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Procesamiento Digital de Señal Tema 4: Análisis de Fourier en tiempo discreto •Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) • Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) • Transformada de Fourier Discreta (DFT) • Transformada Rápida de Fourier (FFT) • Enventanado y resolución espectral

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Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

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1

Transformada de Fourier de una señal discreta •

La DTFT describe el espectro de señales discretas. Se puede deducir a partir de la convolución discreta que se define como:

y [n ] = x [n ]∗ h [n ] = •

∞

∑

k = −∞

x [n − k ]h [k ]

Si un sistema LTI tiene una señal de entrada x[n] armónica x[n] = exp(j2πfnTs) = exp(jwnTs), la respuesta y[n] es

y[n] =

∞

∞

∑expj(n−k)ωTs ⋅ h[k] = expjnωTs

∑exp

− jkωTs

⋅ h[k ] = x[n]⋅ H (ω)

k =−∞

k =−∞

Siendo H(w) un autovalor del sistema que representa la respuesta en frecuencia – Se ha definido como H(w) la expresión

H (ω ) =

∞

∑ h[k ]exp

− jkω Ts

∞

∑ h[k ]exp

=

k = −∞

) − jkω

k = −∞

y representa la DTFT de la señal discreta h[n]. La función H(w) es periódica, debido a que h[k] son valores discretos y su expresión es una serie de Fourier

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Representación mediante la DTFT • La DTFT permite representar el contenido en frecuencia, X(w), de una señal discreta x[n]

X(ω ) = X(e jω ) =

∑ x[n]e

− jωn

n = −∞

Y su transformada inversa es

1 x [n ] = 2π

∞

π

∫π X(e

jω

) e jω n d ω

−

Representación del par de DTFT: DTFT x [n ]← → X( e jω )

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2

Ejemplos DTFT

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Propiedades de la DTFT •

La DTFT es periódica de periodo 2π

( )

X e jω = X(e jω + 2π ) – Por tanto solo es necesario evaluar el intervalo [0, 2π] o equivalentemente [-π, π] •

Si x[n] es real su transformada DTFT verifica

(

)

X e − jω = X* (e jω )

[ ] [ ] Im[X(e )] = − Im[X(e )] Re X(e − jω ) = Re X(e jω ) − jω

jω

X(e − jω ) = X(e jω )

[

]

[

arg X(e − jω ) = − arg X(e jω )

]

Es simétrica y basta calcularla en el intervalo [0, π]

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3

Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT) Propiedades de la DTFT:

Tabla 5.1: pág 391 Oppenheim

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Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT) Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT – Una señal periódica continua xp(t) se transforma en una función aperiódica y discreta que corresponde a los coeficientes espectrales XS[k] en el dominio de frecuencias de su serie de Fourier X s [k ] =

1 x p (t ) exp(− j 2πkf0t )dt T ∫T

x p (t ) =

∞

∑ X [k ]exp( j 2πkf t )

k =−∞

s

0

– De una manera dual, se puede intercambiar tiempo y frecuencia

x [k ] =

1 X P ( f ) exp( j 2πkfts )df F∫

XP( f ) =

∞

∑ x [n]exp(− j2πkft )

k =−∞

s

donde F=1/Ts es el “periodo de Xp(f)en el dominio de frecuencia”.

–

En este caso una señal aperiódica discreta x[k] se corresponde con una transformada periódica continua X (f) y se obtiene mediante la DTFT. [email protected]

4

Transformada Discreta de Fourier • El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se resume en lo siguiente : –

–

•

La DTFT se aplica a una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo ts=1/fs y aperiódica y se obtiene una función X(f), que es continua como función de la frecuencia y periódica con periodo F=1/Ts.

Para realizar operaciones con un procesador digital se presentan los siguientes problemas: – – – –

•

Con las series de Fourier se pasa de una señal x(t), temporal, continua y periódica (periodo T) y se representa por los coeficientes X [k], que como una función de la frecuencia, son valores aperiódicos y discretos con una distancia entre dos valores consecutivos de f0=1/T.

