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An´alisis espectral no param´etrico de series de tiempo Julio 2017

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´Indice ´ Indice

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2. Introducci´ on

2

3. Desarrollo Te´ orico 3.1. Representaci´ on espectral de un proceso estacionario 3.2. Densidad Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Periodograma y transformada discreta de Fourier . . 3.4. Propiedades asint´ oticas del periodograma . . . . . . 3.5. Suavizamiento del periodograma . . . . . . . . . . . 3.5.1. Idea general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Otros m´etodos de suavizamiento . . . . . . .

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Referencias

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Introducci´ on

La representaci´ on espectral de un proceso estacionario {Xt = 0, + −2, ...} descompone {Xt } como la −1, + suma de componentes sinusoidales con coeficientes aleatorios no correlacionados. As´ı mismo, junto a esta descomposici´ on existe tambi´en una descomposici´on sinusoidal de la funci´on de autocovarianza de {Xt }. De este modo, la descomposici´ on espectral es el an´alogo de la representaci´on de series de Fourier de funciones determin´ısticas pero aplicado a procesos estoc´asticos estacionarios. Por lo tanto, el punto de partida de este trabajo es considerar que la regularidad de una serie de tiempo puede expresarse en t´erminos de variaciones peri´odicas del fen´omeno subyacente que produce las realizaciones de la serie expresadas como frecuencias de Fourier por medio de senos y cosenos. Desde el punto de vista te´ orico, el an´ alisis de las series de tiempo estacionarias a trav´es de su representaci´ on espectral se refiere al estudio de la serie en su dominio de frecuencias. Esto representa un enfoque alternativo para observar el proceso, en el cual en ciertos fen´omenos provee informaci´on valiosa m´as all´ a de solo el estudio de la funci´ on de autocovarianza. Para efectos de la presente investigaci´ on se hace un breve estudio de la representaci´on espectral del proceso. Luego se estudiar´ a la representaci´on espectral de la funci´on de autocovarianza lo cual nos permite introducir la funci´ on de densidad espectral. A partir de esta funci´on de densidad veremos que bajo ciertas condiciones la funci´ on de autocovarianza y la densidad espectral contienen la misma informaci´ on. Posteriomente se introducir´ a el periodograma que constituye la versi´on muestral de la funci´on de densidad espectral. A partir del periodograma se explorar´an sus propiedades asint´oticas, suavizamiento e intervalos de confianza del espectro.

3.

Desarrollo Te´ orico

En esta secci´ on se presenta el desarrollo te´orico del modelo. As´ı mismo se muestran los principales supuestos del modelo, as´ı como detalles espec´ıficos de la estimaci´on e inferencia de sus par´ametros.

3.1.

Representaci´ on espectral de un proceso estacionario

El objetivo de esta secci´ on es presentar una representaci´on espectral {Xt } y de esta forma considerar un proceso est´ ocastico estacionario de la siguiente forma: q X Xt = [Uj1 cos(2πωj t) + Uj2 sin(2πωj t)] j=1

2

(1)

donde Uk1 , Uk2 para k = 1, 2, ..., q son variable aleatorias con media cero y varianza σk2 y ωj = corresponden a los ciclos. De esta forma, conviene primero definir qu´e es un proceso estacionario evaluado en los complejos.

j n

2

Definici´ on 1 El proceso {Xt } se dice ser un proceso estacionario complejo si E|Xt | < ∞, E(Xt ) es ¯ t ) es independiente de t. independiente de t y E(Xt+h X Definici´ on 2 La funci´ on de autocovarianza γ(·) de un proceso estacionario complejo {Xt } es: ¯ t ) − E(Xt+h )E(X ¯t) γ(h) = E(Xt+h X An´ alogo al caso real, la funci´ on de autocovarianza mostrada en la definici´on (2) cumple las siguientes propiedades: 1. γ(0) ≥ 0. 2. |γ(h)| ≤ γ(0) para todo h entero. 3. γ(·) es una funci´ on Hermitiana; es decir, γ(h) = γ(−h). Pn 4. γ(·) es una funci´ on definida no negativa; es decir, s,t=1 as γ(s−t)¯ at ≥ 0 para todo entero positivo n y todo vector a = (a1 , ..., an )0 A partir de las propiedades anteriores, tenemos la siguiente propiedad que nos permite definir a funci´on de autocovarianza de un proceso estoc´ astico complejo. Propiedad 1 Una funci´ on κ(·) definida en los enteros es la funci´ on de autocovarianza de una serie de tiempo estacionario (posiblemente compleja) si y solo si κ(·) es hermitiana y definida no negativa. La propiedad anterior nos permite definir la funci´on de distribuci´on espectral F (ω) la cual cumple las siguientes condiciones: es mon´ otona no decreciente, continua por la derecha, toma los valores F (−1/2) = 0 y F (1/2) = σ 2 = γX (0). Propiedad 2 Una funci´ on γ(h) para h = 0, + −2, ... es definida no negativa si y solo si puede expre−1, + sarse como: Z 1 2

