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“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES”

ONDOR TAPIA, FERNANDO. CUBAS BENAVIDES, KEVIN . LORRÉN MUSAYÓN, LEONARDO. SAAVEDRA SALAZAR

DEDICATORIA

El presente trabajo de investigación lo dedicamos: A nuestros padres; a quienes les debemos todo lo que tenemos en esta vida y nos brindan su amor y dedicación .A Dios, ya que gracias a él tenemos esos padres maravillosos, los cuales nos apoyan en nuestras derrotas y celebran nuestros triunfos. A nuestro docente quien es nuestra guía en el aprendizaje, dándonos los últimos conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en la sociedad, como profesiones a la vanguardia. Y a todo aquel que esté dispuesto a seguir en la lucha constante de expandir sus conocimientos.

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Página 2

AGRADECIMIENTO

A todas las personas que de una u otra forma

nos

proporcionaron

los

conocimientos necesarios para plasmarlos en este trabajo, ya sea de manera física o virtual, sin ellos nada de esto hubiera sido posible.

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Página 3

OBJETIVO

Plantear ejercicios de aplicación referentes al tema de las Ecuaciones Diferenciales aplicadas a nuestra carrera profesional de Ingeniería Civil.

Analizar y dar solución a los problemas planteados con referencia a las Ecuaciones Diferenciales, pertenecientes a este tema de exposición.

Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

PREFACIO

El presente trabajo de investigación esta dirigido a los alumnos que estudian su primer curso de ecuaciones diferenciales. Debido a que el trabajo aquí presentado se ajusta totalmente al contenido del curso de Matemática III de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil, esperamos que tenga un gran alcance, dada la alta población estudiantil con que cuenta nuestra Escuela Profesional. Los ejercicios resueltos cuentan con un texto fácil de comprender que le permitirán obtener y desarrollar sus habilidades para plantear y resolver ecuaciones diferenciales aplicadas al campo que abarca nuestra carrera profesional de Ingeniería Civil.

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Página 5

ÍNDICE

DEDICATORIA................................................................................................ 2 AGRADECIMIENTO......................................................................................... 3 OBJETIVOS...................................................................................................... 4 CAPÍTULO I..................................................................................................... 7 CONCEPTOS BÁSICOS.................................................................................... 7 Y DEMOSTRACIONES...................................................................................... 7 1. CONCEPTOS BÁSICOS Y DEMOSTRACIONES..............................................8 1.1.

Presión en los líquidos (P)......................................................................8

Demostración............................................................................................. 8 1.2.

Empuje (E).......................................................................................... 9

1.3.

Peso Aparente (Wa).............................................................................9

Demostración........................................................................................... 10 1.4.

Centro de Gravedad...........................................................................11

1.5. Flotabilidad.......................................................................................... 11 1.6. Centro de Flotación o de Carena (CF o CC)..............................................12 CAPÍTULO II................................................................................................... 14 PRINCIPIO DE................................................................................................ 14 ARQUÍMEDES................................................................................................ 14 2. Principio de Arquímedes..............................................................................15 2.1 Breve reseña histórica............................................................................15 2.2

Enunciado del Principio de Arquímedes................................................16

2.3

Demostración.................................................................................... 16

2.3.1

CASO I: Para cuerpos parcialmente sumergidos...........................17

2.3.2

CASO II: Para cuerpos totalmente sumergidos...........................18

2.4

Relación entre el Empuje y el Peso del cuerpo sumergido total o

parcialmente............................................................................................... 20 2.5.

Estabilidad De Cuerpos Sumergidos Total o Parcialmente.....................21

2.5.1

ESTABILIDAD LINEAL...............................................................22

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2.5.2

ESTABILIDAD ROTACIONAL.....................................................23

2.5.2.1.- Estable.-.................................................................................. 23 2.5.2.2.- Inestable.-.............................................................................. 23 2.5.2.3.- Indiferente.-...........................................................................24 2.6

Estabilidad de un Barco......................................................................25

2.6.1. Demostración................................................................................... 25 PROBLEMAS RESUELTOS.............................................................................. 30 Problema N° 1............................................................................................. 30 Problema N° 2............................................................................................. 32 Problema N° 3............................................................................................. 32 Problema N° 4............................................................................................. 32 Problema N° 5............................................................................................. 32 CONCLUSIONES........................................................................................... 33 ANEXOS........................................................................................................ 34

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Página 7

CAPÍTULO I EJERCICIOS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A LA INGENIERÍA CIVIL Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1. Tanques agitados Cuando se agrega agua a un tanque agitado, tal como se muestra en la figura inferior, se puede obetner una ecuación diferencial de primer orden, tal ecuación se puede obtener al momento de hacer un balance de masa, energía o momentum.

