• Author / Uploaded
• Stebhan Sanchez

• Categories
• Matemáticas Aplicadas
• Física y matemáticas
• Matemáticas
• Ingenieria Eléctrica
• Ciencia

Citation preview

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ALGORITMOS DE CONTROL tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc 14/06/2013

Ismael de Jesús Martínez Sánchez

Contenido INTRODUCCION .............................................................................................................................. 4 ALGORITMOS DE CONTROL ....................................................................................................... 5 SIGNIFICADO DE LAS CONSTANTES ................................................................................. 10 FUNCIONAMIENTO .................................................................................................................. 13 MODOS DE CONTROL ................................................................................................................ 15 CONTROLADOR DE DOS POSICIONES. ............................................................................ 15 Servomecanismos .................................................................................................................. 16 Reguladores ............................................................................................................................ 17 CONTROL DE DOS POSICIONES CON ZONA DIFERENCIAL ....................................... 17 CONTROL PROPORCIONAL .................................................................................................. 18 CONTROL PROPORCIONAL CON REAJUSTE AUTOMÁTICO ...................................... 18 CONTROL DE ACCION DERIVATIVA (R). ........................................................................... 19 CONTROL PRPORCIONAL CON REAJUSTE AUTOMÁTICO Y ACCIÓN DERIVATIVA. ....................................................................................................................................................... 19 MODOS DE CONTROL DISCRETO ........................................................................................... 20 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH. ........................................................................... 21 CRITERIO DE NYQUIST .......................................................................................................... 23 GRAFICAS DE BODE ............................................................................................................... 24 LUGAR DE LAS RAICES .......................................................................................................... 25 EJECUCIÓN DE UN MODELO DE SIMULACIÓN. ANÁLISIS DE RESULTADOS ............ 28 5.1. Tipos de simulación ................................................................................................................ 28 ANÁLISIS EN SIMULACIÓN LIMITADA ..................................................................................... 30 Selección de las condiciones iniciales .................................................................................... 30 Estimación de la media ............................................................................................................. 30 ESTIMACIÓN DE OTROS PARÁMETROS ............................................................................... 31

2

5.3. Análisis en simulación ilimitada con régimen permanente............................................... 32 Estimación de parámetros ............................................................................................................ 36 Simulación del Algoritmo de Karplus-Strong utilizando MATLAB. ......................................... 44 CONCLUSION ................................................................................................................................ 49 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................................ 50 REFERENCIAS DE INERNET ..................................................................................................... 50

3

INTRODUCCION

De manera general y como antecedente al tema del presente trabajo, se puede decir que el control automático nace de la consideración del principio de realimentación el cual es bastante simple y muy poderoso. A lo largo de su historia, ha tenido una fuerte influencia en la evolución de la tecnología. Las aplicaciones del principio de realimentación han tenido éxito en los campos del control, comunicaciones e instrumentación. Para entender el concepto, asuma que el proceso es tal que cuando el valor de la variable manipulada se incrementa, entonces se incrementan los valores de las variables del proceso.

Basándonos en los mecanismos de control podemos establecer que un PID es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce.

4

ALGORITMOS DE CONTROL Los sistemas de control realimentados necesitan de un controlador, para establecer la señal de entrada al proceso (acción de control). El término controlador en un sistema de control con retroalimentación, a menudo está asociado con los elementos de la trayectoria directa entre la señal actuante (error) “e” y la variable de control “u”. Pero, algunas veces, incluye el punto de suma, los elementos de retroalimentación o ambos. Algunos autores utilizan los términos controlador y compensador como sinónimos. El contexto deberá eliminar cualquier ambigüedad. Las cinco definiciones siguientes son ejemplos de leyes de control o algoritmos de control. En un sistema con un sistema de control, según sea la forma en que conteste el actuador, distinguiremos distintos tipos de acciones de control, algunas de ellas solamente utilizarán acciones llamadas básicas, aunque lo más común es que respondan mediante una combinación de estas acciones básicas.

Un PID es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un

5

esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La respuesta del controlador puede ser descrita en términos de respuesta del control ante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado de oscilación del sistema. Nótese que el uso del PID para control no garantiza control óptimo del sistema o la estabilidad del mismo. Algunas aplicaciones pueden solo requerir de uno o dos modos de los que provee este sistema de control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivas. Los controladores PI son particularmente comunes, ya que la acción derivativa es muy sensible al ruido, y la ausencia del proceso integral puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la acción de control. Estructura del PID Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad:

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.

6

 P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su función transferencia queda:

Cp(s)=kp Donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set). La parte proporcional consiste en el producto entre la señal de error y la constante proporcional para lograr que el error en estado estacionario se aproxime a cero, pero en la mayoría de los casos, estos valores solo serán óptimos en una determinada porción del rango total de control, siendo distintos los valores óptimos para cada porción del rango. Sin embargo, existe también un valor límite en la constante proporcional a partir del cual, en algunos casos, el sistema alcanza valores superiores a los deseados. Este fenómeno se llama sobre oscilación y, por razones de seguridad, no debe sobrepasar el 30%, aunque es conveniente que la parte proporcional ni siquiera produzca sobre oscilación. Hay una relación lineal continua entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de control (la válvula se mueve al mismo valor por unidad de desviación). La parte proporcional no considera el tiempo, por lo tanto, la mejor manera de solucionar el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna componente que tenga en cuenta la variación respecto al tiempo, es incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa. El error, la banda proporcional y la posición inicial del elemento final de control se expresan en tanto por uno. Nos indicará la posición que pasará a ocupar el elemento final de control Ejemplo: Cambiar la posición de una válvula (elemento final de control) proporcionalmente a la desviación de la temperatura (variable) respecto al punto de consigna (valor deseado).

