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Análisis vectorial y tensorial Nasjo Baldwin - [email protected]

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

CAP I: Funciones Vectoriales de Variable Real CAP II : Funciones Vectoriales de Variable Vectorial CAP III: Integración Vectorial CAP IV: Teoremas Integrales de Análisis Vectorial CAP V : Coordenadas Curvilíneas CAP VI: Análisis Tensorial Bibliografía

Resumen: Un resumen de Matemática Vectorial, de la Universidad Mayor de San Andrés, dictada en la Facultad de Ingeniería. CAPITULO I: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL INTRODUCCION. Si t es una variable escalar, entonces una función escalar f asigna a cada t en un intervalo único escalar f(t) llamado valor de f en t. En general la variable representa el tiempo, un conjunto de coordenadas o parámetros cualesquiera. DEFINICION Y NOTACION. Una función vectorial de variable real es una regla que hace corresponder a un número real un valor

  f (t )  f1 (t )iˆ  f 2 (t ) ˆj f : R  R2   g (t )  g1 (t )iˆ  g 2 (t ) ˆj  g 3 (t )kˆ g : R  R3 Interpretación. Sea:

 f (t )  f1 (t )iˆ  f 2 (t ) ˆj  f 3 (t )kˆ

Para cada t existe un vector de posición (equacion) Cuyo punto inicial se encuentra en el origen de coordenadas del sistema cartesiano rectangular y el punto final especifica el punto P en el espacio

Cuando t varia, se dice que t se mueve Así por igualdad de vectores se dice:

  f (t )  r De esta manera se tiene:

x  f1 (t );

y  f 2 (t );

z  f 3 (t )

Es la ecuación paramétrica de la curva C

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La curva C también se conoce con el nombre de Hodografia de la función vectorial r (t) por lo tanto podemos concluir que una función vectorial es la representación de una curva en el espacio. Sea:

 f (t ) 

2t ˆ 2t ˆ t 2  2 ˆ i 2 j 2 k t2  2 t 2 t 2  r  xiˆ  yˆj  zkˆ x t r

2t ; 2 t 2 0 r1

y

2t ; 2 t 2

1 r2

2 r3

z

t2  2 t2  2 3 r4

Por otro lado

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x y z 2

2

t    t  2 t  2 t 4t 2

2

4t 2

2

2



2

2

2 2

  2 2

2 2

8t 2  t 4  4t 2  4

t

2

2



2

t 4  4t 2  4 t 4  4t 2  4 x2  y2  z2  1 

Como:

x y

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Se dice que el límite de una función f(t) es un vector a cuando t → t0, excepto para el valor t0 entonces a es un vector límite de f(t) cuando t se acerca t0 esto se expresa como:

  Lim f (t )  a  Para todo numero real   0    0 t t0

 f (t )  a   0  t  to  

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Esta definición se vuelve el limite de una función escalar si se reemplaza f(t) por una función escalar y el vector a por un escalar.

 f (t )  f1 (t )iˆ  f 2 (t ) ˆj  f 3 (t )kˆ  a (t )  a1iˆ  a 2 ˆj  a3 kˆ Lim f (t )  Lim f1 (t ) iˆ  Lim f 2 (t ) ˆj  Lim f 3 (t )kˆ t t0

t t0

t t0

t t0

Lo anterior se resume en:

Lim f1 (t )  a1 ; Lim f 2 (t )  a2 ; Lim f 3 (t )  a3 t t0

t t0

t t0

Continuidad. f(t) es continua en to si cumple:

Lim f (t ) existe t t  0 b) Si f (t ) también existe a) Si

c) a) = b) Ejemplo: Hallar el límite:

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Sen (t ) ˆ Cos (t )  1 ˆ  ˆ i j k 1 t 2t t   Sen (t ) ˆ Cos (t )  1 ˆ  ˆ  Lim  i j  k t 2t  t   1   Sen (t ) ˆ Cos (t )  1 ˆ  Lim i  Lim j  Lim kˆ t t  1   t  t  2t Sen ( ) ˆ Cos ( )  1 ˆ  ˆ i j k 1 t 2 2 1 0iˆ  ˆj  kˆ  2 Lim f (t ) 

Estudiar la continuidad de: f(t) en t=1

e t  e ˆ Ln(t ) ˆ i j  2kˆ t 1 t  1 1 t  0 0 Lim f (t )  iˆ  ˆj  2kˆ t 1 0 0  Lim f (t )  0iˆ  0 ˆj  2kˆ Lim

t 1

Por L`Hopital

et  e et   e1  e t 1 t  1 1 1 Ln(t ) Lim  t  1 t 1 1  t 1 Lim eiˆ  ˆj  2kˆ Lim

t 1

 f (t  1)  (e,1,2) t  1

 e t  e ˆ Ln(t ) ˆ f (t )   i j  2kˆ t  1; eiˆ  ˆj  2kˆ t  1 t  1 1  t  DERIVADA DE FUNCIONES VECTORIALES. La derivada de f(t) se define como:

f t  t   f (t ) t 0 t  f (t ) Lim t 0 t Lim

f i (t  t )  f i (t ) t 0 t f i1 (t )  f11 (t )iˆ  f 21 (t ) ˆj  f 31 (t )kˆ f i1 (t )  Lim

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Reglas de Derivación. Sean

   f (t ), g (t ), h (t ) funciones vectoriales y  (t ) una función escalar

1)



2)

 





 

  d d d   (t ) f (t )   (t ) f (t )  f (t )  (t )  dt dt dt

3)





 

 d   d  d   g (t ) f (t )  g (t ) f (t )  f (t ) g (t )  Escalar dt dt dt

4)







 

 

   d  d  d  g (t )  f (t )  g (t )  f (t )  f (t )  g (t )  Vector dt dt dt

5)

6)



 d  d  d  f (t )  g (t )  f (t )  g (t )  dt dt dt



 

        d  d  d  d  f (t )  g (t )  h (t )  f (t )  g (t )  h (t )  f (t )  g (t )   h (t )  f (t )  g (t )  h (t ) dt dt dt dt







 

  

 

 

        d  d  d   d   f (t )  g (t )  h (t )  f (t )  g (t )  h (t )  f (t )   g (t )   h (t )  f (t )   g (t )  h (t )  dt dt dt  dt   

7) Regla de la cadena

 

 

d  d  dt f (t )  f (t ) ds dt ds Ejemplo:

     wt   wt d 2r  w2t  0 r  ae  b e ; donde a y b son vectores constantes, satisfacen la ecuación 2 dt Resolviendo:

 dr  wt   wt  awe  b we dt  d 2 r  2 wt  2  wt  aw e  b w e dt 2 Reemplazando:

   wt d 2r 2  wt  w a e  b e dt 2    w2 r  w2 r  0





INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA.

