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• Julieta Herrera

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s:-bJemas, resistencia de • materta1es Dirigido por A.Volmir

EDlTORTAL MIR MOSCÚ

Tradueido-del ruso por· S. A. BuláDo"V

lmpreso ao la URSS

@ @

H8,111TOJlbCTilO "HayKa". rnoD!Iall pep,aKf.lltJ( if>nantlás~ica . . . . . . . . . . . . . . . . . § G. Torsión restringirlA de barras de paredes delgadu de pcrCil abierto § 7. Es1111c.turas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Eslruclur:~s plariO·('SJlOCialcs . . . . • •• § 9. Mútudos de elementos finitos. ~mple11 1le imio~ado;es par~ -~~ obtHnción de dio~ram:lS Capítulo 6. Resistenrla compuesta § L Flexión cs,·iada . • • . . . . . . f 2. Trac-ción 11 compresión con flexión . . . . . . . . • . . . . § 3. Estado limite de una barra sometida simuluiooumente a flexión y tracción . . , , . . . . . . . § 4. Flexión con torsión . . . • . . • § 5. O~ros casos de resistencia complcju § 6. Ban-as de rj(> quebrado . . . . . § 7. Bnn-as de Pjc qucbradQ • . • . . Capítulo 7. Est~bllidad de ba rras y ~ sistemas do barras § 1. Estabilidad d~ lus barras dentro rlc los limites de clasticld11rl § 2. E•U.bilidad trns los limites de ulastieidad . . . . . . . . . § 3. Cálculó de la e,ta bilidnd (rlcxi6u longitudinal) pur las normas del diseño estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Uso de rnétodos aproximados de cálculo de la csu•bilidad de barrns y s is tt•ruos de barrus . . . . . . . . . . . . . . . • . . , . § 5. Flexión transvart~al y longitudinal . . . . . . . . . . . . . § O. Mt;todos numéricos. Empleo do ordenadores . . . . . . . . . Capitulo 8. Barras de cun·atura grande. Cilindros de paredes gruesas § l. Barrus de curvatura grande . § 2. Ci lindros ele pnrcdcs gruesas .

Capitulo Q. Problemns de la J)inámieo § l . Tcusiuncs s deformaciones en l os el~mentos r.16viles de construe· clones . . • . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . ,§ 2. OscUacione5 prop1ns de slstcm&s elríslicos reducidos a sistemas con un grado de liberl.nd . . . . . . . . . . . • . . . . . § 3 . Oscilaciones forza das de sisterr•nS elástic-os reducidos a sistemas c on un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . § 4. Oscllncion~ de sist-e mas con varios grados de libertad § 5. Acción. del eh oquc sobre- una eonstr11ceíón . . . § 6. Oscil.aclones paramélricas y aulooscilaciones . . § 7. Mé todóS riumérltos. Utilización de ordenndo1-es

Capitul o tO. Uesistencla a In faliga y llueocia . . . § t. Resistencia en estado de 'tensiones variables § 2. Flueocia y rel•jación . . . . . . . . . .

·§ 3. M~-c;injca de In rotura . . . . . . . . . • § .f. Seguridad . en el caso. de cargas ,a.ccidenlales

6.

88 88 ~7

11}1

lOS

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H1 !16

119

120 12')

122 129

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150 [(j()

IS4 167

167 16()

t71 i71 174 179 181 182 t85 186

t87 t 87

190 1!12 1!13

Capitulo H. Láminas y bó,·edns . . . . . • . 194 § t. Flu.ión de láminas rectangulares • . . i94 § 2. Flexión de Jómina~ circulares . . . . • . • . . . • . • . . . 196 § 3. Estabilidad de láml nas rectangulaNs ~ometídas .a compresión,... ,, 197 § ~. Estabilidad de lámt nas rectangulares someti das \.¡/'< liizá1laniiento '198 § 5. Estabilidad local de barras de paredes delgadas 20l § 6. J!:stnbiJidad de bóvedas . . . . . . . . . . 202 § 7. Ooformacl6o postcrílica de láminas . • . . . . 205 § 8. Mútndo.s numóricos. lltllhación de ordenadores 206 § 9. Tensiones tangenciales en bóvedas reforzadas 206 .T •

Capitulo 12. Problemas de olimpíadas eslud l.anU ies § t. Tracción y compresión . . . . . . . . . . § 2. Cizallamiento y torsión . . . . . • • . • • . . § S. Cnracteristicas (leométrtcas de f:IS secciones . . . § 4. Tensíones en vigas y l>etructuras debidas o flexfoo . . . § 5. Despluamientos en vigns y estructurns debidos o fl.exió.o

209 209 215 218 .:

220 . ·223

SOLUCIONES E IN DICACIONE S RESPUESTAS ANEXOS Anuo t. Ta.b l3s de ~onsulw . . . . . . . . . . . . . . • . • • Tnblo 1. Valori'S de las funciones 11 y T] 1 para cálculos de vigas sobre ba.~~ ol6stica . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabln 2. Valores de lns int~¡::rttl~s dcwrmiondns quo se C!tcuentran al calcular esfu~nus y d dilatación lineal del material de las barras es a. = = 1,25 ·10:-' y l = 100 cm. Considérese constante la bemperatura de las barras de apoyo. 1.27•. Durante el ¡nontaje de una armadura resultó que la barra ~C fue fabricada .6 0 = 0,005 ~lmás corta que su dimensión de pro-

4~ ~ e

Para el problema f.27

yecto. De~ermi))ar el desplazamiento del nudo A, provocado por este cambio de.la dimensión, considerando que los nudosJde la armadura son charDelas ideales: l = 120 cm. 1.8

1.28, Calcular los esfuerzos en las barras de la estructura repre· sentada en la figura. Determinar la secc.ión de la barra más cargada, si su lam¡ión admisible es [gl = 160 MPa. Calcular el desplazamiento vertical 6.11 del nudo A, considerando que P = 50 kN, l ;:= 80 cm, E = 2 ·1()& MPa. Considérense iguales 1a:; área:; de las secciones de las barras. 1.29. Determinar el desplazamiento total del nudo A de la estructura representada en la figura para el problema 1.28 próvocado por el cal entamiento de Lodas las ba.rras a Para el probl~ma 1.28 M = 200 K, si ().1 coeficiente de dilatación lineal del material es a= 1,25 ·10-•. 1.30. Calcular el d()splazamiento totnl del nudo A de la estructura de barras representada en In figura pnrn el problema 1.28, si se sabe que todas las barras están fabricadas nn 0,5% nu)s lnrgns que sus dimensiones nominales.

§ 4. Problemas estáticamente indeterminados 1.31*. Calcular el esfuerzo eu las barras de un nudo compuesto do tres barras y dele1·mioar la magnitud admisible de la carga P, considerando que el ángulo CG = 30", el ár()a de la sección de cada una de las barras F = 2 cm~, el módulo de elasticidad E = 2 ·105 MPa, el límite de fluenci a o 11 = 260 MPa, el coeficiente de seguridad según el límite de fluencia n 11 = 2. Determinar en cu = 1500 1/s. La masa del bandaje f~jado en el extremo libre de la aleta es igual a 20 g. La sección de l a aleta es constante en t oda su longitud l = i O cm. Se considera que In masa del bandaje está concontrada en el extren10 de l a aleta a la distancia l del eje de totación. Determinar el área de la sección de la ale'a a partir de una tensión admisil>le (cr] = 160 Ml?a, si la densidad del material es p = 7,85 ·103 kg/m3 _ 1.67*. Una l>arra escolonada prismática con su extremo suJlcrior empotrad-o se estira por su peso propio y por l a fuerza P aplicada en el extremo inferiol'. Las tensiones en las secciones superiores de 28

cada escalón son iguales a la tensión admisible [a). Determin a~: l•a longitud x 1lel escalón infedot de la bll.l'ra· de . modo que el pesó de ésta sea el mínimo. La densidad del material de la barra es igual a p. 1.68. La viga AC articulada en u.n muro absolutamente rígido es sostenida por un tirante BD . Determinar la ,posicióu .del· punto B de 1mión del tirante con la viga partiendo de la .condición de q11e el peso del tirante sea el mínimo, si t = ·6 m, h = . 3 m, P b ·40 k~~ l a densidad del .acero ·es p = 7,85 ·108 •kg/m 3 , la ten.sióa .adiJ).isfble le] = i!lO MPa, el peso de un metro de viga I!S p = i 1\':N. :·' 1.69. Calcular el peso teórico (sin. téner en cuenta. el ·peso·~de los e lerueutos de unión) eguridad es n 11 = = 2, en comparación con la obtenida en el problema 1.31 CP = = 60 kN) como resullado del cálculo por el método de tensiones admisibles. Construir ol diftgt·amterruinnr la magnitud límite rlo la fnt>rza P qut> puttde ser aplicada a una barra absolutamente rígida suspondida de tres

""1"· '

lrf'

f'

.....

1~

f' q

b

~

i1'l t:

1

V Para el problema 1.73

P~ra

el problema 1.74

ti rantes de acero paralelos. Calcular la magniLud del desplazamiento del punto de aplic,oción de la carga limite. Viene dado: l = 0 ,5 m, a= 0,3 m, F = ·2 cmt, k= 2, b· = ' 0,6 m, e= 0,3 m , u 11 = .- 240 MPa, E = 2 ·105 MPa. 1.75*. Calcular l a n111gniLud límite de la fuerza P que puede ser aplicada a una barra absolutamente rígida AD. Determinar el coeficiente de seguridad que proporcjooa ~1 trabajo elástiro de todas las barras de fijación. El materiaT -a e l as barras es ~ácero de E e: = 2·106 .MPa, l amortiguAdor dis~n inuye clos Vrior termino por abajo en st>mi(!!;ferll, Construir los diogrnmas do las t.en~iones principales a lo largo del vaso considerándolo lllos .cordones hle = 80 MPa·. Determinar las dimensiones de las cubrejuiltas. Ca1cu.Iar como variarán· las cu·brejuntas, si a los cordon es ·a e· flanco se· añaden cordones de extremo con las mismas tension es admisibles. 2 .·24* . Det erminar las longitudes de los cordon es de soldadura para f ijar a 'un a plancha de u nión un angu lar equilát·ero 80 X 80 X K 10 m m (el ·área de la sección es F = f5,1 cm 2 , e1 = 2,35 cm), basánd ose en la condición.·. de equ irresistenci a de los cordones de lmión. y del ariguJar., El· material del angular es acero· S t. 3 [alu = = 160' 'MP a . La · tensión admisible en el ·material del cordón es [·tle = 90 MPa.· 60

2 .25. Comprobar la ¡:esistencia dEo la un ión de un perfil en U. ceaya lirea de la sección !lS F = 55,0 .cm•, con una plo ucha p crHlntla por medio de dos cordo1aes de flanco y un corclón en ranura. E l perfil

Para el problema 2.25

en U está sometido a tracdóu por una fuona P = 800 k N. La tensi ón admisible en el material básico es (a) 1 , = i 60 l\iPa, en el mnLerial de los cordones a cizallamionto es (1:] 0 = 80 .MPn.

§ 3. Torsión de 6rboles de seione~; tangenciales a lo l argo rlel radio de una de Jns secc.ioncs del árbol. § 4. Problemas estéticamente indeterminados a la torsión

2.41*. Un árbol macizo de sección cirri.!fitud l = 0,8 m se tuerce .p ot' el momento M = 0,6)cN.·'ni. Detormin'ai: er ancho b de la banda basándose en la condición de resistencia si' hJ'·= = 80 MPa. 2.60. Un árbol macizo circular tiono los extremos do secciones cuadradas. E l cuadrado ele l¡¡do b está inscrito en una circunferencia JI

Y

1-'-rr----\-+-·-=, '•

rr

®i

Para el probloma 2.60

de diámetro d que determ ina la !'.acción de la parte media de-l rírbol. El árbol est á cargado con los momentos K 1 = 0,4 k N ·m, Jnm d

probl~ma

a.lo

Para el problema 3.6

Para el problema 8. 7 62

Para el

probl~ala

3.5

3.5. CalculAr el área de u na sección rectangular con un recorte interno y hallar la posición del centro del área por el método do las áreas negativas. 3.6. Para una de las secciones representadas en la figura hallar el irea y determinttr la posición de su centro, teni endo en cuenta la sin1etrta de la sección. 3.7. Calcular el área do un angular inequilñtero y hallar las coordenndas de su centro re~pecto a los ojos que coinciden con sus caras exterior~~3.8. Determ inar el área do la figura y h.allar la$ coordenadas de su centro, utilizando el rn étodo de división en fíg~ras s'i ~plc~ y haciendo uso do los resu ltados obtenidos en los problemas 3.1 y 3 .3.

Para d Jl roblema 3.8

3.9. Hallar la altura de un triángulo isósceles ABC recortado de un cuadrado, sabiendo que el vértice C coi11cide con el centro del área de la figura que quedó después del cor te. 3.to•. Un rectángulo de ancho l y altura h está dividido en dos partes por una parábola de segundo orden y = a.r. Determinar los áreas y las coordenadas de los centros de colla uno de los dos triángulos curviHncos obten idos.

