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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El suelo es el material de construcción más abundante del mundo y en muchas zonas constituye, de hecho el único material disponible localmente. Cuando el ingeniero en su vida práctica emplea al suelo como fuente de material de construcción debe seleccionar el tipo adecuado de suelo, así como la cantidad seleccionando el método de colocación y después, controlar la colocación en la obra. De las diferentes fuerzas a las cuales queda sometida una estructura de contención la más significante es el llamado empuje de tierras. Se llama así al conjunto de las presiones laterales ejercidas por el suelo contra la pared de la estructura (Figura 5.1). A la determinación de la magnitud de esas presiones y de la forma como están distribuidas se refieren los métodos de análisis conocidos como teorías de empuje lateral de tierras. Dos teorías, antiguas de origen pero todavía validas en la actualidad, son la de Coulomb y la de Rankine, conocida como las teorías clásicas de empuje de tierras. La presión aplicada por el cimiento sobre el suelo se transmite, se distribuye y se disipa dentro del suelo generando al mismo tiempo deformaciones o asentamientos. El concepto de presión activa y pasiva es de importancia particular en los problemas de estabilidad del suelo, apuntalamiento de excavaciones, diseños de muros de contención, y desarrollo de resistencia a la tracción (Bowles, 1982, p439). Se dice que un macizo está en equilibrio plástico cuando se halla cada uno de sus puntos en el límite de la rotura. A estos tipos de equilibrio se le denomina equilibrios de Rankine, del nombre del profesor escocés Rankine que los estudió en 1857 por métodos de estudio de tensiones (Graux. 1975, p35).

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Superficie del suelo Sobrecargas

Corona

LLENO Paramento frontal

Paramento posterior

Superficie del suelo

MURO

Empuje de tierras

Empuje de tierras

Pata Talón

Pie Reacciones del suelo de cimentación Base

Figura 5.1. Fuerzas que actúan sobre un muro de contención.

Para el estudio de todos los problemas de infraestructura, es necesario que el ingeniero conozca los esfuerzos que ejercen en las estructuras el terreno y las cargas que éste recibe, o las reacciones que tales estructuras pueden originar en el terreno para poder lograr su equilibrio (Graux. Op cit. p91).

246

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El estudio de la teoría de Rankine conduce a entender mejor el comportamiento de los suelos en lo relacionado con el empuje de tierras. De otra parte, suministra bases importantes para el tratamiento de otros de problemas, como lo es el estudio de la capacidad de soporte de suelos de cimentación.

5.1.

ESFUERZOS EN EL SUELO EN UN PUNTO.

La evaluación de los esfuerzos efectivos vertical y horizontal, dentro de un deposito de suelo, y de los esfuerzos máximos efectivos impuestos al suelo desde su deposición, es un requisito general para definir el comportamiento del suelo (Merrit F., 1983, p7-19). El suelo formado en un depósito de tipo residual o sedimentario produce una columna de suelo sobre cualquier elemento (figura 5.2) en la que se puede observar que la presión vertical es

σ v = p0 = γh

(5-1)

Durante la formación de un depósito, el elemento se consolida bajo la presión σv. El esfuerzo vertical produce un flujo lateral en el suelo que lo rodea debido al efecto de la relación de Poissón. El suelo circundante resiste el efecto del flujo lateral con un esfuerzo lateral en σh’. A lo largo del tiempo, la consolidación y las deformaciones laterales y verticales por compresión secundaria llegarán a cero, desarrollando un estado de esfuerzos estables, donde σh’ y σv serán los esfuerzos efectivos principales debido a que un desplazamiento de cero producirá cero de esfuerzos cortantes en los planos vertical y horizontal que definen el elemento del suelo. El equilibrio producido en la condición in situ para este estado de esfuerzos comúnmente se denomina condición K0.

247

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

h

σv = γh = p0

σh

σ1

σh

σ3

σv

σ3

σv

σ1

σh

σh

σv

σ3 = K0σ1

(a)

(b)

(c)

Figura 5.2. Desarrollo de los esfuerzos in situ. (a) esfuerzos durante la depositación (formación del depósito); (b) esfuerzos en la condición estable; (c) esfuerzos en la pared de la excavación.

La relación de presiones laterales y verticales del suelo in situ puede definirse con un factor K como

K=

σh σv

(5-2)

La condición K0, en particular, es la relación de las presiones efectivas de equilibrio,

K0 =

σ h σ '3 = γh σ '1

248

(5-3)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El intervalo de K0 es el siguiente

K0 < 1para suelos normalmente consolidados K0 < 1para suelos sobre – consolidados (OCR < 3 aproximadamente) K0 < 1para suelos sobre – consolidados (OCR > aproximadamente)

La relación de sobreconsolidación OCR, definida como

OCR =

pc γh

(5-4)

Las condiciones de esfuerzos in situ representan algún estado de equilibrio elástico, debido a que con cero desplazamiento el suelo puede considerarse un medio continuo elástico. La determinación de K0 que mide σh in situ es casi imposible, debido a que se pierde cuando se hace una excavación a un lado del elemento. Jaky en 1948 y luego Brooker y Ireland en 1965 (citados por Bowles, 1982, p438), con base en observaciones de presiones en silos, sugirieron la siguiente ecuación para la presión lateral in situ.

K 0 = M − sen φ '

(5-5)

donde: M = 1 para suelos normalmente consolidados, sin cohesión y cohesivos. = 0.95 para arcilla sobre – consolidada del orden de OCR > 2

φ’ = ángulo efectivo de fricción interna. El uso de está ecuación permite un estimativo razonable de la presión lateral de tierra in situ.

249

MECÁNICA DE SUELOS

5.2.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

TEORÍA DE RANKINE

La teoría de Rankine1, cronológicamente posterior a la teoría de Coulomb, considera en su análisis inicialmente el estado de esfuerzos en una cuña infinitesimal que pertenece a una masa de suelo cuya superficie es horizontal, en el momento en el que el suelo se encuentra al borde de la rotura, caso denominado estado de equilibrio plástico (Figura 5.3). Esta teoría se funda en un caso particular de material no cohesivo, y para el cual la teoría puede considerarse como exacta. Sin embargo, para otro tipo de suelo la teoría es solo aproximada (Crespo, 1994, p192). Se considera un elemento infinitesimal de volumen dV de arena a una profundidad z, sobre él cual actuará una presión vertical igual a γz, donde γ es el peso unitario del suelo; significa que la presión vertical es igual en todos los puntos que estén a la misma profundidad. Pero, por otro lado, no se sabe el valor del esfuerzo horizontal, ni de la presión de la arena sobre las paredes laterales en el mismo elemento de volumen. Considerando el caso en el que una de las paredes verticales, ab, se puede desplazar hacia fuera moviéndose paralelamente a sí misma (Figura 5.3. a) es natural que dicho movimiento produzca una reducción de la presión del suelo contra ella y que ésta presión vaya disminuyendo a medida que se desplaza la pared. Llegará algún momento en que los esfuerzos de cizalladura por expansión de la arena estén a punto de producir la rotura del suelo, llamado estado de equilibrio límite activo, que es un estado de equilibrio plástico. En dicho momento la presión horizontal del suelo contra la pared habrá llegado a su mínimo valor posible, lo que indica que si ha partir de este momento se corre más la pared hacia fuera sé producirá desplazamientos de las partículas de arena. La deformación unitaria del suelo que produce dicho estado está dada por:

ε1 =

1

δ1 L

(5-6)

William Rankine, científico escocés profesor de ingeniería civil en la universidad de Glasgow, publicó su teoría del empuje de tierras contra estructuras de contención en el año de 1857.

250

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

donde: L es la longitud de la caja prismática y,

δ1 es el desplazamiento hacia fuera de la pared ab. hasta la posición a1b1 que produce el estado de equilibrio activo.

Considerando el caso en el que la pared ab. es empujada hacia adentro (Figura 5.3. b) a medida que ella avanza en la dirección de la arena la presión entre ésta y la pared de la caja aumenta, hasta llegar al momento en que está a punto de producirse la rotura de la masa de suelo. Este es el otro estado de equilibrio límite posible, llamado estado pasivo de Rankine.

5.2.1. Condiciones del equilibrio plástico. Cuando el círculo de Mohr es tangente a la curva de resistencia intrínseca, se dice que se está en un estado de equilibrio límite (Figura 5.4). En efecto, todo aumento de tensión puede causar la rotura por fluencia plástica. El equilibrio límite se presenta como el estado que precede inmediatamente a la rotura (Costet, 1975, p239).

