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• Gianela Chávez

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“Universidad Católica de Santa

María”

Facultad de Ciencias Económico Administrativas Programa Profesional de Ingeniería COMERCIAL

CURSO: MATEMÁTICA FINANCIERA

TEMA: ANUALIDADES SIMPLES

INTEGRANTES:    

Benavente Neira, Astrid Alejandra Chavez Apaza, Gianela Janett Villanueva Aguilar, Fernanda Yelvi Castro Condori, Geannina Rosemary

SEMESTRE: IV

Sección: “B”

AREQUIPA – 2018

ANUALIDADES SIMPLES 1. Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias. a) $2.000 semestrales durante 8 j años al8%, capitalizable semestralmente. b) $4.000 anuales durante 6 años a\7,3%, capitalizable anualmente. c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual. a) 𝑛𝑚

(1+𝑗 ⁄𝑚) 𝑗 ⁄𝑚

−𝑛𝑚

−1

A = $2000

𝐹 = 𝐴[

]

n = 8.5 años

𝐹 = 2000 [

j = 0.08 m=2

𝐹 = $47395.02478

𝑃 = 𝐴[

8.5(2) (1+0.08⁄2) −1 ] 0.08⁄2

1−(1+𝑗 ⁄𝑚) 𝑗 ⁄𝑚

𝑃 = 2000 [

]

−8.512 1−(1+0.08⁄2) ] 0.08⁄2

𝑃 = $24331.33771

b) (1+0.073)6 −1

A = $4000

𝐹 = 4000 [

mn = 40 meses j = 0.073 m=1

𝐹 = $28830.35

0.073

]

𝑃 = 4000 [

1−(1+0.073)−6 0.073

]

𝑃 = $18890.8542

c) (1+0.08⁄12)40 −1 ] 0.08⁄12

A = $200

𝐹 = 200 [

mn = 40 meses j = 0.08 m = 12

𝐹 = $9133.51

𝑃 = 200 [

1−(1+0.08⁄12)−40 ] 0.08⁄12

𝑃 = $7001.81

2. Una persona deposita $5.000 cada final de año en una cuenta de ahorros que abona el 8% de intereses. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, al efectuar el último depósito. (1+𝑖)𝑛 −1

A = $5000

𝐹 = 𝐴[

]

i = 0.08

𝐹 = 5000 [

n =10 años F = ¿?

𝐹 = $72432.81

𝑖 (1+0.08)10 −1 0.08

]

3. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de

pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual. $20,000

1000

0

1000

1

1000

2

3

10000

4

5

1000

……….

𝑃 = 20000 + 1000 [

j = 0.09 0.09⁄12) m = 12

1000

30

−30 1−(1+0.07⁄12) ]+ 0.09⁄12

2500 31 2500(1 +

−31

𝑃 = $48758.17

4. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: 96.000 de contado y 12 pagos trimestrales de $2.000 con 72%de interés, capitalizable trimestralmente. −12 1−(1+0.12⁄4) ] 0.12⁄4

P = ¿?

𝑃 = 6000 + 2000 [

j = 0.12 m=4 nm = 12

𝑃 = $25908.00799

5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 72% con capitalización mensual? $14000 1600 0

1

1600

1600

2

3

4

1600 5

𝑃 = 14000 + 16000 [

j = 0.12 0.12⁄12) m = 12

1600

2500 ……... 30

−30 1−(1+0.12⁄12) ]+ 0.12⁄12

31 2500(1 +

−31

𝑃 = $57128.77602

6. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del8%. 1−(1+𝑖)−𝑛

A = $80, 000,000

𝑃 = 𝐴[

N =10 años

𝑃 = 80000000 [

P = ¿? i = 0.08

𝑃 = $536,806511.9

𝑖

] 1−(1+0.08)−10 0.08

]

