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Análisis de vibraciones de un vehículo de transporte Integrantes: Fernando Coraisaca Evelyn Pañega Christian Paucar Danny Pineda Materia: Dinámica del cuerpo rígido Grupo: 2 Docente: Ing. Jhon Calle

Cuenca, 22 de julio de 2020

Objetivo general: Analizar y establecer

los distintos tipos de vibraciones en un vehículo de transporte

(motocicleta) con las características de un sistema ya diseñado de suspensión en el cual se aplique teoría vista en el área de dinámica del cuerpo rígido correspondiente al tema de vibraciones. Objetivos específicos: 

Establecer dimensiones y características del resorte y del amortiguador



Determinar los parámetros del resorte en vibración libre no amortiguada



Determinar los parámetros del resorte en vibración Forzada no amortiguada



Analizar el sistema de resorte y amortiguador en vibración forzada viscosa amortiguada, establecer los límites de trabajo del sistema.

Introducción Este informe presentará a continuación el análisis de un sistema de suspensión de un medio de transporte, en este caso el sistema de una motocicleta marca Shineray 200xy 6i, antes de empezar con las especificaciones técnicas que describirá el sistema de resorte amortiguación que esta cuenta analizaremos la necesidad de emplear este tipo de sistemas en la suspensión de un vehículo, ya que es necesario entender las implicaciones de estos sistemas en la ingeniería moderna. Se ha considerado que existe una diferencia del transporte terrestre con el marítimo o aéreo que no sufren cambios bruscos en su trayectoria, los terrestres están sometidos a diferentes cambio o vibración producidas por la superficie en la que se desplazan, estos cambios son los responsables de producir fallos en sus sistema o desgaste excesivo de sus componentes por verse sometidos a una vibración que produce grandes cargas sobre sistemas que no están diseñados para esta clase de trabajos, este desgaste también se le conoce como fatiga en las piezas donde se produce este tipo de movimiento, para evitar este tipo de fallos en el sistema se propone emplear un mecanismo que suavice la intensidad de dichas cargara minimizando así también la falla de estas piezas.

Como primera instancia se aplica un resorte o muelle capaz de absorber la tensión producida por algún agente externo (aquí podemos hacer referencia a una vibración forzada no amortiguada) en la trayectoria del vehículo y aunque sus resultados para suavizar los impactos fueron eficaces, el impacto es menos, pero la estabilización del sistema es demasiado prolongada en los casos de los vehículos convirtiéndolos en un sistema muy inseguro e inestable. Para corregir la inestabilidad se le emplea un amortiguador capaz de absorber el movimiento producido por los mismos resortes haciendo que su estabilidad sea aún mayor. A todo este conjunto se le conoce como amortiguación del vehículo, y evita las vibraciones prolongadas del mecanismo previniendo fallas estructurales en el mismo, todos los vehículos terrestres actuales constan de este sistema, pero detrás de este mecanismo es obvia la existencia de efectos físicos que justifican la reacción o comportamiento de estos componentes, también se debe recordar que este actuara diferente dependiendo de las condiciones de carga externa aplicada, el siguiente informe se tratara de demostrar estos fenómenos físicos y el comportamiento des sistema en diferentes condiciones.

Amortiguador El amortiguador es un mecanismo que cuenta con un eje cromado y dos tubos de acero, estos tubos se encuentran uno dentro de otro. El tubo exterior es una reserva llena de aceite. El interno es un tubo de compresión. En un extremo, tiene el apoyo que se sujeta al vehículo. En el otro extremo se encuentra sobre un pistón, que se desplaza a lo largo del tubo de compresión y este presiona o succiona aceite que fluye a través de válvulas que se encuentran en el tubo de compresión. Este mecanismo genera dos fuerzas diferentes, la una de extensión y compresión, cuyas funciones son: • Adhesión del vehículo a la vía terrestre • Aportación de seguridad en las curvas • Evitar que navegue • Obtención permanente de una marcha confortable

Este tipo de mecanismos son componentes comunes de la suspensión de automóviles y de otros vehículos, como motocicletas, bicicletas, aviones (diferente tecnología). Su función es controlar los movimientos de la suspensión. El movimiento de la suspensión genera energía cinética, que se convierte en energía térmica o calorífica. Esta energía se disipa a través del aceite.