Se necesita tratar señales continuas Se manejan series de datos de longitud infinita. Un DSP sólo trabajar con un número finito de datos discretos La solución pasa por conseguir discretizar las variables continuas y limitar el número de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial).

Se hace necesario definir la series discreta de Fourier (DTFS) y la Transformada Discreta de Fourier (DFT). [email protected]

Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)

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5

Señales periódicas en tiempo discreto: Series de Fourier •

Si x(t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es:

x (t ) =

∞

∑ X[k] e

j kω0t

k = −∞

•

•

Al igual que en tiempo continuo, una señal x[n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de exponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental. Si la señal es periódica (x[n] = x[n+N]), con periodo N, su representación mediante la serie de Fourier es:

x[n] =

∞

∑ X[k] e

) j kω0 n

k = −∞

– Donde ŵ0 = 2π/N es la frecuencia fundamental de la señal periódica. La frecuencia de la componente k-ésima en la superposición es k ŵ0. – La frecuencia normalizada, ŵ = w Ts, incorpora la dependencia temporal y permite utilizar n en lugar de t como variable independiente [email protected]

Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) • La cuestión que se plantea es: ¿cuántos términos deben considerarse en la suma para el caso de una secuencia discreta periódica de periodo N? – Recordando las propiedades de las exponenciales complejas discretas )

)

)

)

)

e j ( N + k )ω0 n = e jNω0 n e jkω0 n = e j 2πn e jkω0 n = e jkω0 n • En el caso discreto, exponenciales complejas con frecuencias distintas no siempre son diferentes y sólo hay N exponenciales complejas distintas de esta forma. • En consecuencia, se puede escribir la ecuación de la serie de Fourier de una señal discreta periódica:

x[n] =

∑ X[k] e

) jk ω0 n

k =< N >

– –

donde la notación k = indica dejar que k varíe sobre cualesquiera N valores consecutivos (comúnmente se usan los valores de k = 0 hasta N-1). En este caso, sólo hay N valores de X[k] y cada uno de ellos tiene en cuenta la contribución de la componente exp (kwn) y sus repeticiones exp((k+lN)wn) [email protected]

6

Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) •

De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier – Para las Series de Fourier se cumple (f0=1/T) ∞

xP(t) = ∑ XS [k]exp( j2πkf0t)

XS [k] =

k=−∞

1 xP(t) ⋅exp(− j2πkf0t) ⋅ dt T ∫T

– Para discretizar xp(t), tomamos N muestras de xp(t) durante un periodo a intervalos ts, de forma que N·ts=T. – Para calcular los coeficientes X[k] X [k ] = =

1 Nt s 1 N

N −1

∑ x [n ]⋅ exp(− j 2πkf nt )⋅ t P

n=0

0

s

N −1

∑ x [n]⋅ exp(− j 2πkn / N ) n=0

P

s

k = 0,1,2 L , N − 1

– La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódica muestreada xP[n].

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Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS)

• La representación mediante la DTFS está dada por

x[n] =

∑ X[k] e

jk ωˆ 0 n

k =< N >

X[k] =

1 N

∑ x[n] e

− jk ωˆ 0 n

n =< N >

• x[n] y X[k] se relacionan y se establece la correspondencia: DTFS x [n ]← → X [k ]

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7

Ejemplos: Serie de Fourier

En el limite N muy grande, la señal es no periódica y su contenido en frecuencias pasa a ser continuo y se corresponde con la transformada de Fourier de una señal discreta!