251

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Arena sin cohesión ( c=0 )

a

a1

f

d

PA =

H

b

b1

g

γz Nφ

e

γH Nφ

L

δ1

a) ESTADO ACTIVO

Arena sin cohesión ( c=0 )

a

a2

f PP = γzNφ

H

b

b2

g

γHNφ

δ2 L

b) ESTADO PASIVO

Figura 5.3. Estados de equilibrio límite en una arena sin cohesión.

252

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

τ T

ϕ

y

P

Ym

Ν3

c

Νf

σ

T´ H=

y

σm

H

cot ϕ

Figura 5.4. Equilibrio límite.

Los círculos de Mohr los estados posibles de equilibrio plástico tocan la envolvente de falla porque están sujetas a una condición límite (Figura 5.5). Los puntos A y C representan, respectivamente: OA = σ’ha = presión lateral activa. OC = σ’hp = presión lateral pasiva.

De la Figura 5.5 se dice: La expansión lateral conduce a σ’ha < σ’v. La contracción lateral conduce a σ’hp > σ’v.

253

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

+τ

Envolvente de falla E

2α=90+ϕ´ D

ϕ´ O

ϕ´

α

A

F

2α

α B

2α

σ´

C

G

σ´ha σ´v σ´hp −τ

σ´ v

σ´ 3 =σ´ ha

σn τ

σ´ v

´ σ´ 3 =σhp

τ

σn αp

αa

expansión

compresión

Figura 5.5. Estados de equilibrio plástico de Rankine

254

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Según Whitlow, 1994, la relación entre la presión lateral límite y el esfuerzo vertical se representa mediante un coeficiente de presión de tierra, así: σ’ha = Kaσ’v (Ka coeficiente de presión activa de tierra)

σ’hp = Kpσ’v

(Kp coeficiente de presión pasiva de tierra)

Partiendo de la Figura 5.5, y teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas, se puede expresar los coeficientes de presión en términos del ángulo de fricción interna del suelo (φ):

Ka =

σ 'ha OA OF − AF 1 − AF OF = = = σ 'v OB OF + FB 1 + FB OF

Se tiene: AF = FB = FD, y FD/OF = sen φ Entonces:

Ka =

1 − sen φ 1 + sen φ

(5-7)

Como se ha visto la rotura de un suelo se produce según planos de deslizamiento inclinados a

π φ   +   4 2 respecto al plano en el que se ejerce la menor tensión principal σ3, y por consiguiente a

π φ   −   4 2

255

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

respecto al plano en el que se ejerce la menor tensión principal. Las tensiones principales extremas σ3 y relaciones 2-17 ó 2-19.

σ1, están ligadas por las

Estas condiciones se cumplirán en cualquier punto de un macizo en equilibrio plástico, que se podrá definir diciendo que por todos los puntos de este macizo pasan dos superficies de deslizamiento, formando entre sí los ángulos

π 2

−φ y

π 2

+φ

Estas condiciones están representadas en la Figura 5.5 por medio de los triángulos semejantes ODB y ODA, así:

OB OD DB = = OD OA DA Teniendo DB/DA = tan α Dando como resultado:

OB φ π φ   = tan 2α = tan 2  +  = tan 2  45º +  2 OA  4 2  Entonces:

Ka =

OA φ  = tan 2  45º −  2 OB 

256

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Por tal situación se obtiene: Ka =

1 − sen φ φ  = tan 2  45º +  1 + sen φ 2 

(5-7) Kp =

1 + sen φ φ  = tan 2  45º −  1 − sen φ 2 

(5-7a)

Las tensiones que se ejercen en los en los planos bisectores de las tangentes a las superficies de deslizamiento son compresiones simples, ligadas por las relaciones

π φ  π φ  +  + 2 Ctan  +  4 2 4 2

ο 3 = σ 1 tan 2 

para un suelo cualquiera, y para un suelo no coherente (C=0)

σ

3

φ  π = σ 1 tan 2  +  4   2

(5-8)

La deformación unitaria en este caso esta dada por

ε2 =

δ2

(5-9)

L

De acuerdo con la teoría de la resistencia al corte de los suelos, la relación entre los esfuerzos principales (σ1 y σ3) para el momento de falla de un suelo con fricción interna y cohesión, es:

σ 1 = σ 3tan 2 (45º + φ2 ) + 2C

257

φ

tan(45º + 2 )

(5-10)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

donde σ1 es el esfuerzo principal mayor. La escritura de tan2 (45º + φ/2), se acostumbra abreviar así: φ

Nφ = tan 2 (45º + 2 )

(5-11)

De esta manera queda:

σ 1 = σ 3 Nφ + 2C Nφ Para el caso de estado activo (Figura 5.4): Esfuerzo principal mayor

σ 1 = OA = pv = γz Esfuerzo principal menor

σ 3 = OE = ph y

C=0

258

(5-12)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

τ

X

Cp

τ=σtan

C4 C3

CA O

E DB

A

F

G

H

σ

Figura 5.6. Círculos de Mohr para diferentes estados de esfuerzos.

De la expresión 5-11 se desprende que

σ3 =

σ 1 2 ⋅ c Nφ − Nφ Nφ

259

(5-13)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Teniendo

cos φ 1 − sen φ

(5-14)

2⋅c σ1 − Nφ Nφ

(5-15)

Nφ =

Se tiene

σ3 =

La presión horizontal a la profundidad z se puede representar así:

ph =

2c 2⋅c γ ⋅z pv − = − Nφ Nφ 1 + sen φ Nφ 1 − sen φ

(5-16)

Se puede observar que la presión activa varía linealmente con la profundidad z, al igual que la presión vertical; siendo la “curva” de distribución de esfuerzos horizontales ph en cualquier plano vertical que corta la arena, una recta como se indica en la Figura 5.3.a. Esta recta representa las presiones activas que ejerce el suelo contra la pared vertical ab a distintas profundidades z. Para este caso, en la que c = 0:

ph =

γ ⋅z

1 + sen φ 1 − sen φ

=γ ⋅z⋅

1 + sen φ 1 − sen φ

(5-17)

Reemplazando pA = K A ⋅ γ ⋅ z

260

(5-18)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El valor de la fuerza total activa (empuje activo) ejercida por la arena contra la pared, representada por el área del triángulo de presiones de la figura esta dada por:

EA = K A

γ ⋅ z2 2

(5-19)

más comúnmente, reemplazando z por h:

EA =

γ ⋅ h2

φ  tan 2  45 −  2 2 

(5-20)

Considerando para el caso de empuje pasivo una vez más que la pared ab es movida contra la arena; aumentando el esfuerzo horizontal ph, que en el estado inicial tenía un valor que se supuso representado por OB en la Figura 5.5 en tanto que se conserva el valor de pv = γz.

Se parte de nuevo de la ecuación 5-12:

σ 1 = σ 3 N φ + 2c N φ

(5-12)

En este caso (estado pasivo) se tienen las siguientes consideraciones: Esfuerzo principal mayor σ1 = OH = ph Esfuerzo principal menor σ3 = OA = pv = γz c=0

261

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

σ 3 − σ1 2

B

c

φ

C

c cot φ

σ1 + σ3 2 σ3 Figura 5.7. Círculo de Mohr para el caso general de un suelo con cohesión.

La expresión para valorizar el empuje pasivo se puede obtener de la misma manera que para el empuje activo, dibujando el círculo de Mohr para el caso general de suelo con cohesión (Figura 5.7). Del triangulo ABC se tiene:

σ 3 − σ1 2

σ + σ1   =  c ⋅ cot φ + 3  sen φ 2  

(5-21)

σ 3 − σ 1 = 2c ⋅ cot φ sen φ + σ 3 sen φ + σ 1 sen φ

(5-22)

σ 3 − σ 1 = 2c ⋅ cos φ + σ 3 sen φ + σ 1 sen φ

(5-23)

σ 3 − σ 3 sen φ = σ 1 + σ 1 sen φ + 2c ⋅ cos φ

(5-24)

σ 3 (1 − sen φ ) = σ 1 (1 + sen φ ) + 2 ⋅ c cos φ 262

(5-25)

MECÁNICA DE SUELOS

σ3 =

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

σ 1 (1 + sen φ ) 2c ⋅ cos φ + 1 − sen φ 1 − sen φ

(5-26)

σ 3 = σ 1 ⋅ N φ + 2 ⋅ c Nφ

(5-27)

Para un suelo en el cual c = 0 se tiene:

ph = pv ⋅

1 + sen φ 1 + sen φ =γ ⋅z⋅ 1 − sen φ 1 − sen φ

(5-28)

Como ph es aquí el valor particular de la presión pasiva, se le designa por pp. Se obtiene: (5-29)

pp = K p ⋅γ ⋅ z

El empuje pasivo total está representado por él triangulo de presiones de la figura 5:3.b; cuyo valor es: z Ep = γ ⋅ z ⋅ ⋅ K p 2 Ep =

Ep =

(5-30)

γz 2 1 + sen φ ⋅ 2 1 − sen φ

(5-31)

γz 2

φ  ⋅ tan 2  45 +  2 2 

(5-32)

263

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

De lo anterior puede decirse que una masa de suelo está en estado de equilibrio plástico si se encuentra en cada uno de sus puntos en el límite de rotura.

