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ÁLGEBRA PARA ADMINISTRACIÓN D E P A R T A M E N T O

D E

C I E N C I A S

B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez

ÍNDICE

VIRGINIO GOMEZ

Departamento de Ciencias Básicas

Introducción...............................................................................................................................

Pág 2

UNIDAD I: Razones, Proporciones y Porcentajes.......................................................

3

Concepto de Razón..................................................................................................... Razón de Cambio...................................................................................................... Concepto de Proporción............................................................................................. - Directa - Inversa - Compuesta Porcentaje o Tanto Por Ciento.................................................................................... Aplicaciones de Porcentaje......................................................................................... Auto evaluación..........................................................................................................

UNIDAD II: Funciones...........................................................................................................

3 4 5

17 18 29

30

Introducción.............................................................................................................. Dominio de una Función............................................................................................ Recorrido de una Función.......................................................................................... Función Lineal.......................................................................................................... Aplicaciones Prácticas................................................................................................ Composición de Funciones........................................................................................ Funciones de Cuadráticas.......................................................................................... Función Exponencial.................................................................................................. Función Logarítmica.................................................................................................. Auto evaluación..........................................................................................................

30 34 34 35 39 51 53 66 72 75

UNIDAD III: Matrices, Determinantes y Ecuaciones Lineales......................................

77

Matrices...................................................................................................................... 77 Función Determinante................................................................................................ 87 - Regla de Cramer Ecuaciones Lineales................................................................................................... 94 Sistema de Ecuaciones Lineales................................................................................. 96 Auto evaluación.......................................................................................................... 101

UNIDAD IV: Inecuaciones de una y dos Variables........................................................... 103 Introducción................................................................................................................ Inecuaciones Lineales................................................................................................. Sistema de Inecuaciones de Primer Grado................................................................. Sistema de Inecuaciones de dos Variables................................................................. Aplicación: Programación Lineal............................................................................... Solución Gráfic Auto evaluación..........................................................................................................

1

103 104 107 108 109 120

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INTRODUCCION

VIRGINIO GOMEZ

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El presente manual de ÁLGEBRA esta orientado a situaciones practicas, que un Ingeniero en Administración tendrá que aplicar en su carrera estudiantil y en su futuro profesional.

El manual esta formado por cuatro unidades las cuales contienen ejercicios resueltos, listados de ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas, y al final de cada unidad existe una autoevaluación. Durante el curso se quiere lograr, más que dominar cálculos repetitivos, un dominio de los conceptos vistos, tener una capacidad de análisis para una buena toma de decisión, en los diferentes problemas expuestos. Las matemáticas tienen un objetivo en la formación de profesionales, como escribió Corand Hilton" :

" Para mí, la capacidad de formular rápidamente, de reducir cualquier problema a su forma más simple y clara ha sido excesivamente útil Las

MATEMÁTICAS. Por eso encuentro que ellas son el mejor ejercicio posible para desarrollar los músculos mentales necesarios en este proceso."

LOS AUTORES

"

Calculo y Geometría Analítica; Sherman K. Stein, Anthony BarcellosÞ

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UNIDAD I : 1 .1

RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE

C O N C E P TO D E R AZÓ N Comparación de dos cantidades, de la misma especie, por cuociente. En general, una razón es posible escribirla de la forma:

a b donde:

Ejemplo 1.1 :

ó

a:b

+: se denomina antecedente. , : se denomina consecuente .

$metros , 5metros

9 horas , 7 horas

8À5

Ejemplo 1.2 : El valor de las acciones de Falabella y Colbun en un determinado día es de: Falabella Colbun

: '!! $/acción : #& $/acción

#& " œ '!! #% Interpretación:

1 24

Por cada $1 que gana Colbun por acción

Falabella gana $24

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Ejemplo 1.3: El comparar el sueldo de dos paísesß también lo puede representar una razón. La razón de sueldo de un trabajador de un país latinoamericano con respecto a uno europeo es de 1 : 10.(Comparando en pesos Chilenos)

3

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Precios al Cierre del Día del 07 de Julio 2002 Empresa

Precio de Cada Acción ($)

Ctc –B ENTEL CAP CHILECTRA CUPRUM

1.450 3.650 470 1.900 9.000

Fuente: Bolsa de Comercio de Santiago

La razón de valores del precio de la acción de: CHILECTRA con respecto a CUPRUM

:

"Þ*!! "* = *Þ!!! *!

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Ejemplo 1.4 À Sean los siguientes datos correspondiente al precio de cada accion, de las siguientes empresas:

Por lo tanto, se dice que el precio de la acción de Chilectra con respecto a Cuprum es: 19 : 90. Por cada $19 que obtiene la empresa Chilectra, por acción, $90, obtiene Cuprum. De esta manera podemos obtener:

1.2

CTC - B #* = ; ENTEL ($

CUPRUM ")! = ENTEL ($

RAZÓN DE CAMBIO

Una razón de cambio es una comparación de dos cantidades de distintas unidades de medida.

Ejemplo 1.5 À

Velocidad: 100 Œ

Kilometros  Hora

"!! Kilometros Œ ß para visualizar su interpretación. " Hora Interpretación: Por cada 100 kilometros que se avanza, a pasado una hora de viaje. Tambien se puede escribir

Ejemplo 1.6 À

Precio de Compra:

3.000 Œ

$  Unidad

Interpretación: Por cada $ 3.000 que se gasta, se adquiere una unidad.

Ejemplo 1.7 À Dada la función de demanda de un producto: q =  %p +100, donde q: son unidades demandas y p: Precio de venta del producto.

4

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Precio $ Función de Demanda 15 10

40

60

Unidades

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Del grafico se puede observar que al existir una variación de $5 en el precio hay una variación de 20 unidades demandas. Variación Precio œ Variación Unidades

5 20

" $ Œ ß interpretando: Por cada un peso en la variación del precio, % Unid la demanda varia cuatro unidades. Al simplificar nos queda:

1.3

CONCEPTO DE PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones.

a c = b d

ó

a:b = c:d

con + y - antecedentes, , y . consecuentes. En un proporción , y - se denominan medios; + y . extremos.

Ejemplo 1.8 : US $" (dolar) equivale a $ 6&!ß por lo tanto US $$ (dólares) valen $"Þ95!Þ Se puede escribir como: 1 65! = 3 "Þ95!

(+)

1 (US $) 650 ($) = 3 (US $) 1.950 ($)

(+)

Al aumentar de un dólar a $ dólares, también aumenta de '&! a "Þ*&! dólares.

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Se puede escribir como:

( (! = & &!

7 (unid ) 70 ($) = 5 (unid ) 50 ($)

(–)

(–)

Al disminuir la unidades vendidas, tambien disminuye el ingreso que se obtiene.

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Ejemplo 1.9 : El ingreso que se obtiene al vender ( unidades a un precio de $ "! la unidad es de $ (!Þ Pero, al vender & unidades se obtiene un ingreso de $ &!.

Teorema: En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir, si + tenemos la siguiente proporción œ , entonces +. œ , - . , .

La utilidad de este tipo de expresiones es llegar a conocer un valor desconocido de la proporción, planteándose una ecuación. Término desconocido de una proporción a) Se desconoce un extremo + œ , B

Ê

+ B œ ,,Bœ +

Ejemplo 1.10: Del ejemplo 1.4, si la razón de precio de Ctc-B con respecto a la empresa Almendral es 29:100, obtener el precio que obtuvo ese día, cada acción Almendral. Ctc-B Almendral

Ê

#* "%&! œ "!! B Bœ

"!! † ".%&! œ &Þ!!! #*

R: El valor de cada acción para Almendral es de $ &Þ!!!Þ 

b) Se desconoce un medio + œ Ê +. œ -B B . +. œB -

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Ejemplo 1.11:

2 7 œ B 11

Ê

22 œ 7B 22 œB 7

Tipos de Proporcionalidad a) Cuarta Proporcional Es cualquiera de los cuatro términos de una proporción. + œ Ê +B œ ,, B ,Bœ + Ejemplo 1.12: Hallar la cuarta proporcional de 5, 3 y 8. 5 8 œ Ê 5B œ 24 3 B 24 Bœ 5 b) Tercera Proporcional Es el primero o cuarto término de una proporción con medios iguales. + , œ Ê + B œ ,2 , B ,2 Bœ + Ejemplo 1.13: Hallar la tercera proporcional de 3 y 7. 3 7 œ 7 B

Ê

3 B œ 49 B œ

49 3

c) Media Proporcional Es cada uno de los términos medios cuando son iguales. + B œ Ê +. œ B2 B . È+ . œ B

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Ejemplo 1.14: hallar la media proporcional entre 5 y 9. 5 B œ B 9

Ê

45 œ B2

È45 œ B 3È 5 œ B

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Las proporciones se aplican en problemas prácticos. Para ello es necesario conocer cuando una cantidad varia en proporción directa o en proporción inversa.

1.3.1

PROPORCIÓN DIRECTA

Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra aumenta el mismo número de veces o dicho de otra forma, dos cantidades son directamente proporcionales cuando su cuociente es constante. Ejemplo 1.15 : La razón del ingreso con respecto a las unidades vendidas, de un determinado producto es de # À ". Calcular cuantas unidades son vendidas si el ingreso es de $ '!. 2 ($) 1 (unid ) = 60 ($) x (unid )

(+)

(+)

Es una relación directa, al aumentar una razón aumenta la segunda. # † B œ '! † " B œ $! Por lo tanto, se venden $! unidades cuando el ingreso es de $ '!Þ Ejemplos 1.16: 1) 2 metros de tela valen $3600 . ¿ Cuánto valen 5 metros ?. 2 metros Ä $3600 5 metros Ä B 2 3600 œ 5 B

Ê

2B œ 18000 B œ 9000

R À 5 metros valen $9000

2) Un automóvil recorre en 5 horas una distancia de 174 Km. ¿ Cuánto recorre en 9 horas ?. 5 horas È 174 Km. 9 horas È B

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5 174 œ 9 B

5B œ 1.566

Ê

B œ 313,2

R À En 9 horas recorre 313,2 Km.

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3) La razón entre adultos y estudiantes en un tren es 2 a 11. Si hay 12 adultos en el tren ¿Cuántos estudiantes hay en éste?. 2 12 œ 11 B # † B œ 11 † 12 Ê

Bœ

11 † 12 2

B œ 66

Ê

R: hay 66 estudiantes en el tren. Gráfico de una Proporción Directa: N° de Lápices

Precio

1 2 3 4 5 6

250 500 750 1000 1.250 1.500

En el eje X se ubicara el Nº de lápices y en el eje Y se ubicara el precio. Y 1 2 3 4 = = = = ........ 250 500 750 100

1.250 1.000 750 500 250

1

2 3

4 5

X

El gráfico de una proporción directa corresponde a una LÍNEA RECTA que parte del origen, es decir, de (0,0). Ejemplo 1.17: Ejemplos de Proporción Directa en variados textos.

PRINCIPIO DIRECTIVO DE LA RESISTENCIA A LOS CAMBIOS: Las personas en una empresa se resisten a los cambios, en proporción directa a la magnitud que ellos tengan.

“La materia se daña en proporción directa a su valor” Murphy

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Ejercicios Propuestos

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1) Teresa trabajó 3 horas y ganó US $13,50. A esa razón, ¿Cuánto tiempo le tomará ganar US $45?. 2) Si una mecanógrafa puede escribir 275 palabras en 5 minutos, ¿Cuántas puede escribir en 12 minutos? 3) Un banco al prestar dinero obtiene una utilidad de $5 por cada $4 que presta. Se desea saber cuanto ganará el banco si le piden prestado $500.000.

4) Una persona apostó en una competencia que daba como premio $10 por cada peso de apuesta. Esta persona ganó, pero no sabe cual es el monto de su premio. ¿Si la su apuesta fue de $10.000, cuanto debe recibir?.

5) Un vehículo corre a razón de 70 km/hr. A esa velocidad cuanto tiempo demora en recorrer 350 kilometros.

6) Se sabe que 1 metro son 100 centímetros (1:100) y que 1 kilómetro son 1.000 metros(1:1000). ¿Cuantos kilómetros son 450 centímetros? (Ñ Los ingresos ($) por hora, de la venta de un nuevo producto es a razón de 300:1. Indicar cuál será el total de venta cuando han pasado cinco horas.

‰ 8) Un centro de trabajo realiza la fabricación de un determinado producto a razón de 400 ˆ unid hora . Si deben cumplir una meta de fabricación de 5.500 unidades, y tienen un tiempo limitado de 9.5 horas para cumplir con dicha meta. a) Alcanzaran a cumplir la meta de producción. b) Cuantas unidades fabricaron de más ó de menos. 9) Dada la siguiente tabla de ventas por año. Año 1997 1998 1999 2000 2001

Ventas ($) 4.250 6.250 8.250 10.250 12.250

Indicar cuál es la razón de crecimiento de las ventas por año.

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1.3.2

PROPORCIÓN INVERSA

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Dos cantidades son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye el mismo número de veces, o dicho de otra forma, dos cantidades son inversamente proporcionales si el producto de ellas es constante.

Ejemplos 1.18 :

1) 8 obreros hacen un trabajo en 15 días. ¿ En cuánto tiempo hacen el trabajo 24 obreros ?.

8 Obreros

15 Días

24 Obreros

x Días

(+)

8 (Obreros) 15 (Días) = x (Días) 24 (Obreros)

De 8 a 24 obreros, el trabajo se realizara en menos días, es decir, una proporción Inversa.

(–) Por ser una proporción inversa, la segunda razón se Invierte.

8 (Obreros) x (Días) = 24 (Obreros) 15 (Días)

) B œ #% "&

Ê

"#! œ #%B

&œB R À #% obreros se demoran & días. 2) $ llaves llenan un estanque en "& horas. ¿En cuánto tiempo lo llenarán & llaves?. $ llaves È "& horas & llaves È B $ B œ & "&

Ê

%& œ &B *œB

R À & llaves lo llenan en * horas.

3) Un obrero hace un trabajo en 15 días con una jornada de trabajo de ocho horas. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar si debe hacer el mismo trabajo en "! días? ÐR: "# Horas.Ñ

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Gráfico de una Proporción Inversa À Sea la siguiente tabla: Nº de Obreros

Nº de Días

3 4 6 8 12 18

24 18 12 9 6 4

En el eje \ se ubicara el Nº de obreros y en el eje ] el número de días.

12 6 3 6 12

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El gráfico de una proporción inversa corresponde a una HIPÉRBOLA, es decir, a una curva que se aproxima a los ejes \ e ] , sin llegar nunca a intersectarlos.

Ejemplo 1.19: Ejemplos de Proporción Inversa en variados textos. Codelco y Southern Perú se unen para explorar nuevos yacimientos de cobre Acuerdo sería firmado en el primer semestre del año 2002 e implicaría una inversión inicial del US$2 millones. Según el presidente de SPC, en el Perú Southern sería propietaria del 51% de las acciones de la nueva empresa, mientras que el 49% estaría en poder de Codelco; en Chile la proporción sería a la inversa. Fuente: Informativo Codelco

NUEVAMENTE, SIGNO CONCRETO DE DESCENTRALIZACIÓN

Atrás quedaron los tiempos en que cerca de un 60% de los recursos adjudicados por los primeros concursos de Investigación y Desarrollo quedaban en Santiago: hoy se da justo la proporción inversa, lo que es una potente señal de descentralización, que coincide con los lineamientos del gobierno destinados a impulsar el auge de las diferentes regiones del país. Fondef: Fondo Nacional de Fomento al Desarrollo Científico y Tecnológico.

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Ley de la Trivialidad de Murphy que dice: “ El tiempo dedicado a toma de decisiones es inversamente proporcional al nivel de su importancia.”

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Ejemplo 1.20: La demanda de un producto es propocionalmente inversa al precio de este. Si se considera la cantidad demandada de bencina, a un precio de $430 por litro en una ciudad, es de 50.000 litros. ¿Cuál es la cantidad demandada si el precio sube a $450 el litro?

Solución: Gráficamente: Precio $ Función de Demanda P1 P2

Q1

Q2

Cantidad

430 $ È 500.000 Litros Bencina 450 $ È B Litros Bencina 430 B œ 450 50.000

%$! † &!Þ!!! œ %&! † B B œ %(Þ(((ß ((

Por lo tanto, si el precio sube a $450 por litro, la demanda del producto desciende de 50.000 a 47.777 litros de bencina.

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Ejercicios Propuestos 1Ñ

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En una bodega existen 3.000 artículos que abastecen una tienda. La tienda necesita 100 unidades por semana. a) Calcular cuantos artículos quedan después de tres semanas en la bodega. b) Indicar que tipo de proporción es la relación: unidades en bodega y tiempo.

