An´ alisis Matem´ atico I. Curso 2014-15. Segunda convocatoria ordinaria. Examen. 7 de septiembre 2015. 1. (i) Sea A un
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An´ alisis Matem´ atico I. Curso 2014-15. Segunda convocatoria ordinaria. Examen. 7 de septiembre 2015. 1.
(i) Sea A un subconjunto no vac´ıo de R. Defina el concepto de punto de acumulaci´on de A. Enuncie y demuestre una caracterizaci´on de este concepto por sucesiones. (ii) Sea A = { n1 − m12 : n, m ∈ N} ∪ {x ∈ Q : 1 < x < 2}. Determine razonademante el supremo, ´ınfimo, m´ınimo y m´aximo de A si es que existen. Diga razonadamente cu´ ales de los siguientes n´ umeros reales es un punto de acumulaci´ on del conjunto A. √ 0, 2, −1.
2.
(i) Defina lo que se entiende al decir que una sucesi´on de n´ umeros reales {an }∞ n=1 es: • Convergente. • Acotada. • Mon´ otona. Diga razonadamente qu´e relaci´ on existe entre estos conceptos. (ii) Sea {an }∞ on de n´ umeros reales definida por recurrencia como sigue: a1 = n=1 la sucesi´ an+1 =
2 + a2n , 3
−1 2
y
n ≥ 1.
Compruebe que esta sucesi´ on es mon´otona, acotada y convergente. Calcule l´ım{an }. (iii) En cada uno de los siguientes casos, diga si la sucesi´on {an }∞ n=1 es convergente o no y determine su l´ımite, si existe. (a) an = 3.
√ n
n
√
n+1−
√ n ,
(b) an =
12 + 2 2 + · · · + n2 . n3
(i) Defina serie convergente de n´ umeros reales y serie absolutamente convergente de n´ umeros reales. Diga qu´e relaci´ on existe entre estos conceptos y demuestre su afirmaci´on. (ii) Determine razonadamente el car´acter de las series siguientes: (a)
∞ X √
√ 3 n+2 − n ,
(b)
n=1
4.
∞ X
nn
(−1)
n=1
2 2n
n!
,
∞ X (−1)n sen √ (c) n n=1
1 n
.
(i) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass sobre funciones continuas en intervalos. (ii) Sea f : R → R una funci´ on continua y par. Supongamos adem´as que f es creciente en el intervalo (27, +∞) y que l´ımx→+∞ f (x) = 4. Demuestre que f est´ a acotada inferiormente y que tiene un m´ınimo en R. ¿Puede afirmarse que f est´ a tambi´en acotada superiormente en R? ¿Puede afirmarse que f tiene un m´ aximo en R? Razone sus respuestas.
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