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• Diego Lavin

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Tema 3. Conducción en régimen permanente unidireccional: superficies adicionales

CAPÍTULO 2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN 3. TEMA 3: CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE UNIDIRECCIONAL: SUPERFICIES ADICIONALES

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3.1 INTRODUCCIÓN

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3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ALETAS

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3.3 ECUACIÓN GENERAL DE LAS SUPERFICIES ADICIONALES

37

3.4 ALETA RECTA DE ESPESOR UNIFORME Y AGUJA DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE 3.4.1 Solución de la ecuación general 3.4.2 Caso A: flujo de calor en el extremo 3.4.3 Caso B: flujo de calor despreciable en el extremo 3.4.4 Caso C: aleta de gran longitud

39 39 40 41 41

3.5 ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE 3.5.1 Solución de la ecuación general 3.5.2 Caso A: flujo de calor en el extremo 3.5.3 Caso B: flujo de calor despreciable en el extremo 3.5.4 Caso C: aleta de gran longitud 3.5.5 Método de resolución gráfico

42 42 43 43 43 44

3.6 OTROS TIPOS DE ALETAS 3.6.1 Aleta recta de perfil trapezoidal 3.6.2 Aleta recta de perfil triangular

45 45 46

3.7 EFECTIVIDAD DE LAS ALETAS

47

3.8 EFICIENCIA DE LAS ALETAS

48

3.9 CALOR TRANSMITIDO POR UNA SUPERFICIE ALETEADA

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Capítulo 2. Transmisión de calor por conducción

3. TEMA 3: CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN UNIDIRECCIONAL: SUPERFICIES ADICIONALES 3.1

PERMANENTE

INTRODUCCIÓN

Cuando en ingeniería se desea aumentar la disipación de calor entre una superficie (superficie primaria) y un fluido ambiente circundante, se recurre a aumentar el área de intercambio de calor por medio de las llamadas superficies adicionales o aletas, que se unen a la superficie primaria (ver Figura 3.1). Éste es el caso de los radiadores de calefacción en las viviendas, los radiadores e intercambiadores (intercooler) de los vehículos, las superficies de disipación de calor montadas en microprocesadores electrónicos, los motores de motocicleta refrigerados por aire, o los transformadores eléctricos.

Ts

superficie primaria

aletas

T h

T h Ts

Figura 3.1. Adición de aletas (superficies adicionales) a una superficie primaria.

La adición de dicha superficie aumenta, a veces hasta en órdenes de magnitud, el área por la que se intercambia calor entre el objeto y el medio. Así, la transferencia de calor por convección aumenta, según dicta la ley de enfriamiento de Newton, Q& conv = hAS (TS − T∞ ) . Sin embargo, la situación no es tan simple ya que la temperatura de la superficie adicional (aleta) es más reducida que la de la superficie primaria original, y por tanto también disminuye la diferencia entre la temperatura de la superficie y la del fluido. Sólo en el caso de aletas con conductividad térmica infinita dicha temperatura se mantiene constante, y es por ello que las aletas se construyen siempre con materiales que son buenos conductores del calor. Para mayor dificultad, la adición de aletas puede disminuir el coeficiente de película del ambiente, especialmente en el espacio situado entre aleta y aleta, debido al efecto de encerramiento del fluido, el cual dificulta la aparición de corrientes de convección. En consecuencia, teóricamente el calor intercambiado no es necesariamente superior al que se transfiere en la configuración sin aletas, ya que debe considerarse no solo el aumento de área, sino también la disminución de la temperatura y del coeficiente de película. De todo esto se deduce que el intercambio de calor con aletas depende de: • Coeficiente de película de la aleta con el medio. • Conductividad térmica (material) y geometría de la aleta. • Relación entre el área añadida y el área que sirve de soporte a la aleta. Dichas superficies adicionales siempre se encuentran en contacto con fluidos de bajos coeficientes de película (es ahí donde el potencial de aumento de la transferencia de calor es mayor, como se discute más adelante), y se realizan con materiales de alta conductividad térmica. Por ello, en el caso de intercambiadores agua-aire (por ejemplo, los radiadores de

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Tema 3. Conducción en régimen permanente unidireccional: superficies adicionales

calefacción), las aletas se encuentran en el lado del aire, ya que como se vio en el Capítulo 1 el coeficiente de película de un gas es, en general, menor que el de un líquido. Además, un diseño correcto de una superficie aleteada requiere considerar no sólo el área superficial de las aletas, sino también su volumen. Aletas poco voluminosas ocupan menos espacio y, por tanto, permiten adosar un mayor número de ellas a la superficie primaria. Esta condición hace que, en general, la longitud de las aletas sea mucho mayor que su espesor, por lo que se puede considerar conducción unidireccional en la dirección en la que se extiende la aleta. Por simplicidad, en este texto se limita el estudio de la transmisión de calor con aletas al régimen permanente, es decir, a aquellas situaciones en las que la temperatura en cada punto de la aleta no cambia con el tiempo.