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La derivada de una función vectorial en un punto es, el vector tangente a la curva en dicho punto. Si t es el tiempo f(t) representa una trayectoria f`(t) será la velocidad instantánea DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. Las derivadas de orden superior de una función vectorial, se define en forma similar a la de un valor escalar de una sola variable.

d  df (t )  d 2 f (t )    dt  dt  dt 2

Ejemplo:

      r 1 (t ), r 11 (t ), r 111(t ) luego calcular r 1 (t )  r 11 (t )  r 111(t )  r (t )  a cos(t )iˆ  asen(t ) ˆj  htkˆ

Hallar:

 r (t )  a cos(t )iˆ  asen(t ) ˆj  htkˆ  r 1 (t )  asen(t )iˆ  a cos(t ) ˆj  hkˆ  r 11 (t )  a cos(t )iˆ  asen(t ) ˆj  0kˆ  r 111(t )  asen(t )iˆ  a cos(t ) ˆj  0kˆ Calculamos:

   r 1 (t )  r 11(t )  r 111(t )

 asen(t ) 1  11  111 r (t )  r (t )  r (t )   a cos(t ) asen(t )

a cos(t )  asen(t )

h 0  h a 2 cos 2 (t )  a 2 sen 2 (t )  ha 2





 a cos(t ) 0

Por otro lado;

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i 1  11 r (t )  r (t )   asen(t )

j a cos(t )

k h  hasen(t )iˆ  ha cos(t ) ˆj  a 2 kˆ

 a cos(t )  asen(t ) 0   r 1 (t )  r 11 (t )  h 2 a 2 sen 2 (t )  h 2 a 2 cos 2 (t )  a 4   r 1 (t )  r 11 (t )  a h 2  a 2

LONGITUD DE CURVA. Si Una curva en el espacio esta representada por, f(t) para un intervalo a  t  b entonces la longitud de la curva L esta dad por la siguiente expresión:

b

L   f 1 (t ) dt a

(ds) 2  (dx) 2  (dy) 2  (dz) 2 Multiplicado por

1 (dt ) 2

ds es diferencial de arco

 f (t )  f 1(t )iˆ  f 2(t ) ˆj  f 3(t )kˆ  r  xiˆ  yˆj  zkˆ Ecuaciones parametricas

x  f1 (t ); y  f 2 (t ); z  f 3 (t )

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2

2

2

 ds   dx   dy   dz           dt   dt   dt   dt  2

2

2

2

 df (t )   df (t )   df (t )   ds     1   2   3   dt   dt   dt   dt  2

2

ds  df (t )   df (t )   df (t )    1   2   3  dt  dt   dt   dt 

ds  dt

f 1 (t )  f 1 (t ) 

f 1 (t )

1

b

L

2

2

2

2 2 ds   f 1 (t )  dt   ds   f 1 (t ) dt   0 a b

L   f 1 (t ) dt a

La longitud de arco S(t) es una función de la variable escalar t desde un punto fijo hasta t t

S (t )   f 1 (t ) dt a

Ejemplo:

 S (t ), S 1 (t ), L y T en el intervalo 0  t  2  Si r  a cos(t )iˆ  asen(t ) ˆj  htkˆ Encontrar

t

S (t )   r 1 (t ) dt a

r 1 (t )  a 2 sen 2 (t )  a 2 cos 2 (t )  h 2 r 1 (t )  a 2  h 2 t

S (t )   a 2  h 2 dt 0

S (t )  a 2  h 2 t S 1 (t )  a 2  h 2 2

L



a 2  h 2 dt

0

L  2 a 2  h 2 Vector tangente unitario

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 dr T dS   asen(t )iˆ  a cos(t ) ˆj  hkˆ T a2  h2 CURVATURA. El vector unitario normal

 N se define como:

  dT  KN dS

Donde K es la curvatura

  r 1 (t )  r 11 (t ) K 3  r 1 (t ) Radio de curvatura



1 K

TORSION. La torsión de una curva C se define como:

 dB  N dS



   r 1 (t )  r 11 (t )  r 111(t ) 2   r 1 (t )  r 11 (t )

Y el radio de torsión



1



COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION.

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

La rapidez v(t) de una partícula en el instante t es la magnitud del vector velocidad v (t ) , si S es el arco que mide la distancia de la partícula desde su punto de partida sobre un camino C desde su partida.

  r 1 (t )  S 1 (t )  dr T dS    dr v T dS   dS v T dt

  v  Tv(t )    dv  dv dT a  v(t )  T dt dt dt   dv  dT dS a v(t )  T dS dt dt    dv  a  K Nv 2  T dt 2    dv v a T N .......(1) dt 

   a  aT T  a N N   r 1 (t )  r 11 (t ) aT   r 1 (t )   r 1 (t )  r 11 (t ) aN   r 1 (t )

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TRIEDRO MOVIL.

 N 1  B 1  T 1

   N  B T    T  NB    B T N

  TN 0   T B0   NB0

Formulas de Frenet

  dT  KN dS   dB  N dS    dN   B  KT dS CAPITULO II: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL DEFINICION Y NOTACION. Una función vectorial es una regla que a cada vector m R .

  x de Rn le asigna como imagen otro vector f (x) de

Ejemplo:

 f ( x , y )  ( x  y ,  x, y )  f (1,2)  (1  2,1,2)  (3,1,2) Ejemplo: Hallar el dominio para la siguiente función vectorial

    2y  x   f ( x )  f ( x, y )   y 2  x , y  x  

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-

No debe existir la división por cero No se admite raíces complejas No se admiten logaritmos complejos

 D : y



D : y2  x  0  y  x  0 2



 x y  x

CONJUNTO DE NIVEL. Sea





     F una f de Rn en R se denomina conjunto de nivel C : x f ( x )  c c es constante.

Cuando n = 2 hablamos de una curva de nivel Cuando n = 3 hablamos de una superficie de nivel Si

 f : D  R2  R   f ( x )  ( x  y  1) x  y 1  c c  0..............x  y  1 c  1..............x  y  2 c  2..............x  y  3 c  3..............x  y  4

LÍMITES Y CONTINUIDAD. Si

 D  R n se dice que D es un conjunto abierto si para todo z 0  n esfera contenida en D

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D  xy xy  4

Se dice que un conjunto n si su complemento Ejemplo:

D  xy xy  4 Dado un punto D se llama punto frontera al punto para el cual cualquier esfera contiene puntos del conjunto y puntos que no están en el conjunto.

D  xy xy  4 LIMITE

f : Rn  Rm    Lim   f ( x )  A    0   0 x  x0

Condiciones para que exista limite

   f ( x)  A     x  x0   Propiedades. a)

     Lim c f ( x )  c Lim f ( x )  c A     x  x0

x  x0

b)

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   Lim   g ( x)  B x  x0

c)





          Lim f ( x )  g ( x )  Lim f ( x )  Lim g ( x )  A B       x  x0

Se dice que una función vectorial es continua si

x  x0

x  x0

 f  Rn  Rm

    Lim f ( x )  f ( x0 )   x  x0

DERIVADAS PARCIALES. La derivada parcial fu de

 f con respecto a u se define mediante la siguiente notación

   f f (u  u, v, w)  f (u, v, w) fu   Lim u u 0 u    f f (u, v  v, w)  f (u, v, w) fv   Lim  v  0 v v    f f (u, v, w  w)  f (u, v, w) fw   Lim w w0 w f  f1iˆ  f 2 ˆj  f 3 kˆ     f    f uu  u  u      f  f vu    v  u      f  f vv    v  v  Propiedades.

  f y g son funciones vectoriales,  es función escalar 1)

     f f  f  u u u

 

2)

     f g f g   u u u



3)

     f   g f g  g f  u u u



4)





     f   g f g  g f  u u u





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Ejemplo:

  f  f (u, v, w)  u 2 vLn(w)iˆ  sen(u)v 2 cos(w) ˆj  uvw2 kˆ Hallar

  f uu ; f vv  f u  2uvLn( w)iˆ  cos(u )v 2 cos( w) ˆj  vw2 kˆ  f uu  2vLn( w)iˆ  sen(u )v 2 cos( w) ˆj  0kˆ  f v  u 2 Ln( w)iˆ  cos(u )2v cos( w) ˆj  uw 2 kˆ  f  0iˆ  sen(u ) cos( w) ˆj  0kˆ vv

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE.