2) Un trabajo requiere cinco horas, con diez trabajadores. Cuántas horas se necesitan si se trabaja con siete trabajadores. 3)

Una persona al ejecutar una cierta tarea, realiza 20 proyectos trabajando tres días a la semana. Cuantos proyectos alcanzara a realizar si se dedica al trabajo cuatro días a la semana.

4) Del ejercicio anterior, si la persona trabaja cada día ocho horas para realizar los veinte trabajos. ¿Cuántas horas diarias debe trabajar si tiene solo dos días para cumplir con dichos trabajos?

&Ñ En el colegio se quiere organizar una excursión en primavera. Se contrata un autobús con conductor que dispone de 80 asientos y cuesta $60.000. Si se llena el autobús. ¿Si sólo se cubren la mitad de las plazas cuanto debe págar cada alumno?

'Ñ Un albañil tarda 5 días en levantar una pared de 84 m². ¿Cuánto tardarán 3 albañiles trabajando al mismo ritmo que el primero? (Ñ En un sorteo que habían aparecido 6 acertantes de 15 resultados que cobrarían 18.000.000 pesetas cada uno. Al terminar el escrutinio, los acertantes fueron 9. ¿Cuánto cobrará entonces cada uno de ellos? )Ñ Si para llenar un depósito de combustible hemos utilizado 32 veces un recipiente de 12 litros ¿Cuántas veces usaremos uno de 48 litros?

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1.3.3

PROPORCIÓN COMPUESTA

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El método consiste en descomponer la regla de tres compuesta en regla de tres simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Una forma práctica de hacerlo es comparar cada una de las magnitudes con una incógnita ( bajo el supuesto que las demás no varían ) para así decidir si son directa o inversamente proporcionales con la incógnita. A las que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone debajo un signo  y encima un signo  y a las magnitudes que sean inversamente proporcionales con la incógnita se les pone debajo un signo  y encima un signo  . Al valor de la incógnita siempre se le coloca un signo  . Luego se multiplican todas las cantidades con signo  divididas por el producto de todas las cantidades que llevan signo  .

Ejemplo 1.21: 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿ Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas, para hacer 60 metros de la misma obra ?.  3 hombres 5 hombres 

 8 horas 6 horas 

 80 metros 60 metros 

 10 días B

(3) (8) (60) (10) (5) (6) (80) Bœ6 Bœ

R À Necesitan 6 días.

Ejemplo 1.22: Se emplean 12 hombres durante 6 días para cavar una zanja de 30 metros de largo, 8 metros de ancho y 4 metros de alto, trabajando 6 horas diarias. Si se emplea el doble número de hombres durante 5 días para cavar otra zanja de 20 metros de largo, 12 metros de ancho y 3 metros de alto. ¿Cuántas horas diarias han trabajado ?.   12 hombres 6 días 24 hombres 5 días   (12)(6)(20)(12)(3)(6) Bœ (24)(5)(30)(8)(4) Bœ

 30 m l 20 m l 

 8ma 12 m a 

27 10

R À Han trabajado

27 horas. 10

15

 4mh 3mh 

 6 horas B

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Ejercicios

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"Ñ Dos personas se asocian para realizar una empresa de confección de programas para computadoras. Al inicio se ejecutaban quince programas al mes, trabajando solo veinte días y dedicándole seis horas en cada día. Después de un tiempo la cantidad de trabajos comenzó a aumentar. a) Indicar cuantas horas tendrán que trabajar al día si la cantidad de trabajo es de #& al mes si desean trabajar #& días al mes. b) Si desean trabajar a los mas #" días al mes y siete horas al día. Indicar cuanto personal más necesitan si tienen la misma cantidad de trabajo que la pregunta a). #Ñ En dos jornadas de trabajo existe un nivel de producción de %!! unidades, en un turno de ) horas diarias, con ( operarios. Debido a un pedido especial de )!! unidades, se contrató dos operarios más con similares características a los ya contratados. A la jefatura le interesa saber cuántas horas más de trabajo diario necesitaran para hacer las )!! unidades en dos días. $) Una secretaria durante tres días redactó $$ hojas en el computador, dedicándole cuatro horas al día. Ahora por razón de una reunión, el jefe le exige que redacte %! hojas antes de dos días para presentarlas en dicha reunión. ¿Cuántas horas necesitará la secretaria dedicarle diariamente para cumplir con el trabajo?

%Ñ Si un contratista ha pagado (!! a "! empleados que han trabajado en #! días. ¿Cuánto hubiera pagado a "& empleados que hubieran trabajado solamente "& días?.

&Ñ Si 9 obreros con 20 telares terminan un trabajo en 10 días. Tres obreros con 30 telares. ¿en cuántos días lo terminarán?. 'Ñ Si 10 obreros hacen 1000 metros de tela en 8 días. ¿Cuántos días necesitarán % obreros para hacer 2000 metros de la misma clase de tela?.

(Ñ Seis hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 metros de largo, 4 metros de ancho y 2 metros de profundidad. ¿En cuántos días hubieran cavado otra zanja de 35 metros de largo, 3 de ancho y 3 de profundidad, 4 hombres?.

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1.4.

PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO Tanto por ciento indica tanto de cada cien. Su símbolo es %. a) Tanto por ciento de un número. Hallar el + % de , , È 100 % BÈ+%

Ê

, 100 œ B + Bœ

+, 100

Ejemplo1.23: Hallar el 18 % de 1.450 1.450 È 100 % B È 18 %

Ê

1.450 100 œ B 18

B œ 261 R À El 18 % de 1.450 es 261. b) Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él. ¿ De qué número es + el , % ?. +È,% B È 100 %

Ê

+ , œ 100 B Bœ

100+ ,

Ejemplo 1.24: ¿ De qué número es 123 el 82 % ?. 123 È 82 % B È 100 %

123 82 œ B 100

Ê

B œ 150 R À 123 es el 82 % de 150.

c) Dados dos números averiguar qué tanto por ciento es uno del otro. ¿ Qué porcentaje de + es , ?. + È 100 % ,ÈB%

Ê

+ 100 œ , B

Ê

17

Bœ

100, +

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Ejemplo 1.25: ¿ Qué porcentaje de 24.500 es 17.150 ?. 24.500 È 100 % 17.150 È B %

Ê

24.500 100 œ 17.150 B

B œ 70 R À 17.150 es el 70 % de 24.500.

1.4.1

APLICACIONES DE PORCENTAJE

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El concepto porcentaje es muy utilizado a la hora de realizar un análisis de datos, debido a que éste, indica un resumen de lo que se ésta haciendo.

PRODUCCIÓN

Ejemplo 1.26: Para estudiar el rendimiento de una empresa en términos de aprovechamiento de sus recursos. 300 Kg.

Fabrica Fábrica

Materias Primas

120 Kg. Producto

40%

El rendimiento se mide por: Total Producto 120 = = 0.4 Total Materias Primas 300

Este resultado al multiplicarlo por cien, para quedar en porcentaje nos da 40%. Por lo tanto, se puede decir que el rendimiento de la fábrica fabrica es es de deun un40% 40%dede pérdida para aprovechamiento de sus materias primas y el otro 60% es perdida paralala empresa.

Ejemplo 1.27: Dado el siguiente sistema de producción con cuatro centros de trabajo y con sus respectivos rendimientos.

85 %

2000 (ton)

90 %

80 %

18

75 %

Producto Final

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Sol.: a) Para el primer centro À #Þ!!! Ð>98Ñ Ä "!! % B Ð>98Ñ Ä )& %

B œ

)& † #!!! œ "Þ(!! Ð>98Ñ "!!

VIRGINIO GOMEZ

a) Determinar cuantos toneladas de producto final se obtienen. b) Cuál es la cantidad materia prima y el producto final del tercer centro de trabajo. c) Cuál es el rendimiento del sistema.

Estas 1.(00 toneladas son el producto final del primer centro, pero a la vez es la cantidad de materia del segundo centro.

Por lo tanto, al final del cuarto centro, se obtiene *") Ð>98Ñ los cuales son el producto final del sistema. b) Materia primera es de À "&$! Ð>98Ñ Producto Final À "##% Ð>98Ñ

c)

*") œ !Þ%&* #!!! Por lo tanto, el rendimiento del sistema es de 45,9 %.

MATEMÁTICA FINANCIERA

Tasa de Interés: Es una medida del incremento entre la suma originalmente prestada o invertida y la cantidad final acumulada.

Ejemplo 1.28: Una persona pide $100 y debe devolver después de un mes $120, a la persona que facilitó el dinero. Interés œ Cantidad Acumulada  Cantidad Original Interés œ "#!  "!! œ $ #!

Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo, el resultado es la TASA DE INTERÉS. Esta se calcula como sigue: Tasa de Interés =

Interés por Unidad de Tiempo ⋅ 100% Cantidad Original

19

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Ejemplo 1.29: Al determinar la tasa de Interés del ejemplo anterior se tiene: Tasa de Interés œ

#! "!!

† "!! % œ #! %

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Por lo tanto, la persona que facilita el dinero tiene una tasa de interés de un 20%.

Para determinar el pago de un préstamo se utiliza la siguiente fórmula:

VF = P ( 1 + i ) Donde:

n i P VF

n

: Número de Períodos. : Tasa de Interés. : Valor Inicial ó Préstamo. : Valor Final ó Pago Final

Ejemplo 1.30: Una compañía invirtió $"5!Þ!!! en mayo y retiró un total de $2'0Þ!!! exactamente un año después. a) Calcular el interés ganado sobre la inversión Inicial. b) Calcular la Tasa de Interés de la Inversión. Desarrollo: a) Interés œ 2'0Þ!!!  "5!Þ!!! œ $ 110Þ!!! b) Tasa de Interés œ

110Þ!!! por año † "!! % œ ($ß $$ % por año. 15!Þ!!!

Ejemplo 1.31: Una persona planea solicitar un préstamo de $#!Þ!!! a un año, al "& % de interés. Calcular el Interés y la cantidad total a pagar. Tasa de Interés œ "& %

Interés † "!! % Cantidad Orginal

=

Interés † "!! % #!Þ!!!

"& † #!Þ!!! œ Interés "!! $!!! œ Interés La cantidad Total a Pagar es la suma del valor Original más los intereses. Total a Pagar œ #!Þ!!!  $Þ!!! œ $ #$Þ!!!

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Ejemplo 1.32: Una persona desea saber qué porcentaje cobra si ella presta $#%Þ!!! y pide que un pago final de $$$Þ!!!. ( Rep.: $(ß & % )

Ejemplo 1.33: Una persona necesita $ %!!Þ!!!ß para esto solicita un préstamo a un banco que le da dos alternativas para su financiamiento. La primera, un préstamo de un monto de $ %!!Þ!!! a una tasa de interés del #%% al año, pagados en 5 años. La segunda alternativa , un pago de 1.200.000 en el quinto año. Esta persona tiene la duda de cual alternativa elegir. Podría usted ayudar a la persona a elegir cual alternativa le conviene más, considerando que se devolverá el préstamo dentro de 5 años. Solución: Calculando ambos montos totales a pagar, para esto utilizaremos en forma directa la siguiente fórmula.

Pago = Valor Préstamo ( 1 + Tasa de Interés ) n La tasa de interés de ir en decimales en la ecuación. i : !,#% n: & P : $%!!Þ!!! Primera Alternativa:

Pago œ Valor Original("  Tasa de Interés)& œ %!!Þ!!!Ð"  !Þ#%Ñ& œ "Þ"(#Þ'&!

Segunda Alternativa: Pago a los cinco años œ 1.200.00!

Por lo tanto la mejor alternativa es la primera, el pago por el préstamo es menor a la segunda alternativa.

Ejemplo 1.34: Al depositar $250.000 hoy, en una cuenta de un banco que da una tasa de interés mensual de 0.9%. a) Determinar cuanto dinero se tendrá en ahorro después de cuatro meses. b) Si el dinero se invierte en acciones que dan una rentabilidad del 1,5% al mes. Determinar cuanto dinero se obtendrá dentro de tres meses. c) Si le proponen que invierta los $250.000 en un negocio y le aseguran que después de cuatro meses le devolverán $300.000. Cuál de las tres alternativas le conviene más, el banco, en acciones o el negocio? Solución: a)

P = #&!Þ!!! i œ !ß * % œ !Þ!!* nœ% VF œ #&!Þ!!!Ð"  !Þ!!*Ñ% œ #&*Þ"##ß #$

Por lo tanto, en cuatro meses se obtiene un ahorro de $259.122,23 a una tasa de !ß 9% mensual.

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b) VF œ #&!Þ!!!Ð"  !Þ!"&Ñ$ œ #'"Þ%"*ß &* Se obtiene una ganancia de $261.419,59 después de tres meses. c) Después de cuatro meses: Banco : $259.1222,23 Acciones : #&!Þ!!!Ð"  !Þ!"&Ñ% œ $ #'&Þ$%!ß )) Negocio : $300.000

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Por lo tanto, conviene invertir el dinero en el negocio, porque se obtienen mayores ganancias.

ECONOMÍA

En términos generales, en Economía se utilizan índices los que se resumen en porcentajes, como son: I.P.C.(Inflación), Tasa de Desempleo, Indicadores de la Bolsa de Comercio(Acciones), etc.

Cobre quiebra repunte y cae 1,88% Viernes 11 Enero 2002 Valor Futuro LONDRES.- Tras un rally alcista de 5 días, que llevó a ganar 5,5 centavos de dólar, el

cobre cerró este viernes con un retroceso de 1,88%, a US$ 0,68674 la libra contado “grado A”, que se copara con los US$ 0,69989 del jueves (mayor valor desde el 18 de julio de 2001) y con los US$ 0,69445 del miércoles. Con ello, el promedio de enero y el anual escalo US$ 0,67432. Por su parte, la cotización futuro- 3 meses cerró en US$ 0,69808, con una variación de –1,79% Según el informe diario de la LME, los stocks de cobre aumentaron en 1.475 toneladas métricas, a 807.125 Diario EL MERCURIO

Como vemos en este extracto, de un diario nacional, el usar términos porcentuales en vez de las cifras reales, suele ser más cómodo para quien lee, como quien expresa las ideas.

Ejemplo 1.35: Realizar el cálculo e indicar a que cifra corresponde la caída de un 1,88% en el precio del cobre. Sol: Este valor original sufre una variación.

0,686794 0,68679

X

100%

B

Ä "!!

98,12 %

%

22

Existió una Disminución de 1,88%

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!ß ')'(*% Ê

Bœ

Ä *)ß "# % "!! † !ß ')'(*% *)ß "#

Ê

B œ !ß '**)*)

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Por lo tantoß el valor, antes de la caída de un 1,88%, fue de US $0,69989 la Libra de Cobre.

Ejemplo 1.36: Cuál es la variación, del precio del cobre, existente entre el día miércoles y el día viernes. ( Resp: Una caída de un "ß 1" %.)

Ejemplo 1.37: ¿Cuál fue el precio antes de la variación de un  "ß (* % en la cotización " J ?>?  T Þ Si $100 se invierten a 6% (< œ !ß !'), entonces E œ '>  "!! ß >   !Þ a) ¿A cuánto ascenderá la cantidad de $100 después de 5 años? ¿Después de 20 años?. b) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ #!!Þ c) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica?(la pendiente indica el aumento en la cantidad E por cada año adicional de inversión).

3) Una compañía manufacturera está interesada en introducir una nueva segadora. Su departamento de investigación de mercados dió a la gerencia el pronóstico de precio-demanda que se presenta en la siguiente tabla. Precio $70 $120 $160 $200

Demanda estimada 7.800 4.800 2.400 0

a) Marque estos puntos e indique con . número de segadoras que se espera que la gente compre (demanda) a un precio $: cada una. b) Observe que los puntos de la parte (a) están a lo largo de una recta. Encuentre la ecuación de esa recta. (Nota: La pendiente de la recta que se determina en la parte (b) indica el decremento en la demanda por cada $ 1 de aumento en el precio). 4) El equipo de oficina se adquirió por $20.000 y se supone que tiene un valor de baratillo de $ 2.000 después de 10 años. Si su valor se deprecia linealmente (para propósitos de impuestos) de $20.000 a $2.000. a) Encuentre la ecuación lineal que relaciona el valor (V) en dólares al tiempo Ð>Ñ en años. b) ¿Cuál sería el valor del equipo después de seis años?. c) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ "! (Nota: La pendiente que se encontró en la parte (a) indica el decremento en el valor por año).