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Página 9

Vamos a comenzar con un ejemplo sencillo de llenado y vaciado de un tanque cilindrico, agitado, como en que se muestra en la figura anterior, donde el vplumen del tanque varía según los flujos de entrada y de salida al tanque.

Un balance de masa en el tanque se obtiene al hacer un análisis de lo que entra y sale del tanque, generando así el planteamiento de la siguiente ecuación:

Acumulación de masa en el tanque Periodo ´de tiempo

=

Flujo másico que entraal tanque Periodo ´de tiempo

Cantidad de masa que se genera en eltanque Periodo ´de tiempo

-

-

Flujo másico que sale del tanque Periodo ´de tiempo

Cantidad de masa que se consume en el tanque Periodo ´de tiempo

+

… (Ec. 1)

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El análisis anterior se puede hacer sobre algún componente en particular o sobre la masa total en cuestión, el mismo tipo de ecuación aplica en el caso de tratarse de un análisis de energía o de momentum.

Por ejempli, si utilizamos la ecuación (1) de la figura anterior, y hacemos un balance total de masa tendremos:

d ( ρV ) =F i−F s + F g + Fc dt Donde :



Fi

= Cantidad de masa que entra al tanque.



Fs

= Cantidad de masa que sale del tanque.



Fg

= Cantidad de masa que se genera en el tanque.



Fc

= Cantidad de masa que se consume en el tanque.



t

= Tiempo.



ρ

= Densidad de la mezcla del tanque.



V

= Volumen de la mezcla del tanque.

Ejemplo 1: Supongamos que se tiene un tanque agitado, al cual entra agua con una velocidad de 0.2 m3/s, y sale con una velocidad de 0.15 m 3/s. Determinae si la altura del tanque después de que han transcurrido 30 segundos, si la altura inicial del tanque era de 1.8 m, y el tanque tiene forma de un cilindro recto, con un área de sección transversal de 1.5 m 2.

[Escribir texto]

Página 11

Solución: Al hacer un balance de masa, llegamos a la ecuación (2), sin los términos de generación ni consumo, pues no hay reacción química en el tanque, aspi que tenemos: d ( ρV ) =F i−F s dt

Luego, sustituimos cantidades en esta ecuación y obtenemos:

[

( )]

[

( )]

3 3 d ( ρV ) m Kg m Kg = 0.2 x 1000 3 – 0.15 x 1000 3 dt s s m m

( ) ρ

( )

d (V ) Kg =0.05(1000) dt s

( )

ρ

d (V ) Kg =50 dt s

( )

Así se tiene que: d (V ) 50 = dt 1000

d (V ) =0.05 dt Por lo que esta última ecuación se resuelve fácilmente por separación de variables, dando como resultado:

V = 0.05t + C

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Y con la condición inicial h(0) = 1.8, se tiene entonces:

V = Ah = 0.05t + C h = 1.8 =

0.05t +C A

0.05(0)+C 1.5

=

Así que: C = 2.7

y

por lo tanto

V = 0.05t + 2.7

Entonces el valor de h después de que han transcurrido 30 segundos es:

h =

0.05 ( 30 )+2.7 1.5

RPTA: La altura del tanque después de 30 segundos es h = 2.8 m

Ejemplo 2: Considere los dos tanques de la figura. Inicialmente el tanque 1, contiene 200 litros de solución salina en la que se han disuelto 40 kilos de sal. El tanque 2, que tiene 400 litros de capacidad, contiene 100 litros de solución salina con concentración de sal de

1 25

kilos por litro. En el instante

t=0

se abren simultáneamente las llaves A, B, C y D. Por A entra solución con concentración de

1 10

kilos por litro a 10 litros por minuto. Por B pasa la

solución del tanque 1 al tanque 2 a 10 litros por minuto. Por C entra agua pura a 2 litros por minuto y por D sale solución a 6 litros por minuto. Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo t.