 D  R n  R una función escalar, una función definida en el conjunto abierto de D  R n , x  D un   punto de D se define la derivada de la función f en x , en la dirección del vector unitario e denotado por: Sea f

   f ( x )   De f ( x ) e Se puede interpretar la derivada de una función de 2 variables

f : D  R2  R En un punto x0 y y0 que pertenece a D ahora (x0,x0) = (0,0), sea

 e  (cos  , sen )  R 2 ; e  1

El vector unitario en la dirección del cual calculamos la derivada de la función el plano

 e.

 f en el origen, consideremos

xsen  y cos   0 , este es un plano perpendicular al plano, z = 0 que contiene al vector unitario

La intersección de este plano con la superficie z = f(x,y) nos determina una curva en el espacio. La derivada direccional de f(0,0) en la dirección del vector unitario esa curva en el punto (0,0)

 e es la pendiente de la recta tangente a

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f : D  R2  R Ejemplo: Calcular la derivada direccional para:

 f ( x )  f ( x, y )  3 x  2 y

  1 1  e  ,   2 2

  1   1   3 x  h    2 y  h   (3 x  2 y ) 2    2   De f ( x )  Lim  h 0 h 1 1 3 x  3h  2 y  2h  3x  2 y   2 2 De f ( x )  Lim h 0 h 1 1 3h  2h   2 2 De f ( x )  Lim h 0 h   1 De f ( x )  2 Gradiente El gradiente de una función escalar es un vector

f : D  Rn  R

“  ” Operador Nabla

    f ( x ) f ( x ) f ( x )   f   , , y z   x

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

 ˆ    ˆ i j k x y x

Ejemplo.

  

f  sen( x) cos( y) tan(z) en el punto ( , , ) 4 4 4

Hallar el gradiente de

f  sen( x) cos( y ) tan( z ) f  cos( x) cos( y ) tan( z )iˆ  sen( x) sen( y ) tan( z ) ˆj  sen( x) cos( y ) sec 2 ( z )kˆ



















f  cos( ) cos( ) tan( )iˆ  sen( ) sen( ) tan( ) ˆj  sen( ) cos( ) sec 2 ( )kˆ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1  f   , ,1 2 2  TEOREMAS Y PROPIEDADES. Sea f y g dos funciones esclares y c una constante 1)

  cf ( x )  cf ( x )

2)

     f ( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x )

3)

       f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x )  f ( x )g ( x )

4)

      f ( x )  f ( x ) g ( x )  f ( x )g ( x )     g ( x)2  g ( x) 

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL GRADIENTE. Sea f : D  R  R una interpretación del gradiente cuando la f(x) = c, f(x,y,z) = c, c es una constante, entonces el gradiente es normal a la superficie. 3

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Diferencia total de f

df 

f f f dx  dy  dz x y z

Ahora una C en el espacio esta representada por el

 r (t )

 r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ df f dx f dy f dz    dt x dt y dt z dt   0  f ( x )  r (t ) Teorema Si f tiene  se cumple que la derivada direccional va a estar dada por:

    De f ( x )  f ( x )  e

  e r

Teorema El valor máximo de la derivada direccional es igual al modulo del gradiente

   De f ( x ) max  f ( x )

Teorema

f (u ) 

f u ˆ f u ˆ f u ˆ i j k u x u y u z

f (u ) 

f  u ˆ u ˆ u ˆ  i j k u  x y z 

f (u ) 

f u u

DIVERGENCIA. Sea

  f : D  R 3  R 3 f  f1iˆ  f 2 ˆj  f 3 kˆ

Donde f1, f2, f3 son funciones escalares La divergencia será el producto:





 f f f  ˆ  ˆ   f   iˆ  j  k   f1iˆ  f 2 ˆj  f 3 kˆ  1  2  3 y z  x y z  x PROPIEDADES DE LA DIVERGENCIA.

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  f y g dos funciones vectoriales y  una función escalar

Sea 1)

      ( f  g)    f    g

2)

     (f )    f    f

3)

        ( f  g)  g    f  f    g

Ejemplo:

  f  r  xiˆ  yˆj  zkˆ Calcular la divergencia

Si

  ˆ  ˆ   r   iˆ  j  k   ( xiˆ  yˆj  zkˆ) y z   x  x y z    r       3  x y z  Ejemplo:



Hallar la divergencia de   ( f ( r ) r )

     ( f (r )r )  f (r )  r  f (r )  r   f (r )   ( f (r )r )  r  r  3 f ( r ) r   f (r ) r    ( f (r )r )   r  3 f (r ) r r  f (r )   ( f (r )r )  r  3 f (r ) r ROTACIONAL.



Si f una función vectorial si Donde:



es una función escalar con segundas derivadas parciales.

 f  f1 ( x, y, z )  f 2 ( x, y, z )  f 3 ( x, y, z )     f  rotacional de f ˆj iˆ kˆ      f  x y z f1 f 2 f 3

PROPIEDADES. 1)

      ( f  g)    f    g

2)

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     (f )    f    f 3)

        ( f  g )  ( g  ) f  g (  f )

Demostrar que:

     0  

 ˆ  ˆ  ˆ i j k x y z

iˆ      x  x

kˆ  z  z

ˆj  y  y

      ˆ       ˆ       ˆ   i   k  0     j    y z y z   x z x z   x y x y  OPERADOR DE LAPLACE. La divergencia del gradiente se expresa como:

     2 Laplaciano

 2  Se dice que una función escalar



 2  2  2   x 2 y 2 z 2

es armónica si es continua tiene segundas derivadas parciales continuas

y satisface la ecuación de Laplace.

 Demostrar que

1 es armónico: r

es armónico 

   0 2

    (r 1 )    (r 3 r )



  1  2     r  3  r  r  3   r r    1  2      3r 5 r  r  3r 3 r

 

1  2     3r 3  3r 3 r 1 2    0 r







Operaciones con el y algunas identidades vectoriales.