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Dominio de tiempo

Periódica

No periódica

Continua

FS : Serie de Fourier

FT: Transformada de Fourier

∞

∑ X[k ] e

x (t ) =

jkω0t

x(t) =

k = −∞

X[k ] = Discreta

1 x (t )e − jkω0t dt T

DTFS: Serie de Fourier en tiempo discreto

x[n] =

∑ X[k] e

) jk ω0 n

k =< N >

1 X[k] = N

∑ x[n] e

n =< N >

Discreta

)

− jk ω0 n

∞

1 2π

X(ω ) =

∫ X(ω )e

jω t

No periódica

dω

−∞ ∞

∫ x(t)e

− jωt

dt

−∞

DTFT: Transformada de Fourier en tiempo discreto

x [n ] =

1 2π

π

∫π X( e

jω

)

) e jω n d ω

−

( ) ∑ x [n ] e

X e jω =

Periódica

∞

) − jω n

n = −∞

Continua

Dominio de la frecuencia

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8

Transformada Discreta de Fourier (DFT) • •

Transformada Discreta de Fourier FFT (Fast Fourier Transform)

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Transformada Discreta de Fourier •

Muestreo en frecuencia de la DTFT para obtener la DFT – Para una señal x[n] limitada a N muestras con un periodo de muestreo Ts. N −1 – La DTFT se reduce a X P ( f ) = ∑ x[n]⋅ exp(− j 2πnfTs ) n=0 – XP(f) es periódica con periodo 1/Ts. Si se muestrea esta señal N veces (en el periodo en frecuencias que es 1/Ts, ) se obtendrán los valores discretos de la DTFT con un intervalo entre frecuencias ∆f = (1/Ts)/N = 1/NTs Y por tanto XT[k] corresponde a sustituir f en los valores dados por fk = k/(NTs) : N −1 XT [k] = ∑x[n]⋅ exp[− j2πnkTs /( NTs )] n=0

N −1

= ∑x[n]⋅ exp[− j2πnk / N] n=0

k = 0,1,2,L, N −1

– Esta última expresión resultante es la Transformada Discreta de Fourier de una señal x[n]. • Nota: Excepto por el término 1/N es idéntica a la Serie Discreta de Fourier. [email protected]

9

Transformada Discreta de Fourier •

Transformada Discreta de Fourier (DFT), – Se calcula sobre un conjunto finito, N valores, de la señal x[n]. – Es calculable numéricamente y es una aproximación al espectro de la señal. X(w)= DTFT{x[n]} – Se obtiene tomando N muestras en el dominio de la frecuencia sobre la DTFT – Si se elige N adecuado, existen algoritmos rápidos para calcularla. FFT. N −1

X [k ] = ∑ x[n ]exp (− j 2πnk / N ) n =0

•

k = 0,1,2, L , N − 1

Transformada Discreta inversa (IDFT),

x[n] =

1 N

N −1

∑ X [k ]exp(

j 2πnk / N )

k =0

n = 0,1,2,L, N − 1

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Transformada Discreta de Fourier •

Convolución Circular o Cíclica – La convolución de dos señales periódicas es infinito. Para este tipo de señales se define la convolución circular de dos secuencias xp[n] y hp[n] con periodo N :

y p [n] = xp [n]• hp [n] =

•

1 N −1 ∑xp [k]hp [n − k] N k =0

– La convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismo tamaño. Si no es así se rellena con ceros la secuencia más corta. – Se corresponde con el producto H[k]X[k] de las dos DFT Convolución lineal mediante la DFT – Para realizar la convolución lineal de una secuencia h[n] de M puntos con otra secuencia x[n] de N puntos mediante la DFT, se expanden ambas secuencias con ceros hasta formar dos secuencias de K puntos ha[n] y xa[n] con K ≥ M+N-1 y se calcula las IDFT del producto de las dos DFTs.

y[n ] = x [n ]* h[n ] = IDFT [H a [ k ] X a [ k ]]

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10

Transformada Discreta de Fourier •

Propiedades de la DFT Simetría Conjugada Linealidad Desplazami ento

X T [− k ] = X T∗ [k ] = X T [N − k ]