[Escribir texto]

Página 13

Solución: Sea

x (t )

la cantidad de sal en el tanque 1 en el instante t El ritmo de 1 ×10 entrada al tanque 1 es de " 10 kilos de sal por minuto " y el ritmo de salida es de " 10 litros por minuto por

Entonces :

x (t ) 200

"

d (x ) x + =1… … Ecuaci ó n diferencial lineal . d ( t ) 20

Solución de la Ecuación Diferencial: P (t )=

1° 2° Hallamos el F.I.:

e∫

1 ; Q ( t )=1 20

P ( t ) dt

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t

F . I .=e 20

[

]

t

t

d 20 e . x =1 . e 20 dt

3°

[

t

]

t

∫ dtd e 20 . x dt=∫ e 20 dt t

t

e 20 . x=20 e 20 +C

x ( t )=20+C . e

−t 20

Como x ( 0 )=40

40=20+C . e 0 C=2 0

De donde:

−t

RESPUESTA

x (t)=20+ 20.e 20

1.2. Ley de Newton de enfriamiento Lo ley de Newton de enfriamiento menciona que la velocidad con que se enfria un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio donde se encuentra. Supongamos que T representa la tempratura de un objeto en cual instante “ dT dt

t

”, entonces

es la velocidad con que se enfria el objeto, y está dado por:

[Escribir texto]

Página 15

dT =k (T −T m) dt Donde k es una constante de proporcionalidad y

Tm

es la temperatura del

ambiente.

Ejemplo 3 Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 100°F se pone en un cuarto a una temperatura constante 0°F. Despues de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50°F. A) ¿Cuánto tiempo tardara la barra para llegar a una temperatura de 25°F? B) ¿Cuál sera la temperatura de la barra despues de 10 minutos?

Solución: T(t) = temperatura de la barra al tiempo t T(0) = 100°F T(20) = 50°F Ta = Temperatura del ambiente = 0°F dT dt

= velocidad a la que se enfria Aplicando la ley de enfriamiento de Newton: dT dt

= k (T-Ta) dT dt

= kT

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T(t) =

kt

ce

kt T(t) = 100 e

 T(20) = 50°F kt 100 e = 50

e k



20t

= 0.5 = - 0.03465 T ( t )=100 e−0.03465 t

A) Tiempo para llegar a 25°F

25 =

e−0.03465t

ln ⁡( 0.25)

t = −0.03465

= 40

Respuesta: La barra tardara 40 minutos para alcanzar 25°F de temperatura. B) Temperatura de la barra despues de 10 minutos −0.03465(10) T(10) = 100 e

T= 70.71 [Escribir texto]

Página 17

Respuesta: La temperatura de la barra después de 10 minutos es aproximadamente 71°F.

1.3. Crecimiento poblacional Cuando se estudia el crecimiento de una población se consideran

tanto los organismos que nacen como los que mueren y los que migran. Si P representa a la población en cualquier instante, y M representa al incremento neto resultante de restar los organismo que emigran de los que inmigran, entonces la tasa de crecimiento de la población de estos organismos está dada por: dP =kP+ M dt

Ejemplo 4 Se sabe que la población de cierto país aumenta de una forma proporcional al número de habitantes actuales.

Si después de dos años la población se

ha duplicado y después de tres años la población es de 20.000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el país.

Solución: X(t) = población en el instante t dx =kx ( t ) dt dx =kdt x (t) ln ( x ( t ) )=kt+C

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x ( t )=C ekt x ( 0 )=x o

x ( 0 )=x o ; x o =C x ( 2 )=2 x o 2 x o =C e 2 k 2 k=ln|2|

k =0.346574 x ( 3 ) =20.000 20.000=C e3 k 20.000=x o e 3 x 0.346574

RESPUESTA:

x o=7.071 habitantes

1.4. Circuitos Eléctricos Otra de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales nos permite conocer la intensidad de corriente de un circuito eléctrico.

[Escribir texto]

Página 19

OTROS EJEMPLOS

Ejemplo 5: Un escalador de montañas sale de su campamento base a las 6:00 a.m. A medida que trepa, la fatiga y la falta de oxígeno se hacen sentir de modo que la rapidez con la cual aumenta su elevación es inversamente proporcional a la elevación. Al mediodía está a una altura de 19.000 pies, y a las 2:00 p.m. ha llegado a la cima de la montaña, que está a 20.000 pies. ¿Qué tan alto era su campamento base?

Solución: h(t ) la altura del escalador en un instante

Sea

Entonces,

h ´ ( t ) . h ( t ) =k

Resolviendo esta ecuación, 2

h =¿ 2

Ahora bien,

kt +c ,

h(6)

k

, donde

=

es constante.

h d h=kdt ,

2 o bien, h =¿

19.000

t.

de donde: 2 kt+C

h ( 8 )=¿

y

20.000

Reemplazando: 2

19

.