7

 I: acción de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

La señal de control ˜ u (t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error˜ e (t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero. En estos reguladores el valor de la acción de control es proporcional a la integral de la señal de error, por lo que en este tipo de control la acción varía en función de la desviación de la salida y del tiempo en el que se mantiene esta desviación. Si consideramos que: 

y(t) = Salida integral



e(t) = Error (diferencia entre el valor medido medición y el punto de consigna PC)



Ti = Tiempo integral

La salida de este regulador es:

Que en el dominio de Laplace, será:

Por lo que su función de transferencia será:

8

La respuesta temporal de un regulador integral es:

La velocidad de respuesta del sistema de control dependerá del valor de Ki que es la pendiente de la rampa de acción integral. El inconveniente del controlador integral es que la respuesta inicial es muy lenta, y, el controlador no empieza a ser efectivo hasta haber transcurrido un cierto tiempo. En cambio anula el error remanente que presenta el controlador proporcional.  D: acción de control derivativo: La acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral). El error es la desviación existente entre el punto de medida y el valor consigna, o "Set Point". La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera evita que el error se incremente. Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante D y luego se suma a las señales anteriores (P+I). Es importante adaptar la respuesta de control a los cambios en el sistema ya que una mayor derivativa corresponde a un cambio más rápido y el controlador puede responder acordemente. La fórmula del derivativo está dada por:

9

El control derivativo se caracteriza por el tiempo de acción derivada en minutos de anticipo. La acción derivada es adecuada cuando hay retraso entre el movimiento de la válvula de control y su repercusión a la variable controlada. Cuando el tiempo de acción derivada es grande, hay inestabilidad en el proceso. Cuando el tiempo de acción derivada es pequeño la variable oscila demasiado con relación al punto de consigna. Suele ser poco utilizada debido a la sensibilidad al ruido que manifiesta y a las complicaciones que ello conlleva. El tiempo óptimo de acción derivativa es el que retorna la variable al punto de consigna con las mínimas oscilaciones Ejemplo: Corrige la posición de la válvula (elemento final de control) proporcionalmente a la velocidad de cambio de la variable controlada. La acción derivada puede ayudar a disminuir el rebasamiento de la variable durante el arranque del proceso. Puede emplearse en sistemas con tiempo de retardo considerables, porque permite una repercusión rápida de la variable después de presentarse una perturbación en el proceso.

SIGNIFICADO DE LAS CONSTANTES P= constante de proporcionalidad: se puede ajustar como el valor de la ganancia del controlador o el porcentaje de banda proporcional. Ejemplo: Cambia la posición de la válvula proporcionalmente a la desviación de la variable respecto al punto de consigna. La señal P mueve la válvula siguiendo fielmente los cambios de temperatura multiplicados por la ganancia. I= constante de integración: indica la velocidad con la que se repite la acción proporcional.

10

D= constante de derivación: hace presente la respuesta de la acción proporcional duplicándola, sin esperar a que el error se duplique. El valor indicado por la constante de derivación es el lapso de tiempo durante el cual se manifestará la acción proporcional correspondiente a 2 veces el error y después desaparecerá. Ejemplo: Mueve la válvula a una velocidad proporcional a la desviación respeto al punto de consigna. La señal I va sumando las áreas diferentes entre la variable y el punto de consigna repitiendo la señal proporcional según el tiempo de acción derivada (minutos/repetición). Tanto la acción Integral como la acción Derivativa, afectan a la ganancia dinámica del proceso. La acción integral sirve para reducir el error estacionario, que existiría siempre si la constante Ki fuera nula. Ejemplo: Corrige la posición de la válvula proporcionalmente a la velocidad de cambio de la variable controlada. La señal d es la pendiente (tangente) por la curva descrita por la variable. La salida de estos tres términos, el proporcional, el integral, y el derivativo son sumados para calcular la salida del controlador PID. Definiendo u (t) como la salida del controlador, la forma final del algoritmo del PID es:

 PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante:

Donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral. La función de transferencia resulta:

11

Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error peque no positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control ser a decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero. Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escalón.  PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante:

Donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que solo es eficaz durante períodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:

Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable.

12

 PID:

acción

de

control

proporcional-integral-derivativa,

esta

acción

combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

Y su función transferencia resulta:

FUNCIONAMIENTO Para el correcto funcionamiento de un controlador PID que regule un proceso o sistema se necesita, al menos: Un sensor, que determine el estado del sistema (termómetro, caudalímetro, manómetro, etc.). Un controlador, que genere la señal que gobierna al actuador. Un actuador, que modifique al sistema de manera controlada (resistencia eléctrica, motor, válvula, bomba, etc.). El sensor proporciona una señal analógica o digital al controlador, la cual representa el punto actual en el que se encuentra el proceso o sistema. La señal puede representar ese valor en tensión eléctrica, intensidad de corriente eléctrica o frecuencia. En este último caso la señal es de corriente alterna, a diferencia de los dos anteriores, que también pueden ser con corriente continua. El controlador lee una señal externa que representa el valor que se desea alcanzar. Esta señal recibe el nombre de punto de consigna (o punto de referencia), la cual es de la misma naturaleza y tiene el mismo rango de valores que la señal que proporciona el sensor. Para hacer posible esta compatibilidad y

13

que, a su vez, la señal pueda ser entendida por un humano, habrá que establecer algún tipo de interfaz (HMI-Human Machine Interface), son pantallas de gran valor visual y fácil manejo que se usan para hacer más intuitivo el control de un proceso. El controlador resta la señal de punto actual a la señal de punto de consigna, obteniendo así la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado (consigna) y el valor medido. La señal de error es utilizada por cada uno de los 3 componentes del controlador PID. Las 3 señales sumadas, componen la señal de salida que el controlador va a utilizar para gobernar al actuador. La señal resultante de la suma de estas tres se llama variable manipulada y no se aplica directamente sobre el actuador, sino que debe ser transformada para ser compatible con el actuador utilizado. Las tres componentes de un controlador PID son: parte Proporcional, acción Integral y acción Derivativa. El peso de la influencia que cada una de estas partes tiene en la suma final, viene dado por la constante proporcional, el tiempo integral y el tiempo derivativo, respectivamente. Se pretenderá lograr que el bucle de control corrija eficazmente y en el mínimo tiempo posible los efectos de las perturbaciones.