7. En el problema 16 se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por valor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si éstas representan el25% de la producción. 1 − (1 + 0.08)−10 𝑃 = 80000000(0.25) [ ] + 1500000(0.08)−10 0.08 𝑃 = $134,896,418.2 8. Una Persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad. a) $400,000 de contado. 1

b) $190,000 de contado y $50,000 semestrales durante 22 años. c) $210,000 de contado y $20,000 trimestrales durante 3 años. ¿Qué oferta es más conveniente, si el interés es del 12% nominal anual? a) 𝑃 = $400000 b) 𝑃 = 190000 + 50000 [

−2.5(2) 1−(1+0.12⁄2) ] 0.12⁄2

c) 𝑃 = 210000 + 20000 [

−3(4) 1−(1+0.12⁄4) ] 0.12⁄4

= $400618.1893

= $409080.0799

CONVIENE AL CONTADO

9. En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1,500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. 1500 1500 1500 1500 0

1

2

3

1500 4

1500

3000

5 …… 12

3000

3000

13 ……. 18

(1 + 0.08)12 − 1 (1 + 0.08)7 − 1 ] (1 + 0.08)7 + 3000 [ ] 0.08 0.08 𝐹 = $75553.5999 𝐹 = 1500 [

10. Demostrar que (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ + 𝑘) = (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ) + (1 + 𝑖)ℎ (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, 𝑘) (1 + 𝑖)ℎ − 1 (1 + 𝑖)𝑘 − 1 + (1 + 𝑖)ℎ [ ] 𝑖 𝑖 (1 + 𝑖)ℎ − 1 + (1 + 𝑖)ℎ+𝑘 − (1 + 𝑖)ℎ (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ + 𝑘) = 𝑖

(𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ + 𝑘) =

(1 + 𝑖)ℎ+𝑘 − 1 𝑖 = (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ + 𝑘)

(𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ + 𝑘) =

11. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6%de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. 𝐹 = 100 [

A = $100 j = 0.06 m = 12 n = 20 años F = ¿?

20(12) (1+0.06⁄12 −1 ] 0.06⁄12

𝐹 = $46,204.08952

12. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 mensuales, cifra que se recibirán durante 15 años? Calcular con el 6% capitalizable mensualmente. Hacer el cálculo (a) con la tabla II, (b) mediante las fórmulas desarrollada en el problema 20. 𝑃 = 500 [

A = $500 n = 15 años j = 0.06 m = 12 P = ¿?

−15(12) 1−(1+0.06⁄12) ] 0.06⁄12

𝑃 = $59,251.75733

13. Demostrar que (𝑃⁄𝐴, 𝑖, ℎ + 𝑘) = (𝑃⁄𝐴, 𝑖, ℎ) + (𝑃⁄𝐴, 𝑖, 𝑘)(1 + 𝑖)−ℎ

=[

= =

1 − (1 + 𝑖)−ℎ 1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]+[ ] (1 + 𝑖)−ℎ 𝑖 𝑖

1 − (1 + 𝑖)−ℎ + (1 + 𝑖)−ℎ − (1 + 𝑖)−(ℎ+𝑘) 𝑖 1−(1+𝑖)−(ℎ+𝑘) 𝑖

= (𝑃⁄𝐴, 𝑖, ℎ + 𝑘)

14. Demostrar que: a) (1 + 𝑖)(𝑃⁄𝐴, 𝑖, 𝑛) = (𝑃⁄𝐴, 𝑖, 𝑛 − 1) + 1 1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−1) + 1 = 𝑖 (1 + 𝑖)[1 − (1 + 𝑖)−𝑛 ] = 𝑖 = (1 + 𝑖)(𝑃⁄𝐴, 𝑖, 𝑛)

b) (1 + 𝑖)(𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛) = (𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛 + 1) − 1 (1 + 𝑖)𝑛+𝑖 − 1 =[ ]−1 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛+1 − 1 − 𝑖 = 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 = (1 + 𝑖) [ ] 𝑖 = (1 + 𝑖)(𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛)