6

10

=

2k

.

6+C

Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

2

20

.

10

6

2k

=

.

8+C

Restando la primera ecuación de la segunda, eliminamos 6

2

2

10 (20 −19 )

=

4k

Reemplazando en la primera ecuación Así, en el instante h2=¿

C

t=0

k

, es decir,

C

106

:

.

39 4

6 2 = 10 (19 −3. 39)

(a las 6:00 de la mañana):

6 6 = 10 (361−117 ) = 10 . 244

h

Respuesta:

=

C

≈

103

.

de donde : 15,6

El campamento de base se encontraba aproximadamente a

15.600

pies de altura.

Ejemplo 6

Se está celebrando una fiesta en una habitación que contiene cúbicos de aire libre de monóxido de carbono. En el instante

1800 t=0

pies varias

personas empiezan a fumar. El humo, que contiene un seis por ciento de 0,15 monóxido de carbono, se introduce en la habitación a razón de pies cúbicos por minuto, y la mezcla, removida por ventilación, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monóxido de carbono comienza a ser 0, 00018 peligroso a partir de una concentración de ? (ln 0, 99 ≈−0,003)

[Escribir texto]

Página 21

Solución Sea

C( t)

la cantidad de monóxido de carbono presente en la habitación t en un instante 0.15

El ritmo de entrada es

0,15.C (t) 1800

El ritmo de salida es

C ´ ( t)

Entonces,

0,06

.

9

=

.

=

10−3

=

9

5 C (t) 6.10 4

.

10−3

.

. 5 C (t) 6.10 4

−¿

Como esta es una ecuación lineal, la solución es: C( t)

Como

−∫

=

e −∫

5 dt 4 6.10

=

e

=

54.10 5

C( 0)

5 dt 4 6.10

=

Finalmente, si

(

( 9

+

∫9 .

.

5 dt ∫ 6.10 4

10−3

10−3

e

5 dt ∫ 6.10 4

e

dt+C ¿

dt+C ¿

−5 t

Ce 6.10

0,

4

C( t)

C( t)

= 108 (1

−e

−5t 4 6.10

)

denota la concentración de monóxido de

carbono presente en la sala en un instante t , tenemos que: C( t)

=

C (t) 1800

=

1 108 ¿ 1800

−e

−5t 4 6.10

¿

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Luego,

18

.

−5

10

1 108 ¿ 1800

=

t

t

=

=

¿ , de donde

1−¿ 4 −6. 10 . ln ⁡¿ 5 1−¿ 4 6. 10 ln ⁡¿ 5

t = RESPUESTA:

−e

−5t 4 6.10

18 2 . 10−3 ¿ 18.6

0,003 ¿

36

Por lo tanto, una persona prudente debería abandonar la fiesta a los 36 minutos

Ejemplo 7: Según la Ley de Torricelli, la rapidez con que baja el agua en un tanque en forma de cilindro vertical que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua en el tanque. Inicialmente, el agua tiene una profundidad de 9 pies y un tapón es retirado en el tiempo t=0 (horas). Después de una hora la profundidad ha descendido a

4

pies. ¿Cuánto

tiempo tardará el agua en salir del tanque?

Solución:

Sea h ( t ) la altura del agua en el tanque en el instante t . Entonces,

[Escribir texto]

h ´=¿

−k √ h

,

de donde

Página 23

2 √h=¿

−kt+C .

Como h ( 0 )=9,

tenemos que

y como h ( 1 )=4,

Así, h ( t ) =¿

6−2t ¿ ¿ 1 ¿ 2

Finalmente, h ( t ) =0

C=6

k =2.

t 3−¿ ¿ 2¿

⟺ 3−t=0

⟺

t =3.

Por lo tanto, el tanque demorará 3 horas en vaciarse.

Eejmplo 8 Se sabe que un cierto material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material presente y después de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, hallar: a) Una expresión para la masa de material presente en un momento t b) La masa después de cuatro horas c) El tiempo para el cual el material se ha desintegrado en la mitad de su masa inicial.

Solución:

a) X(t) = miligramos de material en el instante t

dx =−kx ( t ) dt

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dx =−kdt x (t)

ln ( x ( t ) )=−kt +C

C e−kt

x ( 0 )=50



x ( 0 )=50 →50=C

−2 k =ln

−2 k

45=50 e



|4550|

k =0.0526803



x ( 2 )=45 45=c e−2 k

x ( t )=50 e−0.0526803 t

b ¿ x ( 4 )=50 e−0.0526803 x4 =40.5 miligramos

c)

x ( t )=25 25=50 e−0.0526803 t e−0.0526803t =0.5

Respuesta:

[Escribir texto]

13.1576 horas .

