Algebra problemas y como resolverlos
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M ìkhaild Flores P.
RLGEBRH Teoria y práctica
►Exámenes UNI desarrollados p or temas v con claves
►Actualizado según últim os prospectos
► Nuevos problemas resueltos V propuestos tip o UNI
C O LE C C IO N
U N n iE N O A
►Desarrollo com pleto de to d o el curso
»claves para todos los problemas propuestos
M ikhaild Flores R
RLGEBRO Teoría y práctica
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Á l g h b r a ; T e o r ìa y p r á c tic a C o le c c ió n U n ic ie n c ia S apiens M ik h a il d F lores
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©
M ikhaild Flores R, 2007 A sesoría académica: Salvador Timoteo V.
©
Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima, Lima, Lima Teléfono; 331-1522 RUC: 20260100808 E-mail: informes@ editorialsanmarcos.com Diseño de portada; Gustavo Tuppia Composición de interiores: Gina Condori Responsable de edición; Alex Cubas
Prim era edición; 2007 Segunda edición; 2014 Tercera edición: 2015 Prim era reimpresión; abril de 2018 Tiraje; 500 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2018-03930 ISBN: 978-612-315-276-5 Registro de proyecto editorial N.° 31501011800267 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin la previa autorización escrita del autor y el editor. Impreso en el Perú / Printed in Peru Pedidos: Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Teléfono: 433-7611 E-mail: ventasoficina@ editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Impresión; Editorial San Marcos de Aníbal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. M angomarca, San Juan de Lurigancho, Lima, Lima RUC; 10090984344 Publicado en mayo de 2018
INDICE Presentación.................................................................................................................................................
11
CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL Biografía: Gottlob Frege............................................................................................................................... Enunciado..................................................................................................................................................... Proposición................................................................................................................................................... Variables lógicas........................................................................................................................................... Clases de proposiciones............................................................................................................................... Conectivos lógicos........................................................................................................................................ Tablas de verdad o Wilttgenstein.................................................................................................................. Estudio de los conectivos lógicos................................................................................................................. Tautología, contradicción y contingencia...................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
13 14 14 14 14 14 14 14 15 17 29 32
CAPÍTULO 02; CONJUNTOS Biografía: Georg Cantor............................................................................................................................... Definición...................................................................................................................................................... Nomenclatura............................................................................................................................................... Relación de pertenencia (e )......................................................................................................................... Determinación de un conjunto...................................................................................................................... Clases de conjuntos...................................................................................................................................... Relaciones entre conjuntos.......................................................................................................................... Comparación entre conjuntos....................................................................................................................... Representación gráfica de los conjuntos...................................................................................................... Operaciones con conjuntos........................................................................................................................... Número de elementos de un conjunto.......................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
39 40 40 40 40 40 40 41 41 41 43 45 58 60
CAPÍTULO 03: EXPONENTES Y RADICALES EN IB Biografía; Christoph Rudolff......................................................................................................................... Leyes de exponentes.................................................................................................................................... Ecuaciones exponenciales........................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas pospuestos..................................................................................................................................
67 68 70 71 82 84
CAPÍTULO 04: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Biografía; Jean D’AIembert........................................................................................................................... Conceptos previos........................................................................................................................................ Expresiones algebraicas............................................................................................................................... Expresiones trascendentes........................................................................................................................... Término algebraico....................................................................................................................................... Clasificación de las expresiones algebraicas............................................................................................... Valor numérico de un polinomio y cambio de variables............................................................................... Problemas resueltos.....................................................................................................................................
89 90 90 91 91 91 91 93
Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
97 98
CAPÍTULO 05: GRADOS Biografía: Simón Stevin................................................................................................................................ Definición...................................................................................................................................................... Clases de grados.......................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
101 102 102 104 108 109
CAPÍTULO 06: POLINOMIOS ESPECIALES Biografía: Évariste Galois............................................................................................................................. Definición...................................................................................................................................................... Polinomio homogéneo.................................................................................................................................. Polinomio ordenado...................................................................................................................................... Polinomio completo....................................................................................................................................... Polinomio completo y ordenado............................................................................ ....................................... Polinomios idénticos..................................................................................................................................... Polinomios idénticamente nulos................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
113 114 114 114 114 114 114 114 116 120 123
CAPÍTULO 07: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA - PRODUCTOS NOTABLES Biografía: Adrien-Marie Legendre................................................................................................................. Mulliplicación algebraica............................................................................................................................... Productos notables....................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
127 128 128 131 143 144
CAPÍTULO 08: DIVISIÓN ALGEBRAICA - COCIENTES NOTABLES Biografía: Paolo Ruffini......................................................... División algebraica....................................................................................................................................... División de polinomios.................................................................................................................................. Regla de Ruffini............................................................................................................................................ Teorema del residuo...................................................................................................................................... Divisibilidad poiinómica................................................................................................................................. Residuos especiales..................................................................................................................................... Cocientes notables....................................................................................................................................... Probiemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI............................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
149 150 150 152 153 154 155 155 157 169 171
CAPÍTULO 09: FACTORÍZACÍÓN Biografía: Jean-Robert Argand..................................................................................................................... 177 Definición...................................................................................................................................................... 178 Polinomio primo................................................................................................................................................. 178 Métodos de faetorización.............................................................................................................................. 178 Faetorización reciproca o recurrente............................................................................................................ 184 Método de los artificios................................................................................................................................. 186 Faetorización simétrica y alternativa............................................................................................................ 187 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 189
_________________
A lg ebra ■
Problemas de examen de admisión UNI................ Problemas propuestos..................................................................................................................................
198 200
CAPÍTULO 10: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO FRACCIONES ALGEBRAICAS Biografìa: William Homer.............................................................................................................................. Máximo común divisor (MCD)....................................................................................................................... Mínimo común múltiplo (MCM)..................................................................................................................... Fracciones algebraicas................................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
205 206 206 208 213 218 219
CAPÍTULO 11: POTENCIACIÓN • BINOMIO OE NEWTON Biografía: Isaac Newtori............................................................................................................................... Factorial de un número entero y positivo..................................................................................................... Cofactorial o semifactorial............................................................................................................................ Análisis combinatorio.................................................................................................................................... Binomio de Newton...................................................................................................................................... El triángulo de Pascal o Tartaglia................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
225 226 226 227 232 237 239 250 252
CAPÍTULO 12; RADICACIÓN Biografía: Gerolamo Cardano....................................................................................................................... Definición...................................................................................................................................................... Clasificación.................................................................................................................................................. Homogeneización de radicales..................................................................................................................... Valor aritmético de un radical....................................................................................................................... Valor algebraico de un radical...................................................................................................................... Raíz cuadrada de polinomios....................................................................................................................... Transformación de radicales dobles a suma o diferencia de radicales simples o sencillos........................ Racionalización............................................................................................................................................ Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
257 258 258 258 258 258 258 259 261 263 273 275
CAPÍTULO 13: NÚMEROS COMPLEJOS Biografía: Lodovico Ferrari........................................................................................................................... Cantidades imaginarias................................................................................................................................ Potencias de la ur\idad imaginaria................................................................................................................ Número complejo......................................................................................................................................... Representación gráfica de los números complejos...................................................................................... Operaciones con números complejos.......................................................................................................... Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad.......................................................................................... Fórmula de Euler........................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
281 282 282 282 283 283 285 285 288 300 303
CAPÍTULO 14: MATRICES Y DETERMINANTES Biografía: Gabriel Cramer............................................................................................................................. Matrices......................................................................................................................................................... Orden de una matriz.....................................................................................................................................
309 310 310
Matrices especiales...................................................................................................................................... Igualdad de matrices.................................................................................................................................... Operaciones con matrices............................................................................................................................ Transpuesta de una matriz........................................................................................................................... Taza de una matriz A [TrazíA)]..................................................................................................................... Matrices cuadradas especiales.................................................................................................................... Caracteristicas notables de algunas matrices cuadradas............................................................................ Determinantes.............................................................................................................................................. Menor complementario de una componente................................................................................................ Determinante de Vandennonde.................................................................................................................... Matriz inversa............................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
310 310 310 311 312 312 312 312 313 313 313 316 331 333
CAPÍTULO 15: TEORÍA DE ECUACIONES Biografía: Al-Juarism i ............................................................................................................................... Igualdad......................................................................................................................................................... Clasificación................................................................................................................................................. Conjunto solución de una ecuación (CS)..................................................................................................... Clases de ecuaciones.................................................................................................................................. Teorema para transformar ecuaciones en equivalentes............................................................................... Ecuaciones de primer grado......................................................................................................................... Sistemas de ecuaciones............................................................................................................................... Sistema de ecuaciones lineales o de primer grado...................................................................................... Sistemas lineales: el método de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan................................ Ecuaciones de segundo grado..................................................................................................................... Ecuaciones de grado superior...................................................................................................................... Ecuaciones recíprocas................................................................................................................................. Sistemas de ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................................... Ecuaciones cúbicas y cuárticas.................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
341 342 342 342 342 342 343 347 348 354 360 365 367 368 369 373 386 389
CAPÍTULO 16: DESIGUALDADES - INECUACIONES - VALOR ABSOLUTO Biografía: Bernhard Riemann....................................................................................................................... Desigualdades.............................................................................................................................................. Axiomas de relación de orden...................................................................................................................... Relaciones que expresan desigualdades..................................................................................................... Clases de desigualdades............................................................................................................................. Intervaio......................................................................................................................................................... Propiedades generales de las desigualdades.............................................................................................. Inecuaciones................................................................................................................................................ Gráfica de desigualdades con dos variables................................................................................................ Valor absoluto............................................................................................................................................... Ecuaciones con valor absoluto..................................................................................................................... Inecuaciones con valor absoluto.................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
401 402 402 402 402 403 403 404 407 411 411 412 415 429 432
CAPÍTULO 17: PROGRAMACIÓN LINEAL Biografía: George Dantzig............................................................................................................................ Definición...............
443 444
Desigualdades lineales.................................................................................................................................. Sistema de inecuaciones.............................................................................................................................. Problema general.......................................................................................................................................... Problemas resueitos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos................................................................................................................................... c a p ít u l o
444 444 446 452 462 465
18: SUCESIONES Y SERIES
Biografía: Gustav Dirichiet............................................................................................................................ Sucesiones.................................................................................................................................................... Series............................................................................................................................................................ Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
469 470 470 474 483 485
CAPÍTULO 19: PROGRESIONES Biografía: Fibonacci....................................................................................................................................... Progresión..................................................................................................................................................... Progresiones aritméticas (PA)...................................................................................................................... Progresiones geométricas (PG)................................................................................................................... Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..i...............................................................................................................................
491 492 492 495 499 506 508
CAPÍTULO 20: RELACIONES Y FUNCIONES Biografía: Leonhard Euler............................................................................................................................. Definiciones previas..................................................................................................................................... Relación......................................................................................................................................................... Función......................................................................................................................................................... Dominio y rango de una función................................................................................................................... Función de variable real............................................................................................................................... Funciones especiales y representación gráfica............................................................................................ Gráfica de funciones de fonmas especiales.................................................................................................. Tipos de funciones: inyectiva, suryectiva, biyectiva..................................................................................... Operaciones con funciones.......................................................................................................................... Composición de funciones........................................................................................................................... Funciones monótonas crecientes y decrecientes......................................................................................... Función inversa............................................................................................................................................ Función exponencial..................................................................................................................................... Gráfica de la función exponencial................................................................................................................ Función exponencial de base e .................................................................................................................... Inecuaciones exponenciales........................................................................................................................ Función logarítmica...................................................................................................................................... Gráfica de la función logarítmica.................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..................................................................................................................................
513 514 514 514 514 515 517 518 519 520 520 520 521 521 521 522 522 523 523 525 536 538
CAPÍTULO 21: LOGARITMOS Biografía: John Napier.................................................................................................................................. Definición...................................................................................................................................................... Igualdades fundamentales........................................................................................................................... Propiedades generales................................................................................................................................. Cologaritmo (colog)...................................................................................................................................... Antilogaritmo (antilog)................................................ ..................................................................................
547 548 548 548 549 549
Logaritmos cxtmo progresiones..................................................................................................................... Sistema de logaritmos................................................................................................................................... Logaritmos de números negativos................................................................................................................ Operaciones con logaritmos decimales........................................................................................................ El número e y los logaritmos naturales........................................................................................................ Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos...................................................................................................................................
549 549 550 551 552 555 562 564
CAPÍTULO 22: LÍMITES Y DERIVADAS Biografía; Gottfried Leibniz............................................................................................................................ Limite............................................................................................................................................................. Formas determinadas.................................................................................................................................... Formas indeterminadas................................................................................................................................. Derivadas...................................................................................................................................................... Regla de L'Hospital-Bernoulli....................................................................................................................... Máximos, mínimos y representación gráfica de funciones........................................................................... Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos...............................................................................................
569 570 570 570 571 572 575 576 588 590
PRESENTACION Este texto propone el desarrollo de los conceptos más elementales del curso, para llegar a temas recientemente incorporados en los exámenes de admisión, según el prospecto de la UNI . En suma, la intención es que el estudiante encuentre un curso completo de Álgebra elemental de acuerdo a las últimas exigencias. En cuanto a la propuesta pedagógica de cada tema, el joven estudiante encontrará la teoría respectiva y luego su parte práctica, es decir, una primera que consta de ejercicios de aplicación y la otra, donde se proponen problemas resueltos, probiemas de examen de admisión UNI y problemas propuestos con claves. La sección de ejercicios de aplicación, se ha considerado en aquelios capítulos que, según nuestra experiencia, ofrecen cierta dificultad en su comprensión; son ejercicios bastante sencillos. Y tienen como in tención que el estudiante vaya familiarizándose con esta parte de la ciencia matemática sin problemas. Inclu sive puede servir de material de aula a los profesores de educación secundaria, ya que están dosificados de menor a mayor grado de dificultad, además de contar con sus respuestas respectivas después de los enun ciados. En cuanto a la sección de problemas resueltos y propuestos, estos están presentados de acuerdo al grado de dificultad de los mismos. Las repuestas de estos últimos, se encuentran al fínal de cada capítulo. Se ha sido cuidadoso en cuanto a la teoría expuesta, respetando la rigurosidad matemática, pero a su vez se ha sido concreto en muchos aspectos ya que (como se entenderá) la dimensión del libro no lo permite; de ia misma manera, se emplea un lenguaje sencillo en cuanto a la explicación teórica y en la parte práctica se ha utilizado el criterio de lo fácil a lo complejo, por eso es que sí el lector da un recorrido visual a las páginas, notará que (en la parte de ejercicios, problemas resueltos y propuestos) los primeros de ellos son muy fáciles y progresivamente se van haciendo un poco más difíciles en cuanto a su resolución, es decir, el libro es para estudiantes de todo nivel. En cuanto a los capítulos, el estudiante podrá encontrar los temas ciásicos de: iógica proposicional, conjuntos, exponentes y radicales en IR, expresiones algebraicas, grados, polinomios especiales, multipli cación algebraica, productos notables, división algebraica, cocientes notables, factorízacíón, MCD y MCM, fracciones algebraicas, potenciación, binomio de Newton, radicación, números complejos, teoría de ecua ciones, desigualdades, inecuaciones, sucesiones y series, progresiones, logaritmos. Se han incluido los capítulos de: matrices y determinantes, programación lineal, relaciones y funciones, límites y derivadas. Esperamos que esta publicación logre convertirse en un importante auxiliar pedagógico para todos los estudiantes de educación secundaria, preuniversitaria y superior, además que logre aportar en su prepara ción para afrontar con éxito el examen de admisión y en su posterior desarrollo profesional. Si este texto logra ser parte fundamental en la construcción de un futuro profesional peruano, entonces nos daremos por satisfechos. El Editor
Lógica proposicional
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Friedrich Ludwig Gottlob Fre§e nació el 8 de noviem bre de 1848 en Wismar y m urió el 26 de ju lio de 1925 en Bad Kleinen. Fue un m atem ático. lógico y filósofo alem án, padre de la lógica m a tem ática y la filosofía analítica. Frege es am pliam ente reconoci do com o el m ayor lógico desde Aristóteles. Com enzó sus estu dios en la Universidad de Jena en 1 869 trasladándose a Gotinga para com pletar sus estudios de Física. Quím ica, Filosofía y Ma temáticas. licenciándose en esta últim a en 1873. En 1879. Frege publicó su revo lucionaria obra titulada Concep-
tografía o Escritura de concep tos. en la que sentó las bases de la lógica m atem ática m oderna. M ediante la introducción de una nueva sintaxis, co n la inclusión de los llam ados cuantificadores «para todo» o «para ai m enos un» perm itió formalizar una enorm e cantidad de nuevos argum entos. También fue el prim ero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido sem ántico. Frege fue un defensor deí logícismo y de la ¡dea de que las m atem áticas son reducibles a la lógica, en el sentido de que las verdades de la m atem ática son deducibles de las verdades de la lógica. Sin em bargo, su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola solo a la aritm ética y a la teoría de conjuntos, puesto que Frege perm aneció en gran m edida feantiano respecto de la geom etría. Su obra titulada Leyes básicas de la aritmética fue un intenio de llevar a cabo el proyecto logicista. Fuente: Wifeipedia
{ x } c A Como; 1 e A ^ {1} c A (V) .-. F W
30. Si p, q, r, s, t, u y w son proposiciones lógicas tal que: p » (q ^ r) es falsa, q «»(p » t) es falsa, indi car el valor de verdad de las siguientes proposicio nes, es: I. ~ t A { r = w) II. q v ( ~ r « * u ) lll.t=»(s Ar)
Resolución: A = {{1: { 1 } } ; { 0 } } B = {{1};4;0} n(A) = 2 ^ n(P(A)) = 2^ = 4 I. ín(P(A))} = { 4 } e B pues: {4 } c B
Resolución; Si: p » (q r) es F » p es V y q » r es F Entonces: p es V; q es V y r es F q « (p => t) es F. Entonces p =* t es F y como p es V Entonces t es F I. ~ t A (r=> w) = V A (F =» w) = V A (V) = V II. q V ( ~ r « u) = V V (~r*=» u) = V III. t ^ ( s A r ) = F ^ ( s A r ) = V VW 31. Se sabe que x es un conjunto tal que; x g P(A). Para todo conjunto A. Determinar cuáles de las si guientes afinmaciones son verdaderas: I. x n x = x, V A II. x - A = x , VA l l l . ( A - x ) u ( x - A ) = A . VA Resolución: X e P(A), VA =» x c A I. x n x = x. V A II. x - A = x , V A Como x c A = » x - A = 0 III. ( A - x ) u ( X - A ) = A Es igual a: A - x VFF
(V) (F) (F)
32. Sea el conjunto A = {0;1; {1}; {0;1}; { 0 } } y las siguientes proposiciones; I. { l l e A II. {0:1} e A IM.ÍDc A IV{0;{1}}c A V {{0}}cA Determinar el número de proposiciones verda deras. Resolución; A-{0;1:{1};{0:1};{0» I. { 1 } g A (V) II. {0:1} e A (V) III. { 1 } c A (V) IV. { 0 ; { 1 } } c A (V), pues OeAA {1} eA. V. { { 0 } } c A (V), pues {0 } g A .'. Las 5 son verdaderas 33. Sean los conjuntos A = {{1; { 1} }; { 0 }}, y B = {{1>: 4; 0 }. Hallar el valorde verdad de las siguientes proposiciones: I. II. III. IV.
í n( P( A) } eB A n B $ A, entonces (ji ^ P(A) n B ( 1 } e A , si y solo si A - B e P(A) {{1}¡ 0 } e P ( B )
(F)
II. A n B í A » 0 ^ P ( A ) n B F; pues: A n B = 0 c A Luego, la proposición es (V) III. { 1 } e A
« A - B e P(A)
F V, pues; A - B = A Luego, la proposidón es (F) IV. {{ 1} ; 0 } e P(B); V, pues {{ 1}; 0 } c B .-. FVFV 34.
Indicar el valor de verdad de cada una de las pro posiciones: I. V x e IR, X* e E II. v x G ® , V y e E : x' ' em III. Vx Ei R, 3 y E ( S / x ’ E(& Resolución: I. V X e IR: x* e E (F), pues: ( - 0,5)"®® í E II. V x e ® , v y e E : x ^ e E (F) ■j\-0.S pues: ?E lll.
v x e E : 3 y e ® / x ^ e ® (F), pues; x* € ®, V y € ®
.-. FFF 35. S e a A = { x e E / x < 1 « x > 0 } y B = {xeZ/{x*/16)eA>, halle el número de elementos de B. Resoiución: A ={xeE /x 0} p q = (p A q) V (~p A ~q) x < 1 » x > 0 = (x< 1 A X > 0 )V (X > 1 A X < 0 ) = = x < l A x > 0 = xe(0;1) A = (0; 1); B = { x e Z / x V l 6 e A } ^ O < xVl6 < 1 =» O < x^< 16 « B = { - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1; 2; 3} .-. n(B) = 7 36. Sea el conjunto A = {3; 5; {2; 8}}, halle el valorde verdad de cada una de las proposiciortes: I. 3 x e P ( A ) / 2 e x II. 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } c x III. 3 x g P(A)/{{ (p n ~ q ) ] es falso, hatiar el valor de verdad de las proposiciones: I. (p n ~ q ) r II. q n (~p u ~s) l ll.(~p=>r)u~s
V
V
poq V V F V
F
F
PesV •~ s es V = 8 es F De(*2) ~ q es F = q es V De (*3) r V s = V; re s V De (*1)
V
q es V res V s es V
F
V
V II) q A ( ~ p A ~ s ) V
V
V
(F)
41.
~V
V
V
Aque es igual: {(p ^ q) A [(p ^ q) v r]} a q Resolución: Í(P q) A [{p =9 q) V r]} A q: Absorción
V
(V)
(P=>q)
A q; Condicional
V
í ~ p v q) (q V ~p)
A q: Conmutativa
(V)
q A (q V ~p);
lll) ( ~ p « r ) v
38. Simpliflcar ta siguiente proposición: t = {(~p V q) V [(p =» q) A r]} A q Resolución: Sabemos que: p ^ q = ~p v q t = {(~p V q) V t(~p V q) A r]} A q Absorción t = ( - P V q) A q t = q A (q V ~p) => t = q Absorción 39. Se definen las operaciones: p *q = - . p « . ^ q A p # q = ~ p A q Simplificar: [(~p)*q]#[(-q)#p] Resolución: ~ p *q =
~p«q V«V
.S or
i i
V
lll)~p«»q
Resolución: De la tabla de verdad: p o q, es Falso « p es F a q es V [(p o q) o r ] o s es falso p es F
V________ F
V F Luego tenemos: I) ( p A ~ q ) « r
y si [(p o q) o r] o s, es falso
Hallar los valores de verdad de; l )p=«r iD s^r
Resolución: (*3) (*1) (*2) (r V s) ® [(p A ~s) ® (p A ~ q )] V
q V F V F
p )= » ^ q = p = ,- ,q = ^ p u ~ q = ~ ( p n q )
- q # p = ~e que: ~ l(r V q) =» (r => p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de: ¡.
Resoiuclón: Reduciendo el circuito;
r-(~ p v ~ q )
II. [(r ^ (p A q)] « (q A ~p) m. (r V ~p) A (q V p)
i.
Resolución; Del dato, q = F, además: (rvq)«(r«p) = F F I. r=* p = F V F psF;
q = F-,
II. r V q = V V F r =V
Luego; I. r=»( ~pv~q) = V V V V V II. [ r « ( p A q ) ] V F
(qA~p) = V F V
III. ( r v ~ p ) A ( q v p ) = F V V F F V
F
WF 59. Si la proposición q =» r es falsa, detennine el valor de verdad de las siguientes proposiciones; i. r A (p V r) II. ~(q A r) l li.(rA~q)=sp IV. p A (q » r) Resolución: Sabemos que: q ^ r = F V F .-. q = V; r = F Luego; I. r A (p V r) = F F V ill. (rA~q) F F
p=V
(~ p v ~ q )= » ~ r = - ( ~ p v ~ q ) v ~ r = (p A q ) V ~ r = r (p A q )
II. ( ~ r v p ) A q Iii. ( q A p ) v ( ~ r ) = r ^ ( p A q ) .'. i y ííl son equivalentes a la primera. 61. Cuáles de ias siguientes proposiciones son equiva lentes: I. El café es agradable, a menos que se le añada azúcar. II. El café es agradable s) no añadimos azúcar. Iii. SI añadimos azúcar, ei café es agradabíe. ÍV. Si añadimos azúcar, ei café no es agradabíe. Resolución: Simbolizando las proposiciones, tenemos: p ; el café es agradable q ; se le añade azúcar I. p, a menos que q = p a q II. p si no q = ~q =» p III. si q, p = q » p ÍV. si q, no p = q => ~p Expresando tas condicionaíes en función de a y v i.
pAq
íí. ~q=»p = ~ ( ~ q )v p = q v p iii. q=» p 2 ~ q V p
IV q « - - p = ~ q v ~ p = - . ( p A q ) Luego: ninguna proposición es equiváiente a otra. 62. Dado; p * q = {[(p =» q) =# q] v q} Simplificar: ~(qAr)sV V F IV. p A (q • r) = F , V F_,
F .-. F WF 60. ¿Cuál(es) de ias proposiciones son equivalentes a: Es necesario ser adulto y pagar diez soles para ver )a película en el cine. i. No ser adulto o no pagar diez soles es suficien te para no ver la película en el cine. II. No ver la pelícuia o ser adulto, y pagar diez sotes, ili. Pagar diez soles y ser adulto, o no ver la pelícu la en ei cine. Resolución: Sean las proposiciones: p; ser aduito q: pagar diez soies r: ver la película en eí cine Luego: Es necesario ser aduito y pagar diez soies para ver ía petíojía en el cine. Se simboliza; r =» (p A q) y las 3 proposiciones si guientes:
a
p
{ [ ( ~ p ‘ q ) A (r * ~ q ) ] * (p « q ) } « (p V r)
Resolución: Tenemos ei operador (*) p ‘ q = { [ ( p = » q ) = » q ] v q }A p = { [ ~ ( ~ p V q ) V q ] V q } A p (doble condicionaí) = ( [ ( p A ~ q ) y q l v q } a p (Morgan) = [{p V q) V q] A p (absorción) = p (Asociando y absorción) Reempiazando en ía expresión a simplificar: {[(~p*q)A(r*~q)]’ (p « q )} (p v r) = [ ( - P * q ) A (r * ~ q ) I « (p V r), (d e f. *) =
( - P A r) «■ (p V r), (d e f. *)
= [(~ P A r) A (p V r)] V ~[(~p A r) V (p V r)], (bicondicional) = { ~ p A [ r A ( p v r ) ] } V [(p V ~r) a (~ p a ~ r)], (Morgan) = ( ~ p a r) V { {(p V ~r) A ~r] a ~p} (absorción) = (~p A r) V (~r A ~p), (absorción) = ~p A (r V ~r). (distributiva) = - p A V, (tercio excluido) =
~p
63. D a d a las p ro p o s ic io n e s ; p : Edy trabaja cuando gana más de 20 dólares diarios. q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por sU salario.
Simbolizar la proposición: Lolo no trabaja o se preocupa por su salario a me nos que Edy trabaje cuando gane más de 20 dó lares díanos. Resolución: Desdoblando la proposición tenemos: q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por su sa lario.
m : Lolo trabaja, n : se preocupa por su salario. Es decir: q = m a ~n Formalizando la proposición propuesta, resulta: No “m” o “n" a menos que “p” s (~m V n) A p, por Morgan = ~(m A ~n) A p = ~qAp
P R O B L E M A S D E E X A M E N DE A D M I S I O N U N I
PROBLEMA 1 (tN I 2001 > I) Simbolizar lògicamente la expresión "Juan Pérez saldrá elegido y será congresista, si y solo sí obtiene apoyo en su provincia". A) P es q, r D)(p Aq)=»r
B) p. q => r E)p=»(q, r, s)
C) (p
a
q)
r
Respecto de: “Si gana Perú, no voy a estudiar”. Indique la altemativa que se puede concluir:
Simbolizando la expresión: p: saldrá elegido q: será congresista r: obtiene apoyo en su provincia ••• (P A q) « r Clave: C
PROBLfMA 2 (liN I 2003 - 1) Si se asumen las siguientes premisas: Sí me pagan, trabajo • Si no me pagan, renuncio Si me dan un incentivo, no renuncio * Me dan un incentivo o denuncio a la empresa No trabajo ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son conclusio nes lógicas de estas premisas? I. No renuncio II. No me dan un incentivo III. Denuncio a la empresa A)lytl D)l;llylll
8)1 y lll E) Solo II
O H y Ili
p => t Si no me pagan, renuncio ~p ^ r Si me dan un incentivo, no renuncio s » ~r Me dan un incentivo o denuncio a la empresa s
V
A) Si estudié, ganó Perú B) Sí no ganó Perú, estudié C) Si no estudié, ganó Penj D) Si fui a estudiar, no ganó Perú E) Nunca, estudio porque siempre gana Perú Resoiución: Deí enunciado; Sí gana Perú, no voy a estudiar p
~
q
Si aplicamos la propiedad de transposición: q ^ ~p Se concluye; si fui a estudiar, no ganó Perú. Clave: O
PROBUEMA 4 (UNI 2006 • I) Si la mentira es un antivalor, por tanto es negativa, sin embargo, no es mentira que sea negativa. Luego es correcto afirmar que: A) La mentira es un antivalor B) No es verdad que la mentira sea un antivalor y negativa C) La mentira es negativa D) Es falso que la mentira no sea un antivalor E) Todas las anteriores son válidas
Resolución; Si me pagan, trabajo
~t
Clave: C
PROBI£MA 3 (UNI 2004 - II)
Resolución:
No trabajo
Por tanto, a partir de la última premisa: ~t =» ~p: no me pagan ~p =» r: renuncio r = ~s: no me dan incentivo ~s A q: denuncio a la empresa
Resolución: De los datos podemos definir: La mentira es un antivalor: p Es negativa: q Entonces: p q ~(~q)
q Por lo tanto, la mentira es negativa Clave- C
PROBLEMA 5 (tN I 2007 - 1)
Simplifique; [(r □ s) ^ t ] « [ - ( tes)]
Indique la fórmula que representa el siguiente circuito lógico:
A )t D) r «=»~s Resotución: Si
y. salida
entrada
p D q = (p A q )= » q = ~ (p A q ) V q = {~ p V ~ q ) V q
B) ( p v q ) A ( r A s ) D) ( p A q ) v ( r v s )
A) (p A q) A (r A s) C) (p V q) V (r V s) E)(pvq)A(rvs)
c)~ t
B )^ r E) r » ~ t
= ~ p V (~ q V q )
p□q =
Resolución:
... (equivalencia lógicas) ...(leyes de Morgan) ...(Ley asociativa)
...(Tautología)
V
p ® q = p = » (p v q )
...(equivalencia lógica)
= - p V (p V q )
_E/_
= (~p V p) V q entrada q /
salida
J /_
La fórmula lógica es: (p v q) a (r v s) Clave: E
Dadas ias inferencias: I. Si ella compra un vestido, entonces comprará za patos. Ella compra zapatos, por lo tanto ella com pra un vestido. II. Si Luis lee Caretas está bien informado. Luís está bien informado, entonces Luis lee Caretas. ill. Si estudio, obtengo buena nota. Si no estudio, me divierto. Por lo tanto, obtengo buena nota o me di vierto. Son válidas: B) Solo ti E) II y lll
V
C) Solo
t^ F .-. ~ t Clave: C
PROBlfMA 8 (UNI 2012 - I) Señale el circuHo equivalente a la proposición [(p =» q) =» p ] A [~ p =» (~ p =» q)] A) — / p -
B) - ^ q -
C) - ^ ~ p -
D) ^ ~ q -
E) — / p
—/q -
PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1)
A) F FW D )W F F Resolución: (P V ~q) i
p o q = (pAq)=»q p © q = p=»( pvq)
J
Si la proposición (p v ~q) => (r » ~s), es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es;
Clave: C
Si:
V
Resoluclón: Considerando: A a B A = (p =» q) =» p B = ~p=>(~p^q) = (~p V q) =» p = p V (~p =» q) = ~(~p V q) V p =pvpvq = (p A ~q) V p B= pVq A=p Entonces; A A B = p A ( p v q ) AaB= p Clave: A
Resolución: Analizando: I. Compra un vestido = p Compra zapatos = q Del enunciado p ^ q Luego: q ^ p (no es válido) II. Luis lee Caretas = p Está bien informado = q Del enunciado; p =» q Luego: q ^ p (no es válido) Iti. Estudio = p Obtengo buena nota = q Me divierto = r Del enunciado; p q ~p=»r .-. q V r(si es vàlido)
PROBLEMA 7 (tN I 2011 - 1)
[
(V =» t) «■ F
PROBLEMA 6 (tN I 2007 • II)
A) Solo I D)lylf
... (Ley asociativa) = V V q ... (tautología) p®q = V ~(t® s) Simplificando; (rDs)=»t
B)FWF E)FVFF
O V FV F
p: puede ser V o F q: puede s e r F o V
Resolución:
p:VF q:FV r: V V s:VV La única alternativa que cumpie es la A
Lógica preposicional
Clave: A
(~p^q)vtr*~s)
l
PROBLEMA 10 (UNI 2012 - II) Si ia proposición: [(~p v q) =» (q «=» r)] v (q a s) es faisa, siendo “p” una proposición verdadera. Determine ios vaiores de verdad de; q, r, s, en ese or den. A) V W D) FFV
B) VFV E) FFF
C) VFF
v
V
1
i
V
V
F
p; F
F
q; F
r; V
V A V V
V
V
V
q ) » (q » r) = F il.
V Como; p = V =* q; V; r; F; s: F
(~r V q) F
[(~q
F
v
„
V
Si ia proposición; (~p =» q) v ( r » ~s) s F. Determine ei vaior de verdad de ías siguientes propo siciones. i. ( ~ p A ~ q ) v ~ q ii. (~r V q) » [(~q v r) A s] Ni. (p => q) => í(p V q) A ~q] B) W F E) FFF
si
[V A V]
PROBLEMA 11 (UNI 2012 • II)
VW FW
r) a
V vV
Clave: C
A) D)
s: V
Luego, ias proposiciones: i. ( ~ p A ~ q )v (~ q )
Resoiución: De la proposición; [(~p V q) (q « r)] V (q A s) = F F Luego; (~p
F
C) VFF
(p =» q) =» [(p V q) A ~q] F
F
F
F IF A V]
VFF
Clave: C
■■■D 1.
B) Ii E) Todas
4.
p—i -q —
Es de S/.50; en cuanto se reducirá el costo de la instalación si se reemplaza este circuito por su equivalente más simple. A)S/.350 D) S/.250
B)A = q=»p D)A=pv(p=»q) 7.
B)S/.150 E) S/.300
OS/.200
Simplifique la siguiente proposición a su equivalen cia más simple. {[(P =► q) V ~p] A (~q =» p)} [( ~pAq) =. ( r A~r ) ] A( ~q)
Se define el operador lógico V de la siguiente ma nera: - p V q = -[(~ p A q) V (~p A ~q)] Simplifique el siguiente esquema: {p ^ [(P V q) A (q A r)]} V (r A s)
A)(p«r)vq D)(pvq)Ar
A) ~ p V q D)p
B)V E)~q
C)F
Si el enunciado: “si hay dinero pero hay infiación, entonces es suficiente que no haya trabajo, para que se tenga dinero”, es falso, concluimos que:
8.
9.
Se define et operador *, mediante la siguiente tabla de verdad:
pVq ~p A
B) ~q E) V
q
C) ~p
Indique cuáles son tautologías: I. (-P A q ) « (p V ~ q ) II. [p A (p =* q)] =* q III. [(p V q) A r] = {~p V [p A (~p =» q)]} A )l D) ti
B) II y lll E) Todas
q
p.q
V
V
F
V
F
F
F
V
V
pAq:
-P — q—
F
F
F
pvq:
- P —I \-q -l
B)a
D) «
E)=»
Olii
10. Si;
Simplifique y dé el equivalente del siguiente circui to lógico.
I—
C )v p
Se tiene que: • pAq: pvq:
C) r A s
P
A) A
•
B) q A r E )r
Si:p#q = [(p v ~ q )A (~ q ^ p )] p © q = q v [ ( p « * q ) A ( q Ap)] Simplificar la siguiente expresión: W = { { - p # (q A ~ p ) ) A [(q » ~ p ) ffi q]} => q A) D)
Además: p B q = ~ {[(p =» q) * (q ^ p)] v (p * q)} Entonces, el operador b reemplaza a:
6.
P—1 r— P — I - q — ^ L-q— I
C) lll
A) No hay dinero. B) No hay inflación. C) No hay inflación y sí dinero. D) No hay trabajo. E) Hay trabajo y dinero. 5.
Q I
Si el costo de cada llave en la instalación del circuito:
Exprese la siguiente proposición compuesta a su equivalencia condicional más simple. A = {~p « q) A (p =* q) A)A=p=»~q C)A=(p=»q)Ap E)A = ~p=»q
3.
PR O P U ES T O S
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tau tológicas? i- ~ { l( p J i q ) J i p ] ^ l ( q J i p ) i i p ] } II- {[(P ü q) A pl [(p li q) A q)} III- ~ ( p U q ) « ( p v q ) Si además “p i q", indica “no p y no q”. A) I D) II y lll
2.
■ ■
PR O B LEM A S
q
^q^ q
|— P—1 q
A) p V ~q D)~p A ~q
B)pvq E)p=»q
C) ~q
A) q D) - p
11. SI la proposición: [(p A q) A (~p V w)l => es falsa Se afirma que la siguiente proposición: [s V (p A ~w] V (p q), es:
A )l D)ll
12. Las letras P, Q, R y S representan afirmaciones de las cuales solo dos son verdaderas. Se sabe lo siguíente: A) Si 8 es verdadera entonces Q es verdadera. B) Si Q es verdadera entonces R es verdadera. C) Si P es verdadera, entonces S es verdadera. Las verdaderas son; B)PyS E)PyQ
B) Solo E)lyll
B) Solo lll E)lylll
16.
B) W F E) F W
C) Solo lll
O S o lo »
C) VFV
Sabiendo que la proposición compuesta; p » (~r V s) es falsa t ^ (p V s); p r; ~s =» t; r » p ¿Cuántas son verdaderas? A )0
B)1
17. Simplificar; (p V q) A ((q
0 )2
C)lll
— p — q —• — P—
pvq;
— — qJ
Simplifique y dé el equivalente del siguiente circui to lógico. p H L-----~p_qJ
p P —1
15. Sabiendo que p y q son proposiciones con diferen tes valores de verdad, además; M = p V q: N = (~p A q) V p: S = ~q » p ¿Cuáles son los valores de verdad en ese orden? A) W V D) FVF
19. S i ; p Aq :
-
14. La subida del precio de la gasolina implica la subi da de pasajes. * La subida de pasajes Implica el aumento del costo de vida. • La crisis económica impltca la suk^a de gasolina. ¿Cuáles no son con'ectas? I. La crisis económica implica la subida de pasajes. II. La subida del precio de la gasolina implica el aumento del costo de vida. III. La subida del pasaje implica la crisis económica. A) Solo l D) II y til
C) ~q
B) II y lll E) Todas
OQyR
13. Sí la siguiente proposición compuesta: p ^ (r a s) es falsa, entonces, ¿cuáles de las siguientes afir maciones son verdaderas? I. ptiene un solo valorde verdad. II. s puede ser verdadera. III. r es necesariamente verdadera. A) Solo I D)lylll
p V ~q p A ~q
18. Indique cuáles son tautologías; I. (-P A q) « (p V ~q) II. [ p A ( p « q ) ] ^ q III. [(p V q) A r] =» {~p V [p A (~p =* q)]}
A) Verdadera B) Falsa C) No se afirma nada D) Toma ambos valores de verdad E) Faltan datos
A)QyS D)PyR
B) E)
D)3
P) =» {P => q)l
E)4
A) p V -q D)~p A ~q
B)pvq E)p=»q
C) ~p
20. Si el siguiente esquema es falso; (p A ~q) =» [(m A r) V -r ] Indique el valor veritativo de p, q, m y r A) VFFV D )W F F
B) V F W E)FWF
C) VFFF
21 . Sean las proposiciones; p Eduardo estudia en la UNI. q Eduardo no es vendedor de periódicos, r Eduardo no desayuna. Simbolice el siguiente enunciado y luego simplifíquelo; Es suficiente que Eduardo no sea vendedor de pe riódicos o no tome desayuno para que no estudie en la UNI. Pero si estudia en la UNI entonces es vendedor de periódicos. A) p =* (~q A ~r) C) p =» (q A r) E)pvq
B) p A q A ~r D) (p V q) A r
22 . Dado el siguiente esquema molecular; [(P =» ~q) A r] (r =» (p A q)j Si elaboramos su tabla de verdad, calcule la dife rencia entre el número de verdaderos y el número de falsos de su matriz principal. A) 1
B) 2
0 3
O) 4
E) O
23. Sí la proposición “s" es falsa, y el siguiente esque ma: (~p A q) [(q =» r) V (p A ~s)] es una tautolo gía, entonces los valores de verdad de p, q y r son respectivamente: A)FW D)FFF
B)VFF E)VW
C)FVF
24.
D) Pagar 231 soles y ser accionista, o no Ingresar al club. E) No es cierto que se pague 231 soles y ser ac> cionista, o ingrese al club.
Se define: q V
p*q F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p V
30. Simbolizar: “No es el caso que Carlos sea médico o abogado; en conclusión, Carlos no es abogado". A) ~p V q =» q C) ~(p A q) ^ ~q E) ~( p« q ) = » ~ q
Simplificar la expresión: [(p«q)* (P *''q)]v(~ p*'-q)
A) p D)pA~q 25.
B) p A q E)pv~q
C) p V q
31.
Se define el operador: (-i-), por la siguiente tabla; p V V F F
Se definen los operadores V y (f por las siguientes tablas: P q
p V q
V V
F
p fr q V
q V F V F
F
V
F
Simpliflcar: (p + q) + p
F V
F
V
F
F
V
A) D)
V F
Reducir: [(p ft q) v (~q V ~p] A) q D) p t q
B) p a q E) P V q
a
[(p 1Ì q) A q] C) p
26. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. p=, ~q = ~ { p v ~ q ) II. ~ ( pV q ) v ( p j ? q ) = p = q III. ~ p í tq = ~ ( ~ P ^ q ) A) Solo I D)lylll
B) Solo II E) Todas
O lyll
27. Señalar la expresión equivalente a la proposición: (pv~p)A(~qv~p) A)q=»p C)(p=»q)=»~p E) (q =» p) =» ~p
B)p=>q D)~p=»(p=»q)
28. Sean las proposiciones; • p,,,: v x e E , x° = 1 . q(„3 ye M //< 0 - 3* = (z + 3)(z - 3) • r,^,; V z G E, Indique el valor de verdad de: p » q: p => r; r v q A) FFV D)VW
8) ~q =» ~(p V q) D) ~(p V q ) « ~q
B)FW E)FFF
C)VFV
29. El equivalente de la proposición: “Hay que pagar 231 soles y ser accionistas para ingresar al club", es; A) No ingresar al club o pagar 231 soles y ser ac cionista. B) Pagar 231 soles o ser accionista y no ingresar al club. C) Pagar 231 soles y no ser accionista, y entrar al club.
F pAq
p + q V V F V
B) p V q E) V
C) ~q V q
32. Dadas las proposiciones; q: 4 es un número impar; p y r cualquiera tal que: -((r v q) =» (r ® p)] es ver dadera, hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: I. r ^ ( ~ p v ~ q ) II. [r « (p A q)] (~p A q) A)VF D) FF
B)W C)FV E) Depende de q
33. Si: p * q = p => ~q p # ~q = (p « q) = ~p Simplificar: [(p a q) * (p v q) # (p => q)] A)-pvq D)~pv~q
B)p E)~p
C)~q
34. Un profesor de UNI denotaba por: Apq; p A q; y con Np; ~p. Escríbanse las siguientes proposiciones emplean do A y N en vez de A y I, ~(p A q) A (~q A r) II. ~(p A ~q) A (~q A ~r) A)ANpqAqr: ANpNqANqr B)ANpqANqr; ANApqANqr OANApNqAqNr: ANApqANqNr D)ANpqApq; ANqpANrq E) ANApqANqr; ANApNqANqNr 35. Si T es una tautología y p. q son proposiciones, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verda deras? I. {[(p A T) V (q A ~T)] A (p V q)) « p II. {[(p V q) V (~p A -q )] A (p V q)} T III. {[(p V q V ~T) A -T ] V [(~p A T) V T]} T
A) Solo I D) tl l yl l
B) Solo II E) Soto iti
O ly
36. Dadas las proposiciones: q: 13 es un número par; ~í(r V q) (r => p)] es verdadera,
A )p D)p
B)W OFV E) Depende de q
37. Si la siguiente proporción: [(q A ~p) ^ ~q] V (r =» s) es falsa, dar el valor veritath/o de: I. [(p =» ~q) V (s =» r)] « (r V p) II. {(r V p) =»-s ] V (vií =» r) A )W D) FF
1>— H >Si s es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de p y q, res pectivamente? A )W D) FF
B)VF C)FV E) Faltan datos
44. Hallar la proposición equivalente al circuito lógico: p ------------------ q -----------
B)VF C)FV E) Depende de w
~q— I
38. Si la proposición compuesta: (p a q ) » (r v t) Es falsa. Indicar las proposiciones que son verda deras; A) p ;r D) q: t
B) p:q E) p; r; t
C) r;t
39. Simplificar; M = [{~p v q ) » (~q v p)} a ~{p a q) A) q D)~q
B) p E)~pvq
C) ~p
40. Si la proposición: (p a q }» (q »»r) es falsa,tialtar el valor de verdad de ias siguientes fórmulas; I. ~ ( p v r ) « ( p v q ) II. (p V ~ q ) ( ~ r a q) til. [(p A q) V {q A ~ r)] « (p v ~r) A)WF D) VFF
8) VFV E) F W
C)VW
41. Determinar ei valor de verdad de cadauna de las siguientes proposiciones; I. Si; 3 + 1 » 7, entonces; 4 + 4 = 8 II. No es verdad que: 2 + 2 = 5, si y solo si 4 + 4=10. til. Madrid está en España o Londres está en Francia. A) VFV D)FVF
8)VW E) FFF
~q— ' B) p V ~q E) p A ~q
A)p D)~pvq
C)pvq
45> De los siguientes enunciados; • ¡Qué rico durazfio! • 7 + 1 5 >50 • x^ + y" = 25 ¿Qué altemativa es correcta? A) B) C) O) E)
Una es proposición. Dos son enunciados abiertos. Dos son expresiones no proposicionales. Dos son proposiciones. Todas son pr A i . B - n
ñ.
Intersección (n)
Gráficamente:
La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, es decir de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota por A n B; y se lee: “A intersección B" Ejem plo: Sean: A = {a; b; c} B = {b; c; d; e} A n B = {b; c} En general: A n 8 = {x/x e A A X
1.
A -B ,.3 y e s ú fM »
? A - A « 0 ; A - U = (0; A - 0 = A 4. ^ - S ) c A
_
n-
Complemento de un conjunto 1. 2. 3. 4.
AnB, 3 yi AnBsBnA ( A h B ) n C » A n ( B n 'C ) A ri(B u C )a (A o B )u (A n C ) A u (B u C) » (A U B) n (A U C) 5. A n A r= A AO0S0 A -iU • A 6. A c B * * A n B = A . 7. < A n B )cA A ( A n B ) c ñ
Si A y B son conjuntos tales que A c B, se define el complemento de A con respecto de B y se denota por: C ; C^; Entonces el compleniento de A será: A* = B - A = {x/x e B A X ^ A} Ejem plo: Sean-, u = {1; 2; 3; 4; 5) A = {3;4} A' = u - A = {1;2;5} Gráficamente:
Diferencia ( - ) La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Se denota por: A - 8 y se lee: “A diferencia B" o “A menos B". E jem plos: •
Sean: A = {a; b: c; d; e} A B = {d; e} » A - B = {a; b; c}
1. 2 3.
AoA>^U A (iA '^ E ? = ’Hl
Gráficamente:
'k é im & É M ñ A -È
Diferencia sim étrica
Sean: A = {0; 1; 2; 3} a B = {2; 3; 4} « A - B = {0; 1} Gráficamente:
Dados los conjuntos A y B entonces se define: A A 8 = (A - B) u (B - A) v A A B = (A U B) - (A n B) Se lee: “A diferencia simétrica con 8 ” Ejem plo: A = {1; 2: 3; 6: 7} A 8 = {2; 3; 7; 4; 9}; entonces: A A B = (A - B) u (B - A); A - B = {1; 5} A B - A = {4; 9 } A A B = {1;4;5; 9 } Gráficamente:
Sean: A = {a; e; 1} a B = {o; u} =» A - B = {a; e; i}
t
A
a
B
V
m
Resoludón: I. Es verdadera, dado que {2} es un elemento de A, además, )a relación de pertenencia se em plea de elemento a conjunto. II. Verdadera ya que { {2} } es un subconjunto de A, no está por demás hacer la aclaración que entre conjuntos se utiliza la relación de inclusión. III. Verdadera, ya que la pertenencia se utiliza de elemento a conjunto. IV. Falsa, ya que {5; 3} es un subconjunto de A, entonces debería de haberse empleado la inclusión. V. Verdadera, se utiliza la inclusión para relacionar conjuntos.
umai
i J
A A f» -S lA fA < .|h J.C •
^
A ^ b - .* «• A >
^ NÚMERO DE ELEMENTOS DE IIN CONJCJNTO Dado un conjunto A cualquiera, la familia de elemen tos del conjunto se llama número cardinal de A y se denota por: n(A) V Card(A) Se lee: “número de elementos de A” o “cardinal de A". Se cumplen las siguientes propiedades: 1.
2.
Si A y B son dos conjuntos disjuntos, esto es: A n B = 0: entonces; n(AuB) = n(A) + n(B)
De ias siguientes notaciones: I. {2; 5; 3} = {3; 5; 2} II. {4} € { { 4} ; 5} III. { 3} c { 2 ; 3; 4} IV. 0 G {3; {4}; 2} V 0c{3:{4};2} Indicar la proposición falsa. Resolución:
2.
Si A y B son dos conjuntos tales que A n B entonces: n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
I. Verdadera, son conjuntos iguales. II. Verdadera, ya que {4} es un elemento del con junto. III. Verdadera, ya que {3} es un subconjunto. IV. Falsa, ya que 0 ^ a dicho conjunto. V. Verdadera ya que 0 está contenido en cual quier conjunto.
0,
3.
3.
Sabiendo que;
Si son 3 conjuntos A; B y C: n(A u B u C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n B) n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C) n(A - B) = n(A) - n(A n B) Ejem plo: A = {2; 3; 5; 7\ 9} 8 = {1:4; 8} •
n(AuB) = n(A) + n(B) 5 + 3 n(AuB) = 8
C = {2; 3; 5; 7; 9} D = {1: 4; 5; 7; 10} son no comparables n(C U D) = n(C) + n(D) - n(C n D)
= 5 + 5
-
n(C U D) = 8 Aplicaciones 1. Dado el conjunto; A = {5; {2}; 3} In d ic a r la p ro p o s ic ió n fa ls a :
I. {2>eA lll. 3 e A V. { 5 ; { 2 } } c A
II. { { 2 } > c A I V . { 5 ; 3} eA
2
n(B) = 56; n ( A n 8 ) = 15; n( BnC) = 19
n(AriC) = 14 n(AoBnC) = 6
Hallar ei número de elementos de la parte som breada. Resolución: Trasladando los datos al diagrama tendremos:
Luego el n.° de elementos de la parte sombreada será: 28 + 8 = 36 4.
6.
En una encuesta acerca del consumo de bebidas se obtuvo la siguiente información: • Toman Guaraná y Pasteurína 1/3 de los que solo toman Pasteurína y 1/2 de los que toman Guaraná. • Toman otras bebidas diferentes tantos como los que toman solo una bebida de las mencionadas. Si los encudstados fueron 495 persor\as, hallar tos que toman una bebida (Pasteurína o Guaraná).
Determinar la cantidad de personas que consumen solamente un producto. Resoiución: Distribuyendo los datos en un diagrama de Venn:
Resolución: Utilizando el diagrama de Venn: Sea X el conjunto de los que toman las dos bebidas, luego:
En el gráfico se pide: a + b -f c De donde: 20 + a + b + c = 50 .-. a + b -t- c = 30
De donde: 2x + X + 3x + 2x + 3x = 495 toman otras
11x = 495
X
Como se observa consumen solamente un produc to 30.
= 45
Luego los que toman solo una t>ebida son: 2(45) + 3(45) = 225 5.
7.
De un grupo de 55 personas 25 hablan castellano, 32 quechua, 33 inglés y 5 los 3 idiomas. Determinar el n.° de personas que hablan solo dos de esos idiomas.
-^ (3 2 ) b \ ( ^ é A \ / '\ 5 / ^ \ / X \< /Z
8.
^ 55
1(33) + y + a = 20 y + b + z = 27 X + c + z = 28
X
-.(1) -
Si: A = {4; 5; {8>; {10; 11}; 9; 12; {15}}, determinar cuáles son verdaderas. I. { 4 } c A lll. {10; 11} c A II. ( 4 ; 5 } c A IV { 1 5 } cA Resoiución: I. {4} c A es verdadera ({4} es subconjunto de A) II. {4; 5} c A es verdadera ({4; 5} es subconjunto de A) III. {10; 11}cAesfalsa ({10; 11} e Ay a que {10; 11} es elemento de A) IV. {15} c A es falsa (por lll)
Resolución: Llevando los datos a un diagrama, se tiene:
V
De una encuesta a 60 personas se recibió la si guiente información: • 7personasconsumenelproductoAyBperonoC. • 6 personas consumenel producto B yC pero no A. • 3personasconsumenelproductoAyCperonoB. > 50 personas consumen ai menos uno de estos productos. • 11 personas consumen el producto A y B.
Si a e A entonces: a E (A u B) a € (A - B) a e (A n B) a g A’ ¿Cuáles son verdaderas si B es un conjunto cual quiera? Resoiución: * a E (A u B) es verdadero para cualquier conjunto B. • a e ( A n B } =» a e A A a e B .
(2 )
...(3)
no se puede determ inar el valor de verdad (¿a e B 7)
Sumando (1), (2) y (3): • X + y + z + x + y + z + a + b + c = 75 50 .-. x + y + z = 25 Luego el número de personas que solo hablan dos de estos idiomas es 25.
* 9,
a e ( A - B ) = » a e A A 3 ? B ( a puede o no pertenecer a B). a £ A' es verdadero.
Detemiinar la afirmación falsa: I. A n A ' = 0 II. A u A ’ = u
U = {1; 2; 3; 4; ...; 10; 11; ...; 14; 15}
III. A - B = A n B ’ IV. (A n B) - C = (A - C) n {B - C) V. A - B = j ^ B - A Resolución: I. A n A' = 0 por definición de complemento (0 # 0) II. A u A '= U tomando el dual de A III. A - B = A n B' definición de la diferencia de conjuntos IV De (A - C) n (B - C) = (A n C ) n (B n C ) = A nB nC 'nC ’ = A nB nC ’ = (A n B) n C’ = (A n B) - C V A -B /B -A 10.
¿Cuál de los siguientes subconjuntos no es sub conjunto de (A u B)'? I.{5} II. {5; 4} Resolución:
(F) (V)
De:(AuB)' = U - ( A u B ) A u B = {1;2; 3; 4; 13; 14} U = {1; 2; 3 ; . . . ; 14; 15} Entonces de (1):
(V)
(Au B)' = (5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} (V) (V)
Respondiendo: I. (5} si es subconjunto de (A u By II. {5; 4} no es subconjunto ya que 4 $ (A u B)'
Dados los conjuntos: A = { 1 ; 2 : 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14} y
.-. II no es subconjunto de A u B
RESU ELTO S
P R O B LEM A S 1.
II. ( ( A n B ) n C ) c A lU. ( A u C ) c B
¿Cuál de los siguientes subconjuntos es subconjunlo de (A n B)'? I. {1;2;3} II. {2; 3; 5}
IV (A - B) c U V. Todas son verdaderas
%
Resolución:
Entonces: (AnB)' ={2; 3; 5; 6; 7;...; 14; 15; 16}
I. (AnB)cUestri vial yaqueA,ByCcU.
(V)
II. (A n B) n C c A es trivial [(A n B) n C] n A’ = {A n fK[ ) n B n C - 0
(V)
III. A u C c B e s ® (no se puede decir que (A u C) n B' = 0 )
Respondiendo: i. {1;2;3}noessubconJuntode(AnB)’ (1 í (AnB)') It. {2; 3; 5} si es subconjunto de (A n B)'
IV (A - B) c U (A - B) n U' = (A - B) n 0 =
0
(F)
(V)
La afirmación en III es la falsa.
Dados los conjuntos: A = {1;2; 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14}; C = {4; 5; 12; 13}y U = {1;2: 3;...; 15; 16}
4.
Dados los conjuntos: U = {- 1 ; O; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {~1; 0; 2)
Señalar cuáles son verdaderas:
B = {2; 3;4} ;C = { - 1 ; 1 ; 3 ; 5}
t. II.
D = {xeU/xeAAxgB};E = {xeU/x§ÉAvxeC}
4e(U -C ) 1 e(AnB)
lll. ( B n C ) c ( U - A ) IV A c ( B u C )
Hallar el número de elementos de D u E.
Resolución: I. (U - C ) = {1; 2;3;...; 15; 16} - {4; 5; 12; 13} (U - C) = {1; 2; 3; 6;7; 8; 9; 10; 11; 14; 15; 16} Entonces: 4 e (U - C) II. A n B = {1; 4} ^ 1 e ( A n B )
Resolución:
(F)
(V)
III. B n C = {4; 13}
U - A = {5;6; 7; . . . ; 15; 16} Entonces: (B n C) cr (U - A) (4 ¿ U - A) IV B u C = {1;4; 5; 12; 13; 14} A={1;2;3;4} =»Ad(BuC) 3.
Q
Sea: A = {1; 2; 4; 8; 16}. 8 = {1; 4; 7; 11; 14} y U = {1;2;3... ;13; 14; 15; 16}
Resolución: Sabemos que: (An B)' = U - (An B) A n B = {1;4}; U = {1; 2; 3;...; 14; 15; 16}
2.
...(1)
IHallar cuál es la afirmación falsa. I. ( A u B ) c U
(F) (F)
U = {- 1 ; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {- 1 ; 0; 2} B = {2; 3; 4}; C = {-1 ; 1; 3; 5} D= = E= =
{xeU /xeA A xgB ) {x e U /x e A A x s B ')= A n B { x e U / x í A v x e C} { x G U / x e A ' v x e C } = A ’ uC
Resolviendo; O = {-1 ; 0; 2 } n { - 1 ; 0 ; 1; 5} = { - 1; 0 } A B' E = {1; 3; 4; 5 } u { - 1 ; 1; 3; 5} = {-1 ; 1; 3; 4; 5} A'
C
Reemplazando en R = {5; 5; 5; 5; 5} = {5} R tiene 1 elemento.
A hor a: DuE = { - 1 ; 0 : 1 ; 3 ; 4 ; 5} n (DuE ) = 6 5.
Dados los conjuntos; U = {- 2 ; -1 ; 0; 1; 2; 3; 4}; A = {0; 1; 2; 3}
8.
B = { - 2 ; 0; 2; 4}; F = {x e U / x í A v x í B} G = { x e U / x e A =»xeB} Hallar el número de elementos de F - G.
Resolución; B?É0 A A u B e s unitario a A = {a^ + 2b; a + 2b + 2} 0 = » A = B = A u B = A n B y todos son conjuntos unitarios. Luego; De A: a^ + 2b = a + 2b + 2
Resolución: F= {xe U /xíA vxíB } {X e U / X e A' V X £ B'} = A' u B' G = { x e U / x e A =» x e B ) = (p =»q) = ( ~ p v q ) q
= {xeU /~(x€A )vx6B }
=» a * - a - 2 = 0 =» a = 2 v a = - 1
= {X €U /X ^A VX €B } = { x G U / x e A ' v x e B } = A’ u B
D eA u B : - 4 a + 3b* = 3a + 4b + 3 4 Sl a = 2 ; - | + 3b' = 6 + 4b + 3
Ahora: F - G = F n G' = (A' u B') n (A' u B)’
=» 6 b ^ - 8 b - 2 3 = 0 =» b í Q
= (A' u B') n (A n B')
Si: a = - 1 : 4 + 3b^ = - 3 + 4b + 3 4 « 12b^ - 16b + 5 = 0
[(A' u B') n A] n B' = B’ n A = A - B F - G = {0 :1 ; 2; 3} - { - 2 ; 0; 2; 4} = {1; 3}
^ Kb -- 1 2 - bK
n(F - G) = 2
6.
SI M = n.° de afirmaciones verdaderas; N = n.° de afirmaciones falsas; y sean las afímiaciones: I. El conjunto universal es único para todos los conjuntos. II. Si A d B entonces B A. III. Para cualquier conjunto A se cumple A c A. IV. Si se cumple que A ece$anamente nulos (F) VFF Clave: O
PR O B LEM A S La parte sombreada del diagrama de Venn-Euler mostrado, con^sponde a la operación;
PROPUESTOS
lo * * "
7. En una reunión, el 80% hablan inglés; 65 personas hablan castellano y el 5% los dos idiomas. ¿Cuán tas personas asistieron a la reunión? A) 230 D) 260
B)200 E) 290
C)250
8. De 90 personas se sabe que 61 son solteros y 55 son hombres. Si son 12 mujeres casadas, ¿cuán tos son los hombres solteros? A )A u (B n C ) D) (A U C) U C
B )A n (B u C ) E) (A n B) n C
2 . A un congreso internacional de medicina asistieron 240 personas: 60 pediatras, 80 ginecólogos y 90 de otras especialidades. De estos últimos 25 eran pediatras y 35 eran ginecólogos. ¿Cuántos de los que no son ginecólogos, no son pediatras ni de otras especialidades, sabiendo además que nin gún pediatra es ginecólogo? A) 50 D) 65 3.
B)2^* E) 2'®
C)2*
Dado los conjuntos: A = {x/x € Dí¡ - 3 < X < 5} B = {x / x g 2Z; 1 8 < x < 19} Calcular: n(A) -i- n(B) A) 9 D) 5
5.
C)60
Se tienen tres conjuntos A, B y C cuyos cardinales son números consecutivos, tal que: n[P(A)J + n{P(B)] + n(P(C)] = 896. Hallar el número de elementos que puede tener como máximo el conjunto potencia de (A u B u C). A) 24 0 ) 2 ’”
4.
B)56 E) 70
B)8 E) 7
B){15:3} E){17;9}
C)15
C ){17;8}
Detemiinar n(C - B), si A, B y C están incluidos en el universo U. n(U) = 30: n(A') =14; n(B) = 13 n{8 - C ) = 7; n(An B n C ) = 2 n(A' n B' n C ) = 3; n(A n B' n C ) = 5 A) 6 D)13
B)8 E)12
9.
C)11
B) 28 E) 45
C) 18
Sabiendo que: n [{A u B )-C ] = 32; n [A u C )-B ] = 9; n[C -(A u B)j = 14; n(8 n C) = 12. Hallar: n(A u B u C). A) 58 D) 67
B)71 E) 68
C) 69
10. Si el conjunto: A = {a'’; b®; ^ ^ } es unitario, ade más a, b £ 2*. Hallar, a + b A) 4 D)7
8 )5 E)8
C )6
11. Sabiendo que A = {a^ + 3}; B = {7b}; A u B = {28} Hallar; a + b A) 8 D )7
8 )9 E)11
C) 10
12. Si n significa el número de elementos, siendo A y 8 dos conjuntos tales que: n(AuB) = 30; n (A - B )= 12 n (8 - A) = 8; hallar: 5[n(A)] - 4(n(B)] A) 38 D)70
Si se cumple que: A = {2 a -1- b; 17}, B = { b + 1 ;3 a - b } son conjuntos unitarios. Hallar la unión del conjunto A y 8 . A) {16:8} D){20;10}
A) 38 D)48
C )(A u B )n C
8 )60 E)100
C)48
13. ¿Es el centro de la circunferencia elemento de dicha circunferencia? A) Si D) A veces
B) No E) Faltan datos
C) Puede ser
14. Sean los conjuntos iguales A = {a^ + 1; 7}; B = {a + b; 10} ¿Cuál puede ser el valor de a - b? A) 1 D )-1 3
8) 7
C) - 5
E)3
15. Indicar el cardinal del siguiente conjunto: A = {x/-Í)? €Dí; X < 50} A) 5 D)8
8 )6 E)9
0 )7
1 6 . D e te rm in a r p o r c o m p re n s ió n e l co n ju n to ;
A = {0;4;14; 30; 52;...}
A) FVFFW D) FFWFF
A) {x^ + 2x / X e W . X 0} B) {x^ - X * / X c W , X # 0} C) {x^ + X + 2 / X e Bí, X 0} D) {2x* + 5 x + 3 /x G n í^ } E) {3x* - 5x + 2 / X € Dí*}
A) 2
C )9
A) 512 D) 32
18. Hallar a + b, si el siguiente conjunto:
03
D )4
E)5
19. Sean A; B y C tres conjuntos, tai que: Ac B AnC = 0 B n C = {1;3} A - C = {4;6} C - B = {2;5) n(B) = 4 Hallar: n (B -A ) + n (0 A) 3
B )4
D)6
0 5
E)7
A) 10
A) 3 D)31
e Dí ; 3
e: • n[P(AnB)) = 1 • n(A) = 2n(B) • n[Pores distintos a los que se tiene. ¿Cuántos nuevos sabores se podrán obtener Si al mezclar siempre se realiza con una misma cantidad de cada vino?
8)1
C )2
0 )3
B )A u B ‘' E )A u B
C )B ‘=
Dados 3 conjuntos A, B y C se cumple que: • n [A n ( C - B ) ] = 3 • B cC • n[P(C - A)] = n[P(A - C)j = 16
E )4
38. En un vagón de tren se realiza una encuesta so> bre el uso de cigarrillos. De los 41 pasajeros, 21
Si • • •
B )3
05
D )2
E)4
se cumple: A'^ c n ( A - C ) = n(A) n[(P(D - A)] = 64 = 2n{P [D n (A u B)J}
•
n ( C ) = |n [ C - ( A u D ) ]
•
n{C - [(A U D) n (A' n D' n C')]} = 15
•
n [A - ( B u D ) ] := 12
Calcular cuántos elementos tiene n(B - D) si A tie ne 5 elementos más que C. A) 8 43.
C) 59
37. En un certamen de t>elleza participaron 50 señoritas, de las cuales 23 eran de cabello rubio, 20 eran morenas y 23 tenían ojos verdes, además 6 tenían cabello rubio y ojos verdes, 5 eran morenas con cabello rubio y 7 eran morenas con ojos verdes. También participaban 2 hermanas con las tres características. ¿Cuántas preguntas han do ser necesarias para conocer a dichas hermanas? A) O
42.
C)13
B) 58 E) 57
C)15
Calcular: n(An B n C); sí n(Au B U C) = 13
35. Entre los varones que se alojan en un hotel: 40 eran peruanos de los cuales 3/4 tenían peluca; 60 eran ingenieros. De los peruanos con peluca la mitad eran ingenieros, 5 de cada 6 ingenieros tenían peluca. Calcularcuántos varones que tenían peluca no eran peruanos ni ingenieros sí en el hotel se alojan 85 varones con peluca.
A) 60 D) 56
B )7 E )31
40. Simplificar la expresión conjuntísta: [A n (C A A)) u [(B n C)*^ n A] u [B u (A n B^)]
C)3
B)45 E)20
E)4
n{A u B) = 12, n(A n B) = 7, n{A) = n(B) + 1
A)1
A) 30 D)19
D)1
Además: n(A - B) = n({A u B)*]. Calcular cuántos subconjuntos propios tiene A'.
C )30
34. De un grupo de 50 músicos,39tocan al menos la guitarra, mandolina o charango.Si se sabe que los que tocan solamente uno de estos instrumentos son unos tantos como otros y que los que tocan estos tres instrumentos son 1/2; 1/3 y 1/4 de los que tocan guitarra y mandolina; mandolina y charango; charango y guitarra respectivamente. Calcular cuántos tocan estos 3 instrumentos.
C )3
39. A y B son dos conjuntos tales que:
Calcular: nfA*^ n B*^] A )20 D) 35
B )5
B) 6
07
E) 9
Si: A = {4; 8; {4}; 0 ; {2; 7}; {0 }} de las siguientes proposidones, ¿cuántas son verdaderas? (V ){2 ;7 }e A (V) {4; 8; 0 } e P(A) (V ){{4 };{2 ;7 }}c A (V ) 0 c A A )5
44 .
D) 5
B )4
(F){{4} } g A (V ){4 ;8 }c A (V){{ 0 } } c A 07
D)3
E)6
De 60 personas se sabe: • • > >
6 hombres tienen 20 años 18 hombres no tienen 21 años 22 hombres no tienen 20 años
Tantas mujeres tienen 20 años Como hombres tienen 21 años Calcular cuántas mujeres no tienen 20 años.
A) 32 D) 26
B) 22 E)34
C) 18
45. En un salón de clase de 60 alumnos se tomaron 4 exámenes: Aritmética, Algebra, Geometría y Trigo nometría. De los resultados se sabe: los que apro baron Aritmética son tantos como los que aproba ron solo Geometría y Trigonometría y tantos como los que aprobaron Algebra pero no Aritmética. SI todos aprobaron Trigonometría y son el doble de tos que aprobarcin al menos 2 cursos, ¿cuántos aprobaron Aritmética o solo Trigonometría? A) 40 D )20
B)30 E) 25
C)15
46. Dado un grupo de 100 personas se tuvo la siguiente información: * 45 personas son mudas * 40 personas son ciegas * 20 personas son mudas y ciegas * 18 personas son sordas y ciegas * 5 personas tienen los tres defectos * 15 personas no tienen ninguno de los 3 defectos * Finalmente los que son sordos solamente, son tantos como los que son mudos o ciegos sola mente. Determinar cuantos son sordos. A) 20 D)13
47. Eri una reunión social se obtuvo la siguiente infor mación: de los hombres, 180 no bailan, 30 no tienen corbata y bailan, 20 con corbata bailan pero no fu man. De las mujeres, 100 no bailan y no usan falda; 150 usan fótda; 50 fuman, bailan y no usan falda. ¿Cuántos hombres usan corbata, fuman y bailan; o mujeres que no usan falda, no fuman y bailan, sabiendo además que asistieron 600 personas? .
A) 50 D)100
8 )7 0 E)60
C)80
48. En una er^cuesta de 1000 personas sobre tietiidas gaseosas se obtuvo lo siguiente:
^ “"".^Reacción EncuestadM"*«*.... Hombre < 30(H,) Hombre > SOíHj) Mujer < 30(M,) Mujer > 30(M,)
Agradable Desagradable Indiférente (A) (B) (1) 100 50 190 100
60 55 105 50
40 145 5 100
Utilizando la tabla, calcular: n[(H 2uM 2)n(A ul)] A) 300 D) 410
B) 480 E)310
A )F W D) VFV
B) FFV E) W F
C) 395
49. Sean A y B subconjuntos de un universo U. Indicar las siguientes proposiciones con (V) o (F):
C )V W
50. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4; 5} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son ver* daderas? p :3 x e A /^ í^ > 1 q :v x e A :V y e A /x ^ + / > 7 r : 3 x G A : v y e A / x + y >8 s: v x e A : x < 3 A) O
B)1
C )2
D )3
E)4
51. Se hizo una encuesta a 640 personas para saber ia preferencia hacia 3 canales de televisión A, B y C. Se obtuvo los siguientes resultados: • 370 no ven ei canal A • 350 no ven el canal B • 340 no ven et canal C • 140 no ven ningún canal o ven los tres canales • 210 ven solo dos canales. ¿Cuántos ven solo un canal? A) 180 D)280
0)7
B) 50 E)42
A a B*^ = B => B c A . A '^ - B c A u B « A u B = U I, A c B « B^cA'^
B)290 E)320
0240
52. En un grupo de 55 personas, 25 hablan iriglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Si ^ o s hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas? A) 25 D)12
B) 26 E)40
C) 32
53. Si: A = {2; 2; 3; 4; 5} B = {1;3; 5; 7; 9} Calcular: n{(A x B) n (8 x A)] + n[etido8 a un examen de veri ficación, en e! cual se determinó que: • 22 hablan inglés y 10 solamente inglés. • 23 hablan francés y 8 solamente francés. • 19 hablan alemán y 5 solamente alemán. ¿Cuántos hablan alemán, pero no inglés? A) 14 0 )1 2
8 )1 0 E)13
C)11
74. De un gnjpo de músicos que tocan la flauta, quena o tuba se sabe que la octava parte toca solo flauta.
la sétima parte toca solo quena, la diferencia de los que tocan sólo flauta y los que tocan sólo quena es igual a la cantidad de músicos que tocan solo tuba. Si además 80 tocan por lo menos 2 de los Insbumentos mencionados. ¿Cuántos tocan solo quena? A) 13 D)16
8 )1 4 E)17
C)15
75. En un banco se instala un sistema de alarma elec trónica para detectar rot>os, que de vez en cuando emite una señal (9 días de cada 25 por término medio). Las falsas alarmas tiene por lo general 8 veces la frecuencia de robos no alarmados. Se sabe que con este sistema se detectan 2 robos de cada 4. ¿Cuál es el porcentaje de días norma les para el sistema, o sea aquellos en que no hay robos ni falsas alarmas? A) 65% D) 55%
8)50% E) 70%
C)60%
76. En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en la universidad A; 11 en ia universidad 8 y 16 en la universidad C. Si solo 2 personas estudiaron en las universidades A, B y C. ¿Cuántos estudiaron exactamente en una de estas universidades, considerando que todas las perso nas estudiaron al menos en una de didias univer sidades? A) 16 D)19
8)17
0 1 8
E) 20
77. Si A, B y C son tres subconjuntos de un conjunto universal de 98 elementos y además: n[(A U 8) n C’] = 50, n(C)=34 Hallar: n [(A u 8 u C )'] A) 13 D)16
8)14 E)17
015
78. El resultado de una encuesta sobre preferencia de Jugos de fruta de manzana, fresa y piña es el si guiente: 60% gustan manzana. 50% gustan fresa. 40% gustan piña. 30% gustan manzana y fresa. 20% gustan fresa y piña. 10% gustan manzana y piña. 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan alguno de los jugos de frutas mencionados? A) 5% D)12%
B) 20% E)10%
79. Dados los conjuntos: S = {n^/ n e l H A 0
x e B E) x g A a x s B =» x G A n B
:" 't C
■¡ ^ > ' í
12 A Y3 B . ‘ 14. D 15. D
'.r f î c ; , „ .t& E l :- ,* e ■ 17 A tB. E ; te. L* i
23 24. 25 26.
C A
C C
27 A
‘ 28 A .29 0 30. A 20. B ' »1 A » -c.- 1 D 22 E ‘ 33 A
^
34 35, 36 37. 38 39 4Û.
C e E A D E E
45 48. 47 48
A
8 8 e
42 A
0 50. C 51 B 52 A 53 c
43 E 44. B
54. 55 0
56 57 58 ■ 59 * 60 ; '
1 '
r
A A M ’ -i-
D A
eí 6Z 0 63 B 64 A 65 A 66
C c 69. D 70 E 71 D
72 D 73 C 74. D 75 C 76 D 77 8
78. 79 80 81 82
A
E C D
D 83 B 84 E
85 D 86 C
Exponentes y radicales en ]R Christoph Rudolff nació en 1499 en Jawor. región de Silesia y fa lleció en 1545 en Viena. Fue el au to r del prim er libro alem án de álgebra. Rudolff fue desde 1517 a 1521 alum no de Henricus Gramm ateus - u n escriba de Érfurt- en la Universidad de Viena y fue el autor de un libro sobre com pu tación, bajo el n'iulo de Behend
und duTch die bübsch Rechnung kunstreichen Regein Algebre. Rudolff introdujo el uso del signo radical { f ) en la raíz cuadrada. Se cree que esto se debió a que el símbolo se parecía a una «r» m inúscula (por «radix»), aunque potania. 1433 - Austria, 1545 no hay evidencia directa. Cajori solo se limitó a decir que el «pun to es el em brión de nuestro ac tual sím bolo de raíz cuadrada», a pesar de que según él m ismo «posiblemente, quizás probable» los símbolos posteriores a Rudolff no fueran puntos, sino erres. Fuente; Wibipedia
^ LEYES DE EXPONENTES
Porque: 0° = Número indeterminado
Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a ias diferentes relaciones, operaciones y transforma ciones que se puedan reaiizar con ios exponentes.
Por ejemplo: • 273" = 1
•
• (0,5 - -~ )° = (4 - 4)° == v4
Exponente natural A " = A x A x A .,.A n e IN
Se define:
lA \ Ib)
(AB)" = A" B"
Exponente -♦ Potencia
A" = P
indeterminado
Potenciación de una m ultiplicación y una división
De donde: si:
r
• (-24)“ - 1
A" B"
; V B #0
Por ejemplo;
-Base Por ejemplo: 2^ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 5® = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125
Exponente negativo
• (5 x4 )^ = 2 5 x 16 = 400
15\''_ 15" 7 T
• 2 " ’ x 3 ’'" ’ x 5 '* ’ = (30)'"'
3f 2/
2=
Potenciación de otra potencia ;
A *0
(A T =A"^"
1/0 = 55; porque la división de un número conocido por cero matemáticamente no existe o no está definido. •2
5
f:
fh !:*; V:'-’:'. ''S'i?! - ! ■ ; : í'-’í!: ; ;
En general: (a"*)" ^ a" Por ejemplo: , (2®)^ = 2’® Por ejemplo: (0,5) ^ =
(0,5)^
0,125
=
4
=
8
•
3^ = 3* ($2)3 = 3®
( x V = x*'^
Radicación Exponente fraccionado
"VÀB =''/A"1 b Por ejemplo: ^V5x^/4x^/2 = ^5 x 4 x 2 = ^V40
A" = ( - 3 )^ = g
Por ejemplo: (-27)^^ =
Radicación de una división ÍA B
M ultiplicación de bases iguales A'"A" =A "'*''
; A^O
1,1,' Por ejemplo: 5^ x5^ x5® =5^ ^ ® = 5
Por ejemplo:
^
"/A
Potencia de una raíz
A ^O 1. = 3’ ' = 3^ - 27
2.
C orolario (exponente cero) A® = 1
. A
Ejemplo: O
3/? X
O
4 x j^ _ ?^2xy V 2xV
División de liases iguales
Por ejemplo: ^
:
X ’V5T =
Aplicaciones: 1. Simpiífícar;
6. 2" * 3^ 2" ^ 2” * ' F= 2^n+i ^ 2"
Efectuar: E = Resolución: Para fransformar la expresión en otra más simple, hacemos: 2" = a
Resoiución: Extrayendo el factor común 2" ^ en el numerador y 2" en el denominador + 2 -1 ) +1) 2'’(2^+1) 2"(2*+1)
E= Transformando los radicales; 2a
2.
2«
2a
x*-2 + x»-2
F= 2 E=
Reducir lo siguiente:
2x* ' 7 3 ~ = 2x" ^
= 2xÍ ^
. . E = 2x
Z = Qm-2x16'> +2 Resolución: Expresando el numerador y denominador en base 2:
7.
ab
Reducir: C -
ab* V ib
lV (a b f Resolución: Se sabe que:
■ ^ 4 n -f3 -3 m -4 n -2
- yVx
Z= 2 3.
Reducir:
C = b®^(ab)^ C= b
x [x w r
y=
Resolución: Efectuando en el corchete y en el denominador ios exponentes de 2 en 2 de arriba hada abajoy = _ * lL - - x L ^ x -"x -'"x « X-« 4.
8.
Reducir: N =
. v = x’* ■■ ^
zl
__
9. Resolución'. Expresando en ftjnctón de un solo radical numera dor y denominador:
is
áfi
Efectuar: S -
(x r(x ^ )(x -= r' (xT H x»-’)(x-®)-r
Resolución: Efectuando denbx) del corchete, empleando el cri terio de potencia de potencia: 16 X* _= X- y* =_ ^X _= „X — —r — A X'^X^X® X3
(n-9X".±2^
X'^X^X*
E= 1 Reducir: x
il
^ _ 2 ’* X'V2*® = 2^® 2'® =2^* —2® N= 8
E=
5.
4/l6V32yi28
Resolución: Transfomiando el primer término en exponente negativo y efectuando en el radical:
Dar la forma simplificada de:
E
= b(ab)^’« (ab)’"
Í6 '"x3 " + 2'"‘^" T 6 "x3 "’ + 4"
10.
s
Reducir y dar el valor de: p = f l3 - '+ ( | ) - v + K ^ ) - ’ - 1 r r
Resolución: Expresando en base 3 y 2 ei numerador y denomi* nador;
Resolución: Reduciendo primero tos paréntesis:
X=
p = ([3 ‘ ' + ( f r V
2" x 3"'*" + 2 ^ FactorizarKk) 2" en el numerador y 2" en ^ denomi nador X = mm ¿ n
2f n / ^ in + r >
, /> n \
_
^ Ì _ iaail^2^m-ñ) 2"(3"’*" + 2'‘)
. ^ s 2
Q _ „ ... b -x
+ [(f)-’ - f r T ♦ ±
10
10
ECUACIONES EXPONENCIALES
4.
Son aquellas en las cuaies la incógnita figura en el ex ponente o en la base. A continuación se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando las leyes de exponen tes.
Calcular X si: (5x)‘ = 5® Resolución: Elevando a la quinta miembro a miembro: [(5 x )"]^ =
;
V
x í í
O
a
5.
Resolver; 7^--s = 7>+3 Resolución: 72x - 5 ^ 7 . * 3 ^ 2x - 5 = x + 3 II.
x
=
Si:
= ^V^V2a ; hallar: N =
a Resolución; Transformando en un solo radical ambos miembros: = ’'Í2a Pero: 121x = (1lVx )^ luego: "^^(11/x)^ =®V2a En el segundo miembro: multiplicando por 2 al írKüce y elevando al cuadrado el radicando:
: va?íO
Ejemplo: Resolver:
’^^J(llVx)^ = ^ { 2 a f
= 32^
De donde podemos afirmar que: 11/x=:2a
Resolución: Escribiendo el segundo miembro en base 2: xio ^ « x '“ = 2’“ X= 2
2a Reemplazando en la expresión pedida: N = — N=2
; vx#0 6. Llamado también el caso de las analogías, pero no es genérico (es decir no siempre se cumple). También:
a° «=» X = a
;
Hallar x en: Vs
V x y i O
= ^-'ñ25
= 5* « 5 9
Calcular a si: (a^)“ (a®)^ = (aY (a^)^ (a’)"’
S^x' + S
=9
= 9^ V V3*"‘ = 3*
■3“
=3^
De donde: 4 = 4 = > 8 * ' = 4^ 4 Escribiendo la igualdad en función de la base 2: (2")^*"'= 2“ « 2 -^ "’ = 2*; luego: -3 (x "’) = 4 ^ -1 -4 1_ 4 x = ^ 3 X 3 4
= 3
Resolución: Elevando al cuadrado miembro a miembro: + =3^ ^ 3'’ "® + x‘ = 3'’ "^ x ’‘ + 3=’ 3" x“ + 3 Factorizando: 3 3 {3 r ^ 2 _ i) ^ X * (3 " " ^ -1 ) « 3=* = x‘ x= 3
= 5 ’'
Igualando los exponentes:
Resolución; Efectuando en el primer y segundo miembro: a^“ a ^ = a^“ a "a -' ^ = a^^ Entonces: 5a = 25 a= 5
3.
«/3®’
Resolución: Por el caso 1: a* = a^ x = b; a O a 1 Transformando las bases en ambos miembros:
Aplicaciones:
Calcuiar X en:
x = 5^
I
te m p lo :
2.
^ f
Luego se puede afirmar: 5x = 5®
I.
1.
[ 5
Efectuando en el primer miembro: (5x)®* = (5®)®*
-*ií 7.
Si X € IR", calcular a partir de: x’'
s 2
Resolución: Transformando el exponente del segundo miem bro: multiplicando su numerador y denominador por *J2.
Calcular x si: x‘^ = 36 Resolución: Elevando a) cubo miembro a miembro: (x-')= = (36)^ Efectuando la permutación indicada: (x^)'^= (6^)^ => (xY ^= 6® =.
Descomponiendo el primer exponente: -"fie
-2
8^
U -T
\*l2
= 6 Utilizando el caso lll: Six^ = a‘ «9 x = a ; V x # 0
Luego podemos afirmar que: — *1 — 1 __ p-1/4
Resolución: Observemos que en el primer miembro el am ando se repite 81 v e c ^ , entonces:
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
a32° + a ^ + . . . + a ^ = 81"’ 81 veces
( x ^ f = (2-“ f = 2-“ = ( 2 - f = (1 )^ Nuevamente; si que:
Entonces: 8 1 'a ^ = 81®’ =» a“ ° = B l“ pero: 81 = 3^ ^ a^^” = (3'')“ * = 3“ ° =» a“ ®= 3“ °
= a" «» x = a; podemos afirmar
x^= ^ ;c o m o x e E" 8.
10. Si x ^ = 4, hallar:
Calcular el valor de x en:
,112+Jx
1 X*
Resolución:
E=
Eliminando el paréntesis en el primer miembro: (4l25*)25'‘ ^ 4(s2i5
9.
3x +
2x =
10
X =
Transfomiemos convenientemente la expresión E: Como x ^ = 4: _L**
2
E=
Calcutar a en: a” ° + a^° + ... +a^” - 81 81 veces
J - 2 5 6 Jx ^2 56
' —
=
x ^
* 4
M
RESU ELTO S
B
• a
« -
Resolución:
(n -3 ) ve e n
Reducir:A=
.2 5 6
.266
J_4< ^256
P R O B LEM A S
1.
, 256
Resolución:
Transforrnando convenientemente cada miembro: 4(S3)*¡52)* ^ 45IO ^ 453* 52* ^ 45IO ^ c = 5 ’ =9
a= 3
x^O
x x x ...X
Factorizando: A =
3 X 16X 7"+’
(n + 3) veces
Resolución: Por definición de potencia;
5.
A= 2.
calcular: (4*)* +
C ° ™ :2 " = 5 -F = 5 - 2 - = 3
Determinar el exponente final de x en:
La expresión a calcular se transforma: (22)2x ^ (2^)"’ + (2*)*^:
15 radicales
Resoiución:
2 ‘* + 2‘ + 2 ^ ; (2“)‘ +(2’') + (2*)^ Reemplazando: 3* + 3 + 3^ = 93
Por propiedad: M= M = x V x ^ . . x ’*
... 15factores 15(16)
M= -15 ^ M = X 2 Exponente final: 120
=, M = x’“
J„3 3j~4 Reducir:
6.
Calcuiar el valor de: E = ^ ,_____ y Para: x =
Aplicando la regla práctica: ~ r 77=®Vx ^=®Vx ®Vx Reducir: A = -^— r ; n g Z" 3 x2 “ x 7 ""’
y+ 1
Resoiución: Del dato: x =
x^-^= y»
— = yy =» x^ + ^'/x = y+ 1 ’'V7
Resolución:
4.
+ (16*V
Resolución:
M=
3.
Si: 2 '* =
Reemptazando: E = como:
= y*'
x' + =>'7x y+ 1 =
E=
y
E = 2y>'
1
7.
3 - '" '* + 3 ( 3 " " ^ y i2 ( 3 '^ - ^
10. Si
Reducir: A Resolución:
hallar el valor de x. Resolución:
A=
3 ^x 3 ’^ + 3 ^ x 3 ’'^ - 2 ^ x 3
,2
13
= 2'
3®x3‘ + 2 x 3 ^ x 3 * - 2 x 3 '
3^3
A=
Factorizando (3x2):
A= î N
v i^ r = H
( r ¥ ÿ
A = ^ñ*2¡2^‘>í3 q2 _ 8.
= 2’
3 "'^ ' + 2 ( 3 * '^ V 6 ( 3 ’^ -')
+2 _ 2
Sabiendo que se cumple: 3 ® i3 V 5 ^ ^ = 1
3"^3“ + 3 ^ - 2 ^
= 2’
^ f = 2* 43
3“ (3® + 2 x 3 ^ - 2 )
Utilizando el caso I: 2^= 2*’ ’ ^ x - 1 = 3 I k *"*" ' _i_ K > + 2 ,
x=4
C« + 3
Encuentre el valor de: H 2'^ ^2*V2 Resolución: Del dato, se reduce por regla práctica: bc-n^+1 = 1 =» 3 = 3 "’ b c + c ^ + -\ ^ =» be + 0* + 1 = -a b e abe =» abe + be + c^ = -1 La expresión pedida, se reduce por regla práctica.
Resolución: 5 X 5” + 5^X S'*+ 5^x5* _ /cz^x-i i 5 " V 5” + 5 -^ x 5 ''+ 5 -^ x 5 ’* ^ '
^
155
5” (5 + 5^ + 5^) = 5' 5 *(5 -V 5 ' V 5 '^
3 1
^
g 2 x -2
125
5*^ = 5 ^-2 =*4/x = 2 x - 2 ; ..2 =» X* - x - 2 = o « (X - 2)(x + 1) = o X = 2 V X = -1 ; c o m o x e Z * =» x = 2 Nos piden: x + 8 = 10 12. Si x^^ = 4, hallarel valorde X®.
9.