5.2.2. Aplicación de la teoría de Rankine

La aplicación de la teoría de Rankine para determinar la magnitud del empuje de tierras está sujeta a las siguientes características:

-

Paramento interno vertical, liso (sin fricción)

-

Suelo con superficie horizontal.

Se tienen 5 casos sencillos: 1. Empuje activo de un suelo sin cohesión, debido a su propio peso. 2. Empuje pasivo de un suelo sin cohesión, debido a su propio peso. 3. Empuje activo que ejerce el suelo sin cohesión parcialmente sumergido. 4. Incremento del empuje activo que produce una sobrecarga uniforme. 5. Influencia de la cohesión del suelo en la modificación del empuje activo. Su campo de aplicación a problemas prácticos de empuje se encuentra bastante limitado, porque el análisis se queda en casos que son bastante particulares. La mayor extensión que se le da a la teoría de Rankine llega hasta la determinación del empuje ejercido por un suelo de superficie plana inclinada sobre una pared vertical.

264

MECÁNICA DE SUELOS

5.2.2.1.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Empuje activo de un suelo sin cohesión, debido a su propio peso.

La relación entre la presión horizontal ph y la presión vertical pv se le z llama en general coeficiente de empuje de tierras. En el caso particular de empuje activo su valor esta dado por:

1 ph p = A = pv γz Nφ

(5-33)

En el estado de equilibrio activo dicha relación se designa por KA y se le llama coeficiente de empuje activo. De manera que para este caso

KA =

1 Nφ

(5-34) φ

Se ha visto que Nφ = tan 2 (45º + 2 )

Puede demostrarse también:

Nφ =

1 + sen φ 1 − sen φ

(5-35)

Así : φ

φ  sen 2 (45º + 2 )  tan  45º +  = 2  cos 2 (45º + φ2 ) 

(5-36)

2

265

MECÁNICA DE SUELOS

Por

identidades

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

trigonometricas : (5-37)

φ  1 − cos(90º +φ ) 1 + sen φ  sen 2  45º +  = = 2 2 2  φ  1 + cos(90º +φ ) 1 − sen φ  cos 2  45º +  = = 2 2 2 

(5-38)

φ  1 + sen φ  tan 2  45º +  = = Nφ > 1 2  1 − sen φ 

(5-39)

Superficie del suelo

a

Nφ = Tan2 (45º + φ/2)

H

EA =

2 1 γH Nφ 2

H/3

b

Ph = PA =

γz Nφ

Figura 5.8. Empuje activo de un suelo sin cohesión contra una pared vertical lisa.

266

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Lo que quiere decir que el coeficiente de empuje activo es aquí menor que la unidad y puede estar expresado de esta forma:

KA =

1 − sen φ 1 1 − sen φ

(5-43)

Se observa que si la pared estuviera conteniendo, en lugar del suelo, un fluido de peso unitario γ, el empuje que éste ejercería contra la pared ab, sería:

E=

γH 2

(5-44)

2

El empuje activo es menor que este valor, y el empuje pasivo es mayor.

5.2.2.3.

Empuje activo que ejerce el suelo sin cohesión parcialmente sumergido.

Puede deducirse el valor de la presión vertical σv en cualquier punto a la profundidad z’ por debajo del nivel freático:

σ v = γH1 + γ ' z '+γ w z '

(5-45)

La presión horizontal activa pA contra la pared de contención a la misma profundidad z’ está determinada por:

pA =

γH1 γ ' z ' + + γ w z' Nφ Nφ

(5-46)

268

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

a

γH

H1

N φ

i

g

z

1

N.F.

γ ' z' Nφ

H H2 γH 1 N φ

z’ γwz’

d

e

f

b γH 1 N φ

γ 'H2 Nφ

γwH2

Figura 5.10. Suelo parcialmente sumergido.

La presión horizontal ejercida por el agua no está afectada por el coeficiente de empuje activo. El empuje total contra la pared ab se puede hallar por la suma de las áreas del triangulo agi, del rectángulo gbdi y de los triángulo ide e ief, de tal manera que su valor es:

EA =

γH12 γH1H 2 γ w H 22 + + Nφ 2 Nφ 2

(5-47)

El punto de aplicación puede calcularse tomando momentos de las fuerzas representadas por cada una de las cuatro áreas con respecto al punto b.

269

MECÁNICA DE SUELOS

5.2.2.4.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Incremento del empuje activo que produce una sobrecarga uniforme q.

Sobrecarga q a f

z

γz Nφ

q Nφ

d

b γz Nφ

e q Nφ

Figura 5.11. Empuje activo de un suelo sin cohesión con sobrecarga.

Si la sobrecarga q, es aplicada sobre un área muy extensa de la superficie del suelo, induce a cualquier profundidad desde cero hasta una profundidad H a una presión vertical de la misma magnitud, q, produciendo una presión horizontal contra la pared vertical de magnitud:

σ h = K Aq =

q Nφ

(5-48)

270

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El empuje debido al peso propio del suelo, se incrementa con él debido a la sobrecarga. El empuje total está representado por:

EA =

γH 2 qH + 2 Nφ N φ

(5-49)

Valor que esta representado por el polígono abef de la Figura 5.10.

5.2.2.5.

Influencia de la cohesión del suelo. c

2c Nφ

a

2c

Z0

γ

C ≠ 0; φ ≠ 0

Hc

e z

Nφ

Z0

H f

g

γz Nφ

b

d

2c Nφ

i

γz Nφ Figura 5.12. Empuje activo, suelo con cohesión y fricción interna.

271

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

En este caso (Figura 5.12) se introduce un elemento nuevo en comparación con los casos anteriores, como lo es el de la cohesión del suelo. La cohesión no era considerad en la teoría de Rankine inicialmente; está fue introducida posteriormente por Resal y otros investigadores (Marqués, 1991, p27). Despreciando la fricción entre la pared y el suelo, como es el caso, puede considerarse los esfuerzos verticales y horizontales en el suelo como esfuerzos principales.

σ 1 = pv = γz

(5-50)

σ 3 = ph = pa

(5-51)

pv = ph Nφ + 2c Nφ

(5-52)

De tal manera que:

ph =

pv 2c − Nφ Nφ

pA =

2c γz − Nφ Nφ

(5-53)

(5-54)

Lo que quiere decir que la distribución de presiones es lineal, con un valor de cero a la profundidad z0, se deduce que:

pA = 0 =

z = z0 =

γz 2c − Nφ Nφ 2c

γ

(5-55)

Nφ

(5-56)

272

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

De acuerdo con esto, si el paramento tiene una altura:

H = Hc =

4c

γ

Nφ = 2 z 0

(5-57)

El empuje de tierras EA será nulo. Considerando un talud vertical de un suelo cohesivo sin soporte vertical, en principio puede mantenerse en equilibrio si su altura es inferior a Hc, teniendo en cuenta que la presión contra el muro varía a lo largo de la profundidad H, sobre la cara vertical de un talud sin soporte el esfuerzo normal n todos los puntos es nulo; a consecuencia de esta diferencia, la máxima profundidad a la cual se puede llegar en una excavación de paredes verticales sin soporte es ligeramente inferior a Hc. Teóricamente, el suelo no ejerce ningún empuje contra la pared hasta la profundidad z0, debido a que la cohesión entre sus partículas lo impiden. Realizando un análisis matemático, el empuje total contra la pared sería: H

 γz 2c   dz −  Nφ Nφ  

EA =

∫

EA =

γH 2 2cH − 2 Nφ Nφ

0

(5-58)

(5-59)

Esta ecuación no es aceptable para el cálculo del empuje real mientras no existan las tensiones de adherencia. Al empuje real, en cuestión se le denominara E’A representado por:

γH 2 2cH 2c 2 − + E'A = 2 Nφ γ Nφ

(5-60)

273

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Considerando que es un líquido perfecto el que ejerce el empuje, dicho material tendrá resistencia a la cizalladura nula, con c = 0 y φ = 0, de donde Nφ = 1, la ecuación se puede representar así:

E'A =

5.3.

