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• vanegb2014

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 LA DISTRIBUCION UNIFORME

APLICACIONES 6.31 Se escoge un punto D en la línea AB, cuyo punto medio es C y cuya longitud es a. Si X, la distancia de D a A, es una variable aleatoria que tiene la densidad uniforme con 𝛼 = 0 y 𝛽 = 𝛼. ¿Cuál es la probabilidad de que AD, BD y AC formaran un triángulo? 6.32 En ciertos experimentos, el error cometido cuando se determina la densidad de una sustancia es una variable aleatoria que tiene la densidad uniforme con 𝛼 = −0.015 y 𝛽 = 0.015. Encuentra las probabilidades de que un error tal (a) Estará entre -0.002 y 0.003; (b) Excederá 0.005 en valor absoluto 6.33 Si una compañía emplea n vendedores, sus ventas brutas en miles de dólares se puede considerar como una variable aleatoria que tiene una distribución gamma con 𝛼 = 80\𝑠𝑞𝑟𝑡𝑛 y 𝛽 = 2. Si el costo de ventas es de $8.000 dólares por vendedor, ¿Cuántos vendedores debe emplear la compañía para maximizar la utilidad esperada? 6.34 En cierta ciudad, el consumo diario de energía electica en millones de kilovatios-hora se puede tratar como una variable aleatoria que tiene la distribución gamma con 𝛼 = 3 y 𝛽 = 2. Si la planta generadora de esta ciudad tiene capacidad diaria de 12 millones de kilovatios-hora, ¿Cuál es la probabilidad de que esta oferta de energía sea inadecuada cualquier día dado? 6.35 El millaje (en miles de millas) que los dueños de automóviles obtienen con una cierta marca de neumático radial es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial 𝜃 = 40. Encuentre las probabilidades de que uno de estos neumáticos durara (a) al menos 20.000 millas (b) Cuando mucho 30.000 millas 6.36 La cantidad de tiempo que un reloj funcionara sin tener que volverlo a poner a tiempo es una variable aleatoria que tiene la distribución exponencial con 𝜃 = 120 días. Encuentra las probabilidades de que un reloj tal (a) Tendrá que ponerse a tiempo en menos de 24 días; (b) no tendrá que ponerse a tiempo en al menos 180 días. 6.37 El número de aviones que llegan por día a un pequeño aeropuertoprivado es una variable aleatoria que tiene una distribución de

Poisson con 𝜆 = 28.8. ¿Cuál es la probabilidad de que en el tiempo entre dos llegadas tales sea al menos 1 hora? 6.38 EL número total de cheques sin fondos que un banco recibe durante un dia de negocios de 5 horas es una variable aleatoria de Poisson con 𝜆 = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que no recibirá un cheque sin fondos en un día cualquiera durante las primeras 2 horas? 6.39 Una cierta clase de aparato domestico requiere una reparación en promedio una vez cada 2 años. Suponiendo que los tiempos entre reparaciones están distribuidos exponencialmente, ¿Cuál es la probabilidad de que un aparato domestico tal trabajará al menos 3 años sin requerir reparaciones? 6.40 Si la proporción anual de declaraciones erróneas de impuestos al ingreso sometidas IRS (International Revenue Service; servicio internacional de recaudación) se puede considerar una variable aleatoria que tiene la distribución beta con 𝛼 = 3 y 𝛽 = 9, ¿Cuál es la probabilidad de que en un año dado cualquiera habrá menos de 10% de declaraciones erróneas. 6.41 Si la proporción anual de nuevos restaurantes que fracasan en una ciudad dada se puede considerar como una variable aleatoria que tiene una distribución beta con 𝛼 =  1 y 𝛽 = 4. Encuentre (a) La media de muestra distribución, esto es, la proporción anual de nuevos restaurantes que se puede esperar que fracasen en la ciudad dada; (b) La probabilidad de que al menos 25% de todos los nuevos restaurantes fracasen en la ciudad dada en un año cualquiera. 6.42 Suponga que la vida de servicio de un semiconductor es una variable aleatoria que tiene la distribución de Weibull (véase el ejercicio 6.23) con 𝛼 =  0.025 y 𝛽 = 0.500 (a) ¿Cuánto se puede esperar que dure un semiconductor como ése? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un semiconductor como ése estará todavía en condiciones operativas después de 4,000 horas?

