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José  Alejandro  Franco  Calderón  

1.  Introducción 2.  Análisis por el método de nodos 3.  Análisis por el método de mallas 4.  Comparaciones entre mallas y nodos

1.  Introducción 2.  Análisis por el método de nodos 3.  Análisis por el método de mallas 4.  Comparaciones entre mallas y nodos

En un principio para resolver un circuito se debe formular de mismo un determinado sistema de ecuaciones con ayuda de las leyes de Kirchhoff, para así poder determinar ya sea corrientes o voltajes asociados al circuito. Las relaciones de corriente y voltaje gobiernan el comportamiento de cada elemento independiente del circuito al que este conectado. Las leyes de Kirchhoff son condiciones impuestas a las conexiones de un circuito independiente de los elementos mismos que contenga el mismo, es decir que si tenemos un circuitos con X número de elementos, tendremos un sistema lineal de 2X ecuaciones con 2X incógnitas.

1.  Introducción

2.  Análisis por el método de nodos 3.  Análisis por el método de mallas 4.  Comparaciones entre mallas y nodos

-  El análisis de nodos es un método general para el análisis de circuitos -  Se basa en usar voltajes de nodo (en vez de voltajes en el elemento) como variables de circuito -  Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver -  Vamos a analizar dos tipos de circuitos: -  Análisis de nodos SIN fuentes de voltaje -  Análisis de nodos CON fuentes de voltaje

Análisis de nodos sin fuentes de voltaje Dado un circuito de N nodos sin fuentes de voltaje, el análisis de nodos consta de los siguientes pasos: 1.  Elegir un nodo de referencia y asignar voltajes v1, v2,…,vN-1 a los restantes N-1 nodos 2.  Aplicar la LCK a cada nodo, salvo al de referencia 3.  Utilizar la relación corriente-voltaje de cada elemento para escribir las corrientes de rama en función de las tensiones de nodo 4.  Calcular las N-1 tensiones de nodo resolviendo las N-1 ecuaciones obtenidas

Ejemplo Calcular los voltajes de nodo V1 y V2 para el siguiente circuito.

Elegir un nudo de referencia y asignar tensiones v1, v2,…,vN-1 a los restantes N-1 nodos •  •  •  •  • 

Para este circuito N = 3 Indicamos el nodo de referencia con el símbolo de la tierra Asignamos voltajes V1 y V2 Asignamos polaridad (voltaje) a las resistencias Asignamos las corrientes por la rama

Aplicamos la LCK para los nodos

Nodo 1: I1 = I2 + i1 + i2 Nodo 2: I2 + i2 = i3

i1

i2

i3

Ahora formulamos las ecuaciones para i1, i2 e i3 con base en la relación del voltaje V1 y V2 teniendo en cuenta la referencia a tierra. Nodo 1: I1 = I2 + i1 + i2 Nodo 2: I2 + i2 = i3 Aplicamos

Vmayor −Vmenor R V1− 0 V1−V 2 v2 − 0 i1 = ;i2 = ;i3 = 8 10 22 i=

i1

i2

i3

Remplazamos en las ecuaciones de nodo

Sistema de ecuaciones lineales de 2 incógnitas, conociendo los valores de I1 = 1A e I2 = 2A

I1 = I 2 +

V1 V1−V 2 V1−V 2 V 2 + ;I2 + = 8 10 10 22

Ahora del sistema de ecuaciones despejamos de cualquier ecuación V1 o V2 y remplazamos en la otra con el fin de hallar los valores. 1= 2+

V1 V1−V 2 V1−V 2 V 2 + ;2 + = 8 10 10 22

Ecuación 1

Ecuación 2

Haciendo el despeje por igualación nos resulta que:

i1

i2

i3

V 2 = 22 − 2.75⋅V1 Sustituimos el valor de V2 en la Ecuación 2 y tenemos como resultado que:

Resultado de V1 y V2 que satisface el sistema de ecuaciones tanto para la Ecuación 1 como para la Ecuación 2

V1 = 2.4V;V 2 = 15.4V

Análisis de nodos con fuentes de voltaje Caso 1 Si la fuente de voltaje está conectada entre el nodo de referencia y otro nodo cualquiera, se fija el voltaje de este último igual al voltaje de la fuente.

V1 deja de ser una incógnita ya que V1 = Vs

Análisis de nodos con fuentes de tensión Caso 1 – Ejemplo Calcular los voltajes de nodo términos de las resistencias R1, R2, R3, Vs e Is del circuito

i2

Nodo 1: V1 = Vs Nodo 2

•  Aplicando Ley de Ohm IS +

VS −V2 V2 − 0 = R2 R3

IS +

VS −V2 V2 = R2 R3

•  Aplicando LCK: Is + i2 = i3

i3

•  Despejando V2

V2 =

R2 ⋅ R3 ⋅ I S + R3 ⋅VS R2 + R3

Análisis de nodos con fuentes de voltaje Caso 2 Si la fuente de voltaje está conectada entre dos nodos, no siendo ninguno de ellos de referencia (tierra), entonces: ü  Se introduce la corriente que atraviesa la fuente (ix) como variable adicional. ü  Se añade una ecuación que relaciona la tensión de la fuente con las dos tensiones nodales (v1- v2) = VS

Análisis de nodos con fuentes de tensión Caso 2 – Ejemplo Hallar los voltajes de los nodos del presente circuito en términos de R1, R2, VS e IS