γH 2

(5-61)

2

TEORÍA DE COULOMB.

La llamada teoría de Coulomb fue desarrollada en 1773, por el científico e ingeniero militar Charles Augustin de Coulomb2. La teoría considera el paramento interno de un muro de contención que resiste al empuje de un suelo cuya superficie puede ser de cualquier forma (Figura 5.13). La teoría parte de las siguientes consideraciones: 1. El suelo es un material granular, homogéneo, isótropo, con fricción interna pero sin cohesión; capaz de resistir sólo esfuerzos de compresión y de corte. 2. El muro, de paramento interno plano, cede hacia fuera hasta el punto de que la rotura del suelo tiene a lo largo de una superficie plana; condición que corresponde al llamado estado de equilibrio activo en la teoría de Rankine. 3. La cuña que se desliza es considerada como un cuerpo rígido, estudiando en ella el equilibrio de la misma con las diferentes fuerzas actuantes sobre esta que son: a. El peso propio. W1. b. Las reacciones normales y tangenciales de la parte del suelo que limita con la cuña en la superficie. F1.

2

Físico e ingeniero francés, (1736 – 1806). Simultaneó una activa carrera de ingeniero con profundas investigaciones sobre temas de mecánica y electricidad. Se le deben importantes realizaciones en el campo de la física, en especial del electromagnetismo.

274

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

W

φ

α−δ β−φ

α

β

Figura 5.13. Hipótesis de la teoría de Coulomb.

c. Las reacciones normales y tangenciales de la pared interna del muro de contención. P1. Al ser estas tres fuerzas, las únicas que actúan sobre la cuña, las fuerzas deben estar en equilibrio. De dichas fuerzas se conoce:

-

La magnitud, la dirección y el punto de aplicación de W1.

-

La dirección de F1.

-

La dirección de P1.

Producto de esto se puede construir un triangulo de fuerzas (Figura 5.14).

275

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

θ P1

W1

F1 φ

Figura 5.14. Triangulo de fuerzas que representa la hipótesis de la teoría de Coulomb.

De la construcción del triangulo de fuerzas se obtiene la magnitud de F1 y la de P1. Esta ultima es de gran interés, pues es la fuerza directamente opuesta e igual en magnitud a la resultante de las presiones que el suelo ejerce sobre el muro. En otras palabras P1, es el empuje de tierras que se busca. El método de Coulomb puede ser adaptado a cualquier condición de borde. Su único inconveniente consiste en la necesidad de efectuar una simplificación con respecto a la forma de la superficie de deslizamiento.

276

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Figura 5.15. Coeficientes de presión de tierra. (Tomada de Suárez, 1992, p169)

277

MECÁNICA DE SUELOS

5.4.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

ALCANCE DE LA APLICACIÓN DE LAS TEORÍAS DE COULOMB Y DE RANKINE.

Las teorías de Rankine y de Coulomb, antiguas en su origen pero todavía de plena actualidad, son conocidas como las teorías clásicas de empuje de tierras. Estas teorías presentan un alcance de la aplicación en la práctica de cada un de los métodos anteriores, como lo son: a. Las teorías de Coulomb y de Rankine son basadas en la hipótesis de suelo sin cohesión. Sin embargo, las dos teorías han sido extendidas, a casos de suelos con cohesión, por algunos investigadores. b. El despreciar la cohesión en los cálculos de empuje de tierras va del lado de la seguridad y no introduce un error cundo se trata de suelos gruesogranulares, que son los de mejor calidad para llenos. c. También se desprecia la cohesión en limos no plásticos. d. Despreciar la fricción entre muro y suelo no introduce ningún error significativo en el cálculo de empuje activo. Para empuje pasivo, esta consideración de dicha fricción hace aumentar el valor del empuje del 100 al 200% en comparación con el caso en que el rozamiento se hace de lado. e. La principal diferencia entre las teorías está en la dirección de las presiones resultantes, lo que causa diferentes momentos de volcamiento. f. En general, y para muros de proporciones usuales, la teoría de Coulomb se aplica a los que tienen paramento interno plano o que puede suponerse plano, como los tipos comunes de gravedad y semi-gravedad. Y la teoría de Rankine se aplica a paramentos internos no planos, como los tipos de voladizo y contrafuerte. g. La teoría de Rankine es muy usada para el cálculo de presiones sobre tablestacados, pues en este caso las condiciones reales se asimilan más a la hipótesis de dicha teoría.

278

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

h. Terzaghi recomienda tomar el ángulo de fricción entre muro y suelo con un valor comprendido entre

1 2 φy φ 2 3

5.5.

PRESIONES ACTIVA Y PASIVA DE TIERRA.

Los conceptos de presiones activa y pasiva de tierra son de importancia particular en los problemas de estabilidad del suelo, apuntalamiento de excavaciones, diseños de muros de contención y desarrollo de resistencia a la tracción utilizando varios tipos de anclaje (Bowles, 1980, p439). Al construir cimientos, por lo general se encuentran tres tipos de presión en el suelo:

-

Presión activa.

-

Presión pasiva.

-

Presión de reposo.

Cada una de las presiones depende de muchas de las propiedades físicas del suelo, así como de la rigidez relativa de éste y la estructura construida. Las propiedades más significativas del suelo parecen ser (F. Merrit. 1982, p360):

-

densidad.

-

ángulo de fricción interna (arenas).

-

relación de sobreconsolidación (arcillas).

El problema práctico consiste en encontrar el empuje activo mínimo del terreno sobre el muro para construir éste con la capacidad precisa para

279

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

resistirlo, o bien encontrar él empuja pasivo máximo para proyectar un anclaje o apoyo con las dimensiones necesarias para transmitir el esfuerzo.

h

E. activo h/3

h’

E. pasivo h’/3

Figura 5.16. Empuje activo y pasivo.

-

Presión activa.

Se llama covencionalmente equilibrio activo de Rankine o equilibrio inferior aquel en el que la segunda tensión es inferior a la que está relacionada con la carga vertical (Graux, 1975, p37). Ejerce empujes horizontales y verticales contra cualquier estructura que se oponga a la tendencia natural de la tierra a caer, deslizarse o escurrirse hacia su estado de equilibrio natural, pero que cede poco ante la presión, tiende a mover la estructura en la dirección en la cual actúa la presión.

280

MECÁNICA DE SUELOS

-

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Presión pasiva.

Equilibrio pasivo de Rankine o equilibrio inferior es aquel en el que la segunda tensión es superior a la que está relacionada con la carga vertical. Esta presión actúa cuando una estructura tiende a comprimir la tierra, se opone al movimiento de la estructura.

-

Presión de reposo.

Es la presión horizontal del suelo contra una superficie vertical rígida. Las presiones del suelo se generan contra paredes verticales que no ceden en absoluto: Dichas presiones representan una situación intermedia entre los casos extremos de presión activa y pasiva (Merrit, 1982, p363).

5.5.1. Fórmulas y tablas para él cálculo del empuje de tierras. Partiendo de las teorías de Rankine y Coulomb se han elaborado una serie de fórmulas, tablas y gráficos que permiten calcular el empuje de tierras activo y pasivo para diferentes casos.

a. Suelo inclinado sin cohesión. Con una superficie inclinada, la teoría de Rankine considera el equilibrio estático de un elemento a una profundidad H. El peso del suelo actúa verticalmente y la presión lateral de tierra es conjugada al peso (Figura 5.17). La teoría considera una superficie sin fricción, por lo cual, los esfuerzos en la cara vertical del elemento son esfuerzos principales.

281

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El análisis matemático lleva a las siguientes fórmulas: -

Empuje activo.

EA = K A -

γH 2

(5-62)

2

Empuje pasivo. γH 2 Ep = K p 2

(5-63)

β

EA = K A

H

EA

K A = cos β

γH 2 2

cos β − cos 2 β − cos 2 φ cos β + cos β − cos 2 φ

H/3 Valido para β ≤ φ

Figura 5.17. Relleno de superficie plana inclinada

282

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

En donde: K A = cos β

K p = cos β

cos β − cos 2 β − cos 2 φ cos β + cos β − cos 2 φ cos β + cos 2 β − cos 2 φ cos β − cos β − cos φ 2

2

(β ≤ φ )

(5-64)

(β ≤ φ )

(5-65)

KA y Kp son respectivamente, los coeficientes de empuje de tierras activo y pasivo. Las fórmulas anteriores son válidas para β ≤ φ, llamando β al ángulo que forma la superficie del lleno con el plano horizontal. Para β = 0 (cos β = 1), los valores de los coeficientes se reducen (Figura 5.18) a:

KA =

1 − sen φ 1 = 1 + sen φ Nφ

(5-66)

Kp =

1 + sen φ = Nφ 1 − sen φ

(5-67)

Estos últimos son los coeficientes de empuje de tierras presentados en las ecuaciones 5-11 y 5-33.

283

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

β=0

KA =

1 − sen φ 1 = 2 1 + sen φ tan (45º + φ 2 )

H EA Cuando β = 0

H/3

Figura 5.18. Relleno de superficie horizontal.

284

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Valores de

φ  1 − sen φ  K a = tan 2  45º −  = 2  1 + sen φ  φ  1 + sen φ  K p = tan 2  45º +  = 2  1 − sen φ  φ

tan φ

Ka

Kp

0 10 15 20 25

0 0.176 0.268 0.364 0.466

1.00 0.70 0.59 0.49 0.41

1.00 1.42 1.70 2.04 2.47

30 35 40 45

0.577 0.700 0.839 1.000

0.33 0.27 0.22 0.17

3.00 3.69 4.40 5.83

50 60 70 80 90

1.192 1.732 2.748 5.671 ∞

0.13 0.07 0.03 0.01 0

7.55 13.90 32.40 132.30 ∞

Tabla 5-1. Coeficientes de presión activa y pasiva

285

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

b. Empuje activo y pasivo de un suelo sin cohesión, de superficie plana inclinada, contra un muro de paramento interno inclinado, plano.

+ β +

EA = K A

γH 2 2

H

H/3

+δ EA

KA =

+

cos2(φ − ω) 2

 sen(δ + φ) sen(δ − β)  cos ω cos(δ + ω)1 +  cos(δ + ω) cos(ω − β)   2

ω

Figura 5.19. Coeficiente de empuje activo.

Los símbolos de figura 5.19 representan:

β ángulo de la superficie del lleno con un plano horizontal. ω ángulo de la pared con un plano vertical. φ ángulo de fricción interna del suelo. δ ángulo de fricción entresuelo y paramento. Η altura del muro. γ peso unitario del suelo.

286

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

En este caso es necesario emplear la teoría de Coulomb la cual conduce a dos ecuaciones, una para el cálculo del coeficiente de empuje activo KA y otra para el del coeficiente de empuje pasivo Kp. De la figura 5:16 se tiene: Empuje activo

EA = K A

KA =

γH 2

(5-19)

2 cos 2 (φ − ω )

 sen(δ + φ ) sen(φ − B)  cos 2 ω cos(δ + ω ) 1 +  cos(δ + ω ) cos(ω − β )  

2

(5-68)

En la figura se dan a los ángulos valores positivos en el sentido indicado por las siguientes razones: -

β será negativo cuando el paramento interno del muro tenga una pendiente negativa.

-

ω será negativo cuando el paramento interno del muro tenga una pendiente negativa.

-

δ será negativo cuando el muro presente un asentamiento mayor que el del suelo del lleno.

-

φ será negativo cuando la pared sea empujada por alguna fuerza contra el suelo.

Para un muro de espalda vertical (ω = 0). cos 2 φ KA = 2  sen(δ + φ ) sen(φ − β )  cos δ 1 +  cos δ cos β  

287

(5-69)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Para un muro de respaldo vertical (ω = 0) y suelo de superficie horizontal (β = 0).

KA =

cos 2 φ  sen(δ + φ ) sen φ  cos δ 1 +  cos δ  

(5-70)

2

Para un muro de paramento interno vertical (ω = 0), lleno con superficie horizontal (β = 0) y sin fricción entre muro y suelo (δ = 0) se tiene

cos 2 φ 1 − sen 2 φ 1 − sen φ KA = = = 2 2 (1 + sen φ ) (1 + sen φ ) 1 + sen φ KA =

1 Nφ

(5-71)

(5-34)

Así:

1 γH 2 EA = Nφ 2

(5-72)

Las presiones pasivas de suelos sin cohesión, que resisten el movimiento de una pared, se desarrollan debido a la fricción interna de los suelos. Debido a la fricción entre el suelo y muro, la superficie de falla es curva, y no plana, como se supone en la teoría de Coulomb (Figura 5.20).

288

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

+

β

ω + H δ + 90º

Figura 5.20. Presión pasiva sobre un muro.

Cuando la fricción de las paredes es igual a cero (δ = 0), la superficie de falla es un plano inclinado. Por lo tanto Kp =

cos 2 (φ + ω )  sen φ sen(φ − β )  cos3 ω 1 −  cos ω cos( β − ω )  

(5-73)

2

Cuando el terreno es horizontal (β = 0)

Kp =

cos 2 (φ + ω ) cos3 ω (1 − sen φ / cos ω ) 2

(5-74)

289

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Cuando la cara posterior del muro es vertical (ω = 0) Kp =

φ 1 1 + sen φ  = tan 2  45º +  = 1 − sen φ 2  KA 

(5-75)

En las tablas 5-2 y 5-3 se muestran algunos valores obtenidos para los respectivos coeficientes activos y pasivos. φ ω=0

ω = 10º

ω = 20º

ω = 30º

β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0 β=0

10º 0.70 0.97

15º 0.59 0.70

20º 0.49 0.57 0.88

25º 0.41 0.47 0.57

0.97 0.76 1.05

0.93 0.65 0.78

0.88 0.55 0.64 1.02

0.82 0.48 0.55 0.69

1.05 0.83 1.17

1.04 0.74 0.90

1.02 0.65 0.77 1.21

0.98 0.57 0.66 0.83

1.17 0.94 1.37

1.20 0.86 1.06

1.21 0.78 0.94 1.51

1.20 0.70 0.83 1.06

1.37

1.45

1.51

1.54

30º 0.33 0.37 0.44 0.75 0.75 0.41 0.47 0.55 0.92 0.92 0.50 0.57 0.69 1.17 1.17 0.62 0.74 0.89 1.55 1.55

35º 0.27 0.30 0.34 0.43 0.67 0.43 0.38 0.45 0.56 0.86 0.43 0.49 0.57 0.73 1.12 0.56 0.65 0.77 0.99 1.54

40º 0.22 0.24 0.27 0.32 0.59 0.29 0.32 0.36 0.43 0.79 0.38 0.43 0.49 0.59 1.06 0.49 0.56 0.66 0.79 1.51

Tabla 5.2. Coeficiente de presión activa (Tomado de Merrit, 1983, p7-90)

φ= δ=0 δ = -φ/2 δ = -φ

10º 1.42 1.56 1.65

15º 1.70 1.98 2.19

20º 2.04 2.59 3.01

25º 2.56 3.46 4.29

30º 3.00 4.78 6.42

35º 3.70 6.88 10.20

40º 4.60 10.38 17.50

Tabla 5.3. Coeficientes de presión lateral pasiva (Tomada de Merrit, 1983, p7-90)

290

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

c. Empuje de tierras contra entibaciones. Para que se desarrollen las condiciones totalmente activas, el muro o cualquier otro tipo de estructura debe ceder lo suficiente. Si un muro o estructura está completamente restringida para que no sea posible flexibilidad lateral alguna, se debe diseñar para resistir las fuerzas ocasionadas por la presión de tierra en reposo (Whitlow, 1994, p336). Cuando se introduce cimbra para dar soporte en zanjas, generalmente se sujeta en su lugar mediante apuntalamientos laterales. En estas condiciones es improbable que el suelo esté en estado activo. La distribución de presión dependerá principalmente de la disposición y el orden en que se instalen los puntales.

Para arcillas rígidas fisuradass

Para arenas densas

Superficie de falla sugerida 0.20 H

0.25 H

Articulaciones supuestas

0.60 H 0.50 H

Flexibilidad sugerida 0.20 H

0.80 KaγH 1.6 PA/H

0.65 KaγH

γH – 4mcu

0.25 H

Si γH/cu ≤ 4, m = 1 Si γH/cu > 4, m = 0.4 a 1

(a)

(b)

Figura 5.21. Distribución de presiones en entibaciones.

291

(c)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Terzaghi y Peck (1967), citados por Whitlow (1994), de acuerdo con observaciones con cargas y pruebas de modelos reales, sugirieron la distribución de presión mostrada en la Figura 5.21. Para suelos sin cohesión, interpretaron que el empuje total es:

0.64 KaγH2

(5-76)

es decir un 28% mayor que el empuje activo, con distribución trapezoidal de presión sobre la cimbra. En 1967 y 1969, Terzaghi y Peck, dieron a conocer una distribución uniforme de presión que resulta aproximadamente de la magnitud del empuje (Figura 5.21b.). Para los suelos cohesivos sugirieron también una distribución trapezoidal (Figura 5.21c.). El empuje total sobre una pared entibada podrá ser de un 10 a 15% mayor que el existente sobre un muro de gravedad.

φ

Ka

Kp

10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º

0.703 0.589 0.490 0.406 0.333 0.271 0.217 0.171

1.42 1.70 2.04 2.46 3.00 3.66 4.60 5.83

Tabla 5.4. Valores de Ka y Kp para estados de Rankine con esfuerzos geostáticos (Tomada de Lambe,1995. P180)

292

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Según Hansen, 1953, citado por Lambe, 1995, el modo de deformación de suelo modificará en cierto modo la posición de la superficie crítica de falla teórica, y por tanto, el empuje variará algo según el sistema de sostenimiento. La forma de calcular las cargas sobre los puntales a partir de la distribución se indica en la Figura 5.22. La distribución real de presiones variará de una sección a otra, según lo apretado que este cada puntal en su sitio.

P1 = A

A

P2 = B + C

B

C

P3 = D + E

D

E

P4 = F

F

Figura 5.22. Cálculo de las cargas sobre los codales o puntales.

293

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

d. Empuje de tierras en reposo. Alguno de los estados de equilibrio plástico activo o pasivo, no se presentará cuando la estructura de contención no se pueda desplazar lo suficiente, hacia adentro o hacia fuera con relación al suelo retenido, en este caso es necesario calcular de otra manera las presiones producidas, llamadas presiones de tierra en reposo (Figura 5.23).

z P0

a. Paso a desnivel. Estructura de concreto

z H P0

b. Empuje sobre la pared de un sótano

Figura 5.23. Casos de empujes en reposo.

294

H

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Para el cálculo de empuje de tierras en reposo se utiliza la misma expresión general

E=K

γH 2

(5-44)

2

Donde K es el coeficiente de empuje, aceptando la hipótesis de distribución lineal de presiones a partir de cero en el nivel superior, de esta manera se tiene:

P0 = K 0γz

(5-77)

En el caso de suelos sin cohesión K 0 = 1 − sen φ

(5-78)

Para arcillas normalmente consolidadas (5-79)

K 0 = 0.95 − sen φ

e. Tablas de Caquot y Kerisel para el cálculo de presiones pasivas y activas. Los franceses Caquot y Kerisel publicaron unas extensas tablas que permiten obtener los coeficientes de empuje de tierras. Según Caquot y Kerisel se puede definir el coeficiente de empuje como el empuje unitario de un terreno sin cohesión (c = 0), de peso especifico 1, a la distancia unidad a lo largo de la pantalla, lo que coincide con la profundidad unidad para una pantalla vertical, y se diferencia de ésta para una pantalla inclinada (Graux, 1975, p137). Los valores de dichas tablas resultan de la integración de las ecuaciones diferenciales que gobiernan las condiciones de equilibrio límite en una masa. Los autores tomaron el problema en forma más general que la desarrollada por Rankine y Resal y aplicaron los métodos dados en su trabajo titulado “Equilibrio de las masas pulverulentas con fricción interna” (Marquéz, 1991, p53).

295

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Caquot y Kerisel, citados por Graux, 1975, demostraron que la hipótesis de superficies de falla planas no afectaba prácticamente los resultados de los cálculos de empuje activo, pero sí daba valores muy altos para el empuje pasivo en comparación con los obtenidos al suponer superficies de falla curvas. Esto hace que los valores del empuje pasivo calculados por la teoría de Coulomb no deban ser tenidos en cuenta en un problema práctico. En las siguientes páginas se muestran algunos gráficos y tablas realizados por Caquot y Kerisel para el desarrollo de empujes de tierras. Empuje activo ϕ = 35º

ϕ = 30º

ϕ = 35º

Empuje pasivo

δ = 2/3ϕ

δ=0

δ = -ϕ

δ = -2/3ϕ

β= β= β= β= β= β= β= β= β=

35º 30º 20º 10º 0º -10º -20º -30º -35º

0.756 0.450 0.322 0.276 0.247 0.226 0.210 0.192 0.187

0.767 0.470 0.348 0.301 0.271 0.250 0.232 0.216 0.213

34.90 31.00 22.50 15.30 10.20 6.70 3.53 1.65 0.82

28.16 25.01 18.15 12.34 8.23 5.30 2.86 1.30 0.66

β= β= β= β= β= β= β=

30º 20º 10º 0º -10º -20º -30º

0.822 0.414 0.340 0.300 0.272 0.250 0.232

0.850 0.446 0.374 0.333 0.305 0.282 0.267

16.95 12.65 9.05 6.42 4.25 2.55 0.87

14.16 10.83 7.74 5.49 3.65 2.15 0.74

β= β= β= β= β= β= β=

25º 20º 10º 0º -10º -20º -25º

0.879 0.546 0.422 0.364 0.326 0.298 0.289

0.922 0.586 0.464 0.406 0.368 0.340 0.333

8.16 7.71 5.81 4.29 2.96 1.69 0.91

7.31 6.90 5.20 3.84 2.65 1.51 0.81

Valores tomados de las tablas de Caquot y Kerisel Tabla 5.5. Coeficientes de empuje activo y pasivo sobre una pantalla vertical. (Adaptada de Costet, 1975, p261)

296

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Valores de kaγ (en la primera línea) y kpγ (en la segunda línea) para diversos valores de δ

Valores de ϕ 5º

10º

15º

20º

25º

30º

35º

40º

45º

50º

δ/ϕ =1

0.81 0.99

0.65 0.98

0.53 0.97

0.44 0.95

0.37 0.93

0.31 0.90

0.26 0.86

0.22 0.80

0.185 0.73

0.155 0.64

δ/ϕ=2/3

0.81 1.08

0.66 1.16

0.54 1.24

0.44 1.33

0.36 1.44

0.30 1.56

0.25 1.68

0.20 1.80

0.16 1.70

0.13 1.60

δ/ϕ =1/3

0.82 1.15

0.67 1.30

0.56 1.49

0.45 1.70

0.37 1.93

0.30 2.20

0.25 2.50

0.20 2.80

0.16 3.20

0.13 3.60

δ/ϕ =-0

0.84 1.15

0.70 1.30

0.59 1.49

0.49 1.70

0.41 1.93

0.33 2.20

0.27 2.50

0.22 2.80

0.17 3.20

0.13 3.60

δ/ϕ =-1/3

0.88 1.22

0.75 1.52

0.64 1.89

0.52 2.38

0.46 3.30

0.39 4.02

0.32 5.55

0.26 8.10

0.20 12.0

0.16 19.0

δ/ϕ =-2/3

0.94 1.24

0.81 1.59

0.72 2.06

0.64 2.72

0.56 3.61

0.48 5.25

0.40 8.00

0.34 12.8

0.27 21

0.22 41

δ/ϕ = -1

1.04 1.26

1.06 1.66

1.05 2.20

1.04 3.04

1.02 4.26

0.98 6.56

0.94 10.7

0.88 18.2

0.82 35

0.75 75

Según Caquot-Kerisel (edición 1966) Tabla 5.6. Coeficientes de empujes activo y pasivo sobre una pantalla vertical (Adaptada de Costet, 1975, p263).

297

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

φw

0 .4 0

MECÁNICA DE SUELOS

0 .3

0

10

0.20

20

30

40

20

25

30

35

40

φ

Figura 5.24. Coeficiente de presión activa en función de la fricción del muro (Adaptada de Lambe, 1995, p192).

298

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

-10 2

0

2.5

=3 Kp

10

4

0.8 5

0.6

7.5

0.4

10

20

30

0.2

15

w

MECÁNICA DE SUELOS

40

20

30

φ

40

0

20

φ =−φ ω 30

Figura 5.25. Gráfica para los coeficientes de presión pasiva.

299

φ

40

MECÁNICA DE SUELOS

5.6.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

ESTADOS CORRESPONDIENTES.

La noción de estados correspondientes (Figura 5.26), ideada por Caquot en 1934, permite sustituir el estudio de un suelo con rozamiento interno que tenga cohesión, por el estudio más sencillo de un suelo de igual rozamiento interno sin cohesión (Graux, 1975, p40).

Medio coherente

∆2

Medio correspondiente

V2

∆1

V1

φ

φ

H H = Cotφ

V1 = V2 + H

Figura 5.26. Estados correspondientes.

Se sustituye el suelo coherente (γ, C, φ) por el suelo no cohesivo correspondiente (γ, O, φ), cuyas tensiones, en cualquier elemento de superficie, se definen:

V1 = V2 + H

(5-80)

H corresponde a la abscisa en el origen de la curva intrínseca ∆2 del suelo coherente, y vale

H = C cot φ

300

(5-81)

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

5.6.1. Teorema de los estados correspondientes. « Un suelo coherente está en equilibrio si se le puede hacer corresponder un suelo no coherente de igual forma y de igual rozamiento interno, en equilibrio bajo acción de las fuerzas externas que actúan en el suelo coherente, completadas por una presión hidrostática constante en todo punto igual a H = C cot φ » El método de cálculo que se deduce consiste en adicionar, en las caras del macizo estudiado considerado como no coherente, una presión normal igual a H = C cot φ, en calcular las tensiones y en deducir vectorialmente de sus valores la presión H; Hallando las tensiones del suelo coherente. Para calcular el tensor de tensiones en el seno de un medio coherente homogéneo en equilibrio plástico, se calculará primeramente el tensor de tensiones en el seno de un seno ficticio que tenga la misma geométrica, que tendrá el mismo ángulo de rozamiento interno que el medio coherente y estará sometido a las mismas fuerzas de masa. Para calcular la tensión real que actúa en un punto dado y sobre una cara dada del medio coherente, se restara de la tensión ficticia que actúa en el mismo punto sobre la misma cara, una tensión normal constante e intensidad H = C cot φ.

Ejemplo 5.1. Un muro de 4.5m de altura soporta un suelo sin cohesión, se tiene una muestra del suelo en la que se sabe:

φ = 30º, β = 12º, γ = 17.8 Ton/m3 Determinar las fuerzas activas y pasivas en el muro.

301

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Solución. Usando las ecuaciones de Rankine se pueden determinar las respectivas fuerzas

K A = cos β

K p = cos β

cos β − cos 2 β − cos 2 φ cos β + cos β − cos 2 φ cos β + cos 2 β − cos 2 φ cos β − cos 2 β − cos 2 φ

K A = cos12º

K p = cos12º

cos12º − cos 2 12º − cos 2 34º cos12º + cos 12º − cos 2 34º cos12º + cos 2 12º − cos 2 34º cos12º − cos 2 12º − cos 2 34º

= 0.2998

= 3.1904

La fuerza activa en el muro es:

Pa = ½γH2Ka Pa =½*17.8*4.52*0.2998 Pa= 54.03 ton/m

302

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

La fuerza o presión pasiva es:

PP= ½γH2KP PP =½*17.8*4.52*3.1904 Pa= 574.98 ton/m

Ejemplo 5.2 Sobre una pared de 4.2m de altura se tiene un suelo cohesivo cuyas características son:

γ = 18.5 ton/m3 c = 2.98 ton/m2 Calcular la magnitud de la fuerza activa que actúa sobre dicho muro.

Solución. Para condiciones de corte sin drenar φ=0

Ka = tan2(45 – 0) = 1.00 La fuerza activa está dada por:

Pa = ½γH2Ka – 2cH Pa = ½*18.5*4.22 – 2*2.98*4.2 Pa = 138.14ton/m

303

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Ejemplo 5.3. Dado el muro de retención parcialmente sumergido de la Figura 5.27 determinar el empuje neto horizontal que actúa sobre este.

3

γ = 1.78 ton/m φ = 35º φw = 35º

4.5 m 3

γt = 2.17 ton/m φ = 35º φw = 35º

2.6 m

Figura 5.27. Ejemplo 5.3

Solución. 1. Se calcula la presión en el punto donde actúa el nivel freático.

P = γHKa El valor de Ka lo determinamos de la tabla 5.6

Ka = 0.244 P = (1.78)(1.9)(0.244) P = 0.83 ton/m2

304

MECÁNICA DE SUELOS

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

2. Se determina la presión adicional en la base.

P = γHKa P = (2.17 – 1.00)(2.6)(0.244) P = 0.74 ton/m3. 3. Se calcula la fuerza resultante

Pa = ½[γH2 – (γ - γb)(H’)2] Ka P = ½ [1.78(4.5)2 – (1.78 – 1.17)(2.6)2](0.244) P = 3.89 ton/m de muro. La altura de la resultante esta en

p=

4.39(4.5 / 3) − 0.50(2.6 / 3) = 1.58m 3.89

3.89 ton/m

1.58 m

Figura 5.28. Presión activa ejemplo 5.3.

305

MECÁNICA DE SUELOS

5.7.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

FACTORES QUE INFLUYEN EN LAS PRESIONES DE TIERRA.

Las teorías de Rankine y Coulomb, permiten conocer los factores que influyen en las presiones de tierra, lo que ayuda a tener un mejor conocimiento en el tratamiento de este tipo de problemas. Los factores más importantes son: a) La naturaleza del suelo. b) La naturaleza de las sobrecargas. c) La naturaleza de la pared de la estructura. d) La naturaleza de los desplazamientos.

a) Naturaleza del suelo. Esto es, si el mismo es pulverulento o cohesivo; denso o flojo; parcialmente húmedo o saturado; con presión hidrostática del agua de los poros o sin ella. También son importantes las características geométricas de la superficie del lleno.

b) Naturaleza de las sobrecargas. Se refieren a las cargas diferentes del peso propio del suelo. Su magnitud, su número, su modo de acción. Su posición sobre la superficie libre del suelo o directamente sobre la cresta de la estructura de contención.

c) Naturaleza de la pared de la estructura. Se refiere ello a sus características geométricas, su grado de rugosidad y su grado de deformabilidad. El que la estructura sea rígida (muro de concreto o de mampostería) o sea flexible (entibación) influye de manera fundamental en la magnitud y la distribución de las presiones.

306

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

d) Naturaleza de los desplazamientos. En este aspecto ya se explicó en el transcurso del tema lo que son los estados de equilibrio límite activo y pasivo y el estado de tierras en reposo, que dependen de la amplitud de dichos desplazamientos. 5.7.1. Efecto de los sismos sobre el valor de los empujes de tierra. Según Crespo, 1994, cuando se proyectan muros de retención de tierras en zonas sísmicas es conveniente considerar el efecto temporal que la vibración del suelo produce sobre el valor de los empujes clásicos de tierras debido al sismo. Aunque durante un sismo el muro de retención de tierras normalmente se mueve en conjunto con el suelo que detiene, la aceleración de los dos elementos – muro y tierra – puede no ser simultánea y entonces se incrementa el valor del empuje de tierras debido a la inercia. Para alturas moderadas se acostumbra considerar, por efecto del sismo, un aumento del 10% en el valor del empuje convencional, con lo cual se supone que el muro funcionará bien. A los factores de seguridad se les puede interpretar así: Menos de 1.0

- Inseguro

De 1.1 a 1.2

- De dudosa seguridad

De 1.3 a 1.4 De 1.5 a más

5.8.

- Satisfactorio para cortes y terraplenes, dudoso para presas. - Seguro

ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN.

Se llama muro de contención de tierras a un muro diseñado y construido con el fin de mantener en forma permanente una diferencia en los niveles del suelo que se encuentra a un lado y a otro de él, con un margen de seguridad en cuanto a estabilidad, resistencia y durabilidad que tiene en cuenta los aspectos económicos y estéticos (Marquéz, 1991, p1).

