• Author / Uploaded
• Josue Gibbs

• Categories
• Sistema coordinado
• Esfera
• Base (Álgebra Lineal)
• Espacio vectorial
• Linealidad

Citation preview

F´ısica Matem´ atica

Alonso Sep´ ulveda S. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia Medell´ın, Agosto de 2004

Colecci´on Ciencia y Tecnolog´ıa c °Alonso Sep´ ulveda c °Editorial Universidad de Antioquia ISBN: xxxxxxxxxx(volumen) ISBN: xxxxxxxxxx(obra completa) Dise˜ no de cubierta: xxxxxxxxxx Dibujos interiores: Giovanny Atehort´ ua Dise˜ no interno y diagramaci´on: xxxxxxxxxx Impresi´on y terminaci´on: xxxxxxxxxx Impreso y hecho en Colombia/Printed and made in Colombia Prohibida la reproducci´on total o parcial, por cualquier medio o con cualquier prop´osito, sin autorizaci´on escrita de la Editorial Universidad de Antioquia Editorial Universidad de Antioquia Tel´efono: (574) 210 50 10. Telefax: (574) 263 82 82 E-mail: [email protected] P´agina web: www.editorialudea.com Apartado 1226, Medell´ın, Colombia Imprenta Universidad de Antioquia Tel´efono: (574) 210 53 30 E-mail: [email protected]

A mis estudiantes

´Indice general Pr´ ologo 1.

IX

Coordenadas curvil´ıneas ortogonales 1.1. Sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Nociones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Teor´ıa de transformaci´on . . . . . . . . . 1.2.2. Jacobianos y transformaciones . . . . . . 1.2.3. Rotaci´on de coordenadas . . . . . . . . . 1.2.4. Vectores Axiales y Polares . . . . . . . . . 1.3. Diferenciales de l´ınea, superficie y volumen . . . 1.4. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Dos identidades importantes . . . . . . . . . . . . 1.6. Identidades Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Una aplicaci´on del teorema de Stokes . . . . . . . 1.8. Tres teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Primer Teorema de Helmholtz . . . . . . 1.8.3. Segundo teorema de Helmholtz . . . . . . 1.9. D´ıadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.11. Angulo s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Construcci´on de sistemas coordenados . . . . . . 1.12.1. Coordenadas parab´olicas cil´ındricas . . . 1.12.2. Coordenadas cil´ındricas el´ıpticas . . . . . 1.12.3. Coordenadas esferoidales oblatas (ξ, η, ϕ) 1.12.4. Coordenadas esferoidales prolatas (ξ, η, ϕ)

iv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 5 5 9 11 12 17 21 22 25 29 32 34 36 39 41 41 41 42 43 51 59 63 63 66 67 68

´INDICE GENERAL

v

1.12.5. Coordenadas bipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.6. Coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.

3.

4.

Unicidad 2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias . 2.2. Ecuaciones diferenciales parciales . . 2.2.1. Ecuaci´on de Poisson . . . . . 2.2.2. Ecuaci´on de difusi´on . . . . . 2.2.3. Ecuaci´on de ondas . . . . . . 2.2.4. Ecuaci´on de Schr¨odinger . . . 2.3. Ecuaciones vectoriales . . . . . . . . 2.3.1. Ecuaci´on de Poisson vectorial 2.3.2. Ondas vectoriales . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

68 71

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

77 77 79 79 80 83 85 86 88 89

Ecuaciones Diferenciales 3.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . 3.1.1. Ecuaciones de primer orden . . . . . . 3.1.2. Ecuaciones de orden superior . . . . . 3.1.3. Soluciones homog´enea e inhomog´enea 3.1.4. Segunda soluci´on . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Una transformaci´on . . . . . . . . . . 3.2. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . 3.2.1. Clasificaci´on de las EDP . . . . . . . 3.2.2. Ecuaciones homog´eneas . . . . . . . . 3.2.3. Separaci´on de variables . . . . . . . . 3.3. Separaci´on de la ecuaci´on de Laplace . . . . . 3.3.1. Coordenadas cartesianas en 2D . . . . 3.3.2. Coordenadas cartesianas en 3-D . . . 3.3.3. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . 3.3.4. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . 3.3.5. Coordenadas toroidales . . . . . . . . 3.4. La ecuaci´on de onda unidimensional . . . . . 3.5. ANEXO 3.1: Clasificaci´on de las ecuaciones 3.6. ANEXO 3.2: Soluci´on a ecuaciones c´ ubicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . diferenciales . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en 3D . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 92 96 100 109 110 113 113 118 119 124 124 130 130 133 136 138 141 144

Ecuaciones de la F´ısica Matem´ atica 4.1. Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Ondas en cuerdas . . . . . . . . 4.1.2. Ondas en membranas . . . . . 4.1.3. Ondas longitudinales en s´olidos 4.1.4. Ondas el´asticas en s´olidos . . . 4.2. Derivadas lagrangiana y euleriana . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

146 147 147 150 154 156 158

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

´INDICE GENERAL

vi

4.3. Flujo de fluidos . . . . . . . . . . 4.3.1. Ondas sonoras . . . . . . 4.4. Ecuaci´on de difusi´on . . . . . . . 4.4.1. Ley de Fourier de difusi´on 4.4.2. Difusi´on de neutrones . . 4.5. Ecuaciones de Poisson y Laplace 4.6. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . 4.7. Ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . . 4.8. Ecuaci´on de Klein-Gordon . . . . 4.9. Ecuaci´on de Dirac . . . . . . . . 4.10. Las ecuaciones biarm´onicas . . . 5.

6.

. . . . . . del . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

159 161 163 163 166 167 169 171 172 173 174

Bases Ortogonales 5.1. Bases discretas . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Espacio Euclidiano n-Dimensional 5.1.2. Espacios de Funciones . . . . . . . 5.2. Bases continuas . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Bases ortogonales en dos variables . . . . 5.4. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. La base trigonom´etrica . . . . . . . 5.4.2. La base exponencial . . . . . . . . 5.4.3. La base bidimensional . . . . . . . 5.5. Integrales de Fourier . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Transformada de Fourier . . . . . . 5.5.2. Dualidad onda-part´ıcula . . . . . . 5.5.3. Transformadas seno y coseno . . . 5.5.4. Teorema de Parseval . . . . . . . . 5.6. Bases de Fourier y ecuaciones diferenciales 5.7. ANEXO 5.1: Ortogonalizaci´on . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

175 176 176 178 184 188 189 189 195 196 197 197 201 204 205 206 211

Teor´ıa de Sturm-Liouville 6.1. Operadores de segundo orden . . . . . . 6.1.1. El operador adjunto . . . . . . . 6.1.2. 3 ejemplos . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Teorema . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4. Hermiticidad y fronteras . . . . . 6.2. Autofunciones y autovalores . . . . . . . 6.2.1. Ecuaci´on de Sturm-Liouville . . 6.2.2. El problema de autovalores . . . 6.3. Funciones especiales . . . . . . . . . . . 6.4. Nota sobre autovalores y autofunciones . 6.5. El problema peri´odico . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

218 219 219 222 222 223 225 225 227 230 232 238

. . . . . . . . . . .

´INDICE GENERAL

7.

8.

vii

6.6. Operadores en 3D y Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . 6.6.1. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2. Autofunciones y autovalores en 3D . . . . . . . . 6.6.3. Soluci´on de la ecuaci´on homog´enea de Fourier . . 6.7. Anexo 6.1: Operadores diferenciales de orden p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. ANEXO 6.2: Los Bra y Kets de Dirac . . . . . . . . . 6.9. Anexo 6.3: Mec´anica matricial y Mec´anica ondulatoria

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

239 239 240 245

. . . . . . . 249 . . . . . . . 253 . . . . . . . 259

Funciones de Green 7.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias 7.2. Oscilador arm´onico . . . . . . . . . 7.3. Ecuaciones diferenciales parciales . 7.3.1. La ecuaci´on de Poisson . . 7.3.2. La ecuaci´on de ondas . . . 7.4. Expansi´on en autofunciones . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

263 263 268 271 271 276 280

Funciones Especiales 8.1. Soluci´on en series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. M´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Propiedades de las funciones de Bessel . . . . 8.3.2. Ortogonalidad y Normalizaci´on . . . . . . . . 8.3.3. Soluci´on a la ecuaci´on de Laplace . . . . . . . 8.3.4. La familia de la ecuaci´on de Bessel . . . . . . 8.3.5. Ecuaciones de Bessel inhomog´eneas . . . . . . 8.3.6. Funciones de Bessel esf´ericas . . . . . . . . . 8.3.7. Ecuaci´on de Bessel modificada . . . . . . . . 8.4. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Ortogonalidad y normalizaci´on . . . . . . . . 8.4.2. Soluci´on a la ecuaci´on de Laplace con m = 0 8.4.3. La familia de la ecuaci´on de Legendre . . . . 8.4.4. Polinomios asociados de Legendre . . . . . . 8.4.5. Arm´onicos esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . 8.4.6. Arm´onicos esf´ericos y operadores escalera . . 8.4.7. Arm´onicos esf´ericos vectoriales . . . . . . . . 8.4.8. Soluci´on general a la ecuaci´on de Laplace . . 8.5. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. La familia de la ecuaci´on de Hermite . . . . . 8.5.2. El oscilador arm´onico cu´antico . . . . . . . . 8.6. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Ecuaci´on asociada de Laguerre . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283 283 284 285 292 300 307 314 317 318 322 328 333 336 338 339 341 343 345 349 351 358 359 363 367

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

´INDICE GENERAL

viii

8.6.2. La familia de la ecuaci´on de 8.6.3. El ´atomo de hidr´ogeno . . . 8.7. Ecuaci´on de Gegenbauer . . . . . . 8.8. Polinomios de Jacobi . . . . . . . . 8.9. Ecuaci´on hipergeom´etrica . . . . . 8.10. Anexo 8.1: La funci´on Gamma .

Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

368 369 372 376 377 380

Pr´ ologo Las leyes b´asicas de la f´ısica son invariantes, en su forma matem´atica, bajo un conjunto bastante general de transformaciones, dependientes de las caracter´ısticas del espacio y el tiempo en que ocurren los fen´omenos f´ısicos. En el marco de la f´ısica newtoniana estas leyes tienen la misma forma matem´atica en todos los sistemas coordenados que difieren uno con respecto al otro en la Posici´on de su origen coordenado. Esta exigencia proviene del postulado de homogeneidad del espacio euclidiano y conduce a la conservaci´on del momento lineal. La forma matem´atica de las leyes se preserva tambi´en en los sistemas coordenados que s´olo difieren por su Orientaci´on, y esta propiedad indica la isotrop´ıa, es decir, la equivalencia de las diferentes direcciones del espacio euclidiano, que implica la conservaci´on del momento angular. Tambi´en las leyes f´ısicas son invariantes con respecto a la escogencia del cero de la coordenada temporal, vale decir, son las mismas en todos los instantes, lo que corresponde a la homogeneidad del tiempo en la f´ısica cl´asica: todos los instantes son cualitativamente id´enticos, e implica la conservaci´on de la energ´ıa. Es cierto adem´as que las leyes preservan su forma en los m´ ultiples sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme, lo que equivale a la aceptaci´on del principio de inercia y a la imposibilidad de encontrar el reposo absoluto en el espacio; este es el principio de relatividad especial si adem´as se exige la existencia de una velocidad invariante, la de la luz. Estas amplias invarianzas de las leyes f´ısicas (hay otras, como simetr´ıas de reflexi´on, de inversi´on, o a´ un m´as abstractas como las de cambio de signo de las cargas el´ectricas) exigen una forma de escritura matem´atica que exprese su invarianza ante estos conjuntos de transformaciones. Ello se logra en el ´ambito de la f´ısica newtoniana mediante la implementaci´on del an´alisis vectorial 3-dimensional, el que hace manifiestos estos diversos principios de relatividad posicional, de orientaci´on y de movimiento. Por ello comenzaremos este curso proponiendo las bases del an´alisis vectorial 3-dimensional, independientemente de la escogencia espec´ıfica de un sistema de coordenadas, lo que garantiza la id´entica escritura de las leyes en todos ellos y permite expresar matem´aticamente las invarianzas del mundo. Consecuentemente, en los desarrollos del cap´ıtulo 1 propondremos las formas generales, en coordenadas curvil´ıneas ortogonales, de las operaciones diferenciales b´asicas: gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano, junto con las nociones elementales sobre transformaciones continuas y discontinuas. Lo finalizamos con un estudio de las funciones delta de Dirac y con la construcci´on de algunos sistemas coordenados. Puesto que las leyes f´ısicas se expresan usualmente como ecuaciones diferenciales (ED), exploraremos en el cap´ıtulo 2 las condiciones iniciales y/o de frontera bajo

x

´INDICE GENERAL

las cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP) gozan de una soluci´on u ´nica. Estos teoremas de unicidad har´an parte, en el cap´ıtulo siguiente, de una clasificaci´on general de las ecuaciones diferenciales. En el cap´ıtulo 3, despu´es de una breve revisi´on de las t´ecnicas de soluci´on de las EDO homog´eneas m´as simples, exploraremos la t´ecnica de separaci´on de variables que permite en muchos casos descomponer las EDP en un conjunto de EDO, cuya estructura desarrollaremos en el cap´ıtulo 6. De la ecuaci´on de Laplace, en particular y en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, haremos la separaci´on de variables que conducir´a a las ecuaciones de Bessel y Legendre. Terminaremos con una clasificaci´on bastante general y en tres familias, de las EDP lineales: el´ıpticas, hiperb´olicas y parab´olicas, cuyas condiciones de unicidad fueron exploradas en el cap´ıtulo anterior. En el cap´ıtulo 4 deducimos algunas de las ecuaciones de uso corriente en la f´ısica matem´atica: la ecuaci´on de ondas para cuerdas, membranas y sonido, y de vibraciones en s´olidos, de conducci´on del calor, Poisson, Schr¨odinger, y proponemos las ecuaciones de Maxwell. Las primeras son exponentes t´ıpicas, de ecuaciones hiperb´olica, parab´olica y el´ıptica. Estas ecuaciones ser´an all´ı expresadas en la forma invariante desarrollada en el primer cap´ıtulo, lo que las hace aptas para ser escritas en cualquier sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales. Es cierto que una muy amplia familia de ecuaciones diferenciales presenta soluciones expresables como combinaciones lineales de funciones. Esto da la idea de ampliar la noci´on de espacios vectoriales (en los que un vector se expresa como una combinaci´on lineal de vectores de una base) extendi´endola hacia lo que ser´an espacios de funciones, o espacios de Hilbert, en los cuales los vectores unitarios son funciones linealmente independientes. En el cap´ıtulo 5 exploraremos los espacios de Hilbert discretos y continuos, detallando las propiedades de ortogonalidad y completez de sus infinitos ejes. Veremos c´omo la idea de vector ordinario en espacios 3-dimensionales se extiende para permitir la expansi´on de funciones en espacios abstractos, cuyo ejemplo m´as conocido es la serie de Fourier, a cuyo estudio dedicaremos la u ´ltima parte del cap´ıtulo. Los desarrollos del cap´ıtulo 3, donde hemos mostrado la posibilidad de descomponer las EDP en un conjunto de EDO, alcanzan en el cap´ıtulo 6 un cl´ımax, en tanto que en ´el lograremos demostrar que todas las EDO lineales de segundo orden tienen una arquitectura com´ un que est´a compendiada en la teor´ıa de Sturm-Liouville. El estudio que aqu´ı haremos enlaza ideas exploradas en cap´ıtulos anteriores, pues muestra que bajo una apropiada escogencia de condiciones de frontera y del dominio de la variable independiente, las EDO exhiben un conjunto infinito de soluciones ortogonales que corresponden a bases de un espacio de Hilbert, de an´aloga manera a como los vectores unitarios de la base cartesiana expanden un espacio vectorial ordinario. Veremos aqu´ı c´omo la noci´on de autovalores, tan cara a la mec´anica cu´antica y a la teor´ıa de matrices, est´a asociada a la existencia de espacios de Hilbert. Consideramos que este cap´ıtulo es el centro de esta obra en tanto que cada

´INDICE GENERAL

xi

una de sus conclusiones ilumina, desde la teor´ıa de espacios, el tema general de las soluciones a las EDO y aclara los temas relativos a las frecuencias naturales de oscilaci´on de sistemas cl´asicos o cu´anticos, como un espectro de autovalores. La teor´ıa de Sturm-Liouville describe las frecuencias espec´ıficas de oscilaci´on de una cuerda o las frecuencias de emisi´on de los ´atomos. Despu´es de extender estas consideraciones a las EDP finalizamos el cap´ıtulo con un tema sugestivo: el isomorfismo entre operadores diferenciales y matrices, que est´a en el centro de la equivalencia matem´atica entre la mec´anica ondulatoria de Schr¨odinger y la mec´anica matricial de Heisenberg. Ahora bien: puesto que muchas de las ED que utilizamos en f´ısica son inhomog´eneas es pertinente introducir m´etodos de soluci´on que vayan m´as all´a de los utilizados para las ED homog´eneas y de los conocidos m´etodos de variaci´on de par´ametros o coeficientes indeterminados. Por ello en el cap´ıtulo 7 introducimos las funciones de Green, cuyo alcance est´a limitado a los casos lineales, pero cuya aplicaci´on a los problemas f´ısicos se extiende desde la f´ısica cl´asica a la cu´antica, independientemente de la dimensi´on del espacio. La teor´ıa de Sturm-Liouville expresa, ciertamente, la ´ıntima estructura de las ED lineales, pero ella misma no es fuente de m´etodos de soluci´on. En el cap´ıtulo 8 implementaremos una t´ecnica bastante general basada en expansiones en series y conocida como m´etodo de Frobenius, que permite resolver una vasta cantidad de ED lineales y homog´eneas. Haremos ´enfasis en las ecuaciones de Bessel, Legendre, Hermite y Laguerre, y esbozaremos lo fundamental de las ecuaciones de Chevishev, hipergeom´etrica e hipergeom´etrica confluente. Dispersa en el cap´ıtulo navegar´a la idea de familias de EDO: las ecuaciones de Bessel, Bessel esf´erica y Airy, por ejemplo, pertenecen a la misma familia. Esto sugiere que a partir de la soluci´on a una ED espec´ıfica puede proponerse la correspondiente para una amplia familia de ED conectada con ella por alg´ un tipo de transformaci´on. Encontraremos la aplicaci´on de esta idea en la descripci´on mec´anico cu´antica del oscilador arm´onico y del ´atomo de hidr´ogeno. Y aqu´ı termina la obra. Cierto es que el tema que aqu´ı hemos explorado es peque˜ no, en tanto que no incluimos la sofisticaci´on que podr´ıa introducir la teor´ıa de grupos, el c´alculo tensorial o el estudio de la variable compleja. Bastar´a con que el lector atento comprenda que las ecuaciones f´ısicas y sus soluciones pueden ser miradas desde la perspectiva unificadora de la teor´ıa de Sturm-Liouville, que proyecta su potente luz sobre teor´ıas cl´asicas y cu´anticas: el sonido del viol´ın y la luz del ´atomo se describen desde ecuaciones de similar estructura matem´atica. En tal teor´ıa reside el secreto matem´atico de la cuantizaci´on. Este texto es un acercamiento modesto a un tema extenso, intenso y dif´ıcil. Es testimonio de una pasi´on. Toda omisi´on en ´el, y cada falta de profundidad deber´a imputarse, no a la brevedad de lo aqu´ı escrito, sino a las pocas luces de

xii

´INDICE GENERAL

quien quiso navegar en estas aguas. Mis agradecimientos a Diego Restrepo, Carlos Yaguna y Johan Mazo, quienes en diversas ´epocas trabajaron en la transcripci´on a LATEX de este texto, y a Giovanny Atehort´ ua por sus dibujos. Alonso Sep´ ulveda S. Medell´ın, Enero de 2006

1

Coordenadas curvil´ıneas ortogonales La f´ısica newtoniana describe los fen´omenos f´ısicos que ocurren en el espacio tridimensional, el que con buena aproximaci´ on puede considerarse euclidiano. Esta f´ıca se expresa matem´aticamente en el lenguaje de la geometr´ıa euclidiana y el c´alculo diferencial escalar o vectorial, matem´aticas que permiten explorar con facilidad las simetr´ıas b´asicas del mundo. En las aplicaciones elementales, como la descripci´on del movimiento de los proyectiles, es suficiente con expresar las leyes f´ıcas en coordenadas cartesianas. Sin embargo, si se pretende describir el movimiento planetario, la forma m´as eficiente implica introducir las coordenadas cil´ındricas o esf´ericas. En este cap´ıtulo se introducen las coordenadas curvil´ıneas ortogonales, de las cuales las cartesianas, las polares, las cil´ıcas polares y las esf´ericas son casos particulares. Escrtitas en el formalismo general de las coordenadas curvil´ıneas ortogonales, las leyes f´ısicas tienen la misma forma en todos los sistemas de coordenadas en el espacio euclidiano tridimensional, independientemente de la posici´on del origen y del ´angulo que los sistemas coordenados formen entre ellos. El c´alculo vectorial en coordenadas curvil´ıneas es la forma m´as simple de describir estas invarianzas de posici´on y orientaci´on. Despu´es de un estudio de los elementos de la teor´ıa de las coordenadas curvil´ıneas ortogonales, se proponen las definiciones de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano, adem´as de las identidades vectoriales y di´adicas m´as simples, y los teoremas integrales que aparecen con mayor frecuencia en la f´ısica matem´atica. El cap´ıtulo incluye las definiciones de vectores axiales y polares, propiedades de la delta de Dirac, la definici´on de ´angulo s´olido y algunos ejemplos de construcci´on

1

2

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

de sistemas de coordenadas curvil´ıneas.

1.1.

Sistemas coordenados

En el espacio euclidiano tridimensional las coordenadas cartesianas se definen en t´erminos de tres familias de planos perpendiculares x = x0 , y = y0 , z = z0 . La intersecci´on de los planos x = x0 y y = y0 genera una l´ınea recta paralela al eje z y que pasa por el punto (x0 , y0 , 0). Adem´as, la intersecci´on de los tres planos x = x0 , y = y0 , z = z0 genera un punto de coordenadas (x0 , y0 , z0 ). z z

ˆ ez ρ = cte

ˆ er

ˆ eϕ

P

z = cte

ˆ eϕ

ˆ er

r

ˆ eθ

θ φ = cte

y ϕ

y x

x

ϕ Figura 1.1: coordenadas cil´ındricas y esf´ericas

Las coordenadas esf´ericas (figura 1.1) se definen en t´erminos de tres superficies: esferas conc´entricas, conos con el mismo v´ertice y planos meridianos. Un punto tiene coordenadas (r, θ, ϕ) y las tres superficies son perpendiculares en cada punto. La intersecci´on del cono y la esfera genera una circunferencia a lo largo de la cual var´ıa s´olo la coordenada ϕ. La intersecci´on de la esfera y el plano meridiano genera un arco de meridiano a lo largo del cual s´olo θ var´ıa, y la intersecci´on del cono y el plano genera una recta radial a lo largo de la cual s´olo r var´ıa. La conexi´on entre coordenadas cartesianas y esf´ericas tiene la forma: x = r sen θ cos ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ

1.1. SISTEMAS COORDENADOS

3

Consideraciones an´alogas pueden realizarse para las coordenadas cil´ındricas (figura 1.1), que se construyen con tres superficies perpendiculares: cilindros conc´entricos, planos meridianos y planos horizontales, a cada una de las cuales se asocian, respectivamente, las coordenadas (ρ, ϕ, z). Las reglas de transformaci´on entre coordenadas cartesianas y cil´ındricas tienen la forma: x = ρ cos ϕ , y = ρ sen ϕ, z = z. Una generalizaci´on directa permite pensar en tres familias de superficies, en general curvas, que en cada punto del espacio se intersectan en ´angulo recto. Estas superficies pueden describirse mediante las ecuaciones: u1 = f1 (x, y, z), u2 = f2 (x, y, z), u3 = f3 (x, y, z) Equivalentemente: x = x(ui ), y = y(ui ), z = z(ui ) Estas ecuaciones son a la vez las reglas de transformaci´on entre coordenadas cartesianas y coordenadas curvil´ıneas ortogonales (figura 1.2).

z

ˆ e2

ˆ e3

ˆ e1

y x Figura 1.2: Coordenadas curvil´ıneas ortogonales Las superficies u1 = cte y u2 = cte se intersectan en una curva a lo largo de la cual s´olo u3 var´ıa, esta curva define la coordenada u3 ; an´alogamente las superficies

4

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

u1 = cte y u3 = cte generan la curva u2 ; y u2 = cte y u3 = cte generan la curva u1 . La intersecci´on de las tres superficies genera un punto cuyas coordenadas son (u1 , u2 , u3 ). Dado un punto (x, y, z) es posible asignarle un´ıvocamente un conjunto (u1 , u2 , u3 ) de coordenadas curvil´ıneas. El sistema de coordenadas curvil´ıneas construido con estas superficies tiene las siguientes caracter´ısticas: a. Los ejes coordenados son en general curvas que se intersectan en ´angulo recto, de modo que los vectores unitarios {ˆ ei }, tangentes a las curvas, generan una base ortonormal tridimensional. No se consideran aqu´ı sistemas coordenados no ortogonales. b. La orientaci´on de la base {ˆ ei } puede cambiar de punto a punto, preserv´andose su ortonormalidad. c. El significado f´ısico de los diferenciales de las coordenadas no es necesariamente longitud. En coordenadas esf´ericas, por ejemplo, hay una longitud y dos ´angulos. Un campo escalar se define dando un valor num´erico en cada punto del espacio. El valor de una cantidad escalar en un punto definido del espacio es invariante ante el cambio de coordenadas. Vale decir, si (x, y, z), (ρ, ϕ, z), (r, θ, ϕ) denotan el mismo punto del espacio f´ısico, el valor que en ese punto tome, por ejemplo, la presion atmosf´erica es el mismo. Los campos vectoriales se definen dando en cada punto del espacio el valor de tres cantidades, conocidas como las componentes vectoriales. Aunque los vectores unitarios y los valores de cada componente sean diferentes en cada sistema de coordenadas, es sin embargo cierto que el vector A no se altera cuando se cambia de sistema coordenado, vale decir que si ˆ ei , ˆ e0i , Ai , A0i son los vectores unitarios y las componentes en dos sistemas coordenados S y S 0 , entonces: A=

3 X

Aiˆ ei =

i=1

3 X

A0iˆ e0i

i=1

Lo anterior significa que un vector es invariante bajo transformaciones coordenadas. Y esto es cierto ya sea que las transformaciones vayan de un sistema cartesiano a otro cartesiano rotado respecto al primero, o de uno cartesiano a uno esf´erico. Se dice igualmente que los campos escalares son invariantes bajo transformaciones coordenadas. La teor´ıa de transformaci´ on se ocupa de estos temas. De esta forma es posible escribir ecuaciones cuya forma matem´atica es la misma en todos los sistemas de coordenadas en el espacio 3-dimensional euclidiano. Por dar un ejemplo, la ecuaci´on de ondas escrita en la forma: ∇2 ψ −

1 ∂2ψ =0 v 2 ∂t2

es v´alida en todos los sistemas coordenados, es decir, es invariante en su forma bajo transformaciones coordenadas.

´ 1.2. NOCIONES BASICAS

5

Las leyes f´ısicas han de ser escritas en forma invariante con el fin de darles la libertad de ser escritas en cualquier sistema coordenado. Para que esto ocurra, cada uno de los sumandos de una ecuaci´on debe transformarse del mismo modo, es decir, cada sumando es covariante. Todos los sistemas coordenados son buenos, ninguno de ellos goza de alg´ un privilegio f´ısico especial.

1.2.

Nociones b´ asicas

1.2.1.

Teor´ıa de transformaci´ on

En el espacio euclidiano es siempre posible construir un sistema coordenado cartesiano que se extienda indefinidamente; a partir de ´el pueden generar m´ ultiples sistemas coordenados, mediante la introducci´on de las superficies ui = f (x, y, z). Puesto que, rec´ıprocamente, x, y, z son funciones de ui , esto es: x=x(ui ), y=y(ui ), z = z(ui ), se puede escribir: dx =

∂x ∂x ∂x du1 + du2 + du3 ∂u1 ∂u2 ∂u3

dy =

∂y ∂y ∂y du1 + du2 + du3 ∂u1 ∂u2 ∂u3

dz =

∂z ∂z ∂z du1 + du2 + du3 , ∂u1 ∂u2 ∂u3

Estas tres ecuaciones son las componentes de la ecuaci´on vectorial: 3

dr =

X ∂r ∂r ∂r ∂r du1 + du2 + du3 = dui ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂ui i=1

(1.1)

En general, el factor ∂r/∂ui que aparece en (1.1) es un vector no unitario que toma en cuenta la variaci´on de r s´olo en direcci´on de ui y es, por tanto, tangente a la curva coordenada ui . Con el fin de introducir una base normalizada ˆ ei , es decir, un conjunto de vectores unitarios ˆ ei , se define: ∂r = hi ˆ ei ∂ui

(1.2)

donde |ˆ ei | = 1 y hi son funciones de ui , que ser´an llamadas factores de escala. Se sigue que: 3 X dr = hi ˆ ei dui i=1

6

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

Puesto que solo se consideran bases ortonormales (perpendiculares y unitarias) puede escribirse: ˆ ei · ˆ ej = δij (1.3) Es decir: ˆ e1 · ˆ e2 = ˆ e2 · ˆ e3 = ˆ e3 · ˆ e1 = 0 y,

2

2

2

ˆ e1 · ˆ e1 = |ˆ e1 | = |ˆ e2 | = |ˆ e3 | = 1 δij , conocido como delta de Kronecker, se define as´ı: δij = 0 si i 6= j y δij = 1 si i = j. Dicho de otro modo, los δij se pueden representar matricialmente como los elementos de la matriz identidad. De (1.2): ¯ ¯ ¯ ∂r ¯ ¯ ¯ (1.4) ¯ ∂ui ¯ = hi expresi´on que es u ´til en el c´alculo de los factores de escala; en consecuencia, de (1.2), los vectores unitarios en coordenadas curvil´ıneas se escriben: ˆ ei =

1 ∂r hi ∂ui

(1.5)

Ejercicio: De cartesianas a esf´ ericas Un punto P puede localizarse mediante las coordenadas cartesianas (x, y, z), y tambi´en mediante las coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ), donde: −∞ ≤ x ≤ ∞, −∞ ≤ y ≤ ∞, −∞ ≤ z ≤ ∞, y r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π,

0 ≤ ϕ ≤ 2π

r = |r| es la coordenada radial, θ es la coordenada polar (o colatitud) y ϕ es la coordenada azimutal. F´acilmente se deduce de la gr´afica que la conexi´on entre coordenadas cartesianas y esf´ericas es como sigue: p 2 2 x = r sen θ cos ϕ, r = x2 + ¶ µy + z p −1 2 2 2 y = r sen θ sen ϕ, θ = cos z/ x + y + z z = r cos θ,

ϕ = tan−1 (y/x)

´ 1.2. NOCIONES BASICAS

7

As´ı pues: ˆz r = ˆi x + ˆj y + k ˆ r cos θ = ˆi r sen θ cos ϕ + ˆj r sen θ sen ϕ + k

(1.6)

DE acuerdo con (1.6): ˆ cos θ • hr = ∂r/∂r = ˆi sen θ cos ϕ + ˆj sen θ sen ϕ + k ¯ ¯ ¯ ∂r ¯ p ⇒ ¯¯ ¯¯ = sen 2 θ cos2 ϕ + sen 2 θ sen 2 ϕ + cos2 θ = 1 ∂r Tal que seg´ un (1.4): h1 = hr = 1 ˆ r sen θ • hθ = ∂r/∂θ = ˆi r cos θ cos ϕ + ˆj r cos θ sen ϕ − k ¯ ¯ ¯ ∂r ¯ p ⇒ ¯¯ ¯¯ = r2 (cos2 θ cos2 ϕ + cos2 θ sen 2 ϕ + sen 2 θ) = r ∂θ de donde: h2 = hθ = r • hϕ = ∂r/∂ϕ = −ˆi r sen θ sen ϕ + ˆj r sen θ cos ϕ ¯ ¯ ¯ ∂r ¯ p ⇒ ¯¯ ¯¯ = r2 ( sen 2 θ sen 2 ϕ + sen 2 θ cos2 ϕ) = r sen θ ∂ϕ por lo cual h3 = hϕ = r sen θ En s´ıntesis: hr = 1, hθ = r, hϕ = r sen θ

(1.7)

Adem´as, reemplazando en (1.5), los vectores unitarios en coordenadas esf´ericas pueden expresarse en t´erminos de coordenadas cartesianas, como: ˆ cos θ ˆ er = ˆi sen θ cos ϕ + ˆj sen θ sen ϕ + k ˆ sen θ ˆ eθ = ˆi cos θ cos ϕ+ˆj cos θ sen ϕ − k ˆ eϕ = −ˆi sen ϕ + ˆj cos ϕ

(1.8)

Donde (ˆ e1 , ˆ e2 , ˆ e3 ) = (ˆ er , ˆ eθ , ˆ eϕ ). Estas ecuaciones pueden invertirse algebraicaˆ ˆ ˆ mente para expresar i, j, k en t´erminos de ˆ er , ˆ eθ , ˆ eϕ ; se obtiene: ˆi = ˆ er sen θ cos ϕ + ˆ eθ cos θ cos ϕ − ˆ eϕ sen ϕ ˆj = ˆ er sen θ sen ϕ + ˆ eθ cos θ sen ϕ + ˆ eϕ cos ϕ ˆ=ˆ k er cos θ − ˆ eθ sen θ

8

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

e e, con: En forma matricial: ˆ e = Aˆ ², ²ˆ = Aˆ     ˆ e1 ˆ er e2  =  ˆ eθ  , ˆ e= ˆ ˆ e3 ˆ eϕ 

sen θ cos ϕ A =  cos θ cos ϕ − sen ϕ



  ²ˆ1 ²ˆ =  ²ˆ2  =  ²ˆ3

sen θ sen ϕ cos θ sen ϕ cos ϕ

ˆi  ˆj  ˆ k

 cos θ − sen θ  0

e = I, de modo que la matriz A es ortogonal, y es f´acil verificar Es cierto que AA que |A| = 1. Nota: De las ecuaciones (1.6) y (1.8) se sigue que: r = rˆ er . Esto muestra que la expresi´on: r=ˆ e1 u1 + ˆ e2 u2 + ˆ e3 u3 (1.9) no es v´alida en coordenadas esf´ericas, pues dar´ıa lugar a la expresi´on incorrecta (incluso dimensionalmente!): r = rˆ er + θˆ eθ + ϕˆ eϕ . La ecuaci´on (1.9) es v´alida s´ olo en coordenadas cartesianas, donde ui =xi . No obstante, es cierto que cualquier vector A, diferente de r, en coordenadas curvil´ıneas ortogonales, se escribe: X A= ˆ ei Ai = ˆ e1 A1 + ˆ e2 A2 + ˆ e3 A3 i

Problemas: 1. Demuestre que en coordenadas cil´ındricas : r = ρˆ eρ + zˆ ez ericas el vector 2. Escriba en coordenadas esf´ ˆ A = xyˆi − xˆj + 3xk; y exprese Ar , Aθ y Aϕ en t´ erminos de r, θ, ϕ. 3. Considere la transformaci´ on de coordenadas: x = 2uv, y = u2 + v 2 , z = w. Demuestre que el nuevo sistema de coordenadas no es ortogonal. 4. Considere la transformaci´ on de coordenadas: x = 2uv, y = u2 − v 2 , z = w. Demuestre que el nuevo sistema de coordenadas es ortogonal. 5. El sistema de coordenadas cil´ındricas el´ıpticas (σ, τ, z) se define mediante las relaciones: x = 2A cosh σ cos τ , y = 2A senh σ sen τ , z = z. Demuestre que este sistema de coordenadas es ortogonal y que h2σ = h2τ = 4A2 ( senh 2 σ + sen 2 τ ), hz = 1.

´ 1.2. NOCIONES BASICAS

1.2.2.

9

Jacobianos y transformaciones

En componentes, la ecuaci´on (1.1) puede escribirse: dxi =

X ∂xi X duj = Jij duj ∂uj j j

(1.10)

con: Jij = ∂xi /∂uj

(1.11)

En forma matricial la ecuaci´on (1.10) se escribe: dx = Jdu donde dx y du son los vectores columna:     dx1 du1 dx =  dx2  , du =  du2  dx3 du3 J es la matriz de transformaci´on de los diferenciales de coordenadas, cuyos elementos son Jij = ∂xi /∂uj . El determinante |J| se conoce como el Jacobiano, que ha de ser diferente de cero para garantizar que la transformaci´on sea invertible. ˆ (1.5) toma la forma: Tambi´en, con r = ˆix + ˆjy + kz, µ ¶ 1 ˆ ∂x ˆ ∂y ∂z ˆ ˆ ei = i +j +k (1.12) hi ∂ui ∂ui ∂ui que es la regla de transformaci´on entre P vectores unitarios. Introduciendo la notaci´on ˆ se escribe r = ˆj xj , tal que (1.5) tambi´en se escribe: (ˆ ²1 , ²ˆ2 , ²ˆ3 ) = (ˆi, ˆj, k), j² ˆ ei =

X ²ˆj ∂xj X = aji ²ˆj hi ∂ui j j

(1.13)

1 ∂xj hi ∂ui

(1.14)

donde se ha definido definido: aji = Introduciendo los vectores columna:   ˆ e1 e2  ˆ e= ˆ ˆ e3



 ²ˆ1 ˆ² =  ²ˆ2  ²ˆ3

y considerando aij como elementos de la matriz A (aji son elementos de su transpuesta), puede escribirse (1.13) en forma matricial como: e ˆ e = A²

(1.15)

10

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

e es la transpuesta de A. Es cierto, de acuerdo a las ecuaciones (1.11) y (1.14), que A Jji = aji hi , ´o matricialmente: J = AH (1.16) con:



h1 H= 0 0

0 h2 0

 0 0  h3

(1.17)

Ahora bien, un postulado b´asico de la teor´ıa de transformaci´on asegura la invarianza del elemento de l´ınea dr, y en general de cualquier vector, bajo transformaci´on de coordenadas. En consecuencia los m´odulos de los vectores son tambi´en P invariantes. Es cierto que en coordenadas cartesianas dl2 = i dxi dxi , y que en coordenadas curvil´ıneas: X X dl2 = dr · dr = hj hk ˆ ej · ˆ ek duj duk = hj hk duj duk δjk jk

jk

. La invarianza de dl2 asegura que su valor es el mismo en el sistema coordenado original y en el nuevo, esto es: X

dxi dxi =

i

y puesto que, seg´ un (1.11), dxi = X

hj hk duj duk δjk ,

jk

P j

Jij duj se sigue, del rengl´on anterior:

Jij Jik duj duk =

ijk

de donde:

X

X

hj hk duj duk δjk ,

jk

X

Jij Jik = h2j ,

i

que en forma matricial se escribe: e JJ = H2 , siendo e J la transpuesta de J. De e JJ = H2 y J = AH se sigue que: e =I AA (1.18) e = A−1 . de modo que la matriz A es ortogonal: A e De AA = I se sigue |A| = ±1. Ahora bien, los tipos posibles de transformaci´on son: a) De un S cartesiano a otro S’ rotado, o reflejado, o invertido. b) De un S cartesiano a uno curvil´ıneo. En el caso de rotaci´on, o del paso de cartesianas a curvil´ıneas, puesto que la matriz de transformaci´on ha de contener la identidad, entonces |A| = +1. Para reflexi´on e inversi´on: |A| = −1.

´ 1.2. NOCIONES BASICAS

11

Teniendo que el producto triple escalar a·b×c es igual al determinante (Phillips pag. 22): ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ y de acuerdo a (1.11) se sigue, con el auxilio de (1.5): ∂r ∂r ∂r · × = h1 h2 h3 ˆ e1 · ˆ e2 × ˆ e3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 que es diferente de cero pues ˆ e1 , ˆ e2 , ˆ e3 no son coplanares. De hecho, puesto que ˆ e1 · ˆ e2 × ˆ e3 = 1 se sigue |J| = h1 h2 h3 . |J| =

1.2.3.

Rotaci´ on de coordenadas

Como una aplicaci´on simple de las ecuaciones (1.5) o (1.12) consid´erese la transˆ a otro formaci´on de un sistema cartesiano (x, y, z) con vectores unitarios (ˆi, ˆj, k) 0 0 0 0 ˆ0 ˆ0 ˆ sistema cartesiano (x , y , z ), con vectores unitarios (i , j , k ). Si la rotaci´on se realiza por un ´angulo θ alrededor del eje z, la regla de transformaci´on es: x = x0 cos θ − y 0 sen θ, y = x0 sen θ + y 0 cos θ, z = z 0

(1.19)

x0 = x cos θ + y sen θ, y 0 = −x sen θ + y cos θ, z 0 = z

(1.20)

Por aplicaci´on de (1.12), donde ei hace las veces del sistema primado, es decir: ˆ0 y teniendo en cuenta que hi = 1 se sigue: e1 = ˆi0 , ˆj0 , k ˆi0 = ˆi cos θ + ˆj sen θ, ˆj0 = −k ˆ sen θ + ˆj cos θ, k ˆ0 = k ˆ Estas expresiones pueden  ˆ0   i        ˆj0  = A        0 ˆ k

escribirse en la forma matricial ²ˆ0 = Aˆ ², es decir:  ˆi    cos θ sen θ 0  ˆj  , con A =  − sen θ cos θ 0    0 0 1 ˆ k

Observemos que |A| = 1, lo que es caracter´ıstico de las transformaciones que pueden ser realizadas partiendo de la identidad. En efecto: si θ tiende a cero, entonces |A| tiende a la identidad I. Una dupleta de n´ umeros (Ax , Ay ) define las componentes de un vector si bajo rotaci´on de coordenadas alrededor de z se transforman como: Ax0 = f1 (Ax , Ay ), Ay0 = f2 (Ax , Ay ) en la forma:

12

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

Ax

= Ax0 cos θ − Ay0 sen θ

Ay

= Ax0 sen θ + Ay0 cos θ

Ax0 Ay0

= Ax cos θ + Ay sen θ = −Ax sen θ + Ay cos θ

o, rec´ıprocamente:

Obviamente, (x, y) son componentes de un vector. ¿Lo son (−y, x), (x, −y), (x − y, x + y)? Para la primera pareja, con (Ax , Ay ) = (−y, x): Ax0 Ay0

= (−y) cos θ + (x) sen θ = [x sen θ − y cos θ] = −y 0 = (y) sen θ + (x) cos θ = [x cos θ + y sen θ] = x0

donde se han tenido en cuenta las ecuaciones (1.20). As´ı pues, la pareja (−y, x) es un vector en el plano, expresable como: B = −ˆiy + ˆjx.

1.2.4.

Vectores Axiales y Polares

La definici´on de vector que se ha adoptado en este cap´ıtulo es la siguiente: Un vector es una forma lineal invariante bajo transformaci´ on de coordenadas. Esto es, si B y B0 son vectores en S y S 0 , entonces: X X e0j B = B0 , con B = Bi ˆ ei y B0 = Bj0 ˆ i

j

Volviendo al u ´ltimo ejemplo de la secci´on precedente, si B = −ˆiy + ˆjx es vector, entonces ha des er cierto que: −ˆiy + ˆj = −ˆi0 y 0 + ˆj0 x0 Una interesante discusi´on sobre este t´opico se encuentra en Arfken, secci´on 1.2. Cuando se realiza una transformaci´on de un sistema cartesiano S a otro cartesiano S 0 (transformaci´on que puede consistir en una rotaci´on, inversi´on o reflexi´on), los vectores unitarios se transforman de acuerdo a (1.13). Puesto que, por definici´on, el vector B es una forma invariante bajo la transformaci´on es cierto que: X X B0 = Bi0ˆ e0i = B = Bi ˆ ei . (1.21) i

i

´ 1.2. NOCIONES BASICAS

13

Reemplazando (1.13) y teniendo en cuenta la independencia lineal de los vectores de la base se sigue que: 3 X Bi0 = aij Bj , (1.22) j=1

e = I; se sigue, tomando el determinante: |A| = ±1. De acuerdo a (1.18): AA La rotaci´on de coordenadas tiene |A| = 1 (lo que proviene de que la rotaci´on debe contener como caso l´ımite la transformaci´on de identidad, para la cual |A| = 1), mientras la inversi´on y la reflexi´on de coordenadas tienen, como se ver´a, |A| = −1. Problema: Si se definen las siguentes matrices fila, columna y cuadrada: e e = (B1 , B2 , B3 ) ˆ e = (ˆ e1 , ˆ e2 , ˆ e3 ), B     ˆ e1 B1 a11 a12 a13      ˆ e2 B2 a21 a22 a23  ˆ e= , B= , A= ˆ e3 B3 a31 a32 a33 Bajo una rotaci´ on, reflexi´ on o inversi´ on de coordenadas demuestre que: B = e e 0, ˆ e e0 , ˆ ee = ˆ Bˆ eB, B 0 = AB, B = AB e = Aˆ e0 = Aˆ e, B · B = B0 · B0 



Consid´erese Reflexi´ on de coordenadas (figura 1.3): Como se sigue de la figura 1.3, s´olo la primera componente cambia de signo bajo reflexi´on respecto al plano yz: B10 = −B1 , B20 = B2 , B30 = B3 Un vector de este tipo se llama polar. y

y0 B

B x z

x0 z0

Figura 1.3: Reflexi´on de coordenadas Es f´acil ver c´omo transforma, bajo reflexi´on respecto al plano yz, el producto vectorial de dos vectores polares B y C:

14

1.

B0 × C0

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

= (B 0 2 C 0 3 − B30 C20 , B30 C10 − B10 C30 , B10 C20 − B20 C10 ) = (+(B2 C3 − B3 C2 ), −(B3 C1 − B1 C3 ), −(B1 C2 − B2 C1 ))

La segunda y tercera componentes cambian de signo, luego el producto vectorial sigue una ley de transformaci´on diferente. El producto vectorial de dos vectores polares es un vector axial. En cuanto a sus reglas de transformaci´on hay entonces dos tipos de vectores: polares y axiales. P Un vector polar P se transforma como: Pi0 = j aij Pj , mientras un vector axial P V se transforma como: Vi0 = |A| j aij Vj . Es cierto entonces que bajo rotaci´on (|A| = 1) no hay distinci´on entre vectores axiales (V) y polares (P). Pero s´ı la hay bajo inversi´on ´o reflexi´on de coordenadas, respecto al plano yz, descritas respectivamente por las matrices:     −1 0 0 −1 0 0  0 −1 0   0 1 0  , 0 0 −1 0 0 1 y para las cuales |A| = −1. ¿Qu´e forma tienen las matrices que reflejan respecto a los planos xy y xz? Las transformaciones para las cuales |A| = −1 se llaman transformaciones impropias y no pueden obtenerse de la identidad, ni se reducen a ella en alg´ un l´ımite. Esto contrasta con las transformaciones propias, que est´an conectadas con la identidad y que se reducen a ella en el l´ımite de rotaci´on cero, y para las cuales |A| = 1. F´acilmente puede probarse que bajo inversi´ on cambian de signo las tres componentes de un vector polar, mientras las tres componentes del producto vectorial de dos vectores polares permanecen inalteradas. En s´ıntesis, bajo transformaciones m´as generales que rotaci´on se distinguen dos tipos de vectores: A) Polares, cuyas tres componentes cambian bajo inversi´on; bajo reflexi´on cambia s´olo la componente normal al plano de reflexi´on. B) Axiales, o pseudovectores, cuyas componentes no cambian de signo bajo inversi´ on. Bajo reflexi´ on cambia el signo de las componentes situadas en el plano de reflexi´on. Son vectores polares: posici´on, velocidad, aceleraci´on, fuerza, momento li˜ neal, ˜ campo el´ectrico, desplazamiento el´ectrico, polarizaci´on, aceleraci´on de gra˜ vedad, momento de dipolo el´ectrico, densidad volum´etrica de momento angular, potencial vectorial magn´etico. Son vectores axiales: ´angulo, velocidad angular, aceleraci´on angular, momento angular, torque, superficie, inducci´on magn´etica, intensidad de campo magn´etico,

´ 1.2. NOCIONES BASICAS

15

magnetizaci´on, momento de dipolo magn´etico, densidad de corriente de carga o masa, vector de Poynting, densidad volum´etrica de momento lineal. En adici´on se definen escalares y pseudoescalares como cantidades que se transforman respectivamente seg´ un las reglas: φ0 = φ,

η 0 = |A|η

Son escalares: masa, carga el´ectrica, potencial el´ectrico, potencial gravitacional, temperatura, energ´ıa, trabajo, entrop´ıa, tiempo, corriente el´ectrica, permitividad, permeabilidad magn´etica, flujo del campo magn´etico. Son pseudoescalares: densidad volum´etrica de masa y de carga, volumen, ´angulo s´olido, densidad volum´etrica de energ´ıa, potencial escalar magn´etico, flujo del campo el´ectrico. Conviniendo en que A, B, C...son vectores axiales y P, Q, R... son vectores polares, es f´acil demostrar que: A × B = Vector axial A × P = Vector polar P × Q = Vector axial A × (B × C) = Vector axial P × (Q × R) = Vector polar A · B = escalar P · Q = escalar A · P = pseudoescalar A · (B × C) = escalar P · (A × B) = pseudoescalar A · (P × Q) = escalar

Para la segunda de ellas, y teniendo en cuenta que: (A01 , A02 , A03 ) = (−A1 , A2 , A3 ) , (P10 , P20 , P30 ) = (P10 , −P20 , −P30 ) Se sigue: A0 × P0

= (A0 2 P 0 3 − A03 P20 , A03 P10 − A01 P30 , A01 P20 − A02 P10 ) = ((A2 P3 − A3 P2 ), (A3 P1 − A1 P3 ), (A1 P2 − A2 P1 ))

de donde se concluye que el vector A0 × P0 es polar: A0 × P0 = A × P El producto escalar A · P de un vector axial y uno polar se transforma como un pseudoescalar:

16

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

A0 · P0 = A01 P10 + A01 P10 + A01 P10 = −(A1 P1 + A1 P1 + A1 P1 ) = −A · P Ejemplos f´ısicos de estas relaciones son los siguientes: p = mv, F = ma, L = r × p, τ = r × F, v = ω × r, E = −∇φ, F = qE, F = qv × B, F = mg. Paridad e invarianza Teorema: Las ecuaciones vectoriales son invariantes bajo transformaciones coordenadas s´ olo si contienen sumas (o restas) de vectores del mismo tipo. Por ejemplo, si A, B, C son axiales: A0 + B0 = C0 ∴ |A|

X

−→

A0i + Bi0 = Ci0

aij (Aj + Bj ) = |A|

3 X

j

⇒ Aj + Bj = Cj

aij Cj

i=1

´o:

A+B=C

luego la forma de la ecuaci´on es invariante. Tambi´en, si P, Q, R son vectores polares: De

P0 + Q0 = R0

se sigue:

P + Q = R,

ecuaci´on que es tambi´en invariante. Sin embargo, si se suman vectores axiales y polares en la misma ecuaci´on, se tendr´a: A0 + P0 = Q0 ´o A0i + Pi0 = Q0i de donde:

X

aij (|A|Aj + Pj ) =

j

X

aij Qj

j

y por tanto: ∴ |A|Aj + Bj = Qj

´o

|A|A + P = Q ,

ecuaci´on que no es de la forma A + P = Q. En consecuencia la mezcla de vectores axiales y polares genera ecuaciones en las que cada sumando se transforma de un modo distinto, por lo que la ecuac´ı´on no conserva su forma bajo reflexi´on o inversi´on. Se dice entonces que este tipo de ecuaciones viola la paridad, pues se viola la regla de que, o cambian todos los signos de los sumandos o no cambia ninguno. Por ejemplo, en la anteror ecuaci´on se viola la paridad bajo inversi´on pues A0 + P0 = Q0 se convierte en −A + P = Q.

1.3. DIFERENCIALES DE L´INEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN

17

An´alogamente, ecuaciones que mezclan escalares y pseudoescalares no son invariantes bajo inversi´on y reflexi´on: Si e, f, g son escalares y p, q, r son pseudoescalares, entonces las ecuaciones e+f = g y p + q = r conservan la paridad (pues e0 + f 0 = g 0 se convierte en e + f = g y p0 + q 0 = r0 se convierte en −p − q = −r que es p + q = r), pero e + p = f no la conserva, pues e0 + p0 = f 0 se convierte en e − p = f . Es posible combinar escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores para formar ecuaciones invariantes (o no invariantes) bajo reflexi´on e inversi´on, como en los siguientes problemas. Problemas: 1. Demuestre que las siguientes ecuaciones conservan la paridad: P+q A = Q, A + e C = B, P + e R = Q, A + q P = B. 2. Demuestre que las siguientes ecuaciones violan la paridad: P + e A = Q, A + e P = B, P + q R = Q, A + p C = B.

S´ olo las interacciones d´ebiles violan la paridad. Las interacciones fuertes, electromagn´eticas y gravitacionales son invariantes bajo reflexi´ on e inversi´ on de coordenadas. Y todas las leyes f´ısicas son invariantes bajo rotaci´ on (y traslaci´ on) de coordenadas.

1.3.

Diferenciales de l´ınea, superficie y volumen

Utilizando (1.5) en (1.1) puede escribirse: dr =

3 X i=1

hi ˆ ei dui =

3 X

dli ,

(1.23)

i=1

donde: dli = hiˆ ei dui

(1.24)

representa el elemento diferencial de l´ınea a lo largo del eje ui . La expresi´on (1.23) asegura que cualquier elemento de l´ınea con orientaci´on arbitraria puede descomponerse en una suma vectorial. En coordenadas esf´ericas: dlr = ˆ er dr −→ dlr = dr dlθ = ˆ eθ r dθ −→ dlθ = rdθ ˆϕ r sen θ dϕ −→ dlϕ = r sen θ d ϕ dlϕ = e Las superficies diferenciales se describen como vectores perpendiculares al ´area diferencial y orientadas seg´ un la regla de la mano derecha (figura 1.4): dS1 = dl2 × dl3

18

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

u2

dS3

dS1

u1 dS2 u3 Figura 1.4: Elementos diferenciales de ´area en coordenadas curvil´ıneas

dS2 = dl3 × dl1 dS3 = dl1 × dl2 As´ı: dS1 = h2 h3 ˆ e2 × ˆ e3 du2 du3 = h2 h3 ˆ e1 du2 du3 = ˆ e1 dS1 dS2 = h3 h1 ˆ e3 × ˆ e1 du3 du1 = h3 h1 ˆ e2 du3 du1 = ˆ e2 dS2 dS3 = h1 h2 ˆ e1 × ˆ e2 du1 du2 = h1 h2 ˆ e3 du1 du2 = ˆ e3 dS3 , donde se han introducido las relaciones: ˆ e1 × ˆ e2 = ˆ e3 ,

ˆ e2 × ˆ e3 = ˆ e1 ,

ˆ e3 × ˆ e1 = ˆ e2 ,

v´alidas en sistemas coordenados curvil´ıneos ortonormales en espacios 3D euclidianos. En forma sint´etica: 3 X ˆ ei × ˆ ej = ²ijk ˆ ek (1.25) k=1

²ijk es el llamado s´ımbolo de Levi-Civita, definido como: ²123 = 1 y antisim´etrico para cada pareja de ´ındices contiguos. Es decir:  para permutaci´on par  1, −1 , para permutaci´on impar ²ijk =  0, para ´ındices repetidos

1.3. DIFERENCIALES DE L´INEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN

Una forma algebraica bastante simple que contiene todas sus propiedades es: ²ijk =

1 (i − j)(j − k)(k − i) 2

B1

dS1 B2

dS1

u1

Figura 1.5: Elemento diferencial de volumen El elemento de volumen diferencial (figura 1.5) se define como: dV

= = =

dl1 · dl2 × dl3 h1 h2 h3 ˆ e1 · ˆ e2 × ˆ e3 du1 du2 du3 h1 h2 h3 du1 du2 du3

En coordenadas esf´ericas:

dS1 = dSr = hθ hϕ dθ dϕ = r2 sen θ d θ d ϕ dS2 = dSθ = hϕ hr dϕ dr = r sen θ dr d ϕ dS3 = dSϕ = hr hθ dr d θ = r dr d θ , y dV = hr hθ hϕ dr dθ dϕ = r2 sen θ dr d θ d ϕ

19

20

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1. Problemas:

1. La velocidad y la aceleraci´ on se definen en la forma vectorial siguiente: v=

dr ˙ y a = v˙ = ¨ = r, r. dt

a. En coordenadas cil´ındricas demuestre que •ˆ e˙ ρ = ˆ eϕ ϕ, ˙ ˆ e˙ ϕ = −ˆ eρ ϕ, ˙ ˆ e˙ z = 0 • v=ˆ eρ ρ˙ + ˆ eϕ ρϕ˙ + ˆ ez z˙ • a=ˆ eρ (¨ ρ − ρϕ˙ 2 ) + ˆ eϕ (ρϕ ¨ + 2ρ˙ ϕ) ˙ +ˆ ez z¨. b. Demuestre que en coordenadas esf´ ericas: • ˆ e˙ r = ˆ eθ θ˙ + ˆ eϕ ϕ˙ sen θ, ˆ e˙ θ = −ˆ er θ˙ + ˆ eϕ ϕ˙ cos θ, ˆ e˙ ϕ = −ˆ eθ ϕ˙ cos θ − ˆ er ϕ˙ sen θ • v=ˆ er r˙ + ˆ eθ rθ˙ + ˆ eϕ rϕ˙ sen θ •a=ˆ er (¨ r − rθ˙2 − rϕ˙ 2 sen 2 θ) + ˆ eθ (2r˙ θ˙ + rθ¨ − rϕ˙ 2 sen θ cos θ) + ˆ eϕ (2r˙ ϕ˙ sen θ + r ϕ ¨ sen θ + 2r θ˙ϕ˙ cos θ). 2. Calcule los factores de escala y los elementos de l´ınea, superficie y volumen en coordenadas cil´ındricas. 3. Demuestre que: P • A × B = ijk ˆ ei ²ijk Aj Bk P • A · B × C = ijk ²ijk Ai Bj Ck • A·B×C=B·C×A=C·A×B • A·B×A=0

Nota sobre Levi-Civita: DeP la identidad A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C se sigue, reemplazando A= Ai ˆ ei , etc, y teniendo en cuenta la ecuaci´on (1.25): " # X X ²ijk ²lmk − δil δjm + δim δjl Aj Bl Cmˆ ei = 0 , ijlm

k

de modo que: 3 X

²ijk ²lmk = δil δjm − δim δjl

(1.26)

k=1

Esta ecuaci´on puede escribirse como: 3 X k=1

²ijk ²lmk

¯ ¯ δ = ¯¯ il δjl

Es f´acil demostrar que: 1.

P3 jk=1

²ijk ²ljk

¯ P ¯¯ δil = j¯ δjl

¯ δij ¯¯ = 2δil δjj ¯

¯ δim ¯¯ δjm ¯

(1.27)

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

2. 3.

P3 ijk=1

21

²ijk ²ijk = 6

P3

j=1 δij ²ijk

=0

La ecuaci´on (1.27) es la suma en k, con n = k, ¯ ¯ δil δim ¯ ²ijk ²lmn = ¯¯ δjl δjm ¯ δkl δkm

de la expresi´on: ¯ δin ¯¯ δjn ¯¯ δkn ¯

Es f´acil demostrarlo. Con n = k y sumando sobre k: X

²ijk ²lmk

X

=

k

[δil δjm δkk + δim δjk δkl + δjl δkm δik

k

− δkl δjm δik − δkm δjk δil − δjl δim δkk ] = 3δil δjm + δim δjl + δjl δim − δil δjm − δjm δil − 3δjl δim = δil δjm − δim δjl El s´ımbolo de Levi-Civita puede utilizarse para escribir determinantes. Es en efecto cierto que: X ²lmn ail ajm akn |A|²ijk = lmn

Utilizando esta expresi´on es bastante f´acil demostrar que |AB| = |A||B|. En relatividad especial el s´ımbolo ²µνσρ , en el que µ, ν, σ, ρ toman valores entre 0 y 3, puede ser definido en forma an´aloga: ²0123 = 1 y antisim´etrico en cada pareja µνσρ de ´ındices contiguos. Es demostrable que ² = −1 y, siendo δαµ una delta de Kronecker, es cierto que: ¯ ¯ α ¯ δµ δµβ δµγ δµδ ¯¯ ¯ α ¯ δ αβγδ δνβ δνγ δνδ ¯¯ ²µνσρ ² = ¯¯ ν δσβ δσγ δσδ ¯¯ ¯ δσα ¯ δα δρβ δργ δρδ ¯ ρ Problema: Utilizando (1.26) demuestre que:

1.4.

•

(A × B) · (A × B) = A2 B 2 − (A · B)2

•

(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)

Operadores diferenciales

Entenderemos por campo un sistema f´ısico con valores definidos en cada punto del espacio f´ısico, al que se asume tridimensional y euclidiano. Un campo escalar

22

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

est´a caracterizado por una funci´on f (u1 , u2 , u3 ) que lo determina por entero en cada punto del espacio. La temperatura en cada punto de un s´olido, la presi´on y la densidad de la atm´osfera, los potenciales gravitacional y electrost´atico, la amplitud de una onda de sonido, son campos escalares. φ = zy 3 − x2 es un campo escalar. Un campo vectorial se caracteriza con tres funciones escalares (es decir, una funci´on vectorial) en cada punto del espacio. La velocidad de una part´ıcula de un fluido, el campo el´ectrico de una distribuci´on de cargas el´ectricas, los campos gravitacionales, el campo magn´etico terrestre, las ondas electromagn´eticas, el campo de ˆ es un velocidades en un tornado, son campos vectoriales. A = yz 2ˆi − 2zx3ˆj + xy 2 k campo vectorial. Se asume que los campos en consideraci´on son funciones regulares, continuas y derivables, excepto posiblemente en puntos aislados. Todos los campos pueden ser, adem´as, funciones del tiempo. En general los campos ser´an descritos por ecuaciones diferenciales parciales cuyas variables independientes ser´an la posici´on y el tiempo.

1.4.1.

Gradiente

Al pasar de un punto P(u1 , u2 , u3 ) a otro infinitesimalmente cercano P(u1 + du1 , u2 + du2 , u3 + du3 ) el cambio diferencial de una funci´on (o campo) escalar φ(u1 , u2 , u3 ) est´a dado por: 3

X ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ dφ = du1 + du2 + du3 = dui ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂ui i=1

(1.28)

Teniendo en cuenta la ecuaci´on (1.23) se sigue: dr =

3 X

hj ˆ ej duj

j=1

Multiplicando escalarmente por ˆ ei : dr · ˆ ei =

3 X

hj ˆ ej · ˆ ei duj =

j=1

=⇒

3 X

hj δij duj = hi dui

j=1

dui =

1 dr · ˆ ei , hi

tal que reemplazando en (1.28): µX ¶ 3 3 X ˆ ei ∂φ ∂φ 1 ˆ ei · dr = dr · dφ = ∂ui hi h ∂ui j=1 i i=1

(1.29)

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

23

El t´ermino entre par´entesis se denota ∇φ, donde ∇ es conocido como el operador nabla. As´ı: 3 3 X X ˆ ei ∂φ ∇φ ≡ = ˆ ei (∇φ)i (1.30) h ∂ui i=1 i i=1 y se llama gradiente de la funci´on escalar φ(ui ). por tanto: dφ = dr · ∇φ

(1.31)

Puesto que dr = n ˆ dl, se sigue: dφ/dl = n ˆ · ∇φ, que corresponde a la definici´on de derivada direccional de la funci´on φ en direcci´on n ˆ. Para estudiar las propiedades del gradiente t´omese un par de superficies infinitesimalmente cercanas, sobre cada una de las cuales la funci´on φ tiene valores constantes e infinitesimalmente diferentes, φ y φ + dφ. En teor´ıa de campos se les llama superficies equipotenciales (figura 1.6). De (1.31) se sigue : dφ = dr · ∇φ = |dr||∇φ| cos θ donde θ es el ´angulo entre dr y ∇φ. Si el vector dr se sit´ ua en el plano φ = cte, entonces dφ = 0; por tanto: 0 = |dr||∇φ| cos θ Como ∇φ es en general diferente de cero, pues φ(ui ) es una funci´on arbitraria, y como |dr| 6= 0 se sigue que cos θ = 0, por lo cual θ = 900 . En consecuencia: ∇φ es perpendicular a la superficie φ = constante.

∇φ

dr

φ + dφ φ

r Figura 1.6: Superficies equipotenciales El m´aximo valor de dφ ocurre cuando θ = 0; es decir: dφm´ax = |∇φ||dr| = |∇φ| dl µ o:

dφ dl

¶ = |∇φ| m´ ax

24

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

As´ı pues, el m´ odulo del gradiente corresponde al valor m´ aximo de la derivada direccional y el gradiente apunta en la direcci´on en que tal derivada es m´axima. Ahora bien: puesto que desde cada punto de una l´ınea o superficie equipotencial es posible trazar el vector ∇φ, resulta entonces posible construir una red coordenada ortogonal a las equipotenciales; por lo cual, dada una familia de curvas en el plano (o de superficies curvas en el espacio) es posible obtener otras que le son ortogonales. De ac´a surge un m´etodo eficaz de construcci´on de sistemas de coordenadas curvilineas ortogonales que ser´a implementado en la secci´on 1.12. Ha de tenerse en cuenta que ∇ no es un vector sino un operador vectorial: ∇ no tiene direcci´on ni m´odulo, a menos que opere sobre una funci´on. En coordenadas esf´ericas:

∇φ =

3 X ˆ ei ∂φ ˆ er ∂φ ˆ eθ ∂φ ˆ eϕ ∂φ ∂φ ˆ eθ ∂φ ˆ eϕ ∂φ = + + =ˆ er + + h ∂ui hr ∂r hθ ∂θ hϕ ∂ϕ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ i=1 i

Problemas: 1. Escriba ∇φ en coordenadas cartesianas y cil´ındricas. 2. Demuestre que: ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ p 3. Si f = f (r) con r = x2 + y 2 + z 2 , demuestre que ∇f (r) = ˆ r df (r)/dr. En particular, si ∇f (r) = 2r4ˆ r, hallar f (r). 4. Halle el vector unitario normal a la superficie x2 y + 2xz = 4 en el punto (1, 2, 1) y la ecuaci´ on del plano tangente que pasa por ese punto. 5. Halle el ´ angulo que forman las superficies x2 +y 2 +z 2 = 9 y x2 +y 2 −z = 3 en el punto (2, −1, 2). 6. Halle la derivada direccional de φ = x2 yz + 4xz 2 en (1, −2, −1) en ˆ direcci´ on a = 2ˆi − ˆj − 2k. 7. Si A =constante en coordenadas cartesianas, demuestre que: ∇(r · A) = A. 8. Demuestre que ∇ui = ˆ ei /hi

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

25

9. Demuestre que:

∂r · ∇uj = δij . ∂ui Esto significa que las dos familias de vectores ∂r/∂ui y ∇uj son ortogonales, y forman bases rec´ıprocas.

10. Partiendo de la forma cartesiana del gradiente de un escalar: ∇ϕ = P ˆ ²i ∂ϕ/∂xi y utilizando argumentos de la secci´ on 1,2 obtenga la forma (1.30). Esto demuestra la invarianza del gradiente bajo transformaci´ on de coordenadas. 11. El potencial electrost´ atico de un dipolo el´ ectrico p = p0 ˆ ez es: φ = p0 cos θ/r 2 , con p0 constante. Calcule el campo electrost´ atico E = −∇φ en coordenadas esf´ ericas. 12. La ecuaci´ on b´ asica de la hidrost´ atica (v´ ease secci´ on 4.3) tiene la forma: ∇P + ρ∇G = 0, donde P , ρ y G son la presi´ on, la densidad y el potencial gravitacional. Demuestre que, en cada punto, las normales a las superficies de presi´ on y potencial constante son paralelas.

1.4.2.

Divergencia

Dada una superficie diferencial orientada dS (figura 1.7), el flujo del campo vectorial B a trav´es de dS se define como: dΦ = flujo diferencial = B · dS

B dS

Figura 1.7: Flujo del campo B a trav´es de una superficia abierta Obviamente el flujo es m´aximo si B k dS y cero si B ⊥ dS. Interesa, en lo que sigue, calcular el flujo a trav´es de una superfice diferencial cerrada, que contenga un volumen diferencial dV limitado por superficies coordenadas. El volumen ser´a entonces un paralelep´ıpedo curvilineo. El flujo total es la suma de los flujos a trav´es de cada pareja de superficies. Anal´ıcese primero el flujo sobre las caras dS1 : dΦ1

= dΦu1 +du1 + dΦu1 = (B1 dS1 )u1 + du1 − (B1 dS1 )u1 = (B1 h2 h3 du2 du3 )u1 + du1 − (B1 h2 h3 du2 du3 )u1

26

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

= (B1 h2 h3 )u1 + du1 du2 du3 − (B1 h2 h3 )u1 du2 du3 Los elementos diferenciales du2 du3 han sido extra´ıdos del primer t´ermino pues son independientes de u1 . Con una expansi´on de Taylor alrededor de u1 : (B1 h2 h3 )u1 +du1 = (B1 h2 h3 )u1 +

∂(B1 h2 h3 ) du1 + · · · ∂u1

En consecuencia: ∂(B1 h2 h3 ) dV ∂(B1 h2 h3 ) du1 du2 du3 = ∂u1 ∂u1 h1 h2 h3 De modo completamente an´alogo: dΦ1 =

dΦ2 =

∂(B2 h3 h1 ) dV ∂u2 h1 h2 h3

∂(B3 h1 h2 ) dV ∂u3 h1 h2 h3 El flujo total dΦ que atraviesa el volumen dV es entonces: dΦ3 =

· dΦ = dΦ1 + dΦ2 + dΦ3 =

¸ ∂(B1 h2 h3 ) ∂(B2 h3 h1 ) ∂(B3 h1 h2 ) dV + + ∂u1 ∂u2 ∂u3 h1 h2 h3

Introduciendo la convenci´on: h ≡ h1 h2 h3 : µ ¶ µ ¶ µ ¶¸ · B1 h ∂ B2 h ∂ B3 h dV ∂ + + = Div B dV dΦ = ∂u1 h1 ∂u2 h2 ∂u3 h3 h donde se ha definido la divergencia del campo B como la siguiente funci´on escalar: 3

Div B =

1X ∂ h i=1 ∂ui

µ

Bi h hi

¶ (1.32)

En consecuencia: la divergencia es el flujo por unidad de volumen: dΦ dV La anterior formulaci´on ha sido realizada para un volumen diferencial. Para un volumen finito: I Φ= B · dS Div B =

S

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

27

H donde el s´ımbolo representa integraci´on sobre la superficie cerrada qu limita el volumen. Para realizar esta integral (que equivale a sumar flujos diferenciales) se descompone el volumen V en un conjunto de vol´ umenes diferenciales dV ; las caras comunes de los paralelep´ıpedos diferenciales contribuyen con flujos iguales y opuestos en signo, que se cancelan al hacer la suma, de modo que en s´ıntesis, las partes no nulas de la integral de ´area son aquellas que corresponden a caras en la frontera exterior. En consecuencia: Z

I

Div B dV

B · dS =

Φ=

V

S

La integral de la divergencia sobre un volumen puede transformarse en una integral que involucra s´olo el valor del campo sobre la superficie. Este resultado es conocido como Teorema de la divergencia: I

Z B · dS =

S

Div B dV

(1.33)

V

La integral se extiende sobre la superfice que rodea el volumen V . De modo alterno: H B · dS Div B = l´ım ∆V →0 ∆V Es cierto en coordenadas curvil´ıneas ortogonales que (v´ease Schaum’s): Div B = ∇ · B El lado izquierdo de la igualdad se calcula utilizando (1.32) y el derecho utilizando el operador gradiente de (1.30). En coordenadas esf´ericas :

∇ · B = Div B

= = =

µ ¶ 3 1X ∂ Bi h h i=1 ∂ui hi · ¸ 1 ∂ ∂ ∂ 2 (B r sen θ) + (r sen θB ) + (rB ) r θ ϕ r2 sen θ ∂r ∂θ ∂ϕ 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Bϕ (r Br ) + (sen θBθ ) + r2 ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ

Ejercicio: Demuestre que : ∇ · (φA) = φ∇ · A + A · ∇φ

28

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

De (1.32): µ ¶ 1X ∂ h φ Ai ∇ · (φA) = h i ∂ui hi " # µ ¶ X X ∂ h h 1 ∂φ = φ Ai + Ai h ∂ui hi hi ∂ui i i " µ ¶# X · ¸ 1X ∂ h 1 ∂φ Ai + Ai = φ h i ∂ui hi hi ∂ui i = φ∇ · A + A · ∇φ. Problemas: 1. Utilizando coordenadas cartesianas y cil´ındricas demuestre que ∇ · B = Div B . 2. Escriba ∇ · B en coordenadas cartesianas y cil´ındricas. 3. Eval´ ue ∇ · (rrn ) y ∇ · (r∇rn ) en coordenadas cartesianas. 4. Demuestre, en coordenadas cartesianas, que ∇ · (r/r3 ) = 0 5. Compruebe el teorema de la divergencia para el campo vectorial A = ˆ sobre la superficie y volumen de una esfera de radio 4. 4xˆi − 2yˆj + z 2 k, ˆ a trav´ 6. Halle el flujo del campo A = zˆi + xˆj − 3y 2 z k es de la superficie del cilindro x2 + y 2 = 16. 7. Halle la divergencia de ˆ 2 + xy) A = ˆi(x2 + yz) + ˆj(y 2 + xz) + k(z H 8. Demuestre que r · dS = 3V. 9. Demuestre que el campo el´ ectrico de una carga puntual, E=

qˆ r 4π²0 r2

cumple ∇ · E = 0 para r 6= 0. 10. La ley de Gauss para el campo el´ ectrico tiene la forma: I q E · dS = ²0 S R donde q = ρdV es la carga encerrada en la superficie y ρ su densidad volum´ etrica. Demuestre la ley de Gauss en forma diferencial: ρ ∇·E= ²0 11. Calcule el flujo del campo vectorial A = r a trav´ es de una superficie cerrada limitada por los planos coordenados y el primer octante de una esfera de radio a. Primero, por c´ alculo directo usando la definici´ on de flujo. Segundo, utilizando el teorema de Gauss.

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

1.4.3.

29

Rotacional

Se define la circulaci´ on de un vector a lo largo de una curva cerrada como: I B · dl c

B2 u2 B1

dS3

u1 u3 Figura 1.8: Trayectoria cerrada sobre la superficie u1 u3 Para el circuito diferencial de la figura 1.8 que limita el ´area dS3 : I B · dl = −(B2 dl2 )u1 + (B1 dl1 )u2 + (B2 dl2 )u1 +du1 − (B1 dl1 )u2 +du2 3

Expandiendo en serie de Taylor y cancelando t´erminos: I

·

∂ B · dl = (B2 h2 ) − ∂u 1 3 · ∂ = (B2 h2 ) − ∂u1 = ( Rot B )3 dS3

¸ ∂ (B1 h1 ) du1 du2 ∂u2 ¸ ∂ dS3 (B1 h1 ) ∂u2 h1 h2

El c´alculo ha sido restringido s´olo a la superficie dS3 . Si se incluyen trayectorias sobre las superficies u1 =cte y u2 =cte, se tendr´a: I B · dl = ( Rot B )1 dS1 1

I B · dl = ( Rot B )2 dS2 2

30

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

Los c´alculos anteriores se han referido a paralelogramos curvil´ıneos localizados en las superficies coordenadas. El caso general lo conforma una curva cerrada c en el espacio, que rodea una superficie diferencial dS. Puesto que esta puede descomponerse en dS1 , dS2 y dS3 , puede escribirse: I B · dl = Rot B · dS c

As´ı pues: Rot B

= + +

· ˆ e1 ∂ (B3 h3 ) − h2 h3 · ∂u2 ˆ e2 ∂ (B1 h1 ) − h3 h1 · ∂u3 ˆ e3 ∂ (B2 h2 ) − h1 h2 ∂u1

¸ ∂ (B2 h2 ) ∂u3 ¸ ∂ (B3 h3 ) ∂u1 ¸ ∂ (B1 h1 ) ∂u2

Utilizando el s´ımbolo de Levi-Civita y con h = h1 h2 h3 : Rot B =

3 3 X 1 X ∂ ˆ ei ²ijk hi (Bk hk ) = ˆ ei ( Rot B )i h ∂uj i=1

(1.34)

i,j,k=1

En forma matricial: ¯ ¯ h1 ˆ e1 ¯ Rot B = ¯¯ ∂/∂u1 ¯ B1 h1

h2 ˆ e2 ∂/∂u2 B2 h2

h3 ˆ e3 ∂/∂u3 B 3 h3

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

El operador ∂/∂ui act´ ua s´olo sobre la tercera fila. En coordenadas esf´ericas: · ¸ · ¸ ˆ er ∂ ∂Bθ 1 ∂Br 1∂ ∇×B = (sen θBϕ ) − +ˆ eθ − (rBϕ ) r sen·θ ∂θ r sen θ ∂ϕ r ∂r ¸ ∂ϕ ˆ eϕ ∂ ∂Br + (rBθ ) − r ∂r ∂θ Es demostrable que Rot B = ∇ × B De la expresi´on

H

B · dl = (∇ × B) · dS se sigue: I B · dl = |∇ × B|dS cos θ c

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

31

La m´axima circulaci´on se obtiene con θ = 0: µH

B · dl dS

¶ = |∇ × B| m´ ax

Es decir: el m´ odulo del rotacional es la m´ axima circulaci´ on por unidad de ´ area. Los c´alculos realizados hasta ahora son v´alidos para un circuito diferencial. En el caso de una curva cerrada que encierre una superficie abierta finita debe hacerse una suma sobre el conjunto de circuitos elementales como muestra la figura 1.9. Los circuitos con lados comunes no contribuyen a la circulaci´on. La contribuci´on neta viene s´olo de los elementos de l´ınea ubicados en el contorno c. dS

c Figura 1.9: Descomposici´on de una superficie finita en elementos diferenciales

Como resultado final aparece una integral de l´ınea sobre el contorno c y una integral sobre el ´area S: I

Z B · dl = c

∇ × B · dS

(1.35)

S

La anterior expresi´on - conocida como Teorema de Stokes - permite reemplazar integrales de ´area por integrales de l´ınea.

32

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

Problemas: 1. Escriba ∇ × B en coordenadas cartesianas y cil´ındricas. 2. Eval´ ue ∇ × p (rf (r)) en coordenadas cartesianas y esf´ ericas. f (r) es funci´ on de r = x2 + y 2 + z 2 . 3. Si v = ω × r, con ω constante, demuestre que ∇ · v = 0 y ∇ × v = 2ω 4. Demuestre que para los campos escalar φ y vectorial A es cierto que: ∇ × (φA) = φ∇ × A + ∇φ × A 5. Demuestre que la condici´ on necesaria y suficiente para que F · dr sea un diferencial exacto es ∇ × F = 0 6. Halle el rotacional del campo vectorial ˆ 2 + xy) A = ˆi(x2 + yz) + ˆj(y 2 + xz) + k(z 7. Halle la circulaci´ on del campo bidimensional A = ˆi(y −2x)+ˆj(3x+2y) a lo largo de una circunferencia de radio 2, con centro en (0, 0) y ubicada en el plano xy. 8. Considere los siguientes campos de velocidad en un fluido: v = Cˆ er /r2 , ˆ v = Cˆ eφ /ρ, v = Cˆ eφ ρ, v = kC(L − y). ¿Son irrotacionales? Si lo son, h´ allese el potencial de velocidad. 9. Halle la circulaci´ on del campo A = (x2 − y 2 )ˆi + 2xyˆj a lo largo de un contorno cuadrado (limitado por los ejes coordenados y las rectas x = a, y = a) situado en el plano xy y recorrido en sentido antihorario. 10. Halle la circulaci´ on del campo A = ˆix−ˆiy, a lo largo de la curva y 2 = 4x, desde (0, 0) hasta (4, 4). 11. El campo electrost´ atico de un dipolo el´ ectrico p = p0 ˆ ez es: E = p0 (2ˆ er cos θ + ˆ eθ sen θ)/r3 . Demuestre que ∇ × E = 0, y que, para r 6= 0: ∇ · E = 0. 12. Considere dos funciones u = u(r) y v = v(r), continuas y derivables. Demuestre que si u y v satisfacen la ecuaci´ on f (u, v) = 0 entonces: ∇u × ∇v = 0. 13. La ley de Ampere para el campo magn´ etico B tiene la forma: I B · dl = µ0 i, c

donde i es la corriente el´ ectrica que atraviesa la trayectoria cerrada c, a R la que se conoce como amperiana. Teniendo en cuenta que i = J · dS, donde J es la densidad de corriente, y utilizando el teorema de Stokes, obtenga la ley de Ampere en forma diferencial: ∇ × B = µ0 J

1.4.4.

Laplaciano

El laplaciano de una funci´on escalar f (ui ), que representamos por ∇2 f (ui ), se define como: ∇2 f = ∇ · ∇f as´ı, de acuerdo a (1.32) con Bi = (∇f ):

1.4. OPERADORES DIFERENCIALES

3

1X ∂ ∇ f= h i=1 ∂ui

33

µ

2

y como, seg´ un (1.30): (∇f ) =

1 ∂f hi ∂ui ,

¶

se sigue que: 3

∇2 f =

h (∇f )i hi

1X ∂ h i=1 ∂ui

µ

h ∂f h2i ∂ui

¶ (1.36)

En coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas : ∂2f ∂2f ∂2f + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 µ ¶ 1 ∂ ∂f 1 ∂2f ∂2f ∇2 f = ρ + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 µ ¶ µ ¶ 1 ∂ 1 ∂ ∂f 1 ∂2f 2 2 ∂f ∇ f= 2 r + 2 sen θ + 2 r ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen θ ∂ϕ2 ∇2 f =

En coordenadas cartesianas es f´acil demostrar que: ∇2 A = ∇(∇ · A) − ∇ × (∇ × A), donde: ˆ 2 Ak . ∇2 A = ˆi∇2 Ax + ˆj∇2 Ay + k∇ En otros sistemas de coordenadas el Laplaciano de una funci´on vectorial se define en la forma: ∇2 A = ∇(∇ · A) − ∇ × (∇ × A). Como se ver´a, el Laplaciano ∇2 aparece en electrost´atica, magnetost´atica, gravitaci´on, ondas, flujo de fluidos, mec´anica cu´antica y difusi´on de calor entre otros. El tipo m´as sencillo de campo vectorial F(r) es el que es irrotacional, solenoidal, continuo y derivable. Por ser irrotacional (∇×F = 0) existe un potencial φ: F = ∇φ; por ser solenoidal (∇ · F = 0) entonces ∇2 φ = 0. La soluci´on a la ecuaci´on de Laplace se denomina funci´ on arm´ onica. El potencial de un campo electrost´atico es arm´onico en el exterior de las cargas. En un fluido de densidad constante el potencial de velocidad es arm´onico si no hay fuentes ni sumideros.

34

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

Problemas: 1. En coordenadas cartesianas demuestre que ∇2 rn = n(n − 1)rn−2 2. Utilizando coordenadas curvil´ıneas demuestre que: ∇2 (φψ) = φ∇2 ψ + ψ∇2 φ + 2∇φ · ∇ψ 3. Demuestre que ∇2 [∇ · (r/r2 )] = 2r−4 4. Demuestre que ∇2 ϕ y ∇ · A son invariantes bajo rotaci´ on de coordenadas. 5. Demuestre que: ∇2 ψ(r) =

· ¸ 1 d 1 d2 h i d2 ψ 2 dψ 2 dψ r = rψ = + 2 2 r dr dr r dr dr2 r dr

6. El potencial electrost´ atico satisface la ecuaci´ on de Poisson ∇2 φ = 4πρ/²0 . Si en el interior de una esfera de radio R el potencial es φ = R2 − r2 , y si en el exterior es cero, eval´ ue la distribuci´ on de carga ρ que genera este potencial. 7. Si dentro de una esfera de radio R el campo el´ ectrico es E = αr y fuera de ella es cero, obtenga la distriduci´ on ρ que lo produce. 8. Si a una distancia ρ < b del eje z, en coordenadas cil´ındricas, el potencial es φ = αρ2 y si ρ > b es cierto que φ = αb2 [1 + ln(ρ/b)], eval´ ue la distribuci´ on de carga ρ0 que lo genera.

Nota: Algunos textos de an´alisis vectorial denominan del al operador ∇. Otros escriben ∆ en vez de ∇2 .

1.5.

Dos identidades importantes

Se demuestran aqu´ı dos identidades que son de importancia notable en la teor´ıa de campos. 1. De las ecuaciones (1.32) y (1.34): ∇·∇×A

= =

µ ¶ 1X ∂ h (∇ × A)i h i ∂ui hi µ ¶ 1X ∂ h hi ∂ ²ijk (hk Ak ) h ∂ui hi h ∂uj ijk

=

1X ∂2 ²ijk (hk Ak ) h ∂ui ∂uj ijk

Debido a la simetr´ıa de la segunda derivada y a la antisimetr´ıa del s´ımbolo de

1.5. DOS IDENTIDADES IMPORTANTES

35

Levi-Civita bajo intercambio de ij se sigue que la suma es cero, tal que: ∇·∇×A=0 [En forma general, si Aij = Aji y Bij = −Bji entonces: 2. De las ecuaciones (1.31) y (1.34): ∇ × ∇φ = =

(1.37) P ij

Aij Bij ≡ 0]

1X ∂ (hk (∇φ)k ) ˆ ei ²ijk hi h i ∂uj 1X ∂2φ ˆ ei ²ijk hi h ∂uj ∂uk ijk

y la suma en jk de nuevo es cero por el argumento ya visto. As´ı pues: ∇ × ∇φ ≡ 0

(1.38)

De las identidades (1.37) y (1.38) se sigue: a. Todo campo vectorial cuyo rotacional sea nulo puede siempre expresarse como el gradiente de una funci´on escalar. Un ejemplo f´ısico significativo es el campo electrost´atico E, cuyo rotacional es nulo, por lo cual: E = −∇φ. Otro es el campo gravitacional g = −∇G, y uno m´as el campo de velocidades en un fluido que no tiene remolinos. Los campos vectoriales cuyo rotacional es nulo se llaman irrotacionales. El gradiente es irrotacional. b. Todo campo cuya divergencia sea nula puede siempre expresarse como el rotacional de otro campo vectorial. Tal es el caso del campo magnetost´ atico, que satisH face: ∇ · B = 0, por lo cual B = ∇ × A. En consecuencia, B · dS = 0: El flujo del campo magnetost´atico es siempre nulo en cada punto del espacio, por lo cual sus l´ıneas de campo son cerradas. Los campos vectoriales cuya divergencia es nula se llaman solenoidales. El rotacional es solenoidal. Problemas: 1. Dado el campo vectorial ˆ A = ˆi(x + 2y + az) + ˆj(bx − 3y − z) + k(4x + cy + 2z), halle los valores de a, b, c para los cuales ∇ × A = 0. En tal caso es cierto que A = ∇Φ. Halle Φ. 2. Si u y v son irrotacionales, demuestre que u × v es solenoidal. 3. Si A es irrotacional, demuestre que A × r es solenoidal. on de Laplace, demuestre que ∇ϕ es a la vez 4. Si ϕ satisface la ecuaci´ solenoidal e irrotacional.

36

1.6.

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

Identidades Vectoriales

Por aplicaci´on directa de las definiciones de los operadores diferenciales pueden obtenerse las siguientes identidades:

• • • • • • • • • • • • •

∇(ϕ + η) = ∇ϕ + ∇η ∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B ∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) ∇ · (ϕA) = ϕ∇ · A + A · ∇ϕ ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A ∇ × (ϕA) = ϕ∇ × A + ∇ϕ × A ∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B ∇ · (r × ∇ϕ) = 0 ∇·r=3 ∇×r=0 ∇rµn = n ˆr rn−1 ¶ n−1 n−1 • ∇ 1/|r − r0 | = −(n − 1)(r − r0 )/|r − r0 | , n 6= 1

Problemas: Demuestre que: 1.

a. De la identidad

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A se sigue:

∇ × ∇2 A = ∇2 ∇ × A y ∇ · ∇2 A = ∇2 ∇ · A, de modo que los operadores ∇· y ∇× conmutan con ∇2 . Tambi´ en ∇ y ∇2 conmutan.

b. De las identidades para ∇ × (A × B) y ∇(A · B) se sigue: ∇ × (A × B) + ∇(A · B)

=

A(∇ · B) − B(∇ · A)

+

2(B · ∇)A + A × (∇ × B)

+

B × (∇ × A)

c. Si A y B son vectores constantes, entonces: ∇(A · B × r) = A × B

1.6. IDENTIDADES VECTORIALES

37

d. ∇ · A 6= A · ∇, ∇ × A 6= −A × ∇ e. ∇ · (∇Φ × ∇Ψ) = 0 f. ∇ × (ϕ ∇ϕ) = 0 g. ∇ · (r/r3 ) = 0, h. ∇ · (r

r3 )

=

r 6= 0

6r3

i. ∇2 (ln r) = 1/r2 j. ∇2 rn = n(n + 1)rn−2 k. ∇2 (φψ) = φ∇2 ψ + 2∇φ · ∇ψ + ψ∇2 φ ¡ ¢ l. ∇ · r∇(1/r2 ) = 3r−3 ¡ ¢ m. ∇2 ∇ · (r/r2 ) = 2r−4 n. ∇ × (r × ∇ψ) = r∇2 ψ − ∇ψ − ∇(r · ∇ψ) n ˜. (A × ∇) · r = 0, (A × ∇) × r = −2A o. ∇2 f (r) = d2 f /dr2 + (2/r)df /dr. Eval´ ue f (r) si ∇2 f (r) = 0. R H p. ∇ϕ dV = ϕ dS (Haga A =Haϕ con a constante, en el teorema de Gauss). De ac´ a se sigue que dS = 0: toda figura cerrada tiene superficie (no ´ area) nula. H dS × ∇ϕ = ϕ dl (HagaH A = aϕ con a constante, en el teorema de Stokes). Se sigue que dl = 0: la longitud vectorial de toda trayectoria cerrada es cero. R H r. ∇ × F dV = dS × F (Haga A = a × F con a constante, en el teorema de Gauss).

q.

R

s. . La condici´ on necesaria y suficiente para que las funciones u = u(r), v = v(r) y w = w(r) satisfagan la ecuaci´ on f (u, v, w) = 0 es que el jacobiano ∇u · ∇v × ∇w sea cero. t. El potencial electrost´ atico de un dipolo el´ ectrico p es: φ = p·r/r3 . Calcule el campo el´ ectrico E = −∇φ. u. El campo magn´ etico es expresable como: B = ∇ × A. Demuestre que si B es constante entonces: A = 12 B × r. Sugerencia: utilice la identidad para ∇ × (B × r). v. El vector potencial de un dipolo magn´ etico m es: A(r) =

µ0 m × r 4π r3

Demuestre que su campo magn´ etico tiene la forma: µ0 B(r) = [3r3 (r · m) − m] 4πr3 w. En coordenadas cil´ındricas el potencial vectorial de un alambre largo es: µ0 i ln(ρ/ρ0 ) A(r) = ˆ ez 2π Demuestre que el campo magn´ etico es: B(r) = ˆ eϕ

µ0 i 2πρ

38

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

2. En el exterior de cargas y corrientes los campos electromagn´ eticos variables con el tiempo del tipo E = E(r)eiωt , B = B(r)eiωt satisfacen la ecuaci´ on de Helmholtz (∇2 + k2 )E = (∇2 + k2 )B = 0. Es cierto que ∇·E = 0 es satisfecho por el campo transverso E = r×∇ψ. En efecto, r · E = 0. Demuestre que E satisface la ecuaci´ on de Helmholtz si ψ tambien la satisface. Ahora, para campos con dependencia temporal eiωt la ley de inducci´ on de Faraday toma la forma: B = i∇ × E/ω, de modo que el campo B correspondiente a E = r × ∇ψ es B = i∇ × (r × ∇ψ). De otro lado, el campo B satisface ∇ · B = 0, lo que permite escribir B = r × ∇ϕ. Este campo es transverso: r · B = 0. Utilizando la ley de Ampere-Maxwell con J = 0 demuestre que: E = −i∇×(r×∇ϕ)/ωµ0 ²0 . As´ı, los campos arm´ onicos E y B en el exterior de ρ y J se escriben: · ¸ i E = r × ∇ψ − ∇ × (r × ∇ϕ) eiωt ωµ0 ²0 · ¸ i B = r × ∇ϕ + ∇ × (r × ∇ψ) eiωt ω

3.

a. Considere la ecuaci´ on de ondas sin fuentes: ∇2 ψ(r, t) −

1 ¨ ψ(r, t) = 0, v2

¨ t) representa la segunda derivada temporal de un camdonde ψ(r, po escalar real. Multiplicando por ψ˙ y haciendo uso de las identidades vectoriales exprese esta ecuaci´ on en la forma de una ley de conservaci´ on: ∇·S+

∂E = 0, ∂t

donde: S

=

E

=

˙ −K ψ∇ψ · ¸ K 1 (∇ψ)2 + 2 ψ˙ 2 2 v

Esta expresi´ on describe la conservaci´ on de la energ´ıa de las ondas escalares. S es el vector de Poynting, que da la densidad de flujo de energ´ıa de la onda (dE/dA dt) y E es su densidad volum´ etrica de energ´ıa (dE/dV ). La constante K depende de las caracter´ısticas f´ısicas de la onda (en el aire, en los s´ olidos...)

´ DEL TEOREMA DE STOKES 1.7. UNA APLICACION

39

b. En el caso de campos escalares complejos debe asegurarse que S y E sean cantidades reales. Para ello se multiplica la ecuaci´ on de ondas por ψ˙ ∗ ˙ Demuestre que y el complejo conjugado de la ecuaci´ on de ondas por ψ. = 0, al sumar los resultados de estas operaciones se obtiene ∇ · S + ∂E ∂t con S

=

E

=

∗ ˙ K(ψ˙ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ ) y · ¸ 1 1 ∗ K (∇ψ · ∇ψ + ∇ψ ∗ · ∇ψ) + 2 ψ˙ ψ˙ ∗ 2 v

Considere ψ = ψ0 ei(k·r−ωt) . Demuestre que de la ecuaci´ on de ondas se ˆ 2 |ψ|2 /v. Demuestre sigue k = ω/v, y que E = 2kω 2 |ψ|2 /v 2 y S = 2kkω ˆ que, en consecuencia, S = kEv. 4.

a. Multiplicando la ecuaci´ on de Schr¨ odinger ~2 ∂Ψ(r, t) ∇2 Ψ(r, t) + V (r, t) Ψ(r, t) = i~ 2m ∂t por ψ˙ ∗ , multiplicando su compleja conjugada por ψ˙ y restando ambas demuestre que ∇ · J + ∂ρ/∂t = 0, donde −

J=

~2 [ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ] 2im

y

ρ = ψ∗ ψ

J es la densidad de corriente de probabilidad y ρ es la densidad volum´ etrica de probabilidad. La ecuaci´ on ∇·J+∂ρ/∂t = 0 describe la conservaci´ on de la probabilidad en mec´ anica cu´ antica. b. Multiplicando la ecuaci´ on de Schr¨ odinger por ψ ∗ , multiplicando su conjugada por ψ y sumando ambas ecuaciones, con V independiente del tiempo, demuestre que: ∇ · S + ∂E/∂t = 0, donde S y E representan, respectivamente, la densidad de flujo de energ´ıa y la densidad volum´ etrica de energ´ıa: ~2 ˙ ∗ ∗ ˙ (ψ ∇ψ + ψ∇ψ ) y 2m

S

=

−

E

=

~2 ∇ψ · ∇ψ ∗ + V ψ ∗ ψ 2m

Este desarrollo corresponde a la conservaci´ on de energ´ıa en la mec´ anica cu´ antica.

1.7.

Una aplicaci´ on del teorema de Stokes

Campos conservativos Si un campo E tiene rotacional cero puede escribirse E = ∇η donde η es un campo escalar, al que se conoce como potencial. Conviene evaluar la integral de l´ınea del campo irrotacional E entre los puntos a y b (figura 1.10): Z

Z

b

a

b

dη = η(b) − η(a)

∇η · dl =

E · dl = a

Z

b

a

40

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

donde se ha utilizado la ecuaci´on dη = ∇η · dl, en acuerdo con (1.31).

•b E dl a•

Figura 1.10: Trayectoria de una part´ıcula en un campo vectorial

b d E c

a

Figura 1.11: Trayectoria cerrada de una part´ıcula en un campo vectorial Rb La integral a E · dl con ∇ × E = 0, es independiente del camino y depende s´olo de los puntos inicialH y final de la trayectoria. Se calcula ahora E · dl (integral sobre trayectoria cerrada) del campo E (figura 1.11): I Z Z E · dl = E · dl + E · dl acbda

acb

bda

= η(b) − η(a) + η(a) − η(b) = 0 I

Z E · dl =

acbda

I E · dl +

acb

E · dl = η(b) − η(a) + η(a) − η(b) = 0 bda

I ∴

E · dl = 0 acbda

1.8. TRES TEOREMAS

41

H Como se ve, las cuatro siguientes expresiones son equivalentes E · dl = 0 , Rb ∇ × E = 0 , E = ∇η , a E · dl = η(b) − η(a). Campos con esta caracter´ıstica se denominan conservativos y est´an asociados siempre a vectores polares (ver secci´on 1.2.4). Los campos electrost´atico y gravitacional son conservativos. En ellos es cierto que el trabajo realizado para mover una part´ıcula (carga o masa) a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. Problemas: ˆ son campos 1. Demuestre que F = r2 r y F = (2xy + z 3 )ˆi + x2ˆj + 3xz 2 k conservativos. Halle el potencial. ˆ un 2. ¿ Es F = (y 2 z 3 cos x − 4x3 z)ˆi + 2z 3 y sen xˆj + (3y 2 z 2 sen x − x4 )k campo conservativo? Si lo es halle el potencial. ˆ halle la 3. Dado el campo vectorial A = (3x2 + 6y)ˆi − 14yzˆj + 20xz 2 k, R integral de l´ınea A · dl, desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1), a lo largo de la trayectoria x = t, y = t2 , z = t3 .

1.8.

Tres teoremas

1.8.1.

Teorema de Green

R H En el teorema de la divergencia: ∇ · A dV = A · dS sea A = ϕ∇ψ. Se sigue: ∇ · A = ϕ∇ · ∇ψ + ∇ϕ · ∇ψ, con lo cual se obtiene la primera identidad de Green: Z

I 2

[ϕ∇ ψ + ∇ϕ · ∇ψ] dV = V

I ϕ∇ψ · dS =

S

ϕ S

∂ψ ˆ dS dS, dS = n ∂n

(1.39)

ˆ es la derivada normal a la superficie. donde: ∂ψ/∂n = ∇ψ · n Problema: Del teorema anterior demuestre la segunda identidad de Green: Z I 2 2 [ϕ∇ ψ − ψ∇ ϕ] dV = [ϕ∇ψ − ψ∇ϕ] · dS (1.40) V ¸ IS · ∂ψ ∂ϕ = ϕ −ψ dS (1.41) ∂n ∂n S

1.8.2.

Primer Teorema de Helmholtz

Un campo vectorial est´ a especificado de modo u ´nico si se conocen su divergencia y su rotacional dentro de una regi´ on V y su componente normal sobre la frontera S. Se pretende, por tanto, demostrar que si del campo vectorial A se conocen: ∇·A = ˆ |S = f (r), entonces A es u ψ, ∇ × A = b, A · n ´nico.

42

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

Con este prop´osito, se asume que existe un segundo campo A0 que satisface las ˆ |S = f (r). tres ecuaciones anteriores: ∇ · A0 = ψ, ∇ × A0 = b, A0 · n Para el campo W = A0 − A es cierto que: ˆ |S = 0. ∇ · W = 0, ∇ × W = 0, W · n De la ecuaci´on ∇ × W = 0 se sigue: W = ∇η, y reemplazando en ∇ · W = 0: ∇2 η = 0. Ahora bien, de la primera identidad de Green (1.39), con φ = ψ = η : I I Z 2 2 ˆ dS ηW · n η∇η · dS = [η∇ η + (∇η) ] dV = S

V

S

R ˆ |S = 0, ∇2 η = 0 y (∇η)2 = W 2 , se sigue que W 2 dV = 0, de donde y como W · n W = 0. En consecuencia A0 = A, lo que demuestra el teorema.

1.8.3.

Segundo teorema de Helmholtz

Todo campo vectorial A cuya divergencia y rotacional se anulen en el infinito puede expresarse como la suma de una parte irrotacional (o longitudinal) y otra solenoidal (o transversa. Es decir: A = AL + AT = ∇ϕ + ∇ × a

(1.42)

En vez de deducir la forma (1.42) se demuestra que es posible, equivalentemente, expresar ϕ y a en t´erminos de A. Tomando la divergencia de (1.42): ∇2 ϕ = ∇ · A, cuya soluci´on (de acuerdo a la secci´on 1.10) es: Z 1 ∇0 · A(r0 ) 0 ϕ(r) = − dV 4π V |r − r0 | y tomando el rotacional de (1.42): ∇ × A = ∇ × (∇ × a) = ∇(∇ · a) − ∇2 a. En la u ´ltima ecuaci´on s´olo se conoce ∇ × a, por lo cual, puede imponerse la condici´on ∇ · a = 0; as´ı: ∇2 a = −∇ × A, cuya soluci´on es: a(r) =

1 4π

Z V

∇0 × A(r0 ) 0 dV . |r − r0 |

Debe imponerse la condici´on de que ∇ · A y ∇ × A a gran distancia tiendan a cero de modo suficientemente r´apido, para garantizar la convergencia de las dos integrales. Por tanto ϕ y a pueden ser calculados a partir de A, lo que garantiza la forma (1.42).

1.9. D´IADAS

43

En general, las componentes AL y AT difieren f´ısicamente. Por ejemplo, las velocidades de las ondas longitudinales y transversas en un medio el´astico son diferentes (v´ease secci´on 3.2.4). La separaci´on en estas componentes tiene ventajas. Para AL es cierto que AL = ∇φ, de modo que las t´ecnicas para resolver ecuaciones escalares pueden ser usadas. El trabajo m´as dif´ıcil estar´a en el c´alculo de la componente transversa. El campo a, asociado a AT en la forma: AT = ∇a, tiene a su vez partes longitudinal y transversa: a = aL +aT , pero al tomar el rotacional desaparece la contribuci´on de aL , de modo que AT = ∇ × aT ; en consecuencia a queda indeterminado en la cantidad aL que en principio puede ser cualquier vector que cumpla ∇ × aL = 0. Dada esta indeterminaci´on es usual imponer la condici´on ∇ · a = 0 para fijar aL . En efecto, puesto que aL satisface ∇ × aL = 0 es cierto que aL = ∇η y como ∇ · a = 0 se sigue: ∇2 η = 0. Se puede , en s´ıntesis escribir: a = ∇η + aT con ∇2 η = 0.

1.9.

D´ıadas

Un campo vectorial en 3D se escribe: A(r) =

3 X

Aiˆ ei ,

i=1

en tanto que un campo escalar se expresa como φ(r). Esto significa que un campo escalar no contiene vectores unitarios y se determina con un solo n´ umero en cada punto del espacio, en tanto que un campo vectorial est´a asociado a una direcci´on y se especifica con 3 cantidades Ai en cada punto. Un vector es una forma P lineal en ˆ ei , pues contiene una vez, esto es, linealmente, el vector ˆ ei ; as´ı: A = aiˆ ei . Estas nociones pueden ampliarse para definir cantidades, conocidas como D´ıadas, asociadas a ˆ eiˆ ej : una d´ıada es una forma bilineal, que tiene la forma general: T=

3 X

Tij ˆ ei ˆ ej

ij=1

Las d´ıadas permiten describir cantidades f´ısicas asociadas a dos direcciones, como es el caso de los esfuerzos (figura 1.12). En particular, restringidos al plano xy (el vector de superficie es dS3 ), resulta que sobre ´el pueden ejercerse acciones como presi´on (direcci´on 3) y esfuerzos tangenciales (en direcciones 1 y 2); as´ı, podemos escribir T33 , T31 , T32 , donde el primer ´ındice se refiere a la direcci´on de la superficie y el segundo a la direcci´on de la fuerza. En general, y considerando las dem´as direcciones, resulta un conjunto {Tij } de 9 componentes que conforma la d´ıada de esfuerzos T.

44

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

T33

T31 T32

z

T23

T13

T21 T22

T12

T11 y x Figura 1.12: Esfuerzos en un s´olido

Las operaciones b´asicas con d´ıadas se realizan sin dificultad: •

T·A

=

X

ˆ eiˆ ej Tij ·

ij

=

X

X

ˆ ek Ak =

k

X

ˆ ei ˆ ej · ˆ ek Tij Ak

ijk

ˆ ei (ˆ ej · ˆ ek )Tij Ak =

ijk

X

ˆ ei δjk Tij Ak =

X

ˆ ei Tij Aj ,

ij

ijk

de modo que el producto escalar de una d´ıada y un vector produce un vector. Obs´ervese que el producto escalar entre vectores se forma con aquellos que sean contiguos; as´ı por ejemplo: ˆ ei ˆ ej · ˆ ekˆ el = ˆ eiˆ el δjk

•

T×A

=

X

ˆ ei (ˆ ej × ˆ ek )Tij Ak =

ijk

X

ˆ ei ²jkl ˆ el Tij Ak

ijkl

6= A × T As´ı, el producto vectorial de una d´ıada y un vector produce una d´ıada. X X X • T·V = ˆ ei ˆ ej Tij · ˆ ek ˆ el Vkl = ˆ ei (ˆ ej · ˆ ek )ˆ el Tij Vkl ij

=

X ilk

kl

ˆ ei ˆ el Tik Vkl .

ijkl

1.9. D´IADAS

45

Se define el doble producto escalar en la siguiente forma: ˆ eiˆ ej : ˆ ek ˆ el = (ˆ ej · ˆ ek )(ˆ ei · ˆ el ) = δjk δil As´ı pues, el doble producto escalar entre d´ıadas es un escalar: X T:V= Tik Vki ik

Es f´acilmente demostrable que: A · T · B = BA : T = T : BA La cantidad AB, conocida como producto di´ adico, es una d´ıada: X X X AB = ˆ ei Ai ˆ ej Aj = ˆ ei ˆ ej Ai Bj i

j

ij

Una d´ıada de inter´es particular es conocida como la identidad, y satisface: I · A = A · I = A; en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas se escribe: ˆk ˆ I = ˆiˆi + ˆjˆj + k = ˆ eρ ˆ eρ + ˆ eφˆ eφ + ˆ ez ˆ ez = ˆ er ˆ er + ˆ eθ ˆ eθ + ˆ eφˆ eφ Problemas: 1. Demuestre que en general A · T = T · A s´ olo si T es una d´ıada sim´ etrica, e con T e=P ˆ ej Tji . esto es, si T = T, ij ei ˆ 2. Demuestre que si T es una d´ıada antisim´ etrica: A · T = −T · A, y A · T · A = 0 3. Demuestre que A · T · B es un escalar. 4. Utilizando las derivadas de los vectores unitarios en coordenadas esf´ ericas y cil´ındricas, desarrolladas al final de la secci´ on 1.2.1, demuestre que ∇r = I 5. Utilizando las reglas de transformaci´ on de los vectores unitarios entre coordenadas cartesianas y esf´ ericas demuestre que: ˆk ˆ=ˆ I = ˆiˆi + ˆjˆj + k er ˆ er + ˆ eθ ˆ eθ + ˆ eϕ ˆ eϕ Esto prueba la invarianza de la d´ıada identidad bajo la transformaci´ on de coordenadas. 6. Demuestre el siguiente teorema: todo vector A en 3D puede descomponerse, respecto a un plano cuya normal es bf n ˆ , en dos partes, una perpendicular al plano y de magnitud A · n ˆ y otra At que se sit´ ua en el plano: A = (A · n ˆ )ˆ n + At = (A · n ˆ )ˆ n + A · (I − n ˆn ˆ) ˆ 7. Eval´ ue ∇A, si A = 3yˆi + 2zˆj + xk

46

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

8. En coordenadas cartesianas demuestre que: a. ∇r = I b. I · I = I c. I : I = 3 d. A · (T · B) = (A · T) · B e. Si T es una d´ıada diagonal constante, la expresi´ on r · T · r = 1 describe elipsoides o hiperboloides de una o dos hojas. r · T · r = 0 representa un cono, si los signos no son todos los mismos. f. El gradiente de un vector es una d´ıada. g. La divergencia de una d´ıada es un vector. h. El rotacional de una d´ıada es una d´ıada. i. El gradiente del gradiente de un escalar es una d´ıada.

9. Demuestre las siguientes identidades utilizando coordenadas cartesianas (son v´ alidas tambi´ en en coordenadas curvil´ıneas ortogonales): a. ∇ · (AB) = B(∇ · A) + (A · ∇)B b. ∇ · (φT) = φ∇ · T + ∇φ · T c. ∇ × (AB) = (∇ × A)B − (A × ∇)B e · ∇) × A; d. ∇ · (T × A) = (∇ · T) × A − (T e es el transpuesto de T: T X e= T ˆ ei ˆ ej Tji ij

e. ∇ · (A × T) = (∇ × A) · T − A · (∇ × T) e + T : (∇A) f. ∇ · (A · T) = A · (∇ · T) e : (∇A) g. ∇ · (T · A) = (∇ · T) · A + T h. ∇(T · A) = ∇T · A + ∇A · T i. ∇(T : R) = ∇T : R + ∇R : T e :R j. ∇ · (T · R) = (∇ · T) · R + T∇ e · A + (∇ × A) · T k. ∇ × (A · T) = (∇ × T) e : AB + ∇B · T e·A l. ∇(A · T · B) = ∇A · T · B + ∇T m. ∇(rn r) = I rn + nrn−2 rr

10. En medios el´ ectricamente anisot´ opicos la conexi´ on entre el campo el´ ectrico E y el vector de desplazamiento D tiene la forma:PD = E · E, donde E es la d´ıada de permitividad. Demuestre que Di = j Eij Ej , y que en medios isotr´ opicos E = ²I, donde ² es el escalar de permitividad.

Ejercicio: Demuestre que T es invariante bajo transformaciones coordenadas.

1.9. D´IADAS

47

De las reglas de transformaci´on se sigue: T0

=

X

ˆ e0iˆ e0j Tij0

ij

=

X

aik ajl ˆ ek ˆ el aim ajn Tmn

ijklmn

=

X

ˆ ek ˆ el Tkl = T

kl

Problemas: 1. Pruebe que las componentes T12 , T23 , T31 de una d´ıada se transforman 0 = −T , T 0 = T , T 0 = −T . Esto bajo reflexi´ on del eje x como: T12 12 23 31 23 31 implica que estas tres componentes de la d´ıada se transforman como las componentes de un vector axial. De hecho, si T es una d´ıada antisim´ etrica, s´ olo tendr´ a tres componentes no nulas, con las cuales puede construirse un vector axialP A, en la forma: A1 = T23 , A2 = T31 , A3 = T12 , o, en general: Ai = 21 jk ²ijk Tjk . 2. El cuadrupolo el´ ectrico de una distribuci´ on de carga ρ(r) es una d´ıada sim´ etrica Q definida como Z Q= ρ(r)[3rr − r2 I] dV donde I es la d´ıada identidad. a. Demuestre que la traza de Q es cero:

P3

i=1

Qii = 0

b. El potencial electrost´ atico de un cuadrupolo se escribe: φ(r) =

r·Q·r 2r5

Calcule el campo electrost´ atico.

Ejercicio: Como una aplicaci´on importante de la teor´ıa de d´ıadas est´a la ecuaci´ on de ondas anisotr´ opica, que describe la propagaci´on de ondas luminosas escalares en medios cristalinos, en los que la velocidad de propagaci´on es diferente para cada eje cristalino, tal que existen, por tanto, tres ´ındices de refracci´on. Esta es la base de la ´optica escalar. La ecuaci´on anisotr´opica con fuente f (r, t) para el campo de ondas escalares Φ es: 1 ∂ 2 Φ(r, t) A : ∇∇Φ(r, t) − 2 = f (r, t) c ∂t2 En la d´ıada A est´a contenida la informaci´on sobre la anisotrop´ıa e inhomogeneidad del medio. En general, A puede ser funci´on de la posici´on y del tiempo. La operaci´on A : ∇∇ se expresa en coordenadas cartesianas en la forma:

48

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

A : ∇∇

¶ X µ X ∂2Φ ∂2Φ = Aij (Aij ˆ eiˆ ej ) : ˆ ek ˆ el ∂xk ∂xl ∂xi ∂xj ij ij µ ¶ 1X ∂2Φ ∂2Φ Aij + Aji 2 ij ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

= =

pero como la derivaci´on en ij es sim´etrica: X

Aij

ij

X1 ∂2Φ ∂2Φ = (Aij + Aji ) ∂xi ∂xj 2 ∂xi ∂xj ij

por lo que el par´entesis es una d´ıada sim´etrica. No se demuestra aqu´ı, pero es cierto que es siempre posible reorientar el sistema de coordenadas de forma tal que A logre una forma diagonal. (Una forma simple de comprenderlo es la siguiente: los elementos de una d´ıada son equivalentes a elementos matriciales y se sabe que toda matriz sim´etrica es diagonalizable). Con ¨ ≡ ∂ 2 Φ/∂t2 puede entonces escribirse: ∂i ≡ ∂/∂xi y Φ 3 X

Aii ∂i2 Φ(r, t) −

i=1

1 ¨ Φ(r, t) = f (r, t) c2

Consid´erese, en particular, la propagaci´on de una onda luminosa en direcci´on x y en ausencia de fuentes; si c es la velocidad de la luz en el vac´ıo se tiene: A11 ∂12 Φ(r, t) −

1 ¨ Φ(r, t) = 0, c2

√ de modo que v1 = c A11 corresponde a la velocidad √de la luz en la direcci´on x, en√la que el ´ındice √ de refracci´on es: n1 = c/v1 = 1/ A11 . An´alogamente: n2 = 1/ A22 , n3 = 1/ A33 . Problemas: 1. Considere la ecuaci´ on de ondas anisotr´ opica para un campo escalar complejo. Demuestre que la conservaci´ on de la energ´ıa toma la forma usual: ∇ · S + ∂E/∂t = 0 con ³ ´ ∗ ˙ S = −KA · ψ˙ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ · ¸ 1 1 E = K A : (∇ψ∇ψ ∗ + ∇ψ ∗ ∇ψ) + 2 ψ˙ ψ˙ ∗ 2 v Demuestre, utilizando una onda plana ψ = ψ0 ei(k·r−ωt) , que la direcci´ on de propagaci´ on de la energ´ıa no es la direcci´ on k de propagaci´ on de los frentes de onda, sino A · k. Utilizando la ecuaci´ on de ondas anisotr´ opica demuestre, adem´ as, que A : ∇∇ψ = −kkψ. ¿Cu´ al es la conexi´ on entre S y E?

1.9. D´IADAS

49

2. La conservaci´ on del momento lineal del campo de una onda P escalar real puede ser deducida multiplicando la ecuaci´ on de ondas i ∂i ∂i ψ − ¨ 2 = 0 (donde ∂i = ∂/∂xi y ψ¨ = ∂ 2 ψ/∂t2 ) por ∂j ψ. Demuestre que ψ/v à ! ¶ ¸ µ X· ψ˙ 2 1 ∂ 1 ˙ ψ∂ ψ + ∂ =0 ∂j (∂i ψ∂j ψ) − ∂j (∂i ψ∂i ψ) − j j 2 ∂t v 2 2v 2 i que en forma compacta toma la forma: " à !# à ! ˙ ψ∇ψ I ψ˙ 2 ∂ 2 ∇ · ∇ψ∇ψ + − (∇ψ) + − 2 = 0. 2 v2 ∂t v Esta ecuaci´ on tiene la forma de una ley de conservaci´ on, que corresponde a la de momento lineal: ∇ · T + ∂g/∂t = 0, donde à !# " I ψ˙ 2 2 − (∇ψ) T = α ∇ψ∇ψ + 2 v2 es la d´ıada de esfuerzos, que describe la densidad de flujo de momento lineal, y " # ˙ ψ∇ψ g = −α v2 es la densidad volum´ etrica de momento lineal. La constante α, dependiente de las propiedades f´ısicas del campo, balancea dimensionalmente la ecuaci´ on. Demuestre que para la ecuaci´ on de ondas anisotr´ opica y compleja es cierto que: i αh T = A · (∇ψ∇ψ ∗ + ∇ψ ∗ ∇ψ) + I(ψ˙ ψ˙ ∗ − ∇ψ∇ψ ∗ : A) 2 i α h ∗ ˙ g = − 2 ψ˙ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ 2v 3. Utilizando las formas de ∇ y A en coordenadas esf´ ericas, junto con las derivadas parciales de los vectores unitarios, estudiadas en el u ´ ltimo problema de la secci´ on 1.2.1, demuestre que: ∇A

=

ˆ er ˆ er ∂r Ar + ˆ er ˆ eθ ∂r Aθ + ˆ er ˆ eϕ ∂r Aϕ

+

ˆ eθ ˆ er (∂θ Ar − Aθ ) + ˆ eθ ˆ eθ (∂θ Aθ + Ar ) + ˆ eθ ˆ eϕ ∂θ Aϕ

+

ˆ eϕ ˆ er (∂ϕ Ar − Aϕ sen θ) + ˆ eϕ ˆ eθ (∂ϕ Aθ − Aϕ cos θ)

+

ˆ eϕ ˆ eϕ (∂ϕ Aϕ + Ar sen θ + Aθ cos θ)

Teoremas integrales di´ adicos As´ı como las identidades vectoriales tienen su correspondiente extensi´on hacia d´ıadas, hay tambi´en teoremas integrales que involucran d´ıadas. As´ı por ejemplo, a partir del teorema de la divergencia Z I ∇ · A dV = dS · A, V

S

y con A = T · a, donde T es un campo di´adico y a es un vector constante (en coordenadas cartesianas), es posible demostrar que el teorema de Gauss para la d´ıada T tiene la forma: I Z ∇ · T dV = dS · T. V

S

50

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

Tambi´en es cierto que : Z

I ∇ × T dV

Z

=

V

dS × T IS

dS · ∇ × T = V

dl · T S

La u ´ltima ecuaci´on corresponde a la versi´on di´adica del teorema de Stokes. Puede demostrarse que los tres teoremas integrales son v´alidos en coordenadas curvil´ıneas ortogonales. Se desarrollan a continuaci´on algunos teoremas integrales que son de utilidad en el estudio de las funciones de Green di´adicas. R H Del teorema de la divergencia para la d´ıada T: ∇ · T dV = dS · T se sigue: A) Con T = AB: Z I n · A)B dS (1.43) [B(∇ · B) + (A · ∇)B] dV = (ˆ V

S

B) Con T = A × U : Z [(∇ × A) · U − A · (∇ × U)] dV

I =

V

n ˆ · (A × U) dS IS

=

(ˆ n × A) · U dS

(1.44)

S

En el u ´ltimo paso se ha tenido en cuenta la identidad B · (A × U) = B × (A · U). C) Con T = φG: Z I [φ∇ · G + ∇φ · G] dV = n ˆ · Uφ dS (1.45) V

S

Formas multilineales en f´ısica Las propiedades electromagn´eticas y ´opticas de los materiales cristalinos son en general anisotr´opicas, esto es, var´ıan con la direcci´on. Su descripci´on puede hacerse en forma concisa utilizando formas multilineales. Consid´erese, por ejemplo, la conductividad el´ectrica. Cuando un conductor cristalino es colocado en un campo el´ectrico aparece en su interior una corriente cuya intensidad depende cr´ıticamente de la direcci´on y de la intensidad del campo el´ectrico. Una forma suficientemente general de la ley de Joule tiene la forma: X X X Ji = σij Ej + σijk Ej Ek + σijkl Ej Ek El + · · · j

jk

jkl

1.10. DELTA DE DIRAC

51

El primer t´ermino es lineal en el campo el´ectrico y contiene una forma bilineal (d´ıada o tensor de segundo orden) σij con 9 componentes. El segundo t´ermino es cuadr´atico en el campo y contiene una forma trilineal (o tensor de tercer orden) σijk de 27 componentes y el tercero, c´ ubico en el campo, contiene el tensor de cuarto orden σijkl de 81 componentes. Estos n´ umeros pueden ser reducidos mediante consideraciones termodin´amicas que hacen sim´etricos los coeficientes; si se toma en cuenta la simetr´ıa de los cristales el n´ umero de elementos independientes puede ser reducido a´ un m´as. En la siguiente lista aparecen algunos fen´omenos y sus leyes en t´erminos de tensores de diverso orden, con restricci´on a la aproximaci´on lineal: • Efecto piroel´ectrico: generaci´on de calor por polarizaci´on de un material: Pi = αi T , donde T es la temperatura absoluta y P la polarizaci´on. P • Conductividad el´ectrica: Ji = j σij Ej . • Conexi´on entre campo el´ectrico y polarizaci´on: Pi =

P j

(e)

χij Ej .

• Conexi´on entre campo magn´etico y magnetizaci´on: Mi =

P

(m)

j

χij Hj .

• Efecto Seebeck: Un campo el´ectrico puede generar gradientes de temperatura: P (∇T )i = j αij Ej . • Efecto piezoel´ectrico: P Los esfuerzos σjk ejercidos sobre un s´olido pueden generar polarizaci´on: Pi = jk αijk σjk . • P Efecto piezoel´ectrico inverso: cuando un material se polariza se deforma: ²ij = on es ²ij . k αijk Pk . El tensor de deformaci´ • Magnetostricci´ on: deformaci´on producida en un material por un campo magn´etico: P ²ij = k δijk Bk . P • Magneto-resistividad: Ji = jkl fijkl Ej Bk Bl . • Expansi´on t´ermica: el calentamiento de un material genera deformaci´on: ²ij = αij ∆T. • Ley dePHooke: los esfuerzos ejercidos sobre un material generan deformaci´on: σij = kl γijkl ²kl .

1.10.

Delta de Dirac

El s´ımbolo delta de Kronecker δij que hemos utilizado hasta ahora tiene valores 1 o 0, para i, j = 1, 2, 3. Es posible generalizarlo para incluir valores enteros de i, j entre −∞ e ∞.

52

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

Dirac propone una nueva delta que seleccione cualquiera de los n´ umeros reales. Es decir, pretende una extensi´on al continuo de la delta de Kronecker. La delta de Dirac puede introducirse a partir de la consideraci´on de la curva gaussiana: 2 2 α fα (x) = √ e−α x π

El ´area bajo esta curva es 1 para x entre −∞ e ∞, y cualquier valor del par´ametro α entre 0 a ∞. La secuencia, para valores crecientes de α, se presenta en la figura 1.13:

Figura 1.13: Secuencia de gaussianas Al aumentar α se logra una curva progresivamente m´as alta y m´as estrecha. En el l´ımite α → ∞ la gaussiana se convierte en una curva infinitamente alta e infinitamente estrecha de ´area 1. Se define la delta de Dirac, entonces, como: 2 2 α δ(x) = l´ım √ e−α x α→∞ π

resultando que si x se acerca a cero, δ(x) crece indefinidamente; en tanto que si x es distinto de cero, δ(x) es nulo: δ(x) → ∞ δ(x) = 0

si si

x→0 x 6= 0

(1.46) (1.47)

Esto significa que δ(x) es una funci´on patol´ogica; estrictamente hablando no es una funci´on, sino una distribuci´ on. En forma m´as general, desplazando a x0 el pico de la gaussiana: 2 2 α fα (x) = √ e−α (x−x0 ) π

1.10. DELTA DE DIRAC

53

2 2 α ∴ δ(x − x0 ) = l´ım √ e−α (x−x0 ) , α→∞ π

siendo cierto que: Z

∞

δ(x − x0 ) dx = 1. −∞

Este proceso de l´ımite puede realizarse tambi´en con otras funciones de ´area 1 que exhiben un pico definido en x = 0. Es cierto as´ı que: δ(x) = l´ım

α→∞

α 1 , π 1 + α2 x2

δ(x) = l´ım

α→∞

sen αx πx

Una forma bastante simple que da lugar a una δ(x) es un rect´angulo de base 1/² y altura ². El ´area es obviamente 1. A medida que ² aumenta disminuye el tama˜ no de la base pero aumenta la altura manteniendo constante el ´area. En el l´ımite ² −→ ∞ se consigue una aguja vertical infinitamente alta y de ´area 1. En forma general, y sin acudir a funciones espec´ıficas como las cuatro propuestas antes, se define la delta de Dirac, real y sim´etrica, mediante la siguiente propiedad selectiva: Z

∞

f (x)δ(x − x0 ) dx = f (x0 )

(1.48)

−∞

As´ı pues, al realizar la integral, la delta selecciona entre todos los valores posibles de una funci´on arbitraria f (x) P su valor en x = x0 . Esta propiedad es la an´aloga, en el continuo, a la ecuaci´on i ai δij = aj que selecciona una sola componente del vector a. N´otese que si f (x) = 1 se sigue que el ´area bajo la delta es 1. Como una aplicaci´on de la ec (1.48) sea δ una funci´on gaussiana: 2 2 α δ(x − x0 ) = l´ım √ e−α (x−x0 ) α→∞ π

por lo que: Z

∞

f (x)δ(x − x0 )dx = −∞

= =

Z ∞ 2 2 α e−α (x−x0 ) f (x) dx l´ım √ α→∞ π −∞ Z ∞ 2 2 α l´ım √ f (x0 ) e−α (x−x0 ) dx α→∞ π −∞ f (x0 )

54

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

2

2

En la segunda l´ınea se ha tenido en cuenta que la funci´on αe−α (x−x0 ) tiene un pico muy pronunciado en cercan´ıas de x = x0 y es pr´acticamente cero para x 6= x0 , lo que hace que el u ´nico valor efectivo no nulo que logra f (x) es f (x0 ), constante que se retira de la integral. Es necesario anotar que el anterior procedimiento solo puede ser legalizado a trav´es de la teor´ıa de distribuciones. Ahora, debido a que δ(x − x0 ) existe s´olo en el punto x = x0 (figura 1.14), es cierto que: Z

Z

∞

x=x0 +²

f (x)δ(x − x0 ) dx = Z

−∞

½

b

f (x)δ(x − x0 ) dx x=x0 −²

f (x0 ) si a ≤ x0 ≤ b 0 si x0 > b ´o x0 < a ½ Z x 0 si x < x0 δ(x − x0 ) dx = 1 si x ≥ x0 −∞

f (x)δ(x − x0 ) dx = a

Esta u ´ltima integral se conoce como funci´on paso, o escal´ on, o funci´ on de Heaviside (figura 1.14), y se escribe: Z

x

θ(x − x0 ) =

δ(x − x0 ) dx −∞

tal que dθ(x − x0 )/dx = δ(x − x0 ). δ(x − x0 )

θ(x − x0 ) 1

× a

x0

× b

x x0

Figura 1.14: Delta de Dirac y funci´on paso En forma de integral de Fourier, como se explica en el cap´ıtulo 5, una representaci´on muy u ´til es la siguiente: Z ∞ 1 δ(x − x0 ) = eik(x−x0 ) dk 2π −∞ Z ∞ ik(x−x0 ) 1 e dk θ(x − x0 ) = 2πi −∞ k

1.10. DELTA DE DIRAC

55

Propiedades: Las m´as notables son las siguientes: • δ(x − x0 ) tiene unidades de (longitud)−1 si x es longitud, y es adimensional si x lo es. µ ¶ R∞ (x) d δ(x − x0 ) dx = − dfdx • −∞ f (x) dx • • • • • • •

µ

R∞

dn f (x) dx n δ(x −∞

R∞ −∞

− x0 ) dx = −(−)n

f (x)δ[g(x)] dx =

PN k=0

x=x0

dn f (x) dxn

·

¶ x=x0

¸

−1

f (x) |dg(x)/dx|

N ra´ıces de g(x) = 0; se exige g(x ˙ n ) 6= 0. g(x)δ(x − x0 ) = g(x0 )δ(x − x0 ) δ(ax) = δ(x)/|a| xδ(x) = 0 f (x)δ(x − x0 ) = f (x0 )δ(x − x0 ) d d dx δ(x − x0 ) = − dx δ(x0 − x)

, donde xk son las x=xk

d • x dx δ(x) = −δ(x) d • x2 dx δ(x) = 0 m

d • xm+1 dx m δ(x) = 0 • δ(x − x0 ) = δ ∗ (x − x0 ) = real R∞ • −∞ δ(x − x0 )δ(x0 − x00 ) dx0 = δ(x − x00 ) R ∞ dm dm+n 0 dn 0 00 0 00 • −∞ dx m δ(x − x ) dxn δ(x − x ) dx = dxm+n δ(x − x ) • δ(x − x0 ) describe el plano x = x0 . • δ(x−x0 )δ(y−y0 ) describe la l´ınea que es intersecci´on de los planos x = x0 y y = y0 . • δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ) describe un punto que es intersecci´on de los tres planos perpendiculares. • δ(r − r0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ) R • f (r)δ(r − r0 ) dV = f (r0 )

La u ´ltima ecuaci´on es v´alida en coordenadas curvil´ıneas, si se define apropiadamente δ(r − r0 ), que en coordenadas cartesianas est´a dada por la pen´ ultima ecuaci´on. En coordenadas esf´ericas y cil´ındricas: 1 δ(r − r0 )δ(cos θ − cos θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ) r2 1 δ(r − r0 ) = δ(ρ − ρ0 )δ(ϕ − ϕ0 )δ(z − z 0 ) ρ

δ(r − r0 ) =

56

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

1.

con

Z

Z

∞

π

0

δ(r − r ) dr = 1, 0

Z

δ(cos θ − cos θ0 ) sen θ d θ = 1

0 2π

Z

∞

δ(ϕ − ϕ0 ) d ϕ = 1,

0

Problemas: 1. Demuestre que

δ(ρ − ρ0 ) d ρ = 1

0

R

f (r)∇δ(r − r0 ) dV = − (∇f (r))r=r0

2. Eval´ ue

Z f (r)δ(r − a) dV Z f (r)∇δ(r − a) dV

y

Z f (r)∇∇δ(r − a) dV ˆ si f (r) = x2 + 2y 2 + 3z 2 y a = 2ˆi + 5ˆj + 7k.

Las propiedades de la delta de Dirac pueden ser probadas rigurosamente por medio de la Teor´ıa de Distribuciones. Pueden tambi´en ser probadas formalmente, aunque no de modo riguroso, mostrando que las integrales del producto con f (x) son iguales para cualquier f (x) suficientemente regular, como se ver´a en los ejercicios siguientes. Ejercicios: Demostraci´on de tres identidades: 1. Con y = |a|x: Z

Z

∞

∞

δ(ax)f (x) dx = −∞

δ(y)f (y/|a|) dy/|a| −∞

= =

Z ∞ f (a) 1 δ(y)f (y/|a|) dy = |a| −∞ |a| Z ∞ δ(x)f (x) dx, −∞

as´ı pues: δ(ax) =

1 δ(x) |a|

El valor absoluto ha sido introducido en el cambio de variable y = |a|x ya que δ(ax) = δ(−ax). 2. Para la siguiente demostraci´on se divide el intervalo (−∞, ∞) en dos partes: (−∞, 0) + (0, ∞); a continuaci´on se usa el resultado del ejercicio (1), y la propiedad

1.10. DELTA DE DIRAC

57

selectiva de la delta que permite extraer f (x) como f (a) si est´a acompa˜ nada de δ(x − a), como se hizo en las ecuaciones que siguen a (1.48): Z

Z

∞

δ(x2 − a2 )f (x) dx =

−∞

∞

δ[(x + a)(x − a)]f (x) dx −∞ Z 0

=

δ[(x + a)(x − a)]f (x) dx −∞ Z ∞

δ[(x + a)(x − a)]f (x) dx

+ 0

Z = + =

0

f (x) dx |x − a| −∞ Z ∞ f (x) δ(x − a) dx |x + a| 0 1 1 f (−a) + f (a) 2|a| 2|a| δ(x + a)

pero, por la definici´on de la delta es cierto que: Z

Z

∞

f (a) =

f (x)δ(x − a) dx y −∞

∞

f (−a) =

f (x)δ(x + a) dx −∞

por lo que: Z

∞

δ(x2 − a2 )f (x) dx

=

−∞

=

Z ∞ 1 f (x)δ(x + a) dx 2|a| −∞ Z ∞ 1 f (x)δ(x − a) dx 2|a| −∞

por tanto: δ(x2 − a2 ) =

1 [δ(x + a) + δ(x − a)] 2|a|

3. En el ejercicio anterior x = a y xR= −a son las dos ra´ıces de x2 − a2 = 0. Una ge∞ neralizaci´on incluir´ıa, en la integral −∞ f (x)δ[g(x)] dx, todas las ra´ıces x0 , x1 , x2 · · · de g(x) = 0. Puede, por tanto, escribirse g(x) = (x−x0 )h0 (x) = (x−x1 )h1 (x) = · · · . As´ı pues, en el caso en que el argumento de la delta no es la variable de integraci´on

58

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

x sino una funci´on g(x) tendremos: Z

Z

∞

f (x)δ[g(x)] dx

x0 +²

=

−∞

f (x)δ[(x − x0 )h0 (x)] dx x0 −² Z x1 +²

f (x)δ[(x − x1 )h1 (x)] dx + · · ·

+ x1 −² Z x0 +²

= x0 −² x1 +²

Z +

x1 −²

f (x) δ(x − x0 ) dx h0 (x) f (x) δ(x − x1 ) dx h1 (x) N

=

X f (xk ) f (x0 ) f (x1 ) + + ··· = h0 (x0 ) h1 (x1 ) hk (xk ) k=0

y como dg(xk )/dxk = hk (xk ), entonces: Z

∞

f (x)δ[g(x)] dx = −∞

N X

"

µ f (x)

k=0

dg(x) dx

¶−1 # x=xk

Una aplicaci´ on La delta de Dirac puede utilizarse para describir distribuciones de carga el´ectrica o masa. Es cierto que: toda distribuci´ on de carga, ya sea puntual, lineal o superficial, es equivalente a una distribuci´ on volum´etrica. Se probar´ R a en casos particulares. R • Para una carga puntual localizada en r0 : q = ρ(r) dV , y puesto que δ(r − r0 ) dV = 1 se sigue: Z Z q = q × 1 = q δ(r − r0 ) dV = ρ(r) dV, de donde: ρ(r) = qδ(r − r0 ) • Una porci´on de una l´ınea de carga λ(z), paralela al eje z, y que pasa por el punto (x0 , y0 ), tiene una carga: Z Z Z Z Z q = ρ(r) dV = λ(z) dz = λ(z) dz δ(x − x0 ) dx δ(y − y0 ) dy por lo cual: ρ(r) = λ(z)δ(x − x0 )δ(y − y0 )

´ ´ 1.11. ANGULO SOLIDO

59

• Para una placa plana colocada en el plano z = z0 , con densidad superficial de carga σ(x, y), es cierto que: ρ(r) = σ(x, y)δ(z − z0 ) • Para un anillo de carga de radio R y densidad lineal λ(ϕ), localizado en el plano z = 0: ρ(r) = λ(ϕ)δ(ρ − R)δ(z) •

Para un disco de radio R y densidad superficial σ(ρ, ϕ), colocado en z = 0: ρ(r) = σ(ρ, ϕ)δ(z)

•

Para un cascar´on esf´erico de radio R y densidad superficial σ(θ, ϕ): ρ(r) = σ(θ, ϕ)δ(r − R)

Nota: Distribuciones Se denota con ϕ(xn ) una funci´on de n variables continuas x1 , · · · , xn , con derivadas de todos los ´ordenes respecto a estas variables. Por definici´on, una distribuci´on T [ϕ] es una funcional lineal y continua de las funciones ϕ. Linealidad significa que T [λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 ] = T [λ1 ϕ1 ] + T [λ2 ϕ2 ] Continuidad significa: para cada secuencia ϕ1 , · · · , ϕn , tal que l´ımi−→∞ ϕi = ϕ se cumple que l´ım T [ϕi ] = T [ϕ] i−→∞

(M´as detalles en Messiah, pag. 462, ver bibliograf´ıa.)

1.11.

´ Angulo s´ olido

Ante todo se introduce la noci´on de ´ angulo plano diferencial dθ, definido como un vector perpendicular al plano en el que se sit´ uan el radio vector r y el diferencial de l´ınea dr. De la definici´on de elemento diferencial de superficie: dS = 21 r × dr = ˆ 1 r2 dθ = 1 r2 dθ: ˆ 1 r(r dθ) = k k 2 2 2 dθ =

ˆr × dr r

De acuerdo a la secci´on 1.2.3 el ´angulo plano es un vector axial. Se sigue: dθ × r = dr −

r(r · dr) , de donde: r2

60

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

r(r · dr) r2 En el caso particular en que dr ⊥ r (correspondiente a una trayectoria circular) se tiene: dr = dθ × r dr = dθ × r +

El ´angulo dθ = |dθ| existe en el plano (figura 1.15). dθ

θ r

dr

´ Figura 1.15: Angulo plano En el espacio, se define el ´ angulo s´ olido diferencial dΩ, asociado al ´area diferencial dS (figura 1.16), en la forma: dΩ =

ˆ r · dS dSr = 2 r2 r

donde dSr es la proyecci´on de dS a lo largo de ˆr, de modo que el elemento diferencial dSr es perpendicular a r. El ´angulo s´olido es una cantidad pseudoescalar (ver secci´on 1.2.3). Recu´erdese que el producto escalar de un vector polar (r) y un vector axial (dS) es un pseudoescalar. En coordenadas esf´ericas: dΩ =

dSr = sen θ d θ d ϕ r2

(1.49)

Si el ´angulo s´olido est´a asociado a una superficie cerrada pueden distinguirse dos casos: 1. El punto O est´a en el interior. Realizando la integraci´on sobre toda la superficie: Z θ=2π Z ϕ=2π Ω= sen θ d θd ϕ = 4π θ=0

ϕ=0

El resultado, Ω = 4π, es independiente de la forma de la superficie cerrada. Decimos que el espacio completo subtiende un ´angulo de 4π estereoradianes, as´ı como el plano subtiende un ´angulo de 2π radianes.

´ ´ 1.11. ANGULO SOLIDO

61

´ Figura 1.16: Angulo s´olido

2. Si el punto O est´a en el exterior (figura 1.17), la superficie cerrada puede separarse en dos partes: una para la cual en cada punto ˆ r·n ˆ < 0 y otra para la cual ˆ r·n ˆ > 0. Resulta que Ω puede separarse en parejas de elementos como el asociado a dS1 y a dS2 que subtienden el mismo ´angulo s´olido pero con valores opuestos de ˆ r·n ˆ . El resultado es: dS2

•

•

dS1 O ´ Figura 1.17: Angulo s´olido medido desde el exterior de una superficie cerrada I Ω= S

dS · ˆ r = r2

Z S1

dS1 · ˆ r + r2

Z S2

dS2 · ˆ r =− r2

Z S1

dS1r + r2

Z S2

dS2r =0 r0 2

62

1.

As´ı pues:

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

½ dS · ˆ r 4π si O est´a dentro de S. = 0 si O est´a fuera de S. r2 En forma m´as general, si el punto O’, desde el cual se traza el ´angulo s´olido, est´a en r0 (figura 1.18), es decir, si no coincide con el origen de coordenadas O: I Z dS · (r − r0 ) Ω= = 4π δ(r − r0 ) dV (1.50) |r − r0 |3 S V I

Ω=

donde δ(r − r0 ) = 0 si r0 est´a fuera del volumen.

r − r0 dΩ 00 r0

r

0 Figura 1.18: Geometr´ıa de un ´angulo s´olido Problemas: 1. ¿Cu´ al es el ´ angulo s´ olido que subtiende la cara visible de la luna, vista desde la tierra, si su ancho angular es 0,5 grados? 2. Demuestre que el ´ angulo s´ olido subtendido por el cono de abertura θ en coordenadas esf´ ericas es Ω = 2π(1 − cos θ). angulo s´ olido, medido desde el or´ıgen coordenado, que subtiende 3. Halle el ´ el rect´ angulo situado en el plano y = b y limitado por las l´ıneas x = −a, x = a, z = −c, z = c.

Una aplicaci´ on Lo anterior puede utilizarse para la demostraci´on de un teorema bastante u ´til en teor´ıa de campos. Sea un campo vectorial: µ ¶ r − r0 1 = − B(r) = ∇ |r − r0 | |r − r0 |3

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION

63

Reemplazando en el teorema de la divergencia y seg´ un (1.50): µ ¶ Z Z 1 ∇ · B dV = ∇2 dV |r − r0 I | IV (r − r0 ) · dS = B · dS = − |r − r0 |3 S Z S = −4π δ(r − r0 ) dV V

En consecuencia:

µ ∇

2

1 |r − r0 |

¶ = −4πδ(r − r0 )

(1.51)

Este resultado es la ecuaci´on de Poisson para el potencial generado por una part´ıcula puntual con carga (o masa) de magnitud 1. Como es bien sabido, el potencial es en este caso 1/|r − r0 |. Problema: Demuestre que el potencial Z ϕ(r) =

f (r0 ) dV 0 |r − r0 |

satisface la ecuaci´ on de Poisson: ∇2 ϕ(r) = −4πf (r)

1.12.

Construcci´ on de sistemas coordenados

Para construir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano basta contar con una familia de curvas planas, definida en forma tal que a cada valor de un par´ametro le corresponda una curva. La teor´ıa vista en la secci´on 1.4.1 permite construir una familia de curvas ortogonales a la familia original. De este modo se obtiene un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales en el plano. Por rotaci´on o adici´on del eje z pueden generarse sistemas coordenados en 3-D. As´ı, las coordenadas cil´ındricas y esf´ericas pueden ser obtenidas de las coordenadas polares incluyendo el eje z ´o rotando alrededor del eje y.

1.12.1.

Coordenadas parab´ olicas cil´ındricas

La ecuaci´on de la familia de par´abolas confocales, cuyo foco coincide con el origen de coordenadas tiene la forma: y 2 = 4p(p + x)

(1.52)

64

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

La c´ uspide de estas par´abolas apunta a la izquierda. Para cada valor de p : 0 −→ ∞, hay una par´abola. El conjunto de par´abolas con diferente p pero el mismo foco es confocal. Con f (x, y) = y 2 − 4p(p + x) se sigue que: ∇f = −4p ˆ ex + 2yˆ ey

(1.53)

es un vector perpendicular a la curva (1.52), para un valor espec´ıfico de p. Con el fin de que ∇f sea perpendicular a todas las par´abolaspdebe eliminarse p, de (1.53) usando la ecuaci´on (1.52). Se sigue que: 2p = −x + x2 + y 2 para p ≥ 0, por lo cual: ³ ´ p ∇f = −2 −x + x2 + y 2 ˆ ex + 2yˆ ey La ecuaci´on de las curvas ortogonales a la familia de par´abolas es: ∇f × dr = 0, de donde se sigue, con dr = ˆ ex dx + ˆ ey dy : ³ ´ p ydx + −x + x2 + y 2 dy = 0 Si se hace: y = vx ser´a cierto que: ¸ · dx dv 1 + 1− √ = 0, 2 v x 1+v de donde:

y 2 = 4c(c − x)

(1.54)

Esta es otra familia de par´abolas confocales cuya c´ uspide apunta a la derecha. Se usar´a c ≥ 0. Con las familias (1.52) y (1.54) se definen las coordenadas parab´olicas. Para cada pareja (p, c) hay un pareja de par´abolas ortogonales que se cruzan en un punto al que llamaremos (p, c), correspondiente a (x, y). Por definici´on las coordenadas parab´olicas planas (η, ξ) son: 2p = η 2 ,

2c = ξ 2 .

La regla de transformaci´on entre coordenadas cartesianas y parab´olicas planas tiene entonces la forma: x = (ξ 2 − η 2 )/2,

y = ηξ

Se escoge η : 0 −→ ∞. Con el fin de lograr que y = ηξ pueda tomar valores negativos ha de escogerse ξ = −∞ −→ ∞.

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION z

65

ˆ eϕ

ˆ eξ y ˆ eη x

Figura 1.19: Coordenadas parab´olicas .19

Se definen las coordenadas parab´ olicas cil´ındricas (figura 1.19) adicionando la coordenada cartesiana z a las coordenadas parab´olicas planas (η, ξ). En este caso: ˆ r = ˆix + ˆjy + k ˆi ˆ = (ξ 2 − η 2 ) + ˆjηξ + kz, 2 de modo que, de acuerdo a (1.4), los factores de escala son: p h ξ = h η = ξ 2 + η 2 , hz = 1 Si en vez de adicionar la coordenada z se realiza una rotaci´on de las coordenadas parab´olicas planas alrededor del eje x se obtendr´a, en vez de y, dos nuevos ejes y y z y una nueva coordenada ϕ, tal que: y = ηξ cos ϕ y z = ηξ sen ϕ. Esta rotaci´on da lugar a dos familias de paraboloides de revoluci´on que originan un sistema de coordenadas parab´ olicas. En este caso, y despu´es de reemplazar x −→ z, y −→ x, z −→ y: x = ηξ cos ϕ, y = ηξ sen ϕ, z = (ξ 2 − η 2 )/2

66

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

con: 0 ≤ ξ < ∞, 0 ≤ η < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es facil demostrar que: p hξ = hη = ξ 2 + η 2 , hϕ = ηξ. Las superficies coordenadas de este sistema son: dos familias de paraboloides de revoluci´on alrededor del eje z correspondientes a ξ = cte y η = cte, y planos meridianos ϕ = cte. Problemas: 1. Escriba ∇ϕ, ∇ · A, ∇ × A, ∇2 ϕ en coordenadas parab´ olicas. 2. Obtenga las ecuaciones de las curvas ortogonales a las siguientes curvas: a. y 2 − x2 = c b. x2 = cy c. x2 = cy 3 d. y = cxm

1.12.2.

Coordenadas cil´ındricas el´ıpticas

Se construyen partiendo de una familia de elipses confocales x2 y2 + = 1, A≥a A2 A2 − a2 La familia de curvas ortogonales a las elipses en cada punto es una familia de hip´erbolas confocales de la forma: x2 y2 − 2 = 1, 2 C a − C2

C≤a

Las coordenadas cil´ındricas el´ıpticas (figura 1.20) (ξ, η, z) se obtienen haciendo A = a cosh ξ y C = a sen η. Las superficies coordenadas son: cilindros el´ıpticos (ξ = cte), cilindros hiperb´olicos (η = cte) y planos perpendiculares al eje z. Las correspondientes reglas de transformaci´on son: x = a cosh ξ cos η, y = a senh ξ sen η, z = z con: ξ : 0 −→ ∞, η : 0 −→ 2π, z : −∞ −→ ∞. Es cierto que p hξ = hη = a senh 2 ξ + sen 2 η, hz = 1 Si no se incluye el eje z las coordenadas planas resultantes se llaman coordenadas el´ıpticas. Es interesante notar que estas coordenadas son una ampliaci´on de las coordenadas polares. Si a −→ 0 las elipses (ξ = cte) degeneran en c´ırculos (r = cte), en tanto que las hip´erbolas (η = cte) se transforman en l´ıneas radiales (ϕ = cte). Obs´ervese que η es una variable angular. Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ · A, ∇ × A, ∇2 ϕ en coordenadas cil´ındricas el´ıpticas.

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION

67

η = π/2 ξ =2

ξ = 3/2 ˆ eξ ˆ eη ξ =1 η=π

(− a, 0)

ξ =0

(a, 0)

η=0 η=π

ξ =1 ξ = 3/2

ξ =2 η = 3π/2

Figura 1.20: Coordenadas el´ıpticas

1.12.3.

Coordenadas esferoidales oblatas (ξ, η, ϕ)

Se construyen por rotaci´on alrededor del eje y de las coordenadas el´ıpticas (figura 1.21). Las superficies coordenadas son: esferoides oblatos (ξ = cte) con forma de oblea, hiperboloides de revoluci´ on de una hoja (η = cte) y planos meridianos (ϕ = cte). Las reglas de transformaci´on son: x = a cosh ξ cos η cos ϕ, y = a cosh ξ cos η sen ϕ, z = a senh ξ sen η con: ξ : 0 −→ ∞, η : −π/2 −→ π/2, ϕ : 0 −→ 2π. En estas ecuaciones z es el eje de rotaci´on. Adem´as: p hξ = hη = a senh 2 ξ + sen 2 η, hϕ = a cosh ξ cos η Problema: Usando coordenadas esferoidales oblatas demuestre que el volumen de un elipsoide prolato de semiejes (a, a, b) es V = 4πa2 b/3.

68

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

η = π/2 z

ˆ eϕ ˆ eξ ˆ eη

y

x

η = −π/2

Figura 1.21: Coordenadas esferoidales oblatas

1.12.4.

Coordenadas esferoidales prolatas (ξ, η, ϕ)

Se obtienen por rotaci´on alrededor del eje x de las coordenadas el´ıpticas (figura 1.22). Las superficies coordenadas son: esferoides prolatos (ξ = cte) con forma de habano, hiperboloides de revoluci´on de dos hojas (η = cte) y planos meridianos (ϕ = cte). Las reglas de transformaci´on son: x = a senh ξ sen η cos ϕ, y = a senh ξ sen η sen ϕ, z = a cosh ξ cos η con: ξ : 0 −→ ∞, η : 0 −→ π, ϕ : 0 −→ 2π. En estas ecuaciones z es el eje de rotaci´on. Adem´as: p hξ = hη = a senh 2 ξ + sen 2 η, hϕ = a senh ξ sen η Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ · A, ∇ × A, ∇2 ϕ en coordenadas esferoidales prolatas.

1.12.5.

Coordenadas bipolares

La familia de c´ırculos con centro en el eje y y que pasa por los puntos A y B de coordenadas (0, a) y (0, −a) se describe por: ³ ´2 p x2 + y − b2 − a2 = b2 (1.55)

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION

η=0

69

ˆeξ

x ˆeη •

•

ˆeϕ

y

η=π

Figura 1.22: Coordenadas esferoidales prolatas

La familia ortogonal se obtiene tomando ∇ de: ³ ´2 p f = x2 + y − b2 − a2 − b2 ; as´ı:

µ ¶ ³ ´ p x2 + y 2 − a2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∇f = 2ix + 2j y − b − a = 2ix + 2j y − . 2y

De ∇f × dr = 0 se sigue 2y(xdy − ydx) + (x2 + y 2 − a2 )dx = 0 ∴ x2 d

³

y2 x

´

+ (x2 − a2 )dx = 0 , integrando se obtiene: (x − C)2 + y 2 = C 2 − a2

(1.56) √

Esta ecuaci´ on describe c´ırculos con centro en (0, C) y de radio C 2 − a2 . Puesto que a es fijo, los par´ ametros C y b definen las nuevas coordenadas. b va desde a hasta ∞ y es el radio de los c´ırculos con centro en el eje y, en tanto que C va desde a hasta ∞ y es la distancia del eje y al origen de los c´ırculos con centro en el eje x. En vez de (b, C) conviene introducir las coordenadas bipolares (ξ, η), figura 1.23, en la forma: b = a csc ξ, C = a coth η, con lo cual, de (1.55) y (1.56): x2 + (y − a coth ξ)2 = a2 csc2 ξ 2

2

2

2

(x − a coth η) + y = a csch η

(1.57) (1.58)

70

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

η=0 ξ = π/6

η = −0,5

η = 0,5

ν = −1

ν=1

ξ = 0, 2π (−a, 0) o η = ∞

ξ = 0, 2π

(a, 0) ´o η = ∞

ξ = 11π/6 η=0

Figura 1.23: Coordenadas bipolares

El menor de todos los c´ırculos con centro en el eje y tiene radio a y el mayor es de radio ∞. Para b positivo, ξ : 0 −→ π y para b negativo ξ : π −→ 2π. N´otese que ξ = π corresponde a −a < x < a y ξ = 0, 2π corresponde a | x |> a. Para los c´ırculos con centro en el eje horizontal el centro m´as cercano al eje y es C = ±a, que corresponde a η −→ ±∞; el centro m´as lejano es C −→ ±∞, correspondiente a η = 0. De (1.57) y (1.58) se obtienen las reglas de transformaci´on: x=

a senh η a sen ξ , y= , z=z cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ

de donde: hξ = hη =

a , hz = 1 cosh η − cos ξ

Las superficies coordenadas son: cilindros circulares con centro en (0, a cot ξ), ξ : 0 −→ 2π, cilindros circulares con centro en (a coth η, 0), η : −∞ −→ ∞ y planos perpendiculares al eje z.

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION

71

Coordenadas toroidales y biesf´ ericas Ahora bien, por rotaci´on de las coordenadas bipolares planas alrededor del eje y se obtienen las coordenadas toroidales. Despu´es de reemplazar x −→ z, y −→ x, z −→ y, de modo que z sea el eje de rotaci´on, puede escribirse: x=

a senh η cos ϕ a senh η sen ϕ a sen ξ , y= , z= cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ

con ξ : 0 −→ 2π, η : 0 −→ ∞, ϕ : 0 −→ 2π. Las superficies coordenadas son: esferas ξ = cte con centro en (0, a cot ξ), toroides η = cte de secci´on transversal circular y planos meridianos ϕ = cte. Este ´angulo es el azimutal usual. Los factores de escala son: a a senh η hξ = hη = , hϕ = cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ Un sistema coordenado adicional puede obtenerse si se rotan las coordenadas bipolares planas alrededor de la l´ınea x que une los polos. Estas coordenadas biesf´ ericas tienen como superficies b´asicas: esferas η = cte, toroides ξ = cte de secci´on transversal circular y planos meridianos ϕ = cte. Siendo z el eje de simetr´ıa puede escribirse: a sen ξ cos ϕ cosh η − cos ξ a sen ξ sen ϕ y= cosh η − cos ξ a senh η z= cosh η − cos ξ

x=

x=

a sen ξ cos ϕ a sen ξ sen ϕ a senh η , y= , z= cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ

con: ξ : 0 −→ π, η : −∞ −→ ∞, ϕ : 0 −→ 2π. Adem´as: hξ = hη =

a a sen ξ , hϕ = cosh η − cos ξ cosh η − cos ξ

Problema: Escriba ∇ϕ, ∇ · A, ∇ × A, ∇2 ϕ en coordenadas toroidales.

1.12.6.

Coordenadas elipsoidales

Este sistema de coordenadas (figura 1.24), donde un punto se describe con (λ, µ, ν), contiene tres familias de superficies ortogonales: elipsoides triaxiales (λ = constante)

72

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

de semiejes a, b, c, con a > b > c; hiperboloides de una hoja (µ = constante) e hiperboloides de dos hojas (ν = constante), descritos, respectivamente, por las siguientes ecuaciones: x2 −λ x2 a2 − µ x2 a2 − ν a2

+ + −

y2 z2 + 2 = 1 , con: λ < c2 −λ c −λ y2 z2 − = 1 , con: c2 < µ < b2 b2 − µ µ − c2 y2 z2 − = 1 , con: b2 < ν < a2 ν − b2 ν − c2 b2

z ˆ eλ ν = cte

µ = cte

ˆ eν ˆ eµ

λ = cte

y

x

Figura 1.24: Coordenadas elipsoidales. Los 6 par´ametros est´an sujetos a las restricciones: a2 > ν > b2 > µ > c2 > λ Los intervalos correspondientes para λ,µ,ν son (0, c2 ),(c2 , b2 ),(b2 , a2 ). De las anteriores ecuaciones se siguen las reglas de transformaci´on:

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION · x=±

(a2 − λ)(a2 − µ)(a2 − ν) (a2 − b2 )(a2 − c2 )

¸1/2

·

¸1/2

·

¸1/2

(b2 − λ)(b2 − µ)(ν − b2 ) y=± (a2 − b2 )(b2 − c2 ) (c2 − λ)(µ − c2 )(ν − c2 ) z=± (a2 − c2 )(b2 − c2 )

73

y los factores de escala son: · hλ = ·

(µ − λ)(ν − λ) (a2 − λ)(b2 − λ)

¸1/2

¸1/2 (ν − µ)(µ − λ) (a2 − µ)(µ − b2 ) · ¸1/2 (ν − λ)(ν − µ) hν = (ν − a2 )(ν − b2 ) hµ =

Problema: Escriba ∇2 ϕ en coordenadas elipsoidales.

Anexo 1.1: Derivadas parciales de los vectores unitarios En aplicaciones del an´alisis vectorial es a menudo necesario utilizar las derivadas ∂ˆ ei /∂uj . P ei dui , o de (1.2), puede escribirse: Partiendo de dr = i hiˆ ∂r = hj ˆ ej ∂uj

y

∂r = hi ˆ ei ∂ui

de donde, derivando la primera respecto a ui y la segunda respecto a uj : ∂2r ∂ = (hj ˆ ej ) , ∂ui ∂uj ∂ui

∂2r ∂ = (hiˆ ei ) ∂uj ∂ui ∂uj

Igualando estas ecuaciones y realizando las derivaciones se sigue: ˆ ej

∂hj ∂ˆ ei ∂hi ∂ˆ ej − hi =ˆ ei − hj ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui

Si se tiene en cuenta que la derivaci´on respecto a uj produce un vector paralelo a bf eˆj y respecto a ui lo produce en direcci´on ˆ ei , se concluye que cada lado de la igualdad es cero si i 6= j. Esto es:

74

1.

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

∂ˆ ei ˆ ej ∂hj = ∂uj hi ∂ui

De (1.25), que define el s´ımbolo de Levy-Civita puede demostrarse que

ˆ ei =

1X ˆk ²ijk ˆ ej × e 2 jk

de donde se sigue, por derivaci´on, utilizando la ecuaci´on del cuadro anterior y despu´es de algunos pasos, que:

X ∂ˆ ei ˆ el ∂hi = ²ijk ²ilj ; ∂ui hk ∂uk jkl

utilizando (1.26) es posible concluir que: Xˆ ∂ˆ ei ek ∂hi =− ∂ui hk ∂uk k6=i

Problema: Demuestre que en coordenadas cil´ındricas las u ´ nicas derivadas parciales no nulas son: ∂ˆ eρ ∂ˆ eϕ = −ˆ eϕ , = −ˆ eρ ∂ϕ ∂ϕ y que en coordenadas esf´ ericas s´ olo las siguientes son no nulas: ∂ˆ er ∂ˆ eθ ∂ˆ er =ˆ eθ , = −ˆ er , =ˆ eϕ sen θ, ∂θ ∂θ ∂ϕ ∂ˆ eθ ∂ˆ eϕ =ˆ eϕ cos θ, = −ˆ er sen θ − ˆ eθ cos θ ∂ϕ ∂ϕ

´ DE SISTEMAS COORDENADOS 1.12. CONSTRUCCION

ANEXO 1.2: Operadores diferenciales Cartesianas: (x, y, z)

∇φ =

X

ˆ ei

i

∇·A

=

X ∂Ai i

∇×A

∂φ ∂xi

∂xi

¸ · ¸ · ¸ ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az − +ˆ ey − +ˆ ez − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y X ∂2φ ∂x2i i ·

= ˆ ex

∇2 φ =

Cil´ındricas: (ρ, ϕ, z)

∇φ ∇·A ∇×A ∇2 φ

∂φ 1 ∂φ ∂φ +ˆ eϕ +ˆ ez ∂r ρ ∂ϕ ∂z ¢ 1 ∂Aϕ 1 ∂ ¡ ∂Az = ρAρ + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ¸ ¸ · ¸ · · ∂Aϕ ∂Az 1 ∂(ρAϕ ) ∂Aρ ∂Aρ 1 ∂Az − +ˆ eϕ − +ˆ ez − = ˆ eρ ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂ϕ µ ¶ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ ∂2φ = ρ + 2 + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z = ˆ er

Esf´ ericas: (r, θ, ϕ)

∇φ

1 ∂φ ∂φ 1 1 ∂φ + ˆ eθ +ˆ eϕ ∂r r θ ∂θ r sen θ ∂ϕ 1 ∂(r2 Ar ) 1 ∂(sen θAθ ) 1 ∂Aϕ + + 2 r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ · ¸ ˆ er ∂(sen θAϕ ) ∂Aθ − r sen θ ∂θ ∂ϕ · ¸ · ¸ ˆ eθ 1 ∂Ar ∂(rAϕ ) eˆϕ ∂(rAθ ) ∂Ar − + − r sen θ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂θ

= ˆ er

∇·A

=

∇×A

= +

75

76

1.

2

∇ φ =

1 ∂ r2 ∂r

COORDENADAS CURVIL´INEAS ORTOGONALES

µ ¶ µ ¶ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ 2 ∂ϕ r + 2 sen θ + 2 ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen2 θ ∂ϕ2

Problemas: Demuestre que: ˆ ln ρ) = 0 • ∇ϕ + ∇ × (k ˆ =0 • ∇(ln ρ) − ∇ × (kϕ) • ∇(1/r) − ∇ × (cos θ∇φ) = 0 • ∇ϕ − ∇ × (r∇θ/ sen θ) = 0 • ∇r = ˆ er , ∇θ = ˆ eθ /r, ∇φ = ˆ eϕ /r sen θ

2

Unicidad ¿Bajo qu´e condiciones es u ´nica la soluci´on a una ecuaci´on diferencial de segundo orden? Puesto que las ecuaciones diferenciales se utilizan para describir fen´omenos f´ısicos, puede preguntarse: ¿Qu´e clase de condiciones es necesario imponer a estas ecuaciones para que describan de manera un´ıvoca alg´ un fen´omeno f´ısico? El problema de la unicidad de una soluci´on no es id´entico al de la existencia de la soluci´on a la ecuaci´on diferencial. El inter´es en este cap´ıtulo ser´a s´olo la unicidad. Las consideraciones sobre unicidad dan lugar a conjuntos muy espec´ıficos de condiciones necesarias y suficientes que garantizan una soluci´on u ´nica de la ecuaci´on diferencial. En este cap´ıtulo se estudia el problema correspondiente para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de segundo orden.

2.1.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Consid´erese el problema de la unicidad de la soluci´on de la ecuaci´on diferencial de segundo orden, ordinaria, homog´enea, con coeficientes variables: a2 (x)¨ y (x) + a1 (x)y(x) ˙ + a0 (x)y(x) + λy(x) = 0 , a ≤ x ≤ b

(2.1)

Esto quiere decir que estudiaremos las condiciones bajo las cuales la soluci´on a la ecuaci´on diferencial es u ´nica. Como se demuestra en el cap´ıtulo 5, toda ecuaci´on de esta clase puede expresarse como un ecuaci´on de Sturm-Liouville: d (q y) ˙ + ry + λpy = 0 dx donde: q = a2 p, r = a0 p y p depende de a1 y a2 .

77

78

2.

UNICIDAD

Una ecuaci´on diferencial de segundo orden tiene dos soluciones (cuya combinaci´on lineal es la soluci´on general). Pretendemos demostrar que cada una de las dos soluciones es u ´nica. Para ello se asumir´a que hay dos funciones y1 y y2 que satisfacen la misma ecuaci´on diferencial, con el mismo λ, y las mismas condiciones de frontera. As´ı: d (q y˙ 1 ) + ry1 + λpy1 = 0 dx d (q y˙ 2 ) + ry2 + λpy2 = 0 dx multiplicando la primera por y2 , la segunda por y1 y rest´andolas se obtiene: d (qW (y1 , y2 )) = 0 , con W ≡ y1 y˙ 2 − y˙ 1 y2 dx por integraci´on entre a y x se sigue: qW = q(a)W (a). Si y1 (a) = y2 (a), y˙ 1 (a) = y˙ 2 (a) entonces W (a) = 0, con lo cual W = 0, de donde y1 ∝ y2 . En consecuencia dos soluciones que satisfacen la misma ecuaci´on diferencial (con el mismo λ) y las mismas condiciones de frontera para y y y, ˙ son coincidentes. En consecuencia, la soluci´ on a la ecuaci´ on diferencial (2.1) es u ´nica si se especifican las condiciones de frontera para la pareja (y, y) ˙ en un punto. Como ejemplo sea la ecuaci´on que describe ca´ıda libre en el campo gravitacional terrestre en cercan´ıas de la superficie (g constante): d2 x =g. dt2 Se sigue que x = A + Bt + gt2 /2. Puede escogerse uno de los siguientes conjuntos de condiciones de frontera: a. x = x0 , x˙ = v0 en t = 0 b. x = x0 en t = 0; x = x1 en t = t1 c. x = x0 en t = 0; x˙ = V en t = t1 d. x˙ = v0 en t = 0; x = x1 en t = t1 con los cuales obtiene, respectivamente: a. x = x0 + v0 t + gt2 /2 b. x = x0 + [(x1 − x0 )/t1 − gt1 /2] t + gt2 /2 c. x = x0 + (V − gt1 )t + gt2 /2 d. x = x1 + v0 (t − t1 ) + g(t2 − t21 )/2 Es posible tambi´en imponer las condiciones mixtas: x/x| ˙ t=0 = α ,

x/x| ˙ t=t1 = β

obteni´endose: x=

(α + t)(β − t1 /2)gt1 + gt2 /2 (α − β + t1 )

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

2.2.

79

Ecuaciones diferenciales parciales

Bajo qu´e condiciones una ecuaci´on diferencial parcial lineal e inhomog´enea tiene soluci´on u ´nica ? Este problema ser´a planteado para cuatro ecuaciones espec´ıficas: 2 ∇ = ρ(r) ¡ ψ(r) ¢ 2 ∇ − α∂/∂t ψ(r, ¢ t) = q(r, t) ¡ 2 1 2 2 ψ(r, t) = g(r, ∇ − ∂ /∂t 2 c ³ ´ t)

• • •

2

~ − 2m ∇2 + V (r, t) − i~∂/∂t ψ(r, t) = 0

•

2.2.1.

−→ Ecuaci´on de Poisson. −→ Ecuaci´on de difusi´on. −→ Ecuaci´on de ondas −→ Ecuaci´on de Schr¨odinger.

Ecuaci´ on de Poisson

Esta ecuaci´on, fundamental en la teor´ıa de potenciales electrost´atico y gravitacional, y en la teor´ıa de fluidos, tiene la forma: ∇2 ψ(r) = ρ(r) La soluci´on es u ´nica si se especifica sobre la frontera alguna de las siguientes condiciones: • Condiciones de Dirichlet: ψ|S = g(r). • Condiciones de Neumann: ∂ψ/∂n|S = h(r). • Condiciones mixtas: p ∂ψ/∂n|S + h ψ|S = l(r), con h ≥ 0 y p ≥ 0. Las tres condiciones pueden ser utilizadas a la vez, siempre y cuando se refieran a porciones diferentes de la superficie. En el caso de Neumann, en verdad, hay infinitas soluciones que difieren por una constante arbitraria. Demostraci´on: asumiendo que existen dos funciones ψ1 y ψ2 que satisfacen la ecuaci´on de Poisson con el mismo ρ(r) y las mismas condiciones de frontera: ψ1 (r)|S = ψ2 (r)|S = g(r) ∂ψ1 (r)/∂n|S = ∂ψ2 (r)/∂n|S = l(r) y si se define ψ2 − ψ1 = U , se sigue: ∇2 U = 0 y, • U |S = 0 • ∂U /∂n|S = 0

80

2.

UNICIDAD

• p ∂U /∂n|S + h U |S = 0 Del teorema de Green: Z

I

£ 2 ¤ ϕ∇ ψ + ∇ϕ · ∇ψ dV

=

V

ϕ∇ψ · dS I

S

ϕ

= S

∂ψ dS ∂n

con: ϕ = ψ = U se sigue: Z

I 2

(∇U ) dV = V

U S

∂U dS ∂n

La integral de superficie se anula si U |S = 0, ´o ∂U /∂n|S = 0. En el primer caso: (∇U )2 = 0, de donde U = constante; como U |S = 0 la constante es cero, tal que U = 0, es decir ψ1 = ψ2 en el caso de Dirichlet; en el segundo caso (Neumann): U = constante, de modo que ψ1 y ψ2 difieren al m´aximo en una constante. En el tercer caso: Z I h 2 (∇U )2 dV = − U dS V S p La de la izquierda es negativa si h ≥ 0 y p ≥ 0, pero simult´aneamente: R integral (∇U )2 dV ≥ 0, pues (∇U )2 ≥ 0. En consecuencia: (∇U )2 = 0, es decir: U = cte As´ı pues, en el caso de Dirichlet la soluci´on es u ´nica, en tanto que en los dos restantes todas las soluciones posibles difieren en una constante. La anterior demostraci´on vale tambi´en para la ecuaci´on de Laplace: ∇2 ψ = 0

2.2.2.

Ecuaci´ on de difusi´ on

La ecuaci´on: (∇2 − α∂/∂t)ψ(r, t) = q(r, t), donde α > 0 y q representa una fuente, tiene soluci´on u ´nica para t ≥ 0 si se especifica el valor de ψ, ´o de su derivada normal, sobre la superficie de frontera, y el valor de ψ en t = 0, es decir, si se conocen: ¯ ∂ψ(r, t) ¯¯ ψ(r, t)|S = g(r, t) o = l(r, t) ∂n ¯S y: ψ(r, t)|t=0 = f (r)

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

81

Para iniciar la demostraci´on se asumir´a que existen dos funciones ψ1 y ψ2 que satisfacen la ecuaci´on de difusi´on con id´entica fuente y las mismas condiciones inicial y de frontera: ¯ ¯ ∂ψ1 ¯¯ ∂ψ2 ¯¯ ψ1 |S = ψ2 |S = g(r, t) , o: ´ = = l(r, t) ∂n ¯S ∂n ¯S ψ1 |t=0 = ψ2 |t=0 = f (r) Definiendo: U = ψ2 − ψ1 se sigue:

µ ¶ ∂ ∇2 − α U =0 ∂t U |t=0 = 0

,

U |S = 0

¯ ∂U ¯¯ =0 ∂n ¯S

´o

En el teorema de Green: Z I £ 2 ¤ ∂ψ dS ϕ∇ ψ + ∇ϕ · ∇ψ dV = ϕ ∂n V S con: ϕ = ψ = U :

Z

£ ¤ U ∇2 U + (∇U )2 dV =

V

I U S

∂U dS ∂n

2

A la izquierda se reemplaza ∇ U = α∂U /∂t; la integral de la derecha es cero si U |S = 0 ´o si ∂U /∂n|S = 0. No se demuestra aqu´ı, pero es cierto, que no pueden proveerse simult´aneamente los valores de ψ|S y ∂ψ/∂n|S sobre la misma porci´on de superficie. Pueden especificarse simult´aneamente ψ|S y ∂ψ/∂n|S sobre porciones diferentes de la superficie cerrada. Esto es v´alido tambi´en para la ecuaci´on de Poisson y la de ondas. Entonces: ¸ µ ¶ ¸ Z · Z · ∂U ∂ U2 2 2 αU + (∇U ) dV = 0 = α + (∇U ) dV ∂t ∂t 2 V V Z Z αd 2 ´o U dV = − (∇U )2 dV 2 dt V V Z Z α dI(t) ´o : = − (∇U )2 dV , con I(t) ≡ U 2 dV ≥ 0 2 dt V V Puesto que (∇U )2 ≥ 0 se sigue: dI(t) ≤0 dt

y

I(t) ≥ 0

82

2.

UNICIDAD

De acuerdo al teorema del valor medio dI(t1 ) I(t) − I(0) I(t) = = , dt t t

0 < t1 < t

donde I(0) = 0 pues U |t=0 = 0; entonces: t

dI(t1 ) = I(t) dt

y como: t ≥ 0 y dI(t)/dt ≤ 0 se sigue: I(t) ≤ 0; pero es cierto que I(t) ≥ 0; en consecuencia: I(t) = 0 ⇒ U =0 y por tanto: ψ2 = ψ1 : la soluci´on es u ´nica. t

t0 espacio

Figura 2.1: Dominio de la soluci´on de la ecuaci´on de difusi´on Nota: El teorema de unicidad tambi´en se cumple si U y ∂U /∂n son diferentes de cero sobre la superficie, si es cierto que: ¯ ∂ψ ¯¯ + h(r) ψ|S = k(r, t) , con h≥0 ∂n ¯S En tal caso: ∂U ∂n |S + hU |S = 0 y en consecuencia: α dI 2 dt

Z =

I (∇U )2 dV +

− ZV

=

− 0

IS 2

∂U dS ∂n

hU 2 dS

(∇U ) dV − V

≤

U

S

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

83

De ac´a, con I(0) = 0 y I(t) ≥ 0 se sigue nuevamente: ψ2 = ψ1 Las tres condiciones de frontera: ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ ψ|S = g(r) , = l(r) , + h ψ|S = k(r, t) ∂n ¯S ∂n ¯S pueden utilizarse simult´aneamente siempre y cuando sean aplicadas sobre porciones diferentes de la superficie. El problema de difusi´on es cerrado espacialmente y abierto temporalmente (figura 2.1). Debe especificarse la funci´on ψ (´o su derivada temporal) sobre toda la frontera espacial y sobre una frontera temporal (t = 0) ψ(r, t) ha de ser una funci´on continua de r y t en el volumen V ; tambi´en lo deben ser sus derivadas.

2.2.3.

Ecuaci´ on de ondas

Una onda en tres dimensiones que viaja en un medio isotr´opico tiene la forma: µ ¶ 1 ∂2 2 ∇ − 2 2 ψ(r, t) = g(r, t) c ∂t Esta ecuaci´on tiene soluci´on u ´nica si se especifican los valores de ψ ( o de su derivada normal) sobre la frontera y de ψ y su derivada temporal en alg´ un instante t = 0. Estas se llaman condiciones de Cauchy y tienen la forma siguiente:

ψ|S ψ|t=0

= k(r, t) , = l(r) ,

´o

¯ ∂ψ ¯¯ = h(r, t) ∂n ¯S

¯ ∂ψ ¯¯ = m(r) ∂t ¯t=0

definiendo U = ψ2 − ψ1 se tiene: ¶ µ 1 ∂2 ∇2 − 2 2 U c ∂t

=

0,

U |t=0

=

0,

U |S = 0 o ¯ ∂U ¯¯ =0 ∂t ¯t=0

En el teorema de Green I Z £ 2 ¤ ∂ψ ϕ∇ ψ + ∇ϕ · ∇ψ dV = ϕ dS ∂n V S

¯ ∂U ¯¯ =0 ∂n ¯S

84

2.

con ψ = U,

UNICIDAD

ϕ = U˙ = ∂U /∂t :

Z h I i ∂U U˙ ∇2 U + ∇U˙ · ∇U dV = U˙ dS ∂n V S " # Z I U˙ ∂ 2 U ∂U ˙ ´o: + ∇U · ∇U dV = U˙ dS 2 ∂t2 c ∂n V S " # Z I 1 ∂ U˙ 2 ∂U 2 + (∇U ) dS dV = U˙ 2 c ∂n V 2 ∂t S " # Z I d 1 U˙ 2 ∂U 2 dS + (∇U ) dV = U˙ dt V 2 c2 ∂n S H Si U |S = 0 se sigue U˙ |S = 0, por lo cual: S U˙ ∂U ∂n dS = 0 H Si ∂U /∂n|S = 0 se sigue: S U˙ ∂U dS = 0 ∂n En cualquiera de estos dos casos (Dirichlet ´o Neumann para frontera espacial) es cierto que: # # Z " ˙2 Z " ˙2 d U U 2 2 + (∇U ) dV = 0 ⇒ + (∇U ) dV = constante dt V c2 c2 V Si esta expresi´on se eval´ ua en t = 0: " # Z U˙ 2 (0) 2 + (∇U (0)) dV = constante c2 V y como U |t=0 = U (0) = 0 y U˙ |t=0 = 0 se sigue que la constante es cero: # Z " ˙2 U 2 + (∇U ) dV = 0 c2 V Puesto que se tiene una suma de cuadrados es obvio que U = constante, y como adem´as U |t=0 = 0 la constante es cero. En consecuencia U = 0 ´o: ψ2 = ψ1

La soluci´on es u ´nica para Dirichlet y Neumann.

Si las ondas son complejas el teorema de unicidad con condiciones de Cauchy sigue siendo v´alido. Es suficiente con utilizar la primera identidad de Green, con ϕ = U˙ y ψ = U , en la forma: ¸ Z I · £ 2 ∗ ¤ ∂ψ ∗ ∂ψ ϕ∇ ψ + ϕ∗ ∇2 ψ + ∇ϕ · ∇ψ ∗ + ∇ϕ∗ · ∇ψ dV = ϕ + ϕ∗ dS. ∂n ∂n V S Problema: ¿Conduce la condici´ on mixta: p ∂ψ | +hψ|S = g(r) a una soluci´ on ∂n S u ´ nica de la ecuaci´ on de ondas?

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

2.2.4.

85

Ecuaci´ on de Schr¨ odinger

La ecuaci´on de Schr¨odinger, n´ ucleo de la mec´anica cu´antica ondulatoria, tiene la forma: ~2 2 ∂ψ(r, t) − ∇ ψ(r, t) + V (r, t)ψ(r, t) = i~ 2m ∂t y puede ser escrita como: ∇2 ψ + Aψ = iα

∂ψ ∂t

Esta ecuaci´on tiene soluci´on u ´nica si se especifica el valor de ψ, o de su derivada normal sobre la superficie de frontera y el valor de ψ en t = 0, es decir, si se conocen: ¯ ∂ψ ¯¯ = l(r, t) ψ(r, t)|S = g(r, t) ´o ∂n ¯S y: ψ(r, t)|t=0 = f (r) Al igual que en los casos anteriores sea: U = ψ2 − ψ1 , donde ψ2 y ψ1 satisfacen la ecuaci´on de Schr¨odinger con el mismo potencial y las mismas condiciones inicial y de frontera. De la segunda identidad de Green: Z

£ 2 ¤ ϕ∇ ψ − ψ∇2 ϕ dV = V

I · ϕ S

¸ ∂ψ ∂ϕ −ψ dS ∂n ∂n

con ϕ = U y ψ = U ∗ y reemplazando ∇2 U y ∇2 U ∗ se sigue: ¸ Z I · d ∂U ∗ 2 ∗ ∂U |U | dV = U −U dS. dt V ∂n ∂n S R La integral a la derecha es cero si U |S = 0 ´o si ∂u/∂n|S = 0, por lo cual |U |2 dV = constante, y puesto que U (0) = 0 resulta que la constante es nula y en consecuencia U = 0; as´ı, ψ1 = ψ2 . Notas 1. Ecuaciones anisotr´ opicas. Las ecuaciones de Poisson, Fourier y ondas, cuyas condiciones de unicidad han sido desarrolladas aqu´ı, son casos particulares de ecuaciones anisotr´opicas cuya forma general es la siguiente: • Ecuaci´on de Poisson anisotr´opica: A : ∇∇ϕ + b · ∇ϕ = f (r)

86

2.

UNICIDAD

• Ecuaci´on de Fourier anisotr´opica: A : ∇∇T + b · ∇T − k

∂T = f (r, t) ∂t

• Ecuaci´on de ondas anisotr´opica: A : ∇∇Ψ −

1 ∂2Ψ = f (r, t) c2 ∂t2

Es posible, mediante un procedimiento an´alogo al realizado en las p´aginas anteriores, aunque algo m´as complejo, demostrar que las condiciones de unicidad valen tambi´en para las correspondientes ecuaciones anisotr´opicas. 2. Condiciones de frontera Las condiciones de frontera pueden clasificarse en dos categor´ıas principales: generales y espec´ıficas. Una condici´on de frontera general corresponde a situaciones donde un campo se extiende de un medio a otro. En estos casos no podemos especificar los valores de los campos y/o sus derivadas sobre las superficies de separaci´on (interfases), sino alguna relaci´on entre sus valores a ambos lados. Para un campo electrost´atico, por ejemplo, el potencial es continuo a trav´es de la interfase (φ1 |S = φ2 |S ) y, si no hay carga superficial en la interfase, la componente normal del vector de desplazamiento es continua a trav´es de la interfase (D1 · n ˆ |S = D2 · n ˆ |S ). En el caso del campo de temperatura, esta es continua en la frontera de separaci´on de dos medios (T1 |S = T2 |S ). Una condici´on de frontera espec´ıfica establece los valores de los campos y/o sus derivadas espaciales y/o temporales en las fronteras espaciales (sean ellas superficies o l´ıneas o puntos) y en puntos iniciales en el tiempo. A este tipo pertenecen las condiciones de Dirichlet, Neumann, mixtas y Cauchy. Las condiciones de frontera espec´ıficas pueden subdividirse en homog´eneas e inhomog´eneas. Una condici´on de frontera homog´enea es del tipo φ|S = 0 o ∂φ/∂n|S = 0 o αφ|S + β∂φ/∂n|S = 0. La soluci´on del problema de Sturm-Liouville, en el cap´ıtulo 5, exige este tipo de condiciones. Las condiciones de frontera inhomog´eneas son del tipo φ|S = f (r) o ∂φ/∂n|S = g(r) o ψ(r, t)|t=0 = h(r), entre otras.

2.3.

Ecuaciones vectoriales

En lo anterior se han considerado ecuaciones diferenciales parciales formadas con operadores ∇2 , ∂/∂t y ∂ 2 /∂t2 , que act´ uan sobre funciones escalares ψ(r, t). Las

2.3. ECUACIONES VECTORIALES

87

condiciones de frontera que garantizan la unicidad de la soluci´on de estas ecuaciones contienen, de acuerdo al caso, los valores de ψ|S , ∂ψ/∂n|S y de ψ y ∂ψ/∂t en alg´ un instante t0 . Es posible estudiar el problema de la unicidad de la soluci´on de ecuaciones de campo vectoriales. Ejemplos de estos casos son las ecuaciones de onda para los campos electromagn´eticos en la teor´ıa de Maxwell, la ecuaci´on de ondas longitudinales y transversas en un medio el´astico y la ecuaci´on de Poisson para el potencial vectorial magn´etico. Con el prop´osito de entrar en el tema desarrollemos ante todo un par de identidades integrales. 1. Del teorema de la divergencia: I Z ∇ · M dV = dS · M (2.2) S

V

con M = ϕA, siendo ϕ un campo escalar, se sigue: I Z [ϕ∇ · A + A · ∇ϕ] dV = ϕn ˆ · A dS S

V

En lo que sigue se desarrolla una identidad en la que ϕ = ∇ · B; as´ı: Z I [(∇ · A)(∇ · B) + A · ∇(∇ · B)] dV = (ˆ n · A)(∇ · B) dS V

S

Teniendo en cuenta que: ∇(∇ · B) = ∇ × (∇ × B) + ∇2 B puede escribirse: Z [(∇ · A)(∇ · B) + V

=

A · ∇ × (∇ × B) + A · ∇2 B] dV I (ˆ n · A)(∇ · B) dS S

2. Del teorema de la divergencia, (2.2), con M = A × C, y usando ∇ · (A × C) = C · ∇ × A − A · ∇ × C :

Z

I

I

[C · ∇ × A − A · ∇ × C] dV = V

y sea C = ∇ × B; entonces:

C · (ˆ n × A) dS = S

A · (C × n ˆ ) dS S

(2.3)

88

2.

Z [(∇ × B) · (∇ × B) − V

=

UNICIDAD

I A · ∇ × (∇ × B)] dV = (∇ × B) · (ˆ n × A) dS S I A · [(∇ × B) × n ˆ )] dS (2.4) S

Ahora bien, es cierto, de acuerdo al teorema de la secci´on 1.8.3 que un campo vectorial A puede ser descompuesto en una parte longitudinal y otra transversa: A=AL + AT =∇ϕ+∇ × B, siendo cierto que ∇ × AL = 0 y ∇ · AT = 0. Es interesante estudiar, separadamente, las condiciones de frontera pertinentes para campos longitudinales y transversos para dos ecuaciones de campo espec´ıficas: Poisson y ondas.

2.3.1.

Ecuaci´ on de Poisson vectorial

1. Consid´erese la ecuaci´on:

∇2 B(r) = J(r)

(2.5)

donde el campo B es longitudinal, es decir, obedece la ecuaci´on ∇ × B = 0. Es cierto, entonces, de la ecuaci´on (2.3), que: Z I [(∇ · A)(∇ · B) + A · ∇2 B] dV = (ˆ n · A)(∇ · B) dS (2.6) V

S

Con el prop´osito de estudiar las condiciones de unicidad de la soluci´on a la ecuaci´on (2.5), se asumir´a la existencia de dos soluciones, B1 y B2 , que satisfacen la ecuaci´on vectorial de Poisson y las mismas condiciones de trontera: definiendo U = B2 − B1 , se obtiene ∇2 U = 0. Ahora, si en (2.6) se hace A = B = U: Z I (∇ · U)2 dV = (ˆ n · U)(∇ · U) dS V

S

La integral de superficie se anula si n ˆ · U|S = 0 o si ∇ · U|S = 0; en cualquiera de estos dos casos la integral de volumen se anula. Se sigue entonces que (∇ · U)2 = 0. En consecuencia, U = constante = C. En el caso n ˆ · U|S = 0, correspondiente a una condici´on del tipo de Dirichlet, es cierto que n ˆ · C = 0, de modo que es suficiente que C sea cero. En este caso: U = B2 − B1 = 0, por lo cual B1 = B2 , y la soluci´on es u ´nica. En el segundo caso, ∇ · U|S = 0, correspondiente a una condici´on de Neumann, se sigue U = constante, de modo que hay muchas soluciones que difieren en una constante vectorial. 2. Consid´erese de nuevo la ecuaci´on vectorial de Poisson, (2.5), con el campo B transverso, es decir: ∇ · B = 0. Se sigue entonces, de la ecuaci´on (2.4), con: ∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∇2 B

2.3. ECUACIONES VECTORIALES

89

que: Z [(∇ × A) · (∇ × B) + V

=

I A · ∇2 B] dV = (∇ × A) · (ˆ n × A) dS S I A · [(∇ × B) × n ˆ )] dS

(2.7)

S

Para establecer condiciones de unicidad asumiremos, como antes, soluciones B1 y B2 , que, de nuevo, satisfacen la ecuaci´on de Poisson y las mismas condiciones de frontera. Si se define U = B2 − B1 , entonces ∇2 U = 0 y por tanto, de (2.7), con A = B = U: I Z I 2 U · [(∇ × U) × n ˆ )] dS (∇ × U) dV = (∇ × U) · (ˆ n × U) dS = V

S

S

Las integrales de superficie se anulan, respectivamente, si n ˆ × U|S = 0 o si (∇ × U) × n ˆ |S = 0, correspondientes a condiciones de Dirichlet o Neumann. Argumentos como los presentados antes permiten concluir que en el primer caso: U = 0, de modo que la soluci´on es u ´nica, en tanto que en el segundo hay infinidad de soluciones que difieren en una constante vectorial. Problema: ¿Por qu´ e no se ha inclu´ıdo la condici´ on ∇ × U|S = 0 ?

En s´ıntesis, la soluci´on a la ecuaci´on vectorial de Poisson es u ´nica (excepto por una constante aditiva en el caso de Neumann) si se especifica: a. b.

2.3.2.

n ˆ · B|S = f (r) o ∇ · B|S = g(r), para campo transverso, y n ˆ × B|S = a(r) o n ˆ × (∇ × B)|S = b(r), para campo longitudinal.

Ondas vectoriales

La ecuaci´on de ondas vectoriales tiene la forma: ∇2 B −

1 ∂2B =J v 2 ∂t2

A) Si B es un campo longitudinal, la soluci´on es u ´nica si se especifican: n ˆ · B|S

∇ · B|S ∂B ¯¯ B|t=0 ¯ ∂t t=0 B) Si B es un campo transverso basta especificar: n ˆ × B|S

o

o

n ˆ × (∇ × B|S

90

2.

y: B|t=0

∂B ¯¯ ¯ ∂t t=0

Problema: Probar las afirmaciones anteriores.

UNICIDAD

3

Ecuaciones Diferenciales La primera parte de este cap´ıtulo se dedica a presentar, sin ´animo de profundizaci´on, las t´ecnicas de soluci´on de las ecuaciones diferenciales ordinarias y lineales de primer y segundo orden. En la segunda parte, siguiendo una t´ecnica inspirada en la clasificaci´on de las c´onicas, se aborda el problema de la clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden en el´ıpticas, parab´olicas e hiperb´olicas; se introduce luego la separaci´on de variables, que es tal vez la t´ecnica m´as simple y conocida de soluci´on de ecuaciones diferenciales parciales, aunque es v´alida solo para las homog´eneas. Al final se proponen aplicaciones de la separaci´on de variables en diversos sistemas coordenados para las ecuaciones de Laplace y de ondas.

3.1.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Operadores Un operador es una transformaci´on matem´atica que aplicada a una funci´on produce otra funci´on. Los operadores lineales (L, M) satisfacen las siguientes propiedades:

•

L(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 Lf1 + c2 Lf2

• •

(L + M)f = Lf + Mf LMf = L(Mf )

91

donde c1 y c2 son constantes

92

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Son operadores L lineales: •

Lu =

du dx

•

Lu =

a(x)

•

Lu =

∇2 u

d2 u du + b(x) 2 dx dx

Son operadores P no lineales: •

Pu =

•

Pu =

•

Pu =

•

Pu =

•

Pu =

u2 du + R(x)u2 dx µ ¶2 d2 u du + 2 dx dx µ ¶2 µ ¶2 ∂u ∂u + ∂x ∂y Z k(x, s)u(s)u(s + x) ds

•

Pu =

∇2 u + keu

El s´ımbolo D indicar´a derivaci´on respecto a la variable independiente x: D≡

d . dx

En general: Dr ≡

dr , dxr

r = 0, 1, 2, . . .

Es cierto que: • • • • • • • • •

(Dr + Ds )f = (Ds + Dr )f (conmutatividad para adici´on) [Dr + (Ds + Dt )]f = [(Dr + Ds ) + Dt ]f (asociatividad para adici´on) Dr Ds f = Ds Dr f (conmutatividad para multiplicaci´on) Dr (Ds Dt )f = (Dr Ds )Dt f (asociatividad para multiplicaci´on) Dr (Ds + Dt )f = (Dr Ds + Dr Dt )f (distributividad para multiplicaci´on) Dr Ds f = Dr+s f Dr (cf ) = cDr f , c = constante Dr (emx f ) = emx (D + m)r f (D − m)r (emx f ) = emx Dr f

3.1.1.

Ecuaciones de primer orden

A. Variables separables. Una ecuaci´on diferencial de primer orden dy/dx = f (x, y) es separable si puede escribirse en la forma: F (x)dx + G(y)dy = 0,

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

cuya integral es de la forma Z

93

Z F (x)dx +

G(y)dy = c.

En forma m´as general, es posible integrar una ecuaci´on de la forma: A(x, y)dx + B(x, y)dy = 0 si puede ser escrita como du = 0, para lo cual es necesario y suficiente que: ∂B ∂A = . ∂y ∂x En este caso que la ecuaci´on diferencial es expresable como una diferencial exacta. Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: •

dy/dx

=

ex−2y

•

dy/dx

=

ky/x

•

dy/dx

=

( sen 2x)/y

•

dy/dx

=

(y/x) ln x

•

dy/dx

=

−(x + y)/x

B. Combinaciones integrables Si en la ecuaci´on dy/dx = f (x, y) las variables no pueden separarse, puede a´ un ser posible ponerla en una forma que permita integrar por combinaciones de variables del tipo: • • • • •

xdy + ydx = d(xy) xdy − ydx = x2 d(y/x) xdy − ydx = −y 2 d(x/y) 2xydy − y 2 dx = x2 d(y 2 /x) 2xydx − x2 dy = y 2 d(x2 /y)

Ejemplo: dy/dx = (2x + y)/(3 − x) Esta ecuaci´on puede escribirse en la forma: (xdy + ydx) − 3dy + 2xdx = 0, ´o: d(xy − 3y + x2 ) = 0, de donde:

xy − 3y + x2 = c.

94

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: •

dy/dx

=

(2xy 2 + y)/x

•

dy/dx

=

(x3 − xy 2 − 1)/(x2 y − y 3 )

•

dy/dx

=

2xy/(3y 2 − x2 )

•

dy/dx

=

sen y/(1 − cos y)

•

dy/dx

=

e−y /(2y + xe−y )

C. Ecuaciones homog´ eneas Una funci´on f (x, y) es homog´enea de grado m respecto a las variables x y y si, para todo α, es cierto que f (αx, αy) = αm f (x, y). Una ecuaci´on del tipo A(x, y)dx + B(x, y)dy = 0

(3.1)

es homog´enea si A y B son funciones homog´eneas del mismo grado. Como la substituci´on x −→ αx, y −→ αy implica y/x −→ y/x, la substituci´on v = y/x hace que la ecuaci´on (3.1) sea separable. Como ejemplo sea la ecuaci´on: dy/dx = (x − 2y)/(2x − y). Puede escribirse, con y = vx: d 1 − 2v dv (vx) = =x + v, dx 2−v dx de modo que: dv 1 − 4v + v 2 x = , dx 2−v ´o (2 − v)dv dx = , 1 + v 2 − 4v x de donde:

·

¸ 1 2 d ln(1 + v − 4v) + ln x = 0. 2

As´ı pues, x2 [1 + (y/x)2 − 4y/x] = c. Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: •

dy/dx

=

(3y 3 − x3 )/3xy 2

•

dy/dx

=

•

dy/dx

=

(xe−y/x + y)/x p (y − x2 − y 2 )/x

•

dy/dx

=

(4x2 + 3y 2 )/2xy

Generalizaci´ on: Consid´erese ahora una generalizaci´on de la idea de homogeneidad: Sup´ongase que en la ecuaci´on (3.1) la dimensi´on de y es cierta potencia m de la dimensi´on de x y que: A(αx, αm y) = αr A(x, y), B(αx, αm y) = αs B(x, y)

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

95

As´ı pues, bajo el reemplazo x −→ αx, y −→ αm y, la ecuaci´on diferencial se convierte en: A(αx, αm y)d(αx) + B(αx, αm y)d(αm y) = 0 es decir:

αr+1 A(x, y) + αs+m B(x, y)dy = 0

(3.2)

La compatibilidad de (3.1) y (3.2) exige que s = −m + r + 1, tal que una ecuaci´on del tipo (3.1) es separable si: A(αx, αm y) = αr A(x, y), B(αx, αm y) = α−m+r+1 B(x, y). Es cierto entonces que la substituci´on x −→ αx, y −→ αm y implica xm −→ αm y m , y −→ αm y, de donde: y/xm −→ y/xm . Esto sugiere la introducci´on de la variable adimensional v = y/xm . Como ejemplo sea: (3xy 3 − 2y)dx + (x + x2 y 2 )dy = 0;

(3.3)

con el reemplazo: x −→ αx, y −→ αm y se sigue que la nueva ecuaci´on corresponde a la original si 3m+2 = m+1, de donde m = −1/2, tal que x −→ αx, y −→ α−1/2 y; de donde xy 2 −→ xy 2 , de modo que puede usarse v = xy 2 . La ecuaci´on (3.3) se reduce a la forma separable: (3v − 2)ydv + 5v(1 − v)dy = 0 D. Ecuaciones lineales Una ecuaci´on diferencial de primer orden es lineal cuando tiene potencia 1 en la variable dependiente y en su derivada. La forma general es: dy + P (x)y = Q(x). dx Para resolver esta ecuaci´on se multiplica por una funci´on R(x), y se intenta obtener a la izquierda la derivada de un producto: R

dy + RP y = RQ dx

´o:

d dR (Ry) − y + RP y = RQ dx dx Esta ecuaci´on permite evaluar R si se hace: d (Ry) = RQ dx

y

dR − RP = 0. dx

96

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

De la segunda ecuaci´on: dR/R − P dx = 0, de donde: R

R=e

P dx

,

y de la primera: 1 y= R

Z

R c RQdx + = e− P dx R

Z Pe

R

P dx

dx + ce−

R

P dx

Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

3.1.2.

•

dy/dx

=

(ex − 3xy)/x2

•

dy/dx

=

(4x2 − 2y)/x

•

dy/dx

=

(4 ln x − 2x2 y)/x3

•

dy/dx

=

4e2x + 2y.

Ecuaciones de orden superior

Principio de superposici´ on Este principio asegura que la soluci´on general de una ecuaci´on homog´enea del tipo Lf = (Dn + αn−1 Dn−1 + . . . + α0 )f = 0 est´a conformada por la combinaci´on lineal de n soluciones distintas. En particular una ecuaci´on diferencial de segundo orden tiene dos soluciones distintas, es decir linealmente independientes, f1 y f2 . Sea {fn } el conjunto de soluciones a una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n. Si el conjunto es linealmente es posible obtener valores P de ci diferentes Pdependiente, n n de cero de forma tal que i=1 ci fi = 0. Por derivaci´on se sigue: i=1 ci f˙i = 0, Pn P (n−1) n ¨ = 0. Hay as´ı n ecuaciones para n valores de ci . i=1 ci fi = 0, . . ., i=1 ci fi Este sistema de ecuaciones tiene soluci´on si el determinante de los coeficientes de ci es cero; es decir si el Wronskiano de fi , definido por: ¯ ¯ f1 ¯ ¯ f˙1 ¯ W =¯ .. ¯ . ¯ ¯ f (n−1) 1

··· ··· .. . ···

fn f˙n .. . (n−1)

fn

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , ¯ ¯ ¯

es nulo. As´ı, el anulamiento de W es condici´on necesaria para la dependencia lineal de las funciones {f1 · · · fn }. Si W 6= 0 el conjunto {fn } es linealmente independiente.

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

97

A. Coeficientes constantes Consid´erese la ecuaci´on diferencial ordinaria y homog´enea de orden n con coeficientes ai constantes: Lf = (an Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 )f = 0 con an 6= 0. Factorizando: Lf = (D−m1 )(D−m2 ) . . . (D−mn )f = 0, cuya soluci´on es de la forma: f = cemx . Los coeficientes mk , que son las ra´ıces de la ecuaci´on, pueden ser reales o complejos, algunos pueden ser repetidos o todos pueden ser diferentes: a) Para ra´ıces mk reales y distintas, la soluci´on tiene la forma gen´erica: f = cemx , reemplazando en la expresi´on factorizada se sigue: (m − m1 )(m − m2 ) . . . (m − mn ) = 0 tal que m = mk , con lo cual: fk = ck emk x ; en consecuencia la soluci´on general, expresada como combinaci´on lineal de las fk ser´a: f=

n X

ck emk x

k=1

Ejemplo: (2D2 + 5D − 3)f = 0

de donde:

2m2 + 5m − 3 = 0 con lo cual

1 (m − )(m + 3) = 0 , y as´ı: 2 f = c1 ex/2 + c2 e−3x

b) Para ra´ıces mk complejas, la teor´ıa algebraica de ecuaciones dice que todas las ra´ıces complejas aparecen en parejas conjugadas: si m = a + ib es ra´ız, tambi´en lo ser´a m∗ = a−ib con a y b reales. As´ı, la soluci´on de (D2 −AD +B)f = 0, donde 4B − A2 > 0, es: f

= c1 e(a+ib)x + c2 e(a−ib)x = eax (ceibx + de−ibx ) = eax (c0 cos bx + d0 sen bx)

98

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

√ con a = A/2 , b = 4B − A2 /2. En general, si las ra´ıces son complejas y distintas: f=

n X

eai xi (ci 0 cos bi x + di 0 sen bi x)

i=1

Ejemplo: (D2 − 2D + 5)f = 0 ⇒ m2 − 2m + 5 = 0 ´o m = 1 ± 2i ,

de donde:

f = c1 e(1+2i)x + c2 e(1−2i)x c) Ra´ıces repetidas. Sea mk repetida k veces. Entonces: (m − mk )k (m − mk+1 ) . . . (m − mn ) = 0 Esta expresi´on proviene de (D − mk )k (D − mk+1 ) . . . (D − mn )f = 0 tal que una soluci´on es la que corresponde a: (D − mk )k f = 0. El caso trivial (D − mk )(D − mk ) . . . k veces f = 0 da f = cemk x que corresponde a soluciones repetidas. Para obtener soluciones distintas basta ensayar f = g(x)emk x ,

se sigue:

(D − mk )k (emk x g) = emk x Dk g = 0 ´o: Dk g = 0, cuya soluci´on es g = c0 + c1 x + . . . + ck−1 xk−1 por tanto:

¡ ¢ f = c0 + c1 x + . . . + ck−1 xk−1 emk x

A esta soluci´on hay que adicionarle las correspondientes a las ra´ıces no repetidas. Ejemplo: (D2 − 4D + 4)f = 0. Se obtiene: (D − 2)2 f = 0 , m = 2 con lo que se concluye que: f = (c1 + c2 x)e2x Ejemplo: (D5 − 2D3 + D)f = 0. Las ra´ıces son m = 1, 1, −1, −1, 0, tal que f = (c1 + c2 x)ex + (c3 + c4 x)e−x + c5 e0

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

99

Problemas: Halle la soluci´ on general de cada una de las siguientes ecuaciones: (D 2 + 5D + 6)f = 0 (D 4 − 2D2 )f = 0 (D 6 − 4D4 + 4D2 )f = 0 (D 3 + 8)f = 0 (D 4 + 4)f = 0

• • • • •

Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: • • • •

y˙ − 2y = 0 , con la condici´ on: y(0) = 3 ... y − 6¨ y + 12y˙ − 8y = 0 , con y(0) = y(1) = 0 , ... y −4y˙ + 4y = 0 , con y(0) = 0 , y(1) = 1 ... y −2y˙ − 4y = 0 , y(0) = y(1) = 0 , y(0) ˙ =1

y(0) ˙ =1

B. Ecuaciones s´ olo con derivadas de y En ecuaciones donde no aparece la variable dependiente y sino s´olo sus derivadas es posible reemplazar la ecuaci´on diferencial por otra de orden menor. Como ejemplo sea: d2 y dy +2 − 6x − 3 = 0, dx2 dx y sea: p = dy/dx, de modo que: dp/dx + 2p − 6x − 3 = 0, cuya soluci´on, por ser una ecuaci´on lineal es: dy = p = 3x + c1 e−2x , dx de donde: y=

3x2 + c01 e−2x + c2 . 2

Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: •

y¨ + y˙ 2 + 4 = 0

•

x2 y¨ + 2xy˙ = 0

•

x¨ y − y˙ 2 + y˙ = 0

•

x2 y¨ = y˙

C. Ecuaci´ on de Euler Otro tipo de ecuaci´on diferencial homog´enea es la de Euler: Lf = (xn Dn + a1 xn−1 Dn−1 + . . . + an )f = 0 La propuesta f = xβ

da lugar a la ecuaci´on caracter´ıstica:

β(β − 1)(β − 2) . . . + a1 β(β − 1) . . . + . . . + an = 0 de donde se obtiene un espectro de valores para β.

100

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejemplo: x2 y¨ + 7xy˙ + 9y = 0 Con: y = xβ y reemplazando en la ecuaci´on diferencial se obtiene: β 2 + 6β + 9 = 0

β = −3, −3

Por tanto: y = x−3

3.1.3.

Soluciones homog´ enea e inhomog´ enea

Las ecuaciones diferenciales que se han resuelto hasta ahora son homog´eneas en la variable dependiente y. Vale decir y aparece en cada sumando de la ED. Sea ahora la ecuaci´on inhomog´enea: a2 (x)¨ y + a1 (x)y˙ + a0 (x)y = f (x) La soluci´on yc a la ecuaci´on con f (x) = 0 es llamada soluci´on homog´enea ´o complementaria, en tanto que la soluci´on yp a la ecuaci´on con f (x) 6= 0 es llamada soluci´on inhomog´enea ´o particular. La soluci´on general a una ecuaci´on diferencial lineal inhomog´enea es la combinaci´on lineal: y = yc + yp Soluci´ on inhomog´ enea Tres m´etodos son aqu´ı propuestos: A. Reducci´ on de orden La ecuaci´on (an Dn + . . . + a0 )y = f (x), con coeficientes constantes se escribe a0 (D − m1 )(D − m2 ) . . . (D − mn )y = f (x). Si hacemos (D − m2 ) . . . (D − mn )y = u se tiene: a0 (D − m1 )u = f (x), y esta es una ecuaci´on lineal de primer orden, de modo que u es directamente evaluable. Ahora, en u = (D − m2 ) . . . (D − mn )y hacemos (D − m3 ) . . . (D − mn )y = v, tal que: (D − m2 )v = u, y de ac´a se eval´ ua v, y as´ı sucesivamente. Ejercicio: La ecuaci´on: (D3 − 2D2 + D)y = x

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

101

puede escribirse: (D − 1)(D − 1)Dy = x. Haciendo u = (D − 1)Dy se sigue:(D − 1)u = x, de donde, seg´ un la secci´on 3.1.1 numeral D, la soluci´on inhomog´enea es u = −x − 1; en consecuencia: (D − 1)Dy = −x − 1. Haciendo ahora v = Dy tenemos: (D − 1)v = −x − 1, de donde v = x + 2; tal que Dy = x + 2 y por tanto yp = x2 /2 + 2x; y como la soluci´on homog´enea es : yc = c1 + (c2 + c3 x)ex se tendr´a como soluci´on general: x2 + 2x + c1 + (c2 + c3 x)ex . y= 2 Problema: Por reducci´ on de orden demuestre que la soluci´ on a la ecuaci´ on (D − 1)(xD + 3)y = ex es: y=

c1 c2 + 3 (x2 − 2x + 2)ex + ex x3 x

y que xeαx es soluci´ on de (D − α)2 y = 0.

B. Coeficientes indeterminados Este m´etodo es v´alido para funciones f (x) de la forma: xp eqx , xp eqx cos βx, xp eqx sen βx, con p = 0, 1, 2 . . . ; q, α, β reales. Sea el siguiente caso: (D2 − 1)y = x2 . Prop´ongase como soluci´on un polinomio de grado 2: y = Ax2 + Bx + C, : 2A − Ax2 − Bx − C = x2 , tal que: A = −1, B = 0, −C + 2A = 0; as´ı: y = −x2 − 2. En el caso de la ecuaci´on diferencial de orden n con coeficientes variables: (an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 . . . + a0 (x))y = f (x), donde f (x) tiene forma polinomial de grado p (f (x) = Cxp ), y si a0 6= 0, es necesario que el grado de y no exceda a p ; as´ı: y = Axp + Bxp−1 + . . . + Kx + L.

102

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Si a0 = 0 habr´a una ra´ız m = 0 y en este caso: y = x(Axp + Bxp−1 + . . . + Kx + L) Si a0 = a1 = 0, habr´a dos ra´ıces m = 0 y por tanto : y = x2 (Axp + Bxp−1 + . . . + Kx + L). Una prescripci´on general, enunciada sin prueba, es la siguiente: Dada una ecuaci´on: (an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 . . . + a0 (x))y = f (x) con:

f (x) = Cxp eαx cos βx + C 0 xp eαx sen βx,

donde p = 0, 1, 2 . . . y α, β son n´ umeros reales (incluyendo el cero), C y C 0 son constantes distintas de cero. Si r es el n´ umero de veces que α + iβ es ra´ız de (an Dn + . . . a0 )y = 0, la soluci´on particular es: yp = (A1 xp + B1 xp−1 + . . . + L1 )xr eαx cos βx +(A2 xp + B2 xp−1 + . . . + L2 )xr eαx sen βx. Esta regla es aplicable a cada uno de los t´erminos que componen f (x). Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: •

(D2 − 4)y = 4x − 3ex

•

(D2 − 4D + 5)y = 2e2x cos x − 5

•

(D2 + 1)y = 2 cos x − 3 cos 2x

•

(D2 + 2D + 5)y = 3e−x sen x

C. Variaci´ on de par´ ametros Aunque fue propuesto s´olo para ecuaciones de segundo orden, este m´etodo es extensible a ecuaciones de orden n; puede aplicarse a ecuaciones con coeficientes constantes o variables y supone conocida la soluci´on homog´enea. Sea as´ı, la ecuaci´on diferencial: a2 (x)¨ y + a1 (x)y˙ + a0 (x)y = f (x),

(3.4)

Si u y v son las soluciones a la ecuaci´on homog´enea, la soluci´on general homog´enea es yc (x) = c1 u(x) + c2 v(x). El m´etodo de variaci´on de par´ametros asume como soluci´on de la ecuaci´on inhomog´enea:

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

103

yp (x) = P (x)u(x) + Q(x)v(x)

(3.5)

donde P (x) y Q(x) son funciones desconocidas de x, a las que se pretende evaluar. Se sigue: ˙ + P u˙ + Qv, y˙ p = P˙ u + Qv ˙ d ˙ ˙ + Pu (P u + Qv) ¨ + Q¨ v + P˙ u˙ + Q˙ v, ˙ dx se sigue, reemplazando y˙ p y y¨p en (3.4): y¨p =

· a2

¸ h i d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ + P u˙ + Qv˙ (P u + Qv) + P u ¨ + Q¨ v + P u˙ + Qv˙ + a1 (P˙ u + Qv) dx +a0 [P u + Qv] = f (x).

que puede escribirse: · a2

¸ d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ (P u + Qv) + P u˙ + Qv˙ +a1 (P˙ u+Qv)+P [a2 u ¨+a1 u+a ˙ 0 u]+Q[a2 v¨+a1 v+a ˙ 0 v] = f (x) dx

Puesto que u y v son soluciones homog´eneas de (3.4), los dos u ´ltimos corchetes se anulan, por lo cual la ecuaci´on anterior se escribe: · ¸ d ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ = f (x) a2 (P u + Qv) + P u˙ + Qv˙ + a1 (P˙ u + Qv) dx Para evaluar P y Q se necesitan dos ecuaciones. Este m´etodo (debido a Legendre) sugiere escoger la condici´on: ˙ =0 P˙ u + Qv de acuerdo a la cual:

(3.6)

a2 [P˙ u˙ + Q˙ v] ˙ = f (x).

(3.7) ˙ ˙ Estas dos ecuaciones, resueltas simult´aneamente, permiten evaluar P y Q: f (x)v(x) f (x)v(x) =− a2 (x)[u(x)v(x) ˙ − v(x)u(x)] ˙ a2 (x)W [u(x), v(x)] f (x)u(x) f (x)u(x) = a2 (x)[u(x)v(x) ˙ − v(x)u(x)] ˙ a2 (x)W [u(x), v(x)]

P˙ (x)

= −

˙ Q(x)

=

De acuerdo con la secci´on 3.12, debido a la independencia lineal de u(x) y v(x), el wronskiano W [u(x0 ), v(x0 )] no se anula en ning´ un punto del dominio de la variable x. Se sigue entonces:

104

3.

yp

= = = =

ECUACIONES DIFERENCIALES

P u + Qv Z Z f (x0 )v(x0 ) f (x0 )u(x0 ) 0 −u(x) dx + v(x) dx0 a2 (x0 )W [u(x0 ), v(x0 )] a2 (x0 )W [u(x0 ), v(x0 )] Z x v(x)u(x0 ) − u(x)v(x0 ) f (x0 ) dx0 a2 (x0 )W [u(x0 ), v(x0 )] Z x G(x, x0 )f (x0 ) dx0

G(x, x0 ) se llama la funci´ on de Green asociada al operador L = a2 D2 +a1 D+a0 : G(x, x0 ) =

v(x)u(x0 ) − u(x)v(x0 ) . a2 (x0 )W [u(x0 ), v(x0 )]

Por substituci´on de (3.8) en la ecuaci´on diferencial (3.4) se sigue que: Z h i ¨ + a1 G˙ + a0 G f (x0 ) dx0 = f (x), a2 G por lo cual G(x, x0 ) satisface la ecuaci´on diferencial: a2

d2 G(x, x0 ) dG(x, x0 ) + a1 + a0 G(x, x0 ) = δ(x − x0 ), 2 dx dx

esto es:

LG(x, x0 ) = δ(x − x0 )

(3.8)

Observemos, en particular, que esta funci´on de Green permite resolver el problema del oscilador arm´onico forzado y amortiguado. N´otese tambi´en que la funci´on de Green est´a asociada al operador L, y no a la forma del t´ermino inhomog´eneo en (3.4). Este tema se retoma en el cap´ıtulo 7. Ejercicio: Sea: y¨ + 4y = tan 2x. Es cierto que las soluciones homog´eneas son u = cos 2x, ,v = sen 2x, tal que la soluci´on inhomog´enea de (3.4) toma : y = P (x) cos 2x + Q(x) sen 2x, ˙ son: entonces, las ecuaciones (3.6) y (3.7), que permiten evaluar P˙ y Q, P˙ cos 2x + Q˙ sen 2x = 0,

−2P˙ sen 2x + 2Q˙ cos 2x = tan 2x

˙ e integrar, se obtiene: al resolver para P˙ y Q, •

P

=

•

Q =

sen 2x 1 − ln(sec 2x + tan 2x) + c1 4 4 cos 2x − + c2 4

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

105

De modo que: 1 y = − cos 2x ln(sec 2x + tan 2x) + c1 cos 2x + c2 sen 2x 4 En este caso: W [u(x), v(x)] = 2

,

G(x, x0 ) =

· ¸ 1 cos 2x sen 2 2x0 sen 2x sen 2x0 − 2 cos 2x0

Problemas: Halle la soluci´ on general de las siguientes ecuaciones diferenciales: •

(D2 − 4)y = 4x − 3ex

•

(D2 + 4D + 4)y = xe2x

•

(D2 + 3D − 4)y = x2 ex

•

(D2 + 2aD + b2 )y = Ce−ax sen cx

•

(D + 3)2 y = (x + 1)ex

•

(D2 + 1)y = 1/cos x

Problemas: Calcule la funci´ on de Green para los siguientes operadores: •

L = D2 + 3

•

D2 + 4D + 4

•

D2 − D − 2

•

(1 − x2 )D2 − 2xD

•

xD2 − (1 + 2x2 )D

•

x2 D2 − 2xD + 2

Problema: Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales verifique que yc es la soluc´ on homog´ enea y halle luego la soluci´ on particular yp . •

x¨ y + y˙ = x + 1, x : (0, ∞), yc = c1 + c2 ln |x|

•

x2 y¨ − 2xy˙ + 2y = x3 ln x, x > 0, yc = c1 x + c2 x2

•

x2 y¨ − xy˙ + y = x(x + 1), yc = x(c1 + c2 ln |x|

•

( sen 4x)¨ y − 4(cos2 2x)y˙ = tan x, yc = c1 + c2 cos 2x

•

x¨ y − (1 + 2x2 )y˙ = x5 ex , yc = c1 + c2 ex

2

2

Problema: Resuelva el problema de valores iniciales para el oscilador arm´ onico forzado y subamortiguado: (D2 + 2aD + b2 )y = sen ωt, y(0) = A, y(0) ˙ =0 donde a, b, ω son constantes reales y a < b. Considere separadamente los casos: 1) a = 0, b = ω. 2)a 6= 0, o b 6= ω.

106

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

El caso n-dimensional El m´etodo de variaci´on de par´ametros puede ser extendido al caso de ecuaciones lineales de orden n. Sea: (an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a0 )y(x) = f (x) y sup´ongase conocida la soluci´on homog´enea: yc (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x) B´ usquese una soluci´on particular en la forma: yc (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + · · · + cn (x)yn (x) Se imponen, como generalizaci´on de (3.6) y (3.7) las siguientes condiciones: c˙1 (x)y1 (x) + · · · + c˙n (x)yn (x) = 0 c˙1 (x)y˙ 1 (x) + · · · + c˙n (x)y˙ n (x) = 0 ··· ··· (n−2) c˙1 (x)y1 (x) + · · · + c˙n (x)yn(n−2) (x) = 0 (n−1)

an [c˙1 (x)y1

(x) + · · · + c˙n (x)yn(n−1) (x)] = f (x)

Este sistema de n ecuaciones para el conjunto {cn } tiene soluci´on si el wronskiano W [y1 (x), · · · , yn (x)] no es nulo, es decir, si el conjunto {yn (x)} es linealmente independiente. Es posible demostrar que ck (x) =

Vk (x)f (x) an (x)W [y1 (x), · · · , yn (x)]

donde Vk representa el determinante obtenido si en el wronskiano se reemplaza la k-esima columna por:           

0



  ..  .     0    1

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

107

Entonces: Z yp (x)

= Z =

y1 (x)V1 (x0 ) + · · · + yn (x)Vn (x0 ) f (x0 ) dx0 an (x0 )W [y1 (x0 ), · · · , yn (x0 )] G(x, x0 )f (x0 ) dx0

donde G(x, x0 ) es la funci´on de Green para el operador L = an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a0 dada por: G(x, x0 ) =

y1 (x)V1 (x0 ) + · · · + yn (x)Vn (x0 ) an (x0 )W [y1 (x0 ), · · · , yn (x0 )]

o, expl´ıcitamente: ¯ ¯ y1 (x0 ) ··· ¯ ¯ y˙ 1 (x0 ) ··· ¯ ¯ · · · ¯ (n−2) ¯ y (x0 ) · · · ¯ 1 ¯ y1 (x) ··· 1 G(x, x0 ) = ¯ 0 0 an (x ) ¯ y1 (x ) ··· ¯ ¯ y˙ 1 (x0 ) ··· ¯ ¯ ··· ¯ (n−2) 0 ¯ y (x ) · · · ¯ 1 ¯ y (n−1) (x0 ) · · · 1

yn (x0 ) y˙ n (x0 ) ··· (n−2) 0 yn (x ) yn (x) yn (x0 ) y˙ n (x0 ) ··· (n−2) 0 (x ) yn (n−1) 0 (x ) yn

Ejercicio: Halle una soluci´on particular de la ecuaci´on ... 3 y + 5¨ y − 2y˙ = f (x) con x : (−∞, ∞). La soluci´on homog´enea es: yc (x) = c1 + c2 e−2x + c3 ex/3 de donde: yp (x) = c1 (x) + c2 (x)e−2x + c3 (x)ex/3 Las funciones c1 (x), c2 (x), c3 (x) satisfacen las condiciones: c˙1 + c˙2 e−2x + c˙3 ex/3 = 0 1 −2c˙2 e−2x + c˙3 ex/3 = 0 3 1 x/3 f (x) −2x 4c˙2 e + c˙3 e = 9 3

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

108

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Se sigue: c˙1 = −f (x)/2, c˙2 = e2x f (x)/4, c˙3 = 3e−x/3 f (x)/7, tal que ¸ Z · 0 0 1 1 3 yp (x) = − + e−2(x−x ) + e(x−x )/3 f (x0 ) dx0 2 14 7 La funci´on de Green del operador L = D3 + 53 D2 − 32 D es: 0 0 3 3 9 G(x, x0 ) = − + e−2(x−x ) + e(x−x )/3 2 14 7

Problemas: Halle la soluci´ on particular de las siguientes ecuaciones diferenciales: •

(D3 − D)y = sen x

•

(D4 − D2 )y = 2xe2x

•

(D4 − 1)y = x2 + 1

•

(D3 − 7D + 6)y = 2 sen x

•

(D3 − 3D2 + 4D − 2)y = ex csc x

•

(D4 − 2D3 + D2 )y = 6ex − 2

El Anexo 3.2 al final del cap´ıtulo ser´ a util aqu´ı. Problemas: Calcule G(x, x0 ) para los siguientes operadores: •

L = D2 (D − 1)

•

L = D(D2 − 4)

•

L = D2 (D2 − 1)

•

L = D4 − 1 5 3 L = D3 − D2 − 2 2 L = D3 − 6D2 + 11D − 6

• •

La funci´ on de Green Se asumen en lo que sigue operadores del tipo: L = a2 (x)D2 + a1 (x)D + a0 Definici´ on: Una funci´on G(x, x0 ) se dice que es una funci´on de Green para problemas de valores iniciales en que intervenga el operador lineal L si y s´olo si G(x, x0 ) posee las siguientes propiedades: a) G(x, x0 ) est´a definida en cada punto del plano (x, x0 ) en el dominio (a, b) en R. 0 n 0 ) ) b) G(x, x0 ), ∂G(x,x ,· · · , ∂ G(x,x , son continuas en cada punto en R. ∂x ∂xn c) Para todo x0 en el dominio, la funci´on Z x G(x, x0 )f (x0 ) dx0 y(x) = x0

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

109

es una soluci´on del problema de valores iniciales Ly = 0, y(x0 ) = y˙ 0 = y n−1 (x0 ) = 0. En particular, en el caso de operadores L con coeficientes constantes es cierto que G(x, x0 ) = y(x − x0 ), donde y(x) es la soluci´on en (−∞, ∞) del problema de valores iniciales Ly = 0, y(0) = y(0) ˙ = · · · = y n−2 (0) = 0, y n−1 (0) = 1

3.1.4.

Segunda soluci´ on

Sup´ongase que la soluci´on y1 de la ecuaci´on diferencial homog´enea: y¨ + P (x)y˙ + Q(x)y = 0

(3.9)

ha sido evaluada por alg´ un m´etodo; obt´engase la segunda soluci´on y2 . Con este prop´osito sea el wronskiano: ¯ ¯ ¯ y1 y2 ¯ ¯ ¯ = y1 y˙ 2 − y2 y˙ 1 y deriv´emoslo con respecto a x : W =¯ y˙ 1 y˙ 2 ¯ ˙ = y˙ 1 y˙ 2 + y1 y¨2 − y˙ 2 y˙ 1 − y2 y¨1 W Reemplazando y¨1 y y¨2 de y¨1 + P y˙ 1 + Qy1 = 0

y

y¨2 + P y˙ 2 + Qy2 = 0 ,

se sigue:

˙ = P (y2 y˙ 1 − y1 y˙ 2 ) = −P W , W dW = −P dx , W

es decir Z x W ln =− P dx W0 a

de donde:

Entonces: W = W0 e−

Rx a

P dx

= y1 y˙ 2 − y˙ 1 y2 = y12

de donde: y2 = W0 y1

Z

x

e−

Rx a

µ

y2 y1

¶

P dx

dx

y12

a

d dx

As´ı pues, la segunda soluci´on se calcula con: Z

x

y2 = Cy1 a

e−

Rx a

P dx

y1 2

dx

(3.10)

Los l´ımites inferiores de ambas integrales pueden desecharse porque dan lugar, nuevamente, a y1 .

110

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Como ejemplo sea la siguiente ecuaci´on diferencial: y¨ + α2 y = 0 Una soluci´on es: y1 = A sen αx La segunda soluci´on ser´a: Z Z Z dx dx y2 ∝ y1 = sen αx = sen αx csc2 x dx y12 sen 2 αx = sen αx(− coth αx) = − cos αx.

3.1.5.

Una transformaci´ on

Puede realizarse una transformaci´on general sobre la ecuaci´on (3.9) que es particularmente u ´til. Sea y = v(x)q(x): reemplazando en (3.9) se obtiene: q¨ v + v(2 ˙ q˙ + P q) + v(¨ q + P q˙ + Qq) = 0

(3.11)

Consid´erense las dos siguientes opciones: 1) Si q es soluci´on a la (3.9), q = y1 (x), entonces: q¨ v + v(2 ˙ q˙ + P q) = 0 cuya soluci´on (h´agase v˙ = u) tiene la forma: Z − R P dx e dx, v = Cy1 (x) y12 en concordancia con (3.10). 2) Si, m´as bien, se impone la condici´on: 2q˙ + P q = 0,

(3.12)

por substituci´on en (3.11): v v¨ + (2Q − P 2 − P˙ ) = 0 2 cuya forma general es: v¨ + R(x)v = 0

(3.13)

As´ı pues, toda ecuaci´on diferencial del tipo (3.9) puede llevarse a la forma (3.13) mediante la substituci´on y = vq, con: 1

q(x) = e− 2

R

P dx

La forma (3.13) es u ´til para obtener soluciones aproximadas, como se ver´a en la siguiente secci´on.

3.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

111

M´ etodo WKB Sup´ongase que la ecuaci´on diferencial (3.9) ha sido llevada a la forma (3.13) y que se busca una soluci´on aproximada. Si el t´ermino R fuese una constante la soluci´on v(x) tendr´ıa la forma: v(x) = v0 e−Rx . Inspirada en esta forma exponencial puede proponerse, para el caso m´as general en que R = R(x), una soluci´on del tipo: v(x) = Ceφ(x)

(3.14)

donde C es una constante. Por substituci´on de (3.14) en (3.13) obtenemos: ´2 ³ ˙ φ(x) + φ¨ + R(x) = 0

(3.15)

Si φ¨ es peque˜ no en comparaci´on con R(x) puede escribirse: ³

´2 ˙ φ(x) + R(x) ≈ 0

cuya soluci´on es: φ(x) ≈ ±i

Z √

R dx

Una primera aproximaci´on a φ¨ resulta ser entonces: iR˙ φ¨ ≈ ± √ 2 R

(3.16)

La condici´on de peque˜ nez de φ¨ respecto a R puede entonces expresarse en la forma: ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ R˙ ¯ ¯ ¨¯ ¯ ¯ (3.17) ¯φ ¯ ≈ ¯ √ ¯ ¿ R 2 ¯ R¯ As´ı pues, la primera aproximaci´on a v(x) toma la forma: v(x) ≈ Ce±i

R √ R dx

¨ ec (3.16) en (3.15) puede conseguirse una segunda aproxPor substituci´on de φ, imaci´on para φ: ³ ´ iR˙ φ˙ 2 ± √ + R ≈ 0, 2 R

112

3.

de donde se sigue:

ECUACIONES DIFERENCIALES

µ ¶1/2 iR φ˙ ≈ ± −R ∓ √ ; 2 R

expandiendo en forma binomial, y teniendo en cuenta la ec(3.17) se sigue: √ φ˙ φ˙ ≈ i R − , 4R de donde: φ ≈ ±i

Z √

R dx + ln R−1/4 ,

tal que la nueva soluci´on aproximada es: v(x) ≈≈

h

1 R1/4

C1 ei

R √ R dx

+ C2 e−i

R √

R dx

i

¯ ¯ ¯ ¯ Esta es la soluci´on a la ec(3.13) si ¯φ¨¯ ¿ R. La soluci´on falla si R var´ıa r´apidamente o si R pasa por el valor cero. El caso t´ıpico de esta ecuaci´on, cuyo m´etodo de soluci´on es conocido como WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin), es el de la ecuaci´on unidimensional de Schr¨odinger, independiente del tiempo: −

~2 ¨ ψ + (V − E)ψ = 0 2m

cuya soluci´on aproximada es: ψ≈

i R √ R √ i i 1 h 2m(E−V ) dx 2m(E−V ) dx C1 e ~ + C2 e − ~ V −E

(3.18)

si se cumple (3.17), que toma la forma: d 2√ (E − V ) ¿ 2m(V − E)3/2 , dx ~

´o:

d(E − V ) 2p ¿ 2m(E − V ) dx (E − V ) ~ Puesto que elp radical en el exponencial de (3.18) puede interpretarse como el n´ umero de onda k = 2m(E − V ) puede escribirse: d(E − V ) 2 ¿ k dx (E − V ) ~

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

113

de modo que, con k = 2π/λ : d(E − V ) dx ¿ , (E − V ) λ esto es, el cambio fraccional en E − V debe ser peque˜ no respecto a la facci´on dx/λ. Esto significa que dx debe ser grande en comparaci´on con λ, o que la variaci´on fraccional de E − V en una longitud de onda debe ser peque˜ na. M´as informaci´on puede encontrarse en las p´aginas 104 y ss. del texto de D. Park citado en la bibliograf´ıa.

3.2.

Ecuaciones diferenciales parciales

Una gran cantidad de situaciones f´ısicas puede ser descrita utilizando ecuaciones diferenciales que incluyen funciones de dos o m´as variables. Se conocen como ecuaciones diferenciales parciales pues incluyen derivadas respecto a cada una de las variables. Ll´amase ecuaci´on diferencial parcial de segundo orden en las variables independientes x y y, a una relaci´on entre la funci´on inc´ognita u(x, y) y sus derivadas parciales hasta el segundo orden: F (x, y, ux , uy , uxx , uxy , uyy ) = 0 Y an´alogamente para un n´ umero mayor de variables independientes. Una ecuaci´on diferencial parcial es lineal respecto a la derivada de segundo orden si tiene la forma: Auxx + Buxy + Cuyy + F1 (x, y, u, ux , uy ) = 0 donde A, B, C son, en general, funciones de x y y. La ecuaci´on ser´a lineal si lo es respecto a la funci´on u y a sus primeras y segundas derivadas: Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F u = G donde A, B, C, D, E, F, G son, en general, funciones de x y y. La ecuaci´on es homog´enea si G = 0.

3.2.1.

Clasificaci´ on de las EDP

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) pueden ser reducidas a formas m´as simples con un doble prop´osito. El primero es lograr una clasificaci´on de las EDP relacionada con las condiciones de frontera. El segundo es permitir la aplicaci´on de la t´ecnica de separaci´on de variables. Antes de entrar en el problema de la reducci´on de las EDP conviene estudiar el correspondiente problema algebraico: reducci´on de las c´onicas a su forma can´onica.

114

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

A. C´ onicas La expresi´on: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 describe una c´onica, como puede comprobarse si se realiza una rotaci´on de coordenadas que elimine el t´ermino cruzado xy. Tal procedimiento alinea los ejes coordenados con los ejes de simetr´ıa de las c´onicas. Bajo la rotaci´on: x = x0 cos θ − y 0 sen θ, y = y 0 cos θ + x0 sen θ, la ecuaci´on de las c´onicas toma la forma A0 x02 + B 0 x0 y 0 + C 0 y 02 + D0 x0 + E 0 y 0 + F = 0, donde: A0 B0

= =

Acos2 θ + C sen 2 θ + B sen θ cos θ (C − A) sen 2θ + B cos 2θ

C0 D0 E0

= = =

A sen 2 θ + Ccos2 θ − B sen θ cos θ D cos θ + E sen θ −D sen θ + E cos θ.

El t´ermino x0 y 0 puede eliminarse si se hace B 0 = 0, esto es si tan 2θ = B/(A − C) De este modo la ecuaci´on diagonalizada es: A0 x02 + Cy 02 + D0 x0 + E 0 y 0 + F 0 = 0

(3.19)

Si A0 6= 0 y C 0 6= 0 esta ecuaci´on es, equivalentemente: A0 (x0 + D0 /2A0 )2 + C 0 (y 0 + E 0 /2C 0 )2 + F 0 = 0, donde : F 0 = F − D02 /4A0 − E 02 /4C 0 . Se obtienen as´ı elipses e hip´erbolas, cuyas formas can´onicas son: A0 (x0 − x00 )2 + C 0 (y 0 − y00 )2 + F 0 = 0 Elipses corresponden a A0 C 0 > 0, e hip´erbolas a A0 C 0 < 0. El caso de par´abolas, correspondiente a A0 C 0 = 0, ha de estudiarse partiendo de la ecuaci´on diagonalizada y sin factorizar (3.19).

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

115

B. Ecuaciones diferenciales Consid´erense ecuaciones diferenciales en dos variables, con coeficientes constantes, del tipo: Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F u = G(x, y)

(3.20)

donde: u = u(x, y). Bajo la rotaci´on de coordenadas: x0 = x cos θ + y sen θ, y 0 = −x sen θ + y cos θ se obtiene: ∂u ∂x ∂2u ∂x2 ∂u ∂y ∂2u ∂y 2 ∂2u ∂x∂y

=

∂u ∂x0 ∂u ∂y 0 + 0 = u0x cos θ − u0y sen θ = ux 0 ∂x ∂x ∂y ∂x

=

u0xx cos2 θ − 2u0xy sen θ cos θ + u0yy sen 2 θ = uxx

=

u0x sen θ + u0y cos θ = uy

=

u0xx sen 2 θ + 2u0xy sen θ cos θ + u0yy cos2 θ = uyy

=

u0xx sen θ cos θ + u0xy (cos2 θ − sen 2 θ) − u0yy sen θ cos θ = uxy

Reemplazando en (3.20) y factorizando: [A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen 2 θ]u0xx + [(C − A) sen 2θ + B cos 2θ]u0xy +[A sen 2 θ − B sen θ cos θ + C cos2 θ]u0yy + [D cos θ + E sen θ]u0x ] +[−D sen θ + E cos θ]u0y + F u0 = G0 ] ´o:

A0 u0xx + B 0 u0xy + C 0 u0yy + D0 u0x + E 0 u0y + F u0 = G0

En el nuevo sistema de coordenadas el t´ermino mixto u0xy desaparece si B 0 = 0, es decir si: tan 2θ =

B A−C

(3.21)

y la ecuaci´on diferencial es: A0 u0xx + C 0 u0yy + D0 u0x + E 0 u0y + F u0 = G0 En los coeficientes A0 , C 0 , D0 , E 0 el ´angulo θ est´a dado por la ec (3.21). La ecuaci´on (3.22), puede factorizarse as´ı: · ¸ · ¸ E 0 u0y D0 0 0 0 0 0 + F u0 = G0 , A uxx + 0 ux + C uyy + A C0

(3.22)

116

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

con A0 6= 0 y C 0 6= 0. Tambi´en: · ¸2 · ¸2 D0 E0 0 0 0 A0 Dx0 + u + C D + u0 + F 0 u0 − G0 = 0 y 2A0 2C 0 con:

2

∂ , ∂x0

Dx0 ≡

Dy 0 ≡

(3.23)

2

∂ D0 E0 ,F0 = F − − 0 0 ∂y 4A 4C 0

La ecuaci´on (3.23) se asemeja a c´onicas pues su forma gen´erica es: A0 (x − x0 )2 + C 0 (y − y0 )2 + F = 0 As´ı pues, se dice que la ecuaci´on (3.22) es de tipo el´ıptico si A0 C 0 > 0, hiperb´ olico si A0 C 0 < 0 y parab´ olico si A0 C 0 = 0 ( en el u ´ltimo caso el an´alisis se hace partiendo de la ecuaci´on (3.22) para evitar los infinitos que aparecen en (3.23)). Si C 0 = 0 el tipo parab´olico toma la forma: ·

D0 A Dx0 + 2A0

¸2

0

u0 + E 0 uy + F 00 u − G0 = 0

Ahora bien, conviene expresar las condiciones A0 C 0 > 0, A0 C 0 < 0, A0 C 0 = 0 en forma tal que aparezcan directamente los coeficientes A, B, C . . . de la ecuaci´on original (3.20). Teniendo en cuenta que: A0

A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen 2 θ 1 [A(1 + cos 2θ) + B sen 2θ + C(1 − cos 2θ)] 2 A sen 2 θ − B sen θ cos θ + C cos2 θ 1 [A(1 − cos 2θ) − B sen 2θ + C(1 + cos 2θ)] 2

= =

C0

= =

y que de tan 2θ = B/(A − C) se sigue: B

sen 2θ = p

(A −

C)2

+

B2

,

A−C cos 2θ = p (A − C)2 + B 2

puede escribirse: A0

=

C0

=

i p 1h (A + C) + (A − C)2 + B 2 2 i p 1h (A + C) − (A − C)2 + B 2 2

(3.24)

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

117

de donde: A0 C 0 = [4AC − B 2 ]/4 Se sigue que: A0 C 0 A0 C 0 A0 C 0

>0 0 0 B 2 = 4AC.

La ecuaci´on (3.22) puede particularizarse a formas bidimensionales de ecuaciones bastante conocidas: • Ecuaci´on de Poisson, si A0 = C 0 = 1, D0 = E 0 = F = 0 • Ecuaci´on de Laplace, si adem´as de lo anterior G0 = O • Ecuaci´on de difusi´on, si A0 = 1, E 0 = −K, C 0 = D0 = F = G0 = 0 y si, adem´as, y representa el tiempo. • Ecuaci´on de ondas con fuentes, si A0 = 1, C 0 = −1/v 2 , D0 = E 0 = F = O y si y representa el tiempo. Las ecuaciones de Laplace y Poisson en 2D son el´ıpticas, la de ondas es hiperb´olica y la de difusi´on es parab´olica. Esta clasificaci´on apunta hacia la conexi´on entre ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera. Enlazando lo dicho aqu´ı con las conclusiones del cap´ıtulo 2, y generalizando, puede decirse: • Las ecuaciones el´ıpticas satisfacen condiciones de frontera de Dirichlet o Newmann o mixtas. • Las ecuaciones hiperb´olicas satisfacen condiciones de Cauchy. • Las ecuaciones parab´olicas satisfacen condiciones del tipo de la ecuaci´on del calor. La anterior clasificaci´on de ecuaciones diferenciales parciales es v´alida a´ un si los coeficientes A, B, C . . . son funciones de x y y. Esto implica que la clasificaci´on es v´alida localmente; as´ı, la misma ecuaci´on puede ser de diferentes tipos en diferentes puntos, como lo veremos en uno de los ejemplos que siguen. La clasificaci´on es adem´as invariante en cada punto bajo transformaci´on de coordenadas. Este tema, extendido a 3D, se encuentra en el Anexo 1, al final del cap´ıtulo.

118

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejemplos: • • • • • •

uxx + uyy + 3uxy = 0 es hiperb´olica uxx + uyy + uxy = 0 es el´ıptica uxx + uyy + 2uxy = 0 es parab´olica uxx − uyy = 0 es hiperb´olica, con B 2 − 4AC = 4 uxx + uyy + u = xy es el´ıptica, con B 2 − 4AC = −4 uxx + ux − uy + u = 0 es parab´olica, con B 2 − 4AC = 0

•

uxx + xuyy = 0 es el´ıptica para x > 0 e hiperb´olica para x < 0.

Problemas: Estudie los dominios en los que las siguientes ecuaciones diferenciales son el´ıpticas, parab´ olicas o hiperb´ olicas: •

(x − l)uxx + 2xyuxy − y 2 uyy = 0,

•

4y 2 uxx − e2x uyy − 4y 2 ux = 0

•

x2 uxx + 2xyuxy + y 2 uyy = 0

•

xuxx + yuyy = 0

•

x2 uxx + y 2 uyy = 0

•

x2 uxx − y 2 uyy = 0

l>0

Problema: La ecuaci´ on diferencial uxx + uyy + auxy = 0 puede ser solucionada por separaci´ on de variables si se realiza una rotaci´ on coordenada que elimine el t´ ermino cruzado. Calcule el ´ angulo θ que ha de ser rotado el sistema de coordenadas, resuelva la ecuaci´ on diferencial rotada y exprese la soluci´ on en el sistema coordenado original. Compruebe que las condiciones de frontera que han de imponerse dependen del valor de a.

3.2.2.

Ecuaciones homog´ eneas

En el caso de ecuaciones diferenciales parciales homog´eneas con coeficientes constantes y por comparaci´on con la ecuaci´on diferencial ordinaria puede sospecharse la existencia de soluciones exponenciales para la ecuaci´on: Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F u = 0 donde: ux ≡ ∂u/∂x etc, y A, B . . . constantes. Sea as´ı: u = cemx+ny ∴

Am2 + Bmn + Cn2 + Dm + En + F = 0

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

119

Ejemplo: uxx − uyy − 2ux + u = 0 Soluci´on: con (m − 1)2 = n2 : h i u = emx c1 e(m−1)y + c2 e−(m−1) y Ejemplo: Es f´acil concluir que la ecuaci´on uxx − tiene como soluci´on

1 utt = 0 v2

£ ¤ u = emx c1 emvt + c2 e−mvt

Esta soluci´on describe ondas viajeras si m = ik, siendo k un n´ umero real.

3.2.3.

Separaci´ on de variables

Introducci´ on La propuesta de separar variables en una ecuaci´on diferencial parcial comienza por asumir una soluci´on que es un producto de funciones de cada una de las variables: u(x, y) = A(x)B(y) Este m´etodo no es de validez general y s´olo cabe ensayarlo en ecuaciones lineales y homog´eneas. Es aplicable a ecuaciones de diversos tipos como se detalla al comienzo de la secci´on 3.3. Por ahora, se restringe a coordenadas cartesianas Ejemplo: uxx − uy = 0 Sea: u = A(x)B(y) de donde:

1 d2 A 1 dB = A dx2 B dy

Si x var´ıa mientras y permanece fijo, el t´ermino de la derecha es constante, por tanto tambi´en el de la izquierda; as´ı, una primera soluci´ on para valores reales y positivos de α es: 1 d2 A = α2 A dx2

y

1 dB = α2 B dy

de modo que: A ∝ e±αx ,

B ∝ eα

2

y

(3.25)

120

3.

Por tanto:

ECUACIONES DIFERENCIALES

¡ ¢ 2 u = c1 eαx + c2 e−αx eα y

(3.26)

α2 se conoce como constante de separaci´ on. Como α es real (positivo o negativo), la parte en x de la soluci´on es real y el exponencial en y es creciente. En vez de (3.25) puede escribirse (con β real) 1 d2 A = −β 2 A dx2

y

1 dB = −β 2 B dy

por lo cual es posible una segunda soluci´ on donde la parte en x es compleja mientras aquella en y es exponencial decreciente. Con β > 0 la soluci´on es: ¡ ¢ 2 u = d1 eiβx + d2 e−iβx e−β y

(3.27)

[Las soluciones (3.26) y (3.27) provienen, de un modo equivalente, de tomar en (3.25): α = a + ib con a y b reales. Si b = 0 se obtiene (3.26) y si a = 0 se obtiene (3.27).] Una tercera soluci´ on corresponde a α = 0 en (3.25), de donde u = ax + b. De acuerdo a la teor´ıa general de ecuaciones diferenciales, la soluci´on general ha de expresarse como combinaci´on lineal de las anteriores soluciones. As´ı pues, con α > 0 y β > 0: ¡ ¢ 2 ¡ ¢ 2 u = c1 eαx + c2 e−αx eα y + d1 eiβx + d2 e−iβx e−β y + ax + b En principio la soluci´on (3.26) es v´alida para todos los valores reales de α. Por tanto la soluci´on general es una combinaci´on lineal (en este caso una integral, pues α es real ) de la forma: Z ∞ 2 u(x) = c(α)eαx+α y dα, −∞

o, equivalentemente (n´otense los l´ımites de la integral): Z ∞ £ ¤ 2 u(x) = c(α)eαx + d(α)e−αx eα y dα,

(3.28)

0

La equivalencia entre esta ecuaci´on y (3.28) puede demostrarse expresando la integral entre −∞ e ∞ como la suma de dos integrales, una entre −∞ y 0 y otra entre 0 e ∞. Si en la primera se cambia x por −x se obtiene (3.28) De igual manera, la ecuaci´on (3.27) es v´alida para todos los valores reales de β, por lo cual: Z ∞ ¤ £ 2 (3.29) a(β)eiβx + b(β)e−iβx e−β y dβ u(x) = 0

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

121

La soluci´on general a la ecuaci´on uxx − uy = 0 toma entonces la forma: Z

∞

u(x, y) = Z0 ∞ +

£ ¤ 2 c(α)eαx + d(α)e−αx eα y dα £ ¤ 2 a(β)eiβx + b(β)e−iβx e−β y dβ + ax + b

(3.30)

0

Como ser´a expl´ıcito en los ejemplos de la secci´on 3.3 es frecuente que α (o β) tomen valores proporcionales a un entero; en tal caso las integrales en (3.30) se convierten en una suma. Las ecuaciones (3.26) y (3.27) son utilizables sumando sobre el ´ındice entero n. Problemas: Resuelva las siguientes ecuaciones: •

•

uxx − 2ux + uy = 0 ux uxx + uyy − 2 = 0 a uxx − y 2 uyy − yuy = 0

•

•

uxy = 0

•

uxx − uxy + uyy = 2x

•

uxx − uyy − uy = 0

•

y 2 uyy − x2 uxx = 0

Teor´ıa general cartesiana La forma m´as general de una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden, homog´enea, en coordenadas cartesianas, tiene la forma: A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + D(x, y)ux + E(x, y)uy + F (x, y)u = 0 La propuesta de separaci´on de variables dice que: u(x, y) = X(x)Y (y). Reemplazando y dividiendo por XY se sigue, despu´es de agrupar: Ã ! Ã ! Ã ! ¨ DX˙ E Y˙ AX B X˙ Y˙ C Y¨ + + +F =0 + + X X XY Y Y ˙ dY /dy = Y˙ , etc. Se han expresado mediante puntos las derivadas: dX/dx = X, Esta ecuaci´on es separable, es decir cada uno de los par´entesis es funci´on s´olo de x ´o de y si: • El primer par´entesis es funci´on s´olo de x, lo que se logra si A = A(x) y D = D(x); • Si B = 0; es decir, si no hay t´erminos cruzados uxy . Esto puede lograrse diagonalizando la ecuaci´on diferencial.

122

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

• Si el tercer par´entesis es funci´on s´olo de y, es decir si C = C(y) y E = E(y); • Si F = F (x) ´o F = F (y) ´o F = constante. As´ı pues, en el caso en que F = F (x), (incluyendo valor constante), y si se cumplen las anteriores condiciones: ¨ A(x)X D(x)X˙ + + F (x) = ±α2 X X E(y)Y˙ C(y)Y¨ + = ∓α2 , y B = 0 Y Y

(3.31) (3.32)

´o si F = F (y), (o constante): ¨ A(x)X D(x)X˙ + = ±α2 , X X E(y)Y˙ C(y)Y¨ + + F (y) = ∓α2 , y B = 0 Y Y Se supone α real y positivo y dos signos posibles ±α. Los signos alternados ± significan que si en la ecuaci´on en x se toma el +, en y se tomar´a el −, y rec´ıprocamente. Es cierto que, por diagonalizaci´on, siempre puede lograrse que B desaparezca. La soluci´on que se ha propuesto es en principio v´alida para todo valor de α2 real (por ello se han introducido los signos ±, aunque pudo haberse considerado α real o imaginario puro, y entonces hubiera bastado con +α2 ). La soluci´on con α = 0 debe ser tomada en cuenta como soluci´on independiente. Es claro que la separaci´ on de variables s´ olo puede realizarse si la ecuaci´ on diferencial es homog´enea; aunque puede aplicarse a ecuaciones inhomog´eneas que sean reducibles a homog´eneas. As´ı pues, toda ecuaci´on diferencial en dos variables, homogenizable, puede ser escrita, mediante una previa diagonalizaci´on, en una forma que no contiene uxy , y es separable si tiene la forma: A(x)uxx + C(y)uyy + D(x)ux + E(y)uy + F u = 0, donde F es una funci´on s´olo de x o s´olo de y. Si F = F (x) las ecuaciones diferenciales ordinarias originadas por la separaci´on de variables son, de acuerdo con (3.31) y (3.32) : ¨ + D(x)X˙ + F (x)X ∓ α2 X = 0 y A(x)X C(y)Y¨ + E(y)Y˙ ± α2 Y = 0

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

123

Dado que X y Y dependen tambi´en del par´ametro α, la soluci´on para u habr´a de escribirse en la forma: u(x, y) = X(x, α)Y (y, α), La soluci´on propuesta es v´alida para todo α real: de acuerdo a la teor´ıa de ecuaciones diferenciales la soluci´on general ser´a la combinaci´on lineal de las soluciones para cada α, y deber´a involucrar una integral sobre α; as´ı pues, la soluci´on general es: Z ∞ X(x, α)Y (y, α) dα u(x, y) = (3.33) 0

Los l´ımites de integraci´on que hemos escogido aqu´ı son convencionales y pueden extenderse de −∞ a +∞. En los casos en los que las condiciones de frontera exijan que α sea proporcional a un entero, la ecuaci´on (3.33) ha de escribirse: X X(x, n)Y (y, n) u(x, y) = (3.34) n

En la aplicaci´on de la t´ecnica de separaci´on de variables a problemas f´ısicos resulta equivalente utilizar la soluci´on: Z ∞ u(x, y) = X(x, α)Y (y, α) , ´o u(x, y) = X(x, α)Y (y, α) dα, 0

con una restricci´on simple: cuando el problema f´ısico no ponga exigencias sobre α, la soluci´on deber´a en el primer caso implicar una integral sobre α, o si el problema exige que α sea proporcional a un entero n, deber´a haber una suma sobre n. Esto est´a dicho ya en la forma integral de la soluci´on, la que, adem´as se transforma en una suma si α es proporcional a un entero. En las secciones 3.3.1 y 3.3.2 se implementan estas ideas a la soluci´on de ecuaciones en 2D y coordenadas cartesianas. En el cap´ıtulo 4 veremos que en el caso de ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes constantes este m´etodo equivale a la aplicaci´on de la t´ecnica de Fourier. En las secciones 3.3.3 y 3.3.4 el m´etodo de separaci´on de variables se har´a extensivo a la ecuaci´on de Laplace en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, y en la secci´on 3.4 se aplican a la ecuaci´on de ondas unidimensional. Generalizando, puede decirse que la soluci´on a una ecuaci´on diferencial lineal para φ(ui ), separable, en coordenadas curvil´ıneas ui es de la forma: φ(u1 , u2 , u3 ) = A(u1 )B(u2 )C(u3 ). Es importante anotar que el m´etodo de separaci´on de variables separa las variables en un solo paso solo en coordenadas cartesianas. En otros sistemas de coordenadas, como ser´a claro en las secciones que siguen, la separaci´on se hace paso a paso.

124

3.3.

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Separaci´ on de la ecuaci´ on de Laplace

Se vuelve en esta secci´on sobre temas propuestos en la secci´on 3.2.3. S´olo en 11 sistemas de coordenadas, entre los muchos posibles, la ecuaci´on de ondas y la ecuaci´on de Schr¨odinger son separables (en esta u ´ltima la separabilidad s´olo ocurre para ciertas formas del potencial): cartesianas, cil´ındricas, esf´ericas, cil´ındricas el´ıpticas, parab´olicas, parab´olicas cil´ındricas, paraboloidales, esferoidales oblatas, esferoidales prolatas, c´onicas, elipsoidales. La ecuaci´on de Laplace en dos dimensiones es separable en cualquier sistema de coordenadas que sea una transformaci´on conforme del cartesiano (v´ease Churchill. R. V. cap 8 y Morse and Feshbach, secc 5.1), y en tres dimensiones es separable en los 11 sistemas anteriores. En lo que sigue se realiza la separaci´on de variables en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas; las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, asociadas a las variables radiales ρ y r, para los dos u ´ltimos sistemas coordenados, ser´an resueltas en el cap´ıtulo 8.

3.3.1.

Coordenadas cartesianas en 2D

La ecuaci´on uxx + uyy = 0 es de tipo el´ıptico pues B 2 − 4AC = −4. En consecuencia debe proveerse el valor de la funci´on u (o de su derivada normal) sobre la superficie. Por separaci´on de variables: u(x, y) = A(x)B(y): d2 A d2 B B + A =0 dx2 dy 2 ∴

1 d2 A = −α2 A dx2

y

´o:

1 d2 A 1 d2 B + =0 A dx2 B dy 2

1 d2 B = +α2 entonces, con α > 0 : B dy 2

u(x, y) = (c1 eiαx + c2 e−iαx )(c3 eαy + c4 e−αy )

(3.35)

En vez de exponenciales pueden, equivalentemente, utilizarse funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas, con lo cual: u(x, y) = (d1 cos αx + d2 sen αx)(d3 cosh αx + d4 senh αx)

(3.36)

En principio, la ecuaci´on de Laplace es satisfecha por esta soluci´on para todos los valores de α positivos (escrita en la forma dada arriba la soluci´on produce redundancias si α toma valores positivos y negativos). As´ı pues, y de acuerdo a la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales, la combinaci´on lineal de las soluciones (hay una para cada α) es la soluci´on general. Es obvio que puesto que α es continuo la combinaci´ on lineal es una integral sobre α. As´ı pues, puesto que α > 0, puede escribirse:

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

Z u(x, y) =

∞

125

[A(α)eiαx + B(α)e−iαx ][C(α)eαy + D(α)e−αy ] dα

(3.37)

0

Puede probarse f´acilmente que dos formas equivalentes donde α toma valores positivos y negativos son: Z

∞

[A(α)eαy + B(α)e−αy ]eiαx dα

u(x, y) = −∞ Z ∞

=

[A(α)eiαx + B(α)e−iαx ]eαy dα

−∞

Ejercicio: Sea ahora la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace en el dominio 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ ∞, con condiciones de frontera de Dirichlet: u(0, y) = 0 ,

u(L, y) = 0 ,

u(x, 0) = f (x)

u(x, ∞) → 0 :

• Si u → 0 para y → ∞ se tiene en (3.37): C(α) = 0. As´ı, con A(α)D(α) = A0 (α) y B(α)D(α) = B 0 (α) Z

∞

∴u=

[A(α)eiαx + B(α)e−iαx ]e−αy dα

0

• Con u(0, y) = 0 se sigue: B 0 (α) = −A0 (α), por tanto, con E(α) = 2iA0 (α) : Z ∴

∞

u=

E(α) sen αx e−αy dα

0

• Con u(L, y) = 0 se consigue: Z

∞

0=

E(α) sen αL e−αy dα

0

esto es: sen αL = 0, de donde: αL = nπ

´o:

α=

nπ , L

n = 1, 2, 3, . . .

As´ı pues, no todos los valores de α est´an permitidos, sino solo aquellos que satisfagan la condici´on anterior, lo que implica que la integral ha de reducirse

126

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

P∞ una sumatoria en n. Esto se consigue con: E(α) = n=1 cn δ(α − nπ/L), por lo cual: Z ∞ Z ∞ X u(x, y) = E(α) sen αx e−αy dα = cn δ(α − nπ/L) sen αx e−αy dα 0

=

n=1

∞ X

cn sen

³ nπx ´ L

n=1

e−nπy/L

Los valores de n negativos est´an excluidos pues dan lugar a exponenciales positivas en y que dejan de cumplir la condici´on u → 0 en y → ∞. • Finalmente:

u(x, 0) = f (x) =

∞ X

cn sen

n=1

³ nπx ´ L

(3.38)

Para despejar cn hay que deshacer la sumatoria, lo se logra generando dentro de ella una delta de Kronecker. Esto puede hacerse aqu´ı utilizando la ortogonalidad de la base de senos, que describiremos en el cap´ıtulo siguiente y que tiene la forma: µ 0 ¶ Z L ³ nπx ´ n πx L sen sen dx = δnn0 (3.39) L L 2 0 ³ As´ı, multiplicando (3.38) por sen Z

µ

L

f (x) sen 0

De modo que: cn =

2 L

RL 0

n0 πx L

n0 πx L

´ e integrando en x de 0 a L:

¶

f (x0 ) sen

dx = ³

nπx0 L

´

∞ LX L cn δnn0 = cn0 2 n=1 2

dx0 , y por tanto:

"Z # µ ¶ ∞ L ³ nπx ´ 0 nπy 2 X nπx u(x, y) = f (x0 ) sen dx0 e− L sen L n=1 0 L L Este resultado puede obtenerse tambi´en con (3.35), reconociendo que αL = nπ exige una suma sobre n. Con lo anterior queda verificado en este caso particular que las condiciones de frontera propuestas son suficientes para garantizar la unicidad de la soluci´on.

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

127

Ahora bien, otra soluci´ on general a la ecuaci´on de Laplace bidimensional corresponde a: 1 d2 A 1 d2 B = β2 y = −β 2 2 A dx B dy 2 de donde se sigue: u(x, y) = (c1 eβx + c2 e−βx )(c3 eiβy + c4 e−iβy ). Teniendo en cuenta que la soluci´on ha de ser v´alida para todos los valores positivos de β puede escribirse: Z ∞ u(x, y) = [A(β)eβx + B(β)e−βx ][C(β)eiβy + D(β)e−iβy ] dβ 0

´o:

Z

∞

u(x, y) =

[A(β)eiβy + B(β)e−iβy ]eβx dβ,

−∞

´o:

Z

∞

u(x, y) =

[A(β)eβx + B(β)e−βx ]eiβy dβ

−∞

Esta nueva soluci´on, como puede probarse, no satisface las condiciones de frontera espec´ıficas propuestas en el ejercicio anterior, y tampoco la soluci´on obtenida de la separaci´on de variables con α = 0: u = (ax + b)(cy + d) Finalmente, obs´ervese que la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace 2-D, con coeficientes constantes, puede obtenerse en forma directa haciendo: u = eβx+αy Al reemplazar en la ecuaci´on de Laplace 2-D se sigue que: α = ±iβ o β = ±iα, de donde la soluci´on general es la siguiente combinaci´on lineal de exponenciales: u(x, y) = Aeα(x+iy) + Beα(x−iy) + Ceβ(ix+y) + Deβ(−ix+y) En esta ecuaci´on α y β pueden ser mayores o menores que cero. Problemas: 1. Encuentre la soluci´ on a la ecuaci´ on de Laplace bidimensional en la regi´ on: 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b y con las condiciones de frontera: u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = V (x).

128

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

2. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. uxx + uyy − 2uy + u = 0 con: u(0, y) = u(L, y) = 0, u(x, 0) = f (x), u(x, L) = 0 b. uxx + ux − uy + u = 0 con: u(0, y) = u(L, y) = 0, u(x, 0) = f (x). Obs´ ervese, de acuerdo a los teoremas de unicidad, que el tipo de condiciones de frontera propuesto es el correcto.

Una generalizaci´ on: El problema anterior puede ser generalizado para incluir potenciales u(x, y) diferentes de cero en las cuatro fronteras. En este caso la soluci´on se obtiene f´acilmente si se considera un potencial formado por la suma de cuatro potenciales, cada uno de los cuales responde por una de las fronteras. As´ı pues: u = u1 + u2 + u3 + u4 . Obtenga u si:

• • • •

u1 = 0 en x = 0, a , y = b y u1 = V1 en y = 0 u2 = 0 en x = 0, a, y = 0 y u2 = V2 en y = b u3 = 0 en x = a, y = 0, b y u3 = V3 en x = 0 u4 = 0 en x = 0, y = 0, b y u4 = V4 en x = a.

Ejercicio: Est´ udiese ahora un caso en el que las condiciones de frontera no restringen α a ser proporcional a un entero. Soluci´on a la ecuaci´on de Laplace bidimensional para −∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ b, con u(x, 0) = 0, u(x, b) = V (x) y u −→ 0 para x −→ ±∞ : Partiendo de la ecuaci´on (3.37) y con u(x, 0) = 0 se sigue que: D(α) = −C(α); as´ı pues: Z ∞ u(x, y) = 2 C(α)eiαx senh αy dα; −∞

y puesto que u(x, b) = V (x) se tiene: Z

∞

V (x) = 2

C(α)eiαx senh αb dα,

−∞ 0

multiplicando por e−iα x dx e integrando entre −∞ e ∞ se sigue: Z

∞

Z 0

V (x)e−iα x dx

∞

= 2

−∞

Z

−∞ ∞

= 2

·Z C 0 (α)

∞

¸ 0 ei(α−α )x dx senh αb dα

−∞ 0

C (α) [2πδ(α − α0 )] senh αb dα

−∞

= 4πC 0 (α0 ) senh α0 b

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

129

Con ligeros cambios en notaci´on C 0 (α) se escribe: 1 4π senh αb

C 0 (α) =

Z

∞

0

V (x0 )e−iαx dx0 ,

−∞

de modo que u(x, y) =

1 2π

Z

∞

Z

−∞

∞

0

V (x0 )eiα(x−x )

−∞

senh αy dαdx. senh αb

Finalmente, la condici´on u −→ 0 en x −→ ±∞ queda garantizada por el lema queR enunciamos a continuaci´on, v´alido para funciones V (x) tales que la ∞ integral −∞ V (x)dx tiene un valor finito. Lema de Riemann-Lebesgue Una funci´on f (α) es absolutamente integrable si: Z

b

|f (α)| dα = f inito; a

en tal caso es cierto que: Z l´ım

x−→±∞

b

eiαx f (α) dα = 0

a

Problema: Encuentre la soluci´ on a la ecuaci´ on de Laplace bidimensional, para 0 ≤ x < ∞, 0 ≤ y ≤ b, con las siguientes condiciones de frontera: u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = V (x) y u −→ 0 para x −→ ∞. Utilice la ecuaci´ on (3.37).

Nota: Es importante observar que en los casos donde el problema est´a restringido a una regi´on finita (por ejemplo 0 ≤ x ≤ a) con u = 0 sobre las fronteras, se obtienen valores de α proporcionales a un entero n con una soluci´on un para cada n; en este caso la soluci´on general corresponde a una sumatoria sobre n. En contraste, en los casos donde el intervalo es infinito o semi-infinito, con u = 0 en los extremos, no hay restricci´on sobre α, tal que este par´ametro puede adoptar todos los valores reales, haciendo que la soluci´on general se exprese como una integral sobre α.

130

3.3.2.

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Coordenadas cartesianas en 3-D

Como ejemplo sea la ecuaci´on uxx + uyy + uz = 0 La separaci´on de variables tiene ahora la forma u(x, y, z) = A(x)B(y)C(z) tal que reemplazando y dividiendo por ABC: ¨ A¨ B C¨ + + =0 A B C Esta ecuaci´on es la suma de tres t´erminos, cada uno de los cuales depende de una sola variable, en consecuencia: ¨ A¨ B C¨ = α2 , = β2, = −α2 − β 2 A B C pero tambi´en:

¨ A¨ B C¨ = −γ 2 , = δ2, = γ 2 − δ2 A B C

otra opci´on es:

¨ A¨ B C¨ = 0, = ²2 , = −²2 , A B C siendo estas ´s´olo algunas de las formas posibles. Con cada una de ellas se forma P un producto ABC, de modo que, por ejemplo u1 = A1 B1 C1 ; en general u = ui . Observemos que para ecuaciones en 2D hay un solo par´ametro de separaci´on de variables, para 3D hay dos. Problema: Escriba la soluci´ on m´ as general de la ecuaci´ on de Laplace tridimensional en coordenadas cartesianas.

3.3.3.

Coordenadas cil´ındricas

En coordenadas cil´ındricas la ecuaci´on de Laplace se escribe: µ ¶ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ ∂2φ ρ + 2 + 2 =0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z con la separaci´on de variables φ = R(ρ)G(ϕ)Z(z) se obtiene, despu´es de reemplazar y dividir por RGZ/ρ2 : µ ¶ ρ d dR 1 d2 G ρ2 d2 Z ρ + + =0 R dρ dρ G dϕ2 Z dz 2

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

131

El sumando central de la anterior ecuaci´on depende s´olo de ϕ, aunque los dos restantes mezclan ρ y z. Ha de ser cierto entonces que: 1 d2 G = −ν 2 G dϕ2 cuya soluci´on para ν 6= 0 es: G(ϕ) = Aeiνϕ + Be−iνϕ Se escogi´o −ν 2 para obtener soluciones arm´onicas angulares, que son las u ´nicas que garantizan la continuidad de la funci´on φ en los casos en que el ´angulo ϕ admita valores entre 0 y 2π. En efecto, si G(ϕ) = G(ϕ + 2π) deber´a ser cierto que eiνϕ = eiν(ϕ+2π) , lo que se cumple si ν es un entero n. Se sigue entonces: µ ¶ dR ρ2 d2 Z ρ d ρ + = n2 , ´o R dρ dρ Z dz 2 µ ¶ 1 d dR n2 1 d2 Z ρ − 2 + =0 ρR dρ dρ ρ Z dz 2 En la u ´ltima ecuaci´on est´an separadas z y ρ. Puede escribirse: 1 d2 Z = k2 Z dz 2 cuya soluci´on para k 6= 0 es: Z(z) = Cekz + De−kz Finalmente, se tiene la ecuaci´on radial: µ ¶ µ ¶ 1 d dR n2 ρ + k2 − 2 R = 0 ρ dρ dρ ρ cambiando variable en la forma x = kρ: µ ¶ d2 R 1 dR n2 + + 1− 2 R=0 dx2 x dx x Esta es la Ecuacion de Bessel, cuya soluci´on da lugar, como veremos en el cap´ıtulo 8 a las funciones de Bessel Jn (kr) y de Neumann Nn (kr). As´ı pues, una soluci´on a la ecuaci´on de Laplace, que incluye una sumatoria sobre n y una integral sobre k (que las condiciones de frontera pueden reducir a una suma) es: ∞ Z ∞ X ¡ ¢¡ ¢ φ1 = (EJn (kr) + F Nn (kr)) Aeinϕ + Beinϕ CE kz + De−kz dk n=0

0

132

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Ahora bien, en los casos en que ϕ no abarque el ´angulo completo 2π, no tiene por qu´e cumplirse la condici´on de continuidad de G(ϕ) por lo cual es aceptable una soluci´on que contenga una integral en ν y una integral en k. En el caso en que ϕ no abarque el ´angulo completo 2π es aceptable una separaci´on de variables del tipo: d2 G = µ2 G dϕ2 cuya soluci´on es: G(ϕ) = A0 eµϕ + B 0 e−µϕ , que da lugar a: Z

∞

Z

∞

φ2 = 0

¢ ¡ (EJµ (kr) + F Nµ (kr)) (Aeµϕ + Beµϕ ) CE kz + De−kz dk dµ

0

Una tercera soluci´on, con ν = 0 es G(ϕ) = aϕ + b. Es tambi´en posible hacer una separaci´on en z de la forma: d2 Z = −k 2 Z dz 2 de donde Z(z) = Ceikz + De−ikz ; y tambi´en puede hacerse k = 0, con lo cual Z(z) = a0 z + b0 . Estas alternativas dan lugar a soluciones que no se explicitan aqu´ı, y que incluyen integrales sobre ν. Problemas: 1. Explore en detalle todas las alternativas y escriba la soluci´ on m´ as general a la ecuaci´ on de Laplace. on a la ecuaci´ on de Helmholtz (∇2 + k2 )φ = 0 2. Demuestre que una soluci´ en coordenadas cil´ıcas, que satisface la condici´ on de continuidad en ϕ es: ∞ Z ∞ X ¡ ¢ (EJn (γr) + F Nn (γr)) Aeinϕ + Beinϕ φ = n=0

×

0

√ √ ³ ´ 2 2 2 2 CE γ −k z + De− γ −k z dγ

3. Demuestre que la siguiente generalizaci´ on de la ecuaci´ on de Helmholtz es separable en coordenadas cil´ındricas: · ¸ g(ϕ) ∇2 + k2 + 2 + h(z) Ψ(ρ, ϕ, z) = 0 ρ

Coordenadas polares Un caso particular de notable inter´es es la ecuaci´on de Laplace en coordenadas polares: µ ¶ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ ρ + 2 =0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

133

Implementando la separaci´on φ(ρ, ϕ) = R(ρ)G(ϕ) se sigue: µ ¶ dR 1 ∂2G ρ d ρ + 2 =0 R dρ dρ ρ ∂ϕ2 de donde

d2 G d = −ν 2 G, y ρ dϕ2 dρ

µ ¶ dR ρ − ν 2R = 0 dρ

Nuevamente se ha escogido −ν 2 , que garantiza la continuidad de la funci´on G(ϕ) si ν = n = entero. Se obtiene, para n 6= 0 y positivo: G(ϕ) = R(ρ) =

Aeinϕ + Be−inϕ Cρn + Dρ−n

y para ν = 0: G(ϕ) = aϕ + b y R(ρ) = E ln ρ + F . La soluci´on general exige tomar en cuenta todos los valores de n, por lo cual: φ(ρ, ϕ) = (aϕ + b)(E ln ρ + F ) +

∞ X

(Cn ρn + Dn ρ−n )(Aeinϕ + Be−inϕ )

n=1

Obviamente, esta soluci´on es un subconjunto de la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Problemas: on a la ecuaci´ on de Laplace 2D en los siguientes casos: 1. Obtenga la soluci´ A) Una regi´ on circular de radio a con φ = V (ϕ) en ρ = a. B) Una cu˜ na de abertura β y radio a, con φ = V1 en ϕ = 0, φ = V2 en ϕ = β y φ = V (ϕ) en ρ = R. 2. Obtenga la soluci´ on a la ecuaci´ on de Laplace en coordenadas polares si d2 G/dϕ2 = µ2 G. 3. Demuestre que la soluci´ on a la ecuaci´ on de Laplace para ψ = ψ(ρ) es: ψ(ρ) = k ln(ρ/ρ0 ), con ρ0 constante.

3.3.4.

Coordenadas esf´ ericas

En coordenadas esf´ericas la ecuaci´on: ∇2 φ(r, θ, ϕ) = 0 se escribe: 1 ∂ r2 ∂r

µ ¶ µ ¶ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ 2 ∂φ r + 2 sen θ + 2 = 0. ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen 2 θ ∂ϕ2

134

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Utilizando la identidad: µ ¶ 1 ∂ 1 ∂2 2 ∂φ r = (rφ) , r2 ∂r ∂r r ∂r2 1 ∂2 1 ∂ (rφ) + 2 2 r ∂r r sen θ ∂θ

µ sen θ

podemos escribir :

∂φ ∂θ

¶ +

r2

1 ∂2φ =0 2 sen θ ∂ϕ2

Sea una separaci´on de variables en la forma: φ(r, θ, ϕ) =

U (r) Y (θ, ϕ). r

La parte radial ha sido escrita U (r)/r con el fin de simplificar el primer t´ermino de la ecuaci´on diferencial. Posteriormente se separa Y (θ, ϕ) en un producto de funciones en θ y ϕ. Se sigue entonces: · µ ¶ ¸ r2 d2 U 1 1 ∂ ∂Y 1 ∂2Y + sen θ + =0 U dr2 Y sen θ ∂θ ∂θ sen 2 θ ∂ϕ2 La ecuaci´on ha sido separada en partes radial y angular. Como se demuestra luego, el cuadrado del operador L = 1i r × ∇ es el negativo del corchete en la u ´ltima ecuaci´on, puede entonces escribirse: r2 d2 U L2 Y − =0 U dr2 Y De acuerdo a la t´ecnica de separaci´on de variables cada sumando ha de ser una constante. Por razones que ser´an claras m´as tarde se escribe la constante de separaci´on en la forma l(l + 1) lo que: r2

d2 U − l(l + 1)U = 0 , dr2

L2 Y = l(l + 1)Y

La ecuaci´on radial es homog´enea en r, es decir, es una ecuaci´on del tipo de Euler, cuya soluci´on es: U (r) = A rl+1 +

B , rl

l≥0

La ecuaci´on L2 Y = l(l + 1)Y tiene la forma expl´ıcita: 1 ∂ sen θ ∂θ

µ

∂Y sen θ ∂θ

¶ +

1 ∂2Y + l(l + 1)Y = 0. sen 2 θ ∂ϕ2

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

135

Pueden ahora separarse las variables θ y ϕ en la forma Y (θ, ϕ) = P (θ)G(ϕ), lo que implica, despu´es de reemplazar y multiplicar por sen 2 θ/P G: µ ¶ sen θ d dP 1 d2 G sen θ + l(l + 1) sen 2 θ = − P dθ dθ G dϕ2 En consecuencia, escogiendo la constante de separaci´on de modo que permita soluciones arm´onicas en ϕ, que a la vez garanticen la continuidad en ϕ de la soluci´on, se tiene: 1 d2 G = −m2 , cuya soluci´on es: G dϕ2 G = Ceimϕ + De−imϕ , G = aϕ + b ,

m = 1, 2, . . . y m=0

La ecuaci´on en θ ser´a entonces: µ ¶ d dP sen θ sen θ + P l(l + 1) sen 2 θ − m2 P = 0 dθ dθ con la substituci´on x = cos θ se obtiene la ecuaci´ on asociada de Legendre: · ¸ 2 d dP (x) m P (x) (1 − x2 ) − + l(l + 1)P (x) = 0 dx dx 1 − x2 Con m = 0 se obtiene la ecuacion ordinaria de Legendre. Problemas: 1. Si L = −ir × ∇ demuestre que: a. Lx = −i (y ∂/∂z − z ∂/∂y) = i [ sen ϕ ∂/∂θ + cot ϕcos ϕ ∂/∂ϕ] b. Ly = −i (z ∂/∂x − x ∂/∂z) = i [− cos ϕ ∂/∂θ + cot ϕ sen ϕ ∂/∂ϕ] c. Lz = −i (x ∂/∂y − y ∂/∂x) = −i∂/∂ϕ y que : h ¡1 ¢2 1 ∂ ∂ 2 d. L = L · L = i r × ∇ = − sen θ ∂θ ( sen θ ∂θ ) + sen1 2 θ

∂2 ∂ϕ2

i

e. L × L = iL f. Si a y b conmutan entre s´ı y con L, es decir si [a, b] = [a, L] = [b, L] = 0, entonces: [a · L, b · L] = i(a × b) · L. El conmutador de a y b se define como: [a, b] = ab − ba. 2

∂ψ g. L2 ψ ≡ L · Lψ = −r2 ∇2 ψ + r2 ∂∂rψ 2 + 2r ∂r ∂ − i ˆr×L h. ∇ = ˆ r ∂r r

³ ´ ∂ i. i∇ × Lψ = r∇2 ψ − ∇ 1 + r ∂r ψ

2. Demuestre que el laplaciano puede escribirse en la forma: ∇2 Ψ =

1 ∂2 L2 Ψ (rΨ) − 2 2 r ∂r r

136

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

3. Demuestre que la ecuaci´ on de Helmholtz homog´ enea: ¡ 2 ¢ 2 ∇ + k ψ(r) = 0 puede ser obtenida a partir de la ecuaci´ on de ondas homog´ enea mediante una separaci´ on de variables del tipo: ψ(r, t) = ψ(r)T (t). 4. Verifique que la ecuaci´ on: · ¸ g(θ) h(ϕ) ∇2 + k2 + f (r) + 2 + 2 Ψ(r, θ, ϕ) = 0 r r sen 2 θ es separable. Incluye como casos particulares las ecuaciones de Schr¨ odinger, Laplace y Helmholtz. 5. Realice la separaci´ on de variables, en coordenadas esf´ ericas, de la ecuaci´ on de ondas y de la ecuaci´ on de Helmholtz. La parte radial en ambas ecuaciones se conoce como ecuaci´ on de Bessel esf´ erica y tiene la forma: ¸ · 2 d R(r) 2 dR(r) l(l + 1) R(r) = 0 + + k2 − dr2 r dr r2

3.3.5.

Coordenadas toroidales

La ecuaci´on de Laplace admite una soluci´on que parcialmente contiene una separaci´on de variables. En estas coordenadas (secci´on 1.12.5) la ecuaci´on de Laplace toma la forma: µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂ senh η ∂φ ∂ senh η ∂φ ∂ 1 ∂φ + + =0 ∂ξ ( ) ∂ξ ∂η ( ) ∂η ∂ϕ ( ) senh η ∂ϕ donde ( ) ≡ cosh η − cos ξ. Un ensayo de soluci´on es como sigue: φ = ( )n X(ξ)N (η)G(ϕ) Puede probarse que no hay separaci´on de variables si n = 0. Al reemplazar en la ecuaci´on diferencial y dividir por XN G se obtiene: ´ ˙ )n−2 ¢ ∂ ¡ n−2 ( )n−1 ∂ ³ ˙ X( X senh η + n () senh η sen ξ + (2n − 1) senh η sen ξ X ∂ξ ∂ξ X ´ ¢ ( )n−1 ∂ ³ ˙ ∂ ¡ n−2 N˙ ( )n−2 N senh η + n () senh 2 η + (2n − 1) senh 2 η N ∂η ∂η N ¨ )n−1 G( =0 + G senh η Los t´erminos en 2n − 1 desaparecen si se escoge n = 1/2. Puede aislarse G(ϕ) que ¨ = −m2 G, cuya soluci´on contiene exponenciales provee la ecuaci´on diferencial: G imaginarios. La ecuaci´on restante se escribe: +

¨ X 1 d ˙ 1 m2 + (N senh η) + − =0 X N senh η dη 4 senh 2η

´ DE LA ECUACION ´ DE LAPLACE 3.3. SEPARACION

137

El primer sumando de esta ecuaci´on contiene solo ξ y los restantes solo η, de modo ¨ = −n2 X, cuyas soluciones son exponenciales imaginarios y: que: X µ ¶ 1 d ˙ 1 m2 (N senh η) + − n2 − N =0 senh η dη 4 senh 2 η La u ´ltima ecuaci´on se conoce como Legendre hiperb´ olica por su gran analog´ıa con la ecuaci´on asociada de Legendre. De hecho, con el cambio de variable u = cosh η la ecuaci´on de Legendre hiperb´olica se escribe: µ ¶ µ ¶ d dN 1 m2 (u2 − 1) + − n2 − 2 N =0 du du 4 u −1 En s´ıntesis, la ecuaci´on de Laplace en coordenadas toroidales admite una soluci´on de la forma: p φ = cosh η − cosh ξX(ξ)N (η)G(ϕ) Los siguientes problemas proponen separaci´on de variables en otros sistemas coordenados. Problemas: 1. Demuestre que la ecuaci´ on de Helmholtz en coordenadas cil´ındricas el´ıpticas (secci´ on 1.12) es separable en: una ecuaci´ on de oscilador arm´ onico en z, una ecuaci´ on de Mathieu para η y una ecuaci´ on modificada de Mathieu para ξ; las dos u ´ ltimas tienen la forma: d2 g(η) + (b − 2q cos 2η)g(η) = 0 dη 2 d2 f (ξ) − (b − 2q cosh 2ξ)f (ξ) = 0, dξ 2 donde b y q son constantes. 2. Demuestre que la ecuaci´ on de Laplace no es completamente separable en coordenadas bipolares, y que la separaci´ on es completa solo si ψ = ψ(ξ, η). 3. Si un ´ atomo de hidr´ ogeno se coloca en un campo el´ ectrico uniforme ˆ la ecuaci´ E = E0 k, on de Schr¨ odinger independiente del tiempo, que describe el efecto Stark, tiene la forma: −

~2 2 q2 ∇ ψ− − qE0 zψ = Eψ 2m 4π²0 r

Demuestre, por separaci´ on de variables en coordenadas parab´ olicas y con ψ(ξ, η, ϕ) = A(ξ)B(η)G(ϕ) que se obtienen las siguientes ecuaciones: · µ ¶ ¸ 1 d dA n2 ~2 qE0 ξ 4 ξ − 2 + Eξ 2 − +C =0 2m ξA dξ dξ ξ 2 · µ ¶ ¸ ~2 1 d dB n2 qE0 η 4 η − 2 + Eη 2 − + 2q 2 − C = 0 2m ηB dη dη η 2

138

3.

3.4.

ECUACIONES DIFERENCIALES

La ecuaci´ on de onda unidimensional

Se realiza aqu´ı la separaci´on de variables de la ecuaci´on hiperb´olica: uxx −

1 utt = 0 v2

que describe una onda escalar unidimensional. Con la separaci´on de variables: u(x, t) = A(x)T (t), se sigue: A d2 T d2 A T − 2 2 =0 2 dx v dt Entonces:

1 d2 A = −α2 , A dx2

´o:

1 d2 A 1 d2 T − 2 =0 2 A dx v T dt2 1 d2 T = −α2 dt2

v2 T

El signo “menos”ha sido escogido para lograr soluciones peri´ odicas temporales, es decir oscilaciones, lo que garantiza autom´aticamente que las soluciones espaciales tambi´en lo sean. [De hecho, si se escoge +α2 las condiciones de frontera dar´an lugar a que α sea imaginario puro]. Entonces, con αv = ω, la soluci´on puede escribirse en cualquiera de las siguientes formas equivalentes: u(x, t) = (c1 eiαx + c2 e−iαx )(c3 eiωt + c4 e−iωt ) = C1 ei(αx−ωt) + C2 e−i(αx−ωt) + C3 ei(αx+ωt) + C4 e−i(αx+ωt) = (c1 sen αx + c2 cos αx)(c3 sen αvt + c4 cos αvt) = C1 sen (αx − ωt) + C2 cos(αx − ωt) + C3 sen (αx + ωt) + C4 cos(αx + ωt)

(3.40) (3.41)

La segunda y cuarta formas muestran ondas que viajan a izquierda y a derecha ( con fases αx − ωt y αx + ωt respectivamente). Tambi´en, teniendo en cuenta que la soluci´on general contiene todos los valores reales de α, puede escribirse: Z u(x, t)

∞

= Z

0

[A(α)eiαx + B(α)e−iαx ][C(α)eiαvt + D(α)e−iαvt ] dα

∞

= −∞ Z ∞

= −∞

[A(α)eiαx + B(α)e−iαx ]eiαvt dα [A(α)eiαvt + B(α)e−iαvt ]eiαx dα

´ DE ONDA UNIDIMENSIONAL 3.4. LA ECUACION

139

Se demuestra, en acuerdo con el cap´ıtulo 2, que las siguientes condiciones iniciales y de frontera son suficientes para describir las oscilaciones de una cuerda con extremos fijos: u(0, t) = 0 ,

u(L, t) = 0 ,

ut |t=0 = 0 ,

u(x, 0) = f (x)

Estas condiciones describen una cuerda tensa y en reposo que se suelta en t = 0 y con extremos x = 0, x = L fijos. • Reemplazando u(0, t) = 0 en (3.40) se obtiene: u(x, t) = (c03 sen αvt + c04 cos αvt) sen αx • con u(L, t) = 0 se sigue: αL = nπ; entonces · µ µ ¶ ¶¸ ³ nπx ´ nπvt nπvt un (x, t) = c03 sen + c04 cos sen L L L Puesto que hay una soluci´on para cada valor de n, la soluci´on general ser´a la combinaci´on lineal: µ ¶ µ ¶¸ ∞ · ³ nπx ´ X nπvt nπvt u(x, t) = cn sen + dn cos sen L L L n=1 donde, para evitar redundancias, n s´olo toma valores positivos. • con ut |t=0 = ∂u/∂t|t=0 = 0 se sigue: cn = 0 ∴

u(x, t) =

∞ X

µ dn cos

n=1

nπvt L

¶ sen

³ nπx ´ L

• Finalmente, con u(x, 0) = f (x): f (x) =

∞ X n=1

dn sen

³ nπx ´ L

⇒

2 dn = L

Z

L

f (x) sen 0

³ nπx ´ L

dx

Conocida ¡ ¢ f (x), el coeficiente dn puede evaluarse multiplicando esta ecuaci´on por sen nπx dx, integrando en x y tomando en cuenta (3.39). Se obtiene: L "Z # µ ¶ µ ¶ ∞ L ³ nπx ´ 2 X nπx0 nπvt 0 0 u(x, t) = dx sen cos . f (x ) sen L n=1 0 L L L Esta ecuaci´on corresponde a una onda estacionaria que es superposici´on lineal de una onda que viaja a la derecha con fase k(x − vt) y otra que viaja a la izquierda con fase kn (x + vt), con kn = nπ/L. Se ha escrito como una superposici´on de

140

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

modos normales de oscilaci´on cuyas frecuencias son: wn = kn v = nπv/L, n = 1, 2, 3, . . .. Es cierto que wn = nw1 . N´otese que para cada modo n hay ciertos puntos, llamados nodos, que no participan del movimiento, y que corresponden a posiciones x = L/n. dn es la amplitud con la que oscila el modo normal de frecuencia wn y est´a determinada por la forma espec´ıfica de f (x). Problemas: 1. Ensaye la soluci´ on directa u = emx+ny en el problema anterior. 2. Eval´ ue dn para f (x) = 2x/L si 0 ≤ x ≤ L/2 y f (x) = 2(1 − x/L) si L/2 ≤ x ≤ L.

Ejercicio: Reflexi´ on y transmisi´ on de ondas en cuerdas. Sea una onda que viaja desde la izquierda en una cuerda de densidad lineal λ0 . La cuerda se une suavemente en x = 0 con otra de densidad lineal λ1 . La onda incidente se refleja y transmite en la frontera x = 0. Es cierto que ω = k0 v0 = k1 v1 . Teniendo en cuenta que la onda es real puede escribirse, de acuerdo con (3.41): u0 (x, t) = + u1 (x, t) = +

A sen (k0 x − ωt) + B cos(k0 x − ωt) C sen (k0 x + ωt) + D cos(k0 x + ωt), A0 sen (k1 x − ωt) + B 0 cos(k1 x − ωt) C 0 sen (k1 x + ωt) + D0 cos(k1 x + ωt)

Se asumir´a que la onda incidente tiene la forma A sen (k0 x − ωt), con A conocido y B = 0. Puesto que la onda que viaja en la segunda cuerda no sufre otras reflexiones es cierto que C 0 = D0 = 0. As´ı pues: u0 (x, t) = A sen (k0 x − ωt) + C sen (k0 x + ωt) + D cos(k0 x + ωt), u1 (x, t) = A0 sen (k1 x − ωt) + B 0 cos(k1 x − ωt) Adem´as debido a que las cuerdas se unen suavemente, sus amplitudes y pendientes son iguales en x = 0, tal que: u0 |x=0 = u1 |x=0 , y

∂u0 ∂u1 |x=0 = |x=0 . ∂x ∂x

Reemplazando las amplitudes en las condiciones de frontera obtenemos, despu´es de factorizar las funciones trigonom´etricas y anular los coeficientes respectivos: · ¸ k1 − k0 u0 (x, t) = A sen (k0 x − ωt) + sen (k0 + ωt) k1 + k0 2A sen (k1 x − ωt) u1 (x, t) = k1 + k0

´ DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN 3D141 3.5. ANEXO 3.1: CLASIFICACION Problemas: 1. Resuelva la situaci´ on anterior para el caso de una onda compleja incidente de la forma Aei(k0 x−ωt) . 2. Considere una onda compleja de la forma Aei(k0 x−ωt) que viaja de izquierda a derecha en una cuerda de densidad de masa λ0 e incide en x = −a sobre otra cuerda λ1 donde se refleja parcialmente y se transmite; prosigue hacia la derecha incidiendo sobre una tercera cuerda λ0 que comienza en x = a, donde nuevamente se refleja y se transmite. Evaluar las amplitudes u0 (x, t), u1 (x, t), u2 (x, t), y determinar c´ omo el desfase por reflexi´ on depende de la relaci´ on entre las densidades de masa. ¿C´ omo se plantea la conservaci´ on de energ´ıa cuando hay reflexi´ on y transmisi´ on en x = 0? El equivalente mec´ anico cu´ antico de este problema es el de una part´ıcula en movimiento en presencia de una barrera de potencial. 3. La funci´ on de onda que describe una part´ıcula subat´ omica de masa m, que se encuentra confinada en una caja rectangular de lados a, b, c satisface la ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo. Imponiendo la condici´ on de que la funci´ on de onda se anule en las paredes, demuestre que la energ´ıa de la part´ıcula est´ a cuantizada de acuerdo a la expresi´ on: µ 2 ¶ 2 2 2 2 π h l n p Elnp = + 2 + 2 2m a2 b c con l, l y p enteros positivos, y que la funci´ on de onda tiene la forma: ¶ µ ³ ³ pπz ´ nπy ´ lπx sen ψlnp = A sen sen a b c

3.5.

ANEXO 3.1: Clasificaci´ on de las ecuaciones diferenciales en 3D

En la secci´on 3.2.1 se ha logrado eliminar el t´ermino cruzado uxy mediante una rotaci´on de coordenadas en el plano. En esta secci´on se pretende eliminar las derivadas cruzadas uxy , uyz , uxz realizando una rotaci´on del sistema xyz en el espacio, lo que involucrar´a la aparici´on de tres ´angulos. Ante todo consid´erense las transformaciones ortogonales: Si del sistema de coordenadas xyz se pasa a x0 y 0 z 0 , mediante una rotaci´on alrededor de un eje que pase por el or´ıgen, se tendr´a : xi 0 =

3 X

aij xj

´o:

X 0 = AX

con

j=1

X = (x1 , x2 , x2 ) = (x, y, z); T

X 0 X 0 = (AX)T (AX) = X T AT AX ,

con

de donde:     x1 x X T =  x2  =  y  , x3 z

142

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

T

tal que si la longitud es invariante, es decir si X 0 X 0 = X T X, se sigue que la matriz A es ortogonal: AT A = I, a´ı: 3 X

aij aik = δjk

(3.42)

i=1

Los coeficientes aij son los elementos de la matriz A de transformaci´on. Si se hubiese trabajado P3 en el plano las sumas se hubiesen realizado entre 1 y 2. En tal caso el sistema i=1 aij aik = δij contiene cuatro ecuaciones, correspondientes a δ11 ,δ12 ,δ21 ,δ22 pero las correspondientes a δ12 , δ21 son iguales, tal que quedan tres ecuaciones independientes para las cuatro incognitas a11 , a12 , a21 , a22 . Esto significa que hay un par´ametro libre, arbitrario, que corresponde al ´angulo de rotaci´on de x0 y 0 respecto a xy. Una escogencia de este ´angulo como tan 2θ = B/(A − C) permiti´o eliminar el t´ermino cruzado en el sistema coordenado (x0 , y 0 ). En tres dimensiones, la condici´on (3.42) equivale a 9 ecuaciones de las cuales s´olo 6 son distintas puesto que δ12 = δ21 , δ13 = δ31 , δ23 = δ32 . Y los coeficientes aij son 9, tal que quedan tres par´ametros libres, correspondientes a los tres ´angulos de rotaci´on, que se escogen de modo tal que en x0 y 0 z 0 desaparezcan los t´erminos cruzados u0xy , u0xz , u0yz . Ahora bien, la ecuaci´on diferencial con coeficientes constantes:

Auxx + Buyy + Cuzz + Duxy + Euyz + F uxz +Gux + Huy + Juz + Ku = L(x, y, z) puede escribirse en la forma compacta: 3 X

Cij ∂i ∂j u +

i,j=1

donde ∂i ≡ ∂/∂xi ,

3 X

Di ∂i u + F u = L(x, y, z)

i=1

i = 1, 2, 3 ;

x1 = x, x2 = y, x3 = z, y Cij = Cji .

Para transformar la ecuaci´on diferencial al sistema x0j se escribe:

x0j =

3 X k=1

ajk xk

=⇒

∂x0j = ajl ∂xl

(3.43)

´ DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN 3D143 3.5. ANEXO 3.1: CLASIFICACION

3

y: ∂i u ∂j ∂i u

3

X ∂u ∂x0 X ∂u ∂u k = = aki 0 ∂xi ∂xk ∂xi ∂x0k k=1 k=1 µ ¶ 3 3 X X ∂u ∂ ∂u ∂x0l = ∂j aki = aki ∂x0k ∂x0l ∂x0k ∂xj =

k=1

=

3 X

l,k=1

3 X ∂ u = aki alj ∂k0 ∂l0 u ∂x0k ∂x0l 2

aki alj

kl=1

kl=1

As´ı, la ecuaci´on (3.43) se escribe: 3 X

0 0 0 ∂k ∂l u + Ckl

kl=1

3 X

Di aki ∂k0 u + F u = L(x0 , y 0 , z 0 )

ki=1

P3

e kl . La u Cij aki alj = (ACA) ´ltima ecuaci´on (transformaci´on de la 0 e matriz C) tiene la forma matricial: C = ACA; eliminar los t´erminos cruzados en la 0 ecuaci´on diferencial implica que la matriz C0 es diagonal: Ckl = 0 para k 6= l, esto e kl = 0 para k 6= l expresi´on que representa 3 ecuaciones distintas: es: (ACA) 0 con: Ckl =

3 X

ij=1

a1i Cij a2j = 0 ,

ij=1

3 X

a2i Cij a3j = 0 ,

ij=1

3 X

a3i Cij a1j = 0

(3.44)

ij=1

Ha de tenerse en cuenta que en (3.43) puede hacerse: Cij = Cji . As´ı pues, las 6 ecuaciones (3.42) contienen 9 par´ametros aij , tal que 3 pueden escogerse libremente. La diagonalizaci´on (3.44) fija los ´angulos de rotaci´on que anulan las 3 derivadas cruzadas. La ecuaci´on diferencial en x0 y 0 z 0 no contiene ahora ∂10 ∂20 , ∂10 ∂30 , ∂20 ∂30 ; se reduce entonces a: 3 X £ ¤ Lk ∂k 2 + Mk ∂k u + F u = L(x0i ), k=1

P3 con Lk = Ckk = 6 0 y Mk ≡ i=1 Di aki : · ¸ 3 X Mk Lk ∂ k 2 + ∂k u + F u = L(x0i ), de donde se sigue: Lk k=1 " # · ¸2 3 3 X X Mk Mk2 Lk ∂ k + u+ F − u = L(x0i ) 2Lk 4Lk k=1

k=1

144

3.

ECUACIONES DIFERENCIALES

En consecuencia, es siempre posible, mediante transformaci´on de coordenadas, llevar la ecuaci´on diferencial con coeficientes constantes a una forma diagonal, en la puede implementarse de modo directo la separaci´on de variables u(x, y, z) = A(x)B(y)C(z), si L(xi ) = 0. En el caso en que alguno de los Lk sea cero los u ´ltimos desarrollos, en los que Lk aparece en el denominador, no tienen lugar. La ecuaci´on ser´a el´ıptica si L1 , L2 , L3 son del mismo signo, hiperb´olica si hay signos distintos y par´abolica si un Lk es cero. Las ecuaciones diferenciales parciales necesitan ser clasificadas (en el´ıpticas, hiperb´olicas o parab´olicas) con el fin de saber con certeza cu´ales condiciones de frontera y/o iniciales proveer para que su soluci´on sea u ´nica. Dado que el tipo de ecuaciones diferenciales en 3 variables que se utiliza en todo lo que sigue no contiene variables cruzadas, no ser´a tratado en m´as detalle del asunto de su clasificaci´on. B´aste con reconocer que las ecuaciones de Poisson (y Laplace), difusi´on y ondas son respectivamente el´ıpticas, parab´olicas e hiperb´olicas.

3.6.

ANEXO 3.2:

Soluci´ on a ecuaciones c´ ubicas

A. La ecuaci´on c´ ubica z 3 +Az+C = 0 puede, ser simplificada si se hace el cambio de variable: z = w −A/3w, con lo cual se obtiene la siguiente ecuaci´on cuadr´atica para w3 : (w3 )2 + C(w3 ) − A3 /27 = 0 cuya soluci´on es:

"

C w= − ± 2

r

C2 A3 + 4 27

#1/3

B. La ecuaci´on c´ ubica general: x3 + ax2 + bx + c = 0 puede ser reducida a una forma que no contiene el t´ermino cuadr´atico, mediante la substituci´on: x = z − a/3. Se sigue: z 3 + Gz + H = 0, con: G = −a2 /3 + b, y H = −ab/3 + 2a3 /27 + c. La soluci´on, de acuerdo al numeral anterior es: x = z − a/3 = w − A/3w − a/3, con "

H w= − ± 2

r

H2 G3 + 4 27

#1/3

3.6.

´ A ECUACIONES CUBICAS ´ ANEXO 3.2: SOLUCION

C. La ecuaci´on c´ ubica:

145

x3 + ax2 + c = 0

se soluciona escogiendo: x = 1/z − 2a/3, con lo cual: z 3 + Dz + E = 0, con D = −a/F , E = 1/F y F = 4a3 /27 + c. La soluci´on, de acuerdo al numeral A, es: x = 1/z − 2a/3 = 1/(w − D/3w) − 2a/3, con "

E w= − ± 2

r

E2 D3 + 4 27

#1/3

4

Ecuaciones de la F´ısica Matem´ atica Una gran cantidad de fen´omenos f´ısicos que involucra variables continuas que dependen de la posici´on y del tiempo puede describirse utilizando ecuaciones diferenciales parciales. Tales variables son campos espacio-temporales escalares, vectoriales o di´adicos. La amplitud de los campos de sonido en gases, l´ıquidos y s´olidos, la temperatura y la presi´on atmosf´ericas, el campo de gravitaci´on, el flujo de fluidos, los campos electromagn´eticos, los campos di´adicos de esfuerzos en s´olidos y las amplitudes de probabilidad en mec´anica cu´antica son algunos ejemplos. En este cap´ıtulo se muestra la construcci´on de algunas de las ecuaciones diferenciales b´asicas de la f´ısica matem´atica: 1. Ecuaci´on de ondas en cuerdas, membranas y s´olidos. 2. Flujo de fluidos. 3. Ondas sonoras. 4. Ecuaci´on de difusi´on. 5. Ecuaci´on de Poisson. 6. Ecuaciones de Maxwell. 7. Ecuaci´on de Schr¨odinger. 8. Ecuaci´on de Klein-Gordon.

146

4.1. ONDAS

147

9. Ecuaci´on de Dirac. 10. Ecuaci´on biarm´onica. Como se ha visto en el cap´ıtulo 2, a cada ecuaci´on diferencial es necesario imponerle condiciones de frontera e iniciales, apropiadas al tipo de ecuaci´on, con el fin de lograr una soluci´on u ´nica. Estas ecuaciones las someteremos a un procedimiento de separaci´on de variables, con lo que prepararemos el terreno para el cap´ıtulo 8, donde se introducen las funciones especiales.

4.1.

Ondas

4.1.1.

Ondas en cuerdas

Sea una cuerda homog´enea, de densidad lineal de masa λ cuya posici´on de equilibrio es horizontal. Si la cuerda se desplaza de su posici´on de equilibrio y se suelta, ´o si de alg´ un modo se le imprime velocidad, comienza a oscilar. Se estudian aqu´ı s´olo oscilaciones en un plano vertical. Sea y(x, t) la funci´on que describe la amplitud de la oscilaci´on. Con t fijo esta funci´on da la forma geom´etrica que asume la cuerda oscilante (Figura 4.1).

y

T 00 ∆m ϕ + ∆ϕ

ϕ T0

x

x + ∆x

x

Figura 4.1: Geometr´ıa de una cuerda oscilante. El prop´osito es estudiar el movimiento de un elemento de masa ∆m, de longitud ∆l = [(∆x)2 + (∆y)2 ]1/2 = [1 + (∂y/∂x)2 ]1/2 ∆x, sometido a las tensiones T 0 y T 00 y a una fuerza externa de densidad lineal f (N/m) que act´ ua en direcci´on y. La densidad lineal de masa de la cuerda es λ (Kg/m). Aplicando la segunda ley de Newton al elemento ∆m se obtiene: X X ∆Fx = 0, ∆Fy = ∆m ay

148

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

La aceleraci´on se escribe ∂ 2 y/∂t2 , indic´andose con la derivada parcial que cada punto de la cuerda (x constante) experimenta aceleraci´on. Tambi´en: ∆m = λ ∆x. Entonces, en direcciones horizontal y vertical: T 00 cos(ϕ + ∆ϕ) = T 0 cos ϕ, f ∆l + T 00 sen (ϕ + ∆ϕ) − T 0 sen ϕ = λ ∆l

∂2y ∂t2

de modo que la componente horizontal de la tensi´on es constante y se llamar´a T0 . Dividiendo la u ´ltima ecuaci´on por T0 puede escribirse: λ∆l ∂ 2 y f ∆l T 00 sen (ϕ + ∆ϕ) T 0 sen ϕ − 0 = + 00 T0 T cos(ϕ + ∆ϕ) T cos ϕ T0 ∂t2 f ∆l λ ∂2y + tan(ϕ + ∆ϕ)|x+∆x − tan ϕ|x = ∆l 2 T0 T0 ∂t y como tan ϕ = ∂y/∂x : · ¯ ¸ f ∆l ∂y ¯ ∂y ¯¯ λ ∂2y + − ∆l 2 ¯ ¯ = T0 ∂x x+∆x ∂x x T0 ∂t por lo cual en el l´ımite, y reemplazando ∆l = [1 + (∂y/∂x)2 ]1/2 ∆x: µ ¶q 1 ∂2y ∂2y 2 f −λ 2 1 + (∂y/∂x) + =0 T0 ∂t ∂x2

(4.1)

Se supone que la cuerda tiene una longitud que no se altera apreciablemente como resultado de la oscilaci´on, lo que es b´asicamente cierto para peque˜ nas oscilaciones. En este caso ∆l ' ∆x y la ecuaci´on de movimiento de una cuerda oscilante sometida a fuerzas externas es: ∂2y 1 ∂2y f − =− 2 ∂x (T /λ) ∂t2 T La velocidad con que viajan las ondas en la cuerda es: p v = T /λ La ecuaci´on de ondas transversas desarrollada aqu´ı es de tipo hiperb´olico, de modo que tendr´a soluci´on u ´nica si se especifican las condiciones de Cauchy: • Los valores de la amplitud (condici´on de Dirichlet), ´o de la velocidad ∂y/∂t (condici´on de Neuman), en los extremos. • Los valores iniciales de y y ∂y/∂t.

4.1. ONDAS

149

Si la cuerda est´a en un medio viscoso que ejerce una fuerza de amortiguaci´on proporcional a la velocidad (dFy /dx = −b∂y/∂t) debe sumarse una fuerza ∆Fy = −b∆l∂y/∂t, tal que se obtiene finalmente, en el caso de peque˜ nas oscilaciones: ∂2y 1 ∂2y b ∂y f − − =− 2 2 ∂x (T /λ) ∂t T ∂t T Ejercicio: Estudiar la potencia transmitida por una cuerda oscilante. La energ´ıa cin´etica del elemento ∆m en la figura 4.1 es µ ¶2 µ ¶2 1 1 ∂y ∂y ∆Ec = ∆m = λ ∆x. 2 ∂t 2 ∂t La energ´ p ıa potencial puede calcularse teniendo en cuenta que un elemento de cuerda ∆l = (∆x)2 + (∆y)2 = [1+(∂y/∂x)2 ]1/2 ∆x experimenta una elongaci´on respecto a su longitud original ∆x de: ∆l0 = ∆l − ∆x de modo que a primer orden en una expansi´on de Taylor: µ ¶2 1 ∂y ∆l0 = ∆x. 2 ∂x As´ı pues, el trabajo realizado para estirar la cuerda una cantidad ∆l0 bajo la acci´on de la tensi´on T es igual a su energ´ıa potencial: µ ¶2 1 ∂y ∆Ep = ∆W = T ∆x 2 ∂x La energ´ıa mec´anica de cada elemento de masa es: " µ ¶ µ ¶2 # 2 1 ∂y 1 ∂y ∆x ∆E = ∆Ec + ∆Ep = λ + T 2 ∂t 2 ∂x Se sigue entonces que la potencia transmitida por cada elemento ∆m es: ∆E ∆E ∆x ∆E = = v ∆t ∆x ∆t ∆x donde v es la velocidad de propagaci´on de la onda. Se obtiene para la potencia transmitida por la cuerda: " µ ¶ µ ¶2 # 2 v ∂y ∂y P = λ +T 2 ∂t ∂x P =

La potencia es una cantidad positiva, lo que significa que hay una tranferencia continua de energ´ıa en la direcci´on de propagaci´on de la onda.

150

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

Problemas: 1. Sea una cuerda tensa con puntos fijos x = 0 y x = L est´ a inicialmente en reposo en su posici´ on de equilibrio. Halle y(x, t) si la cuerda se pone a oscilar dando a cada uno de sus puntos una velocidad: ¯ ∂y ¯¯ 4v0 = 2 x(L − x) ∂t ¯t=0 L 2. Una cuerda tensa fija en x = 0 y x = 0 est´ a inicialmente en reposo en la posici´ on y(x, 0) = 4y0 x(L − x)/L2 . Halle y(x, t) 3. Una cuerda vibrante sujeta a una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad tiene sus extremos fijos en x = 0 y x = L y se mueve desde el reposo con y(x, 0) = f (x). Demuestre que en el caso subamortiguado: · ¸ ∞ ³ nπx ´ X b An cos(αn t) + y(x, t) = e−(b/2T )t sen (αn t) sen 2λα L n 1 con:

s n2 π 2 λ b2 − y: 2 L T 4T 2 Z ³ nπx ´ 2 L dx An = f (x) sen L 0 L T αn = λ

4. Un caso particular, independiente del tiempo, que proviene de la ecuaci´ on (4.1), es el de la catenaria. Se trata de una cuerda suspendida de sus extremos y sometida s´ olo a su propio peso. Con f = −λg : q λg ∂2y − 1 + (∂y/∂x)2 + =0 T0 ∂x2 Demuestre que y(x) = C cosh(αx + D) + E. Eval´ ue α, C, D y E si la cadena est´ a sujeta en los puntos (−L/2, 0) y (L/2, 0).

4.1.2.

Ondas en membranas

Como extensi´on al caso bidimensional se propone la ecuaci´on que describe la oscilaci´on de una membrana (figura 4.2). En el caso de peque˜ nas oscilaciones, el ´area de la membrana no cambia sensiblemente, como tampoco la tensi´on Z (fuerza/unidad de longitud transversa=F/l).

Las vibraciones son perpendiculares a la superficie de equilibrio. Si x y y son las coordenadas (horizontales) de la membrana, la ecuaci´on resultante es: ∂2u ∂2u 1 ∂2u + − = −τ /Z ∂x2 ∂y 2 v 2 ∂t2 donde u(x, y, t) es la amplitud de la oscilaci´on, τ es la fuerza p externa por unidad de ´area. La velocidad de las ondas en la membrana es v = Z/σ. Esta ecuaci´on de nuevo es hiperb´olica. Si la membrana es rectangular y tiene sus bordes fijos deben proveerse las condiciones de Cauchy que acompa˜ nan a la figura 4.3.

4.1. ONDAS

151

      l

    

F

Figura 4.2: Fuerzas ejercidas sobre la frontera de una membrana. y u(0, y, t) , u(a, y, t)

b

u(x, 0, t) , u(x, b, t) x

u(x, y, 0) , ∂u/∂t|t=0

a

Figura 4.3: Membrana rectangular con condiciones de Cauchy.

Ejercicio: Modos normales. Sea una membrana rectangular de lados a y b fija en sus cuatro lados. Con la separaci´on de variables u(x, y, t) = A(x)B(y)T (t) es posible demostrar que la soluci´on que satisface las condiciones de frontera espaciales: u(0, y, t)=u(a, y, t)=u(x, 0, t)=u(x, b, t) = 0 y la condici´on temporal ∂u/∂t|t=0 = 0 es: ³ mπx ´ ³ nπy ´ X u(x, y, t) = Amn sen sen cos(wmn t) a b m,n con m, n = 1, 2, 3, . . . Las constantes Amn pueden evaluarse si se provee la u ´ltima condici´on de Cauchy: u(x, y, 0) = f (x, y). Es cierto adem´as que: r m2 n2 wmn = πv + a2 b2 wmn son los modos normales de oscilaci´on. Para cada pareja (m, n) hay un

152

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

4.

modo, cada uno de los cuales puede describirse por: ³ mπx ´ ³ nπy ´ umn (x, y) = sen sen cos(wmn t), (4.2) a b P tal que u(x, y, t) = mn Amn umn . N´otese que cada modo mantiene siempre en reposo algunos puntos de la membrana (adem´as de las fronteras), por ejemplo aquellos con x = a/m y y arbitrario, o aquellos con y = b/n y cualquier x. Tales puntos se sit´ uan a lo largo de rectas llamadas l´ıneas nodales. La frecuencia m´as baja (modo fundamental) corresponde a m = n = 1. No existen (ver ec. (4.2)) modos donde m o n sean cero. Algunos modos normales se muestran en la figura 4.4.

ω21

ω31

ω12

ω22

ω32

ω42

Figura 4.4: Diversos modos de oscilaci´on de una membrana rectangular. En las membranas puede observarse un fen´omeno que no existe en las cuerdas vibrantes, al que se conoce como degeneraci´ on y que tiene lugar cuando a = b. En este caso: πv p 2 ωmn = m + n2 a Para los modos (m, n) y (n, m) se obtiene la misma frecuencia, pero las oscilaciones no son id´enticas como se ve en las figuras 4.5, correspondiente a los modos (1, 2) y (2, 1).

Como consecuencia, el movimiento oscilatorio m´as general de una membrana cuadrada, en el modo ω12 puede describirse como la combinaci´on lineal: u(x, y, t)

= u12 (x, y, t) + u21 (x, y, t) · µ ¶ µ ¶ ³ πx ´ ³ πy ´¸ 2πy 2πx = A sen sen + B sen sen cos ω12 t a a a a

4.1. ONDAS

153

(1, 2)

(2, 1)

Figura 4.5: Dos modos degenerados de una membrana cuadrada.

donde A y B son amplitudes arbitrarias. Las dos gr´aficas anteriores corresponden respectivamente a B = 0 y A = 0. Con k = B/A puede escribirse: ¶ µ ¶ ³ πy ´¸ 2πy 2πx sen cos ω12 t = A sen + k sen sen a a a a ³ πx ´ ³ πy ´ h ³ πy ´ ³ πx ´i = C sen sen cos + k cos cos ω12 t (4.3) a a a a ·

u(x, y, t)

³ πx ´

µ

En lo anterior se ha usado C = 2A y la conocida relaci´on trigonom´etrica para ´angulos dobles. Cuando hay degeneraci´on las l´ıneas nodales no son necesariamente rectas, como se ver´a en lo que sigue. Como caso particular sea k = 1. Utilizando: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) se sigue de (4.3): u(x, y, t) = 2C sen

³ πx ´ a

sen

³ πy ´ a

µ cos

π(x + y) 2a

¶

µ cos

π(y − x) 2a

¶ cos ω12 t

Naturalmente, la oscilaci´on se anula en los bordes de la membrana. Pero tambi´en u = 0 si x + y = a, de modo que y = a − x es una l´ınea nodal (¿y qu´e ocurre con y − x = a?). En el caso k = −1, se obtiene: µ ¶ µ ¶ ³ πx ´ ³ πy ´ π(x + y) π(y − x) 00 u(x, y, t) = A sen sen sen sen cos ω12 t a a 2a 2a de donde se sigue que y = x es una l´ınea nodal (¿qu´e ocurre con y = −x?). As´ı pues, las l´ıneas nodales para el modo u(x, y, t) que es combinaci´on de u12 y u21 con k = 1 y k = −1 tienen la forma: En el caso general, de (4.3) se sigue que las l´ıneas nodales satisfacen la ecuaci´on: ³ πy ´ ³ πx ´ cos + k cos =0 a a

154

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

4.

k = −1

k=1

k=2

Figura 4.6: Dos modos triangulares y modo k = 2 en membranas cuadradas.

que corresponde, en general, a curvas cuya forma depende del valor de la constante k. En la figura 4.6 se presenta el caso k = 2. Problemas: 1. Qu´ e ecuaci´ on describe la oscilaci´ on de una membrana triangular? 2. Encuentre la ecuaci´ on de los nodos en el caso ω13 , con k = 1 y k = −1.

4.1.3.

Ondas longitudinales en s´ olidos

Consid´erese una varilla homog´enea que se estira o comprime y luego se suelta (figura 4.7). A A0

B

B0 F2

F1

x x + µ(x, t)

x + ∆x x + ∆x + µ(x + ∆x, t)

Figura 4.7: Secci´on de una barra que oscila en forma longitudinal.

Aparecen entonces ondas longitudinales que viajan a lo largo de la varilla. x es la coordenada de una secci´on transversal A de la varilla; al oscilar, el plano A, situado en x, se traslada una cantidad u a A0 , mientras el plano B, situado en x + ∆x, se traslada a B 0 . Es decir el elemento de longitud AB de tama˜ no ∆x se deforma y adquiere una nueva longitud B 0 − A0 .

4.1. ONDAS

155

Puede escribirse: B−A B 0 − A0

= (x + ∆x) − x = ∆x ¡ ¢ ¡ ¢ = x + ∆x + u(x + ∆x, t) − x + u(x, t) = ∆x + u(x + ∆x, t) − u(x, t) ∂u = ∆x + ∆x ∂x

As´ı, el incremento en la longitud es: ∆ξ = (B 0 − A0 ) − (B − A) =

∂u ∆x ∂x

por tanto: ∆ξ/∆x = ∂u/∂x. Ahora bien, seg´ un la ley de Hooke, la deformaci´on unitaria (∆ξ/∆x) que experimenta un material es directamente proporcional al esfuerzo normal F/A que sobre ´el se ejerce: ∆ξ =

F ∆x EA

donde A es el ´area transversa y E es el m´odulo de Young. O tambi´en: F =

∆ξ ∂u EA = EA ∆x ∂x

(4.4)

FALTA LA FIGURA 4.8 Sobre el elemento ∆x act´ ua a la derecha F2 , a la izquierda F1 (figura 4.8), de modo que de acuerdo a la segunda ley de Newton: F2 − F1 = ∆m o, utilizando:

∂2u ∂t2

·

¸ ∂u ¯¯ ∂u ¯¯ ∂2u EA − ¯ ¯ = ρA ∆x 2 ∂x x+∆x ∂x x ∂t

siendo ρ la densidad volum´etrica de masa de la varilla. Entonces: EA

∂2u ∂2u ∆x = ρA ∆x , ∂x2 ∂t2

de donde, finalmente: ∂2u 1 ∂2u − =0 ∂x2 (E/ρ) ∂t2

156

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

La velocidad de la onda longitudinal en la varilla es: p v = E/ρ La forma general 3-dimensional de la ecuaci´on de ondas es: ∇2 u(r, t) −

4.1.4.

1 ∂ 2 u(r, t) =0 v 2 ∂t2

Ondas el´ asticas en s´ olidos

La ecuaci´on que describe las oscilaciones de un medio isotr´opico el´astico tiene la forma (v´ease el texto de Landau, citado en la bibliograf´ıa): (a2 − b2 )∇(∇ · u) + b2 ∇2 u −

∂2u = 0, ∂t2

(4.5)

donde u describe la deformaci´on del s´olido que consideramos peque˜ na. Los movimientos considerados corresponden a ondas el´asticas. Los coeficientes a y b est´an dados por: s s E(1 − σ) E a= , b= (4.6) ρ(1 + σ)(1 − 2σ) 2ρ(1 + σ) E es el m´odulo de extensi´on o m´ odulo de Young, ρ es la densidad del s´olido y σ es el coeficiente de Poisson que expresa el cociente entre la contracci´on transversal y la extensi´on longitudinal. σ var´ıa entre 0 y 1/2. De acuerdo al segundo teorema de Helmholtz enunciado en la secci´on 1.8.3, cualquier campo vectorial puede descomponerse en dos partes, una solenoidal y otra irrotacional, esto es: u = ul + ut , con ∇ × ul = 0 y ∇ · ut = 0. Este teorema puede ser utilizado para separar en dos la ecuaci´on (4.5). Tomando el rotacional de (4.5): · ¸ ∂ 2 ut ∇ × b2 ∇2 ut − = 0, con ∇ · ut = 0 ∂t2 Como consecuencia: ∇2 u t −

1 ∂ 2 ut =0 b2 ∂t2

(4.7)

Tambi´en, escribiendo en (4.5): ∇(∇ · u) = ∇2 u + ∇ × (∇ × u) y tomando la divergencia se obtiene: · ¸ ∂ 2 ul 2 2 ∇ · a ∇ ul − = 0, con ∇ × ul = 0 ∂t2

4.1. ONDAS

157

de donde se sigue: ∇2 ul −

1 ∂ 2 ul =0 a2 ∂t2

(4.8)

Las ecuaciones (4.7) y (4.8) son ecuaciones de onda en tres dimensiones, con velocidades b y a respectivamente (dadas por (4.6)), la primera con ∇ · ut = 0 que corresponde seg´ un la teor´ıa de la elasticidad a ondas que no provocan cambios en el volumen, mientras la otra (∇ × ul = 0) provoca extensiones y compresiones pero no tiene torsi´on. Como se mostrar´a a continuaci´on, ut es una onda transversa en tanto que ul es una onda longitudinal. Consid´erese propagaci´on s´olo en direcci´on x, de modo que (4.7) y (4.8) toman la forma: ∂ 2 ut 1 ∂ 2 ut ∂ 2 ul 1 ∂ 2 ul − 2 = 0, − 2 =0 2 2 2 ∂x b ∂t ∂x a ∂t2 Como ∇ · ut = 0 se sigue: ut1 = cte, de donde 1 ∂ 2 ut2 ∂ 2 ut3 1 ∂ 2 ut3 ∂ 2 ut2 − = 0, − = 0, ∂x2 b2 ∂t2 ∂x2 b2 ∂t2 correspondiente a una onda transversa de velocidad vt = b. De otro lado, como ∇ × ul = 0 se sigue: ul2 = cte, ul3 = cte, de modo que s´olo ul1 oscila: ∂ 2 ul1 1 ∂ 2 ul1 − 2 = 0, 2 ∂x a ∂t2 lo que revela que se trata de una onda longitudinal de velocidad vl = a; obs´ervese en efecto que ul1 tiene la direcci´on del movimiento. De las ecuaciones (4.6) y teniendo en cuenta que 0 < σ < 1/2 se concluye que: vl >

√

2vt

de modo que la onda longitudinal viaja siempre m´as r´apido que la transversa. vl y vt a menudo se llaman velocidad longitudinal y transversa del sonido. Un movimiento s´ısmico produce ondas longitudinales y transversas a las que se conocen como ondas P (primarias) y S (secundarias). En la secci´on 4.2.3pla velocidad de la onda longitudinal en la varilla es vl = p E/ρ en vez de vl = E(1 − σ)/ρ(1 + σ)(1 − 2σ) porque en ese desarrollo se despreci´o el cambio en el di´ametro de la varilla dea su cabio longitudinal, es decir se supuso σ ' 0. N´otese que la existencia de estos dos tipos de ondas es caracter´ıstica s´olo de s´ olidos, puesto que los fluidos no soportan esfuerzos tangenciales; en ellos s´olo viajan ondas longitudinales, como es el caso del sonido en los gases.

158

4.2.

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

Derivadas lagrangiana y euleriana

Cuando se estudian fluidos hay dos formas diferentes, aunque relacionadas, de describir su movimiento. Una de ellas consiste en estudiar el movimiento de un elemento espec´ıfico ∆m de fluido. En este caso se utiliza la segunda ley de Newton que contiene la derivada temporal D/Dt que describe el movimento de part´ıculas, en este caso ∆m. Tal derivada se conoce como derivada siguiendo el movimiento o derivada material, pues se refiere al movimiento de una porci´on del fluido; tambi´en se le conoce como derivada lagrangiana. La aceleraci´on de un elemento de fluido se escribe a = Dv/Dt. La otra versi´on, debida a Euler, propone considerar el fluido como un campo; sugiere establecerse en un punto fijo desde donde el fluido tiene una velocidad v y evaluar all´ı la derivada temporal de las funciones asociadas al fluido. Esto es lo que se conoce como una derivada parcial temporal. Rec´ıprocamente sugiere tambi´en establecerse en un cierto instante del tiempo y estudiar en ese instante las variaciones de las cantidades f´ısicas con la posici´on. Esto da lugar a las derivadas parciales con respecto a la posici´on. Respectivamente se trata de evaluar ∂/∂t y ∂/∂xi . La primera de ellas se conoce como derivada euleriana. De acuerdo al c´alculo diferencial, una funci´on f (r, t) tiene en coordenadas cartesianas un diferencial de la forma: df

= =

∂f ∂f ∂f ∂f dt + dx + dy + dz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂f dt + dr · ∇f ∂t

de modo que la derivada total temporal de cualquier funci´on f (r, t) asociada al fluido es: df ∂f = + v · ∇f dt ∂t donde v = dr/dt describe la velocidad del fluido en el punto (r, t). Esta expresi´on es v´alida incluso en los casos en que el campo escalar f (r, t), sea reemplazado por un campo vectorial o di´adico. Para reafirmar este caracter general la relaci´on entre las derivadas lagrangiana y euleriana puede escribirse en la forma: d ∂ = +v·∇ dt ∂t En particular, si (4.9) se aplica al vector posici´on r: dr ∂r = + v · ∇r dt ∂t

(4.9)

4.3. FLUJO DE FLUIDOS

159

La derivada temporal parcial de r representa la variaci´on de la posici´on con el tiempo si la posici´on permanece constante. Es obvio que su valor es cero. Adem´as, seg´ un el ap´endice C, es cierto que ∇r = I, donde I es la identidad di´adica, por lo que: v · ∇r = v · I = v tal que: dr =v dt Como un segundo ejemplo, si se aplica (4.9) sobre v se obtiene: dv ∂v = + v · ∇v dt ∂t En esta ecuaci´on: • dv/dt es la aceleraci´on tal como se define en mec´anica newtoniana de part´ıculas y aplicada a un elemento diferencial de fluido en movimiento corresponde a la derivada sustancial Dv/Dt. • ∂v/∂t se conoce como aceleraci´on local; es la que mide un observador fijo en un punto del espacio y existe solo en condiciones no estacionarias. • v ·∇v se llama aceleraci´on convectiva; corresponde a la aceleraci´on que ocurre como resultado de los gradientes de velocidad.

4.3.

Flujo de fluidos

De acuerdo a la segunda ley de Newton el movimiento del elemento de masa dm de un fluido se describe como: dm

Dv = dF, Dt

donde dF incluye la presi´on y las fuerzas externas y disipativas. Dv/Dt se conoce como la derivada sustancial, o derivada siguiendo el movimiento. La componente i de la fuerza diferencial dFP que la presi´on ejerce sobre el elemento diferencial de ´area dSi (figura 4.9) se escribe: (dFP )i

= =

−(P dSi )ui +dui + (P dSi )ui ∂P ∂P 1 − dui dSi = − dV ∂ui ∂ui hi

160

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

v

P

P + dP

Figura 4.8: Elemento diferencial de un fluido en movimiento.

Es decir, de acuerdo a la definici´on (1.30) de gradiente: dFP = −∇P dV. As´ı pues, definiendo la densidad volum´etrica de las fuerzas externas en la forma: fe = dFe /dV , la ecuaci´on de movimiento en ausencia de fuerzas viscosas se escribe: dm

Dv = −∇P dV + fe dV, Dt

por lo cual: Dv = −∇P + fe Dt [Es obvio, entonces, que la condici´on de equilibrio hidrost´ atico del elemento de masa de densidad ρ es ∇P = fe ]. Ahora bien, puesto que: ρ

3

Dv ∂v X ∂v dxi ∂v = + = + (v · ∇)v Dt ∂t ∂t dt ∂t i=1 la ecuaci´on de movimiento se escribe: ∂v + ρ(v · ∇)v + ∇P = fe ∂t o tambi´en, utilizando la identidad: ρ

(4.10)

∇(v · v) = 2(v · ∇)v + 2v × (∇ × v) y tomando en consideraci´on s´olo fuerzas externas derivables de un potencial (fe = −ρ∇G): dv 1 ρ + ρ∇v 2 − ρv × (∇ × v) + ∇P + ρ∇G = 0 (4.11) dt 2

4.3. FLUJO DE FLUIDOS

161

La segunda ecuaci´on importante en la mec´anica de fluidos corresponde a la conservaci´on de la masa y tiene la forma: ∇ · (ρv) +

∂ρ =0 ∂t

(4.12)

La vorticidad de un fluido es una extensi´on de la noci´on de velocidad angular y se define como: ξ = ∇ × v. Si ξ = 0 se dice que el fluido es irrotacional, que no tiene vorticidad. En tal caso ∇ × v = 0, lo que implica v = −∇φ, donde φ es el potencial de velocidad. En el caso de un fluido estacionario (independiente del tiempo), de densidad constante y sin remolinos, se sigue, de ec.(4.12) que ∇ · v = 0 y puesto que no tiene vorticidad: v = ∇φ; remplazando la segunda en la primera resulta que el potencial de velocidad satisface la ecuaci´on de Laplace: ∇2 φ = 0 y de la ec.(4.11):

µ ∇

1 2 ρv + P + ρG 2

¶ =0

de donde se obtiene la ecuaci´on de Bernoulli: 1 2 ρv + P + ρG = 0 2 Bastante usual en las aplicaciones es el caso en que G es el potencial gravitacional, tal que g = −∇G, es decir fe = ρg. Observemos que, de acuerdo al teorema de Helmholtz, el sistema de ecuaciones ∇ × v = 0 y ∇ · v = 0 es completo, y equivale a ∇2 φ = 0. Quedan por proveer las condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann.

4.3.1.

Ondas sonoras

Los experimentos permiten asegurar que el sonido en el aire corresponde a oscilaciones de la presi´on y la densidad del aire respecto a sus valores promedios P0 y ρ0 . Estos cambios est´an asociados al movimiento colectivo de las mol´eculas del aire. La segunda ley de Newton para un medio continuo, en ausencia de fuerzas externas y viscosas, seg´ un (4.10) tiene la forma: d ∂ (ρv) = (ρv) + v · ∇(ρv) = −∇P dt ∂t

(4.13)

Adem´as, de acuerdo a la ley de conservaci´on de la masa: ρ

∂v + ρ(v · ∇)v + ∇P = fe ∂t

(4.14)

162

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

La presi´on y la densidad est´an relacionadas por una ecuaci´on de estado. Para ondas sonoras, cuyas frecuencias van de 20 a 20000 Hertz, las oscilaciones tienen lugar tan r´apidamente que no hay intercambio de calor entre elementos diferenciales de volumen de aire durante una oscilaci´on, por lo cual la expansi´on y contracci´on del aire es adiab´atica. Esto significa que: µ ¶γ ρ P cp = , γ= (4.15) P0 ρ0 cv donde cp y cv son los calores espec´ıficos a presion y volumen constante. La propagaci´on del sonido puede describirse con las ecuaciones (4.13), (4.14) y (4.15). Ahora bien, los cambios en la presi´on y la densidad son peque˜ nas perturbaciones de los valores de equilibrio P0 y ρ0 , por lo cual, definiendo el cambio de densidad relativo como: δ = (ρ − ρ0 )/ρ0 , puede escribirse: µ ¶γ ρ = (1 + δ)γ ' 1 + γδ ρ0 y P ' P0 (1 + γδ). La velocidad v es a su vez una perturbaci´on respecto al valor cero de equilibrio del aire; en consecuencia: ∇ · (ρv) ' ρ0 ∇ · v. Tambi´en: ρ

dv ∂v ∂v 'ρ + ρv · ∇v ' ρ0 . dt ∂t ∂t

As´ı pues, las ecuaciones (4.13), (4.14) y (4.15) toman la forma: ρ0

∂v ∂ρ + ∇P = 0 , + ρ0 ∇ · v = 0 , P = P0 (1 + γδ). ∂t ∂t

Se sigue: ∂v ∂δ + P0 γ∇δ = 0 , +∇·v =0 ∂t ∂t Tomando la divergencia de la primera, la derivada temporal de la segunda y restando se obtiene: 1 ∂2δ ∇2 δ − 2 2 = 0, v ∂t p donde v = P0 γ/ρ0 corresponde a la velocidad del sonido en un gas. Si se trata de un gas ideal P0 = ρ0 RT /M , de modo que p v = γRT /M . ρ0

Es cierto que la presi´on, la densidad y la velocidad obedecen la misma ecuaci´on de ondas. Si el movimiento del aire es irrotacional (es decir, si no hay

´ DE DIFUSION ´ 4.4. ECUACION

163

v´ortices), entonces ∇ × v = 0, de donde v = −∇ϕ, siendo ϕ el potencial de velocidad. Se cumple entonces que: ∇2 ϕ −

1 ∂2ϕ =0 v 2 ∂t2

Para el caso de ondas que viajan a trav´es de un tubo, o est´an confinadas a una cavidad, las mol´eculas del gas en las paredes s´olo tienen movimiento tangencial, ˆ |S = ∂ϕ/∂n|S = 0. de modo que v · n Nota: Las aproximaciones realizadas en los anteriores c´alculos pueden ser justificadas mediante los siguientes argumentos. Para una onda sonora la velocidad v t´ıpica es de 340m/s. T´omese como ejemplo una onda de frecuencia ν = 500Hertz. Entonces λ ' 60cm. La velocidad de las mol´eculas del aire correspondiente a la oscilaci´on es del orden de a/T = 2πνa ' 10−4 , donde a es la amplitud de la oscilaci´on (' 10 −6 cm). El gradiente de la velocidad es ∂v/∂x ' 2πv/λ ' 10−4 seg −1 , y ∂v/∂t ' 2πνv ' 10cm/seg 2 ; adem´as v · ∇v ' v∂v/∂x ' 10−6 cm/seg 2 , por lo cual ∂v/∂t À v · ∇v, y en consecuencia dv/dt ' ∂v/∂t. Adem´as δ = (ρ − ρ0 )/ρ ' a/(λ/2) ≤ 10−7 .

4.4.

Ecuaci´ on de difusi´ on

4.4.1.

Ley de Fourier de difusi´ on del calor

Sea una barra de conductividad t´ermica k sometida en su interior a diferentes temperaturas en diferentes puntos. Experimentalmente se concluye que el calor fluye desde regiones de alta a regiones de baja temperatura. Resulta adem´as que la cantidad de calor que fluye por unidad de tiempo a trav´es de un ´area A es proporcional a la diferencia de temperatura entre dos puntos separados ∆x y al ´area transversal A, e inversa a ∆x: ∆Q ∆T ' −k A ∆t ∆x El signo “menos” indica que el calor fluye en direcci´on del decrecimiento de la temperatura. En el l´ımite ∆x → 0: dQ ∂T = −k A dt ∂x Equivalentemente, la densidad de flujo de calor J es proporcional al gradiente negativo de la temperatura: dQ ∂T J= = −k dA dt ∂x Esta ecuaci´on se conoce como Ley de Fourier de conducci´on del calor, o Primera ley de Fourier. Si el calor fluye hacia afuera del volumen en x + ∆x, y entra en x, la

164

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

rata neta con que el elemento de volumen A∆x recibe calor est´a dado por la rata con que entra menos la rata con que sale, m´as la rata de generaci´on de calor: à ¯ ¯ ¯ ¯ ! δQ dQ ¯¯ dQ ¯¯ ∂T ¯¯ ∂T ¯¯ = − + qA∆x = A k −k + qA∆x δt dt ¯x dt ¯x+∆x ∂x ¯x+∆x ∂x ¯x µ ¶ ∂ ∂T k ∆x + q A ∆x (4.16) = A ∂x ∂x donde q representa alguna fuente interna al s´olido que genere calor. q tiene unidades de calor´ıas/volumen×tiempo: rata de generaci´on de calor por unidad de volumen. La conductividad t´ermica puede ser funci´on de la posici´on. Pero tambi´en, el calor recibido da lugar a un incremento de la temperatura seg´ un la ley de Black: δQ δt

= =

1 ∆V (c∆m T |t+∆t − c∆m T |t ) = (cρ T |t+∆t − cρ T |t ) ∆t ∆t ∂ A∆x (cρ T ) ∂t

(4.17)

c es el calor espec´ıfico (cal/gr ◦ C) y ∆m = ρ A ∆x. Igualando (4.16) y (4.17) se obtiene la ecuaci´on de difusi´on del calor con fuentes volum´etricas: µ ¶ ∂ ∂T ∂ k − (cρ T ) = −q ∂x ∂x ∂t k/cρ se conoce como difusividad t´ermica; sus unidades son cm2 /seg. Las unidades de k son cal/cm· ◦ C·seg. La ecuaci´on obtenida es v´alida para flujo de calor en la direcci´on x, pero el caso general implica transporte de calor en las 3 direcciones espaciales, por lo cual puede escribirse, en forma invariante coordenada: ∇ · (k∇T (r, t)) −

∂(cρ T (r, t)) = −q(r, t) ∂t

o tambi´en:

∂E =q ∂t donde J = −k∇T y E = cρT representan la densidad de flujo de energ´ıa y la densidad volum´etrica de energ´ıa. Si k, ρ y c son constantes puede escribirse: ∇·J+

∇2 T (r, t) −

ρc ∂T (r, t) q(r, t) =− k ∂t k

La anterior ecuaci´on, con q = 0, se conoce como segunda ley de Fourier de la conducci´on del calor.

´ DE DIFUSION ´ 4.4. ECUACION

165

Casos en los cuales se genera calor en el interior de un medio ocurren con frecuencia en f´ısica e ingenier´ıa, como en un s´olido en cuyo interior hay decaimiento radioactivo, o como resultado de una reacci´on qu´ımica (la hidrataci´on del cemento es un ejemplo cotidiano). Si no hay fuentes calor´ıficas en el volumen en consideraci´on y la situaci´on f´ısica es estacionaria (es decir independiente del tiempo) la temperatura satisface la ecuaci´on de Laplace. Un caso particular importante es el de un medio (un horno por ejemplo) de temperatura uniforme (es decir T depende s´olo del tiempo); en tal caso: q(t) dT (t) = dt ρc Es claro de esta ecuaci´on que la temperatura ha de ser una funci´on creciente de t si q es una fuente y decreciente si es un sumidero. Muy variados problemas pueden ser analizados a partir de esta ecuaci´on dependiendo de si las fronteras son aisladas, o mantenidas a temperatura fija, o si desde ellas hay radiaci´ on de calor. En el primer caso, donde frontera aislada significa que no hay transporte de calor a traves de la superficie, de la ecuaci´on ¯ dQ ∂T ¯¯ =k = 0, dAdt ∂n ¯S se sigue

¯ ∂T ¯¯ =0 ∂n ¯S

En el segundo caso: T |S = constante. En el u ´ltimo caso es usualmente aplicable la ley de enfriamiento de Newton: ¯ dQ ∂T ¯¯ = H(T − T0 ) = k dA dt ∂n ¯S donde la constante H es la emisividad de la superficie, n es la coordenada normal a la superficie y T0 la temperatura ambiente. Esta ley incluye mecanismos de radiaci´on, conducci´on y convecci´on. Una situaci´on similar a la de difusi´on del calor se da en el caso de una sustancia qu´ımica que presenta un gradiente de concentraci´on. En este caso se obedecen las siguientes leyes: a) La sustancia se difunde de regiones de alta a baja concentraci´on. b) La rata de difusi´on a trav´es de un ´area es proporcional al ´area perpendicular a la direcci´on de la difusi´on molecular y a la rata de cambio espacial de concentraci´on. La ley de Fick de difusi´on tiene la forma: ∇ · (K(r)∇c(r, t)) =

∂c(r, t) ∂t

donde K(r) es el coeficiente de difusi´ on, que usualmente se considera funci´on de la concentraci´ on c(r, t), lo que hace que la ecuaci´on se convierta en no lineal. Tambi´en

166

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

la difusi´on de humedad a trav´es de un s´olido poroso como arena o madera puede a menudo ser aproximada por una ecuaci´on de difusi´on.

4.4.2.

Difusi´ on de neutrones

Otro ejemplo de difusi´on, en el que basta con una teor´ıa lineal, es el de la teor´ıa elemental de reactores nucleares, basada en la difusi´on de neutrones en medios fisionables. Consid´erese un modelo matem´atico con las siguientes propiedades: a) Los neutrones, cuya densidad volum´etrica escribiremos n0 , se difunden desde regiones de alta a regiones de baja concentraci´on. b) La rata de difusi´on a trav´es de un elemento de superficie es proporcional al ´area y a la rata de cambio espacial de concentraci´on de neutrones, normal a la superficie. c) El coeficiente de difusi´on para neutrones es inhomog´eneo e isotr´opico. d) El material fisionable absorbe neutrones en proporci´on directa a su densidad y velocidad e inversa al camino libre medio (λ): dn/dt = −nv/λ. e) La rata de producci´on de neutrones debido a la fisi´on es proporcional a la rata de absorci´on: dn0 /dt = Kc (n0 v/λ), donde Kc es el n´ umero promedio de neutrones producido cada vez que se captura uno para fisi´on. La ecuaci´on que describe estos procesos tiene la forma: ¡ ¢ v ∂n0 ∇ · D(r)∇n0 + (Kc − 1) n0 + g = , λ ∂t donde g es la rata de generaci´on de neutrones por unidad de volumen, y D es el coeficiente de difusi´on. Ejercicio: Considere una placa de material fisionable de gran ´area y espesor L. Sup´ongase que la densidad de neutrones decae r´apidamente desde el interior y que puede ser asumida cero en la superficie. Con g = 0: ∂ 2 n0 1 ∂n0 + B 2 n0 = , 2 ∂t D ∂t donde B 2 = (Kc − 1)v/λD es conocido como el buckling del sistema. Por la separaci´on de variables n = X(x)T (t) : ¨ X T¨ + B2 = = −α, X DT

de donde

h ³p ´ ³p ´i n0 = c1 cos B 2 + αx + c2 sen B 2 + αx e−Dαt .

4.5. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE

167

√ Con las condiciones de frontera: n0 |x=0,L = 0 se sigue: c1 = 0 y L B 2 + α = mπ con m entero, tal que: n0 (x, t) =

∞ X

sen

1

³ mπ ´ 2 2 2 2 x e−D(m π /L −B )t . L

A menos que m2 π 2 /L2 − B 2 sea mayor que cero, el t´ermino correspondiente a ese valor de m crecer´a indefinidamente con el tiempo. Con el prop´osito de mantener el exponencial decreciente se ha de exigir: m2 π 2 /L2 − B 2 ≥ 0,

de modo que

L ≤ mπ/B.

El menor valor posible de L es Lc = π/B al que se llama valor cr´ıtico. Resulta entonces: ∞ ³ mπ ´ X 2 n0 (x, t) = cm sen x e−Dπ(m −1)t/L L 1 Si L < π/B todos los exponenciales tienden a cero a medida que t aumenta, pero si L > π/B al menos un t´ermino aumenta exponencialmente, lo que conduce a una reacci´on en cadena no controlada. En los reactores nucleares dise˜ nados para generar energ´ıa el caso interesante es el cr´ıtico, en el que n0 ni crece ni se amortigua. En la pr´actica, no obstante, los reactores son dise˜ nados para operar en condici´on un poco por encima de la cr´ıtica, pero incrustando en ellos varillas absorbentes de neutrones que se retiran o sumergen lo suficiente para que el reactor funcione de modo estacionario. En la secci´on 8.3.5 encontraremos el c´alculo del radio y la masa cr´ıticos para una esfera de material fisionable. Problema: En un medio absorbente de neutrones es cierto que ∇2 n0 − βn0 = k

∂n0 ∂t

En t = 0 se produce una brusca emisi´ on de neutrones, de modo que n0 (r, 0) = δ(r). Halle n0 (r, t) para t > 0.

4.5.

Ecuaciones de Poisson y Laplace

Esta es una las ecuaciones t´ıpicas y m´as antiguas de la f´ısica matem´atica. Es la base de la descripci´on de la electrost´atica y la gravitaci´on. De acuerdo a la ley de Coulomb (1785), la fuerza el´ectrica que una distribuci´on de carga el´ectrica Q ejerce sobre una par´ıcula de prueba q localizada en el punto r est´a dada por Z 1 (r − r0 ) F(r) = dQ. 4π²0 |r − r0 |3

168

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

4.

Teniendo en cuenta que: (r − r0 ) = −∇ |r − r0 |3

µ

1 |r − r0 |

¶

se puede escribir: · F(r) = −∇

q 4π²0

Z

¸ dQ(r0 ) = −q∇φ(r) |r − r0 |

r − r0 dQ

φ(r) r

r0

•

Figura 4.9: Potencial el´ectrico debido a una distribuci´on de cargas. La funci´on φ aqu´ı definida es el potencial electrost´atico (figura 4.10): Z Z 1 dQ(r0 ) 1 ρ(r0 ) φ(r) = = dV 0 , 4π²0 |r − r0 | 4π²0 |r − r0 | siendo ρ(r0 ) la densidad volum´etrica de carga. Se sigue, tomando el laplaciano: µ ¶ Z Z 1 ρ(r0 )dV 0 1 1 2 2 0 2 ∇ φ(r) = ∇ = ρ(r )∇ dV 0 4π²0 |r − r0 | 4π²0 |r − r0 | y como:

µ ∇

2

tenemos: ∇2 φ(r) =

1 |r − r0 |

¶ = −4π δ(r − r0 )

1 × (−4π) 4π²0

Z ρ(r0 )δ(r − r0 ) dV 0 .

En consecuencia, en el interior de una distribuci´on de cargas, el potencial electrost´atico satisface la ecuaci´on de Poisson:

4.6. ECUACIONES DE MAXWELL

169

∇2 φ(r) = −ρ(r)/²0 El potencial gravitacional G(r) debido a una distribuci´on de masa con densidad volum´etrica ρ(r) satisface tambi´en una ecuaci´on de Poisson: ∇2 G(r) = 4π G ρ(r) Esta ecuaci´on fue propuesta por Poisson en 1801. El nombre potencial fue dado por Green en 1828 a una funci´on de la posici´on que hab´ıa sido introducida por Laplace en 1770. En este a˜ no Laplace tambi´en propuso la expresi´on que modernamente se escribe F = −∇G. En 1781 Laplace prob´o que en el espacio vac´ıo la funci´on G satisface la ecuaci´on ∇2 G = 0. Problema: Si el campo gravitacional g se define en la forma g = −∇G, demuestre que: ∇ · g = 4πGρ y ∇ × g = 0 La u ´ ltima ecuaci´ on indica que el campo de gravitaci´ on, que es un campo polar (v´ ease la secci´ on 1.2.4), es conservativo.

De otro lado, el campo magnetost´atico tiene l´ıneas de campo que se cierran sobre s´ı mismas, lo que implica que ∇ · B = 0, por lo cual y de acuerdo al cap´ıtulo 1 puede escribirse: B = ∇ × A. De acuerdo a la ley de Ampere (4.21) para el campo magnetost´atico: ∇ × B = µ0 J; es posible probar que Z µ0 J(r0 ) dV 0 A(r) = , 4π |r − r0 | si se acepta que ∇ · A = 0 (ver secci´on 1.8.3) y tomando el laplaciano de esta ecuaci´on, el potencial vectorial magn´etico satisface la ecuaci´on de Poisson vectorial: ∇2 A(r) = −µ0 J(r) La soluci´on a la ecuaci´on de Poisson escalar o vectorial requiere m´etodos especiales entre los cuales sobresale el de Fourier (cap. 5) y el de funciones de Green, que ser´a tratado, en el caso escalar, en el cap´ıtulo 7. En el exterior de las distribuciones de carga, masa o corriente los potenciales satisfacen la ecuaci´on de Laplace, ∇2 φ = 0, cuyas soluciones pueden ser obtenidas por separaci´on de variables en 11 sistemas de coordenadas.

4.6.

Ecuaciones de Maxwell

En el sistema internacional de unidades (M.K.S.C.) las ecuaciones propuestas por Maxwell en 1864, para el campo electromagn´etico generado por cargas y corrientes

170

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

4.

en el vac´ıo, tienen la forma: ∇·E = ∇·B = ∇×E = ∇×B

=

ρ/²0 0 ∂B − ∂t

(4.18) (4.19) (4.20)

µ0 J + µ0 ²0

∂E , ∂t

(4.21)

donde E, B, J y ρ son en general funciones de la posici´on y del tiempo y representan, respectivamente, el campo el´ectrico, el campo de inducci´on magn´etica, la densidad de corriente el´ectrica y la densidad volum´etrica de carga el´ectrica. En el caso m´as simple, (ρ = J = 0), se demuestra que los campos E y B obedecen ecuaciones de onda: tomando el rotacional de (4.20) y teniendo en cuenta que: ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2 E se sigue: ∇(∇ · E) − ∇2 E = −

∂ (∇ × B) , ∂t

y usando (4.18) y (4.21): ∂ −∇ E = − ∂t 2

µ ¶ ∂E µ0 ²0 , ∂t

tal que: ∇2 E − µ0 ²0

∂2E =0 ∂t2

An´alogamente, tomando el rotacional de (4.21): ∇(∇ · B) − ∇2 B = µ0 ²0

∂ (∇ × E) ∂t

y usando (4.19) y (4.20) se sigue: ∇2 B − µ0 ²0

∂2B =0 ∂t2

Resulta entonces que los campos electromagn´eticos pueden propagarse on√ dulatoriamente en el vac´ıo con una velocidad v = 1/ µ0 ²0 . Con ²0 = 8,8544×10−12 N−1 m−2 C2 y µ0 = 4π × 10−7 m Kg C−2 se obtiene v = 2,9979 × 108 m/s, que es la velocidad de la luz en el vac´ıo. Aqu´ı comienza la idea de la luz como una onda electromagn´etica.

´ DE SCHRODINGER ¨ 4.7. ECUACION

171

Problemas: 1. Sea una soluci´ on en ondas planas (v´ alida si ρ = 0 y J = 0) de la forma: E = E0 ei(k·r−ωt) , B = B0 ei(k·r−ωt) a. Demuestre, por substituci´ on en las ecuaciones de onda, que k2 = ω 2 /c2 . b. Por substitucion de los campos ondulatorios E y B en las ecuaciones de Maxwell demuestre que: k · E = 0, k · B = 0, E · B = 0. Estas ecuaciones revelan que los vectores E, B y k son perpendiculares entre s´ı y forman un sistema de mano derecha, y que por tanto las ondas electromagn´ eticas planas son transversas y en consecuencia polarizables. 2. Obtenga las ecuaciones de onda inhomog´ eneas que surgen si ρ 6= 0 y J 6= 0. 3. Demuestre que la ecuaci´ on de continuidad ∇·J+∂ρ/∂t = 0, que describe la conservaci´ on de la carga el´ ectrica, es una consecuencia matem´ atica de las ecuaciones de Maxwell. 4. Los campos de radiaci´ on electromagn´ etica a gran distancia de sus fuentes tienen la forma: E(r, t) = ˆ eθ

E0 i(kr−ωt) e , r

B(r, t) = ˆ eϕ

B0 i(kr−ωt) e r

Demuestre que estos campos satisfacen las ecuaciones de Maxwell con ρ = J = 0, si E0 /B0 = ω/k = c = (µ0 ²0 )−1/2 .

4.7.

Ecuaci´ on de Schr¨ odinger

La expresi´on m´as general, a nivel no relativista, del comportamiento cu´antico de las part´ıculas, incluida la cuantizaci´on de la energ´ıa, est´a dada por la ecuaci´on de Schr¨odinger. Esta ecuaci´on puede ser “deducida”de manera puramente formal −sin invocar las ideas de dualidad onda-part´ıcula de Einsten y De Broglie− de acuerdo a la siguiente prescripci´on: En la expresi´on mec´anico-cl´asica de la energ´ıa mec´anica: E = p2 /2m + V , donde p es el momento lineal de una part´ıcula puntual de masa m y V su energ´ıa potencial, la energ´ıa y el momento lineal han de ser reemplazados por operadores seg´ un la regla: E→−

~ ∂ , i ∂t

p→

~ ∇, i

donde ~ = h/2π y h es la constante de Planck (6,6256 × 10−34 J.s). As´ı pues, con p2 = −~2 ∇2 , la conservaci´on de la energ´ıa toma la forma del operador: −

~ ∂ ~2 2 =− ∇ +V i ∂t 2m

Una ecuaci´on de este tipo no tiene sentido f´ısico alguno si no hay alguna funci´on sobre la que actuen los operadores. Y ha de ser una funci´on continua, Ψ(r, t), a

172

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

4.

la que se conoce, despu´es de la interpretaci´on propuesta por Born, como amplitud de probabilidad. Esta funci´on describe propiedades de campo de las part´ıculas y da cuenta de la dualidad onda part´ıcula propuesta por De Broglie. El reemplazo formal de variables din´amicas por operadores conduce a la ecuaci´on de Schr¨odinger: −

~2 2 ∂Ψ(r, t) ∇ Ψ(r, t) + V (r, t) Ψ(r, t) = i~ 2m ∂t

En el cap´ıtulo 8 se resuelve esta ecuaci´on en dos casos espec´ıficos: el oscilador arm´onico y el ´atomo de hidr´ogeno. Problema: Demuestre que la ecuaci´ on de Schr¨ odinger admite la soluci´ on en ondas planas: i(k·r−ωt) ψ(r, t) = ψ0 e para una part´ıcula libre, (V (r) = 0), si se cumple que: ~ω = ~2 k2 /2m. Esta expresi´ on concuerda con la relaci´ on cl´ asica E = p2 /2m si se utilizan las relaciones de Einstein-De Broglie: E = ~ω y p = ~k.

4.8.

Ecuaci´ on de Klein-Gordon

La ecuaci´on de Schr¨odinger fu´e propuesta en la secci´on anterior al transformar en operadores el momento lineal y la energ´ıa que aparecen en la expresi´on E = p2 /2m + V . Esta ecuaci´on es v´alida solo en mec´anica newtoniana, no en relatividad especial, por lo cual la ecuaci´on de Schr¨odinger no es relativ´ısticamente correcta. Con el prop´osito de subsanar esta dificultad, el propio Schr¨odinger propuso una nueva ecuaci´on, esta vez relativista, cuya versi´on para part´ıcula libre est´a basada en la expresi´on: −p2 + E 2 /c2 = m2 c2 . El cambio de p y E por los operadores −i~∇, i~∂/∂t permite escribir: µ 2

−~

1 ∂2 − ∇2 c2 ∂t2

¶ = m2 c2

(4.22)

Al operar esta expresi´on sobre la funci´on escalar ψ(r, t) se obtiene la ecuaci´on de Klein-Gordon: · ³ mc ´2 ¸ 1 ∂2 2 − 2 2 +∇ − ψ(r, t) = 0 (4.23) c ∂t ~ Esta ecuaci´on, generalizada para incluir potenciales, fu´e abandonada por su autor al observar que no permit´ıa una descripci´on correcta de los niveles del ´atomo de hidr´ogeno. M´as tarde fu´e retomada por O. Klein y W. Gordon y utilizada para describir part´ıculas de spin cero. Se not´o entonces que esta ecuaci´on no pod´ıa describir el hidr´ogeno por la simple raz´on de que el electr´on tiene spin 1/2.

´ DE DIRAC 4.9. ECUACION

173

Problemas: 1. Demuestre que la ecuaci´ on de Klein-Gordon admite soluci´ on en ondas planas: ψ(r, t) = ψ0 ei(k·r−ωt) p si se cumple que: ω = ± k2 c2 + m2 c4 /~2 . Observe que esta expresi´ on concuerda con la ecuaci´ on relativista E 2 = p2 c2 + m2 c4 si se utilizan las relaciones de Einstein-De Broglie: E = ~ω y p = ~k. 2. Multiplique la ecuaci´ on de Klein-Gordon por ψ ∗ , y su complejo conjugada por ψ, reste ambas ecuaciones y demuestre que: ∇·J+

∂ρ =0 ∂t

con: J = k (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ,

4.9.

ρ=

k c2

µ ¶ ∂ψ ∂ψ ∗ −ψ ∗ +ψ ∂t ∂t

Ecuaci´ on de Dirac

La ecuaci´on relativista que describe part´ıculas de spin 1/2, entre ellas el electr´on, fu´e descubierta por P.A.M.Dirac en 1928. Es una ecuaci´on diferencial parcial de primer orden, de un tipo bastante peculiar, pues es a la vez una ecuaci´on matricial. La idea de Dirac es tomar la ra´ız cuadrada del operador (4.22), en la forma: r 1 ∂2 mc i − ∇2 = c2 ∂t2 ~ Sugiere luego que el radical es del tipo: r 1 ∂2 γ0 ∂ − ∇2 = +γ·∇ (4.24) c2 ∂t2 c ∂t Finalmente, al introducir una funci´on de onda ψ(r, t), se obtiene la ecuaci´on de Dirac: · µ ¶ ¸ γ0 ∂ mc i +γ·∇ − ψ(r, t) = 0 (4.25) c ∂t ~ γ0 y γ son 4 matrices de dimensi´on 4 × 4; en consecuencia, mc/~ debe estar multiplicada por la matriz identidad 4 × 4 y ψ habr´a de ser una matriz columna de 4 elementos. La ecuaci´on tiene la forma expl´ıcita: ( ·µ i I 0 c

¶ µ ∂ 0 0 − −I ∂t σ1

σ1 0

¶

µ ∂ 0 − σ2 ∂x

σ2 0

¶

µ -

mc ~

µ ∂ 0 − σ3 ∂y

I 0

σ3 0

¶

∂ ∂z

¶)µ ¶ ψ1 =0 ψ2

0 I

¸

174

4.

´ ECUACIONES DE LA F´ISICA MATEMATICA

En esta ecuaci´on σ1 , σ2 , σ3 son matrices 2×2, I es la identidad 2×2 y ψ1 , ψ2 son columnas de dos elementos: ¶ µ µ 0 1 0 σ1 = , σ2 = 1 0 i

¶ µ −i 1 , σ3 = 0 0

¶

0 −1

µ ¶ µ ¶ ϕ1 ϕ3 , ψ1 = , ψ2 = ϕ2 ϕ4

La condici´on de que el cuadrado del operador (4.24) reproduzca la ecuaci´on de Klein-Gordon para part´ıcula libre, conduce a las siguientes condiciones sobre las matrices de Dirac: γ0 γi + γi γ0 = 0 γi γj + γj γi = −2δij γ02 = I γi2 = −I con i, j = 1, 2, 3. I es la matriz identidad 4 × 4. Las matrices de Pauli, por su parte, obedecen las siguientes reglas: σi σj = −σj σi =

3 X

²ijk σk

,

σi2 = I

k=1

I es ahora la matriz identidad 2 × 2. La ecuaci´on de Dirac permite obtener el spin correcto del electr´on y predice la existencia del positr´on. ϕ1 y ϕ2 describen electrones de spin +1/2 y -1/2; ϕ3 y ϕ4 describen positrones de spin +1/2 y -1/2. A las funciones ψ, ψ1 , ψ2 se les conoce como espinores. Problema: Partiendo de la formas expl´ıcitas de las matrices de Pauli y Dirac, demuestre las propiedades mostradas en las listas.

4.10.

Las ecuaciones biarm´ onicas

Esta pareja de ecuaciones, de importancia en la teor´ıa de fluidos tiene la forma: Ecuaci´on biarm´onica : ∇4 φ = 0 Ecuaci´on de ondas biarm´onica : ∇4 φ −

1 ∂2φ =0 a2 ∂t2

donde a es una constante. Por definici´on: ∇4 = ∇2 ∇2 , de modo que, en coordenadas cartesianas: 3 3 3 X X ∂2 X ∂2 ∂4 = ∇4 = ∂x2i j=1 ∂x2j ∂x2i ∂x2j i=1 i,j=1 Problema: Escriba ∇4 en coordenadas esf´ ericas.

5

Bases Ortogonales La teor´ıa de espacios n-dimensionales de tipo euclidiano se basa en una generalizaci´on de la idea de espacio f´ısico tridimensional. Un grado mayor de abstracci´on conduce a la idea de espacios n-dimensionales complejos donde el producto escalar de dos vectores complejos A y B es A∗ · B, donde B∗ es el complejo conjugado de B. Esto implica que el m´odulo de un vector es real: A ∗ ·A = |A|2 . Una abstracci´on mayor, propuesta en el siglo XX, asegura que no s´olo son ejes coordenados los asociados a espacios euclidianos reales o complejos, pues tambi´en pueden serlo ciertos conjuntos de funciones linealmente independientes (l.i.), si se define apropiadamente la ortogonalidad de funciones. De ah´ı surgieron los Espacios de Hilbert, en los que cada eje coordenado es una funci´on. Y as´ı como un vector puede expresarse como la combinaci´on lineal de vectores l.i., result´o que lo mismo podr´ıa hacerse con funciones. Por ejemplo, puesto que el conjunto {sen nx, cos nx, 1}, con n entero es l.i. cualquier funci´on bien definida puede escribirse como su combinaci´on lineal. De aqu´ı resulta la conocida serie de Fourier. En general, cualquier conjunto de funciones l.i. puede servir de base para la construcci´on de espacios abstractos y para la expansi´on de funciones. La teor´ıa de bases ortogonales es u ´til, entre muchos, en el estudio de las ondas y el calor, en la electrodin´amica cl´asica y cu´antica, y en la f´ısica de part´ıculas elementales. En el presente cap´ıtulo se proponen las nociones elementales sobre bases discretas (espacios euclidianos reales y complejos, espacios de funciones enumerables) y continuas (espacios de funciones no enumerables), y una aplicaci´on ampliamente utilizada en f´ısica: series e integrales de Fourier.

175

176

5.

5.1.

Bases discretas

5.1.1.

Espacio Euclidiano n-Dimensional

BASES ORTOGONALES

El concepto de espacio vectorial de dimensi´on finita o infinita es una generalizaci´on de la noci´on de espacio tridimensional euclidiano, usual en la f´ısica newtoniana. El conjunto de cantidades A, B, C, . . ., para las cuales las operaciones de adici´on y multiplicaci´on por un escalar real est´an definidas es llamado un espacio vectorial (o espacio lineal). Si A, B, C, . . . son vectores de un espacio lineal han de satisfacer los siguientes axiomas: • A + B es vector. • A+B=B+A • (A + B) + C = A + (B + C) • A+0=A • A + B = 0 =⇒ B = −A Estas propiedades establecen que un espacio vectorial es un grupo conmutativo bajo la adici´on. Adem´as: • Si α es un escalar, αA es un vector. • Si α y β son escalares, α(βA) = (αβ)A • (α + β)A = αA + βA • α(A + B) = αA + αB De un espacio vectorial se dice que es n-dimensional (o de dimensi´on n) si n elementos linealmente independientes pueden ser encontrados en ´el, y si cualquier conjunto de n+1 elementos es linealmente dependiente; n puede ser finito o infinito. Cualquier conjunto de n elementos linealmente independientes de un espacio ndimensional es llamado una base. Ahora bien: por producto escalar en un espacio vectorial real se entiende una cantidad real definida para cada pareja de elementos A y B y denotada por (A, B), con las siguientes propiedades: • (A, A) > 0, y (A, A) = 0 si y s´olo si A = 0. p • La norma (o m´odulo) de un vector A se define como: k A k= (A, A) • (A, B) = (B, A) • (αA, B) = α(A, B), donde α es un n´ umero real. • (A, B + C) = (A, B) + (A, C) Una pareja de vectores A y B es ortogonal si (A, B) = 0. Un espacio lineal dotado de un producto escalar se conoce como Espacio Euclidiano. Si se cuenta con un conjunto {ˆ ei } de n vectores linealmente independientes podemos expresar un vector A en la forma: A=

n X i=1

Aiˆ ei

(5.1)

5.1. BASES DISCRETAS

177

donde Ai son las componentes del vector en la base {ˆ ei } que se escoge ortonormal (la base es ortogonal y los vectores ˆ ei son de m´odulo 1); es decir: (ˆ ei , ˆ ej ) = ˆ ei · ˆ ej = δij ; as´ı pues, los vectores ˆ ei son ortonormales. La operaci´on anterior define el producto escalar entre los vectores de la base. De (5.1) por multiplicaci´on escalar con ˆ ej : A·ˆ ej =

n X

Aiˆ ei · ˆ ej =

i=1

n X

Ai δij = Aj

i=1

tal que la componente Aj del vector A es su proyecci´on sobre el vector unitario ˆ ej . Entonces:

A

=

n X

Aiˆ ei =

i=1

=

A·

n X

(A · ˆ ei )ˆ ei =

i=1 n X

n X

A·ˆ ei ˆ ei

i=1

ˆ eiˆ ei

i=1

En consecuencia:

n X

ˆ ei ˆ ei = I

i=1

donde I es la identidad con respecto al producto escalar; esto es: A=A·I=I·A En coordenadas cartesianas: ˆk ˆ I = ˆiˆi + ˆjˆj + k I es una d´ıada, es decir una forma bilineal (ˆ eiˆ ej ) en los vectores de la base; vale decir, una d´ıada se define como combinaci´on lineal de las nueve cantidades ˆ ei ˆ ej . Escrita en la forma n n X X I= ˆ eiˆ ei = Iij ˆ eiˆ ej i=1

i,j=1

se sigue que Iij = δij : las componentes de la d´ıada identidad son los elementos de la delta de Kronecker. El m´odulo cuadrado de A es A·A=

n X i,j=1

.

Ai Aj ˆ ei · ˆ ej =

n X i=1

Ai Ai

178

5.

BASES ORTOGONALES

Espacios euclidianos complejos Adem´as de espacios euclidianos reales pueden considerar espacios euclidianos complejos, tambi´en dotados de un producto escalar. Sin embargo debe modificarse la definici´on de producto escalar dada antes, pues ahora resulta que de la expresi´on (αA, αB) = α2 (A, B) y con α = i se sigue que (iA, iB) = −(A, B), seg´ un lo cual las normas k iA k y k A k no pueden ser ambas positivas, en contradicci´on con la propiedad (A, A) ≥ 0 del producto escalar, que se pretende mantener v´alida. Para remediar esta dificultad, se define ahora el producto escalar como una cantidad compleja, con las siguientes propiedades:   X X X X (A, B) =  Aiˆ ei , Bj ˆ ej  = A∗i Bj (ˆ ei , ˆ ej ) = A∗i Bj ˆ e∗i · ˆ ej =

X i,j

i

A∗i Bj δij

j

=

X

i,j

A∗i Bi

i,j ∗

=A ·B

i

donde: (ˆ ei , ˆ ej ) = ˆ e∗i · ˆ ej = δij Obs´ervese que la operaci´on (A · B) toma el complejo conjugado de A y lo multiplica escalarmente por B. Es cierto entonces que: • (αA, B) = α∗ (A, B) = α∗ A∗ · B. • (A, αB) = α(A, B) = αA∗ · B. • (A, B) = (B, A)∗ Se dice que el producto escalar es antilineal respecto al primer factor y lineal respecto al segundo. La norma es real: X X (A, A) = A∗ · A = A∗i Ai = | Ai |2 . i

5.1.2.

i

Espacios de Funciones

Ahora bien, es posible extender la idea de espacios euclidianos de un n´ umero finito de dimensiones a espacios de funciones, esto es a espacios con un n´ umero finito o infinito de dimensiones donde los vectores de la base son funciones, en general complejas, ϕn (x), con n entero, para las cuales puede definirse apropiadamente una condici´on de ortogonalidad. Sea el conjunto infinito de funciones {ϕn (x)}, n = 1, 2, . . ., linealmente independientes, al que se llama espacio de Hilbert. La variable independiente x est´a definida en el intervalo (a, b). El conjunto infinito y linealmente independiente {ϕ∗n (x)} forma un espacio al que se llama el dual de {ϕn (x)}.

5.1. BASES DISCRETAS

179

Se dice que un conjunto {ϕn (x)} es linealmente independiente si la ecuaci´on an ϕn (x) = 0 se satisface s´olo si an = 0 para todo n. Un espacio lineal es, por definici´on, un espacio de Hilbert si: a) Es un espacio de funciones de dimensi´on infinita. b) Se ha definido un producto escalar (f, g), lineal respecto a g (esto es, tal que L(ag) = aLg) y antilineal respecto a f (esto es, tal que L(af ) = a∗ Lf ), donde a es una constante compleja en general, y p con las condiciones (g, f ) = (f, g)∗ y (f, f ) > 0 para todo f 6= 0; la cantidad ||f || = (f, f ) se llama la norma de f . El producto interno o producto escalar de las funciones f (x) y g(x) en un espacio de Hilbert se define como: P

Z (f, g) =

b

f (x)∗ g(x) dx

(5.2)

a

La condici´on de que los ”vectores” f (x) y g(x) sean ortogonales se escribe Z b (f, g) = f ∗ (x)g(x) dx = 0 a

Ortogonalidad Por definici´on, la base discreta {ϕn (x)}, con n entero, es ortogonal en el intervalo (a, b) si: Z (ϕn , ϕm ) ≡ a

b

ϕ∗n (x)ϕm (x) dx = An δmn

(5.3)

Rb Con n = m es f´acil concluir que An = a |ϕn (x)|2 dx = (ϕn , ϕn ). La base es ortonormal si An = 1. N´otese que: (ϕn , ϕm ) = (ϕm , ϕn )∗ , (aϕn + bϕm , ϕl ) = a∗ (ϕn , ϕl ) + b∗ (ϕm , ϕl ) , (ϕm , ϕm ) > 0 si ϕm 6= 0. La base {ϕm (x)}, como se ver´a en el cap´ıtulo 6, es un conjunto completo de autofunciones de un operador lineal. La condici´on de ortogonalidad puede ser extendida para incluir un factor de peso: la base {ϕn (x)} es ortogonal de peso p(x), con p(x) real, en a ≤ x ≤ b si: Z (p ϕn , ϕm ) ≡ a

=

b

p(x)ϕ∗n (x)ϕm (x) dx Z

b

δnm

p(x)|ϕn (x)|2 dx = δnm (pϕn , ϕn ) = An δnm

a

y es ortonormal de peso p(x) si adem´as: Z b p(x)|ϕn (x)|2 dx = 1 An ≡ a

180

5.

BASES ORTOGONALES

Obs´ervese que: p • Si {ϕn (x)} es base ortogonal de peso p(x) entonces { p(x)ϕn (x)} es base ortogonal de peso 1. Se escoger´a siempre p(x)p real, solo as´ı p puede garantizarse que (p ϕn , ϕm ) es real. Ens´ayese, sin embargo: ( p(x) ϕn (x), p(x)ϕm (x)), con p(x) complejo. • Si {ϕn (x)} es base ortogonal de peso p(x): Z

b

a

p(x)ϕ∗n (x)ϕm (x) dx = An δnm

n o p entonces: ϕn (x) p(x)/An es base ortonormal de peso 1. Completez Concebido {ϕn (x)} como un conjunto completo de “vectores unitarios”, cualquier ¡R b ¢ funci´on f (x) de cuadrado integrable a |f (x)|2 dx 6= ∞ , continua o con un n´ umero finito de discontinuidades, puede expresarse como combinaci´on lineal de ϕn (x): f (x) =

X

Cn ϕn (x)

(5.4)

n

En el sentido del ´algebra lineal f (x) es un vector, pues es combinaci´on lineal de los vectores de la base {ϕn (x)}. Los coeficientes constantes Cn son las componentes del vector f (x). Cn puede obtenerse, conocida f (x), al multiplicar la ecuaci´on anterior por p(x)ϕ∗m (x), integr´andola en x y teniendo en cuenta la ortonormalidad de la base: Z a

b

p(x)f (x)ϕ∗m (x) dx =

X n

=

X

Z Cn a

b

p(x)ϕ∗m (x)ϕn (x) dx

Cn δmn = Cm

n

o, cambiando, por conveniencia posterior, m por n y x por x0 : Z Cn = a

Reemplazando en (5.4):

b

p(x0 )f (x0 )ϕ∗n (x0 ) dx0

5.1. BASES DISCRETAS

f (x)

181

∞ X

=

Z

n=1

Z

b

=

b

ϕn (x) Ã f (x0 )

a

a

p(x0 )f (x0 )ϕ∗n (x0 ) dx0

X

! p(x0 )ϕ∗n (x0 )ϕn (x)

dx0

n

Rb

f (x0 )δ(x − x0 ) dx0 se sigue que à ! Z b Z b X f (x0 )δ(x0 − x) dx0 = f (x0 ) p(x0 )ϕ∗n (x0 )ϕn (x) dx0

y como: f (x) ≡

a

a

a

n

por tanto, los n´ ucleos de las dos integrales deben ser iguales, lo que conduce a: X

p(x0 )ϕ∗n (x0 )ϕn (x) = δ(x − x0 )

(5.5)

n

Esta ecuaci´on es conocida como condici´on de completez del conjunto {ϕn (x)}. Es a la vez una representaci´on en serie de la delta de Dirac. Afirma en esencia que la base contiene todods los φn (x) necesarios para expandir cualquier funci´on f (x). Este es el contenido de (5.5). Teoremas: 1) El conjunto {ϕn (x)} es completo si para cualquier funci´on f (x) de cuadrado integrable se cumple que Z b X |f (x)|2 dx = |Cn |2 a

n

Demostraci´ P on: Si f (x) puede expandirse en la base ortonormal {ϕn (x)}, es decir si f (x) = n Cn ϕn (x) entonces {ϕn (x)} es completo; se sigue que: Z

b

f ∗ (x)f (x) dx

=

a

X mn

=

X mn

Z Cn∗ Cm

b

a

Cn∗ Cm δmn

ϕ∗n ϕm dx =

X

|Cn |2

n

En el anterior teorema se ha utilizado la integral que define la norma del “vector” f (x) del espacio de Hilbert: Z b Z b ∗ 2 |f (x)|2 dx f (x)f (x) dx = Norma de f (x) = ||f (x)|| = a

a

182

5.

BASES ORTOGONALES

2) El producto interno (o producto escalar) de los ”vectores” f (x) y g(x) en un espacio de Hilbert es: X (f, g) = Cn∗ Dn n

Este resultado se obtiene reemplazando: X X f (x) = Cn ϕn (x) , g(x) = Dm ϕm (x), en n

m

Z

b

(f, g) =

f ∗ (x)g(x) dx ,

a

3) Un conjunto {ϕn (x)} ortogonal es linealmente independiente. Rb En efecto, de a ϕ∗n ϕm dx = 0, para n 6= m se sigue, multiplicando por an y sumando en n: X X Z b an δmn = am ϕ∗n ϕm dx = 0= an a

n

n

4) Cualquier funci´on continua f (x) que sea ortogonal a todas las funciones {ϕn (x)} debe ser id´enticamente cero. Es decir: Z b X si f (x)ϕ∗m (x) dx = 0 entonces, con f (x) = Cn ϕn (x) : a

n

X n

Z Cn a

b

ϕ∗m (x)ϕn (x) dx = Cm = 0

de donde: f (x) = 0. 5) Si f (x) es continua en (a, b), si tiene derivadas continuas por secciones y si satisface las condiciones de frontera αf (a) + β f˙(a) = 0 ,

γf (b) + δ f˙(b) = 0

con α2 + β 2 6= 0, y γ 2 + δ 2 6= 0, entonces la serie generalizada de Fourier de f (x) X Cn ϕn (x) n

converge a f (x) absoluta y uniformemente. 6) Si f (x) es suave por pedazos sobre (a, b) (continua o discontinua) entonces la serie generalizada de Fourier de f (x) converge para a < x < b al valor f (x) en cada punto de continuidad y al valor 1 [f (x+ ) + f (x− )] 2

5.1. BASES DISCRETAS

183

en cada punto de discontinuidad. Un ejemplo de una funci´on con un n´ umero finito de discontinuidades se muestra en la figura 5.1.

f (x)

x

Figura 5.1: Funci´on con un n´ umero finito de discontinuidades

Ejemplos de funciones ortonormales discretas La ortonormalidad se expresa con (5.3): Z a

b

p(x)ϕ∗n (x)ϕm (x) dx = δnm

La completez se expresa con (5.5): X

p(x)ϕ∗n (x)ϕn (x0 ) = δ(x − x0 )

n

Desde a1 hasta c3 : n = 1, 2 . . ., y desde d1 hasta e3 : n = −∞ → ∞

184

5.

a1 ) a2 ) a3 ) b1 ) b2 ) b3 ) c1 ) c2 ) c3 ) d1 ) d2 ) d3 ) e1 ) e2 ) e3 )

BASES ORTOGONALES

p {ϕn (x)} = {p2/L sen (nπx/L)} {ϕn (φ)} = {p2/β sen (nπφ/β)}, β < π {ϕn (φ)} = {p2/π sen nφ} {ϕn (x)} = { 2/L cos (nπx/L), √1L } p {ϕn (φ)} = { 2/β cos (nπφ/β), √1β }, β < π p {ϕn (φ)} = { 2/π cos nφ, √1π } {ϕn (x)} = { √1L sen (nπx/L), √1L cos (nπx/L), √12L } {ϕn (φ)} = { √1β sen (nπφ/β), √1β cos (nπφ/β), √12β } {ϕn (φ)} = { √1π sen nφ, √1π cos nφ, √12π } {ϕn (x)} = { √12L einπx/L } {ϕn (φ)} = { √12β einπφ/β } {ϕn (φ)} = { √12π einφ } {ϕn (x)} = { √1L e2inπx/L } {ϕn (φ)} = { √1β e2inπφ/β } {ϕn (φ)} = { √1π e2inφ }

0≤x≤L 0≤φ≤β 0≤φ≤π 0≤x≤L 0≤φ≤β 0≤φ≤π c ≤ x ≤ c + 2L c ≤ φ ≤ c + 2β c ≤ φ ≤ c + 2π c ≤ x ≤ c + 2L c ≤ φ ≤ c + 2β c ≤ φ ≤ c + 2π 0≤x≤L 0≤φ≤β 0≤φ≤π

Problema: Escriba las condiciones de ortonormalidad y completez para las anteriores bases ortonormales de peso 1. Otras bases, que se exploran despu´ es, son las de Bessel, Hermite y Laguerre, que son de peso x, e−x 2 y e−x , respectivamente.

5.2.

Bases continuas

En la secci´on precedente se estudiaron conjuntos infinitos y enumerables {ϕn (x)} de funciones ortonormales (o al menos ortogonales). Es posible tambi´en el caso en que el ´ındice n llega a ser una variable continua. Se tienen entonces conjuntos continuos, no enumerables, de funciones ortonormales, que son u ´tiles para realizar expansiones en dominios infinitos o semi-infinitos, as´ı como las enumerables permiten expandir funciones en dominios finitos de la variable x. En lo que sigue se considera el conjunto {ϕ(k, x)} con k y x variables continuas, definidas en un intervalo infinito o semi-infinito. Ante todo, y como motivaci´on, consid´erese el paso de una base discreta de Fourier a una base continua. Sea la base discreta ½ {ϕn (x)} =

¾ 1 inπx/L √ e , n = −∞ . . . ∞, −L ≤ x ≤ L 2L

(5.6)

en el l´ımite en que L −→ ∞. En este caso el par´ametro k definido como k = nπ/L cambia de modo continuo a medida que n cambia de un entero al siguiente (∆k = π∆n/L −→ 0). En consecuencia δnn0 −→ δkL/π,k0 L/π , tal que de una delta de

5.2. BASES CONTINUAS

185

Kronecker se pasa a una delta de Dirac, como se bosqueja en las siguientes l´ıneas: µ ¶ L π 0 0 δnn0 −→ δkL/π,k0 L/π −→ δ(kL/π − k L/π) = δ (k − k ) = δ(k − k 0 ), π L donde se ha tenido en cuenta que δ (a(k − k 0 )) = δ(k − k 0 )/| a |. As´ı pues, la condici´on de ortonormalidad Z

L

0

ei(n−n )πx/L dx = 2Lδnn0 ,

−L

se transforma, con L −→ ∞ en: Z ∞ 0 ei(k−k )x dx = 2πδ(k − k 0 ), −∞

y la condici´on de completez (5.5) para la base exponencial (5.6): ∞ 1 X inπ(x−x0 )/L e = δ(x − x0 ) 2L n=−∞

se escribe, con ∆n = L∆k/π: Z ∞ ∞ ∞ 0 1 X inπ(x−x0 )/L 1 X ik(x−x0 ) 1 e ∆n = e ∆k −→ eik(x−x ) dk = δ(x−x0 ). 2L n=−∞ 2π −∞ 2π −∞ Es decir:

Z

∞

0

eik(x−x ) dk = 2πδ(x − x0 )

−∞

La base ortonormal es ahora: ½ {ϕ(k, x)} =

1 √ eikx 2π

¾

As´ı pues, y en forma general, se dice que un conjunto {ϕ(k, x)}, con x y k variables continuas definidas, respectivamente, en (a, b) y (c, d) es ortonormal de peso p(x), con p(x) real, si:

Rb a

ϕ∗ (k, x)ϕ(k 0 , x) dx = δ(k − k 0 )

,

a≤x≤b,

c≤k≤d

(5.7)

186

5.

BASES ORTOGONALES

Obs´ervese, de acuerdo a los argumentos precedentes, que para una base continua las variables x y k se extienden sobre dominios infinitos (o al menos semiinfinitos, como lo sugiere el estudio de la base { sen (nπx/L)} con n llevado al l´ımite del continuo). Esto da lugar a una conclusi´on importante: Las bases discretas de Fourier est´ an asociadas a intervalos finitos, en tanto que las bases continuas de Fourier lo est´ an a dominios infinitos o semi-infinitos. Otro ejemplo de esta u ´ltima afirmaci´on puede encontrarse en el estudio de las bases discreta y continua de Bessel desarrollado en la secci´on 8.3.2. Sin embargo, las bases de Hermite y Laguerre, estudiadas en las secciones 8.5 y 8.6, son discretas y tienen dominio infinito y semiinfinito respectivamente. Si {ϕ(k, x)} es un conjunto completo, una funci´on f (x) puede ser considerada como un vector en este espacio y puede expandirse en la forma:

f (x) =

Rd c

C(k)ϕ(k, x) dk

(5.8)

expresi´on que es la extensi´on al continuo de la ecuaci´on (5.4): en vez de sumar sobre el ´ındice discreto n, integramos sobre el ´ındice continuo k. El coeficiente C(k), correspondiente a las “componentes” de f (x), puede obtenerse multiplicando (5.8) por p(x)ϕ∗ (k 0 , x) e integrando en dx: Z

b

Z

d

f (x)p(x)ϕ∗ (k 0 , x) dx =

a

Z

c

Z

b a

d

=

C(k)p(x)ϕ∗ (k 0 , x)ϕ(k, x) dx dk "Z # b

C(k) c

Z

p(x)ϕ∗ (k 0 , x)ϕ(k, x) dx dk

a d

=

C(k)δ(k − k 0 ) dk = C(k 0 )

c

o, con un ligero cambio de notaci´on: Z b C(k) = f (x0 )p(x0 )ϕ∗ (k, x0 ) dx0 a

Al reemplazar en (5.8): Z f (x)

Z

Z

d

= c b

= a

C(k)ϕ(k, x) dk = "Z d

f (x0 ) c

b a

Z c

d

f (x0 )p(x0 )ϕ∗ (k, x0 )ϕ(k, x) dk dx0 #

p(x0 )ϕ∗ (k, x0 )ϕ(k, x) dk dx0

5.2. BASES CONTINUAS

y como: f (x) ≡

Rb a

Rd c

187

f (x0 )δ(x − x0 ) dx0 se sigue:

p(x0 )ϕ∗ (k, x0 )ϕ(k, x) dk = δ(x − x0 )

(5.9)

La ecuaci´on (5.9) es la condici´on de completez para conjuntos no enumerables de funciones ortonormales de peso p(x). (5.9) es simult´aneamente una representaci´on integral de la delta de Dirac. Para conjuntos enumerables la condici´on de completez se expresa con (5.5) Obs´ervese el papel sim´etrico que juegan las variables k y x en (5.7) y (5.9). Parejas como esta que hacen posible que (5.7) se convierta en (5.9) mediante los cambios: k ←→ x, k 0 ←→ x0 se llaman variables conjugadas; aparecen por ejemplo en la fase espacial de una onda eikx , tambi´en lo son ω y t en la fase temporal eiωt y son de notable importancia en la ´optica de Fourier y en el estudio de la dualidad onda-part´ıcula en la mec´anica cu´antica. C(k) en (??) se conoce con el nombre gen´erico de transformada de f (x). Una transformada de Fourier, por ejemplo, est´a asociada a la base eikx .

Ejemplos de funciones ortonormales continuas p p a) {ϕ(k, x)} = { 1/π sen kx, 1/π cos kx, }; 0 ≤ k < ∞ ; −∞ < x < ∞ p b){ϕ(k, x)} = { 2/π sen kx} ; 0 ≤ k < ∞ ; c){ϕ(k, x)} = {

p

2/π cos kx,

√ d){ϕ(k, x)} = {eikx / 2π} ;

p

1/π} ;

0≤x −1, es bastante util: √ −(m+1) Z 1 π2 Γ(m + 1) m x Pl (x)dx = m−l Γ(1 + 2 )Γ( m+l+3 ) 0 2 Es cierto que

Z

1

£ ¤ xm Pl (x)dx = (−)l+m + 1

Z

−1

1

xm Pl (x)dx

0

R1 de donde se sigue que: −1 xm Pl (x)dx = 0 si m < l o m + l = impar. Adem´as, si m = l: √ Z 1 2l+1 (l!)2 l! π = xl Pl (x)dx = l 2 Γ(3/2 + l) (2l + 1)! −1

8.4.1.

Ortogonalidad y normalizaci´ on

Los polinomios de Legendre Pl (x) satisfacen la ecuaci´on (8.23) con m = 0: · ¸ d dPl (x) (1 − x2 ) + l(l + 1)Pl (x) = 0 (8.26) dx dx Esta ecuaci´on es autoadjunta; de acuerdo a la ecuaci´on 6.3: Z 2

[(1 − x )W (Pl (x), P

l0

(x))]x=1 x=−1

0

0

1

Pl (x)Pl0 (x) dx = 0

+ [l(l + 1) − l (l + 1)] −1

334

8.

FUNCIONES ESPECIALES

El t´ermino de la izquierda se anula en x = ±1, haciendo que el conjunto {Pl (x)} sea ortogonal en el intervalo (−1, 1). El factor de normalizaci´on puede ser evaluado haciendo uso de la siguiente expresi´on, que define la funci´ on generatriz de los polinomios de Legendre: ∞

X 1 = Pl (x)tl (1 + t2 − 2xt)1/2 l=0 Elevando al cuadrado e integrando en x: Z

∞

1 −1

y como:

R1 −1

1 −1

Z

dx 1 + t2 − 2xt

R1

Pl (x)Pl0 (x) dx

Pl2 (x)dx:

−1

=

∞ X

Z t2l

1

−1

l=0

=

1 −1

l=0 l =0

Pl (x)Pl0 (x)dx = δll0 Z

∞

XX 0 dx = tl+l 2 1 + t − 2xt 0

1 ln t

µ

Pl2 (x)dx

1+t 1−t

¶ =2

∞ X l=0

t2l (2l + 1)

Por comparaci´on de las dos series se sigue: R1 2 2 P (x)dx = (2l+1) , tal que la condici´on de ortogonalidad toma la forma: −1 l R1 −1

Pl (x)Pl0 (x)dx = 2δll0 /2l + 1

(8.27)

np o Obs´ervese que la base ortonormal no es {Pl (x)} sino (2l + 1)/2 Pl (x) . El factor de peso es 1. Los polinomios de Legendre forman un conjunto completo, tal que una funci´on f (x), bien comportada puede, en el intervalo (−1, 1), expandirse en una serie de Legendre: ∞ X f (x) = al Pl (x) , (8.28) l=0

de donde: al =

2l + 1 2

Z

1

f (x)Pl (x)dx −1

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

335

Problema: 1. Considere una funci´ on f (x) definida en el intervalo (0, 1). Realizar la extensi´ on par a (−1, 1). Demuestre entonces que: f (x)

∞ X

=

a2l P2l (x) , con

l=0

a2l

=

Z

1

(4l + 1) 0

f (x)P2l (x) dx

Demuestre que si se hace la extensi´ on impar se obtiene: f (x)

=

∞ X

a2l+1 P2l+1 (x)

l=0

a2l+1

=

Z

1

(2l + 3) 0

f (x)P2l+1 (x) dx

2. Demuestre que la condici´ on de completez de la base {Pl (x)} tiene la forma: δ(x − x0 ) =

1 2

P∞

l=0 (2l

+ 1)Pl (x)Pl (x0 )

l = 0, 1, 2 . . .

(8.29)

Ejercicio: Expansi´ on de una onda plana en ondas esf´ ericas. Una onda plana tiene en general la forma eik·r , donde k es el vector de propagaci´on, perpendicular a los planos de fase constante. Como se quiere considerar propagaci´on en direcci´on z ha de escribirse eik·r = eikz = eikr cos θ , donde r y θ son coordenadas esf´ericas. La onda que se propaga en direcci´on z tiene simetr´ıa azimutal (es decir es independiente de φ) por lo cual en coordenadas esf´ericas puede expresarse como combinaci´on lineal de Pl (cos θ)jl (kr). Recu´erdese que Yl0 ∝ Pl . As´ı pues, expandir en ondas esf´ericas una onda plana que se propaga en z implica escribir: eikr cos θ =

∞ X

cl Pl (cos θ)jl (kr).

l=0

ηl (kr) se excluye pues genera infinitos en el origen de coordenadas. Con el fin de evaluar cl multipliquemos por Pl0 (x) e integremos en x, recordando que x = cos θ. De la condici´on de ortogonalidad de Pl se sigue: Z (2l + 1) ∞ ikrx jl (kr)cl = e Pl (x) dx = (2l + 1)il jl (kr), 2 0 La integral es realizada en el siguiente problema. Se sigue entonces: cl = (2l + 1)il . As´ı pues: eikr cos θ =

∞ X l=0

(2l + 1)il Pl (cos θ)jl (kr).

336

8.

FUNCIONES ESPECIALES

[La generalizaci´on para k arbitraria, con (θ0 , ϕ0 ) asociados a la direcci´on k y (θ, ϕ) asociados a la direcci´on r, tiene la forma: e

ik·r

= 4π

l ∞ X X

∗ il jl (kr)Ylm (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)

l=0 m=−l

Los arm´onicos esf´ericos Ylm (θ, ϕ) se definen en la secci´on 8.4.5.] Problema: Utilizando la f´ ormula de Rodrigues para Pl , integrando por partes y utilizando µ ¶ 1 d l sen x jl (x) = (−x)l , x dx x demuestre que Z 1

−1

eikrx Pl (x)dx = 2il jl (kr)

Este resultado fu´ e usado en el ejercicio anterior.

8.4.2.

Soluci´ on a la ecuaci´ on de Laplace con m = 0

El conjunto de ecuaciones (8.23) tiene como soluci´on para m = 0: U (r) = Arl+1 + Br−l , G(ϕ) = aϕ + b P (x) = EPl (x) + F Ql (x) , pero como Ql (x) no es convergente en x = ±1 es necesario hacer F = 0 en aquellas situaciones que incluyen estos dos puntos extremos. Adem´as si el ´angulo completo entre 0 y 2π est´a involucrado, entonces a = 0 para asegurar la continuidad de la soluci´on; es decir, para que se cumpla que G(ϕ) = G(ϕ + 2π). En consecuencia, puesto que la funci´on φ en ∇2 φ(r, θ, ϕ) = 0 ha sido separada en la forma: φ(r, θ, ϕ) = tendremos: φ(r, θ, ϕ) =

U (r) G(ϕ)P (x) , r

¶ ∞ µ X Bl Al rl + l+1 Pl (cos θ) r

(8.30)

l=0

La ecuaci´on ordinaria de Legendre corresponde al caso m = 0 que permite describir situaciones con simetr´ıa azimutal (independencia de ϕ). Si el ´angulo no abarca 2π entonces no s´olo hay que incluir aϕ + b sino adem´as m 6= 0, lo que exige considerar la ecuaci´on m´as general (8.23). Ejercicio: En el interior de un cascar´on esf´erico diel´ectrico de radio R el potencial electr´ostatico satisface la ecuaci´on de Laplace. Si en la superficie el potencial es f (θ), evaluar φ(r, θ).

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

337

Puesto que en el interior no hay distribuciones singulares de carga que puedan dar infinitos se sigue B = 0, y como φ(R, θ) = f (θ): f (θ) =

∞ X

Al Rl Pl (cos θ)

l=0

La condici´on de ortogonalidad (8.27) puede expresarse en la forma Z π 2 Pl (cos θ)Pl0 (cos θ) sen θdθ = δll0 2l + 1 0 como puede probarse f´acilmente haciendo x = cos θ. Utilizando esta condici´on puede evaluarse Al . Problema: 1. Considere una esfera pulsante de radio a en el interior de un fluido y tal que la presi´ on en la superficie r = a es de la forma: P = P0 e−iωt . Si, vistas desde lejos, las ondas tienen la forma f (r, θ)ei(kr−ωt) , demuestre que: P = P0 (a/r)ei[k(r−a)−ωt] . 2. En el interior de un hemisferio de radio R se satisface la ecuaci´ on de Laplace. Evaluar φ(r, θ) si: • φ = 0 en θ = π/2 , 0 ≤ r < R • φ = f (θ) en r = R , 0 ≤ θ < π 3. Evaluar el potencial electrost´ atico en el exterior de una esfera conductora de radio R a potencial V constante. Exija no s´ olo que φ = V en r = a, sino tambi´ en φ −→ 0 en r −→ ∞. Respuesta: φ = V a/r 4. Evaluar el potencial electrost´ atico en el exterior de una esfera conductora de radio R colocada en un campo el´ ectrico originalmente uniforme E = E0 k. Utilice las siguientes condiciones de frontera: a. φ = 0 en r = a b. φ −→ −E0 z = −E0 r cos θ en r −→ ∞ Justifique la segunda condici´ on. Respuesta: φ = −E0 r cos θ[1 − (a/r)3 ]

Ejercicio: El potencial electrost´atico en un punto sobre el eje de una distribuci´on anular de carga de radio a y carga total q se calcula de la siguiente forma: Z 1 dq q q φ = = = 4π²0 r 4π²0 r 4π²0 (z 2 + a2 )1/2 ¤−1/2 q £ = 1 + (a/z)2 4π²0 z para z > a podemos hacer expansi´on de binomio utilizando la expresi´on (A + B)−n =

∞ X (−)k (n + k − 1)! k=0

k!(n − 1)!

A−n−k B k ,

Ba

(8.31)

k=0

Ahora bien, en un punto cualquiera el potencial est´a dado por la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace (obs´ervese la simetr´ıa azimutal): ¶ ∞ µ X Bl φ(r, θ, ϕ) = Al rl + l+1 Pl (cos θ) (8.32) r l=0

Si en esta expresi´on general se escoge θ = 0◦ el potencial obtenido debe coincidir con el del anillo en su eje. Puesto que para θ = 0◦ se obtiene r = z, se sigue, con Pl (cos 0◦ ) = Pl (1) = 1: ¶ ∞ µ X Bl φ(z, 0, ϕ) = Al z l + l+1 ; z l=0

comparando con (8.31) es cierto que: Al = 0 y: ∞ q X (−)k (2k)! ³ a ´2k 4π²0 z 22k (k!)2 z

=

∞ X Bl z l+1

=

∞ ∞ X X B2k B2k+1 + 2k+1 z z 2k+2

k=0

l=0

k=0

k=0

de donde: B2k+1 = 0 y: B2k =

q (−)k (2k)!a2k 4π²0 22k (k!)2

Finalmente entonces, la ecuaci´on (8.32), toma la forma: φ(r, θ, ϕ) =

∞ ∞ X X B2k B2k+1 P (cos θ) + P2k+1 (cos θ) 2k r2k+1 r2k+2

k=0

=

k=0

∞ q X (−)k (2k)!a2k P2k (cos θ) 4π²0 22k (k!)2 r2k+1 k=0

8.4.3.

La familia de la ecuaci´ on de Legendre

Consid´erese la siguiente transformaci´on que act´ ua sobre la ecuaci´on ordinaria de Legendre: Pl (x) = (1 − x2 )−a ψl (x)

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

339

con a ≥ 0 para asegurar la convergencia de ψl (x) en x = ±1. Se sigue: (1 − x2 )ψ¨l − 2x(−2a + 1)ψ˙ l + [4a2 x2 (1 − x2 )−1 + l(l + 1)]ψl = 0 •

Si a = 0 se obtiene la ecuaci´on ordinaria de Legendre. • Si a = 1/2: · ¸ x2 2 ¨ (1 − x )ψl + + l(l + 1) ψl = 0 1 − x2

Otra familia puede generarse con la transformaci´on: Pl (x) = (1 − x2 )−a xb ψl (xc ) , que se reduce a la familia anterior si b = c = 0, y que comprende casos como a = c = 0, ´o b = 0 entre otros.

8.4.4.

Polinomios asociados de Legendre

Son los obtenidos de la ecuaci´on (8.23) con m 6= 0. Son u ´tiles para describir situaciones donde no hay simetr´ıa azimutal. En vez de repetir el procedimiento de Frobenius puede seguirse otro consistente en obtener la ecuaci´on asociada a partir de la ecuaci´on ordinaria: De la ecuaci´on ordinaria de Legendre (1 − x2 )¨ y − 2xy˙ + l(l + 1)y = 0, donde y = Pl (x), derivando m veces y utilizando la f´ormula de Leibniz para derivaci´on de un producto: ∞

X dm m! dm−s f ds g (f g) = m dx (m − s)!s! dxm−s dxs s=0 con f = y¨, g = 1 − x2 ( y repitiendo para f = y, ˙ g = x) se obtiene: (1 − x2 ) Si se hace:

dm+2 y dm+1 y dm y − 2x(m + 1) + [l(l + 1) − m(m + 1)] =0 dxm+2 dxm+1 dxm dm y u = (1 − x2 )m/2 m podr´a escribir : dx · ¸ m2 (1 − x2 )¨ u − 2xu˙ + l(l + 1) − u=0 1 − x2

(8.33)

que es la ecuaci´on asociada de Legendre, cuya soluci´on u se llamar´a: u = Plm (x)

(8.34)

340

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Por tanto, de (8.33) y (8.34): Plm (x) = (1 − x2 )m/2

dm Pl (x) dxm

(8.35)

Plm (x) son las funciones asociadas de Legendre. Obs´ervese que Pl0 (x) = Pl (x). Utilizando la f´ormula de Rodrigues: Plm (x) =

l+m 1 2 m/2 d (1 − x (x2 − 1)l ) 2l l! dxl+m

(8.36)

En la forma (8.36), Plm admite valores negativos de m, s´olo que si se tiene en cuenta que el orden de la derivaci´on ha ser menor o igual al orden del polinomio, debe ser cierto que: l + m ≤ 2l; por tanto: m ≤ l. Adem´as l + m ≥ 0 pues el orden de la derivaci´on debe ser positivo. Como m puede ser positivo o negativo (y ha de ser entero pues la derivaci´on de orden l + m ha de ser entera), se tiene: • Si m > 0: m ≤ l • Si m < 0: −|m| ≤ l, de donde: |m| ≥ −l Por tanto, los valores de m est´an comprendidos entre −l y l: −l ≤ m ≤ l con m y l enteros, y l es positivo. Esta restricci´on a valores enteros de m y l aparece en mec´anica cu´antica como cuantizaci´on del momento angular. Es cierto en consecuencia que: Plm (x) = 0

para

m>l.

La ecuaci´on asociada de Legendre es autoadjunta; el conjunto {Plm (x)} es ortogonal en l para el intervalo (−1, 1), siendo 1 el factor de peso: Z

1

−1

Plm (x)Plm 0 (x) dx =

2 (l + m)! δll0 2l + 1 (l − m)!

Un conjunto {Qm l (x)}, no convergente en x = ±1, no ortogonal en (−1, 1), se obtiene en forma an´aloga: dm Ql (x) dxm y es la segunda soluci´on a la ecuaci´on asociada de Legendre. Las funciones Qm ıdas siempre que x = ±1 sea considerado, l (x) han de ser exclu´ por lo cual en el dominio completo las ecuaciones, (8.23) tienen como soluci´on: 2 m/2 Qm l (x) = (1 − x )

U (r) =

Arl+1 + Br−l

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

341

Relaciones de recurrencia. En t´erminos de los operadores escalera, que son los corchetes a la derecha en las ecuaciones que siguen: · ¸ d 1 − x2 Plm+1 = mx + (1 − x2 ) Pm dx l · ¸ p d (l + m)(l − m + 1) 1 − x2 Plm−1 = mx − (1 − x2 ) Pm dx l · ¸ d m = lx + (1 − x2 ) (l + m)Pl−1 Pm dx l · ¸ d m = (l + 1)x − (1 − x2 ) (l − m + 1)Pl+1 Pm dx l p

Problemas: 1. Demuestre que: (l−m)!

a)

Pl−m (x) = (−)m (l+m)! Plm (x)

b)

Plm (−x) = (−1)l+m Plm (x)

2. Demuestre que Z 1 0 (l + m)! δmm0 Plm (x)Plm (x)(1 − x2 )−1 dx = m(l − m)! −1 3. Escriba la condici´ on de completez para la base {Plm (x)}.

Otras propiedades u ´tiles son: •

Plm = 0 , l + m = impar

•

Plm

•

1 1 (0) = (0) = 0, P2l+1 P2l

•

Plm (−x) = (−)l+m Plm , Plm (±1) = (±)l δl0

l+m

8.4.5.

(−) 2 (l + m)! = m ¡ l−m ¢ ¡ l+m ¢ , l + m = par ! 2 ! 2 2 (−)l (2l + 1)! (2l l!)2

Arm´ onicos esf´ ericos

Las soluciones e±imϕ forman una base ortogonal respecto al ´ındice m en (0, 2π), mientras Plm (x) son ortogonales en (−1, 1) respecto al ´ındice l. Es posible definir una nueva base ortogonal en θ y ϕ respecto a los ´ındices l y m. M´as exactamente, una base bi-ortogonal. Las nuevas funciones, ortonormales sobre

342

8.

FUNCIONES ESPECIALES

una superficie esf´erica y conocidas como arm´ onicos esf´ericos se definen como: q Ylm (θ, ϕ) =

2l+1 (l−m)! m imϕ 4π (l+m)! Pl (cos θ)e

(8.37)

El radical se escogi´o en forma tal que {Ylm (θ, ϕ)} sea una base ortonormal: Z 2π Z π ∗ Ylm (θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ) sen θ dθ dϕ = δll0 δmm0 ϕ=0

θ=0

y como el ´angulo s´olido es: dΩ = sen θ dθ dϕ, puede escribirse: R 4π

∗ Ylm (θ, ϕ)Yl0 m0 (θ, ϕ) dΩ = δll0 δmm0

(8.38)

En acuerdo con la secci´on 3.3.4 los arm´onicos esf´ericos son autofunciones del operador L2 con autovalores l(l + 1): L2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ). Puesto que {Ylm (θ, ϕ)} es una base completa, una funci´on f (θ, ϕ) puede expandirse en arm´onicos esf´ericos: ∞ X l X f (θ, ϕ) = Alm Ylm (θ, ϕ) (8.39) l=0 m=−l

As´ı pues la base {Ylm (θ, φ)} permite expandir funciones definidas sobre la superficie de una esfera. Problemas: 1. Partiendo de las condiciones de ortogonalidad para {Plm (cos θ)} y {eimϕ } obtenga la ecuaci´ on (8.38). Demuestre que la condici´ on de completez tiene la forma: ∞ X l X

∗ Ylm (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) = δ(cos θ − cos θ 0 )δ(ϕ − ϕ0 )

(8.40)

l=0 m=−l

donde las deltas de Dirac han sido definidas por: Z 2π Z 2π δ(ϕ − ϕ0 ) dϕ = 1 , δ(cos θ − cos θ0 ) sen θ dθ = 1 0

0

2. Demuestre : Y00 = Y10 = Y21 =

√1

q4π

3

q 4π 15 8π

∗ Yl,−m (θ, ϕ) = (−)m Yl,m (θ, ϕ) q 3 Y11 = sen θ eiϕ q 8π 15 cos θ Y22 = sen 2 θ e2iϕ q 2π ¡ ¢ 5 3 sen θ cos θ eiϕ Y20 = cos2 θ − 12 4π 2

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

343

3. Demuestre que, en (8.39): Z Alm =

4π

f (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) dΩ

(8.41)

4. Demuestre que: r · ∇Ylm (θ, ϕ) = 0

8.4.6.

Arm´ onicos esf´ ericos y operadores escalera

El operador momento angular (adimensional), tambi´en conocido como operador de rotaci´ on, ha sido definido en la secci´on 7.3 en la forma: L=

1 r × ∇. i

En coordenadas cartesianas: · µ ¶ µ ¶ µ ¶¸ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ x ∂ −y ∂ L = −i ˆi y −z + ˆj z −x +k ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x En coordenadas esf´ericas: µ L=i ˆ eθ

1 ∂ ∂ −ˆ eϕ sen θ ∂ϕ ∂θ

¶ .

Por substituci´on de ˆ eθ , ˆ eϕ en t´erminos de i, j, k (ver secci´on 1.1) se obtiene: µ

Lx

=

Ly

=

Lz

=

¶ ∂ ∂ i sen ϕ + ctg θ cos ϕ ∂θ ∂ϕ µ ¶ ∂ ∂ i − cos ϕ + ctg θ sen ϕ ∂θ ∂ϕ ∂ −i ∂ϕ

De acuerdo a la secci´on 3.3.4: L2 Ylm = l(l + 1)Ylm y es f´acil demostrar, utilizando la definici´on de Ylm , que Lz Ylm = mYlm , de modo que Ylm es autofunci´on simult´anea de L2 y LZ con autovalores l(l + 1) y m, respectivamente. Este hecho depende crucialmente de que L2 y Lz conmuten: [L2 , Lz ] = L2 Lz − Lz L2 = 0. P3 Sin embargo [Li , Lj ] = i k=1 ²ijk Lk , por lo cual Lx , Ly , Lz no conmutan entre s´ı, de lo que se sigue que L2 , Lx , Ly no comparten Ylm como autofunciones. S´olo operadores que conmutan tienen el mismo conjunto de autofunciones. Def´ınase ahora la pareja de operadores L+ y L− en la forma: L+ = Lx + iLy ,

L− = Lx − iLy ,

344

8.

FUNCIONES ESPECIALES

de donde, por substituci´on de Lx y Ly en coordenadas esf´ericas: ¶ µ ∂ ∂ L+ = eiϕ + i ctg θ ∂θ ∂ϕ µ ¶ ∂ ∂ L− = −e−iϕ − i ctg θ ∂θ ∂ϕ Problemas: Demuestre que •

•

Lz Ylm = mYlm 1 L2 = (L+ L− + L− L+ ) + L2z 2 3 X ²ijk Lk [Li , Lj ] = i

•

[Lz , L+ ] = L+ ,

•

[L+ , L− ] = 2Lz

•

[L2 , L Ã z ] = [L2 , L+ ] = [L2 , L− ] = 0

•

(L+ f, g) = (f, L− g),

•

(8.42)

k=1

[Lz , L− ] = −L−

(8.43) (8.44) (8.45)

(L− f, g) = (f, L+ g).

Las dos u ´ltimas ecuaciones (8.45) pueden sintetizarse en: [L2 , L± ] = 0, por lo cual: L2 (L± Ylm ) = L± (L2 Ylm ) = l(l + 1)L± Ylm En esta notaci´on aparecen, en verdad, dos ecuaciones, una para los signos superiores, otra para los inferiores. Se sigue que L± Ylm es autofunci´on de L2 con autovalor l(l + 1). Adem´as, las ecuaciones (8.43) se sintetizan en [Lz , L± ] = ±L± , de donde: Lz (L± Ylm ) = (L± Lz ± L± )Ylm = (m ± 1)L± Ylm , por lo cual L± Ylm es autofunci´on de Lz con autovalor m ± 1, de donde se sigue: L± Ylm = a± Yl,m±1

(8.46)

Con el fin de calcular a± se tiene en cuenta que, de (8.42): L2 =

1 (L+ L− + L− L+ ) + L2z 2

y de (8.44): Lz =

1 (L+ L− − L− L+ ) 2

se obtiene por suma y resta: L+ L− L− L+

= L2 − Lz (Lz − 1) = L2 − Lz (Lz + 1),

entonces:

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

345

= [L2 − Lz (Lz − 1)]Ylm = [l(l + 1) − m(m − 1)]Ylm = (l + m)(l − m + 1)Ylm

L+ L− Ylm

(8.47)

An´alogamente: L− L+ Ylm = (l − m)(l + m + 1)Ylm

(8.48)

Teniendo en cuenta que: : [L+ Ylm , L+ Ylm ] = [Ylm , L− L+ Ylm ], y por substituci´on a la izquierda de (8.46) y a la derecha de (8.48): [a+ Yl,m+1 , a+ Yl,m+1 ]

= (l − m)(l + m + 1)[Ylm , Ylm ] = a2± [Ylm , Ylm ]

(8.49)

por lo cual: a+ =

p

(l − m)(l + m + 1),

a− =

p

(l + m)(l − m + 1).

En consecuencia: L+ Ylm

=

L− Ylm

=

p

(l − m)(l + m + 1)Yl,m+1 ,

p

(l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 .

La acci´on del operador L+ (´o L− ) sobre Ylm da lugar a Yl,m+1 (´o Yl,m−1 ), es decir sube (´o baja) m en 1. Por ello L+ y L− se conocen como operadores escalera. Su aplicaci´on m´as importante tiene lugar en la mec´anica cu´antica.

8.4.7.

Arm´ onicos esf´ ericos vectoriales

Es cierto que L2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ), donde L = −ir × ∇. Se sigue que: L(L2 Ylm (θ, ϕ)) = l(l + 1)LYlm (θ, ϕ), y como, de acuerdo a la ecuaci´on (8.45), es cierto que L2 L = LL2 , puede escribirse: L2 (LYlm (θ, ϕ)) = l(l + 1)(LYlm (θ, ϕ)) En consecuencia, LYlm (θ, ϕ) es autofunci´on vectorial de L2 con autovalor l(l + 1). Definimos la base de los arm´ onicos esf´ericos vectoriales: {Xlm (θ, ϕ)} en la forma: LYlm (θ, ϕ) Xlm (θ, ϕ) = p , X00 = 0 , l = 1, 2, . . . l(l + 1) As´ı pues, la ecuaci´on vectorial de autovalores puede escribirse: L2 Xlm = l(l + 1)Xlm

346

8.

FUNCIONES ESPECIALES

{Ylm (θ, ϕ)} es una base biortogonal escalar, que satisface las condiciones (8.38) y (8.40). La base {Xlm (θ, ϕ)} satisface las siguientes condiciones de ortogonalidad y completez: Z X∗lm (θ, ϕ) · Xl0 m0 (θ, ϕ) dΩ = δlm δl0 m0 ∞ m=l X X

X∗lm (θ, ϕ)Xlm (θ0 , ϕ0 ) = Iδ(cos θ − cos θ0 )δ(ϕ − ϕ0 )

l=1 m=−l

En consecuencia, cualquier funci´on vectorial de θ y ϕ puede expandirse en la base de los arm´onicos esf´ericos vectoriales: A(θ, ϕ) =

∞ m=l X X

Alm Xlm

l=1 m=−l

Problemas: Demuestre que: •

Xl,−m = (−)m+1 Xlm

•

r · Xlm = 0

•

∇Ylm (θ, ϕ) = −

• • •

• • • • • • • • •

ip l(l + 1)ˆ er × Xlm r · ¸ i ˆ e ∂Ylm ∂Ylm Xlm = p sen θ + iˆ eϕ ∂ϕ ∂θ l(l + 1) θ r 3 sen θ X10 = iˆ eϕ 8π r 3 X11 = − (ˆ eθ + iˆ eϕ ) eiϕ 16π r 15 ˆ eϕ cos θ sen θ X20 = i 8π r 5 X21 = (ˆ eθ cos θ + iˆ eϕ cos 2θ) eiϕ 16π r 5 X22 = − sen θ (ˆ eθ + iˆ eϕ cos θ) e2iϕ 24π ∇ · Xlm = 0 i 1h p ∇ × Xlm = er × Xlm iˆ er l(l + 1)Ylm + ˆ r l(l + 1) ∇2 Xlm = − Xlm r2 ip l(l + 1)ˆ er × Xlm ∇Ylm (θ, ϕ) = − r Z (ˆ er × Xlm )∗ · (ˆ er × Xl0 m0 ) dω = δlm δlm Z X∗lm · (ˆ er × Xl0 m0 ) dΩ = 0

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

347

Problemas: 1. Eval´ ue : ∇ × (r × Xlm ) , ∇ · (r × Xlm ) 2. Demuestre la condici´ on de ortonormalidad para: a) (l, m) = (l0 , m0 ) = (1, 0). b)(l, m) = (1, 0), (l0 , m0 ) = (1, 1). 3 Demuestre la condici´ on de completez de la base {Xlm }.

A partir de las consideraciones anteriores es f´acil generalizar la noci´on de arm´onico esf´erico. Obs´ervese la siguiente secuencia: Ylm , LYlm , LLYlm , LLLYlm , · · · que indica la existencia de arm´onicos esf´ericos escalares, vectoriales, di´adicos, etc, cada conjunto de los cuales genera una base del espacio de Hilbert que es autofunci´on de L2 con autovalor l(l + 1). Ejercicio: Bases {Xlm } y ecuaciones de Maxwell Por simplicidad se restringen las ecuaciones de Maxwell al exterior de las fuentes, de modo que: ρ = J = 0. En este caso las ecuaciones del campo electromagn´etico tienen la forma: ∇ · E(r, t) = 0,

∇ · B(r, t) = 0

∂E(r, t) ∂B(r, t) = 0, ∇ × B(r, t) − µ0 ²0 =0 ∂t ∂t Introduciendo la transformada de Fourier temporal Z ∞ 1 E(r, t) = E(r, ω)eiωt dω (2π)1/2 −∞ ∇ × E(r, t) +

(8.50)

con una expresi´on an´aloga para B(r, t), y con k = ω/c y µ0 ²0 = 1/c2 , las ecuaciones (8.50) dan lugar a: ∇ · E(r, ω) = 0,

∇ · B(r, ω) = 0

i ic2 B(r, ω) = − ∇ × E(r, ω), E(r, ω) − ∇ × B(r, ω) = 0 (8.51) k k Tomando el rotacional de la tercera ecuaci´on y substituyendo la primera y la cuarta: (8.52) (∇2 + k 2 )E(r, ω) = 0 Un procedimiento an´alogo sobre la cuarta ecuaci´on, con ayuda de la segunda y tercera conduce a:

348

8.

FUNCIONES ESPECIALES

(∇2 + k 2 )B(r, ω) = 0

(8.53)

Como soluci´on a la ecuaci´on (8.53), en coordenadas esf´ericas prop´ongase: E(r, ω) = R(r)Xlm

(8.54)

Por substituci´on, y con L2 Xlm = l(l + 1)Xlm , se sigue: µ ¶ µ ¶ 1 d l(l + 1) 2 dR 2 r + k − R=0 r2 dr dr r2

(8.55)

que es la ecuaci´on de Bessel esf´erica. As´ı, la soluci´on a la ecuaci´on (8.55) tiene la forma: ∞ m=l X X E(r, ω) = flm (kr)Xlm (8.56) l=1 m=−l

donde flm (kr) es una combinaci´on lineal de funciones de Bessel y Neumann esf´ericas o de Hankel esf´ericas: (1)

(2)

0 flm (kr) = Alm jl (kr) + Blm ηl (kr) = A0lm hl (kr) + Blm hl (kr)

El campo magn´etico asociado a la soluci´on (8.56) es entonces: B(r, ω) = =

i − ∇ × E(r, ω) k ∞ l iX X ∇ × (flm (kr)Xlm ) − k l=1 m=−l

De un modo enteramente an´alogo, la soluci´on a la ecuaci´on (8.53) es: B(r, ω) =

∞ m=l X X

glm (kr)Xlm

l=1 m=−l

siendo glm (kr) una combinaci´on lineal de funciones de Bessel esf´ericas; el campo el´ectrico asociado es: ic2 ∇ × B(r, ω) k ∞ l ic2 X X ∇ × (glm (kr)Xlm ) = − k

E(r, ω) =

l=1 m=−l

As´ı pues, hay una pareja de soluciones a las ecuaciones de Maxwell:

8.4. POLINOMIOS DE LEGENDRE

E(r, ω) =

∞ m=l X X

349

i B(r, ω) = − ∇ × E(r, ω) k

flm (kr)Xlm ,

l=1 m=−l

E(r, ω) =

ic2 ∇ × B(r, ω), k

B(r, ω) =

∞ m=l X X

glm (kr)Xlm

l=1 m=−l

Para la primera pareja es cierto que r·E = 0. El campo el´ectrico es transverso y el magn´etico tiene componentes longitudinal y transversa. Para la segunda: r · E = 0, el campo magn´etico es transverso. La soluci´on general es una combinaci´on lineal de ambas. Problema: Siguiendo el esquema propuesto en el ejercicio anterior, estudiar el caso electrost´ atico.

8.4.8.

Soluci´ on general a la ecuaci´ on de Laplace

En t´erminos de Ylm (θ, ϕ) y desechando a en aϕ + b, pues no satisface la condici´on de continuidad φ(ϕ) = φ(ϕ + 2π), la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace para la funci´on escalar φ es: φ(r, θ, ϕ) =

P∞ Pl l=0

m=−l

¡

Alm rl +

Blm r l+1

¢

Ylm (θ, ϕ)

(8.57)

Ejercicio: En el interior de un cascar´on esf´erico diel´ectrico de radio R sin cargas, el potencial electrost´atico satisface la ecuaci´on de Laplace. Si en la superficie el potencial es f (θ, ϕ), evaluar φ(r, θ, ϕ). En la soluci´on (8.57), Blm ha de ser cero para evitar infinitos en el interior. Imponiendo la condici´on de frontera se sigue: f (θ, ϕ) =

∞ X l X

Alm Rl Ylm (θ, ϕ)

l=0 m=−l

Se sigue, por aplicaci´on de (8.38) (o directamente de (8.41)): Z 1 Alm = l f (θ, ϕ)Ylm (θϕ)dΩ R 4π Problemas: 1. Si en la regi´ on entre dos cascarones esf´ ericos diel´ ectricos de radios a y b se satisface la ecuaci´ on de Laplace para potencial electr´ ostatico y si φ = V1 (θ, ϕ) en r = a y φ = V2 (θ, ϕ) en r = b, eval´ ue φ(r, θ, ϕ). Obs´ ervese que r = 0 no est´ a incluido en el problema, de modo que Blm ser´ a en principio diferente de cero.

350

8.

FUNCIONES ESPECIALES

2. La temperatura sobre la superficie de una esfera de radio R se mantiene fija y con un valor T (R, θ, ϕ) = f (θ). Demuestre que en esta situaci´ on de estado estacionario: ¸ ·Z π ∞ 1 X (2l + 1) 0 0 0 0 f (θ ) sen θ P (cos θ )dθ rl Pl (cos θ) T (r, θ, ϕ) = l 2 l=0 Rl 0 3. Demuestre que la soluci´ on a la ecuaci´ on de Helmholtz (∇2 + k2 ) = 0, en coordenadas esf´ ericas, que satisface la condici´ on de continuidad en ϕ, e incluye θ = 0, π/2, es: φ(r, θ, ϕ) =

∞ X l X

[Alm jl (kr) + Blm ηl (kr)]Ylm (θ, ϕ)

l=0 m=−l

4. Utilizando separaci´ on de variables para la ecuaci´ on de ondas en coordenadas esf´ ericas demuestre que la soluci´ on tiene la forma: ψ(r, t) =

∞ X m X

[Alm jl (kr) + Blm ηl (kr)] Ylm (θ, φ)

l=0 m=−l

h i × Clm eikct + Dlm e−ikct

5. Obtenga el espectro de frecuencias (modos normales de oscilaci´ on) para una cavidad ac´ ustica resonante de forma esf´ erica y radio R. La condici´ on de frontera es de la forma: ∂ψ(r, t)/∂r|r=R = 0. 6. Una part´ıcula at´ omica est´ a confinada dentro de un cascar´ on esf´ erico de radio R. La part´ıcula es descrita por una funci´ on de onda que satisface la ecuaci´ on de Schr¨ odinger ~2 2 ∇ ψ = Eψ, 2m con la condici´ on de que ψ sea nula sobre las paredes. Demuestre que los niveles de energ´ıa permitidos tienen la forma: −

Eln =

α2ln ~2 2mR2

,

donde αln son los ceros de la funci´ on de Bessel esf´ erica jl (x), es decir los ceros de Jl+1/2 (x), y que la funci´ on de onda es: ψ=

∞ X l X

Alm jl (αlm r/R) Ylm (θ, ϕ).

l=0 m=−l

Ejercicio: La densidad volum´etrica de neutrones (n0 ) en el U235 est´a dada por: ∇2 n0 + λn0 = k

∂n0 ∂t

(8.58)

donde λ y k son constantes. Asumiendo n0 |S = 0, halle el radio cr´ıtico R0 tal que n0 dentro de una esfera de U235 de radio R0 , o mayor, sea inestable y crezca exponencialmente con el tiempo.

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE

351

El U235 es un ´atomo que se fisiona generando otros elementos qu´ımicos y dos neutrones, de modo que el material act´ ua como una fuente de n0 , algunos de los cuales inducen m´as fisiones. El t´ermino λn0 corresponde a la fuente; mientras mayor sea n0 mayor ser´a su producci´on. De la ec.(8.58), con la separaci´on de variables: n0 (r, t) = R(r)Y (θ, ϕ)T (t) se sigue: 1 r2 R

d 2 l(l + 1) k T˙ (r R) − +λ= =β 2 dr r T

donde β es la constante de separaci´on. La ecuaci´on radial es la de Bessel esf´erica, de modo que: n0 (r, t) =

∞ m=l X X

Alm jl

´ λ − βr Ylm (θ, ϕ)eβt/k

³p

l=0 m=−l

√ De la condici´on de frontera n0 |S = 0 se sigue: R λ − β = αln , siendo αln las 2 ra´ıces de la funci´on de Bessel esf´erica. As´ı: β = −αln /R2 + λ, tal que: n0 (r, t) =

∞ X ∞ m=l X X

2

Almn jl (αln r/R)Ylm (θ, ϕ)e[−αln /R

2

+λ]t/k

n=1 l=0 m=−l 2 El n´ umero de neutrones crece exponencialmente si −αln /R2 + λ > 0, es decir 2 2 si R > αln /λ; el √ radio cr´ıtico, correspondiente a r´egimen estacionario, √ es entonces R0 = αln / λ. El valor m´as peque˜ no de R0 es R0,min = α01 / λ.

Problema: Considere dos semiesferas de U235 , apenas estables, que se colocan juntas formando una esfera que ser´ a inestable si n0 ∝ et/τ . Calcular la constante τ de la explosi´ on.

8.5.

Polinomios de Hermite

La ecuaci´on de Hermite, cuya aplicaci´on m´as conocida en f´ısica es tal vez al oscilador arm´onico en Mec´anica Cu´antica, tiene la forma: ¨ ˙ H(x) − 2xH(x) + 2nH(x) = 0 La forma autoadjunta µ ¶ d dH(x) q(x) + r(x)H(x) + λp(x)H(x) dx dx µ ¶ 2 d −x2 dH(x) e + 2ne−x H(x) dx dx

(8.59)

=

0,

=

0

es entonces (8.60)

352

8.

FUNCIONES ESPECIALES

2

La soluci´on a esta ecuaci´on forma una base ortogonal con factor de peso p(x) = e−x , −x2 en (−∞, ∞), pues en tal intervalo [qW ]∞ W ]∞ −∞ = [e −∞ = 0. En consecuencia, la base de Hermite satisface la ecuaci´on: Z ∞ 2 e−x Hn (x)Hm (y) dx = 0, −∞

si n 6= m. Esto demuestra una vez m´as que la ortogonalidad de las auto funciones est´a asociada a la escogencia del dominio de la variable independiente. De acuerdo al m´etodo de Frobenius: H(x) = ˙ H(x) = ¨ H(x) =

∞ X α=0 ∞ X α=0 ∞ X

aα xα+k aα (α + k)xα+k−1 aα (α + k)(α + k − 1)xα+k−2

α=0

Reemplazando en (8.59) y factorizando: ∞ X

aα (α + k)(α + k − 1)xα+k−2 −

α=0

∞ X

aα [2(α + k) − 2n]xα+k = 0

α=0

que puede escribirse: ∞ X

aα+2 (α + k + 2)(α + k + 1)xα+k −

α=−2

∞ X

aα [2(α + k) − 2n]xα+k = 0

α=0

´o: a0 (k)(k − 1)xk−2 + a1 (k + 1)(k)xα−1 ∞ X + {aα+2 (α + k + 2)(α + k + 1) − aα [2(α + k) − 2n]}xα+k = 0 α=0

Las ecuaciones indiciales que de aqu´ı se siguen son: a0 k(k − 1) = 0 a1 (k + 1)k = 0 aα+2 (α + k + 2)(α + k + 1) − aα [2(α + k) − 2n] = 0 ,

α = 0, 1, 2 . . .

De la primera, si a0 6= 0 es cierto que k = 0 ´o k = 1. De la segunda, con k = 0 se sigue a1 6= 0 y de k = 1 se concluye a1 = 0.

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE

353

De la tercera ecuaci´on indicial con k = 0:

aα+2 =

2aα (α − n) (α + 2)(α + 1)

,

α = 0, 1, 2 . . .

Expl´ıcitamente: a2

=

a3

=

a4

=

a5

=

a6

=

a7

=

(−)2n a0 2! (−)2(n − 1) a1 3! 2a2 (2 − n) 22 (−)2 (n)(n − 2) = a0 4×3 4! 2a3 (3 − n) 22 (−)2 (n − 1)(n − 3) = a1 5×4 5! 2a4 (4 − n) 23 (−)3 n(n − 2)(n − 4) = a0 6×5 6! 2a5 (5 − n) 23 (−)3 (n − 1)(n − 3)(n − 5) = a1 7×6 7!