¿Cómo trabaja un amortiguador? El sistema de suspensión

de un vehículo ayuda a producir la menor cantidad de

oscilaciones para que no se transmitan a los ejes cuando estos están a baches o irregularidades del camino. Este sistema cuenta con un amortiguamiento que absorbe energía y disminuye las oscilaciones no deseadas de un movimiento periódico o para absorber energía proveniente de golpes o impactos. Este mecanismo realiza de manera principal la circulación de aceite entre los componentes internos a través de un conjunto de válvulas generando una oposición al paso del mismo entre las cámaras. De tal manera que controlan las oscilaciones de la suspensión durante las fases de expansión y compresión del amortiguador.

Figura 1Funcionamiento de un amortiguador

Vehículo a analizar:

SHINERAY XY 200 GY-6i Marca: Shineray Modelo: XY 200 GY-6i Modelo de suspensión: Suspensión trasera, Monoshock hidráulico. Peso de motocicleta: 189.2 kg

Ilustración 1 fotografía de Motocicleta

DIMENSIONES Y CARACTERÍSTICAS DEL RESORTE Y DEL AMORTIGUADOR

Ilustración 2 Ilustración lateral de motocicleta

RESORTE: MONOSHOCK HIDRÁULICO

Ilustración 3 Resorte-Amortiguador

PARTES 1) CABEZA 2) RESORTE 3) RETEN 4) SISTEMA HIDRÁULICO 5) ÉMBOLO 6) REGULADOR 7) CUERPO

Dimenciones 

Estado natural del sistema de suspensión 217.75 mm

380 mm Ilustración 4 Ilustración amortiguador-resorte

Corte A-A de suspensión. En este apartado podemos apreciar la vista interna de la suspensión y como se desarrolla su trabajo. Donde se identifica el muello o resorte, tambien el sistema hidraulico el cual esta conformado por el brazo de pisto y cabeza de pisto.

Ilustración 5 Ilustración amortiguador-resorte



Coeficiente de elasticidad del resorte Para calcular el coeficiente del resorte, podemos aplicar la formula despejada: k =

F x

F → es la fuerza aplicada sobre el resorte que provoca ladeformacion x → es el desplazamiento que sufre el resorte Entonces: Para sacar nuestra fuerza usamos el peso de una persona, que al multiplicar por la gravedad se convertiría en la fuerza. F → 83.54 kg∗9.81

m2 s

¿ 819.58 N Una vez aplicada la fuerza sobre el resorte, procedemos a realizar la medición métrica en el resorte. Tomando en cuenta que la medida original del resorte que es de 217.75mm y al momento de aplicar la fuerza, se redujo a 210.75mm. Podemos decir que es desplazamiento es de 7mm.

7

mm∗1 m =0.007 m 0.001mm

Procedemos a remplazar en nuestra formula: k=

819.58 N 0.007 m

¿ 117082.987 N /m El coeficiente de elasticidad del resorte es de ¿ 117082.987 N /m

I. Vibración libre sin amortiguación Uno de los movimientos más sencillos de analizar es la vibración libre no amortiguada por la ausencia de amortiguamiento y de fuerzas exteriores aplicadas. En la figura (1) está representado por un bloque que ha sido desplazado x y que al soltarlo el resorte tira del bloque alcanzando una velocidad, es decir, que cuando llegue a x=0 no estará en equilibrio y si la superficie del mismo es lisa su oscilación será continua. 7

Figura 2 Modelo masa-resorte La ecuación dada para este movimiento esta dad por: x¨ +ω2n =0

(1.1)

Donde w n es la frecuencia natural, frecuencia propia o auto frecuencia y x¨ es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo. Se puede representar también como: ω n=

√

k m

(1.2)

Entonces se llega a la siguiente conclusión: Al aumentar o disminuir la rigidez elástica del sistema aumenta o disminuye su frecuencia natural, (Singiresu, 2009).