3.2

CLASIFICACIÓN DE LAS ALETAS

Las superficies adicionales suelen clasificarse en: • Aletas rectas, unidas a paredes planas. Pueden ser de espesor uniforme (Figura 3.2 A) o variable (Figura 3.2 B) a lo largo de la aleta. • Aletas anulares, unidas concéntricamente a una superficie cilíndrica. Su espesor es, en la mayoría de aplicaciones, constante (Figura 3.2 C). A diferencia del resto de aletas de espesor constante, en las aletas anulares la sección transversal varía con la distancia desde la superficie primaria. • Agujas. Tienen forma cilíndrica y pueden unirse a cualquier tipo de superficie. Existen agujas de sección constante (Figura 3.2 D) y variable (Figura 3.2 E). C A E B

D

Figura 3.2. Tipos de aletas.

En la práctica, la elección del tipo de aleta óptimo en cada caso depende de varios factores. Los más importantes son el espacio disponible, la efectividad, los costes económicos y la pérdida de presión en el fluido que supone la adición de las mismas (especialmente en el caso de convección forzada).

3.3

ECUACIÓN GENERAL DE LAS SUPERFICIES ADICIONALES

Sea una superficie adicional, de geometría cualquiera, tal y como la presentada en la Figura 3.3, en la que se cumplen las siguientes hipótesis (además del ya mencionado régimen permanente): • Conductividad térmica constante K. • Generación interna de calor nula (g0=0). • Coeficiente de película (h) uniforme en toda la superficie de la aleta. • Longitud de la aleta suficientemente larga (conducción en régimen unidimensional). - 37 -

Capítulo 2. Transmisión de calor por conducción

Un sencillo balance de energía al elemento diferencial detallado en la Figura 3.3 conduce a la ecuación (3.1):

T h A(x)

Qconv

A(x+dx)

dAS(x) Qx

Qx+dx x dx

Figura 3.3. Balance energético en una superficie adicional (aleta).

Q& x − Q& x + dx = Q& conv

(3.1)

Calor que entra y sale por conducción: Q& x , Q& x + dx La ecuación anterior indica que la diferencia entre el calor que entra y sale de la aleta por conducción debe coincidir con el calor disipado por convección hacia el fluido circundante. Un desarrollo en serie de Taylor del calor transmitido por conducción en x+dx, despreciando los términos de segundo orden y superiores, ecuación (3.2), permite expresar el primer miembro de la ecuación (3.1) según la ecuación (3.3), dQ& x (3.2) Q& x + dx = Q& x + dx dx dQ& d (φ ( x) A( x) ) (3.3) Q& x − Q& x + dx = − x dx = − dx dx dx donde A(x) es, en cada punto de la aleta, el área transversal (sección transversal, en este caso), es decir, normal a la dirección de la conducción del calor. Por otra parte, el calor disipado por convección (segundo miembro de la ecuación (3.1)) será, Q& conv = h(T ( x) − T∞ )dAS ( x) (3.4) donde AS(x) es el área superficial (o área de la superficie lateral) de la aleta, es decir, área de contacto entre el fluido y la aleta. Sustituyendo (3.3) y (3.4) en el balance energético (3.1), e introduciendo la ley de Fourier, se llega a la expresión (3.5):

d  dT ( x)  h dA ( x) =0  A( x)  − (T ( x) − T∞ ) S dx  dx  K dx

(3.5)

Finalmente, definiendo la temperatura de exceso como θ ( x) = T ( x) − T∞ , en cuyo caso se cumple que dθ(x)=dT(x), y aplicando la regla de la derivada de un producto de funciones, se llega a la ecuación diferencial de la transmisión del calor en aletas, ecuación (3.6):

d 2θ ( x) 1 dA( x) dθ ( x) h θ ( x) dAS ( x) + − =0 2 dx A( x) dx dx K A( x) dx

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(3.6)

Tema 3. Conducción en régimen permanente unidireccional: superficies adicionales

3.4 ALETA RECTA DE ESPESOR UNIFORME Y AGUJA DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE 3.4.1 Solución de la ecuación general La aleta recta de espesor uniforme y la aguja de sección transversal constante pueden tratarse de modo idéntico porque en ambos casos la sección transversal y el perímetro de la misma son constantes (Figura 3.4).

T0

T0

T h

T h

e

R

W x L

x L

Figura 3.4. Aleta recta de espesor uniforme (izquierda) y aguja de sección transversal constante (derecha)

Por ser el área A(x)=A constante, el segundo miembro de la ecuación (3.6) se anula. Además, en ambos caso el área de la superficie lateral (en contacto con el fluido) AS(x), y su derivada respecto de la coordenada x se pueden expresar en función del perímetro P de la sección transversal (ecuación (3.7)): AS (x) = Px ⇒

dAS(x) =P dx

(3.7)

Con esto, la ecuación (3.6) queda simplificada según la expresión (3.8), siendo ésta una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, homogénea, y de coeficientes constantes, d 2θ(x) hP d 2θ(x) − θ(x) = 0 ⇒ − m 2θ(x) = 0 2 2 dx AK dx

[ ]

donde se ha definido e introducido el parámetro m m −1 =

0≤ x≤ L

(3.8)

Ph : AK

(2e + 2W )h 2h , y como e