene la 1–forma incidente pdp + qdq y por tanto d(p2 + q 2 ), es decir que f2 = p2 + q 2 es una integral primera de D. Ahora restringimos ω a la subvariedad {F = 0, f2 = a2 }, 19 Observemos que este m´ etodo no nos permite encontrar una integral completa de la ecuaci´ on, pues la proyecci´ on a R3 de {¯ z = a, y¯ = b, F = 0} cae en y = b y no podemos despejar z como funci´ on√de x, y, sin embargo s´ı se proyecta la soluci´ on {¯ z = a, q¯ = 0, F = 0} y da z = a + x y − a − x2 /4.

586

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y el m´ etodo nos asegura que ω es proporcional a una exacta. Como en ella se tiene √ a z 2 − x2 a2 xa2 , q= = ag, p= z z tendremos que ω = dz − pdx − qdy = dz −

xa2 dx − agdy, z

es proporcional a √

z z2

−

x2 a2

dz − √

a2 x z2

−

x2 a2

dx − ady = d[

p z 2 − x2 a2 − ay].

Por tanto para cada b ∈ R a2 x2 + (ay + b)2 − z 2 = 0, es soluci´ on de nuestra ecuaci´ on.

Ejercicio 7.6.8.- Encontrar con el m´etodo de Lagrange–Charpit una integral completa de la EDP: xzx2 + yzy2 = z. Soluci´ on. En este caso tenemos F (x, y, z, p, q) = xp2 + yq 2 − z, a la que le corresponde el campo D = 2xp

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + 2yq + 2(p2 x + q 2 y) + (p − p2 ) + (q − q 2 ) . ∂x ∂y ∂z ∂p ∂q

Ahora 2xdp + (p − 1)dx es incidente con D, y multiplicando por p − 1 tambi´ en lo es d[(p − 1)2 x], por tanto una integral primera de D es f2 = (1 − p)2 x, y en {F = 0, f2 = a} tendremos que r p=1−

a , x

s q=

√ √ z − ( x − a)2 , y

y por tanto r ω = dz − pdx − qdy = dz − [1 −

a ]dx − x

s

√ √ z − ( x − a)2 dy, y

es proporcional a q a 1− x 1 1 p dx − √ dy = √ √ 2 dz − p √ √ y z − ( x − a) z − ( x − a)2 q √ √ 2 √ = 2d[ z − ( x − a) − y], por tanto para cada a, b ∈ R tenemos la soluci´ on q √ √ 2 √ √ √ z − ( x − a) = y + b ⇒ z = x − 2 ax + y + 2b y + a + b2 .

7.17. Ejercicios resueltos

587

Ejercicio 7.6.9.- Encontrar con el m´etodo de Lagrange–Charpit una integral completa de la EDP z = xzx + yzy + zx zy . Ind. En el ejercicio (7.6.3) hemos encontrado las integrales primeras del campo caracter´ıstico x+q p, q, . y+p Ahora para la primera tendremos que en {F = 0, p = a}, dz − pdx − qdy = dz − adx −

z − xa dy, y+a

, y tenemos la integral completa que es proporcional a la d z−xa y+a z = xa + yb + ab. La segunda integral primera nos da algo similar y para la tercera tendremos que en x+q {F = 0, y+p = a} ! ! r r z + xy z + xy − y dx − − x dy, dz − pdx − qdy = dz − a a a que es proporcional a √ d( z + xy −

√

ax y − √ ), 2 2 a

por tanto la integral completa es √

√ z + xy −

ax y − √ = b. 2 2 a

Ejercicio 7.6.10.- La normal en un punto de una superficie del espacio interseca a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 en un par de puntos cuyo punto medio est´ a en z = 0. (a) Demostrar que la superficie satisface la EDP z(zx2 + zy2 ) + xzx + yzy = 0. (b) Encontrar una integral completa de esta EDP. Demostraci´ on. (a) La normal n = (zx , zy , −1) en cada punto p = (x, y, z(x, y)) de nuestra superficie define la recta p + λn que se corta con la esfera S en dos puntos p + λ1 n, p + λ2 n, con las λi ra´ıces de la ecuaci´ on (x + λzx )2 + (y + λzy )2 + (z − λ)2 = 1, y cuyo punto medio p + [(λ1 + λ2 )/2]n tiene nula la tercera componente, es decir z = (λ1 + λ2 )/2, por tanto de la ecuaci´ on s´ olo nos interesa el valor de (λ1 + λ2 )/2, que es −xzx − yzy + z . zx2 + zy2 + 1 (b) El campo caracter´ıstico en F es D = (x + 2pz)∂x + (y + 2qz)∂y + z(p2 + q 2 )∂z − p(1 + p2 + q 2 )∂p − q(1 + p2 + q 2 )∂q ,

588

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

que tiene una integral primera u = p/q y por Lagrange–Charpit en {F = 0, p/q = a}, p = aq y + xa q=− z(a2 + 1)

⇒

ω = dz +

y + xa ay + xa2 dx + dy, z(a2 + 1) z(a2 + 1)

que es proporcional a la diferencial de la funci´ on (a2 + 1)z 2 + 2axy + a2 x2 + y 2 = (a2 + 1)z 2 + (ax + y)2 , y la soluci´ on es (a2 + 1)z 2 + (ax + y)2 = b, que representan cilindros de base circular, con eje en el plano z = 0 pasando por el origen y ecuaci´ on z = 0, ax + y = 0, pues en la recta √ ax + y = c, con c constante, z es constante, adem´ as esa recta dista del origen d = |c|/ a2 + 1 y d2 + z 2 es constante.

Ejercicio 7.6.11.- La recta normal a una superficie en cada uno de sus puntos corta a los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0, respectivamente en A, B y C. Demostrar que si B es el punto medio de A y C entonces la superficie es soluci´ on de la EDP x 2y z= − . zx zy Encontrar una integral completa. Demostraci´ on. La recta es (x, y, z) + λ(zx , zy , −1) = (x + λzx , y + λzy , z − λ), y los tres puntos se obtienen respectivamente para x + λ1 zx = 0, y + λ2 zy = 0 y λ3 = z es decir x xzy ,z + ), A = (0, y + λ1 zy , z − λ1 ) = (0, y − zx zx y yzx B = (x + λ2 zx , 0, z − λ2 ) = (x − , 0, z + ), zy zy C = (x + λ3 zx , y + λ3 zy , 0) = (x + zzx , y + zzy , 0), y si (A + C)/2 = B, tendremos y−

xzy zzy + =0 2zx 2

⇒

z=

x 2y − . zx zy

El campo caracter´ıstico de F = z − x/p + 2y/q (en F = 0) es D=

2y ∂ ∂ 1 − p2 ∂ 2 + q2 ∂ x ∂ − 2 +z + − , p2 ∂x q ∂y ∂z p ∂p q ∂q

el cual tiene la uno–forma incidente   dz pdp 1 + 2 = d log z + log(p2 − 1) , z p −1 2 y D tiene integral primera u = z 2 (p2 − 1). Ahora en F = 0 y u = a, √ √ 2y z 2 + a z2 + a √ p= , q= z z(x − z 2 + a)

589

7.17. Ejercicios resueltos

por tanto dz − pdx − qdy es proporcional a √ p 2z( z 2 + a − x) √ dz + 2(x − z 2 + a)dx + 4ydy = z2 + a p = d(z 2 + x2 + 2y 2 − 2x z 2 + a), √ por tanto z 2 + x2 + 2y 2 − 2x z 2 + a = b es una integral completa.

Ejercicio 7.7.1.- Demostrar que cada plano de una familia uniparam´etrica de planos del espacio es tangente a su envolvente. Demostraci´ on. Consideremos una familia uniparam´ etrica de planos xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t), cuya envolvente, formada por las rectas (una para cada valor de t) xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t), xa0 (t) + yb0 (t) + zc0 (t) = d0 (t), sea una superficie, entonces el plano tangente en cualquier punto de la recta est´ a dado por la primera ecuaci´ on. Consideremos pues un punto de la recta anterior (para un t fijo) —observemos que esta recta est´ a en la superficie y por tanto es tangente a ella y est´ a en el primer plano—, basta encontrar otra recta de este plano, pasando por nuestro punto, tangente a la superficie. Para ello consideremos un plano xA + yB + zC = D que contenga al punto, de modo que sean independientes los vectores (a(t), b(t), c(t)),

(a0 (t), b0 (t), c0 (t)),

(A, B, C)

y por tanto para el que localmente tiene soluci´ on u ´nica el sistema xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t) xa0 (t) + yb0 (t) + zc0 (t) = d0 (t) xA + yB + zC = D que nos define una curva (x(t), y(t), z(t)) de la superficie, cuyo vector tangente satisface x0 a(t) + y 0 b(t) + z 0 c(t) = 0, y por tanto est´ a en el plano xa(t) + yb(t) + zc(t) = d(t), que es lo que quer´ıamos.

Ejercicio 7.7.2.- Hallar la envolvente de la familia de esferas de radio 1, con centro en los puntos de la circunferencia x2 + y 2 = 4, z = 0 (figura (7.9)). Soluci´ on. La envolvente se obtiene eliminando λ en las ecuaciones (x − 2 cos λ)2 + (y − 2 sen λ)2 + z 2 = 1,

(x − 2 cos λ) sen λ − (y − 2 sen λ) cos λ = 0,

y de la segunda tenemos x sen λ = y cos λ, por tanto y x sen λ = p , cos λ = p , x2 + y 2 x2 + y 2 y la envolvente es el toro de ecuaci´ on x2 (1− p

2 x2 + y 2

)2 +y 2 (1− p

2 x2 + y 2

)2 +z 2 = 1

⇔

p ( x2 + y 2 −2)2 +z 2 = 1.

590

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.7.3.- Hallar la envolvente de la familia de los segmentos de longitud 1, en el primer cuadrante, con extremos en los ejes coordenados. Soluci´ on. Los segmentos considerados corresponden a las rectas y = λx + b(λ), con λ < 0 y b tal que el segmento —que tiene extremos (0, b) y (−b/λ, 0)—, tenga longitud 1, por tanto con b2 +

b2 =1 λ2

b= √

⇔

−λ 1 + λ2

b0 = −

⇒

1 . (1 + λ2 )3/2

Ahora la envolvente se obtiene eliminando λ en las ecuaciones 0 = x + b0

y = λx + b, 2

2 2

λ6

2

y = λ x + 2xλb + b =

(1 + λ2 )3

⇒

x = b02 = 2

,

1 , (1 + λ2 )3

⇒

x2/3 + y 2/3 = 1. 1 b

-b/l

1

Figura 7.33. Envolvente de los segmentos.

Ejercicio 7.7.4.- Encontrar con el m´etodo de la envolvente la soluci´ on de la ecuaci´ on zx2 + zy2 = 1, que pasa por la curva z = 0, x2 + y 2 = 1. Soluci´ on. En este caso F = p2 + q 2 − 1, por lo que el campo caracter´ıstico es D = 2p

∂ ∂ ∂ + 2q +2 , ∂x ∂y ∂z

y tiene integrales primeras u1 = p,

u2 = q,

u3 = py − qx,

u4 = zp − x,

para cada una de ellas —o sus combinaciones— podemos encontrar una integral completa utilizando el m´ etodo de Lagrange Charpit, por ejemplo si consideramos la primera, tendremos que en p2 + q 2 = 1, p = a, nuestra 1–forma dz − pdx − qdy es proporcional a la diferencial de p z − ax − 1 − a2 y, √ por lo tanto g = z − ax − 1 − a2 y + b es una integral completa y considerando la parametrizaci´ on de nuestra curva x(t) = cos t,

y(t) = sen t,

z(t) = 0,

591

7.17. Ejercicios resueltos

la restricci´ on a ella de g f (t) = −a cos t −

p

1 − a2 sen t + b,

planteamos las ecuaciones que nos dar´ an a y b en funci´ on de t  p ) f (t) = 0 a cos t + 1 − a2 sen t = b  ⇒ ⇒ p 0 f (t) = 0 a sen t − 1 − a2 cos t = 0

a = b cos t b2 = 1

y de las dos soluciones de este u ´ ltimo sistema s´ olo lo es del primero el correspondiente a b = 1 y a = cos t, en cuyo caso tenemos la familia de planos soluci´ on ht = 0, para h = z − x cos t − y sen t + 1, de la cual obtenemos la envolvente eliminando t entre las ecuaciones  ) h = 0 z + 1 = x cos t + y sen t ⇒ ⇒ (z + 1)2 = x2 + y 2 . ∂h 0 = −x sen t + y cos t = 0 ∂t

Ejercicio 7.7.5.- Encontrar con el m´etodo de la envolvente las soluciones de la ecuaci´ on x[zx2 + zy2 ] − zzx = 0, que pasan respectivamente por las curvas ( ( x=0 x2 = y = z 2 (1) (2) 2 x > 0, z > 0, z = 4y,

( (3)

x = z2, y = 0.

Soluci´ on. (1) En el ejercicio (7.6.7) hemos visto que para cada a, b ∈ R a2 x2 + (ay + b)2 − z 2 = 0,

(7.29)

es soluci´ on de nuestra ecuaci´ on. Ahora nuestra curva podemos parametrizarla de la forma x = 0, y = t2 , z = 2t, y para cada t queremos encontrar a y b de tal forma que la superficie (7.29) contenga al punto (0, t2 , 2t) de la curva y su plano tangente contenga a la recta tangente a la curva en ese punto, es decir para f (t) = a2 0 + (at2 + b)2 − (2t)2 , planteamos las ecuaciones Ahora bien f = f1 f2 , para f1 = las ecuaciones [f1 (t) = 0,

f (t) = 0,

f 0 (t) = 0.

at2 +b−2t

y f2 = at2 +b+2t y por tanto planteamos

f10 (t) = 0]

⇒

f (t) = 0,

es decir (at2 + b) − 2t = 0,

2at − 2 = 0,

en definitiva tendremos que a=

1 , t

b = t,

f 0 (t) = 0,

592

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y tenemos una familia uniparam´ etrica de superficies soluci´ on y 2 x2 + + t − z 2 = 0, t2 t o equivalentemente h(x, y, z; t) = x2 + (y + t2 )2 − t2 z 2 = 0, de la cual debemos obtener ahora la envolvente que es  h = 0 ⇒ 4x2 − z 4 + 4yz 2 = 0. ∂h = 0 ∂t

Ejercicio 7.7.6.- Encontrar con este m´etodo la soluci´ on de zx zy = 1, que pasa por la curva z = 0, xy = 1. Soluci´ on. En este caso F = pq − 1, por lo que el campo caracter´ıstico tiene a p como integral primera, por tanto tenemos que en pq = 1, p = a, nuestra 1–forma dz − pdx − qdy es proporcional a la diferencial de y z − ax − , a por lo tanto z = ax + (y/a) + b es una integral completa y dada la parametrizaci´ on de nuestra curva x(t) = t, y(t) = 1/t, z(t) = 0, consideramos f (t) = at + (1/at) + b y planteamos las ecuaciones f = 0 y f 0 = 0, es decir 0 = at + (1/at) + b y 0 = a − 1/at2 , que nos dar´ an a y b en funci´ on de t. Consideremos de las dos soluciones a = 1/t y b = −2 y la familia de planos soluci´ on z = x/t + ty − 2, de la cual obtenemos la envolvente eliminando t entre las ecuaciones tz = x + t2 y − 2t,

z = 2ty − 2,

que despejando en la segunda t = (z + 2)/2y y por la primera la envolvente es z=

2xy z+2 + −2 z+2 2

⇔

(z + 2)2 = 4xy.

Ejercicio 7.9.1.- Resolver la ecuaci´ on xzx2 + yzy2 = z, utilizando el m´etodo de Jacobi, reduci´endola antes a las de ese tipo. Soluci´ on. Definimos la funci´ on F (x1 , x2 , x3 , z1 , z2 , z3 ) = x1 z12 + x2 z22 − x3 z32 a la que le corresponde el campo hamiltoniano DF = 2x1 z1

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + 2x2 z2 − 2x3 z3 − z12 − z22 + z32 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂z1 ∂z2 ∂z3

Consideremos una integral primera de DF , v2 = x1 z12 y consideremos su campo hamiltoniano ∂ ∂ D2 = 2z1 x1 − z12 , ∂x1 ∂z1 y ahora debemos considerar una integral primera com´ un a DF y D2 . Sea v3 = x2 z22 . La integral completa es S = {F = 0, v2 = a, v3 = b}.

593

7.17. Ejercicios resueltos

En S se tiene que r z1 =

a , x1

s z2 =

b , x2

s z3 =

a+b , x3

por tanto (x1 , x2 , x3 ) son coordenadas y en S λ = z1 dx1 + z2 dx2 + z3 dx3 s s r a b a+b = dx1 + dx2 + dx3 x1 x2 x3 p p √ = d[2 ax1 + 2 bx2 + 2 (a + b)x3 ], y la soluci´ on por tanto es p p √ 2 ax1 + 2 bx2 + 2 (a + b)x3 = c.

Ejercicio 7.9.2.- Aplicar el m´etodo de Jacobi a una EDP del tipo F (ux , uy , uz ) = 0 y encontrar una integral completa de ux + uy + uz = ux uy uz . P Soluci´ on. El campo Hamiltoniano es Fzi ∂xi , consideremos su integral primera un a ambos campos z2 . z1 , su campo Hamiltoniano Fz1 ∂x1 y la integral primera com´ Ahora en la subvariedad de ecuaciones z1 = a,

z2 = b,

F (z1 , z2 , z3 ) = 0,

λ es exacta. Despejemos en la subvariedad z3 = ϕ(a, b) —de modo que F (a, b, ϕ(a, b)) = 0—, entonces tendremos que en la subvariedad λ = z1 dx1 + z2 dx2 + z3 dx3 = d(ax1 + bx2 + ϕ(a, b)x3 ), y u = ax1 + bx2 + ϕ(a, b)x3 + c es una integral completa. Ahora para F = z1 + z2 + z3 − z1 z2 z3 , tendremos que ϕ(a, b) = (a + b)/(ab − 1) y la integral completa es u = ax1 + bx2 +

a+b x3 + c. ab − 1

Ejercicio 7.9.3.- Aplicar el m´etodo de Jacobi a una EDP del tipo F (x, ux , uz ) = G(y, uy , uz ) y encontrar una integral completa de 2x2 yu2x uz = x2 uy + 2yu2x . Soluci´ on. El campo Hamiltoniano es Fz1 ∂x − Gz2 ∂y + (Fz3 − Gz3 )∂z − Fx ∂z1 + Gy ∂z2 , que tiene integral primera z3 . Su campo Hamiltoniano es ∂z y F es una integral primera com´ un a ambos campos. Ahora despejamos las zi en la subvariedad de ecuaciones F (x, z1 , z3 ) = G(y, z2 , z3 ), z3 = a, F = b, es decir de F (x, z1 , a) = b despejamos z1 = ϕ1 (x, a, b) y de G(y, z2 , a) = b despejamos z2 = ϕ2 (y, a, b). Ahora en la subvariedad tenemos que λ = z1 dx + z2 dy + z3 dz = ϕ1 (x, a, b)dx + ϕ2 (y, a, b)dy + adz,

594

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

es exacta. En el caso particular que nos dan F (x, z1 , z3 ) = 2z12 z3 − 2

z12 , x2

por tanto z3 = a, z2 = by y 2z12 a − 2z12 /x2 = b, por tanto z1 = r λ=

z2 y q

G(y, z2 , z3 ) =

b 2

√

x ax2 −1

y se tiene

√

b x b p 2 b √ dx + bydy + adz = d( √ ax − 1 + y 2 + az), 2 2 ax − 1 2 a 2

por tanto la integral completa es √ b p 2 b √ ax − 1 + y 2 + az + c. 2 a 2

Ejercicio 7.9.4.- Aplicar el m´etodo de Jacobi a una EDP de Clairaut xux + yuy + zuz = G(ux , uy , uz ), y encontrar una integral completa de (ux + uy + uz )(xux + yuy + zuz ) = 1. Indicaci´ on. El campo Hamiltoniano es (x − Gz1 )∂x + (y − Gz2 )∂y + (z − Gz3 )∂z − z1 ∂z1 − z2 ∂z2 − z3 ∂z3 , que tiene integral primera z1 /z3 que como depende s´ olo de las zi su campo Hamiltoniano tiene integrales primeras a las zi , por tanto z2 /z3 es integral primera suya y del primer campo. Ahora despejamos las zi en la subvariedad z1 /z3 = a,

z2 /z3 = b,

xz1 + yz2 + zz3 = G(z1 , z2 , z3 ),

es decir en z1 = az3 , z2 = bz3 y z3 (ax + by + z) = G(az3 , bz3 , z3 ) y en ella λ es exacta. En el caso particular dado, G(z1 , z2 , z3 ) = 1/(z1 + z2 + z3 ), por tanto 1 z3 = p , (ax + by + z)(a + b + 1) b z2 = p , (ax + by + z)(a + b + 1) a z1 = p , (ax + by + z)(a + b + 1) y tenemos la integral completa √ 2 ax + by + z √ + c. a+b+1

Ejercicio 7.9.5.- Resolver la ecuaci´ on diferencial definida por el campo 2x1 z1

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + 2x2 z2 − 2x3 z3 − z12 − z22 + z32 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂z1 ∂z2 ∂z3

595

7.17. Ejercicios resueltos

Indicaci´ on. Siguiendo el ejercicio (7.9.1), encontramos que para p √ √ φ(x1 , x2 , x3 ; v1 , v2 , v3 ) = 2 x1 v2 + 2 x2 v3 + 2 (v2 + v3 − v1 )x3 , λ = φx1 dx1 +φx2 dx2 +φx3 dx3 por tanto tenemos cinco integrales primeras del campo que son v1 = F = x1 z12 + x2 z22 − x3 z32 , v2 = x1 z12 , v3 = x2 z22 , r r ∂φ x1 x3 1 1 = + = + , ∂v2 v2 v2 + v3 − v1 z1 z3 . r r x2 x3 ∂φ 1 1 = + = + ∂v3 v3 v2 + v3 − v1 z2 z3

Ejercicio 7.9.7.- Encontrar mediante el m´etodo de Hamilton–Jacobi las geod´esicas de la m´etrica de curvatura constante negativa K = −1 en el disco unidad (1 − x2 − y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) (1 − x2 − y 2 )2 Indicaci´ on. En el ejercicio (3.8.6) (ver la p´ ag.201), vimos que en coordenadas polares la m´ etrica es dρ ⊗ dρ + (1 − ρ2 )ρ2 dθ ⊗ dθ (1 − ρ2 )(dρ ⊗ dρ + ρ2 dθ ⊗ dθ) + (ρdρ) ⊗ (ρdρ) = , 2 2 (1 − ρ ) (1 − ρ2 )2 por lo tanto E=

1 , (1 − ρ2 )2

F = 0,

G=

ρ2 , 1 − ρ2

y como EG − F 2 = ρ2 /(1 − ρ2 )3 , la ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi es ρ2 φ2ρ 1 − ρ2

+

φ2θ (1 − ρ2 )2

=

2aρ2 (1 − ρ2 )3

⇔

φ2ρ +

φ2θ ρ2 (1 − ρ2 )

=

2a (1 − ρ2 )2

la cual tiene una integral completa en variables separadas Z s b2 2a φ = bθ + − 2 dρ 2 2 (1 − ρ ) ρ (1 − ρ2 ) y haciendo φb = cte, tendremos Z Z b dρ dρ q p θ= = 2 − (1 − ρ2 ) 2a b2 ρ (cte)ρ ρ2 (1 − ρ2 ) (1−ρ − 2 )2 ρ2 (1−ρ2 ) Z dρ 1 p = = arctan p + α, ρ kρ2 − 1 kρ2 − 1 y las soluciones son las rectas, pues si hacemos un giro α p cos θ 1 = = kρ2 − 1 sen θ tan θ

⇒

kρ2 sen2 θ = 1

⇒

y = cte.

596

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 7.9.8.- Encontrar mediante el m´etodo de Hamilton–Jacobi las geod´esicas de la m´etrica de curvatura constante positiva K = 1 en el plano (1 + x2 + y 2 )(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) − (xdx + ydy) ⊗ (xdx + ydy) (1 + x2 + y 2 )2 Indicaci´ on. Siguiendo el ejercicio anterior (7.9.7), tenemos que la m´ etrica es (1 + ρ2 )(dρ ⊗ dρ + ρ2 dθ ⊗ dθ) − ρ2 dρ ⊗ dρ dρ ⊗ dρ + (1 + ρ2 )ρ2 dθ ⊗ dθ = , 2 2 (1 + ρ ) (1 + ρ2 )2 por lo tanto E=

1 , (1 + ρ2 )2

F = 0,

G=

ρ2 , 1 + ρ2

y como EG − F 2 = ρ2 /(1 + ρ2 )3 , la ecuaci´ on de Hamilton–Jacobi es φ2ρ +

φ2θ ρ2 (1 + ρ2 )

=

2a (1 + ρ2 )2

la cual tiene una integral completa en variables separadas Z s b2 2a − 2 dρ φ = bθ + (1 + ρ2 )2 ρ (1 + ρ2 ) y haciendo φb = cte, tendremos la misma ecuaci´ on que en el ejercicio anterior Z dρ 1 p θ= = arctan p + α, 2 ρ kρ − 1 kρ2 − 1 y las soluciones son tambi´ en las rectas.

Ejercicio 7.10.1.- Demostrar que si una lagrangiana en el plano no depende de x, L(x, y, y 0 ) = L(y, y 0 ), la soluci´ on de la ecuaci´ on de Euler-Lagrange satisface L − y 0 Ly0 = cte. Indicaci´ on. La soluci´ on de la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange satisface Ly =

d Ly 0 , dx

por tanto d d (L − y 0 Ly0 ) = Ly y 0 + Ly0 y 00 − y 00 Ly0 − y 0 Ly0 = 0. dx dx

Ejercicio 7.10.2.- Para cada p = (x, y, z) ∈ R3 − {x = 0, y = 0}, consideremos el plano ∆p que contiene a los puntos p = (x, y, z) y (0, 0, z) y la pendiente de su normal es la distancia de p al eje z. Demostrar que (a) La distribuci´ on es totalmente integrable. (b) Cada funci´ on en el plano cuya gr´ afica sea soluci´ on es una funci´ on arm´ onica.

597

7.17. Ejercicios resueltos

(c) Dicha gr´ afica es una superficie m´ınima. Indicaci´ on. El sistema de Pfaff est´ a generado por ω = −ydx + xdy + (x2 + y 2 )dz, pues el p vector normal N = (a, b, c) es ortogonal a (x, y, 0) y tiene pendiente √ on z satisface c/ a2 + b2 = x2 + y 2 . Se demuestra que dω ∧ ω = 0 y la soluci´ zx =

y , x2 + y 2

zy =

−x , x2 + y 2

se comprueba que es soluci´ on de la Ecuaci´ on de LaPlace zxx + zyy = 0 y de la Ecuaci´ on de las superficies m´ınimas     ∂  zx ∂  zy   q + q  = 0. ∂x ∂y 2 2 2 2 1 + zx + zy 1 + zx + zy

Ejercicio 7.10.3.- (a) Demostrar que si una curva plana, cerrada o ´ no, gira alrededor de un eje del plano que no la corta, el a ´rea de la superficie que genera es igual a la longitud de la curva multiplicada por la distancia que recorre el centro de masa de la curva. En el caso de que la curva sea de la forma y = y(z) en [z1 , z2 ], es Z z2 p 2π y 1 + y 02 dz. z1

(b) Entre todas las curvas del plano yz, que unen dos puntos (a1 , b1 ) y (a2 , b2 ), encontrar la que genera una superficie de revoluci´ on en torno al eje z de m´ınima a ´rea. (c) ¿Es una superficie m´ınima? Indicaci´ on. Si la curva es σ(t) = (y(t), z(t)), para σ : [0, 1] → R2 , la superficie es la imagen de F : [0, 1] × [0, 2π] → R3 ,

F (t, θ) = (y(t) cos θ, y(t) sen θ, z(t)), p p para la que si llamamos A a la matriz Jacobiana de F , |At A| = y y˙ 2 + z˙ 2 = y s(t), ˙ siendo Z tp s(t) = y˙ 2 + z˙ 2 dt, 0

el par´ ametro longitud de arco de la curva, por tanto el ´ area es (ver apuntes de Teor´ıa de la medida) Z Z Z L p |At A| dm = y(t)s(t) ˙ dtdθ = 2π y(s)ds. [0,1]×[0,2π]

[0,1]×[0,2π]

0

siendo L = s(1) la longitud de la curva y el resultado se sigue pues las coordenadas del centro de gravedad de la curva en el plano yz, son ! RL RL 0 y(s) ds 0 z(s) ds , , L L y la abscisa es la distancia al eje z.

598

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Otra forma de verlo menos general es si la curva esp de la forma z = z(y), en cuyo caso la superficie es la gr´ afica de la funci´ on, para ρ = x2 + y 2 f : {x1 ≤ ρ ≤ x2 } ⊂ R2 → f (x, y) = z(ρ), para la que 1 + fx2 + fy2 = 1 + z 0 (ρ)2 , por lo que tendremos que el a ´rea de la superficie es Z a2 Z 2π q Z a2 q Z q 1 + z 0 (ρ)2 dxdy = 1 + z 0 (ρ)2 ρ dρdθ = 2π x 1 + z 0 (x)2 dx. {a1 ≤ρ≤a2 }

a1

a1

0

H´ agalo el lector para el caso en que la curva es de la forma x = x(z).

Figura 7.34. Catenoide (b) Por el apartado (a) en el caso general consideramos la lagrangiana p L(t, y, z, y, ˙ z) ˙ = y y˙ 2 + z˙ 2 , para la cual las ecuaciones de Euler–Lagrange son  y z˙   Lz˙ = p 0=  Lz = 0 y˙ 2 + z˙ 2  p ⇒ p  y y˙ Ly = y˙ 2 + z˙ 2  Ly˙ = p , y˙ 2 + z˙ 2 =  y˙ 2 + z˙ 2 y z˙ p = c(cte) y˙ 2 + z˙ 2

y z˙ d p , dt y˙ 2 + z˙ 2 d y y˙ p , dt y˙ 2 + z˙ 2

⇒

y para c = 0 se tiene z(t) constante, que es la soluci´ on si b1 = b2 , en cuyo caso la superficie es un disco agujereado. Si por el contrario b1 6= b2 la soluci´ on corresponde a c 6= 0 y por tanto z˙ 6= 0, por lo que la curva es de la forma y = y(z) y para dy/dz = y 0 (z) = y/ ˙ z, ˙ tenemos que la ecuaci´ on es s p y2 0 02 y =c 1+y ⇔ y = −1 c2 y teniendo en cuenta las propiedades del coseno hiperb´ olico (ver la definici´ on en la p´ ag.56, donde adem´ as resolvimos esencialmente la misma ecuaci´ on diferencial (1.13) que es la de la catenaria) p cosh0 = senh, senh0 = cosh, cosh2 − senh2 = 1, cosh0 = cosh2 x − 1, y considerando el cambio de variable cosh u = y/c, tendremos que (7.30)

u0 =

1 c

⇒

u=

z −d c

⇒

y z = cosh − d, c c

y la soluci´ on es una catenaria (girada, pues y es funci´ on de z) (ver el ejercicio (1.9.5), p´ ag.53) y la superficie de revoluci´ on es una catenoide (ver fig.7.34).

599

7.17. Ejercicios resueltos

Observemos que por dos puntos pasan infinitas catenarias (depende de la longitud de la cadena que dejemos colgar) y no todas son soluci´ on de este problema, s´ olo las de la forma que hemos obtenido. La constante c hace una homotecia y la d sube o baja la superficie. Con la elecci´ on adecuada de ambas se consigue la que pasa por los puntos dados. Sin embargo no siempre tiene soluci´ on, para ver esto consideremos que el primer punto es (a1 , b1 ) = (1, 0). z

S

z

j=1,199...

z

S

S

S

(a,b)

1

y

1

1

y

y

S

S Figura 7.35. Catenarias que pasan por (1, 0) La familia de catenarias que lo contienen es (Fig.7.35, donde el eje y es horizontal y el z vertical) yr = cosh(zr − d),

para

r = cosh −d = cosh d,

es decir y cosh d = cosh(z cosh d − d),

(7.31)

y como el coseno hiperb´ olico es una funci´ on convexa, pues cosh00 = cosh > 0, cada una corta a la recta y = 1 en dos puntos una con z = 0 y otro con z = z1 tal que cosh d = cosh(z1 cosh d − d)

⇒

d = z1 cosh d − d

⇒

z1 =

2d , cosh d

y esta funci´ on de d toma un valor extremo en 0 = z10 =

2 cosh d − 2d senh d cosh2 d

⇒

d tanh d = 1,

la cual tiene s´ olo dos soluciones que llamamos ±d1 y −ϕ = −

2d1 2d1 ≤ z1 ≤ = ϕ ∼ 1, 19968, cosh d1 cosh d1

(ver fig.7.35–Izqda.) de donde se sigue que no hay soluci´ on si tomamos el segundo punto (a, b), con 0 < a ≤ 1 y |b| ≥ ϕ, pues en tal caso la soluci´ on cortar´ıa a y = 1 en un punto z1 , con |z1 | > ϕ. De hecho lo que ocurre (no lo demostramos) es que la envolvente S de todas las soluciones (7.31), que pasan por (1, 0) (ver fig.7.35–centro) separa en dos regiones S + y S − el semiplano y > 0 y se verifica que: Si el segundo punto est´ a en S − no hay soluci´ on. Si est´ a en S hay curva soluci´ on pero no es la de m´ınima ´ area que pase por ´ el, pues lo ser´ıa la soluci´ on degenerada del par de discos horizontales de centro el eje z, a alturas 0 y b, que es la superficie de revoluci´ on que corresponde a la curva

600

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

formada por los tres segmentos: (a, b) − −(0, b), (0, b) − −(0, 0) y (0, 0) − −(1, 0).

Figura 7.36. La catenoide de la derecha es la de m´ınima area Y si est´ a en S + hay dos soluciones que pasan por ´ el (ver fig.7.35–drcha.), pero s´ olo una es la de m´ınima a ´rea, la que dista m´ as del eje z (la de la derecha en la fig.7.36) p (c) Por u ´ltimo se demuestra que, para ρ = x2 + y 2 y z−d ρ = cosh , c c z satisface la ecuaci´ on de las superficies m´ınimas (7.10.2, p´ ag.511), pues derivando respecto de x e y, llamando r = (z − d)/c y teniendo en cuenta que ρx = x/ρ,

ρy = y/ρ,

tendremos que x = zx senh r, ρ

y = zy senh r ⇒ 1 = (zx2 + zy2 ) senh2 r ⇒ ρ q c2 ρ zx2 + zy2 = 2 ⇒ 1 + zx2 + zy2 = p ⇒ 2 ρ −c ρ 2 − c2 zx zy cx cy q ⇒ = 2, q = 2 ρ ρ 2 2 2 2 1+z +z 1+z +z x

 ∂x

x ρ2

y



 + ∂y

x

y ρ2



y

ρ2 − 2x2 ρ2 − 2y 2 = + = 0. 4 ρ ρ4

Figura 7.37. La catenoide tiene curvatura media nula en todo punto

Por u ´ltimo en el ejercicio (8.9), se demuestra que f es soluci´ on de la EDP de las superficies m´ınimas si y s´ olo si la superficie z = f (x, y) tiene curvatura media nula en todo punto, es decir que en todo punto las curvaturas principales son iguales y opuestas, lo cual geom´ etricamente significa que el meridiano y el paralelo por un punto P del paralelo de puntos mas cercanos al eje, tienen c´ırculos osculadores de igual radio, ver la fig.7.37, estas son las u ´ nicas catenarias v´ alidas en nuestro problema.

Ejercicio 7.10.4.- Demostrar que si v(x, y) es la velocidad de una part´ıcula en un punto del plano (x, y), el tiempo que la part´ıcula tarda en ir de un punto

7.17. Ejercicios resueltos

601

(x0 , y0 ) del plano a otro (x1 , y1 ) a trav´es de una curva y = y(x) es Z x1 p 1 + y 0 (x)2 dx. v(x, y(x)) x0 Indicaci´ on. Parametricemos la curva por el tiempo σ(t) = (x(t), y(t)) tal que σ(t0 ) = (x0 , y0 ) y σ(t1 ) = (x1 , y1 ) y denotemos y 0 = dy/dx y y˙ = dy/dt, por tanto como q p v(x(t), y(t)) = x(t) ˙ 2 + y(t) ˙ 2 = x(t) ˙ 1 + y 0 (x(t)), y poniendo t en funci´ on de x tendremos que t(x0 ) = t0 y t(x1 ) = t1 , por tanto Z x1 Z x1 Z x1 p 1 + y 0 (x)2 dt 1 t1 − t0 = dx = dx = dx. dx dx/dt v(x, y(x)) x0 x0 x0

Ejercicio 7.10.5.- Consideremos en el semiplano y ≥ 0, el problema variacional de la curva de m´ınimo tiempo cuando la velocidad en cada punto v(x, y) = y. Indicaci´ on. Por el ejercicio (7.10.4), el tiempo que la part´ıcula tarda en ir de un punto (x0 , y0 ) del plano a otro (x1 , y1 ) a trav´ es de una curva y = y(x) es Z x1 p 1 + y 0 (x)2 dx, y x0 que corresponde a la Lagrangiana que no depende de x p 1 + y 0 (x)2 L(x, y, y 0 ) = , y y cuya curva extremal es soluci´ on de la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange y por el ejercicio (7.10.1), es soluci´ on para una constante c y a = 1/c2 , de p q 1 + y 0 (x)2 y0 − y0 p = c ⇒ 1 = cy 1 + y 0 (x)2 0 2 y y 1 + y (x) s 1 ⇒ 1 = c2 y 2 (1 + y 02 ) ⇒ y 0 = −1 c2 y 2 p y ⇒ dx − p dy = 0 ⇒ x + a − y 2 = b ⇒ y 2 + (x − b)2 = a. a − y2 que son circunferencias centradas en el eje x.

Ejercicio 7.10.6.- Demostrar que la velocidad de un abalorio que cae sin rozamiento por un alambre de un plano x, ypperpendicular a la superficie de la tierra, es en cada punto (x, y), v(x, y) = 2g(y0 − y) (para y0 la altura a la que lo soltamos con velocidad nula, que podemos suponer como y0 = 0). Indicaci´ on. Sea γ la trayectoria, parametrizada por el tiempo, del abalorio sobre el alambre; las fuerzas que act´ uan sobre ´ el son la de la gravedad F = (0, −mg) y la que lo mantiene en la curva (una fuerza N que es normal a la curva), por lo tanto F + N = mγ 00 ,

602

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

y la componente tangencial de F coincide con la componente tangencial de mγ 00 , es decir x02 + y 02 0 ), −mgy 0 = F · γ 0 = mγ 00 · γ 0 = m(x0 x00 + y 0 y 00 ) = m( 2 y de esto se sigue que (x02 + y 02 )/2 = −gy + a, para una constante20 a, la cual es nula si la soltamos con velocidad nula desde y = 0. Por lo tanto el m´ odulo de la velocidad, es (observemos que y < 0) p v[σ(t)] = |σ 0 (t)| = −2gy.

Ejercicio 7.10.7.- Demostrar que la evolvente de la catenaria es la tractriz. Indicaci´ on. La catenaria tiene ecuaci´ on z(x) = cosh x =

ex + e−x , 2

por lo tanto como z 0 = senh y cosh2 − senh2 = 1, tendremos que la longitud del arco de catenaria entre 0 y x = t es Z tq Z t 1 + z 0 (x)2 dx = cosh x dx = senh t = z 0 (t). 0

0

y el punto de la evolvente (x(t), y(t)), correspondiente al desarrollo tangencial de la catenaria desde (0, z(0)) hasta (t, z(t)), satisface Z tq q z(t) − y(t) , (z(t) − y(t))2 + (t − x(t))2 = 1 + z 0 (x)2 dx = senh t = z 0 (t) = t − x(t) 0 de donde (por ser z = cosh) x(t) = t −

senh t , cosh t

y(t) =

1 , cosh t

que son las ecuaciones param´ etricas de la catenaria, pues en cada punto el segmento tangente de longitud 1 tiene su extremo en el eje x, ya que x0 =

senh2 , cosh2

y0 = −

senh , cosh2

p

x02 + y 02 =

senh , cosh

y por lo tanto

(x0 , y 0 ) (x, y) + p , x02 + y 02 tiene la segunda componente nula, pues y0 1 senh cosh y+ p = − = 0. cosh t cosh2 senh x02 + y 02

Ejercicio 7.10.8.- Demostrar que si una masa se mueve sobre una superficie en ausencia de fuerzas, las geod´esicas minimizan la acci´ on. Soluci´ on. En este caso 0 = F = − grad V , por tanto V es una constante que podemos tomar como V = 0 y la lagrangiana L = T − V = T , es la energ´ıa cin´ etica. Por 20 Que

es la energ´ıa total, pues

x02 +y 02 2

es la energ´ıa cin´ etica y −gy es la potencial.

7.17. Ejercicios resueltos

603

tanto, seg´ un hemos visto, las curvas buscadas son las geod´ esicas sobre la superficie.

Ejercicio 7.13.1.- Demostrar que si D es la subida can´ onica de un campo D ∈ D(V) al fibrado tangente, entonces: (i) π ◦ Yt = Xt ◦ π, lo cual equivale a que π∗ D = D. (ii) [H, D] = 0, para H el campo de las homotecias. Ind.- (ii) El grupo uniparam´ etrico de H es τt (Dx ) = et Dx , por tanto Yt [τs (Dx )] = Xt∗ [es Dx ] = es Xt∗ (Dx ) = τs [Yt (Dx )].

604

7.18.

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Bibliograf´ıa y comentarios

Los libros consultados para la elaboraci´ on de este tema han sido los siguientes. Abraham, R., Mardsen, J.E. and Ratiu, T.: “Manifolds, Tensor Analysis, and applications” Ed. Springer–Verlag, 1988. Arnold, V.I.: “Mec´ anica cl´ asica, m´ etodos matem´ aticos”. Ed. Paraninfo, 1983. Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Phisics. Vol. I y II, Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962. Dubrovin, B.A., Fomenko,A.T. and Novikov, S.P.: “Modern geometry–Methods and applications”. Part.I Springer–Verlag, 1984. Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986. Godbillon, C.: “Geometrie differentielle et mecanique analytique”. Hermann, Paris, 1969. Morris, M. and Brown,O.E. : “Ecuaciones diferenciales”. Ed. Aguilar, 1972. ˜oz Diaz, J.: “Ecuaciones diferenciales (I)”. Ed. Univ. Salamanca, 1982. Mun Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´ oricas”. Ed. McGraw–Hill, 1977. Sneddon, I.: “Elements of partial differential equations”. McGraw–Hill, 1981. Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. 5 Vol. Publish or Perish, 1975. Weinstock, Robert: “Calculus of Variations”. Dover, 1974. Zachmanoglou, E.C. and Thoe, Dale W.: “Introduction to Partial Differential Equations with Applications”. Dover, 1986. Zarantonello, E.H.: “Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales”. Notas de Curso, IMAF, C´ ordoba (Argentina), 1984.

Hasta la ´epoca del italo–franc´es Joseph Louis Lagrange, las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden se hab´ıan estudiado muy poco, debido a la gran importancia, desde un punto de vista f´ısico, que hab´ıan tenido las de segundo orden. En tres art´ıculos que public´o en los a˜ nos 1772, 1774 y 1779, aport´ o los conceptos fundamentales de la teor´ıa, desde un punto de vista anal´ıtico, en el caso bidimensional: la ecuaci´ on diferencial del campo caracter´ıstico, la integral completa, la integral general obtenida por el m´etodo de la envolvente, el m´etodo de Lagrange–Charpit (que este u ´ltimo hab´ıa desarrollado independientemente en un trabajo no publicado de 1784), etc. Algunas dificultades con las que se encontraron en la generalizaci´ on al caso n–dimensional fueron resueltas por A.L. Cauchy en 1819.

7.18. Bibliograf´ıa y comentarios

605

El punto de vista geom´etrico lo inici´ o en 1770 el franc´es Gaspar Monge, que en 1784 asoci´ o a cada EDP de primer orden un cono en cada punto del espacio, siendo las soluciones superficies tangentes a estos conos. Introdujo la noci´ on de curva caracter´ıstica , se˜ nalando en un art´ıculo de 1802, que cada superficie soluci´ on de una EDP, era un lugar geom´etrico de curvas caracter´ısticas, y que por cada punto de dicha superficie pasaba una u ´nica curva caracter´ıstica. En cuanto a la unicidad de soluci´ on, observ´ o la importancia de que la curva por la que se quisiera hacer pasar una superficie soluci´ on no fuera caracter´ıstica, dando ejemplos de infinitas soluciones en caso contrario. En cuanto al campo caracter´ıstico, se debe, como dec´ıamos al final del tema anterior, al matem´ atico alem´ an Johann Friedrich Pfaff (1765–1825), qui´en propuso el primer m´etodo general de integraci´on de una ecuaci´ on en derivadas parciales de primer orden (ver el T.9, p´ag.350 de la Enciclopaedia Britannica). En su trabajo sobre formas de Pfaff, que public´ o en la Academia de Berl´ın en 1815, Pfaff asocia a una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden la ecuaci´ on diferencial que define el campo caracter´ıstico, la cual es fundamental para la resoluci´on de estas ecuaciones en derivadas parciales, sin embargo y aunque Gauss escribi´ o una rese˜ na muy positiva del trabajo poco despu´es de su publicaci´on, su importancia no fue reconocida hasta 1827 cuando Jacobi public´o un trabajo sobre el m´etodo de Pfaff. En 1621, el holand´es Willebrord Snell (cuyo a˜ no de nacimiento es dudoso: para algunos es 1580, para otros 1590 y para otros 1591), descubri´ o la Ley de la refracci´ on de la luz —que lleva su nombre—, sobre la constancia de la relaci´ on entre los senos de los ´angulos que un rayo de luz forma al pasar de un medio a otro, respecto de la perpendicular a la superficie que limita ambos medios (ver Simmons, p´ag. 43). Esta Ley, descubierta de forma experimental, y que tuvo un papel b´asico en el desarrollo de la Teor´ıa de la luz, es consecuencia del Principio de m´ınimo tiempo de Fermat, que Pierre de Fermat descubri´o en 1657 y que establece que: “La luz viaja de un punto a otro siguiendo el camino que requiere m´ınimo tiempo”. Este fue el primer Principio m´ınimo que aparece en F´ısica y dice m´as que la Ley de Snell, pues implica que ese valor constante es la proporci´on de velocidades de la luz en ambos medios. En 1744 Pierre de Maupertuis, enunci´ o el Principio de la m´ınima acci´ on, en el que expresaba que:

606

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

“...la naturaleza siempre produce sus efectos por los medios mas simples...”. y afirmaba que esta simplicidad era la causa por la que la Naturaleza daba a una cierta cantidad, que el llam´ o acci´ on, un valor m´ınimo. Sin embargo aunque dio distintos ejemplos en los que as´ı era, (ver la p´ag. 20 del libro) Yourgrau, W. and Mandelstam, S.: “Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory”. W.B. Saunders Co., 1968.

su definici´ on de acci´ on era oscura y era m´ as una intuici´on que una noci´on precisa. No obstante este principio tuvo una gran trascendencia desde entonces. En el mismo a˜ no 1744, el suizo Leonhard Euler, es el primero en publicar el principio de la m´ınima acci´ on en la forma de un teorema. Su proposici´ on aseguraba que cuando una part´ıcula viajaRen un plano, de un punto fijo a otro, describe un camino para el que la vds es m´ınima, donde v es la velocidad de la part´ıcula y s la longitud de arco. Y su demostraci´ on se basaba en el c´ alculo de variaciones cuya f´ormula b´asica expone en el mismo trabajo (ver Yourgrau, p´ag. 24). No obstante sus argumentos geom´etrico–anal´ıticos fueron reemplazados y mejorados por Lagrange mediante argumentos de naturaleza puramente anal´ıtica, dando un procedimiento general, sistem´ atico y uniforme, que serv´ıa para una gran variedad de problemas y que esencialmente es el que nosotros hemos estudiado en este tema. En 1755 Lagrange le escribi´o una carta a Euler, exponi´endole su m´etodo de variaciones como ´el lo llam´o, y que Euler renombr´ o, en un art´ıculo del a˜ no siguiente, c´ alculo de variaciones. Remitimos al lector interesado a la p.759 del libro Kline, Morris: “El pensamiento matem´ atico de la antiguedad a nuestros d´ıas”, Tomo II. Alianza Univ., 1972.

El primero en dar una versi´ on del Principio de m´ınima acci´ on de Hamilton fue Lagrange, pero supon´ıa que la energ´ıa total era “la misma constante” en las trayectorias posibles. El enunciado general, sin esta limitaci´ on la demostr´ o el irland´es William Rowan Hamilton, a la edad de 30 a˜ nos, extendiendo a la mec´ anica algo que hab´ıa demostrado 3 a˜ nos antes: que todos los problemas de ´ optica se pod´ıan resolver por un m´etodo muy simple que inclu´ıa el principio de m´ınimo tiempo de Fermat, como caso particular. De este modo la ´optica y la mec´anica se manifestaron como simples aspectos del c´ alculo de variaciones. En un trabajo de 1808 publicado en Mem. de L’institut de France, Lagrange introduce el ahora llamado corchete de Lagrange de dos

7.18. Bibliograf´ıa y comentarios

607

funciones u, v como {u, v} =

X ∂zi ∂xi ∂u ∂v

−

∂xi ∂zi , ∂u ∂v

∂ ∂ lo cual no es otra cosa que Λ( ∂u , ∂v ), lo cual no tiene sentido a menos que demos un sistema de coordenadas de la que formen parte nuestras dos funciones y en ese caso el corchete depende de todo el sistema y no ´on–Denis Poisson publica en s´ olo de u, v. Al a˜ no siguiente, 1809 Sime el Journal de L’Ecole polytech. VIII (Cahier 15) un art´ıculo en el que introduce el corchete de Poisson de dos funciones u, v como

(u, v) =

X ∂u ∂v ∂u ∂v − , ∂zi ∂xi ∂xi ∂zi

que no es otra cosa que Λ(Du , Dv ) y por tanto s´olo depende de las dos funciones y es intr´ınseco.

Fin del Tema 7

608

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Tema 8

EDP de orden superior. Clasificaci´ on

8.1.

Definici´ on cl´ asica

Desde un punto de vista cl´ asico, llamamos ecuaci´ on en derivadas parciales (EDP) de orden k en el plano, a una “expresi´on del tipo” F (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy , zyy , . . . , zx...x k , zxk−1 k ) = 0. ... xy , . . . , zy ...y Una expresi´ on similar para las coordenadas x1 , . . . , xn en lugar de x, y, define una EDP de orden k en Rn . En particular si consideramos las coordenadas (x, y, z, p, q, r, s, t), en R8 , una EDP de segundo orden en el plano es una expresi´on del tipo F (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy , zyy ) = 0,

609

610

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

donde F en una funci´ on diferenciable en un abierto de R8 , para la que supondremos que alguna de las tres derivadas parciales Fr ,

Fs ,

Ft ,

es no nula (para que F defina una EDP de segundo orden). Una soluci´ on de esta EDP es cualquier funci´on f en el plano tal que la superficie de R8 definida por las seis ecuaciones z = f (x, y),

p = fx (x, y),

r = fxx (x, y),

q = fy (x, y)

s = fxy (x, y),

t = fyy (x, y),

est´e en {F = 0}. Es f´ acil demostrar que cualquier superficie de {F = 0}, en la que se anulen las 1–formas de R8 ω = dz − pdx − qdy, ω1 = dp − rdx − sdy, ω2 = dq − sdx − tdy, y tenga coordenadas (x, y), define una funci´ on f —por restricci´on de z a esa superficie—, z = f (x, y), que es soluci´ on de la EDP. Esto nos induce a considerar, como hicimos en el tema anterior, el sistema de Pfaff en R8 , generado por las cuatro 1–formas P =< dF, ω, ω1 , ω2 >, para el que, como veremos a continuaci´ on, a lo sumo existen superficies tangentes. Teorema 8.1 Toda subvariedad soluci´ on del sistema de Pfaff anterior a lo sumo es bidimensional. Demostraci´ on. Sea Tp (S) el espacio tangente de una tal subvariedad en un punto p cualquiera y veamos qu´e dimensi´on tiene. En primer lugar Tp (S) es incidente con dF , ω, ω1 y ω2 y es totalmente is´otropo para las 2–formas dω = dx ∧ dp + dy ∧ dq = dx ∧ ω1 + dy ∧ ω2 , dω1 = dx ∧ dr + dy ∧ ds, dω2 = dx ∧ ds + dy ∧ dt,

611

8.1. Definici´ on cl´ asica

de las cuales la primera no nos da ninguna informaci´on, pues Tp (S) es incidente con las dos ωi . Consideremos ahora un subespacio E, que contenga a Tp (S), totalmente is´ otropo para dω1 y dω2 y de dimensi´on m´ axima. Entonces su dimensi´ on es ≤ 6, pues la m´axima dimensi´on de un subespacio totalmente is´ otropo de una cualquiera de las dωi es 6, ya que tienen un radical de dimensi´ on 4 que est´ a generado por rad dω1 =
, ∂z ∂p ∂q ∂t

rad dω2 =
, ∂z ∂p ∂q ∂r

y bastar´ıa cortar E con el hiperplano de un vector de fuera del subespacio con lo que encontrar´ıamos que el radical es de dimensi´on mayor que 4. Por lo tanto hay dos posibilidades: 1.- Si dim E = 6, como E es totalmente is´ otropo para dω1 , tiene que contener a su radical, pues en caso contrario podr´ıamos ampliar E, con alg´ un elemento del radical que no contenga, a un espacio de dimensi´on > 6 totalmente is´ otropo de dω1 , lo cual es absurdo. Del mismo modo debe contener al radical de dω2 , por lo tanto ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , , , ∈ E, ∂z ∂p ∂q ∂t ∂r y si D ∈ E es otro vector independiente de los anteriores, (que podemos elegir sin componentes en z, p, q, t y r), tendremos que ∂ ) = Dx, ∂r ∂ 0 = dω2 (D, ) = Dy, ∂t 0 = dω1 (D,

por tanto D es proporcional a ∂s y tendremos que
= E, ∂z ∂p ∂q ∂t ∂r ∂s

ahora bien si D ∈ Tp (S), ωD = ω1 D = ω2 D = 0, por tanto D no tiene componente en la z ni en la p ni en la q y en definitiva Tp (S) ⊂
, ∂t ∂r ∂s

pero no puede coincidir con este espacio pues debe ser incidente con dF y esos tres vectores no pueden a la vez ser incidentes con dF , pues al menos una de las tres funciones Fr , Fs ´ o Ft debe ser no nula.

612

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

2.- Si dim E ≤ 5, como en cualquier caso ∂z , ∂p , ∂q ∈ E, pues E es maximal, la parte de este espacio incidente con ω no puede coincidir con E, pues no contiene la ∂z , por tanto a lo sumo es de dimensi´on 4, por lo que lo llamamos E4 y satisface ∂z , ∂p ∈ E4 , que a su vez la parte de E4 incidente con ω1 no contiene la ∂p , por tanto a lo sumo es de dimensi´on 3 y contiene a la ∂q y a su vez la parte de este espacio incidente con ω2 , no contiene a ese vector, por lo que a lo sumo es bidimensional. Para resolver este sistema de Pfaff lo primero que hay que hacer es buscar alg´ un campo tangente de su sistema caracter´ıstico, con intenci´on de proyectar el sistema de Pfaff. Sin embargo no existe ning´ un campo en el caracter´ıstico, pues de existir alguno D, debe verificar las condiciones DF = ωD = ω1 D = ω2 D = 0, DL ω, DL ω1 , DL ω2 ∈ P, y si suponemos que Fr 6= 0 y que DL ω2 = f1 dF + f2 ω + f3 ω1 + f4 ω2 , tendremos que al ser iD ω2 = 0 DL ω2 = iD dω2 + diD ω2 = iD dω2 = iD (dx ∧ ds + dy ∧ dt) = (Dx)ds − (Ds)dx + (Dy)dt − (Dt)dy, lo cual implica que son nulas las componentes de dz, dp, dq y dr, es decir 0 = f1 Fz + f2 = f1 Fp + f3 = f1 Fq + f4 = f1 Fr , y por tanto f1 = 0, lo cual a su vez implica que f2 = f3 = f4 = 0 y esto que la 1–forma DL ω2 = 0, por lo tanto Dx = Ds = Dy = Dt = 0, lo cual a su vez implica que Dz = pDx + qDy = 0, Dp = rDx + sDy = 0, Dq = sDx + tDy = 0, ya que ωD = ω1 D = ω2 D = 0. Por u ´ltimo que la componente Dr = 0 se sigue de DF = 0. Un an´ alisis similar se hace en los otros dos casos en

8.2. Operadores diferenciales lineales

613

que Fs ´ o Ft son no nulas, observando que o bien Ft 6= 0 ´o Fr = Ft = 0 y Fs 6= 0. Esta es la raz´ on por la que una EDP de primer orden se reduce esencialmente al estudio de una ecuaci´ on diferencial (el campo del caracter´ıstico), mientras que las EDP de orden superior forman una teor´ıa aparte de las ecuaciones diferenciales.

8.2.

Operadores diferenciales lineales

Consideremos una EDP en el plano, de segundo orden y lineal en z, zx , zy , zxx , zxy y zyy , es decir del tipo azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + f z = 0, donde a, b, c, d, e, f son funciones de x, y. Esta ecuaci´on define un (ODL), operador diferencial lineal en C ∞ (R2 ) a

∂2 ∂2 ∂ ∂ ∂2 + 2b +c +d +e + f. ∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y

En esta lecci´ on daremos la definici´ on intr´ınseca de los operadores de este tipo.

8.2.1.

Corchete de Lie de operadores lineales.

Definici´ on. Sea V una variedad diferenciable. Llamaremos operador lineal en un abierto V ⊂ V a toda aplicaci´ on R–lineal P : C ∞ (V ) −→ C ∞ (V ) Cada funci´ on f ∈ C ∞ (V ) define un operador lineal, que denotaremos igual f : C ∞ (V ) −→ C ∞ (V ), f (g) = f · g. Llamaremos corchete de Lie de dos operadores P1 , P2 , al operador [P1 , P2 ] = P1 ◦ P2 − P2 ◦ P1 .

614

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Proposici´ on 8.2 Sean P, P1 , P2 , P3 operadores lineales y f, g ∈ C ∞ (V ), entonces: i) [P1 , P2 ] = −[P2 , P1 ]. ii) [P1 , P2 + P3 ] = [P1 , P2 ] + [P1 , P3 ]. iii) [P1 , P2 ◦ P3 ] = [P1 , P2 ] ◦ P3 + P2 ◦ [P1 , P3 ]. iv) [P1 , [P2 , P3 ]] = [[P1 , P2 ], P3 ] + [P2 , [P1 , P3 ]]. v) [[P, f ], g] = [[P, g], f ]. Demostraci´ on. H´ agase como ejercicio. Definici´ on. Llamaremos operador diferencial lineal (ODL) de orden 0 en el abierto V ⊂ V a todo operador lineal P : C ∞ (V ) → C ∞ (V ), tal que [P, f ] = 0 para toda f ∈ C ∞ (V ). Los denotaremos O0 (V ). Proposici´ on 8.3 O0 (V ) = C ∞ (V ), es decir los ODL de orden 0 son los operadores que definen las funciones. Demostraci´ on. P (f ) = (P ◦ f )(1) = [P, f ](1) + (f ◦ P )(1) = f · P (1). Nota 8.4 Debemos observar que un operador P de orden 0 no es una funci´ on, la funci´ on realmente es P (1), aunque en general no distinguiremos entre la funci´ on y el ODL que define. Definici´ on. Diremos que un operador lineal P en V es un operador diferencial lineal (ODL) de orden n, si para toda f ∈ C ∞ (V ), [P, f ] es un ODL de orden n − 1. Denotaremos con On (V ) los ODL de orden n en el abierto V , por tanto tendremos que O0 (V ) = C ∞ (V ) ⊂ O1 (V ) ⊂ . . . ⊂ On (V ) ⊂ . . . Proposici´ on 8.5 Dado un operador lineal P en V , es un ODL de orden n si y s´ olo si f0 , f1 , . . . , fn ∈ C ∞ (V )

⇒

[. . . [[P, f0 ], f1 ], . . . , fn ] = 0.

Proposici´ on 8.6 i) Si P1 , P2 ∈ On (V ), entonces P1 + P2 ∈ On (V ). ii) Si Pn ∈ On (V ) y Pm ∈ Om (V ), entonces Pn ◦ Pm ∈ On+m (V ). iii) Para cada n, On (V ) es un m´ odulo sobre el anillo C ∞ (V ).

8.2. Operadores diferenciales lineales

615

Demostraci´ on. i) Que es estable por sumas se hace por inducci´on teniendo en cuenta que si P1 y P2 son ODL de orden n [P1 + P2 , f ] = [P1 , f ] + [P2 , f ], que es de orden n − 1. ii) Lo haremos por inducci´ on en n + m. Si n + m = 0, entonces ambos operadores son funciones y su composici´ on es el producto, por tanto el resultado se sigue. Sean ahora Pn de orden n y Pm de orden m, entonces tenemos que probar que [Pn ◦ Pm , f ] es un operador de orden n + m − 1, pero esto se sigue de (8.2), pues [Pn ◦ Pm , f ] = [Pn , f ] ◦ Pm + Pn ◦ [Pm , f ], y el resultado se sigue por inducci´ on. iii) Que el producto de una funci´ on por un ODL es un ODL se sigue de (ii) para n = 0.

8.2.2.

Restricci´ on de un ODL.

Veamos que los ODL se restringen, es decir que si U ⊂ V son abiertos de V y P ∈ On (V ), P|U ∈ On (U ). Proposici´ on 8.7 Sea P ∈ On (V ) y f, g ∈ C ∞ . Si f = g en un abierto U ⊂ V , entonces P (f ) = P (g) en U . Demostraci´ on. Lo haremos por inducci´ on en n, el orden de P . Para n = 0 es trivial. Supongamos que es cierto para los operadores de On−1 (V ) y veamos que es cierto para los de orden n. Por la linealidad de P , basta demostrar que si h = 0 en U , entonces P (h) = 0 en U . Sea x ∈ U y consideremos una funci´on “bad´en” en x —ver (1.8), p´ ag.7—, es decir una funci´ on ϕ no negativa, que valga 1 en un entorno de x y 0 fuera de un cerrado de U . Entonces hϕ = 0 en V , por lo que 0 = P (ϕh) = (P ◦ ϕ)(h) = [P, ϕ](h) + ϕ · P (h), y como [P, ϕ] es de orden n − 1 el resultado se concluye. Definici´ on. Definimos la restricci´ on de un ODL P a un abierto U ⊂ V , como el operador P|U : C ∞ (U ) → C ∞ (U ),

P|U (f )(x) = P (f )(x),

para cada x ∈ U y f ∈ C ∞ (V ) que coincida con f en un entorno de x.

616

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

El resultado anterior prueba que P|U (f )(x) = P (f )(x), no depende de la funci´ on f elegida. Lema 8.8 Para cualquier aplicaci´ on P : C ∞ (V ) → C ∞ (V ) y cualesquiera ∞ fi , g ∈ C (V ) [. . . [[P, f0 ], f1 ], . . . , fn ](g) = Y X Y = P ( fi g) − fi P ( fj g)+ j6=i

+

X

fi fk P (

i ´ o de sus distribuciones asociadas < D1 > y < D2 >.

8.4. ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

629

Ejercicio 8.4.2 Consideremos la EDP de ondas k2 zxx − ztt = 0, definir el ODL asociado, su s´ımbolo, decir de que tipo es, reducirla a forma can´ onica y resolverla. (a) Encontrar la soluci´ on que satisface las condiciones, para x ∈ R z(x, 0) = h(x), zt (x, 0) = g(x), y demostrar que es u ´nica. (b) Demostrar que si z es soluci´ on y se anula en el infinito de x, uniformemente en t (i.e. ∀ > 0, ∃M > 0 : si |x| ≥ M , |z(x, t)| ≤ ), entonces z = 0. (Sol.) Ejercicio 8.4.3 Consideremos la EDP yzxx − xzyy −

y x zx + zy = 0, 2x 2y

definir el ODL asociado, su s´ımbolo, decir en que regi´ on es de tipo hiperb´ olico y resolverla, si es posible, reduci´endola antes a forma can´ onica. Decir cuales son sus curvas caracter´ısticas. (Sol.) Ejercicio 8.4.4 Consideremos las EDP y 2 zxx − zyy = 0, y 2 zxx + 2zxy + zyy − zx = 0, xzxx + 2zxy − xzyy = 0, decir en qu´e regi´ on son hiperb´ olicas, resolverlas si es posible, reduci´endolas antes a forma can´ onica y decir cuales son sus curvas caracter´ısticas.

8.4.2.

Operadores diferenciales lineales parab´ olicos.

Consideremos ahora el caso en que P es parab´olico. Se sigue que en cualquier sistema de coordenadas se expresa de la forma P =a

∂2 ∂ ∂2 ∂2 ∂ + c +e + f, + 2b +d ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y

donde ac − b2 = 0, en cuyo caso la 1–forma is´ otropa u ´nica es proporcional a dy + λdx, tal que 0 = T (dy + λdx, dy + λdx) = aλ2 + 2bλ + c,

630

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

cuyas soluci´ on es λ = −b/c y la 1–forma is´ otropa es ω = bdx − cdy, la cual tiene como campo incidente b

∂ ∂ +a ∂x ∂y

proporcional a

c

∂ ∂ +b , ∂x ∂y

pues ac − b2 = 0. Proposici´ on 8.23 Dado un ODL parab´ olico P ∈ O2 (V) en una variedad diferenciable bidimensional V, localmente existe un sistema de coordenadas (u, v) en el que P =A

∂2 + P1 , ∂u2

(para P1 ∈ O1 ).

Demostraci´ on. Basta demostrar que su s´ımbolo se expresa de la forma ∂ ∂ T=A ⊗ . ∂u ∂u Como T es parab´ olico tiene una u ´nica 1–forma is´otropa ω ∈ Ω(U ), que adem´ as est´ a en el radical, es decir que para toda θ ∈ Ω T(ω, θ) = 0, pues en caso contrario tendr´ıamos dos soluciones is´otropas 0 = T (ω + λθ, ω + λθ) = 2λT(ω, θ) + λ2 T(θ, θ). Ahora si D es un campo incidente con ω y no singular, tendremos que existe un sistema de coordenadas (u, v) en el que D = ∂u y ω = ω(D)du + ω(

∂ ∂ )dv = ω( )dv ∂v ∂v

⇒

ω(

∂ ) 6= 0, ∂v

por tanto dv est´ a en el radical y du no es is´ otropo y se sigue que T = T(du, du)

∂ ∂ ⊗ . ∂u ∂u

Definici´ on. Al campo D se le llama caracter´ıstico y a sus curvas integrales v = cte, curvas caracter´ısticas. Como antes son las curvas integrales del sistema de Pfaff can´ onico < ω > ´ o de su distribuci´on asociada < D >.

8.4. ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

631

Ejercicio 8.4.5 Consideremos la EDP x2 zxx − 2xyzxy + y 2 zyy + 2xzx = 0, decir en qu´e regi´ on es parab´ olica, resolverla, si es posible, reduci´endola antes a forma can´ onica y decir cuales son sus curvas caracter´ısticas. (Sol.) Ejercicio 8.4.6 Consideremos las EDP zxx − 2zxy + zyy = 0, 2

x zxx − 2xyzxy + y 2 zyy = 0, x2 zxx + 2xyzxy + y 2 zyy = 0, decir en qu´e regi´ on son parab´ olicas, resolverlas si es posible, reduci´endolas antes a forma can´ onica y decir cuales son sus curvas caracter´ısticas.

8.4.3.

Campos y 1–formas complejas.

Hemos dejado la clasificaci´ on de los operadores diferenciales lineales el´ıpticos para el final pues son los m´ as dif´ıciles y necesitamos dar algunas definiciones previas. Definici´ on. Dada una variedad diferenciable V denotaremos con CC∞ (V) el ´ algebra de las funciones complejas f = f1 + if2 : V → C, con f1 , f2 ∈ C ∞ (V). Para cada x ∈ V definimos la complejizaci´ on del espacio tangente a V en x como el C–espacio vectorial de las derivaciones C–lineales en x Dx : CC∞ (V) → C, C

y lo denotaremos con Tx (V). Para cada x ∈ V definimos la complejizaci´ on del espacio cotangente C C a V en x como el C–espacio vectorial Tx (V)∗ , dual de Tx (V). Definimos la complejizaci´ on de los campos tangentes de V como el CC∞ (V)–m´ odulo DC (V), de las derivaciones C–lineales D : CC∞ (V) → CC∞ (V). Definimos la complejizaci´ on de las 1–formas como el CC∞ (V)–m´odulo ΩC (V), dual de DC (V), es decir de las ω : DC (V) → CC∞ (V),

632

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

CC∞ (V)–lineales. Definimos la diferencial de f ∈ CC∞ (V), como la 1–forma df ∈ ΩC (V) df : DC (V) → CC∞ (V), df (D) = Df. Ejercicio 8.4.7 i) Demostrar que toda derivaci´ on real D ∈ D(V) define una compleja D : CC∞ (V) → CC∞ (V),

D(f1 + if2 ) = Df1 + iDf2 .

ii) Que si D ∈ DC (V), existen u ´nicos D1 , D2 ∈ D(V), tales que D = D1 + iD2 . iii) Que si D1 , . . . , Dk ∈ D(V) son independientes, siguen si´endolo en DC (V) como derivaciones complejas y si k es par tambi´en lo son E1 = D1 + iD2 , E2 = D1 − iD2 , E3 = D3 + iD4 , E4 = D3 − iD4 ,... iv) Que si u1 , . . . , un ∈ C ∞ (V), es un sistema de coordenadas, ∂ ∂ ,..., ∈ DC (V) ∂u1 ∂un es base. Ejercicio 8.4.8 i) Demostrar que toda 1–forma real ω ∈ Ω(V) define una compleja ω(D1 + iD2 ) = ω(D1 ) + iω(D2 ). ω : DC (V) → CC∞ (V), ii) Que si ω ∈ ΩC (V), existen u ´nicas ω1 , ω2 ∈ Ω(V), tales que ω = ω1 + iω2 . iii) Que si f = f1 + if2 , con f1 , f2 ∈ C ∞ (V), entonces df = df1 + idf2 . iv) Que si ω1 , . . . , ωk ∈ Ω(V), son independientes, tambi´en lo son en ΩC (V), y si k es par tambi´en lo son θ1 = ω1 + iω2 , θ2 = ω1 − iω2 , θ3 = ω3 + iω4 , θ4 = ω3 − iω4 ,... v) Que si u1 , . . . , un ∈ C ∞ (V), es un sistema de coordenadas, du1 , . . . , dun ∈ ΩC (V) es base.

Dejamos al lector las definiciones de complejizaci´on de campos tensoriales, sus productos tensoriales, etc. En particular tenemos que dada una p–forma compleja ω ∈ ΛpC (V), existen u ´nicas ω1 , ω2 ∈ Λp (V), tales que ω = ω1 + iω2 . Definici´ on. Definimos la diferencial de la p–forma compleja ω = ω1 + iω2 como dω = dω1 + idω2 .

8.4. ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

633

El producto exterior de p–formas se define como en el caso real y se tiene ω ∧ η = (ω1 + iω2 ) ∧ (η1 + iη2 ) = ω1 ∧ η1 − ω2 ∧ η2 + i(ω1 ∧ η2 + ω2 ∧ η1 ). Dada una subvariedad orientada p–dimensional C ⊂ U , definimos la integral de una p–forma compleja ω = ω1 + iω2 a lo largo de C como Z Z Z ω= ω1 + i ω2 . C

C

C

Se sigue f´ acilmente que para las formas complejas tambi´en es v´alido el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994. Caso bidimensional. Consideremos ahora el caso particular en que V = U es un abierto de R2 , y u1 , u2 ∈ C ∞ (U ), entonces u = u1 − iu2 ,

u = u1 + iu2 ,

son funciones de CC∞ (U ). Adem´ as tenemos que u1 =

1 1 u + u, 2 2

u2 =

−i i u + u. 2 2

Ahora (u1 , u2 ) son coordenadas en U si y s´ olo si du1 , du2 son base de Ω(U ), y por tanto de ΩC (U ), lo cual equivale a que tambi´en lo son du = du1 − idu2 ,

du = du1 + idu2 ,

en cuyo caso podemos definir los campos complejos ∂ ∂ , ∈ DC (U ), ∂u ∂u como la base dual de du, du, para la que se tiene ∂u1 1 = , ∂u 2 ∂u1 1 = , ∂u 2

∂u2 −i = ∂u 2 ∂u2 i = , ∂u 2

⇒

∂ 1 ∂ i ∂ = − ∂u 2 ∂u1 2 ∂u2 ∂ 1 ∂ i ∂ = + . ∂u 2 ∂u1 2 ∂u2

Ejercicio 8.4.9 Demostrar que ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ⊗ + ⊗ = ∂u ∂u ∂u ∂u 2



∂ ∂ ∂ ∂ ⊗ + ⊗ ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2

 .

634

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Ejercicio 8.4.10 Consideremos las coordenadas (x, y) en el abierto U de R2 y sean z = x + iy y z = x − iy. Demostrar que para cada f = u + iv ∈ CC∞ (U ) ∂f =0 ∂z

⇔

ux = vy vx = −uy

A las ecuaciones de la derecha del ejercicio anterior se las conoce como Ecuaciones de Cauchy–Riemann y caracterizan a las funciones holomorfas ´ o anal´ıticas de variable compleja, entendiendo la identificaci´ on natural entre R2 y C, (x, y) → z = x + iy. (Ver la lecci´on (9.4), p´ ag.698). Como consecuencia del Teorema de Stokes y lo anterior se tiene el siguiente resultado fundamental en Teor´ıa de variable compleja. Teorema de Cauchy 8.24 Dada una funci´ on holomorfa f = u + iv y una curva S, borde de una variedad con borde C ⊂ R2 , se verifica Z f (z)dz = 0. S

Demostraci´ on. ω = f (z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx − vdy + i(vdx + udy) es una 1–forma compleja cerrada, pues dω = (−uy − vx + i(ux − vy )dx ∧ dy = 0, por tanto se sigue del Teorema de Stokes (14.12), p´ag.994, que Z Z Z f (z)dz = ω= dω = 0. S

8.4.4.

S

C

Operadores diferenciales lineales el´ıpticos.

Consideremos ahora el caso en que P es el´ıptico. Se sigue que en cualquier sistema de coordenadas se expresa de la forma P =a

∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ + 2b +c +d +e + f, ∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y

donde ac − b2 > 0, y nos planteamos si habr´ a alg´ un sistema de coordenadas (u1 , u2 ) en el que   ∂2 ∂2 P =A + + P1 , (para P1 ∈ O1 ) ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2

8.4. ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

635

o equivalentemente su s´ımbolo se exprese de la forma ´   ∂ ∂ ∂ ∂ T=A ⊗ + ⊗ . ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 Analizaremos esta cuesti´ on desde tres puntos de vista: Punto de vista de puro c´alculo. Buscamos un sistema de coordenadas (u1 , u2 ) en el que T (du1 , du1 ) = au21x + 2bu1x u1y + cu21y = T (du2 , du2 ) = au22x + 2bu2x u2y + cu22y , T (du1 , du2 ) = au1x u2x + bu1x u2y + bu1y u2x + cu1y u2y = 0, lo cual equivale a que a(u1x + iu2x )2 + 2b(u1x + iu2x )(u1y + iu2y ) + c(u1y + iu2y )2 = 0, que a su vez se satisface si √ b − i ac − b2 u1y + iu2y , =− u1x + iu2x c la cual multiplicada por u1x + iu2x y separando la parte real de la imaginaria equivale al sistema lineal de EDP √ b ac − b2 u1y = − u1x − u2x , c √ c b ac − b2 u2y = − u2x + u1x , c c el cual si tiene soluci´ on u1 , u2 con u1x ´ o u2x no nulas en un punto, entonces son sistema de coordenadas en un entorno de ese punto, pues √ ac − b2 2 (u1x + u22x ) u1x u2y − u2x u1y = c y la existencia de soluci´ on, para el caso particular en que las funciones a, b, c sean funciones anal´ıticas reales, es una consecuencia del Teorema de Cauchy–Kowalevski que demostraremos en el siguiente tema. √ El mismo sistema, multiplicando primero la primera ecuaci´on por ac − b2 y la segunda por b y despu´es la primera por −b y la segunda

636

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

√ por ac − b2 , se puede expresar en la siguiente forma conocida como ecuaciones de Beltrami cu2y + bu2x u1x = √ , ac − b2

au2x + bu2y u1y = − √ , ac − b2

y a su vez derivando la primera respecto de y y la segunda de x se transforma en la EDP de segundo orden en u2 ∂ au2x + bu2y ∂ cu2y + bu2x √ √ + = 0, 2 ∂x ∂y ac − b ac − b2 la cual aunque no es m´ as f´ acil de resolver que la inicial se puede demostrar (ver Garabedian, p´ ag. 67), que en condiciones bastante generales para a, b, c ∈ C ∞ , tiene soluci´ on global que permite resolver las ecuaciones de Beltrami . No obstante se pueden encontrar soluciones locales por el m´etodo de las aproximaciones sucesivas (ver Courant,R. and Hilbert, D., p´ ag. 350 y Garabedian, pp. 168–172). Punto de vista Geom´etrico. Como T es el´ıptico, o bien T(ω, ω) > 0, para toda ω no nula, o bien T(ω, ω) < 0, pues si existen ω, η no nulas tales que T(ω, ω) > 0 y T(η, η) < 0, basta considerar para cada x la funci´ on continua en t ∈ [0, 1], f (t) = Tx (tωx + (1 − t)ηx , tωx + (1 − t)ηx ), que verifica f (0) < 0 y f (1) > 0, por tanto que se anula en un punto t intermedio, por lo que tωx + (1 − t)ηx = 0, pues Tx no tiene vectores is´ otropos, por tanto ω y η son proporcionales, ω = gη, y T(ω, ω) = g 2 T(η, η), lo cual es absurdo. Tenemos entonces un isomorfismo entre los campos y las 1–formas definido por γ : Ω → T01 ' D, ω → γ(ω) = T(ω, ·), ∂ ∂ ∂ ∂ dx → T(dx, dx) + T(dx, dy) =a +b , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ dy → T(dy, dx) + T(dy, dy) =b +c , ∂x ∂y ∂x ∂y y a trav´es de este isomorfismo, T define una m´etrica Riemanniana g en U, g(D1 , D2 ) = T(γ −1 D1 , γ −1 D2 ) = γ −1 D2 (D1 ),

8.4. ODL de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

637

cuya matriz asociada es la inversa de la de T. Ahora bien es conocido en geometr´ıa diferencial, que toda m´etrica Riemanniana en un abierto del plano puede multiplicarse por una funci´on f de tal manera que f g sea eucl´ıdea, es decir que existe un sistema de coordenadas (u, v) en el que f g = du ⊗ du + dv ⊗ dv, por tanto en ese mismo sistema de coordenadas T/f tiene la forma deseada, (remitimos al lector al libro de Spivak, Vol.IV, p.460 y Vol.V, p.77). Punto de vista de complejizaci´ on del s´ımbolo. En el caso el´ıptico nuestro s´ımbolo T tambi´en tiene dos 1–formas is´ otropas independientes, que son complejas y podemos calcular T(dx + λdy, dx + λdy) = a + 2bλ + cλ2 = 0, cuyas soluciones son

√ √ −b + i ac − b2 −b − i ac − b2 , λ= , λ= c c por tanto nuestras 1–formas is´ otropas son ω = dx + λdy,

ω = dx + λdy.

Ahora bien nos interesa saber si existen funciones complejas h, u ∈ CC∞ (U ), tales que (8.2)

ω = hdu,

pues en tal caso ω = hdu, siendo du, du independientes y para u = u1 + iu2 tendr´ıamos que (u1 , u2 ) es un sistema de coordenadas en el que   ∂ ∂ ∂ ∂ T = T(du, du) ⊗ + ⊗ ∂u ∂u ∂u ∂u   T(du1 , du1 ) + T(du2 , du2 ) ∂ ∂ ∂ ∂ = ⊗ + ⊗ , 2 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 y el resultado estar´ıa demostrado. Ahora bien (8.2) equivale a que las 1–formas dx + λdy y du = ux dx + uy dy, sean proporcionales, es decir que √ u1y + iu2y uy b − i ac − b2 , = =− u1x + iu2x ux c que es a lo que llegamos en el primer punto de vista.

638

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

El operador de Laplace–Beltrami Por u ´ltimo veremos en (14.8.2), p´ ag.1011, que toda variedad Riemanniana (V, g), n–dimensional y orientada tiene un ODL de segundo orden intr´ınseco, llamado el Operador de Laplace–Beltrami definido de la siguiente manera. Definici´ on. Para cada k = 0, . . . , n, llamamos operador * de Hodge al morfismo ∗ : Λk (V) → Λn−k (V), tal que para cada α ∈ Λk y Dk+1 , . . . , Dn ∈ D, ∗α(Dk+1 , . . . , Dn )Ω = α ∧ iDk+1 g ∧ · · · ∧ iDn g, donde Ω es la n–forma de volumen. Se demuestra que ∗ es un isomorfismo y su inversa es (−1)k(n−k) ∗, es decir que ∗−1 = ∗ cuando n es impar ´ o n y k son pares y ∗−1 = −∗ s´ olo si n es par y k impar. Definici´ on. Para cada k = 0, . . . , n, llamamos codiferencial exterior al morfismo δ : Λk (V) → Λk−1 (V), n+k+1

δ = (−1)

−1

∗

◦d ◦ ∗ = (−1)k(n−k)+n+k+1 ∗ ◦d ◦ ∗,

y operador de Laplace–Beltrami a ∆ = −(δ ◦ d + d ◦ δ) : Λk (V) → Λk (V). Para k = 0 tenemos que ∆ = −δ ◦ d = ∗ ◦ d ◦ ∗ ◦ d : C ∞ (V) → C ∞ (V), es un ODL de orden 2, ∆ ∈ O2 (V), definido, en t´erminos de unas coordenadas xi , por2   n 1 X ∂ √ ij ∂u ∆u = √ , gg g i,j=1 ∂xi ∂xj donde gij son los coeficientes de la m´etrica g en esas coordenadas, g ij son los t´erminos de su matriz inversa y g = det(gij ). En estos t´erminos se tiene el siguiente resultado. 2 Remitimos al lector interesado al Godbillon, p.229, Gockeler and Schucker, p. 35, y Egorov–Shubin, p.15).

8.5. ODL de orden 2 en Rn . Clasificaci´ on

639

Teorema 8.25 Todo ODL el´ıptico P ∈ O2 (V), en una variedad diferenciable, bidimensional y orientada descompone de forma can´ onica como una suma P = ∆ + D + f, donde ∆ ∈ O2 (V), D ∈ D(V) y f ∈ C ∞ (V), adem´ as para cada h ∈ C ∞ (V) no nula, la descomposici´ on de hP es hP = h∆ + hD + hf. Demostraci´ on. Todo ODL el´ıptico define un tensor, su s´ımbolo, el cual define una m´etrica, que a su vez define un operador de Laplace– Beltrami, P ∈ O2 (V) → T ∈ T02 (V) → g ∈ T20 (V) → ∆ ∈ O (V), cuyo s´ımbolo tambi´en es T, por lo tanto P − ∆ es un ODL de orden 1 y por lo tanto tenemos la descomposici´ on can´ onica P = ∆ + D + f, donde f = P (1) y D = P − ∆ − f es un campo tangente. Adem´ as si multiplicamos nuestro ODL por una funci´on h 6= 0, P = hP , su s´ımbolo quedar´ a multiplicado por ella, T = hT, en cuyo caso la m´etrica queda dividida por h, g = g/h, y el operador de Laplace– Beltrami correspondiente a esta nueva m´etrica es ∆ = h∆, por lo que la descomposici´ on can´ onica de hP es hP = h∆ + hD + hf.

8.5.

ODL de orden 2 en Rn . Clasificaci´ on

En el caso n–dimensional no es posible encontrar un sistema de coordenadas en el que un ODL de segundo orden se exprese de forma simple

640

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

en un entorno de un punto, sin embargo s´ı se puede hacer que en un punto determinado sea simple, en particular en toda la variedad si los coeficientes son constantes en algun sistema de coordenadas (aunque esto no sea intr´ınseco). Observemos que si nuestro operador P , define un s´ımbolo que en un sistema de coordenadas se expresa de la forma T=

n X

aij

i,j=1

∂ ∂ ⊗ , ∂xi ∂xj

en otro sistema de coordenadas (ui ) se expresar´a T=

n X

Aij

i,j=1

∂ ∂ ⊗ , ∂ui ∂uj

Akl = T(duk , dul ) =

n X i,j=1

aij

∂uk ∂ul , ∂xi ∂xj

y con nuestras n funciones ui , mas la posibilidad de multiplicar el operador por una funci´ on, no podemos esperar imponer mas que n + 1 condiciones sobre los n(n + 1)/2 coeficientes Aij , con i ≥ j. Observemos que s´ olo para n = 2 ambos n´ umeros coinciden, por tanto para n ≥ 3 ya no tenemos suficientes grados de libertad para obtener unas funciones Aij simples. Sin embargo, como dec´ıamos al principio, podemos conseguir que en un punto determinado p ∈ V las Aij (p) sean sencillas, pues sabemos por un resultado de ´ algebra lineal que todo tensor sim´etriPpara n co, como nuestro Tp , existe una base ωip = j=1 cij dp xj , cuya matriz asociada tiene t´erminos Aii (p) = 1, = −1 ´ o =0

y para i 6= j

Aij (p) = 0,

siendo intr´ınseco3 el n´ umero m de Aii (p) = 1, k de Aii (p) = −1 y r = n − m − k de Aii (p) = 0. Adem´ as es f´ acil conocer estos n´ umeros 3 Si T : E ×E → R es un tensor sim´ etrico en un espacio vectorial real de dimensi´ on n la base elegida corresponde a una ruptura de E = R⊕H⊕V en suma directa ortogonal de R, el radical de T , de dimensi´ on r y que corresponde a los t´ erminos nulos de la diagonal y de otra parte H ⊕ V en la que T no tiene radical, la cual a su vez rompe en H que es suma ortogonal de planos hiperb´ olicos (corresponde a las parejas de 1’s y −1’s), la cual contiene un subespacio totalmente is´ otropo de dimensi´ on m´ın{m, k}, y de un espacio V en el que T es definido positivo o ´ negativo y corresponde al resto de 1’s ´ o −1’s.

8.5. ODL de orden 2 en Rn . Clasificaci´ on

641

pues cuando Aij es diagonal, los valores Aii difieren de los autovalores de (aij ) s´ olo en factores positivos. Definici´ on. Diremos que un ODL P ∈ O2 (V), en una variedad n– dimensional, es el´ıptico en un punto p ∈ V si para Tp se tiene que m=n´ o k = n, parab´ olico si m + k < n e hiperb´ olico si m = n − 1 y k=1´ o m = 1 y k = n − 1. Como consecuencia del resultado citado se tiene el siguiente. Teorema 8.26 Si en un sistema de coordenadas xi las funciones aij de nuestro ODL P son constantes, existe un sistema de coordenadas lineales en las xi n X ui = cij xj , j=1

en el que nuestro ODL se expresa de la forma P =

n X i=1

n

i

X ∂2 ∂ + fi + f, ∂u2i ∂u i i=1

donde los i = 1, −1 ´ o = 0. Si el resto de los coeficientes de nuestro ODL tambi´en son constantes en el primer sistema, tambi´en lo ser´ an en el nuevo. Demostraci´ on. H´ agase como ejercicio. Consideremos que nuestro ODL en un sistema de coordenadas xi tiene todos los coeficientes constantes, en tal caso en el sistema ui del teorema n n X X ∂2 ∂ + c, P = i 2 + bi ∂u ∂u i i i=1 i=1 con los bi , c ∈ R y la EDP P u = 0 la podemos simplificar, en el caso m + k = n, es decir que todos los i = ±1, definiendo la funci´on ( ) n 1X u = v exp − i bi ui , 2 i=1 para la que (

n

1X i bi ui P (u) = exp − 2 i=1

)" n X

∂2v i 2 + ∂ui i=1

y por lo tanto se tiene el siguiente resultado.

n

1X 2 i b c− 4 i=1 i

! # v ,

642

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Teorema 8.27 Toda ecuaci´ on P (u) = f definida por un ODL P , no– parab´ olico, con coeficientes constantes en alg´ un sistema de coordenadas, puede reducirse a una ecuaci´ on del tipo n X i=1

i

∂2v + λv = f g, ∂u2i

donde g es una funci´ on conocida, i = ±1 y λ ∈ R. Ejercicio 8.5.1 Reducir una EDP de tipo hiperb´ olico azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + f = 0, con coeficientes constantes, a la forma can´ onica zxy + λz = 0, y caracterizar el caso en que λ = 0.

8.6.

EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

8.6.1.

ODL asociado a una soluci´ on de una EDP.

Consideremos ahora el caso de una EDP cuasi–lineal , es decir definida por una funci´ on lineal en las derivadas segundas y por tanto de la forma azxx + 2bzxy + czyy + g = 0, donde a, b, c, g, son funciones de (x, y, z, zx , zy ). En este caso el tipo de esta ecuaci´ on (el´ıptico, parab´ olico ´ o hiperb´ olico), definido por el signo de ac−b2 , depende de la soluci´ on que consideremos. Por ejemplo ac−b2 = z en la EDP zxx + zzyy = 0, cuya soluci´ on z = 1 es el´ıptica, la z = 0 es parab´olica y la z = −1 es hiperb´ olica. En la EDP (1 − zx2 )zxx − 2zx zy zxy + (1 − zy2 )zyy = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

643

una soluci´ on z es el´ıptica si y s´ olo si zx2 + zy2 < 1, parab´olica si y s´olo si zx2 + zy2 = 1, e hiperb´ olica si y s´ olo si zx2 + zy2 > 1, etc. Mas generalmente consideremos una EDP (8.3)

F (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy , zyy ) = 0,

definida por una funci´ on F en las coordenadas (x, y, z, p, q, r, s, t). Definici´ on. Diremos que el tipo de una soluci´on z = f (x, y) de esta EDP es el´ıptico, parab´ olico ´ o hiperb´ olico, si el signo de 4Fr Ft − Fs2 , es respectivamente > 0, = 0 ´ o < 0. Obviamente la importancia de este concepto radica, como en el caso lineal, en que es un concepto intr´ınseco de la soluci´on, es decir que no depende de las coordenadas (x, y) consideradas. Para verlo consideremos antes c´ omo cambia una EDP de coordenadas. Lema 8.28 Dada una EDP de segundo orden (8.3) en las coordenadas (x, y) de un abierto U del plano, consideremos (u, v) otro sistema de coordenadas en U y la funci´ on G(u, v, z, p, q, r, s, t) = F (x, y, z, pux + qvx , puy + qvy , ru2x + 2sux vx + tvx2 + puxx + qvxx , rux uy + s(ux vy + uy vx ) + tvx vy + puxy + qvxy , ru2y + 2suy vy + tvy2 + puyy + qvyy ), entonces para toda funci´ on z en U se tiene que en U G(u, v, z, zu , zv , zuu , zuv , zvv ) = F (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy , zyy ). Demostraci´ on. Es consecuencia de que para toda funci´on z en U se tienen las siguientes relaciones zx = zu ux + zv vx zy = zu uy + zv vy zxx = (zuu ux + zuv vx )ux + (zvu ux + zvv vx )vx + zu uxx + zv vxx zyx = (zuu uy + zuv vy )ux + (zvu uy + zvv vy )vx + zu uxy + zv vxy zyy = (zuu uy + zuv vy )uy + (zvu uy + zvv vy )vy + zu uyy + zv vyy

644

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Corolario 8.29 Dada una soluci´ on z de la EDP de segundo orden (8.3), el signo de 4Fr Ft − Fs2 es invariante por difeomorfismos. Demostraci´ on. Sea (u, v) otro sistema de coordenadas y G la funci´ on del lema anterior que define la EDP en este sistema. Se sigue que Gr = Fr u2x + Fs ux uy + Ft u2y , (8.4)

Gt = Fr vx2 + Fs vx vy + Ft vy2 , Gs = 2Fr ux vx + Fs (ux vy + uy vx ) + 2Ft uy vy ,

lo cual implica que 4Gr Gt − G2s = (4Fr Ft − Fs2 )(ux vy − uy vx )2 . Esto nos hace pensar que detr´ as de esto hay un tensor como en el caso lineal y as´ı es, pero no s´ olo eso, lo que realmente existe es un operador diferencial lineal asociado can´ onicamente a la soluci´on z considerada. Teorema 8.30 Toda soluci´ on z, en un abierto U del plano, de una EDP de segundo orden (8.3), define can´ onicamente un ODL P ∈ O2 (U ), que en coordenadas se expresa de la forma P = Fr

∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ + Fs + Ft 2 + Fp + Fq + Fz . 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

Demostraci´ on. Si consideramos otro sistema de coordenadas (u, v) en U y la funci´ on G del lema anterior que define la EDP en este sistema, tendremos que 1 u2 1 [[P, u], u](1) = P (u2 ) − uP (u) − P (1) 2 2 2 = Fr u2x + Fs ux uy + Ft u2y = Gr [[P, u], v](1) = P (uv) − uP (v) − vP (u) + uvP (1) = 2Fr ux vx + Fs (ux vy + uy vx ) + 2Ft uy vy = Gs 1 1 v2 [[P, v], v](1) = P (v 2 ) − vP (v) − P (1) 2 2 2 = Fr vx2 + Fs vx vy + Ft vy2 = Gt [P, u](1) = P (u) − uP (1) = Fr uxx + Fs uxy + Ft uyy + Fp ux + Fq uy = Gp [P, v](1) = P (v) − vP (1) = Fr vxx + Fs vxy + Ft vyy + Fp vx + Fq vy = Gq .

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

645

Definici´ on. Dada una soluci´ on z de una EDP (8.3), llamaremos su s´ımbolo al s´ımbolo del ODL P que define, por tanto al tensor T = Fr

∂ Fs ∂ ∂ Fs ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⊗ + ⊗ + ⊗ + Ft ⊗ , ∂x ∂x 2 ∂x ∂y 2 ∂y ∂x ∂y ∂y

donde las tres derivadas parciales de F est´ an evaluadas en los puntos de la forma (x, y, z(x, y), zx (x, y), zy (x, y), zxx (x, y), zxy (x, y), zyy (x, y)), y por tanto son funciones del plano. Nota 8.31 Observemos que el que una soluci´ on z sea el´ıptica, parab´olica o hiperb´ ´ olica, equivale como en el caso lineal a que su s´ımbolo no tenga 1–formas is´ otropas, tenga una u ´nica ´ o tenga dos respectivamente. Ejemplo 8.6.1 Por ejemplo toda soluci´ on z de la ecuaci´on de las superficies m´ınimas (ver el ejemplo (7.10.2), p´ ag.511), zxx (1 + zy2 ) − 2zx zy zxy + zyy (1 + zx2 ) = 0. es el´ıptica (ver el ejercicio (8.6.2)), p´ ag.658) y define la m´etrica g=

(1 + zx2 )dx ⊗ dx + zx zy (dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (1 + zy2 )dy ⊗ dy , 1 + zx2 + zy2

que es proporcional a la que la superficie z = z(x, y) hereda de la est´andar en R3 , que es (1 + zx2 )dx ⊗ dx + zx zy (dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (1 + zy2 )dy ⊗ dy, donde la funci´ on que aparece 1 + zx2 + zy2 es el cuadrado del m´odulo del gradiente de la funci´ on que hemos elegido para definir la superficie (z − z(x, y) = 0).

8.6.2.

Reducci´ on a forma can´ onica. Caso hiperb´ olico de una EDP cuasi–lineal.

Empecemos con el caso particular de una EDP de tipo cuasi–lineal , es decir lineal en las derivadas segundas y por tanto de la forma (8.5)

azxx + 2bzxy + czyy + g = 0,

646

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

donde a, b, c y g, son funciones de (x, y, z, zx , zy ). Veremos que si z es una soluci´ on de tipo hiperb´ olico ´ o el´ıptico, podemos encontrar una tal reducci´ on. Observemos que el s´ımbolo asociado a una soluci´on z de (8.5), tiene como coeficientes (en el sistema de coordenadas (x, y)) Fr = a,

Fs = b, 2

Ft = c,

que debemos entender como funciones del plano, pues la soluci´on z est´ a fija. Y que la soluci´ on es hiperb´ olica si ac − b2 < 0 y el´ıptica si ac − b2 > 0. Haciendo un giro si es necesario, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que ac 6= 0. Siguiendo los pasos del caso lineal consideramos las 1–formas is´otropas del s´ımbolo asociado a nuestra soluci´ on z √

b2 − ac dy, √c b − b2 − ac ω2 = dx − λ2 dy = dx − dy, c ω1 = dx − λ1 dy = dx −

b+

y que son proporcionales a dos 1–formas exactas, du y dv respectivamente. En tal caso (u, v) forman un sistema de coordenadas que, como en el caso lineal, tambi´en llamamos caracter´ısticas aunque dependen de la soluci´ on z fijada. Consideremos tambi´en los campos caracter´ısticos, es decir los incidentes respectivamente con ω1 y ω2 D1 = λ1

∂ ∂ + , ∂x ∂y

D2 = λ2

∂ ∂ + , ∂x ∂y

y ahora apliquemos nuestras 1–formas, respectivamente a ∂v y ∂u, con lo que se obtiene (8.6)

xv − λ1 yv = 0,

xu − λ2 yu = 0.

Ahora para p = zx y q = zy , tendremos que py = qx y Di p = λi px + py ,

Di q = λi qx + qy = λi py + qy ,

(para i = 1, 2)

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

647

de donde se sigue, por ser z soluci´ on de nuestra ecuaci´on, que λi (apx + 2bpy + cqy + g) = 0

⇒

a(Di p − py ) + 2bλi py + cλi (Di q − λi py ) + gλi = 0

⇒

aDi p + cλi Di q + gλi = (a − 2bλi +

cλ2i )py

=0

⇒

[adp + cλi dq + gλi dy]Di = 0, y como a/c = λ1 λ2 , tendremos que h λ2 dp + dq + h λ1 dp + dq +

g i dy D1 = 0, c i g dy D2 = 0, c

lo cual implica, al ser D1 proporcional a ∂v y D2 a ∂u, que (8.7)

g λ2 pv + qv + yv = 0, c

g λ1 pu + qu + yu = 0. c

Hemos demostrado por tanto, que para cada soluci´on z de nuestra EDP original, las funciones x, y, z, p = zx , q = zy satisfacen el sistema de las cuatro EDP (8.6) y (8.7), junto con las dos ecuaciones zu − pxu − qyu = 0,

zv − pxv − qyv = 0,

que son las componentes de la 1–forma nula dz − pdx − qdy = 0, en la base du, dv. Definici´ on. Llamaremos sistema caracter´ıstico asociado a la EDP cuasi– lineal (8.5) al formado por las cinco ecuaciones (8.8)

xu − λ2 yu = 0, xv − λ1 yv = 0, g g λ1 pu + qu + yu = 0, λ2 pv + qv + yv = 0, c c zu − pxu − qyu = 0, o ´ zv − pxv − qyv = 0.

donde

√ b − b2 − ac b2 − ac , λ2 = , c c siendo a, b, c, g funciones de x, y, z, p, q, que a su vez son funciones del plano (u, v), y para las que ac − b2 < 0. λ1 =

b+

√

648

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Nota 8.32 La raz´ on de considerar s´ olo una de las dos u ´ltimas ecuaciones es que no son independientes, como se demuestra en el siguiente resultado, en el que vemos que el rec´ıproco tambi´en es v´alido. Proposici´ on 8.33 Si x, y, z, p, q es una soluci´ on del sistema caracter´ıstico (8.6.2), que sobre una curva del tipo f (u) + h(v) = cte, con f 0 6= 0 y h0 6= 0, satisface yu yv 6= 0 y dz = pdx + qdy, entonces (x, y) es un sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva y en el entorno correspondiente la funci´ on z es soluci´ on de (8.5). Demostraci´ on. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que la curva es u + v = 0, pues cualesquiera funciones f (u) y h(v) de las coordenadas caracter´ısticas, en las condiciones del enunciado, vuelven a ser caracter´ısticas, y las ecuaciones del sistema no cambian. Las dos primeras ecuaciones del sistema nos dicen que ω1 = dx−λ1 dy es proporcional a du y ω2 = dx − λ2 dy a dv, por lo que λ1 6= λ2 (aunque esto tambi´en lo sabemos por su definici´ on) y por lo tanto (x, y) es un sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva, pues xu yv − xv yu = (λ2 − λ1 )yu yv 6= 0, y se tiene que

(8.9)

   ∂ ∂  du λ1 + = 0  ∂x ∂y    ∂ ∂  dv λ2 + = 0 ∂x ∂y

⇒

λ1 ux + uy = 0. λ2 vx + vy = 0.

Por otra parte si una de las dos u ´ltimas ecuaciones del sistema es v´ alida tambi´en lo es la otra, puesto que sobre la curva se verifica (zu − pxu − qyu )du + (zv − pxv − qyv )dv = dz − pdx − qdy = 0, y como una de las ecuaciones es v´ alida las dos lo son sobre la curva. Como por otra parte de las ecuaciones del sistema se sigue que ∂(zv − pxv − qyv ) ∂(zu − pxu − qyu ) − = ∂u ∂v = pv xu − pu xv + qv yu − qu yv = pv λ2 yu − pu λ1 yv + qv yu − qu yv = (pv λ2 + qv )yu − (pu λ1 + qu )yv = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

649

basta integrar para obtener la otra ecuaci´ on. Se sigue adem´as que dz − pdx − qdy = 0 y por tanto que p = zx y q = zy , y de (8.9) se concluye que zyy = qy = qu uy + qv vy   g  g  = − λ1 pu + yu uy − λ2 pv + yv vy c c

g c g = −(λ1 + λ2 )py + λ1 pv (−λ2 vx ) + λ2 pu (−λ1 ux ) − c a g 2b = − zxy − zxx − . c c c Observemos que el sistema caracter´ıstico tiene la peculiaridad de que en cada ecuaci´ on s´ olo interviene la derivada parcial respecto de una de las dos coordenadas caracter´ısticas. Si derivamos cada una de ellas respecto de la otra obtenemos las cinco ecuaciones, en las que los puntos suspensivos son funciones de (x, y, z, p, q) y sus derivadas de primer orden = −(λ1 + λ2 )(pu uy + pv vy ) + λ1 pv vy + λ2 pu uy −

xuv − λ2 yuv + · · · = 0, xvu − λ1 yvu + · · · = 0, g λ1 puv + quv + yuv + · · · = 0, c g λ2 pvu + qvu + yvu + · · · = 0, c zuv − pxuv − qyuv + · · · = 0, las cuales son ecuaciones lineales en las derivadas segundas xuv , yuv , zuv , puv y quv , cuyo determinante 1 −λ2 0 0 0 1 −λ1 0 0 0 2 0 = 4 ac − b , g/c 0 λ 1 1 c2 0 g/c 0 λ2 1 −p −q 1 0 0 es no nulo, por lo que podemos calcular la matriz inversa y obtener un sistema can´ onico de cinco ecuaciones de segundo orden del tipo xuv + · · · = 0,

yuv + · · · = 0,

puv + · · · = 0,

zuv + · · · = 0,

quv + · · · = 0,

que es una generalizaci´ on del que obtuvimos en el caso lineal.

650

8.6.3.

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Reducci´ on a forma can´ onica. Caso hiperb´ olico de una EDP de tipo general.

Veamos ahora la reducci´ on a forma can´ onica de una EDP del tipo general (8.3), para una soluci´ on z de tipo hiperb´olico. Haciendo un giro si es necesario, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que Fr Ft 6= 0. Consideremos como en el caso anterior las 1–formas is´otropas del s´ımbolo asociado a nuestra soluci´ on z p Fs + Fs2 − 4Fr Ft ω1 = dx − λ1 dy = dx − dy, 2F p t Fs − Fs2 − 4Fr Ft ω2 = dx − λ2 dy = dx − dy, 2Ft proporcionales a dos 1–formas exactas, du y dv, que definen un sistema de coordenadas caracter´ısticas. Consideremos tambi´en los campos caracter´ısticos, es decir los incidentes respectivamente con ω1 y ω2 D1 = λ1

∂ ∂ + , ∂x ∂y

D2 = λ2

∂ ∂ + , ∂x ∂y

y ahora apliquemos nuestras 1–formas, respectivamente a ∂v y ∂u, con lo que se obtiene (8.10)

xv − λ1 yv = 0,

xu − λ2 yu = 0.

Ahora para p = zx , q = zy , r = zxx , s = zxy , t = zyy , tendremos que py = qx , ry = sx y sy = tx , por tanto para i = 1, 2 Di r = λi rx + ry , Di s = λi sx + sy = λi ry + sy , Di t = λi tx + ty = λi sy + ty , por otra parte derivando respecto de x y respecto de y la ecuaci´on (en la que hemos fijado nuestra soluci´ on z), F (x, y, z(x, y), zx (x, y), xy (x, y), . . .) = 0, se sigue que (8.11)

[F x ] + Fr rx + Fs sx + Ft tx = 0, [F y ] + Fr ry + Fs sy + Ft ty = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

651

donde por comodidad hemos llamado [F x ] = Fx + Fz zx + Fp px + Fq qx = Fx + Fz p + Fp r + Fq s, [F y ] = Fy + Fz zy + Fp py + Fq qy = Fy + Fz q + Fp s + Fq t, y multiplicando la primera ecuaci´ on de (8.11) por λi y recordando que Fr − Fs λi + λ2i Ft = 0, tendremos que λi ([F x ] + Fr rx + Fs sx + Ft tx ) = 0

⇒

λi [F ] + Fr (Di r − ry ) + Fs λi ry + Ft λi (Di s − λi ry ) = 0

⇒

x

x

Fr Di r + λi Ft Di s + λi [F ] = ry (Fr − Fs λi +

λ2i Ft )

=0

⇒

x

[Fr dr + λi Ft ds + λi [F ]dy]Di = 0, de donde, al ser D1 proporcional a ∂v y D2 a ∂u, se siguen las dos ecuaciones (8.12)

Fr rv + λ1 Ft sv + λ1 [F x ]yv = 0, Fr ru + λ2 Ft su + λ2 [F x ]yu = 0.

De modo semejante, multiplicando por λi la segunda ecuaci´on de (8.11) (y recordando que sx = ry y tx = sy = Di s − λi ry ), tendremos que [Fr ds + λi Ft dt + λi [F x ]dy]Di = 0, de donde se siguen las dos ecuaciones (8.13)

Fr sv + λ1 Ft tv + λ1 [F y ]yv = 0, Fr su + λ2 Ft tu + λ2 [F y ]yu = 0.

Hemos demostrado por tanto, que para cada soluci´on z de nuestra EDP original, las funciones x, y, z, p = zx , q = zy , r = zxx , s = zxy , t = zyy satisfacen el sistema de EDP (8.10), (8.12) y (8.13), junto con las parejas de ecuaciones zu − pxu − qyu = 0,

zv − pxv − qyv = 0,

pu − rxu − syu = 0,

pv − rxv − syv = 0,

qu − sxu − tyu = 0,

qv − sxv − tyv = 0,

652

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

que son las componentes de las 1–forma nulas dz − pdx − qdy = 0,

dp − rdx − sdy,

dq − sdx − tdy,

en la base du, dv. Definici´ on. Llamaremos sistema caracter´ıstico asociado a la EDP (8.3) al formado por las ocho ecuaciones xu − λ2 yu = 0, xv − λ1 yv = 0, Fr rv + λ1 Ft sv + λ1 [F x ]yv = 0, (8.14)

Fr ru + λ2 Ft su + λ2 [F x ]yu = 0, Fr sv + λ1 Ft tv + λ1 [F y ]yv = 0, zv − pxv − qyv = 0, pv − rxv − syv = 0, qv − sxv − tyv = 0.

donde [F x ] = Fx + Fz p + Fp r + Fq s, [F y ] = Fy + Fz q + Fp s + Fq t, p Fs + Fs2 − 4Fr Ft , λ1 = 2F p t Fs − Fs2 − 4Fr Ft λ2 = . 2Ft Nota 8.34 La raz´ on de no considerar todas las ecuaciones encontradas es que no son independientes, como se demuestra en el siguiente resultado, en el que vemos que el rec´ıproco tambi´en es v´ alido. Proposici´ on 8.35 Si x, y, z, p, q, r, s, t es una soluci´ on del sistema caracter´ıstico (8.14), que sobre una curva del tipo f (u) + h(v) = cte, con f 0 6= 0 y h0 6= 0, satisface yu yv 6= 0, y las condiciones de compatibilidad dz = pdx + qdy,

dp = rdx + sdy,

dq = sdx + tdy,

F (x, y, z, p, q, r, s, t) = 0, entonces (x, y) es un sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva y en el entorno correspondiente la funci´ on z es soluci´ on de (8.3).

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

653

Demostraci´ on. Como en el caso anterior podemos suponer que la curva es u + v = 0. Las ecuaciones (1, 2) del sistema nos dicen que ω1 = dx − λ1 dy es proporcional a du y ω2 = dx − λ2 dy a dv, por lo que λ1 6= λ2 (aunque esto tambi´en lo sabemos por su definici´ on) y por lo tanto (x, y) es un sistema de coordenadas locales en cada punto de la curva, pues xu yv − xv yu = (λ2 − λ1 )yu yv 6= 0. Veamos ahora que F (x, y, z, p, q, r, s, t) = 0, en todos los puntos (u, v). Para ello derivemos la funci´on respecto de v y multipliquemos por λ1 . Se sigue de las ecuaciones (1, 3, 5) del sistema y de que Fr − Fs λ1 + λ21 Ft = 0, que λ1

dF (· · · ) = λ1 (Fx xv + Fy yv + Fz zv + Fp pv + dv + Fq qv + Fr rv + Fs sv + Ft tv ) = λ1 [Fx xv + Fy yv + Fr rv + Fs sv + Ft tv + Fz (pxv + qyv ) + Fp (rxv + syv ) + Fq (sxv + tyv )] = λ1 (xv [F x ] + yv [F y ] + Fr rv + Fs sv + Ft tv ) = λ1 (−λ1 Ft sv + yv [F y ] + Fs sv + Ft tv ) = Fr sv + λ1 yv [F y ] + λ1 Ft tv = 0,

por lo tanto integrando a lo largo de las rectas u = cte y considerando que F = 0 sobre u + v = 0, tendremos que F = 0 en todas partes. Demostrar que r = px , s = py , equivale a demostrar que la 1–forma dp − rdx − sdy es nula, lo cual equivale a demostrar que sus componentes en el sistema de coordenadas (u, v) son nulas, pero su componente en v lo es por la ecuaci´on (7), y por anularse la 1–forma sobre u + v = 0 tambi´en se anula su componente u pu − rxu − syu sobre u + v = 0. Por lo tanto basta demostrar que esta funci´on es constante en cada recta u = cte, es decir que (pu − rxu − syu )v = 0. Para

654

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

demostrarlo consideremos las ecuaciones (3, 4) del sistema simplificadas con las dos primeras y recordemos que λ1 λ2 = Fr /Ft ) Fr rv + λ1 Ft sv + [F x ]xv = 0 ⇒ Fr ru + λ2 Ft su + [F x ]xu = 0 ) Fr rv xu + λ1 Ft sv xu + [F x ]xv xu = 0 ⇒ Fr ru xv + λ2 Ft su xv + [F x ]xu xv = 0 Fr rv xu + λ1 Ft sv xu = Fr ru xv + λ2 Ft su xv

⇒

Fr rv xu + λ1 λ2 Ft sv yu = Fr ru xv + λ2 λ1 Ft su yv

⇒

Fr rv xu + Fr sv yu = Fr ru xv + Fr su yv

⇒

(rx xv + ry yv )xu + (sx xv + sy yv )yu = = (rx xu + ry yu )xv + (sx xu + sy yu )yv

⇒

(ry − sx )(xu yv − xv yu ) = 0, de donde se sigue por una parte que ry = sx , y por otra (considerando la ecuaci´ on (7)) que (pu − rxu − syu )v = (pu − rxu − syu )v − (pv − rxv − syv )u = ru xv + su yv − rv xu − sv yu = 0. Por u ´ltimo demostrar que zx = p,

zy = q,

qx = s,

qy = t,

es equivalente a demostrar que son nulas las 1–formas dz − pdx − qdy y dq − sdx − tdy, las cuales tienen nulas sus componentes v y ellas son nulas sobre u + v = 0, por lo tanto sus componentes u f = zu − pxu − qyu ,

g = qu − sxu − tyu ,

tambi´en se anulan sobre u + v = 0 y basta demostrar que f y g se anulan en todo el plano. Para ello consideremos por una parte las ecuaciones (3, 5) (Fx + Fz p + Fp r + Fq s)xv + Fr rv + λ1 Ft sv = 0, (Fy + Fz q + Fp s + Fq t)xv + Fr sv + λ1 Ft tv = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

655

donde hemos considerado el valor de [F x ] y el de [F y ] y hemos considerado las ecuaciones (1, 2). Ahora derivemos F (x, y, z, p, q, r, s, t) = 0, respecto de x e y respectivamente Fx + Fz zx + Fp px + Fq qx + Fr rx + Fs sx + Ft tx = 0, Fy + Fz zy + Fp py + Fq qy + Fr ry + Fs sy + Ft ty = 0, multipliquemos ambas por xv y rest´emosles las dos ecuaciones anteriores (4) y (5) respectivamente (recordemos que r = px y s = py ) xv [Fz (zx − p) + Fq (qx − s)]+ +Fr (rx xv − rv ) + Fs sx xv + Ft (tx xv − λ1 sv ) = 0, xv [Fz (zy − q) + Fq (qy − t)]+ +Fr (ry xv − sv ) + Fs sy xv + Ft (ty xv − λ1 tv ) = 0, ahora multiplicando la primera por λ2 xu y la segunda por xu = λ2 yu y teniendo en cuenta que ry = sx tendremos que λ2 xv [Fz (zx xu − pxu ) + Fq (qx xu − sxu )]+ +λ2 xu [−Fr ry yv + Fs sx xv + Ft (tx xv − λ1 sv )] = 0, λ2 xv [Fz (zy yu − qyu ) + Fq (qy yu − tyu )]+ +λ2 yu [−Fr sy yv + Fs sy xv + Ft (ty xv − λ1 tv )] = 0, y sumando y teniendo en cuenta que −Fr + λ1 Fs = λ21 Ft , tendremos que λ2 xv [Fz f + Fq g] − λ2 yv Fr su + λ2 xv Fs su + +λ2 Ft (tx xu xv − λ1 xu sv + ty yu xv − λ1 yu tv ) = 0,

⇒

xv [Fz f + Fq g] − Fr su yv + Fs su λ1 yv + +Ft (tx xu λ1 yv − λ1 xu sv + ty yu λ1 yv − λ1 yu tv ) = 0, xv [Fz f + Fq g] + yv (sx xu +

sy yu )Ft λ21

⇒

+ λ1 Ft (tx xu yv −

−xu sx xv − xu sy yv + ty yu yv − yu tx xv − yu ty yv ) = 0, xv [Fz f + Fq g] + λ1 Ft (tx − sy )(xu yv − xv yu ) = 0, pero por otra parte tenemos que gv = (qu − sxu − tyu )v − (qv − sxv − tyv )u = su xv − sv xu + tu yv − tv yu = (tx − sy )(xu yv − xv yu ),

⇒

656

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

por lo tanto se sigue de lo anterior que gv = −

yv (Fz f + Fq g), Ft

ahora bien por otra parte se sigue de la ecuaciones (6) y de py = s que fv = (zu − pxu − qyu )v − (zv − pxv − qyv )u = −pv xu − qv yu + pu xv + qu yv = −(px xv + py yv )xu − qv yu + (px xu + py yu )xv + qu yv = −syv xu − qv yu + syu xv + qu yv + tyu yv − tyu yv = yv (qu − sxu − tyu ) − yu (qv − sxv − tyv ) = yv g, por lo tanto tenemos que f y g son, para cada u fijo, soluci´on de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en v, que en v = −u valen f = g = 0 y como la soluci´ on es u ´nica, tendremos que f y g son nulas en todo punto, que es lo que quer´ıamos demostrar.

8.6.4.

Reducci´ on a forma can´ onica. Caso el´ıptico.

Consideremos ahora una soluci´ on z de (8.5), de tipo el´ıptico. En tal caso, siguiendo los pasos del caso anterior, √ √ b + i ac − b2 b − i ac − b2 λ1 = λ = , λ2 = λ = , c c y las 1–formas is´ otropas (complejas y conjugadas) correspondientes √

b2 − ac dy, √c b − b2 − ac ω2 = dx − λ2 dy = dx − dy, c ω1 = dx − λ1 dy = dx −

b+

son proporcionales a dos 1–formas exactas, du y du respectivamente (al menos en el caso anal´ıtico). En tal caso (u, u) forman un sistema de coordenadas complejas que, como en el caso lineal, tambi´en llamamos caracter´ısticas aunque dependen de la soluci´on z fijada. Siguiendo los pasos del caso anterior (hiperb´ olico) tendremos que las funciones x, y, z, p = zx , q = zy satisfacen el sistema caracter´ıstico formado por las

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

657

cinco ecuaciones xu − λyu = 0, xu − λyu = 0, g g λpu + qu + yu = 0, λpu + qu + yu = 0, c c zu − pxu − qyu = 0, o ´ zu − pxu − qyu = 0, donde observemos que al ser x, y, z reales, son tres parejas de ecuaciones conjugadas. Ahora como en cada ecuaci´ on s´ olo interviene la derivada parcial respecto de una de las dos coordenadas caracter´ısticas, podemos derivar cada una de ellas respecto de la otra y obtenemos las siguientes cinco ecuaciones, en las que los puntos suspensivos son funciones de (x, y, z, p, q) y sus derivadas de primer orden xuu − λyuu + · · · = 0, xuu − λyuu + · · · = 0, g λpuu + quu + yuu + · · · = 0, c g λpuu + quu + yuu + · · · = 0, c zuu − pxuu − qyuu + · · · = 0, las cuales son ecuaciones lineales en las derivadas segundas xuu , yuu , zuu , puu y quu , cuyo determinante ya hemos calculado en el caso anterior y vale ac − b2 4 6= 0, c2 por lo que podemos calcular la matriz inversa y obtener un sistema can´ onico de cinco ecuaciones de segundo orden del tipo xu1 u1 + xu2 u2 + · · · = 0, yu1 u1 + yu2 u2 + · · · = 0, zu1 u1 + zu2 u2 + · · · = 0, pu1 u1 + pu2 u2 + · · · = 0, qu1 u1 + qu2 u2 + · · · = 0, puesto que 4fuu = fu1 u1 + fu2 u2 , para u = u1 + iu2 , y esto es una generalizaci´ on del que obtuvimos en el caso lineal. Observemos que √ ac − b2 (8.15) xu yu − yu xu = (λ − λ)yu yu = −2i yu yu . c

658

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Ejercicio 8.6.1 Demostrar que si z es una soluci´ on el´ıptica o ´ hiperb´ olica de una EDP cuasi–lineal azxx + 2bzxy + czyy + g = 0, y (u, v) son coordenadas caracter´ısticas, entonces xuv yuv zuv (xu yv − xv yu )2 xu √ yu zu = g. 2 b2 − ac xv yv zv

(Sol.)

Ejercicio 8.6.2 Demostrar que la EDP de las superficies m´ınimas zxx (1 + zy2 ) − 2zx zy zxy + zyy (1 + zx2 ) = 0, es el´ıptica y se puede reducir a las ecuaciones de Laplace en las coordenadas caracter´ısticas (u = u1 + iu2 , u = u1 − iu2 ) xu1 u1 + xu2 u2 = 0,

yu1 u1 + yu2 u2 = 0,

zu1 u1 + zu2 u2 = 0,

sujetas a las condiciones x2u1 + yu2 1 + zu2 1 = x2u2 + yu2 2 + zu2 2 , xu1 xu2 + yu1 yu2 + zu1 zu2 = 0.

(Sol.)

Nota 8.36 En el ejercicio anterior decimos que la m´etrica g de la superficie m´ınima es proporcional a du ⊗ du + du ⊗ du, y por tanto a du1 ⊗ du1 + du2 ⊗ du2 , eso quiere decir que la aplicaci´on (u1 , u2 ) : {z = z(x, y)} → R2 , es conforme. Ahora bien hemos visto tambi´en que las funciones x, y y z de la superficie son arm´ onicas en las coordenadas (u1 , u2 ), eso quiere decir que existen sus conjugadas arm´ onicas respectivas (que estudiaremos en el tema de la ecuaci´ on de LaPlace), x e, ye y ze, tales que f (u) = x(u1 , u2 ) + ie x(u1 , u2 ), g(u) = y(u1 , u2 ) + ie y (u1 , u2 ), h(u) = z(u1 , u2 ) + ie z (u1 , u2 ), son funciones anal´ıticas de la variable compleja u = u1 + iu2 , siendo f 0 (u)2 + g 0 (u)2 + h0 (u)2 = 0,

8.6. EDP de orden 2 en R2 . Clasificaci´ on

659

pues se tiene por las ecuaciones de Cauchy–Riemann que xu =

1 1 (xu1 − ixu2 ) = (e xu2 + ie xu1 ) = ie xu , 2 2

y lo mismo para y y z por lo tanto f 0 (u)2 + g 0 (u)2 + h0 (u)2 = (xu + ie xu )2 + (yu + ie yu )2 + (zu + ie zu )2 = 4(x2u + yu2 + zu2 ) = 0. En definitiva tenemos la cl´ asica representaci´ on de Weierstrass de las superficies m´ınimas, mediante funciones anal´ıticas de variable compleja, pues toda superficie m´ınima puede representarse como x = Re f,

y = Re g,

z = Re h,

donde f , g y h son funciones anal´ıticas de la variable compleja u = u1 + iu2 , sujetas a la condici´ on f 0 (u)2 + g 0 (u)2 + h0 (u)2 = 0, donde haciendo un cambio de variable compleja, podemos tomar cualquiera de ellas, como la primera v = f (u), como variable compleja, y por lo tanto cada superficie m´ınima depende esencialmente de una u ´nica funci´ on anal´ıtica de variable compleja. (Ver Spivak, T.IV, p.395) Ejercicio 8.6.3 Demostrar que la EDP de las superficies m´ınimas, para la m´etrica de Minkowsky, zxx (zy2 − 1) − 2zx zy zxy + zyy (zx2 − 1) = 0, es hiperb´ olica y que se puede reducir a las ecuaciones de ondas en las coordenadas caracter´ısticas (u = u1 + u2 , v = u1 − u2 ), es decir xu1 u1 − xu2 u2 = 0,

yu1 u1 − yu2 u2 = 0,

zu1 u1 − zu2 u2 = 0,

sujetas a las condiciones x2u + yu2 − zu2 = x2v + yv2 − zv2 = 0.

(Sol.)

660

8.7.

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Clasificaci´ on de sistemas de EDP

Podemos considerar la teor´ıa de las EDP de segundo orden como un caso particular de una teor´ıa mas general, la de los sistemas de EDP de primer orden n

∂ui X ∂uj aij + + bi = 0, ∂y ∂x j=1

i = 1, . . . , n,

o escrito en forma matricial (8.16)

uy + Aux + b = 0,

donde las aij son funciones de (x, y), A = (aij ), u es el vector columna formado por las funciones ui y b por las bi , que son funciones de (x, y, u). Por ejemplo una EDP lineal azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + f z = 0, se reduce al siguiente sistema de EDP de primer orden, en el que consideramos x, y y z junto con las nuevas variables p = zx , q = zy ,

(8.17)

xy = 0,

yy = 1,

zy = q,

py = qx ,

apx + 2bqx + cqy + dp + eq + f z = 0 y estamos suponiendo que c 6= 0, en caso contrario y si a 6= 0 basta intercambiar los papeles de x e y, y si a = c = 0, entonces es hiperb´olica y basta considerar las coordenadas x + y y x − y. Nuestra intenci´ on es transformar el sistema (8.16) en otro en el que, como en el sistema caracter´ıstico (8.6.2), las derivadas direccionales que aparezcan en cada ecuaci´ on sean de un u ´nico campo. Para ello buscamos funciones vij tales que al hacer las combinaciones n X i=1

vki

n n X ∂ui ∂uj X + vki aij + vki bi = 0, ∂y ∂x i,j=1 i=1

k = 1, . . . , n

8.7. Clasificaci´ on de sistemas de EDP

661

obtengamos n X

vki aij = λk vkj ,

k = 1, . . . , n,

i=1

de tal modo que nuestro sistema se transforme en  X  n n X ∂uj ∂uj + λk vkj + vki bi = 0, k = 1, . . . , n, ∂y ∂x j=1 i=1 al que llamaremos caracter´ıstico, pues en cada ecuaci´on k = 1, . . . , n, s´ olo interviene la derivada correspondiente al campo Dk =

∂ ∂ + λk , ∂y ∂x

a los que llamaremos campos caracter´ısticos y a sus curvas integrales curvas caracter´ısticas. Ahora bien tales funciones vij existen siempre que A tenga n autovalores reales λk . Si adem´ as tiene una base de autovectores, los dos sistemas son equivalentes. En tal caso diremos que nuestro sistema es de tipo hiperb´ olico. Un caso particular es cuando la matriz es sim´etrica, en cuyo caso diremos que el sistema es de tipo sim´etrico hiperb´ olico. Si todos los autovalores son complejos (no reales) diremos que el sistema es de tipo el´ıptico. Ejercicio 8.7.1 Demostrar que el sistema (8.17) correspondiente a una EDP lineal en el plano, de orden 2 y de tipo hiperb´ olico es hiperb´ olico.

La importancia de las curvas caracter´ısticas queda patente cuando buscamos una soluci´ on u = (ui ) de nuestra ecuaci´on (8.16), con valores conocidos sobre una curva dada, σ(t) = (x(t), y(t)), que por comodidad parametrizamos por la longitud de arco. En cuyo caso si consideramos   ∂ ∂ ∂ T = σ∗ = Tx + Ty , ∂t ∂x ∂y el vector unitario tangente a la curva y N = −T y

∂ ∂ + Tx , ∂x ∂y

el unitario normal, tendremos que para cualquier funci´on u T u = T x ux + T y uy N u = −T y ux + T x uy

⇔

ux = T x T u − T y N u, uy = T y T u + T x N u,

662

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

de donde se sigue que (8.16) equivale a Ty Tu + Tx Nu + Tx A Tu − Ty A Nu + b = 0

⇔

(T y I + T x A) T u + b = (T y A − T x I) N u, donde I es la matriz unidad y T u y N u son los vectores de componentes T ui y N ui respectivamente. Ahora si la curva es tal que T y A − T x I es una matriz no singular, tendremos que el conocimiento de las “presumibles soluciones” ui sobre la curva, y consecuentemente de T ui = (ui ◦ σ)0 , es suficiente para determinar el valor de sus derivadas normales N ui , pues basta multiplicar por la matriz inversa de T y A − T x I y por lo tanto tambi´en est´an determinadas sobre la curva ux = T x T u − T y N u, uy = T y T u + T x N u. Ahora bien el mismo proceso con ux en lugar de u, y observando que derivando (8.16) respecto de x se obtiene (ux )y + A(ux )x + d = 0, para d un vector de funciones que dependen de x, y, u y ux , todas ellas conocidas sobre la curva de datos iniciales, vemos que tambi´en estar´ıan determinadas sobre la curva uxx y uxy , y an´ alogamente estar´ıan determinadas todas las derivadas parciales de u. Esto implicar´ıa en particular que si la soluci´ on u fuese anal´ıtica, estar´ıa totalmente determinada en un entorno de la curva. Sin embargo en caso contrario det[T y A − T x I] = 0, no podremos determinarlas. En este caso tendremos que Tx = λk , Ty es un autovalor de A y por tanto T es proporcional al campo caracter´ıstico ∂ ∂ Dk = + λk , ∂y ∂x y la curva de los datos iniciales es caracter´ıstica.

8.7. Clasificaci´ on de sistemas de EDP

8.7.1.

663

Reducci´ on a forma diagonal de sistemas lineales hiperb´ olicos.

Consideremos un sistema de tipo hiperb´ olico, es decir que todos los autovalores λi , de A, sean reales y haya una base de autovectores. Si adem´ as las λi son funciones diferenciables, podemos formar una matriz P no singular de funciones diferenciables tales que   λ1 0 · · · 0  0 λ2 · · · 0    Λ = PAP−1 =  . .. ..  , ..  .. . . .  0 0 · · · λn (por ejemplo cuando los autovalores son distintos), entonces podemos simplificar nuestra ecuaci´ on considerando la nueva inc´ognita v = Pu, para la que se verifica el sistema vy + Λvx + g = 0, −1

g = P(P

)y v + PA(P−1 )x v + Pb,

y donde observemos que cada fila de la ecuaci´ on es vky + λk vkx + gk = 0

⇔

Dk vk + gk = 0,

por tanto sobre la que act´ ua el campo caracter´ıstico Dk .

8.7.2.

Reducci´ on a forma diagonal de sistemas cuasi– lineales hiperb´ olicos.

Si nuestro sistema, que por comodidad ahora escribimos de la forma (8.18)

uy = Aux + b,

es cuasi lineal de tipo hiperb´ olico, es decir que los t´erminos de A son funciones de (x, y, u) = (x, y, u1 , . . . , un ), los autovalores λi de A son reales y existe una matriz P no singular de funciones diferenciables que diagonaliza a A y suponemos adem´as que A

664

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

es invertible, es decir que los λi 6= 0, entonces podemos reducir nuestro sistema a forma diagonal introduciendo n nuevas variables (8.19)

v = Puy ,

y reemplazando nuestro sistema n–dimensional, en la inc´ognita u, por el 2n–dimensional, en las inc´ ognitas (u, v), (para Q = P−1 )

uy = Qv,

vy = Λvx + d, donde d depende de x, y, u y v y esto se tiene porque por una parte, de (8.18) y (8.19) se sigue que Qv = Aux + b,

⇒

ux = A−1 (Qv − b),

y por otra diferenciando respecto de y la anterior expresi´on y denotando para cada funci´ on h(x, y, u(x, y)) X ∂h(x, y, u(x, y)) = hx + hui uix ∂x X = hx + hui [A−1 (Qv − b)]i , X ∂h(x, y, u(x, y)) = hy + hui uiy [h]y = ∂y X = hy + hui [Qv]i ,

[h]x =

siendo por tanto funciones de x, y, u y v, tendremos que [Qv]y = [Aux + b]y [Q]y v + Qvy = [A]y ux + Auxy + [b]y = [A]y ux + A[Qv]x + [b]y

⇒

vy = −P[Q]y v + P[A]y ux + + PA([Q]x v + Qvx ) + P[b]y = Λvx − P[Q]y v + P[A]y A−1 (Qv − b)+ + PA[Q]x v + P[b]y .

665

8.8. Ap´ endice

8.8. 8.8.1.

Ap´ endice Transformada de Legendre.

Ejemplo 8.8.1 Transformada de Legendre en R. Sea z una funci´on en la recta en la que tenemos la coordenada x, tal que ξ = z 0 (x) tambi´en sea coordenada, es decir que z 00 (x)dx = dξ 6= 0

⇔

z 00 (x) 6= 0,

lo cual equivale a que, en el intervalo en el que est´a definida, z sea c´oncava o convexa. j (x ) z(x) x Figura 8.1. Transformada de Legendre

Definici´ on. En tales condiciones llamamos transformada de Legendre de la pareja (z, x) a la pareja (ϕ, ξ), formada por la funci´on de la recta, ϕ = xξ − z y la coordenada ξ. Adem´ as se tiene que x = ϕ0 (ξ), ξ = z 0 (x)

⇒

dx = ϕ00 (ξ)dξ dξ = z 00 (x)dx

⇒

ϕ00 (ξ) =

1 , z 00 (x)

por tanto para cualquier funci´ on F F (x, z, z 0 , z 00 ) = F (ϕ0 , ξϕ0 − ϕ, ξ,

1 ) = G(ξ, ϕ, ϕ0 , ϕ00 ), ϕ00

y z es soluci´ on de la ecuaci´ on definida por F = 0 si y s´olo si su transformada ϕ lo es de G = 0.

666

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Definici´ on. Dada una funci´ on z en un abierto coordenado (U ; xi ), tal que det(zxi xj ) 6= 0, lo cual equivale a que ξi = zxi sea sistema de coordenadas; llamamos transformada de Legendre de la pareja formada por la funci´ on y el sistema de coordenadas (z; xi ) a la pareja formada por la funci´ on y el sistema de coordenadas ϕ=

X

ξi xi − z;

ξi = zxi .

Proposici´ on 8.37 La transformada de Legendre es involutiva, es decir si la transformada de (z; xi ) es (ϕ; ξi ), la de esta es (z; xi ) y se tiene que (zxi xj ) = (ϕξi ξj )−1 . Demostraci´ on. La transformada de (ϕ; ξi ) tiene coordenadas ϕξi que a su vez son las componentes de X

X X ϕξi dξi = dϕ = d( ξi xi − z) = xi dξi ,

P por tanto ϕξi = xi , y la funci´ on es xi ξi − ϕ = z. La igualdad de las matrices se sigue de que n X

ϕξi ξk zxk xj =

k=1

n X

(xi )ξk (ξk )xj = (xi )xj = δij .

k=1

Ejercicio 8.8.1 Demostrar que la transformada de Legendre de z(x) = xp /p, para p 6= 0 es ϕ(ξ) = ξ q /q para p, q conjugados, es decir (1/p) + (1/q) = 1. Ejercicio 8.8.2 Demostrar que si (ϕ, ξ) es la transformada de Legendre de (z, x), entonces la envolvente de la familia de rectas, parametrizada por ξ, y = ξ · x − ϕ(ξ), es la curva y = z(x).

Ejemplo 8.8.2 Transformada de Legendre en R2 . Sea z una funci´on en el plano con coordenadas (x, y), tal que ξ = zx , η = zy sean sistema de coordenadas o equivalentemente que 2 zxx zyy − zxy 6= 0,

667

8.8. Ap´ endice

(ver el siguiente ejercicio en el que se caracterizan las que no satisfacen esta propiedad), entonces por (8.37) se tienen las relaciones entre (z; x, y) y su transformada (ϕ; ξ, η), ϕ = xzx + yzy − z,

ϕξ = x,

z = ξϕξ + ηϕη − ϕ,

zx = ξ,

ϕηη , ∆

zyx = −

ϕηξ , ∆

zy = η, 1

∆ = ϕξξ ϕηη − ϕ2ηξ = zxx =

ϕη = y

, 2 zxx zyy − zxy ϕξη ϕξξ zxy = − , zyy = ∆ ∆

Por lo tanto z es soluci´ on de una EDP F (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy , zyy ) = 0, 2 6= 0, si y s´ olo si ϕ es soluci´on de la EDP tal que zxx zyy − zxy

G(ξ, η, ϕ, ϕξ , ϕη , ϕξξ , ϕξη , ϕηη ) = 0, para la funci´ on G(ξ, η, ϕ, p, q, r, s, t) = F (p, q,pξ + qη − ϕ, ξ, η, t s r ,− , ), rt − s2 rt − s2 rt − s2 tal que ϕξξ ϕηη − ϕ2ηξ 6= 0. Por ejemplo a cada soluci´ on de la EDP cuasi–lineal a(zx , zy )zxx + 2b(zx , zy )zxy + c(zx , zy )zyy = 0, satisfaciendo 2 zxx zyy − zxy 6= 0,

le corresponde una soluci´ on de la EDP lineal c(ξ, η)ϕξξ − 2b(ξ, η)ϕξη + a(ξ, η)ϕηη = 0. Ejercicio 8.8.3 Una superficie {z = f (x, y)} ⊂ R3 , definida por una funci´ on del plano f , es desarrollable si y s´ olo si f es soluci´ on de la EDP 2 zxx zyy − zxy = 0.

(Sol.)

668

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Ejercicio 8.8.4 Demostrar que todas las soluciones de zx zy = 1 y xzx +yzy = z son superficies desarrollables y que xzx + yzy = z + zx2 + zy2 tiene una soluci´ on no desarrollable. Ejercicio 8.8.5 Aplicar la transformada de Legendre para resolver zx zy = x. (Sol.) Ejercicio 8.8.6 Aplicar la transformada de Legendre para encontrar las soluciones no desarrollables de las EDP 2 2 zx zy3 zyy − zx3 zy zxx − xzy3 (zxx zyy − zxy ) + yzx3 (zxx zyy − zxy ) = 0,

(1)

zy2 zxx

(2)

+ 2zx zy zxy +

zx2 zyy

+ 2xzx zxx zyy −

2 2xzx zxy

= 0.

Ejercicio 8.8.7 Demostrar que f es soluci´ on de la EDP de las superficies m´ınimas zxx (1 + zy2 ) − 2zx zy zxy + zyy (1 + zx2 ) = 0, si y s´ olo si la superficie z = f (x, y) tiene curvatura media nula en todo punto. (Sol.)

669

8.9. Ejercicios resueltos

8.9.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 8.4.2.- Consideremos la EDP de ondas k2 zxx − ztt = 0, definir el ODL asociado, su s´ımbolo, decir de que tipo es, reducirla a forma can´ onica y resolverla. (a) Encontrar la soluci´ on que satisface las condiciones, para x ∈ R z(x, 0) = h(x), zt (x, 0) = g(x), y demostrar que es u ´nica. (b) Demostrar que si z es soluci´ on y se anula en el infinito de x, uniformemente en t (i.e. ∀ > 0, ∃M > 0 : si |x| ≥ M , |z(x, t)| ≤ ), entonces z = 0. Soluci´ on.∂2 ∂2 − 2, ∂x2 ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ T = k2 ⊗ − ⊗ , ∂x ∂x ∂t ∂t P = k2

a = k2 , b = 0, c = −1, por tanto el tipo es ac − b2 = −k2 (hiperb´ olico), T(dx + λdt, dx + λdt) = 0

⇔

k 2 − λ2 = 0

⇔

λ = ±k

por tanto ω1 = dx + kdt = du, para u = x + kt y ω2 = dx − kdt = dv, para v = x − kt y como en estas coordenadas T(du, dv) = 2k2 y [P, u](1) = [P, v](1) = P (1) = 0,   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 T = 2k2 ⊗ + ⊗ , P = 4k2 . ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u∂v (a) Por tanto nuestra ecuaci´ on en las nuevas coordenadas es zuv = 0

⇔

zu = f (u)

⇔

z = F (u) + G(v).

y en las coordenadas (x, t), z(x, on R t) = F (x + kt) + G(x − kt), por tanto la soluci´ pedida satisface, para χ(x) = 0x g(t)dt: z(x, 0) = h(x) = F (x) + G(x) zt (x, 0) = g(x) = kF 0 (x) − kG0 (x)

⇒

2kF 0 (x) = kh0 (x) + χ0 (x)

⇒

F (x) =

h(x) χ(x) + + k0 , 2 2k

para una constante k0 y tenemos z(x, t) = F (x + kt) + G(x − kt) = F (x + kt) + h(x − kt) − F (x − kt) =

h(x + kt) + h(x − kt) χ(x + kt) − χ(x − kt) + 2 2k

670

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Veamos la unicidad: si hubiese dos soluciones su diferencia z ser´ıa soluci´ on verificando z(x, 0) = zt (x, 0) = 0, pero toda soluci´ on es de la forma z(x, t) = F (x + kt) + G(x − kt), por tanto z = 0 pues z(x, 0) = 0 = F (x) + G(x) zt (x, 0) = 0 = kF 0 (x) − kG0 (x)

⇒

0=F +G F = G + cte

⇒

G = cte = −F.

(b) La condici´ on de que z se anule en el infinito implica que para toda funci´ on t(x), l´ım|x|→∞ z(x, t(x)) = 0, por tanto como la soluci´ on es de la forma z = F (x + kt) + G(x − kt), tendremos para t1 (x) = (x − x0 )/k y t2 (x) = (x0 − x)/k, que F (2x − x0 ) + G(x0 ) → 0,

F (x0 ) + G(2x − x0 ) → 0,

por tanto existen los l´ımites l´ım F (x) = −G(x0 ),

|x|→∞

l´ım G(x) = −F (x0 ),

|x|→∞

y F y G son constantes contrarias, pues x0 es arbitraria, y z = 0.

Ejercicio 8.4.3.- Consideremos la EDP yzxx − xzyy −

y x zx + zy = 0, 2x 2y

definir el ODL asociado, su s´ımbolo, decir en que regi´ on es de tipo hiperb´ olico y resolverla, si es posible, reduci´endola antes a forma can´ onica. Decir cuales son sus curvas caracter´ısticas. Soluci´ on.∂2 y ∂ x ∂ ∂2 −x 2 − + , ∂x2 ∂y 2x ∂x 2y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ⊗ −x ⊗ , T=y ∂x ∂x ∂y ∂y

P =y

a = y, b = 0, c = −x, por tanto el tipo ac − b2 = −xy es hiperb´ olico en el primer ({x > 0, y > 0}) y tercer ({x < 0, y < 0}) cuadrantes, r y T(dx + λdy, dx + λdy) = 0 ⇔ y − xλ2 = 0 ⇔ λ = ± x por tanto podemos considerar  r y   ω1 = dx + dy  x  r y   ω2 = dx − dy   x

⇒

3√ xω1 = d(x3/2 + y 3/2 ) 2 3√ xω2 = d(x3/2 − y 3/2 ) 2

por tanto para las coordenadas v1 = x3/2 + y 3/2 , v2 = x3/2 − y 3/2 , sus curvas caracter´ısticas son v1 = cte, v2 = cte, y como [[P, v1 ], v1 ] = [[P, v2 ], v2 ] = [P, v1 ](1) = [P, v2 ](1) = P (1) = 0, nuestro operador es proporcional a ∂2 , ∂v1 ∂v2

8.9. Ejercicios resueltos

671

y nuestra ecuaci´ on es ∂2z =0 ∂v1 ∂v2

⇔

∂z = f (v1 ) ∂v1

⇔

z = F (v1 ) + G(v2 ) = F (x3/2 + y 3/2 ) + G(x3/2 − y 3/2 ).

Ejercicio 8.4.5.- Consideremos la EDP x2 zxx − 2xyzxy + y 2 zyy + 2xzx = 0, decir en qu´e regi´ on es parab´ olica, resolverla, si es posible, reduci´endola antes a forma can´ onica y decir cuales son sus curvas caracter´ısticas. Soluci´ on.- En este caso ac − b2 = 0, por tanto es parab´ olica en todo el plano. Si su 1–forma is´ otropa es proporcional a dx + λdy, tendremos que x T(dx + λdy, dx + λdy) = 0 ⇔ (x − λy)2 = 0 ⇔ λ = , y por tanto podemos tomar ω = ydx + xdy = d(xy), por tanto sus curvas caracter´ısticas son las hip´ erbolas xy = cte. Y en las coordenadas u = xy, v = y, tendremos que [[P, u], u] = [[P, u], v] = [P, u](1) = [P, v](1) = P (1) = 0, [[P, v], v] = T(dv, dv) = v 2 , 2 por lo que nuestro operador es ∂2 , ∂v 2 y nuestra ecuaci´ on es en las nuevas coordenadas v2

∂2z =0 ∂v 2

⇔

∂z = f (u) ∂v

⇔

z = f (u)v + g(u) = f (xy)y + g(xy).

Ejercicio 8.6.1.- Demostrar que si z es una soluci´ on el´ıptica o ´ hiperb´ olica de una EDP cuasi–lineal azxx + 2bzxy + czyy + g = 0, y (u, v) son coordenadas caracter´ısticas, entonces xuv yuv zuv (xu yv − xv yu )2 xu √ yu zu = g. 2 b2 − ac xv yv zv Soluci´ on. Tenemos que zu = pxu + qyu ,

zv = pxv + qyv

⇒

zuv = pv xu + pxuv + qv yu + qyuv ,

672

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

por tanto xuv yuv xu yu xv yv

zuv xuv zu = xu z v xv xuv = xu xv

yuv yu yv yuv yu yv

pv xu + pxuv xuv yuv + xu yu pxu xv yv pxv pv xu xuv yuv qv yu yu 0 0 + xu yv 0 0 xv

qv yu + qyuv qyu qyv

= (pv xu + qv yu )(xu yv − xv yu ) = (pv λ2 + qv )yu (xu yv − xv yu ) g (xu yv − xv yu )2 √ = − yv yu (xu yv − xv yu ) = g, c 2 b2 − ac donde la u ´ltima igualdad se sigue de las dos primeras ecuaciones caracter´ısticas, ya que xu yv − xv yu = (λ2 − λ1 )yu yv .

Ejercicio 8.6.2.- Demostrar que la EDP de las superficies m´ınimas zxx (1 + zy2 ) − 2zx zy zxy + zyy (1 + zx2 ) = 0, es el´ıptica y se puede reducir a las ecuaciones de Laplace en las coordenadas caracter´ısticas (u = u1 + iu2 , u = u1 − iu2 ) xu1 u1 + xu2 u2 = 0,

yu1 u1 + yu2 u2 = 0,

zu1 u1 + zu2 u2 = 0,

sujetas a las condiciones x2u1 + yu2 1 + zu2 1 = x2u2 + yu2 2 + zu2 2 , xu1 xu2 + yu1 yu2 + zu1 zu2 = 0. Soluci´ on. Consideremos una soluci´ on z, y su s´ımbolo T = (1 + zy2 )

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⊗ − zx zy ⊗ − zx zy ⊗ + (1 + zx2 ) ⊗ , ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y

ahora bien como la matriz de la m´ etrica g correspondiente, es la inversa de la de T, tendremos que g=

(1 + zx2 )dx ⊗ dx + zx zy (dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (1 + zy2 )dy ⊗ dy 1 + zx2 + zy2

,

si ahora consideramos las coordenadas caracter´ısticas correspondientes (u, u), entonces T(du, du) = 0, T(du, du) = 0, por tanto 

∂ , ∂u  ∂ 0=g , ∂u 0=g

 ∂ 2 2 2 = (1 + zx2 )x2u + 2zx zy xu yu + (1 + zy2 )yu = x2u + yu + zu , ∂u  ∂ 2 2 2 2 = (1 + zx2 )xu + 2zx zy xu yu + (1 + zy2 )yu = x2u + yu + zu , ∂u

8.9. Ejercicios resueltos

673

y tomando la parte real y la imaginaria de la primera se tiene 2 2 2 2 x2u1 + yu + zu = x2u2 + yu + zu , 1 1 2 2

xu1 xu2 + yu1 yu2 + zu1 zu2 = 0, y si derivamos cada una de las ecuaciones respecto de “la otra” variable, tendremos que 0 = xu xuu + yu yuu + zu zuu , 0 = xu xuu + yu yuu + zu zuu , y como por el ejercicio anterior tenemos que xuu yuu zuu xu yu zu = 0, xu yu zu pues g = 0, tendremos que la primera fila F1 es combinaci´ on de las otras dos F2 y F3 (que son independientes pues xu yu − yu xu 6= 0), F1 = λF2 + µF3 , lo cual implica por lo anterior, que (xuu )2 + (yuu )2 + (zuu )2 = F1 · F1 = λF2 · F1 + µF3 · F1 = 0, y por tanto (xu1 u1 + xu2 u2 )2 + (yu1 u1 + yu2 u2 )2 + (zu1 u1 + zu2 u2 )2 = 0   xu1 u1 + xu2 u2 = 0, yu1 u1 + yu2 u2 = 0, ⇔   zu1 u1 + zu2 u2 = 0.

Ejercicio 8.6.3.- Demostrar que la EDP de las superficies m´ınimas, para la m´etrica de Minkowsky,4 zxx (zy2 − 1) − 2zx zy zxy + zyy (zx2 − 1) = 0, 4 Consideramos en R3 la m´ etrica de Minkowski dx ⊗ dx + dy ⊗ dy − dz ⊗ dz y las superficies {z = f (x, y)} en las que la m´ etrica inducida g sea no singular (i.e. EG − F 2 6= 0), por tanto sin radical. Consideremos en cada superficie la 2–forma de ´ area, que en coordenadas (v1 = x, v2 = y) es (si EG − F 2 < 0)

∂1 = ∂x + z x ∂z ,

∂2 = ∂y + zy ∂z ,

E = g(∂1 , ∂1 ) = 1 − zx2 , F = g(∂1 , ∂2 ) = −zx zy , G = g(∂2 , ∂2 ) = 1 − zy2 , q p F 2 − EGdx ∧ dy = zx2 + zy2 − 1. y la EDP de las superficies m´ınimas es la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange para esta lagrangiana     ∂  zx ∂  zy   q + q  = 0, ∂x ∂y 2 2 2 zx + zy − 1 zx + zy2 − 1

674

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

es hiperb´ olica y que se puede reducir a las ecuaciones de ondas en las coordenadas caracter´ısticas (u = u1 + u2 , v = u1 − u2 ), es decir xu1 u1 − xu2 u2 = 0,

yu1 u1 − yu2 u2 = 0,

zu1 u1 − zu2 u2 = 0,

sujetas a las condiciones x2u + yu2 − zu2 = x2v + yv2 − zv2 = 0. Soluci´ on. Consideremos su s´ımbolo ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⊗ − zx zy ⊗ − zx zy ⊗ + (zx2 − 1) ⊗ , T = (zy2 − 1) ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ahora bien como la matriz de la m´ etrica correspondiente, es la inversa de la de T, tendremos que la m´ etrica es (zx2 − 1)dx ⊗ dx + zx zy (dx ⊗ dy + dy ⊗ dx) + (zy2 − 1)dy ⊗ dy 1 − zx2 − zy2

,

que es proporcional a g, la que hereda del espacio. Si ahora consideramos las coordenadas caracter´ısticas correspondientes (u, v), entonces T(du, du) = 0,

T(dv, dv) = 0,

por tanto 

 ∂ ∂ 2 2 2 , = (zx2 − 1)x2u + 2zx zy xu yu + (zy2 − 1)yu = zu − x2u − yu , ∂u ∂u   ∂ ∂ , = (zx2 − 1)x2v + 2zx zy xv yv + (zy2 − 1)yv2 = zv2 − x2v − yv2 , 0=g ∂v ∂v 0=g

y si derivamos cada una de las ecuaciones respecto de “la otra” variable, tendremos que para D = xuv ∂x + yuv ∂y + zuv ∂z 0 = xu xuv + yu yuv − zu zuv , 0 = xv xuv + yv yuv − zv zuv ,

⇒

0 = g(D, ∂u ), 0 = g(D, ∂v ),

por tanto D = 0, pues g no tiene radical y D es tangente a la superficie, pues para p = zx y q = zy , zuv = pxuv + qyuv , ya que zu = pxu + qyu y derivando y teniendo en cuenta por (8.6), p´ ag.646, que xu = λ2 yu y por (8.7), p´ ag. 647, que λ2 pv = −qv , tenemos zuv = pv xu + pxuv + qv yu + qyuv = pxuv + qyuv .

Ejercicio 8.8.3.- Una superficie {z = f (x, y)} ⊂ R3 , definida por una funci´ on del plano f , es desarrollable si y s´ olo si f es soluci´ on de la EDP 2 zxx zyy − zxy = 0.

Soluci´ on. Las superficies desarrollables son (localmente) las que tienen nula la curvatura de Gauss, es decir el determinante del operador de Weingarten, (ver la p´ ag.181) definido en la superficie S = {z = f (x, y)} de la forma φ : D(S) → D(S),

φ(D) = −D∇ N,

8.9. Ejercicios resueltos

675

para N el vector unitario, normal a la superficie, es decir   ∂ ∂ ∂ 1 −fx − fy + . N = q ∂x ∂y ∂z 1 + fx2 + fy2 Si consideramos la base de campos D1 , D2 ∈ D(S), definida por la aplicaci´ on   ∂ ∂ ∂ + fx , D1 = F∗ = ∂x ∂x ∂z F (x, y) = (x, y, f (x, y)),   ∂ ∂ ∂ D2 = F∗ = + fy , ∂y ∂y ∂z q tendremos que para k = 1/ 1 + fx2 + fy2 kx = −(fx fxx + fy fxy )k3 , ky = −(fx fxy + fy fyy )k3 , y puesto que las componentes de N no dependen de z, tendremos que sobre ellas D1 = ∂x y D2 = ∂y , por lo que   ∂ ∂ ∂ + kfy −k φ(D1 ) = −D1∇ N = D1∇ kfx ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ = (kfx )x + (kfy )x − kx ∂x ∂y ∂z = (kfx )x D1 + (kfy )x D2 φ(D2 ) = (kfx )y D1 + (kfy )y D2 , por lo que el determinante es 2 (kx fx + kfxx )(ky fy + kfyy ) − (kx fy + kfyx )(ky fx + kfyx ) = k4 (fxx fyy − fxy ).

Ejercicio 8.8.5.- Aplicar la transformada de Legendre para resolver la EDP zx zy = x. Soluci´ on.- Esta ecuaci´ on se transforma en ξη = ϕξ , la cual tiene soluci´ on 1 2 ϕ = ξ η + f (η), 2 y las soluciones (no desarrollables) de nuestra ecuaci´ on original se obtienen eliminando ξ y η del sistema de ecuaciones x = ξη, 1 2 ξ + f 0 (η), 2 z = xξ + yη − ϕ = ξ 2 η + ηf 0 (η) − f (η), ahora para encontrar las soluciones desarrollables derivemos la ecuaci´ on respecto de xey zxx zy + zx zxy = 1, y = ϕη =

zxy zy + zx zyy = 0, 2 = 0, lo cual equivale a que y z es una soluci´ on desarrollable si y s´ olo si zxx zyy − zxy zyy = zxy = 0 y esto a que zy sea constante y como zx zy = x, tendremos que las soluciones desarrollables tienen la forma 1 2 z = ay + x + b, 2a donde a y b son constantes arbitrarias.

676

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

Ejercicio 8.8.7.- Demostrar que f es soluci´ on de la EDP de las superficies m´ınimas zxx (1 + zy2 ) − 2zx zy zxy + zyy (1 + zx2 ) = 0, si y s´ olo si la superficie z = f (x, y) tiene curvatura media nula en todo punto. Soluci´ on.- La curvatura media es la traza del operador de Weingarten (ver la p´ ag.181) definido en la superficie S = {z = f (x, y)}, que siguiendo el ejercicio (8.8.3), vale5 traz φ = (kfx )x + (kfy )y = 0.

5 Ver el ejemplo (7.10.2), p´ ag.511, donde hemos obtenido la EDP de las superficies m´ınimas mediante la ecuaci´ on de Euler–Lagrange, es decir    

∂  ∂  zx zy   +  = 0, q q ∂x ∂y 1 + zx2 + zy2 1 + zx2 + zy2 que es la considerada en el enunciado del ejercicio multiplicada por la inversa de la q 3 funci´ on 1 + zx2 + zy2 . Este es un buen ejemplo de que no siempre se debe simplificar una ecuaci´ on si esta es can´ onica y las obtenidas por m´ etodos variacionales tienen todo el aspecto de serlo.

8.10. Bibliograf´ıa y comentarios

8.10.

677

Bibliograf´ıa y comentarios

Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Phisics. Vol. I y II, Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962. Dieudonn´ e, J.: “Elementos de An´ alisis”. Tomo IV. Ed. Revert´ e, 1983. Egorov, Yu.V. and Shubin, M.A. (Eds.): “Partial Differential Equations Vol.I.”. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 30. Springer–Verlag, 1992. Gamkrelidge, R.V. (Ed.): “Geometry, Vol.I.”. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 28. Springer–Verlag, 1991. Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986. Gockeler, M. and Schucker, T.: “Differential geometry, gauge theories, and gravity”. Cambridge Univ. Press, 1987. Godbillon, C.: “Elements de Topologie Algebrique”. Hermann, Paris, 1971. Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. 5 Vol. Publish or Perish, 1975. (Vol.IV y Vol.V.) Vladimirov, V.S.: “Equations of Mathematical Phisics”. Marcel Dekker, 1971.

´, pero debemos En la primera lecci´ on hemos seguido el Dieudonne advertir que lo que el autor dice en la p´ ag.112, sobre la dimensi´on de los elementos integrales del sistema de Pfaff generado por dF , ω, ω1 y ω2 , es verdad para n = 2, pero falso para n ≥ 3. Hemos utilizado el Gamkrelidge, R.V., para la definici´on de ODL, en el Egorov, Yu.V. and Shubin, M.A. y el Gockeler, M. and Schucker, T. se encuentra la expresi´ on en coordenadas del operador de Laplace–Beltrami y en este u ´ltimo y el cl´ asico de Godbillon, C. podemos encontrar la definici´ on del operador ∗ de Hodge y las demostraciones de sus propiedades, as´ı como las del operador de Laplace–Beltrami. Para el tema en su conjunto hemos seguido fundamentalmente el Garabedian, P.R., el Courant,R. and Hilbert, D. y el Spivak, M.. Finalizamos estos comentarios con una teor´ıa que no hemos tratado en el tema pero que hemos visto en ejercicios (ver p´ag.668) y es de una gran importancia: La teor´ıa de las superficies m´ınimas. En 1760 J.L.Lagrange (1736–1813) inicia el estudio de las superficies m´ınimas —que ´el ve como superficies de m´ınima ´area con el borde fijo—, como una aplicaci´ on de sus estudios acerca del c´alculo de variaciones (ver la Nota (7.10.2) de la p´ ag.511). A Meusnier se debe el descubrimiento de las dos superficies m´ınimas elementales: El catenoide y el helicoide recto. Y para caracterizarlas utiliza la frase

678

Tema 8. EDP de orden superior. Clasificaci´ on

“. . . son superficies para las que las curvaturas principales k1 y k2 son iguales y de distinto signo”. Es decir son superficies con curvatura media H = (k1 + k2 )/2 nula (ver el ejercicio (8.8.7) de la p´ ag.668). (La noci´on de curvatura media aparece por primera vez en un trabajo de St. Germain de 1831). Esta definici´ on de superficie m´ınima es m´ as correcta y la propiedad de ser de “m´ınima ´ area” es una propiedad similar a la de las geod´esicas que son de “longitud m´ınima” en general. El significado eminentemente f´ısico de la curvatura media H, fue reconocido en 1805 y 1806 por T.Young y P.S.Laplace en sus investigaciones sobre el ascenso de un l´ıquido en un tubo capilar: “La diferencia de presi´ on cerca de un interfaz es proporcional a la curvatura media del interfaz en ese punto”. Aqu´ı interfaz es la superficie que separa el l´ıquido del medio en el que se encuentra. Remitimos al lector a la p´ ag.22 del libro Nitsche, J.C.: “Lectures on minimal surfaces. Vol.1 ”. Cambridge Univ. Press, 1989.

Por u ´ltimo Plateau consigui´ o en 1873 superficies m´ınimas de pel´ıcula jabonosa, introduciendo un alambre en forma de curva alabeada cerrada, en una soluci´ on de jab´ on. Fin del Tema 8

Tema 9

El problema de Cauchy Con este t´ıtulo entendemos el problema de determinar la soluci´on de una EDP (´ o de un sistema de EDP) que satisfaga ciertas condiciones predeterminadas. En este tema estudiaremos en primer lugar la existencia y unicidad de soluci´ on de una EDP de segundo orden en el plano, satisfaciendo condiciones dadas sobre una curva, y en segundo lugar la dependencia continua de la soluci´ on respecto de los datos iniciales.

9.1.

Sistemas de EDP de primer orden

Consideremos una EDP de segundo orden en el plano F (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy , zyy ) = 0, ahora bien si Ft 6= 0, podemos aplicar el Teorema de las funciones impl´ıcitas y expresar la EDP de la forma (9.1)

zyy = f (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy ).

Si z = z(x, y) es soluci´ on de esta EDP, entonces las funciones (9.2)

u3 = z, u4 = zx , u5 = zy , u6 = zxx , u7 = zxy , u8 = zyy ,

679

680

Tema 9. El problema de Cauchy

son soluci´ on del sistema de EDP de primer orden (a) u3y = u5 , (9.3)

(b) u4y = u7 ,

(d) u6y = u7x ,

(c) u5y = u8 ,

(e) u7y = u8x ,

(f ) u8y = fy + fz u5 + fp u7 + fq u8 + fr u7x + fs u8x , y aunque no es cierto que para toda soluci´ on u3 , u4 , . . . , u8 de este sistema (9.3), la funci´ on z = u3 sea soluci´ on de (9.1), s´ı es cierta la equivalencia si le imponemos ciertas condiciones. Observemos que si z = z(x, y) es una soluci´ on de (9.1), en un entorno de un punto (x0 , y0 ), satisfaciendo las condiciones (9.4)

z(x, y0 ) = φ(x),

zy (x, y0 ) = χ(x),

entonces tambi´en se tiene que zx (x, y0 ) = φ0 (x),

zxx (x, y0 ) = φ00 (x),

zxy (x, y0 ) = χ0 (x),

0

zyy (x, y0 ) = f (x, y0 , φ(x), φ (x), χ(x), φ00 (x), χ0 (x)), lo cual implica que la soluci´ on correspondiente, (9.2) de (9.3), satisface las condiciones

(9.5)

u3 (x, y0 ) = φ(x),

u4 (x, y0 ) = φ0 (x),

u5 (x, y0 ) = χ(x),

u6 (x, y0 ) = φ00 (x),

u7 (x, y0 ) = χ0 (x), u8 (x, y0 ) = f (x, y0 , φ(x), φ0 (x), χ(x), φ00 (x), χ0 (x)).

Veamos ahora el rec´ıproco. Teorema 9.1 Si u3 , u4 , . . . , u8 es una soluci´ on de (9.3), que satisface las condiciones (9.5), entonces z = u3 es soluci´ on de (9.1) satisfaciendo las condiciones (9.4). Demostraci´ on. De (a) y (c) se sigue que para z = u3 zy = u5 ,

zyy = u8 ,

de (e) y (c) que zyx = u7 , pues u7y = u8x = u5yx = u5xy

⇒

u7 = u5x + β(x)

⇒

u7 (x, y0 ) = u5x (x, y0 ) + β(x)

⇒

0

0

χ (x) = χ (x) + β(x) u7 = u5x = zyx ,

(integrando en y) (por las condiciones iniciales)

⇒ (por ser zy = u5 ),

9.1. Sistemas de EDP de primer orden

681

de (b) que u4y = u7 = zxy

⇒

u4 = zx + α(x)

⇒

u4 (x, y0 ) = zx (x, y0 ) + α(x)

⇒

φ0 (x) = φ0 (x) + α(x)

⇒

(integrando en y) (por las condiciones iniciales) u4 = zx ,

de (d) que u6y = u7x = zxxy

⇒

u6 = zxx + γ(x)

⇒

u6 (x, y0 ) = zxx (x, y0 ) + γ(x)

⇒

(por las condiciones iniciales)

⇒

u6 = zxx ,

00

00

φ (x) = φ (x) + γ(x)

(integrando en y)

y por u ´ltimo de (f) que zyyy = u8y = fy + fz u5 + fp u7 + fq u8 + fr u7x + fs u8x = fy + fz zy + fp zxy + fq zyy + fr zxxy + fs zxyy ∂f (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy ) ⇒ (integrando en y) ∂y = f (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy ) + ψ(x), =

zyy

y por las condiciones iniciales tendremos que ψ(x) = 0, por tanto zyy = f (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy ), es decir que z = u3 es soluci´ on de (9.1) satisfaciendo (9.4). Nota 9.2 Observemos que el sistema (9.3) satisfaciendo las condiciones iniciales (9.5), es equivalente al sistema de EDP

(9.6) u8y

u1y = 0, u2y = u1x , u3y = u5 u1x , u4y = u7 u1x , u5y = u8 u1x , u6y = u7x , u7y = u8x , = fy u1x + fz u5 u1x + fp u7 u1x + fq u8 u1x + fr u7x + fs u8x ,

si consideramos las condiciones u1 (x, y0 ) = x, (9.7)

u2 (x, y0 ) = y0 ,

0

u4 (x, y0 ) = φ (x), 00

u6 (x, y0 ) = φ (x),

u3 (x, y0 ) = φ(x),

u5 (x, y0 ) = χ(x), u7 (x, y0 ) = χ0 (x),

u8 (x, y0 ) = f (x, y0 , φ(x), φ0 (x), χ(x), φ00 (x), χ0 (x)),

682

Tema 9. El problema de Cauchy

pues se tiene que u1 = x y u2 = y. Y este sistema es de la forma n

(9.8)

X ∂ui ∂uj = fij (u1 , . . . , un ) , ∂y ∂x j=1

(para i = 1, . . . , n)

satisfaciendo condiciones iniciales del tipo (9.9)

ui (x, y0 ) = φi (x),

(para i = 1, . . . , n)

Estudiaremos el Teorema de Cauchy–Kowalewsky en la lecci´on 9.5, en ´el se prueba la existencia y unicidad de soluci´on (ui ), del sistema (9.8), satisfaciendo las condiciones (9.9), cuando las funciones fij y φi son anal´ıticas. Por u ´ltimo observemos que si z = z(x, y) es soluci´on de (9.1), para la que z(x0 , y0 ) = z0 , zxx (x0 , y0 ) = r0 ,

zx (x0 , y0 ) = p0 , zxy (x0 , y0 ) = s0 ,

zy (x0 , y0 ) = q0 , zyy (x0 , y0 ) = t0 ,

y tenemos que f est´ a definida en un entorno del punto (x0 , y0 , z0 , p0 , q0 , r0 , s0 ), (en el que f vale t0 ), entonces podemos simplificar nuestro problema considerando las nuevas variables ξ = x − x0 ,

η = y − y0 ,

y la nueva inc´ ognita ze(ξ, η) = z(ξ + x0 , η + y0 ) − z0 − ξp0 − ηq0 −

η2 ξ2 r0 − ξηs0 − t0 , 2 2

para las que se verifica zeξ = zx − p0 − ξr0 − ηs0 , zeη = zy − q0 − ξs0 − ηt0 , zeξξ = zxx − r0 , zeξη = zxy − s0 , zeηη = zyy − t0 = f (x, y, z, zx , zy , zxx , zxy ) − t0 =

9.1. Sistemas de EDP de primer orden

683

= f (ξ + x0 , η + y0 , ze + z0 + ξp0 + ηq0 + ξ 2 r0 /2 + ξηs0 + η 2 t0 /2, zeξ + p0 + ξr0 + ηs0 , zeη + q0 + ξs0 + ηt0 , zeξξ + r0 , zeξη + s0 ) − t0 = g(ξ, η, ze, zeξ , zeη , zeξξ , zeξη ), donde la funci´ on g est´ a definida en un entorno del origen (en el que se anula), de la forma g(ξ,η, ze, p, q, r, s) = f (ξ + x0 , η + y0 , ze + z0 + ξp0 + ηq0 + ξ 2 r0 /2 + ξηs0 + η 2 t0 /2, p + p0 + ξr0 + ηs0 , q + q0 + ξs0 + ηt0 , r + r0 , s + s0 ) − t0 , y por tanto ze es soluci´ on de la ecuaci´ on zeηη = g(ξ, η, ze, zeξ , zeη , zeξξ , zeξη ), satisfaciendo las condiciones ze(ξ, 0) = z(ξ + x0 , y0 ) − z0 − ξp0 − ξ 2 r0 /2, zeξ (ξ, 0) = zx (ξ + x0 , y0 ) − p0 − ξr0 , zeη (ξ, 0) = zy (ξ + x0 , y0 ) − q0 − ξs0 , zeξξ (ξ, 0) = zxx (ξ + x0 , y0 ) − r0 , zeξη (ξ, 0) = zxy (ξ + x0 , y0 ) − s0 , y por tanto verificando ze(0, 0) = zeξ (0, 0) = zeη (0, 0) = zeξξ (0, 0) = zeξη (0, 0) = zeηη (0, 0) = 0, lo cual simplifica las condiciones de una forma que nos ser´a u ´til en la demostraci´ on del Teorema de Cauchy–Kowalewski.

684

Tema 9. El problema de Cauchy

9.2.

Curvas caracter´ısticas

Consideremos una ecuaci´ on cuasi–lineal (9.10)

azxx + 2bzxy + czyy = d,

donde a, b, c, d son funciones de x, y, z, zx , zy . La cuesti´on que planteamos en este tema consiste en encontrar una soluci´ on z = z(x, y), con valores z[x(t), y(t)] = z(t),

zx [x(t), y(t)] = p(t),

zy [x(t), y(t)] = q(t),

determinados sobre una curva plana, dada param´etricamente de la forma (9.11)

x = x(t),

y = y(t).

En tales condiciones las funciones z(t), p(t) y q(t) no pueden darse arbitrariamente, pues est´ an relacionadas con x(t) e y(t) de la siguiente forma z 0 (t) = zx x0 (t) + zy y 0 (t) = p(t)x0 (t) + q(t)y 0 (t), por otra parte tendremos que si tal soluci´ on z existe, debe satisfacer las ecuaciones p0 (t) = zxx x0 (t) + zxy y 0 (t), q 0 (t) = zyx x0 (t) + zyy y 0 (t), que junto con (9.10) definen el sistema      a 2b c zxx d x0 (t) y 0 (t) 0  zxy  = p0 (t) , 0 0 0 x (t) y (t) zyy q 0 (t) el cual nos permite despejar las derivadas segundas de la z a lo largo de la curva siempre que a 2b c 0 0 = ay 02 − 2bx0 y 0 + cx02 6= 0. |A| = x (t) y 0 (t) 0 0 0 x (t) y (t) Por tanto sobre una curva que satisfaga esta propiedad los datos de Cauchy z(t), p(t), q(t), x(t) e y(t) determinan las derivadas segundas

9.2. Curvas caracter´ısticas

685

de z sobre la curva y por tanto todas las derivadas sobre la curva, pues derivando (9.10) respecto de x, y considerando ϕ(t) = zxx [x(t), y(t)] y ψ(t) = zxy [x(t), y(t)], tendremos que azxxx + 2bzxxy + czxyy = D, x0 (t)zxxx + y 0 (t)zxxy = ϕ0 (t), x0 (t)zxxy + y 0 (t)zxyy = ψ 0 (t), donde D es una funci´ on de a, b, c, sus derivadas y z y sus derivadas primeras y segundas, todas ellas conocidas sobre la curva. Entonces como la matriz del sistema tiene |A| 6= 0, podemos despejar estas derivadas terceras de la z sobre nuestra curva. Y as´ı sucesivamente. Esto nos permite construir una soluci´ on formal en serie de potencias de x − x0 , y − y0 , en un punto (x0 , y0 ) de la curva, la cual definir´a una verdadera funci´on en un entorno del punto si la soluci´ on z es anal´ıtica, cosa que demostraremos en el caso de que las funciones que intervienen en el problema sean anal´ıticas. Nota 9.3 Observemos que si para los datos de Cauchy z(t), p(t) y q(t), se verifica |A| = ay 02 − 2bx0 y 0 + cx02 = 0. esto significa que nuestra curva inicial (x(t), y(t)) es caracter´ıstica para la hipot´etica soluci´ on z, que sobre la curva satisface z = z(t), zx = p(t) y zy = q(t), pues tal curva es tangente a uno de los campos caracter´ısticos —para a 6= 0— √ ∂ b ± b2 − ac ∂ + , ∂x a ∂y En cuyo caso, si nuestros datos iniciales son tales que ac − b2 > 0, es decir nuestra hipot´etica soluci´ on es el´ıptica, no hay curvas caracter´ısticas, si ac − b2 = 0 —es decir es parab´ olica—, hay una familia de curvas caracter´ısticas, y si ac − b2 < 0 —es decir es hiperb´olica—, hay dos familias de curvas caracter´ısticas.

9.2.1.

Propagaci´ on de singularidades.

En esta secci´ on veremos que las curvas caracter´ısticas est´an relacionadas con la propagaci´ on de cierto tipo de singularidades de la soluci´on de una EDP.

686

Tema 9. El problema de Cauchy

Consideremos una EDP lineal definida en un abierto U del plano P (z) = azxx + 2bzxy + czyy + dzx + ezy + f z = 0, donde a, b, c, d, e, f son funciones de x, y, y sea γ = {(x(t), y(t))} una curva del abierto tal que U − γ sea la uni´ on disjunta de dos abiertos A y B. Consideremos una funci´ on u en U , tal que u = u1 en A y u = u2 en B, con u1 y u2 de clase 3 soluciones de la EDP respectivamente en A ∪ γ y B ∪ γ y tales que u es de clase 1 en U . En tal caso se tiene por continuidad que para todo t u1 [x(t), y(t)] = u2 [x(t), y(t)], u1x [x(t), y(t)] = u2x [x(t), y(t)],

(9.12)

u1y [x(t), y(t)] = u2y [x(t), y(t)], y si llamamos s11 (t) = u1xx [x(t), y(t)] − u2xx [x(t), y(t)], s12 (t) = u1xy [x(t), y(t)] − u2xy [x(t), y(t)], s22 (t) = u1yy [x(t), y(t)] − u2yy [x(t), y(t)], entonces se tiene que estas tres funciones no son independientes, pues derivando las dos u ´ltimas ecuaciones de (9.12) se sigue que 0 = x0 s11 + y 0 s12 , 0 = x0 s12 + y 0 s22 , lo cual implica que (9.13)

s12 = −

x0 s11 y0

s22 = −

x0 x02 s12 = 02 s11 , 0 y y

y por otra parte considerando P (u1 )−P (u2 ) = 0 sobre la curva, teniendo en cuenta (9.12), se sigue que as11 + 2bs12 + cs22 = 0, lo cual implica que 

  a 2b c s11 x0 (t) y 0 (t) 0  s12  = 0, 0 x0 (t) y 0 (t) s22

687

9.2. Curvas caracter´ısticas

y si el determinante de la matriz es no nulo (es decir la curva no es caracter´ıstica), hay soluci´ on u ´nica sij = 0 y no hay saltos en las derivadas segundas, por lo que nuestra soluci´ on u ser´ıa de clase 2, pero si el determinante se anula, la curva es caracter´ıstica y en tal caso para s111 (t) = u1xxx [x(t), y(t)] − u2xxx [x(t), y(t)],

s112 = · · · ,

se tiene que s011 = x0 s111 + y 0 s112 , s012 = x0 s112 + y 0 s122 , y aplicando (9.13) se tiene que y 02 (as111 + 2bs112 + cs122 ) = y 02 as111 + 2by 0 (s011 − s111 x0 )+ + c(y 0 s012 − s112 x0 y 0 ) = s111 (y 02 a − 2bx0 y 0 ) + 2by 0 s011 + + cy 0 s012 − cx0 (s011 − s111 x0 ) = s111 (y 02 a − 2bx0 y 0 + x02 c)+  0 0 x + s011 (2by 0 − cx0 ) + cy 0 − 0 s11 y  0 0 x s11 , = 2s011 (by 0 − cx0 ) − cy 0 y0 y si derivamos P (u1 ) = 0 y P (u2 ) = 0 respecto de x, las restamos y el resultado se eval´ ua sobre la curva, tendremos que 0 = as111 + 2bs112 + cs122 + ax s11 + 2bx s12 + cx s22 + ds11 + es12 , y multiplicando por y 02 y utilizando la igualdad anterior, tendremos que  0 0 x x0 x02 0 0 0 0 − a − d + (2b + e) − c )s11 , 2s11 (by − cx ) = (cy x x x y0 y0 y 02 que es una ecuaci´ on diferencial ordinaria en s11 , que nos da la ley de propagaci´ on del salto en las derivadas segundas de dos soluciones que coinciden, junto con sus derivadas primeras sobre la curva. Observemos que por lo tanto el salto en un punto determina el salto en cualquier otro

688

Tema 9. El problema de Cauchy

punto, por ejemplo si en un punto t0 no hay salto, s11 (t0 ) = 0, no lo hay en ning´ un punto, s11 = 0, y por tanto s12 = s22 = s11 = 0, es decir las derivadas segundas de ambas soluciones coinciden y u ser´ıa de clase 2.

9.3.

Funciones anal´ıticas reales

A lo largo de la lecci´ on denotaremos con letras griegas α, . . . los multi– ´ındices (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn , y con |α| = α1 + · · · + αn , Dα =

α! = α1 ! · · · αn !,

α1 +···+αn

∂ αn , 1 ∂xα 1 · · · ∂xn

asimismo escribiremos α ≤ β para denotar las desigualdades componente a componente. Con x denotamos un punto (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn y con αn 1 xα = xα 1 · · · xn ,

x1 = x1 · · · xn .

Ejercicio 9.3.1 Demostrar que (x1 + · · · + xn )m =

X m! α X m! α n x 1 · · · xα x , n = α! 1 α! |α|=m

|α|=m

y que para todo multi–´ındice α, α! ≤ |α|! ≤ n|α| α!.

9.3.1.

(Sol.)

Series de potencias.

Definici´ on. Llamamos radio de convergencia de una serie de potencias en x ∈ R ∞ X cn x n , n=0

689

9.3. Funciones anal´ıticas reales

al valor R, cuyo inverso es R−1 = l´ım sup

p n

|cn |,

n→∞

si este es finito y R = 0 si es infinito. Teorema de Abel 9.4 (Ver Apostol, p.285Py 287). Sea R el radio de convergencia de la serie de potencias en R, cn xn , entonces: i) La serie converge absolutamente en |x| < R y uniformemente en |x| ≤ r, para r < R. ii) La serie diverge en |x| > R. iii) La serie es de clase infinito en |x| < R y su derivada es la serie de las derivadas ∞ X ncn xn−1 , n=1

que tiene el mismo radio de convergencia R.

Ejercicio 9.3.2 Demostrar que para x ∈ (−1, 1), y k ∈ N, la serie ∞ X n=k

n! xn−k , (n − k)!

converge absolutamente a k!/(1 − x)1+k . (Sol.)

9.3.2.

Series m´ ultiples.

En esta lecci´ on consideraremos series m´ ultiples de n´ umeros reales X cα , α

las cuales recordemos que est´ an definidas como el l´ımite (si es que existe) l´ım

t1 ,...,tn →∞

t1 X

tn X

···

α1 =0

c(α1 ,...,αn ) ,

αn =0

y consideraremos las absolutamente convergentes, equivale a la convergencia de la serie ∞ X X j=0 |α|=j

|cα |,

P

α

|cα | < ∞, lo cual

690

Tema 9. El problema de Cauchy

en cuyo caso se tiene (ver Apostol, p.245) (9.14)

X

cα =

α

∞ X

···

α1 =0

∞ X

c(α1 ...αn ) =

αn =0

∞ X X

cα .

j=0 |α|=j

Una propiedad b´ asica que utilizaremos es que si las series ∞ X

∞ X

a1m , . . . ,

m=0

anm ,

m=0

son absolutamente convergentes, entonces tambi´en lo es (ver Apostol, p.247) X cα , (para c(α1 ,...,αn ) = a1α1 · · · anαn ), α

y se tiene X

cα =

α

∞ X

! a1m

···

m=0

∞ X

! anm

.

m=0

Ejercicio 9.3.3 Demostrar que si x ∈ Rn , con |xi | < 1, entonces la serie converge absolutamente a 1 . (1 − x)1

P

α

xα

(Sol.)

Ejercicio 9.3.4 Demostrar que si x ∈ Rn , con

Pn

i=1

|xi | < 1, entonces la serie

X |α|! α x , α! α converge absolutamente a 1 . 1 − (x1 + · · · + xn )

9.3.3.

(Sol.)

Series m´ ultiples de funciones.

Para cada P α ∈ Nn sea fα : U ⊂ Rn → R una funci´on, tal que para cada x ∈ U , fα (x) converja absolutamente a un n´ umero real f (x) P (habitualmente escribiremos f = fα ). Diremos que la convergencia de la serie es uniforme en U si para las sumas parciales X sα (x) = fβ (x), β≤α

9.3. Funciones anal´ıticas reales

691

se tiene que para todo  > 0, existe un α , tal que |sα (x) − f (x)| ≤ , para todo α ≥ α y todo x ∈ U . Si U es un abierto, cada fα es una funci´ on continua y existe A ⊂ U y constantes cα ≥ 0 tales que X cα < ∞ y |fα (x)| ≤ cα , para todo x ∈ A y α ∈ Nn , α

P entonces la serie fα (x) P converge absolutamente y uniformemente en A a una funci´ on continua fα ∈ C(A). Recordemos (ver la lecci´ on 2 del Tema I) que si tenemos que fα ∈ C k (U ) y la serie X Dβ fα (x), α

converge absolutamente y uniformemente en los compactos de U , para P todo β con |β| ≤ k, entonces fα ∈ C k (U ) y adem´as ! X X β D fα = Dβ fα , para |β| ≤ k. α

α

Ejercicio 9.3.5 Demostrar que si x ∈ Rn , con |xi | < 1, y β ∈ Nn , entonces la serie X α! xα−β , (α − β)! α≥β

converge absolutamente a β! . (1 − x)1+β

(Sol.)

P Ejercicio 9.3.6 Demostrar que si x ∈ Rn , con |xi | < 1, y β ∈ Nn , entonces la serie X α! xα−β , (α − β)! α≥β

converge absolutamente a |β|! . (1 − x1 − · · · − xn )1+|β|

(Sol.)

692

Tema 9. El problema de Cauchy

P Proposici´ on 9.5 Sea y ∈ Rn y cα ∈ R, tales que |cα y α | = µ < ∞, P entonces on f (x) continua cα xα converge absolutamente a una funci´ en C = {x : |xi | ≤ |yi |} y de clase infinito en el interior A de C. Adem´ as cα =

1 α D f (0), α!

y dado un compacto de K ⊂ A existen constantes 0 < r, M tales que para todo x ∈ K |Dβ f (x)| ≤ M |β|!r−|β| . Demostraci´ on. Obviamente la serie converge absolutamente en C. Ahora bien A es no vac´ıo s´ olo si yi 6= 0, para todo i, en cuyo caso todo compacto K ⊂ A est´ a en un conjunto de la forma |xi | ≤ λ|yi |, con λ ∈ (0, 1) y tenemos que X

|Dβ (cα xα )| ≤

α

X α≥β

≤

α! |cα |λ|α−β| |y α−β | (α − β)!

α! µ X λ|α−β| β |y | (α − β)! α≥β

µ β! = β , |y | (1 − λ)n+|β| y la serie de las derivadas converge absolutamente P enα A y uniformemente en cualquier compacto de A. Por tanto f = cα x es de clase infinito en A y en K se tiene que |Dβ f (x)| ≤ M |β|!r−|β| , para M=

µ , (1 − λ)n

r = (1 − λ) m´ın |yi |, i

adem´ as Dβ f (x) =

X α≥β

α! cα xα−β (α − β)!

⇒

Dβ f (0) = β! cβ .

Definici´ on. Diremos que una funci´ on f : U ⊂ Rn → R es anal´ıtica real en un punto y = (yi ) si existe un entorno abierto Uy de y en el abierto U y cα ∈ R, tales que para todo x = (xi ) ∈ Uy , X cα (x − y)α , f (x) = α

9.3. Funciones anal´ıticas reales

693

(donde la serie es absolutamente convergente). Diremos que f es anal´ıtica real en U si lo es en cada punto de U , en cuyo caso lo denotaremos f ∈ C ω (U ). El siguiente resultado es una reelaboraci´ on del u ´ltimo. Teorema 9.6 Si f : U ⊂ Rn → R es anal´ıtica real en un punto y ∈ U entonces existe un entorno suyo Uy y M, r > 0, tales que f ∈ C ∞ (Uy ) y para todo x ∈ Uy f (x) =

X 1 Dα f (y)(x − y)α , α! α

|Dβ f (x)| ≤ M |β|!r−|β| . Demostraci´ on. H´ Pagala el lector. (Ind. Consid´erese la serie absolutamente convergente α cα xα , en un entorno de 0, obtenida a partir de la de la definici´ on). Esta propiedad de acotaci´ on de las derivadas es la que esencialmente caracteriza las funciones anal´ıticas reales, como se ve en el siguiente resultado. Teorema 9.7 f ∈ C ω (U ) si y s´ olo si f ∈ C ∞ (U ) y para cada compacto K ⊂ U existen M, r > 0, tales que para cada x ∈ K |Dβ f (x)| ≤ M |β|!r−|β| . Demostraci´ on. Si f ∈ C ω (U ) entonces por el resultado anterior, ∞ f ∈ C (U ) y para cada y ∈ U existe un entorno Uy y M = My , r = ry , positivos, tales que para todo x ∈ Uy |Dβ f (x)| ≤ M |β|!r−|β| . Ahora dado un compacto K ⊂ U podemos recubrirlo de un n´ umero finito de entornos Uy y basta considerar M = m´ax My y r = m´ın ry . Rec´ıprocamente sea f ∈ C ∞ (U ) y consideremos un y ∈ U y una bola cerrada, de la k k1 , K = B[y, r0 ] ⊂ U . Ahora sean M, r las constantes correspondientes a K y sea x ∈ Uy = B(y, r) ∩ B(y, r0 ), por tanto tal que para z = x − y kzk1 = kx − yk1 = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | < r.

694

Tema 9. El problema de Cauchy

Veamos en primer lugar que la serie X 1 Dα f (y)(x − y)α , α! α converge absolutamente, lo cual equivale a demostrar la convergencia de ∞ X ∞ X X X |α|! 1 |Dα f (y)(x − y)α | ≤ M r−n |z α | α! α! n=0 n=0 |α|=n

|α|=n

=

∞ X

M r−n kzkn1 < ∞.

n=0

Definamos ahora la funci´ on g(t) = f (tx + (1 − t)y), para la que se tiene (ver ejercicio siguiente) que para todo n ∈ N f (x) = g(1) =

Z n X 1 (i 1 1 g (0) + (1 − t)n g (n+1 (t)dt, i! n! 0 i=0

siendo 1 (n X 1 α α g (t) = D f (tz + y)z n! α! |α|=n X |α|! ≤ M r−n |z α | = M r−n kzkn1 , α! |α|=n

por lo tanto Z 1  n+1 1 kzk1 n (n+1 (1 − t) g (t)dt ≤ M → 0, n! r 0

y haciendo n → ∞ f (x) =

∞ X X 1 1 (i g (0) = Dα f (y)(x − y)α . i! α! α i=0

por (9.14), pues la convergencia es absoluta.

695

9.3. Funciones anal´ıticas reales

Ejercicio 9.3.7 (a) Demostrar que si g ∈ C ∞ ((a, b)), para [0, 1] ⊂ (a, b) ⊂ R g(1) =

Z 1 n X 1 1 (i g (0) + (1 − t)n g (n+1 (t)dt. i! n! 0 i=0

(b) Que si g(t) = f (tz + y), para f ∈ C ∞ (U ), con U ⊂ Rn abierto, entonces g (n (t) =

X n! α D f (tz + y)z α . α!

(Sol.)

|α|=n

Ejercicio 9.3.8 Demostrar que f es anal´ıtica real en un punto si y s´ olo si lo es en un entorno del punto. (Sol.)

Las funciones anal´ıticas reales est´ an totalmente determinadas si conocemos los valores de todas sus derivadas en un punto cualquiera, en particular si la conocemos en el entorno de un punto, o la conocemos en germen de un punto. Teorema 9.8 Si U es conexo y f ∈ C ω (U ) entonces f est´ a determinada de forma u ´nica si conocemos los valores Dβ f (z), para un z ∈ U y todo β ∈ Nn . Demostraci´ on. Sean f, g ∈ C ω (U ), tales que para toda β ∈ Nn , β D f (z) = D g(z), y sea h = f − g, entonces los conjuntos β

U1 = {x : Dβ h(x) 6= 0, para alg´ un β ∈ Nn }, U2 = {x : Dβ h(x) = 0, para todo β ∈ Nn }, son abiertos, el primero por la continuidad de Dβ h y el segundo porque si x ∈ U2 se sigue del teorema (9.6) que f = 0 en un entorno de x. Por tanto como z ∈ U2 , tendremos que U2 = U y f = g. Ejercicio 9.3.9 Demostrar que para M, r > 0, la funci´ on ϕ(y) =

Mr , r − (y1 + · · · + ym )

P definida en { yi 6= r}, verifica Dα ϕ(0) = M |α|!r−|α| , P y es anal´ıtica en { |yi | < r}. (Sol.)

696

Tema 9. El problema de Cauchy

Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on F = (fi ) : U ⊂ Rn → V ⊂ Rm es anal´ıtica en un punto x ∈ U si sus componentes fi son funciones anal´ıticas en el punto. Diremos que es una aplicaci´ on anal´ıtica si lo es en cada punto. Teorema 9.9 Una aplicaci´ on F : U ⊂ Rn → V ⊂ Rm , es anal´ıtica si y s´ olo si la aplicaci´ on F ∗ : C ∞ (V ) → C ∞ (U ),

F ∗ (g) = g ◦ F,

lleva funciones anal´ıticas en funciones anal´ıticas. Demostraci´ on. Como las funciones coordenadas yi en Rm son anal´ıticas la suficiencia es obvia por la definici´ on, pues F ∗ (yi ) = fi son anal´ıticas, por tanto lo es F = (fi ). Veamos la necesidad, es decir que si F es anal´ıtica y g es una funci´on anal´ıtica, entonces f = g ◦ F es una funci´ on anal´ıtica en todo punto x ∈ U . Para ello basta demostrar que para cada punto x existe un entorno suyo y constantes M, s > 0 tales que en cada punto x0 del entorno y para todo α ∈ Nn |Dα f (x0 )| ≤ M |α|!s−|α| . Por ser g y las fi anal´ıticas, sabemos que existen entornos Ux de x y Vy de y = F (x) y constantes M, r > 0, tales que para cada punto x0 ∈ Ux e y 0 ∈ Vy y para cualesquiera multi´ındices α ∈ Nn y β ∈ Nm |∆β g(y 0 )| ≤ M |β|!r−|β| , |Dα fi (x0 )| ≤ M |α|!r−|α| , βm donde denotamos ∆β = ∂ |β| /∂y1β1 · · · ∂ym −1 Ahora cortando Ux con F (Vy ) si es necesario, podemos suponer que F (Ux ) ⊂ Vy , en cuyo caso tendremos mediante sucesivas aplicaciones de la regla de la cadena que

|Dα f (x0 )| = |Dα g(f1 , . . . , fm )(x0 )|   = |Pα ∆β g[F (x0 )], . . . , Dγ fi (x0 ), . . . |   ≤ Pα |∆β g[F (x0 )]|, . . . , |Dγ fi (x0 )|, . . . , para Pα un polinomio de coeficientes positivos, siendo β ∈ Nm y γ ∈ Nn tales que 1 ≤ |β| ≤ |α| y 1 ≤ |γ| ≤ |α|. Adem´as tales polinomios

9.3. Funciones anal´ıticas reales

697

son independientes de las funciones consideradas, por eso, definiendo las funciones Mr P , r − yi Mr P − M, φj (x1 , . . . , xn ) = r − xi φ = (φ1 , . . . , φm ), ϕ(y1 , . . . , ym ) =

para j = 1, . . . , m

en entornos del origen de Rm y Rn respectivamente, considerando el ejercicio (9.3.9) y que φ(0) = 0, se tiene que   |Dα f (x0 )| ≤ Pα |∆β g[F (x0 )]|, . . . , |Dγ fi (x0 )|, . . . h i ≤ Pα M |β|!r−|β| , . . . , M |γ|!r−|γ| , . . .   = Pα ∆β ϕ[φ(0)], . . . , Dγ φi (0), . . . = Dα (ϕ ◦ φ)(0) = M 0 |α|!s−|α| , para M0 =

Mm M ≤ M, r + Mm

s=

r2 , r + mM

lo cual de nuevo es consecuencia del ejercicio (9.3.9), pues se demuestra f´ acilmente que ϕ[φ(x)] =

Mr Mr X + mM r−m r− xi

Mm Ms Mr r + MX m = + . r + mM s− xi Como consecuencia de este resultado se tiene trivialmente el siguiente. Corolario 9.10 La composici´ on de aplicaciones anal´ıticas es una aplicaci´ on anal´ıtica.

698

9.4.

Tema 9. El problema de Cauchy

Funciones anal´ıticas complejas

Hay una diferencia fundamental entre la teor´ıa de funciones diferenciables de variable real y la de variable compleja, pues en la de variable real estudiamos la clase de las funciones derivables, entre ellas estudiamos las que tienen derivada segunda, y as´ı sucesivamente; luego estudiamos una clase m´ as reducida, las que son infinitamente derivables y entre ellas las anal´ıticas reales, que pueden expresarse a trav´es de su desarrollo de Taylor, siendo distintas todas estas clases de funciones. Sin embargo para las funciones de variable compleja ocurre que todas las clases anteriores coinciden, es decir que basta pedirle a una funci´on de estas que sea derivable en un abierto, para que sea de clase infinita y anal´ıtica en el abierto. Remitimos al lector a la lecci´ on (8.4.3), p´ag.631, donde ya hemos hablado de estas cuestiones y vimos el Teorema de Cauchy (8.24).

9.4.1.

Las ecuaciones de Cauchy–Riemann.

Definici´ on. Una funci´ on f (z) : U ⊂ C → C, es diferenciable en un punto z0 si existe y es u ´nico el l´ım

z→z0

f (z) − f (z0 ) , z − z0

y es un n´ umero complejo que denotamos f 0 (z0 ). Diremos que f es holomorfa ´ o anal´ıtica compleja en U si es diferenciable en todo punto de U y su derivada es continua1 . En el caso de que U = C, diremos que f es entera. Es f´ acil demostrar que si f es diferenciable en un punto z0 , es continua en ese punto, para ello basta tomar l´ımites (cuando z → z0 ) en la igualdad f (z) − f (z0 ) f (z) = (z − z0 ) + f (z0 ). z − z0 1 Esta u ´ltima condici´ on no es necesaria, pues Goursat demostr´ o en 1900 que si f 0 existe es continua.

