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• Pedro Patricio Sanchez

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS –ESPE

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

Portada “FÍSICA FUNDAMENTAL”

TEMA: PRINCIPIO DE PASCAL DOCENTE: FIS. MIGUEL CHÁVEZ ESTUDIANTE: PEDRO SÁNCHEZ FECHA: 5/12/2018 PERIODO LECTIVO: OCTUBRE 2018-FEBRERO 2019

PROBLEMA: Para elevar un automóvil se usa de un dispositivo llamado “gato hidráulico”. El fluido hidráulico es aceite (densidad=812[kg/m3]). Se emplea una bomba de mano, con la cual se aplica una fuerza de magnitud F i al pistón menor (de 2.2[cm] de diámetro) cuando la mano aplica una fuerza de magnitud Fh al extremo del mango de la bomba. La masa combinada del automóvil que va ser elevado y la plataforma de elevación es de M= 1980 [kg], y el pistón grande tiene un diámetro de 16.4[cm]. La longitud L del mango de la bomba es de 36[cm], y la distancia x desde el pivote hasta el pistón menor es de 9.4[cm]. Gráfico:

do

di

Figura 1. Bomba hidráulica para elevar un automóvil.

Preguntas: a. ¿Cuál es la fuerza aplicada Fh necesaria para elevar el automóvil? b. Por cada movimiento hacia abajo de la bomba, en la que la mano se mueve una distancia vertical de 28 [cm], ¿a qué altura se eleva el automóvil?

Datos: Densidad del fluido: ρ= 812[kg/m3] Masa automóvil + Masa plataforma: M=1980[kg] Diámetro del pistón menor: diami= 2.2[cm] Diámetro del pistón grande: diamo= 16.4[cm] Longitud del mango de la bomba: L=36[cm] Distancia del pivote al émbolo: x=9.4[cm]. Gravedad: g=9.81[m/s] Altura: h= 28[cm]

Incógnitas: 1. 2. 3. 4.

Fuerza aplicada por la mano: Fh= ? [N] Fuerza aplicada: Fi = ?[N] Fuerza que eleva al automóvil: Fo=? [N] Distancia recorrida por pistón menor: di= ? [cm]

5. Distancia recorrida por pistón grande: do= ?[cm]

Fórmulas: Principio de Pascal:

𝐹𝑖 𝐴𝑖

=

𝐹𝑜 𝐴𝑜

(1)

Principio de Pascal con volumen constante: 𝑑𝑖 𝐴𝑖 = 𝑑𝑜 𝐴𝑜

(2)

Torque: 𝜏⃗ = 𝐹⃗ 𝑥 𝑟⃗

(3)

Sumatoria de Torques: ∑ 𝜏ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 = ∑ 𝜏𝑎𝑛𝑡𝑖ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

(4)

Área: 𝜋𝑟 2

(5)

radio: 𝑟 =

𝑑𝑖𝑎𝑚 2

(6)

DESARROLLO: a. ¿Cuál es la fuerza aplicada F h necesaria para elevar el automóvil? Partiendo de la ecuación (1), principio de Pascal 𝐹𝑖 𝐹𝑜 = 𝐴𝑖 𝐴𝑜 Despejamos Fi, que es la fuerza necesaria para el pistón menor. 𝐹𝑜 Fi = ∗ 𝐴𝑖 𝐴𝑜 Tenemos incógnitas que son Fo, 𝐴𝑜 , 𝐴𝑖 , Para encontrar Fo, se la encuentra con sumatoria de fuerzas:

y Fo

∑ 𝐹𝑦 = 0 x

𝐹𝑜 − 𝑀𝑔 = 0 𝐹𝑜 = 𝑀𝑔 Mg Para 𝐴𝑜 , 𝐴𝑖 , usamos los datos de los diámetros respectivos: Diámetro del pistón menor: diam i= 2.2[cm] Pistón menor

diami= 2.2[cm] radio: 𝑟𝑖 =

𝑑𝑖𝑎𝑚𝑖 2

=

2.2[𝑐𝑚] 2

= 1.1[𝑐𝑚]

2 = 𝜋(1.1[𝑐𝑚])2 = 3.80[𝑐𝑚2 ] fórmula del 𝑖 = 𝜋𝑟 diam Diámetro del Área: pistón 𝐴grande: 0= 16.4[cm]

