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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje de Ciencias B´asicas

MATEMATICAS I CUADERNO DEL ESTUDIANTE

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1.

Pr´ ologo

Este cuaderno esta destinado a las clases activas de Matematicas I, que en la pr´actica es una de las partes m´ as importante de la asignatura, cuyo prop´osito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando a identificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dar´a al estudiante una visi´ on global de las herramientas entregadas en la asignatura. El Cuaderno de trabajo, esta dividido por las actividades que se realizaran a lo largo del curso. El n´ umero y tipo de actividades es variable en cada uno de ellas dependiendo del tema del mismo. La metodolog´ıa a seguir, consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases practicas y en el Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas (CIAC), en donde con la supervisi´on de profesores y tutores, el estudiante aplicar´ a conceptos y m´etodos de los distintos contenidos ya entregados en la clase te´ orica y as´ı podr´ a resolver los diferentes tipos problemas y aplicaciones. Se pretende con esta metodolog´ıa, ayudar al estudiante a seguir y entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de esta forma se concreta lo explicado en las clases te´oricas y adem´as se ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos. La aparici´ on de dificultades con los ejercicios de este cuaderno es un indicador de que no se ha alcanzado el nivel de aprendizaje esperado. Finalmente, pretende ser una de las primeras etapas en el aprendizaje de las unidades tem´ aticas, guiando a los estudiantes en el proceso de jerarquizaci´on de la informaci´on sobre las mismas, remarcando conceptos y haciendo ´enfasis en lo m´ as relevantes. El Cuaderno es, no obstante, una presentaci´on sucinta del tema. Siempre hay informaci´ on adicional necesaria para la comprensi´on cabal de los contenidos, que no se incluye y que debe ser completada con la lectura del texto gu´ıa. Se espera ir perfeccionado este Cuaderno de Estudio en todos los sentidos: edici´on del texto, redacci´ on y niveles de dificultad. Iv´ an Sz´ ant´ oN Departamento de Matem´ atica

Celin Mora Centro Integrado de Aprendizaje de Ciencias B´asicas CIAC

1◦ Semestre 2012

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1◦ Semestre 2012

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´Indice 1. Pr´ ologo

3

2. Preliminares: Problemas de Planteo

7

3. L´ ogica Simb´ olica y Conjuntos

12

3.1. L´ ogica Simb´ olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2. Diferentes tipos de Teoremas y su relaci´on rec´ıproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4. Conjuntos y operaciones sobre ellos 4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Numeros Naturales: Principio de inducci´ on matem´ atica

26 27 33

5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

5.2.

Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.3.

Productorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.4. Ejercicios Sumatorias y productorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

6. Progresiones.

40

6.1. Ejercicios progresiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Teorema del Binomio

42 45

7.1.

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

7.2.

Ejercicios varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

8. N´ umeros Reales, Desigualdades e Inecuaciones

68

8.1. N´ umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

8.2. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

8.3. Cotas superiores e inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

9. Ecuaciones e Inecuaciones.

70

9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

9.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

9.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

10.Plano cartesiano, rectas y c´ onicas 10.1. Ejercicios: Rectas y C´ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.Ejercicios 12.C´ onicas 12.1. Circunferencia

1◦ Semestre 2012

89 90 96 105

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje de Ciencias B´asicas 12.1.1. Par´ abola

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.1.2. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.1.3. Hip´erbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.2. Lugares Geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.Funciones de Una Variable Real

125

13.1. Estudio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13.2. Problemas de Modelaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 13.3. Ejercicios: Funciones Polinomiales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

14.Trigonometr´ıa

167

14.1. Operatoria y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 14.2. Identidades Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14.3. Ecuaciones Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 15.N´ umeros Complejos

189

15.1. Representaci´ on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 15.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 16.L´ımites y Continuidad

206

16.1. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 16.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 16.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 17.La Derivada 17.1. Operatoria

231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

17.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 17.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 18.Aplicaciones de la Derivada

260

18.1. Problemas de Raz´ on de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 18.2. Problemas de Optimizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 18.3. Estudio de Funciones y Trazados de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 19.Problemas varios

290

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2.

Preliminares: Problemas de Planteo

Resuelva los siguientes problemas de planteo definiendo claramente las variables que utilizar´a en su desarrollo.

1. A un estudiante se le pregunta su edad y el responde: ”Si se a˜ naden 13 a˜ nos al cu´adruple de mi edad, se tendr´ıa lo que falta para tener 98 a˜ nos”. ¿Cu´al es la edad del estudiante?

2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro a˜ nos era el doble de la edad que tendr´ a Pablo en siete a˜ nos. ¿Cu´al es la suma de ambas edades?

7

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 3. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, m´as el 45 % del resto; en total vende 5700 m2 . ¿Cu´ anto mide el terreno que le queda a Patricio?.

4. En un tri´ angulo rect´ angulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el area del tri´ ´ angulo.

5. El per´ımetro de cierto rect´ angulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el ´area del rect´angulo.

8

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 6. Si cada lado de un tri´ angulo is´ oceles disminuye en un 18 %, ¿en cu´anto % disminuye su ´area?.

7. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el punto medio de BC. ¿Qu´e tanto % de AM mide BM ?.

8. Un cilindro tiene 15 cm de di´ ametro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un c´ırculo cuya ´area sea igual al 50 % de la superficie total del cilindro.

9

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 9. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuye en un 20 %. ¿En cu´ anto % var´ıa la superficie basal, total y el volumen del cono?.

10. El ancho de un anillo circular mide 8 % m´as que el radio de la circunferencia interior. ¿Qu´e tanto % del area del anillo es el ´ ´ area del c´ırculo interior si el di´ametro del c´ırculo interior es de 70 cm?.

11. Suponga que el di´ ametro de un c´ırculo mide 30 % menos que el de otro c´ırculo conc´entrico. Expresar el area del anillo en tanto % del ´ ´ area del c´ırculo interior.

10

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 12. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radio basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera.

13. Considere el rect´ angulo cuya base y altura est´an en la proporci´on b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumenta en 1 m y la altura ”a” en 3 m el rect´angulo se transforma en un cuadrado. ¿Cu´anto mide la diagonal del rect´ angulo?

14. Considere el s´ olido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en la parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x; y la altura del s´olido es de 5x. Si el volumen del s´ olido es de 254π, encuentre el valor de x.

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3. 3.1.

L´ ogica Simb´ olica y Conjuntos L´ ogica Simb´ olica

Al anotar los razonamientos matem´ aticos resulta razonable aplicar ciertos s´ımbolos econ´omicos usados en la l´ ogica. He aqu´ı algunos s´ımbolos de los m´as sencillos utilizados con mayor frecuencia. Sean α y β ciertas declaraciones y afirmaciones o bien proposiciones es decir, oraciones narratorias, con respecto a cada una de las cuales podemos decir si es cierta o falsa. La notaci´ on α significa no α, es decir, negaci´on de la afirmaci´on α. La notaci´ on α ⇒ β significa:  de la afirmaci´on α resulta la afirmaci´on β  (⇒ es el s´ımbolo de implicaci´ on). La notaci´ on α ⇔ β significa :  la afirmaci´on α es equivalente a la afirmaci´on β , es decir, de α proviene β y de β se deduce α (⇔ es el s´ımbolo de equivalencia). La notaci´ on α ∧ β significa  α y β  (∧ es el s´ımbolo de conjunci´ on). La notaci´ on α ∨ β significa  α ´ o β  ´o ambos (∨ es el s´ımbolo de disyunci´ on). La notaci´ on α Y β significa  α ´ o β  pero no ambos (Y es el s´ımbolo de disyunci´ on exclusiva). La notaci´ on ∀x ∈ Xα(x) significa:  para todo elemento x ∈ X la afirmaci´on α(x) es ver´ıdica (∀ es el cuantificador universal ). La notaci´ on ∃x ∈ Xα(x) significa: existe tal elemento x ∈ X, para el cual la afirmaci´on α(x) es ver´ıdica (∃ es el cuantificador existencial ). Si un elemento x ∈ X, para el cual la afirmaci´on α(x) es ver´ıdica no s´olo existe, sino que es u ´nico, se describe: ∃!x ∈ Xα(x). Tablas de Verdad p V V F F

3.2.

q V F V F

p

∧ V F F F

q

p

∨ V V V F

q

p

Y F V V F

q

p

⇒ V F V V

q

p

⇐⇒ V F F V

q

p F V

Diferentes tipos de Teoremas y su relaci´ on rec´ıproca.

Por regla general en las matem´ aticas los teoremas se enuncian ( o pueden ser enunciados ) en la forma siguiente: Para cada elemento x del conjunto U a partir de la proposici´on p(x) se deduce la proposici´on q(x). Ejemplo: U = N, p(x) : x es un n´ umero impar. Deduzca q(x) : x2 es un n´ umero impar. Al utilizar las designaciones anteriores, cada teorema de este tipo se puede escribir como: (∀x) (p(x) ⇒ q(x)), x ∈ U

12

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas La proposici´ on p(x) se llama supuesto o hip´otesis del teorema y la proposici´on q(x) conclusi´on o tesis del teorema. Al enunciar los teoremas se utilizan frecuentemente los t´erminos suficiente, necesario, nesesario y suficiente. Vamos a aclarar el sentido de estos t´erminos. Si el teorema p(x) ⇒ q(x) es cierto, entonces la hip´otesis del teorema p(x) se llama condici´ on suficiente para la conclusi´ on de q(x) y la conclusi´on del teorema q(x) se denomina condici´ on necesaria para p(x). Ejemplo. Si un cuadril´ atero es un rect´ angulo, sus diagonales son congruentes. Este teorema es cierto y, por lo tanto, el supuesto del teorema es la condici´on suficiente para la conclusi´on, o sea, para que las diagonales de un cuadril´ atero sean congruentes es suficiente que el cuadril´atero sea rect´angulo. La conclusi´ on de este teorema es la condici´on necesaria para la hip´otesis del teorema, o sea, para que un cuadril´ atero sea un rect´ angulo, es necesario que las diagonales del cuadril´atero sean congruentes. Si es v´ alido no solamente el teorema p(x) ⇒ q(x) si no el rec´ıproco a ´este q(x) ⇒ p(x), entonces p(x) es la condici´ on, necesaria y suficiente para q(x), mientras q(x) es la condici´ on, necesaria y suficientepara p(x). Definici´ on. Los teoremas p(x) ⇒ q(x) y p(x) ⇒ q(x) se llaman contrarios. De las definiciones y razonamientos precedentes se desprende que para cada teorema p(x) ⇒ q(x) se pueden enunciar tres teoremas m´ as. El rec´ıproco q(x) ⇒ p(x) El contrario p(x) ⇒ q(x) El contrario al rec´ıproco q(x) ⇒ p(x). Consideremos a continuaci´ on el teorema Si un cuadril´ atero es un rombo, sus diagonales son mutuamente perpendiculares, ( el teorema es cierto). Entonces los tres teoremas indicados se enuncian as´ı. Rec´ıproco: Si las diagonales de un cuadril´ atero son mutuamente perpendiculares, este cuadril´ atero es un rombo( el teorema es falso) Contrario: Si un cuadril´ atero no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares (el teorema es falso) Contrario al rec´ıproco: si las diagonales de un cuadril´ atero no son mutuamente perpendiculares, el cuadril´ atero no es un rombo ( el teorema es cierto) En el ejemplo anterior los teoremas directo y contrario al rec´ıproco son verdaderos y los teoremas rec´ıproco y contrario son falsos. Esta coincidencia no es casual. Entre estos cuatros tipos de teorema existe una relaci´ on rec´ıproca estrecha, a saber: a.- Los teoremas p(x) ⇒ q(x), y q(x) ⇒ p(x) es decir el directo y el contrario al rec´ıproco, son simultaneamente verdaderos o falsos. b.- Los teoremas q(x) ⇒ p(x), y p(x) ⇒ q(x) o sea, el rec´ıproco y el contrario tambi´en son a la vez verdaderos o falsos. De aqu´ı se deduce que no se necesita demostrar todos los cuatros teoremas. A veces, la demostraci´ on del teorema directo est´ a vinculada con alguna dificultad, en tales casos conviene tratar de demostrar el teorema contrario al rec´ıproco.

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas c.- Finalmente, una t´ecnica de demostraci´on m´as utilizada es por reducci´on al absurdo, a saber: (p(x) ∧ q(x)) ⇒ F (contradicci´on).

3.3.

Ejercicios

15. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es suficiente, es necesario, es necesario y suficiente de modo que se obtengan las afirmaciones verdaderas. i).-Para ganar en la loter´ıa, ....... tener al menos un billete de loter´ıa. ii).-Para que la suma de dos n´ umeros reales sea un n´ umero racional .......... que cada sumando sea un n´ umero racional. iii).-Para que un tri´ angulo sea is´ oceles.......... que los ´angulos de la base sean congruentes. 16. Determine cuales de los siguientes teoremas son mutuamente rec´ıprocos, contrarios, contrarios a los rec´ıprocos y cuales de estos teoremas son verdaderos. i).- Si la suma de las cifras de un n´ umero natural se divide por 3, este n´ umero tambi´en se divide por 3. ii).-Si cada uno de dos n´ umeros naturales se divide exactamente por 7, su suma se divide por 7. iii).- Si ninguno de dos n´ umeros se divide exactamente por 7, entonces su suma tampoco se divide por 7. iv).- Si en un cuadril´ atero se puede inscribir la circunferencia, este cuadril´atero es un rombo. v).- Si existe un n´ umero x para el cual el polinomio x2 + px + q tome valor negativo, la ecuaci´ on cuadr´ atica x2 + px + q = 0 tiene dos ra´ıces positivas. 17. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es necesario y suficiente, es necesario pero no suficiente, es suficiente pero no necesario de modo que se obtengan las afirmaciones verdaderas. i).-Si un pol´ıgono es un cuadril´ atero, .......la suma de sus ´angulos interiores es igual a 360o . 2 ii).-Para que la ecuaci´ on x − 2x + q = 0 tenga dos ra´ıces positivas ............ que se cumpla la condici´ on q > 0.