Página 25

2. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo 9 Determinar la carga critica para una barra delgada articulada en los extremos, cargada con una fuerza de compresión axial en cada extremo. La línea de acción de las fuerza pasa por el centro de gravedad de la sección de la barra.

Solución: La carga critica se define como la fuerza axial suficiente para mantener a la barra en una forma ligeramente deformada. Bajo la acción de la carga P, la barra tiene la forma flexada representada en la figura. Para que se produzca la flexión lateral es necesario, individualmente, que un extremo de la pueda moverse axialmente respecto al otro. La ecuación diferencial de la curva deformada es:

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1 2

M =EI

d y …………………¿ ) dx 2

Aquí, el momento flector en el punto A de coordenadas (x,y) no es más que le momento de la fuerza P aplicada en el extremo izquierdo de la barra, respecto a un eje por el punto A perpendicular al plano. El momento flector es: M =−Py Reemplazamos en (1):

2 d2 y −Py=EI 2 … … … … … … … ¿ ) d x Si hacemos que: 3 P =K 2 … … … … … … … … ¿ ) EI Esta ecuación se transforma en: 2

d y 2 + k y=0 … … … … … … … … (4) 2 dx Resolviendo la ecuación: y '' +k 2 y=0 … … Ecuacion Homogénea de Coeficientes Constantes.

Ecuación Auxiliar:

m2+ k 2=0

m2=−k 2 m1=+ki ; m2=−ki [Escribir texto]

Página 27

Caso III: S . F . S .= {e 0 x cos ( kx ) ; e0 x sen (kx )}

¿ y=C 1 cos ( kx )+ C2 sen ( kx ) … … … … … … … … ¿ 5)

Determinamos

C1 y C 2

.

En el extremo izquierdo de la barra,

y=0

cuando

x=0

, sustituyendo

los valores en (5) se tiene: 0=C1 cos ( k .0 ) +C 2 sen(k .0) C1 =0 y=0

En el extremo derecho de la barra,

cuando

x=L

, sustituyendo lo

valores en (5) se tiene: 0=C1 cos ( k . L )+C 2 sen (kL) 0=C2 sen (kL) Evidentemente,

C2 =0 ó sen ( kL )=0

y es nulo en todos los puntos y tenemos

solamente el caso trivial de una barra recta, que es la configuración anterior a producirse el pandeo. Como esta solución no es de nuestro interés, tomaremos: sen ( kL )=0 … … … … … … … (6)

Para que sea cierto debemos tener: kL=nπ radianes ( n=1, 2,3, 4, … ) … …( 7)

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Sustituyendo (3) en (7) obtenemos:

√

P L=nπ EI

P=

n2 π 2 EI … … … … … … …(8) L2

Indudablemente, el menor valor de esta carga

P

corresponde a

n=1 .

Entonces tenemos el primer modo de pandeo, en que la carga critica esta dado por: Pcr =

π 2 EI … … … … … … …(9) L2

Es la llamada carga de pandeo de Euler para una columna con extremos articulados. La forma flexada correspondiente a esta carga es: y=C 2 . sen

√

P x … … … … … … (10) EI

Sustituyendo en esta ecuación el valor de (9), obtenemos: y=C . sen

( πxL )… … … … … …(11)

Por tanto, la deformación es un sinusoide. A causa de la aproximación adoptada en deducción de la ecuación (1), no es posible obtener la amplitud del pandeo, representada por C en la ecuación (11). Como se puede ver en la ecuación 9, el pandeo de la barra se produce respecto al eje de la sección para el cual L adopta un valor mínimo.

[Escribir texto]

Página 29

Ejemplo 10

Un cilindro circular recto de 2 metros de radio esta verticalmente sumergido en agua cuya densidad es 1000 kg/m 3. Si se empuja hacia abajo y se suelta tiene un periodo de vibración de 1 segundo. Hallar el peso del cilindro.