 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

APLICACIONES 6.55 Si Z es una variable aleatoria que tiene la distribución normal estándar, encuentre las probabilidades que asumirá un valor (a) mayor que 1.14; (b) mayor que -0.36;

(c) entre -0 .4 6 y -0.09; (d) entre -0.58 y 1.12. 6.56 Si Z es una variable aleatoria que tiene la distribución normal estándar, encuentre (a) P (Z < 1.33); (b) P (Z S -0 .7 9); (c) P (0.55 < Z < 1.22); (d) P (-1.90 S Z S 0.44). 6.57 Encuentre z si el área de la curva normal están d ar (a) entre 0 y z es 0.4726; (b) a la izquierda de z es 0.9868; (c) a la derecha de z es 0.1314; (d) entre - z y z es 0.8502. 6.58 Si Z es una variable aleatoria que tiene la distribución normal estándar, encuentre los valores respectivos de 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 y 𝑧4 tales que (a) P (0 < Z < 𝑧1 ) = 0.4306; (b) P (Z ≥ 𝑧2 ) = 0.7704; (c) P (Z > 𝑧3 ) = 0.2912; (d) P (-𝑧4 ≤ Z < 𝑧4 ) = 0.9700. 6.59 Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución normal, ¿cuáles son las probabilidades de obtener un valor (a) dentro de una desviación están dar de la media; (b) dentro de dos desviaciones estándar de la media; (c) dentro de tres desviaciones estándar de la media; (d) dentro de cuatro desviaciones estándar de la media? 6.60 Si 𝑧𝛼 está definida por ∞

∫ 𝑛(𝑧; 0.1)𝑑𝑧 = 𝛼 𝑧𝛼

encuentre sus valores p ara

(a) α = 0.05; (b) α = 0.025; (c) 𝛼 = 0 .01; (d) α = 0.005. 6.61 (a) Use un programa de computadora para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con la media -1.786 y la desviación estándar 1.0416 asumirá un valor entre -2.159 y 0.5670. (b) Interpole en la tabla III para encontrar esta probabilidad y compare su resultado con el valor más exacto encontrado en el inciso (a). 6.62 (a) Use un programa de computadora para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 5.853 y la desviación están d ar 1.361 asumirá u n valor mayor q u e 8.625; (b) Interpole en la tabla III p ara encontrar esta probabilidad y compare su resultado con el valor más exacto encontrad o en el inciso (a). 6.63 Suponga que durante los periodos de meditación trascendental la reducción del consumo de oxígeno de una persona es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con µ = 37.6 cc por minuto y 𝜎 = 4.6 cc por minuto. Encuentre las probabilidades de que durante un periodo de meditación trascendental el consumo de oxígeno de una persona se reducirá por (a) al menos 44.5 cc por minuto; (b) cuando mucho 35.0 cc por minuto; (c) cualquier valor entre 30.0 y 40.0 cc por minuto.

6.64 E n un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de impresiones se puede considerar como una variable aleatoria que tiene la distribución normal con µ = 15.40 segundos 𝜎 = 0.48 segundos. Encuentre las probabilidades de que el tiempo que toma revelar una de las impresiones será (a) al menos 16.00 segundos; (b) cuando mucho 14.20 segundos; (c) cualquier valor entre 15.00 y 15.80 segundos. 6.65 Supongamos que la cantidad real de café instantáneo que una máquina sirve en un frasco de “6 onzas” es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con 𝜎 = 0.05 onzas. Si sólo 3 p o r ciento de los frascos deben contener menos de 6 onzas de café, ¿cuál debe ser la media del llenado de estos frascos?

6.66 Una variable aleatoria tiene la distribución normal con 𝜎= 10. Si la probabilidad de que la variable aleatoria asumirá un valor menor que 82.5 es 0.8212, ¿cuál es la probabilidad de que asumirá un valor mayor que 58.3? 6.67 Verifique en cada caso si la aproximación normal a la distribución binomial se puede usar de acuerdo a la regla empírica de la página 224. (a) n = 16 y 𝜃 = 0 .2 0; (b) n = 65 y 𝜃 = 0.10; (c) n = 120 y 𝜃 = 0.98. 6.68 Suponga que queremos usar la aproximación normal a la distribución binomial para determinar 𝑏(1; 150,0.05). (a) Con base en la regla em pírica de la página 224, ¿estaría justificado el uso de la aproximación? (b) Haga la aproximación y redondee a cuatro decimales. (c) Si una impresión de computadora muestra que b (1; 150,0.05) = 0.0036 redondeado a cuatro decimales, ¿cuál es el porcentaje de error de la aproximación obtenida en el inciso (b)? Esto sirve para ilustrar que la regla em pírica es sólo eso y n o más; hacer aproximaciones como ésta también requiere una buena cantidad de juicio profesional. 6.69 Con respecto al ejercicio 6 .6 8, demuestre que la distribución de Poisson hubiera dado una mejor aproximación. 6.70 Use la aproximación normal a la distribución binomial para determinar (con cuatro decimales) la probabilidad de obtener siete caras y siete cruces en 14 lanzamientos de una moneda balanceada. También consulte la tabla I para encontrar el error de esta aproximación. 6.71 Si 23 por ciento de todos los pacientes con presión arterial alta tiene efectos colaterales perjudiciales con cierta clase de medicamento, use la aproximación normal p ara encontrar la probabilidad de que entre 120 pacientes con presión arterial alta tratados con este medicamento más de 32 tendrán efectos colaterales perjudiciales. 6.72 Si la probabilidad de que un banco rechazará una solicitud de préstamo es 0.20, use la aproximación normal para determinar (con tres decimales) la probabilidad de que el banco rechazará cuando mucho 40 de 225 solicitudes de préstamo.