15. Demostrar que para ℎ > 𝑘; (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ − 𝑘) = (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ) − (1 + 𝑖)ℎ (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, 𝑘) (1 + 𝑖)ℎ − 1 1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ℎ = − (1 + 𝑖) [ ] 𝑖 𝑖 (1 + 𝑖)ℎ − 1 − (1 + 𝑖)ℎ + (1 + 𝑖)ℎ−𝑘 = 𝑖 (1 + 𝑖)ℎ−𝑘 − 1 = 𝑖 = (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ − 𝑘) 16. Demostrar que para ℎ > 𝑘; (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ − 𝑘) = (1 + 𝑖)ℎ (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ) − (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ) (1 + 𝑖)ℎ − 1 1 − (1 + 𝑖)−ℎ = (1 − 𝑖) [ ]−[ ] 𝑖 𝑖 (1 − 𝑖)ℎ−𝑘 − (1 − 𝑖)−𝑘 − 1 + (1 + 𝑖)−ℎ = 𝑖 (1 − 𝑖)ℎ−𝑘 − 1 = 𝑖 = (𝑃⁄𝐴 , 𝑖, ℎ − 𝑘) −𝑘

17. Demostrar que para ℎ > 𝑘; (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ − 𝑘) = (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ) + (1 + 𝑖)ℎ (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, 𝑘) 1 − (1 + 𝑖)−ℎ (1 + 𝑖)𝑘 − 1 =[ ] − (1 + 𝑖)−ℎ [ ] 𝑖 𝑖 1 − (1 + 𝑖)−ℎ − (1 + 𝑖)−(ℎ−𝑘) + (1 + 𝑖)−ℎ = 𝑖 1 − (1 + 𝑖)−(ℎ−𝑘) = 𝑖 = (𝐹 ⁄𝐴 , 𝑖, ℎ − 𝑘)

18. Demostrar que: 1 (𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛)

1 = (𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛 + 𝑚)

1 ∗ (𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛) + (1 + 𝑖)𝑚 (𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛) 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 = (1 + 𝑖)𝑚 − 1 𝑖 [ ] + (1 + 𝑖)𝑚 𝑚 𝑖 (1 + 𝑖) − 1 =

=

((1 +

𝑖)𝑛

𝑖 − 1)(1 + (1 + 𝑖)𝑚 ) 𝑖

(1 +

𝑖)𝑛

+ (1 + = =

𝑖)𝑛+𝑚

− 1 − (1 + 𝑖)𝑚

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛+𝑚 − 1 1 (𝐹 ⁄𝐴, 𝑖, 𝑛 + 𝑚)

19. ¿Cuánto debe depositarse al final cada trimestre, en el fondo de inversiones que abona el 10%, convertible trimestralmente, para acumular $50,000 al cabo de 5 años? A=?

𝐽/𝑚

𝐴 = 𝐹 [(1+𝑖)𝑛𝑚 −1]

J=0.10 M= 4

0.1014

𝐴 = 50000 [(1+0.1014)5(4)−1]

N= 5 años 𝐴 = $1957.36 20. Una compañía de redimir una emisión de obligaciones por $3,000.00 dentro de 10 años y, para ello, establece reservas anuales que se depositaran en un fondo que abona el 7%. Hallar el valor de la reserva anual. F=$3,000.00

𝑖

𝐴 = 𝑓 [(1+𝑖)𝑛−1]

N=10años A=?

0.07

𝐴 = 30000 [(1+0.07)10 −1]

I=0.07 𝐴 = $217132.5082

21. ¿Qué suma debe depositarse anualmente en un fondo que abona el 6%, para promover la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $8.000.00 y el periodo de vida útil de 6 años, si el valor de salvamento se estima en un 15% del costo? F=$8.000.00

𝑖

𝐴 = 𝑓 [(1+𝑖)𝑛−1]

N=6años A=?

0.06

𝐴 = 8000(0.85) [(1+0.06)6 −1]

I=0.06 𝐴 = $974865.8736

22. Enrique Pérez compró una casa cuyo valor es de $180.000 al contado. Pagó $50.000 al contado y el saldo en 8 pago iguales por trimestre vencido. Si en la operación se le encarga el 10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos trimestrales. P=$180.000 - 50.000

𝑗/𝑚

𝐴 = 𝑃 [1−(1+𝑗/𝑚)−𝑛𝑚 ]

NM=8 0.10/4

A=?