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1)

    ( f  ) g  ( g  ) f

2)

  ( f  )  f  

3)

   ( f  )r  f

4)

   (dr  ) f  df

CAPITULO III: INTEGRACION VECTORIAL INTRODUCCION. Una curva C en el intervalo de a  t  b se representa mediante la función vectorial:

  r (t )  x(t )iˆ  y(t ) ˆj  z (t )kˆ  Vector desplazamiento  dr  dxiˆ  dyˆj  dzkˆ Vector posición

INTEGRALES DE LINEA. -



 dr   C

-





 f  dr  f C

-



función escalar



función vectorial

   f  dr  f función vectorial

C

También tenemos:











 dr ;  f  dr ;  f  dr C

C

C

Ejemplo:

  2 xy 2 z  x 2 y La curva esta dada por.

x  t; y  t 2 ; z  t 3 desde t = 0 hasta t = 1

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

 dr   (2 xy

2

z  x 2 y )(dxiˆ  dyˆj  dzkˆ)

xt

dx  dt

y  t2

dy  2tdt

z  t3 dz  3t 2 dt  4 3 4 2  dr   (2t (t )t  t )(dtiˆ  2tdtˆj  3t dtkˆ) 

1

1

1

0

0

0

8 4 8 4 2 8 4  dr   (2t  t )dtiˆ   2t (2t  t )dtˆj   3t (2t  t )dtkˆ

1

1

1

  2t 9 t 5  ˆ  2t 10 t 6  ˆ  2t 11 t 7  ˆ 19 ˆ 11 ˆ 75 ˆ  d r    9  5  i  2 10  6  j  3 11  7  k  45 i  15 j  77 k 0 0 0 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA. La integral de línea



  f  dr es independiente de la trayectoria de integración desde el punto P hasta el

C

punto Q si el campo vectorial satisface la ecuación función potencial.



 f   donde  es una función escalar continua o

Q   Q  f  dr     dr   d

C

P

P

 (Q)   ( P) Q





Q

Q  dr   dS   f  TdS dS P

   f  dr   f  P

P

    f T S    f  T    T    f  T    T  0   ( f   )  T  0 Si

 f  

 T es un vector unitario tangente en cualquier dirección. También se cumplirá que:

   f  0 En

R3

     0

 f  Piˆ  Qˆj  Rkˆ

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P  P ( x, y , z )   Q  Q( x, y, z ) Funciones escalares R  R( x, y, z )  iˆ    f  x P

kˆ   R Q  ˆ  P R  ˆ  Q P  ˆ i   k  0iˆ  0 ˆj  0kˆ     j z  y z   z x   x y  R

ˆj  y Q

 R Q  R Q    0    y z  y z  P R  P R     0 z x  z x   Q P  Q P    0    x y  x y  INTEGRALES DE LINEA RESPECTO AL ARCO.

 ds donde 

función escalar; ds diferencial de arco

C

ds  r´(t ) dt 2

2

2

 dx   dy   dz  ds          dt  dt   dt   dt  Ejemplo: Hallar

 ds donde   x

2

  y 2  z 2 en la curva C: r  a cos tiˆ  asentˆj  btkˆ

0  t  2

C

r´(t )  asentiˆ  a cos tˆj  bkˆ r´(t )  ( sent ) 2  (a cos t ) 2  b 2  a 2  b 2 Reemplazando

  (a cos t ) 2  (asent ) 2  (bt ) 2   a 2  b 2t 2

Por lo tanto 2

2 2 2 2 2  ds   (a  b t )( a  b )dt 0 2

2 2 2 2 2  ds  a  b  (a  b t )dt 0 2

 2 b 2t 3   ds  a  b a t    3 0  2

2

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 2 8b 2 3   ds  a  b  2a   3  2

2

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS. Sea f   ( x, y, z ) donde  es la densidad lineal de un punto variable (x,y,z) de la curva C Entonces la masa de la curva C es igual a:

M   ds Las coordenadas del centro de gravedad están dadas por:

( x0 , y0 , z 0 ) de esta curva y se expresan de la

siguiente manera:

x0  y0  z0 

 xds M  yds M  zds M

TRABAJO. El trabajo W realizado para mover una partícula a lo largo de una curva C desde el punto 1 hasta el punto 2.

Se define mediante la integral de línea:

  Si F  dr

  F  dr  0  W  0

2   W   F  dr 1

Ejemplo: Demostrar para una masa constante m el trabajo para ir del punto 1 al punto 2 esta dado por:

W

1 m(v22  v12 ) 2

   dv F  ma  m dt

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 dv  W   m  dr dt 1  2  dr W  m  dv  dt 1 2

2

  W  m  v  dv Si

1

        d (v  v )  dv  v  v  dv  2v  dv

  1   v  dv  d ( v  v ) 2 1   v W  m(v  v ) v2 1 2 1 W  mv 2 2 W 

v2

v1

1 m(v 22  v12 ) 2

SUPERFICIE PARAMETRIZADA.

Una superficie puede representarse también mediante ecuaciones parametricas También una superficie se representa por:

x  x(u, v)

y  y(u, v)

z  z(u, v)

Si v = Cte se vuelve una expresión paramétrica de un solo parámetro que describe una curva en el espacio a lo largo de la cual solamente varia u estas curvas se describen con v = Cte. De modo similar v varía cuando u = Cte El lugar geométrico u = Cte y v = Cte, se denomina superficie:

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  r  r (u, v)  x(u, v)iˆ  y(u, v) ˆj  z (u, v)kˆ Ejemplo:

x2  y2  z 2  R2 Parametrizada es:

x  Rsenu cos v y  Rsenusenv z  R cos u  r  Rsenu cos viˆ  Rsenusenvˆj  R cos ukˆ Es una esfera completa:

0  v  2  0  u   0  v  2  z  0  u   2

Si la superficie esta definida en el punto

0  v  2  z  0  0u  2 

P0  (u 0 , v0 ) si el producto vectorial:   r r  0 u v

El plano tangente de la superficie en

 r (u 0 , v0 ) es el plano cuya normal es igual a:    r r n  u v

Entonces el plano tangente esta dado por la normal

   (r  r0 )  n  0 AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRIZADA. El elemento diferencial de superficie de un vector esta dado por

 dS

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  r r dS  du  dv u v  r r dS   dudv (1) u v  r r dS   dudv u v   r r       u v r r  r r n   n    r r u v u v  u v

(*)

(*) en (1)

  r r dS  n  dudv u v   dS  ndS

(2)

El área de una superficie paramentrica será integrando la ecuación (2)

   r r  dS  S u  v dudv   r r A( S )    dudv u v S  r x ˆ y ˆ z ˆ  i j k u u u u  r x ˆ y ˆ z ˆ  i j k v v v v

iˆ   r r x   u v u x v

ˆj y u y v

kˆ z u z v

  r r  y z y z  ˆ  x z x z  ˆ  x y x y  ˆ      i   j k u v  u v v u   u v v u   u v v u    r r  y, z  ˆ  z, x  ˆ  x, y  ˆ   J i  J   j  J k u v  u, v   u, v   u, v  2

A( S )   S

A( S )   S

2

2

  y, z    z , x    x, y      J     J   dudv J    u , v    u , v    u , v  2

 z   z  1       dxdy  x   y  2

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INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES. Se consideran las siguientes integrales a) donde



 ds

b)

 ds

es una función escalar

METODO DE INTEGRACION DE COORDENADAS CILINDRICAS EN LAS SUPERFICIES. Cuando se trabaja con cilindros, se puede facilitar el cálculo de las integrales de superficie mediante la introducción de coordenadas cilíndricas.

x2  y2  r 2 x  r cos  y  rsen zz

 r  r cos iˆ  rsenˆj  zkˆ  r r ds   dudv u v  r r ds   ddz  z

 r r ds   ddz  z

r  rseniˆ  r cos ˆj  0kˆ  r  0iˆ  0 ˆj  kˆ z ˆj iˆ kˆ r r    rsen r cos  0  r cos iˆ  rsenˆj   0 0 1 A( S )   r 2 cos 2   r 2 sen 2 ds S

A( S )   rddz APLICACIONES FISICAS. Las integrales de superficie se usan para calcular centros de masa, momentos de inercia y campos electromagnéticos de placas curvilíneas delgadas. Centros de Masa.