Nodo 1: ix = i1 Nodo 2: Is = ix + i2 i1

Fuente de Voltaje

i2

V1 – V2 = Vs Sumamos las corrientes que encontramos en los nodos IS = i1 + i2 Aplicamos la ley de ohm

V V i1 = 1 ;i2 = 2 R1 R2

Sustituimos

I S = G1 ⋅V1 + G2 ⋅V2 La ecuaciones son:

I S = G1 ⋅V1 + G2 ⋅V2 VS = V1 −V2

Resolviendo

V1 =

I S + G2 ⋅VS G1 + G2

I S − G1 ⋅VS V2 = G1 + G2

1.  Introducción 2.  Análisis por el método de nodos

3.  Análisis por el método de mallas 4.  Comparaciones entre mallas y nodos

ü  El análisis de mallas es otro método general para el análisis de circuitos ü  Se basa en usar corrientes de malla (en vez de corrientes de rama)como variables de circuito ü  Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver ü  Existen dos tipos de análisis que se deben conocer: ü  Análisis de malla para circuitos SIN fuentes de corriente ü  Análisis de malla para circuitos CON fuentes de corriente

Análisis de mallas para circuitos sin fuentes de corriente Dado un circuito de N mallas sin fuentes de corriente, el análisis de mallas consta de los siguientes pasos: 1.  Asignar las corrientes de malla i1, i2,…,i N a las N mallas 2.  Aplicar la LVK a cada una de las mallas 3.  Utilizar la relación corriente-voltaje de cada elemento para escribir los voltajes del elemento en función de las corrientes de la malla 4.  Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones obtenidas

Análisis de mallas para circuitos sin fuentes de corriente Ejemplo Calcular las ecuaciones que rigen las corrientes de malla para el siguiente circuito

ü  ü  ü  ü 

Asignamos las corrientes de malla i1, 12,… iN a las N mallas En este caso N = 2 Asignamos las corrientes de malla i1 e i2 Asignamos los voltajes a los elementos resistivos v1, v2 y v3

i1

i2

ü  Asignamos la LVK para las mallas Malla 1: V1 = v1 + v2

i1

Malla 2: v2 = v3 + V2

i2

ü  Utilizar la relación corriente-voltaje de cada elemento para escribir los voltajes de elemento en función de las corrientes de malla Malla 1

V1 = i1 ⋅ R1+ (i1 − i2 )⋅ R2

i1

Malla 2

i2 ⋅ R3+V 2 = (i1 − i2 )⋅ R2

i2

ü  Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones obtenidas Malla 1

V1 = (R1+ R2)⋅ i1 − R2 ⋅ i2

Malla 2 −V 2 = −R2 ⋅ i1 + (R3+ R2)⋅ i2

i1

" % " R1+ R2 −R2 % $ i1 ' " V1 % =$ ' $ '⋅ −R2 R3+ R2 i −V 2 $ ' # &# 2 & # &

i2

Análisis de mallas para circuitos con fuentes de corriente Caso 1 Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a una única malla, se fija la corriente de dicha malla igual a la corriente de la fuente.

La corriente de malla i1 deja de ser una incógnita

Análisis de mallas para circuitos con fuentes de corriente Caso 1 – Ejemplo Calcular las corrientes de malla para el siguiente circuito

Aplicar LVK malla 1, para la malla 2 no hace falta hacer LVK Malla 1

Malla 2

Vs = V1 +V3

i2 = −Is

Vs = i1 ⋅ R1+ (i1 − i2 )⋅ R3

i1

Despejando i1 es igual a:  

i2

Vs + R3⋅ Is i1 = R1+ R3

Análisis de mallas para circuitos con fuentes de corriente Caso 2 Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a dos mallas, entonces: -  - 

Se introduce la tensión a través de la fuente (vx) como variable adicional. Se añade una ecuación que relaciona la corriente de la fuente con las dos corrientes de malla (i1- i2 = IS)

Análisis de mallas para circuitos con fuentes de corriente Caso 2 – Ejemplo Calcular las corrientes de malla del siguiente circuito

Escribimos las ecuaciones de las mallas Malla 1: Vs = V1 + Vx Malla 2: Vx = V2 + V3 La fuente de corriente es: Is = I2 – I1

Vx

Ecuaciones

Is = −i1 + i2 Vs = R1⋅ i1 + (R2 + R3)⋅ i2

Vs = R1 i1 + R2 i2 + R3 i3

V2

V1 i1

Eliminamos Vx sumando las mallas Vs = V1 + V2 + V3

V3 i2 Despejando

i1 =

Vs − (R2 + R3)⋅ Is R1+ R2 + R3

i2 =

Vs + R1⋅ Is R1+ R2 + R3

1.  Introducción 2.  Análisis por el método de nodos 3.  Análisis por el método de mallas 4.  Comparaciones entre mallas y nodos

Dado un circuito, ¿qué método es mejor o más eficiente? - La respuesta es depende, esencialmente, de dos factores: Naturaleza del circuito: la clave es elegir el método que lleve a un número menor de ecuaciones Menos nodos que mallas

Análisis de nodos

Más nodos que mallas

Análisis de mallas

La información requerida: en general … ü  Si se requieren voltajes de nodo, puede ser ventajoso aplicar análisis nodal ü  Si se requieren corrientes de malla, seria mejor aplicar análisis de mallas

Richard C. Dorf. Circuitos eléctricos, introducción al análisis y diseño. Capitulo 1 y 2. Alfaomega Editores. Tercera edición. ISBN 970-15-0517-4 José Antonio Pereda. Análisis de circuitos. (s/f). Recuperado el 28 mayo de 2013 del sitio web http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm