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UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA, INDUSTRIA Y CONSTRUCCIÓN

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN SERIE DE POTENCIAS Y SERIE DE TAYLOR

INTEGRANTES:  Darwin Cabrera.  Christian Fernández.  Lourdes Sisalima.

0 FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

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Ing. Geovanny Gonzáles

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IV Ciclo

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05/04/2018

CON T EN I DO

INTRODUCCION _______________________________________________________ 3 OBJETIVOS ___________________________________________________________ 3 1.

Objetivo General ______________________________________________________ 3

2.

Objetivos Específicos ___________________________________________________ 3

MARCO TEORICO ______________________________________________________ 4 1.

Antecedentes _________________________________________________________ 4

2.

Aspectos Generales ____________________________________________________ 5 2.1.

SERIE DE POTENCIAS _______________________________________________________ 5

2.1.1. Teorema de convergencia para series de potencias ______________________________ 6 2.1.2. Cómo demostrar si una serie de potencias converge _____________________________ 7 2.1.3.

Operaciones sobre series de potencias ______________________________________ 8

2.1.4. Teorema de divergencia: ___________________________________________________ 9 2.1.5. DIFERENCIACION E INTEGRACION DE SERIE DE POTENCIAS ________________________ 9 2.1.5.1. Teorema de la derivación término a término _______________________________ 9 2.1.5.2. Teorema de integración término a término ________________________________ 9 2.2.

SERIE DE TAYLOR _________________________________________________________ 10

2.2.1. Serie de Maclaurin _______________________________________________________ 10 2.2.2. Algunas propiedades de la serie de Taylor_____________________________________ 10 2.2.3.

Polinomio de Taylor ____________________________________________________ 11

2.2.4.

Los coeficientes de un polinomio, en términos de sus derivadas ________________ 12

APLICACIONES DE SERIE DE POTENCIAS Y SERIE DE TAYLOR ___________________ 13 1.

APLICACIÓN DE SERIE D EPOTENCIAS _____________________________________ 13 1.1.

2.

Otras aplicaciones de la serie de potencias: ____________________________________ 15

APLICACIÓNES DE SERIE DE TAYLOR ______________________________________ 15 2.1. Otras aplicaciones de la serie de Taylor: __________________________________________ 19

COLCLUSIÓN _________________________________________________________ 20 BIBLIOGRAFÍA________________________________________________________ 21

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TABLA DE FIGURAS Figura 1: Brool Taylor___________________________________________________________________ 4 Figura 2:convergencia y divergencia para𝑛 = 1 + ∞𝑐𝑛𝑥𝑛 _____________________________________ 7 Figura 3: convergencia y divergencia para n → 0∞Cnx − an ___________________________________ 7 Figura 4: intervalo de divergencia _________________________________________________________ 7 Figura 5: Polinomio de Taylor ___________________________________________________________ 11

2

INTRODUCCION Las series de potencias son una de las herramientas más útiles de la matemática aplicada. Se han utilizado en el estudio de las funciones de una variable real para poder trabajar con representaciones alternativas y buenas aproximaciones de las funciones más habituales y también pueden utilizarse para obtener nuevas funciones. Un ejemplo claro de serie de potencias es la famosa Serie de Taylor. La idea fundamental detrás de la Serie de Taylor es la de poder aproximar los valores de una función f(x) para cualquier punto x, a partir de tener un punto de referencia a situado a una distancia h del primero y todo esto a partir de la creación de un “polinomio” basado en una serie de potencias infinita para la cual sea posible de manera sistemática calcular sus coeficientes. No es de extrañar, entonces, que nos planteemos el estudio de las series de potencias de una variable compleja. En el presente informe se hablará y analizará un poco más acerca de la importancia de las series de potencias, en especial la Serie de Taylor, tanto sus reseñas históricas como algunas de sus propiedades mediante conceptos y algunos ejemplos de aplicaciones de dichas series.

OBJETIVOS 1. Objetivo General 

Determinar conceptos y aplicaciones de serie de potencias, así como Serie de Taylor.

2. Objetivos Específicos 

Presentar conceptos fundamentales para el entendimiento del tema.



Analizar algunas propiedades y/o teoremas de la serie de potencias y de la serie de Taylor.



Presentar algunas aplicaciones de la serie de potencias, así como la serie de Taylor.