𝐴 = 130000 [1−(1+0.10/4)−8 ]

J=0.10 M=4

𝐴 = $18130.75496

23. Una máquina que vale $18.000 de contado se vende a plazos, con una cuota inicial de $3.000 y el saldo en 18 cuotas mensuales, cargando el 16% de interés convertible mensualmente. Calcular el valor de las cuotas mensuales. P=$18.000 - 3.000

𝑗/𝑚

𝐴 = 𝑃 [1−(1+𝑗/𝑚)−𝑛𝑚 ]

NM=18 0.16/12

A=?

𝐴 = 15000 [1−(1+0.16/12)−18 ]

J=0.16 M=12

𝐴 = $942.846

24. Sustituir una serie de pagos de $10.000 al final de cada años, por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertibles mensualmente. P=$10.000

𝑗/𝑚

𝐴 = 𝑃 [1−(1+𝑗/𝑚)−𝑛𝑚 ]

NM=12 A=?

0.08/12

𝐴 = 10000 [1−(1+0.08/12)−12 ]

J=0.08 M=12

𝐴 = $869.88

25. Sustituir una serie de pagos de $10.000 al principio de cada año, por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés del 8% convertible mensualmente. 𝑗/𝑚

P=$10.000

𝐴 = 𝑃 [1−(1+𝑗/𝑚)−𝑛𝑚 ]

A=?

𝐴 = 10000 [1−(1+0.08/12)−12 ]

0.08/12

J=0.08 𝐴 = $869.88

26. .Una persona sustituye un seguro total de $300.00 por una renta anual, con la condición de que se le pague a él o a sus herederos durante 20 años. Si la compra de seguros opera con el 7% de interés, hallar el valor de la renta anual. P=$30000

𝑖

𝐴 = 𝑃 [1−(1+𝑖)−𝑛 ]

N=20años A=?

0.07

𝐴 = 300000 [1−(1+0.07)−20 ]

I=0.07 𝐴 = $28317.88

27. El valor presente de una renta de $10.000 por año vencido es $100.000; si la tasa de interés es del 6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica. Solución matemática P=$10000

𝑃 = 𝐴[

1−(1+𝑖)−𝑛 𝑖 𝑖

]

N=? A=10000

10000 = 10000 [

1−(1+0.06)−𝑛 0.06

]

I=0.06 𝑛 = log 0.4/ log 1.06 = 45.7252 Solución practica 10000 = 10000 [ 𝑥 = $7309.89

1−(1.06)−15 0.06

] + 𝑥(1. 06)−15

28. El valor presente de una renta de $4.000 por trimestre vencido es de $60.000.Si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, hallar el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica Solución matemática 1−(1+0.08/4)−𝑛𝑚

A=$4000

60000 = 4000 [

J=0.08 P=60000

𝑛𝑚 = log 0.7/ log(

M=9 NM=?

Solución practica 60000 = 4000 [

0.08/4

]

1.08 4

) = 18.011

1−(1+0.08/4)−18 0.08/4

] + 𝑥(1. 08/4)−19

𝑥 = $46.4358

29. El valor futuro de una renta de $10.000 por año vencido es de $10.000.Si la tasa de interés es del 6%, calcular el tiempo indicando la solución matemática y la solución práctica. Solución matemática 1−(1+0.06)𝑛 −1

A=$10000

100000 = 10000 [

]

F=100000 I=0.06 N=?

𝑛𝑚 = log 1.6/ log 1.06 = 8.06611 𝑎ñ𝑜𝑠

0.06

Solución practica 100000 = 10000 [

(1+0.06)8 −1

]+𝑥

0.06

𝑥 = $1025.32 RPTA: 8 pago de $10000 y un pago adicional de $1025.32 30. El valor futuro de una renta de $4.000 por trimestre vencido es de $60.000.Si la tasa de interés es del 8% convertible trimestralmente, calcular el tiempo indicando, la solución matemática y la solución práctica Solución matemática A=$4000

60000 = 4000 [

1−(1+0.08/4)−𝑛𝑚 −1

]

0.08/4

J=0.08 f=60000

𝑛𝑚 = log 1.3/ log (1 +

M=4 NM=?

