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Razonamiento Matemático

CONCEPTO Desarrollar la inteligencia humana significa desarrollar y ejercitar nuestras habilidades y capacidades mentales, que, en conjunto, conforman nuestras "DESTREZAS MENTALES". Estas se constituyen en nuestras herramientas fundamentales para resolver situaciones problemáticas nuevas tanto de tipo matemático o de otra índole. Estudiaremos ahora algunas de éstas destrezas mentales y su aplicación en nuestro curso. RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Los razonamientos inductivos nos permiten “construir” los conocimientos generalizados, formar conceptos y formular leyes. Así por ejemplo, a partir de las siguientes proposiciones: - El oro se funde bajo la acción del calor. - La plata se funde bajo la acción del calor. - El zinc se funde bajo la acción del calor.

La deducción se refleja en la capacidad de aplicar los conocimientos que ya se poseen a la asimilación de otros nuevos; así también como la capacidad para ensamblar datos aislados relacionados entre sí, eliminando la información inprocedente para llegar a una conclusión adecuada. Así por ejemplo, de las proposiciones: - Todos los familiares de la Sra. Guevara son piuranos. - Luis es sobrino de la Sra. Guevara. La conclusión lógica a la que podemos arribar es : "Luis es piurano". Entonces:

La inducción y la deducción son dos aspectos de la actividad mental inductivo - deductiva conjunta. Generalmente, para resolver un problema, nosotros utilizamos ambas formas de razonamiento; pero, dependiendo del problema, sea matemático o no, haremos uso en mayor proporción de una de dichas "herramientas".

La conclusión lógica a la que podemos llegar es: "Los metales se funden bajo la acción del calor". RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Una destreza mental muy importante que ya la habíamos estado utilizando anteriormente es el PENSAMIENTO CREATIVO que es la base que soporta a todo tipo de razonamiento, nos hace ser ingeniosos y hábiles, nos abre los límites aparentes y nos libra de caer en lo absurdo; en suma, ser CREATIVOS nos ayuda a desarrollar y aplicar nuestra inteligencia. CORRIGIENDO UN RAZONAMIENTO

[email protected]

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Razonamiento Matemático



Uno de los ejemplos más famosos de posibles “fa-

llas” en el razonamiento inductivo se refiere al número de regiones formadas cuando se construyen cuerdas en un círculo. Cuando dos puntos sobre una circunferencia se unen por un segmento de recta, se forma una cuerda. Localice un solo punto sobre una circunferencia. Ya que no se forma ninguna cuerda, sólo se tiene una región interior. Véase la figura (a).

Aquí aparece que, por cada punto adicional sobre la circunferencia, se duplica el número de regiones. Una conjetura inductiva razonable sería que para seis puntos se formarían 32 regiones. Pero como la figura (f) indica, ¡sólo hay 31 regiones!

No, no hay una región “perdida”. Sucede que el patrón de duplicación termina cuando se considera el sexto punto. Añadiendo un séptimo punto se obtendrían 57 regiones. Los números que se obtienen aquí son : 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57.

Coloque dos puntos y dibuje una cuerda. Se forman

dos regiones interiores, como se muestra en la figura (b).

Se ha demostrado que, para “n”puntos sobre una circunferencia, el número de regiones está dado por la fórmula:

Continúe este patrón. Coloque tres puntos, y dibuje

todas las cuerdas posibles. Se forman cuatro regiones interiores, como se muestra en la figura (c).

Cuatro puntos producen 8 regiones y 5 puntos produ-

cen 16 regiones. Véanse las figuras (d) y (e).

Los resultados de las observaciones anteriores pueden

Como se indicó antes, sólo hasta que una relación general ha sido demostrada, se puede estar seguro de la validez de una conjetura, ya que siempre un contraejemplo es suficiente para mostrar que la conjetura es falsa.

resumirse en la siguiente tabla.

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fernández Ramírez E.W.

Razonamiento Matemático

1. Calcular la suma de las cifras del resultado:



Rpta.: ..........................................................