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MARCO TEORICO 1. Antecedentes El primer caso que registra el uso de una suma infinita de términos de una sucesión, se remonta hasta la antigua Grecia, con Arquímedes, quien probablemente usó este tipo de ideas para determinar el área encerrada bajo el arco de una parábola. Otras ideas relacionadas con el uso de series y sucesiones para la representación de determinadas funciones se concibieron en India durante el siglo XIV Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito. Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después. En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava of Sangamagrama. A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente. En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1711 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre. El cálculo fue desarrollado por los trabajos de Formatt, Barrow, Wallis y Newton, entre otros, así en 1715 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x). El aparato fundamental del cálculo era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose todas las funciones conocidas por los matemáticos de la

Figura 1: Brool Taylor

época. Pero pronto surgió el problema de la

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convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos en series asintóticas introducidas por Stirling y Euler. 2. Aspectos Generales 2.1. SERIE DE POTENCIAS

Una serie de potencias es una serie de la forma ∞

∑ Cn X n = C0 + C1 X + C2 X 2 + C3 X 3 + ⋯

(1)

n→0

donde x es una variable y las 𝐶𝑛 son constantes llamados coeficientes de la serie. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función 𝑓(𝑥) = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝑋 2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 + ⋯ cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las cuales la serie converge. Observe que 𝑓 es análoga a una función polinomial. La única diferencia es que 𝑓 tiene un infinito de términos. Por ejemplo, si tomamos 𝐶𝑛 = 1 para toda n, la serie de potencias se transforma en una serie geométrica ∞

∑ 𝑋𝑛 = 1 + 𝑋 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑛 + ⋯ 𝑛→0

que es convergente cuando −1 < 𝑥 < 1 y es divergente cuando |𝑥| ≥ 1. (Stewart, 2012, pág. 741)

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Más generalmente, una serie de la forma: ∞

∑ Cn (x − a)n = C0 + C1 (x − a) + C2 (x − a)2 + C3 (x − a)3 + ⋯ n→0

(2)

se denomina serie de potencias en (𝑥 − 𝑎), o bien, serie de potencias centrada en a. Observe que al escribir el término correspondiente a 𝑛 = 0 en las ecuaciones 1 𝑦 2, se ha adoptado la convención de que (𝑥 − 𝑎)0 = 1 aun cuando 𝑥 = 𝑎. Así mismo, note que cuando 𝑥 = 𝑎 todos los términos son 0 para 𝑛 ≥ 1 y de este modo la serie de potencias (2) siempre es convergente cuando 𝑥 = 𝑎. (Stewart, 2012, pág. 741)

2.1.1. Teorema de convergencia para series de potencias 𝑛 2 Si la serie de potencias ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 +

⋯ converge para x = 𝑥1 (𝑥1 ≠ 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de 𝑥 para los cuales |𝑥| < |𝑥1 |. (George B. Thomas, Calculo una variable, 2010, pág. 578)

Una serie de potencias ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 se comporta en alguna de las siguientes tres formas: puede converger sólo en 𝑥 = 𝑎, converger en todas partes o converger en algún intervalo de radio 𝑅 centrado en a, es decir, solo una de las siguientes condiciones se cumple: 1. La serie converge sólo cuando x=0; 2. La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x; 3. Existe un número R>0 tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x tales que |x|R.

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𝑛 Figura 2:convergencia y divergencia para∑+∞ 𝑛=1 𝑐𝑛 𝑥

Figura 3: convergencia y divergencia para n ∑∞ n→0 Cn (x − a)

(Leitold, 1998, pág. 703) Se dice que 𝑅 es el radio de convergencia de la serie de potencias, mientras el intervalo de radio 𝑅 con centro en 𝑥 = 𝑎 se denomina intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia puede ser abierto, cerrado o semiabierto, lo que depende de la serie que se trate. En puntos 𝑥 con |𝑥 − 𝑎| < 𝑅, la serie converge absolutamente. Si la serie converge para todos los valores de 𝑥, decimos que su radio de convergencia es infinito. Si converge sólo en 𝑥 = 𝑎, aseguramos que su radio de convergencia es cero.

Figura 4: intervalo de divergencia

2.1.2. Cómo demostrar si una serie de potencias converge 1. Utilice el criterio de la razón (o el criterio de la raíz) para determinar el intervalo donde la serie converge absolutamente. Por lo común es un intervalo abierto. |𝑥 − 𝑎| < 𝑅 𝑜 𝑎−𝑅 |𝑥2 |. (Leitold, 1998, pág. 703)

2.1.5. DIFERENCIACION E INTEGRACION DE SERIE DE POTENCIAS Un teorema de cálculo avanzado dice que una serie de potencias pueden derivarse término a término en cada punto interior de su intervalo de convergencia. 2.1.5.1. Teorema de la derivación término a término 𝑛 Si ∑+∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥 es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es R>0, entonces 𝑛−1 ∑+∞ también tiene a R como su radio de convergencia, 𝑛=1 𝑛𝑐𝑛 𝑥

Es decir, La serie, obtenida al diferenciar cada término de una serie de potencias termino a término, tendrá el mismo radio de convergencia que la serie dada. (Leitold, 1998, pág. 707)

2.1.5.2. Teorema de integración término a término 𝑛 Sea ∑+∞ una serie de potencias cuyo radio de convergencia es R>0. Si f es la 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥

función definida por ∞

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 𝑛=0

Entonces f es integrable en cada subintervalo cerrado de (-R, R), y la integral de f se evalúa integrando término a término la serie de potencias dada; es decir, si x esta en (R, R), entonces 𝑥

∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑐𝑛 0

𝑛=0

(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 𝑛+1 (Leitold, 1998, pág. 712)

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2.2.