α x[n ] + β y [n ] ↔ α X T [k ] + β YT [k ]

x[n − m ] ↔ X T [k ]⋅ exp (− j 2πkm / N ) = X T [k ]⋅ W Nkm

Modulación

W N− nm ⋅ x[n ] ↔ X T [k − m ]

Producto

x[n ]y [n ] ↔

Simetría Conjugar Convolució n Circular

1 X T [k ]* YT [k ] N x[− n ] ↔ X T [− k ] = X T∗ [k ] x ∗ [n ] ↔ X T∗ [− k ]

x[n ]* y[n ] ↔ X T [k ]YT [k ]

Correlació n.

x[n ]* y ∗ [− n ] ↔ X T [k ]YT∗ [k ]

Ecuación de Parseval

∑ x[n]

2

=

1 2 X T [k ] ∑ N [email protected]

Transformada Discreta de Fourier •

Interpretación de los resultados del DFT de xs[n] de N puntos, siendo N el numero de valores de la secuencia – Los N valores X[k[ son los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señal periódica discreta que corresponde a repeticiones cada N muestras de la secuencia x [n]. – Son muestras del espectro continuo de una señal aperiódica discreta que corresponde a la secuencia x [n].

•

La DFT es una aproximación al espectro de la señal original. La magnitud se ve influenciada por el intervalo de muestreo, mientras que – La fase depende de los instantes de muestreo. –

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11

Transformada Discreta de Fourier Ejemplo: sea x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, Ts=1/8ms y N=8 x[n]={0,0.7071,1,0.7071,0,-0.7071,-1,-0.7071}

DFT

5 4

Magnitud DFT

Sinusoide 1KHz, Ts=0.125ms, N=8 1

3 2 1

0.5 Amplitud

00

0 -0.5

2

4 Indice k

-1 0.2

0.4 0.6 Tiempo (s)

0.8

-3

x 10

8

4

1

La DFT es X[k]={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}.

Magnitud DFT

0

6

DFT

5

3 2 1 0 -4000

-2000 0 Frecuencia (Hz)

2000

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Transformada Discreta de Fourier – Ejemplo 2: x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, Ts=1/4ms y N=8, x[n]={0,0.3827,0.7071,0.9239,1,0.9239,0.7071, 0.3827}. Sinusoide 1KHz, Ts=0.250ms, N=8

DFT 8

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

7 Magnitud DFT

•

6 5 4 3 2 1

0

1

2 3 Tiempo (s)

4

5 -4 x 10

0 0

1

2

3

4 5 Indice k

6

7

8

-8000 -6000 -4000 -2000

0

2000 4000 6000

Los coeficientes del DFT son X[k]={5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654} [email protected]

12

Transformada Discreta de Fourier •

Tal y como se observa en las figuras anteriores hay varias formas de dibujar la gráfica de la DFT de una secuencia de datos. –

Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k. •

–

Se puede comprobar que |XT[k]| es simétrico respecto a N/2.

Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuencia. •

De la definición de DFT sabemos que cada intervalo de la DFT es 1/(Nts). La DFT nos da la Transformada de Fourier para las frecuencias

f

-(N/2-1)/(Nts),...,-1/(Nts),0, 1/(Nts), 2/(Nts)...(N/2)/(Nts)

k •

(N/2-1) ,..., N-1 ,0,

1

,

2

...

(N/2)

La máxima frecuencia detectable por la DFT es fs/2, de acuerdo con el Teorema del Muestreo. [email protected]

FFT (Fast Fourier Transform) •

El cálculo de la DFT de N puntos de una secuencia x[n] es : N −1

X [k ] = ∑ x[n]WNnk n =0

donde

k = 0,1,L, N − 1

W = e − j 2π / N

N El cálculo requiere – la suma compleja de N multiplicaciones complejas para cada uno de las salidas. – En total, N2 multiplicaciones complejas y N(N-1) sumas complejas para realizar un DFT de N puntos.