Entonces: H(x) = + +

· (−)2n 2 (−)22 n(n − 2) 4 a0 1 + x + x 2! 4! ¸ · (−)3 23 n(n − 2)(n − 4) 6 (−)2(n − 1) 3 x + · · · + a1 x + x 6! 3! ¸ (−)2 22 (n − 1)(n − 3) 5 (−)3 23 (n − 1)(n − 3)(n − 5) 7 x + x + ··· 5! 7!

Ambas series son divergentes en x → ±∞. Si se incluyen estos dos extremos y se quiere lograr convergencia es necesario cortar las series y convertirlas en polinomios. La serie en a0 requiere n = par positivo y la serie en a1 requiere n = impar positivo. Puesto que n no puede ser simult´aneamente par e impar en las series para a0 y a1 , si n = par, la segunda serie es divergente y si n = impar la primera diverge. Las series convergentes ser´an las de nuestro inter´es, y conformar´an los polinomios de 2 Hermite. Puede demostrarse que con n 6== , H(x) ∝ x2 ex para x → ±∞, lo que muestra la no convergencia para n 6= entero.

354

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Sea, en particular n = par. La serie para a0 , con n = 2m, m = 0, 1, 2 . . . es: · (−)22 m 2 (−)2 24 m(m − 1) 4 H(x) = a0 1 + x + x 2! 4! ¸ (−)3 26 m(m − 1)(m − 2) 6 x + ··· + 6! · ¸ (−)22 m 2 (−)3 26 m! 6 (−)p (2x)2p m! = a0 1 + x + ··· + x + ··· + + ··· 2! (m − 3)!6! (m − p)!(2p)! ∞ p 2p X (−) (2x) = m!a0 (m − p)!(2p)! p=0 Se definen los polinomios de Hermite de orden par en la forma: H2m (x) = (−)m (2m)!

∞ X (−)p (2x)2p (m − p)!(2p)! p=0

(8.61)

Obs´ervese que efectivamente la expresi´on (8.61) es polinomial ya que, para p > m: 1/(m − p)! → 0. Esto significa que la sumatoria se extiende entre 0 y m. En forma an´aloga, para n = impar, con n = 2m + 1 , m = 0, 1, 2 . . .: · (−)22 m 3 (−)2 24 m(m − 1) 5 H(x) = a1 x + x + x 3! 5! ¸ (−)3 26 m(m − 1)(m − 2) 7 + x + ··· 7! · (−)22 m 3 (−)3 26 m! 7 = a1 x + x + ··· + x 3! (m − 3)!7! ¸ (−)p 22p m! 2p+1 + ··· + x + ··· (m − p)!(2p + 1)! ∞ a1 m! X (−)p (2x)2p+1 = 2 p=0 (m − p)!(2p + 1)! Se definen los polinomios de Hermite de orden impar como: H2m+1 (x) = (−)m (2m + 1)!

∞ X

(−)p (2x)2p+1 , (m − p)!(2p + 1)! p=0

(8.62)

donde la sumatoria da t´erminos diferentes de cero s´olo entre 0 y m. En forma compacta Hn (x) = n!

N X

(−)p (2x)n−2p (n − 2p)!p! p=0

(8.63)

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE

con N = n/2

355

si n es par , ´o N = n − 1/2

si n es impar. Y4

5 4

Y3 Y2

Y1

3 2

Y0

1

x

0 −1

1

2

3

Figura 8.11: Polinomios de Hermite, Y (x) =

Hn (x) n3

La primera ecuaci´on indicial provee para el exponente k en la serie de Frobenius un segundo valor: k = 1. Es directo comprobar que nada nuevo a˜ nade al desarrollo anterior. Los primeros polinomios de Hermite (figura 8.11) son: H0 (x) = 1 , H1 (x) = 2x , H2 (x) = 4x2 − 2 H3 (x) = 8x3 − 12x , H4 (x) = 16x4 − 48x2 + 12 H5 (x) = 32x5 − 160x3 + 120x La normalizaci´on de los polinomios ha sido escogida de modo tal que H0 (x) = 1. Algunas propiedades de los polinomios de Hermite son: ´ n ³ 2 d −x2 • Hn (x) = (−)n ex e dxn • Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) • H˙ n (x) = 2nHn−1 (x) • Hn (x) = (−)n Hn (−x) (2n!) • H2n (0) = (−)n n! • H2n+1 (0) = 0 La primera de estas se conoce como f´ ormula de Rodrigues. La normalizaci´on de la integral de ortogonalidad de los polinomios {Hn (x)} puede hacerse utilizando la siguiente identidad, que define la funci´ on generatriz de los polinomios de Hermite: ∞ X 2 Hn (x)tn e−t +2xt = n! n=0

356

8.

Se sigue: −x2 −t2 +2xt −s2 +2xs

e

e

e

FUNCIONES ESPECIALES

2 ∞ X ∞ X e−x n m = t s Hn (x)Hm (x) n!m! n=0 m=0

Integrando en x en (−∞, ∞), haciendo uso de 2

e−x e−t y con:

Z

2

+2xt −s2 +2xs

e

2

= e−(x−s−t) e2st Z

∞

e

−x2

∞

2

Hn (x)Hm (x) dx = δnm

−∞

−∞

e−x Hn2 (x) dx ,

se obtiene: Z ∞ ∞ X √ 2st √ X (st)n ∞ −x2 2 2n (st)n e πe π H (x) dx = = n 2 (n!) −∞ n! n=0 n=0 de donde:

Z

∞

−∞

√ 2 e−x Hn2 (x)dx = 2n πn!

En consecuencia, la condici´on de ortogonalidad es: R∞ −∞

√ 2 e−x Hn (x)Hm (x) dx = 2n πn!δnm

n = 0, 1, 2 . . .

(8.64)

El conjunto {Hn (x)} es completo; por tanto cualquier funci´on f (x) definida en el intervalo (−∞, ∞) puede expandirse en polinomios de Hermite: f (x) =

∞ X

Cn Hn (x)

n=0

En forma general puede afirmarse que cualquier funci´on definida en (−∞, ∞) puede expandirse en cualquier base ortogonal definida en (−∞, ∞). Expresar la funci´on en una u otra es cambiar de base: la misma funci´on puede expandirse, por ejemplo, en la base de Hermite {Hn (x)}, o en la de Fourier {eikx }. Problemas: 1. Demuestre que: Cn =

1 √ 2n πn!

Z

∞

2

f (x)e−x Hn (x)dx

−∞

y que la condici´ on de completez tiene la forma: δ(x − x0 ) =

P∞

n=0

√ 2 e−x Hn (x)Hn (x0 )/2n n! π

(8.65)

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE

357

2. Utilizando las relaciones de recurrencia demuestre que: Z

( √

∞

2

Hn (x)e−x

•

/2

dx =

0

−∞

Z

(

∞

2

xe−x

•

/2

Hn (x) dx =

0 √

−∞

Z

∞

n! 2π (n/2)!

2π

(n+1)! ( n+1 )! 2

si si

n = par n = impar

si si

n = par n = impar

2

xm e−x Hn (x) dx = 0, para m = entero, 0 ≤ m ≤ n − 1

• −∞

Z

∞

•

2

xe−x Hn (x)Hm (x) dx =

√

−∞

Z

∞

2

x2 e−x Hn (x)Hm (x) dx

•

π2n−1 n![δm,n−1 +2( n+1)δm,n+1 ]

=

√ n−2 π2 [2(2n + 1)n! δn,m

+

4(n + 2)!δn+2,m + n! δn−2,m ]

−∞

Z

∞

•

½

2

xr e−x Hn (x)Hn+p dx =

−∞

0 √ 2n 2π(n + r)!

si si

p>r p=r

n, p, r son enteros no negativos.

En la segunda, cuarta y quinta puede usarse: xHn(x) = (Hn+1 + 2nHn−1 )/2. 3. Demuestre que: x2r =

∞ (2r)! X H2n (x) 2r 2 (2n)!(r − n)! n=0

4. Derivando n veces la funci´ on generatriz, respecto a t, obtenga la f´ ormula de Rodrigues: ³ ´ n 2 d 2 Hn (x) = (−)n ex e−x dxn

358

8.

FUNCIONES ESPECIALES

5. Demuestre que:

8.5.1.

2

•

e−t

+2tx

•

sen 2x =

•

cos 2x =

=

∞ n X t Hn (x) n! n=0

∞ 1 X (−1)n H2n+1 (x) e n=0 (2n + 1)! ∞ X (−1)n H2n (x) (2n)! n=0

La familia de la ecuaci´ on de Hermite

A partir de la ecuaci´on de Hermite y utilizando la transformaci´on 2

Hn (x) = eax ψn (µ) ,

µ = xb ,

se obtiene la primera familia de Hermite: b−2 d2 ψn (µ) 2(b−1)/b dψn (µ) h µ + b(b − 1)µ 2 2 dµ dµ i h i +2b(2a − 1)µ + 4a(a − 1)µ2/b + 2n + 2a ψn (µ) = 0

b2

cuya soluci´on es 2

2

ψn (µ) = e−ax Hn (x) = e−aµ

/b

Hn (µ1/b )

Con a = 0, b = 1 se recupera la ecuaci´on de Hermite. Si b = 1, a = 1/2 se obtiene la ecuaci´on de Weber-Hermite: d2 ψn (x) + [1 + 2n − x2 ]ψn (x) = 0 , dx2 2

(8.66)

con µ = x y ψn (x) = e−x /2 Hn (x). Esta u ´ltima ecuaci´on describe el oscilador arm´onico unidimensional en mec´anica cu´antica. Obs´ervese que la base {ψn (x)} es ortonormal. Problema: Demuestre que bajo la transformaci´ on: 2

Hn (x) = xc eax ψn (µ) ,

µ = xb

se obtiene la siguiente familia: i d2 ψn 2(b−1)/b dψn h b2 µ + b(2c + b − 1)µb−2/2 + 2b(2a − 1)µ 2 dµ dµ h i + c(c − 1)µ−2/b + 2(2ac + a − c + n) + 4a(a − 1)µ2/b ψn (µ) = 0

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE

8.5.2.

359

El oscilador arm´ onico cu´ antico

Como una aplicaci´on importante de los polinomios de Hermite consid´erese la cuantizaci´ on de la energ´ıa del oscilador arm´onico. De acuerdo a la mec´anica cu´antica, un oscilador arm´onico unidimensional, cuya energ´ıa potencial es V = 12 kx2 puede describirse mediante la ecuaci´on de Schr¨odinger: −

~2 d2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) , 2m dx2

donde ψ(x) representa la funci´on de onda, ~ es la constante de Planck h dividida por 2π, m la masa del oscilador y E su energ´ıa total. Cambiando a la nueva variable adimensional : y = x/α, donde α tendr´a la misma dimensi´on que x, y utilizando ω 2 = k/m, siendo ω la frecuencia angular del oscilador y k la constante del resorte, puede escribirse: d2 ψ − dy 2

µ

ωmα2 ~

¶2

µ y2 ψ +

2mEα2 ~2

¶ ψ=0

La adimensionalidad de y y la homogeneidad en ψ de la ecuaci´on permiten escoger para α un valor tal que el primer par´entesis tenga el valor 1, esto es: ωmα2 =1, ~

α2 = ~/mω

de donde

El segundo par´entesis (adimensional) lo llamaremos λ: λ=

2mEα2 2E = . ~2 ~ω

As´ı pues, la ecuaci´on del oscilador toma la forma: d2 ψ + (λ − y 2 )ψ = 0 dy 2

(8.67)

Esta expresi´on, conocida como ecuaci´ on de Weber-Hermite, corresponde, seg´ un la secci´on anterior, a la primera familia de Hermite con b = 1 y a = 1/2, tal que su soluci´on es la funci´on de Weber-Hermite de orden n entero: ψn (y) = e−y

2

/2

Hn (y)

y por tanto 1 + 2n = λ. Puesto que λ = 2E/~ω, se sigue: 2E = 1 + 2n ~ω

´o

(8.68)

360

8.

µ ¶ 1 E = n+ ~ω , 2

FUNCIONES ESPECIALES

n≥0

(8.69)

Como n toma valores enteros, se sigue que la energ´ıa del oscilador est´a cuantizada y que hay una energ´ıa m´ınima o de punto cero: Emin = ~ω/2. La secuencia de niveles de energ´ıa (8.69) tiene el espaciamiento ∆E = ~ω postulado por Planck en 1900. Lo notable es que hay un m´ınimo en la energ´ıa que no aparece en la teor´ıa de Planck y que es exigido por el principio de incertidumbre: un oscilador arm´ onico no puede estar en reposo. Si lo estuviera, ser´ıa en x = 0 que es el punto de equilibrio; en consecuencia podr´ıamos conocer simult´aneamente su posici´on y velocidad, lo que no es compatible con el principio de incertidumbre de Heisenberg. La funci´on de onda normalizada del oscilador ser´a entonces, de acuerdo a (8.68): r 1 x mω −y 2 /2 ψn (y) = n √ e H (y) , y = = x (8.70) n α ~ (2 πn!)1/2 Expl´ıcitamente, los primeros niveles tienen la forma: 2

ψ0 (y) = e−y /2 2 ψ1 (y) = 2xe−y /2 2 ψ2 (y) = (4y 2 − 2)e−y /2

E = ~ω/2 E = 3~ω/2 E = 5~ω/2

La funci´on |ψn (y)|2 describe la probabilidad por unidad de volumen de encontrar la part´ıcula en la posici´on y. La forma de la funci´on de onda para los primeros valores de n es mostrada en los gr´aficos de la figura 8.12. Como Hn (y) es un polinomio de grado n, ψn (y) tendr´a n ceros. La probabilidad de encontrar la part´ıcula en estos puntos es cero. En los extremos ψn (y) decrece r´apidamente, en forma exponencial. La gr´afica para n = 10 muestra que para valores altos de n la distribuci´on de probabilidad predicha por la mec´anica cu´antica se acerca a la predicha por la mec´anica cl´asica (curva punteada de la figura 8.13). Problema: Demuestre que la funci´ on de Weber-Hermite, dada por la ecuaci´ on (8.68) satisface las siguientes relaciones: •

2nψn−1 (x) = xψn (x) + ψ˙ n (x)

•

2xψn (x) − 2nψn−1 (x) = ψn+1 (x) ψ˙ n (x) = xψn (x) − ψn+1 (x)

•

Operadores escalera Una de las identidades que satisface la funci´on de Hermite es: Hn−1 (x) =

1 d Hn (x) 2n dx

(8.71)

8.5. POLINOMIOS DE HERMITE

361

ψ0 (x)

(a)

ψ1 (x)

ψ2 (x)

0,5

−5 −0,5

(b)

(c)

Figura 8.12: Funciones de onda del oscilador mec´anico cu´antico. La barra gruesa indica el rango permitido en el oscilador cl´asico con la misma energ´ıa.

Seg´ un esta expresi´on, dado un Hn (x) todos los anteriores pueden ser deducidos de ´el. Otra de las identidades tiene la forma: Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x). Si entre estas dos ecuaciones se elimina Hn−1 (x) se obtiene: µ ¶ d Hn+1 (x) = 2x − Hn (x) (8.72) dx expresi´on de acuerdo a la cual, dado un Hn (x) todos los que le siguen pueden deducirse de ´el. Basta entonces con un Hn (x) para generar los dem´as. Los operadores 1 2n d/dx y 2x − d/dx son los operadores escalera de los polinomios de Hermite. En lo que sigue se introducen los operadores escalera asociados a las funciones de onda del oscilador arm´onico cu´antico dadas por la ecuaci´on (8.70). Reemplazando

362

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Figura 8.13: Funci´on de onda |ψ10 |2 del oscilador arm´onico cu´antico.

Hn (y) de la ecuaci´on (8.70) en las ecuaciones (8.71) y (8.72) se obtiene: µ ¶ µ ¶ p √ d d 2nψn−1 (y) = y + ψn (y) y 2(n + 1)ψn+1 (y) = y − ψn (y) dy dy que pueden ser escritos como: √ √ a ˆψn = nψn−1 , a ˆ† ψn = n + 1ψn+1

(8.73)

†

donde los operadores a ˆya ˆ son definidos por las ecuaciones µ µ ¶ ¶ 1 d d 1 a ˆ= √ y+ y− , a ˆ† = √ dy dy 2 2 Estos operadores bajan y suben, respectivamente, estados cu´anticos del oscilador. De la primera ecuaci´on con n = 0 se obtiene la funci´on de onda norma li za da del 2 estado base: ψ0 (y) = π −1/4 e−y /2 . A partir de esta pueden calcularse todas las funciones de onda del oscilador arm´onico mediante la expresi´on: 1 ¡ † ¢n ψn = √ a ψ0 (8.74) n! √ Problema: De la segunda ecuaci´ on (8.73) se sigue: ψn = a ˆ† ψn−1 / n; reem√ † plazando ψn−1 = a ˆ ψn−2 / n − 1, etcetera, obtenga (8.74).

Reglas de selecci´ on De acuerdo a la mec´anica cu´antica los elementos no diagonales de la matriz (6.48) Z b (Afm )∗ fn dx Amn = a

8.6. POLINOMIOS DE LAGUERRE

363

tienen una interpretaci´on f´ısica importante. En el caso en que A sea la coordenada X del oscilador arm´onico se tiene: Z ∞ ∗ Xmn = ψm X ψn dx −∞

Los elementos no diagonales determinan la probabilidad de transici´ on del oscilador arm´onico del nivel m al n por unidad de tiempo. Cuanto mayor sea Xmn con mayor probabilidad ocurrir´a la transici´on, lo que desde el punto de vista espectrosc´opico equivale a una radiaci´on m´as intensa. En forma expl´ıcita y de acuerdo a (8.70): Z ∞ Z ∞ − 2 1 ∗ ∗ Xmn = ψm X ψn dx = n √ e x Hm X Hn dx 2 πn! −∞ −∞ 1 = [δm,n−1 + 2(n + 1)δm,n+1 ] (8.75) 2 de modo que solo son posibles transiciones entre niveles contiguos. En cada salto a un nivel inferior hay emisi´on de un fot´on. El oscilador puede emitir o absorber radiaci´on de una sola una frecuencia. Este resultado explica las reglas de selecci´on; para el oscilador arm´onico son ∆m = ±1. Estas reglas corresponden a probabilidades de transici´on para oscilaciones del momento de dipolo el´ectrico. Puede ser probado que la probabilidad de transici´on del estado m al n con emisi´on o absorci´on de radiaci´on de dipolo el´ectrico de energ´ıa ~ω = Em − En est´a dada por: Pmn =

q2 ω3 |Xmn |2 3π²0 ~c3

Como la energ´ıa emitida en la transici´on es ~ω se tiene que la rata de emisi´on de energ´ıa es dE/dt = ~ωPmn . Hay tambi´en transiciones posibles, aunque menos probables, asociadas con las oscilaciones del momento de cuadrupolo el´ectrico y de la forma: Z ∞ 2 ∗ Xmn = ψm X 2 ψn dx −∞

1 [2(2n + 1)δm,n + 4(n + 1)(n + 2)δm,n+2 + δm,n−2 ] = 4 Las reglas de selecci´on son ahora: ∆m = 0, ±2.

(8.76)

Problema: Obtenga las ecuaciones (8.75) y (8.76)

8.6.

Polinomios de Laguerre

La ecuaci´on de Laguerre tiene la forma: x¨ y + (1 − x)y˙ + ny = 0

(8.77)

364

8.

donde: a2 = x , a1 = 1 − x , la secci´on 6.3, que 1 R e a2

p=

a1 a2

dx

a0 = 0 ,

= e−x ,

FUNCIONES ESPECIALES

λ = n. Se sigue entonces, en acuerdo con

q = a2 p = xe−x ,

r = a0 p = 0 .

En consecuencia la forma autoadjunta es: d (xe−x y) ˙ + ne−x y = 0 dx Al implementar el m´etodo de Frobenius veremos que n ha de ser un entero positivo, para que la soluci´on sea convergente en x → ∞. De acuerdo a la teor´ıa de SturmLiouville se obtiene, con y(x) = Ln (x): Z (n − m) a

b

e−x Ln (x)Lm (x) dx = [xe−x (L˙ n Lm − L˙ m Ln )]ba

(8.78)

Las funciones Ln son ortogonales si a = 0 , b → ∞. Apl´ıquese ahora el m´etodo de Frobenius. De y(x) =

∞ X

aα xα+k ,

a0 6= 0

α=0

se sigue, por sustituci´on en (8.77): ∞ X

2 α+k−1

aα (α + k) x

α=0 ∞ X

+

∞ X

aα (−α − k + n)xα+k = 0 ,

α=0

aα+1 (α + k + 1)2 xα+k +

α=−1

∞ X

aα (−α − k + n)xα+k = 0

α=0

se sigue: a0 k 2 = 0 aα+1 (α + k + 1)2 + aα (−α − k + n) = 0 Por tanto: k = 0 , y de la segunda ecuaci´on indicial aα+1 =

aα (α + k − n) aα (α − n) = (α + k + 1)2 (α + 1)2

´o

8.6. POLINOMIOS DE LAGUERRE

365

Expl´ıcitamente: n a1 = (−) a0 1 n(n − 1)(n − 2) a1 (n − 1) a2 = (−) = (−)2 a0 22 22 a2 (n − 2) n(n − 1)(n − 2) a3 = (−) = (−)3 a0 3! 22 × 32 a3 (n − 3) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) a4 = (−) = (−)4 a0 2 4 22 × 32 × 42 generalizando:

(−)p n! a0 (p!)2 (n − p)! La serie de Frobenius toma entonces la forma: ∞ X (−)p xp y = a0 n! (p!)2 (n − p)! p=0 ap =

La convergencia de la serie puede estudiarse mediante la evaluaci´on del siguiente cociente: x(n − p) ap+1 xp+1 , que resulta ser , p ap x (p + 1)2 y es no convergente, si n 6= entero, cuando x → ∞. En consecuencia debe imponerse la restricci´on de que n sea entero positivo, lo que convierte la serie infinita en un polinomio. Se definen los polinomios de Laguerre Ln (x), con n entero como: Ln (x) = A

∞ X

(−)p xp , (p!)2 (n − p)! p=0

y de modo tal que Ln (0) = 1. Esto implica A = n!. As´ı pues, con n = entero ≥ 0 : Ln (x) = n!

∞ X

(−)p n! xp 2 (n − p)! (p!) p=0

(8.79)

Los primeros polinomios (figura 8.14)son: L0 (x) = 1 ,

L1 (x) = 1 − x ,

L2 (x) = 1 − 2x +

3 x3 L3 (x) = 1 − 3x + x2 − 2 6 2 3 x4 2 L4 (x) = 1 − 4x + 3x − x + 3 24

x2 2

366

8.

FUNCIONES ESPECIALES

L0 (x)

1

L3 (x)

L2 (x) x

0 1

2

3

4

−1 L1 (x) Figura 8.14: Polinomios de Laguerre

Equivalentemente los polinomios de Laguerre pueden evaluarse a partir de la f´ormula de Rodrigues: Ln (x) =

ex dn n −x (x e ) n! dxn

Dos relaciones de recurrencia importantes son: • •

(n + 1)Ln+1 (x) = (2n + 1 − x)Ln (x) − nLn−1 (x) xL˙ n (x) = nLn (x) − nLn−1 (x)

En t´erminos de los operadores escalera puede escribirse µ ¶ µ ¶ x d d Ln−1 = 1 − Ln , Ln+1 = n + 1 − x + x Ln n dx dx Utilizando la funci´on generatriz ∞ X e−xt/(1−t) = tn Ln (x) 1−t n=0

donde |t| < 1, puede evaluarse el factor de normalizaci´on para la condici´on de ortogonalidad. Multiplicando la expresi´on anterior por s´ı misma (cambiando t por s) y por e−x e integrando en (0, ∞): Z ∞ ∞ X 1 e−x[1+t/(1−t)+s/(1−s) dx = t n sm (1 − t)(1 − s) 0 n,m=0 (8.80) Z ∞ e−x Ln (x)Lm (x) dx × 0

8.6. POLINOMIOS DE LAGUERRE

y con:

R∞ 0

Z

e−x Ln (x)Lm (x)dx = δnm

∞

e−x[1−t/(1−t)−s/(1−s)]

0

1 (1 − t)(1 − s)[

]

367

R∞

e−x L2n (x)dx, y ¯∞ 1 −1 −x[ ] ¯¯ e dx = ¯ =[ ], [ ] 0

=

0

∞ X

Z (st)n 0

n=0

=

∞

se sigue:

e−x L2n (x) dx

∞ X 1 = (1 − st)−1 = (st)n 1 − st n=0

En el u ´ltimo se us´o la expansi´on binominal: X (−)n (k + n − 1)! (a + b)−k = ak−n bn ; k>0, b −1 (n − m)!(k + m)!m! m=0

Lkn (x) = (−)k

368

8.

FUNCIONES ESPECIALES

La funci´on generatriz es: ∞ X e−xt/(1−t) = tn Lkn (x) , (1 − t)k+1 n=0

y la condici´on de ortogonalidad se escribe: Z ∞ (n + k)! xk e−x Lkn (x)Lkm (x) dx = δnm n! 0 Es tambi´en cierto que Z ∞ ¡ ¢2 (n + k)! (2n + k + 1) x(k+1) e−x Lkn (x) dx = n! 0 Algunas relaciones de recurrencia son • • •

(n + 1)Lkn+1 (x) = (2n + k + 1 − x)Lkn (x) − (n + k)Lkn−1 (x) xL˙ k (x) = nLk (x) − (n + k)Lk (x) n k Ln−1 (x)

+

n k−1 Ln (x)

n−1

=

Lkn (x)

Problemas: 1. Demuestre que en forma autoadjunta la ecuaci´ on asociada de Laguerre se escribe: d k+1 −x (x e y) ˙ + ne−x xk y = 0 , dx y que de aqu´ı se sigue la ortogonalidad de la base {Lkn } respecto al ´ındice n en el dominio (0, ∞): Z (n − m) 0

∞

xk e−x Lkn Lkm dx = [xk+1 e−x (L˙ kn Lkm − L˙ km Lkn )]∞ 0 =0

2. Obtenga la condici´ on de completez para la base {Lkn (x)}. 3. Demuestre que la expansi´ on de e−ax en la base Lkn (x) en x : (0, ∞) es: ¶n ∞ µ X 1 a e−ax = Lkn (x) (1 + a)1+k n=0 1 + a

8.6.2.

La familia de la ecuaci´ on de Laguerre

• Una familia bastante simple puede obtenerse si hacemos: Lp (x) = eax ψp (x) . p es un entero positivo. Es directo demostrar que: xψ¨p (x) + ψ˙ p (x)[1 + (2a − 1)x] + ψp (x)[ax(a − 1) + a + p] = 0

(8.82)

8.6. POLINOMIOS DE LAGUERRE

369

• Para la ecuaci´on de Laguerre asociada, si: Lkp (x) = xb eax ψpk (x) se obtiene la familia: xψ¨pk (x) + ψ˙ pk (x)[(2a − 1)x + 2b + k + 1] +ψpk (x)[a(a − 1)x + b(b + k)/x + 2ab + a − b + ak + p] = 0 En particular, si 2a = 1, 2b + k + 1 = 0, se sigue: ψpk (x) = x(k+1)/2 e−x/2 Lkp (x)

(8.83)

· ¸ −(k 2 − 1) (2p + k + 1) 1 k k ¨ ψp (x) + ψp (x) + − =0 4x2 2x 4

(8.84)

Esta es la ecuaci´on que proviene de la teor´ıa de Schr¨odinger para el ´atomo de hidr´ogeno, como se ver´a en la siguiente secci´on.

8.6.3.

El ´ atomo de hidr´ ogeno

Una aplicaci´on importante de la ecuaci´on asociada de Laguerre es el estudio mec´anico cu´antico del ´atomo de Hidr´ogeno, el que consiste en un n´ ucleo (prot´on) de carga positiva alrededor del cual hay una nube de probabilidad electr´onica descrita por la funci´on ψ. El electr´on tiene una energ´ıa potencial V = −K/r, donde K = q 2 /4π²0 en unidades MKSC; m es la masa del electr´on. En tres dimensiones la ecuaci´on de Schr¨odinger se escribe, en el caso estacionario, como: ~2 2 − ∇ ψ + V ψ = Eψ ; 2m en coordenadas esf´ericas, y usando un resultado del cap´ıtulo 3 de acuerdo al cual: ∇2 ψ = puede escribirse: −

1 ∂2 L2 ψ (rψ) − 2 , 2 r ∂r r

· ¸ ~2 1 ∂ 2 L2 ψ K (rψ) − − ψ = Eψ 2 2 2m r ∂r r r

La separaci´on de variables: ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm (θ, ϕ)/r conduce a las dos ecuaciones siguientes donde l(l + 1) es la constante de separaci´on: L2 Ylm (θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (θ, ϕ) ,

370

8.

FUNCIONES ESPECIALES

que asegura que los arm´onicos esf´ericos son autofunciones del operador L2 con autovalores l(l + 1). La otra ecuaci´on, para la parte radial (conocida como ecuaci´ on de onda de Coulomb), es: · ¸ l(l + 1) λ ¨ (8.85) R(r) + − + + b R(r) = 0 , r2 r 2mK 2mE donde: λ ≡ y b≡ . (8.86) ~2 ~2 N´otese en la ecuaci´on (8.84) que k, n y x son adimensionales. En (8.85), sin embargo, la variable r tiene dimensiones de longitud. As´ı pues, para comparar (8.84) y (8.85) debe adimensionalizarse esta u ´ltima, lo que se logra con el cambio de variable r = αx, teniendo α unidades de longitud y siendo x adimensional. As´ı, (8.85) se escribe: · ¸ l(l + 1) αλ 2 ¨ R(x) + − + + bα R(x) = 0 (8.87) x2 x De (8.84) y (8.87) se sigue: • R(x) ∝ ψnk (x) • l(l + 1) = (k 2 − 1)/4, de donde: k 2 = 4l2 + 4l + 1 = 4(l + 1/2)2 y por lo tanto: k = 2l + 1 , con k > 0. • bα2 = −1/4, de donde: α2 = −1/4b = −

~2 8mE

(8.88)

• αλ = (2p+k+1)/2, y reemplazando k = 2l+1 : αλ = p+l+1; reemplazando λ y α de (8.86) y (8.88) resulta: r mK 2 −i =p+l+1 2E~2 p y l son reales, tal que E debe ser negativo: E = −|E|, de donde se concluye que: s mK 2 =p+l+1 2|E|~2 Por otra parte p debe ser un entero para que haya convergencia de la soluci´on; tambi´en l es entero. Se sigue que el radical ha de ser un entero n = p + l + 1: s mK 2 =n 2~2 |E|

8.6. POLINOMIOS DE LAGUERRE

371

As´ı pues:

K 2m 2~2 n2 En consecuencia, la energ´ıa del electr´on en el ´atomo de hidrogeno est´a cuantizada, es decir no toma valores arbitrarios, sino s´olo los asociados a los valores n = 1, 2, 3 . . . Finalmente, la funci´on de onda ψ(r, θ, ϕ) es E = −|E| = −

ψ(r, θ, ϕ) =

ψpk (x) R(r) Ylm (θϕ) = C Ylm (θ, ϕ) , r r

y seg´ un (8.83): ψ(r, θ, ϕ) = Ce−x/2 x

k+1 2 −1

Lkp (x)Ylm (θ, ϕ) ;

con: k = 2l + 1, x = r/α, p = n − l − 1, α = ~2 n/2mK se escribe, finalmente, la funci´on de onda del electr´on en el ´atomo de Hidr´ogeno en la forma ψnlm (r, θ, ϕ) = C 0 e−r/2α rl L2l+1 n−l−1 (r/α)Ylm (θ, ϕ) En la mec´anica cu´antica (n, l, m) son los n´ umeros cu´ anticos de energ´ıa, momento angular y proyecci´on z del momento angular (n´ umero cu´antico azimutal). Como se sabe, dado un valor de l, hay 2l + 1 valores de m que van desde −m hasta m en 2l+1 pasos enteros. Adem´as, el sub´ındice del polinomio Pn−l−1 debe cumplir n−l −1 ≥ 0 por lo cual, dado n se tiene l ≤ n − 1. En consecuencia, las funciones de onda ψnlm del ´atomo de hidr´ogeno son clasificables del siguiente modo: n = 1,

l = 0,

 l=0    n=2

l=1     l=0         l=1     

n=3

      l=2       

m=0

  m=1 m=0  m = −1   m=1 m=0   m = −1  m=2     m=1 m=0    m = −1   m = −2

Cada uno de estos tripletes (n, l, m) define lo que se conoce como un orbital, noci´on que reemplaza la de ´orbita del electr´on, utilizada en el modelo at´omico de Bohr.

372

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Los estados con l = 0, 1, 2, 3, 4, . . . se conocen en la espectroscop´ıa como orbitales s, p, d, f, g, . . .. Un cuarto n´ umero cu´antico, el de spin, con valores ±1/2, ha de ser introducido para dar cuenta de la distribuci´on de electrones en los ´atomos, que a su vez describe la tabla peri´odica de los elementos qu´ımicos. Esto da lugar a una duplicaci´on del n´ umero de orbitales. Problemas: 1. Demuestre que la funci´ on de onda normalizada del ´ atomo de hidr´ ogeno puede escribirse como: "µ #1/2 ¶3 2 (n − l − 1)! e−r/2α rl L2l+1 ψnlm (r, θ, ϕ) = n−l−1 (r/α)Ylm (θ, ϕ) na0 2n(n + l)! 2. El estado normal del ´ atomo de hidr´ ogeno es el de m´ as baja energ´ıa, (n = 1). Le corresponde una funci´ on de onda: ψ100 = q

1 πa30

e−r/a0

donde a0 = 2α = 4~2 π²0 /mq 2 es el radio de Bohr. La densidad volum´ etrica de probabilidad de localizaci´ on del electr´ on es dP/dV = ∗ ψ 2 2 ψ100 100 , de modo que dP/dr = 4πr |ψ100 | . Demuestre que la distancia m´ as probable a la que se encuentra el electr´ on del n´ ucleo es r = a0 , coincidente con el radio de la primera ´ orbita de Bohr.

8.7.

Ecuaci´ on de Gegenbauer

Esta ecuaci´on tiene la forma (1 − x2 )¨ y − (2λ + 1)xy˙ + l(l + 2λ+)y = 0 . La forma de Sturm-Liouville puede obtenerse teniendo en cuenta que: p = (1 − x2 )λ−1/2 , q = (1 − x2 )λ+1/2 , con lo cual ³ ´ d (1 − x2 )λ+1/2 y˙ + l(l + 2λ)(1 − x2 )λ−1/2 y = 0 dx Las soluciones a esta ecuaci´on forman una base ortogonal si [qW ]x=b x=a = 0, es decir, si [(1 − x2 )λ+1/2 W ]x=b = 0, lo que se cumple si a = −1, b = 1. Por tanto, x=a estas soluciones, a las que llaman Tlλ (x), son ortogonales de peso (1 − x2 )λ−1/2 , con l entero: Z

1

−1

λ (1 − x2 )λ−1/2 Tlλ (x)Tm (x) dx =

21−2λ πΓ(l + 2λ) δlm (l + /λ)[Γ(l + 1)]2

Los polinomios de Gegenbauer (o ultraesf´ericos) Tlλ de grado l P son los coeficientes ∞ de tl en la expansi´on en series de la funci´on (1 − 2xt + t2 )−λ = l=0 Tlλ (x)tl .

´ DE GEGENBAUER 8.7. ECUACION

373

As´ı, los polinomios Tlλ (x) son una generalizaci´on de los polinomios de Legendre Pl (x) que corresponden a λ = 1/2. Es posible probar que Tlλ (x) =

n/2 X Γ(n − r + λ) (2x)n−2r Γ(λ)r!(n − 2r)! r=0

(8.89)

T0 (x)

1 T2 (x)

x −1

1 T1 (x) −1

T3 (x)

Figura 8.15: Polinomios de Chebyshev, Tn (x) Ahora bien, si en la ecuaci´on de Gegenbauer se toma λ = 0 se obtiene la ecuaci´on de Chebyshev I: (1 − x2 )¨ y − xy˙ + l2 y = 0 (8.90) cuya soluci´on, tomada de ec.(8.89) es: Tl0 (x) = Tl (x)

=

N X (−)r Γ(l − r) r=0

=

r!(l − 2r)!

(2x)l−2r

N X (−)r (l − r − 1)! r=0

r!(l − 2r)!

(2x)l−2r ,

donde N = l/2 si l = par y N = (l − 1)/2 si N = impar. V´ease la figura 8.15. Una forma equivalente de definir los polinomios de Chevyshev Tl (x) y Ul (x), de primera y segunda clase, es la siguiente: Tl (x) = Ul (x) =

cos(l arc cos x) sen (l arcsen x)

Problema: Por substituci´ on directa demuestre que Tl (x) y Ul (x) satisfacen (8.90).

374

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Que Tl (x) y Ul (x) son soluciones independientes se sigue de observar: 1) Que son funciones seno y coseno, 2) Que Tl (1) = 1 mientras Ul (1) = 0, tal que Ul (x) no puede ser un m´ ultiplo constante de Tl (x). La soluci´on Ul (x) (figura 8.16) puede tambi´en escribirse en la forma: Ul (x) =

N p X (l − r − 1)! 1 − x2 (−)r (2x)l−2r−1 r!(l − 2r − 1)! r=0

Las primeras funciones de Chevyshev tienen la forma: T0 = 1 T1 (x) = x T2 (x) = 2x2 − 1 T3 (x) = 4x3 − 3x T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1

U0 (x) = 0√ U1 (x) = 1√− x2 2 U2 (x) = 2x 1 − x√ 2 1 − x2 U3 (x) = (4x − 1) √ 3 U4 (x) = (8x − 4x) 1 − x2

1

U1 (x)

x −1

1 U2 (x)

U3 (x) −1

Figura 8.16: Polinomios de Chebyshev, Un (x) Las funciones generatrices de los polinomios de Chevyshev son: 1 − t2 1 − 2xt + t2 √ 1 − t2 1 − 2xt + t2

=

∞ X

²l Tl (x)tl

l=0

=

∞ X l=0

Ul (x)tl ,

(8.91)

´ DE GEGENBAUER 8.7. ECUACION

375

con ²0 = 1, ²1 = ²2 = ²3 . . . = 2. Las condiciones de  Z 1  0, Tl (x)Tm (x) √ π/2, dx =  1 − x2 −1 π, Z

1

−1

ortogonalidad toman la forma:

  0, Ul (x)Um (x) √ π/2, dx =  1 − x2 0,

l 6= m l = m 6= 0 l=m=0 l 6= m l = m 6= 0 l=m=0

Problema: Utilizando (8.91) demuestre la condici´ on de ortogonalidad para Tl (x).

Algunos valores especiales: Tl (1) = 1 T(−1) = (−1)l T2l (0) = (−1)l T2l+1 (0) = 0

Ul (1) = 0 Ul (−1) = 0 U2l (0) = 0 U2l+1 (0) = (−1)l

y algunas relaciones de recurrencia, v´alidas tambi´en para Ul (x), son: • • • •

Tl+1 (x) − 2xTl (x) + Tl−1 (x) = 0 (1 − x2 )T˙l (x) = −lxTl (x) + lTl−1 (x) o tambi´en: · ¸ 1 − x2 d Tl−1 = x + Tl l dx · ¸ 1 − x2 d Tl+1 = x − Tl l dx

Nota: La ecuaci´on de Chebyshev II, que tiene la forma: (1 − x2 )V¨l − 3xV˙ l + l(l + 2)Vl = 0

(8.92)

es una ecuaci´on de la familia de Chevyshev en tanto que: Ul+1 (x) Vl (x) = √ 1 − x2 Problema: Demuestre que si se reemplaza la funci´ on Vl (x) de (8.93) en (8.92) se obtiene la ecuaci´ on de Chebyshev I: ¨l+1 − xU˙ l+1 + (l + 1)2 Ul+1 = 0 (1 − x2 )U

(8.93)

376

8.8.

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Polinomios de Jacobi

Los polinomios y la ecuaci´on de Legendre pueden ser generalizados a´ un m´as mediante las funciones y(x) = Plα,β (x) que satisfacen la ecuaci´on de Jacobi: (1 − x2 )¨ y + {β − α − (α + β + 2)x}y˙ + l(l + α + β + 1)y = 0 N´otese que si α = β = 0 se obtiene y = Pl0,0 (x) = Pl (x). Las funciones de Gegenbauer, Chebyshev, Laguerre y Hermite se expresan mediante polinomios de Jacobi en la forma: Γ(λ + 1/2)Γ(l + 2λ) λ−1/2,λ−1/2 P (x) Tlλ = Γ(2λ)Γ(l + λ + 1/2) l · λ ¸ n Tl (x) Tl (x) = l´ım , n≥1 2 λ→0 λ p 1 Ul (x) = 1 − x2 Tl−1 (x) £ ¤ α α,β Ln (x) = l´ım Pn (1 − 2x/β) β→∞ h √ i Hn (x) = n! l´ım λ−n/2 Tnλ (x/ λ) λ→∞

As´ı pues, de la ecuaci´on de Jacobi surgen las de Gegenbauer, Laguerre y Hermite; y de la ecuaci´on de Gegenbauer surgen las de Chebyshev y Legendre ordinaria. La f´ormula de Rodrigues se escribe: n £ ¤ (−)n −α −β d (1 − x) (1 + x) (1 − x)α+n (1 + x)β+n , n n 2 n! dx que equivale a la expansi´on en serie: µ ¶r µ ¶l−r l X Γ(l + α + 1)Γ(l + β + 1) x−1 x+1 α,β Pl (x) = Γ(α + r + 1)Γ(α + β − r + 1)(l − r)!r! 2 2 r=0

Plα,β (x) =

La condici´on de ortogonalidad tiene la forma: Z 1 α,β (1 − x)α (1 + x)β Plα,β (x)Pm (x) dx −1

=

2α+β+1 Γ(l + α + 1)Γ(l + β + 1) δlm (2l + α + β + 1)l!Γ(l + α + β + 1)

Problemas: Demuestre que: 1.

Plα,β (−x) = (−)l Plα,β (x)

2.

Plα,β (1) =

3.

α,β Plα,β−1 (x) − Plα−1,β (x) = Pl−1 (x)

Γ(α + l + 1) Γ(α + 1)l!

´ HIPERGEOMETRICA ´ 8.9. ECUACION

377

Relaciones de recurrencia:

•

1 α+1,β+1 (x) P˙lα,β (x) = (1 + α + β + l)Pl−1 2 α+1,β (x + 1)P˙lα,β (x) = lPlα,β (x) + (β + l)Pl−1 (x) α,β α,β α,β+1 (x − 1)P˙ (x) = lP (x) − (α + l)P (x)

•

P˙lα,β (x)

• •

l

l

l−1

1 α+1,β α,β+1 = Pl−1 (x) + (α + l)Pl−1 2

Otras relaciones pueden encontrarse en el libro de W. W. Bell citado en la bibliograf´ıa.

8.9.

Ecuaci´ on hipergeom´ etrica

Se definen los s´ımbolos de Pochhammer (α)n como: (α)n = α(α + 1) . . . (α + n − 1) =

Γ(α + n) , Γ(α)

(α)0 = 1,

donde n es un entero positivo. La funci´ on hipergeom´etrica general se define en la forma:

m Fn (α1 , α2

. . . αm ; β1 , β2 . . . βn ; x) =

∞ X (α1 )r (α2 )r . . . (αm )r r x (β1 )r (β2 )r . . . (βn )r r! r=0

(8.94)

Muchas funciones especiales pueden expresarse en t´erminos de estas nuevas funciones; como ejemplos:

• • • • •

¶ µ 1−x Pl (x) = 2 F1 −l, l + 1; 1; 2 µ ¶ 2 m/2 (l + m)! (1 − x ) 1−x m Pl = 2 F1 m − l, m + l + 1; m + 1; (l − m)! 2m m! 2 −ix ³ ´n e x Jn (x) = 1 F1 (n + 1/2; 2n + 1; 2ix) n! 2 ¡ ¢ (2n)! 2 H2n (x) = (−)n 1 F1 −n; 1/2; x n! ¡ ¢ 2(2n + 1)! 2 H2n+1 (x) = x(−)n 1 F1 −n; 3/2; x n!

378

8.

•

FUNCIONES ESPECIALES

Ln (x) = 1 F1 (−n; 1; x) Γ(n + k + 1) Lkn (x) = 1 F1 (−n; k + 1; x) n!Γ(k + 1) µ ¶ 1 1−x Tl (x) = 2 F1 −l.l; ; 2 2 µ ¶ p 3 1−x Ul (x) = l 1 − x2 2 F1 −l + 1, l + 1; ; 2 2 µ ¶ 1−x Γ(l + 2λ) Clλ (x) = 2 F1 −l, l + 2λ; λ + 1/2; l!Γ(2λ) 2

• • • •

Ahora bien, la ecuaci´ on hipergeom´etrica (o ecuaci´on de Gauss) tiene la forma: x(1 − x)¨ y + [c − (a + b + 1)x]y˙ − aby = 0 La forma de Sturm-Liouville de esta ecuaci´on es: ¤ d £ (1 − x2 )a+b−c+1 xc y˙ − abxc−1 (1 − x)a+b−c y = 0 dx donde: p = xc−1 (1 − x)a+b−c , q = xc (1 − x)a+b−c+1 ; de modo que la soluci´on forma una base ortogonal. Esta ecuaci´on tiene tres puntos singulares regulares: x = 0, 1, ∞. La primera soluci´on, conocida como serie hipergeom´etrica tiene la forma (8.94), con m = 2, n = 1, (α1 )r = (a)r , (α2 )r = (b)r , (β1 )r = (c)r : y(x)

abx a(a + 1)b(b + 1) 2 + x c 2!c(c + 1) a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) 3 (a)r (b)r r + x + ··· + x + ... 3!c(c + 1)(c + 2) r!(c)r ∞ X (a)r (b)r r = x r!(c)r r=0

=

2 F1 (a, b, c; x)

=1+

donde: c 6= 0, −1, −2, −3, . . . Si c no es entero una segunda soluci´on independiente est´a dada por: y(x) = 2 F1 (a + 1 − c, b + 1 − c, 2 − c; x)x1−c ;

c 6= 2, 3, 4, . . .

Si c es entero las dos soluciones coinciden ´o (si adem´as a ´o b es entero) una de ellas diverge. En tal caso la segunda soluci´on incluye un t´ermino logar´ P∞ıtmico. El caso especial a = c, b = 1 genera la serie geom´etrica n=0 xn . Por esto la soluci´on general se llama hipergeom´etrica. Un estudio sistem´atico fue realizado por Gauss, a quien se asocia esta funci´on.

´ HIPERGEOMETRICA ´ 8.9. ECUACION

379

Si a ´o b es cero o entero negativo la serie infinita se convierte en un polinomio. La serie converge para −1 < x ≤ 1 si c > a+b y converge en x = −1 si c > a+b−1. Para c = −n (n = 0, 1, 2, . . .) la serie es indeterminada si a 6= −m y b 6= −m(m < n y m entero positivo). Excluyendo estos valores de a, b, c la serie converge para −1 < x < 1, de acuerdo a las siguientes reglas: a) Si a + b − c > 1, la serie converge en x = 1. b) Si a + b − c < 0, la serie converge absolutamente en x = 1. c) Si a + b − c ≥ 1, la serie diverge en x = 1. Las funciones hipergeom´etricas son u ´tiles para expresar ln(1 + x) x (1 + x)n ln(1 − x) − µ x ¶ 1 1+x ln 2x 1−x arcsen x x arctan x x

=

2 F1 (1, 1; 2; −x)

=

2 F1 (−n, b; b; −x)

=

2 F1 (1, 1; 2; x)

=

2 2 F1 (1/2, 1; 3/2; x )

=

2 2 F1 (1/2, 1/2; 3/2; x )

=

2 2 F1 (1/2, 1; 3/2; −x )

y las integrales el´ıpticas: Z

π/2

(1 − k 2 sen 2 θ)−1/2 dθ

=

π 2 2 F1 (1/2, 1/2; 1; k ) 2

=

π 2 2 F1 (1/2, −1/2; 1; k ) . 2

0

Z

π/2

(1 − k 2 sen 2 θ)1/2 dθ

0

La ecuaci´ on hipergeom´etrica confluente (o ecuaci´on de Kummer), cuyas soluciones son 1 F1 (α; β; x) tiene la forma: x2 y¨ + (β − x)y˙ − αy = 0 Si β no es entero la segunda soluci´on est´a dada por: x1−β 1 F1 (α − β + 1; 2 − β; x) Es cierto que ex = 1 F1 (α; α; x) ım [2 F1 (a, b; c; x/β)] 1 F1 (a; c; x) = l´ b→∞

380

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Problema: La ecuaci´ on de Whittaker tiene la forma: ½ ¾ 1 k 1/4 − m2 y¨ + − + + y=0 4 x x2 Verifique, por substituci´ on directa, que sus soluciones son: Mk,m (x) = x1/2−m e−x/2 1 F1 (1/2 − k − m; 1 + 2m; x) Mk,−m (x) = x1/2−m ex/2 1 F1 (1/2 − k − m; 1 − 2m; x), con α = 1/2 − k − m, β = 1 ± 2m. Mk,±m (x) se conocen como funciones de Whittaker.

8.10.

Anexo 8.1:

La funci´ on Gamma

Para ν real y positivo la funci´on Gamma (o funci´on factorial), mostrada en la figura 8.17, se define mediante la integral Z ∞ Γ(ν) = xν−1 e−x dx (8.96) 0

La condici´on ν > 0 es necesaria para garantizar la convergencia de la integral en el l´ımite inferior. En particular, cuando ν = 1: Z ∞ Γ(1) = e−x dx = 1 0

Integrando (8.96) por partes £ ¤∞ Γ(ν) = xν−1 e−x 0 + (ν − 1)

Z

∞

xν−2 e−x dx

0

tal que: Γ(ν) = (ν − 1)Γ(ν − 1), si ν > 1. Reemplazando ν por ν + 1 se sigue: Γ(ν + 1) = νΓ(ν)

(8.97)

Si ν = n = entero positivo, por aplicaci´on repetida de (8.97), se sigue Γ(n + 1) = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 · Γ(1) equivalente a Γ(n + 1) = n!

(8.98)

Si se escribe x2 en vez de x en (8.96) se obtiene Z ∞ 2 Γ(ν) = 2 x2ν−1 e−x dx

(8.99)

0

Una aplicaci´on interesante de la funci´on Gamma es la evaluaci´on de la integral R π/2 cosν θ sen µ θ dθ. Ante todo consid´erese el cuadrado de la integral que aparece 0 en (8.99): ·Z ∞ ¸2 Z ∞ Z ∞ 2 2ν−1 −x2 2ν−1 −x2 y 2µ−1 e−y dy x e dx x e dx = I(ν, µ) = 0

0

0

8.10.

´ GAMMA ANEXO 8.1: LA FUNCION

381

Γ(x)

x 1

2

3

4

Figura 8.17: Funci´on Gama.

Esta integral puede evaluarse en dos formas, la primera por uso directo de la definici´on (8.96), de acuerdo a la cual I(ν, µ) =

1 Γ(ν)Γ(µ) 4

la segunda, escribiendo I(ν, µ) como una integral de ´area, pasando a coordenadas polares y teniendo en cuenta que la integral se realiza sobre el primer cuadrante. Entonces: Z ∞Z ∞ 2 2 I(ν, µ) = x2ν−1 y 2µ−1 e−x −y dx dy 0

Z =

0 ∞

Z 2

e−r r2ν+2µ−1 dr

0

=

1 Γ(ν + µ) 2

Z

π/2

cos2ν−1 θ sen 2µ−1 θ dθ

0 π/2

cos2ν−1 θ sen 2µ−1 θ dθ

0

por lo cual, igualando las dos formas de evaluaci´on de I(ν, µ) puede escribirse Z π/2 Γ(ν)Γ(µ) cos2ν−1 θ sen 2µ−1 θ dθ = 2Γ(ν + µ) 0

382

8.

FUNCIONES ESPECIALES

Si ν > −1, µ > −1, se sigue Z

π/2

cosν θ sen µ θ dθ =

0

µ+1 Γ( ν+1 2 )Γ( 2 ) 2Γ(ν + µ + 22)

En particular, si ν = µ = 0 : Z

π/2

dθ = 0

π = {Γ(1/2)} /2Γ(1) 2

y as´ı: Γ(1/2) =

√

π

Tambi´en:

1√ 3√ 1 3 Γ(1/2) = π , Γ(5/2) = Γ(3/2) = π 2 2 2 4 Una u ´ltima consideraci´on importante: funciones Gamma de n´ umeros negativos. De (8.97) con ν > 0 es cierto que Γ(ν) = Γ(ν + 1)/ν, de donde se sigue que Γ(0+ ) → +∞. En consecuencia, realizando la extensi´on de (8.96) a ν negativos, puede probarse que Γ(0− ) → −∞, Γ(−1+ ) → −∞, Γ(−1− ) → +∞, Γ(−2+ ) → +∞, dando adem´as valores de Γ(ν) finitos√para ν diferente de entero negativo. Por ejemplo, Γ(−1/2) = Γ(1/2)/(−1/2) = −2 π. Γ(3/2) =

Problemas: Partiendo de la ecuaci´ on (8.96) demuestre que: Z ∞ • xν−1 e−αx dx = Γ(ν)/ν, ν > 0, a > 0 0 Z ∞ √ 2 • e−x dx = π/2 0 µ ¶ Z ∞ n 1 m+1 xm e−x dx = Γ , m > 1, n > 0 • n n 0 ¶ µ ¶ µ Z π/2 1 1−n 1+n tann θ dθ = Γ • Γ 2 2 2 0 Z ∞ √ 1 −b2 /4a −ax e J0 (b x) dx = e • a 0

Ap´ endice A Lista de s´ımbolos S´ımbolos matem´ aticos h i : Promedio sobre un ciclo ' : Aproximadamente igual a ∝ : Proporcional a ψ∗ : Complejo conjugado de ψ | ψ√ | : M´odulo de ψ i : −1 (α)n : S´ımbolos de Pochhammer h | : Bra de Dirac | i : Ket de Dirac Dx u, ux , u˙ : Derivada en x {φn (x)} : Base enumerable en espacio de funciones {φ(k, x)} : Base continua en espacio de funciones G+ , G− : Operadores escalera T : Matriz, d´ıada e : Matriz o d´ıada transpuesta T T−1 : Matriz inversa |T| : Determinante de la matriz T ∇ : Gradiente ∇2 : Laplaciano ¤ : D’Alembertiano (−)k : (−1)k

Escalares

383

384

8.

aij : Componentes de la matriz o d´ıada A c : Velocidad de la luz en el vac´ıo d4 x : Volumen en el Espacio-tiempo E : Energ´ıa E : Densidad volum´etrica de energ´ıa G(r, r0 ) : Funci´on de Green G : Potencial gravitacional h : Constante de Planck ~ : h/2π hi : Factores de escala H : Operador Hamiltoniano diferencial H : Hamiltoniano matricial i : Corriente el´ectrica k : Par´ametro de separaci´on de variables, constante el´astica L : Operador diferencial de segundo orden m : Masa n0 : Densidad volum´etrica de neutrones P : Potencia q : Carga el´ectrica Q : Calor t : Tiempo T : Temperatura, tensi´on en una cuerda ui : Coordenadas curvil´ıneas ortogonales W : Trabajo, Wronskiano x, y, z : Coordenadas cartesianas Z : Fuerza por unidad de ´area βνl : Ra´ıces de la derivada de la funci´on de Bessel δ(x − x0 ) : Delta de Dirac en 1D δ(r − r0 ) : Delta de Dirac en 3D δ(xσ − x0σ ) : Delta de Dirac en 4D δij : Delta de Kronecker en 3D δµν : Delta de Kronecker en 4D ²ijk : S´ımbolo de Levi-Civita en 3D ²µνσρ : S´ımbolo de Levi-Civita en 4D ², ²0 : Permitividad γ0 : Cuarta matriz de Dirac Γ(n): Funci´on Gamma λ : Densidad lineal de masa µ, µ0 : Permeabilidad ν : Frecuencia

FUNCIONES ESPECIALES

8.10.

´ GAMMA ANEXO 8.1: LA FUNCION

ρ : Densidad volum´etrica de masa, coordenada radial polar σ : Densidad superficial de masa φ : Potencial escalar el´ectrico Ψ : Funci´on de onda χe : Susceptibilidad el´ectrica χνl : Ra´ıces de las funciones de Bessel χm : Susceptibilidad magn´etica ´ Ω : Angulo s´olido ω : Frecuencia angular

Polinomios on hipergeom´etrica 2 F1 (a, b, c; x) : Funci´ (1) (2) Hl (x), Hl (x) : Funciones de Hankel (1) (2) hl (x), hl (x) : Funciones de Hankel esf´ericas

H(x) : Funciones de Hermite Iν (x), Kν(x) : Funciones de Bessel modificadas in (x), kn (x) : Funciones de Bessel esf´ericas modificadas Jν (x) : Funciones de Bessel jν (x) ην (x) : Funciones de Bessel y Neumann esf´ericas Ln (x) : Polinomios de Laguerre lnk : Polinomios asociados de Laguerre Nν (x) : Funciones de Neumann Pl (x) : Polinomios de Legendre Plm (x) : Polinomios asociados de Legendre Ql (x) : Funciones de Legendre de segunda clase Qm l (x) : Funciones asociadas de Legendre de segunda clase Tlλ : Polinomios de Gegenbauer Tl (x), Ul (x) : Polinomios de Chevyshev Plα,β (x) : Polinomios de Jacobi Ylm (θ, ϕ) : Arm´onicos esf´ericos escalares Xlm : Arm´onicos esf´ericos vectoriales

Vectores A : Potencial vectorial magn´etico a : Aceleraci´on

385

386

8.

B : Inducci´on magn´etica D : Desplazamiento el´ectrico E : Intensidad del campo el´ectrico ˆi : Vector unitario en direcci´on i e ˆφ , e ˆz ) : Vectores unitarios cil´ındricos (ˆ eρ , e ˆθ , e ˆφ ) : Vectores unitarios esf´ericos (ˆ er , e F : Fuerza f : Densidad volum´etrica de fuerza g : Densidad volum´etrica de momento lineal, aceleraci´on de gravedad H : Intensidad de campo magn´etico J : Densidad de corriente el´ectrica, densidad de corriente de probabilidad k : Vector de propagaci´on L : Momento angular dl : Diferencial de longitud m : Momento de dipolo magn´etico ˆ : Vector unitario normal n P : Polarizaci´on p : Momento de dipolo el´ectrico, momento lineal r : Posici´on S : Vector de Poynting dS : Diferencial de superficie v, V : Velocidad γ : Matrices espaciales de Dirac σ i : Matrices de Pauli τ : Torque ω : Velocidad angular

D´ıadas y matrices A : Matriz de transformaci´on ortogonal I : Identidad Q : Momento de cuadrupolo el´ectrico T : Densidad de flujo de momento lineal, Tensor de Maxwell

FUNCIONES ESPECIALES

Ap´ endice B F´ ormulas u ´ tiles • f (x) =

P∞

xn n=0 n!

• (a + b)n =

³

P∞

• (a + b)−n =

dn f (x) dxn

´

k n−k

n!a b k=0 k!(n−k)!

P∞ k=0

x=0

,

|b| < |a|

(−1)n (n+k−1)!an−k bk , k!(n−1)!

|b| < |a|,

• sen (x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x • cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y • senh (x ± y) = senh x cosh y ± senh y cosh x • cosh(x ± y) = cosh x cosh y ∓ senh x senh y • sen x = (eix − e−ix )/2i • cos x = (eix + e−ix )/2 • senh x = (ex − e−x )/2 • cosh x = (ex + e−x )/2 • eix = cos x + i sen x n 2n+1 P∞ x • sen x = n=0 (−) (2n+1)! • cos x = • ex =

P∞ n=0

(−)n x2n (2n)!

P∞

xn n=0 (n)!

387

n