6.73 Para ilustrar la ley de los grandes números (véase también el ejercicio 5.30), use la aproximación normal a la distribución binomial para determinar las probabilidades de q u e la proporción de caras estará entre 0.49 y 0.51 cuando se lanza una moneda balanceada (a) 100 veces; (b) 1,000 veces; (c) 10,000 veces.

 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL BIVARIADA

APLICACIONES 6.81 El centro de un banco se toma como el origen de un sistema rectangular coordenadas, con respecto al cual el punto de impacto de un cohete tiene las coordenadas X y Y. Si X y Y tiene la densidad normal bivariada con 𝜇1 = 0, 𝜇2 = 0. 𝜎1 , = 1 2 0 pies, 𝜎2 = 120 pies y p = 0, encuentre la probabilidad de que el punto de impacto estará (a) dentro de un cuadro con lados de 180 pies, cuyo centro está en el origen y cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas; (b) dentro de un círculo cuyo radio de 75 pies con su centro en el origen. 6.82 Si X y Y tienen la distribución normal circular con 𝜇1 = 𝜇2 = 0 y 𝜎1 = 𝜎2 = 12, encuentre (a) la probabilidad de obtener un punto (x, y) dentro de un círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36; (b) el valor de c para el cual la probabilidad de obtener un punto (x, y) dentro del círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐 2 es 0.80. 6.83 Suponga que X y Y, la altura y el peso de ciertos animales, tienen la distribución normal bivariada con 𝜇1 = 18 pulgadas, 𝜇2 = 15 libras, 𝜎1 = 3 pulgadas, 𝜎2 = 2 libras y p = 0.75. Encuentre (a) el peso esperad o de uno de estos animales de 17 pulgadas de alto; (b) la altura esperada de uno de estos animales de 20 libras de peso.

 TECNICA DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

APLICACIONES 7.9 E n el ejercicio 3.88. el precio de cierta mercancía (en dólares) y sus ventas totales (en unidad es de 10,000) se denotó mediante P y S. Use la densidad conjunta dada en ese ejercicio y la técnica de la función de distribución para

encontrar la densidad de probabilidad de V = S P , la cantidad total de dinero (en unidad es de $10,000) que se gasta en esa mercancía. 7.10 Con respecto al ejercicio 3.53, encuentre la densidad de probabilidad del millaje promedio de dos neumáticos como ésos. Suponga independencia. 7.11 En el ejercicio 3.107, X es la cantidad de dinero (en dólares) que un vendedor gasta en gasolina, y Y es la cantidad de dinero que se le reembolsa. Use la densidad de probabilidad conjunta dada en ese ejercicio y la técnica de la función de distribución para encontrar la densidad de probabilidad de la variable aleatoria Z = X - Y, la cantidad de dinero que no se le reembolsa. 7.12 Sea X la cantidad de gasolina premium (en 1,000 galones) que una estación de servicio tiene en sus tanques al principio del día. y Y la cantidad que esa estación de servicio vende duran te el día. Si la densidad conjunta de X y Y está dada por 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 𝑥 < 120 𝑓(𝑥, ) = 𝑓(𝑥) = {200 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 use la técnica de la función de distribución para encontrar la densidad de probabilidad de la cantidad que le queda a la estación de servicio en sus tanques al final del día. 7.13 Si los porcentajes de cobre y hierro en cierta clase de mineral son, respectivamente, 𝑋1 y 𝑋2. Si la densidad conjunta de estas dos variables aleatorias está dada por 3 (5𝑥1 + 𝑥2 ), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 > 0, 𝑥2 > 0 𝑦 𝑥1 + 2𝑥2 < 2 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑓(𝑥) = {11 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 use la técnica de la función de distribución para encontrar la densidad de probabilidad de Y = 𝑋1 + 𝑋2. Encuentre también E(Y ) , el porcentaje total esperado de cobre y hierro en el mineral.  TÉCNICA DE TRANSFORMACIÓN: VARIAS VARIABLES