•

El algoritmo FFT consigue simplificar el cálculo del DFT y reduce el número de operaciones aprovechando las siguientes propiedades : – Simetría y Periodicidad de los términos WN. WNn+ N = WNn W NNk = 1

WNn+ N / 2 = −WNn

W N2 = W N / 2

El valor de N se elige de forma que N=rm. • Al factor r se le denomina radix y su valor más habitual es 2, de forma que N=2m y algoritmo se denomina FFT radix-2. [email protected]

13

FFT (Fast Fourier Transform) •

Radix-2 FFT-Algoritmo de diezmado en el tiempo. – Se divide la secuencia de datos de entrada x[n] en dos grupos, uno de índices par y el otro de índices impar. – Con estas sub-secuencias se realiza el DFT de N/2 puntos y sus resultados se combinan para formar el DFT de N puntos.

X [k ] =

N / 2−1

∑ x[2n]W

2 nk N

n =0

+

N / 2−1

∑ x[2n + 1]W

( 2 n +1) k N

n =0

Se sustituye x1 [n] = x[2n] X [k ] =

N / 2−1

∑ x [n]W n =0

‹

1

nk N /2

+ WNk

=

N / 2−1

∑ x[2n]W

2 nk N

n =0

+ WNk

x2 [n] = x[2n + 1]

N / 2−1

∑ x [n]W n =0

nk N /2

2

N / 2−1

∑ x[2n + 1]W

2 nk N

n =0

WN2nk = WNnk/ 2

= Y [k ] + WNk Z [k ]

k = 0,1,2,L, N − 1

Esta última ecuación muestra que el DFT de N puntos es la suma de dos DFTs de N/2 puntos (Y[k], Z[k]) realizadas con las secuencias par e impar de la secuencia original x[n]. Cada término Z[k] es multiplicado por un factor WNk, llamado “twiddle factor”. Ya que WNk+N/2=-WNk y debido a la periodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo N/2) se puede expresar X[k] como:

X [k ] = Y [k ] + WNk [k ]⋅ Z [k ]

X [k + N / 2] = Y [k ] − WNk [k ]⋅ Z [k ] para k = 0,1,L, N / 2 −1 [email protected]

FFT (Fast Fourier Transform) x[0]

Y[0]

+

X[0]

x[2]

Y[1]

+

X[1]

+

X[N/2-1]

DFT N/2 Puntos Y[N/2-1]

x[N-2] x[1] x[3]

W0 x

+

X[N/2]

Z[1]

W1 x

-1

+

X[N/2+1]

WN/2-1 x

-1

+

X[N-1]

-1

DFT N/2 Puntos

x[N-1] ‹

Z[0]

Z[N/2-1]

Los dos DFT de N/2 puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFTs de N/4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones Y [k ] = U [k ] + WN2 kV [k ]

Z [k ] = R[k ] + WN2k S[k ]

Y [k + N / 4] = U [k ] − WN2 kV [k ]

Z [k + N / 4] = R[k ] −WN2k S[k ]

Para k = 0,1, L , N / 4 − 1

Para k = 0,1,L, N / 4 −1 [email protected]

14

FFT (Fast Fourier Transform) – El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el DFT de dos valores x[n], en concreto x[k] y x[k+N/2], para k=0,1,...,N/2-1. – Para una FFT de N=8 puntos con diezmado en tiempo, el esquema es: Butterfly

x[0] x[4]

W0 x

-1

x[2] x[6]

W0 x

-1

x[1] x[5]

+

+

X[0]

+

+

+

X[1]

+

W0 x

-1

+

+

X[2]

+

W2 x

-1

+

+

X[3]

+ W0 x

-1

x[3] x[7]

+

W0 x

-1

+

W0 x

-1

+

X[4]

-1

+

W1 x

+

X[5]