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5) La ecuación de costo para una cierta empresa que produce equipos estereofónicos se encuentra que es G œ *'Þ!!!  )!8 donde $*'Þ!!! representa los costos fijos (construcción y gastos generales) y $)! es el costo variable por unidad (materiales, manufactura, etc). Construya la gráfica de esta función para 0 Ÿ 8 Ÿ 1.000 6) Un electricista cobra $ 1200 por visita domiciliaria más $ 500 por hora de trabajo adicional. Exprese el costo de llamar a un electricista a casa en función del número de horas que dura la visita y estime costo para 7 horas de trabajo. 7) Un artista que hace una exhibición de cuadros recibe $ 320.000 por cada cuadro vendido menos $45.000 por cargo de almacenaje y exhibición. Represente el ingreso V que él recibe en función del número de cuadros vendidos B y calcule el ingreso si se venden 5 cuadros. 8) Un autor recibe honorarios por $ 120.000 más $1.800 por cada libro vendido. Exprese su ingreso V como función del número de libros B vendidos y calcule su valor para 8 libros vendidos.

9) Las ventas de una empresa farmacéutica local crecieron de $ 6.500.000 en 1980 a $11.000.000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal, exprese las ventas Z como función de tiempo >Þ

10) Una fábrica de computadores vendió 320 en 1980 y 400 en 1994. Asumiendo que las ventas se aproximan a una función lineal, exprese las ventas Z de la empresa en función de tiempo >. 11) Una maquinaria industrial vale $480.000 y se deprecia en $5.000 al año. Empleando depreciación lineal exprese el valor Z de la máquina como una función del número de años > . Calcule su valor pasado 3 años de uso.

12) Una industria de papel vendio 5.000 toneladas en 1992 y 3200 en 1996. Asumiendo que las ventas se aproximan a una función lineal exprese la venta Z de la industria en función del tiempo > y evalúe venta para 1997.

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Respuestas 1)

a) m œ 40

b) G œ %!B  $!!

c) CT ($) 8.300

300

200

d) 2)

Unidades

+Ñ m=40 à ,Ñ G œ %!B  #&!

aÑ 130; 220 b) A($) 1.300

100 200

6

Años

cÑ La pendiente es 6 3)

b) .Ð:Ñ œ  '!:  "#!!!

4)

a) Z (t)=  1800p + 20000

b) $9200

c) Valor de Libro $ 20.000 Depreciación Lineal

10.000

10

Años

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5) $ 176.000

96.000

1.000

6) $ 4.700 el trabajo 7) $ 1.555.000 8) $ 134.400 9) Z (>) œ 450.000 >  6.500.000 10) V(t) =

(! t + 320 (

11) V (3) = $ 465.000 12) V(5) = 2.750 Toneladas.

50

Unidades

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Composición de Funciones.

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Hay muchas situaciones en las que una cantidad viene dada en función de una variable, la que a su vez puede ser escrita en función de otra. Combinando las funciones de un modo adecuado se puede expresar la cantidad original como una función de la tercera variable. Este proceso se conoce como composición de funciones. Observación:

Comúnmente la notación 0 [ 1(B) ] se denota por ( 0 o 1 )(B) a condición de que V/- 0 © H97 1. Aplicaciones de la Compuesta.

Ejemplo 3.25: Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será GÐ:Ñ œ 0, 7:  3 partes por millón cuando la población sea : miles. Se estima que dentro de > años la población será : (> ) œ 8  0, 2 >2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. G (:) œ 0, 7:  $ : (>) œ 8  0, 2 > 2 G [ :(>) ] œ 0, 7 [ 8  0, 2 > 2 ]  3 G [ :( >) ] œ 0,14 > 2  8,6 b) Nivel de monóxido transcurrido 5 añosÞ G [ :(5) ] œ 0, 14 † 2&  8, 6 G [ :(5) ] œ 12, 1 partes por millón

Ejemplo 3.26: Una empresa determina que la función de la demanda para " B " artículos viene dada por B(: ) œ 4800  20: donde " : " es el precio de venta (dólares). A su vez los costos totales vienen definidos por G ( B ) œ 6000  30B en dólares. a) ¿ Qué cantidad de artículos se habían vendido para un precio de 4, 2 dólares ?. Resp : B (4, 2) œ 471' dólares . b) ¿ Cuál es el costo para x artículos vendidos a 5, 8 dólares? G [B (:) Ó œ 6000  30 (4.800  20:) G [ B( 5, 8) ] œ 146.520 dólares.

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Ejercicios Propuestos.

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1) Una empresa tiene un costo fijo de 1.200 pesos y un costo marginal de 600. Si el precio de venta es de 720 pesos. Determine : a) La función utilidad . b) Punto de equilibrio en forma gráfica y analítica. c) Estime utilidad para la venta de treinta artículos . 2)

La función demanda " B " de un producto en término de su precio " : " viene dado por B œ 9000  20:Þ La función costo totales viene dado por G œ 12000  30BÞ Determine: a) Función ingreso total. b) Estime el ingreso para 12 artículos vendidos. c) Función utilidad. d) ¿Cuánta utilidad genera la venta de 48 artículos? . e) Estime costo para una producción de 36 artículos .

3) Un estudio ambiental de una cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbóno en el aire será G (:) œ 0ß 8 :  3 partes por millón cuando la población sea : miles. Se estima que dentro de siete años la población de la comunidad será: :(>) œ 8  0,2>2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en función del tiempo y estime su valor cuando han transcurrido siete años.

4) En cierta industria el costo total de fabricación durante el proceso diario de producción es de G (; ) œ ; 2  2;  400 dolares. En un día típico de trabajo, se fabrican ; ( > ) œ 30 > unidades durante la primera > horas, del proceso de producción. Exprese el costo total en función de > y estime ¿cuánto sería el gasto en la producción al final de la tercera hora?.

5) Un importador de arroz estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente 1280 H (: ) œ miles de kilos por mes, cuando el precio sea de : dólares. Se estima que dentro de :2 > semanas el precio del arroz será : (>) œ 0, 3 >2  1, 2 >  16 dólares por miles de kilos . a) Exprese la demanda de consumo de en función de > . b) ¿Cuántos miles de kilos de arroz comprarán cuando el precio sea de 1, 2 dolares? c) ¿ Cuál será el precio del kilo de arroz en la tercera semana ? d) ¿ Cuál será la demanda a la quinta semana ?

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3 .4

F u n cio n es C u a d r á tica s. Cualquier función definida por una ecuación de la forma :

y = ax2 + b x + c

;

a≠0

donde +, , y - son constantes, se denomina función cuadrática. Ecuación Cuadrática.

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Cuando 0 (B) œ 0, es decir, C œ 0 para algún valor del dominio de 0 , la expresión +B2  ,B  - œ 0 , se denomina " Ecuación cuadrática " o de " segundo grado ". Resolución de una Ecuación Cuadrática. Considere la ecuación + B2  , B  - œ 0 si: + B2  , B œ 0 B (+ B  , ) œ 0

I) - œ 0 , se tiene :

Soluciones :

Ejemplo 3.27:

II)

B1 œ 0

,

B2 œ 

7B2  14B œ 0 B ( 7B  14 ) œ 0

,œ 0

se tiene:

, +

Ê

B1 œ 0

+ B2  - œ 0 B œ  + B œ„ Ê  + 2

Ejemplo 3.28 À

B1 = 2

5B2  20 œ 0 B2 œ 4 B œ„ È4 C

B2 œ  2

53

C

B2 œ 2

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III)

Si +, - , son distintos de cero, podemos encontrar soluciones para: + B 2  , B  - œ 0 usando los siguientes criterios .

a) Factorización. +B2  ,B - œ 0 Î : + B2 

, B  œ0 + +

( B  B1 ) (B  B2 ) œ 0 de modo que se cumple. B 1  B2 œ 

, +

;

+

B1 † B 2 œ

Ejemplo 3.29 À

3B2  6B  24 œ 0 Î À 3 B  2B  8 œ 0 (B  4) (B  #) œ 0.

Soluciones:

B1 œ 4

2

,

B2 œ  2

b) Por completación de cuadrados. Si se trata de transformar una ecuación cuadrática de la forma general : + B 2  , B  - œ 0 en ( B  E )2 œ F donde E y F son constantes.

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Cuando el coeficiente del término cuadrático es  1 se puede convertir en un cuadrado perfecto 2 b b tomando la mitad del coeficiente de B , Œ , elevándolo al cuadrado Œ  y sumándola a la 2 2 2 , expresión , ésta se reconvierte en ŒB   2

Ejemplo 3.30 À

B2  14B  24 œ 0 B2  14B œ  24 Î 

B2  14B  49 œ  24  49 (B  7)2 œ 25 B  7 œ „5 B œ 7„ 5 Soluciones:

B 1 = 12

y

Œ

14  2

2

B2 = 2

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Ejemplo 3.31 À B2  2B  1 œ 0 B 2  2B œ 1 2 B  2B  1 œ 2 (B  1) œ È 2 B1 œ 1  È2

Soluciones:

Î 1 Ê

B

œ

1 „È 2

, B2 œ 1  È 2

Ahora se probará este método en la ecuación general cuadrática. +B2  ,B - œ 0 , B  œ 0 + +

B2 

, B œ +

+ Á o

 +

B2 

, , , B  Œ  œ Œ   2+ 2+ + +

B2 

, ,2 , 2  4+B  œ + 4+ 2 4+ 2

2

ŒB  B 

Bœ

Fórmula

B2 

;

2

, , 2  4+  œ 2+ 4+ 2 2

, , 2  4+ œ„Ê 2+ 4+ 2 È , 2  4+ , „ 2+ 2+

General

de

Resolución de una Ecuación

B œ

Cuadrática

 ,„ È , 2  4 +2+

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Generalmente ésta fórmula se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas cuando los métodos anteriores no funcionan. La expresión , 2  4+ - se denomina Discriminante y de este valor podemos obtener información útil respecto de las soluciones.

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i)

,2  4+ - œ 0

ii) , 2  4+ - > 0 iii) , 2  4+ - < 0

Raíces reales e Iguales. Raíces reales y Distintas Raíces Complejas.

Representación Gráfica de una función Cuadrática.

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La gráfica de una función cuadrática 0 (B ) œ + B2  , B  - ; + Á 0 es una" parábola " que tiene su eje ( recta de simetría ) paralelo al eje vertical . Si + > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ; y si +  0 la parábola es concava hacia abajo. Los elementos determinantes para la gráfica de una función cuadrática son las coordenadas del vértice y las intersecciones de la parábola con los ejes cordenados. a) Intersección eje B ( C œ 0 ) + B 2  , B  - œ 0 ; las soluciones o raíces las designaremos por B 1 y B 2

b) Coordenadas del vértice se determinan por completación de cuadrados, así sí : 0 ÐBÑ œ +B2  ,B  - en donde por completación de cuadrados obtenemos la función de la forma C œ + ( B  2Ñ2  5 donde el vértice toma por coordenadas (2ß 5 ). , , Tambièn se puede obtener el vertice a tavés de la siguiente fórmula Œ ß 0Œ  #+ #+ Ejemplo 3.32 À Sea i)

C œ B2  6B  5.

Intersección con el eje B ( C œ 0 ) B 2  6B  5 œ 0 (B  5)(B  1 ) œ 0 B1 œ 5 ;

ii)

Coordenadas del vértice C œ B2  C  5 œ B2  C  4 œ (B  C œ (B  3)2 

6B  5 6B 3)2 4

vértice ( 3ß  4 )à Por fórmula:Œ iii)

B2 œ 1

Î9

 Ð  'Ñ  Ð  'Ñ à 0Œ  œ Ð$ß 0 Ð$ÑÑ œ Ð$ß  %Ñ #Ð"Ñ #Ð"Ñ

Idea gráfica

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Eje Y

5

200

3 Eje X

-4 6

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Otra forma de determinar las coordenadas del vértice dados B 1 y B 2 (intersecciones con el eje B) es : B1  B 2 2 œ 0 (B@)

B@ œ C@

Ejemplo 3.33 À Dada C œ B2  6B  5 B1 œ 5 ,

B2 œ 1

5+1 œ 3 2 œ 0 (3) œ  4

B@ œ C@

vértice : ( 3,  4)

Aplicaciones de la función cuadrática

Muchos de los problemas que se dan en Economía, Cs Sociales, y en Administración están modelados por funciones cuadráticas, como por ejemplo: Las funciones de ingreso y ganancia .

Ejemplo 3.28: La utilidad Y de una fábrica de computadores para cada unidad B vendida viene calculado como : Y (B) œ 600 B  3B 2  12Þ000 a) ¿ Para qué producción la utilidad es máxima ?

Como la gráfica de esta función es una parábola abierta hacia abajo, es claro que la máxima utilidad se logra en la coordenada B del vértice. Así tenemos : Y (B ) Y (B )

œ 600 B  3B2  12Þ000 œ  3B2  600B  12000

completando cuadrados, la función se puede expresar como :

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œ  3 (B2  200B )  12Þ000 œ  3 (B2  200B  10Þ000 )  12Þ000  30Þ000 œ  3 ( B  100 )2  18Þ000

Y (B ) Y (B ) Y (B )

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Luego el vértice tiene por coordenadas ( 100, 18Þ000), por lo tanto cuando se venden 100 unidades la utilidad se maximiza en $ 18Þ000Þ b) Para que producción la utilidad es nula ( Y = 0)  3B2  600B  12Þ000 œ 0 Î † Ð  3Ñ B 2  200B  40!0 œ 0 200 „ È40000  16!00 B œ 2 B œ

200„1&%ß * 2

B 1 œ 1((ß %& ;

B 2 œ 2#ß &&

Luego, para la producción de 2#ß && y 1((ß %& unidades la utilidad es nula, es decir , son puntos de equilibrio . Idea gráfica : Y

22, 5

177,45

X

Ejemplo 3.35 À Dadas las siguientes funciones de Ingreso total M (B) de costo total G (B) exprese la ganancia Y como una función explícita de B y determine el nivel máximo de ganancia, haciendo el vértice de Y (B) y los puntos de equilibrio Y (B) œ 0 M (B) œ 600B  5B2 G (B) œ 100B  10Þ500

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Puntos de equilibrio: Y (B )

œ 600B  5B2  ( 100B  10Þ500 )

Y (B )

œ  5B2  500 B  10500

0

œ  5B2  500B  10Þ500 Î  5

œ B2  100 B  2Þ100 100 „ È10Þ000  8Þ400 B œ 2

0

100 „ 40 Ê B 1 œ 70 ; B 2 œ 30 2 Puntos de equilibrio 30 y 70 unidades. Bœ

Nivel máximo de ganancia 70  30 B1  B 2 œ œ 50 2 2 œ 2000

B@ œ C@

Luego, para una producción de 50 unidades , la utilidad se maximiza en $ 2Þ000 . Idea gráfica :

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Ejemplo 3.36 À El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó a la gerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después de amplias investigaciones, el departamento apoyó la recomendación con la ecuación de demanda. (1)

B œ 0 Ð:Ñ œ 'Þ!!!  $!:

donde B es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cada mes a $: por unidad.

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Observe que a medida que el precio sube el número de unidades disminuye. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo (2)

GÐBÑ œ (#Þ!!!  '!B

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donde $(#Þ!!! es el costo fijo (manufactura y costos generales) y $'! es el costo variable por unidad (materia prima, ventas,transporte, almacenamiento,etc.). La ecuación de ingreso (cantidad de dinero, M , que recibe la compañía por vender B unidades a $: por unidad ) es: (3)

M œ B: Y, finalmente, la ecuación de rentabilidad es Y œ M  G

(4)

donde Y es la utilidad, M es el ingreso y G es el costo.

Nótese que la ecuación de costo (2) expresa G como una función de Bß y la ecuación de demanda (1) expresa B como una función de :. Al substituir (1) en (2), se obtiene el costo G como función lineal del precio :: G œ (#Þ!!!  '! Ð'Þ!!!  $!:Ñ G œ %$#Þ!!!  "Þ)!!:

Función lineal

(5)

En forma similar, al sustituir (1) en (3), se obtiene el ingreso M como una función cuadrática del precio : : M œ Ð'Þ!!!  $!:Ñ: œ 'Þ!!!:  $!:#

Función cuadrática

(6)

Ahora, vamos a construir las gráficas de las ecuaciones (5) y (6) en el mismo sistema de coordenadas. Se obtiene la siguiente figura.

60

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G

œM œ 'Þ!!!:  $!:#

%$#Þ!!!  ")!!: $!:#  (Þ)!! :  %$#Þ!!!

œ!

