PASO 3 – PLANIFICAR MÉTODOS Y HERRAMIENTAS PARA EL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR E IIR Carlos Arturo Rodríguez Ortiz C
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PASO 3 – PLANIFICAR MÉTODOS Y HERRAMIENTAS PARA EL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES FIR E IIR Carlos Arturo Rodríguez Ortiz Cod: 80108533 Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Resumen— El motivo principal para tratar con la
Para la comprensión de la teoría y la práctica de los sistemas
transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no
utilizados en el procedimiento de señales, complementando
converge para todas las secuencia, La transformada Z presenta la
el aprendizaje mediante simulaciones en el software Matlab.
ventaja
en problemas analíticos, el manejo de su notación,
expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente. En el siguiente trabajo realizaremos, las ecuación de diferencia, el
Actividades a desarrollar •
diagrama de bloques de la ecuación, luego simulación en Matlab
Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencias de las expuestas a continuación, luego
(Simulink), para hallar los, respuesta al impulso del sistema,
reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que
diagrama de polos y ceros, diagrama de Bode. El planificar
cada estudiante tenga una ecuación diferente.
métodos y herramientas para el diseño de filtros digitales. Ecuación de diferencia: Esta actividad ha sido desarrollada por cada uno de los integrantes del grupo colaborativo, de este curso, lo cual enviaremos al foro de interacción, finalizando su desarrollo.
•
Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet:
Abstract— the main reason to deal with the Z transform is that
https://www.draw.io/ Ecuaciones de diferencia:
the Fourier transform does not converge for all the sequences. The Z transform presents the advantage in analytical problems, the handling of its notation, expressions and algebra is often more convenient. In the following work we will make, the equation of difference, the block diagram of the equation, then simulation in
[ ]= 0[ ]− 1 [ −1]− 2 [ −2] Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia.
Matlab (Simulink), to find the, response to the system impulse, plot of poles and zeros, Bode diagram. Planning methods and tools for the design of digital filters. This activity has been developed by each one of the members of the collaborative group, of this course, which we will send to the interaction forum, finalizing its development. Introducción El procesamiento digital de señales permite desarrollar el pensamiento científico tecnológico ya que este tema nos permite encontrar la forma de representar y manipular las señales, modelando matemáticamente un sistema digital con el fin de determinar el funcionamiento y utilización de las
Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación
señales.
de diferencias. Esta debe realizarse en el editor de
Mediante el presente informe se desarrollan una serie de
ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos.
ejercicios con el ánimo afianzar conocimientos necesarios
− 𝑎2𝑧−2 ∑ 𝑦[𝑘]𝑧−𝑘 𝑘=−∞
Ecuación diferencial: 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] − 𝑎2𝑦[𝑛 − 2]
Lo que queda en cada sumatoria será transformadas Z, luego: La transformada Z será: Transformada z: 𝑌(𝑧) = 𝑏0𝑋(𝑧) − 𝑎1𝑧−1𝑌(𝑧) − 𝑎2𝑧−2𝑌(𝑧)
Función de Transferencia Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es:
Haciendo el cambio en la segunda sumatoria por: 𝑙=𝑛−1→𝑛=𝑙+1
Si resolvemos Y(z)/X(z) obtendríamos la función de transferencia:
Haciendo el cambio en le tercera sumatoria por: 𝑘=𝑛−2→𝑛=𝑘+2
Y sabiendo que el infinito sumando o restándole 1 o 2 sigue siendo infinito tenemos que: ∞
Función de respuesta en frecuencia Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, remplazando:
∞
𝑌(𝑧) = 𝑏0 ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛 − 𝑎1 ∑ 𝑦[𝑙]𝑧−(𝑙+1) 𝑛=−∞