SERIE DE TAYLOR

Una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (x – a)ⁿ llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Una serie de Taylor es una serie de la forma:

∞

∑ 𝒌=𝟎

𝒇𝒌 (𝒂) (𝒙 − 𝒂)𝒌 𝒌! 𝒇′ (𝒂) 𝒇′′ (𝒂) 𝒇𝒏 (𝒂) 𝟐 (𝒙 − 𝒂) + ⋯ + = 𝒇(𝒂) + (𝒙 − 𝒂) + (𝒙 − 𝒂)𝒏 𝟏! 𝟐! 𝒏! (George B. Thomas, Calculo una variable, 2010, p. 585)

2.2.1. Serie de Maclaurin Un caso especial de la serie de Taylor es cuando dicha serie es generada por f en x = 0, también llamada serie de Maclaurin. Esta serie se la escribe de la forma

∞

𝒇𝒌 (𝟎) 𝒇′ (𝟎) 𝒇′′ (𝟎) 𝟐 𝒇𝒏 (𝟎) 𝒏 𝒏 (𝒙) = 𝒇(𝟎) + ∑ 𝒙+ 𝒙 +⋯+ 𝒙 𝒌! 𝟏! 𝟐! 𝒏!

𝒌=𝟎

(Calculo una variable, 2010, p. 585)

2.2.2. Algunas propiedades de la serie de Taylor 

La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la vencidad de un punto dado.



Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que se aproxima a la función verdadera.



El error del método numérico depende de la precisión con la que el polinomio se aproxima a la función verdadera.

10



Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del desarrollo polinomio de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la solución exacta.

2.2.3.

Polinomio de Taylor Los polinomios de Taylor son las sumas parciales de las series de Taylor. Estas pueden ser usadas para aproximar una función si x = a. Sea f una función con derivadas de orden k para k = 1, 2, ..., n en algún intervalo que contenga a a como un punto interior. Entonces, para cualquier entero n, desde 0 hasta N, el polinomio de Taylor de orden n generado por f en x=a es el polinomio, es decir: 𝑷𝒏 (𝒙) = 𝒇(𝒂) +

𝒇′ (𝒂) 𝒇′′ (𝒂) 𝒇𝒌 (𝒂) (𝒙 − 𝒂) + (𝒙 − 𝒂)𝟐 + ⋯ + (𝒙 − 𝒂)𝒌 + ⋯ 𝟏! 𝟐! 𝒌! 𝒇𝒏 (𝒂) (𝒙 − 𝒂)𝒏 + 𝒏!

(George B. Thomas, Calculo una variable, 2010, pág. 586) Decimos que un polinomio de Taylor es de orden n y no de grado n, porque 𝑓 (𝑛) (𝑎) puede ser cero. Por ejemplo, los dos primeros polinomios de Taylor de f(x)=cos x en x=0, son 𝑃0 (𝑥) = 1 𝑦 𝑃1 (𝑥) = 1. El polinomio de primer orden tiene grado cero, no uno. Del mismo modo que la linealización de f en x=a ofrece la mejor aproximación lineal de f en la vecindad de a, los polinomios de Taylor de orden mayor

brindan

“las

mejores”

aproximaciones polinomiales de sus respectivos grados.

Figura 5: Polinomio de Taylor

(George B. Thomas, Calculo una variable, 2010, p. 586)

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2.2.4.

Los coeficientes de un polinomio, en términos de sus derivadas

Un polinomio de grado n está completamente determinado por sus (n+1) coeficientes. P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + ... + an (x- xo)n En lo sucesivo, expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes en términos de las derivadas evaluadas en xo. P '(x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )3 +... + nan (x- xo)n-1 P(2)(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 +... + n(n-1)an (x- xo)n-2 P(3)(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) +... + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3

. . . ¡P(n)(x) = (1)(2) ...(n) an = n! an De donde, evaluando cada una de estas derivadas en xo, obtenemos los coeficientes del polinomio:

ao = P(xo), a1 = P '(xo),

,

, ... ,

.

y en consecuencia la expresión del polinomio será:

Sea If )una función tal que f y todas sus derivadas existen en algún intervalo (a-r, ......( a+r). entonces la función está representada por su serie de Taylor; 𝑓 (𝑛) (𝑎) (𝑥 − 𝑎)𝑛 𝑛! 𝑛=0 +∞

∑

Para toda x tal que |x-a|