:#  #'!:  "%Þ%!! :

œ! #'!„ È#'!#  %Ð"%%!!Ñ œ # #'!„"!! #

:

œ

:

œ $80,

$")!

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Conviene observar detenidamente la información contenida en esta gafrica. Calcularemos los puntos de equilibrio, es decir, los precios a los cuales el costo es igual al ingreso (los puntos de intersección de las dos gráficas anteriores). Se calcula : de modo que:

Por lo tanto, al precio de $)!, o bien $")! por unidad, la empresa se encontrará en el punto de equilibrio. Entre estos dos precios se puede predecir que la empresa obtendrá una utilidad. ¿A qué precio se obtendrá la máxima utilidad? Para calcular ese valor, se escribe Y œM G œ Ð'Þ!!!:  $!:# Ñ  Ð%$#Þ!!!  ")!!:Ñ œ  $!:#  (Þ)!!:  %$#Þ!!! Puesto que ésta es una función cuadrática, la utilidad máxima se obtiene en , (Þ)!! : œ  œ  œ $"$! #+ #Ð  $!Ñ

Observe que éste no es el precio con el cual el ingreso es máximo. Este último ocurre en : œ $"!!ß como muestra la figura anterior.

Ejemplo 3Þ$7: El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó a la gerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto. El departamento adoptó la recomendación con la ecuación de demanda B = 2.000  10:; donde B es el número de unidades que los distribuidores compraran cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costos G œ 36.000  30B donde $36.000 es el costo fijo y $30 es el costo marginal. a) Determinar la ecuación Ingreso. Sol.:

La cantidad de dinero V , que recibe la compañia por vender B unidades a $: por unidad es : 2.000  B , pero : œ , luego MœB † : 10

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M œ B †Œ

2.000  B  10

La función de Ingreso:

Mœ

2.000 B  B2 10

b) Determinar la Función Utilidad. Sol.:

Y œŒ

2.000B  B2   36.000  30 B 10 B2 Y œ #00B   36.000  30B 10 2 B Y œ  170 B  36.000 10 c) Calcular Puntos de equilibrio.  B2  170 B  36.000 œ 0 Î † Ð  "!Ñ 10 B2  1.700B  360.000 œ 0

B œ

1.700 „ È2.890.000  1.440.000 2

1.700 „ 1.204, 2 2 B 1 œ 1.452,1 ; B 2 œ 247,9 Bœ

d) Determinar la Producción para una utilidad máxima. 1.452,1  247,9 œ 850 2 C@ œ 36.250 B@ œ

La máxima utilidad se logra para una producción de 850 unidades.

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Ejemplo 3Þ38: Halle los puntos de equilibrio de una fábrica dadas las funciones de ingreso total (Y ) y costo total (G ) en forma gráfica y en forma analítica M (B) œ 750 B  5 B2 G (B) œ 100 B  20.000

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M (B) œ G (B) 750B  5B2 œ 100 B  20.000  B2 (B B1

5B2  650B  20.000 œ 0  150  4000 œ 0  80) ( B  50 ) œ 0 œ 80 ; B2 œ 50

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Solución : Los puntos de equilibrio se presenta cuando M œ G , en forma equivalente cuando Y œ 0, así tenemos :

Los ingresos se igualan a los costos, es decir, la utilidad es nula para una producción de 50 y 80 unidadesÞ Idea gráfica :

M (B) œ 750B  5B2 0 œ 750B  5B2 0 œ B (750  5B) B1 œ 0 ; B2 œ 150 B@ œ 75 C@ œ 28125 G (B) œ 100 B  2000

B 0 100

GÐBÑ 20000 30000

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a) Exprese el costo total de producción como una función de > b) ¿ Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora ? c) ¿ Cuándo alcanzara el costo total de producción US $ ""Þ!!! ?

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Ejercicios Propuestos 1Ñ En una cierta industria, el costo total de producción de ; unidades durante el período diario de producción es G ( ; ) = ; #  ;  *!! dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican ; (>) œ #&> unidades durante las primeras ">" horas de un período de producción.

2) El departamento de investigación de mercados de una empresa recomendó a la gerencia que la compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después de amplias investigaciones, el departamento apoyó la recomendación con la ecuación de demanda. B œ 0 Ð:Ñ œ )Þ!!!  %!: donde: B es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo: GÐBÑ œ *!Þ!!!  $!B

a) Exprese el costo G como una función lineal del precio :. b) Exprese el ingreso V como una función cuadrática del precio :. c) Construya la gráfica de las funciones de costo e ingreso obtenidas en las partes (a) y (b) en el mismo sistema de coordenadas, e identifique las regiones de utilidad y pérdida. d) Calcule los puntos de equilibrio; es decir, encuentre los precios al valor más próximo en el cual M œ G . e) Calcule el precio que produce el máximo ingreso. 3) La función de demanda de un producto particular es ; œ 0 Ð:Ñ œ &!!!!!  $!!!: donde ; se expresa en unidades y : en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde M es una función de : o sea M œ 1Ð:ÑÞ ¿Cuál es la concavidad de la función?:¿Cuál es la intersección con el eje C ?.¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20?.¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?¿A qué precio se maximizará el ingreso total?Þ

4) La función de demanda de un producto es ; œ 0 Ð:Ñ œ 2!!!!  25: donde ; se expresa en unidades y : en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde M es una función de : o sea M œ 1Ð:ÑÞ ¿Cuál es la concavidad de la función?:¿Cuál es la intersección con el eje C ?.¿Cuál es el ingreso total con un precio de $60?.¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?¿A qué precio se maximizará el ingreso total? 5) El costo ,en dólares, de una fábrica en función del número de unidades producidas viene dado, por G (; ) œ 1500  40 ; . Su nivel de producción es una función del tiempo ( horas) y viene dada 2 por ; (>) œ 16 >  >4 . Determine: a) El costo en función del tiempo y gráfica . b) Instante en que se maximiza el costo. c) Instante en el que los costos asociados a 10Þ300 dólares. d) ¿En qué instante los costos son nulos? . e) Costos para las 7 primeras horas.

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Respuestas 1) a) GÐ>Ñ œ '#&>#  #&>  *!!

bÑ GÐ$Ñ œ ''!!

c) > œ %

2) (a) $$!Þ!!!  "Þ#!!: Ðb) M œ 8: œ Ð)!!!  %!:Ñ: œ )Þ!!!:  %!: # (c)

d) $%%ß %&

$")&ß &

ß

e) $1!!. 3) M œ 1Ð:Ñ œ 500000:  3000:# ß 1Ð#!Ñ œ $800000; 4) V œ 1Ð:Ñ œ 20000:  #&:# ß 0 Ð'!Ñ œ ")&!! 5)

a)

abajo (0,0), 0 Ð#!Ñ œ $440000

unidades$83.33

abajo (0,0) ß

1Ð'!Ñ œ $"""!!!!;

unidades$%!!  10 >#  640 >  1500

b)

Los costos se maximizan en > œ 32 horas.

c)

Los costos ascendieron a 1030 para > œ 20 y > œ 44 horas.

d)

Los costos se anulan para > œ 66, 3 horas.

e)

- œ 11740

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3 .5

F u n ció n E x p o n en cia l.

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Hasta ahora hemos estudiado la mayoría de las funciones algebráicas, es decir, funciones que se pueden definir utilizando las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia y raíces. En ningún caso se ha tenido una variable como exponente. Así definimos una nueva función que se compone de una base + y un exponente en la variable B que se denomina función exponencial. Definimos una función de la siguiente forma: C œ +B

;

+>0

y

+ Á 1

Las funciones exponenciales se emplean para expresar crecimiento y decrecimiento, esta es la razón por la cual a estas funciones frecuentemente se les da el nombre de funciones de crecimiento. En general se emplean para describir, por ejemplo, aumento monetario, a un interés compuesto, crecimiento demográfico de número de animales y bacterias , desintegración radiactiva, etc.

Ejemplo 3Þ39: Si se desea construir la gráfica de la función exponencial C œ 2 B Se tiene la siguiente tabla de valores. B $ # " ! " # $

C " ) " % " #

" # % )

Idea gráfica

En general, independiente de la base (+ > !) , (+ Á 1 ) toda función exponencial de la forma C œ + B pasa por el punto (0, 1).

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Propiedades de la función exponencial. Supuesto +ß , > 0; +, , Á 1à B e C 1)

+B † +C œ +BC

2)

+ B œ

3) Π4)

cualquier número real.

1 +B

+B B  œ + +C

a+ B b C œ

C

+B†C

5) + B † , B œ (+ † , ) B 6)

Ejemplo 3Þ40:

+B + B œ Š ‹ B , ,

C œ 2B Idea gráfica y X

Y

-3

8

-2

4

-1

2

0

1

1

1/2

2

1/4

3

1/8

y = 2–

1

x

Una función exponencial tienen las siguientes características. Dada C œ + B ;

+ > 0ß

x

+ Á1

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a) El dominio de la función es el conjunto de todos lo números reales, el rango de la función es el conjunto de todos los números reales positivos. b) Para + > 1 la función es creciente y cóncava hacia arriba; para 0 < + < 1, la función es decreciente y cóncava hacia arriba. c) Independiemtemente de la base, la función exponencial C œ +

B

pasa siempre por el punto (0, 1).

En las funciones exponenciales, la base que con más frecuencia se utiliza es el número irracional " / " cuyo valor matemático aproximado a la quinta cifra es 2,171828...Así la función : C œ / B la denominaremos " función exponencial natural ".

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Aplicaciones de la funciones Exponenciales. Interés compuesto.

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ˆ1  81 ‰8 œ / cuando Observación: En cálculo se puede demostrar que el límite de la expresión "8" tiende al infinito. Las funciones que involucran potencias de " / " juegan un papel central en matemática aplicada se usan en demografía para preveer tamaños de población en finanzas para calcular al valor de inversiones, en arqueología para fechar objetos antiguos.

Si se invierten T dólares a un tipo anual de interés < y el interés se compone 5 veces por año , el 5> saldo F (>) pasado > años será: F (>) œ T ˆ1 + 5r ‰ dólares. Cuando crece la frecuencia con lo que es compuesto el interés, el correspondiente saldo F (>) también crece. 5t ¿ Qué sucede a la expresión T ˆ1 + 5< ‰ cuando 5 crece sin límite?.

Interés compuesto contínuamente: Si se intervienen T dólares se compone continuamente , el saldo F (>) depués de > años será: F ( >) œ

T /< >

dólares

Ejemplo 3Þ36: Suponga que invierten 3Þ000 dólares a un tipo anual de intéres del 4 %. Calcule el saldo después de 8 años si el intéres se compone. a) Semestralmente. b) Mensulamente. c) Continuamente. Solución: a)

F (>) œ 3Þ000 ˆ1 

0, 04 ‰2 †8 2

œ 4Þ118, 4 dólares.

b)

F (>) œ 3Þ000 ˆ 1 

c)

F (>) œ 3Þ000 /0,04 † 8 œ 4Þ131, 4 dólares.

0, 04 12

‰12 †8 œ 4Þ129, 2 dólares.

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Crecimiento Exponencial.

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Una cantidad U(>) que crece de acuerdo a una ley de la forma U(>) œ Uo / O > donde U! y O son constantes positivas se dice que experimentan un "crecimiento exponencial".

Ejemplo 3Þ42: Sea UÐ>) œ 2000 /0,05 > el número de bacterias presentes pasado > minutos. ¿Cuántas bacterias habrán pasado en 20 minutos? Solución: U(20) œ 2Þ000 /0,05>† 20 U(20) œ 5Þ436, 6 bacterias.

Decrecimiento exponencial.

Una cantidad U(>) que decrece de acuerdo con la ley U(>) œ U! /O> donde U! y O son constantes positivas se dice que experimenta un " decrecimiento exponencial ".

Ejemplo 3Þ43: Los bosques de un país están desapareciendo a razón de 3,6 % al año. Si originalmente habían 2Þ400 (millones).¿ Cuántos árboles desaparecen en 7 años? Solución:

U(>) œ 2Þ400 / 0, 036 † 7 U(7) œ 2Þ400 / 0,252 U(7) œ 1Þ865, 4 millones de árboles.

Depreciación Otro método de depreciación es el llamado ACELERADO. El valor de la depreciación los primeros períodos seran mayores que de los últimos períodos. $

Depreciación Lineal

Depreciación Acelerada

tiempo

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Valor libro œ costo de compra  depreciación.

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Cuando las organizaciones adquieren vehículos, edificios, equipos y otras clases de "bienes", los contadores acostumbran asignar el costo del objeto a lo largo del período en que se usa. Los contadores llevan a simismo registros de los principales activos y su valor actual o " en libros". El valor en libros representa la diferencia entre el precio de compra del activo y la cantidad de depreciación asignada, o sea:

Ejemplo 3Þ44: El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la función exponencial. Z œ 300Þ000(2,5)0,1>

Donde Z es el valor libro expresado en dólares y > representa el número de años transcurridos desde la adquisición del equipo. a) Determinar el valor del equipo al cabo de 5 años. b) ¿Cuál era el valor del equipo cuando se compró? c) ¿Cuál es el valor a los 20 años?. Solución: a)

Z œ

0 Ð&Ñ

œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß"†Ð&Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß& " œ $!!Þ!!! Ð#ß &Ñ!ß& $!!Þ!!! œ "ß &) œ $ 189Þ873,42

El valor del equipo a los cinco años es de $ ")*.)($,%# b)

Z œ

0 Ð0Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß"†Ð0Ñ œ $!!Þ!!!Ð1Ñ œ $!!Þ!!!

Por lo tanto, el valor del equipo al comprarlo fue de: $ $!!Þ!!!

c) Z œ

0 Ð20Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß"†Ð20Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ2 œ 48Þ!!! El valor del equipo al cabo de 20 años será de $48Þ000.

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Ejercicios Propuestos 1)

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Suponga que se convierten 1Þ200 dólares a un tipo anual de interés del 3,2 %. Calcule el saldo después de 5 años si el interés se compone: a) Mensualmente. b) Trimestralmente. c) Anualmente.

2) Una cierta cantidad de dinero se deposita a un interés del 1,8 % anual capitalizados semestralmente por un período de 8 años, ascendiendo el monto final a 288.500 dolares. ¿ Cuál era el monto inicial ?. 3) Si un monto inicial de 80.000 dólares fue depósitado a una tasa de interés anual del 2,6 % durante un cierto período de tiempo capitalizados trimestralmente ascendiendo el monto final a 120.000 dólares. ¿ Cuánto tiempo estuvo depositado? 4) Una cierta maquinaria industrial se deprecia de forma que su valor pasado > años viene dado por U(>) œ U / 0, 03>

a) Después de 20 años la maquinaria tiene un valor de 9000 dólares ¿ Cuál era su valor original ? b) ¿Cuál será su valor pasado 3 años? c) Establezca una gráfica.

5) El ritmo al que un empleado medio de correo puede clasificar cartas después de > meses en el trabajo está dada por G (>) œ 420  120 e 0, 4 > carta por hora . a) Esboce una gráfica. b) Estime número de cartas clasificadas pasado 4 meses. c) Si el número de cartas clasificadas a 300 por hora.¿ Cuánta antigüedad tiene en el trabajo?.

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3 .6

F u n ció n Lo ga r ítm ica .

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Definición: La función C œ + B define la variable "C " en función de "B" esta ecuación también puede determinar a "B" como una función de " C" lo que se denota por B œ + C , a esta nueva función se le dará el nombre de función logarítmica en base " + " lo que se denota por: C œ 691 + B si y sólo si B œ + C

, +>0 ; + Á 1

Es importante recordar que C œ 691 + B y la expresión B œ + C describen la misma función. Puesto que el dominio de una función exponencial incluye a todos los números reales y su recorrido es el conjunto de los números reales positivos, el dominio de una función logarítmica en el conjunto de todos los reales positivos y su recorrido el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo 3Þ40: Determine gráficamente de C œ 691 $ B que es equivalente a B œ $C Idea gráfica y X

Y

-3

1/27

-2

1/9

-1

1/3

0

1

1

3

2

9

3

27

1

x

En general, independiente de la base (+ > 0 , + Á 1) la función C œ 691+ B pasa por el punto (1, 0). Propiedad de la función Logarítmica. Sea , > 0,

, Á ",

Q > 0,

R >0.

1) 691 , , B œ B 2) 691, Q R œ 691, Q  691, R 3) 691,

Q R

œ 691, Q  691, R

4) 691, Q T œ : 691, Q 5) 691, Q œ 691, R , si y solo si , Q œ R 6) 691 , 1 œ 0 (Ñ 691 , , œ "

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Logarítmo Natural.