9.4. Funciones anal´ıticas complejas

699

Consideremos la identificaci´ on natural entre R2 y C dada por (x, y) → z = x + iy y una funci´ on f : U ⊂ C → C,

o ´

F = (u, v) : U ⊂ R2 → R2 ,

entendiendo f (z) = u(x, y) + iv(x, y). En estos t´erminos se tiene la siguiente caracterizaci´ on. Teorema 9.11 Condici´ on necesaria y suficiente para que f sea holomorfa en U es que u y v sean de clase 1 en U y satisfagan las ecuaciones de Cauchy–Riemann ux = vy , uy = −vx , Demostraci´ on. Tomemos el z = x + iy, en el l´ımite de la definici´on, primero con y = y0 y despu´es con x = x0 , en ambos casos el l´ımite debe ser f 0 (z0 ) = ux + ivx = vy − iuy , de esta forma quedar´ıa demostrada la necesidad. Para probar la suficiencia tenemos por el Teorema del valor medio y las ecuaciones de Cauchy–Riemann, que f (z0 + z) − f (z0 ) = = u(x0 + x, y0 + y) − u(x0 , y0 )+ + i[v(x0 + x, y0 + y) − v(x0 , y0 )] = u(x0 + x, y0 + y) − u(x0 + x, y0 ) + u(x0 + x, y0 ) − u(x0 , y0 )+ + i[v(x0 + x, y0 + y) − v(x0 + x, y0 ) + v(x0 + x, y0 ) − v(x0 , y0 )] = yuy (x0 + x, y) + xux (x, y0 )+ + i[yvy (x0 + x, y 0 ) + xvx (x0 , y0 )] = = y[uy (x0 , y0 ) + 1 ] + x[ux (x0 , y0 ) + 2 ]+ + i[y[vy (x0 , y0 ) + 3 ] + x[vx (x0 , y0 ) + 4 ]] = y[−vx (x0 , y0 ) + 1 ] + x[ux (x0 , y0 ) + 2 ]+ + i[y[ux (x0 , y0 ) + 3 ] + x[vx (x0 , y0 ) + 4 ]] = z(ux + ivx ) + y1 + x2 + iy3 + ix4 ,

700

Tema 9. El problema de Cauchy

donde los i tienden a cero cuando z = x + iy tiende a cero. Por tanto se sigue que f (z0 + z) − f (z0 ) y1 + x2 + iy3 + ix4 − u − iv = x x z z ≤ |2 + i4 | + |1 + i3 |, de donde se sigue que f 0 (z0 ) = ux + ivx . Si como decimos consideramos la identificaci´on natural entre R2 y C, tendremos que R2 adquiere una estructura de espacio vectorial complejo para el que 1 = (1, 0),

i = (0, 1),

⇒

i(1, 0) = (0, 1),

i(0, 1) = (−1, 0),

y por tanto todos los espacios tangentes T(x,y) (R2 ), para los que i

∂ ∂ = , ∂x ∂y

i

∂ ∂ =− , ∂y ∂x

por tanto dada una funci´ on f : U ⊂ C → C,

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

podemos considerar la aplicaci´ on lineal tangente de F = (u, v) : U → R2 ,

F∗ : T(x,y) (R2 ) → T(x,y) (R2 )

y se tiene el siguiente resultado. Teorema 9.12 Condici´ on necesaria y suficiente para que u y v satisfagan las ecuaciones de Cauchy–Riemann es que F∗ sea C–lineal. Demostraci´ on. Basta observar que     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = i ux + vx = ux − vx , iF∗ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x     ∂ ∂ ∂ ∂ F∗ i = F∗ = uy + vy . ∂x ∂y ∂x ∂y

9.4. Funciones anal´ıticas complejas

9.4.2.

701

F´ ormula integral de Cauchy.

Dada una funci´ on f : U ⊂ C → C,

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

se tiene la siguiente caracterizaci´ on de las funciones anal´ıticas de variable compleja. Teorema 9.13 Los siguientes enunciados son equivalentes: i) Para cada punto z0 ∈ U , existe un disco abierto D0 ⊂ U , centrado en z0 y cn ∈ C, tales que para todo z ∈ D0 , f (z) =

∞ X

cn (z − z0 )n .

n=0

en el sentido de que la serie converge absolutamente. ii) La funci´ on f es derivable, su derivada es continua y las funciones u, v satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann. iii) La funci´ on f es derivable, su derivada es continua y f dz es cerrada, es decir d(f dz) = 0. iv) La funci´ on f es continua y para todo abierto V , con V ⊂ V ⊂ U ´ rmula integral y con borde ∂V variedad diferenciable, se tiene la Fo de Cauchy, Z 1 f (z) f (z0 ) = dz. 2πi ∂V z − z0 para todo z0 ∈ V . Demostraci´ on. (i) ⇒ (ii). Se tiene que f 0 (z) =

∞ X

ncn (z − z0 )n−1 .

n=0

y la serie converge absolutamente en D0 y f 0 es continua en D0 y por tanto en todo U (ver Cartan, p.22). El resto se sigue del teorema de caracterizaci´ on de las funciones holomorfas. (ii) ⇒ (iii). Tenemos que f dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i(vdx + udy) d(f dz) = d(udx − vdy) + id(vdx + udy) = (−uy − vx )dx ∧ dy + i(−vy + ux )dx ∧ dy = 0.

⇒

702

Tema 9. El problema de Cauchy

(iii) ⇒ (iv). Consideremos la 1–forma ω=

f dz, z − z0

en el abierto U0 = U − {z0 }, la cual es cerrada, pues se tiene   1 1 dz ∧ dz = 0. dω = d ∧ f dz + d(f dz) = f z − z0 z − z0 (z − z0 )2 Consideremos un disco Dr = {|z − z0 | ≤ r} ⊂ V , para un r > 0 suficientemente peque˜ no y consideremos el abierto A = V −Dr con borde ∂V ∪ Cr , en el que consideramos la orientaci´ on sobre el borde tomando un campo exterior a A —observemos que sobre Cr es la orientaci´on contraria a la habitual—. Entonces aplicando el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 Z Z Z ω ⇒ 0= dω = ω− A ∂V Cr Z Z f f dz = dz, z − z z − z0 0 ∂V Cr y tomando l´ımites cuando r → 0, se tiene el resultado, pues parametrizando la circunferencia Cr , z = z0 + r eit , tendremos que Z 2π Z f f (z0 + r eit ) dz = ir eit dt r eit Cr z − z0 0 Z 2π (9.15) =i f (z0 + r eit )dt → 2πif (z0 ). 0

(iv) ⇒ (i). Consideremos un disco Dr = {|z − z0 | ≤ r} ⊂ U y apliquemos (iv) al interior V de Dr , tendremos que para todo ξ ∈ V , Z f (z) 1 dz f (ξ) = 2πi Cr z − ξ  −1 Z 1 f (z) ξ − z0 = 1− dz 2πi Cr z − z0 z − z0 "∞  n # Z 1 f (z) X ξ − z0 = dz 2πi Cr z − z0 n=0 z − z0  n ∞ Z 1 X f (z) ξ − z0 = dz, 2πi n=0 Cr z − z0 z − z0

703

9.4. Funciones anal´ıticas complejas

pues la serie n ∞  X ξ − z0 z − z0

n=0

,

es uniformemente convergente en los z ∈ Cr y por tanto definiendo cn =

1 2πi

Z Cr

f (z) dz (z − z0 )n+1

⇒

f (ξ) =

∞ X

cn (ξ − z0 )n .

n=0

y el resultado se concluye.

Nota 9.14 Observemos que de la f´ ormula integral de Cauchy en la forma (9.15), se sigue el Teorema del valor medio para funciones anal´ıticas: El valor f (z0 ) es el valor medio de f en cualquier circunferencia centrada en z0 , cuyo disco est´e en su dominio. 1 f (z0 ) = 2π

2π

Z

f (z0 + r eit ) dt,

0

Como consecuencia se tiene el Principio del m´ aximo: Si el m´ odulo de una funci´ on holomorfa alcanza el m´ aximo en el interior de su dominio conexo es constante. Esto se demuestra considerando que si el m´aximo es a = |f (z0 )|, entonces el conjunto {|f (z)| = a} es cerrado, no vac´ıo y adem´as es abierto pues si |f (p)| = a y consideramos una bola centrada en p y cualquier punto suyo z, para r = |z − p|, se tiene 1 |f (p)| ≤ 2π

Z

2π

|f (z0 + r eit )| dt,

0

y en todo punto de la circunferencia |f | ≤ a y si en un punto fuese estrictamente menor tambi´en lo ser´ıa en un entorno y el valor medio ser´ıa estrictamente menor que a y |f (p)| < a, por lo que llegar´ıamos a contradicci´ on.

704

Tema 9. El problema de Cauchy

9.4.3.

Funciones anal´ıticas n–dimensionales.

Remitimos al lector a las p.70–72 del Fritz–John para un breve an´ alisis de las funciones anal´ıticas complejas n–dimensionales. En particular al siguiente resultado. Teorema 9.15 Si f ∈ C ω (U ), con U abierto de Rn , entonces para cada compacto K ⊂ U , existe un entorno κ ⊂ Cn de K y una funci´ on F anal´ıtica compleja en κ, tal que F (x) = f (x), para cada x ∈ K.

9.5.

El Teorema de Cauchy–Kowalewski

Consideremos el sistema de ecuaciones n

(9.16)

X ∂ui ∂uj = fij (u1 , . . . , un ) , ∂y ∂x j=1 uy = A(u)ux ,

(para i = 1, . . . , n)

(en forma matricial),

satisfaciendo condiciones iniciales del tipo ui (x, y0 ) = φi (x),

(para i = 1, . . . , n)

u(x, y0 ) = φ(x),

(en forma vectorial),

donde supondremos que las funciones φi son anal´ıticas en un entorno de un punto x0 ∈ R y las fij anal´ıticas en un entorno de φ(x0 ) ∈ Rn . Nuestra intenci´ on consiste en demostrar que en tales condiciones existe una u ´nica soluci´ on u = (u1 , . . . , un ), anal´ıtica en un entorno de (x0 , y0 ) ∈ R2 . En primer lugar observamos que sin p´erdida de generalidad podemos suponer que x0 = y0 = φ(x0 ) = 0, pues basta considerar el nuevo sistema n

X ∂zi ∂zj = hij (z1 , . . . , zn ) , ∂y ∂x j=1 para

hij (z) = fij (z + φ(x0 )),

zi (x, 0) = χi (x), χ(x) = φ(x + x0 ) − φ(x0 ),

9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski

705

el cual si tiene soluci´ on z = (zi ), entonces el original la tiene u(x, y) = z(x − x0 , y − y0 ) + φ(x0 ). En segundo lugar observemos que las ecuaciones (9.16) son una f´ormula de recurrencia que nos permite calcular todos los valores

(9.17)

  n X ∂uj ∂ m+k ui ∂ m+k−1 = fij (u) ∂xm ∂y k ∂xm ∂y k−1 ∂x j=1 = Pm,k [Dα fij (u), . . . ,

∂ β1 +β2 uj , . . .], ∂xβ1 ∂y β2

siendo Pm,k un polinomio con coeficientes positivos en las derivadas parciales de las fij y las ui y donde α ∈ Nn y β ∈ N2 recorren los multi´ındices que satisfacen |α| ≤ m + k − 1,

β1 ≤ m + 1,

β2 ≤ k − 1,

adem´ as estos polinomios son independientes de las funciones fij y uj . Esta f´ ormula nos permite calcular todos los valores ∂ m+k ui (0, 0), ∂xm ∂y k pues por una parte tendremos que para todo m ∂ m ui (m (0, 0) = φi (0), ∂xm y sustituyendo estos valores en la f´ ormula (9.17), podemos calcular los valores correspondientes a k = 1 ∂ m+1 ui (0, 0), ∂xm ∂y los cuales podemos substituir de nuevo en la f´ormula para obtener los valores correspondientes a k = 2 y as´ı sucesivamente. Que la soluci´ on anal´ıtica es u ´nica (de existir) es consecuencia de (9.6), puesto que sus derivadas en 0 ∈ R2 las acabamos de determinar de forma u ´nica y la soluci´ on ser´ıa (9.18)

ui (x, y) =

∞ X m,k=0

1 ∂ m+k ui (0, 0)xm y k , m!k! ∂xm ∂y k

706

Tema 9. El problema de Cauchy

ahora lo u ´nico que falta comprobar es que efectivamente cada una de estas series convergen absolutamente en un entorno del origen, pues en tal caso cada una define una funci´ on ui anal´ıtica en un entorno del origen, que por (9.8) coincide con φi en y = 0, pues ui (x, 0) y φi (x) son anal´ıticas y tienen las mismas derivadas en 0; y las ui satisfacen nuestro sistema de ecuaciones por el mismo teorema, pues ambos lados de la ecuaci´on son funciones anal´ıticas, que por construcci´ on tienen las mismas derivadas en el origen. Para demostrar que efectivamente se tiene la convergencia absoluta en un entorno del origen supongamos que tenemos otras funciones gij , anal´ıticas en un entorno del origen de Rn , y que demostramos la existencia de soluci´ on anal´ıtica v = (vi ), en un entorno del origen de R2 , del sistema n X ∂vi ∂vj = gij (v1 , . . . , vn ) , (para i = 1, . . . , n) ∂y ∂x j=1 satisfaciendo unas condiciones iniciales del tipo vi (x, 0) = ψi (x),

(para i = 1, . . . , n)

con las ψi anal´ıticas en un entorno del origen y tales que para todo α ∈ Nn y m ∈ N |Dα fij (0)| ≤ Dα gij (0),

(m

(m

|φi (0)| ≤ ψi (0).

En tal caso tendr´ıamos que la serie vi (x, y) =

∞ X m,k=0

1 ∂ m+k vi (0, 0)xm y k , m!k! ∂xm ∂y k

converge absolutamente en un entorno del origen de R2 y por consiguiente nuestra serie (9.18), pues por una parte para todo m tendr´ıamos que m m ∂ ui (m = φ (0) ≤ ψ (m (0) = ∂ vi (0, 0), (0, 0) i i ∂xm ∂xm y por inducci´ on en k tendr´ıamos la desigualdad en todos los casos, pues m+k ∂ β ui α ∂xm ∂y k (0) ≤ Pm,k (|D fij (0)| , D uj (0) ) ≤ Pm,k (Dα gij (0), Dβ vj (0)) =

∂ m+k vi (0). ∂xm ∂y k

9.5. El Teorema de Cauchy–Kowalewski

707

P Ejercicio 9.5.1 Sabiendo que para una funci´ on f = cα xα anal´ıtica en 0, es P β β P α α D ( cα x ) = D (cα x ), demostrar que existen constantes M, r > 0 tales que |Dα f (0)| ≤ |α|! M r−|α| . (Sol.)

Ahora bien nuestras funciones fij y φi son anal´ıticas en un entorno del origen (de Rn y R respectivamente), por tanto existen constantes M, r > 0 tales que |Dα fij (0)| ≤ |α|!M r−|α| ,

(m

|φi (0)| ≤ m!M r−m .

Esto nos induce a considerar las funciones anal´ıticas en un entorno del origen (de Rn y R respectivamente) gij = g y ψi = ψ, para Mr , r − x1 − · · · − xn Mr Mx ψ(x) = −M = , r−x r−x

g(x1 , . . . , xn ) =

pues para ellas se tiene que ψ(0) = 0 y (ver el problema (9.3.9)) |Dα fij (0)| ≤ Dα g(0) = |α|!M r−|α| , (m

φi (0) ≤ ψ (m (0) = m!M r−m . Por lo tanto nos basta estudiar el sistema particular n

X ∂vi Mr ∂vj = , ∂y r − v1 − · · · − vn ∂x j=1

(para i = 1, . . . , n)

satisfaciendo las condiciones iniciales vi (x, 0) =

Mx , r−x

y basta encontrar una funci´ on z anal´ıtica soluci´on de la EDP de primer orden   nM r Mx (9.19) zy = zx , z(x, 0) = , r − nz r−x pues en tal caso vi = z son la soluci´ on de la anterior. Para resolverla consideramos el campo   ∂ nM r ∂ − , ∂y r − nz ∂x

708

Tema 9. El problema de Cauchy

en las coordenadas (x, y, z) y buscamos un par de integrales primeras como ay nM ry +x= + x, z, u= r − nz b+z para a = −M r y b = −r/n. Ahora el resultado de despejar z en F (u, z) = 0, como funci´ on de (x, y), para cualquier funci´on F , ser´a soluci´on de la EDP. En particular para cualquier funci´ on f de una variable, basta despejar z en   ay z = f (u) ⇒ z = f +x , b+z pero como a nosotros nos interesa la soluci´ on que satisface la condici´on inicial (9.19), esta f debe verificar —puesto que en y = 0, u = x— f (x) = z(x, 0) =

Mx r−x

⇒

f (u) =

Mu r−u

por lo que la soluci´ on debe satisfacer Mu −z =0 r−u ⇒

⇒

M u + uz − rz = 0   ay (M + z) + x − zr = 0 b+z

⇒

(M + z)[ay + bx + zx] − zr(b + z) = 0

⇒

(x − r)z 2 + (ay + bx − rb + M x)z + M (ay + bx) = 0,

y de las dos ra´ıces de esta ecuaci´ on cuadr´ atica, la soluci´on debe ser la que vale 0 en el origen, es decir z=

 1 (ay + bx + nb2 + M x)− 2(x − r) i p − (ay + bx + nb2 + M x)2 − 4M (ay + bx)(x − r) ,

la cual define una funci´ on anal´ıtica en un entorno del origen, pues ni el denominador ni el radical se anulan en el origen. Esto finaliza la demostraci´ on del teorema que a continuaci´ on enunciamos. Teorema de Cauchy–Kowalewski 9.16 El sistema de ecuaciones en forma matricial uy = A(u)ux ,

9.6. EDP de tipo hiperb´ olico

709

satisfaciendo condiciones iniciales del tipo u(x, y0 ) = φ(x), y tal que las componentes φi y fij de φ y A, son anal´ıticas en un entorno del x0 ∈ R y de φ(x0 ) ∈ Rn , respectivamente, tiene una u ´nica soluci´ on anal´ıtica en un entorno del (x0 , y0 ) ∈ R2 .

9.6.

EDP de tipo hiperb´ olico

En esta lecci´ on vamos a estudiar el problema de Cauchy para una EDP de segundo orden en el plano, definida por un operador diferencial lineal de tipo hiperb´ olico y por tanto expresable en la forma can´onica zxy + · · · = 0, m´ as generalmente supondremos que los puntos suspensivos definen una funci´ on arbitraria, no necesariamente de tipo lineal. Por tanto consideraremos una EDP de la forma (9.20)

zxy = f (x, y, z, zx , zy ),

y la cuesti´ on consiste en encontrar una soluci´ on z = z(x, y), con valores z = u(t),

zx = p(t),

zy = q(t),

determinados sobre una curva plana dada param´etricamente de la forma x = f (t),

y = g(t),

y para los que se debe satisfacer la relaci´ on de compatibilidad u0 (t) = zx f 0 (t) + zy g 0 (t) = p(t)f 0 (t) + q(t)g 0 (t). Ahora bien en la lecci´ on 2 vimos que las curvas caracter´ısticas, que en nuestro caso son y = cte, x = cte, eran excepcionales para el estudio

710

Tema 9. El problema de Cauchy

de la existencia y unicidad, de hecho si nuestra curva es tangente a una caracter´ıstica, es decir f 0 (t) = 0 ´ o g 0 (t) = 0 —y por tanto det A = 0 (ver la lecci´ on 2)—, los datos no determinan las derivadas de todos los ordenes de z en el punto de la curva (f (t), g(t)), mientras que en caso contrario si. Por ejemplo si nuestra ecuaci´ on es zxy = 0, y los datos u, p y q los damos sobre la curva caracter´ıstica f (t) = t, g(t) = a = cte, z(x, a) = u(x),

zx (x, a) = p(x),

zy (x, a) = q(x),

tendremos que la condici´ on de compatibilidad exige que u0 (x) = zx (x, a) = p(x), lo cual no exige ninguna condici´ on para la q. Ahora bien si existe tal soluci´ on, debe verificarse q 0 (x) = zxy (x, a) = 0, y por tanto q(x) = b = cte y en tal caso todas las funciones de la forma z(x, y) = u(x) + φ(y), con φ(a) = 0 y φ0 (a) = b, definen una soluci´ on de la EDP satisfaciendo las condiciones impuestas. En definitiva en un problema de Cauchy como el anterior, con datos iniciales sobre una curva caracter´ıstica, puede no existir soluci´ on (si por ejemplo q no es constante) o existir pero sin ser u ´nica. Por tanto las curvas caracter´ısticas son excepcionales en cuanto al problema de Cauchy. Esta es la raz´ on de imponer a nuestra Figura 9.1. Dominio de dependencia curva inicial que no sea tangente a las curvas caracter´ısticas, lo cual significa que es estrictamente creciente o decreciente y puede definirse mediante cualquiera de las funciones inversas y = y(x), x = x(y), y podemos tomar tanto el par´ ametro x como el y para parametrizarla.

9.6. EDP de tipo hiperb´ olico

711

Para cada punto2 P = (x, y) del plano, (ver Figura 9.1), consideremos los puntos de la curva inicial A = (x(y), y) y B = (x, y(x)), y denotemos con C1 la parte de la curva limitada por estos puntos, con D la regi´on del plano limitada por la curva C, uni´ on de C1 y las caracter´ısticas C2 = BP y C3 = P A y consideremos un vector N exterior a D y la orientaci´on sobre la curva C, iN (dx ∧ dy), en estos t´erminos se tiene la siguiente equivalencia. Teorema 9.17 Sean u, p y q, funciones definidas sobre la curva inicial, satisfaciendo las condiciones de compatibilidad. Entonces condici´ on necesaria y suficiente para que z sea soluci´ on de zxy = f (x, y, z, zx , zy ), que en la curva inicial satisface z = u, zx = p y zy = q, es que sea soluci´ on de Z u(A) + u(B) 1 z(x, y) = + [pdx − qdy]+ 2 2 C1 (9.21) ZZ + f (x, y, z, zx , zy )dx dy. D

Demostraci´ on. Suficiencia: Aplicando el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 tenemos que ZZ ZZ f (x, y, z, zx , zy )dx dy = zxy dx ∧ dy D D ZZ 1 = d[zy dy − zx dx] 2 D Z 1 [zy dy − zx dx] = 2 C Z  Z Z 1 = [zy dy − zx dx] + [zy dy − zx dx] + [zy dy − zx dx] 2 C1 C2 C3 "Z # Z y Z x 1 = [qdy − pdx] + zy (x, η)dη + zx (ξ, y)dξ 2 C1 y(x) x(y) Z  1 = [qdy − pdx] + z(x, y) − z(x, y(x)) + z(x, y) − z(x(y), y) , 2 C1 2 Realmente no es para cada punto P del plano sino en una regi´ on que determina la curva, que es en la que A y B est´ an definidos.

712

Tema 9. El problema de Cauchy

de donde se sigue que z satisface la ecuaci´ on integral (9.21). Necesidad: Es obvio que z = u sobre la curva, ahora si parametrizamos u, p y q con x, tendremos Z u(x) + u(x(y)) 1 x + (p − qy 0 )dx+ z(x, y) = 2 2 x(y) Z x Z y + f (ξ, η, z, zx , zy )dξ dη, x(y)

y(ξ)

y derivando respecto de x, considerando las ecuaciones de compatibilidad que nos aseguran que u0 (x) = p(x) + q(x)y 0 (x), tendremos que zx = p sobre la curva, pues zx (x, y) =

u0 (x) p(x) − q(x)y 0 (x) + + 2 Z 2 y

+

f (x, η, z, zx , zy )dη y(x)

Z

y

= p(x) +

f (x, η, z, zx , zy )dη, y(x)

y del mismo modo si parametrizamos respecto de y tendremos que zy = q sobre la curva, adem´ as derivando respecto de y en la u ´ltima igualdad se tiene que z satisface la ecuaci´ on (9.20). Esta ecuaci´ on integro–diferencial nos servir´a como base para el estudio de la existencia y unicidad de soluci´ on. A continuaci´on damos una primera versi´ on de este resultado, consecuencia directa del anterior, para el caso en el que f = f (x, y). Teorema de existencia y unicidad 9.18 Si consideramos sobre nuestra curva inicial tres funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad, entonces existe, y es u ´nica, la soluci´ on del problema de Cauchy zxy = f (x, y), z = u,

zx = p,

zy = q,

(sobre la curva)

y viene dada por la expresi´ on z(x, y) = (9.22)

Z u(A) + u(B) 1 + [pdx − qdy]+ 2 2 C1 ZZ + f (x, y)dx dy. D

9.7. M´ etodo de las aprox. sucesivas

713

Nota 9.19 Observemos que z est´ a determinada en P si ella y sus derivadas de primer orden lo est´ an en la curva inicial AB y f lo est´a en D. Esta es la raz´ on de llamar al conjunto D dominio de dependencia de la soluci´ on z con respecto a P (ver la figura 41 de la p´agina 710). Ejercicio 9.6.1 Encontrar la soluci´ on de la EDP zxy = x + y, que en x + y = 0 satisface, z = 0 y zx = x.

9.7.

M´ etodo de las aprox. sucesivas

El objetivo de esta lecci´ on es demostrar en primer lugar la existencia y unicidad de la soluci´ on de la EDP hiperb´ olica (9.20) zxy = f (x, y, z, zx , zy ), con sus valores y los de sus derivadas de primer orden fijados sobre una curva estrictamente mon´ otona y en segundo lugar su dependencia diferenciable con respecto a estos. Para ello consideraremos el problema equivalente representado por la ecuaci´ on integro–diferencial (9.21) y demostraremos que la soluci´ on existe, es u ´nica y depende diferenciablemente de los datos fijados. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que los datos iniciales u, p y q se anulan sobre la curva y por tanto que la ecuaci´on integral (9.21) es ZZ z(x, y) =

f (x, y, z, zx , zy )dx dy, D

puesto que para cualesquiera otras funciones, u, p y q, podemos considerar la soluci´ on (9.22) Z u(A) + u(B) 1 + [pdx − qdy], ϕ(x, y) = 2 2 C1 de zxy = 0, que sobre la curva satisface las condiciones fijadas y considerar la soluci´ on de zxy = g(x, y, z, zx , zy ), para

g(x, y, z, z1 , z2 ) = f (x, y, z + ϕ, z1 + ϕx , z2 + ϕy ),

714

Tema 9. El problema de Cauchy

que tanto ella como sus derivadas se anulen sobre la curva. Entonces la funci´ on v = ϕ + z ser´ a soluci´ on de (9.20), satisfaciendo las condiciones deseadas sobre la curva. Observemos que si f es localmente acotada, continua, localmente lipchiciana en las tres u ´ltimas variables uniformemente en las dos primeras, ´ o lineal en las tres u ´ltimas variables, entonces tambi´en lo es g. Recordemos que D es la regi´ on determinada por las rectas paralelas a los ejes que pasan por (x, y) y la curva dada y que podemos considerar que esta curva es, sin p´erdida de generalidad, la recta x + y = 0, puesto que basta hacer el cambio de coordenadas (que siguen siendo caracter´ısticas) u = y(x),

o ´

v = −y,

u = −x, v = x(y),

sin que el problema se modifique esencialmente, pues x = y −1 (u) = x(u), 0

zy = −zv ,

zx = zu y (x),

y = −v, zxy = −zuv y 0 (x),

por tanto ⇔ zuv = g(u, v, z, zu , zv ), 1 g(u, v, z, z1 , z2 ) = − 0 f (x(u), −v, z, z1 y 0 [x(u)], −z2 ). y [x(u)]

zxy = f (x, y, z, zx , zy ) para

9.7.1.

Existencia de soluci´ on.

La cuesti´ on consiste en fijar un punto de x+y = 0, que por comodidad ser´ a el origen (para ello basta hacer un nuevo cambio de coordenadas: una traslaci´ on) y demostrar que bajo ciertas condiciones apropiadas para g, el l´ımite de la sucesi´ on definida recurrentemente por la f´ormula ZZ un+1 (x, y) =

g(x, y, un , pn , qn )dx dy Z

(9.23)

D x Z y

=

g(ξ, η, un , pn , qn )dξ dη −y Z y

−ξ Z x

−x

−η

=

g(ξ, η, un , pn , qn )dξ dη,

715

9.7. M´ etodo de las aprox. sucesivas

con u0 = 0 y para Z

y

pn+1 (x, y) = un+1x (x, y) =

g(x, η, un , pn , qn )dη, Z

−x x

qn+1 (x, y) = un+1y (x, y) =

g(ξ, y, un , pn , qn )dη, −y

Figura 9.2.

las cuales se anulan en x + y = 0, existe y es la soluci´on de nuestro problema. Tal soluci´ on ser´ a local, es decir definida en un entorno del punto considerado, en nuestro caso el origen. Teorema 9.20 Sea W ⊂ R5 abierto, con 0 ∈ U , y g : W −→ R localmente acotada (por ejemplo si g es continua) y localmente lipchiciana en z, p y q uniformemente en x e y (por ejemplo si g es de clase 1), entonces existe una soluci´ on de zxy = g(x, y, z, zx , zy ), definida en un entorno abierto del 0 ∈ R2 , tal que z = zx = zy = 0, en los puntos de x + y = 0 en ese abierto. Demostraci´ on. Por ser localmente lipchiciana para cualquier entorno acotado UL = {|x| ≤ L, |y| ≤ L}, del origen de R2 y V entorno compacto del origen de R3 , tales que el compacto UL × V ⊂ W , existe una constante M tal que |g(x, y, z, p, q) − g(x, y, z 0 , p0 , q 0 )| ≤ M [|z − z 0 | + |p − p0 | + |q − q 0 |], para (x, y) ∈ UL y (z, p, q), (z 0 , p0 , q 0 ) ∈ V . Sea |g| ≤ k en UL × V y consideremos un T > 0 y el conjunto G = {(x, y) ∈ [−L, L]2 : |x + y| ≤ T }, para el que se verifica que si en todos sus puntos, (un−1 , pn−1 , qn−1 ) ∈ V , entonces en (x, y) ∈ G (9.24)

|un (x, y)| ≤

kT 2 , 2

|pn (x, y)| ≤ kT,

|qn (x, y)| ≤ kT,

716

Tema 9. El problema de Cauchy

por lo que tomando un T > 0 suficientemente peque˜ no, tendremos que (un , pn , qn ) tambi´en est´ a en V y como u0 = p0 = q0 = 0, tendremos que para todo n ∈ N, (un (x, y), pn (x, y), qn (x, y)) ∈ V, en todo punto (x, y) ∈ G, en el que adem´ as se tiene |un+1 (x, y) − un (x, y)| ≤ ZZ ≤ |g(ξ, η, un , pn , qn ) − g(ξ, η, un−1 , pn−1 , qn−1 )|dξ dη D ZZ ≤M [|un − un−1 | + |pn − pn−1 | + |qn − qn−1 |]dξ dη D

|pn+1 (x, y) − pn (x, y)| ≤ Z y ≤M [|un − un−1 | + |pn − pn−1 | + |qn − qn−1 |]dη −x

|qn+1 (x, y) − qn (x, y)| ≤ Z x ≤M [|un − un−1 | + |pn − pn−1 | + |qn − qn−1 |]dξ, −y

pues el dominio de dependencia de (x, y), D ⊂ G. Ahora consideremos, para n ≥ 1, las funciones Zn : [−T, T ] → [0, ∞) Zn (t) =

m´ ax x+y=t,(x,y)∈G

[|un (x, y) − un−1 (x, y)|+

+ |pn (x, y) − pn−1 (x, y)| + |qn (x, y) − qn−1 (x, y)|], y las nuevas variables v = x − y,

t = x + y,

para las que se tiene dv ∧ dt = d(x − y) ∧ d(x + y) = 2dx ∧ dy, y por tanto (para x + y > 0) ZZ [|un −un−1 | + |pn − pn−1 | + |qn − qn−1 |]dx dy ≤ D

1 ≤ 2 Z ≤

Z

0

x+y

Z

2x−t

Zn (t)dt dv 0 x+y

t−2y

Z |x + y − t|Zn (t)dt ≤ T

x+y

Zn (t)dt, 0

717

9.7. M´ etodo de las aprox. sucesivas

entonces combinando las desigualdades obtenidas tendremos que |un+1 (x, y) − un (x, y)| + |pn+1 (x, y) − pn (x, y)|+ Z x+y + |qn+1 (x, y) − qn (x, y)| ≤ M [2 + T ]Zn (t)dt, 0

y por tanto para |t| ≤ T t

Z Zn+1 (t) ≤ M (2 + T )

Z

t

Zn (t)dt = λ 0

Zn (t)dt. 0

Ahora como u0 = 0 tendremos p0 = q0 = 0 y por (9.24) Z1 (t) ≤

kT 2 + kT + kT = µ, 2

que puesta en la f´ ormula de recurrencia nos acota Z2 (t) ≤ µλt, y por inducci´ on Zn+1 (t) ≤ µ

λn tn , n!

con lo cual dada la serie convergente ∞ X λn T n µ = µ eλT , n! n=0

tendremos a la vez la convergencia uniforme de l´ım un =

n→∞

l´ım unx =

n→∞

l´ım uny =

n→∞

∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X

[un+1 − un ] = u, [pn+1 − pn ] = ux , [qn+1 − qn ] = uy ,

n=0

en nuestro conjunto G con lo que podemos pasar el l´ımite bajo el signo integral en (9.23) y obtener que u es soluci´ on de nuestro problema.

718

Tema 9. El problema de Cauchy

Nota 9.21 Observemos que si g(x, y, z, p, q) = a(x, y)z + b(x, y)p + c(x, y)q + h(x, y), es decir es lineal en (z, p, q) (y continua), entonces el dominio de g es de la forma U × R3 y la constante de lipchicianidad M s´olo depende de a, b y c en un compacto de U ⊂ R2 , que podemos tomar tan grande como queramos. Por otra parte si U contiene el dominio de dependencia —D— de todos sus puntos, podemos tomar M como una cota del m´aximo en m´ odulo de a, b y c en un compacto K ⊂ U que a su vez podemos tomar tan grande como queramos y que contenga el dominio de dependencia de todos sus puntos. No es necesario considerar una cota de g y si llamamos k a una cota de |h| en el compacto K tendremos que ZZ k(x + y)2 |u1 (x, y)| = |h(x, y)|dx dy ≤ , 2 D Z y |p1 (x, y)| = |u1x (x, y)| ≤ |h(x, η)|dη ≤ k|x + y|, −x Z x |q1 (x, y)| = |u1y (x, y)| ≤ |h(ξ, y)|dξ ≤ k|x + y|, −y

y por tanto si |x + y| ≤ T , para un T > 0 tan grande como queramos, tendremos que para |t| ≤ T , tambi´en se tiene Z1 (t) ≤ µ como en el caso general y se sigue sin dificultad que la soluci´on u est´a definida globalmente en todo U . En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado. Teorema de Existencia 9.22 Dadas sobre una curva inicial tres funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad, y f est´ a localmente acotada y es localmente lipchiciana en las tres u ´ltimas variables uniformemente en las dos primeras, entonces para cada punto de la curva existe una soluci´ on definida en un entorno del punto, del problema de Cauchy zxy = f (x, y, z, zx , zy ), z = u,

9.7.2.

zx = p,

zy = q,

(sobre la curva),

Unicidad de soluci´ on.

Para ver la unicidad supongamos que hay dos soluciones u y v, de clase 1, satisfaciendo las condiciones del Teorema (9.20), entonces para U

9.7. M´ etodo de las aprox. sucesivas

719

un abierto com´ un de definici´ on de ambas funciones, que podemos tomar de la forma [−L, L]2 y T suficientemente peque˜ no tendremos que (u, ux , uy ), (v, vx , vy ) ∈ V, ya que estas 6 funciones se anulan en x + y = 0, y por tanto —con la notaci´ on de la lecci´ on— si (x, y) ∈ G ZZ |u(x, y) − v(x, y)| ≤ |g(ξ, η, u, ux , uy ) − g(ξ, η, v, vx , vy )|dξ dη D ZZ ≤M [|u − v| + |ux − vx | + |uy − vy |]dξ dη Z yD |ux (x, y) − vx (x, y)| ≤ M [|u − v| + |ux − vx | + |uy − vy |]dη −x Z x |uy (x, y) − vy (x, y)| ≤ M [|u − v| + |ux − vx | + |uy − vy |]dξ, −y

de donde se sigue que para U (t) =

m´ ax x+y=t,(x,y)∈G

[|u − v| + |ux − vx | + |uy − vy |,

se tiene para todo |t| ≤ T que Z U (t) ≤ λ

t

U (t)dt, 0

lo cual implica que a partir de un n ∈ N 1 m´ ax U (t) ≤ λ m´ ax U (t) , n |t|≤1/n |t|≤1/n lo cual es absurdo para n grande, a menos que U (t) = 0 para |t| ≤ 1/n, es decir u(x, y) = v(x, y), en un entorno de nuestra curva. En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado. Teorema de Unicidad 9.23 Si consideramos sobre una curva inicial tres funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad, y f est´ a localmente acotada y es localmente lipchiciana en las tres u ´ltimas

720

Tema 9. El problema de Cauchy

variables uniformemente en las dos primeras, entonces para cada punto de la curva existe una u ´nica soluci´ on definida en un entorno del punto, del problema de Cauchy zxy = f (x, y, z, zx , zy ), z = u,

zx = p,

zy = q,

(sobre la curva),

en el sentido de que si existe otra, coinciden en un entorno del punto.

9.7.3.

Dependencia de las condiciones iniciales.

Supongamos en primer lugar que g(x, y, z, z1 , z2 ; λ) depende de un par´ ametro λ multidimensional, que para un λ0 g(x, y, z, z1 , z2 ; λ) −→ g(x, y, z 0 , z10 , z20 ; λ0 ), cuando

(z, z1 , z2 , λ) −→ (z 0 , z10 , z20 , λ0 ),

que para cada λ est´ a en las condiciones de (9.20) y que |g| ≤ k en un entorno compacto del (0, 0, 0, 0, 0; λ0 ), entonces se tiene el siguiente resultado. Teorema 9.24 La soluci´ on z de ZZ (9.25) z(x, y) = g(x, y, z, zx , zy ; λ)dx dy, D

satisface z(x, y; λ) −→ z(x, y; λ0 ), cuando λ → λ0 (lo mismo zx y zy ). Demostraci´ on. Sabemos por el teorema de existencia y unicidad y por (9.20), que la soluci´ on correspondiente a cada λ —as´ı como sus derivadas de primer orden— es un l´ımite uniforme de funciones continuas en λ = λ0 , por lo que ellas mismas lo son. Al principio de la lecci´ on hemos visto que la soluci´on de (9.20) que satisface las condiciones fijadas sobre la curva, z = u, zx = p y zy = q, es v = ϕ + z, para Z u(A) + u(B) 1 ϕ(x, y) = + [pdx − qdy], 2 2 C1 y z la soluci´ on de zxy = g(x, y, z, zx , zy ), para

g(x, y, z, z1 , z2 ) = f (x, y, z + ϕ, z1 + ϕx , z2 + ϕy ),

9.7. M´ etodo de las aprox. sucesivas

721

que tanto ella como sus derivadas se anulan sobre la curva y por tanto soluci´ on de la ecuaci´ on integro–diferencial ZZ z(x, y) = g(x, y, z, zx , zy )dx dy. D

Por tanto para estudiar c´ omo depende v de las funciones u, p y q, basta estudiar la dependencia de ϕ y la de z. Para ello consideremos que u = u(x, y(x); λ),

p = p(x, y(x); λ),

q = q(x, y(x); λ),

dependen de un par´ ametro λ y son continuas en λ = λ0 , en el sentido de que son continuas en los puntos (x, y(x), λ0 ) y por tanto se tiene que si x → x0 y λ → λ0 , entonces u(x, y(x); λ) → u(x0 , y(x0 ); λ0 ), y lo mismo para p y q. En cuyo caso ϕ depende de λ y es continua en λ = λ0 y como ϕxy = 0, tendremos que ϕx (x, y) = ϕx (x, y(x)) = p(x, y(x)), ϕy (x, y) = ϕy (x(y), y) = q(x(y), y), por lo que tambi´en ϕx y ϕy dependen de λ continuamente en λ = λ0 . Como consecuencia tambi´en g(x, y, z, z1 , z2 ; λ) = = f (x, y, z + ϕ(x, y; λ), z1 + ϕx (x, y; λ), z2 + ϕy (x, y; λ)), es continua en λ = λ0 . Adem´ as si f est´ a acotada en un entorno compacto del (0, 0, u(0, 0; λ0 ), p(0, 0; λ0 ), q(0, 0; λ0 )), entonces g lo est´a en un entorno compacto del (0, 0, 0, 0, 0, λ0 ). Si f es una funci´on localmente lipchiciana en las tres u ´ltimas variables, uniformemente en las dos primeras, entonces g es localmente lipchiciana en (z, z1 , z2 ), uniformemente en (x, y, λ), para los λ de un entorno de λ0 . En estos t´erminos tenemos el siguiente resultado. Teorema de dependencia continua 9.25 Si consideramos sobre una curva inicial tres funciones u, p y q, que satisfacen las condiciones de compatibilidad, dependen continuamente de un par´ ametro λ y f es una funci´ on continua, localmente lipchiciana en las tres u ´ltimas variables, uniformemente en las dos primeras, entonces para cada punto de la curva y cada

722

Tema 9. El problema de Cauchy

par´ ametro λ0 , existe un entorno del punto, un entorno del par´ ametro y una funci´ on continua v = ϕ + z definida en su producto, tal que para cada λ del entorno, v(·; λ) es la soluci´ on, del problema de Cauchy zxy = f (x, y, z, zx , zy ), z = u(·; λ),

zx = p(·; λ),

zy = q(·; λ),

(sobre la curva),

adem´ as vx y vy tambi´en son continuas en λ. Demostraci´ on. Es consecuencia de que ϕ y z lo son. Teorema 9.26 Si g(x, y, z, p, q; λ) es de clase 1, entonces la soluci´ on de (9.25) tiene derivada parcial zλ , es continua en λ y es soluci´ on de la EDP lineal de tipo hiperb´ olico zλxy = gλ + gz zλ + gp zλx + gq zλy , obtenida derivando formalmente (9.25). Demostraci´ on. Consideremos la funci´ on, para λ2 6= λ1 u(x, y; λ1 , λ2 ) =

z(x, y; λ1 ) − z(x, y; λ2 ) , λ1 − λ2

la cual satisface la ecuaci´ on integro–diferencial ZZ u(x, y; λ1 , λ2 ) = (gλ + gz u + gp ux + gq uy )dx dy, ZZD = h(x, y, u, ux , uy ; λ1 , λ2 )dx dy, D

donde hemos aplicado el teorema del valor medio y las derivadas de g est´ an evaluadas en un punto intermedio entre los puntos P = (ξ, η, z(ξ, η; λ1 ), zx (ξ, η; λ1 ), zy (ξ, η; λ1 ); λ1 ), Q = (ξ, η, z(ξ, η; λ2 ), zx (ξ, η; λ2 ), zy (ξ, η; λ2 ); λ2 ). Ahora bien fijado λ1 , h es continua en λ2 , para λ2 = λ1 y aunque no sabemos que h sea continua en (x, y) s´ı es obviamente lipchiciana en (u, ux , uy ) y se tiene la acotaci´ on en un compacto, por tanto podemos

9.7. M´ etodo de las aprox. sucesivas

723

aplicar el teorema de existencia y para todo λ2 , incluido λ2 = λ1 , hay soluci´ on u. Ahora aplicando (9.24), tendremos que u, y sus derivadas Z y ux (x, y; λ1 , λ2 ) = (gλ + gz u + gp ux + gq uy )dy, −x Z x (9.26) uy (x, y; λ1 , λ2 ) = (gλ + gz u + gp ux + gq uy )dx, −y

son continuas en λ2 = λ1 , por tanto z, zx y zy son derivables respecto de λ siendo l´ım u = zλ ,

λ2 →λ1

l´ım ux = zxλ ,

λ2 →λ1

l´ım uy = zyλ ,

λ2 →λ1

y haciendo λ2 → λ1 en la ecuaci´ on tendremos que ZZ zλ (x, y; λ1 ) = (gλ + gz zλ + gp zxλ + gq zyλ )dx dy, D

y derivando esta ecuaci´ on respecto de x e y y haciendo λ2 → λ1 en (9.26) tendremos que Z y zλx (x, y; λ1 ) = (gλ + gz zλ + gp zxλ + gq zyλ )dy = zxλ (x, y; λ1 ), −x Z x zλy (x, y; λ1 ) = (gλ + gz zλ + gp zxλ + gq zyλ )dx = zyλ (x, y; λ1 ), −y

por lo tanto zλ es la soluci´ on de ZZ u(x, y; λ1 ) = (gλ + gz u + gp ux + gq uy )dx dy, D

y como el integrando de esta ecuaci´ on es continuo en λ, tendremos que zλ tambi´en lo es y satisface la ecuaci´ on del enunciado. Teorema de dependencia diferenciable 9.27 Si u, p y q, dependen diferenciablemente de λ y f es de clase 1, entonces la soluci´ on v(·; λ) = ϕ+z es de clase 1 en λ.

9.7.4.

El problema de Goursat.

Otro problema que tambi´en se puede resolver por el m´etodo de las aproximaciones sucesivas consiste en resolver la EDP zxy = f (x, y, z, zx , zy ),

724

Tema 9. El problema de Cauchy

con los valores de z conocidos sobre una curva caracter´ıstica, el eje x y sobre otra curva estrictamente creciente x = x(y), z(x, 0) = u(x),

z(x(y), y) = v(y),

que supondremos pasa por el origen y en ´el z es continua, u(0) = v(0). Este problema se conoce como problema de Goursat y podemos plantearlo de forma equivalente observando que si z es soluci´on, entonces para cada punto (x, y), con x, y ≥ 0, y D el cuadrado de v´ertices (x, y), (x, 0), (x(y), y) y (x(y), 0) ZZ ZZ f (x, y, z, zx , zy ) = zxy dx dy D Z yDZ x = zxy dx dy 0

x(y)

= z(x, y) − z(x, 0) − z(x(y), y) + z(x(y), 0), (si x(y) < x, en caso contrario cambia alg´ un signo en la expresi´on) lo cual equivale a que z sea soluci´ on de la ecuaci´ on ZZ z(x, y) = u(x) + v(y) − u(x(y)) + f (x, y, z, zx , zy ). D

Ahora de una manera semejante a la del problema de Cauchy, se demuestra que el siguiente proceso iterativo z0 (x, y) = u(x) + v(y) − u(x(y)), ZZ zm+1 (x, y) = u(x) + v(y) − u(x(y)) + f (x, y, zm , zmx , zmy )dx dy, D

tiene l´ımite y es la soluci´ on (´ unica y que depende continuamente de los datos iniciales) de nuestro problema.

9.7.5.

El problema de valor inicial caracter´ıstico.

El mismo proceso demuestra la existencia de soluci´on en el caso degenerado en el que la segunda curva es otra caracter´ıstica, en nuestro caso el eje x = 0, este problema se llama problema de valor inicial caracter´ıstico y puede considerarse tambi´en como un caso l´ımite de problema de Cauchy en el que la curva de los datos iniciales tiende a la curva formada por los dos semiejes positivos, no siendo necesario dar los valores de

9.8. Sistemas hiperb´ olicos

725

zx y zy sobre esta curva, pues quedan determinados (salvo una constante), por los valores de z sobre la curva y la propia ecuaci´on (demu´estrelo el lector).

9.8.

Sistemas hiperb´ olicos

El m´etodo de las aproximaciones sucesivas puede aplicarse tambi´en para demostrar la existencia de soluci´ on de un sistema cuasi lineal de tipo hiperb´ olico, el cual vimos en el tema anterior que podemos expresar de la forma can´ onica, (9.27)

vix + λi viy = ci , vx + Λvy = c,

(i = 1, . . . , n), (en forma matricial),

donde los λi y los ci son funci´ on de (x, y, v1 , . . . , vn ); y demostrar la unicidad cuando fijamos la soluci´ on sobre el eje y vi (0, y) = ϕi (y). Supongamos que v = (v1 , . . . , vn ) es una soluci´on de (9.27), satisfaciendo estas condiciones, entonces para cada i = 1, . . . , n, podemos considerar el campo caracter´ıstico Di =

∂ ∂ + λi (x, y, v) , ∂x ∂y

y su grupo uniparam´etrico Xi = (xi , yi ) : Wi ⊂ R × R2 → R2 , cuyas componentes satisfacen, para cada (t, p) ∈ Wi x0ip (t) = 1 0 yip (t) = λi [xi (t, p), yi (t, p), v(Xi (t, p))]

726

Tema 9. El problema de Cauchy

lo cual implica que para p = (x, y) xi (t, p) = t + x Z t yi (t, p) = y + λi [Xi (s, p), v(Xi (s, p))]ds, 0

por tanto xi (−x, p) = 0. Adem´ as se tiene que ci [Xi (t, p), v(Xi (t, p))] = Di vi [Xi (t, p)] = (vi ◦ Xip )0 (t), lo cual implica que Z vi [Xi (t, p)] = vi (p) +

t

ci [Xi (s, p), v(Xi (s, p))]ds, 0

y en definitiva tomando t = −x, concluimos que las vi y las yi son soluci´ on del sistema de ecuaciones (donde p = (x, y) es un punto arbitrario) Z −x vi (p) = vi [0, yi (−x, p)] − ci [s + x, yi (s, p), v(s + x, yi (s, p))]ds 0 Z −x = ϕi [yi (−x, p)] − ci [s + x, yi (s, p), v(s + x, yi (s, p))]ds, 0 Z t yi (t, p) = y + λi [s + x, yi (s, p), v(s + x, yi (s, p))]ds, 0

y este sistema es equivalente a nuestro problema de Cauchy original, pues si (vi , yi ) es una soluci´ on tendremos que Xi (t, p) = (t + x, yi (t, p)), es el grupo uniparam´etrico del campo caracter´ıstico Di y por tanto Di vi [Xi (t, p)] = (vi ◦ Xip )0 (t), y por otra parte para cada p = (x, y) si consideramos el punto del eje

727

9.8. Sistemas hiperb´ olicos

x = 0, q = Xi (−x, p), tendremos que p = Xi (x, q) y Z −x vi [Xi (x, q)] = vi (q) − ci [s + x, yi (s, p), v(s + x, yi (s, p))]ds 0 Z −x = vi (q) − ci [Xi (s, p), v[Xi (s, p)]]ds 0 Z −x = vi (q) − ci [Xi (s + x, q), v[Xi (s + x, q)]]ds Z0 x = vi (q) + ci [Xi (s, q), v[Xi (s, q)]]ds, 0

y por tanto Di vi (p) = Di vi [Xiq (x)] = (vi ◦ Xiq )0 (x) = ci [p, v(p)], es decir las vi son soluci´ on de (9.27) satisfaciendo las condiciones deseadas. Veamos por tanto que este sistema en vi , yi tiene soluci´on, para lo cual haremos uso, como dijimos, del m´etodo de las aproximaciones sucesivas. Pero antes necesitamos hacer unas consideraciones previas. Supondremos que nuestras funciones ci y λi est´ an definidas en un abierto U ⊂ R2+n , en el que son de clase 1, que contiene un compacto del tipo K = {(x, y, z1 , . . . , zn ) ∈ R2+n : |x| ≤ α, |y| ≤ β, |z1 − ϕ1 (y)| ≤ δ, . . . , |zn − ϕn (y)| ≤ δ}, entorno de la curva {(0, y, ϕ1 (y), . . . , ϕn (y)) : y ∈ [−β, β]}, del mismo modo supondremos que las ϕi son de clase 1 en un intervalo abierto que contiene a [−β, β]. Ahora consideramos el conjunto G del plano limitado por el hex´ agono formado por las rectas x = α, x = −α, y = ±β ± kx, donde k ≥ 1 es una constante que acota a los m´ odulos de las funciones ci , λi y sus primeras derivadas parciales en K y a las ϕi y sus derivadas en [−β, β].

Figura 9.3.

728

Tema 9. El problema de Cauchy

Sobrentenderemos el ´ındice i = 1, . . . , n y denotaremos por comodidad λ = λi , c = ci y ϕ = ϕi . Consideremos las sucesiones de funciones, vm e ym , (aunque realmente es una para cada i, vm = vim , ym = yim y en forma vectorial escribiremos vm = (v1m , . . . , vnm )), definidas de forma recurrente por las f´ ormulas, para p = (x, y) ∈ G Xm (t, p) = (t + x, ym (t, p)), Z −x vm+1 (p) = ϕ[ym (−x, p)] − c[Xm (s, p), vm [Xm (s, p)]]ds, 0 Z t ym+1 (t, p) = y + λ[Xm (s, p), vm [Xm (s, p)]]ds, 0

con los valores iniciales v0 (p) = ϕ(y),

y0 (t, p) = y,

en tales condiciones se tiene que si elegimos α suficientemente peque˜ no, entonces esta sucesi´ on est´ a bien definida. Lema 9.28 Para un α suficientemente peque˜ no se verifica que si m ∈ N es tal que para todo j ≤ m, para cualquier p = (x, y) ∈ G y para todo s entre 0 y −x, (Xj (s, p), vj [Xj (s, p)]) ∈ K, entonces lo mismo tambi´en es cierto para j = m + 1. Demostraci´ on. En primer lugar la curva Xm+1 (s, p) = (s + x, ym+1 (s, p)), que para s = 0 pasa por p y para s = −x pasa por un punto del eje x = 0, est´ a, entre estos valores, enteramente en G, pues su pendiente en m´ odulo |∂ym+1 (s, p)/∂t| est´ a acotada por k. Ahora bien por otra parte si tomamos α suficientemente peque˜ na tendremos que tambi´en para todo s entre 0 y −x (Xm+1 (s, p), vm+1 (Xm+1 (s, p))) ∈ K,

Figura 9.4.

729

9.8. Sistemas hiperb´ olicos

pues basta observar que (para cualquiera de las n componentes de vm+1 ), si (x0 , y 0 ) = p0 = Xm+1 (s, p) ∈ G entonces |vm+1 (x0 , y 0 ) − ϕ(y 0 )| = |ϕ[ym (−x0 , p0 )] − ϕ(y 0 )− Z −x0 − c[s + x0 , ym (s, p0 ), vm (s + x0 , ym (s, p0 ))]ds| 0

≤ |ϕ[ym (−x0 , p0 )] − ϕ(y 0 )| + αk ≤ k|ym (−x0 , p0 )] − y 0 | + αk ≤ k 2 α + αk ≤ δ. Observemos que la hip´ otesis del lema anterior es v´alida para m = 0, por lo tanto es cierta para cualquier m y la sucesi´on est´a bien definida para δ . α≤ k(1 + k) Lema 9.29 Para un α suficientemente peque˜ no se tiene que para todo m ∈ N, para todo i = 1, . . . , n y para cualesquiera (x, y), (x, y 0 ) ∈ G |vi,m (x, y) − vi,m (x, y 0 )| ≤ 3k|y − y 0 |. Demostraci´ on. Derivando nuestro sistema respecto de y tendremos que vm+1y (x, y) = ϕ0 ymy −

Z

−x

[cy ymy + 0

Z ym+1y (t, p) = 1 +

t

[λy ymy + 0

n X

czi vimy ymy ]ds,

i=1 n X

λzi vimy ymy ]ds,

i=1

y si llamamos δm = m´ ax{|vimy (x, y)| : i = 1, . . . , n; (x, y) ∈ G}, m = m´ ax{|yimy (t, x, y)| : i = 1, . . . , n; (x, y) ∈ G, t entre 0 y −x}, tendremos que δm+1 ≤ km + α(km + nkδm m ), m+1 ≤ 1 + α(km + nkδm m ),

730

Tema 9. El problema de Cauchy

siendo por otra parte δ0 ≤ k y 0 = 1, de donde se sigue por inducci´on que tomando 1 , α≤ 2k + 6nk 2 se tiene que para todo m δm ≤ 3k,

m ≤ 2,

puesto que δm+1 ≤ km + α(km + nkδm m ), ≤ k2 + α(k2 + nk3k2) ≤ 2k + 1 ≤ 3k, m+1 ≤ 1 + α(2k + 6nk 2 ) ≤ 2, y por tanto el teorema del valor medio nos asegura que para todo i = 1, . . . , n |vi,m (x, y) − vi,m (x, y 0 )| ≤ 3k|y − y 0 |. Como consecuencia —recordando todas las derivadas que acota k—, se tiene que en p = (x, y) ∈ G Z

−x

|vm+1 − vm | ≤ k|ym − ym−1 | + k

[|ym − ym−1 |+ 0

+

n X

|vi,m [s + x, ym (s, p)] − vi,m−1 [s + x, ym−1 (s, p)|]ds

i=1

Z ≤ k|ym − ym−1 | + k

−x

[|ym − ym−1 |+ 0

+

n X

|vi,m [s + x, ym (s, p)] − vi,m−1 [s + x, ym (s, p)]|+

i=1

+|vi,m−1 [s + x, ym (s, p)] − vi,m−1 [s + x, ym−1 (s, p)|]ds Z −x ≤ k|ym − ym−1 | + k [(1 + 3nk)|ym − ym−1 |+ 0

+

n X i=1

|vi,m [s + x, ym (s, p)] − vi,m−1 [s + x, ym (s, p)]|]ds

731

9.8. Sistemas hiperb´ olicos

del mismo modo tenemos que en el dominio de las ym Z t |ym+1 − ym | ≤ k [(1 + 3nk)|ym − ym−1 |+ 0 n X + |vi,m [s + x, ym (s, p)] − vi,m−1 [s + x, ym (s, p)]|]ds, i=1

y si consideramos µm = m´ ax |vi,m − vi,m−1 |,

νm = m´ ax |yi,m − yi,m−1 |,

tendremos que µm+1 ≤ kνm + αk[(1 + 3nk)νm + nµm ], νm+1 ≤ αk[(1 + 3nk)νm + nµm ]. Ahora bien µ1 ≤ αk y ν1 ≤ αk, y se sigue por inducci´on que si elegimos α suficientemente peque˜ no se tiene √ √ √ νm ≤ (2nk α)m α, µm ≤ (2nk α)m , pues √ √ √ √ µm+1 ≤ k(2nk α)m α + αk[(1 + 3nk)(2nk α)m α+ √ + n(2nk α)m ] √ √ ≤ (2n)m (k α)m+1 [1 + α(1 + 3nk) + n α] √ √ (si 1 + α(1 + 3nk) + n α ≤ 2n), ≤ (2nk α)m+1 , √ √ √ νm+1 ≤ αk[(1 + 3nk)(2nk α)m α + n(2nk α)m ] √ √ ≤ (2n)m (k α)m+1 [α(1 + 3nk) + n α] √ √ √ = (2n)m (k α)m+1 α[ α(1 + 3nk) + n] √ √ √ n ≤ (2nk α)m+1 α, (si α ≤ ). 1 + 3nk En definitiva tendremos que para α > 0 satisfaciendo α≤

δ , k(1 + k)

α≤

√ 2nk α < 1,

1 , 2k + 6nk 2

√ 1 + α(1 + 3nk) + n α ≤ 2n,

√

α≤

n , 1 + 3nk

732

Tema 9. El problema de Cauchy

se tiene la convergencia uniforme, en sus dominios respectivos, de las 2n sucesiones l´ım vi,m = vi,0 + l´ım yi,m = yi,0 +

∞ X

(vi,m − vi,m−1 ),

m=1 ∞ X

(yi,m − yi,m−1 ),

m=1

a la soluci´ on vi , yi de nuestro problema, pues los t´erminos de ambas series est´ an mayorados por los de la serie convergente √ ∞ X √ 2nk α √ . (2nk α)m = 1 − 2nk α m=1 Argumentos en la misma l´ınea demuestran que esta es u ´nica y que depende continuamente de los datos iniciales. En definitiva tenemos el siguiente resultado. Teorema 9.30 El sistema vix + λi viy = ci ,

(i = 1, . . . , n),

con las λi y ci funciones de (x, y, v1 , . . . , vn ) de clase 1, con las condiciones vi (0, y) = ϕi (y) siendo las ϕi de clase 1 en un entorno del origen, tiene una soluci´ on local, definida en un entorno del origen, que es u ´nica y depende continuamente de las condiciones iniciales.

9.9.

La funci´ on de Riemann–Green

9.9.1.

Operador diferencial lineal adjunto.

Definici´ on. A todo ODL P en un abierto U ⊂ Rn , le corresponde un u ´nico ODL P ∗ , llamado el adjunto de P , satisfaciendo la siguiente pro-

9.9. La funci´ on de Riemann–Green

733

piedad: para cualesquiera funciones z, v ∈ C ∞ (U ), de soporte compacto Z Z vP (z)dx1 · · · dxn = zP ∗ (v)dx1 · · · dxn . U

U

En primer lugar tenemos que de existir es u ´nico, pues si hubiera dos bastar´ıa considerar su diferencia, llam´emosla L y para la funci´on z = L(v) se tendr´ıa que Z L2 (v)dx1 · · · dxn = 0 ⇒ L(v) = 0, U

y esto implica que L = 0, pues L(f )(p) s´ olo depende del valor de f en un entorno de p. La existencia vamos a demostrarla como consecuencia de las siguientes propiedades. 1.- Si P y Q tienen adjuntos, tambi´en P + Q y vale (P + Q)∗ = P ∗ + Q∗ . 2.- Si P y Q tienen adjuntos tambi´en P ◦ Q y vale (P ◦ Q)∗ = Q∗ ◦ P ∗ , pues Z

Z v[P ◦ Q](z)dx1 · · · dxn =

U

v[P [Q(z)]dx1 · · · dxn ZU

=

Q(z)P ∗ (v)dx1 · · · dxn

U

Z =

zQ∗ [P ∗ (v)]dx1 · · · dxn .

U

3.- Para P = f ∈ O0 (U ) es obvio que existe el adjunto y es ´el mismo P ∗ = f. 4.- Por u ´ltimo las derivadas parciales tambi´en tienen adjuntos y valen ∗  ∂ ∂ =− , ∂xi ∂xi

734

Tema 9. El problema de Cauchy

para verlo consideremos z y v y el compacto K uni´on de sus soportes, ahora extendi´endolas como 0 fuera de U y considerando un abierto rectangular R = (a1 , b1 ) × · · · × (an , bn ), que contenga a K tendremos que Z

Z

∂z dx1 · · · dxn ∂xi ZR Z ∂(zv) ∂v = dx1 · · · dxn − z dx1 · · · dxn ∂x ∂x i i R R Z bn Z b1 ∂(zv) dx1 · · · dxn − ··· = ∂xi a1 an Z ∂v − z dx1 · · · dxn ∂xi Z U ∂v =− z dx1 · · · dxn , ∂x i U

∂z dx1 · · · dxn = v U ∂xi

v

pues se tiene que z y v se anulan en los puntos de la forma (x1 , . . . , ai , . . . , xn ),

(x1 , . . . , bi , . . . , xn ).

Como consecuencia de estas propiedades tenemos que todo ODL, P ∈ Om (U ) X P = fα Dα , |α|≤m

tiene adjunto P ∗ ∈ Om (U ), que vale P∗ =

∗

X

[fα Dα ] =

|α|≤m

=

X

X

∗

[Dα ] ◦ fα

|α|≤m

(−1)|α| Dα ◦ fα ,

|α|≤m

y de la definici´ on se sigue que (P ∗ )∗ = P . Definici´ on. Diremos que un operador es autoadjunto si P ∗ = P .

735

9.9. La funci´ on de Riemann–Green

9.9.2.

ODL adjuntos en el plano.

Consideremos ahora un ODL de orden 2 en un abierto U del plano P =a

∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ + 2b +c +e +f + g, ∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y

en cuyo caso su adjunto es P∗ =

∂2 ∂2 ∂ ∂ ∂2 ◦a+2 ◦b+ ◦c− ◦e− ◦ f + g, ∂x∂x ∂x∂y ∂y∂y ∂x ∂y

y por tanto para cada funci´ on v P ∗ (v) = (va)xx + 2(vb)xy + (vc)yy − (ve)x − (vf )y + gv = avxx + 2bvxy + cvyy + (2ax + 2by − e)vx + + (2bx + 2cy − f )vy + (axx + 2bxy + cyy − ex − fy + g)v. Ejercicio 9.9.1 Demostrar que P es autoadjunto si y s´ olo si e = ax + by y f = bx + cy .

Para cualesquiera funciones u y w se tiene que uwxx − uxx w = (uwx )x − (ux w)x , uwxy − uxy w = (uwx )y − (uy w)x = (uwy )x − (ux w)y , por tanto tendremos que para cualesquiera funciones z y v se tiene que vP (z) − zP ∗ (v) = vazxx − z(va)xx + vbzxy − z(vb)xy + + vbzyx − z(vb)xy + vczyy − z(vc)yy + + vezx + z(ve)x + vf zy + z(vf )y = (vazx )x − ((va)x z)x + (vbzx )y − ((vb)y z)x + + (vbzy )x − ((vb)x z)y + (vczy )y − − ((vc)y z)y + (vez)x + (vf z)y = div D, para el campo tangente D = (vazx − (va)x z − (vb)y z + vbzy + vez)

∂ + ∂x

+ (vbzx − (vb)x z + vczy − (vc)y z + vf z)

∂ . ∂y

736

Tema 9. El problema de Cauchy

9.9.3.

El m´ etodo de Riemann.

Con este t´ıtulo entendemos el m´etodo que el propio Riemann desarroll´ o para resolver un problema de Cauchy para una EDP lineal de tipo hiperb´ olico, y en el que hac´ıa uso de una soluci´on particular, para la ecuaci´ on adjunta de la original, de un problema de valor inicial caracter´ıstico. Nos interesa estudiar el problema de Cauchy, en los t´erminos de la lecci´ on 9.6, para una ecuaci´ on zxy + e(x, y)zx + f (x, y)zy + g(x, y)z = h(x, y), es decir del tipo P (z) = h, con P un ODL de tipo hiperb´olico, (que ya hemos reducido a forma can´ onica a = c = 0, 2b = 1), con los valores de z y sus derivadas parciales conocidos sobre una curva estrictamente decreciente (´ o creciente), y = y(x). En tal caso tendremos —en los t´erminos de la lecci´ on 9.6—, que para un punto (x1 , y1 ) cualquiera y D su dominio de dependencia (9.28) ZZ

ZZ [vP (z) − zP ∗ (v)]dx dy = div D dx ∧ dy D D Z Z = iD (dx ∧ dy) = [Dx dy − Dy dx] C C   Z 1 1 = vzy + vez − vy z dy− 2 2 C    1 1 − vzx − vx z + vf z dx 2 2  Z Z  1 1 =− ωz,v + vzy + vez − vy z dy− 2 2 C1 C2  Z  1 1 − vzx − vx z + vf z dx 2 2 C3 Z Z Z 1 =− ωz,v + (vz)y dy + (ve − vy )z dy− C1 C2 2 C2 Z Z 1 − (vz)x dx + (vx − vf )z dx 2 C3 Z C3 Z Z =− ωz,v + (ve − vy )z dy + (vx − vf )z dx+ C1

C2

C3

9.9. La funci´ on de Riemann–Green

737

1 + [v(x1 , y1 ) · z(x1 , y1 ) − v(x1 , y(x1 )) · z(x1 , y(x1 ))]+ 2 1 + [v(x1 , y1 ) · z(x1 , y1 ) − v(x(y1 ), y1 ) · z(x(y1 ), y1 )] 2 = v(x1 , y1 ) · z(x1 , y1 )− 1 − [v(x1 , y(x1 )) · z(x1 , y(x1 )) + v(x(y1 ), y1 ) · z(x(y1 ), y1 )]− 2 Z Z Z y1

− C1

x1

(ve − vy )z dy +

ωz,v + y(x1 )

(vf − vx )z dx, x(y1 )

para la 1–forma     1 1 1 1 ωz,v = vzx − vx z + vf z dx − vzy + vez − vy z dy. 2 2 2 2 Debemos decir que nuestros c´ alculos han sido desarrollados suponiendo que nuestra curva de datos iniciales es decreciente, en caso contrario hay que cambiar algunos signos (h´ agalo el lector como ejercicio). Nuestra intenci´ on es seleccionar, para cada punto (x1 , y1 ), una funci´ on v de tal manera que la ecuaci´ on anterior nos ofrezca la soluci´on de nuestro problema de Cauchy P (z) = h satisfaciendo las condiciones sobre nuestra curva z = u,

zx = p,

zy = q.

Una buena candidata, con intenci´ on de que desaparezca la z en la primera integral, es una que verifique la ecuaci´on P ∗ (v) = 0,

(9.29)

y como no conocemos los valores de z a lo largo de las dos caracter´ısticas C2 ⊂ {x = x1 } y C3 ⊂ {y = y1 }, podemos eliminarlas si elegimos v satisfaciendo vy = ve,

en el eje x = x1 ,

vx = vf,

en el eje y = y1 ,

y por tanto estando determinadas sobre las curvas caracter´ısticas por las expresiones (donde hemos fijado para mayor comodidad la condici´on

738

Tema 9. El problema de Cauchy

inicial v(x1 , y1 ) = 1) Z

y

 v(x1 , y) = exp e(x1 , t) dt , y Z 1x  v(x, y1 ) = exp f (t, y1 ) dt ,

(9.30)

x1

ahora bien (9.29) y (9.30) definen un problema de valor inicial caracter´ıstico (ver la lecci´ on 7), el cual posee una u ´nica soluci´on v que, al depender de (x1 , y1 ), escribiremos de la forma R(x, y; x1 , y1 ) = v(x, y), (observemos que esta funci´ on s´ olo depende del operador P y no de la curva sobre la que damos los datos de Cauchy de nuestro problema). Definici´ on. A esta funci´ on, R(x, y; x1 , y1 ), la llamaremos funci´ on de Riemann–Green asociada a nuestro operador P original. Soluci´ on al problema de Cauchy. Con esta funci´on tenemos que (9.28) nos permite expresar la soluci´ on de nuestro problema de Cauchy original (si la curva de los datos iniciales es decreciente), de la forma (9.31) z(x1 , y1 ) =

1 R(x1 , y(x1 ); x1 , y1 ) · z(x1 , y(x1 ))+ 2 1 + R(x(y1 ), y1 ; x1 , y1 ) · z(x(y1 ), y1 )+ Z2 ZZ +

=

R(x, y; x1 , y1 ) · h(x, y)dx dy

ωz(x,y),R(x,y;x1 ,y1 ) + C1

D

1 R(x1 , y(x1 ); x1 , y1 ) · z(x1 , y(x1 ))+ 2 1 + R(x(y1 ), y1 ; x1 , y1 ) · z(x(y1 ), y1 )+  Z2  1 1 + Rp − Rx u + f Ru dx− 2 2 C1    1 1 Rq + eRu − Ry u dy + − 2 2 ZZ + R(x, y; x1 , y1 ) · h(x, y)dx dy, D

9.9. La funci´ on de Riemann–Green

739

y en el caso de que la curva sea creciente

z(x1 , y1 ) =

1 R(x1 , y(x1 ); x1 , y1 ) · z(x1 , y(x1 ))+ 2

1 + R(x(y1 ), y1 ; x1 , y1 ) · z(x(y1 ), y1 )+ 2     Z  1 1 1 1 + Rq + eRu − Ry u dy − Rp − Rx u + f Ru dx − 2 2 2 2 C1 ZZ − R(x, y; x1 , y1 ) · h(x, y)dx dy, D

(se queda como ejercicio para el lector comprobar que efectivamente es la soluci´ on a nuestro problema, para lo cual basta observar que hemos demostrado su existencia). Soluci´ on al problema de valor inicial caracter´ıstico. Si lo que queremos es resolver un problema de valor inicial caracter´ıstico, la funci´on de Riemann–Green tambi´en sirve para encontrar la soluci´on, pues en el desarrollo de (9.28) (y en el de (9.31)), no hemos utilizado el que C1 sea una curva especial. Si ahora consideramos que la curva C1 est´a formada por las dos caracter´ısticas que pasan por un punto (x0 , y0 ), de tal modo que D es el rect´ angulo —ver la figura 9.5— de v´ertices (x0 , y0 ), (x0 , y1 ), (x1 , y0 ) y (x1 , y1 ), tendremos (siguiendo (9.31)), la representaci´on R(x1 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x1 , y0 ) + R(x0 , y1 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y1 ) + 2  Z y1  1 1 + Rzy + Rez − Ry z dy+ 2 2 y0  Z x1  ZZ 1 1 + Rzx − Rx z + Rf z dx + Rh dx dy = 2 2 x0 D 1 = [R(x1 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x1 , y0 ) + R(x0 , y1 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y1 )] 2  Z y1  1 + (Rz)y + Rez − Ry z dy+ 2 y0   Z x1 ZZ 1 + (Rz)x − Rx z + Rf z dx + Rh dξ dη = 2 x0 D

z(x1 , y1 ) =

740

Tema 9. El problema de Cauchy

= R(x1 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x1 , y0 ) + R(x0 , y1 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y1 )− Z

y1

+

−R(x0 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y0 )+ Z x1 ZZ (Re − Ry )z dy + (Rf − Rx )z dx + Rh dξ dη,

y0

x0

D

que nos determina la soluci´ on del problema de valor inicial caracter´ıstico de nuestra ecuaci´ on P (z) = h, conocida z sobre las caracter´ısticas pasando por el punto (x0 , y0 ). Como antes queda como ejercicio para el lector comprobar que efectivamente es la soluci´ on a nuestro problema. Ahora, desarrollando la u ´ltima igualdad, podemos expresar tambi´en la soluci´ on de la siguiente forma que nos ser´ au ´til en el siguiente resultado

Figura 9.5.

z(x1 , y1 ) = R(x1 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x1 , y0 ) + R(x0 , y1 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y1 )− − R(x0 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y0 )+ Z y1 + (Rez − (Rz)y + Rzy ) dy+ y0 x1

Z

ZZ

(Rf z − (Rz)x + Rzx ) dx + Rh dx dy D Z y1 = R(x0 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y0 ) + (ez + zy )R dy+ +

x0

y0

Z

x1

+

ZZ (f z + zx )R dx +

x0

Rh dx dy. D

Teorema 9.31 Si llamamos R∗ a la funci´ on de Riemann–Green asociada a P ∗ , se tiene que R(x0 , y0 ; x1 , y1 ) = R∗ (x1 , y1 ; x0 , y0 ), en particular si P = P ∗ , es decir es autoadjunta, R(x0 , y0 ; x1 , y1 ) = R(x1 , y1 ; x0 , y0 ).

9.9. La funci´ on de Riemann–Green

741

Demostraci´ on. Para cada (x0 , y0 ), la funci´on z(x, y) = R∗ (x, y; x0 , y0 ), es la que satisface las condiciones P (z) = 0, zy = −ez,

en x = x0

z(x0 , y0 ) = 1, zx = −f z,

en y = y0

y por las igualdades desarrolladas en el p´ arrafo anterior se tiene que Z y1 z(x1 , y1 ) = R(x0 , y0 ; x1 , y1 ) · z(x0 , y0 ) + (ez + zy )R dy+ y0

Z

x1

+

ZZ (f z + zx )R dx +

x0

Rh dx dy D

= R(x0 , y0 ; x1 , y1 ). Ejercicio 9.9.2 Encontrar la funci´ on de Riemann–Green para el ODL P (z) = zxy .

Dado un ODL P y una funci´ on invertible φ, definimos el ODL Q=P +

[P, φ] 1 = ◦ P ◦ φ, φ φ

que es el u ´nico que satisface φ ◦ Q = P ◦ φ, y cuyo adjunto vale Q∗ = φ ◦ P ∗ ◦

1 . φ

Proposici´ on 9.32 En los t´erminos anteriores si P (z) = zxy + e(x, y)zx + f (x, y)zy + g(x, y)z, entonces 

   φy φx + e zx + + f zy + φ φ   φxy φy φx + + f+ e + g z, φ φ φ

Q(z) = zxy +

742

Tema 9. El problema de Cauchy

y si RP (x, y; x1 , y1 ) es la funci´ on de Riemann–Green asociada a P , la de Q es φ(x, y) RP (x, y; x1 , y1 ). RQ (x, y; x1 , y1 ) = φ(x1 , y1 ) Demostraci´ on. Por una parte se tiene que 1 1 · P (zφ) = [(zφ)xy + e(zφ)x + f (zφ)y + gzφ] φ φ     φy φx = zxy + + e zx + + f zy + φ φ   φxy φy φx + + f+ e + g z, φ φ φ

Q(z) =

y por otra fijando el punto (x1 , y1 ) y llamando u(x, y) = RP (x, y; x1 , y1 ),

v(x, y) = RQ (x, y; x1 , y1 ),

tendremos que u ] = 0, φ(x1 , y1 ) φy (x1 , y) φ(x1 , y) vy (x1 , y) = u(x1 , y) + uy (x1 , y) φ(x1 , y1 ) φ(x1 , y1 ) φy (x1 , y) φ(x1 , y) = v(x1 , y) + e(x1 , y)u(x1 , y) φ(x1 , y) φ(x1 , y1 )   φy (x1 , y) = + e v(x1 , y) φ(x1 , y)   φx (x, y1 ) vx (x, y1 ) = + f v(x, y1 ). φ(x, y1 ) v(x1 , y1 ) = 1,

Q∗ [v] = φ · P ∗ [

Nota 9.33 Observemos que dado P , como en el enunciado, existe una funci´ on φ para la que Q es autoadjunto si y s´ olo si φy φx +e= +f =0 φ φ

⇔

e = −(log φ)y ,

⇔

ex = fy .

f = −(log φ)x

Ejercicio 9.9.3 Calcular la funci´ on de Riemann–Green del ODL Q(z) = zxy +

zx + zy . x+y

(Sol.)

9.9. La funci´ on de Riemann–Green

743

Ejercicio 9.9.4 Demostrar que la funci´ on de Riemann–Green del ODL P (z) = zxy − es R(x, y; x1 , y1 ) =

2 z (x + y)2

(x + y1 )(x1 + y) + (x − x1 )(y − y1 ) , (x + y)(x1 + y1 )

y demostrar utilizando el m´etodo de Riemann que la soluci´ on de P (z) = 0, que satisface z = 0 y zx = x2 en la recta y = x es z(x, y) =

1 (x − y)(x + y)2 . 4

(Sol.)

Ejercicio 9.9.5 Encontrar la funci´ on de Riemann–Green del ODL Q(z) = zxy +

2(zx + zy ) , (x + y)

y demostrar, utilizando el m´etodo de Riemann, que la soluci´ on de Q(z) = 0, que satisface z = 0 y zx = 3x2 en la recta y = x es z(x, y) = 2x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3 .

(Sol.)

744

Tema 9. El problema de Cauchy

9.10.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 9.3.1.- Demostrar que (x1 + · · · + xn )m =

X m! α X m! α n x1 1 · · · xα x , n = α! α! |α|=m

|α|=m

y que para todo multi–´ındice α, α! ≤ |α|! ≤ n|α| α!. Soluci´ on. Por inducci´ on en m ∈ N tenemos que   X m! α m+1 α 1 n (x1 + · · · + xn ) = x · · · xn  (x1 + · · · + xn ) α! 1 |α|=m

X m! α +1 X m! α n n +1 = x 1 · · · xα x 1 · · · xα n + ··· + n α! 1 α! 1 |α|=m

|α|=m

X m!(α1 + 1) α +1 n x 1 · · · xα = n + ···+ α!(α1 + 1) 1 |α|=m

+

X m!(αn + 1) α n +1 x 1 · · · xα n α!(αn + 1) 1

|α|=m

=

X |α|=m+1 α1 ≥1

=

X |α|=m+1

m!α1 α x + ··· + α!

m!α1 α x + ··· + α!

X |α|=m+1

X |α|=m+1 αn ≥1

m!αn α x = α!

m!αn α x = α!

X |α|=m+1

(m + 1)! α x . α!

La primera desigualdad de la segunda parte se demuestra primero para n = 2 y luego por inducci´ on. La otra desigualdad es consecuencia de la primera parte para xi = 1.

Ejercicio 9.3.2.- Demostrar que para x ∈ (−1, 1), y k ∈ N, la serie ∞ X n=k

n! xn−k , (n − k)!

converge absolutamente a k!/(1 − x)1+k . Soluci´ on. En primer lugar la serie ∞ X n=k

∞ X n! (n + k)! n xn−k = x , (n − k)! n! n=0

converge absolutamente y uniformemente en cualquier compacto de nuestro conjunto abierto, pues su radio de convergencia es R ≥ 1, p √ √ l´ım sup n (n + k) · · · (n + 1) ≤ l´ım sup n n + k · · · l´ım sup n n + 1 = 1, n→∞

n→∞

n→∞

745

9.10. Ejercicios resueltos

pues si llamamos

√ n

n + k = 1 + cn , tendremos que 0 < cn → 0, ya que n + k = (1 + cn )n >

n(n − 1) 2 cn . 2

Ahora el resultado se demuestra por inducci´ on aplicando el Teorema de Abel pues ∞ ∞ ∞ X X d X (n + k)! n (n + k)! n−1 (n + k + 1)! n x = nx = x . dx n=0 n! n! n! n=0 n=0

Ejercicio 9.3.3.- Demostrar que si x ∈ Rn , con |xi | < 1, entonces la serie P α α x converge absolutamente a 1 . (1 − x)1 Soluci´ on. X

α

x =

α

n Y



∞ X

 i=1

 α xi i 

=

αi =0

1 1 = . (1 − x1 ) · · · (1 − xn ) (1 − x)1

Ejercicio 9.3.4.- Demostrar que si x ∈ Rn , con

Pn

i=1

|xi | < 1, entonces la serie

X |α|! α x , α! α converge absolutamente a 1 . 1 − (x1 + · · · + xn ) Soluci´ on. ∞ X ∞ X |α|! X X |α|! α xα = x = (x1 + · · · + xn )j α! α! α j=0 j=0 |α|=j

=

1 . 1 − (x1 + · · · + xn )

Ejercicio 9.3.5.- Demostrar que si x ∈ Rn , con |xi | < 1, y β ∈ Nn , entonces la serie X α! xα−β , (α − β)! α≥β

converge absolutamente a β! . (1 − x)1+β

746

Tema 9. El problema de Cauchy

Soluci´ on. En primer lugar la serie converge absolutamente y uniformemente en cualquier compacto de nuestro conjunto abierto, pues aplicando el ejercicio (9.3.2) tenemos que X (α + β)! X α! xα−β = xα (α − β)! α! α≥0 α≥β   n ∞ Y X (α + β )! i i α  xi i  = αi ! i=1 α =0 i

=

n  Y i=1

βi ! (1 − xi )1+βi



β! . (1 − x)1+β Observemos que el resultado tambi´ en puede obtenerse aplicando el ejercicio (8.2.2) y el ejercicio (9.3.3) de la forma ! X X X α! xα−β = D β xα = D β xα (α − β)! α α α≥β =

β! 1 = , (1 − x)1 (1 − x)1+β observando que la serie de las derivadas converge uniformemente en cualquier compacto de nuestro conjunto abierto. = Dβ

P Ejercicio 9.3.6.- Demostrar que si x ∈ Rn , con |xi | < 1, y β ∈ Nn , entonces la serie X |α|! xα−β , (α − β)! α≥β

converge absolutamente a |β|! . (1 − x1 − · · · − xn )1+|β| Soluci´ on. La serie converge absolutamente en el abierto pues X X |α + β|! |α|! |xα−β | = |xα | (α − β)! α! α≥β α≥0 =

∞ X X (j + |β|)! α |x | α! j=0 |α|=j

∞ X (j + |β|)! X j! α = |x | j! α! j=0 |α|=j

∞ X (j + |β|)! = (|x1 | + · · · + |xn |)j j! j=0

=

|β|! , (1 − |x1 | − · · · − |xn |)1+|β|

9.10. Ejercicios resueltos

747

por tanto se tiene el resultado pues se tienen las igualdades anteriores sin tomar m´ odulos. Observemos no obstante que tambi´ en pudimos resolverlo del modo siguiente X α≥β

X |α|! |α|! xα−β = D β xα (α − β)! α! α≥0   X |α|! β α =D x α! α≥0 1 1 − (x1 + · · · + xn ) |β|! = , (1 − x1 − · · · − xn )1+|β| = Dβ

pues se tiene que la serie de las derivadas converge uniformemente en cada compacto del abierto, ya que la diferencia de dos sumas parciales (con α ≤ α0 ) ∞ X (j + |β|)! (|x1 | + · · · + |xn |)j j!

|s0α (x) − sα (x)| ≤

j=|α|

∞ X (j + |β|)! j r , j!

≤

j=|α|

se hace tan peque˜ na como queramos haciendo α tan grande como queramos y donde r es el m´ aximo de |x1 | + · · · + |xn | en el compacto.

Ejercicio 9.3.7.- (a) Demostrar que si g ∈ C ∞ ((a, b)), para [0, 1] ⊂ (a, b) ⊂ R g(1) =

Z 1 n X 1 (i 1 g (0) + (1 − t)n g (n+1 (t)dt. i! n! 0 i=0

(b) Que si g(t) = f (tz + y), para f ∈ C ∞ (U ), con U ⊂ Rn abierto, entonces g (n (t) =

X n! α D f (tz + y)z α , α!

|α|=n

Ind. Por inducci´ on en n. (a) Der´ıvese (1 − t)n+1 g (n+1 /(n + 1)! e int´ egrese entre 0 y 1.

Ejercicio 9.3.8.- Demostrar que f es anal´ıtica real en un punto si y s´ olo si lo es en un entorno del punto. Soluci´ on. Por los teoremas (9.6) y (9.7).

Ejercicio 9.3.9.- Demostrar que para M, r > 0, la funci´ on ϕ(y) =

Mr , r − (y1 + · · · + ym )

748

Tema 9. El problema de Cauchy

P definida en { yi 6= r}, verifica Dα ϕ(0) = M |α|!r−|α| , P y es anal´ıtica en { |yi | < r}. Soluci´ on. Consideremos la funci´ on h(y) =

1 , 1 − (y1 + · · · + ym )

para la que se demuestra f´ acilmente por inducci´ on que Dα h(y) =

|α|! , (1 − y1 − · · · − ym )1+|α|

y el resultado se sigue de que ϕ(y) = M h

x r

.

P Ejercicio 9.5.1.-P Sabiendo que para una funci´ on f = cα xα anal´ıtica en 0, es β P α β α D ( cα x ) = D (cα x ), demostrar que existen constantes M, r > 0 tales que |Dα f (0)| ≤ |α|!M r−|α| . P Soluci´ on. f = cα xα es absolutamente convergente en un entorno U de 0 y por la hip´ otesis y el ejercicio (8.2.2) del tema VIII, Dα f (0) =P α!cα , por tanto tomando xi = r, con r suficientemente peque˜ no tendremos x ∈ U y |cα |r|α| < ∞, por tanto para todos los α salvo para los de un conjunto A finito tendremos |cα |r|α| ≤ 1, ahora basta considerar m´ ax{1, |cα |r|α| : α ∈ A} = M y como α! ≤ |α|!, |Dα f (0)| = α!|cα | ≤ |α|!M r−|α| .

Ejercicio 9.9.3.- Calcular la funci´ on de Riemann–Green del ODL Q(z) = zxy +

zx + zy . x+y

Soluci´ on. Consideremos el ODL P (z) = zxy y la funci´ on φ(x, y) = x + y, cuyo ODL asociado Q es el del enunciado, por tanto como la funci´ on de Riemann– Green asociada a P es constante RP = 1, tendremos que la de Q es RQ (x, y; x1 , y1 ) =

x+y . x1 + y1

Ejercicio 9.9.4.- Demostrar que la funci´ on de Riemann–Green del ODL P (z) = zxy −

2 z (x + y)2

9.10. Ejercicios resueltos

749

es R(x, y; x1 , y1 ) =

(x + y1 )(x1 + y) + (x − x1 )(y − y1 ) , (x + y)(x1 + y1 )

y demostrar utilizando el m´etodo de Riemann que la soluci´ on de P (z) = 0, que satisface z = 0 y zx = x2 en la recta y = x es z(x, y) =

1 (x − y)(x + y)2 . 4

Soluci´ on. Lo primero es evidente pues por una parte R = 1 en x = x1 y en y = y1 , y por otra P ∗ (R) = P (R) = 0. Ahora bien 0 = z(x, x)

⇒

zx (x, x) + zy (x, x) = 0,

lo cual implica que p = x2 y q = −x2 y por ser la curva de datos iniciales creciente tendremos que Z 1 1 z(x1 , y1 ) = Rq dy − Rp dx 2 C1 2 Z x1 = R(x, x, x1 , y1 )x2 dx Z

y1 x1

= y1

= = = =

x1

(x2 + y1 x1 )x dx (x1 + y1 ) y1  4  x1 y4 x2 y2 1 − 1 + y1 x1 ( 1 − 1 ) x1 + y1 4 4 2 2 1 [x4 − y14 + 2y1 x1 (x21 − y12 )] 4(x1 + y1 ) 1 1 (x2 − y12 )(x1 + y1 )2 4(x1 + y1 ) 1 1 (x1 − y1 )(x1 + y1 )2 . 4

Z =

(x + y1 )(x1 + x) + (x − x1 )(x − y1 ) 2 x dx 2x(x1 + y1 )

Ejercicio 9.9.5.- Encontrar la funci´ on de Riemann–Green del ODL Q(z) = zxy +

2(zx + zy ) , (x + y)

y demostrar, utilizando el m´etodo de Riemann, que la soluci´ on de Q(z) = 0, que satisface z = 0 y zx = 3x2 en la recta y = x es z(x, y) = 2x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3 . Soluci´ on. Utilizando el u ´ltimo resultado vemos que para el operador P del ejercicio anterior y para φ = (x + y)2 se tiene que φ ◦ Q = P ◦ φ, pues para

750

Tema 9. El problema de Cauchy

P (z) = zxy + ezx + f zy + gz, tenemos que φy 2 +e= , φ x+y φx 2 f =0 ⇒ +f = , φ x+y 2 φxy φy φx g=− ⇒ + f+ e + g = 0, (x + y)2 φ φ φ e=0

⇒

por tanto la funci´ on de Riemann–Green de Q es R(x, y; x1 , y1 ) = =

φ(x, y) (x + y1 )(x1 + y) + (x − x1 )(y − y1 ) φ(x1 , y1 ) (x + y)(x1 + y1 ) (x + y) [(x + y1 )(x1 + y) + (x − x1 )(y − y1 )]. (x1 + y1 )3

Ahora p = 3x2 y q = −3x2 y por ser la curva de datos iniciales creciente tendremos que Z 1 1 z(x1 , y1 ) = Rq dy − Rp dx 2 C1 2 Z x1 = R(x, x, x1 , y1 )3x2 dx Z

y1 x1

2x [(x + y1 )(x + x1 ) + (x − x1 )(x − y1 )]3x2 dx (x1 + y1 )3 Z x1 6 = x3 (2x2 + 2x1 y1 )dx (x1 + y1 )3 y1  6  4  x1 y16 x1 y14 12 = − + x y − 1 1 (x1 + y1 )3 6 6 4 4 =

y1

= 2x31 − 3x21 y1 + 3x1 y12 − 2y13 .

9.11. Bibliograf´ıa y comentarios

9.11.

751

Bibliograf´ıa y comentarios

Cartan, H.: “Teor´ıa elemental de las funciones anal´ıticas de una y varias variables complejas”. Ed. Selecciones Cient´ıficas, 1968. Copson, E.T.: “Partial Differential Equations”. Ed. Cambridge Univ. Press, 1975. Courant, R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Phisics”. Vol.II, J. Willey, 1962. Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986. John, F. : “Partial Differential Equations”. Springer–Verlag, 1982. ˜oz, J.: “Funciones anal´ıticas de una variable”. (Apuntes de sus clases). Mun Spivak, M.: “Differential Geometry”. Vol.V, Ed. Publish or Perish Inc., 1975. Vladimirov, V.S.: “Equations of Mathematical Phisics”. Marcel Dekker, 1971. Zachmanoglou, E.C. and Thoe, Dale W.: “Introduction to Partial Differential Equations with Applications”. Dover, 1986.

La versi´ on inicial del Teorema de Cauchy–Kowalewski , se debe al franc´es Augustin–Louis Cauchy (1789–1857), el cual inici´o la teor´ıa moderna de las ecuaciones en derivadas parciales. La rusa Sophie Kowalewski (1850–1891), bajo la gu´ıa de Karl Weierstrass (1815– 1897), di´ o una demostraci´ on de tipo general en su Tesis doctoral. En este teorema se demuestra que s´ olo hay una soluci´on anal´ıtica para un problema de Cauchy anal´ıtico, aunque nada se dice sobre otro tipo de soluciones. El Teorema de Holmgren niega esta posibilidad (ver Courant–Hilbert, p.237 y el Garabedian, p.185). Por otro lado en la p. 67 del libro de Spivak , se habla del ejemplo, debido a Perron, de sistema de dos EDP de primer orden u1x = u1y + u2y u2x = au1y + u2y + f (x, y), el cual, si la constante a es negativa, no tiene soluci´on a menos que f sea anal´ıtica (observemos que los autovalores de la matriz asociada satisfacen (1 − λ)2 = a). Adem´ as tambi´en hay ejemplos, con coeficientes anal´ıticos, en los que las condiciones iniciales deben ser anal´ıticas, si no no hay soluci´ on. Por lo tanto el Teorema de Cauchy–Kowalewski , en general es un resultado inmejorable, en el sentido de que no se puede debilitar. Las definiciones que se dan de operador adjunto de un ODL P , en libros como el Copson, p.77 ´ o en el Garabedian, p.128, inducen a confusi´ on, pues definen P ∗ como aquel para el que vP (z) − zP ∗ (v),

752

Tema 9. El problema de Cauchy

es la divergencia de un campo D, siendo as´ı que toda funci´on es una divergencia, adem´ as de una infinidad de formas. Da la sensaci´on de que estos autores han tenido como referencia el libro de Courant–Hilbert, que en su p.235 da, aparentemente, esta misma definici´on, pero no es igual, pues en este libro se especifica, en primer lugar, qu´e proceso se debe seguir para la obtenci´ on de esa divergencia —una integraci´on por partes—, y en segundo lugar se describe c´ omo el campo D debe depender de u y v. Esto hace que su definici´ on s´ı sea rigurosa. La teor´ıa moderna de las ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperb´ olico, fue iniciada por el alem´ an Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), con la representaci´on de la soluci´on de un problema de valor inicial para una EDP de segundo orden. Esta repre´todo de Riemann aparece (ver sentaci´ on que ahora llamamos el me Courant–Hilbert, p.449 ´ o Copson, p.78), como ap´endice en su memoria de 1860, ¨ Riemann, G.F.B.: “Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite”. Abhandl. K¨ onigl. Ges. Wiss. G¨ ottingen, Vol. 8 (1860). Reimpreso en la Ed. Dover “Gesammelte Mathematische Werke”, New York, 1953, pp. 156–178.

en el que, seg´ un leemos en la p.449 del Courant–Hilbert, no da una demostraci´ on general de existencia, sino una construcci´on de la soluci´on de ejemplos expl´ıcitos que resuelve. Su f´ ormula puede entenderse como un caso especial de un principio mas fundamental, seg´ un el cual la soluci´on z, de P (z) = f , se concibe como un funcional que depende continua y linealmente de f y por tanto, seg´ un demostr´o el h´ ungaro Frigyes Riesz (1880–1956), se puede representar, en condiciones apropiadas, de la forma general Z z(p) = A(q, p)f (q)dq. D

Fin del Tema 9

Tema 10

La Ecuaci´ on de Laplace

10.1.

Funciones arm´ onicas

Definici´ on. El operador de LaPlace ´ o Laplaciano en un abierto U ⊂ Rn se define como el ODL de segundo orden ∆=

∂2 ∂2 ∂2 + + ··· + . 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x2n

Las ecuaciones de ondas (ver Tema 11, p´ag.879) y del calor (ver Tema 13, p´ ag.949) se expresan en t´erminos del operador de Laplace, respectivamente de la forma a2 ∆u = utt ,

K∆u = ut .

Definici´ on. Llamamos Ecuaci´ on de LaPlace a ∆u = 0, y funciones arm´ onicas en U , a las funciones u ∈ C 2 (U ), que son soluci´ on de la ecuaci´ on de Laplace.. Denotaremos A(U ) el conjunto de las funciones arm´ onicas en U .

753

754

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Observemos que en el caso de la recta una funci´on es arm´onica si y s´ olo si es af´ın u00 = 0 ⇔ u(x) = ax + b, lo cual implica que el valor de u en el punto medio de cualquier intervalo (α, β), es el valor medio de u en los extremos del intervalo   u(α) + u(β) α+β = , u 2 2 esta es una propiedad general, que demostr´ o Gauss, de las funciones arm´ onicas: “El valor de una funci´ on arm´ onica en el centro de una esfera es igual al promedio de sus valores en la superficie de la esfera”, que veremos en (10.48), p´ ag.822. Ejercicio 10.1.1 Dadas dos funciones arm´ onicas f y g demostrar que f g es arm´ onica sii grad f · grad g = 0. (Sol.)

P Nota 10.1 Recordemos que si tenemos la m´etrica g = dxi ⊗ dxi , entonces ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn es la n–forma de volumen, la divergencia de un campo D es la funci´ on que satisface (div D)ω = DL ω = d(iD ω), y el gradiente de una funci´ on f es el campo que corresponde a la 1–forma df por el isomorfismo D(U ) −→ Ω(U ),

D −→ iD g,

iD g(E) = D · E.

