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APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA.

INTRODUCCION Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones. El estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas. Se trata aquí de obtener información de las funciones a partir de su derivada. A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un mejor modo de hacer una determinada labor. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Algunas veces un problema de esta naturaleza puede asociarse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, deforma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIXno se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es laque usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer

DESARROLLO DEL TEMA LA DERIVADA Si la ley de movimiento de una partícula puede ser expresada a través de la fórmula

, esto quiere decir que en cada momento

ubicar a dicha partícula en el eje partícula 1

, nos es posible

, así, si quiero saber donde se encuentra la

después de haber empezado el movimiento tengo que hacer la

siguiente operación:

, esto significa que 5 metros es lo que se ha

desplazado el vehículo un segundo después de haber empezado a desplazarse. De este modo podemos hacer esto para cualquier valor de . Ahora, nos plantearemos resolver el siguiente problema: Encontrar la velocidad instantánea de un vehículo que se desplaza siguiendo la ley

donde

representa el desplazamiento del vehículo en un tiempo

Figura 1: Podemos hacer esto para cualquier intervalo de tiempo, de este modo podemos representar una posición en un tiempo dado como un punto en el plano de la siguiente manera: Tomemos dos rectas que se cortan en ángulo recto en el plano; el punto de intersección de estas rectas lo llamamos origen, a la recta horizontal la llamamos eje del tiempo

y a la recta vertical la llamamos eje de posición

.

Dividamos ambas rectas en varios segmentos de la misma longitud. Ahora tomemos el caso anterior en el que para

,

, este instante en

el tiempo y el espacio queda representado por el punto formado por el punto formado por la intersección de las rectas horizontal que pasa a una altura 5 en el eje de las posiciones y la recta vertical que pasa por el

(ver figura 1). Si esto

lo hacemos para todo tiempo, notaremos que obtendremos una curva en el plano que llamaremos gráfica de la función.

Vale la pena hacer hincapié aquí, en la construcción hecha hasta este momento. 1. Hemos representado el tiempo por una recta y cada segundo que transcurre, por un punto de tal recta. 2. El desplazamiento en línea recta del vehículo lo representamos como una recta que corta al eje del tiempo formando un ángulo recto y cada punto de este eje representa la distancia decorrida por el objeto. 3. Un punto del plano determina una posición del vehículo para cada tiempo determinado. 4. La gráfica de la función representa el recorrido del vehículo en el tiempo. Esto significa que una curva representa la evolución en el tiempo de una partícula. 5. También se debe notar lo siguiente: Estamos estudiando una partícula en movimiento, es decir, una partícula material determinada en un espacio y un

tiempo

dado.

Espacio,

tiempo,

materia

y

movimiento,

todos

independientes entre si, pero siempre están unidos. No existe materia que no ocupe lugar o que se encuentre estática en el espacio y el tiempo.

Figura 2: Prosigamos, más abajo seguiremos sacando conclusiones de todo esto, pero para ello tenemos que seguir avanzando en la solución del problema. Recordemos que el problema que queremos resolver, es encontrar la velocidad de una partícula en un tiempo dado, es decir, encontrar su velocidad instantánea. Pero, ¿ qué es la velocidad instantánea? ¿ cómo se determina?¿ geométrcamente (abstracto), qué es la velocidad instantánea? La velocidad instantánea es la velocidad que lleva la partícula en un tiempo determinado. Para fijar ideas, consideremos una partícula que se mueve en línea recta siguiendo la ley dictada por la siguiente tabla.

2

1

4

2

6

3

8

4

10 5 12 6 14 7 16 8 Notemos que el grafico de esta tabla es una línea recta. La velocidad está dada

por

la

expresión

si ,

tomamos en

por tal

ejemplo la

los

puntos

velocidad

es

, este cociente es el mismo para cualesquiera puntos de la recta. A los movimientos cuya gráfica asociada es una línea recta que pasa por el origen, se les llaman movimientos rectilíneos uniformes (MRU). La velocidad tiene una interpretación geométrica:

Nombremos

al ángulo formado por la recta y el eje .

Figura 3: Podemos considerar el eje como el cateto adyacente de un triangulo rectángulo con una longitud

con un cateto opuesto de longitud igual a

(ver figura 3),

esto significa que la velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme es la tangente del ángulo de inclinación de la recta, porque la tangente del ángulo

se define como

. A la tangente del ángulo de

inclinación de la recta también se le llama pendiente y la denotamos con la letra Notemos que mientras más inclinada se encuentre una recta, mayor es el valor de la pendiente, ya que esta mide la inclinación de una recta. Todo lo anterior es valido para un movimiento rectilíneo uniforme pero, ¿ cómo utilizo lo anterior para determinar la velocidad instantánea de

?

Observemosmos lo siguiente: La inclinación de la gráfica del movimiento de un vehículo determina que tan rápido se desplaza esta. Para medir la inclinación de la gráfica, tendremos que medir la inclinación de la recta tangente a ese punto. Entonces, podremos decir que la velocidad instántanea de un movimiento en un tiempo dado

, está dada por la pendiente del recta tangente, ya que esta

mide que tan inclinada se encuentra una gráfica. (ver figura 4).

Figura 4: Para determinar la pendiente de la recta tangente en

emplearemos un

método inventado por Pierre Fermat. Lo notable de este método es que él empieza a hacer uso del movimiento en las matemáticas.

Primero tomemos el punto de la gráfica

, en el cual se desea

encontrar la pendiente de la recta tangente, en nuestro caso punto de la gráfica

y cualquier otro

. A la recta que pasa por ambos puntos la llamamos

recta secante.

Ahora hagamos que se aproxime a (notación:

. A este proceso lo llamamos tiende a

). Pedir todo esto es equivalente a pedir que el punto

sobre la gráfica, de tal modo que se aproxime a formada por

y

se mueva

¡ sorpresa! la recta secante

tenderá a la recta tangente en

esto significa que la

pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente cuando ( tiende a

). (ver figura 5).

Figura 5: Al proceso de encontrar la pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función en un instante dado lo llamamos derivar. Aquí describiremos con más detalle todo lo anterior. La pendiente de la recta (ver figura 6)secante está dada por:

Figura 6: Según lo anterior, el límite de la pendiente de la recta secante es la pendiente de la recta tangente cuando

. Todo lo anterior se escribe de la siguiente

manera:

A

la llamamos la derivada de

con respecto a en

En virtud de lo arriba señalado, la derivada no solamente mide la pendiente de la recta tangente, si la función derivada en el instante

representa el desplazamiento de una partícula, la determina la velocidad instantánea cuando

Como ejemplo, determinaremos la velocidad de la partícula que sigue la función de desplazamiento

Ahora si

Esto significa que la partícula

lleva una velocidad de 10 metros sobre segundo después de 1 segundo de movimiento.

PRIMERA DERIVADA: La primera derivada es la recta tangente a la curva. Es decir que podemos saber la pendiente de una curva en cualquier punto. En física la primera derivada de una función posición (con respecto al tiempo) nos da la velocidad. SEGUNDA DERIVADA Con la segunda derivada podemos saber intervalos de concavidad y puntos de infexión. En física cuando se deriva una función velocidad con respecto al tiempo obtenemos la aceleración. Todo esto es importante en el trazado de curvas, problemas de física, problemas de máximos y mínimos etc.. Prueba de la primera derivada Funciones crecientes y decrecientes

. Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo.

En la figura de la izquierda se esboza la interpretación

geométrica

del

teorema:

"Prueba de la primera derivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x