14

MODOS DE CONTROL Previamente establecidos. Esta es precisamente la función del controlador. E = Variable controlada

Y = Señal controlada de salida

P = Punto de ajuste

M = Variable manipulada

X = Desviación

Los diferentes pasos de un sistema de control son los siguientes: 1. Comparación de la señal de medida (suministrada por los EPM) 2. La desviación de la magnitud del vapor prefijado, se envía al controlador 3. El controlador evalúa la desviación y da salida a una señal de corrección 4. Esta señal de corrección llega al EFC, respondiendo este a ella, modificando las condiciones del proceso. 5. Detección del cambio de la magnitud bajo control, por los EPM 6. Transmisión de la variación de la magnitud del control al modulo de comparación 7. La señal de entrada al controlador queda modificada en consecuencia

Son los modos con los que cuenta un controlador para efectuar la acción de control estos son: a) Dos posiciones b)

Dos

posiciones

d) con

zona

Proporcional

con

reajuste

con

reajuste

automático

diferencial

e)

Proporcional

c) Proporcional

automático

y

acción

derivativa

CONTROLADOR DE DOS POSICIONES. Aquí el EFC solo puede tener una de sus dos posiciones extremas (totalmente cerrado o totalmente abierto) dependiendo de si la variable está arriba o abajo del punto de ajuste.

15

(+) AD.- Se dice que un controlador es de acción directa (+), cuando al aumentar la desviación aumenta la señal controlada de salida y al disminuir la desviación disminuye la señal controlada de salida. (-) AI.- Será aquel que al aumentar la desviación disminuye la señal controlada y al disminuir la desviación aumenta la señal controlada de salida. Un controlador de encendido-apagado (on-off)* (controlador binario, de dos posiciones) tiene únicamente dos valores posibles en su salida u, dependiendo de la entrada e en el controlador. EJEMPLO 4.1. Un controlador binario puede tener una salida u = + 1 cuando la señal de error es positiva, es decir, e > O, y u = -1 cuando e s 0.  Un controlador proporcional (P) tiene una salida u proporcional a su entrada e esto es, u = Kpe, en donde Kp es una constante de proporcionalidad.  Un controlador derivativo (D) tiene una salida u proporcional a la derivada de su entrada e, esto es, u = Kv de/dt, en donde Kv es una constante de proporcionalidad.  Un controlador integral (I) tiene una salida u proporcional a la integral de su entrada “e”, esto es, u = Krf e(t)dt, en donde K/ es una constante de proporcionalidad.  Los controladores PD, PI, DI y PID son combinaciones de los controladores, proporcional (P), de derivativo (O) e integral (/).

Servomecanismos Los sistemas de

control

con

retroalimentación

especializados,

llamados

servomecanismos, requieren una atención especial, debido a su frecuente aparición en aplicaciones industriales y en la literatura de los sistemas de control. Un servomecanismo es un sistema de control con retroalimentación de amplificación de potencia, en el cual la variable controlada c es una posición mecánica o una derivada con respecto al tiempo, tal como la velocidad o la aceleración.

16

Reguladores Un regulador o sistema regulador es un sistema de control con retroalimentación en el cual la entrada o comando de referencia es constante por largos periodos de tiempo, habitualmente durante todo el intervalo de tiempo en el cual el sistema es operacional. Con frecuencia tal entrada se llama punto de referencia. Un regulador se diferencia de un servomecanismo en que la función primaria de un regulador usualmente es mantener una salida controlada constante, mientras que la de un servomecanismo es, casi siempre, hacer que una entrada variable en el sistema ocasione una salida.

CONTROL DE DOS POSICIONES CON ZONA DIFERENCIAL Aquí se cuenta con una zona de no operación del controlador, existiendo está zona en forma simétrica arriba y abajo del punto de ajuste. Así hasta que la variable rebase los límites superior e inferior de dicha zona es cuando el controlador actúa.

17

CONTROL PROPORCIONAL Es un modo de control cuya señal de salida es directamente proporcional a la desviación y a los ajustes con que cuenta el controlador.

BP.- Es el porcentaje de escalas que tiene que recorrer la variable controlada para que el EFC vaya a una de sus posiciones extremas.

CONTROL PROPORCIONAL CON REAJUSTE AUTOMÁTICO

Este es un modo que nos da una componente en la señal de salida, la que cambia con velocidad proporcional a la desviación. r.- Reajuste automático (repeticiones/ min).-número de veces que se repite en un min. La corrección efectuada por el control proporcional. K.- 50 +_ cte. de integración.

18

CONTROL DE ACCION DERIVATIVA (R). Este modo nos da una componente en la señal de salida cuyo valor es directamente proporcional a la velocidad con que cambia la variable controlada. R.- Se mide en min., y el tiempo en el cuál se adelanta la señal de control a la corrección que afectara la acción proporcional debido a la acción derivativa. R.- Sirve para medir tiempos muertos.