La solución general de la ecuación (1) está dada por: x= A sen ωn t + B cos ωn t

(1.3)

La velocidad y aceleración están determinadas por la derivada con respecto al tiempo entonces se tiene: v= x˙ = A w n cos ωn t−B wn cos ω n t

(1.4)

a= x¨ =− A w 2n sen ω n t−B w 2n cos ωn t

(1.5)

Usando como condición x (0)=x 0 en la ecuación (3) se calcula la constante A: x (0)= Acos (ω n 0 )+ Bsin (ω n 0 ) x 0 ¿ Acos (ω n 0 )+ Bsin (ω n 0 ) x 0= A+0 x 0= A Para encontrar la segunda constante en este caso B, ponemos como condición v(0)=v 0 y lo reemplazamos en las ecuación (4) obteniendo: B=

v0 ωn

Calculados los valores de las constantes los reemplazamos en la ecuación (3) obteniendo:

Siendo esta la ecuación definitiva de desplazamiento x del resorte cuando parte de una posición inicial x 0 y se le aplica una velocidad inicial  v 0 . x=x 0 cos( ω¿¿ n t)+

v0 sin (ω n t )¿ ωn

También se debe tomar en cuenta los siguientes parámetros: 

Periodo ( τ) :

(1.6)

τ=

2π ωn

 f=

Frecuencia ( f ) :

1 τ

Figura 3 Oscilación de vibración no amortiguada

Experimentación: Para la vibración libre no amortiguada es necesario conocer la constante k, esto para poder determinar la frecuencia natural (ω n) entonces tenemos reemplazamos nuestros valores en la ecuación (2): ω n=

√

117082,987 252,29

ω n=21.543 rad /s Encontrado el valor de la frecuencia natural se necesita encontrar la ecuación de movimiento del resorte esto para un tiempo t cualquiera para esto reemplazamos los datos que tenemos en la ecuación (6). Para esto consideramos a la v 0=0 ya que parte del reposo y x 0 es la posición inicial en la que se encuentra el resorte.

x=0,218 cos (21.543 t)+

0 sin(21.543 t ) 21.543

x=0,218 cos (21.543 t) Al encontrar la ecuación de movimiento del resorte en su estado de equilibrio, es necesario derivarla con respecto al tiempo para de esta manera encontrar la velocidad obteniendo: x˙ =v ( t )=−0,218 ( 21.543 ) sen(21.543 t)

v ( t )=−4.696 sen (21.543t ) Derivando la ecuación de la velocidad obtenemos la ecuación de la aceleración del sistema de amortiguación: v˙ =a ( t )=−4.696 ( 21.543 ) cos ( 21.543 t ) a ( t )=−101.16 cos ( 21.543 t )

II. Vibración forzada no amortiguada Vibración forzada no amortiguada la masa oscila a la frecuencia de la fuerza alrededor del punto de equilibrio de forma indefinida ya que no hay disipación de energía. En este caso la fuerza resultante en la estructura es la suma de fuerzas propia al sistema más la fuerza periódica, siendo igual a la masa por la aceleración: Para lo cual podemos desarrollar las siguientes ecuaciones: Diagrama tridimencional

Diagrama de cuerpo libre

F : Fuerza periódica F : FA∗Sen w0 t F 0 :Amplitud de fuerza

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Esta ecuación pertenece al grupo de ecuaciones diferenciales de segundo grado no homogénea. La solución general consta de una solución complementaria la cual se obtiene tras la unión de ( X C + X P ) .

∑ +¿→¿ Fx=m ax ; F 0 sen w 0−kx=¿ m x¨ ¿ x+

¨ F k x = 0 sen w0 t m m

La ecuación está compuesta por dos soluciones las cuales son: SOLUCIONES: X C → solución complementaria X p → solución particular

(2.1)

X C → solución complementaria Donde la frecuencia natural esta denotada como W n , Procedemos a establecer la solución complementaria, la cual se determina al establecer el término del lado derecho de la (ec.2.1) igual a cero y resolver la ecuación homogénea resultante, tenemos que: F0 k sen w 0 t=0 x¨ + x=0 m m x c =C sen ( W n t+ ∅ ) W n=

√

k m

(2.2)

X p → solución particular Como el movimiento es periódico, la solución particular de la ecuación (ec.2.1) puede determinarse si se supone una solucione de la forma. x p=x sen w0 (donde x es una constante )(2.3)

Procedemos a calcular la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituimos en la ecuación (ec.2.1) y obtenemos que: X+

F0 k x= sen w0 t m m 2

−X w 0 t sen w0 t+

F k ( X sen w 0 t )= 0 sen w0 t m m

Procedemos a factorizar sen w0 t y resolvemos para encontrar X:

X=

F 0 /m k −w 20 m X=

F 0 /k 2

(2.4)

w 1−( 0 ) wn

Entonces sustituimos en la ecuación (ec.2.3) y obtenemos la solución particular: F 0 /k x p=¿

w0 2 1−( ) wn

sen w0 t

(2.5)

