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ANEXO

282

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

ANEXO I

I.1 CARACTERISTICAS DE VINCULOS (APOYOS)

Tipo de vinculo

Diagrama

1º TIPO

Apoyo móvil

2º TIPO

Apoyo fijo

Empotramiento móvil

Empotramiento guiado

Grados de libertad Tiene 2 grados de libertad.  Movimiento de rotacion  Movimiento de traslacion Tiene 1 grado de libertad.  Movimiento de rotación de la barra Tiene 1 grado de libertad  Movimiento de traslación del apoyo Tiene 1 grado de libertad  Movimiento de traslación del apoyo

Reacciones de apoyo

VZ HZ

Se presenta 1 reaccion de apoyo

Se presenta 2 reacciones de apoyo VZ

MZ VZ MZ

Se presenta 2 reacciones de apoyo

Se presenta 2 reacciones de apoyo

HZ

3º TIPO

Empotramiento

MZ

Tiene 0 grado de libertad

HZ

Se presenta 3 reacciones de apoyo

VZ

Univ. : Jaime Héctor Rubin de Celis Mamani

ANEXO

283

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

I.2 CARACTERISTICAS DE NUDOS Tipo de vinculo

Nombre y representación Nudo articulado 4

3 2

5 n

1

2º TIPO

Nudo rígido 3

4 5

2

k

1

Nudo combinado n

1

2

2

1

k

Grados de libertad

Reacciones

El grado de libertad esta dado por: GL = (n–1) n = Numero de barras articuladas.

Las reacciones están dados por: Reacciones = 2 (n–1)

El grado de libertad esta dado por: GL = 0 Restringido todos los movimientos.

Las reacciones están dados por: Reacciones = 3 (k–1)

El grado de libertas es: GL = n–1 n = Numero de barras articuladas. Barras rígidas se considera como una unión.

Las reacciones están dados por:

n = Numero de barras articuladas.

k = Numero de barras rígidas.

Reacciones=3(k–1)+2(n–1) k = Numero de barras rígidas. n = Numero de barras articuladas.

I.3 CARGA PUNTUAL EQUIVALENTE A CARGA DISTRIBUIDA Carga distribuida

Carga genérica

Resultante

qx  q

R q x

Brazo

Carga rectangular q

b

R

b

x 2

b

1 x 3

b

1 x 4

x L

Carga triangular

qx

R b

q x

x qx  q  L

L

Carga parabólica (2º) R b qx

q

x

x qx  q  L

2

L

Carga parabólica (nº) R

b qx

x L

x qx  q  L

1 qx x 2 1 x R  q x 2 L 1 R  qx x 3 R

2

1 x R  q  x 3 L

n

R

q n=0 Carga rectangular n=1 Carga triangular n>1 Carga parabólica

1 qx x n 1 n

R

1 x q  x n 1  L 

b

1 x n2

Univ. : Jaime Héctor Rubin de Celis Mamani

ANEXO

284

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

I.4 VIGAS BASICAS ISOSTATICAS Y CALCULO DE REACCIONES

Simplemente apoyada

Representación gráfica HX

En voladizo

Nombre

HX

Formulación de ecuaciones Suma de momento respecto al apoyo fijo:   M X  0  VZ VZ

VX

 FH  0

 HX Suma de momento respecto al punto “X”:  MX 0  MX

Obtenida M X , planteamos las ecuaciones:  FV  0  V X

MX VX

 FH  0

 HX Suma de momento respecto al punto “Z”:   M Z  0 ……… (1)

HX

Triarticulado

VX

Incognitas: V X y H X Suma de momento respecto al punto “Y”:   M Y  0 ………. (2) (Lado izquierdo)

Y

HZ VZ HX

De tres apoyos

Obtenida V Z , planteamos las ecuaciones:  FV  0  V X

Incognitas: V X y H X Resolviendo el sistema obtenemos: V X y H X ,entonces planteamos las ecuaciones:  FV  0  VZ

 FH  0

 HZ Suma de momento respeto al punto “X”:   M X  0 ……….. (1)

Incognitas: VY y V Z Suma de momento respecto al punto “U”:   M U  0 ………… (2) (Lado derecho)

VX

U

VY

VZ

Incognitas: VY y V Z Rsolviendo el sistema obtenemos: VY y V Z , entonces planteamos las ecuaciones:  FV  0  V X