Para el problema 3.9

Para ol problema 3.10 63

§ l . Momentos de inercia de secciones transversales 3.1 1. Delerminar los momentos 11~ in¡,rcin axiales J "'e y J Yc Y el momento do inercia centrifugo J "c"c do las secciones: do un cuadrado cuyo lodo os a, un triángulo equilátt>ro ron un lado igual a b y un

•

1)

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eción formada por 1m angul ar incquilátero de 125 x 80 X 8 mm y 1m perfil U N° 20, tal como está rcprcscntnclo en lo fig11ra. 3.30. Determinar la posición del cehtro rle gravedad , las dirucciones de los ejes principales y calcular los momentos de inercia principales, así como los cort'c~pondi~ntc.

Ktmmum.rum.m-m

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Para el problema 4. t6 74

2a

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tOJ

Para el problema 4.17

4 .19. Determinar las reacciones en los apoyos. Construir los di agrnmas Q y i'á. Determinar el valor y el lugar del momen to fleetor mlixirno.

~~cv a l'nr~

l'l problema 4 .1$

~

Par11 re la que actúa una caJ·ga P = 15 kN en la sección media. La viga está hecha de un perfil doble T N" 12. 4.42. Seleccionar el número de un perfil doble T parll l a viga del problema anterior, si [O') = 190 MPa . 4.ti3*. Definir las tensiones tangenciales y normales máximas en una viga sobre apoyos articulados con un vano l = 1,5 01 de sección rectangular b X h = '• X 6 cm qu e soporta en su sec.ción medill un momento concentrado L = 7,2 kN •m. 4.44. Una viga doble T N° 16 de longitud l = 1,5 m, empotrada por un extremo, soporta 1ma fuerza igual a '1 0 kN en el otro. Determinar l as tensiones tangencial e, y normales máximas en la sección más peligrosa de la viga. 79

4.45. Viene dado: Q = 1 kN, M = 1 kN ·m, la secc.ión de la viga es rectangular, b = 5 cm, h = 12 cm. Determinar l:as t.ensiones tangenciales y normales en la ·Sección transversal de la viga a la l/J{! d~t;mcia - de 3 cm del eje neutro de l a secClOll.

ri::::X:=t...i

4 .46 . n) Definir el espesor h de un cordón de ::;oldadura de una viga cloble T. El tlSfttcr7.o ~~qf;tll~W\· -~•m .Ja .. sec.ci(>.n._Al !~ vj.g¡¡. es Q = ·= '300 JÜ'I . L a tensión ndroisible en el material ()e ,la ~ol(ladut·a es igual ,a (~] =c 50 .MPa. ~ b) E·l cordón •le soldadura continuo fue "" sqstituido por otro disco.n tinuo de espesor h = 1 cm. La longitud .de los h·amos sol.da. D· Determinar los momentos lleetores y Jos esfuerzos cortantes en l as secciones t ransversales de Jos •apoyos de la viga. La fuerta ·l ongitudinal no se toma en cuenla¡ a y b son las dis-

tancias entre los apoyos y el centro do gravedad del área Q) del diagrama M P construido a partir de la carga dada en el caso de una viga con apoyos articulados (el diagrama M P está representado convencionalmente). 5.132*. Construir el diagrama de los momentos flectores de una estructura con tres apoyos empotrados. Considerar que la rigide~ del pilar en flexión es igual a 1 y la del dintel igual a 2. Tomar como incógnita el ángulo a, de giro del nudo l. Utili~ar l os resultados de la solución dol problema 5.131. § 8. Estructuras plano-espaciales Desplazamientos en casos estáticamente determinados

5.133* . Determinar la flecha en el extremo de una miÍnsula curvilínea trazada por un arco de círculo dispuosto en el plano horizontal y que soporta una fuen.-. vertical P. 5.134 • .Determinar el ángulo de giro del extremo de una ménsula curvilínea en ...1 plano do la sección exlrcrua. p

~ Parn el problema 5.133

. Pnrn el problema 5.131t

Para el problema 5.13G

5.135. Hallar la flecha 6 en el extremo de l a estruct ura representado en la figura del problema 4.79, considerando que la StlCCión transversal es un círculo de diámetro d = 1 cm; b = a = 0,5 m, E= 2,2·10' MPa, G = 0,4 E, P = 1.0 N. 5.136"'. Determinar el ángulo e de giro transversal de un anillo someUdo, a la acción ~e una torsión uniformemente distribuida (los momentos flector!ls en un anillo igual fueron determinados en ol problema 4.81) . 5.137"'. Determinar l a flecha máxima de la estructura representada en la figura 8 del problema 4.87. 5.138. Determinar la flecha máxima de la estructura representada en la figura iJ. del problema 4.80. Estructuras estáticamente Indeterminadas

'5. 139• . U,na-ban:o,doblada,está empotrado on un ex.trem,o y apo1 'y:ada. ari.i'cul'ad'adlénl:e•'en' el nudo A ! El' ,Plano del eje· d'e 'lá l:lárra ei h'oti•ioota1. Vetefmiiiár 1a ~lecha f' del ex~remo Ubr~ ' 1le'. la hai-I:á que sópoid una•carga 'P = ·60,N':' Viene liado: i g; 50Ccm', 'Jos mótlui

'

ti&

los de elasticidad E= 2,2·106 MPa, G,= 0,4 E. La sección transversal de la barra es un cuadrado con el lado a = 1 cm. 5. t40*. Construir los diagramas de los momentos flectores. M y torsores Mtor de un marco rectangular cargado simétricamente.

Para el problema 5.139 Para el problema 5.140

Para ol probleina 5.14i

5 . t41 •. Lo mismo para una carga doblemente antisimétricn. 5.142* . Lo mismo para un marco triangular cargado simétricamente. 5.143* Un semiaro empotrado soporta una carga simétrica. Construir los diagramas M y Mtor·

Para el problema 5.142

l'al'fl ol problema 5.143

5.144* . Un aro circular es sometido a torsión por los momentos L. Construir los diagramas M y M tor · 5 .145. Una estructura en forma de IT do sección circular está empotrada en ambos extremos y cargada con una fuerza concentfada P en dirección perpendicular al plano do la estructura. Determinar el momento flector y la flecha en la sección central de la estructura. Viene dado: G = 0,4 E.