CONTROL PRPORCIONAL

CON REAJUSTE AUTOMÁTICO

Y ACCIÓN

DERIVATIVA. Este último modo de control es la combinación de dos de las anteriores que son; control proporcional con reajuste automático y control proporcional con acción derivativa. Por lo tanto la ecuación de esta será la combinación de las ya mencionadas:

19

MODOS DE CONTROL DISCRETO Un sistema de control discreto es aquel que incluye un computador digital en el bucle de control para realizar un procesamiento de señal. Señal de entrada y salida de un proceso. Se convendrá en asignar la señal de entrada a un proceso como “u” (ya sea como u(t) para señal continua ó como u(k) para señal discreta) y la salida como “y” (ya sea como y(t) señal continua ó como y(k) para señal discreta). Para no confundir la señal de entrada con la señal escalón, se señalizará explícitamente cuándo corresponda a un escalón.

Representación de un proceso continúo. Las formas más comunes de representar matemáticamente un proceso son: - Función de transferencia - Variables de estado

Ambas representaciones son equivalentes en el sentido que desde la función de transferencia se puede llegar a la representación de estado y viceversa. Concepto práctico de señal discreta Al hacer pasar una señal continua por un convertidor análogo digital y luego seguido por un convertidor digital análogo, a la salida se obtiene la señal discretizada.

20

Diseño y análisis de lazos de control que usan controladores PID discretos utilizando medios computacionales. Existen diversas técnicas o criterios de análisis para el diseño de sistemas de control, tales como:  El criterio de Routh-Hurwitz  Criterio de Nyquist  Diagramas de Bode  Lugar de la raíces

El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del planos. Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

En donde las a y las b son constantes y m ≤ n.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH. El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.

Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh: 1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:

21

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo. 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

22

La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero. El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

CRITERIO DE NYQUIST El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). El teorema trata del muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, es decir, aún no han sido cuantificadas. El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

23

Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras que no esté perfectamente definido por la serie total de muestras. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencia a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo.

GRAFICAS DE BODE Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode. Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores. El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

24

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert. Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica). Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte (“diagrama de Bode corregido”).

LUGAR DE LAS RAICES Las características de un sistema de lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Para encontrarlos se debe descomponer en factores la ecuación característica lo que resulta muy laborioso. El método del lugar de las raíces está

25

basado en técnicas de tanteo y error y es un procedimiento gráfico, por el cual se trazan las raíces de la ecuación exactamente para todos los valores de un parámetro del sistema que normalmente es la ganancia K variándola desde 0 a ∞. Este método permite encontrar los polos de lazo cerrado partiendo de los polos y ceros de lazo abierto tomando a las ganancias como parámetro. Un ejemplo sería: Encontrar las posiciones de los polos de lazo cerrado variando K algunos valores a partir de la función de transferencia de lazo abierto:

Si extendemos los puntos en una gráfica en el plano S se tiene:

26

Por lo complicado que sería el trazo para todos los valores de K y ecuaciones de orden superior a 2 se prefiere usar el trazado del lugar de las raíces usando reglas de construcción y los criterios de ángulo y de magnitud.

27

EJECUCIÓN DE UN MODELO DE SIMULACIÓN. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Para analizar de manera adecuada un determinado sistema de simulación, es necesario realizar de forma correcta la ejecución del modelo y el análisis de los resultados. A veces, debido a que se interpreta la simulación como un mero ejercicio de programación, o porque se desconocen las implicaciones del carácter aleatorio del modelo, o por el coste asociado a las repeticiones, se realiza una única repetición y se toman decisiones con esta única repetición Otros errores provienen de un tratamiento estadístico erróneo o insuficiente (realización de un número insuficiente de repeticiones, consideración de valores pertenecientes al régimen transitorio, etc.) Conviene prestar atención a este aspecto de la simulación para evitar disponer de un modelo de simulación caro válido, del que se obtienen conclusiones equivocadas.

5.1. Tipos de simulación Dependiendo del carácter temporal del comportamiento del sistema estudiado, se puede establecer la siguiente clasificación: − Simulación limitada, propia de los sistemas en los que la duración del periodo de tiempo objeto de estudio está delimitado por algún tipo de evento. Al comienzo de este periodo, el sistema está en unas determinadas condiciones iniciales y, por lo tanto, se debe procurar que las condiciones iniciales del modelo de simulación sean representativas del sistema real. Por ejemplo, el análisis del funcionamiento de una sucursal bancaria, a lo largo de una jornada es un caso de simulación limitada.

28

− Simulación ilimitada, propia de sistemas en los que no existe un horizonte temporal determinado. A su vez, dentro de esta categoría se puede distinguir entre los siguientes casos: Simulación de sistemas discretos • Con régimen permanente, en los que el comportamiento del sistema se estabiliza pasado un determinado tiempo. Dependiendo de las condiciones en las que comienza la simulación, se atraviesa un periodo transitorio durante el cual se obtienen valores que generalmente no son representativos del funcionamiento del sistema en condiciones normales. Si se simula una línea de montaje con todos los puestos de servicio vacíos, transcurrirá un tiempo hasta que la línea se llene y su operación sea la „normal‟, es decir, hasta que se alcance el régimen permanente. El hecho de que se alcance el régimen permanente no significa que las variables de salida tomen un valor constante, el carácter estocástico se manifiesta igualmente en las variables de salida. Sin embargo, una vez alcanzado el régimen permanente, las variables de salida ofrecen una función de distribución constante (el patrón de comportamiento se mantiene). • Con régimen permanente cíclico, en los que el sistema presenta un comportamiento cíclico. Si, por ejemplo, la demanda de un sistema de tipo JIT varía mensualmente, cabe esperar un régimen permanente con variaciones cíclicas que se repiten cada mes. • Sin régimen permanente, en los que no se observa ningún tipo de patrón constante a lo largo de la simulación.