2. Hallar la suma de las cifras del resultado:



Rpta.: ..........................................................

7. ¿De cuántas maneras se puede leer la siguiente palabra?

Rpta.: ..........................................................

3. Hallar la suma de las cifras del resultado:

Rpta.: ..........................................................

4. Calcular la suma de los números de la fila 50.





Rpta.: ..........................................................

8. Hallar el total de palitos de:

Rpta.: ..........................................................

5. Calcular la suma total de:



Rpta.: ..........................................................

9. Hallar el total de triángulos en:

Rpta.: .......................................................... 6. Halla la suma de todos los números de la siguiente matriz:

[email protected]

Rpta.: .......................................................... 10. Determinar el número total de triángulos en la figura:

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Razonamiento Matemático



Rpta.: ..........................................................

11. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

Rpta.: ..........................................................

12. Calcular la suma de las cifras del resultado de efectuar:





Rpta.: ..........................................................

16. ¿Cuántos palitos se podrá contar en el siguiente castillo?

Rpta.: ..........................................................

13. Halle la suma de todos los números del siguiente arreglo:



Rpta.: ..........................................................

17. Hallar el total de puntos de contacto en:

Rpta.: ..........................................................

14. Hallar el total de números 12345678 que se puede formar uniendo cifras vecinas:



Rpta.: ..........................................................

18. En el siguiente triángulo. ¿Cuántas bolitas sombreadas hay? Rpta.: .......................................................... 15. Calcular el número total de palitos en:

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fernández Ramírez E.W.

Razonamiento Matemático





Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

1. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

19. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente figura?

Rpta.: .......................................................... 20. Hallar el total de rombos en:

A) 360 B) 400 C) 900 D) 888 E) 320 2. Hallar la suma de las cifras de:



3.

B) 888 C) 304 D) 500 E) 120 Hallar la suma de los términos de la fila 30.

A) 668

[email protected]

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Razonamiento Matemático



A) B) C) D) E)

9000 2000 3000 27000 54000



A) B) C) D) E)

340 239 240 – 1 240 240 + 1

4. Hallar el número máximo de esferas.

5.

A) 400 B) 190 C) 420 D) 210 E) 100 ¿Cuántas bolitas hay en la figura P(40)?

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fernández Ramírez E.W.

Razonamiento Matemático

LECTURA: AZUZANDO AL INGENIO En la Isla de los Zombies En una Isla cercana a Haití mitad de los habitantes fueron embrujados por un Vudú y transformados en Zombies, esos Zombies no se comportan según las típicas convenciones: Hablan y no se pueden distinguir de los seres humanos normales, la única diferencia es que los Zombies mienten siempre y los humanos siempre dicen la verdad. La situación es enormemente complicada por el hecho que aunque los nativos entiendan nuestro idioma a la perfección un antiguo tabú les prohibe de usar palabras extranjeras cuando hablan. Por lo cual al hacerle una pregunta que requiere una respuesta de si o no, ellos contestan "Bal" o "Da", uno de los cuales significa si y el otro no. El problema es que no sabemos si "Bal" o "Da" es si o no. Tú te encuentras en esa isla y quieres casarte con la hija del rey. El rey desea que su hija se case sólo con alguien muy inteligente. Así que tienes que superar una prueba. La prueba consiste en hacer al brujo del rey una sola pregunta. Si el contesta "Bal" entonces podrás casarte con la hija del rey, pero si contesta «Da» habrás fracasado en la prueba. El problema consiste en encontrar una pregunta tal que, independientemente del hecho de que el brujo sea humano o Zombie e independiente del hecho de que "Bal" signifique si o no, el brujo conteste "13al". Solución Una posible solución sería preguntar al curandero: la pregunta de si eres humano!".

