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Asignatura Sistemas Dinámicos Discretos y Continuos Datos del alumno Fecha Apellidos: Aguilar Varela Nombre: Juan Dav

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Asignatura Sistemas Dinámicos Discretos y Continuos

Datos del alumno

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Apellidos: Aguilar Varela Nombre: Juan David

Actividades Laboratorio: Práctica 3 Ejercicio 1 Obtén el plano dinámico del método de Newton cuando se aplica sobre polinomios cúbicos del tipo 𝑓(𝑧) = 𝑧 3 + 𝜆 particulizándolos para 𝜆 = {1, 𝑖, −1, −𝑖}, con 𝑧0 ∈ [−3,3] + 𝑖[−3,3]. En la entrega deberás incluir: Expresión del operador de punto fijo del método de Newton cuando se aplica sobre polinomios cúbicos de la forma 𝑓(𝑧) = 𝑧 3 + 𝜆. Obtención de puntos fijos. El código en SciLab del programa. Solo se permitirá un programa para la ejecución de los cuatro valores de 𝝀. Los cuatro planos dinámicos generados. Ejercicio 2 Obtén el estudio de la dinámica compleja asociada a la función logística 𝑓(𝑧) = 𝜆𝑧(1 − 𝑧) cuando se aplica sobre variable compleja. Para ello, sigue los siguientes pasos: Obtención de los puntos fijos y críticos del sistema. Modificación del código del programa de la figura 8 para generar el plano de parámetros. Incluir código en la memoria. Representación del plano de parámetros, con 𝜆 ∈ [−2,4] + 𝑖[−1,1] que tenga 201x201 puntos. Representación de tantos planos dinámicos como regiones haya en el plano de parámetros. Incluir código de los planos dinámicos en la memoria. Relación entre los valores de 𝜆, la cuenca de atracción en la que está el punto crítico y los puntos fijos. Nota. En ambos ejercicios hay que incluir el código de los programas generados. Para incluirlo sobre el documento que entregarás selecciona el texto del código, Editar >

TEMA 12 – Actividades

© Universidad Internacional de La Rioja. (UNIR)

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Apellidos: Aguilar Varela

Sistemas Dinámicos Discretos y Continuos

Nombre: Juan David

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Ejercicio 1 Todos los códigos se anexan a la entrega de esta actividad, pero cabe destacar que el código se adaptó basados en el trabajo de Chicharro (Francisco I. Chicharro, 2013) pues se deseaba hacer el trabajo en Matlab.

Obtención de puntos fijos para lambda = 1, theta = 0 𝑧3+ 𝜆 3𝑧 2

3

= 0 → 𝑧3 + 𝜆 = 0 → 𝑧 = − √ 𝜆

3

𝑧0 = √1 [cos(0) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(0)] = 1 → −1 ∗ 1 = −1 2𝜋 2𝜋 1 1 1 3 𝑧1 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = − + 𝑖√3 → −1 ∗ (− + 𝑖√3) = − 𝑖√3 3 3 2 2 2 4𝜋 4𝜋 1 1 1 3 𝑧2 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = − − 𝑖√3 → −1 ∗ ( − 𝑖√3) = − + 𝑖√3 3 3 2 2 2

Obtención de puntos fijos para lambda = i, theta = 𝑧 3 +𝑖 3𝑧 2

𝜋 2 3

= 0 → 𝑧3 + 𝑖 = 0 → 𝑧 = − √ 𝑖

𝜋 𝜋 1 1 1 √3 √3 √3 3 𝑧0 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = + 𝑖 → −1 ∗ +𝑖 = − −𝑖 6 6 2 2 2 2 2 2 TEMA 12 – Actividades

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3

𝑧1 = √1 [cos (

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Nombre: Juan David

5𝜋 5𝜋 1 1 1 √3 √3 √3 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = − + 𝑖 → −1 ∗ (− +𝑖 )= −𝑖 6 6 2 2 2 2 2 2 3

𝑧2 = √1 [cos (

3𝜋 3𝜋 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = 0 − 𝑖 → −1 ∗ (−𝑖) = 𝑖 2 2

Obtención de puntos fijos para lambda = -1, theta = 𝜋 𝜋 𝜋 1 1 1 √3 √3 √3 3 𝑧0 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = + 𝑖 → −1 ∗ + 𝑖 = − −𝑖 3 3 2 2 2 2 2 2 3

𝑧1 = √1 [cos(𝜋) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜋)] = −1 → −1 ∗ −1 = 1 5𝜋 5𝜋 1 1 1 √3 √3 √3 3 𝑧2 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = − 𝑖 → −1 ∗ ( − 𝑖 ) = − + 𝑖 3 3 2 2 2 2 2 2

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Obtención de puntos fijos para lambda = -1, theta =

3𝜋 2

𝜋 𝜋 3 𝑧0 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = 𝑖 → −1 ∗ 𝑖 = −𝑖 2 2 3

𝑧1 = √1 [cos (

7𝜋 7𝜋 1 1 1 √3 √3 √3 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = − 𝑖 → −1 ∗ −𝑖 =− +𝑖 6 6 2 2 2 2 2 2

11𝜋 11𝜋 1 1 √3 √3 3 𝑧2 = √1 [cos ( ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛( )] = − −𝑖 →= + 𝑖 6 2 2 2 2 2

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Ejercicio 2 Obtención de puntos Fijos y Críticos El método de steffensen utilizando la función logística nos queda: 𝑆𝑡𝑙𝑜𝑔𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑆𝑡 =

𝑧 2 (𝜆 − 𝜆𝑧 + 1 ) 2𝑧 + 𝜆𝑧 − 𝜆𝑧 2 − 1

𝑧 2 (𝜆 − 𝜆𝑧 + 1 ) 𝑧(𝑧 − 1 ) − 𝑧 → −( ) = 0 → {0,1} 2 2𝑧 + 𝜆𝑧 − 𝜆𝑧 − 1 2𝑧 + 𝜆𝑧 − 𝜆𝑧 2 − 1

Puntos fijos son (0 , 1). Ahora los puntos críticos son: 𝜆 ± √𝜆2 + 8 + 4 2𝜆 Se representa el plano de parámetros en el intervalo Real(-2,4) y el Img(-2,4), para poder observar que existen lugares donde el parámetro lambda no converge (Negro), además el color rojo hace referencia a la convergencia del punto fijo cero y el verde al uno.

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Se observa que elegir un parámetro real siempre converge a cero o uno incluso si se hace el mismo proceso, pero con el método de newton se puede observar que no hay puntos críticos (por lo que no existe la necesidad de generar un plano de parámetros) pero si elegimos valores de lambda con la magnitud del número imaginario mayor que 2.5 sabemos que nunca vamos a converger Se representa el plano de parámetros en el intervalo Real(-2,4) y el Img(-1,1)

Bibliografía Francisco I. Chicharro, A. C. (2013). Drawing Dynamical and Parameters Planes of Iterative Families and Methods. The Scientific World Journal.

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