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 18. Pruebe utilizando tautol´ ogias: (p ∨ r¯) ∧ (q ∧ r¯) ⇐⇒ r =⇒ (p ∧ q) Simplifique utilizando propiedades. 19. [p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ (p ⇒ q) 20. (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)] 21. [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p

15

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Utilizando las tablas de verdad demuestre las Propiedades de Conmutatividad, Asociatividad, Distributividad y las Leyes de Morgan, es decir: 22. p ∧ q ≡ q ∧ p 23. p ∨ q ≡ q ∨ p 24. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 25. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 26. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 27. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 28. p ∧ q ≡ p ∨ q 29. p ∨ q ≡ p ∧ q

16

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 30. Utilizando tablas de verdad demuestre las siguientes equivalencias. 31. p ⇒ q ≡ p ∨ q 32. p ∧ (p ∨ q) ≡ p 33. p ∨ (p ∧ q) ≡ p 34. p ∧ (p ∨ q) ≡ p ∧ q 35. p ∨ (p ∧ q) ≡ p ∨ q 36. p ⇒ q ≡ q ⇒ p 37. p ⇒ q ≡ [(p ∧ q) ⇒ F ] 38. [p ∧ q ⇒ r] ≡ [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] 39. [p ∨ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas item Demuestre que las siguientes expresiones son tautolog´ıas. 40. p ⇒ (p ∨ q) 41. (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] 42. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) 43. (p ⇒ q) ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)]

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Simplifique las siguientes expresiones: 44. [p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ (p ⇒ q) 45. (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)] 46. [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p 47. p ⇒ [q ⇒ (p ⇒ q)]

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 48. Sean p y q proposiciones l´ ogicas. Se define p × q por la siguiente tabla. p V V F F

q V F V F

Demuestre que se cumple que: 49. p ≡ p × p. 50. p ∨ q ≡ (p × q) × (p × q). 51. p ∧ q ≡ (p × q) × (q × q).

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p×q F V V V

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 52. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de [(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) 53. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de (p ∨ q) ⇔ (r ∨ p) 54. Si la proposici´ on p ⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposici´on [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q]

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 55. Encontrar el valor de verdad de la proposici´on: [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ [q ∨ (p ⇒ r)] sabiendo que p ⇒ (q ∨ r) es falsa. 56. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposici´on compuesta {[(p ⇔ q) ⇔ (p ∨ r)] ∧ [p ⇒ (q ∧ r)]} es verdadera.

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 57. Sean p, q, r y s proposiciones l´ ogicas. Se definen los conectivos  y 4 de la siguiente forma: pq≡p⇒q r 4s≡r∨s Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposici´on: [p ∧ (p 4 r)] ∨ [(p 4 q) ∨ (s  p)]

23

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 58. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negaci´on. 59. S ⊂ R es acotado si: (∃M ∈ R+ )(∀x ∈ S)(|x| ≤ M ). 60. Una funci´ on f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si: (∀x, y ∈ I)(f (x) = f (y) ⇒ x = y). 61. Una funci´ on f : A −→ B es sobreyectiva si: (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f (x)). 62. Una funci´ on f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si: (∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ).

24

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) :

x2 + y ≤ xy

q(x) :

x+y ≤1

63. Determine el valor de verdad de la proposici´on (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y) ⇒ q(x, y)). 64. Escriba la negaci´ on de la proposici´ on anterior.

25

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 65. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales: p(x) :

x2 − 3x − 10 ≥ 0

q(x) :

3x + 1 ≥ 13

Determine todos los x ∈ R de modo que la proposici´on p(x) ∨ q(x) sea verdadera.

4.

Conjuntos y operaciones sobre ellos

Por conjunto ya entendemos como cualquier totalidad de objetos, llamados elementos del conjunto. Los conjuntos notables de N´ umeros que vamos a utilizar en cada momento son N, N´ umeros Naturales. N0 , N´ umeros Naturales y el cero. Z+ , N´ umeros Enteros positivos (Igual al conjunto N ). Z− , N´ umeros Enteros negativos. Z, N´ umeros Enteros. Q, N´ umeros Racionales. I, N´ umeros Irracionales. R, N´ umeros Reales. C, N´ umeros Complejos. La notaci´ on a ∈ A significa que el objeto a es un elemento del conjunto A (pertenece al conjunto A); en el caso contrario se escribe a 6∈ A. Un conjunto que no contiene ning´ un elemento, se denomina vac´ıo y se designa por el s´ımbolo φ. la notaci´ on A ⊂ B (A est´a contenido en B) quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B pero en ningun caso A es igual a B, y de esta forma el conjunto A lleva el nombre de subconjunto propio del conjunto B. Los conjuntos A y B se llaman iguales (A = B), si A ⊂ B y B ⊂ A. Nota: A ⊆ B quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B; en este caso el conjunto A lleva el nombre de subconjunto del conjunto B, quedando la posibilidad de que los conjuntos A y B sean iguales. Antiguamente, se denotaba A ⊂ B, como A $ B Existen dos formas para definir (escribir) los conjuntos. a) El conjunto A se determina por enumeraci´on directa de todos sus elementos a1 , a2 , . . . , an , es decir, se escribe en la forma: A = {a1 , a2 , . . . , an }. b) El conjunto A se determina como una totalidad de aquellos, y s´olo de aquellos, elementos de cierto conjunto b´ asico T , que poseen la propiedad com´ un α. En este caso se emplea la designaci´on A = {x ∈ T | α(x)} Donde la notaci´ on α(x) significa que el elemento x posee la propiedad α. c) Se llama uni´ on de los conjuntos A y B al conjunto A ∪ B = {x | x ∈ A ´o x ∈ B}. d) Se llama intersecci´ on de los conjuntos A y B al conjunto A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. 26

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas e) Se llama diferencia de los conjuntos A y B al conjunto A\B = {x | x ∈ A y x 6∈ B}. Si, en particular, A es un subconjunto de cierto conjunto universal T , entonces la diferencia T \A o Ac y se denomina complemento del conjunto A (hasta que se obtenga se designa por el s´ımbolo A ´ el conjunto T ). Como propiedad importante se tienen la Ley de Morgan (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Un conjunto X se denomina numerable, si puede establecerse correspondencia biun´ıvoca entre los elementos del conjunto mencionado y los del conjunto N de todos los n´ umeros naturales.

Observaci´ on Importante: Todo lo que ser´ a demostrado en esta secci´ on ser´ a u ´til cuando se deba demostrar un teorema.

4.1.

Ejercicios

66. Escriba la definici´ on de A = B, A ∩ B, A ∪ B, A − B, A ⊂ B y Ac . Luego haga un diagrama y marque las zonas mencionadas.

27

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 67. Demuestre : 68. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c 69. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c 70. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 71. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 72. A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) 73. A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac 74. A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A y A ∪ B = B

28

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Simplifique utilizando propiedades. 75. [A ∩ (A ∩ B)c ] ∪ [B ∪ (B ∩ C c )]c ∪ B c 76. [A ∩ (A − B)] ∪ B 77. [(A ∩ B c ) ∩ (A − B c )]c ∪ Ac

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 78. Considere los conjuntos: A = {x / 5 ≤ |x|}, B = {x / x2 + 6 = 7x}, C = ∅, D = {x / − 7 ≤ x ≤ 3} y E = R. Determine: B ∩ D, A ∩ D, A ∪ B, B ∪ D, A ∪ E, B ∩ E, C − A y A − D.

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 79. Se entender´ a por |P | como el n´ umero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir, conjuntos que cumplen con A ∩ B = ∅, entonces se tendr´a que |A ∪ B| = |A| + |B|. Demuestre que si A ∩ B 6= ∅ entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Indicaci´ on: Escriba los conjuntos A ∪ B y B como uni´ on de conjuntos disjuntos.

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 80. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revel´o que 50 practican f´ utbol, 79 practican f´ utbol o tenis, 68 practican f´ utbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45 practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes. Determine: a) N´ umero de personas que practican f´ utbol. b) N´ umero de personas que practican f´ utbol y tenis. c) N´ umero de personas que practican handball o tenis pero no f´ utbol. d ) N´ umero de personas que a lo menos practican tres de estos deportes e) N´ umero de personas que no practican tenis.

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5.

Numeros Naturales: Principio de inducci´ on matem´ atica

El m´etodo deductivo , muy usado en matem´atica, obedece a la siguiente idea: “ A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostraci´on y de reglas l´ogicas no contradictorias , se deducen otros enunciados llamados teoremas. Otro m´etodo para demostrar resultados generales que dependen en alg´ un sentido de los n´ umeros naturales es conocido con el nombre de Inducci´ on Mat´ ematica . La dependencia de los n´ umeros naturales significa: se sabe que una determinada afirmaci´on es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿ Dicha afirmaci´ on sigue siendo verdadera para los infinitos n´ umeros naturales restante ?. Existen muchas afirmaciones que s´ olo son v´alidas para un n´ umero finito de casos y en consecuencia son falsas para un n´ umero infinitos de situaciones. Sin embargo podemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas s´ olo a partir de un cierto n´ umero natural n0 , de ser asi, la t´ecnica que se desarrollaremos se llama Inducci´ on Incompleta. Para demostrar que una proposici´ on p(n) , ∀n ∈ M ⊆ N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del conjunto M . En el caso en que M = N, diremos que es una Inducci´ on Completa. Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposici´on p(n), ∀n ∈ M ⊆ N, es suficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p(m) sea falsa. ( Construcci´ on de un contra ejemplo). Ejemplo: (Ejemplo dado por Leonhard Euler (1707-1783) Consideremos el polinomio cuadr´ atico p(n) = n2 + n + 41 y determinemos su valor para ciertos n ∈ N n : 1 n2 + n + 41 : 43

2 47

3 53

4 61

5 71

6 83

7 97

8 113

N´ otese que todos los n´ umeros que se obtienen son primos. Se podr´ıa esperar que este polinomio cuadr´ atico continua generando n´ umeros primos. Desafortunadamente no es asi, para n = 40, se tiene 1681 = 412 , que no es un n´ umero primo, luego la proposici´on ∀n ∈ N, n2 + n + 41, es un n´ umero primo es falsa. Principio de inducci´ on Matem´ atica. Una proposici´ on p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones : Paso 1.- La proposici´ on p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera. Paso 2.- Hip´ otesis de Inducci´ on . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un n´ umero natural calesquiera. Paso 3.- T´esis de Inducci´ on. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien, p(k) verdadera

⇒ p(k + 1) verdadera.

La t´ecnica de Inducci´ on Matem´ atica consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposici´ on p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3 .

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5.1.

Ejercicios

81. Demuestre que para todo natural n se cumple bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + bn−3 a2 + ... + ban−1 + an−1 ) 82. La sucesi´ on {an } se define por la relaci´on de recurrencia an+1 = 3an − 2an−1 , a1 = 0, Demuestre que para todo natural n, an = 2n−1 − 1.

a2 = 1.

83. Demuestre que cualquier suma de dinero, multiplo entero de a mil pesos, mayor o igual que 5,000 (Cinco mil pesos), esta puede ser descompuesta como m´ ultiplo de billetes de cinco mil pesos y de dos mil pesos.

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Demuestre por inducci´ on las siguientes igualdades: 84. 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n+1) 2

85. 12 + 22 + 32 + .... + n2 =

n(n+1)(n+2) 6

86. (n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · (n + n) = 2n · 1 · 3 · 5 · ·(2n − 1)

35

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 87. 12 − 22 + 32 − 42 + ... + (−1)n−1 n2 = (−1)n−1 88. (1 − 41 )(1 − 19 ) · · · (1 −

1 (n+1)2 )

=

n(n + 1) 2

n+2 2n+2

89. (15 + 25 + 35 + ... + n5 ) + (17 + 27 + 37 + ... + n7 ) = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)4

36

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 90. Para todo natural n, demuestre que an = 22n − 1,

es divisible por b = 3

91. Para todo natural n, demuestre que an = n3 + 5n,

es divisible por b = 6

92. Considere la sucesi´ on 1, 5, 85, 21845, ..., definida por c1 = 1, c2 = c1 (3c1 + 2), ...., cn+1 = cn (3cn + 2), ... n−1

Pruebe que para todo entero n positivo, cn =

42

3

37

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5.2.

Sumatorias

El s´ımbolo Σ se llama Sigma en el alfabeto griego y en Espa˜ nol corresponde a la letra S. Es natural usar este s´ımbolo para referirse a la idea de Suma, o bien , Sumatoria. Con el s´ımbolo Σi2 , se desea indicar la suma de los t´erminos de la forma i2 para varios valores enteros de i. El rango para estos valores enteros se indica en la parte inferior y superior respectivamente de Σ. Por ejemplo en la forma n X i2 = 12 + 22 + ... + n2 i=1

Pn

i = 1 + 2 + ... + n2 . Pn2 h(j) , n2 ≥ n1 siempre es igual a n2 − n1 + 1. El n´ umero de t´erminos que tiene una suma j=n 1 Por otro lado las sumas no necesariamente deben comenzar desde 1 y cualquier letra como un contador puede ser usada. o bien, en la forma

2

2

2

i=1

Finalmente cualquier funci´ on f (i) puede ser utilizada en lugar de i2 , es decir f (2) + f (3) + f (4) + ... + f (n) + f (n + 1) =

n+1 X

f (j)

j=2

Propiedades. A continuaci´ on se dan las principales Pm−1 1. = k=j Pn+1 2. = k=0 ak Pn 3. a + b = k k k=1 Pn 4. = k=1 cak P n 5. c = k=1 Pn 6. = k=1 ak Pn 7. a − a = k−1 k=1 k Pm 8. P k=n ak − ak−1 = m 9. k=n ak−j Pn− ak−j−1 = 10. ( k=1 ak bk )2 ≤

5.3.

propiedades de la sumatoria: m − j, m ≥ j Pn an+1 + k=0 P Pnak n a + k k=1 k=1 bk Pn c k=1 ak , c constante nc, c constante Pj Pn k=1 ak + k=j+1 ak an − a0 (Propiedad Telescopica) am − an−1 m ≥ n aP m−j − an−j−1 Pn m ≥ n n ( k=1 ak )2 ( k=1 bk )2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Productorias.

Π es la letra “pi” may´ uscula en el alfabeto griego y corresponde a la letra P del espa˜ nol. Es costumbre usar esta letra griega para designar productos. Πnk=1 f (i) = f (1) · f (2) · f (3) · · · f (n) donde f es una cierta funci´ on del ´ındice i. Propiedades. 1.- Πnk=1 k = 1 · 2 · 3 · 4 · · · ·n = n! 2.- Πnk=1 k = Πn−1 k=0 (n − k) = n! 3.- Πni=1 ai = Πki=1 ai Πni=k+1 ai n 4.- Πni=1 ai + Πn+1 i=2 ai = (a1 an+1 )Πi=2 ai

5.- Πni=k+1 ai =

Πn i=1 ai Πk i=1 ai

6.- Πni=1 c = cn , c, constante ak 7.- Πnk=1 ak−1 =

an a0

Propiedad Telesc´opica 38

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5.4.