Si: X € IR^ - {1}, hallar el valor de n que verifica la Igualdad:
Resolución: Recordar: x*“ = {x*f De:
fi X
_
1 ^ V lx i
Y dar como respuesta el valor de: (2n + 3) h- 7. Resolución: De la igualdad
= 2^ =» x^ = 2 (por et caso lll)
Nos piden: x* = ( x ^ = 2®
x* = 8
13. Si: X. y € Tt, tal que y - x > 2; hallar el valor más simple de: lx *^V + y^^V I >,2yyx ^ y2xj^y Resolución:
^x
i
/1 \" ^ 1 ■I ( x )
X
y -x
^
+ y *+ y x * x2yy» + y2>'x>'
Buscando bases Iguales: »
y->
x‘ xV '' + ,2»vy x2yy-+ y-x
Al extraer la expresión común tenemos: Se obtiene: I x - ' ’-Ix-' f T ' _
z±
-
x«=x^“
-
Q
_
X V (X Ñ ^ x V ( x " + y ’‘)
n
2! = 2 Í
Reemplazando en lo que se pide: 2(9)+ 3 21 o — 7— - T " - ^
14. Dar las condiciones para que la expresión sea ra cional entera: mx®
+ 1 0 2 6 3 ^ + (m -3 )W + 7
División de bases iguales:
Resolución: La expresión será racional entera si: todos los ex ponentes de la variable x son enteros y positivos. Para que ello suceda en primera circunstancia detierá anularse Vx y V x ; ello se produce aiar>do sus coeficientes tomen el valor de cero. Luego: n - 2 = 0 ^ n = 2 ; m - 3 = 0 ^ m = 3 Reemplazando y reduciendo al mínimo:
F=
— b-c ate c-a a+b a-fa [x * “ X ^ X “ '
2 (a + b)
Operando en cada exponente; 2c 2a 2b 2(ac+b) 2(be’ +ca*+ab^ = X E = X* X*“ X = ab^+be^+ca^
E=
^ +1025Vx® + 7 = -V )r* + 1025x^ + 7 X® E(x) = + 1025x^ + 7 = 1026x^ + 7
sb(a+b)
Por dato: ^ ~ ^
a^b - ca* = be* ab^+a^b-ca^+ca^
Reemplazando: E = x
15. Luego de simplificar: k
P=
R=
1
I ïn
'Vn'Vnnff
Vn
17.
Si 2®" ” = 4'*"
= >
hallar el valor de n.
Resolución: Recordar: (a*)^ = a*’' A 4 = 2* _ .'»-iO .n*20 -n-30 ,.n + 20 De: 2® =4* =»2® = (2')"
'^m^"Vm ■"Vñ " "Vm^Viñ "Vm^"Vñ
Hallar: M = P" Resolución: Recuerde que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^ Transformando por partes: - " ■
F
F
Recordar: a* a' = a*"^^
2 23n-90_^j2n +41 ^
=» 3 n - 9 0 = 2n + 41
Ï Ï = -"'/íí = " V ’
18.
n = 131
Calcular el valor de:
-oFTn = J ™¡.
b -c
i
r 3 ■ •■ p = V 363a
=
m rrr* 3x2268
[(3^*1
’ = 3-^*---Í=27
19. Luego de simplificar los (2k) radicales que existe para L y M. respectivamente, donde:
Resolución: Llevando los radicales a exponentes fracdonarios; ¡ 6tci »+c ; a+b 2(a+b) ÍX “ ix " íx ' , b -c i
m
c -a ■ a ^bi
X - 'X •’ ;x
- i
n A A
1 X > X
; 1^ = '^x ™Vx
Señalar el cociente que resulta de dividir el expo nente final de X en L por el final de x en M.
20. Simplificar abreviadamente;
Resolución: Exp. final de x en L Se pide hallar: R = ,-..1 ___ Exp. final de X en M Para;
Resolución: Observar;
n-' L=
Operando con equivalencias;
=
Sea: c = 'VrV^ Luego;
ix - '
=
í '- r - X su De
^
continúa
De esta observación se concluye que; L = 'Vx-'
n
"'■Ix-r.. "/P '~
H
I
2k radicales Por inducción matemática: Buscamos la ley de formación tomando de dos en dos puestos el últinio índice en n. •
Para dos radicales; __________ (n-fi) ix - ' "V ^ = x "
(aplicando Ja regla práctica)
.-.4 ? = n 21. Efectuar: M=
^31-m -j '/F \
Para cuatro radicales;
Resolución: Efectuando; [,■5™
Para seis radicales:
Analizando expresiones claves, como:
M
" ix - ' "-/x-'
" {F '
(n + 1 )[(m) 2 -(-(m) + l|
•
^VF = ^V F = V3
•
W =
X 3 = Va® X V3 = 9^73
•
= X
Podemos observar que en el 2.“ factor se fonna una expresión en función de (m)'* ordenado donde (*) es uno menos que el exponente de su denominador. Para 2k radicales; (n + 1)f(m)"~'+(m)'^-^ + ...+ 1] (m)^
.
=
^i% =
_ L _ V ? _ s jv
Reemplazando;
Haciendo; b = Vs =» b^ =
b® =
b® = 3
Para M el análisis es análogo solo que el factor constante será dependiente de m y positivo. (m +
... * l ]
22. Simplificar:
=» k = X Luego; - ( n + 1)[(m)'‘- V ( m ) * - ^ + ...+ l] (m)^ R= (m + 1)t(m)^-V(m)'^-^4-...+ 1] (m )‘
... R =
Resolución: Recuerde que; 'Va" = ’Va'"; si; a > O Luego: "Vi®
\m +1
rV27
iJ
4®-^-5
?ñl
-3
Observación: Vs*=*V5®x5 =VÍ®xVS = SxVS
Uego:
Operando:
=
- g ■Í+s%'J ^-{1 +8^) “7 3 N V 3 ^
I
26. Simplificar:
Si hacemos que: V2 = a; Vs = b » 4 = a® Reempiazando: P= Itesolución:
Para transfonnar ei exponente: Observación:
Sia>0=» iá r Luego:
.-. “73* = 3 23.
Si:
= "“^ 4 ^ = V i = 75
= V 3“
^V3‘ ' ‘ * x a ’
X"* * = 2 , d o n d e : x > 0 ; c a lc u la r:
Resolución: En el dato:
Operando:
x~* = 2 elevando al cuadrado se tiene: Transformando la base y reemplazando:
(x * " V = 2^ =» (x-*)"“ ' = (2)*
Por comparación: 1
1
_L
x * = 2 = *-L = 2 » x * = t t :^x = IÓ (puesx> 0) X* 2 4_Sx+1
. .
i ^ piden: x
4.^*,
=x
p =
72
■-ii -J2
-J2
l-iacemos que: a = 72
Mk
= x*
--a™ =
P=
Reemplazando convenientemente:
k-12
Pero: a = 72 =» P = 72"’ = ~- i ,^ x + 1 .
f
X*
■ 72 ■
r ,Ux
/2 = [x ’‘p = x*^
„ 4 ( 1 //2 ) 2 _
„ 4 (1 « ) _
"
"
v2 -
’ = a' P == ^'^ 2
27. Simplificar: “Vs"
/
l 72j " 2
T= 24.
Si
{ x ^ 'f
“
Resolución:
= X"**, d o n d e : x > 1; h a lla r x '.
r-SSÜ
Resolución: En: T =
De: (x '-y ^ * = x*’'^ (a T = á'
Observación:
X**
< :i J i* ( 2 - x >
x‘
.
^
= x”^ : caso I: a" = a" « m = n
’^ = x ’^ = » x * = x* * « 2 = x*
.V x* = 2
8 « /F
«VT
. ■vr = ^ '‘‘78^'‘^ = '>78* Operando y reemplazando sus equivalentes:
25. Simplificar ±UL.
V«
t
(x * + x)
Haciendo: a = ®7s ^ a® = 8 T = [a *{a '^-’- í W
Resolución: Haciendo que: a = x**’ + 1 Además: x - t x - = x - + 1 = i í i S l i i = X
X
= [«78^(«78'^^'®)
= X
=i
X
»* F = T = ®783 = Ve
= [a*a-*^
28.
Hallar el valor de x que satisface la igualdad;
32.
x -1
A = 3
o x -2
Resolución:
2¿
Luego: | l = p
m -fZ
rt + 5
-3 3
n+ 1
y 2
Halle el valor de A - B.
8 2»-i 8 2*/2
SiseUeneque: m-t-4
8
2‘ -^
Resolución: Usamos los teoremas de potenciación:
4 ^_16^16 2* 2V2"- =* 22 2*
m
4
m
3 x3 -3
2
n
x3
5
3""
- (2*)^ = 2’
n
0 ^ 2x2 -2 x 2
y
2 "x 2 "’
Simplificando obtenemos ^ 2 ^ = 2 ' ^ 2x = 7
X
= 3,5 A = 1 -- ^ =72 ^ A - B = 12
29. Determine el valor de (n + 1f ‘ si se cumple que 3 "-i + 3 -2 + 3"-3 + 3"-^ = 3240 Resolución: Factorizamos el 3 con su menor exponente (n - 4) 3"-'‘ (3^ + 3^ + a + 1) = 3240 3 "-“ (40) = 3240 « 3 ''-“ = 81 n - 4 = 4=»n = 8 (n + 1)* = 81
33. Si 16
3^
=8
4^
y
B=
= 60 2
, hallar x:
Resoiución: (2“/
= (2"*/
= 4 X 3 ^ = 3X 4^=» ^
=1
30. Determíne el valor aproximado de S + T T = /2V54V2V54-
S = ¡2Á2Á2-
A
34. Al reducir la expresión:
Resolución: T=
=»
ÜL se obtiene x ' ' . Halle el valor de m.
= 2-/&4T
T = * r = 4x54T=»T=6
Resolución: Usamos k)s teoremas
S = k V2V2 -
E = (lx ^ “ Vx)(^*‘Vx^'’®/x){®^Vx®'‘Vx)-''(®*'°Vx'°“ ’Vx)
=» S = V2S =» S* = 2S
S Como: S > 0 = » S = 2
1
1
1
1
1
g _ ^2^2x3 x 3x4^4x5 ,.. j^SxIO
S+ T= 8
31. Hallar el equivalente de: g
_
1
j^ 2 * 2 x 3
3 x 4 * 4x5'*■ '"*^ 9x10 " ^ lO - ^
j(2
3
2
3
4
4
5
10
11
P = 16 _1_
10
P a r a : a ^ O,
E = x " ^ ’ = x ’^
Resolución: Operando por separado:
Por condición del problema tenemos; Ifi SI x” = x ’’ m = lO
.-'A 16 16
35. (4 T ^ f= (2 T ^
Resuelva la ecuación exponencial:
2*"' + 2“^ + 2‘ + 2"- ’ + 2- - " = 248 Calcule: 2“ ^ ' + 2* + 2 *"'
1
Resolución: Descomponiendo;
•
(256)4 = (leO ” ^ = 416
•
(-3 2 )4 = ( - 2 f í = ( - 2 r = ^
= - l
2* X 2^ + 2* X 2' + 2* + 2’ X 4 + 2' X 4 = 248 2 4 Factorizando 2*;
Luego: P= 1 + 2 16 P= O
(4 16
\
2
= 0®
2"
+ 2 + 1+
1
+
1 )2 ' = 248
= 32 =» 2'
=
2*
=» X= 5
Nos piden: 2®*’ + 2®+ 2 * - ’ = 112
(
36. Simplifique: 1* =
ab
be
-8 x8xV5
s= abe (abe)
ca
(¿ í
V abe # o
i
Si: b = V2 S = ['V ? I"V ? = 40. SI ab # O, reducir: -I18*b
Resolución:
T=
bP
a*K£
P=
abci
Buscando bases iguales
x (f)’x
^/(abc)’ (abc)*^ Resolución:
T=
(a b c fi'" •••T = 1
(abe)*
líV -
37. Hallar la suma de las soluciones de: 64(2^*) + 1 = 65(2-)
P = (a b f
64(2“)* - 65(2*) + 1 = O =» 2* = m Cambio de variable: 64m^ - 65m + 1 = 0 64m -1 m -1 (64m-1)(m-1) = 0 •
64m - 1 = 0
-
(tí
p= 1
41. Efectuar: T = Resolución:
Análisis particulares: m- 1 =0 m= 1
■"“ a 2* = 2’ ® x, = - 6
2*
=
2°
•
/3 *= V 2 7 = -/? ^ = 3 V J
xj = 0
Luego: a 3_
X, + X2 = - 6
t
38. Reducir: »1
-■Vñ
=
3
)
=
3-» ,
1
T= 9
VT+ñ~'
T=
r * ” x (fr
-’ = ( F r x ( f r x ( E
Resolución:
4
^
:n # 0
.-'VF
i
(n + 1)
yo
42. SI: x* = - ^ , hallar el valor dex.
Resolución:
Resolución:
Como; ""Vñ = Vñ
Dándole una forma conocida.
Sea: a = Vñ -a n /.
T=
a
(n + 1) j -
1 +n
- ^ 1 +n < -a )
[n + 1]^í..í>’- ’
n+ 1 ^ n+ 1 _ n+ 1 1+1 n +1 1 +n n n
■ ( x* ^ ( 3 Í F
T= n Por comparación: Vx = ^
39. Efectuar:
( W f = (Z y
S= Resolución:
Sí: a = ^/2 =» a* = V2 Reemplazando: S = ‘ JP •J2*
43.
; Vx * 3”’
X = 3 '“
Hallar los valores de x en: 2^ + 128 == 3 y 2* ^ Resolución:
Transformando y frasponiendo tenemos: 2'-’‘ = 2 3V2J
= 2
V6ÑH , Í 1 ! ± I j . . Í3 Z 1 ! V 3V 2’' V6Ñ^
=
2
(®V2r" = 2 =» 2'’'-''»^ = 2’
. ’“V F + l
De donde: VeÑH
ü i i = 1 ;x -y = 3
...(2)
Haciendo: ’V6’' + 1 = a a+1 _ 3 2 S= a 60.
(2)en(1): 5a 6a
X
• x = ^ ' -* 2 ’
Resolución: Sea; 2*" = x
. .
2^*'' =
64. — 2*""^^ —(2*"f = X®
Reduzca; S = Sea: a = x"*"' Como: 2*** = 2 'x 2 ^
= 2^^”'*
2 O pero cuando a = O np se puede establecer por comparación x = a = O porque se daría una indeterminación de la fonna V0®x0 por tanto a estrictamente es real positivo, siendo x - a . =» (II) es V III. Por la proposición anterior, x existirá siempre que a exista y defina perfectamente la expre sión. =>(111) es V .'. Luego, el valor de no verdad de las proposicio nes será: VFF
Resolución: I. Analicemos por lógica proposicional: V X e E;x ° = 1 =» (-2)® = 1 F
1 = 4256
^ (II) es F
70. Si X* = 2; calcular el valor de; x * '**
(-3 )* = - 9
Resolución Verifique las transformaciones;
V V « (lll)e s V .'. En consecuencia se tiene VFV. 68.
Reemf^eeando
» 2, se ttene:
.-. 2*^” = 2^-^'= 2’®
Resolver la ecuación: x*“ * =
71. De la igualdad x(K-lf == 2x + 1 •1 calcular; x — -
Resolución: Se tiene:
X
Resolución:
Elevamos a ta (1/2):
De la igualdad se tiene: 1« (x’°) Hagamos como se indica: (x ) =
-
= 2x +1
Multiplicando ambos miembros por x ^ ^ -
= (x ^ ^ ’)(2x + 1)
Por analogía: K = * ; ? + '>-/ÿ + 'V4^ = 2 + 3 + 4
K= 9
>Í^'(x') = { i^ S \ 2 x + 1) 75. Indicar ei valor de: M = Por comparación: = 2x + 1 Transponiendo: x^ - 1 = 2x 1
Dividiendo por x: -
Resolución: Operando convenientemente;
= 2
1 Desdoblando: x - — =2
Sea: a = 3=''“
72. Simplifique; T = a ' ® * ^ ^ ( a * ' 'f ’
; para a # 0.
M=^ (7 2 9 f
M= 9
Resolución: Efectuando; T=
= a
T = a - " 'x a ‘* = a“
T= 1
73. Sabiendo que; a
Xa
;b#0
76. Efectúe: T = Resolución: Indique:
0. Efectué: -r^
R = |-ü ^ =
Resolución:
(b -y? -'= b
Como: *^Va = ** Va = ®* Va = a* ‘ Haciendo que: a"* = m y operando: R = V á ^
Luego: T =
T = b^
77. Simplifique:
Si: a"™ - X T=
R = a""‘*""x a '"-’ x a '-“‘'íí'íí^' R = a*“ xa-*'’ = a x a - ’
R= 1
2 -'x 1 0 -^ x 1 0 -^ x 1 0 -’'x 5 '" ± r \( ± r ^ 20 \50
Resolución: Agrupando exponentes comunes.
74. Reducir:
- i?
= bx b
+
2* + » 1 + 3 “ + J l + 4 =
+ 2-"
^ 1 + a-”
"V1 + 4
T=
Resolución: .1 + 2 “ 1+ 2 -
1+2® 1 ^ _L 2‘
1+2 1 = 2* 2V 1 2“
T=
(2 x 1 0 )-*x (1 0 x 5 )-"x 1 0 -'’ (2 0 -T ^^ x {50-T*^ 20-‘ x50-'x10">' 20-^ x 20"'' x 50-'' x 50-" 10 r ’'l7 _ / 1 20x50 100
T=
T = 100
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI Resolución; Descomponiendo tanto el numerador como el denomi nador:
PROBLEMA 1 (UNI 1 97 5) Si se simplifica ia expresión: 3” ^ ^ - 3 " ' 3(3’’*'') Se obtiene: A) 3" - 1 D) 3 " * ^ - 1
3X B) 24 E)18
3''
2 7 x 3 "-3 x 3 " 3"
24 x3 " = 24
C) 1 - 3” Clave: B
PROBUMA 2 (tN 1 1 9 7 ^
p w m m A á ( IM 1 1 9 7 9 )
Laexprestón; (n " 'r es igual a: A )x
■
Simplificar la slgúieüts e}g>r^ón: E=
B)2x
C)x*
D)2x"
E)3x A) X-** D)x*
Resolución: Efectuan O resolver:
’“ Vi +V2 *^V ^-1 = ’*Vl7 + 6V8 A) 4 D) - 3
B)3 E)6
C) - 2
49. Si: ( x '- * ^ ) ( x ^ ^ = ) = a “ '
4/
41. Si; n” = 2, calcutar el valor de: E % Vn" A )2
8 )4
08
D)16
E)32
Hallar él equivalente a:
’í "
E )3
A)1 D)x^
B) /x E)x
O x*
58. Efectuar: E = ^ Í Í 4 { 2 ^ ) f ''
B) V3 + 2 V2 E )3 -2 -/2
A )3 + 2V2 D ) 1 - - i2
C)V3 - 2 V2
B) V2^ E)2
A) 1/2 D)4
50. Luego de resolver; x'* = 2x + 1. donde x > 0, indicar el valor de: (x ^ ‘ V
C) /2
59. Si: X e - {1}; hallar el valor de n que verifica la igualdad:
ji 51. Si se cumplen las igualdades x** = calcular: y®‘ A) 3 D) V3
B) 2 E) 27
;y =
■
C) ^
A) 3 D )4
B) 2 E)1
52. Siendo A = V2V4V8V16... 60. Calcular: S = Calcular el valor aproximado de; A) 4 53.
B) 2
08
x D)1
05
0 A t 9 t l , hallar la relación entre x e y.
V
i
V (9 x r'V (4 x f" (6x)2m+1
Sí es independiente de x A) x" = y ' D) X* = /
B ) y ’' = x" E )A y B
C) x ' = y*
A) 4 D) 1/2
B) 3/2 E) 2
O 2/3
67. Sabiendo que;
a ''= 2 b* = 0,5
74. Simplificar: T = x V ,x '-,- ''n''factores X X X ..."n"factores A)x" D)x
Evaluar: S = B )2 E)16
A) 10 D)8
04
A) 4
T = (®V5)'i ^ y B) V5
O I
75. Hallar el valor de; V = (x"^ + Si: x = 3 + V 2 y = 3 - V2
68. Dar el equivalente reducido de;
A) 13 D) 1/2
B )x '" E) 1/x
8 )5
(xy"’ + x 'V )
07
D)1
E)0
76. Hallar el exponente final de x en:
O 25
E = Vx n radicales
69. Simplificar; V = ii#57^5T5777=T^ A) íx D)1
B) Vx E)x^
Ox
70. Simplificar; S = ilx^x^-Zx^^x*... Dando el exponente final de x A) y? D)1,5
B) 2 E)2,5
A) 4 D) V3
0 1
D) 4 " - 1 4
E) 4 "+ 1 ' 2"
A )x ' D)^/x
A)1
X '“ + X
B)x*‘* E)1
A) 16 D) 4«
0 1 /x
A)1 D) 0,5
O ab
ai C . 31, b }• 4ii^6‘
1 A
2 C 3 .C
D )8
B) 16» E) 8*
04
M .*S
B)2 E)
04
V R2 C
• H .A .
.i M A ' *
49. C
M b
4 ? trí
■ttf o
. sV
4 ?
04
_ V4V4...^V4/2 80. Evaluar la expresión: D = ^V2V2 ..V2
S = (ab-^+ba^®)[a-'“ ^’i+ b - " > " V B) a E )a V
8 )2
U = ab“ *
+ X
73. Dar la forma más simple de:
5 .B 7. A 8 Q 9 B 1 0 .6
0 1 /x
79. Sl;ab = b'’ = 2 Hallar ei equivalente reducido de:
Simplificar; V = x
6. D
B)x E)x’‘
78. Simplificar; T = (0,25)(16/^“’-“ ^®^'’''“ "“ " O V2
72. Dado que: a + b + c = abe
A) 2 D)b
C) 2 "+ 1 r
Simplificar: S = *Vx "/x
N
B)2 E)3
A) O D)x^
B) 4 " - 1
77. Si se tiene que; x“ = x + 1
W 71. Simplificar: T = 2 ^
A) 2 " - 1 2"
A ' 16 E ‘ 17«
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E)16
Expresiones algebraicas
ü
Jean Le Rond D’AIembert nació y murió en París ( 16 de noviembre de 17 1 7-29 de octubre de 1783). Fue un matemático, filósofo y enciclope dista francés, y uno de los máximos exponentes dei movimiento ilus trado. D’AIembert recién nacido, fue abandonado en la puerta de la iglesia de Saint-Jean-le Rond (de ahí el nombre que se le impuso). A los 18 años consiguió el título de bachiller en artes, después de varios años de estudio en una es cuela jansenista. Tras dos años de estudiar derecho empezó a cursar la carrera de medicina, que pron to abandonó. La gran pasión de D’AIembert fueron las matemáti cas. que había aprendido en for ma prácticamente autodidacta: en 1739, presentó su primer traba jo en la prestigiosa Academia de Ciencias de París. Dos años des pués. con tan solo 24 años de edad, fue elegido miembro de esa Academia. Abordó la m atem ática a través de la física, con el problem a de los tres cuerpos, la precesión de los equinoccios y ías cuerdas vibrantes. Esto le llevó a estudiar las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones a las derivadas parciales. También inventó un criterio para distinguir una serie con vergente de una divergente. Su obra m aestra fue el Tratado de dinámica, donde enunció el teo rem a que lleva su nom bre (principio de D’AIembert). El teorem a fundam ental del Álgebra recibe en algunos países de Europa el nom bre de «teorema de D'Alembert*Gauss), dado que D’AIembert fue el prim ero en dar una prueba casi com pleta sobre dicho teorema. Fuente: Wifeipedia
x = y - 7 En la expresión original: P(y) = (y - 7 f +7(y - 7) - 3 Reduciendo: P(y) = y^ - 7y - 3 Haciendo: y = x =» P(x) = x^ - 7x- 3
SI; P(x) = x^ - 3x + 1 Hallar; S = ^
P (3 )- P(2)+ P(1) + 1 P ( 2 )- P ( 1 ) - P ( -2 )
Resolución:
8.
Calculando separadamente: P(3) = 27 - 9 + 1 = 19 P(2) = 8 - 6 + 1 = 3 P(1) = 1 - 3 + 1 = -1 P (-2)= - 8 + 6 + 1 = -1 Reemplazando en la expresión dada: S=
1 9 - 3 - 1
3+1+1 S = /2
+ 1=
Siendo: P(x + 7) = x^ + 4x - 3 Determinar; P(x)
Si; P,
X -
1
= X®- X + 1; hallar P(-2)
Resolución;
Para calcular la expresión pedida podemos hacer;
^
= - 2
^
x = - 3
Este valor se reemplaza en la igualdad original: P(-2) = -23 Si: P(x - 3) = 5x - 7 y P[F(x) + 2] = lOx - 17 hallar: F(x - 2)
Resolución:
Resoiución:
En el primer polinomio en lugar de x colocaremos F(x) + 5; PIF(x) + 5 - 3] = 5[F(x) + 5] - 7 P(F(x) + 2] = 5 F(x) + 18 10x - 17 - 5F{x) + 18 Despejando tenemos: F(x) = 2x - 7 Entonces: F(x - 2) será: F{x - 2) = 2{x - 2) - 7 F{x - 2) = 2x - 11
Dándole una forma adecuada a la expresión:
10, Si: F(x’’ - 2) =
(x*
F(x^ - 2) =
(x«
Sea; x'' - 2 = 1 => x' = 3 Reemplazando se tendrá:
'3
, calcular F(1).
F(1) = 3^
R E S U E LT O S
PROBLEMAS
a
Dado: F(x) = 4x^ - 8x - 31; evaluar:
5.
2.
6.
Si: H(x) = 2x^+x‘'; P(x) = 4x®-2x^-x^ y G(x) = 3x" - x^ calcular: H(4) + P(4) + G(4)
Calcular m en: F(x) = (3x" + x"'-’)"'(mx^ - X + 3)^(x' + 192) Sabiendo que el coeficiente principal del producto es igual al término independiente del mismo. Resolución;
F(x) = (x"’-')"’ (3x + 1)"(mx' - x + 3)' Coeficiente principal = S^ím') Término independiente = 3^(192) 3"'{m') = 3^(4^) ^ m = 4
Tenemos: H(4) + P(4) + G(4) = 2(4)' + 4“ + 4(4)®- 2(4)^ - (4)'+ 3{4)-‘ - (4)® = 1792 Si: P(x) = ax + b y además: P[P[P(x)ll = 8x + 189. Calcular: P(3)
7.
Si: F(x) = x(x - 6) + 9; calcular:
í F(x) F(x + 3 ) - F ( x - 2 ) - 5
Resolución:
[P(a{ax + b) + b]] = 8x + 189 a(a(ax + b) + b] + b = 8x + 189 a^x + a^b ab + b = 8 ^+ 189
t
Resolución;
F(x) =
t
Entonces: a^ = 8 = » a = 2 a b(a' + a + 1) = b(2' + 2 + 1) = 189 Luego: P(x) = 2x + 27 =» P(3) = 2(3) + 27 P(3) - 33 4.
Si: G(x) = x - 1; F(x) = x Determinar G
E=
- 3) [(X
+ 3) - 3 f = x'
[(X
- 2) -
3 ]" =
(X -
(x -3 )
x " - ( x ^ - 10x + 2 5 )-5 Si: X 3; E = 1/10
1
1
8.
5 )"
X -3 10(x-3)
Sabiendo que: G(x) = x G [5 P (x) - 4F(x)J = 13x + 18 G [2 P (x) + F (x)] = 15
Resoiución:
hallar el valor numérico de: G[P[F(2)]J
^' = 1 + 1
F(1
X
F(^) 'x '
(X
F(x + 3) = F(x - 2) =
b = 27
G F(^) 'x '
1
y F(x) = PlF(x)l; calcular: P(64)
F(x) = P[F(x)] si: F(x) = a =* P(a) = a P(64) = 64
8(2) - 31 = -31 4(4)" - 8(4) - 31 = 1 4(0)^ - 8(0) - 31 = -31 (-31)1' = -31 4 (2 y -
Resolución:
3.
x+ 1
■ ■ ■■
Resolución:
Resolución:
F(2) = F(4) = F(0) = ^ F=
Si: F(x) =
Q
X
= 1 + 1 -1 = 1 X
= G 1 = G(x) = x - 1 1_ X
X
Resolución:
Como: G(x) = x
G(*) = ’
... (I)
De(l); 5 P (x ) - 4 F (x ) = 1 3 x + 1 8
... (H)
2P{x) + F(x) = 15
...(lll)
+ ^ - (3 + 2^2)^ + -----x^ (3 + 2 ^ )^
P(x) = X + 6 P{-1) = 5 F(x) = 3 - 2x => F{2) = -1 Luego; G[P[F(2)H = G[P(-1)] = G(5} = 5 9.
Siendo: S(x) = 2x + 3 Además: S[F(x) + G(x)] = 4x + 3 S[F(x) - G(x)] = 7
= (3 + 13.
2 /2 )'
+
~ (9 -8 )'
=
2(9
( 3 - 2 /2 ) '
+ 8) = 34 '
Si: F(x) = 4x + 5 y F[g(x) + 3] = 8x + 5 Hallar: g(4)
Hallar: K = F(G(F(G...(F(G(1))...)))
Resolución:
Resolución:
F(g(x) + 3] = 4[g(x) + 3] + 5 = 8x + 5 Despejando: g(x) = 2x - 3 = g(4) = 5
S[F(x) + G(x)l = 2[F(x) + G(x)] + 3 = 4x + 3 S[F(x) - G(x)] = 2[F(x) - G(x)] + 3 = 7 F(x) + G(x) = 2x =» F(x) = X + 1 F(x) - G(x) = 2 => G(x) = x - 1 G{1) = 0 ^ F[G(1)]=F(0)=1
14.
Hallar el valor numérico de F(S) donde: F(m) =
'"■^(m+ 4)'"“ V(m - 2)"'Vm + 2 f "V(m-2)°"V(m + 4)
Como termina en ia evaluación de F: K = F[G(F(G...))]=1
Resolución: ’’/ f i m i )
F(m) =
10. Si; P(x + 4) = 5x - 1 y P[F(x) + 3] = lOx + 14
’^/(m + 4)
calcular el valor de F(4) Resolución:
F{5) = ®/9 . ^°/3 .
P(x + 4) = 5(X + 4) - 21 Si: X + 4 = a =» P(a) = 5a - 21
i
11. Si: F(x) =x^ + 1 y H(x) = x^ - 1
15.
calcular: E = H[F(x)] - F[H(x)j
j_
= 3‘
Si: P(x + 2) = x" + 4x + 4 Hallar: P(x + 4) - P(x - 4)
Resolución:
Resolución:
H[F(x)] = H(x' + 1) = (x' + 1)" - 1 = x“ + 2x' + 1 - 1
P(x + 2) = (x + 2 f Si : x + 2 = a =» P(a) = a^ P(x + 4) = (X + 4)^ P(x - 4) = (X - A f ( - )
F[H(x)j = F(x' - 1) = (x' - 1)" + 1 = x' - 2x' + 1 + 1
^ H(F(x)] - F[H(x)] = 4x' - 2 12. Si; F ( x ) - 1 +
P(x + 4) - P(x - 4) = (x + A f - (X - 4)' = x^ + 8x + 16 - x' + 8x - 16 P(x + 4) - P(x - 4) = 16x
G (x )-^
Calcular un valor de x que verifique la condición: F[G{x)I = 2 - G[F(x)j; señalar: x^ + -^ x Resolución:
F[G(x)] = F(
j_
35 320 3100
P[F(x) + 3] = 5[F(x) + 3] - 21 = lOx + 14 Despejando: F(x) = 2x + 4 => F(4) = 12
3 -x
5- x
)= 1
3-x. 3 -(1 + ^ ) x
Como F[G(x)] = 2 - 6[FG(x)]; tenemos: 5 - X _ 2 _ 2x x
- 1
Hallarn en el polinomio: p(x - 2) = (3nx - 8n)' + (x - 2)^" + 12x - 24 Sabiendo que el término independiente de la va riable excede en 14 a la suma de coeficientes del polinomio. Resolución:
2x
G[F(x)] = G(1 + f ) =
16.
Si: x - 2 = y = > x = y + 2 P(y) = [3n(y + 2) - 8n]^ + y=" + 12(y) P(y) = (3 n y-2 n )^ + / " + 12y
término independiente - (-2n)^ = 4n^ 2icoef. del polinomio = [3 n(D - 2 n f + (1)'" + 12 = n' + 13
= 2¿ri6x+_1 = O = x = 3 ± 2 l2
P o r con d ició n :
Si: X = 3 + 2 ‘í 2 . tenemos:
TI - Icoef. = 14 ^ 4n^ - (n^ + 13) = 14 3n^ = 3 y 3^ = n = 3
2(x+ 1)
21. Si consideramos a los siguientes polinomios:
17. Si: F(x) = F(x - 1) + F(x - 2)
P(x) = 3 x -1 Q P[F(x)] = 6x + 5 Hallar F(8).
Además: F(1) = 3 y F(2) = 4 calcular el valor de: F[F[F(0)]) Resolución:
Resolución:
Dando valores adecuados a x en la primera relación. Para x = 2: F(2) = F{1) + F(0) => F(0) = 1 Se pide: F[F[F(0)]] - F[F(1)] - F(3) Nuevamente dando un valor adecuado a x en la primera relación: Parax = 3: F(3) = F(2) + F(1) .-. F(3) = 7 4
„(1) ...(II)
En (I) hagamos: x = F(x): P[F(x)] = 3F(x) -10;como P[(x)] = 6x + 5; luego se tendrá 6x +5 = 3F(x) - 10 => 6x + 15 = 3F(x), es decir; F(x) = 2x + 5. Finalmente, para calcular F(8), hagamos x = 8 en F(x) ^ F(8) = 2(8) + 5 .-.Fifi) = 21 22. Si: P(x) =
3
encontrar el equivalente de: P[P(x)].
Resolución:
Para encontrar: P[P(x)] debemos reemplazar x por:
18. Señalar el valor de: x(11) sabiendo que;
x(2a - 1) = x(2a + 1) - a + 1; además: x(3) = 1
P(x) en la condición P[P(x)]=
t '■ como: ¿ i r í X ) •“ ó
Resolución:
P(x) =
Si: 2a —1 = 3 => a = 2 en la expresión: x(3) = x(5) - 2 + 1 => x(5) = 2 Si' 2a - 1 = 5 => a = 3; en la expresión: x(5) = x(7) - 3 + 1 ^ x(7) = 4
P[P(x)] =
19. Si: F(x) =
F[F(x)] = 2
Hallare! valor de: E = ""V(x + 7)*''‘" Resolución: 2 = F[F(x)] = F
^ 20.
=2 ^
X
1 2
' 2 x - 1 ■■x - 2 , 2 x -1 _ , x- 2
x- 1 ' _ X- 2 /
=2
4x - 2 - X 2 x- 2 2x - 1 - 2x ^ 4 x- 2
1
E = 'Í9® = 9" = 81
Dado el polinomio: P(x - 1) = (2x - 3)^" + {3x -
-
32{x - 2)
Hallar n tal que el término independiente del polinomio sea igual al doble de ia suma de coeficientes del mismo. Resolución: D el e n u n c ia d o : T I = 2 X c o e f.
Es decir: P(0)= 2P(1) ...(’ ) En el polinomio para x = 1: p(0) = (-1)2" +12-'... 32(-1) = 34 Para x = 2: P(1) = (1)^" + (4)'" + 32(0) - 1 + 4 ^ " P(0)yP(1)en (*): 34 = 2 [1 + 4""] ^ 34 = 2 + 2 . 4"
' 3x + 4 ■ >2x - 3 .
9Í____ 2 ||2 L + 4 1 -
3
. 2x " 3, Finalmente efectuando operaciones se consigue: P[P(x)] - x
Si: 2a - 1 == 7 => a = 4; en la expresión: x(7} = x{9) - 4 + 1 ^ x(9) = 7 Si: 2a - 1 9 ^ a = 5; en la expresión: x(9) = x{11) - 5 + 1 x(11) = 11
^ luego se tendrá;
23.
Si: P[P[P(x)]] = 27x + 52, calcularel valor de; P(-2). Resolución:
Para resolver este problema se tendrá en cuen ta que el polinomio P(x) que ha dado origen a P{P[P(x)]] es de 1.° grado, pues P[P[P(x)]] también lo es, luego nos planteamos un problema general. Si: P(x) = ax + b; a
0. Hallar el equivalente de:
P m - [ P (xM.-ÍÍV, n veces
Dicho problema lo resolveremos por un método inductivo: • Hallemos P[P(x)] a partir del dato: P[P(x)] = aP(x) + b P[P(x)]=a(ax + b) + b =» P[P(x)] = a^x + b(a + 1) ...(I) • Hallemos: P[P[P(x)]] a partir de (I): P[P[P(x)l] = a'P(x) + b(a + 1) P[P[P(x)l] = a'(ax + b) + b(a + 1) =» P[P[P(x)]] = a'x + b(a' + a + 1)
,..(ll)
■ Hallemos: P[P[P[P(x)]]]] a partir de (II). P[P[P[P(x)]]J] = a'P(x) + b(a^ + a + 1) =» P[P[P[P(x)]]]]= a^(ax + b) + b(a^ í a i 1) P[P[P{P(x)]]]] = a \
+ b
(a'
+
a' + a +
(III)
1)
32 “ 2^^'^ =» 2^ “ Q2n-1
De acuerdo a la forma que presenta (I), (II) deducimos:
5 = 2n + 1 .-. n = 2
P [P [P ,.. [P (x)]...]i = a "x + b (a "-^ + a"- ^ + ... + a + 1); n veces
^
a
(III)
Finalmente de sumando (I) y (11) se obtiene lo pedido; F[H(x)] + H[F(x)] = 2x
es decir;
P [P [P ,,.[P (x )]...3 l = a"x + b
•.a-11
27. Si: xF(x) + 16 = 4F(x) + x^; encontrar: F(x - 4), Resolución:
Ahora en ei problema: P(x)=^ax-i b ...(I) Por dato; P[P[P(x)j] = 27x + 52; según la propie dad planteamos; a"x ( b a ' - 1 = 27x4-52. a- 1 De ta identidad; a ''= 27
a
bl a ^ - 1 = 52 a- 1■
Con lo cual conseguimos: a = 3 a b = 4; luego en (1) se obtiene. P(x)= 3x + 4, finalmente tenemos P{-2) = 3(-2) + 4 P{-2) = -2 24. Calcuiar el valor de n si dado P(x) = nx + 3, se venfica; P(x) + P{2x) -i- P(3x) = 30x + m, Resolución:
Observar que; P(2x) = n(2x) + 3 = 2nx + 3; P(3x) = n(3x) + 3 - 3nx i- 3. Por condición; (nx + 3) + (2nx + 3) + (3nx + 3) = 30x + m; es decir; 6nx + 9 = 30x -r m; de la identidad: 6n = 30 .’. n = 5
Efectuando transposición de términos en la condi ción tenemos: xF(x) - 4F(x) = x^ - 16 => ( x - 4 ) F(x) = x^ - 4^ = (x + 4)(x - 4) De donde: F(x) = x -i- 4 ...(I) Como se pide; F(x - 4); debemos reemplazar en (I) X por (x - 4) asi: F(x- 4) - (X - 4) + 4 F(x - 4) = X 28. Sabiendo que:
4i(x + 5) = 2x - 1 y (|)(h'(x) + 1) =
4x
+3
Calcular: My[4>(7)} Resolución:
Si; íi(x + 5) = 2x - 1 => p ,
C) 5
Además P(x) O, v x, calcular: P(6) x P(2) - P(3) x P(1)
2.
B)2 E)0
C)3
A) 2 D) -2
Si H(x) =
(X
E)9
B)3x E) 3x +18
8)1 C) - 1 E) Faltan datos
12. Si: P(x -1- 5) = (x+ 3)'" + (x - 1)'- t (x - i;
determinar:P(x) + H(1 ) x F(-1)
3.
D )1
11. Si se cumple P{2x) = P{x + 3); calcular P{2) h- P(5)
Dado los polinomios; H(x + 1) = 4x - 5 F(-x) = X + 1; P(x) = H(x) + F(x) A)3x-18 D)3x-8
■■
Se cumple que: suma de coeficiente es igual al término independiente. Calcular
Sedefine:
A) 6 D)1
m
C) 3x +10
+1)(x + 2){x + 3)... fx + n)
20 sumandos
Calcular P(21) A) O D) 19"
B) 19' E) 19-
C) 19'
10
n 6 Bí A n > 30; calcular
Si; [F(x}]' X f ( I ^ ) - ( I / ; calcular: F(3) 8 )5
A) -6 D)3 5.
7.
C) 188
calcular
A ,|
B )f
D)1
E)7
C)2
Indicar el valor de: P[P[P[P[P[P(2003)]]]]
A) T I D) 10 + 71
A) 2003 D) ^
Si: P(x) =
B) IOti E) 5571
C)0
^ ; encontrar el equivalente de P[P(x)]
—ó
B) / f E)1000
C) /Ti
16. Si: f(2x + 1) = x, calcular
E = 2f{x) - f(2x) B)x E)2x
C)0
Si; 8{x + 1)^+b(x - 1)^ = 9x^ + lOx + c Hallar: abe A) 42 D) 224
9.
B) 172 E) 177
Si: P(x) = 7i; f(x) = 0: calcuiar: £(P (i) + f(i))
A) x' D) X' 8.
A) 171 D) 189 14. Si: 5f(x) = x + 2 +
Si se cumple: P(x - 1) + P(2) = P(x) + P(1- X ) + (5x - 4) P(x + 1) + 6x" Calcular la suma de coeficientes de P(x + 8) B)6 E )-2
P{x) = (n - 16)x" + 2x"-’ + 3x"■ '+ ...+ (n + 1) es mónico; calcular la suma del término indepen diente con la suma de coeficientes.
C)2
E )-1
A) -6 D) 14 6.
13. Si el polinomio:
B)2 C) 10 E) mayor que 50
A)1 D)0 4.
( - i)
B) 48 E)36
C) 126
Si H(H(x))= 4x + 1, calcular el mayor valor de h |-^ 17 A) ^
B)5
D)0
E)7
C)-5
A) 4
8) 1/4
d)
e)4
4
C)1
17. Si se cumple que: P{x) = q |2 + -1 |
y además Q(x) = 2x + 7; calcular: E = P(2) A) 4 D) 10
B)8 E)11
0)12
18. Calcular: G[F(1)]
si: F(x) + G(x) = 5x - 8 F(x) - G{x) = 7x + 6
10. Del siguiente polinomio:
A)5
8)12
P(x + 3) = ax^ + bx + 2
D )7
E )6
C) - 12
19.
Si; P(x + 2) = 6(x + 1) - 5 además; P(f(x)) = 12x - 17 hallar; f(10) A) 12 D)10
B)19 E)13
Q(x) = (x^ - 2x + 2)' + 9; hallar n. A) 5 C) 20
20. Sea P{x) = Q(x) tal que P(x) = 3(x + a) - b{x - 2) Q(x) = 2bx +11. calcular: a + b A) 3 D) 6
8 )4 É) O
C)5
22.
B )1/2 E)2
E)8
0) x^ - 7
31. Si: P(x+ 1) = x" - 3x - 28, hallar: P(3x - 1)
A) 9 D)5
B) 9x " - 18 D) 9x^ + 21x + 18 P(Q(y)) = 6y + 7, hallar: Q(3)
a
B)7 E)13
0)11
A
F{-1) = 6, hallar:
F(F(5))
Obtener: F[F(x)] C) 5x
A) O D)10
8)5 E )-10
0)-5
E)x 34. Si: F(X) = (X- 1)" + a, hallar:
23. Sí se cumple que:
A) 4 D) - 2
F(x) = ^ : F[G(x)] = x - 1’ ■ x -2 Dar el valor de G(x). A) X D) 2x - 1
B) x + 1 E)2x
C)
X
- 1
24. Si: F(x - 2) = 2x" - x - 1 , calcular F(1) + F(-1) A) 15 D) 13
B) 16 E) 12
C ) 14
A) - 6 D) 12
B)6 E) -1 2
0 )2
35. Si: X, y G Z*; se cumple: F(x + y) = F(x) + F{y) a F(1 ) = 6. hallar: F(3) A)1 D) 16
B) 12 E)6
C) 18
36. Dar el valor de:
sabiendo que; p{ x A) 50 D)54 37 • Si: [F {x)f F i]1
Calcular: F (-3 ) + F(4) 8 )9 E)12
;x # O
= x^ -
C)0
X* + 1; X < 1 Vx + 1; X > 1
A) 15 D)13
B) - 4 E)1
+
:¿^[P(V2)1+ P(V3) + P(V4) + ... - P(VÍÓ2)]
25. Si: F(x^ + 1) = x^ + X - 12; calcular: F(9) + F(28)
26. Si: F{x) =
B) x" + 6x E) x" + 9
33. Si: F(x) = ax + b ; F(1) = 4
/5 X -/2
B )f
D)2
Si; F(x + 3) = + 2x - 15. hallar: F(x + 5) A) x^ + 6x - 7 D)x" + 5x + 7
32. Si: P(x) = 3x + 4
C) 1/3
Sabiendo que: F(x) =l2 x + Í3
A) 2x X D )4 5
0 4
A )3 x "-2 1 x C) 9x^ - 21x - 18 E) 3x" - 7x - 9
21. Calculara en el polinomio: P{x) = 2x + 1 si: P(P(a)) = 5 A )1 0)1/5
30.