29

ANÁLISIS EN SIMULACIÓN LIMITADA Selección de las condiciones iniciales El establecimiento de las condiciones iniciales de la simulación limitada es especialmente importante, porque de ellas dependen los valores de las variables de salida a lo largo de la simulación. Se debe procurar que dichas condiciones iniciales sean representativas de las que se encuentran en el sistema real. Por ejemplo, en el estudio de una sucursal bancaria entre mediodía y las dos de la tarde, se pueden ofrecer, por ejemplo, dos maneras de establecer las condiciones iniciales del modelo. Una primera alternativa podría consistir en ejecutar el modelo desde la hora en la que el banco abre sus puertas, hora a la que se conoce con certeza que no existen clientes, no existen elementos en cola, que las tareas están sin comenzar, etc. Ejecutando el modelo hasta las dos de la tarde y recogiendo valores de las variables de salida sólo entre las 12 y las 2 es posible estudiar el comportamiento del sistema en las horas en la que se deseaba. Una segunda posibilidad podría consistir en lo siguiente. Durante un número suficiente de días, se recogerían datos reales del sistema al mediodía (número de clientes en cola, tipo de operaciones que desean realizar, estado de las tareas, etc.) A partir de esa información sería posible generar de forma coherente, valores iniciales cada vez que se desea realizar una replicación. Estimación de la media Típicamente, el parámetro más interesante es la media de las variables de salida del modelo de simulación. Para el cálculo de dicho valor, a partir de los valores obtenidos en las diferentes replicaciones, se obtienen intervalos de confianza. Es decir, si X una variable de salida (producción total diaria de una planta, por ejemplo), cuya media es μ = E(X), y X1, X2… Xn, es posible construir un intervalo de confianza para la media como se explicó en el apartado 2.6 de la siguiente manera:

30

Es posible, adicionalmente, determinar cuál es el número de replicaciones para alcanzar una precisión determinada. En concreto, el criterio que debe satisfacerse para que, con *na replicaciones, el error absoluto sea menor que un determinado valor β, es el siguiente:

Se puede, igualmente, establecer un criterio para el número mínimo de repeticiones de manera que el error relativo,

Sea menor que un valor dado γ:

ESTIMACIÓN DE OTROS PARÁMETROS En ocasiones puede no ser suficiente la comparación de los valores medios de una determinada variable de salida del modelo. Por ejemplo, si se realiza un estudio sobre el tiempo de ocupación de un trabajador (o un conjunto de ellos), dos configuraciones alternativas pueden arrojar el mismo resultado (o resultados

31

similares) y que, sin embargo, se trate de configuraciones muy diferentes. Por ejemplo, podría ocurrir que, en un caso, el total de los intervalos Simulación de sistemas discretos durante los cuales el trabajador está ocioso fueran muchos y muy breves, mientras que en el segundo podría ocurrir que el tiempo ocioso correspondiera a muy pocas paradas y de larga duración. En el segundo caso cabría la posibilidad de asignar algún tipo de tarea adicional al trabajador, mientras que en el primer caso no sería viable. Un segundo ejemplo es el que se puede dar en un sistema de espera. Si un conjunto de puestos de servicio atiende a un conjunto de clientes que hacen cola, en un caso en una única cola y en otro en colas individuales para cada puesto de servicio, a pesar de que el tiempo medio de espera puede ser el mismo, podría ocurrir que el la probabilidad de esperas muy largas no fuera la misma. Es decir, puede interesar conocer la probabilidad de que un cliente espere más de diez minutos. Por lo anterior, puede ser interesante estudiar otros parámetros del una determinada variable. Por ejemplo, puede interesar saber cuál es la probabilidad de que una variable X tome algún valor dentro del intervalo B, es decir, p(X ∈B). Para ello bastaría con hacer n replicaciones independientes, con lo que se obtendría un conjunto de valores de X (X1, X2, ... Xn). Sea S el número de observaciones que caen dentro del intervalo B. La variable S es una variable binomial de parámetros p y n. La forma de estimar p (que es el parámetro que se pretende obtener con en análisis anterior), es mediante el siguiente estimador:

5.3. Análisis en simulación ilimitada con régimen permanente Cálculo del tiempo de calentamiento En el caso de la simulación ilimitada con régimen permanente, no es crítica la selección de las condiciones iniciales, ya que

32

aunque estas pueden condicionar la velocidad de convergencia hacia el régimen permanente, dicho régimen se acaba alcanzando en cualquier caso. El problema, en este caso consiste en la determinación del tiempo de calentamiento, que es el tiempo que debe transcurrir para que el sistema alcance el régimen permanente. Una elección de un tiempo de calentamiento demasiado breve puede conducir a que se incorporen en el análisis valores que no son representativos del funcionamiento del sistema en régimen permanente y que la estimación de las variables de salida queden sesgadas y dependan de las condiciones iniciales. Con un tiempo de calentamiento demasiado largo, existen garantías de que los valores son representativos. El inconveniente en este caso es la pérdida de eficiencia, ya que la duración del tiempo de ejecución superior a lo necesario. El método más simple para la determinación del tiempo de calentamiento es de carácter gráfico (Welch, 1981 y 1983) y se basa en la construcción de medias móviles para las variables de salida. Si en un problema de simulación ilimitada se desea estimar la media de una determinada variable Y, es decir, se desea conocer E(Y), la estimación de dicho valor se hará mediante la siguiente expresión:

Donde m es el número total de observaciones de la variable Y y l es el conjunto de las primeras observaciones que no se emplean para la estimación, Simulación de sistemas discretos porque son la que pertenecen al régimen permanente. Si l no se calcula bien y es demasiado pequeño puede ocurrir que la discrepancia entre el valor de la media. E(Y), y la estimación, Y , sea muy importante. Si, por el contrario, se adopta la opción conservadora de optar por un valor de l muy

33

elevado, puede reducir notablemente la eficiencia del proceso de obtención de resultados.

