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• SantiagoHernandez

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1. El costo marginal que se genera por la producción de 𝑥 unidades de un nuevo producto esta representa por la función 𝐶 (𝑥) = 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 dólares. Si el costo de fabricar 200 unidades es de 22700 US. ¿Cuál es el costo que genera al producir de 500 unidades? Solución: 𝐶 (𝑥) = 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 𝐶 (𝑥) =

( 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 ) 𝑑𝑥

𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥 + 0.002𝑥 + 𝐶 𝐶(200) = 22700 Entonces 22700 = 24(200) − 0.015(200) + 0.002(200) + 𝐶 22700 = 4800 − 600 + 16000 + 𝐶 𝐶 = 22700 − 20200 𝐶 = 2500 Por lo tanto, la función de costo es 𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥 + 0.002𝑥 + 2500 ¿Cuál es el costo que genera al producir de 500 unidades? 𝐶(500) = 24(500) − 0.015(500) + 0.002(500) + 2500 𝐶(500) = 12000 − 3750 + 250000 + 2500 𝐶(500) = 260750 2. El ingreso marginal que se genera por la venta de 𝑥 unidades de un producto esta representa por la función 𝐼 (𝑥) = 3𝑥 √𝑥 + 5 dólares. Si la venta 15 unidades generan un ingreso de 42000 US. ¿Cuál es el ingreso que se genera por la venta de 18 unidades? Solución: 𝐼 (𝑥) = 3𝑥

𝑥 +5

𝐼 (𝑥) = 𝐼(𝑥) =

3𝑥

3𝑥

𝑥 + 5 𝑑𝑥

𝑥 + 5 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 + 5;

𝑑𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑥

𝐼(𝑥) =

√𝑢 𝑑𝑢

𝐼(𝑥) =

𝑢

/

𝑑𝑢

2 𝐼(𝑥) = 𝑢 3 2 (𝑥 + 5) + 𝐶 𝐼(𝑥) = 3 Si 𝐼(15) = 42000 entonces 42000 = 131000 + 𝐶 𝐶 ≈ −89000 Por lo tanto, la función de ingreso es 2 (𝑥 + 5) − 89000 𝐼(𝑥) = 3 ¿Cuál es el ingreso que se genera por la venta de 18 unidades?

2 ((18) + 5) − 89000 3 𝐼(18) ≈ 208300 𝐼(18) =

3. La utilidad marginal en una tienda electrodomésticos, que vende equipos de sonido está dada por la función 𝑈 (𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) . Determine La utilidad total por la venta 15 equipos si 𝐶 = 300000. Solución: 𝑈′(𝑥) =

𝑥 𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥

𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥)

𝑑𝑣 =

𝑥 𝑑𝑥

1 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣= 𝑥 4 1 1 𝑈(𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 𝑑𝑥 4 4 1 1 𝑈(𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 4 16 1 1 𝑈(15) = (15) 𝑙𝑛(15) − (15) − 300000 4 16 𝑈(15) ≈ 186679 − 300000 𝑈(15) ≈ −113320 4. Una empresa sabe que las funciones que representan el ingreso marginal y el costo marginal por la producción de x unidades son 𝐼 (𝑥) = 10 − 4𝑥 + 6𝑥 y 𝐶 (𝑥) = 4 − 8𝑥 + 3𝑥 en dólares. Si al fabricar 30 unidades se genera un costo 25000 US y un ingreso de 60000 US. ¿Cuál es la utilidad que genera la venta de 50 unidades? Solución: 𝑈(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) 𝑈(𝑥) =

𝐼′(𝑥) − 𝐶′(𝑥) 𝑑𝑥

𝑈(𝑥) =

𝐼′(𝑥)𝑑𝑥 −

𝐼′(𝑥)𝑑𝑥 =

𝐶′(𝑥)𝑑𝑥

(10 − 4𝑥 + 6𝑥 )𝑑𝑥

𝐼(𝑥) = 10𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 Si 𝐼(30) = 60000 entonces 60000 = 10(30) − 2(30) + 2(30) + 𝐶 𝐶 = 60000 − 10(30) + 2(30) − 2(30) 𝐶 = 7500 𝐼(𝑥) = 10𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 + 7500 𝐶′(𝑥)𝑑𝑥 =

(4 − 8𝑥 + 3𝑥 )𝑑𝑥

𝐶(𝑥) = 4𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 𝐶 Si 𝐶(30) = 25000 25000 = 4(30) − 4(30) + (30) + 𝐶 𝐶 = 1480

𝐶(𝑥) = 4𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 1480 𝑈(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) 𝑈(𝑥) = (10𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 + 7500) − (4𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 1480) 𝑈(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 + 6𝑥 + 6020 𝑈(50) = (50) + 2(50) + 6(50) + 6020 𝑈(50) = 136320 5. Una tienda de ropa para dama realiza su gran venta anual donde toda su mercancía tiene precios rebajados, las rebajas se dan por departamentos, es decir, la primera semana (siete días) serán en el departamento de damas, la siguiente en el de caballeros y así sucesivamente; se ha calculado que durante este periodo los ingresos se generan a razón de 𝐼′(𝑥) = 2𝑥 + 50𝑥 dólares por día y los costos se dan a razón de 𝐶′(𝑥) = 5𝑥 − 100𝑥 por día; si x representa el número de días. Determine la utilidad total obtenida durante los días que duro gran venta anual Solución: 𝑈(𝑥) =

𝐼′(𝑥) − 𝐶′(𝑥) 𝑑𝑥

𝑈(𝑥) =

𝐼′(𝑥) − 𝐶′(𝑥) 𝑑𝑥

𝑈(𝑥) =

2𝑥 + 50𝑥 − (5𝑥 − 100𝑥) 𝑑𝑥

𝑈(𝑥) =

(2𝑥 + 50𝑥 − 5𝑥 + 100𝑥) 𝑑𝑥

𝑈(𝑥) =

(150𝑥 − 3𝑥 ) 𝑑𝑥

𝑈(𝑥) = 75𝑥 − 𝑥 𝑈(7) = 75(7) − (7) 𝑈(7) = 3332