+

W0 x

-1

+

W2 x

-1

+

X[6]

+

W2 x

-1

+

W3 x

-1

+

X[7]

+

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

[email protected]

FFT (Fast Fourier Transform) – Las características de una FFT de N puntos mediante diezmado en el tiempo se sumarizan en la siguiente tabla :

Número de Grupos Butterflies por Grupo Exponentes Twiddle Factors

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa log2N

N/2

N/4

N/8

1

1

2

4

N/2

(N/2)k, k=0

(N/4)k, k=0,1

(N/8)k, k, k=0,1,2,3 k=0,1,...,N/2-1

– Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas. Hay N/2 butterflies por etapa y log2N etapas. • El número total de multiplicaciones es ½N·log2N . • El número total de sumas es N·log2N . [email protected]

15

FFT (Fast Fourier Transform) •

Radix-2 FFT-Diezmado en Frecuencia – Se expresa la FFT como suma de las FFT de dos secuencias, la primera con los N/2 primeros datos y la segunda con los N/2 últimos.

N −1

X [k ] = ∑ x[n]WNnk =

N / 2−1

∑ x[n]W

n =0

=

N / 2−1

∑ x[n]W n =0

=

N / 2−1

∑ x[n]W n =0

=

nk N

nk N

+

nk N

n =0

+

N −1

∑ x[n]W

nk N

n= N / 2

N / 2−1

∑ x[n + N / 2]W

( n+ N / 2) k N

n =0

+ (−1)

k

N / 2−1

∑ x[n + N / 2]W

nk N

n =0

∑ [x[n] + (−1) x[n + N / 2]]W

N / 2−1

k

n =0

k = 0,1,2,L, N − 1

nk N

[email protected]

FFT (Fast Fourier Transform) – El diezmado en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de salida (X[k]) en dos ecuaciones, una para los índices pares N / 2−1

X [2k ] =

∑[x[n] + x[n + N / 2]]W n=0

N / 2−1

∑[x[n] + x[n + N / 2]]W

=

– y otro para los impares.

n=0

X[2k +1] =

N / 2−1

=

k = 0,1,L, N / 2 −1

nk N/2

∑[x[n] − x[n + N / 2]]W n=0

n(2k +1) N

∑[[x[n] − x[n + N / 2]]W ]W

N / 2−1 n=0

‹

2nk N

n N

nk N/2

k = 0,1,L, N / 2 −1

X[2k] y X[2k+1] son los resultados del DFT de N/2 puntos realizado con las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de la secuencia de entrada. [email protected]

16

FFT (Fast Fourier Transform) •Radix-2

FFT-Diezmado en Frecuencia x[0]

+

x[1]

+

x[N/2-1]

+

X[0] X[2]

DFT N/2 Puntos

-1

x[N/2] x[N/2+1]

-1

x[N-1]

-1

X[N-2]

+

W0 x

+

W1 x

X[1] X[3]

DFT N/2 Puntos +

WN/2-1 x

X[N-1]

[email protected]

FFT (Fast Fourier Transform) •Radix-2

FFT-Diezmado en Frecuencia Butterfly

x[0]

+

+

x[1]

+

x[2]

+

-1

+

W0 x

x[3]

+

-1

+

W2 x

x[4]

-1

x[5]

-1

x[6]

-1

x[7]

-1

Etapa 1

+

+

W0 x

+

+

W1 x

+

+

W2 x

-1

+

W3 x

-1

+

W0 x

-1

+

-1

+ +

W2 x

+

W0 x

+

X[6]

X[1] W0 x

X[5] X[3]

+ -1

X[4] X[2]

+

+

W0 x

Etapa 2

X[0]

+ -1

W0 x

X[7]

Etapa 3 [email protected]