Ejercicio 10.1.2 Demostrar que ∆u = div(grad u). Ejercicio 10.1.3 Demostrar que son arm´ onicas las funciones de Rn X a+ aj xj , (y para i 6= j), xi xj , x2i − x2j , y caracterizar los polinomios homog´eneos de segundo orden del plano que sean funciones arm´ onicas. Ejercicio 10.1.4 Demostrar que son arm´ onicas las funciones de Rn − {0} log[x2i + x2j ], (para i 6= j), q 1 , para r = x21 + · · · + x2n . rn−2

10.2. Funciones arm´ onicas en el plano

755

n Ejemplo 10.1.1 Veamos enpR e funciones u = f (r), dependientes P qu´ x2i al origen, son arm´onicas. Para ello s´ olo de la distancia r = consideremos un sistema de coordenadas (r, ϕi , . . .), en el que

∆=a

∂2 ∂ ∂2 n−1 ∂ + b + P = + + P, ∂r2 ∂r ∂r2 r ∂r

siendo P un operador diferencial de segundo orden en el que todos los t´erminos tienen derivadas parciales respecto de alguna coordenada ϕi , y la segunda igualdad se tiene porque X n−1 , ∆(r2 ) = ∆(x2i ) = 2n, r n = ∆(r2 /2) = a + br = a + n − 1, b = ∆(r) =

por tanto a = 1 y como P u = 0, tendremos que ∆u = 0

⇔

f 00 +

n−1 0 f = 0, r

y esto equivale a que para n ≥ 1   Ar + B, f (r) = A log r + B,   A/rn−2 + B,

si n = 1, si n = 2, si n 6= 2.

10.2.

Funciones arm´ onicas en el plano

10.2.1.

Funciones arm´ onicas en variables separadas.

Se demuestra f´ acilmente que en el plano xy, en el sistema de coordenadas polares (ρ, θ), ∂ ∂ sen θ ∂ = cos θ − ∂x ∂ρ ρ ∂θ ∂ ∂ cos θ ∂ = sen θ + ∂y ∂ρ ρ ∂θ

⇒

∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + 2 = + + 2 2, 2 2 ∂x ∂y ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂θ

756

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y las funciones de la forma u = f (ρ)g(θ) son arm´onicas si y s´olo si 1 1 f 00 g + f 0 g + 2 f g 00 = 0, ρ ρ lo cual implica que existe una constante a para la que  f 00 f0 )  ρ2 + ρ = a  ρ2 f 00 + ρf 0 − af = 0, f f ⇒  g 00 g 00 + ag = 0,   − =a g la primera de las cuales es la ecuaci´ on de Euler —para resolverla h´agase el cambio ρ = exp{t}—, y tiene soluciones para α > 0

Figura 10.1.

log ρ,

ρ2 ,

ρ−2 ,

   1, log ρ, f (ρ) = ρα , ρ−α ,   cos(α log ρ), sen(α log ρ),

cos(log ρ).

si a = 0, si a = α2 , si a = −α2 ,

y sus combinaciones lineales, mientras que las soluciones de la segunda ecuaci´ on son para α > 0

Figura 10.2.

θ,

sen θ,

   1, θ, g(θ) = cos αθ, sen αθ,   αθ −αθ e ,e , y sus combinaciones lineales.

eθ ,

e−θ .

si a = 0, si a = α2 , si a = −α2 ,

10.2. Funciones arm´ onicas en el plano

757

Ejercicio 10.2.1 Encontrar las funciones arm´ onicas en el plano que sean de la forma f (x)g(y).

10.2.2.

Funciones arm´ onicas y funciones anal´ıticas.

Las funciones arm´ onicas del plano est´ an ´ıntimamente relacionadas con las funciones anal´ıticas de variable compleja. Recordemos la identificaci´ on z = x+iy ∈ C → (x, y) ∈ R2 , y que a trav´es de esta identificaci´on identificamos aplicaciones entre abiertos U, V ⊂ R2 F = (u, v) : U ⊂ R2 → V ⊂ R2 , con funciones de variable compleja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) : U ⊂ C → V ⊂ C, la cual es anal´ıtica en C, si y s´ olo si u y v son de clase 1 y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann ux = vy , uy = −vx , ahora bien f 0 (z) = ux + ivx = vy − iuy tambi´en es anal´ıtica y por tanto u y v son de clase 2, lo cual implica que u y v son arm´onicas, pues uxx + uyy = vyx − vxy = 0, Definici´ on. Un par de funciones arm´ onicas, como u y v, que sean la parte real e imaginaria de una funci´ on anal´ıtica en C se llaman conjugadas arm´ onicas. Ejemplo 10.2.1 Por ejemplo consideremos la funci´on f (z) = ez = ex+iy = ex cos y + iex sen y, que es anal´ıtica en C, por tanto u(x, y) = ex cos y, son arm´ onicas en el plano.

v(x, y) = ex sen y,

758

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ejemplo 10.2.2 La funci´ on exponencial ez , de C en C\{0}, es sobre pero no es inyectiva, pues es constante en z + 2kπi, sin embargo si lo es en R × [0, 2π) y tiene inversa que llamamos logaritmo log z. Veamos quien es su parte real y su parte imaginaria: log z = u + iv, por tanto z = eu+iv = eu (cos v + i sen v), p de donde x = eu cos v, y = eu sen v, por 2 2 2u lo que x + y = e y u = log x2 + y 2 . Por otra parte tan v = y/x y v = θ siendo ambas funciones arm´ onicas en el plano que hemos estudiado en el ep´ıgrafe 10.2.1. Teorema 10.2 Una funci´ on u en un abierto U simplemente conexo (“sin agujeros”) del plano es arm´ onica si y s´ olo si es la parte real (´ o imaginaria) de una funci´ on anal´ıtica del abierto entendido en C. Demostraci´ on. Falta demostrar la implicaci´on “⇒”. Sea u arm´onica, entonces por el Teorema de Stokes, (14.12), p´ag.994 tendremos que para cualquier curva cerrada ∂V , borde de un abierto V ⊂ U , Z Z ux dy − uy dx = d(ux dy − uy dx) ∂V ZV = uxx dx ∧ dy + uyy dx ∧ dy = 0, V

lo cual implica que fijado cualquier (x0 , y0 ) ∈ U , se tiene que para todo (x, y) y toda curva que una (x0 , y0 ) con (x, y), la funci´on Z (x,y) v(x, y) = ux dy − uy dx, (x0 ,y0 )

no depende de la curva elegida y se tiene que R (x,y) R (x+,y) (ux dy − uy dx) − (x0 ,y0 ) (ux dy − uy dx) (x0 ,y0 ) vx (x, y) = l´ım →0  R x+ −uy dx = l´ım x = −uy (x, y), →0  vy (x, y) = ux (x, y), y por tanto v es la conjugada arm´ onica de u y u + iv es anal´ıtica. Corolario 10.3 Toda funci´ on arm´ onica en un abierto U del plano es localmente la parte real (´ o imaginaria) de una funci´ on anal´ıtica de variable compleja.

10.2. Funciones arm´ onicas en el plano

759

Nota 10.4 Hemos definido las funciones arm´ onicas como funciones de ´ n de Laplace pues, como pone de clase 2 que satisfacen la ecuacio ´n manifiesto el siguiente ejercicio, el hecho de satisfacerse la ecuacio de Laplace en un abierto ni siquiera implica que la funci´on deba ser continua en ´el. Ejercicio 10.2.2 Demostrar que la funci´ on, para z = x + iy ( 0, si (x, y) = (0, 0), u(x, y) = −1/z 4 Re e , si (x, y) 6= (0, 0), satisface la ecuaci´ on de Laplace en R2 , pero no es continua en el origen. (Sol.)

No obstante, se verifica —como demostraremos en (10.56), p´ag.829— que toda funci´ on arm´ onica es anal´ıtica real (para n = 1 es evidente pues es af´ın), de hecho se tiene el siguiente resultado que no demostraremos. Teorema 10.5 Toda soluci´ on continua, de la ecuaci´ on de Laplace en el abierto U ⊂ Rn , es anal´ıtica en U , A(U ) ⊂ C ω (U ) .

10.2.3.

Transformaciones conformes.

Definici´ on. Dados dos abiertos U, V ⊂ Rn , diremos que una aplicaci´on diferenciable F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn , es una transformaci´ on conforme, si conserva la orientaci´on y los ´angulos. Lema 10.6 Si A : R2 → R2 , lineal es conforme, entonces (entendida como matriz) sus dos columnas ai son ortogonales y del mismo m´ odulo. Demostraci´ on. Las dos columnas de A, ai = Aei son ortogonales pues lo son e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) y tienen el mismo m´odulo pues por un lado cos(e1 , e1 − e2 ) = cos(e2 , e2 − e1 ), ya que e1 · (e1 − e2 ) 1 e2 · (e2 − e1 ) = = , |e1 − e2 | |e1 − e2 | |e1 − e2 | y como cos(a, b) = cos(Aa, Ab), |a1 |2 = a1 · (a1 − a2 ) = |a1 ||a1 − a2 | cos(a1 , a1 − a2 ) = |a1 ||a1 − a2 | cos(e1 , e1 − e2 )

⇒

|a1 | = |a1 − a2 | cos(e1 , e1 − e2 ) = |a2 − a1 | cos(e2 , e2 − e1 ) = |a2 |.

760

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ahora siguiendo con el corolario (10.3), tenemos aun m´as: si F = (u, v) : U ⊂ R2 −→ V ⊂ R2 , es un difeomorfismo entre los abiertos U y V del plano y define una funci´ on anal´ıtica de variable compleja, entonces este difeomorfismo lleva funciones arm´ onicas en funciones arm´ onicas. Proposici´ on 10.7 F : U → V es una transformaci´ on conforme en el plano sii es difeomorfismo y est´ a definida por una funci´ on anal´ıtica de variable compleja. En cuyo caso F lleva funciones arm´ onicas en funciones arm´ onicas. Demostraci´ on. “⇒”Si F∗ conserva ´ angulos y la orientaci´on, por 10.6, sus columnas (ux , vx ) y (uy , vy ) son ortogonales, bien orientadas y del mismo m´ odulo, por tanto ux = vy y uy = −vx por lo que F es anal´ıtica. “⇐”Por una parte la matriz de la aplicaci´ on lineal tangente F∗ es 

ux vx

uy vy



 =

ux −uy

uy ux





cos θ =R sen θ

 − sen θ . cos θ

q para R = u2x + u2y , ux = R cos θ y uy = −R sen θ, lo cual implica que cada vector se multiplica por un factor R y se gira un ´angulo θ. Por otra parte se tiene que F ∗ [dx ∧ dy] = du ∧ dv = (ux dx + uy dy) ∧ (vx dx + vy dy) = (ux vy − uy vx )dx ∧ dy = (u2x + u2y )dx ∧ dy. Veamos que conserva las funciones arm´ onicas. ∂ ∂ ∂ = ux + vx , ∂x ∂u ∂v ∂ ∂ ∂ = uy + vy , ∂y ∂u ∂v

10.2. Funciones arm´ onicas en el plano

761

y por tanto1 tendremos que ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 = uxx + ux ( ◦ ) + vxx + vx ( ◦ )= ∂x2 ∂u ∂x ∂u ∂v ∂x ∂v 2 2 ∂ ∂ ∂ = uxx + ux (ux 2 + vx )+ ∂u ∂u ∂v∂u ∂2 ∂2 ∂ + vx (ux + vx 2 ), + vxx ∂v ∂u∂v ∂v ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = uyy + uy ( ◦ ) + vyy + vy ( ◦ )= ∂y 2 ∂u ∂y ∂u ∂v ∂y ∂v ∂ ∂2 ∂2 = uyy + uy (uy 2 + vy )+ ∂u ∂u ∂v∂u ∂ ∂2 ∂2 + vyy + vy (uy + vy 2 ), ∂v ∂u∂v ∂v y de aqu´ı se sigue aplicando las Ecuaciones de Cauchy–Riemann, que  2  ∂2 ∂2 ∂ ∂2 2 2 + 2 = (ux + uy ) + 2 . ∂x2 ∂y ∂u2 ∂v lo cual implica que F lleva funciones arm´ onicas en funciones arm´onicas. Este resultado puede ser u ´til a la hora de resolver el problema de Dirichlet en el plano, como ilustra el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.2.3 Encontrar una funci´ on continua f en {x2 + y 2 ≤ 1} − {(−1, 0), (1, 0)}, soluci´ on de ∆f = 0, ( f (x, y) =

para x2 + y 2 < 1, 1, −1,

si x2 + y 2 = 1, y > 0, si x2 + y 2 = 1, y < 0,

1 Observemos que el determinante de F es u v − u v = u2 + u2 = v 2 + v 2 , por ∗ x y y x x y x y tanto para que sea difeomorfismo local en un punto basta que alguna de las ux , uy , vx ´ o vy sea no nula en ese punto.

762

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Soluci´ on.- La funci´ on 1 − x2 − y 2 1+z (1 + z)(1 − z) 2y = F (z) = = +i = u+iv, 2 2 2 + y2 1−z (1 − x) + y (1 − x) (1 − z)(1 − z) es anal´ıtica en el plano pinchado D = C\{1} = R2 \{(1, 0)} y define un sistema de coordenadas (u, v) en D para el que {x2 + y 2 < 1} = {u > 0}, {x2 + y 2 = 1, y > 0} = {u = 0, v > 0}, {x2 + y 2 = 1, y < 0} = {u = 0, v < 0}, por tanto en este sistema de coordenadas tenemos que resolver ( 1, si v > 0, ∆f = 0, para u > 0, f (0, v) = −1, si v < 0. Ahora bien hemos visto que en coordenadas polares la funci´on θ es arm´ onica en el plano (u, v) (quitamos la semirrecta formada por los puntos {(u, 0), u < 0}) y por tanto en coordenadas cartesianas (u, v) tambi´en es arm´ onica la funci´ on v arctan : (0, ∞) × (−∞, ∞) → (−π/2, π/2). u Por tanto la soluci´ on a nuestro problema es f = π2 arctan uv , pues f (u, v) →1,

cuando v > 0 y u → 0,

f (u, v) → − 1,

cuando v < 0 y u → 0,

y en las coordenadas iniciales la soluci´ on es la funci´on 2y 2 arctan . π 1 − x2 − y 2

Figura 10.3.

10.3. Transformaciones en Rn .

10.3.

763

Transformaciones en Rn .

En las lecciones anteriores hemos encontrado algunos ejemplos de funciones arm´ onicas, obviamente sus combinaciones lineales tambi´en lo son. Ahora veremos otros procesos con los que generar m´as funciones arm´ onicas, para ello consideraremos difeomorfismos F = (u1 , . . . , un ) : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn , para los que g ∈ C 2 (V ) sea arm´ onica si y s´ olo si lo es f = F ∗ g ∈ C 2 (U ).

10.3.1.

Traslaciones, giros y homotecias.

La traslaci´ on por un vector a = (ai ) ∈ Rn F (x1 , . . . , xn ) = (x1 + a1 , . . . , xn + an ), obviamente conserva las funciones arm´ onicas, por ejemplo (ver el ejercicio (10.1.4)) como 1 , 2 2 x1 + x2 + x23 + x24 es arm´ onica en R4 − {0}, entonces tambi´en lo es en R4 − {a}, para a = (ai ), la funci´ on 1 . (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3 )2 + (x4 − a4 )2 Los giros en el plano (´ o en el espacio respecto de un eje) tambi´en dejan invariantes las funciones arm´ onicas, por ejemplo para el giro u = x cos α − y sen α, v = x sen α + y cos α, se tiene que ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + = + , ∂x2 ∂y 2 ∂u2 ∂v 2 observemos que para F = u + iv, corresponde a F (z) = z eiα , que es una transformaci´ on conforme. Las homotecias F (x) = kx, para k 6= 0, tambi´en conservan las funciones arm´ onicas.

764

10.3.2.

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Transformaciones lineales.

Hemos visto ejemplos de transformaciones lineales que conservan las funciones arm´ onicas, sin embargo no toda transformaci´on lineal lo hace. En el siguiente resultado se prueba que son las semejanzas. Teorema 10.8 Para una transformaci´ on af´ın F (x) = Ax + b en Rn , son equivalentes: (i) F ∗ lleva funciones arm´ onicas en funciones arm´ onicas. (ii) Las columnas de A son ortogonales y del mismo m´ odulo. (iii) A es una semejanza. (iv) F es conforme. Demostraci´ on. (i)⇒(ii) Sabemos que xi xj y x2i − x2j son arm´onicas, P por tanto para ui = F ∗ xi = aij xj + bi , lo son ui uj y u2i − u2j , es decir como ∂k ui = aik , ∂k (ui uj ) = aik uj + ajk ui y ∂k (u2i − u2j ) = 2ui aik − 2uj ajk , por lo tanto X X 0= ∂kk (ui uj ) = 2aik ajk , k

0=

X

k

∂kk (u2i

−

u2j )

=2

X (a2ik − a2jk ),

k

es decir las columnas de A son ortogonales y del mismo m´odulo r = pP a2ik . (ii)⇔(iii) Sea sigue que A = rB, para r el m´odulo de las columnas y B una matriz ortogonal B t B = I, por tanto A es composici´on de una homotecia y una rotaci´ on es decir es una semejanza. (iii)⇒(iv) F∗ = A = rB la cual conserva ´ angulos pues At A = r2 I y cos((Ax), (Ay)) =

xt At Ay x·y Ax · Ay p =√ = = cos(x, y). t t t t |Ax||Ay| |x||y| x A Ax y A Ay

(iv)⇒(ii) Las columnas zi = Aei son ortogonales pues lo son las ei y tienen el mismo m´ odulo pues cos(x, y) = cos(Ax, Ay), por tanto cos(ei , ei − ej ) =

ei · (ei − ej ) 1 ej · (ej − ei ) = = = cos(ej , ej − ei ) |ei − ej | |ei − ej | |ei − ej |

|zi |2 = zi · (zi − zj ) = |zi ||zi − zj | cos(zi , zi − zj ) = |zi ||zi − zj | cos(ei , ei − ej )

⇒

|zi | = |zi − zj | cos(ei , ei − ej ) = |zj − zi | cos(ej , ej − ei ) = |zj |.

10.3. Transformaciones en Rn .

765

(ii)⇒(i) Sea g arm´ onica y veamos que u = F ∗ g tambi´en lo es X X uxi = gxk (F )∂i uk = gxk (F )aki ⇒ k

X

uxi xi =

i

XX k

gxk xj (F )

X

j

aji aki = r2

X

i

gxj xj (F ) = 0.

j

Ejercicio 10.3.1 Demostrar que las reflexiones F (x) = x − 2 < x, a > a

⇒

ui = xi − 2

n X

xj aj ai ,

i=1

respecto de un hiperplano {x : funciones arm´ onicas.

10.3.3.

P

xi ai = 0}, para

P

a2i = 1, conservan las

Inversiones respecto de esferas.

Otro tipo de transformaci´ on importante en el estudio de las funciones arm´ onicas es la inversi´ on respecto de una esfera S(0, r), F = (ui ) : Rn \{0} → Rn \{0},

F (x) =

r2 x kxk2

⇔

r 2 xi ui = Pn 2, i=1 xi

que es un difeomorfismo que deja los puntos de la esfera invariantes, los puntos de dentro los lleva a puntos de fuera en la misma direcci´on (y los de fuera a dentro), de modo que es constante el producto kxk · kF (x)k = r2 .

Figura 10.4. Inversi´ on

Que la inversi´ on en el plano pinchado R2 −{0}, conserva las funciones arm´ onicas se sigue de que en t´erminos complejos F (z) =

r2 r2 z = , zz z

766

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

es composici´ on de la transformaci´ on conforme G(z) = r2 /z y de la conon (x, y) → (x, −y)). jugaci´ on z → z (que es la reflexi´ Por lo tanto si g es arm´ onica en el abierto V = F (U ), tambi´en lo es en el abierto U  2  r x , f (x) = g kxk2 por ejemplo la funci´ on g(x) = g(x1 , x2 ) = log

p

(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 = log kx − ak,

es arm´ onica en R2 − {a}, por lo tanto haciendo una inversi´on respecto de la esfera S(0, r) tambi´en lo es

2

 2 

r x

r x1 r2 x2

f (x1 , x2 ) = g , 2 = log − a 2 2 2

x1 + x2 x1 + x2 kxk2

r rx kxka

= log · −

kxk kxk r

rx r kxka

, = log + log −

kxk kxk r en el plano sin dos puntos R2 − {0, F (a) = F −1 (a)}. Ejercicio 10.3.2 Demostrar que las inversiones en el plano pinchado R2 − {0}, conservan las funciones arm´ onicas, expresando las funciones y el operador de LaPlace en coordenadas polares.

En el ejercicio (10.3.7) veremos que la inversi´on en el plano, lleva circunferencias que no pasan por 0, en circunferencias y las que pasan por 0 en rectas. Esto permite resolver el ejemplo (10.2.3), considerando la composici´ on de la traslaci´ on (x, y) → (x + 1, y) y la inversi´on, respecto de la circunferencia de radio 2, pues la circunferencia unidad trasladada, va por la inversi´ on a la recta x = 2 y el interior de la circunferencia al semiplano x > 2 y esta composici´ on conserva funciones arm´onicas y basta considerar la funci´ on θ en ese semiplano. Proposici´ on 10.9 Consideremos la inversi´ on F = (ui ), para la esfera de radio r = 1, entonces en el sistema de coordenadas ui se tiene X X H= xi ∂xi = − ui ∂ui ,

10.3. Transformaciones en Rn .

los campos Di = grad ui = 1/ρ2 , siendo

P

767

uixj ∂xj son ortogonales y de igual m´ odulo Di =

1 ∂u , ρ4 i

y los campos ∂ui son ortogonales y de igual m´ odulo ρ2 . pPn 2 Demostraci´ on. Se tiene que para ρ = i=1 xi ui =

xi ρ2

⇒

uixj =

δij ρ2 − 2xi xj , ρ4

de donde X δij ρ2 − 2xi xj xj (ui )xj = = −ui , xj ρ4    1 1 δik xi xk Di uk = grad ui · grad uk = ∂ H ∂ H = 4. − 2 − 2 x x ρ2 i ρ4 ρ2 k ρ4 ρ Hui =

X

A continuaci´ on vemos que aunque en Rn , la inversi´on F = (ui ) : Rn − {0} → Rn − {0},

F (x) =

x , ρ2

pP para ρ = kxk = x2i , no conserva las funciones arm´onicas si sirven para construirlas. Teorema 10.10 Si f es arm´ onica, tambi´en lo es h = ρ2−n f (F ). Demostraci´ on. Siguiendo (10.9), xi δij xi xj , uixj = 2 − 2 4 , 2 ρ ρ ρ δij xj δij xj xi 2xi xj 2ρ2 · 2xj uixj xj = −2 4 − 2 4 − 2 4 + , ρ ρ ρ ρ8 δik grad ui · grad uk = 4 , ρ 4xi 2nxi 8xi 2(2 − n)xi ∆ui = − 4 − 4 + 4 = , ρ ρ ρ ρ4 ui =

768

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ahora llamando g = f (u), tendremos que h = ρ2−n g y derivando y teniendo en cuenta que ∆ρ2−n = 0, que f es arm´onica y las propiedades de las ui X X X gxi = fuj (u)ujxi , xi gxi = − uj fuj , j

gxi xi =

XX k

∆g =

XX k

X

=

j

=

X j

fuj (u)

fuj uk (u)ukxi ujxi +

X

j

fuj uk (u)

j

X

ukxi ujxi +

X

i

fuj uj (u) +

fuj (u)ujxi xi ,

j

X j

fuj (u)∆uj =

fuj (u)∆uj =

j

X

fuj (u)∆uj =

j

2(2 − n) X 2(2 − n) X 2(2 − n)xj = u f (u) = − xj gxj j u j ρ4 ρ2 ρ2 j j hxi = (ρ2−n )xi g + ρ2−n gxi ,

hxi xi = (ρ2−n )xi xi g + 2(ρ2−n )xi gxi + ρ2−n gxi xi X ∆h = 2 (ρ2−n )xi gxi + ρ2−n ∆g = X xi = 2(2 − n)ρ1−n gxi + ρ2−n ∆g = 0. ρ Ejercicio 10.3.3 Expresando las funciones y el operador de LaPlace en coordenadas esf´ericas, demostrar que si g es arm´ onica en un abierto V ⊂ R3 − {0}, entonces la funci´ on  2  r r x , g f (x) = kxk kxk2 es arm´ onica en el abierto U correspondiente por la inversi´ on espacial respecto de la esfera centrada en el origen y radio r. (Sol.) Ejercicio 10.3.4 Aplicar el resultado anterior para encontrar la funci´ on f correspondiente a la funci´ on arm´ onica en R3 − {(a, b, c)} 1 g(x, y, z) = p . 2 (x − a) + (y − b)2 + (z − c)2 Ejercicio 10.3.5 Demostrar que la proyecci´ on estereogr´ afica desde el polo de la esfera al plano del ecuador conserva a ´ngulos y transforma circunferencias en circunferencias o rectas. (Sol.)

10.3. Transformaciones en Rn .

769

Ejercicio 10.3.6 Demostrar que la aplicaci´ on τ = πQ ◦ πP−1 : R2 → R2 , composici´ on de la inversa de la proyecci´ on estereogr´ afica desde un polo P , con la proyecci´ on estereogr´ afica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de la circunferencia del ecuador. (Sol.) Ejercicio 10.3.7 Demostrar que la inversion respecto de una circunferencia conserva a ´ngulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circunferencias y las que pasan por el centro en rectas. (Sol.)

10.3.4.

Transformaciones en general.

Consideremos un difeomorfismo F = (u1 , . . . , un ) : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn , es f´ acil demostrar que n n n X X X ∂2 ujxi xi ∆= = ∂x2i i=1 j=1 i=1

=

n X j=1

∆uj

∂ + ∂uj

n X

!

n X ∂ + ∂uj

j,k=1

(grad uj )( grad uk )

j,k=1

n X

! ujxi ukxi

i=1

∂2 , ∂uk ∂uj

∂2 . ∂uk ∂uj

Coordenadas esf´ericas. Veamos el caso particular del operador de Laplace de R3 en las coordenadas esf´ericas (ver la figura (7.11), p´ag.501) (10.1)

x = ρ sen θ cos ϕ,

y = ρ sen θ sen ϕ,

z = ρ cos θ,

para las cuales nos interesa conocer la matriz   ρx ρy ρz ρx    θ θ θ ρy A = (grad ui · grad uj ) = x y z ϕx ϕy ϕz ρz  −1  −1 xρ xθ xϕ xρ yρ zρ =  yρ yθ yϕ   xθ yθ zθ  zρ zθ zϕ xϕ yϕ zϕ   1 0 0 1 . 0 = (∂ui · ∂uj )−1 =  0 ρ2 1 0 0 ρ2 sen 2θ

θx θy θz

 ϕx ϕy  = ϕz

770

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

para u1 = ρ, u2 = θ y u3 = ϕ pues se tiene (10.2)

∂ρ = sen θ cos ϕ∂x + sen θ sen ϕ∂y + cos θ∂z y z x = ∂x + ∂y + ∂z ρ ρ ρ ∂θ = ρ cos θ cos ϕ∂x + ρ cos θ sen ϕ∂y − ρ sen θ∂z ∂ϕ = −ρ sen θ sen ϕ∂x + ρ sen θ cos ϕ∂y = −y∂x + x∂y

lo cual implica que el jacobiano (el determinante de la matriz) es ρ2 sen θ y por lo tanto la forma de volumen vale (10.3)

dx ∧ dy ∧ dz = ρ2 sen θdρ ∧ dθ ∧ dϕ,

y por otra parte calculando la matriz inversa se tiene que   x xz y z sen ϕ cos θ ∂x = ∂ρ + 3 ∂θ − + ∂ϕ ρ ρ sen θ ρ2 ρ2 sen θ   y x yz z cos ϕ cos θ ∂θ + + ∂ϕ ∂y = ∂ρ + 3 ρ ρ sen θ ρ2 ρ2 sen θ   x2 + y 2 xz sen ϕ − yz cos ϕ z ∂θ + ∂ϕ ∂z = ∂ρ − 3 ρ ρ sen θ ρ3 sen θ y el campo normal unitario exterior N = H/|H|, para H = campo de las homotecias, es en estas coordenadas por (10.2) N=

P

xi ∂xi el

x y z ∂x + ∂y + ∂z = ∂ρ , ρ ρ ρ

por lo que la dos–forma de area en las esferas centradas en el origen es (10.4) ds = iN dx ∧ dy ∧ dz = i∂ρ ρ2 sen θdρ ∧ dθ ∧ dϕ = ρ2 sen θdθ ∧ dϕ. Ahora se tiene que el laplaciano vale (10.5)

∂ ∂ ∂ + ∆θ + ∆ϕ + ∂ρ ∂θ ∂ϕ ∂2 1 ∂2 1 ∂2 + 2+ 2 2+ 2 2 ∂ρ ρ ∂θ ρ sen θ ∂ϕ2   ∂2 2 ∂ 1 ∂2 1 ∂2 1 ∂ = + + + + ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂θ2 sen2 θ ∂ϕ2 tan θ ∂θ 2 ∂ 2 ∂ 1 = + + P2 , ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2

∆ = ∆ρ

10.3. Transformaciones en Rn .

771

donde P2 es un operador en las variables angulares, pues ∆ρ =

2 , ρ

∆ϕ = 0,

∆θ =

1 , ρ2 tan θ

veamos la u ´ltima igualdad. Como z = ρ cos θ, tenemos derivando que 0 = ρxi cos θ − ρ sen θθxi , 0 = ρxi xi cos θ − 2ρxi sen θθxi − ρ cos θθx2i − ρ sen θθxi xi , X X 0 = ∆ρ cos θ − 2 sen θ ρxi θxi − ρ cos θ θx2i − ρ sen θ∆θ, 0=

2 cos θ 1 − ρ cos θ 2 − ρ sen θ∆θ ρ ρ

⇒

∆θ =

cos θ . ρ2 sen θ

A continuaci´ on caracterizamos los difeomorfismos F = (u1 , . . . , un ) : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn , que conservan las funciones arm´ onicas. Lema 10.11 Dado el difeomorfismo F = (ui ), tal que su matriz Jacobiana F∗ = (uixj ) sea m´ ultiplo de una ortogonal λB, se tiene que, para n 6= 2 y f (x) = λ2 (x) n X ∂2 2−n grad f −1 + f −1 ∆. 2 = ∂u 2 i i=1

Demostraci´ on. Consideremos en U por una parte su m´etrica eucl´ıdea Pn T = i=1 dxi ⊗ dxi y por otra la m´etrica eucl´ıdea de V tra´ıda por F , entonces como las columnas de F∗ = (uixj ) son ortogonales y del mismo m´ odulo λ T0 =

n X

dui ⊗ dui =

i=1

= f (x)

n X X X ( uixj dxj ) ⊗ ( uixj dxj ) i=1

n X

dxi ⊗ dxi ,

i=1

y por tanto en las coordenadas xi los coeficientes de T 0 son gij (x) = f (x)δij y por tanto g = f n y g ij = f −1 δij . Ahora bien en (14.5),

772

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

p´ ag.1013, veremos que el operador de Laplace asociado a una m´etrica T 0 en las coordenadas xi vale     n n n X X n−2 ∂ ∂2 ∂ 1 X ∂ √ ij ∂ −n/2 2 gg =√ =f f ∂u2i g i,j=1 ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi i=1 i=1 n

= f− 2 =

n−2 n n 2 X n−2 X ∂ n ∂f 2 ∂ + f− 2 f 2 ∂xi ∂xi ∂x2i i=1 i=1

2−n grad f −1 + f −1 ∆, 2

Proposici´ on 10.12 La funci´ on inversi´ on respecto de la esfera unidad, F = (ui ) : Rn \{0} → Rn \{0}, F (x) = x/kxk2 , tiene matriz Jacobiana, F∗ = λB, m´ ultiplo de una ortogonal, con λ = 1/kxk2 y se tiene n X ∂2 2+n ◦ ∆ ◦ ρ2−n 2 =ρ ∂u i i=1

Demostraci´ on. Como ui = xi / X

uixj ukxj = 0,

P

x2j , se demuestra f´acilmente que

f=

X

u2ixj =

1 , ρ4

y por el lema tenemos que n X ∂2 2−n grad ρ4 + ρ4 ∆ 2 = ∂u 2 i i=1

2−n 3 4ρ grad ρ + ρ4 ∆ 2 = 2ρ3 ρn−1 grad ρ2−n + ρ4 ∆ =

= ρ2+n (∆ ◦ ρ2−n − ρ2−n ◦ ∆) + ρ4 ∆ = ρ2+n ◦ ∆ ◦ ρ2−n , donde la pen´ ultima igualdad se sigue de que para cualquier funci´on g [∆, g] = ∆ ◦ g − g ◦ ∆ = ∆g + 2 grad g, y por tanto si g es arm´ onica, ∆g = 0, entonces ∆ ◦ g − g ◦ ∆ = 2 grad g,

10.3. Transformaciones en Rn .

773

en particular para g = ρ2−n ∆ ◦ ρ2−n − ρ2−n ◦ ∆ = 2 grad ρ2−n . En particular se siguen los resultados sobre inversiones que hemos visto para el plano y el espacio. Teorema 10.13 Los siguientes apartados son equivalentes: i.- F conserva las funciones arm´ onicas. ii.- Las funciones ui son arm´ onicas y la matriz jacobiana de F en cada punto x, es m´ ultiplo de una matriz B(x) ortogonal   ∂ui F∗ = (x) = λ(x)B(x). ∂xj iii.-

n n X X ∂2 ∂2 2 = λ (x) . ∂x2i ∂u2i i=1 i=1

iv.- Para n = 2, F es una transformaci´ on conforme ´ o una transformaci´ on conforme compuesta con una reflexi´ on respecto del eje x. Para n 6= 2, F es una semejanza. Demostraci´ on. “(i)⇔(ii) ⇔(iii)”. Es f´ acil demostrar que ! ! n n n n n X X X X X ∂2 ∂ ∂2 = u + , u u jx x jx kx i i i i ∂x2i ∂uj ∂uk ∂uj i=1 j=1 i=1 i=1 j,k=1

y el resultado se sigue f´ acilmente (h´ agalo el lector) considerando las funciones arm´ onicas xi , xi xj y x2i − x2j . “(iv)⇒(i)”. Para n = 2 por (10.7) y para n 6= 2 por (10.8). “(ii)⇒(iv)”. Para n = 2 la matriz   ux uy vx vy es m´ ultiplo de una ortogonal, lo cual implica una de dos, o bien u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann, ´o u y −v. En cualquier caso u y v son arm´ onicas. Para n 6= 2, se sigue del Lema (10.11) que n n X X 2−n ∂2 ∂2 −1 −1 −1 = grad f + f ∆ = f , 2 ∂ui 2 ∂x2i i=1 i=1

774

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

donde la segunda igualdad se sigue de (iii). Por tanto grad f −1 = 0

⇒

f (x) = k 2 = cte,

lo cual implica (en los t´erminos del Lema) que T 0 = k 2 T , y esto vamos a ver que implica que F localmente es una afinidad, lo cual a su vez implica que F es la restricci´ on a U de una afinidad2 . Para ello consideremos un punto x ∈ U . Con sendas traslaciones podemos suponer sin p´erdida de generalidad que x = 0 y que F (x) = 0. Ahora consideremos la homotecia G(x) = k −1 x, basta demostrar que la aplicaci´ on H = G ◦ F = (vi ) es lineal, para ello observemos que al ser vi = k −1 ui , H conserva la m´etrica ya que n X

dvi ⊗ dvi = k −2

i=1

n X

dui ⊗ dui =

i=1

n X

dxi ⊗ dxi ,

i=1

por tanto es una isometr´ıa y en los cursos de geometr´ıa se demuestra que H es una transformaci´ on ortogonal.

10.4.

Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

Consideremos en R3 la m´etrica est´ andar (ver la lecci´on 5.5.3, p´ag.294) g = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz, 3

y sea U ⊂ R un abierto. Definici´ on. Llamamos trabajo de un campo tangente F ∈ D(U ) a lo largo de una curva γ ⊂ U , que une dos puntos a, b ∈ U , a la integral a lo largo de la curva, de la 1–forma ω = iF g ,

ωE = F · E,

es decir si parametrizamos la curva con el par´ ametro longitud de arco, σ : [0, L] → U ,

σ[0, L] = C,

σ(0) = a , σ(L) = b,

y denotamos con T = σ∗ (∂/∂t), el vector tangente a la curva C —que es unitario—, a la integral Z Z L ω= Fσ(s) · Tσ(s) ds, C 2 Dos

0

afinidades que coinciden en un abierto coinciden en todo el espacio.

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

775

de la componente tangencial del campo F . Definici´ on. Llamaremos fuerza conservativa a todo campo F ∈ D(R3 ) con la propiedad de que el trabajo realizado a lo largo de una curva que une dos puntos, no depende de la curva. En el ejercicio 5.5.3, p´ ag.295, hemos visto que toda fuerza conservativa es de la forma F = − grad u, donde llamamos a u el potencial asociado a F , en cuyo caso el trabajo a lo largo de cualquier σ : [0, ∞) −→ R3 , entre los puntos σ(0) = x y σ(t) vale Z t Z t Z t Z t F · T dt = − grad u · T dt = − du(T ) dt = − T (u) dt 0 0 0 0 Z t =− (u ◦ σ)0 dt = u(x) − u(σ(t)), 0

por lo tanto si u se anula hacia el infinito, el potencial tambi´en puede definirse, en cada punto x ∈ R3 , como: “El trabajo que se realiza al desplazar una masa unitaria desde el punto x al infinito”.

10.4.1.

Potencial Newtoniano.

En la mec´ anica gravitacional de Newton de una masa puntual M (localizada en el origen de coordenadas), la funci´on u(x1 , x2 , x3 ) = − p

GM x21

+

x22

+

x23

=−

GM , r

representa el potencial3 debido a la masa M , sobre cada punto x = (xi ) a distancia r de M , pues   M X xi ∂ M Fx = − 2 = grad pP 2 = − grad u r r ∂xi xi F

x

r M 3 Para G la constante universal que a partir de ahora tomamos por comodidad como 1.

776

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Figura 10.5. Fuerza gravitacional producida por una masa M

es la fuerza de atracci´ on gravitacional de Newton que la masa M produce en el punto x, por unidad de masa. Seg´ un hemos visto en el ejemplo 10.1.1, p´ ag.755, fuera del origen se tiene que div F = − div grad u = −∆(u) = M ∆(1/r) = 0, por lo tanto “fuera de la masa el potencial de Newton es una funci´ on arm´ onica.” En general u(x) = −

mn m1 − ··· − , r1 rn

Fx =

X

mi

pi − x ri3

representa el potencial en el punto x debido a n masas mi , en puntos pi a distancia ri = kpi − xk de x y la fuerza de atracci´on respectivamente; y se tiene que ∆u = 0,

en R3 \{p1 , . . . , pn },

l´ım u(x) = −∞,

x→pi

10.4.2.

l´ım u(x) = 0.

kxk→∞

Potencial electrost´ atico.

La Ley de Coulomb dice que dadas dos cargas q y q 0 , en puntos p y o repelen (si son del mismo signo), p se atraen (si son de distinto signo) ´ con una fuerza directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. La fuerza con la que q act´ ua sobre q 0 es (tomando la constante de Coulomb como 1, lo cual significa elegir ciertas unidades) 0

F =

p0 − p qq 0 . kp − p0 k2 kp − p0 k

y sobre la unidad q 0 = 1, de carga positiva en p0 E=

q p0 − p . |p − p0 |2 |p − p0 |

Definici´ on. A este campo E lo llamamos campo electrost´ atico producido por esa carga puntual q sobre la unidad de carga positiva en x. Del mismo

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

777

modo llamamos potencial electrost´ atico producido por una carga q en el punto p a la funci´ on q u(x) = , r

r(x) = kp − xk,

para la que se tiene E = − grad u. Si consideramos un n´ umero finito de cargas fijas qi , definimos el campo electrost´ atico producido por esas cargas puntuales sobre la unidad de carga positiva en x como (10.6)

Ex =

n X

Ei =

i=1

n X i=1

qi

x − pi , ri3

E q'=1

q'=1

p'

E

r q>0

p'

r q 0, tal que E = λ∂n . Veamos cuanto vale λ, para ello tenemos por la F´ ormula integral de Gauss Z Z λ(r)4πr2 = ∂n · E ds = 4π ρ(x) dx Sr

Br

q(Br ) , r2 R por lo tanto si x ∈ / B[0, R], Ex = (q/r2 )∂n , para q = ρ(x) dx, la carga total de la distribuci´ on; y el vector Ex es el mismo que produce una carga puntual q en el origen, y para los puntos x ∈ B[0, R] el campo es el mismo que el producido por una Rcarga puntual en el origen con carga la de la bola de radio r = kxk, q = Br ρ(x) dx. En particular se tiene que el campo electrost´atico producido por una distribuci´ on de cargas ρ = ρ(kxk) que sea nula en una bola B[0, r] —por ejemplo si las cargas est´ an entre dos esferas conc´entricas (ver Fig.10.9)—, es nulo en el interior de la bola de radio r. Lo mismo es cierto en t´erminos gravitacionales (ρ ≥ 0), si a una esfera rellena, con densidad de masa funci´ on de la distancia a su centro, le quitamos de su interior otra esfera rellena conc´entrica, entonces en el interior no hay gravedad. = 4π · q(Br )

⇒

λ(r) =

E

E=0

Figura 10.9.

Ejercicio 10.4.2 Un planeta de radio 2r del mismo material que la Tierra, tiene un hueco esf´erico, conc´entrico, de radio r. Por un agujero, que atraviesa

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

783

diametr´ almente el planeta, dejamos caer una piedra. ¿Cuanto tiempo tarda en recorrer el di´ ametro del hueco?, ¿y el di´ ametro total del planeta?. Se supone que el radio de la tierra es R = 6.371 km y que la aceleraci´ on de la gravedad en la tierra es g = 9, 78 m/seg 2 .

10.4.3.

Potencial superficial simple.

Definici´ on. Consideremos ahora una superficie S ⊂ R3 de clase 1, compacta orientada con un campo unitario normal ∂n y una densidad de carga ρ ∈ C(S). Llamamos potencial superficial simple de densidad de carga ρ en S a Z ρ(s) u(x) = ds. kx − sk S (para ds = i∂n ω3 ). Teorema 10.18 El potencial simple es continuo u ∈ C(R3 ) y fuera de S es una funci´ on de clase infinito y arm´ onica, u ∈ C ∞ (R3 \S) ∩ A(R3 \S). Demostraci´ on. Por (10.16) u ∈ C ∞ (R3 \S) y u es arm´onica en R3 \S. Veamos que u es continua, para ello falta probarlo localmente en los puntos s0 ∈ S. Por continuidad en el compacto existe el m´ax ρ = A. Consideremos Z Z Z ρ(s) ρ(s) ρ(s) u(x) = ds = ds + ds = v(x) + w(x), S kx − sk Sr kx − sk Sr0 kx − sk para Sr = S ∩ B(s0 , 2r) y Sr0 = S ∩ B(s0 , 2r)c , con r suficientemente peque˜ no que precisaremos mas adelante. Ahora bien w es continua en U = S ∩ B(s0 , r), pues el integrando es continuo y acotado en m´odulo uniformemente por una funci´ on integrable, ya que si x ∈ U y s ∈ Sr0 , 2r ≤ ks − s0 k ≤ ks − xk + kx − s0 k ≤ ks − xk + r, y por tanto |ρ|/kx − sk ≤ A/r. Veamos ahora que dado un  > 0, podemos tomar r suficientemente peque˜ no tal que |v(p)| ≤  en p ∈ U . Consideremos el sistema de coordenadas centrado en s0 = 0 y el plano xy tangente a S en s0 , de modo que ∂n = ∂z , de este modo podemos representar S localmente como gr´afica de una funci´ on f (x, y) en un entorno abierto V ⊂ B(0, 4r) ⊂ R2 S ∩ B(0, 5r) = {(ξ, η, ζ) ∈ V × R : ζ = f (ξ, η)},

784

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y como f (0) = fx (0) = fy (0) = 0, podemos tomar r suficientemente peque˜ no para que en V , fx2 + fy2 ≤ 3. Entonces para s = (ξ, η, ζ = f (ξ, η)) ∈ S, p = (x, y, z) ∈ S ∩ B(0, r) y p˜ = (x, y) Z 1 p |v(p)| ≤ A ds 2 (x − ξ) + (y − η)2 + (z − ζ)2 S∩B(0,2r) Z 1 p ds ≤ ≤A 2 (x − ξ) + (y − η)2 S∩B(p,4r) s Z 1 + fx2 (ξ, η) + fy2 (ξ, η) ≤A dξdη (x − ξ)2 + (y − η)2 {(x−ξ)2 +(y−η)2 ≤(4r)2 } Z 1 p ≤ 2A dξdη 2 2 2 2 (x − ξ) + (y − η)2 {(x−ξ) +(y−η) ≤(4r) } Z 2π Z 4r 1 ρ dρ dθ = (16Aπ)r. ≤ 2A ρ 0 0 Supongamos que ρ ∈ C 1 y que S es conexa borde de dos abiertos, uno acotado Ω− (interior) y otro no acotado Ω+ (exterior). Se tiene que las restricciones de u a Ω− y Ω+ se pueden extender respectivamente a dos funciones u− , u+ ∈ C 1 (R3 ) y que para ellas se tiene un resultado an´alogo a la Ecuaci´ on de Poisson en los puntos de S (10.9)

∂n u+ − ∂n u− = −4πρ,

para ∂n el vector unitario normal exterior a S. Suponiendo que se verifica la f´ ormula integral de Gauss veamos una “justificaci´ on” poco precisa de esta f´ ormula:

B N A-

N s0

A

A

Figura 10.10.

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

785

Tomemos un s0 ∈ S y consideremos un entorno muy peque˜ no de ´el en el que S es casi plana con forma de cuadrado A de ´area A. Tomemos en un plano paralelo exterior al tangente en s0 un cuadrado A+ , igual que el de la superficie y otro interiormente A− a distancia peque˜ na y consideremos el paralelep´ıpedo definido por A+ y A− . Llamemos B a las cuatro caras laterales de area que tiende a 0 cuando juntamos las caras y sea N el vector unitario exterior normal al paralelep´ıpedo. Entonces aplicando la f´ ormula integral de Gauss al paralelep´ıpedo y llamando qP a la carga del mismo, tendremos que Z 4πρ(s0 )A ≈ 4π

ρ(s) ds = 4πqP A

= Flujo de E a trav´es del paralelep´ıpedo Z = N · E ds A+ ∪B∪A− Z Z Z = N · E ds + N · E ds + N · E ds A+ A− B Z Z ≈− N · grad u ds − N · grad u ds + A− ZA Z =− N · grad u+ ds − N · grad u− ds + − A ZA Z + =− ∂n u ds + ∂n u− ds A+

A−

≈ (−∂n u+ (s0 ) + ∂n u− (s0 ))A. Conductores. Consideremos un objeto tridimensional de un material conductor Ω, con superficie S = ∂Ω, y supongamos que est´a en presencia de un campo el´ectrico E inducido por una distribuci´on de cargas fijas en su exterior. ¿Qu´e efecto produce el campo el´ectrico en Ω? Un f´ısico dir´ıa que los electrones de u ´ltima capa de los ´atomos del objeto, que est´ an unidos d´ebilmente a su n´ ucleo, se mueven en presencia del campo hasta un instante de tiempo en el que dejan de moverse, lo cual implica que las cargas se concentran en el borde del que no pueden salir y esta distribuci´ on de cargas en S, produce un campo el´ectrico E 0 tal que el campo el´ectrico resultante E + E 0 se anula en el interior de Ω, pues en caso contrario los electrones seguir´ıan movi´endose, mientras que en los puntos de S es perpendicular y exterior a S, por lo mismo.

786

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

10.4.4.

Potencial superficial de doble capa.

Consideremos ahora dos cargas puntuales iguales pero de tipo contrario: −q en el origen y q en v y calculemos el potencial que inducen en un punto x, lejano en comparaci´ on con la distancia kvk entre ellas, de modo que kvk2 /kxk2 ∼ 0; en tal caso5 (llamando t = kvk/kxk y x · v = kxkkvk cos α y p = qv) ! q q q kxk p u(x) = − = −1 kx − vk kxk kxk kxk2 + kvk2 − 2kxkkvk cos α   1 q p·x q √ −1 ∼ v·x= . = 3 2 kxk kxk kxk3 1 + t − 2t cos α Esto justifica la siguiente definici´ on. Definici´ on. Llamaremos funci´ on potencial de un dipolo el´ectrico de momento p a p·x u(x) = . kxk3 P Si consideramos el campo tangente D = pi ∂i , para p = (pi ), como tenemos que grad 1/r = −H/r3 , para H el campo de las homotecias y r(x) = kxk, esta funci´ on potencial definida en el espacio fuera del origen, es     D·H 1 1 u(x) = = −D · grad = −D . r3 r r y por tanto es arm´ onica, ya que al ser D constante, es ∆ ◦ D = D ◦ ∆ y cuando kxk → ∞ converge a 0 como 1/kxk2 . Nota 10.19 Un c´ alculo similar al anterior prueba que para x, y ∈ R3 , con x lejano de modo que t2 ∼ = 0, para t = kyk/kxk se tiene que 1 1 x·y ∼ + , = kx − yk kxk kxk3 5 Pues

modulo t2 se tiene f (t) = √

1 1 + t2 − 2ta

∼ 1 + tf 0 (0) = 1 + ta.

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

787

de esto se sigue que lejos de una regi´ on Ω que contiene de R R una carga R densidad ρ (sop ρ ⊂ Ω) con carga total nula, 0 = ρ = ρ+ − ρ− = q + − q − , el potencial el´ectrico es aproximadamente el de un dipolo, pues Z Z Z ρ(y) x x·p ρ(y) dy ∼ dy + · ρ(y)ydy = , u(x) = = kx − yk kxk kxk3 kxk3 R R R para p = ρ(y)y dy = ρ+ (y)y dy − ρ− (y)y dy = q + c+ − q − c− = q + v, siendo Z Z 1 q ± = ρ± dy, c± = ± ρ± (y)y dy, q es decir c± son los centros de masas de la carga positiva y negativa y v = c+ − c− el vector que los une (observemos que por comodidad hemos tomado q ± ≥ 0 y que la carga total negativa es −q − ). Si ahora tenemos una colecci´ on de dipolos sobre una superficie S borde de una variedad con borde compacta, con momentos en la direcci´on de la normal unitaria exterior ∂n , es natural dar la siguiente generalizaci´on del potencial. Definici´ on. Llamamos potencial el´ectrico de una distribuci´ on de doble capa de momento ρ∂n sobre S a   Z 1 u(x) = − ρ(s)∂n ds, |x − s| S donde para cada s estamos derivando una funci´on de x, con el s fijo, con un campo de coeficientes constantes que son los de ρ(s)∂ns

10.4.5.

Ecuaci´ on de Poisson.

A continuaci´ on completaremos el estudio iniciado en 10.17, p´ag.779, viendo que si la densidad de carga ρ es integrable y acotada, el potencial u satisface la Ecuaci´ on de Poisson: ∆u = −4πρ en los puntos en los que localmente ρ sea de clase 1. Pero antes veamos unos resultados previos. p Lema 10.20 Para r(x) = kxk = x21 + x22 + x23 y B[0, L] = {x : kxk ≤ L}, se tiene que  2  Z 2πL , si n = 1, 1 dx1 dx2 dx3 = 4πL, si n = 2, n  B[0,L] r  ∞, si n ≥ 3.

788

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Demostraci´ on. Consideremos en R3 el cambio de variable definido por las coordenadas esf´ericas x1 = r sen θ cos ϕ,

x2 = r sen θ sen ϕ,

x3 = r cos θ,

2

para las que el Jacobiano es r sen θ, por tanto Z 2π Z π Z L Z Z L 1 2−n dx = r sen θdrdθdϕ = 4π r2−n dr. n B[0,L] r 0 0 0 0 Nota 10.21 Observemos que si ρ es integrable y acotada en los compactos y f (x, y) es cualquiera de las funciones f1 =

1 , kx − yk

f2 =

1 , kx − yk2

f3 =

xi − yi , kx − yk3

se tienen las siguientes propiedades: 1.- Para cada y fijo, f (x, y) es continua en los x 6= y. 2.- Dados x0 y r > 0, si x ∈ B[x0 , r/2] e y ∈ B[x0 , r]c , entonces kx − yk ≥ r/2, por tanto f1 =

1 2 ≤ , kx − yk r

|f3 | ≤ |f2 | ≤

4 . r2

3.- Como consecuencia del Lema (10.20), para todo x y todo r y la constante c = 4πk, para |ρ| ≤ k en B[x, r], Z |f (x, y)ρ(y)| dy ≤ c · r2 (para f1 ) ≤ c · r, (para f2 y f3 ). B[x,r]

Como consecuencia de esto, para todo x0 y todo  > 0 existe 0 < r < 1/3 tal que si x ∈ B[x0 , r] Z Z f (x, y)ρ(y) dy ≤ |f (x, y)ρ(y)| dy ≤ , B[x0 ,r] B[x,2r] para lo cual basta tomar |ρ| ≤ k en B[x0 , 1]. Para este tipo de funciones se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 10.22 Si ρ es integrable y acotada en los compactos y f es una de las funciones anteriores, entonces la funci´ on Z u(x) = f (x, y)ρ(y) dy. es continua (el mismo resultado es cierto si en lugar de una integral de volumen, tenemos una de superficie o una de linea.)

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

789

Demostraci´ on. Veamos que es continua en x0 ∈ R3 . Sea  > 0, entonces por (3) existe un r > 0 tal que si x ∈ B[x0 , r], | v(x) |≤ /3, para Z v(x) =

f (x, y)ρ(y) dy. B[x0 ,r]

Ahora bien, por (10.16), la funci´ on Z w(x) = f (x, y)ρ(y) dy, B[x0 ,r]c

es de clase ∞ en B(x0 , r), por tanto existe 0 < δ < r/2 tal que si kx − x0 k ≤ δ, entonces |w(x) − w(x0 )| ≤ /3, y como u = v + w, | u(x) − u(x0 ) | ≤| v(x) | + | v(x0 ) | + | w(x) − w(x0 ) |≤ . Proposici´ on 10.23 Si ρ es integrable y acotada en los compactos, la funci´ on potencial Z ρ(y) u(x) = dy, R3 kx − yk es de clase 1 y sus derivadas entran en la integral de modo que E = − grad u. Demostraci´ on. Por el resultado anterior sabemos que u y las componentes del campo electrost´ atico E,  Z Z  xi − yi ρ(y) ei (x) = ρ(y) dy. dy = − kx − yk3 kx − yk xi R3 R3 son continuas, por lo tanto basta ver que existen las parciales de u y uxi = −ei (lo veremos para x1 , para las otras es an´alogo). Sea x0 ∈ R3 , r > 0 y consideremos las funciones u = v + w, −ei = fi + gi , para Z Z ρ(y) ρ(y) dy, w(x) = dy, v(x) = kx − yk kx − yk B(x0 ,r)c B(x0 ,r)     Z Z ρ(y) ρ(y) fi (x) = dy, gi (x) = dy. kx − yk xi kx − yk xi B(x0 ,r) B(x0 ,r)c Por el Lema (10.16), p´ ag.778, w se puede derivar bajo el signo integral en B(x0 , r) (adem´ as es de clase ∞ y arm´ onica en ese abierto), por tanto

790

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

wxi = gi . Ahora si x0 = (x1 , x2 , x3 ), xt = (x1 + t, x2 , x3 ) ∈ B(x0 , r) y llamamos ky − x0 k = R y ky − xt k = Rt , entonces |R − Rt | ≤ |t| (pues son los lados de un tri´ angulo) y como 2ab ≤ a2 + b2 tenemos Z |ρ| dy ≤ k 4πr (para k = m´ax |ρ|) |f1 (x0 )| ≤ 2 R B[x0 ,r] B(x0 ,r) Z Z v(xt ) − v(x0 ) |R − Rt | 1 ≤ k dy ≤ k dy t |t| B(x0 ,r) RRt B(x0 ,r) RRt   Z k 1 1 ≤ + dy 2 B(x0 ,r) R2 Rt2 ! Z Z dy dy k ≤ + ≤ k(2πr + 4πr) 2 2 2 B(x0 ,r) R B(xt ,2r) Rt y dado  > 0, podemos hacerlos menores que /3 tomando r peque˜ no, por otra parte tomando t peque˜ no tendremos que w(xt ) − w(x0 ) − g1 (x0 ) ≤ /3, t por tanto ux1 (x0 ) = −e1 (x0 ) pues u(xt ) − u(x0 ) v(xt ) − v(x0 ) + e (x ) ≤ − f (x ) 1 0 1 0 + t t w(xt ) − w(x0 ) − g1 (x0 ) ≤  + t Ecuaci´ on de Poisson 10.24 Si ρ es integrable, acotada en los compactos y en un abierto es de clase 1, entonces en ese abierto u es de clase 2 y en ´el se tiene ∆u = −4πρ. Demostraci´ on. Tomemos una bola abierta B(x0 , r0 ) en la que ρ sea de clase 1 y sea r < r0 . Si u = v + w como en el resultado anterior, Z Z ρ(y) ρ(y) v(x) = dy, w(x) = dy, B(x0 ,r) kx − yk B(x0 ,r)c kx − yk entonces como hemos visto en 10.16, p´ ag.778, w ∈ C ∞ y arm´onica en el abierto B(x0 , r), es decir ∆w = 0 y por el resultado anterior uxi =

791

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

vxi + wxi , por otra parte  (10.10)

1 kx − yk

 xi

xi − yi =− =− kx − yk3



1 kx − yk

 , yi

y para D = ∂yi y ω = dy1 ∧ dy2 ∧ dy3 , DL ω = 0 y para toda funci´on f , d(f ω) = 0 y por el Teorema de Stokes, (14.12), p´ag.994 tenemos que Z Z Z Z Z (Df )ω = DL (f ω) = d(iD f ω) = f iD ω = f D · ∂n ds B

B

B

S

S

P por lo tanto, para ∂n = [(yi − x0i )/ky − x0 k]∂yi , el vector unitario normal exterior a las esferas S centradas en x0     Z Z 1 1 dy = − ρ dy vx i = ρ kx − yk xi kx − yk yi B[x0 ,r] B[x0 ,r]   Z Z ρ ρyi =− dy + dy kx − yk kx − yk B[x0 ,r] B[x0 ,r] yi Z Z ρ ρyi =− ∂n · ∂yi ds + dy. S[x0 ,r] kx − yk B[x0 ,r] kx − yk Ahora la primera integral, en esta u ´ltima igualdad, es de clase ∞, por (10.15), pues el integrando lo es, ya que el denominador, kx − yk > 0, si x ∈ B(x0 , r) e y ∈ S[x0 , r]; y por (10.23) el segundo sumando es de clase 1 en un entorno de x0 , pues ρyi es continua y por tanto acotada en los compactos. Adem´ as en ambas la derivada entra en la integral y derivando de nuevo tenemos que     Z Z 1 1 ∂n · ∂yi ds + ρyi dy vx i x j = − ρ kx − yk xj kx − yk xj B[x0 ,r] S[x0 ,r] Z Z ρ(y) (xj − yj )∂n · ∂yi ρyi (y) (yj − xj ) = ds + dy 3 kx − yk kx − yk3 S[x0 ,r] B[x0 ,r] siendo estas funciones continuas, por tanto v es de clase 2 en B(x0 , r) y tambi´en u. Para ver la ecuaci´ on, tomamos j = i y sumamos en x0 Z Z X yi − x0i X ρy (yi − x0i ) i ∆v(x0 ) = − ρ ∂ ·∂ ds+ dy, n y i 3 kx0 − yk kx0 − yk3 S[x0 ,r] B[x0 ,r]

792

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

siendo el primer t´ermino de la suma anterior (cambiado de signo) Z Z ∂n · ∂n 1 ρ ds = ρ ds → 4πρ(x0 ), (r → 0) 2 r2 S[x0 ,r] S[x0 ,r] ky − x0 k y el segundo, si en B[x0 , r], |ρyi | ≤ k, en m´ odulo est´a acotado por Z 1 k dy = 4πkr → 0, ky − x0 k 2 B[x0 ,r] cuando r → 0. Por lo tanto en x0 se tiene ∆u = −4πρ. Corolario 10.25 Si ρ ∈ Cc1 (R3 ), u ∈ C 2 (R3 ) y en todo punto ∆u = −4πρ. Corolario 10.26 Si ρ ∈ Cck (R3 ), u ∈ C k+1 (R3 ) y Z ρyi uxi = dy, ∆u = −4πρ. kx − yk Demostraci´ on. Por (10.23), basta demostrar la primera igualdad, pues en ese caso uxi es el potencial de ρyi y se repite el argumento. Como ρ es de soporte compacto, existe r > 0, tal que K ⊂ B(0, r) y siguiendo el razonamiento de (10.24) Z ρ(y) dy, u(x) = kx − yk B[0,r] Z Z ρ ρyi uxi (x) = − ∂n · ∂yi ds + dy S[0,r] kx − yk B[0,r] kx − yk Z Z ρyi ρyi = dy = dy kx − yk B[0,r] kx − yk pues ρ = 0 en S[0, r] ⊂ K c y ρyi = 0 en B[0, r]c . Corolario 10.27 Si ρ ∈ C ∞ (R3 ) y es integrable, u ∈ C ∞ (R3 ) y ∆u = −4πρ. Demostraci´ on. Sea x0 ∈ R3 y veamos que u es de clase infinito en un entorno de ese punto. Consideremos los abiertos U1 = B(x0 , 2r) y U2 = B[x0 , r]c y una partici´ on de la unidad ϕ1 , ϕ2 ∈ C ∞ (R3 ), subordinada a ellos, por tanto con ϕ1 + ϕ2 = 1 y sop ϕi ⊂ Ui , y consideremos ρi = ϕi ρ. Entonces para ui el potencial de ρi , tendremos que u = u1 + u2 y como ρ1 es de soporte compacto, u1 ∈ C ∞ , por el resultado anterior, y u2 ∈ C ∞ en B(x0 , r), por (10.16), por tanto u es de clase infinito en un entorno de x0 .

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

793

Teorema 10.28 Si ρ es integrable, acotada en los compactos y se anula en el infinito, el potencial u se anula en el infinito.

Figura 10.11.

Demostraci´ on. Sea  > 0 y veamos que R existe una bola RB[0, R] fuera de la cual u ≤ . Como ρ es integrable B[0,n] |ρ(y)| dy ↑ |ρ(y)| dy = q < ∞, y como adem´ as se anula en el infinito, dado λ > 0 podemos tomar n suficientemente grande como para que Z |ρ(y)| dy < λ, |ρ(y)| < λ, para y ∈ B[0, n]c . B[0,n]c

Ahora tomemos el radio R = n+a (ver la Fig. 10.11), un punto cualquiera x0 ∈ B[0, R]c , y la partici´ on del espacio B1 = B[0, n], B2 = B[x0 , 1] y B3 = (B1 ∪ B2 )c , entonces XZ XZ ρ(y) |ρ(y)| u(x0 ) = , |u(x0 )| ≤ . Bi kx0 − yk Bi kx0 − yk Ahora bien si y ∈ B1 , kx0 − yk ≥ kx0 k − kyk ≥ R − n = a, por tanto Z |ρ(y)| ≤ q/a. kx 0 − yk B1 por (10.20), Z B2

|ρ(y)| ≤ λ 4π, kx0 − yk

c

y si y ∈ B3 ⊂ B[0, n] , kx0 − yk ≥ 1, Z Z |ρ(y)| ≤ |ρ(y)| ≤ λ. B3 kx0 − yk B[0,n]c y basta tomar q/a + 4πλ + λ < .

794

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

En (10.35), p´ ag.800 veremos que estas dos propiedades del potencial Newtoniano–Electrost´ atico, lo determinan totalmente, en el sentido de que es la u ´nica funci´ on que satisface la ecuaci´on de Poisson y se anula en el infinito. Por el resultado anterior, si la densidad ρ es acotada y de soporte compacto K (por tanto integrable), el potencial Z ρ(y) u(x) = dy, kx − yk tiene la propiedad de converger a ceroRcuando el punto x tiende hacia el ∞, pero es m´ as si denotamos con q = K ρ dy la carga total, se tiene que para kxk grande, u(x) ∼ q/kxk, es decir que en el infinito el potencial de una densidad de soporte compacto, es como si fuera el de una part´ıcula con esa carga. Con m´ as precisi´ on se tiene el siguiente resultado. Teorema 10.29 Si ρ es acotada y de soporte compacto K y q = el potencial verifica que

R K

ρ dy,

l´ım kxk · u(x) = q.

kxk→∞

Demostraci´ on. Como u = u+ − u− y ρ = ρ+ − ρ− , siendo u± R ± el potencial de ρ , basta demostrarlo para ρ ≥ 0. Sea q = K ρ dy y consideremos un L > 0 tal que K ⊂ B[0, L], en cuyo caso para cada y ∈ K y kxk > L, se tiene 0 < kxk − L ≤ kx − yk ≤ kxk + L, por lo tanto 1 1 1 ≤ ≤ , kxk + L kx − yk kxk − L de donde se sigue multiplicando por ρ e integrando que     1 1 q ≤ u(x) ≤ q kxk + L kxk − L y el resultado se sigue multiplicando por kxk y haciendo el l´ımite. Densidad dependiente del tiempo Definici´ on. Por u ´ltimo supongamos que ρ = ρ(t, y), depende del tiempo t ∈ R, adem´ as de y ∈ R3 . Diremos que es localmente uniformemente

10.4. Potenciales gravitatorio y el´ ectrico.

795

de soporte compacto, si dado cualquier intervalo temporal cerrado [a, b] existe un compacto K tal que para todo t ∈ [a, b] sop ρt = {y ∈ R3 : ρ(t, y) 6= 0} ⊂ K. Teorema 10.30 Si ρ ∈ C ∞ (R4 ) y es localmente uniformemente de soporte compacto, entonces el potencial Z ρ(t, y) dy, u(t, x) = kx − yk es de clase ∞ y para cada instante t, ρt (x) = ρ(t, x) se anula en el infinito y ∆u = −4πρ. Demostraci´ on. Falta ver que es de clase infinito, el resto de propiedades se siguen de (10.26) y (10.28). Veamos en primer lugar que si ρ es de clase 1, su potencial u es continuo. Dado (t, x) en un entorno de (t0 , x0 ), tenemos que |u(t, x) − u(t0 , x0 )| ≤ |u(t, x) − u(t0 , x)| + |u(t0 , x) − u(t0 , x0 )|, siendo |u(t0 , x) − u(t0 , x0 )| ≤ , por la continuidad de u0 (x) potencial de la funci´ on continua ρt0 . Ahora bien por el Teorema del valor medio |ρ(t, y) − ρ(t0 , y)| ≤ |t − t0 ||ρt (s, y)| ≤ |t − t0 |M , para s entre t y t0 y siendo M una cota de la funci´ on ρt de soporte compacto K en un entorno de t0 , por tanto Z Z |ρ(t, y) − ρ(t0 , y)| 1 |u(t, x) − u(t0 , x)| ≤ dy ≤ M |t − t0 | dy. kx − yk kx − yk K Por otra parte ∂tm u es el potencial de ∂tm ρ, para ello observemos que para todo t ∈ (a, b) ⊂ [a, b], ρ y todas sus derivadas ∂tm ρ se anulan en [a, b] × K c y por continuidad est´ an acotadas en [a, b] × R3 , por una constante km , por tanto para t ∈ (a, b) Z Z |∂tm ρ(t, y)| 1 dy ≤ km dy < ∞, kx − yk kx − yk K y se sigue de (10.15) que ∂tm u(t, x) =

Z

∂tm ρ(t, y) dy, kx − yk

796

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

ahora como para cada t, ∂tm ρ(t, y) son de soporte compacto se sigue de lo anterior y de (10.26), que ∂tm Dα u(t, x)

Z =

∂tm Dα ρ(t, y) dy, kx − yk

un vimos es el potencial de la funci´ on ∂tm Dα ρ(t, y), por tanto continuo seg´ al principio.

10.4.6.

Otros posibles potenciales.

Nos planteamos ahora el estudio p enP Rn , de las soluciones de ∆m u = , para u = u(r) y m ∈ N, siendo r = x2i . Teorema 10.31 En Rn , u es soluci´ on de ∆m u = , para u = u(r), sii es combinaci´ on de las 2m funciones r2(k−1) , r

2k−n

para

1 ≤ k ≤ m, 

f (r),

para

1 ≤ k ≤ m,

y

f (r) =

log r, 1,

2k − n ≥ 0, n par, en otros casos.

Demostraci´ on. Llamemos um a tal funci´ on, por tanto si tomamos u0 = 0, tendremos por inducci´ on que ∆um+1 = um , lo cual equivale en coordenadas hiperesf´ericas a u00m+1 +

n−1 0 um+1 = um . r

Ahora bien si consideramos u0 = y, basta resolver la ecuaci´on diferencial y 0 + f y = g, para f = (n − 1)/r y g = um —en cuyo caso u = um+1 —, lo cual es inmediato tomando y = zw, pues y 0 + f y = z 0 w + zw0 + f zw = g y basta considerar w la soluci´ on de la homog´enea w0 + f w = 0 (en 1−n nuestro caso w = r ), y z soluci´ on de z 0 w = g, es decir z 0 = rn−1 g. 0 n−1 En definitiva, resolvemos z = r um y despu´es u0 = zw = zr1−n . 0 Para g = u0 = 0 tenemos que z1 = 0 y u01 = z1 w = k0 r1−n , por tanto u1 es combinaci´ on de  1, r2−n , (para n = 2, log r),

797

10.5. Los 3 Problemas.

Para g = u1 , tenemos que u02 = z2 r1−n , para  k1 rn−1 + k2 r, si n 6= 2; z20 = rn−1 u1 = k1 r + k2 r log r, si n = 2;  k0 + k1 rn + k2 r2 , si n 6= 2; z2 = k0 + k1 r2 + k2 r2 log r, si n = 2;

⇔

por lo tanto u02 = z2 r1−n =



k0 r1−n + k1 r + k2 r3−n , si n 6= 2; k0 r−1 + k1 r + k2 r log r, si n = 2;

y u2 es combinaci´ on de  1,    2 r , r2−n , (para n = 2, log r),    4−n r , (para n = 4, log r y para n = 2, r2 log r). Por inducci´ on se tiene que um es combinaci´on de las 2m funciones r2(k−1) , r

2k−n

para

1 ≤ k ≤ m, 

f (r),

para

1 ≤ k ≤ m,

y

f (r) =

log r, 1,

2k − n ≥ 0, n par, en otros casos.

Corolario 10.32 En Rn , las soluciones de ∆k u = , para u = u(r) y k ∈ N, cuyos gradientes tienden a cero hacia el infinito son para n = 2k + 1 s´ olo las potencias impares negativas: r−1 , . . . , r−(2k−1) . y para n = 2k el log y las potencias pares negativas: log r, r−2 , . . . , r−2(k−1) .

10.5.

Los 3 Problemas.

Como dec´ıamos al principio del Tema, las ecuaciones de ondas (ver p´ ag.879) y del calor (ver p´ ag.949) se expresan en t´erminos del operador de Laplace, respectivamente de la forma a2 ∆u = utt ,

K∆u = ut ,

798

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

por lo tanto si consideramos la soluci´ on de la ecuaci´on del calor que corresponde a la temperatura u de un cuerpo U = U ∪ ∂U , que no var´ıa con el tiempo (ut = 0), entonces u es soluci´ on de la ecuaci´on de Laplace. En el caso particular de una plancha de anchura constante con superficies planas aisladas, la temperatura de estado estacionario es una funci´on de dos variables y satisface la ecuaci´ on de Laplace bidimensional. Pero esta ecuaci´ on tiene infinitas soluciones. Para encontrar la temperatura real de nuestro cuerpo, debemos imponer alguna condici´on a la ecuaci´on —tipo frontera, pues inicial no tiene al no depender del tiempo—. Llamaremos: 1.- Problema de valor frontera de Dirichlet, 2.- Problema de valor frontera de Neumann, 3.- Problema de valor frontera mixto, a cada uno de los problemas consistentes en encontrar la soluci´on de la ecuaci´ on de Laplace satisfaciendo respectivamente, cada una de las tres condiciones frontera, (1)

u(x) = f (x),

para x ∈ ∂U ,

(2)

∂n u(x) = f (x),

para x ∈ ∂U ,

(3)

[f1 u + f2 ∂n u](x) = f (x),

para x ∈ ∂U ,

para ∂n el campo tangente a soporte de ∂U , unitario y ortogonal a ∂U . Por ejemplo una membrana que est´e fija a lo largo de una curva cerrada espacial definida por z = f (x, y), para los puntos (x, y) de una curva plana ∂U , tendr´ a una forma invariante por el tiempo, dada por z = u(x, y), donde u es soluci´ on del problema de Dirichlet en el plano uxx + uyy = 0,

10.5.1.

u(x, y) = f (x, y),

para (x, y) ∈ ∂U .

Principio del m´ aximo. Unicidad.

A continuaci´ on veremos el principio del m´aximo que establece que una membrana tensa sin vibraci´ on (ut = 0), a la que no se le aplica ninguna fuerza externa, no puede estar abultada ni hacia arriba ni hacia abajo, ´ o que un objeto con una temperatura en cada punto invariable en el tiempo tiene las temperaturas extremas en su borde. Principio del m´ aximo 10.33 Si U es un abierto acotado de Rn y u es onica en U , entonces una funci´ on continua en U y arm´ M1 ≤ u ≤ M2 ,

en ∂U

⇒

M1 ≤ u ≤ M2 ,

en U .

10.5. Los 3 Problemas.

799

Demostraci´ on.- En primer lugar observamos que basta demostrar una de las desigualdades, pues la otra se obtiene considerando la soluci´on −u. Daremos s´ olo la demostraci´ on correspondiente a M = M2 y lo haremos en dos partes. En la primera consideremos v una funci´on continua en U y de clase 2 en U tal que ∆v > 0, v(x) ≤ M,

para x ∈ U , para x ∈ ∂U ,

y demostremos que v ≤ M , en U . Consideremos el punto p ∈ U en el que v alcanza el m´aximo, entonces o bien p ∈ ∂U , en cuyo caso el resultado se sigue, ´o bien p ∈ U , en cuyo ´ caso se tiene la siguiente contradicci´ on  ∂v  (p) = 0,  ∂xi ⇒ 0 < ∆v(p) ≤ 0. 2 ∂ v    (p) ≤ 0, ∂x2i En segundo lugar consideremos la funci´ on u del enunciado, un  > 0, un r > 0 tal que U ⊂ B[0, r] y la funci´ on en U v(x) = u(x) + 

n X

x2i ,

i=1

por tanto ∆v = 2n > 0, en U , v(x) ≤ M + r2 , para x ∈ ∂U , y se sigue de la demostraci´ on anterior que en U u(x) ≤ v(x) ≤ M + r2 , y como esto es cierto para todo  > 0, el resultado se concluye. Ejercicio 10.5.1 Demostrar que una funci´ on arm´ onica en un abierto U alcanza el m´ aximo y el m´ınimo, en cada compacto K ⊂ U , en ∂K. Ejercicio 10.5.2 Demostrar que una funci´ on arm´ onica u en Rn que se anule en el infinito (es decir que para todo  > 0 existe un compacto K, tal que fuera de K |u| ≤ ), es nula u = 0.

800

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ejercicio 10.5.3 Demostrar el Teorema de Helmholtz: Un campo tangente en el espacio que se anule en el infinito est´ a totalmente determinado por su rotacional y su divergencia. (Sol.) Ejercicio 10.5.4 Demostrar el Teorema de Helmholtz II: Todo campo D ∈ D(R3 ) que se anule en el infinito es suma de un campo con divergencia nula y otro con rotacional nulo. (Sol.)

Del Principio del m´ aximo se sigue f´ acilmente la unicidad de soluci´on u del problema de Dirichlet. Mas generalmente se tiene el siguiente resultado. Teorema de Unicidad 10.34 Si existe es u ´nica la soluci´ on u continua en U y de clase 2 en el abierto de cierre compacto U ⊂ Rn del problema ∆u = F,

para x ∈ U ,

u(x) = f (x),

para x ∈ ∂U ,

para F una funci´ on en U y f en ∂U . Demostraci´ on. Si u1 y u2 son soluciones entonces u = u1 − u2 es arm´ onica y en la ∂U se anula, por tanto se sigue del principio que u se anula en todo punto. Volveremos sobre esta cuesti´ on al final del tema. Observemos que como consecuencia inmediata del principio del m´aximo tenemos la unicidad de soluci´ on de la ecuaci´on de Poisson. Teorema de Unicidad de soluci´ on de la Ec. de Poisson 10.35 El potencial 10.7, de densidad de masa o ´ carga ρ de clase 1, integrable y que se anula en el infinito es la u ´nica funci´ on que satisface la ecuaci´ on de Poisson y se anula en el infinito. Demostraci´ on. Basta considerar la diferencia u de dos posibles soluciones, la cual es arm´ onica y se anula en el infinito, por tanto para todo  > 0, |u| ≤  fuera de una bola de radio r suficientemente grande, por tanto |u| ≤  en la esfera de radio r + 1 y por el principio del m´aximo |u| ≤  en la bola de ese radio y por tanto en todo el espacio. Corolario 10.36 Si u ∈ Cc∞ , entonces es el potencial de la densidad ρ = −∆u/4π.

801

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

Demostraci´ on. Por ser u ∈ Cc∞ de soporte compacto, tambi´en lo es ρ = −∆u/4π ∈ Cc∞ y su potencial v satisface, como u, la Ecuaci´on de Poisson. Por la unicidad u = v. Tambi´en se sigue la dependencia continua de la soluci´on del problema de Dirichlet respecto de las condiciones frontera, pues si u1 es la soluci´ on que corresponde a f1 y u2 a f2 , entonces u1 −u2 es la soluci´on que corresponde a f1 − f2 y si |f1 − f2 | < 

en ∂U

⇒

|u1 − u2 | < 

en U .

10.6.

Problema de Dirichlet. Ejemplos

10.6.1.

Problema Dirichlet en un rect´ angulo

Consideremos una placa met´ alica rectangular de la que conozcamos el valor de su temperatura estacionaria, en el borde. Entonces tal temperatura es soluci´ on del problema de Dirichlet del tipo uxx + uyy = 0, u(x, 0) = f1 (x),

u(x, R) = f2 (x),

si 0 < x < L,

u(0, y) = f3 (x),

u(L, y) = f4 (x),

si 0 < y < R,

Figura 10.12.

802

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

problema que podemos dividir en cuatro problemas del tipo uxx + uyy = 0, u(x, 0) = f1 (x),

u(x, R) = 0,

si 0 < x < L,

u(0, y) = 0,

u(L, y) = 0,

si 0 < y < R,

en que consideramos que la temperatura es nula sobre tres lados. Y la soluci´ on a nuestro problema inicial es la suma de las cuatro soluciones particulares. Resolvamos pues uno de estos u ´ltimos. Supongamos que u(x, y) = f (x)g(y) es soluci´on, entonces f 00 (x) + λf (x) = 0, g 00 (y) − λg(y) = 0,

f (0) = f (L) = 0, g(R) = 0,

lo cual implica que las u ´nicas soluciones corresponden a m´ ultiplos (ver la p´ ag.56) de f (x) = sen(αn x), g(y) =

eαn (R−y) − eαn (y−R) = senh(αn (R − y)), 2

para αn = nπ/L y n ∈ N. Las sumas finitas de sus productos son soluciones u y si existe una suma infinita u(x, y) =

∞ X

cn senh(αn (R − y)) sen(αn x),

n=1

que satisfaga u(x, 0) = f1 (x), deber´ıa ser f1 (x) =

∞ X

cn senh(αn R) sen(αn x),

n=1

por tanto debemos elegir (ver la p´ ag.882) Z 2 L cn senh(αn R) = bn = f1 (x) sen(αn x)dx, L 0 como los coeficientes de Fourier de la extensi´on impar de f1 a [−L, L]. Y tenemos as´ı una expresi´ on formal para la soluci´on de nuestro problema u(x, y) =

X

un =

∞ X n=1

bn

senh[αn (R − y)] sen(αn x), senh[αn R]

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

803

ahora bien si f1 es integrable, |bn | ≤ c para Z 2 L c= |f1 (x)|dx < ∞, L 0 adem´ as | sen(αn x)| ≤ 1 para todo x ∈ R y para 0 < y ≤ R, 0< ≤

senh[αn (R − y)] eαn (R−y) − eαn (y−R) = senh[αn R] eαn R − e−αn R c 1 − e2αn (y−R) −αn y −αn y , e ≤ R e 1 − e−2αn R 1 − e−2π L

por tanto existe una constante k > 0, tal que los t´erminos de la serie de u, |un | ≤ k e−αn y , est´ an mayorados por los de una serie convergente para todo y > 0 y nuestra serie converge uniformemente en los (x, y) con y ≥ y0 , para cualquier y0 > 0, y la serie converge a una funci´on u continua en R × (0, R], que satisface las tres condiciones frontera u(x, R) = 0,

u(0, y) = 0,

u(L, y) = 0.

De igual modo las series cuyos t´erminos son las derivadas parciales |unx , uny | ≤ kαn e−αn y , |unxx , unyx , unyy | ≤ kαn2 e−αn y , tambi´en convergen en R × (0, R) y uniformemente en R × (y0 , R), para cualquier y0 > 0, por tanto u es de clase 2 y podemos derivarla derivando t´ermino P a t´ermino la serie, por tanto ∆u = ∆un =  y satisface la ecuaci´on de Laplace, pues cada t´ermino de la serie la satisface. Por u ´ltimo falta demostrar que u es continua en y = 0, para ello supondremos que f1 es de clase 1, por lo tanto (ver (11.2), p´ag.883) su serie de Fourier sn (x, 0) → f1 (x), converge uniformemente en [0, L], donde estamos considerando sm (x, y) =

m X

un ,

n=1

por tanto dado un  > 0 existe un N , tal que para m, n ≥ N se tiene |sn (x, 0) − sm (x, 0)| ≤ , Pn pero v = sn − sm = m+1 ui es soluci´ on de la ecuaci´on de Laplace y es continua en el rect´ angulo cerrado, siendo nula en tres lados v(0, y) = v(L, y) = v(x, R) = 0,

804

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y menor o igual que  en el cuarto, por tanto se sigue del principio del m´ aximo para la ecuaci´ on de Laplace que |sn (x, y) − sm (x, y)| = |v(x, y)| ≤ , para todo (x, y) ∈ [0, L] × [0, R], por tanto sn converge uniformemente a u en [0, L] × [0, R], u es continua en ese conjunto y obviamente satisface la cuarta condici´ on de contorno. En el desarrollo anterior hemos supuesto que f1 se anula en 0 y L, por lo que este desarrollo s´ olo justifica la existencia de soluci´on, del problema general, cuando en el borde del rect´ angulo consideramos una funci´on que se anula en los cuatro v´ertices. Esta exigencia es ficticia como puede ver el lector en la p´ ag. 118 del Weinberger, donde se demuestra la validez del resultado en general.

10.6.2.

Problema de Dirichlet en un disco

Consideremos ahora el problema de encontrar la temperatura estacionaria de una placa circular de radio R, conoci´endola en el borde. Tal temperatura es soluci´ on del problema de Dirichlet uxx + uyy = 0, u(x, y) = f (x, y),

para x2 + y 2 < R2 , para x2 + y 2 = R2 ,

ahora bien por las caracter´ısticas del problema, lo planteamos en coordenadas polares ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂2u + + = 0, ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂θ2 u(R, θ) = f (θ), Consideremos las soluciones encontradas en (10.2.1), p´ag.755, de la forma u = f (ρ)g(θ), entonces como g(0) = g(2π), tendremos que las u ´nicas soluciones que verifican esto corresponden al valor a = n2 y como buscamos soluciones que sean continuas en 0, nos quedan las de la forma ρn (c1 cos nθ + c2 sen nθ), y sus combinaciones finitas. Nos preguntamos entonces si habr´a alguna combinaci´ on infinita ∞ a0 X  ρ n (10.11) u(ρ, θ) = + (an cos nθ + bn sen nθ), 2 R n=1

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

805

tal que para ρ = R coincida con ∞

f (θ) =

a0 X + (an cos nθ + bn sen nθ), 2 n=1

para ello basta elegir los coeficientes6Rde Fourier de f en [−π, π]. Ahora bien para ρ < R basta que |f | < ∞ para que la serie (10.11) y las de las derivadas primeras y segundas (de sus t´erminos) converjan en el disco abierto y uniformemente en un disco ρ ≤ r, para cualquier 0 < r < R, de donde se sigue que la serie define una funci´on u de clase 2 en el disco abierto de radio R y es soluci´ on de la ecuaci´on de Laplace pues cada t´ermino de la serie lo es. Si ahora suponemos que f es continua, peri´odica y tiene derivada continua salvo en un conjunto finito de puntos en los que tiene derivadas laterales finitas, entonces como vimos en el caso anterior se demuestra, utilizando el principio del m´ aximo, que la convergencia m

sm (ρ, θ) =

a0 X  ρ n (an cos nθ + bn sen nθ) → u(ρ, θ), + 2 R n=1

es uniforme en el disco cerrado de radio R y por tanto u es continua y satisface las condiciones del problema. En particular obtenemos que la temperatura en el centro del disco x = 0, y = 0, que corresponde a ρ = 0, vale Z π 1 u(0, 0) = f (x)dx, 2π −π es decir que la temperatura en el centro del disco es el promedio de la temperatura en el borde. Propiedad a la que aludimos al principio del Tema. Observemos que de aqu´ı se sigue el siguiente resultado. Teorema del valor medio 10.37 El valor de una funci´ on arm´ onica en el centro de un c´ırculo del plano es el promedio de sus valores en la circunferencia. Para lo cual basta hacer una traslaci´ on del punto al origen. 6 Por

comodidad tomamos a0 =

√

2 < f, Φ0 >= (1/π)

Rπ −π

f.

806

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

10.6.3.

F´ ormula integral de Poisson.

R Ahora bien si s´ olo sabemos que |f | < ∞, tendremos que sm → u en el disco abierto y si calculamos los valores de an y bn , tendremos  Z π Z m X ρn cos nθ π 1 f (x)dx + f (x) cos nx dx+ sm (ρ, θ) = 2π −π Rn π −π n=1  Z sen nθ π + f (x) sen nx dx π −π " # Z π m 1 1 X ρn + = f (x) (cos nθ cos nx + sen nθ sen nx) dx π −π 2 n=1 Rn # " Z m 1 π 1 X ρn = + cos n(θ − x) dx, f (x) π −π 2 n=1 Rn y para cualquier ρ < R la serie de la derecha converge uniformemente en x, por lo que tomando l´ımites " # Z ∞ 1 X  ρ n 1 π f (x) + cos n(θ − x) dx. u(ρ, θ) = π −π 2 n=1 R Ahora bien tenemos que ∞

∞

1 X  ρ n ein(θ−x) + e−in(θ−x) 1 X  ρ n + cos n(θ − x) = + = 2 n=1 R 2 n=1 R 2 ∞ 1 1X + [(ρ/R) ei(θ−x) ]n + [(ρ/R) e−i(θ−x) ]n 2 2 n=1   1 1 (ρ/R) ei(θ−x) (ρ/R) e−i(θ−x) = + + 2 2 1 − (ρ/R) ei(θ−x) 1 − (ρ/R) e−i(θ−x) 2 Rρ cos(θ − x) − ρ 1 = + 2 2 ρ − 2Rρ cos(θ − x) + R2 R2 − ρ2 = , 2[ρ2 + R2 − 2Rρ cos(θ − x)]

=

por lo tanto u(ρ, θ) =

1 2π

Z

π

−π

ρ2

+

R2

R 2 − ρ2 f (x) dx. − 2Rρ cos(θ − x)

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

807

Esta ecuaci´ on llamada F´ ormula integral de Poisson es v´alida para los ρ < R y nos dice que la temperatura en todo punto del disco puede obtenerse integrando la temperatura en el borde de una determinada manera. A menudo calcular esta integral es preferible y nos da un resultado mas exacto que si calculamos la serie (10.11). Nota 10.38 Realmente esta ecuaci´ on es una consecuencia del teorema del valor medio (10.37) por lo siguiente: En la lecci´on 10.2.3 vimos que un difeomorfismo entre dos abiertos del plano, definido por una aplicaci´on holomorfa conserva las funciones arm´ onicas, por ejemplo para R = 1 y a = ρ eiθ ∈ C, con |a| = ρ < 1, la aplicaci´ on φ(z) =

z−a , a ¯z − 1

lleva φ(a) = 0, φ(0) = a, el disco unidad en el disco unidad, la circunferencia en la circunferencia y φ = φ−1 , pues φ[φ(z)] = z. Ahora en t´erminos del difeomorfismo G : [0, 2π) → S1 , G(α) = eiα , que lleva la medida de Lebesgue m, en la medida de ´ angulos, tenemos el difeomorfismo F : [0, 2π) → [0, 2π), que hace el diagrama conmutativo F

[0,2π) − →  Gy S1

φ

− →

[0,2π)  yG S1

α   y eiα

−→ −→

F (α)  y φ(eiα ),

y tendremos que eiα −a a ¯ eiα −1 y F transforma la medida de Lebesgue en la medida µ(A) = m[F −1 (A)] = Z Z 1 − ρ2 0 = m[F (A)] = F (α)dα = dα, 2 A A 1 + ρ − 2ρ cos(α − θ) pues eiF (α) =

i eiα (¯ a eiα −1) − (eiα −a)¯ ai eiα ⇒ (¯ a eiα −1)2 eiα −a (¯ a eiα −1) − (eiα −a)¯ a ρ2 − 1 iα F 0 iα = eiα = e ⇒ a ¯ e −1 (¯ a eiα −1)2 (¯ a eiα −1)2 ρ2 − 1 1 − ρ2 F 0 (α) = = . −iα iα 2 (1 − a e )(¯ a e −1) 1 + ρ − 2ρ cos(θ − α) iF 0 eiF (α) =

808

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ahora si f = φ∗ g es arm´ onica en el disco unidad, tambi´en lo es g y para g(α) = g(eiα ) y f (α) = f (eiα ), f = F ∗ g y aplicando (10.37) a la funci´ on g, tenemos que Z π Z π 1 1 f (a) = g[φ(a)] = g(0) = g(y) dy = f (x)F 0 (x) dx. 2π −π 2π −π Para el resultado en el disco de radio R se considera para a = ρ eiα , con ρ < R, la medida anterior con ρ/R < 1 en lugar de ρ. Por u ´ltimo para ρ < R podemos derivar indefinidamente los t´erminos de la serie (10.11) y las series de estas derivadas convergen en el disco unidad abierto y uniformemente en un disco ρ ≤ r, para cualquier 0 < r < R, de donde se sigue que la serie define una funci´on u de clase infinita en el disco unidad abierto. Pero es m´ as, se sigue de la proposici´on (10.40), que u es una suma infinita en n, de polinomios homog´eneos de grado n, en (x, y), por tanto u es anal´ıtica en el origen y (10.11) es su serie de Taylor en el origen. Del mismo modo toda funci´on u arm´onica en un abierto del plano es anal´ıtica en ese abierto. Para verlo basta considerar un punto del abierto (x0 , y0 ) y un disco en el abierto, de centro el punto. Los argumentos anteriores muestran que u es igual —en el c´ırculo abierto— a su serie de Taylor en (x0 , y0 ). Teorema de Liouville 10.39 Una funci´ on arm´ onica en Rn no puede estar acotada superiormente (ni inferiormente) a menos que sea constante. Demostraci´ on. Lo veremos para n = 2. El caso general lo veremos en (10.50), p´ ag.822. Basta demostrar una de las dos afirmaciones pues la otra se obtiene considerando la funci´ on cambiada de signo. Sin perdida de generalidad podemos suponer que nuestra funci´on arm´onica est´a acotada inferiormente por 0, es decir que u ≥ 0, en tal caso consideremos un punto cualquiera x y un radio R tal que x ∈ B(0, R), en tal caso la f´ormula de Poisson nos permite expresar Z π 1 R2 − ρ2 u(x) = u(ρ, θ) = u(R, ξ)dξ, 2 2 2π −π ρ + R − 2Rρ cos(θ − ξ) y como se tiene que para todo 0 ≤ ρ < R R−ρ R 2 − ρ2 R+ρ ≤ 2 ≤ , 2 R+ρ ρ + R − 2Rρ cos(θ − ξ) R−ρ

809

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

y que u ≥ 0, tendremos que R 2 − ρ2 R+ρ R−ρ u(R, ξ) ≤ 2 u(R, ξ) ≤ u(R, ξ), R+ρ ρ + R2 − 2Rρ cos(θ − ξ) R−ρ e integrando R−ρ 1 R + ρ 2π

Z

π

u(R, ξ)dξ ≤ u(x) ≤ −π

R+ρ 1 R − ρ 2π

Z

π

u(R, ξ)dξ, −π

y por el teorema del valor medio para funciones arm´onicas R−ρ R+ρ u(0) ≤ u(x) ≤ u(0), R+ρ R−ρ y haciendo R → ∞, u(x) = u(0) y el resultado se sigue.

10.6.4.

Polinomios de Tchebycheff.

Finalizamos analizando las funciones encontradas en esta lecci´on. Proposici´ on 10.40 Se tiene que ρn cos nθ y ρn sen nθ, son polinomios arm´ onicos homog´eneos en (x, y), de grado n. Demostraci´ on. Basta considerar la parte real y la imaginaria de ρn (cos nθ + i sen nθ) = (ρ eiθ )n = (x + iy)n =

n   X n n−m x (iy)m . m m=0

Proposici´ on 10.41 Para cada n existe un polinomio Tn de grado n, llamado polinomio de Tchebycheff , tal que Tn (cos θ) = cos nθ y tienen las siguientes propiedades: i) Tn ◦ Tm = Tnm ii) Tn es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial (1 − x2 )y 00 − xy 0 + n2 y = 0. √ iii) T0 / 2, T1 , T2 ,. . ., son ortonormales para el producto interior < f, g >=

2 π

Z

1

−1

f (x)g(x) √

1 dx. 1 − x2

810

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

iv) Satisfacen la regla de recurrencia Tn+1 = 2xTn − Tn−1 . v) T2n (x) = Tn (2x2 − 1). vi) ∞ X 1 − tx = Tn (x)tn . 1 − 2tx + t2 n=0 vii) Tn (cosh x) = cosh nx. Demostraci´ on. Tomando en el resultado anterior para ρ = 1, los t´erminos pares m = 2k y siendo x = cos θ, y = sen θ   X k n Tn (cos θ) = cos nθ = (−1) xn−2k y 2k 2k 2k≤n   X k n = (−1) xn−2k (1 − x2 )k = Tn (x). 2k 2k≤n

i) Tn [Tm (cos θ)] = Tn [cos mθ] = cos nmθ = Tnm (cos θ). ii) Para |x| ≤ 1 se sigue f´ acilmente derivando dos veces Tn (cos θ) = cos nθ, pues −Tn0 (cos θ) sen θ = −n sen nθ, Tn00 (cos θ) sen2 θ − Tn0 (cos θ) cos θ = −n2 cos nθ. y para el resto de x se sigue porque (1 − x2 )Tn00 − xTn0 + n2 Tn es un polinomio de grado n que se anula en todo [−1, 1] por tanto en todo R. iii) Es f´ acil ver que < T0 , T0 >= 2 y para el resto < Tm , Tn >= δnm , pues haciendo el cambio de coordenadas x = cos θ, tenemos que Z π Z 1 1 dx = f (cos θ) dθ, f (x) √ 1 − x2 0 −1 y para fm (θ) = cos mθ = Pm (cos θ) y para n 6= m no nulos √ Z nπ √ Z π √ 2 2 cos nθ dθ = cos θ dθ = 0, < T0 / 2, Tn > = π 0 nπ 0 Z 2 π < Tn , Tm > = cos nθ cos mθ dθ = 0, π 0

811

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

pues fk0 (π) = fk0 (0) = 0 para cada fk que adem´as es soluci´on de y 00 + m2 y = 0, por tanto 00 0 (m2 − n2 )fm fn = fn00 fm − fm fn = (fn0 fm − fm fn )0 ,

esto prueba la ortogonalidad de Tn y Tm para n 6= m. Ahora para calcular < Tn , Tn > basta observar que Z π Z nπ Z nπ cos2 nθ dθ = (1/n) cos2 θ dθ = (1/n) sen2 θ dθ, 0

0

0

y se tiene que < Tn , Tn >= 1, pues la suma de las integrales anteriores que son iguales es Z nπ 1 dθ = π, (1/n) 0 Rπ y su semisuma que es 0 cos2 nθ dθ = π/2. iv) Se tiene que cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β ⇒

⇒

cos(nθ + θ) + cos(nθ − θ) = 2 cos θ cos nθ,

por lo tanto tomando x = cos θ Tn+1 = 2xTn − Tn−1 . v) Para x = cos θ T2n (cos θ) = cos 2nθ = Tn (cos 2θ) = Tn (2 cos2 θ − 1). vi) Utilizando la f´ ormula de recurrencia tn+1 Tn+1 − 2xttn Tn − t2 tn−1 Tn−1 = 0, y sumando tenemos (1 − 2tx + t2 )

∞ X

Tn (x)tn = 1 − tx.

n=0

vii) Por inducci´ on y la f´ ormula de recurrencia pues para T0 = 1 y T1 = x se verifica y si hasta n se verifica Tn (cosh x) = cosh nx, para n + 1 tambi´en pues   x   nx   (n−1)x   x e − e−x e − e−nx e − e−(n−1)x e − e−x =2 − Tn+1 2 2 2 2 =

e(n+1)x − e−(n+1)x . 2

812

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Corolario 10.42 Para cada n, ρn Tn (cos θ) son polinomios homog´eneos arm´ onicos de grado n en x, y. Veremos propiedades muy parecidas en el an´alisis del problema de Dirichlet en la esfera (ver 10.6.6, p´ ag.813) Ejercicio 10.6.1 Resolver en el disco unidad la ecuaci´ on ∆u = 0, para: (1)

10.6.5.

u(1, θ) = cos2 θ,

(2)

u(1, θ) = sen3 θ. (Sol.)