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Si nos encontramos con la forma exponencial B œ / C , es natural que deseemos resolver la ecuación para C , lo que equivale a: C œ 691 / B a la expresión "691 / " la denominaremos " Logarítmo natural de ÞÞÞ", en nuestro caso logarítmo natural de B ß lo que se denota por: C œ 68 B

si y sólo si

B œ /C

Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversa entre sí. Como tales, la una contribuye en la solución de la otra. Puesto que 68 B significa la potencia a la que debe elevarse " / " para obtener B, se concluye que: 1) /68 + œ +

;

/68B œ B

2) 68 / œ "

;

68 / + œ +

; ;

/ 6 8 0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 6 8 /0 ÐBÑ œ 0 (B)

Aplicaciones de Logarítmo Natural

Ejemplo 3Þ46: La población del mundo está creciendo a un ritmo aproximado del 3% anualß reponiendo el modelo T (>) œ T! /0,03 > , donde > es el tiempo en años. ¿ Cuánto tardará la población mundial en duplicarse?. Solución:

T (>) œ T! /0,03 > 2T! œ T! /0,03 > 2 œ e0,03 > Î 68 6 8 2 œ 0, 03 > 68 / 68 2 œ 0, 03 > 682 œ > 0, 03

Ê > œ 23, 1

La población tardará en duplicarse 23,1 años.

Ejemplo 3Þ47: ¿Cuántos años > demorará una suma de dinero T para triplicarse a un interés compuesto del 8 %, anual?. Solución:

A 3T 3 68 3 68 3 6 8 1, 08

œ T (1  0,08) > œ T (1  0,08) > œ (1  0,08)> Î6 8 œ > 6 8 1,08. œ >

> œ 14 El dinero tardará en triplicarse 14 años.

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Solución:

12 œ 5 /9 < 2, 4 œ /9 < Î 6 8 6 8 2, 4 œ 9 < 6 8 2, 4 œ< 9 0,09 œ
> À años. P3À Población en el año i. a) Indicar la población inicial. b) Indicar la población en el tercer año. c) En cuántos años se tendrá 8.000 microorganismos. d) Cuantos años pasaran para que la población se triplique. Resp.:

a) T! œ #Þ!!! Hab. b) T$ œ #Þ")) Hab. -Ñ > œ %'ß # años. .Ñ > œ $'ß ' años.

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6.- Considerando que las ventas, de la empresa ABC, tienen una tendencia lineal. Se sabe que para año 2000 las ventas fueron de 8.000 unidades y para el 2001, de 10.000 unidades. a) Indicar cuál será el nivel de venta para el año 2002. b) Graficar la función indicando la ecuación de la función. Res.: a) 12.000 unidades.

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UNIDAD III: 2 .1 M A T R IC E S

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MATRICES, DETERMINANTES Y ECUACIONES LINEALES.

Definición: Una matríz es un arreglo rectangular de elementos escritos entre paréntesis. Algunos ejemplos son: 1 Œ -2

2 .1 .1

0 3

,

Î1Ñ 0 Ï2Ò

,

a 1 -1 2 4 b

D im en sio n es d e u n a M a tr iz

En general

 a11   a 21  .   a m1 

a12 a 22

a13 a 23

am2

a m3

a1n   a2n    a m 4 ... a m n  a14 ... a 24 ...

Fila

Indica un elemento en la matriz, ubicada en la primera FILA tercera COLUMNA

Columna

La matriz definida anteriormente es una matriz de orden 7 x 8 ( se lee " 7 por 8"), es decir, tiene 7 filas y 8 columnas, al producto 7 x 8 se le llama también dimensiónÞ Muchas veces nos referimos a un elemento en general de la matriz como +34 indicando un elemento de la " 3ésima " fila y la " 4-ésima " columna de la matriz.

Ejemplo 2.1: Matrices y sus Dimensiones. Ò0  1 3], una matriz fila de 1 x 3 también llamado vector fila. Î Ð Ð

3Ñ 0Ó , una matriz columna 4 x 1 también llamado vector columna. Ó 1 Ï  2Ò

ES IMPORTANTE notar que primero se da el número de filas.

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1 Œ3

2 una matriz 2 x 2  1

1 Œ0

1 2

( 7 œ 8 , se dice que la matriz es cuadrada )

3 , una matriz rectangular 2 x 3. 1

[ 3 ] una matriz 1 x 1 es llamada escalar.

Igualdad de Matrices.

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Si el número de filas es igual al número de columnas en una matriz se dice que ella es CUADRADA.

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos correspondientes son iguales. Ejemplo 2.2: + ”.

, /

0•

Luego : + œ B ; . œ A;

2 .1 .2

B ”A

œ

C ?

D >•

,œC; /œ?;

-œD; 0 œ>

O p er a cio n es co n M a tr ices

SUMA DE MATRICES.

Si dos matrices, E y F , tienen las mismas dimensiones, entonces su suma indicada por E  F es la matriz cuyos elementos son las sumas correspondientes de E y F . Por ejemplo, si À + E œ ” -

, B à Fœ ” .• A

C Í EF œ D•

+B ”-A

,C .D•

Ya que la suma de dos matrices es igual a la matriz formada por la suma de los elementos correspondientes, se infiere de las propiedades de los números reales que la suma de matrices de la misma dimensión es asociativa y conmutativa, es decir, si E, F , G son matrices de la misma dimensión entonces: EF œFE Conmutativa. (E  FÑ  G œ E  (F  G ) Asociativa.

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Obs : Matriz cero o nula.

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Se denomina matriz cero o nula aquella que tiene todos sus elementos iguales a cero. Ô0× 0 0 0 [0 0 0 ] , , ”0 0• Õ0Ø Son matrices cero de diferentes dimensiones. Nota : " 0 " se puede emplear para denotar la matriz cero de cualquier dimensión

El negativo de una matriz Q , denotado por  Q es una matriz cuyos elementos son los negativos de los elementos de Q Þ Por lo tanto , si + Qœ ” -

, + Ê Q œ ” .• -

, .•

Observese que Q  [Q ] œ 0 ( la matriz es cero ).

SUSTRACIONES DE MATRICES:

Si E y F son matrices de la misma dimensión entonces se define la sustracción o resta de la siguiente manera : E  F œ E  Ð  FÑ

Por lo tanto, para restar la matriz F de la matriz E, simplemente se restan los elementos correspondientes.

Ejemplo 2.3: 1 ” 2

3 2  ” 1• 4

1 1 œ ” 3 • 2

3 2  1• ”4

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.

1 3 œ”  3• 2

4  2•

El producto de un escalar O y una matriz Q , denotado por O † Q , es una matriz con elementos formados por la multiplicación de cada elemento de Q por O . Esta definición está en cierto modo motivada por el hecho de que por ejemplo si Q es una matriz se desearía que Q  Q sea igual a 2Q Þ

Ejemplo 2.4:

2  3† Œ 3

0 1

1 6 œ Œ  2 9

0 3

79

3 6

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MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

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Producto punto. El producto punto de una matriz fila 1 x 8 y una matriz columna 8 x 1 es el número real dado: c +1

+2 ... +8 d †

Ô ,1 × ,2 œ Õ ,8 . Ø

+1 ,1  +2 ,2  . . .  +8 ,8 un número

Producto de Matrices.

El producto de dos matrices E y F se define sólo bajo la suposición de que el número de columnas en E Ð7 x :Ñ es igual al número de filas en F Ð : x 8Ñ, entonces la matriz producto de E y F , denotada por E † F , es una matriz 7 x 8 cuyo elemento de la 3-ésima fila y de la 4  ésima columna es el producto punto de la fila 3-ésima de la matriz E y de la columna 4-ésima de la matriz F . Es importante verificar las dimensiones antes de comenzar el proceso de la multiplicación. Sí una matriz E tiene dimensión + x , y la matriz F tiene dimensión - x . , entonces, si , œ - el producto E † F existirá y tendrá dimensión + x . .

Ejemplo 2.4: Con un ejemplo se ayudará a aclarar el proceso : 2 E œ ” 2 A 2x3 B 3x2

3 1

1 2 •

Fœ

Ô 1 2 Õ 1

3× 0 2Ø

El número de COLUMNAS de A es igual al número de FILAS de B.

Ô 1 × Î 2 Ð [2 3 1] † Ð Õ  1Ø Ð E†F œÐ Ð Ô 1 × Ð 2 [2 1 2] † Ï Õ  1Ø 9 E†F œ Œ 2

c2

3

[ 2 1

Ô3× 0 Õ2Ø Ô3× 2] † 0 Õ2Ø

 1d †

Ñ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

4  2

Propiedades de la Multiplicación.  La multiplicación de matrices en general no es conmutativa.  Q † R puede ser cero sin que lo sean ni Q ni R .  Suponiendo, que, para las matrices dadas E, F , G todos los productos y sumas entonces para O , un número real : 1) ( E † F ) † G

= E † (F † G )

Propiedad Asociativa

80

están definidos,

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3) ( F  G ) † E

=E † F  E † G =F †EG † E

4) O † (E † F )

Propiedad Distributivapor la izquierda

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2) E † ( F  G )

Propiedad Distributiva por la derecha

= ( O † E ) † F œ E † (O † F )

Como la multiplicación de matrices no es en general conmutativa, las propiedades dos y tres deben escribirse como propiedades diferentes.

2 .1 .3

A p lica cio n es Adición .

Ejemplo 2.5: Análisis de Costos: Una compañía con dos diferentes fábricas, manufactura guitarras y banjos. Los costos de producción para cada instrumento se dan en las siguientes matrices. Fábrica B Guitarra Banjo $ 30 $ 25 ” $ 60 $ 80 • œ E

Materiales labor

Fábrica C Guitarra Banjo $ 36 $ 27 ” $ 54 $ 74 • œ F

Encuentre el costo promedio para las dos fábricas =

" (EF ) #

Ejemplo 2.6: Herencia: Gregol Mendel ( 1822 - 1884 ), monje bávaro y botánico, hizo descubrimientos que revolucionaron la genética. En un experimento cruzó guisantes híbridos amarillos redondos ( amarillos redondos son las características dominantes ; los guisantes también eran de color verde y tenian plieges como caracteres recesivos ) y obtuvo 560 guisantes de los tipos indicados en la matriz. Redondo Arrugado 319 101 Amarillo  Verde ” =M 108 32 •

Supongase que realizó un segundo experimento del mismo tipo y obtuvo 640 guisantes de los tipos indicados en la matriz. Redondo Arrugado 370 124 Amarillo - Verde ” œ R 110 36 •

Si se combinan los resultados de los dos experimentos escríbase la matriz resultante Q  R . Calcúlese la fracción decimal del Nº total de guisantes (1Þ200) en cada categoría de los resultados combinados Indicación =

1 ( Q  R) 1200

81

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Producto punto Un sistema de ecuación se puede escribir de la siguiente forma, utilizando matrices.

2x + 5y – 3 z =10 x + 7y + z = 9 6x + y + 4 z = 8

 2 5 − 3   x  10        1 7 1  ⋅ y =  9  6 1 4   z   8       

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Ejemplo 2.7: Una fábrica de muebles tiene tres departamentos necesarios para la fabricación de sus productos. La fábrica esta desarrollando tres diferentes tipos de modelos(X, Y, Z). Cada departamento incurre en costos ya sea de mano de obra como de insumos. En la siguiente tabla se detalla los costos que incurre cada departamento al fabricar los distintos tipos de muebles. Departamento X ($/unidad) 3 2 1

A B C

Tipo de Mueble Y ($/unidad) 2 1 5

Z ($/unidad) 3 4 0.5

a) Escribir en forma de matriz el costo para cada departamento. b) Si se fabrican 10 unidades de X, 5 de Y, 8 de Z, determinar cual es el costo por departamento. Solución:

a) Para el departamento A: El costo de producir una unidad de X es 3x, de producir Y es 2y y por último una unidad de Z es de 3z. Por lo tanto, el costo que incurre el departamento A es: C1 œ $B  #C  $D Para Dpto B: Para Dpto C:

C2 œ #B  C  %D C3 œ B  &C  !ß &D

Como sistema de Ecuaciones queda: $B  #C  $D œ G" #B  C  %D œ G# B  &C  !ß &D œ G$ En forma de matriz: Î$ # Ï"

# " &

$ ÑÎ B Ñ Î G" Ñ % C œ G# !ß & ÒÏ D Ò Ï G$ Ò

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b)

B œ "!à C œ &à D œ ) Î$ # Ï"

# " &

$ ÑÎ "! Ñ Î '% Ñ % & œ &( !ß & ÒÏ ) Ò Ï $* Ò

El costo que incurre el departamento A es de $ 64. El costo que incurre el departamento B es de $ 57. El costo que incurre el departamento C es de $ 39.

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Ejemplo 2.8: Una fábrica produce un esquí acuático para salto. Necesita 4 horas de trabajo en el departamento de fabricación y 1 hora en el de acabado para fabricar un esquí. El personal de fabricación recibe $800 por hora y el personal de acabado $600 por hora. El costo total de la mano de obra por esquí está dado por el producto punto : [ 4 1 ]”

800 = $ 3800 por esquí 600 •

Costo de la mano de obra es de $ $Þ!!! por esquí.

Ejemplo 2.9: Una compañía, con fábricas localizadas en diferentes partes del país, tiene necesidad de horas de trabajo y de salarios para la fabricación de tres tipos de botes inflables. Como se indica en los siguientes matrices : horas de trabajo por bote

Qœ

Primera Fila : Bote para una persona Segunda fila : Bote para dos personas Tercera fila : Bote para cuatro personas Salario por hora

Fábrica I Ô$ 6 R œ $8 Õ$ 3

Ô 0,6 hrs 0,6 hrs 1,0 hrs 0,9 hrs Õ 1,5 hrs 1,2 hrs

Fábrica II $7 × $ 10 $4 Ø

Primera fila : Departamento de Corte Segunda fila : Departamento de ensamble Tercera fila : Departamento de empaque

0,2 hrs × 0,3 hrs 0,4 hrs Ø

a) Encuéntrense los costos de mano de obra para la fabricación del bote para una persona en la fábrica I es decir, encuéntrese el producto punto [ 0,6

0,6

0,2 ] †

Ô6× 8 œ !ß ' † '  !ß ' † )  !ß # † $ œ * Õ3Ø

El costo de mano de obra para la primera Fábrica es de : $ 9 para un bote de una persona.

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c) ¿Cuál es la dimensión de Q † R ? d) Encuéntrese Q † R e interprétela

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b) Encuéntrense los costos de mano de obra para la fabricación del bote para cuatro personas en la fábrica II. Seleccione el producto punto como en la parte ( E ) y multiplíquese.

Ejemplo 2.10: La Sra Smith y el Sr Jones son vendedores en una nueva agencia de automóviles que venden solo dos modelos. Agosto fue el último mes para los modelos del año y en Septiembre se introduciran los modelos del siguiente. Las ventas brutas en dólares para cada mes se dan en las siguientes matrices. Ventas Agosto Compacto Lujo $ 18.000 $ 36.000 ” $ 36.000 •=E 0

Ventas Septiembre Compacto Lujo $ 72.000 $ 144.000 ” $ 90.000 $ 108.000 • = F

Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones

Por ejemplo. la Sra Smith tenía $ 18.000 en venta de automóviles compactos en Agosto y el Sr Jones tenía $ 108.000 en venta de automóviles de lujo en Septiembre

a) ¿Cuáles son las ventas combinadas en dólares en Agosto y Septiembre para cada persona y para cada modelo? Compacto $ 90.000 EF œ ” $ 126.000 Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones

Lujo $ 180.000 108.000 •

b) ¿ Cuál es el aumento de las ventas en dólares de Agosto a Septiembre ?

Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones

Compacto Lujo $ 54.000 $ 108.000 FEœ ” $ 54.000 $108.000 •

c) Si ambos vendedores reciben el 5% de comisión por el total de sus ventas en dólares, calcúlese cuánto recibió cada unoß para cada modelo vendido en Septiembre. 0.05 † 72000 0,05 † F œ ” 0.05 † 90.000 Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones

0.05 † 144.000 3600 œ Œ 0.05 † 108.000 • 4500

84

7200 5400 

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Ejercicios Propuestos 1) Dadas las siguientes matrices : EœŒ

3 1

1 Hœ Œ 2 a) b) c) d)

1 2 1 4

0 1

,Fœ

Î 3 0 Ï 1

1Ñ 1 , 2Ò

2 Gœ Œ 1

1 , 3

3  1

EH 2H  E E†F (2E † F )  3G

2) Una empresa tiene tres departamentos para la fabricación de tres productos diferentes. Sea la siguiente tabla de tiempos de producción por departamento. Tiempo de Producción (Hora/unidad)) Producto X Producto Y Producto Z

Depto. A 5 3 3

Depto. B 4 5 4

Depto. C 6 7 5

a)

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Escribir en forma de matriz el tiempo de producción para cada departamento, si se fabrican los tres tipos de productos. b) Calcular cuál es el tiempo de producción de cada departamento si se fabrican 15 unidades de X, 7 de Y y 8 de Z. c) Cuál es el tiempo total de fabricación si se producen 5, 8 y 3 de X, Y y Z respectivamente. $Þ  Sean las matrices:  1 2  4 1 9  1 2 0  3 4 − 1 A=  ; D =  ; C =  ; B =   − 2 5  3 − 7 8  − 1 − 1 2  2 4 1

Resolver: 4A -B - 1/2 C + D † C %Þ  Una empresa se dedica a fabricar zapatos de tres diferentes modelos.

Mano de Obra Materiales

Tabla de Costos ($/Unidad) Modelo A Modelo B Modelo C 2 3 3 1 2 4

La demanda y los precios por cada modelo de zapato es la siguiente: Modelo A Modelo B Modelo C

Precio ($/Unidad) 10 15 20

Demanda (unidades) 30 15 12

a) Calcular el costo de fabricación de un zapato por cada modelo. b) Cuál es el costo de mano de obra y materiales por satisfacer la demanda. c) Cuál es el ingreso por tipo de zapato al satisfacer la demanda.

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Respuestas 1)

a)

4 Œ1

0 6

3 0

b)

1 Œ 5

3 6

c)

9 Œ 4

4 3

d)

24 Œ  11

2) a)

Î5 4 Ï6

3 5 7

6  3

5  3

3 Ñ Î x Ñ Î Tiempo Dpto. A Ñ 4 † y = Tiempo Dpto. B 5 Ò Ï z Ò Ï Tiempo Dpto. C Ò

b) T1 = 120 hrs. T2 = 127 hrs. T3 = 179 hrs. c) 231 Hrs.

$Ñ

Î "* Ð Ð #* Ð # Ï

" # $$  #



$$ Ñ # Ó Ó #! Ó Ò

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2 .2

F u n ció n D eter m in a n te.

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Determinante: Con cada matriz cuadrada E podemos asociar un número real o complejo llamado determinante de E y que denotamos ./> E, por ejemplo, si una matriz EÞ + Eœ ” -

, .•

El determinante, ./> E es el número representado por J = (+ .  ,- ) , es decir, el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Generalmente el símbolo que se usa para indicar un determinante es un par de barras verticales, por ejemplo : + ./> E œ º -

, œ (+ .  , - ) .º

Debe recordarse que det A tiene un valor numérico, mientras que la matriz es un arreglo de números.

Un determinante de orden R es uno con 8 filas y 8 columnas. Calcularemos a continuación los determinantes de orden 2 y 3. Determinantes de segundo orden :

En general, se puede simbolizar un determinante de segundo orden de la siguiente manera: +11 º+ 21

+12 +22 º

Donde emplea una letra simple con un doble subíndice para facilitar la generalización a determinates de un orden más alto. El primer subíndice indica la fila a lo cual pertenece el elemento, y el segundo subíndice indica la columna. Así +21 es el elemento de la segunda fila y de la primera columna y +12 es el elemento de la primera fila y de la segunda columna. Cada determinante de segundo orden representa un número real dado por la fórmula siguiente : +11 º+ 21

Ejemplo 2.11:

./> œ

1 º 3

+12 œ +22 º

+11 † +22 

2 œ  4  6 œ  10 4º

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+12 † +21

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Determinantes de orden tres

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Un determinante de orden tres es un arreglo cuadrado de nueve elementos y representa un número real o complejo dado por la siguiente fórmula :

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a11 a 23 a 21 a33 a31

a12 a 22 = (a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a 21 ⋅ a32 ) a32

− (a31 ⋅ a 22 ⋅ a13 + a32 ⋅ a 23 ⋅ a11 + a33 ⋅ a 21 ⋅ a12 )

Propiedades de los determinantes.

Los siguientes teoremas facilitan mucho la tarea de evaluar los determinates de orden mayor o igual a 3 Teorema: Si se multiplica cada elemento de una fila ( o columna ) de un determinante por una constante O , el determinante resultante es O veces el original.

Teorema: Si todos los elementos de una fila ( o columna ) son ceros, entonces el valor del determinante es cero. Teorema: Si se intercambian dos filas ( o columnas ) de un determinante, entonces el determinante que resulta es negativo del anterior.

Teorema: Si dos filas ( o columnas ) de un determinante son iguales, entonces el valor del determinante es cero. Teorema: Si se suma a una fila ( o columna ) un múltiplo de otra fila ( o columna), el valor del determinante no cambia.

2 .2 .1 R egla d e C r a m er

A continuación se verá como surgen los determinantes de manera natural en el proceso para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Inicialmente se investigarán dos ecuaciones con dos incognitas y después se extenderán estos resultados a tres ecuaciones con tres incógnitas. Sean las ecuaciones : +11 B  +12 C œ 51 +21 B  +22 C œ 5#

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ÐP 1 ) ÐP 2 )

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Bœ

5" +""  5# +"# ß Ð+"" +##  +#" +"# Ñ

con +11 +22  +21 +12 Á 0

Lo que podemos fácilmente asociar a :

Bœ

51 º5 2

+11 º+ 21

En forma similar tenemos

+12 +22 º +12 +22 º +11 º+ 21

Cœ

+"1 º+ 21

51 52 º +12 +22 º

a) Regla de Cramer para ecuaciones con dos incógnitas Dado el sistema : +11 B  +12 C œ 51 +21 B  +22 C œ 52

Con

H ϼ

Entonces

+11 +21

+12 Á0 +22 º

, Bœ

51 º5

+12 º 2 +22 H

Cœ

+12 º+ 21

H

51 52 º

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Se tiene que si se multiplica las ecuaciones P1 y P2 por constantes reales tal que se pueda reducir una de las variables se tiene : +11 B  +12 C œ 51 Î † Ð  +22 Ñ +21 B  +22 C œ 52 Î † Ð  +12 Ñ tenemos : +11 +22 B  +12 +22 C œ 51 a22  +21 +12 B  +12 +22 C œ  52 a12 B ( +11 +22  +21 +12 ) œ 51 +22  52 +12

El determinante H se denomina determinante de los coeficientes. Si H Á 0 el sistema tiene exactamente una solución la cual está dada por la regla de Cramer. Por otro lado si H œ 0, entonces se puede demostrar que el sistema es inadecuado o es dependiente, es decir, el sistema no tiene soluciones o tiene un número infinito de soluciones.

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Ejemplo 2.12:

Resolver : 3 B  4C 2B  5 C

Bœ

Cœ

1 º2 3 º2

œ 1 œ 2

4  5º 5  8  13 13 = = =  15  8  23 23 4  5º

3 º2

1 2º 6  2 4 = =   23  23 23

b) Regla de Cramer para 3 ecuaciones con tres incógnitas Dado el sistema :

+11 B  +12 C  +13 D œ 51 +21 B  +22 C  +23 D œ 52 +31 B  +32 C  +33 D œ 53 â â +11 â H œ â +21 â â +31

con

â +13 â â +23 â Á 0 â +33 â

+12 +22 +32

Entonces :

Bœ

â â 51 â â 52 â â 53

+12 +22 +32 H

â +13 â â +23 â â +33 â

Cœ

â â +11 â â +21 â â +31

51 52 53 H

â +13 â â +23 â â +33 â

Dœ

â â +11 â â +21 â â +31

+12 +22 +32 H

â 51 â â 52 â â 53 â

Es sencillo recordar estas fórmulas de determianates para B, C , D si se observa :

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1) El determinane H está formado por los coeficientes de B, C , D , manteniendo la misma posición relativa en el determinante como se encuentra en el sistema. 2) El determinante H aparece en el denominador de B, C , DÞ

3) El númerador para B se puede obtener a partir de H reemplazando los coeficientes de B, +11, +21 y +31 , por las constantes 51 , 52 , 53 respectivamente. Propocisiones análogas se pueden hacer para los numeradores de C , D .

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Ejemplo 2.13: Resolver : BC œ 1 3C D œ  4 BD œ 3

luego

â â1 â H œ â0 â â1

1 3 0

â 0 â â  1â â 1 â

â â1 â H œ â0 â â1

1 3 0

ââ 0 ââ 1 ââ  1 ââ 0 ââ 1 ââ 1

â 1â â 3â œ â 0â

H = Ò Ð1 † 3 † 1Ñ + Ð1 † (  1) † 1 Ñ  0 Ó  c Ð1 † 0 † 1Ñ  Ð1 †  1 † 0 Ñ  Ð 0 † 3 † 1Ñ d H=3  1+0  0  0  0 œ 2 De igual forma si calculamos B ; C ; D tenemos :

Bœ

â â 1 â â 4 â â 3

Cœ

â â1 â â0 â â1

1  4 3

Dœ

â â1 â â0 â â1

1 3 0

ââ 0 ââ 1 ââ  1 ââ  4 ââ 1 ââ 3 H

1 3 0

Luego B œ #

ââ 0 ââ 1 ââ  1 ââ 0 ââ 1 ââ 1 H

ââ 1 ââ 1 ââ  4 ââ 0 ââ 3 ââ 1 H

;

â 1â â 3â â 0â

â 1â â 3â â 0â

œ

â 1 â â  4â â 3 â

œ

œ

Cœ  1

33+0 (4+0+0) = 2

4 = 2 2

 4  1 + 0  (0  3 + 0 )  5 3 œ œ  1 2 2

9 4+0 (0+0+3) 5  3 œ œ 1 2 2

;

Dœ 1

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Ejercicios Propuestos Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones mediante determinantes : 1)

8 B  9C œ 61 3 B  6C œ 1

2)

26B  45C œ 97 13B  10C œ 16

3)

3B  9C  8D œ 41 4C  5B  2D œ 20  8D  11B  7C œ 35

4)

B  2C  3D œ 80 11  C œ 2B 3B  D œ 50

5)

9 B  7 C  6D œ 18 12B  14C  9D œ 27 18B  35C  15D œ 0

')

 B  #C œ "! 3B  #C œ #!

(Ñ

B  C  3D œ "! B  C  #D œ 2! 3B  C  D œ $ 0

))

#B  #C œ & B  #C œ #

*)

"!B  $C œ " "!B  #C œ )

"!)

" B # $B 

# C œ & $ #C œ #

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Respuestas 1)

Bœ 5

C œ 7/3

2)

Bœ 2

Cœ 1

3)

Bœ 2

Cœ 3

Dœ 1

4)

B œ 12

C œ 13

D œ 14

5)

Bœ 5

Cœ 3

Dœ 1

')

B œ #ß 5

C œ  'ß #&

()

B œ "$ß $

C œ  "$ß 3

))

Bœ $

Cœ

*)

B œ !ß &#

C œ "ß %

"!)

Bœ

C œ  "%

 )ß ''

D œ $ß $

" #

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2 .3

E cu a cio n es Lin ea les.

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Definición: Cuando 0 ÐBÑ œ 0, para algún valor del dominio , la expresión + B  , œ ! se denomina " Ecuación de primer grado o Lineal ".

El conjunto solución de una ecuación son los valores que sustituidos en la ecuación, la transforman en una igualdad , a dichos valores se les denomina "raíces o soluciones " de la ecuación.

Ejemplo 2.14: La ecuación 2 B  3 œ 0 tiene por raíz B œ  verdadera Þ

3 pues sustituida en la ecuación la hace 2

Resolución de una Ecuación Lineal

Las siguientes propiedades de la igualdad son fundamentales para el proceso de resolver ecuaciones. Sean +, , , - números reales, entonces: a) Si + œ , , se cumple +  - œ ,  (Propiedad Aditiva) b) Si + œ , , se cumple +  - œ ,  (Propiedad Sustracción) c) Si + œ , , se cumple + † - œ , † (Propiedad Multiplicación) + , d) Si + œ , , se cumple œ , - Á 0 (Propiedad División ) Observación : En una ecuación de la forma + B  , œ ! tenemos: , + ii) Si + œ ! , , œ ! existen infinitas soluciones. iii) Si + œ ! , , Á ! No tiene solución.

i) Si + Á 0 la solución es unica B œ 

Si la ecuación original se modifica mediante el uso de cualquiera de las propiedades anteriores se obtendrá una ecuación equivalente.

Ejemplo 2.15: Solución:

Resolver:

5B  2 œ 8 5B  2 5B 5B B

œ œ œ œ

8 8  2 10 2

94

/ + (2) / † ( 5)

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Ejemplo 2.16:

Resolver:

Solución:

Ejemplo 2.17:

7B  3 œ 5B  4 2B  3 œ 4 2B œ 7 7 B œ 2

Resuelva:

Solución:

Ejemplo 2.18:

Ejemplo 2.19:

/  (5B)

8B  15  6B œ 3B  3  3 8B  15  6B œ 3B  3  3 14B  15 œ 3B 11B  15 œ 0 11B œ 15 15 B œ 11

Resuelva:

Solución:

7B  3 œ 5B  4

B  1 B  3 4

B  1  3 4( B  1 )  3B œ 4B  4  3B œ B

Resuelva:

B 4 6 6

œ

" #

œ

" #

/  (3B) /  (15) / : (11)

/ † (12)

œ 2

B 3 B 1 œ B 2 B 5

B 3 B 1 œ B 2 B 5 (B 3)(B 5) œ ( B  1 ) (B  2 ) B2  5B  3B  15 œ B 2  2B  B  2 2 B  2B  15 œ B2  B  2 B œ 1$

Solución:

Ejemplo 2.20: Resuelva :

2 8 4B  3  œ (B 1) (B 1) (B2  1)

Solución:

2 8 4B  3  œ (B 1) (B 1) (B2  1)

/  B#

Î(B 1)(B")

2(B 1) 8(B") œ 4B 3 2 B  2  8B  8 œ 4B  3 7 œ 10B 7  œB 10

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Ejemplo 2.21: Dada la siguiente ecuación lineal: C = 30.000  2%00 B a) Hallar el valor de C para B œ ! À Al inicio B œ 0 luego ;

C œ 30.000  2400 † 0

C œ 30.000 b) El valor de C para B œ 5 À B œ 5, luego ; C œ 18.000

C œ 30.000  2.400 † &

c) El valor de C para B œ 9 À C œ 30.000  2400 † 9 C œ 8.400

2 .3 .1

S istem a d e E cu a cio n es Lin ea les.

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Dos ecuaciones que tengan las mismas dos variables se puede resolver de una manera gráfica o algebráica. Una forma de resolver algebráicamente un sistema es expresar las ecuaciones en la forma intersecto - pendiente. Igualando ambas expresiones se despeja la variable B, la que finalmente determina C sustituyéndola en cualquiera de las ecuaciones intersecto - pendiente.

Ejemplo 2.22:

Resuelva algebráicamente 2B  C œ 10 6B  4C œ 16

i) Forma intersecto - pendiente C œ  2B  10 C œ 1,5B  4 (2)

(1)

ii) Igualando :  2B  10 14 % œ B

œ 1,5 B  4 œ 3,5 B

iii) Reemplazando B en (1) ó (2) se tiene : C œ  2 † 4  10 Cœ 2

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C œ  2B  10

C œ 1,5 B  4

Bœ 0 œC œ 0

C œ 10 Bœ 5

Bœ0 œC œ 0

Cœ  4 B œ 2,7

Idea gráfica : y = - 2 x +10 y

y=

10

3 x−4 2

2 4

5

x

-4

Ejemplo 2.23: Dadas las ecuaciones de costo e ingreso para una industria definidos por : G œ 5B  120 M œ 8B Determine algebráicamente y gráficamente el punto de equilibrio : a) Algebráicamente:

B

M 8B $B œ 40

œG œ 5B  120 œ "#!

Para una producción de 40 artículos la utilidad es nula. b) Gráficamente : C œ 5 B  120 Bœ! Ê C œ 120 Cœ 0 Ê B œ  24

Bœ 0

Punto de equilibrio B œ 40 unidades.