Solución general: Sumamos las funciones, tomando en cuenta que presentan frecuencia diferente: Tomamos en cuenta que esta ecuación está compuesta por dos partes; vibración libre y vibración forzada: x=x c + x p ¿ C sen ( W n t + ∅ ) +

Vibración libre

F 0 /k w0 2 1−( ) wn

(2.6)

Vibración forzada

Fricción =

{

sen w0 t

x c → Amortiguado → Estado transitorio x p → Permanente → Estado continuo

C

}

Donde: { ∅ son constantes }

La solución complementaria x c define la vibración libre, la cual depende de la frecuencia natural w n y la contante C y ∅. La solución particular x p describe la vibración forzada provocada por la fuerza aplicada F 0 sen w 0−kx=m x¨ . Como todos los sistemas vibratorios se someten a fricción, la vibración libre, x c se amortiguara al paso del tiempo. Por eso la vibración libre se conoce como transitoria y la vibración forzada se conoce como de estado continuo, puesto que es la única vibración que permanece. Según la ecuación (ec.4), la amplitud de vibración forzada o de estado continuo depende de la relación de frecuencia w 0 / wn . Si el factor de amplificación MF se define como la relación de la amplitud de la vibración de estado continúo X, a la deflexión estática F 0 /k , producida por la amplitud de la fuerza periódica F 0 entonces, según la ecuación.

MF=factor de amplificación MF=

MF=

x F0 k 1 w0 5 1−( ) wn

Al ser graficada esta esta ecuación, podemos observar que si de alguna manera la fuerza p desplazamiento se aplica con una frecuencia próxima a la frecuencia natural al sistema, es decir w 0 /wn =1, la amplitud de vibración del cuerpo llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre porque la fuerza F se aplica al cuerpo de modo que siempre siga el movimiento de este. Esta condición se llama RESONANCIA, esto da a lugar a esfuerzos tremendos

capaces de causar efectos desastrosos y averías dentro del sistema mecánico de la maquinaria. DETERMINAR LOS PARÁMETROS DEL RESORTE EN VIBRACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA Desplazamiento vertical En esta ocasión requerimos de una fuerza de desplazamiento vertical que simule la fuerza a la que se somete la suspensión al momento de caer en un bache. F=F 0∗sen ( w 0 t ) Para poder dar valor a nuestro F 0 tomaremos en cuenta la masa del conductor multiplicado por la gravedad lo cual nos da: 618.92 N y nuestra frecuencia forzada está fundamentada en la experimentación, donde la suspensión cumple un ciclo en un segundo, y despejando obtenemos que la frecuencia es 1. Pero recordamos que la frecuencia forzada tiene como formula W 0 =Frecuencia∗2 π entonces obtenemos tenemos que nuestra frecuencia forzada es de 2 π . Entonces nuestra fuerza de desplazamiento queda como: δ =618.92 sen (2 π t)

Situación: En este caso tenemos nuestra motocicleta donde el asiento de conductor esta rígidamente anclado a la parte superior de la suspensión mientras que la parte inferior de la suspensión está anclada por un eje a la parte móvil de la motocicleta, la cual es que sube y baja al momento de estar expuesto a variaciones de altura en la calzada o carretera. Tenemos un resorte con un coeficiente k =117082.987 N /m mientras que la masa de la motocicleta es de 189.2kg más el del conductor que es en este caso es de 63.09kg. Se somete a un desplazamiento vertical δ =618.92 sen (2 π t) Razonamiento: En este caso analizaremos al resorte por el método de una vibración forzada no amortiguada. Datos:

Coeficiente del resorte k =117082.987 N /m. Masa: motocicleta 189.2 kg, conductor 63.03 kg. Fuerza del desplazamiento vertical: δ =618.92 sen (2 π t) Para t=0 Procedimiento: Para esto partimos de las ecuaciones diferenciales de segundo grado no homogéneas. x+

F0 k x = sen w0 t m m

Luego se procede a remplazar por fórmulas que proporcionen una simplificación en la ecuación, y obtenemos la solución particular y complementaria. x c =C sen ( W n t+ ∅ ) ec .2 W n=

√

k m

x p=x sen w0 t ec .3 Tomando en cuenta que la ecuación general está compuesta por la suma de x c + x p . Entonces empezamos tomando nuestros datos conocidos procedemos a remplazar y despejar valores. Partimos de la ecuación general, donde tenemos con formula conocida la de la frecuencia natural, entonces procedemos a resolver tomando en cuenta que la masa es igual a la suma de la masa de la motocicleta más del conductor. 