B )6
C) 11
B) 52 E)60
0)53
-X + X
I f 3Í calcular el valor de F(3)
A) 2 D)3
B)5 E )-1
O) - 6
27. Si: P(x) = x" + 3x - 10. hallar: P{x + 3) A )x ^+ 1 0 x + 8 C) x^ + 9x E)x" 28. Si: P(x^ -
8)x^ + 9x + 8 D) x" + 8
calcular E = P(2)P(4)P(6)...P¡98)P(100) P{3)P(5)P{7)...P(97)P(99)
= 5(x^ - / x f + 2(x" - Vx + 1) - 2
hallar: P (-2) + P(0) A) 14 D) 18
38. Si: P V 3 x - 1 = V3x, V 3x- 1
B) 16 E)20
C) 12
29. Si la suma de coeficientes de: P(x) = (x^ - nx - 1)^ es igual al término independiente de:
A) 2,01 D) V3
B) 2,02
C) 2,03
E)2
39. Sea: F una función tal que: F: IN"
IN'"; cumple:
I. F{2) = O II. F(ab) = F(a) + F(b) III. F(n) = 0; si la última cifra de n es 3
100
■
C o l e c c i ó n U n i c i e n c i a S a p ie n s
C )1993
B)0 E)(1994f
A )1994 D )1992 valor de F(3)
B) 12 E) 18
C) 15
B)2 E)5
C)3
C )-1 7
B)0 E) - 8
C)8
45. Si; P(x) = x^ + 2x + 1; Q(x) = x^ - 2x + 1; calcular
P(3) + Q(-3)
satisfacen: P(4x + 1) + 3x = 7 + F(x + 3) F(5x + 1) - 13 = x' - P(2x + 11)
A) 32 D)64
8)0 E)12
A) -12 D) -56
i i 1 1
13. 14. 15. 16.
D A A D i ■’7' C i 18. C
i i i 1 i i
19. 20. 21, 22. 23. 24.
C)16
46. Si: F(x + 3) = x^ + 3x^ + 3 x+ 1; calcular: F(4) + F(-2)
Calcular: '/^(P(Í3)j
i 7. B 1 8. C i 9. B i 10. C 1 11. B ! 12. A
8)10 E )-19
A) 10 D )-10
42. Siendo P(x) y F(x) dos polinomios los cuales
E A D A A B
A )-11 D)15
calcular: P(-2) + P(2) + P(-3) + P(3)
E = /P (3)-P (4)
1. 2. 3. 4. §. 6.
calcular el valor de P(2); sabiendo que P(-4) = 7
44. Si: P(x) = x“ - 13x^ + 36
41. Si: P(x - 2) = x' - 4x + 4, hallar:
A)1 D)4
E)9
43. Dado; P(x - 1) = ax^ - bx^ + cx - 6
40. Si: F(x) = ax + b y F(2) = 11: F(-2) = -5 ; hallare!
A) 13 D) 16
C)6
8)2
A) 4 D)7
Calcular: F{1994)
B B B É ■ C C
25. 26. 27. 28. 29. 30.
A D B B C A
1 1 i [ ] 1
C) -54
8 )- 2 0
E) -43
31 32 33 34 35 »
C B B B C A
C 38 A 39 B i 40. C 1 : i 42. B
i 43. 1 44. I''4 á r-M .
E B A D
Grados Simón Stevin (1548-1620) también conocido com o Simón de Brujas o Stevinus (forma latinizada de su nombre) íue un matemático, in geniero militar e hidráulico, cons tructor de m olinoy fortificaciones, semiólogo, contable e intenden te neerlandés. Se le considera el padre de los números negativos por ser el primer m atemático que los aceptó com o resultado de ias ecuaciones algebraicas. Se conoce m uy poco sobre su vida privada, incluso la fecha exacta de su nacim iento y la fe cha y lugar de su m uerte son des conocidas. Se sabe que fue criado en la fe calvinista y que al morir en 1620 dejó esposa y dos hijos, se ha supuesto que no llevaba exce sivo tiem po casado con ella dada la juventud de estos. A sus 37 años, publicó La aritmética de Simón Stevin. de Brujas, breve tratado sobre las fracciones decimales. En él, Stevin exponía con suma claridad el empleo de fracciones decimales para la ex tracción de la raíz cuadrada de un número. También introdujo una nueva notación para describir los números decimales, de escaso éxito dada su complejidad trente a otras más compactas. Otra gran apxDftación de Stevin fue la de la noción de número, pues hasta entonces los matemáticos descono cían que el núm ero implicaba la unidad, pertenecientes a una misma naturaíeza y. por tanto, divisi bles. Destacó, además, por ser el primer matemático que reconoció la validez del núm ero negativo. Fuente: Wifeipedia
Resolución: Simplificando la expresión se tendrá:
^ DEFINICIÓN Es una característica atribuida a (os exponentes de las variables; esto significa de que el grado es un número natural.
33n
M(x) = 2 V (® V ^") = 2Vx®0 Luego, por condición: -|^n = 22
^ CLASES DE GRADOS 3.
Grado relativo (GR) Está referido a una sota variable y se calcula de la si guiente manera:
Hallar la suma de los coeficientes del trinomio ho mogéneo: P(x; y; z) = (m + n)x™" + (m^ - n")y"" (m + n)z""' Resolución Por concepto de polinomio homogéneo; m” = n"’ = m"’ ■" m" = m™”" => 2n = m m" = n'" ^ (2n)''" = n"" De donde: n = 2 => m = 4 Suma de coeficientes: m + n + m" - n^ - (m + n) = m" - n"
En un monomio; el grado relativo de una variable es el exponente de dicha variable. Ejemplo: M(a; x; y) = 3 'a 'b V y ” z' = GR(a) = 7 a GR(x) = 5 En un polinomio: el grado relativo de una variable es el mayor exponente que presenta dicha variable en uno de los términos del polinomio. Ejemplo: P(x; y; z) =
n = 40
= 4" - 2' = 12 - - / 2 x '\ V + | x ” y V
4.
^ GR(x) = 13; GR(y) = 9; GR(z) = 10
Grado absoluto (GA)
Resolución: Observamos que el polinomio está ordenado y el GA está expresado por su término de mayor grado, luego la única posibilidad es: n + 2n + 3n = 12 .. n = 2
Está referido al conjunto de todas las variables; y se calcula asi: En un monomio: el grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: Sea el monomio: M(x; y; z) = a V y V Entonces: GA(lvl) = 8 + 5 + 4 = 17
Oalcular “n" en la siguiente expresión: M = xyz + 2xVz^ + 3x^'z^ + nxV"z^" Si: GA(M) = 12
5,
GA(M) » GROí)J:
Hallar m + n, si el polinomio: P(x; y) = 5x'™. 2«* lyo, - «. 3 ^ ^ ^^3 7x" es de GA(P) = 41 y además el GR(x) es al GR(y) como 5 es a 2,
En un polinomio: el grado absoluto es la mayor suma de exponentes de variables obtenida en uno de sus tér minos.
Resolución; De los datos: • GA(P) = 41 ^ 4m + n + 7 = 41 4m + n = 34 ..,(1)
Ejemplo: Sea el polinomio:
,
25 26 24 R(x; y; z) = /3 x Y x ” - 7 ^ 9 ? + l l x ^ ’V GA{R) = 26
4 ( 2 ) - ( 1) : n = 2
Ejemplos: 1.
6,
S i:G A(P)=11 GR(x) - GR(y) = 5; P(x; y) = 4 V " V 'z " '" Hallar: mn Resolución; n + 3 + m - 2 = 1 1 = m + n = 10...(I) n + 3 - m -i-2 = 5=> m = n ...(II) de (I) y (II): m = n = 5
2.
.-. mn = 25
Hallar “n” si la expresión: M(x) =
es de grado 22,
GR(x) 5 GR(y) 2 ° * m + 9n = 26
3m + 2n + 2 5 m -n + 6 2 .,,(2) a
m=8
m + n=10
Si el término independiente y el coeficiente princi pal del polinomio: P(x) = (x" - 3x + 5){6x" - X + n)(2x" + x" + n + 1) (lO x"-’ - Sx" - 1); (n > 1) son iguales. Hallar el grado de P(x). Resolueiónr Por dato; coef pnnc.(P) = Ti(p) Del polinomio; (1)(6)(2)(-5) = (5)(n)(n + 1){-1) =» n(n + 1) = 3 x 4 =» n = 3 Se pide: GA(P) = 2 + 3 + 4 + 3 GA(P) = 12
Luego, el número de términos podría observarse en el polinomio: X + x n-3,,3(1) + X 6y3|2)
Grado de multiplicación de polinomios Sea: P = P, x Pj x ... x P„; Donde; GA(P,) = a,; GAíPj) = aj: GA^Pj) = 83; ...; GA(P„) = a„. Entonces; GA(P) = a, + a, + a, + ... + a„
+ X'n - 45y3(15)
De donde se puede apreciar que el número de términos será: 15+1 = 16 10. Hallar el grado de: P(x) = (x" + 1)(x’®+ 2)(x"® + 3)(x"’ + 4) ... 12 factores
■^TT2rin’ ®sde:GR(x)=l9 y
a
GR(y) = 22
^
calcular: b + 2a Resolución: Dato: GR(x) =19 =» 2a - 1- (2b - a) = 19 2a - 1 - 2b + a = 19 => 3a - 2b = 20 ...(1) También: GR(y) = 22 2b - 1 - (1 + 2a) = 22 2b - 1 - 1 - 2a = 22 ^ 2a - 2b = -2 4 De (I) - (II), se tiene: a = 44 En (II): 2(44) - 2b = -24 ^ b = 56 Se pide: b + 2a = 56 + 2(44) = 144 8.
...(II)
es 12
,,,(1)
Como el grado de es 2 a + b —2 => a + b —8 a
b= 3
(11)
.•. GA(P) = 5
Sea P un polinomio, GA(P) = a Entonces; GA((P)"] = an 9.
¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo: P(x; y) = x" + x" ■'y ' + x" ’ V + • para que sea de grado 45 con respecto a y? Resolución; C o m o e s h o m o g é n e o e l ú ltim o té rm in o e s d e la
forma:
t.
por sucesiones; t„ = 7n^ - 13n + 17
+2
Luego: GA(P) = 11 + 19 + 29 + 41 + ... + a GA(P) = [7(1)' - 13(1) + 17] + [7(2)' - 13(2) + 17] +... + [7(12)^ - 13(12) + 17]
T/xy
GA(Q) = b
Como: GA(P) > GA(Q) ^ 3a - b = 12
De(I)y(ll): a = 5
t, t^ tj t, 11; 19; 29; 41^
11. Hallar el grado absoluto del monomio; xy xy M(x; y) -
Resolución:
a
GA(P,) = 41;... ;G A (P J = a,2
Vemos la sucesión;
GA{P) = 7(1^ + 2^ + ... + 12') - 13(1 + 2 + ... + 12)+ 17x 12 = 3740
es 2, determinar; GA(P).
Sea: GA(P) = a
^ GA(P,) = 11; GA(Pj) = 19; GA(P3) = 29;
+2
es 12, y el grado de
El grado de
P,(x) = x’ ' + 1; P2 (x) = x’ * + 2; p 3 (x) = x^® + 3; P,(x) = x^' + 4: ... ; P,2 (x) = x" + 12
+ 8 + 1 0 +12
Sean 2 polinomios: P(x); Q(x) donde se tiene que [GA(P) - GA(Q)] Si el grado de:
Resolución:
Resolución: (xy)" ^ 1xy'"\ M(x; y) = xy \ xy"^ / M(x; y )^ (xy)"’ - ’' ' - i ’ (xy)" M(x; y) = (xy)’ (xy)-^ = (xy)^ = x Y .-. GA(M) = 8 12. Sabiendo que el grado de P(x) y Q(x) son m y n respectivamente. Hallar el grado de: [P'(x)Q^(x) + P'(x)Q^(x)j; m > n Resolución: El grado de: P^(x)Q'(x) es 3m + 2n El grado de: P^(x)Q^(x) es 2m + 3n y m > n Como el grado de P'(x)Q'(x) es mayor que el grado de P'(x)Q^(x) el grado de: [P’ (x)Q^(x) + P^(x)Q'(x)] es 3m + 2n
1.
RE S UE LT OS
PROBLEMAS
a Hallar la reducción de; G(x; y) = 2mx" ’ ""y" ’ ^
Y debe ser mayor o Igual que cero n" + 4n + 4 - (n^ + 4n + 1) El grado de M(x; y) es 3
^ mni¿ O
Resolución:
Para que sea reductible, los términos tienen que ser semejantes. 2 = m - 2 n A m - 3 = n + 2=>n = 3 a m = 8 G(x; y) = 2(8)xV + 3(3)x"y' = G(x; y) = 25xV' 2.
5.
Qué valor debe tener “n’’ para que la expresión adjunta: . sea de segundo grado. Resolución:
Hallar el grado absoluto de J, donde:
De la expresión;
-5 x ''-^y ^ '
l(-1 )3 -1 |3 -n
Sabiendo además: 6 < GR(x) < 12 Resolución;
Como es de 2,° grado: 6.
También: 4 debe ser entero, entonces “n" es 4 4 6 5 y n es 4 => n = 8; en J: J(x: y) = 3 xV - x V - 5x'°y' .-. GA(J) = 17
X
i5 -n
=
X
^ = 2 => n = -39
En el siguiente polinomio: M = 2 x Y ’ ’ + Sx^'^'y" - 7x"' - V •" + x"” y * ’ el grado relativo con respecto a x vale 12, siendo el grado absoluto del polinomio 18, Hallar el grado relativo con respecto a y De la expresión; el mayor exponente de x es m + 3. Como GR(x) = 1 2 = » m + 3 = 12=»m = 9 El término con mayor grado es: x"" y •" ’ Como: GA(M) =18 => m + 3 + n + 1 = 18 =» n=5
^ „ ^ , ^
En la expresión: 2x®y^ + 3 x 'V ~ 7 x V + x’V Por lo tanto: GR(y) = 7
Representa un monomio en el cual se cumple: GR(y)
=
Resolución:
Sabiendo que at reducir la expresión: F(x;y) = 2
= 20; según esto, hallar n/m. 7.
Resolución: m+r
X
Resolución:
F{x; y) = 2(x™y")^‘ " =
De la expresión: GA(x) = m + n + 5 a GA{y) = m + 2; (m + n + 5 ) - ( m + 2) = 5 => n = 2 El menor exponente de y es: m - 4 = 3=>m = 7 F(x; y) = 4 x Y + 7 x ' Y + 2 x Y GA(F) = 17
10
GR{x) _ on .
+ n)
GR{y)
= 20
n(m + n) ^^20^-n-^16
8m
m
Determinar el grado de: (X ^ .2 )n -2
M(x; y) =
En el polinomio: F(x; y) = 4x^^" - y- = + 7 x " " " " y - ^ + Se verifica que la diferencia entre los grados relativos a x e y es 5, además que el menor exponente de y es 3, Hallar el grado absoluto del polinomio
F(x; y) = 2
4.
2 7 -12 -n
x(x)
Como “n” es positivo: GR(x) = n + 2 Además: n - 5 > 0 =» n>5;
3.
Q
(x"y''+ llíx""
Resolución:
El grado de (x" ’ - 2 2y El grado de (x"y"' + 1) es 2n El grado de (x" es (n + 1)" El grado de M(x; y) es: {n + - [{n+1)" + 2n]
8.
De: P{x; y) = x"’ V " ‘ + x"^ Y - (xy)* Calcular el GA mínimo: Resolución; Como el grado es (+); también para que el grado A sea mínimo debe de tener el grado cero; x = - y - ' = GA[P(x; y)] = 2(3 - 7) = O ^ a = 7 P(x; y) = xy'" + x®y* - 1 GA[P(x; y)j = 13
9.
Calcular el valor de "m" con la condición, que et polinomio;
II. La suma de sus coefícientes es 25. III. El término cuadrático de P(x) es 12x^
Sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los grados relativos a x e y sea igual a 6.
Resolución: De P(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)" Observar; GA(P) = n
Resolución: GR(x) = 2m + n - 2 a GR(x) - GR(y) = 6 GR(y) = m + n + 3; (2m + n - 2 ) - ( m + n + 3) = 6 => m = 11 GA(E) = 3m + 2n + 1 = 28 n = -3
• lcoef.(P) = P(1) = 3" + 4" . T1(P) = P(0) = 1+ 1 = 2 Dato; 2coef,(P)= TI(P) + 23 3" + 4"
=
25
De aquí: n = 2; con esto: 10. Sabiendo que en el monomio:
GA(P) = n = 2 =. (I)es V Scoef. = 25 (ll)es V Térm. cuadr.(P) = 4x^ + 9x^ = 13x^ => (lll) es F
M(x; y) el GR(x) es 32. Hallar el GR(y) Resolución: M(x; y) = r . . .
,
, nZr,
M(x; y) = (x
n
y )
[3 r -2 ..(2 n
M(x; y )= ( y " 'y " '’(y^'
13.
^3n-1 „ 2 n- 1
= x"
Resolución:
y
P(x; y) = 4 x "-'y '
n= 2
Se nota; • GA(t,) = a + b - 1 • GA(tg) = a + b + 1 • GA(t3) = a + b + 1
Se tienen 3 polinomios enteros P, Q y R (definidos en la variable x), sí se sabe que la suma de los grados de Q y R excede en 10 unidades al grado
Resolución: Supongamos: GA(P) = a; GA(Q) = b; GA(R) = c Dato; b + c = a + 10 ...(I) Otro: GA(V p ^QR) = 10 2a < b 4- c = 10=»2a + b + c = 40
...(II)
(lll)
Nos piden: b - a • (II) - (I): 2a = 30 - a = a = 10 • En (I): b + c = 2 0 = * c = 2 0 - b • En (lll): 30 + 3b - 4(20 - b) = 34
^ 30 + 3b - 80 + 4b = 34 7b = 84 ^ b = 12 b- a= 2 Sea P un polinomio definido por: p(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)", tal que ia suma de coeficientes excede en 23 al término independien te. Indicar el valor de verdad de las siguientes pro posiciones: I. El polinomio P(x) es de grado 2.
GA(P) = a + b + 1 a + b + 1 = 20 .,.(1)
Además; GR(x) = a + 3 = 8 (dato) En(l): 5 + b + 1 = 2 0 ^ b = 1 4 T = ab = (5)(14) = 70 14.
a= 5
Sea P un polinomio homogéneo definido por: P(x; y) = ax" + bx'^” ' y* - cx^y“” - dy^''"^ Tal que la suma de sus coeficientes es - 8, enton ces el valor de M = a + b + c + d, es: Resolución:
Del polinomio homogéneo: P(x; y) = ax" + bx"’ \® - cx*y‘’ - dy^*"'^ ,t GA(t,) = GA(t,) = GA(Í3) = GA(tJ =» c = c - 1 + a = a + b = 2 c - 3 (1) (2) (3) (4)
T
Además: GA (PQ)= = 34 R"
=> 3a + 3b - 4c = 34
a
t.
de P; también el grado de VP^QR es 10 y el grado (PQ\3 de -— ~ es 34, hallar la diferencia de los grados R“* en Q y P.
12.
Si P es un polinomio definido por: ^ 3 x3 ^y-i ^ ex'
tal que: GA(P) = 20 y GR(x) = 8, hallar el valor de T = ab.
1)]
GR(x) = 3 2 ^ ■ ' = 2''^^ GR(y) = n^" ■’ = 2''^’ ’ ' = 8 11.
WF
_____ vn^-2 h y I
. •
^
(1) = (4): c = 2c - 3 ^ c = 3 (1) = (3): a + b = 3
Además: Icoef.(P) = P(1; 1) = a + b - c - d = -8 Aquí: 3 - (c + d) = -8 =» c + d = 11 M = 3 + 11 = 14 15. Acondíción;
a+b
b+c
absoluto de: P(x; y; z) =
a+c
, hallar el grado
18. La siguiente expresión en variable x;
Resolución:
•
Se pide: E = 7a^ + 6ac + 2bc (a + b)^ +
-(I)
De la condición:
= -r = a+b b+c a+c Aplicando propiedad de serie de razones iguales, tenemos; a b____e c _ a + b + c _1 a + b b + c a + c 2(a + b + c) 2 Ahora, igualando cada término a: 1 se tendrá; a = b = c = k (constante) Finalmente reemplazando en (I) tenemos: 7k' + 6k^+2k^
(2k)" + k
(a + + (b - a)x Puede reducirse a monomio; según esto, propor cionar su valor reducido. Resolución:
Escribiendo así la expresión: 6
(a + b^)x®
Como se puede reducir a monomio; los términos de la expresión tienen que ser semejantes, es decir: ^
a -b
E=3
^
a+b
3xy
19. Encontrar el valor de “n" para el cual, la expresión;
+ 3.
[(x-2j3x2n 3J2^4 M(x) =
Si es homogéneo y de grado 20 respecto de "a”. Resolución:
Sea de segundo grado.
Sea el polinomio de “n" términos:
Resolución:
,2 x y
'b^e''
= 1 = a - b = 6Aa + b = 4
Resolviendo: a = 5 a b = -1 . se pide; M(x) = (a + b^ - ab + b - a)x M(x) = 5x
16. Hallar los términos que tiene el polinomio P(a; b; c) =
a
- abx^-*^ + (b - a)x
+3
Efectuando en cada corchete:
+ ...
+l
^ 3 n -5 „2 n - 3j2 ^4
M(x) =
con el grado de “a”; nxy = 20 => nxy = 60
•..(I)
^10 rt-1 S -.l
(x‘" - “ r
= x"
X-
Por condición: 6n - 22 = 2
Por concepto de polinomio homogéneo en los dos primeros términos: xy - X - y 2xy - x - 1 - y - 1 3 “ 3 Efectuando resulta: xy = 2 ,„(ll) Al reemplazar (II) en (i): n = 30
n=4
20. Sabiendo que el grado de la expresión; ¡1 ^
Es -5, Calcular el valor de "n". Resolución:
Llamemos P a la expresión, la cual escribiremos Grado relativo a x = GR,(P) Grado absoluto de P(x) = GA[P(x)] = [P]° Grado absoluto = grado
x' -w'
E! grado de la expresión P está dado por: GA(P) = I
17. Calcular m + n, si el polinomio;
P(x; y) = 3 x 2 ' " * " -
5^2« -
n -
3ym-n +1
(2n + 1) + 2n
(2n - 3) + ^
_
. n- 2ym. n
Es de grado 10 y la diferencia entre los grados re lativos a X e y es 4, Resolución:
Observar que: [P]° = 3m + 2n - 2 = 10. es decir: 3m + 2n = 12 ...(I) También: GR(x) = 2m + n -2 ^ GR(y) = m + n + 2, por dato: GR(x) - GR(y) - 4, es decir: (2m + n -2) - ( m + n + 2) = 4 = . m = 8. En (I); n = - 6 .-. m + n = 2
GA(P)= | ( 4 - n ) = 5 - §
Por condición se debe cumplir: 5 n =48
= -5
21. Si P es un polinomio sobre E definido por: P(x;y) = x^""^-' ^ + x"'-"y5-" '
5 -m
hallar el valor de: T = 3m - 4n. Resolución;
Si P es un polinomio, entonces los exponentes de las variables deben ser números enteros no nega tivos (vea el cneficiente; m 4- 5).
Luego: 2n + m - 1 5 > 0
A
m -n>0
Luego; P(x) = (5x - 1)'^(2x + 5)’®+ [(3x -I- 1)(x + 5)]’®+ (x^+ 18)(x - 2) Donde; Grado (P) = 35 + 18 = 53
5-n>0A6-m >0
A
Donde; m; n e 2Z =^2n + m > 1 5 A m > n A n < 5 A m < 6 (1 )
(2 )
• De (4): m =
(3 )
(4)
24.
5; 4; ...
(b - c)x’ ^y" Es un polinomio idénticamente nulo, calcular el grado de la expresión:
• De (3): n = ® ; 4; 3; ... De aquí, los únicos valores de “m" y “n" que verifi can (1) y (2) son: m = 6 y n = 5 T = 3(6) - 4(5) = - 2
Q(x; y) = Resoluclón:
Por ser polinomio; a e E” a [b; c] c IN y como es idénticamente nulo se cumplirá lo siguiente: abe + 16 = O -..(I) be + a = O ...(II) b- c= O ...(lll)
22. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo siciones; I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q) II. GA(P - Q) < GA(P) + GA(Q) III. GA(P)" = GA(P); n e IN IV. GA(PQ) = GA(P) + GA(Q)
De (II): be = -a ; en (I): a^ = 16 => a = ±4 Como: a G 2 => a = - 4 O sea: be = 4; de ()))): b = c =» b^ = 4 Como: beIN => b = 2 = c Finalmente la expresión dada será:
Si M y N son los números de las proposiciones ver daderas y fafsas respect/vamente hallar la relación entre M y N. Resolución; I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q); esta proposición se verifica siempre que el GA(P), el GA(Q) y el GA(P + Q) estén perfectamente definidos (la proposición no lo dice). Por ejemplo: si P(x) = + x - 1a Q(x) = -x^ - X + 1; P(x) + Q(x) = O El grado de O no está definido, por tanto, no ve rificaría la desigualdad =» (I) es F II. Es similar a la proposición (I) => (II) es F III. GA(P") = GA(P) X n; n G IN ^ (lll) es F IV. El grado de un producto es igual a la suma de los grados de cada uno de los factores =» (IV) es V = M= 1 a N= 3
N>IVI
23. Si P es un polinomio definido por: P(x) = (5x -
1)^"-'(2x + 5)" + [(3 x + 1)(x + 5)]" +
(x^ + n)(x - 2) Tal que tienen como término independiente -36, hallar eí grado del polinomio P. Resolución: P(x) = (5x - 1f " ■\2 x + 5)" + ((3x + 1)(x + 5)1" + (x^ + n)(x - 2) Aquí: TI(P) = P(0) = (-1)^" ’(5)" + [(1)(5)]" + (n)(-2) -5 " + 5" - 2n = -3 6 =» n = 18
Si: P(x; y) = (abe + 16)x'^y‘’ - (be -h a)x''y" +
Q(x; y) 25.
■■■ [Qr = 1
Dados dos polinomios P y Q (definido en la variable x), indicar el valor de verdad de las siguientes pro posiciones: I. Si GA(P) = 5 A GA(Q) = 5, entonces GA(P + Q) = 5 II. Si GA(P - Q) = 5, entonces GA(Q)1 A GA(P'Q')= 13, entonces GA(PQ) = 6 Resolución:
I. Supongamos así; P(x) = X* + x" + 1 => GA(Q) = 5 P(x) = x=+ 2 ^ GA(Q) = 5 Luego: P(x) + Q(x) = x'' + 3 => GA{P + Q) = 4 Con esto: (I) es F II. Sea: P(x) = x® + x" + 1 a Q ( x ) = x ® + x - 2; vemos que; P(x) - Q(x) = x* - x -i- 3 Donde: GA(P-Q)=5; pero GA(Q)=6>5 = (ll)esF III. Sea; GA(P) = m > 1; GA(Q) = n como.- GA(P'Q') = 13 =^ 3m + 2n = 13; m > 1
1
l
3 2 =^ única posibilidad Luego: GA(PQ) = m + n = 5 = (lll)e s F ,. FFF
P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 1 97 8) Eí siguiente monomio es de grado 2. El valor de “n” es:
Aplicando Cardano, suma de raíces: -• ( - 4 ) - 3/2)
8
3 Clave: B
A) 1/2 D)2
B)3/2 E)1
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 0 7 • II)
0 2/3
Resolución:
Por ser de grado 2: — + — = 2 =» 1 + - = 2 n ri(n ) n Resolviendo: n = 1 Clave: E
Si eí grado del siguiente mor^omio:
A) 2 D) 12
A) 28 D) 70
^Vx"" V2x^ es 8
B)6 E)16
P (X ) =
C)9
Resolución:
Por teoría de grados; GA = 6+
D
Resolviendo; 180 + 24 + 3m = 3 0 x 8 3m = 240 - 204 =» m = 12
+
B) 42 E) 84
O 56
Resolución: Recordemos que si x,; Xj; X3; X4 son las raíces de un polinomio Mónico P, entonces:
PROBLEMA 2 (UNI 1 9 8 2 - 1)
3x' El valor de “m" es;
Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los nú meros reales /2 - 3 y -/3 - 2. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes.
13
+
oU
=8
(X -
X ,)(X -
X ^)(X -
X j)(X
-
X4 )
También, si una raiz del polinomio es de la forma a + /b , entonces, otra raíz debe ser a - -/bcuando los coeficientes son racionales. En el problema, tenemos de dato las raíces; X( = —3 + /2 =* X2 = ~3 — Xj = —2 + /3 =5 X4 = —2 — Í3 Luego, el polinomio Mónico de menor grado es; P (X ) =
m = 12
(X -
X ,)(X
-
X j)(X -
X3)(X -
X 4)
P(X) = [X^ - (X, + X2 >X + X,X 2 ](X^ - (X3
Clave: D PROBLEMA 3 (D M 2 0 0 4 - II)
X4 )X + X3 X4 ]
P(x) = [x^ - ( - 6)x + 7][x^ - (-4 )x + 1] P(x) = (x^ + 6y^+ 7)(x^ + 4x + 1) Id e coef.(P) = P(1) = (14)(6) = 84
Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y tér mino independiente uno; y Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 yP(1) = 2. Halle la suma de raíces de Q(x).
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 5 - 1)
A) O D)4
Halle el menor grado del polinomio; x" + ax + b, a (n > 1), para que x^ - 1 sea un divisor
B )-8/3 0 10 /3 E)5
A) 2 D)5
Resolución:
Del problema se sabe: P(x) = ax^ + bx + 1 Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1 (1) en (II); Q{x) = (x - 1)(ax^ + bx + 1) + 3x + Q(x) = ax^ + (b - a)x^ + (4 - b)x P(1) = 2; 2 = a + b + 1 ^ a + b = 1 Q(2) = 7; 7 = 8a + 4b - 4a + 8 - 2b 7 = 4a + 2b+ 8 =. 2a + b = -1/2 De (lll) y (IV): a - - | ;
b- |
Luego: Q(x) = - | x ' - 4x' + | x = O
Clave: E
..,(1) ,..{ll) 1 ...(lll) ...(IV)
B)3 E)6
O,
0 4
Resolución: Si P(x) = x” + ax + b, es divisible (x^ - 1) = P(x) = ( x ^ - 1)q(x) P(1) = 0 = > 1 + a + b = 0 ...(I) P (-1 ) = O « (-1 )" - a + b = O .,,(11) Restando (I) y (II): 1 - (-1 )" + 2a = O 2a = ( - 1 ) " - 1 Se tiene: a ? í 0 = » ( - 1) " - l 5¿0 Entonces "n" es impar Grado mínimo de n: 3 Clave: B
PROBLEMAS
□ 1.
9.
Si: P(x; y; z) = 5xVz® calcular:
GR(z) + GA(P) GR(x) + GR{y)
A) 23/7 D)9/5
B) 15/7 E) 13/11
C) 7/2
A) 6/11 D)7/10 3.
GR(x) + GR(z) GR(y) + GA(Q) B) 2/5 E14/5
B)4 E)9
A) 20 D) 32
a
y) = BxV® GR/P) + GR,(Q) = 9
Q (x ;
a
8) 18 E) 24
A) b/c D)1
C)36
B) a E)c
C) b
C)3/5
Sea: P(x; y; z) = 5x®y^z° a Q(x; y; z) = 3x®yV Además: GA(P) = GA(Q) a GR,(P) + GR^ÍQ) = 11 Calcular b. A) 7 D) 10
Sea: P(x; y) = A x V Si: P{x; / ) = Q(x^ y) Hallar: 3a + 2b
10. Sea: P(x: y) = Ax^y"; Q(x; y) = B x V Si: P(x'; y) = Q{x; f ) Hallar: GRx(Q) / GR/P)
2. Si: Q(x: y; z) = | x ' \ V ° calcuiar:
■■
PROPUESTOS
C) 11
11. ¿Qué tipo de polinomio es: M(x: y; z) = (2x - y + z f + (y - z f + 6x(y - z)(2x - y + z) - 8x^? A) Monomio C) Trinomio E) Nulo
B) Binomio 0) Polinomio de 3°
12. Si la expresión; P(x) = ""'•/x" + " / x ^ ; 4.
5.
Si: P(x; y) = x V ; Q{x; y) = x V a R(x: y) = x y Sesabeque:GA(P)=13:GA(Q) = 11 a GA(R)=14 Hallar GR,(Q) + GR,{P)
Calcular
A) 10 D) 16
A) 2 D)8
C) 14
Sea el siguiente monomio: M(x; y) = 7 x V Sabiendo que: GR(x) = 2 a GA{M) = 5 Calcular a^ + A) 11 D) 14
6.
B) 12 E) 18
B) 12 E) 15
C) 13
P(x; y ; z ) - - ^ x ^ - y - V '; abci^o Además: GR(x) = c a GR(z) = 8 Hallar el grado absoluto del monomio.
7.
C) 5
8 )4 E)7
C) 9
Se sabe que: J(a: b) = 3a"-^b^-™ + 4 a "'"'b "-^ es un monomio. Indicar el grado absoluto. A) 3 0 )5
B)6 E)4
m, n e IN - {1} 8 )4 E) 10
C)6
13. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x)=(x + 3)" + (1 -X)* A) 5 0)6
A) 54 D) 58
B)4 E) 2
C)3
C)7
8)55 E) 60
C) 56
15. Sea: P(x; y) = x^ V“ ^ V ’® Si: GR,(P) = GR/P) - 3; hallar “a". A) 2 0 )5
Sea: P{x; y) = /3x"\®^"^ Además: GR(x) + GA(P) = 2GR(y); GA(P) = 10 Calcular: + b^ A) 5 D)8
8.
B) 6 E)10
m^ + n^
14. Sea: P(x) = (x + 1)(x" + 2){x’ + 3)... (x’° + 10) Calcular GA{P),
Dado el siguiente monomio:
A) 7 0 )8
se reduce a un polinomio de un solo término.
8 )3 E)1
C )4
16. Sea: P(x; y) = x * * y + x ^ - y ’ ^+x^"" V + x " ' V Además GR,(P) = 7. Hallar el GA(P). A) 6 0 )7
B )5 E) 8
C)4
17. Sea: P{x; y) = x" ‘ ^y®' " + x" ^^y" ' ‘ Si cada término tiene el mismo grado absoluto, hallar “n". A) 2 B)G C)4 D)8 E) 10
18. En cuánto excede el grado absoluto máximo al gra do mínimo que puede tomar el polinomio: P(x; y) = (x^-2)2 + - 7 y 8 -V “ B)5 E)4
A) 9 D)7 19. Sea:
C)2
A) 81 D)225
P(x) = (x-h 1)(x^ + 2)(x’ + 3), y sabiendo n paréntesis
que el término independiente es 5040. Hallar el grado del polinomio. 8)28 E)256
A) 128 D)32
26. Siendo; P(x) = (X - 2)[p(x + 2) + ql + rx - 4x" - 15x + 34 idénticamente nulo. Calcular: S = p^ + q^ + r^
A) 25B) 37
término independiente es {512)‘
A) 243 D) 657 22.
B) 435 E)531
n paréntesis
B )2
A) 16 D)5 30.
A)1 D)4
C) 49
A) D)
37 13
B) 24 E) 12
B)4 E) /5
C) 25
B)27 E)23
C)
45
31. Dado el polinomio: P{x) = x^ - 3x + 15 Hallar el valor numérico del polinomio, cuando:
A) 10 D)5 C) 3
24. Si el polinomio: P{x; y) = (m + n)x^y^ + 3 x V - llx 'y ^ + (n - m )xV es nulo, determinar mn. A) 28 D) 14
E )1/4
X = "/5 + -Z24 + V5 - 2/6
(x')" B)2 E)5
D )1/2
Sean; P(x) = x" + n a Q(x) = x"' + m
23. Hallar “n”, si F(x) es de grado 128. F(x) =
0 3
Si; GA[P(Q)] = 6 A TI[Q(P)] = 11; hallar; m^ + n i
Si el término independiente es 3840, hallar el grado del polinomio. B)36 E)64
E) 31
29. Sean; P{x) = x^ + mx -f- n Q(x) = x' + nx -H m ; mn ^ O Sabiendo que: GA(P) n = GA(Q) -h m; el término independiente de P(x)Q(x) es 63. Calcular: Vm + n .
C)90
Sea: P(x) = (x + 2)(x^ + 4)(x® + 6)(x' + 8).
A) 25 D) 16
A) 1
C ) 1034
21. Sea el siguiente polinomio: P(x) = (x + 3){x* + 9)(x® 4- 27)...; si el término inde pendiente es (243)^, hallar el grado del polinomio.
D) 32
GA{PQ) = término independiente Hallar; m^ + n^ m‘ + n'
n paréntesis B) 36 E)1296
O 29
28. Sean: P{x) = x™+ x + n Q(x) = x" - X + m; m, n e IN - {1}
P(x) = (x + 2)(x® + 4)(x^^ + 8 ) sabiendo que su
A) 72 D)4096
C)133
27. Sean: P(x) = x" + x^ + x + 1 - m Q(x) = x"’ - h x + 1 + n ; m , n e I N - { 1 } Si el grado absoluto de P{x)Q(x) es 7 y además el término independiente es 7, calcular: m^ + n^.
C)64
20. Hallar el grado del siguiente polinomio:
8)77 E)363
C) 16
25. Hallar el valor de “n" para que la expresión:
B) 15 E) -1 0
32. Si P(x) = (a - b)x® + a + (3a + b)x" + (b - 2a)x + 2, calcular ab, donde Scoef.(P(x)] = 12 y TI[P(x)] = 5, A) 4 D)-1
8 )7 E)9
0 3
33. Indicar la mayor suma de coeficientes del polino mio P(x) = (5 - 2n)x"" ■' + (4 + n)x" ’ " - 5 A) 4 D)-2
B)2 E)0
C)3
34. En el polinomio homogéneo:
M(x) —x 31
reducida, sea de quinto grado.
P(x: y; z) = 4mx'*-''"’ '- ' -ihallar el menor valor de a + b.
A) 2 D)7
8)3 E) 10
A) 9 D) - 5
0 5
C)25
B)-1 E)4
+ 5z*'’* ’*';m C) 3
O,
35. Si el polinomio P(x) es idénticamente nulo, siendo: P(x) = (a + b -4abc}x' + (a+ c - 3abc)x + b + c - 7abc, /I
^ + ~ 1 ; abc 9^0
B) 1/7 E) 1/3
0 4
calcular el valor de A) 7 D) 1/4
1
1 v’
43. Sea el siguiente trinomio:
P(x; y) = {a - 3)x® ^ y" ' + x^'^y" ^ + (b - 3)x'' "y'*' Hallar: GR,(P) + GR,(P) + GA(P). A) 20 D) 19
36. Si el polinomio mónico P(x) representa ei volumen
de la caja:
B)15 E)21
0 30
44. Dado el polinomio ordenado y completo:
P(x) = ax'’ ^ + cx"^ + a + d, tal que el término independiente es 9, hallar a + b + c + d. A) 15 D)17
B)42 E)12
0 20
45. En el polinomio; P(x; y) = 2 x " * y ”^z®’ " +
Donde: GA(P) = 16; GR,(P) - GR,{P) = 5 Calcular el valor de; 2m + n -i- 1
Hallar: P(0) + P(1) + P(2) A) 21 D)84
A) 5 D)20
+ P(7)
B)80 E) 49
que pueda tomar '‘a" para que P(1 ) = O B) 1; - 1 E)0;1
C) -1; 1/2
P(x; y) = 4x"’ V ’ ^ + 5x'"‘ \ ' ’ '' + 7 x V ^ e s 8 y el grado relativo de x supera en una unidad al grado relativo de y. A) 15 D)18
P(x: y; z) = 2 x"''-'y"'' "z® + 4x®yV + 6 xV z"' se reduce a un solo término, calcular el mínimo va lor de m + n + p. B)12 E)0
0 9
N(x; y; z ) - -|(x y 2 )V A) 22 D)12
B)20 E)16
018
si: P(x; y) = - /7 (x^" ‘ y " ^)^ A) 4 D)6
P(x) = 4 { x ') V ) '( x ') ' ■■■
B) 420 E)410
0 16
48. El siguiente monomio es de grado 66. Calcular “a”,
39. Indique el grado del monomio:
A) 320 D)440
8)14 E)13
47. Hallar el grado del siguiente monomio:
38. Si el polinomio:
A) 7 D)6
O 15
46. Hallar: E = m + n + mn, si el GA del polinomio
0 75
37. Si P(ax + a) = 4x(x - 1), hallar los posibles valores
A )1; 1/2 D) 1/2:-1/2
B) 10 E)25
C) 350
B)10 E)12
0 5
49. Del monomio: M(x; y) = § a^x^" ' V
hallar el
grado. 40. Sea el polinomio cuadrático:
P(x) = (n i- 2)x''‘ ^ + nx + {3 - n), determíne el grado de [P(x)]^ aumentado con el valor de "n". A) 4
B}5
0 6
D)7
E) O
B)6n E) Ninguno
C)3n
50. Dado el polinomio: P(x) = (3n - 5)^(V x^),
calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de tercer grado.
41. Sea: P(x) = x’“ - lOOx®® + 199,
Calcular P[P(1)] - 198 A) 4 R)P D) 1 E) -2
A) 10 D)6
C)0
42. Del polinomio: P(x: y) = 4x"’ V""^ + 9x"*’y^ ",
A) 625 D)169
B)361 E)49
51. Si el polinomio M(x) =
0 961
es de se
^
Hallar la suma de los grados relativos de x e y.
gundo grado, calcular su coeficiente.
A) 5
B)7
0)11
E)12
A) 10 D)12
C)6
B)5 E)13
0 25
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
A E B A C A D
i 1 1 i i i i
8. 9. ÍO. 11. 12. 13. 14.
B E D E B B B
1 í 1 1 i i i
15. B 16. E 17. C 18. A 19. B 20. E 21. B
i 1 1 [ 1
22. 23. 24. 25. 26. i 27. 1 28.
k B A E ^ C B
29. 30. 31. 22. 33. 34. 35.
B D C C B B = D
37. A 38. D 3 9 .0 40. E 4 1 .0 42. D
43. 44; 45. 46. 47. 48. 49.
B A C A B C D
f ^ A i 5 1 -E
1 1
.
'
Polinomios especiales Évariste Galois nació el 25 de octu bre de 1811 y murió el 31 de mayo de 1832, Fue un matemático fran cés. Mientras aún era un adoles cente. fue capaz de determ inar la condición necesaria y sufi ciente para que un polinom io sea resuelto por radicales. Dio solución a un problem a abierto m ediante e! nuevo concepto de grupo de perm utaciones. Su tra bajo ofreció las bases fundam en tales para la teoría que lleva su nom bre, una ram a principal del álgebra abstracta. Fue el prim ero en utilizar el térm ino «grupo» en un contexto m atem ático. Siendo todavía estudiante del Louis-le-Grand, Galois logró p u írancia. 1811- Francia. 1832 blicar su prim er trabajo (una de m ostración de un teorem a sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dio con la clave para resolver un problem a que había tenido en jaque a los m a tem áticos durante más de un siglo (las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin em bargo, sus avances más notables fueron los relacionados con ei desarrollo de u n a teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con m ucfio los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos. Las contribuciones m atem áticas de Galois fueron publicadas finalm ente en 1843 cuando Joseph Liouville revisó sus m anuscritos y declaró que aquel joven en verdad había resuelto el problem a de Abe! por otros m edios que suponían una verdadera revolución en la teoría de las m atem áticas em pleadas. FuentG : W ífeip ed ia
a^+ = -3ab b^ + 5bc + = O => b^+ c^ = -5bc • +Tea + = O =» = -7ca •abe - 3 = 0= abe = 3
b = a' b = a"
A
n.° de términos ^ (4a - 58) - (4a + 4) ^
Si el polinomio: P(x) = (a^ + 3ab + b^)x^ + (b^ + 5bc + c^)x^ + (c^ + 7ca + a^)x + abe - 3 es idénticamente nulo. Calcular: L = (a - b)"c^ + (b - c)*a^ + (c - a)‘‘ b^
= 0=»n = 2
a = ‘/2
= 2" = *Í2’
Resolución:
5.
Calcular la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: ,,4n,y,3n- 2 _j_ 2nx^^y*^ * * - mx''"y^" " ’ P(x; y) = mnx""
ax^ + bx^ + cx =
ax' + bx^ + cx = 4-x^ + 4-x^ + -ix
4.