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Luego el punto de intersección de ambas rectas es (4 , 2). Para resolver el sistema anterior se grafican ambas ecuaciones en el mismo plano y se determina el plano donde se cruzan ambas rectas. En el ejemplo anterior :

C œ )B Ê Cœ 0 Bœ 6 Ê C œ 48

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I = 8x

y 320

C = 5x + 120

40

x

Ejemplo 2.24: Sea la función de demanda igual a : B = -4p + 80

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a) Graficar la demanda. b) Indicar el número de unidades demandas para un precio de $ 10 la unidad. c) Indicar el número de unidades demandas para un precio de $ 14 la unidad. d) Cuál fue la variación de unidades demandadas de pasar de $ 10 a $16. Sol.: a) $ x = - 4 p + 80 20

80

Unidades

b) B =  % † "!  )! œ %! Por lo tanto, para un precio de $10, la unidad, se venden 40 unidades. c) B =  % † "4  )! œ 24 Por lo tanto, para un precio de $14, la unidad, se venden 24 unidades. d) B =  % † "6  )! œ 16 "!! % Ä %! Ðunidades) B % Ä 16 Ðunidades) B œ

"!! † "' œ %! % %!

Por lo tanto, la variación en las unidades vendidas por cambio en el precio fue de un %! %.

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Resuelva los problemas 1) Dadas las ecuaciones de oferta y demanda : ; œ 2500:  8000 ; œ  4000:  18.000 Halle el precio de equilibrio y cantidad en forma algebráica y gráficamente.

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2) Dada las ecuaciones Ingreso total y costos totales. Indique punto de equilibrio y explique el significado gráficamente y algebráicamenteÞ M œ 75B

G œ 50B + 150

3) Dadas las ecuaciones M œ 40B y G œ 30B  120, ingresos y costos totales de una fábrica, determine punto de equilibrio, algebraicamente y gráficamente.

4) Los costos marginales de una empresa ascienden a U$ 20 y los costos fijos a U$800. Si el precio de venta por cada unidad será de U$ 32. Determine gráfica y analíticamente el punto de equilibrio para dicha empresa.

&Ñ Una empresa vende un determinado producto a un precio unitario de $%Þ Se sabe además que la función de costo es: GX ÐBÑ œ #B  #! a) Indicar para que nivel de unidades no se obtienen perdidas ni ganancias. b) Graficar la función de ingreso y costo indicando el punto de equilibrio. b) Graficar la función de utilidad.

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Respuestas 1)

:=4

;

; = 2000

2) Punto de equilibrio B = ' unidades. 3)

B œ 12 unidades.

4) B œ 66,6 unidades &Ñ a) B œ "! unidades. b) $

Ingreso Total

Costo Total 20

10

Unidades

c) $

Utilidad

10

-20

100

Unidades

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Autoevaluación de la Unidad "Þ  Resolver: B &  #B B" "  œ  $ #% #% "# Res.: B œ

# $

#Þ  Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 2x - y = 5 -3x +2y = 11

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a) Encontrar las soluciones de X e Y para que el sistema tenga solución. b) Gráficar, indicado los puntos de intersección a los ejes y el punto donde se interceptan ambas funciones.(Justifique cada punto de intersección) Resp: +Ñ B œ #"à C œ $( $Þ  Encontrar el valor de las constantes.  ( x + 1)   7   ( y + 2)

3 4 7

 1  8   ( z + w )

 x2  + 2 4   7x

z 0 2

1 2 20

    

 2x 2  =  15  3

Resp: B œ  "ß C œ "&ß D œ  "ß A œ  $( %Þ  Encontrar el valor de K. ( K + 1) 0 1

Resp: 5 œ 

4 1 0

12 0

=

(K − 2)

( K + 3) 1 1

3

4 (K + 2) 2 0 1

"& #

1 4 11

3   12   2

&Þ  Derco Corporation tiene una pequeña fábrica situada en los alrededores de una gran ciudad. Su producción se limita a tres productos industriales X, Y, Z. El departamento de contabilidad de la empresa a calculado las utilidades de cada producto en $10 para X, de $12 para Y y 15 para Z. Cada producto pasa por tres departamentos de la fábrica. Los requerimientos de tiempos para cada producto y el total de tiempo disponible en cada departamento son los siguientes: Horas Requeridas Depart. 1 Depart. 2 Depart. 3

Producto X 2 3 1

Producto Y 3 2 1

Producto Z 2 3 2

a) Si se quiere fabricar 5, 5, 7 unidades de producto X,Y, Z respectivamente, se podrá realizar esta producción si se dispone de 40 hrs. para el departamento1, 42 hrs. Para el departamento 2, y para el departamento 3, 30 hrs.

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b) Cuál es la utilidad por producto si se venden 4, 5, 2 cantidades de X, Y , Z respectivamente.

c) Si se quiere fabricar 3, 6, 7 unidades de producto X, Y,Z respectivamente. Considerando los mismos horas disponibles de la pregunta a). Sabiendo que con ellas no es posible fabricar la cantidad indicada y además se sabe que por cada hora adicional se paga un $5 la hora. Suponiendo que la utilidad del departamento B paga las horas que faltan, Calcular la reducción, en porcentaje, de esta utilidad. Resp: a) El departamento 2 requiere 4 hrs. más, para cumplir con el pedido. b) Se tiene una utilidad de $40, $60 y $ $! para X, Y y Z respectivamente. c) Tienen una reducción en un 48,61%

'Þ  Los costos de transporte de las plantas A, B y C a las zonas I, II y III se dan a continuación: Costo de Transporte ($/unidad) Planta A Planta B Planta C

Zona I 100 70 70

Zona II 110 80 100

Zona III 120 80 120

Las unidades a repartir a las zonas son las siguientes: Planta A, B y C

Zona I 10

Zona II 20

Zona III 30

a) Cuál es el costo de transporte de las plantas A, B y C b) Qué sucede con el costo de transporte de las plantas si las unidades a repartir son de 15, 10 y 30 unidades a las zonas I, II y III respectivamente. Indicar la variación en ($) con respecto al pregunta (a). Res.: a) A: $6800; B: $4700; C: $6300 b) A:  )ß )#$%; B:  *ß &(%; C:  "!,$"%

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UNIDAD IV : INECUACIONES DE UNA Y DOS VARIABLES. 4 .1

In tr o d u cció n . Relaciones de Orden en ‘. Dados + y , números reales se cumple una y sólo una de las siguientes alternativas: i) +  , ; " + mayor que , " ii) +  , ; " + menor que , " iii) + œ , ; " + es igual que , "

Ley de Tricotomía :

Como ejemplos de ordenamiento tenemos 1  0 ;  3  0 ; 1 3  , etc. Estas relaciones de orden se llaman " desigualdades 2 2 absolutas o estrictas "

Otras desigualdades son : +   , ; " + mayor o igual que , " + Ÿ , ; " a menor o igual que , " Propiedades de las Desigualdades. 1) Si +  , ,

entonces

+, 0

2) Si + Ÿ , ,

entonces

+ , ó + œ,

3) Si + Ÿ , , -  0 , entonces + † - Ÿ , † 4) Si + Ÿ , , -  0 , entonces + † -   , † 5) Si + Ÿ , y , Ÿ - , entonces + Ÿ 6) Si + † ,   0 ,entonces ( +   0 • ,   0 ) o ( + Ÿ 0 • , Ÿ 0) 7) Si

+   0 , entonces ( +   0 • ,  0) o ( + Ÿ 0 • ,  0) ,

8) Si + † , Ÿ 0 ,entonces( +   0 • , Ÿ 0 ) o( + Ÿ 0 • ,   0 ) 9) Si

+ Ÿ 0, entonces ( +   0 • b  0) o ( + Ÿ 0 • ,  0) ,

Desigualdad Absoluta : Es válida para todo número real. Ejemplo : B2  1  0 Esta desigualdad es válida para todo número real .

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Desigualdad Condicional o Inecuación Lineal.

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Es la que es válida solo para ciertos valores ,Ej : B  3 es una inecuación pués es válida para B . El conjunto de valores que hacen verdadero una inecuación se denomina conjunto solución y a diferencia de una ecuación, este conjunto es Infinito.

Ejemplo 4.1: B 3 œ 2 B  3 2

Solución : B œ  1 Solución : B   1

4 .2 In ecu a cio n es Lin ea les. Inecuaciones de primer grado en una variable.

La solución de una inecuación en una variable, consiste en todos los valores de B para los cuales la inecuación es verdadera. Estos valores pertenecen a uno o más intervalos de la recta real. Intervalos : Dados + y , − ‘ con +  , a) ’ +, , “ œ š B Î + Ÿ B Ÿ , › b) “ +, , “ œ š B Î +  B Ÿ , › c) ’ +, , ’ œ š B Î + Ÿ B  , › d) “ +, , ’ œ š B Î +  B  , ›

Ejemplo 4.2:

Resuelva:

3B  2 Ÿ 1

Solución :

3B Ÿ 3 B Ÿ1

Graficando:

-∞

-2

-1

0

1

+∞

2

Intervalo Solución: “  _ , 1 “

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Ejemplo 4.3:

3B B  7   1 2 3

Resuelva :

Ά 6

9B  42  2B  6 7B  36 36 B  7

Solución:

-∞

-2

-1

0

1

Intervalo Solución: “

+∞

2 3 4 5

36 ,+_ ’ 7

( B  3 ) 2  7  2B  B (B  5 )  6 B2  6B  9  7 + 2B  B2 + 5B  6  4B  2  5B  6  9B   8 9B  8 8 B  9

Ejemplo 4.4:

-∞

-2

-1

Intervalo Solución: “

0

1

Î † Ð  1Ñ

+∞

2 3 4 5

8 , +_ ’ 9

Valor Absoluto.

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Es frecuente en el cálculo operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de " valor absoluto " . Si B es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo designado por k B k, es que se define por : B ; B  0 kBk œ œ B ; B 0

Ejemplo 4.5:

a) k  5 k b) ¸

7 3

¸

c) k  0,6 k

œ  ( 5)œ 5 7 œ 3 œ  (  0,6 ) œ 0,6

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Inecuaciones de primer grado con dos variables

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Resolver una inecuación presentada en 2 variables significa determinar todos los puntos del plano que hacen verdadera la desigualdad presente; estos puntos al representarlos gráficamente conforman un " semiplano " cuya frontera natural corresponde a la recta asociada a la inecuación. Esta recta se incluye al conjunto solución si la desigualdad presente es "   " o " Ÿ ", de lo contrario se dibuja con linea discontinua para dividir el plano.

Ejemplo 4.6: Sea

2B  C Ÿ 1

2x + y ≤ 1

Se debe transformar en una ecuación, para graficar.

2x + y = 1

y

1

1/2

x

Para encontrar el intervalo solución tomanos como referencia la cordenada (0,0). Luego verificamos si satisface la inecuación: #B  C Ÿ " #Ð!Ñ  ! Ÿ " ! Ÿ"

Se satisface la inecuación, por lo tanto como este punto pertenece al conjunto solución, todos los puntos que estan a la izquerda de la recta de ecuación #B  C œ "Þ

S = Ö (B , C ) Î 2 B  C Ÿ 1×

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Observación: El conjunto solución es infinito. En resumen, la gráfica de una desigualdad lineal en 2 variables de la forma + B  ,C  - o bien + B  , C  - con , Á 0, es el semiplano inferior o superior (pero no ambos ), determinado por la recta + B  , C œ Observación: El semiplano generalmente puede ser determinado por un punto de referencia que no pertenezca a la recta. ( generalmente el origen (0, 0)). Si , œ 0, la gráfica de + B  - o bien + B > - es el semiplano izquierdo o derecho ( pero no ambos), según pueda ser determinado por la recta + B œ -

Ejemplo 4.7: Construya la gráfica de B  4; recta asociada B = 4

y

(4,0)

x

4 .3 S istem a s d e In ecu a cio n es d e P r im er G r a d o . Sistema de Inecuaciones con una Variable.

Dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita pueden formar un sistema de inecuaciones. Resolver un sistema consiste en determinar el conjunto de soluciones comunes a todas las inecuaciones que lo forman. Un procedimiento de resolución es resolver independientemente cada inecuación, luego se establece el conjunto intersección de los conjuntos solución de cada inecuación.

Ejemplo 4.8: 3B  2 B 6 1)

 Ÿ

5 8

3B  2   5 3B   3 B   1

2) B  6 Ÿ 8 B Ÿ2

Solución 1 : Ö B − ‘ Î B   1 × Solución 2 : { B − ‘ Î B Ÿ 2 } Solución : S1  S2 Solución : Ö B − ‘ /  1  B Ÿ 2 ×

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Ejemplo 4.9: 12B  1 5  2B 4B  3

   

11 1 3B  1

1) 12B  1   11 B 1

2) 5  2B Ÿ 1 B  2

3) 4B  3  3B  1 B 4

Solución 1 : Ö B − ‘ Î B    1 × Solución 2 : Ö B − ‘ Î B  

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2×

Solución 3 : Ö B − ‘ Î B  4 × Solución : S1  S2  S3 Solución : Ö B − ‘ Î 2 Ÿ B  4 ×

Sistema de Inecuaciones en 2 variables.

Solucionar un sistema de inecuaciones de primer grado en dos variables equivale a determinar la intersección de los semiplanos que satisfacen a ambas inecuaciones : Ejemplo 4.10: 5  2B 4C  1

3C B

Ÿ 

Ê  2B  3C B 4

  

5 1

Ê

2B  3C  B  4C

Recta = asociadas À Cœ

 2B  5 3

Cœ

B ! & #

B  1 4

C & $

B ! "

!

C " % !

S œ ˜ ( B ß C )Î 2B  3C Ÿ 5 •  B  4 C  1 ×

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Ÿ 

5 1

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4 .4 A p lica ció n : P r o gr a m a ció n Lin ea l. Elementos de Optimización.

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Una de las principales aplicaciones de los sistemas de Inecuaciones en 2 variables dice relación con " Programación Lineal ", en donde, el objetivo principal es la maximización o minimización de una función objetivo, la que depende de dos o más variables. Dichas variables suelen estar relacionadas entre sí por una o varias restricciones (Desigualdades). La función objetivo ( maximizar o minimizar ) para nuestro estudio queda definida por la función lineal de la forma : ^ œ + B  , C  - D  ... con

B ß C ß D ( número de productos, máquinas, etc )

Observación :

Normalmente además de las restricciones, específicas de cada problema suele ser preciso, añadir que las variables sean positivas ( Bß C ß D ...  0 )

El modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: 1) Restricciones estructurales

2) Restricciones de no negatividad, una para cada variable de decisión. Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que impone la situación del problema. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa.

4 .4 .1 F o r m u la ció n d e P r o b lem a s.

En problemas de optimización, debe ubicarse las variables que el modelo matemático debe maximizar ó minimizar, entonces el primer paso es determinar las VARIABLES DE DESICIÓN del modelo. Es fundamental este primer paso porque de este depende la correcta descripción de la funcion objetivo y las restriciones que tenga el modelo. En un modelo matemático que pueda dar solución a un problema de obtener el maximo de ganacias económicas, diciendo cuantos productos vender de cada tipo, resulta ser atractivo para quien lo utiliza, lo fundamental es llegar ha obtener dicho modelo, lo que en algunos casos es complejo, porque el resolverlos existen métodos gréficos, aplicación de algoritmos matemáticos y software que ayudan a encontrar las soluciones.

Ejemplo 4.11: Una planta fabrica 2 tipos de lancha una para 2 personas y una para 4 personas. Cada lancha para 2 personas requiere 2,7 horas de trabajo en el departamento de corte y 2,4 horas en el departamento de montaje. Cada lancha para cuatro personas necesita 5,4 horas en el departamento de corte y 3,6 horas en de montaje. El máximo de horas de trabajo cada mes en los departamentos de corte y montaje son 2592 y 2016 respectivamente. La información dada se resume en la siguiente tabla:

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Departamento corte 2,7 5,4 2592

lancha (2) lancha (4) Máximo hrs

Departamento Montaje 2,4 3,6 2016

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Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4 personas un valor de 5600 dólares ¿ Cuántas lanchas de cada tipo se deben fabricar y vender para que el ingreso sea máximo ? Solución: Variables de Decisión: Sean

B : Nº de lanchas para 2 personas C : Nº de lanchas para 4 personas.

i) RESTRICCIONES: Planteamiento de la Primera Restricción: Departamento de Corte: Limitación 2592 horas disponibles

 hrs   hrs  2,7  ⋅ x (unid ) + 5,4  ⋅ y (unid ) ≤  unid   unid 

2592 ( hrs )

Simplificando:  hrs   hrs  2,7  ⋅ x (unid ) + 5,4  ⋅ y (unid ) ≤  unid   unid 

2,7 x ( hrs ) + 5,4 y ( hrs ) ≤

2592 ( hrs )

2592 ( hrs )

Se debe verificar que las unidades de medidas sean las mismas a ambos lados de la inecuación.

