• Author / Uploaded
• brianrcq95

Citation preview

www.EjerciciosdeFísica.com

EJERCICIOS RESUELTOS ANALISIS VECTORIAL 1. Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores A  12i  5 j y B  3i  4 j 16 25 16 d) 65

16 45 8 e) 65

a)

b)

c)

16 55

6a  a 2  3a  2  0 2

a  3a  2  0 a 2  a  2 a 1  a  1

Solución: cos   cos   cos  

A B

1y 2

A B (12, 5)  (3,  4) 12 2  5 2

C  4i  j . Hallar el valor de m  n , de tal forma que sea posible expresar la combinación lineal: m A  nB  C a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

36  20 13(5) 16 65

2. Si se sabe que:

Rpta.

A  (x  2)i  (4  x)j

y

B  4i  xj son vectores paralelos. Hallar el valor positivo de “x” a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6 Solución: Las componentes de ambos vectores deben ser proporcionales debido a que son múltiplos: x  2 4  x  4 x 2

x  2x  16  4 x

x 2  6x  12  0 x 8 x 2 x

Solución: m(2, 3)  n(1,  2)  (4, 1) Igualando componentes:  2m  n  4   3m  2n  1 Resolviendo el sistema: 2  2m  n  4   3m  2n  1 7m  7



m  1

Sustituyendo: 2(1)  n  4



Luego: m  n 

8

Rpta.

4. Dados los vectores: A  2i  3 j , B  i  2 j y

3 2  ( 4)2

cos  

a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 d) 1 y –2 e) –2 y 3 Solución: Por propiedad de perpendicularidad: A  B  0  3(2a)  (a  2)(a  1)  0

Rpta.

n6 Rpta.

5

5. En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores:

3. Si se sabe: A  3i  (a  2)j ; B  2ai  (a  1)j son perpendiculares determinar los valores de “a”.

A  12 u

C

1

60º B  16 u

www.EjerciciosdeFísica.com 2  d) cot   2

a) 6 11

b) 5 13

d) 6 13

e) 5 10

c) 4 13

A B A B A B

3 A  B … (1) 2

2

 A 2  B 2  2AB cos 

2

 12 2  16 2  2(12)(16)cos120º

2

 144  256  192

A  B  4 13 Sustituyendo en (1): 3 R  (4 13)  R  6 13 2

Rpta.

los puntos A(3, 4) , B(2, 5) y C(5,  6) . a) 18 u 2 b) 20 u 2 c) 22 u 2 2 2 d) 24 u e) 25 u Solución:

3 4 2 5 1  (15  12  20  8  25  18) 5 6 2 3 4

1 S  (48)  S  24 u 2 2

Rpta.

7. Dados dos vectores A y B de igual magnitud forman un ángulo  . ¿En qué relación están los módulos de los vectores A  B y A  B ? 2  2  2  a) sen   b) cos   c) tan   2 2 2 2

D  X 2  X 2  2X 2 cos   2X 2 (1  cos ) Dividiendo:  2 cos 2   S 1  cos  2 r   D 1  cos  2sen 2      2 r

6. Hallar la superficie del triángulo formado por

1 S 2

Solución: Se sabe que: S  X 2  X 2  2X 2 cos   2X 2 (1  cos )

Solución: Resultante total: R  3C 

2  e) sec   2

2  cot   2

Rpta.

8. En la figura expresar el vector X  Y en función de los vectores A y B . Y A X B

a) 11B  3A 12

b) 13B  3A 12

d) 14B  5A 12

e) 14B  3A 12

c) 11B  A 12

Solución: Utilizando A y B como ejes coordenados: 3 1 1 1 X  B A  A B 6 4 4 2 4 2 1 2 Y   B A  A B 6 4 2 3 Restando los vectores: 1 7 X Y   A B 4 6 X Y 

14 B  3 A 12

Rpta.

www.EjerciciosdeFísica.com 9. En la figura OPQR es un cuadrado, expresar el 2 2 2 vector X como combinación lineal de los vectores A y B. a) 2A  3B 4

P

b) 3A  2B 4

A

A

2

B

e) 4  2 A  2 B 2

2

X

P

N

Q

S

C

A

M

d) 3A  2B 4 e) 3A  2B

O

R

B

O

B

Vector unitario en la dirección de OS :

Solución: Por la ley del triángulo: OM  X  A  B Pero observe que:

U OS  P

Q

A B

A B 2

Luego: A B 2  X  A B 2 X  A B

2

Solución: Sea “L” lado del cuadrado:

Q

c) 3A  B 2

2OM 

d)

A 2

X

N

AB L 2

OS  L .

A B L

3A  2B 4

AB 2



2 (A  B) 2

En el triángulo OSP: OS  C  A

B

R

C

A  2B 4

X

2



2 (A  B)  C  A 2

M

O

R

2 2 2 A B 2 2

Rpta.

Rpta.

11. En la figura OPQR expresar el vector X como P

10. En la figura OPQR es un cuadrado. Expresar el C vector C en función de los vectores A yA B .

combinación lineal de los vectores A y B . Q M a) 3A  2B P S b) 4 A  3B

a) 2  2 A  2 B

c) 3A  2B 4

b) 2  2 B  2 A 2 2

d) 2A  3B 4 R

2

c)

2

22 2 A B 2 2

O

B

e) 3A  2B 5

A

Q

X N

B

R

O

3

www.EjerciciosdeFísica.com Solución: En el gráfico: M

P A

Q

P

L 2

M

A 2

X

N

L

R Fig. 1

O

A A  2B  2 2 A  2B A A  OQ 2 OM   2 2

c) –3 e) –9

A  3i  3 j  (3, 3) Fig. 2

OQ  B 

OM 

b) 3

Solución: Hallando los vectores A y B :

m

B

O

Q

a) 0 d) 9

R

B  5i  2 j  (5, 2) El producto escalar será: A  B  (3, 3)  (5, 2)  15  6 A  B   9 Rpta.

3A  2B 4

13. Hallar C en el paralelepípedo mostrado, si 2

L L  5 4 2 En la figura 2 (  OPM) por relaciones métricas: 2 L  L2  m  5  m X  L 5 2  5 Igualando vectores unitarios: Además: OM 

L2 

(A  B)  C  6 29 . Y

8 B C

X OM  m OM

4 Z

3A  2B X 4  2 L L 5 5 5 2

6

A

X

Solución: Ubicando coordenadas: Y (0, 8, 0)

5X 3A  2B  2 2 X

10

3 A  2B 5

(0, 8, 6)

Rpta.

(0, 4, 0)

B

(10, 8, 0)

C

12. Utilizando los datos de la figura hallar el producto escalar de los vectores A y B .

Z

Y

A  10i  8 j  6k 3

B

4 0

B  10i  6k

A

5

X

A

(10, 0, 6)

(10, 0, 0) X

www.EjerciciosdeFísica.com Vector unitario en la dirección de C : 10i  4 j U  C 10 2  (4)2 UC 

1 29

(5i  2j)

C  C UC 

29

(5i  2 j)

(20i  8 j)  (5i  2 j)  6 29

Rpta.

24

14. Hallar el vector paralelo a A  4i  5 j  3k ; cuyo módulo es 3 2 . 2 a) (4i  5 j  3k) 5 5 c) (4i  5 j  3k) 3 1 e) (4i  5 j  3k) 5

UA 

conjunto de vectores. a) 12

C(0, 0, 6)

c) 16 d) 18 O X A(8, 0, 0)

El vector paralelo B , será: 3

2

5

2

Z

b) 15

e) 20

(4i  5 j  3k)

B  3 2 U A    

2

b b6  0  a9 b 3  b  3 b  2  b  2  a  4 Finalmente de acuerdo a las alternativas: Rpta. ab  27

16. Hallar el módulo de la resultante del siguiente

50 5 2

2 2 4a  a  3b  0  a  b Sustituyendo con la condición a  b  6 :

3 (4i  5 j  3k) 5 3 d) (4i  5 j  3k) 4

4i  5 j  3k 1

c) 27

b)

Solución: Vector unitario en la dirección de A : 4i  5 j  3k UA  4 2  (5)2  3 2 UA 

y

b  6  b2

C (100  16)  6(29) C 

A  2i  aj  3bk

Solución: Por condición de perpendicularidad: (2, a,  3b) (2a,  1, b)  0

(A  B)  C  6 29 29

15. Dados los vectores: A  B . Además: a  b  6 . a) 7 b) 16 d) 40 e) 36

En la condición: C

3 (4 i  5 j  3k) Rpta. 5

B  2ai  j  bk ; hallar el valor de “ ab ”. Si

Expresión vectorial de C : C

B

(4i  5 j  3k)

B(0, 10, 0)

Y

Solución: Restando coordenadas: AB  8i  10 j BC   10 j  6k AC  8i  6 j 5

www.EjerciciosdeFísica.com R  AB  BC  AC R  16i  12k

R 

(16)2  12 2 R 

Rpta.

20

17. Hallar el vector F , si F  T  P sabiendo además que: T  50 N . P  52 N .

4i  3 j  12k   P  P U BC  52    4 2  ( 3)2  12 2    4i  3 j  12k P  52  P  16i  12j  48k 13 Como: F  T  P Rpta. F   24 i  18 j  48 k

18. Hallar el módulo de la fuerza resultante de F y T , si: F  25 N y T  30 N . a) 42 Z

Z

b) 44

3

c) 45

P

d) 48

12

6

e) 50

Y

T

X

X

T

4

3

a) 24i  18 j  48k

b) 24i  18 j  48k

c) 24i  18 j  48k

d) 12i  18 j  48k

e) 24i  18 j  48k

AB  4i  3 j

BC  3i  4 j

Z

P

X U

12

U X

4

F

B(0, 4, 6)

6

C(4, 0, 12)

A(4, 0, 0)

Z 3

C (3, 0, 6)

BC  4i  3 j  12k

Y

10

Solución: De acuerdo al gráfico: AB  3i  6 j  6k

Solución: Ubicando las coordenadas:

AB

3

B(0, 3, 0)

T 4

T

Y

10

BC

Por definición de vector unitario: 4i  3 j  T T U  50   AB  (4)2  3 2    4i  3 j  T  50 T   40i  30 j 5 6

4

F

Y

A(3, 10, 0)

Expresión vectorial de T : 3i  6 j  6k  T  T U AB  30   (3)2  (6)2  6 2   3i  6 j  6k  T  30    9  T   10i  20 j  20k

   

www.EjerciciosdeFísica.com Expresión vectorial de F : 3i  4 j F F U  25 BC 3 2  (4)2 3i  4 j  F  25    F  15i  20 j  5  De donde la resultante: R  F  T R  5i  40 j  20k R 

5 2  (40)2  20 2 R 

45 N

Rpta.

7