Ejercicios Sumatorias y productorias.

Demuestre que: Pn Pn−1 n−j+1 j 93. y = k=−1 xn−k y k+1 j=0 x Pn Pn 94. k=0 ak = k=0 an−k Pn+1 Pn 95. k=1 f (k) = k=2 f (k − 1)

39

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6.

Progresiones.

Definici´ on: Se dice que los n´ umeros reales a1 , a2 , a3 , ..... est´an en progresi´on Aritm´etica ( P.A) si existe un n´ umero real d, llamado diferencia, tal que ∀n ∈ N : an+1 − an = d De la definici´ on de P.A tenemos dos importantes resultados, a saber: 1) ∀n ∈ N : an = a1 + (n − 1)d 2) ∀n ∈ N :

Pn

k=1

ak =

n(a1 +an ) 2

Si en una progresi´ on aritm´etica el primer t´ermino es 2 y la diferencia es 3, se tiene que el segundo t´ermino es 2 + 3 · 1, el tercer t´ermino es 2 + 3 · 2, finalmente el n-´esimo t´ermino es 2 + 3 · (n − 1). Si deseamos sumar los n primeros t´erminos, podemos utilizar la siguiente t´ecnica: Escribiendo la suma de los t´erminos en orden creciente y luego decreciente en un arreglo por filas y luego sumando tenemos S = 2 + 5 + 8 + ... + 3n − 4 + 3n − 1 S = 3n − 1 + 3n − 4 + ... + 8 + 5 + 2 2S = 3n − 1 + 3n − 1 + 3n − 1 + ...,3n − 1 + 3n − 1 = n(3n − 1) Luego, S =

n(3n−1) . 2

El promedio ( o bien promedio aritm´etico ) de n n´ umeros es igual a su suma dividido por n, por ejemplo , y si cada t´ e rmino es remplazado por su promedio, la suma de los tres el promedio de 1,3 y 7 es 11 3 t´erminos permanece inalterable. Cuando tenemos una secuencia de n´ umeros dados en P.A, el promedio de todos sus t´erminos es igual al promedio del primer t´ermino y el u ´ltimo t´ermino, que es igual al t´ermino central cuando el n´ umero de t´erminos es impar. Por ejemplo, consideremos una progresi´on aritm´etica con una diferencia negativa d = − 35 7 2 8 13 23 28 , , −1 − , − , −6 − , − , −11 3 3 3 3 3 3 Su promedio es − 13 ermino central y la suma de los nueve t´erminos es igual a 3 que corresponde al t´ nueve veces su promedio, es decir 9 · (− 13 ) 3 = −39. Si a es el promedio de r y s, es f´ acil ver que r, a, s son los t´erminos consecutivos de una progresi´ on aritm´etica. Esta es la raz´ on que el promedio de tres n´ umeros es llamado el medio aritm´etico. Definici´ on. Se dice que los n´ umeros reales a1 , a2 , a3 , ..... no nulos est´an en progresi´on Geom´etrica ( P.G) si existe un n´ umero real q, llamado raz´ on, tal que ∀n ∈ N :

an+1 =q an

De la definici´ on de P.G tenemos dos importantes resultados, a saber: 1) ∀n ∈ N : an = a1 q n−1 Pn n −1 2) ∀n ∈ N : k=1 ak = a1 qq−1 ,

q 6= 1.

En particular si q = 1, ∀n ∈ N : an = a1 . Luego

Pn

k=1

ak = na1 .

Si | q |< 1, es f´ acil ver que las potencias naturales de q son decrecientes y para n suficientemente grande a1 q n tienden a cero, luego a1 + a2 + a3 + .... = 1−q . 40

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Consideremos una progresi´ on geom´etrica de la forma 5, 5 · 22 , 5 · 24 , 5 · 26 , 5 · 28 , ......,5 · 22n Podemos identificar que su primer t´ermino es a0 = 5, n + 1.

la raz´on es q = 22 y el n´ umero de t´erminos es

Ilustremos una forma simple de encontrar la suma de una P.G.. Designemos por S su suma y consideremos el siguiente arreglo S = 5 + 5 · 22 + 5 · 24 + 5 · 26 + 5 · 28 + ..... + 5 · 22n 22 S = 5 · 22 + 5 · 24 + 5 · 26 + 5 · 28 + ..... + 5 · 22n + 5 · 22(n+1) Restando, notamos que se cancelan los t´erminos menos dos de ellos obteniendo 3S = 5 · 22(n+1) − 5 , 2 (n+1) 2 (n+1) ) ) de donde, S = 5((2 ) 3 −1) = 5(1−(2 1−22 √ El medio geom´etrico de dos n´ umeros reales positivos a y b se define por ab, el medio geom´etrico de √ tres n´ umeros reales positivos a, b, c se define por 3 abc y en general para n n´ umeros reales positivos a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an el medio geom´etrico se define por p n Πni=1 ai Para que una sequencia de n´ umeros a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an esten en P.G, es necesario y suficiente que cada uno de sus t´erminos excepto el primero, sea igual en valor absoluto al medio geom´etrico de sus t´erminos adyacentes, es decir √ |an+1 | = an an+2 En efecto, siq a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an en P.G, entonces an+1 = an q, . Luego an+2 = an+1 q, de donde qan est´ √ 2 an an+2 = an+1 a q = a n+1 n+1 = |an+1 |. q √ Para probar la suficiencia, consideremos |an+1 | = an an+2 , de donde, a2n+1 = an an+2 . Luego an+2 an+1 an = an+1 . Obteniendo

a2 a3 a4 a5 = = = = ..... = q a1 a2 a3 a4

lo que demuestra que la sequencia de n´ umeros a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an est´an en una P.G. Se deja como ejercicio al lector, una importante desigualdad que no es f´acil de demostrar, ella es: Para a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an n´ umeros positivos, se cumple √ (a1 + a2 + a3 + a4 + .... + an ) ≥ n a1 · a2 · a3 · a4 · .... · an . n

41

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6.1.

Ejercicios progresiones.

96. Determine x de manera que 7, x, 252 sean tres t´erminos consecutivos de una P.G. 97. Determine x de manera que 15, x, 18 sean tres t´erminos consecutivos de una P.A. 98. Dada la suma Sn de los n primeros t´erminos de una P.A 2 primeros t´erminos si Sn = n4 − n.

42

a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an , encuentre los cuatro

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 99. Si a, b, c, d n´ umeros que estan en P.G, demuestre que (b − c)2 + (c − a)2 + (d − b)2 = (a − d)2 100. En un c´ırculo de radio R se inscribe un cuadrado, en ´este cuadrado un c´ırculo, en ´este otro c´ırculo un cuadrado y as´ı sucesivamente. ¿Cu´ al es el l´ımite de las sumas de las ´areas de los cuadrados y de los c´ırculos?

43

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 101. En un cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿cu´antas veces el n´ umero original de bacterias ay en el cultivo al cabo de 2 horas, suponiendo que ninguna muere? 102. De trs n´ umeros que forman una P.G decreciente , el tercero es 12. Si 12 es reemplazado por 9, los tres n´ umeros forman una P.A. Encuentre los dos n´ umeros restantes. 103. Determine una progresi´ on geometrica decreciente e infinita, de manera que su suma sea 3, y la suma de los cubos de susu teminos sea igual a 61 57 . 104. Utlizando las progresiones, demuestre xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + ... + xy n−1 + y n =

44

xn+1 − y n+1 x−y

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7.

Teorema del Binomio

Del ´ algebra elemental, sabemos que (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 , entonces (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 =a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Podemos observar que los coeficientes del binomio c´ ubico se pueden obtener de la siguiente manera: 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 De aqui podemos tabular los coeficientes de (a + b)n , para n = 0, 1, 2, 3..., ( para el caso n = 0, se requiere que a ´ o b, no sean nulos simultaneamente.) El arreglo anterior es conocido como triangulo de Pascal, en honor al matematico Blaise Pascal ( 16231662) Definamos el coeficiente de an−k bk ( coeficiente binomial) por   n n! , k = 0, 1, 2, 3...n con 0! = 1, n! = 1 · 2 · 3 · 4...n (lease n factorial) = (n−k)!k! k Podemos notar que n! = 1 · 2 · 3 · 4... · (n − 2) · (n − 1) · n lo podemos escribir como n! = n · (n − 1) · (n − 2) · ....,4 · 3 · 2 · 1 En general (n + n)! 6= n! + m! por ejemplo, si n = 3 y m = 5, (3 + 5)! = 40320, y 3! + 5! = 126 Similarmente debemos observar que en general (2n)! 6= 2n! y (mn)! 6= m!n! Utilizando los coeficientes binomiales, el triangulo de Pascal quedaria: Teorema del Binomio. Si a, b ∈ R y n ∈ N, entonces

 n  X n an−k bk = k k=0           n n n n n an + an−1 b + an−2 b2 + ..... + abn−1 + bn 0 1 2 n−1 n (a + b)n =

En particular (a − b)n , lo puede considerar como (a + (−b))n y es necesario notar por la simetria de los coeficientes que   n  n  X X n n n n−k k (a + b) = a b = ak bn−k = k k k=0

k=0

Definamos por Tj el t´ermino j-´esimo en el desarrollo de binomio (a + b)n , entonces   n Tj = an−(j−1) bj−1 j−1 luego por razones practicas y no equivocarse en recordar tantos indices , podemos considerar el coeficiente j-´esimo m´ as uno que tiene la forma   n Tj+1 = an−j bj j Una generalizaci´ on natural del Teorema del Binomio, es el Teorema del Multinomio, s´olo daremos su definici´ on y no entraremos en mas detalles, dejamos al lector m´as avezado profundizar en esta materia. Para cualquier entero n ≥ 2 y para r ≥ 3 (x1 + x2 + x3 + ..... + xr )n =

X n1+n2 +...+nr =n

45



n n1 , n2 , ..., nr



xn1 1 xn2 2 · · · xnr r

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas donde la suma es sobre toda secuencia de n´ umeros enteros positivos n1 , n2 , ..., nr tal que n1 + n2 + ... + nr = n y   n! n = n1 , n2 , ..., nr n1 ! · n2 ! · · · nr ! En particular para r = 2 

n n1 , n2



 =

n k, n − k

46

 =

n! = k!(n − k)!



n k



´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

7.1.

Ejercicios

105. Si n > 1, demuestre que n · (n − 1)! = n! 106. Si n > 2, demuestre que (n2 − n) · (n − 2)! = n! 107. Si n ≥ k, demuestre que (n − k + 1) · n! + k · n! = (n + 1)!

47

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 108. Si n > 2, demuestre que n! − (n − 1)! = (n − 1)2 · (n − 2)! 109. Determine todos los n ∈ N para los cuales (2n)! = 2 · n! 110. Determine todos los pares de enteros positivos m y n de manera que (m + n)! = n! · m!

48

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 111. Resuelva la ecuaci´ on para n entero positivo (n + 2)! = 90 · n! 112. Si 0 ≤ k ≤ n − 2, entonces 

n+2 k+2



 =

n k+2



 +2

n k+1



 +

n k



113. En caso de existir, obtenga el coeficiente de x7 en el desarrollo de ( x23 + x + x3 )8 114. Determine el coeficiente del t´ermino independiente de x en el desarrollo de √ 1 ( 3 x + )6 x

49

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 115. Si en la expansi´ on binomial de

1 4 √ ( y+ √ ) 4 y

los primeros tres coeficientes forman una progresi´on aritm´etica. Encuentre los t´erminos de la expansi´on en los cuales los exponentes de y sean n´ umeros naturales. 116. Si (1 + x + x2 + x3 )5 = a0 + a1 x + a2 x2 + .... + a15 x15 determine el valor exacto de a10 . 117. Determine una relaci´ on entre a y n de modo que en el desarrollo de (1 + a)n aparezcan dos t´erminos consecutivos iguales.

50

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 118. Escriba 6

h

n 3



 +

n 2 



 +

n 1

i

 n como un polinomio en n, y utilice el echo que siempre es un entero para dar una nueva r 2 demostraci´ on que n(n + 5) es m´ ultiplo de 6 para todo entero n. 119. Determine los n´ umeros a y b, de manera que para todo natural n       n n n n3 = 6 +a +b 3 2 1 120. Demuestre por inducci´ on matem´ atica que    n  X s+i s+n+1 = s s+1 i=0

51

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7.2.

Ejercicios varios

121. Demuestre por inducci´ on que 9n − 8n − 1 es divisible por 64. 122. Pruebe por inducci´ on que: 1 1 1 n(n + 3) 1 + + + ··· + = 1·2·3 2·3·4 3·4·5 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 123. Demuestre que: 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + . . . + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2) 3

124. Demuestre por inducci´ on que: n X

(2k)3 = 2n2 (n + 1)2

k=1

52

∀n ≥ 1

∀n ∈ N

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 125. Demuestre por inducci´ on que 3n + 7n − 2 es un m´ ultiplo de 8 ∀n ∈ N 126. Demuestre por inducci´ on que: 9 1 2n + 3 1 1 5 1 7 1 + + ··· + =1− n + ) 1 · 2 3 2 · 3 32 3 · 4 33 n(n + 1) 3n 3 (n + 1) 127. Conjeture una f´ ormula para la siguiente suma y luego pru´ebela por inducci´on 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1)

53

∀n ∈ N

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 128. Demuestre usando inducci´ on: n X

i2 2i = 2n+1 (n2 − 2n + 3) − 6

∀n ∈ N

i=1

129. Demuestre usando inducci´ on:

n−1 X

k3
n2 + 4n + 5 132. Pruebe que si senα 6= 0, entonces la identidad cos α · cos 2α · cos 4α... cos 2n α = es cierta para todo n ∈ N0 .

55

sen2n+1 α 2n+1 senα

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 133. La sucesi´ on {an } se define por la relaci´on de recurrencia an+1 = 3an − 2an−1 , a1 = 0, Demuestre que para todo natural n, an = 2n−1 − 1. 134. Para todo n natural, demuestre la siguiente desigualdad 1 1 1 n < 1 + + + .... + n ≤n 2 2 3 2 −1

56

a2 = 1.