Problema de Dirichlet en la esfera

Consideremos la temperatura estacionaria en una esfera de radio 1 con una temperatura determinada en su superficie, es decir consideremos el problema de Dirichlet uxx + uyy + uzz = 0, u(x, y, z) = F (x, y, z),

para x2 + y 2 + z 2 = 1.

Dadas las caracter´ısticas del problema planteamos el problema en coordenadas esf´ericas x = ρ sen θ cos ϕ,

y = ρ sen θ sen ϕ,

z = ρ cos θ,

en las que el laplaciano hemos visto que vale (ver p´ag.770)   2 ∂2 1 ∂2 2 ∂ ∂ 1 1 ∂ ∆= + + + + ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂θ2 sen2 θ ∂ϕ2 tan θ ∂θ Vamos a considerar el caso en que F es constante en ϕ, es decir que es una funci´ on F (θ). Por tanto empezamos buscando soluciones de la forma u(ρ, θ, ϕ) = f (ρ)g(θ), en cuyo caso f y g deben satisfacer la ecuaci´ on ρ2

f0 g 00 g0 f 00 + 2ρ = − − ⇒ f f g g tan θ ρ2 f 00 + 2ρf 0 − λf = 0, cos θ 0 g 00 + g + λg = 0, sen θ

813

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

la primera de las cuales es una ecuaci´ on de Euler y la segunda es (g 0 sen θ)0 + λg sen θ = 0, y si hacemos el cambio de coordenadas x = cos θ y llamamos y(x) = g(θ), ´ n de Legendre esta ecuaci´ on se transforma en la Ecuacio (10.12)

(y 0 (1 − x2 ))0 + λy = 0

10.6.6.

⇒

(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + λy = 0,

La Ecuaci´ on de Legendre.

Si buscamos una soluci´ on de esta ecuaci´ on por el m´etodo de las potencias tendremos y(x) = y 0 (x) = 00

y (x) =

∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X

cn x n , cn nxn−1 ,

−2xy 0 (x) = −

∞ X

2cn nxn ,

n=0

cn n(n − 1)x

n−2

,

2 00

−x y (x) = −

n=0

∞ X

cn n(n − 1)xn ,

n=0

y al sustituir en la ecuaci´ on e igualar a 0, tendremos que los coeficientes de la serie son todos nulos, es decir λcn − 2ncn + (n + 2)(n + 1)cn+2 − n(n − 1)cn = 0, y de aqu´ı obtenemos la f´ ormula de recurrencia cn+2 =

n(n + 1) − λ cn , (n + 1)(n + 2)

de la que obtenemos todos los t´erminos pares a partir de c0 por c2(n+1) = an c2n = an an−1 c2(n−1) = · · · =

n Y i=0

siendo an =

2n(2n + 1) − λ , (2n + 1)(2n + 2)

ai c0 ,

814

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y por tanto c2(n+1) =

n n Y Y c0 2i(2i + 1) − λ [2i(2i + 1) − λ] c0 = , (2i + 1)(2i + 2) (2n + 2)! i=0 i=0

y de un modo similar obtendr´ıamos los t´erminos impares, a partir de c1 . Observamos que si λ = n(n + 1), para alg´ un n par, entonces hay un polinomio soluci´on, que se llama Polinomio de Legendre de orden n, que denotamos con Pn (el u ´nico que satisface Pn (1) = 1), y que s´ olo tiene t´erminos pares, pues los coeficientes pares se anulan a partir del n + 1 y todos los coeficientes impares se anulan si tomamos c1 = 0. Y lo mismo si n es impar, tomando c0 = 0. Esta soluci´ on polin´ omica Pn est´ a definida en todo R, en particular en el x = 1 —recordemos que x = 1 corresponde a θ = 0—. Si por el contrario λ no es de esa forma, todos los coeficientes pares son no nulos a menos que c0 = 0 y los coeficientes impares tambi´en son no nulos a menos que c1 = 0. En cuyo caso la serie converge para |x| < 1, para lo cual basta aplicar por separado el criterio del cociente a las series formadas por los t´erminos impares y por los pares. En cualquier caso las series no convergen en x = 1. Por tanto s´ olo nos interesa el valor de λ = n(n + 1) para el que la ecuaci´ on de Legendre correspondiente tiene soluci´ on Pn . Estos polinomios Pn tienen las siguientes propiedades: F´ ormula de recurrencia. Pn+1 (x) =

2n + 1 n xPn (x) − Pn−1 (x), n+1 n+1

F´ ormula de Rodrigues. Pn (x) =

1 dn 2 (x − 1)n , 2n n! dxn

y adem´ as son ortogonales para el producto interior de L2 [−1, 1], es decir ( Z 1 0, para n 6= m Pn · Pm = Pn (x)Pm (x)dx = 2 −1 2n+1 , para n = m. (remitimos al lector interesado en estas propiedades a las p´agina 243 y 493 del libro de Derrick–Grossman). La ortogonalidad se sigue f´acilmente considerando que son soluci´ on, para λn = n(n + 1), de la ecuaci´on

10.6. Problema de Dirichlet. Ejemplos

815

de Legendre (10.12) (1 − x2 )Pn00 − 2xPn0 = −λn Pn y desarrollando Z Z 00 0 (λn − λm ) Pn Pm = [(1 − x2 )Pm − 2xPm ]Pn − [(1 − x2 )Pn00 − 2xPn0 ]Pm Z 1 0 = [(1 − x2 )(Pm Pn − Pm Pn0 )]0 = 0. −1

Ahora sabiendo que son ortogonales, que P0 = 1 y utilizando la f´ormula de recurrencia n 2n + 1 xPn Pn+1 − Pn−1 Pn+1 , n+1 n+1 n+1 2 2n + 2 xPn+1 Pn − P (x), Pn+2 Pn = n+2 n+2 n 2 Pn+1 =

se tiene por inducci´ on que su norma al cuadrado es 2/2n + 1. Observemos que estos polinomios se pueden definir recurrentemente del siguiente modo, Pn es el u ´nico polinomio de grado n, por tanto que est´ a en En =< 1, x, x2 , . . . , xn >, que tiene la misma L2 –norma y el mismo valor en 1 que el polinomio m´ onico xn , (Pn (1) = 1n = 1), y es ortogonal al espacio En−1 , generado por los polinomios anteriores < 1, x, x2 , . . . , xn−1 >=< 1, P1 , · · · , Pn−1 > . Las series de Fourier–Legendre, es decir del tipo ∞ X

an Pn (x),

n=0

son muy importantes para aproximaciones num´ericas, pues en primer lugar si h = Qn es un polinomio de grado ≤ n, se expresa de forma u ´nica como n X Qn = am Pm (x), m=0

donde dadas las propiedades de ortogonalidad de los Pm , los coeficientes son necesariamente Qn · Pm am = , Pm · Pm y si h es una funci´ on de L2 (en particular si es continua) y elegimos los coeficientes h · Pm bm = , Pm · Pm

816

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

que llamamos coeficientes de Fourier–Legendre relativos a h, tendremos que para cada n el polinomio pn (x) =

n X

bm Pm (x),

m=0

es de grado n y h − pn es ortogonal al espacio En generado por los polinomios de grado ≤ n, pues (h − pn ) · Pi = (h −

n X

am Pm (x)) · Pi = h · Pi − ai Pi · Pi = 0,

m=0

y por lo tanto pn es la aproximaci´ on ´ optima (por m´ınimos cuadrados) de h entre los polinomios p ∈ En , de grado ≤ n, pues por lo anterior (h − pn ) · p = 0, por lo tanto h · p = pn · p y (h − p) · (h − p) = h · h − 2h · p + p · p = h · h − 2pn · p + p · p = h · h − pn · pn + (pn − p) · (pn − p), y la expresi´ on alcanza el valor m´ınimo cuando p = pn . Volviendo a nuestro problema inicial, consideremos el caso en que λ = n(n + 1), para el que tenemos las ecuaciones ρ2 f 00 + 2ρf 0 − n(n + 1)f = 0, 0

(g sen θ)0 + n(n + 1)g sen θ = 0, las cuales tienen soluci´ on —aplicando tambi´en en la primera el m´etodo de las potencias— f (ρ) = ρn ,

g(θ) = Pn (cos θ),

y las combinaciones finitas de ρn Pn (cos θ), son soluciones. Ahora es de esperar que eligiendo convenientemente coeficientes ci , la serie ∞ X cn ρn Pn (cos θ), n=0

10.7. Teoremas fundamentales

817

converja a una soluci´ on que para ρ = 1 coincida con F (θ). Y esto es as´ı, si F es continua, eligiendo los cn como los coeficientes de Fourier– Legendre de h(x) = F (θ). Remitimos al lector a la p´agina 206 del Weinberger, para los detalles. De modo similar a lo visto en (10.42), p´ ag.812, se demuestra por inducci´ on que cada ρn Pn (cos θ) es un polinomio, pues por ejemplo para los tres primeros P0 = 1, P1 = x y P2 = 3x2 /2 − 1/2, se tiene ρ0 P0 = 1,

ρP1 (cos θ) = z,

ρ2 P2 (cos θ) =

3z 2 x2 + y 2 + z 2 − . 2 2

Proposici´ on 10.43 Para cada n, ρn Pn (cos θ) es un polinomio homog´eneo arm´ onico en x, y, z. Demostraci´ on. Por inducci´ on utilizando la f´ormula de recurrencia, pues si hasta n, ρn Pn es polinomio de grado n tambi´en ρn+1 Pn+1 , pues 2n + 1 n n+1 cos θρn+1 Pn − ρ Pn−1 , n+1 n+1 2n + 1 n n = zρ Pn − (x2 + y 2 + z 2 )ρn−1 Pn−1 n+1 n+1

ρn+1 Pn+1 =

Por u ´ltimo es de se˜ nalar que (ver p´ ag. 208 del Weinberger) ∞ X

1 , ρn Pn (cos θ) = p 1 + ρ2 − 2ρ cos θ n=0 fracci´ on de la que hemos desarrollado algunos t´erminos en la p´ag.786.

10.7.

Teoremas fundamentales

Consideremos dos abiertos U, Ω ⊂ Rn , con Ω ⊂ Ω ⊂ U una variedad con borde, cuyo borde S = ∂Ω est´e en las condiciones del Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994, por ejemplo que sea una variedad (n − 1)– dimensional salvo en un conjunto de medida nula. Nuestro inter´es radica

818

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

en estudiar la unicidad de soluci´ on de los tres problemas enunciados en la p´ ag.797, para la ecuaci´ on algo m´ as general ∆u = P · u, para P ≥ 0 una funci´ on de U no negativa.

10.7.1.

Identidades de Green.

P Para cada funci´ on f y cada campo E = ei ∂xi , X X X div(f E) = (f ei )xi = fxi e i + f eixi = grad f · E + f div E, ∆f = div grad f, y que si T es un campo tangente y ∂n es el campo unitario ortogonal exterior a S, entonces iT ω|S = (T · ∂n )i∂n ω, pues eligiendo D1 = ∂n , D2 , . . . , Dn una base ortonormal deP campos bien orientada, con D2 , . . . , Dn tangentes a S, tendremos T = (T · Di )Di y si h es tal que en S, iT ω = hi∂n ω, entonces aplicando ambos lados a D2 , . . . , Dn tendremos h = ω(T, D2 , . . . , Dn ) = T · D1 = T · ∂n , por lo que dadas dos funciones u, v ∈ C 2 (U ), tendremos por el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994, llamando D = grad u, Z Z Z v ∂n u ds = v(D · ∂n ) ds = (vD) · ∂n i∂n ω ∂Ω ∂Ω Z∂Ω Z Z = ivD ω = d(ivD ω) = div(vD) ω C Ω Z∂Ω = (grad v · grad u + v∆u) ω. Ω

En definitiva tenemos la Primera identidad de Green, Z Z (10.13) (grad v · grad u + v∆u) dx = v(∂n u) ds, Ω

∂Ω

819

10.7. Teoremas fundamentales

de donde se sigue la Segunda identidad de Green Z Z (10.14) (v∆u − u∆v) dx = (v(∂n u) − u(∂n v)) ds, Ω

∂Ω

(donde recordemos que ∂n debe ser ortonormal y exterior a Ω) y por lo tanto si u y v son arm´ onicas tendremos que Z Z (10.15) v(∂n u) ds = u(∂n v) ds. ∂Ω

∂Ω

Corolario 10.44 Sea u ∈ C 1 (U ) y arm´ onica en Ω ⊂ Ω ⊂ U , entonces u=0

en S = ∂Ω

⇒

u=0

∂n u = 0

en S = ∂Ω

⇒

u = cte

en Ω en Ω.

Demostraci´ on. Tomando u = v en la identidad de Green.

10.7.2.

Unicidad de soluci´ on en PVF

Tras estos preliminares vamos a estudiar en qu´e casos podemos asegurar la unicidad de soluci´ on del PVF7 ∆u = P · u,

(10.16)

satisfaciendo una de las tres condiciones frontera u = f,

en ∂Ω,

∂n u = f,

en ∂Ω,

∂n u + αu = f,

en ∂Ω, para α > 0,

(de existir). (En 10.7.5, p´ ag.824 veremos que la unicidad en el primero se da en condiciones generales para el borde, sin que sea variedad.) Supongamos que hay dos soluciones u1 y u2 , entonces u = u1 − u2 satisface la misma ecuaci´ on ∆u = P u, con la correspondiente condici´on frontera para f = 0. Entonces en cualquiera de las tres condiciones frontera tendremos que Z Z (| grad u|2 + P u2 )ω = u(∂n u) i∂n ω, Ω 7 PVF=problema

con valores frontera

∂Ω

820

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y para la primera y segunda condiciones tendremos que, por ser P ≥ 0 # 2 2 Z "X n  n  X ∂u ∂u 2 + Pu ω = 0 ⇒ + P u2 = 0, ∂xi ∂x i Ω i=1 i=1 lo cual implica que u es constante y si en un punto x ∈ Ω es P (x) > 0, entonces u(x) = 0 y por ser constante u = 0, por tanto la soluci´on es u ´nica, mientras que en el caso P = 0 tendremos que u es constante pues tiene todas las derivadas nulas, por lo tanto u = 0 para la primera condici´ on frontera y es constante para la segunda, es decir que dos soluciones del problema de Newmann difieren en una constante. Para la tercera condici´ on frontera tenemos que # 2 Z "X Z n  ∂u 2 ∂n u = −αu ⇒ + Pu ω + αu2 i∂n ω = 0, ∂x i Ω i=1 ∂Ω y tenemos que u = 0 en ∂Ω y como por otra parte u es constante, tendremos que u = 0 y la soluci´ on es u ´nica. Ejercicio 10.7.1 (1) La soluci´ on u para la ecuaci´ on 10.16, con P > 0, no puede alcanzar un m´ aximo positivo ni un m´ınimo negativo en el abierto acotado Ω. (2) Como consecuencia demostrar la siguiente versi´ on del principio del m´ aximo: si M1 ≤ u ≤ M2 en ∂Ω, con M1 < 0 y M2 > 0, entonces M1 ≤ u ≤ M2 en Ω. (3) Comprobar que para M1 < M2 arbitrarias en general no es cierto el resultado. (4) Demostrar que (de existir) la soluci´ on u, es continua respecto de su valor f en la frontera. (Sol.)

10.7.3.

Teorema de Gauss

En los t´erminos de la lecci´ on anterior tenemos que para v = 1 en 10.13, se tiene Z Z (10.17) ∂n u ds = ∆u dx, ∂Ω

Ω

lo cual tambi´en es consecuencia del Teorema de la divergencia (14.20), p´ ag.1002, e implica el siguiente resultado. Teorema de Gauss 10.45 Si u ∈ C 1 (U ) es arm´ onica en Ω, con Ω ⊂ U , entonces Z ∂n u ds = 0. ∂Ω

10.7. Teoremas fundamentales

821

Ejercicio 10.7.2 Demostrar que si denotamos con ∂n el campo unitario normal exterior a las esferas centradas en el origen, entonces Z Z i∂n ω = rn−1 vol[S(0, 1)]. (Sol.) vol[S(0, r)] = i∂n ω = rn−1 S(0,r)

S(0,1)

F´ ormula de representaci´ on de Green 10.46 En las condiciones del tema con dos abiertos U, Ω ⊂ Rn , con Ω ⊂ Ω ⊂ U una variedad con borde, cuyo borde S = ∂Ω est´e en las condiciones del Teorema de Stokes, sea u una funci´ on arm´ onica en U , entonces para cada x ∈ Ω se tiene: para n ≥ 3 y v(x, y) = 1/kx − ykn−2 Z 1 u(x) = [v(∂n u) − u(∂n v)] ds, (n − 2) vol[S(0, 1)] ∂Ω y para n = 2 y v = log(1/kx − yk), Z 1 u(x) = [v(∂n u) − u(∂n v)] ds. 2π ∂Ω Demostraci´ on. (Haremos la demostraci´ on para n 6= 2). Sea x ∈ Ω y r > 0 tal que B[x, r] ⊂ Ω y consideremos una variedad con borde Ω0 = Ω\B(x, r), con borde ∂Ω∪S(x, r). Ahora si ∂n es el campo unitario y ortogonal exterior al borde, que en S(x, r) apunta hacia el interior de la esfera y por tanto es −N , para   n X yi − xi ∂ 2−n N= ⇒ Nv = , kx − yk ∂yi kx − ykn−1 i=1 se sigue del Teorema de Gauss y de (10.15), por ser v arm´onica fuera de x (ver el ejemplo (10.1.1)), que Z Z [v(∂n u) − u(∂n v)] ds = [v(N u) − u(N v)] ds = ∂Ω S(x,r) Z n−2 = n−1 u ds ⇒ r S(x,r) Z 1 [v(∂n u) − u(∂n v)] ds = (n − 2) vol[S(0, 1)] ∂Ω Z 1 = n−1 u ds r vol[S(0, 1)] S(x,r) Z 1 = u ds = u(x), vol[S(x, r)] S(x,r)

822

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

pues es constante y es a lo que tiende cuando r → 0. Nota 10.47 Observemos que el resultado anterior dice que en dimension n = 3 toda funci´ on arm´ onica u es  Z  1 ∂n u u(x) = − u(∂n v) ds, 4π ∂Ω kx − yk suma de un potencial de capa simple en ∂Ω, de densidad ρ = ∂n u/4π y de un potencial de capa doble de momento −(u/4π) ∂n .

10.7.4.

Teoremas del valor medio

Teorema del valor medio I 10.48 El valor de una funci´ on arm´ onica de un abierto U , en un punto, es el valor medio de la funci´ on sobre la superficie de una bola centrada en el punto que est´e dentro de U . Demostraci´ on. Por el resultado anterior pues la primera expresi´on no depende de r, por tanto la u ´ltima es constante en r. Teorema del valor medio II 10.49 El valor de una funci´ on arm´ onica de un abierto U , en un punto, es el valor medio de la funci´ on en una bola centrada en el punto, que est´e dentro de U . Demostraci´ on. Es una simple consecuencia del resultado anterior unido a que para cualquier funci´ on f Z Z ∂ fω= f i∂n ω. ∂r B(x,r) S(x,r) demostrado en el ejercicio (11.4.1), p´ ag.910, pues se tiene que Z Z ∂ ω = u(x) i∂n ω u(x) ∂r B(x,r) S(x,r) Z Z ∂ = u i ∂n ω = u ω, ∂r B(x,r) S(x,r) y el resultado se sigue integrando. Corolario. Teorema de Liouville 10.50 Toda funci´ on arm´ onica en Rn no negativa es constante.

10.7. Teoremas fundamentales

823

Demostraci´ on. Si m es la medida de Lebesgue y m(B) la medida de la bola unidad, m(B[x, r]) = rn m(B) y por el resultado anterior se tiene Z 1 u(x) = n u dm, r m(B) B(x,r) por tanto para x 6= y, z = (x + y)/2, s = kx − yk/2 y A∆B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B)

Figura 10.13.

|u(x) − u(y)| =

= ≤ ≤

Z Z 1 u dm − u dm rn m(B) B(x,r) B(y,r) Z Z 1 u dm − u dm n r m(B) B(x,r)∩B(y,r)c c B(y,r)∩B(x,r) Z 1 u dm n r m(B) B(x,r)∆B(y,r) Z 1 u dm rn m(B) B(z,r+s)\B(z,r−s) u(z)m(B) ((r + s)n − (r − s)n ) rn m(B) h s n  s n i − 1− → 0, = u(z) 1 + r r

=

cuando r → ∞, lo cual implica que u(x) = u(y). Ejercicio 10.7.3 Principio del m´ aximo. Demostrar como consecuencia del teorema del valor medio que si u es arm´ onica en un abierto conexo U : (i) Si alcanza un m´ aximo (´ o m´ınimo) en U , entonces es constante. (ii) Que si U es

824

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

aximo y el m´ınimo en ∂U (sin acotado y u ∈ C(U ), entonces u alcanza el m´ condiciones de regularidad). (Sol.) Ejercicio 10.7.4 Demostrar que si U es un abierto acotado y u ∈ C(U ), entonces para S = ∂U arbitrario ∆u = 0,

en U ,

u|S = 0

⇒

u = 0.

Ejercicio 10.7.5 Problema de Dirichlet. (i) Unicidad. Demostrar que dada una funci´ on f ∈ C(∂U ), para U abierto conexo acotado, si existe es u ´nica la funci´ on arm´ onica en U , u ∈ C(U ), que satisface u = f en ∂U (sin condiciones de regularidad). (ii) Dependencia continua. Demostrar que si existe la soluci´ on ui del Problema de Dirichlet para f = fi (i = 1, 2), entonces para la norma infinito (del supremo) respectivamente en U y en S = ∂U , se tiene que ku1 − u2 k∞,U ≤ kf1 − f2 k∞,S .(Sol.) Ejercicio 10.7.6 Demostrar que toda funci´ on arm´ onica en Rn integrable es nula. (Sol.) Ejercicio 10.7.7 Demostrar que si u es el potencial de una densidad de cargas R ρ ∈ Cc1 (R3 ) y q = ρ, es la carga total, entonces el valor medio de u en cualquier esfera de radio r que contenga toda la carga es q/r. (Sol.)

10.7.5.

Rec´ıproco del Teorema del valor medio

A continuaci´ on veremos que las funciones arm´onicas son las u ´nicas que tienen la propiedad del valor medio, pero antes veremos unos resultados previos. P Si consideramos en Rn el campo de las homotecias H = xi ∂xi y en el abierto denso An complementario del cerrado C = {x1 ≥ 0, x2 = 0}, las coordenadas hiperesf´ericas F = (ρ, θ1 , . . . , θn−1 ) : An ⊂ Rn → (0, ∞) × (0, 2π) × (0, π)n−2 xn = ρ cos θn−1 , xn−1 = ρ cos θn−2 sen θn−1 , .. .. . . x2 = ρ cos θ1 sen θ2 · · · sen θn−1 , x1 = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−1 ,

10.7. Teoremas fundamentales

825

pP x2i , entonces Hρ = ρ y Hθi = 0 (pues Hxn = xn , Hρ = ρ, para ρ = por lo que Hθn−1 = 0 y por inducci´ on sabiendo que Hxi = xi ). Por tanto H = ρ∂ρ y N = ∂ρ = H/ρ es el campo unitario ortogonal exterior a las esferas centradas en el origen. Denotaremos por φ = (θ1 , . . . , θn−1 ) : S 0 = An ∩ Sn−1 → (0, 2π) × (0, π)n−2 el difeomorfismo que nos da los ´ angulos correspondientes a los puntos de la esfera unidad. En cuyo caso F (x) = (ρ, φ(x/ρ)) Proposici´ on 10.51 En los t´erminos anteriores existe una u ´nica n − 1– forma, Θn−1 = f (θ1 , . . . , θn−1 )dθ1 ∧ · · · ∧ dθn−1 , que s´ olo depende de las variables angulares θi , tal que para ωn = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , iN ωn = ρn−1 Θn−1 ,

ωn = ρn−1 dρ ∧ Θn−1 .

Demostraci´ on. Definimos Θn−1 = ρ1−n iN ωn (por la primera igualdad) y para ver que no depende de ρ basta demostrar que iN Θn−1 = 0,

N L Θn−1 = 0.

Lo primero y lo segundo, tomando D = ρ1−n N para el que P es obvio n div D = (xi /ρ )xi = 0, se sigue pues N L Θn−1 = N L (iD ωn ) = iN d(iD ωn ) + d(iN (iD ωn )) = iN d(iD ωn ) = iN (DL ωn ) = (div D)iN ωn = 0. La segunda igualdad del enunciado se sigue de que dρ ∧ ωn = 0, por tanto 0 = iN (dρ ∧ ωn ) = ωn − dρ ∧ iN ωn .

En estos t´erminos se tiene que en la esfera unidad Sn−1 ⊂ Rn , la medida est´ andar est´ a dada por esta n − 1–forma, Z Z Z (10.18) σ(A) = iN ωn = ρn−1 Θn−1 = Θn−1 A A ZA = f (θ)dθ1 . . . dθn−1 , φ(A)

826

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Corolario 10.52 Para toda funci´ on g diferenciable8 e integrable en Rn , Z Z ∞Z g(x)dx1 · · · dxn = g(ρy)ρn−1 dσdr. 0

Sn−1

Demostraci´ on. Por el resultado anterior (10.51), tenemos para g = F ∗ (˜ g ), que Z Z Z g(x)dx = gωn = gρn−1 dρ ∧ Θn−1 An An Z = g˜ρn−1 f (θ)dρdθ1 · · · dθn−1 (0,∞)×(0,2π)×(0,π)n−2 ∞Z n−1

Z =

g˜ρ

0

dσ dρ.

S0

Lema 10.53 Toda funci´ on u ∈ C(Ω), continua en un abierto Ω ⊂ Rn , que satisfaga la propiedad del valor medio en todo punto x ∈ Ω, es decir que para todo r > 0, tal que B[x, r] ⊂ Ω, satisfaga Z 1 u(x) = u(y) dy, mn−1 [S(x, r)] S(x,r) es de clase ∞. Demostraci´ on. Consideremos una funci´ on no negativaR f ∈ Cc (R), con sop f ⊂ (−1, 1) y ϕ : Rn → R, ϕ(x) = f (|x|), tal que ϕ(x) dx = 1 (esa integral ser´ıa un n´ umero positivo a y bastar´ıa considerar f /a). Entonces sop ϕ ⊂ B[0, 1] y para las funciones ϕ (x) = −n ϕ(−1 x) de soporte sop ϕ ⊂ B[0, ] y por lo tanto la funci´on en y, ϕ (x − y) tiene el soporte en la bola B[x, ], por lo tanto si consideramos r > 0 tal que B[x, r] ⊂ Ω y  = r/2, entonces para todo p ∈ B(x, ), la funci´on en y, ϕ (p − y) tiene el soporte en la bola B[p, ] ⊂ B[x, r], adem´as ! Z Z 1 Z n−1 u(p) = u(p) ϕ(x) dx = u(p) ϕ(ry)r dy dr 0

Z = u(p)

S[0,1]

1

f (r)rn−1 mn−1 [S(0, 1)]dr =

0

Z =

Z

1

u(p)f (r)mn−1 [S(0, r)] dr 0

1

u(p)f (r)1−n mn−1 [S(0, r)] dr

0 8 Remitimos al lector interesado en este resultado en el contexto de Teor´ ıa de la Medida, a nuestros Apuntes de Teor´ıa de la Medida.

10.7. Teoremas fundamentales

Z

1

Z

1−n u(p − y) dy f (r) dr

= 0

Z

827

!

S(0,r) 1

Z u(p − ry)r

f (r) dydr = u(p − x)ϕ(x) dx B(0,1) Z u(p − x)ϕ(−1 x)−n dx = u(p − x)ϕ (x) dx

= 0

Z

n−1

S(0,1)

Z = B(0,)

Z =

u(x)ϕ (p − x) dx,

y se puede derivar bajo el signo integral cuantas veces queramos pues on continua, por tanto u es de clase ϕ ∈ Cc∞ y el resultado es una funci´ ∞. Teorema 10.54 En los t´erminos del Lema anterior toda funci´ on u continua que satisfaga la propiedad del valor medio en todo punto de su dominio abierto Ω, es arm´ onica en ´el. Demostraci´ on. Por el resultado anterior u es de clase 2, por tanto basta demostrar que ∆u = 0. Sea p ∈ Ω y r0 > 0 tal que B[p, r0 ] ⊂ Ω, entonces para r ≤ r0 la propiedad del valor medio implica que Z Z u(p + ry) dy = r1−n u(p + y) dy = u(p)mn−1 (S[0, 1]), S[0,1]

S[0,r]

por lo que se tiene para N el campo unitario exterior normal a las esferas centradas en p Z Z ∂ d u(p + ry) dy = u(p + ry) dy 0= dr S[0,1] S[0,1] ∂r Z Z X X = yi uxi (p + ry) dy = r−1 yi uxi (p + y)r1−n dy S[0,1] S[0,r] Z Z = r1−n N u(y) dy = r1−n ∆u(x) dx, S[p,r]

B[p,r]

y como esto es cierto para todo punto p y toda bola tendremos ∆u = 0.

10.7.6.

Regularidad de las funciones arm´ onicas

A continuaci´ on demostraremos que toda funci´on arm´onica es anal´ıtica real.

828

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Lema 10.55 Si u es arm´ onica en un abierto U ⊂ Rn en el que est´ a acotada |u(x)| ≤ C, entonces para cada x ∈ U  n |α| |Dα u(x)| ≤ C |α||α| , δ para δ = m´ın{kx − yk : y ∈ ∂U } = d(x, U c ). Demostraci´ on. Lo haremos por inducci´ on en |α|. Para |α| = 1 sea r < δ y apliquemos el teorema del valor medio a la funci´on arm´onica uxi Z 1 ux ω uxi (x) = vol[B(x, r)] B(x,r) i Z 1 ∂ L = n (uω) r vol[B(0, 1)] B(x,r) ∂xi Z 1 i ∂ (uω) = n r vol[B(0, 1)] S(x,r) ∂xi Z 1 ∂ = n u< , ∂n > i∂n ω, r vol[B(0, 1)] S(x,r) ∂xi ahora por el ejercicio (11.4.1), p´ ag.910, tenemos que Z 1 |u|i∂n ω |uxi (x)| ≤ n r vol[B(0, 1)] S(x,r) n C nrn−1 vol[B(0, 1)] = C , ≤ n r vol[B(0, 1)] r y como esto es cierto para todo r < δ el resultado se sigue. Supongamos ahora que el resultado es cierto para todo |β| = k − 1, con k ≥ 2 y demostr´emoslo para |β| = k, para ello consideremos r < δ = d(x, U c ), un |β| = k − 1 y un y ∈ B[x, r/k], entonces la distancia δy = d(y, U c ) ≥ r − r/k y por la hip´ otesis de inducci´on se tiene que  |β| n |Dβ u(y)| ≤ C |β||β| δy  k−1  k−1 nk nk k−1 ≤C (k − 1) =C , (k − 1)r r y aplicando de nuevo el teorema del valor medio como en la primera parte, en la B[x, r/k], tendremos que  k−1    n k ∂ β nk n | D u(x)| ≤ C =C kk , ∂xi r r/k r

10.7. Teoremas fundamentales

829

y como esto es cierto para todo r < δ el resultado se sigue. Teorema 10.56 Si u es una funci´ on arm´ onica en un abierto U , entonces u ∈ C ω (U ). Demostraci´ on. Por nuestro teorema de caracterizaci´on de las funciones anal´ıticas, basta demostrar que para cada compacto K ⊂ U existen constantes M, r > 0 tales que para todo multi´ındice α y x ∈ K |Dα u(x)| ≤ M r−|α| |α|!. ´ rmula de Stirling que existe una Ahora bien se sigue de la fo constante k > 0 tal que para todo m ∈ N mm ≤ k em m!, por lo tanto se sigue del lema anterior que tomando M = Ck,

r=

d(K, U c ) , e ·n

se tiene en K que α



n d(K, U c )

|α|



n d(K, U c )

|α|

|D u(x)| ≤ C ≤C

|α||α| k e|α| |α|!

= M r−|α| |α|!.

10.7.7.

Teorema de Picard

Como consecuencia de (10.46) tambi´en podemos demostrar el siguiente resultado sobre potenciales Newtonianos–Electrost´aticos. Teorema de Picard 10.57 Si u es una funci´ on arm´ onica en un abierto U = R3 \{p1 , . . . , pn } satisfaciendo l´ım

kx−pi k→0

u(x) = ∞,

´ o = −∞,

y que existe un λ0 > 0, tal que para cada p ∈ R3 , con kpk = 1, la funci´ on u(pi + λ−1 p) es estrictamente creciente (´ o decreciente) en λ ≥ λ0 . Entonces en U q1 qn u(x) = + ··· + + v(x), r1 rn

830

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

con v arm´ onica en R3 las qi ∈ R y ri (x) = kx − pi k. Demostraci´ on. De la hip´ otesis se sigue que para todo M > 0, existe un  > 0 tal que ky − pi k ≤ 

⇒

u(y) ≥ M,

o ´

u(y) ≤ −M,

y diremos que el punto pi es “positivo” en el primer caso y “negativo” en el segundo. Sea x ∈ U y consideremos un r > kxk y un δ < kx − pi k tales que B = ∪ni=1 B(pi , δ) ⊂ ∪ni=1 B[pi , δ] ⊂ B(0, r), ahora consideremos el m´ aximo Mr de |u| en B[0, r]\B (el cual se alcanza en el borde) y para M > Mr consideremos las n superficies Si = {y ∈ B[pi , δ] : u(y) = M }, (si pi es positivo y . . . u(y) = −M si es negativo). Tales superficies son el borde de {y ∈ B[pi , δ] : u(y) ≥ M }, que contiene a pi en su interior. Consideremos el dominio C limitado por las superficies S(0, r) y las Si , en cuyo interior est´ a x y apliquemos el teorema (10.46), tendremos por tanto que Z 1 u(x) = [v(∂n u) − u(∂n v)] ds 4π ∂C Z 1 = [v(∂n u) − u(∂n v)] ds+ 4π S(0,r) n Z 1 X [v(∂n u) − u(∂n v)] ds, + 4π i=1 Si donde v(y) = 1/kx − yk. Ahora derivando el primer sumando Z u ¯(x) = [v(∂n u) − u(∂n v)] ds, S(0,r)

respecto de las xi y observando que en el integrando ni u ni ∂n u dependen de x, vemos que es una funci´ on arm´ onica en {kxk = 6 r}, adem´as que no depende de r por la segunda identidad de Green (10.14) ya que ∆u = ∆v = 0 en {r ≤ kxk ≤ r0 }, por tanto u ¯ es arm´onica en R3 . El otro sumando, por ser u = cte y el teorema de Gauss es Z Z [v(∂n u) − u(∂n v)] ds = v(∂n u) ds, Si

Si

10.8. Arm´ onicos esf´ ericos

831

ahora como Si → {pi } cuando M → ∞ y por el teorema de Gauss la R ∂ u ds = ki no depende de M , pues u es arm´onica entre dos superSi n ficies Si del punto pi , correspondientes a dos valores de M , tendremos que Z ki l´ım v(∂n u) ds = v(pi )ki = , M →∞ S kx − pi k i y para qi = ki /4π se sigue el resultado. Corolario 10.58 En las condiciones anteriores si adem´ as u se anula en el infinito, es decir l´ımkxk→∞ u(x) = 0, entonces v = 0 y u(x) =

q1 qn + ··· + . r1 rn

Demostraci´ on. Es un simple ejercicio.

10.8.

Arm´ onicos esf´ ericos

Veamos de donde salen los polinomios homog´eneos arm´onicos que hemos visto en (10.42), p´ ag.812 y en (10.43), p´ag.817. Sea Pk el espacio de los polinomios homog´eneos de grado k en Rn y sea Hk = {u ∈ Pk : ∆u = 0}, Hk = {u|S : u ∈ Hk } es decir los polinomios homog´eneos arm´ onicos y su restricci´on a la esfera unidad. A estos u ´ltimos los llamamos arm´ onicos esf´ericos de grado k. La aplicaci´ on restricci´ on de Hk → Hk es isomorfismo pues tiene inversa que es   x k u → u(x) = |x| u . |x| P 2 Ahora para r2 = xi ∈ P2 se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 10.59 Pk = Hk ⊕ r2 Pk−2 . Demostraci´ on. Consideremos el siguiente producto escalar en Pk , P P para P, Q ∈ Pk , P = cα xα y DP = cα Dα < P, Q >= DP (Q) ∈ R,

832

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

obviamente es lineal en cada componente, y para P = xα , Q = xβ , se tiene (ver el ejercicio (8.2.2), p´ ag.620) ( α!, si β = α α β α β < x , x >= D x = 0, si β 6= α. por tanto en general, X X X < cα xα , dα xα >= α!cα dα , y es un producto interior. Por u ´ltimo se tiene que si P ∈ Pk−2 y Q ∈ Hk , entonces < r2 P, Q >=< P, ∆Q >, y Q es ortogonal a todos los r2 P sii es arm´ onica, lo cual significa que r2 Pk−2 tiene como complemento ortogonal a Hk , ahora basta considerar para cada elemento de Pk su proyecci´ on ortogonal en r2 Pk−2 y su diferencia est´ a en Hk . Corolario 10.60 Pk = Hk ⊕ r2 Hk−2 ⊕ r4 Hk−4 ⊕ · · · Corolario 10.61 La restricci´ on a la esfera unidad de un polinomio homog´eneo de grado k es una suma de polinomios homog´eneos arm´ onicos de grados k − 2i. Lema de Euler 10.62 Para H ∈ D(Rn ) el campo de las homotecias y f ∈ Pk , Hf = kf . Demostraci´ on. Basta derivar respecto de t, en t = 1, en la igualdad f (tx) = tk f (x). Teorema 10.63 Sea S la esfera unidad de Rn , entonces L2 (S) = ⊕∞ k=0 Hk , donde la suma directa es ortogonal respecto del producto escalar de L2 (S). Demostraci´ on. Por (10.61) y el Teorema de aproximaci´on de Weierstrass (ver Folland), el subespacio generado por los arm´onicos esf´ericos es denso en L2 (S). Basta demostrar que si fj ∈ Hj y fk ∈ Hk , entonces < fj , fk >L2 (S) = 0. Sean Fj ∈ Hj y Fk ∈ Hk respectivamente sus extensiones arm´ onicas, entonces por la segunda identidad de Green, el Lema

10.9. Principio de Dirichlet

833

de Euler y para B la bola unidad centrada en el origen y S la esfera, como H = ∂n para la esfera Z Z 0= (Fj ∆Fk − Fk ∆Fj ) = (Fj (HFk ) − Fk (HFj ) B S Z = (j − k) fk fj . S

10.9.

Principio de Dirichlet

En los t´erminos de la lecci´ on 10.7.2, se tiene. Definici´ on. Llamamos integral de Dirichlet en Ω de una funci´on u a Z I(u) = < grad u, grad u > ω. Ω

El siguiente resultado establece que si entre todas las funciones v definidas en un abierto Ω, que coinciden en ∂Ω, hay alguna arm´onica, esta alcanza el m´ınimo de las integrales de Dirichlet, I(v). Principio de Dirichlet 10.64 Si ∆u = 0 y u = v en ∂Ω, entonces I(u) ≤ I(v). Demostraci´ on. En primer lugar tenemos como consecuencia de la ecuaci´ on (10.13), p´ ag.818, que si u es arm´ onica y u − v = 0 en ∂Ω, entonces Z < grad(u − v), grad u > ω = 0, Ω

R

< grad v, grad u > ω y por tanto Z 0 ≤ I(u − v) = I(u) − 2 < grad v, grad u > ω + I(v)

lo cual implica que I(u) =

Ω

Ω

= I(v) − I(u).

834

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Por otra parte observemos que nuestro funcional I(u) corresponde al problema variacional definido por la lagrangiana X L(x1 , . . . , xn , z1 , . . . , zn ) = zi2 , pues queremos minimizar Z I(u) =

< grad u, grad u > ω =

Z "X n

Ω

Ω

# u2xi

Z L(xi ; uxi )ω

ω= Ω

i=1

y la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange correspondiente es precisamente la Ecuaci´ on de LaPlace, X ∂ Lz (xi , uxi ) = 0 ∂xi i

⇔

X

uxi xi = 0.

por tanto si el m´ınimo se alcanza en una funci´on u, esta satisface la ecuaci´ on de Euler-Lagrange, por tanto la de LaPlace y u es arm´onica. Por otra parte observemos que entre las funciones de C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) podemos definir un producto interior Z u·v = grad u · grad v, Ω

si identificamos funciones que difieran en una constante, pues Z 0 = u · u = | grad u|2 ⇒ uxi = 0 ⇒ u = cte. En estos t´erminos nuestro problema original consistente en encontrar (para S = ∂Ω), la soluci´ on de ∆u = 0

en

Ω,

u|S = f,

para una funci´ on dada f ∈ C 1 (S), se reduce a considerar el subespacio af´ın A = {u ∈ C 1 (Ω) : u|S = f }, y el subespacio (direcci´ on del anterior) V = {u ∈ C 1 (Ω) : u|S = 0},

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

835

para los que A = u0 + V, para cualquier u0 ∈ A; y para ellos encontrar el u ∈ A de m´ınima norma Z √ kuk = u · u = | grad u|2 dx. Ω

Si nuestro espacio prehilbertiano, en el que hemos definido el producto interior, fuese completo y nuestro subespacio cerrado, el problema estar´ıa resuelto. Pero no es as´ı y el problema debemos afrontarlo de otro modo.

10.10.

Introducci´ on a las distribuciones

Sea U ⊂ R3 un abierto y consideremos el espacio de las funciones en U de clase infinito y soporte compacto Cc∞ (U ) = {f : U → R : f ∈ C ∞ (U ), sop f compacto}, el cual tiene una estructura topol´ ogica natural, pues si consideramos para cada compacto K ⊂ U , C0∞ (K) = {f ∈ Cc∞ (U ), sop f ⊂ K}, en el que consideramos la topolog´ıa de la convergencia uniforme de las funciones y de todas sus derivadas (ver p´ ag.8), en cuyos t´erminos ∞ Cc∞ (U ) = ∪K⊂U C0∞ (K) = − l´ım → C0 (K),

con la topolog´ıa l´ımite inductivo. Definici´ on. Llamamos distribuci´ on (en el sentido de An´alisis Funcional) a todo funcional lineal y continuo en este espacio Φ : Cc∞ (U ) → R. Denotamos con D0 (U ) el espacio de las distribuciones.

836

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Proposici´ on 10.65 (Ver Rudin, p.146) Un funcional lineal Φ : Cc∞ (U ) → R. es una distribuci´ on sii Φ restringido a cada espacio C0∞ (K) es continuo sii para todo compacto K existe un n ∈ N y una constante c < ∞, tales que9 |Φ(f )| ≤ c pn (f ), para toda f ∈ C0∞ (K). Ejemplo 10.10.1 Sea h ∈ L1 (U ) o localmente integrable, en el sentido de que lo es en todo compacto, por ejemplo si h ∈ C(U ), entonces Z ∞ Φh : Cc (U ) → R, Φh (ρ) = ρ · h dx, U

es una distribuci´ on. Ejemplo 10.10.2 Sea µ una medida de Borel en U , finita en los compactos, entonces Z ∞ Φµ : Cc (U ) → R, Φµ (ρ) = ρ dµ, U

es una distribuci´ on. Ejemplo 10.10.3 En particular para µ la medida de Dirac en y, es decir δy (B) = 1 si y ∈ B y δy (B) = 0 en caso contrario, para cada Boreliano B ⊂ U , define la distribuci´ on Φδy (ρ) = ρ(y). Ejemplo 10.10.4 Para y ∈ U fijo, 1/kx − yk, que por (10.20) es localmente integrable en x ∈ U , define una distribuci´on que es Z 1 ρ(x) · dx = u(y), kx − yk U donde u es la funci´ on potencial de densidad de carga ρ. Ahora si f ´ o g ∈ Cc∞ (U ) entonces Z Z f gxi dx = − fxi g dx, U

U

esto justifica la siguiente definici´ on. 9 Las

normas pn en C0∞ (K), est´ an definidas en la p´ ag. 8.

837

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

Definici´ on. Dada una distribuci´ on Φ definimos su derivada parcial respecto de xi como la distribuci´ on que sobre cada ρ ∈ Cc∞ (U ) vale Z Z Φxi (ρ) = ρΦxi dx = − ρxi Φ dx = −Φ(ρxi ). U

U

Por tanto una distribuci´ on es infinitamente diferenciable y para todo operador diferencial lineal P homog´eneo de orden m Z Z P (Φ)(ρ) = ρP (Φ) dx = (−1)m P (ρ)Φ dx = (−1)m Φ[P (ρ)], U

U

en particular para el operador de Laplace Z Z ∆(Φ)(ρ) = ρ∆(Φ) dx = ∆(ρ)Φ dx = Φ[∆(ρ)]. U

U

Lema 10.66 Para y ∈ U y r = kx − yk, como distribuci´ on se tiene   1 ∆ = −4πδy . r Demostraci´ on. Es consecuencia de (10.36) y de (10.10.3) pues si u ∈ Cc∞ (U ) tendremos que u es el potencial de ρ = −∆u/4π y     Z Z 1 ∆u 1 dx ∆ (u) = u·∆ dx = r r U U r = −4πu(y) = −4πδy (u).

Esta propiedad es u ´til para comprobar ciertas igualdades, como la f´ ormula integral de Green, pues si utilizamos la segunda igualdad de Green (ver p´ ag.819), que es v´ alida para distribuciones, tendremos que para v = 1/r    Z  Z  1 1 1 1 ∆u − u ∆ dx = ∂n u − u ∂n ds, r r r r Ω ∂Ω lo cual implica Z 4πu(y) + Ω

∆u = r

Z ∂Ω



∂n u 1 − u ∂n r r

 ds,

838

10.10.1.

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

M´ etodo de la funci´ on de Green

Sea Ω ⊂ R3 un abierto acotado con S = ∂Ω una superficie diferenciable de clase 1 y consideremos un punto y ∈ Ω. Definici´ on. Llamamos Funci´ on de Green, relativa al punto y, a una funci´ on gy ∈ C(Ω\{y}), que cumple 1 1.- gy (x) = kx−yk + v, para v ∈ C(Ω) una funci´on arm´onica en Ω. 2.- gy|S = 0.

La cuesti´ on es si tal funci´ on existe y si existe si es u ´nica. Unicidad de la funci´ on de Green. Observemos que su existencia equivale a la existencia de la funci´ on v soluci´ on del problema de Dirichlet particular 1 ∆v = 0 en Ω, v|S = − , kx − yk la cual ya sabemos que de existir es u ´nica. Existencia de la funci´ on de Green (punto de vista F´ısico). Ahora la existencia de tal funci´ on, Green la obtuvo con los siguientes argumentos de naturaleza F´ısica: Consideremos el exterior de Ω como un conductor y en el punto y consideremos una carga q = 1. El campo electrost´atico producido por la carga mueve los electrones del conductor hasta un momento en el que se quedan quietos y se produce una distribuci´ on de cargas en el borde S, que junto con la carga en y produce un campo E = − grad u, que en el conductor es nulo, por lo tanto el potencial es constante y es nulo pues las cargas est´ an acotadas, por tanto el potencial se anula en el infinito. El potencial est´ a producido por una carga puntual y por una distribuci´on de carga en S de capa simple, es decir u=

1 + v, r

para v el potencial de capa simple de una cierta densidad de carga ρ en S, para la que tenemos por (10.9) ∂n v + − ∂n v − = 4πρ donde el campo ∂n , normal unitario exterior a Ω, es el contrario al considerado all´ı, y v es arm´ onica fuera de S, en particular en Ω y u se anula en Ωc , en particular en S. Por lo tanto el potencial suma u = gy es la

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

839

funci´ on de Green. Adem´ as como v + = u − 1/r y v − = −1/r, tenemos una forma de calcular esa densidad de carga (10.19)

4πρ = ∂n (v + − v − ) = ∂n (gy ).

Esto no es una demostraci´ on (matem´ atica) pero si es una justificaci´on que nos convence de la veracidad del teorema de existencia. Observemos que de existir tal funci´ on de Green verifica en t´erminos de distribuciones que 1 ∆gy = ∆ + ∆v = −4πδy , r

gy|S = 0,

adem´ as de existir esta soluci´ on particular del Problema de Dirichlet, lo podemos resolver en general, pues por la segunda identidad de Green (ver p´ ag.819), para v = gy tendremos que por ser gy|S = 0  Z Z  Z Z (gy ∆u − u ∆gy ) dx = gy ∂n u − u ∂n gy ds = − u ∂n gy ds, Ω S S S Z Z (10.20) 4πu(y) = − gy (∆u) dx − u ∂n gy ds. Ω

S

por lo tanto: 1.- Problema de Dirichlet. Caso homog´ eneo.- Dada f ∈ C(S), buscamos u ∈ C(Ω), tal que ∆u = 0

en

Ω,

u|S = −4πf.

Si u existe tendremos por (10.20) que Z (10.21) u(y) = f ∂n gy ds S

que es la F´ ormula integral de Poisson. 2.- Problema de Dirichlet. Caso no homog´ eneo.- Dada f ∈ C(S) y ρ ∈ C(Ω), buscamos u ∈ C(Ω), tal que ∆u = −πρ en

u|S = −4πf.

Ω,

y si u existe tendremos por (10.20) que Z Z (10.22) u(y) = gy ρ dx + f ∂n gy ds, Ω

S

840

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

El m´etodo combinado de la funci´ on de Green y las distribuciones muestra su extraordinaria eficacia al ofrecernos una definici´on para la u ´nica candidata que resuelve el problema de Dirichlet (dada respectivamente por las ecuaciones (10.21) y (10.22)). La cuesti´on que resta es demostrar que esta funci´ on “se˜ nalada” realmente satisface las propiedades. La de que u es arm´ onica en el caso homog´eneo la veremos mas adelante, pero antes necesitamos demostrar que la funci´on de Green es sim´etrica. Proposici´ on 10.67 Sean y, z ∈ Ω, entonces gy (z) = gz (y). Demostraci´ on. (Por distribuciones) Usemos la segunda identidad de Green para v = gy y u = gz Z Z (gy ∆gz − gz ∆gy ) dx = (gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds = 0 Ω

S

lo cual implica que gy (z) = gz (y). (Demostraci´ on cl´ asica) Tomemos dos bolas disjuntas By y Bz , centradas en y y z de radio peque˜ no r y sean Sy y Sz sus esferas. Consideremos la regi´ on Ω0 = Ω\(By ∪ Bz ) y apliquemos la segunda identidad de Green para v = gy y u = gz Z Z (gy ∆gz − gz ∆gy ) dx = (gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds, Ω0

S0

ahora como en Ω0 , ∆gz = ∆gy = 0 y en S, gy = gz = 0, Z Z 0= (gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds + (gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds S

Sy

Z +

(gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds Z (gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds + Sz

Z = Sy

(gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds

Sz

(para ∂n el campo normal unitario interior a las esferas) y basta desarrollar una de las integrales. Veamos la primera siendo gy = 1/ry + v.

841

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

Tendremos que Z Z (gy ∂n gz − gz ∂n gy ) ds = Sy

=

1 r



Sy

Z

1 +v ry



Z

=0+0−



Z

Sy

1 r2

∂n gz − gz ∂n

(v ∂n gz − gz ∂n v) ds −

∂n gz ds + Sy



gz ∂n Sy

1 ry

1 +v ry



 ds

Z gz ds → −4πgz (y) Sy

por el teorema de Gauss, la segunda identidad de Green y ser ∂n (1/ry ) = 1/ry2 . Ahora como para cada y ∈ Ω, gy ∈ C(Ω\{y}) y acabamos de ver que gy (z) = gz (y), podemos definir gy (z), para y, z ∈ Ω, cuando y 6= z siendo gy (z) = 0 si uno de los dos est´ a en el borde ∂Ω, por lo tanto gy (z) = gz (y) = (1/kz − yk) + v(y) es arm´ onica en y ∈ Ω, para todo z ∈ Ω\{y} y se sigue el siguiente resultado. Corolario 10.68 La funci´ on de la F´ ormula integral de Poisson (10.21) Z u(y) = f ∂n gy ds, S

encontrada en el primer problema de Dirichlet, es arm´ onica. Demostraci´ on. Se sigue de lo anterior y de que ∆y (∂n gy )(z) = ∂n (∆y gz )(y) = 0. En cuanto a la segunda condici´ on, de que u|S = −4πf , es mas dif´ıcil y la veremos en dos casos particulares: cuando Ω es el semiespacio y cuando es una bola de radio r. Ejemplo 10.10.5 Problema de Dirichlet para el semiespacio. Consideremos en R3 , Ω = {x3 > 0} y S = ∂Ω = {x3 = 0}, aunque se sale fuera de los casos considerados pues Ω no es un abierto acotado (por ejemplo no hay unicidad en el problema ∆u = 0,

en

Ω,

u|S = 0,

pues lo satisface tanto u = 0 como u = x3 ).

ds

842

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

No obstante busquemos la funci´ on de Green correspondiente, para cada y ∈ Ω 1 + v(x), gy (x) = kx − yk para v arm´ onica en Ω y gy|S = 0. Para ello seguiremos el m´ etodo de las im´ agenes, que consiste en considerar una carga q = 1 en el punto y cuyo potencial es 1/kx − yk y considerar otra carga en un lugar adecuado (fuera de Ω para que sea arm´ onica en Ω), de modo que su potencial anule al anterior en los puntos de S. Para ello basta considerar en y = (y1 , y2 , −y3 ) otra carga igual y de signo contrario q 0 = −1, el potencial conjunto de ambas cargas es gy (x) =

1 1 − kx − yk kx − yk

pues obviamente kx − yk = kx − yk para todo x ∈ S y en Ω, v(x) = −1/kx − yk es arm´ onica. Apliquemos ahora (10.19), para calcular esa densidad de carga en el plano  −4πρ(x) = ∂x3 gy = ∂x3

1 1 − kx − yk kx − yk

 =

2y3 , kx − yk3

y la densidad de carga en el plano S es ρ(x) = −

y3 , 2πkx − yk3

y haciendo una traslaci´ on en el plano por y¯, la carga total es Z Z y3 dx1 dx2 ρ(x) dx1 dx2 = − p 3 2 R 2π x21 + x22 + y32 Z Z y3 2π ∞ r =− p 3 drdθ = −1, 2π 0 2 0 r + y32 √ pues la integral tiene la primitiva −1/ r2 + a2 . Por u ´ltimo veamos que la f´ ormula integral de Poisson para el semiespacio, que nos define la candidata a resolver el problema de Dirichlet, realmente es soluci´ on.

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

843

Proposici´ on 10.69 Dada una funci´ on acotada f ∈ C(S), la f´ ormula integral de Poisson para y ∈ Ω, es decir y3 > 0 y ∂n = −∂x3 Z Z f (x) dx1 dx2 , u(y) = f (x) ∂n gy ds = −2y3 kx − yk3 S S es una10 soluci´ on continua en el semiespacio del problema de Dirichlet, ∆u = 0 en y3 > 0, u|S = −4πf . Demostraci´ on. La primera propiedad la hemos visto en (10.68). Para la segunda tenemos que demostrar que para cada x0 = (a, b, 0) ∈ S e y = (y1 , y2 , y3 ) con y3 > 0 Z y3 f (x) l´ım u(y) = −4πf (x0 ) ⇔ l´ım dx1 dx2 = 2πf (x0 ), y→x0 y→x0 S kx − yk3 para ello recordemos que acabamos de demostrar que Z y3 dx1 dx2 = 2π, kx − yk3 S por lo que debemos demostrar que Z y3 (f (x) − f (x0 )) dx1 dx2 = 0. l´ım y→x0 S kx − yk3 Ahora como en el c´ alculo de la carga total tenemos que para δ > 0, Z Z 2π Z ∞ y3 2π y3 r y3 , drdθ = p dx dx = 1 2 p 3 3 δ 2 + y32 B[y,δ]c kx − yk 0 δ r2 + y32 ! Z y3 1 1 dx1 dx2 = (2π y3 ) −p , 3 y3 δ 2 + y32 B[y,δ] kx − yk y el resultado se sigue por ser f acotada (|f | ≤ k) y continua, pues dado  > 0 podemos tomar r > 0 tal que si x ∈ B[x0 , r], |f (x) − f (x0 )| <  y para δ = r/2, tomamos y ∈ B(x0 , δ) y si denotamos con h el integrando de nuestro l´ımite, tendremos que Z Z Z y3 | h| ≤ |h| + |h| ≤ 2π  + 4π k p , 2 c δ + y33 S B[y,δ] B[y,δ] y esto es tan peque˜ no como queramos tomando y pr´oximo a x0 , por tanto y3 pr´ oximo a 0 y  peque˜ no. 10 Recordemos

que u + y3 tambi´ en lo es.

844

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ejemplo 10.10.6 Problema de Dirichlet para la bola. Consideremos ahora Ω = B(0, r) = {kxk < r} y S = {kxk = r} y busquemos la funci´on de Green correspondiente para cada y ∈ Ω gy (x) =

1 + v(x), kx − yk

para v arm´ onica en Ω y gy|S = 0. Para ello seguimos otra vez el m´ etodo de las im´ agenes, que en este caso consiste en considerar una carga q = 1 en el punto y cuyo potencial es 1/kx − yk y considerar otra carga en un lugar adecuado (fuera de Ω para que sea arm´onica en Ω), de modo que su potencial anule al anterior en los puntos de S. Esto lo hemos visto en el ejercicio (10.4.1), p´ ag.780 y el punto adecuado es y=

r2 y, kyk2

la imagen de y por la inversi´ on respecto de la esfera y la carga en ese punto que hay que considerar es q 0 = −kyk/r = −r/kyk, por tanto la funci´ on de Green es 1 r − kx − yk kykkx − yk 1 r =p −p 2 2 2 2 kxk + kyk − 2x · y kyk kxk + r4 − 2r2 x · y

gy (x) =

pues para y ∈ Ω, v(x) = kyk/rkx−yk es arm´ onica en Ω. Observemos que mientras la primera expresi´ on de gy aparentemente no estaba definida en y = 0 la u ´ltima si, siendo g0 (x) =

1 1 − , kxk r

adem´ as en la primera no es obvia la simetr´ıa gy (z) = gz (y), mientras en la segunda si. Ahora apliquemos la f´ ormula (10.19), para ∂n exterior a Ω, es decir ∂n = N = H/|H|, N (gy ) = 4πρ,

845

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

por tanto (como en los x ∈ S, kxk = r) y se tiene que ∂xj gy (x) = ∂xj

1 pP

x2i

− pP

+ kyk2 − 2

P

xi yi

− !

r x2i kyk2 + r4 − 2r2 2

P

xi yi

2

xj − yj xj kyk − r yj + rp P 3 kx − yk3 2 r kyk2 + r4 − 2r2 xi yi X xj r2 kyk2 − r2 x · y r2 − x · y ∂xj gy (x) = − N gy (x) = 3 3 r r kx − yk rkx − yk3 kyk2 − r2 = (10.23) , r kx − yk3 =−

se sigue que la densidad de carga es (10.24)

ρ(x) =

kyk2 − r2 . 4πr kx − yk3

A continuaci´ on veremos que la f´ ormula integral de Poisson para la bola es la soluci´ on del problema de Dirichlet, pero antes recordemos que para gy (x) = v(x) + 1/kx − yk, se tiene por la f´ ormula de representaci´ on de Green (10.46), aplicada a la funci´ on constante u = 1 y por el Teorema de Gauss (10.45), aplicado a la funci´ on v arm´ onica en Ω, que   Z 1 1 (10.25) −1 = ∂n ds 4π S kx − yk Z Z Z 1 1 = ∂n (gy − v) ds = ∂n (gy ) ds = ρ ds, 4π S 4π S S por tanto la carga total es −1. Proposici´ on 10.70 Dada una funci´ on acotada f ∈ C(S), la f´ ormula integral de Poisson para y ∈ Ω, Z Z kyk2 − r2 f (s) ds, u(y) = f (s) ∂n gy ds = r ks − yk3 S S es la soluci´ on continua en la bola cerrada, del problema de Dirichlet ∆u = 0 en kxk < r, u|S = −4πf .

846

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Demostraci´ on. Lo primero ya la hemos visto en (10.68). Para lo segundo tenemos que demostrar que para cada s0 de la esfera de radio r, e y = (y1 , y2 , y3 ) con kyk < r l´ım u(y) = −4πf (s0 ).

y→s0

Por lo tanto si consideramos una bola S = B[s0 , ] ∩ S Z u(y) |f (s) − f (s0 )| ρ(s) ds 4π + f (s0 ) ≤ S "Z # Z |f (s) − f (s0 )| |f (s) − f (s0 )| kyk2 − r2 = ds + ds r ks − yk3 ks − yk3 S Sc y se tiene el resultado cuando y → s0 , pues kyk → r y para s ∈ Sc , e y pr´ oximo a s0 , ks − yk > δ y por la continuidad de f . En definitiva tenemos que si u es una funci´on continua en la bola cerrada y es arm´ onica en su interior, entonces para todo y en el interior de la bola se tiene la tambi´en llamada F´ ormula integral de Poisson Z r2 − kyk2 u(s) u(y) = ds. 4πr ks − yk3 S Ejercicio 10.10.1 Demostrar que para x el inverso de x (respecto de la esfera de radio r), kxkkx − yk = kykkx − yk. Ejercicio 10.10.2 Calcular el valor del potencial superficial de capa simple definido por la funci´ on ρ de (10.24), Z ρ(s) w(x) = ds. S ks − xk

Dado x ∈ B, aplicamos (10.70) para f (s) = 1/4πkx − sk, Z Z ∂n (gy )(s) ρ(s) ds = ds = v(y), w(x) = ks − xk 4πks − xk S S siendo v la funci´ on arm´ onica en la bola que en la esfera vale, para x el inverso de x (respecto de la esfera de radio r) −4πf = −

1 r =− , kx − sk kxkkx − sk

10.10. Introducci´ on a las distribuciones

847

la cual tiene soluci´ on u ´nica que es por el ejercicio (10.10.1) v(y) = −

r r =− , kxkkx − yk kykkx − yk

por tanto se tiene que para kxk ≤ r w(x) = −

r . kykkx − yk

Ahora para x ∈ B c , podemos resolverlo de forma similar o del siguiente modo. Sabemos que w es arm´ onica en {kxk > r}, continua en R3 , por tanto en S sabemos que vale w(s) = −

r 1 =− , kykks − yk ks − yk

y se anula en el infinito, lo cual tiene soluci´ on u ´nica que es w(x) = −

1 , kx − yk

Ejemplo 10.10.7 Problema de Dirichlet para el complementario de la bola. Consideremos ahora Ω = B[0, r]c = {kxk > r} y S = {kx = r} y busquemos la funci´ on de Green correspondiente para cada y ∈ Ω (inverso de y ∈ B(0, r)) 1 + v(x), gy (x) = kx − yk para v arm´ onica en Ω y gy|S = 0. Para ello seguimos otra vez el m´ etodo de las im´ agenes, que en este caso consiste en considerar una carga q = 1 en el punto y cuyo potencial es 1/kx − yk y considerar otra carga q 0 , en un lugar adecuado, de modo que su potencial anule al anterior en los puntos de S. Esta cuenta es la misma que antes y el punto adecuado es r2 y= y, kyk2 imagen de y por la inversi´ on respecto de la esfera de radio r; y la carga en ese punto que hay que considerar es q 0 = −r/kyk, por tanto la funci´on de Green es gy (x) =

1 r r − =− gy (x), kx − yk kykkx − yk kyk

848

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ahora consideremos la soluci´ on sugerida por Green: Consideremos que la bola Ωc = {kxk < r} es un conductor, con carga total Q, cuyas cargas, en presencia de q = 1 en el punto y, comienzan a moverse hasta que llegan al equilibrio electrost´ atico, acumul´ andose en el borde definiendo una densidad de carga ρ en la esfera S que origina un potencial de capa simple v, que unido al que define q en y, definen un potencial u(x) =

1 + v(x) kx − yk

que se anula en el infinito y que en el conductor B(0, r) define una fuerza electrost´ atica nula E = − grad u = 0, por lo que u = cte = k en la bola. Se sigue que el potencial de capa simple Z v(x) = S

ρ(s) ds, kx − sk

es continuo en R3 , en los puntos del interior de la bola es arm´onico y vale 1 v − (x) = k − , kx − yk mientras que en el exterior v es arm´ onica, y por ser continuo, en la esfera vale 1 r v(s) = k − =k− , ks − yk kykks − yk y se anula en el infinito. Estas propiedades tienen soluci´on u ´nica que es v + (x) =

kr r − . kxk kykkx − yk

y podemos calcular la densidad de carga, pues tenemos 1 r = , para s ∈ S, ks − yk kyk ks − yk 1 r r kyk kyk = r2 , gy (x) = − =− gy (x), kx − yk kykkx − yk kyk Z kyk2 − r2 kyk2 − r2 N (gy )(s) = , ds = −1 3 3 r ks − yk S 4πr ks − yk

10.11. El m´ etodo de Perron

849

lo u ´ltimo por (10.23), por tanto  r 1 kr − −k+ kxk kykkx − yk kx − yk 2 2 k kyk − r k r kyk2 − r2 + Ns (gy ) = − + =− − 3 r r ks − yk r kyk r ks − yk3 r kyk2 − r2 k kyk2 − r2 + = − 3 kyk 4π r ks − yk 4π r 4π r ks − yk3

−4πρ(s) = N (v + − v − )(s) = Ns kr r2 k ρ(s) = 4π r =−



por (10.23) y como la carga total era Q, tendremos que Z Z r kyk2 − r2 r Q= ρ(s) ds = k r + ds = k r − , 3 kyk S 4π r ks − yk kyk S y despejando tendremos el valor k del potencial en el interior k=

1 Q q0 Q + = − , r kyk r r

y por tanto el de ρ, ρ(s) =

Q 1 r2 − kyk2 Q q0 r2 − kyk2 + + = − + . 4π r2 4πkyk 4π r ks − yk3 4π r2 4π r2 4π r ks − yk3

10.11.

El m´ etodo de Perron

Vamos a estudiar otro planteamiento para resolver el problema de Dirichlet. En esta lecci´ on consideraremos en general que U ⊂ R3 es un abierto.

10.11.1.

Funciones subarm´ onicas

Definici´ on. Diremos que una funci´ on continua en U , u ∈ C(U ), es subarm´ onica si para todo x0 ∈ U , toda bola cerrada B[x0 , r] ⊂ U y V = m[B[x0 , r]] = (4/3)πr3 su volumen Z 1 (10.26) u(x0 ) ≤ u(x) dx. V B[x0 ,r]

850

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Principio del m´ aximo 10.71 Sea u continua en un abierto conexo U , tal que satisface la desigualdad (10.26) en cada punto x0 ∈ U para alg´ un r (en particular si es subarm´ onica). Si u alcanza un m´ aximo absoluto en p ∈ U , entonces u es constante. Demostraci´ on. Consideremos el cerrado de U , C = {u = u(p)} el cual es no vac´ıo y abierto, pues si B ⊂ U es una bola cerrada centrada en x0 ∈ C, en la que se cumple la desigualdad, tendremos que u(p) = u(x0 ) ≤

1 m[B]

Z u(x) dx ≤ u(p), B

por tanto se tiene la igualdad y Z (u(p) − u(x)) dx = 0, B

pero u(p) − u(x) ≥ 0, por tanto en B u = u(p). Por conexi´on C = U . Corolario 10.72 Sea Ω un abierto acotado conexo y u ∈ C(Ω), tal que satisface la desigualdad (10.26) en cada punto del abierto para alg´ un r (en particular si es subarm´ onica en Ω). Sea x0 ∈ Ω un punto en el que u alcanza un m´ aximo, entonces x0 ∈ ∂Ω ´ o u es constante. En cualquier caso el m´ aximo se alcanza en ∂Ω. Lema 10.73 Si u ∈ C(U ) es tal que para todo x0 ∈ U y toda bola cerrada B[x0 , r] ⊂ U , Z 1 u(s) ds. u(x0 ) ≤ Ar S[x0 ,r] para Ar = 4πr2 el ´ area de la esfera S[x0 , r], entonces u es subarm´ onica. Demostraci´ on. Consideremos coordenadas esf´ericas centradas en x0 , (ρ, θ, φ), para las que por (10.1) ω3 = dx ∧ dy ∧ dz = ρ2 sen θ dρ ∧ dθ ∧ dφ, ds = iN ω3 = ρ2 sen θ dθ ∧ dφ,

10.11. El m´ etodo de Perron

851

entonces por la hip´ otesis, para todo r tal que B[x0 , r] ⊂ U y V = (4/3)πr3 su volumen, Z 1 u(s) ds u(x0 ) ≤ Ar S[x0 ,r] Z π Z π 1 = r2 u(s) sen θ dθ dφ Ar −π 0 Z u(x0 ) r u(x0 ) = Aρ dρ V Z r Z0 π Z π 1 ≤ ( ρ2 u(s) sen θ dθdφ)dρ V 0 −π 0 Z 1 u(x) dx. = V B[x0 ,r] Teorema 10.74 Para un abierto U y una funci´ on u ∈ C(U ) son equivalentes. i) Para todo x0 ∈ U , toda bola cerrada B[x0 , r] ⊂ U y Ar el ´ area de su esfera Z 1 u(x0 ) ≤ u(s) ds. Ar S[x0 ,r] ii) u es subarm´ onica. iii) Para todo abierto V ⊂ V ⊂ U y toda funci´ on v ∈ C(V ), arm´ onica en V , se cumple que u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ ∂V

⇒

u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ V.

Demostraci´ on. (i) ⇒ (ii) visto en el Lema anterior. (ii) ⇒ (iii) Consideremos un abierto V ⊂ V ⊂ U y una funci´on v ∈ C(V ), arm´ onica en V . Como u es subarm´ onica y v satisface el teorema del valor medio tendremos que u − v es continua en V y subarm´onica en V y por el principio del m´ aximo (10.71), el m´aximo lo alcanza en el borde ∂V , por tanto u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ ∂V

⇒

u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ V.

(iii) ⇒ (i) Sea x0 ∈ U , B = B[x0 , r] ⊂ U y S = {kx − x0 k = r}. Queremos ver que Z 1 u(x0 ) ≤ u(s) ds. Ar S

852

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Sea v ∈ C(B), arm´ onica en la bola abierta B(x0 , r), tal que v|S = u|S , la cual sabemos que existe porque el problema de Dirichlet para la bola lo hemos resuelto. Entonces u ≤ v en S y por la hip´otesis u ≤ v en B, por tanto Z Z 1 1 u(x0 ) ≤ v(x0 ) = v(s) ds = u(s) ds, Ar S Ar S pues u = v en S. El ser subarm´ onica es una propiedad local, como veremos a continuaci´ on.

Proposici´ on 10.75 Sea u ∈ C(U ) tal que es subarm´ onica en un entorno de cada punto de U , entonces es subarm´ onica. Demostraci´ on. Veamos que se cumple la caracterizaci´on (iii) del resultado anterior. Consideremos un abierto V ⊂ V ⊂ U y una funci´on v ∈ C(V ), arm´ onica en V tales que u ≤ v en ∂V , entonces como u − v es subarm´ onica en un entorno de x0 , tendremos por el principio del m´aximo (10.72) que u − v alcanza el m´ aximo en ∂V , por tanto u ≤ v en V . A continuaci´ on damos otra caracterizaci´ on de subarm´onica entre las de clase 2.

Teorema 10.76 Sea u ∈ C 2 (U ), entonces u es subarm´ onica sii ∆u ≥ 0. Demostraci´ on. ⇐ Sea x0 ∈ U y consideremos coordenadas esf´ericas con centro en x0 y una bola B = B[x0 , r] ⊂ U , entonces por el Teorema de Gauss (10.45) y en coordenadas esf´ericas ser ∂n = ∂ρ (ver p´ag.770) Z 0≤

Z ∆u dx =

B Z 2π

Z

π

= 0

∂n u ds S

−π

(∂ρ u)r2 sen θ dθdφ = r2 g(r)

10.11. El m´ etodo de Perron

853

y se tiene que g(r) ≥ 0. Si ahora consideramos para cada r, el valor medio de u en Sr = S[x0 , r], Z 1 u(s) ds M (r) = 4πr2 Sr Z 2π Z π 1 u(s)r2 sen θ dθdφ = 4πr2 0 −π Z 2π Z π 1 = u(s) sen θ dθdφ 4π 0 −π Z 2π Z π 1 g(r) ≥0 M 0 (r) = (∂ρ u) sen θ dθdφ = 4π 0 4π −π por tanto M es creciente y u(x0 ) = M (0) ≤ M (r), para todo r, con B[x0 , r] ⊂ U . ⇒ Si en un punto x0 es ∆u(x0 ) < 0, por continuidad existe un r tal que ∆u(x) < 0 en la bola B[x0 , r] y repitiendo el argumento anterior tendr´ıamos que M 0 (s) < 0, para s < r y u(x0 ) = M (0) > M (s), lo cual es absurdo. Proposici´ on 10.77 Si u es arm´ onica y f definida en la imagen de u es convexa, f (u) es subarm´ onica. Demostraci´ on. Si g = f (u), gxi = f 0 (u)uxi y gxi xi = f 00 (u)(uxi )2 + f 0 (u)uxi xi , y el resultado se sigue sumando. Ejemplo 10.11.1 Son funciones subarm´ onicas en R3 (se puede comprobar directamente o aplicando el resultado anterior): 1.- |x|a para a ≥ −1. 2.- ua para u arm´ onica positiva y a ≥ 1. 3.- − log u, para u arm´ onica. Veamos otras propiedades de las funciones subarm´onicas. Proposici´ on 10.78 La suma finita de funciones subarm´ onicas es subarm´ onica. El m´ aximo g = m´ ax{f1 , . . . , fn } de funciones subarm´ onicas es subarm´ onica.

854

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Demostraci´ on. La primera es inmediata. La segunda tambi´en por la definici´ on pues para cada x0 existe un i, tal que Z Z 1 1 fi ≤ g. g(x0 ) = fi (x0 ) ≤ m[B] B m[B] B Proposici´ on 10.79 Sea u ∈ C(U ) subarm´ onica y B = B[x0 , r] ⊂ U . Entonces existe una u ´nica funci´ on subarm´ onica uB ∈ C(U ), arm´ onica en B que coincide con u = uB en B c . La llamaremos reemplazo de u respecto de B. Adem´ as verifica que u ≤ uB . Demostraci´ on. Si existe es de la forma ( u, si x ∈ U \B uB (x) = u si x ∈ B, on del problema de Dirichlet para u soluci´ ∆u = 0

en

◦

B

y u|∂B = u|∂B ,

que sabemos tiene soluci´ on y es u ´nica. Adem´ as u ≤ uB en U , pues por una parte u = uB en U \B, por tanto en ∂B, en particular u ≤ uB en ∂B y como uB es arm´ onica en el interior de B, tendremos por el apartado (iii) de (10.74) que u ≤ uB en B y por tanto en todo U . Veamos que localmente es subarm´ onica: En el interior de B es obvio pues es arm´onica, lo mismo en U \B. Falta verlo en los puntos x0 ∈ ∂B. Consideremos una B[x0 , r] ⊂ U , con borde la esfera S, entonces Z Z 1 1 uB (x0 ) = u(x0 ) ≤ u(s) ds ≤ uB (s) ds. 4πr2 S 4πr2 S Teorema de la singularidad evitable 10.80 Si una funci´ on u es arm´ onica en U \{x0 }, para U abierto y x0 ∈ U y est´ a acotada en un entorno de x0 , entonces es prolongable a una funci´ on arm´ onica en todo U . Demostraci´ on. Consideremos una bola B = B[x0 , r] ⊂ U en la que u est´e acotada y sea v ∈ C(B), arm´ onica en la bola abierta B(x0 , r), tal que v = u en la esfera S = S[x0 , r]. Basta ver que u = v en B\{x0 }. Para ello sea  > 0 y consideremos la funci´ on definida en B\{x0 }   r h=u−v+ 1− , |x − x0 |

10.11. El m´ etodo de Perron

855

que se anula en la esfera y es arm´ onica en el abierto B(x0 , r)\{x0 }. Adem´ as como u y v est´ an acotadas en B, h es negativa en una bola B(x0 , δ), para δ suficientemente peque˜ no y como es arm´onica en la corona δ ≤ kx − x0 k ≤ r tendremos por el principio del m´aximo que el supremo lo alcanza en S donde es nula o en S[x0 , δ] donde es negativa, por tanto en S y se sigue que en la corona es h ≤ 0 y como es cierto para todo δ > 0 suficientemente peque˜ no se tiene que h ≤ 0 en B\{x0 }. Pero a su vez esto es v´ alido para todo  > 0 suficientemente peque˜ no, por tanto u ≤ v en B\{x0 }. Repitiendo el argumento anterior pero con  < 0 y aplicando el principio del m´ınimo, tendr´ıamos que u ≥ v en B\{x0 }. Definici´ on. Diremos que una funci´ on u definida en una abierto U es superarm´ onica si −u es subarm´ onica (lo cual equivale a que las desigualdades de la caracterizaci´ on van al rev´es). Corolario 10.81 Una funci´ on u es arm´ onica sii es subarm´ onica y superarm´ onica.

10.11.2.

Sucesiones de funciones arm´ onicas

Desigualdad de Harnack 10.82 Sean V ⊂ V ⊂ U ⊂ R3 , con U y V abiertos y V conexo acotado. Existe una constante c > 0, que depende s´ olo de U y V tal que toda funci´ on u ≥ 0 arm´ onica en U , verifica que para cualesquiera x, y ∈ V , u(x) ≤ cu(y). Demostraci´ on. Sea d = d(V, U c ) > 0 la distancia entre V y U c y r < d/2. En primer lugar se tiene que si x, y ∈ V son tales que |x−y| ≤ r entonces u(x) ≤ 8u(y), pues B[x, r] ⊂ B[y, 2r] ⊂ U y u ≥ 0, por lo tanto se tiene que Z Z 1 1 u(x) = u≤ u m[B[x, r]] B[x,r] m[B[x, r]] B[y,2r] =

m[B[y, 2r]] u(y) = 8u(y). m[B[x, r]]

Ahora bien V es compacto, por tanto se recubre con un n´ umero finito, digamos m, de bolas de centro un punto de V y radio r/2 y dados x, y ∈ V por conexi´ on existir´ an unas cuantas de estas bolas Bi = B[xi , r/2] tales que la primera contiene a x, la u ´ltima Bk = [xk , r/2] contiene a y y cada una corta a la anterior (si tiene) y a la siguiente (si tiene). Ahora k ≤ m

856

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y se tiene |x − x1 | < r, por tanto por lo anterior u(x) ≤ 8u(x1 ) ≤ 82 u(x2 ) ≤ · · · ≤ 8k u(xk ) ≤ 8k+1 u(y) ≤ cu(y), para c = 8m+1 . Teorema de convergencia de Harnack 10.83 Sea un una sucesi´ on creciente de funciones arm´ onicas en un abierto U ⊂ R3 . Si para un x0 ∈ U , la sucesi´ on un (x0 ) est´ a acotada, entonces un converge, uniformemente en los compactos de U , a una funci´ on u arm´ onica en U . Demostraci´ on. un (x0 ) es una sucesi´ on creciente y acotada, por tanto tiene l´ımite u(x0 ) y la sucesi´ on es de Cauchy, por lo tanto para todo  > 0 existe un N ∈ N, tal que para n > m > N 0 ≤ un (x0 ) − um (x0 ) ≤ , ahora si consideramos un abierto V acotado y conexo tal que x0 ∈ V ⊂ V ⊂ U y aplicamos el resultado anterior a la funci´on arm´onica no negativa un − um , tendremos que para todo x ∈ V 0 ≤ un (x) − um (x) ≤ c(un (x0 ) − um (x0 )) ≤ c, y un es de Cauchy uniformemente en V , por tanto existe su l´ımite u, que es arm´ onica porque tiene la propiedad del valor medio, pues Z Z 1 1 u(x) = l´ım un (x) = l´ım un = u, m[B[x, r] B[x,r] m[B[x, r] B[x,r] y el l´ımite entra en la integral porque la convergencia es uniforme. Nota 10.84 Observemos que el espacio vectorial de las funciones arm´onicas en un abierto U es completo respecto de la topolog´ıa de la convergencia uniforme en los compactos.

10.11.3.

Problema Dirichlet. Existencia de soluci´ on

Sea Ω ⊂ R3 un abierto conexo acotado con borde S = ∂Ω arbitrario. Dada una funci´ on f ∈ C(S), buscamos una funci´on u ∈ C(Ω), tal que ∆u = 0,

en Ω,

u|S = f.

De lo estudiado anteriormente se sigue que si esta funci´on u existe y existe h ∈ C(Ω) subarm´ onica en Ω, tal que h|S ≤ f , entonces h ≤ u en

10.11. El m´ etodo de Perron

857

Ω, pues g = h + (−u) es suma de subarm´ onicas, por tanto subarm´onica, y por el principio del m´ aximo como g ≤ 0 en S, se tiene que g ≤ 0 en todo Ω, esto justifica que si existe u sepamos que es el supremo de las subarm´ onicas del espacio H = {h ∈ C(Ω) : subarm´ onicas en Ω, h|S ≤ f }. Proposici´ on 10.85 La funci´ on definida para cada x ∈ Ω u(x) = sup h(x), h∈H

est´ a bien definida y es arm´ onica en Ω. Demostraci´ on. Que est´ a bien definida se sigue del principio del m´ aximo, pues si h ∈ H, h(x) ≤ m´ ax h(z) ≤ m´ ax f (z) = c < ∞, z∈S

z∈S

y u(x) = sup h(x) ≤ c. Veamos que es arm´ onica. Sea x0 ∈ Ω, como u(x0 ) = suph∈H h(x0 ) existe una sucesi´ on de hn ∈ H, que podemos tomar creciente pues el m´ aximo de un n´ umero finito de funciones de H est´a en H, tales que hn (x0 ) ↑ u(x0 ), adem´ as podemos suponer que son arm´onicas en una bola B = B(x0 , r) ⊂ B[x0 , r] ⊂ Ω, tomando el reemplazo de la vieja funci´ on en B. Sea h = l´ım hn , la cual es arm´ onica en B por el Teorema de Harnack (10.83) y h(x0 ) = u(x0 ). Veamos que h = u en B, con lo cual u ser´ıa localmente arm´ onica y por tanto arm´ onica. Sea x1 ∈ B, entonces h(x1 ) = l´ım hn (x1 ) ≤ sup h(x1 ) = u(x1 ), h∈H

por lo tanto h ≤ u en B. Supongamos que h(x1 ) < u(x1 ), entonces existir´ıa g ∈ H, tal que h(x1 ) < g(x1 ) ≤ u(x1 ) y si consideramos las funciones subarm´ onicas de H, m´ ax{hn , g} y su reemplazo arm´onico en B, hn ∈ H, entonces h = l´ım hn es arm´ onica en B y como hn ≤ hn , h≤hy u(x0 ) = h(x0 ) ≤ h(x0 ) ≤ u(x0 ), por tanto son iguales, por lo que h − h ≥ 0 es arm´onica en B y nula en x0 , por tanto se anula en todo B por el teorema del valor medio, pero esto contradice que h(x1 ) < g(x1 ) ≤ h(x1 ).

858

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

10.11.4.

Funciones barrera

Definici´ on. Sea y0 ∈ S = ∂Ω. Llamamos barrera para y0 a toda funci´on b ∈ C(Ω), arm´ onica en Ω y tal que b > 0 en todo punto salvo en y0 , b(y0 ) = 0. Diremos que un punto es regular si existe una barrera para ´el. Lema 10.86 Si y0 ∈ S es regular, entonces l´ım u(x) = f (y0 ).

x→y0

Demostraci´ on. Sea  > 0, entonces existe λ > 0 tal que para todo y∈S |f (y) − f (y0 )| <  + λb(y), pues por continuidad existe un δ > 0, tal que si |y − y0 | ≤ δ, |f (y) − f (y0 )| ≤  y para k=

sup {|f (y) − f (y0 )|} < ∞, |y−y0 |≥δ

0 0, tal que k < λc. Por tanto f (y0 ) −  − λb(y) ≤ f (y) ≤ f (y0 ) +  + λb(y), siendo las funciones de los extremos arm´ onicas y en S la de la izquierda es ≤ f , por tanto est´ a en H y la de la derecha es ≥ f , por tanto por (10.74), p´ ag.851, para toda h ∈ H, h ≤ f (y0 ) +  + λb(y), de donde que f (y0 ) −  − λb(x) ≤ u(x) ≤ f (y0 ) +  + λb(x), y el resultado se sigue tomando l´ımites cuando x → y0 y  → 0. Nota 10.87 El resultado es igualmente cierto si en vez de considerar que una funci´ on barrera es arm´ onica, consideramos que es superarm´onica. Teorema 10.88 Sea Ω ⊂ R3 abierto acotado. El problema de Dirichlet tiene soluci´ on para toda f ∈ C(S) sii todos los puntos de S son regulares. Demostraci´ on. ”⇐”Por los resultados anteriores. ”⇒”Sea y0 ∈ S, f (y) = |y − y0 | ∈ C(S) y b la soluci´on del Problema de Dirichlet ∆b = 0 en Ω, b|S = f . Entonces por ser arm´onica alcanza el m´ınimo en S, en el que vale lo mismo que f , que alcanza el m´ınimo en y0 en el que vale b(y0 ) = f (y0 ) = 0 y no puede tomar ese valor en

10.11. El m´ etodo de Perron

859

ning´ un punto del interior, en Ω, pues ser´ıa constante e igual a 0, que no lo es pues en S s´ olo se anula en y0 , por lo tanto b(y) > 0 salvo en y0 en el que vale 0. Por lo tanto b es una funci´ on barrera para y0 y el punto es regular. A continuaci´ on vemos una sencilla propiedad geom´etrica que implica la existencia de puntos regulares. Proposici´ on 10.89 Si para un punto y0 ∈ S existe una bola B[x0 , r], tal que B[x0 , r] ∩ Ω = {y0 }, entonces y0 es regular. Demostraci´ on. Sea b(x) =

1 r

−

1 |x−x0 | ,

la cual es arm´onica en

3

R \{x0 }, en particular en Ω y continua en Ω, adem´as b(y) > 0 fuera de la bola y b(y0 ) = 0, por tanto b es una barrera. Ejemplo 10.11.2 Contraejemplo para el Problema Dirichlet. Veamos que el Problema Dirichlet, para la bola unidad del plano sin el origen, en general no tiene soluci´ on. Por ejemplo si queremos que en la circunferencia u = 1 y en el origen valga u(0) = 0, por el principio del m´ aximo u estar´a entre 0 y 1 y por el teorema de singularidad evitable u es arm´ onica en todo el circulo pero la u ´nica funci´ on arm´ onica en el c´ırculo, que en la circunferencia vale 1 es u = 1, contradicci´ on. Veamos no obstante qu´e funci´ on da el m´etodo de Perron. Para ello consideremos hn = ρ1/n que son subarm´ onicas pues ∆ρ1/n =

∂ 2 1/n 1 ∂ 1/n 1 1 (ρ ) = 2 ρ n −2 ≥ 0 (ρ ) + 2 ∂ρ ρ ∂ρ n

y su supremo es 1. Ejemplo 10.11.3 Los puntos del borde de un convexo son regulares. Lo veremos como consecuencia del: Teorema del hiperplano soporte. Dado un convexo cerrado B, todo punto en su borde tiene un hiperplano tangente que deja a un lado el convexo. Demostraci´ on. En primer lugar dado el convexo B y un q en su exterior sea r = m´ın{kp − qk : p ∈ B}, pq un punto en el que lo alcance

860

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

(por continuidad y ser cerrado) y consideremos y = pq − q. Entonces y · pq ≤ y · p, para todo punto p del convexo, pues para todo λ ∈ [0, 1] y x = p − pq , λp + (1 − λ)pq = λx + pq ∈ B y para todo λ ∈ (0, 1] r2 ≤ kλx + pq − qk2 = (λx + y) · (λx + y) = y · y + 2λy · x + λ2 x · x = r2 + 2λy · x + λ2 x · x 0 ≤ 2y · x + λx · x

⇒

0≤y·x

⇔

⇒

y · pq ≤ y · p

y podemos tomar y de modulo 1 sin mas que dividirlo por su m´odulo. El hiperplano y t x = y t pq es tangente a B en pq y lo deja a un lado. Ahora dado un punto x0 de la frontera de B consideremos una sucesi´on de puntos exteriores qn → x0 y para cada uno el rn , el yn y los pqn = pn correspondientes, entonces rn → 0, pn → x0 . Ahora la sucesi´on yn tiene un punto l´ımite y, pues est´ a en la esfera unidad y para ella se verifica que yn · pn ≤ yn · p ⇒ y · x0 ≤ y · p. Por tanto dado todo punto en el borde tiene un hiperplano tangente que deja a un lado a B y como consecuencia demostramos que todo x ∈ S, el borde del convexo, es regular, pues basta considerar una esfera tangente al hiperplano tangente en el mismo punto pero del otro lado. Ejemplo 10.11.4 Lo mismo si S = {h = 0} es una superficie diferenciable de clase 2. Tomamos como origen el punto de S, como eje z el perpendicular a la superficie en ese punto y como ejes x e y los que dan las direcciones principales de la superficie en ese punto, es decir para cada curva plana intersecci´ on de la superficie con cada uno de sus planos normales, consideramos las que tienen curvatura m´axima k1 y m´ınima k2 en el punto, las cuales se demuestra en los cursos de geometr´ıa diferencial que corresponden a direcciones perpendiculares D1 , D2 del plano tangente. En estas coordenadas se tiene que la superficie es la gr´ afica de una funci´ on f definida en un entorno del origen, tal que f (0) = fx (0) = fy (0) = fxy (0) = 0 y que fxx (0) = k1 y fyy (0) = k2 . Para lo u ´ltimo ver 8.9, p´ ag.674 donde vimos los t´erminos en los que tenemos que en el origen D1 = ∂x , D2 = ∂y y k1 ∂x = k1 D1 = φ(D1 ) = −D1∇ N = (kfx )x (0)D1 + (kfy )x (0)D2 = fxx (0)∂x + fxy (0)∂y k2 ∂y = k2 D2 = φ(D2 ) = −D1∇ N = (kfx )y (0)D1 + (kfy )y (0)D2 = fxy (0)∂x + fyy (0)∂y ,

861

10.11. El m´ etodo de Perron

en definitiva tenemos que f (x, y) = (k1 /2)x2 + (k2 /2)y 2 + h(x, y) para h(x, y) = o(x2 +y 2 ) y no puede cortar a toda esfera x2 +y 2 +(z−r)2 = r2 , para r > 0, pues si k1 > k2 tenemos que f (x, y) ≤

k1 2 (x + y 2 ) + h(x, y) ≤ g(x, y) = k(x2 + y 2 ), 2

tomando x2 + y 2 tal que h(x, y) < x2 + y 2 , pues h(x, y)/(x2 + y 2 ) → 0 cuando x2 + y 2 → 0. Ahora la gr´ afica de g no puede cortar a todas las esferas, por tanto tampoco la de f . Ve´ amoslo: tomemos r < 1/2k, entonces para x2 + y 2 < r2 si hubiese un z = g(x, y) satisfaciendo ambas ecuaciones ser´ıa z > 0 (a menos que z = 0 en cuyo caso x = y = 0), pues la esfera est´ a sobre el plano x, y y tendr´ıamos x2 + y 2 = r2 − (z − r)2 = 2 2rz − z , por tanto z = k(x2 + y 2 )

⇒

z = kz(2r − z)

⇒

1 = k(2r − z),

lo cual no puede ser pues si r → 0, z → 0 y tendr´ıamos 1 = 0, lo cual es absurdo.

Ejemplo 10.11.5 En el plano si Ω es tal que para p ∈ S, existe un segmento de extremo p que toca a Ω s´ olo en p, entonces p es regular en el sentido de superarm´ onica (ver la nota (10.87), de la p´ag.858). Consideremos una bola centrada en p de radio r < 1, B = B[p, r], cuya esfera corte al segmento y tomemos el origen de coordenadas en p y el segmento como la parte positiva del eje de coordenadas x. Consideremos para la variable compleja z = x + iy = ρ eiθ , el representante de log z = log ρ + iθ y la funci´ on arm´ onica en B(p, r) ∩ Ω y positiva   log ρ log ρ 1 1 =− 2 ≤− 2 =− , u(z) = − Re 2 log z log ρ log ρ + θ log ρ la cual, por la u ´ltima expresi´ on anterior, se extiende con continuidad a p = 0 valiendo u(p) = 0. Ahora consideremos el m´ınimo c > 0 de u en el on compacto Ω ∩ S[p, r] y consideremos la funci´ ( m´ın{u, c}, B ∩ Ω b= c, B c ∩ Ω, que es b ≤ c y es superarm´ onica, pues en el abierto A = B(p, r) ∩ Ω es superarm´ onica (el m´ınimo de superarm´ onicas es superarm´onica), en

862

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

el borde S[p, r] ∩ Ω es constante b = c; en el abierto A0 = B[p, r]c ∩ Ω tambi´en es superarm´ onica pues es constante y en los puntos x del borde es superarm´ onica pues satisface la propiedad del valor medio, ya que b(x) = c y dada una bolaBx ⊂ Ω centrada en x, como b ≤ c tendremos Z 1 b, b(x) = c ≥ m(Bx ) Bx ahora por la nota (10.87) se sigue el resultado.

10.12.

Teorema de la aplicaci´ on de Riemann

n En la p´ ag.755 pPvimos qu´e funciones en R , dependientes s´olo de la 2 xi al origen, son arm´ distancia ρ = onicas ( A log ρ + B, si n = 2, f (ρ) = A/ρn−2 + B, si n 6= 2.

Ahora estamos interesados en el plano R2 , y la funci´on arm´onica estandar es log ρ. Definici´ on. Sea Ω ⊂ R2 = C un abierto acotado y p ∈ Ω. Llamamos funci´ on de Green en p, a la funci´ on g ∈ C(Ω\{p}), que cumple: 1.- g(z) = log |z − p| + u(z), con u ∈ C(Ω) y arm´onica en Ω. 2.- g = 0 en ∂Ω. La existencia desde un punto de vista f´ısico de esta funci´on es la misma que vimos para el espacio en (10.10.1), p´ag.838. Por su parte su existencia matem´ atica equivale a encontrar u ∈ C(Ω) tal que ∆u = 0

en Ω,

u(z) = − log |z − p| en ∂Ω.

Nosotros demostraremos la existencia de esta u cuando el abierto Ω es simplemente conexo, con argumentos similares a los utilizados en el ejemplo 10.11.5, (p´ ag.861). Lema 10.90 Sea Ω un abierto acotado y p ∈ Ω. Existe una funci´ on g ∈ C(Ω\{p}), que satisface las siguientes propiedades11 : 11 Observemos

que si la funci´ on de Green g existe, las satisface

10.12. Teorema de la aplicaci´ on de Riemann

863

(i) g(z) = log |z − p| + u(z) con u arm´ onica en Ω (no decimos nada de su borde). (ii) g < 0 en Ω\{p}. (iii) g es la mayor funci´ on cumpliendo (i) y (ii). Demostraci´ on. Consideremos el espacio H de las funciones hα ∈ onicas en Ω y que fuera de un entorno compacto C(Ω) que son superarm´ Kα de p, valen hα (z) = − log |z − p|, y sea G = {gα (z) = hα (z) + log |z − p| : hα ∈ H} Veamos en primer lugar que este espacio tiene funciones. Consideremos una bola B[p, r] ⊂ Ω y sea ( − log |z − p| si z ∈ Ω\B[p, r] hB (z) = − log r si z ∈ B[p, r], la cual est´ a en H pues es superarm´ onica, por el razonamiento habitual en las tres regiones, ya que hB ≤ − log r. Ahora podemos tomar en Ω u(z) = ´ınf h(z), h∈H

la cual se demuestra como en (10.85), p´ ag.857 que es arm´onica. Ahora por definici´ on la funci´ on g(z) = log |z − p| + u(z) = ´ınf gα (z), gα ∈G

para

gα = log |z − p| + hα

satisface la primera propiedad, veamos que tambi´en las otras dos. En primer lugar cada gα es superarm´ onica en Ω\{p}, gα = 0 fuera de un entorno compacto Kα ⊂ Ω, de p y gα (z) → −∞ cuando z → p. Por tanto g ≤ gα ≤ 0 y si g(x) = 0 en un punto x ∈ Ω\{p}, alcanzar´ıa el m´ aximo en un punto interior y como es arm´ onica ser´ıa constante, por tanto g < 0 en Ω\{p}. Por u ´ltimo si g = log |z − p| + u(z) fuese otra satisfaciendo las dos propiedades, entonces log |z −p|+u(z) = g < 0 = gα = log |z −p|+hα (z) en Ω\Kα y en este conjunto tambi´en ser´ıa u(z) < hα (z), es decir en ese conjunto la funci´ on superarm´ onica hα (z) − u(z) > 0, (pues −u es arm´ onica), por tanto en todo Ω es positiva, por tanto g < gα para todo α y g ≤ g.