1,. ~ 1- - t --r· Para el problema 5.i44

>r_q_r_d ~

.r;

Para el problema 5.145 H7

Para el problema 5.146

5.147* . Construir los diagramas de las fuer as longitudinales N en las barras y detet·minar l os esfuerzos tangenciales li neales q en una armadura de paredes delgadas 1 ) (se considera que las tuerzas p

p

·_,,1

-

·'.. :; .

,

.. (/)

2/!

Ó)

Para el problema 5.i 47

d'e ·i nteracción q entre. paredes y barras: son solamente tangenciales y están upiformemente distribuidas a lo. largo de l a barra):· .

(

' ¡

1) Armaduras de paredes delgadas se llama c&nvencignai~ente a las armadUl'ás en, las·-euiiles ,¡o·s teninpuntas se sustituyen :-por paredes.

U8

§ 9. Métodos de elementos finitos. Empleo do ordenadores para la obtención de diagramas

5.148•. Para una viga de longitud l y rigidez El empo~rada en sus extremos y cargada con una fuerza P ep el centro del vano, de\erminar la flecha v11 ,. Utilizar el m6todo de los elementos finitos bnsado en el principio variacional de Ritz. Dividir la viga en dos eleméntos finitos de longitud a = l/2. I ntroducir en ,, a . calidad de parámetros variables la flecha :~ t-• y el ángulo de giro de la tangente a la línea elástica en los puntos 1, 2, 3 disPara al problema 5.148 puestos en los extremos de los elementos. Comparar el resultado de los cálculos oon el valor ~exacto• (dentro de los límites admitidos por la teoría de la flexión de vigas). 5. 149*. Examinar el problema 5.1.48 considerando la viga con apoyos articulados en sus extremos. 5.150*. Está dada una viga análoga a las examinadas en los problemas 5.1.48 y 5.149, pero con apoyos distintos: articulado ol izquierdo y empotrado el derecho. La fuerza P esU., como antes, aplicada en el centro del vano. Determinar la Uecha vfl¡1 y el ángulo de giro 9lus bajo la fuerza. 5.151*. Examinar una viga con el extremo izquierdo empotr ado y el derecho libre. En'el oxtremo libre está aplicndo un pnr de ·fuerzas de momento M 0 • ayuda del ordenador obtener los diagramas de Jos momentos, ángulos de giro e y flechas v, conside.r ando para el ejemplo que EJ = 10, Z = 10, M 0 = 1.

PF

Con

CAPfTULO 6

RESISTENCIA COMPUESTA § f . Flexi6n es viad a 6 .1•. El ext remo lihre de un voladizo soporta una carga concentrada P = 3 k N. Viene dado: b = 4 cm, h = 12 cm, l = 120 cm, a = n/6 rad. Calcular las tensiones normales en los puntos angulares de la sección más peligrosa y determinar la flecha en el extremo d(l la estructura. El voladizo es de acero, E = 2 ·106 MPa

PAra

el problema 6.1

Para el problema 6.2

6.2. Una ménsula (l = 0,8 m) de sección doble T N° 12 se encuentra en flexión bajo la acción de las fuerz as P 1 = 2,5 k N y P, = = f kN. Determinar la tensión normal máxima en la sección más peligrosa de l a estructúra. 6.3. Comprobar la resistencia y rigidez de una viga fabricada de material unidireccional de composición (E ... i ·104 MPa). Viene dado: l = 40 cm, b = 1,2 cm, h = 1,6 col. Una carga de intensidad q = 20 N/ m distribuida uniformemente actúa en el plano que pasa por el eje de l a viga y forma con el plano vertical de la viga un ángulo a ~ 1t/6 rad. La tensión admisible en flexión es [al = = 14 MPa: la flecha admisible es lll = l/800.

jB Para el problema 6.3 t20

Para el problema 6.4

6.4. Un a.ngular laminado de acero No 8 (t = 8 mm) soporta un momento flector M = 0,8 kN ·m en el plano medio del ala vertical. Determinar las tensi ones normales en los pWltos 1 , 2 y 3 de la·sección. 6.5•. Una viga de sección Z No 14, cuyo vano es igual al = 2 'm, está articuladamente apoyada en sus extremos y soporta una carga de ínt.ensídad q = 10 kN/m distribuida uniformemente. Los momentos da inercia p;incipales de la sección son: J "'· ~ 847 cm.•, J ~ = = 61,4 cm•. El angulo formado por el plano do rtgtdez máxuna y la

p

Para ol pt•oblcma 6.5

Pam ol probleron G.6

=

Para el problema 6.7

pared do la viga es

= 0,4). El grosor de la pared es igual a t = 8 mm. Determinar las tensiones máximas y la flecha máxi ma. 6.6. Determinar las tensiones normales en los puntos 1 y 2 de la sección más peligrosa de una ménsula, así como l a flech a total máxima provocada por l a acción del peso propio. La ménsula representa un angular N° 6,3 (t = 0,6 cm), q = 5,72 ·iü-1 kN /m . La longitud de la estructura es l = 2 ro , E = 2,1 ·10" MPa. 6.7. Determinar la carga concentrada admisible P que puede ser aplicada en el punto medio del vano de una viga, si la tensión admi· siblo es igual a [o] = 160 MPa. Viene dado: l = 2 m, la viga está formada por un angular N° 9 (t = 0,8 cm). 6.8* . Una viga de sección U apoyada articuladamente en sus extren1os soporta una carga uniformemente distribui da de intell5idad q = 500 kN/m. El perfil en U est á situado de tal manera qu e su pared forma con la vertical Wl ángulo a = ¡c/6 rad. El vano de la viga es igu nl a l = 4 m. La linea de acción de la carga pasa por el centro de flexión. Calcular el número del perfil en U a partir de la condición de que la tensión admisible es igual a· [o] = 1.1>0 MPa. 6.9*. Una barra de sección rectangular b X h experimenta fle· xlón es viada causada por los t:llomentos M,. y M~· A partir de la condición do resistencia se pide determinar la relación de los lados de ln sección lt = hlb correspondientes al peso m!nlmo de la barra.

6.10*. Una ménsula de sección rec~angular b X h está sometida a flexión es viada causada por la acción de una carga concentrada P en su extremo libre (véase la fig. del problema 6.1). Determinar la relación de los lados de la sección k = hlb para la cual, a partir de la flecha admisible [fl, el peso de la barra sea el mínimo. 6.1 t. El extremo libre de una viga en voladizo soporta una fue:t:za P. La sección de la viga tierte dos ejes de simetría; los momen tos de inercia con respecto a estos ejes son iguales a 250 cm4 y 3400 cm'. La dirección de la fuerza P forma con los ejes de simetría de ]a sección un ángnlo igual a rt/4 rad. Calcular el ángulo ele inclinación ce de la línea neutra respecto al eje de rigidez máxima de la sección .