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 135. Demuestre que 3 + 33 + 333 + ... + 3... n veces ...,3 =

10n+1 − 9n − 10 27

136. Demuestre que cualquier suma de dinero mayor o igual que 5,000 (Cinco mil pesos), esta puede ser descompuesta como m´ ultiplo de billetes de cinco mil pesos y de dos mil pesos. 137. Demuestre que para todo natural n ≥ 2 √ 1 1 1 1 √ + √ + √ + .... + √ > n n 1 2 3

57

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 138. Calcule la suma:

98 X

arj ; a, r ∈ R

j=0

139. sean {a1 , a2 , a3 , . . . , an } y {b1 , b2 , b3 , . . . , bn } dos progresiones aritm´eticas de diferencias d1 y d2 respectivamente. Si sabemos que n n X X ai = 2 bi ∀n ∈ {1, 2, . . .} i=1

i=1

¿qu´e relaci´ on existe entre d1 y d2 ?

58

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 140. sea {a1 , a2 , a3 , . . . , an } una progresi´ on geom´etrica, donde ai > 0 ∀i = 1, . . . , n. Demuestre que a1 · a2 · a3 · · · an = (mM )n/2 , donde m y M son el m´ınimo y el m´aximo valor de la progresi´on geom´etrica. 141. Calcular:

n   X (k − 1)3 + 3k+1 − k 3 k=1

142. Calcule el valor de: S=

100 X k=1

k (k + 1)!

143. Escriba en forma de sumatoria y calcule 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n(n + 1)(n + 2)

59

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 144. Calcule:

n X k=2

145. Sea x =

1 n

Pn

k=1

1 k2 − 1

xk . Demuestre la identidad: n X

n
X x2i − nx (xi − x)2 + xi (x − 1) =

i=1

i=1

60

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 146. Determine K ∈ R de manera que las ra´ıces de la ecuaci´on x3 + 3x2 − 6x + K = 0 est´en en una Progresi´ on Aritm´etica. 147. Calcule:

n X

(1 + a)−k ,

k=1

61

a 6= 1

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 148. Determine las posibles soluciones para n ∈ N que satisfagan la ecuaci´on n X 2 1 1+ = 2n +2n−6 1−i 2 i=1

149. Sean u1 , u2 , ..., ut con un+2 = 2un+1 − un para n = 1, 2, ..., t − 2. Pruebe que estos n´ umeros est´ an en una P.A.

62

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 150. Sean a, b ∈ R dados. Suponga que los n´ umeros x1 , x2 , ..., xn forman una P.A. tal que: x1 + x2 + · · · + xn x21 + x22 + · · · + x2n a) Exprese a y b en t´erminos de x1 , n y a b) De a) obtenga la P.A.

63

= =

a b2

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 151. Calcule:

n X

1 (2k − 1)(2k + 1) n=1 152. Calcule:

n X

k(n − k + 1)

k=1

153. Encuentre todas las P.A. de naturales x, y, z tales que x + y + z = xyz.

64

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 154. Los n´ umeros 3, 23, 59 pertenecen a cierta P.A. y se sabe que el n´ umero de t´erminos comprendido entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. Encuentre la diferencia, el n´ umero de t´erminos y la suma de todos ellos. 155. El n´ umero de t´erminos de una P.A. es par, la suma de los t´erminos impares es 24, la de los t´erminos umero de t´erminos de la pares es 30 y el u ´ltimo t´ermino excede al primero en 10 12 . Encuentre el n´ progresi´ on. 156. Calcule la suma de: a) Los 21 primeros t´erminos de la progresi´on (a + b)/2, a, (3a − b)/2, . . . b) Lo 15 Primeros t´erminos de una P.A. cuyo n-´esimo t´ermino es 4n + 1

65

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 157. Determine x de manera que 15, x, 18 sean tres t´erminos consecutivos de una P.A. 158. Dada la suma Sn de los n primeros t´erminos de una P.A 2 primeros t´erminos si Sn = n4 − n.

a1 , a2 , a3 , a4 , ...., an , encuentre los cuatro

159. Si a, b, c, d n´ umeros que est´ an en P.G, demuestre que (b − c)2 + (c − a)2 + (d − b)2 = (a − d)2 160. Una bomba de vac´ıo extrae la cuarta parte del aire contenido en un recipiente, en cada bombeada. ¿Qu´e tanto por ciento del aire, que originalmente conten´ıa el recipiente, queda despu´es de cinco bombeadas?.

66

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 161. De tres n´ umeros que forman una P.G decreciente , el tercero es 12. Si 12 es reemplazado por 9, los tres n´ umeros forman una P.A. Encuentre los dos n´ umeros restantes. 162. Determine una progresi´ on geom´etrica decreciente e infinita, de manera que su suma sea 3, y la suma de los cubos de sus t´erminos sea igual a 61 57 . 163. Utilizando progresiones, demuestre xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + ... + xy n−1 + y n =

67

xn+1 − y n+1 x−y

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8.

N´ umeros Reales, Desigualdades e Inecuaciones

8.1.

N´ umeros Reales

8.2.

Valor Absoluto

La distancia (que es no negativa) en la recta real entre cero y el n´ umero real a es el valor absoluto de a, que se escribe |a|. En forma equivalente,  a si a ≥ 0 |a| = (1) −a si a < 0 La notaci´ on a ≥ 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero. La ecuaci´on (1) implica que |a| ≥ 0 para todo n´ umero real a y que |a| = 0 si y solo si a = 0 Las propiedades siguientes de los valores absolutos se usan con frecuencia: √ |a| = | − a| = a2 ≥ 0, |a|2 = a2 , |ab| = |a||b|, | ab | =

|a| |b| ,

|a| < b

b 6= 0 − b < a < b.

si y solo si

−|a| ≤ a ≤ |a| |a| > b,

(2)

y

si y solo si

a > b,

´o

a < −b

La distancia entre los n´ umeros reales a y b se define como d(a, b) = |a − b| como d(a, b) = d(b, a) se tiene |a − b| = |b − a|. Esta distancia es simplemente la longitud del segmento de recta de la recta real R con extremos a y b. Las propiedades de las desigualdades y de valores absolutos en las ecuaciones (??) a (2) implican el siguiente e importante teorema. Teorema. (Desigualdad del tri´ angulo.) Para todos los n´ umeros reales a y b, |a + b| ≤ |a| + |b|

(3)

Intervalos. Supongamos que S es un conjunto (colecci´on ´o reuni´on ) de n´ umeros reales. Es com´ un describir S mediante la notaci´ on S = {x : condici´on} donde la ”condici´ on” es verdadera para todos los n´ umeros x en S y falsa para todos los n´ umeros x que no est´ an en S. Los conjuntos m´ as importantes de n´ umeros reales en c´alculo son los intervalos. Si a < b, entonces el intervalo abierto (a, b) se define como el conjunto (a, b) = {x : a < x < b} 68

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas de n´ umeros reales, y el intervalo cerrado [a, b] es [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}. As´ı, un intervalo cerrado contiene a sus extremos, mientras que un intervalos abierto no. Tambi´en usaremos los intervalos semiabiertos [a, b) = {x : a ≤ x < b}

y

(a, b] = {x : a < x ≤ b}

As´ı, el intervalo abierto (1, 3) es el conjunto de aquellos n´ umeros reales x tales que 1 < x < 3, el intervalo cerrado [−1, 2] es el conjunto de n´ umeros reales x tales que −1 ≤ x ≤ 2 y el intervalo semiabierto [−1, 2) es el conjunto de n´ umeros reales x tales que −1 ≤ x < 2. Tambi´en existen intervalos no acotados, que tienen formas tales como [a, ∞) = {x : x ≥ a}, (−∞, a] = {x : x ≤ a}, (a, ∞) = {x : x > a}

y

(−∞, a) = {x : x < a}. El s´ımbolo ∞, que denota infinito, es simplemente una convenci´on de notaci´on y no representa a un n´ umero real; la recta real R no tiene ”extremos en infinito”. Un conjunto X se denomina numerable, si puede establecerse correspondencia biun´ıvoca entre los elementos del conjunto mencionado y los del conjunto N de todos los n´ umeros naturales.

8.3.

Cotas superiores e inferiores

Sea X un conjunto arbitrario no vac´ıo de n´ umeros reales. El n´ umero M = m´ax X se denomina elemento mayor (maximal) del conjunto X, si M ∈ X y para todo x ∈ X se verifica la desigualdad x ≤ M. An´ alogamente se determina el concepto de elemento menor (minimal) m = m´ın X del conjunto X. El conjunto X se llama acotado superiormente, si existe un n´ umero real a de tal ´ındole que x ≤ a para cualquier x ∈ X. Todo n´ umero que posee dicha propiedad lleva el nombre de cota superior del conjunto X. Para el conjunto dado X acotado superiormente, el conjunto de todas sus cotas superiores tiene un elemento menor, que se denomina cota superior exacta del conjunto X y se designa mediante el s´ımbolo sup X. An´ alogamente se determinan los conceptos de conjunto acotado inferiormente, de cota inferior y de cota inferior exacta del conjunto X; esta u ´ltima se designa mediante el s´ımbolo inf X. El conjunto X se denomina acotado, si est´a acotado superior e inferiormente.

69

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9.

Ecuaciones e Inecuaciones.

Toda proposici´ on que tiene la forma f (x) = g(x) donde f (x) y g(x) son ciertas funciones, se llama ecuaci´ on con una inc´ ognita x (o bien con una variable x.) Analogamente Todas las proposiciones de la forma f (x) < g(x), f (x) ≤ g(x) donde f (x) y g(x) son ciertas funciones, se llaman inecuaciones con una inc´ ognita x (o bien con una variable x.) En general resolver una ecuaci´ on o una inecuaci´on no es simple, y para resolverlas usualmente realizamos una serie de transformaciones que modifican el problema original en otro equivalente. Desafortunadamente no siempre las transformaciones utilizadas son correctamente formuladas y por ello obtenemos saluciones extra˜ nas y en muchos casos la perdida de ellas. Para excluir las soluciones extra˜ nas y evitar la perdida de soluciones, debemos tener en cuenta que en cada transformaci´on realizada debemos incluir el posible dominio de la variable en consideraci´on, en otras palabras, Restricci´ on. Ejemplo1. Resolver la ecuaci´ on 4x − 2x − 2 < 0 Una primera transformaci´ on que nos viene a nuestra mente es hacer t = 2x ,entonces Restricci´ on: t > 0, y nuestro problema original se convierte en t2 − t − 2 = (t − 2)(t + 1) = 0 cuyas soluciones son t ∈ −1, 2, luego t = 2 es decir 0 < 2x = 2, y obtenemos x = 1. Ejemplo2. Resolver la ecuaci´ on log2 (x + 2)2 = 6 Restricci´ on: x 6= −2. Utilizando la propiedad log2 (x + 2)2 = 2 log2 (x + 2), estamos asumiendo que x > −2 y el problema original se transforma en log2 (x + 2) = 3. Si x ∈] − 2, +∞[ la u ´nica soluci´ on es x = 6, sin embargo si x ∈]−∞, −2[, la ecuaci´on a resolver es log2 (−(x+2)) = 3 y su soluci´on es x = −10. Ejemplo3. Resolver la inecuaci´ on p

|x| + 9 < 3 − x

Restricci´ on: 3 − x > 0, en otras palabras x ∈] − ∞, 3[ Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuaci´on, obtenemos x2 − 6x − |x| > 0. Si x ∈] − ∞, 0], la ecuaci´ on a resolver es x2 − 5x = x(x − 5) > 0, cuya soluci´on es ] − ∞, 0[∪]5, +∞[, y nuestra primera soluci´ on es x ∈] − ∞, 0[. Si x ∈]0, 3[ la ecuaci´on a resolver es x2 − 7x = x(x − 7) > 0, luego la segunda soluci´ on es x ∈]0, 3] ∩ {] − ∞, 0[∪]7, +∞[} = ∅. Finalmente, la soluci´on a nuestro problema es x ∈] − ∞, 0[∪∅ =] − ∞, 0[ Ejemplo4. Resolver la ecuaci´ on

(x − 7) 0, y su soluci´

70

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9.1.

Ejercicios

164. Escriba, por definici´ on, el valor absoluto de las siguientes funciones: 165. f (x) = (x + 5)(x2 + x + 1) 166. f (x) =

x+2 x−1

167. f (x) = x3 − 8 168. f (x) = x2 − 3x − 10 169. f (x) = x2 + 4 170. f (x) = x − 7

71

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Desigualdad Triangular Sean x1 , x2 son n´ umeros reales. 171. Probar que |x1 + x2 | ≤ |x1 | + |x2 |. 172. Utilizando la parte a) demuestre que |x1 | − |x2 | ≤ |x1 − x2 |. 173. Interprete geom´etricamente lo demostrado en los puntos anteriores.

72

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Resuelva las siguientes ecuaciones en R. √ 174. 2x2 + 5x − 3 = x + 1 √ 175. x + 13 − 4x = 4 176.

x2 −8x+15 x−5

179.

13 √ 3+ x

=2 √ √ 177. x − 1 + x + 7 = 4 √ √ 178. x − 7 + x + 17 = −4 =

10 x

73

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Resuelva las siguientes ecuaciones con valor absoluto. 180. |x − 7| + |2x − 14| + |3x − 21| = 5 181.

|x2 − 9x + 14| =1 x−2

182.

|x2 − 9x + 14| =3 x−2

183.

(x2 − 7x)|x − 3| =1 3−x

184. |x + 4| = |x + 2| 185. |x| + |x + 2| = 3

74

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

9.2.

Desigualdades

186. Sean a,c ∈ R y b,d ∈ R+ . Demostrar que

a+c b+d

est´a entre el menor y el mayor de los elementos

75

a b

y dc .

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 187. Sean a, b, c > 0. Demuestre que: 2ab 2ac 2bc + + ≤a+b+c a+b a+c b+c Indicaci´ on:

2ab a+b

≤

a+b 2

76

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 188. Sean a, b, c > 0. Demuestre que: 8abc ≤ (a + b)(b + c)(c + a) √

Indicaci´ on: a + b ≥ 2 ab

77

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 189. Sea x ≥ 0. Demuestre que: (1 + x)n ≥ 1 + nx Indicaci´ on: Utilice el Teorema del Binomio

78

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Si a + b = 1 pruebe que: 190. ab ≥ 1/4 191. a2 + b2 ≥ 1/2 192. a4 + b4 ≥ 1/8

79

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 193. Demuestre que: 1 1 2 + > a b a+b

80

∀a, b ∈ R+

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Demuestre las siguientes desigualdades. 194. Si a ≥ b con a > 0 ∧ b > 0 ⇒ an ≥ bn ∀ n  N. 195. Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≤ bm ∀ n = par  N. 196. Si a ≥ b con a < 0 ∨ b < 0 ⇒ am ≥ bm ∀ n = impar  N. Indicaci´ on: Si le es sencillo, puede proceder por inducci´ on. Observaci´ on: Estas desigualdades son muy importantes cuando se deba resolver una inecuaci´ on.