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M ( s)   ds Donde

 es la densidad y M es la masa xC 

 xds M

yC 

 yds

zC 

M

 zds M

OTRAS EXPRESIONES DE INTEGRALES DE SUPERFICIE.

 f ( x, y, z)ds   f ( x, y, z) Donde

1  Z x2  Z y2 dxdy

R xy es la proyección de S respecto al plano xy

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES. Definiendo las integrales de funciones vectoriales sobre superficies tenemos: Sea la función definida sobre una superficie la cual esta parametrizada mediante el vector de posición:

vectorial

  r  r (u, v)  x(u, v)iˆ  y(u, v) ˆj  z (u, v)kˆ Escalar Vectorial

   r r f  d s  f    u  v dudv     f ds  nds   ds

Ejemplo: Hallar el flujo

  f  r a través de la superficie de la esfera x 2  y 2  z 2  R 2

  n    n

2 x, 2 y , 2 z 4x 2  4 y 2  4z 2

x, y , z x2  y2  z2

 x y z n , ,  R R R

x y z

 ( x, y, z )   R , R , R ds x2  y2  z2 ds  R 2 3  Rds  R  ds  R(4R )  4R INTEGRALES DE VOLUMEN. El dV esta dado por dV = dxdydz las integrales de volumen que se consideran en este capitulo son:

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 dV     fdV

Escalares



   fdV

Vectorial

Ejemplo: Si

 ( x, y, z)  1 y R es la región que representa un volumen V

 dV R

 (1)dV R

 dV  V R

CAPITULO IV: TEOREMAS DE INTEGRACION INTRODUCCION. En el capitulo anterior se estudio el calculo vectorial, en el presente capitulo se estudiaran los siguientes teoremas de integración vectorial. i) ii) iii)

Teorema de Green Teorema de Gauss Teorema de Stokes

TEOREMA DE GREEN. Considerado

 f una función vectorial  P  P ( x, y ) f  Piˆ  Qˆj Donde Q  Q ( x, y )



 dQ



dP 

 f  dr    dx  dy dxdy

C

R

Siempre y cuando P y Q son continuas en una región R además existen sus 1ª derivadas parciales.

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Mediante la aplicación del teorema de Green se podrá determinar el área de algunas figuras planas. Demostración:



   dQ dP  dxdy f  dr      dx dy  x b

x b

dP y2  dy dxdy  xaP( x, y) y1 dx  xaP( x1 , y 2 )  P( x1 , y1 )dx xa

x b

xa

x b

xa

x b

   P( x1 , y 2 )dx   P( x1 , y1 )dx    P( x1 , y1 )dx   Pdx C

Por otro lado:

dQ  dx dxdy 

y c

2  Q( x, y) x dy 

x

1

y d

y c

 Q( x , y 1

2

)  Q( x1 , y1 )dy

y d

y c

y c

y c

y d

y d

y d

   Q( x1 , y 2 )dy   Q( x1 , y1 )dy 

 Q( x , y )dy   Qdy 1

1

C

Demostramos que:



   dQ dP  dxdy f  dr      dx dy 

El Teorema de Green puede expresarse en forma vectorial de la siguiente manera:









 f  dr     f  Kdxdy C

R

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO. También se conoce como teorema de la divergencia y se expresa:

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

   f  nds     fdxdy

C

R

   n T K  dr dx dy ˆ T  iˆ  j ds ds ds  ds  r ´(t ) dt Ejemplo:

 f  Qiˆ  Pˆj

Q  Q ( x, y ) P  P ( x, y )

  x y ˆ  ˆ n   iˆ  j k s   s  x y ˆ ˆ n  iˆ  kˆ  jk s s  x ˆ y ˆ n j i s s x   y  (Qiˆ  Pˆj )   s iˆ  s ˆj ds (Qiˆ  Pˆj )  (dyiˆ  dxˆj )



C

 Pdx  Qdy C

Por otro lado:

   f    (Qiˆ  Pˆj )  Q P  Q P  dxdy  f       x y x y  R  TEOREMA DE STOKES. El teorema de Stokes establece que si S es una superficie limitada por una curva cerrada C y función vectorial que tiene 1ª derivadas parciales continuas sobre una superficie S y la curva C.

 f es una

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Entonces se puede expresar que integral de línea: Circulación de

 C

 f

    f  dr     f  ds Flujo del rotacional a través de S S

Interpretación física: Establece que la circulación total alrededor de una curva C es igual al flujo del rotacional

 f  Piˆ  Qˆj  Rkˆ P  P ( x, y , z ) Q  Q ( x, y , z ) R  R ( x, y , z ) En coordenadas rectangulares el teorema de Stokes esta dado por:



  f  dr   Pdx  Qdy  Rdz C

iˆ    f  x P

ˆj  y Q

kˆ  z R

 R Q  ˆ  P R  ˆ  Q P  ˆ i   k       j    y z   z x   x y  Por otro lado:

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  R Q   P R   Q P  ˆ   iˆ   k   ds   f  ds        ˆj     y  z  z  x    x y       ds  n ds  n  cos iˆ  cos ˆj  cos kˆ   ds  n ds  cos dsiˆ  cos dsˆj  cos dskˆ   R Q   P R   Q P      f  ds    y  z iˆ   z  x  ˆj   x  y kˆ  (cos dsiˆ  cos dsˆj  cos dskˆ)

dxdy ds dxdy  cos ds

cos  

Por lo tanto:

 R

Q 

 P

 Q

R 

P 

 Pdx  Qdy  Rdz    y  z dydz    z  x dxdz    x  y dxdy

C

Ryz

Rzx

Rxy

TEOREMA DE GAUSS O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. La definición de divergencia esta dada como:

 1 divf  Lim V 0 V



  f  ds

S

El teorema de la divergencia o Gauss es una definición de una generación. Por lo tanto:



R

     fdV   f  ds S

Ejemplo:

x2  y2  z  R2

  f r  r  xiˆ  yˆj  zkˆ      f  ds  f  nds

  x2  y2  z 2  R2

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  n    n

2 x, 2 y , 2 z 4x 2  4 y 2  4z 2

x, y , z x  y2  z2 2

 x y z n , ,  R R R

x y z

 ( x, y, z )   R , R , R ds x2  y2  z2 ds  R 2 3  Rds  R  ds  R(4R )  4R Por divergencia:

  f r   f  3 4

 3dV  3 3 R

3

 3   4R 

TRANFORMACION DE INTEGRALES DE VOLUMEN A INTEGRALES DE SUPERFICIE. 