Solución Complementaria x c =C sen ( W n t+ ∅ ) ec .2 W n=

W n=

√

k m

k 117082.987 117082.987 = = =21.5425 rad / s m 189.2+63.09 252.29

√ √

Remplazando obtenemos:

√

(

x c =C sen 21.5425



rad t +∅ s

)

Solución Particular F 0 /k x p=x sen w0 t donde x=¿

x=

F 0 /k 2

1−(

w0 ) wn

=

1−(

w0 2 ) wn

618.92/117082.987 2 2π 1−( ) 21.5425

x=5.777∗10−3 x p=5.777∗10−3 sen ( 2 π t ) 

Solución General X =x c + x p

(

X =C sen 21.5425



rad t+ ∅ + x sen ¿ s

)

Aplicando las condiciones iniciales tenemos que: Tomando en cuenta que el Angulo ∅ se despejo en el ejercicio anterior. X=5

t=0

∅=77.8

(

5=C sen 21.5425 C=

5 sen ( (77.8) )

rad (0)+(77.8) +5.777∗10−3 sen ( 2 π 0 ) s

)

C=5.11 cm Amplitud del resorte Entonces tenemos:

(

X =5.11 sen 21.5425

rad t+77.8 +5.777∗10−3 sen ( 2 π t ) s

)

Vibración libre

Vibración forzada

MF=factor de amplificación MF=

MF=

x F0 k 1 2 2π 1−( ) 21.5425

MF=1.0929

III. Vibración forzada viscosa amortiguada. – A este tipo de movimiento se lo puede describir como la unión del movimiento forzado y el de movimiento amortiguado, supongamos un sistema en el cual interactúa un amortiguador, un resorte y un bloque con una respectiva fuerza oscilatoria. Recordemos que el análisis de este sistema parte desde un análisis cinético, aplicando la segunda ley de Newton: (3.1)

∑ F x =ma x Remplazando los valores de nuestro sistema obtenemos:

Figure 1. Representación de sistema forzado amortiguado.

+↓ mg−K ( ∆x + x ) + F∗sen ( ω F t )−c x˙ =m x¨ +↓ mg−K ∆ x −Kx+ F∗sen ( ω F t ) −c x˙ =m x¨

(3.2)

Recordemos que K ∆ x =mg por lo tanto estas fuerzas son anuladas, dejando la expresión ordenada de la siguiente forma: m x¨ + c x˙ + Kx=F∗sen ( ω F t ) (3.3) Si trabajamos esta ecuación diferencial de segundo orden podemos obtener su resultado como una descomposición en un resultado particular y general dado por x=e λ: m x¨ + c x˙ + Kx=0 m λ2 e λt + cλ e λt + K e λt =0 ; e λt (m λ2 +cλ+ K )=0 m λ2 +cλ+ K =0( 3.4) Para resolver utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado: −c ± √ c 2−4 (m)(K) −c λ= = ± 2(m) 2m

λ 1=

−c + 2m

√(

√( ) √( )

c 2 k −c − ; λ2 = − 2m m 2m

)

c 2 k − 2m m c 2 k − (3.5) 2m m

Para determinar el coeficiente de amortiguación crítica c c lo hacemos como el valor de c que hace que el radical presente en la ecuación sea igual a cero:

cc 2 K − =0 2m m

( )

c c =2 m

√

K =2 m∗ω n( 3.6) m

Con estos valores podemos determinar si dicho sistema es críticamente amortiguado, subamortiguado o sobreamortiguado. Sobreamortiguado. – Cuando c >c c y las respuestas de λ 1 y λ 2 son números reales diferentes, su solución general es: x= A e λ t + B e λ t (3.7) 1

2

Lo que significa esto es que el sistema es no vibratorio, el efecto de amortiguación es tan fuerte que cuando el bloque se suelta este regresa a su posición original sin la necesidad sin oscilar. Críticamente Amortiguado. – Si c=c c y λ 1=λ2, con esto c tiene el valor mínimo necesario para hacer que el sistema sea no vibratorio, por lo tanto su solución general es: x=( A+ Bt ) e ω t (3.8) n

Sistema subamortiguado. - En la cual c