81

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

9.3.

Inecuaciones

197. Encuentre el conjunto de soluci´ on de las siguientes inecuaciones. 198. 2x − 8 ≥ 18 199. x2 − 3x + 8 ≥ 1 + 5x 200. 2x2 − 12x + 5 ≤ x(x − 8) √ 201. −x2 + 9 ≥ −5 202.

x−2 x2 +7x+12

203.

2x2 +x+3 x3 −x

≥0

>0

82

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas √ (x2 + 11x + 24) x − 6 204. ≥0 (x2 + 7)(x − 1) 3 + 12 < −1 x + 4 x−5 p (x − 2)4 (x2 − 9) ≤0 206. (x − 1)(x2 + x + 1) √ 207. 28 − 4x2 < x2 + 1 205.

83

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

84

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 208. 209.

√ √

x + 14 > x + 2 2x + 29 > x − 3

210. |x − 3| ≥ 7 211. |x − 5| ≤ −4 212. |x| + |x − 5| < |x − 9| 213.

x2 −3x+2 |x−1|

≤0

85

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 214.

x2 −|x−2|−4 |x−2|

>0

215. |2x − 3| + |6 − 4x| ≤ |x2 + 2| p 216. 4 − |x + 1| ≤ 1 217.

|x−1|−|x+1| |x2 −1|

≤

|x−1| x+1

86

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 218. Considere la ecuaci´ on cuadr´ atica: x2 + (2k + 1) + k(k + 9) = 0. Determine k tal que la ecuaci´on tenga: a) Ra´ıces reales distintas. b) Ra´ıces reales iguales. c) No tenga ra´ıces reales.

87

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 219. Considere las inecuaciones x2 − 5x + 6 ≤ 0 y |x − a| ≤ 0. ¿Qu´e valores deben tener las constantes a y b para que el conjunto de soluci´ on de ambas inecuaciones sean la misma? 220. Sea f (x) = |x − 2| − |x − 6| − |x − 10|. a) ¿Para qu´e valores de x f (x) > 0? b) ¿Para qu´e valores de x f (x) < 0? c) Encuentre las ra´ıces de f (x).

88

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

10.

Plano cartesiano, rectas y c´ onicas F´ ormula de la distancia: Si P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ), la distancia de P1 a P2 es p d(P1 , P2 ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Ecuaci´ on est´ andar de un circurferencia: La ecuaci´ on est´ andar de un circurferencia de radio r y centro (h, k) es (x − h)2 + (y − k)2 = r2 F´ ormula de la pendiente: La pendiente m de la recta que pasa por los puntos P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ) es m=

y2 − y1 x2 − x1

si x1 mathdsN eqx2

m no est´a definida si x1 = x2 Punto - Pendiente, ecuaci´ on de una recta: La ecuaci´ on de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1 , y1 ) es y − y1 = m(x − x1 ) Pendiente- Intercepci´ on, ecuaci´ on de una recta: La ecuaci´ on de la recta con pendiente m y con b como intercepci´on es y = mx + b Interceptos en los ejes: La ecuaci´ on de la recta con los interceptos (a, 0), (0, b) es x y + =1 a b Distancia de un punto p(x0 , y0 ) a una recta L : ax + by + c = 0 d=

| ax0 + by0 + c | √ a2 + b2

F´ ormula cuadr´ atica: Las soluciones de la ecuaci´ on ax2 + bx + c = 0, amathdsN eq0, son √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Si b2 − 4ac > 0, hay dos soluciones reales diferentes. Si b2 − 4ac = 0, hay una soluci´ on repetida. Si b2 − 4ac < 0, hay dos soluciones complejas que no son reales.

89

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

10.1.

Ejercicios: Rectas y C´ onicas

221. Dada la recta x + y − 4 = 0 encuentre la ecuaci´on del lugar geom´etrico de todos los puntos del plano que se encuentran a distancia 3 de la recta. 222. Sean A = (0, 0) y B = (3, 0). Encuentre la ecuaci´on del lugar geom´etrico de todos los puntos P = (x, y) del plano tales que: ∠P AB = 21 ∠P BA. 223. Encuentre la ecuaci´ on de la recta L de pendiente positiva que contiene al punto (2, −12) y sabiendo adem´ as que la suma de sus interceptos con los ejes coordenados es igual a −12.

90

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 224. Dados los puntos A = (3, 5), B = (1, −1), C = (9, 5), D = (−2, 6) determine: a) la distancia del punto C a la simetral del trazo AB. b) ∠CAD 225. Demostrar que el lugar geom´etrico de todos los puntos P = (x, y) tales que d(A, P ) = kd(B, P ), donde k ∈ R+ − {1}, A = (1, 2) y B = (2, 1) es una circunferencia. demuestre que el centro de la circunferencia obtenida est´ a en la recta que une el punto A con el punto B. 226. Encontrar la(s) ecuaci´ on(es) de la recta(s) perpendicular(es) a la recta 5x − y = 1 y que forma con los ejes coordenados un tri´ angulo de ´ area 5 unidades.

91

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 227. Un √ punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (1, 1) es siempre igual a 2 5d, en que d es la distancia del punto m´ovil a la recta 2x + y = 1. Hallar e identificar el lugar geom´etrico del punto m´ ovil. 228. Sea A = (0, 0) y B = (2, 0), v´ertices de un tri´angulo, encontrar el lugar geom´etrico del v´ertice C si AC : BC = 2 : 3. 229. Considere la par´ abola de ecuaci´ on y 2 = x. ¿Cu´al debe ser el valor de k, para que la recta tangente a la 4 2 2 gr´ afica de y = x en (4, 2) pase por el centro de x2 + k2x + k16 + y 2 − 1 = 0?.

92

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 230. Sea A = (4, 2), y la recta de ecuaci´ on l : y = 1. Encuentre la ecuaci´on del lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A es el doble de su distancia a la recta l e identifique este lugar geom´etrico. 231. Determine, identifique y esboce el lugar geom´etrico de todos los puntos del plano que est´an a una distancia de 10 unidades del origen de coordenadas. a) Sea A(a, b) un punto cualquiera que pertenece al lugar geom´etrico obtenido. Encuentre la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(a, b) y el origen de coordenadas. b) Determine los valores de a y b tal que la recta obtenida en 1.- tenga pendiente 34 . c) Rotando el sistema de coordenadas en un ´angulo de coordenadas de los puntos obtenidos en 2.-.

93

π 2

en sentido antihorario, determine las nuevas

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 232.

a) Consid´erese el lugar geom´etrico P de los puntos (x, y) tales que √ √ y = x2 − (1 + 2)x + 2, x ∈ R. Esboce el lugar geom´etrico P . b) Sean A y B dos conjuntos dados por A = {x ∈ Q, x2 − (1 +

√

2)x +

√

2 ≤ 0},

¿Qu´e conjunto es acotado? √ √ c) 1 ∈ A? ; 1 ∈ B? ; 2 ∈ A? ; 2 ∈ B? d ) Determinen (si es que existen) los n´ umeros finitos que corresponden a : m´ ax A, m´ın A, sup A, ´ınf A, m´ ax B, m´ın B, sup B, ´ınf B.

94

B = Q \ A.

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas − 233. Encuentre el ´ angulo entre las diagonales de un paralelogramo, construido por los dos vectores → a = → − (1, 2); b = (2, −1) 234. Determine el largo del segmento de la recta x − 2y − 2 = 0 que esta contenida y esta encerrada por la 2 x2 elipse 100 + y25 = 1 235. Encuentre la ecuaci´ on de una circunferencia centrada en el punto O1 (−3, 1) y teniendo a 4x+3y−16 = 0 como una recta tangente.

95

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 236. Encuentre el lugar geom´etrico de todos los puntos del plano cuya distancia a la recta x = 4 sea igual al doble de la distancia al punto F (1, 0). 237. Halar el lugar geom´etrico de todos los puntos P = (x, y) del plano cuya distancia al punto A = (a, k, 0) un: es k veces su distancia a la recta l de ecuaci´on x = ka . Identifique el lugar geom´etrico seg´ a) 0 < k < 1 b) k > 1 c) k = 1 238. Dados A = (1, 3) y B = (5, 0), encuentre la ecuaci´on del lugar geom´etrico del tercer v´ertice C de los tri´ angulos de base AB y altura h = 5. 239. Considere l1 : y = ax; l2 : y = x. Encuentre el valor de a de modo que l1 y l2 formen un ´ angulo Φ = π/4 al intersectarse.

11.

Ejercicios

Ecuaci´ on de la Recta

240. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2. 241. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepci´on con el eje Y es −2.

242. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7).

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´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 243. Los v´ertices de un cuadril´ atero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuaci´on de la recta de sus lados.

244. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2) y C(3, −4). 245. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0.

97

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 246. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la recta Ax − By + 4 = 0. 247. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. 248. Determine el valor de la constante k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y − 11 = 0. 249. Grafique que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 9 = 0, 2x − y − 8 = 0 y x − 8y + 3 = 0, y luego pruebe forman un paralel´ ogramo.

98

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Distancia de un Punto a una Recta

250. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuaci´on de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos: 251. Halle la pendiente de L. 252. Halle la ecuaci´ on de la recta L0 que pasa por P y es perpendicular a L. 253. Determine las coordenadas del punto P 0 que es el punto de intersecci´on entre L y L0 . 254. Calcule la distancia entre el punto P y P 0 .

99

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 255. Hallar la distancia de la recta 4x − 5y + 10 = 0 al punto (2, −3). 256. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0.

257. Hallar la ecuaci´ on de la recta paralela a la recta 5x + 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es u ´nica esta soluci´ on? Justifique geom´etricamente.

258. Hallar la ecuaci´ √ on de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto ´nica esta soluci´ on? Justifique geom´etricamente. (−1, 1) es 2 2. ¿Es u

100

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas ´ Area de un Tri´ angulo

259. Determine el ´ area del tri´ angulo cuyos v´ertices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7). 260. Considere el tri´ angulo cuyos v´ertices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6, −3). 261. Hallar la ecuaci´ on de la recta de sus lados. 262. Determine el valor de sus alturas. 263. Determine su centro de gravedad. 264. Encuentre su ´ area. 265. ¿Qu´e tipo de tri´ angulo es?

101

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas √ √ √ 266. Compruebe que P (− 3, 2), G(2 3, −1) y M (2 3, 5) son los v´ertices de un tri´angulo equil´atero

267. Hallar el ´ area del tri´ angulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuaci´on es 5x+4y+20 = 0.

102

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 268. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un tri´ angulo rect´ angulo de ´ area 25 unidades cuadradas. 269. El tri´ angulo ABC con v´ertice C = (3, 4) tiene un ´area de 10 cm2 . Los otros dos v´ertices est´an sobre la recta L1 : x − 2y = 0. Si se sabe que L2 , que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversal de gravedad del tri´ angulo ABC, determine los v´ertices A y B.

103

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 270. Demuestre que el ´ area del tri´ angulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 , con m1 6= m2 , viene dada por: A=

1 (b2 − b1 )2 2 |m2 − m1 |

104

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

12. 12.1.

C´ onicas Circunferencia

Determine la ecuaci´ on de las siguientes circunferencias: 271. Centro es el punto (2, −6) y su radio es 6. 272. El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un di´ametro. 273. El centro est´ a en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1, −1). 274. La circunferencia es tangente a la recta 3x − 4y = 32 y el centro est´a en el punto (0, 7).

105

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Hallar la ecuaci´ on de las siguientes circunferencias. 275. La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0). 276. La circunferencia pasa por los puntos (2, −2), (−1, 4) y (4, 6). 277. La circunferencia pasa por los puntos (4, −1), (0, −7) y (−2, −3). Halle la ecuaci´ on de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados. 278. x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0

P0 (−1, 6)

279. x2 + y 2 + 2x − 2y − 39 = 0

P0 (4, 5)

106

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 280. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes. Hallar la ecuaci´ on de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en com´ un y que pasa por el punto (7, 2). Adem´ as compruebe que el centro de esta circunferencia est´a sobre la recta de los centros de C1 y C2 . 281. Hallar la ecuaci´ on de la cirunferencia que para por el punto (−10, −2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 32 = 0 y la recta x − y + 4 = 0

107

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 282. Hallar los valores de a  R de modo que la circunferencia de ecuaci´on x2 + y 2 − 2ax + a2 − 1 = 0 y la recta con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0): a) Se corten en un u ´nico punto. b) Se corten en dos puntos. c) No se corten.

108

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 12.1.1.

Par´ abola

Ecuaci´ on de la Par´ abola Escriba la definici´ on de la Par´ abola como un lugar geom´etrico y luego deduzca su ecuaci´on.

283. Hallar la ecuaci´ on de las siguientes par´abolas. 284. V´ertice en el origen y foco en el punto (3, 0). 285. V´ertice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0. 286. Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x − 1 = 0. 287. V´ertice en el punto (2, 0) y foco en el origen.

109

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas En los siguientes ejercicios lleve la ecuaci´on a su forma can´onica y luego determine: coordenadas del v´ertice y del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto. 288. 4y 2 − 48x − 20y = 71 289. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 290. y 2 + 4x = 7 291. 4x2 + 48y + 12x = 159 292. y = ax2 + bx + c

110

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 293. Hallar la ecuaci´ on de la par´ abola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, −4) y (3, 1). 294. Determine la ecuaci´ on de la par´ abola cuyo v´ertice est´a en el punto (4, −1), como eje la ecuaci´on y+1 = 0, y que pasa por el punto (−3, 3).

111

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Ecuaci´ on de la Recta Tangente y Normal a una Par´ abola 295. Considere la ecuaci´ on de la par´ abola y 2 = 4px. Demuestre que la ecuaci´on de la recta tangente a una par´ abola en el punto P0 (x0 , y0 ) es: y0 y = 2p(x + x0 ). Determine la ecuaci´ on de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes par´abolas: 296. y 2 − 4x = 0

P0 (1, 2)

297. y 2 + 4x + 2y + 9 = 0

P0 (−6, 3)

298. x2 − 6x + 5y − 11 = 0

P0 (−2, 1)

112

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 12.1.2.