L=1395
Efectuando en el segundo miembro;
Luego;
- 2ac)^b^
Reemplazando: L = (-5ab)^c^ + (-Tbc)^a^ + (-9ca)^b^ L = 25(abc)^ + 49(abc)’ -h 81(abc)^
=i 9.
Calcular abcd si; P(x) = 2x‘’ " - 3x®* ^ + x* - 4x“’ ’ ^ es completo y ordenado descendentemente. Resolución: Como es completo y ordenado: b- 1= O b= 1 a+c= 1 c- O a+b=2 a= 1 d= 3 d+ c= 3 abcd = O
10. Siendo el polinomio: Q(x; y) = homogéneo. Calcular: a + b + c
^ 3^ + 3 + 2 —2d + 62 ^ 3 a(a^ - 1) = 4(4^ - 1) => a = 4 (b c f ’ " + 6 = 4^+ 4 + 2
donde: [a; b: c] e 1C
(be)” -" = ( 4 x 1 ) * - '
Resolución:
=»b = 4 A c = 1 a + b + c = 4 + 4 + 1= 9
2a + 62 = (be)" ■" + 6 = a^ + a + 2
RE S UE LT OS
PROBLEMAS
B 1.
m+ n+ p= 3 -2 n - 3p = - 6 3p - n = 15 2n + m - 2p = -1 2
Si: P ( x ; y ; z ) = 2 ( x y ) * * V + 9x"‘’ ‘ ^ - 5 ( x z ^ ) y - ' es homogéneo, calcular: % + Resoiución; P(x; y; z) = 2x“ ‘ Y ' V + 9x“ " ' - 5x" z V - ’ 2a + b + 4 = ab + 3 = b + 8 =» a = 2 "/b + a^ -
2.
a
Hallar: K = (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) en función de n.
Determinar: (a + b + c) sabiendo que el polinomio P(x) es idénticamente nulo. P(x) = 3x^ + ax - 5 + bx' - 11x + c
Resolución: Como poseen el mismo valor numérico para x en tonces los polinomios son idénticos: a + b + c = n; + c' = n' a abe = 2n^ (n c)
Resolución: P(x) = (3 + b)x' + (a - 11)x + c - 5 = O
-2 a ) + 4n(ab + ac+ Sabe ...(i)
como: a + b + e = n + b^ + c^ + 2(ab + be + ac) = n^
6.
n' ab + be + ac = 0; en (I): K = -17n^ Calcular el valor de mnp, siendo: P(x) o Q(x) donde: P(x) = m(x^ + 1) + n(x - 2)(x' - 1) + p ( x - 2 ) ( x ' - x + 1) Q(x) = 3(x^ - 2x^ + 5x - 4) Resolución: P(x) = mx^ + m + nx^ - nx - 2nx^ + 2n + px^ 3px^ + 3xp - 2p P(x) = (m + n + p)x^ + (-2 n - 3p)x^ + (3p - n)x + 2n + m - 2p Q(x) = 3x^ - ex' + 15x - 12
3 be) + b- = 0 =>b = - 3 a - 1 1 = 0 ^ a = 11 c - 5 = 0 =>c = 5
a + b + c = 13
Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli nomio homogéneo. P(x: y: z) = a^x*'’ - b'y^* + a b z *'"' Resolución: a'> = b" = a*-'^ =» a‘’ = a* ‘’ ^ a '“ = a* « a = 2b a^ = b" ^ (2b)'^ = b"= 2“b'’ = b' 2 °= b“ b= 2 A a= 4 Zcoef. = a - b' + ab = 4* - 2 ' + 8 = 68
K = n^ - 2n'{n) + 4n(0) - 8(2n')
3.
El polinomio dado es homogéneo; P(x; y) = ax"*^ - a b x " - y " ^ + 2by^' hallar la suma de sus coeficientes. Resolución: Como es homogéneo; a + 3 = a + b + 1 = b + 8 ® b = 2; a = 7 La icoef. = a - ab + 2b = 7 - 14 + 4 = - 3
P(x) = (a + b + c)x^ + (a^ + b^ + c^)x + abe S(x) = nx' + n^x + 2n^
2b)
m = 2 p =4 n = -3
mnp = -2 4 4.
- 3
K = n^ - 2n' (a + b +
B » "
b= 5
Si los polinomios siguientes poseen el mismo valor numérico para todo x.
K = (n - 2c) (n -
“ 3 —60
7.
Hallar el grado de homogeneidad deí polinomio. F(x; y) = 8 x '" " Y - 5 x '" " y " '’ Si se sabe que el grado respecto a x es menor en dos unidades que el grado respecto a y. Resolución: Como es homogéneo: m + 2n = m + n + 1 0 = » n =10 GR,(F) = m + n = m + 10 GR^(F) = n + 4 = 14
G R ,(F )-G R ,(F ) = 2 m + 1 0 ~ 1 4 = 2 => m = 6 Así: F(x; y) = 8 x Y " ~ El grado absoluto es 26. 8.
P( 2)=-^^— r - ( n + 1) = 1013 2"^’ - (n 4- 2) = 1013 = 2®"’ - (9 + 2) n = 9 .-.1 = 9
Si el polinomio P(x) es completo y ordenado ascen dentemente, calcular el vaior de (2m - 3n + 4p): P(x) =
- 4 x " - ' " " ^ + Tx"*®
Resolución: Como es completo y ordenado ascendentemente: p - n + 5 = 0l p=+1 n-m + 3=1=> n = +6 m-6=2 m=8 (2m - 3n + 4p) = 2(8) - 3(6) + 4(1) = 2 9.
Si el polinomio P(x; z) es completo, homogéneo y ordenado en forma decreciente respecto a x y en forma creciente respecto a z. Calcular (a + b). c w a -i,b + < x-z“ + 3 - 5x® P(x; z) = x * -1" '_rb + 2 +, ^.a,t> - 7x“
Resolución: Decreciente respecto a x: b = -2 b+ 2= O 8-1=1 a= 2 a+ b= 0
12. Calcular: z = Si el polinomio: P(x) = (ab - be - m')x‘‘ -i- (be - ca - 4mn)x' + (ca - ab - 4n^) es idénticamente nulo. Resolución: Como el polinomio es idénticamente nulo, ab - be - m' = 0 be - ea - 4mn = O ca - ab - 4n' = O
(+)
m' + 4mn + 4n' = O (m + 2n)' = O => m = -2 n (I) ab - be - m' = O ca - ab - m '= O _ ( a -hb)c 2ab = c(a + b) ab 2
2ab
10. El polinomio F(x) toma un valor constante k para todo X , y conociendo que: F(x) = (ax + 2)(bx - 1) - x^ a > O
Resolución;
-2
2ab _ 2 ab
c 13. Se tienen dos polinomios completos y ordenados P(x) y Q(x), si se verifica que la suma de grados relativos de ios términos de P(x) exceden en 24 a la suma de grados relativos de los términos de Q(x) y que el grado del producto de multiplicar ambos es 15; hallar el grado absoluto de la suma de ellos.
Calcular: E = b®''
-2
e(a + b) ab
- H
= k
F(1) = ( a - ^ 2 ) ( b - 1 ) - 1 = - / l
Resolución: Sea; P(x) = a -h bx + cx' + ... + zx" la suma de grados relativos a x:
2 b ^ -2 -1 = -(¿ Sgrados = 1 + 2 + ... + n ^ 2b' + J - = 2(1)^ + - U b' (1)' b'=1=^b=lAa = 2
E = (1)' = 1
11. Calcular el término independiente del siguiente polinomio racional; P(x) = x"-' + 2 / ' + 3x"-' +... + (n - 2)x^ + (n - 1)x + n Si al evaluarlo en P(2) resulta 1013. Resolución: P(2) = 2" -’ + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2=) + (n - 1)2 + n = 1013 2P(2) = 2" + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2") + (n - 1)(2') + 2n = 2026 P(2) = 2" + 2'” ’ + 2"‘ ' + 2 " - \ .. + 2' + 2 - n = 1013
^
Sea: Q(x) = t -i- fx + kx' + ... + ux"’ la suma de grados relativos a x; „ . , . m(m -I-1) Sgrados = 1 + 2 + ... + m = — — Asi-
+
1) ^ 24
=» (n - m)(n -t- m + 1) = 48 ... (I) El grado del producto es; m + n = 15 n - m = 3 = > m = 6 =í . - . n = 9 El grado de la suma de ellos es 9. 14. Encontrar el valor de N siendo P(x; y) = 4x®’^^y'^’ ® Un polinomio homogéneo, además: N*' = a V + 2ab"’ 4- 29.
Resolución:
Resolución: Efectuando la multiplicación indicada en el polino mio P{x; y) se consigue: P(x; y) = 4(5 ')
Por ser polinomios idénticos se cumple: • a " = b'’ ...(I) •c = 9 - 2 c ^ c = 3 -..(II) • b^* = a*” ...(lll) Elevando a ambos miembros de (lll) al exponente b: (b“’)*" = a“’^ ...(IV) Reemplazando (l) en (IV) conseguimos lo siguiente; 3^*8^ =í b^ - 4a^ =í b =2a ...(V)
_|_4Sj(.^2b+3y«,-2
Grado de cada término; 2a + 6b -h 1; a + 11b + 1. Por ser polinomio homogéneo se deberá cumplir lo siguiente: 2a + 6b + 1 = a + 11b + 1 => a = 5b ... (1) Por dato;
N-= = a'b-' + 2ab-’ +29 ^ N
Reemplazando (V) en (l): a® = (2®)"®’ = (4a')®
( | ) ' + 2 (|) +29... (II)
Por comparación: a = 4a' =» a = ^ ;
Reemplazando (1) en (H) se consigue: N -' = (5)^ + 2(5) + (29) = 64 ^ = ■¡64 = 8 n = 1/8
De(V):b=|
5^=24
18. En cuanto difieren los coeficientes n y k para que 15. Hallar el término independiente del polinomio; P(x) = x' "- ” + 2x^" + 3x'" ' " + 4x'"‘ ""^ + ... + qx^-* Si es completo y ordenado en forma decreciente.
con cualquier valor de x se verifica que; 27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3). Resolución:
Resolución: Por ser un polinomio completo y ordenado en for ma decreciente se cumple: (3n - m) - (2n) =1 =^ n - m = 1 ...(I) (3m + b) - (m + n + b) = 1 =» 2m - n = 1 ...(II) Sumando (I) y (II); m = 2, luego reemplazando en (I); n = 3 a - 5 = 0 = » a = 5; ahora el polinomio P(x) será: P(x) = x' + 2x® + 3x® + ... + qx° donde q es su término independiente. Notar que en cada término el coeficiente y el expo nente suman: 8, en consecuencia: q + O = 8 q= 8
De acuerdo al enunciado la relación mostrada corresponde a un par de polinomios idénticos: 27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3), reacomodando la identidad: 8x + 27 = (n + 2k)x + (4n + 3k), luego se cumple: n + 2k = 8 . Resolviendo se obtiene; n = 6 A k = 1. 4n + 3k = 27J n- k= 5 19. Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo: P(x) = b(x' + x) - 2ax' - 3cx + c - a + 1
Calcular el valor de: ac - b Resoiución:
16. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio: P(x) = n' x'" - " + (n' - 1)x'" - ' + (n' - 2) x'" - ‘ + ... si es completo y ordenado.
Reacomodando el polinomio conseguimos: P(x) = (b - 2a)x' + (b - 3c)x + (c - a + 1), como: P(x) = 0. Se debe cumplir lo siguiente: b - 2a =
Resolución: Observar que los exponentes de las variables en cada término van aumentando, en consecuencia se puede deducir que P(x) es un polinomio completo y ordenado en forma creciente, es decir, su primer término deberá ser el término independiente: razón por la cual se plantea 2 n - 6 = 0 =» n = 3. Con la finalidad de encontrar al último término, analicemos al polinomio P(x) = 9x° + 8x + 7x' + 6x^ + ... Notar que los coeficientes disminuyen de 1 en 1, luego el último término a fin que el polinomio sea completo deberá ser; 1x®. Finalmente tenemos: Icoef. = 9 + 8 + 7 + . . . + 2 + 1 Scoef. = 45 17. Si los polinomios: P(x; y) = a*x' + cxy + b“® Q(x; y) = (9 - 2c)xy + a"y^ + b V son idénticos, calcular: -% ab
0^ 3 = 1
...(1)
b-3c = 0 ^ c = |
...(II)
c- a+
1= o
...(lll)
Reemplazando (I) a (II) en b _ b + 1 = O =» b = 6; de (l) 3 2 .'. ac - b = O 20.
A
(II): a = 3
a
c=2
Proporcionar el valor; n + t + a, si se cumple; 50x^ + 5x' - 8x + 1 = n(ax + 1)"(tx - n)® Resolución:
De la identidad: n + a = 3 Haciendo x = Otenemos: 1 = n(-n)® Como a ; n e l N= » a = 2 A n = 1 Por coeficiente principal: 50 = n(a)"(f) 50 = (2)1^ =» t = 5 n+t+a=8
21. Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli
nomio completo: P(x) = c(x^ +
+ a(x^ + X') + b(x^ + x“) + abe
Resolución:
Escribiendo así al polinomio: P(x) = (b + c)x'’ + (a + clx"" + (a + b)x' + abe Se pide: Scoef. P(x) = P(1 ) = 2(a + b + c) + abe
{a; b; c} = {1 ; 2; 3} pues P(x), es un polinomio com pleto de 4 términos, por lo tanto, es de 3.° grado. : Notar que: a + b + c = 6 = 1 + 2 + 3Aabc = P(1) = 18
6 = (1)(2)(3)
Hallar el valor det coeficiente de x en el polinomio P«(x). Resolución:
Po(x) = x' + 213x' - 67x - 2000 P^(x) = P„_.{x - n) • P ,(x )-P ,(x -1 ) = ( X - 1)^ + 213(x - 1)' - 67(x - 1) - 2000 •
P,(x) = P,(x - 2) = (x - 3)^ + 213(x - 3)^ - 67(x - 3) - 2000
•
P,(x) - P,(x - 3)
•
P.{x) = P3(x - 4)
•
P,(x) - P,(x - 5)
•
P,{x) - P,(x -
= (x = =
22. En el polinomio: P (x + 1) = (2 x + 1)" + (x + 2 )" -
1 2 8 (2 x + 3),
=
- 10)^ + 213(x - 10)' - 67(x - 10) - 2000
(X
(X
6)^ + 213(x - 6)^ - 67(x - 6) - 2000
- 15)' + 213(x - 15)' - 67(x - 15) - 2000
(X
6)
- 21)^ + 213(x - 21)' - 67(x - 21) - 2000
donde n es impar, la suma de coeficientes y el tér mino independíente suman 1, hallar el valor de n.
De aquí:
Resolución:
Término en x: 3(x)(21)' + 213[-2(x)(21)] - 67(x)
Recordar que para un polinomio se cumple: P(1) = S de coeficientes; P(0) = TI Dato: P(1) + P(0) = 1 ... (I) Como; P(x + 1) = (2x + 1)" + ( X + 2)" - 128(2x + 3). Hagamos x = -1 => P(0) = -128 Haciendo x = O tenemos: P(1) = 2" - 383. Reem plazando en (I) tenemos lo siguiente: 2" - 383 - 128 = 1 n= 9 23. Si P es un polinomio completo y ordenado: P(x) = x^" " + 2x" 3x^ + ... +
X + 1
Hallar P(x) m
Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado, entonces, la diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos vale 1.
Coef. dex = 3(21)' - 213(42) - 67 = -7690 25. Sí P es un polinomio homogéneo definido por:
P(x; y) = 2-’(a + b)x"'"" + 3''(a - b)x‘’' * y +
12y'’'^ ’= Hallar e) producto de sus coeficientes. Resolución:
Si P es polinomio homogéneo, el grado en cada uno de sus términos es el mismo. = a' + n = + 2n = b' + 12 (I) (II) (lll) • (II) = (lll): n = 6 •(I) = (lll): a '+ 6 = b '+ 12 = a '- b '= 6 Nos piden: ^ -------.
Produotode , 1 ,^ ^ 1>,3 coeficientes ¿ ' 3/ = 2(a' - b') = 2(6) =
_
12
26. Si P es un polinomio completo y ordenado en forma
En nuestro caso, P(x) está ordenado descendente mente. {3a - b) -2a = 1 = a - b = 1 ...(a) 2a - (3b - c) = 1 =* 2a - 3b + c = 1 ...(|3) (3b - c) - (a + b - c) = 1 2b - a = 1 ...(0) (0=1 P(x) = + 2x® + 3x® + x"’ + ... + X + 1 24. Si P^; P,; P¿; ... P„ son polinomios definidos por:
Po(x) = x^ + 213x" - 67x - 2000 P„(x) = P,, ,{x - n), para n = 1; 2; 3; ...
descendente definido por: P(x) = qx' +
+ 'VSn + Sx^'""'’-'" + (m + 2)x'*"-=
tal que la suma de sus coeficientes es m + n + p, hallar el valor de . Resolución:
Por ser completo y ordenado en forma descenden te vemos que: • 2 m -6 = 2 =^m = 4 5m + n - 1 9 = 1 =» n = 0 p + n - 3 = 0 => p = 3
29. Si: P(x; y) es un polinomio completo y ordenado en
Además: Scoef. = q + 3 + 2 + 3 Por dato: q + 8 = m + n-^p
forma creciente con respecto a cualquiera de las variables, tal que la suma de los grados del primer y último término de P es 100, hallar el grado del término 21, del polinomio.
7 q-
-1
3/q -
-1
27. Si: P(x; y) es un polinomio homogéneo definido por: P(x;y) = (a + 'y"’ ’ ’ + (a' + 1)x‘= '-V Hallar el número de términos que le faltan para ser completo.
Resolución:
De acuerdo a lo planteado, suponemos al polino mio P(x: y), así: P(x; y) = A + Bxy + cxV + D xV + ... + M xV De aqui: • GA(t,) = 2(0) = O • G A(t,)-2(1) = 2 . GA(t3) = 2(2) = 4 • GA(t,) = 2(3) = 6
Resolución:
Por ser homogéneo, entonces: GA(término 1) = GA{término 2) a' + 2a - 2 = + a+2 De aqui: a = 4 ^ P{x; y) = 5xV= + 1 7 x'V Luego, el polinomio P será homogéneo y completo respecto a x e y, de GA = 22, cuando sea de la forma: P(x; y) = A x '"
+Bx^'y
GA(t2,) = 2(20) = 40 30. Si P y Q son dos polinomios definidos por:
P(x) = ax' + px - r Q(x) = bx' - qx - t
+ 17x'V
4 términos + Ex'"y' + ... + 5x"y'^ +
10 términos
R y S son polinomios equivalentes, hallar el valor P + q ^ r-t de: M = a - b a + b p- q r + 1
7 términos
n.° de términos faltantes: 28.
Tal que: R(x) = 2P(x) + 3Q(x) S(x) = 3P(x) - 2Q(x)
My'
21
Resolución:
Si: P y Q son dos polinomios definidos por: P(x; y; z) - (X - y +z)^ - (z - y - x)^ Q(x; y: z) = (x + y - z f - (y - x - zf Hallar: P(x: y; z) + Q(x; y; z)
P(x) = ax' + px - r Q(x) = bx' - qx - t Por dato: 2P(x) + 3Q(x) 3P(x) - 2Q(x) o también: 5Q(x) P(x) Reemplazando: 5bx' - 5qx - 5t o ax' + px ~ r De aquí: 5b = a; -5q = p; 5t = r
Resolución:
Como: (k)"' = (-k)^''; 2n es par. Aplicando en P y Q (en los segundos paréntesis):
E n lo p e d id o :M = | | + 5 | a + |
P(x; y; z) = ( X - y +z)'’ - ( X + y - zf {+ ) Q(x: y; z) = ( X + y - z)“*- ( X - y + zf Sumando: P(x; y, z) + Q(x; y; z) = O
.■ .M = 3 ( | ) = 2
P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 5 - II)
Indique la verdad o falsedad de ios siguientes enun ciados: I. Sea P(x) = ax^ + bx' + cx -t- d, a O, d O Si P tiene tres raíces reales, entonces P(1/x) tendrá las mismas raices. II. Todo polinomio complejo siempre tiene raices complejas y sus respectivas conjugadas. III. Si la suma de las raíces de un polinomio es ra cional, entonces cada una de ellas también es racional.
A) FFF D)W F
B) FW E)V W
C) VFV
Resolución:
De los enunciados: I,
Sea: P(x) = ax^ + bx' + cx + d; a 5^ 0. d O Si P(x) tiene tres raíces reales, entonces P(1/x) tendrá las mismas raices. Analizando: P(x) = ax^ + bx' + cx + d ^ a (x - x ,) (x - X2 ) (x - X3 ) = O ,..(«> Donde: x,; X2; X3 son las raíces de P(x)
Se observa del gráfico: Q(x) > P(x), V X G (2a; 3a) --X 3 = 0 X
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 1 - II)
Donde: —; —; — son las raices de P(—ì X,
X,
X,
\ x l
De (a) y (p): se concluye que tas raíces de P(x) son diferentes a las de PI/'1
X
+^ 3^3
son las raíces de p(x) ^
Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales cuya grá fica se muestra a continuación.
(F)
Todo polinomio compiejo siempre tiene raíces complejas y sus respectivas conjugadas. Sea el polinomio complejo: p(x) = (x - i)(x + 1) • Donde: x, = i; X2= -1 son las raíces de p(x) • Observamos que sus raices no son conju gadas (F) Si la suma de las raíces de un polinomio es ra cional, entonces cada una de ellas también es racional. •Analizando: Sea el polinomio; p(x) = 9x' + 6x - 1 Donde: X, =
Clave; D
...(P)
'
X.
Observamos que la suma de las raíces es racional pero sus raices son irracionales (F) FFF
Indique la sucesión correcta después de verificar la ve racidad o falsedad de ias siguientes proposiciones: I. P(x) tiene grado 3 II. P(x) tiene solo 2 raíces complejas III. Existe c e IR tai que P(x + c) no tiene raíces com plejas. A) V W D) FFV
B)W F E) FFF
OVFF
Resolución:
Tenemos:
Clave: A PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 9 - II)
Sea P(x) = x^ - 3ax^ - a^x + 3a^, donde a > O y Q(x) = -P (x - a). Diga cuál de las siguientes afirma ciones es correcta: A) Q(x) > P(x), V X < O B) Q(x) > P(x), V X e (0; a) C) P(x)> Q(x), v x e (a; 2a) D) Q(x)>P(x), v x e (2 a ; 3a) E) P(x) > Q(x), V X > 3a
Del gráfico: Si: X e < - 5o; a> u (b; +=c) => P(x) es creciente Si: X e P(x) es decreciente Entonces:
Resolución:
P(x) = x^ - 3ax' - a'x + 3a^ a > O yQ(x) = -P(x - a) Factorizando P(x): P(x) = x'(x - 3a) - a'(x - 3a) P(x) = (x - 3a) (x' - a') =» P(x) = ( X - a) ( X + a) ( X - 3a), a > O Calculo de Q(x): Q(x) = -P(x - a) = -(x - 2a)(x)(x - 4a) Graficando las funciones, tenemos;
\ / ±-----4 - ^ : ------ L------ ±------
crece a decrece b crece
I
1
multiplicidad multiplicidad impar impar De donde P'(x) = K(x - a)'" ’ ’ {x - b)''^ n, m e Con lo cual se deduce que el grado de P(x) es cualquier número impar. I. II.
No necesariamente P(x) tiene grado 3 (F) No necesariamente serán 2 raíces complejas, ya que del gráfico P(x) tiene una raíz real y por ser de grado impar las demás raices serán complejas (F) III. El desplazamiento horizontal no altera la cantidad de raices de P(x) (F) Clave; E
y = 1 interseca al gráfico cuando x = 2, x = 4,siendo P(2) = P(4) + O, siendo P(2) = P(4) = 0. Calcule elpo linomio P(x) - 1
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 2 - 1)
Si X , = 2 y X 2 = -1 son raices de: x'' - ax^ + b O, halle: a - b A) -1 D) 2
B)0 E)3
A) B) C) D) E)
C)1
Resolución:
Como: Xj = -1 es raíz de la ecuación. Reemplazamos: (-1)'* - a(-1)' + b = O = 1- a+ b= 0 a -b = 1
x'(x - 2)(x - 4) (X - I f ( x - 3 ) { x - 5 ) ( x + 1 ) '( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x ^ 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 )
Resolución; Clave: C
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 2 - II)
El gráfico del polinomio P(x) = x'* + ax^ + bx^ 4 cx + d es tangente en (1 ; 1) a la recta y = 1. Además la recta
Definimos el polinomio: H(x) = P(x) - 1 = x" + ax^ + bx' + cx + d - 1 H(1) = 0: H(2) = 0; H(4) = O X = 1 raíz de multiplicidad 2 H(x) = P(x) - 1 = ( X - 1)' ( X - 2) ( X - 4) Clave; D
PROBLEMAS
n 1.
PROPUESTOS
P (x;y)-x"'*’ y P(x; y) = ^ Si el po linomio P es de grado 10 respecto a x, además en el polinomio Q el grado de x es igual que y aumen tado en 4; calcular el grado de P. A) 13 D)10 2.
B)7 E)12
014
Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio en variables x, y, z: P(x; y; z) = m V ’ y - ' ’p V - y - 'z ^ - ’.
A) 76 D) 67 3.
O 57
¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo. P(x; y) = x"’ + x"’ ’ V + x'^’ V + Si el grado re lativo a y es 40? a) 19 d )25
4.
B) 64 E)77
b)21 e )7
c)23
Encontrar la suma de coeficientes del siguiente po linomio completo y ordenado. P(x) = a, x"'®’ + 32 x"*®^ +... + 3^; siendo:
5.
A )^ (n -I)
B) |( n + 1)
0 §{n + 1)(n + 2)
D) n " - 1
b)26 e)29
c) 27
completo. P(x) = x^"" + 2x'“ nos. Hallara.
7.
es una constante monómica. ¿Qué valor asume: a"?
A) 1/2 D) 1/4 9.
B)4 E)FD
Si ios términos: ^^2x/y tes. ¿Cuál es su suma? A )8 5 x y D) 15xy
- 3x™' ^ + ... posee 2m térmi
B)5
0 2
a
"'JSyTx son semejan
B)15xy' E) 75xy
C) 85x/
10. Si la expresión: M(x: y) = a V
+ dx^^’ V ' " + bcx^y^ Puede reducirse a monomio, encontrar su coeficiente.
A) -3/2 D) -2
B) -1/2 E) -2/3
C )-1
11. Si la expresión: nx" ’y^ " es: EARE clasifique al
equivalente de la expresión: '¿ ^ n ” ''x'’ ’ ‘'y^" A) EAI D) EAR
B) EARE C) EARF E) Expresión trascendente (ET)
12. Hallar a, si el equivalente de:
A) 10
B)11
012
D)13
13. Dado P(x; y) = x " - y - * + / 3
0 7
E) 11
Siendo: P(x; y) = 2(mnx + y)x - (n + 9)x^ + (5m - 4n)xy. un polinomio idénticamente nulo, calcular el pro ducto de los valores naturales de m y n.
E)14
- 3 x "-'Y '
Calcular su minimo grado absoluto. B) 30 E) 33
14. El grado de
P(x)Q(x)
3/h W P ( x )
Q^(x)
0 31
es 3n. El grado de:
es cero. Calcular el grado de:
'i[H(x)f
6. Si el polinomio ordenado decrecientemente y
A) 3 D)9
8. Si: P(x) = 3x"
A) 29 D) 32
Si el polinomio es completo y ordenado. P(x) = x,.2 a - b t c^ +, ,X, "a - 3 l ) - 2“c +, ,X, a“ - r 4 b + 8c , , , 2 a - b - 4 c encontrar su número de términos. a) 24 d)28
0 8
M(x) = /3x®V21x‘‘ Vx® V2x es un monomio de grado: 8.
^ _ (n+ 1)n.•; n e W. ^
a.
b E) n -h 3
B) 6 E)2
A )4 D)10
Se tienen los polinomios
n
A) 1
B)2
0 3
D)4
Q(x) E)5
15. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente po linomio: P(x; y) = xy''"'"^ - x ' " ' ' + y*"” A) 3 D}9
B) 5 E)11
C)7
16. Hallar el mínimo grado de homogeneidad diferente
de la unidad para el polinomio: P(x; y; z) =
Bj 14 E)17
A) 13 D) 16
C) 15
17. Proporcionar el equivalente de: sabiendo a- b' que: P(x) Q(x). P(x) = m(x + a) + bx + o; Q(x) = ax + mx + n B)a/3 E)1
A) a D)a/6
C)a/2
25. Si se cumple: a(ax + y) -b(bx - y) < > 2(6x + y + 4). Hallar a^ + b^ A) 10
B )-3 E)6
A) - 6 D )-9
0 6
8 )9 E)8
21. La suma de tos siguientes polinomios; P(x) = ax^ + mnpx; Q(x) = (b + c)x^ - abcx, origina un polinomio idénticamente nulo, según esto hallar el equivalente de: a^ + b^+ c^ + 3mnp abe
P(x) = (a' + 2a ‘’bc - bc)x® + (b' + 4ab'’c - a c )/ + /5 (c ' + 6abc” ’ - ab)x + (a + b + c - 7), se anula para más de seis valores de x. Calcular:
B)4 E)7
A) 5 D)3
A) 2 D )8
A) 2 D)5
0 5
23.
8)147 E) 171
24. Si; a(x + 5)^ -b(x - 5)^ o calcular; a + b A) 9 D) - 3
8) - 9 E)27
0 4
B)3 E)6
04
A )8000 D )7539
B )7999 E )7989
O 7899
31. Si el siguiente polinomio: P(x; y) = (b - c)x° + (c - d)x"'" y"*'^ + (b - d)x'’ ‘ "y"“ ' es tiomogéneo. Calcular el producto de sus coeficientes.
— 1^1 a b 0 5
Sabiendo que: P(x) = O, calcular b' - c'. P(x) = (x^ - 1)(x^ - 4)(x^ - 2) + ax® + bx" 4- cx^ + d A ) -147 D) 174
B) 6 E)16
30. Hallar el grado absoluto de: M(x; y ;z ;w ;...) = 5 x y W ’T®’ Considerar 19 letras.
yV S xV “.
8 )7 E)3
O -5
29. Calcular n, si el grado absoluto de la expresión: 2 3^,2n+3 M(x; y; z) = es 6.
son dos polinomios homogéneos, deducir un valor
A) 9 D)1
B) - 3 E)6
28. Sabiendo: P(x) = Q(x), calcular a + b - c. P(x) = a{x - 1)(x + 2) + b(x - 1)(x + 3) + c(x + 2)(x + 3); Q(x) = 6x' + 13x - 7
Q(x: y) = x ^ Y - 2x^'*“'y-^‘'
para: E =
0 6
0 5
20. A un polinomio completo y ordenado de una sola variable y de grado 4n se le suprimen todos los tér minos de grado impar, el polinomio resultante tiene 4n - 15 términos. Haliar n.
22. Si; P(x;y)= x*
8) 9 E)12
27. Si e( polinomto;
B)7 E)1
A) 3 D)6
E) 50
0 -9
Q(x) = x""' + (m -2n)x. Calcular: Vn' - m^
A) 2 D)7
D)40
Q(x) = 18x® + 7x" + 12. Calcular: 3T + 6A + 4C, a partir de: P(x) = Q(x).
19. Si: P(x) = Q(x), siendo P(x) = x^ - 4x";
A) 9 D )3
0 30
26. Dados; P(x) = T(x" + 2)(x" + 3) + A(x" + 4)(x" + 3) + C(x" + 4)(x‘ + 2)
18. La suma de los polinomios: P(x) = {a + xXb + cx) + ax + 4; Q(x) = (x + b)(x + 2) + x origina un polinomio de grado cero. Calcular: 4cb'. A) 9 D )3
B)20
O -174 3(x + 5)^ + 4(2a + b)x, 0 3
A) 4 D)8 32.
8 )6 E) 10
0 2
Dado el polinomio; P(x; y) = x® + + x“y ' + x V + x V + x V liomogéneo. Calcular el valor de: E = a + b + c + d + e, sabiendo que la suma de todos los exponentes del polinomio es 42. A) 23 D)27
B)25 E)29
0 21
33. Si:P(x;y) = (Vn + 2 - Vn"+ 1)x" + (Vn + 1 - /nix"’'y + -
es un polinomio completo y ordenado con respecto a sus dos variables. Calcular et vator numérico de: n/(n + 2)(m - n ), siendo además ta suma de sus coeficientes igual a “n". A) 2
8)12
C )4
D)8
E) 16
°>-T 40.
35. Si f(x) = x'(x
B )4 x -1 2 E )4 x -1 5
A)1 D) - 2
C )4 x + 1 5
- 3) + 3(x + 1)
Si P(x^ - x') = x’’ + X® + x^ + x^ + 2x' + 2x, hallar P(cos’ ji).
34. Si: F(x + 1) = 4x - 3, hallar; F(x - 2). A )x -1 5 D )x
0 - 4
A )^
- 4, determinar;
41.
B )-1 E)0
0 2
SI P |^ + 3j = X, determinar: P(4) + P(5) + P(7) + P(11) +
E=
f(x: [ f { x - 1 ) f 'V [f ( x + 1)1’
para: x = 2 x 10^
A) 2
B)4 E)
A )1
C)
B )|
4
42.
32 36.
Hallar el grado del producto
p(x) - ((x)^)''((x^)^>‘*((x')'‘ )^... n términos A) B) C) D)
n (n -1 )(n -2 )
2
D)4 43.
(2n + 1 )(3 n - 1 )(n ^-2 n + 3)
E)(n + 1 ) V - 1 ) 37. Sea el potinomio: f(x) = x' + x + 41 y {f(0); f{1 ); f(2); f(3): f(39)} son números primos; encuentre a partir de estos datos otros 40 números enteros que at evaluar en f(x) nos reproduzca números primos.
44.
+
+
45.
Hallar el valor de f [ ^ i-
2
+ 4x®"'= + 6x"
B )1
+ ... + n tiene
C)4
Si: F (x - 14/x + 44) = x. hallar F(9x - 42 /x +44) si: /x > 7 A) 9x D) -2 x
C) 3 a 'b 'c ' 46. + 3
O 1107
D)3
Determinar: P (-a; -b ; -c).
Dado: f(x) = ( x - in x - 1
8 )3 E)6
Calcular 2- íJ —+ 5 sabiendo que el polinomio es '3 completo y ordenado:
A)
(x -a )(y -b )(z -c ) B)abc E )a 'b 'c '
C) 1
Sea P un polinomio tal que: P(xy) = P(x) + P(y) V x; y e IR st además P(10) = O, calcular P(7) + P(99) + P(1001).
P(x) = 2x* (a®) términos.
38. Sabiendo que: x^ + y^ + = (a + b + c)[a' + b' + c' - (ab + ac + be)] + 3abc; además:
B )1
^>5
A)1 D)0
A) {f(-1); f(-2); f(-3); ... ; f(-40)} B ){-1 ; -2 ; -3 ; -4 0 } C) {f(40); f(41); f(42); ...;f(79)} D){1; 2; 3; 40} E ){-4 1 ; -4 2 ; -43; ...; -8 0 }
39.
Sabiendo que el polinomio: P(x) = (ab - ac + n')x^ + (be - ab + 6n)x^ + (ac - be + 9) es idéntico al polinomio: F(x) = 3o + a, X + 32 x^ + aa x^ + ,.. + a„x". el cual se anula para cualquier valor asignado a x. hallar
A)
(n + 1 ) '( n - 2 ) ‘
A) O D )-a b e
oc
b(a + c) ac
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Pfx' V z) =
C )1
B) 2x E)N.A.
O -9 x
Sea ei polinomio f(x) definido por: xf(x + 1) - f(x') = 3x - 1, determinar el valor de: f(1) + f(2) + f(3) A) 15 D)23
B)7 E)0
0 5
47. Sea P(x) = 2x + 1. Además: P(P( ... (P(x))...)) = a^
52. Si; f(x + 2) = x + f(x) + f(x + 1): f(y) = 2f(y - 1¡ hallar f(-3 ) + f(4)
b"x - 1
9 paréntesis calcular: ab“*. B) 64 E )1024
A) 32 D)256
C) 128
B )3 E)6
0 4
49. Calcular el coeficiente del equivalente de la expre sión: M{x) =
4096)
B) 4 E)16
C) 32
calcular el valor deM = a + c + e f A) -1 B) 1 0 2
E E B C A B B 0
9. A 10. A 11. B 12. C 13. C 14. A 15. D 16. D
C C D E D D A A
C) -e7t
B) en E) - 2
54. Si el polinomio de variable x: P(x) = (ab - be - m^)x'' + (be - ac - 2mn)x^ + (ac - ab - n^) se anuía para más de 4 valores; según ello calcular: ^ a e \a - c A)1 D) 1/2
B) -1 E)2
C) -1/2
B )-1 £) ab
i 1
i i 1
i i
;
25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.
B C C C B B C C
O a
56. Déla identidad: a(x + 1)^ + b(x - 1 f = 9x^ + 10x + c. calcular: abe. A) 42 D) 224
B) 126 E)36 999 _ 2^-9
O 48
1997, calcular: P(3)
B )-1 E )1997
O 1986
58. Si los polinomios: P(x; y; z) = (a - b)^x"' + (b - c ) V + (c ~ A f z’’ Q(x; y; z) = abx"^ + 3bcy" + Sacz'’ _ a -b son idénticos, evaluar: M = c A) 8 D) 14
C) 1/4
17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
y f{3) = 1;
A) 1/en D) (ere)’
A) 1 D ) 1995
51. Sabiendo que: x®^ ’ x”^ ' x“^ ’ ; a, b, c son los términos 1.°, 7.°, 13.°, y último respectivamente de un polinomio P(x) completo y ordenado, calcular: 1 . 2 V {a + b + c)' ^b - c a - c /
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
O í
f(1) f( 4 ) - f( 7 )
57. Si P x + 1 X - 1
E )-I
B)2 E) 1/6
calcular: 3i
A) 1 D) - a
50. Sabiendo que se verifica la siguiente identidad: x' - 4x^ + 2x" - 3x + 2 = a(x - l f + b(x - 1)" + c(x - 1)^ + d(x - l f + e(x - 1) -h f,
A) 1/2 D)6
E)3
55. Dados: P(ax + b) = a - bx Q(a + bx) = b - ax; obtener: P[Q(a)]
"■ ^2 x+ 'V 2 x-'V 2 x-"^
Si se reduce a un monomio de grado 72. A) 8 D)1024
B )-1
D)2 53. Si: f(x) = e’ + n'
48. ¿Cuántos términos faltan en este polinomio: R(x) = (1 + X + x^ + x’ + ... + x"){x""'’ + x") para ser completo, sabiendo que en este otro polinomio P(x - 2) = n^{3x - 8)' + (x - 2)[(x - 2)'" ’ + 12] la suma de coeficientes excede en la unidad a su término independiente? A) 2 D)5
A) O
33. C 34. C 35. A 36. B 37. B 38. C 39. D 40. B
B) 11 E) 15
j 1
i i
: ! i !
41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
B A D D A A C B
49. E 50. É 51. A 52. C 53. A 54. 0 55. C 56. B
b -c a O 13
57. E 58; E
a -c
Multiplicación algebraica Productos notables
O
D a
o ü
A d rie n -M a rie L e g e n d re n a c ió el 18 d e s e p tie m b r e d e 1752 y m u r ió el 10 d e e n e r o d e 1853, fu e u n d e s ta c a d ís im o m a t e m á t ic o fra n c é s. H izo im p o r ta n te s c o n m b u c i o n e s a la e s ta d ís tic a , a ia te o r ía d e n ú m e ro s . al á lg e b ra a b s tr a c ta y al a n á lisis m a te m á tic o . I n te rv in o e n g e o d e s ia y e n la c o m is ió n q u e e s ta b le c ió el m e tr o c o m o u n id a d d e m e d id a in te r n a c io n a l. R e c ib ió s u e d u c a c i ó n e n el C o llè g e M a z a r í a e n P arís, y d e f e n d ió s u te sis e n física y m a te m á tic a s e n 1770. L e g e n d re h iz o u n a im p r e s io n a n te c a n ti d a d d e tr a b a jo s s o b r e f u n c io n e s e líp tic a s, in c lu y e n d o la c la s ific a c ió n d e in te g ra le s e líp tic a s, a u n q u e d e b e a N iels H e n rib A bel la id e a d e e s tu d ia r las in v e rs a s d e la s fu n c io n e s d e Ja c o b i y así r e s o l v e r c o m p l e ta m e n te e l p ro b le m a . T a m b ié n h iz o u n tr a b a jo p io n e r o
Çranùa, 1752 - Francia, Í833
s o b re la d is trib u c ió n d e n ú m e r o s p r im o s y s o b r e la a p lic a c ió n d e l a n á lis is m a t e m á t ic o e n la te o r ía d e n ú m ero s. T a m b ié n le d e b e n s u n o m b r e lo s p o lin o m io s d e L e g e n d re . s o lu c io n e s a la e c u a c i ó n d if e re n c ia l d e L e g e n d re , q u e se u tiliz a n c o n fr e c u e n c ia e n a p lic a c io n e s d e física e in g e n ie ría . E n m e c á n ic a , es c o n o c id o p o r la tr a n s f o r m a d a d e L e g e n d re . u tiliz a d a p a r a p a s a r d e ia f o r m u la c ió n ia g r a n g ia n a a la f o r m u la c ió n h a m i lt o n ia n a d e la m e c á n ic a c lá s ic a . T a m b ié n se u s a e n te r m o d i n á m i c a p a ra o b te n e r la e n ta lp ia d e la s e n e rg ía s lib re s d e H e lm h o ltz y d e G ib b s p a r t ie n d o d e la e n e r g ía in te rn a . F u e n te : W ífeipedia
(2x - y)' = O
identidades de La^ange •
2x + y
t r in o m io c u a d r a d o p e r fe c t o
(a^ + b^)(x^ + y^) = (ax + by)^ + (ay - b x f
Extrayendo raíz cuadrada miembro a miembro: 2 x - y = 0 =» y = 2x
h b ►^y (a' + b^ + c^)(x' + y^ + z') = (ax + by + cz)' + (ay - bx)^ + (az + cx)^ + (bz - cy)'
De donde: P
(2x)"- + x^ + 3x(2x) (2 x -x )^ + (x + 2x)^
4x^ + x^ + 6x' _ 11x^ x^ + 9x' 10x'
Identidades de Argand •
x " + x ^ "+ 1 = (x'*'+ x'‘ + 1) (x ^ * - x '+ 1)
.
g4m ^
2 32.
g m|
^
(gjm ^
^
■ F ^ ll •
{a"" - a"’b" + b^")
2,
- ■^(a + b + c)[(a - b)' + {a - c f + (b - c)^]
(a + b + c)^ =
(a + b + c + d)^ = 4(a + b)(e + d)
Resolución: Nótese que seria dificultoso elevar al cuadrado el polinomio de cuatro términos en el primer miem bro; pero si analizamos ta igualdad hay 2 expre siones que se repiten (a + b) y (o + d), es más, también se presentan en ta expresión pedida. En consecuencia cuando se presenten expresiones repetidas dos o más veces en un mismo problema conviene hacer cambio de variable.
a^+b^+c^-3abc = (a+b+c)(a' + b^+c^-ab-ac-bc)
(a + b + c)^ + 2(
Si:
encontrar el vator de: L =
o tra s identidades auxiliares
•
10
^
+ b^ + c^} = 3(a + b + c)(a^ + b' + c') + 6abc
+ b^ + + 3{a + b + c)(ab + be + ca) - 3abc
(a + b)‘ - (a - b)“ = 8ab(a' + b^)
Haciendo: a + b = m; c + d = n
(a + b)(b + c)(c + a) + abe = (a + b + e)(ab + ac + be) A continuación se mostrarán más igualdades en las cuales intervienen directamente los productos nota bles.
Tenemos: (m + n)' = 4mn = m^ + 2mn + n^ = 4mn Luego: m^ - 2mn + n' = O =s (m - n)' = O
Igualdades co n dicion ale s
Extrayendo raiz cuadrada miembro a miembro: m - n = 0=»m = n
S i: a + b + e = O, se demuestra que: a^ + b^ + c' = -2(ab + ac + be)
Se pide: L = ^^343" = '/343 3.
a^ + b' + c^ = 3abc
a'* + b'* + €■* = 2(a^b^ + a'c^ + b^c^)
.-.1 = 7
Después de efectuar : P(u) = (u + 2)(u - 2)(u^ + 4)(u“ + 16) se obtiene :
a® + b®+ c® = -5abc(ab + ac + be)
Resolución;
(a^ + b^ + c^)' = 2(a' + b' + c")
P o r d ife re n c ia d e c u a d ra d o s s e tie n e que:
(ab + ac + be)' = a'b^ + a'c^ + b V
P(U) - (U + 2)(U - 2)(U^ + 4)(u' + 16)
,a l+ b _ t£ ,„ a ,
P(u) - (U^ - 4)(u^ + 4)(u' + 16)
,a '+ b ^ + c‘
P(u) = (u' - 16)(u'+ 16) = u' - 16' - i- b ^ +
P {u ) = u“ - 2 5 6
4.