 FH  0

 HX

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ANEXO

285

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

I.5 TIPOS DE CARGA DISTRIBIDA RECTANGULAR EN BARRA DE EJE INCLINADO Tipo de carga distribuida Resultante Brazo de la resultante b

R

q

Resultante de la Brazo de la Resultante carga distribuida es: es: xSenθ

R  q x Cos 

x θ xCosθ

q

xSenθ

R

θ xCosθ

1 x Cos  2

Resultante de la Brazo de la resultante carga distribuida es: es: 1 b x R  qx 2

b

x

b

b

q

Resultante de la El brazo de la carga distribuida resultante es: es: 1 b  x Cos  R  qx 2

xSenθ

R x θ xCosθ

I.6 EQUIVALENCIA DE CARGAS DISTRIBUIDAS RECTANGULARES Carga distribuida q

Carga Distribuida equivalente q q'  Cos 

θ

θ

q

θ

q

q

θ

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ANEXO

286

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

I.7 ECUACIONES DE FUERZAS NORMALES Y CORTANTES EN BARRAS INCLINADAS

Signos asumidos

Barra inclinada y direccionada

 FH θ

NH

QH

 FV

NV QV θ

θ

 FH NH

QH

θ θ NV

 FV

QV θ

 FH

θ

θ

 FV

NH

QH

NV θ QV

 FH θ NH

 FV

QH

NV θ QV

θ

Ecuación de la fuerza Normal Nx

Ecuación de la fuerza Cortante Qx

La ecuación de la Normal es: N x   N H  NV Donde: N H   FH cos 

La ecuación de la Cortante es: Q x  Q H  QV Donde: Q H   FH sin 

La ecuación de la Normal es: N x   N H  NV Donde: N H   FH cos 

La ecuación de la Cortante es: Q x  Q H  QV Donde: Q H   FH sin 

La ecuación de la Normal es: N x   N H  NV Donde: N H   FH cos 

La ecuación de la Cortante es: Q x  Q H  QV Donde: Q H   FH sin 

La ecuación de la Normal es: N x   N H  NV Donde: N H   FH cos 

La ecuación de la Cortante es: Q x  Q H  QV Donde: Q H   FH sin 

N V   FV sin  Remplazando: N x   FH cos    FV sin 

N V   FV sin  Remplazando: N x    FH cos    FV sin 

N V   FV sin  Remplazando: N x   FH cos    FV sin 

N V   FV sin  Remplazando: N x    FH cos    FV sin 

QV   FV cos  Remplazando: Q x   FH sin    FV cos 

QV   FV cos  Remplazando: Q x    FH sin    FV cos 

QV   FV cos  Remplazando: Q x    FH sin    FV cos 

QV   FV cos  Remplazando: Q x   FH sin    FV cos 

 El signo a asumir para las sumatorias de fuerzas son los mismos que se utiliza en la deducción de las ecuaciones, para el cuadro en todos los casos es:    FH y    FV , esto puede variar de acuerdo a nuestra convención de signos asumidos. Fuente: ESTRUCTURAS ISOSTATICAS, Ing. Ivan Choqueticlla Tapia