Elipse

Ecuaci´ on de la Elipse

299. Escriba la definici´ on de la Elipse como un lugar geom´etrico y luego deduzca su ecuaci´on. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los v´ertices y focos, la longitud de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique. 300. 9x2 + 4y 2 = 36 301. 4x2 + 9y 2 = 36 302. 16x2 + 25y 2 = 400 303. x2 + 3y 2 = 6

113

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 304. Hallar la ecuaci´ on de la elipse cuyos v´ertices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos (3, 0) y (−3, 0).

305. Una elipse tiene su centro√en el origen y√su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuaci´on sabiendo que pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2). 306. Hallar la ecuaci´ on de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 − sus ejes paralelos a los ejes coordenados.

114

√

3/2) y (−3, 3); y tiene

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´on a su forma can´onica y luego determinar: coordenadas de los v´ertices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique. 307. x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0 308. 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0 309. x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0 310. 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0

115

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Ecuaci´ on de la Recta Tangente y Normal a una Elipse 311. Considere la ecuaci´ on de la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´on de la recta tangente a una elipse en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2 . Determine la ecuaci´ on de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses: 312. 2x2 + 3y 2 = 5

P0 (1, −1)

313. 6x2 + 2y 2 = 14

P0 (1, 2)

314. 3x2 + y 2 = 21

P0 (2, 3)

116

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 12.1.3.

Hip´ erbola

Ecuaci´ on de la Hip´ erbola

315. Escriba la definici´ on de la Hip´erbola como un lugar geom´etrico y luego deduzca su ecuaci´on. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, v´ertices y centro, longitudes del lado transverso y conjugado, y finalmente grafique. 316. 9x2 − 4y 2 = 36 317. 4x2 − 9y 2 = 36 318. 16x2 − 25y 2 = 400 319. x2 − 3y 2 = 6

117

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Determine la ecuaci´ on de las siguientes hip´erbolas y luego graf´ıquelas. 320. Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades. 321. Los v´ertices de una hip´erbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos (3, 0) y (−3, 0).

118

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Hallar la ecuaci´ on de las siguientes hip´erbolas y luego graf´ıquelas. 322. La hi´erpola pasa por el punto (3, −1), su origen √ est´a en el centro, su eje transverso est´a sobre el eje x y la ecuaci´ on de una de sus as´ıtotas es 2x + 3 2y = 0. 323. La hi´erpola pasa por el punto (2, 3), su origen √ est´a en el centro, su eje transverso est´a sobre el eje y y la ecuaci´ on de una de sus as´ıtotas es 2y − 7y = 0.

119

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´on a su forma can´onica y luego determinar: coordenadas de los v´ertices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuaci´ on de sus as´ıntotas y finalmente grafique. 324. x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0 325. x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0 326. 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0 327. 3x2 − y 2 + 30x + 78 = 0

120

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Ecuaci´ on de la Recta Tangente y Normal a una Hip´ erbola 328. Considere la ecuaci´ on de la elipse b2 x2 − a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´on de la recta tangente a una elipse en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 . Determine la ecuaci´ on de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hip´erbolas: 329. 3x2 − y 2 = 2

(1, 1)

330. x2 − 9y 2 = 7

(4, −1)

331. x2 − y 2 = 5

(3, 2)

121

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

12.2.

Lugares Geom´ etricos

332. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x+y +1 = 0 es siempre igual a su distancia al punto (-2,-1). Hallar la ecuaci´ on de su lugar geom´etrico.

333. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x − 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1, −3). 334. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2, −2) es siempre igual a un tercio de la distancia del punto (4,1). Hallar e identificar la ecuaci´on del lugar geom´etrico.

122

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 335. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuaci´on del lugar geom´etrico.

336. Hallar e identificar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1).

337. Haller e identificar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico del centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y 2 = 9.

123

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 338. Hallar e identificar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0, −2).

339. Hallar e identificar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve tal manera que su distancia al punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x − 3 = 0.

124

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13.

Funciones de Una Variable Real

13.1.

Estudio de Funciones

Para las siguientes funciones haga un bosquejo de su gr´afico, estudie su paridad, determine su dominio y recorrido. 340. f (x) = 2x + 10 341. f (x) = x|x| 342. f (x) = x2 + 5x + 6 √ 343. f (x) = x 344. f (x) =

1 x

345. f (x) =

√1 x

125

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126

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 346. f (x) =

1 x2

347. f (x) =

2 x−1

348. f (x) =

x−2 x

349. f (x) = 3sen(2x) √ 350. f (x) = 2x − 1 √ 351. f (x) = x2 + 4 q 5x 352. f (x) = x−1 353. f (x) = sen(x − π4 )

127

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones. Adem´as determine si son biyectivas, y en caso contrario restrinja su dominio de modo que lo sean. 354. f (x) = 355. f (x) =

x2 x2 −1

√ 3

x−1

356. f (x) = | x−2 x−3 | p 357. f (x) = |x| − 1 q x2 +x+1 358. f (x) = x−1+|x| 359. f (x) =

q

x |x|−1

128

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129

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 360. Para las siguientes funciones definidas en I ⊆ R −→ R desarrolle: a) Bosquejo de su gr´ afico. b) Encuentre su dominio y recorrido. c) Determine si es biyectiva. d ) En caso contrario redefina la funci´on de modo que sea biyectiva y encuentre su inversa. 361. f (x) = 10x + 5 362. f (x) =

5x+3 x−4

363. f (x) = x2 + 6x − 7 364. f (x) = x2 + 4x + 5 365. f (x) =

1 x−7

366. f (x) =

x+|x| 2

130

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131

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Determine, si es que se puede, f ◦ g y g ◦ f . Luego construya su gr´afico y despu´es determine su dominio y recorrido. √ 367. f (x) = x2 g(x) = x g(x) = x − x2

368. f (x) = 1 − x

369. f (x) =

  0

, x0

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas   2  3x + 4 , 0 ≤ x ≤ 2  x 370. f (x) = g(x) =   x+1 , 2 0. x 398. f (x +

137

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Sean f (x) =

x2

1 x y g(x) = funciones. Sea +1 1+x P (h) =

f (x + h) − (f ◦ g)(x + h) (f · g)(x + h) −

400. Calcule A(h) en funci´ on de h y x. 401. Calcule A(1) y A(−1).

138

f (x+h) g(x+h)

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Sea U el conjunto universo. Considere la funci´on que a un conjunto finito le asigna el n´ umero de elementos. 402. Escriba esta funci´ on en t´erminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada 403. ¿Es biyectiva esta funci´ on? Considere la funci´ on que a un elemento de los n´ umeros reales le asigna su valor absoluto. 404. Escriba esta funci´ on en t´erminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada 405. ¿Es biyectiva esta funci´ on?

139

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Para a, b, c, d ∈ R considere la funci´ on definida por: f (x) =

ax + b cx + d

406. ¿Qu´e condiciones deben satisfacer los par´ametros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa? 407. Halle el dominio de f −1 y determine una expresi´on para ella. 408. Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de M¨ obius. Pruebe que la composici´ on de transformaciones de M¨obius es una transformaci´on de M¨obius.

140

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 409. El Seno Hiperb´ olico de x viene dado por senhx = por cosh x =

ex − e−x y el Coseno Hiperb´ olico viene dado 2

ex + e−x . Demuestre las siguientes propiedades: 2

410. cosh x > 0 ∀x ∈ R y senhx ≥ 0 si y solo si x ≥ 0. 411. El seno hiperb´ olico es una funci´ on impar y el coseno hiperb´olico es una funci´on par. 412. cosh x + senhx = ex y cosh x − senhx = e−x . 413. cosh2 x − senh2 x = 1. 414. senh(x ± y) = senhx cosh y ± cosh xsenhy. 415. cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senhxsenhy. 416. Sea n ∈ N, entonces (cosh x + senhx)n = cosh nx + senhnx.

141

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Una funci´ on f se dice convexa en I ⊆ R si f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)

∀x, y ∈ I

∀λ ∈ [0, 1]

f se dice c´ oncava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R: 417. f (x) = x 418. g(x) = |x| 419. h(x) = |x|2 420. Demuestre que las funciones lineales son convexas. 421. Sean f (x) = ax + b y g(x) = cx + d con a, c 6= 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismo signo, y si tienen el signo contrario son c´oncavas.

142

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Ejercicios Funci´ on Logaritmo y Exponencial Resuelva las siguientes ecuaciones 422. 4 · 9x−1 = 3 · 423.

√

22x+1

1 5x−1 + 5 · ( )x−2 = 26 5

424. 25x − 12 · 2x − 6,25 · 0,16x = 0 425. 4x + 9x = 25x Resuelva las siguentes ecuaciones Logar´ıtmicas 426. log2 x(x − 1) = 1 427. log3 (3x − 8) = 2 − x 428. ln(x2 2 − 6x + 7) = ln(x − 3) 429. log2 x + log2 (x − 1) = 1

143

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Determine la soluci´ on de las siguientes ecuaciones 430. log3 (2 − x) − log3 (2 + x) − log3 x = 1 431. 2 ln(2x) = ln(x2 + 75) 432. ln(2x) = 433.

1 ln(x − 5)4 4

log2 x log8 (4x) = log4 (2x) log16 (8x)

434. log3 x = 1 + logx 9 435. 25ln x = 5 + 4 · xln 5 436. xln(2x) = 5 437. |x − 3|(x

2

−8x+15)/(x−2)

144

=1

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13.2.

Problemas de Modelaci´ on

438. Encuentre el ´ area de un rect´ angulo inscrito en la semielipse x2 + 4y 2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debe estar sobre el eje x.

439. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de lat´on de 6 m de largo y 80 cm de ancho.

440. Encuentre el volumen de un cono inscrito en una esfera de radio R.

145

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 441. Encuentre el volumen del siguiente s´ olido en funci´on de la variable x.

Figura 1: Cilindros

146

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 442. Calcule el ´ area achurada en funci´ on de la variable x.

´ Figura 2: Area Achurada

147

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 443. Calcular el volumen del siguiente s´ olido en funci´on de la variable x.

Figura 3: Volumen Cono de Altura X

148

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 444. Expresar el ´ area del rect´ angulo en funci´on de la variable x.

´ Figura 4: Area de un Rect´angulo Inscrito en un Tri´angulo

149

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 445. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funci´ on del radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricaci´on.

446. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine el volumen del cilindro en funci´ on de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2

150

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 447. Considere un alambre de L metros de longitud. Con un pedazo de largo x se forma un cuadrado y con el resto se forma una circunferencia. Determine, en t´erminos de x, la funci´on que representa la suma de las ´ areas encerradas por estas figuras. ¿Cu´al es el dominio de esta funci´on?

448. Una ventana est´ a hecha de un rect´ angulo y un tri´angulo equil´atero. Determine la funci´on que representa el ´ area encerrada por la ventana si ´esta debe tener un per´ımetro de 10 m. ¿Cu´al es el dominio de esta funci´ on?

151

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 449. Optimizaci´ on de una Funci´ on Cuadr´ atica Se optimizar´ a una funci´ on cuadr´ atica, y se utilizar´an para resolver Problemas de Modelaci´on Matem´ atica. Considere f : I ⊆ R −→ R / x −→ f (x) = ax2 + bx + c para diferentes valores de las constantes reales a, b y c. Definici´ on: Un punto x0  I se dice que es un punto m´ aximo absoluto si f (x0 ) > f (x) ∀x  I. De la misma manera, un punto x0  I se dice que es un punto m´ınimo absoluto si f (x0 ) < f (x) ∀x  I. Se probar´ a que para la funci´ on definida anteriormente el punto x0 = −b/2a es un punto m´aximo o m´ınimo absoluto, dependiendo del valor de la constante real a. Demuestre lo que sigue: 450. Sean α y β ra´ıces de la ecuaci´ on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0, entonces x0 = 451. f (x0 ± δ) = f (x0 ) + aδ 2 452. Si a > 0 entonces f (x0 ) < f (x0 ± δ), ∀δ > 0 t.q. (x0 ± δ)  I. Observaci´ on: Esto es demostrar que x0 es un punto m´ınimo absoluto. 453. Si a < 0 entonces f (x0 ) > f (x0 ± δ), ∀δ > 0 t.q. (x0 ± δ)  I. Observaci´ on: Esto es demostrar que x0 es un punto m´ aximo absoluto.

152

α+β 2 .

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Utilizando lo anterior resuelva los siguientes problemas de optimizaci´on. 454. Un rect´ angulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un v´ertice en el origen, uno en el eje x positivo, uno en el eje y positivo y su cuarto v´ertice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cu´ al es el ´ area m´ axima de dicho rect´angulo? 455. Un hotel que cobra 80 d´ olares diarios por habitaci´on hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un d´olar por cada cuarto. En estas condiciones ¿cu´ antas habitaciones producen el ingreso m´aximo?

153

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13.3.

Ejercicios: Funciones Polinomiales

456. Una ra´ız es una soluci´ on de la ecuaci´on polin´omica P (x) = 0. Un cero es un valor de x que hace que el valor de la funci´ on P (X) sea igual a 0. Determine si los n´ umeros dados son ra´ıces de la ecuaci´ on polin´ omica P (x) = 0. 457. P (x) = x3 − x2 + 25x; − 1, 5i 458. P (x) = x4 + x3 − x2 − 2x − 2;

√

2, i

154

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 459. Determine si los n´ umeros dados son ceros de la funci´on polin´omica. 460. P (x) = x3 + 4x2 − 4x − 16; − 4, 4i √ 461. P (x) = x4 − x2 − 3; 3, i 462. Cuando un polinomio se divide por otro, habr´a un cociente y un residuo. Cuando un residuo es cero, entonces el divisor y el cociente son factores del dividendo. por divisi´ on, determine si los siguientes polinomios son factores del polinomio P (x) = x4 − 16 a) x − 2 b) x2 + 3x − 1

155

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 463. Toda divisi´ on entre polinomios se puede expresar como P (x) = D(x) · Q(x) + R(x), donde P (x) es el dividendo, D(x) es el divisor, Q(x) es el cociente y R(x) es el residuo. Sea P (x) = x3 − 2x2 + 4 y D(x) = x − 1. Encuentre P (x) ÷ D(x), y despu´es expresa el dividendo como P (x) = D(x) · Q(x) + R(x). 464. Sea P (x) = x5 + 2x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3 y D(x) = x2 + 2x + 1. Encuentre P (x) ÷ D(x), y despu´es expresa el dividendo como P (x) = D(x) · Q(x) + R(x). 465. El teorema del residuo establece que para un polinomio P (x), el valor funcional P (r) es el residuo de cuando se divide P (x) por x − r. Sea P (x) = −2x4 − 8x3 + 4x2 − 2x + 1. Encuentra P (0), P (1), P (−2) y P (−4).

