• Author / Uploaded
• Lilita Andrade

Citation preview

MATEMÀTICA I Febrero 2016

Ing. José Silva C.

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO 1) En las siguientes funciones de costos, donde

c

es el costo de producción

q

unidades de un

producto, encuentre el costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal para el valor o valores dados: a)

c  500  10 q

b)

c  0,3 q 2  2 q  850 ;

c)

c  q 2  50 q  1000

q  100

;

q3

q  15 ;

;

q  16 ;

q  17

2) En los siguientes problemas c representa el costo promedio por unidad, que es una función del número q de unidades producidas. Encuentre la función del costo marginal y el costo marginal para los valores indicados de q . a) c  0,01 q  5  500

; q  50

; q  100

q

b) c  0,00002 q 2  0,01q  6  20000

;

q  100

q

3) En los siguientes problemas r representa el ingreso total y es una función del número q de unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal y el ingreso marginal para los valores indicados. a)

r  0,7 q

b)

r  250 q  45 q 2  q 3

; q  8 ; q  100 ; q  200 ;

q5

; q  10

;

q  25

4) Ingreso – Educación.- Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares 5

anuales, donde : y  5 x 2  5900

,

4  x  16

Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación. Evalúela cuando x 9. 5) La función de costo total de una fábrica de medias es estimada por la ecuación: 10484,69  6,750 q  0,000328 q 2 donde q es la producción en docenas de pares y costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q  5000 .

c

6) Para la función de costo c  0,2 q 2  1,2 q  4 ¿Qué tan rápido cambia c con respecto a q cuándo q  5 Determine la razón de cambio porcentual de c con respecto a q cuándo q  5 ¿ Determine la razón de cambio porcentual de c con respecto a q cuándo q  5 .

el

7) Para cierto fabricante, el ingreso r  30 q  0,3q 2 .

r

obtenido al vender

a) Qué tan rápido cambia r con respecto a

q

q

.

b) Cuando q  10 encuentre la razón de cambio relativo de c) Encuentre la razón de cambio de

r

unidades de un producto está dado por

r

.

al porcentaje más cercano.

q unidades de un artículo, el costo total será dólares y que las q unidades se venderán cuando el precio sea

8) Un fabricante estima que cuando se producen c(q)  x 

p  25 

1 2 q  3 q  98 8

1 q 3

dólares por unidad.

a) Utilice la función costo marginal para calcular el costo de producir la novena unidad. ¿Cuál es el costo real de producir la novena unidad? b) Halle la función ingreso para el artículo. Luego, utilice la función ingreso marginal para calcular el ingreso derivado de la venta de la novena unidad. ¿Cuál es el ingreso real derivado de la venta de la novena unidad? c) Halle la utilidad asociada con la producción de

q

unidades.

9) Sea c (q)  1 q 2  3 q  98 la función del costo total para el producto del ejemplo anterior: 8 a) Halle el costo medio. b) ¿En qué nivel de producción el costo medio marginal es igual a cero? c) ¿En qué nivel de producción el costo marginal es igual al costo medio? 10) Peso de una rama.- El peso ingreso r obtenido al vender w con respecto a t .

w de una rama de árbol está dado por q Para cierto fabricante, el

w  2t 0.432 donde t

es el tiempo. Encuentre la razón de cambio relativa de

11) Costo.- Un fabricante de bicicletas de montaña encontró que cuando se producen 20 bicicletas por día, el costo medio es de $ 150 y el costo marginal de $ 125. Con base en esta información, determine el costo total de producir 21 bicicletas por día.

RESPUESTAS 1) a) dc  10 , 10 ; dq 80 ; 82 ; 84 2) a) dc  0,02q  5 ,

b)

6,7

dc  0,6q  2 , 3,8 dq

b)

dq

3) a) dr  0,7 ; 07 ; 0,7 ; 0,7 dq

4) a)

y´, 

25 3 2 x 1 2

;

c)

dc  2q  50 , dq

dc  0,00006q 2  0,02q  6 , dq

b) dr  250  90q  3q 2 ; dq

b)

337,50

4,6 ; 11

625 ; 850 ; 625

5) dc  6750  0,000656 q dq

6) 3,2

;

;

3,47

21,3 %

7) a) dr  30  0,6q dq

8) a) Costo real = $5,13

b)

4  0,089 45

b) Ingreso real = $19,33

;

c) 9 %

c) Utilidad =  11 q 2  22 q  98 ; q  28 24

9) a) c  1 q  3  98 8

10)

b) q  28

c) q  28

q

0,432 t

11) $ 3125

Ing. José Silva C.