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ANEXO

287

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

I.8 PROPIEDADES DE SUPERFICIES PLANAS

Figura

Distancias al centroide

Área

Momentos de inercias centroidales

Radio de giro

y y1 h

C

x

A  bh

y1

bh 3 12 hb 3 Iy  12

b 2 h y1  2

x1 

x

x1 x1 b y y

x

h

1 x'1  b 3

y1 C

x

y’1 x’1

x1

A

1 bh 2

b y

rx 

Ix 

x1 

2 b 3

1 y '1  h 3 2 y1  h 3

ry 

bh 3 36 b 3h Iy  36 b2h2 * I xy   72 Ix 

rx 

h 12 b 12

h

3 2 b ry  3 2

y

x

r

C

d

y1 x y1

A  r2 d A 4

2

y1  x1  r 

d 2

Ix  Iy 

r4 d 4  4 64

rx  ry 

r 2

x1

x1 y y

y’1 x y1

C

x

x1

x1 d=2r

r2 A 2 d 2 A 8

d r 2 2d 4r y1   3 3 y '1  0.288 d x1 

rx  0.132 d d ry  4

I x  0.11 r 4 Iy 

d r  128 8 4

4

y y

y’1 x

C r

x y1

r2 A 4

4r 3 x'1  y '1  0.576 r

x1  y1 

I x  I y  0.0549 r 4

* I xy  0.0165r

rx  ry  0.264 r

4

x’1

x1 y

* Solamente las dos figuras tienen producto de inercia, ya que no tienen un eje de simetría, las demás figuras si tienen un eje o dos ejes de simetría por lo tanto su producto de inercia es cero. * El producto de inercia de ambas figuras cambia de signo cada que rotan 90º, de negativo a positivo en forma sucesiva.

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ANEXO

288

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

ANEXO II

1. Grado hiperestatico 1.1 Método General: GH  I  E E  3N

Donde: I= Incógnitas o reacciones. E= Numero de ecuaciones. N= Numero de barras de la estructura. 1.2 Método de Los Anillos:

2. Vigas 2.1 Definición.- Una viga es un miembro que se somete a cargas transversales, es decir, perpendiculares a lo largo de su eje. 2.2 Tipos de cargas a) Carga puntual.- Un carga puntual es la que actúa en un punto, puede ser perpendicular o tener una inclinación con el eje principal de la viga.

P1

P2 θ

GH  3 A  GL

Donde: A= Numero de anillos que se forman. GL= Grado de libertad de cada vinculo. 1.3 Método de las barras: GH  b  r  2n

Donde: b= Numero de barras de la estructura. r= Numero de reacciones de apoyo. n= Numero de nudos, incluyendo los apoyos.  Este método se lo utiliza solamente en entramados. 1.4 Estructuras con apoyos elásticos:

P3

b) Carga distribuida.- Una carga distribuida es la que actúa a lo largo de la viga, puede ser distribuida uniformemente o tener una variación a lo largo de la viga. Carga uniformemente distribuida:

q

Carga con distribución variada:

q

q2

GH TOTAL  GH PARCIAL  N º Re sortes  N º Cables

q1 Donde: GHPARCIAL: Grado Hiperestático, donde no interviene cables ni resortes. Nº Resortes: Cantidad de resortes en la estructura. Nº Cables: Cantidad de cables en la Estructura.

Como podemos observar las cargas distribuidas están representadas como figuras geométricas entonces para hallar la resultante de una carga distribuida basta con encontrar matemáticamente su área, considerando que “q” representa la altura de la figura que representa a la carga. Por ejemplo hallar la resultante de la siguiente figura: Univ. : Jaime Héctor Rubin de Celis Mamani

ANEXO

288

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

q

R

2.1 Ecuaciones de equilibrio: 1º Esta ley garantiza el equilibrio de traslación:

F 0

L La resultante de la carga distribuida en forma de un triangulo es el área de un triangulo, convencionalmente el área de un triangulo es:

1 A  bh 2 1 Lq 2

 Fy  0

M 0

Esta resultante actúa en el centro geométrico de la figura que representa a la carga.

R 1 L 3

2 L 3

 Fx  0

2º Esta ley garantiza el equilibrio de rotación:

Entonces la resultante será:

R

Sus componentes rectangulares son:

La unidad de “q” puede ser “KN/m” o “Ton/m”, entonces la unida de la resultante será “KN” o “Ton” respectivamente. c) Carga de momento puntual.- Es una carga que actúa en un punto de la viga, en una ecuación de fuerzas internas, específicamente en la ecuación de momento, representa un salto de momento.

M 2.2 Planteamiento de ecuaciones de fuerzas internas. Se tiene cualquier estructura y una disposición de cargas en la viga:

La formulación de estas ecuaciones en forma correcta nos lleva a determinar las reacciones de apoyo de la viga. 2.2 Relación del Momento flector con la Cortante: Signos: +M

+Q

Qx 

dM x dx

Signos: +M +Q

Qx  

dM x dx

2.3 Momento máximo: El momento máximo se da: Qx 

dM x  0  Qx  0 dx

 En el punto donde la Cortante Q x es igual a cero se produce el máximo momento del tramo, pero no siempre de la viga completa. 2.4 Ecuación de la Normal y Cortante en vigas inclinadas: N x    FH cos    FV sin 

Q x    FH sin    FV cos 

 Los signos se asumirán de acuerdo a cada caso. Para determinar los signos en forma rápida les presento un cuadro que representa todas las Univ. : Jaime Héctor Rubin de Celis Mamani

ANEXO

289

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

posibilidades de signos que se puede presentar en un problema: SIGNOS PARA LA NORMAL “Nx”

Para usar la tabla se tiene que tomar dos consideraciones importantes: 1º Para las sumatorias será positivos los sentidos:    FH x y   FVx .