.D 4---+-...tl

Para el probloma 6.8

l'ara el problema 6.9

Para el problema 6.13

6. 12. La dirección-de la flexión forma con los ejes principales de la sección de una barra sometida a flexión esviada, un ángulo o: = n/4 rad. La sección de la barra es rectangular, cuyas dimensiones son b = 2h. Determinar el sentido del vector del momento Ilector en la sección de la barra. 6.13*. Mediante el método gráfico, con ayuda dol rectángulo do inercia, se pide determinar la d irección de la flexión de una barra que experimenta .flexión esviada. Los radios do giro de la sección de la barra son t,. = ~ cm y t11 = 3 cm. La línea de acción de la fuerza P forma con el eje y un ángulo ce = 0,436 rad. 6.14. Demostrar que d~rante la fle.xión esviada cuando la línea de c!P'ga {líP!J!I,. d~ .acQjó·J;~. d.e l a fuerza P) coincida con una de la..'l di agonaleii del rectángulo de inercia·, la línea neutral coincidirá con ~~ : citrá .djagím~i. · · · · · . - · · .

,f ·2.' :r,iacció,n o coft1presló~ con OexJ6n 6.15* . U.n·a, Úra ae grosor t = 10 mm es estirada por la fuerza P = ·50 ·kN ··con tina excentricidad ·e = b/4. Detérminar el ancho b de· l,a ·i.ifa si' la· ·tensión admisible··es igual a ·[cr} = 160 MPa. . 6.16, ¿CómO' variará ·1a ·t ensión máxima en una barra de sección cuadrada, sí 1a fuerza qué a'ctúil a lo l argo de su eje se desplaza parat22

lelamente: 1) al punto A; 2) al punto B del contorno de la sección transversal? 6.17. Determinar la excentricidad de la fuerza longitudinal que suscita tensiones no.rtDales aulas fibras extremas· de una muestra de sección circular de diámetro d que se distingueh del va·tor-: medio de las tensiones en menos de un 5%.

b :

Pnro el problema 6.t5 I'nr.1 d problcmn 6.16 !'ara d ¡•rol>lcma il. l l!

6.18. Durante el ensayo de una muestra de acero a 1.raccióu compuesta en las fibras extremas se establecieron las tensiones' normales o" = 160 MPa y db = 100 MPa. Determinar la fuerza de tracción P y su excentricidad e. La sección de la muestra es rectangular: b = 6 cm, t = 5 mm. 6.19* . Determinar la profundidad admisible x de la entalladura ca una pletina de sección 60 X 10 mm estirada a lo largo de su eje por una fuerza P = 15 kN. Considerar que la t ensión admisihle es. igual a [al = 120 MPa. La concentración de tensiones se desprecia. '1

~--;--~---~~ ' ... l'ara el problomu ll.t\1

l'nr·n ,.¡ ¡wobloull\ 6.20

6.20•. En el borde do una banda do acero .somclida a tracción apareció una grieta. Para que ~sta no se extienda fresaron en el lugar de ést a una arista hueca. Hallar en cuánto aumentó la tensión en la banda como resultado de esta operación. Las dimensiones de In sección de la b-anda son: b = 100 mm, t = 8 mul, la profundidad de la arista hueca es a = 10 tnm, la fuerza de tracción es P = = 60 ltN . La concentración de tensiones se dosprccia. 123

6.21. Para disminuir la tensión máxima en la banda de acero con una arista hueca como la ex aminada en el problema anterior se proponen lresar en el borde opuesto una arista hueca i gual. ¿Cómo variar6. la tensión máxima en la banda en este caso? 6.2.2 . Dos bandos de sección b X t se estiran cada una con una fuerzo P. Una banda está debilitada por una escotadura lateral de profundidad z, la otra, por dos escotaduras laterales de la misma profundidad. ¿Con qu~ valor de x la tensión mhima CJ en la primera bando será mayor y con qué valor de x será menor que la tensión máxima en la segunda?

f

;~1

2

..

q

p

Para el

pru~lomn

!l.22

Para el prohlema 0.23

Para el problema 6.24

6.23. Determinar las tensiones en la sección más peHgrosa de la !Jarra estir ada, con un debilitamien to local, representada en la figura. La sección de la barra es cu adrada, a = 40 mm; la fuer:ta de tracción es P = 10 kN. 6.24. Uno. banda fijada con ayuda de tres remaches a un cartabón (como está representado en la figura) está cargada con una fuerza P = 25 kN. Calcul ar las tensiones en los puntos extremos de la sección que pasa por el remache inferior. Las dimensiones de la sección son: b = 60 mm, t = 5 mm, el diámetro del remache es a = = 10 mm. !.a concentración de ~ensiones se desprecia. 6.25. ¿Cuántas veces la tensión máxima en las bandas unidas a solap e, por un cordón de soldadura, es mayor que en la banda entera? (véase lo figura b). p

p

L

Q)

p

.

.

p

b)

Para el problem a 6.25

p

Para el problama 6.26

6.26•. A l a cara exterior del alma do un perfil en U está, soldada a solape una banda cuyo ancho es igual a la altura del perfil en U. La banda está sometida a una fuerza P = 250 k N. Determinar el grosor t de la banda, así corno el número del perfil on U, teniendo en cuenta que las tensio nos máximas no deben :;er mayores de

Cal = 160 MPa.

6.27. Una fuerza de tracción P = 5 kN se transmit o a un a.n gular laminado equilátero 50 X 50 x 3 por 1netlio de dos bandas de grosor t = 0,3 cm fijadas al ala del angular. Hallar la magaitnd de la tensión máxima en l a sección del angular.

p

p

Pnra el

¡~t·oblema

6.27

tl.28. Un tubo circular se estira por una fuerza P, cuya l ínea de acción pasa por el borde exterior de la sección . Comparar la tensión normal máxima a. en la sección transversal dol tubo con la tensión a0 que :resulta de la t racción axial. La relación del diámetro interior del tubo al exterior es igual a 0,8. 6.29. Una polea destinada para levantar una carga Q = 50 kN está instalada sobre el extremo libre de un voladizo compue!>to de dos perfiles en U. La tonsión del cable horizontal es P = Q. E l eje de la polca está situ ado a la distancia l = 120 ero del empotramiento. El diámetro de la polea c.s D = 20 cm. Elegir del surtido do lllminados el número del perfil en U partiendo de lo condición de quo las tensiones máximas en lo socción más peligrosa no ¡,uperon [al = = 100 MPa. 6.30"'. Una ménsula de $ección cuadrada (a X a) está cargada en el extremo libre con una Iuorza P que actúa hojo un ángulo a respecto al eje de la b~trra. Determinar la tensión mlixirna on el empotramiento, así como el ángulo a 0 correspondientu al valor rnáxinw do la tensión. 6.31. Comprobar la resistencia de la viga horizontal de una grúa cantilever en el caso cuando la carga concentrada P = 30 kN se encuentre en el punto medio de su pluma. La viga es de perfil doble T N° 18. El vano de In viga es igual a l = 2,G m. El tirante form a con la viga un ángulo a. = rr./6 rad. La tensión admisible es l· t a de dos part~s cilindricas de igual longitud; los momen'tos de inercia de l as secciones transversales son J 1 y J,. H aciondo u~o de 1l1étodo· de· aproximaci'oues sucesivas (en form a ianalftiéa), se p ide·dcterm inar el valor nproximaHo ele la carga crítica ·Pi P 1 ex presándolo por medio de la (6rmu)a