Teorema de Gauss.

El teorema de Gauss representa una transformación de una integral de volumen a una integral de superficie.



R



     fdV   f  ds S

Teorema del Gradiente.

Expresa que la función



es una función escalar continua en una región R limitada por una superficie S.

Se tiene:



   dV   ds R



S

Teorema del rotacional.

Expresa que si

 f es una función vectorial continúa en una región R limitada por una superficie S.



R

     fdV  ds  f S

CAPITULO V: COORDENADAS CURVILINEAS INTRODUCCION.

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 2  0 Ejemplo: Si

 u  u(r ) donde r  x 2  y 2  z 2 y r esta expresado en coordenadas esféricas  2 u (r )  ?  2 u (r ) 

2 c r

COORDENADAS CURVILINEAS. Llamamos superficies coordenadas cuando:

u  c1 ; v  c2 ; w  c3 c1 , c2 , c3  cte La intersección entre estas superficies coordenadas se conoce como líneas coordenadas

u, v, w  Líneas coordenadas eU , eV , eW  Vectores unitarios normales eu , ev , ew  Vectores unitarios tangentes Las ecuaciones que relacionan los sistemas coordenados y curvilíneos son:

 x  x(u, v, w) u  u ( x, y, z )  1  T :  y  y (u, v, w) T v  v( x, y, z )  z  z (u, v, w) w  w( x, y, z )    x, y , z  J 0  u , v, w 

 u , v, w    0 J   x, y , z 

Vectores unitarios tangenciales

 dr T  ds

 r `(t )  r `(t )

 r  r (u, v, w)

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  eu       Vectores unitarios tangenciales ev      e   w  

 r u  e  1  u r u  r v  e  1  v r v  r w  e  1  w r w eu  e v  e w  1 eu  e v  0 eu  e w  0 ev  e w  0

Vectores unitarios normales

  n   u  eU  1 eU  u   v  eV  1 eV  v   w  eW  1 eW  w  eU  eV  eW  1 eU  eV  0 eU  eW  0 eV  eW  0 BASES. Sistema coordenado En el sistema coordenado cartesiano se considera como base a los vectores unitarios



iˆ, ˆj, kˆ



B  iˆ, ˆj, kˆ

En coordenadas cilíndricas se considera vectores base a vectores unitarios tangenciales y normales

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B  eu , ev , ew 

B  eU , eV , eW     r r r hu  hv  hw  u v w u  H U

v  H V

w  H W

H U H V H W factores de escala

 x, y , z  J   hu hv hw  u , v, w      r r r  Las ternas de vectores  , ,  y (u, v, w) constituyen un conjunto reciproco de vectores  u v w 

 r  u  1 u  r  u  0 v  r  u  0 w

 r  v  0 u  r  v  1 v  r  v  0 w

 r  w  0 u  r  w  0 v  r  w  1 w

 m  n   1 r  q n   mn  q m m  n   0 (a1 , a 2 , a3 )  (b1 , b2 , b3 ) a1  a 2  a3 

1 (b1  b2  b3 )

   r r r 1    u v w u  v  w COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.

eu  eU

eu  e v  0

eU  eV  0

ev  eV

eu  e w  0

eU  eW  0

e w  eW

ev  e w  0

eV  eW  0

 r  hu u

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 1 r eu  hu u  1 r ev  hv v  1 r ew  hw w eU 

1 U HU

eV 

1 V HV

eW 

1 W HW

hu 

1 hu H U  1 HU

hv 

1 hv H V  1 HV

hw 

1 hw H W  1 HW

 V  W r  u  U   V   W V  r u  r u  r u

 eV H V 

eV H V  eW H W eU H U  eV H V  eW H W



H V H W eV  eW H U H V H W eU  eV  eW



eU HU

1 hu

 1 r 1  eU hu u hu H U eu  eU ELEMENTO DIFERENCIAL DE ARCO.

(ds) 2  hu2 (du) 2  hv2 (dv) 2  hw2 (dw) 2 ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN.

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dv  hu hv hw dudvdw  x, y , z  J   hu hv hw  u , v, w  GRADIENTE.

 

1  1  1  eu  ev  ew hu u hv v hw w

   (u, v, w) DIVERGENCIA. Si

 f  f u eu  f v ev  f w ew   f 

1  hu hv hw    hu hv hw    hu hv hw   hu hv hw  u v w 

ROTACIONAL.

  f 

  f 

 hu eu 1    hu hv hw  u hu f u

hv ev  v hv f v

hw e w     w  hw f w 

 1             (hv f v ) hu eu   (hv f v )  (hu f u ) hv ev   (hv f v )  (hu f u ) hw ew   (hw f w )   hu hv hw  v w w v   u   u  

LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.

 2 

1 hu hv hw

   hv hw     hu hw     hu hv             u  hu u  v  hv v  w  hw w 

COORDENADAS CILINDRICAS.

x   cos  y  sen zz   r  r (  ,  , z )   cos iˆ  senˆj  zkˆ

  1 r r e  ; h  h     1 r r e  ; h  h     1 r r ez  ; hz  hz z z

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  r r ˆ ˆ  cos i  senj  cos 2   sen 2  1     r r ˆ ˆ   seni   cos j   cos 2   sen 2       r ˆ r k 1 z z e   cos iˆ  senˆj e   seniˆ  cos ˆj Vectores unitarios Tangenciales e z  kˆ

e 

 H    

e 

 H    

eZ 

Z H Z  Z Z

  cos iˆ  senˆj   1   

sen ˆ cos  ˆ 1 i j  







Z  kˆ Z  1 e   cos iˆ  senˆj e   seniˆ  cos ˆj Vectores Unitarios Normales eZ  kˆ

Para

 

1  1  1  e  e  ez h  h  hz z

 

1  1  1  e  e  ez 1    1 z

   tan z 2   tan z 2 e 

 sec 2 e  2 z tan e z 

Gradiente

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  f 

1 h h hz

      h h hz    h h hz   z h h hz   

 1  tan     z    f          z   1   f  2   sec 2   







   f  3  sec 2  Divergencia CAPITULO VI: ANALISIS TENSORIAL El análisis tensorial se centra en el estudio de entes abstractos llamados “tensores”, cuyas propiedades son independientes de los sistemas de referencia empleados para determinarlos. Un Tensor esta representado por un sistema de referencia, mediante un conjunto de funciones llamadas componentes igual que u vector esta determinado mediante sus componentes dadas. El que un conjunto dado represente un Tensor depende de la ley de transformación de estas funciones de un sistema coordenado a otro. Cuando nuestro estudio se restringe a transformaciones de un sistema de coordenadas homogéneas a otro, los tensores que interviene son denominados tensores cartesianos. Los tensores se clasifican por su orden según la forma particular a la ley de transformación que obedecen, esta misma clasificación se refleja en el número de componentes que posee un tensor dado en un espacio n-dimensional. Así en un espacio euclidiano tridimensional tal como un espacio físico ordinario el número de componentes de un tensor es igual a

3 n Donde n es el orden del tensor.