𝑙=−∞ ∞
𝒁 = 𝒆 𝒋𝒘 Solución:
− 𝑎2 ∑ 𝑦[𝑘]𝑧−(𝑘+2) 𝑘=−∞
Respuesta de la frecuencia: Como las sumas están sobre l y k, lo que no dependa de ellos puede salir de la sumatoria, luego: ∞
∞
𝑌(𝑧) = 𝑏0 ∑ 𝑥[𝑛]𝑧−𝑛 − 𝑎1𝑧−1 ∑ 𝑦[𝑙]𝑧−𝑙 𝑛=−∞ 𝑙=−∞ ∞
Función de la Magnitud de respuesta en frecuencia Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones: 𝒆𝒋𝒘 = 𝐜𝐨 𝐬(𝒘) + 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘) −𝒋𝒘 𝒆 = 𝐜𝐨 𝐬(𝒘) − 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘) Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la siguiente ecuación:
Al resolver la parte interna de la raíz:
Siendo la función de transferencia:
La amplitud cuadrada de la función de frecuencia es:
Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋) Solución:
Resolviendo
La amplitud de la función de frecuencia:
Función de respuesta en Fase Se agrupa parte imaginaria y real Como de esta forma no es posible operar, se usara notación en Fasores del denominador, teniendo la siguiente función de transferencia:
Se hallará la función que represente la respuesta en Fase del sistema, recordar utilizar la siguiente ecuación:
𝐴𝑒𝑗𝜃 Donde esta formado por el número complejo del plano y es tangente siendo igual tanto para la parte real como la imaginaria:
Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋)
A es el número complejo:
NOTA: Para los sistemas recursivos (retrasos en salida) y no recursivos (retrasos en entrada), deben separar los términos reales de los imaginarios, con el fin de hallar las funciones de magnitud y fase. En el caso de los sistemas recursivos, deben multiplicar el numerador y
denominador de la función racional, por el complejo conjugado del denominador. Recordar realizar todas las ecuaciones en el editor de Word (No se aceptan imágenes) Solución: Función de frecuencia en forma de Fasores: Ilustración 1Función de transferencia en Simulink
El ángulo – 𝜃 la fase de la función de respuesta en frecuencia es:
Respuesta al impulso del sistema
Por lo tanto la función tangente es impar 𝑡𝑔(𝜃) = 𝑡𝑔– 𝜃 = −𝑡𝑔𝜃 Se tiene:
La fase de frecuencia es: Ilustración 2 Respuesta al impulso del sistema
Diagrama de polos y ceros Simulación en Matlab “Diagramas” • •
Realizar simulación en Matlab (Simulink), para hallar los siguientes diagramas: Partiendo de la función de transferencia asignamos los siguientes valores:
𝑏0 = 0.4 𝑎1 = 0.8 𝑎2 = 0.5
Función de transferencia en Simulink
Ilustración 3 Diagrama de polos y ceros
Diagrama de Bode La trasformada del pulso exponencial de N muestra 𝑥[𝑛] = 𝑎𝑛𝑛[𝑛] − 𝑛[𝑛 − 𝑁] 𝑠𝑒𝑎 𝑦[𝑛] = :
¿Qué representa Z en una función? Como el valor propio asociado que corresponde con la transformada z de la respuesta al impulso del sistema. Podemos deducir Ilustración 4 Diagrama de Bode
la transformada z mediante un argumento de función propia y valor propio asociado. Sea la secuencia 𝑥[𝑛] = 𝑧𝑛 aplicada a la entrada de un sistema caracterizado por
¿Qué es la transformada Z? La transformada z es una operación lineal que cumple con la superposición. El motivo principal para tratar con la
su respuesta al impulso ℎ[𝑛], la salida 𝑦[𝑛] la cual se obtiene mediante la convolución:
transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales. La transformada Z presenta la
¿Cuál es la diferencia entre la transformada Z bilateral y la unilateral? La transformada Z
ventaja en problemas analíticos, el manejo de su
La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto
notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más
[𝑛] se define como:
conveniente.
Transformada z usando las propiedades a.
La transformada bilateral
Si se emplea la propiedad de
La Transformada Z bilateral de una señal definida en el
multiplicación por n, la transformada z
dominio del tiempo discreto 𝑥[𝑛] 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
de 𝑦[𝑛] = 𝑛𝑢[𝑛]
𝑥(𝑧)𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒
∞
𝑿[𝒁] = ∑ 𝒙[𝑘](𝒏)𝒛−𝒌 𝑲=−∞
b.