Solución practica 60000 = 4000 [

0.08 4

) = 13.24896 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠.

1−(1+0.08/4)−15 −1 0.08/4

]+𝑥

𝑥 = $1278.67 RPTA: $1278.67 Pago final en el último año

31. Para una deuda de $20.000, con intereses del 10% capitalizable semestralmente, se conviene cancelarla con pagos semestrales de $4.000; encontrar el número de pagos y el valor del pago final. 1−(1+0.10/2)−𝑛𝑚

P=$20000

20000 = 4000 [

J=0.10 M=2

𝑛𝑚 = −log 0.75/ log(

0.10/2

]

1.10 2

) = 5.8963

A=$4000 Pago adicional 20000 = 4000 [

1−(1+0.10/2)−5 0.10/2

] + 𝑥(1.10/2)−6

𝑥 = $3594.26

32. Una persona compra maquinaria por valor de $60.000 y acuerda pagar $15.000 como cuota inicial y el saldo en contados de $12.000 trimestrales, con el 12% convertible trimestralmente. Hallar el número de pagos y el valor del pago final. 1−(1+0.12/4)−𝑛𝑚

P=$6000-15000

45000 = 12000 [

J=0.12 M=4 A=$12000

𝑛𝑚 = −log 0.8875/ log(1.12/4) = 4.0376

0.12/4

]

4 pagos de $12000 Pago final 45000 = 12000 [

1−(1+0.12/4)−4 0.12/4

] + 𝑥(

1.12 −5 ) 4

𝑥 = $457.7036

33. Un empleado puede ahorrar $350 mensuales. Si los consiga en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente, ¿en cuánto tiempo y con qué pago final lograra ahorrar $30.000? 1−(1+0.08/12)𝑛𝑚 −1

F=$30000

30000 = 350 [

J=0.08 M=12 A=$350

𝑛𝑚 = log 1.571428571/ log(1.08/12) = 68.02

0.08/12

]

68 pagos de 350 Pago final 30000 = 350 [

1−(1+0.08/12)68 −1

]

0.08/12

𝑥 = $12.88705 350 + 12.88705 = 362.887

34. ¿Qué intereses deben producir unas imposiciones de $300 mensuales, para que conviertan en $4.500 en un año? F=$4.500 N=12 i=? A=$300

4500 = 300 [

(1+𝑖)12 −1 i

]

𝑖 = 0.05 = 4775.137956 𝑖 = 0.04 = 4507.74 𝑖 = 0.03 = 4257.61 𝑥−0.03 0.04−0.03

4500−4257.61

= 4507.74−4257.61

𝑥 = 0.03969 35. Un televisor cuyo valor de contado es de $480.000 puede adquirirse con un pago inicial de $80.000 y 12 pagos contados mensuales de $40.000 cada uno. Hallar la tasa convertible mensualmente que se carga. P=$480.000-80000 M=12 J=? A=$40.000 NM=12

40000 = 40000 [

(1+𝐽/12)−12 j/12

]

𝑗 = 20% = 431804.5378 𝑗 = 21% = 429581.9875 𝑗 = 23% = 425186.6934 𝑗 = 25% = 420846.808 𝑗 = 30% = 41030.5839 𝑗 = 35% = 400148.1055 𝑥−40 35−40

40000−390352.5047

= 400148.1055−90352.5047

𝑥 = 35.076%

36. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente debe establecerse para que 24 depósitos de $500 trimestrales den un valor fututo de $16.000, al efectuar el último pago?

P=$16000 M=4 J=? A=$500 NM=24

16000 = 500 [

(1+𝐽/4)24 −1 j/4

]

𝑗 = 30% = 22250.49 𝑗 = 20% = 22250.999 𝑗 = 18% = 20844.59816 𝑗 = 15% = 18935.84 𝑗 = 32% = 15210.93 𝑥−8 16000 − 15210.93 = 12 − 8 17213.23 − 15210.93 𝑥 = 9.5763%