¿Eres humano? "iBal, es la respuesta a

¿Cómo se enciende la luz? Hay dos habitaciones. En una de las habitaciones hay 4 interruptores y en la otra habitación hay una bombilla. El problema consiste en la siguiente: suponiendo que tú estás en la habitación de los interruptores, y que no puedes ver nada entre habitación y habitación, ¿cómo podríamos saber cuál es el interruptor que enciende la bombilla si solo podemos ir una sola vez a la habitación en la que está la bombilla? Solución Dejamos encendidos el primer y segundo interruptor durante un rato. A continuación apagamos el primero y encendemos el tercero. Inmediatamente después entramos en la habitación de la bombilla y procedemos a tocar la bombilla. *

Si la bombilla está encendida y además caliente, tenemos la certeza de que el interruptor es el segundo, porque lleva encendido desde hace rato.

*

Si a pesar de estar encendida la bombilla, ésta está fría, el interruptor es el tercero, puesto que no le ha dado tiempo a calentarse ya que lo acabamos de encender.

*

Si por el contrario la bombilla está apagada, la incógnita queda reducida a los interruptores primero y cuarto: si la bombilla está caliente, queda claro que el interruptor es el primero, pues lo hemos dejado un rato encendido, si está fría el interruptor es el último pues no se ha encendido en ningún momento.

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Razonamiento Matemático

1. ¿Qué ficha continúa?





A)



B)

C)



D)

E) Rpta.: ..........................................................

2. Se tienen 6 monedas dispuestas como muestra la figura, ¿cuántas monedas como mínimo se deben mover para formar dos filas que tengan 4 monedas en cada una?



Rpta.: ..........................................................

3. En la figura:



A) Retira cuatro fósforos, sin mover los restantes y forma dos cuadrados. B) Mueve sólo dos fósforos y forma seis cuadrados.



Rpta.: ..........................................................

4. Con 6 palillos iguales for me 4 triángulos equiláteros.

Rpta.: ..........................................................

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5. Juan, Andrés, Renzo y César se encuentran sentados uno al lado del otro. Ni Juan ni Andrés están junto a César, Andrés está entre Renzo y Juan. Dadas las siguientes proposiciones: I. Juan está más lejos de César que dé los demás. II. Juan está al lado de Andrés. III. Renzo no está al lado de César. ¿Cuáles son verdaderas? * Sólo I * I y II * Sólo II * II y III * Sólo III

Rpta.: ..........................................................

6. Cinco amigos: Nano, Jesús, Mario, Manuel y Carlos viven en un edificio de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: – El cuarto piso está desocupado. – Manuel vive en un piso adyacente al de Nano y al de Mario. – Carlos no vive en el último piso. ¿Quién vive en el último piso?

Rpta.: ..........................................................

7. Cuatro amigos: Alonso, Beto, Catty y Karim, se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: – Entre dos personas del mismo sexo hay un asiento vacío adyacente a ellas. – Karim se sienta junto a Alonso. Podemos afirmar que: I. Catty se sienta junto a Beto. II. Alonso se sienta frente a Beto. III. Beto se sienta junto a Karim. ¿Cuáles son verdaderas? * Sólo I * I y II * Sólo II * II y III * Sólo III

Rpta.: ..........................................................

8. Tres amigos: Coné, Willy y César gustan ver televisión. A uno le gusta programas deportivos, al otro policiales y al otro culturales. Se sabe que Willy disfruta ver programas competitivos, César le pide a Cone que alquile una película con mucha acción. Entonces es cierto que: I. Willy le gusta ver deportes. II. Cone ve programas deportivos. III. César ve programas culturales.

fernández Ramírez E.W.

Razonamiento Matemático

IV. Cone ve programas de acción. V. Ninguna



Rpta.: ..........................................................

9. Mario, Gino y Nano tienen diferentes ocupaciones. Nano y el médico no se conocen, Gino es hermano del médico y amigo del reportero, si uno de ellos es profesor, entonces es cierto que: I. Gino es reportero. II. Nano es reportero. III. Gino es médico. IV. Mario es profesor. V. Nano es médico.



Rpta.: ..........................................................

11. Calcule la suma de los puntos de la ficha que continúa la secuencia:



14. ¿Cuántas líneas rectas debo trazar sobre el papel (sin levantar el lápiz) de tal modo que logre unir todos los círculos? (Dar la respuesta mínima).



