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´ PARCIAL I SOLUCION Dayver Daza Salgado Noviembre 8 del 2017 1. Probar usando el formalismo indicial que: a · c (a × b) · (c × d) = a·d

b · c b · d

Soluci´ on El producto cruz para dos cuales quiera vectores usando el formalismo indicial viene dado por x × y = ijk xj yk . As´ı para el problema anterior tenemos que (ijk aj bk )(ipq cp dq ) = ijk ipq aj bk cp dq .

(1)

Por otro lado tenemos la propiedad ijk pqk = δip δjq − δiq δjp

i, j, k, p, q = 1, 2, 3

(2)

Lo anterior sugiere entonces permutar el sub´ındice i en contra de las manecillas del reloj, por lo tanto jki pqi = δjp δkq − δjq δkp

(3)

As´ı, usando (3) en (1) (ijk aj bk )(ipq cp dq ) = (δjp δkq − δjq δkp )aj bk cp dq . Ahora, aplicando la propiedas distributiva para la expresi´on anterior tenemos (ijk aj bk )(ipq cp dq ) = δjp δkq aj bk cp dq − δjq δkp aj bk cp dq . El operador delta de Kronecker δij nos permite reemplazar el sub´ındice reperido, es por eso que tambi´en recibe el nombre de operador sustituci´on. De esta manera tenemos (ijk aj bk )(ipq cp dq ) = δjp δkq aj bk cp dq − δjq δkp aj bk cp dq . 



Es decir: δjp aj = ap ,  

δkq bk = bq ,



δjq aj = aq ,  

δkp bk = bp



As´ı, conseguimos que: (ijk aj bk )(ipq cp dq ) = ap bq cp dq − aq bp cp dq

(4)

Lo anterior se traduce en: a · c (a × b) · (c × d) = (a · c) · (b · d) − (a · d) · (b · c) = a·d

1

b · c b · d

0 2. Muestre que τqr = lqi lrj τij implica que t0j = n0j τij es consistente.

Soluci´ on Sabemos que t0j es el vector de esfuerzo, y este debe trasnformar como vector, es decir, t0j = lpj tp . Por otro lado n0i es un vector unitario perpendicular a la superficie, y este tambi´en debe trasnformar como vector, es decir, n0i = lqi nq , por otro lado, tp = ni τip . As´ı tenemos que 0 t0j = n0i τij 0 lpj tp = lqi nq τij ,

lpj ni τip =

Reemplazando tp

0 lqi nq τij

Ahora multiplicando la expresi´ on anterior por lrj , se tiene 0 lrj lpj ni τip = lrj lqi nq τij

Por otro lado, se dabe que lij lkj = δik . As´ı   0 lrj lpj ni τip = lrj lqi nq τij | {z } δrp

Luego se tiene 0 δrp ni τip = lrj lqi nq τij

0 ni τir = lrj lqi nq τij

Al lado izquierdo de la u ´ltima expresi´on, el sun´ındice i es mudo, por lo tanto se hace un cambio de ´ındice, o se renombra como i −→ q, as´ı tenemos 0 nq τqr = lrj lqi nq τij

(1)

Pasando el t´ermino de la parte derecha de (1) 0 np (τqr − lrj lqi τij )=0

nq no puede ser cero porque es un vector unitario, es decir, siempre tiene magnitud uno, por otro lado el termino entre parentesis exige entonces la soluci´on m´as simple, esto es 0 0 τqr − lrj lqi τij = 0 −→ τqr = lqi lrj τij

(2)

Por otro lado, para verificar que t0j es consistente o covariante, este debe trasnformar siempre de la misma forma en cualquier sistema de referencia es: multiplicando en ambos lados la expresi´on (2) por lrk lqm , tenemos 0 τqr lrk lqm = lrk lqm lrj lqi τij 0 = lrk lrj lqm lqi τij | {z } | {z } δkj

δmi

Esto es τqr lrk lqm = δkj δmi τi0j    Luego 0 τmk = lrk lqm τqr

2

(3)

0 Lo anterior es lo mismo que τij = lmi lkj τmk y con los argumentos expuestos al principio de la soluci´ on de este punto, se obtiene 0 t0j = n0i τij

lpj tp = lqi nq τmk lmi lkj Reorganizando la expresi´ on anterior se tiene lpj tp = nq lqi lmi lkj τmk | {z } δqm

De acuerdo a lo anterior conseguimos que lpj tp = nq δqm lkj τmk   Ahora, renombrando en la parte derecha de la expresi´on anterior a k −→ p se tiene lpj tp = nm lpj τmp ,

as´ı tenemos.

lpj (tp − nm τmp ) = 0. Puesto que |L| = 6 0, se considera la soluci´on trivial para el sistema de ecuaciones dado por: tp − nm τmp −→ tp = nm τmp

(4)

Lo anterior muestra que el vector de esfuerzo no cambia de forma, es decir, es consistente. 3. El producto tensorial de dos vectores es llamado una diada, una suma de tales productos es llamada una di´ adica. a. Escriba la diada ab como la suma de los t´erminos sim´etricos y antisim´etricos. b. Sea ei un conjunto de dos vectores ortnormales. Muestre que I = ei ei . c. Muestre por construcci´ on que todo tensor de segundo orden es una di´adica. Soluci´ on a. El producto ab se denomina una diada. Por otro lado una di´adica D consiste en un tensor de segundo orden y siempre puede ser representada por una suma infinita de diadas, es decir D = a1 b1 + · · · + an bn

(1)

Si se intercambian los t´erminos de la di´adica anterior, entonces se consigue una di´adica conjugada de D y se escribe como Dc = b1 a1 + · · · + bn an

(2)

Ahora bien. se dice que la diada es sim´etrica si S = Sc y antisim´etrica si A = −Ac . Sumemos las igualdades anteriores, es decir S = Sc + A = −Ac Esto es 2D = Dc − Dc . Cabe recordar que el primer termino de la suma anterior es el t´ermino sim´etrico y el segundo es el antisim´etrico; as´ı usando las igualdades del fragmento anterior para el t´ermino sim´etrico se tiene: D=

1 (D − Dc ). −→ Parte antisim´etrica. 2

3

(3)

Procediendo de igual manera, pero est´a vez, restando, se tiene D − D = Dc + Dc . Sumando, y usando la igualdad para la parte antisim´etrica, obtenemos D=

1 (D + Dc ). −→ Parte sim´etrica. 2

Por

4

(4)