En la figura X se muestra un esquema del proceso. Si se realizan n repeticiones, cada una de ellas de una longitud m y se toman m observaciones de la variable Y en cada repetición, se define yij como el valor de la observación de la variable Y en el instante j de la repetición i. Primero, se calculan los valores Yj , que representa la media de las medidas de Y para las n repeticiones para el instante j, es decir:

34

A continuación se calcula la media móvil de la siguiente manera:

Donde w es la amplitud de la media móvil. Inicialmente, w toma un valor pequeño, por ejemplo 2. Una vez que se han calculado los valores de Y (w) i se representan gráficamente. Como se trata de medias móviles, la representación gráfica será más „suave‟ que la representación de los valores Yj . Es muy probable que para valores pequeños de w la representación de Y (w) i no se estabilizará en ningún valor, con lo cual será necesario calcular medias móviles tomando valores mayores de w, hasta que se aprecie, como en la figura X, que los valores de Y (w) i se estabilizan en torno a un valor a partir de un determinado l, que es, precisamente el tiempo de calentamiento (en este caso,

35

Por último, conviene apuntar algunas recomendaciones para la selección de los parámetros: − n (nº de replicaciones): entre 5 y 10 inicialmente. Si no se consigue un w razonable hacer otras tantas repeticiones − m (longitud de las replicaciones): grande en comparación con el valor previsto de l y razonablemente grande para que ocurran varias veces sucesos infrecuentes. − w (parámetro de amplitud de la media móvil): probar valores hasta obtener el mínimo w que hace la convergencia razonablemente suave.

Estimación de parámetros Existen diferentes formas de realizar las replicaciones para estimar los parámetros de las variables de salida. A continuación se comentan dos. − Múltiples replicaciones. Una primera alternativa consiste en la repetición de n replicaciones de una longitud m. Como se ha indicado en el punto anterior, es necesario dejar transcurrir el tiempo de calentamiento antes de comenzar a recoger valores de las variables de salida. Con los valores de cada una de las

36

diferentes replicaciones, se realiza un análisis análogo al que se ha descrito para el caso de la simulación limitada

Única replicación larga. En este caso se realiza una única replicación larga de longitud l y, una vez finalizada, se fracciona dicha replicación en n cuya longitud es:

donde l c es el tiempo de calentamiento. Esta alternativa, tiene la ventaja de que sólo se simula el régimen transitorio una sola vez. Sin embargo, todos los valores están correlacionados, lo cuál representa un problema para realizar el análisis propuesto en los casos anteriores. Sin embargo, si la longitud de las replicaciones es suficientemente larga, el problema de la correlación desaparece.

37

IMPLEMENTACIÓN DE LOS ALGORITMOS DECONTROL DISCRETO EN PROCESADORES Implementación del algoritmo de Karplus-Strong en un procesador digital Existen varias técnicas para síntesis de música digital, algunas son síntesis aditiva, substractiva, FM, tablas de ondas (wavetables), guías de ondas (waveguides), modelado físico de los instrumentos, etc., donde cada una posee ciertas ventajas y desventajas. Para lograr sonidos naturales, se requiere capacidad de aritmética rápida. La técnica que se muestra en este trabajo se le conoce como Guía de Ondas Digitales y específicamente es el algoritmo de Karplus-Strong. Los algoritmos que se derivan de este, no son tan versátiles como otras técnicas, sin embargo es muy económico implementarlo, fácil de controlar y muy efectivo. Además se seleccionó este algoritmo por las ventajas que posee, entre ellas la más importante es su simplicidad enlazada con la capacidad de generar sonidos ricos en armónicos y muy reales. Otra razón fue que este tipo de técnica se conecta con la técnica de Modelos físicos de los Instrumentos, técnica que también posee grandes ventajas y con el diseño de instrumentos musicales.

38

Funcionamiento Los parámetros disponibles o controlables son: el tono, amplitud, y el tiempo de decaimiento. El tono se controla por medio de un entero que es aproximadamente el período del sonido, en muestras. La amplitud es especificada como la amplitud pico inicial. El tiempo de decaimiento se especifica por el tono y el factor de prolongación de decaimiento S.

Síntesis de tablas de ondas Consiste en repetir un número de muestras una y otra vez, por lo que producen una señal puramente periódica. El algoritmo puede ser escrito matemáticamente como:

Yt = Yt-p Donde Yt es el valor de la muestra t-ésima y p es el parámetro conocido como longitud de la tabla de onda, el cual representa el periodo del tono (en muestras). Las condiciones iniciales determinan el timbre del sonido resultante, (en la figura 1 se muestra la señal utilizada para las simulaciones realizadas). La frecuencia del tono es fs / p. Los instrumentos musicales tradicionales producen sonidos que varían con el tiempo. Si no hay modificación en la tabla, el contenido armónico esta fijo.

Algoritmo para generar el sonido al jalar de una cuerda (Plucked-String): Alex Strong inventó una modificación muy simple, la cual consiste en promediar dos muestras sucesivas. Matemáticamente se denota así:

Yt = ½ (Yt-p + Yt-p-1) Aquí se puede ver que dicho proceso genera un pequeño decaimiento (en la figura 5 puede ver este decaimiento, ya que no se incluyó el parámetro S, por lo

39

tanto el decaimiento es provocado únicamente por esta operación de promediar) de la forma de onda. La señal resultante tiene un tono que corresponde a un período de p + ½ en muestras, en Hertz sería f s /(p + ½), y decae como una cuerda de guitarra. La naturalidad del sonido se deriva de los diferentes rangos de decaimiento para los diferentes armónicos. Independientemente del espectro del tono, este decae a una onda sinosuidal, eventualmente a un valor constante el cual representa el silencio. Para producir un sonido de cuerda lo mas real posible, lo mejor es empezar la nota con muchos armónicos de todas las frecuencias. Una opción podría ser el ruido blanco. Con el decaimiento producido por el algoritmo, los armónicos más altos decaen rápidamente.