Transformando a SI: 3.80 [𝑐𝑚2 ] (

1[𝑚2 ] ) = 3,8𝑥10−4 [𝑚2 ] 10000[𝑐𝑚2 ]

Diámetro del pistón mayor: diam o= 16.4[cm] Pistón mayor diamo= 16.4[cm] radio: 𝑟𝑜 =

𝑑𝑖𝑎𝑚𝑜 2

=

16.4[cm] 2

= 8.2[𝑐𝑚]

fórmula del Área: 𝐴𝑜 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋(8.2[𝑐𝑚])2 = 211.24[𝑐𝑚2 ] 211.24 [𝑐𝑚2 ] (

1[𝑚2 ] ) = 211.24𝑥10−4 [𝑚2 ] 10000[𝑐𝑚2 ]

Ahora en Fi, reemplazamos los datos numéricos: 𝐹𝑜 ∗ 𝐴𝑖 𝐴𝑜 𝐴𝑖 𝐹𝑖 = ∗ 𝐹𝑜 𝐴𝑜 𝐴𝑖 𝐹𝑖 = ∗ 𝑀𝑔 𝐴𝑜 3,8𝑥10−4 [𝑚2 ] m 𝐹𝑖 = ∗ (1980[𝑘𝑔] ∗ 9.81 [ ]) −4 2 211.24𝑥10 [𝑚 ] s 𝐹𝑖 =

𝐹𝑖 = 349.42[𝑁].

Considerando ahora que el sistema de bomba hidráulica con respecto al punto de pivote O se encuentra en equilibrio de rotación, usaremos torque, donde la sumatoria de torques debe ser igual a cero. Recomendación: empleando la tercera Ley de Newton(acción-reacción) podremos relacionar la Fuerza aplicada por el mango de la bomba Fh y la fuerza 𝐹𝑖 aplicada al pistón menor ∑𝜏 = 0 𝐹ℎ 𝐿 − 𝐹𝑖 𝑥 = 0

Fh

𝐹ℎ 𝐿 = 𝐹𝑖 𝑥 𝐹ℎ =

𝐹𝑖 𝑥 𝐿

𝐹ℎ = (349[𝑁])

0.094[𝑚] 0.36[𝑚]

𝐹ℎ = 91,13[𝑁] (a) Respuesta: la fuerza necesaria que debe emplear la mano es de Fh=91,13[N]

Fi

b. Por cada movimiento hacia abajo de la bomba, en la que la mano se mueve una distancia vertical de 28 [cm], ¿a qué altura se eleva el automóvil? Para empezar, debemos encontrar una similitud entre la distancia vertical hecha por la mano y la distancia que recorre el pistón pequeño. Por semejanza de triángulos rectángulos ángulo-ángulo, se podría decir que:

O

𝑑𝑖 𝑥 = ℎ 𝐿 Donde despejamos di

𝑥 ∗ℎ 𝐿 9.4[𝑐𝑚] 𝑑𝑖 = ∗ 28[𝑐𝑚] 36[𝑐𝑚] 𝑑𝑖 =

𝑑𝑖 = 7.3[𝑐𝑚] Ahora con el principio de Pascal y la capacidad de los líquidos de ser incomprensibles, podemos usar la ecuación (2) para encontrar la distancia que se podrá alzar el automóvil. Usando la ecuación (2) 𝑑 𝑖 𝐴 𝑖 = 𝑑𝑜 𝐴 𝑜 𝑑𝑜 =

𝑑𝑖 𝐴 𝑖 𝐴𝑜

Usando el área Ao, Ai obtenidos para el literal a) y la distancia d i obtenida: 𝐴𝑜 = 211.24[𝑐𝑚2 ] 𝐴𝑖 = 3.80[𝑐𝑚2 ] 𝑑𝑖 = 7.3[𝑐𝑚]

𝑑𝑜 =

(7.3[𝑐𝑚])(3.80[𝑐𝑚2 ] 211.24[𝑐𝑚2 ] 𝑑𝑜 = 0.13[𝑐𝑚]

(b)Respuesta: Se logrará alzar al automóvil, una distancia de do=0.13[cm]

Bibliografía: Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fisica Vol.1 (12th ed., pp. 427,428). Mexico: Continental.