APLICACIONES 7.49 De acuerdo a la ley de Maxwell-Boltzman de la física teórica, la densidad de probabilidad de V, la velocidad de una molécula de gas, es 2

𝑓(𝑣) = {

𝑘𝑣 2 𝑒 −𝛽𝑣 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣 > 0 } 0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒

Donde 𝛽 depende de su masa y la temperatura absoluta y 𝑘 es una constante 1 apropiada. Demuestre que la energía cinética 𝐸 = 2 𝑚𝑉 2 es una variable aleatoria que tiene una distribución gamma. 7.50 Con respecto al ejercicio 3.86, encuentre la densidad de probabilidad de la distancia entre el punto de impacto y el centro del blanco. 7.51 Con respecto al ejercicio 3.87, encuentre la densidad de probabilidad de la 𝑋+𝑌 variable aleatoria 𝑍 = 2 , que es el promedio de las dos proporciones de respuestas correctas que un estudiante obtendrá en las dos pruebas de aptitud. 7.52 Con respecto al ejercicio 3.88, use el teorema 7.2 para encontrar la densidad de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias 𝑉 = 𝑆𝑃 y 𝑊 = 𝑃, y entonces encuentre la densidad marginal de 𝑉. 7.53 Use un programa de cómputo para generar 10 números “pseudo aleatorios” que tengan la distribución marginal de 𝑉. 7.54 Describa cómo quienes escribieron el software que usted utilizo para el resultado del ejercicio 7.53 pudieron haber usado la transformación de la integral de probabilidad.

 TÉCNICA DE FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

APLICACIONES 7.61 Una abogada tiene un numero privado en el cual recibe en promedio 2.1 llamadas cada media hora y un número que se encuentra en el directorio telefónico en el cual recibe en promedio 10.9 llamadas cada media hora. Si se puede suponer que los números de llamadas que recibe en estos teléfonos son variables aleatorias independientes que tiene distribuciones de Poisson ¿cuáles son las probabilidades de que en media hora ella reciba en total a) 14 llamadas, b) Cuando mucho seis llamadas?

7.62 En un periódico, un vendedor de autos anuncia un Chrysler Le Baron 1993, un Ford Escort 1991 y un Buick Skylark 1994. Si el número de entrevistas que tendrá sobre estos autos se puede considerar como variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de Poisson con los parámetros 𝜆1 = 3.6, 𝜆2 = 5.8 y 𝜆3 = 4.6 ¿cuáles son las probabilidades de que en total tenga

a) Menos de 10 entrevistas sobre estos autos. b) Cualquier número entre 15 y 20 entrevistas sobre estos autos. c) Al menos 18 entrevistas sobre estos autos 7.63 Con respecto al ejercicio 7.62 ¿cuál es la probabilidad de que el vendedor de autos tenga seis entrevistas sobre el Ford Escort 1991 y ocho entrevistas sobre los otros dos autos? 7.64 Si el número de quejas que un negocio recibe por día es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con 𝜆 = 3.3 ¿cuáles son las probabilidades de que recibirá a) Dos quejas en un día dado; b) Cinco quejas en total en dos días cualquiera c) Al menos 12 quejas en total en tres días dados cualquiera? 7.65 El número de peces que una persona pesca por hora en Woods Canyon Lake es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con 𝜆 = 1.6, ¿Cuáles son las probabilidades de que una persona que pesca ahí atrapará. a) Cuatro peces en 2 horas; b) Al menos dos peces en 3 horas: c) Cuando mucho tres peces en 4 horas? 7.66 SI el número de minutos que tarda un empleado en una estación de servicio para balancear un neumático es una variable aleatoria que tiene la distribución exponencial con el parámetro 𝜃 = 5, ¿cuáles son las probabilidades de que el empleado tardará. a) Menos de 8 minutos en balancear dos neumáticos; b) Al menos 12 minutos para balancear tres neumáticos? 7.67 Si el numero de minutos que un doctor dedica a un paciente es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con el parámetro 𝜃 = 9, ¿ cuáles son las probabilidades de que el doctor tardará al menos 20 minutos para tratar a) Un paciente; b) Dos pacientes; c) Tres pacientes: