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• Anthony Calderon

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1 Problemas resueltos (Anderson /Sweeney/Williams) 1.- Veamos cómo se puede aplicar la regla de experimentos de etapas múltiples en el análisis de un proyecto de expansión de capacidad que encara Kentucky Power & Light Company (KP&L). El proyecto tiene por objetivo aumentar la capacidad de generación de una de las plantas de esta empresa en el norte de Kentucky. El proyecto se divide en dos etapas sucesivas: la etapa 1 (diseño) y la etapa 2 (construcción). Si bien cada etapa se programará y controlará tan cuidadosamente como sea posible, la dirección no puede predecir el tiempo exacto para determinarla. Un análisis de proyectos similares de construcción ha demostrado que los tiempos de terminación de la etapa de diseño son 2, 3 o 4 meses, y los de terminación para la etapa de construcción son 6, 7 u 8 meses. Además, como la necesidad de energía eléctrica adicional es crítica, la dirección ha establecido una meta de 10 meses para terminar todo el proyecto. Como este proyecto tiene tres tiempos posibles de terminación para la etapa de diseño (primera etapa) y tres tiempos de terminación posibles para la etapa de construcción (etapa 2), se puede aplicar en este caso la regla de conteo para experimentos con múltiples etapas, y así se determina que hay un total de (3)(3) = 9 resultados experimentales. Para describirlos usaremos una notación de dos números; por ejemplo (2,6) indicará que la etapa de diseño se termina en 2 meses y la de construcción en 6 meses. Este resultado experimental da un total de 2 + 6 = 8 meses para terminar todo el proyecto. La siguiente tabla resume los nueve resultados experimentales de nuestro problema. El diagrama de árbol muestra cómo se generan los nueve resultados (puntos muestrales). Tabla 1: Lista de resultados experimentales (puntos muestrales) para el problema de KP&L Etapa 1 (diseño) 2 2 2 3 3 3 4 4 4

Etapa 2 Notación del resultado (construcción experimental 6 (2,6) 7 (2,7) 8 (2,8) 6 (3,6) 7 (3,7) 8 (3,8) 6 (4,6) 7 (4,7) 8 (4,8)

Tiempo total de terminación del proyecto (meses) 8 9 10 9 10 11 10 11 12

Hemos aplicado la regla de conteo y el diagrama de árbol para ayudar al gerente del proyecto a identificar los resultados experimentales y determinar los tiempos de terminación posibles del proyecto. De acuerdo con la información, vemos que el tiempo para terminarlo será de 8 a 12 meses, y que seis de los resultados cumplen con el tiempo deseado, que es de 10 meses o menos. Si bien fue útil haber identificado los resultados experimentales, necesitaremos considerar cómo se les pueden asignar valores de probabilidad para poder hacer una evaluación final de la probabilidad de terminar el proyecto dentro de los 10 meses deseados. Para ahondar en el análisis del proyecto KP&L, debemos evaluar las probabilidades de cada uno de los nueve resultados experimentales de la tabla 1. Con base en la experiencia y en el buen juicio, la administración llegó a la conclusión de que los resultados experimentales no eran igualmente posibles. En consecuencia, no se pudo usar el método clásico de asignación de probabilidades. Se decidió entonces llevar a cabo un estudio de los tiempos de terminación de proyectos similares realizados por la empresa durante los últimos tres años. En la tabla 2 se resumen los resultados de un estudio de 40 proyectos similares.

2 Tabla 2: Resultados de la terminación de 40 proyectos de KP&L Etapa 1 (diseño) 2 2 2 3 3 3 4 4 4

Etapa 2 (construcción 6 7 8 6 7 8 6 7 8

Punto muestral (2,6) (2,7) (2,8) (3,6) (3,7) (3,8) (4,6) (4,7) (4,8)

Cantidad de proyectos anteriores con los siguientes tiempo de terminación 6 6 2 4 8 2 2 4 6

40 Después de revisar los resultados del estudio, la gerencia decidió emplear el método de la frecuencia relativa para asignar las probabilidades. Podrían haber optado por estimaciones de probabilidad subjetiva, pero les pareció que el proyecto actual era muy similar a los 40 anteriores. Por ello, se juzgó que el mejor método era el de la frecuencia relativa. Al emplear los datos de la tabla 2 para calcular probabilidades, observamos que el resultado (2,6) – etapa 1 terminada en 2 meses y etapa 2 en 6- se presenta 6 veces en los 40 proyectos. Con el método de la frecuencia relativa se puede asignar una probabilidad de 6/40 = 0.15 a este resultado. Similarmente, el resultado (2,7) también se presentó en seis de los 40 proyectos, dando como resultado una probabilidad de 6/40 = 0.15. Continuando de esta forma obtenemos las asignaciones de probabilidad para los puntos muestrales del proyecto que vemos en la tabla 3. Observe que P(2,6) representa la probabilidad del punto muestral (2,6), P(2,7) la del punto (2,7), y así sucesivamente. Tabla 3: Asignaciones de probabilidades en el problema de KP&L, basada en el método de la frecuencia relativa. Punto muestral (2,6) (2,7) (2,8) (3,6) (3,7) (3,8) (4,6) (4,7) (4,8)

Tiempo de terminación del proyecto 8 meses 9 meses 10 meses 9 meses 10 meses 11 meses 10 meses 11 meses 12 meses

Probabilidad del punto muestral P(2,6) = 6/40 = 0.15 P(2/7) = 6/40 = 0.15 P(2,8) = 2/40 = 0.05 P(3,6) = 4/40 = 0.10 P(3,7) = 8/40 = 0.20 P3,8) = 2/40 = 0.05 P(4,6) = 2/40 = 0.05 P(4,7) = 4/40 = 0.10 P(4,8) = 6/40 = 0.15

Total

= 1.00

Consulte los puntos muestrales y sus probabilidades en la tabla 3. a) La etapa de diseño (etapa1) se saldrá del presupuesto si tarda 4 meses en terminarse. Haga una lista de los puntos muestrales para los cuales la etapa de diseño se sale del presupuesto. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la etapa de diseño se salga del presupuesto? c) La etapa de construcción (etapa 2) se saldrá del presupuesto si se tarda 8 meses en terminarse. Haga una lista de los puntos muestrales para los cuales la etapa de construcción se sale del presupuesto. d) ¿Cuál es la probabilidad de que la etapa de construcción se salga del presupuesto? e) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas etapas se salgan del presupuesto? Solución:

3 a) (4, 6), (4, 7), (4, 8) b) 0.05 + 0.10 + 0.15 = 0.30 c) (2, 8), (3, 8), (4, 8) d) 0.05 + 0.05 + 0.15 = 0.25. e) 0.15 2.- ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres artículos de un grupo de seis? Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar los artículos, y haga una lista de cada una de las distintas combinaciones de tres artículos. Solución:  6  6! 6.5.4.3.2.1 = = 20  ÷=  3  3!3! (3.2.1)(3.2.1) ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF BCD BCE BCF BDE BDF BEF CDE CDF CEF DEF 3.- Un experimento con tres resultados se repitió 50 veces, y se vio que E 1 sucedió 20 veces, E2 13 y E3 17. Asigne las probabilidades a los resultados. ¿Qué método usó? Solución: P(E1) = 20/50 = 0.40; P(E2) = 13/50 = 0.26; P(E3) = 17/50 = 0.34 Se usó el método de la frecuencia relativa. 4.- El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño n, tomada de una población de tamaño N, para obtener datos y hacer inferencias sobre las características de una población. Suponga que tenemos una población de 50 cuentas bancarias y que deseamos tomar una muestra aleatoria de cuatro para caracterizar a la población. ¿Cuántas muestras aleatorias distintas es posible formar con cuatro cuentas? Solución:  50  50! 50.49.48.47 = = 230 300  ÷= 4.3.2.1  4  4!46! 5.- La disponibilidad de capital de riesgo dio un gran estímulo a los fondos disponibles para las compañías en años recientes. Según Venture Economics, en 1999 se hicieron 2374 desembolsos de capital de riesgo. De estos, 1434 fueron para compañías de California, 390 de Massachussets, 217 de Nueva York y 112 de Colorado. Veintidós por ciento de las compañías que recibieron fondos estaban en las primeras etapas de desarrollo y 55% estaban en etapa de expansión. Suponga que se desea elegir en forma aleatoria una de estas compañías para saber cómo emplean los fondos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía elegida sea de California? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía elegida no sea de uno de los cuatro estados mencionados? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía no esté en las primeras etapas de desarrollo? d) Suponiendo que las compañías en las primeras etapas de desarrollo tuvieran una distribución uniforme por todo el país, ¿cuántas compañías de Massachussets que reciben capital de riesgo están en las primeras etapas de desarrollo? e) La cantidad total de fondos invertidos fue de 32 400 millones de dólares. Estime la cantidad asignada a Colorado.

4 Solución: a) Utilice el método de frecuencia relativa. P(California) = 1434/2374 = 0.60 b) Número que no sea de ninguno de los cuatro estados = 2374 – 1434 – 390 – 217 - 112 = 221. P(No sea de ninguno de los cuatro estados) = 221/2374 = 0.09 c) P(No esté en las primeras etapas de desarrollo) = 1 – 0.22 = 0.78. d) Estime la cantidad de compañías de Massachussets, en las primeras etapas de desarrollo = (0.22) (390) = 86. e) Si suponemos que el tamaño de las asignaciones no difiere por estado, podemos multiplicar la probabilidad de una asignación para Colorado por los fondos totales desembolsados con el fin de obtener una estimación: Estimación fondos de Colorado = (112/2374)($32.4) = 1.53 miles de millones de dólares. 6.- Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces. a) Construya un diagrama de árbol para el experimento. b) Enumere los resultados experimentales. c) ¿Cuál es la probabilidad para cada resultado experimental? Solución: a) b) (CCC), (CCS), (CSC), (CSS), (SCC), (SCS), (SSC), (SSS) c) 1/8. 7.- En la ciudad de Milford, las diligencias de cambio de zonificación siguen un proceso de dos etapas: una revisión por la comisión de planeación y una decisión final por el consejo ciudadano. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la petición de cambio de zonificación y emite una recomendación positiva o negativa acerca del cambio. En el paso 2 el consejo ciudadano revisa la recomendación de la comisión de planeación y vota aprobándola o rechazándola. El constructor de un complejo de vivienda acaba de presentar una solicitud de cambio de zonificación. Considere que el procedimiento de la solicitud es un experimento. a) ¿Cuántos puntos muestrales hay para este experimento? Haga una lista de ellos. b) Trace un diagrama de árbol para el experimento. Solución: a) 4: Comisión positiva-El consejo da su aprobación; Comisión positiva-El consejo no da su aprobación; Comisión negativa-El consejo da su aprobación; Comisión negativa-El consejo no da su aprobación. b) 8.- Un experimento tiene cuatro resultado equiprobables: E1, E2, E3 y E4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra E2? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra uno de dos resultados cualesquiera (por ejemplo, E1 o E3? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra uno de los tres resultados cualesquiera (por ejemplo, E 1, E2 o E4)? Solución: a) ¼ b) ½ c) ¾

5 9.- Un experimento consiste en tirar un par de dados. Suponga que nos interesa la suma de los valores de las caras superiores de los dados. a) ¿Cuántos son los puntos muestrales posibles? (sugerencia: aplique la regla de conteo para experimentos con pasos múltiples) b) Haga una lista de los puntos muestrales. c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor 9 o mayor? e) Como hay seis valores pares posibles (2, 4, 6, 8, 10 y 12) y sólo cinco valores impares posibles (3, 5, 7, 9 y 11), los dados deberían sumar pares con más frecuencia que impares. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? Explique por qué. f) ¿Qué método usó para asignar las probabilidades que se le pidieron? Solución: a) 36 b) (1,1), (1, 2), … , (6, 6) c) 1/6 d) 10/36 = 5/18 e) No; P(par) = P(impar) = ½. f) Clásico. 10.- Suponga que un gerente de un gran complejo de apartamentos elabora las siguientes estimaciones de probabilidad subjetiva que vemos en la tabla de abajo, sobre la cantidad de apartamentos que estarán vacíos el próximo mes. Vacantes 0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.05 0.15 0.35 0.25 0.10 0.10

Haga una lista de los puntos muestrales que forman cada uno de los siguientes eventos y determine su probabilidad. a) No hay apartamentos vacíos. b) Cuando menos hay cuatro apartamentos vacíos. c) Hay dos o menos apartamentos vacíos. Solución: a) P(0) = 0.05 b) P(4 o 5) = 0.20 c) P(0, 1 o 2) = 0.55. 11.- Como ejemplo de aplicación de la ley aditiva, consideremos el caso de una pequeña ensambladora con 50 empleados. Se espera que cada trabajador termine a tiempo sus labores de trabajo, además de que el producto armado pase una inspección final. A veces, algunos de los trabajadores no pueden cumplir con los estándares de desempeño porque terminan su trabajo tarde y/o arman productos defectuosos. Al terminar un periodo de evaluación de desempeño, el gerente de producción vio que 5 de los 50 trabajadores habían terminado tarde su trabajo, que 6 de los 50 habían armado productos defectuosos y que 2 habían terminado el trabajo tarde y también habían armado productos defectuosos.

6 Sean: L = el evento de que el trabajo se termina tarde D = el evento de que el producto armado es defectuoso La información anterior sobre frecuencias relativas conduce a las siguientes probabilidades, 5 P ( L) = = 0.10 50 6 P( D) = = 0.12 50 2 P ( L ∩ D) = 0.04 50 Después de revisar los datos, el gerente de producción optó por asignar una mala calificación de desempeño al empleado cuyo trabajo se presentara tarde o fuera defectuoso; en consecuencia, el evento de interés es L ∪ D . ¿Qué probabilidad hay de que asigne una mala calificación a un empleado? Observe que, desde el punto de vista probabilística, la cuestión se relaciona con la unión de dos eventos. En forma específica, queremos conocer P ( L ∪ D) . Aplicando la ecuación, se tiene: P ( L ∪ D) = P ( L) + P ( D) − P ( L ∩ D ) = 0.10 + 0.12 − 0.04 = 0.18 Este cálculo indica una probabilidad de 0.18 de que un empleado elegido al azar reciba una mala calificación de desempeño. 12.- Suponga que un espacio muestral tiene cinco resultados experimentales igualmente posibles: E 1, E2, E3, E4, E5. Sean, A = {E1, E2} B = {E3, E4} C = {E2, E3, E5} a) Determine P(A), P(B) y P(C) b) Determine P ( A ∪ B ) . ¿Son A y B mutuamente excluyentes? c) Determine Ac , C c , P( Ac ), y P (C c ) d) Determine A ∪ B c y P ( A ∪ B c ) e) Determine P ( B ∪ C ) Solución: a) 2/5 = 0.40; 2/5 = 0.40 y 3/5 = 0.60 b) 0.80; Sí. Ac = {E3 , E4 , E5 }; C c = {E1 , E4 }; c) P ( Ac ) = 3 / 5 = 0.60; P(C c ) = 2 / 5 = 0.40 d) ( E1 , E2, E5 ); 0.60 e) 0.80 13.- En una encuesta entre alumnos de maestría se obtuvieron los datos siguientes acerca de “el principal motivo del alumno para solicitar su ingreso a la escuela donde está matriculado”. Tipo de estudiante Tiempo total

Motivo de la solicitud Calidad de escuela Costo o comodidad 421 393

Otros 76

Totales 890

7 Tiempo parcial Totales

400 821

593 986

46 122

1039 1929

a) Elabore una tabla de probabilidad conjunta para estos datos. b) Aplique las probabilidades marginales de calidad de la escuela, costo o comodidad, y otros, para hacer comentarios sobre el motivo principal para elegir una escuela. c) Si un alumno es de tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela? d) Si un alumno es de tiempo parcial, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela sea el motivo principal para elegirla? e) Sea A el evento en que el alumno es de tiempo completo, y sea B el evento en que el alumno menciona que la calidad de la escuela es el primer motivo de su solicitud. ¿Son independientes los eventos A y B? Justifique su respuesta. Solución: a) Motivo de la solicitud Tipo de estudiante Calidad de escuela Costo o comodidad 0.218 0.204 Tiempo total 0.208 0.307 Tiempo parcial 0.426 0.511 Totales

Otros

Totales

0.039 0.024 0.063

0.461 0.539 1.000

b) Lo más probable es que un alumno cite al costo o la comodidad como primer motivo (probabilidad = 0.511), la calidad de la enseñanza es el primer motivo que cita el segundo grupo en tamaño (probabilidad = 0.426). c) P(calidad/tiempo completo) = 0.218/0.461 = 0.473 d) P(calidad/tiempo parcial) = 0.208/0.539 = 0.386 e) Para que haya independencia se debe cumplir que según la tabla

:

; P(A) = 0.461; P(B) = 0.426 P(A)P(B) = (0.461) (0.426) = 0.196 Como P(A)P(B) , los eventos no son independientes. Ciudad Universitaria, mayo de 2010