864

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Lema 10.91 Con la notaci´ on del lema anterior sea y0 ∈ ∂Ω. Si existe una funci´ on arm´ onica positiva b sobre Ω, entonces l´ım b(z) = 0

z→y0

⇒

l´ım g(z) = 0.

z→y0

Demostraci´ on. Sea B[p, r] ⊂ Ω. Existe un λ > 0 tal que en S[p, r], −λb < g ≤ gα , para ello basta tomarla tal que m´ınS g + λ m´ınS b > 0, pero entonces como gα se anula fuera del compacto Kα entorno de p, tendremos que gα + λb > 0 en S y en Ω\Kα , pero como la funci´on es superarm´ onica, tendremos que gα +λb > 0 ´ o equivalentemente gα > −λb en Ω\B y como esto es cierto para toda α tendremos que 0 ≥ g ≥ −λb en Ω\B y tomando l´ımite cuando z → y0 , como b(z) → 0, tendremos que g(z) → 0. Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on continua entre espacios topol´ ogicos F : X → Y es un revestimiento de Y si todo y ∈ Y tiene un entorno abierto Vy tal que F −1 (Vy ) es homeomorfo a Vy × D con D discreto, haciendo conmutativo el diagrama F −1 (Vy ) ∼ Vy × D F & . π1 Vy (recordemos que D es discreto si todo subconjunto suyo (en particular los puntos) es abierto). Lo llamaremos revestimiento conexo si X es conexo. Diremos que un espacio topol´ ogico conexo Y es simplemente conexo si todo revestimiento conexo de Y es homeomorfismo. Proposici´ on 10.92 Si Ω ⊂ C es acotado simplemente conexo, entonces para todo p ∈ Ω existe la correspondiente funci´ on de Green. Demostraci´ on. Sea g la funci´ on del Lema (10.90), falta ver que g(z) → 0 cuando z → y0 , para y0 ∈ ∂Ω, para lo cual basta demostrar por el Lema anterior que existe una funci´ on arm´onica positiva b sobre Ω tal que l´ımz→y0 b(z) = 0. Con una traslaci´ on y una homotecia podemos suponer que y0 = 0 y que Ω ⊂ B(0, 1). Como Ω es simplemente conexo podemos tomar una secci´ on global de ez , log z : Ω → C y definir como en el ejemplo 10.11.5, (p´ ag.861)   1 log ρ log ρ 1 b(z) = − Re =− 2 ≤− 2 =− , 2 log z log ρ log ρ + θ log ρ para z = ρ eiθ y se tiene que z → 0, entonces ρ → 0 y b(z) → 0.

10.12. Teorema de la aplicaci´ on de Riemann

865

Lema 10.93 Todo abierto simplemente conexo Ω ⊂ C es anal´ıticamente isomorfo (biyecci´ on holomorfa) a un abierto del disco unidad. Demostraci´ on. Supongamos en primer lugar que en Ωc existe un disco abierto, que por una traslaci´ on y una homotecia podemos suponer que es el disco unidad, entonces basta considerar Ω0 = f (Ω), para la biyecci´ on holomorfa f : C\{0} →∈ C\{0}, f (z) = 1/z. En general sea z0 ∈ / Ω, que podemos suponer con una traslaci´on z0 = 0 y consideremos el revestimiento g : C\{0} →∈ C\{0}, g(z) = z 2 , que es de grado 2 (cada fibra tiene dos puntos). Entonces el abierto 00 g −1 (Ω) tiene dos componentes conexas Ω0 y Ω√ y podemos considerar una determinaci´ on de la ra´ız cuadrada z ∈ Ω → z ∈ Ω0 que es biyectiva y holomorfa y basta considerar un disco abierto D ⊂ Ω00 ⊂ Ω0c y aplicar la primera parte. Teorema de la aplicaci´ on de Riemann 10.94 Todo abierto simplemente conexo Ω ⊂ C distinto de C es anal´ıticamente isomorfo al disco unidad D. Adem´ as fijado p ∈ Ω existe h : Ω → D isomorfismo anal´ıtico u ´nico (salvo giros, concretamente es u ´nico si pedimos que el n´ umero complejo h0 (p) sea real y positivo), verificando h(p) = 0. Demostraci´ on. Veamos la idea de la construcci´on de tal h. Supongamos que existe y que se extiende al borde h : Ω → D y sea g(z) = Re(log h(z)), que es tal que g|∂Ω = 0, pues si z ∈ ∂Ω, h(z) = eiθ ∈ S y log h(z) = iθ. Ahora si h(z) = (z − p) eu˜(z) (ser´ıa de esta forma pues h(p) = 0 y es anal´ıtica en toda la regi´ on, por tanto h es de la forma (z − p)k(z), y k no puede anularse, fuera de p porque h no ser´ıa inyectiva y en p porque h tendr´ıa diferencial nula y no ser´ıa isomorfismo anal´ıtico). Entonces log h(z) = log(z − p) + u ˜(z)

⇒

g(z) = log |z − p| + Re u ˜(z),

por lo que g ser´ıa la funci´ on de Green del punto p. Esto justifica el por qu´e comenzamos considerando la funci´ on de Green12 de p, g ∈ C(Ω\{p}), con g(z) = log |z − p| + u(z), siendo u arm´ onica en Ω y g|∂Ω = 0. Ahora consideremos u ˜ anal´ıtica con parte real la funci´ on arm´ onica u y definamos fuera de p la multifunci´on g˜ = log(z − p) + u ˜(z), 12 que

sabemos que existe por (10.92), pues por el lema anterior Ω es anal´ıticamente isomorfo a un abierto acotado.

866

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

para la que Re g˜ = g y sea h(z) = eg˜(z) = (z − p) eu˜(z) , que es funci´ on en todo el abierto. Veamos que satisface las propiedades: Es holomorfa, h(p) = 0, converge a 1 cuando z tiende al borde de Ω |h(z)| = | eg˜(z) | = eg(z) → e0 = 1,

cuando z → ∂Ω

⇒

g(z) → 0,

adem´ as como en Ω, g(z) < 0, |h(z)| < 1, luego h(z) ∈ D. Falta ver que h es biyectiva: (1) h : Ω → D es sobre: Como h es holomorfa, es abierta, por tanto basta ver que h(Ω) = C, que es abierto, es cerrado en D, pues en tal caso al ser D conexo h(Ω) = D. Para ello sea ω ∈ D un punto adherente a C, es decir ω = l´ım h(zn ), para zn ∈ Ω. Ahora como el abierto Ω es acotado (podemos considerarlo por el Lema anterior), zn tiene una subsucesi´ on, que llamamos igual, con l´ımite zn → z ∈ Ω y z ∈ / ∂Ω, pues en caso contrario tendr´ıamos un absurdo, pues por el p´arrafo anterior 1 = l´ım |h(zn )| = |ω| < 1. Por tanto z ∈ Ω y h(z) = h(l´ım zn ) = l´ım h(zn ) = ω. (2) h es inyectiva: Denotemos la funci´ on h = hp para cada p y sea q ∈ Ω. Consideremos el automorfismo σ del disco cerrado en si mismo, tal que σ[hp (q)] = 0 el cual podemos dar expl´ıcitamente pues todo automorfismo del disco es de la forma z−α σ(z) = , 1−a ¯z y basta tomar α = hp (q). Ahora consideremos la funci´on holomorfa en todo Ω σ[hp (z)] , f (z) = hq (z) pues aunque el denominador se anula en q, s´olo lo hace una vez y el numerador tambi´en se anula en q, adem´ as |f (z)| = 1 en ∂Ω y por el principio del m´ aximo (ver (9.14), p´ ag.703) que |f | ≤ 1 en todo Ω y como f (p) =

σ(0) −hp (q) = hq (p) hq (p)

⇒

|hp (q)| ≤ 1, |hq (p)|

es decir |hp (q)| ≤ |hq (p)| y por simetr´ıa tendremos la igualdad y por tanto que |f (p)| = 1 y en p alcanza el m´ aximo, pero entonces |f | es constante |f | = |f (p)| y si z 6= q, 0 6= hq (z) y 0 6= σ[hp (z)]

⇒

hp (z) 6= hp (q).

867

10.13. Ejercicios resueltos

10.13.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 10.1.1.- Dadas dos funciones arm´ onicas f y g demostrar que f g es arm´ onica sii grad f · grad g = 0. Indicaci´ on. Para h = f g, hxi = fxi g + f gxi y hxi xi = fxi xi g + 2fxi gxi + f gxi xi

⇒

∆h = 2 grad f · grad g.

Ejercicio 10.2.2.- Demostrar que la funci´ on, para z = x + iy ( 0, si (x, y) = (0, 0), u(x, y) = 4 Re e−1/z , si (x, y) 6= (0, 0), satisface la ecuaci´ on de Laplace en R2 , pero no es continua en el origen. Soluci´ on.- Es arm´ onica en R2 − {0} por ser la parte real de una funci´ on anal´ıtica de variable compleja. Para verlo en el 0 hay que calcular uxx (0) = f 00 (0) y uyy (0) = 4 4 g 00 (0), para f (x) = u(x, 0) = e−1/x , f (0) = 0; y g(y) = u(0, y) = e−1/y , g(0) = 0. 4 Se tiene que f 0 (0) = l´ımx→0 1/x e1/x = 0 y f 00 (0) = l´ım f 0 (x)/x = 0. Para ver que 4 no es continua t´ omese z = r eiπ/8 , z 4 = r4 i, −1/z 4 = i/r4 , Re e−1/z = cos r−4 el cual va oscilando y no tiene l´ımite.

Ejercicio 10.3.3.- Expresando las funciones y el operador de LaPlace en coordenadas esf´ericas, demostrar que si g es arm´ onica en un abierto V ⊂ R3 − {0}, entonces la funci´ on  2  r x r f (x) = g , kxk kxk2 es arm´ onica en el abierto U correspondiente por la inversi´ on espacial respecto de la esfera centrada en el origen y radio r. Soluci´ on.- Si consideramos las coordenadas (s = r2 /ρ, θ, ϕ), es f´ acil demostrar que  2  2 ∂ 1 s4 ∂ 1 ∂2 + + P = + P , 2 2 ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 r4 ∂s2 s2   s5 ∂2 2 ∂ 1 ∆◦s= 4 + + 2 P2 , r ∂s2 s ∂s s ∆=

por lo tanto si g(x, y, z) = w(ρ, θ, ϕ), es arm´ onica, tendremos que para h = w(s, θ, ϕ) ∆(sh) = 0, es decir es arm´ onica f (x, y, z) = sh = sw(s, θ, ϕ) =

r2 g ρ



r2 x r2 y r2 z , , ρ2 ρ2 ρ2

 .

868

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Ejercicio 10.3.5.- Demostrar que la proyecci´ on estereogr´ afica desde el polo de la esfera al plano del ecuador conserva a ´ngulos y transforma circunferencias en circunferencias o rectas. Demostraci´ on. (i) Dados a y b dos vectores tangentes en un punto Q de la esfera y otros dos c y d en otro punto P , de modo que b, d, P Q sean coplanarios y a, c, P Q tambi´ en, entonces por simetr´ıa el ´ angulo que forman a y b es el mismo que forman c y d (ver fig.10.14). b

d P

Q a

c

b = cd b ´ Figura 10.14. Angulos ab (ii) Sean a y b un par de vectores tangentes en un punto A de la esfera, entonces se sigue de (i) que tienen el mismo ´ angulo que a00 y b00 , los cuales por paralelismo tienen el mismo que a0 y b0 , que son la proyecci´ on de a y b (ver fig.10.15). b'' P

a'' a

b

A

b' A'

a'

Figura 10.15. La proy. ester. conserva a ´ngulos. iii) La proyecci´ on estereogr´ afica lleva cada circunferencia pasando por P en la recta intersecci´ on del plano del ecuador y el plano de la circunferencia (ver fig.10.16).

P B A

A'

B'

Figura 10.16. La proy. ester. lleva circunferencias pasando por P en rectas.

869

10.13. Ejercicios resueltos

iv) Por u ´ltimo la proyecci´ on de cualquier circunferencia que no pase por P es en general una elipse (pues es una c´ onica cerrada), con la siguiente propiedad, dados dos puntos suyos A0 y B 0 , el corte con la recta A0 B 0 , define en esos puntos ´ angulos iguales (ver fig.10.17). P

C B A D D' B' A'

C'

Figura 10.17. La proy. ester. lleva circunferencias en circunferencias. Esto es consecuencia de que sobre la esfera dos circunferencias P AB y ABCD se cortan en A y B bajo ´ angulos iguales y la proyecci´ on conserva ´ angulos; y la circunferencia es la u ´nica elipse con esa propiedad.

Ejercicio 10.3.6.- Demostrar que la aplicaci´ on τ = πQ ◦ πP−1 : R2 → R2 , composici´ on de la inversa de la proyecci´ on estereogr´ afica desde un polo P , con la proyecci´ on estereogr´ afica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de la P circunferencia del ecuador. Soluci´ on.Es consecuencia de que para πP (B) = A y πQ (B) = A0 , los tri´ angulos rect´ angulos (ver dibujo) P OA, P BQ y QOA0 son semejantes pues tienen dos ´ angulos comunes, por tanto OA0 OP = OQ OA

⇒

B A'

O

OA · OA0 = OP 2 .

A

Q

Figura 10.18.

Ejercicio 10.3.7.- Demostrar que la inversion respecto de una circunferencia conserva a ´ngulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circunferencias y las que pasan por el centro en rectas. Soluci´ on.- Es una simple consecuencia de los dos resultados anteriores.

Ejercicio 10.4.1.- Dada una esfera de radio r centrada en O y una carga q en un punto p, demostrar que existe un u ´nico punto p0 de la recta que une O y p (que es la imagen de p por la inversi´ on respecto de la esfera) y en ´el una u ´nica carga q 0 , tal que el potencial debido a las dos cargas es nulo en los puntos de la esfera. Soluci´ on.Si O es el origen de coordenadas, b = kpk y a = kp0 k, tendremos que en un punto cualquiera (c cos θ, c sen θ) el potencial debido a ambas cargas es q0 q q0 q + = √ +√ , 2 2 r1 r2 a + c − 2ac cos θ b2 + c2 − 2bc cos θ

c r

o

a

q

r1

q'

r2 q

b

Figura 10.19.

870

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

y si queremos que valga 0 para c = r y todo θ, tendremos que debe ser constante s q0 a2 + r2 − 2ar cos θ =− , 2 2 b + r − 2br cos θ q y por lo tanto q 0 tiene signo contrario que q. Ahora derivando (su cuadrado) se tiene (a2 + r2 − 2ar cos θ)b = a(b2 + r2 − 2br cos θ) ab(a − b) = r2 (a − b) y q 0 = −q

⇒ ⇒

(a2 + r2 )b = a(b2 + r2 )

⇒

ab = r2 ,

p a/b = −q(a/r) = −q(r/b).

Ejercicio 10.4.2.- Un planeta de radio 2r del mismo material que la Tierra, tiene un hueco esf´erico, conc´entrico, de radio r. Por un agujero, que atraviesa diametr´ almente el planeta, dejamos caer una piedra. ¿Cuanto tiempo tarda en recorrer el di´ ametro del hueco?, ¿y el di´ ametro total del planeta?. Se supone que el radio de la tierra es R = 6.371 km y que la aceleraci´ on de la gravedad en la tierra es g = 9, 78 m/seg 2 .

Figura 10.20. Esfera hueca Indicaci´ on.- En primer lugar la masa de un planeta de radio s, con la misma densidad ρ que la tierra es   4 3 g Ms = ρ πs = s3 , 3 G·R para R el radio de la Tierra y g la aceleraci´ on de la gravedad en la Tierra que es     G 4 4 g= 2 πR3 ρ = π ρ G R. R 3 3 Pongamos un sistema de coordenadas en el centro del planeta, con el agujero en el eje x entre −2r y 2r, de modo que la parte hueca est´ a entre −r y r. Denotemos con x(t) la posici´ on de la piedra en el instante t, siendo x(0) = 2r y x0 (0) = 0. La aceleraci´ on de la piedra en el agujero, antes de llegar a la parte hueca, es decir para r < x < 2r, es para c = R/g G(Mx − Mr ) r3 − x3 = 2 x c x2 0 siendo la funci´ on de la derecha −u , para u el potencial   1 r3 x2 + c x 2 x00 = −

10.13. Ejercicios resueltos

871

por tanto es constante la energ´ıa total h, cin´ etica mas potencial (por unidad de masa),  3    2 02 1 r x (2r)2 x 1 r3 5r2 + + + , h(t) = = h(0) = = 2 c x 2 c 2r 2 2c (para comprobarlo der´ıvese respecto del tiempo y es h0 = 0). Por tanto s   1 2r3 x0 = 5r2 − − x2 . c x Ahora la aceleraci´ on en el interior hueco es nula, por tanto la velocidad es constante y es la que tiene cuando llegue al hueco (instante que llamaremos T1 , en el que x(T1 ) = r), es decir s  r  1 2r3 2 0 x (T1 ) = − r2 = r . 5r2 − c r c y el tiempo T2 que tarda en recorrer el hueco, de longitud 2r, a esa velocidad es independiente de r s √ 2r 6.371.000 T2 = 0 = 2c = 2 seg ' 190 . x (T1 ) 9, 78 Ahora como conocemos la velocidad dx/dt = x0 = v(x), tendremos que dt = v(x)−1 dx e integrando Z 2r s Z 2s c c T1 = t(2r) − t(r) = dx = dx ' 150 3000 . 3 2 2r 2 2 5 − − x2 r 1 5r − x − x x tambi´ en es independiente de r. Por tanto el tiempo que tarda en salir por el otro lado es unos 500 .

Ejercicio 10.5.3.- Demostrar el Teorema de Helmholtz I: Un campo tangente en el espacio que se anule en el infinito est´ a totalmente determinado por su rotacional y su divergencia. Soluci´ on.- Sean Di campos que se anulan en el infinito y tales que div D1 = div D2 y rot D1 = rot D2 , entonces para D = D1 − D2 , tendremos que div D = rot D = 0, entonces irot D ω3 = d(γD ) = 0 y por el Lema de Poincar´ e (3.22), p´ ag.165, γD = iD T2 = df es decir D = grad f ahora bien ∆f = div grad f = div D = 0 es decir f es arm´ onica y por lo tanto las fxi y como estas se anulan en el infinito, tendremos por el ejercicio (10.5.2) que son nulas y por tanto D = 0.

Ejercicio 10.5.4.- Demostrar el Teorema de Helmholtz II: : Todo campo D ∈ D(R3 ) que se anule en el infinito es suma de un campo con divergencia nula y otro con rotacional nulo. P Soluci´ on.- SiP D= fi ∂i , por el Teorema de la Ecuaci´ on de Poisson existe un u ´nico campo Z = gi ∂i , tal que ∆gP i = −fi . Ahora el resultado se sigue de que para todo campo Z, si denotamos ∆Z = (∆gi )∂i , se tiene la igualdad −∆Z = − grad div Z + rot(rot Z),

872

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

P P P gjxj xi , pues div Z = gjxj y la componente i de su gradiente es ( gjxj )xi = y por u ´ltimo rot Z tiene componentes (g3x2 − g2x3 , g1x3 − g3x1 , g2x1 − g1x2 ) y su rotacional g2x1 x2 − g1x2 x2 − g1x3 x3 + g3x1 x3 , g3x2 x3 − g2x3 x3 − g2x1 x1 + g1x2 x1 , g1x3 x1 − g3x1 x1 − g3x2 x2 + g2x3 x2 .

Ejercicio 10.6.1.- Resolver en el disco unidad la ecuaci´ on ∆u = 0, para: (1)

u(1, θ) = cos2 θ,

(2)

u(1, θ) = sen3 θ.

Indicaci´ on.- (1) cos2 θ = (1 + cos 2θ)/2, por tanto u = (1/2) + ρ2 cos(2θ)/2 = (1/2) + (x2 − y 2 )/2. (2)

sen 2θ = 2 sen θ cos θ,

cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ,

sen 3θ = sen θ cos 2θ + sen 2θ cos θ = 3 sen θ − 4 sen3 θ, por tanto u = (3/4)ρ sen θ − (1/4)ρ3 sen 3θ.

Ejercicio 10.7.1.- (1) La soluci´ on u para la ecuaci´ on 10.16, con P > 0, no puede alcanzar un m´ aximo positivo ni un m´ınimo negativo en el abierto acotado Ω. (2) Como consecuencia demostrar la siguiente versi´ on del principio del m´ aximo: si M1 ≤ u ≤ M2 en ∂Ω, con M1 < 0 y M2 > 0, entonces M1 ≤ u ≤ M2 en Ω. (3) Comprobar que para M1 < M2 arbitrarias en general no es cierto el resultado. (4) Demostrar que (de existir) la soluci´ on u, es continua respecto de su valor f en la frontera. Indicaci´ on. (1) Si u alcanza un m´ aximo en x ∈ Ω, uxi xi (x) ≤ 0, por tanto P (x)u(x) = ∆u(x) ≤ 0 y u(x) ≤ 0. (2) Por continuidad u alcanza el m´ aximo en un punto x del compacto Ω, si x ∈ U por el resultado anterior u(x) ≤ 0 ≤ M2 , el resto es obvio. (3) Consid´ erese la funci´ on u = x2 + y 2 + 1. (4) Se sigue de (2) restando dos soluciones.

Ejercicio 10.7.2.- Demostrar que si denotamos con ∂n el campo unitario normal exterior a las esferas centradas en el origen, entonces Z Z vol[S(0, r)] = i∂n ω = rn−1 i∂n ω = rn−1 vol[S(0, 1)]. S(0,r)

S(0,1)

Indicaci´ on. Consid´ erese la homotecia F (x) = rx, entonces Z Z i∂ n ω = F ∗ (i∂n ω), S(0,r)

S(0,1)

y basta demostrar que F∗ ∂n = r∂n , pues como F ∗ ω = rn ω, tendremos que F ∗ (i∂n ω) = rn−1 i∂n ω.

873

10.13. Ejercicios resueltos

Ejercicio (Principio del m´ aximo) 10.7.3.- Demostrar como consecuencia del teorema del valor medio que si u es arm´ onica en un abierto conexo U : (i) Si alcanza un m´ aximo (´ o m´ınimo) en U , entonces es constante. (ii) Que si U es acotado y u ∈ C(U ), entonces u alcanza el m´ aximo y el m´ınimo en ∂U (sin condiciones de regularidad) Demostraci´ on. (i) Sea λ = m´ ax u y consideremos el cerrado de U , C = {x ∈ U : u(x) = λ}, el cual es abierto pues si x0 ∈ C, existe r > 0, tal que B[x0 , r] ⊂ U y como u(x0 ) es el promedio de u en esa bola, tendremos que en ella u = λ. Por conexi´ on C = U y u = λ. (ii) u alcanza el m´ aximo y el m´ınimo por ser continua en un compacto ahora si uno de ellos lo alcanza en u es constante, en particular lo alcanza en el borde.

Ejercicio (Problema de Dirichlet) 10.7.5.- (i) Unicidad. Demostrar que dada una funci´ on f ∈ C(∂U ), para U abierto conexo acotado, si existe es u ´nica la funci´ on arm´ onica en U , u ∈ C(U ), que satisface u = f en ∂U (sin condiciones de regularidad). (ii) Dependencia continua. Demostrar que si existe la soluci´ on ui del Problema de Dirichlet para f = fi (i = 1, 2), entonces para la norma infinito (del supremo) respectivamente en U y en S = ∂U , se tiene que ku1 − u2 k∞,U ≤ kf1 − f2 k∞,S . Demostraci´ on. (i) Dadas dos soluciones se sigue del ejercicio anterior que su diferencia es nula, pues alcanza el m´ aximo y el m´ınimo en el borde donde es nula. (ii) Es similar.

Ejercicio 10.7.6.- Demostrar que toda funci´ on arm´ onica en Rn integrable es nula. Demostraci´ on. Por el Teorema del valor medio (10.49) Z 1 u(x) = n u dm, r m(B) B(x,r) y el resultado se sigue tomando l´ımites pues u es integrable por tanto existe y es finito el Z Z l´ım u dm = u dm. r→∞

Rn

B(x,r)

Ejercicio 10.7.7.- RDemostrar que si u es el potencial de una densidad de cargas ρ ∈ Cc1 (R3 ) y q = ρ es la carga total, entonces el valor medio de u en cualquier esfera de radio r que contenga toda la carga es q/r. Demostraci´ on. Consideremos una bola B[x, r] que contenga la carga, entonces por la ecuaci´ on de Poisson y el Teorema de Gauss Z Z Z −4πq = ∆u dy = N u ds = N u ds, B[x,r]

S[x,r]

S[x,r 0 ]

para N el campo unitario normal exterior a las esferas de centro x y r < r0 , donde la u ´ltima igualdad se sigue del Teorema de Gauss en Ω = B(x, r0 )\B[x, r], en el que u es arm´ onica. Por tanto la funci´ on de la derecha es constante en r. Tanto u como

874

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

v = 1/kx − yk son arm´ onicas en Ω y por la segunda identidad de Green, tendremos que Z Z Z Z Z Z u Nv − u Nv = u ∂n v = v ∂n u = v Nu − v N u, S[x,r 0 ]

S[x,r]

∂Ω

∂Ω

S[x,r 0 ]

S[x,r]

2 y como en R cada esfera S[x, r], v = 1/r y N v = −1/r , tendremos que para f (r) = (1/4πr2 ) S[x,r] u el valor medio de u en S[x, r] Z Z 1 ( u Nv − u N v) f (r) − f (r0 ) = 4π S[x,r0 ] S[x,r] Z Z 1 q q = ( v Nu − v N u) = − 0 4π S[x,r0 ] r r S[x,r]

y por tanto f (r) − q/r = k es constante y f (r) = (q/r) + k, pero k = 0 pues f (r) → 0 cuando r → ∞, pues u(x) → 0.

10.14. Bibliograf´ıa y comentarios

10.14.

875

Bibliograf´ıa y comentarios

Los libros consultados para la elaboraci´ on de este tema han sido: Boyce, W. E. and DiPrima, R.C.: “Elementary Differential Equations and Boundary value Problems”. J.Wiley, 1977. Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Physics. Vol.II, Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962. Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Fondo Educativo Interamericano, 1984. Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986. Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986. Godunov, S.K.: “Ecuaciones de la F´ısica Matem´ atica”. Ed.Mir, 1978. Kellog, O.D.: “Foundations of Potential Theory”. Springer–Verlag, 1967. Reimpresi´ on de la primera edici´ on de 1929. ´ilov, V.P.: “Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales”. Ed.Mir, 1978. Mija Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´ oricas.Ed. McGrawHill. 1977. Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacional, 1983. Tijonov, A.N. y Samarski, A.A.: “Ecuaciones de la F´ısica matem´ atica”. Ed. Pueblo y Ciencia, 1975. Weinberger, H.F.: “Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. Ed. Revert´ e, 1970. Zachmanoglou, E.C. and Thoe, D.W.: “Introduction to Partial Differential Equations with Applications”. Dover, 1986.

Uno de los problemas mas importantes estudiados durante el siglo XVIII fue el de determinar la magnitud de la atracci´on que una masa ejerce sobre otra, problema motivado por ejemplos tan caracter´ısticos como el del Sol y un planeta, la Tierra y la Luna, etc. Si ambas masas estaban muy alejadas entre s´ı, pod´ıan ser consideradas como masas puntuales, pero si estaban relativamente cercanas, era fundamental considerar la forma de dichas masas. En 1740, Colin Maclaurin, (1698–1746) demostr´o que por la acci´ on de la gravedad una masa homog´enea de l´ıquido en rotaci´on sobre un eje con velocidad uniforme, debe tener la forma de un elipsoide de

876

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

revoluci´ on, siendo el eje menor el de giro (teorema dado por Isaac Newton (1642–1727), sin demostraci´ on). No obstante el m´etodo geom´etrico utilizado por este autor as´ı como por Isaac Newton y otros no era el m´ as potente para este tipo de problemas, pues s´olo en situaciones muy particulares de las masas pod´ıa ser de utilidad. Por ello no es de extra˜ nar que surgiera un m´etodo alternativo, el anal´ıtico, para estudiar este problema. La idea de que una fuerza F puede derivar de una funci´on potencial, F = grad u, e incluso el t´ermino de funci´ on potencial, fueron utilizados por Daniel Bernoulli (1700–1782), en su tratado sobre “Hidrodin´ amica” de 1738. Por otra parte la ecuaci´ on de Laplace (tridimensional) aparece por primera vez en 1752 en el trabajo de Leonard Euler (1707–1783) titulado “Principios del movimiento de fluidos”, en el que demuestra que el campo de velocidades del fluido es un gradiente D = grad v y si el l´ıquido es incompresible obedece a la llamada ley de continuidad, div D = 0, lo cual equivale a que ∆v = 0 y dice que no se conoce c´omo resolver esta ecuaci´ on en general, por lo que s´ olo considera casos especiales en los que v es un polinomio. En 1762, Joseph Louis Lagrange (1736–1813) retoma el tema (aunque no menciona a Euler) y mejora tanto las ideas como la exposici´ on de las mismas. En 1772 Pierre Simon LaPlace (1749–1827) inicia una serie de trabajos sobre la fuerza de atracci´ on ejercida por vol´ umenes de revoluci´ on, en los que no habla de la funci´ on potencial sino de las tres componentes de la fuerza de atracci´ on. En 1782, Adrien Marie Legendre (1752–1833) tambi´en inicia una serie de trabajos en el mismo tema pero utilizando la funci´ on potencial. En dichos trabajos introduce los polinomios que llevan su nombre y deduce algunas de sus propiedades. Tambi´en en 1782 (probablemente inspirado por el trabajo de Legendre), LaPlace escribe su c´elebre art´ıculo “Teor´ıa de las atracciones de los esferoides y de las figuras de los planetas” en el que aborda el problema de la atracci´ on pero para un volumen arbitrario, no necesariamente de revoluci´ on y trabajando con la funci´on potencial, y no con las componentes de la fuerza como en sus primeros trabajos. En este trabajo demuestra que el potencial satisface la ecuaci´on de LaPlace, expresada en coordenadas esf´ericas, aunque no explica como obtiene la ecuaci´ on. Es en un art´ıculo posterior donde expresa la ecuaci´ on en coordenadas rectangulares, aunque ambas formas hab´ıan sido dadas ya por Euler y Legendre. En este art´ıculo dice, err´oneamente,

10.14. Bibliograf´ıa y comentarios

877

que el potencial satisface tambi´en la ecuaci´ on de LaPlace en el interior ´on Denis Poisson (1781– del volumen, cosa que corrige en 1813 Sime 1840), demostrando que en el interior el potencial satisface la ecuaci´on que lleva su nombre, aunque con una demostraci´on poco rigurosa como ´el mismo reconoci´ o. La demostraci´ on rigurosa la dio en 1813 Karl Friedrich Gauss (1777–1855). En su art´ıculo Poisson observa la utilidad de la funci´ on potencial en electricidad, donde el papel de la densidad de masa la tiene la carga el´ectrica. Partiendo de esto George Green (1793–1841) dio un tratamiento puramente matem´atico a la electricidad est´ atica y al magnetismo utilizando la funci´ on potencial. En 1828 public´ o un art´ıculo en el que entre otros resultados demuestra la llamada por nosotros segunda f´ ormula de Green, la cual tambi´en fue demostrada ese mismo a˜ no por el ruso Miguel Ostrogradsky (1801–1861). Para mas datos de naturaleza hist´ orica, en particular sobre el principio de Dirichlet y la existencia de soluci´ on en una regi´on con valores conocidos en el borde (problema de Dirichlet), remitimos al lector interesado a los libros de los que hemos sacado los comentarios anteriores, en particular a las p´ aginas 693–704, 900–906 y 928–933 del libro Kline, Morris: “El pensamiento matem´ atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas”. Tomo II, Ed. Alianza Univ., N.724, 1972.

y en general al Cajori, Florian: “A history of mathematics”. Chelsea Pub. Co., 1985. (Reedici´ on de la segunda edici´ on de 1919, siendo la primera edici´ on de 1893).

Por u ´ltimo el Teorema de Picard lo hemos seguido esencialmente por el Goursat, Edouard: “Cours d’analyse math´ ematique, Tome III”. Gauthier–Villars, 1942.

(p´ agina 254) aunque tambi´en puede encontrarse, como consecuencia de resultados mas generales, en la p´ agina 270 del Kellog. En la p´agina 277 del Kellog tambi´en hay comentarios hist´ oricos relativos al problema de Dirichlet.

Fin del Tema 10

878

Tema 10. La Ecuaci´ on de Laplace

Tema 11

La Ecuaci´ on de ondas

11.1.

La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

Consideremos una cuerda flexible y uniforme con densidad de masa ρ, de longitud L, fija por sus extremos, estirada por la acci´on de una fuerza de tensi´ on constante de m´ odulo T . Supongamos que cuando la cuerda vibra lo hace en un plano, en el que consideramos un sistema de coordenadas (x, y) de modo que los extremos de la cuerda est´an sobre el eje x, en los puntos (0, 0) y (L, 0). Para cada t ∈ R denotemos con y = y(x, t) la funci´on cuya gr´afica representa la forma de la cuerda en ese instante t. Si suponemos que el angulo θ de la tangente a la cuerda respecto del eje x, en cualquier ins´ tante de su vibraci´ on, es suficientemente peque˜ no como para despreciar los t´erminos θn , para n ≥ 2, entonces tendremos que sen(θ) = θ ,

cos(θ) = 1 ,

tan(θ) = θ,

y para cada t ∈ R y x ∈ [0, L], yx (x, t) = tan(θ) = sen(θ). En cada instante la tensi´ on de la cuerda est´a actuando tangencialmente en cada punto de la cuerda y su m´ odulo variar´a dependiendo de

879

880

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

la longitud de la cuerda en ese instante. Como la longitud de la cuerda no var´ıa (m´ odulo θ2 ) —si, como estamos suponiendo, la desplazamos en un ´ angulo θ —, el m´ odulo de la tensi´ on tampoco var´ıa y es T . Consideremos ahora un x ∈ [0, L], un  > 0 y el trozo de cuerda que en el instante t est´ a entre x y x + . Denotemos con θ el ´ angulo de la tangente a la curva en x y con θ + ∆θ el de x + . Las fuerzas que est´ an actuando sobre ese trozo de cuerda son la gravedad y las dos tensiones Figura 11.1. cuerda vibrante tangenciales. Si denotamos con e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) los vectores de la base del plano, tendremos que la suma de las fuerzas que act´ uan sobre el trozo de cuerda es − ρg e2 + T cos(θ + ∆θ)e1 + T sen(θ + ∆θ)e2 − − T cos(θ)e1 − T sen(θ)e2 = = [−ρg + T (yx (x + , t) − yx (x, t))]e2 , pues cos(θ) = cos(θ + ∆θ) = 1,

(m´odulo θ2 ).

Ahora esta fuerza F produce el movimiento de la cuerda y por la Segunda Ley de Newton debe ser igual a ma e2 = ρytt (x, t)e2 . Dividiendo por  y haciendo  → 0, tenemos la ecuaci´on T yxx − ρg = ρytt , o para a = ´

p

T /ρ, a2 yxx − g = ytt .

(11.1)

A menudo esta ecuaci´ on aparece en los libros sin el t´ermino −g, (11.2)

a2 yxx = ytt

Ecuaci´ on de Ondas

la cual describe el movimiento en ausencia de gravedad, pero es que cuando la densidad de masa ρ de la cuerda es peque˜ na en comparaci´on

881

11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

con la tensi´ on T de la cuerda, como por ejemplo en la cuerda de una guitarra, entonces para cada soluci´ on y de 11.2 podemos considerar z(x, t) = y(x, t) + x(x − L)

g , 2a2

que es soluci´ on de 11.1, y si y satisface las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 para todo t, entonces z tambi´en y se tiene que zt (x, t) = yt (x, t) y cuando a es grande, el segundo t´ermino de z y sus derivadas es peque˜ no —de hecho las derivadas de orden mayor que dos de z e y coinciden—, por tanto ambas soluciones son aproximadamente iguales en todo instante, z(x, t) ∼ y(x, t), en el sentido de que ellas y sus derivadas difieren poco. Esto nos lleva a estudiar las soluciones de 11.2 que satisfacen las condiciones frontera e iniciales y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

y(x, 0) = u(x) ,

yt (x, 0) = v(x),

las cuales representan el movimiento de una cuerda que vibra con los extremos fijos (condiciones frontera), empezando en el instante 0 con una forma determinada por u y con una velocidad v (condiciones iniciales). Observemos que la ecuaci´ on de ondas est´ a definida por un ODL en el plano xt de segundo orden, de tipo hiperb´ olico.

11.1.1.

Series de Fourier.

Teorema 11.1 El conjunto de funciones de [−L, L], para n = 1, 2, . . . 1 φ0 (x) = √ , 2

φn (x) = cos

nπx , L

ϕn (x) = sen

nπx , L

es ortonormal, con el producto interior < f, g >=

1 L

Z

L

f (x)g(x)dx. −L

Demostraci´ on. Por una parte < φn , ϕm >= 0, porque φn ϕm es una funci´ on impar y por otra si denotamos con un cualquiera de las funciones φn ´ o ϕn , entonces se tiene que u00n = −

 nπ 2 L

un ,

un (L) = un (−L),

u0n (L) = u0n (−L),

882

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

y para n 6= m se sigue que π2 (m − n ) 2 L 2

2

Z

L

L

Z

u00n um − u00m un

un um = −L

−L Z L

=

(u0n um − u0m un )0

−L

= [u0n um − u0m un ]L −L = 0. Por otro lado tienen norma 1 pues L

L

  2nπx 1 + cos L −L  L ! 1 L 2nπx =L = 2L + sen 2 2nπ L −L Z L Z Lh nπx i 2 nπx sen = 1 − cos2 = L. L L −L −L Z

1 nπx = cos L 2 −L 2

Z

Adem´ as estas funciones son base del espacio de Hilbert L2 [−L, L], espacio cociente de L2 [−L, L] (funciones Borel medibles de cuadrado integrable) con la relaci´ on de equivalencia dada por la igualdad de funciones salvo en un conjunto de medida nula. Es decir que el menor subespacio cerrado que las contiene es el total. Toda u de esta clase tiene una serie de Fourier u=

∞ X

a n φn +

n=0

∞ X

bn ϕn ,

n=1

donde la serie se entiende como el l´ımite de las sumas parciales con la norma que induce el producto interior y los coeficientes de Fourier an y bn de u, vienen dados por 1 √

Z

L

u(x)dx, L 2 −L Z 1 L nπx an =< u, φn >= u(x) cos dx, L −L L Z 1 L nπx bn =< u, ϕn >= u(x) sen dx, L −L L a0 =< u, φ0 >=

11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

883

adem´ as se tiene la igualdad de Parseval Z ∞ ∞ X X 1 L 2 b2n . a2n + kuk2 =< u, u >= u (x)dx = L −L n=1 n=0 Observemos que no s´ olo podemos definir los coeficientes de Fourier para funciones de cuadrado integrable en [−L, L], sino tambi´en para funciones integrables —dada la acotaci´ on de nuestro sistema de funciones—, aunque para estas no necesariamente converge la serie. Desde un punto de vista pr´ actico nos interesa saber bajo que condiciones la serie de Fourier de una funci´ on u, no s´olo converge en el sentido de la topolog´ıa de L2 a u, sino de la convergencia puntual o incluso de la uniforme. En este sentido el siguiente resultado es uno de los mas importantes (ver Kolmogorov–Fomin, p´ aginas 433 y 452 ´o Weinberger, p´ aginas 86 − 91). Teorema de Dirichlet 11.2 Si u : R −→ R es una funci´ on acotada, de per´ıodo 2L, en cuyos puntos de discontinuidad, si los tiene, existen los l´ımites laterales de u y son finitos y en todo punto tiene derivadas laterales finitas, entonces se tiene que su serie de Fourier converge puntualmente, para cada x ∈ [−L, L], al valor N

X a0 nπx nπx  u(x+ ) + u(x− ) l´ım √ + an cos + bn sen = , N →∞ L L 2 2 n=1 adem´ as si u es continua y de clase 1 salvo en una colecci´ on finita de puntos, la convergencia es uniforme. En el caso particular de que u, con nuestra condici´on u(L) = u(−L), sea impar, es decir u(−x) = −u(x), se tendr´ a que u(0) = 0, u(L) = 0 y los an = 0 y por tanto u(x) =

∞ X

bn sen

n=1

nπx , L

y en el caso de que u sea par, u(−x) = u(x), se tiene que los bn = 0 y ∞

X a0 nπx an cos . u(x) = √ + L 2 n=1

884

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

11.1.2.

Soluci´ on de D’Alembert.

En primer lugar estudiaremos las soluciones de 11.2 que satisfacen las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0,

(condiciones frontera)

y(x, 0) = u(x),

(condiciones iniciales)

yt (x, 0) = 0,

y en segundo lugar estudiaremos las que satisfacen las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

y(x, 0) = 0 ,

yt (x, 0) = v(x),

obviamente la suma de ambas soluciones satisfacen las condiciones generales. Analicemos primero si existe alguna soluci´on de 11.2 en variables separadas, es decir de la forma y(x, t) = h(x)g(t), satisfaciendo las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

yt (x, 0) = 0,

en cuyo caso se tendr´ıa para cualquier (x, t) a2 h00 (x)g(t) = h(x)g 00 (t), y esto ocurre si existe una constante λ para la que g 00 (t) h00 (x) = 2 = −λ, h(x) a g(t) es decir si se satisfacen las ecuaciones y condiciones h00 (x) + λh(x) = 0 ,

h(0) = h(L) = 0,

00

g 0 (0) = 0.

2

g (t) + a λg(t) = 0 ,

Ahora bien nosotros sabemos que las u ´nicas soluciones h no triviales con esas condiciones corresponden a λ = αn2 ,

αn =

nπ , L

para cada n = 1, 2, . . . Y las soluciones son, para cada n, m´ ultiplos de hn (x) = sen(αn x),

11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

885

y las soluciones g, que corresponden a estos valores de λ, son de la forma g(t) = A cos(aαn t) + B sen(aαn t), por lo que g 0 (t) = −Aaαn sen(aαn t) + Baαn cos(aαn t), y g 0 (0) = 0 implica que B = 0, por tanto las soluciones g son m´ ultiplos de gn (t) = cos(aαn t). Concluimos que para cada n ≥ 1, yn (x, t) = hn (x)gn (t) = sen(αn x) cos(aαn t), y cualquier combinaci´ on finita de ellas son soluciones de a2 yxx = ytt ,

y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

yt (x, 0) = 0,

y es de esperar que las combinaciones infinitas y(x, t) =

∞ X

bn hn (x)gn (t),

n=1

tambi´en sean soluci´ on y que eligiendo adecuadamente las bn se tenga la otra condici´ on frontera, es decir la posici´ on inicial de la cuerda y(x, 0) = =

∞ X n=1 ∞ X

bn hn (x)gn (0) Figura 11.2. Posici´ on inicial

bn sen(αn x) = u(x).

n=1

Esto nos sugiere la siguiente construcci´ on formal. Como nuestra u est´ a definida en [0, L], podemos extenderla a [−L, L] de forma impar, definiendo u(−x) = −u(x), y podemos considerar sus coeficientes de Fourier bn , con los que definimos formalmente y(x, t) =

∞ X n=1

bn hn (x)gn (t) =

∞ X n=1

bn sen(αn x) cos(aαn t).

886

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

La cuesti´ on consistir´ıa en probar que esta serie converge puntualmente a una funci´ on soluci´ on de nuestra ecuaci´ on satisfaciendo las propiedades requeridas. Sin embargo no haremos esto1 , sino que seguiremos la demostraci´ on dada por D’Alembert, haciendo uso de la descripci´on formal anterior, que nos indicar´ a cual es la soluci´on y(x, t) = =

∞ X

bn n=1 ∞ X

sen(αn x) cos(aαn t)

∞ 1X 1 bn sen(αn (x + at)) + bn sen(αn (x − at)), 2 n=1 2 n=1

y por la definici´ on de los bn tendremos que =

u(x + at) + u(x − at) , 2

para u : R −→ R la extensi´ on impar y peri´ odica de nuestra u : [0, L] −→ R inicial. Esto nos sugiere considerar la funci´ on y(x, t) =

u(x + at) + u(x − at) , 2

la cual se demuestra f´ acilmente que es soluci´ on satisfaciendo las condiciones iniciales. Tal soluci´ on representa un par de “ondas=olas” que se mueven hacia la derecha y hacia la izquierda, a lo largo del eje x, con velocidad Figura 11.3. Ondas viajeras constante a. Esta es la raz´ on de llamar a esta ecuaci´ on ecuaci´ on de ondas. Nos planteamos ahora la b´ usqueda de la soluci´on de (11.2) satisfaciendo las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

y(x, 0) = 0 ,

yt (x, 0) = v(x).

Como antes consideramos las posibles soluciones y = h(x)g(t) satisfaciendo y(0, t) = y(L, t) = 0 , y(x, 0) = 0, 1 Remitimos al lector interesado en una demostraci´ on en esta linea a las p´ ag. 99– 102 del Tijonov, A.N. and Samarski, A.A.

11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

887

esto implica que h y g satisfacen las ecuaciones y condiciones h00 (x) + λh(x) = 0 ,

h(0) = h(L) = 0,

00

g(0) = 0,

2

g (t) + a λg(t) = 0 ,

por tanto son los m´ ultiplos, respectivamente y para cada n ∈ N, de hn (x) = sen(αn x) ,

gn (t) = sen(αn at).

Se sigue que las combinaciones lineales finitas de yn = hn gn , son soluciones de este problema y nos preguntamos si existir´an cn ∈ R para las que ∞ X y(x, t) = cn sen(αn x) sen(αn at), n=1

sea la soluci´ on a nuestro problema inicial. Si as´ı fuera, en buenas condiciones tendr´ıamos que yt (x, t) =

∞ X

acn αn sen(αn x) cos(aαn t),

n=1

yt (x, 0) = v(x) =

∞ X

acn αn sen(αn x),

n=1

de donde se seguir´ıa que cn αn a ser´ıan los coeficientes de Fourier de v —realmente de su extensi´ on impar a [−L, L]—, relativos a sen(αn x), es decir Z L 2 cn = v(x) sen(αn x)dx. Laαn 0 Veamos que esta elecci´ on de cn satisface nuestro problema. En primer lugar se tiene, como en el primer caso analizado, que ∞ X

acn αn sen(αn x) cos(aαn t) =

n=1

=

∞ X acn αn [sen(αn (x + ta)) + sen(αn (x − at))] 2 n=1

=

1 [v(x + at) + v(x − at)], 2

888

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

lo cual nos induce a considerar, para Z x w(x) = v(x)dx, 0

(y su extensi´ on par), la funci´ on y(x, t) =

w(x + at) − w(x − at) , 2a

la cual es soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas satisfaciendo y(0, t) = y(L, t) = 0 y las condiciones iniciales y(x, 0) = 0, yt (x, 0) = v(x) (demu´estrelo el lector). Finalmente ya podemos dar la soluci´ on general de la ecuaci´on de ondas y(x, t) =

u(x + at) + u(x − at) w(x + at) − w(x − at) + , 2 2a

satisfaciendo las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

y(x, 0) = u(x) ,

yt (x, 0) = v(x),

que representa la superposici´ on de cuatro ondas viajando dos a la derecha y dos a la izquierda a velocidad constante a.

11.1.3. con

Energ´ıa de la cuerda.

Si y(x, t) representa la forma de la cuerda en el instante t y denotamos Z xp s(x) = 1 + yx2 dx, 0

la nueva longitud de la cuerda, hasta el punto x, entonces como el desarrollo de Taylor del integrando es del tipo p y2 1 + yx2 = 1 + x + · · · , 2 tendremos que el trabajo realizado en un elemento de cuerda dx, de la posici´ on inicial a la nueva posici´ on, es p T yx2 T (ds − dx) = T ( 1 + yx2 − 1)dx ∼ dx, 2

11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

889

(donde hemos despreciado los t´erminos de las potencias de yx , de orden mayor o igual que cuatro). Esto sugiere que definamos la energ´ıa potencial de la cuerda completa como L

Z 0

T yx2 dx. 2

Las razones para esta definici´ on obviamente no han sido mas que muy d´ebilmente justificadas, sin embargo como se tiene que y(x, t) es soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas, T yxx = ρytt , entonces   ∂ ρ 2 T 2 y + yx = ρyt ytt + T yx yxt ∂t 2 t 2 ∂ (T yx yt ), = T yxx yt + T yx yxt = ∂x y si denotamos la energ´ıa de la cuerda en el instante t como la suma de las energ´ıas cin´etica y potencial, Z

L

E(t) = 0



 ρ 2 T 2 yt + yx dx, 2 2

tendremos que, al ser y(0, t) = y(L, t) = 0 Z

0

L

E (t) = 0

Z

  ∂ ρ 2 T 2 y + yx dx ∂t 2 t 2

L

∂ (T yx yt )dx 0 ∂x = T yx (L, t)yt (L, t) − T yx (0, t)yt (0, t) = 0, =

y por tanto la energ´ıa es una constante del movimiento de la cuerda. Ejercicio 11.1.1 Demostrar que la energ´ıa de la cuerda, si la soltamos con velocidad inicial nula y con la forma inicial definida por una funci´ on u, vale E=

∞ T π2 X 2 2 bn n , 4L n=1

para bn los coeficientes de Fourier de la extensi´ on impar de u. (Sol.)

890

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

Ejercicio 11.1.2 Consid´erese la Lagrangiana asociada a la cuerda Z 1 L L=T −V = (ρyt2 − T yx2 )dx, 2 0 y demu´estrese que la ecuaci´ on de ondas da un valor estacionario a la acci´ on. (Sol.)

11.1.4.

Unicidad de soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas.

Nos interesa estudiar ahora la unicidad de soluci´on de la ecuaci´on de ondas satisfaciendo las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

y(x, 0) = u(x) ,

yt (x, 0) = v(x).

Para ello observamos que si hubiese dos soluciones y1 e y2 , entonces y = y1 − y2 tambi´en ser´ıa soluci´ on satisfaciendo las condiciones y(0, t) = y(L, t) = 0 ,

y(x, 0) = 0 ,

yt (x, 0) = 0,

y para ella se tendr´ıa que E(t) = E(0), que en este caso vale  Z L T 2 ρ 2 y (x, t) + yx (x, t) dx E(t) = 2 t 2 0   Z L T 2 ρ 2 y (x, 0) + yx (x, 0) dx = 0, = 2 t 2 0 lo cual implica que T ρ 2 yt (x, t) + yx2 (x, t) = 0 2 2 yt (x, t) = yx (x, t) = 0

11.1.5.

⇒ ⇒

y(x, t) = 0.

Aplicaciones a la m´ usica.

Instrumentos como la guitarra, el viol´ın o el piano emplean cuerdas vibrantes para producir sonidos que llamamos musicales. Cuando un objeto vibra, esta vibraci´ on se transmite a trav´es del aire, en la forma de lo que llamamos ondas sonoras, que son vibraciones peri´odicas de la densidad del aire, con las frecuencias del emisor. Estas llegan al o´ıdo y las escuchamos si su frecuencia se encuentra entre 20 y 20000 ciclos por segundo.

891

11.1. La Ecuaci´ on de ondas unidimensional

Si escuchamos distintas ondas sonoras simult´aneamente, la combinaci´ on se percibe como arm´ onica si las razones de sus frecuencias son n´ umeros enteros peque˜ nos, en caso contrario el sonido nos resulta disonante. La serie ∞ X bn sen(αn x) cos(aαn t), y(x, t) = n=1

representa el movimiento de una cuerda como superposici´on de un n´ umero infinito de vibraciones con diferentes frecuencias. El t´ermino n–simo bn sen(αn x) cos(aαn t), representa una vibraci´ on con una frecuencia s s n aαn T 1 nπ T = = , νn = 2π ρ 2π L 2L ρ

1 ν1 = 2L

s

T , ρ

A esta frecuencia mas baja, ν1 , se la llama frecuencia fundamental y en general es la que predomina en el sonido de la cuerda. La frecuencia νn = nν1 se la llama n–simo sobretono o arm´ onico, por esta raz´on el sonido de una cuerda de guitarra suena agradablemente. Observemos que la frecuencia fundamental de una cuerda no depende para nada de las condiciones iniciales en las que empiece su movimiento. Es una particularidad inherente a la cuerda (siempre que nos atengamos a que el desplazamiento sea peque˜ no). Adem´ as su inversa es el per´ıodo, el tiempo que tarda cualquier punto de la cuerda en bajar y subir y que es tambi´en el tiempo que tardan las dos ondas en las q que se separa u, T que viajan a derecha e izquierda a velocidad a = ρ , en recorrer la distancia 2L, tras lo cual vuelven a unirse para dar u de nuevo. Lo que s´ı depende de las condiciones iniciales, es el mayor o menor valor que tengan los coeficientes bn , y estas condiciones afectan al timbre del sonido, que es la forma en que est´ an combinadas todas las frecuencias. Una cuerda de la guitarra tocada con la yema del dedo o con una p´ ua sonar´ a de forma distinta. Por otra parte una nota como el Do tocada en un piano y la misma nota tocada con un viol´ın o con una guitarra, sonar´ a distinta —con distinto timbre— y la diferencia estar´a no s´olo en los valores de los coeficientes bn —que por supuesto ser´an distintos pues las condiciones iniciales lo ser´ an si en vez de golpear la cuerda (en el piano), la tocamos con una u˜ na (en la guitarra) ´o la rozamos con un

892

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

arco (en el viol´ın)—, sino en la forma de la caja en la que resuena el sonido. Observemos tambi´en que la frecuencia fundamental no var´ıa si modificamos la tensi´ on y aumentamos —o disminuimos— la longitud de la cuerda de forma que √ T , 2L permanezca constante, o que si disminuimos la cuerda a la mitad manteniendo la tensi´ on, obtenemos una frecuencia doble, es decir una octava mas alta. H´ agase la prueba en una guitarra.

11.2.

La Ecuaci´ on de ondas bidimensional.

Consideremos una membrana el´ astica —como la membrana de un tambor— con la forma del cuadrado [−1, 1] × [−1, 1] en el plano xy, con vertices A = (−1, −1), B = (−1, 1), C = (1, −1) y D = (1, 1) y estira- Figura 11.4. Fuerzas sobre una memda por la acci´ on de cuatro fuerzas brana de m´ odulo 2T constante, que act´ uan respectivamente sobre cada lado del cuadrado en las direcciones de los ejes: T1 = 2T e1 , actuando sobre el lado CD; T2 = −2T e1 , sobre AB; T3 = 2T e2 sobre BD y T4 = −2T e2 , sobre AC; donde e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) y e3 = (0, 0, 1) son los vectores de la base de R3 . Supondremos que sobre cada franja de la membrana del tipo [x, x + a] × [−1, 1], el m´ odulo de las dos fuerzas que act´ uan en la direcci´on del eje y es aT , lo cual es emp´ıricamente evidente. Supongamos que la membrana tiene una densidad de masa superficial uniforme ρ y que fijamos la membrana sobre una curva cerrada ∂U , borde de un abierto U ⊂ [−1, 1]2 simplemente conexo, es decir “sin agujeros”. Supongamos adem´ as que las vibraciones de la membrana son de amplitud tan peque˜ na que el ´ angulo θ que forma el plano tangente a la membrana y el plano xy, en cualquier punto y en cualquier instante de su vibraci´on,

11.2. La Ecuaci´ on de ondas bidimensional.

893

es suficientemente peque˜ no como para despreciar los t´erminos θn , para n ≥ 2. En cuyo caso tendremos que sen θ = θ, cos θ = 1 y tan θ = θ y el plano tangente a la superficie en cualquier instante no puede ser vertical, por lo que la superficie es representable como gr´afica de una funci´on del plano. Esto nos permite denotar, para cada t ∈ R, con z = z(x, y, t) la funci´ on cuya gr´ afica nos da la forma de la membrana en el instante t y para cada t ∈ R y (x, y) ∈ U , zx (x, y, t) = tan θ1 = sen θ1 ,

zy (x, y, t) = tan θ2 = sen θ2 .

La tensi´ on de la membrana en un instante, est´ a actuando tangencialmente en cada punto de la membrana, en todas las direcciones y su m´ odulo var´ıa dependiendo del ´ area de la membrana en ese instante. Como el ´ area de la membrana no var´ıa (m´ odulo θ2 ) —si, como estamos Figura 11.5. Membrana vibrante suponiendo, la desplazamos en un ´ angulo θ —, el m´ odulo de la tensi´ on tampoco var´ıa. Consideremos ahora un punto (x, y) ∈ U , un  > 0 peque˜ no y el trozo de membrana que en el instante t est´ a sobre el cuadrado [x − , x + ] × [y − , y + ]. Denotemos con θ2 y con θ2 + ∆θ2 , respectivamente, el angulo que forman el plano xy y las rectas tangentes a la superficie en ´ (x, y − ) y (x, y + ), en la direcci´ on del eje y, y con θ1 y con θ1 + ∆θ1 el de las rectas tangentes en (x − , y) y (x + , y), en la direcci´on del eje x. Las fuerzas que est´ an actuando sobre ese trozo de membrana son la gravedad y las cuatro tensiones tangenciales. Se sigue que las 5 fuerzas que act´ uan sobre el trozo de membrana son T1 = 2T (cos(θ1 + ∆θ1 ), 0, sen(θ1 + ∆θ1 )), T2 = −2T (cos θ1 , 0, sen θ1 ), T3 = 2T (0, cos(θ2 + ∆θ2 ), sen(θ2 + ∆θ2 )), T4 = −2T (0, cos θ2 , sen θ2 ), F = (0, 0, −42 ρg), y por nuestra hip´ otesis, las componentes x e y de su suma se anulan, por lo que la fuerza resultante tiene la direcci´ on del eje z y es −2ρg − T (zx (x − , y, t) + T (zx (x + , y, t)− −T (zy (x, y − , t) + T (zy (x, y + , t)]2e3 .

894

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

Ahora esta fuerza produce el movimiento de la membrana y por la Segunda Ley de Newton debe ser igual a 42 ρztt (x, y, t)e3 . por tanto se tiene que cuando la membrana vibra, cada punto lo hace en el eje z perpendicular al plano de la membrana. Ahora dividiendo por 42 y haciendo  → 0, tenemos la ecuaci´ on de ondas bidimensional T (zxx + zyy ) − ρg = ρztt , o para a = ´ (11.3)

p

T /ρ, a2 (zxx + zyy ) − g = ztt ,

la cual est´ a definida por un ODL de segundo orden, en el espacio xyt. A menudo esta ecuaci´ on aparece en los libros sin el t´ermino −g, a2 (zxx + zyy ) = ztt ,

(11.4)

la cual describe el movimiento en ausencia de gravedad. Adem´ as se tiene que cuando la curva sobre la que fijamos la membrana es una circunferencia y la densidad de masa ρ de la membrana es peque˜ na en comparaci´ on con la tensi´ on T de la membrana, como en la membrana de un tambor, entonces para cada soluci´on z de 11.4, que se anule sobre la circunferencia unidad x2 + y 2 = 1, la funci´on g z(x, y, t) = z(x, y, t) + (x2 + y 2 − 1) 2 , 4a es soluci´ on de 11.3, satisfaciendo la misma condici´on frontera, tiene la misma velocidad en cualquier instante que z y es aproximadamente z en el mismo sentido que en el caso unidimensional. Para otro borde cerrado, {f = 0}, con f es buenas condiciones, como que ella y todas sus derivadas est´en uniformemente acotadas en {f = 0}, basta cambiar en la expresi´on anterior x2 + y 2 − 1 por f . Esto nos lleva a estudiar las soluciones de 11.4 que satisfacen las condiciones para los puntos de x2 + y 2 = 1, ∂z (x, y, 0) = v(x, y), z(x, y, 0) = u(x, y) , ∂t las cuales representan el movimiento de una membrana fija en la circunferencia unidad, que en el instante 0 tiene una forma determinada por u y una velocidad determinada por v. z(x, y, t) = 0,

11.2. La Ecuaci´ on de ondas bidimensional.

11.2.1.

895

Soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas.

Consideremos en el plano xy el sistema de coordenadas polares (ρ, θ) y la ecuaci´ on de ondas en las coordenadas (ρ, θ, t). Se demuestra f´acilmente que, ∂ sen θ ∂ ∂ = cos θ − ∂x ∂ρ ρ ∂θ ∂ cos θ ∂ ∂ = sen θ + ∂y ∂ρ ρ ∂θ

⇒

∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 + = + + , ∂x2 ∂y 2 ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂θ2

por tanto la ecuaci´ on de ondas, en las coordenadas (ρ, θ, t), se expresa de la forma 1 1 a2 (zρρ + zρ + 2 zθθ ) = ztt . ρ ρ En primer lugar buscamos soluciones de la forma z = f (ρ)g(θ)h(t), para las cuales debe verificarse   00 1 g 00 (θ) h00 (t) f (ρ) 1 f 0 (ρ) + + 2 = , (11.5) a2 f (ρ) ρ f (ρ) ρ g(θ) h(t) y por tanto las dos partes de la ecuaci´ on deben de ser iguales a una constante, pues dependen de distintas coordenadas, es decir que existe λ ∈ R tal que h00 (t) + λa2 h(t) = 0, 1 g 00 (θ) f 00 (ρ) 1 f 0 (ρ) + + 2 = −λ. f (ρ) ρ f (ρ) ρ g(θ) Ahora bien si λ es negativa, λ = −α2 , la soluci´on de la primera ecuaci´ on es de la forma h(t) = c1 eaαt + c2 e−aαt , y la correspondiente soluci´ on z → ∞ ´ o z → 0, cuando t → ∞, — o z → −∞, dependiendo del signo de las constantes—, lo cual implica ´ que no es una soluci´ on que represente a la membrana vibrando. Algo similar ocurre si λ = 0, en cuyo caso h es af´ın. No obstante en (11.10), p´ ag.906, veremos que s´ olo para λ ≥ 0 existen soluciones f y g verificando que en el borde la funci´ on producto f gh, se anula.

896

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

Consideremos pues el caso en que λ es positiva, λ = α2 para α > 0, en cuyo caso las ecuaciones son h00 (t) + α2 a2 h(t) = 0, ρ2

f 0 (ρ) g 00 (θ) f 00 (ρ) +ρ + α 2 ρ2 = − , f (ρ) f (ρ) g(θ)

la soluci´ on de la primera ecuaci´ on es h(t) = c1 cos(aαt) + c2 sen(aαt), y para la segunda ecuaci´ on, como los dos lados de la igualdad son funciones de distintas coordenadas, son una misma constante µ. Ahora bien como la soluci´ on de g 00 (θ) + µg(θ) = 0 debe ser peri´odica, la u ´nica posibilidad es que µ = n2 , para cada natural n (demu´estrelo el lector). Por tanto la segunda ecuaci´ on da lugar a las dos ecuaciones g 00 (θ) + n2 g(θ) = 0, ρ2 f 00 (ρ) + ρf 0 (ρ) + (α2 ρ2 − n2 )f (ρ) = 0, la primera de las cuales tiene soluci´ on g(θ) = d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ), y la segunda es la Ecuaci´ on de Bessel (ver la p´ag.248) x2 y 00 (x) + xy 0 (x) + (x2 − p2 )y(x) = 0, donde x = αρ y p = n, por tanto tiene soluciones f (ρ) = kJn (αρ), ´ n de para Jn la funci´ on de Bessel de orden n, soluci´on de la Ecuacio Bessel para p = n. Ahora bien buscamos las soluciones que satisfagan z(1, θ, t) = 0

⇒

f (1) = 0

⇒

Jn (α) = 0,

es decir que α = αni es una de las infinitas ra´ıces de Jn . Por lo tanto las combinaciones lineales finitas de las funciones z(ρ, θ, t) de la forma Jn (αni ρ)[d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ)][c1 cos(aαni t) + c2 sen(aαni t)],

11.2. La Ecuaci´ on de ondas bidimensional.

897

son soluciones de nuestra ecuaci´ on, para n = 0, 1, 2, . . ., αni ra´ız de Jn y d1 , d2 , c1 , c2 constantes. Si ahora consideramos que la velocidad inicial es nula ⇒

zt (ρ, θ, 0) = 0

c2 = 0,

nos quedan las soluciones de la forma z(ρ, θ, t) = Jn (αni ρ)[d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ)] cos(aαni t), y sus combinaciones lineales finitas. Por u ´ltimo si adem´as consideramos la condici´ on inicial del tipo z(ρ, θ, 0) = k(ρ, θ) = k(ρ)

⇒

n = 0,

las u ´nicas posibles soluciones del tipo anterior corresponden a n = 0 y si denotamos con αi las ra´ıces de J0 , las soluciones son las funciones de la forma z(ρ, θ, t) = J0 (αi ρ) cos(aαi t), y sus combinaciones lineales finitas. Ahora bien el Teorema de Fourier–Bessel asegura que dada una funci´ on k = k(ρ), con k(1) = 0 y ciertas propiedades —en particular si es continua en [0, 1] y derivable salvo en un n´ umero finito de puntos en los que la derivada tiene l´ımites laterales finitos, entonces se tiene que la serie ∞ X cn J0 (αn ρ), n=1

para los coeficientes 2 cn = J1 (αn )2

Z

1

ρk(ρ)J0 (rn ρ)dρ, 0

converge puntualmente a la funci´ on k(ρ) en [0, 1]. (Ver Watson). Por tanto hemos construido una serie formal z(ρ, θ, t) =

∞ X

cn J0 (αn ρ) cos(aαn t),

n=1

para αn las ra´ıces de J0 , que est´ a formada por soluciones de nuestra ecuaci´ on y que al menos formalmente, satisface las condiciones frontera y las condiciones iniciales. En el Weinberger, p´aginas 193 − −196 se

898

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

demuestra de forma mas general que si la funci´on k = k(ρ, θ) es suficientemente regular, entonces eligiendo los coeficientes cn como antes y convenientemente los coeficientes cni , la serie ∞ X

cn J0 (αn ρ) cos(aαn t)+

n=1

+

∞ X

cni Jn (αni ρ)[d1 cos(nθ) + d2 sen(nθ)] cos(aαni t),

n,i=1

converge uniformemente a una funci´ on que es soluci´on de la ecuaci´on de ondas, satisfaciendo las condiciones z(1, θ, t) = 0,

z(ρ, θ, 0) = k(ρ, θ),

zt (ρ, θ, 0) = 0.

11.3.

La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional.

11.3.1.

La desigualdad del dominio de dependencia.

La ecuaci´ on de ondas n–dimensional, es ux1 x1 + · · · + uxn xn − utt = 0

⇔

∆u − utt = 0,

en las coordenadas (xi , t) de Rn+1 , y est´ a definida por el ODL de tipo hiperb´ olico, ∆ − ∂tt , que para n = 3 llamamos D’Alembertiano (ver p´ ag.930, aunque el signo est´ a cambiado). Su s´ımbolo T2 , nos permite definir un isomorfismo de m´ odulos γ : Ω(Rn+1 ) → D(Rn+1 ), tal que 2 1 n+1 γ(ω) = iω T ∈ T0 (R ) ∼ D(Rn+1 ). Denotaremos con T2 , el tensor covariante correspondiente T2 : D(Rn+1 ) × D(Rn+1 ) −→ C ∞ (Rn+1 ), T2 (D1 , D2 ) = T2 (γ −1 D1 , γ −1 D2 ), que en coordenadas es T2 = dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn − dt ⊗ dt.

11.3. La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional.

899

Consideremos en cada punto a P ∈ Rn+1 el conjunto de los vectores Da = ξi ∂xi + η∂t ∈ Ta (Rn+1 ) is´ otropos para T2 , es decir tales que T2 (DP a , Da ) = 0, los cuales forman un cono ξi2 − τ 2 = 0. Definici´ on. Llamamos hipersuperficie caracter´ıstica a cada cono Sa de Rn+1

Figura 11.6. cono caracter´ıstico

(x1 −a1 )2 +· · ·+(xn −an )2 −(t−t0 )2 = 0, con v´ertice en a = (t0 , a0 ) = (a1 , . . . , an , t0 ) ∈ Rn+1 , correspondiente al cono de vectores is´ otropos en a. Si consideramos t0 > 0 y denotamos con Ca = {(x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 ≤ (t − t0 )2 , 0 ≤ t ≤ t0 }, la parte positiva e inferior del cono s´ olido, entonces tendremos que para cada T ≤ t0 la intersecci´ on Ca ∩ {t = T } = {(x1 − a1 )2 + · · · + (xn − an )2 ≤ (t0 − T )2 } se identifica con la bola cerrada de Rn , B[a0 , t0 − T ], centrada en a0 y de radio t0 − T . Por u ´ltimo denotaremos con C = Ca ∩ {t ≤ T }, el tronco de cono s´ olido entre los hiperplanos t = 0 y t = T . Nota 11.3 Recordemos que para C ⊂ Rn+1 cualquier variedad con borde, N el vector unitario normal exterior a ∂C, D cualquier campo tangente de Rn+1 y para la forma de volumen ω = dt ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxn , el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 nos asegura que Z Z Z (11.6) (div D) ω = iD ω = < D, N > i∂n ω, C

∂C

∂C

donde la u ´ltima igualdad se sigue f´ acilmente si extendemos N con una base D1 , . . . , Dn , de campos tangentes a ∂C, ortonormales, de tal modo que ω(N, D1 , . . . , Dn ) = 1,

900

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

entonces para cualquier campo D=

n X

< D, Di > Di + < D, N > N,

i=1

tendremos que en ∂C, iD ω = f · iN ω, para f = iD ω(D1 , . . . , Dn ) = ω(D, D1 , . . . , Dn ) =< D, N > . Ahora volviendo a considerar nuestro tronco de cono C, tenemos que ∂C est´ a formado por tres hipersuperficies, la parte de arriba del tronco de cono S1 —que se identifica con la bola B[a0 , t0 − T ]—, en la que N = ∂t ; la de abajo S2 —que se identifica con B[a0 , t0 ]—, en la que N = −∂t ; y la superficie c´ onica, llam´emosla S, en la que N=

n X

ni

i=1

∂ ∂ + nt , ∂xi ∂t

verifica n X i=1 n X

n2i

+

n2t

= 1,

n2i − n2t = 0,

i=1

(por ser N unitario),

     

   (por ser S caracter´ıstica). 

⇒

1 nt = √ . 2

Aunque nos estamos limitando —y lo seguiremos haciendo—, al semiespacio t ≥ 0, no hay p´erdida de generalidad en ello, pues con un cambio de coordenadas del tipo t = −t, la ecuaci´on de ondas permanece invariante, por lo que el estudio correspondiente a t ≤ 0 se reduce al que vamos a hacer. En estos t´erminos se tiene el siguiente resultado. Teorema de la desigualdad del dominio de dependencia 11.4 Sea a = (a0 , t0 ) ∈ Rn+1 , con t0 > 0 y sea Ω un abierto de Rn+1 que contiene a Ca . Si u ∈ C 2 (Ω) es soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas en Ca , entonces para cada 0 ≤ T ≤ t0 se tiene Z n  X dx1 · · · dxn ≤ u2xi + u2t B[a0 ,t0 −T ]

|t=T

i=1

Z ≤ B[a0 ,t0 ]

n X i=1

u2xi + u2t

 |t=0

dx1 · · · dxn .

901

11.3. La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional.

Demostraci´ on. Por ser soluci´ on de la ecuaci´on de ondas se tiene la igualdad n n n X  X X u2xi + u2t = 2 uxi uxi t + 2ut utt = (2ut uxi )xi , t

i=1

i=1

i=1

por lo que si consideramos el campo tangente (cuya divergencia es nula por la igualdad anterior) n n X ∂ X ∂ u2xi + u2t − 2ut uxi (11.7) D= ∂xi ∂t i=1 i=1 se sigue de lo dicho antes del teorema que Z Z 0 = (div D) ω = < D, N > iN ω ∂C ZC Z = < D, N > iN ω + < D, ∂t >|t=T iN ω+ S S1 Z < D, −∂t >|t=0 iN ω + S2 Z = < D, N > iN ω− S n X

Z − B[a0 ,t0 −T ]

B[a0 ,t0 ]



i=1

n X

Z +

u2xi + u2t

u2xi + u2t

|t=T

 |t=0

i=1

dx1 · · · dxn +

dx1 · · · dxn ,

n2i = n2t = 1/2, por lo tanto n n X  X < D, N > = 2ut uxi ni − u2xi + u2t nt

y el resultado se sigue porque en S,

=

i=1

i=1

n X

n X

2ut uxi ni −

i=1

=

P

√

2

" n X

√ =− 2

2ut uxi ni nt −

i=1 n X i=1

 1 u2xi + u2t √ 2 i=1 n X

u2xi

i=1

uxi nt − ni ut


2

≤ 0.

+

u2t



# n2t

902

11.3.2.

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

Unicidad de soluci´ on.

Teorema 11.5 Sea a = (a0 , t0 ) ∈ Rn+1 , con t0 > 0 y sea Ω un abierto de Rn+1 que contiene al cono s´ olido Ca . Si u ∈ C 2 (Ω) es soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas en Ca , tal que en la base inferior de Ca , u(x, 0) = ut (x, 0) = 0,

para x ∈ B[a0 , t0 ],

entonces u = 0 en Ca . Demostraci´ on. Es una simple consecuencia del resultado anterior, pues por la hip´ otesis uxi = 0 en t = 0 y x ∈ B[a0 , t0 ], por tanto para todo 0 ≤ T ≤ t0 n X

Z 0≤ B[a0 ,t0 −T ]

i=1

u2xi + u2t

 |t=T

dx1 · · · dxn ≤ 0,

por lo que el integrando se anula y por tanto uxi = ut = 0 en todo punto de Ca . Esto implica que u es constante en Ca y como en su base se anula, u = 0 en Ca . Corolario 11.6 Si u1 y u2 son soluciones de la ecuaci´ on de ondas, en las condiciones anteriores, tales que u1 (x, 0) = u2 (x, 0),

u1t (x, 0) = u2t (x, 0),

para x ∈ B[a0 , t0 ],

entonces u1 = u2 en Ca . Teorema de Unicidad 11.7 Si u1 y u2 son de clase 2 en un abierto de Rn+1 , que contiene a Rn × [0, ∞) y son soluciones de la ecuaci´ on de ondas satisfaciendo las mismas condiciones iniciales u(x, 0) = f (x),

ut (x, 0) = g(x),

para x ∈ Rn ,

entonces u1 = u2 . La importancia de este resultado es obvia sin embargo el anterior nos da m´ as informaci´ on, pues nos asegura que conociendo u y ut en la base del cono, la soluci´ on u queda determinada de modo u ´nico en todo el cono.

11.3. La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional.

903

Teorema de la Conservaci´ on de la Energ´ıa 11.8 Si u es una soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas, de clase 2 en un abierto de Rn+1 que contiene a Rn × [0, ∞), que fuera de una bola B(0, r0 ) ⊂ Rn , u(x, 0) = ut (x, 0) = 0, entonces Z X n  1 u2xi + u2t dx1 · · · dxn = 2 Rn i=1 |t=T Z X n  1 u2xi + u2t = dx1 · · · dxn , 2 Rn i=1 |t=0 para cada T . Demostraci´ on. En primer lugar u = 0 en el abierto A = {(a0 , t0 ) ∈ Rn+1 : ka0 k > r0 + t0 }, y esto como consecuencia de los resultados anteriores, porque u y ut se anulan en la base de Ca , para cada a = (a0 , t0 ) ∈ A, ya que para cada x ∈ B[a0 , t0 ], ( u(x, 0) = 0, kxk + t0 ≥ kxk + kx − a0 k ≥ ka0 k > r0 + t0 ⇒ ut (x, 0) = 0. Ahora basta seguir la demostraci´ on de la desigualdad del dominio de dependencia, pero considerando (para R > r0 ) un cilindro B[0, R + T ] × [0, T ], en vez de un cono, pues en este caso Z 0= < D, N > iN ω− S

Z − B[0,R+T ]

Z +

n X i=1 n X

B[0,R+T ]

i=1

u2xi + u2t



u2xi + u2t



|t=T

|t=0

dx1 · · · dxn + dx1 · · · dxn ,

para S ⊂ A la superficie del cilindro, en cuyo caso nt = 0 y < D, N >=

n X i=1

2ut uxi ni = 0.

904

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

por lo tanto Z X n  u2xi + u2t Rn

i=1

|t=T

n X

Z = B[0,R+T ]

Z = B[0,R+T ]

Z =

n X

Rn

11.3.3.

dx1 · · · dxn =

i=1

i=1 n X

u2xi + u2t



u2xi + u2t



i=1

u2xi + u2t

 |t=0

|t=T

|t=0

dx1 · · · dxn dx1 · · · dxn

dx1 · · · dxn .

Ecuaci´ on de ondas en regiones con frontera.

Vamos a estudiar ahora la ecuaci´ on de ondas n–dimensional, u = 0, en regiones con frontera, cuyos casos particulares 1–dimensional y bidimensional hemos estudiado en la forma de la cuerda fijada en los extremos de un segmento y de la membrana fijada en una circunferencia. Vamos a considerar un abierto acotado U ⊂ Rn , en el que el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 es v´ alido, y vamos a buscar soluciones satisfaciendo una de las dos condiciones frontera u(x, t) = 0,

para x ∈ ∂U y t ≥ 0,

o ´ N u(x, t) = 0,

para x ∈ ∂U y t ≥ 0,

para N el campo unitario ortogonal exterior a ∂U , extendido a Rn+1 . Esto incluye como casos particulares los problemas ya estudiados, con la primera condici´ on, de la cuerda y membrana vibrantes. Teorema de la Conservaci´ on de la Energ´ıa 11.9 Si Ω es un abierto de Rn+1 que contiene a U × [0, ∞) y u ∈ C 2 (Ω) es una soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas, satisfaciendo una de las dos condiciones frontera, entonces Z X n  1 u2xi + u2t dx1 · · · dxn = 2 U i=1 |t=T Z X n  1 = dx1 · · · dxn , u2xi + u2t 2 U i=1 |t=0

11.3. La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional.

905

para cada T ≥ 0. Demostraci´ on. Consideremos el cilindro C = {(x, t) : x ∈ U , t ∈ [0, T ]}, en cuyo caso Z 0=

< D, N > iN ω− S

−

Z X n U

Z +

i=1 n X

U

i=1

u2xi + u2t



u2xi + u2t



|t=T

|t=0

dx1 · · · dxn + dx1 · · · dxn ,

para S la superficie del cilindro, en cuyo caso nt = 0 y en cualquiera de las condiciones frontera se tiene que en S < D, N >=

n X

2ut uxi ni = 2ut · N u = 0.

i=1

Si ahora consideramos que la soluci´ on satisface adem´as las condiciones iniciales u(x, 0) = f (x),

ut (x, 0) = g(x),

para x ∈ U ,

tendremos por el resultado anterior que la energ´ıa en cualquier instante t = T vale Z X n  1 u2xi + u2t dx1 · · · dxn = 2 U i=1 |t=T Z X n  1 = fx2i + g 2 dx1 · · · dxn , 2 U i=1 de donde se deduce f´ acilmente el Teorema de Unicidad de soluci´on del problema inicial–frontera (h´ agalo el lector como ejercicio).

11.3.4.

El m´ etodo de separaci´ on de variables.

Consideremos como antes un abierto acotado U ⊂ Rn , en el que el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 es v´alido, y consideremos las

906

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

soluciones en variables separadas, u(x, t) = f (x)g(t), de la ecuaci´on de ondas n–dimensional ∆u − utt = 0,

para x ∈ U y t > 0

(donde ∆ es el operador de LaPlace n–dimensional), satisfaciendo la condici´ on frontera u(x, t) = 0,

para x ∈ ∂U y t ≥ 0.

En tal caso las funciones f y g deben satisfacer ∆f + λf = 0, 00

g + λg = 0,

para x ∈ U ,

y f = 0,

para x ∈ ∂U ,

para t > 0,

ahora bien este problema tiene soluci´ on f ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ), s´olo para ciertos valores de λ, a los que llamamos autovalores del problema y a las correspondientes soluciones f autofunciones, y que tienen las siguientes propiedades de las que nosotros s´ olo daremos la demostraci´on de las dos primeras, y para las dem´ as remitimos al lector a la p. 323 del libro Zachmanoglou and Thoe, donde se da referencia de ellas, en alguna de las cuales se precisan propiedades adicionales de regularidad para la frontera ∂U . Proposici´ on 11.10 Se tienen las siguientes propiedades: i.- Todos los autovalores son positivos. ii.- Si f1 y f2 son autofunciones correspondientes a autovalores λ1 y λ2 distintos, entonces son ortogonales Z < f1 , f2 >= f1 f2 dx1 · · · dxn = 0. U

iii.- Los autovalores son numerables y forman una sucesi´ on λn → ∞. iv.- Cada autovalor tiene un n´ umero finito —llamado multiplicidad del autovalor—, de autofunciones independientes. v.- Cada autofunci´ on es anal´ıtica en U y se extiende con continuidad al borde de U . P Demostraci´ on. (i) Como se tiene que para un campo D = fi ∂i y para una funci´ on f X (11.8) div f D = (f fi )xi =< grad f, D > +f · div D,

907

11.3. La Ecuaci´ on de ondas n–dimensional.

tendremos que para f autofunci´ on correspondiente al autovalor λ, el campo N unitario y ortogonal exterior a ∂U y para D = grad f Z Z 0= < f D, N > iN ω = (div f D)ω ∂U U Z Z Z = (< D, D > +f ∆f )ω = < D, D > ω − λ f 2 ω. U

U

U

(ii) Consideremos ∆f1 + λ1 f1 = 0,

para x ∈ U ,

y f1 = 0,

para x ∈ ∂U ,

∆f2 + λ2 f2 = 0,

para x ∈ U ,

y f2 = 0,

para x ∈ ∂U ,

entonces tendremos que f2 ∆f1 − f1 ∆f2 = (λ2 − λ1 )f1 f2 , por lo que aplicando (11.8) a f = f1 y D = D2 = grad f2 y despu´es a f = f2 y D = D1 = grad f1 , tendremos que Z Z (λ2 − λ1 ) f1 f2 = f2 ∆f1 − f1 ∆f2 U ZU = div f2 D1 − div f1 D2 U Z = < f2 D1 , N > − < f1 D2 , N >= 0. ∂U

Podemos considerar por tanto un orden en los autovalores 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn → ∞, donde cada uno lo consideramos tantas veces como indica su multiplicidad y considerar para cada autovalor λn una autofunci´on fn , de modo que todas sean ortogonales, para lo cual basta considerar el procedimiento de ortogonalizaci´ on de Gramm–Schmitz en cada subespacio finito dimensional de autofunciones del autovalor, puesto que las autofunciones de distintos autovalores ya sabemos que son ortogonales. Adem´as se tiene el siguiente resultado fundamental que tampoco demostraremos, sobre las autofunciones fn .

908

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

Teorema de expansi´ on de autofunciones 11.11 Sea f ∈ C 2 (Ω), para un abierto Ω que contiene a U , tal que f (x) = 0 para los x ∈ ∂U . Entonces f puede representarse por una serie f (x) =

∞ X

an fn (x),

n=1

que converge absoluta y uniformemente a f en U y donde los coeficientes est´ an dados por < f, fn > . an = < fn , fn > Ejercicio 11.3.1 Demostrar que la ecuaci´ on de ondas bidimensional zxx + zyy − ztt = 0, con la condici´ on frontera en el rect´ angulo [0, a] × [0, b] z(x, 0, t) = z(x, b, t) = z(0, y, t) = z(a, y, t) = 0, tiene autovalores y correspondientes autofunciones  2  m n2 λmn = π 2 , + a2 b2 mπx nπy fmn = sen sen , a b ¿Tiene alg´ un otro autovalor?. (Sol.)

11.4.

El m´ etodo del descenso.

11.4.1.

La F´ ormula de Kirchhoff.

En esta lecci´ on vamos a dar en primer lugar la expresi´on de la soluci´on de la ecuaci´ on de ondas tridimensional ux1 x1 + ux2 x2 + ux3 x3 − utt = 0

⇔

u = 0,

11.4. El m´ etodo del descenso.

909

que aparece en la teor´ıa de ondas sonoras de peque˜ na amplitud, satisfaciendo condiciones iniciales del tipo (11.9)

u(x, 0) = φ(x) ∈ C 3 (R3 ),

ut (x, 0) = ψ(x) ∈ C 2 (R3 ),

la cual ya hemos demostrado (ver la p´ ag.902), que de existir es u ´nica. El siguiente resultado nos permite simplificar el problema original y es v´ alido en general para la ecuaci´ on de ondas n–dimensional. Lema (Regla de Stokes) 11.12 Si u es una soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas de clase 3, satisfaciendo las condiciones u(x, 0) = 0,

ut (x, 0) = f (x),

entonces v = ut es soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas, satisfaciendo las condiciones v(x, 0) = f (x), vt (x, 0) = 0. Demostraci´ on. Se deja al lector. Si en el lema anterior denotamos con uψ la soluci´on u correspondiente a f = ψ, y con uφ la correspondiente a f = φ, tendremos que u = uψ + uφt , es la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas satisfaciendo las condiciones originales 11.9 u = 0,

u(x, 0) = φ(x),

ut (x, 0) = ψ(x).

Esto nos permite simplificar nuestro problema, que ahora consiste en hallar la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas, satisfaciendo las condiciones iniciales (11.10)

u(x, 0) = 0,

ut (x, 0) = f (x).

Para el siguiente resultado denotaremos con ω = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , por N entenderemos en general el campo tangente unitario y ortogonal 3 exterior a las esferas S(p, P t), centradas en un punto p ∈ R y de radio arbitrario t. Con H = xi ∂xi el campo de las homotecias que en la

910

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

esfera unidad es unitario y exterior. En estos t´erminos se tiene que para la composici´ on de traslaci´ on y homotecia F (x) = p + tx, que lleva la esfera unidad S(0, 1) en la esfera de radio t, S(p, t), F ∗ (dxi ) = tdxi

) ⇒

F∗ H = t N

F ∗ ω = t3 ω,

)

F ∗ (iN ω) = t2 iH ω.

Ejercicio 11.4.1 Demostrar que ∂ ∂t

Z

Z fω=

f iN ω. (Sol.)

B(x,t)

S(x,t)

Definici´ on. Dada una funci´ on f en R3 medible y acotada en los acota3 dos, un punto x ∈ R y un t > 0, denotaremos con Z Z 1 1 f dσ = f iN ω 4πt2 S(x,t) 4πt2 S(x,t) Z Z 1 1 = f i ω = F ∗ [f iN ω] N 4πt2 F [S(0,1)] 4πt2 S(0,1) Z Z 1 f (x + ty)iH ω = f (x + ty) dµ, = 4π S(0,1) S

M f (x, t) = (11.11)

el valor medio de f en la esfera S(x, t), de centro x y radio t, donde σ es 2 la medida de ´ area de la esfera, para la que σ[S(x, P 2 t)] = 4πt ; y recorre los puntos de la esfera unidad S = S(0, 1) = { yi = 1}, F (y) = x + ty y µ es la probabilidad correspondiente a la medida de ´area de la esfera unidad S. Observemos que la u ´ltima expresi´ on nos permite extender la definici´ on para todo t ∈ R siendo M f (x, 0) = f (x) y si f es continua en x, entonces M f lo es en (x, 0), pues f

f

Z

|M (z, t) − M (x, 0)| ≤

|f (z + ty) − f (x)| dµ → 0, S

cuando (z, t) → (x, 0). Adem´ as, fijado x la funci´on es par en t, M f (x, t) = M f (x, −t) por ser µ invariante en la esfera unidad por la aplicaci´on G(y) = −y, de paso al opuesto. Por u ´ltimo, por ser la esfera S(0, 1) compacta se sigue de (10.15), que si f es de clase k, tambi´en lo es M f y las

911

11.4. El m´ etodo del descenso.

derivadas entran en la integral. En particular para D = grad f = Mtf (x, t) =

Z X

fxi (x + ty)yi dµ =

S

1 4π

Z X

P

fxi ∂i

fxi (x + ty)yi iH ω

S

Z

1 (D · N ) iN ω (para t > 0) 4πt2 S(x,t) Z 1 = ∆f ω, (por 11.6) 4πt2 B(x,t) =

para t < 0 la expresi´ on cambia de signo y la bola a considerar es B(x, |t|), pues por ser M f par en t M f (x, t) = M f (x, −t)

Mtf (x, t) = −Mtf (x, −t),

⇒

as por lo anterior y el ejercicio (11.4.1), por tanto Mtf (x, 0) = 0. Adem´ para t > 0 Mttf (x, t) = −

1 2πt3

Z ∆f ω + B(x,t)

1 4πt2

Z

∆f iN ω = Mttf (x, −t).

S(x,t)

F´ ormula de Kirchhoff 11.13 Si f ∈ C k (R3 ), con k ≥ 2, entonces f

Z

u(x, t) = tM (x, t) = t

f (x + ty) dµ, S(0,1)

es de clase k en R3 × R y es la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas satisfaciendo u(x, 0) = 0 y ut (x, 0) = f (x). Demostraci´ on. Por el p´ arrafo anterior (11.11), u ∈ C k , u(x, 0) = 0 f y derivando u = tM , ut = M f + tMtf (que es par en t por ser suma de funciones pares, ya que t y Mtf son impares, de donde ut (x, t) = ut (x, −t)) y en t = 0, ut (x, 0) = M f (x, 0) = f (x), por lo tanto u satisface las condiciones iniciales. Veamos ahora que tambi´en satisface la ecuaci´on de ondas, para ello sabemos de la igualdad (para t > 0) ut (x, t) = M f + tMtf =

Z f (x + ty) dµ + S

1 4πt

Z ∆f ω = ut (x, −t) B(x,t)

912

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

que para D = grad f =

P

fxi ∂i y para t > 0

utt (x, t) = 2Mtf + tMttf Z Z Z t 1 2 ∆f ω − ∆f ω + ∆f iN ω = 4πt2 B(x,t) 2πt3 B(x,t) 4πt S(x,t) Z Z 1 t = ∆f iN ω = ∆f (x + ty) iH ω 4πt S(x,t) 4π S(0,1) Z = t ∆f (x + ty) dµ = ∆u(x, t), (derivando u). S

para t < 0 se sigue por ser utt (x, t) = −utt (x, −t) = −∆u(x, −t) = ∆u(x, t). En definitiva se sigue que la soluci´ on de la ecuaci´on de ondas tridimensional, satisfaciendo las condiciones iniciales u(x, 0) = φ(x) ∈ C k+1 (R3 ),

ut (x, 0) = ψ(x) ∈ C k (R3 ),

existe, es u ´nica, es de clase k y viene dada por la expresi´on

(11.12)

u(x, t) = tM ψ + ∂t (tM φ ) = tM ψ + M φ + tMtφ Z Z = t ψ(x + ty) dµ + φ(x + ty) dµ+ S S Z X +t φxi (x + ty)yi dµ, S

veamos quien es este u ´ltimo t´ermino. Llamando ϕ(y) = φ(x + ty), se verifica que ϕyi (y) = tφxi (x + ty), y para H el campo de las homotecias, B la bola unidad y m la medida de Lebesgue del espacio Z Z X Z 1 H(ϕ) iH ω t φxi (x + ty)yi dµ = H(ϕ) dµ = 4π S S S Z 1 = ∆(ϕ) ω 4π B Z t2 = ∆(φ)(x + ty) dm 4π B Z t2 = ∆(u)(x + ty, 0) dm 4π B Z t2 = utt (x + ty, 0) dm 4π B

11.4. El m´ etodo del descenso.

913

por tanto la soluci´ on es Z Z u(x, t) = u(x + ty, 0) dµ + t ut (x + ty, 0) dµ+ S S (11.13) Z t2 + utt (x + ty, 0) dm, 4π B Ahora si u es arm´ onica en el espacio, entonces es soluci´on de la ecuaci´ on de ondas y no depende del tiempo y como consecuencia inmediata de (11.13), se tiene el teorema del valor medio (ver (10.48)) Z u(x) = u(x + ty) dµ, ∀t ∈ R. S

11.4.2.

El m´ etodo del descenso.

Ahora vamos a considerar el problema de encontrar la soluci´on de la ecuaci´ on de ondas bidimensional ux1 x1 + ux2 x2 − utt = 0, satisfaciendo las condiciones iniciales u(x, 0) = φ(x),

ut (x, 0) = ψ(x).

Para ello haremos uso del llamado m´etodo del descenso, que consiste en considerar la soluci´ on del problema tridimensional con las mismas condiciones iniciales como funciones del espacio y observando que si en 11.10 la funci´ on f depende s´ olo de las dos primeras variables, entonces la soluci´ on tridimensional correspondiente Z 1 f iN ω u(x, t) = 4πt S(x,t) Z 1 = f iN ω, 4πt S(x,t) para x = (a, b, 0) la proyecci´ on de x = (a, b, c) en el plano de las dos primeras variables, es tambi´en una funci´ on del plano. Ahora bien sobre la esfera S(x, t) p t2 − (x1 − a)2 − (x2 − b)2 ∂ x1 − a ∂ x2 − b ∂ N= + ± , t ∂x1 t ∂x2 t ∂x3

914

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

p y como sobre ella x3 = ± t2 − (x1 − a)2 − (x2 − b)2 , tendremos que su 2–forma de superficie vale —para x3 > 0— iN ω = iN dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 x1 − a x2 − b = dx2 ∧ dx3 − dx1 ∧ dx3 + tp t t2 − (x1 − a)2 − (x2 − b)2 + dx1 ∧ dx2 t −(x1 − a) x1 − a dx2 ∧ p dx1 − = 2 t t − (x1 − a)2 − (x2 − b)2 −

x2 − b −(x2 − b) dx2 + dx1 ∧ p t t2 − (x1 − a)2 − (x2 − b)2

p t2 − (x1 − a)2 − (x2 − b)2 + dx1 ∧ dx2 = t t =p dx1 ∧ dx2 , 2 t − (x1 − a)2 − (x2 − b)2 por lo tanto la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas bidimensional satisfaciendo las condiciones iniciales u(x, 0) = 0,

ut (x, 0) = f (x),

es para x = (a, b) Z 1 f iN ω 4πt S(x,t) Z 1 f (ξ, η) p = dξdη, 2π B[x,t] t2 − (ξ − a)2 − (η − b)2

u(x, t) =

y la soluci´ on general satisfaciendo u(x, 0) = φ(x),

ut (x, 0) = ψ(x),

es u(x, t) = (11.14)

1 2π

Z

ψ(ξ, η)

B[x,t]

1 ∂ + 2π ∂t

p

Z B[x,t]

dξdη+ − (ξ − a)2 − (η − b)2 φ(ξ, η) p dξdη. 2 t − (ξ − a)2 − (η − b)2

t2

915

11.4. El m´ etodo del descenso.

Tambi´en podemos utilizar el m´etodo del descenso para obtener la soluci´ on del problema de valor inicial de la ecuaci´on de ondas unidimensional uxx − utt = 0, satisfaciendo las condiciones iniciales, para x ∈ R u(x, 0) = φ(x),

ut (x, 0) = ψ(x),

pues basta como en los casos anteriores encontrar la soluci´on que satisface u(x, 0) = 0,

ut (x, 0) = f (x),

para f una funci´ on de variable real, que podemos considerar definida en el espacio, por lo que la soluci´ on tridimensional Z Z 1 1 u(x, t) = f iN ω = f iN ω, 4πt S(x,t) 4πt S(x,t) para x = (a, 0, 0), la proyecci´ on de x = (a, b, c) al primer eje, es una funci´ on en la recta que vale Z 1 u(x, t) = f iN ω 4πt S(x,t) Z 1 f (ξ) p = dξdη 2 2π B[(a,0),t] t − (ξ − a)2 − η 2 Z a+t Z √t2 −(ξ−a)2 dη 1 p = f (ξ) √ dξ 2 − (ξ − a)2 − η 2 2π a−t 2 2 t − t −(ξ−a) Z 1 a+t = f (ξ)dξ, 2 a−t p y esto porque haciendo el cambio sen x = η/ t2 − (ξ − a)2 Z √t2 −(ξ−a)2 dη p = π. √2 2 2 t − (ξ − a)2 − η 2 − t −(ξ−a) En definitiva tenemos que Z 1 x+t u(x, t) = ψ(ξ)dξ + 2 x−t (11.15) Z 1 x+t = ψ(ξ)dξ + 2 x−t

1 ∂ 2 ∂t

Z

x+t

φ(ξ)dξ x−t

1 [φ(x + t) + φ(x − t)], 2

916

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

es la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas unidimensional uxx − utt = 0, satisfaciendo las condiciones iniciales, para x ∈ R u(x, 0) = φ(x),

11.4.3.

ut (x, 0) = ψ(x).

El principio de Huygens.

Por u ´ltimo observemos que aunque hemos demostrado en general que el valor de la soluci´ on u de la ecuaci´ on de ondas n–dimensional para el problema de valor inicial, en un punto (x0 , t0 ), s´olo depende de los valores de u y ut en los puntos (x, 0), con x ∈ B[x0 , t0 ], tenemos en los casos analizados en esta lecci´ on, que las f´ormulas 11.14 y 11.15, justifican directamente este hecho para n = 2 y n = 1 respectivamente, sin embargo para n = 3 —ver (11.13)—, u(x0 , t0 ) s´olo depende de u y ut en los puntos (x, 0), con x ∈ S[x0 , t0 ]! y no de toda la bola B[x0 , t0 ]. Este fen´ omeno, descubierto por Huygens y que se conoce con el nombre de Principio de Huygens, se puede demostrar que es v´alido para cualquier impar n ≥ 3, mientras que en dimensi´ on par es falso. (Ver Courant and Hilbert, p´ ag. 208, Garabedian, p´ ag. 191—197, Tijonov and Samarski, p´ ag.435), etc. u(x,t3 )=0

u(x,t2 )=0

u(x,t1 )=0

K

x

K

x

K

x

Figura 11.7.