Limitaciones en los valores del parámetro de periodicidad p Si el valor de p es pequeño la variación entre diferentes condiciones iniciales serán relativamente grandes, consecuentemente el control de amplitud será muy poco efectivo. Debido a que p determina el tono del sonido y p debe ser entero no todas las frecuencias están disponibles. Si p es grande, las frecuencias disponibles se encuentran muy cercas unas de otras, pero cuando p es pequeño las frecuencias están muy retiradas unas de otras. Todos estos efectos hacen que los valores de p sean menores de 32. Para obtener la resolución de frecuencia deseada es posible tan solo variando los parámetros de p o de la frecuencia de muestreo ( fs). Después de que una nota ha sido tocada, la tabla de onda es recargada con valores aleatorios antes de que la siguiente nota sea tocada. Si p no se modifica, la nota continúa, si p se modifica el resultado es un deslizamiento suave entre los dos tonos. Cambios frecuentes de p se puede utilizar para producir efectos de vibrato y glissando.

40

Algunas modificaciones en el algoritmo básico: Las notas de alta frecuencia (valores de p pequeños) decaen muy rápidamente. Para hacer durar más tiempo a una nota se encuentra el método de utilizar una tabla larga de onda y llenarla con varias copias de la misma forma de onda. Si existen 2 copias idénticas en la línea de retraso para un valor fijo de p, solo estarán los armónicos pares. El armónico n-ésimo que escuchemos de un sonido es el segundo armónico del tono fundamental. A esta técnica se le llama harmonic trick (truco armónico).

Análisis del algoritmo básico El tiempo de decaimiento de un armónico es aproximadamente: p3/n2 entonces en la técnica harmonic trick, el tiempo de decaimiento para el armónico n-ésimo de la tabla de onda doblada es proporcional a: p3/(2n)2 = p3/4n2 en lugar de (p/2)3/n2 = p3/8n2 si se utilizara una tabla de onda de p/2 directamente. El algoritmo se puede ver como un filtro digital sin entradas, los armónicos y sus rangos de decaimiento corresponden a los polos de la transformada z

de la

respuesta al impulso del filtro. El tiempo de decaimiento es inversamente proporcional al ln de la magnitud del polo correspondiente, y la frecuencia es proporcional al argumento de ese polo (forma polar) y se muestra en la Tabla I. f = fs/2 D = -1/(fs ln a) Donde f es la frecuencia del armónico, D es el tiempo de decaimiento y a es el polo correspondiente.

La función de transferencia discreta del sistema esta dada por:

H ( z) 

1 z 2z  z  1 p 1

41

Sustituyendo aei en z se obtiene que

D

p 1

2   2n      f s ln  cos 2 p  1   

En la Tabla II se muestra la técnica de harmonic trick

Tabla I. Tiempos de Decaimiento de los Armónicos (s) con fs=8000 Hz p n

Primer

Estimación

Término

cos x

2 1

0.0001583

0.0001064

0.00092329

0.00084423

0.00023082

0.00012852

0.3478

0.3473

0.0870

0.0864

0.0386

0.0381

2.7188

2.7177

0.6797

0.6786

4 1 4 2 32 1 32 2 32 3 64 1 64 2

42

64

0.3021

3 128

21.4986

1 128 2 128 3

5.3725

2.3887

2.3866

62.26

32 8

31.19

1969.2

16..256

2

64 1

124.03

124.03

todos

cd, 2

64 2

62.26

248.06

cd, 4, 8

64 4

31.19

496.12

cd, 8, 16

64 8

15.61

992.24

c pf(hertz) Octavas armónicos 1

3200

(1ra) 6400

2

2 1777.78

2

4

941.18

2

8

484.85

32 1

246.15

246.15

32 2

124.03

492.3

da

(2 ) 12800 ra

(3 ) 25600 ta

(4 )

cd, 1

todos cd, 2,4,6..64

43

984.6

cd, 4, 8,

32 4

Harmonic)

3200

21.4964

5.4746

Tabla II. Truco Armónico (Trick

p

0.3010

12..128 cd, 8,

cd, 2,4, 6...128 cd, 4, 8, 12..256 cd, 8, 16..512

Donde: p = parámetro de periodicidad c = Número de ciclos idénticos en la línea de retraso fs = frecuencia de muestreo (8000 hertz) p= frecuencia indicada por p. Octava = frecuencia real

Diagrama a Bloques del Algoritmo de Karplus-Strong En el Anexo 1 se presenta el diagrama a bloques del algoritmo Karplus-Strong.

Simulación del Algoritmo de Karplus-Strong utilizando MATLAB. En esta sección se presentan los resultados de la simulación del algoritmo. En la fig. 1 se muestra una secuencia de RBG de 128 muestras, la cual se usa de base para generar la nota. En la fig. 2 se muestra el espectro de esta señal. Se alimenta el algoritmo con n copias de la señal base (en este caso se usaron dos), como se muestra en la fig. 3. En la fig. 4 se muestra el espectro de la señal alimentada. En las figs. 5 y 6 se muestra la nota generada por el algoritmo simulado y su espectro, respectivamente. En la figura 7 se muestra el espectro de la nota generada usando cuatro copias de la señal base, y se observa un cambio más pronunciado en los armónicos. Forma de Onda inicial Ruido Blanco (media=0.2870, varianza=1.043, 128 muestras) 3

2

1

x1(n)

0

-1

-2

-3

-4

0

20

40

60

80

100

120

140

n

44

Figura 1. Ruido Blanco Gaussiano como forma de onda incial, con 128 muestras y generado utilizando el comando randn en Matlab. Transformada de Fourier de x1(n) 40 35 30

Magnitud

25 20 15 10 5 0

0

20

40

60 80 Pocisión

100

120

140

Figura 2. Transformada Rápida de Fourier del ruido blanco gaussiano. Aquí se ilustra el rico contenido en armónico de la señal. Señal con 2 cliclos idénticos (256 muestras) 3

2

1

x(n)

0

-1

-2

-3

-4

0

50

100

150 n

200

250

300

Figura 3. Señal Inicial con 2 veces la señal inicial (RBG), con 256 muestras.