17

FFT (Fast Fourier Transform) •

•

Se observa que en el caso de diezmado en el tiempo, la secuencia de entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el orden correcto. Para el diezmado en frecuencia, la secuencia está en orden mientras que la salida habrá que reordenarla. – Para conseguir la reordenación basta con invertir el índice en binario. Orden (n)

binario

Inv. binario

reordenación

0

000

000

0

1

001

100

4

2

010

010

2

3

011

110

6

4

100

001

1

5

101

101

5

6

110

011

3

7

111

111

7

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Aplicación de la DFT

• Enventanado y resolución en frecuencia • Número finito de muestras • Espectro de la señal enventanada • Ventanas Rectangular, Hamming • Resolución espectral versus enventanado

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18

Enventanado y Resolución •

En teoría, para el cálculo del espectro de una señal discreta x[n] se necesita considerar infinitas muestras:

( ) ∑ x(nT )e

X e jw =

∞

− jwn

∞

= ∑ x[ n ]e − jwn n = −∞

n = −∞

Para poder realizar los cálculos de debe tomar un número finito de muestras L, Se tendrá x(nT)=x[n], para 0 ≤ n ≤ L-1 Este proceso se denomina enventanado

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Enventanado Duración de la ventana en segundos

TL = L ⋅ T

L muestras, T=1/fs

Señal de enventanado

1 w [n ] =  0 Señal enventanada

0 ≤ n ≤ L −1 resto

Rectangular

 x[n] 0 ≤ n ≤ L − 1 xL [n] = x[n]⋅ w[n] =  resto  0

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19

Enventanado Ventana Rectangular...

Señal Enventanada...

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MATLAB boxcar(10)...

Enventanado • El espectro resultante XL(ejw) será una aproximación a X(ejw)

( ) = ∑ x[n ]e

XL e

jw

L −1

− jwn

n=0

=

∞

∑ x [n ]e

n = −∞

( )

− jwn

L

DTFT

( )

L → ∞ ⇒ xL [n] → x[n] ⇒ X L e jw → X e jw Efectos del enventanado...

( )

( ) ( )

xL [n ] = x[n ] ⋅ w[n ] ⇒ X L e jw = X e jw ∗ W e jw

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20

Enventanado Enventanado rectangular

( )

W e jw

 L sen w  ( L −1)  2  e − jw 2 =  w sen  2

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Enventanado • El lóbulo principal domina el espectro • El ancho del lóbulo se definirá según:

Frecuencia (Hz)

∆ fW =

∆ f aW = ∆ fW ⋅ f s =

1 L

Frecuencia normalizada

1 1 1 ⋅ fs = = L L ⋅T TL

• Si la longitud de la ventana L es mayor, aumentará la altura del lóbulo principal, a la vez que su ancho disminuye • La relación de 13 dB entre el lóbulo principal y el primer lóbulo lateral se mantiene constante:

R = 20 log

W ( w) ≈ 13dB W (0) w= 3 2L

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Enventanado (Ejemplo) Secuencia formada por dos exponenciales discretas

x[n] = A1e jw1n + A2e jw2n − ∞ < n < ∞

( )

X e jw = A1δ ( f − f1 ) + A2δ ( f − f2 ) − 0.5 < f ≤ 0.5 Efecto del enventanado

xL [n ] = A1e jw1n + A2 e jw2 n

0 ≤ n ≤ L −1

( )

X L e jw = A1W ( f − f1 ) + A2W ( f − f 2 ) [email protected]

Enventanado (Ejemplo)

Espectro de una exponencial

Espectro de dos exponenciales...