156

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 466. El teorema del factor dice que si P (r) = 0, entonces el polinomio x − r es un factor de P (x). De este modo, podemos utilizar la divisi´on sint´etica para encontrar valores funcionales y para comprobar factores. Factoriza el polinomio P (x), y despu´es resuelve la ecuaci´on P (x) = 0. Si: 467. P (x) = x3 − x2 − 14x + 24 468. P (x) = x3 − 18x2 − x + 18

157

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 469. Si un polinomio es de grado n, entonces se puede factorizar en exactamente n factores lineales. Un factor puede presentarse m´ as de una vez. Si un factor x − r figura k veces, r es una ra´ız de multiplicidad k. Encuentra las ra´ıces del polinomio y la multiplicidad de cada ra´ız, si: 3

470. P (x) = x2 (x − 2) (x + 1)
2 471. P (x) = x2 − 12x + 11

158

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 472. Si r es una ra´ız del polinomio P (x), entonces x − r es un factor lineal de P (x). Encuentre un polinomio de grado 3 que tenga como ra´ıces los n´ umeros -1,-3,4 .

159

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 473. la ra´ıces complejas se presentan en pares conjugados en los polinomios con coeficientes reales. Las ra´ıces irracionales se presentan por pares en los polinomios con coeficientes racionales. Encuentra un polinomio de grado m´ınimo con coeficientes racionales que tenga como ra´ıces los n´ umeros que se indican: √ 474. 1 − i, 2 + 3 √ 475. 2 + 3i, − 2 476. Para encontrar las posibles ra´ıces racionales de an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 , encuentre cada n´ umero racional de la forma dc tal que d es un factor de an y c es un factor de a0 , y despu´es compruebe cada uno de ellos utilizando la divisi´ on sint´etica. Encuentre las ra´ıces racionales, si es que existen, de cada polinomio. De ser posible, encuentra las otras ra´ıces. 477. P (x) = 20x3 − 30x2 + 12x − 1 478. P (x) = 2x4 − x3 − 3x − 18

160

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 479. El n´ umero posible de ra´ıces reales positivas de un polinomio P (x) con coeficientes reales es o el mismo n´ umero que las variaciones del signo de P (x) o un n´ umero menor que difiere del n´ umero de variaciones de signo en un n´ umero entero positivo par. El n´ umero de ra´ıces reales negativas de un polinomio P (x) con coeficientes reales es o el n´ umero de variaciones de signo de P (−x) o un n´ umero menor que difiere del n´ umero de variaciones de signo en un n´ umero entero positivo par. Para cada polinomio, determine el n´ umero de ra´ıces reales positivas y negativas: 480. P (x) = 4x5 − 3x2 + x − 3 481. P (x) = 3x7 − 2x5 + 3x2 + x − 1

161

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 482. Para representar gr´ aficamente polinomios: 1. considere el grado del polinomio y su coeficiente principal. 2. determine si hay simetr´ıas. 3. utilize la divisi´ on sint´etica para elaborar una tabla de valores. 4. encuentre la ordenada al origen y tantas abscisas al origen como sea posible. 5. representa gr´ aficamente los puntos y u ´nelos de manera adecuada. Despu´es de trazar la gr´ afica, puede utilizar las abscisas al origen como ayuda para aproximar ra´ıces. Represente gr´ aficamente las siguientes funciones polin´omicas y aproxime sus soluciones hasta la d´ecima m´ as cercana. 483. P (x) = x3 + 3x2 − 2x − 6 484. P (x) = x3 − 2x2 − x

162

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 485. ¿Es x + 1 un factor de P (x) = x3 + 6x2 + x + 30? 486. ¿Es x − 4 un factor de x3 + 64? 487. Sea P (x) = 4x3 − 10x + 9 y D(x) = x + 2. Encuentre P (x) ÷ D(x), y despu´es expresa el dividendo como P (x) = D(x) · Q(x) + R(x). 488. Si P (x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 3x + 7, encuentre P (−2), P (3) y P (−4). 489. Factorize el polinomio P (x) y despu´es resuelve la ecuaci´on P (x) = 0 para P (x) = x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8.

163

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 490. Encuentre un umeros √ polinomio de cuarto grado con coeficientes racionales que tenga como ra´ıces los n´ 3 − 2i, 1 + 5 √ 491. Suponga que un polinomio de grado 5 con coeficientes racionales tiene como ra´ıces los n´ umeros 3 + 3, 1 + 2i, −1. Encuentre todas las ra´ıces del polinomio 492. Dado que una de las ra´ıces del polinomio x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 2 es i, encuentre todas las ra´ıces del mismo. 493. Encuentre un√polinomio de grado 5 con coeficientes reales que tenga el n´ umero i como ra´ız de multiplicidad 2 y 5 como ra´ız de multiplicidad 1.

164

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 494. Encuentra las ra´ıces racionales, si es que existen, de x3 − 7x2 + 16x − 12. Des ser posible, encuentre otras ra´ıces. 495. Encuentre u ´nicamente las ra´ıces racionales de 4x5 + 16x4 + 15x3 + 8x2 − 4x − 3. 496. Para 3x9 + 2x6 + 3x3 + 2x2 + x − 1, a) Encuentre el n´ umero posible de ra´ıces reales positivas. b) Encuentre el n´ umero posible de ra´ıces reales negativas 497. Para 3x5 − x4 + 2x3 − 5x2 − 3x − 1, a) Encuentre el n´ umero posible de ra´ıces reales positivas. b) Encuentre el n´ umero posible de ra´ıces reales negativas

165

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 498. Represente gr´ aficamente P (x) = x3 − 2x2 + x + 1. 499. Encuentre los ceros de P (x) = x3 − 2x2 + x + 1. Aproxima los ceros a la d´ecima m´as cercana. 500. Factorize x6 + x4 − 4x2 − 4. (Sugerencia: Sustituye z = x2 )

166

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

14. 14.1.

Trigonometr´ıa Operatoria y Aplicaciones

Utilizando identidades trigonom´etricas encuentre el valor exacto de: 501. sen(15◦ ) 502. cos(75◦ ) 503. tan(135◦ ) π ) 504. cos( 12

505. tan( 5π 12 ) 506. sen(255◦ )

167

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Si α est´ a en el segundo cuadrante, β est´a en el tercer cuadrante, cos α = −4/5 y senβ = −12/13 determine: 507. sen(α + β) 508. cos(α − β) 509. tan(α + β) 510. sen(2α)

168

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Si cos α = 1/3 y α est´ a en el cuarto cuadrante determine: 511. sen(α/2) 512. cos(α/2) 513. tan(π − α/2) 514. sen(π/3 + α)

169

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 515. Sea f (x) = Asenx + B cos x. Encuentre el valor de las constantes C y δ de modo que f (x) = Csen(x + δ) Para las siguientes funciones determine su amplitud, periodo, ´angulo de fase, y adem´as grafique dos periodos de la onda. 516. y = sen(2x) + cos(2x) 517. y =

1 2

√

cos(3α) +

3 2 sen(3α)

170

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 518. y = 3sen(x) + 4 cos x √

519. y =

3 2

cos x + sen(x + π/3) √ 520. y = cos(π − 2x) − 3 cos(2x + π2 ) √ 521. y = 2sen(3x) + 2 3 cos(3x)

171

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Demuestre las siguientes identidades. √ 522. sen(Arccosx) = 1 − x2 523. sen(Arctanx) = 524. cos(Arcsenx) = 525. tan(Arcsenx) =

√ x x2 +1

√

1 − x2

√ x 1−x2

Indicaci´ on: Construya un tri´ angulo adecuado y calcule las funciones trigonom´etricas

172

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Calcule las siguientes sumas. 526. S = sen(α) + sen(α + β) + sen(α + 2β) + ... + sen(α + nβ) 527. S = cos(α) + cos(α + β) + cos(α + 2β) + ... + cos(α + nβ) Indicaci´ on: Forma una suma telesc´ opica.

173

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 528. Altura de un Poste Un poste y una antena se encuentran a una distancia d en un camino horizontal. Del pie del poste se mide el ´ angulo de elevaci´ on de la antena y del pie de la antena el del poste, encontr´andose que el primer angulo es el doble del segundo. Si un observador se ubica en el punto medio M del trazo que una las ´ bases del poste y de la antena, observa que los ´angulos de elevaci´on medidos desde M al poste y a la antena son complementarios. Calcular la altura de la antena y del poste.

174

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 529. Altura de una Torre La altura H de la tora de la Figura es desconocida. Se conocen los ´angulos de elevaci´on α y β medidos desde dos puntos α y β del suelo, separados por una distancia de L y formando con la base de la torre un ´ angulo γ. Dado que la torre es vertical con respecto al suelo calcule H en t´erminos de L, α, β y γ cuando α 6= β y α = β.

Figura 5: Altura de la Torre

175

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas ´ 530. Area de un Paralel´ ogramo El paralel´ ogramo ABCD de la Figura tiene per´ımetro 2p y su diagonal AD mide d con ´angulo opuesto α (0 < α < π y p > d) a) Si x e y son las longitudes de los trazos AB y BD, demuestre que la superficie del paralel´ogramo viene dada por S = xysenα. b) Demueste que S =

p2 −d2 2

tan( α2 ).

Figura 6: Paralel´ogramo ABCD

176

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

14.2.

Identidades Trigonom´ etricas

Demuestre las siguientes identidades trigonom´etricas b´asicas. 531. sen2 x + cos2 x = 1 532. sen(2p) = 2senp cos p 533. cos(2p) = cos2 p − sen2 p 534. tan(2p) =

2 tan p 1−tan2 p

177

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 535. cos2 ( x2 ) =

1 2

+

1 2

cos x

536. sen2 ( x2 ) =

1 2

−

1 2

cos x

537. 2senα cos β = sen(α + β) + sen(α − β) 538. 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β) 539. 2senαsenβ = cos(α − β) − cos(α + β)

178

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Demuestre las siguientes identidades trigonom´etricas. 540. tan α + cot α = sec α csc α 541. sec2 x + csc2 x = sec2 x csc2 x 542.

cos θ 1−senθ

−

1−senθ cos θ

543.

1 1+senα

+

1 1−senα

= 2 tan θ = 2 sec2 α

179

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 544. (tan θ + sec θ)2 =

1+senθ 1−senθ

545. csc4 θ − cot4 θ = csc2 θ(sen2 θ + 2 cos2 θ) 546. sec2 x csc2 x = (tan x + cot x)2 547. tan( x2 ) + cot( x2 ) = 2 csc x 548. sen4 ( x2 ) + cos4 ( x2 ) = 1 − 12 sen2 x 549.

1−tan2 ϕ 1+tan2 ϕ

= cos(2ϕ)

180

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 550.

1 + senβ − cos β β = tan( ) 1 + senβ + cos β 2

551. (1 + tan2 x)(1 − sen2 x) = 1 552.

1 + cot2 α tan2 α · = sen2 α sec2 α 2 1 + tan α cot2 α

553. (1 − senC + cos C)2 = 2(1 − senC)(1 + cos C) 554. (sec θ + tan θ − 1)(sec θ − tan θ + 1) = 2 tan θ

181

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Demuestre las siguientes identidades trigonom´etricas.

555.

tan α − cot β = tan α cot β tan β − cot α

556. tan2 α + sec2 β = tan2 β + sec2 α 557.

tan α tan α + cot β = tan β + cot α tan β

558. cot α tan β(tan α + cot β) = cot α + tan β 559. sen2 α cos2 β − cos2 αsen2 β = sen2 α − cos2 β 560.

sen(α + β) = tan α + tan β cos α cos β

182

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 561. cos(α + β) cos(α − β) = cos2 α − sen2 β 562. sen(α + β)sen(α − β) = cos2 α − cos2 β 563. sen(α + β)sen(α − β) = sen2 α − sin2 β 564. cos(α + β) + sen(α − β) = (cosα + senα)(cos β − senβ) 565. cos(α − β) − sen(α + β) = (cosα − senα)(cos β − senβ)

183

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

14.3.

Ecuaciones Trigonom´ etricas

Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´etricas. 566. 2sen(2x) − 1 = 0 567. 2sen2 x − 1 = 0 √ 568. 3senx − sec x cos2 x = 0 569. 3 tan3 x + 3 tan2 x + tan x + 1 = 0

184

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 570. tan4 x − 9 = 0 571. sen3 x + cos3 x = 0 572. 3 sec2 x = 4 tan2 x 573. tan(x + π4 ) = 1 + tan x

185

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 574. 2sen2 x − cos x − 1 = 0 575. tan2 x + sec2 x = 7 576. tan( x2 ) = senx 577. cot x2 + senx = 0

186

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 578. cos2 ( x2 ) − sen2 ( x2 ) = cos2 x √ 579. 4 cos2 ( x2 ) − 2 = 3 580. 2 cos2 (2x) − sen(2x) − 1 = 0 581. sen(3x) cos x − cos(3x)senx + 1 = 0

187

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 582. cos(3x) cos x + sen(3x)senx = 0 √ √ 583. cos(3α) + 3sen(3α) = 3 584. 585.

1 1 2 − cos x + 2 tan(3x) − tan(3x) cos x = √ √ 2 2 − cos x − 2 2 sen(2x) + sen(2x) cos x

0 =0

188

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

15.

N´ umeros Complejos

Operatoria con N´ umeros Complejos Realice las siguientes operaciones. 586. (4 − 3i) + (2i − 8) 587. 3(−1 + 4i) − 2(7 − i) 588. (3 + 2i)(2 − i) 589.

(i − 2) 2(1 + i) − 3(1 − i)

189

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 590.

2 − 3i 4−i

591. (4 + i)(3 + 2i)(1 − i) 592.

(2 + i)(3 − 2i)(1 + 2i) (1 − i)2

593. (2i − 1)2 ( 594.