Como consecuencia de este principio podemos analizar c´omo se propaga en el espacio una perturbaci´ on local. Supongamos para ello que φ y ψ se anulan fuera de una peque˜ na regi´ on compacta K. En tal caso para cada punto x, como u(x, t) se calcula mediante ciertas integrales de φ y ψ en la esfera S(x, t), tendremos que u(x, t) = 0 en todo tiempo t ≤ t1 , hasta el instante t1 a partir del cual la esfera S(x, t) toca a K, instante en el que u cambia posiblemente su valor hasta que con seguridad de nuevo se anula a partir del instante t3 en el que de nuevo S(x, t) vuelve a no cortar a K. De tal modo que en cada instante de tiempo t,

917

11.5. Ecuaci´ on de Poisson Dalambertiana

el conjunto de puntos perturbados, es decir en los que u no es nula, se caracteriza por estar entre las dos superficies envolventes de la familia de esferas centradas en los puntos de K y de radio t. t

K

t

K

Figura 11.8. Frentes delantero y trasero

La envolvente exterior se llama frente delantero y la interior frente trasero y cuanto mas “peque˜ no” sea K, entorno de un punto p, mas se aproximar´ an estos dos frentes a la esfera de centro p y radio t. En particular, un oyente a distancia d de un instrumento musical, oye2 en cada instante t + d exactamente lo que fue tocado en el instante t y no la mezcla de sonidos tocados en otros instantes (¡es un alivio vivir en un espacio tridimensional!). En cambio en los casos bidimensional y unidimensional las cosas son distintas pues u(x, t) = 0 hasta el instante t0 en el que B[x, t] toca a K, y a partir de este instante B[x, t] siempre corta a K y si las condiciones iniciales son no negativas en K, u(x, t) ya nunca mas se anula para t ≥ t0 .

11.5.

Ecuaci´ on de Poisson Dalambertiana

Tratemos ahora el caso de la ecuaci´ on de ondas tridimensional no homog´enea, con condiciones iniciales z (x, t) = ρ(x, t),

z(x, 0) = f (x),

zt (x, 0) = g(x).

Tal soluci´ on puede obtenerse como suma z = v + w con v soluci´on de la ecuaci´ on homog´enea con las mismas condiciones, que ya conocemos, y w el caso particular de la no homog´enea, con las condiciones iniciales nulas,  v (x, t) = 0,

v(x, 0) = f (x),

vt (x, 0) = g(x),

 w (x, t) = ρ(x, t),

w(x, 0) = 0,

wt (x, 0) = 0,

A su vez la segunda ecuaci´ on se reduce al caso homog´eneo v´ıa el llamado principio de Duhamel, que dice: 2 suponiendo

que la velocidad del sonido es 1.

918

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

Lema 11.14 (Principio de Duhamel) Para cada s ∈ R, sea us la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas homog´enea, con las condiciones  us (x, t) = 0,

us (x, s) = 0,

entonces la funci´ on, Z t w(x, t) = us (x, t) ds



Z

0

=−

0

ust (x, s) = ρ(x, s),

 para t < 0

us (x, t) ds,

t

es la soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas no homog´enea, con las condiciones  w (x, t) = −ρ(x, t),

w(x, 0) = wt (x, 0) = 0.

Demostraci´ on. Las funciones us est´ an determinadas por la F´ormula de Kirchhoff, (11.13), que adem´ as nos da su regularidad en funci´on de la de ρ. Rr Fijado x, w(x, t) = F (t, t), para F (r, t) = 0 us (x, t) ds. Entonces se tiene Z t Z t wt (x, t) = Fr (t, t) + Ft (t, t) = ut (x, t) + ust (x, t) ds = ust (x, t) ds 0

0

y derivando de nuevo wtt (x, t) =

utt (x, t)

t

Z

ustt (x, t) ds

+

Z = ρ(x, t) +

0

t

∆us (x, t) ds

0

Z = ρ(x, t) + ∆

t

us (x, t) ds = ρ(x, t) + ∆w(x, t).

0

Proposici´ on 11.15 La soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas, con las condiciones iniciales  w (x, t) = −ρ(x, t),

w(x, 0) = wt (x, 0) = 0,

vale

(11.16)

w(x, t) =

    

1 4π

R B[x,t]

ρ(z,t−|z−x|) |z−x|

dm,

0, 1 4π

R B[x,−t]

ρ(z,t+|z−x|) |z−x|

dm,

si t > 0; si t = 0; si t < 0.

11.5. Ecuaci´ on de Poisson Dalambertiana

919

Demostraci´ on. Para cada s, la funci´ on u(x, t) = us (s+t, x) satisface la ecuaci´ on de ondas con las condiciones iniciales u(x, 0) = 0 y ut (x, 0) = ρ(s, x) y por la f´ ormula de Kirchhoff, (11.13), es de clase k si lo es ρ y vale para todo (x, t) ∈ R4 Z u(x, t) = t ρ(s, x + ty) dµ, y por tanto S Z s u (x, t) = (t − s) ρ(s, x + (t − s)y) dµ, S

y por el Lema anterior tenemos que (para σ la medida de ´area de la esfera) Z t Z w(x, t) = (t − s) ρ(x + (t − s)y, s) dµ ds 0 S Z t Z = r ρ(x + ry, t − r) dµ dr 0 S Z Z t Z 1 ρ(z, t − |z − x|) ρ(x + ry, t − |ry|) 2 dσ dr = dz. = r 4π|ry| 4π |z − x| B[x,t] 0 S pues para toda funci´ on g diferenciable e integrable en R3 , Z Z ∞Z g(x)dx1 · · · dxn = g(ry)rn−1 dσ dr. 0

Sn−1

En definitiva tenemos que la soluci´ on de la ecuaci´on de ondas no homog´enea tridimensional con condiciones iniciales  z (x, t) = −ρ(x, t),

z(x, 0) = f (x),

zt (x, 0) = g(x),

vale, por (11.12) (para σ la medida de ´ area de la esfera unidad y t > 0) Z Z t 1 z(x, t) = g(x + ty) dσ + f (x + ty) dσ 4π S 4π S Z X Z t 1 ρ(z, t − |z − x|) + fxi (x + ty)yi dσ + dm. 4π S 4π B[x,t] |z − x| Observemos que para t > 0, la soluci´ on w de (11.16), coincide con u/4π, para el potencial retardado Z ρ(z, t − |z − x|) (11.17) u(x, t) = dz, |z − x| 3 R

920

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

definido por ρ, si ρ se anula para tiempos negativos. En consecuencia tenemos: Corolario 11.16 (Ecuaci´ on de Poisson Dalambertiana) Si ρ(x, t) = 0 para t < k, entonces el potencial retardado (11.17), satisface la ecuaci´ on de Poisson X uxi xi (x, t) − utt (x, t) = −4πρ(x, t). Definici´ on. Consideremos ρ¯(x, t) = ρ(x, t + k), la cual se anula para t < 0, por tanto el potencial correspondiente u ¯ satisface la ecuaci´on ¯ u = −4π ρ¯, por tanto u = −4πρ. Definici´ on. Llamamos pasado causal de un punto (x0 , t0 ) ∈ R4 al cono {(x, t) : t ≤ t0 , |x − x0 | = t0 − t}. Diremos que una funci´on ρ ∈ C ∞ (R4 ) es de soporte compacto en el pasado causal si para todo punto (x0 , t0 ) ∈ R4 existe un entorno abierto U y a > 0, tales que ρ(x, t) = 0, para (x, t) en el pasado causal de U y t < t0 − a. Corolario 11.17 El potencial retardado u de una funci´ on diferenciable ρ, de soporte compacto en el pasado causal, es una funci´ on diferenciable que verifica la ecuaci´ on X uxi xi − utt = −4πρ. Adem´ as, la formaci´ on del potencial retardado conmuta con las derivadas parciales.

11.6.

La Ecuaci´ on de Schr¨ odinger.

´ n de Schro ¨ dinger es la ecuaci´on fundamental de la La Ecuacio mec´ anica cu´ antica no–relativista. En el caso mas simple, para una part´ıcula sin spin, en un campo externo (ver Egorov–Shubin, p´agina 16), tiene la forma (11.18)

i~

∂ψ ~2 =− ∆ψ + V (x)ψ, ∂t 2m

11.6. La Ecuaci´ on de Schr¨ odinger.

921

donde x ∈ R3 , ψ = ψ(x, t) es la funci´ on de onda de la part´ıcula, que nos da la amplitud compleja que caracteriza la presencia de la part´ıcula en cada punto x —en particular |ψ(x, t)|2 se interpreta como la densidad de probabilidad de que la part´ıcula se encuentre en el instante t en el punto x—, m es la masa de la part´ıcula, ~ es la constante de Planck y V (x) es una funci´ on real que representa el potencial. Una funci´ on de la forma i

e− ~ Et ψ(x) donde E es una constante, es soluci´ on de 11.18 si y s´olo si ψ es soluci´on ´ n de Schro ¨ dinger de estado estacionario de la llamada Ecuacio (ver la lecci´ on 7.10.3, de la p´ ag.522),   ~2 (11.19) − ∆ + V ψ = Eψ, 2m que describe los estados con energ´ıa constante E. Si un ´ atomo —como el del hidr´ ogeno—, tiene un electr´on de masa m, con energ´ıa total E —suma de la cin´etica y la potencial V —, entonces tiene una funci´ on de densidad de probabilidad ψ que es soluci´on de (11.19). Vamos a estudiar si existen soluciones de esta ecuaci´on que s´olo dependan de la distancia p r = x2 + y 2 + z 2 al origen de coordenadas —en que se localiza el n´ ucleo del ´atomo—. En tal caso tendr´ıamos que ∂ψ ∂r ψ 0 (r) = ψ 0 (r) =x , ∂x ∂x r por lo tanto  0  ψ (r) x r  0 0 0 ψ (r) ψ (r) ∂r = +x r r ∂x 0 00 ψ (r) ψ (r)r − ψ 0 (r) x = +x r r2 r 2 x2 ψ 00 (r) 1 x = + ψ 0 (r) − 3 , r2 r r

∂2ψ ∂ = ∂x2 ∂x

922

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

y haciendo lo mismo para y y z y sumando tendremos que 2 ∆ψ = ψ 00 (r) + ψ 0 (r), r y la ecuaci´ on (11.19) se convierte en 2 2m ψ 00 (r) + ψ 0 (r) + 2 (E − V )ψ = 0. r ~ Ahora bien en el caso del hidr´ ogeno tenemos un ´atomo con un electr´on con carga −q y un prot´ on con carga q, por lo tanto el potencial electrost´ atico es q2 V =− , r por lo que la energ´ıa total de un electr´ on en reposo —por tanto con energ´ıa cin´etica nula—, en el infinito (r = ∞), ser´a nula, por lo que la energ´ıa de un electr´ on ligado al n´ ucleo —es decir que no tiene energ´ıa suficiente para irse al infinito—, es negativa E = −α2 , y tenemos que nuestra ecuaci´ on es de la forma 2 2m q2 ψ 00 (r) + ψ 0 (r) − 2 (α2 + )ψ = 0, r ~ r y si consideramos la nueva variable x y la funci´on v(x) tales que x=

2αr √ 2m, ~

ψ(r) = e−x/2 v(x),

tendremos que nuestra ecuaci´ on se expresa en t´erminos de x √ q 2 2m 00 0 xv + (2 − x)v + (p − 1)v = 0, para p = . 2α~ ´ n de Laguerre de orden p es Ahora bien la Ecuacio xy 00 + (1 − x)y 0 + py = 0, y si la derivamos obtenemos xy (3 + y 00 − y 0 + (1 − x)y 00 + py 0 = xy (3 + (2 − x)y 00 + (p − 1)y 0 = 0,

11.6. La Ecuaci´ on de Schr¨ odinger.

923

y por tanto si y(x) es soluci´ on de la ecuaci´ on de Laguerre, v = y 0 es soluci´ on de la nuestra. Esto nos lleva a estudiar las soluciones de la ´ n de Laguerre de orden p que escribimos de la forma Ecuacio y 00 +

1−x 0 p y + y = 0, x x

y tiene una soluci´ on en serie de potencias y(x) = c0

∞ X i=0

(−1)i

Γ(p + 1) xi , i!(i + 1)!Γ(p − i)

por lo que su derivada es soluci´ on de nuestra ecuaci´on. Si ahora imponemos la condici´ on de que l´ım ψ(r) = 0

r→∞

⇒

l´ım

x→∞

v(x) = 0, e−x/2

tendremos que v(x) = y 0 (x) es un polinomio si p es un n´ umero natural y por tanto la condici´ on anterior se cumple. En cambio la condici´on no puede cumplirse en cualquier otro caso. De aqu´ı se sigue que los u ´nicos valores de p para los que nuestra ecuaci´ on tiene soluci´on no trivial satisfaciendo la condici´ on impuesta son los naturales y corresponden a valores de α √ √ q 2 2m q 2 2m p= =n ⇒ αn = 2α~ 2n~ y la energ´ıa del electr´ on en su n–simo estado es En = −αn2 = −

q4 m 2n2 ~2

y si el electr´ on baja del nivel de energ´ıa En al Ek , con n > k, su p´erdida de energ´ıa ser´ a   q4 m 1 1 ∆E = 2 2 − . 2n ~ k2 n2 y dado que cuando un electr´ on pierde energ´ıa emite luz con una frecuencia proporcional a la p´erdida de energ´ıa, y la constante de proporcionalidad es la constante de Planck   c 1 ∆E q4 m 1 1 ∆E = ~ν = ~ ⇒ = = 2 3 − , λ λ ~c 2n c~ k2 n2

924

Tema 11. La Ecuaci´ on de ondas

y tenemos una expresi´ on de la longitud de onda del fot´on emitido (para c la velocidad de la luz).

Fin del Tema 11

Tema 12

Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo

12.1.

Espacio Euclideo

Hay una geometr´ıa subyacente en la ecuaci´on de ondas tridimensional. Recordemos en primer lugar la definici´ on de Espacio Eucl´ıdeo. Definici´ on. Llamamos espacio af´ın a una terna formada por un conjunto A, un R–espacio vectorial V y una operaci´on A × V → A,

(p, v) → p + v,

donde a p+v le llamaremos el trasladado de p por el vector v, verificando las propiedades: (1) p + v = p ⇔ v = 0. (2) (p + v) + u = p + (v + u). (3) Dados p, q ∈ A existe v ∈ V (´ unico por las propiedades anteriores), tal que p + v = q. Llamamos dimensi´ on de A a la dimensi´ on de V.

925

926

Tema 12. Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo

Definici´ on. Llamamos referencia af´ın a {p0 , v1 , . . . , vn }, para p0 ∈ A llamado origen y {v1 , . . . , vn } una base ordenada de V. Respecto de ella todo punto p se expresa p = p0 + v = p0 +

n X

x i vi .

i=1

y a xi las llamamos coordenadas respecto de la referencia, de p. Una referencia {p0 , v1 , . . . , vn } establece una biyecci´on (xi ) : A → Rn , a trav´es de la cual definimos una estructura topol´ogica y diferenciable en A, que no depende de la referencia elegida. Adem´as para cada p ∈ A tenemos un isomorfismo can´ onico (12.1)

V → Tp (A),

v → Dpv ,

Dpv f = l´ım

t→0

f (p + tv) − f (p) , t

que lleva vi en ∂xi . Definici´ on. Llamamos espacio Eucl´ıdeo a un espacio af´ın con una m´etrica g sim´etrica definida positiva en V. Llamamos referencia euclidea a una referencia af´ın con la base ortonormal y coordenadas eucl´ıdeas a las coordenadas respecto de una referencia eucl´ıdea. El isomorfismo anterior (12.1) pasa la m´etrica a cada Tp (A), de modo que las ∂xi son ortonormales, y define una m´etrica Riemanniana en A que en coordenadas es la estandar X g= dxi ⊗ dxi . Nuestro primer impulso es definir el espacio f´ısico como un espacio af´ın tridimensional A3 y as´ı lo hemos considerado en distintas lecciones a lo largo de estos apuntes. Sin embargo un F´ısico debe abandonar esta estructura que parece tan natural. ¿Por qu´e?. Las trayectorias, bajo esa concepci´ on de espacio, son curvas parametrizadas σ : R → A3 , y una trayectoria uniforme σ(t) = p0 +tv. Esto choca con un hecho experimental: la relatividad del movimiento, es decir no podemos distinguir el reposo absoluto y sin embargo con este esquema existe σ(t) = p0 . Esto justifica que haya que buscar otra estructura para espacio.

12.2. Espacio de Minkowski. Relatividad especial

12.2.

927

Espacio de Minkowski. Relatividad especial

Como en cualquier caso tenemos tres coordenadas espaciales y una temporal consideramos como primera aproximaci´on de nuestro espacio– tiempo, una variedad diferenciable X de dimensi´on 4. Definimos trayectoria de un m´ ovil no como una curva parametrizada sino como una subvariedad unidimensional. Ahora tenemos que recoger la noci´on de movimiento uniforme, que es la linea recta. El espacio m´as simple satisfaciendo esto es el af´ın X = (A4 , V4 , +). Consideremos la trayectoria de un observador que se mueve uniformemente. La realidad de este observador se divide en dos partes bien diferenciadas: por una parte hay espacio y por otra tiempo. Si consideramos dos posiciones de esa trayectoria p, q, el observador las distingue y una p es anterior a la otra q = p + v, es natural considerar el tiempo transcurrido entre lospdos sucesos como el |v|, para lo cual necesito una m´etrica g y |v| = g(v, v), por ello necesitamos una m´etrica en V. Ahora bien en cada punto p de esa trayectoria se observa un espacio tridimensional y Euclideo. El candidato obvio es el hiperplano ortogonal, al que llamamos hiperplano de simultaneidad del observador en p. La m´etrica natural ser´ıa una Euclidea en V4 , pero esta elecci´on tiene un problema. No distingue direcciones, todas son equivalentes y todas posibles, en particular trayectorias en un hiperplano de simultaneidad de otro observador, el cual ver´ıa en un instante al primer observador con velocidad infinita o estando en todos los puntos de la recta simultaneamente, cuando lo que realmente se observa es que al cabo de un tiempo propio el otro observador est´ a en otro punto de nuestro espacio. Esto induce a considerar una m´etrica en V4 con signatura (ver el pie de p´ agina 640) (+, −, −, −), es decir que en una base ortonormal la m´etrica es   1 0 0 0 0 −1 0 0  G = (gij ) =  0 0 −1 0  0 0 0 −1

928

Tema 12. Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo

con lo cual desaparece el problema anterior, pues podemos distinguir tres tipos de trayectorias. Definici´ on. Diremos que la trayectoria de un observador es de tipo temporal, lum´ınica ´ o espacial , si entre cada dos posiciones cualesquiera p y q = p + v, g(v, v) es respectivamente > 0, = 0 ´ o < 0. Ahora podemos afinar nuestra definici´ on de observador pidiendo que sea de tipo temporal. Observemos que el espacio de simultaneidad para un observador tiene m´etrica tridimensional −δij (la Euclidea cambiada de signo). Definici´ on. Llamamos Espacio de Minkowski al espacio af´ın (A4 , (V4 , g), +), para g una m´etrica sim´etrica de signatura (+, −, −, −). Definici´ on. Llamaremos referencia inercial a {p0 , e0 , e1 , e2 , e3 }, con p0 ∈ A4 y las ei una base ortonormal, es decir en las que la m´etrica es g(e0 , ei ) = δ0i , y para i, j = 1, 2, 3, g(ei , ej ) = −δij . Definici´ on. Llamaremos coordenadas inerciales ´o coordenadas en un sistema de referencia P inercial {p0 , e0 , e1 , e2 , e3 }, a las funciones xi (p) = pi para p = p0 + pi ei . A menudo denotaremos la primera coordenada como el tiempo x0 = t. Como V se identifica can´ onicamente con cada espacio tangente Tp (X ), podemos pasar la m´etrica de V al espacio tangente, de modo que en t´erminos de coordenadas inerciales se corresponden las ei y las ∂xi , con lo que en A4 tenemos una m´etrica que en esas coordenadas es g = dt ⊗ dt − dx1 ⊗ dx1 − dx2 ⊗ dx2 − dx3 ⊗ dx3 . la cual es semi–riemanniana (no es definida positiva, es no singular y sim´etrica). Parametricemos una trayectoria (es decir una recta) en las coordenadas inerciales σ(t) = (t, a1 + v1 t, a2 + v2 t, a3 + v3 t), entonces en una unidad de tiempo, por ejemplo entre los instantes 0 y 1 p = σ(0) = (0, a) y q = σ(1) = (1, a+v), recorre una distancia (aparente) pP |v| = vi2 que es por tanto la velocidad num´erica aparente y v la velocidad aparente. Ahora si q = p + T , tenemos:

12.3. D’Alembertiano

929

Definici´ on. Decimos que la trayectoria es la de un m´ovil ´o un observador si g(T, T ) > 0 y como T = (1, v), es qX X 0 < g(T, T ) = (1, v)G(1, v)t = 1 − vi2 ⇒ |v| = vi2 < 1, y 1 es la velocidad m´ axima a la que un m´ ovil puede llegar. Decimos que es la trayectoria de un rayo de luz si g(T, T ) = 0, en cuyo caso la velocidad de la luz es constante e igual a 1, independientemente de la referencia. Nota 12.1 Si cogemos como unidad de tiempo 1 a˜ no y como unidad de longitud el a˜ no–luz (es decir la longitud recorrida por la luz en un a˜ no), la velocidad de la luz en estas unidades es 1. Si en lugar de coger una referencia inercial (es decir con los ei ortonormales los cogemos verificando g(e0 , ei ) = δ0i , y para i, j = 1, 2, 3, g(ei , ej ) = −c−2 δij , entonces la velocidad de la luz es c. Por otra parte si consideramos las trayectorias de la luz pasando por un punto p, tendremos un cono, siendo interiores a este las trayectorias de los m´ oviles y si tenemos las trayectorias A y B de dos m´oviles pasando por p, sus espacios de simultaneidad respectivos no coinciden y dos sucesos que para A son simult´ aneos, B los observar´a en general en tiempos distintos, sin embargo este efecto no es apreciable a velocidades peque˜ nas, en las que las trayectorias y por tanto sus espacios de simultaneidad casi son iguales.

12.3.

D’Alembertiano

12.3.1.

Gradiente y divergencia

X el espacio de Minkowski y en una referencia inercial g = dt2 − P Sea 2 dxi su m´etrica, entonces existe un isomorfismo can´onico entre campos y uno–formas, como en las variedades Riemannianas, dado por γ : D → Ω,

D → γ(D) = iD g = g(D, ·) = D · .

930

Tema 12. Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo

Definici´ on. Llamamos gradiente de una funci´ on f , al campo D = grad f , tal que γ(D) = df , el cual satisface que para todo campo E grad f · E = Ef P y en coordenadas inerciales si grad f = hi ∂xi , entonces h0 = grad f · ∂t = ft , ⇒

hi = − grad f · ∂xi = −fxi X grad f = ft ∂t − fxi ∂xi .

⇒

Consideremos ahora una orientaci´ on en nuestra variedad, dada por la base ortonormal {e0 , e1 , e2 , e3 } de una referencia inercial y consideremos la forma de volumen, es decir la 4–forma Ω4 que a cualquier base ortonormal positivamente orientada, por ejemplo ∂t , ∂x1 , ∂x2 , ∂x3 le da el valor 1. Se sigue que es Ω4 = dt ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 .

Definici´ on. Sea D ∈ D(X ), llamamos divergencia de D (ver la p´ag.754) a la funci´ on div D tal que DL Ω4 = (div D)Ω4 , cuya expresi´ on en coordenadas es X D= fi ∂xi ⇒

12.3.2.

div D =

X

(fi )xi .

D’Alembertiano y codiferencial

Ahora recordemos (ver p´ ag.754) que en el espacio eucl´ıdeo n–dimensional ten´ıamos que X ∆f = fxi xi = div(grad f ), esto nos induce a dar la siguiente generalizaci´ on.

931

12.3. D’Alembertiano

Definici´ on. Llamamos D’Alembertiano de una funci´on f a la funci´on 2f = div(grad f ) = ftt −

3 X

fxi xi ,

i=1

es decir el operador de ondas aplicado a f . Definici´ on. Consideremos una p–forma ω ∈ Λp en las coordenadas inerciales (t = x0 , x1 , x2 , x3 ) X ω= fα dxi1 ∧ · · · ∧ dxip , α=(i1 = bn αn = b n . = 4 4 n=1 4L n=1 n

Ejercicio 11.1.2.- Consid´erese la Lagrangiana asociada a la cuerda L=T −V =

1 2

L

Z

(ρyt2 − T yx2 )dx, 0

y demu´estrese que la ecuaci´ on de ondas da un valor estacionario a la acci´ on. Soluci´ on.- Consideremos la acci´ on Z b Z bZ L 1 Ldt = (ρyt2 − T yx2 )dxdt, 2 a 0 a la cual si consideramos la funci´ on F (x, t, y, yx , yt ) =

1 (ρyt2 − T yx2 ), 2

se minimiza para la funci´ on y(x, t) que satisfaga la Ecuaci´ on de Euler–Lagrange Fy − que es la ecuaci´ on de ondas.

∂ ∂ Fy − Fy = 0, ∂x x ∂t t

945

12.6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 11.3.1.- Demostrar que la ecuaci´ on de ondas bidimensional zxx + zyy − ztt = 0, con la condici´ on frontera en el rect´ angulo [0, a] × [0, b] z(x, 0, t) = z(x, b, t) = z(0, y, t) = z(a, y, t) = 0, tiene autovalores y correspondientes autofunciones  2  m n2 2 λmn = π + 2 , a2 b mπx nπy fmn = sen sen , a b ¿Tiene alg´ un otro autovalor?. Soluci´ on.- H´ agase utilizando variables separadas. Por otra parte la teor´ıa de las series dobles de Fourier demuestra que cualquier funci´ on, de clase 2 en un abierto que contenga al rect´ angulo, que satisfaga la condici´ on frontera puede desarrollarse en serie, que converge absoluta y uniformemente, por el sistema fmn . Por tanto si hubiese otro autovalor λ con una autofunci´ on u, tendr´ıamos que u es ortogonal a todas las fmn y por tanto u = 0, a menos que λ sea una de las λmn .

Ejercicio 11.4.1.- Demostrar que Z Z ∂ fω= f i∂n ω. ∂t B(x,t) S(x,t) Soluci´ on.- Por una traslaci´ on podemos considerar que x = 0, en cuyo caso ∂n = N = H/|H|. Consideremos su grupo uniparam´ etrico x τt (x) = x + t , kxk entonces τr (B[0, t]\{0}) = B[0, t + r]\B[0, r] y por tanto R R Z ∂ B[0,t+] f ω − B[0,t] f ω f ω = l´ım →0 ∂t B[0,t]  R R R τ (B[0,t]\{0}) f ω − B[0,t] f ω + B[0,] f ω = l´ım →0  R Z ∗ τ (f ω) − f ω B[0,] f ω = l´ım + l´ım →0 B[0,t] →0   R Z 3 m[B(0, 1)] B[0,] f ω = N L (f ω) + l´ım →0  m[B(0, )] B[0,t] Z Z = iN d(f ω) + diN (f ω) = diN (f ω), B[0,t]

B[0,t]

pues d(f ω) = 0. Ahora bien como N no est´ a definida en 0, debemos quitar una peque˜ na esfera para aplicar Stockes Z Z Z diN (f ω) = f iN ω − f iN ω, B[0,t]\B[0,]

y el resultado se sigue haciendo  → 0 .

S[0,t]

S[0,]

946

12.7.

Tema 12. Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo

Bibliograf´ıa y comentarios

Boyce, W. E. and DiPrima, R.C.: “Elementary Differential Equations and Boundary value Problems”. J.Wiley, 1977. Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Physics. Vol.II, Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962. Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Fondo Educativo Interamericano, 1984. Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986. Egorov, Yu.V. and Shubin, M.A.: “Partial Differential Equations”. Vol.I. Springer–Verlag, 1992. Garabedian, P.R.: “Partial Differential Equations”. Chelsea, 1986. Kolmogorov A.N and Fomin, S.V.: “Elementos de la teor´ıa de funciones y del An´ alisis funcional”, Ed. Mir, Mosc´ u, 1975. Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´ oricas”. Ed. McGraw-Hill. 1977. Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacional, 1983. Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. Vol.IV, Vol.V. Publish or Perish, 1975. Tijonov, A.N. and Samarski, A.A.: “Ecuaciones de la F´ısica matem´ atica”, Pueblo y Ciencia, 1978. Vladimirov, V.S.: “Equations of Mathematical Physics”. Marcel Dekker, 1971. Watson, G.N.: “A treatise on the Theory of Bessel Functions”. Cambridge Univ. Press, 1944. Weinberger, H.F.: “Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. Ed. Revert´ e, 1970. Zachmanoglou, E.C. and Thoe, D.W.: “Introduction to Partial Differential Equations with Applications”. Dover, 1986.

Las primeras ecuaciones en derivadas parciales aparecieron en 1734, en la obra del suizo Leonhard Euler (1707–1783) y en 1743, en el “Tratado de Din´ amica” de Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783). Es en esta ´epoca en la que empez´ o a estudiarse la considerada como primera ecuaci´ on en derivadas parciales estudiada de importancia: la ecuaci´ on de ondas, que f´ısicamente estaba representada por la oscilaci´on de una cuerda de viol´ın. El problema de representar una funci´ on por su serie trigonom´etrica

12.7. Bibliograf´ıa y comentarios

947

tiene una larga historia y en buena medida este problema fue el causante de que se fuera aclarando el propio concepto de funci´on. El primero en considerar una serie trigonom´etrica a1 sen

aπt 2πx 2aπt πx cos + a2 sen cos + ··· , L L L L

fue el suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) en su intento de resolver la ecuaci´ on de ondas. Este aseguraba que tal serie representaba la soluci´ on general, aunque no argumentaba bas´ andose en criterios matem´aticos sino f´ısicos. Sin embargo como esta soluci´ on parec´ıa tener un car´acter peri´ odico, aparentaba tener menos generalidad que la soluci´on φ(x + at) + ψ(x − at), dada en 1746 por D’Alembert en el art´ıculo titulado “Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa que se hace vibrar”, para el que el t´ermino funci´ on significaba funci´on anal´ıtica. Dos a˜ nos despu´es, en 1748, Euler public´ o un art´ıculo titulado “Sobre la oscilaci´ on de cuerdas”, en el que aunque segu´ıa el m´etodo de D’Alembert, su concepto de funci´ on, y por tanto de soluci´ on, era completamente distinto al de este y mucho mas amplia pues hasta admit´ıa como funci´on cualquier “curva dibujada a mano”. En 1807, el Franc´es Joseph Fourier (1768–1830) anunci´o que cualquier funci´ on puede representarse por una serie trigonom´etrica ∞

X a nπx nπx  √0 + an sen + bn cos , L L 2 n=1 si an y bn eran los (ahora llamados) coeficientes de Fourier de la funci´on, por esta raz´ on tales series llevan su nombre. En 1824 dio una demostraci´ on de esto, sin embargo los encargados de informar sobre su trabajo, Lagrange, LaPlace y Legendre, lo criticaron por su vaguedad y “alegr´ıa” en los razonamientos sobre la convergencia de la serie a la funci´ on. En un art´ıculo de 1828, el Alem´ an Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) fue el primero en demostrar rigurosamente la convergencia de la serie de Fourier para cierta clase de funciones y esto

948

Tema 12. Ecuaci´ on de ondas. Electromagnetismo

sin tener todav´ıa una definici´ on clara de lo que era una funci´on. De hecho el propio Dirichlet, propuso 9 a˜ nos despu´es, en 1837, la siguiente definici´ on de funci´ on: “Si una variable y est´ a relacionada con una variable x, de tal manera que siempre que se atribuya un valor num´erico a x, hay una regla seg´ un la cual queda determinado un u ´nico valor de y, entonces se dice que y es una funci´ on de la variable independiente x”.

Esta definici´ on de funci´ on se aproxima a la actual, de aplicaci´on entre dos conjuntos de n´ umeros reales, pero lo cierto es que los conceptos de “conjunto” y de “n´ umero real” estaban lejos de tener un significado preciso en aquella ´epoca. La confecci´ on del Tema 12, sobre electromagnetismo se la debo al profesor Juan Sancho de Salas una vez mas. Por u ´ltimo remitimos al lector interesado en la historia de los problemas de la cuerda vibrante, de la membrana vibrante y de las ondas sonoras, a las p´ aginas 666–692 del libro Kline, Morris: “El pensamiento matem´ atico de la antig¨ uedad a nuestros d´ıas”. Tomo II, Ed. Alianza Univ., N.724, 1972.

Fin del Tema 12

Tema 13

La Ecuaci´ on del calor

13.1.

La Ecuaci´ on del calor unidimensional

Consideremos una varilla caliente de material homog´eneo, de densidad de masa ρ, de longitud L y con una secci´ on transversal uniforme de area A. ´ Consideramos que la varilla es recta y que “est´a sobre el eje de coordenadas x”, con un extremo en el origen y el otro en L. As´ı mismo consideramos que A es tan peque˜ no que los puntos de la varilla de cada secci´ on perpendicular a la varilla, est´ an a la misma temperatura. Adem´as supondremos que la varilla est´ a t´ermicamente aislada y por tanto el calor no sale de la varilla. Por lo tanto la temperatura ser´a una funci´on u(x, t), que depende de la secci´ on, que representamos por x, y del tiempo t. Ahora pasamos a describir los principios f´ısicos por los que se rigen el calor, la temperatura y el flujo de calor. La Ley de transferencia del calor de Newton dice que: “Dadas dos placas A y B, paralelas a una distancia d, con temperaturas constantes TA y TB respectivamente, se genera un flujo de calor en la direcci´ on perpendicular a las placas, que va de la caliente a la fr´ıa y la cantidad de calor que fluye por unidad de a ´rea y por unidad de tiempo, es directamente proporcional a

949

950

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

la diferencia de temperaturas entre las dos placas e inversamente proporcional a la distancia que las separa”.

Es decir si denotamos con QAB el calor que fluye de A a B por unidad de tiempo y unidad de ´ area, tendremos que QAB = k

TA − TB , d

para k la conductividad t´ermica, que es positiva pues el calor fluye de lo caliente Figura 13.1. Flujo de calor a lo fr´ıo. De esta ley se sigue nuestro primer principio (haciendo d → 0): Primer principio.- La cantidad de calor que fluye por unidad de tiempo, a trav´es de una unidad de ´ area de una secci´ on x hacia la derecha de la varilla, es φ(x, t) = −k

∂u (x, t), ∂x

y en general en un cuerpo con puntos a distinta temperatura, se genera un flujo de calor que en un instante dado t, define en cada punto un vector tangente perpendicular a la superficie isoterma {x : u(x, t) = cte} que pasa por ese punto, es decir que es proporcional al grad T , para T (x) = u(x, t) Φ = −k · grad T = −k(ux

∂ ∂ ∂ + uy + uz ), ∂x ∂y ∂z

y obs´ervese que en el caso de la varilla simplemente hemos supuesto que uy = uz = 0 y ∂ Φ=φ . ∂x Segundo principio.- La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un material de masa m, de u1 = u a u2 = u + ∆u es cm∆u, donde c es el calor espec´ıfico y depende del material.

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

951

En este principio suponemos que todos los puntos del material est´an a la misma temperatura u. En caso contrario tendr´ıamos que hacer una divisi´ on del material en peque˜ nas porciones en las que la temperatura sea pr´ acticamente constante y aplicar el principio a cada una de ellas, por lo que la cantidad de calor necesaria para cambiar la temperatura del material de u1 a u2 es la integral, en el recinto R que ocupa el material Z cρ(u2 − u1 )dxdydz, R

para ρ la densidad de masa. Sean x ∈ (0, L) y  > 0. Por una parte tenemos que durante el intervalo de tiempo [t, t + ∆t] la temperatura de la varilla cambi´ o de u(x, t) a u(x, t + ∆t) y por tanto se sigue del segundo principio que la cantidad de calor necesario para cambiar Figura 13.2. Calor que entra en I la temperatura en el trozo de varilla I = [x, x + ] es Z x+ cAρ[u(x, t + ∆t) − u(x, t)]dx, x

ahora bien este calor s´ olo ha podido entrar en I por x —hacia la derecha— y por x +  —hacia la izquierda— y estas cantidades son por el primer principio, −k∆tAux (x, t) + k∆tAux (x + , t) + o(∆t). Por tanto tenemos que ambas cantidades deben ser iguales   ∂u ∂u k∆tA (x + , t) − (x, t) + o(∆t) = ∂x ∂x Z x+ = cAρ[u(x, t + ∆t) − u(x, t)]dx, x

y dividiendo primero por ∆t y haci´endolo tender a 0 y despu´es por cρA y haciendo  → 0, tenemos la ecuaci´ on de tipo parab´ olico (13.1)

Kuxx (x, t) = ut (x, t),

Ecuaci´ on del calor

donde K = k/cρ es la difusibidad del material .

952

13.1.1.

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

El principio del m´ aximo.

Este principio dice que si tenemos una varilla cuyos extremos tienen en todo instante una temperatura acotada por una constante M y en el instante inicial la temperatura de todos los puntos de la varilla estaba acotada por M , entonces en todo instante posterior todos los puntos de la varilla tendr´ an una temperatura acotada por M . Para demostrarlo consideremos la siguiente notaci´on. Sea t0 > 0 y consideremos el rect´ angulo ◦

R = [0, L] × [0, t0 ] = C ∪ R ∪C1 , donde C1 es el lado de R —sin los extremos— que une el v´ertice (0, t0 ) con (L, t0 ) y C son los otros tres lados.

Figura 13.3.

Principio del m´ aximo 13.1 Sea u una soluci´ on de la ecuaci´ on del calor Kuxx (x, t) = ut (x, t),

para (x, t) ∈ (0, L) × (0, t0 ] ◦

continua en R, de clase 1 en un abierto A que contenga a R ∪C1 y tal que uxx existe, entonces para cualesquiera constantes M1 ≤ M2 se tiene que M1 ≤ u(x, t) ≤ M2 ,

en

C

⇒

M1 ≤ u(x, t) ≤ M2 ,

en

R.

Demostraci´ on.- En primer lugar observamos que basta demostrar una de las desigualdades, pues la otra se obtiene considerando la soluci´on −u. Nosotros daremos s´ olo la demostraci´ on correspondiente a M = M2 y lo haremos en dos partes. En la primera consideramos v una funci´on continua en R, de clase 1 en A tal que vxx existe, es continua y se satisface Kvxx > vt , v(x, t) ≤ M,

◦

para (x, t) ∈ R ∪C1 , para (x, t) ∈ C,

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

953

y demostraremos que v(x, t) ≤ M , para (x, t) ∈ R. Consideremos el punto p ∈ R en el que v alcanza el m´aximo, entonces o bien p ∈ C, en cuyo caso el resultado se sigue, ´o bien se tienen las ´ siguientes posibilidades —que son contradictorias con la hip´otesis— ◦

p∈R p ∈ C1

⇒ ⇒

vt (p) = 0, vxx (p) ≤ 0 vt (p) ≥ 0, vxx (p) ≤ 0

⇒

Kvxx (p) ≤ vt (p),

⇒

Kvxx (p) ≤ vt (p).

En segundo lugar consideramos la funci´ on u del enunciado, un  > 0 y la funci´ on en R v(x, t) = u(x, t) + x2 , por tanto ◦

Kvxx > vt , para (x, t) ∈ R ∪ C1 , v(x, t) ≤ M + L2 , para (x, t) ∈ C, y se sigue de la demostraci´ on anterior que en R u(x, t) ≤ v(x, t) ≤ M + L2 , y como esto es cierto para todo  > 0, el resultado se concluye. Como consecuencia se tiene el siguiente resultado. Teorema de Unicidad 13.2 Dadas las funciones continuas h(t) y g(t) en [0, ∞) y f (x) en [0, L], a lo sumo existe una u ´nica soluci´ on u del problema de valor inicial–frontera para la ecuaci´ on del calor Kuxx (x, t) = ut (x, t), (13.2)

u(x, 0) = f (x), u(0, t) = h(t),

u(L, t) = g(t),

continua en [0, L] × [0, ∞), de clase 1 en (0, L) × (0, ∞) y para la que exista uxx . Demostraci´ on. Basta considerar la diferencia u de dos posibles soluciones, para la que se tiene por el resultado anterior que para cualquier t0 y cualesquiera (x, t) ∈ [0, L] × [0, t0 ], u(x, t) = 0. Tambi´en se tiene el siguiente resultado.

954

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Teorema de dependencia continua 13.3 La soluci´ on u del problema de valor inicial–frontera para la ecuaci´ on del calor 13.2, si existe depende continuamente de los datos f , g y h, en el sentido de que si ui es, para i = 1, 2, la soluci´ on correspondiente a fi , gi y hi y se tiene que para un  > 0 y un t0 > 0 m´ ax |f1 (x) − f2 (x)| ≤ ,

0≤x≤L

m´ ax |g1 (t) − g2 (t)| ≤ ,

m´ ax |h1 (t) − h2 (t)| ≤ ,

0≤t≤t0

0≤t≤t0

entonces |u1 (x, t) − u2 (x, t)| ≤ ,

para (x, t) ∈ [0, L] × [0, t0 ].

Demostraci´ on. H´ agala el lector. Nota 13.4 Observemos que la ecuaci´ on del calor es, como la de ondas, invariante por traslaciones tanto en el tiempo como en el espacio, por lo tanto los resultados anteriores son v´ alidos si en vez del intervalo temporal [0, t0 ], consideramos [T, T + t0 ], para cualquier T ∈ R. Sin embargo no es invariante, como s´ı lo es la de ondas y en esto tenemos una diferencia fundamental entre ambas, por la transformaci´ on temporal t = −t, pues esta transformaci´ on la convierte en la ecuaci´ on Kuxx = −ut , la cual difiere esencialmente de la ecuaci´ on del calor. Como consecuencia no podemos remitirnos a los resultados obtenidos hasta ahora —en particular el principio del m´ aximo—, en los que siempre hemos hablado de la evoluci´ on de la varilla “hacia el futuro” (t ≥ 0), para conocer el proceso de la varilla “hacia el pasado” (t ≤ 0). Por tanto, en principio, tendr´ıamos que elaborar nuevos resultados. Sin embargo en general se tiene que aunque el conocimiento de la temperatura en los extremos de la varilla en todo instante y el de toda la varilla en un instante t0 dado, determinan la temperatura de toda la varilla en los instantes posteriores a t0 , no la determinan en los instantes anteriores a t0 (justificaremos esto en la nota (13.7), p´ag.960). En t´erminos f´ısicos esta propiedad se expresa diciendo que, “la conducci´ on del calor es un proceso irreversible”.

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

13.1.2.

955

Soluci´ on general.

Analicemos primero si existe alguna soluci´ on de 13.1 de la forma u(x, t) = h(x)g(t), en cuyo caso para cualquier (x, t) se debe satisfacer Kh00 (x)g(t) = h(x)g 0 (t), y esto ocurre si existe una constante λ tal que h00 (x) g 0 (t) = = −λ, h(x) Kg(t) es decir si se satisfacen las ecuaciones h00 (x) + λh(x) = 0,

g 0 (t) + Kλg(t) = 0,

siendo la soluci´ on general de estas ecuaciones —para λ = α2 — h(x) = A cos(αx) + B sen(αx), 2

g(t) = C e−Kα t , el caso λ < 0 no lo consideramos pues la correspondiente soluci´on u(x, t) = h(x)g(t) → ∞,

cuando t → ∞,

por su parte el caso λ = 0 corresponde a la soluci´on trivial u(x, t) = Ax + B. En definitiva vemos que las funciones de la forma 2

u(x, t) = e−Kα t [A cos(αx) + B sen(αx)], y sus sumas finitas son soluciones de la ecuaci´ on del calor.

13.1.3.

Soluciones con condiciones inicial y frontera dadas.

Caso 1.- Condiciones en la frontera homog´ eneas. En primer lugar vamos a considerar el caso en que la varilla mantiene sus extremos

956

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

a una temperatura constante igual a 0 y que en el instante inicial t = 0 la temperatura de toda la varilla est´ a dada por una funci´on f (x). Es decir estudiaremos las soluciones u(x, t), de 13.1 que satisfacen las condiciones frontera–iniciales u(0, t) = u(L, t) = 0 ,

u(x, 0) = f (x).

Analicemos primero si existe alguna soluci´ on de 13.1 de la forma u(x, t) = h(x)g(t), satisfaciendo las condiciones ⇒

u(0, t) = u(L, t) = 0

h(0) = h(L) = 0.

Ahora bien nosotros sabemos que las u ´nicas soluciones h no triviales con esas condiciones corresponden a nπ , λ = αn2 , αn = L para cada n = 1, 2, . . . Y las soluciones son, para cada n, m´ ultiplos de hn (x) = sen(αn x), y las soluciones g, que corresponden a estos valores de λ, son de la forma 2

g(t) = A e−Kαn t . Se sigue que para cada n ≥ 1, 2

un (x, t) = hn (x)gn (t) = e−Kαn t sen(αn x), y cualquier combinaci´ on finita de ellas son soluciones de Kuxx = ut ,

u(0, t) = u(L, t) = 0.

Ahora es de esperar que las combinaciones infinitas u(x, t) =

∞ X

bn hn (x)gn (t),

n=1

tambi´en sean soluci´ on y que eligiendo adecuadamente las bn se tenga la otra condici´ on frontera u(x, 0) =

∞ X n=1

bn hn (x)gn (0) =

∞ X n=1

bn sen(αn x) = f (x).

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

957

Como nuestra f est´ a definida en [0, L], podemos extenderla a [−L, L] de forma impar, por f (−x) = −f (x). Por tanto consideramos sus coeficientes de Fourier Z Z nπx 2 L nπx 1 L f (x) sen dx = f (x) sen dx, bn = L −L L L 0 L y con ellos definimos, al menos formalmente, la “presumible soluci´on” (13.3)

u(x, t) =

∞ X

bn hn (x)gn (t) =

n=1

∞ X

2

bn e−Kαn t sen(αn x).

n=1

Analicemos ahora si esta serie define realmente una funci´on continua en [0, L] × [0, ∞), que sea soluci´ on de la ecuaci´ on del calor, satisfaciendo las condiciones dadas. En primer lugar tenemos que |bn | ≤ c =

2 L

Z

L

|f (x)|dx, 0

y por tanto si f es continua en [0, L] —o con mas generalidad, si f es integrable—, sus coeficientes de Fourier bn est´an uniformemente acotados. En tal caso se tiene el siguiente resultado. Teorema 13.5 Si bn ∈ R est´ an uniformemente acotados, |bn | ≤ c < ∞, entonces la serie ∞ X 2 bn e−Kαn t sen(αn x), n=1

converge puntualmente, en R × (0, ∞), a una funci´ on u ∈ C∞ (R × (0, ∞)), que satisface la ecuaci´ on del calor con las condiciones frontera u(0, t) = u(L, t) = 0,

para 0 < t < ∞.

Si adem´ as f : [0, L] −→ R es continua, de clase 1, salvo en una colecci´ on finita de puntos en los que tiene derivadas laterales finitas, satisface f (0) = f (L) = 0 y bn son los coeficientes de Fourier de su extensi´ on impar, entonces la serie converge uniformemente, en R × [0, ∞), a una funci´ on u continua, que en t = 0 vale u(x, 0) = f (x).

958

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Demostraci´ on. En primer lugar los t´erminos de la serie est´an acotados en m´ odulo por 2

2

|bn e−Kαn t sen(αn x)| ≤ c e−Kαn t = c(e

−Kπ 2 t L2

2

)n ,

y como los t´erminos de la derecha definen una serie que converge uniformemente en R × [t0 , ∞), para cualquier t0 > 0, nuestra serie tambi´en converge uniformemente en ese conjunto a una funci´on u, que es continua en R × [t0 , ∞), para todo t0 > 0 —pues las sumas parciales de nuestra serie son continuas—. Por tanto u es continua en todo R × (0, ∞) y satisface la condici´ on frontera. Del mismo modo los t´erminos de las series ∞  X 2 ∂  bn e−Kαn t sen(αn x) , ∂t n=1 ∞  X 2 ∂  bn e−Kαn t sen(αn x) , ∂x n=1 ∞  X ∂2  −Kα2n t b e sen(α x) , n n ∂x2 n=1

est´ an acotados en m´ odulo, para cada t0 > 0, por t´erminos de series uniformemente convergentes1 en R × [t0 , ∞), por tanto ellas convergen uniformemente y definen funciones continuas que son respectivamente ut , ux y uxx . Del mismo modo se demuestra que u tiene derivadas parciales continuas de todos los ordenes para todo x y todo t > 0 y por tanto es de clase infinito. Ahora se tiene que Kuxx − ut =

∞ X

2

bn e−Kαn t sen(αn x)(−Kαn2 + Kαn2 ) = 0,

n=1

y por tanto u satisface la ecuaci´ on del calor. Para resolver completamente nuestro problema falta ver que en las hip´ otesis de regularidad de f , u se extiende con continuidad a t = 0 y u(x, 0) = f (x), es decir l´ım u(x, t) = f (x).

t→0+ 1 Es

consecuencia de que

P

n

nm kn < ∞, para m ∈ N y |k| < 1 fijos.

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

959

Si consideramos las sumas parciales sN (x, t) =

N X

2

bn e−Kαn t sen(αn x),

n=1

tendremos por el Teorema de Dirichlet que sN (x, 0) =

N X

bn sen(αn x) → f (x),

n=1

y la convergencia es uniforme, por tanto para todo  > 0 existe un N , tal que para m, n ≥ N se tiene |sn (x, 0) − sm (x, 0)| ≤ , pero v = sn − sm es soluci´ on de la ecuaci´ on del calor y satisface la condici´ on frontera v(0, t) = v(L, t) = 0, para todo t ≥ 0, por tanto se sigue del principio del m´ aximo que |sn (x, t) − sm (x, t)| ≤ , para todo (x, t) ∈ [0, L] × [0, ∞), por tanto sn converge uniformemente a u en [0, L] × [0, ∞) y u es continua en ese conjunto. En definitiva hemos demostrado el siguiente resultado. Teorema de Existencia 13.6 Si f : [0, L] −→ R es continua, de clase 1, salvo en una colecci´ on finita de puntos en los que tiene derivadas laterales finitas y satisface f (0) = f (L) = 0, entonces existe una soluci´ on u de la ecuaci´ on del calor Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = u(L, t) = 0, que viene dada por convergencia uniforme de la serie u(x, t) =

∞ X

2

bn e−Kαn t sen(αn x),

n=1

en [0, L] × [0, ∞), con los bn los coeficientes de Fourier de la extensi´ on impar de f , y siendo u continua en [0, L] × [0, ∞) y de C∞ ((0, L) × (0, ∞)).

960

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Nota 13.7 Podemos utilizar el hecho de que la soluci´on u encontrada es de C∞ ((0, L) × (0, ∞)), aunque la condici´ on inicial f s´olo sea continua, para demostrar que en general las condiciones iniciales–frontera no determinan la soluci´ on en el pasado, es decir para t ≤ 0. Para ello supongamos que existe un t0 < 0 y una soluci´ on u del problema “hacia el pasado” en (0, L) × (t0 , 0]

Kuxx = ut ,

para t0 ≤ t ≤ 0

u(0, t) = u(L, t) = 0 , u(x, 0) = f (x),

para 0 ≤ x ≤ L.

para f continua, tal que u sea continua en [0, L] × [t0 , 0].

Figura 13.4. Dominio del problema (hacia el pasado)

Consideremos entonces la funci´ on g(x) = u(x, t1 ), con un t0 < t1 < 0 arbitrario. Tal funci´ on es continua en [0, L] y de clase 1 en (0, L), pues uxx existe, sin embargo no sabemos si tiene derivadas laterales finitas en 0 y L. En cualquier caso sabemos que si existe la soluci´ on continua en [0, L] × [t1 , 0], del problema “hacia el futuro” Kuxx = ut ,

en (0, L) × (t1 , 0] para t1 ≤ t ≤ 0

u(0, t) = u(L, t) = 0 , u(x, t1 ) = g(x),

para 0 ≤ x ≤ L,

esta es u ´nica y adem´ as depende continuamente de g y como nuestra u lo satisface es la soluci´ on. Ahora bien si g tuviese derivadas laterales finitas en 0 y L, la soluci´ on de este problema ser´ıa u(x, t) =

∞ X n=1

2

bn e−Kαn (t−t1 ) sen(αn x).

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

961

para bn los coeficientes de Fourier de la extensi´ on impar de g, que por ser continua est´ an acotados, y con esto bastaba realmente para demostrar que u es de C∞ ((0, L)×(t0 , ∞)), pero entonces esto implica que u(x, 0) = f (x) es de C∞ (0, L), lo cual no tiene por qu´e ser cierto. En el caso de que g no verificase las propiedades dichas, no importa, como partimos de que u es continua, tambi´en admite la representaci´on u(x, t) =

∞ X

2

bn e−Kαn (t−t1 ) sen(αn x).

n=1

y se concluye del mismo modo. La raz´ on de poderla representar tambi´en mediante la serie es que al ser u continua depende continuamente de g, que podemos poner como l´ımite uniforme de funciones gm continuas, que se anulen en 0 y L y con derivadas laterales finitas en todo punto. Como las soluciones um , correspondientes a gm , admiten la representaci´on en serie y convergen uniformemente a u y se tiene la convergencia de coeficientes de Fourier Z Z 2 L nπx 2 L nπx gm (x) sen dx → g(x) sen dx, m → ∞, L 0 L L 0 L tendremos el resultado como una aplicaci´ on del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Nota 13.8 La soluci´ on u(x, t) =

∞ X

2

bn e−Kαn t sen(αn x),

n=1

para αn = nπ/L y los coeficientes de Fourier bn =

2 L

Z

L

f (x) sen(αn x)dx, 0

de nuestro problema Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,

962

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

admite la forma integral ∞ Z 2 2 X L f (ξ) sen(αn ξ) dξ e−Kαn t sen(αn x) L n=1 0 Z L = f (ξ)K(ξ, x, t) dξ,

u(x, t) =

0

para la funci´ on K(ξ, x, t) =

∞ 2 X −Kα2n t e sen(αn ξ) sen(αn x). L n=1

Remitimos al lector interesado a la p´ ag.115 del Weinberger, (ver tambi´en Tijonov, A.N. and Samarski, A.A., p.234), en el que se demuestra, utilizando esta representaci´ on, que nuestra soluci´on sigue si´endolo para una clase mas amplia de funciones f de la que los teoremas de convergencia de Fourier permiten, en particular si f es acotada y continua en x = x0 , entonces la soluci´ on Z L u(x, t) = f (ξ)K(ξ, x, t)dξ, 0

satisface l´ım (x,t)→(x0 ,0)

u(x, t) = f (x0 ),

con esto tenemos otra forma de justificar los comentarios de la nota anterior aunque g no tuviera derivadas laterales finitas en 0 y L. Se puede demostrar (ver Tijonov, A.N. and Samarski, A.A., p.236) que si f es continua salvo en un conjunto finito de puntos xi , tal soluci´on es la u ´nica acotada y continua en los puntos (x, 0), con x 6= xi . Ejercicio 13.1.1 Encontrar las soluciones de la ecuaci´ on Kuxx = ut ,

u(0, t) = u(L, t) = 0,

correspondientes a las condiciones iniciales: (1) (2) (3)

πx , u(x, 0) = sen3 L ( x, si x ∈ [0, L/2]; u(x, 0) = L − x, si x ∈ [L/2, L] u(x, 0) = x(L − x).

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

963

Caso 2.- Condiciones en la frontera no homog´ eneas. Hemos dado por tanto contestaci´ on a la existencia de soluci´on del problema homog´eneo en las condiciones frontera, entendiendo por esto que h(t) = g(t) = 0. En cuanto al problema general Kuxx (x, t) = ut (x, t), (13.4)

u(x, 0) = f (x), u(0, t) = h(t),

u(L, t) = g(t),

podemos reducirlo al homog´eneo, siempre que podamos encontrar al menos una soluci´ on u1 del problema actual sin la condici´on inicial, es decir de Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(0, t) = h(t),

u(L, t) = g(t),

pues en tal caso basta encontrar la soluci´ on u2 , del problema homog´eneo Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(x, 0) = f (x) − u1 (x, 0), u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,

para obtener la soluci´ on de 13.4, que es u = u1 + u2 . Por ejemplo este proceso puede seguirse en el problema Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = a,

u(L, t) = b,

donde a, b ∈ R, pues en tal caso una soluci´ on u1 es u1 (x, t) = a + x

b−a . L

964

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Ejercicio 13.1.2 Encontrar las soluciones de la ecuaci´ on Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = a + ct,

u(L, t) = b + ct,

donde a, b, c ∈ R. (Sol.)

Por otra parte para encontrar una soluci´ on de Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(0, t) = h(t),

u(L, t) = g(t),

basta encontrar por separado una soluci´ on de Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(0, t) = h(t),

u(L, t) = 0,

y sum´ arsela a una de Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(0, t) = 0,

u(L, t) = g(t),

y para encontrar una soluci´ on de la primera consideramos primero el caso m´ as simple Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(0, t) = A cos ωt,

u(L, t) = 0,

el cual podemos resolver en variables separadas considerando la parte real de una soluci´ on compleja z(x, t) = y(x) e−iωt , a la que le pedimos que verifique y 00 +

iω y = 0, K

y(0) = A,

y(L) = 0,

lo cual implica que y(x) = (A − λ) e−αx +λ eαx = y1 (x) + iy2 (x),

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

965

para r

r −iω ω = (−1 + i), K 2K y donde la constante λ es tal que y(L) = 0. La soluci´on por tanto es α=

y1 (x) cos ωt + y2 (x) sen ωt. Si ahora la funci´ on h(t) es combinaci´ on de arm´onicos de distintas frecuencias, la soluci´ on se obtiene como superposici´on de las soluciones correspondientes a cada arm´ onico por separado. Por u ´ltimo remitimos al lector a la p´ ag.134 del Weinberger donde se estudia la soluci´ on del problema de la ecuaci´ on del calor no homog´enea Kuxx (x, t) = ut (x, t) + F (x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,

Caso 3.- Extremos de la varilla aislados. En este caso consideramos que la varilla mantiene sus extremos aislados, de modo que no hay flujo de calor que entre ni salga por ellos y que en el instante inicial t = 0 la temperatura de toda la varilla est´ a dada por una funci´on f (x). Es decir estudiamos las soluciones de la ecuaci´ on del calor que satisfacen las condiciones ux (0, t) = ux (L, t) = 0 ,

para t ≥ 0,

para x ∈ [0, L].

u(x, 0) = f (x) ,

Teorema 13.9 Si u es una funci´ on continua en la franja rectangular [0, L] × [0, T ), con 0 < T ≤ ∞, que en su interior es de clase 2, tiene derivadas ux y ut acotadas, satisface la ecuaci´ on del calor y en cada lado vertical de la franja satisface una de las dos condiciones frontera u(0, t) = 0

´ o

ux (0, t) = 0,

t ∈ [0, T ],

u(L, t) = 0

´ o

ux (L, t) = 0,

t ∈ [0, T ],

entonces la funci´ on en t ∈ [0, T ) Z E(t) = 0

es decreciente.

L

u2 (x, t)dx,

966

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

R = [0, L] × [t1 , t2 ], que en los lados de rect´ angulo verticales (derecho e izquierdo) y horizontales (de arriba y abajo), vale respectivamente ∂ , ∂x

−

∂ , ∂x

∂ , ∂t

−

∂ , ∂t

as´ı mismo consideremos el campo D = 2Kuux

∂ ∂ − u2 , ∂x ∂t

y la desigualdad 0 = 2u(Kuxx − ut ) = K(2uux )x − 2K(ux )2 − (u2 )t ≤ div D, en tales t´erminos se sigue aplicando el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 que Z 0≤ div D dx ∧ dt ZR = < D, N > iN (dx ∧ dt) ∂R T

Z

T

Z

(2Kuux )|x=L dt −

= 0

L

Z

u2 (x, t2 )dx +

− 0

Z

(2Kuux )|x=0 dt− 0

L

u2 (x, t1 )dx −

= 0

Z

L

u2 (x, t1 )dx

0

Z

L

u2 (x, t2 )dx.

0

Teorema de Unicidad 13.10 Si existe una funci´ on en las condiciones del resultado anterior, que satisfaga la ecuaci´ on del calor, la condici´ on inicial u(x, 0) = f (x), para x ∈ [0, L], y una de las cuatro condiciones frontera para t ∈ [0, T ] u(0, t) = g(t),

u(L, t) = h(t),

´ o

ux (0, t) = g(t),

ux (L, t) = h(t)

´ o

ux (0, t) = g(t),

u(L, t) = h(t)

u(0, t) = g(t),

ux (L, t) = h(t)

´ o entonces es u ´nica.

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

967

Demostraci´ on. La diferencia de dos posibles soluciones satisface las mismas condiciones pero para f = g = h = 0, entonces se sigue del resultado anterior que E(t) ≤ E(0) = 0 y por tanto tal funci´on debe anularse en todo punto de la franja. Consideremos ahora la soluci´ on general de la ecuaci´on del calor 2

u(x, t) = e−Kα t [A cos(αx) + B sen(αx)], e impongamos las condiciones frontera. De ux (0, t) = 0 se sigue que B = 0 y de ux (L, t) = 0 que nπ α = αn = , L y por tanto nuestra funci´ on es un m´ ultiplo de 2

un (x, t) = e−Kαn t cos(αn x), ahora bien aun no hemos impuesto la condici´ on inicial y es de esperar que las combinaciones infinitas de estas funciones ∞

u(x, t) =

2 a0 X + an e−Kαn t cos(αn x), 2 n=1

tambi´en sean soluci´ on y que eligiendo adecuadamente las an se tenga la condici´ on inicial ∞ a0 X u(x, 0) = + an cos(αn x) = f (x). 2 n=1 Como nuestra f est´ a definida en [0, L], podemos extenderla a [−L, L] de forma par, por f (−x) = f (x). Por tanto consideramos sus coeficientes de Fourier Z nπx 2 L f (x) cos dx, an = L 0 L y con ellos definimos, al menos formalmente, la “presumible soluci´on” ∞

u(x, t) =

2 a0 X + an e−Kαn t cos(αn x), 2 n=1

de un modo similar al del caso analizado anteriormente se demuestra que la serie realmente converge a una soluci´ on, si f es continua y derivable salvo en un n´ umero finito de puntos en los que tenga l´ımites y derivadas laterales finitos.

968

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Ejercicio 13.1.3 Encontrar la soluci´ on de la ecuaci´ on Kuxx (x, t) = ut (x, t), ux (0, t) = ux (L, t) = 0,  L−a  0, para x ∈ [0, 2 ), u(x, 0) = 1, para x ∈ [ L−a , L+a ], 2 2   L+a 0, para x ∈ ( 2 , L].(Sol.)

13.1.4.

El problema de valor inicial.

Consideremos ahora el problema de la ecuaci´on del calor en una varilla infinita, que seguiremos suponiendo aislada. Es decir consideremos el problema de valor inicial (13.5)

Kuxx (x, t) = ut (x, t),

para x ∈ R, t > 0, para x ∈ R,

u(x, 0) = f (x),

donde supondremos que f es continua. Este problema puede tener mas de una soluci´ on2 u, pero tiene s´ olo una que sea acotada. El siguiente resultado se basa en el principio del m´aximo para rect´ angulos finitos. Teorema del valor extremo 13.11 Si u es una soluci´ on de la ecuaci´ on del calor continua y acotada en R × [0, ∞), entonces M1 ≤ u(x, 0) ≤ M2 ,

para x ∈ R

M1 ≤ u(x, t) ≤ M2 ,

para (x, t) ∈ R × [0, ∞).

⇒

Demostraci´ on. Como en el caso acotado basta hacer la demostraci´ on para M2 , y basta hacerla —rest´ andole M2 a u— para M2 = 0. Veamos pues que si u(x, 0) ≤ 0 para x ∈ R, entonces u(x, t) ≤ 0,

para (x, t) ∈ R × [0, ∞),

2 En la p´ ag. 246 del Copson se da un ejemplo de Tikhonov en el que demuestra que la ecuaci´ on no tiene soluci´ on u ´nica a menos que est´ e acotada por 2

|u(x, t)| < M eax . En la p´ ag. 344 del Zachmanoglou and Thoe se da tambi´ en referencia de no unicidad para f = 0.

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

969

para ello consideremos |u(x, t)| ≤ M < ∞, para (x, t) ∈ R × [0, ∞) y consideremos la tambi´en soluci´ on de la ecuaci´ on del calor   2M x2 + Kt , v(x, t) = 2 L 2 para L > 0 arbitrario pero fijo. Entonces se tiene que u(x, 0) ≤ 0 ≤ v(x, 0),

para x ∈ R,

u(±L, t) ≤ M ≤ v(±L, t),

para t ≥ 0,

y se sigue del principio del m´ aximo en [−L, L] que 2M u(x, t) ≤ v(x, t) = 2 L



 x2 + Kt , 2

para (x, t) ∈ [−L, L] × [0, ∞),

y fijado el punto (x, t) y haciendo L → ∞ se sigue el resultado. Como consecuencia trivial de este resultado se tienen los Teoremas de Unicidad y de Dependencia continua del dato inicial. Nota 13.12 A continuaci´ on vamos a dar la soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´ on del calor satisfaciendo la condici´ on inicial 13.5, pero antes vamos a justificar la construcci´ on de esta soluci´ on. Nosotros sabemos que las soluciones (reales), en variables separadas, de la ecuaci´ on del calor, son las combinaciones de la parte real y la parte imaginaria de las soluciones complejas que son 2

e−α

Kt iαx

e

,

para α ∈ R. Ahora bien es de esperar que una superposici´on infinita de estas soluciones Z ∞ 2 λ(α) e−α Kt eiαx dα, −∞

tambi´en sea soluci´ on y si queremos que en t = 0 coincida con nuestra funci´ on f (x), la funci´ on λ(α) debe verificar Z

∞

f (x) = −∞

λ(α) eiαx dα,

970

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

pero en tal caso f es la transformada de Fourier3 de λ y se sigue del Teorema de inversi´ on que Z ∞ 1 λ(α) = f (z) e−iαz dz, 2π −∞ en tal caso la presumible soluci´ on ser´ a Z ∞Z ∞ 2 1 f (z) e−iαz e−α Kt eiαx dα dz, u(x, t) = 2π −∞ −∞  Z ∞ Z ∞ 1 iα(x−z)−α2 Kt = e dα f (z)dz, 2π −∞ −∞  Z ∞ r π − (x−z)2 1 e 4Kt f (z)dz, = 2π −∞ Kt Z ∞ (x−z)2 1 1 √ e− 4Kt f (z)dz, = √ 2 π −∞ Kt pues se tiene que Z ∞ Z ∞ 2 2 eiα(x−z)−α Kt dα = e−α Kt [cos α(x − z) + i sen α(x − z)] dα −∞ −∞ Z ∞ 2 = e−α Kt cos α(x − z) dα, −∞

y esto se sigue por ser exp{−α2 Kt} sen α(x−z) impar e integrable. Ahora si consideramos Z ∞ 2

e−β cos βr dβ,

I(r) = −∞ 0

tendremos que I (r) = −(r/2)I(r), para lo cual basta integrar en β 2

2

2

(e−β sen βr)0 = −2β e−β sen βr + r e−β cos βr, de donde se sigue que I(r) = I(0) e−

r2 4

=

√

π e−

r2 4

,

y ahora basta considerar la nueva variable √ β = α Kt, 3 Ver

Rudin, p´ ag. 192.

y

x−z r= √ , Kt

13.1. La Ecuaci´ on del calor unidimensional

971

pues en tal caso tendremos que Z ∞ Z ∞ 2 1 −α2 Kt e−β cos βr dβ e cos α(x − z) dα = √ Kt −∞ −∞ 1 √ − r2 =√ πe 4 Kt r π − (x−z)2 = e 4Kt . Kt Teorema de existencia. Integral de Poisson 13.13 Sea f acotada en R, entonces la funci´ on ( R ∞ 1 − (x−z)2 1 √ √ e 4Kt f (z) dz, para t > 0 −∞ Kt 2 π u(x, t) = f (x), para t = 0. es soluci´ on de la ecuaci´ on del calor, acotada en R × [0, ∞), de clase infinito en R × (0, ∞) y continua en (x, 0) si f es continua en x. Demostraci´ on. Por ser f acotada se sigue que para cada (x, t), con t > 0, la funci´ on (x−z)2 1 √ e− 4Kt f (z), Kt

(13.6)

y sus derivadas respecto de t y x son integrables en z, de hecho uniformemente integrables en un entorno acotado de (x, t), con t > 0. Esto se sigue de que P (z) exp{−z 2 } es integrable4 para cualquier polinomio P . Por lo tanto u(x, t) define una funci´ on de clase infinito en t > 0. Del mismo modo se tiene que u es acotada, pues si |f | ≤ M , tendremos que para t = 0, |u|√≤ M y para t > 0 y considerando el cambio de variable ξ = (z − x)/2 Kt Z ∞ Z ∞ (x−z)2 2 M 1 M − 4Kt √ |u(x, t)| ≤ √ e−ξ dξ = M. e dz = √ 2 π −∞ Kt π −∞ 4 Recordemos

que, ∞

Z Γ(p) = 0

xp−1 e−x dx = 2

∞

Z

2

ξ 2p−1 e−ξ dξ,

0

para ξ 2 = x y que por tanto ( Z ∞ 0, k −ξ2
ξ e dξ = Γ n + 12 , −∞

si k = 2n + 1, si k = 2n.

972

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Por otra parte se tiene que 13.6 satisface la ecuaci´on del calor y por tanto tambi´en u en t > 0. Tan s´ olo falta ver que u es continua en (x0 , 0), si f lo es en x0 . Para ello consideremos un  > 0 y un δ > 0 tal que |f (x) − f (x0 )| < , para |x−x0 | < δ, entonces haciendo el cambio de variable ξ = z−x, tendremos que |u(x, t) − u(x0 , 0)| = |u(x, t) − f (x0 )| ≤ |u(x, t) − f (x)| + |f (x) − f (x0 )| Z ∞ (x−z)2 1 e− 4Kt [f (z) − f (x)]dz = 0 y por tanto no importa lo lejos que est´e un punto del lugar de la varilla en el que la temperatura es positiva en el instante 0, para que esto le influya instant´ aneamente y su temperatura se eleve, por tanto el calor se transmite con velocidad infinita, al contrario de lo que ocurre para las ondas. Por otra parte si f es continua hemos visto que la soluci´on acotada es u ´nica, por tanto esta es la soluci´ on. Sin embargo si f es continua salvo en un conjunto finito de puntos xi , esta es una soluci´on y se puede demostrar siguiendo el caso de la barra finita (ver Tijonov, A.N. and Samarski, A.A., p.236) que es la u ´nica acotada y continua en los puntos (x, 0) con x 6= xi . Ejercicio 13.1.4 Sean a, b ∈ R. Encontrar la soluci´ on de Kuxx (x, t) = ut (x, t), (x, t) ∈ R × (0, ∞), ( a, si x < 0; u(x, 0) = b, si x > 0. (Sol.)

974

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

13.2.

La Ecuaci´ on del calor n–dimensional.

13.2.1.

Caso bidimensional. Planteamiento.

Consideremos una placa caliente, de material homog´eneo —por ejemplo hecha de hierro—, de densidad de masa ρ. Consideremos que la placa es plana, que ocupa una regi´on U del plano xy, limitada por una curva diferenciable a trozos ∂U = C. As´ı mismo consideremos que las dos caras de la placa equidistan, que est´an aisladas y que su espesor a es tan peque˜ no que los puntos de la placa de cada direcci´ on perpendicular al plano de la placa, est´an a la misma temperatura. Por lo tanto la temperatura de la placa ser´a una funci´on u(x, y, t), que depende del punto (x, y) ∈ U y del tiempo t. Consideremos un punto de la placa (x, y) ∈ U y un  > 0. Por una parte tenemos que durante el intervalo de tiempo [t, t + ∆t] la temperatura de la placa cambi´ o de u(x, y, t) a u(x, y, t + ∆t) y por tanto se sigue del segundo principio que la cantidad de calor necesario para cambiar la temperatura, en el trozo de placa Figura 13.5. Difusi´on del calor en una placa [x, x + ] × [y, y + ], es Z

x+

Z

y+

caρ[u(x, y, t + ∆t) − u(x, y, t)]dxdy, x

y

ahora bien este calor s´ olo ha podido entrar en el trozo de placa por el lado [x, x+]×{y} —hacia arriba (ver dibujo)—, por el lado [x, x+]×{y +} —hacia abajo—, por el lado {x} × [y, y + ] —hacia la derecha— y por el lado {x + } × [y, y + ] —hacia la izquierda— y estas cantidades son por el primer principio, φ1 = −k∆taux (x, y, t) + o(∆t), φ2 = k∆taux (x + , y, t) + o(∆t), φ3 = −k∆tauy (x, y, t) + o(∆t), φ4 = k∆tauy (x, y + , t) + o(∆t).

13.2. La Ecuaci´ on del calor n–dimensional.

975

Por tanto tenemos que ambas cantidades deben ser iguales y dividiendo por cρa2 ∆t y haciendo  → 0 y ∆t → 0, tenemos la ecuaci´on (13.7)

K(uxx + uyy ) = ut ,

(Ecuaci´ on del calor)

donde K = k/cρ es la difusibidad del material. De un modo similar se plantea la ecuaci´ on del calor tridimensional y en general la n–dimensional que es para x ∈ U y t > 0,

K∆u = ut ,

donde ∆ es el operador de LaPlace n–dimensional.

13.2.2.

El m´ etodo de separaci´ on de variables.

Consideremos un abierto acotado U ⊂ Rn , en el que el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 sea v´ alido, y consideremos las soluciones en variables separadas, u(x, t) = ϕ(x)h(t), de la ecuaci´on del calor n– dimensional K∆u = ut , para x ∈ U y t > 0, satisfaciendo la condici´ on frontera u(x, t) = 0,

para x ∈ ∂U y t ≥ 0.

En tal caso las funciones ϕ y h deben satisfacer ∆ϕ + λϕ = 0,

para x ∈ U ,

h0 + λKh = 0,

para t > 0,

y ϕ = 0,

para x ∈ ∂U ,

ahora bien hemos dicho en el tema de la ecuaci´on de ondas que este problema tiene soluci´ on ϕ ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ), s´olo para cierta cantidad numerable de valores de λ = λn , que son positivos y que llamamos autovalores del problema y a las correspondientes soluciones ϕn autofunciones. En tal caso u(x, t) =

∞ X

An ϕn (x) e−λn Kt ,

n=1

es la soluci´ on al problema satisfaciendo la condici´on inicial u(x, 0) = φ(x),

x ∈ U,

976

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

donde se est´ an considerando los coeficientes R φ(x)ϕn (x)dx An = UR 2 . ϕ (x)dx U n

13.2.3.

Caso bidimensional. Algunas soluciones.

Caso primero: Placa rectangular. Dadas las caracter´ısticas de la placa parece natural considerar coordenadas rectangulares. Veamos cuales son las soluciones de 13.7 de la forma u(x, y, t) = f (x)g(y)h(t), en cuyo caso debe ser para cualquier (x, y, t)   00 h0 (t) f (x) g 00 (y) + = , K f (x) g(y) h(t) y esto ocurre si existe una constante λ tal que f 00 (x) g 00 (y) + = −λ, f (x) g(y) h0 (t) + λKh(t) = 0, ahora bien la segunda ecuaci´ on tiene soluci´ on los m´ ultiplos de h(t) = e−λKt , y la primera ecuaci´ on se transforma para una constante µ en el par de ecuaciones f 00 (x) − µf (x) = 0, 00

g (y) + (µ + λ)g(y) = 0. Ahora consideremos que los v´ertices de la placa U son (0, 0),

(0, R),

(L, 0),

(L, R),

y que en todo instante, la temperatura de la placa es nula en el borde ∂U , por tanto satisface las siguientes condiciones frontera u(x, 0, t) = u(x, R, t) = u(0, y, t) = u(L, y, t) = 0,

977

13.2. La Ecuaci´ on del calor n–dimensional.

y se sigue de ellas que −µ = α2 , µ + λ = β2,

nπ   L mπ  β= R α=

⇒

λ=

 nπ 2 L

+

 mπ 2 R

,

en cuyo caso las funciones de la forma e

−

h

2

( nπ L )

+( mπ R )

2

i Kt

2 2 nπx mπy − nπ + mπ sen =e (L) ( R ) L R

h

sen

i

Kt

unm ,

y sus combinaciones lineales finitas, son soluciones del problema con esas condiciones frontera. Si ahora consideramos la condici´on inicial (x, y) ∈ [0, L] × [0, R],

u(x, y, 0) = φ(x, y),

tendremos que en general la soluci´ on es u(x, t) =

∞ X

Am,n e

−

h

( nπ L )

2

+( mπ R )

2

i Kt

m,n=1

sen

nπx mπy sen , L R

para Am,n

R φum,n dxdy = RU 2 u dxdy U m,n Z RZ L 1 mπy nπx = φ(x, y) sen sen dxdy. 4LR 0 0 L R

Caso segundo: La placa es un disco. Dadas las caracter´ısticas de la placa parece natural considerar coordenadas polares, en las que la ecuaci´ on es  2  ∂ u 1 ∂u 1 ∂2u K + + = ut . ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂θ2 Dejamos al lector la b´ usqueda de soluciones de la forma u = f (ρ)g(θ)h(t), y el an´ alisis del problema (ver el problema de la membrana circular, en la lecci´ on de la ecuaci´ on de ondas bidimensional).

978

13.2.4.

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Caso n-dimensional

Condici´ on en la frontera no homog´ enea e independiente del tiempo. Consideremos ahora el siguiente problema de la ecuaci´on del calor n–dimensional en el abierto acotado U ⊂ Rn , ∆u = ut ,

para x ∈ U y t > 0,

satisfaciendo la condici´ on frontera no homog´ enea (e independiente del tiempo) u(x, t) = ψ(x), para x ∈ ∂U y t ≥ 0, y la condici´ on inicial x ∈ U.

u(x, 0) = φ(x),

Podemos resolver este problema si somos capaces de encontrar la soluci´ on u1 del Problema de Dirichlet (ver lecci´on 10.5, p´ag.797 y siguientes) para x ∈ U ,

∆u = 0, u(x) = ψ(x),

para x ∈ ∂U ,

y la soluci´ on u2 del problema homog´eneo ∆u = ut , u(x, t) = 0,

para x ∈ U y t > 0, para x ∈ ∂U y t ≥ 0,

u(x, 0) = φ(x) − u1 (x),

x ∈ U,

pues en tal caso la soluci´ on de nuestro problema es u(x, t) = u1 (x) + u2 (x, t).

979

13.3. Ejercicios resueltos

13.3.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 13.1.1.- Encontrar las soluciones de la ecuaci´ on Kuxx = ut ,

u(0, t) = u(L, t) = 0,

correspondientes a las condiciones iniciales: πx u(x, 0) = sen3 , L ( x, si x ∈ [0, L/2]; u(x, 0) = , L − x, si x ∈ [L/2, L].

(1) (2)

u(x, 0) = x(L − x).

(3)

Indicaci´ on.- (1) Demostrar que sen3 x =

3 1 sen x − sen 3x. 4 4

(2) Demostrar que  x sen kx = (3) Demostrar que " x2 sen kx =

2x sen kx k2

sen kx k2

0

 +

0

 −

2 cos kx k3

x cos kx k

0

 −

0 .

x2 cos kx k

Ejercicio 13.1.2.- Encontrar las soluciones de la ecuaci´ on Kuxx (x, t) = ut (x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = a + ct,

u(L, t) = b + ct,

donde a, b, c ∈ R. Soluci´ on.- Basta considerar u1 (x, t) = a + ct + x

b−a c + x(x − L) . L 2K

Ejercicio 13.1.3.- Encontrar la soluci´ on de la ecuaci´ on Kuxx (x, t) = ut (x, t), ux (0, t) = ux (L, t) = 0,  L−a  0, para x ∈ [0, 2 ), L−a L+a u(x, 0) = 1, para x ∈ [ 2 , 2 ],   0, para x ∈ ( L+a , L]. 2

0 # .

980

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Soluci´ on.u(x, t) =

∞ X anπ 2nπx − 4n22π2 Kt a 2 L + (−1)n sen cos e . L n=1 nπ L L

Ejercicio 13.1.4.- Sean a, b ∈ R. Encontrar la soluci´ on de Kuxx (x, t) = ut (x, t), (x, t) ∈ R × (0, ∞), ( a, si x < 0; u(x, 0) = b, si x > 0. Soluci´ on.- Observemos que si A + B = 1 entonces aA + bB =

B−A a+b + (b − a) , 2 2

de esto y la f´ ormula general se sigue que la soluci´ on es Z 0 Z ∞ 2 (x−z) (x−z)2 a b u(x, t) = √ e− 4Kt dz + √ e− 4Kt dz 2 Kπt −∞ 2 Kπt 0 Z √x b−a a+b 2 Kt −ξ 2 + √ e dξ. = 2 π 0

13.4. Bibliograf´ıa y comentarios

13.4.

981

Bibliograf´ıa y comentarios

Boyce, W. E. and DiPrima, R.C.: “Elementary Differential Equations and Boundary value Problems”. J.Wiley, 1977. Copson, E.T.: “Partial Differential Equations”. Ed. Cambridge Univ. Press, 1975. Courant,R. and Hilbert, D.: “Methods of Mathematical Physics. Vol.II, Partial Differential Equations”. J.Wiley, 1962. Derrick, W.R. and Grossman, S.J.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Fondo Educativo Interamericano, 1984. Edwards, C.H.Jr. and Penney,D.E.: “Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones”. Prentice–Hall Hispanoamericana, 1986. Simmons, F.: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´ oricas”. Ed. McGraw-Hill. 1977. Spiegel, M.R.: “Ecuaciones diferenciales aplicadas”. Ed. Prentice Hall internacional, 1983. Tijonov, A.N. and Samarski, A.A.: “Ecuaciones de la F´ısica matem´ atica”, Pueblo y Ciencia, 1978. Weinberger, H.F.: “Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales”. Ed. Revert´ e, 1970. Zachmanoglou, E.C. and Thoe, D.W.: “Introduction to Partial Differential Equations with Applications”. Dover, 1986.

En 1822, el Franc´es Joseph Fourier (1768–1830) public´o el c´elebre libro, “Th´eorie analytique de la chaleur”, que mas tarde describir´ıa Lord Kelvin como un “gran poema matem´ atico” y en el que desarrollaba las ideas que 10 a˜ nos antes le hab´ıan valido un premio de la Acad´emie des Sciences francesa por un trabajo sobre la teor´ıa matem´ atica del calor. Su contribuci´ on matem´atica principal fue (ver los comentarios del tema anterior), la de que “cualquier ” funci´on puede representarse por una serie trigonom´etrica con unos coeficientes determinados por la funci´ on. Por u ´ltimo remitimos al lector a la p´ agina 251 del Tijonov and Samarski para ver el estudio del problema del calor, en una barra semiinfinita, sin condiciones iniciales y con una condici´on frontera dada. Este problema fue analizado por Fourier y aplicado por ´el en el estudio de las oscilaciones t´ermicas del terreno. De la soluci´on (ver la p´ag. 257 del libro) se siguen las cl´ asicas tres leyes de Fourier.

982

Tema 13. La Ecuaci´ on del calor

Fin del Tema 13

Tema 14

Integraci´ on en variedades

14.1.

Orientaci´ on sobre una variedad

En (3.17), p´ ag.157, vimos que si (U ; ui ) era un abierto coordenado de una variedad V de dimensi´ on n, entonces Λn (U ) = {f ωn : f ∈ C ∞ (U )} siendo ωn = du1 ∧ · · · ∧ dun . De aqu´ı se sigue que si ω, ω 0 ∈ Λn = Λn (V), son no nulas, entonces existe f ∈ C ∞ (V), tal que ω = f ω 0 . Tambi´en se sigue que las posibles bases de Λn (U ) son de dos tipos: las que tienen la misma orientaci´ on que ωn , es decir las de la forma f ωn con f > 0, y las que tienen orientaci´on contraria, a las cuales corresponde f < 0. Definici´ on. Diremos que una variedad (V, C ∞ ) es orientable si existe ωn ∈ Λn , tal que no se anula en ning´ un punto de V. Nota 14.1 Supongamos ahora que V es orientable (y como siempre conexa), entonces el conjunto Λ0 = {ω ∈ Λn : ωx 6= 0 ∀x ∈ V}

983

984

Tema 14. Integraci´ on en variedades

es no vac´ıo y por la observaci´ on hecha anteriormente podemos establecer la siguiente relaci´ on de equivalencia en Λ0 . Para cada ω, ω 0 ∈ Λ0 ωRω 0

⇔

∃f ∈ C ∞ (V),

f > 0 : ω = f ω0

Por ser V conexa tendremos que el conjunto cociente Λ0 /R tiene exclusivamente dos clases que denotaremos con Λ+ y Λ− , y que quedan caracterizadas, tomando un ωn ∈ Λ+ arbitrario, como Λ+ = {ω ∈ Λ0 : ω = f ωn , f > 0},

Λ− = {ω ∈ Λ0 : ω = f ωn , f < 0}.

Definici´ on. Diremos que dos n–formas ω, ω 0 ∈ Λ, inducen la misma orientaci´ on en V si est´ an en la misma clase y orientaci´ on contraria si est´ an en distinta. Una orientaci´ on en V consiste en elegir una de las dos clases Λ+ ´ o Λ− , ´ o equivalentemente elegir un representante ωn de la misma. Por una variedad orientada entenderemos una variedad en la que hemos fijado una orientaci´ on, que en general denotaremos con Λ+ . Veamos que una orientaci´ on en una variedad tiene estructura de haz: Si (V, Λ+ ) es una variedad orientada y ω ∈ Λ+ , entonces podemos definir en cada abierto conexo U de V una orientaci´ on Λ+ (U ) = {f ωU ∈ Λn (U ) : f ∈ C ∞ (U ), f > 0}, la cual es independiente de la ω elegida, como se demuestra f´acilmente. Rec´ıprocamente se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 14.2 Sea {Ui : i ∈ I} un recubrimiento por abiertos conexos de V. Si cada Ui est´ a orientado por Λ+ i , de tal forma que para i, j ∈ I y cada componente conexa C de Ui ∩ Uj es + Λ+ i (C) = Λj (C),

entonces existe una u ´nica orientaci´ on Λ+ en V tal que Λ+ (Ui ) = Λ+ i . Demostraci´ on. Sea {ϕj : j ∈ J} una partici´on de la unidad subordinada a Ui y elijamos para cada ϕj un Uj tal que sop(ϕj ) ⊂ Uj . Entonces {Uj } es un nuevo recubrimiento de V y ϕj una partici´on de la unidad subordinada a ´el. Fijemos ahora para cada Uj , ωj ∈ Λ+ j , y definamos la n–forma ω=

X

ϕj ωj ∈ Λn (V).

14.1. Orientaci´ on sobre una variedad

985

Veamos que ωx 6= 0 para cada x ∈ V. Sea k tal que x ∈ Uk . Como P ϕj (x) = 1, tendremos que para alg´ un j, ϕj (x) 6= 0 y por otra parte todos los ϕj , salvo un n´ umero finito ϕ1 , . . . , ϕr , se anulan en x. Por tanto ωx = ϕ1 (x)ω1x + · · · + ϕr (x)ωrx , con ϕi (x) > 0. Ahora bien por hip´ otesis tenemos que en la componente conexa U de x del abierto U1 ∩ · · · ∩ Ur ∩ Uk , + + Λ+ 1 (U ) = · · · = Λr (U ) = Λk (U ),

y por tanto en U , para i = 1, . . . , r, ωi = fi ωk , con fi > 0, de donde se sigue que X ωx = [ ϕi fi ](x)ωkx , y en particular ωx 6= 0. Esto prueba adem´ as que en Uk , ω = f ωk para f > 0. Por tanto si Λ+ = {f ω : f > 0, f ∈ C ∞ (V)} entonces Λ+ (Uj ) = Λ+ j . Ejemplo 14.1.1 Ejemplos de variedades orientables son: a) Rn con ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn . b) Una hipersuperficie cerrada de Rn , S = {f = 0}, con dx f 6= 0 para cada x ∈ S. Basta tomar ω = iN (dx1 ∧ · · · ∧ dxn ), donde N = grad(f ) ∈ D(S)⊥ es no nulo. c) Los espacios proyectivos reales de dimensi´on impar. Ejemplo 14.1.2 Ejemplos de variedades no orientables son: a) La banda de M¨ oebius. b) Los espacios proyectivos reales de dimensi´on par. Proposici´ on 14.3 Los espacios proyectivos reales de dimensi´ on par no son orientables. Demostraci´ on. Sea m ∈ N y consideremos la aplicaci´on (proyecci´on regular) π : Sm ⊂ Rm+1 → Pm , π(x) =< x >,

986

Tema 14. Integraci´ on en variedades

entonces si existiese ω ∈ Λm (Pm ) con ωp 6= 0 en todo p ∈ Pm , entonces como γ = π ∗ ω ser´ıa no nula en todo punto y tal que σ ∗ γ = γ, para σ(x) = −x, pues πσ = π, ahora esto no puede ser a menos que m = 2n + 1, pues si γ = f ωm , para ωm = iN (dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1 ), con f (x) 6= 0, ser´ıa f ωm = γ = σ ∗ γ = (σ ∗ f )σ ∗ (ωm ) = (−1)m+1 (σ ∗ f )ωm , pues σ ∗ (ωm ) = (−1)m+1 ωm , ya que para σ(x) = −x en Rm+1 , tenemos σ∗ N = N y por tanto σ ∗ (ωm )(D1 , . . . , Dm ) = iN (dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1 )(σ∗ D1 , . . . , σ∗ Dm ) = dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1 (N, σ∗ D1 , . . . , σ∗ Dm ) = dx1 ∧ · · · ∧ dxm+1 (σ∗ N, σ∗ D1 , . . . , σ∗ Dm ) = σ ∗ ωm+1 (N, D1 , . . . , Dm ) = (−1)m+1 ωm (D1 , . . . , Dm ), y por tanto para todo x ∈ Sm f (x) = (−1)m+1 f (−x).

Esto nos justifica la no existencia de orientaci´on en Pm para m par y nos sugiere la construcci´ on de una si m es impar.

14.2.

Integraci´ on en una variedad orientada

Definici´ on. Sea V una variedad y ω ∈ Λn . Llamaremos soporte de ω, al conjunto sop(ω) = {x ∈ V : ωx 6= 0}. Nota 14.4 Sea (V, Λ+ n ) una variedad orientada y sea U un abierto coordenado de V, con coordenadas (u1 , . . . , un ), para las que sin p´erdida de generalidad podemos suponer que du1 ∧ · · · ∧ dun = ωn ∈ Λ+ n (U ),

987

14.2. Integraci´ on en una variedad orientada

—obs´ervese que en caso contrario bastar´ıa intercambiar dos coordenadas entre s´ı—. Para cada ω ∈ Λn (U ), existe f ∈ C ∞ (U ) tal que ω = f ωn (observemos que sop(ω) = sop(f )). Adem´ as en otro sistema de coordenadas (vi ), existe una g ∈ C ∞ (U ), tal que ω = gdv1 ∧ · · · ∧ dvn y dv1 ∧ · · · ∧ dvn = det(∂vi /∂uj )ωn

⇒

f = g det(∂vi /∂uj ),

y (vi ) est´ a orientada como (ui ), es decir dv1 ∧ · · · ∧ dvn ∈ Λ+ n (U ) sii det(∂vi /∂uj ) = h > 0. De aqu´ı se sigue, aunque ya lo sab´ıamos, que sop(f ) = sop(g). A continuaci´ on y en una serie de pasos daremos la definici´on de integral de una n–forma con soporte compacto: Definici´ on. 1.- Sea U un abierto coordenado de V y sea ω ∈ Λn (U ) de soporte compacto contenido en U . Definimos la integral de ω = f (u1 , . . . , un )du1 ∧ · · · ∧ dun en U como Z Z (14.1) ω= f dx1 · · · dxn U

Un

donde Un = u(U ) y u = (u1 , . . . , un ). Veamos que est´ a bien definida, es decir que es independiente del sistema de coordenadas elegido. Tomemos entonces otro sistema de coordenadas v = (vi ) orientado como u = (ui ), entonces existe g ∈ C ∞ (U ) tal que ω = g(v)dv1 ∧ · · · ∧ dvn , y como antes tendremos que f (u1 , . . . , un ) = g(v1 , . . . , vn ) h, con h = det(∂vi /∂uj ), lo cual implica que si Vn = v(U ) y F = v ◦ u−1 : Un → Vn ,

Fi = yi ◦ F,

entonces f = (g ◦ F ) det(∂Fi /∂xj ), y por el teorema del cambio de variable se tiene Z Z Z gdy1 · · · dyn = (g ◦ F ) | det(Fixj )|dx1 · · · dxn = Vn

Un

Un

f dx1 · · · dxn ,

988

Tema 14. Integraci´ on en variedades

de donde R se sigue la independencia deR las coordenadas elegidas para definir U ω, que tambi´en escribiremos U f du1 ∧ · · · ∧ dun . De la definici´ on se sigueR que si RV es otro abierto coordenado tal que sop(ω) ⊂ V ⊂ U , entonces U ω = V ω. Nota 14.5 Recordemos que en un abierto de Rn la integral de una funci´ on no var´ıa si la cambiamos en un conjunto de medida nula1 y que son integrables las funciones acotadas de soporte compacto continuas salvo en un conjunto de medida nula. Adem´ as el concepto de conjunto de medida nula es invariante por difeomorfismos pues se sigue del teorema del cambio de variable que si F = (Fi ) : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn , es un difeomorfismo y F −1 (A) ⊂ U es de medida nula, entonces A es de medida nula, pues Z Z m(A) = IA dy1 · · · dyn = (IA ◦ F ) | det(Fixj )|dx1 · · · dxn U ZV = | det(Fixj )|dx1 · · · dxn = 0, F −1 (A)

y por lo tanto tambi´en podemos definir en una variedad los conjuntos de medida nula como los borelianos de ella que en cada entorno coordenado sean de medida nula. De aqu´ı se sigue que la definici´ on (14.1) es valida en mas casos en los que ω ∈ / Λn (U ), es decir no es diferenciable. Sea ω = f du1 ∧ · · · ∧ dun , con f : U → R acotada, tal que f|U1 ∈ C ∞ (U1 ) y f|U2 ∈ C ∞ (U2 ), para U1 y U2 = U − U1 abiertos de U tales que ∂U1 = S es uni´on finita o numerable de subvariedades de U , entonces en este caso tendremos ´ que f es diferenciable salvo en el conjunto de medida nula S, y por tanto integrable si ω es de soporte compacto en U . Para esta ω definimos su integral como en (14.1). Para ella se tiene trivialmente que Z Z Z ω1 + ω2 , ω= U

U1

U2

para ω1 = ωU1 ∈ Λn (U1 ) y ω2 = ωU2 ∈ Λn (U2 ). 1 Por ejemplo: un hiperplano {h = 0}, un subespacio de dimensi´ on < n, una subvariedad ´ o una uni´ on numerable de subvariedades.

989

14.2. Integraci´ on en una variedad orientada

2.- Supongamos ahora que ω ∈ Λn (V) = Λn y que sop(ω) es compacto y est´ a en un abierto coordenado U de V. En este caso definimos la integral de ω en V como Z Z ω= ω. U

Observemos que est´ a bien definida pues si existiese otro abierto coordenado V ⊂ V tal que sop(ω) ⊂ V , entonces sop(ω) ⊂ U ∩ V y por tanto Z Z Z ω= ω= ω. U

U ∩V

V

Como antes podemos definir la integral de una n–forma ω, con soporte compacto dentro de U , y tal que en U sea s´ olo diferenciable en dos abiertos disjuntos cuyo complementario sea uni´ on finita de subvariedades. Ejercicio 14.2.1 Demostrar que si ω1 , ω2 ∈ Λn y sop(ω1 ), sop(ω2 ) son compactos de un abierto coordenado de V, entonces para r, s ∈ R se tiene Z Z Z (rω1 + sω2 ) = r ω1 + s ω2 .

