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3.4-5. Utilice el método gráfico para resolver el problema: Minimizar Z = 15X1 + 20X2, Sujeto a: X1 + 2X2 ≥ 10 2X1 - 3X2 ≤ 6 X1 + X2 ≥ 6 y X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.  Definición de variables X1 = Variable1 X2 = Variable2  Función objetivo Min.(Z)= 15X1+20X2  Restricciones  X2 ≥ 0

…(R1)

 X1 ≥ 0

…(R2)

 X1+2X2 ≥10

…(R3)

 2X1-3X2 ≤ 6

…(R4)

 X1+X2 ≤ 6

…(R5)

 Modelo de programación lineal Minimizar Z= 15�1+20�2

X1+2X2 ≥10 2X1-3X2 ≤ 6 X1+X2 ≤ 6  Solución grafica

 Solución Reemplazando en Z=15�1+20�2 donde �1=2, �2=4.

Se minimiza la función objetivo Z=110.

3.4-6. Utilice el método gráfico para resolver el problema: Método de Programación Lineal

2

Minimizar Z = 3X1 + 2X2, Sujeto a: X1 + 2X2 ≤ 12 2X1 +3X2 =12 2X1 + X2 ≥ 8 y X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.  Definición de variables X1 = Variable1 X2 = Variable2  Función objetivo Min.(Z)= 3X1+2X2  Restricciones  X2 ≥ 0

…(R1)

 X1 ≥ 0

…(R2)

 X1 + 2X2 ≤ 12 …(R3)  2X1+X2 =12

…(R4)

 2X1+X2 ≥ 8

…(R5)

 Modelo de programación lineal Minimizar Z= 3�1+2�2

X1 + 2X2 ≤ 12 2X1+X2 =12 2X1+X2 ≥ 8  Solución grafica

Método de Programación Lineal

3

 Solución Reemplazando en Z=3�1+2�2 donde �1=3, �2=2.

Se minimiza la función objetivo con Z=13.

3.4-8. Considere el siguiente modelo: Minimizar Z = 40X1 + 50X2, Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≥ 30 X1 + X2≥ 12 2X1 + X2 ≥ 20 y X1 ≥ 0, X2 ≥ 0. Método de Programación Lineal

4

 Definición de variables X1 = Variable1 X2 = Variable2  Función objetivo Min.(Z)= 40X1+50X2  Restricciones  X2 ≥ 0

…(R1)

 X1 ≥ 0

…(R2)

 2X1+3X2 ≥30 …(R3)  X1+X2 ≥ 12

…(R4)

 2X1+X2 ≥ 20

…(R5)

 Modelo de programación lineal Minimizar Z= 40�1+50�2

2X1+3X2 ≥30 X1+X2 ≥ 12 2X1+X2 ≥ 20  Solución grafica

 Solución Método de Programación Lineal

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Reemplazando en Z=40�1+50�2 donde �1=7.5, �2=5.

Se minimiza la función objetivo con Z=550.

3.4-9. La carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que ésa no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Él ha obtenido la información nutricional y de costo que se muestra en el siguiente cuadro. Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo.

 Definición del problema ¿Cuál será la mejor combinación para tener un costo mínimo y cumplir los requerimientos alimenticios diarios?  Definición de variables Método de Programación Lineal

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�1= Numero de gramos de res.

�2= Numero de gramos de papas.  Función objetivo �= 4�1+2�2  Restricciones  4�1+15�2≥50  20�1+5�2≥40  15�1+2�2≥60  �1≥0

 �2≥0  Modelo de programación lineal Minimizar Z= 4�1+2�2 4�1+15�2≥50 20�1+5�2≥40 15�1+2�2≥60 Con �1, �2≥0  Solución gráfica

Método de Programación Lineal

7

 Solución Reemplazando en Z=4�1+2�2 donde �1=3.6866, �2=2.3502.

Se deben consumir 3.6866 gramos de res y 2.3502 gramos de papa al día para minimizar el costo con Z=19.4468. 3.5-2. Se cuenta con los siguientes datos de un problema de programación lineal cuyo objetivo es maximizar la ganancia de asignar tres recursos a dos actividades no negativas.

(a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. (b) Use el método gráfico para resolver este modelo. (c) Use la hoja de cálculo para verificar las siguientes soluciones: (�1, �2) = (2, 2), (3, 3), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3). ¿Cuáles son factibles? ¿Cuál de las soluciones factibles tiene el mejor valor de la función objetivo?  Definición de variables �1= 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 1.

�2= 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 2.  Función objetivo �= 20�1+30�2  Restricciones

 2�1+�2 ≤10

 3�1+3�2 ≤20  2�1+4�2 ≤20  �1≥0

 �2≥0  Modelo de programación lineal Minimizar Z= 20�1+30�2 2�1+�2 ≤10 3�1+3�2 ≤20

Método de Programación Lineal

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2�1+4�2 ≤20 Con �1, �2≥0  Solución gráfica

 Solución Reemplazando en Z=20�1+30�2 donde �1=10/3, �2=20/3. Se maximiza la ganancia con Z=166.6.

3.5-4. Usted cuenta con los siguientes datos de un problema de programación lineal cuyo objetivo es minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas

Método de Programación Lineal

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para lograr tres beneficios que nunca estén por debajo de ciertos niveles mínimos.

(a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. (b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. (c) Use la hoja de cálculo para verificar las siguientes soluciones: (�1, �2) = (7, 7), (7, 8), (8, 7), (8, 8), (8, 9), (9, 8). ¿Cuáles soluciones son factibles? ¿Cuál de ellas tiene el mejor valor objetivo?  Definición de variables �1= 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 1.

�2= 𝐴𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 2.  Función objetivo �= 60�1+50�2  Restricciones

 5�1+3�2 ≥60  2�1+2�2 ≥30

 7�1+9�2 ≥126  �1≥0

 �2≥0  Modelo de programación lineal Minimizar Z= 60�1+50�2 5�1+3�2 ≥60 2�1+2�2 ≥30 7�1+9�2 ≥126 Con �1, �2≥0  Solución gráfica

Método de Programación Lineal

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 Solución Reemplazando en Z=60�1+50�2 donde �1=6.75, �2=8.75. Se minimizan los costos con Z=842.50.

Método de Programación Lineal

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