γ(h) =

e2πiωh dF (ω)

−1 2

1 donde F (·) es no decreciente, continua por la derecha y acotada en [ −1 2 , 2]

A continuaci´ on, presentamos una versi´ on del teorema de representaci´on espectral para el proceso estacionario {Xt }. 1 Esta propiedad es la que permite expresar el proceso estacionario como la suma de senos y cosenos de la ecuaci´ on (1). Propiedad 3 Teorema de Representaci´ on Espectral Si {Xt } es un proceso estoc´ astico de media cero, con funci´ on de densidad espectral F (ω) con las condiciones de la propiedad (2), entonces existe 1 un proceso estoc´ astico complejo Z(ω) en el intervalo [ −1 2 , 2 ] que tiene incrementos estacionarios no correlacionados, de manera que {Xt } puede escribirse como la integral estoc´ astica. Z {Xt } = Donde, para 1 Ver

−1 2

≤ ω1 ≤ ω2 ≤

1 2

1 2

e2πiωh dZ(ω)

−1 2

se tiene que var{Z(ω2 ) − Z(ω1 )} = F (ω2 ) − F (ω1 ).

[3] para m´ as detalles.

3

3.2.

Densidad Espectral

En general, la funci´ on de densidad espectral puede ser una mixtura de distribuciones continuas y discretas. Sin embargo, a lo largo del presente trabajo supondremos el caso en que F es absolutamente continua, de este modo se cumple dF (ω) = f (ω)dω. Por lo tanto, a partir de la propiedad (2) junto con la hip´ otesis de que γ(h) es absolutamente sumable se tiene la siguiente propiedad. Propiedad 4 Funci´ on de densidad Espectral on de autocovarianza de un proceso P∞Si γ(·) es la funci´ estacionario {Xt } que satisface la condici´ on −∞ |γ(h)| < ∞. Entonces para −1/2 ≤ ω ≤ 1/2 la densidad espectral se define como:

f (ω) =

∞ X

|γ(h)|e−2πiωh

(2)

−∞

La ecuaci´ on (2) cumple ser peri´ odica, par y su funci´on de autocovarianza se puede escribir en el dominio de frecuencias como: Z

1/2

e2πihω f (ω)dω =

γ(h) =

Z

1/2

cos 2πhωf (ω)dω

(3)

−1/2

−1/2

Por otro lado vemos que γ(h) en la ecuaci´ on 3 es la funci´on caracter´ıstica de la funci´on espectral definida en la ecuaci´ on 2. De este modo, cuando se cumplen las condiciones de la propiedad (4) tenemos que la funci´ on de autocovarianza y la funci´ on de densidad espectral contienen la misma informaci´on. Sin embargo, la informaci´ on es expresada en formatos diferentes. En el caso de la autocovarianza, esta funci´ on muestra la informaci´ on en t´erminos de lags, mientras que la densidad espectral lo muestra en t´erminos de ciclos.

3.3.

Periodograma y transformada discreta de Fourier

En esta secci´ on se muestra el periodograma, que representa la versi´on muestral de la funci´on de densidad espectral. Definici´ on 3 Transformada discreta de Fourier (TDF) Definimos la TDF de (x1 , ..., xt ) como: d(ωj ) = n−1/2

n X

xt e2πiωj t

t=1

para j = 0, 1, ..., n − 1 De esta forma, el periodograma es el m´ odulo al cuadrado de la TDF. Definici´ on 4 Periodograma Dados los datos x1 , ..., xn , se define el periodograma como: I(ωj ) = |d(ωj )|2 para j = 0, 1, ..., n − 1 A partir del periodograma se tienen representaciones backward y forward para desplazarnos entre el an´alisis temporal (Funci´ on de autocovarianza muestral) y el an´alisis de frecuencias. De esta forma asumiendo datos centrados tenemos que:  ¯2 nX  I(0) =  I(ω ) j

=

P

|h|