Usando la propiedad de escalamiento la
La transformada la unilateral?
transformada z de 𝑥[𝑛] = 𝑎𝑛𝑛𝑢[𝑛]𝑒𝑠:
La transformada Z unilaterales de gran utilidad en el análisis de sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones
iniciales, es decir, aquellos que en su inicio no se
describe la rotación angular. En la figura 17.7 se
encuentran en reposo. Se define como:
muestra cómo se relacionan los valores de z, Ω y F sobre el círculo unitario. En analogía con la transformada de Laplace, Hp (F) describe la respuesta de un sistema a una armónica discreta. Dado que Hp (F) es
¿Cómo se calcula los polos y ceros de una transformada Z?
compleja, puede escribirse como:
Ceros: son los valores de z que hacen que H (z) = 0 Polos: son los valores de z que hacen que H (z) = ∞A partir de los ceros y polos de un sistema se puede obtener su función de transferencia salvo un posible factor de ganancia.
¿Qué es la respuesta en fase de un sistema? La respuesta en frecuencia de un sistema con función de
Pueden existir ceros o polos en z = ∞. Si H (∞) = 0 existe un
transferencia G(s) se obtiene sustituyendo s=jω,
cero en z = ∞ y si H (∞) = ∞ existe un polo en z = ∞. El número
obteniendo la función G (jω) denominada función de
total de ceros y polos de un sistema, considerando los que
transferencia senoidal:
están en el infinito deben coincidir. La transformada z de
La señal armónica discreta infinita ej2πnF0 es una señal
muchas señales es una función racional con la forma.
propia de los sistemas LTI de tiempo discreto. La respuesta también es una armónica H 0e j (2πnF0 +ø0), con la misma frecuencia H 0 que la entrada y cuya magnitud H 0 y fase ø 0corresponden a la de la función del sistema
En esta expresión, el coeficiente A 0 del denominador se ha normalizado a la unidad.
Hp (F0 = H ø 0 evaluada para la frecuencia de la entrada F = F 0. CONCLUSIÓN
Si las raíces de N (z) son zi, i = 1, 2,..., M; y las de D (z) son pk, k = 1, 2,..., N, entonces X (z) también puede expresarse en forma factorizada como:
Mediante el procesamiento digital de señales nos permite realizar un modelamiento matemático de la información, ejecutar operaciones eficaces y efectivas. En general las señales se aplican en todos los campos laborales,
científicos,
industriales,
medicina,
comunicación, entretenimiento, transporte, ya que nuestro Suponiendo que ya se han cancelado los factores comunes, las p
entorno se mueve alrededor de señales.
raíces de N (z) y las q raíces de D (z) se conocen como ceros y polos de la función de transferencia, respectivamente.
Afianzamos los conocimientos adquiridos al desarrollar los conceptos fundamentales donde se desarrollaron ejercicios
¿Qué es la respuesta en frecuencia de un sistema? Si la función de transferencia H (z) de un sistema lineal se evalúa para los valores z = e j 2πF = e j Ω (sobre el círculo unitario), lo que se obtiene es la función de transferencia de estado estacionario o la respuesta de frecuencia, Hp (F) del sistema. Ésta es justo la DTFT de la respuesta al impulso h[n]. La cantidad Ω = 2πF
asignados en esta fase. Es de resaltar la oportunidad de a interactuar
con
nuestros
compañeros
del
grupo
colaborativo. Donde cada estudiante logro identificar sus debilidades y fortalezas las cuales fueron fructíferas a la adquisición de saberes a unidad 2: pasó 3
Referencia Bibliografía •
[1] Adar, A. (2002). Transformada z. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 592). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/ CX4060300180/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid =d11fa7cc
•
[2] Ambardar, A. (2002). Filtros Digitales Descritos con Ecuaciones de Diferencias. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., pp. 103-110). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/ CX4060300050 /GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid =ee09b0a1
•
[3] Ambardar, A. (2002). Función de Transferencia. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., pp. 602-605). Mexico City, Mexico: Cengage Learning. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/ CX4060300185/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid =08e5cfda
•
[4] Ambardar, A. (2002). Respuesta de Frecuencia. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., pp. 621-623). Mexico City, Mexico: Cengage Learning. . Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2619/apps/doc/ CX4060300189/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid =ae0feae6