+

(P1

+ P. 1)r,r =

k'EJ Jl1 ,

donde k 2 es un coeficiente que depende de los parámetros

,_,

a= Pt~(P 1

+ P,)

y ~

=

J tiJ 1 •

Con,siderar que l a curva inicial es una parábola u = 4/ (1.1: - :z2 )/Z2 y limitarse a una, áproitímación. Com·parar las fleGh'as en el punto medio de la luz. 152

Hallar el valor del coeficiente k 2 para los casos siguient:es: n) et = 2/3, ~ = 3/2; b) et = 1/ 2, ~ = :?;. Com•pnTBr los resultados col\1 los valores exactos del coeficiente Jc2. 7 .4.0*. Una barra coropriroi,ccíón y el eje neutro en el caso de flexión p11ra ele nna 1>arra de sección rectangular cuando h ! R = 1 y h!R = 0,5. La fórmul11 aproximada t i cnll la ex presión e= .1/ (FR).

Pnm el problema 8.1

Para el prohlcm u 8.3

8 .3*. Comprobar la resis\encia de un gancho sometido a la acción de una carga P = 23 kN·; R 1 = 3 cm, R, = t 2 cm, b 1 = 4 cm, b. = 2 cm. La tensión admisible es [O'} = 90 MPa. - 8.4*. Determinar la carga admisible que puede soportar un gancho fabricado de una barra de acero de diámetro d = 20 mm; R = =30 mm. Ellímitedefluencia es0'11 = 270 MPa, el factor de seguridad es nn = 1,5. 8.5*. Determinar a qué magnitud !l. se pueden separar los extremos de un anillo cortado, de sección rectangular, para que la tensión normal máximh 110 supere el lírilite ' dé fluencii1 O'ta = 300 MPa; R = 4 cm , h == 1. cm; E- = 2 ·f05 MPa. Én ·estado no déforinado el juego ()S igual u c.Mo. 167

_, ..

--.

¡¡ ~

p

Para el prohlcmn 8.4

l?orn ni problema 8.0

Paru el problema 8 .5

8.6*. Determinar la tensión normal múxima de una barra curvo ,de sección tubular cuyo diámetro exterior es d = 46 mm y el grosor .de la pa(ed es ~ = 6 oun; R = 80 mm; a = 50 mm .• P -= 4 kN. 8.7. Determinar los tensiones en los punt¡os extremos de la sección AB de una barr a curva, cuando ést a so porta una carga P = 20 kN; R 1 = 20 cm, R~ = 30 cm, l = 20 cm, b = 6 cm, t = 2 cm.

Poro el prohlcrna 8.7

Pnrn tll pro!,lema 8.8

8 .8* . Determinar el acerc·a micnlo !le los extremos de una barra curva de sección cuadrada, cuyo lad9 es u = R/2. Comparar el resultado coo. la resolución aproximada obtenida' tnediante la fórmula paro. barros de cm·vatura poquef\a. p

1,

Para. el .Proble!Jla ~..9 .

·.

•

. p

Para 411 prob~ema 8.!t

~.9~~ -Determilil¡ll'~ 1~ ,te~ió~ nornial máx~ma en U..Ó filO de, acer.? =:: 30 k N.;

~e secyi~n :ectang~ar eu,a_l}dO eatá es~irodo pór las f~erz11s .P

R

= 12 cm,

h

=

6 cm, b = 2 cm.

8. tQ•. Determinar el ~u mento del diámetro verti Ita~ g 0 ,"28. Calcular por la III too ría do resistencia; E00i;;, .1 ·105 ){Pa, E"" 2 ·105 MPa. . . . ~.; ~3,*, . peter~ in,ar las ~'ªn~ion.~ cir~unlore~cia.les má'-\(Ítn~S. en ol (lobrQ r ol a2eró 'de! ~übo compu'esto e'xachirt,do l\n .~1' i>tol:)lllma ·a•uter'iiir' stirgldos."cóáío·coñsl!éuoncra del calentamiento tfnifórme a 61' = i:::: 8·o :K. ·' · · ,

=

ae

=

CAPfTU LO 9

PROBLEMAS DE LA DINÁMICA § t. Tensiones y deformaciones en los ele~tos móviles de construcciones 9.1. Una carga de Dlasa m= 2000 kg ostá suspo1íd.i~a de un cable de acero quo contion~ '5 00 al ambres do diámetro d ""' 'Ú\5 mm. El tambor gira en el sentido contrario al do las Bglljas del reloj con una aceleración angular e = 10 s- e. Hallar la tensión norm al en el coblo. El diámetro del tambor es /J = 0,5 m.

Para el

problem:~

9.1

Parn el prohlc!rM !1.3

9 .2. Una carga de ma~a m = 1800 kg suspendida do un cable desciendo a una velocidad V = 12 m/s. Al fin al del descenso so conocta el freno q ue hace parar la carga después de hacer ésta un recorrido h = 3 m.t Determinar la tensión normal en el cablo, considerando que la fuerza del írenado es constant e. El área de la secGión del cable es F = 5 cm'. 9.3*. Una barra do acero de sección constante gira alredodor de un eje ver tical con una velocidad angular cO'nstante w. Determinar la longitud máxima admisible de la barra lu[Q, con le. cual se asegura su resistencia, si ella gira con una frecuencia de rotación igual a n = 'l200 r.p.m., así como la frecuencia de rotac.i6n n ...h con la cual la barr a rom perá, si l = Lnm· Viene dado: {al = 100 MPa, a, = 800 MPa, p = 7;83 t/m 3 • 9.4. Un aro fi no de acero gira ah·e4edor del eje central perpendicular a su· p lano. Comprobar l a resistencia del aro y determillllr la velocidad circunferencial máxima adm isible. E l diá.metro medio del aro es D = 70 cm, la densidad del material es p = 7,85 t/ m\ la frecuencia de rotación os n = 3000 r. p.m., [al 100 MPa.