307

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

El material más común para construcción de muros de retención es el concreto, simple o reforzado. También los hay de mampostería, que puede ser también combinada con partes de concreto reforzado. En los muros de contención, se encuentra una gran variedad; de acuerdo con sus formas, con los elementos que están constituidos, y de la manera como funciona estructuralmente. En un intento de clasificación se puede encontrar: 1. Muros de gravedad. 2. Muros de voladizo. 3. Muros de semi – gravedad. 4. Muros de contrafuerte. 5. Muros pantalla. Un muro de contención o muro de sostenimiento cae dentro de la denominación general de estructuras de contención, aplicable a otras estructuras que cumplen una función similar como son: 6. Gaviones. 7. Tierra armada. 8. Entibaciones. 9. Muro de celosía o muro criba.

5.8.1. Muros de gravedad. Es aquel que debe su estabilidad fundamentalmente a su propio peso, consisten en grandes masas de contención que por su peso y resistencia al volcamiento pueden soportar las presiones ejercidas por la tierra. Es de gran volumen en relación con su altura (Figuras 5.29). Se diseña para que no se presenten en el material esfuerzos de tracción, o que si los hay estos sean de pequeña magnitud.

308

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Figura 5.29. Muros de gravedad.

Los muros de gravedad pueden ser: -

De concreto en hormigón simple.

-

De concreto ciclópeo.

309

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-

De gaviones.

-

De mampostería.

5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

De hormigón armado 5.8.2. Muros de voladizo. Conocido también con el nombre de muros cantilever o muros en T (invertida), es aquel que debe su estabilidad básicamente a una acción de empotramiento en el extremo inferior producida por el peso del lleno sobre una pata o base amplia (Figura 5.30), de esta manera, el muro trabaja como una viga vertical en voladizo, que soporta las cargas transversales debidas al empuje de tierras.

Figura 5.30. Muros de voladizo.

310

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

La característica más importante es su esbeltez, es decir, su relativa reducción de volumen en relación con su altura. Se emplean generalmente para alturas mayores que las de los muros de gravedad. La denominación de voladizo se usa únicamente para este tipo de sección en forma de T invertida, que es de común frecuencia.

5.8.3. Muros de semi – gravedad. Se llama así a un tipo intermedio entre los dos anteriores, el muro no es tan macizo como el de gravedad ni tan esbelto como el de voladizo, que lleva un pequeño refuerzo de barras de acero a tracción (Figura 5.31).

Figura 5.31. Muro de semi - gravedad.

311

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

5.8.4. Muro de contrafuerte. Es una variación del muro de voladizo en el cual hay, de trecho en trecho, unos elementos de refuerzo del mismo material, concreto reforzado, que le dan mayor rigidez y resistencia a la estructura, que son precisamente los llamados contrafuertes (Figura 5.32). El muro de contrafuerte es construido en alturas mayores que los tipos anteriores.

Figura 5.32. Muro de contrafuerte.

5.8.5. Muros pantalla. Consiste en una pared de contención vertical, de espesor constante, de hormigón armado, diseñado para resistir a flexión el empuje del terreno en una excavación (Figura 5.33). Las pantallas de tablestacas metálicas se utilizan cada vez más en las obras, bien a título definitivo (muro de una esclusa o de un muelle) o provisional (ataguías).

312

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Entre los tipos de pantalla se tiene: -

Pantallas ancladas.

-

Pantallas sin anclaje.

Las pantallas ancladas resisten, el empuje de tierras gracias de una parte al esfuerzo de los anclajes y de otra al empuje pasivo del empotramiento. En las pantallas sin anclaje la estabilidad de la pantalla queda asegurada únicamente por las reacciones del suelo en la parte enterrada que se denomina empotramiento. Caso de la mayor parte de las ataguías.

a. Sin anclaje b. Con anclaje

Figura 5.33. Muros pantalla.

313

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

5.8.6. Gaviones. Consisten en cajas rectangulares de malla hexagonal de triple torsión, que se colocan en el sitio donde van a cumplir su función y luego se rellenan de piedras seleccionadas que tienen una dimensión mayor que la malla, con lo cual por su propio peso hacen el efecto de muro de contención de gravedad, o sirven de protección, con la característica de poseer una notable flexibilidad (Figura 5.34). Los gaviones se utilizan para: -

Protección contra desbordamiento de ríos y quebradas.

-

Papel de muro de contención, para evitar derrumbes (protección de taludes).

-

Protección contra socavaciones, en estructuras de puentes.

Los gaviones debido a su flexibilidad facilitan en alto grado el drenaje, les permite resistir asentamientos diferenciales y movimientos importantes sin que dejen de cumplir la función que tienen asignada.

Figura 5.34. Gavión.

314

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

5.8.7. Tierra armada. Este sistema consiste en reforzar un terraplén o un talud con materiales manufacturados, generalmente tiras metálicas, que soportan las fuerzas de tracción. El suelo utilizado debe ser granular, friccionante, en atención a que las tiras puedan absorber las fuerzas de tracción. La tierra armada presenta ventajas como lo son: -

Economía

-

Su integración a terraplenes de carreteras.

-

Su gran deformabilidad.

-

La adaptación a deformaciones importantes.

5.8.8. Entibaciones. En muchos casos, una excavación es de carácter provisional, en este caso las excavaciones se protegen con una estructura que retiene permanentemente el terreno adyacente (Figura 5.35) Se encuentran dos sistemas de colocación de una entibación: -

En uno de ellos se hinca un tablestacado previamente a la excavación. Al avanzar la excavación se colocan contra el tablestacado elementos horizontales, denominados carreras o largueros apoyando contra ellos en sentido transversal otros elementos denominados codales o puntales.

-

En el segundo sistema, se hincan a ciertos intervalos unos elementos verticales denominados costillas, según la pared de la excavación. Al ir excavando se colocan tablas de madera, contra el terreno y apoyadas contra las costillas.

Existen variantes a los sistemas básicos, según la extensión de la superficie a excavar y de las preferencias de las que la ejecuta. Entre estas variantes están los puntales inclinados o el de los anclajes.

315

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

La calidad de la entibación esta sujeta al tipo construcción que se vaya a elaborar, es a menudo necesaria en la construcción de metros, garajes subterráneos o cimentaciones de edificios de gran altura.

Figura 5.35. Entibación

5.8.9. Muro de celosía o muro criba Es una estructura de retención de tierras construida con piezas prefabricadas de concreto reforzado, de acero o de madera; que se disponen constituyendo celdas en forma de paralelepípedo que posteriormente se rellenan con un suelo, que debe ser material friccionante y permeable(Figura 5.36) Su ventaja principal consiste en poder resistir asentamientos diferenciales de grandes proporciones sin que dejen de cumplir su función de retención de tierras.

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

Figura 5.36. Muro criba.

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

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5. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

MARQUE CON UNA X LA LETRA CORRESPONDIENTE A LA RESPUESTA CORRECTA. a) El empuje ejercido por el suelo como resultado de una sobrecarga. b) El empuje ejercido por agua intersticial, por el suelo y una sobrecarga. c) El valor máximo de la presión efectiva horizontal producida cuando la resistencia al corte se moviliza totalmente. d) Todas las anteriores.

1. El único fin del estado de equilibrio plástico es: a) Deducir las tensiones en las caras de un macizo estudiado que se considera entonces como no coherente. b) Definir las leyes del comportamiento de una masa de suelo en el momento de su rotura. c) Deducir las tensiones en las caras de un macizo estudiado que se considera entonces como coherente. d) Facilitar los cálculos de estabilidad.

4. Los coeficientes de presión activo y pasivo corresponden a: a) b) c) d)

2. La presión activa es: a) El empuje lateral mínimo sobre un muro y existe cuando la resistencia al corte del suelo esta totalmente movilizada. b) El empuje ejercido por el esqueleto del suelo debido al peso del mismo y existe cuando la resistencia del corte esta inmóvil. c) El peso total, las presiones intersticiales periféricas y los esfuerzos totales efectivos. d) Ninguna de los anteriores.

Presiones totales Relaciones de vacío Presiones efectivas Presiones intersticiales.

5. Una masa de suelo está en estado de equilibrio plástico sí: a) Cada punto de la misma se encuentra al borde de la rotura. b) Cada punto de la misma ha sobrepasado la rotura. c) El material no se comprime o expande uniformemente. d) Produce cambio radical en las tensiones interiores de la misma.

3. La presión pasiva es:

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