A)



B)

D)



E)



C)

Rpta.: .......................................................... 12. Se trata de dividir la esfera de un reloj en tres regiones de tal manera que en cada región la suma de los números del reloj sea la misma. ¿Cuál es la suma de cada región? Rpta.: ..........................................................

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Rpta.: ..........................................................

15. Una persona está al fondo de un pozo de 26 metros. Cada día salta hacia arriba 6m y resbala 2m. Si la ascensión comenzó el sábado, ¿qué día llegará la persona al borde del pozo?

Rpta.: ..........................................................

16. Axel es el niño más inteligente de su clase. En la misma clase Rafael es más inteligente que Pedro y menos inteligente que Coco. Luego: I. Rafael, Pedro y Coco son menos inteligentes que Axel. II. Axel es más inteligente que Coco y menos inteligente que Pedro. III. Coco a comparación de todos es más inteligente. ¿Cuáles son verdaderas? * Sólo I * I y II * Sólo III * Todas * Sólo II



Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

10. Tres personas viven en tres ciudades distintas y tienen ocupaciones diversas. Se sabe que: – José no vive en Lima. – Luis no vive en Piura. – El que vive en Lima no es religioso. – El que vive en Piura es político. – Luis no es profesional. – Uno de ellos se llama Fernando. – Uno de ellos vive en Huánuco. Entonces es cierto que: I. El piurano es profesional. II. El religioso es limeño. III. Fernando es político. IV. El piurano es político. V. José es profesional.

13. Con nueve palillos de fósforo formar tres cuadrados iguales, cuyos lados estén conformados de un palito entero cada uno.

Rpta.: ..........................................................

17. La casa de Nina está al este de la casa de Beto, la casa de Alex al este de la de Nina. La casa de Rosa está al este de la de Daniel pero al oeste de la casa de Alex. ¿Qué casa está más al este? Rpta.: .......................................................... 18. Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular. Si se sabe que: – A se sienta junto a B. – D no se sienta junto a C.

Podemos afirmar que: I. D se sienta junto a A. II. E se sienta junto a C.

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Razonamiento Matemático

III. B se sienta junto a D.



¿Cuáles son verdaderas? * Sólo I * * Sólo III * * Sólo II





Rpta.: ..........................................................

I y II Todas

Rpta.: ..........................................................

19. Tres vendedores de alimentos en tres diferentes ciudades: Tacna, Lima, Arequipa. Cada uno venden productos distintos: arroz, leche y azúcar; además se sabe que: I. José no vende en Tacna. II. Dante no está en Lima. III. El que vive en Tacna no vende arroz. IV. El que vive en Lima vende leche. V. Dante no vende azúcar. ¿Qué vende Tomás? ¿Dónde vive?



otro kung fu; además uno de ellos es cinturón negro, otro es cinturón marrón y el otro cinturón naranja. Sus nombres son: Pon Tu, Ya Tan y Chan Chin. Se sabe que Pon Tu y Ya Tan practicaban antes karate, pero ahora no. El judoka es cinturón naranja. Chan Chin y el de cinturón marrón no se conocen. Pon Tu es amigo de las otros dos. Entonces, se puede afirmar que: I. El karateca es cinturón marrón. II. Pon Tu es karateca. III. Ya Tan es judoka. IV. Chan Chin es cinturón negro. V. El cinturón naranja es karateca.

Rpta.: ..........................................................

20. Tres luchadores practican las artes marciales en gimnasios diferentes; uno practica judo, otro karate y

1. Con doce palillos de fósforos formar seis cuadrados iguales, cuyos lados estén conformados de un palito entero cada uno.

Rpta.: ..........................................................

2. En la figura mueve sólo dos fósforos y formas 7 cuadrados.

C) Martín E) Andrés



Rpta.: ..........................................................

3. ¿Cuántas monedas como mínimo debemos mover para formar un triángulo y por cada lado del triángulo se cuenten 4 monedas?