Solución: Sea positiva la dirección hacia abajo. Y sea y metros el movimiento del cilindro en el tiempo t. Según el principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido, total o parcialmente en un fluido experimente un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. Entonces la variación que corresponda a la fuerza de flotación es: E= ρ ∀=ρ(π r 2 y )

(

E= 1000

kg 2 2 ( 2 m ) πy m3

)

Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

E=4000 πy kg Por lo tanto por la ley del movimiento vibratorio: W d2 y . =−E g d2 x W d2 y . =−4000 πy 9.8 dx 2 d 2 y 39200 + πy=0 … Ec . dif .lineal homogenea de coeficientes constantes . W dx 2

Resolviendo: Ecuación Característica: m 2+

39200 π =0 W

m 2=

−39200 π W

m1=+

√

√

39200 π 39200 π i; m2=− i W W

Caso III: S . F . S .= {e 0 x cos ( √39200 π /W t ) ; e 0 x sen ( √ 39200 π /W t) } y=C 1 cos ( √ 39200 π / W t ) +C 2 sen ( √ 39200 π /W t )

[Escribir texto]

Página 31

Luego por ser Vibración libre sin amortiguamiento se tiene que el periodo:

T=

2π √39200 π /W

T=

2 √ πW √39200

1=

2 √ πW √ 39200

W=

39200 4π

Respuesta

W =3119.43 kg .

Ejemplo 11:

Una masa de 2lb que está sujeta a un resorte elonga a un resorte 6 pulgadas, luego se coloca la masa hacia un punto que está ubicado a 8 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia

Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

arriba de

4 3

ft s

. Determinar la posición de la masa después de 2

segundos de soltar la masa.

Solución: Consideremos el siguiente esquema del problema:

[Escribir texto]

Página 33

Como se trata de un movimiento libre amortiguado, obedece a la siguiente ecuacion diferencial: d2 x k + x=0 d t2 m

Ahora para simplificar el ejercicio convertimos a las unidades de”

ft

“ las

elongaciones 1 12∈¿= ft 2 1 ft 6∈¿ 6∈. ¿

2 12∈¿= ft 3 1 ft 8∈¿ 8∈. ¿

También tenemos otros datos del problema: 4 x ´ ( 0)= ft 3

2 x (0)= ft 3

Ahora, debemos determinar las magnitudes de “

k

y

m

“

Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

Para determinar la magnitud de

k , consideraremos el siguiente diagrama

de cuerpo libre en la FIGURA 1 y tenemos:

AL APLICAR

∑ F X =0

, TENEMOS

1 2=k ( ) 2

k =4

Luego para determinar la magnitud de

m

, sabemos que:

W =m. g

2lb=m.(32.2

m=

ft ) 2 s

1 slug 16

Reemplazamos las magnitudes obtenidas de “

[Escribir texto]

Página 35

k

y

m

“ y tenemos

d2 x 4 + x=0 d t2 1 16

d2 x +64 x =0 d t2

Procedemos a solucionar la ecuacion diferencial:

Si decimos que

P=

dx dt , tenemos:

2

P + 64=0

2

P =−64

−¿ √−64 +¿ ¿ P=¿

−¿ 8 i +¿ ¿ P=¿

EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES:

{e 0 t cos 8 t ; e 0 t sen 8 t }

LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DIFERENCIAL OBTENIDA: x ( t )=C 1 cos 8t +C 2 sen 8 t , además Un sueño no se convierte en realidad a través de la magia, sino a través del sudor, determinación y trabajo duro (Colin Powell) Página

x ´ ( t )=−8 C1 sen 8t +8 C 2 cos 8 t

Pero por datos iniciales del problema tenemos que:

x ( t )=C 1 cos 8t +C 2 sen 8 t

, pero

2 x (0)= ft 3

2 =C1 cos ⁡( 0)+ C2 sen (0) 3

2 =C1 3

Además:

x ´ ( t )=−8 C1 sen 8t +8 C 2 cos 8 t

, pero

4 x ´ ( 0)= ft 3

4 x ´ (0)= ft 3

−4 =−8 C1 sen (0)+8 C2 cos ⁡( 0) 3

−4 =8 C 2 3

−1 =C 2 6

Y la ecuacion diferencial queda de la siguiente manera: 2 1 x ( t )= cos 8t − sen 8 t 3 6 [Escribir texto]

Página 37

4 x ´ ( 0)= ft 3

Finalmente la posición de la masa después de 2 segundos de soltar la masa es: 2 1 x ( 2 )= cos 16− sen 16 3 6 x ( 2 )=0.6 ft

REPUESTA: La posición de la masa después de 2 segundos de soltarla es de 0.6 ft

CONCLUSIONES:

Se puede apreciar claramente a través de estos ejemplos desarrollados como es que las ecuaciones diferenciales se puede aplicar a los diferentes campos de la vida cotidiana y profesional.

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