30  1 Escalar 1 Si n es igual a uno tenemos 3  3 Vector 2 Si n es igual a dos tenemos 3  9 Díada 3 Si n es igual a tres tenemos 3  27 Triada Si n es igual a cero tenemos

DIADAS Y DIADICAS. DIADA. Es el producto indeterminado de dos vectores

 ab El producto indeterminado de vectores `por lo general no es conmutativo.

  ab  b a Al primer vector de una Díada se denomina antecedente y al segundo vector se denomina consecuente. DIADICA. Una Diádica (D) equivale a un tensor de segundo orden y siempre se representa por una suma finita de Díadas.

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N         D  a1b1  a 2 b2  a3b3  ...  a N bN   ai bi (1) i 1

Si en cada Díada de D se intercambian los antecedentes y consecuentes la Diádica resultante se denomina Diádica conjugada y se denota como DC N         DC  b1a1  b2 a 2  b3 a3  ...  bN a N   bi ai i 1

Si cada Díada en (1) se reemplaza por un producto escalar de vectores, se llama escalar de la diádica y se denota por DS :

        DS  a1  b1  a2  b2  a3  b3  ...  a N  bN Escalar Si cada díada en (1) se sustituye por un producto vectorial de vectores el resultado se denomina vector de la diádica y se denota de esta manera:

        DV  a1  b1  a2  b2  a3  b3  ...  a N  bN Vector PROPIEDADES DEL PRODUCTO INDETERMINADO DE VECTORES. Estas obedecen a las leyes distributivas que son las siguientes:





      a b  c  ab  ac      a  b c  ac  b c           a  b c  d  a c  a d  b c  db

 

 



MULTIPLICACION DE UNA DIADICA POR UN VECTOR.



Si V es un vector cualquiera los productos escalares respectivamente.

  V  D y D  V son los vectores definidos



                      





         V  D  V  a1 b1  V  a 2 b2  V  a3 b3  ...  V  a N bN         Vectores  D  V  a1 b1  V  a 2 b2  V  a3 b3  V  ...  a N bN  V          V  D  V  a1 b1  V  a 2 b2  V  a3 b3  ...  V  a N bN         Diádicas  D  V  a1 b1  V  a 2 b2  V  a3 b3  V  ...  a N bN  V













DIADICA UNITARIA. Se representa por la letra I

I  e1e1  e2 e2  e3 e3  ...  en en ei Vectores unitarios Coordenadas rectangulares.

I  iˆiˆ  ˆjˆj  kˆkˆ

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Coordenadas cilíndricas.

I  e e  e e  ez ez Coordenadas esféricas.

I  er er  e e  e e Se cumple que:

   I V  V  I  V PROPIEDADES DE DIADAS. Definiendo las siguientes Díadas

  ab y c d       ab c d  (a  c )(b  d ) Escalar       ab c d  (a  c )(b  d )       Vectores ab c d  (a  c )(b  d )       ab c d  (a  c )(b  d ) Díada       ab  c d  (a  c )(b  d )

Se dice que una diádica D es auto conjugada o simétrica si:

D  DC Se dice que una diádica es antisimetrica si:

D   DC Cada diádica puede ser expresada únicamente como la suma de una diádica simétrica y otra antisimetrica

D

1 1 ( D  DC )  ( D  DC ) 2 2

CONVENIO DE SUMA DE INDICES REPETIDOS. Cuando algunas sumatorias tenemos: N      a1  a 2  a3  ...  a N   ai i 1

 ai

N          D  a1b1  a 2 b2  a3 b3  ...  a N bN   ai bi i 1

     i    ...    i x1 x 2 x 3 x N i 1 x 1

2

3

N

N

 ai bi

 i x i

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Las sumas anteriores se pueden representar o escribir en una forma mas abreviada adaptando el convenio de que cuando se aparece un índice repetido ha de entenderse una suma respecto del mismo desde el valor 1 hasta el valor N a esto se conoce como el convenio de Einstein. Ejemplo: Sea

xi  cij z j donde el rango de variación de i, j es de 1 a 3, j es el índice repetido.

Desarrollar

xi i  1 x1  c1 j z j  c11 z1  c12 z 2  c13 z 3 i  2 x 2  c 2 j z j  c 21 z1  c 22 z 2  c 23 z 3 i  3 x3  c3 j z j  c31 z1  c32 z 2  c33 z 3

 x1   c11 c12     x 2    c 21 c 22  x  c  3   31 c32

c13  z1    c 23  z 2  c33  z 3 

NOTACION INDICIAL. En la notación indicial se añaden letras como subíndices o superíndices que representan la cantidad tensorial deseada. (Ejemplo:

ai , b j , Dij , Ti j ) el numero y la posición de los índices libres, directamente el

carácter tensorial exacto de la cantidad expresada por notación indicial. Los tensores se denotan por que tienen un índice libre, el vector

 a se puede representar de dos formas ai , a i a continuación los siguientes

términos que tiene solo un índice libre se consideran como cantidades tensoriales de primer orden. Ejemplo:

bi cij i índice repetido j índice libre TENSORES DE SEGUNDO ORDEN. Los tensores de segundo orden se denotan por símbolos que tienen dos índices libres, la díada arbitrarios D aparecen en u8na de las tres formas posibles.

Dij

D ij

D ij

Di j

Di j En la forma mixta el punto (  ) indica que j es el segundo índice TENSORES DE TERCER ORDEN. Los tensores de tercer orden se representan con 3 índices libres un símbolo lamda (  ) que no acompaña a ningún índice, representa un escala de orden cero. Para un rano de tres en ambos índices el símbolo

Aij

representa a las componentes del tensor de segundo orden, denominado diádica y se representa mediante una matriz.

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 A11  Aij   A21 A  31

A32

A13   A23  A33 

A2

A3 

A12 A22

De la misma manera podemos representar a un vector.

Ai   A1  A1    Ai   A2  A   3

El convenio de las sumas se usa para la representación de tensores con vectores base afectados de índices escritos en notación simbólica. Los tensores de segundo orden también se pueden representar por la suma de los índices base, según esto



la díada ( a b ) dada en la forma nonium se puede escribir de la siguiente forma:

 ab  (ai ei )(b j e j )  ai b j ei e j En esta expresión es fundamental que se mantengan la secuencia de los vectores base de igual manera nonium de la diádica arbitraria D se puede expresar en forma abreviada de la siguiente manera

D  Dij ei e j TRANSFORMACION DE COORDENADAS DE TENSORES. Si representamos

x i el sistema arbitrario de coordenadas, x1 , x2 , x3 en un espacio euclidiano

tridimensional, E y por  cualquier otro sistema de coordenadas  , , en el mismo espacio tridimensional. A que los superíndices son números indicativos y no son exponentes. Las potencias de x se 3

i

pueden expresar usando paréntesis están dadas por:

1

2

3

( x1 ) 2 ; ( x 2 ) 2 ; ( x 3 ) 2 Las ecuaciones de transformación de coordenadas

 i   1 ( x1 , x 2 , x 3 ) La cual asigna a un punto cualquiera

(1)

( x1 , x 2 , x 3 ) en el sistema x i , un nuevo conjunto de coordenadas

( 1 , 2 , 3 ) en el sistema  i Se supone que las funciones  i que relacionan los dos conjuntos de variables coordenadas son funciones de valor único, continuas y diferenciales, el determinante:

  1  1  x   2 J  1  x 3    x1 

 1 x 2  2 x 2  3 x 2

 1 x 3  2 x 3  3 x 3

     (2)    

En forma abreviada se expresa como:

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 i x i

(3)

J se supone el Jacobiano de la transformación. Si el Jacobiano es diferente de cero tiene un conjunto inverso de único de la forma:

x i  x i ( 1 , 2 , 3 ); Los sistemas de coordenadas representados por

J 0

(4)

x i , i en las ecuaciones (1) y (4) son completamente

generales y pueden ser cualquier sistema o cartesiano. Diferenciando la ecuación (1) se tiene dado por:

Diferencial Total.

d i 

 i dx j x j

d i que esta

(5)

Esta ecuación es prototipo de la que se define la clase de tensores conocidos como tensores contravariantes. Se dice en general que un conjunto de cantidades asociadas a un punto P son las componentes de orden uno si se transforman bajo una transformación de coordenadas dadas por la ecuación.