Efectuar: F(a) = (a + 1)^ - (a - 1)^
A g r u p a n d o lo s t r in o m io s y lo s t é r m in o s c o n te n id o s e n io s c o r c h e t e s :
Resolución: 1.* forma: Efectuando el binomio suma y diferencia al cubo; F(a) = + 3a^ + 3a + 1 - (a^- 3a^ + 3a - 1)
L = (a + b)^ [c + (a - b)][c - (a - b)] + diferencia de cuadrados ((a^+ b^) + (ac + be)] [(a^ - b^) - (ac + be)]
Reduciendo términos semejantes; F(a) = 6a^ + 2 F(a) = 2(3 a ^+ 1)
diferencia de cuadrados
2.* forma; La expresión se podrá escribir como una diferencia de cubos ; F(a)= [ ( a + 1 ) - ( a - 1 ) ] x [{a + 1)' + (a + 1)(a - 1) + (a - 1)'] En el segundo corchete aplicamos la identidad de Legendre y la diferencia de cuadrados; F(a) = [a +1 - a + 1][2(a^ + 1)(a^ - 1)]
L = (a + b)^[c^ - (a - b)^] + (a^ + b^)^ - (ac + be)^
(ac + bc)^ - (a^ - b^)^ + (a^ + b^)^ - (ac + be)^ L = (a^+ b Y - (a^- b")" ^ 4a^b^ K - 2ab Legendre L
8.
Reduciendo términos semejantes; F(a) = 2(3a2+ 1) 5.
E fe c tu a r:
A = (x^ + x + 1)(x" + x + 2 ) - ( x ^ - x + 1 )(x ^ -x + 2 )2x(2x + 1)(x + 3)
Resolución:
Efectuar: y = (a + b + c - d f + (a + b - c + d)^ 2(a - b + c + d f - 4(a + c)(b - d)
U t iliz a n d o e l c r it e r io d e p r o d u c t o d e b in o m io s c o n u n t é r m in o c o m ú n ; A = (x^ + x)^ + 3{x^ + x) + 2 - ( x ^ - x ) ^ - 3(x^ - x) -
Resolución: Desdoblando: -2 (a - b + c + d)^ = -(a - b + c + d)^ ( a - b + c + d)^ Agrupando en la forma indicada: y = (a + b + c - d f - (a - b + c + d)^ + (a + b - c + d)* - (a - b + c + d)^- 4(a + c){b - d)
2 - 2x(2x^ + 7x + 3) A = (x^ + x)^ -
(x^ - x)^ + 6x - 4x^ - 14x^ - 6x
A = 4x^(x) + 6x - 4x^ - 1 4 x '- 6x 9.
S e ñ a la r la r a í z c u a d r a d a d e :
L = 0,5(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4) + 0,5(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x+
y = (2a + 2c)(2b - 2d) + (2a + 2dX2b - 2c) - 4(a + c)(b - d) Resolución; •1
y = 4(a + d)(b - c)
F a c t o r iz a n d o ^ V a g r u p a n d o e n la f o r m a in d ic a d a :
Efectuar: F = [(X + 1)(x - 1)(x^ + X + 1)(x^ - X + 1) X (x=* + /x^ + 1)(x" - /x^+ 1){x® - x^ +1) + 1]''®
r L = 4 [(x + 1 ){x + 2 )(x -3 )(x -4 ) +
L
Resolución; F = [(x + 1)(x - 1)(x^ + X + 1)(x^ - x + 1)
i (X -
i 1)(x - 2){x
Argand
L = l[{ x ^ - 2x
Argand
+
4)]
+
(x^ - 15)
- 3)(x^ - 2x - 8)
+
Utilizando el criterio de producto de binomios con un término común:
Argand
[(x® - 1)(x’^ + X® + 1) + 1]’'®= [x’®- 1 + 1]'
L =l [ ( x ' - 2x)' -
diferencia de cubos
11 (x' - 2x) + 24 + (x^ + 2x)^ 11(x' + 2x) + 24] + x ' - 15
F = x^ 7.
3)(x
(x^ + 2x - 3 ) (x^ + 2x - 8)] + x^ - 15
F = [(x^ - 1)(x" + X^ + 1)(x® + X^ + 1)(X® - X^ + 1) + I ] ’ '® diferencia de cubos
+
t__________ í
(X^ + 7x^ + 1)(X^ - ■/x^+ 1)(X® -X ^ + 1 )+ lf®
F =
4) +
(x + 4)(x - 4) + 1
y = 4(a + c)(b - d) + 4(a + d)(b - c) - 4(a + c)(b - d)
6.
A = -1 4 x '
L = l [ x " - 4x’ + 4x' - 11x' + 22x + 24 + x" +
I n d ic a r la r a iz c u a d r a d a d e l r e s u lt a d o ( a > 0 ; b > 0 ) L = (a + b )^ (a -
b + c )(b + c -
a) +
{ a (a + c ) + b ( b + c )J [a (a -
4x^+ 4x^ - 11x^ - 22x + 24 + 2x^ - 30] c ) + b (b -
c ))
L = x" - 6x" + 9 = (x' - 3)'
Resolución: 10.
E f e c tu a n d o d e n t r o d e lo s c o r c h e te s : L = (a + b )^ (a - b + c )(b + c - a ) + [a ^ + a c + b ^ + b c ] [ a ^ -
a c + b^ -
be]
/L = x ' - 3
Efectuar:
y = (a + b + c)^ + {a + b - c)^ + (b + c - a)^ + {c + a - b)^
Resolución: Agrupando a los trinomios en forma adecuada: y = [(a + b) + c]^ + [(a + b) - c f + Legendre [c + (b - a )f + [c - (b - a}]^
y = 2 [(a + b f + c^] + 2 [c ' + (b - a f l y = 2 [(a + b f + 2c^ + {b - a f ] Pero: (b - a f = (a - b f y - 2[(a + b f + 2c' + (a - b f ]
Legendre
RE S UE LT OS
PROBLEMAS 1.
S ix + y + z = 0 , reducir: ,
x‘ y + f z + z*x + x 'z + z"y + y^x X2 + y2 + z P
Del tercer dato: 2(a' + b^ + c^ + ab + be + ca) = 66 17 =» ab + be + ca = 16 También; {a + b + c f = a^ +
L = x * ( -x ) + y '( - y ) + z ^ - z ) ^ -(x ^ + y^ + z^: x 2 + y9 + z 7 X2 + y 2 + z ?
2(a^ + b^ + c^) + 6abc 43
Luego, tenemos: abe= 12 Reemplazando en la expresión pedida: (7)(12) L= 16
, _5
x^+y^ + z^
6
+ y"* + Z^)
Luego: L = ^ ( x ^ + y^ +z^) ; O 4.
Pero: x^ + y^ + z^ = 3xyz ^ L = :^ (3 x y z ) 2.
.. L = ^x y z
SI X y su inverso multiplicativo suman 3. calcular: . 1. E = [ x " + ( 1 ) '] [ x - + {3Í)-]
Resoiución; Por dato: x +
= 3 =? |x +
Dadas las condiciones: a + b + c = 1; a^ + b^+ c^ = 9 y a'^ +
Transformando la expresión pedida: R= a V b V c '* abe Por la identidad: (a + b + c)^ = 3(a + b + c)(a' + b^ + c^) -
= 27
= x' + -L + 3(3) = 27 ^ x ' + ^ = 18 x^ x^ Efectuando en la expresión pedida;
E = 20
1
Si: a" + b" + c" = 17 ^ a '+ b' + c" = 43 y (a + b f + (b + c f + (c + a f = 66 calcular; IL _
a+ b+ c a 1+, b . 1+ c’ 1
9 2(a^ + b^ + c^) + 6abc s
De aqui: abe = ~4 =* ( a + b + c f
= a^ + b^ + c" + 2 (a b + be + a c)
1 9 De donde: ab + be + ca = - 4 (ab + be + c a f = aV + b V + c V + 2abe(a + b + c) -4 1 Luego: a^b^ + b V + c^a^ = 24 Por último; ( +
3.
+ c^ = 1
calcular: R = ^ + — + -% ; (abe ^ 0) be ca ab ' ' Resolución;
x = + i + 3 x (l)(x + l ) = 27
=» E = 18 + 2
16
Como; (a + b + cf = 3(a + b + c) (a^ + b' + c^) 343 7 ' 17
x^ + y^ + z^ \ / x^ + / +z®\ _ X®+ y® + z® 2 /\ 3 / 5 (Ver igualdades condicionales) =
+ c^ + 2(ab + be + ca) 17
a+ b+ c= 7
Se sabe que:
. . ,5
i B " “"
Resolución; La expresión pedida puede escribirse: ^ _ (a + b + c)abc ~ ab + ac + be
Resolución; Agrupando en el numerador en forma adecuada y utilizando la condición : x^(y + z) + y^z + X) + z ^x + y) x^ + y^ + z'
.5
=. y- 2(2a' + 2b' + 2c']
y = 4(a^ + b^ + c^)
b^ + c^ f = a* + b'* + c" 81 + 2(a^b"' + b^e^ + c V '
a" + b" + c" = 33
R=
5.
Resolución:
Si (a - b f + (b - c f + (c - a f = 1. calcular: S = {a - 2b + c)(b - 2c + a) + (b - 2c + aKc - 2a + b)+ (c - 2a + b)(a - 2b + c)
Sabemos que; (a"+ b^ + c ^ f ^ a* + b V c^ + 2(a^b^-f c^a^+ b V ) 83 19 => + b^ + ^ 11 • (a + b + c)^ = a^ + _b^ + c^- + 2(ab + be ^ + ca)-
Resolución; Escribiendo la expresión pedida en función de; (a - b), (b - c) y (c - a); Tenemos; S = I(a - b) - (b - c)I(b - c) - (c - a)] + ((b - c) - (c - a)][(c - a) - (a - b)] + [(c - a) - (a - b)l((a - b) - (b - c)]
•
Haciendo; (a - b) = m; {b - c) = n; (c - a) = p
=9 a ' + b^ + c^ = 3abc + 20
De donde; m + n + p = O S = (m - n)(n - p) + (n - p)(p - m) + (p - m)(m - n) S = mn - n^ ~ mp + np + np - mn - p^ + mp + mp - pn + mn S = mn + pm + np - (m^ + n^ + p^) Del dato:
- a+b+e=5 a^ + b^ + c^ - 3abc = (a + b + c)' -3(ab+ be+ ca)(a + b + e) = 20
Reemplazando; ^ _ 3abe + 20 - 11 abe + 3
_ 3(abc -t- 3) (abe + 3 )
.^ = 3
+ n^ + p^ = 1
Además; m + n + p = O ( m + n - h p f
=
+ n^ + p^ + 2 ( m n +
n p +
pm )
cón (as ccA vd^ion^ p»,e)w sof^: mámñitíMiacio: ' .
O 1 => mn + np + pm = Reemplazando: S = -
6.
^ . p f o t^
i : a = 3: b = í; ^ » 1 -
Si: x + y = J7xy, calcular: E = { - + 1 f + (-^ + 1)® y X
Como se cbser^ « i to le tein^^ns
Resolución; Elevando el dato al cuadrado;
8.
x^ + / = 5xy=> - + ^ = 5 ' ' y X (£ + i ) + (y + 1) = 7 Vy ' '■X ' Haciendo: - + 1 = a ; y
Resolución: Sea A el valor pedido:
- + 1= b X
Luego; a + b = 7 También; ab =
A= ( í ± ! í + í ^ : b
...(I)
Elevando al cuadrado ia expresión (1); a* + b^ + 2ab = 49 => a^ + b" = 35 Elevando al cubo la expresión (I): + b" + 3ab(a + b) = 343 ^
... (II) 9. = 196...(IJI)
X(lll);a® + a^b^ + a^b^ + b® = (35)(196)
Agrupando: a® + b® + (ab)^{a + b) = (35) (196) a®+ b® = (35){196) - (ab)^{a + b) a®+ b® = (35)(196) - (7)'(7) E = 6517 7.
Si; a“ + b'* + c“ = 83; a^b^ + b^c'^ + A ab + be + ca = 7 calcular; E = a^ + b' + e^ - 11 abe + 3
^19
+^
a
b+ c
a+ c
a + b,
De la condición: a + b + e = 0; se obtiene: a + b = - c ; a + c = -b ; b + c = -a Luego en A; A = (-1 -1 -1 )(-1 -1 -1 )= (-3 )(-3 ) A= 9
= 7
Se pide: E = a® + b®
(11)
Si: a + b + c = 0; que valor asume: a + b , a + c , b+c _ ^ + _ ^ + _ 2 _ c b a b+c a+c a+b
Si: a + b + e = 3; con a # 0 ;b í¿ 1 a c # 2 a^ + ( b - 1 ) ' + ( c - 2 ) ' c a ic u a re lv a b rd e :------ —a (b -1 )(c -2 ) Resolución: De la condición; a + b + c = 3 =» a + b + c = 1 + 2 =» a + (b - 1) + (e - 2) = O Luego se cumple que; a’ + (b - 1)^ + (c - 2 f = 3a(b - 1)(c - 2) Sea P el valor pedido: P = ^ ^ 3 a (b - 1 )(e -2 ) P= a (b -1 )(c -2 )
a (b -1 )(c -2 )
10.
Del dato; a + b + c = 0; luego se cumple que: a^ + b^ + = Sabe (3abc) - (0) Sabe S= (Sabe) + (0) Sabe S= 1
Si se cumple: - 3x + 1 = O calcular el valor de; ^ - x + x X® Resolución: Sea A el valor pedido, es decir: A
_
X
-
X
e
+ X
_
2< 1_2 C
j:
,
e “t"
14. Si; p - q - r = 2 T = p2 + q^ + r".
-
A = x‘^ - 1 + -!t =»A = x^ + - V - 1 x““ x" De la condición: -3 x + 1 = 0 ; =. x' + 1 = 3x =>
-O )
= 3 « x + -= 3
X
X
Elevando al cuadrado; x^ + - ^ = 7
... (II)
X
Finalmente reemplazando (II) en (I) se tendrá: A= 6 11.
Hallar el equivalente de: (x' + x - 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3).
a
pq + pr = qr. hallar el valor de
Resolución: Datos; p - q - r = 2 ,..(l) pq + pr - qr = O ,..(ll) Elevando (I) al cuadrado; p' + q^ + r^ - 2pq - 2pr + 2qr = 4 =. p^ + q^ + r^ - 2(pq + pr - qr) = 4 O T = p^ + q^ + r^ = 4 15. Si; X =
hal l ar el valor de: ■ •/s -i R ^ (x' + 2 x + 1 )‘‘ + ( x '- 2 x + 1 ) " (x ^ + 2 x + 1 )* -(x ^ ~ 2 x + 1 ) * 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3) Resolución: Reacomodando la expresión para utilizar ta 1.® R se puede escribir así: equivalencia de Steven; B = (x^ + X 4)^ - (X - 2)(x + 3)(x - p1)(x _ [+( x + i )2) ^ r + [( x - i) ^ r _ ( x + i) U ( x ~ i) ^ B = (x' + X 4)^ - (x" + X 6)(x' + X - 2)[ ( x + 1 ) ' f - [ ( x - 1 ) ' f (x + 1 )« -(x -1 )' Resolución; Sea B el equivalente: B = (x" + X -
Hagamos: x^ + x = m =» B = (m - 4)^ - (m - 6) (m - 2) B = m^ - 8m + 16 - m" + 8m - 12 = 16 - 12 .-.8 = 4 12.
Del dato; -j = V3 + 1 V3 - 1
Por propiedad de proporciones: ^X + ^
^
Si: 5a + 5c + ac = O, calcular el valor de
5ac (a + 5)(5 + c)(a + c)
Resolución: Sea R el valor pedido; R =
5ac (5 + a)(5 + c)(a + c)
Efectuando la multiplicación indicada; 5ac R (25 + 5a + 5c + ac) (a + c) Como: 5a + 5c + ac = 0; R= 5ac _ ac (25)(a + c) 5(a + c) También del dato: ac = -5 (a + c)
Nuevamente, propiedad de proporciones; (x + 1 )V (x -1 )^ 9+1 - p - 10 _ 5 (x + 1 )® -(x -1 )® 9 -1 EstoesR
16. Si; X + y + z = 2; x^ + / + = 2. hallar el valor de: E = x"(x - 2) + y"(y - 2) + z"(z - 2) - Sxyz. Resolución; Efectuando; E = x^ + y^ +
- 2(x '+ y ' + z^) - Sxyz 2
5(a + 0) 13.
Si: a = 2 + /3 ; b = 1 - 2 /3 A c = Vs - 3, hallar el valor de: a(a + 1)(a - 1) + b(b + 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1) a(bc + 1) + b(ac + 1) + c(ab + 1) Resolución: Sea S el valor pedido: a(a + 1)(a - 1) + b(b+ 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1) a(bc + 1) + b(ac+ 1) +c(ab+ 1) Efectuando en el numerador y denominador: S = (a^ + b ^ + c ^ )-(a + b + c) (3abc) + (a + b + c)
=» E = (x^ + y^ + z® - Sxyz) - 4 Sabemos que; x^ + y^ + z^ - Sxyz = (x + y + z)(x^ + / + z^- xy - xz - yz) ...(a) De los datos; x + y + z = 2 ...(I) x^ + / + z^ =2 ...(II) Hallemos: xy + xz + yz Elevando (I) al cuadrado: x^ + / + z^ + 2(xy + xz + yz) = 4 2 =»
xy
+
XZ +
yz
=
1
En (a); x "+ /+ z "-3 x y z = (2K2 - 1) = 2 E = 2 - 4 = -2
17. S i ; - + -r + - = -:— i!— a b c a+b+c
Resolución;
hallar el valor de:
Dato: (X + y + z + w)^ + (x + y - z -- w)^ = 4(x + y)(z + w)
a + b + c)®- a® - b®- c® a^b^ + b^c^ + a^c^
Por la segunda identidad de Legendre, se tiene: (X + y + z + w)^ - (x + y - z - w)^ = 4 (x + yXz + w)
Resolución;
De donde, sumando, resulta que: (x + y - z -w /)^ = 0 => x + y - z - v^ = 0 De aquí: x - z = w - y a x - w = z - y X- z ' X - v>/' = (1^+f)^ z -y , w - y ,.
De: 1 + 1 + 1 = ^ a b c a+b+c => (be + ac + ab){a + b + c) = abe (a + b + c)(ab + be + ac) - abe = O conocido Conocido: (a + b)( b + c)(c + a) = O Si asumimos: a + b = 0 = » a = - b -b ® + b "c ^ -b "c " P= 2
S=
21. Si: g-+ ^ . ^ + ^.+ ^ + -l = 4 ; a # 1 , b # - 2 : 9 —
D
I
hallar el valor de: _______ 54_______ a^ - b ^ - 3ab(a - b)
-b®
a“ - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b* 27
Resolución; Si se asume que: b + c = 0 obtiene lo mismo (verificar). 18. Si:
v
p g :
c + a = 0, se
1+ b + 2 , a-1 + a-1^b+2
Resolución:
^
1=4
b + 2 , a-1 = 2 = a - 1 = b + 2 a-1 b+2
Del dato: x^ - 3x + 1 = O x^+ 1 = 3 » x + — = 3 X 1 Al cuadrado: x + -^ + 2= 9 1 ^ ~ = 7 x x" + 1 = 3x
=> a - b = 3 Tenga en cuenta que: - 3ab(a - b) = {a - b)^ a* - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b^ = (a - b)* (a - b)^ T = 54 T - f + I - 2 + 3-5 27 (a-b)^
Al cubo: X® + 4 + 3xV 4 Í íx^ + 4 \ = 7"
^ X®+ ^
=4
a-1+b+2.a-1+b+2 a-1 b+ 2
- 3x + 1 = O, calcular: E = x® + -1 X®
« X“ + ^
a ^ L ^ + a + ^ a -1 b+2
+ 3(7) = r
22. Si: ''ímñ +
= 6 =» ‘-/m^~n^ -
calcular: */mñ -
= 7" - 3(7) = 7(7^ - 3)
= 24
donde; {p; q; m; n} c Ití*
Resotución: De los datos: (Vmn)^ - (*^M)^ = 24
E = X« + 4 = 322 X®
Por diferencia de cuadrados:
19. Sia A b e ffi - {0>; a + bí¿ OA 1 ~ ^ a a+b
a+b
b
a ;b e E -{ 0 }
1a + 1b =
a
a + b# 0
a
1 ^ a a+b
3 a+b
1 b
= O
j _ a^+ b^a 4 3a^b, j _ + 3a^ ab^ + 3a^b + b a + 3a + a T= 1 20. Si: (X+y + 2 + w)^ + (x + y - z - w)^ = 4(x + y){z + w). ha llar el valor de: S = ( — lw- y
X- w 2-y
“Vmñ -
= 4
23. Reducir: (a + b)^ + (a - b)^ - 8a^ + 6a(a - b)(a + b)
(a + b)^ = 4ab
a+ b =» + b^ = 2ab =» 2ab + =» (a - b)^ = O =» a = b
- Vm) = 24
(6)(*Vrññ - “/ m ) = 24
hallar el valor de: T = a^+b^a + 3a^b ab" + 3a^b + b'
Resolución:
(Vrññ +
Resolución; Sea A la expresión dada, la cual se podrá escribir así: A = (a + b)’ + (a - b)^ + 6a(a - b)(a + b) - 8a^ Reacomodando el segundo miembro; A = (a + b)® + (a - b)^ + 3(2a)( a - b)( a + b) - 8a^ A = (a + b)^ + (a - b)^ + 3(a - b )(a + b)[(a + b) + (a - b)] - 8a^ Notar que la expresión de arriba fue obtenida por ser un binomio al cubo. A = 1(3 + b) + (a - b)]^ - 8a^ ^ A = [2 a f - 8a^ =5 A = 8a^ - 0a^ A= o
24.
27. Si; a , b, c e E -{0}
Si; X + y + z = O, hallar el valor de: (x + y - 2 z f f (y + z + (x + z xyz
2y)^
z -
2x)^ +
(x +
z-
2y)^
(a^ - ab + b^)(a + b) + c^
De la condición: x - y + z = 0: se obtiene: X + y = -z: y + z = - X A X + z = - y Reemplazando: -27(x^+y^ + z^ .. (-3z)^ + (-3xl^ + (-3y)^ R R= xyz xyz Como: x + y + z = 0 = = 3xyz p _ -27(3xyz) _ (27)(3) •. R = -81 ^ xyz 25. Si se cumple: ^(ab)"''’" '' = —
4 calcular el valor de: A = [(a + b)^ - (a - b)^] [{a^ + b')^ - (a' - b^)^]... ,..[(a" + b ")'-(a '’ - b T ] Resolución:
n factores
A = 4"(ab)'*^' " - A = 4"(ab) ^ = 4"J(ab)" x^ + 0^ + 2xc = O
Hagamos los cambios: xy = a; yz = b; xz = c =;> ac - b^ + ab - c^ + be = O => a^ + b^ + - ab - be - ac = O conocido ^ [(a - b f + (b - c r + (c - 3)1 = O =» (a - b)^ + (b - c)^ + (c - a)^ = O
(x + e)^ = O =9 X = - c Regresando a tas variables iniciales, obtenemos: x = a - b = - c =» a = b - c • b -c _ ^ a 36.
Para que la suma de cuadrados valga O, la única posibilidad es que cada sumando tiene valor 0. a ~ b = Q: b - c = 0: c - a = O a= b b= c c=a Reponiendo: xy = yz; yz = xz; xy = xz =s y = z; z = x; Luego: x = y = z = k j ^ (2k)(2k){2k) _ 8k^ 3k-^ Sk-“ 33.
Si se cumple que: (a - b - c)^ - (a - b + c)^ = 2{(a - b)^ + c*}
Si tenemos que 2^* + 2~*' - 47, halle el valor de: 2” + 2 -
Resolución: Completamos el trinomio cuadrado perfecto; 2*”+ 2 '^ + 2 = 49 (2^“ + 2-'*)^ = 49 ^ (2^‘ + 2'2’-) = 7
y= x
Razonando de igual forma obtenemos: (22. + 2'^* + 2) = 9
T = 8/3
(2« + 2 - ‘ f = 9 => 2 ' + 2 ' = 3
Si: (a + b + c + d)^ = 4(a + b)(c + d), hallar el valor de: 8 =
d- b
+
37.
d- a
Si x + 1 =
1;
X
halle el valor de; x® + -7 X®
Resolución:
Resolución:
En el dato, hagamos los cambios; a + b = x;c + d = y =» (x + y)^ = 4xy => x^ + 2xy + / = 4xy =» (x - y)^ = O
Para obtener la suma de potencias quintas, pode mos multiplicar la suma de cubos por la suma de
cuadrados.
=» 3(x + y + z)^ = 51(x + y + z) -7 8 Vemos que: x + y + z = 2
=^x + y + ( z - 2) = 0 ...(1) Como: a + b + c = 0 =» a^ + b^ + c^ = Sabe De (1): x' + y^ + (z - 2)' = Sxy (z - 2) x' + y^ + ( z - 2)'
■('} Del dato tenemos; 1 ■= 1 2 = , X + -L X/ x+1
X
X + -Í-)
x/
x=+ 4 +
2 = 1
x^
P=
== 1^
x' + -V = -1 X
= 1'
x 3 + , + 3 x ( l) ( x + | | = 1
= f = * x ' + 4
x^
40.
= 1 - 3 = 2
X®
+ -L = 1 X®
38.
Si: x’
+
=
3xyz, encontrar el equivalente de;
T = n-1 | x + y + z gabiendo que; x + y + z ^ ( x + y + zj'
O
41.
Resolución:
Dato: x^ + y^ + z^ - Sxyz = O
Calcular: P = b - a
b -c
Efectuando: b -a b+c P= b + a b -c
...{1} ...(2)
b+ c b+ a
a -b a -c
a+ c a+ b
Como: x + y + Z i¿ 0 = > la única posibilidad es que: (X - y)^ + (y - z f + (z - x)' - O
P = b - a b + 3a b + a b -a
y zx = y = z x
Luego la expresión propuesta equivale a:
a+c a -c
( 1)
a + b = 2 = 0 - 2ab Pero: 1 + 1 = 1 a bb e ab c a+ b Reemplazando el valor de c en la expresión (1); h , 2ab a + 2ab a+ b a+b P = b -a b+ a b 2ab 2ab. a+ b a+ b
l ( x + y + z)í(x - y f + (y - z)= + {z - x)^] = O
T = n-
Reducir; M = (m - n + p - q)^ - (m - n + p)^ + Sq(m - n + p - q)(m - n + p)
Resolución:
Igualando (1) y (2):
Se debe cumplir que: ( x - y f = 0=» x - y = 0 =» x = (y -z )^ = 0 = y - z = 0 = » y = { z - x ) ^ = 0 =^ z - x = 0 => z =
P = -6
si; 1 + 1 = 1 a b e
Se sabe que: x^ + y^ + z - 3xyz = 1 ^ (x +y +z) ({x - y)^ + (y - z)^ + (z - x f l
x ' + y S (z -2 )^ - Sz xy
Resolución: Hacemos un cambio de variable: m - n + p = x Reemplazando; M = (x - q)^ - (x)' + Sq(x - q) (x) M = x^ - Sx^q + 3xq^ - q^ - x^ + (3qx^- Sq^x) M = -q '
Reemplazamos en (1): (-1 ) (-2 ) = x^ + - ^ + 1 .-.
= 3z - 6
xy
P
42.
x" + x" + x" _ ^_,|_3x^ _ p_i| 3x" (x + x + x)" (Sxy' S^x'’
T=
= (b -a ) (b + a)
a + Sb a -b
4(b + a) (b -a )
P= 4
Determinar la expresión algebraica p para que la siguiente igualdad; p2 = (x^ + / + z^ + p)^ - (X + y + zf{%^ + y^ + z^) se convierta en identidad.
Resolución: 39.
Si; x^ + y^ + z^ = 5.6; x^ + y^ + 2^ = 7 A xyz = - 2
Sea; x^ + y^ + z^ = a (x + y + z)' = x^ + y'+ z^ + 2(xy + yz + xz) (x + y + z f ^ a + 2(xy + yz + xz) « = (a + p)^ - [a + 2{xy + yz + xz)]a Efectuando operaciones y reduciendo quedará; 2ap = 2a (xy + yz + zx) p = xy + yz + zx
^ x^ + y^ + (z - 2 f detemiinar el valor de: P = -3 z xy Resolución: Recordemos la siguiente identidad: (x + y + z f s 3(x^ + y^ + z^){x + y + z) 2(x’ + y' + z') + 6xyz En nuestro caso, reemplazando datos; (x + y + z)^ ^ 3 ( |í) ( x + y + z) - 2(7) + 6 (- 2)
43.
Si a + b + c =
+ b^ +
= 1,
calcular: a’ + b* + c^ - 3ab a'' + b'* I c“ - 4abc
Resolución:
Dato: a + b + c = 1 Elevando al cuadrado: a^ + 4- 2(ab + be + ac) = 1
La suma de cuadrados de números reales igual a O, implica que cada sumando (base) vale 0. « a - b = 0, b - c = 0, c = a = 0, x = 0. y = 0,z = 0
1
^ ab + be + ac = O Sabemos que; (a^+ b^ + c^)^ = a'’ + b“* + e'* + 2(a^b^ + b V + aV) .. .(I) Además: (ab + be + ac)^ = a^b^ + b^e^ + + 2abe (a + b + c) O 1 Usando los datos; a^b^ + b^c^ + a^c^ = - 2abc En (I): (1)" = a" + b" + e" + 2(-2abc) => a“* + b“ + c“" - 4abc = 1 También sabemos que: a^ + b^+ c^ = (a + b + c)^ 3(a + b + c)(ab+ be + ac) + 3abc
De aquí; a = b = C A x = y = z = 0 Luego, en lo que nos piden: 3a' 46.
(a -b )^
Dato:
2(x + y)^ + 2(z + w)^ = [(x + y) + (z + v\/)]^ [(X + y) - (z + w)]^ Hacemos: x + y = a;z + v\/ = b En el dato: 2a^ + 2b^ = (a +b)^ - (a - b)^ 2a' + 2b' = 4ab =» 2a' - 4ab + 2b' = O a "- 2ab + b'^ = O => (a - b)' = O^ a = b De donde; x + y = z + víí •z + w
( c - a )"
( b - e )
(e -a )(a -b )
En M:
(a -b )(b -c )
Hagamos los cambios: a - b = x, b - e = y, c - a = z
47.
X
+
y
1¿ +
z
-.(a )
-
(c + a) ca
De las dos condiciones, se obtiene: (a^e + b'a + c'b) + (b'c + e'a -»• a'b) = 12abc + 18abc => a'c + b'^a + e‘ b + b'c + c'a + a'b = 30 abe ... (u) Transformemos lo que nos piden: c(a + b)' + a(b + e)' + b(c + a)^ abe
3
Si {a: b; c; x; y; z} c IR, que verifica: (a + b+ c)^ = 3(ab + be + ea - x^ - y^ - z^) hallar el valor de:
ea^ + 2abc + cb*^ + ab' + 2abc + ac^ + be + 2abe + ba abe
a^ + b^ + c^ b^ + c^)(a= + b^+c®
Agrupando en el numerador: (ea' + cb' + ab' + ae' + be' + ba') + 6abe abe
Resolución:
De la condición: a^ + b^ + c^ + 2(ab + be + ac) = 3(ab + be + ae) 3(x^ + +z^) => a^ + b^ + c^ - ab - be - ac + 3(x^ + / +z^) = O Multiplicamos por 2 y desdoblamos: + a^ + ¿^ + b^ + c^ + - 2ab - 2^ ~ 2gg + 6(x^ + / + z^) - O Agrupando como se indica: (a - b)^ + (b - c)^ + (c - a)^ + 6(x^ + y^ + z^) = O
lo
(a + b) , (b + e f ab be
Resolución:
Pero de los cambios vemos que: x + y + z = O, entonces se cumple que: x^ + y'’ + z^ = 3xyz Reempiazando en (a ) :
Si que se cumple:
calcular:
xyz
(x' + y" + z-* + :
I z + w/
a ‘ o + b;a + c^b , 3,^^ ^ b^c + c^a + a ‘ b ^
Nos piden: — + — + — yz zx xy
45.
M=
M= 1
Resolución:
Operando se tiene:
H \ z +^w r/
Resolución:
Simplificar: (b -e )(c -a )
Si: 2(x + y)^ + 2{z + w)^ = ( X + y + z + w)^ - (x + y - z - w f hallar: M
Con los datos: a^ + b^ + e^ = (1)^ - 3(1)(0) + Sabe =í a^ + b^ + c^ - 3abc = 1 Reemplazando en lo pedido: a^+ b^ + c^ - 3abc c - 4abc 44.
= 27 3a' = 9 9a"
(3a^)(3a'
Usando (a), se obtiene: 30abc + 6abc 36abc = 36 abe
48.
abe
Si; ( x + b)^ + ( X + c f = O ...(1) (x + a)(x-*-b) (x + a)(xrc) (x + b)(x+c) - 1 .,.(2) x+b hallar:
(x + b)(x + c|
Resotución; Efectuando operaciones en la expresión (2): (X + a f (x + b f + (x + a f ( x + c f + (x + b f (x +
cf
M a ^ b ^ + c - ^ f - S la V b ^ T c ^ a- + b“ + c'’
(x + a){x + b)(x + c)
Agrupando términos en eí numerador; O (x + a f[(x + b f + (x + c f ] + ( X + b f( x + c f _ (x + a){x + b)(x + c)
+ b)(x + c) = 1 (x + a)
■ ^(a'* + b‘' + c‘*) ^ . a^ + b V c " 51. Si x^ + 4 r = y"
rs j (x + b f( x + c f . De donde; — ^— ., . ., — - = 1 ( x + a ) { x + b)(x + c ) (X
=. (a^ + b' + c^f = 2(3“ + b" + c") Al cuadrado; (a^ + b^ + c^)^ = 4(a“ + b* + c*)^ Reemplazando en lo que nos piden;
+ -T = 1• hallar el valor de (xyz)’“ - 1 z'
Resolución; De la condición: x^ + 4 r = 1 y
x+a = 1 (x + b)(x + c)
=» x V + 1 = y^ => x y = y^ - 1
49. Si: ( 1 + a 'x)(a + y)(1 + a ’z) = a + x + y + z, calcular; P = x ^ + y’ ’ + z’ ’
Resolución; Con el dato: (1 + f—)(a ) ( a + yy)) (1 ( 1++ -f : ) = a + (x + y + z)
Además: y ^ + 4 r = 1 =» -V = 1 - y ^ 2 z 1 Invirtiendo: z^ = (P) 1 -y ^ 1 L - ( y ^ - i)
(a )x (p ): x y z ^ = (y ^ - 1 )
'a + X )(a + y ) ( i ^ ) = a + (x + y + z)
...(a )
=
-1
Elevando a la 34: (xyz)'°^ = 1 (xyz)'^^ - 1 = 0 + z) = + a^(x + y + z) z) + a(xy+ yz + 52. zx) +Reducir: xyz = a^ + a^(x + y + z) (x^ + x + l f - 2 ( x '* + x^+ 1) + ( x ^ - x + l f =» a(xy + yz + zx) = -xyz (x^ + / 3 f + 2(x^ - 3) + (x' - i 3 f ^ xy + yz + zx _ 1 ^ xy ^ yz ^ 2x ^ 1 Resolución: xyz a xyz xyz xyz a => (a + x)(a a^ + a'(x +
+ y)(a y+
^ l+ I + I . - l z X y a
I S
En P: P = z’ ’ + X"’ + y ’ ■' + c'’f
_______________________________
Observamos que el numerador (N) y denominador (D) son trinomios cuadrados perfectos. N = (x' + X + 1)' - 2(x' + X + 1)(x' - x + 1) + (x' -
Resolución; Recordando la identidad condicional; a + b + c = 0=> (a' + b^ + c^)^ = 2{a' + b‘ + c^) Además, si: a + b + c = 0 = » a + b = - c Elevamos al cuadrado: a' + b' + 2ab = c^ => a^ + b^ - c^ = -2ab Volvemos a elevar al cuadrado: a" + b" + c" + 2a"b' - 2 b V - 2a'c" = 4 a V =* a^ + b“ + c'‘ = 2(a'b^ + b^c^ + a^c')
...(a )
También; a + b + c = O => a^ + b^ + c^ = -2(ab + be + ac)
Elevando al cuadrado nuevamente: (a^ + b^ + c^f = 4[(a^b* + b^c^ +a^c^ + 2abc(a + b + c)] O
De aqui, decimos: (a^ + b^ +
B
x“ + X^ + 1 = (x^ + X + 1)(x^ - x + 1)
P= -1 a
50. Si se cumple que: a + b + c = 0. hallar el valor de; j(a^ + b' + c^)'* - 3(a^ + a V b" + c"
Ü
^
= 2(a"b^ +
Reemplazamos en (a): a- + b- + c * = Í 2 - ^ ± ^
+ a'c^)
X +
1)'
^ N = [{x' + X + 1) - (x' - X + 1 )f ^ N = (2x)* Como; x" - 3 = (x' + /3 )(x' - / 3 ) D = (x" + i 3 f + 2(x' + -/3)(x' -V 3 ) + { x ^ - - Í3 f ^ D = [(x' + ¡3 ) + {x^~ i 3 ) f = D = (2x^)^ Luego:
D
N '■ D
4x‘
53. Si:. x - z , z - y
hallar;
=
X
= 1, (x +
y ) ( z - y )
+
Resolución: Del dato; (x - z)(x + y) + z' = (x + y)(z - y) ^ (X - z)(x + y) - ( X + y)(z - y) + z' = O « (X + y)(x - z - z + y) + z' = 0 ( X + y)(x + y - 2z) + z^ = 0 =. (x
+ y)^ - 2(x + y)z + = O =»(x+y - z)^ = O
TCP
De aquí; x + y = z
D = [2a' + 2b' + 2ab]' ^ D = 4(a' + b' + ab)^ z - y=
X
Reemplazando en lo pedido: 'Z,2 X\2 54.
57.
Si + be + bd + cd = O, calcular: (a + b)(a + c)(a + d) (b + c)(b + d)(c + d)
Resolución;;
(F T ^ K ÍT ^ X ÍT d ) = 5
Lueao' ^ ^ D
58.
59.
2
Si:a+ b + c = 1, hallar el valor de: __________ 1 - Sabe__________ 2(a^ + b^ + c^) - 3(a' + b^ + c^)
Reducir: T = (m - n + p - q)^ - (m - n + p)^ + 3q(m - n + p)(m - n + p - q) + q^
Si:
^ = 1 , calcular: x -1 y
(1 + y ')(1 + x ' (x + y f Resolución:
Los datos los elevaremos al cubo: (a + b)^ = = a^ + 3a^b + 3ab" + b^ = 3 ,..(l) (a - b)^ = ^V3^=* a^ - 3a'b + 3ab' - b^ = 2 ,..(ll) Sumando (!) y (II): 2a^ + 6ab^ = 5 ^ 2 a (a '+ 3b') - 5 ...(lll) Restando (I) y (II); 2b^ + 6a^b = 1 ^ 2b(b^ + 3a^) = 1 ...(IV) (lll) X (IV): 4ab(a' + 3b")(b^ + 3a^) = 5
(x + y)' ( 1 + y ')( 1 +x^)
Del dato: xy + y = - x + 1 => xy + x + y = 1 Elevando al cuadrado: x V + x' + y '+ 2x'y + 2xy' + 2xy = 1 2xy( x + y + 1) Pero: x + y = 1 - xy •••(a) => + / + 2xy(2 - xy) = 1 Sumando 1 y transponiendo términos: 1 + 2^ + x' + / = 2 - 2xy(2 - xy)
56. Encontrar el valor numérico de la expresión: a“ + b" + (a + b)^ P= para; a = 73 - 1;
(1 + x') + y'(1 + x ') = 2(1 - 2xy + x V )
[a^ + b^ + ( a + b)^]"
(1 + x')(1 + / ) = 2(1 - xy)=
b = '/V2TV3
Reemplazando (a); (1 + x')(1 + / ) = 2(x + y)^ 2(x + y f (x + y)' _ 1 5 (x + y f 2(x + y f ^2 2
Resolución:
D = [a' + b' + a' + 2ab + b']'
- p ^ I
Resolución: Sea: m - n + p = x, reemplazando en T: T = ( X - q)' - x' + 3qx (x - q) + q' T = x^ - 3xq(x - q) - x^ + 3qx(x - q) + T= 0
Resolución:
Efectuando operaciones en el numerador (N) de P se tiene: N = a" + b" + a"+ 4a®b + 6a^b' + 4ab' + b" N = 2a" + 4a^b + 6 a V + 4ab' + 2b“ N = 2[a‘' + 2a^b + 3a^b^ + 2ab^ + b"] Desdoblemos: 3a'b^ en 2a'b^ y a'b' N = 2[(a" + 2 a V + b") + (2a^b + 2ab') + a^b^] N = 2[(a^ + b')^ + 2ab(a' + b^) + a^b^ N = 2[(a' + b') + ab]' « N = 2[a' + ab + b']' El denominador (D) de P se puede escribir;
4{a^ + ab + h ^ f
2(a^ + b^ + c^) - 3 (a '+ b^ + e^)
+ c)(b + d)(c + d) (b + c)(b + d)(c + d)
55. Si a + b = -/3 y a - b = V 2, determinar el valor de: 4ab(a^ + 3b^)(b^ + 3a^)
2(a^ + ab + b^)^
D
Resolución; Sabemos que: {a + b + c)^ = 3(a' + b' + c')(a + b + e) 2{a^+ b^ + c’ ) + 6abc Reemplazando el dato: a + b + e = 1 ^ = 3(a' + b' + e')(1) - 2(a^ + b' + c') + 6abe => 1- 6abe = - (2(a^+ b^ + c^) - 3(a' + b^+ c^)] 1 - 6abc = -1
Sabemos que: (a + b + c)(ab + be + ac) - abe = (a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(a + c)(a + d) n Trabajamos con el numerador (N): N = a^ + (b + o + d)a^ + (be + bd + cd)a + bcd Del dato: be + bd + cd = -a^ =^ N = (a^ + (b + c + d)a^ + (-a^)a + bcd =s N = (b + c + d)[-(bc + bd + cd)]+ bcd =» N = - [(b -t- c + d) (be + bd + cd) - bcd] conocido por identidad Reemplazando: N = - (b + c)(b + d)(c + d)
N
60.
En base a las condiciones; m' + n' + p' = 16: mn + np + pm = - 6; mnp = 4 calcular eí valor de: m'^n + n‘ p + p'm + m^p + n‘ m + p^n además; (m + n + p)” ' < O Resolución: Transformemos lo que nos piden (agrupamos): (m*n + n*m) + (n*p + p^n) + (p‘‘m + m^p) = m n(m ^ + n^) + np(n^ + p^) + pm (p^ + m ’ ) . . . ( l)
Reemplazando arriba, se tiene; 3 /a x /b x /c = 3 /a x /b x /c
Del dato: + n' + p' + 2(mn + np + pm) = 16 - 2(6) (m + n + p f De aqui: m + n + p = 2 o m + n + p = - 2 Tomamos: m + n + p = - 2 (por dato) Sabemos que: m^ + + p’ = (m + n + p)^ 3(m + n + p)(mn + mp + np) + 3mnp Usando los datos tenemos: + n^ + p' = (- 2 )' - 3 (-2 )(-6 ) + 3(4) => + n^ + p^ = -3 2 Usando en (I): = mn(-32 - p^) + np(-32 - m®) + mn (-3 2 - n^)
63. Si; a - b b + c A c + a > 1, determinar: b + c - 2a' P = a - 2b -^c , / a - b - 2c b / \ c / \ a Resolución: Del dato: a^ - ab = be + c^ =» a^ - c^ = ab + be => (a + c)(a - c) = b(a + c) _ . a- b= c De aquí; a - c = b i . b+ c= a Reemplazando en lo que nos piden: P = b -2 b \ + (c - 2 e f ^ / a - 2 a
Agrupando adecuadamente: = ~ 32(mn + np + mp) - mnp^ - npm^ - mpn^ = - 32(mn + np + mp) - mnp(p^ + + n^) (-6) Efectuando resulta: 128
(16)
P= 64.