=

••

1

9.5•. Con ayuda del cabrestante C instal ado sobre dos vigas de sección dobl e T No 20a se eleva, con una aceleración constante, una carga de masa m1 = 5 t. Se salle que durante los primeros tres segundos l a carga pasa una distancia h = 10 m. Comprobar la resistencia de las vigas. La masa del cabr estante es m 1 = 0,5 t, l = 4 m, [al= 160 MPa.

Par~

ol problema 9.4

Para el problema 9.5

9.6. A u n árbol que gira con una velocidad angular constante están fi jadas dos barras, cada una de las cuales lleva en su extremo una masa m = 10 kg. Las barras se encuentran en un -mismo plano a iguales distancias de los apoyos. Determinar l as magnitudes de las t ensiones normales máximas debidas a la flexión del árbol por las fuerzas de inercia. La masa propia del árbol y la de l as barras s e desprecian. Viene dado: n = 600 r. p.ro . , l =3m, d = 6 cm, r = = 0,25 m, a= 2 m.

.

i

•¡ f.ara ·eJ problema 9.6 · .~

..,

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..:.~:.

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: .

-

t> ,.', ' ~m"',.

.

- e' 1 ·1 1 1 i

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. ~2~2--i

.

1 ..

Para el problema 9.7 . .

..

.

.

-

~-,J.!· . ;_~lpé.i\.~i,cjón. §~~ip_r ,~)V.!lgo ¡¡e .dejA p¡¡e¡: ~libi:W~n~e: P~ter:­

~l.X\!!1:' )1!-· .tjlns•gn ··norJJ;l._!ll ~!11~~!11!.!!- _en. el lli.e. -9eh·pendulo -.{l~blda, a . la , Jle;tóii .PPr1 l.as :{u!lryas; d.e · i.!.ll~r~;ia: Vie;Q~. 'dad9: .11~ :=:' 25- l!;g, r ;;= ~~-9..1!),,p¡ , .l F 0,25.,;o:¡ •. d, = ·2 cm. La, rqasa..propia. de 1~ barra CD y !!1 r9ZB-~Diento se desprecian. Considerpr. a = O. . . ,:' ' ..!).!~-~ ·- P.et~¡:miJ;(a:r ~ll.. t.~nsiql',l; nortpal J1.1á xima, debid!l A la_f~exi6n .p_or,,I~~ffuep;l!fl .d~. i,ner: de_;Ji:m_gi.t.u/ diáme.t.ro d ;-;= 2-cm, Hallar la ~r.ecuéncia · 'Yo ·el .per.í.odo ·de· oscilaciones· verticales propias del sistema sin t·e ner y;t~~i.!)qtt!H;!Q t;_y¡m~a 1ª !t\ilsa cte l¡¡ .b.l\rra. La c:lensidad del material e~ ,p.•9,-J,8S·~.t/m~,,.,._~~:=-·'2 ·10 6 .M~ a. , · .. ~9.~~1 * : ]))~ter.IJ'!iJ.Iar.la .fr.fJc.ueMia y. el periodo: de osdláciones longi- , húllií.!!l~~ •.pioP.ili.s ·., de· ~Q. ,res.o~te -c\Ht!dr:ic.o.· E l r d,iáme.tro· .m ed io deJ.J r~~o,r te D = 60. ;:i.n.Dl:; !!1 ,d.el. ,al~r:n br.e .del'- ro~t: Jlf! lnyestiga.r el carácter de. las oscila·' ciones después· de arrancar el· mot-or, supo: ;~ ~-1-i!-~!li-:r-..f~lll niondo gúe ést é ' adqu.iere· inst'antAñeament e "?SI!,..-Oiioo¡t una frecueñcia de ·rot.aci6n'• igual a n = ¡.....:..J...~~-Jt.tl.;.:.'-tl = 60Q r.p;rn. Halla:tlla tensión máxima en .. e ' las •viga.s·.au:c.ánte e1• régimeñ· ·!n.establo en '' Para e\ prqbJO:¡pá 9.49 ' qu,e·las··é '-'1oii· cú'á'íé!t pasá. el -~rolia'inieti.t:o ae ex·Ci'táci\Sn.'· M ·pasilt··ra.· corti'en't:e 'electí:~caé·por . e1 9:71.*.

ün·

.

:,· . ·

;11ir9.1l~Jiii~n~ó ,~n~ '.J~ ~.~ifióxr ~~1;;ao:mo = 0,05, \11, = O. 10 .11*. Una carga de masa m = 20 kg suspendida de un resorte cilíndrico efectúa oscilaciones con una amplitud A = 4 cm. E l diámetro medio dol resorte es D = 10 cm, ol d es cargada dos veces. ' "

13-0384

CAPITULO 11

LAMINAS Y BÓVEDAS § 1. Flexión de lámi nas rectangulares 11.1*. Una lámina rectanguJar libre rlo espesor h = 0,6 cm se encuentra sometida a flexión por momentos ~~" = 600 N •m/ ro uniformemente dist ribnillos a lo largo dl:l los bord01; largos paralelos al eje y. H11llnr el momento torsor máximo t!n la lííntina, usi como las tensione:- normnl.es y tangenc.ialcs mtíxim11s. Determinar los rndioH d o cur\'atura prln! c.i pnles do Jn superficie media de la láminn. La lámina es de acero (E = = 2 -10!> MPa, 11 = 0,3). 1 1.2* . Un u lñruina rectangular libre de espe::or h = 0,4 cm se halla ex puesPar:~ el prohlcma t1.2 ta a flex ión por momentos NI., = = 300 N ·ro/Ul y M v = 100 N ·rn.'Ill unifol'l'nemcnte distribuidos1a lo l argo do sus bordes. Determin ar las tensiones normales y t angenciales máximas en la lámina y comprobar su resistoncia con ayuda de la tcorln energética de re~ist en­ cia cuando ln tensión admi sible es igual a 10'1 = 120 MPa. t 1.3. Una lámina cuadrada libre de espesor h se curva por momentos J\1!,. y Mu unilormemento diskibuidos a lo largo de sus bordes. Determinar cuál debe ser la relación entre ilif" y M 0 p ara que la torsión de la lámi na sea igual a cero. Rollar la superfi cie por la C\l&l se producirá l a flexión de la lámina en este ca5o y determinar el. alargamient o,.relativo máximo en la lámina, considerando que el módulo de elasticidad E y el coeficiente ele Poisson Jl del material son conocidos. 11 .4. Una lámina cuadrada libre de espesor h se curva por momentos M" y il-1.v uniformemente distribuidos 11 lo largo de sus hordl•:'l.é,mlnp.-tp'or!·s'ecciones :paralelas.-a. -sus bordes., E l lado a

.de!' la

Já'¡il~na.-:y.;~'l-·"·grósqr ·li tl~~tán,,. il,ados ~ '

•

•

t

,. 1

~·"\,J~ :-~7 ..~, ¿ol e$· hueca, con una relación ent.r é su~ d_iámetro&. interior y exterior igual a a.. El diámetro exterior del ár~o1 es igualo a D. Sin ·definir los momentos reactivos en los em potram.i entos, sepide hallar l a relación entre las tensiones en las partes izquierda,. y derecha del iirhol.