Tensor contravariante de orden uno

b i  b`i 

 i j b (6) x j

i índice libre j índice repetido Donde las derivadas parciales se calculan en P en la ecuación (6) tensor en el sistema de coordenadas

b j representa las componentes del

x i mientras que b i , b`i representa las componentes en el sistema  i

En la teoría general de los tensores, los tensores contravariantes se reconocen por el empleo de índices escritos como superíndices. Por esta razón aquí se señalan las coordenadas como

x i en vez de x i pero hay que tener en cuenta que

esto solamente es así para los diferenciales dx y no para las coordenadas mismas que tienen carácter de tensor. Para una generalización lógica del concepto de tensor expresado en la ecuación (6), la definición de tensores contravariantes de orden dos requiere que los componentes de un tensor obedezcan a la ley de transformación siguiente:

 i  j pq B`  B  p B x x q ij

ij

(7)

B`ij  B ij representa las componentes en el sistema  i B pq representa las componentes en el sistema x i Los tensores de tercer orden y cuarto orden se definen de forma similar. La palabra contravariante se usa para distinguir a esta clase de tensores conocida como tensores covariantes. En la teoría general de los tensores los tensores covariantes se conocen por el empleo de subíndices. El prototipo de un vector covariante es la derivada parcial de una función escalar de coordenadas.

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Así, si



es función de

x1 , x2 , x3

   ( x`1 , x`2 , x`3 ) es una función tal que la derivada parcial de  respecto de j la derivada parcial de:

parcial de

  x j   i x j  i En general se dice que un conjunto de cantidades



respecto a i es igual a la derivada

(8)

bi que son las componentes de un tensor, componentes

de orden uno, se transforman mediante la ecuación:

bi  bi 

x j b j (9)  i

Tensor covariante de primer orden i índice libre j índice repetido Los tensores covariantes de segundo orden obedecen la siguiente ley de la conservación

Bij  B`ij 

x p x q B pq  i  j

Esto se generaliza para tensores de tercer y cuarto orden

Bijk 

x p x q x r B pqr  i  j  k

Se llaman tensores mixtos a los combinados entre contravariantes y covariantes

Aqrp 

 p x j x k i A jk x i  q  r

Contravariante de orden uno y covariante de orden 2. Tensor mixto tres. TENSORES DE OREDEN SUPERIOR. Estos se definen sin ninguna dificultad, también son denominados tensores mixtos ijk Glm 

 i  j  k x d x e abc Gde x a x b x c  l  m

ESCALARES O INVARIANTES.

x k y  la correspondiente en la transformación de un nuevo conjunto de coordenadas x k si se verifica la igualdad    la función  se denomina escalar o invariante Sea



una función de la coordenadas

respecto a la transformación de coordenadas, dada. Los escalares son invariantes en toda la transformación de coordenadas, y se los conoce como tensor de orden cero, tensor simétrico o hemisimetrico. Se dice que un tensor es simétrico respecto a dos componentes cualquiera si al intercambiarlas, el nuevo tensor es igual al original, si el nuevo tensor difiere del original en el signo, este tensor se conoce con el nombre de hemisimetrico o antisimetrico

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Para:

Gstpqr  Gstpqr Gstpqr  Gstpqr

Tensor antisimétrico

OPERACIONES CON TENSORES. SUMA Y DIFERENCIA. La suma y la diferencia de dos o más tensores del mismo orden y tipo, es otro tensor de idéntico orden y tipo.

Astpqr  Bstpqr  C stpqr Ast  Bst  C st MULTIPLICACION. El producto de dos tensores del mismo o diferente orden es otro tensor cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores dados. A esto se llama producto externo de tensores.

Aspq * Btr  C st`qr CONTRACCION. Si en un tensor de iguala un índice contravariante y covariante, según el convenio de índices repetidos, debe sumarse respecto de dicho índice, este otro tensor resultante será de orden inferior en dos unidades al tensor original, este proceso se llama contracción tensorial.

Gstpqr si r = s Grtpqr  Gtpq TENSOR METRICO. Si representamos por tridimensional y por

i

x i a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio euclidiano a cualquier sistema de coordenadas curvilíneo.

 x que tiene los componentes cartesianas x i se denomina vector de posición del punto arbitrario P( x1 , x 2 , x 3 ) referido a los ejes cartesianos rectangulares el cuadrado del elemento diferencial de la distancia entre dos puntos muy próximos P(x) y Q( x  dx) será la diferencial de área. El vector

(ds) 2  dx i  dx i d 2 s  dx i  dx i

(1)

x i  x i ( 1 , 2 , 3 ) (2) El diferencial de

xi dx i 

x i d p p 

Diferencial de arco

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i  x i  p  x    (ds )   p d  q d q       2

 x i x i ds 2   p q   

g pq 

 p p d d 

x i x i Tensor métrico  p  q

(ds) 2  g pq d p d q g pq tensor métrico o fundamental del espacio LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL CALCULO DIFERENCIAL TENSORIAL. La derivada de un tensor es otro tensor. Esto se hace si se facilita en función de combinaciones de las derivadas parciales de un tensor métrico, que se conoce como los símbolos de Christoffel. Los tres índices de Christoffel a las expresiones.

 g pr

1    pq , r  1º orden

2  x q



g qr x p



g pq   r  x 

s  sr    g  pq, r  pq    pq, r   qp, r   g qr

qp, r   1 

2  x p



 pq, r   qp, r 

g pr x q



g qp   x r 

s  s      pq  qp  s  sr    g qp, r  qp  Como

qp, r    pq, r 

s  s  s  sr    g  pq, r        pq   pq  qp  s  g sr    g sr g sr  pq, r   pq  g sr g sr Delta de Kronecker

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 pq, r   g sr 

s    pq 

BIBLIOGRAFIA Análisis Vectorial y tensorial Análisis Vectorial Vectores y tensores Vectores y tensores Análisis Vectorial Mecánica Teórica

Sgiegel Colección Shaumm Makarenko Hinkey Santalo Sokolnikoff Spiegel Colección Shaumm

Autor: Nasjo Baldwin [email protected] Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería Bolívia 2008

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