61. Reducir la expresión:
b /
\ c
' a
Si se verifica que; V/x + 1 + ^//x + 1 = 1 , calcular el valor numérico de la expresión: T(x) = 64x^ - 129x^ + 876x Resoiución:
Í4(a" + b' + c')-(a + b - c)^'-(a - b + c)' - (b + c - af siendo: a + b + c = 2p
Elevando al cubo el dato: (V/x + 1 + V/x - l f = [ l f Desarrollando:______ /x + 1 + 3V(/x + 1)(/x-11(V/x + 1+ V/x-1) + /x - 1 = 1 liDatoi 2/x + 3 ^ / j n = 1 ^ 3 ^ / x ^ = 1 - 2/x ...(I) Elevando al cubo ambos miembros de (I): [3 ^ /> r ^ f = [1 - 2 /x]^ =» 27(x - 1) = 1 - 3(2 /x ) + 3(4x) - (4x)(2 /x ) = 6/x + 8x/x - 28 - 15x ...(II) Elevando al cuadrado ambos miembros de (II): 36x + 96x' + 64x' = 784 - 840x + 225x' =. 64x^ - 129x^ + 876x = 784 TM T(x) =784
Resolución:
La expresión pedida se puede escribir: J(2af+ (2bf+ (2c f-(a + b - c f- ( a - b + cf-^(b~+"c^af Sea: a + b - c = x, a - b + c = y = b + c - a = z De aqui podemos decir que: X + y = 2a, X + z = 2b, y + z = 2c Ademas, sumando se deduce que: x+y+z=a+b+c Reemplazando en lo pedido se tiene; J(x + y f + (x + z f + (y + z f - x^ Desarrollando y reduciendo, queda: = + y^ + z^ + 2xy + 2xz + 2yz = ^{x + y + z f = x + y + z Reponiendo se tiene; a + b + c = 2p 62. Si a + /ac = b + í b c .
además: a # b a abe O Calcular el valor de: +-~ Vbc Vac Vab
65.
Si; x^ + 1 = O A X # - 1, calcular . _ (x-1)^ (X-1)^ x^ X Resolución;
Resolución;
Transformando el dato por suma de cubos; = ( X + 1)(x' - X + 1) = O De aqui: x = - 1 v x ^ - x + 1 = 0
De: a + Jác = b + ■/be => a - b = -/be - /ic =í (/a + /b)(/a - /b) = /c(/b - /a) =i (/a + /b)(/a - /b) = - / c ( / a - Vb) ^ • / a + /b + - /c = 0 ...(I)
Consideramos: x^ - x + 1 = 0 ( x - lf ( x - lf Nos piden: A = x
Nos piden:
Se
/a x /b x /c
+
Vac
/ab /a x /b x /c
F
V (I)
(x^f X
De(l); X - 1 = x^ ^ A =
x" = ,A = x“ - x " ^ A = x’ (x - x')
Pero si: /a + /b + /c = O
Pero del dato: x® = -1 y de (I): x -
^ /a^ + / b V / c ^ = 3 / i / ^
Luego; A = (-1)(1)
A= -
1
= 1
Reemplazando en T;
66. Efectuar y simplificar; A = (x + y - 2)(x + y) + (X - y + z)(x + z) + (y + z - x)(y + z) - 2(x^ + y^)
T= (-c -c f ^(-a -a f ^(-b -b f ac ab be c^ + a ' + babc ab be ac 4 X 3abc . T = 12 T= abe
Resolución: A=
(X
+ y ~ z)
(X
+ y) +
(X
(y + z -
- y + z) X)
(X
+ z) +
(y + z) - 2{x^ + / )
Multiplicando convenientemente; A = (x + y f - z ( X + y) + (x + zf - y(x + z) + jy + zf -
68.
x{y + z) - 2x' - 2y^
Si la diferencia de las cuartas potencias de dos nú meros es 369 y el cuadrado de la suma de ios cua drados es: 1681, ¿Cuál es la suma de los números?
Resolución: Desarrollando dichas equivalencias: A = x^ + 2xy + / - z x - z y + x^ + 2xz + z^ -
a " - b ' = 369 (a' + b ^ = 1681 De (1): (a^ + b^)(a^ - b') = 369 De (2); (a^ + b^)' = 41^ ^ a' + b' = 41
yx - yz + y' + 2yz + z^ - xy - xz - 2x^ - 2y^ A = 2x' 67.
Reemplazando (4) en (3): 41(a^ - b^) = 369 =» a^ - b^ = 9 Sumando (4) + (5); 2a^ = 50 => a = 5 Reemplazando en (4): 5^ - b^ = 41 =» b = 4 Piden; a + b = 9
Si: a+b+c=
a -b )(b -c )
hallar: T = í i ± ^ ab
(b -c )(c -a )
(c-a ){a -b )
+ ( h + ^ ^ (c + a - b f be ac
Resolución: Del dato: a + b + c _= c - a + a - b + b - c (a - b)(b - c)(c - a) O a+ b+ c= (a - b)(b - c)(c - a) a+ b+ c= O ...(I) De (I); a + b = -c ; b + c = -a ; a + c = - b
69.
...(1) ...(2) ...(3) ...(4) (5)
Siendo: ab = '/TOO - V Í 0 + 1,a + b - 1 = VTÜ, hallar: 3ab{a -i- b)
Resolución: Primera igualdad: ab = VTo^ - VTO + 1 Segundo igualdad: a + b = ViO + 1 Multiplicando miembro a miembro (da suma de cu bos): =9 ab(a + b) = VÍÓ^ + f = 11 3ab(a + b) = 33
P RO B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 8 )
Si se tiene la suma S y el producto P de dos cantidades x, y; entonces:
■x' + y '-
De donde: ^ ^ + ^ ^ = 3 Nuevamente sumando 2 miembro a miembro:
es igual a:
2L = 3 + Va
A) (S - P)^ - (s - P)^
B)0,25S" - PS' + P'
C) S" - 2PS' - 3P'S + P^
D) S" - PS(1 - S) + | P '
2 =.
Vx®
a
=5
TCP
E) S’ - PS + | P '
^ +
a
Clave: C
Resolución:
Sumando y restando 2xy en el numerador de la base: TCP + y^ + 2xy - 2xy _ (x + y f - 2xy
si;
Reemplazando datos: S' - 2P
S' -4S=P + 4P' = 0,258“ - S'P + P^ Clave: B
PROBLEMA 2 (UNI 1 9 7 8 )
Determinar los dos números consecutivos: x > cumplen la siguiente relación: x -
y
X 4 - y \ / x ^ + y^
x+y
X
PROBLEMA 4 ( tN I 1 9 8 2 • If)
Cuál es el valor que asume la expresión: X + 2y 2y 2x X + 3y xy
B)x = 9, y = D) X = 2, y = 1 E) N. A,
que
xy 11 I 2 ^ -2 = 5
- y /\ 2xy
A )x = 3, y = 2
y,
! x^ + y"
8
C )x = 7, y =
6
1X + 1y
A) 2
x+y B)3
C)1
D)4
E)N.A.
Resolución:
1+ , 1- = 4 Efectuando !a condición: — X y x+y (X + y)^ = 4xy = x^ + 2xy + / = 4xy => (x - y)' = O Sacando f ~ miembro a miembro; x - y = O De donde x = y Reemplazando en U: 2x U = 2+ J U = x' + x' , X + 2x 2x X + 3x 4 x‘ U=4 Clave: D
Resolución:
Efectuando operaciones en cada uno de los paréntesis: (x -t-y f+ (x -y )^ (x + y)' xy 2xy x' + y' (x + y)(x - yi
2ix^ - y^) (x + y f xy 2xy [x^ + y^ (x i - y)(x - y)
x+y =5 x -y
De donde, x + y - 5x - 5y 6y = 4x =* 2x = 3y Por condición y de la igualdad: x = 3; y = 2 Clave: A
x^
a
A)
B) 4
C )/5
e
s D)5
: E)
Resolución:
Sumando 2 miembro a miembro en la condición: + 2
halle el valor de: K = ^ + ‘> + ^ ^
A) o
B)1/6
0 1 /3
D)1/2
O
E) 1
Resolución:
Si: a X b X c = O a+b+c= 1 2
=7
El vaior de la expresión: ^
Sabiendo que se cumple: a x b x c = 0 a+b+c= 1
+ b^ + c^
PROBLEMA 3 (UNI 1 9 8 1 )
Sabiendo que'
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II)
a' + b' + c^
3
a' + b' + c' = 1 - 2(ab + be ac) + b^ + c^ = 1 - 3(ab + be + ae) Reempiazando en K: 1 - 2(ab + be + ac) 1 - 3(ab + be + ae) K= 3 K = 1 - {ab + be + ac) - 1
(ab + be
ac)
= 7+ 2+ Clave: B
■ ■
PROBLEMAS
O
PROPUESTOS 10. Simplificar:
1.
Calcular el valor de: S = 3i:
b =V2;
V = ^l(a^ + 2ab - b ')' + (a^ - 2ab - b ')‘
= /3
a
A) 6 D)9 2.
3 b -'+ a-^
,
B) 12 E) /5
Si a, b y c son números que satisfacen las condi ciones: a + b + c = 3; + c^ = 30, abe = 4;
3.
Si X ,
y
B) 1/2 E) 1/6
Indicar: C) 1/5
$
■/x
+
Jy
12.
= 42- 9 / Í - / 7
4.
B )25 E)2G
5.
A) a + b + c D) a' + b' + c'
Si: ^ t ^ = 5: X A) 525 D) 528
0; calcular: T = x® + -L X“ 8)527 0 526 E) 529
Dada la expresión: 2(x + y)' + 2{z + w) =
(X
+ y + z + w)' - (x + y - z - w)';
calcular: v = ( ^ f \ z + w/ A) 3 D)1 8.
B)4 E)0
0 2
Reducir: S = (x + 1)(x - 1)(x^ + x^ + 1), si: x = /3 + /5 + J 3 --/5 A) 99 D)999
9.
E)4
S = x' + x' + l . + -L x'^ x B) 25 O 26 E)28 X
7.
D)3
Sea x > O que verifica: x^ - 3x + 1 = O, calcular el valor numérico de:
A) 24 D)27 6.
0 2
Efectuar: T A) 7 D)9
B) 100 E)1 =
O 1000
+ 5 ) ^ - ( x + 1 1 )(x - 1) ( x + 3 ) ^ - ( x + 5)(x + 1)
(X
B)6 E )-5
8 )3 E) - 2
O í
13. Si; a + b + c = 2p; calcular: T - (p - a)' + (p - b)" + (p - c f + p'
v .4 + 4 - 4 - 4 + 2 i+ y y“ x^ y" y X B)1
C)1
Encontrar el valor de: X* - 4x - 4,
A) 4 D)0
C) 10
S( X , y e E , calcular el menor valor de:
A) O
8 )3 E)x
si: x = //2 + 1 + ^ / 2 - Í
calcular: x + y A )7 D)13
S-x^ T - 5x' -
A) 2 D )0
€ IR; t a l que se v e r i f i c a :
C)2b^
11. Sean: S = (x + 1)(x + 2){x + 3) T = (x + 2)( X + 3) + (x + 2)( X + 4)
calcular: T = 1 1 1 a b e A) 1/4 D) 1/3
B)2a^ E)ab
A) a' - b^ D) a' + b
C)1
8) abe E) 1
C) 1 + abe
14. Efectuar: S = (x' + 1 - x)(x' + 1 + x)(x® + 1)(x' - 1) Dar el valorde: S + 1 A)1 D )x '
B)0 E)x^'
Ox®
15. Dados los números: a, b, c; tal que a más; (a + b + c)^ = 3(ab + ac + be)
j^c; ade
Calcular: V = (a + b)^ + (a + c ) '+ (b + c)' a ' + b ' + c' A) 2 D)5
0 )8
B)4
E)1
16. Calcular el valor de: T = (x + a)(x + b) _ a + 2x + b ab si; (a + 2x + b)(a - 2x + b) = (a - b)' A) 11 D )2
8 )0 E)3
C)4
17. Si: a - 1 - 2, calcular: S ^ fa^ + 47 V a ^a
A) 78 0 )84
B) 80 E) 86
0 82
o , ■■ {a + b)“ - ( a - b ) ‘ 18. Sea la expresión: — — ~ — ~ ^ =4 (a^ + b V - ( a ^ - b V calcular: N =
0 8 A)1
4a t 2b 4a - b
8 )2
0 3/4
D)5/3
E j4
19.
Si: a +
+ c = ab + ac + be, (1 - a)bc + (1 - b)ac + (1 - c)ab simplificar: S = ^ ^-----------— a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) A) a + b + c D)0
B)a + b “ C E)1
20. Si: a + 1 = 5, calcular: T ^ A) 5/2 D)2
C)a-b-c
A)1 (a -b ) D) (a + b)
í í i. + ^ 4a”
B) 2/5 E)5
C) 1
ly'^
„ 2 ,3
| j ) = 3(x^+y^); X®- y® = 6 x V
calcular: X' - y A)1 D)2/3
B) -2/3 E) '1 /3
22. Apartir de; ^
+
b^
C) - 3
A )-1 D) -1 3
+ ^ " ^ = 2 (1 + 1 + :i c^ \a b c
donde (a; b: c} c E calcular:
B) 1/3 E )1/27
23.
24.
B) 1 E) - 2
25.
32.
a+b+c
= 1
a" b' c' d’ +, +, ■+, b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c B)1
0 2
D)4
B)2
C)3
Si;
be ab ac hallar; b + c ^ c + a ^ a + b a b e
A) 2 D)4
hallar el valor de;
A) O
0 3
Si: X + y + z = 1, hallar el valor de;
A)1
33.
0 2
Si se cumple: a b •+ +■ b+c+d a+c+d a+b+d
B)2 E)5
D )1
Si: a + b + c + d = 0; calcular; abe + abd + acd + bcd a ^+ b ^+ c^ + d^ B)1/2 E )1/9
x " + y 'V z 'V 11x^y^z^(xy + yz + zx) xyz(x' + / + z*")
+ y^ + z^ + 3(xy + xz + yz) - 1 xyz
0 2
B)1 E) 1/x
0 -1
Siendo x, y. z tres números reales diferentes de cero que verifican: (x - y)^ + (y - z f + (z - x)^ = (x + y - 2z)^ + (y + z - 2x)^ + (z + X -
A)1 D)4
C)2
O -9
B) 1 E )-2
simplificar:
Si se cumple que; 2x ’ = 2 -x , calcular el valor de [x'’ - (x- + x' + 1)(x® + x^ + 1))'
A) 1 0)1/3 27.
0 3
B )-1 E)0
A) O D)x^ 26.
31.
Sabiendo que: abe = 1, hallar el valor de: b c _ §____+ ab + a + 1 bc + b + 1 ae + c + 1 A) 3 D) 1
B) - 4 E) -1 5
A) O D)2
C)3
Si; X + y + z = 1; x^ + y^ + 2^ = 4, 1 , 1 , 1 calcular: x + yz y + xz z + xy A) 3/2 D )-1
O 1/2
30. Si; ■§ + - = 1, calcular ei valor de: b a
(aV b® + c^)
A)1 D) 27
B)0 (a + b) E) (a -b )
29. Sabiendo que: (a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = 2(a + b + c)^ donde abe ^ O, hallar ei valor de: a + 3b + c , b + 3c + a ^ c + 3a + b ab ac be a ’ + b~ + G
21. Suponiendo que; , 2 \3
28. Calcular el valor de Z. sí: P-KI p -a _ a ^ -b ‘ " 2 a" + b^ x-^ + x " a + b 2pO cuando: x= a -b
E)1/4
B)3 E )A v C
34. Dadas las relaciones: a = (a - b)^ + b(a +1); c - (c - a)^ + a(c + 1) simplificar: A) a V D) a V
0 6
b = {b - c)^ + c{b + 1)
(a®-b')2 c ® -4 a 'b ' B) b V E)e"
C)
f b®
hallar el valor de:
16x"y" + {x -y " )" 44.
xV + xV A) 3 36.
0 8
B)2
38.
39.
B) 2 E)0
+ y + z s
45.
A xy . ^
(x ^ + y® -i-
E = (x^ + x + 1)(x" + x^+ 1)(x® + x"+ 1 ) - x ’^ -x ",
46,
42.
0 -2
47.
(a + b + c)’“
A) - 2 D) 1
a
x" -
1
a+ 1
1 a- 1
a" - 1
1 1 -a "
C)
a "- 1
49. Calcular: 25a^ + 9b^, si: 5a + 3b = 11 = ab + 9
D)3
A) 31 D)7
B)61 E)71
cuando; x +y + z = 3
A) - 2 D) - 4
0 27
E )1
Seanx, y. z e E,tal que:x^ - 2x + y^ -- 6y + calcular xy D) 1
0 91
E) 6
x^ +
O 5
C)2
(1 + a x ) '- { x + a)'
50. Calcular: 3j í í.\ + |ü \ - y / [y :
B)9
mn + np + mp = mnp,
B)3 E)0
Simplificar:
D)
0,5 x+y+z
01
mn(m + n) + mp(m + p) + np(n + p) hallar valor de: mnp
(x + y - 2z) V (y + z - 2x)^ + (x + z - 2 y f (1 - x ) ( 1 - y ) ( 1 - z )
B) 3
= 3abc; a + b + c 7^^ O,
8 )9 E)0
Si: m + n = 1 - p
A)
Calcular el valor de:
A) 2 43.
Si se cumple que: a^ + b’ + determinar el valor de:
A) 2/3 D) 1/3
48.
2 )^ - (X + y )^ - (y + z )^ - (z + x )^ + y)’ (y + z f + (y + z)^(z + x)^+ (z + x ) \x + y)^
A) 3 D )8í
0 3
■V(a + b + c)^
6 4 (x + y +
41.
8 )2 E) x'
A) 1 D)x
O 1/2
B)2 E)3
B )-3
Simplificar: si se cumple que x" = x
+ yz + xz = xyz; 9 ^ / ___________ 1______ 2 ®) x 'V y ^ V z " + 1
Si: — 1— + — 1— + ■' x+y y+z z+x hallar el valor de;
A) 2
O 1/2
{a, b, c) e IR
= 1 ,, s
B>3/2 E)3/5
O -4
,
A) 1 D) 1/3
(X
A) 5/2
D)2/3
Tres números reales diferentes a, b y c verifican la siguiente condición: a = Vp~+ qa ; b = Vp + qb ; c = Vp -i- qc Determinar a^ + b^ + c^ pq A) 5 B)9 O 2/3 E) -6 D)6
c a l c u la r :
40.
0; se
Sabiendo que: A = ( X -t- y - 1)3 -t- 3(x + y)( X + y - 1) B = (x + y + 1f - 3(x + y) (x + y -H 1) C = [(X + y)^ + 1]^ + [(X + y)3 - 1 f ¿a qué es igual: 2AB - C?
Si: X
x^ + 3x - 3x^ - 1 y^ + 3y^ + 3y
B) x' + / D) x^ + y^ -t-z^
A) 4 D)-2
Sea: x = V2 + 1; y = V5 - 1: calcular:
e )1
- 3xyz(x^ + y^ + z V 6 ^ W x® + y® + z®-3x^y'z^
A) xyz C) x -f y + z E) (X + y + z f 37.
D)4
Sabiendo que: x"’ + y ' + z"' = O a xyz ñalar el equivalente de: ? + y^ +
O 600
B)700 E) 500
A) 900 D) 300
10 = O, E) O
Si; a+ b + c = 20; a^ + b^ + = 300, hallar el valor de; (a + b)^ + (a + c f + (b + c f
+ 4 , si se cumple que;
= 5xy; {x; y) c E ‘ B)3 E)1
05
51. La diferencia de dos números es “a" y la diferencia de sus cuadrados es "b", hallar el producto de di chos números. a ^ -b ^ 4a^
b^4a''
a ^ -b ^ 4a^
a "-b '
C)
52. Sabiendo que a, b e IR* / ab = 1, calcular: ^2 + /(a '-b ^ )^ + 4 A) a' - b^
B)a - b a+ b
D)2(a + b)
C )a + b
53. Reduzca la expresión: V[(m + 1)^(m^ + 2m - 1 ) - (m - 1)^(m^-2m - 1)f A) 3m^ D) 9m
B) E) {2m f
C) (3m)^
61. Si; X + 2x ' = 2, hallar: M = x^ - (x" + x^ +1){x® + x^ + 1) ^ )^ D) - x
B)-1 E) 1/x
C )x
62. Si; S = (a + b)(a + c)(b - c) + {c - a)(a+b)(b + e) T = (a -b)(b + c)(a + e) + (b - e)(c - a)(a - b) Calcular: S + T. A) abe B) a + b + c C) O D) a' + b^ + e^ E) a^ + b^ + c^
54. Calcular: H = (x - 2)(y^ - 1), si: x = a + ^ ; b a ^ A) 2 D)8
a -b B)4 E)11
0 6
Calcular el valor de; S = •J- + — + -%■ be ac ab
55. Reducir la expresión: ________________________3 ( a
^
b
(a + b)'’ + (a - b)‘* A) 5 D)4 56. Si:
V
________________________
(a + b)^(a - b)^ O a - b
B)3 E)a + b
+c^ = 3, a' + b' + c" = 2;
calcular: Q =
+ b + 0(2 - ab - be ^ ca) 1 - abo
A) 1/3 D) 1/2
B>3 E) 1
0 2
57. Sabiendo que a, b, c e Ifi,abe # O y además; ibe ^ + ca - + - ab ^ = -a+ Kb + c-8
hallar: J =
b^c®
A)1 D) a + b + e
63. Si el polinomio: P(x) = (ab - a^b^ ~ c)x^ + (abc^ - be - a)x^ + (a^bc - a V - b)x + (abe - 5) es idénticamente nulo.
1.8
.8
c^a®
a^b®
B)2 E) a^b^e^
0 3
58. Dado: a^ = b^ + c^; reducir la expresión; j^ j(i± ^ + c y a + b + c _ g |^ a + _ b + c _ |^ w a ± b + c _ '
A) O D) - 5
B) bc/2 E) ab/2
59. Si: ---- ^ + ^ + ---- ^ (a -b ) (b -e ) (c-a) calcular el valor de: E = —^ a -b A) 500 D )0
B )1000 E )4000
80. Si: a + b + c = 0;
C) ac
A)1 D )9
= 2007' ~ ^ b -c c -a O 2007
m+ n+ p= Oa
B) b E)1
B )5 E)13
0 7
65. Hallar el VN de: T = (m ^ + n '^) ' si: mn = 2 y m + n = 2¡2 A) 2 D)3
B) 1 E)4
O /2
66. Dado: = 2(a + b)I(a +b)^ - 2ab + (a - b)^] + (a - b)[(a + b)^ + 4(a^ + b^) - (a - b)^] hallar el valor de M. A) 2a D)8a’
B)2b E) 8b^
C) -2ab
Vn^-m"
3n - m
calcular el valor de; S =
— + ^ + - - 1 = 0, calcular: E = ma^ + nb^ + pc^ a b e A) a D) abe
C) 1/5
64. Calcuiar ei valor de: (x® + x^+ 1)(x®-x^+ I)(x'^-X ® + 1)(x'‘' - x ’^+ 1) para: x = ^■*/3
67. Si: A) be D)a"
8)1 E)2/5
Oc
A) 1 D) n'
~ +— ~ mn + n m +m
B)0 E)n- 1
C) m + n
68. Dado: a + b + e = O, evaluar; / a b c a- b I b- e ^c-a Ib - c c - a a - b íl c c b A )3 D) - 6
B )6 E) - 3
69. Si: a + b + c = a‘ 'bc
09
t
b Va + c 'ab,
calcular: S = a^ + b V c^ - 3abc a+ b+ c
C) 2/3
B) 1/3 E )- 1
A) O D)1
T = Jx(x - yz) + y(y - 2xz) + z(z + 2xy) A) a + b + c
70. Sabiendo que: x = - { a , + aj + 83 + ... + a„) 2
2
2
D)2
2
n ^ a ^ + a 2 + a 3 + ...+a^
calcular: (x - a ,f + (x - 82)' + (x - 83)^+ ... + (x - aJ A) O D)n - 1
B) n
71. Si: (m^ +
76. Si: X + 2 = 23/2 x . calcular: T = í i T T l T V2x
= 2mnp(m + n + p) + ,
,
,
.
+ m V + nV
calcular: S = (a + b - c)(b + c -a )(c + a ~ b) A )-1 3 m 3 D )-m ^
C)6
72. Calcular el valor numérico de; (a^ - ac - bc)^ + (b^ - ba - ca)^ + (c^ - cb - ba)^+ 2(a3c + b^a + c^b) para: a = ■Js - /3 ; b - ■l'ÍS - 1; c = /3 A)/3 D)49
B)8 E)7
O /8
77. Siendo: a + b + c = m a^ + b^ + c^ = 3m' a^ + b^ + c^ = 7m^
_
B)4 E) 10
A)1 D)8
B)4 E)5
A) 3 D) 75
C) n'
m3 + 2r)3+3p3 calcular el valor de: T = -----------------— mnp ,
016
B)6m ' E)7m^
O 2m^
78. Sabiendo que: a^ + b^ + = 3 a^ + b^ + c^ = 2 (a + b + c)(2 - ab - ac - be) calcular: S = 1 - abe 0 2 A) 1/3 B) 3 D) 1/2 E)1 79. Si: a + b+ c = O, hallar el valor de x.
73. Si: a + b= X , reducir: V x(x+ 1){x“ -x -’ + x^ ~ 3 a b (x - l f ] - ( b x + a f - ax A) a D) b(a + b)
B) b E) O
ab 5abc(a’ ’ + b’ ’ + c’ ’)
O a(a + b) A) a + b + c O a^ + b ' + c^ E) a ' - c'
74. Si; mnp = m + n + p = 1, calcular: (m + m’ ’f + (n + n’ ’f + (p + p (m + m ’) (n + n’ ’)(p + p ’) A)1 D )4
B)2 E)5
75 . Si:
ab calcular el valor de:
1. B 2. A D 4. C 5. B a B 7. D 8. D 9. D to. D
11. 12. 13. 14. 15. m 17. 18. 19. 20.
01
B )l + i +l a b e E)0
0 3
ac
C B D E 6 B D B A A
80. Si: X = ^2[3(mn + mp + np) - (m + n + p f ] calcular el valor de; (x + m - n f + fx + n - p)3 + (x + p - m / M= (m - n)(m - p)(n - p) A)1 D) - 2
be
21 ; 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
B )-1 E )-3
ÜE&33HI B A E D B D A E D A
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
D C E E C C c A C A
B) ab + be + ca D)3abc
41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
D B B C A A A C e Q
51. 52. 53. 54. 55. 56. 57 ; 58. 59. €0.
B C E B 6 B C B C D
81. 82. 63. 64. 65. 66. &r. 68. 69 70.
0 2
A C A E C A A C A B
7 \. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.
C 0 B D D D A B B E
Division algebraica Cocientes notables
Paolo Ruffini nació en Valentano (22 de septiembre de 1765) y m urió en M ódena (l Ode mayo de 1822). Fue un matemático, profe sor y m édico italiano. Paolo entró en la Universidad de Módena en 1783 para estudiar Matemáticas, Medicina, Filosofía y Literatura. Finalmente, el 9 de junio de 1788, Ruffini se graduó en Filosofía, Medicina y Cirugía. Poco después consiguió su grado en Matemáti cas. El 15 de octubre de 1788 fue nom brado profesor de Fundamentos de Análisis. Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Ma temáticas en 1791. Sin embargo, no era solo matem ático, pues en 1791 obtuvo la licencia para ejer cer la Medicina en Módena. Paolo Ruffini es conocido com o el descubridor del llam ado m étodo de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binom io x - a. Sin embargo, no fue esta su m ayor contribución al desarrollo de la m atemática. Hacia 1805 elaboró una dem ostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y supe riores. aunque com etió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el m atem ático noruego Niels Henrib Abel. En 1806 acepta una cátedra de Matemática Aplicada en la escuela militar de Módena. Fuente; Wífeipedia
6a^ +
5 a 'b - 2 6 a ’ b ‘ -t- 33 a ^b ^ - 2 4 a b * *- 6b*
2a‘ - 3ab + b'
6a® +
g a 'b
3a^ + Ta^b - 4ab^ + 7 b
^ DIVISIÓN ALGEBRAICA Es la operación que consiste en hadar una expresión llamada cociente dadas otras denominadas dividendo y divisor, de modo tal que se cumpla:
-
1 4 a ‘ Ci -
3a^b^ 29a ^b ^ + 33a^b^
14a“b + 2 l a V
-
q (a ; b)
7a^D ’
- 8 a ’b’ + 26a^b' - 24ab‘
D{x) = d(x)q(x) 4- r(x)
d(x)
8a V -
^ d(x)
12aV + l4 a V
De donde; q(x); cociente entero D(x); dividendo; r(x); resto o residuo d(x); divisor; r(x) q(x) + : cxiciente compieto
1. 2. 3.
Para efectuar ta división entre dos polinomios se co* nocen varios métodos. Presentamos a continuación algunos de ellos:
4.
Método clásico Para dividir polinomios se debe tener en cuenta los si guientes pasos: Se comptetan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en caso falte un término este se completará con cero). En caso existan dos o más variables se asumirá solo a una de ellas como tal y ias demás harán el papel de números o constantes. Se divide el primer término del 0, por el primero del d, obteniéndose el primer término del q. Luego este se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo.
•
Dividir; 6x‘* + x^ + x^+11x + 2 3x^ + 5x + 2
-9x^ 9x^
- 3x^ + 11x + 15x^ + 6x
3x^ + 5x + 2 2x^ - 3x + 4 q (x )
12x' + 17x + 2 - 20x - 8 ^3x - 6 r(x) 2,
Dividir; (6a® - 2 6 a V + 5a"b + 33a^b^ - 24ab‘ + 6b") (2a" - 3ab + b") Ordenando a( D;
b*
G(q) = G(0)--G(d) THD) = ■n(d)TT ri^ulteck> poHr^mks NMitògàiea Solo en una divisan e)^da tento corno el divisor puedet c(»n(Metos y ordenados en o ascended cxin f> ^ p e ^ a cocente ^tera (sigue ^ n d o «cadp).
Reglas o pasos a seguir;
Ejemplos:
+ x^ + 11x + 2 - 4x^
7b'
ab' -
Método de H o m e r Se emplea para dividir por lo general polinomios entre divisores que sean de grado dos o más.
Se baja el témiino siguiente del D. y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más un grado menos que el grado del D (resto de grado máximo). O en todo caso, sí la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo.
6x" + X® -6 x" - 10x"
- 1 4 a 'b = + 2 l a b ‘ -
r(a ; b )
^ DIVISIÓN DE POUNOMIOS
1.
4ab‘
- 2 0 ab* + 6b*
•
Se completan y ordenan los polinomios. En caso falte un término este se completará con cero. En caso existan dos o más variables se asumen a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo, y en forma vertical los coeficientes de divisor, todos cambiados de signo a excepción del primero. Se divide el primer coeficiente del dividendo por el primero del divisor, obteniendo el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo, y los resultados se colocan dejando una columna de lado. Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tantas veces hasta que la última opera ción efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo. Llegado este momento se reduce las columnas que falten; separando los coeficien tes dei cociente y el resto respectivamente. Esquema gráfico:
4.
Ejemplos:
1-
Dividir:
Resolución:
Resolución:
21
:5 i
10
:9 i
-9 , . 6
8
.
Completando el dividendo y utilizando el método de Horner:
-7
1 2
-6
q(x)
Resolución:
Aplicando el método de Horner: 3
15
-9
-7
-11
0
56 -35
0
70 -55
73 -23
21 33 0 -49 -77 0 -84 -132 5x3 - 3x" + 7x + 12 -16x^ - 88x -155 q(x)
r{x)
Luego se obtiene que: q(x) = 5x^ - 3x^ + 7x + 12 (cociente entero) r(x) = -16x^ - 88x - 155
8)x + (24 - 2n) = O Luego: m - 8 = 0 =>m = 8 Por ser exacta: (m -
24 - 2n = O « n = 12 Cuánto vale (m + n + p) si: 6x® + 11x* - lOx* + 8x’ + mx^ + nx + p es divisible por: 3x^ + x^ + x + 2 Como los dos polinomios están ordenados y com pletos respecto a “x”, y como el divisor es de grado 3, podemos efectuar por Horner; 3
-2
2
-2 -3
-4 -3 5
3 - 5 2
m
n
p
-6 5 10 -2 -2 -4 (m-3) (n + 8 )(p -4 )
Por ser divisible; (m - 3)x^ + (n + 8)x + (p - 4) = O =>m = 3;n = -8 y p = 4 m+ n + p = 3 - 8+ 4=-1
4x" + 4x‘' + 3x^ + Ax^ + 3x + C 2x^ + X + 2 deja como residuo: 2(x - 5)
6. En la siguiente división:
Resolución:
Como el divisor es de grado 2, empleamos el mé todo de Horner: 4 -2
3 -4
A
3
C
-1 -2 -1
3x + ax - b El residuo obtenido es de grado cero e igual a;
-2 1 n
a
Resolución:
Primero hallaremos "a" y "b” por Horner;
2
A-1
1
9x" + 6ax3 + (a^ + 3b)x' + abx + 9a'
6ab + b^ Calcular: S =
2
2
6 11 -10 8
-1 -1 -2
Calcular A y C, si ta división:
4
4 -12 24 (m - 8) (24 - 2n)
Resolución;
0
_
2 -1 -2
-6
- 2n
m
0 -4
-2 -1
Hallar el cociente entero y el residuo de dividir; 15x^ - 9x^ + 56x" + 70x^ + 73x - 23 3x3+ 7x+ 11
0
-3 2
-4
3 -3 5x -- 10 r{x)
3x^ + 2x+
2.
es exacta.
x^ - 2x + 4
7x" - 3x + 3
Aplicando Horner; 7 +3 -3
Determinar m y n, si la división;
21x" + 5x3+ 10x^ + 8 x - 7
- n - 2n (5 - n)x + (C - 2n) r(x)
De donde: A - 1 = n ^ A = 2n + 1 Pero del dato: (5 - n)x + C - 2n = 2(x - 5)
=5 (5 - n)x + (C -2n) = 2x - 10 Igualando términos: 5 - n = 2=» n = 3 C - 2n = -10 = C = -4 A = 2(3) + 1 = 7
3 -a b
9
6a (a^ + 3b) -3a 3b
ab
9a^
ab - 2ab 2b^ 3 a 2b Ox + 9a^ + 2b" r(x) Por condición, el residuo es de grado cero, es de cir, un número, luego; 9a^ + 2b^ = 6ab + b^ = 9a^ - 6ab -i- b^ = O ^ (3a - b)^ = O => 3a = b
pejado de la variable y el resultado se coloca deba jo de la siguiente columna. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del D. Llegado este momento, se reduce la columna que falta, y siempre se cumplirá que la última co lumna le va a pertenecer al resto, y este siempre será un valor numérico.
Reemplazando en la expresión pedida: ^ _ 3a^ + 9a^ _ 12a^ a^ a"
. ^ -- \2
Sabiendo que la división: Ax^ + SSx“ + Bx^ - 3x + 15 5x^ + 5x^ - 2x - 2 deja como residuo: 37x^ - x + 9. Hallar: A + B . Resolución: Como las incógnitas se presentan en los primeros términos del dividendo convendría que estas estén al final; para eso se requiere que la división sea exacta, entonces recurrimos a lo siguiente.
Esquema gráfico: DIVI DEND O X
= N eoe
Cuando en una división al dtvidertdo ¡ residuo ^ t a se convierte en e)3c^; I que e( residuo es un poinomio ídéntícan^itenuiQ. Luego; D(x) - r(x) = Ax^ + 55x" + Bx^ - 37x^ - 2x + 6
Ejemplos: 1.
Dividir: 2X- - 7X + 3X- - 5X- +11 x+2 Resolución; Ordenando al dividendo; 3x^ - 5x^ + 2x^ - 7x + 11 Aplicando el método de Ruffini;
6
5x^ + 5x^ - 2x - 2 Aplicamos Horner, pero el polinomio lo ordenamos en forma ascendente:
X
+ 2= 0 X
-2
6 - 2 -3 7
2
-6
-5
15 8
-5 -3
4
7
B
55 -2 0
14
-3 5
3
-5
2
-7
11
-6
22
-4 8
110
= -2
A
i
15 -2 0
resto
1.*' caso: cuando el primer coeficiente del divisor es la unidad (x ± b)
Entonces:
Ax^ + 55x^+B xJ-37x^-2x +
ENTE
-2
3x^ - 11x^ + 24x - 55 -3 5
(B + 9)x' + Ox + (A - 35) r(x)
Teniendo en cuenta que: r(x) = O • B + 9 = 0 * B = -9 • A - 3 5 = 0=»A=35 A + B = 26
2
2x ^-^372 x ° - 1 2 x ‘ +. 3 . ^ - 2 .
X - /2
2
Se emplea para dividir polinomios por divisores de la forma: ax ± b, o cualquier otra expresión transformable a esta.
-1 2
3/2
-2
2/2
10
-2 /2
2
5/2
-2
/2
ZÍ2
x^/2 1 Í2
Reglas o pasos a seguir:
2
Se completan y ordenan los polinomios con res pecto a una sola letra o variable. En caso falte un término este se completa con cero.
Se baja el primer coeficiente del D siendo este el primero del q. Luego se multiplica por el valor des-
Dividir
Resolución: Utilizando el criterio de Ruffini;
r(x) = X + 2 + 3x + 6 + X + 1 r(x) = 5x + 9
2.
6a + b = 7 Resolviendo: a = 2 a b = - 5
R (x)= 2 x -5
11. Si "n" es un número naturai impar y múltiplo tíe 3, determinar el resto en la siguiente división: (x'" x" + 2) + (x' - X + 1) Resoiución:
Multiplicando por (x-t-1) al dividendo y al divisor (tenga en cuenta que el resto también queda multi plicado por x +1 ). se tiene (x^Vx^ ^ 2 ) ( x - 1)
x^"' ’ + x"'~'rx'^~’ + x^ + 2x + 2
( X ^ - X + 1){x + 1) X^-r 1 Por el teorema del resto: x^ + 1 = O = x^ = -1 Acomodando el dividendo (n = 3):
2n
2
£
P(x)= (X')^x + (x V + (x V x + (x^)^ + 2x + 2 Reemplazando: (— es par 2r
^
a
impar)
n
n
Rp(x) = ( - 1)^x + ( - 1 )^+ (- 1)^ x + ( - 1)’ + 2x + 2 ^ Rp(x) = x + 1 - x - 1 + 2 x + 2 R,(x) - 2(x + 1) Luego: R , ( x ) = ^ = 2 12. Hallar el resto de la siguiente división:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x 4 )( x -5 )(x -6 ) x" - 7x + 11 Resolución:
Ordenamos el dividendo:
(x "-7 x + 6)(x -- 7x+ 10)(x"-7 x+ 12) x ^-7 x + 1 1 Por el teorema del resto: x" - 7x+ 11 = O = - 7x = -11 ^ R(x) = ( -11 + 6)(-11 + 10)(-11 + 12) R (x )-(-5 )(-1 )(1 )-5 13. Determinar ei residuo de dividir: (x^^^í 4- x^ - 2) entre (x“ - x" + 1) Resoiución: (x^-° + x ^ - 2 ) ( x ^ ^ 1)
En (I). a - f 2 - 3 = 0 - a = 1 • b-^ c -2 = 0 = b = 1 T = (1)(1)(1) = 1
2)
x " - 7x (11
^ (x^^° + x^-2) (x^
1)
( x " - x '+ 1)(x "+ í) ^ x ®+1 Por el teorema del resto: X®^ 1 = O ^ X«= -1 . P{x) = [(x Y V + x ' - 2Kx"+ 1) . Rp(x) = [ { - 1) V t x' -- 21(x" + 1) => Rp(x) = (x^ - x‘ - 2)(x" + 1) ^ R(X) =
x^ + 1
= x' - x' - 2
Como este no tiene grado menor que el divisor, en tonces: x" - x^ + 1 = O =• x'* = x" - 1 R(x) = (x")x - x"- 2 = (x' - 1)x - x^ - 2 R(x)= x^ - x^- X - 2 14. Un polinomio P(x) de sexto grado al ser dividido por (x + 1)^, arroja un cociente entero g(x) y un
residuo: 3x + 2. Si g(x) tiene como coeficiente principal al número 7, y ta suma de los coeficientes de P(x) es 325. Determinar el término independien te de g(x). Resoiución;
P{x)=(x+1)^g(x)
3x
= P(x) = (x+1f { a x + b) + 3x + 2 Coeficiente principal de g(x)= 7 =. a = 7 P(1) = 325=(2)V+b) + 5 ^ b = 3 Tl(g)=b=3 15. Si P es un polinomio definido por:
P(x) = ax* + bx^ + cx - 8, tal que el residuo de divi dir P(x) entre (x + 3) es 6, Hallar el residuo de dividir P(x) entre (x-3), Resoiución;
P(x) = ax^+bx^+cx - 8 ...(I) P(x) - (x + 3) R = P(-3) = 6 En (I): R = P(-3) = -243a - 27b - 3c ^ 243a + 27b ^ 3c = - 1 4 ...(II) Nos piden: R = P(3) En (l): R = P(3) = 243a + 27b + 3c - 8 Con (II): R = -14 - 8^ -22
8= 6
16. Si al dividir P(x) por x“-1 dacomorestoR(x)=2x" - 1,
hallar el resto de dividir [P(x)]^ por x^ - 1.
Resolución:
P(x)^ (x^ - 1) ^ R(x) = 2 x ^-1 ^ P(x) = (x‘ -1)q{x) + (2x^-1) Elevando al cuadrado; [P(x)]^ = [(x ^ -1 )q (x )+ (2x^-1 Nos piden ei resto de [P(x)]^ (x^ - 1) Por el teorema del resto; x" - 1 = O == x" = 1 En(l): R = [{1)'-1]q(x) + [2 (1 )-1 f .• R = 1 17-
Después de efectuar la siguiente división; (ex“ - 4x^ + x^ + lOx - 2) -i- (3x + 1), indicar cual de los siguientes enunciados son correctos; I. El polinomio cociente es 6x^ + 3x + 9. II. El resto e s -5II!. El término independiente del cociente es 3.
(n - 1) coeficientes .-. Q(1) = 1 + {n - 1){n + 1) = n" 20.
Si R(x) = Bx^ + Cx es el resto de la división —■
+ Bx + 2 (determinar el valor de:
3x^ - X + 1
T = A - 3B + C Resolución:
Reconstruyendo la división por el método de Homer: 3
6
3x + 1 = 0
6
-4
- 4
1 6 2
-2 -6 -2
1 2
10 -2 -1 - 3
3
9 3
1
De donde: ■3- =
-5
h
i 12 e
a b
j N
2
k L P
F 20 e -28 d g
Determinar el valor: ab + j + N + ad - g Resolución: Del esquema; ab = 12, j + N = 2; ad = -28 a g = -8 ab + j + N + ad - g = 12 + 2 - 28 - ( - 8) =
-6
Sea Q(x) el cociente de efectuar la división; (x" + nx"’ ' - n - 1) ^ ( x - 1), calcular Q(1). Resolución:
Por Ruffini: n coeficientes
1
2 -2
n
0
0
0 .. 0
1 6
2
B
C
0
A = 18
T = 29
El siguiente esquema representa una división por el método de Ruffini.
x=
0 B -6 1 -1 0 2
B = - 5 A (B + 1 = C ^ C = -4 ) Luego: T = A - 3 B + C = 1 8 - 3 (-5 ) - 4
I. Elpolinomiococientees;q(x)=2x^-2x^+x+3 (F) II. El resto es; R(x) = - 5 (V) III. El término independiente del cociente es q(0) = 3 (V) Son correctos; II y III
=0
0 6 0 6 ■M
+3
x -1
0 3
Por el método de Ruffini:
19.
3
-1
Resolución;
18.
