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MATEMÁTICA PARA LA INGENIERIA I

APLICACIONES DE EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 1.

La depreciación de una máquina que costó $ 30 000 se modela con la función 𝑉(𝑡) = 𝐴𝑒 −0,04𝑡 , donde 𝑉 es el valor de la máquina, en dólares y 𝑡 el tiempo, en años, que transcurre desde que se compró. a) ¿Cuál es el valor de A? b) ¿Cuánto vale la máquina luego de 10 años de comprada? c) ¿Al cabo de cuánto tiempo el valor de la maquina se reduce a la tercera parte de su costo original?

2.

Las ventas de una determinada compañía han disminuido año tras año luego de la crisis mundial. SU ingreso, en miles de dólares, se modela con la función 𝐼(𝑡) = 200𝑒 −0,4𝑡 , donde 𝑡 representa el tiempo transcurrido en años a partir de la crisis. a) ¿Cuál fue el ingreso de la compaña al inicio de la crisis mundial? b) ¿Cuál fue el ingreso de la compañía 2 años después de la crisis? c) ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que empezó la crisis para que el ingreso de la compañía de redujera a la cuarta parte? Grafique a función V. 3. Suponga que se invierte S/. 86000 al 13,5% anual. Determine el valor de la inversión después de 10 años, sabiendo que se capitaliza trimestralmente y calcule el interés ganado durante ese tiempo. 4. El día que nazca Isabel, su abuelo hará un depósito de $ 5 000 en una cuenta bancaria a una tasa de 3,5% anual compuesto continuamente. ¿Cuántos años tendrá Isabel el día que el dinero depositado por su abuelo gane $ 10 000 de interés? 5. El ingreso de una empresa, en miles de dólares, por la venta de polos se modela con la función 𝐼(𝑡) = 20 − 𝐵. 𝑒 −0,25𝑡 , donde 𝑡 es el tiempo, en años, que el producto ha estado en el mercado. Además, antes de ponerse a la venta en varios locales, ya se habían vendido cientos de ellos generando un ingreso de $ 4 000. ¿Cuál es el valor de B? ¿Cuál fue el ingreso de la empresa luego de estar el producto 3 años en el mercado? Grafique la función 𝐼(𝑡) e indique que sucede con el ingreso a largo plazo. 6. El crecimiento de una población de hormigas de modela con la función 𝐵(𝑡) =

1 000 1+249𝑒 −0,25𝑡

, donde 𝑡 se

expresa en días: ¿Cuántas hormigas había inicialmente? ¿De cuántas hormigas estará formada la población luego de 20 días? ¿Cuánto tiempo pasará para que la población esté conformada por 600 hormigas? ¿Cuál será la población de hormigas a largo plazo? 7. Un supermercado de nuestra ciudad ha determinado que el volumen de ventas puede modelarse mediante la función 𝑆(𝑥) = 𝐴. 𝑒 𝑘𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 5, donde 𝑥 es el número de semanas después de promover cierta venta y 𝐴 es una constante real positiva. El volumen de ventas al final de la primera y la tercera semana fue de $ 78 515 y $ 60 055, respectivamente. Determine: a) El volumen de ventas de la cuarta semana. b) La cantidad de días que deben pasar para que el supermercado tenga un volumen de ventas de $50000. 8. . Ecuación costo: Para una compañía, el costo por producir “q” unidades de un producto está dado por la ecuación .

c (3qlnq) 12

Evalué el costo cuando q = 6 (redondeé su respuesta a dos decimales)

9. La compañía Universal ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de televisores, t meses después de introducir esta línea al mercado está expresada por

Dt ( ) 20001500e0,5t , t > 0,

Grafique e indique: ¿Cuál es la demanda después de 2 años y 3 meses? 10. 7. La ecuación de oferta de un fabricante de perfumes es

P(q) log(10 q) 2

donde “q” es el

número de unidades de perfumes ofrecidas con el precio “p” por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1 980 unidades? 11. En la Bolsa de Valores de Lima la cotización (en soles) de la acción de una empresa está determinada por el siguiente modelo: , donde x representa el número de transacciones 3 comerciales que realiza la empresa en un día. Si la empresa AGROEXPORTADOR “J&R” ha realizado en un día 50 transacciones, ¿cuál es aproximadamente el valor de su acción? 0,05x 12. Dado que una cantidad Q(x) queda descrita por función de crecimiento exponencial

C(x) log (70,4x25)

Q(x) 600e

donde x se mide en minutos, responda lo siguiente: a) ¿Cuál es la constante de crecimiento? b) ¿Cuál es la cantidad inicial? c) ¿Cuántos minutos tendrán que transcurrir para que la cantidad de crecimiento sea 12 000? 13. Una compañía está ampliando sus instalaciones y tiene opción para escoger entre dos modelos. Las funciones de costo de los modelos son y 1 3 , donde x es la tasa de producción. Encuentre la tasa x a la cual los 2 3 dos modelos tienen los mismos costos. ¿Para valores de x, cuál modelo es más barato? 14. suponga que la producción diaria de unidades de un nuevo producto en el t-èsimo día de una corrida de 0,2t Tal ecuación se llama ecuación del aprendizaje, e producción está dada por:

C (x) 2log (60x105)

C (x) 3,5log (2x1)

q 500(1e )

indica que conforme pasa el tiempo, la producción por cada día aumentará. Lo anterior puede atribuirse a mejorías en el desempeño de los trabajadores. Determine, a la unidad completa más cercana la producción: a) En el primer día b) En el décimo día después del inicio de la producción c) ¿Después de cuantos días se alcanzará una producción diaria de 400 unidades? De sus respuestas redondeadas al día más cercano.