45

Transformada de Fourier de x(n) 80 70 60

x(n))

50 40 30 20 10 0

0

50

100

150 n

200

250

300

Figura 4. Transformada Rápida de Fourier del RBG generado por 2. Aquí se muestra el efecto de utilizar el truco armónico.

Señal Generada con el Timbre de un Instrumento de Cuerda (Guitarra Eléctrica)

2 1.5 1

x(n)

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

0

500

1000 1500

2000 2500 n

3000 3500

4000 4500 5000

Figura 5. Nota obtenida de la simulación, utilizando el truco armónico, pf=31.18Hz, ftrick=62.378Hz

46

Figura 6. Transformada rápida de Fourier de la señal de salida, generada por la señal de RBG con 128 muestras y c=2.

Figura 7. La FFT que se muestra es de la señal de salida. El RBG es de 64 muestras y c=4. Comparándose con la Figura 6 aquí hay un decaimiento de los armónicos más suave. Observaciones y conclusiones Nótese entonces que utilizando la técnica de truco armónico en vez de bajar la frecuencia, en realidad lo que se logra obtener son los tonos de las octavas mas altas de la frecuencia fundamental, la cual está indicada o dada por el parámetro de periodicidad p.

47

Aunque la simulación se llevó a cabo con una fs = 8000 Hz, los resultados obtenidos fueron muy favorables y efectivos, aún cuando la fs mínima para aplicaciones de audio es de 44.1 KHz. El parámetro m en la simulación es de gran importancia para la duración que se le desee dar a una nota, por supuesto es independiente del control del decaimiento, ya que este control no se encuentra en el algoritmo básico. Este parámetro muy posiblemente esté relacionado con el control de decaimiento stretch (S) en el algoritmo extendido, pero dicho control no es parte de esta simulación, ya que la simulación se enfocó en el algoritmo básico

Implementación. El algoritmo de Karplus-Strong fue implentado en el EVM TMS320C6201, el cual utiliza el CODEC de Audio estéreo CS4231A de 16-bits, con tasas de muestreo de hasta 5.5 kHZ-48kHZ. Los dos sonidos generados en matlab y en el evm fueron de gran calidad, sin embargo debido a las características del hardware de implementación estos sonidos variaron en su timbre resultante, escuchándose con una mayor fidelidad en el evm. Esto posiblemente fue a causa de la zona no lineal que tiene la tarjeta de sonido de la PC, ya que los datos no se generan muy bien para frecuencias bajas. Otra razón puede ser que al traer integrado un filtro pasabajas en la tarjeta de sonido se tienen menos armónicos, en cambio en el EVM trae desconectado este filtro pb por defecto.

48

CONCLUSION Finalmente se puede indicar que pese a que se ha indicado la forma de operar de tres modos de control se deberá tener un claro concepto de los siguientes puntos. Para alcanzar el control automático, el lazo de control deberá estar cerrado. Para tener una lazo realimentado de control estable, el ajuste más importante del controlador es la selección de la acción correcta, sea directo o inverso. El valor correcto de los ajustes de banda proporcional, Integral, y tiempo derivativo dependen de las características del proceso, cabe consignar que en los controladores actuales dichos valores se pueden detectar en forma automática, ya que el controlador dispone de un modo en que produce alteraciones controladas, y dentro de ciertos límites establecidos previamente por el operario, en la salida se miden los resultados del proceso para una cierta cantidad de ciclos de alteración, en base a éste comportamiento puede detectar cuál es el mejor conjunto de ajustes para controlar un proceso mediante el software interno del aparato . Ajustando a que el algoritmo de control del PID, puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La respuesta del controlador puede ser descrita en términos de respuesta del control ante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado de oscilación del sistema. Es claro que el Control automático desempeña un papel importante en los procesos de manufactura, industriales, navales, aeroespaciales, robótica, económicos, biológicos, etc. Los tipos de control empleados para estos procesos serán descritos a continuación, sin embargo es necesario indicar algunos términos que son empleados en todo sistema de automatizado.

49

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS  Sistemas de control automatico, benjamín c. kuo, séptima edición, editorial: prentice hall.  Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Katsuhiko Ogata, segunda edición, editorial: prentice hall.

REFERENCIAS DE INERNET  http://www.aie.cl/files/file/comites/ca/abc/algoritmo-de-contro-pid.pdf

 http://isa.uniovi.es/docencia/TiempoReal/Recursos/temas/hardware_rt.pdf  http://materias.fi.uba.ar/7609/material/Clase%2002/03%20a%20Sistemas% 20Discretos.pdf  http://www.itlalaguna.edu.mx/academico/carreras/electronica/sis_lin2/El%20 m%C3%A9todo%20del%20lugar%20de%20las%20ra%C3%ADces.pdf  http://prof.usb.ve/montbrun/PS2320clase5(a)AJ08.pdf  http://www.monografias.com/trabajos12/critestb/critestb.shtml  http://biblioteca.usac.edu.gt/tesis/08/08_0202_EO.pdf  http://www.inele.ufro.cl/apuntes/Automatizacion_Industrial/Automatizacion_ Control_Discreto.pdf  http://es.slideshare.net/superone314/control-de-sistemas-discretos

50