A
0
0 - n -1
n+1 n+1 n+1 , . n+1 n+1 n +1 n+1 n+1 n+1 n+1 . . n+1 n+1
0
( n - 1) coeficientes Q(1 ) es la suma de coeficientes del cociente Q(x);
21. Si el residuo de dividir: (ax^ + ax^ - 4x + 2a) entre (x^ - bx + 2) es 2x. Determinar la suma de coefi ciente del cociente. Resolución; Usando el algoritmo de la división: ax^ + ax^ - 4x -f- 2a = (x" - bx + 2)q{x) + 2x Donde q(x) es de primer grado, ax^ + ax^ - 4x + 2a = (x^ - bx -h 2)(mx + n) + 2x Notar que; m = a a n = a ax^ + ax" - 4x+ 2a = (x^ - bx + 2)(ax + a) + 2x = ax^ + (a - ab)x" + (2a - ab -1- 2)x + 2a =» a = a - ab A 2a - ab + 2 = - 4 =»ab = O A 2 a = - 6 = » b = 0 A a = - 3 q(1) = 2a = - 6 22. Sea el polinomio definido por: P(x)= x^ - ax" + bx + c, tal que P(x) es divisible separadamente entre ( x - a). ( X - b)y (x -c ), hallar el valor de T = a + b + c, con b # 0. Resolución: P(x) = - ax" + bx + c Si P(x) es divisible separadamente entre (x - a), (x - b) y (x - c), entonces lo será por su producto. - P(x) = ( X - a)(x - b)(x - c)Q(x) Luego, efectuando: x^ - ax" -I- bx + c = x^ - (a + b + c)x^ + (ab + be + ac)x - abe Identificando coeficientes; • - a = - a - b - i - c =»b- i - e = 0 ...(a) • b = ab 4- be + ac
b = a(b + c) + bc =>b = b c = » c = 1 '~ 0 ~ ' En (a); b= -1 • c - -abc =» ab = -1 => a ( - 1) = -1 =» a = 1 a+ b+ c= 1 23. Sea P un polinomio (definido en x), tal que P(x) es divisible separadamente por (x" + x - 6 ) y (x^ + X - 2). Hallar e! resto que se obtiene de dividir P(x)+(x" + 2 x-3 )(x" - 4) Resolución; P(x) es divisible por (x" + x - 6) P(x) es divisible por (x" + x - 2) => P(x) es divisible por el producto de: (x^ + X - 6)(x^ + x - 2) Observamos que; (x^ + x - 6) (x^ + x - 2)
P (x )- (X + 1) ^ R = P (-1 ) = ? =» P(x) será divisible por el producto de (x" - 9)(x - 1). - ,P (x U (x '-9 )íx -1 )Q(x) 4,°G 3.°G 1.°G De aquí; Q(x) = ax + b Donde, además; a = 3 P(x) = (x" - 9)(x - 1)(3x + b) • P(2) = (-5)(1)(6 + b) = -50=> b = 4 P(x) = (x^ - 9)(x - 1)(3x + 4) . P ( -i) = (-8)(-2)(1) R = p (_ 1 )= 1 6
26. Hallar el número de términos del cociente notable:
Resolución: ^ i7 ,5 _ y 8 rs
j( X _ 2
X
2
= (x + 3 ) ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2) = (x^ + 2x - 3 )(x"- 4) Como P(x) es divisible por el producto de; (x^ + 2x - 3)(x" - 4). El residuo de dicha división es 0. 24.
De
X" - y _ 17,5 _ 8,75 _ N.° de términos del CN = = 35 1/2 1/4
27. El esquema siguiente muestra la división de dos polinomios según la regla del Horner. -2 b
d
bd
3d
Si el desarrollo del siguiente cociente notable; ^
tiene un término de la forma
d
f
;b = a
bf
cf
e
c
-I-
e
X
a(x^ - 1f , hallar el valor de: T = a + b
Hallar el valor de; T = a' + b' + c' + d" + e" -h f"
Resolución;
Resolución;
Escribamos en la forma de cociente notable;
a
(x + 1)^' + ( x - 1 ) ’
b
(x + 1)’' + ( x - 1 ) ’ = 2 2x = 2
Ahora, supongamos que el término de ia forma a(x" - I f ocupa lugar k. t, = 2 [ ( - i r ’(x+ 1)"-^(x - 1)^-'] = a(x" - D" Obsérvese que se debe cumplir: 11-k = k -1 = k = 6 Reemplazando tenemos: -2(x" - 1)* = a(x" - 1)“ Comparando: a = - 2 a b = 5 T= 3 25.
Si un polinomio P(x) de cuarto grado, cuyo coeficien te del término de mayor grado es 3, es divisible por (x^ - 9) y por (x - 1 ). Si al dividir P(x) entre (x - 2) se obtiene como residuo -5 0 , hallar el residuo que se obtiene de la división de P(x) entre (x -i-1).
Resoiución: Datos: P(x) es de 4.° grado, donde el coeficiente principal vale 3. P(x) es divisible por (x" - 9) P(x) es divisible por (x - 1) P(x) + (X - 2) ^ R = P(2) = -5 0
-2 b
d
bd
3d
c
(x+1)’' + ( x - 1 ) ' (X+1) + (X -1)
e
d
f
c
bf
cf
e
c
Dato: b = a + 6 Del esquema: ^ = d e = ad ...(I) a de = 3d =» c = 3 - 2 b + bd 3 -f ...(II) • 4d + bf = e ...(III) • e + cf = e =>f = 0 En (II): -2 b + bd = O =» bd = 2b = d = 2 En (III): 4d = e = e = 8 En (I): 8 = a(2) ^ a = 4 En el dato: b = 12 T = 16 + 144 + 9 + 4 + 64 + O = 237 28. Si P es un polinomio definido por P(x) = ax" + bx^ + c, tal que si la diferencia de los restos de dividir, res pectivamente, entre: x" -t- 1 a + 1 es 2(x + 2), Hallar el valor de: T = ab
Resolución; Dato; P(x) = ax" + bx^ + c
•
Hallemos el resto de P{x) + (x^ + 1) PorTRix^ + 1 = 0 ^ = -1 P(x) = a(x^)^ + b{x^)x + c =5- R,(x) = a(-1)^+ b { - l) x + c R,(x) = -b x + (a + c) • Hallemos el resto de P(x) (x^ + 1) PorTR; x^ + 1 = O =. x^ = -1 P(x) = a(x^)x + b(x^) + c « Rj(x) = a(-1)x + b (-1 ) + c Rz(x) = + (c - b) Por dato: R,(x) - R2(x) = 2{x + 2) =» ( - b + a)x + (a + b) = 2x + 4 Observamos que: a - b = 2A a + b = 4 =» a = 3; b = 1 T -{3 ) (1 ) = 3
29. Dada ta siguiente división: 3 + (x - 3 f ' + x^ - 26 + 27x - 9x^ n c Z‘ hallar el resto. Resolución:
D(x) = 3 + ( X - 3)'"*^ d(x) = x^ - 9x^ + 27x - 26 Por TR: x" - 9x^ + 27x - 26 = O x^ - 9x' + 27x - 27 + 1 = O = (x - 3 f + 1= O =» (X - 3)' = -1 Del dividendo: D = 3 + [(x-3)^}^"" ^ =» R = 3 + R = 3 + (-1 ) = 2
impar
30. Sea P(x) un polinomio que cumple:
Por ser identidad, damos valores; x = 2 => 0 = 0 + 2a + b => 2a + b = 0 ...(I) x = 1 =»0 = 0 + a + b = 5 a + b = 0 ,..(il) Resolviendo (l) y (ll) se obtiene: a = Oa b = O .-. R(x) = Ox + O = O 32. Hallar el resto en:
X
+ x'"" + 1 x "- 1 x- 1
Resolución: Multipliquemos dividendo y divisor por (x - i; x + x'^^+ 1/ x - 1' x"-1 l x - 1 , x=- 1 x- 1 ^200 _ ^199 ^ x'-1 Por el teorema del resto: d = x * - 1 = 0 = > x ® = 1 Del dividendo: D = (x^)'“’ - (x^)^V + x^ - 1 Luego: R’ = (1)^“ - {1 )'V + x' - 1 R' = 1 - x^ + x^ - 1 =, R' = - x^(x^ - 1) ^ R’ = -x '(x + 1)(x - 1) Para hallar el resto (R) debemos dividir — — ; X —
R=
R' x - 1
1
= - x ‘^(x + i;
33. Si al dividir P(x) / ax'' + bx^ + cx^ + 3x + 1 entre x^ - x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto R(x) = 10x - 1, hallar a+ c Resolución:
P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1), hallar ladiferen cia de los residuos quese obtienen al dividir P(x) entre (x - 1) y {x + 1), respectivamente. Resolución;
P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1) ...{i) El resto de dividir P(x) x^ = 2 En (1): Rj(x) = (2 - 1)(2a + bx + c) = 6 - x =>b=-lA2a + c = 6 ,..(|3) De (a) y (P): a = 1 a c = 4 ^ P(x) = (x' - 1)(x' - x + 4) T1(P) = P(0) = -4
(1 -p ) (q-p) resto
Como; (1 - p)x + (q - p) = 3x + 4 (dato) p = -2 1 -p = 3 pq q- p= 4 q= 2 36. En la división siguiente:
3xV 6bx^+ x + a x‘^ - x + b se sabe que el resto es; 2x + 3; además ta suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal cular ab.
.( 1 )
38.
2x” ^ + 1 Si la siguiente división;----- ^ — es inexacta, ha1 + x^ - x llar el residuo.
Resoiución: De; 2 x "''+ 1 ...(I) X^ - X + 1 Recuerde que si; D(x) = d(x)q(x) + R(x) = D(x)M(x) = Ld(x) X M(x))]q(x) + R(x)M(x) Esto es, si at dividendo y divisor se les multiplica por M(x) (M(x) ^ 0), entonces el resto también que dará multiplicado por M(x).
Resolución:
(2x’’^+ 1)(x+ 1) (x^ • x+1) ( x 1) 2j^119 x + 1
Por (x + 1): 2x’“
...(II)
x^+ 1 Por el teorema del resto en (11): x H 1 = O => x ^ = - 1 P (x) R f(x ) = =»
•
•
b" - 5b + 6 - 2 b' - 5b + 4 = O =» (b - 4)(b - 1) = O =» b = 4 V b = 1 a - 5b = 3 Si: b = 4 =. a = 23 Si: b = 1 => a =8
Observe que cuando b = 1 a a = 8, suma de coeficientes del cociente sale mayor que 15 pero no cuando b = 4 = > b = l A a = 8 ab = 8 37. Sea P un polinomio de cuarto grado divisible por (x" - 1). Si P(x) se divideseparadamenteentre (x^ + 1) y (x" - 2) tos residuos son(2x - 6)y (6- x) respectivamente, hallar el término independiente de P(x).
2(x^)*° +
2 ( x ^)^®x ^ +
2 ( - 1 ) “° +
R p (x) =
-
2x" +
2 ( - 1 ) ' V X +
3
=
+
x
+
1
1
x -
( - 2 x
+
3)(x +
1)
Luego, el resto de (I) será: ( - 2 x + 3)(x + 1) r (x) = 5 eM _ _ ' ' X+1 X + 1 R(x) = -2 x + 3 39. Si P es un polinomio de cuarto grado, cuyo coefi ciente principal es 6, tiene como término indepen diente -4 ; es divisible separadamente por (x + 1) y ( X + 2) y al dividirlo entre (x - 2) el residuo es 240, hallar la suma de coeficientes de polinomio P. Resolución: GA(P) = 4; CP(P) = 6; TI(P) = - 4 P(x) es divisible entre (x + 1) y (x + 2) ^ ^ ) = (x + 1)(x+2)q^) 4.*
2.“
=> P(x) = (X + 1)(x + 2)(ax^ + bx + c) CP{P) = 8 = 6; TI(P) = 2c = - 4 = c = - 2 =» P(x) = {X + 1)(x + 2)(6x' + bx - 2) P(x) deja resto; R = 240 Además; x -2 ^ P(2) = R = 240 =. {3)(4)(24 + 2b - 2) = 240 ^ b = -1 => P(x) = (x + 1)(x + 2)(6x^ - X - 2) P(1) = (2)(3)(3)=18 40.
Si P es un polinomio, ta! que a! dividir P(x) entre (X® + X + 1) se obtiene como residuo {-x^ + 1). hallar el residuo que se obtiene al dividir P(x) entre {x' + X + 1) Resolución: P(x) = (x® + X + 1)q(x) + (-x^ + 1) P(x) = (x^ + X + 1)(x^ - x^ + 1)q(x) + (-x^ + 1) P(x) , apliquemos el x+x+1 teorema del resto; x^ + x + 1 = O => -x^ = x + 1 => R(x) = O X q(x) + (x + 1 + 1) .. R(x) = X + 2 Para calcular el resto de
41.
Si un término del cociente notable que resulta de dividir;
. ^ ^
es x’^ Hallar el valor de m + n.
Resolución: x^-y" Se tiene: y 3 . . m - 3 „ m + 2 Ay y Dándole la forma;
1 y - 3
grado absoluto 40. Calcular el grado absoluto del t . , 2. contado a partir del primero. Resolución: El término “k” contado a partir del final es el mismo término que se obtiene invirtiendo el desarrollo del cociente notable, lo cual se logra, cambiando de signos, así: y 3 0 -^ 7 5
y^-x=
(y^)-(x^)
Cálculo del término k: (invertido el orden) Dato; (GAtJ = 40 = 30 - 2k + 5k - 5 ^ 3 k = 15 ^ k = 5 =í Nos piden calcular e l ^ ^ 2 =■ t, {sin invertir) 5 GA(t7) = 40 + 12 = 52 43. Si al dividir: abx® + b^x* + bcx^ - abx + acx^ + c^ ax + bx + c . b(a + c) se obtiene por resto: acx, calcular: Resolución: Por el método de Horner;
1 x -y ’ (x^)^-(y^) 5 x'-y'
Se cumple que; y = m + n » 5m = 3m + 3n =9 2m = 3n
2m
Sabemos que un término cualquiera del desarrollo estará expresado por; -3yk 1 / „ 3 \ T - l > / , . 5 s k - 1 ____ = X Por dato, uno de sus términos es x'^ en conse cuencia;
De donde: R(x) = (-a b - bc)x = acx (dato) =» - ab - be - ac => ab + be = -a c • *^(3 + c) _ ^ ac 44. Calcular “n” sí el residuo de la división: (x + 3)"(x + I)'* + nx(x - 1)(x + 5) + 1 (x + 2)^ es: 2(1 - 18x); n es par
De donde; • m - 3k = 12 ^ m = 3k + 12 ...{II) • 5 k - m - 2 = 0 = 5 k - 3 k - 1 2 - 2 = 0=>k = 7 Reemplazando el valor de k = 7 en (II); m = 3{7) + 12 =» m = 33 •í\ n = 22 E n ,,):„ = Í M
Luego: R = { - 4 + 3)" + nx(-4 - 5) + 1
m + n = 33 + 22 = 55 42.
Si el término “k" contado a partir del extremo final del desarrollo del cociente notable:
Resolución: Por el teorema del resto: d = x^ + 4x + 4 = O => x^ + 4x = - 4 Del dividendo: D = [{X + 3){x + 1)1" + nx{x - 1){x + 5) + 1 D = (x" + 4x + 3)" + nx{x^ + 4x - 5) + 1
X -y
tiene
Como "n” es par, entonces: R = 1 - 9nx + 1 = -9 n x + 2 Por dato: -9 n x + 2 = -3 8 x + 2 =9 —9n = —36 = n = 4
45. Hallar el resto en la división:
48. Al efectuar la división:
( x+1) ( x + 2)
Resolución: Se tiene que: D(x) = + Ox^ + Ox + O d(x) = x" + 3x + 2 Por el método clásico: x^ + Ox^ + Ox + - x^ - 3x" - 2x - 3x^ - 2x + 3x" + 9x + 7x +
Se obtuvo un resto R(x), hallar el valor de:. R ( - 1 ) R(1) Resolución: Se tiene que: d(x) = x^ - x" +
O
Resolución: Por el teorema del resto: d(x) = ax" - b = O =» x" = b/a Del dividendo, dando forma: D = 3 (x 'f - 5(x")"+ 3(x")x + 3(x") - 5x - 5
Para que sea la división exacta: R(x) = O X+
3 ( b f _ 5 ( b f + 3 (b)-5Ì
\a l
\a l
[a l
=0
De aquí: 3 ( | | - 5 - O ^ 3b = 5a Como "a" y "b" e Z * : a = 3 A b = 5 47. Si se sabe que la división de: F(x) = ax" + {3a - b)x""’ + (5a - 3b)x"”" + (7a - 5b)x'’-^ + ... de (n + 1) témiinos, entre ax - b, da como residuo 11a; (a b). Hallar el valor de “n’’. Resolución: Efectuamos la división por Ruffini. para esto ana licemos tos coeficientes del dividendo, nótese que posee (n + 1) términos. 1 coef. = a 2.“ coef. = (3a - b) = (2 x 1 + 1)8 - (2 x 1 - 1)b 3.®' coef. = (5a - 3b) = (2 X 2 + 1)a - (2 X 2 - 1)b 4.“ coef. = (7a - 5b) = (2 X 3 + 1)8 - (2 X 3 - 1)b (n + 1)." coef. = a
= (2n +1)a - (2n - 1)b
a (3a - b) (5a - 3b) I b 3b 3a
(2n + 1)a - (2n - 1)b (2n - 1)b
5a.,,(2n-1)a
(2n+1)a resto
(2n -H 1)a = 11a
n= 5
X
- 1 = x^(x - 1) +
(X
- 1)
•
Factorizando (x - 1): d(x) = (x - 1)(x^ + 1) Luego; d(x) es de tercer grado, entonces el máximo grado de R(x) es 2; es decir; R(x) = ax" + bx + c Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) -t- R(x), entonces (x^ + 1)® + (x - 1)^ -t- 3x = (x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax" -i- bx + c) ...(I)
•
Por ser identidad, damos valores; x = 1 => 35 = a- i ' b + c ...(II) También se puede escribir en (I) así: (x" + 1)' + (x" - 3x' + 3x - 1) + 3x = (x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax"+ bx + c) x^ = -1 =» - X + 3 + 3x - 1 + 3x = - a + bx + c => 5x + 2 = bx + (c - a) De aquí: b = 5 A c - a = 21 0 = 1 6 Pero b = 5 en (II): a-i -c = 3 0 j a = 14 ^ R(x) = 14x' 5x + 16 R (-1) 14^5+16 5 R(1) 14 + 5 + 16 7
x-3 O 6 6 = resto
46. En la siguiente división: 3x^" - 5x^° + 3x^ + 3x' - 5x - 5 ax" - b determinar el valor entero y positivo de “a” y “b", para que dicha división sea exacta, siendo: a < 4
3\(a- l) - 5
(x"+ 1)^ + ( x - 1)^ + 3x X ^ - x" + X - 1
49. Si el resto de dividir: P(x) = (2x^ + 6x + 9)"® - 3(x" + 3x + lx = 2 • R, = (2 - 2)® + 2' + 2 - n =» R, = 6 - n De la segunda división; • x + 1 = 0 =»x = -1 • Ra = 2 (-1 )’®+ n (-1 ) + n^ ^ R^ = 2 - n + n^ Por dato: R, = R2 =>6 - n = 2 - n + n^ =»n^ = 4=»n = 2 V n = - 2 Ei menor valor de n es -2 .
- 10
a + b = 32
65. Determine el menor valor de “n" para que las si guientes divisiones tengan el mismo resto.
(x -
10
b
...{!)
x +1
N.° de términos del cociente
20
Aplicando el teorema del resto; x^ + 1 = O =» x^ = - 1 Reemplazando en el dividendo, obtenemos: ( X + 1)R(x) = (-1 )’^ V + ( - l ) ’^^x - 2x - 2 ( X + 1)R(x) = x" + X - 2x - 2 R(x) -
10 términos, halle el valor de: a + b
Resolución Para que genere la división un cociente notable, debe cumplirse que:
- 2x - 2 x^+ 1
( x ^ - x + 1)(( x + 1))
Si el cociente notable que se genera de la división x“ - V® —— ^ tiene x“ -y®
69.
Al dividir P(x) = 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a entre (x - 1) y (x^ - 1) los restos que se obtuvieron fueron 14 y (bx + c), respectivamente. Calcular; a + b + c. Resolución: 1.
3ax® + (a + 1)x^ + 4 x ^ - 6 x + a (x-1) -R ,-14
...(I)
Calculando R, por el teorema del resto: x-1=0=>x = 1 Reemplazando en el dividendo; R, = 3a(1)® + (a + 1)(1)^ + 4(1)^ - 6(1) + a Ri = 3a + ( a + 1 ) + 4 ~ 6 + a ^ R, = 5a - 1 ...(II) De (I) = (11); 5a - 1 = 14
5a = 15 =» a = 3
„ „ 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a ( x^ - 1) => Rj = bx + c
...(111)
Calculando Rj por el teorema del resto; x^ - 1 = O => x^ = 1 Transformando el dividendo;
3a(x^)^x + (a + 1)x^x + 4x^ -
6x + a
Igualando: (III) = (IV):
Reemplazando (x^ = 1) en el dividendo: R2 = 3a(1)'x + (a + 1)(1)x + 4(1) - 6x + a Rj = 3ax + (a + 1)x + 4 - 6x + a
^ Donde:
R^ = (3a + a + 1 - 6)x + (a + 4) « Rj = (4a - 5)x + (a + 4)
+ c = (4a - 5)x + (a + 4)
b = 4 a - 5 = » b = 4(3) - 5 ^ b = 7 a + b + c = 3 + 7+ 7 = 17
...(IV)
c = a + 4 => c = 7
P RO B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 ( t N I 1 9 8 8 )
(0; 2)eP ^ a = -1
Dos de las raíces del polinomio P(x) = ax^ + bx^ + cx + d; son 3 y r. Hallar un polinomio de tercer grado, dos de r+ 1 cuyas raíces sean 4 y — *5 r
^ P(x)--(x-1)^(x-2) Se pide el residuo de:
p (x )
x -3
Por teorema del resto: R(x) = P(3) = -(3 - 1)^(3 - 2) = - 4 (a b)x^ + (b + d - c)x + (a + b - d) Clave: B (c 3d)x^ + (b + 3d - 2c)x + (a + c - b - d) 3dx^ + (3b + d)x + (a - b - c) PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 1 • I) 2cx^ + bx + (a - b - d) Si P(x) = x’ ax' - x + b - 6 es divisible entre x' - 1 y (2a + b)x' + (b + c)x + (b - a c) la suma de los valores de x que cumplen P(x) = Oes -4 . Resolución: Calcule el producto de a y b.
A) cx^ + B) dx^ + C) dx^ D) ax^ E) bx" +
Quiere decir que existe un P(y) de raices 1 +
>3
a
1+ • r
El polinomio P(y) se determina haciendo: 1 + -= y X
o sea que: P(y) = P
'
y =
B)-4
04
D)5
Resolución: Si:
X -1
P(x) ^ R= 0 x '- 1 1
x -1
Finalmente el polinomio buscado es: 1 n / 1 \ _/ 1 +d + b[ 1 x-1, X - 1/ I x - 1/ ' \ x - 1,
(7 ^
A)-7
= dx" + (c - 3d)x' + (b + 3d - 2c)x + (a + c - b - d ) = 0
Clave: B
0 1 P(x) =
(X
a i -1 0 11 10 a 10
a a - i - b - 6 =» a - i - b - 6 = 0
+ 1)(x - 1)(x + a) X = -1
P(x) = o
X ,X
PROBLEMA 2 (IIISII 2 0 0 9 - 1)
b- 6
= 1 = -a
-1 + 1 - a = - 4
a = 4 A
b = 2
Sea P(x) el polinomio de grado “n", donde “n" es ei me nor posible y cuya gráfica se representa a continuación:
ab = 8
Clave: E PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 1 - II) Al dividir un polinomio p(x) entre x* - 1 se obtuvo como residuo 3x" + nx' + mx - 2; si además se sabe que, el resto de dividir p(x) entre (x' - 1) es 5x - 4, entonces el valor de m" es: A) - 4 D) 1/4
B) -2 E)4
Encuentre el residuo al efectuar ta división de P(x) con Q(x) = x - 3
Resolución:
A)-6 D)1
P(x) =
B)-4 E)4
0-1
Resolución: Del gráfico: P(x) = a(x - 1)"’(x - 2) (grado minimo)
O 1/2
D ei dato: (X'*
- 1)q(x) + 3x^ + nx^ + mx - 2
P(x) Además: deja residuo: R(x) = 5x - 4 x "- 1 Por teorema del resto en (II): x' = 1
,..(l)
En (I): 3(x^)x + (x^) + mx - 2 = 3x + n + mx - 2 3(x^)x + (x^) + mx - 2 = (m + 3)x + (n - 2) f^(x) = 5x - 4 Identificando con el dato: m = 2 a n = 2
/. m" = 1/4 Clave: D
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 • I) Halle el cociente al dividir P(x) = Sx" + x^ + + X - 2 entre (x + 1)(x - 2/3)
A)2(x'-1) D)3(x^ + 1)
B)3(x^ + 2x) E)3(x' -2)
C )4(x' + 4)
Resotución: Factorizamos: P(x) = (x + 1)(x - 2/3)(3x^ + 3) Nos piden el cociente de dividir: (x+DÍx-|)(3x'+3) = 3(x^+1) (x+1)/xClave; D
PROBLEMAS
□
PROPUESTOS 8.
A l e f e c t u a r la d iv is ió n :
n
A l e f e c t u a r la s ig u ie n t e d iv is ió n : x "^ ^ -(n -2 )x + 2 n -3
X®+ 5x“ - 5x^ + (9m + 1)x^ + n
(x -1 )^ s e o b tie n e u n c o c ie n t e c u y a s u m a d e c o e fic ie n t e s e l r e s id u o e s R ( x ) = 8 . C a lc u la r ( m + n )^
e s 1 9 0 , H a lla r e l r e s t o d e la d iv is ió n ,
A )
A )x + 16 D )3 x + 16
4
B ) 1 616
D )6 4
2.
E)
0 )3 6
100
C a lc u la r e l r e s t o d e d iv id ir :
9.
8x^ + 4x^ - 6a x
B ) 3 x - 16
O x
-
16
E )4
S i s e d iv id e : Q ( x ) = ( a + b ) x ^ + (b - c )x ^ + (b + c )x + a - b
15
2 x - 1
e n tre x
+ n ^ e l r e s id u o e s c e r o . C a lc u la r :
s i la s u m a d e c o e f ic ie n t e s d e l c o c ie n t e e s 3 7 ,
3.
A ) 46
B )4 5
D) 43
E )42
0 ) 44
E n e i e s q u e m a d e la d iv is ió n p o r R u ff in i;
A ) 3
B ) 1 /2
D )1
E )3 /2
C ) 1 /4
10. E l e s q u e m a r e p r e s e n t a l a d i v i s i ó n p o r e l m é t o d o d e H o rn e r:
4 *
* c a lc u la r ; a c -
A)1 D) - 3
-3 * 1
a
- b l e
*
*
b
*
i * ! 3
c c
be.
B )-1
0
3
S e d e f in e e l p o lin o m io m ó n ic o ; 11.
A )x + 2
B )3 x + 2
D )4 x + 7
E ) 7 x + 11
6 x ® - x '‘ + 4 x ^ - 5 x ^ - x - 1 5 X -
B) 40 E ) 34
O
ó
36
C a lc u la r ta s u m a d e c o e fic ie n t e s d e l c o c ie n t e a l y99 _1_ Y 1 e f e c t u a r la d i v i s i ó n ; -------------- -----------
X- 1
A) 50 D)70 6.
B )99 E)1
0
4
+ 90 X- b el coGficient© del término cuadrático del cociente es -1 , Calcular b. A ) -4 D ) -3
10x» - 2 1 x
B )3 E )B V D
C )x + 2
(x -2 )(x -1 )
III. L a d i v is ió n e s e x a c t a .
E )6 x '-
1
II. E l r e s t o e s x + 1 .
P A y d e ja d e r e s t o ig u a l a : 3 x + q
A i d iv id ir ;
E )1
I- S c o e f i c i e n t e s ( q ) = 1 2 ,
s e o b tie n e u n c o c ie n t e c u y o s c o e fic ie n t e s e s t á n e n
7.
B) 4x -
D )0
In d ic a r e l v a lo r d e v e r d a d :
- X+ 1
B )3
A ) 2x + 1
100
2x^ + m x^ + nx^ + px + q
A ) 2 D )5
2 x " -x + 3 In d ic a r e l re s to ,
12. Dividir; 2 x ' - 8 x + x “ + 1 2 - 7 x ^ 0
C a lc u la r m + n + p , s i a l d iv id ir :
x"
C ) 2x + 1
E f e c t u a r la d iv is ió n :
c a lc u la r e l r e s t o d e la d iv is ió n :
A) 38 D)42
c^
In d ic a r e l re s to ,
E)4
P{x) = ( a - 3)x^ - 5x' + 2x - a
b' a‘ + c ‘
A ) V W
B) VFF
D )V F V
E )F W
C ) FFV
13. C a l c u l a r e l v a l o r d e m \ s í l a d i v i s i ó n : x'“ + 4- mx^ - 6x 4- 8 es exacta. x" + 2x + 8 A )3
8 )7
D ) 1 /4
E ) 1 /7
14. A l d i v i d i r ; 2x - X 4- 4x + 7x + m X - X + n e l r e s t o e s 3 x + 4 , c a l c u la r m " '’ .
A) 3 D) 1
B)4 E)5
A) x" D) x" +
C) 1/3
15. S* el resto de la división;
B)n E)0
0-10
16. Sí la división de; P(x) = x' - x" - (a + 3)x^ + (b + 3)x^ + (c - 2)x - 2 entre x" - 8x + 2 es exacta, calcular: /P(a) + P(b)P(c) B)17 E)20
A) 16 D) 19
018
17. El polinomio; P(x) = mx** + nx" - 9x^ + 4x + 10 es divisible por Q(x) = x^ - 3x + 5. Calcular m - n B) - 6 E) - 2
A) 4 D) 5
0 6
18. En la división: ^ ~ ~ ^ , señalar la suma x -2 de coeficientes del cociente. A )8 D) 11
B) 10 E) 12
0 9
.tn Ai j - .!• Sx“ + (n + 1)x^ + nx - 5 19. Al dividir; ^ ------------ el resto es 1, x+3 calcular: ‘’/n + 1 A)1
B)2
0 3
20. Calcular el resto de dividir; A) O 0341X + 2046 E)273x + 2036
D)4
E)5
x^ + 9x + 18
B)25x + 203 D )-3 6 x + 20 461
21. Al dividir P{x) entre x^ - x^ - 2x + 2, se obtuvo de resto x + 2. Hallar el resto de dividir P^(x) entre x" -
C)x^
24. En la división siguiente:
8x^ + 4x^ + mx^ + nx + p 2x^ + x^ - 3 es R(x) = 5x^ - 3x + 7, calcular; m + n +p A) 10 D)-n
B)x E)x + 1
X
2x^ + 3x" + bx^ + 6bx^+x + a x^ - x + b se sabe que el resto es 2x + 3, además, ia suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal cular ab. A) 4 D)2
C)7
B)9 E)8
25. ¿Qué relación debe guardar los coeficientes del polinomio (ax'* + bx" + cx + d) para que sea divisi ble entre (x^ - 2x + 1)? A) d = 2a + b O d = 3a + 2b E) d = a + b
B) d = 2a + 3b D) d = a + 2b
26. Determinar A y B / P(x) = Ax“ + Bx^ + 1, Verificar; P(x) - R(x) = (x - 1)^q(x), si R(k) = O, V k e E. A) 3; 4 D)-2;4
B)3;-4 E)-2;-4
O 2;-4
27. Sabiendo que P(x) = 4x* - Bx“* + 3x^ + x^ - x - 1, se puede expresar según potencias de ( x - 1 ) , es decir, P(x) se puede expresar así: a(x - 1)* + b(x - 1)^ + c(x - 1) + d(x - 1)" + dx - 1) + f Indicar el valor numérico de: E = ^ ^ a+c+e A) - 1 D)1
B) - 5 E)5
O -1 0
28. Calcular el valor de "m" en la siguiente división indica da (2X - 1)" si el cociente admite como TI = 4. (x + 2) ( x - 3) A) 2 D)1
C)6
B)4 E)3
29. S iF (^ ) es el resto de dividir F(x) entre (x +2a), donde F(x) = 2x"+a(a + 4)x^ + (1 + a^ + a^)x + 2(a" - a“ + 1)
2.
A )x - 3 O 14x + 20 E) 2 x - 16
B) 2x + 8 D ) 8x + 18
22. Dado el polinomio P(x) mónico de grado n, que cumple: P(1) = 1: P(2) = 2; P(3) = 3;... ; P(n) = n. Determinar el resto de dividir: P(x)
calcular F|.^ A)
B )g
C )U
e f 30. Et cociente y resto de ta siguiente división: S ^ + ( l]x ^ ^ + 2 x - 2
A) O D)U1-1
B) 2[n_ E )(-1 )'\ri
O n +1
23. Al dividir P(x) entre (x^ + x +1 ) se obtuvo por residuo (x + 1) y al dividir P(x) entre (x ^ -x + 1 ) el resto es { x - 1 ) . Calcular el resto de dividir P{x) + (x* + x^ + 1)
3X-1 es (CqX®“ + CiX*® + CjX*® + ... + C50); -5 , respectiva mente, donde: Co + Ci + Cj + ... + C50 = ~ + .^ /a , b e m . a b/
se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 y un resto idéntico a 5ax + a + 2, a / 0.
Calcular a+b. C )|
B )f
Calcular —77^ — , donde q(x) es cociente. q ( 1) - a ’
E)5
D) - 4
31. Si P(x) es divisible por ( x ^ + x + 1 ) , donde P(x) = x^A(x^) + B(x^), calcular la suma de los res tos de dividir A(x) y 8 (x) entre (x - 1), respectiva mente. A)1 D) -1
B)2 E) - 2
OO
C) X* + 1
[(1 + x + x^ + x^) ^- x^f 1 + X + x + X + x“ B)x D) 1 +
X
+
x^
+
x^
34. Calcular el resto de dividir: ( x - 1)^® + (2x)’ V x ^-1 3x® - 15x" + 30x^ - 30x^ + 21x - 3 A) O D)x^-1
B) - 1 E) 3 x ^ - 3
siguiente división sea exacta. + Kxyz(x^ x+ y+ z
A ) -5/2
B)5/6
D)5
E)15
+ y^ + z^) 0)5/2
36. Determinar el resto de la división:
(x" + x“ + x^ + 3 )(x"-x^+ 1) + x(x*+ 1) + x^x+ 1) x^ - x + 1 A) 1-x D) 4 x - 3
B) 2x - 1 E)x^ + x - 1
0 3 -2x
37. Indicar el valor de “a" y "b”, para que (x® + ax'* + b) sea divisible por (x^ + x + 1). A) 1; 2 D )-1 ,1
B)2;1
A) 2x - 5 D)5
0 5
(x-5)'° + ( x - 6 ) ' + 6 (x-5)(x-6) B) 2x + 5 E)3x - 5
O 2x
A) [P(a)]' D) / P ^
B) 1 E)0
C) P(a)
42. Si "n" es un número natural impar y múltiplo de 3, determinar el resto en la siguiente división: (x^" + x" + 2) + (x^ - X + 1) A)1 D)4
B)2 E)5
C)3
C)x^
35. Determinar ei valor del parámetro K, para que la
x^ +
B )3 E)8
41. Sabiendo que P(x) es un polinomio y si a # b son números reales, tales que P{a) = P(b), hallar el res to de la división de P(x) entre x^ -{a + b)x + ab.
33. Cuál será el residuo de la división:
A) - X OO E) 1 - X
O)-1
39. El polinomio P{x) dividido separadamente entre (x^ - x + 1) y (x^ + X + 1) originan residuos - x + 1 y 3x + 5, respectivamente. Determinar el térmi no independiente del residuo de dividir P(x) entre x^ + x^ + 1.
40. Hallar el residuo:
hallar el resto. B)2 E) 2x^ + 1
B) 1/4 E)4
A) 1 D)6
32. Luego de efectuar la división: x^' + x‘ + 1 x«_x®° + x“ - . . . + 1 A)1 D) x" - 1
A) 1 D )-1 /4
O 3; 2
E)1; 1
43. Si P es un polinomio de tercer grado, tal que al di vidir P entre (x^ - 2x + 2) deja un residuo (3x - 6). Al dividir P entre (x^ + x) su residuo es (6x + 2). Calcular el residuo que se obtiene de dividir P entre (x+1)(x-2), A ) - 8x + 4 D)4x + 8
B)4x - 8 E) 8x - 4
O 8x + 4
44. Si los cocientes de dividir P(x) entre (x - 1) y (x - 2) son, respectivamente. Q(x) y q(x), determinar P{3), sabiendo que: P(1) = 3; P(2) = 2; 2Q(3) + q(3) = 5 A) - 3 D)4
B) - 5 E)5
0 )2
45. Al dividir separadamente el polinomio P(x) entre - (b + 1)x + b y entre x^ - (b + 2)x + 2b. se ob tiene por restos 7x - 4 y 5x - 8. respectivamente. Hallar la suma de coeficiente del resto de dividir P(x) entre x^ - (b + 3)x^ + (3b + 2)x-2b. A)-1
B) 0
01
0)2
E)3
38. Al efectuar la división:
3ax“ - 4dx^ - 2cx^ + 2x + 2 3x^ + 2x - a
46. Un polinomio P(x) de sexto grado, al ser dividido por (x + 1)® arroja un cociente entero q(x) y un re-
siduo 3x+2. Si q(x) tiene como coeficiente prin cipal al número 7, y la suma de coeficientes de P(x) es 325, determinar el término independiente de q(x). A)1 D )4 47.
B)2 E)5
0 3
Determinar elresiduode la división: x ' V + x + 1) + x'®(x + 1) A) - x ' D) 2x’ -
B) E)
-2 x ’ 3x^'
O x’®
48. Hallar el resto de ia división: ( x - 1 ) ( x + 2)(x + 3) ( 2x - 1) x^+ x - 5 A) x + 8 9x + 21
B)2x + 7 E)9x + 11
0 6x + 10 D
49. Hallar el residuo de dividir: x-’íx +1 r + (2x^ + 2x - 1 + (x + 1)' - (x + 2) entre x^ + x -1 , A )x + 1 D) -1
B)2 E)0
O I
50. Calcular el resto de dividir:
(x + 1)^^ + 7( x+ 1)^^ + 3(x+ 1)^^+ (x+ 1)^+ 3 x^+ 2x + 2
A) 2x+11 D) 2x +13
B) 2 x - 1 1 E) 2x- 13
51. Hallar el resto de la división:
A) - 4 + x D)3
B)4-x E) - 3
0 2X + 7
x+y+z es exacta. O í
53. Determinar el resto de dividir: ( x + 2 ) ^ ( x ® + X + 1) por x ^ “ X + 1 Dar como respuesta el coeficiente del término lineal. A) 12 D) 29
B) 16 E) 55
O 18
54. Si el polinomio P(x) de tercer grado es divisible por X - 2, se anula para x = -1 ; tiene término indepen diente -1 0 y al ser dividido por (x - 3) su resto es 56. Calcular P(5). A) 164 D)160
B)170 E)156
B)124 E)24
0128
0108
4 x ^ + 1 0 x " - 2 x ^ + 1 5 x - 2 dé 2x^ + 3x - 1 como respuesta la suma de coeficientes del co ciente aumentado en el término independiente del residuo.
56. Luego de efectuar
A) 6 D) 5
B)9 E)4
O 10
57. Si en la división: 9x‘* + 6ax^ + (a^ + 3b)x' + 9a^x - 3ab 3x^ + ax - b su resto es 6ab + b' 1ab
O, calcule: 3 + (-|^
B)84 E)78
A) 72 D) 76
0 82
58. ¿Cuál es el valor de m + n, si nx^+ 13x^+ 9x + 2 mx^ + 3x + 1 es exacta? B)6 E)4
A) 5 D)8
C)7
59. En el esquema de Horner, A
2
^ x^ + x + 1 0 2 -x
x(y + z) + y(x + z) + z(x + y) + M(x^ + y^ + z^)
B) -1 E)3
A) 120 D)144
B
52. Determinar el valor de M, si la siguiente división:
A) - 3 D)2
55. Si el polinomio de tercer grado P(x) se divide sepa radamente por (x - 3), {x + 2) y ( X - 1) se obtiene el mismo resto -3 6 , además 4 es raíz de P(x). Cal cular P(5).
3
C
8
12 P
Q
m
E
F
Y A
calcule: A + B + C - D - E A) 6 D)9
D
Q+ F
B)37 E) - 1
O -7
(n + 2)x + n + 1 , el té rm in o x-1 independiente del cociente es -1 0 . ¿De qué grado es su dividendo?
60. En la división
A) 12 D)9
B)8 E) 10
O 11
61. En ei esquema de Ruffini:
2
a
b
c
d
i
6
P
40
a
8
20
e
el re sto e s 2. C a lcu le : a
A) -1 5 D> -2 8
B) -11 E) 13
b+ c+ d+ e + p
O -1 3
62. Dado el polinomio: P(x) = X® + 2/ 2x" + 2/ 2x^ + 2 / 2x + 7, halle el valor numérico del polinomio cuando x = -ÍS - /2 B)8 E) 13
A) 6 D) 10
Halle P(1), si R(1) = 3
0 9
A) 7 D )6
63. En la base a la división
x' +
X -
(1 +
B )S ololl E) l l yl l l
O Solo lll
64. Halle m + n, sabiendo que la división: 2x^ + mx^ + nx^ - 3x + 1 x^ + 3 da un residuo igual a: 3x - 2 A) 5 D)13
8 )9 E)11
0 10
65. Dados los polinomios: P(x) = 4x* + x^ - x" + 4x + 3; D{x) = 2x^ - x + 1 Al dividir P(x) entre D(x), mediante el esquema de Horner, un estudiante se olvida de cambiar de sig no a los coeficientes del divisor. Indique el polino mio que se debe sumar al cociente para que este sea el correcto. B) x' - X + 1 D) 2x^ + X + 1
66. Al dividir un polinomio P(x) entre x - 1 se obtiene que el término independiente, del cociente es 21, indique el residuo, si P(0) = 7. A) 28 D)21
B)32 E)40
C)25
67. Determine el valor de b - a - c, si se cumple que: - 4x'* - 10x^ + 27x^ -Hax + b = q(x) 1 x -5 x ^ - 4x^ - 11x + c A) 4 D) 14
8)6 E)13
0 9
68. Sea P(x) = {1 - / 2)x® + 2x" - 2 /2 x + 10 q(x) =
X*
- 9x“ +
X
+ 2
se sabe que Juan gana “b” soles por cada "a" soles que invierte, donde; P(1 + /2 ) - b a q(b) = a Determine cuánto gana Juan, si Invierte 22 soles más. A) 14 D)39
8)27 E)41
0 4
70. Al dividir P(x) = x "'"' + 3x"'’ " + 3x"'‘ ®+ ... + 3x + 6 entre D(x) = x - 2; se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es 109; halle n^ - R. {R: residuo de la división). A ) -12 D)-20
0 32
B)36 E) - 19
015
71. Si en la división
(x-a)(x-b) He el máximo valor de a + b.
el residuo es 1, ha-
B)2 E)4
A) O D )2006
0 3
72. Dada la división: ^ 1 2 n ^ 2 x ’ ^n.
A) x^ - I- 2x^ - X + 1 C)2x' - 2x + 1 E)2x^ - X + 1
B) 5 E)9
¿cuál de X)
las proposiciones es verdadera? I. El resto no es 22. II. IR]:.,, es 6, III. Su resto es de grado cero, A) Solo l D) i y l l
P(x) se obtiene un cociente que es 2x" + X - 1 igual al divisor y un residuo R(x), tal que R(0) = 0.
69. Ai dividir
+
+ nx’^+ 1
(x®+ 1 )(x'+ 1) Si el residuo es 56, halle ei valor de “n”. A) 10 D)9
B)15 E)8
73. SI el cociente de la división
0 11 I Ow
I o
^ 7 £ ©s divisor x^ + x + 3
de q(x) = x^ - 2x* + 5x + b, calcule el valor de b. A) - 2 D)9
B) - 4 E)11
O -7
74. Si P(x) es un polinomio mónico cúbico y es divisible por x^ - 5x + 6, además al dividir P(x) con x^ - x - 2 se obtiene como residuo 8x - 16, ¿Cuál es el resto de dividir P(x) con x^ - 2x + 3? A)3x-2 D )-2 x + 6
B)2x-3 E)6
C)x-1
75. Determinar el residuo de dividir: P(x) = X®+ 3x^ + 5x -H1 entre el cociente de x - 1 X - 1 A) 2x + 1 B )x - 2 Ox - 3 E)2x- 1 D) 2 + 3x 76. Un polinomio mónico de tercer grado es divisible por {x + 2) y por (x - 1), además al ser dividido por (x + 4) resultó como resto 10. Calcule el resto de dividir dicho polinomio entre ( x+1) . A)-8 D)3
8)-3 E)6
O O
77. De un polinomio mónico de séptimo grado P(x) se conoce que 3 de sus raices que son 2; -1 y -3 ;
además es divisible por (x^ + 1) y (x - 4). Determi ne el residuo de dividir P(x) entre x, si la suma de coeficientes de P(x) es 96. A) 4 0 )4 8
B)8 E)60
C)24
78. Si el polinomio: P(x) = x^ + ax
5x“^ - bx + o a -b 2c + 1
es divisible por (x^ - x); halle el valor de A) -1 D) - 6
B) ~3 E) - 7
1, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
D C D D D C e D B E
11. 12. 13. 14. 15. 16. ,17. 18. 19. 20.
C) - 5
D D E D C E B D B C
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
C E D E C B D A C C
■7ÍX El ei residuo -V de j dividir:-------j- x^®+(x^-x)^^+5x^-hx^-H2x 79. '---------X - x + 1 tiene la forma ax + bx -h c, halle:, a + b - 1 c A) -1 8 )2 C) -1/4 D) 3 E)-5 80. Dado P(x) = x^ + bx^ + mx + 6, s¡ P(x) es divisible por (X + 1 ) y (X + 2), halle:
5 8) 4 E) 1/5
A) - 2 D) - 1
31. 32. 33. 34. 36. 36. 37. 38. 39. 40.
C A C D A A E E A A
41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 60.
C B C E E C A D B A
51. 52. 53 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
C C E B