A) 4 C) 2 E) 3

D) Dino

5. En una casa viven un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, otro colérico y el otro triste. Se sabe que al gordo nunca se le ve reir; el enano para molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño. Entonces es cierto que: A) El gordo para colérico. B) El enano para triste. C) El flaco para alegre. D) El gordo para alegre. E) El enano para alegre.

B) 0 D) 1

4. Pepe es más alto que Martín, Dino más bajo que Andrés y más alto que Lucas, Andrés más bajo que Martín. Pepe es más bajo que Renzo. ¿Quién es el más alto? A) Renzo B) Pepe

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fernández Ramírez E.W.

Razonamiento Matemático

1. Un hombre dice querer mucho a una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de su madre. ¿Por qué?

Rpta.: ..........................................................

2. En una reunión hay tres madres, tres hijas, tres hermanas, tres tías, tres sobrinas y tres primas. ¿Cuál es el mínimo número de personas en la reunión?

Rpta.: ..........................................................

3. Si el ayer del anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer?

Rpta.: ..........................................................



que uno de ellos es cardiólogo y el otro pediatra, por lo que podemos deducir que: I. Ana y Manuel son pediatras. II. Ana y Marco son cardiólogos. III. Sergio es cardiólogo. IV. Sergio es pediatra. V. Ana es cardióloga y pediatra.



Rpta.: ..........................................................

7.

Si: – Algunos A que son B no son C. – Todos los B son A. – Ningún A es C. Entonces: I. Ningún B es C. II. Todos los A son B. III. Algunos C no son A.



¿Cuáles son verdaderas? * Sólo I * * Sólo II * * Sólo III

4. Si el lunes es el martes del miércoles y el jueves es el viernes del sábado, entonces ¿Qué día será el domingo del lunes?

Rpta.: ..........................................................

5. Alex es cuñado de Roger porque su única hermana se ha casado con el único hermano de éste. Si los hijos de Alex y Roger son ahijados de Carmen –hermana de Alex– pero no de Juan –hermano de Roger– entonces los hijos en relación con Juan resultan ser:

I. O bien ahijados, o bien hijos.



II. Ambos sus sobrinos naturales.



III. Uno su sobrino natural y el otro su ahijado.



IV. Uno su sobrino político, el otro su ahijado.



V. Uno sobrino natural, el otro sobrino político.

Rpta.: .......................................................... 6. Sergio, Ana y Manuel son médicos. Dos de ellos son cardiólogos y uno es pediatra. Ana y Manuel afirman

[email protected]

I y II II y III



Rpta.: ..........................................................

8.

Sabiendo que: – Todos los A son B. – Todos los B son C. – Todos los C son A. ¿Cuáles son verdaderas?



I. Ningún A es C.



II. Algunos C no son B.



III. Algunos B son A.



¿Cuáles son verdaderas? * Sólo I * * Sólo II * * Sólo III



Todas Ninguna

Rpta.: ..........................................................

9. Si Dora realiza las actividades A o B entonces realiza C o D, pero si no realiza B, entonces realiza

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Razonamiento Matemático C; sin embargo, no realiza C. ¿Qué actividades necesariamente realiza Dora? * A * B * D * B y D * A, B y D

ciudad. Ese día más su mañana será el mismo día en que estaremos de vuelta. ¿Qué día es el ayer del regreso?



Rpta.: ..........................................................

10. Sara debe realizar cuatro tareas: ir al banco, limpiar su auto, preparar su clase y practicar deporte. Si: – Irá al banco si prepara su clase. – Preparará su clase si no limpia su auto. – No preparará su clase, si no limpia su auto.



I. Pedro y Mayra son esposos.



II. Mayra y Pedro son hermanos.

Podemos afirmar: I. Si limpia su auto, irá al banco. II. Si no va al banco, practicará deporte. III. No practicará deporte, si no limpia su auto.



III. Mayra y Pedro son primos.



IV. Mayra es nieta de Gino.



V. Pedro es padre de Mayra.

* * *



Rpta.: ..........................................................

Sólo I Sólo II Sólo III

* *

I y II II y III

Rpta.: ..........................................................