Para ' el problema 12.88

Para el lJroblomn 12.39 '

12.39. Una barra redondo de diámetro D rígidamen te fijada en· los extremos ostá cortada en la sección C a una distancia igual a la. tercera porte de la longitucl de la barra a pal:tir del , empotramiento izquierdo. En la parte cortada los exttemos e¡¡tán apretados el uno con el otro. L a barra se calienta en t 0 y luego se lo aplica un momento torsor K que crece pa,ulatinamen,t e. ¿Con qué valor del momento se efectuará el giro mutuo de las partes del árbol el corte?· El coeficiente de rozamiento es igual a /; el coeficiente de-dilatación . lineal del material del' árbol es a.: el módulo de elasticidad del m·aterial esE:-La tenPara el problema. 12.40sión no supera ·e l límite de elasticidad. 12.40. Un tubo de diámetro D, ·cuya relación entre diámetros: interior y exterior es a., tiene una fijación rígida en un extremo y-

en

217'

:aplicado en su punto medio el momento torsor K. Eu el otro extremo -t~l tubo tiene impedido el giro por dos tirantes paralelos AC y BD ·de iguales dimensiones y articulados a una traviesa rígida. Determinar los esf-uerzos N en los tirant es, con.siderando que todas ;las dimensiones son conocidas.

§ 3. Caracterlsticu geom6frlcas de las secciones 12.41*. Hallar los momentos de inercia axiales y centrífugos do triángulo isósceles rectángulo respecto a los ejes que pasan por el oeentro de la hipotenusa, como e.~tá representado en la figura. ~n

1

~j''1 -/L_

Para

~1

problema 12.4t

Para el problema 12.42

12.42. ¿Con qué relación entre las dimensiones a y h el mótlulo 't'esistente de una viga de sección cruciforme con respecto al eje ~orizontal no variará al girar la sección a 45°? 12.43*. Dote.rminar la posición de los ejes centrales principales ·de una sección de paredes delgadas. El grosor de la pared es constante, 'J)equeña e igual a h. Las dimensiones dadas en la figura son las de la línea medía de las paredes.

Para el problema i2.43 Para el problema 12..44

Par¡¡ el problema

12.~

12.44. Para una sección en. forma de rombo de lado a se pide c:on q_ué relación entre las dimensi ones b•y, h el momento -d!! inercia . y eL módulo resistente •respecto al eje ·ctmttal horizontal .serán máximos.· • "t2.~5* • .iLa iig:urn, cuya área en el dibujo est á 1.1ayada, se compone -de.n•cuadrados inscritos uno en el otro. Calcular eLmomento de iner-deter~inar

.218

da de la figura resp·eeto ál ejé'centrál' horizon-tal z y al eje z¡ incllnad'o respecto al horizonte a un ángulo c:t = 30°. 12 .46•. ¿Con qué rélación· entre, l a altura h y lo, b~S\l' b,ide un r ootángulo, insctito en un circulo, elmoménto de inercia y ;el módulo resi.s tente respecto al eje centr_al h orizontal serán máximos?

Para el problema 12.46

Pora el probluma 12.47

Para el problomn 12.48

12.47. Hollar los puntos que poseen la propiedad de que cualquier eje z,. que pa:;a por uno de estos puntos será eje principal del roctángu.ló.

12.48. Sin recurrir a cálculos demostrar que los ejes z e y que p asan por el centro de la hipo~enusa de un triángulo rectángulo paralelamente a sqs catetos son los ejes principales. 12.49. Para la seeción representada en la figura se pide hallar t odos los ejes principales que pasan por el punto O.

Para el problema i 2.49

Para ol prohlruna cl2.50

12.50•. La sección está formada por un triángulo equilátero y u n rectángulo, cuyas dimensiones están indicarlas en la figura. Demostrar que In magnitud del momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de gcavedad del triángulo no depende de la dirección del eje. 2t9

§ 4. Tensiones en vigas y estructuras de bidas a flexión

12.5i. ¿Qué forma debe tener una viga de sección rect, Para el problcmn 12.63

Para el problema 12.64

Para ol pi"Ob!ema 12.ns

12.64. Una viga recta homogénea de longitud l y peso G = ql descansa sobro un plano rígido. Determinar la altura a la que la viga será levantada al aplicar en su extremo el momento L = ql2f8. 12.65. Construir el diagrama de las tensiones tangenciales 1:., en la sección transversal de una viga que trabaja a flexión (x es e~ ojo longitudinal de la viga). La sección de la viga es rómbica. 12 .~6. Construir los diagramas de los esfuerzos cortantes y los momentos flectores.

Parl! ·el pro.blema i2.6~

Para el problema 12.67

f

12.67. Hallar el desplazamiento horizontal del pun·t o A del eje de la viga. 42,~: ·Qonst~u,Íl\·.~l~diagrama del esfuerzo cortante y del momento flector de ÜJl-1\. v~~a cB;rgada. con momentos que varian linealmente.

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.· Fara ' el· problema 12.68 222

Para el problema 12.!\9 Paro el pr()blamu 12.70

12.69. D.eter.minar,;_el .momento Ilectoi~ junto ·al . empot:cW;~·feñto­ .de -una .b~r~a ·redonda .soH.citada-'!JlOJ: •Ulla; c_a rga.' r.adial,idistrib.uida. , · ·.; • i ·segúl) la ley q ..= ··kq>, donde k .és m) a: •constante.·. 12.70•. Una cinta fina inelásticá, ,que-el)•. el•.. ebs'ayo.1>= Fo di =0,64. t.4 . Baa6ndonos en los daws del experimento, compongamos la tabla de los crecimientos medios de las indic.aeionea de los tena6metros correspondientes

I

Crr.clmten-~lndlenolón Crecimiento 1O