Por lo tanto:

2,7 B  5,4 C Ÿ 2.592 2,4 B  3,6 C Ÿ 2.016

Restriccones de No Negatividad:

Departamento de Corte. Departamento de Montaje.

Como se tienen que fabricar cierta cantidad de productos de un tipo o de otro o bien a lo menos ninguno de algun producto, por lo tanto estas restricciones obliga a que las variables tomen valores mayores o iguales a cero, quedando de la siguiente forma: B ! C !

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ii) FUNCIÓN OBJETIVO

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Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4 personas un valor de 5600 dólares. Función objetivo a máximizar ^ a Bß C b œ 3.200 B  5.600 C

Por lo tanto el modelo de Programación Lineal para este ejemplo queda expresado como: Maximizar : Sujeto a:

Z = 3.200x + 5.600 y 2.7x + 5,4 y ≤ 2.592 2,4 x + 3,6y ≤ 2.016 x,y ≥ 0

Para resolver este problema utilizaremos el método grafico.(Ver sección 4.4.2)

Ejemplo 4.12: Una empresa produce tres tipos de vidrios de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Esta empresa tiene tres fábricas , en la primera se hacen los marcos y molduras de aluminio, los marcos de madera se fabrican en la planta dos y en la planta tres se producen los vidrios y se ensamblan los productos. Los productos que la empresa ofrece son: Producto 1: Una puerta de vidrio de 2 mts. con marco de aluminio. Producto 2: Una ventana de resbalón con marco de madera de 60 x 70 cm.

Los requerimientos de tiempo de producción de cada producto son los siguientes para cada fábrica. Tiempo de Producción(hrs/uni) Fabrica 1 2 3

Tiempo de Producción

Producto 1

Producto 2

Disponible a la Semana(hrs)

1 0 3

0 2 2

4 12 18

Además se sabe que se tiene una utilidad de $3.000 y $5.000 por unidad del producto 1 y 2 respectivamente. La empresa desea saber la cantidad de cada producto que debe producir cada semana para obtener mayores utilidades. Formular el modelo de Programación Lineal para este problema. Solución: Variable de Decisión:

Bi = Cantidad de producto i a fabricar a la semana. i = 1,2 B1 = Producto 1 B2 = Producto 2

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Función Objetivo: Max. Restricciones

4. 4. 2

Z = 3.000 B1 +5.000 B2 B1 Ÿ 4 B2 Ÿ 12 3B1 + 2B2 Ÿ 18 B 1 ,B 2   0

S o l u c i ó n G r á f i c a. Sea el siguiente modelo de programación lineal. Maximizar :

Z = 3.200x + 5.600 y 2.7x + 5,4 y ≤ 2.592

Sujeto a:

2,4 x + 3,6y ≤ 2.016 x,y ≥ 0

Resolviendo gráficamente el sistema se determina la región de óptima. Recta Asociada : 2,7 B  5,4 C œ 2592

C œ

2,4 B  3,6 C Ÿ 2016

 2,7 B  2592 5,4 B ! *'!

C %)! !

C œ B ! )%!

 2,4 B  2016 3,6

C &'! !

Idea gráfica : y 580

Área de Solución

480

840

960

x

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Los valores que maxímizan dicha función deben ser extraídos de la región de confianza. Si la región de confianza es acotada, es decir, queda limitada por los ejes coordenados y las rectas asociadas a cada restricción, entonces la función se evalúa en los vértices de la región para determinar los valores máximos o mínimos.

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En este ejemplo los vértices corresponden a los puntos À (0,0), (0,480), (840,0) y el punto de intersección de las rectas asociadas. Intersección de las rectas: 2,7 B  5,4 C œ 2.592 2,4 B  3,6 C œ 2.016 Por sustitución:

2,7 B  5,4 C œ 2.592 Cœ

#&*#  #ß (B œ 480  0,5B &ß %

Reemplazando en la segunda ecuación: 2,4B  3,6Ð480  0,5BÑ 2.4B  1728  1,8B 0,6B B

œ 2.016 œ 2.016 œ 288 œ 480

Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones B = 480, se puede encontrar CÞ Por lo tanto: C œ 240 Punto de intersección: (480,240) Y

Puntos Extremos

560 (480,0)

(480,240)

(0,840)

960

X

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Para encontrar el punto optimo que maximiza la la función objetivo reemplazamos cada punto extremo en la función objetivo. ^ aB , Cb œ 3200 B  5600 C

^ a! , !b œ 3200 ( 0 )  5600 ( 0 ) œ 0

^ a!, %)!b œ 3200 ( 0 )  5600 (480) œ 2.688.000 ^ a)%!, !b œ 3200 (840)  5600 (0) œ 2.688.000

^ a%)!, #%!b œ 3200 (480)  5600 (240) œ 2.880.000

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Y

Punto Optimo que maximiza la función:

Z = 3200X 1+ 5600X2

560 (480,0)

(480,240)

(0,840)

Ejemplo 4.13:

960

X

Resuelva el siguiente problema de programación lineal : Función objetivo : 0 (B , C ) œ 20 B  10 C Restricciones :

12B  4 C Ÿ 72 4B  8 C Ÿ 64 Bß C   0

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Por lo tanto, el máximo ingreso se logra al fabricar 480 lanchas para 2 personas y 240 lanchas para 4 personas.

Cantidad de B e C para minimizar y maximizar la función objetivo. Resolviendo gráficamente el sistema de inecuaciones y determinando la región de óptima acotada se tiene : B ! '

C ") !

B ! "'

Idea gráfica : Y Punto Intersección

18

(4, 6)

8

6

16

X

Punto intersección : ( 4, 6 ) Evaluación : 0 (Bß C ) œ 20 ( 0 )  10 ( 0 ) œ 0 0 (Bß C ) œ 20 ( 0 )  10 ( 8 ) œ 80 0 (Bß C ) œ 20 ( 6 )  10 ( 0 ) œ 120

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C ) !

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0 ÐB ß C ) œ 20 ( 4 )  10 ( 6 ) œ 140

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Por lo tanto, la función se minimiza para una producción nula de B e C, y se maximiza para 4 artículos B, y 6 artículos CÞ

Ejemplo 4.14: Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. En la tabla siguiente se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamentos y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto de maximizar la aportación total de costos fijos y a las utilidades.

Departamento 1 Departamento 2 Utilidad

Producto E 3 h por unidad 4 h por unidad $5 por unidad

ProductoF 2 h por unidad 6 h por unidad $6 por unidad

Capacidad de trabajo semanal 120 h 260 h

Solución: Si se supone que B" y B# son el número de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos E y F , entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si D se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá: D œ 5 B "  6B #

Según la información suministrada en el planteamiento del problema, las únicas restricciones al decidir el número de unidades que deben fabricarse son las capacidades de trabajo semanal en los dos departamentos. Luego tenemos que: 3B"  2B# Ÿ 120 departamento 1 4B"  6B# Ÿ 260 departamento 2

Si bien no hay una expresión formal de tal restricción se sabe implícitamente que B" y B# no pueden ser negativas.Hay que explicar esta clase de restricción en la formulación del modelo. Al combinar la función objetivo y las restricciones, el modelo de programación lineal que representa el problema se formula así:

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maximice

D œ 5B"  6B#

sujeta a

3B"  2B# Ÿ 120 4B"  6B# Ÿ 260 B"   0 B#   0

Representación gráfica

Reemplazando en la función objetivo solución se tiene, para: a) (0,0) 130 b) (0, ) 3

D œ 5B"  6B# los valores que limitan la región que es

Dœ! D œ5† ! '† D œ 260

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130 3

c) (20,30)

D œ 5 † #!  6 † 30 œ 280

d) (40,0)

D œ 5 † %!  ' † 0 œ 200

El valor que hace a D máximo es el punto (20,30) lo que nos indica que se han de fabricar 20 unidades del producto B" y 30 unidades del producto B# siendo D œ $280

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Ejercicios Propuestos

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1) Una empresa fabrica 2 tipos de productos, para lo cual un operario trabaja 8 horas. La materia prima para producir dichos productos es de 11 kilos como máximo; Si el operario demora 3 horas en el primer producto y 2 horas en el segundo utilizando 4 kilos de materia prima para el primero y 3 kilos para el segundo. Determine el número de productos a fabricar de cada tipo para obtener el máximo de beneficios sabiendo que los productos sean vendidos a $ 800 y $ 420 respectivamente. 2) Una planta fabrica 2 tipos de botes, un bote para 2 persona y un bote para 4 personas. Cada bote para 2 personas requiere 0,9 horas de trabajo en el departamento de corte y 0,8 horas de trabajo en el departamento de montaje. Cada bote para 4 personas necesita 1,8 horas de trabajo en el departamento de corte y 1,2 horas en departamento de montaje. El máximo de horas de trabajo disponible cada mes en los departamentos de corte y montaje son 864 y 672 respectivamente. Calcule número de botes de cada tipo de bote para obtener el máximo de ingreso, sabiendo que el bote para 2 personas se vende a $160.000 y el de 4 personas en $320.000

3) Un paciente de un hospital necesita que se le administren diariamente por lo menos 84 unidades de medicamentos A y 120 unidades de medicamento B. Cada gramo de la sustancia M contiene 10 unidades de medicamento A y 8 unidades de medicamento B y cada gramo de la sustancia N contiene 2 unidades del medicamento A y 4 unidades del medicamento B. ¿Cuántos gramos de la sustancia M y N se pueden mezclar para cumplir con los requisitos diarios mínimos?. 4) Se desea programar una dieta con dos alimentos A y B .Una unidad del alimento A contiene 500 calorías y 10 gramos de proteínas; una unidad de B contiene 500 calorías y 20 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 3000 calorías y 80 gramos de proteínas. Si el precio de una unidad de A es 8 y de una unidad de B es 12,¿Qué cantidad de unidades de A y B se debe comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costo mínimo? 5) Una compañía fabrica dos productos. Uno y otro deben ser procesados en dos departamentos. El producto A requiere dos horas por unidad en el departamento 1 y 4 horas por unidad en el departamento 2 . El producto B requiere 3 horas por unidad en el departamento 1 y 2 horas por unidad en el departamento 2. Los departamentos 1 y 2 tienen respectivamente, 60 y 80 horas disponibles a la semana. Los margenes de utilidad de los productos son $3 y $4 por unidad. Formule el modelo de programación lineal para determinar la mezcla de productos que maximice las utilidades totales. Intérprete los resultados que indiquen la mezcla de productos recomendada.¿Qué porcentaje de la capacidad diaria se utilizará en cada departamento?. 6) Una compañía fabrica tres productos: A,B y C. Para producir estos productos se requiere tres tipos de recursos: Servicio técnico, Mano de obra y Administración. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de cada uno de estos recursos. Recursos(hrs) Producto

Servicio Técnico

Mano de Obra

Administración

Utilidad ($/uni)

A B C

1 1 1

10 4 5

2 2 6

10 6 4

Disponibilidad de Recursos

100 hrs.

600 hrs

300 hrs.

La empresa necesita un modelo matemático que le ayude a resolver el problema de cuantas unidades producir de cada producto. Formular el modelo de Programación lineal.

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Tipo de Máquina

Tiempo Disponible

(hrs. por semana) Fresadora Torno Rectificadora

500 350 150

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7) Una compañía manufacturera descontinuó producción de cierta línea de productos no rentable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerenca quiere dedicar esta capacidada a uno o más productos; llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.

El número de horas que se requiere para cada unidad de los productos respectivos es: Tipo de Máquina Fresadora Torno Rectificadora

Producto 1 Hrs/ unid 9 5 3

Producto 2 Hrs/ unid 3 4 0

Producto 3 Hrs/ unid 5 0 2

El departamento de ventas ha indicado que la demanda total de los productos 1 y 2 no exceden las 50 unidades. Además se sabe que la demanda ala semana del producto 3 es de 20 unidades. Por otro lado el costo unitarios de fabricación de los productos 1, 2 y 3 son de $20, $5 y $ 5. Los ingresos por ventas son de $70, $25 y $30 para el producto 1, 2 y 3 respectivamente. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

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Respuestas 1) Se deben producir 0 cantidad del primer producto y máxima.

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11 del segundo producto para que la ganancia sea 3

2) Para obtener el máximo de ingreso se deben producir 480 botes para 4 personas o 480 botes para 2 personas y 240 botes para 4 personas. 3) Región de confianza limitada por los puntos ( 0 , 42 ) , ( 4, 22 ) y ( 15 , 0 ).

4) El valor mínimo de la función es 56. Corresponde a B œ 4 e C œ #, es decir, a 4 unidades de A y 2 unidades de B. Tales cantidades de A y B proporcionan un total de calorías y proteínas de acuerdo a las exigencias planteadas. 5) D œ 85 cuando B" œ "& y B# œ 10. deben fabricarse 15 unidades del producto A y 10 unidades del producto B. 100% de uso de ambos departamentos. 6)

Xi: Cantidad de producto tipo i a fabricar i: 1, 2, 3 Max: S/a:

7)

Z = 10X1 + 6 X2 + 4X3 X1 + X2+ X3 Ÿ 100 10X1 + 4X2 + 5X3 2X1 + 2X2 + 6X3 Xi   0

Ÿ 600 Ÿ 300

Xi: Cantidad de producto tipo i a fabricar i: 1, 2, 3 Max: S/a:

Z = 50X1 + 20 X2 + 25X3 9 X1 + 3X2 + 5X3 Ÿ 500 5 X1 + 4X2 Ÿ 350 3 X1 + 2X3 Ÿ 150 X1 + X2 Ÿ 50 X3   20 Xi   0

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Autoevaluación de la Unidad

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"Þ  Una compañía posee una pequeña fábrica donde se elaboran dos tipos de pinturas, una para exterior y la otra para interior, en la fabricación de la pintura se utilizan dos materias primas A y B. Los requerimientos diarios por tonelada de producto final se indican en la tabla siguiente: Materia Prima

Pintura Exterior

Pintura Interior

Disponibilidad Diaria

A

1 (ton Pintura/ton M.P.)

0,5(ton Pintura/ton M.P.)

6 (ton M.P./día)

B

0,5 (ton Pintura/ton M.P.)

1 (ton Pintura/ton M.P.)

8 (ton M.P./día)

Utilidad

3.000 ($/unidad)

2.000 ($/unidad)

Un estudio de mercado indica que la demanda diaria de pintura interior no superará la demanda diaria de pintura exterior por más de una tonelada. El estudio indica que la demanda por pintura interior no superará las dos toneladas. Formule el problema y resuélvalo por el método gráfico. Res.: B œ %ß '(à C œ &ß '(ß D œ #&Þ$&!

3.  Una empresa de artículos de cuero puede vender zapatos (de niños, hombre y mujer) y carteras a $1.200, $1.500, $1.800 y $1.400 respectivamente. En la elaboración de estos artículos se emplea: cuero, mano de obra, maquinas y otros insumos, en la cantidades indicadas en el siguiente cuadro: INSUMOS Niños Cuero Unidad cuero/ unid. prod Mano de Obra minutos / Unidad prod Maquinaria Minutos/ unidad prod Otros Costos $/ unidad prod.

PRODUCTOS ZAPATOS Hombre Mujer

CARTERAS

1

3

2

5

20

15

34

50

18

25

30

35

45

60

75

30

El cuero puede comprarse en el comercio a un costo de $150 por unidad, sabiendo la cantidad mínima que se puede comprar es de 100 unidades. La empresa dispone de 25 operarios, los cuales deben cumplir una jornada de trabajo semanal de 40 horas cada uno. Por otro lado, el total disponible de las horas maquinas es de 300 hrs. a la semana. Formular un modelo matemático para resolver el presente problema de programación de la producción para una semana, de modo de maximizar el beneficio de la empresa.

%Þ  Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. El taller de pintura se demora 0ß 5 horas en pintar automóviles diariamente y 0ß 75 hrs. en pintar camiones. El taller de carrocería por automóvil se demora 1 hora y por camión 0ß 45 hrs en el día. Además se sabe que el taller de carrocería tiene disponible en el día 9 hrs. como máximo el taller de pintura 8 hrs. Cada camión aporta 300 dólares a la utilidad y cada automóvil 200. Formule el modelo de programación lineal y resuelva por el método Grafico.

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Solución "Þ 

B œ %ß '(

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D œ #&Þ$&!

#Þ  B3 À N° de productos a frabricar tipo i ( i=1,2,3,4)

$Þ 

Max:

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B"  $B#  #B$  &B%   "!! #!B"  "&B#  $%B$  &!B% Ÿ '!Þ!!! ")B"  #&B#  $!B$  $&B% Ÿ ")Þ!!! B" ß B # ß B $ ß B %   !

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121

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