16. Si A es pesado, B es ligero. Si C es ligero, D no es ni una cosa ni la otra. Pero A es pesado a la vez que C es ligero. Por lo tanto:

I. B es ligero.



II. D no es ligero ni pesado.



III. D es pesado o ligero.



¿Cuáles son ciertas? * * *

Rpta.: ..........................................................

12. En una cena se encuentra: 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 3 nietos, 1 hermano, 2 hermanas, 2 hijos varones, 2 hijas, 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿Cuál es el menor número de personas que satisface dichos parentescos?

15. No es cierto que Samuel no sea sobrino de Gino. Quien es el tío de Pedro. Si es falso que Pedro y Samuel sean hermanos y además Samuel y Mayra son hermanos. Por lo tanto:

11. ¿Qué parentesco tiene el hijo de mi hermano con el hermano del hijo de mi hijo? I. Tío – sobrino II. Nieto – abuelo III. Padre – hijo IV. Primo – primo V. Ninguna

Rpta.: ..........................................................

Rpta.: ..........................................................

13. Si el mañana de hace dos semanas fue domingo, ¿qué día era el anteayer de hoy? Rpta.: .......................................................... 14. Si hoy es sábado, entonces pasado mañana más un día será el mismo día en que lleguemos a la

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Sólo I Sólo II I y II

* *

Sólo III I y III

Rpta.: ..........................................................

17. Coco y Rosa deciden verse a las 8:00 pm. Coco tiene un reloj 15 minutos adelantado y Rosa 15 minutos atrasados. Si Coco llega a la cita 15 minutos antes según su reloj y Rosa llega 15 minutos retrasada según su reloj. ¿Cuánto tiempo esperó Coco?



Rpta.: ..........................................................

18. En una reunión se encontraron los señores Grández, Mediano y Pequeño. "Es curioso que pesemos 45, 65 y 95 kg., pero ninguno de nosotros pesa de tal

fernández Ramírez E.W.

Razonamiento Matemático modo que hay relación directa con su apellido" dijo el que pesaba 65 kg, tiene razón dijo el Sr. Grández. ¿Cuánto pesaba el Sr. Pequeño?

Rpta.: ..........................................................

19. – – –

Si estudio en la mañana entonces no me levantaré temprano. Estudio en la mañana o no voy al cine en la tarde. Iré al cine en la tarde.

Se puede concluir que: I. Estudio en la mañana. II. No me levanto temprano. * Sólo I * Falta información * Sólo II * Ninguna * I y II



Rpta.: ..........................................................

20. Si no apruebas o no resuelves este problema, entonces es falso que hayas estudiado o domines la deducción lógica. Pero no dominas la deducción lógica aunque has estudiado.

Por lo tanto:



I. Apruebas y no resuelves el problema.



II. No apruebas y resuelves el problema.



III. No apruebas y no resuelves el problema.



IV. Apruebas y resuelves el problema.



V. Ninguna de las anteriores.



Rpta.: ..........................................................

1. Si Pablo es nieto del papá del papá de Richi y no es hermano de Richi. ¿Qué parentesco existe entre

Pablo y Richi? A) hermanos B) sobrino – tío 5. Si Jimena es alta, Yessica es baja. Si Susy es baja, Ana no es ni alta ni baja. Jimena es alta a la vez que Susy es baja. Por lo tanto:

C) primos D) papá – hijo E) tío – sobrino 2. En un almuerzo estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor número de personas presentes?



I. Yessica es baja.



II. Yessica es alta.



III. Ana no es alta ni baja.



Son ciertas:

A) 5

B) 10



A) I y III

C) 6

D) 4



B) Sólo I



C) Sólo II



D) Sólo III



E) II y III

E) 8 3. Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana? A) jueves

B) lunes

C) viernes

D) sábado

E) domingo 4. Si el anteayer del ayer de hace 4 semanas fue lunes. ¿Qué día será el pasado mañana de mañana? A) domingo

B) sábado

C) jueves

D) viernes

E) lunes

[email protected]

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