4 + 1−i

2−i 1+i )

i4 + i9 + i16 2 − i5 + i10 − i15

595. 3(

1+i 2 3 ) + 2( 1−i 1+i ) 1−i

190

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Forma Polar de los N´ umeros Complejos Exprese los siguientes n´ umeros complejos en su forma polar, y luego ub´ıquelos en el plano complejo. 596. 2 − 2i √ 597. −1 + 3i √ √ 598. 2 2 + 2 2i 599. −i 600. −4 √ 601. −2 3 − 2i

191

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 602.

√

2i √ 3 603. − 2

3i 2

604. 7 605. 1 + i 606. 3 + 3i 607. 4 + 5i

192

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Forma Rectangular de los N´ umeros Complejos Exprese los siguientes n´ umeros complejos en su forma rectangular, es decir, en la forma a + bi. 608. 7e

iπ 3

609. 2e

iπ 6

610. (5cis20◦ )(3cis40◦ ) 611. (2cis50◦ )6 612. 613.

(3e

iπ 6

−5iπ 5iπ 4 )(6e 3 2iπ (4e 3 )3

)(2e

)

(8cis40◦ )3 (2cis60◦ )4

√ 614. ( 3 + i)7 615.

√ (− 3+i)23 (2−2i)12 √ (5−5 3i)35

193

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas C´ alculo de Ra´ıces Calcule las ra´ıces de los siguientes n´ umeros, y luego ub´ıquelos en el plano complejo. 1 √ 616. (2 3 − 2i) 2 1 617. (−4 + 4i) 5 1 √ 618. (2 + 2 3i) 3 1 619. (−16i) 4

194

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 620. 621.

√ 3 √ 4

8 16

√ 1 622. (−8 − 8 3i) 4 √ 623. 2i

195

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Ra´ıces n-´ esimas de la Unidad 624. Halle las ra´ıces c´ ubicas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Qu´e figura se forma si une los puntos? 625. Halle las ra´ıces quintas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Qu´e figura se forma si une los puntos? 626. ¿Qu´e figura esperar´ıa si graficara las ra´ıces n-´esimas de la unidad?

196

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

15.1.

Representaci´ on Geom´ etrica

Represente geom´etricamente el conjunto de puntos determinados por las siguientes condiciones. Indicaci´ on: En algunos casos es u ´til hacer el cambio z = x + iy. 627. kz − ik = 2 628. kz + 2ik + kz − 2ik = 6 629. kz − 3k − kz + 3k = 4 630. z(¯ z + 2) = 3

197

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 631. Im{z 2 } = 4 632. Re{¯ z − i} = 2 633. Re{z 2 } > 1 634. Im{2z} − Re{6z} = 8

198

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 635. kz − 1 + ik ≤ 4 636. 1 < kz + ik ≤ 2 637. z 2 + z¯2 = 2 638. kz + 2 − 3ik + kz − 2 + 3ik < 10

199

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

15.2.

Aplicaciones

´ 639. Area de un Paralel´ ogramo Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 n´ umeros complejos. Se define el Producto Vectorial entre z1 y z2 como: z1 × z2 = x1 y2 − y1 x2 640. Utilizando que z1 z2 = kz1 kkz2 keiθ , demuestre que z1 × z2 = Im{z1 z2 } = kz1 kkz2 ksenθ. 641. Pruebe que el ´ area de un paralel´ ogramo de lados z1 y z2 es z1 × z2 .

200

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Suma de Senos y Cosenos Pruebe las siguientes identidades: 1 cos(θ + nα). 2

642. cos θ + cos(θ + α) + ... + cos(θ + nα) =

sen{ 12 (n+1)α} sen( 12 α)

643. senθ + sen(θ + α) + ... + sen(θ + nα) =

sen{ 12 (n+1)α} sen(θ sen( 12 α)

+ 12 nα).

Indicaci´ on: Primero demuestre los siguientes puntos: i) Re{eiθ } = cos θ e Im{eiθ } = senθ. ii) Si S = eiθ + ei2θ + ... + einθ entonces S = iii) cos θ =

eiθ +e−iθ 2

y que senθ =

ei(n+1)θ −1 . eiθ −1

eiθ −e−iθ . 2i

iv) Si z es un n´ umero complejo y λ un n´ umero real entonces Re{λz} = λ Re{z}.

201

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Seno y Coseno de (α ± β) Dado que eiθ = cos θ + isenθ y que eiα eiβ = ei(α+β) demuestre: 644. sen(α ± β) = senα cos β ± cos αsenβ. 645. cos(α ± β) = cos α cos β ∓ senα cos β.

202

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Identidades Trigonom´ etricas Pruebe las siguientes identidades trigonom´etricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno. 646. sen3 θ = 34 senθ − 14 sen3θ. 647. cos4 θ =

1 8

cos θ +

1 2

cos 2θ + 38 .

203

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Sea n ≥ 2. Pruebe las siguientes identitades: 2(n−1)π 4π 6π = −1. 648. cos 2π n + cos n + cos n + ... + cos n 2(n−1)π 4π 6π = 0. 649. sen 2π n + sen n + sen n + ... + sen n

Indicaci´ on: Pruebe que si z1 , ..., zn son las ra´ıces del polinomio z n − 1 = 0, entonces z1 + ... + zn = 0.

204

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Sea m ≥ 2. Pruebe la siguiente identidad: (m−1)π 3π π · sen 2π = 650. sen m m · sen m · ... · sen m

m 2m−1 .

Indicaci´ on: Primero demuestre los siguientes puntos: i) z m − 1 = (z − 1)(z − e

2πi m

)(z − e

4πi m

) · · · (z − e

ii) 1 − eiz = 1 − e−iz . iii) z · z = kzk2 .

205

2(m−1)πi m

).

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

16.

L´ımites y Continuidad

16.1.

L´ımites

Calcule, si es posible, los siguientes l´ımites.

651. l´ımx→1

√ 3 x−1 √ 4 x−1

652. l´ımx→1

x3 − 1 x2 − 1

653. l´ımx→5

x2 − 3x − 10 25 − x2

654. l´ımx→−1

1 − x2 x2 + 3x + 2

206

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas √ 1+x− 1−x x √ √ x− a x−a √ 1 − 1 − x2 x2 √

655. l´ımx→0 656. l´ımx→a 657. l´ımx→0 658. l´ımx→∞

x2 − 2x + 7 2x2 + 5x − 9

207

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 659. l´ımx→2 660. l´ımx→1 661. l´ımx→1

x2 + 5 x2 − 3 x 1−x √ (x − 1) 2 − x x2 − 1

662. l´ımx→1 (

1 1 − 2 ) x(x − 2)2 x − 3x + 2

208

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 663. l´ımx→1 664. l´ımx→1

xm − 1 xn − 1 √ m x−1 √ n x−1 √

665. l´ımx→∞

x4 +x2 x

666. l´ımx→∞

3·2x +3x 5x

209

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 667. l´ımx→∞ 668. l´ımx→3 l´ımx→5 669. l´ımx→64

√

x+a−

√

x

2x − 6 √ x− x+6 x2 − |x − 5| − 25 |x − 5| √ x−8 √ 3 x−2

210

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 670. l´ımx→0

|x| x

1 − 671. l´ımx→−1 ( 1+x

3 1+x3 )

672. l´ımx→a

√ 2− x−3 x2 −49

673. l´ımx→a

x2 −(a+b)x+ab x2 −(a+c)x+ac

211

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas Calcule, si esque es posible, los siguientes l´ımites trigonom´etricos.

674. l´ımx→π/3 675. l´ımx→π/4 676. l´ımx→π/2

1 − 2 cos x π − 3x cos x − senx cos 2x π ( − x) tan x 2

677. l´ımx→0 csc x − cot x

212

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 678. l´ımx→0

sen5x − senx x

679. l´ımx→0

senx + 1 − cos x x

680. l´ımx→0

sen(ax) sen(bx)

681. l´ımx→π/4

senx − cos x 1 − tan x

213

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 682. l´ımx→0

x − sen2x x + sen3x

sen(xn ) senm x n 684. l´ımx→∞ xsen x

683. l´ımx→0

685. l´ımx→π/3 (

3π − 3x) tan x 2

214

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas √ √ 686. l´ımx→∞ (sen x + 1 − sen x) 687. l´ımx→0

tan(2x) sen(3x)

688. l´ımx→0

sen(senx) x

1 689. l´ımx→0 ( senx −

1 ) tan x

215

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 690. l´ımx→0

sen(a − x) + sen(a + x) − 2sena x2

691. l´ımx→0

4sen(5x) 3x

692. l´ımx→0

sen2 (2x) x2

693. l´ımx→0

senx − 2x 3x + 4senx

216

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas

16.2.

Continuidad

694. Demuestre que los polinomios son continuos en R. Ejemplifique: 695. Una funci´ on que sea discontinua en un punto. 696. Una funci´ on que sea discontinua en un n´ umero finito de puntos. 697. Dos funciones discontinuas en un punto de manera que su suma sea continua en aquel punto. Demuestre que: 698. senx y cos x con continuas en R. , k  Z}. 699. tan x es continua en R − { (2k+1)π 2 Indicaci´ on: |senx| ≤ |x| y | cos x| ≤ |x|

217

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 700. Determine el valor de la constante real C de modo que la siguiente funci´on sea continua en x = 7.

f (x) =

  2+ 

x2 −49 x−7

Cx2 + 5

218

, x>7 , x≤7

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 701. Explique por qu´e la siguiente funci´ on no es continua en R.

f (x) =

  (x − 24)sen( xπ 52 ) , x = 26 

, x 6= 26

1

219

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 702. Determine el valor de k  R de manera que la siguiente funci´on sea continua en R.

f (x) =

  cos( πx 2 ) 

, |x| ≤ 1

k|x − 1| , |x| > 1

220

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 703. Determine los valores de P y C de modo que la siguiente funci´on sera continua en R.  −2senx      P senx + C f (x) =      cos x

221

, x≤ ,

−π 2

,

π 2

−π 2

0

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 705. Considere f definida por:  2 1 ) , x>3 (x − 9)sen( x−3      f (x) = x−3 , 3>x>0      2x3 − 3x2 − 5 , x≤0 Estudiar la continuidad de f en R. Si la funci´on es discontinua en algunos puntos decida si la discontinuidad es reparable o irreparable, si es reparable redefinir f de modo que sea continua en esos puntos.

223

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 706. Determine los valores de las constantes reales C y L para que la siguiente funci´on sea continua en x = 1.  C(1 − x) tan( πx  2 ) , 0 g(x).

297

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 983. Suponga que A y B, son conjuntos tales que |B| = 8,

|P (A)| = 32,

|A ∪ B| = 11.

Determine |A ∩ B| 984. Determine el valor de verdad de la siguiente proposici´on: (∀x)(∃y)((x − y)2 6= x2 + y 2 ))

x, y ∈ R

985. Determine si la siguiente proposici´ on es una Tautolog´ıia: (p =⇒ q) =⇒ ((p =⇒ q) =⇒ (p ∧ q)) ⇐⇒ q =⇒ p 986. Sean A y B conjuntos tales que: A ∪ B = U; A ⊂ B Demuestre que ((A ∩ B) − (A ∪ B))c ∪ (A − B) = B 987. Demuestre el siguiente enunciado por el m´etodo de demostraci´on que usted estime m´as conveniente. ”Si n2 es un n´ umero par, entonces n es un n´ umero par” 988. Dado el sistema de ecuaciones formado por las rectas: L1 : L2 :

2x x

+ ay + cy

+ b + f

=0 =0

a, b, c, f, ∈ R

a) ¿Qu´e condiciones deben satisfacer las constantes a, b, c y f para que el sistema de ecuaciones: i)tenga una u ´nica soluci´ on. ii) tenga infinitas soluciones iii) no tenga soluci´ on. b) Interprete geometricamente sus resultados. c) Asigne valores a las constantes a, b, c, y f para ilustrar cada caso en la pregunta a). 989. Si f (x) = ln(x + 1) −

x2 x+2

+ x − 1,

x ∈ ] − 1, +∞[

a) Pruebe que f 0 > 0 en el intervalo ] − 1, +∞[. b) ¿Cu´ antas soluciones puede admitir la ecuaci´on f (x) = 0 en el intervalo ] − 1, +∞[ Justifique claramente su respuesta. 990.

a) Encuentre la ecuaci´ on de la recta tangente a la par´abola P1 (x) = x2 + 2x − 11 en el punto (3,4).

298

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas b) ¿Existe c ∈ R tal que la recta obtenida en a) sea tangente a la par´abola P2 (x) = x2 − 2x + c. Bosqueje las gr´ aficos de P1 , P2 y la recta obtenida en a).  991. Dada la funci´ on: f (x) =

x 1 x

si x ≤ 1 si x > 1

¿Es f derivable en x = 1?. Justifique su respuesta. √ 992. Si u = 2 tan v y v = 3 x sen2 x Determine

du dx

993. Si ey + xArc sen y = cos x. Determine, en caso de existir, 994. Determine a ∈ R de modo que:

sea continua en R. ¿ Es posible determinar Justifique su respuesta.

dy para x = 0. dx   x+1 a − x2 f (x) =  2

x1 x=1

f (x) − f (1) df (1) = l´ım ? x→1 dx x−1

995. Determine en caso de existir los limites:

a) l´ım

θ→0

1 − cos θ θ sen θ

1 x b) l´ım r x→0 1 (1 + )2 x 1+

996. Hallar la ecuaci´ on de la parabola y = x2 + bx + c, sabiendo que la recta y = 2x − 1 es tangente a dicha parabola en el punto (1, 1).

997. Determine

dy si: dx

a) y = −x2 + 1

b) y = 7x 3 +

ln x2 x2 √1 x

−

sec x 2

+ 4x − 8

x ; determine los intervalos en donde la funcion es simultaneamente : Concava hacia 1 + x2 arriba y Estrictamente creciente.

998. Si f (x) =

999. Que condiciones deben deberian satisfacer las constantes f1 , f2 , f3 de manera que la funcion f (x) = f1 x4 + 6f2 x2 + f3 ; admita exactamente 2 puntos de inflexion ?. 299

´ UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Matem´ atica Centro Integrado de Aprendizaje en Ciencias B´asicas 1000.

a) Hallar la ( las ) ecuaci´ on (es) de la (as) asintotas de f (x) =

x2 + x + 1 . x−1

b) Demuestre que f (x) = x5 + 2x − 3, admite exactamente una raiz real en el intervalo [0,1].

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