2º El Angulo “  ” será el que se forme con la horizontal de la viga inclinada y nunca con la vertical. 3. Ecuaciones de ejes de arcos 3.1 Ecuación del eje circular en coordenadas rectangulares:

 x  a 2   y  b 2  R 2

SIGNOS PARA LA CORTANTE “Qx”

Donde: a= Abscisa al centro del arco circular. b= Ordenada al centro del arco circular.  Se tiene que asumir un eje de referencia, de ejes perpendiculares o cartesianos. 3.2 Ecuación del eje parabólico: y

4f x L  x  L2

Donde: f= Flecha del arco parabólico. L= Longitud o luz del arco parabólico. 3.3 Ecuación del eje Elíptico: y

Las ecuaciones base para aplicar este sistema de signos son:

2f L

Lx  x 2

N x    FH cos    FV sin 

Donde: f= Flecha del arco parabólico. L= Longitud o luz del arco elíptico.

Q x    FH sin    FV cos 

3.4 Ecuación del eje Senoidal:

De la tabla, “H” representa los signos a asumir para la sumatoria de horizontales y “V” para la sumatoria de verticales:

N x    FH cos    FV sin  H

V

Las flechas representan el sentido de orientación que se ha asumido al direccionar la viga y se tiene dos signos para cada caso a remplazar en las ecuaciones base ya mencionadas.

  y   aSen x  a 

3.5 Ecuación del eje de una Cardioide: r  a 1  cos  

4. Línea de influencia 4.1 Línea de influencia para una carga concentrada:

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ANEXO

290

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

EsfuerzoSS  P1 LI SS x  x1 Donde: P1= Fuerza puntual en el punto 1. LI=Valor de la línea de influencia en el punto x1. 4.2 Línea de influencia para una carga distribuida:





Esfuerzo SS   Area L.I . xxxx21 q

Donde: Área L.I.= Área de la línea de influencia comprendida entre los puntos x1 y x2. q= Valor de la carga distribuida 5. Cerchas 5.1 Método de los nudos El concepto básico de este método consiste en estudiar cada nudo del entramado y aplicar ecuaciones de equilibrio. Por cada nudo se forma dos ecuaciones, por lo tanto, se tiene que tener también solamente dos barras como incógnitas. La fuerza que sale del nudo es Tracción:

5.1 Coeficientes de Tensión:

 t j L jx  Px  0  t j L jy  Py  0 Donde: tj: Tensión en la barra “j”. Ljx: Longitud proyectada al eje x de la barra “j”. Ljy: Longitud proyectada al eje y de la barra “j”. Px: Carga aplicada respecto al eje x. Py: Carga aplicada respecto al eje y. 5.2 Fuerza Normal dada el coeficiente de tensión: N j  t jLj

Donde: Nj: Fuerza Normal en la barra “j”. tj: Coeficiente de tensión en la barra “j”. Lj: Longitud de la barra “j”. 6. Cables

+ Tracción T  H 2 V 2

La fuerza que entra al nudo es Compresión: V    tg 1   H

– Compresión Las ecuaciones a aplicar son: T1 y  Fx  0

T2 β

α x

T1Cos  T2Cos  0

F

y

0

Donde: T: Tensión del cable. H: Componente horizontal. V: Componente vertical θ: Angulo de inclinación del cable.

T1Sen  T2 Sen  0

Se forma dos ecuaciones y se tiene dos incógnitas, es posible solucionar el sistema y determinar las fuerzas normales. 5.2 Método de las secciones o cortes Este método es conveniente usarlo cuado queremos determinar la fuerza normal de una barra en particular y de forma rápida. Consiste en realizar cortes y aplicando ecuaciones de momento en un punto se puede obtener el valor de la fuerza normal deseada. Es importante tener en cuenta cómo se va a realizar el corte, pues de esto dependen las ecuaciones a formular.

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