3.- Sea ahora ω ∈ Λn con sop(ω) compacto. Consideremos un recubrimiento {Ui } por abiertos coordenados dePV y una partici´on de la unidad {ϕj } subordinada a ´el entonces ω = ϕj ω. Ahora bien, para cada x ∈ sop(ω) existe un entorno abierto Ux de x en V que corta s´olo a un n´ umero finito de sop(ϕj ). Se sigue por tanto de la compacidad de sop(ω) que este conjunto corta s´ olo a un n´ umero finito de sop(ϕj ), es decir que existen ϕ1 , . . . , ϕk de la partici´ on tales que ω = ϕ1 ω + · · · + ϕk ω. Definimos entonces la integral de ω en V como Z Z Z ω = ϕ1 ω + · · · + ϕk ω. Veamos que no depende ni del recubrimiento ni de la partici´on elegidos. Sea {Vj } otro recubrimiento por abiertos coordenados de V y {φi } una partici´ on de la unidad subordinada a ´el. Por lo mismo de antes existir´an φ1 , . . . , φs , de la partici´ on, tales que ω = φ1 ω + · · · + φs ω. Del ejercicio (14.2.1) se sigue que k Z X i=1

ϕi ω =

k X s Z s X k Z s Z X X X [ φj ϕi ω] = [ φj ϕi ω] = φj ω, i=1 j=1

por tanto est´ a bien definida.

j=1 i=1

j=1

990

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Por u ´ltimo y como en las dos ocasiones anteriores tambi´en podemos definir la integral de una n–forma ω de soporte compacto que sea diferenciable en dos abiertos disjuntos cuyo complementario sea una subvariedad diferenciable. Ejercicio 14.2.2 Demostrar el ejercicio (14.2.1), para ω1 , ω2 n–formas acotadas, de soporte compacto en V diferenciables en dos abiertos disjuntos con complementario una uni´ on finita ´ o numerable de subvariedades de V. Ejercicio 14.2.3 Sea F : V1 → V2 un difeomorfismo entre dos variedades orien+2 tadas (V1 , Λ+1 on, es decir tal que para n ) y (V2 , Λn ), que conserve la orientaci´ +2 ∗ +1 cada ω ∈ Λn , F ω ∈ Λn . Demostrar que para cada ω ∈ Λ+ n (V2 ) con soporte compacto se tiene que Z Z F ∗ω =

V1

14.3.

ω. V2

Variedades con borde

Definici´ on. Recordemos que en un espacio topol´ogico X, el interior A0 , de un conjunto A, es el mayor abierto contenido en A y el cierre A, es el menor cerrado que contiene a A. Se tienen las igualdades (A0 )c = Ac ,

(B)c = (B c )0 ,

donde se sigue una de la otra tomando B = Ac , y la primera de A0 ⊂ A Ac ⊂ Ac

⇒ ⇒

(A0 )c ⊃ Ac

⇒

(A0 )c ⊃ Ac

A ⊃ (Ac )c

⇒

A0 ⊃ (Ac )c .

Definimos la frontera de un conjunto A, como ∂A = A − A0 = A ∩ (A0 )c = A ∩ Ac = ∂Ac . y se demuestra que es el conjunto de puntos cuyos entornos cortan tanto al conjunto A como a su complementario Ac .

14.3. Variedades con borde

991

Por u ´ltimo se tiene la uni´ on disjunta A = (A ∩ A0 ) ∪ (A ∩ (A0 )c ) = A0 ∪ ∂A, y por esto mismo, tomando como A su adherencia, tendremos otra uni´on disjunta (en general distinta) A = (A)0 ∪ ∂(A). Definici´ on. Sea V una variedad de dimensi´ on n y U un abierto suyo tal que: a) ∂U = ∂U y b) S = ∂U es una subvariedad cerrada de dimensi´on n − 1 (´o el ∅). A C = U la llamaremos variedad con borde y a S lo llamaremos el borde de la variedad . Nota 14.6 Observemos que de la definici´ on se sigue que S es el borde tanto de la variedad con borde C = U , pues S = ∂U , como de la tambi´en variedad con borde U c = V − U , pues S = ∂(U c ) = ∂U . En definitiva S separa a dos variedades con borde en cierto modo complementarias. Nota 14.7 Observemos que si tomamos U como Rn sin un hiperplano, el apartado (a) no se satisface. Y sin embargo para U igual a un semiespacio si se satisface. De hecho veremos a continuaci´ on que todas las variedades con borde son localmente semiespacios. Proposici´ on 14.8 Sea C una variedad con borde S de V y sea x ∈ S. Entonces existe un entorno abierto V de x en V y f ∈ C ∞ (V ), tales que S ∩ V = {p ∈ V : f (p) = 0},

C ∩ V = {p ∈ V : f (p) ≤ 0}.

Adem´ as si W es otro entorno de x y g ∈ C ∞ (W ) verificando las condiciones anteriores, entonces para cada Dx ∈ Tx (V) se tiene que Dx f > 0 sii Dx g > 0. Demostraci´ on. Por ser S subvariedad n − 1–dimensional, existe un abierto V , que podemos tomar coordenado por v = (vi ), tal que v(V ) = Rn , v(x) = 0 y S ∩ V = {p ∈ V : v1 (p) = 0}.

992

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Entonces si C = U , tendremos que U ∩ V = C ∩ [U1 ∪ U2 ], para U1 = {p ∈ V : v1 > 0},

U2 = {p ∈ V : v1 < 0}.

Es decir que tenemos un conjunto A = U ∩ V , que es abierto y cerrado en U1 ∪ U2 . Ahora bien los Ui son abiertos conexos, por tanto se tiene una de las tres posibilidades: A = U1 ,

A = U2

o ´

A = U1 ∪ U2 .

siendo v´ alidas s´ olo las dos primeras, pues en el tercer caso A = U1 ∪ U2 = V , por lo que V ⊂A=U ∩V ⊂U

⇒

0

V ⊂U ,

de donde que S ∩ V = (∂U ) ∩ V = (∂U ) ∩ V = ∅, lo cual es absurdo. Veamos la segunda parte. Si g ∈ C ∞ (W ) est´a en las condiciones del enunciado, tendremos (ver la soluci´ on del ejercicio (6.2.2) en la p´ag.436), que existe h ∈ Cx∞ tal que f = gh. Es decir que 0 < Dx f = h(x)Dx g + g(x)Dx h = h(x)Dx g, y basta demostrar que h(x) > 0: a) Si h(x) = 0, entonces Dx f = 0. Absurdo. b) Si h(x) < 0, entonces en un entorno Ux de x, h < 0. Ahora bien como todo entorno de x ∈ S = ∂U corta a U , tendremos que el entorno de x, Ux ∩ V ∩ W corta a U en puntos en los que, h < 0, f < 0 y g < 0, lo cual es absurdo. Definici´ on. En las condiciones anteriores diremos que un Dx ∈ Tx (V) apunta hacia fuera de C si Dx f > 0. El resultado anterior nos asegura que este concepto no depende de los representantes f y V elegidos. Observemos que si V es un abierto coordenado tal que V ∩ C = {v1 ≤ 0},

V ∩ S = {v1 = 0},

entonces en cualquier sistema de coordenadas vi el campo ∂v1 ∈ D(V ), apunta hacia fuera de C en todo S ∩ V . Veamos c´ omo una orientaci´ on en V induce una orientaci´on natural en el borde de cada variedad con borde C ⊂ V. Para ello veamos antes el siguiente resultado donde C es una variedad con borde de V y S su borde.

14.3. Variedades con borde

993

Lema 14.9 Sea (V, Λ+ ) una variedad orientada, x ∈ S y V un abierto entorno coordenado de x en V. Entonces si D, D0 ∈ D(V ) son no nulos y apuntan hacia fuera de C y ω, ω 0 ∈ Λ+ (V ), se tiene que las n − 1– formas de S ∩ V , i∗ (iD ω) e i∗ (iD0 ω 0 ) son no nulas y tienen la misma orientaci´ on. Demostraci´ on. Que son no nulas se sigue de que si V es un abierto como enP(14.8), con coordenadas (vi ) tales que ωn = dv1 ∧· · ·∧dvn ∈ Λ+ , yD= fi ∂i , entonces f1 > 0 y si ω = hωn i∗ (iD ω)(∂2 , . . . , ∂n ) = ω(D, ∂2 , . . . , ∂n ) = f1 h > 0. Tambi´en se tiene que i∗ (iD ω) = h[i∗ (iD ωn )], de donde se sigue que i∗ (iD ω) P e i∗ (iD ω 0 ) tienen la misma orientaci´ on que i∗ (iD ωn ). Ahora bien 0 0 si D = gi ∂i , entonces Dv1 = f1 , D v1 = g1 > 0. Y si dv1 ∧ · · · ∧ dvn = ωn ∈ Λ+ (V ), (en el caso contrario −ωn ∈ Λ+ (V ), la demostraci´on es id´entica), tendremos para ω 0 = gωn que i∗ (iD ω) = h[i∗ (iD ωn )] = h(i∗ [(Dv1 )dv2 ∧ · · · ∧ dvn + (−1)(Dv2 )dv1 ∧ dv3 ∧ · · · ∧ dvn + + · · · + (−1)n−1 (Dvn )dv1 ∧ · · · ∧ dvn−1 ]) = h[i∗ (f1 dv2 ∧ · · · ∧ dvn )] i∗ (iD0 ω 0 ) = g[i∗ (g1 dv2 ∧ · · · ∧ dvn )], pues i∗ (dv1 ) = 0. Por tanto i∗ (iD ω) e i∗ (iD0 ω 0 ) tienen la misma orientaci´ on que i∗ (dv2 ∧ · · · ∧ dvn ). Corolario 14.10 Sea V un abierto en las mismas condiciones del resultado anterior. Entonces la orientaci´ on Λ+ (V ) induce una orientaci´ on ∗ natural en S ∩V definida por i (dv2 ∧· · ·∧dvn ), si dv1 ∧· · ·∧dvn ∈ Λ+ (V ) (y por −i∗ (dv2 ∧ · · · ∧ dvn ) en caso contrario). Y que viene determinada por i∗ (iD ω), para cualquier D ∈ D(V ) no nulo apuntando hacia fuera de C, y cualquier ω ∈ Λ+ (V ). Proposici´ on 14.11 Sea (V, Λ+ ) una variedad orientada y C una variedad con borde S, en V. Entonces Λ+ induce una orientaci´ on natural en S.

994

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Demostraci´ on. Para cada x ∈ S tomemos un abierto coordenado Ux de x en V, como en (14.8). Y consideremos el recubrimiento por abiertos de S, Vx = Ux ∩ S. Entonces de (14.10) se sigue que en cada Vx tenemos una orientaci´ on Λ+ x de tal forma que en las intersecciones de dos abiertos las dos orientaciones correspondientes coinciden, pues vienen gen´ericamente determinadas por un campo cualquiera que apunte hacia fuera de C y por un representante de Λ+ en la intersecci´on. De (14.2) se sigue que existe una orientaci´ on en todo S que en cada Vx coincide con Λ+ . x

14.4.

El Teorema de Stokes

Definici´ on. Sea S el borde de una variedad con borde C de V y sea ω ∈ Λn cualquiera si C es compacto y con soporte compacto si C es arbitrario. Definimos la integral de ω en C como Z Z (14.2) ω = ω0 , C

donde ω 0 = ω en C y ω 0 = 0 en V − C. Del mismo modo si C es un compacto tal que ∂C = ∂(V − C) = S es una uni´ on finita o numerable de subvariedades definimos para cada ω ∈ Λ su integral en C como en (14.2). Por comodidad escribiremos n R ω para ω ∈ Λn−1 (V), entendiendo que es S Z i∗ ω. S

Ejercicio 14.4.1 Demostrar que para cada ω ∈ Λ, sop(dω) ⊂ sop(ω).

Teorema de Stokes 14.12 Sea (V, Λ+ ) una variedad orientada de dimensi´ on n y sea S el borde de una variedad con borde C de V. Entonces para cualquier ωn−1 ∈ Λn−1 (V), si C es compacto, ´ o cualquier ωn−1 ∈ Λn−1 (V) de soporte compacto, si C no es compacto, se tiene Z Z dωn−1 = ωn−1 . C

S

14.4. El Teorema de Stokes

995

Demostraci´ on. Probaremos este resultado en dos etapas. En la primera veremos que todo punto p ∈ V tiene un entorno en el que el resultado es cierto para toda n − 1–forma de V con soporte contenido en dicho entorno. a) Supongamos que p ∈ V − C. Entonces V − C es un entorno abierto de p en V y dada cualquier ω ∈ Λn−1 , con sop(ω) ⊂ V − C, tendremos que la igualdad es cierta pues ambas partes valen 0. b) Supongamos que p ∈ S y consideremos un abierto coordenado Vp tal que C ∩ Vp = {u1 ≤ 0} y S ∩ Vp = {u1 = 0}. CojamosQ ahora dentro de Vp otro abierto V , entorno de p y difeomorfo a un cubo (ai , bi ), con a1 < 0 < b1 , y tal que V ⊂ Vp . Veamos que en V es cierto el resultado. Dada ω ∈ Λn−1 , con sop(ω) ⊂ V , tendremos que existen fi ∈ C ∞ (Vp ) tales que en Vp ω=

n X

(−1)i−1 fi du1 ∧ · · · ∧ dui−1 ∧ dui+1 ∧ · · · ∧ dun ,

i=1

por tanto i∗ (ω) = f1 i∗ (du2 ∧ · · · ∧ dun ), pues i∗ (du1 ) = 0. Entonces si fi = fi (u1 , . . . , un ), tendremos que sop(fi ) ⊂ Q (ai , bi ) y Z Z Z b2 Z bn ω= ω= ··· f1 (0, x2 , . . . , xn )dx2 · · · dxn . S

S∩V

a2

an

Por otra parte X dω = (−1)i−1 dfi ∧ du1 ∧ · · · ∧ dui−1 ∧ dui+1 ∧ · · · ∧ dun , P y como dfi = (∂fi /∂uj )duj , ser´ a X dω = (∂fi /∂ui )du1 ∧ · · · ∧ dun , y por tanto si u = (ui ) y C1 = u(C ∩ V ) = (a1 , 0] × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn ), tendremos que Z

Z dω =

C

C1

X (∂fi /∂xi )dx1 · · · dxn ,

996

Tema 14. Integraci´ on en variedades

y por el teorema de Fubini, dado que el sop(fi ) ⊂ V , es decir dado que 0 = fi (x1 , . . . , ai , . . . , xn ) = fi (x1 , . . . , bi , . . . , xn ) tendremos que Z

Z dω =

C

ω. S

c) Supongamos por u ´ltimo que p est´ a en el abierto U que define la variedad cerrada C, es decir el abierto U tal que U = C. Tomemos un abierto coordenado Vp , entorno de p en V, tal que Vp ⊂ U , y tomemos como antes otro abierto V , entorno de p, dentro de Vp y difeomorfo a unR cubo de Rn . Entonces para cada ω ∈ Λn con sop(ω) ⊂ V , se tiene que S ω = 0, pues en S, i∗ ω = 0. Pero por el Rmismo c´ alculo de antes basado en el teorema de Fubini tendremos que C dω = 0, pues sop(fi ) ⊂ V y por tanto en Vp − V , fi = 0. Ahora en la segunda parte tomamos un recubrimiento por abiertos Ui de V, tal que para cada ω ∈ Λn−1 con soporte incluido en alg´ un Ui se verifica el resultado. Que tal recubrimiento existe lo hemos demostrado en la primera parte del teorema. Tomemos una partici´on de la unidad ϕj subordinada a Ui . Sea ω ∈ Λn−1 con soporte compacto (en el caso de que C sea compacto podemos tomar una Pn − 1–forma cualquiera y la demostraci´ on es similar). Entonces ω = ϕj ω y, como en la definici´ on de la integral, tendremos que sop(ω) corta a un n´ umero finito de sop(ϕj ), por lo que existen ϕ1 , . . . , ϕk ∈ C ∞ (V) de la partici´on tales que ω = ϕ1 ω + · · · + ϕk ω. Como adem´ as cada ϕi ω es una n − 1–forma con soporte en Ui , el teorema ser´ a cierto para ella y por tanto Z Z Z Z Z Z ω= ϕ1 ω +· · ·+ ϕk ω = d(ϕ1 ω)+· · ·+ d(ϕk ω) = dω. S

S

S

C

C

C

Formula de Gauss-Green 14.13 Sea U un abierto de R2 con ∂U = ∂U = S una subvariedad 1–dimensional de R2 . Entonces para P, Q ∈ C ∞ (R2 ) se tiene, siendo C = U compacto o P y Q de soporte compacto, Z Z P dx + Qdy = (Qx − Py )dx ∧ dy. S

C

Demostraci´ on. P dx + Qdy ∈ Λ1 (R2 ) y d(P dx + Qdy) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (Qx − Py )dx ∧ dy, y basta aplicar el Teorema de Stokes, (14.12), p´ag.994.

14.4. El Teorema de Stokes

997

Corolario 14.14 En una variedad orientable V, n–dimensional, toda n– forma exacta tiene integral 0 en cualquiera de los casos: (i) la variedad es compacta ´ o (ii) la n–forma es de soporte compacto. Demostraci´ on. Tomando U = V, se tiene que C = V y S = ∅. Si ω = dωn−1 se tiene que Z Z Z ω = dωn−1 = ωn−1 = 0. S

Criterio De Bendixson 14.15 Sea D = f ∂x +g∂y ∈ D(R2 ). Si fx +gy > 0 (< 0), entonces D no tiene ´ orbitas c´ıclicas en U . Demostraci´ on. Supongamos que S es una ´orbita c´ıclica de D y sea C el compacto conexo con frontera S del teorema de Jordan —(5.33), p´ ag.320—. Entonces ωD = 0 para ω = gdx − f dy y por Stokes Z Z 0= ω= (fx + gy )dxdy, S

C

lo cual es absurdo pues C tiene interior no vac´ıo. El Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 se puede generalizar a variedades con borde con “esquinas”. Vamos a finalizar la lecci´on indicando como debe hacerse en el caso bidimensional. Definici´ on. Sea (V, Λ2 ) bidimensional orientada y C un compacto conexo de V tal que ∂C = ∂(V − C) = S. Diremos que S es un pol´ıgono de k lados si existen subvariedades 1–dimensionales S1 , . . . , Sk y puntos x1 , . . . , xk ∈ V, tales que S = S1 ∪ · · · ∪ Sk ∪ {x1 , . . . , xk }, siendo {xi } = Si ∩ Si+1 , para Sk+1 = S1 y Si ∩ Sj = ∅, en el resto de los casos. De tal forma que para cada i = 1, . . . , k existe un abierto coordenado Vi de xi , con coordenadas (v1 , v2 ) tales que ω2 = dv1 ∧ dv2 , Sj ∩ Vi = ∅, para j 6= i, i + 1 y C ∩ Vi = {x ∈ Vi : v1 (x) ≤ 0, v2 (x) ≤ 0}, Si ∩ Vi = {x ∈ Vi : v1 (x) = 0, v2 (x) ≤ 0}, Si+1 ∩ Vi = {x ∈ Vi : v1 (x) ≤ 0, v2 (x) = 0}. A los puntos xi los llamaremos v´ertices del pol´ıgono y a las Si aristas.

998

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Como en el caso de una variedad con borde se demuestra que ω2 induce una orientaci´ on en cada Si de la forma i∗ (iD ω2 ), para D un campo apuntando hacia fuera de C. En estos t´erminos se tiene el siguiente resultado. Teorema 14.16 Sea C un compacto de V, con ∂C = S = ∪Si ∪{x1 , . . . , xk } un pol´ıgono de k lados y ω ∈ Λ1 (V), entonces Z XZ ω. dω = C

Si

Demostraci´ on. Se hace como en (14.12), viendo que todo punto tiene un entorno coordenado en el que la igualdad es cierta y se finaliza argumentando con las particiones de la unidad. Falta ver la igualdad para los puntos xi . Consideremos el abierto coordenado Vi con coordenadas v = (v1 , v2 ) de la definici´ on, y consideremos [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] ⊂ v(Vi ) y el abierto I = {x ∈ Vi : v(x) ∈ (a1 , b1 ) × (a2 , b2 )}. Y veamos que el resultado es cierto para cualquier ω ∈ Λ1 (V) tal que sop(ω) ⊂ I. Si en Vi es ω = f1 dv2 − f2 dv1 , entonces dω = [∂f1 /∂v1 + ∂f2 /∂v2 ]dv1 ∧ dv2 , Ahora en Vi ∩ Si , i∗ ω = f1 (0, v2 )dv2 siendo por (14.10) dv2 la orientaci´on en Si y en Vi ∩ Si+1 , i∗ ω = −f2 (v1 , 0)dv1 , siendo por (14.10) −dv1 la orientaci´ on en Si+1 . Se sigue que Z

Z

Z

dω = C

0

Z

dω = C∩Vi Z 0

=

[∂x f1 + ∂y f2 ]dxdy a1

a2 Z 0

f1 (0, y)dy + a2

XZ Si

0

Z ω=

Z ω+

Si

f2 (x, 0)dx a1

Z

0

ω= Si+1

Z

0

f1 (0, y)dy + a2

f2 (x, 0)dx. a1

14.5. Integraci´ on en var. Riemannianas

14.5.

999

Integraci´ on en var. Riemannianas

Definici´ on. Sea (V, Λ+ ) una variedad Riemanniana orientada. Para cada x ∈ V diremos que una base D1 , . . . , Dn ∈ Tx (V), est´ a orientada positivamente (negativamente) si para cualquier ω ∈ Λ+ ωx (D1 , . . . , Dn ) > 0

(< 0).

Geom´etricamente hablando podemos decir que de una base ortonormal orientada positivamente a otra orientada tambi´en positivamente, se pasa mediante un giro en el espacio tangente, y a una orientada negativamente, mediante un giro y una simetr´ıa respecto P de un hiperplano. Recordemos que dada una matriz A = (aij ) y Ei = aij Dj ∈ Tx (V), entonces ωx (E1 , . . . , En ) = det(A)ωx (D1 , . . . , Dn ) por lo que si det A 6= 0, el signo del det(A) es el que nos indica la orientaci´ on de la base Ei si conocemos la de Di . Teorema 14.17 Sea (V, Λ+ ) una variedad Riemanniana orientada. Entonces existe una u ´nica n–forma ωv ∈ Λ+ —a la que llamaremos forma de volumen—, tal que para cada x ∈ V y cada base ortonormal positivamente orientada Di ∈ Tx (V), se tiene ωvx (D1 , . . . , Dn ) = 1. Demostraci´ on. La unicidad es obvia, pues si ω1 y ω2 satisfacen el enunciado, entonces existe f > 0 tal que ω1 = f ω2 , siendo f = 1 por la u ´ltima condici´ on. Veamos pues que existe. Consideremos en V un abierto coordenado (U ; ui ), y definamos ωv en ´el. Sea E1 , . . . , En ∈ D(U ) una baseP ortonormal positivamente P orientada. Entonces si en U la m´etrica es g = gij dui ⊗ duj y ∂i = aij Ej , tendremos que X gij = g(∂i , ∂j ) = aik ajk ,

1000

Tema 14. Integraci´ on en variedades

es decir que (gij ) = AAt , donde A = (aij ). Y por tanto g = det(gij ) = (det A)2 . Basta entonces definir √ (14.3) ωv = gdu1 ∧ · · · ∧ dun . Su unicidad en cada abierto coordenado prueba que ωv ∈ Λn (V), y por supuesto ωv ∈ Λ+ . Definici´ on. Sea (V, Λ+ ) una variedad Riemanniana orientada y sea ωv (= dx) su forma de volumen. Definimos la integral de una funci´on diferenciable con soporte compacto f ∈ Cc∞ (V), como Z Z f (x)dx = f ωv . V

Definici´ on. Si la variedad V es compacta podemos tomar la funci´on f = 1 y definimos el volumen de V como Z vol(V) = ωv . P Nota 14.18 Si V = Rn , g = (dxi )2 y dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Λ+ , entonces obviamente ωv = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , y para cada f ∈ C ∞ (Rn ) de soporte compacto se tiene que Z Z Z f (x) dx = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn = f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn Nota 14.19 Veamos en t´erminos de coordenadas la forma de volumen (de ´ area) de una superficie que sea la gr´ afica de una funci´on: Sea f : R2 → R diferenciable. Definimos la superficie de R3 S = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ R2 }, entonces si definimos h : (x, y) ∈ R2 → (x, y, f (x, y)) ∈ S ⊂ R3 , tendremos que 

 ∂ = ∂x   ∂ E2 = h∗ = ∂y

E1 = h∗

∂ ∂ + fx ∈ D(S), ∂x ∂z ∂ ∂ + fy ∈ D(S), ∂y ∂z

14.6. Aplicaciones a la F´ısica

1001

forman base en cada punto de S. Ahora si en R3 consideramos la m´etrica habitual y la restringimos a S, tendremos que vale g = g11 dx ⊗ dx + g12 dx ⊗ dy + g21 dy ⊗ dx + g22 dy ⊗ dy, para g11 = E1 · E1 = 1 + fx , g12 = E1 · E2 = fx fy = g21 , g22 = 1 + fy , por tanto de la ecuaci´ on (14.3) se sigue que q ωv = 1 + fx2 + fy2 dx ∧ dy. Ejercicio 14.5.1 a) Calcular el a ´rea de la esfera de radio 1. b) Calcular el a ´rea del toro de radio interior 1 y radio exterior 2.

14.6.

Aplicaciones a la F´ısica

Veamos ahora algunos conceptos y resultados de F´ısica cl´asica relacionados con el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994. Definici´ on. Llamamos divergencia de un campo D ∈ D(V) a la funci´on div(D) ∈ C ∞ (V), tal que DL ω = div(D)ω = d(iD ω), pues DL ω ∈ Λn . Definici´ on. Sea (V, Λ+ ) una variedad Riemanniana orientada y ω ∈ Λ+ su forma de volumen. Dada una hipersuperficie S de V (borde de una variedad con borde C), con vector normal unitario exterior ∂n , llamaremos flujo de un campo D ∈ D(V) a trav´es de S, a Z Z (14.4) D · ∂n ωS = iD ω, S

para ωS la forma de volumen de S.

S

1002

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Si interpretamos D como la velocidad de un fluido en V que no cambia con el tiempo, es decir que la trayectoria que sigue una part´ıcula, que en un instante est´ a en un lugar, no depende del instante; entonces el flujo (en dimensi´ on 2 y 3) representa, respectivamente el ´area y el volumen de fluido que atraviesa S por segundo (contando positivo el que sale y negativo el que entra). Dx

nx

nx

Dx

x

nx

ds Dx

Figura 14.1. flujo de D a trav´ es de S.

Veamos la igualdad (14.4): Sea ∂n ∈ DS (V) el campo normal unitario a S apuntando hacia fuera de C. Sea x ∈ S y D2x , . . . , Dnx ∈ Tx (S) una base ortonormal bien orientada en S. Por tanto D1x = ∂nx , D2x , . . . , Dnx ∈ Tx (V) es una base ortonormal bien orientada en V. Si en S es D = P fi Di , tendremos que en S, D · ∂n = f1 = ω(D, D2 , . . . , Dn ) = iD ω(D2 , . . . , Dn ), y por tanto como ωS es la forma de volumen en S iD ω = (D · ∂n )ωS , y el flujo es por el Teorema de Stokes, (14.12), p´ag.994 Z

Z (D · ∂n )ωS =

S

Z iD ω =

S

Z d(iD ω) =

C

div(D) dx, C

lo que prueba el siguiente resultado. Teorema de la divergencia 14.20 El flujo de un campo D ∈ D(V) a trav´es de una hipersuperficie, frontera de una variedad con borde C de V, es igual a la integral de la divergencia del campo D en C. Ejercicio 14.6.1 Demostrar que si V = Rn y D = P (∂i fi ).

P

fi ∂i , entonces div(D) =

14.6. Aplicaciones a la F´ısica

1003

Teorema de Liouville 14.21 Sea D ∈ D(V) con grupo uniparam´etrico τt y U un abierto de V. Si denotamos con U (t) = τt (U ) y con V (t) = V ol[U (t)], entonces Z V 0 (t) = div(D) dx. U (t)

Demostraci´ on. Por ser DL ω = div(D)ω, y la definici´on de la derivada de Lie. Corolario 14.22 Si div(D) = 0, entonces el flujo de D conserva los vol´ umenes. Corolario 14.23 El flujo de las ecuaciones de Hamilton en R2n , con coordenadas (pk , qk ) ∂h ∂h p0i = − , qi0 = , ∂qi ∂pi conserva los vol´ umenes. Demostraci´ on. Consideremos el campo Hamiltoniano correspondiente a h n n X X ∂h ∂h ∂ + ∂qi , D=− ∂qi ∂pi i=1 ∂pi i=1 Entonces el resultado se sigue del ejercicio (14.6.1), pues div(D) = −

X ∂2h X ∂2h + = 0. ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

Definici´ on. Llamamos circulaci´ on de un campo D ∈ D(V) sobre una curva L orientada, de la variedad Riemanniana orientada (V, g) a Z iD g L

Si nuestra variedad V es tridimensional, llamamos rotacional de D, R = rot D, al u ´nico campo tangente que verifica iR ωv = d(iD g),

1004

Tema 14. Integraci´ on en variedades

cuya existencia puede probarse f´ acilmente en cada abierto coordenado (ver p´ ag.174), y su unicidad es obvia, siendo en el espacio euclideo R3 , R = (hy − gz )∂x + (fz − hx )∂y + (gx − fy )∂z . En el caso bidimensional D = f ∂x + g∂y , podemos entender el campo en R3 , en cuyo caso su rotacional R = (gx − fy )∂z es vertical. A menudo se llama funci´ on rotacional de D a la funci´ on gx − fy , cuya interpretaci´on vimos en la p´ ag.174, que era el doble del valor medio de las velocidades angulares de las rectas pasando por cada punto. Si Ω ⊂ R3 es una superficie orientada y S es una variedad con borde de Ω, con borde una curva L, entonces el Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 implica que Z Z Z iD g = d(iD g) = irot D ω, L

S

S

En el caso del plano si D = f ∂x + g∂y , d(iD g) = d(f dx + g dy) = (gx − fy )ω2 . Esto prueba el siguiente resultado. Teorema del rotacional 14.24 En el espacio, en los t´erminos anteriores, la circulaci´ on a lo largo de la curva cerrada L, frontera de una superficie S es igual al flujo del rotacional a trav´es de S. En el plano, la circulaci´ on a lo largo de una curva cerrada L, borde de una regi´ on S del plano, es la integral de la funci´ on rotacional de D en C.

14.6.1.

Interpretaci´ on f´ısica de la integral compleja

R A continuaci´ on vemos la interpretaci´ on f´ısica de la f (z)dz, para una funci´ on f = u + iv ∈ CC∞ (U ) (ver la lecci´ on 8.4.3, p´ag.631) Definici´ on. Llamaremos campo tangente asociado a una funci´on compleja f = u + iv ∈ CC∞ (U ), al campo que define su conjugada, f = u − iv, D = u∂x − v∂y ∈ D(U ). Veremos que en general la integral es el n´ umero complejo Z f (z)dz = α + iβ, L

α = Circ. de D en L,

β = Flujo de D en L.

1005

14.6. Aplicaciones a la F´ısica

Proposici´ on 14.25 Dada f = u + iv ∈ CC∞ (U ), D su campo asociado y una curva L, borde de una variedad con borde C ⊂ R2 , su integral es Z

b

Z f (z)dz =

L

Z

0

Z

f (σ(t))σ (t)dt = a

iD g+i L

Z iD ω =

L

Z D·T +i

L

D·N. L

para cualquier parametrizaci´ on σ : [a, b] → R2 , de L = σ[a, b], con σ(a) = σ(b); y siendo T, N los campos unitarios tangente y normal a la curva2 Demostraci´ on. Para g la m´etrica del plano y para ω = dx ∧ dy, se tiene que iD g = udx − vdy = (D · T )ω1 ,

iD ω = vdx + udy = (D · N )ω1 ,

pues ω1 (T ) = 1, por tanto Z Z Z Z f (z)dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i (vdx + udy) L L ZL Z Z L Z = iD g + i iD ω = D·T +i D·N L b

Z

L

(ux0 dt − vy 0 dt) + i

= a

Z =

L

L

Z

b

(vx0 dt + uy 0 dt)

a b

f (σ(t))σ 0 (t)dt.

a

En (9.11), p´ ag.699, vimos que la condici´ on necesaria y suficiente para que f sea holomorfa en U es que u y v sean de clase 1 en U y se satisfagan las ecuaciones de Cauchy–Riemann (a la izquierda) ( ( div D = ux − vy = 0, ux = vy , ⇔ uy = −vx , rot D = uy + vx = 0, R en cuyo caso se tiene el Teorema de Cauchy (8.24), p´ag.634, L f (z)dz = 0 en cualquier curva cerrada L borde de una variedad con borde C ⊂ U .

2 La parte real es la circulaci´ on de D a lo largo de S y la parte imaginaria el flujo de D a trav´ es de S. Ver la p´ ag.1001.

1006

14.7.

Tema 14. Integraci´ on en variedades

La definici´ on de Gauss de la curvatura

3 ⊥ Definici´ on. Sea S una superficie cerrada P de R y sea ∂n ∈ D(S) su campo unitario ortogonal. Si ∂n = ni ∂i , definimos la aplicaci´ on imagen esf´erica de S como

η : S → S2 ,

η(x) = (n1 (x), n2 (x), n3 (x))

Observemos que para cada x ∈ S y cada Dx ∈ Tx (S) los vectores η∗ (Dx ),

−φx Dx = (D∇ ∂n )x ,

tienen las mismas componentes Dx ni , por tanto las aplicaciones lineales η∗ y −φx coinciden (naturalmente haciendo las identificaciones pertinentes) en cada punto x ∈ S. Ahora bien nosotros sabemos que φx es un isomorfismo sii det φx = k(x) 6= 0, por tanto tambi´en tendremos que η∗ es un isomorfismo en un punto x ∈ S sii k(x) 6= 0, y por tanto η es un difeomorfismo local en x sii k(x) 6= 0. Sea x ∈ S tal que k(x) 6= 0 y consideremos abiertos U y V de S y S2 , entornos de x y z = η(x) respectivamente tales que η : U → V es un difeomorfismo. Denotemos con ωS la 2–forma de volumen en S y con ω2 la de S2 y consideremos un compacto C ⊂ U , con x ∈ C, entonces si η conserva la orientaci´ on tendremos que Z Z Area[η(C)] = ω2 = η ∗ ω2 . η(C)

C

Pero η ∗ ω2 = f ωS , y si elegimos una base ortonormal D1 , D2 ∈ D(U ), tal que D1 , D2 , ∂n est´e orientada positivamente, entonces f = f ωS (D1 , D2 ) = η ∗ ω2 (D1 , D2 ) = ω2 (η∗ D1 , η∗ D2 ) = ω2 (−φD1 , −φD2 ) = ω2 (φD1 , φD2 ) = det(aij ) = k, donde φD1 = a11 D1 + a12 D2 y φD2 = a21 D1 + a22 D2 . Por tanto si k > 0 en U , η conserva la orientaci´on y tendremos que Z Area[η(C)] = kωS . C

14.8. El operador de Laplace–Beltrami

1007

Teorema 14.26 En las condiciones anteriores k(x) = l´ım

C→x

Area[η(C)] . Area[C]

Demostraci´ on. Sea k− (C) = m´ın{k(p) : p ∈ C} y k+ (C) = m´ ax{k(p) : p ∈ C}. Entonces para cada compacto C ⊂ U , con x ∈ C, tendremos que Z

Z k− (C)ωS ≤

k− (C)Area[C] = ZC ≤

kωS = Area[η(C)] C

k+ (C)ωS = k+ (C)Area[C], C

y como k− (C), k+ (C) → k(x), cuando C → x, se sigue el resultado.

14.8.

El operador de Laplace–Beltrami

14.8.1.

El operador ∗ de Hodge.

Definici´ on. En una variedad Riemanniana orientada (V, g, Ω) de dimensi´ on n, definimos el operador ∗ de Hodge de la forma ∗ : β ∈ Λk → ∗β ∈ Λn − k, ∗β(Xk+1 , . . . , Xn )Ω = β ∧ γ(Xk+1 ) ∧ · · · ∧ γ(Xn ), para Xi ∈ D(V) y γ(D) = iD g. Lema 14.27 Si D1 , . . . , Dn es una base ortonormal orientada, entonces ∗β(Dk+1 , . . . , Dn ) = β(D1 , . . . , Dk ).

1008

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Demostraci´ on. ∗β(Dk+1 , . . . , Dn ) = ∗β(Dk+1 , . . . , Dn )Ω(D1 , . . . , Dn ) = β ∧ γ(Dk+1 ) ∧ · · · ∧ γ(Dn )[D1 , . . . , Dn ] X = (1/k!) sig(σ)[β ⊗ γ(Dk+1 ) ⊗ · · · ⊗ γ(Dn )] σ

[Dσ(1) , . . . , Dσ(n) ] X = (1/k!) sig(σ)β[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ] σ(i)=i,i>k

= (1/k!)H(β)[D1 , . . . , Dk ] = β(D1 , . . . , Dk ).

Ejercicio 14.8.1 Demostrar que en Rn con Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , ∗dxi = (−1)i+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn .

Proposici´ on 14.28 El operador ∗ tiene las siguientes propiedades: a) ∗∗ = (−1)k(n−k) β = (−1)k(n−1) β. b) ∗ : Λk → Λn−k es un isomorfismo con inversa (−1)k(n−k) ∗. c) α ∧ ∗β = β ∧ ∗α. d) ∗[α ∧ γ(D)] = iD [∗α]. e) ∗[iD α] = (−1)n−1 [∗α] ∧ γ(D). f ) ∗[D∇ α] = D∇ [∗α]. g) α ∧∗α = f Ω, con f (x) = 0 si αx = 0 y f (x) > 0 en caso contrario. Demostraci´ on. Sea D1 , . . . , Dn una base ortonormal y orientada de D(U ) en un abierto U . a) ∗[∗β](D1 , . . . , Dk ) = (−1)k(n−k) ∗ β[Dk+1 , . . . , Dn ] = (−1)k(n−k) β(D1 , . . . , Dn ). 2

La otra igualdad se sigue de que (−1)k = (−1)k . b) Se sigue de (a).

14.8. El operador de Laplace–Beltrami

1009

c) Como 1 = sig(σ)Ω(Dσ(1) , . . . , Dσ(n) ], X α ∧ ∗β(D1 , . . . , Dn ) = (1/k!(n − k)!) sig(σ)α[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ] ∗ β[Dσ(k+1) , . . . , Dσ(n) ] = X = (1/k!(n − k)!) sig(σ) sig(σ) ∗ α[Dσ(k+1) , . . . , Dσ(n) ] sig(σ)β[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ] = = β ∧ ∗α(D1 , . . . , Dn ). d) Basta ver que para Dk+2 , . . . , Dn ortonormales ∗[α ∧ γ(D)](Dk+2 , . . . , Dn ) = iD [∗α](Dk+2 , . . . , Dn ). Si D es combinaci´ on de esos Di ambos lados se anulan, en caso contrario consideremos una base D1 , . . . , Dk , Dk+1 = D, Dk+2 , . . . , Dn ortonormal y bien orientada, entonces ∗[α ∧ γ(D)](Dk+2 , . . . , Dn ) = [α ∧ γ(D)](D1 , . . . , Dk+1 ) X = (1/k!) sig(σ)α[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ] < Dk+1 , Dσ(k+1) > = α(D1 , . . . , Dk ) = ∗α(Dk+1 , . . . , Dn ) = iD [∗α](Dk+2 , . . . , Dn ). e) Por (a) tenemos que α = ∗[(−1)k(n−1) ∗ α] y por (d) iD α = (−1)k(n−1) iD ∗ (∗α) = (−1)k(n−1) ∗ [∗α ∧ γ(D)], por tanto por (a) ∗[iD α] = (−1)k(n−1) ∗∗[∗α∧γ(D)] = (−1)k(n−1) (−1)(n−k+1)(n−1) ∗α∧γ(D). f) Lo haremos por inducci´ on en k, pero antes veamos que D∇ Ω = 0 0 = D[Ω(D1 , . . . , Dn )] = D∇ Ω(D1 , . . . , Dn ) + Ω[D∇ D1 , . . . , Dn ) + · · · + Ω(D1 , . . . , D∇ Dn ) = D∇ Ω(D1 , . . . , Dn ) pues < D∇ Di , Di >= 0 y por tanto D∇ Di s´ olo tiene componentes en los Dj con j 6= i. Ahora D∇ Ω = [D∇ Ω(D1 , . . . , Dn )]Ω = 0. Por otra parte ∗(f Ω) = f y ∗f = f Ω, por tanto se sigue que para α = Ω (k = n) ∗[D∇ α] = 0 = D∇ [∗α],

1010

Tema 14. Integraci´ on en variedades

y para α = f Ω ∗[D∇ f Ω] = ∗[(Df )Ω] = Df = D∇ [∗(f Ω)]. Sin dificultad se demuestran las f´ ormulas iE (D∇ β) = D∇ (iE β) − iD∇ E β, D∇ γ(E) = γ(D∇ E), D∇ (α ∧ β) = (D∇ α) ∧ β + α ∧ (D∇ β), entonces por inducci´ on, por (d) y por ellas se tiene iE (D∇ ∗ α) = D∇ (iE ∗ α) − iD∇ E ∗ α = D∇ [∗(α ∧ γ(E))] − ∗[α ∧ γ(D∇ E)] = ∗[D∇ (α ∧ γ(E))] − ∗[α ∧ γ(D∇ E)] = ∗(D∇ α ∧ γ(E))] = iE [∗D∇ α]. g) f = α ∧ ∗α(D1 , . . . , Dn ) X 1 sig(σ)α[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ] ∗ α[Dσ(k+1) , . . . , Dσ(n) ] = k!(n − k)! X 1 = sig(σ)α[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ] sig(σ)α[Dσ(1) , . . . , Dσ(k) ]. k!(n − k)! Teorema 14.29 Si V es compacta, Z < α, β >=

α ∧ ∗β,

es bilineal, sim´etrica y definida positiva en Λk (V). Adem´ as verifica < ∗α, ∗β >=< α, β > . Demostraci´ on. Lo primero se sigue de la definici´on y de (14.28). Veamos la igualdad Z Z k(n−k) < ∗α, ∗β > = ∗α ∧ ∗ ∗ β = (−1) ∗α ∧ β Z Z = β ∧ ∗α = α ∧ ∗β =< α, β > .

14.8. El operador de Laplace–Beltrami

1011

Definici´ on. Llamaremos codiferencial exterior a δ = (−1)k+n+1 ∗−1 ◦d ◦ ∗ : Λk → Λk−1 . Ejercicio 14.8.2 Demostrar que δ 2 = 0 y que ∗δ = (−1)n+k+1 d∗.

14.8.2.

El operador de Laplace–Beltrami

Definici´ on. Llamaremos operador de Laplace–Beltrami a ∆ = −(dδ + δd) : Λk → Λk . Ejercicio 14.8.3 Demostrar las siguientes propiedades: a) ∆ = −(d + δ)2 . b) d∆ = ∆d. c) δ∆ = ∆δ.

Proposici´ on 14.30 Sobre las funciones, es decir para k = 0, el operador de LaPlace–Beltrami se expresa de las formas: ∆ = −δd =

n X

(Di2 − Di∇ Di ) = div grad,

i=1

para Di una base orientada de campos ortonormales. Pn Demostraci´ on. Veamos que −δ(du) = i=1 (Di2 u − Di∇ Di u), para ello observemos que para una 1–forma ω dω(D1 , D2 ) = D1 (ωD2 ) − D2 (ωD1 ) − ω(D1L D2 ), y por inducci´ on para una n − 1–forma ω dω(D1 , . . . , Dn ) =

n X

ci , . . . , Dn )+ (−1)i+1 Di [ω(D1 , . . . , D

i=1

+

n X i=1

(−1)i

X i + < dα, dβ > =< α, dδβ > + < α, δdβ >=< α, ∆β > . Definici´ on. Diremos que α ∈ Λk es una forma arm´ onica si ∆α = 0. Teorema 14.37 ∆α = 0 sii dα = δα = 0. Demostraci´ on. 0 =< ∆α, α >=< dδα, α > + < δdα, α >=< δα, δα > + < dα, dα >, y δα = dα = 0, pues es definido positivo. Proposici´ on 14.38 Si ∆β = 0 y β es exacta, entonces β = 0. Demostraci´ on. Sea β = dα, entonces como dβ = δβ = 0 0 =< δβ, α >=< δdα, α >=< dα, dα >, lo cual implica dα = 0. En general se tiene el siguiente resultado cuya prueba no incluimos, pues requiere teor´ıa de operadores el´ıpticos. Teorema de descomposicion de Hodge–De Rham 14.39 Para cada λ ∈ Λk existe una u ´nica descomposici´ on ortogonal λ = dα + δβ + γ, con ∆γ = 0.

1016

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Bibliograf´ıa y comentarios. Los libros consultados para la confecci´ on de este tema han sido Abraham, Ralph and Mardsen, Jerrold E.: “Foundations of Mechanics”. Ed. Addison–Wesley, 1978. Arnold, V.I.: “Equations differentielles ordinaires”. Ed. Mir, Moscou, 1974. Bishop, R.L. and Goldberg,S.J.: “Tensor Analysis on Manifolds”. Dover, 1980. Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”. Ac Press, 1975. Crampin,M. and Pirani,F.A.E.: “Applicable Differential Geometry”. Cambridge University Press, 1988. Choquet–Bruhat, Y.: “G´ eom´ etrie differentielle et systemes exterieurs”. Ed. Dunod, 1968. Godbillon, C.: “Elements de Topologie Algebrique”. Hermann, Paris, 1971.

Una interesante aplicaci´ on pr´ actica de la ecuaci´ on de Gauss–Green la encontramos en el aparato de medici´ on de ´ areas conocido como plan´ımetro: Este aparato se coloca sobre el papel B en el que tengamos dibujada la figura D, b f-b cuya ´ area queremos medir. Est´ a formado por dos brazos 0A y AB de igual longiA D tud y con una articulaci´ on en su uni´ on A. El extremo 0 permanece fijo con un f pincho como el de un comp´ as y en A hay 0 C una rueda perpendicular al papel, con eje AB —ambos brazos est´ an a altura Figura 14.2. Plan´ımetro constante sobre el papel—. Una pantalla en el punto A nos va dando el ´ area de la figura plana D, cuando con el extremo B recorremos la curva C que la limita. Tomemos 0 como origen de un sistema de coordenadas cartesiano y la longitud del brazo como unidad de distancia. Ahora cada B = (x, y) ∈ R2 determina los ´ angulos ϕ ∈ (0, 2π), que forma 0A con el eje x, es decir A = (cos ϕ, sen ϕ), y β ∈ (0, π) que forma la rueda con la perpendicular a 0A por A, estos ´ angulos forman un sistema de coordenadas para los puntos de la bola abierta de radio 2 (que es donde debe estar la figura

14.8. El operador de Laplace–Beltrami

1017

D) quitando un radio y se tiene xβ = sen(ϕ − β),

x = cos ϕ + cos(ϕ − β)

) ⇒

y = sen ϕ + sen(ϕ − β)

    xϕ = − sen ϕ − sen(ϕ − β),  yβ = − cos(ϕ − β),    yϕ = cos ϕ + cos(ϕ − β),

dx ∧ dy = (xβ yϕ − xϕ yβ ) dβ ∧ dϕ = − sen β dβ ∧ dϕ = d(cos β dϕ). por lo tanto se sigue del teorema de Gauss–Green que Z Z area(D) = ´ dx ∧ dy = cos β dϕ. D

C

R

Ahora bien C cos βdϕ no es otra cosa que el ´angulo total que gira la rueda que est´ a en A —si la rueda tiene radio 1, en general es proporcional a ese ´ angulo—. Ve´ amoslo: Parametricemos la curva C que describimos con B, con σ : [0, L] → R2 , tal que σ[0, L] = C y σ(0) = σ(L) y consideremos las correspondientes funciones ϕ(t) y β(t). Ahora pintemos de blanco el punto R(0) de la rueda que est´ a en el plano en el instante inicial t = 0 y denotemos con α(t) el ´ angulo en la rueda que forma nuestro punto blanco R(0) (que eventualmente no tocar´ a el plano) con el que ahora lo toca. Observemos que en el movimiento de B por el per´ımetro C, la rueda (que est´a en A(t) = (cos ϕ(t), sen ϕ(t))), se mueve sobre la circunferencia de radio 1 con velocidad ϕ0 (t)(− sen ϕ(t), cos ϕ(t)) y el rozamiento hace que la rueda ruede, a menos que su desplazamiento tenga la direcci´on de su eje. Ahora bien como cualquier velocidad en el plano, que act´ ue sobre la rueda, se descompone en una componente con la direcci´on de la rueda y otra en la direcci´ on de su eje y s´ olo la de la direcci´on de la rueda tiene efecto sobre ella, tendremos la siguiente relaci´ on Z α0 (t) = cos β(t)ϕ0 (t) ⇒ ´ area(D) = cos β dϕ = α(L). C

Remitimos al lector al trabajo Gatterdam, R.W.: “The planimeter as an example of Green’s theorem”. Amer. Math. Monthly, 1981, 701-704.

El italiano Joseph Louis Lagrange (1736-ˆ u1813) da en un trabajo sobre gravitaci´ on, de 1762, la primera versi´ on del Teorema de Stokes, (14.12), p´ ag.994 (en una forma b´ asica del Teorema de la divergencia).

1018

Tema 14. Integraci´ on en variedades

En 1813 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) demostr´o para n = 3 la igualdad Z Z ∂f dx1 dx2 dx3 = f < ∂n , ∂xi > dσ C ∂xi ∂C para dσ el elemento de unidad de superficie, redescubriendo el resultado de Lagrange. A partir de entonces se conoce como Ley de Gauss. ´-Marie Ampe `re (1775–1836) que fue el primero en El franc´es Andre explicar la Teor´ıa electrodin´ amica, publica en 1825 sus resultados sobre electricidad y magnetismo, en los que aparecen versiones tempranas del Teorema de la divergencia. Maxwell describe este trabajo como One of the most brilliant achievements in science. The whole, theory and experiment, seems as if it had leaped, full-grown and full-armed, from the brain of the ‘Newton of electricity’. It is perfect in form and unassailable in accuracy; and it is summed up in a formula from which all the phenomena may be deduced, and which must always remain the cardinal formula of electrodynamics. En 1828 George Green (1793–1841) publica de forma privada An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetis.

en el que aparece un teorema equivalente al (14.13) dado por nosotros en la p´ agina 996. Pero su trabajo pas´ o desapercibido hasta que cinco a˜ nos despu´es de su muerte, en 1846, William Thompson (Lord Kelvin) encontr´ o una copia de su trabajo y lo reimprimi´o. En 1828 M.V.Ostrogradsky (1801–1862) demostr´o la siguiente f´ ormula para n = 3 (publicada en 1831) Z Z (Px + Qy + Rz ) dxdydz = P dydz + Q dxdz + R dxdy, C

∂C

que tambi´en es un caso particular de la f´ ormula de Stokes y b´asicamente el Teorema de la divergencia. En 1834 (publicado en 1838) la extendi´ o para n arbitrario. A G. Gabriel Stokes (1819–1903) se le atribuye la extensi´on de estos resultados con la u ´nica y elegante f´ ormula que lleva su nombre. Aunque la historia parece ser la siguiente: Tras la muerte en 1768 de Robert Smith, profesor de Astronom´ıa de la Universidad de Cambridge, se cre´ o un premio legado por ´el y conocido como Smith’s Prize, para licenciados matem´ aticos de la Universidad de

1019

14.8. El operador de Laplace–Beltrami

Cambridge. Desde entonces todos los a˜ nos se ha entregado este premio, salvo en 1917 que no hubo candidatos. Algunos de los ganadores fueron: en 1841 G. G. Stokes, en 1842 Arthur Cayley, en 1845 William Thomson (Lord Kelvin), en 1854 J. Clerk Maxwell, en 1901 G. H. Hardy ´ o en 1908 J. E. Littlewood. Stokes ocup´ o, desde 1849 hasta su muerte en 1903, la c´atedra Lucasian de Matem´ aticas de la Universidad de Cambridge (la misma que ocup´ o I. Newton) y desde 1850 hasta 1882 es ´el qui´en propone los problemas4 para el premio. En 1854 (a˜ no en el que gana Maxwell), el problema 8 que plantea es: 8.- If X, Y, Z be functions of the rectangular co–ordinates x, y, z, dS an element of any limited surface, l, m, n the cosines of the inclinations of the normal at dS to the axes, ds an element of the bounding line, shew that      Z Z   dZ dY dX dZ dY dX l − +m − +n − dS dy dz dz dx dx dy  Z  dy dz dx +Y +Z ds, = X ds ds ds de differential coefficients of X, Y, Z being partial, and the single integral being taken all round the perimeter of the surface.

La f´ ormula anterior no es otra cosa que la conocida Z (Ry −Qz ) dydz+(Rx −Pz ) dxdz+(Qx −Py ) dxdy = P dx+Qdy+Rdz,

Z C

∂C

y entre la correspondencia que se conserva de Stokes aparece en la postdata de una carta del 2 de Julio de 1850, de Lord Kelvin (William Thomson) a Stokes. Posiblemente Maxwell, que era candidato para el premio (que gan´o) es el que extiende el nombre de Teorema de Stokes, (14.12), p´ag.994 que ha llegado hasta nuestros d´ıas. No obstante todos los resultados citados hasta ahora son casos particulares del Teorema y es probable que el padre real de ´el sea E.Cartan, que fue el primero en analizar y dar la definici´on del concepto que se escond´ıa detr´ as de estas f´ ormulas, nos referimos a la diferencial de una forma diferencial. Remitimos al lector a su libro 4 Una lista de todos los problemas propuestos por ´ el se encuentra en internet en la p´ agina de la Universidad de Michigan

http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAT0146.0005.001 page 296.

1020

Tema 14. Integraci´ on en variedades

Cartan, E.: “Les syst` emes diff´ erentiels ext´ erieurs et leurs applications geom´ etriques”. Hermann Paris, 1971 (Primera Ed. de 1945).

Fin del Tema 14

Tema 15

Variedades complejas

15.1.

Estructuras casi–complejas

Todo C–espacio vectorial E, de dimensi´ on n es un R–espacio vectorial del dimensi´ on 2n. Si e1 , . . . , en es una base del C–espacio, entonces e1 , . . . , en , ie1 , . . . , ien , es una base del R–espacio vectorial. Adem´ as tenemos un endomorfismo natural, multiplicar por i J : E → E,

J(e) = ie,

para el que J 2 = − Id. Rec´ıprocamente, si E es un R–espacio vectorial con un endomorfismo J : E → E, tal que J 2 = − Id, entonces tiene una estructura natural de C–espacio vectorial, definiendo para cada e ∈ E y a, b ∈ R (a + ib)e = ae + bJ(e). Definici´ on. Llamaremos variedad casi compleja (X , J), a una variedad diferenciable X con un C ∞ endomorfismo J : D → D,

1021

1022

Tema 15. Variedades complejas

para el que J 2 = − Id. Este endomorfismo J define el tensor T11 : D × Ω → C ∞ ,

T11 (D, ω) = ω(JD),

y por tanto en cada punto x ∈ X tenemos un endomorfismo J : Tx (X ) → Tx (X ), tal que J 2 = − Id, por lo tanto cada espacio tangente tiene estructura de C–espacio vectorial y dim X = dim Tx (X ) = 2n.

Definici´ on. Llamaremos aplicaci´ on casi compleja entre variedades casi complejas a toda aplicaci´ on diferenciable φ : (X , J) → (X 0 , J 0 ), tal que para todo x ∈ X es conmutativo el diagrama φ∗

Tφ(x) (X 0 ) ↓ J0

φ∗

Tφ(x) (X 0 )

Tx (X ) −→ J ↓ Tx (X ) −→ por tanto es C–lineal la aplicaci´ on φ∗

Tx (X ) −→ Tφ(x) (X 0 ).

Ejemplo 15.1.1 Sea E un C–espacio vectorial y consideremos el isomorfismo de R–espacio vectorial E → Tx (E), que hace corresponder a cada vector la derivada direccional relativa a ese vector, ahora llevemos el endomorfismo de E, J(e) = ie a cada espacio tangente mediante el isomorfismo anterior. Esto dota a E de una estructura casi compleja.

15.1. Estructuras casi–complejas

1023

Ejemplo 15.1.2 Sea E = C = R2 y consideremos la estructura casi compleja del ejemplo anterior, en tal caso   ∂ ∂ = , J J(1, 0) = (0, 1) ∂x ∂y   ⇒ ∂ ∂ J(0, 1) = −(1, 0) J =− ∂y ∂x

Ejemplo 15.1.3 Sea E = Cn = R2n y consideremos la estructura casi compleja del primer ejemplo, en tal caso   ∂ ∂ J = , ∂xi ∂yi   J(e) = ie ⇒ ∂ ∂ J =− ∂yi ∂xi Ejemplo 15.1.4 Sea (X , g) una superficie Riemanniana orientada, con 2–forma de ´ area ω y sea J el endomorfismo asociado a (g, ω), es decir para cualesquiera campos D1 , D2 ω(D1 , D2 ) = g(JD1 , D2 ), por tanto si consideramos D1 , D2 una base local de campos ortonormal (g(Di , Dj ) = δij ) y orientados positivamente (ω(D1 , D2 ) = 1), tendremos que J(D1 ) = (J(D1 ) · D1 )D1 + (J(D1 ) · D2 )D2 = D2 , J(D2 ) = (J(D2 ) · D1 )D1 + (J(D2 ) · D2 )D2 = −D1 , por tanto J 2 = − Id y X es una variedad casi compleja. Proposici´ on 15.1 F : U ⊂ C → C es casi–compleja si y s´ olo si F es holomorfa. Demostraci´ on. Consideremos la funci´ on correspondiente F : U ⊂ R2 → R2 ,

F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)),

entonces como  J=

0 −1

 1 , 0

 F∗ =

fx gx

 fy , gy

1024

Tema 15. Variedades complejas

tendremos que F es casi–compleja si y s´ olo si JF∗ = F∗ J lo cual equivale a las ecuaciones de Cauchy–Riemann, gx = −fy y gy = fx , lo cual equivale a que F sea holomorfa. Del mismo modo se tiene el resultado en Cn teniendo en cuenta que F = (F1 , . . . , Fm ) : U ⊂ Cn → Cm es holomorfa si y s´olo si lo son las Fi y que F : U ⊂ Cn → C lo es si y s´ olo si para F (z1 , . . . , zn ) = F ((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) = f ((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) + ig((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )), se tiene

fxi = −gyi ,

fyi = gxi .

Proposici´ on 15.2 F = (F1 , . . . , Fm ) : U ⊂ Cn → Cm es casi–compleja si y s´ olo si las Fi son holomorfas. Definici´ on. Diremos que una variedad casi–compleja (X , J) es anal´ıtica compleja si todo punto p ∈ X tiene un entorno coordenado casi–complejo Up , es decir con un isomorfismo casi–complejo ϕ = (z1 , . . . , zn ) : Up → U 0 ⊂ Cn , por tanto para zi = xi + iyi , las (xi , yi ) son un sistema de coordenadas (reales) en las que J(∂xi ) = ∂yi , J(∂yi ) = −∂xi . Definici´ on. Sea (X , J) una variedad compleja, diremos que F = f + ig : U ⊂ X → C, es holomorfa si es casi–compleja, por tanto en un entorno coordenado casi–complejo Up , con coordenadas (xi , yi ), se tiene F∗ J = J 0 F∗ , es decir   0 1 ··· 0 0 0 0   −1 0 · · ·  fx1 fy1 · · · fxn fyn  . . .. ..  = .. . . .  ..  . . gx1 gy1 · · · gxn gyn    0 0 ··· 0 1 0 0 · · · −1 0    0 1 fx1 fy1 · · · fxn fyn = −1 0 gx1 gy1 · · · gxn gyn lo cual equivale a las ecuaciones de Cauchy–Riemann para f y g y esto a que la funci´ on F 0 = F (ϕ−1 ) : U 0 → C sea holomorfa.

15.1. Estructuras casi–complejas

15.1.1.

1025

Campos y 1–formas complejas

Definici´ on. Sea X una variedad diferenciable, llamamos funci´ on diferenciable compleja a cada funci´ on f = f1 +if2 : U ⊂ X → C, con f1 , f2 ∈ C ∞ (U ) y al anillo que forman lo denotaremos con C ∞ (U, C) = CC∞ (U ). Llamamos campos complejos a las derivaciones sobre C D : C ∞ (U, C) → C ∞ (U, C), y al C ∞ (U, C)–m´ odulo que forman lo denotamos DC (U ) = D(U ) ⊗R C y a su dual ΩC (U ) = DC (U )∗ = HomC ∞ (U,C) (DC (U ), CC∞ (U )) = Ω(U ) ⊗R C. Del mismo modo consideraremos la complejizaci´on del espacio tangente en un punto x TxC (X ) = DerC (C ∞ (X , C)x , C) = Tx (X ) ⊗R C, y la diferencial compleja CC∞ f = f1 + if2

d

− → −→

ΩC df = df1 + idf2

para la que tambi´en se tiene df (D) = Df . Proposici´ on 15.3 Todo campo tangente real D ∈ D(U ) define de forma natural uno complejo, D(f1 + if2 ) = Df1 + iDf2 y todo campo complejo E define de modo u ´nico campos reales E1 , E2 tales que E = E1 + iE2 . Toda 1–forma real define de forma natural una compleja, ω(D1 + iD2 ) = ωD1 + iωD2 y toda 1–forma compleja ω define de modo u ´nico 1–formas reales ω1 , ω2 tales que ω = ω1 + iω2 . Demostraci´ on. Obs´ervese que E est´ a determinado sobre las funciones reales pues E(f1 + if2 ) = Ef1 + iEf2 y que para f real Ef = Re(Ef ) + i Im(Ef ) = E1 f + iE2 f.

1026

Tema 15. Variedades complejas

Definici´ on. Definimos las conjugaciones en DC y ΩC respectivamente, D = D1 + iD2 ∈ DC −→ D = D1 − iD2 ∈ DC ω = ω1 + iω2 ∈ ΩC −→ ω = ω1 − iω2 ∈ ΩC . En un abierto coordenado (U ; xi ), las parciales ∂ ∂ ,..., , ∂x1 ∂xn son base de DC (U ), pues todo campo complejo D en U n X

n n X X ∂ ∂ ∂ f1i D = D1 + iD2 = f2i Fi +i = , ∂x ∂x ∂x i i i i=1 i=1 i=1

para Fi = f1i + if2i . Del mismo modo las diferenciales dx1 , . . . , dxn son base de ΩC (U ). Definici´ on. Sea (X , J) una variedad casi compleja. Extendemos J a DC de modo que sea CC∞ –lineal y siga verificando J 2 = − Id J : DC → DC D → J(D) = J(D1 + iD2 ) = J(D1 ) + iJ(D2 ), y por tanto conmuta con la conjugaci´ on J(D) = J(D). Sobre las 1–formas definimos J : Ω C → ΩC ω → J(ω),

para Jω(D) = ω(JD).

Ahora bien como J 2 = − Id, para J : DC → DC , tendremos que J + Id = 0 y como x2 + 1 = (x − i)(x + i), siendo x − i y x + i primos entre s´ı, tendremos por el primer teorema de descomposici´on1 que 2

(1,0)

DC = ker(J − i Id) ⊕ ker(J + i Id) = DC

(0,1)

⊕ DC

,

1 Para p = x − i, p = x + i, existen polinomios q , q tales que 1 = q p + q p , 1 2 1 2 1 1 2 2 por tanto Id = q1 (J) ◦ p1 (J) + q2 (J) ◦ p2 (J) y para todo D, D = D1 + D2 , para D1 = q2 (J)[p2 (J)(D)] y D2 = q1 (J)[p1 (J)(D)], siendo pi (J)(Di ) = 0.

1027

15.1. Estructuras casi–complejas

siendo (1,0)

⇔

JD = iD,

(0,1) DC

⇔

JD = −iD,

D ∈ DC D∈

y la descomposici´ on es conjugada en el siguiente sentido (1,0)

D ∈ DC

⇔

JD = iD

⇔

JD = JD = −iD

⇔

D∈

(0,1) DC .

(1,0)

⊕ ΩC

⇔ ⇔

Del mismo modo tenemos que ΩC = ΩC

(0,1)

,

siendo (1,0)

⇔

Jω = iω,

(0,1) ΩC

⇔

Jω = −iω,

ω ∈ ΩC ω∈

(1,0)

y la descomposici´ on tambi´en es conjugada, pues ω ∈ ΩC equivale (0,1) (0,1) (1,0) a que ω ∈ ΩC . Adem´ as se tiene que las parejas (DC , ΩC ) y (1,0) (0,1) (0,1) (DC , ΩC ) son incidentes, pues por ejemplo si D ∈ DC y ω ∈ (1,0) ΩC , entonces ωD = ω(iJD) = i[Jω](D) = −ωD n

⇒

ωD = 0.

2n

Consideremos C = R , con las funciones zi = xi + iyi , entonces ΩC tiene base dx1 , dy1 , . . . , dxn , dyn y tambi´en es base dzk = dxk + idyk , dzk = dxk − idyk , y denotamos la base dual ∂ ∂ ∂ ∂ ,..., , ,..., ∈ DC , ∂z1 ∂zn ∂z1 ∂zn para la que se verifica   ∂ 1 ∂ ∂ = −i , ∂zk 2 ∂xk ∂yk   ∂ 1 ∂ ∂ = +i , ∂zk 2 ∂xk ∂yk

1028

Tema 15. Variedades complejas

y por tanto   ∂ ∂ 1 ∂ ∂ J = +i =i , ∂zk 2 ∂yk ∂xk ∂zk   ∂ 1 ∂ ∂ ∂ = −i = −i , J ∂zk 2 ∂yk ∂xk ∂zk

⇒

∂ (1,0) ∈ DC , ∂zk ∂ (0,1) ∈ DC , ∂zk

y por tanto (1,0)

DC

(0,1)

DC

∂ ∂ ,..., >, ∂z1 ∂zn ∂ ∂ =< ,..., >, ∂z1 ∂zn

=
.

(0,1)

=< dz1 , . . . , dzn > .

ΩC ΩC

Definici´ on. Sea (X , J) una variedad compleja. Diremos que un campo D ∈ DC es holomorfo si: (1,0) i) D ∈ DC , ii) Df es holomorfa para cada f holomorfa. En coordenadas un campo D es holomorfo sii existen funciones fi = Dzi holomorfas tales que D=

n X i=1

15.1.2.

fi

∂ . ∂zi

Integrabilidad de una estructura casi–compleja

Sea (X , J) una variedad casi–compleja de dimensi´on real 2n, diremos (1,0) que ΩC es un sistema de Pfaff totalmente integrable si todo punto tiene un entorno U y funciones f1 , . . . , fn ∈ CC∞ , tales que (1,0)

ΩC

(U ) =< df1 , . . . , dfn > .

Proposici´ on 15.4 Sea (X , J) una variedad casi–compleja de dimensi´ on (1,0) real 2n, entonces (X , J) es una variedad compleja sii ΩC es un sistema (0,1) de Pfaff totalmente integrable y sii lo es ΩC . Demostraci´ on. Lo u ´ltimo se sigue por conjugaci´on. ⇒ Todo punto tiene un entorno isomorfo a un abierto U ⊂ Cn , para el que (1,0)

ΩC

(U ) =< dz1 , . . . , dzn >,

(0,1)

ΩC

(U ) =< dz1 , . . . , dzn > .

1029

15.1. Estructuras casi–complejas

⇐ Por la definici´ on todo punto tiene un entorno U y f1 , . . . , fn ∈ CC∞ , tales que (1,0) ΩC (U ) =< df1 , . . . , dfn >, (0,1)

por tanto ΩC (U ) =< df1 , . . . , dfn >, y si fk = xk + iyk , dfk = dxk + idyk , dfk = dxk − idyk y ΩC (U ) =< dx1 , . . . , dxn , dy1 , . . . , dyn >, y como son reales y tienen diferenciales CC∞ independientes, tambi´en son C ∞ independientes, por tanto es un sistema de coordenadas reales. Ahora bien como (1,0)

(0,1)

DC (U ) = DC

(U ) ⊕ DC (U ) ∂ ∂ ∂ ∂ ,..., >, =< ,..., >⊕< ∂f1 ∂fn ∂f1 ∂fn

y se tiene ∂ ∂ ∂ , = + ∂xk ∂fk ∂fk

∂ =i ∂yk



∂ ∂ − ∂fk ∂fk

 ,

tendremos que 









 ∂ J =J +J ∂fk ∂ ∂ ∂ =i −i = , ∂fk ∂y ∂f k     k   ∂ ∂ ∂ J = iJ − iJ ∂yk ∂fk ∂fk ∂ ∂ ∂ =− − , =− ∂fk ∂x ∂fk k ∂ ∂xk

∂ ∂fk

por tanto (U ; xk , yk ) es un entorno coordenado casi complejo y por tanto (X , J) es una variedad compleja. Definici´ on. Llamamos tensor de Nijenhuis o´ de torsi´ on de J a N (D1 , D2 ) = [JD1 , JD2 ] − J[D1 , JD2 ] − J[JD1 , D2 ] − [D1 , D2 ], para cada par de campos D1 , D2 ∈ D.

1030

Tema 15. Variedades complejas

Proposici´ on 15.5 Las condiciones siguientes son equivalentes2 : (a) N=0. (b) D(1,0) es involutiva. (c) D(0,1) es involutiva. Demostraci´ on. Las dos u ´ltimas son equivalentes por conjugaci´on. Ahora como (J + i Id)DC = D(1,0) y (J − i Id)DC = D(0,1) , basta demostrar que para D1 , D2 ∈ DC , (J − i Id)[(J + i Id)D1 , (J + i Id)D2 ] = 0, (J + i Id)[(J − i Id)D1 , (J − i Id)D2 ] = 0, equivale a que N (D1 , D2 ) = 0. Por linealidad basta verlo para D1 , D2 ∈ DR , (J − i Id)([JD1 , JD2 ] + i[D1 , JD2 ] + i[JD1 , D2 ] − [D1 , D2 ]) = = J[JD1 , JD2 ] + iJ[D1 , JD2 ] + iJ[JD1 , D2 ] − J[D1 , D2 ]− −i[JD1 , JD2 ] + [D1 , JD2 ] + [JD1 , D2 ] + i[D1 , D2 ] = = J(N (D1 , D2 )) − iN (D1 , D2 ), lo cual es cero si N (D1 , D2 ) = 0 y rec´ıprocamente si ambas expresiones son cero, N (D1 , D2 ) = 0. Si el teorema de Frobenius fuese cierto para distribuciones complejas, tendr´ıamos de forma inmediata las equivalencias N =0

⇔ T.Frob.

⇔

D(1,0) es involutiva Ω(0,1) tot.int.

⇔

(X , J) es compleja,

pero el teorema de Frobenius no es v´ alido en general, aunque la equivalencia anterior s´ı y no es un resultado f´ acil. Teorema de Newlander–Niremberg 15.6 (X , J) casi compleja es compleja sii N=0.

Fin del Tema en construcci´ on 15

2 Entendiendo

que ∆ ⊂ DC es involutiva si D1 , D2 ∈ ∆ entonces [D1 , D2 ] ∈ ∆.

´Indice alfab´ etico S(T ), H(T ), 154 WD , 84 ∆, 753

CO2 , 42 C 12 , 42 C 14 , 42 DF , 22 Dp , 12 F 0, 2 F ∗ , 3, 25, 152 F∗ , 16 Fx0 , 2 Jp1 (f ), 397 L(E1 , E2 ), 2 T (U ), 17 ∆(V ), 343 ∆x , 342 ωx , 25 ∂/∂t, 38 ∂/∂vi , 33 ∂f /∂xi , 4 sig(σ), 153 sop(ϕ), 7 u, 930 dx , 25 dvi , 33 q(C), carga de C, 781 A(U ), 753 C(E), 1 C k (U ), 3 D(U ) = D∞ (U ), 19 DF , 349 D0 (U ), 19 DL (U ), 19 Dk (U ), 19 E ∗, 1 J 1 (U ), 397 Jp1 , 397 P(E), 1 P(V), 341 Px , 341

a˜ no–luz, 929 acci´ on, 606 adjunto de un sistema, 218 ´ algebra de funciones continuas, 1 de Grassman, 156 de Lie, 103 de polinomios, 1 exterior, 156 tensorial, 155 anillo conmutativo, 143 aplicaci´ on anal´ıtica, 696 casi compleja, 1022 contractiva, 78 de Poincar´ e, 314 diferenciable, 2, 423 imagen esf´ erica, 1006 lineal cotangente, 25 tangente, 16, 424 lipchiciana, 78 uniformemente, 80 localmente lipchiciana, 78 aproximaci´ on a una ´ orbita, 316 en espiral, 320 aristas, 997 arm´ onico n–´ esimo, 891 arm´ onicos esf´ ericos, 831 Arnold, V.I., 140 Arqu´ımedes,(287 AC—212 AC), 444 Arzela, C. (1847–1912), 139

1031

1032

´ ´ INDICE ALFABETICO

autovalores de un campo tangente lineal, 206 barrera, 858 base de campos orientada, 999 bater´ıas, 263 Bendixson, I. (1861–1936), 139 Bernoulli, D. (1700–1782), 274 Bessel, F.W. (1784–1846), 274 Birkhoff, 333 Bluman,G.W. and Kumei,S., 141 borde, de una variedad, 991 Brahe, Tycho (1546–1601), 275 braquistocrona, 512 c´ alculo de variaciones, 507, 508, 606 c´ austica, 572 c´ onica, 407 ca´ıda de tensi´ on, 263 calor, 949 1–forma, 375 ganancia o p´ erdida en un instante, 376 intercambiado, 376 realizado, 376 campo asociado a u + iv, 1004 caracter´ıstico, 452, 461 de las homotecias, 367 en fibrado tangente, 524 de vectores, 17 cotangentes, 29 de clase k, 17 tangentes, 18 diferenciable de tensores, 148 el´ ectrico, 934 electromagn´ etico, 934 irrotacional, 173 magn´ etico, 934 que apunta hacia fuera, 992 solenoidal, 173 tangente de las homotecias en fibrado tangente, 552 tensorial, 147 covariante, 152 campo tangente, 18, 424 a soporte, 22 universal, 24 caracter´ıstico, 463

complejizaci´ on, 631 complejo, 1025 completo, 84 conservativo, 295 continuo, 19 de las homotecias, 110, 297 en fibrado tangente, 553 de las traslaciones, 96 de los giros, 110 geod´ esico, 556 gradiente, 31 hamiltoniano, 393 holomorfo, 1028 invariante por un grupo, 108 lagrangiano, 525 lineal, 205 relativo, 207 localmente Hamiltoniano, 393 localmente lipchiciano, 80 uniformemente, 81 paralelo, 373 polin´ omico, 304 vertical por F , 349 campos caracter´ısticos, 628, 646 campos lineales equivalentes, 229 diferenciablemente, 230 linealmente, 230 topol´ ogicamente, 230, 297 campos paralelos, 373 campos tangentes m´ odulo dual, 28 cantidad de movimiento, 936 Caratheodory, C. (1873–1950), 444 Cartan, Elie (1869–1951), 204 catenaria, 53, 57, 59, 66, 188, 518, 573, 598, 602 catenoide, 598 Cauchy, A.L. (1789–1857), 138, 604 cerrada, p–forma, 163 ciclo, 374 cicloide, 515, 574 cierre, 990 circuito el´ ectrico, 263 circulaci´ on de un campo, 1003 clase de ω, 382 clasificaci´ on de campos no singulares, 96

´ ´ INDICE ALFABETICO de ODL, 627 codiferencial, 931 exterior, 638, 1011 coeficientes de Fourier, 882 de Fourier–Legendre, 816 complejizaci´ on del espacio tangente, 1025 Condensadores, 263 conductividad t´ ermica, 950 conexi´ on lineal, 177, 370, 555 de Levi–Civitta, 179, 498, 557 plana, 373 conjugaci´ on de campos y 1–formas, 1026 conjugada arm´ onica, 757 conjunto de medida nula, 988 invariante, 309 negativamente , 309 positivamente, 309 l´ımite negativo (Ωq ), 309 positivo (αq ), 309 cono de Monge, 451 constante g, 46 de la gravitaci´ on universal, 775 de Planck, 921, 923 gravitacional G, 46, 295 contracci´ on de un tensor, 146 interior, 144, 147 coordenadas caracter´ısticas, 646 cil´ındricas, 64 esf´ ericas, 769 hiperesf´ ericas, 824 inerciales, 928 polares, 34, 111 referencia afin, 926 simpl´ eticas, 389, 391, 491 corchete de Lagrange, 606 de Lie, 103 de dos operadores, 613 de Poisson, 607 Coriolis, G.G. de,(1792–1843), 138 corriente el´ ectrica, 262 coseno hiperb´ olico, 56, 802 Criterio De Bendixson, 324

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cuenca de un punto singular, 308 curva caracter´ıstica, 479, 605, 628 integral, 36 m´ axima, 84 parametrizada, 36 de p–formas, 163 en un espacio de Banach, 209 curvatura, 115, 133, 571, 678, 860, 1006 de Gauss, 180, 674 geod´ esica, 181 media, 600, 668, 676, 678 normal, 181 seccional, 180 D’Alembertiano, 898 u, 931 D’ancona, M., 332 dataci´ on por el carbono, 43 definici´ on intr´ınseca de EDP con z, 490 sin z, 489 densidad de carga, 937 derivaci´ on, 12, 18 derivada, 3 covariante, D∇ E, 101 de Lie, 104 de un campo tensorial, 149 de un ODL, 623 direccional, 4, 12 Descartes, Ren´ e (1596–1650) ´ ovalo, 567 Desintegraci´ on, 41 difeomorfismo, 4 de clase k, 4 que conserva la orientaci´ on, 990 diferencia de potencial, 295 diferencial, 28 compleja, 1025 covariante, 933 de funciones complejas, 632 de una p–forma compleja, 632 en un punto x, 25 exterior, 159 difusibidad del material, 951, 975 dipolo, 262 directriz, 407 Dirichlet, 333

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´ ´ INDICE ALFABETICO

distancia media, 409 distribuci´ on, 342 en Analisis Funcional, 835 involutiva, 343 rango de una, 343 totalmente integrable, 357 divergencia, 172, 227, 930, 1001 de un tensor, 933 ecuaci´ on de Gauss, 781 ecuaci´ on diferencial adjunta, 242 de Bernoulli, 113 de Bessel, 248 de Euler, 239 de la catenaria, 56 de Riccati, 242 de segundo orden, 39 exacta, 241 homog´ enea, 110 invariante por giros, 110 por homotecias, 110 por un grupo, 108 lineal, 112, 208 matricial asociada, 215 que admite factor integrante, 241 ecuaci´ on integral, 83 Ecuaciones de Cauchy–Riemann, 634, 699, 700, 1005 de Maxwell, 939 EDL, 208 EDO, 36 de Bessel, 248, 274, 896 de Euler, 756, 813 de Hamilton, 394 de Laguerre, 922, 923 de las geod´ esicas, 556 de Legendre, 813 EDP, 448 de Beltrami, 636 de Euler–Lagrange, 508, 510, 511 de Hamilton–Jacobi, 495, 562 para las geod´ esicas, 499 problema de dos cuerpos, 497 de LaPlace, 753 de las superficies m´ınimas, 673

de las superficies m´ınimas, 511, 658, 676 de ondas, 629, 669 n–dimensional, 898 aplicaciones a la m´ usica, 890 bidimensional, 894 soluci´ on de D’Alembert, 886 unidimensional, 880 de orden k, 609 de Poisson, 781, 790 de primer orden, 448 cuasilineal, 453 de Clairaut, 473, 488 de Hamilton–Jacobi, 562 de Schr¨ odinger, 523, 920 de estado estacionario, 921 del calor, 951 bidimensional, 975 soluci´ on general n = 1, 955 Einstein, Albert (1879–1955), 204 ejemplo de Tikhonov, 968 elipsoide de inercia, 185 endomorfismo J, 1021 asociado a un campo lineal, 206 curvatura, 371 de Weingarten, 181 energ´ıa, 405, 497, 525 cin´ etica, 50, 400, 499, 513, 535, 602 cin´ etica y potencial, 521 de ω, 943 de una cuerda vibrante, 888 interna del sistema, 376 potencial, 50, 513, 534, 535, 602, 775 total, 296 entorno coordenado, 423 entrop´ıa, 381 envolvente de un haz de planos, 450 de un haz de superficies, 479 espacio af´ın, 925 cotangente, 25 complejizaci´ on, 631 de Minkowski, 928 Euclideo, 926 euclideo, 2 tangente, 13, 424

´ ´ INDICE ALFABETICO complejizaci´ on, 631 topol´ ogico simplemente conexo, 864 especies en competencia, 294 espiral, 127, 195, 312 estados de un sistema termodin´ amico, 375 estructura diferenciable, 12, 422 casi–compleja, 1021 simpl´ etica, 391 fibrado cotangente, 396 fibrado tangente, 399, 526 Euler, L. (1707–1783), 274, 508, 606 evolvente, 517 exacta 1–forma, 28 p–forma, 163 excentricidad, 407 existencia de soluci´ on, 75 de una EDP de primer orden, 470 de una EDP de tipo hiperb´ olico, 714 exponencial de matrices, 223 exponentes caracter´ısticos, 279 factor de integraci´ on, 167 familia localmente finita, 425 fen´ omeno de la pulsaci´ on, 258 de la resonancia, 260 Fermat, P. (1601–1665), 564, 605 fibrado cotangente, 27 tangente, 17, 369, 398 flujo, 71 de calor, 949 de un campo a trav´ es de S, 1001 foco, 407 forma arm´ onica, 1015 de carga, 937 de Liouville, 30, 396 de volumen, 930, 999 exacta, cerrada, 163 forma fundamental, 181 F´ ormula de Gauss–Green, 996 de Kirchhoff, 911

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de Rodrigues, 814 de Stirling, 829 de Taylor, 13 integral de Cauchy, 701 integral de Gauss, 781 integral de Poisson, 807, 839 fotos´ıntesis, 43 franjas de una distribucion, 357 frecuencia fundamental, 891 frontera, 990 fuerza centr´ıfuga, 416 conservativa, 775 de Coriolis, 189, 416 electromotriz, 262 gravitacional, 776 funci´ on af´ın, 205 anal´ıtica compleja, 698 real, 692 arm´ onica, 753 en el plano, 755 bad´ en, 7 de Bessel, 250, 275, 896 de clase k, 2 de clase 1, 2 de clase infinita, 2 de Green, 838 en el plano, 862 de Liapunov, 288 de Liapunov estricta, 288 de Riemann–Green, 738 diferenciable compleja, 1025 diferenciable en una variedad, 422 energ´ıa, 519, 525, 942 Factorial, 250 Gamma, 250 generatriz, 456 holomorfa, 698, 1023 homog´ enea, 367 lineal relativa, 207 potencial, 775 de un dipolo el´ ectrico, 786 subarmonica, 849 reemplazo, 854 superarm´ onica, 855 Gaud´ı, Antonio (1852–1926), 57

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´ ´ INDICE ALFABETICO

geod´ esicas, 181, 402, 498, 499, 501, 522, 528, 529, 534, 536, 542, 556, 560, 561, 602, 1014 de la esfera, 501 de un elipsoide, 500 del cono, 504 del toro, 506 germen de funci´ on, 423 giros, 72, 763 campo tangente de los, 110 gradiente, 32, 172 Grasmann, H.G. (1809–1877), 204 Green primera identidad, 818 segunda identidad, 819, 837, 839 Grobman, 307 grupo conmutativo, 143 de Cohomolog´ıa de De Rham, 163 uniparam´ etrico, 71 local, 73 Halley, Edmond (1656–1742), 332 Hamilton, 410 Hamilton, W.R. (1805–1865), 204, 606 hamiltoniano (funci´ on), 394 Hartman, 307 haz de R–´ algebras de funciones, 6 de m´ odulos de 1–formas, 28 de campos tangentes, 19 de campos tensoriales, 147 de un sistema de Pfaff, 341 de una distribuci´ on, 343 Heaviside, O., 275 helicoide, 438 hemisimetrizaci´ on, 154 hipersuperficie caracter´ıstica, 899 hod´ ografa, 410 homotecias, 72, 763 campo de las, 552 campo tangente de las, 110 Huygens (1629–1695), 515, 916 identidad de Jacobi, 103 igualdad de Parseval, 883 impulso aparente, 936

incidente de un subm´ odulo, 343 ´ındice de estabilidad, 301 inducir la misma orientaci´ on, 984 Inductancias, 263 inmersi´ on, 428 local, 428 integral completa, 475 de 1–formas, 375 de Dirichlet, 833 de una n–forma, 987 de una curva, 210 primera, 19 intensidad de corriente, 263 interior, 990 inversi´ on respecto de una esfera, 765 inversiones, 765 is´ otopos, 42 isotermas, 375 jet 1 de aplicaciones, 543 de funciones, 397 de funciones en p, 397 Joule, J. (1818–1889), 375 Kepler, J. (1571–1630), 275 Kolchin, 140 Lagrange, J.L. (1736–1813), 203, 332, 508, 604, 606, 677 Lagrange–Charpit, 604 lagrangiana, 508, 524 Lambert, Johann Heinrich (1728–1777), 44 Laplace, P.S. (1749–1827), 275, 678 LaPlace–Runge–Lenz, 405 LaPlaciano ∆, 753 latus rectum, 407 Leibnitz, G.W. (1646–1716), 69, 138, 508 Lema de Poincar´ e, 165, 167, 195, 200, 389, 399, 400, 489, 493, 494, 871 Levi–Civita, T. (1873–1941), 204 Ley de conservaci´ on de la carga, 262, 937 de la energ´ıa, 50

´ ´ INDICE ALFABETICO momento angular, 183 momento lineal, 182 de fuerza de Lorentz, 934 de Galileo, 45 de Gauss, 941 de Hooke, 254 de inducci´ on de Faraday, 941 de Kepler primera, 267, 407 segunda, 266, 402, 540 tercera, 268, 409 de Kirchhoff primera, 264 segunda, 264 de la refracci´ on de la luz, 605 de Newton de acci´ on–reacci´ on, 182, 183 de atracci´ on universal, 46, 266, 295 de enfriamiento, 131 de transferencia del calor, 949 segunda, 46, 49, 182, 196, 254, 265, 296 de Pareto, 44, 66 de Snell, 564, 605 L’Hopital, 69 Liapunov, 333 Lie, Sophus, (1842–1899), 140 Lindelof, E.L. (1870–1946), 139 linealizaci´ on de un campo tangente, 52, 278 Liouville, J. (1809–1882), 140 Lipschitz, R.O.S. (1832–1903), 138 logaritmo, 758 m´ etodo de de de de de de

Frobenius, 246 Jacobi, 492 la envolvente, 478, 484 la Proyecci´ on, 474 Lagrange–Charpit, 477 las caracter´ısticas de Cauchy, 472 de las im´ agenes, 842, 844, 847 de las potencias, 245 de Lie, 109 de Natani, 366 de Riemann, 736 de separaci´ on de variables EDP Calor, 975

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EDP Ondas, 905 del descenso, 913 Transformada de Laplace, 247 m´ etrica de Minkowski, 673 masa aparente, 936 matriz fundamental, 214 Maupertuis, P. (1698–1759), 605 Meusnier, 677 m´ odulo, 143 de campos tangentes, 19 dual, 144 Moigno, 138 momento, 59, 182 angular, 182, 404 conservaci´ on del, 183 de inercia, 185 de un dipolo, 786 externo total, 58, 182 Monge, G. (1746–1815), 605 multiplicadores caracter´ısticos, 315 de una ´ orbita c´ıclica, 315 n–forma de Poincare–Cartan, 547 Navarro Gonz´ alez, J.A., 445 Newton, I. (1642–1727), 69, 138, 268, 508 ODL adjunto , 733 autoadjunto, 734 de una solucion z, 644 el´ıptico, 627 hiperb´ olico, 627 invariante por un difeomorfismo, 622 parab´ olico, 627 operador ∗ de Hodge, 638, 1007 de LaPlace, 753 Caracterizaci´ on, 621 de Laplace–Beltrami, 638, 1011 de Weingarten, 181, 674, 676, 1014 diferencial lineal (ODL), 614 lineal, 613 ´ orbita asint´ oticamente estable, 316

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´ ´ INDICE ALFABETICO

c´ıclica, 312 estable, 324 de un planeta, 267 Molniya, 442 peri´ odica, 312 orientaci´ on, 983, 984 contraria, 984 sistema de coordenadas, 987 ovalo de Descartes, 567 p´ endulo, 48 par´ ametro longitud de arco, 54 Pareto, Vilfredo (1848–1923), 44 Peano, G. (1858–1932), 139 per´ıodo, 312 Pfaff, J.F. (1765–1825), 445, 605 Picard, E. (1856–1941), 139 Plateau, 678 Poincar´ e, H., 306, 333 Poincare–Cartan n–forma de, 547 Poisson, S.D. (1781–1840), 333, 607 corchete, 395 par´ entesis, 395 pol´ıgono, 997 polinomios de Legendre, 814 de Tchebycheff, 809 potencial, 295, 876 diferencia de, 295 electrico, 774 electromagn´ etico, 939 electrost´ atico, 777, 779, 922 electrost´ atico, diferencia, 264 escalar, 939 gravitacional, 774 Newtoniano, de una densidad de masa, 779 retardado, 919 superficial simple, 783 vector, 939 primera forma fundamental, 181 Principio cuarto de Termodin´ amica, 380 de conservaci´ on de la energ´ıa, 267, 405 momento angular, 183, 404, 540 momento lineal, 182 de Dirichlet, 833

de Hamilton, 521 de Huygens, 916 de m´ınima acci´ on, 507, 521, 605, 606 de Hamilton, 606 de m´ınimo tiempo de Fermat, 564, 605 de Maupertuis, 533 del m´ aximo EDP calor, 952 EDP LaPlace, 798 funciones holomorfas, 703 primero de Termodin´ amica, 376 segundo de Termodin´ amica, 378, 444 tercero de Termodin´ amica, 379 principio de Duhamel, 917 problema de Cauchy para EDP de orden 1, 469 de Dirichlet, 797 en la esfera, 812 en un disco, 804 en un rect´ angulo, 801 de Goursat, 723 de los dos cuerpos, 404, 496, 539 de los tres cuerpos, 274 de Neumann, 797 de valor inicial caracter´ıstico, 724 mixto, 797 problemas de circuitos el´ ectricos, 262 de mezclas, 253 de muelles, 254 proceso de nacimiento y muerte, 458 de Poisson, 457 producto exterior, 156 tensorial, 144 de campos, 147 vectorial, 173 proyecci´ on can´ onica en el fibrado cotangente, 396 en el fibrado de jets, 397, 544 en el fibrado tangente, 17 regular, 349, 369 pulsaci´ on, 258

´ ´ INDICE ALFABETICO punto cr´ıtico, 278 de equilibrio, 278 estable, 280 asint´ oticamente, 280 hiperb´ olico, 279, 303 inestable, 280 l´ımite negativo, 309 positivo, 309 regular, 858 singular, 96, 278 puntos triangulares de Lagrange, 414 radio de convergencia, 688 espectral, 281 rango, 424 de un sistema de Pfaff, 341 de una distribuci´ on, 343 referencia af´ın, 926 euclidea, 926 inercial, 928 regla de la cadena, 16 de Leibnitz, 18, 424 en un punto, 13, 424 de Stokes, 909 Resistencias, 263 resonancia de λi ∈ C, 305 fen´ omeno de la, 260 restricci´ on de un campo, 20 de un ODL, 615 revestimiento, 864 conexo, 864 Ricci, G. (1853–1925), 203 Riemann, F.B. (1826–1866), 203, 736, 752 Ritt, 140 rotacional de un campo, 172, 364, 1003 interpretaci´ on geom´ etrica, 174 Runge–Lenz, 540 s´ımbolo de un ODL, 626 s´ımbolos de Christoffel, 556 s´ olido r´ıgido, 183

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Sancho de Salas, J., 445, 948 Sancho Guimer´ a, J., 445 sat´ elites troyanos, 422 secci´ on local, 312 segunda forma fundamental, 181 seminorma, 8 seno hiperb´ olico, 56, 802 serie de Fourier, 882 de Fourier–Legendre, 815 series multiples, 689 Siegel, 307 signo de una permutaci´ on, 153 simetrizaci´ on, 154 sistema caracter´ıstico, 345 de ω, 382 de una EDP, 652 de una EDP cuasi–lineal, 647 de coordenadas de clase k, 4 inercial, 182 inerciales, 928 lineales, 2 de Pfaff, 341 complejo totalmente integrable, 1028 de la temperatura, 375 proyectable, 350 rango, 341 totalmente integrable, 357 de Ricci, 204 fundamental, 214 termodin´ amico, 375 sistemas depredador–presa, 291 hiperb´ olicos, 725 Snellius, Willebrord (Snell) (1580–1626), 605 soluci´ on de una EDO, 36 no aut´ onoma, 38 de una EDP general, 486 singular, 486 soporte de una n-forma, 986 de una funci´ on, 7 St. Germain, 678

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´ ´ INDICE ALFABETICO

Sternberg, S., 139, 307, 333 subespacios entrantes y salientes, 301 subida de un campo, 89 al jet 1, 544 en una variedad con conexi´ on, 370, 555 primera, 553 segunda, 555 subvariedad, 428 inmersa, 428 regular, 428 soluci´ on de una EDP, 463 sumidero, 308 superficies m´ınimas, 511, 512, 597, 600, 645, 658, 659, 668, 672, 673, 676, 677, 1014 EDP, 511, 676 representaci´ on de Weierstrass, 659 temperatura, 375, 949 tensor, 144, 204 covariante hemisim´ etrico, 153 sim´ etrico, 153 de curvatura, 178 de deformaci´ on, 191 de energ´ıa–impulso, 943 de esfuerzos, 190 de inercia, 181, 185 de Nijenhuis de J, 1029 de Riemann–Christoffel, 179 de torsi´ on, 178 de J, 1029 de volumen, 170 el´ astico, 204 eliptico, hiperbolico, parabolico, 627 m´ etrico, 170, 178 Teor´ıa de Hamilton–Jacobi, 491 Teorema aplicaciones contractivas, 79 conservaci´ on energ´ıa (Ec.Ondas), 903, 904 curva de Jordan, 320 de Abel, 689 de Ascoli–Arzela, 139 de Caratheodory, 174, 200 de Cauchy, 634 de Cauchy–Kowalewsky, 682, 708 de Clairaut, 529

de comparaci´ on de Sturm, 241 de continuidad de soluci´ on de una EDP de tipo hiperb´ olico, 721 de Darboux, 387, 397, 398, 462 de dependencia cont. Ec. Calor unid., 954 grupo uniparam´ etrico, 87 problema de Dirichlet, 801 de dependencia dif. grupo uniparam´ etrico, 93 sol. EDP tipo hiperb´ olico, 723 de Dirichlet, 883 de existencia de soluci´ on de Cauchy–Peano, 77 de una EDP, 467 de una EDP de tipo hiperb´ olico, 718 Ec. Calor unid., 959 integral de Poisson, 971 de expansi´ on de autofunciones, 907 de Fourier–Bessel, 897 de Frobenius, 358, 360, 362, 374, 434, 557, 1030 de Gauss, 820 de Hartman–Grobman, 333 de Helmholtz I, 800, 871 de Helmholtz II, 800, 871 de Jacobi, 401 de Jordan, 281 de la funci´ on impl´ıcita, 6 inversa, 5, 16 de la proyecci´ on, 351, 353 de Lagrange, 297 de Liapunov ´ orbitas c´ıclicas, 318 de Liouville, 227, 270, 394, 808 de Newlander–Niremberg, 1030 de Noether, 538 de Picard, 777, 829 de Poincare–Bendixson, 322 de resonancia de Poincare, 306 de Stokes, 324, 403, 510, 633, 634, 702, 711, 758, 817, 818, 899, 904, 905, 966, 975, 994 de unicidad de soluci´ on de una EDO, 83 de una EDP, 468

´ ´ INDICE ALFABETICO de una EDP de tipo hiperb´ olico, 719 EDP LaPlace, 800 EDP Ondas, 902 EDP Poisson, 800 del flujo, 96 del valor extremo EDP calor, 968 del valor medio, 805 (I), 822, 913 (II), 822 desigualdad dominio dependencia, 900 F´ ormula de Kirchhoff, 911 generador infinitesimal, 73 valor medio funciones anal´ıticas, 703 Termodin´ amica, 444 torque, 58, 182 trabajo, 294, 774 1–forma, 375 a lo largo de una curva, 294 intercambiado, 376 realizado, 376 tractriz, 41, 64, 116, 518, 602 transferencia de calor, 949 transformaci´ on conforme, 759 lineal y funciones arm´ onicas, 764 que conserva funciones arm´ onicas, 763 simpl´ etica, 391 termodin´ amica, 375 transformada de Legendre, 524, 665 en R, 665 en R2 , 666 traslaciones, 72, 763 trayectoria de un m´ ovil, 929 espacial, 928 lum´ınica, 928 rayo de luz, 929 temporal, 928 1–forma, 28 complejizaci´ on, 631 de calor, 375 de Liouville, 30, 396 del trabajo, 294, 375 en un espacio vectorial, 25

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en una variedad, 424 exacta, 28 homog´ enea, 367 incidente, 28 regular, 382 v´ ertices del pol´ıgono, 997 Vallee–Pousin, Charles de la, (1866– 1962), 139 valor extremal del problema variacional, 546 variedad C k –diferenciable, 12 con borde, 991 diferenciable, 423 anal´ıtica compleja, 1024 casi compleja, 1021 integral, 360 m´ axima, 360 orientable, 983 orientada, 984 Riemanniana, 178 simpl´ etica, 391 tangente, 360 vector, 204 cotangente, 25 de carga–corriente, 938 de corriente, 938 de energ´ıa–impulso, 942, 943 de impulso, 936 de LaPlace–Runge–Lenz, 405 de Runge–Lenz, 540 tangente, 12 velocidad angular, 184 aparente, 928, 936 de escape, 407 Vinograd, 333 ejemplo de, 309 Volterra, Vito (1860–1940), 139, 332 volumen, 1000 Watson, 252 Wronskiano, 238 Young, T., 678