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Enventanado Se ha supuesto ∆f’=|f2-f1| grande para que no exista solapamiento entre los dos lóbulos principales de ambas exponenciales – Si ∆f’ disminuye empezarán a solaparse, dejando de distinguirse los dos lóbulos, lo cual sucederá cuando:

∆ f ' ≈ ∆ fW

Para tener resolución:

∆ f a ' ≥ ∆ f aW =

∆f ' ≥ ∆fW = f 1 = s TL L

1 L

Frecuencia digital normalizada

Frecuencia analógica

El mínimo número de muestras necesario para conseguir una resolución espectral ∆fa’ dada una frecuencia de muestreo fs:

L ≥

fs ∆ fa '

∆ f a ' ↓⇒ L ↑ [email protected]

Enventanado • Los lóbulos secundarios deberán reducirse lo máximo posible para evitar confundirlos con los lóbulos principales de sinusoides más débiles – Para ello se recomienda el uso de otro tipo de ventana(s), que no concluya de forma tan abrupta como lo hace la rectangular Ventanas Rectangular, Hamming, Kaiser...

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Enventanado (continuación...)   2π n  0 .54 − 0 .46 cos   w[n ] =   L −1  0 L −1 n= ⇔ w[n ] = 1 2

Ventana Hamming :

Centro Extremos

n = 0, L − 1 ⇔

0 ≤ n ≤ L −1 resto

w[n ] = 0 .08

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Las ventanas anti-leakage 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90

• • •

1/NT 2/NT 3/NT 4/NT 5/NT 6/NT 7/NT 8/NT 9/NT

Rectangular: los lóbulos laterales siempre peores a -30dB Triangular (Barlett): los lóbulos laterales llegan debajo de -40dB Cosenoidal:

– Hanning: y(n)=0.5+0.5cos(2πn/M) el 1er. lobulo ya está bajo los -30dB, el segundo debajo de los -40dB. – Hamming: y(n)=0.54+0.46cos(2πn/M) similar a Hanning, no descarta las muestras en los extremos de la zona de muestreo •

Otras: Parzen, con una ecuación polinómica [email protected]

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Enventanado Ventanas espectrales: • Para señales truncadas, el espectro de la señal muestra unos picos que no decaen lo suficientemente rápido con la frecuencia. – Para ello podemos utilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar esas discontinuidades. – Los picos serán menores aunque el ancho de banda de cada lóbulo aumentará.

• El enventanado introduce componentes de alta frecuencia que se atenúan si no se emplea una ventana “abrupta”, pero reduciéndose la resolución espectral • En ese caso, será necesario aumentarla incrementando el valor de la longitud de la ventana, o sea, L

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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Al asumir que el conjunto de muestras se repite periódicamente puede aparecer una discontinuidad entre la última muestra de un bloque y la primera del siguiente (efecto de leakage)

bloque repetido de muestras

ventana anti-leakage

• Estas discontinuidades equivalen a componentes de frecuencias que corrompen el espectro analizado • Para minimizar el leakage al conjunto de N muestras de cada bloque se lo multiplica por una función (weighting window) que atenúa las primeras y últimas muestras de modo de evitar discontinuidades

bloque sin discontinuidades

N muestras

N muestras

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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Una ventana anti-leakage MULTIPLICA en el tiempo la señal original x1(t) por una señal periódica x2(t), de período T (la ventana) • Esta multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en el espectro de frecuencias del espectro de la señal x1 con el espectro de la señal x2.

X [ x1 ( t ). x 2 ( t )] =

∫

t

−∞

X 1 [ f − f ' ]. X 2 [ f ' ]. df '

• Esta convolucion produce que cada barra (bin) del espectro de x1 posea “bandas laterales” agregadas por la convolución con x2. • Dicho de otro modo, cada bin del espectro es “contaminada” por bandas laterales de los bin vecinos • El espectro de la señal x2 influencia por lo tanto la transformación [email protected]

Procesamiento A/D, Enventanado y DFT

El aparente no-uso de una ventana anti-leakage es en realidad equivalente al uso de una ventana rectangular, cuyo espectro es de la forma sin(f)/f

T

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Procesamiento A/D, Enventanado y DFT • Dada una señal x(t), no nula en el intervalo [0,T] y limitada en espectro a W hertz (*), y del cual se toman N muestras en dicho intervalo en instantes separados ∆t